ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 合同式 / かるぴす

（１）正の整数ｎでｎ＾３＋１が３で割り切れるものを全て求めよ。
（２）正の整数ｎでｎ＾ｎ＋１が３で割り切れるものを全て求めよ。

の求め方について、
（１）はｎ≡★（mod3)で場合わけして
与式≡●●（mod3)という求め方
（２）はｎ≡☆(mod6)で場合分けして
与式≡○○（mod3)という求め方。

この違いはどこから来るのでしょうか？
実際に何十分も整数を書き並べて試行錯誤した結果というのではなく、合同式で理論的に説明できる人いらっしゃらないでしょうか。
（１）はｎ≡★（mod3)
（２）はｎ≡☆(mod6)と場合分けする理由について
よろしく御願いします。

No.12914 - 2011/01/31(Mon) 00:15:11

☆ Re: 合同式 / rtz

(1)は3つの場合分けで済むが、
(2)は
(3k+1)^(3k+1)+1≡1^(3k+1)+1 (mod 3)＝2 (mod 3)
(3k+2)^(3k+2)+1≡(-1)^(3k+2)+1 (mod 3)＝(-1)^(3k)+1 (mod 3)
の下側がさらに場合分けが必要だから。

尤も(1)はn^3+1＝(n+1)^3-3(n^2+n)≡(n+1)^3 (mod 3)で済みますが。

No.12915 - 2011/01/31(Mon) 02:52:43

☆ Re: 合同式 / かるぴす

(1)は3つの場合分けで済むが
>>なぜ３つの場合分けですむと分かったのですか？そこが知りたいのです。

(3k+1)^(3k+1)+1≡1^(3k+1)+1 (mod 3)＝2 (mod 3)
(3k+2)^(3k+2)+1≡(-1)^(3k+2)+1 (mod 3)＝(-1)^(3k)+1 (mod 3)
の下側がさらに場合分けが必要だから。
>>この説明ではｎ≡★(mod３)でうまくいかないことは分かりましたが、ｎ≡☆(mod6)でうまくいくことが分かりません。いったいどこからmod6がきたのかそこを教えて下さい。

よろしくおねがいします。

No.12916 - 2011/01/31(Mon) 08:19:09

☆ Re: 合同式 / rtz

＞なぜ３つの場合分けですむと分かったのですか？
本問はmod 3だから、
(3k+p)^qの形を取ることで、(3k+p)^q≡p^q (mod 3)が使えるためです。
これはmod nだからnk+pにするかというと一概には言えません。
十分ではありますが、必要でないこともあります。
例えば(2k+1)^2＝4k(k+1)+1≡1 (mod 4)などは、4k+tにせずともよい場合です。
展開時の係数如何ではこのように小さな場合分けで済むこともあります。

＞どこからmod6がきたのか
(-1)^(3k)+1 (mod 3)において、
(-1)^(3k)が周期2で-1→1→-1…をとる(＝ kが奇数で-1、偶数で1)のは言うまでもないわけで、
即ち「(3k+2)^(3k+2)+1≡(-1)^(3k+2)+1 (mod 3)＝(-1)^(3k)+1 (mod 3)」
の3k+2が偶数か奇数かで結果が変わります。
ですから何れも網羅できる3*2＝6を法とします。

No.12920 - 2011/01/31(Mon) 19:36:38

☆ Re: 合同式 / かるぴす

3k+2が偶数か奇数かで結果が変わります。
ですから何れも網羅できる3*2＝6を法とする、とありますが、なぜ６を法として網羅できるのでしょうか・・。

No.12923 - 2011/01/31(Mon) 21:22:12

☆ Re: 合同式 / ヨッシー

mod 3 では、
　(1) ３で割り切れる
　(2) ３で割ると１余る
　(3) ３で割ると２余る
に分類できますが、(1) の中には、奇数（３，９など）も、偶数(6，12など)も含まれます。
mod 6 にすると、
　(1) ６で割り切れる　＝　３で割り切れる偶数
　(2) ６で割ると１余る　＝　３で割ると１余る奇数
　(3) ６で割ると２余る　＝　３で割ると２余る偶数
　(4) ６で割ると３余る　＝　３で割り切れる奇数
　(5) ６で割ると４余る　＝　３で割ると１余る偶数
　(6) ６で割ると５余る　＝　３で割ると２余る奇数
のように、区別できます。

No.12929 - 2011/02/01(Tue) 06:43:52

★ 方程式 / 大林ゆか

問題）a,bを正の定数とする。

4b^4-5ab^2+a^2+1=0・・・?Aとなるｂが存在するようなaの値の範囲を求めよ。

解答を丸写ししますと、
解答）
t=b^2とすると
4t^2-5at+a^2+1=0・・・?@

ｔの２次方程式少なくとも１つ正の実数解をもつようなaの値の範囲を求めればよい。

今、?@について
２解の和＝5a/4>0,２解の積＝(a^2+1)/4>0であるから、
?@が実数解を持てばそれらは正である。よって条件は
判別式D≧０⇔a≦-4/3,4/3≦a
a>0より4/3≦a・・（答え）

