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★ Xの三乗+Yの三乗の因数分解 / haysi
Xの三乗+Yの三乗の因数分解を教えてください。

Xの三乗−Yの三乗が(X-Y)(X二乗+XY+Y二乗)の公式とは習いました。
No.12894 - 2011/01/28(Fri) 14:36:22
☆ Re: Xの三乗+Yの三乗の因数分解 / にゃーん
X^3 - Y^3の公式で
Yを-Yにすれば終了

なぜならX^3 - Y^3 = X^3 + (-Y)^3だから
No.12895 - 2011/01/28(Fri) 15:11:30
★ (No Subject) / TG
ルート２００９の小数部分をａとし

　n/８８　＜　ａ　＜　（n＋１）/８８

をみたす自然数nはいくつですか？


この問題のやり方をお願いします
No.12888 - 2011/01/28(Fri) 01:56:24
☆ Re: / らすかる
44^2＜2009＜45^2 なので a=√2009-44
(a+44)^2=2009
88a=73-a^2

n/88＜a＜(n+1)/88
n＜88a＜n+1
n＜73-a^2＜n+1
0＜a＜1 から 0＜a^2＜1 だから
72＜73-a^2＜73
No.12891 - 2011/01/28(Fri) 08:09:23
★ (No Subject) / はら
高3です

放物線C:y=-(1/2)x^2+4x-6を考える。点(0,1)を通り、傾きがtの直線をlとする。ただし、4-??14≦t≦4+??14

i)C上の点Pにおける法線が直線lと点Qで直行するとき、PとQの座標を求めよ。
ii)線分PQの長さを最大にするtの値を求めよ。

よろしくお願いします。
No.12883 - 2011/01/27(Thu) 20:57:23
☆ Re: / angel
まず、法線ってのは接線に垂直な直線なので、
　(PにおけるCの法線)⊥(PにおけるCの接線)
　(PにおけるCの法線)⊥(直線l)
ってところから、(PにおけるCの接線)と(直線l)が平行であることが分かります。つまり、接線の傾きも t
そうすれば、dy/dx=-x+4=t を解くことで、Pのx座標をtで表すことができ、Pの座標が求められるという寸法です。

Qの座標は…、素直に法線の方程式を出して、直線lの方程式と連立、でしょうか。
No.12886 - 2011/01/27(Thu) 23:32:31
☆ Re: / はら
一応やってみると、出てきた値が煩雑になってしまったのですが・・・

与条件より、lは y=tx+1…?@ とおける
P(p,(-1/2)p^2+4p-6),Q(q,tq+1)とおく

Pの座標はP(4-t,(-1/2)P^2+4p-6)とわかる(詳しい説明は省略します)

P≠-4として、?@よりPにおけるCの法線は y={1/(p-4)}x-p/(p-4)-(1/2)p^2+4p-6…?A
(ここからP=-4でも成立することを証明したのですが省略します)
またPにおけるCの法線とlはQで交わるので、?@と?Aにおいてyを消去し、x=qを代入すると
q/(p-4)-p/(p-4)-(1/2)p^2+4p-6=tq+1
-(q/t)+(4-t)/t-(1/2)t~2+2=tq+1
q-4+t+(1/2)t^3-t+qt^2=0
2(t^2+1)q=8-t~3
q=(8-t^3)/2(t^2+1)
tq+1=(-t^4+2t^2+10t)/2(t^2+1)
よってQ((8-t^3)/2(t^2+1),(-t^4+2t^2+10t)/2(t^2+1))

となるのですが、ここまで合ってますでしょうか？
このようにしてPQの長さを出すと、とても計算が煩雑になってしまうので、確信がもてません。
No.12900 - 2011/01/29(Sat) 21:13:20
☆ Re: / angel
まあ確かに計算は面倒です。
ちなみにQの座標は ( (-t^3+8)/2(t^2+1), (-t^4+2t^2+8t+2)/2(t^2+1) ) です。ちょっと惜しい。
正しいかどうかは、適当なtの値を当てはめて確かめるのが手。
多分計算しやすいのはt=2の時です。

さて。どのように計算を工夫するかという所ですが、
・なるべく分数の計算を減らす
・具体的な計算はなるべく後回しにする
といったところでしょうか。

特にPのy座標はどうやっても2次式になるため、後の計算に響きます。そこで、Pの座標を(α,β)とでも置いて途中まで進めることにします。
なお、α=4-t, β=-1/2・α^2+4α-6=(4-t^2)/2 です。


そして法線の方程式ですが、傾きが -1/t なので、
　y=-1/t・(x-α)+β
なのですが、分数を避けるため、(x-α)+t(y-β)=0 の形にしておきます。そうすると、
　直線l：y=tx+1
　Pでの法線：(x-α)+t(y-β)=0
の連立方程式を解く事になります。これを解いてからα,βに具体的な値を代入すれば、上で挙げた答になります。

(2)に関しても、α,βを残したままで計算した方が多分楽です。Qの座標を(γ,δ)とすると、P,Qのx座標,y座標の差は、
　γ-α=t(t^2-8t+2)/2(t^2+1)
　δ-β=-(t^2-8t+2)/2(t^2+1)
そのため、
　PQ=√( (γ-α)^2+(δ-β)^2 )=|t^2-8t+2|/2√(t^2+1)
となります。( ||は絶対値 )
No.13000 - 2011/02/06(Sun) 20:37:45
☆ Re: / ToDa
lとCのPを通る接線は平行で、またlは必ず点(0,1)を通るので、(0,1)とCのPを通る接線の距離を考えるというのが方法としては実戦的でしょうか。

