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★ (No Subject) / rtako
また質問です。
縦の長さがm,横の長さがnの長方形の花だんの周りに、幅aの道がついている。道の真ん中を通る線の長さをLとすると、道の　面積はaLに等しい。このことを証明しなさい。

Lが求められません・・・
No.10959 - 2010/07/25(Sun) 15:03:49
☆ Re: / のぼりん
こんにちは。
回答でなくて申し訳ありませんが、「また質問」の前に、放置しておられる前質問を解決なさってはいかがでしょうか。
No.10961 - 2010/07/25(Sun) 15:40:11
☆ Re: / rtako
すいません、忘れていました。前問題は理解でき、解決しました。
No.11016 - 2010/07/29(Thu) 12:00:37
★ logの背理法 / k
何年か前に慶応大で出題されたものです


log{3}７が有理数ではないことを証明せよ



大至急教えてください
No.10957 - 2010/07/25(Sun) 08:11:25
☆ Re: logの背理法 / のぼりん
こんにちは。
背理法で簡単に示せますよ。
先ずは、ご自分で考えてみて下さい。
それでもわからない場合には、また書き込んで下さい。
No.10960 - 2010/07/25(Sun) 15:38:03
★ 一次従属の証明について / ｔｂ
R^4に属する３つのベクトルａ=(1 -2 5 1), ｂ=(2 1 -1 -3),ｃ(2 -7 ｘ ｙ)が一次従属となるためには、
ｃ＝αａ＋βｂ
となる必要があることを証明しなさい。

この問題ができません。よろしくお願いします。
No.10956 - 2010/07/24(Sat) 14:04:09
☆ Re: 一次従属の証明について / のぼりん
こんにちは。
ａ、ｂ は一次独立だから、ａ、ｂ、ｃ が一次従属となるためには、ｃ が ａ、ｂ の張る二次元部分空間に属することが必要です。
よって、題意の式が成り立ちます。
No.10958 - 2010/07/25(Sun) 14:52:56
★ 三角形の証明 / rtako
正三角形ABCの辺CA上に点Pをとり、BPを１辺とする正三角形BPQを作る。ただし、点Qは直線BPについて点Aと同じ側にとる。
このとき、△AQB≡△CPBであることを証明しなさい。

証明の進め方がよく分かりません・・・
No.10954 - 2010/07/24(Sat) 00:12:58
☆ Re: 三角形の証明 / ヨッシー
三角形の合同なので、
　三辺相等
　二辺挟角相等
　二角挟辺相等
のいずれかを言えばいいのですが、
　ＢＱ＝ＢＰ
　ＢＡ＝ＢＣ
はすぐにわかるので、
　ＡＱ＝ＣＰ
または
　∠ＡＢＱ＝∠ＣＢＰ
が言えれば出来上がりです。
図をにらんで、どちらを示すのが適当か考えてみてください。
No.10955 - 2010/07/24(Sat) 01:45:03
☆ Re: 三角形の証明 / rtako
すいませんでした。これを基に問題は解けました、ありがとうございました。
No.10969 - 2010/07/25(Sun) 22:59:22
★ 無限等比数列とeの収束について / ラディン.ms
わからないことがあったので久しぶりに質問させてください。

教科書には無限等比数列{rn}の極限について
　　r>1のとき　rn→∞
としていますがこれはeが収束するのとは矛盾しないのでしょうか？

e=lim(1+　1/n)n　と定義されてますよね。
　n→∞

1+　1/nは1より大ですから，上の定理を使うと
∞に発散してしまいそうですが，実際は2.7ぐらいに収束しています。

どこがおかしいのでしょうか？（上の考えが）
No.10947 - 2010/07/23(Fri) 13:30:15
☆ Re: 無限等比数列とeの収束について / ast
r を 1 に十分近くとって, それを r = 1 + ε とします. つまり ε は値がほぼ 0 となる正の数です. しかし, ε がどれほど小さいとしても十分大きな番号 N をとると n ≥ N となる n について必ず 1/n < ε とすることができます (これを実数におけるアルキメデスの原則といいます). そこで, N 以降の番号 n でだけ考えることにすると, (1+1/n)^n < (1+ε)^n = r^n です. 大きいほうが発散して小さいほうが収束しても矛盾はしません.

