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★ 一次不等式 / まみ
不等式5−4(2−x)＞7x−2a…?@の解はx＜2／3a−1である。また不等式?@の解に自然数が２個だけ含まれるようなaの値の範囲を求める問題です。
どのように考えれば良いのかわかりません。ぜひよろしくお願いします。
No.12518 - 2010/12/26(Sun) 23:56:48
☆ Re: 一次不等式 / 板橋
?@の解に自然数が２個だけ含まれるということより、?@の解が1と2を含む

ようにaの範囲を求めれば良いということが分かります。

数直線を書いて頂ければ分かり易いと思うのですが、

?@の解がx<(2a-3)/3であるという事と、自然数1と2が含まれるという

事より、

2<(2a-3)/3<=3

が成立しなければなりません。

上の不等式をとくと、

9/2<a<=6

となります。
No.12519 - 2010/12/27(Mon) 00:32:43
☆ Re: 一次不等式 / まみ
解けました。詳しい説明ありがとうございました。
No.12520 - 2010/12/27(Mon) 06:10:14
★ 中２です / ゆーた
図のような三角形のxの角度を教えてください
・は∠ABCの二等分　×は∠ACEの二等分です。
詳しい説き方と答えをお願いします
××＝８０°＋・・まではわかります。
No.12511 - 2010/12/26(Sun) 19:44:49
☆ Re: 中２です / らすかる
同様に
×＝x＋・
ですね。
No.12512 - 2010/12/26(Sun) 19:51:24
☆ Re: 中２です / ゆーた
それもわかるんですがそこから先が・・・
No.12515 - 2010/12/26(Sun) 21:00:53
☆ Re: 中２です / ヨッシー
××＝８０°＋・・
を両辺２で割ってみては？
No.12516 - 2010/12/26(Sun) 21:14:18
☆ Re: 中２です / 板橋
横から済みません。
もしかしたら、・とか×（バツ）でなく、x（エックス）,y（ワイ）の方が分かり易いかもしれません。教科書に載っているような連立方程式になりますし。
・をy,
×（バツ）をxとすると、
××（バツバツ）＝８０＋・・　は、2x=80+2y・・・(1)
×（バツ）＝x+・　は、x=∠BEC + y・・・(2)
となります。
(1)より、x=40+y・・・(1')なので、
(1')と(2)と合わせると
x=40+y・・・(1')
x=∠BEC+y・・・(2)
この連立方程式を解けばいいと思います。


老婆心ながら、×（バツ）とx（エックス）を試験中に同時に使わない方がいいかもしれません。急いでいる場合は、間違いのもとにもなりますから。
No.12517 - 2010/12/26(Sun) 21:45:47
☆ Re: 中２です / ゆーた
∠BEC＝４０°ですね。わかりました。ありがとうございました
No.12522 - 2010/12/27(Mon) 19:01:01
★ (No Subject) / ようん
高3です
lim[n→∞]√n=∞
ですよね
ですが、√n=n√1/nなのに
lim[n→∞]n√1/n=0
となってしいます。
どうしてでしょうか。
よろしくお願いします。
No.12510 - 2010/12/26(Sun) 19:02:06
☆ Re: / X
確かに
lim[n→∞]√(1/n)=0
ですが
lim[n→∞]n=∞
ですので
lim[n→∞]n√(1/n)=(lim[n→∞]n)(lim[n→∞]√(1/n))
は成立しません。
つまり
lim[n→∞]n√(1/n)=0
とはなりません。

一般にある数列の一般項a[n],b[n]について
lim[n→∞]a[n]=α
lim[n→∞]b[n]=β
のとき
lim[n→∞]a[n]b[n]=αβ
が成立するのはα、βが共に有限の値であるときに限られます。
もう一度教科書の数列の極限の項目を見直してみましょう。
No.12513 - 2010/12/26(Sun) 20:20:40
★ 数?T / 高１
数?Tの問題です。

ｘ＝3＋2√2／2 , ｙ＝3−2√2／2 のとき、ｘ＋ｙ，ｘｙ，ｘ^2＋ｙ^2，ｘ^4−ｙ^4を求めよ。

自分でｘ＋ｙ＝3，ｘｙ＝1／4，ｘ^2＋ｙ^2＝17／2までは求めることが出来ました。
しかしｘ^4−ｙ^4をどう求めたらいいのかわかりません。
ちなみに答えは51√2です。

よろしくお願いします。
No.12508 - 2010/12/26(Sun) 08:25:52
☆ Re: 数?T / ヨッシー
ｘ^4−ｙ^4＝(x^2＋y^2)(x^2−y^2)
　　　＝(x^2＋y^2)(x＋y)(x−y)
です。
ｘ−ｙ＝2√2 なので・・・
No.12509 - 2010/12/26(Sun) 09:07:37
☆ Re: 数?T / 高１
わかりました！どうもありがとうございました！
No.12514 - 2010/12/26(Sun) 20:53:04
★ (No Subject) / mazenda
xに関する不等式　√(x+2)>ax+b　の解は　-2≦x<2 である。
このとき
?@bをaを用いてあらわせ。
?Aaのとりうる値の範囲を求めよ。