出題者側がそれを意図しているなら、(1)はちょっと意地悪な問題設定ですね。
No.13023 - 2011/02/09(Wed) 01:23:05
☆ Re: / angel
失礼しました。上のPQの長さの分母を間違えていたため修正しました。

> 出題者側がそれを意図しているなら、(1)はちょっと意地悪な問題設定ですね。

ああ、(1)がなければ(0,1)と接線の距離で考えるところですね。私もすっかり誘導されてしまいました。
No.13043 - 2011/02/11(Fri) 09:27:53
★ (No Subject) / べぃびぃ華
no.12863の続きです。

答えはＶ＝17/4πです。

よろしくお願いします。
No.12865 - 2011/01/26(Wed) 22:35:16
★ 連立方程式 / 名無しの高１
2x^2+xy+4=0 …?@
x^2+x+y=0 …?A

数学?Tの問題です。
答えは(x,y)=(2,-6)だと分かっていて、
解説では
?A*2-?@から
2x+2y-xy-4=0
(x-2)(y-2)=0
x=2,y=2
そして、x=2のときとy=2のときに分けて考えています。

計算式は理解できています。
ですが、(x-2)(y-2)=0の部分に気持ち悪さを感じて納得できませんでした。
この問題は連立方程式どういった種類の方程式なのでしょうか。
曖昧な質問で申し訳ありません。
No.12864 - 2011/01/26(Wed) 22:31:56
☆ Re: 連立方程式 / angel
> どういった種類の方程式なのでしょうか。

特に種類があるわけではないですが、x,yの組み合わせを強く限定できる条件があるならば、利用すると楽ですよ、ということ。

別の例を挙げるならば、次の条件も非常に強力です。
　x^2+y^2-2x-6y+10=0 ( x,yは実数 )
なぜなら、
　(x-1)^2+(y-3)^2=0
と変形できるため、x=1かつy=3 しかありえないのです。
実際の問題ならば、
　x^2+y^2=10 …(i)
　x+3y=10 …(ii)
という形で出てきて、(i)-(ii)×2から上の条件を導くようなことが想定されます。
No.12867 - 2011/01/26(Wed) 23:06:15
☆ Re: 連立方程式 / angel
とは言え、そのような強力な条件 ( 今回は (x-2)(y-2)=0 ) が毎回出るとも限らないため、地道に解く道も忘れずに。
?Aから y=-(x^2+x) と変形して ?@に代入すれば、
　(x-2)(x^2+x+2)=0
という3次方程式が導かれます。
No.12868 - 2011/01/26(Wed) 23:08:51
☆ Re: 連立方程式 / 名無しの高１
詳しい解説有り難うございます。

(x-1)^2+(y-3)^2=0については
A^2>0(Aは実数)によって限定される。
という解釈であっているでしょうか？
あと、(x-2)(x^2+x+2)=0までの計算過程を教えてください。

三次方程式が導かれる…ということはこの問題は２元３次方程式。
ということでしょうか？
No.12874 - 2011/01/26(Wed) 23:49:10
☆ Re: 連立方程式 / angel
> A^2＞0(Aは実数)によって限定される。
> という解釈であっているでしょうか？

それでほぼあっています。正しくは A^2≧0 ですが。

> あと、(x-2)(x^2+x+2)=0までの計算過程を教えてください。
y=-(x^2+x) を?@に代入して
　2x^2-x(x^2+x)+4=0
　⇔ -x^3+x^2+4=0
　⇔ x^3-x^2-4=0
　⇔ (x-2)(x^2+x+2)=0
最後は因数分解しただけです。

> 三次方程式が導かれる…ということはこの問題は２元３次方程式。
> ということでしょうか？

あえて言うなら、2次方程式が連立しているので、連立2次方程式でしょうが、特にそういう名前に拘る必要はないでしょう。
※連立1次方程式なら、それ自身が重要な問題なのですがね
No.12885 - 2011/01/27(Thu) 22:45:14
★ 積分　　体積 / べぃびぃ華
一辺の長さが1の正三角形を底面とする高さが２の正三角柱を、底面の一辺を軸として一回転させてできる回転体の体積Ｖを求めよ。
No.12863 - 2011/01/26(Wed) 22:31:17
☆ Re: 積分　　体積 / フリーザ
この手の問題では立体の形を考えてはいけません
回転軸に垂直な断面を考えましょう。
すると単なる長方形があらわれるのでそれを回転させてできる面積を考えて、その断面積を使って立体の体積を積分によって求めましょう
No.12869 - 2011/01/26(Wed) 23:11:41
★ sin / リャン
f(x)=sin(πsinx)とする。
(1)f(x+π)=-f(x)を示せ。
(2)0≦x<πのとき、f(x)=0の解を求めよ。
(3)0≦x<πのとき、f'(x)=0の解を求めよ。
(4)(1)〜(3)の結果およびf'(x)の正負を利用して、0≦x≦2πにおけるy=f(x)のグラフの概形をかけ。

