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★ 数列 / あおい
最後はきれてしまっていますが
ｎを用いて表せです

お願いします
No.13097 - 2011/02/13(Sun) 23:06:19
☆ Re: 数列 / ヨッシー
(1)
ａ1＝Ａsinθ/(１＋sinθ)
ａ2＝(Ａ−２ａ1)sinθ/(１＋sinθ)
より、
ａ2/ａ1＝(Ａ−２ａ1)sinθ/Ａsinθ
　＝(Ａ−２ａ1)/Ａ
　＝１−２ａ1/Ａ
　＝１−２Ａsinθ/Ａ(１＋sinθ)
　＝(１−sinθ)/(１＋sinθ)

(2)
ａn＝{Ａ−2(ａ1＋・・・ａn-2)−２ａn-1}sinθ/(１＋sinθ)
　　＝ａn-1−２ａn-1sinθ/(１＋sinθ)
　　＝ａn-1(１−sinθ)/(１＋sinθ)

(3)
(2) の結果より　ａn は、公比(１−sinθ)/(１＋sinθ)の等比数列。
　(１−sinθ)/(１＋sinθ)＝ｒ
とおくと、
　Ｓn＝ａ1(１＋ｒ＋ｒ2＋・・・ｒn-1)
　　＝ａ1(ｒn−１)/(ｒ−１)
あとは、ａ1＝Ａsinθ/(1+sinθ) と、ｒを(１−sinθ)/(１＋sinθ)
に戻せば出来上がりです。
No.13098 - 2011/02/13(Sun) 23:46:43
★ ファクシミリの原理？らしいです　対象学年は２年か３年生だと思います。 / バルト３国
座標平面上のP(a,a)Q(-1+a,1-a)を結ぶ線分をPQとする。

aが０≦a≦１の範囲を動くとき、線分PQと直線ｘ＝１/2との交点の軌跡を求めよ。答え）線分ｘ＝1/2、１/2≦y≦5/8
また、
aが０≦a≦１の範囲を動くとき、線分PQの通る領域の面積Sをもとめよ。答え）1/3

解答を見たのですが、不等式の羅列にしか見えず、意味が分かりませんでした。どなたかわかりやすく教えて（解説して）もらえませんか？
No.13092 - 2011/02/13(Sun) 16:44:34
☆ Re: ファクシミリの原理？らしいです　対象学年は２年か３年生だと思います。 / ヨッシー
(1)
まず、ＰＱが色々動くと、図のようになります。

この領域と、x=1/2 との交点は、当然 x=1/2 上にあるのですが、
その中の、点Ａと点Ｂで区切られた部分が答えとなります。
点Ａは、Ｐ(1,1), Q(0,0) の時ですが、点Ｂは、すぐには求まりません。
まず、ＰＱを通る直線の式を求めると、傾きは 2a-1 なので、
　y-a＝(2a-1)(x-a)
　y＝(2a-1)x-2a^2+2a
これと、x=1/2 との交点のｙ座標は、
　-2a^2+3a-1/2＝-2(a-3/4)^2+5/8
より、a=3/4 のとき、最大値 5/8
よって、点Ｂの座標は(1/2,5/8) で、点Ａ(1/2,1/2) と合わせて、
　x=1/2 , 1/2≦ｙ≦5/8
となります。

(2)
面積は、対象性から、ｘ≧0 の部分(第1象限)だけを、計算して、
２倍することにします。
(1) では、x=1/2 について考えましたが、一般の x=t (0≦t≦1) について
考えます。
点Ａに当たる座標は(t,t) です。
次に、点Ｂに当たる点の座標は、
　y＝(2a-1)x-2a^2+2a
において、x=t とすると、ｙ座標は
　ｙ＝(2a-1)t-2a^2+2a
　　＝-2a^2+(2+2t)a-t
　　＝-2{a-(1+t)/2}^2+(t^2+1)/2
よって、a=(1+t)/2 のとき、最大値 (t^2+1)/2 となります。


ＰＱが通る領域を、ｘ＝ｔ で切ったときの切り口の長さは、
　(t^2+1)/2−t＝(t^2-2t+1)/2
これを、ｔ＝０からｔ＝１まで積分して２倍します。
　Ｓ＝２∫0〜1(t^2-2t+1)/2dt
　　＝[t^3/3−t^2＋t]0〜1
　　＝1/3
No.13094 - 2011/02/13(Sun) 18:59:27
☆ Re: ファクシミリの原理？らしいです　対象学年は２年か３年生だと思います。 / バルト３国
まず一番最初の、グラフの書き方が分からないです・・・。
No.13101 - 2011/02/14(Mon) 12:18:10
☆ Re: ファクシミリの原理？らしいです　対象学年は２年か３年生だと思います。 / ヨッシー
P(a,a)Q(-1+a,1-a) なので、a を０≦a≦１の範囲で色々変えて
P(0,0) - Q(-1,1)
P(0.1,0.1) - Q(-0.9,0.9)
P(0.2,0.2) - Q(-0.8,0.8)
　・・・・・
P(0.9,0.9) - Q(-0.1,0.1)
P(1,1) - Q(0,0)
などを引くと、上のような領域が表せます。
No.13102 - 2011/02/14(Mon) 17:59:26
★ 数2…？ / 威
1辺の長さが1の正二十面体Wのすべての頂点が球Sの表面上にあるとき、次の問いに答えよ。なお、正二十面体は、すべての面が合同な正三角形であり、各頂点は5つの正三角形に共有されている。

