ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 三角形 / はっち

△AoBoCoの内心をIoとし、その内接円と線分AoIo,BoIo,CoIoとの交点をそれぞれAi,Bi,Ciとする。次に△AiBiCiの内心をIiとし、その内接円と線分Ai,Bi,Ciとの交点をそれぞれAu,Bu,Cuとする。これを繰り返して△AnBnCnを作り、その内心をIn,∠BnAnCn=θ(n=0,1,2,…)とする。

(1)θn+1をθnで表せ。
(2)θnをθoで表せ。
(3)θo=2/3πのとき、?納n=0～∞](θn-π/3)を求めよ。

どうやって解くかおしえてください。

No.12824 - 2011/01/23(Sun) 21:19:41

☆ Re: 三角形 / ヨッシー

図において、
∠ＢＩＣ＝180°－(●＋○)
　　　＝180°－(180°－∠ＢＡＣ)/2
　　　＝90°＋∠ＢＡＣ/2
(1)
これを本問に適用すると
　θ_n+1＝45°＋θ_n/4
となります。（円周角の関係を使ってます)

(2)
　θ_n+1＝45°＋θ_n/4
を変形すると
　θ_n+1－60°＝(1/4)(θ_n－60°)
φ_n＝θ_n－60°　とおくと
φ_n は、初項(第０項) φ₀＝θ₀－60°
公比1/4の等比数列。
　φ_n＝φ₀(1/4)ⁿ
　θ_n＝(θ₀－60°)(1/4)ⁿ＋60°

(3)
φ₀＝60°の時にφ_n の無限級数を
計算するものなので、
　Ｓ＝??_n=0～∞φ_n
　　＝φ₀＋φ₁＋・・・
とおくと、
　(1/4)Ｓ＝φ₁＋φ₂＋・・・
上式から下式を引いて
　(3/4)Ｓ＝φ₀
　　Ｓ＝(4/3)×60°＝80°＝4π/9

No.12842 - 2011/01/25(Tue) 08:02:29

☆ Re: 三角形 / はっち

(3)
φ0＝60°の時にφn の無限級数を
計算するものなので、

φ0＝60°じゃなくてθo=2/3πなので120°じゃないんですか?

No.12844 - 2011/01/25(Tue) 11:39:54

☆ Re: 三角形 / ヨッシー

θ₀＝120°なので、
φ₀＝θ₀－60°＝60°　です。

つまり、
　θo=2/3πのとき、?納n=0～∞](θn-π/3)を求めよ。
は、
　φ₀=1/3πのとき、?納n=0～∞]φ_n を求めよ。
と書き換えることが出来ます。

No.12848 - 2011/01/25(Tue) 16:28:44

☆ Re: 三角形 / はっち

わかりやすい説明ありがとうございます

No.12850 - 2011/01/25(Tue) 19:53:17

★ (No Subject) / パート２

３次の整式ｇ（ｘ）がg(1)=-6,g(2)=2,g(3)=-4,g(4)=6を満たすとき、g(5)=5を求めよ。（日本女子大）

連立４元一次方程式を作って、掃きだし法でなんとかやれないかと頑張ってみましたが、途中の計算に分数が入ってきて煩雑すぎて発狂しそうになりました。答えは６２です。
途中過程を教えて下さい(><)

No.12821 - 2011/01/23(Sun) 14:47:57

☆ Re: / Kurdt（かーと）

g(x)=a(x-2)(x-3)(x-4)+b(x-1)(x-3)(x-4)+c(x-1)(x-2)(x-4)+d(x-1)(x-2)(x-3)