(1)は分かったのですが(2)以降よくわかりません。
教えてください
解説をつけていただくとありがたいです。
No.12862 - 2011/01/26(Wed) 21:14:31
☆ Re: sin / フリーザ
f(x)=sin(πsinx)=0
⇔πsinx=ｋπ(kは整数)
⇔sinx=整数

xの範囲に注意してx=０，π

（４）では範囲が2πまで拡張されますが（１）の結果がヒントになります（図形の対称性）
No.12870 - 2011/01/26(Wed) 23:17:29
☆ Re: sin / angel
(2),(3)は地道に解くしかありません。
先に前提として、
　sinθ=0 の解は θ=nπ ( nは整数 )
　cosθ=0 の解は θ=(n+1/2)π ( nは整数 )
がありますので、
(2)
　sin(πsinx)=0
　⇔ πsinx=nπ ( nは整数 )
　⇔ sinx=n ( nは整数 )
　xの範囲を考えると、nの取りうる値は n=0,1
(3)
　まずは f'(x) を求めるところから。
　合成関数の微分 ( g(h(x)) )' = h'(x)・g'(h(x)) から
　f'(x)=πcosx・cos(πsinx)
　これより、
　πcosx・cos(πsinx)=0
　⇔ cosx=0 または cos(πsinx)=0
　⇔ x=(n+1/2)π または πsinx=(m+1/2)π ( n,mは整数 )
　後は(2)と同じく、xの範囲から n,m の取りうる値を絞っていくこと。

(4) 増減表を書きましょう。それにつきます。
x=0,π/6,π/2,5π/6,π が特別なところ。
0〜πの範囲のグラフがかければ、π〜2πの範囲のグラフは(1)の条件から同じようにかけるはずです。
No.12872 - 2011/01/26(Wed) 23:25:27
★ 行列 / みゆこ
横浜国立大学の問題です…難しくて分かりません

θを実数とする。実数xに対して、行列P(x)を
sin(x+θ)　cos(x+θ)
P(x)=( )
sinx cosx

とおく。2次の正方行列Aは、ある実数yに対して、AP(y)=P(y+θ)を満たしている。
次の問いに答えよ。

(1)0<θ<πのとき、Aをθで表せ。

(2)nを3以上の自然数とする。θ=2π/nのとき、
A^n=E および E+A+A^2+…+A^(n-1)=0
を示せ。
ただし、Eは単位行列、0は零行列とする。

よろしくお願いします。
No.12860 - 2011/01/26(Wed) 20:16:36
☆ Re: 行列 / X
AP(y)=P(y+θ) (A)
とします。
(1)
題意から
|P(y)|=sin(x+θ)cosx-cos(x+θ)sinx
=sin{(x+θ)-x}
=sinθ
従って0<θ<πより|P(y)|≠0ですのでP(y)には逆行列が
存在します。
よって(A)より
A=P(y+θ)P^(-1)(y)
=M{(sin(y+2θ),cos(y+2θ)),(sin(y+θ),cos(y+θ))}
・(1/sinθ)M{(cosy,-cos(y+θ)),(-siny,sin(y+θ))} (A)'
ここで
((A)'の(1,1)成分)=(1/sinθ){sin(y+2θ)cosy-cos(y+2θ)siny}
=(1/sinθ)sin{(y+2θ)-y}　(∵){}内に加法定理を使った
同様に(A)'の各成分を計算すると
A=(1/sinθ)M{(sin{(y+2θ)-y},sin{(y+θ)-(y+2θ)})
,(sin{(y+θ)-y},0)}
=(1/sinθ)M{(sin2θ,-sinθ),(sinθ,0)}
=M{(2cosθ,-1),(1,0)}

(2)
(第１式の証明)
(A)より
(A^n)P(y)={A^(n-1)}P(y+θ)
={A^(n-2)}P((y+θ)+θ)
={A^(n-2)}P(y+2θ)
=…
=P(y+nθ)
=P(y+n・2π/n)
=P(y+2π)
∴P(y+2π)の各成分を計算することにより
(A^n)P(y)=P(y) (B)
ここでn≧3より
0<θ=2π/n≦2π/3<π
∴(1)の過程からP(y)には逆行列が存在するので
(B)の両辺に右からP(y)の逆行列をかけて
A^n=E (C)

(第２式の証明)
(C)より
A^n-E=O
ここでAE=EA、つまりA,Eは数字のように順序を入れ替えても
問題ないことに注意すると因数分解により
(A-E){A^(n-1)+…+A+E}=O
後は(1)の結果を使ってA-Eに逆行列が存在することを
証明します。
No.12873 - 2011/01/26(Wed) 23:30:40
☆ Re: 行列 / みゆこ
すみません
(1)がよく分かりません

簡単な方法はないのですか？
No.12889 - 2011/01/28(Fri) 06:58:50
☆ Re: 行列 / X
No.12873の(1)に少し加筆をしましたのでご覧下さい。

只、(1)はこの方針以外に解き方は無いと思います。
No.12893 - 2011/01/28(Fri) 13:05:15
★ ベクトル / 匿名希望
ベクトルAX＝αベクトルAB＋βベクトルAC＋γベクトルAD（ベクトルAB、ベクトルAC、ベクトルADは一次独立）で表される点Xは
α＋β＋γ＝１のときは平面BCD上、
α＋β＋γ＜１のときは平面BCDに関してAと同じ側・・?@
α＋β＋γ＞１のときは平面BCDに関してAと反対側にある・・?A

