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★ 指数関数(論理) / Nao
添付の(22)は論理の設問でして、解説に反例が記載されていますが、なぜこれがf(x)の最小値が負になるのかが理解できません。
指数関数の漸近線はx軸ですので、最小値が負になることはあり得ず、(22)の主張は「正しい」が正答になるのでは、と思うのですが。。。
どなたかよろしくお願いいたします。
No.81734 - 2022/04/11(Mon) 00:14:40
☆ Re: 指数関数(論理) / y
そこに書いてあるとおり、f(x)=２^x　には最小値はありません。（いくらでも0に近づきますが0にはなりません。）

仮に最小値があったとしてその最小値を f(a)=2^a 　と仮定すると、0＜2^a です。

f(a-1)=(2^a)/2 ですから　0 < (2^a)/2 < 2^a となり、2^aの最小性に反します。
No.81735 - 2022/04/11(Mon) 02:40:47
☆ Re: 指数関数(論理) / Nao
ありがとうございます！
正しくないのは「値が正」の部分ではなく、「最小値がないこと」なのですね。
目から鱗ですが、なんだか引っかけ問題のようで釈然としません。。
ありがとうございました！
No.81742 - 2022/04/12(Tue) 01:51:21
★ (No Subject) / Neko
どうもやり方がよく分からなくて困っています。
教えてもらえると助かります。
よろしくお願いします。
No.81731 - 2022/04/10(Sun) 20:46:40
☆ Re: / X
x+y=√3 (A)
x^2+y^2=5 (B)
とします。
(B)より
(x+y)^2-2xy=5
これに(A)を代入すると
xy=-1 (C)
∴(A)(C)から
(与式)=(x^3+y^3)/(xy)^2={(x+y)^3-3xy(x+y)}/(xy)^2
=6√3
No.81732 - 2022/04/10(Sun) 20:59:07
☆ Re: / Neko
ありがとうございました！
No.81733 - 2022/04/10(Sun) 21:16:39
★ 無理数 / NW
こちらの計算をしたいのですが、どのように考えればよいのかわかりません。教えていただけませんか。
No.81726 - 2022/04/10(Sun) 20:11:27
☆ Re: 無理数 / 関数電卓
　(x＋y)^2＝x^2＋2xy＋y^2＝10 …(1)
　(x−y)^2＝x^2−2xy＋y^2＝ 2 …(2)
ですから，(1)−(2)を計算すると
　4xy＝8　∴ xy＝2
No.81728 - 2022/04/10(Sun) 20:27:18
☆ Re: 無理数 / NW
ありがとうございました！
No.81730 - 2022/04/10(Sun) 20:43:08
★ 面積分 / あお
ベクトルの面積分の問題です。
写真のように途中まで解いてみました。
まず、ここまでは合っているでしょうか？
また、この積分を解こうとしても、部分積分でやるとアークサインだらけになったり、置換積分でやるとルートだらけになり分からなくなりました。この積分のやり方を教えていただきたいです。
No.81725 - 2022/04/10(Sun) 19:55:33
☆ Re: 面積分 / 関数電卓
位置ベクトルを r のように 太字 で表記します。
球面上の単位法線ベクトル n は
　n＝r/|r|＝r/r
ですから
　r/r^3･n＝r^2/r^4＝1/r^2＝1/a^2
です。よって，求める積分 S は
　S＝1/a^2･∫SdS＝1/a^2･4πa^2＝4π

# 直交座標による計算は，出題者の指定ですか？
No.81727 - 2022/04/10(Sun) 20:16:07
☆ Re: 面積分 / あお
指定は有りません！
そのように解けるのですね。勉強になりました！
No.81729 - 2022/04/10(Sun) 20:38:42
★ (No Subject) / 数学苦手
こちらの問題について、質問です。
No.81715 - 2022/04/09(Sat) 11:55:01
☆ Re: / 数学苦手
こちらの解説の選択肢2の解説がよく分からないので教えて頂きたいです。すみません。
No.81716 - 2022/04/09(Sat) 11:55:54
☆ Re: / 数学苦手
僕は面倒なこのやり方でやってしまいましたが間違えました。
No.81718 - 2022/04/09(Sat) 12:39:25
☆ Re: / 数学苦手
この+6がどこから出て来たのか分かりませんでした
No.81719 - 2022/04/09(Sat) 12:42:05
☆ Re: / 関数電卓
暗算しているから分からないのです。
　−6×マル2
を紙に書いてみて下さい。
No.81720 - 2022/04/09(Sat) 14:42:24
☆ Re: / GandB
　ああ、確かにこれは難しいかも知れない（笑）。
　
　前も結合・分配法則で難儀していたような。
No.81721 - 2022/04/09(Sat) 18:50:22
☆ Re: / 数学苦手
書いてみました。これで?@も出るようにカッコで括っているということですかね…
No.81722 - 2022/04/09(Sat) 19:00:31
☆ Re: / 数学苦手
暗算だと無理そうなので、こういったやり方に慣れるようにします。
No.81723 - 2022/04/09(Sat) 19:05:41
☆ Re: / 関数電卓
↑のノートは，どう見ても なぐり書き！
前にも書きましたが，１文字１文字丁寧に書く習慣をまず身につけましょう。
それが 考える習慣 につながります。
そうじゃないと，こんなこといつまでやっていても力はつきませんよ。
No.81724 - 2022/04/09(Sat) 19:21:28
☆ Re: / 数学苦手
分かりました。書き写すのも勉強ですよね。丁寧に書きます。
No.81739 - 2022/04/11(Mon) 19:23:42
★ 面積分 / あお
写真のように解いてみましたが解答通りの答えが出せません。
どの部分が間違っているでしょうか？
またどのようにすれば良いでしょうか？

