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★ 極限 / 大学生
a1=1 a(n+1)=√(a(n)+1)で与えられる数列は有界で単調減少であることを示し極限を求めよ。

お願いします
No.6367 - 2009/06/20(Sat) 09:00:43
☆ Re: 極限 / angel
1. 有界、2. 単調増加、3. 極限 の順番で解を構成しましょう。
しかしながら、鍵は 3. の部分にありますので、先に考えます。

0. 前提
　初項および漸化式より、明らかに各a[n]は正、という所だけ、先に押さえておきます。（ただし、解答上は 1. に集約できるでしょう）

3. 極限
　a[n] は単調増加かつ有界のため、極限を持ちます。それをαと置き、漸化式を利用してαの方程式を立てます。
　a[n]の各項が正なので、α≧0 となることに注意します。
　漸化式の両辺の極限を考えると、
　　lim a[n+1] = α、lim √(a[n]+1) = √(α+1)
　となりますから、α=√(α+1) となります。

この時点で、a[n]の値の推移を考えてみると、
a[n] は単調増加しつつも、漸化式のおかげでαの壁を突破できず、次第にαに近づいていき、αに収束するのだろうと推測できます。なので、1,2 を以下のように考えます。

1. 有界
　β=√(β+1) ( ただし、β>0 ) を満たすβに対し、0＜a[n]＜β
　※結局β=αなのですが、取り合えず別の文字で扱います

　これを帰納法で証明します。
　なので、証明の肝は、0＜a[n]＜β⇒0＜a[n+1]=√(a[n]+1)＜β です。
　β^2=β+1 を満たしますから、
　β^2 - ( √(a[n]+1) )^2 = ( β+1 ) - ( a[n]+1 ) = β-a[n]
　となることに着目します。

2. 単調増加
　1. で示した 0＜a[n]＜β を元に、a[n]＜a[n+1] を示します。
　今度は帰納法は必要ありません。
　ａ=a[n] と置けば、√(ａ+1)＞ａ と同じことですから、2次不等式の問題としてそのまま解けます。
No.6368 - 2009/06/20(Sat) 12:02:55
★ (No Subject) / hashi
はじめて利用させていただきます高３です。
最大値、最小値の問題が分かりません。
(１)ｘ、ｙの関数 Ｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2＋４ｘ−６ｙ＋２ｎ
No.6352 - 2009/06/19(Fri) 00:17:47
☆ Re: / hashi
はじめて利用させていただきます高３です。
最大値、最小値の問題が分かりません。
(１)ｘ、ｙの関数 Ｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2＋４ｘ−６ｙ＋２の最小値を求めよ。またそのときのｘ、ｙの値を示せ。
(２)ｘ、ｙの関数 Ｑ＝ｘ^2−６ｘｙ＋１０ｙ^2−２ｘ＋２ｙ＋２の最小値をもとめよ。またそのときのｘ、ｙの値を示せ。
です。お願いします。
No.6353 - 2009/06/19(Fri) 00:23:27
☆ Re: / KINO
平方完成を応用するのが標準的でしょうね。

(1) P=(x^2+4x)+(3y^2-6y)+2 と見て，() の中身をそれぞれ x，y について平方完成してみましょう。

(2) これも考え方の根底は (1) と同じです。
x，y のどちらを主役にするかで計算の手間が変わりますが，
Q を x の式と見て
Q=x^2-2(3y+1)x+10y^2+2y+2
をまず x について平方完成し，その結果出てくる x に関する定数項（y の多項式）を y について平方完成してみましょう。
No.6355 - 2009/06/19(Fri) 01:14:54
☆ Re: / hashi
> 平方完成を応用するのが標準的でしょうね。
>
> (1) P=(x^2+4x)+(3y^2-6y)+2 と見て，() の中身をそれぞれ x，y について平方完成してみましょう。
>
平方完成したらどう最小値になりますか！？？
()のなかを０にするようなｘ、ｙの値ですか！？
No.6362 - 2009/06/19(Fri) 23:39:15
☆ Re: / ヨッシー
> ()のなかを０にするようなｘ、ｙの値ですか！？
そうですね。
No.6364 - 2009/06/19(Fri) 23:58:08
☆ Re: / hashi
> > ()のなかを０にするようなｘ、ｙの値ですか！？
> そうですね。

(３)の平方完成ってどうやりますか！？
(１)はｘ＝-２、ｙ＝１で最小値-５になりました。ですがどうしてこれらが最小値なんですか？
No.6366 - 2009/06/20(Sat) 07:12:02
☆ Re: / ヨッシー
Ｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2＋４ｘ−６ｙ＋２
　＝(ｘ＋２)^2＋３(ｙ−１)^2−５
ですが、(ｘ＋２)^2 と ３(ｙ−１)^2 の部分は、２乗になっているので、
ｘ、ｙ が実数である限り、０以上の数となり、負の数にはなりません。
つまり、これらがともに０になるときが、最小となります。

(3) は (2) のことだと思いますが、
Ｑ＝ｘ^2−６ｘｙ＋１０ｙ^2−２ｘ＋２ｙ＋２
　＝ｘ^2−２(３ｙ＋１)ｘ＋１０ｙ^2＋２ｙ＋２
　＝(ｘ−３ｙ−１)2−(３ｙ＋１)2＋１０ｙ^2＋２ｙ＋２
　＝(ｘ−３ｙ−１)2＋ｙ^2−４ｙ＋１
　＝(ｘ−３ｙ−１)2＋(ｙ−２)^2−３
となります。両方の(　　)^2 が０になるようにします。
No.6369 - 2009/06/20(Sat) 12:42:57
☆ Re: / 大河
> Ｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2＋４ｘ−６ｙ＋２
> 　＝(ｘ＋２)^2＋３(ｙ−１)^2−５
> ですが、(ｘ＋２)^2 と ３(ｙ−１)^2 の部分は、２乗になっているので、
> ｘ、ｙ が実数である限り、０以上の数となり、負の数にはなりません。
> つまり、これらがともに０になるときが、最小となります。

