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★ 包絡線 / J
tをパラメータとする直線群ｙ＝2tx-t^2(０≦t≦１）・・?@の範囲を動くとき、通過する領域を図示せよ。

?@をｔについて微分してｔ＝ｘ（よってｘ＝ｔが?@と包絡線の接点）
これを?@に代入してｙ＝２ｘ＾２−ｘ＾２＝ｘ＾２（包絡線）

なのですが、なぜこの方法で包絡線が求まるのかが分かりません。苦手なのでなるだけ詳しく教えて下さい。
No.13111 - 2011/02/15(Tue) 02:06:22
☆ Re: 包絡線 / ヨッシー

図のようにｘ座標ｘのところで切ると、切り口には、線がいっぱい
交わっていますが、それらの交点はｔを変数として、
　(x,2tx-t^2)
と書けます。ｘを固定値として、ｔにつれてｙがどう変化するかを調べると、
　ｙ＝2xt−t^2
ｔで微分して
　ｙ＝2x-2t
より、ｔ＝ｘ のとき、ｙ座標は最大値ｙ＝ｘ^2 を取ります。
平方完成して、　ｙ＝-(t-x)^2＋x^2　としてもいいです。

すると、0≦ｘ≦1 の範囲では、図の点Ｂの座標は
　(ｘ、ｘ^2)
となり、ｙ＝ｘ^2 が包絡線となります。
No.13118 - 2011/02/15(Tue) 06:24:47
☆ Re: 包絡線 / J
誤植だと思いますが、
ｙ＝2x-2tは
ｙ’＝2x-2t、０＝2x-2tのどちらですか？

また、ｘ＝ｔが?@と包絡線の接点であることはどうやってわかるのですか？
No.13137 - 2011/02/16(Wed) 04:44:18
☆ Re: 包絡線 / ヨッシー
　ｙ’＝2x-2t ＝０　より、ｔ＝ｘ　・・・
です。

この問題を解くのに、最初から、包絡線を意識しているわけではありません。
あくまでも、線群の通る領域を調べているのであって、
結果として(必然的に？)、包絡線になり、ｘ＝ｔ における接線を調べると、
傾き ２ｔ　で、(t,t^2) を通るので、確かに
　ｙ＝2tx−t^2
になるなぁ。程度の理解で良いと思います。
No.13139 - 2011/02/16(Wed) 06:44:07
★ 積分で / jk
（１）∫(1/x^3)dx

（２）∫(3x^3-2x^2-1/x^2）dx

の求め方が分からないんですが,分かる方お願い致します。
No.13110 - 2011/02/15(Tue) 02:03:54
☆ Re: 積分で / ばる
（１）はx^(-3)の積分と見れば良い
（２）は3x-2/x-1/x^2として積分すれば良い
No.13112 - 2011/02/15(Tue) 02:08:50
☆ Re: 積分で / jk
抜けていました。上の問題で求めるのは不定積分です
No.13113 - 2011/02/15(Tue) 02:10:40
★ パラメータ曲線の接線について / 涼流
受験生です。いつもお世話になっております。
今回はパラメータ曲線の接線に関して質問があります。

# 問
x = t^2/2 + 1/t …… #1
y = t - t^4/4 …… #2
の概形を描け.

# 質問
dx/dt = t - 1/t^2
dy/dt = 1 - t^3
だから
dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
= (1 - t^3)(t - 1/t^2)
= -t^2(t^3 - 1)/(t^3 - 1)
よりt≠1のとき
dy/dx = -t^2
でt = 1では(yはxで)微分可能ではないですよね?

ということはここでの接線は持たないという認識でよろしいでしょうか?

ところが、解答にはt=1のとき成立しないはずの-t^2に1を代入して傾きを-1としています。
これは正しいのでしょうか?

だとしたら、一般に導関数の値が存在しない場合の接線の傾きはその極限を取っても構わないのでしょうか……?

よろしければどうかご教授願います。
No.13109 - 2011/02/15(Tue) 01:10:59
☆ Re: パラメータ曲線の接線について / rtz
解答にどのように書いてあるのか分かりませんが、
t＝1では接線は持ちません。

またlim[t→1+0]dy/dx＝-1、lim[t→1-0]dy/dx＝-1は両者正しいですが、
t＝1での傾きがそのまま書いてあるのはよくないと思います。

ただ、増減表などを書く場合、
定義域外であっても、導関数の値が計算できるケースもありますよね。
そういう場合、括弧つきで値を記しているような解答も見かけます。
今回はそういう扱いでいいと思いますが、
さすがに数値をそのまま書くだけなのは
個人的にあまりおすすめできないです。
No.13114 - 2011/02/15(Tue) 02:11:38
☆ Re: パラメータ曲線の接線について / 涼流
ご回答有難うございます。

失礼しました。問題の解答部分をスキャン致しました :
「ハイレベル理系数学 50テーマ・150題」p117 〔2003/4/8 初版第6刷〕 # 古本で買った旧課程の物ですが……

