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★ 大学入試過去問２ / TG
先ほどの問題の続きです
こちらも不鮮明なところは
ベクトルの内積「・」です。
No.12708 - 2011/01/11(Tue) 11:27:29
☆ Re: 大学入試過去問２ / ヨッシー
まず、解読から。

Ｏを中心とし、半径１と２の同心円Ｃ1, Ｃ2 がある。点Ｐは、Ｃ2 の内部および周を動くものとする。
(1)Ｃ1 の周上に点Ａがあるとき、
　ＯＡ・ＯＰ≧１
　を満たすようなＰの存在領域の面積は、[あ]π/[い]−√[う]　である。
　　※[あ] の前に何か付いていますが、解けば分かるでしょう。

(2)Ｃ1 の周上の点Ｂを適当に選ぶことで、ＯＢ・ＯＰ≧１ を満たすようにできるＰの存在領域の面積は、[え]πである。

(3)点Ｑ，Ｒが、ＯＱとＯＲのなす角を30°に保つようにＣ2の周上を動くとする。
　ＰがＣ1 の周上を動くとき、
　　ＯＰ・ＯＱ＋ＯＰ・ＯＲ
　の最大値は、√[お]＋√[か]　（ただし、[お]＜[か]）であり、そのとき、ＯＰとＯＱのなす角α(0°≦α≦90°)は[きく]°である。

※Ｃ1 と Ｃ2 が入れ違っているかも分かりません。
No.12710 - 2011/01/11(Tue) 18:01:49
☆ Re: 大学入試過去問２ / ヨッシー
(1)
Ａを(1,0)、Ｐを(x,y) とすると、
　ＯＡ・ＯＰ＝ｘ≧１
よって、半径２、中心角120度の扇形から、等辺が２で、間の角が
120度の二等辺三角形を引いた弓形が求める領域で、面積は、
(4/3)π−√3

(2)
(1) で、点Ａを固定せず、Ｃ1 上を移動できるとすると、
小円の外側かつ大円の内側にある点Ｐに対して、(1) で示したような
位置に点Ｂをおけば、
　ＯＢ・ＯＰ≧１
を満たすことが出来ます。よって、求める面積は、
　４π−π＝３π

(3)は、Ｃ1 と Ｃ2 がはっきりしてから解いた方が、楽なので、
質問者さんの反応を待ちます。
No.12713 - 2011/01/11(Tue) 22:00:19
☆ Re: 大学入試過去問２ / TG
ありがとうございます
疑問があるのですが
（１）はAを（１，０）にしていますが
　　　　たとえば（０，１）とか（‐１，０）とかのときは考えなくていいんですか？

あと（２）がイマイチわかりません。
もう少し説明いただければと・・・


（３）ですが
「点Ｑ，Ｒが、ＯＱとＯＲのなす角を30°に保つようにＣ１の周上を動くとする。
　ＰがＣ２ の周上を動くとき、
　　ＯＰ・ＯＱ＋ＯＰ・ＯＲ
　の最大値は、√[お]＋√[か]　（ただし、[お]＜[か]）であり、そのとき、ＯＰとＯＱのなす角α(0°≦α≦90°)は[きく]°である。」


です
No.12716 - 2011/01/12(Wed) 02:09:09
☆ Re: 大学入試過去問２ / ヨッシー
(1) は
　「Ｃ1 の周上に固定された点Ａがあるとき、」
と補足すれば、わかりやすいでしょうか？
(0,1)(-1,0) など、点Ａは色々な位置に来ますが、
そのそれぞれについて、Ｐの領域が決まります。

その面積は、点Ａがどこにあっても　(4/3)π−√3　となります。

(2) は逆に、点Ｐが大円内のある位置に固定されたとき、
点Ｂを小円の円周上の適当な位置に取れば、
　ＯＰ・ＯＢ≧１
が満たされればいいのです。

たとえば、点Ｐが図のように(1,1) にある場合は、点Ｂを、
小円周上の図のような位置に取れば、ＯＫです。
一方、点Ｐが小円の内部に来ると、点Ｂを小円周上のどの位置にとっても、
　ＯＰ・ＯＢ≧１
とはなりません。