ベクトルAX＝αベクトルAB＋βベクトルAC＋γベクトルAD
で定まるXが四面体ABCD内部にあるための条件が
α＞０かつ、β＞０かつ、γ＞０かつα＋β＋γ＜１・・?B
の?@、?A、?Bとなる理由を誰か分かる方御願いします。
No.12858 - 2011/01/26(Wed) 20:01:10
☆ Re: ベクトル / フリーザ
この手の領域の話は斜向座標を導入すると当たり前に見えるようになる事柄が多いので１度調べられるといかもしれません。
No.12871 - 2011/01/26(Wed) 23:21:19
☆ Re: ベクトル / 匿名希望
どのようにして調べればよいのでしょうか・・・。一応大学入試問題なのですが・・。丸暗記するしかないということですか？
No.12875 - 2011/01/27(Thu) 06:45:10
☆ Re: ベクトル / 豆
立体で考える前に平面上での基礎が理解できていれば、その応用になるだけです。
AY=(αAB+βAC)/(α+β)　としたとき、Yは直線BC上の点だということはよいでしょうか？
AX=αAB+βAC=(α+β)AYですから
α+βと1の大小によりXの位置が直線BCに対してA側かどうかが判定できます。

元の問題に戻れば、以下のように変形できます。
AX=(α+β+γ)[(α+β)(αAB+βAC)/(α+β)+γAD]/((α+β)+γ)
No.12877 - 2011/01/27(Thu) 10:54:05
☆ Re: ベクトル / 匿名希望
回答ありがたいですが、AX=(α+β+γ)[(α+β)(αAB+βAC)/(α+β)+γAD]/((α+β)+γ)で?@、?A，?Bが示されたと言うことなのでしょうか？理解できません。すみません。


α＋β＋γ＜１のときは平面BCDに関してAと同じ側・・?@
α＋β＋γ＞１のときは平面BCDに関してAと反対側にある・・?A

ベクトルAX＝αベクトルAB＋βベクトルAC＋γベクトルAD
で定まるXが四面体ABCD内部にあるための条件が
α＞０かつ、β＞０かつ、γ＞０かつα＋β＋γ＜１・・?B

となる理由を
斜向座標を導入すると当たり前に見えるようになる事柄が多いとのことなので、

斜向座標を導入して当たり前のように解説してもらえないでしょうか。または、そのようなサイトが実在するのならばどうか教えていただけないでしょうか。どうかよろしく御願いいたします。
No.12879 - 2011/01/27(Thu) 19:07:44
☆ Re: ベクトル / フリーザ
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/obliquecoordinate.htm

漢字間違えてました。すみません。
高校の範囲外なので答案に出すのは控えたほうがよいですが難しいことではないので理解しておいて損はありません。
自分は高１のときニューアクションって参考書で見つけてえらく感動しましたね
No.12881 - 2011/01/27(Thu) 20:26:34
☆ Re: ベクトル / 匿名希望
２次元で斜交座標は前から知ってましたし、いつも使っていますが、この?@、?A、?Bは３次元なので困っています。
No.12884 - 2011/01/27(Thu) 21:14:39
☆ Re: ベクトル / フリーザ
平面の方程式がをつかうだけかと思いますが
No.12887 - 2011/01/27(Thu) 23:41:05
☆ Re: ベクトル / 匿名希望
平面の方程式・・・？斜交座標と平面の方程式は全く別物だと思いますが・・。


空間内の４点（０，０，０）、B(１０，１０，０）C(0,10,0)D(0,10,5)を頂点とする三角錐をVとする。次の２点P,QはVの内部にあるか外部にあるか、理由をつけて答えよ。
（１）P(３，６，３）（２）（２，７，２）　（津田塾大）

この問題はどのようにして解きますか？ご教授ください。斜交座標をふんだんに使ってくれてかまいません。
No.12890 - 2011/01/28(Fri) 07:10:47
☆ Re: ベクトル / フリーザ
ベクトルAX＝αベクトルAB＋βベクトルAC＋γベクトルAD（ベクトルAB、ベクトルAC、ベクトルADは一次独立）で表される点Xは
α＋β＋γ＝１のときは平面BCD上、
α＋β＋γ＜１のときは平面BCDに関してAと同じ側・・?@
α＋β＋γ＞１のときは平面BCDに関してAと反対側にある・・?A

A→原点
B→(1,0,0)
C→(0,1,0)
D→(0,0,1)

という対応を考えれば平面BCD上にある条件はx-y-xの直交座標系でx＋y＋z=1が(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)を通る平面をあらわすので当たり前にみえるといってるわけです

この問題は普通に最初に書いてた?Bを使います。
No.12892 - 2011/01/28(Fri) 11:42:45
☆ Re: ベクトル / 匿名希望
やはり?Bを使って解くようですね。ならば?Bといえる理由が必要なはずです。そういう訳で?Bの証明法あるいは導き方を教えて下さい。
No.12896 - 2011/01/28(Fri) 19:02:03
☆ Re: ベクトル / フリーザ
だからいま斜交座標の考え書きましたよ。
No.12897 - 2011/01/28(Fri) 23:15:11
☆ Re: ベクトル / 匿名希望
x-y-xはx-y-zですか？
No.12901 - 2011/01/29(Sat) 22:47:07
☆ Re: ベクトル / フリーザ
もちろんそうです。すみません
No.12902 - 2011/01/29(Sat) 23:27:18
☆ Re: ベクトル / 匿名希望
A→原点
B→(1,0,0)
C→(0,1,0)
D→(0,0,1)