(ただし, 今説明した内容だけでは (1+1/n)^n の極限 e が有限な値に収まるかどうかは何も検討していませんのでわかりません, あくまでそうなってもおかしくないということの説明です).
No.10948 - 2010/07/23(Fri) 16:07:02
☆ Re: 無限等比数列とeの収束について / ラディン.ms
アルキメデスの原則の部分がよくわかりませんでした。

0に限りなく近い数εと
分母が無限大の1/nを比較した場合
1/nの方が小さいということなんでしょうか？

結局1+　1/nは1より大きいのかどうかもわかりません。
1より大きいとするとその差はεで表せますがそれよりも小さいということですか？

頭が混乱してきました……
No.10949 - 2010/07/23(Fri) 18:13:20
☆ Re: 無限等比数列とeの収束について / ast
> 0に限りなく近い数ε

ではありません, 任意に選んだ 0 に近い正の実数 ε です. 近さはどれだけ近くしてもいいですが, 限りなく近くはありません. 0 に限りなく近い実数は 0 自身です. ε は 0 ではありません. 1 < r ならば r がどれほど 1 に近くても, r は 1 よりもわずかに大きいです. そのわずかなズレの大きさを ε としています.

> 分母が無限大の1/n

ではありません, 十分大きな自然数 n に対する 1/n です. n は無限大ではありませんし, 1/n は無限小ではありません.

N は ε に依存して決まります. しかし, 各 ε に対して確実にそのような N がとれます.
No.10950 - 2010/07/23(Fri) 19:57:41
☆ Re: 無限等比数列とeの収束について / ラディン.ms
無限大・無限小と勘違いしていてわからなかったようです。

例えば
ε=0.1のときは　N>10と取るとn>10となって
　必ず1/n<εが成り立ち
ε=0.01,0.001,0.0001……とどんどん小さくしていっても
それに対してNが取れるので1/n<εが成り立つということでしょうか。

アルキメデスの原則が理解できたような気がします。

あとは，n→∞を考えているので，N以降のnで考えて
(1+1/n)^nよりr^nの方が大きいということですね。
No.10951 - 2010/07/23(Fri) 20:55:19
☆ Re: 無限等比数列とeの収束について / ast
ご明察. こういった話が理解できると, 大学初年度級の数学で鬼門とされる所謂 ε-δ 論法をほとんどクリアしたも同然ですね.
No.10952 - 2010/07/23(Fri) 21:13:55
☆ Re: 無限等比数列とeの収束について / ラディン.ms
解説ありがとうございました。

εδ論法やεＮ論法などは以前にネットで調べたことがあったのですが，
文字ばかりでほとんど理解できなかった記憶があります。

大学に入るまでには理解できるように頑張ることにします。
No.10953 - 2010/07/23(Fri) 22:38:02
★ 公倍数について / みみ
６．８．９の公倍数を教えてください。
No.10944 - 2010/07/21(Wed) 18:47:39
☆ Re: 公倍数について / ヨッシー
こちらで最小公倍数の出し方を
覚えたら、６，８，９の最小公倍数を出します。
その、２倍、３倍、４倍・・・が、６，８，９の公倍数です。
さらに、０も公倍数です。
マイナスは・・・まぁ、いいでしょう。
No.10945 - 2010/07/21(Wed) 19:20:12
★ 中２　数学 / のん
教えてください。
△ABCにおいて、∠BAD=∠CAE，AB=5，AC=3，AD=a，AE=bとする。（D,EはBC上の点）
(1)　BD/CE　をa,bを用いて表せ。
(2)　BD=2，CD=4とするとき、CEの長さを求めよ。

(1)はできました。
(2)ができずにとまっています。
どなたか教えてくださいm(__)m
No.10938 - 2010/07/21(Wed) 02:03:50
☆ Re: 中２　数学 / ヨッシー

∠ＢＡＣの２等分線とＢＣの交点をＦとすると、
角の二等分線の定理より
　ＢＦ：ＦＣ＝ＡＢ：ＡＣ＝５：３
よって、ＢＦ＝15/4、ＣＦ＝9/4
ＡＦで、△ＡＣＦを折り返すと、ＡＤとＡＥはぴったり重なります。
Ｃの移動先をＧ、Ｅの移動先をＨとします。

