ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 整数 / 合同式マスター

5でも１１でわっても１余る数が５５で割ると１余る数になる理由教えて下さい！！

No.13351 - 2011/03/05(Sat) 17:35:04

☆ Re: 整数 / シャロン

単純にいえば、「5で割っても11で割っても1余る数」から1を引いた数は、5でも11でも割り切れる数なので、最大公約数である55で割り切れます。「5で割っても11で割っても1余る数」はそれに1を加えた数ですから、55で割れば1余ります。

式で書けば、

5で割って1余る数は整数nを使って、5n+1と書けます。

同様に、11で割って1余る数は整数mを使って、11m+1と書けます。

5で割っても11で割っても1余る数はこれらを同時に満たすので、5n+1=11m+1です。
整理して、5n=11m
nもmも整数なので、11mも5の倍数で、11は5の倍数でないので、mが5の倍数、つまり、整数kを使って、m=5kと書けます。
すると、元の数は、11m+1=11*5k+1=55k+1と書け、55で割ると1余る数だとわかります。

No.13352 - 2011/03/05(Sat) 17:58:52

☆ Re: 整数 / 合同式マスター

式での説明は分かりましたが前半の言葉での説明がよくわかりませんでした。合同式で簡潔に説明とかできないのでしょうか・・。どうかよろしく御願いします。

No.13360 - 2011/03/06(Sun) 09:10:52

☆ Re: 整数 / angel

> 合同式で簡潔に説明とかできないのでしょうか・・。
それは合同式に夢を持ちすぎでは…

> 前半の言葉での説明がよくわかりませんでした。

シャロンさんの言っていることはとても簡潔なものです。

まず、
　5でも11でも割り切れる数 ( 5の倍数かつ11の倍数 )
　⇔ 55で割り切れる数 ( 55の倍数 )
という前提があります。この55というのは丁度5,11の最小公倍数ですね。

その上で、今回の問題の条件を満たす数を x とでも置くと、(x-1) というのは上に挙げた条件「5でも11でも割り切れる」に当てはまります。
なので、(x-1)は55で割り切れる、つまり x は55で割ると1余るということです。

No.13362 - 2011/03/06(Sun) 09:57:14

☆ Re: 整数 / シャロン

> 合同式で簡潔に説明とかできないのでしょうか・・。

angel さんや私が日本語や式でいったことを、合同式になおすだけですが。

n≡1(mod 5)∧n≡1(mod 11)
⇔ n-1≡0(mod 5)∧n-1≡0(mod 11)
⇔ n-1≡0(mod LCM(5,11))
⇔ n-1≡0(mod 55)
⇔ n≡10(mod 55)

私には日本語や式で表したほうが簡潔に思いますがね。

No.13364 - 2011/03/06(Sun) 12:14:48

★ 円と角度 / よういちろう

円および円と角度の問題です。
問題が多くて申し訳ありませんが
よろしくお願いします。（全部で6問です）

半径がそれぞれ4?p、3?p、2?pの円Ａ、Ｂ、Ｃを適当に
互いが相交わることが無いように描き、これら3つの円に接する円を作図せよ。全部で何種類あるか。

No.13339 - 2011/03/04(Fri) 15:16:09

☆ Re: 円と角度 / ヨッシー

一番最後の「作図せよ」は、文字通り、コンパスと定規だけを使って
ということでしょうか？
種類なら、各円（内接　or　外接）の２通りなので、
　２×２×２＝８（種類）
ですが。