A（０，０，０）、B(１０，１０，０）C(0,10,0)D(0,10,5)
で全然違うのですが、この違いはどのようにして埋めればよいのでしょうか。
No.12913 - 2011/01/30(Sun) 19:24:53
☆ Re: ベクトル / フリーザ
あのその理解じゃ平面の斜交座標もわかってないんじゃないですか。

私がいったのは?BがA→原点
B→(1,0,0)
C→(0,1,0)
D→(0,0,1)

の対応を考えれば明らかっていったわけでこの問題は?Bを使って解くといいました。

直交座標は基底としているのが(0,1),(1,0)であるが斜交座標では基底を違うのにしたわけですよ？そこわかって普段使ってますか？?Bは基底をベクトルAB、AC,ADにとってるだけの話です。
No.12918 - 2011/01/31(Mon) 10:39:54
★ 数学の応用問題　文系の高２です / 有紀
nが整数であるとき、S=｜n-1|＋|n-2|＋・・・＋|n-100|の最小値を求めよ。
また、そのときのnの値を求めよ。

解答 S(n)は数直線上の点nから1,2,3,・・・,99,100の各点までの距離の総和を表すから
S(n)が最小になるのは1<n<100のときである。
S(n)＝[n-1]Σ[k=1](n-k) ＋ [100]Σ[k=n＋1](k-n)
＝｛n-(101/2)}^2＋50×101 - (101)^2/4
よって、S(n)は、n＝50またはn=51のとき最小で、最小値はS(50)＝S(51)＝2500

分からないところ
?@S(n)＝[n-1]Σ[k=1](n-k) ＋ [100]Σ[k=n＋1](k-n)
この計算式の意味
?AS(n)は、n＝50またはn=51のとき最小で、最小値はS(50)＝S(51)＝2500
なんでn＝50またはn=51のとき最小になるといえるのか
これはなんとなくなんですが
例えばn=3としたとき1<3<100で最小値をとるので実際に数えてみると
S=(n-1)＋(n-2)＋(n-3)-(n-4)-(n-5)-・・・・・-(n-100)となります。
-(n-4)〜-(n-100)までにおいてnにn=3を代入すると
( )の中は-だが外側にある-で全体的には＋の数になる。
n=3を代入したSの数
S＝2＋1＋0＋1＋2＋・・・＋95＋96＋97
これだと後半の部分の足していく数が大きすぎるのでn=3のとき最小になることはない。
ここで、1〜100の中間であるn=50でためしてみると
1<50<100でSは最小値をとるので
S＝(n-1)＋(n-2)＋・・・＋(n-50)-(n-51)-(n-52)-・・・・・・-(n-100)
n=50を代入したSの数は
S＝49＋48＋47＋・・・＋1＋0 ＋1＋2＋・・・・・・＋49＋50
となり前半部分と後半部分の足される数が大体同じ
このときSは最小値をとる。
これはn=51のときも同様である。

ということなんでしょうか？

それと自分がこの問題を解く際に考えた方法が
とりあえずnの値で場合わけします。
まず前半部分n<1のとき
S＝-(n-1)-(n-2)-・・・-(n-100)＝-100n＋〜
1≦n＜2のとき
S＝(n-1)-(n-2)-・・・-(n-100)＝-98n＋〜
ここまででグラフを簡単にグラフを書いてみると
まず-100の傾きを欠いて1≦n＜2のゾーンで傾きが-98nになりゆるやかになります。

そして後半部分
99≦n<100のとき
S＝(n-1)＋(n-2)＋・・・＋(n-99)-(n-100)＝98n＋〜
n≧100のとき、S＝100n＋〜
この部分も先ほど書いたグラフ上に書いてみると
前半と後半で分けて書いたグラフは
\ ＿ ＿／ (\はキーボード上の「ろ」のやつです)
となり間の空白部分で最小値があると予測できます。
しかしここからさきの解答方法が思いつきません。
誰か分かる方教えてください。お願いします＞＜
No.12857 - 2011/01/26(Wed) 17:52:47
☆ Re: 数学の応用問題　文系の高２です / 有紀
S(n)＝[n-1]Σ[k=1](n-k) ＋ [100]Σ[k=n＋1](k-n)
でそれぞれk=1〜n-1までの値 k=n＋1〜100までの値とありますが
これは1<n<100という条件より
【1、〜、n-1】<n<【n＋1、〜、100】
ということでそれぞれ【】までの値を求めているんですよね。
1、〜、n-1<nの場合は全て絶対値の中身は正になるので(n-k)で計算するのわかりますが
n<n＋1〜,100の場合(n<100)
例えばn=95とすると
S＝|n-1|＋|n-2|＋・・・＋|n-95|＋|n-96|＋・・・|n-100|
|n-95|まではすべて＋
|n-96|〜|n-100|はすべて絶対値の中身の数が−なのでn<kの場合の(k-n)で計算するんですよね
これって要するに
[n-1]Σ[k=1](n-k) ＋ [100]Σ[k=n＋1](k-n)
とわけて計算することによって
絶対値の中身が＋の数の和 と 絶対値の中身が-の数の和を お互い足して
それでSという全体の値を求めようってことですよね？
なんか色々考えているうちに疑問が次々と浮かび上がってきてしまいました。

