ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 立体 / はるか

よろしくお願いします

No.13147 - 2011/02/16(Wed) 21:38:29

☆ Re: 立体 / シャロン

ABの中点をE、CDの中点をFとして、OEFを含む平面で考えましょう。各Q[n]の中心、接点はこの平面上にあります。

No.13155 - 2011/02/16(Wed) 22:47:34

☆ Re: 立体 / ヨッシー

Ｑ1 の中心をＳとして、ＳとＯＡＢＣＤを結ぶと、
１つの正四角錐（底面ＡＢＣＤ、高さｒ1）と、
４つの三角錐（底面ＯＡＢなど、高さｒ1）が出来ます。
四角錐Ｏ－ＡＢＣＤの体積Ｖは、
　Ｖ＝4a^2h/3
である一方、上の５つの立体に分けると、
　Ｖ＝(1/3)(□ABCD＋△OAB×４)ｒ1
とも書けます。
図において、△ＯＨＭは直角三角形で
　ＯＭ＝√(a^2+h^2)
であるので、
　△ＯＡＢ＝ａ√(a^2+h^2)
また、
　□ＡＢＣＤ＝4a^2
であるので、
　Ｖ＝(1/3){4a^2＋4a√(a^2+h^2)}ｒ1＝4a^2h/3
より
　ｒ1＝4a^2h/{4a^2＋4a√(a^2+h^2)}
　　＝h/{１＋√(１+(h/a)^2)}

右の図のように、Ｑ1の上に、ＡＢＣＤと平行な面を置くと、
正四面体　Ｏ－A'B'C'D' が出来ます。
これは、Ｏ－ＡＢＣＤと相似で、相似比は、
　ｈ：ｈ－h/{１＋√(１+(h/a)^2)}
であり、これに内接する球Ｑ2の半径は、Ｑ1 の
　１－１/{１＋√(１+(h/a)^2)}　倍
になります。
この関係は、Ｑ2とＱ3、Ｑ3とＱ4・・・ＱnとＱn+1 の間にも
成り立ちます。

あとは、等比数列の考え方で進められます。

No.13156 - 2011/02/16(Wed) 23:13:29

★ 数学A　高1　 / まきの

1以上40以下の整数の集合をＵとする｡Ｕを全体集合とし、Ｕの部分集合Ａ,Ｂ,Ｃを

Ａ={x｜xは36の正の約数}
Ｂ={x｜x=m^2、mは整数}

Ｃ={x｜x=3n+1,nは整数}
とする。

(1)Ａの要素の個数は何個か｡また,Ｂの要素の個数は何個か｡ＡＵＢの要素の個数は何個か｡

(2)Ｂ,Ｃの補集合をそれぞれＢ~,Ｃ~とする｡

整数xについて、xがＣ~の要素であることは、xがＡ∩Ｂ~の要素であるための〇｡

○に入るものを下の選択肢から選べ｡

?@必要十分条件
?A必要条件
?B十分条件
?Cどちらでもない
（2）は自分で考えたのですが間違ってるそうです。
A＝｛1,2,3,4,6,9,12,18,36｝
B＝｛1,4,9,16,25,36｝A∩B~はベン図を描いてBの丸の外とAの丸が重なるところなで
A∩B~＝｛2,3,6,12,18,36｝
またＣはC＝｛1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,40｝なで
C~=｛2,3,5,6,8,9,11,12,14,15,17,18,20,21,23,24,26,27,29,30,32,33,35,36,38,39}となるんじゃないかなぁとおもったのですが違ってます・・・
誰か正しい答えと自分の考えのどこが間違ってるのかおしえてください。おねがいします。

No.13143 - 2011/02/16(Wed) 20:35:24

☆ Re: 数学A　高1　 / シャロン

36はBの元なので、A∩(B~)には36は含まれませんね。

No.13144 - 2011/02/16(Wed) 20:54:22

☆ Re: 数学A　高1　 / ヨッシー

高々40個の要素なので、書き並べてみましょう。
Ａ＝{1,2,3,4,6,9,12,18,36} ９個
Ｂ＝{1,4,9,16,25,36}　６個
Ｃ＝{1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,40}　１４個
Ａ∩Ｂ＝{1,4,9,36}　４個
(1) Ａ：９個、Ｂ：６個、ＡＵＢ：１１個
(2) Ｃ~＝{2,3,5,6,8,9,11,12,14,15,17,18,20,21,23,24,26,27,29,30,32,33,35,36,38,39}
Ａ∩Ｂ~＝{2,3,6,12,18} 36は含まれません
よって、Ａ∩Ｂ~の要素は、すべてＣに含まれるので、
必要条件　です。