メネラウスの定理より
　(ＨＧ/ＦＨ)(ＡＢ/ＧＡ)(ＤＦ/ＢＤ)＝１
これに
　ＧＡ＝３，ＡＢ＝５，ＢＤ＝２，ＤＦ＝7/4
を代入すると、
　ＨＧ/ＦＨ＝24/35
ＣＦ＝ＧＦ＝9/4　より
　ＣＥ＝ＧＨ＝54/59
No.10941 - 2010/07/21(Wed) 06:57:00
★ 図形と三角比 / meta
円に内接する四角形ＡＢＣＤがある。四角形ＡＢＣＤの各辺の長さは、ＡＢ＝2,ＢＣ＝3，ＣＤ＝1，ＤＡ＝2である
(1)coa∠ＢＡＤは□である
(2)対角線ＢＤの長さは□である
(3)2つの対角線ＡＣとＢＤの交点をＥとする。ＢＥ：ＥＤ＝ァ□：1であるので、ＢＥ＝ィ□ＢＤとなる。よって,ＢＥ＝ゥ□である

解答(1)-1/7(2)8√7/7(3)(ァ)3(ィ)3/4(ゥ)6√7/7

四角形に対角線を引いて三角形を作り、余弦定理を使ったのですが、うまくいきませんでした

教えてください。よろしくお願いします
No.10934 - 2010/07/20(Tue) 06:03:12
☆ Re: 図形と三角比 / ヨッシー
(1)(2)
∠ＢＣＤ＝π−∠ＢＡＤ　なので、
　cos∠ＢＣＤ＝−cos∠ＢＡＤ
となります。△ＢＡＤ，△ＢＣＤについて、それぞれ余弦定理にて、
　ＢＤ^2＝・・・・
の式を作り、連立させると、cos∠ＢＡＤ、ＢＤともに求められます。

(3)
ＢＥ：ＥＤ＝△ＡＢＣ：△ＡＤＣ　なので、
sin∠ＡＢＣ＝sin∠ＡＤＣ を用いて、
△ＡＢＣと△ＡＤＣの面積比を出します。
No.10935 - 2010/07/20(Tue) 06:47:47
☆ Re: 図形と三角比 / meta
(3)の、

sin∠ＡＢＣ＝sin∠ＡＤＣ

が、何故ＢＥ：ＥＤ＝△ＡＢＣ：△ＡＤＣによって言えるのか、いまいちわからないのですが…
No.10939 - 2010/07/21(Wed) 06:08:17
☆ Re: 図形と三角比 / ヨッシー
ＢＥ：ＥＤ＝△ＡＢＣ：△ＡＤＣ　→　sin∠ＡＢＣ＝sin∠ＡＤＣ
ではなくて、
ＢＥ：ＥＤ＝△ＡＢＣ：△ＡＤＣ　および　sin∠ＡＢＣ＝sin∠ＡＤＣ　→　ＢＥ：ＥＤ＝△ＡＢＣ：△ＡＤＣ＝３：１
です。

sin∠ＡＢＣ＝sin∠ＡＤＣ　は、最初から与えられた条件です。
No.10940 - 2010/07/21(Wed) 06:32:26
☆ Re: 図形と三角比 / meta
考えてみると確かに、対角の和がπなら、sin∠ＡＢＣ＝sin∠ＡＤＣが成り立ちますね

知らない性質でした。失礼しました
No.10942 - 2010/07/21(Wed) 06:59:57
☆ Re: 図形と三角比 / ヨッシー
上の
> (1)(2)
>∠ＢＣＤ＝π−∠ＢＡＤ　なので、
>　cos∠ＢＣＤ＝−cos∠ＢＡＤ
と同じです。

sin(π−θ)＝sinθ
cos(π−θ)＝−cosθ
tan(π−θ)＝−tanθ
です。
No.10943 - 2010/07/21(Wed) 17:38:19
★ 三角関数 / kenta
誘導過程が分からないので教えてください。

