a,bを正の実数年、座標空間内の点をＡ（a,0,0)B(0,b,0)C(0,0,1),P(2,2,1)とする。
点Ｐから?凾`ＢＣを含む平面におろした垂線の足をＨとする。ベクトルＰＨをa,bを用いて成分表示せよ。
という問題で
自分が作った解答）
?凾`ＢＣを含む平面πの方程式は
x/a+y/b+z=1⇔bx+ay+abz-ab=0
ｐとπの距離ｄはa,b>0より
ｄ＝2(a+b)/√(a^2+b^2+a^2b^2)
ここで、ベクトルＡＢ、ベクトルＡＣの両方に直行するベクトルnは、外積を用いて
ベクトルｎ＝±{１/√(a^2+b^2+a^2b^2)}(b,a,ab)
よって、
ベクトルＰＨ＝ｄ・（ベクトルｎ）
＝±2{(a+b)/(a^2+b^2+a^2b^2)}(b,a,ab)
となったのですが、実際の答えは
−2{(a+b)/(a^2+b^2+a^2b^2)}(b,a,ab)
のみでした。
間違った原因はＰが平面πの上側にあるか下側にあるか私が分からないことにあるのですが、どうやったら分かるのでしょうか。どなたかご教授ください。
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No.12547 - 2011/01/01(Sat) 19:17:13
| ☆ Re: / X | | | 点Cと点Pのz座標が同じであることに着目して考えます。
もし点Pが平面πより下側にあると仮定すると、平面πは
x>0,y>0の領域において、点C,Pを含みz軸に平行な平面
z=1
より上側にある部分が存在しなければなりません。
しかしそのような平面πはx軸、y軸の少なくとも一方の
正の部分を通らないように取らざるを得ません。
これは点A,Bの定義に矛盾します。
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No.12552 - 2011/01/01(Sat) 20:16:36 |
| ☆ Re: / さぶれっと | | | もし点Pが平面πより下側にあると仮定すると、平面πは
x>0,y>0の領域において、点C,Pを含みz軸に平行な平面
z=1より上側にある部分が存在しなければなりません。
・・・?@
しかしそのような平面πはx軸、y軸の少なくとも一方の
正の部分を通らないように取らざるを得ません。・・・?A
これは点A,Bの定義に矛盾します。・・・?A’
?@、?A、?A’が何を言ってるのかちょっと分かりません。。
また、ｘｙ平面では直線と点の上下関係は正領域とか負領域とかそういうので求められましたが、空間になると使えないのでしょうか。
つまり、x/a+y/b+z＞1に（ｘ、ｙ、ｚ）＝（２，２，１）を代入して成り立てば平面πの上側にあるってことで、これを証明するのは出来ないんでしょうか？
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No.12559 - 2011/01/02(Sun) 14:50:59 |
| ☆ Re: / X | | | >>?@、?A、?A’が何を言ってるのかちょっと分かりません。。
例えば、
平面z=x+1 (A)
が平面πであると仮定したとき、これは
x>0においてz>1、つまり平面z=1より上側にあります。
ですので点Pは平面πの下側にあります。
ですが(A)とx軸との交点、つまり点Aの座標は
(-1,0,0)
となってしまい、a>0であることに矛盾します。
同様に平面πをx>0,y>0の領域において平面z=1より上側に
取ることを考えると、点A,Bに対して
a>0かつb>0
となるようにa,bの値をとることはできない、と言う意味です。
>>また、ｘｙ平面では〜使えないのでしょうか。
空間に適用しても問題ありません。その方が分かりやすいと思います。
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No.12562 - 2011/01/02(Sun) 20:24:21 |
| ☆ Re: / さぶれっと | | | x/a+y/b+zー1に（ｘ、ｙ、ｚ）＝（２，２，１）を代入してx/a+y/b+zー1＞０をどのようにして導いたらよいのか教えて下さい。
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No.12566 - 2011/01/03(Mon) 05:28:36 |
| ☆ Re: / 板橋 | | | 横から済みません。
f(x,y,z)=x/a+y/b+z-1とすると、
f(2,2,1)=2/a+2/b+1-1=2/a+2/b
a>0,b>0であるから、
f(2,2,1)>0
それと気になったことがあるのですが、
ご教授でなくご教示では・・・？
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No.12569 - 2011/01/03(Mon) 06:45:04 |
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