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★ 積分 / あ
1/u(u^2-1) の不定積分のやり方を教えてください。
No.81111 - 2022/03/05(Sat) 11:42:51
☆ Re: 積分 / X
1/{u(u^2-1)}=1/{u(u-1)(u+1)}
=-1/u+1/{2(u-1)}+1/{2(u+1)}
と部分分数分解できるので…
No.81112 - 2022/03/05(Sat) 12:29:27
☆ Re: 積分 / あ
なるほど
ありがとうございます
No.81115 - 2022/03/05(Sat) 13:49:12
★ (No Subject) / 数学苦手
この問題が分かりません
No.81107 - 2022/03/05(Sat) 00:00:57
☆ Re: / 数学苦手
この図の状態から進まないです、、
No.81108 - 2022/03/05(Sat) 00:01:30
☆ Re: / ヨッシー

参考まで。
左は経過、右は結果です。
No.81109 - 2022/03/05(Sat) 00:32:23
☆ Re: / 数学苦手
あ、2試合引き分け！そこを見落としてました。分かりやすいGifありがとうございます。
No.81110 - 2022/03/05(Sat) 01:42:45
★ 微分、極限 / ルーク
?@対数微分法で、両辺に絶対値をつける理由が、「定義域が変わってしまうから」だったような気がするんですが、例え絶対値をとっても、真数≠０という条件が加わるので、定義域が変わってしまうと思います。
例えばy＝x−２としたときlog|y|＝log|x−２|で、x≠２となってしまいます。
なぜ絶対値をとるのか、そもそも両辺の対数をとってもしっかり成り立つのか、教えていただけると嬉しいです。

?Alim[x→a]{f(x)+g(x)}＝lim[x→a]f(x)+lim[x→a]g(x)という変形は、lim[x→a]f(x)やlim[x→a]g(x)が極限値をとらない場合もできるのでしょうか。
No.81103 - 2022/03/04(Fri) 17:41:56
☆ Re: 微分、極限 / ルーク
?@→１ ?A→２　　です。
No.81104 - 2022/03/04(Fri) 17:43:28
☆ Re: 微分、極限 / ast
# どういう方向性で返答するのがよいものか悩む質問（すぐ下のスレッドでのやり取りも考慮すると特に）なので,
# 回答がつきにくいのは予想していましたが, もしまだ見ているのなら大した話じゃなくても
# 何か書いておいてもいいかなと思って書きます (あまりまとまらなかった).

> 両辺に絶対値をつける理由が、「定義域が変わってしまうから」だったような気がする
「定義域が変わる」という言葉を文字通りに受け取るなら, これはそもそもそんなこと全くないので, きちんと改める必要があると感じます. y は最初に与えられた状態で定義域は決まっていてそれ以降も変化しませんし, y' に関しても (少なくとも対数微分の論法においては) y が微分可能な x の全体が定義域であってこれも最初からずっと変化しません.

> 例えばy＝x−２としたときlog|y|＝log|x−２|で、x≠２となってしまいます。
に倣って言うなら, "y=x-2 のとき, log(y)=log(x-2) (x>2) や log|y|=log|x-2| (x≠2) である" とか "対数微分法により y'/y=1/(x-2) (x≠2) が導かれる" というのは, 俗っぽい言い方をすれば y や y' の「一部分だけ (具体的な情報が) 分かった」ということです (絶対値をとる理由も y が負になるところからも情報が得られる (その情報も必要だし重要だ) からですね).

もうちょっと正確な言い方を心掛けるなら「(y や) y' の (具体的な式の) 必要条件 (の一つ) として得られる」) というような言い方になると思います. 必要条件は「(結論を絞る) 部分的な情報」なので, それ単独でなくて他の条件と複数併せて考えるのが普通です.
# なので, たくさんあったり最終的には使わなかった情報があったりしても困るようなものではありませんが,
# それらは常にすべてが同時に満たされていないといけない (つまり "且つ" で繋がってる) ので
#「新しい情報がわかっても勝手に古い情報を忘れたらNG」というところは気を付けなければならない.
# また, 互いに矛盾するような条件があったときには, 何かおかしいと気付けるかもしれません.