σ1＝(1+sinφ)/(1-sinφ)σ3+(2Ccosφ)/(1-sinφ) ?@
σ3＝(1-sinφ)/(1+sinφ)σ1-(2Ccosφ)/(1+sinφ)　 ?A
?@、?Aの式を三角関数の半角の公式を用いて次の式を誘導せよ。
σ1＝σ3tan^^2(45°+φ/2)+2Ctan(45°+φ/2)
σ3＝σ1tan^^2(45°-φ/2)-2Ctan(45°-φ/2)
No.10929 - 2010/07/19(Mon) 22:00:48
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー
45°+φ/2＝(90°＋φ)/2 なので、この部分に半角の公式
　tan^2(θ/2)＝(1-cosθ)/(1+cosθ)
を適用して、下の２式から、?@，?Aを導くことをやってみてはどうでしょう？
No.10936 - 2010/07/20(Tue) 06:52:20
★ (No Subject) / UX-LP
平面上の原点oとし、異なる2点A,Bがoと同一直線上にない時
点Pは
→　　　　→　　　　→
OP　＝　αOA　＋　βOB
で定まる点とする。α、βが３つの不等式
０≦α≦１、０≦β≦１、０≦α＋β≦1
を同時に満たしながら動くときの点Pの範囲を求めよ

どうしたらいいでしょうか？
No.10926 - 2010/07/19(Mon) 15:42:30
☆ Re: / ヨッシー
(α、β)＝(0,0),(1,0),(0,1),(0.5,0.5),
(0.2,0.7),(0.4,0.4)
など、いろいろなαβの値の時の点Ｐの位置を調べましょう。

または、ＯＡ＝(1,0)、ＯＢ＝(0,1) とおくと、
点Ｐは、座標(α、β) で表されます。そのときに、
０≦α≦１、０≦β≦１、０≦α＋β≦1　を適用すると・・・
No.10927 - 2010/07/19(Mon) 16:53:45
★ 不等式 / 高校２年生
x>0のとき、常に不等式x^2+2x-a>0が成り立つような定数aの範囲を定めよ。

この問題、頂点のy座標>0で解くことは出来ないのでしょうか。
解答だとx>0で単調に増加し、x=0のときy=-a
よって-a≧０よりa≦０
とあります。
y座標>0だと答えが違ってしまって。。。
No.10916 - 2010/07/19(Mon) 10:25:28
☆ Re: 不等式 / らすかる
＞頂点のy座標>0で解くことは出来ないのでしょうか。
できません。
例えば頂点が(-1,-1)のとき頂点のy座標＜0ですが
問題の条件は満たします。
No.10920 - 2010/07/19(Mon) 12:01:39
☆ Re: 不等式 / 高校２年生
らすかるさん、ありがとうございます。

> 頂点が(-1,-1)のとき頂点のy座標＜0ですが
> 問題の条件は満たします

この部分を詳しく教えていただきたいと思います。
No.10922 - 2010/07/19(Mon) 12:20:00
☆ Re: 不等式 / 高校２年生
もう一つ、a=0を含むのはなぜでしょうか。
与式>0なら、=０を含まないような気がするのですが。
No.10923 - 2010/07/19(Mon) 12:22:02
☆ Re: 不等式 / ToDa
らすかるさんのヒントをもとに、自分の手を動かしてグラフを描いてみましたか？
面倒だなんて思っちゃダメですよ。

らすかるさんの仰った、「頂点が(-1,-1)のとき」のグラフは



で、「x ＞ 0のとき、常に不等式 x^2 + 2x - a ＞ 0が成り立つ」の条件は満たしています。その一方で、「頂点のy座標 ＞ 0」には反しているわけです。

なので、単純に「頂点のy座標 ＞ 0」だけを考えるのでは答えとは違ってしまいます。「頂点のy座標 ＞ 0」じゃなくても、「x ＞ 0のとき、常に不等式 x^2 + 2x - a ＞ 0が成り立つ」場合があるのですから。

a=0を含む場合云々は、まさに、らすかるさんの例と上記のグラフがその例です。
No.10925 - 2010/07/19(Mon) 13:05:10
☆ Re: 不等式 / 高校２年生
はい、グラフを書いて悩みました。
頂点が(-1,-1)のとき、x=y=0となりますが、
ｘ＞０が条件ですから、x=0を含める意味がわかりませんでした。
No.10930 - 2010/07/19(Mon) 23:45:01
☆ Re: 不等式 / ToDa
むむ？

