ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ コラッツ予想的な問題 / ダンデ

こんばんは。以下の問題を教えてください。

自然数について、以下の規則で必ず１にすることができます。
規則?@：その数が奇数ならば１を足す。
規則?A：その数が偶数ならば２で割る。

たとえば、１０という数は、
１０→５→６→３→４→２→１
と６回で１になります。

ある数は８回で１になります。８回のうち１回は「規則?@」を、残りは「規則?A」を使います。ところが、「規則?@」で１を足すところを、間違えて１を引いてしまったため、「規則?A」が一回減り、全部で７回で１になりました。
ある数を求めなさい。

お願いいたします。

No.13278 - 2011/02/27(Sun) 19:14:18

☆ Re: コラッツ予想的な問題 / ヨッシー

規則１で１を足すところを、１引くと、本来の状況から、２少ない状況から始めて、
その後、規則２が１回減っているので、２少なくなることと、
規則２を１回行ったのと同じ効果があるということなので、
規則１のあと、４になったか、２になったかの違いです。
よって、１から逆にたどると
　１→２→４→３→６→１２→２４→４８→９６
よって、ある数は９６で、
　９６→４８→２４→１２→６→３→４→２→１
が
　９６→４８→２４→１２→６→３→２→１
になったということです。

No.13280 - 2011/02/27(Sun) 20:30:18

☆ Re: コラッツ予想的な問題 / ダンデ

わかりました。ありがとうございました。

No.13285 - 2011/02/27(Sun) 22:17:44

★ 数列の問題 / shun

高２です。以下の問題の解き方がわからないので教えてください。

a[n]=3n-1の等差数列がある。２００以下のa[n]のうち偶数であるものの和を求めよ。

答えは３４３４になるそうなのですが。宜しくお願いします。

No.13273 - 2011/02/27(Sun) 09:53:26

☆ Re: 数列の問題 / のぼりん

こんにちは。
ｎの範囲は、正整数と解しました。

ａ_ｎが２００以下となるためには、３ｎ－１≦２００、つまりｎ≦６７であることが必要十分です。
ａ_ｎが偶数となるためには、３ｎが奇数、つまりｎが奇数であることが必要十分です。
この条件は、ｎ＝２ｋ＋１と表すと、０≦ｋ≦３３と書けます。

従って、
　　　求める和＝??_ｋ＝０^３３｛３（２ｋ＋１）－１｝
　　　＝??_ｋ＝０^３３（６ｋ＋２）＝３，４３４
となります。

No.13276 - 2011/02/27(Sun) 11:33:50

☆ Re: 数列の問題 / shun

ありがとうございます。よく理解できました。

No.13296 - 2011/02/28(Mon) 21:43:20

★ サイコロ / ひよこ

３個のサイコロを同時に投げるとき出る目の最大値が６になる確率を求めよ。

解）確率では同じに見えるものでも全て区別して考えるので三つのサイコロをそれぞれ大,中,小と名付けると
大中小は順に
6\\
\6\
\\6
\66
6\6
66\
666
\:1～5

となるので、求める確率は（5・5×６＋１）/6^3=151/216

としたのですが、答えは９1/２１６でした。どこが悪いのか教えて下さい。何回やってもこの答えにならないのです。誰か助けてください。

No.13270 - 2011/02/27(Sun) 07:19:47

☆ Re: サイコロ / Kurdt（かーと）

こんにちは。

上3つはそれぞれ5×5通りですが、次の3つはそれぞれ5通りですよね。
そのため式は(25×3+5×3+1)/6^3 となるでしょう。

ただ、この方法より余事象を使ったほうがもっと簡単に解けますが。
（ 1-(6が出ない確率) とするだけで解けます）

No.13271 - 2011/02/27(Sun) 08:49:57

☆ Re: サイコロ / ひよこ

助かりました！！ありがとうございます！

No.13272 - 2011/02/27(Sun) 09:36:43

★ 空間２直線 / なな

質問失礼します。

２直線l:3-x=(y-5)/2=(z+5)/2、m:x-2=y/2=z+1がある。l上に点P、m上に点Qをとるとき、線分PQの最小値を求めよ。またそのときのP、Qの座標を求めよ。