No.13342 - 2011/03/05(Sat) 05:54:14

☆ Re: 円と角度 / らすかる

「円Aの内部に円Bと円CがあってAに内接、BとCに外接」とかは？

No.13343 - 2011/03/05(Sat) 07:34:17

☆ Re: 円と角度 / シャロン

> 「円Aの内部に円Bと円CがあってAに内接、BとCに外接」とかは？

A,B,Cは半径4,3,2cmなので、それは無理では？

No.13344 - 2011/03/05(Sat) 09:20:20

☆ Re: 円と角度 / らすかる

あ、そうですね。うっかりしてました（恥

No.13345 - 2011/03/05(Sat) 10:06:10

☆ Re: 円と角度 / よういちろう

内接と外接の組み合わせで8パターンあるので、
それらを実際に書いて調べてみればよい事がわかりました。
ありがとうございます。
その他の角度の問題はどうでしょうか…。
全く手も足もでなくて困っています。
よろしくお願いします。

No.13349 - 2011/03/05(Sat) 15:06:32

☆ Re: 円と角度 / ヨッシー

あ、必ずしも、
外外外、外外内、外内外、外内内、内外外、内外内、内内外、内内内
の８パターンではないようですが、
８通りではあるようです。

No.13350 - 2011/03/05(Sat) 15:18:21

☆ Re: 円と角度 / tororo

5通りとなる場合？

No.13379 - 2011/03/10(Thu) 05:22:54

★ 数学?T　二次関数 / 青森

二次関数y=-2ax+b+5・・・?@　（a,bは定数であり、a>0)
のグラフが点（-2,16)を通っている

(1) bをaで用いてあらわせ。また、関数?@のグラフの頂点を用いて表せ

お願いします　意味がまったくわかりません

No.13335 - 2011/03/04(Fri) 10:22:41

☆ Re: 数学?T　二次関数 / シャロン

問題は正確に書き写してください？

少なくとも○1は2次関数を表していません。

また、ネット上では、２乗は「^2」のように表してください。

No.13336 - 2011/03/04(Fri) 11:12:18

☆ Re: 数学?T　二次関数 / 青森

> 二次関数y=x^2-2ax+b+5・・・?@　（a,bは定数であり、a>0)
> のグラフが点（-2,16)を通っている
>
> (1) bをaで用いてあらわせ。また、関数?@のグラフの頂点を用いて表せ
>
> お願いします　意味がまったくわかりません

No.13337 - 2011/03/04(Fri) 11:15:35

☆ Re: 数学?T　二次関数 / シャロン

問題の後半も何か写し間違いがありそうです。

前半は、グラフが(-2,16)を通っているので、(x,y)=(-2,16)は○1をみたしますから、それを代入すれば、aとbの関係式が出ます。その関係式をbについて解くだけです。

No.13338 - 2011/03/04(Fri) 12:14:52

★ 実数解の個数 / shun

aを正数とするとき、
方程式8^x-3a4^x+4a=0の異なる実数解の個数を求めよ。

よろしくお願いいたします。

No.13320 - 2011/03/02(Wed) 21:17:44

☆ Re: 実数解の個数 / シャロン

4^x=Xとおいて、2次方程式X^2-3aX+4a=0がX＞0の範囲で、aが変化することで実数解を何個持つかを調べましょう。

No.13321 - 2011/03/02(Wed) 21:45:14

☆ Re: 実数解の個数 / angel

ちょい違います。

2^x=X と置いて、
　8^x=(2^3)^x=2^(3x)=(2^x)^3=X^3
　同様に 4^x=(2^x)^2=X^2
から、3次方程式 X^3-3aX^2+4a=0 の X＞0 の範囲での実数解の個数を数えることになります。
この3次方程式の左辺の増減を微分して調べましょう。

No.13322 - 2011/03/02(Wed) 21:56:22

☆ Re: 実数解の個数 / シャロン

ねぼけてました。

angelさんフォローありがとうございます。

shunさん、失礼しました。

No.13323 - 2011/03/02(Wed) 22:01:35

★ 円周角と回転 / TG

（１）平面上に１２cm離れているA,Bがあり
Pがこの平面上を∠APB＝６０度　を保ちながら
動く

Pが動いてできる線と点A、Bで囲まれた面積を求めよ
またその作図もせよ。
∠APBは作る角のうち小さい方である

おそらく円周角使うのかなというところまで行きました。
図がイメージできず

（２）図を添付します
　　　正三角形ABC（１辺１cmで各頂点を中心として他の２点を結ぶ円弧を３つ描く

　

