ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

続けざまに

申し訳ございません。

何卒宜しくお願い致します。

No.80907 - 2022/02/14(Mon) 07:01:53

☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

画像が汚すぎました

申し訳ございません

以下

No.80908 - 2022/02/14(Mon) 07:06:16

☆ Re: 漸化式と極限 / m

解答を持っているならどこに疑問があるかを書いてくれると答えやすいです．

[考察]
* 漸化式が解けそうにない．
* a[1], a[2], a[3] を計算すればなんとなく 1 に収束しそう．
* a[n+1] -1 = a[n]^2/n^2 について，a[n] が有界であることが示せれば右辺は 0 に収束することがいえる．

[略証]
1. 帰納法で自然数 n に対し 1≦ a[n] ≦ 2 を示す．
2. 0 ≦ a[n+1] - 1 ≦ 2^2/n^2 とはさみうちの原理より lim[n→∞] a[n] = 1

No.80915 - 2022/02/14(Mon) 15:43:50

申し訳ございません

＞解答を持っているならどこに疑問があるかを書いてくれると答えやすいです．

私は、正解かどうかの確かめはしますが、今まで解説を読んで学んだことはありません

どこの参考書、問題集も解説も全くあてにはなりません

信じられるのは自分だけです

No.80917 - 2022/02/14(Mon) 17:43:13

☆ Re: 漸化式と極限 / 高校三年生

あてにされないと判ってて、解答書くお節介な人が居ればいいね。(^-^)b

No.80918 - 2022/02/14(Mon) 18:37:12

☆ Re: 漸化式と極限 / けんけんぱ

とすると、何を質問しているのかが不明です。

No.80919 - 2022/02/14(Mon) 20:59:16

誤解を招いたようです

ここの板は優秀な回答者様が多く

この板での解説があてにならないと感じている訳ではありません

ここの回答者様は尊敬しています

下手な誤解を招き申し訳ありませんでした。

No.80938 - 2022/02/15(Tue) 22:39:51

ｍ先生

不快な思いをされたなら申し訳ございません。

私の答案ができました

何卒宜しくお願い致します。

No.80959 - 2022/02/17(Thu) 07:38:15

★ 重積分 / タツヒコ

至急です。次の2問を解いて欲しいです。計算過程は絶対書いて欲しいです。勉強になるので解説もお願いしたいのですが、お手数をかけてしまうようであれば計算過程だけでもとても感謝です。

No.80902 - 2022/02/13(Sun) 19:59:54

☆ Re: 重積分 / 高校三年生

名前：やすはる日付：2022/2/9(水) 14:57
(1) ∬xy dx dy ここで、x>=0,y>=0,x^2+y^2<=r^2

という問題と、
(2)次の広義積分を計算
∬2x/(x+y)^2 dxdy ここで、D=[0.1]×(0.1]
という問題が、わかりません
途中式と合わせて教えて頂けると幸いです。

Re: 重積分・広義重積分
名前：通りすがり日付：2022/2/9(水) 19:53
(1)
極座標に座標変換すると
(与式)=∫[R:0→r]∫[θ:0→π/2](R^3)cosθsinθdθdR
={(1/4)r^4}(1/2){1-(-1)}
=(1/4)r^4

(2)
(与式)=lim[ε→+0]∫[x:0→1]∫[y:ε→1]{2x/(x+y)^2}dydx
=lim[ε→+0]∫[x:0→1]{2x/(x+ε)-2x/(x+1)}dx
=lim[ε→+0]∫[x:0→1]{-2ε/(x+ε)+2/(x+1)}dx
=lim[ε→+0]{2ε{logε-log(ε+1)}+2log2}
ここでロピタルの定理により
lim[ε→+0]2ε{logε-log(ε+1)}=lim[ε→+0]-2{logε-log(ε+1)}/(-1/ε)
=lim[ε→+0]-2{1/ε-1/(ε+1)}/(1/ε^2)
=lim[ε→+0]2{-ε+(ε^2)/(ε+1)}
=lim[ε→+0]2{-ε+ε-1+1/(ε+1)}
=0
∴(与式)=log4