解答?@b=2-2a ?Aa>1/2
まず?@の解説にあった放物線と直線はx=2のところで交わらないといけないと書いてあったんですがそこからわかりませんでした。
よろしくお願いします。
No.12502 - 2010/12/25(Sat) 18:48:13
☆ Re: 数C無理関数の問題 / mazenda
すいません。件名入れ忘れました。
追記
上記の問題で解の範囲がx<2なのになんで直線が(2,2)をとおるのか理解できません。x=-2を通るのは与式よりだめそうなのはわかるんですが。
連投失礼しました。
No.12503 - 2010/12/25(Sat) 19:03:30
☆ Re: / ast
(2, 2) が抛物線の上半分と直線の交点でなければならないのは, 2 < x が解に含まれないようにするためには結局 x = 2 の前後で上下が入れ替わらなければならないからですね. ある所を境に入れ替わるということが重要です. そのうえで,

> 解の範囲がx<2なのになんで直線が(2,2)をとおるのか
とは「(2, 2) のところで交わるならば解の範囲は −2 ≤ x ≤ 2 ではないのか」という意味ですか?

もしそうであるとすれば, 「それらが (2, 2) のところで交わる」というのは「x = 2 のとき √(x+2) = 2 かつ ax+b = 2 が成り立つ」という意味ですから, √(x+2) > ax+b は x = 2 のとき 2 > 2 となり成立しません. すなわち, x = 2 は不等式 √(x+2) > ax+b の解とはならないことが確かめられるわけです. 特に, 本問を「解は −2 ≤ x ≤ 2 である」と改変するとそのような状況は起こりえないので, 問題自体が成立しなくなります.
No.12504 - 2010/12/25(Sat) 23:06:52
☆ Re: 理解できました！ / mazenda
詳しい解説ありがとうございました。
"上下が入れ替わる"わかりやすかったです。
等号をつけるつけないの微調整むづかしいんですね。
No.12505 - 2010/12/25(Sat) 23:34:20
☆ Re: / ヨッシー
理解されたようですが、一応図を描いたので、載せておきます。

(1) のように直線の傾きが負の場合は論外として、
(2,2) 以外の点で交わらない場合を考えると、
(2) 交点のｘ座標が２より大きい値ｍであるとき
　√(x+2)＞ax+b　の解は　-2≦x<ｍ
(3) 交点のｘ座標が２より小さい値ｎであるとき
　√(x+2)＞ax+b　の解は　-2≦x<ｎ
となるので、交点のｘ座標は２に限ります、

また、(2,2) で交わっても、(4) のように、
ｘ座標が -2 より大きいもう１点とも交わる場合は、
　√(x+2)＞ax+b　の解は k＜ｘ＜２ （ｋは直線と放物線の
(2,2) 以外の交点のｘ座標）
となりますので、ｙ切片が１未満でないといけません。
No.12506 - 2010/12/25(Sat) 23:41:19
☆ Re: / mazenda
ヨッシーさん
いろんな場合の解説ありがとうございます。
数学はおもしろいですね。社会人ですが、今、数学で遊んでみたくてやりなおしています。またおしえてくださいね。
No.12507 - 2010/12/26(Sun) 00:00:26
★ 対数について（高2） / 観月
log[2](x-1)=log[4](2-x)+1

の方程式を解きたいのですが答えと合いません。
答えは2√2 -1です。

お願いします。
No.12497 - 2010/12/25(Sat) 14:48:50
☆ Re: 対数について（高2） / 板橋
真数条件より、x-1>0,　2-x>0
以下、2を底とする対数をlogとだけ書きます。

右辺={log(2-x)/log4}+log2
=1/2*log(2-x)+log2
=log2{(2-x)^(1/2)}
∴log(x-1)=log2{(2-x)^(1/2)}
従って、x-1=2{(2-x)^(1/2)}
1<x<2に注意して、この方程式を解くと、
x=2√2-1
No.12499 - 2010/12/25(Sat) 15:43:15
★ 三平方応用 / 中３
（１）大きい円のなかに二等辺三角形が頂角を下にして内接していて、さらにその三角形の底辺の上に同じ大きさの小円が２つ外接していています
（別の言い方でいうと大円の中で小円２個と二等辺三角形が接している）
大円の半径５　二等辺三角形の等辺の長さを６として
小円の半径は？



（２）大きい扇形が中心角を下にして置いてあり（約１２０度から１５０度）
　　　その中心角のところにはその扇形の相似形があり
　　　その小さい扇形に外接して、大きい扇形に内接した２つの円がある。さらにその２円の上に共通外接線弦ABがひいてありABの中点で接し、大きい扇形の外周の間に小円が収まっています。
そのとき小円の半径１
弦ABの長さを２０とし
大円の半径は？


以上２つですがいろいろ図を書いていますが
解決できません
３平方までの中学生の知識で解けるはずなんですが
No.12488 - 2010/12/25(Sat) 01:52:54
☆ Re: 三平方応用 / ヨッシー
(1)

図において、
△ＯＢＣにおける三平方より
　ＢＣ；ＣＯ：ＯＢ＝３：４：５
△ＡＢＤは、△ＯＢＣと相似なので、
　ＢＤ＝３．６
よって
　ＯＤ＝１．４
小円の半径をｘとすると、
　ＥＦ＝ＥＧ＝ＨＯ＝ｘ
△ＦＯＨにおいて、
　ＦＯ＝５−ｘ
　ＦＨ＝ｘ−１．４
　ＨＯ＝ｘ
について、三平方を適用すると
　(５−ｘ)2＝(ｘ−１．４）2＋ｘ2
これを解いて
　ｘ＝２．４、　−９．６
よって、小円の半径は２．４