No.13312 - 2011/03/02(Wed) 11:07:29

☆ Re: 円周角と回転 / シャロン

(2)は問題の画像がぼやけていて読み取れません。手打ちで問題をアップロードしてください。

(1)は、ABを不等辺とする頂角120ﾟの二等辺三角形OAB、O'ABを考えます。
Pは円Oの優弧AB及び円O'の優弧AB上にありますから、求める軌跡は「雪だるま型」になり、求める面積は半径OA、中心角240ﾟの扇形の面積の二倍と一辺OAの菱形の面積を合わせた大きさになります。

No.13313 - 2011/03/02(Wed) 11:36:02

☆ Re: 円周角と回転 / TG

「三角形ABC（１辺１cmで各頂点を中心として他の２点を結ぶ円弧を３つ描く

この図形をCが直線l上にあって線分ACがlに垂直になっている状態から（画像の左側）
Aが初めてl上にくる瞬間（右側）
まで時計回りに滑らずに転がす時
Bが描く軌跡の長さは？」

（１）ありがとうございました。
　　　OABの方しか考えていませんでした。
　　　下も考えるんですね。

No.13314 - 2011/03/02(Wed) 12:56:18

☆ Re: 円周角と回転 / シャロン

BがAの位置に来るまでは、Cは動かないので、そこまでの道程は1*2π/6。

そのあとは、弧CAがl上を接して転がるが、Bは弧CAを含む円の中心なので、Bはlと平行に移動する。その道程は、弧CAの長さに等しいので、1*2π/6。

よって、求める曲線の長さは、2π/3

No.13316 - 2011/03/02(Wed) 13:12:36

★ コーシーシュワルツ / syooo

コーシーシュワルツの不等式(項が３つのバージョン)では､等号が成り立つのはどのようなときですか?

No.13306 - 2011/03/01(Tue) 18:23:54

☆ Re: コーシーシュワルツ / ヨッシー

展開して調べてみましょう。
　(sx+ty+uz)^2≦(s^2+t^2+u^2)(x^2+y^2+z^2)
において、
　(右辺)－(左辺)＝s^2y^2+s^2z^2+t^2x^2+t^2z^2+u^2x^2+u^2y^2-2stxy-2tuyz-2uszx
　＝(s^2y^2-2stxy+t^2x^2)+(s^2z^2-2uszx+u^2x^2)+(t^2z^2-2tuyz+u^2y^2)
　＝(sy-tx)^2+(sz-ux)^2+(tz-uy)^2≧０
となり、等号は、
　sy=tx かつ sz=ux かつ tz=uy
のとき。
(s,t,u)≠(0,0,0) かつ (x,y,z)≠(0,0,0) のときは、
　s:t:u=x:y:z
と書けます。

No.13308 - 2011/03/01(Tue) 22:21:42

☆ Re: コーシーシュワルツ / syooo

成る程!　地道に展開していけば分かりますね
ありがとうございます。

No.13310 - 2011/03/02(Wed) 00:29:30

☆ Re: コーシーシュワルツ / ヨッシー

ベクトルで表すと
　ａ＝(s,t,u)、ｂ＝(x,y,z)
に対して、
　(ａ・ｂ)²＜|ａ|²|ｂ|²
のことですから、
　ａ・ｂ＝|ａ||ｂ|cosθ
を適用すると、
|ａ|＝０または |ｂ|＝０のときは常に等号で、
それ以外のときは、
　cos²θ≦１
となり、等号は、θ＝０，π　のとき、つまり
ａとｂが一直線上にあるとき、と言えます。