個人的には最後の積分でrとθが混ざっているのが問題ではないかなと思っています。
そうであれば解決策を教えていただきたいです。
No.81710 - 2022/04/07(Thu) 22:03:55
☆ Re: 面積分 / m
z = -2x-3y+6 と x, y, z≧0から
D = {(x, y) | x≧0, y≧0, -2x-3y+6≧0}
です．
この領域 D を図示することはできますか．

丸っこい形にならないので極座標変換は使いません．
そのまま逐次積分できます．
No.81712 - 2022/04/07(Thu) 22:34:16
☆ Re: 面積分 / GandB
　積分範囲は
　　2x+3y+z≦6,x≧0,y≧0,z≧0
⇒ 3y≦6-2x-y≦6-2x, x≧0, y≧0
⇒ 0≦y≦(6-2x)/3

　　2x + 3y≦6, x≧0,y≧0
⇒ 0≦2x≦6-3y≦6
⇒ 0≦x≦3

√14∫[0→3]∫0→(6-2x)/3]-x-2y+6 dydx
No.81713 - 2022/04/08(Fri) 14:08:03
☆ Re: 面積分 / m
積分範囲間違ってました．
GandB さんが正しいです．
（上の私の投稿，修正しておきます．）
No.81714 - 2022/04/09(Sat) 01:51:38
☆ Re: 面積分 / あお
ありがとうございます！
No.81717 - 2022/04/09(Sat) 12:33:05
★ 平均値の定理 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学３０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
こんばんは。

何卒宜しくお願い致します。
No.81699 - 2022/04/07(Thu) 19:25:06
☆ Re: 平均値の定理 / m
(1)
f'(x) は一次式なので，
cについての一次方程式
f(b)-f(a) = (b-a)f'(c)
を解くことになる．簡単．

(2)
まず h>0 を考える．
(1)に b=a+h を代入して移項整理，(2)の式と比較すれば
f'(c) = f'(a+θh)
となる θ を見つければよい．
これは θ の一次方程式．解ける．

h<0 は工夫してください．腕の見せ所です．
No.81702 - 2022/04/07(Thu) 19:52:33
☆ Re: 平均値の定理 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学３０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｍ先生に

こんばんは。

回りくどいのですが、以下のように考えました。
No.81703 - 2022/04/07(Thu) 20:06:26
☆ Re: 平均値の定理 / m
(1)合っています．
ただ，「ラグランジュの定理」といえば平均値の定理じゃないものを思い浮かべるのだけれど（私だけ？）．
「ラグランジュの平均値定理」と書いてくれるとありがたいです．
[追記]よくよく考えると文脈でわかるので「ラグランジュの定理」でも問題ない気がしてきました．
ちなみに平均値の定理は英語で MVT (mean value theorem) と略されます．「Lagrange's MVT より」とか書くとプロっぽい笑

(2)
細かいですが，(1)は a<b を暗に仮定しているので，h<0 のときは b = a+h を直接代入することはできません．

また，θを求める問題で回答の一行目に
「θ=(c-a)/(b-a) とおくと...」
は不思議です．

(1)に b = a+h を代入して（このとき c=a+(h/2)）整理すれば
f(a+h) = f(a)+hf'(a+(h/2))
を得ます．
f(a+h) = f(a)+hf'(a+θh)
となるθを見つけるのが目標ですから
f'(a+(h/2))=f'(a+θh)
をθについて解けばいいとは思いませんか．
No.81706 - 2022/04/07(Thu) 20:53:38
☆ Re: 平均値の定理 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学３０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
追伸

今日の今日

ラグランジュの平均値定理
を
知ったばかりで応用できるまでには時間が必要です。

いつの日かｍ先生のように考えられればと

思っております。
No.81709 - 2022/04/07(Thu) 21:24:35
★ 微分可能な関数 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学３０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
こんにちは。