(2) は読み切れませんでした。
２つの円は同じ大きさですか？
２つの円は、接していますか？
大きい扇形に内接と言った場合、扇形の直線部分（半径）にも接しますか？
２円の共通接線が、大きい扇形の弦にもなっているということでしょうか？
ABの中点で接するのは何と何ですか？
などなど。
追加の情報をお願いします。
No.12492 - 2010/12/25(Sat) 06:29:04
☆ Re: 三平方応用 / 中３
ヨッシーさん返信有難う御座います
線のひき方がポイントなんですね

後半の問題ですが
画像添付します
No.12495 - 2010/12/25(Sat) 13:05:19
☆ Re: 三平方応用 / ヨッシー

まず、△ＡＤＯの三平方から大きい扇形の半径２６を求めておきます。
求める円の半径をｘとすると、
△ＥＦＯにおいて
　ＥＯ＝２６−ｘ
　ＦＯ＝２４−ｘ
　ＥＦ＝ｘ
より・・・（中略）
よって、大円の半径は、2√26−2 となります。
No.12496 - 2010/12/25(Sat) 14:10:35
★ 未定係数法を用いた漸化式の解法 / サンタ
a(n+1)=ra(n)+ps^n+f(n)(r≠１,f(n)は整式でnのk次式）
このパターンはa(n)=ar^n+bs^n+g(n)(g(n)は整式でｎのｋ次式）
これを用いて、
例題）a(n+1)=3a(n)+2^n-2n+5(a(1)=0)は
a(n)=a3^n+b2^n+cn+dとおいて漸化式に代入して
a3^(n+1)+b2^(n+1)+c(n+1)+d=3(a3^n+b2^n+cn+d)+2^n-2n+5
係数比較により、b=-1,c=1,d=-2が求まり、初項a(1)=0からa=1とあります。

以上のようにして
a(n+1)=2a(n)-n+1+2^(n+2)　(a(1)=1)
を求める方法を教えて下さい。
例題のように、a(n)=a2^n+b^n+cn+dとおいて
漸化式に代入して
a2^(n+1)+b2^(n+1)+c(n+1)+d=2(a2^n+b^n+cn+d)-n+1+2^(n+2)この後の係数比較の方法が分かりません。どなたかよろしくお願いいたします。　
No.12485 - 2010/12/24(Fri) 23:11:34
☆ Re: 未定係数法を用いた漸化式の解法 / ast
> a(n+1) = ra(n)+ps^n+f(n) (r≠1, f(n)は整式でnのk次式）

というかたちにあわせるなら, a(n+1) = 2a(n)-n+1+2^(n+2) は a(n+1) = 2a(n)+4*2^n+(-n+1) と書き直して, r=2, p=4, s=2, f(n)=-n+1 です. ですから, その解法にしたがって代入すべきは (a(n) = a2^n+b^n+cn+d ではなく) a(n) = a*2^n+b*2^n+cn+d であるということになりますが, 実は r=s=2 であることが災いして (条件式が減ってしまい) これでは解けません. 実際, a(n) = m*2^n+cn+d とすると

　a(n+1) = 2m*2^n + cn + (c+d)
　2a(n)-n+1+2^(n+2)=(2m+4)*2^n + (2c-1)*n + (2d+1)

から係数比較で 2m=2m+4 かつ c=2c-1 かつ c+d=2d+1 ですが, このような m は存在しません. そこで少々天下り式になりますが, a(n) = (a+bn)*2^n+cn+d を代入してみてはいかがでしょう.

これでざっとやってみると, たぶん a(n) = (n-1)2^(n+1) + n になるような気がしますが, 計算は得意ではありませんので保証はしません.

# このような個別の漸化式の解法についてはほとんど存じませんが,
# どういうものに係数比較が有効なのかといったようなことは,
# 線型独立など大学初年度級の線型代数で扱える話なので,
# 興味があれば調べてみられるのもよいかもしれません.
No.12486 - 2010/12/25(Sat) 00:21:44
★ センターマークの問題 / 高３
センターマークの大２問でC:ｙ＝lx^2-2axlとして

「０≦ｘ≦３の範囲でＣとｘ軸および直線ｘ＝３とで囲まれる部分の面積をＳ(a)とおく。

０＜a<3/2のときS(a)=
3/2<aのときS(a)=

とあったのですが、０＜a<3/2のときのS(a)が０≦ｘ≦2aの部分もＳ(a)に含まれていたのですが、そこが疑問でなりません。０≦ｘ≦３の範囲でＣかつｘ軸かつ直線ｘ＝３で囲まれているのって2a≦x≦3の部分だけなんじゃないでしょうか・・・。なんで０≦ｘ≦２aの部分の面積も含めるんでしょうか・・・。まだこの先に続きがある問題で、以降の問題に影響がかなり出たので、なんとしても解決したいです。どうかよろしくお願いします。
No.12483 - 2010/12/24(Fri) 22:10:59
☆ Re: センターマークの問題 / ast
> なんで0≤x≤2aの部分の面積も含めるんでしょうか・・・
Cとx-軸だけで囲まれる部分も「Cとx-軸および直線x=3とで囲まれる部分」の一部だからです.

