ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 高2　数列 / みさ

高2 数学わかりません！＞＜。

第9項が5、第27項が17の等差数列{an}がある。
（1）anをnを用いて表せ。
a9=a+（n-1）×d=5
a27=a+（n-1）×d=17

として連立で解くのかな・・・？と思ったのですが
ここで疑問が・・
等差はどうやってもとめればいいのでしょうか；；

（2）数列｛an｝の整数の項を小さい順にならべたものを数列｛bｎ}とする。bnをnを用いて表せ。
（3）（2）のとき、nΣk=1 akbk nΣk=1 1/akbkをnを用いて表せ。

数学は一番苦手なので誰か分かる方教えてください。
おねがいします＞＜

No.10862 - 2010/07/16(Fri) 16:41:06

☆ Re: 高2　数列 / 七

> 第9項が5、第27項が17の等差数列{an}がある。
> （1）anをnを用いて表せ。
> a9=a+（n-1）×d=5
> a27=a+（n-1）×d=17

a9=a+（9-1）×d=5
a27=a+（27-1）×d=17
です。
これでaとdは出ます。

No.10863 - 2010/07/16(Fri) 16:58:55

☆ Re: 高2　数列 / みさ

回答ありがとうございます。
（１）はできました！
（２）なんですが、正直問題の意味がよくわかりません。
申し訳ないのですが、お時間があれば考え方だけでもいいので教えていただけないでしょうか＞＜

No.10864 - 2010/07/16(Fri) 17:56:20

☆ Re: 高2　数列 / スーパーカブ

（１）の結果から数列を順に書き出してみましょう。
すると分数の項やら整数の項が表れると思います。
その整数の項だけを拾っていったのをBnとしようじゃないかってことです。

No.10865 - 2010/07/16(Fri) 21:14:21

★ 因数分解 / 真癒

下の問題を教えて下さいｍ(_　_)ｍ

１、8x＾3+y＾3
２、x＾2-y＾2+2y-1
３、x＾2+aｘ-x-2a-2
４、ab-bc+b＾2-ac
５、x＾2+2x-(y-1)(y-3)
７、x^2-xy-6y＾2+3x+y+2
８、2x＾2-3xy-2y^2+5x+5y-3

です。おしえてくださいｍ(_　_)ｍ

問題数多くてすみません(汗)

No.10859 - 2010/07/15(Thu) 20:26:04

☆ Re: 因数分解 / ヨッシー

1. (2x)^3+y^3
2. x^2-(y-1)~2
3. x^2+(a-1)x-2(a+1) より足して a-1、掛けて -2(a+1) に
　なる２数は？
4. a でくくる、残った部分も、ある数でくくる。
5. 足して 2、掛けて -(y-1)(y-3) になる２数は？
7. x^2+(3-y)x-6y^2+y+2＝x^2+(3-y)x-(3y-2)(2y+1) より
　足して 3-y、掛けて -(3y-2)(2y+1) になる２数は？
8. 2x^2+(5-3y)-2y^2+5y-3＝2x^2+(5-3y)-(2y-3)(y-1)
　あとはたすき掛け。

No.10860 - 2010/07/15(Thu) 21:37:53

☆ Re: 因数分解 / 真癒

返事遅くなってすみません。

ありがとうございました＾＾

No.11106 - 2010/08/04(Wed) 23:01:01

★ 整数問題 / 幸一

整数問題です。

正の整数aにたいして、2^aを9で割ったときのあまりをr(a)で表す。
（1）r(3),r(6)の値をそれぞれ求めよ。
(2) 正の整数a,b,kに対して、次の(ア),(イ)が成り立つことを求めよ。
(ア）r(a)=1,r(b)=x(x=0,1,2…,8)ならばr(a+b)=x
(イ) r(a)=1ならばr(ka)=1