No.13311 - 2011/03/02(Wed) 06:58:39

★ 代数的考察 / ぷるぷる

x,yについての連立方程式
3x+Y=ax・・?@
2x+2y=ay・・?A
が（ｘ、ｙ）＝（０，０）以外の解を持つaを求めよ。

解）?@、?Aより
(3-a)+y=0・・?@’
2x+(2-a)y=0・・?A’
であり、
?@’⇔y=(a-3)x・・?B
なのでこれを?A’に代入すると
｛２－（２－a)(3-a)｝＝０・・?C

であり、
｛?@、?A｝⇔｛?@’、?A’｝⇔｛?B、?A’｝⇔｛?B、?C｝
なので?B、?Cの解を考えればよい・・・以下略

とありました。｛?B、?A’｝⇔｛?B、?C｝が分からないです。

コメント）同値を崩さないようにするには加減法と聞いたことがあるのですが、?Cを作る過程で代入法を用いていますね。。

詳しい説明を御願いします。

No.13301 - 2011/03/01(Tue) 06:51:23

☆ Re: 代数的考察 / angel

ちょっと整理します。
　?@ ：3x+y=ax
　?@'：(3-a)x+y=0
　?B ：y=(a-3)x
　?A ：2x+2y=ay
　?A'：2x+(2-a)y=0
　?C ：( 2+(2-a)(a-3) )x=0　( ?A'に?Bを代入した結果 )
ここで、?@⇔?@'⇔?Bと、?A⇔?A'は ( 移項しただけだから ) 明らかで、後は ?Bかつ?A' ⇔ ?Bかつ?C の所がなぜ ( 特に説明もなく ) 成立しているのか、ということですね。

直感的に言うならば、?B：y=(a-3)x という前提がある世界、つまり y は (a-3)x に置き換えることができるし、(a-3)x を y に置き換えることもできる世界を考えてみると良いと思います。

そうすると、?A'の y は (a-3)x に置き換えられるので、2x+(2-a)(a-3)x=0 が成立する、つまり?A'⇒?Cですね。
逆に、?Cを一部展開して 2x+(2-a)(a-3)x=0 の形にすれば、(a-3)x は y に置き換えられるので 2x+(2-a)y=0 が成立する、つまり ?C⇒?A' ということになります。

まとめると、
　?Bの前提の下?A'⇔?Bの前提の下?C
ということで、これは
　?Bかつ?A'⇔?Bかつ?C
に他ならないわけです。

No.13324 - 2011/03/02(Wed) 22:19:58

☆ Re: 代数的考察 / angel

一応、まじめに論理的にどうなるかも調べてみましょう。
ここで、
　(1)「A⇒B」と「A⇒C」が共に成立するならば、「A⇒BかつC」も成立する
　(2)「AかつX⇒A」は、A,Xの内容に関わらず常に成立する
ということに注意しましょう。

すると、
　?Bかつ?A'⇒?B … (2)より成立
　?Bかつ?A'⇒?C … ?A'に?Bを代入している形なので成立
ゆえに(1)より、?Bかつ?A'⇒?Bかつ?C
続いて、
　?Bかつ?C⇒?B … (2)より成立
　?Bかつ?C⇒?A'
　　… ?Cを 2x+(2-a)(a-3)x=0 の形にして、
　　　?Bに従って(a-3)xをyに置き換えた形なので成立
ゆえに(1)より、?Bかつ?C⇒?Bかつ?A'

以上より、?Bかつ?A'⇔?Bかつ?C

No.13325 - 2011/03/02(Wed) 22:31:10

☆ Re: 代数的考察 / ぷるぷる

コメント）同値を崩さないようにするには加減法と聞いたことがあるのですが、?Cを作る過程で代入法を用いていますね。。

について、この問題の場合は代入法でなく加減法で解いても同じ結果が得られるから同値が成立している、つまり、一般に同値を崩さずに行くには加減法、代入法だと同値を保って式変形できない場合がある（例１）という理解で合ってますか？