> Cかつx軸かつ直線x=3で囲まれている
このような「かつ」の使い方は適切ではありません (これでは空集合という意味になってしまいます).
No.12487 - 2010/12/25(Sat) 00:40:43
☆ Re: センターマークの問題 / 高３
Cとx-軸および直線x=3とで囲まれる部分というのは2a≦x≦3の部分だけなんじゃないでしょうか？この問題がCおよびx-軸と直線x=3とで囲まれる部分の面積という表現なら求める部分が変わりますか？
No.12489 - 2010/12/25(Sat) 02:49:08
☆ Re: センターマークの問題 / ast
> Cとx-軸および直線x=3とで囲まれる部分というのは2a≦x≦3の部分だけなんじゃないでしょうか？
残念ながら違います, 二つの成分ができますがその両方を指すことは既に述べたとおりです. すなわち, それらの囲む領域とは, それらの和集合が境界となるような有界領域という意味であり, それらのうちのいくつか (つまり用いないものがあっても良い) で囲まれているようなもの全てを指します. それら三者ともが接していなければならないわけではありません.

> この問題がCおよびx-軸と直線x=3とで囲まれる部分の面積という表現なら求める部分が変わりますか？
変わりません, 同じく二つの成分をあわせた図形の面積を求めてください.
No.12490 - 2010/12/25(Sat) 04:00:06
☆ Re: センターマークの問題 / 高３
まだ頭が混乱しています。ここでの「および」とはどういう意味ですか？
No.12491 - 2010/12/25(Sat) 05:19:27
☆ Re: センターマークの問題 / rtz
横から失礼して…。
「および」は単純に「と」の意味でOKですよ。

http://b4.spline.tv/study777/?command=GRPVIEW&num=791
図にしてみたのでどうぞ。

要は、
「線自体どれでもいいから囲まれてるやつ全部」ということです。
もしあなたのおっしゃるような範囲ならば、
「Cとx軸、x＝3の全てに囲まれているような」と
ちゃんと「全て」という意味の断りが入ります。
No.12498 - 2010/12/25(Sat) 14:56:08
★ 指数、対数 / みー

こんばんは。センター数学指数対数についての質問です。
黄色矢印のところなのですが、
この計算はどのようにすればよいのでしょうか。
よろしくお願い致します。
No.12482 - 2010/12/24(Fri) 22:00:15
☆ Re: 指数、対数 / angel
a^(log[a]b)=b というのは、logの定義そのものです。
今回は 2^(log[2]7)=7、つまり a=2,b=7 の場合に相当します。

例えば、2を3乗すると8になりますが、これは log[2]8=3 と表現できますよね。
つまり、2^3=8 ⇔ log[2]8=3
ここで 3の部分を置き換えてみると…、2^(log[2]8)=8

ということで、a^(log[a]b)=b というのは、a,bがlogに使えない数で無い限り常に成立します。
No.12484 - 2010/12/24(Fri) 22:26:47
☆ Re: 指数、対数 / みー

なるほど(・_・;)!!
途中までは知っていた知識なのに
代入の過程が全く意識にありませんでした。
とてもすっきりしました。
ありがとうございました！


No.12501 - 2010/12/25(Sat) 15:58:38
★ (No Subject) / ブタッキー
0≦x≦πで1、2のそれぞれを満たすxの値を求めよ
です。
1、cosx/1+sinx+cosx/1-sinx＝4

2、cos^2x+sinxcosx＝1　です。

倍角の公式をどう使えばよいか分かりません・・・
お願いします。
No.12478 - 2010/12/24(Fri) 17:55:29
☆ Re: / X
1.
問題の方程式を
(cosx)/(1+sinx)+(cosx)/(1-sinx)=4
と解釈して方針を。

倍角の公式を使う必要はありません。
左辺を通分して
{(cosx)(1-sinx)+(cosx)(1+sinx)}/{(1+sinx)(1-sinx)}=4
これより
(2cosx)/{1-(sinx)^2}=4
(2cosx)/(cosx)^2=4
2/cosx=4
cosx=1/2
∴0≦x≦πにより
x=π/3
となります。

2.
問題の方程式より
(1+cos2x)/2+(1/2)sin2x=1
これより
(1/2)sin2x+(1/2)cos2x=1/2
sin2x+cos2x=1
後は左辺に三角関数の合成を使います。
No.12479 - 2010/12/24(Fri) 18:24:31
☆ Re: / ブタッキー
詳しくありがとうございます。
No.12480 - 2010/12/24(Fri) 20:55:32
★ (No Subject) / 受験生
おはようございます。
公立高校の過去問です。
（１）はなんとかできたんですが
（２）がさっぱり・・・相似を使うと思うんですが・・・
よろしくお願いします。
No.12477 - 2010/12/24(Fri) 09:57:25
☆ Re: / angel
そうですね。相似が鍵です。(1)はそのヒントと捉えることができます。
とはいえ、△EBD∽△FDAの相似比はすぐには分かり辛いので、△AEF∽△ABCの相似から考えていくのが良さそうです。
なぜ相似かというと、BCとEDが平行だから。この平行という条件は他にも色々と効いて来る強力な条件です。添付の図の左上に、相似の関係にある三角形を挙げています。

後、長さの条件も整理して置きましょう。添付の図の右上に、長さが等しくなる部分を色づけしています。赤については、△AEFが△ABCに相似で二等辺三角形になることから。紫については、問題文に書いてある条件そのまま。

