ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / 56

１～２ｎまでのカードが一枚ずつある（ｎは2以上の自然数)それら２ｎ枚から3枚のカードを同時に選び3枚の数を小さい順にa.b.cとしa+b=Sとおく

１）n=4.c=8のときS>c
2)ｃ＝２ｎのときＳ＞ｃとなる確率を求めよ

という問題で
１）は（a,b,c)=(2,7,8),(3,6,8)(4,5,8)など計9通りがあるので９/8C3が答えと思ったのですが、回答を見ると9/7C2が答えとなってたんですがこれって回答の間違いですよね・・？

１）３/21 2)n-1/2n-1が回答の答えなのですが、本当の答えを誰か教えて下さい。

No.11907 - 2010/10/13(Wed) 09:24:30

☆ Re: / X

1)
c=8という前提条件が付いている(つまりカードの一つは予め決まっている)ので、
残りの2個の数字の選び方を考えて全ての場合の数は
7C2[通り]
となります。

2)
1)と同様に考えて全ての場合の数は
(2n-1)C2[通り]
となります。

No.11908 - 2010/10/13(Wed) 11:25:00

☆ Re: / 56

まだちょっといまいち納得できません、なんで
（a,b,c)=(2,7,8),(3,6,8)(4,5,8)など計9通りがあるので９/8C3としちゃ駄目なんですか？また、分母を8C3で答えを出そうとしたらどうなりますか？

No.11912 - 2010/10/13(Wed) 21:26:19

☆ Re: / ヨッシー

8Ｃ3 の中には、(1,2,3) や (1,3,5) なども含まれるわけですよね？
でもこれは、c=8 ではないので、「n=4.c=8のとき」という条件から
外れています。
こういう条件に合わない（最初から考えていない)取り方が含まれていますので、
8Ｃ3 を分母にして答えに至る方法はありません。

No.11914 - 2010/10/13(Wed) 21:54:54

☆ Re: / らすかる

「n=4 のときに c=8 かつ S＞c となる確率」であれば 9/8C3 ですが、
問題は「n=4 のときで c=8 となった場合に S＞c である確率」ですから
1≦a＜b≦7 となる場合の数なので7C2通りです。

No.11918 - 2010/10/14(Thu) 06:49:37

☆ Re: / 56

ヨッシーさんの解説はちょっとよくわからなかったんですが、らすかるさんの話によるとこの問題は数Ｃの条件付確率ってことですか？一応センター対策の問題集から選んだのですが・・

No.11923 - 2010/10/14(Thu) 20:30:30

☆ Re: / angel

横から失礼しますが、
> らすかるさんの話によるとこの問題は数Ｃの条件付確率ってことですか？
ええ、条件付確率と見ることができます。
なので、
　(n=4,c=8,S>cとなる場合の数)÷(n=4となる場合の数)
ではなく、
　(n=4,c=8,S>cとなる場合の数)÷(n=4,c=8となる場合の数)
としているわけで。
まあ、どこまでが前提(分母に反映される条件)になっているか、ということです。

No.11924 - 2010/10/14(Thu) 21:05:57

★ 数学　高２　確率 / kai

3人の女子と12人の男子が無作為に円卓に座ります。各問いに答えよ
1 3人が連続して並ぶ確立を求めよ
2 少なくとも2人の女子が連続して並ぶ確立を求めよ
3 男子が連続して6人以上並ばない確立を求めよ

3がわかりません。
誰か分かる方教えてくださいおねがいします＞＜

No.11902 - 2010/10/12(Tue) 16:15:21

☆ Re: 数学　高２　確率 / ヨッシー

すべての並び方は 14! 通り。
女子をＡ，Ｂ，Ｃとします。
Ａを固定して、右から男子が何人並ぶかを考えます。
(5,5,2) とその並び替えで３通り。
(5,4,3) とその並び替えで６通り。
(4,4,4) で１通り。
合わせて、１０通り。
女子の並び方が、ＢＣ，ＣＢの２通り
男子の並び方が 12! 通り
以上より、男子が６人以上並ばない並べ方は、
　10×２×12!
求める確率は、
　10×２×12!/14!＝20/(14・13)＝10/91

No.11905 - 2010/10/13(Wed) 00:33:55

★ 不等式 / 高２

rは実数とする。２つの不等式
　(1) |x-5/2|>3/2
　(2) r(x-r^2+6r-12)>2x-8
を考える。
不等式(1)の解はx<1、4<xである。
不等式(2)を満たすすべてのxが、不等式(1)を満たすようなrの値の範囲を求めよう。不等式(2)を書き直すと、
　(r-2)x>(r-2)^3
となる。したがって、求めるrの値の範囲はどうなるか。