(1)正二十面体の頂点の総数を求めよ
(2)正二十面体Wの1つの頂点をA、頂点Aからの距離が1である5つの頂点をB,C,D,E,Fとする。
sin36°=｛√(10-2√5)｝/4を用いて、正五角形BCDEFの外接円の半径Rと対角線BEの長さを求めよ
(3)2つの頂点D,Eからの距離が1である2つの頂点のうち、頂点AでないほうをGとする。球Sの直径BGの長さを求めよ
(4)球Sの中心をOとする。△DEGを底面とする三角錐ODEGの体積を求めよ

長々すみません
よろしくおねがいします
No.13087 - 2011/02/13(Sun) 12:23:29
☆ Re: 数2…？ / ヨッシー
(1)
正三角形を全部バラバラにすると、三角が20個出来るので、
頂点は60個です。これを組み立てると、５つの頂点が集まって、
１つの頂点になるので、
　60÷5＝12(個)
です。
(2) 以降に入る前に
こちらや、こちらを、見て正二十面体のイメージを
つかんで下さい。
No.13089 - 2011/02/13(Sun) 12:44:13
☆ Re: 数2…？ / ヨッシー
(2)
まず、sin36°＝{√(10-2√5)}/4 より
cos36°＝(√5＋１)/4 を求めておきます。

ＢＣの中点をＭとします。
△ＢＭＯにおいて　∠ＢＯＭ＝36°であるので、
　sin36°＝ＢＭ/ＢＯ
より
　ＢＯ＝ＢＭ/36°＝(1/2)4/√(10-2√5)＝2/√(10-2√5)
　　＝{√(50+10√5)}/10

ＢＥとＯＦの交点をＮとします。
△ＢＦＮにおいて、∠ＦＢＮ＝36°であるので、
　ＢＮ＝ＢＦcos36°＝(√5＋１)/4
よって、ＢＥ＝２ＢＮ＝(√5＋１)/2
No.13095 - 2011/02/13(Sun) 20:33:42
☆ Re: 数2…？ / ヨッシー
(3)
ＢＧは、球の直径であるので、△ＢＥＧは∠ＢＥＧ＝90°の
直角三角形。
よって、
　ＢＧ^2＝ＢＥ^2＋ＥＧ^2
　　　＝(3＋√5)/2＋1＝(5＋√5)/2
　ＢＧ＝{√(10+2√5)}/2

(4)
ＯＤ＝ＯＥ＝ＯＧ＝ＢＧ/2＝{√(10+2√5)}/4
△ＥＧＤの重心をＰとすると、△ＯＰＥは直角三角形であり、
　ＯＥ＝{√(10+2√5)}/4
　ＥＰ＝√3/3
より
　ＯＰ^2＝ＯＥ^2＋ＥＰ^2
　　　＝(23＋3√5)/24
　ＯＰ＝(3√5＋1)/4√3＝(3√15＋√3)/12
これが高さとなり、底面△ＤＥＧの面積は、√3/4 であるので、
求める体積は、
　(1/3)(√3/4)(3√15＋√3)/12
　＝(3√5+1)/48
No.13096 - 2011/02/13(Sun) 21:01:11
★ 積分 / ちかこ
同じく過去問です

実数aが1/2≦a≦3/2を動くとき、S(a)=∫｜(3x-4)(x-4)｜dx
（範囲はaからa+1）を最小にするaの値を求めよ
No.13085 - 2011/02/13(Sun) 12:09:24
☆ Re: 積分 / シャロン
解いていくと数値が複雑になりますが、与式は正しいでしょうか？

確認してください。
No.13090 - 2011/02/13(Sun) 15:49:34
☆ Re: 積分 / ヨッシー

面積の変化状況は、上のようになります。

ある状態を拡大すると、上の図のようになりますが、
この状態から、a が dx だけ右に行くと、面積は、mdx 減って、ndx 増えますので、
変化率は、n-m となります。
最初は、n-m＜0 で、面積は、減りますが、やがて n=m となり、
n-m＞0 となり、面積は増えていきます。
この、n=m となる位置を調べます。
　f(x)＝(3x-4)(x-4)＝3x^2-16x+16　　※絶対値を取っています。
を考えると、f(a)＝−f(a+1) となります。
　f(a)＋f(a+1)＝3{a^2+(a+1)^2}-16{a+(a+1)}+16+16
　　＝6a^2-26a+19＝０
これを 1/2≦a≦3/2 の範囲で解いて、
　ａ＝(13−√55)/6
No.13091 - 2011/02/13(Sun) 15:56:18
☆ Re: 積分 / シャロン
aを求める問題でしたね、必死にS(a)を出そうとしてました。失礼しました。
No.13093 - 2011/02/13(Sun) 17:29:19
★ 指数対数 / ちかこ
過去問題です