>
> (3) は (2) のことだと思いますが、
> Ｑ＝ｘ^2−６ｘｙ＋１０ｙ^2−２ｘ＋２ｙ＋２
> 　＝ｘ^2−２(３ｙ＋１)ｘ＋１０ｙ^2＋２ｙ＋２
> 　＝(ｘ−３ｙ−１)2−(３ｙ＋１)2＋１０ｙ^2＋２ｙ＋２
> 　＝(ｘ−３ｙ−１)2＋ｙ^2−４ｙ＋１
> 　＝(ｘ−３ｙ−１)2＋(ｙ−２)^2−３
> となります。両方の(　　)^2 が０になるようにします。

というこはｙ＝２、ｘ＝７で最小値−３ですか？？
No.6371 - 2009/06/20(Sat) 13:50:33
☆ Re: / ヨッシー
そうです。

ためしに、それ以外のｘ、ｙを、完全平方の式に代入してみれば、
全部−３より大きくなる事実と、その理由がわかると思います。
No.6372 - 2009/06/20(Sat) 14:31:43
★ (No Subject) / 大河
はじめまして！高３の大河です。。
解説お願いします。
周りの長さが１である正ｎ角形(ｎ＝３，４，５，……)に内接する円の半径をｒn、外接する円の半径をＲnとする。

(１)ｒnとＲnを求めよ。

この(１)が分かれば他の残りの設問も分かりそうなのでお願いします。。。
No.6351 - 2009/06/19(Fri) 00:12:44
☆ Re: / KINO
(1) 正n角形の一辺の長さは 1/n です。
内接円が正n角形と接するのは各辺の中点で，内接円の半径は各辺に垂直です。
このことを利用すれば，正n角形の隣り合う2頂点をA，B，辺ABの中点をM，内接円の中心をOとおくと，三角形 OMA は角 OMA が直角で，MA=1/(2n)，OM=rn の直角三角形になります。
ちなみに，O は正n角形の外接円の中心でもありますから，線分OAの長さはRnに等しいことにも注意しましょう。
No.6354 - 2009/06/19(Fri) 01:03:02
☆ Re: / 大河
図はどんなになりますか！？
答案をかくとどうなりますか！？
No.6363 - 2009/06/19(Fri) 23:41:21
☆ Re: / angel
こんな感じで。
No.6365 - 2009/06/20(Sat) 06:10:43
☆ Re: / 大河
> こんな感じで。

そうするとＲｎとｒｎはどうなりますか！？
No.6370 - 2009/06/20(Sat) 13:48:13
☆ Re: / ヨッシー
ん？

図の△ＡＢＣ（∠Ｂ＝90°）において、∠Ａ＝θ，ＢＣ＝ａ
がわかっているとき、ＡＢ，ＡＣをθとａで表せ、
というのと同じですよ？
No.6373 - 2009/06/20(Sat) 15:08:21
☆ Re: / 大河
> ん？
>
> 図の△ＡＢＣ（∠Ｂ＝90°）において、∠Ａ＝θ，ＢＣ＝ａ
> がわかっているとき、ＡＢ，ＡＣをθとａで表せ、
> というのと同じですよ？

それはＲｎもｒｎも同じですか！？
No.6374 - 2009/06/20(Sat) 15:16:27
☆ Re: / 大河
> ん？
>
> 図の△ＡＢＣ（∠Ｂ＝90°）において、∠Ａ＝θ，ＢＣ＝ａ
> がわかっているとき、ＡＢ，ＡＣをθとａで表せ、
> というのと同じですよ？
ごめんなさい。。そこらへんの知識か疎くてわかりません。。詳しく解説おねがいします。。
No.6375 - 2009/06/20(Sat) 15:48:00
☆ Re: / ヨッシー
たとえば、
　ＡＣ＝ａ/sinθ
です。
No.6376 - 2009/06/20(Sat) 17:35:47
☆ Re: / 大河
> たとえば、
> 　ＡＣ＝ａ/sinθ
> です。

ということは、ＯＡ＝１/２ｎ／ｓｉｎπ/ｎですか！？
ＯＢはどうなりますか！？
No.6381 - 2009/06/20(Sat) 23:08:39
☆ Re: / 大河
> > たとえば、
> > 　ＡＣ＝ａ/sinθ
> > です。
>
ということは、ＯＡ＝１/２ｎ／ｓｉｎ{π/ｎ}ですか！？
ＯＢはどうなりますか！？
No.6382 - 2009/06/20(Sat) 23:09:37
☆ Re: / KINO
僕の名付けた点の名称を使うなら，
OM=rn，OA=OB=Rn で，
OM=OAcos(角AMO)，AM=OAsin(角AMO) という関係があります。

数学Iの「三角比」の単元を復習する必要があると思います。

直角三角形において，斜辺の長さと正弦，余弦を用いて残りの２辺の長さを表す方法を確認して下さい。
No.6384 - 2009/06/21(Sun) 02:33:10
☆ Re: / 大河
> 僕の名付けた点の名称を使うなら，
> OM=rn，OA=OB=Rn で，
> OM=OAcos(角AMO)，AM=OAsin(角AMO) という関係があります。
>
> 数学Iの「三角比」の単元を復習する必要があると思います。