No.11896 - 2010/10/11(Mon) 10:55:03

☆ Re: 不等式 / X

r=2とすると
(r-2)x>(r-2)^3
は0>0となり矛盾。よってr≠2
ということで
(i)r<2のとき
(ii)2<rのとき
で場合分けして計算しましょう。

No.11897 - 2010/10/11(Mon) 11:40:10

☆ Re: 不等式 / 高２

r-2<0のとき（r<2）・・・x<(r-2)^2
r-2>0のとき（r>2) ・・・x>(r-2)^2

ここまではわかりました。
(1)の答えとどうあわせて考えればよろしいでしょうか。

No.11898 - 2010/10/11(Mon) 21:32:58

☆ Re: 不等式 / ヨッシー

r-2＜0のとき・・・x＜(r-2)^2
において、例えば、(r-2)^2＝3 だと、x＜3 ですが、
x＝2 は、これを満たしますが、(1) は満たしません。
では、(r-2)^2 はどういう値であるべきか？

r-2＞0のとき・・・x＞(r-2)^2
において、(r-2)^2＝5 だと、x＞5 ですが、この範囲のｘは
(1) を満たします。
では、(r-2)^2 はどこまで絞れるか？

などを考えましょう。

No.11901 - 2010/10/12(Tue) 06:01:47

★ 積文2 / meta（高2）

引き続き積分の問題を質問させていただきます。

問題4

次の等式を満たす関数f(x)は、x=1で最小値をとり、f(3)=7である。
∫[0,x]{f(t)+9t}dt=x^3+ax^2-bx(a,bは定数)
このとき、a,bの値を求めよ。

解答

a=3/2,b=2

問題5

関数f(x)=∫[3,x](x+3t)(x-t)dtをxの式で表すとf(x)=ｱ□である。また、関数f(x)の-4≦x≦4における最大値はｲ□である。

解答

(ア)x^3-3x^2-9x+27

(イ)32

どちらの問題も2008年の慶応義塾大で出題された入試問題です。

ですので、解答が掲載されているサイトがあれば、それを示してもらってもかまいません。

よろしくお願いします。

No.11893 - 2010/10/11(Mon) 09:17:03

☆ Re: 積文2 / X

問題4)
∫[0,x]{f(t)+9t}dt=x^3+ax^2-bx
の両辺を微分すると
f(x)+9x=3x^2+2ax-b
∴f(x)=3x^2+(2a-9)x-b
従って問題は

xの二次関数
f(x)=3x^2+(2a-9)x-b
はx=1で最小値をとり、f(3)=7である。
このとき、a,bの値を求めよ。

という問題と等価になります。

No.11894 - 2010/10/11(Mon) 10:41:22

☆ Re: 積文2 / X

問題5)
前半)
f(x)の等式の右辺の積分を計算しましょう。
計算方針としてはまず
(x+3t)(x-t)
を展開します。
但しこの積分はtについての積分でxは定数として扱いますので
混乱しないように。
後半)
前半の結果を微分して-4≦x≦4におけるf(x)についての増減表を描きます。

No.11895 - 2010/10/11(Mon) 10:45:04

★ 微積 / shimeji

π/2
∫log(sinθ)dθ
0
という広義積分を解いてて、部分積分を用いたところ
π/2
∫(θ/tanθ)dθ　(α→＋0)
α
という積分が出てきて何回か部分積分してみたりしたのですが、結局解けませんでした…

ほかの広義積分の問題も同様に部分積分したら
∫xtanxdxという積分が出てきてこれも解けませんでした…

お手数おかけしますが、解答・アドバイスよろしくお願いします。

No.11888 - 2010/10/10(Sun) 23:59:24

☆ Re: 微積 / らすかる

不定積分は初等関数で表せないようです。
↓こちらに解答がありました。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/605735.html

No.11889 - 2010/10/11(Mon) 01:45:52

☆ Re: 微積 / 板橋

I=∫[0,π/2]{log(sinθ)}dθとおく。
θ=π/2-tとおくと、dθ=-dtであるので、
I=∫[0,π/2]log(sinθ)dθ=-∫[π/2,0]log(cost)dt
=∫[0,π/2]log(cost)dt

∴2I=∫[0,π/2]{log(sinθ)+log(cosθ)}dθ
=∫[0,π/2]{log(sinθ*cosθ)}dθ
=∫[0,π/2]{log(1/2sin2θ}dθ
=∫[0,π/2]logsin2θdθ-∫[0,π/2]log2dθ
ここで、2θ=Xとおくと、
　2I=1/2∫[0,π]logsinXdX-π/2log2
=1/2(∫[0,π/2]logsinXdX+∫[π/2,π]logsinXdX)
-π/2log2
= 1/2(∫[0,π/2]logsinXdX+∫[0,π/2]logsinXdX)
-π/2log2
（∵X=π-uとおくと、dX=-duとなるので、　　　　　　　　∫[π/2,π]logsinXdX
=-∫[π/2,0]sinudu=∫[0,π/2]sinudu)
　　
　　=1/2*2I-π/2log2
∴I=-π/2log2

