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投稿場所を間違えました?ホ / リオ
1.lim x→0+0 sin1/x=lim t→∞ sint極限なし
2.1/x+a * sin(x‐a)/x‐a →1/2a(a≠0)
a=0のとき1/x * sinx/x左右の極限が一致しないので極限なし
3.0<x<1ではx[x]=0,‐1<x<0ではx[x]=‐xより、lim x→0±0 x[x]=0
4.θ=(偶数×π)のとき、1‐r^2/1‐2r+r^2=1+r/1‐r→∞
θ≠(偶数×π)のとき、1‐cosθ≠0より、1‐r^2/1‐2rcosθ+r^2→0/2(1‐cosθ)=0

・・・これが解答なのですが、途中の式の立て方がわかりません。

わかりずらくてすいません…

No.10365 - 2010/05/21(Fri) 08:45:49
極限の問題がわかりません・・・ / リオ
次を調べよ
1.lim x→0+0 sin1/x
2.lim x→a sin(x-a)/x^2-a^2
3.lim x→0±0 x[x]

4.Θで場合分けして、lim r→1-0 1-r^2/1-2rcosΘ+r^2
を求めよ。

・・・という問題なのですが、どうやっていいのかわかりません・・・。教えていただけるとありがたいです。

No.10362 - 2010/05/20(Thu) 22:30:05

Re: 極限の問題がわかりません・・・ / BossF
何が分からないかもっと具体的にお願いします

2.4は θ→0 でsinθ/θ→1 でできます

No.10363 - 2010/05/21(Fri) 01:42:54

Re: 極限の問題がわかりません・・・ / リオ
1.lim x→0+0 sin1/x=lim t→∞ sint極限なし

2.1/x+a * sin(x‐a)/x‐a →1/2a(a≠0)
a=0のとき1/x * sinx/x左右の極限が一致しないので極限なし

3.0<x<1ではx[x]=0,‐1<x<0ではx[x]=‐xより、lim x→0±0 x[x]=0

4.θ=(偶数×π)のとき、1‐r^2/1‐2r+r^2=1+r/1‐r→∞
θ≠(偶数×π)のとき、1‐cosθ≠0より、1‐r^2/1‐2rcosθ+r^2→0/2(1‐cosθ)=0


・・・これが解答なのですが、途中の式の立て方がわかりません。

わかりづらくてすいません…

No.10364 - 2010/05/21(Fri) 08:23:55

Re: 極限の問題がわかりません・・・ / 七
途中式とのことですが
解答に書かれている分だけで十分だと思います。

No.10370 - 2010/05/22(Sat) 06:11:10
(No Subject) / みー
ありがとうございました。

次回から気をつけます。

No.10357 - 2010/05/20(Thu) 19:35:53
ガウス関連の問題(極限) / K
よろしくおねがいいたします。高3極限の問題です。

問題)
実数xに対し n≦x を満たす最大の整数nを〔x〕で表す。
このとき
1)lim(n→∞)〔e~n〕/e~n を求めよ。
2)自然数nに対して 等式、〔logk〕=nが
成立するような整数kの個数をf(n)とする。
このときlim(n→∞)f(n)/e~n を求めよ。

1)は分かりましたが、2)の解答が理解できません。
解答には
-----------------------------------------
一般に実数xに対して〔x〕=nのときn≦x<n+1
が成り立つので
x=logkとおくと
n≦logk<n+1となる。よって
e~n≦k<e~n+1 ・・・?@

ゆえに、k=〔e~n〕+1,〔e~n〕+2,・・・〔e~n+1〕
よって?@をみたす自然数kの個数f(n)は
f(n)=〔e~n+1〕−{〔e~n〕+1}+1
f(n)=〔e~n+1〕−〔e~n〕
となる。
---------------------------------------
このk=〔e~n〕+1,〔e~n〕+2,・・・〔e~n+1〕
がわかりません。
〔e~n〕+1は整数なのですか?
〔e~n+1〕も含まれるのですか?