そうですよね……接線なんてありませんよね……。
ただ、いろいろと調べている内に次のような定理を発見しました :
> f(x) が x = a の付近で連続で、x = a を除いては微分可能であり、
> lim[x→a] f'(x) = A
> という有限な極限が存在するとき、f(x) は x = a でも微分可能で f'(a)=A となる。
( 外部リンク : http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/basic1/conti1/node4.html )

ただ、この場合はx < 3/2では連続ではないのでこれは使えないですよね……。

ただ、グラフをかくときに便宜的な接線として描けばいいですよね。
No.13120 - 2011/02/15(Tue) 20:24:13
☆ Re: パラメータ曲線の接線について / angel
補足ですが、「t=1の時に dx/dt=0 だから t=1に対応するxのところで接線がない」というわけではありません。
どちらかと言えば、t=1の付近で取るxの値がx≧3/2だから、つまり t=1 に対応する x=3/2 がちょうど曲線の折り返し点になっているからという要因の方が大きいでしょう。

今回のケースでは確かに接線がありませんが、場合によっては接線ができることもあります。
例えば
　x=-t^2+3t+1/t
　y=1/4・t^4-3/2・t^2+2t
は、同じように t=1 のところで dx/dt=0 となりますが、t=1に対応する点 (3,3/4) で接線 y=-x+15/4 を持ちます。
実は t=1 の時、dx/dt=d^2x/dt^2=0, dy/dt=d^2y/dt^2=0 と、1次・2次の微分係数が共に0であり、dy/dx=(d^3y/dt^3)/(d^3x/dt^3) と3次の微分係数同士の分数で傾きが計算できるのです。
※普通に (dy/dt)/(dx/dt) の極限で考えても同じですが。

この話は高校の範囲を超えるものだと思いますので、深く気にする必要はありませんが、ケースバイケースということです。
No.13135 - 2011/02/16(Wed) 00:44:53
☆ Re: パラメータ曲線の接線について / 涼流
> t=1の時に dx/dt=0 だから t=1に対応するxのところで接線がない
考えてみれば円の場合 :
x = cosθ
y = sinθ
もdx/dθ = -sinθでθ=0のとき0ですよね……。(でも一応接線がある……)
などもありますよね。
勘違いをしていました。

パラメータの時の微分可能についてよく学んでいないので受験が終わったら数学をもっと深く勉強したいと思います。

> 実は t=1 の時、dx/dt=d^2x/dt^2=0, dy/dt=d^2y/dt^2=0 と、1次・2次の微分係数が共に0であり、dy/dx=(d^3y/dt^3)/(d^3x/dt^3) と3次の微分係数同士の分数で傾きが計算できるのです。
ロピタルの定理みたいですね。

* * *

今回はどうもありがとうございました。
少しだけすっきりしました。
No.13162 - 2011/02/17(Thu) 00:52:56
★ 数3 / あたる
横浜市立大の問題です

a＞0とする。以下の問いに答えよ。
(1)0≦x≦aを満たすxに対して1+x≦e^x≦1+(e^a-1)x/aを示せ。

(2)(1)を用いて1+a+a^2/2＜e^a＜1+a(e^a+1)/2を示せ。

(3)(2)を用いて2.46＜e＜2.78を示せ。

お願いします
No.13106 - 2011/02/14(Mon) 23:38:44
☆ Re: 数3 / ばる
数?V不等式の問題はまずは
左辺[右辺]ー右辺[左辺]≧０で出来ないかやってみてください。

最右辺ー中辺≧０、中辺ー最左辺≧０を目標に。
具体的には、最右辺ー中辺＝ｆ（ｘ）の最小値が０以上示すか、はさみうちの原理を使うか、平均値の定理を使うかです。
No.13115 - 2011/02/15(Tue) 02:13:53
★ 領域 / ぬこ
またまた領域の問題です

連立不等式x^2+y^2≦25と(y-2x-10)(y+x+5)≦0の表す領域をDとする。

(1)領域を図示せよ。

(2)点(x,y)がこの領域Dを動くとき、x+2yの最大値Mと最小値mを求めよ。また、M、mに与えるDの点を求めよ。

(3)aを実数とする。点(x,y)が領域を動くとき、ax+yが
点(3,-4)で最大値をとるようなaの範囲を求めよ。

これも過去問です
よろしくお願いします
No.13105 - 2011/02/14(Mon) 23:32:48
☆ Re: 領域 / ばる
（１）はx^2+y^2＝25とy-2x-10＝０、y+x+5＝０のグラフを描いてください。交点も調べないといけないので少し面倒です。

（２）は線形計画法で求めます。ｘ＋２ｙ＝ｋとおいて（１）で描いたグラフを元にｋを変化させてみてください。ｋが最大となるのはｙ＝（ｋ−ｘ）/2のｙ切片が最大のとき、ｋが最小となるのはｙ切片が最小となるときです。
No.13116 - 2011/02/15(Tue) 02:18:49
★ 2B / ぬこ
a,bを正の実数とする。放物線C1:y=x^2-aと
放物線C2:y=-b(x-2)^2は、ともに、点P(x0,y0)において直線Lに接しているとする。S1を直線x=0と放物線C1と接線Lで囲まれた領域の面積とし、S2を直線x=2と放物線C2と接線Lで囲まれた領域の面積とするとき、次の問題に答えよ。