例１）?@かつ?A⇔?@かつ?B
x^2=y・・?@,x=2y・・?A⇔x^2=y・・?@,(2y)^2=y・・?Bは言えない

No.13340 - 2011/03/04(Fri) 17:31:27

☆ Re: 代数的考察 / angel

うーん…。
私は「加減法」「代入法」という言葉を生まれて始めて聞きましたので、何とお答えすれば良いのか分かりませんが…。

> 例１）?@かつ?A⇔?@かつ?B
> x^2=y・・?@,x=2y・・?A⇔x^2=y・・?@,(2y)^2=y・・?Bは言えない

これは同値変形に問題があるのであって、いわゆる「代入」に責がある訳ではありません。

　・x^2=y かつ x=2y ⇔ x^2=y かつ x=2x^2
　　( x^2=y を x=2y に代入して y を消去 )
　・x^2=y かつ x=2y ⇔ (2y)^2=y かつ x=2y
　　( x=2y を x^2=y に代入して x を消去 )

のどちらかであれば、「代入」を用いて、かつ同値変形にもなっています。

No.13341 - 2011/03/05(Sat) 00:37:16

★ 高１　数?U　二次方程式の解 / れいひゃー

(1)二次方程式2X^2+3X+4=0の２つの解をα、βとするとき、α^4+α^2β^2+β^4の値を求めよ。

(2)X^2-2X+√3=0の2つの解をα、βとするとき、α^3β^2、α^2β^3を解とする二次方程式を1つ作れ。

です。
答えは
(1)-(15/16)　　(書き方が間違ってるかもしれないです；)
(2)X^2-6X+9√3=0
です

(1)は解と係数の関係により
α+β=-(3/2),αβ=2
としてα^4+α^2β^2+β^4にいれていこうかなと思ったのですが、
何度やっても答えとあいません。
(2)に至ってはさっぱりです。

分かる方は、解説等をして下さると嬉いです。

No.13292 - 2011/02/28(Mon) 17:09:06

☆ Re: 高１　数?U　二次方程式の解 / X

(1)
α^4+(α^2)(β^2)+β^4
=(α^2+β^2)^2-(αβ)^2
={(α+β)^2-2αβ}^2-(αβ)^2
=…

(2)
解と係数の関係より
α+β=2 (A)
αβ=√3 (B)
一方
t=α^3β^2
u=α^2β^3
と置くと(A)(B)により
t+u=…
tu=…
であるから解と係数の関係により求める二次方程式は…。