角度なんですけど、たぶんπ(ｎ-２)／２ｎだと思うんですけどちがいますか？？同じことですか？
ｒｎ＝１/２ｎtanπ(ｎ-２)／２ｎになったんですけど。。
>
> 直角三角形において，斜辺の長さと正弦，余弦を用いて残りの２辺の長さを表す方法を確認して下さい。
No.6399 - 2009/06/21(Sun) 22:26:06
☆ Re: / KINO
angel さんが図に示されたとおり，角AMO=π/n のはずです。

実際には angel さんは度数で 180°/n と書かれていますが，それは数Iの範囲か数IIの範囲か不明なため安全策をとられたのでしょう。
そして 180°/n は π/n と同じ角を表すことをは大河さんも理解されているようですし。

＞角度なんですけど、たぶんπ(ｎ-２)／２ｎだと思うんですけどちがいますか？？

どう考えてその結論に至ったのか，考え方を書いてみて下さい。

＞同じことですか？

何と何が「同じこと」なのか，質問の意図がよくわかりませんでした。
角の大きさが π(n-2)/2n だろうが π/n だろうが同じことかというのであれば，両者が異なることは明白ですし・・・。
No.6403 - 2009/06/21(Sun) 23:39:28
☆ Re: / 大河
> > 僕の名付けた点の名称を使うなら，
> > OM=rn，OA=OB=Rn で，
> > OM=OAcos(角AMO)，AM=OAsin(角AMO) という関係があります。
> >
> > 数学Iの「三角比」の単元を復習する必要があると思います。
>
> 角度なんですけど、たぶんπ(ｎ-２)／２ｎだと思うんですけどちがいますか？？同じことですか？
> ｒｎ＝１/２ｎtanπ(ｎ-２)／２ｎになったんですけど。。
> >
> > 直角三角形において，斜辺の長さと正弦，余弦を用いて残りの２辺の長さを表す方法を確認して下さい。

tanを加法定理でsinの式に直したいんですけどどうしたらいいですか！？
No.6410 - 2009/06/22(Mon) 22:16:23
☆ Re: / KINO
質問の意図が不明です。どんな式を期待されているのでしょうか？

tanθ=sinθ/cosθ の分子分母に sinθをかけて，分母に出てくる sinθcosθ を (sin(2θ))/2 に書き換えた
tanθ=2sin^2(θ)/sin(2θ) とか，こんなものを期待されているのでしょうか？

そしてそのような変形がなぜ必要なのか，理由も教えて下さい。
No.6412 - 2009/06/23(Tue) 01:26:12
★ お願いします?ｫ / 高3
∫[0→(4ｰk)/3](-3x^2＋4x-kx)dx (k≠4)
の簡単な解き方を教えてください。
No.6348 - 2009/06/18(Thu) 21:56:33
☆ Re: お願いします / angel
a=(4-k)/3 とでも置けば、
(与式)=∫[0,a] (-3x(x-a))dx

ここから素直に計算しても良いですが、
∫[α,β](-(x-α)(x-β))dx = 1/6・(β-α)^3
を知っていれば、
∫[0,a] (-3x(x-a))dx = 3・∫[0,a] (-(x-0)(x-a))dx = 3・1/6・(a-0)^3
というように、一瞬です。
No.6349 - 2009/06/18(Thu) 22:41:51
★ 高校入試の問題です / rino
どうやって考えていいのかよくわかりません。教えてください。お願いします。
白と黒のマス目が交互に並んだ右のような表があります。それぞれのマス目には、次の規則により決められた数が１つずつ書かれています。
規則：第ｍ行第ｎ列のマス目には、第１行から第ｍ行までの間にあり、さらに第１列から第ｎ列までの間にある、黒のマス目の個数を書く。

(1)　この表の第９列第10列のマス目に書かれている数を答えなさい。
　　　　無理やり書いて数えれば45になると思います。
　　　　ただ、考え方がよくわかりません。

(2)　ｍ、ｎがともに正の奇数であるとき、この表の第ｍ行第ｎ列のマス目に書かれている数をｍ、ｎの式で表しなさい。

(3)　この表には、数”82”が書かれたマス目は全部で何個ありますか。
No.6347 - 2009/06/18(Thu) 21:52:04
☆ Re: 高校入試の問題です / ヨッシー
まず、全体的な規則をつかんでおきます。
第ｍ行において、
ｍが奇数のとき、ｋ＝(m-1)/2 となるｋに対して、
　マスの数字は
　k, (左の数)+(k+1), (左の数)+k, (左の数)+(k+1), (左の数)+k,・・・
　のようになります。
ｍが偶数のとき、k=m/2 となるｋに対して
　マスの数字は　k,2k,3k・・・　となります。

(1)9行10列か、9列10行かわかりませんが、答えは同じなので、
せっかくですから、両方のマスの数字を求めてみます。
9行10列
奇数行なので、ｋ＝(9-1)/2＝4 に対して、マスの数は、
　4, 4+5=9, 9+4=13, 13+5=18・・・
のようになりますが、結局は、
　4+5+4+5+4+5+4+5+4+5＝(4+5)×5＝45
10行9列
偶数行なので、k=10/2＝5 に対して、9列目は、
　5×9＝45

(2)
ｍ行ｎ列 で、ｍ、ｎともに奇数なので、
　ｋ＝(m-1)/2　に対して、
ｎ−１列目（偶数)までは、
　｛ｋ＋（ｋ＋１）｝が (n-1)/2 回足されて、あと１回ｋが足されて、
ｎ列目の数になります。つまり、
　{ｋ＋（ｋ＋１）}×(n-1)/2 ＋ ｋ
　＝(2k+1)(n-1)/2 ＋ ｋ
　＝m(n-1)/2 ＋ (m-1)/2＝(mn-1)/2