こんなふうに置けばすんなりいきそうです。

No.12822 - 2011/01/23(Sun) 17:17:23

☆ Re: / パート２

なぜそのように置いていいのか教えてもらえないでしょうか？また、この問題に限らず、一般にそのようにおいたらa,b,c,dは必ず存在するのでしょうか？

No.12826 - 2011/01/24(Mon) 06:28:50

☆ Re: / X

横から失礼します。
まず
g(x)=px^3+qx^2+rx+s
と置く場合を考えてみましょう。
この場合はパート２の仰るとおり４元１次の連立方程式が
でき、解となる(p,q,r,s)は１組のみ存在します。
ということは Kurdt（かーと）さんの仰るとおり、
g(x)が三次関数であることから必要条件として
g(x)=a(x-2)(x-3)(x-4)+b(x-1)(x-3)(x-4)+c(x-1)(x-2)(x-4)+d(x-1)(x-2)(x-3) (A)
と置き、これを満たす(a,b,c,d)が１組存在し、なおかつ
これを代入した(A)が三次関数になっていれば
それがすなわち題意を満たすg(x)となります(十分条件)。

No.12832 - 2011/01/24(Mon) 18:10:34

☆ Re: / X

>>この問題に限らず、～
これは実際に計算してみないと分かりません。
実は厳密に言うとNo.12832で書いた
>>この場合はパート２の仰るとおり４元１次の連立方程式が
>>でき、解となる(p,q,r,s)は１組のみ存在します。
と言うのは誤りです。
(詳しくは大学の教養でやる線形代数学という科目に
譲りますが、解が存在しなかったり無数に存在する場合も
あります。)
只、高校数学として出題される問題としては
解となるg(x)が１つのみ存在する以外になるような
数字の選び方はしませんので、No.12832で書いた
通りで存在すると思って計算する価値はある、
と考えておいてください。

No.12833 - 2011/01/24(Mon) 18:24:27

☆ Re: / フリーザ

Lagrangeの補間（またはnewtonなど？）を使うという方法もあります。

No.12837 - 2011/01/24(Mon) 23:38:37

☆ Re: / パート２

回等有難うございます。

大体納得したのですが、

実際にa,b,c,dが存在しないような、あるいは存在するが３時関数にならないような例を作ってもらえないでしょうか

つまり
３次の整式ｇ（ｘ）がg( )= ,g()=,g()=,g()=を満たすとき、g()=を求めよ。の空欄の値の例を御願いできないでしょうか

No.12852 - 2011/01/25(Tue) 19:57:55

☆ Re: / X

ごめんなさい。まずはじめに訂正させてください。
>>実は厳密に言うとNo.12832で書いた
>>>>この場合はパート２の仰るとおり４元１次の連立方程式が
>>>>でき、解となる(p,q,r,s)は１組のみ存在します。
>>と言うのは誤りです。
と書きましたが、この問題に限って言えば
解となる(p,q,r,s)は１組のみ存在する
で問題ありません。
但しp=0、つまりg(x)が三次関数とならない例はあります。
例1)
g(1)=1,g(2)=2,g(3)=3,g(4)=4 のとき
例2)
g(1/2)=1/√2,g(3)=√3,g(5)=√5,g(8)=2√2 のとき

No.12854 - 2011/01/25(Tue) 23:47:23

★ (No Subject) / ぴいち

各位の数を加えたら１８になる小数を０．９８で割って、一の位の数字を消してすきまをつめて書いたら１．６だった。この小数を求めよ。（答え）１２．３４８

解答に
計算結果の１□.6は９で割ると（小数範囲で）割り切れるので、１＋□＋６は９の倍数である。

とあるのですが、この一節の意味が全く分かりません。どなたか解説を御願いします。

No.12820 - 2011/01/23(Sun) 14:42:59

☆ Re: / ヨッシー

各位の数を足して１８になるということは、
その数は、９で割り切れると言うことです。
つまり、９×Ａ　（Ａはある小数)　と書けます。
一方、0.98＝2×7×7×0.01 (3を素因数に含まない)なので、元の数９×Ａを
0.98で割って割り切れたと言うことは、Ａの方が0.98 で割り切れたと言うことで、
割った答えは、依然として９の倍数のままです。

こちらをご覧ください。

No.12829 - 2011/01/24(Mon) 14:48:51

☆ Re: / ぴいち

９で割り切れる⇔９×A（Aは整数）じゃないのですか？

ちょっとまだよくわかりません・・・

No.12831 - 2011/01/24(Mon) 16:35:11

☆ Re: / ast

> （小数範囲で）割り切れるので
とあるので, 整数として割り切れるという話ではなく, 小数として割り切れるという話であることに注意しましょう.
例えば 1÷4=0.25 なので 1 は 4 で割り切れますが, 1÷3=0.333… なので 1 は 3 では割り切れません.