何卒宜しくお願い致します。

次を証明せよ

です
No.81695 - 2022/04/07(Thu) 13:58:10
☆ Re: 微分可能な関数 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学３０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
私の途中までの答案です

先に進めません

アドバイスいただけると幸いです。
No.81696 - 2022/04/07(Thu) 15:38:02
☆ Re: 微分可能な関数 / m
絶対値で考えると処理しやすい：

問題文の仮定から |f'(θx)| < 1 なので
|f(x)| = |x f'(θx)| < |x| (x≠0)
となる．
No.81697 - 2022/04/07(Thu) 18:18:56
☆ Re: 微分可能な関数 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学３０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｍ先生に

お久しぶりです

早速ですが

＞問題文の仮定から |f'(θx)| < 1

この理由がわかりません

ご教授よろしくお願いいたします
No.81698 - 2022/04/07(Thu) 18:53:13
☆ Re: 微分可能な関数 / m
問題文の「|f'(x)| < 1」はすべての x に対して成り立つと解釈します．
（x の範囲が明記されていない場合 x の動ける範囲全体で成り立つと解釈するのが普通．文脈に依る．）

特に，「|f'(θx)| < 1」も成り立ちます．

// A⇒B の A の部分を勝手に「仮定」と呼ぶことは，正確でなかったかも．
// これで混乱を招いていたら，ごめんなさい．
No.81700 - 2022/04/07(Thu) 19:35:50
☆ Re: 微分可能な関数 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学３０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｍ先生に

こんばんは。

私も
＞「|f'(x)| < 1」はすべての x に対して成り立つと解釈

して考えていましたが、何か腑に落ちず

次のような考察をしてみました
No.81701 - 2022/04/07(Thu) 19:50:45
☆ Re: 微分可能な関数 / m
考察は正しいと思います．
実は平均値の定理は二つの形がある：
1. ある c (a<c<b) が存在して f(b)-f(a) = (b-a) f'(c) が成り立つ．
2. ある θ (0<θ<1) が存在して f(a+h) = f(a) + h f'((a+θh) が成り立つ．

K・A さんの考察の(4)まででこの二つの主張が同じであることを確認したことになっています．
//ベクトルっぽく c を a と b=a+h の θ:(1-θ) 内分点だと思って考えるのもありですね．

最後の行「...両辺微分して...」は，単に，
「θx = c だから f'(θx) = f'(c)」
と説明した方がすっきりして誤解がありません．
//誤解というのは，「合成関数の微分から f(θx) の微分は θf'(θx) になるのでは？」のこと．
No.81704 - 2022/04/07(Thu) 20:23:00
☆ Re: 微分可能な関数 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学３０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｍ先生に

ご返答ありがとうございます

この考察の結果を本問題に利用したいのですが

どの様にすればいいでしょうか

何卒宜しくお願い致します。
No.81705 - 2022/04/07(Thu) 20:42:27
☆ Re: 微分可能な関数 / m
どこで迷っていますか．
「|f'(θx)| < 1」は納得できましたか．
No.81697 の様にするのはどうですか．
No.81707 - 2022/04/07(Thu) 21:01:17
☆ Re: 微分可能な関数 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学３０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
せっかく
f'(θx)=f'(c)
と考察できたので

f'(θx)| < 1

の証明に使いたいと思います


我儘言って申し訳ございません
No.81708 - 2022/04/07(Thu) 21:16:42
☆ Re: 微分可能な関数 / m
「|f'(x)| < 1」はどんな x についても |f'(x)|<1 ということ
つまり x を θx で置き換えることで（θが何であろうとも）
|f'(θx)|<1
は既にいえている．

平均値の定理の気持ちは「平均変化率と傾きが一致する接線が少なくとも一本は引ける」こと．
その接点のx座標の表し方が今回は θx, c の二通りあるだけで，その二つが等しいのは実はあたりまえ．
その点で，|f'(θx)| < 1 を証明するために f'(θx)=f'(c)を使うのはナンセンス．
No.81711 - 2022/04/07(Thu) 22:22:36
★ 円の面積　周りの長さの求め方(6年) / いちご
円の周りの長さってどうやって求めるんですか？
教えて下さい
No.81691 - 2022/04/07(Thu) 09:39:03
☆ Re: 円の面積　周りの長さの求め方(6年) / いちご
あっ　今日中におねがいします
No.81692 - 2022/04/07(Thu) 09:39:35
☆ Re: 円の面積　周りの長さの求め方(6年) / 関数電卓
> 円の周りの長さってどうやって求めるんですか？
小学６年の質問者さんに納得していただくのは難しいのですが…
円に内接する正多角形を図のようにどんどん描いていきます。
正多角形の周の長さは，
　角の数が多いほど長く，
　だんだん円周の長さに近づく
ことが知られています。
正多角形の周の長さをキチンを求めることは，高校で学ぶ数学まで待たなければなりません。
小中学校の段階では，この円周が求まったとして，すなわち
　円周＝直径×3.14…
を既知として議論を進めます。
この 円周/直径 の比の値 3.14… を 円周率 とよび π（パイ）という記号で表します。
No.81693 - 2022/04/07(Thu) 11:15:39
★ ロピタルの定理 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２９日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
こんばんは。