＞頂点が(-1,-1)のとき、x=y=0となりますが、

念のため言及しておきますが、
「頂点が(-1,-1)の場合、x=0のときy=0となりますが」という意味でよろしいですね？

---

さて、
y=x^2 + 2x - aとします。

yの値はx＞0にて単調に増加(さらに細かいことをいえば、「x＞-1にて単調に増加」なのですが、当然この範囲にx＞0はもれなく含まれています)するのですから、
xが0より大きい場合、x=1でも0.1でも0.0000000000001でも、どれだけわずかな差でもとにかくxが0より大きいのであれば、その時yの値は、x=0のときのyの値より大きいわけです。

そして、x=0のときy=-aとなります。つまり、x＞0のとき、つねにy＞-aとなるのです。-a≧0であれば、x＞0のとき、つねにy(=x^2 + 2x - a)＞-a≧0となるわけですね。

＃上記の説明が分かりづらいのであれば、とりあえずそれは置いておくとして、

a=0の場合に、「x＞0のとき、常に不等式 x^2 + 2x - a ＞ 0が成り立つ」ことは理解できますか？
No.10932 - 2010/07/20(Tue) 00:40:25
☆ Re: 不等式 / 高校２年生
ToDaさん、ありがとうございます。
たぶん、「x＞0のとき、常に不等式 x^2 + 2x - a ＞ 0が成り立つ」
が理解出来ていないから納得できないのだと思います。

x>0の範囲で、y=x^2 + 2x - aの2次関数がy=0よりも上に存在する、
という意味でよろしいでしょうか。
No.10937 - 2010/07/20(Tue) 22:44:43
☆ Re: 不等式 / ToDa
グラフを用いて考えるのなら、そういう意味でよろしいです。
No.10946 - 2010/07/21(Wed) 21:01:43
★ 絶対値 / 高校２年生
||x|-1|=aの方程式の解の個数を求めよ。

絶対値の中にある絶対値、解けません。
場合分けをしたんですが、解答と違ってしまいました。
途中式、教えていただきたいです。
よろしくお願いします。
No.10915 - 2010/07/19(Mon) 10:22:20
☆ Re: 絶対値 / らすかる
y=||x|-1| と y=a の交点を考えると簡単だと思います。
No.10919 - 2010/07/19(Mon) 11:57:42
☆ Re: 絶対値 / 高校２年生
はい、そのように考えたのですが、
絶対値を外すときに間違えたのか、答えがでませんでした。
No.10921 - 2010/07/19(Mon) 12:14:49
☆ Re: 絶対値 / ToDa
y=||x|-1|のグラフは
「y=xのグラフをx軸に対してy軸正方向に折り返し、それをy軸方向に-1だけ平行移動させ、それを更にx軸に対してy軸正方向に折り返したもの」
なのですが、この説明がピンと来ないようであれば、丁寧に絶対値記号を外してゆきましょう。ここで間違えたとのことですが、どのように間違えたのかを書いてもらえれば、教えるほうもポイントを絞りやすいです。


||x|-1| = |x-1|  (x≧0) = x-1     (x≧0 かつ x-1≧0)
                        = -(x-1)  (x≧0 かつ x-1≦0)

        = |-x-1| (x≦0) = -x-1    (x≦0 かつ -x-1≧0)
                        = -(-x-1) (x≦0 かつ -x-1≦0)


です。以上を整理して、グラフは



のようになって、これとy=aの交点を考えればよいわけですね。
No.10924 - 2010/07/19(Mon) 12:48:24
☆ Re: 絶対値 / 高校２年生
とても詳しく解説してくださいまして、ありがとうございました。
よくわかりました。
No.10931 - 2010/07/19(Mon) 23:47:55
★ (No Subject) / meta
△ＡＢＣと辺ＡＢ上の点Ｄおよび辺ＡＣ上の点Ｅがあり、ＡＤ：ＡＥ＝2：1,ＢＤ：ＣＥ＝1：3で,４点Ｂ，Ｃ，Ｅ，Ｄは同一円周上にある。このとき、次の問いに答えよ
(1)ＡＢ：ＡＣを求めよ
(2)ＡＤ：ＤＢを求めよ
(3)直線ＤＥと直線ＢＣが交わる点をＦとするとき、ＥＤ：ＤＦを求めよ。
（図を添えたかったのですが、よくわからなくてできませんでした）