Re: 重積分・広義重積分
名前：通りすがり日付：2022/2/9(水) 19:55
ごめんなさい。訂正します。
誤：
={(1/4)r^4}(1/2){1-(-1)}
=(1/4)r^4

正：
={(1/4)r^4}(1/4){1-(-1)}
=(1/8)r^4

No.80903 - 2022/02/13(Sun) 20:17:06

★ 微分 / サマンサタバサ

こちらのファイルについてなんですが、?Bと?Cを考えている時点で、αとβはy=xと求める放物線上にあり(ウ)を満たしている気がしているのですが、どうして?@及び?Aを考えないといけないのかいまいちしっくり来ません。どなたか説明していただけませんでしょうか。お願いします。

No.80889 - 2022/02/13(Sun) 11:01:48

☆ Re: 微分 / IT

> こちらのファイルについてなんですが、?Bと?Cを考えている時点で、αとβはy=xと求める放物線上にあり(ウ)を満たしている気がしているのですが、どうして?@及び?Aを考えないといけないのかいまいちしっくり来ません

　y=xは、y=x^2 の入力ミスですね？

〇1,〇2 を考えないとは、その答案から〇１、〇２の行を取り除いても良い。ということでしょうか？
取り除いてもα、βが(ウ)の異なる実数解であることをどこかで使えば良いとは思いますが,
a,b,c を決めるためには、その「解と係数の関係」が便利なのではないでしょうか？

なお、〇３、〇４を満たすだけだはダメです。
αが放物線y=x^2 と求める放物線が交わるｘの位置ではなくても
点(α,α^2)、(α,aα^2+bα+c)におけるそれぞれの接線が直交することはあり得ます。

＃機種依存文字を使っておられるためか、文字化けしていることもあり、質問の趣旨を取り違えているかも知れません。

No.80891 - 2022/02/13(Sun) 12:18:20

☆ 始めに接点ありき / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

生意気ですが

どうぞ

No.80895 - 2022/02/13(Sun) 14:52:10

☆ Re: 微分 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

?@、?Aが異なる２つの実数解を共有する

この事実以前の内容は微分のお話しですが、それ以降は数学１の内容です

＞?@、?Aが異なる２つの実数解を共有する

これは数学１の内容ですが、３連比などで解決できます

No.80896 - 2022/02/13(Sun) 16:05:20

連比の発想は、中学受験の経験から来ているかもしれません

悪しからず

No.80897 - 2022/02/13(Sun) 16:19:34

★ 漸化式の極限　数学?Vを学び始めて１０日が過ぎました / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

続けざまにご質問お許し下さい

何卒宜しくお願い致します。

以下、問題

No.80885 - 2022/02/13(Sun) 09:28:05

☆ Re: 漸化式の極限　数学?Vを学び始めて１０日が過ぎました / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

ご返答ありがとうございます

X様、らすかる様

No.80885 - 2022/02/13(Sun) 09:28:05

の(1)をお願い致します。

No.80894 - 2022/02/13(Sun) 14:35:54

☆ Re: 漸化式の極限　数学?Vを学び始めて１０日が過ぎました / 高校三年生

x=(5x+8)/(x+3)を解いて、x=4,-2なので、

(x【n+1】-4)/(x【n+1】+2)=(1/7)・(x【n】-4)/(x【n】+2)

よって、[a,b]=[-4,2]

No.80898 - 2022/02/13(Sun) 17:21:22

私の答案です

酷評ください。

No.80899 - 2022/02/13(Sun) 18:51:51

☆ Re: 漸化式の極限　数学３び始めて１０日が過ぎました / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

追伸

今気づきましたが、(1)は３つの分数関数を合成してもいいかもしれません

No.80900 - 2022/02/13(Sun) 19:04:26

☆ Re: 漸化式の極限　数学?Vを学び始めて１０日が過ぎました / X

方針は問題ないと思います。
但し、問題のy[n]への変換は
(x[n]-4)/(x[n]+2)
の場合と
(x[n]+2)/(x[n]-4)
の2つの場合が考えられるので
(a,b)=(2,-4),(-4,2)
となります。