(3)は、(1) と同様に
Ｑ(1,0)、Ｒ(√3/2, 1/2) などとおいて、点Ｐ(x,y) の
条件を出せば良いでしょう。
No.12717 - 2011/01/12(Wed) 06:56:57
★ 大学入試過去問１ / TG
図を書いたのですが
そのあとが進みません
ベクトルと領域と軌跡が混ざってるんでしょうか
問題を２回に分けて添付します
お願いします
画像が見にくいと思いますが
ベクトルとベクトルの間の記号は「＋」でなく「・」の内積です
No.12707 - 2011/01/11(Tue) 11:22:07
☆ Re: 大学入試過去問１ / ヨッシー
上の記事にまとめて回答します。
No.12709 - 2011/01/11(Tue) 17:48:16
★ また物理なんですけど・・ / yuka
1.無限に長い直線上に、単位長さあたりλの割合で、電荷が一様に分布している。
直線から距離ｈだけ離れた点Ｐでの電場の向きと強さを求め方も含めて答えよ。

2.天井に単位面積あたりσ[Ｃ/m2]の生電化が一様に分布している。これによる天井の上と下の空間の電場の強さは（1）である。床には単位面積あたり-σ´[Ｃ/m2]の負電荷が一様に分布しているとき、部屋の中での電場の強さは（2）で、天井と床の間の電位差は（3）である。ただし、σ＞σ´、天井の高さはｈとする。

お願いします。
No.12705 - 2011/01/11(Tue) 00:19:02
☆ Re: また物理なんですけど・・ / X
1.
電荷分布の対称性から問題の電界は、電界の分布する直線に
垂直で、直線を中心として放射状に無限遠方に向かう向きとなります。
さて電界の強さですがこれをEとし、直線を対称軸とする
半径h、高さ1の円柱の側面に対してガウスの法則を
適用すると
εE・2πh=λ
(注)εは真空の誘電率
∴E=λ/(2πεh)
となります。
No.12719 - 2011/01/12(Wed) 11:50:10
☆ Re: また物理なんですけど・・ / X
2.
(1)
対称性から問題の電界は正電荷が分布する平面に垂直に
上下とも無限遠方に向かう向きに一様に分布しています。
今電界の強さをEとして正電荷が分布する平面に
平行な単位面積の平面板を上下２枚に考え、これらを
底面とする直方体にガウスの法則を適用すると
εE・2=σ
(注)εは真空の誘電率
∴E=σ/(2ε)
となります。

(2)
σ＞σ´であることに注意すると、(1)の場合とは異なり、
この場合天井の正の電荷から出た電気力線は全て床の
負の電荷に吸い込まれる形になります。
よって電気力線は(1)で考えた直方体の下の底面のみ
垂直に通りますのでガウスの法則により
εE=σ
∴E=σ/ε
よって天井と床の間の電位差をVとすると
V=Eh=σh/ε
となります。
No.12720 - 2011/01/12(Wed) 12:06:03
☆ Re: また物理なんですけど・・ / yuka
ありがとうございます。
とても助かりました。
No.12763 - 2011/01/16(Sun) 12:26:16
★ 微分法について / saki
合成関数の微分法の問題です。
y=x^a×(c-x)^b
を合成関数を用いて解くという問題です。

答えは
y'=ax^a-1×(c-x)^b＋x^a×bu^b-1×(-1)
=ax^a-1×(c-x)^b-bx^a×(c-x)^b-1
が答えなのですが、　なぜ ×(-1)をするかが分かりません。
友達からは(c-x)^bのカッコの中を微分したものをかけるんだよ、と言われましたが、
積の公式　(u＋v)'=u'v＋u'vにあてはめると
y'=ax^a-1(c-x)^b＋bx^a(c-x)^b-1
で良い気がします。

(c-x)=uとおいて、合成関数で微分するという途中計算が分からないので説明してほしいです。
No.12703 - 2011/01/10(Mon) 23:32:10
☆ Re: 微分法について / saki
すみません、積の公式を打ち間違えました。
(uv)'=u'v＋uv'　でした。
No.12704 - 2011/01/10(Mon) 23:35:27
☆ Re: 微分法について / らすかる
y=(c-x)^b を微分したらどうなりますか？
No.12706 - 2011/01/11(Tue) 01:29:21
☆ Re: 微分法について / saki
y=(c-x)^bを微分したら
y'=bu^b-1×(-1)
になりました。