f(x)=9^x-2•3^(x+1)-7

(1)f(x)≦0となる実数xの範囲を求めよ。

(2)(x^2-4)f(x)≦0となる実数xの範囲を求めよ。

よろしくお願いします
No.13084 - 2011/02/13(Sun) 12:00:53
☆ Re: 指数対数 / ヨッシー
Ｘ＝3^x とおきます。ただし、Ｘ＞０。
(1) 9^x＝(3^x)^2＝Ｘ^2、3^(x+1)＝3・3^x＝3Ｘ より
　f(x)＝Ｘ^2−6Ｘ−7
　　　＝(Ｘ−７)(Ｘ＋１)≦０
これを解いて、
　０＜Ｘ≦７
　０＜3^x≦７
より　ｘ≦log3７
(2)
　f(x)≧０ となるのは、
　ｘ≧log3７
であることを踏まえて、
(i) x^2−4≦０　かつ　f(x)≧0　のとき
　-2≦x≦2 かつ　ｘ≧log3７
より　log3７≦ｘ≦2
(ii) x^2−4≧０　かつ　f(x)≦0　のとき
　(ｘ≦-2 または x≧2)　かつ　ｘ≦log3７
より　ｘ≦-2
以上より
　ｘ≦-2　または　log3７≦ｘ≦2
No.13088 - 2011/02/13(Sun) 12:32:34
★ 三角関数で / preface
次の不等式を解け（但し0<=x<=4pi)

cos^2x<1/2

おねがいします
No.13081 - 2011/02/13(Sun) 10:03:26
☆ Re: 三角関数で / シャロン
半角の公式から
(cos x)^2 = (1+cos(2x))/2です。
No.13082 - 2011/02/13(Sun) 10:20:40
☆ Re: 三角関数で / preface
よくわからないです

答えは

pi/4<x<3pi/4

5pi/4<x<7pi/4

9pi/4<x<11pi/4

13pi/4<x<15pi/4

です
No.13083 - 2011/02/13(Sun) 10:56:33
☆ Re: 三角関数で / ヨッシー
まずは、シャロンさんの方法から。
　cos^2x＝(1+cos(2x))/2＜1/2
より
　１＋cos(2x)＜１
　cos(2x)＜０

これを、0≦x≦4π　つまり　0≦2x≦8π について考えると、
　π/2＜2x＜3π/2
　5π/2＜2x＜7π/2
　9π/2＜2x＜11π/2
　13π/2＜2x＜15π/2
それぞれ、２で割って、
　π/4＜x＜3π/4
　5π/4＜x＜7π/4
　9π/4＜x＜11π/4
　13π/4＜x＜15π/4
を得ます。

次に別解ですが、
　cos^2x<1/2
より
　-√2/2＜cosｘ＜√2/2
これを、0≦x≦4π　について解くと
　π/4＜x＜3π/4
　5π/4＜x＜7π/4
　9π/4＜x＜11π/4
　13π/4＜x＜15π/4
を得ます。
No.13086 - 2011/02/13(Sun) 12:16:56
★ 光速 / agon
地球から太陽までの距離は1.5ｘ10^8ｋｍである。
太陽からの光が地球に到達するまでに約何秒かかるか？
光の進む速さは毎秒3.0x10^8ｍである。

単位が異なっているため、単位をなおさなければならないと思うのですが。

回答お願いいたします。
No.13076 - 2011/02/13(Sun) 02:02:00
☆ Re: 光速 / 七
毎秒3.0x10^8ｍは毎秒3.0x10^5kｍですから
(1.5ｘ10^8)/(3.0x10^5)＝5.0x10^2
5.0x10^2秒(約500秒)ですね。
No.13077 - 2011/02/13(Sun) 05:52:49
☆ Re: 光速 / agon
できました。　ありがとうございます。
No.13100 - 2011/02/14(Mon) 01:01:27
★ 三角関数において / jk
次の等式を満す角ｘを求めよ。　ただし、0°≦ｘ≦180°と
する。

（１）sinｘ=1/2

（２）cosｘ=1/2

（３）cosｘ=√3/2

（４）sinx=1/√2

（５）cosｘ=1/√2

　三角関数なのですが、よろしくお願いします。
No.13075 - 2011/02/13(Sun) 01:03:22
☆ Re: 三角関数において / 七
>ただし、0°≦ｘ≦180°
> （１）sinｘ=1/2
x＝30°,150°
> （２）cosｘ=1/2
x＝60°
> （３）cosｘ=√3/2
x＝30°
> （４）sinx=1/√2
x＝45°,135°
> （５）cosｘ=1/√2
x＝45°
No.13078 - 2011/02/13(Sun) 05:55:50
☆ Re: 三角関数において / ヨッシー
No.13055 の記事と合わせて、三角関数の基本の部分が、理解されていないようですので、
角度から三角関数の値を求める。
三角関数の値から角度を求める。
ということは、しっかり理解されることをお勧めします。