解説宜しくお願いします。

No.13268 - 2011/02/26(Sat) 21:15:18

☆ Re: 空間２直線 / rtz

流れとしては、
P,Qをそれぞれ媒介変数を用いて表す。
→PQ²を、用いた媒介変数で表す。
→平方完成して最小値を求める。
です。

Pのx座標をpなどとしてy,z座標をだしましょう。
Qもqなどを使って表します。
PQ²をp,qの式にして、
PQ²＝(ap＋bq＋c)²＋(dq＋e)²＋f
の形に平方完成すれば、どのようなp,qで最小値をとるのか求まります。

No.13269 - 2011/02/26(Sat) 21:48:42

☆ Re: 空間２直線 / なな

求められました(^_^)

rtzさんありがとうございました。

No.13275 - 2011/02/27(Sun) 10:45:18

★ 数２ / まっちょ

実数x,y,zが条件x+2y+3z=1を
みたすとき、x^2+4y^2+9z^2の
最小値とそのときのx,y,zを
求めよ。

コーシーシュワルツの不等式を
使うらしいのですが解き方が
よくわかりません。
教えてください。

No.13265 - 2011/02/26(Sat) 14:31:38

☆ Re: 数２ / ヨッシー

コーシーシュワルツの不等式は必須なのでしょうか？

使わないでも良いなら、
　Ｘ＝ｘ，Ｙ－２ｙ，Ｚ＝３ｚ
とおくと、
　Ｘ＋Ｙ＋Ｚ＝１のときＸ²＋Ｙ²＋Ｚ² の最小値
ということになりますが、
球Ｘ²＋Ｙ²＋Ｚ²＝ｋ²　が
平面Ｘ＋Ｙ＋Ｚ＝１と、共有点を持ちながら、半径ｋを最小にするには？
と考えると、
球が、平面に接するときが、半径最小で、そのとき接点と
原点を結ぶ線は、平面に垂直なので、接点Ｐについて、
ＯＰは、平面の法線ベクトル(1,1,1) と平行なので、
Ｐの座標は、(t,t,t)　と書けます。
Ｘ＋Ｙ＋Ｚ＝１に代入して、ｔ＝1/3 。
よって、Ｘ＝Ｙ＝Ｚ＝1/3 のとき、
　Ｘ²＋Ｙ²＋Ｚ²は、最小値1/3 を持ちます。
このとき、x=1/3, y=1/6, z=1/9 となります。

No.13266 - 2011/02/26(Sat) 15:12:18

☆ Re: 数２ / angel

ベクトル u,v に関するコーシー・シュワルツの不等式
　|u・v|≦|u||v| ( 等号成立はu,vが平行 )
に対して、
　u=(1,1,1), v=(x,2y,3z)
を適用すれば、
　|x+2y+3z|≦√(3(x^2+4y^2+9z^2)) ( 等号成立は x=2y=3z )
となりますから、x+2y+3z=1 という前提から、
　1≦√( 3(x^2+4y^2+9z^2) ) ( 等号成立は x=2y=3z=1/3 )
ということで、x^2+4y^2+9z^2 の最小値1/3、そのとき x=1/3,y=1/6,z=1/9 が導き出せます。

No.13267 - 2011/02/26(Sat) 15:38:06

☆ Re: 数２ / まっちょ

どちらも丁寧な説明ありがとう
ございます！
理解できました！

No.13277 - 2011/02/27(Sun) 17:47:38

★ Weierstrassの優級数判定とはこれの事? / noname

定義についての質問です。
Def642はWeierstrass' majorant series theoremと呼ばれるものだと思います。
そしてWeierstrass' majorant testを
Def646とDef650の2通り見つけたのですがどちらもWeierstrass' majorant testと呼ぶのでしょうか?

それともどちらか片方はWeierstrass' majorant testとは呼ばないのでしょうか?
その場合は何と呼ばれるのでしょうか?