ここで私が質問したいのは、ｂ＞０の条件はどこへいってしまったのか、ということです。ｔ＝ｂ＾２とおき、ｔ＞０の解をもってもｂは正の場合もあるし、負の場合もありますよね。例えば、ｔ＝５のとき、ｂ＝±√５
なぜこの解答で良いのか誰か教えて下さい。

No.12906 - 2011/01/30(Sun) 10:54:50

☆ Re: 方程式 / らすかる

> ｔ＝ｂ＾２とおき、ｔ＞０の解をもってもｂは正の場合もあるし、負の場合もありますよね。
ありません。 b＞0, t=b^2, t＞0 ですから b=√t です。
t＞0の解があれば、bは正の値b=√tが存在しますので問題ありません。

No.12907 - 2011/01/30(Sun) 11:42:50

☆ Re: 方程式 / 大林ゆか

確かに存在はしますが、そのaの範囲が必要十分かどういうことが気になっているのです。そもそもｔの２次方程式が少なくとも１つ正の実数解をもつようなaの値の範囲を求めればよい、ということが疑問なのです。

ｔ＞０となるｔが存在する⇔ｂ≠０となるｂが存在する

ですから、ｔ＞０となるｔの存在が言えればｂ＞Oとなるｂの存在も言えるし、同時にｂ＜０となるｂの存在もいえてしまうわけです。しかし、この問題ではｂ＞０となるｂの存在を言うための条件を求めるのであって、余分な、ｂ＜０となるｂが存在する条件も含んでしまっています。それが気になるのです。この答えは必要条件なのではないのか、と。

No.12908 - 2011/01/30(Sun) 13:06:33

☆ Re: 方程式 / らすかる

bの条件がない場合は
「ｔ＞０となるｔが存在する⇔ｂ≠０となるｂが存在する」
ですが、
b＞0という条件があるので
「ｔ＞０となるｔが存在する⇔ｂが存在する」
です。
最初からb＞0という条件がついているわけですから、
「同時にｂ＜０となるｂの存在もいえてしまう」
のようなことは考える必要はありません。
b＞0, t＞0 という条件のもとでは t=b^2⇔b=√t です。

No.12909 - 2011/01/30(Sun) 13:28:42

☆ Re: 方程式 / 大林ゆか

ということはこの問題では?Aをみたすｂは４次方程式だけれども２つしか存在しないということですか？

No.12910 - 2011/01/30(Sun) 14:46:03

☆ Re: 方程式 / 大林ゆか

ｂに何の条件もなかったらら答えはどうなりますか？よかったら教えて下さい

No.12911 - 2011/01/30(Sun) 14:52:37

☆ Re: 方程式 / らすかる

> この問題では?Aをみたすｂは４次方程式だけれども２つしか存在しないということですか？
a=4/3の時bは一つ、a＞4/3のときbは二つとなります。

> ｂに何の条件もなかったらら答えはどうなりますか？
適するbは2倍に増えますが、問題はaの範囲なので答えは変わりません。

今気がついたんですが、問題が変ですね。
bは変数なのに「a,bを正の定数とする」で始まっているのはおかしいです。

No.12912 - 2011/01/30(Sun) 15:48:16

★ (No Subject) / はら

高3です

放物線C:y=-(1/2)x^2+4x-6を考える。点(0,1)を通り、傾きがtの直線をlとする。ただし、4-??14≦t≦4+??14

i)C上の点Pにおける法線が直線lと点Qで直行するとき、PとQの座標を求めよ。
ii)線分PQの長さを最大にするtの値を求めよ。

よろしくお願いします。

No.12883 - 2011/01/27(Thu) 20:57:23

☆ Re: / angel

まず、法線ってのは接線に垂直な直線なので、
　(PにおけるCの法線)⊥(PにおけるCの接線)
　(PにおけるCの法線)⊥(直線l)
ってところから、(PにおけるCの接線)と(直線l)が平行であることが分かります。つまり、接線の傾きも t
そうすれば、dy/dx=-x+4=t を解くことで、Pのx座標をtで表すことができ、Pの座標が求められるという寸法です。

Qの座標は…、素直に法線の方程式を出して、直線lの方程式と連立、でしょうか。

No.12886 - 2011/01/27(Thu) 23:32:31

☆ Re: / はら

一応やってみると、出てきた値が煩雑になってしまったのですが・・・

与条件より、lは y=tx+1…?@ とおける
P(p,(-1/2)p^2+4p-6),Q(q,tq+1)とおく

Pの座標はP(4-t,(-1/2)P^2+4p-6)とわかる(詳しい説明は省略します)