考え方を教えてください。よろしくお願いいたします。

No.10355 - 2010/05/20(Thu) 19:12:14

Re: ガウス関連の問題(極限) / K
n乗の記号を間違えてしまいました。

e~n → e~n はeのn乗の意味です。
すみませんでした。

No.10356 - 2010/05/20(Thu) 19:24:49
「2」を超えない理由 / √
教えてください。 算数です。

119/75
123/77
127/79
   ・
   ・
   ・
このように、分子が4づつ、
        分母が2づつ、 増えていきます。

すると、この値は限りなくAに近づき、
            また、Aを超えることはありません。

このAの値(答え)は「2」です。
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

「2」になる理由ですが、

(119+4x∞)/(75+2x∞)
となるので、
元の119と75の値が関係無くなってくるので、
(4x∞)/(2x∞)=2
と考えればよろしいでしょうか?

それと、「2」を超えることは無い
の理由が、よく分からないので教えてください。

よろしくお願い致します。

No.10350 - 2010/05/20(Thu) 14:12:12

Re: 「2」を超えない理由 / らすかる
(119+4×○)/(75+2×○)
=(150+4×○-31)/(75+2×○)
=(150+4×○)/(75+2×○)-31/(75+2×○)
=2-31/(75+2×○)
です。
○が大きくなれば「31/(75+2×○)」の分母が大きくなりますので
「31/(75+2×○)」は小さくなって全体は2に近づきますが、
2は超えませんね。

No.10354 - 2010/05/20(Thu) 18:11:36

Re: 「2」を超えない理由 / √
らすかるさん

分りました。
有り難うございました。

2−(分子)/○
の形にもっていく知恵が私にはありませんでした。

No.10359 - 2010/05/20(Thu) 20:28:14
二次方程式 / りく
問題
x^2-5x+c=0の二つの解の差が1であるとき、cの値は?

答え
6

α+β=-b/a  αβ=c/a この式を使うのでしょうか・・?
解き方を教えてください。

No.10349 - 2010/05/20(Thu) 08:49:17

Re: 二次方程式 / rtz
それら(解と係数の関係)に加えて
(α-β)^2=(α+β)^2-4αβ を使います。

この式はこの先しょっちゅう出てきますので、
覚えておくとよいでしょう。

No.10351 - 2010/05/20(Thu) 15:32:57

Re: 二次方程式 / りく
rtzさんありがとうございます。
(解と係数の関係)をどう使うのかまだわかっていません。
α+β=5  αβ=c ...?

No.10353 - 2010/05/20(Thu) 17:20:27

Re: 二次方程式 / ToDa
>二つの解の差が1である

との事なので、この2解をk,k+1とでもすれば、
k+(k+1) = 5 なので2解は2,3と分かります。あとはすぐですね。

No.10358 - 2010/05/20(Thu) 19:43:53

Re: 二次方程式 / rtz
私の方針で続けるなら
α-β=±1ですから(α-β)2=1ですので、cが求まります。

ただ、ToDaさんの方針の方が速いですね。

No.10360 - 2010/05/20(Thu) 20:46:57

Re: 二次方程式 / りく
ToDaさん、rtz さんアドバイスありがとうございました。
理解できました。

No.10361 - 2010/05/20(Thu) 21:33:14
教えてください。 / 御手洗景子
教えてください。

ω=(-1+(i*sqrt(3)))/2とするとき,次式を簡単にせよ。
(1)(a+bω+cω^2)(a+bω^2+cω)
(2)(a+b)(a+bω)(a+bω^2)
(3)(a+bω+cω^2)^3+(a+bω^2+cω)^3
(4)(aω^2+bω)(bω^2+aω)
この問題を教えてください。

No.10347 - 2010/05/20(Thu) 01:01:11
至急お願いします / PAGE
2.7<eの証明を教えてください
No.10346 - 2010/05/19(Wed) 23:50:48
因数分解 / みー
高校一年です。

因数分解の問題です。
1、X^−(Y+2)^
2、(X−1)^−Y^
3、(X−2)^(Y+7)^
です。

教えてくださいm(_ _)m

No.10344 - 2010/05/19(Wed) 19:41:34

Re: 因数分解 / shinji
数式は正しく書いてください。

WEB上ではx2はx^2と表記します。

A2 - B2 = (A + B)(A - B)
を使えばおそらく1と2は解けると思います。
3は問題がよくわかりません。

No.10345 - 2010/05/19(Wed) 21:11:51
五肢択一 / りく
問題
b/a=d/c=3     a+2c>0
が成り立つように変数a,b,c,dがそれぞれある実数値をとるとき、
b+2d/a+2cのとる値に関する記述として最も妥当なのはどれ?