No.12834 - 2011/01/24(Mon) 20:30:07

★ 高２の数学の問題なんですが・・・ / てな

f（x）＝|x^2-x-k|とするとき、0≦x≦1におけるf（x）の最大値を最小にするようなkを求めよ。

解答は距離の差＝f（x）で考えています。
| |内をg（x）＝x^2-x h（x）＝kとすると
f（x）＝|g（x）-h（x）|
f（x）はy=g（x）のグラフとy=kの「たて方向の差」と表せる。

以下解答の分からないところです
-1/4≦k≦0で、kを動かしたとき、直線y＝kが上下に動く様子を考える。
x=1とx=1/2のときの最大値の和は1/4で一定
そのうちの大きい方は1/8以上である。
ところで、k=-1/8とすればどちらも1/8ちょうどにできる。
k>0 k<-1/4のときは、明らかにf（x）の最大値は1/8を超えるので
f（x）の最大値を最小にするkの値はk=-1/8 そのときの最小値は1/8

?@どうして【-1/4≦k≦0】で直線y＝kが上下に動く様子を考えるのですか？
?Ax=1とx=1/2のときの最大値の和は1/4で一定
どうして和がでてくるのか。２つはまったく違った場合での最大値なのでは？
それとx=1とx=1/2のときの最大値というのがよくわかりません。
g(x)は下に凸のグラフですからそのグラフの軸であるx=1/2のときに最大値はとれないとおもうのですが(最小値？)
?B1/8とか-1/8とか一体どこからどうやってでてきたのでしょうか？
?Ck>0 k<-1/4のときは、明らかにf（x）の最大値は1/8を超えるので・・・
意味が分かりません。

誰か分かる方解答おしえてください＞＜

No.12817 - 2011/01/23(Sun) 10:16:03

☆ Re: / てな

kを動かしてみたら理解できました。
-1/4≦k≦0を動かして得た最大値の中で最小となるのは
-1/4～0のちょうど真ん中(中点)であるk=-1/8のとき
あとそのときの最小値は
f(x）＝|x^2-x-k|のkにk=-1/8を代入して
f(x)＝|x^2-x＋1/8|
＝|(x-1/2)^2-1/8|となります。
このとき最小値は-1/8のように思えるのですが
| |がついているので|-1/8|＝1/8となるから
最小値は1/8ということなのでしょうか？

No.12819 - 2011/01/23(Sun) 13:06:54

☆ Re: 高２の数学の問題なんですが・・・ / ヨッシー

最小となる最大値を答えよ、とは書いていないので、
k=-1/8 だけでいいと思います。
もし、最小となる最大値を聞かれたら、1/8 です。

No.12843 - 2011/01/25(Tue) 10:54:59

★ 数学　高２ / ぼびり

2x＋y=4とax-3y=1との交点を通り傾き３の直線が、点（３、４）を通るようにaの値を定めよ。

普通にやれば中学生レベルの問題ですが
束の考え方でこの問題を解くとなると少し難しいです：

f（x,y）＝2x＋y-4 g（x.y）＝ax-3y-1とおくと
２直線の式はf（x,y）＝０・・・?@ g（x,y）＝0・・・?A
kを任意の定数として
k・f（x,y）＋g（x,y）＝0は直線?@と?Aの交点を通る直線群を表す。
ここまでは理解できるのですが以下の部分が理解できません。
【そこで、k(2x＋y-4)＋(ax-3y-1)＝０の法線ベクトルが(1,3)に垂直】でかつ(３、４)を通る条件を求める