No.80901 - 2022/02/13(Sun) 19:56:26

☆ Re: 漸化式の極限　数学?Vを学び始めて１０日が過ぎました / らすかる

> Xさん
a＜bという条件がありますので(-4,2)だけですね。

No.80904 - 2022/02/14(Mon) 02:13:33

☆ Re: 漸化式の極限　数学?Vを学び始めて１０日が過ぎました / X

＞＞らすかるさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞K・Aさんへ
ごめんなさい。らすかるさんの仰る通りです。

No.80905 - 2022/02/14(Mon) 06:44:56

☆ Re: 漸化式の極限　数学?Vを学び始めて１０日が過ぎました / 数学３独学１１日目/ 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

らすかるさん、 Xさん、高校三年生さん

ご回答ありがとうございました。

これからもよろしくお願いします。

No.80913 - 2022/02/14(Mon) 12:02:54

★ 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

おはようございます

お願い致します。

質問は(３)のみです

また、この数列は一般項は求まりますか

何卒宜しくお願い致します。

No.80881 - 2022/02/13(Sun) 07:44:39

☆ Re: 漸化式と極限 / らすかる

(3)
条件から
a[1]=1
a[2]=a[1]+(1/3)=1+1/3
a[3]=a[2]+(1/3)^2=1+1/3+(1/3)^2
a[4]=a[3]+(1/3)^3=1+1/3+(1/3)^2+(1/3)^3
・・・
よって等比数列の公式により
a[n]=(1-(1/3)^n)/(1-1/3)=(3/2){1-(1/3)^n}
となり、極限は3/2。

一般の数列と同じ解き方をするなら
a[n+1]-a[n]=(1/3)^n
a[n+1]=a[n]+(1/3)^n
a[n+1]+k(1/3)^(n+1)=a[n]+k(1/3)^n
とおくと
a[n+1]=a[n]+k(1/3)^n-k(1/3)^(n+1)
a[n+1]=a[n]+(1-1/3)k(1/3)^n
a[n+1]=a[n]+(2/3)k(1/3)^n
よって(2/3)k=1すなわちk=3/2となるので
a[n+1]-a[n]=(1/3)^n は
a[n+1]+(3/2)(1/3)^(n+1)=a[n]+(3/2)(1/3)^n
と変形できることがわかる。
b[n]=a[n]+(3/2)(1/3)^n とおくと
b[n+1]=b[n], b[1]=a[1]+(3/2)(1/3)^1=3/2 なので
b[n]=3/2
従って
a[n]=b[n]-(3/2)(1/3)^n
=3/2-(3/2)(1/3)^n
=(3/2){1-(1/3)^n}

No.80888 - 2022/02/13(Sun) 10:43:27

☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

ご返答ありがとうございます

私は以下のように考えてみました

酷評ください。

No.80890 - 2022/02/13(Sun) 12:16:37

☆ Re: 漸化式と極限 / X

方針は大筋で問題ありません。
但し、抜けがありますね。
〇Aの式が何なのかの定義が抜けています。

No.80892 - 2022/02/13(Sun) 13:30:36

ご返答ありがとうございます

X様、らすかる様

No.80885 - 2022/02/13(Sun) 09:28:05

の(1)をお願い致します。

No.80893 - 2022/02/13(Sun) 14:34:22

★ 円順列の問題です / るい

k を 2 以上の自然数とする．2k+2 個の椅子が円形に並んでいる．k 人が，どの 2 人
も隣り合わないように，椅子に座る場合の数を求めよ．ただし，人は区別できないものとする．