No.13293 - 2011/02/28(Mon) 17:23:34

☆ Re: 高１　数?U　二次方程式の解 / れいひゃー

(1)は解けました!
ありがとうございます＾＾*

(2)ですが、
t+u=…
tu=…
のところが解けないのです
図々しいですけど、そこの計算過程?も教えていただけると嬉しいです；

No.13302 - 2011/03/01(Tue) 07:58:03

☆ Re: 高１　数?U　二次方程式の解 / シャロン

t+uもtuも、α+βとαβであらわせますから、それらの値を代入するだけです。

No.13304 - 2011/03/01(Tue) 08:46:32

☆ Re: 高１　数?U　二次方程式の解 / れいひゃー

何とか解けました！
Xさん、シャロンさんありがとうございました＾＾

No.13305 - 2011/03/01(Tue) 12:26:53

★ 漸化式 / shun

数列{a[n]}がa[1]=-1,2S[n]=3a[n+1]-2a[n]-1を満たすとき次の問いに答えよ。

(1)b[n]=a[n+1]-1/3a[n]とするとき、b[n+1]=2b[n]を示せ。

(2)c[n]=a[n+1]-2a[n]とするとき、c[n+1]=1/3c[n]を示せ。

(3)数列{a[n]}の一般項を求めよ。

宜しくお願いします。

No.13290 - 2011/02/28(Mon) 15:50:36

☆ Re: 漸化式 / ヨッシー

S[n] は、a[n] の第１項から第ｎ項までの和ということで良いですね？

n=1 とすると、S[1]=a[1] より、
　2a[1]=3a[2]-2a[1]-1
　3a[2]=4a[1]+1=-3
より
　a[2]=-1
また、S[n+1]－S[n]＝a[n+1] より、
　2S[n+1]=3a[n+2]-2a[n+1]-1
　2S[n]=3a[n+1]-2a[n]-1
上式から、下式を引いて、
　2a[n+1]＝3a[n+2]-5a[n+1]+2a[n]
　3a[n+2]-7a[n+1]+2a[n]=0　・・・(i)

(1)
(i) を変形して、
　3a[n+2]-a[n+1]=6a[n+1]-2a[n]
３で割って、
　a[n+2]-(1/3)a[n+1]=2{a[n+1]-(1/3)a[n]}
よって、
　b[n+1]＝2b[n]
が成り立ちます。

(2)
(i) を変形して、
　3a[n+2]-6a[n+1]=a[n+1]-2a[n]
３で割って、
　a[n+2]-2a[n+1]=(1/3)(a[n+1]-2a[n])
よって、
　c[n+1]＝(1/3)c[n]
が成り立ちます。

(3)
b[1]＝a[2]-(1/3)a[1]＝-2/3
より、b[n] は、初項 -2/3 公比２の等比数列。
よって、b[n] の一般項は、
　b[n]＝(-1/3)・2^n
よって、
　a[n+1]-1/3a[n]＝(-1/3)・2^n　・・・(ii)
c[n] について同様に考えると、
　a[n+1]-2a[n]＝(1/3)^(n-1)　・・・(iii)
(ii)－(iii) より
　(5/3)a[n]＝(-1/3)・2^n－(1/3)^(n-1)
よって、
　a[n]＝(3/5){(-1/3)・2^n－(1/3)^(n-1)}

こちらも合わせてご覧ください。

No.13291 - 2011/02/28(Mon) 16:43:18

☆ Re: 漸化式 / shun

丁寧なご説明、ありがとうございました。

No.13295 - 2011/02/28(Mon) 21:42:19

★ 高１　数列 / ビリー

数列の問題で解説の途中の
数式の変換を解説願います。

2n+1/n^2(n+1)^2=1/n^2-1/(n+1)^2

簡単でしたらすみません；

No.13288 - 2011/02/28(Mon) 10:56:35

☆ Re: 高１　数列 / シャロン

右辺を計算すれば左辺になります。

No.13289 - 2011/02/28(Mon) 11:17:32

☆ Re: 高１　数列 / ビリー

すいません；

2n+1/n^2(n+1)^2から1/n^2-1/(n+1)^2

とは思いつきなのでしょうか？
それともよくある変換パターンなのでしょうか？

No.13307 - 2011/03/01(Tue) 21:48:59

☆ Re: 高１　数列 / ヨッシー

数列の和を求めるときには、よく目にします。

1/n(n-1)＝1/(n-1)－1/n
なんかもよく目にします。

遡れば、算数の問題の
　1/(1・2)＋1/(2・3)＋1/(3・4)＋・・・＋1/(99・100)
を求めなさい。というようなのも同類です。

No.13309 - 2011/03/01(Tue) 22:53:08

☆ Re: 高１　数列 / angel

分数でない場合でも似たような例として、
　n(n+1) = 1/3・( -(n-1)n(n+1) + n(n+1)(n+2) )
　n(n+1)(n+2) = 1/4・( -(n-1)n(n+1)(n+2) + n(n+1)(n+2)(n+3) )
　…
というのがあります。
2番目の例で言うと、
　1・2・3 + 2・3・4 + … + 8・9・10
　= 1/4・( -0・1・2・3・4 + 1・2・3・4 ) + 1/4・( -1・2・3・4 + 2・3・4・5 ) + … + 1/4・( -7・8・9・10 + 8・9・10・11 )
　= 1/4・( -0・1・2・3 + 8・9・10・11 )
のように、和を効率良く計算するのに役立つ訳です。
※両端以外はプラスの項とマイナスの項が同じだけ現れるので、和を取ると打ち消し合っています。