(1)a,x0,y0をbで表せ。

(2)面積の比S1:S2をbで表せ。

よろしくお願いします

ちなみに過去問です
No.13104 - 2011/02/14(Mon) 23:27:00
☆ Re: 2B / ばる
（１）f(x)=x^2-a,g(x)y=-b(x-2)^2とすると
これらがPで接する
⇔f(x0)=g(x0)かつf'(x0)=g'(x0)
この式を立てればa,x0,y0をbで表せるはずです。

（２）はa,b>0に注意してグラフを描いて
面積を求めます。面積は積分を使って求めます。
No.13117 - 2011/02/15(Tue) 02:25:13
★ 高1　数学 / すぶや
2個のさいころＡ，Ｂを同時に振って、出た目をそれぞれ a,bとする

a<b となる場合は ?B通り、a<b または a+b=6 となる場合は ?C通りである



3個のさいころＡ，Ｂ，Ｃを同時に振って、出た目をそれぞれ a,b,c とする

a,b,c がいずれも２以下で a+b, b+c, c+a, の少なくとも1つが３となる場合は ?D通りある

a,b,c のうち1つだけが３以上で a+b, b+c, c+a, の少なくとも1つが３となる場合は ?E通りある

したがって、a+b, b+c, c+a, の少なくとも1つが３となる確率は ?Fである


a+b, b+c, c+a, がすべて６となる確率は ?Gであり

a+b, b+c, c+a, の少なくとも1つが６となる確率は ?Hである

?Bと?Cは書き出せば解けたのですがもう少し利口なやり方を知りたいです。
以降の問題はさっぱりわかりません。
誰か分かる方教えてください。お願いします。

答えは?@２
?A５
?B15
?C18
?D6
?E6
?F１/18
?G１/216
?H19/54です。
No.13103 - 2011/02/14(Mon) 22:37:39
☆ Re: 高1　数学 / ヨッシー
?@?Aは問題がないので、サクッと通過して、
?B
a=1 のとき、bは、2〜6 の5通り。
a=2 のとき、bは、3〜6 の4通り。
以下、3通り、2通り、1通り、0通り で、合計15通り　です。
?C
?Bの15通り以外に、a≧b で、a+b=6 となるのは、
　(a,b)=(3,3),(4,2),(5,1)
の3通りあるので、計18通り。

?D
a,b,c がすべて1か2になるのは、2×2×2＝8(通り)
このうち、どの2つも和が3にならないのは、
　(a,b,c)＝(1,1,1),(2,2,2)
の2通りなので、これを除いて、6通り

?E
a=3,4,5,6 に対して、(b,c)=(1,2),(2,1) の2通りがあるので、
「ａが3以上の場合」は、4×2＝8(通り)
「ｂが3以上の場合」「ｃが3以上の場合」についてもそれぞれ8通りで、
合計　8×3＝24　　(６ではありません)

?F
目の出方は全部で6×6×6＝216(通り)
a+b, b+c, c+a, の少なくとも1つが３となるのは、
?Dの場合と?Eの場合で、両者に重複はないので、
全部で30通り
確率は、30/216＝5/36　(1/18 ではありません)

?G
(a,b,c)＝(3,3,3) の場合だけなので、確率は、1/216

?H
まず、「a+b だけが６」の場合を考えます。
a+b=6 となるのは、5通り
a=b=3 のとき、ｃの取れる数は３以外の５通り。
それ以外の４通りについて、ｃの取れる数はａでもｂでもない４通りで、計１６通り
以上より、「a+b だけが６」になるのは 21通り
「b+c だけが６」「c+a だけが６」もそれぞれ21通り。
次に「a+b と b+c だけが６」を考えると
a=b=3 の場合はc=3 となり、c+a も6になるので、不適。
それ以外の4通りについて、ｃはａと同じであればいいので、1通り
よって、「a+b と b+c だけが６」となるのは4通り。
「b+c と c+a だけが６」「c+a と a+b だけが６」もそれぞれ4通りで、合計12通り。

以上より、a+b, b+c, c+a, の少なくとも1つが６となるのは、
　21×3＋4×3＋1＝76
求める確率は、
　76/216＝19/54
No.13107 - 2011/02/15(Tue) 00:03:21
☆ Re: 高1　数学 / シャロン
横から失礼します。

○3は、

全体が6*6とおり、a=bとなるのが1〜6の6とおりで、対称性からa＜bとなる場合とa＞bとなる場合が同じだけあるので、(6*6-6)/2=15とおりと求めることもできますね。
No.13108 - 2011/02/15(Tue) 00:56:30
★ 数列 / あおい
最後はきれてしまっていますが
ｎを用いて表せです

お願いします
No.13097 - 2011/02/13(Sun) 23:06:19
☆ Re: 数列 / ヨッシー
(1)
ａ1＝Ａsinθ/(１＋sinθ)
ａ2＝(Ａ−２ａ1)sinθ/(１＋sinθ)
より、
ａ2/ａ1＝(Ａ−２ａ1)sinθ/Ａsinθ
　＝(Ａ−２ａ1)/Ａ
　＝１−２ａ1/Ａ
　＝１−２Ａsinθ/Ａ(１＋sinθ)
　＝(１−sinθ)/(１＋sinθ)