No.13145 - 2011/02/16(Wed) 20:55:03

☆ Re: 数学A　高1　 / ヨッシー

ただ、Ａ∩Ｂ~ にうっかり 36 を含めたとしても、
必要条件ですけどね。

No.13146 - 2011/02/16(Wed) 20:58:41

★ 入試問題（数?UB)です / ハオ

pを素数とする。xの二次方程式
x^2 +(p^2-7p-2)x + 2p^2-15p-8=0
が整数解を持つときpの値と方程式の解を求めよ。
という問題ですが
自分で解く際は解に関する問いだから解と係数の関係か二次方程式の解の公式か。pは素数だから恐らく整数問題の技巧の約数の拾い上げか。。じゃぁ解と係数の関係の方が妥当かな。と考え２解をα、βと置きαが整数とするとβも整数となる事を導きました。
ここで約数の拾い上げで因数分解するんだろうな。と思うことは出来るのですが
解答はα+β=-(p^2-7p-2)--?@　αβ=2p^2-15p-8--?A
?@*2+?Aよりαβ+2(α+β)=-p+4
よって(α+2)(β+2)=-p
としていたのですが
実際に入試会場で?@*2+?Aの操作をして因数分解を狙っていく流れが出来るとは思えません。
これは僕がまだまだ経験不足だからでしょうか？
?@?Aの式の形を見たら少し考えれば（或いは見た瞬間に）
これ因数分解できる形になるやんけ！と思わなければならないのでしょうか？それともこれは覚えるべき一連の流れなのでしょうか？　宜しくお願いします

No.13142 - 2011/02/16(Wed) 14:22:28

☆ Re: 入試問題（数?UB)です / フリーザ

?@、?Aからpを消去したいとは思いますが簡単には消去できないのでとりあえず厄介な次数の高い項だけでも消そうと思い?@*2+?Aを計算してみると偶然？うまくいくといった感じで私ならたどりつきますね。

No.13150 - 2011/02/16(Wed) 21:41:13

☆ Re: 入試問題（数?UB)です / 黄桃

こういうのは整数問題を解く時の典型的な発想ではないですか？

参考までに、以下に私の解き方（なぜこう解こうと思ったかも含め）を示します。
整数問題で素数が出てくるのですから、最初はpに関する定数項がpの倍数になることが利用できないか、と考えますが、どうもこれは駄目そうだとわかります。そこで、単なる整数問題として、
(1)元の式が因数分解できないか？
(2)因数分解できないとしてもx,pが整数なんだから（x,pの式）x（x,pの式）＝整数とならないだろうか？
と考えます。
そして、xの１次の係数がpに関して2次式、xに関する定数項もpに関して２次式であることから、
因数分解ぽいことができるとしたら
(x-定数)(x-(pの２次式))=何か
となるなあ、と思います。また、xに関する定数項の p^2の２次の係数から、左側は(x+2)しかないな、と考えて変形してみると、
(x+2)(x+p^2-7p-4)=p
となることがわかります。
ここまできて「ああ、問題文のpが素数というのはそういうことか」とわかって「どうやら解けたらしい」と思います。
そこでおもむろに、「元の式を変形すると…となる」と答案を書き始めます。

解答は、x,pの代わりにα、βでやってかっこよく解いていますが、発想はまったく同じです。

No.13157 - 2011/02/17(Thu) 00:23:43

☆ Re: 入試問題（数?UB)です / angel

その場で都合よく思いつけるかどうかは運もありますから、余り気にしない方が良いと思います。
pが素数なので、「uv=p より (u,v)=(±1,±p),(±p,±1)」と持っていけるのが理想ですが、それはある程度計算を試してみないとなんとも分からないでしょう。

なお、今回の問題は計算でゴリ押しすることもできます。
整数係数の2次方程式が整数解を持つため判別式が平方数、つまりある非負整数kに対して D=k^2 という条件から攻める方法です。
ここで、
　D=(p^2-7p-2)^2-4(2p^2-15p-8)
　=(p^2-7p-2)^2-8(p^2-7p-2)+16-4(2p^2-15p-8)+8(p^2-7p-2)-16
　=(p^2-7p-6)^2 + 4p
よって、非負整数 n=|p^2-7p-6| に対して 4p=k^2-n^2
この左辺4pは偶数のため、右辺も偶数でありk,nの偶奇は一致します。加えて k＞n となることから、ある整数 m≧1 に対して k=n+2m と表せるため、
　4p=(n+2m)^2-n^2
ということで、p=m(n+m) と待望の形に持っていくことができ、m=1, n=p-1 が導けます。
後はnを消去して、最終的に p-1=|p^2-7p-6| を解けば終わりです。

No.13158 - 2011/02/17(Thu) 00:31:11

☆ Re: 入試問題（数?UB)です / ハオ

皆さん有難う御座います
種々の別解やら発想の経路を学ぶ事が出来ました
黄桃さんの仰るように「やさしい理系数学」という参考書からなのでやはり典型例なのだと感じました。
これからも色々な典型例に触れていきたいと思います！

No.13166 - 2011/02/17(Thu) 11:20:38

★ 空間 / あきら

過去問です
お願いしますっ

No.13124 - 2011/02/15(Tue) 22:01:52

☆ Re: 空間 / あきら

すみません
画像入れ忘れです…

No.13125 - 2011/02/15(Tue) 22:02:30

☆ Re: 空間 / X

(2)以降は方針だけです。

題意からSの方程式は
(x-1)^2+(y-1)+(z-√10)^2=27 (A)
(1)
(A)とxy平面との交線の方程式は
(x-1)^2+(y-1)+(0-√10)^2=27,z=0
つまり
(x-1)^2+(y-1)^2=17,z=0 (A)'
(A)'にy=0を代入すると
x=±4,z=0
∴P(4,0,0)
同様に(A)'にx=0を代入することにより
Q(0,4,0)

(2)
題意から
↑OR=t↑OC=(t,t,t√10) (但しt>0)
と表すことができますので
R(t,t,t√10)
これが(A)'上の点であることから…

(3)
V=(1/3)・(△OAB(直角三角形です)の面積)・(点Rのz座標)
=…

(4)
まず問題の外接球の方程式を求めましょう。
外接球の方程式を
x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0
と置き、これが点O,P,Q,Rを通ることからa,b,c,dについての
連立方程式を立てます。