京都大学の問題なだけあって難しいです・・・
No.12859 - 2011/01/26(Wed) 20:01:14
☆ Re: 数学の応用問題　文系の高２です / フリーザ
連続変数でないので差分が有効です。
f(n＋1)−f(n)=｜n｜−｜n−99｜

｜n｜≦＝≧｜n−99｜
⇔n^2≦＝≧n^2−198n＋99^2
⇔2n≦＝≧99
⇔n≦＝≧50.5

したがって
n=51,52,53・・・では
f(51)≦f(52)≦・・・となり

n=50,49,48・・・では
f(51)≦f(50)≦・・・となります

よって最小値はn=50と51に絞れますがこれは同じ値なので求める最小値はn=50,51のときとわかります。

一般にf(n)が整数の値を飛び飛びにとるような離散変数のときは
?@f(n)とf(n＋1)の大小
?Af(n)/f(n＋1)と1の大小（fが正の値しかとらないとき、負でもよいが）

を調べることで関数の増減がわかります。
確率の最大値を求める問題でよく使われますのでそらなかったらチャートなんかに載ってるので調べてみてください。
No.12861 - 2011/01/26(Wed) 20:25:50
★ 高２数学A / てな
平方四辺形ABCDの辺AB上に点Eをとり、BDとECとの交点をFとする。AE=６ｃｍ、FC=１０ｃｍの時次の問いに答えよ。

（１）EF：FCをもとめよ
（２）平方四辺形ABCDの面積が112ｃｍ2の時三角形FBEの面積をもとめよ。

(１)より△BEF∽△DCFなのでBF:FD＝2:5

△ABDの面積＝112/2＝56

よって△FBEの面積＝56・2/7＝１６ としてしまったのですがどうやら間違いだそうです。

なぜこれじゃ答えにならないのでしょうか？

わからなくてこまってます。

誰かわかるかたおしえてください。おねがいします。

ちなみに答えは32/5です。
No.12855 - 2011/01/26(Wed) 00:40:55
☆ Re: 高２数学A / 七
FC=１０ｃｍ
というのは
DC＝10cm
なのでしょうね。
ならば
△ABD・2/7
で求められるのは
△ABFの面積です。
No.12856 - 2011/01/26(Wed) 14:32:11
★ 必要十分条件 / プリン
０°≦α、β＜３６０°とする。このとき次の不等式
sinα＝cosβ、cosα＝sinβが同時に成り立つための必要十分条件を求めよ。

これを計算でごり押ししたいのです。

sinα＝cosβをとくと、（計算過程省略）αーβ＝-270°,90°・・・?@またはα＋β＝９０°，４５０°・・・?A

cosα＝sinβをとくと、（計算過程省略）αーβ＝−９０，２７０°・・・?Bまたはα＋β＝９０，４５０°・・・?C

までは分かったのですが、その後が分かりません。どなたか教えて下さい。
No.12853 - 2011/01/25(Tue) 20:13:31
☆ Re: 必要十分条件 / angel
?Aと?Cは全く同じ条件なので、?Aの方に合わせますと、
　sinα=cosβ⇔?@または?A
　cosα=sinβ⇔?Bまたは?A
なので、
　sinα=cosβかつcosα=sinβ
　⇔(?@または?A)かつ(?Bまたは?A)
　⇔?Aまたは(?@かつ?B)
となります。
※?Aを満たせば(?@または?A)・(?Bまたは?A)両方を満たす
　?Aを満たさない場合は?@・?B両方満たす必要がある

しかしながら?@かつ?Bはありえないため、結局は?Aの条件が答えとなります。
No.12866 - 2011/01/26(Wed) 22:51:28
☆ Re: 必要十分条件 / プリン
トテモよく分かりました。ありがとうございます。
No.12880 - 2011/01/27(Thu) 19:08:32
★ 整数問題 / 志
7n+1と8n+4の最大公約数が５になるような１００以下の自然数ｎは全部でいくつあるか。

（8n+4,7n+1)=(n+3,7n+1)=(n+3,-20)
ここまではできました。

この後、解答には、

さらに、これはｎ＋３と２０の最大公約数に等しいとあるのですが、なぜですか？マイナスはドコへいったのでしょうか・・・よろしくおねがいします。
No.12851 - 2011/01/25(Tue) 19:53:27
☆ Re: 整数問題 / 黄桃
高校生になれば約数や倍数は整数全体、つまり、負の整数をも考えます。

整数a,b(負でもよい）について、aはbの約数である、とは 整数c（負でもよい）を使ってa=b*c とかけることです。
ただし、最大公約数とは、公約数の中で最大のものなので、当然正で、これは今までと同じです。
最小公倍数は、正の公倍数で最小のもの、と考えてください。

だから、整数aが20を割り切る（aは20の約数）とは、20=a*b (a,b は整数）と書けることです。
-20=a*(-b) ですから、aは-20の約数でもあります。この式からaが-20の約数なら20の約数でもあることがわかり、結局20の約数と-20の約数は同じになります。