(2)
ａn＝{Ａ−2(ａ1＋・・・ａn-2)−２ａn-1}sinθ/(１＋sinθ)
　　＝ａn-1−２ａn-1sinθ/(１＋sinθ)
　　＝ａn-1(１−sinθ)/(１＋sinθ)

(3)
(2) の結果より　ａn は、公比(１−sinθ)/(１＋sinθ)の等比数列。
　(１−sinθ)/(１＋sinθ)＝ｒ
とおくと、
　Ｓn＝ａ1(１＋ｒ＋ｒ2＋・・・ｒn-1)
　　＝ａ1(ｒn−１)/(ｒ−１)
あとは、ａ1＝Ａsinθ/(1+sinθ) と、ｒを(１−sinθ)/(１＋sinθ)
に戻せば出来上がりです。
No.13098 - 2011/02/13(Sun) 23:46:43
★ ファクシミリの原理？らしいです　対象学年は２年か３年生だと思います。 / バルト３国
座標平面上のP(a,a)Q(-1+a,1-a)を結ぶ線分をPQとする。

aが０≦a≦１の範囲を動くとき、線分PQと直線ｘ＝１/2との交点の軌跡を求めよ。答え）線分ｘ＝1/2、１/2≦y≦5/8
また、
aが０≦a≦１の範囲を動くとき、線分PQの通る領域の面積Sをもとめよ。答え）1/3

解答を見たのですが、不等式の羅列にしか見えず、意味が分かりませんでした。どなたかわかりやすく教えて（解説して）もらえませんか？
No.13092 - 2011/02/13(Sun) 16:44:34
☆ Re: ファクシミリの原理？らしいです　対象学年は２年か３年生だと思います。 / ヨッシー
(1)
まず、ＰＱが色々動くと、図のようになります。

この領域と、x=1/2 との交点は、当然 x=1/2 上にあるのですが、
その中の、点Ａと点Ｂで区切られた部分が答えとなります。
点Ａは、Ｐ(1,1), Q(0,0) の時ですが、点Ｂは、すぐには求まりません。
まず、ＰＱを通る直線の式を求めると、傾きは 2a-1 なので、
　y-a＝(2a-1)(x-a)
　y＝(2a-1)x-2a^2+2a
これと、x=1/2 との交点のｙ座標は、
　-2a^2+3a-1/2＝-2(a-3/4)^2+5/8
より、a=3/4 のとき、最大値 5/8
よって、点Ｂの座標は(1/2,5/8) で、点Ａ(1/2,1/2) と合わせて、
　x=1/2 , 1/2≦ｙ≦5/8
となります。

(2)
面積は、対象性から、ｘ≧0 の部分(第1象限)だけを、計算して、
２倍することにします。
(1) では、x=1/2 について考えましたが、一般の x=t (0≦t≦1) について
考えます。
点Ａに当たる座標は(t,t) です。
次に、点Ｂに当たる点の座標は、
　y＝(2a-1)x-2a^2+2a
において、x=t とすると、ｙ座標は
　ｙ＝(2a-1)t-2a^2+2a
　　＝-2a^2+(2+2t)a-t
　　＝-2{a-(1+t)/2}^2+(t^2+1)/2
よって、a=(1+t)/2 のとき、最大値 (t^2+1)/2 となります。


ＰＱが通る領域を、ｘ＝ｔ で切ったときの切り口の長さは、
　(t^2+1)/2−t＝(t^2-2t+1)/2
これを、ｔ＝０からｔ＝１まで積分して２倍します。
　Ｓ＝２∫0〜1(t^2-2t+1)/2dt
　　＝[t^3/3−t^2＋t]0〜1
　　＝1/3
No.13094 - 2011/02/13(Sun) 18:59:27
☆ Re: ファクシミリの原理？らしいです　対象学年は２年か３年生だと思います。 / バルト３国
まず一番最初の、グラフの書き方が分からないです・・・。
No.13101 - 2011/02/14(Mon) 12:18:10
☆ Re: ファクシミリの原理？らしいです　対象学年は２年か３年生だと思います。 / ヨッシー
P(a,a)Q(-1+a,1-a) なので、a を０≦a≦１の範囲で色々変えて
P(0,0) - Q(-1,1)
P(0.1,0.1) - Q(-0.9,0.9)
P(0.2,0.2) - Q(-0.8,0.8)
　・・・・・
P(0.9,0.9) - Q(-0.1,0.1)
P(1,1) - Q(0,0)
などを引くと、上のような領域が表せます。
No.13102 - 2011/02/14(Mon) 17:59:26
★ 数2…？ / 威
1辺の長さが1の正二十面体Wのすべての頂点が球Sの表面上にあるとき、次の問いに答えよ。なお、正二十面体は、すべての面が合同な正三角形であり、各頂点は5つの正三角形に共有されている。

