ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 相似の関係 / √

相似の関係について教えてください。

三角形の３つの角度が等しい三角形は、みんな相似の関係に
なりますが、これは三角形の場合だけですか？
（円と正多角形は、みんな相似の関係になるので、この２つは除いて考えます）

よろしくお願い致します。

No.12942 - 2011/02/02(Wed) 21:17:20

☆ Re: 相似の関係 / らすかる

三角形だけではありません。
例えば「ひし形」も角度が等しければ相似になります。

No.12943 - 2011/02/02(Wed) 21:33:12

☆ Re: 相似の関係 / √

らすかるさん　有り難うございます。

あっ　そうですね。
ひし形は正方形を歪ませた形ですね。

では「全ての角度が同じというだけで相似の関係」になると言える図形は、
?@三角形
?A円や正多角形
?B円や正多角形を同じ割合で歪ませた図形（楕円や菱形など）

この３つの場合だけと考えてよろしいでしょうか？

No.12944 - 2011/02/02(Wed) 21:54:21

☆ Re: 相似の関係 / √

付け足しです。
私の質問の仕方が変かも。。

全ての角度が等しくて、辺の比が同じなら「相似の関係」にありますが、
「三角形」だけは３つの角度が等しいというだけで相似の関係にあると決められる。
だけど四角形は角度だけでなく、辺の比も考えなくてはイケナイ。
なぜ三角形だけ？　となりました。。。

No.12947 - 2011/02/02(Wed) 22:31:41

☆ 三角形だけは特別？ / √

またまた付け足しです。

これは「相似」だけでなく「合同」にも言えることですね。
３辺の長さが、みな同じなら「合同」の三角形。

でも、
４辺の長さが、みな同じでも「合同」の四角形とは言えない。

きっと「三角形」だけは特別な図形なのですね。。

No.12948 - 2011/02/02(Wed) 23:05:12

★ 数学２　高2 / まゆ汰

数学の問題で分からないところがあります。

0°≦x≦90°のとき、2sinx ＋ cosxの最大値と最小値を求めよ。
まず
2sinx ＋ cosxを合成すると
√５cos（x-α）
ここでx-aについて吟味すると
aはtanθ＝aとおくと図（合成するときの図です。y座標2、x座標1の第１象限）より角度aをもつ直線の傾きは2（y=2x）なので
tan30°＝1/√3 よりも大きいので
aの範囲は30°<a<90°
あとは図をかいて最大、最小となるところを求めるだけで答えはあっていたのですが、
自分の解答と解説の解答が一部違っていました。
自分はaの範囲を30°<a<90°としましたが、答えでは45°<a<90°でした。
これはどうしてなんでしょうか？だれかわかるかたおしえてください。お願いします

No.12939 - 2011/02/02(Wed) 17:53:37

☆ Re: 数学２　高2 / まゆ汰

補足なんですけど
30°＜a<90°じゃなくて
正しくは0°＜a<90°ですよね。
なんで45°＜a<90°なのかはさっぱりわかりませんが＾＾；

No.12940 - 2011/02/02(Wed) 18:23:52

☆ Re: 数学２　高2 / X

合成後の式をよく見てください。
√５sin（x+α)
ではなくて
√５cos（x-α)
となってますね。
これは
2sinx+cosx=cosx+2sinx
=√5{(1/√5)cosx+(2/√5)sinx}
と見て
cosα=1/√5
sinα=2/√5
なるαを考えて
2sinx+cosx=√5(cosxcosα+sinxsinα)
=√5cos(x-α)
と変形しています。
従ってこの場合の合成に使う図は
底辺が1、高さが2の直角三角形
です。
ですので
tanα=2
∴1<tanα
ですので
45°<α<90°
となります。