計算省略

答え a=11/9
【】の部分が分かりません。
なぜ法線ベクトルを使うの・・・でしょうか？
誰か分かる方教えてください。おねがいします。

No.12814 - 2011/01/22(Sat) 23:08:09

☆ Re: 数学　高２ / X

敢えて理由をつけるのなら、処理が楽だからです。
法線ベクトルを使えば、新しく変数を導入する必要が
ありませんが、
k(2x＋y-4)＋(ax-3y-1)＝０
の方向ベクトルとベクトル(1,3)と平行であるという方針
を使うのならば、例えば
↑a//↑b⇔↑b=l↑a(lはある実数)
というように新しく変数lを導入しなければならず、
計算に多少手間がかかります。

もちろんわざわざベクトルを使わなくても
k(2x＋y-4)＋(ax-3y-1)＝０
の傾きをk,aで表しそれが３に等しくなる
という方針でも問題ありません。

No.12815 - 2011/01/23(Sun) 01:19:21

☆ Re: 数学　高２ / ぼびり

ありがとうございました。

No.12818 - 2011/01/23(Sun) 10:16:55

★ 不等式と証明 / yuri

?@不等式3x－7≧x＋aを満たすxのうちで、最小の整数が3であるとき、定数aの値の範囲を求めよ。（答：－3＜a≦－1）

?A平行四辺形ABCDと、その頂点AとDを通る円がある。この円と対角線AC、BDとの交点をそれぞれE、Fとする。このとき、4点B、C、E、Fは1つの円周上にあることを証明せよ。

お願いします！

No.12810 - 2011/01/22(Sat) 12:13:18

☆ Re: 不等式と証明 / angel

?@「不等式を満たすxのうちで最小の整数が3」ということは、x=3 は不等式を満たし、かつx=2は不等式を満たさないということです。
つまり、3・3-7≧3+a かつ 3・2-7＜2+a

?A「4点が1つの円周上」を示すために、円周角の逆で行くのが良さそう。今回であれば、∠BEC=∠BFCが目標。
そのためには、平行四辺形の対角線の交点をXとした場合、相似△XBE∽△XCFを示す手が考えられます。つまり、長さの比を用いて相似を示し、そこから角度が等しいことを説明するという目論見です。
具体的には、
　∠BXE=∠CXFかつBX:XE=CX:XF⇒△XBE∽△XCF⇒∠BEC=∠BFC
と話を持っていくわけです。
で、長さの比ということであれば、A,D,E,Fが同一円周上にあることからAX・XE=DX・XFが成立しますから、これを活用すると良いでしょう。なお、これは△XAD∽△XFEから説明することができます。まあ、定理としていきなり使っても良いと思いますが。

No.12811 - 2011/01/22(Sat) 16:00:35

★ 微分 / のん

数?Uです！
関数f(x)=x^3-3/2(a+1)x^2+3ax-1がある。aは定数でa≠1

(1)f'(x)を求めよ。また、f'(x)=0を解け。
(2)a>1のとき、関数f(x)の極大極小をaを用いて表せ。
(3)y=f(x)のグラフとx軸が異なる2つの共有点をもつときのaの値を求めよ。

全然わかりません＞＜
よろしくお願いします！！！

No.12800 - 2011/01/20(Thu) 21:32:44

☆ Re: 微分 / X

>>f(x)=x^3-3/2(a+1)x^2+3ax-1
を
f(x)=x^3-(3/2)(a+1)x^2+3ax-1
と解釈して回答します。

(1)
題意より
f'(x)=3x^2-3(a+1)x+3a
∴f'(x)=0のとき
3x^2-3(a+1)x+3a=0
これより
x^2-(a+1)x+a=0
(x-a)(x-1)=0
∴x=a,1

(2)
(1)の結果を使い、a>1に注意してf(x)の増減表を描くと
(増減表を描きましょう)
f(x)は
x=1で極大
x=aで極小
となります。よって…

(3)
題意を満たすためには次のいずれかが成立
しなければなりません。
(i)極小値=0かつ極大値>0
(ii)極大値=0かつ極小値<0
これらを
(I)a>1のとき
(II)0<a<1のとき
に場合分けしてaの式で表して、aの値を計算します。
(I)の場合は(2)の結果を使います。
(II)の場合は(2)とは逆にf(x)は
x=aで極大
x=1で極小
となりますので…。