何卒宜しくお願い致します。
No.81685 - 2022/04/06(Wed) 17:34:09
☆ Re: ロピタルの定理 / y
ご自分でできたとこまで、書き込まれてから、不明点を質問された方が効率的と思います。

(1) の方針だけ　（もうできているのなら無駄な書き込みですが）
まず、分母になっているg(b)-g(a)≠0であり、Φ（ｘ）が、うまく定義できることを示す。
Φ(a)=Φ(b) からロルの定理を使う。
No.81689 - 2022/04/07(Thu) 00:11:53
☆ Re: ロピタルの定理 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２９日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
おはようございます。

未だに私の答案は

できていません
No.81690 - 2022/04/07(Thu) 07:05:53
☆ Re: ロピタルの定理 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２９日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
こんにちは！

何卒宜しくお願い致します。

私の答案です

どうかご評価ください

※　私は今回の質問で大学入試ではタブーとされているロピタルの定理を、証明してから使う流れにしたいと方向づけています
No.81694 - 2022/04/07(Thu) 11:40:25
★ 数学 / ゆかり
車に乗らない人が他人の車の排ガスを浴びて
健康被害を受けることを受動排ガスと呼ぶ。
国癌研究所の調査によると、1分間の受動排ガスで
寿命が６時間短くなると言われている。

(1)受動排ガスを受けたことをAさんの寿命が
1742時間短縮した。

Aさんは何時間受動排ガスを受けたか？
No.81684 - 2022/04/06(Wed) 16:48:03
☆ Re: 数学 / ヨッシー
純粋に数学の問題と考えるなら、
　1742÷6＝290 と 1/3(分)＝4と151/180時間
ですが、いろんな面で、意味不明の記事ですね。
No.81688 - 2022/04/06(Wed) 23:28:16
★ 時計算 / いちご
質問です。
小学5の問題で、時計算というものがあるのですが、下の問題の求め方がわかりません。

問　時刻が6時20分のとき時計の長針と短針の間の角は何度ですか？
至急お願いします
No.81682 - 2022/04/06(Wed) 09:50:32
☆ Re: 時計算 / ヨッシー
１分間の間に、長針は何度動きますか？
また、短針は何度動きますか？
これは基本なので、これを理解していない人は、この問題を
解く資格がありません。

その上で、
６時の状態（短針と長針が180度）から、20分経つと、
長針は角度を縮める方向に（　　）度動きます。
短針は角度を広げる方向に（　　）ど動きます。
のように考えます。
No.81683 - 2022/04/06(Wed) 10:12:58
★ 基本的な質問 / taro
　三角形ABCで、∠A＝∠BAC
∠B＝∠ABC
∠C＝∠ACB
これは、左右同じですよね。
∠Aと、∠BACの使い分けが、よくわかりません
　よろしくおねがいします。
No.81678 - 2022/04/05(Tue) 20:24:14
☆ Re: 基本的な質問 / ヨッシー
その問題に△ＡＢＣしか出てこないなら
　∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ
で十分ですが、下の図のように∠Ａだけではどの角か分からない場合、
　∠ＢＡＣ
のように書きます。

No.81679 - 2022/04/05(Tue) 21:01:10
★ (No Subject) / パズルがわかりません
3×4の盤面に2個の1×1のブロック、2個の1×2のブロック、2個の1×3のブロックを
敷き詰める方法の総数はいくらでしょうか。この問題の答えがわかりません。
よろしければご教授お願いします。
No.81674 - 2022/04/05(Tue) 14:10:13
☆ Re: / らすかる
基本的に数えるしかない気がしますが、
それ以前に「反転して一致するもの」や
「回転して一致するもの」は同一視するのでしょうか？
それがわからないと、答えが出せません。
例えば
上下反転して一致する
□■△▲　　　□■○●
□■△▲　　　□■△▲
□■○●　　　□■△▲
左右反転して一致する
□■△▲　　　▲△■□
□■△▲　　　▲△■□
□■○●　　　●○■□
回転して一致する（上下反転+左右反転と一緒）
□■△▲　　　●○■□
□■△▲　　　▲△■□
□■○●　　　▲△■□
それぞれを一つと数えるか二つと数えるかという話です。
No.81675 - 2022/04/05(Tue) 16:36:27
☆ Re: / パズルがわかりません
同一視する場合としない場合両方ともお願いしてよろしいでしょうか。
ご多忙の折恐縮ですがよろしくお願いします。解答だけで結構です。
No.81676 - 2022/04/05(Tue) 18:40:53
☆ Re: / らすかる
非対称形パターン(1パターンが32通りになる)
□■△▲　　□■△○　　□■△○　　□■△△　　□■△△　　□△■▲
□■△▲　　□■△▲　　□■△●　　□■▲▲　　□■○▲　　□△■▲
□■○●　　□■●▲　　□■▲▲　　□■○●　　□■●▲　　□○■●