No.11899 - 2010/10/12(Tue) 01:31:18

☆ Re: 微積 / 板橋

失礼しました。解答が載っていました。

No.11900 - 2010/10/12(Tue) 01:36:36

☆ Re: 微積 / shimeji

返信遅くなりました。
丁寧な解答・アドバイスありがとうございました。

No.11904 - 2010/10/12(Tue) 23:14:30

★ (No Subject) / 光の粒子性？

Ｘ線発生装置を用いて初速度０で陰極（タングステンフィラメント)から出た電子を10^4Vの電圧で加速する。e=1.6×１０＾（－１９）Ｃ、電子の質量ｍ＝９．１×１０＾（－３１）ｋｇ、プランク定数ｈ＝６，６×１０＾（－３４）Ｊ・ｓ、光速ｃ＝３×１０＾８ｍ/s

1)陰極（＝タングステンフィラメント）の電位は何Ｖか？
２）陽極の電位は何Ｖか？
３）陽極に達したときの電子の位置エネルギーは何eVか？またこれは何Ｊか？
４）陽極に達する直前の電子の運動エネルギーは何eVか？またこれは何Ｊか？
５）陽極に達する直前の電子の運動量ｐはいくらか？
６）陽極に達する直前の電子のド・ブロイ波長は何ｍか？
７）電子が陽極で急に止められるときに発生するＸ線の最短波長は何ｍか？

分かるところだけでも教えてください。また、関連する情報などでも重宝します。よろしくお願いします。

No.11887 - 2010/10/10(Sun) 21:36:48

☆ Re: / X

加速される粒子が電子であり、マイナスの電荷を持っていることに注意しましょう。

1)0[V]
2)10^4[V]
3)
ビルの屋上から地上に向かって自由落下させたボールが
地上に到達したときに持っている位置エネルギーは
0[J]
同様に問題のとき電子が持っている位置エネルギーは
0[eV]
つまり
0[J]
(問題から陽極が陰極に比べ電位が10^4[V]高いですが、電子は
電荷がマイナスのですので加速されることに注意。)

4)
3)と同様に考えると電子の運動エネルギーは
10^4[eV]
≡1.6×10^(-19)[J/eV]・10^4[eV]
=1.6×10^(-15)[J]
([eV]の定義を復習しましょう。)
5)
電子の運動エネルギーをE、速度をvとすると
E=(1/2)mv^2 (A)
p=mv (B)
(A)(B)からvを消去すると
E=…
これに3)の結果などを使うと
p=…

6)ド・ブロイ波長をλ0とすると
p=h/λ0
∴5)の結果を使って
λ0=…

7)
求める最大波長をλ、そのときのX線の周波数をνとすると
E=hν (C)
c=νλ (D)
(C)(D)からνを消去して3)の結果などを使うと…。

No.11890 - 2010/10/11(Mon) 07:35:49

☆ Re: / 光の粒子性？

1)～3)の電位（電気的位置エネルギー）の問題は電位の基準が書かれていないので答えを出すことは出来ないと思ったのですが、想定外でした。どうやって出したのですか？陽極の電位を０Ｖとしたら陰極の電位は-10^4Ｖという答えも正解になり、答えが無限に出ると思うのですが・・・。

あと４）はエネルギー保存則からeV=(１/2)mv^2で
答えはeV=1.6×10^(-19)×１０＾（－４）じゃないですか？

No.11903 - 2010/10/12(Tue) 22:24:15

☆ Re: / X

1)2)
私は単純に陰極が基準であるとして答えを書いたのですが
確かに問題では基準電位がどこにあるか書いてありませんね。
ごめんなさい、誤りです。

4)
eV=(1/2)mv^2
はよろしいですがその後の数値の計算を誤っていますね。
10^4[V]で加速しているのに光の粒子性？さんの計算では
10^(-4)[V]で加速した場合の運動エネルギーの値になって
しまいますよ。

それと[eV]については触れられていないようでしたので
老婆心ですが少々書いておきます。
1[eV]≡電子１個が1[V]の加速で持つことのできる運動エネルギー
です。
従って電子を2[V]で加速した場合の運動エネルギーは
2[eV]
x[V]で加速した場合の運動エネルギーは
x[eV]
つまり単位を[eV]にした場合、数値自体は加速した電圧(単位は[V])
の数値と等しくなります。

また定義より
1[eV]≡1.6×10^(-19)[C]・1[V]=1.6×10^(-19)[J]
∴x[eV]≡{1.6×10^(-19)}x[J]
です。

No.11906 - 2010/10/13(Wed) 07:40:34

★ 組み合わせ / みー

問題と解答は画像のとおりです。
122の問題と解いているときに、
118と似ていると思ったのですが、
解き方が違いました。
何が違うのでしょうか。
よろしくお願いします。

No.11883 - 2010/10/10(Sun) 09:33:09

☆ Re: 組み合わせ / angel

取り敢えず、計算式の違いから見れば、

　118(立方体)：5×(4-1)!
　122(正5角柱)：7C2×(5-1)!