No.12941 - 2011/02/02(Wed) 18:45:14

★ 微分の問題なんですが、お願いします / Ｓ

次の関数を微分せよ。

（１）y＝e^x

（２）y＝cos３ｘ

（３）y＝（1／3）e^2ｘ－１

高２です。よろしくお願い致します。

No.12936 - 2011/02/01(Tue) 23:48:11

☆ Re: 微分の問題なんですが、お願いします / シャロン

（１）については詳細は教科書等に乗っていると思われますので省略しますが、dy/dx=e^xです。

（２）は合成関数の微分を使用します。u=3xとおけば、dy/dx=(d/du)sin u･du/dxですね。

（３）
ー１はeの指数の一部（つまりy=(1/3)e^(2x-1)）として解釈していいのでしょうか？
であればこちらも合成関数の微分を使用して、u=2x-1とおいて、dy/dx=(d/du)(1/3)e^u･du/dxです。

No.12953 - 2011/02/03(Thu) 09:11:31

☆ Re: 微分の問題なんですが、お願いします / Ｓ

ありがとうございます

（２）と（３）はuを式中に代入すればいいんでしょうか？

あと(d/du)(1/3)は(d/du)と(1/3)がかけられているということでしょうか？

No.13054 - 2011/02/12(Sat) 06:11:03

☆ Re: 微分の問題なんですが、お願いします / シャロン

> あと(d/du)(1/3)は(d/du)と(1/3)がかけられているということでしょうか？

d/duは、あとに続く関数をuで微分するという作用を表す記号であり数ではないので掛けることはできません。

(d/du)(1/3)e^u･du/dxとは、(1/3)e^uをuで微分したものと、uをxで微分したものの積です。

No.13079 - 2011/02/13(Sun) 09:02:26

★ 数学 / to みやざき

a,bを正の整数とするとき、a^3+b^3が素数の整数乗になるようなa,bを全て求めよ。
解答
素数をｐとして a^3+b^3=p^n(nは自然数）と表せる。
ここでaとbの最大公約数をｄとすると、a=a'd,b=b'dと表すことより、(a'^3+b'^3)d^3=p^n(a'とb’は互いに素）となる。よって『ｄは１かp^kの形しかありえない。』
(i)ｄ＝１のときa,bは互いに素となり、
a^3+b^3=(a+b)(a^2ーab+b^2)=p^n
ここで可能性としては
『?@a+b=1,a^2ーab+b^2=p^n
?Aa+b=p^α,a^2ーab+b^2=p^β（α、β＞０、α＋β＝ｎ）
?Ba+b=p^n,a^2ーab+b^2=1
しかない』

この『』『』の部分がなぜそうなるのか分かりません。どなたか教えて下さい。

No.12932 - 2011/02/01(Tue) 19:53:52

☆ Re: 数学 / ヨッシー

たとえば、ｍ、ｎが正の整数で、
　ｍｎ＝２^10
だとすると、可能性としては、
　ｍ＝１、ｎ＝２^10
　ｍ＝２^1、ｎ＝２^9
　ｍ＝２^2、ｎ＝２^8
　ｍ＝２^3、ｎ＝２^7
　ｍ＝２^4、ｎ＝２^6
　ｍ＝２^5、ｎ＝２^5
　ｍ＝２^6、ｎ＝２^4
　ｍ＝２^7、ｎ＝２^3
　ｍ＝２^8、ｎ＝２^2
　ｍ＝２^9、ｎ＝２^1
　ｍ＝２^10、ｎ＝１
しかないですね？これを、
　ｍ＝２^α、ｎ＝２^β　（α、β＞０、α＋β＝10）
とまとめて書いているだけです。