(1) 上と同じ例に対数微分法を使ってわかったことを「y=x-2 ⇒ y'=1 (x≠2)」だと思って見ると「オカシイ」気がしても確かに不思議はないのかもしれませんが, 実際には
　「y'/y=1/(x-2) かつ y は任意の x で (したがって x=2 でも) 微分可能 ⇔ y'=1 (x は任意)」
が対数微分法の主張において結論の部分に置かれている (下線部は最初に仮定されて以降ずっとそのまま残っている) と考えるのが自然 (この例では対数微分法を経由しなければ敢えて x=2 を除外することをかんがえたりはしないはずだと思いますが, 対数微分法の対象とする函数全般で言ってもそれは同様のこと) だと思います.
# 部分から全体がわかるというある種の「帰納」的論法と言えばなんかそれっぽいですかね.
## まあ「いくらかの点を除いて可微分な函数が, いつ, それらの除外点まで延長しても可微分になるか」を
## 厳密に扱うところまで深入りする気はありませんが.

(2) は「ダメ」の一言でいいですかね…… (「極限値が無い」の意味によっては話が違ってくる可能性はあるけど).
# ∞-∞ の形の「不定形」などは典型的でたくさんわかりやすくて詳しい解説があると思います.
## 無論, 極限が定まらないときは論外 (極限の足し算などの式が意味を為さない) ですが
## さすがにそういう意図ではないと思いますし.
No.81185 - 2022/03/09(Wed) 13:54:02
★ 合成関数 / ルーク(高2)
合成関数の微分をしていて、合成関数とは何かがわからなくなってしまいました。
合成関数の微分を「塊を微分する」とだけ考えていたので、cosx/(3+sinx)を微分するときに、「３+sinxって塊かな」と思い、合成関数として微分してしまいました。
合成関数を習ってから、すべての関数が合成関数に見えてきてました。合成関数の見分け方を教えていただきたいです。
No.81100 - 2022/03/04(Fri) 13:19:42
☆ Re: 合成関数 / ヨッシー
ｙ＝f(u)、ｕ＝g(x) のとき、
　dy/dx＝(dy/du)(du/dx)
というのが合成関数の微分ですね。
たとえば、
　ｙ＝sin2ｘ
は　ｙ＝ｕ^2 と ｕ＝sinｘ の合成関数ですので、
　dy/du＝2u、du/dx＝cosｘ
なので、
　dy/dx＝2u・cosｘ＝2sinｘ・cosｘ
です。

ｙ＝cosｘ/(3＋sinｘ) は、
ｘの範囲を限って、(−π/2≦ｘ≦π/2 など)
　cosｘ＝√(1−sin2ｘ)　として、
　ｙ＝√(1−ｕ2)/(3＋ｕ)、ｕ＝sinｘ
とすることは出来ますが、ｘに制限をかけている上に、これで微分が楽になったとは言えませんので、普通に微分したほうが良いでしょう。
No.81101 - 2022/03/04(Fri) 14:59:32
☆ Re: 合成関数 / ルーク
丁寧な回答ありがとうございます🙇

単純にyをxで微分しているのに、y＝cosx/u u＝sinx+３と見て、(yをxで微分)×(uをxで微分)という意味不明な計算をしてしまっていました。yをxで微分しているのか、uで微分しているのか(塊で微分しているのか)しっかり区別して考えたいと思います。


もうひとつ質問なんですが、色々な関数が実は合成関数なんじゃないかと思い始めてしまいました。
例えば
・y＝3x+１という関数はy＝u+１　u＝３xなどです。
どう捉えるかによって、合成関数になるか決まるのでしょうか。
No.81102 - 2022/03/04(Fri) 17:24:35
☆ Re: 合成関数 / ast
> どう捉えるかによって、合成関数になるか決まるのでしょうか。
については確かにその通りではあるのだけれど, それは例えば「あなたの親は「あなたの親」という人間として生まれて生きてきたわけじゃなくて, あなたがいるからあなたの親なんだよ」みたいな話なので, 当たり前と思えないで確認とってくるうちは理解できてるとは言い切れないのではないかなという類いの返答にならざるを得ないかと.

たぶん微分の単元でなんとなく合成函数の微分とか言われてるからなんとなくでしか受け取れないみたいな状況なのだろうと思われるので仕方がないところではあるのかもしれないけれど, 合成函数についてはきちんと定義から書かれている資料を (web上にもたくさんあると思いますので) 探したほうがいいと思います. 少なくとも
> yをxで微分しているのか、uで微分しているのか(塊で微分しているのか)しっかり区別して考えたいと思います。
という返答内容からは, どうして
> y＝cosx/u u＝sinx+３と見て
がNGでヨッシーさんの
> ｙ＝√(1−ｕ^2)/(3＋ｕ)、ｕ＝sinｘ
がOK (ヨッシーさんのは u=sin(x)+3 とみるなら "y=√1-(u-3)^2)/u, u=sin(x)+3" と言ってるのと同じ) であることを理解しているかどうか判断できません (どちらかというと理解できてないように見える).