答え
b+2d/a+2cは常に3となる
(間違いの4肢は省略)

解法がわかりませんでした><
アドバイスください

No.10337 - 2010/05/19(Wed) 06:17:13

Re: 五肢択一 / ヨッシー
b=3a,d=3c と置けるので、
(b+2d)/(a+2c)=(3a+6c)/(a+2c)=3

No.10339 - 2010/05/19(Wed) 08:06:53

Re: 五肢択一 / りく
返信ありがとうございます。
まだわからないところがあります。

(3a+6c)/(a+2c)=9/3=3だと思われますが
aとcはどうゆう計算方法で約分したのですか?
初歩的な質問ですみません。

No.10340 - 2010/05/19(Wed) 08:43:07

Re: 五肢択一 / らすかる
>(3a+6c)/(a+2c)=9/3=3だと思われますが
違います。
変数の値は与えられていませんので、3a+6c=9のようにはできません。
(3a+6c)/(a+2c)=3(a+2c)/(a+2c) であり、分子分母をa+2cで割ると3になります。

No.10342 - 2010/05/19(Wed) 14:14:31

Re: 五肢択一 / りく
らすかるさん、わかりやすい説明ありがとうございました。
簡単なことなんですが思いつきませんでした(´Д`)

No.10343 - 2010/05/19(Wed) 14:36:00
一次不等式 / スニフ
「xの不等式2ax-1≦4xの解がx≧-5の範囲を含むようなaの値を求めよ。」という問題なのですが、
aの値の場合によって分けて考えていくのですが、
a=2の時 左辺が0で、0≦1となり、これがxの値によらず成立する意味や、a<2、a>2の場合分けの時の考え方がわかりません。
宜しくお願いします。

No.10336 - 2010/05/19(Wed) 00:37:38

Re: 一次不等式 / ヨッシー
a=2 とすると、
 4x-1≦4x
となります。このxに、どんな数を代入しても、この不等式は
成り立ちます。(試しにいろんな数を入れてみてください)
よくみると、両辺に 4x があり、これを両辺から引くと
 -1≦0
となり、xに関係なく(xが消えてますからね)正しい不等式になります。

これがもし、 4x+1≦4x だと 1≦0 となり、
どんなxについても成立しない不等式となります。

a≠2 のとき、
 2ax-1≦4x
移項して
 (2a-4)x≦1
ここで、両辺2a-4 で割るわけですが、2a-4 が正か負かによって、
不等号の向きが変わります。
2a-4<0 つまり a<2 のとき
 x≧1/(2a-4)
2a-4>0 つまり a>2 のとき
 x≦1/(2a-4)
このうち、x≧-5 が含まれるような解となるには、
 x≧1/(2a-4)
で、1/(2a-4) が -5以下の場合です。例えば、x≧-6 は
x≧-5 をすべて含みます。

そこで、1/(2a-4)≦-5 を解くわけですが、a<2 であるので、
両辺 2a-4(<0)を掛けて、
 1≧-5(2a-4)
 1≧-10a+20
 a≧1.9
以上、a=2 である場合も含めて、
 1.9≦a≦2
となります。

No.10338 - 2010/05/19(Wed) 06:25:35

Re: 一次不等式 / スニフ
すごく解り易く説明してくださり、本当に有難うございます。
やっと理解できました。
本当に有難うございました。

No.10341 - 2010/05/19(Wed) 09:50:52
図形について / 高校2年生
∠Aの二等分線と円Oの交点をDとする。
このとき、cos∠BDC、BDはいくつか。
また、三角形BCDの面積はいくつか。