No.12934 - 2011/02/01(Tue) 21:00:32

★ 数学　高2 / 有紀

cpsx＋cosy=1・・・?@

sinx＋siny=√3・・・?A (ただし、0°≦x 、y≦360°)
この連立方程式を解け。

この系統の問題は(cosx,sinx)というベクトルを単位ベクトルと考えるように学校の先生に教えられました。
実際解いてみたのですがうまくできません。
とりあえずe1→＝(cosx、sinx) e2→＝(cosy,siny) (横表記になってますが縦です。たとえばe1→なら
()の中の上にcosxを書いてその下にsinxです。外積のときに良く使うような)
?@＋?Aより
(cosx＋sinx)＋(cosy＋siny)＝1＋√3
よってe1→＋e2→＝a→・・・?B
(ここで、a→＝(1,√3)とおきました)
?Bを図で書いてみると
e1→とe2→の大きさは同じなので
二等辺三角形になってます。
e1→＝e2→＝a→/2
ここまでいけたのですが分かりません。
答えはx=y=60°です。
誰か分かる方教えてください。お願いします。

No.12931 - 2011/02/01(Tue) 19:09:46

★ わかったものからでよいので教えてください。 / ともこ

?@lim　a√x＋bx+4/(x-2)²=cが成り立つような定数a,b,cの値
　x→4

またf(x)=ax+b/x²+cにおいて関数f(x)はx=1で極値１をとり、点(0,f(0))は曲線f(x)の変曲点であるとき、a,b,cの値はいくらになるか。

?A?@）１辺の長さが２の正方形ABCDを底面とし、OA=OB=OC=OD=3
をみたす４角すいO-ABCDにおいて、OAﾍﾞｸﾄﾙ＝a→、OBﾍﾞｸﾄﾙ＝b→とするとき、内積a→・ｂ→は
　?A）OC→=c→、点Bから辺ODに下ろした垂線の足をHとするとき、OH→をa→、b→,c→を使って表わせ

?B放物線y=x²-2xと直線y=-x+2で囲まれた図形の面積を２等分する直線を求めよ

No.12930 - 2011/02/01(Tue) 14:34:42

★ (No Subject) / 第２段

aを自然数、ｐを素数としたとき
(a,p)≠１のとき　※(,)は最大公約数の意味

なんでｐlaになるのでしょうか。

No.12924 - 2011/01/31(Mon) 21:26:27

☆ Re: / らすかる

pの約数は1とpしかありませんから、
(a,p)≠1 ならば (a,p)=p ですね。

No.12926 - 2011/02/01(Tue) 00:01:51

☆ Re: / 第２段

もう少し詳しく御願いします。まだ少し騙された気がします。。

No.12927 - 2011/02/01(Tue) 00:45:18

☆ Re: / らすかる

「aとpの最大公約数」とは
「aとpの公約数のうち最大であるもの」すなわち
「aの約数とpの約数で共通である数のうち最大であるもの」です。
pの約数は1とpだけですから、
「aの約数とpの約数で共通である数」は1かpしかあり得ません。
よって
「aの約数とpの約数で共通である数のうち最大であるもの」も1かpですから、
「aとpの最大公約数」も1かp、つまり (a,p)=1 または (a,p)=p です。
(a,p)≠1 という条件があれば (a,p)=p しかあり得ませんから、
aは約数pを持ちます。