P≠-4として、?@よりPにおけるCの法線は y={1/(p-4)}x-p/(p-4)-(1/2)p^2+4p-6…?A
(ここからP=-4でも成立することを証明したのですが省略します)
またPにおけるCの法線とlはQで交わるので、?@と?Aにおいてyを消去し、x=qを代入すると
q/(p-4)-p/(p-4)-(1/2)p^2+4p-6=tq+1
-(q/t)+(4-t)/t-(1/2)t~2+2=tq+1
q-4+t+(1/2)t^3-t+qt^2=0
2(t^2+1)q=8-t~3
q=(8-t^3)/2(t^2+1)
tq+1=(-t^4+2t^2+10t)/2(t^2+1)
よってQ((8-t^3)/2(t^2+1),(-t^4+2t^2+10t)/2(t^2+1))

となるのですが、ここまで合ってますでしょうか？
このようにしてPQの長さを出すと、とても計算が煩雑になってしまうので、確信がもてません。

No.12900 - 2011/01/29(Sat) 21:13:20

☆ Re: / angel

まあ確かに計算は面倒です。
ちなみにQの座標は ( (-t^3+8)/2(t^2+1), (-t^4+2t^2+8t+2)/2(t^2+1) ) です。ちょっと惜しい。
正しいかどうかは、適当なtの値を当てはめて確かめるのが手。
多分計算しやすいのはt=2の時です。

さて。どのように計算を工夫するかという所ですが、
・なるべく分数の計算を減らす
・具体的な計算はなるべく後回しにする
といったところでしょうか。

特にPのy座標はどうやっても2次式になるため、後の計算に響きます。そこで、Pの座標を(α,β)とでも置いて途中まで進めることにします。
なお、α=4-t, β=-1/2・α^2+4α-6=(4-t^2)/2 です。

そして法線の方程式ですが、傾きが -1/t なので、
　y=-1/t・(x-α)+β
なのですが、分数を避けるため、(x-α)+t(y-β)=0 の形にしておきます。そうすると、
　直線l：y=tx+1
　Pでの法線：(x-α)+t(y-β)=0
の連立方程式を解く事になります。これを解いてからα,βに具体的な値を代入すれば、上で挙げた答になります。

(2)に関しても、α,βを残したままで計算した方が多分楽です。Qの座標を(γ,δ)とすると、P,Qのx座標,y座標の差は、
　γ-α=t(t^2-8t+2)/2(t^2+1)
　δ-β=-(t^2-8t+2)/2(t^2+1)
そのため、
　PQ=√( (γ-α)^2+(δ-β)^2 )=|t^2-8t+2|/2√(t^2+1)
となります。( ||は絶対値 )

No.13000 - 2011/02/06(Sun) 20:37:45

☆ Re: / ToDa

lとCのPを通る接線は平行で、またlは必ず点(0,1)を通るので、(0,1)とCのPを通る接線の距離を考えるというのが方法としては実戦的でしょうか。

出題者側がそれを意図しているなら、(1)はちょっと意地悪な問題設定ですね。

No.13023 - 2011/02/09(Wed) 01:23:05

☆ Re: / angel

失礼しました。上のPQの長さの分母を間違えていたため修正しました。

> 出題者側がそれを意図しているなら、(1)はちょっと意地悪な問題設定ですね。

ああ、(1)がなければ(0,1)と接線の距離で考えるところですね。私もすっかり誘導されてしまいました。

No.13043 - 2011/02/11(Fri) 09:27:53

★ 連立方程式 / 名無しの高１

2x^2+xy+4=0 …?@
x^2+x+y=0 …?A

数学?Tの問題です。
答えは(x,y)=(2,-6)だと分かっていて、
解説では
?A*2-?@から
2x+2y-xy-4=0
(x-2)(y-2)=0
x=2,y=2
そして、x=2のときとy=2のときに分けて考えています。

計算式は理解できています。
ですが、(x-2)(y-2)=0の部分に気持ち悪さを感じて納得できませんでした。
この問題は連立方程式どういった種類の方程式なのでしょうか。
曖昧な質問で申し訳ありません。

No.12864 - 2011/01/26(Wed) 22:31:56

☆ Re: 連立方程式 / angel

> どういった種類の方程式なのでしょうか。

特に種類があるわけではないですが、x,yの組み合わせを強く限定できる条件があるならば、利用すると楽ですよ、ということ。

別の例を挙げるならば、次の条件も非常に強力です。
　x^2+y^2-2x-6y+10=0 ( x,yは実数 )
なぜなら、
　(x-1)^2+(y-3)^2=0
と変形できるため、x=1かつy=3 しかありえないのです。
実際の問題ならば、
　x^2+y^2=10 …(i)
　x+3y=10 …(ii)
という形で出てきて、(i)-(ii)×2から上の条件を導くようなことが想定されます。

No.12867 - 2011/01/26(Wed) 23:06:15

☆ Re: 連立方程式 / angel

とは言え、そのような強力な条件 ( 今回は (x-2)(y-2)=0 ) が毎回出るとも限らないため、地道に解く道も忘れずに。
?Aから y=-(x^2+x) と変形して ?@に代入すれば、
　(x-2)(x^2+x+2)=0
という3次方程式が導かれます。