(5)
r[1]は(4)の結果を使えばいいのでr[2]の求め方を。
三角形の内接円の半径を求める際に三角形の面積を
(i)内接円の半径を用いる表し方
(ii)内接円の半径を用いない表し方
の２通りで表すという方針はご存知でしょうか？。
それと同様に四面体OPQRの体積Vを
(i)r[2]を用いる表し方
(ii)r[2]を用いない表し方(これは(3)の結果です)
で表してr[2]についての方程式を立てます。

No.13129 - 2011/02/15(Tue) 23:33:55

☆ Re: 空間 / ヨッシー

(1) は、
>(x-1)^2+(y-1)^2=17,z=0 (A)'
>(A)'にy=0を代入すると
のあとは、
　(x-1)^2＝16
　x-1＝±4
ｘ＞０よりｘ＝５　より
Ｐ（５，０，０）
同様に、Ｑ（０，５，０）
です。

No.13134 - 2011/02/16(Wed) 00:14:09

☆ Re: 空間 / ヨッシー

(2) は、Ｒ(5/2, 5/2, 5√10/2) になります。
(3) は、
　△ＯＰＱ＝25/2 より
　Ｖ＝(1/3)(25/2)(5√10/2)＝125√10/12
(4) は、
△ＯＰＱは、ｘｙ平面上にあり、外心は(5/2, 5/2, 0) なので、
求める球の中心は、(5/2, 5/2, t) となります。この点をＴとすると、
　ＯＴ^2＝25/2＋t^2
　ＲＴ^2＝(ｔ－5√10/2)^2
より、ｔ＝√10 このとき、半径に当たるＯＴは
　ＯＴ＝3√10/2　・・・　ｒ１
という方法もあります。

No.13138 - 2011/02/16(Wed) 06:19:55

☆ Re: 空間 / X

＞＞ヨッシーさんへ
(1)ですがご指摘ありがとうございます。
＞＞あきらさんへ
ごめんなさい。(1)ですがヨッシーさんの仰るとおり
計算ミスです。

No.13141 - 2011/02/16(Wed) 11:46:56

★ 積分？ / 猫

もう一問…お願いします

tを実数とし、f(x)=x^2+2tx+1とおく。0≦x≦1における関数f(x)の最大値と最小値をそれぞれg(t),h(t)とするとき

(1)g(t),h(t)をそれぞれtの関数として表せ。

(2)∫｛g(t)-h(t)｝dtの値を求めよ。（←-2から2の範囲）

よろしくお願いします

No.13123 - 2011/02/15(Tue) 22:00:07

☆ Re: 積分？ / シャロン

f(x)は定義域でtに関わらず単調増加であることが示せ、したがって、g(x)=f(1)、h(x)=f(0)です。

No.13133 - 2011/02/15(Tue) 23:56:01

☆ Re: 積分？ / angel

> f(x)は定義域でtに関わらず単調増加であることが示せ

それはダウトです。
まずは g(t) から。
y=f(x)は下に凸な放物線なので、区間における最大値は、その両端のどちらか ( または両方 ) で取ることになります。
0≦x≦1 の区間で考えた場合、最大値の候補は f(0)=1 か f(1)=2t+2 ですので、これらの大小を比較して、
　t≧-1/2 … g(t)=f(1)=2t+2
　t＜-1/2 … g(t)=f(0)=1
となります。

次にh(t)ですが、放物線の頂点がちょうど区間内にあるのならば、文句なしにそこが最小値になりますし、そうでないのなら、これまた端 ( 頂点から遠い方だけで良い ) を考えることになります。
ここで、f(x)=(x+t)^2+1-t^2 ということで、頂点は x=-t の所ですので、-1≦t≦0 ならば頂点が区間0≦x≦1にあることになります。よって、
　t＞0 … h(t)=f(0)=1
　-1≦t≦0 … h(t)=f(-t)=-t^2+1
　t＜-1 … h(t)=f(1)=2t+2
です。

(2)は区間により場合分けを。
g,hまとめて考える ( -2～-1, -1～-1/2, -1/2～0, 0～2 の4区間 ) のも良いですが、
∫(g(t)-h(t))dt = ∫g(t)dt - ∫h(t)dt
と分離すれば、それぞれ独立に区間の分け方を決めることができます。

No.13136 - 2011/02/16(Wed) 01:05:30

☆ Re: 積分？ / シャロン

angelさんご指摘ありがとうございました。
なぜか0≦x≦1を0≦t≦1と思い込んでいました。

猫さん、大変申し訳なかったです。angelさんのご回答を参考にしてください。

No.13140 - 2011/02/16(Wed) 07:18:28

★ 確率 / 猫

Nを自然数とする。赤いカード2枚と白いカードN枚が入っている袋から無作為にカードを1枚ずつ取り出して並べていくゲームをする。2枚目の赤いカードが取り出された時点でゲームは終了する。赤いカードが最初に取り出されるまでに取り出された白いカードの枚数をXとし、ゲーム終了時までに取り出された白いカードの総数をYとする。