あと間違いがありましたらご指摘頂けましたら幸いでございます。

No.13264 - 2011/02/26(Sat) 11:43:33

☆ Re: Weierstrassの優級数判定とはこれの事? / のぼりん

こんにちは。
Ｄｅｆ６４２、Ｄｅｆ６４６とは、何のことでしょうか？

※　定義に関する質問の場合、一般的には、人により異なる定義をすることがあるので、その定義をした人（先生？）に聞くしかない様に思われます。

No.13274 - 2011/02/27(Sun) 10:31:03

☆ Re: Weierstrassの優級数判定とはこれの事? / noname

> Ｄｅｆ６４２、Ｄｅｆ６４６とは、何のことでしょうか？

すいません。番号は何も関係ありません。誤植でした。

ただのDefと解釈して下さい。

No.13361 - 2011/03/06(Sun) 09:48:30

★ 御質問に答えるコーナーの平面図形の問題について / むこう

むこう、と申します。
様々な算数・数学の問題を取り扱われている素敵なサイトに出会いました。
GIFのコンテンツも充実しているので、ゆっくり見させていただきます。

トップページから下へスクロールして見られる「御質問に答えるコーナー」で、
思いついたことをここで書かせていただきます。

李さん１　から2008/10/07　に届いた平面図形の問題の回答についてです。
BC=xと置き、補助線から見事にxの値を求めていますが、
それからの正三角形の一辺の求め方が少し工夫できると思います。
辺BCの延長上にあるAの対角の点をEとしますと、
正方形の1辺の長さが１ですから、CE=BE-BC=1-(2-√3)=√3-1　です。
辺CEは直角二等辺三角形の一辺ですから、その辺の比が1：1：√2であることを
知っているものとすれば、正三角形の辺が √2(√3-1)-√6-√2 と求められます。

私がこの問題を初めに解いたとき、CE=xと置き、AC=√2・xであることから、
△ABCに三平方の定理を適用した方程式1^2+(x-1)^2=(√2・x)^2 から答えを求めました。

No.13261 - 2011/02/25(Fri) 23:12:57

☆ Re: 御質問に答えるコーナーの平面図形の問題について / ヨッシー

ありがとうございます。

ＣＥ＝ｘ　とおく方法を少しアレンジして、こちらを更新しました。

No.13279 - 2011/02/27(Sun) 20:06:08

★ 数A　高一 / みぃ

この問題の解き方を、わかりやすく教えて下さいｍ(_　_)ｍ

平行四辺形ＡＢＣＤの辺ＢＣ、ＣＤの中点をそれぞれＥ、Ｆとし、対角線ＢＤとＡＥ、ＡＦとの交点をそれぞれＰ、Ｑとする。ＢＤ＝１２のとき、線分ＰＱの長さを求めよ。

です。
お願いしますｍ(_　_)ｍ

No.13256 - 2011/02/24(Thu) 19:33:30

☆ Re: 数A　高一 / みぃ

ちなみに答えは
ＰＱ＝４です。

No.13257 - 2011/02/24(Thu) 19:37:36

☆ Re: 数A　高一 / シャロン

FEの延長とABの延長の交点をGとする。
∠EBG=∠ECF、∠BEG=∠CEF、BE=ECより、
△BEG≡△CEF
よって、EG=6。
同様に、EFの延長とADの延長の交点をHとすると、△DHF≡△CEFよりFH=6。

また、∠ABP=∠AGE、∠BAP=∠GAEから、△ABP∽△AGE。BG=CF=(1/2)ABより、BP:GE=2:3。
よって、BP=4。
同様に、△AQD∽△AFHで、QD:FH=2:3より、QD=4。

∴PQ=BD-BP-QD=4。

No.13258 - 2011/02/24(Thu) 20:04:39

☆ Re: 数A　高一 / みぃ

返事遅くなってごめんなさいｍ(_　_)ｍ

なんとなくわかりました＾＾
ありがとうございました＾＾

No.13319 - 2011/03/02(Wed) 21:05:20

★ 漸化式と数列 / ビリー

漸化式の問題です。
次の条件によって定められる数列a{n}の一般項を求めよ。

a{1}=2 a{n+1}-a{n}=3n^2+n

◎答え

数列a{n}の階差数列の第n項は３n^2+n
よってn≧２の時
a{n}=a{1}+sum_{k=1}^{n-1}frac(3k^2+k)
までは分かるのですが
ここから
2+3･1/6(n-1)n(2n-1)+1/2(n-1)n
に変換されるわけが分かりません。
公式から考えて
2+3･1/6(n+1)n(2n+1)+1/2(n+1)n
ではないのですか？