多少補足しておくと, ヨッシーさんのご回答の中の一般論のところ
> ｙ＝f(u)、ｕ＝g(x) のとき、
の意味は, 言葉をいろいろ補って冗長に書けば
　「x の函数 y が, 変数は x だけを含む適当な式 g(x) によって表される x の函数 u=g(x) をきちんと選べば, 変数として u だけを含む式 f(u) によって y=f(u) と書けるとき」
という内容を表しています.

上で「NGだった理由を理解していないのでは」と書いた意図はこれで伝わるでしょうか…….
# 実は, "y=cos(x)/u, u=sin(x)+3)" の形のままでもちゃんと x で微分できます.
# でも, ここで言う(一変数の)合成函数ではなくて, 二変数の合成函数 "y=F(x,u), u=sin(x)+3" の微分なので,
# それには大学初年度級の知識が必要です.
No.81189 - 2022/03/09(Wed) 16:03:13
★ 積分 / あ
x/x＋5 の不定積分はどうすれば解けますか？
No.81095 - 2022/03/03(Thu) 15:03:30
☆ Re: 積分 / あ
すいません訂正します
x/x -5 の不定積分です
No.81096 - 2022/03/03(Thu) 15:04:55
☆ Re: 積分 / ヨッシー
x/(x-5) ですかね？
x/(x-5)＝1＋5/(x-5) なので、
　1 の積分ｘ　と
　1/(x-5) の積分　log|x-5|
から求められます。
No.81097 - 2022/03/03(Thu) 15:38:29
★ (No Subject) / たく
座標空間内に３点A（２、０、２）B（１、１、0）C（０、０、３）がある。三角形ABCをz軸周りに一回転させて出来る回転体の体積を求めよ

答えは１４π/３です
途中式を教えてほしいです
z＝tで切断して断面積を求めようとしましたが続きが分かりませんでした
No.81091 - 2022/03/02(Wed) 23:55:12
☆ Re: / らすかる
z=tとするとき
辺AB上の点は(t/2+1,-t/2+1,t)(0≦t≦2)なのでz軸からの距離の2乗は(2t^2+8)/4
辺BC上の点は(-t/3+1,-t/3+1,t)(0≦t≦3)なのでz軸からの距離の2乗は(2t^2-12t+18)/9
辺CA上の点は(-2t+6,0,t)(2≦t≦3)なのでz軸からの距離の2乗は4t^2-24t+36
辺BC上の点の座標にt=2(Aのz座標)を代入すると(1/3,1/3,2)となり
xy平面上で(1/3,1/3)と(2,0)を通る直線の傾きは-1/5なので
△ABCをz=tで切った線分上の点でz軸に最も近いのはBC上の点、
最も遠いのはAB上の点とCA上の点
従って求める体積は
π{∫[0〜2](2t^2+8)/4 dt + ∫[2〜3]4t^2-24t+36 dt - ∫[0〜3](2t^2-12t+18)/9}
=π([t^3/6+2t][0〜2] + [4t^3/3-12t^2+36t][2〜3] - [2t^3/27-2t^2/3+2t][0〜3])
=(14/3)π
No.81092 - 2022/03/03(Thu) 00:42:59
★ 数学I / たち
(１)と(2)の解き方がわかりません。教えていただけませんか？
No.81090 - 2022/03/02(Wed) 22:37:55
☆ Re: 数学I / ヨッシー
(1)
(i)
f(x)＝(x−a)^2−a^2＋2a＋1 より
ａ＜１ のとき　f(1)＝2 が最小値
ａ≧１ のとき f(a)＝−a^2＋2a＋1 が最小値
　g(a)＝2　(ａ＜１）
　g(a)＝−a^2＋2a＋1　（ａ≧１）
(2)
ａ≧１ のとき
　g(a)＝−(a−1)^2＋2≦2
よって、g(a) は ａ≦1 のとき最大値２をとる。