以上から、(n+3,20)=(n+3,-20)です。
No.12876 - 2011/01/27(Thu) 08:55:37
★ 複素数の数列 / サム
z[1]=1+i,z[n+1]=1/2z[n](n=1,2,3…)で定義される複素数の数列{z[n]}を考える。ただし、iは虚数単位である。z[n]は実数x[n],y[n]を用いてz[n]=x[n]+y[n]iで表される。このときx[n+2]をx[n]で表すとx[n+2]=[A]であり、lim[n→∞]y[n]=[B]である。

[A][B］に何が入るか教えてください。
正直この問題は手も足も出ません。
解説をつけていただくとありがたいです。
No.12845 - 2011/01/25(Tue) 11:58:52
☆ Re: 複素数の数列 / サム
> z[1]=1+i,z[n+1]=1/2z[n](n=1,2,3…)で定義される複素数の数列{z[n]}を考える。ただし、iは虚数単位である。z[n]は実数x[n],y[n]を用いてz[n]=x[n]+y[n]iで表される。このときx[n+2]をx[n]で表すとx[n+2]=[A]であり、lim[n→∞]y[n]=[B]である。
>
> [A][B］に何が入るか教えてください。
> 正直この問題は手も足も出ません。
> 解説をつけていただくとありがたいです。



1/2z[n]は(1/2)z[n]です
No.12846 - 2011/01/25(Tue) 12:46:25
☆ Re: 複素数の数列 / サム
あとz[n+1]=(1/2)z[n]+1でした。

ホントすみません
No.12847 - 2011/01/25(Tue) 12:51:41
☆ Re: 複素数の数列 / ヨッシー
z[n]2 などのように、z[n] の実部と虚部を
互いに計算することはないので、
実部は実部、虚部は虚部で分けて考えてもいいです。つまり、
ｘ[1]＝１　ｘ[n+1]＝(1/2)ｘ[n]＋１
ｙ[1]＝１　ｙ[n+1]＝(1/2)ｙ[n]
です。
　ｘ[n+2]＝(1/2)ｘ[n+1]＋１
　　　　＝(1/2){(1/2)ｘ[n]＋１}＋１
　　　　＝(1/4)ｘ[n]＋3/2
また、
　lim[n→∞]ｙ[n]＝０　（公比 1/2 の等比数列）

です。
No.12849 - 2011/01/25(Tue) 16:36:03
★ (No Subject) / フリーザ
フーリエ級数の熱伝導の方程式の問題です。
An=(１/L)∫（−L→L)f(x)cos(nπx/L)dx
Bn=(１/L)∫（−L→L)f(x)sin(nπx/L)dx

(1)Σ(n=0→n=∞)
e^{−k(λn)t(Ancos(nπx/L)＋Bnsin(nπx/L)
が−L≦x≦Lを満たす各xに対して,t〔δ、T〕で一様収束することを示せ
(2)−ｋΣ(n=0→n=∞)
(λn)e^{−k(λn)t(Ancos(nπx/L)＋Bnsin(nπx/L)
が−L≦x≦Lを満たす各xに対してtについて〔δ、T〕上一様収束することを示せ。

M-testを使ってやってみましたがよくわからなくなってしまいました。λn＝(nπ/L)^2です。
よろしくお願いします。
No.12839 - 2011/01/25(Tue) 00:14:17
☆ Re: / フリーザ
Σ｜An｜＜∞が抜けてました。
ごめんなさい。ちなみにさっき自力で解けました。
考えてくださった方いましたらすみませんでした。
No.12898 - 2011/01/28(Fri) 23:17:31
★ 体積の問題 / ぜっとん
円柱Pと円錐Qがあり、円錐Qの底面の半径は円柱Pの底面の半径の半分、円錐Qの高さは円柱Pの高さの2倍である。円柱Pの体積は円錐Qの体積の何倍ですか。
No.12836 - 2011/01/24(Mon) 21:50:16
☆ Re: 体積の問題 / ヨッシー
例えば、円柱Ｐを半径４、高さ３、円錐Ｑを半径２、高さ６として、
体積を出してみましょう。

それで満足できない場合は、
円柱Ｐを半径２ａ、高さｂ、円錐Ｑを半径ａ、高さ２ｂとして、
体積を出してみましょう。
No.12840 - 2011/01/25(Tue) 06:40:51
★ ベクトル / コン
実数x,y,zに対して座標平面上で3つのベクトルV(a)=(x,y),V(b)=(y,4z+2),V(c)=(8z,x)を考える。また、原点Oに対し、V(OA)=V(a),V(OC)=V(c)で点A,Cを定めるとき、V(AC)=V(b)が成り立つとする。

(1)x,yをzで表せ。
(2)V(a),V(b),V(c)がどれもV(0)にならないことを示せ。
(3)3点O,A,Cが直角三角形の頂点になるようにzの値を定めよ。

(1)は分かりましたが(2)(3)がよく分かりません。
解答、答え教えてください

Vはベクトル
No.12835 - 2011/01/24(Mon) 21:05:35
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
(1)
ＡＣ＝ｂ　より
　(8z-x, x-y)＝(y,4z+2)
これより　x=6z+1、y=2z-1