(3) r(2007)の値を求めよ。

という問題です。(1)は分かりますが、(2),(3)が分かりません。ご教授お願いします。

No.10848 - 2010/07/14(Wed) 21:30:35

☆ Re: 整数問題 / スーパーカブ

（２）のヒント

r(a)=1よりr^a=9m＋1などとおけますね？
同様にr(b)も式で表し
2^(a＋b)を9で割ったあまりをかんがえましょう。

(ィ)も似たような感じですが2^(ka)=(2^a)^kに注意して2項定理でも使いましょう

No.10852 - 2010/07/14(Wed) 22:34:46

☆ 訂正 / スーパーカブ

r(a)=1よりr^a=9m＋1などとおけますね？
↓
r(a)=1より2^a=9m＋1などとおけますね？

No.10861 - 2010/07/15(Thu) 22:03:47

★ (No Subject) / おのでら

図において角度αを求めろという問題です。
電卓の使用は可で、求め方をご教示してくださると大変助かります。

図はURLにあります。

No.10846 - 2010/07/14(Wed) 20:35:48

☆ (No Subject) / おのでら

図をあげなおしました。
引き続きお願いします。

No.10847 - 2010/07/14(Wed) 20:37:32

☆ Re: / らすかる

それだけの情報では角度は一意的に決まりませんので、
求めることは出来ません。

No.10849 - 2010/07/14(Wed) 22:00:17

☆ (No Subject) / おのでら

申し訳ありません。
間違った図を提示してしまいました。

問題は以下の図です。。

No.10850 - 2010/07/14(Wed) 22:29:34

☆ (No Subject) / おのでら

図です。

No.10851 - 2010/07/14(Wed) 22:31:04

☆ Re: / らすかる

もしAB⊥BC, DA//CB, EC//AB, DE//FGならば、この図はあり得ません。
もしDEとFGが平行でないならば、50がどこを測ったものかわかりません。

No.10853 - 2010/07/14(Wed) 22:52:16

☆ (No Subject) / おのでら

問題に記述はありませんでしたが、AB⊥BC, DA//CB, EC//AB, DE//FGです。
問題通りに図も記しましたので、問題の間違いでしょうか？

もしよければ、図のどのあたりがあり得ないのか教えていただけませんでしょうか？

No.10854 - 2010/07/14(Wed) 23:02:21

☆ Re: / らすかる

もし「50」がなければ図は成り立ちますが、この場合
DEとFGの幅は50より大きくなります。
もし「70」がなくても図は成り立ちますが、この場合
BGは70より大きくなります。
もし「50」と「70」が正しいとしたら、「10」「25」「126」「120」の
どれかが誤りです。

No.10855 - 2010/07/14(Wed) 23:33:43

★ 教えて下さい / ねるそん

　ｘ+２ｙ+３ｚ＝ｘｙｚを満たす自然数ｘ、ｙ、ｚの組を求めなさい

No.10834 - 2010/07/10(Sat) 22:24:10

☆ Re: 教えて下さい / angel

なかなか良い方法は思い浮かびませんが…

ひとまず、両辺にxをかけて整理すると、
　x^2+2xy+3xz=(xy)(xz)
　x^2+6=(xy)(xz)-3xz-2xy+6
　(xy-3)(xz-2)=x^2+6
で、y=z=1となる解がないことは簡単に調べられますから、
y≧1かつz≧2 もしくは y≧2かつz≧1
前者の場合、
　(左辺)≧(x-3)(2x-2)=2x^2-8x+6
後者の場合、
　(左辺)≧(2x-3)(x-2)=2x^2-7x+6＞2x^2-8x+6
いずれにせよ、(左辺)≧2x^2-8x+6
よって、2x^2-8x+6≦x^2+6 が必要、これを解いて 0≦x≦8
後は、x＝1～8 に応じて (xy-3)(xz-2)=x^2+6 の解を虱潰しに調べる、でしょうか。

No.10835 - 2010/07/10(Sat) 23:40:09

☆ Re: 教えて下さい / ToDa

では、正統派ではない(？)答え方を。

まず、

X + Y + Z = XYZ/6　…　☆

をみたす自然数(X,Y,Z)の組を求める。

ここにX≦Y≦Zを仮定する。

XYZ/6 = X+Y+Z ≦ 3Z

ゆえ、XY ≦ 18 であり、X^2 ≦ XYであるから、
X^2 ≦ 18 したがってX = 1,2,3,4のいずれかに限られる。これらのそれぞれの場合を考える。

X=1のとき、☆; 1 + Y + Z = YZ/6 ∴ (Y-6)(Z-6) = 42で、Y-6,Z-6は整数なので、
(Y,Z) = (7,48),(8,27),(9,20),(12,13)を得る。