(2)
(i)
　f(x)＝ｙ　とおきます。
　f(x)＝(x−a＋1)^2−2a^2＋a　より
　a−1＜1　つまり　a＜2 のとき　f(1)＝−a^2−3a＋4 が最小値
　a≧2 のとき　f(a-1)＝−2a^2＋a　が最小値
　(以下略)
No.81094 - 2022/03/03(Thu) 06:30:16
★ (No Subject) / 多変数関数
多変数関数の微分法について質問です。三枚目の写真のp98のマル1はxとyが0に近づくということで、マル2はrが0に近づくということでしょうか？また、マル3はなぜそうなるかを教えて頂きたいです。
No.81087 - 2022/03/02(Wed) 21:50:25
☆ Re: / 多変数関数
続きです。
No.81088 - 2022/03/02(Wed) 21:51:13
☆ Re: / 多変数関数
> 続きです。
No.81089 - 2022/03/02(Wed) 21:51:57
☆ Re: / m
>三枚目の写真のp98のマル1はxとyが0に近づくということで、マル2はrが0に近づくということでしょうか？
そうです．

まる３は左辺の y に y = mx を代入して整理したもの．
No.81093 - 2022/03/03(Thu) 01:09:17
★ (No Subject) / 46
a≧0をどう扱えば良いか分かりません。解説よろしくお願いします。
No.81076 - 2022/02/27(Sun) 13:41:54
☆ Re: / 46
「」内は自分で考えたものです。
No.81077 - 2022/02/27(Sun) 13:45:09
☆ Re: / X
条件から解と係数の関係により
a,bはtの二次方程式
t^2-xt+y=0 (A)
の解となります。

よってa≧0という条件は
(A)の実数解のうち、少なくとも1つが0以上
という条件に置き換えられます。
No.81078 - 2022/02/27(Sun) 13:46:36
☆ Re: / X
補足ですが、「」内の内容についてはそれで問題ありません。
No.81079 - 2022/02/27(Sun) 13:47:31
☆ Re: / 46
その後どうすれば良いでしょうか。
No.81080 - 2022/03/01(Tue) 11:03:28
☆ Re: / X
f(t)=t^2-xt+y (B)
と置いて、横軸にt、縦軸にf(t)を取った
(B)のグラフがt軸のt≧0の部分と交点を
持つ条件を考えます。
まず(A)の解の判別式をDとすると
D=x^2-4y≧0 (C)
次に(B)の縦軸との交点の縦座標、
つまりf(0)の符号について
場合分けをします。

(i)f(0)=y＜0のとき
このときは条件を満たします。
(ii)f(0)=y≧0のとき
(B)の軸について
x/2≧0
∴x≧0

更に
x^2-2y≧x
より
y≦(1/2)(x^2-x) (D)
又(C)より
y≦(1/4)x^2 (E)



以上から求める求める点の存在範囲は
(D)かつ(E)かつ
{y＜0又は{0≦xかつ0≦y}}
となります。
No.81081 - 2022/03/01(Tue) 18:10:25
☆ Re: / IT
（少し違う考え方）
t^2-xt+y=0 (A)の実数解a,bを持つとき、

　２つとも負⇔ab＞0かつa+b＜0
　なので
　少なくとも１つが0以上⇔ab≦0またはa+b≧0

（解の公式を使う）
t=(x±√(x^2-4y))/2 なので　
x+√(x^2-4y)≧0が必要十分条件
すなわち
x^2-4y≧0かつ（x≧0またはy≦0が）必要十分条件
No.81082 - 2022/03/01(Tue) 22:46:05
★ 最大最小 / ゆず
f(x)=x^2-2ax
g(x)=|x-1|+1を区間-1 ≦x ≦2に限定して考える。
このときf((g(x))の最大値を求めよ。

自分の解答が違うのは明らかにわかるのですが、何が違うか分からないと言うか自分が何をやっているか分からなくなりました。この答案何がおかしいのか教えてください。よろしくお願いします。

答えは. -a^2(-1 ≦a ≦3)
1-2a(a ＜1)
　　　 9-6a(a ＞3) です。
No.81073 - 2022/02/27(Sun) 10:51:25
☆ Re: 最大最小 / ヨッシー
まず、最大値を求めよ　なのか　最小値を求めよ　なのか
明らかにしてください。

手書きの解答の中で、-1 ≦x ≦2 をどう考慮されていますか？
No.81074 - 2022/02/27(Sun) 11:15:54
★ 今年の千葉大です / キャル
(1),(2)は積分区間で評価することでできましたが、(3)ができませんでした。