お願いします。

No.10332 - 2010/05/18(Tue) 21:43:59

Re: 図形について / ヨッシー
長さとか、半径とか、角度とか与えられていませんか?
No.10335 - 2010/05/18(Tue) 22:03:09

Re: 図形について / 高校2年生
すみませんでした。
AB=2、AC=3、cosA=1/4です。

No.10348 - 2010/05/20(Thu) 08:44:59

Re: 図形について / X
途中まで。
四角形ABCDは円に内接しているので
cos∠BDC=cos(π-A)=-cosA=-1/4 (A)
又、線分ADは∠Aの2等分線ですので半角の公式により
(sin∠BAD)^2=(sin∠CAD)^2=(1-cosA)/2
=3/8
題意より0<A<π/2ですので
sin∠BAD>0,sin∠CAD>0
∴sin∠BAD=sin∠CAD=√(3/8) (B)
さて△ABCにおいて余弦定理により
BC^2=AB^2+AC^2-2AB・ACcosA
=10
∴BC=√10 (C)
よって△ABCの外接円の半径をRとすると正弦定理により
2R=BC/sinA=(√10)/√(1-(1/4)^2)=4√(2/3)
∴R=2√(2/3) (D)
(B)(D)から△ABD,△ACDにおいて正弦定理により
BD=… (E)
CD=… (F)
よって(D)(E)(F)からヘロンの公式により△BCDの面積は…。

No.10352 - 2010/05/20(Thu) 16:01:44

Re: 図形について / 高校2年生
アドバイスありがとうございました。
数学?Tしかとってないので半角の公式やπというのはわかりませんでした。

No.10412 - 2010/05/25(Tue) 20:45:26
(No Subject) / おっ君
三角形ABCにおいてBC=4√3とし、辺BCを1:3に内分する点をdとすると

AB:AC:AD=3:5:2

線分ABの長さは(ベクトルを使って)

No.10325 - 2010/05/18(Tue) 01:59:08

Re: / ヨッシー
この図形と相似な図形で、
AB=3、AC=5、AD=2 とします。
 AD=(3ABAC)/4
より、両辺の2乗(同じベクトルどうしの内積)を取ると、
 |AD|2=(9|AB|2+6ABAC+|AC|2)/16
∠BAC=θ とし、|AB|=3、|AC|=5、|AD|=2
を代入すると、
 4=(9・9+6・AB・ACcosθ+25)/16
 AB・ACcosθ=−7
余弦定理より、
 BC2=AB2+AC2−2AB・ACcosθ
  =9+25+14=48
 BC=4√3
となり、元の図形との相似比は、1:1
よって、AB=3

No.10330 - 2010/05/18(Tue) 21:26:35
数学A 高1 / 静
数学A 図形と組み合わせ

平面上に、どの3本も同一点で交わらない9本の直線がある。
9本中2本だけが平行であるとき、これら9本の直線によってできる交点の個数、および三角形の個数を求めよ。

解答「まず、平行である2本のうち、1本の直線Lを除いて考える。
他の8本はいずれも2本ずつで1つの交点をもち、どの3本も同じ点を通らないから交点の数は8C2個 三角形の数は8C3個
【除いた直線Lを加えると、Lに平行でない7本の直線とで交点が7C1個増える。また、7本の直線のうちの2本とで7C2個の三角形が増える。】よって交点は35個 三角形は77個」
とあるのですが
【除いた直線Lを加えると、Lに平行でない7本の直線とで交点が7C1個増える。また、7本の直線のうちの2本とで7C2個の三角形が増える。】から意味が理解できず混乱してしまいました。
誰か頭の硬い私に教えてください。
よろしくおねがいしますm(><)m

No.10323 - 2010/05/18(Tue) 01:04:30

Re: 数学A 高1 / ヨッシー
9本の直線を、
A,B,C,D,E,F,G,H,L とし、HとLが平行とします。
A,B,C,D,E,F,G,Hの8本の直線では、
 交点 8C2=28(個)
 三角形 8C3=56(個)
ここまでは良いですね?

ここに、Lが加わると、交点は、
AとL、BとL、CとL、DとL・・・GとL の7個の交点が
新たに出来、HとLとでは交点は出来ません。
三角形は、
ABL,ACL,ADL・・・AGL
BCL,BDL・・・BGL
CDL・・・CGL
・・・
FGL
が新たに出来ます。これらは、A,B,C,D,E,F,Gの
7本から選んだ2本の直線とLとで出来たもので、
その数は、7C2=21(個) です。
Hが含まれたのでは、三角形は出来ません。