こちらにも、同様のことが載っていますが、ここに改めて書いておきます。

まず、座標上で角度を表す方法です。

ｘ軸方向を０°とし、原点中心に反時計回りに進んだ角度を
座標軸上での角度とします。
これの延長で、360°を超える角度(500°など)や、マイナスの
角度も、決めることが出来ます。

次に、原点を中心とし、半径１の円(単位円といいます)を描いて、
その円周上に角度θを決めたら、その点のｘ座標がcosθ、ｙ座標がsinθとなります。

図は、θ＝30°の場合ですが、sinθ(ｙ座標)は1/2、cosθ(ｘ座標)は、√3/2 となります。
もちろん、30°、60°、90°の直角三角形の辺の比は、1:2:√3
直角二等辺三角形の辺の比は、1:1:√2 であることを駆使して、
ｘ座標、ｙ座標を求める努力をする必要はあります。

次に、三角関数の値から角度を求める場合ですが、
例えば、sinｘ＝1/2 の場合、図のように、ｙ座標に1/2 を取ります。

この座標に対応する単位円上の点は、Ａ，Ｂの２つあります。
点Ａを示す角度は、30°、390°、750°や、-330°-690°などありますが、
0°≦ｘ≦180°の範囲では、30°だけです。
点Ｂについても同様に、150°が得られます。

理系にしろ、文系にしろ、三角関数はもう少し深い所まで
習いますので、ここの所は、自力で求められるように練習してください。
No.13080 - 2011/02/13(Sun) 09:34:37
☆ Re: 三角関数において / jk
図つきでの解説、ありがとうございました。
しっかりと覚えて行きたいと思います。
No.13099 - 2011/02/14(Mon) 01:00:20
★ 関数の取りうる値について / はら
関数f(x)={a^x+a^(-x)}/{a^x-a^(-x)}について
ただし、aは定数で、a>0かつa≠1とする。
(1)関数f(x)の取りうる値の範囲を求めよ。
(2)方程式f(x)-bx=0の解が存在するための定数a,bの満たすべき条件を求めよ。

ヒントでもいいのでよろしくお願いします。
No.13070 - 2011/02/12(Sat) 21:53:20
☆ Re: 関数の取りうる値について / シャロン
(1)ヒント
f(x)がx≠0で狭義単調増加を確かめる。
x→-∞、-0、+0、+∞のf(x)の極限を調べる。
No.13071 - 2011/02/12(Sat) 22:18:54
☆ Re: 関数の取りうる値について / シャロン
訂正:狭義単調増加でなく、狭義単調です。
失礼しました。
No.13072 - 2011/02/12(Sat) 22:21:55
☆ Re: 関数の取りうる値について / はら
x≠0のとき、
f'(x)=[[(a^x)ln(a)-{a^(-x)}ln(a)]{a^x-a^(-x)}-{a^x+a^(-x)}[(a^x)ln(a)+{a^(-x)}ln(a)]]/{a^x-a^(-x)}^2
=[{-4ln(a)}/{a^2-a^(-x)}^2]<0　より
f(x)は単調減少
またlim_[x→+0]f(x)=lim_[x→-0]f(x)=0
lim_[x→+∞]f(x)=1
lim_[x→-∞]f(x)=-1

でしょうか･･･
f'(x)の符号と極限が違ってきてるのでどこかで間違ってると思うのですが･･･。
No.13073 - 2011/02/12(Sat) 23:36:47
☆ Re: 関数の取りうる値について / angel
aの値によって、単調増加か単調減少かは変わります。a＞1なら単調減少です。

私なら、t=a^x ( a^(-x)=1/t ) とでも置いて、tの関数として考える方法の方が好みでしょうか。
つまり、g(t)=f(x)=(a^x+a^(-x))/(a^x-a^(-x))=(t+1/t)/(t-1/t) としてgの振る舞いを調べるわけです。
tの取りうる値は、t＞0かつt≠1となります。
No.13074 - 2011/02/13(Sun) 00:24:47
★ 極限 / 軋轢
C:y=logx上に２点A(a,loga),B(b,logb) (0＜a＜b)をとり線分ABおよび曲線Cで囲まれる部分の面積をSとする。
(1)Sをa,bを用いて表せ。(2)A,BがS=1を満たして動くときlim[a→∞]b/aを求めよ。
(3)(2)のときlim[a→∞](b-a)は発散することを示せ。

(1)はS=(1/2)log(b/a)(a+b)-(b-a)となりました。
(2)以降について教えて下さい。


No.13066 - 2011/02/12(Sat) 11:32:15
☆ Re: 極限 / のぼりん

こんばんは。

（１）　Ｓ＝（ａ＋ｂ）ｌｏｇ（ｂ/ａ）/２＋ａ−ｂ は既知とします。

（２）　Ｓ＝１ だから、ｘ＝ｂ/ａ（ｘ≧０） とおけば、
　　　１/ａ＝（１＋ｘ）ｌｏｇ ｘ/２＋１−ｘ
です。 右辺を ｆ（ｘ） とおくと、
　　　ｆ’（ｘ）＝（１/ｘ＋ｌｏｇ ｘ−１）/２
　　　ｆ”（ｘ）＝（ｘ−１）/（２ｘ２）
です。 グラフの概形を描き、ｆ（ｘ） は単調増加で、ｆ（１）＝０ であることを示します。 よって、ｙ＝ｆ（ｘ） と ｙ＝１/ａ の交点の ｘ 座標は、ａ→∞ のとき １ に収束します。