よく考えたのですが分かりませんでした。
説明よろしくお願いします。

sumやfracという記号を今回初めて使ったので
間違っていたら申し訳ないです；

No.13250 - 2011/02/23(Wed) 23:29:46

☆ Re: 漸化式と数列 / ヨッシー

それは、ｋを１からｎまで足したときの公式ですね。
階差の場合は、１からｎ－１までなので・・・

No.13251 - 2011/02/23(Wed) 23:38:41

☆ Re: 漸化式と数列 / シャロン

余談ですが、
>sumやfrac
TeXの表記であれば、\sum、\fracと頭に半角の\をつけましょう。

また、\fracは\frac{a}{b}の形でa/bの分数を表しますから、ここでは不要です。

No.13255 - 2011/02/24(Thu) 18:31:32

☆ Re: 漸化式と数列 / ビリー

なんとなく分かりました！！
ヨッシーさんシャロンさんありがとうございます。

No.13287 - 2011/02/28(Mon) 10:35:13

★ (No Subject) / ambitious

３≦2x+y≦４、５≦3x+2y≦６のとき(x+y)/(2x+y)のとりうる値の範囲を求めよ。

答えは[1/4,1]です。線形計画法ではちょっとやれませんでした。どなたか詳しい解説を御願いします

No.13244 - 2011/02/23(Wed) 05:10:25

☆ Re: / シャロン

2x+y=X、3x+2y=Yとおけば、

(x+y)/(2x+y)=(Y-X)/X=Y/X-1です。

No.13245 - 2011/02/23(Wed) 07:51:37

☆ Re: / ambitious

その式変形は理解しました

No.13248 - 2011/02/23(Wed) 15:44:06

☆ Re: / シャロン

Y/X-1=kとおけば、Y=(k+1)Xですから、原点をとおり傾きk+1の直線が領域[3,4]×[5,6]と共有点を持つようなkを求めれば...

No.13249 - 2011/02/23(Wed) 15:56:43

☆ Re: / ambitious

[3,4]×[5,6]とはなんのことですか？

No.13252 - 2011/02/24(Thu) 11:38:21

☆ Re: / シャロン

解り難かったですかね。

3≦X≦4かつ5≦Y≦6で表される領域のことです。

No.13254 - 2011/02/24(Thu) 12:48:28

☆ Re: / ambitious

X,Yが３≦X≦４、５≦Y≦６の範囲の値をどうして勝手に取りうるか教えて下さい。2x+y=X、3x+2y=Yとおくことに抵抗があります。

No.13259 - 2011/02/24(Thu) 22:22:44

☆ Re: / シャロン

>X,Yが３≦X≦４、５≦Y≦６の範囲の値をどうして勝手に取りうるか教えて下さい。

「3≦2x+y≦4、5≦3x+2y≦6」のときとはx,yが2x+y、3x+2yがそういう値をとるように動くといういみですね。
問題で2x+y、3x+2yがそう動くと定義されているのですから、同じ値と定義したX、Yも当然そう動きます。

X、Yを置かなくても、(x+y)/(2x+y)=kがxy平面上で条件を満たす領域(平行四辺形となります)と共有点を持つようなkを求めればいいのです。

(x+y)/(2x+y)=kとは(k-1)y=-(2k-1)xと原点を通る直線を表すことになります。
k≠1では、y={-(2k-1)/(k-1)}xとなり、傾き-{(2k-1)/(k-1)}≧-2/3で、1/4≦k＜1です。
k=1の場合、これはy軸を表し、平行四辺形の頂点(0,3)で共有点を持ちますから、k=1も解となるため、
求めるkの範囲は1/4≦k≦1となります。

No.13260 - 2011/02/25(Fri) 00:11:11

★ (No Subject) / あす

空間図形の問題が苦手で困っています。
どなたか解説よろしくお願いします。

四角錐A-BCDEで、四角形PQRSは底面に平行な平面で切った切り口である。
AP=8,PB=4で、四角錐A-PQRSの体積が16のとき、次の立体の体積を求めよ。

(1)四角錐A-BCDE
(2)立体PQRS-BCDE

No.13235 - 2011/02/21(Mon) 22:55:43

☆ Re: / X

(1)
題意から
四角錘A-PQRS∽四角錘A-BCDE
であり、その相似比は
AP:AB=8:(8+4)=2:3
体積比は相似比の３乗になりますから…
(2)
(1)の結果から四角錐A-PQRSの体積を引きます。

No.13236 - 2011/02/21(Mon) 23:03:12

☆ Re: / シャロン

△ABCと△APQは、BC//PQより、∠ABC=∠APQかつ∠ACB=∠AQPですから、△ABCと△APQは相似です。同様に、△ACDと△AQR、△ADEと△ARS、△AEBと△ASPも相似です。これらの相似比はAB:APになります。
したがって、A-BCDEとA-PQRSも相似で相似比はAB:APですから、体積比は(AB/AP)^3になります。