No.10331 - 2010/05/18(Tue) 21:42:15
数学A 高1 / 静
数学A 防衛大

1×2×3×・・・・・×150の末尾に続く0の個数を求めよ。

解答には
「0の個数は、1×2×3・・・×150に含まれる因数10の因数であり、10は2×5と素因数分解される。
1、2、3、・・・、150に含まれる因数2の個数が因数5の個数より多いのは明らかであるから、因数5の個数を求めればよい。
1、2、3、・・・、150に含まれる5の倍数は 150=5・30から 30個
5^2(=25)の倍数は 150=25・6から6個
5^3(=125)の倍数は 150=125・1+25から1個
ゆえに、1、2、3、・・・、150に含まれる因数5の個数は全部で30+6+1=37個
よって、求める0の個数は 37個」

恥ずかしながら、問題の問うている意味がわかりません。
また、解答では因数(?)を利用していますが、
本当になぜこのような解答になるのかわかりません。
すみませんが誰か分かる方がいましたら教えていただけませんでしょうか^^;
よろしくお願いしますm(_ _)m

No.10322 - 2010/05/18(Tue) 00:55:08

Re: 数学A 高1 / shinji
例えば
1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 = 3628800
の末尾の0の数は2です。
これが150の場合は末尾の0はいくつになるか?と聞いています。

ですから
「0の個数は、1×2×3・・・×150に含まれる因数10の因数であり、10は2×5と素因数分解される。
1、2、3、・・・、150に含まれる因数2の個数が因数5の個数より多いのは明らかであるから、因数 5の個数を求めればよい。」
となります。

No.10324 - 2010/05/18(Tue) 01:27:33

Re: 数学A 高1 / 静
疑問 25の倍数には5×5と5が2個含まれ、125の倍数には5×5×5と5が3個含まれる。
ですがなぜ25の倍数と125の倍数と個別に考えなくてはいけないのでしょうか?
最初の5の倍数の中には25の倍数も125の倍数も含まれていますよね?
よくわかりません;

No.10326 - 2010/05/18(Tue) 02:21:23

Re: 数学A 高1 / shinji
5の倍数を数えただけでは5^2の倍数、5^3の倍数に含まれる5の因数の数を数えられないからです。
No.10327 - 2010/05/18(Tue) 10:21:28

Re: 数学A 高1 / shinji
25の倍数を数えるときは
(25の倍数の数)×(因数5の数の2)
という発想があると思いますが、2つの因数のうち、1つは5の倍数で数えているので、1回数えるだけでOKです。

同様に125の倍数を数えるときは
(25の倍数の数)×(因数5の数の3)
となりますが、5の倍数および25の倍数を数えるときに3つのうち2つ数えているので、1回数えればよいとなります。

No.10333 - 2010/05/18(Tue) 21:55:49

Re: 数学A 高1 / ヨッシー
1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12×13×14×15×16
には、2が何回掛けられているでしょう?
という問題を考えます。



図は、2が掛けられている部分だけ抜き出したものです。
2の倍数は8個 ・・・これで、赤の2が数えられます
4の倍数は4個 ・・・これで、青の2が数えられます
8の倍数は2個 ・・・これで、緑の2が数えられます
16の倍数は1個 ・・・これで、紫の2が数えられます
合計で、2は15個掛けられています。

5についても同様です。

最初に25,125なども含め、5の倍数を数え、
それに加え、25の倍数を数え、次に、125の倍数を数えます。
それぞれ、1回ずつ数え、25だからと言って、一度に
2回足すわけではなく、5の倍数のときに1回、25の倍数の
ときに1回、合計2回数えられます。

↓この図は、上の図と同じです。

No.10334 - 2010/05/18(Tue) 21:57:14
(No Subject) / 高一
わかりました。

ありがとうございます!

助かりました!

No.10321 - 2010/05/17(Mon) 20:03:50
因数分解 / 高一
高一です

数一の問題です

χ^+3χy+2y^−6χ−11y+5
という式なんですが、
どうやったら解けるかわかりません・・・。

途中式つきで
教えてください!

No.10318 - 2010/05/16(Sun) 19:20:09

Re: 因数分解 / ヨッシー
xについて整理すると、
 (与式)=x^2+(3y−6)x+2y^2−11y+5
  =x^2+(3y−6)x+(2y−1)(y−5)
  =x^2+{(2y−1)+(y−5)}x+(2y−1)(y−5)
  =(x+2y−1)(x+y−5)
です。

No.10320 - 2010/05/16(Sun) 21:18:13
(No Subject) / まっちょ


現在中3です。

数Aの問題で、

1から100までの整数のうち、
30と互いに素である数わいく
つあるか

という問題があるのですが、
互いに素ってどういうことで
すか??