(1)n=0,1,…,Nに対してX=nとなる確率pnを求めよ。

(2)Xの期待値を求めよ。

(3)n=0,1,…,Nに対して、Y=nとなる確率qnを求めよ。

お願いします

No.13122 - 2011/02/15(Tue) 21:55:22

☆ Re: 確率 / シャロン

(1)
p[n] = {N/(N+2)}*{(N-1)/(N+1)}*{(N-2)/N}*･･･*({N-(n-2)}/{(N+2)-(n-2)})*({N-(n-1)}/{(N+2)-(n-1)})*(2/{(N+2)-n})
(n-1枚目までは白を引き、n枚目に赤を引く確率)
= {2(N-n+1)}/{(N+2)(N+1)}
(分子・分母のN*(N-1)*･･･*{N-(n-2)}を約分)

(2)
Xの期待値E(X)は、
E(X) = Σ_{n=0}^{N} (p[n]*n)
= Σ_{n=0}^{N} (n*{2(N-n+1)}/{(N+2)(N+1)})
= {1/(N+2)}*Σ_{n=0}^{N} (n) ｰ {2/(N+1)(N+2)}*Σ_{n=0}^{N} (n^2)
(展開)
= {N(N+1)/(N+2)} ｰ {N(2N+1)}/{3(N+2)}
(ΣnとΣ(n^2)の公式より)
= N/3

(3)
q[n]は、n+2枚目までに、n枚の赤と1枚の白を引いたあと、白を1枚引く確率なので、
q[n] = {N/(N+2)}*{(N-1)/(N+1)}*{(N-2)/N}*･･･*({N-(n-2)}/{(N+2)-(n-2)})*({N-(n-1)}/{(N+2)-(n-1)})*(2/{(N+2)-n})*(n+1)*(1/{(N+2)-(n+1)})
= {2(n+1)}/{(N+2)(N+1)} (ごっそり約分できます)

No.13126 - 2011/02/15(Tue) 22:49:44

★ 高1　図形と方程式(? / れいひゃー

ｍが変化するとき、2直線　ｍｘ-ｙ+5ｍ=0、ｘ+ｍｙ-5=0　の交点は1つの円上にあることを証明せよ。

です。
2直線の交点(ｘ,ｙ)が(5-5ｍ^2/1+ｍ^2　,　10ｍ/1+ｍ^2)で、
ｘ=5-5ｍ^2/1+ｍ^2　より、
ｍ^2=-ｘ+5/ｘ+5　であることまではなんとなくわかりましたが、
ここから先がわかりません。

続きは

ｙ^2=100ｍ^2/(1+ｍ^2)^2
　　=(-ｘ+5)(ｘ+5)
よって、交点は一定円ｘ^2+ｙ^2=25上にあり、
点(-5,0)を除く。

といった流れになるそうなのですが、
なぜｙを二乗するのかがわからないですし、
二乗した計算が何度やってもあいません。
(-ｘ+5)(ｘ+5)　から一定円ｘ^2+ｙ^2=25上となるのと、
点(-5,0)はどうして除くのかもわかりません。
　
参考書などを見ても全く理解が出来ませんでした。
分かる方は、詳しく説明をしていただけるとありがたいです

No.13119 - 2011/02/15(Tue) 18:47:46

☆ Re: 高1　図形と方程式(? / ヨッシー

ｍ^2=(5-x)/(ｘ+5) まで来たら、次に考えることは、
ｙ＝10ｍ/(1+ｍ^2) に代入して、ｍを消去することです。
分母は良いですが、分子がｍしかないので、両辺２乗して
ｍ^2 を作ります。
　ｙ^2＝100m^2/(1+ｍ^2)^2
　100m^2＝100(5-x)/(ｘ+5)
　1+m^2＝10/(x+5)
より、
　ｙ^2＝100(5-x)/(ｘ+5)÷100/(x+5)^2
　　　＝(5-x)(5+x)
展開すると、
　y^2＝２５－ｘ^2
移項して、
　ｘ^2＋ｙ^2＝２５
ここで、ｍ^2=(5-x)/(ｘ+5) において、ｘ＋５が分母に来ていることに
注意すると、ｘ＝－５の時は、別扱いしないといけません。
ｘ＝5-5ｍ^2/1+ｍ^2 ですから、
　5-5ｍ^2/1+ｍ^2＝－５
とすると、
　５－５m^2＝－５(１＋ｍ^2)
　５＝－５
となり矛盾します。よって、ｘ＝－５となることはあり得ないので、
(-5,0) は含まないことになります。

No.13121 - 2011/02/15(Tue) 21:07:26

★ 包絡線 / J

tをパラメータとする直線群ｙ＝2tx-t^2(０≦t≦１）・・?@の範囲を動くとき、通過する領域を図示せよ。

?@をｔについて微分してｔ＝ｘ（よってｘ＝ｔが?@と包絡線の接点）
これを?@に代入してｙ＝２ｘ＾２－ｘ＾２＝ｘ＾２（包絡線）

なのですが、なぜこの方法で包絡線が求まるのかが分かりません。苦手なのでなるだけ詳しく教えて下さい。

No.13111 - 2011/02/15(Tue) 02:06:22

☆ Re: 包絡線 / ヨッシー

図のようにｘ座標ｘのところで切ると、切り口には、線がいっぱい
交わっていますが、それらの交点はｔを変数として、
　(x,2tx-t^2)
と書けます。ｘを固定値として、ｔにつれてｙがどう変化するかを調べると、
　ｙ＝2xt－t^2
ｔで微分して
　ｙ＝2x-2t
より、ｔ＝ｘのとき、ｙ座標は最大値ｙ＝ｘ^2 を取ります。
平方完成して、　ｙ＝-(t-x)^2＋x^2　としてもいいです。