解答はkが奇数の時（k +1）／2
kが偶数のとき（k +2）／2なのですが
考えるプロセスや発想や詳しい解説を知りたいです

No.80880 - 2022/02/13(Sun) 00:15:29

☆ Re: 円順列の問題です / けんけんぱ

ただし，人は区別できないものとする
とあります
これを踏まえて、k人とk個の椅子の配置の仕方は1通り。
残りの椅子２個の配置を考えます。
人と人の間はk個所あり、２個を同じ場所に配置する方法は1通り。
(k個所ありますが。回転させると同じになります。)
２個をk個所の別々の場所に配置することを考えます。

kが偶数のとき、時計の1から12の配置を例にとります。
1個を12に配置しておきます。残り1個は、1,2,3,4,5,6のいずれかで各1通り。
(配置位置が12と1、と、12と11は同じになります)
この考え方ですと、k/2通りと数えられます。よって、k/2+1通り

kが奇数のときは、質問者さん自身でお考えになられるとよいかと思います。

No.80882 - 2022/02/13(Sun) 08:06:53

★ 複素数の直線条件(高校数学) / うずら。

一番の問題を以下のように解いたのですが、解答として十分なものになっているでしょうか？
また、こうやった方がスムーズにできるというものがあるのであれば教えていただけるとありがたいです。

No.80854 - 2022/02/10(Thu) 16:05:59

☆ Re: 複素数の直線条件(高校数学) / うずら。

自分の回答です。

No.80855 - 2022/02/10(Thu) 16:06:29

☆ Re: 複素数の直線条件(高校数学) / X

解答に問題はありません。

No.80856 - 2022/02/10(Thu) 16:34:20

☆ Re: 複素数の直線条件(高校数学) / うずら。

返信ありがとうございました。
以後、類題はこの方針でやっていきたいと思います。

No.80858 - 2022/02/10(Thu) 17:36:16

☆ Re: 複素数の直線条件(高校数学) / IT

それで間違いではないと思いますが、下記のようにした方が少しスッキリするのでは？
・・・
1-x=((2a-1)i-2)y

ここで、左辺は実数なので、((2a-1)i-2)が実数でないとき、
　y=0 ∴x=1 となり点zの全体は,点z=1のみとなる。

したがって、点ｚの全体が直線となるとき、2a-1＝0すなわちa=1/2が必要。
このとき,元の方程式は1-x=-2y なので点ｚの全体は直線となる。

＃うずらさんの答案で気になる点は
y=cx+d の形にするために y=(1/A)x + B としておられることです。
直線の方程式は、y=cx+d の形だけではありません。
x=d も一般にはあり得ます。
また、これによって、(1/A)という割り算が出てくる。

この答案ではA≠0を示しておられるので良いとは思いますが

No.80865 - 2022/02/11(Fri) 08:42:11

☆ Re: 複素数の直線条件(高校数学) / IT

あるいは、
1-x+2y-(2a-1)yi=0 ,a,x,yは実数なので
1-x+2y=0 かつ　(2a-1)y=0
2a-1≠0のとき・・・
2a-1＝0のとき

の方が良いかも。

No.80866 - 2022/02/11(Fri) 09:52:37

☆ Re: 複素数の直線条件(高校数学) / うずら。

来ていると気づかずに返信が遅れてすいません
たしかに、ITさんのやり方の方は割り算がなく、軸に並行な直線まで直接調べられてるので良さそうですね
今後はそのやり方でやらせてもらいたいと思います
回答ありがとうございました！

No.80910 - 2022/02/14(Mon) 10:32:08

★ 再掲　数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

こんにちは

何卒宜しくお願い致します。

以前にも質問したのですが、改めてご質問致します。

問題以下

No.80845 - 2022/02/10(Thu) 10:08:25

☆ Re: 再掲　数列の極限 / けんけんぱ

記事No.80667で質問されてますよね。改めて質問されるなら、今回は何を聞きたいかを書かれたほうがよいかと思います。

No.80849 - 2022/02/10(Thu) 13:58:45

☆ Re: 再掲　数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

申し訳ございません

まだ質問していない(1)をお願い致します。

上の一題目です

No.80851 - 2022/02/10(Thu) 14:27:59

☆ Re: 再掲　数列の極限 / m

このような問題は a[n] をすでに極限が分かっている 1 + (-1)^n a[n] を用いて表すのが第一感です．（(2)の問題もそういう方針だったはず）つまり
a[n] = (-1)^n (1 + (-1)^n a[n] - 1)
しかし (-1)^n が処理できない（収束しない）ので代わりに |a[n]| を考えてみます．

[解答]
|a[n]| = |1 + (-1)^n a[n] - 1|
であり，仮定より
lim[n→∞] {1 + (-1)^n a[n] - 1} = 0
だから
lim[n→∞] |a[n]| = 0
よって
lim[n→∞] a[n] = 0.