(3)
ｍ行ｎ列 で、ｍが偶数とすると、
　k=m/2
に対して、ｎ列目は、ｋｎ＝mn/2　となります。
これは、ｎが偶数の場合も同じです。

以上より、あるマスが、82 になるのは、
　(mn-1)/2＝82 または mn/2＝82
となる場合です。
(mn-1)/2＝82 のとき
　mn＝165＝3×5×11
より、165 の約数の個数は、2×2×2＝8 (個) より
(m,n) の組み合わせは 8通りあります。
mn/2＝82 のとき
　mn＝164＝2×2×41
より、164 の約数の個数は、3×2＝6 (個) より
(m,n) の組み合わせは 6通りあります。

約数の個数および、全ての約数を求める方法については、こちら をご覧ください。
No.6359 - 2009/06/19(Fri) 09:06:18
☆ Re: 高校入試の問題です / rino
丁寧な説明ありがとうございます。難しい問題のような気はしますが、１つずつ手順をたどっていったら、意味はわかりました。もう一度ゆっくり考えてみようと思います。ありがとうございました。
No.6361 - 2009/06/19(Fri) 23:06:04
★ ベクトル / 優
△OABにおいて、OA=1、OB=2、AB=√7であり辺ABの中点をMとする。↑OA=↑a、↑OB=↑bとするとき、次の各問いに答えよ。
(1)↑OMを↑a、↑bで表せ。
(2)↑a・↑bを求めよ。
(3)Oから辺ABに下ろした垂線と辺ABの交点をCとする。AC:s=1:1-sとするとき、sの値を求めよ。

この問題の(2)と(3)が分かりません。答えは(2)がｰ1で、(3)がs=2/7 です。
2問もすみませんが、ベクトルが苦手でく分からないので、よろしくお願いします。
No.6344 - 2009/06/18(Thu) 07:57:20
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
(2)
余弦定理より cos∠ＡＯＢ を求める。
ａ・ｂ＝|ａ||ｂ|cos∠ＡＯＢ
により、内積を求める。
の手順です。

(3)
AC:s=1:1-s は、ＡＣ：ＣＢ＝ｓ：１−ｓ のことかと思いますが、
そうだとして、
ＯＣ＝(1-s)ａ＋sｂ　および、
ＡＢ＝ｂ−ａ　とが垂直であることより、
　ＯＣ・ＡＢ＝０
から、ｓの方程式を作り解きます。
No.6345 - 2009/06/18(Thu) 09:21:56
★ 線形代数で・・・ / 子牙（大学１年生）
はじめまして

n次正則行列Aとその逆行列A＾（−１）の成分がすべて整数のとき、Aの各列について、その列に含まれる整数たちは互いに素であることを示せ。

上記のような課題を出されたのですが、どのように示せばいいのかわかりません。一応ヒントとして、Ａのk列について条件が成立しないときIn＝A＾（−１）・Aの（k,k）成分がどうなるか考えてみよう、というのがあるのですが使い方がわかりません。
よろしくお願いします。
No.6340 - 2009/06/17(Wed) 21:21:40
☆ Re: 線形代数で・・・ / angel
いや、もう、ヒントの通り一点突破で…
n行正方行列の掛け算として、
　Ａ・Ｂ=Ｃ
というのは、要素要素で見ると、
　Σ[k=1,n] Ａ[i,k]・Ｂ[k,j] = Ｃ[i,j]
という計算になっています。Ａの第i行ベクトルと、Ｂの第j列ベクトルの積(内積)が、Ｃのi行j列要素、ということです。
Ａの第i行ベクトルをａ、Ｂの第j列ベクトルをｂ、Ｃのi行j列要素を c とするなら、
　ａ[1]ｂ[1]+ａ[2]ｂ[2]+…+ａ[n]ｂ[n]=c
と書けます。

さて、ベクトルａ,ｂの各要素が整数で、かつ列ベクトルｂの各要素が整数 p の倍数（つまり p を公約数に持つ）だったら…?
左辺は p の倍数の足し合わせなので、やはり p の倍数であり、c も p の倍数、裏を返せば p は c の約数になります。

これを今回の問題にあてはめると…（Ａ=Ｂ、Ｃ=Ｉ、j=j=k）
ということで考えてみてください。
なお、「互いに素」というのは、「公約数が1」と同じことですよ。
No.6342 - 2009/06/17(Wed) 23:54:52
☆ Re: 線形代数で・・・ / 子牙（大学１年生）
なるほど。
なんか変な勘違いをしていたようで、よくわからないことを考えてました。
回答ありがとうございます。
No.6343 - 2009/06/18(Thu) 00:15:38
☆ Re: 線形代数で・・・ / ヨッシー
変な勘違いとは、「互いに素」と「どの２つも互いに素」の
取り違えでしょうか？
No.6346 - 2009/06/18(Thu) 09:25:42
★ √の質問です。 / りえ
√216を簡単にすると6√6になると思いますが、
数字が大きくなるとなかなか答えを出すことができなくて、

簡単に答えをだす方法があれば教えてください。
No.6338 - 2009/06/17(Wed) 14:00:16
☆ Re: √の質問です。 / ヨッシー
素因数分解が基本です。
どんな数で割れるかの判定は、私のページに、
「割り切れ判定法」があります。
また、素因数分解については、こちらを参照してください。
No.6339 - 2009/06/17(Wed) 17:26:05
★ 等式 / shiyo
問：a+b+c=0のとき、次の等式が成り立つことを証明しなさい。
(b+c)(c+a)(a+b)+3abc=0