すると、0≦ｘ≦1 の範囲では、図の点Ｂの座標は
　(ｘ、ｘ^2)
となり、ｙ＝ｘ^2 が包絡線となります。

No.13118 - 2011/02/15(Tue) 06:24:47

☆ Re: 包絡線 / J

誤植だと思いますが、
ｙ＝2x-2tは
ｙ’＝2x-2t、０＝2x-2tのどちらですか？

また、ｘ＝ｔが?@と包絡線の接点であることはどうやってわかるのですか？

No.13137 - 2011/02/16(Wed) 04:44:18

☆ Re: 包絡線 / ヨッシー

　ｙ’＝2x-2t ＝０　より、ｔ＝ｘ　・・・
です。

この問題を解くのに、最初から、包絡線を意識しているわけではありません。
あくまでも、線群の通る領域を調べているのであって、
結果として(必然的に？)、包絡線になり、ｘ＝ｔにおける接線を調べると、
傾き２ｔ　で、(t,t^2) を通るので、確かに
　ｙ＝2tx－t^2
になるなぁ。程度の理解で良いと思います。

No.13139 - 2011/02/16(Wed) 06:44:07

★ パラメータ曲線の接線について / 涼流

受験生です。いつもお世話になっております。
今回はパラメータ曲線の接線に関して質問があります。

# 問
x = t^2/2 + 1/t …… #1
y = t - t^4/4 …… #2
の概形を描け.

# 質問
dx/dt = t - 1/t^2
dy/dt = 1 - t^3
だから
dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
= (1 - t^3)(t - 1/t^2)
= -t^2(t^3 - 1)/(t^3 - 1)
よりt≠1のとき
dy/dx = -t^2
でt = 1では(yはxで)微分可能ではないですよね?

ということはここでの接線は持たないという認識でよろしいでしょうか?

ところが、解答にはt=1のとき成立しないはずの-t^2に1を代入して傾きを-1としています。
これは正しいのでしょうか?

だとしたら、一般に導関数の値が存在しない場合の接線の傾きはその極限を取っても構わないのでしょうか……?

よろしければどうかご教授願います。

No.13109 - 2011/02/15(Tue) 01:10:59

☆ Re: パラメータ曲線の接線について / rtz

解答にどのように書いてあるのか分かりませんが、
t＝1では接線は持ちません。

またlim[t→1+0]dy/dx＝-1、lim[t→1-0]dy/dx＝-1は両者正しいですが、
t＝1での傾きがそのまま書いてあるのはよくないと思います。

ただ、増減表などを書く場合、
定義域外であっても、導関数の値が計算できるケースもありますよね。
そういう場合、括弧つきで値を記しているような解答も見かけます。
今回はそういう扱いでいいと思いますが、
さすがに数値をそのまま書くだけなのは
個人的にあまりおすすめできないです。

No.13114 - 2011/02/15(Tue) 02:11:38

☆ Re: パラメータ曲線の接線について / 涼流

ご回答有難うございます。

失礼しました。問題の解答部分をスキャン致しました :
「ハイレベル理系数学 50テーマ・150題」p117 〔2003/4/8 初版第6刷〕 # 古本で買った旧課程の物ですが……

そうですよね……接線なんてありませんよね……。
ただ、いろいろと調べている内に次のような定理を発見しました :
> f(x) が x = a の付近で連続で、x = a を除いては微分可能であり、
> lim[x→a] f'(x) = A
> という有限な極限が存在するとき、f(x) は x = a でも微分可能で f'(a)=A となる。
( 外部リンク : http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/basic1/conti1/node4.html )

ただ、この場合はx < 3/2では連続ではないのでこれは使えないですよね……。

ただ、グラフをかくときに便宜的な接線として描けばいいですよね。

No.13120 - 2011/02/15(Tue) 20:24:13

☆ Re: パラメータ曲線の接線について / angel

補足ですが、「t=1の時に dx/dt=0 だから t=1に対応するxのところで接線がない」というわけではありません。
どちらかと言えば、t=1の付近で取るxの値がx≧3/2だから、つまり t=1 に対応する x=3/2 がちょうど曲線の折り返し点になっているからという要因の方が大きいでしょう。

今回のケースでは確かに接線がありませんが、場合によっては接線ができることもあります。
例えば
　x=-t^2+3t+1/t
　y=1/4・t^4-3/2・t^2+2t
は、同じように t=1 のところで dx/dt=0 となりますが、t=1に対応する点 (3,3/4) で接線 y=-x+15/4 を持ちます。
実は t=1 の時、dx/dt=d^2x/dt^2=0, dy/dt=d^2y/dt^2=0 と、1次・2次の微分係数が共に0であり、dy/dx=(d^3y/dt^3)/(d^3x/dt^3) と3次の微分係数同士の分数で傾きが計算できるのです。
※普通に (dy/dt)/(dx/dt) の極限で考えても同じですが。

この話は高校の範囲を超えるものだと思いますので、深く気にする必要はありませんが、ケースバイケースということです。

No.13135 - 2011/02/16(Wed) 00:44:53

☆ Re: パラメータ曲線の接線について / 涼流

> t=1の時に dx/dt=0 だから t=1に対応するxのところで接線がない
考えてみれば円の場合 :
x = cosθ
y = sinθ
もdx/dθ = -sinθでθ=0のとき0ですよね……。(でも一応接線がある……)
などもありますよね。
勘違いをしていました。