□△■●　　□△○■　　□■■■　　□■■■　　□■■■　　□■■■
□△■▲　　□△●■　　□△▲○　　□△▲▲　　□△○▲　　□△○●
□○■▲　　□▲▲■　　□△▲●　　□△○●　　□△●▲　　□△▲▲

□■■■　　□■■■　　□■■■　　□■■■　　□■■■　　□■■■
□○△▲　　□▲▲△　　□○●△　　□△△○　　□△△○　　□○△△
□●△▲　　□○●△　　□▲▲△　　□▲▲●　　□●▲▲　　□▲▲●

□■■■　　□△△○　　□□□△　　□□□△　　□□□△　　□□□○
□○△△　　□■■■　　■■■△　　■■■△　　■■■△　　■■■△
□●▲▲　　□●▲▲　　▲▲○●　　○▲▲●　　○●▲▲　　▲▲●△

□□□○　　□□□○　　□□□○　　□□□○　　□□□○　　□□□△
■■■△　　■■■●　　△■■■　　△■■■　　●■■■　　▲▲○△
●▲▲△　　△△▲▲　　△▲▲●　　△●▲▲　　△△▲▲　　■■■●

□□□△　　□□□△　　□□□△
○▲▲△　　▲▲○△　　○▲▲△
■■■●　　●■■■　　●■■■
計33通り

上下対称形(1パターンが16通りになる)
□■△△　　□○△△　　□△△○　　□□□○
□■○●　　□■■■　　□■■■　　△△▲▲
□■▲▲　　□●▲▲　　□▲▲●　　■■■●
計4通り

左右対称形(1パターンが16通りになる)
□△▲■　　□△△■　　△□■▲　　
□△▲■　　□▲▲■　　△□■▲　　
□○●■　　□○●■　　○□■●　　
計3通り

点対称形(1パターンが16通りになる)
□△○■　　△□■●　　□□□△　　□□□○
□△▲■　　△□■▲　　▲○●△　　△△▲▲
□●▲■　　○□■▲　　▲■■■　　●■■■
計4通り

上下対称かつ左右対称形(1パターンが8通りになる)
□△△■
□○●■
□▲▲■
計1通り

従って
対称パターンを同一視する場合
33×8+4×4+3×4+4×4+1×2=310通り
対称パターンを同一視しない場合
33×32+4×16+3×16+4×16+1×8=1240通り
No.81677 - 2022/04/05(Tue) 20:08:45
☆ Re: / パズルがわかりません
詳しい解答有難うございました。
お忙しいところ誠に感謝に耐えません。
大変お手数おかけしました。
敬具
No.81681 - 2022/04/05(Tue) 22:27:26
★ (No Subject) / 数学苦手
こちらの問題について、質問です。
No.81668 - 2022/04/05(Tue) 10:34:33
☆ Re: / 数学苦手
選択肢2の2000年のヨーロッパの人口が世界全体に占める割合がなぜ1/8になるのか分かりませんでした。
No.81669 - 2022/04/05(Tue) 10:37:12
☆ Re: / ヨッシー
1/5 の方は納得したのですか？
No.81670 - 2022/04/05(Tue) 11:33:10
☆ Re: / 数学苦手
605÷3022=0.20019以下略…なので、約0.2と考えて2/10で約分して1／5となると考えました。

その考え方で、2000年の方は729÷6054=0.120416以下略…となり、約0．12と考えて、12/100として4で約分して、3/25となってしまいました。解説と違うので、不安でした。
No.81671 - 2022/04/05(Tue) 11:54:27
☆ Re: / ヨッシー
3/25≒3/24＝1/8 ですね。

で、結果（選択肢２の真偽）はどうだったのですか？

それを見れば、ここの部分を 3/25 にするか 1/8 にするかで
迷うのは、時間のムダだとわかるはずです。
No.81672 - 2022/04/05(Tue) 12:09:35
☆ Re: / 数学苦手
> 3/25≒3/24＝1/8 ですね。
>
> で、結果（選択肢２の真偽）はどうだったのですか？
>
> それを見れば、ここの部分を 3/25 にするか 1/8 にするかで
> 迷うのは、時間のムダだとわかるはずです。