No.12805 - 2011/01/21(Fri) 08:21:33

★ 数２ / しもこ

数?Uです。

対数（１）log10１０√１０
（２）log9３

log2３は５ということがわかります。
１二乗1＝0.5
a二乗0=1
a二乗-n=1/an

これ以外の式も教えてください。
探してもありません＞＜

No.12794 - 2011/01/20(Thu) 13:47:45

☆ Re: 数２ / X

(1)
log[10]{10√10}=log[10]{10・10^(1/2)}
=log[10]{10^(3/2)}
=3/2
となります。

(2)
底の変換公式を使うと
log[9]3=1/log[3]9=1/log[3](3^2)=1/2
となります。

>>log2３は５ということがわかります。
>>１二乗1＝0.5
>>a二乗0=1
>>a二乗-n=1/an
文章の意味が不明です。タイプミスはありませんか？。

No.12798 - 2011/01/20(Thu) 18:11:17

☆ Re: 数２ / ast

一見してどういう表記かわかりませんし, 何をせよという問題なのかもそれではわかりません. とりあえず, 底を[]で囲み, 真数を()で囲むことにすると

次の対数の値を求めよ.
(1)log[10](10√10)
(2)log[9](3)

という問題だと考えてよいのでしょうか? というのもそういう意味だとすると log[2](3) は 5 どころか無理数なので,
> log2３は５ということがわかります。

という文が差し込まれている意味がわからないことになるからです.

> １二乗1＝0.5
> a二乗0=1
> a二乗-n=1/an

こちらも「二乗」というのは「同じ数二つをかけたもの」という意味なので解釈が難しいです. うしろ二者だけ見れば, ^ (ハット, あるいはキャレットと呼ばれる記号) を Web ではべき乗 (累乗) の意味に使うことが多いのと, べき指数の 2 を打たずに ^ だけで二乗だと言い張る質問者が居るのをたまに見かけるので a^0=1, a^(-n)=1/(a^n) のことだと推測するのは吝かではないのですが, 仮にそうだと解釈すると,
> １二乗1＝0.5
が 1^1=0.5 という意味不明の式になってしまうので, それも含めて合理的な解釈を私は思いつきません.

> これ以外の式も教えてください。
> 探してもありません＞＜

これに至っては, それ以外にどういうものを提示すればいいのか条件が提示されておらず,「悪魔の証明」と呼ばれる状況に近いです. 対数の問題を解くのに用いる式という意味だとすると, 普通は教科書に載っている公式を (いくつか組み合わせて) 使えば事足りるはずですが,「探しても無い」というのですから, そういうことではないのですよね?

No.12799 - 2011/01/20(Thu) 18:21:52

★ 高位の微小量 / rio

添付のテキストの(例）の下から5行目に
「誤差は（?凅)^2の程度で」
とありますが、なぜその上の式と図から誤差が（?凅)^2の程度だといえるのでしょうか。

No.12790 - 2011/01/19(Wed) 19:50:42

☆ Re: 高位の微小量 / ast

誤差を見積もるためにはきちんとΔVを考察しなければならないので,

> その上の式と図から誤差が（?凅)^2の程度だといえる

と捉えるのは少々不適切なのではないかと考えます. つまり, そこの「誤差は Δx^2 程度で」というのは, 既述の情報をまとめて得るものではなく, 余所から新たに追加された情報です.

本来のΔVは図の円板（薄円柱）とは異なり, g(x)を半径とする円となる面の裏側はg(x+Δx)の半径を持つ円であり, その間の側面はgに従って滑らかにつながれています. 区間 [x,x+Δx] で平均値の定理を用いることにより, g(x+Δx)=g(x)+cΔx 程度 (c はある定数) ですから (より正確には x < x' < Δx なる x' に対して [x,x'] で平均値の定理を使って g(x')=g(x)+c(x')Δx として |c(x')| の上限を考えるべきでしょうが), ΔV の側面を均したものは大体 cΔx 程度の半径になるので, それに厚みの分を掛けて, 結局誤差は cΔx*Δx 程度になります.