×(4-1)!, ×(5-1)! というのは、側面の面数の違いだけなので、考え方としては同じ。
なので、違いは、5 と 7C2 の所に現れています。

で、この違いがどこから生まれるかというと、
正5角柱は、正5角形の2面が必ず底面となるのに対し、立方体は、正方形である6面どれでも底面として扱うことができる所です。

なので、正5角柱の問題では、
　底面に使う2色を選ぶ … 7C2通り
となるのに対し、立方体の問題では、
　特定の色(例えば赤)を塗る面を底面として扱うよう取り決める(底面の色の固定)
　もうひとつの底面は、その特定の色を塗る面の向かいとして決まる
　→ 色の選択は残り5色からとなるため、5通り
となるのです。

なお、なぜ立方体の場合に底面の色を固定する必要があるかというと、同じ塗り方を重複して数えるのを避けるためです。
底面の色を固定しない場合、同じ塗り方に対して、例えば
　赤・黄が底面で、青・緑が側面
　青・緑が底面で、赤・黄が側面
のように、複数の見方ができてしまうのです。

No.11884 - 2010/10/10(Sun) 10:21:50

☆ Re: 組み合わせ / みー

底面と側面の形が同じなのか
違うかによって計算式が変わったのですね。
理解できました。ありがとうございました。

No.11891 - 2010/10/11(Mon) 08:37:57

★ 数列 / 真数条件

高2です。数列の問題がわかりません。

数列｛ａn｝があり、
[上n,下k=1]Σ(-1)^k*ａk=2^n+n^2-1(n=1,2,…)
が成立している。

このとき、[上2n,下k=1]Σａk,[上2n-1,下k=1]Σａk,
[上n,下k=1]Σａk を求めよ。

という問題です。よろしくお願いします。

No.11882 - 2010/10/10(Sun) 09:14:33

☆ Re: 数列 / X

もっと簡単な方針があるかも知れませんが、思いつかないので
先にa[n]を求める方針で解いてみます。

Σ[k=1～n]{(-1)^k}a[k]=2^n+n^2-1 (A)
とします。
Σ[k=1～n]{(-1)^k}a[k]=T[n]
と置くと
n≧2のとき
{(-1)^n}a[n]=T[n]-T[n-1]=2^n+n^2-1-{2^(n-1)+(n-1)^2-1}
=2^(n-1)+2n-1
∴a[n]=(2n-1)(-1)^n-(-2)^(n-1) (B)
(A)より
-a[1]=T[1]=2
∴a[1]=-2
となり(B)はn=1のときも成立しています。
よって
Σ[k=1～n]a[k]=Σ[k=1～n](2k-1)(-1)^k-Σ[k=1～n](-2)^(k-1)
第二項は等比数列の和になっているのでよいとして第一項について。
S[n]=Σ[k=1～n](2k-1)(-1)^k (C)
と置くと
-S[n]=Σ[k=1～n](2k-1)(-1)^(k+1)
=Σ[k=1～n-1](2k-1)(-1)^(k+1)+(2n-1)(-1)^(n+1)
=Σ[k=2～n](2k-3)(-1)^k+(2n-1)(-1)^(n+1) (C)'
(k+1を改めてkと置いた)
(C)-(C)'から…。

No.11886 - 2010/10/10(Sun) 11:04:09

★ 体積に関する問題です / ハオ

x^2+y^2≦1 (x≧0) 0≦z≦y^2 を満たす体積Vを求めよ。という問題なのですが全く分かりません。

従属多変数は文字の統一は鉄則なのですが不等式で表されては手が出ません・・・
y=t と一応置いてそれを動かすのかな？と思いましたが
yに応じてzも変わるというのがイマイチ理解出来ません。

宜しくお願いします

No.11878 - 2010/10/09(Sat) 16:51:12

☆ Re: 体積に関する問題です / angel

件の立体は、上(z軸正の方向)から見れば半円で、横(x軸正の方向)から見れば放物線の一部と直線で囲まれたような図形となりまして、なかなか頭の中でイメージし辛いところではあります。