ヒントだけでもいただければと思います。
No.81067 - 2022/02/25(Fri) 17:16:21
☆ Re: 今年の千葉大です / 関数電卓
(3) 与式を部分積分することにより
　A(m,n)＝−(m＋1)ne^(−1/n)＋(m＋1)A(m−1,n)
　　　　＜(m＋1)A(m−1,n)
なので，A(m,n) は減少列です。
よって，c(n) → e^(−1/n)　(m→∞)
No.81068 - 2022/02/25(Fri) 20:51:24
☆ Re: 今年の千葉大です / IT
横から失礼します。計算は確認していませんが、減少列と言えてないのでは？

また、減少列だからといって　 e^(−1/n)に収束するとはいえないのでは？
答えは、e^(−1/n)のようですが。
No.81069 - 2022/02/25(Fri) 21:30:53
☆ Re: 今年の千葉大です / IT
部分積分法により
　A(m+１,n)＝-(m+2)ne^(-1/n)+(m+2)nA(m,n)
　　　　＝(m+2)n(A(m,n)-e^(-1/n))
(1)などから　0≦A(m,n)-e^(-1/n)=A(m+1,n)/((m+2)n)≦1/(m+2)n →0　(m→∞)　でどうでしょう？

(2)も同時に計算できる？
No.81070 - 2022/02/25(Fri) 22:16:23
☆ Re: 今年の千葉大です / キャル
> (1),(2)は積分区間で評価することでできましたが、(3)ができませんでした。
>
> ヒントだけでもいただければと思います。

皆さま解決しました。ありがとうございました。

残念ながら前期は無理そうなので後期にかけます。また質問させてください
No.81071 - 2022/02/25(Fri) 23:22:25
★ 必要十分 / サマンサタバサ
(1)でx=1を代入しただけでは十分が示せていない気がするんですが、どなたか解説お願い致します。
No.81065 - 2022/02/25(Fri) 14:11:08
☆ Re: 必要十分 / X
＞＞十分が示せていない気がするんですが、
示せています。

xの方程式f(x)=0がx=1を解に持つ⇔f(1)=0
No.81066 - 2022/02/25(Fri) 17:09:32
☆ Re: 必要十分 / サマンサタバサ
すみません。もう少し詳しく説明してもらえませんか？イマイチ腑に落ちないです。
No.81072 - 2022/02/27(Sun) 09:11:37
☆ Re: 必要十分 / X
サマンサタバサさんが聞きたいのは
f(1)=0⇒xの方程式f(x)=0はx=1を解に持つ
となる理由が聞きたいということですか？
No.81075 - 2022/02/27(Sun) 13:11:47
☆ Re: 必要十分 / サマンサタバサ
> サそうです。返信が遅れてしまって本当にすみません。もし可能ならばどなたでもいいので教えていただけませんか。
No.81123 - 2022/03/05(Sat) 17:52:54
★ (No Subject) / has
直線lを軸として回転させるとき下図の体積を求めよ。
答え：（1900/243）π

回答の分かる方解説お願いいたします。
No.81060 - 2022/02/24(Thu) 19:25:55
☆ Re: / X
lを上向きを正とするx軸に取り、辺ACとlとの交点を
原点とします。
このとき
直線BCの方程式は
y=-(1/7)(x+5) (A)
一方、直線ACの方程式は
y=-(1/2)x (B)
∴直線ACをx軸に関して対称移動させて
得られる直線をmとすると、mの方程式は
y=(1/2)x (C)
(A)(B)を連立で解くことにより
直線BCとmとの交点をDとすると
D(-10/9,-5/9)
更に(B)より
A(-4,2)
よって、点Aのx軸に関する対称点をA'、
求める体積をVとすると
V=(線分ABを母線とする円錐の体積)
+{(線分OA'を母線とする円錐の体積)-(線分ODを母線とする円錐の体積)}
+{(線分BCを母線とする円錐の体積)-(線分BDを母線とする円錐の体積)}
-(線分OCを母線とする円錐の体積)
=(1/3)・4π・1
+{(1/3)・4π・4-(1/3)・{(5/9)^2}π・(10/9)}
+{(1/3)・π・7-(1/3)・{(5/9)^2}π・(5-10/9)}
-(1/3)π・2
=9π-(5/3)・{(5/9)^2}π-(2/3)π
=9π-(125/243)π-(2/3)π
=9π-(287/243)π
=1900π/243
No.81061 - 2022/02/24(Thu) 20:22:41
★ (No Subject) / has
一辺の長さが4の正三角形の内部からその1/2の面積をもつ正三角形をくり抜いた図形。二つの三角形の重心は一致する。
表面積を求めよ。（答え：(40√3+20√6)π）