パラメータの時の微分可能についてよく学んでいないので受験が終わったら数学をもっと深く勉強したいと思います。

> 実は t=1 の時、dx/dt=d^2x/dt^2=0, dy/dt=d^2y/dt^2=0 と、1次・2次の微分係数が共に0であり、dy/dx=(d^3y/dt^3)/(d^3x/dt^3) と3次の微分係数同士の分数で傾きが計算できるのです。
ロピタルの定理みたいですね。

* * *

今回はどうもありがとうございました。
少しだけすっきりしました。

No.13162 - 2011/02/17(Thu) 00:52:56

★ 領域 / ぬこ

またまた領域の問題です

連立不等式x^2+y^2≦25と(y-2x-10)(y+x+5)≦0の表す領域をDとする。

(1)領域を図示せよ。

(2)点(x,y)がこの領域Dを動くとき、x+2yの最大値Mと最小値mを求めよ。また、M、mに与えるDの点を求めよ。

(3)aを実数とする。点(x,y)が領域を動くとき、ax+yが
点(3,-4)で最大値をとるようなaの範囲を求めよ。

これも過去問です
よろしくお願いします

No.13105 - 2011/02/14(Mon) 23:32:48

☆ Re: 領域 / ばる

（１）はx^2+y^2＝25とy-2x-10＝０、y+x+5＝０のグラフを描いてください。交点も調べないといけないので少し面倒です。

（２）は線形計画法で求めます。ｘ＋２ｙ＝ｋとおいて（１）で描いたグラフを元にｋを変化させてみてください。ｋが最大となるのはｙ＝（ｋ－ｘ）/2のｙ切片が最大のとき、ｋが最小となるのはｙ切片が最小となるときです。

No.13116 - 2011/02/15(Tue) 02:18:49

★ 高1　数学 / すぶや

2個のさいころＡ，Ｂを同時に振って、出た目をそれぞれ a,bとする

a<b となる場合は ?B通り、a<b または a+b=6 となる場合は ?C通りである

3個のさいころＡ，Ｂ，Ｃを同時に振って、出た目をそれぞれ a,b,c とする

a,b,c がいずれも２以下で a+b, b+c, c+a, の少なくとも1つが３となる場合は ?D通りある

a,b,c のうち1つだけが３以上で a+b, b+c, c+a, の少なくとも1つが３となる場合は ?E通りある

したがって、a+b, b+c, c+a, の少なくとも1つが３となる確率は ?Fである

a+b, b+c, c+a, がすべて６となる確率は ?Gであり

a+b, b+c, c+a, の少なくとも1つが６となる確率は ?Hである

?Bと?Cは書き出せば解けたのですがもう少し利口なやり方を知りたいです。
以降の問題はさっぱりわかりません。
誰か分かる方教えてください。お願いします。

答えは?@２
?A５
?B15
?C18
?D6
?E6
?F１/18
?G１/216
?H19/54です。

No.13103 - 2011/02/14(Mon) 22:37:39

☆ Re: 高1　数学 / ヨッシー

?@?Aは問題がないので、サクッと通過して、
?B
a=1 のとき、bは、2～6 の5通り。
a=2 のとき、bは、3～6 の4通り。
以下、3通り、2通り、1通り、0通りで、合計15通り　です。
?C
?Bの15通り以外に、a≧b で、a+b=6 となるのは、
　(a,b)=(3,3),(4,2),(5,1)
の3通りあるので、計18通り。

?D
a,b,c がすべて1か2になるのは、2×2×2＝8(通り)
このうち、どの2つも和が3にならないのは、
　(a,b,c)＝(1,1,1),(2,2,2)
の2通りなので、これを除いて、6通り

?E
a=3,4,5,6 に対して、(b,c)=(1,2),(2,1) の2通りがあるので、
「ａが3以上の場合」は、4×2＝8(通り)
「ｂが3以上の場合」「ｃが3以上の場合」についてもそれぞれ8通りで、
合計　8×3＝24　　(６ではありません)

?F
目の出方は全部で6×6×6＝216(通り)
a+b, b+c, c+a, の少なくとも1つが３となるのは、
?Dの場合と?Eの場合で、両者に重複はないので、
全部で30通り
確率は、30/216＝5/36　(1/18 ではありません)

?G
(a,b,c)＝(3,3,3) の場合だけなので、確率は、1/216

?H
まず、「a+b だけが６」の場合を考えます。
a+b=6 となるのは、5通り
a=b=3 のとき、ｃの取れる数は３以外の５通り。
それ以外の４通りについて、ｃの取れる数はａでもｂでもない４通りで、計１６通り
以上より、「a+b だけが６」になるのは 21通り
「b+c だけが６」「c+a だけが６」もそれぞれ21通り。
次に「a+b と b+c だけが６」を考えると
a=b=3 の場合はc=3 となり、c+a も6になるので、不適。
それ以外の4通りについて、ｃはａと同じであればいいので、1通り
よって、「a+b と b+c だけが６」となるのは4通り。
「b+c と c+a だけが６」「c+a と a+b だけが６」もそれぞれ4通りで、合計12通り。