で、式の字面を見て
> y=t と一応置いてそれを動かすのかな？と思いましたが
というのは、イイ所だと思います。では、ここから一歩進めると。

y=t と置いて t を動かすということは、xz平面に平行な平面 y=t での断面を考え、断面積を求めていこう ( そして最終的に積分に持ち込む ) ということ。
イメージして、その断面が長方形だと分かればO.K.、イメージできない場合は、不等式条件をひたすら見つめること。

y=t と置いたことにより、
　x^2+y^2≦1 ( x≧0 ) … 0≦x≦√(1-t^2)
　0≦z≦y^2 … 0≦z≦t^2
で、x,zは独立しているため、これらの不等式が表す平面図形は、辺の長さが√(1-t^2), t^2 の長方形です。

ということで、断面の面積が出ますから、後は積分を頑張りましょう。

No.11879 - 2010/10/09(Sat) 17:08:45

★ 数学?U・Ｂの問題：領域と最大・最小 / スタハノフ

はじめまして。
私は文系の大学を卒業し、社会人を経てから
理系への再受験を志している者です。
高校時代は一応数学?U（現在の数学?U・Ｂ）まで
勉強していたのですが、数学の教師と
反りが合わなかったこともあり勉強しなかったので
数学?Uの分野に関しては理解がゼロに近い状態です。
（数学?T・Ａもまだまだですが）
現在、数研の教科書を急いで読みながら
章末問題をこなしているさなかです。

今回ご教示いただきたいのは
「領域と最大・最小」の問題についてです。

座標平面において，連立不等式
Ｘ≦－１
Ｙ≦０
Ｘ＾２＋Ｙ＾２≦９
で表される領域をＤとする。

点（Ｘ，Ｙ）がＤ内を動くとき，
（Ｘ－１）＾２＋（Ｙ－１）＾２のとり得る範囲は
□≦（Ｘ－１）＾２＋（Ｙ－１）＾２≦□＋□√□

上の□の値を求めよというセンター式の問題です。

私の解き方としては、基本セオリーどおり
Ｘ＋Ｙ＝Ｍとおき、Ｙ＝－Ｘ＋Ｍ
これをＸ＾２＋Ｙ＾２＝９に代入し
求めた数式を判別式を用いて
Ｄ＝Ｍ＾２＋１８＝０
Ｍ＝±３√２，円に接する象限が
第３象限であることから判断して
Ｍ＝－３√２－３√２≦Ｘ＋Ｙ≦－１
ここまでは分かったのですが、ここから先が
分かりません。

（Ｘ－１）＾２＋（Ｙ－１）＾２を展開して
そこへ当てはめていくのかもしれないという
目安はあるのですが、試みても分かりませんでした。
恐縮ですが、お手すきとの時にご教示いただければ
幸甚です。宜しくお願い致します。

No.11874 - 2010/10/09(Sat) 15:43:27

☆ Re: 数学?U・Ｂの問題：領域と最大・最小 / そら

(X-1)^2+(Y-1)^2の展開式は、
X^2+Y^2-2(X+Y)+2
となり、確かにX+Yは現れていますが、
X^2+Y^2をX+Yだけで表すことは出来ないので、
別の方法を考えた方が良いです。
X^2+Y^2=(X+Y)^2-2XY

この場合、(X-1)^2+(Y-1)^2は
点(1,1)から(X,Y)までの距離の二乗を表しているので、
図形的に考えれば考えやすいと思います。

すなわち、領域D及び点(1,1)を図示し、
領域内の点で(1,1)から最も遠い点及び
最も近い点を考えれば良いと思います。

No.11876 - 2010/10/09(Sat) 16:22:20

☆ Re: 数学?U・Ｂの問題：領域と最大・最小 / ヨッシー

領域Ｄは図の斜線部分です。
　(Ｘ－１)^2＋(Ｙ－１)^2＝ｒ^2
とおくと、点（Ｘ，Ｙ）は、点Ａ(1, 1) を中心とした円となります。
その円周上の点が、領域Ｄと共有点を持ちながら、半径を
増減させると、
点(-1, 0) を通るとき、ｒ^2 は最小
点Ｂ(-3√2/2, -3√2/2) を通るときｒ^2 は最大となります。

最小は、(-1-1)^2＋(0-1)^2＝５
最大は　(-3√2/2－1)^2＋(-3√2/2－1)^2＝11＋6√2
となります。

No.11877 - 2010/10/09(Sat) 16:30:45

☆ ご回答いただき有難うございます / スタハノフ

そら様
ヨッシー様

早速のご回答をいただき有難うございました。
ヨッシー様に添付いただきました画像の図示によって
疑問点が氷解いたしました。

＞ □≦（Ｘ－１）＾２＋（Ｙ－１）＾２≦□＋□√□

の部分が
(Ｘ－１)^2＋(Ｙ－１)^2＝ｒ^2を円として
半径を増減させるという発想には思い至らず
改めて勉強不測を思い知らされました。
また改めて別の質問をさせていただくことも
あるかもしれませんが
どうか宜しくお願い致します。
ご回答有難うございました。