答えは解答と同じになりました。
でも、1／8が何故出てくるのかは分からなかったです…
No.81686 - 2022/04/06(Wed) 18:17:42
☆ Re: / ヨッシー
もちろん、1/8 を持ち出す意味は全然ありません。
　729÷6054≒0.12＜0.2
よって、これが、0.2(＝1/5) の1.2 倍であることは
あり得ない。で十分です。

最初に 1/5 を出してきたので、後者も分母が 1 の分数を持ち出して
比較がしたかったのでしょう。
浅はかと言えば浅はかです。
No.81687 - 2022/04/06(Wed) 23:19:50
★ 分数式 / Masuko
1/a+1-1/a+3-1/a+2+1/a+4

これを解くにあたり続きは、

=(a+2)-(a+1)/(a+1)(a+2) - (a+4)-(a+3)/(a+3)(a+4)

とするようなのですが、

=(a+4)+(a+1)/(a+1)(a+4) - (a+3)-(a+2)/(a+2)(a+3)

という続きにしない理由は何でしょうか。
理由を知りたいです。
どうぞよろしくお願いいたします。
No.81666 - 2022/04/05(Tue) 07:55:43
☆ Re: 分数式 / ast
ん? と思ったけど こういう式のつもりか (注意書きにもありますが, 分母・分子の範囲はきちんと括弧で括らないと誤解しか生みませんよ).
# あと,
# > これを解くにあたり
# 式を計算することを「解く」とは言いませんので意識的に矯正してください.
## なおいまは問題文も提示されておらず, どのような種類の計算結果を得させる目的かも不明なので,
## 「問題を解く」という意味での「解く」だというのもこの場合適当ではありません.
## (問題の意図・趣旨が明らかにされている状況ならこの言い分でも個人的には構いませんが)

閑話休題.
> 理由は何かありますか。
ありません. 模範解答のほうが分子が両方 1 になるので後が楽になるから, と言えなくもないけれど, 質問者の方法でも片方が分子が 1 次式になる程度でいうほど違わないですし.
# まあ, 次数が高くてもいいのであれば, むしろ何故 最初から全部通分しないのか, となりそうですが.

これがもし, こんなふうに項をどんどん増やす数列の和を考えているとか, さらに無限和の収束 (これとかこう (かな?) とか) を議論したいのであれば細かい違いでも後に響くので気にしたほうがよいことも多いですが.
No.81667 - 2022/04/05(Tue) 08:38:57
☆ Re: 分数式 / Masuko
ast様

色々と不備がある投稿で申し訳ありませんでした。
その上でご回答くださり、有難うございました。感謝いたします。
No.81680 - 2022/04/05(Tue) 21:59:05
★ 関数の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２９日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
こんにちは

何卒宜しくお願い致します。
No.81641 - 2022/04/04(Mon) 16:08:45
☆ Re: 関数の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２９日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
問題添付します。
No.81642 - 2022/04/04(Mon) 16:09:30
☆ Re: 関数の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２９日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
追伸

この質問はラスカルさんにすでに依頼しています
No.81645 - 2022/04/04(Mon) 16:14:07
☆ Re: 関数の極限 / らすかる
(1)はロピタルの定理を使えば簡単です。
(2)はe^(1)です。
No.81652 - 2022/04/04(Mon) 21:46:01
☆ Re: 関数の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２９日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
☆ Re: 関数の極限 NEW / らすかる
(1)はロピタルの定理を使えば簡単です。
(2)はe^(1)です。
No.81652 - 2022/04/04(Mon) 21:46:01

是非とも過程を頂けませんか

何卒宜しくお願い致します。
No.81653 - 2022/04/04(Mon) 22:00:10
☆ Re: 関数の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２９日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
答は此方でも把握していますから

途中過程を頂きたいのですが
No.81655 - 2022/04/04(Mon) 22:20:02
☆ Re: 関数の極限 / らすかる
(1)
lim[x→0](1/x)log((a^x+b^x+c^x)/3)
=lim[x→0]{(a^x+b^x+c^x)/3}'/((a^x+b^x+c^x)/3)
=lim[x→0]{a^x+b^x+c^x}'/(a^x+b^x+c^x)
=lim[x→0](loga・a^x+logb・b^x+logc・c^x)/(a^x+b^x+c^x)
=(loga+logb+logc)/3
=log(abc)/3
(2)
e^{log(abc)/3}=[3]√(abc)
となります。
No.81657 - 2022/04/04(Mon) 23:07:41
☆ Re: 関数の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２９日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
☆ Re: 関数の極限 NEW / らすかる
(1)
lim[x→0](1/x)log((a^x+b^x+c^x)/3)
=lim[x→0]{(a^x+b^x+c^x)/3}'/((a^x+b^x+c^x)/3)
=lim[x→0]{a^x+b^x+c^x}'/(a^x+b^x+c^x)
=lim[x→0](loga・a^x+logb・b^x+logc・c^x)/(a^x+b^x+c^x)
=(loga+logb+logc)/3
=log(abc)/3
(2)
e^{log(abc)/3}=[3]√(abc)
となります。