でも、この問題はy=x^a×(c-x)^bなので、
(c-x)=uとおくと、
y=x^a×u^b
y'=x^a×bu^b-1×(-1)
になると思うのですが、これは間違いなのですか？
No.12711 - 2011/01/11(Tue) 20:21:52
☆ Re: 微分法について / らすかる
上では
「y'=ax^a-1(c-x)^b＋bx^a(c-x)^b-1 で良い気がします。」
下では
「y'=x^a×bu^b-1×(-1) になると思うのですが」
と、違うことが書かれています。
sakiさんはどれが正しいとお考えですか？
No.12712 - 2011/01/11(Tue) 20:55:12
☆ Re: 微分法について / saki
私は下が正しいと思いました。
しかし、まだ分からなくて、
y=x^a×(c-x)^bの式で
(c-x)=uとおくと、
y=x^a×u^b
y'=x^a×bu^b-1×(-1)
となり、これが積の公式のv'の部分になって
積の公式　(u＋v)'=u'v＋uv’にあてはめて、
y'=ax^a-1×(c-x)^b＋x^a×x^a×bu^b-1×(-1)
となり、問題の答えと合わないのですが、私はどの部分で解き方を間違えているのでしょうか？
y=(c-x)^bの微分したy'=bu^b-1×(-1) がv'ですか？

何度もすみません。
No.12714 - 2011/01/12(Wed) 00:08:39
☆ Re: 微分法について / らすかる
y=x^a×u^b とするとこれは積の形ですから
y'=x^a×bu^b-1×(-1)
にはなりません。
(uv)'=u'v+uv' において
u=x^a, v=(c-x)^b ですから
y'=(x^a)'(c-x)^b+(x^a){(c-x)^b}' となります。
ここで
(x^a)'=ax^(a-1)
{(c-x)^b}'=b(c-x)^(b-1)・(-1)
ですから、全体として
y'=ax^(a-1)・(c-x)^b+(x^a)・b(c-x)^(b-1)・(-1)
という計算になります。
No.12715 - 2011/01/12(Wed) 00:27:25
☆ Re: 微分法について / saki
分かりました！
ありがとうございました。
No.12718 - 2011/01/12(Wed) 07:03:53
★ 教えてくださぃ / kotuno
内角の和が1260°の多角形の辺の本数はぃくつ？
っていう問題です！
No.12701 - 2011/01/10(Mon) 22:34:02
☆ Re: 教えてくださぃ / tororo
公式の逆
　(1260/180)＋2＝9･･･9本

確認
　180×(9−2)＝1260
No.12702 - 2011/01/10(Mon) 23:23:49
★ 確率 / shiyo
確率の問題です。

問 1: T,O,H,O,K,U,A,O,B,Aの10文字から6文字を1列に並べ、どの2つのOも隣り合わない確率を求めなさい。

答えは7/10です。
なぜそうなるのか分かりません。
宜しくお願いします。
No.12697 - 2011/01/10(Mon) 15:08:12
☆ Re: 確率 / ヨッシー
まず３つのＯ、２つのＡは、区別するとします。

すべての並べ方は、10Ｐ6 通り

Ｏを１つも使わない場合
　並べ方は　7Ｐ6 通り＝７！通り
Ｏを１つ使う場合
　文字の選び方は3Ｃ1×7Ｃ5＝3×21＝63(通り)
　６個の文字の並べ方はそれぞれ６！通り
　よって、並べ方は全部で9×７！(通り)
Ｏを２つ使う場合
　文字の選び方は3Ｃ2×7Ｃ4＝3×35＝105(通り)
　６個の文字のうち
　Ｏの置き方は　20通り
　残りの4つの文字の置き方は 4!＝24 通りで計480通り
　よって、並べ方は全部で105×480 (通り)
Ｏを３つ使う場合
　文字の選び方は3Ｃ3×7Ｃ3＝35(通り)
　６個の文字のうち
　Ｏの置き方は　24通り
　残りの3つの文字の置き方は 3!＝６ 通りで計144通り
　よって、並べ方は全部で35×144 (通り)