（考え）a+b+c=0より、a+b=-c, b+c=-a, c+a=-b
　　　　（左辺）＝2abcとなってしまい、0になりません。
　どのようにすればいいのでしょうか？
宜しくお願いします。
No.6333 - 2009/06/17(Wed) 01:13:43
☆ Re: 等式 / rtz
成り立たないので問題がおかしいと思われます。
No.6334 - 2009/06/17(Wed) 01:49:12
★ 高３です / みなと
ｎは3以上の整数とする。1からｎまでの番号のついたｎ個の袋があり、それぞれの袋に赤球と白球を入れていく。番号ｒの袋に入れる赤球の数は(ｒ−1)個、白球の数は(ｎ−ｒ)個である。このようにすべての袋に球を入れ終わった後で、でたらめに選んだ1つの袋から1球ずつ2回球を取り出すとする。ただし、取り戻した球はもとに戻さない。このとき、1回目が赤球である確率を求めよ。また、1回目も2回目もともに赤球である確率を求めよ。
お願いします
No.6325 - 2009/06/16(Tue) 18:37:54
☆ Re: 高３です / ヨッシー
たとえば、ｎ＝５ とすると、それぞれの袋に入る
赤、白の数は、
　(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)
です。(1,3) は、赤が1個、白が3個であることを表します。

>1回目が赤球の確率
赤の確率が、0/4, 1/4, 2/4, 3/4, 4/4 である袋を、それぞれ
1/5 の確率で選ぶので、
　(1/5)×(0+1+2+3+4)/4＝1/2

>1回目も2回目もともに赤球の確率
２回とも赤の確率が、
　0/12, 0/12, 2/12, 6/12, 12/12
の袋をそれぞれ 1/5 の確率で選ぶので、
　(1/5)×(0+0+2+6+12)/12＝1/3

それを踏まえて、ｎ個の場合、
１回目赤の確率は、1/2 ですね。
２回とも赤の確率は、
　(1/n)×{0+0+2+6+12+・・・+(n-2)(n-1)}/(n-2)(n-1)
　＝Σk=1〜n-1(k-1)k/n(n-1)(n-2)
　＝Σk=1〜n-1(k2-k)/n(n-1)(n-2)
　＝{n(n-1)(2n-1)/6−n(n-1)/2}/n(n-1)(n-2)＝1/3
No.6329 - 2009/06/16(Tue) 19:22:48
☆ Re: 高３です / みなと
理解不足ですみません
(1/n)×{0+0+2+6+12+・・・+(n-2)(n-1)}/(n-2)(n-1)
＝Σk=1〜n-1(k-1)k/n(n-1)(n-2)
ここの計算過程がわかりません
教えてもらえますか？
No.6330 - 2009/06/16(Tue) 21:15:49
☆ Re: 高３です / ヨッシー
0+0+2+6+12+・・・+(n-2)(n-1)
の部分を計算するのは、いくつかやり方がありますが、
上のやり方は、最初の０は無視して、
　0・1＋1・2＋2・3＋・・・＋(n-2)(n-1)
で、これは、　(k-1)k を k=1〜n-1 の範囲で加えたものなので、
　Σk=1〜n-1(k-1)k
です。

また、最初の0も無視せずに
　0+0+2+6+12+・・・+(n-2)(n-1)
　＝(-1)・0＋0・1＋1・2＋・・・＋(n-2)(n-1)
として、(k-2)(k-1) をｋ＝１〜ｎ まで足したと考えて、
　Σk=1〜n(k-2)(k-1)
としても出来ます。結果は同じです。

ちなみに、最初の(1/n)の n は、(n-1)(n-2) とまとめて、分母にしてあります。
No.6331 - 2009/06/16(Tue) 22:34:17
☆ Re: 高３です / みなと
ふたつも解き方があるんですね！！
ありがとうございました
No.6332 - 2009/06/17(Wed) 00:42:23
☆ Re: 高３です / DANDY　U
解決した場合、その旨を他のマルチ先に書き込んでおいて下さい。
No.6337 - 2009/06/17(Wed) 13:50:46
★ 2直線の関係 / みぃな
　解き方と考え方えを教えて下さい。

　3直線x-3y=-5
4x+3y＝-5
2x-y＝5
で作られる三角形の面積の求め方を教えて下さい。
お願いします。
No.6319 - 2009/06/16(Tue) 00:01:42
☆ Re: 2直線の関係 / ヨッシー
まず図のようなグラフを描きましょう。

これが出来たら、
図のような１辺６の正方形から、
面積６，６，９ の三角形を除いて、
　３６−６−６−９＝１５

各辺の長さは、５，２√１０，３√５　を求めた上で、

ヘロンの公式から、面積Ｓは
　Ｓ＝√{(5+2√10+3√5)(-5+2√10+3√5)(5-2√10+3√5)(5+2√10-3√5)/16}
　＝√{(60+60√2)(-60+60√2)/16}
　＝√{(7200-3600)/16}＝60/4＝15

余弦定理より
　cosＡ＝(40+45-25)/(2・2√10・3√5)＝1/√2
よって、sinＡ＝1/√2
　Ｓ＝(1/2)ＡＢ・ＡＣsinＡ＝(1/2)2√10・3√5/√2＝１５

点Ａと 4x+3y+5=0 の距離ｄは、距離の公式より
　ｄ＝|4・4＋3・3+5|/√(42＋32)＝６
これは、ＢＣを底辺としたときの高さに当たるので、求める面積Ｓは、
　Ｓ＝5×6÷2＝１５