こういったことは煩瑣なので, 解答作成時に細かく考えたとしても, ゴミ箱行きになることが数学では普通だ, ということを理解したうえで数学の文章を読むようにしたほうがよいでしょう.

No.12791 - 2011/01/19(Wed) 20:11:34

☆ Re: 高位の微小量 / rio

早速のご返信ありがとうございます。
2点、質問があります。
(1)平均値の定理を用いることにより, g(x+Δx)=g(x)+cΔx 程度 (c はある定数) です

について、cはg'(x)のことでしょうか。

(2)ΔV の側面を均したものは大体 cΔx 程度の半径になるので, それに厚みの分を掛けて, 結局誤差は cΔx*Δx 程度になります.

このイメージがつきません。添付で図を書いて考えてみました。赤字が疑問点になります。引き続きよろしくお願い致します。

No.12792 - 2011/01/20(Thu) 11:43:18

☆ Re: 高位の微小量 / ast

寝ぼけているので何か変なことを書くかもしれません.

1.
> cはg'(x)のことでしょうか。

「大体」なら yes ですが, 正確に言えば No です. 平均値の定理をご自身で調べられたほうがよい気はしますが, そのような等式を満たす c は平均値の定理の述べるように, x と x+Δx との間にある或る x_0 に対する g'(x_0) であるはずです. しかし (イメージを取り易いように均すことを提案しただけで) それより大きく取り直しても議論にはまったく影響しませんから, 実際に c が何であるかという議論は実際には些事です.
# というより, No.12791 で
# > より正確には x < x' < Δx なる x' に対して
# > [x,x'] で平均値の定理を使って g(x')=g(x)+c(x')Δx として
# > |c(x')| の上限を考えるべき
# というように c の値を大きく取り直すことを示唆していることに注意してください.
# 上限と書いていますがさらに大きくてもいいです.

2.
> なぜ cΔx*Δx で体積が求まるのか

cΔx*Δx が体積だと述べたつもりではなかったのですが, 改めて見直すとそう読めなくもないのでその点は謝ります.

おそらく「程度」という数学用語の意味を理解されていないのだと思います.「誤差 R が (Δx)^2 の程度である」という文章の意味は,「R が (Δx)^2 の定数陪で押さえられる (精確には R/(Δx)^2 が Δx→0 で有限な値に収束する)」という意味です. 雑に言えば, 定数倍だったらこの議論では大差ないので無視してよいという意味だと捉えて構いません.

さて話を戻すと, No.12791 で私が述べたのは rio さんがお描きになっておられる図でいうならば緑色の「断面積」がほぼ c(Δx)^2 であること (従ってそこから体積がその「程度」であることがわかるということ) のみです. しかしながら, 従って rio さんの仰る「誤差分」の体積は (細かいことをいえば, パップス・ギュルダンの定理を使うと断面積に「断面の重心が回転によって描く円の長さ」が掛かったものが体積になるので) 断面積の約 2π(g(x)+cΔx) 倍となるはずです.
# (ここで「約」と書いていますが, その誤差は Δx 程度, 体積全体で言えば (Δx)^3 程度なので本当にどうでもいい話になってきます)
細かいことはともかく断面積の定数倍で押さえられることだけで十分で,「程度」の用語の意味から定数倍の違いは問題にならないので, これも細かく見積もることは労多くして益のほとんどない煩瑣な考察であると言わざるを得ません.

それよりも, rio さんの書き振りからすると, 「誤差が cΔx*Δx であるとするとおかしい」ということには十分気づいておられるはずで, その部分だけでも (他人の説明を読むだけじゃなくもう一歩進んで) 自力で説明を組み立てるところまで進んでいければ更なる飛躍がもたらされるのではないかと思います.

No.12795 - 2011/01/20(Thu) 17:55:54

☆ Re: 高位の微小量 / rio

ありがとうございます。理解できました。

No.12813 - 2011/01/22(Sat) 22:56:35