以上より、０が並ばない６個の文字の並べ方は、
　７！＋9×７！＋105×480＋35×144
求める確率は、
　(10×７！＋105×480＋35×144)/(10×9×8×7×6×5)
　＝(10×6!＋15×480＋5×144)/(10×9×8×6×5)
　＝(2×6!＋3×480＋144)/(10×9×8×6)
　＝(2×5!＋3×80＋24)/(10×9×8)
　＝(240＋240＋24)/720
　＝504/720＝56/80＝7/10
No.12698 - 2011/01/10(Mon) 16:36:12
☆ Re: 確率 / shiyo
ヨッシーさん　ありがとうございます！！
分かりました！！
No.12700 - 2011/01/10(Mon) 18:52:37
★ 数C? / ハオ
xy平面上に原点Oを中心とする半径１の円Cがある時
C上の点Pに対し点Sを中心として点Pを時計回りに90°回転させた点TがC上にあるような点Sの存在範囲を図示せよ。

という問題なのですが解答は図形的に解いています。
僕は行列を用いて解こうと思ったのですが上手くいきません。行列の範疇ではないのでしょうか？
点Pを(1,0)でまず固定してｋ考え
点Sを原点と考えてR(-π/2)を(1-x,-y)に掛けたのですが・・・
No.12691 - 2011/01/10(Mon) 12:20:44
☆ Re: 数C? / ヨッシー
行列でやってみます。
点Ｐを(1,0) に固定するまでは良いですね。
点Ｓ(m,n) とし、
点Ｓが原点に来るまで平行移動、点Ｐ(1-m,-n)
-90°回転　点Ｐ(-n, m-1)
点Ｓを元の位置に戻す　点Ｐ(m-n, m+n-1)
これが、Ｃ上にあるので、
　(m-n)^2＋(m+n-1)^2＝１
整理して、
　(m-1/2)^2+(n-1/2)^2=1/2
より、図のような円になります。実際は点Ｐが円の全周に
存在するので、この円を、原点周りに360°回転させたときに
円が通過する部分が求める範囲となります。

No.12694 - 2011/01/10(Mon) 12:51:11
☆ Re: 数C? / ハオ
ヨッシーさん早急な対応に感謝致します。
点Sを元の位置に戻すのを忘れていました。
有難うございます！
No.12696 - 2011/01/10(Mon) 13:04:47
★ 三角比・方程式と不等式 / たもと
度々すみません！三角比（答えは判る）と方程式と不等式の問題なのですが、わからないので教えてください

1,ABCにおいて、AB＝√３、AC=2　∠A＝60度とし、∠Aの２等分線と辺BCとの交点をDとする。ADの長さを求めよ。答えは12-6√3なのですが、求め方がわかりません。。

2,３つの整数x,y,zが次の方程式、不等式を同時に満たす時、xの値を求めよ

x+y+z=100
x+2y=170
2z≦x＜3z

答えととき方がわかりません。教えてください；

長々とすみません。よろしくお願いします！
No.12689 - 2011/01/10(Mon) 11:01:52
☆ Re: 三角比・方程式と不等式 / ヨッシー
１．
まず、余弦定理でＢＣの長さと、cosＢを求めておきます。
次に、角の二等分線の定理により
　ＢＤ：ＤＣ＝ＡＢ：ＡＣ
より、ＢＤの長さを求め、余弦定理で、ＡＤを求めます。

２．
第１式を２倍した
　2x+2y+2z=200
に、2y=170-x を代入して、
　x+2z＝30
グラフで表すと、図の線分ＡＢ上の格子点のｘ座標が
求めるｘとなります。

No.12690 - 2011/01/10(Mon) 12:18:15
★ 確率 / かな
A君とB君がサイコロをそれぞれ１つずつ同時に投げる。同じ目のときは、更にサイコロを投げることを繰り返し、先に大きい目を出した方を勝ちとする。B君は正しいサイコロを使っているが、A君は５と６の目が出る確率が、他の目の出る確率の６倍であるサイコロを使っている。次の確率と期待値を求めよ。
(１)A君のさいころの、それぞれの目の出る確率
(２)A君がさいころを一回投げたとき目の数の期待値
(３)A君が一回目で勝つ確率
(４)A君が二回目で勝つ確率