回答のわかる方、解説お願いします。
No.81058 - 2022/02/24(Thu) 19:22:04
☆ Re: / has
補足：この図形はlを軸に一回転します。
No.81059 - 2022/02/24(Thu) 19:23:44
☆ Re: / X
次のキーワードをネット検索してみて下さい。

パップス＝ギュルダンの定理
No.81062 - 2022/02/24(Thu) 20:25:39
☆ Re: / has
ありがとうございます。
No.81063 - 2022/02/24(Thu) 21:30:22
☆ Re: / 関数電卓
計算は煩わしいけど素直にやってみます。
下図１の線分 AB を軸の回りに回転させて出来る円錐台の側面は，展開すると，中心角 √3π の扇形から作られる図２の黄緑色の部分になる。よってその面積 S1 は，
　S1＝(6^2−2^2)π･√3π/2π＝16√3π
線分 AD を回転させたものは円柱の側面で，その面積 S2 は
　S2＝2√3π･2＝4√3π
よって，△ABC を回転させた立体の表面積は 2(S1＋S2)＝40√3π

内側の△EFH を回転させて出来る立体の表面積は，同様に計算し 20√6π

以上より，求める立体の表面積は (40√3＋20√6)π
No.81064 - 2022/02/25(Fri) 12:24:39
★ (No Subject) / Actually
曲線C:y=x^3-3x^2+4を直線x＝aに関して対称移動した曲線をDとする。CとDが異なる3つの共有点を持つためのaの値の範囲を求めよ

Dの方程式がy=(2a-x)^3-3(2a-x)^2+4と表すことができるところまでしか分かりません。解説よろしくお願いします。
No.81054 - 2022/02/24(Thu) 13:59:17
☆ Re: / らすかる
y=x^3-3x^2+4とy=(2a-x)^3-3(2a-x)^2+4の交点のx座標は
x^3-3x^2+4=(2a-x)^3-3(2a-x)^2+4を解けば求まる。
この式を整理すると
x^3-3ax^2+6a(a-1)x-2a^2(2a-3)=0
となるので、この方程式が3つの異なる実数解を持てばよい。
f(x)=x^3-3ax^2+6a(a-1)x-2a^2(2a-3)とおくと
f'(x)=3x^2-6ax+6a(a-1)
f(x)が極小値と極大値を持たなければならないので、
f'(x)の判別式は正でなければならない。すなわち
D/4=9a^2-18a(a-1)=-9a^2+18a=-9a(a-2)＞0
これを解いて
0＜a＜2
f'(x)=0を解くとx=a±√(-a^2+2a)
それぞれの極値をとるxに対するf(x)の値を計算すると
f(a-√(-a^2+2a))=-2a(a-2)√(-a^2+2a)＞0　（∵0＜a＜2）
f(a+√(-a^2+2a))=2a(a-2)√(-a^2+2a)＜0　（∵0＜a＜2）
（x=a±√(-a^2+2a)のときx^2=2ax-2a(a-1)を利用すると簡単）
よって極大値が正、極小値が負なので、0＜a＜2の全体で
f(x)=0は異なる3実数解を持つ、すなわちCとDが異なる3共有点を持つ。
従って答えは0＜a＜2。
No.81056 - 2022/02/24(Thu) 15:57:25
☆ Re: / m
別解

らすかるさんと同様に
f(x) = x^3-3ax^2+6a(a-1)x-2a^2(2a-3) = 0
が異なる三つの実数解をもつ条件を調べます．

グラフ C, D は x = a で対称なので x = a で交わります．
従って C, D を連立した方程式は x = a を解に持ちます．
因数定理によりこれは多項式 f(x) が (x-a) で割り切れることを意味しています．

あとは
g(x) = f(x)/(x-a) = x^2 - 2ax + 4a^2 - 6a
と計算して，g(x) が x ≠ a に異なる二つの実数解をもつ条件を調べればいいです．
No.81057 - 2022/02/24(Thu) 16:54:35
★ 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１５日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
こんにちは。