で、△ABC∽△AEFの相似比を1:yとして、(2)-?@に取り組みます。なお目的のEFはxとしています。長さの比は添付の図の左下のような状況になります。
後は(1)の△EBD∽△FDAより、EB:ED=FD:FA すなわち ED・FD=EB・FA となることから方程式を。
ED=2EF、FD=EF、EB=(1-y)AB、FA=EA=yAB、EF=x=yBC を当てはめて、y,x を求めましょう。

最後に(2)-?Aは、面積を比較しやすい形に直すのが良さそう。添付の図右下のように、底辺・高さが同じ三角形を代わりに使います。つまり、△FDA=△AEF、△BCD=△FBC と面積の等しい三角形を考えます。
後は比較用に△EFBを動員すると考えやすいです。
なぜなら、△AEF:△EFB=AE:EB、△FBC:△EFB=BC:EF と、高さが共通な三角形は、底辺の比がそのまま面積の比になるからです。
△AEF=△EFB・AE/EB、△FBC=△EFB・BC/EF ということで、同じ△EFBを基準として比較することができます。
No.12481 - 2010/12/24(Fri) 20:56:08
☆ Re: / 受験生
詳しい解説ありがとうございました。
やっと納得することができました。
ただ?@でX,Yを使ったり、?Aで等積変形したりするのを
試験中にできるかどうか不安になりました・・
コツのようなものがありましたら教えてください。
No.12493 - 2010/12/25(Sat) 06:29:37
☆ Re: / angel
> ただ?@でX,Yを使ったり、?Aで等積変形したりするのを
> 試験中にできるかどうか不安になりました・・

方程式をたてるのは慣れですね。どんな問題でも方程式に持っていくことを意識しないといけません。
とはいえ今回、実際には x,y の2文字は必要ないです。
yを求めてから EF=yBC を計算するだけですから、本当は x を使わなくても良いのです。

ただ、敢えて x,y の2文字にしたのは、「求める答えが何か」を意識するためです。y を求めた時点で気が緩んで、y が答えだと勘違いすることもあるもので。それを防ぐための、まあ、ちょっとした個人的なおまじないです。

等積変形に関しては、特に△BCD→△BCF ( △BCEでも良い ) のように、高さがそのままで頂点だけ滑っていくようなイメージを意識してみるのも良いでしょう。
No.12494 - 2010/12/25(Sat) 09:28:45
☆ Re: / 受験生
アドバイスありがとうございました。
図形の問題も方程式を意識して取り組む練習をしてみます。
本当にありがとうございました。
No.12521 - 2010/12/27(Mon) 09:29:36
★ ベクトルの問題 / みー

こんばんは。センター数学ベクトル問題についての質問です。

画像の解説部分の黄色矢印で書いたところなのですが、
どうやってkの値を出したのでしょうか。
どんな計算をしたのかがわかりません。
よろしくお願い致します。
No.12471 - 2010/12/22(Wed) 22:09:27
☆ Re: ベクトルの問題 / ast
いくつか考えられますが, 例えば k/3 = (1 − α − β)/2 に α = k/3, β = k/3 を代入すれば k に関する非自明な等式が得られ, k が求まります.
No.12472 - 2010/12/22(Wed) 22:53:26
☆ Re: ベクトルの問題 / みー

おはようございます。

非自明ですか(・_・;)

計算は解説通りの答えに
導くことができました!!
ありがとうございました。


No.12474 - 2010/12/23(Thu) 06:04:12
☆ Re: ベクトルの問題 / ast
> 非自明ですか

ああ, 要するに "k=k みたいな「何の情報も無い」(= 自明な) 等式じゃない" という程度の意味ですよ.
No.12475 - 2010/12/23(Thu) 11:49:35
☆ Re: ベクトルの問題 / みー

そういう意味でしたか(>_<)
こんな式では本当は
証明しきれていないとか
そういう類かと思っていました(^^；)


No.12476 - 2010/12/23(Thu) 16:32:07
★ 数Iの問題で・・・ / えだふじ
２次方程式 x^2+8x+k+6=0 が異なる２つの実数解をもつようにkの値の範囲を定めなさい。

こちら３０代の一般常識を復習しているものです
（近いうちに試験がありまして）
しかし時の流れは残酷にも記憶を消し去ってしまいます。

この問題も？？？です。
わかりやすく答えを導いてくれるかた・・
よろしくおねがいします。
No.12467 - 2010/12/22(Wed) 13:07:03
☆ Re: 数Iの問題で・・・ / らすかる
二次方程式では
「異なる2つの実数解を持つ」⇔「(判別式)＞0」です。
ax^2+bx+c=0 の判別式Dは D=b^2-4ac ですから
この問題では D=8^2-4*1*(k+6)=-4k+40 となり、
-4k+40＞0 を解くと k＜10 となります。
No.12468 - 2010/12/22(Wed) 13:13:15
★ (No Subject) / 合同式をモノにしたい者
合同式の使い方が分からなくなりました。

nを自然数とするとき1^n+2^n+3^n+4^nを５で割った余りを求めよ。（hint:ｎをmod4で分類して答えよ）
この問題で
ｎ≡０（mod4)のとき
与式≡４≡ー１（mod5)
ｎ≡１（mod4)のとき、与式≡１０(mod5)≡0(mod5)