（３）　Ｓ＝１ で、今度は、ｘ＝ｂ−ａ（ｘ≧０） とおけば、前問より、ｘ/ａ→０（ａ→∞） です。
　　　１＋ｘ＝（ｘ/２＋ａ）ｌｏｇ（ｘ/ａ＋１）
　　　＝（ｘ/２＋ａ）｛ｘ/ａ−１/２（ｘ/ａ）２＋１/３（ｘ/ａ）３−…｝
　　　＝ｘ＋ｘ３/（１２ａ２）＋…
だから、
　　　１＝ｘ３/（１２ａ２）＋…
です。 ａ→∞ として、ｘ→∞ です。

No.13069 - 2011/02/12(Sat) 17:48:17
★ 数的推理 / みほ
いくつかの品物とそれを入れる箱が何個かあります。1箱に15個ずつ入れるとちょうど5箱分の品物が余ります。また、1箱に18個ずつ入れると、空の箱が3箱でき、最後の箱の中の品物の数は5個以下になります。この品物は何個あるでしょうか。

解答(途中まで)
品物はの数をｘ個、箱の数をｙ箱とします。
1箱に15個ずつ入れるとちょうど5箱分の品物が余るので
ｘ=15ｙ＋75
1箱に18個ずつ入れると、空の箱が3箱でき、最後の箱の中の品物の数は5個以下になることから
1≦ｘ−18(ｙ−4)≦5


私はこのｘ−18(ｙ−4)
の部分が理解できません。なぜこのような式になっているのでしょうか。
解説お願いします。
No.13062 - 2011/02/12(Sat) 10:22:58
☆ Re: 数的推理 / シャロン
空の箱が３コあり、最後の箱に５コ以下の品物があるのですから、18コ品物が入っていない箱の数は4、１８コ品物が入っている箱の数はy-4です。

つまり、１８コ品物が入っている箱に入っている品物の合計は18(y-4)コです。

xコの品物のうち、「１８コ品物が入っている箱に入っている品物の合計」以外が半端な「最後の箱の中の品物」ですから、半端は、x-18(y-4)コです。

この半端が１コ以上５コ以下ですから、1≦x-18(y-4)≦5という不等式が立てられます。
No.13064 - 2011/02/12(Sat) 10:49:31
★ 三角関数 / na
次の三角関数の値を求めよ

sin0°

sin30°

sin45°

sin90°

sin120°


cos0°

cos45°

cos60°

cos90°

cos120°

高２の数?Aです

よろしくお願い致します。
No.13055 - 2011/02/12(Sat) 06:28:11
☆ Re: 三角関数 / のぼりん
こんにちは。
　　　ｓｉｎ０°＝０
　　　ｓｉｎ３０°＝１/２
　　　ｓｉｎ４５°＝１/√２
　　　ｓｉｎ９０°＝１
　　　ｓｉｎ１２０°＝（√３）/２
　　　ｃｏｓ０°＝１
　　　ｃｏｓ４５°＝１/√２
　　　ｃｏｓ６０°＝１/２
　　　ｃｏｓ９０°＝０
　　　ｃｏｓ１２０°＝−１/２
です。
No.13057 - 2011/02/12(Sat) 07:47:49
★ |1/n^z|はどうすれば求めれる? / kuyg
nが自然数,zが複素数の時,
|1/n^z|の値はどうすれば求めれるのでしょうか?
No.13053 - 2011/02/12(Sat) 04:27:03
☆ Re: |1/n^z|はどうすれば求めれる? / のぼりん
こんにちは。 ｚ の実部を ｘ とすれば、
　　　｜１/ｎｚ｜＝１/ｎｘ
です。
No.13056 - 2011/02/12(Sat) 07:41:48
☆ Re: |1/n^z|はどうすれば求めれる? / kuyg
えっ!?
どういうトリックを使われたんですか???
No.13058 - 2011/02/12(Sat) 09:14:39
☆ Re: |1/n^z|はどうすれば求めれる? / kuyg
|1/n^z|=|1/n^{Re(z)+iIm(z)}=|1/n^{Re(z)}・1/n^{iIm(z)}|=|1/n^{Re(z)}||1/n^{iIm(z)}|
から先に行けません。
No.13059 - 2011/02/12(Sat) 09:19:29
☆ Re: |1/n^z|はどうすれば求めれる? / ヨッシー
ｚ＝ｘ＋ｉｙ とすると、上の式は、
　 |1/nz|=|1/nx||1/niy|
と書けるので、|1/niy|＝１ が言えれば良いですね？