(2)
ａ＝０ とすると、ｘ＝ｙ＝０
(1) の結果より、z=-1/6、z=1/2 と異なるｚの値が導かれるので、
ａ＝０ ではあり得ない。
同様にｂ＝０ とすると(以下略)

(3)
∠ＡＯＣ＝90°となる場合
　ａ・ｃ＝8xz＋xy＝x(8z+y)
(1) の結果を代入して、
　(6z+1)(10z-1)＝０
よって、ｚ＝-1/6 または z=1/10
∠ＯＡＣ＝90°となる場合　(以下略)
No.12841 - 2011/01/25(Tue) 06:53:26
★ 不等式 / ザラキ
x^2-2ax+a^2+1≦y≦-x^2+2x-a+2 をみたす実数の組(x,y)が存在するときaの値の範囲は[A]であり、xが整数でy=2となる(x,y)が存在するときのaの範囲は[B]である。

どうやって解くかよくわかりません。
解き方、[A][B]に入る答え、教えてください。
No.12830 - 2011/01/24(Mon) 14:49:03
☆ Re: 不等式 / フリーザ
a≦y≦bとなるyが存在する
⇔a≦bです

逆にa≦bが成り立っていなかったらyは存在できませんよね。

さて本問では
x^2-2ax+a^2+1≦y≦-x^2+2x-a+2 をみたす実数yが存在する条件は
x^2-2ax+a^2+1≦-x^2+2x-a+2となります
これを整理して
2x^2−2x(1＋a)+a^2＋a−1≦０となりますね
これを満たすxが存在する条件を次に考えるわけですが
この条件は
2x^2−2x(1＋a)+a^2＋a−1=0の判別式≦０です
No.12838 - 2011/01/24(Mon) 23:48:03
☆ Re: 不等式 / ザラキ
[B]のほうがよく分からないので教えてください
No.12878 - 2011/01/27(Thu) 14:13:54
☆ Re: 不等式 / フリーザ
お礼も言わずに教えてくださいってのは常識のない方ですね。
No.12882 - 2011/01/27(Thu) 20:29:31
★ 数学 / mew
正の定数aがあり、曲線C:y=logxの接線pが点(0,a)を通る。

(1)このときpの方程式は何か。
またCとpとx軸とで囲まれた部分の面積は何か。

どなたか解説お願いします。
No.12825 - 2011/01/23(Sun) 23:30:04
☆ Re: 数学 / ザブザ
接点のx座標をｔとおいて接線を求める。そして（０、a）を通るという条件を使ってｔの値が（aを使って）求まる
よって接線の方程式がaを使ってもとまる。囲まれた面積は上から下を引いて積分すれば求まる。
No.12827 - 2011/01/24(Mon) 13:49:21
★ 三角形 / はっち
△AoBoCoの内心をIoとし、その内接円と線分AoIo,BoIo,CoIoとの交点をそれぞれAi,Bi,Ciとする。次に△AiBiCiの内心をIiとし、その内接円と線分Ai,Bi,Ciとの交点をそれぞれAu,Bu,Cuとする。これを繰り返して△AnBnCnを作り、その内心をIn,∠BnAnCn=θ(n=0,1,2,…)とする。

(1)θn+1をθnで表せ。
(2)θnをθoで表せ。
(3)θo=2/3πのとき、?納n=0〜∞](θn-π/3)を求めよ。

どうやって解くかおしえてください。
No.12824 - 2011/01/23(Sun) 21:19:41
☆ Re: 三角形 / ヨッシー
図において、
∠ＢＩＣ＝180°−(●＋○)
　　　＝180°−(180°−∠ＢＡＣ)/2
　　　＝90°＋∠ＢＡＣ/2
(1)
これを本問に適用すると
　θn+1＝45°＋θn/4
となります。（円周角の関係を使ってます)

(2)
　θn+1＝45°＋θn/4
を変形すると
　θn+1−60°＝(1/4)(θn−60°)
φn＝θn−60°　とおくと
φn は、初項(第０項) φ0＝θ0−60°
公比1/4の等比数列。
　φn＝φ0(1/4)n
　θn＝(θ0−60°)(1/4)n＋60°

(3)
φ0＝60°の時にφn の無限級数を
計算するものなので、
　Ｓ＝??n=0〜∞φn
　　＝φ0＋φ1＋・・・
とおくと、
　(1/4)Ｓ＝φ1＋φ2＋・・・
上式から下式を引いて
　(3/4)Ｓ＝φ0
　　Ｓ＝(4/3)×60°＝80°＝4π/9
No.12842 - 2011/01/25(Tue) 08:02:29
☆ Re: 三角形 / はっち
(3)
φ0＝60°の時にφn の無限級数を
計算するものなので、


φ0＝60°じゃなくてθo=2/3πなので120°じゃないんですか?
No.12844 - 2011/01/25(Tue) 11:39:54
☆ Re: 三角形 / ヨッシー
θ0＝120°なので、
φ0＝θ0−60°＝60°　です。

つまり、
　θo=2/3πのとき、?納n=0〜∞](θn-π/3)を求めよ。
は、
　φ0=1/3πのとき、?納n=0〜∞]φn を求めよ。
と書き換えることが出来ます。
No.12848 - 2011/01/25(Tue) 16:28:44
☆ Re: 三角形 / はっち
わかりやすい説明ありがとうございます
No.12850 - 2011/01/25(Tue) 19:53:17
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