No.12868 - 2011/01/26(Wed) 23:08:51

☆ Re: 連立方程式 / 名無しの高１

詳しい解説有り難うございます。

(x-1)^2+(y-3)^2=0については
A^2>0(Aは実数)によって限定される。
という解釈であっているでしょうか？
あと、(x-2)(x^2+x+2)=0までの計算過程を教えてください。

三次方程式が導かれる…ということはこの問題は２元３次方程式。
ということでしょうか？

No.12874 - 2011/01/26(Wed) 23:49:10

☆ Re: 連立方程式 / angel

> A^2＞0(Aは実数)によって限定される。
> という解釈であっているでしょうか？

それでほぼあっています。正しくは A^2≧0 ですが。

> あと、(x-2)(x^2+x+2)=0までの計算過程を教えてください。
y=-(x^2+x) を?@に代入して
　2x^2-x(x^2+x)+4=0
　⇔ -x^3+x^2+4=0
　⇔ x^3-x^2-4=0
　⇔ (x-2)(x^2+x+2)=0
最後は因数分解しただけです。

> 三次方程式が導かれる…ということはこの問題は２元３次方程式。
> ということでしょうか？

あえて言うなら、2次方程式が連立しているので、連立2次方程式でしょうが、特にそういう名前に拘る必要はないでしょう。
※連立1次方程式なら、それ自身が重要な問題なのですがね

No.12885 - 2011/01/27(Thu) 22:45:14

★ sin / リャン

f(x)=sin(πsinx)とする。
(1)f(x+π)=-f(x)を示せ。
(2)0≦x<πのとき、f(x)=0の解を求めよ。
(3)0≦x<πのとき、f'(x)=0の解を求めよ。
(4)(1)～(3)の結果およびf'(x)の正負を利用して、0≦x≦2πにおけるy=f(x)のグラフの概形をかけ。

(1)は分かったのですが(2)以降よくわかりません。
教えてください
解説をつけていただくとありがたいです。

No.12862 - 2011/01/26(Wed) 21:14:31

☆ Re: sin / フリーザ

f(x)=sin(πsinx)=0
⇔πsinx=ｋπ(kは整数)
⇔sinx=整数

xの範囲に注意してx=０，π

（４）では範囲が2πまで拡張されますが（１）の結果がヒントになります（図形の対称性）

No.12870 - 2011/01/26(Wed) 23:17:29

☆ Re: sin / angel

(2),(3)は地道に解くしかありません。
先に前提として、
　sinθ=0 の解は θ=nπ ( nは整数 )
　cosθ=0 の解は θ=(n+1/2)π ( nは整数 )
がありますので、
(2)
　sin(πsinx)=0
　⇔ πsinx=nπ ( nは整数 )
　⇔ sinx=n ( nは整数 )
　xの範囲を考えると、nの取りうる値は n=0,1
(3)
　まずは f'(x) を求めるところから。
　合成関数の微分 ( g(h(x)) )' = h'(x)・g'(h(x)) から
　f'(x)=πcosx・cos(πsinx)
　これより、
　πcosx・cos(πsinx)=0
　⇔ cosx=0 または cos(πsinx)=0
　⇔ x=(n+1/2)π または πsinx=(m+1/2)π ( n,mは整数 )
　後は(2)と同じく、xの範囲から n,m の取りうる値を絞っていくこと。

(4) 増減表を書きましょう。それにつきます。
x=0,π/6,π/2,5π/6,π が特別なところ。
0～πの範囲のグラフがかければ、π～2πの範囲のグラフは(1)の条件から同じようにかけるはずです。

No.12872 - 2011/01/26(Wed) 23:25:27

★ 行列 / みゆこ

横浜国立大学の問題です…難しくて分かりません

θを実数とする。実数xに対して、行列P(x)を
sin(x+θ)　cos(x+θ)
P(x)=( )
sinx cosx

とおく。2次の正方行列Aは、ある実数yに対して、AP(y)=P(y+θ)を満たしている。
次の問いに答えよ。

(1)0<θ<πのとき、Aをθで表せ。

(2)nを3以上の自然数とする。θ=2π/nのとき、
A^n=E および E+A+A^2+…+A^(n-1)=0
を示せ。
ただし、Eは単位行列、0は零行列とする。