[蛇足]次の極限の性質を使っています．

(i) lim[n→∞] b[n] = β ならば lim[n→∞] |b[n]| = |β|

(ii) lim[n→∞] |c[n]| = 0 ならば lim[n→∞] c[n] = 0

No.80860 - 2022/02/10(Thu) 19:20:16

ご回答ありがとうございます。

私は定義に基づき以下のように考えました

何卒宜しくお願い致します。

No.80873 - 2022/02/12(Sat) 06:30:30

下のような問題はどうお考えになりますか

ご教授よろしくお願いいたします

No.80874 - 2022/02/12(Sat) 07:12:22

☆ Re: 再掲　数列の極限 / m

>No.80873

論理的な問題はないです．

画像の「」の部分を定義と呼ぶのはよくないです．
よく知られている極限の定義と異なるから．
// ふつう定義ではなく性質とか命題とか呼ぶ．

そしてこの性質は ε[n] を使わずとも
lim[n→∞] a[n] = α ⇔ lim[n→∞] (a[n] - α) = 0
と書き表すことができ，これは自明（特に明記することなく使える）です．

// 個人的に(1)の回答では ε[n] を使わなくてもいいのではとおもう．
// ε[n] を (1 + (-1)^n a[n]) - 1 で置き換えれば証明が短くなる．
// (2) は ε[n] を使うことで式が見やすくなっているのでいいとおもう．
// 前に挙げられていたテキストの解答は ε[n] を b[n]-3 で置き換えたもの．

No.80875 - 2022/02/12(Sat) 15:43:41

☆ Re: 再掲　数列の極限 / m

>No.80874
(1)
例: a[n] = 2n, b[n] = n

y = 2x と y = x のグラフをイメージしてください．
それぞれ数列 a[n], b[n] に対応しています．
数列 a[n]-b[n] は二つのグラフの差に対応しています．
さて，他の例はつくれますか．

(2)
これもやはり極限が既知の a[n]-b[n] を使えるように変形したい．

b[n]/a[n] = 1 - (a[n]-b[n])/a[n]
と変形して極限は
1 - α/∞ = 1

a[n]^2/b[n] - b[n]^2/a[n] = (a[n]^3-b[n]^3)/(a[n]b[n])
さらに
a[n]^3-b[n]^3
= (a[n] - b[n]) (a[n]^2 + b[n]^2 + a[n]b[n])
= (a[n] - b[n]) ((a[n]-b[n])^2 + 3a[n]b[n])
と（後で a[n]b[n] が約分されることを見越して）変形すれば
a[n]^2/b[n] - b[n]^2/a[n] = ((a[n]-b[n])^3 / (a[n]b[n])) + 3 (a[n]-b[n])
よって極限は
α^3/∞ + 3α = 3α

No.80876 - 2022/02/12(Sat) 15:44:55

ご返答ありがとうございます

考えてみました

返信が遅れてしまい申し訳ありませんでした。

何卒宜しくお願い致します。

No.80878 - 2022/02/12(Sat) 17:11:11

☆ Re: 再掲　数列の極限 / m

(2)について
合ってます．
K.A. さんの変形の方がスマートでいいですね．

(1)について
"均衡値" はあまり関係ないような...
// それを使うのはたぶん漸化式．
グラフと数列が対応しているというのは
グラフy = 2x の x=n における yの値 2n と数列 a[n] = 2n を対応させるという意味です．