(1)正二十面体の頂点の総数を求めよ
(2)正二十面体Wの1つの頂点をA、頂点Aからの距離が1である5つの頂点をB,C,D,E,Fとする。
sin36°=｛√(10-2√5)｝/4を用いて、正五角形BCDEFの外接円の半径Rと対角線BEの長さを求めよ
(3)2つの頂点D,Eからの距離が1である2つの頂点のうち、頂点AでないほうをGとする。球Sの直径BGの長さを求めよ
(4)球Sの中心をOとする。△DEGを底面とする三角錐ODEGの体積を求めよ

長々すみません
よろしくおねがいします
No.13087 - 2011/02/13(Sun) 12:23:29
☆ Re: 数2…？ / ヨッシー
(1)
正三角形を全部バラバラにすると、三角が20個出来るので、
頂点は60個です。これを組み立てると、５つの頂点が集まって、
１つの頂点になるので、
　60÷5＝12(個)
です。
(2) 以降に入る前に
こちらや、こちらを、見て正二十面体のイメージを
つかんで下さい。
No.13089 - 2011/02/13(Sun) 12:44:13
☆ Re: 数2…？ / ヨッシー
(2)
まず、sin36°＝{√(10-2√5)}/4 より
cos36°＝(√5＋１)/4 を求めておきます。

ＢＣの中点をＭとします。
△ＢＭＯにおいて　∠ＢＯＭ＝36°であるので、
　sin36°＝ＢＭ/ＢＯ
より
　ＢＯ＝ＢＭ/36°＝(1/2)4/√(10-2√5)＝2/√(10-2√5)
　　＝{√(50+10√5)}/10

ＢＥとＯＦの交点をＮとします。
△ＢＦＮにおいて、∠ＦＢＮ＝36°であるので、
　ＢＮ＝ＢＦcos36°＝(√5＋１)/4
よって、ＢＥ＝２ＢＮ＝(√5＋１)/2
No.13095 - 2011/02/13(Sun) 20:33:42
☆ Re: 数2…？ / ヨッシー
(3)
ＢＧは、球の直径であるので、△ＢＥＧは∠ＢＥＧ＝90°の
直角三角形。
よって、
　ＢＧ^2＝ＢＥ^2＋ＥＧ^2
　　　＝(3＋√5)/2＋1＝(5＋√5)/2
　ＢＧ＝{√(10+2√5)}/2

(4)
ＯＤ＝ＯＥ＝ＯＧ＝ＢＧ/2＝{√(10+2√5)}/4
△ＥＧＤの重心をＰとすると、△ＯＰＥは直角三角形であり、
　ＯＥ＝{√(10+2√5)}/4
　ＥＰ＝√3/3
より
　ＯＰ^2＝ＯＥ^2＋ＥＰ^2
　　　＝(23＋3√5)/24
　ＯＰ＝(3√5＋1)/4√3＝(3√15＋√3)/12
これが高さとなり、底面△ＤＥＧの面積は、√3/4 であるので、
求める体積は、
　(1/3)(√3/4)(3√15＋√3)/12
　＝(3√5+1)/48
No.13096 - 2011/02/13(Sun) 21:01:11
★ 積分 / ちかこ
同じく過去問です

実数aが1/2≦a≦3/2を動くとき、S(a)=∫｜(3x-4)(x-4)｜dx
（範囲はaからa+1）を最小にするaの値を求めよ
No.13085 - 2011/02/13(Sun) 12:09:24
☆ Re: 積分 / シャロン
解いていくと数値が複雑になりますが、与式は正しいでしょうか？

確認してください。
No.13090 - 2011/02/13(Sun) 15:49:34
☆ Re: 積分 / ヨッシー

面積の変化状況は、上のようになります。

ある状態を拡大すると、上の図のようになりますが、
この状態から、a が dx だけ右に行くと、面積は、mdx 減って、ndx 増えますので、
変化率は、n-m となります。
最初は、n-m＜0 で、面積は、減りますが、やがて n=m となり、
n-m＞0 となり、面積は増えていきます。
この、n=m となる位置を調べます。
　f(x)＝(3x-4)(x-4)＝3x^2-16x+16　　※絶対値を取っています。
を考えると、f(a)＝−f(a+1) となります。
　f(a)＋f(a+1)＝3{a^2+(a+1)^2}-16{a+(a+1)}+16+16
　　＝6a^2-26a+19＝０
これを 1/2≦a≦3/2 の範囲で解いて、
　ａ＝(13−√55)/6
No.13091 - 2011/02/13(Sun) 15:56:18
☆ Re: 積分 / シャロン
aを求める問題でしたね、必死にS(a)を出そうとしてました。失礼しました。
No.13093 - 2011/02/13(Sun) 17:29:19
★ 指数対数 / ちかこ
過去問題です