詳しく解説お願いします。
No.12684 - 2011/01/10(Mon) 00:42:37
☆ Re: 確率 / ヨッシー
(1) １，２，３，４，５，６の目の出る確率は、
　１：１：１：１：６：６
なので、１から４は1/16、５と６は3/8
(2)
　（1+2+3+4)×1/16＋(5+6)×3/8＝19/4
(3)
２で勝つ　1/16×1/6＝1/96
３で勝つ　1/16×2/6＝2/96
４で勝つ　1/16×3/6＝3/96
５で勝つ　3/8×4/6＝24/96
６で勝つ　3/8×5/6＝30/96
合計　60/96＝5/8
(4)
引き分けの確率は1/6であるので、
　1/6×5/8＝5/48
No.12685 - 2011/01/10(Mon) 01:10:41
☆ Re: 確率 / かな
ありがとうございます。よく分かりました!
No.12688 - 2011/01/10(Mon) 08:45:30
★ 対角線が通る正方形 / rio
互いに素な個数がタテ、ヨコの数となっているように正方形を積み上げた図の対角線が通る正方形の個数についてです。
どこかで、添付の図のように移動できるので「タテ＋ヨコ−１」で求められると読んだことがある気がします。これは事実でしょうか。事実なら、どうやってそのように移動できることを示せるのでしょうか。
No.12682 - 2011/01/09(Sun) 23:43:30
☆ Re: 対角線が通る正方形 / らすかる
横線を通過する回数が「タテ−１」
縦線を通過する回数が「ヨコ−１」
ですから、線を通過する回数つまり線と交差する回数は
「(タテ−１)＋(ヨコ−１)」となり、通るマスの数は
「(タテ−１)＋(ヨコ−１)＋１」となります。
No.12683 - 2011/01/09(Sun) 23:50:52
☆ Re: 対角線が通る正方形 / rio
ありがとうございます。通るマスの数が「タテ＋ヨコ−１」は理解できました。
引き続き、添付の図のように、「右」と「下」へのスライド移動のみでタテヨコ一列に整理できるといえるのはなぜでしょうか。
よろしくお願い致します。
No.12686 - 2011/01/10(Mon) 08:21:16
☆ Re: 対角線が通る正方形 / ヨッシー
たとえば、添付された図の対角線を、左下から右上にたどっていくと
左下角の正方形以外は、正方形の辺と交差するときに、
正方形の下から正方形内部に入る部分(黄色)と、
正方形の左から正方形に入る部分(青)があるのがわかると思います。
正方形の下から入る回数は、横線の数と同じなので、(タテ−1)
正方形の左から入る回数は、縦線の数と同じなので、(ヨコ−1)
よって、黄色は縦辺に、青は横辺に移動してやるとＬ字型に
並べ替えられます。

No.12687 - 2011/01/10(Mon) 08:43:56
☆ Re: 対角線が通る正方形 / rio
ありがとうございます。理解できました。
No.12699 - 2011/01/10(Mon) 18:08:05
★ 確立と集合の問題 / たもと
２つわからない問題（確立と集合）があります。範囲は数学Aです。もしよろしければ答えと解き方を教えて頂きたいです。

１、４人でじゃんけんを一回行う時、一人だけが勝つ確立はいくつか？

２、研修に参加した学生が１１０人いる。１１０人の所持品を調べると、ガムが７８人。アメが８３人だった。ガムとアメの両方とも携帯した学生の人数をxとする時Xのとりうる値の範囲はaからdのどれか

a,51≦x≦78 b,35≦x≦48 c,30≦x≦40 d,51≦x≦83
No.12678 - 2011/01/09(Sun) 21:12:03
☆ Re: 確立と集合の問題 / ヨッシー
１．手の出し方は、3×3×3×3＝81（通り）
人をＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄとすると、Ａだけが勝つのは
　Ａがグーで他がチョキ
　Ａがチョキで他がパー
　Ａがパーで他がグー
の３通り。他の３人についても３通りずつあるので、
１人だけが勝つ手の出し方は１２通り。
確率は、12/81＝4/27