X=2,3,4の時も考えて(略)、結局、

(X,Y,Z) = (1,7,48),(1,8,27),(1,9,20),(1,12,13),(2,4,18),(2,6,8),(3,3,12),(3,4,7)
(ただし、仮定を排除するので、()内の順序は任意である)

を得る。

さて、☆において、X = x , Y = 2y , Z = 3zとすると、本来の題意に帰着されるので、(以下略)

No.10836 - 2010/07/11(Sun) 05:17:30

☆ Re: 教えて下さい / ねるそん

ありがとうございます。また質問した時はよろしくお願いします。

No.10837 - 2010/07/11(Sun) 09:30:04

★ 大１です。　位数と留数について質問させてください… / 鍵

∫[0→∞]sin^3x/x^3 dx

という問題ですが、f(z)=(3e^(iz)-e^(i3z)-2)/z^3 と置いてz=0を１位の極にして解いてました。

位数についてまだあまり理解しておらず、これが１位であることが直感でわかりません…
留数計算は、１位であることさえ分かれば何とか出来ました。

このような問題を解いていく上で、即座に位数がわかる方法があれば宜しくお願いします。
ローラン展開を利用すればいい、という記述を見つけましたが、これについてもまだ勉強が追い付いていなくて…　

宜しくお願いします!

No.10832 - 2010/07/10(Sat) 18:44:15

☆ Re: 大１です。　位数と留数について質問させてください… / のぼりん

どんなことでもそうですが、勉強せずに理解することは不可能だと思います。
畏れながら、先ずは、ローラン展開、留数、位数等の定義を確認し、関連定理等を十分理解して、それでも納得できなければ再質問された方が良いと思います。

No.10833 - 2010/07/10(Sat) 19:05:11

☆ Re: 大１です。　位数と留数について質問させてください… / 鍵

わかりました。
もう一度見返してきます。

No.10839 - 2010/07/11(Sun) 12:21:16

★ (a_n)の規則性を調べよ。 / 御手洗景子

F(t)=(1+t)^2/(1-t^2-t^3)=Σ(n=0～∞)(a_n)ｔ^nで(a_n)を定義する。
(a_n)の規則性を調べよ。
。

F(t)=(1+t)^2/(1-t^2-t^3)=Σ(n=0～∞)(a_n)ｔ^nで(a_n)を定義する。
(a_n)の規則性を調べよ。
また，下記の表を作って，(ａ_ｎ)/(a_(n＋1))と「F(t)の分母=0」との関係を調べてみよ。

ｎ　　(a_ｎ)　　 (a_(n+1)/a_n)
・　　　・　　　　　　・
・　　　・　　　　　　・
・　　　・　　　　　　・
・　　　・　　　　　　・

難しくて分からないので詳細に教えてもらえたらと思います。よろしくお願いします。
a_nの規則性は，基本だと思うのですが，分かりそうで分からないので教えてもらえませんか？

No.10828 - 2010/07/10(Sat) 17:03:15

☆ Re: (a_n)の規則性を調べよ。 / 小池イラたみ

「分かりそうで分からない」とは、どういう意味ですか？

丸投げをごまかすためなのか何なのか知らないけど、
「分かりそう」だなんて適当な嘘を言うもんじゃないよ。
なぜ嘘だと断言できるかというと、自分の手を動かして表を実際に作らない限り、規則性など分かるはずがないからです（そういう趣旨の出題です）。

No.11334 - 2010/08/26(Thu) 17:51:47

★ tanの加法公式tan=（α＋β＋γ）=をつくれ / 御手洗景子

tanの加法公式tan=（α＋β＋γ）=をつくれ

(1)tanの加法公式tan=（α＋β＋γ）=＿＿＿＿＿をつくれ。
(2)(1)を使って，π/4=2arctan(1/3)＋arctan(1/7)を示せ。
(3)(2)にarctanのtaylor展開を適用して，πを計算せよ。下記のような表を作れ。