f(x)=9^x-2•3^(x+1)-7

(1)f(x)≦0となる実数xの範囲を求めよ。

(2)(x^2-4)f(x)≦0となる実数xの範囲を求めよ。

よろしくお願いします
No.13084 - 2011/02/13(Sun) 12:00:53
☆ Re: 指数対数 / ヨッシー
Ｘ＝3^x とおきます。ただし、Ｘ＞０。
(1) 9^x＝(3^x)^2＝Ｘ^2、3^(x+1)＝3・3^x＝3Ｘ より
　f(x)＝Ｘ^2−6Ｘ−7
　　　＝(Ｘ−７)(Ｘ＋１)≦０
これを解いて、
　０＜Ｘ≦７
　０＜3^x≦７
より　ｘ≦log3７
(2)
　f(x)≧０ となるのは、
　ｘ≧log3７
であることを踏まえて、
(i) x^2−4≦０　かつ　f(x)≧0　のとき
　-2≦x≦2 かつ　ｘ≧log3７
より　log3７≦ｘ≦2
(ii) x^2−4≧０　かつ　f(x)≦0　のとき
　(ｘ≦-2 または x≧2)　かつ　ｘ≦log3７
より　ｘ≦-2
以上より
　ｘ≦-2　または　log3７≦ｘ≦2
No.13088 - 2011/02/13(Sun) 12:32:34
★ 三角関数で / preface
次の不等式を解け（但し0<=x<=4pi)

cos^2x<1/2

おねがいします
No.13081 - 2011/02/13(Sun) 10:03:26
☆ Re: 三角関数で / シャロン
半角の公式から
(cos x)^2 = (1+cos(2x))/2です。
No.13082 - 2011/02/13(Sun) 10:20:40
☆ Re: 三角関数で / preface
よくわからないです

答えは

pi/4<x<3pi/4

5pi/4<x<7pi/4

9pi/4<x<11pi/4

13pi/4<x<15pi/4

です
No.13083 - 2011/02/13(Sun) 10:56:33
☆ Re: 三角関数で / ヨッシー
まずは、シャロンさんの方法から。
　cos^2x＝(1+cos(2x))/2＜1/2
より
　１＋cos(2x)＜１
　cos(2x)＜０

これを、0≦x≦4π　つまり　0≦2x≦8π について考えると、
　π/2＜2x＜3π/2
　5π/2＜2x＜7π/2
　9π/2＜2x＜11π/2
　13π/2＜2x＜15π/2
それぞれ、２で割って、
　π/4＜x＜3π/4
　5π/4＜x＜7π/4
　9π/4＜x＜11π/4
　13π/4＜x＜15π/4
を得ます。

次に別解ですが、
　cos^2x<1/2
より
　-√2/2＜cosｘ＜√2/2
これを、0≦x≦4π　について解くと
　π/4＜x＜3π/4
　5π/4＜x＜7π/4
　9π/4＜x＜11π/4
　13π/4＜x＜15π/4
を得ます。
No.13086 - 2011/02/13(Sun) 12:16:56
★ 光速 / agon
地球から太陽までの距離は1.5ｘ10^8ｋｍである。
太陽からの光が地球に到達するまでに約何秒かかるか？
光の進む速さは毎秒3.0x10^8ｍである。

単位が異なっているため、単位をなおさなければならないと思うのですが。

回答お願いいたします。
No.13076 - 2011/02/13(Sun) 02:02:00
☆ Re: 光速 / 七
毎秒3.0x10^8ｍは毎秒3.0x10^5kｍですから
(1.5ｘ10^8)/(3.0x10^5)＝5.0x10^2
5.0x10^2秒(約500秒)ですね。
No.13077 - 2011/02/13(Sun) 05:52:49
☆ Re: 光速 / agon
できました。　ありがとうございます。
No.13100 - 2011/02/14(Mon) 01:01:27
★ 三角関数において / jk
次の等式を満す角ｘを求めよ。　ただし、0°≦ｘ≦180°と
する。

（１）sinｘ=1/2

（２）cosｘ=1/2

（３）cosｘ=√3/2

（４）sinx=1/√2

（５）cosｘ=1/√2

　三角関数なのですが、よろしくお願いします。
No.13075 - 2011/02/13(Sun) 01:03:22
☆ Re: 三角関数において / 七
>ただし、0°≦ｘ≦180°
> （１）sinｘ=1/2
x＝30°,150°
> （２）cosｘ=1/2
x＝60°
> （３）cosｘ=√3/2
x＝30°
> （４）sinx=1/√2
x＝45°,135°
> （５）cosｘ=1/√2
x＝45°
No.13078 - 2011/02/13(Sun) 05:55:50
☆ Re: 三角関数において / ヨッシー
No.13055 の記事と合わせて、三角関数の基本の部分が、理解されていないようですので、
角度から三角関数の値を求める。
三角関数の値から角度を求める。
ということは、しっかり理解されることをお勧めします。

こちらにも、同様のことが載っていますが、ここに改めて書いておきます。

まず、座標上で角度を表す方法です。

ｘ軸方向を０°とし、原点中心に反時計回りに進んだ角度を
座標軸上での角度とします。
これの延長で、360°を超える角度(500°など)や、マイナスの
角度も、決めることが出来ます。