図のように△ＡＢＣは、頂点がすべて格子点で、
辺上の格子点(○)６個、図形内の格子点(●)１３個　より
ピックの定理より面積Ｓは
　Ｓ＝6/2＋１３−１＝１５

など、いろいろあります。
No.6322 - 2009/06/16(Tue) 03:39:01
☆ Re: 2直線の関係 / みぃな
　本当に詳しく教えていただいてありがとうございました
図もとても分かりやすくてよくわかりました。
本当にありがとうございました！！！！(^O^)/
No.6328 - 2009/06/16(Tue) 18:58:14
★ 直線の方程式 / みぃな
　
　A(-3.0) B(0.5)の2点を通る方程式を求める時、

公式より・・・
　(y-0)=5-0/0-3(x+3)
よって
　答えはy=5/-3x-5
と考えたのですが答えは
　-x/3+y/5=1
でした。
どうしてこうなるのかをしえてください。
おねがいします！
No.6318 - 2009/06/15(Mon) 23:57:24
☆ Re: 直線の方程式 / ヨッシー
０−３ ではなく　０−(-3) です。
あとは、両辺５で割れば、同じ式になります。
No.6321 - 2009/06/16(Tue) 02:58:20
☆ 切片方程式 / BossF
以下も覚えとくと得です

一般に x切片(a,0) y切片(0,b) の直線の式は

　x/a+y/b=1

証明→(a,0)(0,b)を代入すれば成立するから
No.6323 - 2009/06/16(Tue) 14:41:02
☆ Re: 直線の方程式 / みぃな
ケアレスミスでした・・・。
ありがとうございました。
No.6327 - 2009/06/16(Tue) 18:54:53
★ 高次方程式 / 高2 みぃな
　解説・回答を教えて下さい（^O^)/

（1）立方体の底面の縦を1ｃｍ、横を2ｃｍ、それぞれ伸ばし、高さを1ｃｍちじめて立方体を作ったら、体積が50％増加した。元の立方体の1辺の長さは？？？


（2）Ｘ＝1-2iのとき
　　x^4-4x^3+14x^2-19x+26の値は？？？？

両方とも何をどうしてどう考えて解いていけばいいのかがわりません。
おしえてください！！お願いします！！
No.6317 - 2009/06/15(Mon) 23:49:53
☆ Re: 高次方程式 / ヨッシー
(1)
元の立方体の１辺をｘcmとすると、体積はｘ3cm3 です。
これを、縦ｘ＋１，横ｘ＋２，高さｘ−１ にするので、
体積は
　(ｘ＋１)(ｘ＋２)(ｘ−１)
になります。これが、元の50％増しなので、
　(ｘ＋１)(ｘ＋２)(ｘ−１)＝1.5ｘ3
これを解きます。

(2)
ｘ2＝-3-4i
ｘ3＝-11+2i
ｘ4＝-7+24i
より、
(与式)＝-7+24i+44-8i-42-56i-19+38i+26
　　＝2-2i

または、ｘ＝1±2i を解とする、2次方程式
　ｘ2−２ｘ＋５＝０
を考えると、ｘ＝1-2i は、この式を満たすので、
　ｘ4-4ｘ3+14ｘ2-19ｘ+26
を、ｘ2−２ｘ＋５ で割って、
　ｘ4-4ｘ3+14ｘ2-19ｘ+26＝(ｘ2−２ｘ＋５)(ｘ2−２ｘ＋５)＋ｘ＋１
　＝ｘ＋１
より、(与式)＝2-2i
No.6320 - 2009/06/16(Tue) 02:55:35
☆ Re: 高次方程式 / みぃな
本当によく分かりました！
ヨッシーさんにはいつも分かりやすく
教えていただいて本当感謝しています
ありがとうございました。
No.6326 - 2009/06/16(Tue) 18:53:04
★ 極限 / みほ
また解説お願いします。
次の極限を求めよ。
（１）lim（x→π／２）＝（sinx）＾tanx
（２）lim（x→π／２）＝（tanx）＾cosx


両方ともtanxがあることでうまく解けません。
解説お願いします。
No.6313 - 2009/06/15(Mon) 20:05:18
☆ Re: 極限 / angel
(1)
あまり良い手が思いつかないので、ロピタルの定理でどうでしょう。
f(x)=log( (sinx)^tanx ) と置けば、lim[x→π/2] f(x)=0 なので、lim[x→π/2] (sinx)^tanx = 1 と言えます。
ロピタルの定理は、f(x)=tanx・log(sinx)=( sinx・log(sinx) )/cosx と変形してからどうぞ。

(2)
lim[x→π/2] では極限が求められない ( π/2 より大きい範囲では、マイナスの累乗の形となる ) ので、x→π/2-0 として考えてみます。
先に、lim[s→+0] s・log(s) = lim[t→+∞] -log(t)/t = 0 を用意しておきます。
すると、lim[x→π/2-0] cosx・log(cosx) = 0 のため、
lim[x→π/2-0] log( (tanx)^cosx ) = lim[x→π/2-0] cosx・( log(sinx) - log(cosx) )
を求めることができます。
No.6316 - 2009/06/15(Mon) 23:06:25
★ 積分の問題で。 / β　高校３
次の曲線や直線で囲まれた部分の面積(Ｓ)を求めよ。
ｙ＝sinｘ、ｙ＝(2／π)ｘ　(ｘ≧0)

という問題で、グラフを描くことは出来ましたが、そこからどうして式を書けばよいのかが分かりません。
どうか、解法を教えてください、お願いします。
No.6304 - 2009/06/14(Sun) 19:50:41
☆ Re: 積分の問題で。 / ヨッシー
２分のπは、π/２ と書きます。