No.12928 - 2011/02/01(Tue) 06:33:25

★ 数B　空間ベクトル / あつき

よろしくお願いします。

空間内に四面体OABCがあり、辺BCを1:2に内分する点をD、線分ODの中点をM、線分AMの中点をNとする。次の□を埋めよ。

(1)OM↑をOB↑、OC↑で表すとOM↑=□OB↑+□OC↑である。
(2)直線BNと平面OACの交点をPとするとき
　OP↑=□OA↑+□OC↑である。

(1)はOD↑=2OM↑であることを利用して
OM↑=(1/3)OB↑+(1/6)OC↑となりました。

(2)はどのようにして解けばよいのでしょうか。

No.12921 - 2011/01/31(Mon) 19:37:34

☆ Re: 数B　空間ベクトル / ヨッシー

ＯＭ＝ＯＢ/3＋ＯＣ/6 であり、ＮはＡＭの中点であるので、
　ＯＮ＝ＯＡ/2＋ＯＢ/6＋ＯＣ/12

ＢＰ＝ｔＢＮとおくと、
　ＢＰ＝ｔ(ＯＮ－ＯＢ)
　　　＝ｔ(ＯＡ/2－5ＯＢ/6＋ＯＣ/12)
よって、
　ＯＰ＝ＯＢ＋ＢＰ
　　＝ｔＯＡ/2－(5ｔ－6)ＯＢ/6＋ｔＯＣ/12
ここで、点Ｐは△ＯＡＣで決まる平面上にあるので、
　ＯＰ＝ｍＯＡ＋ｎＯＣ
の形に書け、ＯＢの成分は含まれません。
よって、5ｔ－6＝０よりｔ＝6/5
このとき、
　ＯＰ＝3ＯＡ/5＋ＯＣ/10

No.12922 - 2011/01/31(Mon) 21:15:33

☆ Re: 数B　空間ベクトル / あつき

解答だけでなく、分かりやすい解説までいただき、
本当に助かりました。
ありがとうございました。

No.12925 - 2011/01/31(Mon) 23:38:16

★ 合同式 / かるぴす

（１）正の整数ｎでｎ＾３＋１が３で割り切れるものを全て求めよ。
（２）正の整数ｎでｎ＾ｎ＋１が３で割り切れるものを全て求めよ。

の求め方について、
（１）はｎ≡★（mod3)で場合わけして
与式≡●●（mod3)という求め方
（２）はｎ≡☆(mod6)で場合分けして
与式≡○○（mod3)という求め方。

この違いはどこから来るのでしょうか？
実際に何十分も整数を書き並べて試行錯誤した結果というのではなく、合同式で理論的に説明できる人いらっしゃらないでしょうか。
（１）はｎ≡★（mod3)
（２）はｎ≡☆(mod6)と場合分けする理由について
よろしく御願いします。

No.12914 - 2011/01/31(Mon) 00:15:11

☆ Re: 合同式 / rtz

(1)は3つの場合分けで済むが、
(2)は
(3k+1)^(3k+1)+1≡1^(3k+1)+1 (mod 3)＝2 (mod 3)
(3k+2)^(3k+2)+1≡(-1)^(3k+2)+1 (mod 3)＝(-1)^(3k)+1 (mod 3)
の下側がさらに場合分けが必要だから。

尤も(1)はn^3+1＝(n+1)^3-3(n^2+n)≡(n+1)^3 (mod 3)で済みますが。

No.12915 - 2011/01/31(Mon) 02:52:43

☆ Re: 合同式 / かるぴす

(1)は3つの場合分けで済むが
>>なぜ３つの場合分けですむと分かったのですか？そこが知りたいのです。

(3k+1)^(3k+1)+1≡1^(3k+1)+1 (mod 3)＝2 (mod 3)
(3k+2)^(3k+2)+1≡(-1)^(3k+2)+1 (mod 3)＝(-1)^(3k)+1 (mod 3)
の下側がさらに場合分けが必要だから。
>>この説明ではｎ≡★(mod３)でうまくいかないことは分かりましたが、ｎ≡☆(mod6)でうまくいくことが分かりません。いったいどこからmod6がきたのかそこを教えて下さい。

よろしくおねがいします。

No.12916 - 2011/01/31(Mon) 08:19:09

☆ Re: 合同式 / rtz

＞なぜ３つの場合分けですむと分かったのですか？
本問はmod 3だから、
(3k+p)^qの形を取ることで、(3k+p)^q≡p^q (mod 3)が使えるためです。
これはmod nだからnk+pにするかというと一概には言えません。
十分ではありますが、必要でないこともあります。
例えば(2k+1)^2＝4k(k+1)+1≡1 (mod 4)などは、4k+tにせずともよい場合です。
展開時の係数如何ではこのように小さな場合分けで済むこともあります。