No.11880 - 2010/10/09(Sat) 17:43:24

★ 中１の方程式の文章題 / キイロ

はじめＡ，Ｂの所持金の比は５：７であったが、ＡがＢから３００円もらったため、Ａ，Ｂの所持金の比は５：４になった。いま、ＡとＢの所持金はそれぞれ何円か求めなさい。
?@方程式を作りなさい。
?AいまのＡとＢの所持金はそれぞれ何円か求めなさい。

この掲示板の過去の記事に考え方が載っていたので、?Aの答えが、Ａは１２００円、Ｂが９６０円と出ました。
ですが、?@の方程式がどうしても作れません…
ヒントとして、“Ａの所持金を５xとするとよい”と問題に書いてあったのですが、ますます分かりません…

どうか宜しくお願いします！

No.11868 - 2010/10/08(Fri) 21:43:14

☆ Re: 中１の方程式の文章題 / ヨッシー

何をｘとおくかは色々ありますが、
例えば、Ａの今の所持金をｘ円とします。
与えられているのは、
１．はじめ、所持金の比は５：７
２．３００円移動すると、所持金の比は５：４　・・・　今
という条件ですから、
２．よりＢのいまの所持金は、４ｘ／５円
３００円移動する前の所持金は、
　Ａ：ｘ－３００円
　Ｂ：４ｘ／５＋３００円
を、１．に適用すると
　(ｘ－３００)：(４ｘ／５＋３００)＝５：７
これを、掛け算に直して、
　７(ｘ－３００)＝５(４ｘ／５＋３００)
ここまででも良いでしょうし、括弧を外して
　７ｘ－２１００＝４ｘ＋１５００
でも良いでしょう。

もし、いまのＡの所持金を５ｘとすると、Ｂは４ｘとなり、
以下、
　（５ｘ－３００）：（４ｘ＋３００）＝５：７
　７（５ｘ－３００）＝５（４ｘ＋３００）
　３５ｘ－２１００＝２０ｘ＋１５００
　１５ｘ＝３６００
　ｘ＝２４０
Ａの所持金は、５ｘなので、１２００円となります。
この方法が、最初の方法と違うところは、分数が出てこないところです。
それ以外は、同じですので、慣れたら、こういう方法も
試してみるといいでしょう。

No.11869 - 2010/10/08(Fri) 23:20:10

☆ Re: 中１の方程式の文章題 / キイロ

分かりやすい解説ありがとうございます！
ずっと考えていて、モヤモヤしていたのですが、スッキリしました。

No.11870 - 2010/10/08(Fri) 23:53:18

☆ Re: 中１の方程式の文章題 / ヨッシー

連立方程式を知っているなら、
いまのＡの所持金をｘ円、Ｂの所持金をｙ円として、
移動前の比率　(x-300)：(y+300)＝５：７
移動後の比率　ｘ：ｙ＝５：４
より
　7(x-300)=5(y+300)
　4x=5y
としても良いでしょう。

No.11872 - 2010/10/09(Sat) 08:00:41

☆ Re: 中１の方程式の文章題 / キイロ

そういうやり方もあるんですね！

話が戻ってしまうのですが、
“いまのＡの所持金を５ｘとすると、Ｂは４ｘとなり～”
は分かりました。ですが、
“２．よりＢのいまの所持金は、４ｘ／５円”
の５はどこからきた５なのでしょうか？
この４ｘ／５の考え方がちょっと分かりません。

続けて質問してしまってすいません…よろしくお願いします。

No.11873 - 2010/10/09(Sat) 10:29:22

☆ Re: 中１の方程式の文章題 / ヨッシー

Ａのいまの所持金をｘ円とおくとき、Ｂの所持金を□とすると、（ｙでもいいですが)
　ｘ：□＝５：４
より
　５×□＝４ｘ
両辺５で割って、□＝４ｘ/５　です。

Ａから見てＢは自分の４/５倍の所持金である、というのはイメージできますか？

No.11875 - 2010/10/09(Sat) 16:10:41

☆ Re: 中１の方程式の文章題 / キイロ

なるほど…。納得しました！

数学は答えはひとつなのに、導き方が沢山あって面白いけど、そこが難しいです。
本当にありがとうございました！またよろしくお願いします。

No.11885 - 2010/10/10(Sun) 10:24:42

★ 四面体 / 朋

四面体ABCDにおいて、頂点Aから面BCDに下ろした垂線の足が面BCDの3本の中線のどれかの上にあるための必要十分条件を求めなさい。

正四面体だと思い、まず必要条件「正四面体なら題意を満たす」の方は証明できましたが、十分条件の方がどうやればいいのかわからないです。どうかよろしくお願いします。

No.11858 - 2010/10/07(Thu) 00:50:37

☆ Re: 四面体 / X

条件を満たすのは正四面体の場合だけではありません。
題意から求める条件は
(点Aと△BCDの中線を含む平面)⊥(面BCD)
となります。
つまり△BCDとして任意の三角形を持ってきても、例えば辺CDの中点と点Bを通る
△BCDに垂直な平面を考え、点Aをその平面上でなおかつ面BCD上への
正射影が△BCDの周及び内部に存在するように取れば題意を満たします。