オイラーの公式
　ｅｉｘ＝cosｘ＋ｉsinｘ
より、
　１／ｎiy＝ｎ−ｉｙ＝(ｅlogｎ)−ｉｙ
　　＝ｅ−ｉｙlogｎ
　　＝{cos(−ｙlogｎ)＋ｉsin(−ｙlogｎ)}
となり、
　|１／ｎiy|2＝cos2(−ｙlogｎ)＋sin2(−ｙlogｎ)＝１
となります。
No.13060 - 2011/02/12(Sat) 10:00:30
☆ Re: |1/n^z|はどうすれば求めれる? / kuyg
どうも有難うございました。お蔭様で解決できました。
No.13063 - 2011/02/12(Sat) 10:44:27
★ (No Subject) / ガルラウラウェイ
７４かける７６が暗算で５６２４で出来る方法について。一の位を足したら１０で十のくらいが同じなら、

　　AB
×）AC
A(A+1)　B×C

になる理由を教えて下さい
No.13046 - 2011/02/11(Fri) 17:38:04
☆ Re: / ヨッシー
筆算の所に　ＡＢ、ＡＣと書いてあるのは、それぞれ
　１０Ａ＋Ｂ、１０＋Ｃ
と書け、さらに　Ｂ＋Ｃ＝１０ という条件が付きます。
両者を掛けると、
　(10A+B)(10A+C)＝100A^2＋10A(B+C)＋BC
　＝100A^2＋100A＋BC
　＝100A(A+1)＋BC
となります。
No.13047 - 2011/02/11(Fri) 18:12:38
☆ Re: / ガルラウラウェイ
分かりました。有難うございます。この他に、
知っておくと得する「お勧めの」暗算テクニックはありますか？
No.13049 - 2011/02/11(Fri) 18:24:16
☆ Re: / ヨッシー
(a+b)(a-b)＝a^2−b^2 を利用した
　52×48＝50^2−2^2＝2496
など。あとは、４の倍数に２５を掛けると、１００の倍数になるのですが、
その前後くらいは使えるのではないでしょうか？つまり、
　36×25＝9×4×25＝900
ですが、
　36×26＝936
　36×27＝972
とか、
　37×25＝925
などです。
No.13050 - 2011/02/11(Fri) 19:34:16
☆ Re: / ガルラウラウェイ
　36×26＝936
　36×27＝972
とか、
　37×25＝925
はどうやって暗算したのですか？
No.13051 - 2011/02/11(Fri) 20:25:18
☆ Re: / ヨッシー
36×26＝36×(25＋1)＝36×25＋36×1＝900＋36＝936
36×27＝36×(25＋2)＝36×25＋36×2＝900＋72＝972
37×25＝(36＋1)×25＝36×25＋1×25＝900＋25＝925

36×25 の被乗数または乗数に１や２を加えたものです。
No.13052 - 2011/02/11(Fri) 21:16:27
★ 場合の数 / あーる
各面に１〜６の数が１つずつかかれた立方体のさいころ(普通のもの)を４回投げるときでための数の和が６の倍数になるのは何通りか。
解）６の倍数なら４回目の目は６
６で割ると１あまるなら４回目の目は５
・・・
より２１６×１＝２１６通り。

ですが、６の倍数、６で割ると１余る数、・・・のそれぞれが出る確率が同じじゃないと成り立たないですよね。なぜ同じなのでしょうか？出来るだけ詳しくお願いします。
No.13041 - 2011/02/10(Thu) 21:32:40
☆ Re: 場合の数 / シャロン
１回目までの和は、
６で割って１余る...1通り
６で割って２余る...1通り
６で割って３余る...1通り
６で割って４余る...1通り
６で割って５余る...1通り
６で割って６余る...1通り
です。

２回目までの和は、
６で割って１余る...
１回目までの和が６で割って１余るだった場合、２回目が５ならいいので１通り
１回目までの和が６で割って２余るだった場合、２回目が４ならいいので１通り
１回目までの和が６で割って３余るだった場合、２回目が３ならいいので１通り
１回目までの和が６で割って４余るだった場合、２回目が２ならいいので１通り
１回目までの和が６で割って５余るだった場合、２回目が１ならいいので１通り
１回目までの和が６で割って０余るだった場合、２回目が６ならいいので１通り
ーーーーーー
なので、計６通り、
同様に６で割って２余る...計６通り、
６で割って３余る...計６通り、
６で割って４余る...計６通り、
６で割って５余る...計６通り、
６で割って０余る...計６通り、
と、ｎ回目までの和を６で割った余りがどれも等確率で現れるなら、ｎ＋１回目までの和を６で割った余りも等確率で現れます。

つまり、１回目が等確率→なので、２回目までも等確率→なので、３回目までも等確率→なので、４回目までも等確率になります。
No.13042 - 2011/02/10(Thu) 22:08:08
☆ Re: 場合の数 / ヨッシー
３回目までの数の和の６で割った余りが、等確率である必要は、
特にありません。

たとえば、３回目までは、目の出方が一様でないサイコロを振っても、
４回目に、正しいサイコロを振れば、和が６の倍数になる確率は、
１／６になります。
No.13061 - 2011/02/12(Sat) 10:07:50
☆ Re: 場合の数 / シャロン
ヨッシーさんのご指摘がありましたので、回答を撤回・訂正。