＞どこからmod6がきたのか
(-1)^(3k)+1 (mod 3)において、
(-1)^(3k)が周期2で-1→1→-1…をとる(＝ kが奇数で-1、偶数で1)のは言うまでもないわけで、
即ち「(3k+2)^(3k+2)+1≡(-1)^(3k+2)+1 (mod 3)＝(-1)^(3k)+1 (mod 3)」
の3k+2が偶数か奇数かで結果が変わります。
ですから何れも網羅できる3*2＝6を法とします。

No.12920 - 2011/01/31(Mon) 19:36:38

☆ Re: 合同式 / かるぴす

3k+2が偶数か奇数かで結果が変わります。
ですから何れも網羅できる3*2＝6を法とする、とありますが、なぜ６を法として網羅できるのでしょうか・・。

No.12923 - 2011/01/31(Mon) 21:22:12

☆ Re: 合同式 / ヨッシー

mod 3 では、
　(1) ３で割り切れる
　(2) ３で割ると１余る
　(3) ３で割ると２余る
に分類できますが、(1) の中には、奇数（３，９など）も、偶数(6，12など)も含まれます。
mod 6 にすると、
　(1) ６で割り切れる　＝　３で割り切れる偶数
　(2) ６で割ると１余る　＝　３で割ると１余る奇数
　(3) ６で割ると２余る　＝　３で割ると２余る偶数
　(4) ６で割ると３余る　＝　３で割り切れる奇数
　(5) ６で割ると４余る　＝　３で割ると１余る偶数
　(6) ６で割ると５余る　＝　３で割ると２余る奇数
のように、区別できます。

No.12929 - 2011/02/01(Tue) 06:43:52

★ 方程式 / 大林ゆか

問題）a,bを正の定数とする。

4b^4-5ab^2+a^2+1=0・・・?Aとなるｂが存在するようなaの値の範囲を求めよ。

解答を丸写ししますと、
解答）
t=b^2とすると
4t^2-5at+a^2+1=0・・・?@

ｔの２次方程式少なくとも１つ正の実数解をもつようなaの値の範囲を求めればよい。

今、?@について
２解の和＝5a/4>0,２解の積＝(a^2+1)/4>0であるから、
?@が実数解を持てばそれらは正である。よって条件は
判別式D≧０⇔a≦-4/3,4/3≦a
a>0より4/3≦a・・（答え）

ここで私が質問したいのは、ｂ＞０の条件はどこへいってしまったのか、ということです。ｔ＝ｂ＾２とおき、ｔ＞０の解をもってもｂは正の場合もあるし、負の場合もありますよね。例えば、ｔ＝５のとき、ｂ＝±√５
なぜこの解答で良いのか誰か教えて下さい。

No.12906 - 2011/01/30(Sun) 10:54:50

☆ Re: 方程式 / らすかる

> ｔ＝ｂ＾２とおき、ｔ＞０の解をもってもｂは正の場合もあるし、負の場合もありますよね。
ありません。 b＞0, t=b^2, t＞0 ですから b=√t です。
t＞0の解があれば、bは正の値b=√tが存在しますので問題ありません。

No.12907 - 2011/01/30(Sun) 11:42:50

☆ Re: 方程式 / 大林ゆか

確かに存在はしますが、そのaの範囲が必要十分かどういうことが気になっているのです。そもそもｔの２次方程式が少なくとも１つ正の実数解をもつようなaの値の範囲を求めればよい、ということが疑問なのです。

ｔ＞０となるｔが存在する⇔ｂ≠０となるｂが存在する

ですから、ｔ＞０となるｔの存在が言えればｂ＞Oとなるｂの存在も言えるし、同時にｂ＜０となるｂの存在もいえてしまうわけです。しかし、この問題ではｂ＞０となるｂの存在を言うための条件を求めるのであって、余分な、ｂ＜０となるｂが存在する条件も含んでしまっています。それが気になるのです。この答えは必要条件なのではないのか、と。