以上より、a+b, b+c, c+a, の少なくとも1つが６となるのは、
　21×3＋4×3＋1＝76
求める確率は、
　76/216＝19/54

No.13107 - 2011/02/15(Tue) 00:03:21

☆ Re: 高1　数学 / シャロン

横から失礼します。

○3は、

全体が6*6とおり、a=bとなるのが1～6の6とおりで、対称性からa＜bとなる場合とa＞bとなる場合が同じだけあるので、(6*6-6)/2=15とおりと求めることもできますね。

No.13108 - 2011/02/15(Tue) 00:56:30

★ 数列 / あおい

最後はきれてしまっていますが
ｎを用いて表せです

お願いします

No.13097 - 2011/02/13(Sun) 23:06:19

☆ Re: 数列 / ヨッシー

(1)
ａ₁＝Ａsinθ/(１＋sinθ)
ａ₂＝(Ａ－２ａ₁)sinθ/(１＋sinθ)
より、
ａ₂/ａ₁＝(Ａ－２ａ₁)sinθ/Ａsinθ
　＝(Ａ－２ａ₁)/Ａ
　＝１－２ａ₁/Ａ
　＝１－２Ａsinθ/Ａ(１＋sinθ)
　＝(１－sinθ)/(１＋sinθ)

(2)
ａ_n＝{Ａ－2(ａ₁＋・・・ａ_n-2)－２ａ_n-1}sinθ/(１＋sinθ)
　　＝ａ_n-1－２ａ_n-1sinθ/(１＋sinθ)
　　＝ａ_n-1(１－sinθ)/(１＋sinθ)

(3)
(2) の結果より　ａn は、公比(１－sinθ)/(１＋sinθ)の等比数列。
　(１－sinθ)/(１＋sinθ)＝ｒ
とおくと、
　Ｓ_n＝ａ₁(１＋ｒ＋ｒ²＋・・・ｒ^n-1)
　　＝ａ₁(ｒⁿ－１)/(ｒ－１)
あとは、ａ₁＝Ａsinθ/(1+sinθ) と、ｒを(１－sinθ)/(１＋sinθ)
に戻せば出来上がりです。

No.13098 - 2011/02/13(Sun) 23:46:43

★ ファクシミリの原理？らしいです　対象学年は２年か３年生だと思います。 / バルト３国

座標平面上のP(a,a)Q(-1+a,1-a)を結ぶ線分をPQとする。

aが０≦a≦１の範囲を動くとき、線分PQと直線ｘ＝１/2との交点の軌跡を求めよ。答え）線分ｘ＝1/2、１/2≦y≦5/8
また、
aが０≦a≦１の範囲を動くとき、線分PQの通る領域の面積Sをもとめよ。答え）1/3

解答を見たのですが、不等式の羅列にしか見えず、意味が分かりませんでした。どなたかわかりやすく教えて（解説して）もらえませんか？

No.13092 - 2011/02/13(Sun) 16:44:34

☆ Re: ファクシミリの原理？らしいです　対象学年は２年か３年生だと思います。 / ヨッシー

(1)
まず、ＰＱが色々動くと、図のようになります。

この領域と、x=1/2 との交点は、当然 x=1/2 上にあるのですが、
その中の、点Ａと点Ｂで区切られた部分が答えとなります。
点Ａは、Ｐ(1,1), Q(0,0) の時ですが、点Ｂは、すぐには求まりません。
まず、ＰＱを通る直線の式を求めると、傾きは 2a-1 なので、
　y-a＝(2a-1)(x-a)
　y＝(2a-1)x-2a^2+2a
これと、x=1/2 との交点のｙ座標は、
　-2a^2+3a-1/2＝-2(a-3/4)^2+5/8
より、a=3/4 のとき、最大値 5/8
よって、点Ｂの座標は(1/2,5/8) で、点Ａ(1/2,1/2) と合わせて、
　x=1/2 , 1/2≦ｙ≦5/8
となります。

(2)
面積は、対象性から、ｘ≧0 の部分(第1象限)だけを、計算して、
２倍することにします。
(1) では、x=1/2 について考えましたが、一般の x=t (0≦t≦1) について
考えます。
点Ａに当たる座標は(t,t) です。
次に、点Ｂに当たる点の座標は、
　y＝(2a-1)x-2a^2+2a
において、x=t とすると、ｙ座標は
　ｙ＝(2a-1)t-2a^2+2a
　　＝-2a^2+(2+2t)a-t
　　＝-2{a-(1+t)/2}^2+(t^2+1)/2
よって、a=(1+t)/2 のとき、最大値 (t^2+1)/2 となります。

ＰＱが通る領域を、ｘ＝ｔで切ったときの切り口の長さは、
　(t^2+1)/2－t＝(t^2-2t+1)/2
これを、ｔ＝０からｔ＝１まで積分して２倍します。
　Ｓ＝２∫_0～1(t^2-2t+1)/2dt
　　＝[t^3/3－t^2＋t]_0～1
　　＝1/3

No.13094 - 2011/02/13(Sun) 18:59:27

☆ Re: ファクシミリの原理？らしいです　対象学年は２年か３年生だと思います。 / バルト３国

まず一番最初の、グラフの書き方が分からないです・・・。

No.13101 - 2011/02/14(Mon) 12:18:10

☆ Re: ファクシミリの原理？らしいです　対象学年は２年か３年生だと思います。 / ヨッシー

P(a,a)Q(-1+a,1-a) なので、a を０≦a≦１の範囲で色々変えて
P(0,0) - Q(-1,1)
P(0.1,0.1) - Q(-0.9,0.9)
P(0.2,0.2) - Q(-0.8,0.8)
　・・・・・
P(0.9,0.9) - Q(-0.1,0.1)
P(1,1) - Q(0,0)
などを引くと、上のような領域が表せます。

