周期２πの周期関数ｆ（ｘ）のフーリエ係数は
Ａn=1/π∫（−π〜π）ｆ（ｘ）cosnxdx(n=0,1,2・・）とあるのですが、この実践問題の計算過程でcos（nπ）というのが出てきたのですが、これってn=0,1,2・・・なので（−１）＾（n-1)なのでしょうか？でもフーリエ級数の方はｎが１から∞とあるし・・・n=0からと（つまりcosnπ＝(-1)^(n-1))ｎ＝１から（つまりcosnπ＝(-1)^n)どっちを採用したらいいのでしょうか？
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No.12417 - 2010/12/13(Mon) 23:27:58
| ☆ Re: / フリーザ | | | フーリエ級数展開の計算ですね。
cosnπ＝(-1)^n（n∈N）ですのでどちらを採用とかっておかしい話です。
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No.12428 - 2010/12/15(Wed) 09:02:15 |
| ☆ Re: / ぴっぴ | | | Ａn=1/π∫（−π〜π）ｆ（ｘ）cosnxdx(n=0,1,2・・）とあり、この計算過程でcosnπが出てきた場合n=0から始まるので、１、−１，１、−１、・・・となりcosnπ＝(-1)^(n-1)となるのですが・・・？
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No.12437 - 2010/12/16(Thu) 09:49:39 |
| ☆ Re: / ast | | | なんだかよくわかりませんが,
> 1, -1, 1, -1, ...
という数列の一般項 (初項を 1 番目と数えたときの第 n 項) は (-1)^(n-1) だろうというご主張ですか? しかし, ご自身で仰るように
> n=0から始まるので
初項は 1 番目の項ではなく 0 番目の項なのですから, これは正しくありません. 1 から数え始めて n 番目の項が第 n 項となるような数列 a_n = (-1)^(n-1) のために変数 n を用いたいのであれば, cos(nπ) と書かずに cos(mπ) のように文字を n でないものに変更し, m は 0 から開始するものとして n=m+1 あるいは m=n-1 の関係があるものとしなければなりません. そうすれば, cos(mπ)=(-1)^(n-1) が正しい関係式を与えることになります (文字は m, n でなくても, 異なるということをきちんと意識できていれば, 何を使っても構いません. 特に, 逆でもいいです).
なんにせよ, 既に指摘があるように,
cos(0π) = 1 = (-1)^0
cos(1π) = -1 = (-1)^1
cos(2π) = 1 = (-1)^2
……
cos(kπ) = (-1)^k
……
であることは, フーリエ級数・フーリエ係数とは無関係であり, 変わったりしません.
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No.12439 - 2010/12/16(Thu) 16:22:33 |
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