No.12908 - 2011/01/30(Sun) 13:06:33

☆ Re: 方程式 / らすかる

bの条件がない場合は
「ｔ＞０となるｔが存在する⇔ｂ≠０となるｂが存在する」
ですが、
b＞0という条件があるので
「ｔ＞０となるｔが存在する⇔ｂが存在する」
です。
最初からb＞0という条件がついているわけですから、
「同時にｂ＜０となるｂの存在もいえてしまう」
のようなことは考える必要はありません。
b＞0, t＞0 という条件のもとでは t=b^2⇔b=√t です。

No.12909 - 2011/01/30(Sun) 13:28:42

☆ Re: 方程式 / 大林ゆか

ということはこの問題では?Aをみたすｂは４次方程式だけれども２つしか存在しないということですか？

No.12910 - 2011/01/30(Sun) 14:46:03

☆ Re: 方程式 / 大林ゆか

ｂに何の条件もなかったらら答えはどうなりますか？よかったら教えて下さい

No.12911 - 2011/01/30(Sun) 14:52:37

☆ Re: 方程式 / らすかる

> この問題では?Aをみたすｂは４次方程式だけれども２つしか存在しないということですか？
a=4/3の時bは一つ、a＞4/3のときbは二つとなります。

> ｂに何の条件もなかったらら答えはどうなりますか？
適するbは2倍に増えますが、問題はaの範囲なので答えは変わりません。

今気がついたんですが、問題が変ですね。
bは変数なのに「a,bを正の定数とする」で始まっているのはおかしいです。

No.12912 - 2011/01/30(Sun) 15:48:16

★ 指数分布，連続型確率変数ｘ / 御手洗景子

指数分布，連続型確率変数Ｘが，分布関数ｆ（ｘ）＝ｃe^-ｃｘ（ｘ≧０），０（ｘ＜０）（ｃは定数，ｃ＞０）を持つとき，ｘは指数分布に従うという。
?@公理を説明せよ。
?AE（ｘ），Ｖ（ｘ）を求めよ。

指数分布，連続型確率変数Ｘが，分布関数ｆ（ｘ）＝ｃe^-ｃｘ（ｘ≧０），０（ｘ＜０）（ｃは定数，ｃ＞０）を持つとき，ｘは指数分布に従うという。
?@公理を説明せよ。
?AE（ｘ），Ｖ（ｘ）を求めよ。
と言う問題です。
?@は連続型なので∫_-∞＾∞ｆ（ｘ）＝１から∫_０^∞（ce＾-ｃｘ）ｄｘ＝ｃ∫_０^∞（e＾-ｃｘ）ｄｘ＝-〔ｅ＾-ｃｘ〕_０＾∞=１と言うのを授業でして復習しているのですが，ｃ∫_０^∞（e＾-ｃｘ）ｄｘ＝-〔ｅ＾-ｃｘ〕_０＾∞=１の部分がどうしてこうなるのかが分かりません。教えてください。

No.12905 - 2011/01/30(Sun) 09:49:37

★ 判断推理 / みほ

判断推理の平面推理の問題です。

面積が9の正方形を、点線に沿って面積が3と6の2つの部分に切り分けるとき、その切り分け方は何通りありますか。次のうちから選びなさい。
1 15通り
2 16通り
3 17通り
4 18通り
5 19通り

解答は16通りだとわかっているのですがなぜそこに至るのかがわかりません。
解説お願いします。

No.12903 - 2011/01/30(Sun) 01:02:16

☆ Re: 判断推理 / ヨッシー

点線がどう引かれているかわかりませんが、
辺に平行な格子状だとして、

図のように、面積３の部分に、中央のマスを含まない場合８通り、
含む場合８通り、計１６通りです。

No.12904 - 2011/01/30(Sun) 06:36:53