// どうでもいいけど，n^2, log n, e^n を使えばさらにたくさん作れる．

No.80879 - 2022/02/12(Sat) 22:43:07

色々とありがとうございました

No.80883 - 2022/02/13(Sun) 08:14:25

一つ質問が出来ました

＞// どうでもいいけど，n^2, log n, e^n を使えばさらにたくさん作れる

それは、かいつまんで言うと、原点を通る関数ということでしょうか？

何卒宜しくお願い致します。

No.80886 - 2022/02/13(Sun) 09:56:45

見識が間違っていました

申し訳ございません。

以下

No.80887 - 2022/02/13(Sun) 10:09:25

★ 場合分けに関して、z=1が含まれない理由がわかりません。 / ブブゼラ

ii)
a=1
r>2
C={z||z-a|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dz
として、

a(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz
に関して、
n≦-2の時にz=1が考慮されないのかがわかりません。
というのも、z=1と仮定します。

n≦-2を変形して、
-n-2≧0とする。

-n-1-1≧0
-n-z-z≧0
-n-z-z≧0
-n-2z≧0
-n≧2z
n≦-2zとなり、z=1と置いたので、
n≦-2と導け、

また、zが1の時rは|z-1|<rと仮定して
|z-1|<rのzに1を代入すると0<rとなり、
ii)のr>2が成り立ちます。
なので、|z-1|<rと置けてzは1ともなるためです。

どうか、なぜz=1が含まれないか教えて頂けないでしょうか？

No.80843 - 2022/02/10(Thu) 09:13:10

☆ Re: 場合分けに関して、z=1が含まれない理由がわかりません。 / けんけんぱ

前半部に対して
z=1とならない理由
f(z)=1/(z^2-1)　と定義されていますので、z=1は除外して考えるのだと思います。
後半部に対して
何を言わんとしているのかが読み取れませんでした。
(n≦-2を変形してn≦-2を導く？など)

No.80844 - 2022/02/10(Thu) 09:40:17

☆ Re: 場合分けに関して、z=1が含まれない理由がわかりません。 / GandB

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12787398.html

で、忍耐強く解答されている方に任せたほうがいい（笑）。

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12768481.html
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12755099.html

を見れば、さらにそう思うだろう。

No.80847 - 2022/02/10(Thu) 11:40:53

☆ Re: 場合分けに関して、z=1が含まれない理由がわかりません。 / けんけんぱ

これは大学数学に関する質問の途中のものであることを理解しました。
そうであるならば、私の回答はとんちんかんなものであるかもしれません。悪しからず。
雑感を少し。
他の板で回答がくるたびに質問を繰り返しているのであれば、それは基礎ができていないからでしょう。
問題を解く前にもう一度教科書に書いてあることを理解した方がいいと思います。問題を解くことで基本を知ろうとするのは非効率であり難しいことだと思います。
教えるほうも基本はわかっているものとして教えますから。

No.80848 - 2022/02/10(Thu) 13:32:19

★ 大学数学 / はる

大学１年生です。
この2問が何を見ても全くわかりません。すみませんが解いていただけないでしょうか、、

No.80832 - 2022/02/09(Wed) 18:11:53

☆ Re: 大学数学 / はる

画像が貼れていませんでした

No.80833 - 2022/02/09(Wed) 18:18:31

☆ Re: 大学数学 / X

問5
[FeS]=f(t)
と置くと問題は、微分方程式
f'(t)=k(a-f(t))(b-f(t)) (A)
を初期条件
f(0)=0
の下で解くことに帰着します。
(A)の解き方は、解析学の教科書の微分方程式の項目で、
変数分離法
の箇所を調べてみて下さい。

この問題を変数分離法で解く場合、押さえておくことは
a≠bであることに注意した部分分数分解
です。
もし部分分数分解を忘れているのなら、
高校数学の数学Iの該当項目を
参考書などで調べることを
お勧めします。

No.80834 - 2022/02/09(Wed) 18:54:07

☆ Re: 大学数学 / はる

数弱文系なのでそもそも微分方程式がよく分かってないのですが、部分分数分解して両辺積分したらf(t)=0の方程式を解いて積分定数を求めるのであってるでしょうか、、？