３回目までの和を６で割った余りがnである確率をp(n)であらわすと、

p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)+p(0) = 1。

各i (0≦i≦5)について、３回目までの和を６で割った余りがiなら、4回目に6-iが出たとき、その時にかぎり4回目までの和が6で割り切れる。
したがって、３回目までの和を６で割った余りがiで、4回目までの和が6で割り切れる確率はp(i)*(1/6)

よって、4回目までの和が6で割り切れる確率は
p(1)*(1/6)+p(2)*(1/6)+p(3)*(1/6)+p(4)*(1/6)+p(5)*(1/6)+p(0)*(1/6)
= {p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)+p(0)}*(1/6)
= 1*(1/6)
= 1/6
No.13065 - 2011/02/12(Sat) 11:01:49
☆ Re: 場合の数 / シャロン
あ、何通りかで考えなければならないんですね。

というわけで再度訂正。

自然数を６で割った余りは０以上５以下なので、３回目までの和を６で割った余りが０以上５以下となる場合の数は6^3=216

各i (0≦i≦5)について、３回目までの和を６で割った余りがiの場合の数をh(i)とすると、
３回目までの和を６で割った余りがiの場合に、４回目までの和が６の倍数となるのは、４回目の出目が6-iである場合の1通りのみなので、３回目までの和を６で割った余りがiでかつ４回目までの和が６の倍数となる場合の数はh(i)通り。

したがって、４回目までの和が６の倍数となる場合の数は、
h(1)+h(2)+h(3)+h(4)+h(5)+h(0)
であるが、これは３回目までの和を６で割った余りが０以上５以下となる場合の数であり、216にひとしい。

したがって、4回目までの和が６の倍数となるのは216通り。
No.13067 - 2011/02/12(Sat) 11:32:26
★ 5次関数 / そう
『xの5次式f(x)のグラフＣ;y=f(x)が平行な2直線Ｌ,Ｍのそれぞれと2点で接しているようなＣ,Ｌ,Ｍの実例を1つ挙げよ。また,その例について,ＣとＬの交点と2つの接点との3点によりＬから切り取られる2つの線分の長さの比を求めよ。』

大変な計算の挙句、一応実例を求めることができました。が、あまり綺麗な実例ではありません。
上手な解法があれば、教えて頂けると嬉しいです。

そして、僕が求めた実例では、長さの比が2:1+√5になったのですが…これは他の実例でも同じ比になるのでしょうか?
よろしくお願いします。
No.13039 - 2011/02/10(Thu) 18:19:24
☆ Re: 5次関数 / シャロン
最後まで計算していませんが、助けになれば。

f(x) = x^2(x-a)^2(x-b)
f'(x) = 5x(x-a)(x-c)(x-d)
f(c) = f(d) ≠ 0

とおけます。但し、abcdはすべて異なりかつどれも0でない。
No.13040 - 2011/02/10(Thu) 21:31:53
☆ Re: 5次関数 / 黄桃
１つ例をみつければいいだけなら、少し楽な方法があります。シャロンさんが述べているようにL,Mはx軸と平行の場合を考えれば十分です。
この場合y=f(x)のグラフは３つの変曲点を持ちますが、真ん中の変曲点に対して点対称の場合なら計算が楽そうです。
この変曲点を原点とします。すると、L:y=k なら M:y=-k であり、対称性から 0<p<q<r に対して
f(x)=(x-p)^2(x+q)^2(x-r)+k = (x+p)^2(x-q)^2(x+r)-k
と書けることがわかります。
展開して係数を比べれば(y=f(x)は奇関数なのでx^4, x^2の係数が0といっても同じ）
2p-2q+r=0
2pq^2-2p^2q+p^2r+q^2r-4pqr=0
を得ます。上の式からrをp,qであらわすことができ、下の式（rについては1次式）に代入して、p-q≠0 を用いると (p/q)に関する2次方程式が導かれ、0<p/q<1 であるような解が存在することがわかります。
これから得られるrについても p<q<r となることがわかってこの特殊な場合に解があることがわかります。
例として答える時はf(x)=(x-p)^2(x+q)^2(x-r)とするほうが簡単です。
この場合の線分の比は、手元の計算でも(1+√5)/2となりました。

一般の場合もざっと計算してみましたが、これと同じ形になるようなので（計算が煩雑なので間違っている可能性は十分あります）、比は一定のようです。

＃代数曲線的背景がありそうですが思いつきませんでした。
No.13044 - 2011/02/11(Fri) 12:30:46
☆ Re: 5次関数 / そう
分かりやすい説明ありがとうございますm(_ _)m
ほんとに助かりました。
No.13045 - 2011/02/11(Fri) 16:53:10
☆ Re: 5次関数 / ヨッシー
ある傾きの平行な直線について、条件を満たす５次関数が見つかったら、
その平行線方向をｘ軸に取る様な、斜交座標を考えると、
ｘ軸に平行な２直線の場合に変換できるので、比は一定になると思います。
No.13048 - 2011/02/11(Fri) 18:18:53
☆ Re: 5次関数 / 黄桃
ヨッシーさん：
y=f(x)が問題の条件を満たせば任意の実数a,bに対して y=f(x)+ax+b が条件を満たすことは明らかです。