また、立体PQRS-BCDEは、錐A-BCDEから錐A-PQRSを取り除いたものです。

No.13237 - 2011/02/21(Mon) 23:09:34

☆ Re: (No Subject) / あす

体積比からどのように体積を求めるのですか？

No.13240 - 2011/02/22(Tue) 06:28:02

☆ Re: / ヨッシー

たとえば、立体Ｐと立体Ｑの体積比が
　２：７
で、Ｐの体積が４であれば、Ｑの体積は
　４×（７／２）＝１４
です。

この問題では、
四角錐Ａ－ＢＣＤＥ：四角錐Ａ－ＰＱＲＳ＝２７：８
がわかっていて、四角錐A-PQRSの体積が16 なので、
四角錐Ａ－ＢＣＤＥが出ますね。

No.13241 - 2011/02/22(Tue) 07:06:15

☆ Re: (No Subject) / あす

解けました。
皆さんわかりやすく教えて頂きどうもありがとうございました。

No.13242 - 2011/02/22(Tue) 09:07:17

★ (No Subject) / リン

正三角形ＡＢＣの内接円Ｏ1の半径をｒとする。辺ＡＢ、ＡＣと円Ｏ1に接する円をＯ2とし、
辺ＡＢ、ＡＣとＯ2に接する円をＯ3とする。このように次々に小さくなる円を作るとき
全ての円の面積を求めよ。

数?Vの極限で解いてください。
お願いします。

No.13230 - 2011/02/21(Mon) 20:29:58

☆ Re: / X

円O[n]の半径をr[n]、外接している正三角形の一辺の長さを
a[n]として、まずはr[n]に関する漸化式を求めることを
考えます。
まずO[n]に外接する正三角形の面積について
(1/2)(√3/2)a[n]^2=3・(1/2)a[n]r[n]
∴a[n]≠0に注意すると
a[n]=(2√3)r[n] (A)
一方、円O[n]、円O[n-1]に外接する正三角形の
高さに注目して相似比を考えると
a[n]:a[n-1]={(√3/2)a[n-1]-2r[n-1]}:(√3/2)a[n-1]
これより
(√3/2)a[n]=(√3/2)a[n-1]-2r[n-1] (B)
(A)より
a[n-1]=(2√3)r[n-1] (A)'
(A)(A)'より(B)は
3r[n]=3r[n-1]-2r[n-1]
∴r[n]=(1/3)r[n-1]
この漸化式をr[1]=rの下で解くと
r[n]=r(1/3)^(n-1)
よって求める面積の和をSとすると
S=Σ[n=1～∞]πr[n]^2
=…
(無限等比級数になります。)

No.13232 - 2011/02/21(Mon) 21:19:09

☆ Re: / シャロン

BCの長さを求めます。
O1とO2の接点を通りBCに平行な直線とL1とし、L1と辺AB、ACとの交点をB1、C1とした場合、AB1C1は正三角形であり、ABCと相似。
よって、BC:B1C1=r:(O2の半径)
すべてのOnとO(n+1)についてこの関係が成り立つので、面積の総和は初項πr^2、公比がB1C1/BCの等比級数となります。

No.13233 - 2011/02/21(Mon) 21:22:24

★ 関数 / リン

方程式√(x+1)-x-k=0が異なる2つの実数解をもつように、実数kの値の範囲を求めよ。

数?Vの関数の問題です。よろしくお願いします。

No.13227 - 2011/02/21(Mon) 17:53:46

☆ Re: 関数 / ヨッシー

　√(x+1)-x-k=0
移項して
　√(x+1)=x+k
２乗して、
　x+1=x^2+2kx+k^2
整理して、
　x^2+(2k-1)x+(k^2-1)=0
これが、x≧-1 の範囲に２つの異なる実数解を持つように
ｋの範囲を決めます。
x≧-1 は √(x+1) から来ています。

No.13228 - 2011/02/21(Mon) 18:18:27

☆ Re: 関数 / リン

ありがとうございます！！

No.13229 - 2011/02/21(Mon) 18:20:00

☆ Re: 関数 / リン

> 　√(x+1)-x-k=0
> 移項して
> 　√(x+1)=x+k
> ２乗して、
> 　x+1=x^2+2kx+k^2
> 整理して、
> 　x^2+(2k-1)x+(k^2-1)=0
> これが、x≧-1 の範囲に２つの異なる実数解を持つように
> ｋの範囲を決めます。
> x≧-1 は √(x+1) から来ています。