No.13102 - 2011/02/14(Mon) 17:59:26

★ 数2…？ / 威

1辺の長さが1の正二十面体Wのすべての頂点が球Sの表面上にあるとき、次の問いに答えよ。なお、正二十面体は、すべての面が合同な正三角形であり、各頂点は5つの正三角形に共有されている。

(1)正二十面体の頂点の総数を求めよ
(2)正二十面体Wの1つの頂点をA、頂点Aからの距離が1である5つの頂点をB,C,D,E,Fとする。
sin36°=｛√(10-2√5)｝/4を用いて、正五角形BCDEFの外接円の半径Rと対角線BEの長さを求めよ
(3)2つの頂点D,Eからの距離が1である2つの頂点のうち、頂点AでないほうをGとする。球Sの直径BGの長さを求めよ
(4)球Sの中心をOとする。△DEGを底面とする三角錐ODEGの体積を求めよ

長々すみません
よろしくおねがいします

No.13087 - 2011/02/13(Sun) 12:23:29

☆ Re: 数2…？ / ヨッシー

(1)
正三角形を全部バラバラにすると、三角が20個出来るので、
頂点は60個です。これを組み立てると、５つの頂点が集まって、
１つの頂点になるので、
　60÷5＝12(個)
です。
(2) 以降に入る前に
こちらや、こちらを、見て正二十面体のイメージを
つかんで下さい。

No.13089 - 2011/02/13(Sun) 12:44:13

☆ Re: 数2…？ / ヨッシー

(2)
まず、sin36°＝{√(10-2√5)}/4 より
cos36°＝(√5＋１)/4 を求めておきます。

ＢＣの中点をＭとします。
△ＢＭＯにおいて　∠ＢＯＭ＝36°であるので、
　sin36°＝ＢＭ/ＢＯ
より
　ＢＯ＝ＢＭ/36°＝(1/2)4/√(10-2√5)＝2/√(10-2√5)
　　＝{√(50+10√5)}/10

ＢＥとＯＦの交点をＮとします。
△ＢＦＮにおいて、∠ＦＢＮ＝36°であるので、
　ＢＮ＝ＢＦcos36°＝(√5＋１)/4
よって、ＢＥ＝２ＢＮ＝(√5＋１)/2

No.13095 - 2011/02/13(Sun) 20:33:42

☆ Re: 数2…？ / ヨッシー

(3)
ＢＧは、球の直径であるので、△ＢＥＧは∠ＢＥＧ＝90°の
直角三角形。
よって、
　ＢＧ^2＝ＢＥ^2＋ＥＧ^2
　　　＝(3＋√5)/2＋1＝(5＋√5)/2
　ＢＧ＝{√(10+2√5)}/2

(4)
ＯＤ＝ＯＥ＝ＯＧ＝ＢＧ/2＝{√(10+2√5)}/4
△ＥＧＤの重心をＰとすると、△ＯＰＥは直角三角形であり、
　ＯＥ＝{√(10+2√5)}/4
　ＥＰ＝√3/3
より
　ＯＰ^2＝ＯＥ^2＋ＥＰ^2
　　　＝(23＋3√5)/24
　ＯＰ＝(3√5＋1)/4√3＝(3√15＋√3)/12
これが高さとなり、底面△ＤＥＧの面積は、√3/4 であるので、
求める体積は、
　(1/3)(√3/4)(3√15＋√3)/12
　＝(3√5+1)/48

No.13096 - 2011/02/13(Sun) 21:01:11

★ 積分 / ちかこ

同じく過去問です

実数aが1/2≦a≦3/2を動くとき、S(a)=∫｜(3x-4)(x-4)｜dx
（範囲はaからa+1）を最小にするaの値を求めよ

No.13085 - 2011/02/13(Sun) 12:09:24

☆ Re: 積分 / シャロン

解いていくと数値が複雑になりますが、与式は正しいでしょうか？

確認してください。

No.13090 - 2011/02/13(Sun) 15:49:34

☆ Re: 積分 / ヨッシー

面積の変化状況は、上のようになります。

ある状態を拡大すると、上の図のようになりますが、
この状態から、a が dx だけ右に行くと、面積は、mdx 減って、ndx 増えますので、
変化率は、n-m となります。
最初は、n-m＜0 で、面積は、減りますが、やがて n=m となり、
n-m＞0 となり、面積は増えていきます。
この、n=m となる位置を調べます。
　f(x)＝(3x-4)(x-4)＝3x^2-16x+16　　※絶対値を取っています。
を考えると、f(a)＝－f(a+1) となります。
　f(a)＋f(a+1)＝3{a^2+(a+1)^2}-16{a+(a+1)}+16+16
　　＝6a^2-26a+19＝０
これを 1/2≦a≦3/2 の範囲で解いて、
　ａ＝(13－√55)/6

No.13091 - 2011/02/13(Sun) 15:56:18

☆ Re: 積分 / シャロン

aを求める問題でしたね、必死にS(a)を出そうとしてました。失礼しました。

No.13093 - 2011/02/13(Sun) 17:29:19