No.11860 - 2010/10/07(Thu) 11:06:13

★ 集合 / 高２

整式P=a^4-2a^2+1に対して、整式Qは
　3P+2Q=3a^4+6a-9
を満たす。このとき、
（１）Q=3a^2+3a-6である。
（２）P,Qはそれぞれ、
P=(a-1)^2(a+1)^2,Q=3(a-1)(a+2)
　　　と因数分解できる。
（３）集合A,Bをそれぞれ
　　　A={|a-1|,|a+1|},B={|a-1|,|a+2|}
　　　とする。集合Xに含まれる異なる要素の個数をn(X)で表すとき、
　　(?@)　n(B)=1ならば、aはいくつか。
　　(?A) a=0ならば、n(AUB）、AとBの共通部分は何個か。

（３）がわかりません。よろしくお願いします。

No.11853 - 2010/10/06(Wed) 22:19:45

☆ Re: 集合 / ヨッシー

(i)
n(B)=1 ということは、|a-1|＝|a+2| ということです。
　a-1=a+2
は、あり得ませんから、
　a-1=-(a+2)
より、a=-1/2
(ii)
a=0 のとき
Ａ＝{1,1}、Ｂ＝{1,2}
なので、ＡＵＢ＝{1} であり、n(ＡＵＢ)＝１

No.11859 - 2010/10/07(Thu) 06:27:29

★ 必要条件について / 高２

x>-2かつx<2は（１）であるための十分条件だが、必要条件ではない。

答えを見るとx^2≧0
と書いてあります。
x^2≧0ということはxはすべての実数ということだから、
xが-2から2の範囲にあるならば、xはすべての実数？
ということだとおかしいなと思い、質問します。

考え方、間違っていますか？

No.11851 - 2010/10/06(Wed) 22:04:12

☆ Re: 必要条件について / らすかる

> x^2≧0ということはxはすべての実数ということだから
これは意味がよくわかりません。
「x^2≧0」⇔「xは実数」であり
「-2＜x＜2」⇒「xは実数」は成り立ちます。

No.11852 - 2010/10/06(Wed) 22:11:24

☆ Re: 必要条件について / 高２

xはすべての実数、と解説に書いてあったので、
そのまま載せました。

他に選択肢が

-2<x<-1　や　1<x<2　もありますが、
なぜ答えにならないのでしょうか。

No.11854 - 2010/10/06(Wed) 22:23:26

☆ Re: 必要条件について / らすかる

{x|x^2≧0} という集合として考えれば
{x|x^2≧0}＝{x|xは実数}＝「すべての実数」です。
{x|-2＜x＜2}⊂{x|xは実数} ですから十分条件です。

-2＜x＜2 ⇒ -2＜x＜-1 は x=1 のときに成り立ちません。
-2＜x＜2 ⇒ 1＜x＜2 は x=-1 のときに成り立ちません。
-2＜x＜2 ⇒ x^2≧0 は成り立たないような反例がありません。

No.11855 - 2010/10/06(Wed) 23:09:57

★ 図形 / たろ

3辺の長さがそれぞれ
AB=12、BC=6、CA＝12
であるような三角形ABCを考える。
辺BCの延長上に∠BAC=∠CADとなるような点Dをとると、
ADとCDの長さはいくつか。

No.11835 - 2010/10/05(Tue) 23:00:19

☆ Re: 図形 / ヨッシー

∠ＢＡＣ＝φ、∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝θ　とすると
∠ＡＣＤ＝θ＋φ、∠ＡＤＣ＝θ－φ

余弦定理より
　cosφ＝7/8、sinφ＝√15/8
　cosθ＝1/4、sinθ＝√15/4
加法定理より
　sin(θ＋φ)＝√15/4
　sin(θ－φ)＝3√15/16
正弦定理より
　12/sin∠ＡＤＣ＝ＡＤ/sin∠ＡＣＤ＝ＣＤ/sinφ
から、ＡＤ，ＣＤが求められます。

No.11843 - 2010/10/06(Wed) 05:43:55

☆ Re: 図形 / ヨッシー

算数の範囲で解くなら、図のように辺の長さを求めた上で、
相似関係から、
　ＡＣ：ＥＦ＝ＣＤ：ＦＤ＝４：１
より、
　ＣＤ：ＣＦ＝４：３
同様に
　ＡＤ：ＡＥ＝４：３
から、ＡＤ，ＣＤが求められます。