この後は判別式で求めればいいのですか？
D=(2k-1)^2-4(k^2-1)>0
これを解けばいいのですか？

No.13231 - 2011/02/21(Mon) 20:59:40

☆ Re: 関数 / シャロン

判別式だけでは、２つの異なる実数解を持つことしか示せません。

解が２つともx≧-1でなければなりませんから、f(x)=x^2+(2k+1)x+(k^2-1)としたとき、y=f(x)のグラフの軸のx座標が-1以上かつ、f(-1)≧0でなければなりません。

No.13234 - 2011/02/21(Mon) 21:31:57

☆ Re: 関数 / angel

ちょっと待ってください。
x≧-1 ではまずいです。
もちろん x≧-1は成り立つのですが、それだけを元に考えを進めるのがN.G.です。

正しくは、√(x+1)=x+k から、
　x+1=(x+k)^2　( x≧-k )
です。こうすれば、x≧-1 のことを気にする必要はありません。

No.13239 - 2011/02/21(Mon) 23:52:32

★ 加法定理 / すもも

(cos5/12)π*cosπ/6＋(sin5/12)π*sinπ/6

加法定理の章の問題です。よろしくお願いします。

No.13223 - 2011/02/21(Mon) 16:15:32

☆ Re: 加法定理 / ヨッシー

cos(5π/12)cos(π/6)＋sin(5π/12)sin(π/6)
のことだとします。
加法定理の公式
　cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
より
　(与式)＝cos(5π/12－π/6)＝cos(π/4)
です。

No.13224 - 2011/02/21(Mon) 16:20:23

☆ Re: 加法定理 / すもも

遅くなってすみません(＞＜)
ありがとうございました！

No.13253 - 2011/02/24(Thu) 11:40:54

★ 方程式 / バカ男

中一の男子ですが、わからない所があるので、質問します。

0.8x＝900　掛ける　1.2
両辺に5を掛けて
4x＝900　掛ける　6になりますが、なぜ両辺に5を掛けているのに900は4500にならないんですか？
教えてください。

No.13219 - 2011/02/21(Mon) 12:06:18

☆ Re: 方程式 / rtz

かける(小学校までの×)は、Web表記として
*[アスタリスク]か・[中点]が通常使われます。

簡単な例で見てみましょう。

6＝2*3

これを両辺5倍するとき、

(6*5)＝2*(3*5)
(6*5)＝(2*5)*(3*5)

どちらが正しいでしょうか？

これを踏まえて900に5を掛ける必要がない理由を考えましょう。

No.13220 - 2011/02/21(Mon) 14:15:52

☆ Re: 方程式 / バカ男

正しいのは(6・5)＝2・(3・5)だと思います。
でも、900に5を掛ける必要がない理由はまだわかりません。

No.13221 - 2011/02/21(Mon) 15:56:49

☆ Re: 方程式 / rtz

＞正しいのは(6・5)＝2・(3・5)
そうですね。

つまり、式全体を5倍、という計算をするとき、
(0.8x)を5倍し、(900・1.2)も5倍するわけです。
計算としては(900・1.2)・5です。

これは
(900・1.2)・5＝900・(1.2・5)であり、
(900・1.2)・5＝(900・5)・(1.2・5)にはなりません。

No.13225 - 2011/02/21(Mon) 16:22:20

☆ Re: 方程式 / ヨッシー

900に5を掛け、1.2にも5を掛けたのでは、右辺は5を2回掛けたことになり、
5を1回しか掛けていない左辺と、等しくなくなります。
　6＝2×3　・・・　正しい
　6×5＝2×(3×5)　・・・正しい
　6×5＝(2×5)×(3×5)　・・・5を掛けすぎ
が理解できるなら、
　0.8x＝900×1.2　・・・　正しい
　0.8x×5＝900×(1.2×5)　・・・　正しい
　0.8x×5＝(900×5)×(1.2×5)　・・・　5を掛けすぎ
も、同じ理屈だとわかると思います。

No.13226 - 2011/02/21(Mon) 16:25:29

★ (No Subject) / 羽浪

Oは△ABCの内部の点とし、↑OA=↑a、↑OB=↑b、↑OC=cとする。△OBC:△OCA:△OAB=r:s:tであるとき、BD:DC=t:s、OA:OD=(s+t):rを証明せよ。ただし、Dは直線AOとBCの交点とする。