２．

図の通りです。
　
No.12679 - 2011/01/09(Sun) 21:34:08
☆ Re: 確立と集合の問題 / たもと
お手数おかけしました！
ありがとうございます！！
No.12680 - 2011/01/09(Sun) 21:51:48
★ 正方分割長方形の教え方 / マイク
小六の子供の宿題でどう教えたら良いのか困っていますので相談にのってください。
問題は下記のとおりです。

右図は、ある長方形を９つの正方形に分けたものです。その中の正方形A、Bの一辺の長さはそれぞれ32.4cm、14.4cmです。この長方形の縦と横の長さを求めなさい。
（右図とはいわゆる辺の長さが３２：３３の長方形を大きさの違う正方形で９分割した図です。正方形Aは一番大きい正方形、正方形Bは６番目に大きい正方形です）

教え方として９分割できる長方形の正方形の比率がわかっていることを前提に進めるのか、それとも何か導き方があるのでしょうか。
No.12671 - 2011/01/09(Sun) 09:40:21
☆ Re: 正方分割長方形の教え方 / X
図をアップしていただけないでしょうか？。
この質問文だけでは正方形の配置状況が分かりません。
No.12674 - 2011/01/09(Sun) 15:58:25
☆ Re: 正方分割長方形の教え方 / マイク
図をアップしました。
よろしくお願いします。
No.12675 - 2011/01/09(Sun) 18:18:37
☆ Re: 正方分割長方形の教え方 / らすかる
(７番目に大きい正方形の辺の長さ)
＝(Ｂの辺の長さ)−(一番小さい正方形の辺の長さ)
なので
(２番目に大きい正方形の辺の長さ)
＝(Ｂの辺の長さ)×２−(一番小さい正方形の辺の長さ)
そして
(５番目に大きい正方形の辺の長さ)
＝(Ｂの辺の長さ)＋(一番小さい正方形の辺の長さ)
なので
長方形のＢが接している辺の長さは
(Ｂの辺の長さ)×２−(一番小さい正方形の辺の長さ)
＋(Ｂの辺の長さ)
＋(Ｂの辺の長さ)＋(一番小さい正方形の辺の長さ)
＝(Ｂの辺の長さ)×４
とわかります。
長方形の辺が32：33とわかっているのであれば、
Ａの辺の長さを使うことなくもう一方の辺もわかりますね。
No.12676 - 2011/01/09(Sun) 21:01:53
☆ Re: 正方分割長方形の教え方 / ヨッシー

一番小さい正方形（塗りつぶしてある正方形）の１辺を■として、
他の正方形の１辺を■を使って順々に調べていきます。

縦の57.6 はすぐ求められます。
32:33 は、最初は与えられていないとすると、
横の長さを、上の辺にある３つの正方形の１辺の和
　５４＋■＋■＋■
と、下の辺にある２つの正方形の１辺の和
　61.2−■
から、■が1.8 であることがわかり、横も出ます。
No.12677 - 2011/01/09(Sun) 21:11:07
☆ Re: 正方分割長方形の教え方 / マイク
ありがとうございます！
No.12681 - 2011/01/09(Sun) 22:32:40
★ 高校入試の過去問 / hirokuntotoshi
↑この問題って正弦定理や余弦定理、またトレミーの定理を使わずに解けますか？
No.12666 - 2011/01/09(Sun) 01:27:36
☆ Re: 高校入試の過去問 / らいむ
この問題とはどれですかね・・？
No.12667 - 2011/01/09(Sun) 07:51:34
☆ Re: 高校入試の過去問 / ヨッシー
ホーム（家のマーク）の問題でしょう。
No.12669 - 2011/01/09(Sun) 08:43:23
☆ Re: 高校入試の過去問 / ヨッシー
この台形は、1辺10の正三角形から1辺4の正三角形を切り取ったものなので、
図のように座標を設定します。（ＢＣの中点が原点です）