--------------------------------

微分を多様しているようですが

そもそもx=0 で微分可能なのですか
No.81658 - 2022/04/05(Tue) 00:24:53
☆ Re: 関数の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２９日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
x=0 で連続ですか
No.81659 - 2022/04/05(Tue) 00:27:37
☆ Re: 関数の極限 / らすかる
指数関数は実数全体で微分可能（なので当然連続）です。
No.81660 - 2022/04/05(Tue) 00:38:25
☆ Re: 関数の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２９日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
lim[x→0](1/x)log((a^x+b^x+c^x)/3)
=lim[x→0]{(a^x+b^x+c^x)/3}'/((a^x+b^x+c^x)/3)

１行目から２行目はどの様な変形ですか
No.81661 - 2022/04/05(Tue) 00:47:34
☆ Re: 関数の極限 / らすかる
分母のxは微分して1になるので消えます。
分子のlog(○)は微分すると○'/○です。
No.81662 - 2022/04/05(Tue) 00:57:08
☆ Re: 関数の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２９日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ロピタルの定理の使える場合の制約は満たしていますか
No.81663 - 2022/04/05(Tue) 01:10:42
☆ Re: 関数の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２９日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
log1=0

ですね。

失礼しました
No.81664 - 2022/04/05(Tue) 01:18:38
☆ Re: 関数の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２９日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
やっぱり

ロピタルの定理は最強ですね

大変勉強になりました

この問題をロピタルの定理を使わないで考えるとき

結構難儀ですね


また、宜しくお願い致します。
No.81665 - 2022/04/05(Tue) 01:24:32
★ 図形 / 中学３年生
円周上に３点A,B,Cがあり、AB=24、BC=7,CA=25、∠ABC=90°である。点Pは、点Cを含む弧AB上を動く。ただし、点Pは点A,Bとは一致しないものとする。直線AP上にPQ=PBとなる点Qを点Pに関して点Aと反対側にとる。このとき△ABQの面積が最大となるとき、線分APの長さを求めなさい。

こちらの問題の解き方が分かりません。教えて頂けると嬉しいです。中学３年生で、中学校３年間で習う数学内容は全部学習済んでいます。
No.81634 - 2022/04/03(Sun) 22:40:32
☆ Re: 図形 / らすかる
∠PQB=(1/2)∠APB=(1/2)∠ACBからPがどこにあっても∠PQBは一定なので、
QはABを弦とする円の円周上を動く。
よってQがABの垂直二等分線上にあるときに面積が最大となる。
このときABの中点をMとすると∠AQM=(1/2)∠AQB=(1/4)∠ACB
∠ACBの二等分線とABの交点をDとすると
AD：DB=AC：BC=25：7からDB=21/4
このときDB：BC=21/4：7=3：4なので
△DBCは辺の比3：4：5の直角三角形となり、
DC=(5/3)DB=35/4
∠DCBの二等分線とABの交点をEとすると
DE：EB=DC：BC=35/4：7からEB=7/3
従ってEB：BC=7/3：7=1：3
∠ECB=(1/4)∠ACB=∠AQMなので△ECB∽△AQM
よってAM：MQ：AQ=EB：BC：EC=1：3：√10
BからAPに垂線BHを下すと△AHB∽△AMQなので
AH=(AM/AQ)AB=(1/√10)×24=12√10/5
BH=(MQ/AM)AH=36√10/5
また△BHP∽△ABCなので
HP=(BC/AB)BH=(7/24)×36√10/5=21√10/10
従ってAP=AH+HP=12√10/5+21√10/10=9√10/2

# ちょっとまわりくどくなってしまったかも知れません。
No.81635 - 2022/04/04(Mon) 13:54:05
★ ベクトル / あ
始点が　(1,0,0) 終点が　(0,1,π/2) の線分のベクトル表示は、
(1-t)i＋tj＋(π/2)tk
で合っていますか？
No.81626 - 2022/04/03(Sun) 18:06:46
☆ Re: ベクトル / X
0≦t≦1
という条件があるのであれば、正解です。
No.81627 - 2022/04/03(Sun) 18:34:55
★ 微分可能性 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２９日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
こんばんは