ベクトルで解くとなるとどうなるのでしょうか。詳しい解説をお願いします。

No.13211 - 2011/02/20(Sun) 17:31:39

☆ Re: / angel

ちょっと計算が面倒ですが。

Dが直線AOとBCの交点であり、Oは△ABCの内部の点なので、Dは線分BC上にあることが分かります。
これより、あるp,q ( 0＜p,q＜1, p+q=1 ) に対して、↑d=p・↑b+q・↑c ( ↑d=↑OD ) と表せます。
また、A,O,Dはこの順に一直線上にあることになりますから、ある k ( k＞0 ) に対して、↑a=-k・↑d です。

これより、
　↑a = -( α↑b + β↑c ) ( α,β＞0 )
　k = α + β
　p = α/k, q = β/k

と、ここまで準備しましたら、三角形の面積をベクトルで表現します。
例えば、△OBC であれば、
　(面積) = 1/2・√( |↑b|^2・|↑c|^2 - (↑b・↑c)^2 )
となりますので、面積比の条件は、
　あるM(M≠0) に対して
　|↑b|^2・|↑c|^2 - (↑b・↑c)^2 = r^2・M
　|↑c|^2・|↑a|^2 - (↑c・↑a)^2 = s^2・M
　|↑a|^2・|↑b|^2 - (↑a・↑b)^2 = t^2・M
と置き換えられます。( √が出てくるので二乗しています )

後は、↑a=-( α↑b + β↑c ) を代入して色々整理してあげれば、α,βを出す事ができ、p,q,k が分かりますから、それがそのまま長さの比になります。

No.13214 - 2011/02/21(Mon) 00:24:10

★ 数A確率 / ほむら

袋の中に白球10個、黒球60個が入っている。
この袋の中から1球ずつ取り出して色を調べては戻すという試行を40回行うとき、
白球が何回とり出される確率が最も大きいか。

解答集ではp[n+1]-p[n]で大小関係を求めていたのですが
画像の下から5行目→4行目への計算がよくわからないです…

No.13210 - 2011/02/20(Sun) 16:58:02

☆ Re: 数A確率 / angel

40!/( 6^(n+1)・(n+1)!・(39-n)! ) - 40!/( 6^n・n!・(40-n)! )
→ 40!/( 6^(n+1)・(n+1)!・(40-n)! )・( (40-n)-6(n+1) )

というところでしょうか。
これは分数の引き算をするために通分しているのです。

　6^(n+1)=6・6^n
　(n+1)! = (n+1)・n!
　(40-n)! = (40-n)・(40-n-1)! = (40-n)・(39-n)!
という所から、
　1/6^n = 6/6^(n+1)
　1/n! = (n+1)/(n+1)!
　1/(39-n)! = (40-n)/(40-n)!
として通分を行い、分子の共通項である40!でまとめると、解説のような式になります。

No.13213 - 2011/02/20(Sun) 21:25:16

☆ Re: 数A確率 / シャロン

>>ほむらさん
15日のときのレスが下がり過ぎてて気づきませんでした。すいません。

なお、15日のレスでわたしがした解答で、解答集と違いp[n]とp[n+1]の比で大小を比較したのは、確率や場合の数の問題では、mＰn、mＣnや階乗の積同士の分数の形での計算が多いため、比で計算したほうが約分できて、比較しやすいだろう、という一種の経験からです。
もちろん、問題によっては差で比較した方が解りやすい場合もあります。

>>angelさん
フォローありがとうございます。

No.13238 - 2011/02/21(Mon) 23:50:13

★ 領域の問題 / ハム

「点（q,0）を焦点としｙ軸を準線とする放物線をＤとする。qが0でない実数を動くとき、放物線Ｄが通過する領域を図示せよ。」という問題がわかりません。よろしくお願いします。

No.13207 - 2011/02/20(Sun) 10:20:55

☆ Re: 領域の問題 / rtz

xy平面上の点(x,y)がD上の点である
⇔(x,y)が放物線の方程式を満たすようなqが存在する
⇔放物線の方程式をqに関する方程式f(q)＝0としたとき、この方程式の判別式が非負

No.13215 - 2011/02/21(Mon) 01:10:29

★ 角度の問題 / よういちろう

すみません。
画像がのらなかったので
こちらを見てください。