ＣＤは、傾きが−√3 の直線であり、ＣＤの中点Ｍを通って、
ＣＤに垂直な直線（傾き1/√3）と、ｙ軸の交点Ｎが円の中心になります。
Ｎの座標を求めたら、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ のどれからでも良いので、Ｎまでの距離を求めると
それが半径となります。
No.12670 - 2011/01/09(Sun) 09:07:52
☆ Re: 高校入試の過去問 / hirokuntotoshi
ありがとうございます！
No.12672 - 2011/01/09(Sun) 12:24:06
★ No.12617 のヨッシーさんの解法について / 256
漸化式の問題です｡
a1=1､an+1=an+1/(1+2+3+‥‥+n)で定められる数列{an}の一般項を求めよ｡
解説お願いします・・・
No.12617 - 2011/01/04(Tue) 21:28:11
☆ Re: 漸化式 / ヨッシー 引用
１＋２＋３＋・・・＋ｎ＝n(n+1)/2 なので、
　ａn+1＝ａn＋2/n(n+1)　・・・(1)
と書けます。
(1) が、
　ａn+1＋ｍ/(n+1)＝ａn＋ｍ/n
と書けたとします。移項して整理すると、
　ａn+1＝ａn＋ｍ/n(n+1)
となり、ｍ＝２ であることがわかります。
　ｂn＝ａn＋２／ｎ
とおくと、
　ｂ1＝３
　ｂn+1＝ｂn
より、ｂn＝３　（一定）
よって、
　ａn＝ｂn−２／ｎ
　　　＝３−２／ｎ


と、ありますが
どうしてこのような解法が思い浮かんだのか、このような解法が効果的なのはどのようなときなのかを教えていただけますか？
No.12665 - 2011/01/08(Sat) 22:56:20
☆ Re: No.12617 のヨッシーさんの解法について / ヨッシー
ベースにあるのは、こちらの、漸化式と特性方程式の考え方です。

ただし、この問題の場合は、ａn+1、ａn 以外にもｎがありますので、
ａn+1 にくっつけるのは、n+1 の式、ａn にくっつけるのは、n の式というふうにします。
さらに、2/n(n+1) が 1/(n+1) と 1/n に部分分数分解出来そうなので、
n+1 の式として 1/(n+1)、ｎの式として 1/n を選びました。

　ａn+1＝３ａn＋２n
のような場合にも、
　ａn+1＋ｍ・２n+1＝３(ａn＋ｍ・２n)
として、展開して移項すると
　ａn+1＝３ａn＋３ｍ・２n−２ｍ・２n
より　ｍ＝１ が得られ、
　ｂn＝ａn＋２n　が
　ｂn+1＝３ｂn
という等比数列の漸化式になります。
No.12668 - 2011/01/09(Sun) 08:42:11
★ 長さの問題 / えみ
1辺が4?pの正三角形ABCの辺BCと、PQ=PR=6?pの直角二等辺三角形PQRの辺QRがともに直線L上にあり、頂点Q上に頂点Cがある。△ABCを、△PQRの辺QP、PR上を滑らないように辺CAがL上に初めて重なるまで転がしていく。このとき、頂点Bが動いてできる線の長さを求めよ。
No.12660 - 2011/01/08(Sat) 03:54:02
☆ Re: 長さの問題 / ヨッシー
図のように
半径4cm 中心角75°
半径4cm 中心角120°
半径2cm 中心角90°
半径4cm 中心角75°
の扇形の円弧部分が、求める長さになります。

No.12661 - 2011/01/08(Sat) 05:16:58
☆ Re: 長さの問題 / えみ
図まで付けてありがとうございました！
No.12663 - 2011/01/08(Sat) 14:50:06
★ ｘ,yの値を出しなさい。 / ぜっとん
　　(3-2y)/2=2(x-y+5)…?@
0.5x-6(y-1)=1………?A
　
連立方程式です。
No.12655 - 2011/01/08(Sat) 02:35:41
☆ Re: ｘ,yの値を出しなさい。 / らいむ
?@⇔3-2y=4(x-y+5)・・?@’
?A⇔x=12y-10・・・?A’
?A’を?@へ代入して
3-2y=4(11y-5)
⇔ｙ＝1/2
?A’より
x=12・1/2-10=-4
No.12657 - 2011/01/08(Sat) 02:56:03
★ 三角関数の積分 / syooo　高2
∫sin^2xcosxdxはどうやって求めるのですか？
答えは(-1/3)sin^3x＋Ｃです。お願いします。
No.12653 - 2011/01/07(Fri) 23:44:21
☆ Re: 三角関数の積分 / らすかる
問題は正しいですか？
問題が正しければ、答えはそうなりません。
No.12654 - 2011/01/08(Sat) 00:11:18
☆ Re: 三角関数の積分 / らいむ
∫(sinx)^2cosxdx
=∫(sinx)^2(sinx)’dx
=(1/3)(sinx)^3+C