よろしくお願いします。

No.12860 - 2011/01/26(Wed) 20:16:36

☆ Re: 行列 / X

AP(y)=P(y+θ) (A)
とします。
(1)
題意から
|P(y)|=sin(x+θ)cosx-cos(x+θ)sinx
=sin{(x+θ)-x}
=sinθ
従って0<θ<πより|P(y)|≠0ですのでP(y)には逆行列が
存在します。
よって(A)より
A=P(y+θ)P^(-1)(y)
=M{(sin(y+2θ),cos(y+2θ)),(sin(y+θ),cos(y+θ))}
・(1/sinθ)M{(cosy,-cos(y+θ)),(-siny,sin(y+θ))} (A)'
ここで
((A)'の(1,1)成分)=(1/sinθ){sin(y+2θ)cosy-cos(y+2θ)siny}
=(1/sinθ)sin{(y+2θ)-y}　(∵){}内に加法定理を使った
同様に(A)'の各成分を計算すると
A=(1/sinθ)M{(sin{(y+2θ)-y},sin{(y+θ)-(y+2θ)})
,(sin{(y+θ)-y},0)}
=(1/sinθ)M{(sin2θ,-sinθ),(sinθ,0)}
=M{(2cosθ,-1),(1,0)}

(2)
(第１式の証明)
(A)より
(A^n)P(y)={A^(n-1)}P(y+θ)
={A^(n-2)}P((y+θ)+θ)
={A^(n-2)}P(y+2θ)
=…
=P(y+nθ)
=P(y+n・2π/n)
=P(y+2π)
∴P(y+2π)の各成分を計算することにより
(A^n)P(y)=P(y) (B)
ここでn≧3より
0<θ=2π/n≦2π/3<π
∴(1)の過程からP(y)には逆行列が存在するので
(B)の両辺に右からP(y)の逆行列をかけて
A^n=E (C)

(第２式の証明)
(C)より
A^n-E=O
ここでAE=EA、つまりA,Eは数字のように順序を入れ替えても
問題ないことに注意すると因数分解により
(A-E){A^(n-1)+…+A+E}=O
後は(1)の結果を使ってA-Eに逆行列が存在することを
証明します。

No.12873 - 2011/01/26(Wed) 23:30:40

☆ Re: 行列 / みゆこ

すみません
(1)がよく分かりません

簡単な方法はないのですか？

No.12889 - 2011/01/28(Fri) 06:58:50

☆ Re: 行列 / X

No.12873の(1)に少し加筆をしましたのでご覧下さい。

只、(1)はこの方針以外に解き方は無いと思います。

No.12893 - 2011/01/28(Fri) 13:05:15

★ ベクトル / 匿名希望

ベクトルAX＝αベクトルAB＋βベクトルAC＋γベクトルAD（ベクトルAB、ベクトルAC、ベクトルADは一次独立）で表される点Xは
α＋β＋γ＝１のときは平面BCD上、
α＋β＋γ＜１のときは平面BCDに関してAと同じ側・・?@
α＋β＋γ＞１のときは平面BCDに関してAと反対側にある・・?A

ベクトルAX＝αベクトルAB＋βベクトルAC＋γベクトルAD
で定まるXが四面体ABCD内部にあるための条件が
α＞０かつ、β＞０かつ、γ＞０かつα＋β＋γ＜１・・?B
の?@、?A、?Bとなる理由を誰か分かる方御願いします。

No.12858 - 2011/01/26(Wed) 20:01:10

☆ Re: ベクトル / フリーザ

この手の領域の話は斜向座標を導入すると当たり前に見えるようになる事柄が多いので１度調べられるといかもしれません。

No.12871 - 2011/01/26(Wed) 23:21:19

☆ Re: ベクトル / 匿名希望

どのようにして調べればよいのでしょうか・・・。一応大学入試問題なのですが・・。丸暗記するしかないということですか？

No.12875 - 2011/01/27(Thu) 06:45:10

☆ Re: ベクトル / 豆

立体で考える前に平面上での基礎が理解できていれば、その応用になるだけです。
AY=(αAB+βAC)/(α+β)　としたとき、Yは直線BC上の点だということはよいでしょうか？
AX=αAB+βAC=(α+β)AYですから
α+βと1の大小によりXの位置が直線BCに対してA側かどうかが判定できます。

元の問題に戻れば、以下のように変形できます。
AX=(α+β+γ)[(α+β)(αAB+βAC)/(α+β)+γAD]/((α+β)+γ)

No.12877 - 2011/01/27(Thu) 10:54:05

☆ Re: ベクトル / 匿名希望

回答ありがたいですが、AX=(α+β+γ)[(α+β)(αAB+βAC)/(α+β)+γAD]/((α+β)+γ)で?@、?A，?Bが示されたと言うことなのでしょうか？理解できません。すみません。

α＋β＋γ＜１のときは平面BCDに関してAと同じ側・・?@
α＋β＋γ＞１のときは平面BCDに関してAと反対側にある・・?A

ベクトルAX＝αベクトルAB＋βベクトルAC＋γベクトルAD
で定まるXが四面体ABCD内部にあるための条件が
α＞０かつ、β＞０かつ、γ＞０かつα＋β＋γ＜１・・?B

となる理由を
斜向座標を導入すると当たり前に見えるようになる事柄が多いとのことなので、

斜向座標を導入して当たり前のように解説してもらえないでしょうか。または、そのようなサイトが実在するのならばどうか教えていただけないでしょうか。どうかよろしく御願いいたします。