ｎ≡2(mod4)のとき与式≡３０（mod5)≡０(mod5)

ｎ≡3(mod4)のとき与式≡1^3+2^3+3^3+4^3≡1^3+2^3+(-2)^3+(-1)^3≡０（mod5)

が回答なのですが、なんでmod5の与式にmod4の値が代入できるのかが分かりません。
回答が誤っているのでしょうか？

よろしくお願いします。
No.12456 - 2010/12/18(Sat) 12:43:55
☆ Re: / らすかる
代入はしていません。
n=0,1,2,3,… に対して
1^n≡1,1,1,1,1,1,1,1,… (mod5)
2^n≡1,2,4,3,1,2,4,3,… (mod5)
3^n≡1,3,4,2,1,3,4,2,… (mod5)
4^n≡1,4,1,4,1,4,1,4,… (mod5)
となって4つずつで同じパターンが繰り返されますから
nをmod4で分類しているのです。

mod5で考えているのは ○^n
mod4で考えているのは n
で、別物です。
No.12458 - 2010/12/18(Sat) 14:49:53
☆ Re: / 合同式をモノにしたい者
aを自然数、pを素数とするときa^p≡a(modp)より周期が４で繰り返すことは承知しております。

ｎ≡０（mod4)のとき1^n+2^n+3^n+4^n≡1^0+2^0+3^0+4^0≡４（mod5)という風にnの部分にｎ≡０（mod4)の「０」mod5の式が代入されてますし、
ｎ≡１（mod4)のときも1^n+2^n+3^n+4^n≡1^１+2^１+3^１+4^１≡１０（mod5)という風に、ｎ≡１（mod4)の「１」がmod5の式に代入されているのですが・・・。
No.12459 - 2010/12/18(Sat) 15:24:11
☆ Re: / らすかる
代入していると考えるから混乱するのだと思います。
例えば
3^0≡1, 3^1≡3, 3^2≡4, 3^3≡2, (mod5)
3^4≡1, 3^5≡3, 3^6≡4, 3^7≡2, (mod5)
・・・
のように4つずつ繰り返されていることをまとめて書くと
3^(4k)≡1, 3^(4k+1)≡3, 3^(4k+2)≡4, 3^(4k+3)≡2 (mod5)
となりますから、指数部をmod表記にすると
3^n≡
1(mod5)　(n≡0(mod4))
3(mod5)　(n≡1(mod4))
4(mod5)　(n≡2(mod4))
2(mod5)　(n≡3(mod4))
となるというだけのことです。
No.12460 - 2010/12/18(Sat) 15:32:27
☆ Re: / らすかる
説明の続きです。
上のように
「3^nをmod5で考えるとnをmod4で場合分けした時に同じ値になる」
わけですから、例えばn≡2(mod4)のとき
3^n≡3^2≡4(mod5)です。
同様に
n≡0 のとき 3^n≡3^0
n≡1 のとき 3^n≡3^1
n≡3 のとき 3^n≡3^3
も成り立ち、また1^n,2^n,4^nについても同様に成り立ちます。
よって例えばn≡2(mod4)のとき
1^n≡1^2(mod5), 2^n≡2^2(mod5), 3^n≡3^2(mod5), 4^n≡4^2(mod5)
が成り立ちますので
n≡2(mod4)のとき
1^n+2^n+3^n+4^n≡1^2+2^2+3^2+4^2(mod5)
が成り立ちます。
結果的にnにmod4の値を代入した形になっていますが、
(nが)mod3とかmod7とかでは成り立ちませんので
勝手に代入できるわけではありません。
3^n≡3^(nを4で割った余り) (mod5)が成り立つから
nで場合分けすれば 3^nを3^2のように具体的な数字に置き換えられる、と
考えれば良いと思います。
No.12465 - 2010/12/18(Sat) 18:18:16
★ (No Subject) / 合同式をモノにしたい者
自然数から２の倍数３の倍数５の倍数を取り除いて１，７，１１、・・・のように小さい順に並べる。

１）５０番目の数を求めよ
２）１番目の数から５０番目の数までの和を求めよ。

問題は２）なのですが
題意の数を書き並べると、
１，７，１１，１３、・・・、１６７，１６９，１７１，１７３，１７９，１８１，１８７のようになり１〜１７９までが左右対称にみて足して１８０になる組が２４あるので、答えは１８０×２４＋１８１＋１８７＝４６８８とあります。

１，７，１１，１３、・・・、１６７，１６９，１７１が両端ずつ足したら１８０になるというのはどのようにして発見したらよいのでしょうか？

今回もよろしくお願いします。
No.12455 - 2010/12/18(Sat) 09:29:03
☆ Re: / らすかる
2,3,5の最小公倍数は30ですから
nが2か3か5で割り切れれば30*6-nも2か3か5で割り切れ、
nが2,3,5で割り切れなければ30*6-nも2,3,5で割り切れません。
No.12457 - 2010/12/18(Sat) 14:44:07
☆ Re: / 合同式をモノにしたい者
回答有難うございます。

「nが2か3か5で割り切れれば30*6-nも2か3か5で割り切れ、
nが2,3,5で割り切れなければ30*6-nも2,3,5で割り切れない」
ということから確かに、１８０が区切れだとあらかじめ知っていた場合の証明にはなっています。
しかし、左右対称に足して同じになるペアがどこからどこまでの数で出来るのか見つける方法が知りたいのです。つまり、「nが2か3か5で割り切れれば30*6-nも2か3か5で割り切れ、
nが2,3,5で割り切れなければ30*6-nも2,3,5で割り切れない」
の30＊６をどうやって見つけたのかが知りたいのです。