分数の場合でも、
　1/(n(n+1)) = 1/n-1/(n+1)
　1/(n(n+1)(n+2)) = 1/2・( 1/(n(n+1)) - 1/((n+1)(n+2)) )
　1/(n(n+1)(n+2)(n+3)) = 1/3・( 1/(n(n+1)(n+2)) - 1/((n+1)(n+2)(n+3)) )
　…
と、次数を上げたバリエーションがあります。

No.13326 - 2011/03/02(Wed) 22:58:07

☆ Re: 高１　数列 / シャロン

2n-1=n^2-(n-1)^2なんてのも使いますね。

これをつかえば、1からn番目までの奇数の総和は、
{2n-1}+{2(n-1)-1}+...+3+1
= {n^2-(n-1)^2}+{(n-1)^2-(n-2)^2}+...+(2^2-1^2)+(1^2-0^2)
= n^2+{-(n-1)^2+(n-1)^2}+{-(n-2)^2+...+2^2}+{-1^2+1^2}-0^2
= n^2+0+0+...+0+0-0^2
= n^2
となりますね。

No.13367 - 2011/03/07(Mon) 17:59:24

★ (No Subject) / omg

以下の方程式は与えられた区間に実数解をもつことを示せ。
?@2x^3+x^2-5x+1=0[0,1]
?Ax^3-3x-1=0[-2,-1],[-1,0],[1,2]

お願い致します。

No.13281 - 2011/02/27(Sun) 20:30:27

☆ Re: / X

(1)だけ示しますのでそれを参考にして
(2)を解いてみて下さい。

(1)
f(x)=2x^3+x^2-5x+1
のとき
f(0)＝1>0
f(-1)=-1<0
∴中間値の定理により題意は成立します。

No.13282 - 2011/02/27(Sun) 20:50:19

☆ Re: (No Subject) / omg

なんとなく理解できました。
中間値の定理って言うんですか‥
数?U範囲ですか？

＞f(-1)=-1<0

これはf(1)=-1<0ですよね？

(2)f(x)=x^3-3x-1とおく。
f(-2)=-3<0、f(-1)=1>0
f(0)=-1<0、f(1)=-3<0
f(2)=1>0

∴中間値の定理より題意成立

‥で、okですか？？

No.13283 - 2011/02/27(Sun) 21:37:56

☆ Re: / シャロン

一応、「f(x)は実数全体で連続なので」を、「中間値の定理より」の前にいったほうがいいでしょう。

No.13284 - 2011/02/27(Sun) 22:03:07

★ コラッツ予想的な問題 / ダンデ

こんばんは。以下の問題を教えてください。

自然数について、以下の規則で必ず１にすることができます。
規則?@：その数が奇数ならば１を足す。
規則?A：その数が偶数ならば２で割る。

たとえば、１０という数は、
１０→５→６→３→４→２→１
と６回で１になります。

ある数は８回で１になります。８回のうち１回は「規則?@」を、残りは「規則?A」を使います。ところが、「規則?@」で１を足すところを、間違えて１を引いてしまったため、「規則?A」が一回減り、全部で７回で１になりました。
ある数を求めなさい。

お願いいたします。

No.13278 - 2011/02/27(Sun) 19:14:18

☆ Re: コラッツ予想的な問題 / ヨッシー

規則１で１を足すところを、１引くと、本来の状況から、２少ない状況から始めて、
その後、規則２が１回減っているので、２少なくなることと、
規則２を１回行ったのと同じ効果があるということなので、
規則１のあと、４になったか、２になったかの違いです。
よって、１から逆にたどると
　１→２→４→３→６→１２→２４→４８→９６
よって、ある数は９６で、
　９６→４８→２４→１２→６→３→４→２→１
が
　９６→４８→２４→１２→６→３→２→１
になったということです。