何卒宜しくお願い致します。

以下について随分悩んでいます

ご教授いただければ幸いです

以下、私の答案
No.81050 - 2022/02/24(Thu) 11:22:07
☆ Re: 漸化式と極限 / らすかる
a[n-1]/n-1＜0
a[n-1]/n＜1
a[n-1]＜n
でよいのでは？
No.81051 - 2022/02/24(Thu) 12:05:21
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学１５日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ラスカル先生

こんにちは。

質問の仕方が悪かったようです。

何卒宜しくお願い致します。
No.81052 - 2022/02/24(Thu) 13:42:56
☆ Re: 漸化式と極限 / らすかる
a[n]の一般項が出せない状況では、数学的帰納法を使うしかないと思います。
No.81055 - 2022/02/24(Thu) 15:39:38
★ 関数 / いなほ
6の問題です。
「x≧0であるような数」に対して定義される関数であると考えたのですが、答えは「すべてのx」でした。なぜでしょうか。
No.81042 - 2022/02/23(Wed) 18:34:19
☆ Re: 関数 / いなほ
書き忘れました、すみません。
大学の数学の教科書ですが、高校レベルかなと思います。よろしくお願いします。
No.81043 - 2022/02/23(Wed) 18:35:57
☆ Re: 関数 / m
「上式により関数 f(x) が定義される．．．」の上式とは何ですか．
No.81044 - 2022/02/23(Wed) 19:57:30
☆ Re: 関数 / IT
上じゃないけど「上式」としてあるのでしょうか？
「左式」とか「この式」とすべきか無くてもいい？
No.81045 - 2022/02/23(Wed) 21:47:51
☆ Re: 関数 / いなほ
上にあるのは5の別の問題なので、おそらく左式のことではないかと思っています。
No.81046 - 2022/02/23(Wed) 22:36:47
☆ Re: 関数 / m
早とちりしていました．
ITさんのご指摘があるまで気づきませんでした．
ありがとうございます．


> いなほさん

8 の立方根（三乗根ともいう）は 2 です．これは 2 の三乗が 8 だからでした．

さて，-2 の三乗は -8 です．したがって，-8 の立方根は -2 です．
また，-1 の立方根は -1 であり，-27 の立方根は -3 です．

このように立方根は負の数に対しても定義できます．
No.81047 - 2022/02/23(Wed) 22:58:52
☆ Re: 関数 / いなほ
>mさん

ご丁寧にありがとうございます。
立方根だから、ということですね。
平方根やほかの偶数のときと勘違いしてしまいました。
解決しました。
ありがとうございます。
No.81053 - 2022/02/24(Thu) 13:48:20
★ 比例/反比例 / さくら
教えて欲しいと頼まれたのですが、お恥ずかしながら解き方をすっかりと忘れてしまい質問させて頂きます。中学１年生の問題です。


問　yはxに比例し、zはyに反比例していて、x=3のときz=4である。x=15のときのzの値を求めなさい。


答え　1/2




z=a/axになるのでは？と考えたのですが、代入してみても解けず…どなたか数学が苦手でもわかる解説お願い致します。
No.81038 - 2022/02/23(Wed) 14:27:33
☆ Re: 比例/反比例 / ヨッシー
ｙ＝ａｘ、ｚ＝ｂ／ｙ　なので、
　ｚ＝ｂ／ａｘ
と書けます。ｘ＝３のときｚ＝４ですので、
　４＝ｂ／３ａ
　ｂ／ａ＝１２
ａ、ｂそれぞれいくつかはわかりませんが、
　ｂ／ａ＝１２
であることは、確実です。よって、
　ｚ＝１２／ｘ
と書けます。ｘ＝１５ のとき
　ｚ＝12/15＝4/5
であって、ｚ＝1/2 ではありません。
No.81039 - 2022/02/23(Wed) 14:34:03
☆ Re: 比例/反比例 / さくら
ありがとうございます。a、bが分からなくても解けることに大変感心致しました。
(どうやら解答冊子のページを間違えていたようでして、正答は仰る通り4/5でした。失礼致しました)
No.81040 - 2022/02/23(Wed) 16:11:44
★ 放物線 / Marin
座標平面上に放物線y=x^2と、A(0,6)を通り、傾きが正の直線lがある。また、放物線上のx座標が-2である点をBとする。放物線と直線lの交点でx座標が負の点をPとし、直線lとx軸の交点をQとする。点PがAQの中点となるとき、次の問いに答えなさい。ただし、原点をOとする。

(1)直線lの方程式を求めなさい。
(2)放物線上にx座標が正の点Rがある。三角形BORの面積が15となるとき、点Rの座標を求めなさい。
(3)(2)の点Rに対して、直線BRとx軸の交点をDとする。このとき四角形PBDQの面積を求めなさい。