しつこいですが、どうかよろしくお願いします。
No.12461 - 2010/12/18(Sat) 15:44:09
☆ Re: / らすかる
同じパターンが30個単位で繰り返されますから
1,7,11,…,29 で考えれば両端を足して30になりますし
1,7,11,…,59 で考えれば両端を足して60になりますし、
1,7,11,…,89 で考えれば両端を足して90になります。
（同様に 61,67,71,…,119 のような範囲で考えることもできます。）
このパターンで187に一番近いのは179（∵187÷30=6余り7、30*6-1=179）
ですから、 1,7,11,…,179 で考えるのがベストですね。
No.12462 - 2010/12/18(Sat) 15:50:01
☆ Re: / 合同式をモノにしたい者
1,7,11,…,29 で考えれば両端を足して30になり
1,7,11,…,59 で考えれば両端を足して60になり、
1,7,11,…,89 で考えれば両端を足して90になる

というのは、｢両端同士を足すと同じ数になるグループを１つ見つければその整数倍も両端同士を足すと同じ数になるグループになる。」・・・?@ということですよね？
これはこの問題だけの偶然なのですか？一般にいえることですか？また、?@が成り立つ理由も教えて下さい。　

よろしくお願いします。
No.12463 - 2010/12/18(Sat) 17:44:35
☆ Re: / らすかる
「すべてのグループが同じパターン」であれば一般に成り立ちます。
例えば 1,7,11,…,89 は
(1,7,11,…,29),(30+1,30+7,30+11,…,30+29),(60+1,60+7,60+11,…,60+29)
となっていますから、
両端から順に足せば (1,7,11,…,29) を両端から順に足したもの+60になりますね。
No.12464 - 2010/12/18(Sat) 18:09:26
☆ Re: / 合同式をモノにしたい者
「すべてのグループが同じパターン」であれば、とありますが、どういうときに同じパターンになり、どういうときに違うパターンになるのですか？
No.12469 - 2010/12/22(Wed) 15:44:05
☆ Re: / らすかる
この問題では
nが2か3か5で割り切れればn+30も2か3か5で割り切れ、
nが2,3,5で割り切れなければn+30も2,3,5で割り切れませんので、
1〜29,31〜59,61〜89,… は同じパターンになります。

例が良くないですが、例えば「この問題の条件を満たす数列から41を除いた数列」
であれば、1〜29と31〜59は同じパターンになりませんね。
No.12470 - 2010/12/22(Wed) 17:23:18
★ 合同式 / 合同式をモノにしたい者
x^2≡１（mod１２０)（１≦ｘ≦１２０）・・・?@を解きたいのですが、
?@⇔x^2≡１（mod５)・・・アかつ
x^2≡１（mod３)・・・イかつ
x^2≡１（mod８)・・・ウ

と読み替えて
アはx^2-1≡１（mod5)
（x+1)(xー1)≡１(mod5)で５が素数よりx≡±１（mod5)

イも同様にx≡±１（mod３）

とできるのですが
x^2≡１（mod8)の解き方が分かりません。

どなたかよろしくお願いします。
No.12447 - 2010/12/17(Fri) 00:48:30
☆ Re: 合同式 / 板橋
x^2≡1(mod5)ならばx^2-1≡1(mod5)
ではなく、
x^2≡1(mod5)ならばx^2-1≡0(mod5)では・・・？

同様に、x^2≡1(mod3)ならばx^2-1≡0(mod3)

120=5*3*8から3,5,8で場合分けをなさったと思うのですが、
8=2^3なので、8ではなく、2で場合分けをなさる方が良いと思います。
No.12448 - 2010/12/17(Fri) 02:33:13
☆ Re: 合同式 / らすかる
x^2≡1(mod8) を解くと
(x+1)(x-1)≡0(mod8)
x≡±1,±3(mod8)
（つまり奇数全部）
No.12449 - 2010/12/17(Fri) 03:08:19
☆ Re: 合同式 / 合同式をモノにしたい者
板橋さんへ
mod5かつmod3かつmod2で考えるとx^2-1≡０(mod30)を解くことになりますよね・・・？実際に求めるのはx^2-1≡０(mod120)なのでその間をどう埋め合わせるのか教えて下さい。

らすかるさんへ
２行目から３行目の間の計算過程を教えて下さい。

どうかよろしくお願いします。
No.12450 - 2010/12/17(Fri) 09:05:15
☆ Re: 合同式 / らすかる
xが偶数ならば(x+1)(x-1)≡0にならない。
xが奇数ならばx+1とx-1は両方とも偶数であり、
しかもx+1とx-1のうち一つは4の倍数なので、
(x+1)(x-1)は8で割り切れる。
よってxは奇数
No.12451 - 2010/12/17(Fri) 14:56:16
☆ Re: 合同式 / 板橋
済みません。8でなく2でやるとxが奇数であることはすぐにわかるのですが、最終的な解答を出すのに適切ではありませんでした。お詫びして訂正致します。
らすかるさんが示してくださっているのでやる必要はないかもしれませんが、xは奇数であるということだけ示しておきます。
x^2-1=(x-1)(x+1)≡0(mod2)
(x-1)と(x+1)という組み合わせは、偶数と偶数、または奇数と奇数であるが、2を法として(x-1)(x+1)は0と合同であるということより、(x-1),(x+1)という組み合わせは、偶数と偶数の組み合わせである（奇数*奇数=奇数であるから、2で割り切れないため）。従って、xは奇数となる。
No.12453 - 2010/12/17(Fri) 19:17:37
☆ Re: 合同式 / 合同式をモノにしたい者
理解できました。御二方有難うございます。
No.12454 - 2010/12/18(Sat) 09:17:03
★ (No Subject) / えむ
問題は中学2年生のです。