No.13280 - 2011/02/27(Sun) 20:30:18

☆ Re: コラッツ予想的な問題 / ダンデ

わかりました。ありがとうございました。

No.13285 - 2011/02/27(Sun) 22:17:44

★ 数列の問題 / shun

高２です。以下の問題の解き方がわからないので教えてください。

a[n]=3n-1の等差数列がある。２００以下のa[n]のうち偶数であるものの和を求めよ。

答えは３４３４になるそうなのですが。宜しくお願いします。

No.13273 - 2011/02/27(Sun) 09:53:26

☆ Re: 数列の問題 / のぼりん

こんにちは。
ｎの範囲は、正整数と解しました。

ａ_ｎが２００以下となるためには、３ｎ－１≦２００、つまりｎ≦６７であることが必要十分です。
ａ_ｎが偶数となるためには、３ｎが奇数、つまりｎが奇数であることが必要十分です。
この条件は、ｎ＝２ｋ＋１と表すと、０≦ｋ≦３３と書けます。

従って、
　　　求める和＝??_ｋ＝０^３３｛３（２ｋ＋１）－１｝
　　　＝??_ｋ＝０^３３（６ｋ＋２）＝３，４３４
となります。

No.13276 - 2011/02/27(Sun) 11:33:50

☆ Re: 数列の問題 / shun

ありがとうございます。よく理解できました。

No.13296 - 2011/02/28(Mon) 21:43:20

★ サイコロ / ひよこ

３個のサイコロを同時に投げるとき出る目の最大値が６になる確率を求めよ。

解）確率では同じに見えるものでも全て区別して考えるので三つのサイコロをそれぞれ大,中,小と名付けると
大中小は順に
6\\
\6\
\\6
\66
6\6
66\
666
\:1～5

となるので、求める確率は（5・5×６＋１）/6^3=151/216

としたのですが、答えは９1/２１６でした。どこが悪いのか教えて下さい。何回やってもこの答えにならないのです。誰か助けてください。

No.13270 - 2011/02/27(Sun) 07:19:47

☆ Re: サイコロ / Kurdt（かーと）

こんにちは。

上3つはそれぞれ5×5通りですが、次の3つはそれぞれ5通りですよね。
そのため式は(25×3+5×3+1)/6^3 となるでしょう。

ただ、この方法より余事象を使ったほうがもっと簡単に解けますが。
（ 1-(6が出ない確率) とするだけで解けます）

No.13271 - 2011/02/27(Sun) 08:49:57

☆ Re: サイコロ / ひよこ

助かりました！！ありがとうございます！

No.13272 - 2011/02/27(Sun) 09:36:43

★ 空間２直線 / なな

質問失礼します。

２直線l:3-x=(y-5)/2=(z+5)/2、m:x-2=y/2=z+1がある。l上に点P、m上に点Qをとるとき、線分PQの最小値を求めよ。またそのときのP、Qの座標を求めよ。

解説宜しくお願いします。

No.13268 - 2011/02/26(Sat) 21:15:18

☆ Re: 空間２直線 / rtz

流れとしては、
P,Qをそれぞれ媒介変数を用いて表す。
→PQ²を、用いた媒介変数で表す。
→平方完成して最小値を求める。
です。

Pのx座標をpなどとしてy,z座標をだしましょう。
Qもqなどを使って表します。
PQ²をp,qの式にして、
PQ²＝(ap＋bq＋c)²＋(dq＋e)²＋f
の形に平方完成すれば、どのようなp,qで最小値をとるのか求まります。

No.13269 - 2011/02/26(Sat) 21:48:42

☆ Re: 空間２直線 / なな

求められました(^_^)

rtzさんありがとうございました。

No.13275 - 2011/02/27(Sun) 10:45:18