『xの5次式f(x)のグラフＣ;y=f(x)が平行な2直線Ｌ,Ｍのそれぞれと2点で接しているようなＣ,Ｌ,Ｍの実例を1つ挙げよ。また,その例について,ＣとＬの交点と2つの接点との3点によりＬから切り取られる2つの線分の長さの比を求めよ。』
大変な計算の挙句、一応実例を求めることができました。が、あまり綺麗な実例ではありません。
上手な解法があれば、教えて頂けると嬉しいです。
そして、僕が求めた実例では、長さの比が2:1+√5になったのですが…これは他の実例でも同じ比になるのでしょうか?
よろしくお願いします。
|
No.13039 - 2011/02/10(Thu) 18:19:24
| ☆ Re: 5次関数 / シャロン | | | 最後まで計算していませんが、助けになれば。
f(x) = x^2(x-a)^2(x-b)
f'(x) = 5x(x-a)(x-c)(x-d)
f(c) = f(d) ≠ 0
とおけます。但し、abcdはすべて異なりかつどれも0でない。
|
No.13040 - 2011/02/10(Thu) 21:31:53 |
| ☆ Re: 5次関数 / 黄桃 | | | １つ例をみつければいいだけなら、少し楽な方法があります。シャロンさんが述べているようにL,Mはx軸と平行の場合を考えれば十分です。
この場合y=f(x)のグラフは３つの変曲点を持ちますが、真ん中の変曲点に対して点対称の場合なら計算が楽そうです。
この変曲点を原点とします。すると、L:y=k なら M:y=-k であり、対称性から 0<p<q<r に対して
f(x)=(x-p)^2(x+q)^2(x-r)+k = (x+p)^2(x-q)^2(x+r)-k
と書けることがわかります。
展開して係数を比べれば(y=f(x)は奇関数なのでx^4, x^2の係数が0といっても同じ）
2p-2q+r=0
2pq^2-2p^2q+p^2r+q^2r-4pqr=0
を得ます。上の式からrをp,qであらわすことができ、下の式（rについては1次式）に代入して、p-q≠0 を用いると (p/q)に関する2次方程式が導かれ、0<p/q<1 であるような解が存在することがわかります。
これから得られるrについても p<q<r となることがわかってこの特殊な場合に解があることがわかります。
例として答える時はf(x)=(x-p)^2(x+q)^2(x-r)とするほうが簡単です。
この場合の線分の比は、手元の計算でも(1+√5)/2となりました。
一般の場合もざっと計算してみましたが、これと同じ形になるようなので（計算が煩雑なので間違っている可能性は十分あります）、比は一定のようです。
＃代数曲線的背景がありそうですが思いつきませんでした。
|
No.13044 - 2011/02/11(Fri) 12:30:46 |
| ☆ Re: 5次関数 / そう | | | 分かりやすい説明ありがとうございますm(_ _)m
ほんとに助かりました。
|
No.13045 - 2011/02/11(Fri) 16:53:10 |
| ☆ Re: 5次関数 / ヨッシー  | | | ある傾きの平行な直線について、条件を満たす５次関数が見つかったら、
その平行線方向をｘ軸に取る様な、斜交座標を考えると、
ｘ軸に平行な２直線の場合に変換できるので、比は一定になると思います。
|
No.13048 - 2011/02/11(Fri) 18:18:53 |
| ☆ Re: 5次関数 / 黄桃 | | | ヨッシーさん：
y=f(x)が問題の条件を満たせば任意の実数a,bに対して y=f(x)+ax+b が条件を満たすことは明らかです。
逆に問題の条件を満たすどんな２つの曲線 y=f1(x), y=f2(x)に対しても、適当に実数 a,b,c,d,e をとって、f2(x)=e(f1(dx+c))+ax+b の形でかける（f1,f2は適当にx軸y軸独立に拡大縮小平行移動すれば ax+bの違いしかない）、かどうかは自明ではないと思います。
計算すると必ずこうなるようなのですが、簡単な説明があれば教えてください。別のいいかたをすれば、問題の条件を満たす曲線y=f(x)では、３つの変曲点に関し２つの変曲点の中点が残りのものである、あるいは、f(x)を適当に変換すると4次の項と2次の項を同時に0にできる、ことの説明でもいいので、教えてください。
|
No.13068 - 2011/02/12(Sat) 14:01:28 |
|