A地点とB地点は9km離れている。佐藤くんは歩いてAからBに
向かって、鈴木くんは自転車で佐藤くんが出発してから30分後に
BからAに向かって出発したところ、途中2人はC地点で出会った。
佐藤くんの歩く速さは時速4km、鈴木君の自転車の速さは時速10kmとして、
AからCまでの道のりを求めなさい。

答えは4kmなのですが求め方がわかりません。
お願いします。
No.12440 - 2010/12/16(Thu) 17:44:32
☆ Re: / 板橋
佐藤君が出発してからX時間後に鈴木君と会ったとする。
そのとき、佐藤君は、4Xkmを徒歩で移動している。
鈴木君は、10(X-0.5)kmを自転車で移動している。
そして、その合計が9kmであるのだから、
4X+10(X-0.5)=9
という等式が成立する。
この方程式を解くと、X=1
従って、求める道のりは、4km/h*1h=4km
No.12441 - 2010/12/16(Thu) 18:42:49
☆ Re: / えむ
質問ですが、
10(X-0.5)km
この式の0.5は30分後を意味するのですかね？
No.12442 - 2010/12/16(Thu) 19:50:16
☆ Re: / 板橋
ご説明が不足していたようで、誠に申し訳ありません。
おっしゃるとおり、0.5は30分後を意味します。
No.12443 - 2010/12/16(Thu) 20:04:29
☆ Re: / えむ
丁寧な説明ありがとうございました。
よくわかりました！
No.12452 - 2010/12/17(Fri) 18:30:44
★ (No Subject) / サマー
xcosx＜sinx＜x (0＜x＜2π)を示して
lim[x→+0](x-sinx)/x^2 を求めよ。

解答お願いしますm(__)m

No.12432 - 2010/12/15(Wed) 14:57:29
☆ Re: / 板橋
0<x<2πで、sinx<xは成立しても、xcosx<sinxは成立しないのでは・・・？
No.12433 - 2010/12/15(Wed) 20:31:38
☆ Re: / サマー
「xcosx＜sinx＜x (0＜x＜π)を示して」でした…
No.12435 - 2010/12/15(Wed) 22:36:38
☆ Re: / サマー
xcosx＜sinx　は
f(x)=-xcosx+sinx とおいて、
f'(x)=sinx＞0(0＜x＜π)
∴f(x)は単調増加で、f(0)=0より、
f(x)=-xcosx+sinx＞0
よってxcosx＜sinxが示された。

とできました。
No.12436 - 2010/12/15(Wed) 23:11:42
☆ Re: / X
後は証明した不等式をはさみうちの原理が使えるように
あれこれ変形してみましょう。
No.12438 - 2010/12/16(Thu) 10:57:15
☆ Re: / サマー
xcosx＜sinx＜x (0＜x＜2π)より
0＜(x-sinx)/x^2＜x(1-cosx)/x^2
右辺＝(1-cosx)/x＝{(sinx)/x}*sinx/(1+cosx)→1*0*1/2=0(x→+0)
∴はさみうちの原理よりlim[x→+0](x-sinx)/x^2＝０
でOKですか？
No.12444 - 2010/12/16(Thu) 22:02:21
☆ Re: / 板橋
はい。良いと思います。

参考までに・・・。
私は、次のように解きました。
xcosx<sinx<x　より、
0<(x-sinx)/x^2<(x-xcosx)/x^2

ここで、cosx=1-2(sinx/2)^2であるので、
(x-xcosx)/x^2=x(1-cosx)/x^2={x*2(sinx/2)^2}/x^2
=t*(sint/t)^2 (t=x/2)
t→0のとき、t*(sint/t)^2→0であるので、はさみうちの原理より、(x-sinx)/x^2→0
No.12445 - 2010/12/16(Thu) 22:41:11
☆ Re: / サマー
大変参考になりました。
ありがとうございました。
No.12446 - 2010/12/16(Thu) 23:34:11
★ 再びお願いします / 壱
cosx(a^2cos^2x+a^2sin^2x)=a^2cos^2x

となるようですが､よくわかりません｡
どういう公式ですか？
よろしくお願いします｡
No.12424 - 2010/12/15(Wed) 00:32:05
☆ Re: 再びお願いします / らすかる
その式は成り立ちません。
(cosx){a^2(cosx)^2+a^2(sinx)^2}
=a^2(cosx){(cosx)^2+(sinx)^2}
=a^2cosx
です。
No.12426 - 2010/12/15(Wed) 00:43:20
☆ Re: 再びお願いします / 壱
ですよね｡
すっきりしました｡
ありがとうございました｡
No.12434 - 2010/12/15(Wed) 21:33:15
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