次に、原点を中心とし、半径１の円(単位円といいます)を描いて、
その円周上に角度θを決めたら、その点のｘ座標がcosθ、ｙ座標がsinθとなります。

図は、θ＝30°の場合ですが、sinθ(ｙ座標)は1/2、cosθ(ｘ座標)は、√3/2 となります。
もちろん、30°、60°、90°の直角三角形の辺の比は、1:2:√3
直角二等辺三角形の辺の比は、1:1:√2 であることを駆使して、
ｘ座標、ｙ座標を求める努力をする必要はあります。

次に、三角関数の値から角度を求める場合ですが、
例えば、sinｘ＝1/2 の場合、図のように、ｙ座標に1/2 を取ります。

この座標に対応する単位円上の点は、Ａ，Ｂの２つあります。
点Ａを示す角度は、30°、390°、750°や、-330°-690°などありますが、
0°≦ｘ≦180°の範囲では、30°だけです。
点Ｂについても同様に、150°が得られます。

理系にしろ、文系にしろ、三角関数はもう少し深い所まで
習いますので、ここの所は、自力で求められるように練習してください。
No.13080 - 2011/02/13(Sun) 09:34:37
☆ Re: 三角関数において / jk
図つきでの解説、ありがとうございました。
しっかりと覚えて行きたいと思います。
No.13099 - 2011/02/14(Mon) 01:00:20
★ 関数の取りうる値について / はら
関数f(x)={a^x+a^(-x)}/{a^x-a^(-x)}について
ただし、aは定数で、a>0かつa≠1とする。
(1)関数f(x)の取りうる値の範囲を求めよ。
(2)方程式f(x)-bx=0の解が存在するための定数a,bの満たすべき条件を求めよ。

ヒントでもいいのでよろしくお願いします。
No.13070 - 2011/02/12(Sat) 21:53:20
☆ Re: 関数の取りうる値について / シャロン
(1)ヒント
f(x)がx≠0で狭義単調増加を確かめる。
x→-∞、-0、+0、+∞のf(x)の極限を調べる。
No.13071 - 2011/02/12(Sat) 22:18:54
☆ Re: 関数の取りうる値について / シャロン
訂正:狭義単調増加でなく、狭義単調です。
失礼しました。
No.13072 - 2011/02/12(Sat) 22:21:55
☆ Re: 関数の取りうる値について / はら
x≠0のとき、
f'(x)=[[(a^x)ln(a)-{a^(-x)}ln(a)]{a^x-a^(-x)}-{a^x+a^(-x)}[(a^x)ln(a)+{a^(-x)}ln(a)]]/{a^x-a^(-x)}^2
=[{-4ln(a)}/{a^2-a^(-x)}^2]<0　より
f(x)は単調減少
またlim_[x→+0]f(x)=lim_[x→-0]f(x)=0
lim_[x→+∞]f(x)=1
lim_[x→-∞]f(x)=-1

でしょうか･･･
f'(x)の符号と極限が違ってきてるのでどこかで間違ってると思うのですが･･･。
No.13073 - 2011/02/12(Sat) 23:36:47
☆ Re: 関数の取りうる値について / angel
aの値によって、単調増加か単調減少かは変わります。a＞1なら単調減少です。

私なら、t=a^x ( a^(-x)=1/t ) とでも置いて、tの関数として考える方法の方が好みでしょうか。
つまり、g(t)=f(x)=(a^x+a^(-x))/(a^x-a^(-x))=(t+1/t)/(t-1/t) としてgの振る舞いを調べるわけです。
tの取りうる値は、t＞0かつt≠1となります。
No.13074 - 2011/02/13(Sun) 00:24:47
★ 極限 / 軋轢
C:y=logx上に２点A(a,loga),B(b,logb) (0＜a＜b)をとり線分ABおよび曲線Cで囲まれる部分の面積をSとする。
(1)Sをa,bを用いて表せ。(2)A,BがS=1を満たして動くときlim[a→∞]b/aを求めよ。
(3)(2)のときlim[a→∞](b-a)は発散することを示せ。

(1)はS=(1/2)log(b/a)(a+b)-(b-a)となりました。
(2)以降について教えて下さい。


No.13066 - 2011/02/12(Sat) 11:32:15
☆ Re: 極限 / のぼりん

こんばんは。

（１）　Ｓ＝（ａ＋ｂ）ｌｏｇ（ｂ/ａ）/２＋ａ−ｂ は既知とします。

（２）　Ｓ＝１ だから、ｘ＝ｂ/ａ（ｘ≧０） とおけば、
　　　１/ａ＝（１＋ｘ）ｌｏｇ ｘ/２＋１−ｘ
です。 右辺を ｆ（ｘ） とおくと、
　　　ｆ’（ｘ）＝（１/ｘ＋ｌｏｇ ｘ−１）/２
　　　ｆ”（ｘ）＝（ｘ−１）/（２ｘ２）
です。 グラフの概形を描き、ｆ（ｘ） は単調増加で、ｆ（１）＝０ であることを示します。 よって、ｙ＝ｆ（ｘ） と ｙ＝１/ａ の交点の ｘ 座標は、ａ→∞ のとき １ に収束します。