教えて下さい!

No.10310 - 2010/05/16(Sun) 11:09:26

Re: / ヨッシー
1以外に公約数を持たない という意味です。
30に対しては、
1はOK、2〜6はダメ、7はOKです。

No.10313 - 2010/05/16(Sun) 13:04:55

数A / まっちょ
わかりました!?~

ありがとうございます!

No.10315 - 2010/05/16(Sun) 14:36:22
因数分解 高一 / L
?@x^3-3x^2-6x+8
?A(x-4)(x-2)(x+1)(x+3)-24
?Bx^6-4
?Ca(a^2+b^2)-c(b^2+c^2)

いろいろとまとめたりしたのですが
どのように解くのかわかりません。

お願いします。

No.10306 - 2010/05/16(Sun) 00:08:00

Re: 因数分解 高一 / ヨッシー
(1) x=-2 を代入すると0になるので (x+2) で割り切れます。
(2) x=1 を代入すると0になるので、(x-1) で割り切れます。
また、x=0 を代入すると0になるので、x でも割り切れます。
 (与式)=x^4-2x^3-13x^2+14x
  =x(x-1)(x^2-x-14)
 有理数ならここまでです。
(3)x^6=(x^3)^2 なので、
 (与式)=(x^3-2)(x^3+2)
 有理数ならここまでです。
(4)
 (与式)=a^3+ab^2-b^2c-c^3
  =(a^3-c^3)+(ab^2-b^2c)
  =(a-c)(a^2+ac+c^2)+(a-c)b^2
  =(a-c)(a^2+ac+c^2+b^2)

No.10307 - 2010/05/16(Sun) 01:19:01

Re: 因数分解 高一 / L
ごめんなさい。
タイプミスしてました。

?Bx^6-64 でした。

それともうひとつ。
abx^2-(b^2-a^2)x-ab=(ax-b)(bx+a)
あまり自信がないのですが
答え合っていますか?
文字が入っている式のたすきがけは
どうも苦手で…

もう一度、お願いします(><)

No.10309 - 2010/05/16(Sun) 09:32:04

Re: 因数分解 高一 / ヨッシー
(3)
(x^3-8)(x^3+8) までは同じ考え方で、そのあと、
x~3-y^3 あるいは x^3+y^3 の因数分解の公式を使います。

因数分解が合っているかどうかは、展開して元の式になるかどうかで
わかります。
ちなみに、それで合っています。

No.10312 - 2010/05/16(Sun) 13:03:14

Re: 因数分解 高一 / L
わかりやすい説明
ありがとうございました(^^)!

No.10314 - 2010/05/16(Sun) 13:56:38
高1、三角関数の性質 / u-a
 今私は高3で、三角関数の極限を学校で習っているのですが、この画像の性質をつかった変形などがあります。
 しかしこの画像の性質が頭の中でピン!と、来ないのです。
 なにか判りやすく理解できる方法などはないでしょうか。

No.10305 - 2010/05/15(Sat) 23:06:57

Re: 高1、三角関数の性質 / ヨッシー

図は、θとθ+π の関係の図ですが、このように単位円で、
それぞれのsin, cos の関係を理解するのが良いでしょう、
tanθ の値は、sinθ/cosθ で求めます。

No.10308 - 2010/05/16(Sun) 01:25:48

Re: 高1、三角関数の性質 / u-a
 単位円で考えたのですが、下の二つだけがなぜか自分の考えにあいません。
 sin(θ+π/2)=cosθ
 cos(θ+π/2)=-sinθ
この二つを説明してくれませんか。お願いします。

No.10316 - 2010/05/16(Sun) 16:58:21

Re: 高1、三角関数の性質 / ヨッシー

こんな感じです。

sin(θ+π/2) が表すy座標と、cosθが表すx座標は同じです。
cos(θ+π/2) が表すx座標と、sinθが表すy座標は符号が逆で、絶対値が同じです。

θが他の象限にある場合も同じです。

No.10317 - 2010/05/16(Sun) 18:44:12

Re: 高1、三角関数の性質 / u-a
よくわかりました。
貴重な時間をこんな自分のためにありがとうございます。

No.10319 - 2010/05/16(Sun) 19:31:57
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