No.12879 - 2011/01/27(Thu) 19:07:44

☆ Re: ベクトル / フリーザ

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/obliquecoordinate.htm

漢字間違えてました。すみません。
高校の範囲外なので答案に出すのは控えたほうがよいですが難しいことではないので理解しておいて損はありません。
自分は高１のときニューアクションって参考書で見つけてえらく感動しましたね

No.12881 - 2011/01/27(Thu) 20:26:34

☆ Re: ベクトル / 匿名希望

２次元で斜交座標は前から知ってましたし、いつも使っていますが、この?@、?A、?Bは３次元なので困っています。

No.12884 - 2011/01/27(Thu) 21:14:39

☆ Re: ベクトル / フリーザ

平面の方程式がをつかうだけかと思いますが

No.12887 - 2011/01/27(Thu) 23:41:05

☆ Re: ベクトル / 匿名希望

平面の方程式・・・？斜交座標と平面の方程式は全く別物だと思いますが・・。

空間内の４点（０，０，０）、B(１０，１０，０）C(0,10,0)D(0,10,5)を頂点とする三角錐をVとする。次の２点P,QはVの内部にあるか外部にあるか、理由をつけて答えよ。
（１）P(３，６，３）（２）（２，７，２）　（津田塾大）

この問題はどのようにして解きますか？ご教授ください。斜交座標をふんだんに使ってくれてかまいません。

No.12890 - 2011/01/28(Fri) 07:10:47

☆ Re: ベクトル / フリーザ

ベクトルAX＝αベクトルAB＋βベクトルAC＋γベクトルAD（ベクトルAB、ベクトルAC、ベクトルADは一次独立）で表される点Xは
α＋β＋γ＝１のときは平面BCD上、
α＋β＋γ＜１のときは平面BCDに関してAと同じ側・・?@
α＋β＋γ＞１のときは平面BCDに関してAと反対側にある・・?A

A→原点
B→(1,0,0)
C→(0,1,0)
D→(0,0,1)

という対応を考えれば平面BCD上にある条件はx-y-xの直交座標系でx＋y＋z=1が(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)を通る平面をあらわすので当たり前にみえるといってるわけです

この問題は普通に最初に書いてた?Bを使います。

No.12892 - 2011/01/28(Fri) 11:42:45

☆ Re: ベクトル / 匿名希望

やはり?Bを使って解くようですね。ならば?Bといえる理由が必要なはずです。そういう訳で?Bの証明法あるいは導き方を教えて下さい。

No.12896 - 2011/01/28(Fri) 19:02:03

☆ Re: ベクトル / フリーザ

だからいま斜交座標の考え書きましたよ。

No.12897 - 2011/01/28(Fri) 23:15:11

☆ Re: ベクトル / 匿名希望

x-y-xはx-y-zですか？

No.12901 - 2011/01/29(Sat) 22:47:07

☆ Re: ベクトル / フリーザ

もちろんそうです。すみません

No.12902 - 2011/01/29(Sat) 23:27:18

☆ Re: ベクトル / 匿名希望

A→原点
B→(1,0,0)
C→(0,1,0)
D→(0,0,1)

A（０，０，０）、B(１０，１０，０）C(0,10,0)D(0,10,5)
で全然違うのですが、この違いはどのようにして埋めればよいのでしょうか。

No.12913 - 2011/01/30(Sun) 19:24:53

☆ Re: ベクトル / フリーザ

あのその理解じゃ平面の斜交座標もわかってないんじゃないですか。

私がいったのは?BがA→原点
B→(1,0,0)
C→(0,1,0)
D→(0,0,1)

の対応を考えれば明らかっていったわけでこの問題は?Bを使って解くといいました。

直交座標は基底としているのが(0,1),(1,0)であるが斜交座標では基底を違うのにしたわけですよ？そこわかって普段使ってますか？?Bは基底をベクトルAB、AC,ADにとってるだけの話です。

No.12918 - 2011/01/31(Mon) 10:39:54

★ 数学の応用問題　文系の高２です / 有紀

nが整数であるとき、S=｜n-1|＋|n-2|＋・・・＋|n-100|の最小値を求めよ。
また、そのときのnの値を求めよ。

解答 S(n)は数直線上の点nから1,2,3,・・・,99,100の各点までの距離の総和を表すから
S(n)が最小になるのは1<n<100のときである。
S(n)＝[n-1]Σ[k=1](n-k) ＋ [100]Σ[k=n＋1](k-n)
＝｛n-(101/2)}^2＋50×101 - (101)^2/4
よって、S(n)は、n＝50またはn=51のとき最小で、最小値はS(50)＝S(51)＝2500