(グラフは図示されていません）


この問題の(2)、(3)の解き方を教えて頂きたいです。

(1)は自力で解けたのですが、(2)と(3)は解答を見てもなぜこんな式になるのか？この数字はどこから出てきたのか？と疑問に思う箇所ばかりだったので、できれば理由まで説明をお願いします。


ちなみに答えは、、
(1)y=√3x+6 (2) R(3,9) 　(3)15-5√3
です。
No.81033 - 2022/02/23(Wed) 05:58:29
☆ Re: 放物線 / ヨッシー
>この数字はどこから
の理由は、その解答を見てみないと何とも言えないので、サクッと無視して、

(2)
点Ｒの座標を（x,x^2) (x＞0) とし、点Ｂ、点Ｒからｘ軸に下ろした垂線の足を
それぞれ　Ｃ：(-2, 0)，Ｓ(x, 0) とします。
　台形ＢＣＳＲ＝(4＋x^2)(2+x)/2＝(x^3＋2x^2＋4x＋8)/2
　△ＯＢＣ＝2×4÷2＝4
　△ＯＲＳ＝x^3/2
よって、
　△ＢＯＲ＝(x^3＋2x^2＋4x＋8)/2−4−x^3/2
　　＝x^2＋2x
これが 15 になるので、
　x^2＋2x＝15
これを解いて、
　(x＋5)(xー3)＝０
　ｘ＝３　（∵ｘ＞０）
Ｒの座標は (3, 9)


(3)
直線ＢＲの式は　ｙ＝ｘ＋６ なので、
直線ＰＱと点Ａで交わります。
　△ＡＱＤ＝(6−2√3)×6÷2＝6(3−√3)
ＡＢ＝(1/3)ＡＤ、ＡＰ＝(1/2)ＡＱ　より
　△ＡＢＰ＝△ＡＱＤ×1/3×1/2＝△ＡＱＤ×1/6
よって、
　四角形ＰＢＤＱ＝△ＡＱＤ×5/6＝15−5√3
No.81035 - 2022/02/23(Wed) 08:44:16
★ 確率 / カタログ
1,2,2²,2³…2²ⁿが書かれた2n+1枚のカードある。これらから無作為に2枚取り出し書かれた数字の合計をSとするとき,Sが5で割り切れる確率を求めよ.

数値を変えて自力で解いてみました。ですが答えが合っているか分からないので教えて貰えるとありがたいです

nが偶数の時 n+1/4m+1
nが奇数の時 n+1/4n+3

5で割った時の剰余が1,2,4,3の繰り返しであることから、2n+1個中のそれぞれの個数を数えて、1と4or2と3を1つずつ取り出す場合の数を求めてやりました
No.81029 - 2022/02/23(Wed) 01:30:55
☆ Re: 確率 / らすかる
偶数の時の中に書かれている「m」はnの間違いと判断することにしても、
答えは合っていないと思います。
私の計算では、偶奇によらず(n+1)/(4n+2)となりました。
No.81030 - 2022/02/23(Wed) 02:07:48
☆ Re: 確率 / カタログ
nの偶奇で各剰余の数って変化しませんか？途中過程も教えていただけると助かります
No.81031 - 2022/02/23(Wed) 02:27:06
☆ Re: 確率 / らすかる
nが偶数のとき
剰余1がn/2+1枚、他がn/2枚なので
(1,4):(n/2+1)(n/2)
(2,3):(n/2)^2
これを足して(2n+1)(2n)/2で割れば(n+1)/(4n+2)
nが奇数のとき
剰余3が(n-1)/2枚、他が(n+1)/2枚なので
(1,4):((n+1)/2)^2
(2,3):((n-1)/2)((n+1)/2)
これを足して(2n+1)(2n)/2で割れば(n+1)/(4n+2)

ちなみに、2n+1枚から2枚取り出す場合の数は
(2n+1)(2n)/2=n(2n+1)ですから、確率は
(条件を満たす場合の数)/{n(2n+1)}
となり、これを約分したものになりますので、
分母は必ずn(2n+1)の約数の定数倍すなわち
Cn(2n+1)またはC(2n+1)またはCnまたはC
のいずれかになり、決して「4n+1」や「4n+3」になることはありません。
No.81032 - 2022/02/23(Wed) 02:32:53
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