一般に
∫{f(x)}^n{f(x)}'dx
={1/(n+1)}{f(x)}^(n+1)+C

を使いました
No.12656 - 2011/01/08(Sat) 02:46:17
☆ Re: 三角関数の積分 / らいむ
別解

sinx=tとおいて微分すると
cosxdx=dt
よって
与式＝∫t^2dt=t^3/3+C=(sinx)^3/3+C
No.12659 - 2011/01/08(Sat) 03:01:09
☆ Re: 三角関数の積分 / syooo　高2
すいません答えの係数は1/3でした。
置換積分の公式を使うんですね！ありがとうございました。
No.12662 - 2011/01/08(Sat) 07:32:24
★ ２次方程式 / みー
こんばんは。センター数学についての質問です。
問題と解答は画像のとおりです。
わからないのは水色でかこったところなのですが、
すべての整数xに対してy≧0となるのに
x軸より下にグラフの線があっていいのでしょうか。
よろしくお願い致します。
No.12651 - 2011/01/07(Fri) 17:23:15
☆ Re: ２次方程式 / rtz
全ての「整数」xです。
ですから2.1〜2.6だけは負だった、とかでもいいわけです。

今回の場合はx＝2でy＝0ですから、
x＝1やx＝3でy≧0であればいいということになります。
No.12652 - 2011/01/07(Fri) 21:30:21
☆ Re: ２次方程式 / みー

なるほど(>_<)
[整数]だったんですね。
自分て、書いておきながら
全く気づきませんでした。
ありがとうございました。

No.12664 - 2011/01/08(Sat) 16:51:25
★ 数列 / 零


こんばんは。数列で分からない問題があります。教えて下さると嬉しいです。


数列{an}がa1+2a2+3a3+‥‥+nan=n(n+1)を満たすとき、和a1+a2+a3+‥‥+anを求めなさい。



No.12649 - 2011/01/07(Fri) 17:04:32
☆ Re: 数列 / X
na[n]=b[n]
と置くと問題の条件式は
b[1]+b[2]+…+b[n]=n(n+1)
これからまずb[n]を求めることを考えましょう。
No.12650 - 2011/01/07(Fri) 17:09:31
★ (No Subject) / らいむ
屈折率ｎ厚さｄの薄膜がガラスに付着されている。波長λの光を垂線に当てるとき透過光が強めあう条件を記せ。ガラスの屈折率は薄膜より大きいとする。という問題で、回答はなぜか２通りの経路の光路差しか求めてないのですが、写真のm●をつけた２通りなどをなぜ考えなくてよいのか、誰か教えて下さい。
No.12645 - 2011/01/06(Thu) 21:49:11
☆ Re: / らいむ
回答の図はこれです。
No.12646 - 2011/01/06(Thu) 21:50:07
☆ Re: / らいむ
誰か御願いします
No.12658 - 2011/01/08(Sat) 02:58:21
☆ Re: / ハオ
薄膜での干渉実験をしているのに、らいむさんが描いた２パターンはガラスでの経路差が入っています。
そこの違いではないでしょうか？
あくまで高３の僕の考えですので参考までに。
No.12692 - 2011/01/10(Mon) 12:44:05
☆ Re: / ハオ
あ、間違いました。
ライムさんは　上の２つの経路差を考えなくてよいのか？
という質問ですよね？

そうだとすると上の二つも下の二つも結果的に経路差は同じではないでしょうか。つまりどちらも2dの経路差があります。結果的に同じなので両方考える必要はないのではないでしょうか？
No.12693 - 2011/01/10(Mon) 12:48:09
☆ Re: / ハオ
あ、でもそうするとπズレが説明出来ないですね・・・。
まぁ薄膜の干渉実験なのでガラスと空気の間の反射は考えないって事で結論どうでしょう？
No.12695 - 2011/01/10(Mon) 12:59:47
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