No.80846 - 2022/02/10(Thu) 11:28:39

☆ Re: 大学数学 / X

＞＞f(t)=0の方程式
が
f(0)=0の方程式
のタイプミスであるのなら、その方針で問題ありません。

No.80857 - 2022/02/10(Thu) 16:35:33

☆ Re: 大学数学 / はる

ありがとうございます。助かりました。最初書いて頂いた問2の方は消えてしまったのでしょうか、、

No.80863 - 2022/02/11(Fri) 00:31:04

★ 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

こんにちは。

何卒宜しくお願い致します。

以下の問題です

No.80831 - 2022/02/09(Wed) 16:54:56

☆ Re: 無限等比数列の極限 / X

問題の式のn→∞の極限を求めるものと解釈して回答を。

lim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)=lim[n→∞]3{1+(2/3)^n}^(1/n)
=lim[n→∞]3{{1+(2/3)^n}^{1/(2/3)^n}}^{(1/n)(2/3)^n}
=3・e^0
=3

No.80837 - 2022/02/09(Wed) 19:05:08

☆ Re: 無限等比数列の極限 / IT

はさみうちによる
（概略）
3=(3^n)^(1/n)＜(2^n+3^n)^(1/n)＝3((2/3)^n+1)^(1/n)≦3((2/3)^n+1)→3 (n →∞)

あるいは,
3((2/3)^n+1)^(1/n)≦3*2^(1/n)→3 (n →∞)

でどうでしょうか？

No.80839 - 2022/02/09(Wed) 19:30:47

☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

ご回答ありがとうございます。

ご返信が遅れてしまい申し訳ございません

ハサミ打ちに慣れてない私は、以下のように考えました

酷評ください。

No.80840 - 2022/02/09(Wed) 23:49:45

☆ Re: 無限等比数列の極限 / X

方針に問題はありません。
但し、
lim[n→∞]2^(1/n)
については
lim[n→∞](1/n)=0
であることから、
lim[n→∞]2^(1/n)=2^0=1
としても大丈夫です。

No.80842 - 2022/02/10(Thu) 06:21:39

ご回答者

ありがとうございました

No.80884 - 2022/02/13(Sun) 08:38:43

★ 既約分数 / エイドリアン

nを自然数とします。0以上1以下の既約分数のうち、
nを分母で割ったものの小数部分が0.5以上である
という条件をみたすものは全部で何個ありますか?

No.80806 - 2022/02/08(Tue) 21:32:02

☆ Re: 既約分数 / IT

問題文は、原文どおりですか？

既約分数は0≦p/q≦1で nを分母で割ったものとは n/q ということですか？　

それとも　既約分数はn/q で　0.5≦n/q＜1 ということですか？

あるいは、これら以外の解釈？

No.80807 - 2022/02/08(Tue) 22:06:56

☆ Re: 既約分数 / エイドリアン

> 既約分数は0≦p/q≦1で nを分母で割ったものとは n/q ということですか？　

その通りです。

No.80819 - 2022/02/08(Tue) 23:04:11

☆ Re: 既約分数 / IT

元の問題がそういう問題なのですか？
それとも問題を解く途中で出てきた問題ですか？

No.80861 - 2022/02/10(Thu) 20:04:13

☆ Re: 既約分数 / エイドリアン

元の問題がこの問題なのです。。。

お願いします

No.80862 - 2022/02/10(Thu) 22:48:31

☆ Re: 既約分数 / IT

規則性がないかと思いましたが
ｎ＝1,2,3,...,13まで実験しました。13まではn^2 になりますね。

例えばn=5 のとき
　n/q の小数部が0.5以上となるのは、q=2,3 n+1≦q≦2n
　それぞれのqが分母になる正の既約分数の個数は
　1,2,2,6,4,6,4 計　25=5^2個
　
偶然ではなさそうなので,
整数論で出てくるオイラー関数の性質などから一般のnについて計算できるかも知れませんが難しそうですね。

出典は何ですか？　どいうレベルの問題ですか？

No.80877 - 2022/02/12(Sat) 15:48:22

☆ Re: 既約分数 / IT

下記に解答を書き込みました。
https://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=80942

No.80952 - 2022/02/16(Wed) 20:51:33

☆ Re: 既約分数 / エイドリアン

ありがとうございました。
大変よく理解できました。

No.81098 - 2022/03/04(Fri) 12:25:41