No.11844 - 2010/10/06(Wed) 06:52:18

☆ Re: 図形 / たろ

いつもわかりやすい解説ありがとうございます。

No.11849 - 2010/10/06(Wed) 21:56:15

★ 方程式 / たろ

方程式
x^2+5xy-5x-15y+6=|x-6y|・・・（１）

を満たす正の整数x,yの組のうちで、xが最小の偶数であるものを求めたい。方程式（１）は
（x-3)(x+5y-2)=|x-6y|
と変形できる。xとyは正の整数であるから、
(x+5y-2)>0　　　←まず、これがなぜ正になるのかわかりません。
である。したがって、求める正の整数x,yは
x=4,y=6　　←どうやってこれを求めるのでしょうか。
である。

No.11833 - 2010/10/05(Tue) 22:15:38

☆ Re: 方程式 / rtz

＞(x+5y-2)>0　　　←まず、これがなぜ正になるのかわかりません。
x+5y-2はx,yがいくつのとき最小になりますか。

＞x=4,y=6　　←どうやってこれを求めるのでしょうか。
「xが最小の偶数」だから2入れて無理で4なら…、でもいいです。
でも(x+5y-2)が正で|x-6y|が0以上なのだから、
(x-3)は0以上なので4を試すと…、なら2は考えなくてもいいです。

No.11834 - 2010/10/05(Tue) 22:37:16

☆ Re: 方程式 / たろ

すみません。
ちょっとわからないです。

No.11836 - 2010/10/05(Tue) 23:10:55

☆ Re: 方程式 / ToDa

では、(x+5y-2)が正にならないようなx,y(ともに正の整数)の一例を挙げてみてください。

No.11837 - 2010/10/05(Tue) 23:12:41

☆ Re: 方程式 / たろ

あ、後半はわかりました。

でも(x+5y-2)が正で|x-6y|が0以上なのだから、
(x-3)は0以上なので4を試すと…、なら2は考えなくてもいいです。

No.11838 - 2010/10/05(Tue) 23:14:46

☆ Re: 方程式 / たろ

yの求め方がわかりません。。。
x+5y-2>0にx=4を代入したら、
y>-5/2となるので、それに近い整数というと1なのかなと思います。

No.11839 - 2010/10/05(Tue) 23:33:57

☆ Re: 方程式 / rtz

申し訳ないですが、
なんでそんなことをしているのかが分かりません。

解くべきは(1)の方程式ではないのですか。
x＝4が分かってなぜ(1)の方程式に代入しないのでしょうか。

No.11840 - 2010/10/06(Wed) 00:40:29

☆ Re: 方程式 / たろ

頭が悪いので、よくわかりませんでした。
すみませんでした。
あまり学校へ行っていないけど、苦手な数学の勉強はしたいと思い、
問題集を買って家で勉強を始めたのですが、
わからないところばかりで、この掲示板で質問しました。
バカな質問をしてすみませんでした。

No.11850 - 2010/10/06(Wed) 22:00:16

☆ Re: 方程式 / ast

質問したことを責めたりとかそういうことではなく, この問題についていろいろお考えをめぐらせるうちにこの問題の当初の目的をお忘れになってしまっては危うい, というようなことを rtz さんは仰りたいのではないでしょうか.

「わからなくて質問する」という行為自体を否定するような回等者は, 少なくともこちらの掲示板にはいらっしゃいません.

No.11856 - 2010/10/06(Wed) 23:28:30

★ 確立 / マユ

今日テストがあってわからない問題があったので教えて下さい。

1から40までの40枚の番号札から1枚引くとき
4の倍数または6の倍数が出る確率を求めよ。

です。

ちなみに答えは13/40です＾＾

よろしくお願いします＾＾

No.11828 - 2010/10/05(Tue) 19:20:22

☆ Re: 確立 / angel

4の倍数または6の倍数に該当するのが、
　4,6,8,12,16,18,20,24,28,30,32,36,40
の13枚なので、13/40

毎回全部数えるわけにもいかないので、工夫するとすれば、
　4の倍数：4,8,12,16,20,24,28,32,36,40 の 10枚
　　← 40÷4=10
　6の倍数：6,12,18,24,30,36 の6枚
　　← 40÷6=6...4
　4の倍数かつ6の倍数⇔12の倍数：12,24,36 の3枚
　　← 40÷12=3...4
　10+6-3=13で13枚

なお、「4の倍数かつ6の倍数」が「12の倍数」となるのは、4と6の最小公倍数が12だからです。

No.11830 - 2010/10/05(Tue) 20:16:03

☆ Re: 確立 / マユ

わかりました＾＾
ありがとうございました＾＾

No.11861 - 2010/10/07(Thu) 18:06:15