展開の次数　　有理数表示　　小数表示
…
…
厳密値

（１）の加法定理は作ることができたのですが（２）（３）にどう使っていったらよいのか分かりません。
教えてください。

No.10826 - 2010/07/10(Sat) 16:59:09

☆ Re: tanの加法公式tan=（α＋β＋γ）=をつくれ / パパ

（２）はα＝β＝arctan(1/3),γ＝arctan(1/7)とおいて，両辺のtanを考えれば当然左辺は１となり，右辺は（１）を用いて１となることがわかります。
（３）はテイラー展開に1/3と1/7を代入して計算して（２）の式からπの計算ができます。

といった感じでいいのではないでしょうか。

No.10841 - 2010/07/12(Mon) 22:59:30

★ 積分（高3） / tan

∫x√(2-x)dx
という問題なんですが、2-x = tとおいたときに、参考書の解答(√(2-x) = t　とおいた場合)と異なった答えが出てしまいます。どこが間違っているのか指摘していただけないでしょうか。
ルートの中身は隣に()でくくってある部分です

∫x√(2-x)dx
t = 2-x　とおく
x = 2-t
dx/dt = -1
dx = -dt
x = 2-tより
∫(t-2)*√(t)dt
=∫t^(3/2) - t^(1/2)dt
=(2/5)t^(5/2)-(2/3)t^(3/2) + c
=(2/15)(3t^(5/2) - 5t^(3/2)) + c
=(2/15)t√(t)*(3t-5) + c
ここでt = 2-xより
(2/15)(x-2)√(2-x)(3x-1) + c

が解答です
正しい答えは(3x-1)の部分が(3x+4)になっています。
宜しくお願いします。

No.10823 - 2010/07/10(Sat) 14:31:24

☆ Re: 積分（高3） / 雀

∫(t-2)*√(t)dt
=∫t^(3/2) - t^(1/2)dt

となっていますが

∫(t-2)*√(t)dt
=∫t^(3/2) - ２t^(1/2)dt
ですね。

No.10824 - 2010/07/10(Sat) 15:24:14

☆ Re: 積分（高3） / tan

あわわ、計算ミスだったなんてお恥ずかしい限りです。
どうもありがとうございました。

No.10829 - 2010/07/10(Sat) 17:37:57

★ 三角関数（05弘前大学） / 文系

（１）sin5θ=16sin^5θ-20sin^3θ+5sinθを示せ。
（２）半径1の円に内接する正十角形の面積を求めよ。

というものです。分かる方教えてください。

No.10816 - 2010/07/10(Sat) 10:40:49

☆ Re: 三角関数（05弘前大学） / angel

(1)
sin5θ=sin(3θ+2θ) として、加法定理 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβを適用
その後、倍角・三倍角をそれぞれ処理
sin2θ=2sinθcosθ
cos2θ=1-2sin^2θ
sin3θ=3sinθ-4sin^3θ
cos3θ=4cos^3θ-3cosθ

最後に、cos^2θやcos^4θ=(cos^2θ)^2 が残るので、cos^2θ=1-sin^2θを使って全てsinに直す。

(2)
下の図のような三角形を考える。これは、正十角形を、外接円の中心をもとにして1/10に切り出したもの。
図にあるxは、方程式 x^2+x=1 の正の解として求められることから、この三角形の形状が分かる。
※二等辺三角形や相似の関係で、赤字の部分が分かる

そうすると、三角形の面積Sも求められる。
具体的には、S=1/2・x・√(1-(x/2)^2)
xの値を直接代入すると、二重根号が出てきて結構大変なので、両辺を平方した
S^2=1/4・x^2・(1-(x/2)^2) の形に直して整理するのが吉。
x^2+x=1 という関係があることから、x^2を消去して、xの一次式にまとめられる。

最終的に、正十角形の面積は 10S として計算できる。

No.10817 - 2010/07/10(Sat) 11:23:55

☆ Re: 三角関数（05弘前大学） / ToDa

(1)は、単に等式を示せばよいだけなので、sin5θ=sin(2θ+3θ)とでもして、地道に加法定理で展開しましょう。加法定理を使えるのであれば、実際にやってみればすぐに解けます。他にも方法はあると思いますがとりあえずこれが一番簡単だと思います。

(2)その正十角形は

の赤い三角形(中心角π/5)を10個集めたものなので、sin(π/5)の値が分かれば面積が出せるわけです。
この値を算出するために(1)の等式が誘導になっているわけですね。sin(π/5)を求めるのに都合が良くなるように(1)のθの値を調整してみましょう。