何卒宜しくお願い致します。
No.81625 - 2022/04/03(Sun) 17:14:33
☆ Re: 微分可能性 / mathmouth
まず|g(0)|≦f(0)=0からg(0)=0.
さらに, f(x)≧|g(x)|≧0=f(0)よりfは原点で広義極小(最小と言っても構わない)となり, さらにfは原点で微分可能ゆえf'(0)=0.
(証明は
xは原点近傍に属すものとして,
f(x)-f(0)≧0より
{f(x)-f(0)}/x≧0(x>0)…(i),
{f(x)-f(0)}/x≦0(x<0)…(ii).
fの原点での微分可能性からfの両側微分係数は一致して, (i),(ii)でそれぞれx→+0,x→-0としてf'(0)≧0かつf'(0)≦0すなわちf'(0)=0を得る.)
以上を踏まえると,
|g(x)|≦f(x)
⇔-f(x)≦g(x)≦f(x)
⇔-{f(0+x)-f(0)}≦g(0+x)-g(0)≦f(0+x)-f(0)
で辺々x(≠0)で割ればxの符号に依らず
-|{f(0+x)-f(0)}/x|≦{g(0+x)-g(0)}/x≦|{f(0+x)-f(0)}/x|
となり, 左辺と右辺についてx→0の極限を考えれば
(左辺)→-|f'(0)|=0, (右辺)→|f'(0)|=0
となり, 関数の極限に関するはさみうちの原理から, 中辺について
g'(0)=lim[x→0]{g(0+x)-g(0)}/x=0.

となります.
No.81633 - 2022/04/03(Sun) 21:42:41
☆ Re: 微分可能性 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２９日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
mathmouth先生に

私の答案が出来ました

ご評価ください
No.81648 - 2022/04/04(Mon) 18:12:16
☆ Re: 微分可能性 / mathmouth
図も利用しておおまかなイメージは理解されているようなので, 答案の流れとしてはだいたいそれで大丈夫だと思います.
しかし, 不備がある点を指摘させていただくと
・有限な極限値が存在するかどうかわかっていないもの(例えばlim[h→0]|g(h)/h|など)をあたかも最初からそれが有限の極限値であるかのように扱うことはできません. 具体的には, 極限をとる前の不等式において極限の存在が既知でないものが含まれるのに極限をとったものを不等号で評価することは誤りです. したがって, (6)(文字化けの都合上丸を()で代用します)でg(x)の原点での微分可能性(接線の存在)を仮定してしまっていること, (7)の1つ上の不等式から各辺で形式的に極限をとって(7)のように変形してしまっている(このようなことをしてもよいのは不等式の各辺の極限が存在してかつ有限であるとき)ことなどが誤りです.
・(7)の2行下の不等式が,等号で結ばれた等式としてではなく不等式で書かれていないのかが疑問です. fは原点で微分可能と条件にあるので原点における左微分係数(h→-0の極限)と右微分係数(h→+0の極限)はともに微分係数(h→0の極限)に等しいですが, それが述べられていなくて答案のように代わりに不等式が書かれているだけだと, その不等式とその下2行の議論はf'(0)=0の根拠としては不十分になってしまっています. (∵f'(0)が(0以下の値)以上かつ(0以上の値)以下としかいえていないから.) したがって, (7)の2行下の「推測され〜」以降は不等号≦で結んだ不等式ではなく等号=で結んだ等式を書くべきだと思います.
・1つ目の極限に関する指摘と関わってくる部分もありますが, "はさみうちの原理"の主張は, "A(x)≦B(x)≦C(x)でx→aでA(x)とC(x)が同じ値Kに収束するならば, B(x)もx→aでKに収束する"というものであり, 極限値の存在が既知でない関数の"収束性"と"収束先"について述べている定理です. したがって, 「はさみうちの原理よりA(x)≦B(x)≦C(x)からただちにlim A(x)≦lim B(x)≦lim C(x)」としてしまうと, B(x)の収束性が既知でないのに1つ目の指摘で述べたような誤った操作をしているように見えかねないので, 個人的には「A(x)≦B(x)≦C(x)でlim A(x)=lim C(x)=K(有限値)ゆえ, はさみうちの原理からlim B(x)=K」のように記述するのが無難で好ましいと思います. また, 下から3行目の「ハサミ打ちの原理より〜」は不要です. (2つ目の指摘による修正を施した上で)はさみうちの原理ではなく, 単なる不等式評価による結果です.

P.S. 私の解答がわかりにくいようだったので, お詫び申し上げます. もう少し簡単な言葉で(近傍などを説明なしで使わずに)書くべきだったのかもしれません.
No.81649 - 2022/04/04(Mon) 19:16:53
☆ Re: 微分可能性 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２９日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
mathmouth先生に

読ませて頂きました

私の答案には幾多の不備があるようです

これから学習して頑張ります
本当にありがとうございました
No.81650 - 2022/04/04(Mon) 20:08:30
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