便宜上、曲線、直線と呼ぶことにしますが、
曲線より、直線の方が上にある範囲では、
　(π/２)ｘ-sinｘ
直線より、曲線の方が上にある範囲では、
　sinｘ−(π/２)ｘ
をそれぞれ積分します。
No.6306 - 2009/06/14(Sun) 21:52:50
☆ Re: 積分の問題で。 / KINO
＞ヨッシーさん

x≧0 の範囲で直線 y=(π/2)x は曲線 y=sin(x) よりも上にあるので，これらが囲む図形は無限に広がってしまいます。

一方，曲線 y=sin(x) と直線 y=(2/π)x は x≧0 の範囲で，原点および点 (π/2,1) で交わります。

ですから，βさんは問題を書き間違えてはいないと思います。

＞βさん

面積は 0≦x≦π/2 で sin(x)-(2/π)x を積分すれば求まります。
No.6336 - 2009/06/17(Wed) 13:49:43
☆ Re: 積分の問題で。 / ヨッシー
あ、２/π で良いですね。
しかも、ｘ≧０ も見落としてました。
>曲線より、直線の方が上にある範囲
は、ｘ＜０ の範囲を想定してました。
No.6341 - 2009/06/17(Wed) 23:02:43
★ 漸化式 / マルス
平面上に点A_0(0,1)、A_1(1,1)、A_2(2,1)、…、A_n(n,1)およびB_0(0,0)、B_1(1,0)、B_2(2,0)、…、B_n(n,0)が並んでいる。点PはA_0から出発し、次の規則に従いこれらの点の上を移動する。
PがA_nにいるときには1秒後にA_(n+1)またはB_nに、一方B_nにいるときにはB_(n+1)またはA_nに移動する。ただし、前にいた点には戻らない。
PがA_nへ到る行き方がa_n通り、B_nへ到る行き方がb_n通りあるとする。
a_nとb_nを求めなさい。

A_(n+1)へはA_nまたはB_(n+1)からやってくるので、a_(n+1)=a_n+b_(n+1)、B_(n+1)へはA_(n+1)またはB_nからやってくるので、b_(n+1)=a_(n+1)+b_nとなると思ったんですが、どうもこれだとおかしいことになってしまいます。どこがどうして間違えているんでしょうか。全然わからないので教えてください。それと正しい解き方も教えてください。お願いします。
No.6300 - 2009/06/14(Sun) 18:53:36
☆ Re: 漸化式 / ヨッシー
>ただし、前にいた点には戻らない。
が、考慮されていません。

同じ a_n でも、A_(n-1)から来たものは、B_n に行けますが、
B_n から来たものは、戻れません。

A_(n-1) にある点は、無条件で、A_n に行けます。
B_n にある点は、B_(n-1) から来たものだけ、A_n に行けます。
これを踏まえると、
　a_n＝a_(n-1)＋b_(n-1)
同様に
　b_n＝a_(n-1)＋b_(n-1)
となります。a_0＝b_0＝１　より、
常に a_n＝b_n が成り立ち、
　a_n＝a_(n-1)＋a_(n-1)＝2a_(n-1)
として差し支えありません。これは、公比２の等比数列の
漸化式なので、
　a_n＝b_n＝２n
No.6307 - 2009/06/14(Sun) 22:30:42
☆ Re: 漸化式 / マルス
お答えありがとうございました。返事が遅くなってしまって大変失礼しました。
回答を参考にず〜っと考えていたのですがどうしてもまだ納得できないです。

＞>ただし、前にいた点には戻らない。
が、考慮されていません。
ここがどういう状況のことをおっしゃられているのかわからないです。
A_(n+1)にはA_nまたはB_(n+1)からしかくることができないですよね。それなのにa_(n+1)=a_n+b_(n+1)一個前に戻る場合が含まれているんでしょうか？

＞A_(n-1) にある点は、無条件で、A_n に行けます。
B_n にある点は、B_(n-1) から来たものだけ、A_n に行けます。
前半はわかるのですが、後半はB_(n-1)からは次にA_nかB_nのどちらかに行くかで、２通りの場合が出てきてしまいませんか？とするとa_n＝a_(n-1)＋2b_(n-1)になりませんか。

もう一度教えてもらえないでしょうか。お願いします。
No.6350 - 2009/06/18(Thu) 23:34:34
☆ Re: 漸化式 / ヨッシー
図のような関係になります。

ここで、
　a_n＝a_(n-1)＋{b_n の一部}
　b_n＝b_(n-1)＋{a_n の一部}
になるわけですが、a_n の中の、a_(n-1) は {a_n の一部} となって、
B_(n+1) に行けますが、{b_n の一部}として、B_n から来た
ものは、再度 B_n に戻ることは出来ないのです。
つまり、{a_n の一部} とは、a_(n-1) に等しく、同様に
{b_n の一部} とは、b_(n-1) に等しいのです。
よって、上の漸化式は、
　a_n＝a_(n-1)＋{b_n の一部}＝a_(n-1)＋b_(n-1)
　b_n＝b_(n-1)＋{a_n の一部}＝b_(n-1)＋a_(n-1)
と書けます。
No.6358 - 2009/06/19(Fri) 08:34:53
☆ Re: 漸化式 / マルス
なるほど、勘違いしていました。よくわかりました。
ありがとうございました。
No.6360 - 2009/06/19(Fri) 22:50:22
★ 自然対数の概数 / Kay(高２女子）
数学?Vの微分です。