＃もっとも、この誘導に乗らなければならないという決まりはないわけで、元からsin(π/5)の値を知っていたり、他の求め方をご存じであれば誘導を無視しても構わないと思います。

No.10818 - 2010/07/10(Sat) 11:31:04

☆ Re: 三角関数（05弘前大学） / ヨッシー

こちらも参考にしてください。

No.10819 - 2010/07/10(Sat) 11:40:52

☆ Re: 三角関数（05弘前大学） / angel

ああそうか。5次方程式だけど、θ=36°とすれば実質2次方程式になるんですね。そっちの方が早いですね。

No.10820 - 2010/07/10(Sat) 11:52:21

☆ Re: 三角関数（05弘前大学） / 文系

有難うございます。
参考になります。

No.10822 - 2010/07/10(Sat) 13:44:11

★ 因数分解 / 高一

(a＋b)(b＋c)(c＋a)＋abc
を因数分解をしなさい。

という問題です。

よろしくお願いします。

No.10813 - 2010/07/09(Fri) 19:27:30

☆ Re: 因数分解 / ヨッシー

展開すると
a^2b+a^c+abc+b^2a+b^2c+abc+c^2a+c^2b+abc
となりますね。

なぜ、3abc としていないか。
なぜ項をこの順に並べているか、考えてください。

No.10814 - 2010/07/09(Fri) 21:32:19

☆ Re: 別解 / 七

aについて整理することを意識して展開すると
(a＋b)(b＋c)(c＋a)＋abc
＝(b＋c){a²＋(b＋c)a＋bc}＋abc
＝(b＋c)a²＋(b＋c)²a＋bc(b＋c)＋abc
＝(b＋c)a²＋{(b＋c)²＋bc}a＋bc(b＋c)
＝{a＋(b＋c)}{(b＋c)a＋bc}
＝(a＋b＋c)(ab＋bc＋ca)

(b＋c)a²＋{(b＋c)²＋bc}a＋bc(b＋c)
から
{a＋(b＋c)}{(b＋c)a＋bc}
への変形は
aについての2次式を「たすきがけ」の因数分解したものです。

No.10815 - 2010/07/10(Sat) 06:42:00

☆ Re: 因数分解 / 高一

すみません(汗)
なんで下の式から
その次の式になるのかわかりません(＞_＜)
理由(？)も教えてください(＞_＜)

(b＋c)a2＋(b＋c)2a＋bc(b＋c)＋abc
＝(b＋c)a2＋{(b＋c)2＋bc}a＋bc(b＋c)

No.10856 - 2010/07/15(Thu) 20:02:51

☆ Re: 因数分解 / 七

(b＋c)²a と abc をまとめただけです。

No.10858 - 2010/07/15(Thu) 20:08:38

★ 高２　数２ / pat

xy平面上に円A:x^2＋y^2＝25と直線B:y＝mxがある。

円Aと直線Bが異なる2点で交わるようなmの範囲を求めよ。

円Aと直線Bが異なる２点で交わる
⇔円Aの中心（０、０）と直線Bとの距離（dとする）が
d<5（円Aの半径）であればよい。

このことを利用して求めればでるとおもったのですが
点と直線の距離の公式をつかったとき
上の部分が０になってしまい答えまでいたりません。
どうしたらよいのでしょうか？
だれかわかるかたいましたら教えてください。おねがいします。

No.10809 - 2010/07/08(Thu) 23:38:59

☆ Re: 高２　数２ / angel

…問題はあっていますか?

もしあっているのなら、常に d=0 となるのは尤もな話でして。
なぜなら、直線Bは、mの値に関わらず円Aの中心(0,0)を通ることになるからです。

そうすると、mの値に関わらず d=0＜5 ということで、「任意の実数mは題意を満たす」言い方を替えれば、「題意を満たすようなmの範囲は、実数全体である」ということになります。

No.10811 - 2010/07/09(Fri) 00:10:59

★ 高３体積 / なつ

解き方がわからないので
質問させてもらいます(>_<)