逆に問題の条件を満たすどんな２つの曲線 y=f1(x), y=f2(x)に対しても、適当に実数 a,b,c,d,e をとって、f2(x)=e(f1(dx+c))+ax+b の形でかける（f1,f2は適当にx軸y軸独立に拡大縮小平行移動すれば ax+bの違いしかない）、かどうかは自明ではないと思います。

計算すると必ずこうなるようなのですが、簡単な説明があれば教えてください。別のいいかたをすれば、問題の条件を満たす曲線y=f(x)では、３つの変曲点に関し２つの変曲点の中点が残りのものである、あるいは、f(x)を適当に変換すると4次の項と2次の項を同時に0にできる、ことの説明でもいいので、教えてください。
No.13068 - 2011/02/12(Sat) 14:01:28
★ (No Subject) / u-a
二つの直線の傾きが分かっていればその二つの直線のなす角は分かるんでしょうか？
例
（t>0）
一つ目の傾き2t/t^2+1
二つ目の傾き2/t
0≦θ≦π/2としたときのtanθを求めよ。
よろしくお願いします。
No.13037 - 2011/02/10(Thu) 16:54:40
☆ Re: / シャロン
傾きmの直線がx軸正方向と成す角αは、tanα = mで表せます。

また、x軸との成す角がそれぞれα、βの直線同士が成す角は|β-α|と書けますから、
tanの加法定理より、傾きmの直線と傾きnの直線が成す角は、

tan(β-α) = (n-m)/(1+mn)

と表せます。
No.13038 - 2011/02/10(Thu) 18:08:13
★ 二次不等式 / kyo
aとxを実数とする。xについての不等式x^2-(a^2+a-2)x+a^3-2a<0を解け。
よろしくお願いします。
No.13032 - 2011/02/10(Thu) 10:04:58
☆ Re: 二次不等式 / シャロン
{x-(a^2-2)}(x-a)＜0...[イ]
a^2-2とaの大小を比較する。

a^2-2＞aとなるのはa＜-1またはa＞2のとき、このとき、a＜x＜a^2-2

a^2-2 = aとなるのはa=-1またはa=2のとき、このとき、[イ]は(x-a)^2＜0となり、[イ]を満たすxは存在しない。、つまり解なし。

a^2-2＜aとなるのは-1＜a＜2のとき、このとき、a^2-2＜x＜a
No.13033 - 2011/02/10(Thu) 10:20:03
☆ Re: 二次不等式 / kyo
ありがとうございます。
No.13034 - 2011/02/10(Thu) 10:29:23
★ (No Subject) / nobuta
∫[x=0〜1]x/√4-x^2 dx　の定積分を求める問題なんですが、やり方がよく分かりません。教科書や参考書やら見たのですがtanxに置き換えるやり方であってますか？
No.13029 - 2011/02/09(Wed) 21:40:34
☆ Re: / そら
t=√(4-x^2)と置換してみましょう.
x=2sinθと置換しても出来ると思います.

x=atanθの置換が有効なのは,
1/(a^2+x^2)の積分を行う場合などです.
No.13031 - 2011/02/09(Wed) 23:17:59
★ 面積 / みー

おはようございます。
面積の問題について質問させていただきます。
問題と解答は画像のとおりです。

●１について
　この波線部の項はどのように出したのでしょうか。
●２について
　ここにtを代入すると0になってしまう気がするのですが、
　どうすればよいのでしょうか。

よろしくお願い致します。
No.13024 - 2011/02/09(Wed) 06:09:45
☆ Re: 面積 / シャロン
(1) 左辺を展開・整理して平方完成します。


(2) 0になってもかまいません。

どうしても0がいやなら、
f(x)の原始関数の一つがF(x)なら、定数Cとして、F(x)+Cもf(x)の原始関数ですから、
∫_a ^b f(x)dx = [F(x)+C]_a^bとすればいいだけですから。

こうしても、[F(x)+C]_a^b = (F(b)+C)-(F(a)+C) = F(b)-F(a)ですから、定積分の値は変わりません。
No.13025 - 2011/02/09(Wed) 07:32:37
☆ Re: 面積 / fudai
＞●１について
＞この波線部の項はどのように出したのでしょうか。
左辺はxの２次式で、x^2の係数は(1/t^6+1)であり、
左辺=0はx=tを重解にもつので(1/t^6+1)(x-t)^2と書けます。

＞●２について
＞ここにtを代入すると0になってしまう気がするのですが、
＞どうすればよいのでしょうか。
波線?Aは　計算すると(t-t)^3/3-(0-t)^3/3=t^3/3ですよ。
tだけ代入して0を代入するのを忘れてない？
No.13028 - 2011/02/09(Wed) 21:27:44
☆ Re: 面積 / みー

式変形できました!!
そのように考えれば
よかったのですね(>_<)!

はっ(。□゜)
完全に0の代入忘れです。
申し訳ありません(・_・;)

２つとも解決しました!
シャロン様、fudai様、
ありがとうございました。


No.13030 - 2011/02/09(Wed) 22:03:25
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