（３）　Ｓ＝１ で、今度は、ｘ＝ｂ−ａ（ｘ≧０） とおけば、前問より、ｘ/ａ→０（ａ→∞） です。
　　　１＋ｘ＝（ｘ/２＋ａ）ｌｏｇ（ｘ/ａ＋１）
　　　＝（ｘ/２＋ａ）｛ｘ/ａ−１/２（ｘ/ａ）２＋１/３（ｘ/ａ）３−…｝
　　　＝ｘ＋ｘ３/（１２ａ２）＋…
だから、
　　　１＝ｘ３/（１２ａ２）＋…
です。 ａ→∞ として、ｘ→∞ です。

No.13069 - 2011/02/12(Sat) 17:48:17
★ 数的推理 / みほ
いくつかの品物とそれを入れる箱が何個かあります。1箱に15個ずつ入れるとちょうど5箱分の品物が余ります。また、1箱に18個ずつ入れると、空の箱が3箱でき、最後の箱の中の品物の数は5個以下になります。この品物は何個あるでしょうか。

解答(途中まで)
品物はの数をｘ個、箱の数をｙ箱とします。
1箱に15個ずつ入れるとちょうど5箱分の品物が余るので
ｘ=15ｙ＋75
1箱に18個ずつ入れると、空の箱が3箱でき、最後の箱の中の品物の数は5個以下になることから
1≦ｘ−18(ｙ−4)≦5


私はこのｘ−18(ｙ−4)
の部分が理解できません。なぜこのような式になっているのでしょうか。
解説お願いします。
No.13062 - 2011/02/12(Sat) 10:22:58
☆ Re: 数的推理 / シャロン
空の箱が３コあり、最後の箱に５コ以下の品物があるのですから、18コ品物が入っていない箱の数は4、１８コ品物が入っている箱の数はy-4です。

つまり、１８コ品物が入っている箱に入っている品物の合計は18(y-4)コです。

xコの品物のうち、「１８コ品物が入っている箱に入っている品物の合計」以外が半端な「最後の箱の中の品物」ですから、半端は、x-18(y-4)コです。

この半端が１コ以上５コ以下ですから、1≦x-18(y-4)≦5という不等式が立てられます。
No.13064 - 2011/02/12(Sat) 10:49:31
★ 三角関数 / na
次の三角関数の値を求めよ

sin0°

sin30°

sin45°

sin90°

sin120°


cos0°

cos45°

cos60°

cos90°

cos120°

高２の数?Aです

よろしくお願い致します。
No.13055 - 2011/02/12(Sat) 06:28:11
☆ Re: 三角関数 / のぼりん
こんにちは。
　　　ｓｉｎ０°＝０
　　　ｓｉｎ３０°＝１/２
　　　ｓｉｎ４５°＝１/√２
　　　ｓｉｎ９０°＝１
　　　ｓｉｎ１２０°＝（√３）/２
　　　ｃｏｓ０°＝１
　　　ｃｏｓ４５°＝１/√２
　　　ｃｏｓ６０°＝１/２
　　　ｃｏｓ９０°＝０
　　　ｃｏｓ１２０°＝−１/２
です。
No.13057 - 2011/02/12(Sat) 07:47:49
★ |1/n^z|はどうすれば求めれる? / kuyg
nが自然数,zが複素数の時,
|1/n^z|の値はどうすれば求めれるのでしょうか?
No.13053 - 2011/02/12(Sat) 04:27:03
☆ Re: |1/n^z|はどうすれば求めれる? / のぼりん
こんにちは。 ｚ の実部を ｘ とすれば、
　　　｜１/ｎｚ｜＝１/ｎｘ
です。
No.13056 - 2011/02/12(Sat) 07:41:48
☆ Re: |1/n^z|はどうすれば求めれる? / kuyg
えっ!?
どういうトリックを使われたんですか???
No.13058 - 2011/02/12(Sat) 09:14:39
☆ Re: |1/n^z|はどうすれば求めれる? / kuyg
|1/n^z|=|1/n^{Re(z)+iIm(z)}=|1/n^{Re(z)}・1/n^{iIm(z)}|=|1/n^{Re(z)}||1/n^{iIm(z)}|
から先に行けません。
No.13059 - 2011/02/12(Sat) 09:19:29
☆ Re: |1/n^z|はどうすれば求めれる? / ヨッシー
ｚ＝ｘ＋ｉｙ とすると、上の式は、
　 |1/nz|=|1/nx||1/niy|
と書けるので、|1/niy|＝１ が言えれば良いですね？

オイラーの公式
　ｅｉｘ＝cosｘ＋ｉsinｘ
より、
　１／ｎiy＝ｎ−ｉｙ＝(ｅlogｎ)−ｉｙ
　　＝ｅ−ｉｙlogｎ
　　＝{cos(−ｙlogｎ)＋ｉsin(−ｙlogｎ)}
となり、
　|１／ｎiy|2＝cos2(−ｙlogｎ)＋sin2(−ｙlogｎ)＝１
となります。
No.13060 - 2011/02/12(Sat) 10:00:30
☆ Re: |1/n^z|はどうすれば求めれる? / kuyg
どうも有難うございました。お蔭様で解決できました。
No.13063 - 2011/02/12(Sat) 10:44:27
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