分からないところ
?@S(n)＝[n-1]Σ[k=1](n-k) ＋ [100]Σ[k=n＋1](k-n)
この計算式の意味
?AS(n)は、n＝50またはn=51のとき最小で、最小値はS(50)＝S(51)＝2500
なんでn＝50またはn=51のとき最小になるといえるのか
これはなんとなくなんですが
例えばn=3としたとき1<3<100で最小値をとるので実際に数えてみると
S=(n-1)＋(n-2)＋(n-3)-(n-4)-(n-5)-・・・・・-(n-100)となります。
-(n-4)～-(n-100)までにおいてnにn=3を代入すると
( )の中は-だが外側にある-で全体的には＋の数になる。
n=3を代入したSの数
S＝2＋1＋0＋1＋2＋・・・＋95＋96＋97
これだと後半の部分の足していく数が大きすぎるのでn=3のとき最小になることはない。
ここで、1～100の中間であるn=50でためしてみると
1<50<100でSは最小値をとるので
S＝(n-1)＋(n-2)＋・・・＋(n-50)-(n-51)-(n-52)-・・・・・・-(n-100)
n=50を代入したSの数は
S＝49＋48＋47＋・・・＋1＋0 ＋1＋2＋・・・・・・＋49＋50
となり前半部分と後半部分の足される数が大体同じ
このときSは最小値をとる。
これはn=51のときも同様である。

ということなんでしょうか？

それと自分がこの問題を解く際に考えた方法が
とりあえずnの値で場合わけします。
まず前半部分n<1のとき
S＝-(n-1)-(n-2)-・・・-(n-100)＝-100n＋～
1≦n＜2のとき
S＝(n-1)-(n-2)-・・・-(n-100)＝-98n＋～
ここまででグラフを簡単にグラフを書いてみると
まず-100の傾きを欠いて1≦n＜2のゾーンで傾きが-98nになりゆるやかになります。

そして後半部分
99≦n<100のとき
S＝(n-1)＋(n-2)＋・・・＋(n-99)-(n-100)＝98n＋～
n≧100のとき、S＝100n＋～
この部分も先ほど書いたグラフ上に書いてみると
前半と後半で分けて書いたグラフは
\ ＿＿／ (\はキーボード上の「ろ」のやつです)
となり間の空白部分で最小値があると予測できます。
しかしここからさきの解答方法が思いつきません。
誰か分かる方教えてください。お願いします＞＜

No.12857 - 2011/01/26(Wed) 17:52:47

☆ Re: 数学の応用問題　文系の高２です / 有紀

S(n)＝[n-1]Σ[k=1](n-k) ＋ [100]Σ[k=n＋1](k-n)
でそれぞれk=1～n-1までの値 k=n＋1～100までの値とありますが
これは1<n<100という条件より
【1、～、n-1】<n<【n＋1、～、100】
ということでそれぞれ【】までの値を求めているんですよね。
1、～、n-1<nの場合は全て絶対値の中身は正になるので(n-k)で計算するのわかりますが
n<n＋1～,100の場合(n<100)
例えばn=95とすると
S＝|n-1|＋|n-2|＋・・・＋|n-95|＋|n-96|＋・・・|n-100|
|n-95|まではすべて＋
|n-96|～|n-100|はすべて絶対値の中身の数が－なのでn<kの場合の(k-n)で計算するんですよね
これって要するに
[n-1]Σ[k=1](n-k) ＋ [100]Σ[k=n＋1](k-n)
とわけて計算することによって
絶対値の中身が＋の数の和と絶対値の中身が-の数の和をお互い足して
それでSという全体の値を求めようってことですよね？
なんか色々考えているうちに疑問が次々と浮かび上がってきてしまいました。

京都大学の問題なだけあって難しいです・・・

No.12859 - 2011/01/26(Wed) 20:01:14

☆ Re: 数学の応用問題　文系の高２です / フリーザ

連続変数でないので差分が有効です。
f(n＋1)－f(n)=｜n｜－｜n－99｜

｜n｜≦＝≧｜n－99｜
⇔n^2≦＝≧n^2－198n＋99^2
⇔2n≦＝≧99
⇔n≦＝≧50.5

したがって
n=51,52,53・・・では
f(51)≦f(52)≦・・・となり

n=50,49,48・・・では
f(51)≦f(50)≦・・・となります

よって最小値はn=50と51に絞れますがこれは同じ値なので求める最小値はn=50,51のときとわかります。

一般にf(n)が整数の値を飛び飛びにとるような離散変数のときは
?@f(n)とf(n＋1)の大小
?Af(n)/f(n＋1)と1の大小（fが正の値しかとらないとき、負でもよいが）