問題で与えられた条件をどのように拡張していけばよいか見当がつきませんでした

考え方を教えてください
No.10909 - 2010/07/19(Mon) 07:06:19
☆ Re: / ヨッシー
(1)
ＡＥ＝ｘ、ＡＤ＝２ｘ、ＢＤ＝ｙ、ＣＥ＝３ｙ とおくと、
方べきの定理より、
　２ｘ（２ｘ＋ｙ）＝ｘ（ｘ＋３ｙ）
ｘ＞０ より、両辺ｘで割って
　４ｘ＋２ｙ＝ｘ＋３ｙ
　ｙ＝３ｘ
よって、ＡＢ＝２ｘ＋ｙ＝５ｘ、ＡＣ＝ｘ＋３ｙ＝１０ｘ

(2)
同様に、ＡＤ＝２ｘ、ＤＢ＝ｙ＝３ｘ

(3)
△ＡＥＤ と△ＡＢＣは １：５ の相似なので、
　ＤＥ：ＢＣ＝１：５
また、△ＦＤＢと△ＦＣＥ は１：３ の相似なので、
ＤＥ＝１，ＢＣ＝５，ＦＤ＝ｘ，ＦＢ＝ｙ とおくと、
　ｙ＋５＝３ｘ
　ｘ＋１＝３ｙ
これより　ｘ＝２，ｙ＝１　となります。
No.10911 - 2010/07/19(Mon) 08:42:03
☆ Re: / meta
方べきの定理という発想はおもいつきませんでした

丁寧に解説していただき、ありがとうございました
No.10933 - 2010/07/20(Tue) 03:26:09
★ 合同式に関する性質 / 涼流
a ≡ b (mod m) 〔以下(mod m)は省略させて頂きます。〕
ならば、a^n ≡ b^nですよね。

恐らくa^n ≡ b^n ならば a ≡ bだと思います。
しかし、証明をしようと思つてもどう考えたらよいか見当もつきません……
背理法や待遇で示そうとしてみたりしましたが難しいです。

そこで質問は、
(1) a^n ≡ b^n ならば a ≡ bの真偽
(2) 証明のアプローチ
です。

どうかよろしくお願いします。
No.10907 - 2010/07/19(Mon) 02:31:06
☆ Re: 合同式に関する性質 / のぼりん
ｎ は、外部から与えられた定数ですね？
「任意の ｎ」であれば、ｎ＝１ とおき直ちに結果が得られるので、そうだとは思いますが、今後、質問時にはすべての条件を明示する様お願いします。

さて、質問に関してですが
（１）　偽です。
（２）　反例を示します。
です。
No.10910 - 2010/07/19(Mon) 08:34:40
☆ Re: 合同式に関する性質 / 涼流
早急なご回答をありがとうございます。
条件不足な質問をしてしまって申し訳ありません。
ふと疑問に思ったことをそのまま書いてしまいまして……

疑問に思ったことは、
「任意の自然数nに対して、適当な整数a, bに於いてa^n ≡ b^n (mod m)ならばa ≡ b (mod m)」
の真偽でしたが、
“「任意の ｎ」であれば、ｎ＝１ とおき直ちに結果が得られる”
の部分がよく分かりません……
n = 1の時はa ≡ bですので成立します。

凡例ですか……任意のa, bについてではないのでなかなか凡例が見つかりません……
具体的に何が挙げられますかね?
No.10913 - 2010/07/19(Mon) 10:01:32
☆ Re: 合同式に関する性質 / らすかる
「任意の自然数nに対してa^n ≡ b^n (mod m)」⇒「a ≡ b (mod m)」
という命題ならば、n=1の時も成り立つので自明です。
「特定のnに対してa^n ≡ b^n (mod m)」⇒「a ≡ b (mod m)」
という命題ならば、例えば
「2^2 ≡ 1^2 (mod 3)」 ⇒ 「2 ≡ 1 (mod 3)」
は成り立ちません。
No.10918 - 2010/07/19(Mon) 11:32:09
☆ Re: 合同式に関する性質 / 涼流
ご回答ありがとうございます。
初歩的な質問で申し訳ありませんでした……