問　aは定数とする時、logx=-x^2+3x+a の相異なる実数解の個数を答えよ。

上の問題で、y=f(x)=logx+x^2-3x・・・?@
y=a・・・?A　とおいて、グラフを描いて?@と?Aの交点の数を
求めて解こうとしました。

01/2<x<1のとき、y'<0
1<xのとき、0<y'

x=1で、極小値 f(1)=-2
x=1/2で、極大値 f(1/2)=-log2-5/4 までは求めることができ
増減表を書きました。

導関数y'の符号から、f(1/2)>f(1)が分かるので、
-log2-5/4>-2 も言えるというののはその通りなのですが、
解いているうちに疑問がわきました。

それは、自然対数log2はおおよそどの位の値かと言うことです。常用対数ならば、常用対数表があるので、分かるのですが、
自然対数の概数はどうすればわかりますか。

e≒2.718...ですので log2.7≒1 と e^0=1ですので log1=0は
わかるのですが、そのほかはどうすればいいのでしょうか。
あるいは、そんなことはわからなくてもよいのでしょうか。
よろしくお願いいたします。

No.6299 - 2009/06/14(Sun) 17:51:54
☆ Re: 自然対数の概数 / rtz
e3＞2.73＞19＞16
⇔3＞log16＝log24＝4log2
⇔3/4＞log2
⇔-log2-(5/4)＞-2

√の中身がどのくらいの大きさなのか考えるのと同じです。
(実際は下から順に考えてます)
No.6303 - 2009/06/14(Sun) 19:35:07
★ 教えてください / ひろあき
高一の問題です。

xについての方程式2(k−1)x^2＋2(k＋3)x＋k＋6＝0の実数解がただ１つだけであるような定数kの値を求めよ。
No.6295 - 2009/06/14(Sun) 15:08:27
☆ Re: 教えてください / ねこ
x^2の係数が0か0でないかを場合わけでしょうね。
No.6297 - 2009/06/14(Sun) 16:35:45
☆ Re: 教えてください / ひろあき
早速、ありがとうございます。場合わけはわかりました。そこからがまだつまづいているのですが……教えていただけませんでしょうか。
No.6298 - 2009/06/14(Sun) 17:24:26
☆ Re: 教えてください / rtz
x2の係数＝0→代入して確認
x2の係数≠0→2次方程式が実数解をただ1つ持つ
No.6302 - 2009/06/14(Sun) 19:28:10
★ マクローリン / みほ
連続ですみません・・・・。
次の近似値を小数点以下第５位まで求めよ。
（１）√（１．１）
（２）log（１．１）


どのようにして解けばいいのかスタートがきれません。
解説お願いします。
No.6292 - 2009/06/14(Sun) 12:46:17
☆ Re: マクローリン / ヨッシー
マクローリン とあるので、
f(x)＝√(１＋ｘ)
g(x)＝log(１＋ｘ)
をそれぞれ、ｘ6 あたりまでマクローリン展開して、
ｘ＝0.1を代入すればいいでしょう。
No.6308 - 2009/06/14(Sun) 22:39:20
☆ マクローリン / みほ
なぜf(x)＝√(１＋ｘ)、g(x)＝log(１＋ｘ)なのですか？
基本的な部分がわかりません。
すみませんが解説お願いします。
No.6312 - 2009/06/15(Mon) 20:01:26
☆ Re: マクローリン / ヨッシー
１つめの理由は、log(１＋ｘ) のマクローリン展開の公式を
自分で作ったことがあること。
２つめの理由は、マクローリン展開で、ｘの多項式になったとき、ｘ＝0.1 を入れれば、うまく収束すること。
です。
No.6314 - 2009/06/15(Mon) 21:29:44
☆ マクローリン / みほ
わかりました。
さっそくやってみたいと思います。

解説ありがとうございました。
No.6315 - 2009/06/15(Mon) 22:41:43
★ 極限 / みほ
また解説お願いします。
次ぎの極限を求めよ。
（１）lim(x→０）{(1／x＾２)−（１／sin＾２x）}
（２）lim（x→０）x＾｛１／log（x＾２−１）｝

（１）について
分母がx＾２（sin＾２x）のカタチになるとは思うのですがそこからができません。
（２）について
全く先の見えない計算が続いてしまいます。


すみませんが解説お願いします。
No.6291 - 2009/06/14(Sun) 12:43:34
☆ Re: 極限 / angel
(1)
x→0 で sin の絡む極限ですから、lim[x→0] sinx/x = 1 を有効活用することがまず第一です。
しかし、今回は 1-sinx/x ( → 0 ) の形が出てきますので、もう少し掘り下げる必要があります。

マクローリン展開を行えば、
　sinx = x - 1/6・x^3 + 1/120・x^5 …
となります。これは、lim[x→0] (sinx-x)/x^3 = -1/6 ということです。

ということで、sinx/x と (sinx-x)/x^3 の形にもっていきましょう。
※例えば、(sinx)^2-x^2 であれば、
　(sinx)^2-x^2 = (sinx+x)(sinx-x) = x^4・((sinx/x)+1)・( (sinx-x)/x^3 )
　というように変形できます。

(2)
x→0 で log(x^2-1) という形が変です。
※x=0 の近辺では、log(マイナス) になってしまい、値が計算できない
問題はあっていますでしょうか?
No.6310 - 2009/06/15(Mon) 13:19:33
☆ 極限 / みほ
(1)参考にしてやってみます。

(2)問題が間違っていました。
すみません・・・・。
lim（x→０）x＾｛１／log（(e＾x)−１）｝
でお願いします。

早い解説ありがとうございます。
No.6311 - 2009/06/15(Mon) 19:59:58
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