を調べることで関数の増減がわかります。
確率の最大値を求める問題でよく使われますのでそらなかったらチャートなんかに載ってるので調べてみてください。

No.12861 - 2011/01/26(Wed) 20:25:50

★ 必要十分条件 / プリン

０°≦α、β＜３６０°とする。このとき次の不等式
sinα＝cosβ、cosα＝sinβが同時に成り立つための必要十分条件を求めよ。

これを計算でごり押ししたいのです。

sinα＝cosβをとくと、（計算過程省略）αーβ＝-270°,90°・・・?@またはα＋β＝９０°，４５０°・・・?A

cosα＝sinβをとくと、（計算過程省略）αーβ＝－９０，２７０°・・・?Bまたはα＋β＝９０，４５０°・・・?C

までは分かったのですが、その後が分かりません。どなたか教えて下さい。

No.12853 - 2011/01/25(Tue) 20:13:31

☆ Re: 必要十分条件 / angel

?Aと?Cは全く同じ条件なので、?Aの方に合わせますと、
　sinα=cosβ⇔?@または?A
　cosα=sinβ⇔?Bまたは?A
なので、
　sinα=cosβかつcosα=sinβ
　⇔(?@または?A)かつ(?Bまたは?A)
　⇔?Aまたは(?@かつ?B)
となります。
※?Aを満たせば(?@または?A)・(?Bまたは?A)両方を満たす
　?Aを満たさない場合は?@・?B両方満たす必要がある

しかしながら?@かつ?Bはありえないため、結局は?Aの条件が答えとなります。

No.12866 - 2011/01/26(Wed) 22:51:28

☆ Re: 必要十分条件 / プリン

トテモよく分かりました。ありがとうございます。

No.12880 - 2011/01/27(Thu) 19:08:32

★ 整数問題 / 志

7n+1と8n+4の最大公約数が５になるような１００以下の自然数ｎは全部でいくつあるか。

（8n+4,7n+1)=(n+3,7n+1)=(n+3,-20)
ここまではできました。

この後、解答には、

さらに、これはｎ＋３と２０の最大公約数に等しいとあるのですが、なぜですか？マイナスはドコへいったのでしょうか・・・よろしくおねがいします。

No.12851 - 2011/01/25(Tue) 19:53:27

☆ Re: 整数問題 / 黄桃

高校生になれば約数や倍数は整数全体、つまり、負の整数をも考えます。

整数a,b(負でもよい）について、aはbの約数である、とは整数c（負でもよい）を使ってa=b*c とかけることです。
ただし、最大公約数とは、公約数の中で最大のものなので、当然正で、これは今までと同じです。
最小公倍数は、正の公倍数で最小のもの、と考えてください。

だから、整数aが20を割り切る（aは20の約数）とは、20=a*b (a,b は整数）と書けることです。
-20=a*(-b) ですから、aは-20の約数でもあります。この式からaが-20の約数なら20の約数でもあることがわかり、結局20の約数と-20の約数は同じになります。

以上から、(n+3,20)=(n+3,-20)です。

No.12876 - 2011/01/27(Thu) 08:55:37

★ 複素数の数列 / サム

z[1]=1+i,z[n+1]=1/2z[n](n=1,2,3…)で定義される複素数の数列{z[n]}を考える。ただし、iは虚数単位である。z[n]は実数x[n],y[n]を用いてz[n]=x[n]+y[n]iで表される。このときx[n+2]をx[n]で表すとx[n+2]=[A]であり、lim[n→∞]y[n]=[B]である。

[A][B］に何が入るか教えてください。
正直この問題は手も足も出ません。
解説をつけていただくとありがたいです。

No.12845 - 2011/01/25(Tue) 11:58:52

☆ Re: 複素数の数列 / サム

> z[1]=1+i,z[n+1]=1/2z[n](n=1,2,3…)で定義される複素数の数列{z[n]}を考える。ただし、iは虚数単位である。z[n]は実数x[n],y[n]を用いてz[n]=x[n]+y[n]iで表される。このときx[n+2]をx[n]で表すとx[n+2]=[A]であり、lim[n→∞]y[n]=[B]である。
>
> [A][B］に何が入るか教えてください。
> 正直この問題は手も足も出ません。
> 解説をつけていただくとありがたいです。

1/2z[n]は(1/2)z[n]です

No.12846 - 2011/01/25(Tue) 12:46:25

☆ Re: 複素数の数列 / サム

あとz[n+1]=(1/2)z[n]+1でした。

ホントすみません

No.12847 - 2011/01/25(Tue) 12:51:41

☆ Re: 複素数の数列 / ヨッシー

z[n]² などのように、z[n] の実部と虚部を
互いに計算することはないので、
実部は実部、虚部は虚部で分けて考えてもいいです。つまり、
ｘ[1]＝１　ｘ[n+1]＝(1/2)ｘ[n]＋１
ｙ[1]＝１　ｙ[n+1]＝(1/2)ｙ[n]
です。
　ｘ[n+2]＝(1/2)ｘ[n+1]＋１
　　　　＝(1/2){(1/2)ｘ[n]＋１}＋１
　　　　＝(1/4)ｘ[n]＋3/2
また、
　lim[n→∞]ｙ[n]＝０　（公比 1/2 の等比数列）

です。

No.12849 - 2011/01/25(Tue) 16:36:03