「2^2 ≡ 1^2 (mod 3)」 ⇒ 「2 ≡ 1 (mod 3)」
は確かに成立しませんよね。
こんな簡単な反例が見つからなかったのが残念です;;

どうもありがとうございました。
No.10928 - 2010/07/19(Mon) 17:29:19
★ (No Subject) / 大学院志望
0<α＜１とする。「テーラーの定理」を用いて次の不等式が成り立つことを示せ。
(1+x)^α≤1+αx (x>-1)
また、この不等式から次の不等式を導け。
pa+qd≥a^p b^q ただし、a,b,p,qは正であり、p+q=1であるとする。
No.10906 - 2010/07/19(Mon) 00:30:27
★ (No Subject) / 大学院志望
テーラー展開を用いて０の近くでの次の関数の大小を調べよ。
sinｘ/ｘと(1-(x^2)/2)^1/3
No.10905 - 2010/07/19(Mon) 00:29:40
★ (No Subject) / 大学院志望
実数全体をRとする。関数f:R→Rが連続であることの定義をε‐δ論法で書け。
次に、任意の連続関数f:R→Rと任意の開集合Bに対して集合f^(-1) (B)={a∈R|f(a)∈B}が開集合であることを証明せよ。

[注:Rの部分集合Aが開集合であるとは、任意のa∈Aに対して正の数εが存在して、開区間(a−ε,a＋ε)がAの部分集合となる時をいう。
No.10904 - 2010/07/19(Mon) 00:27:05
★ (No Subject) / 大学院志望
数列の収束に関する「コーシーの収束判定基準」を正確に述べよ。
次に、フィボナッチ数列の隣接する２項の比が黄金比に収束することを証明せよ。
証明の方針として、まず、「コーシーの収束判定基準」に照らして収束性を明らかにし、しかる後に極限値が黄金比であることを示せ。
No.10903 - 2010/07/19(Mon) 00:26:13
★ 解析学 / 大学院志望
「ネイピア数e」の定義を、「実数の連続性公理」に基づいて正確に述べよ。
また、等式lim(ｎ→∞)(1+1/n)^n =??(n=0)〜∞まで（1/n!）が成り立つことを示せ。
No.10902 - 2010/07/19(Mon) 00:24:53
★ 確率です / 東大志望
白黒2種類のカードがたくさんある。そのうちk枚のカードを手もとに持っているとき,次の操作(A)を考える。
(A)手持ちのk枚の中から1枚を、等確率1/kで選び出し、それを違う色のカードにとりかえる。

問)最初に白2枚、黒2枚、合計4枚のカードを持っているとき、操作(A)をn回繰り返した後に初めて、4枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。

nが奇数と偶数の場合を分けて考えて、奇数のときの確率が0であることは分かるのですが偶数の場合にどうなるかが分かりません。よかったら教えてください。
No.10893 - 2010/07/18(Sun) 20:06:33
☆ Re: 確率です / らすかる
1回で3枚1枚になりますので、
2回で同じ色になる確率は1/4ですね。
そうすると2回で同じ色にならない確率は3/4ですから、
4回で同じ色になる確率は (3/4)×(1/4)
6回で同じ色になる確率は (3/4)×(3/4)×(1/4)
8回で同じ色になる確率は (3/4)×(3/4)×(3/4)×(1/4)
・・・
のようになりますね。
No.10896 - 2010/07/18(Sun) 20:36:34
☆ 確率です / 東大志望
答えが、nが奇数のとき0,nが偶数のとき1/4(3/4)^(n/2)となりました。

合ってますか？?ｫ
No.10897 - 2010/07/18(Sun) 21:00:18
☆ Re: 確率です / 東大志望
偶数のときは1/3(3/4)^(n/2)でした?ｫ
No.10898 - 2010/07/18(Sun) 21:07:17
☆ Re: 確率です / らすかる
はい、OKです。
No.10901 - 2010/07/18(Sun) 22:00:08
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