0空間において点(0,0,0)を中心とする半径rの球と
点(1,0,0)を中心とする半径√1ーr^2の球との共通部分の体積をV(r)とする。

(1)V(r)を求めよ

(2)rが0V(r)を最大にするrの値およびV(r)を求めよ。

わかる方いらっしゃいましたら
教えていただけると嬉しいです。

よろしくお願いします。

No.10804 - 2010/07/08(Thu) 21:25:32

☆ Re: 高３体積 / angel

取り敢えず、図(グラフ)を描きましょう。
立体なので、全貌を把握するように描くのは難しいかもしれませんが、y軸方向から見てx-z平面図にすれば、2つの球の位置関係が掴めるはずです。( 平面図上では、それぞれ円に見える )

体積については、球の一部なので、軸に沿って断面積を計算し、適切な範囲で積分することです。
※球が2種類あるので、2箇所分計算して、最後に和を求めます。
具体的な積分計算はともかく、式まで立てることはできますか?

No.10806 - 2010/07/08(Thu) 22:46:22

☆ Re: 高３体積 / なつ

angelさん

お返事ありがとうございます！
図まで書いていただき
本当に感謝しています。

ｘーｚ平面にするところまではわかったのですが

共通部分の面積の求め方がわかりません…

書いてくださった図なんですが
三角形はどうして直角三角形になるとわかるんですか？

あとそこからどうやって面積を求めるのかわかりません…

すみません勉強不足で…

時間がありましたら
教えていただけると嬉しいです。

No.10807 - 2010/07/08(Thu) 23:27:58

☆ Re: 高３体積 / angel

> 三角形はどうして直角三角形になるとわかるんですか？
それは三角形の3辺の長さが分かっていて、なおかつ3平方の定理(ピタゴラスの定理)にあてはまっているから。
今回、ここの三角形は重要なので、何か特殊な形状ではないか、調べるものでしょう。
なお、ピンクと緑に塗った箇所の境界のx座標、r^2 というのも、この三角形が直角三角形であるところから分かります。小さく割った三角形が相似形になっているからです。

> あとそこからどうやって面積を求めるのかわかりません…
球の体積を積分で出す、ってやったことありませんか?
一般に半球の場合なら、
　∫[0,R] π(R^2-t^2)dt = 2/3・πR^3 ← 球の体積 4/3・πR^3の半分
のような計算をやります。

今回は球の一部の体積を求めるので、積分範囲がちょっと違うだけ。( 勿論 R の代わりに、それぞれの球の半径を使います )
・図中緑に塗った箇所に対応する体積
　∫[r^2,r] π(r^2-t^2) dt
・図中ピンクに塗った箇所に対応する体積
　∫[1-r^2,√(1-r^2)] π((1-r^2)-t^2) dt
ここで持ち出している t というのは、それぞれ球の中心から、積分のために考えている断面図までの距離です。( 前の書き込みの図の右側参照 )
なので、積分範囲も、「球の中心からどの程度離れている箇所が対象か」で決めています。
t を改めて持ち出さずに x を使って積分しても良いのですが…
( 断面図を x の関数で表し、x の範囲を指定して積分する )
ただ、右側の球 ( 中心が(1,0,0)の球 ) で出てくる式があまり綺麗でなく、分かりにくくなるでしょう。

No.10810 - 2010/07/09(Fri) 00:05:57

★ 高2　数列 / syooo

大学受験の数学に詳しい人、お願いいたします。

a,b,cという3つの数があり、abc=125,「a,b,c」は等差数列、「b,c,a」は等比数列のとき、a,b,cの値の組をすべて求めよ。

このもんだいで、c^2=abより、c^3=125より、c=5ですが、
c=(-5±5√3i)/2という2つの虚数解も出てきます。だから、(a,b,c)=｛(-5±5√3i)/2,(-5±5√3i)/2,(-5±5√3i)/2｝というような値の組もあるわけですが、数列の各項は実数と決まっているのでしょうか？　　　それとも公比や各項が虚数でもいいんでしょうか？

No.10803 - 2010/07/08(Thu) 11:18:50

☆ Re: 高2　数列 / スーパーカブ

問題文に実数とかいていなければ虚数も考えるべきです。
大学になれば関数を一般項にもつ関数列というのもでてくるくらいですから各項が実数という決まりはないです。

No.10808 - 2010/07/08(Thu) 23:34:09

☆ Re: 高2　数列 / syooo

わかりました、ありがとうございます！！

No.10812 - 2010/07/09(Fri) 13:08:31