(問題文が短めなので)3題ほど質問させてください。積文法の問題です。
簡単そうな問題もあるのですが、考え方がわかりません(-_-;)
解法だけでなく、問題に対する考え方も含めて教えてくださると非常に助かります。
問題1
実数pに対して、関数f(x)をf(x)=∫[p-x,p](t^6+2t^3-3)dtで定める。
(1)f´(x)は、x=p+1のとき最小値をとることを示せ。
(2)f(p+1)のp>0における最小値を求めよ。
解答
(1)省略
(2)p=1のとき最小値-40/7
問題2
f(x)=||x|-1|とし、実数tに対してG(t)=∫[0,1]f(x-t)f(x)dxとおく。
(1)y=f(x)とy=f(x-1)のグラフをかけ。
(2)G(0)とG(1)の値をそれぞれ求めよ。
(3)0≦t≦1のとき、G(t)を求めよ。
(4)G(t)(0≦t≦1)の最大値、最小値を求めよ。
解答
(1)省略
(2)G(0)=1/3,G(1)=1/6
(3)G(t)=t^3/3-t^2+t/2+1/3
(4)t=(2-√2)/2のとき最大値(1+√2)/6,t=1のとき最小値1/6
問題3
∫[1,x]g(t)dt=x^2+bx+c,g(1)=5のとき、b=ア□、c=イ□である。
解答
(ア)3(イ)-4
どれかひとつだけ解答してくださってもかまいません。
よろしくお願いします。
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No.11808 - 2010/10/03(Sun) 18:24:54
| ☆ Re: 積分 / X | | | 問題1)
(1)
まずはf'(x)を求めなければなりませんが、metaさんは合成関数の微分は
学習されていますでしょうか？
もしそうでなければ、f(x)を構成している積分をまず計算して
それを微分して…といった煩雑な計算をする必要があります。
合成関数の微分を使うことができるのなら、f'(x)は次のように計算します。
f'(x)=-(d/dx)∫[p,p-x](t^6+2t^3-3)dt
=-(d(p-x)/dx){d/d(p-x)}∫[p,p-x](t^6+2t^3-3)dt
=-(-1){(p-x)^6+2(p-x)^3-3}
=(p-x)^6+2(p-x)^3-3
後はf'(x)の増減を考えて、となるのですが式の形をよく見ると
f'(x)は(p-x)^3の二次関数になっていますので…。
(2)
f(p+1)=∫[-1,p](t^6+2t^3-3)dt
∴(d/dp)f(p+1)=p^6+2p^3-3
=(p^3-1)(p^3+3)
=(p-1)(p^2+p+1)(p^3+3)
後はf(p+1)のpに関する増減表を描きます。
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No.11813 - 2010/10/03(Sun) 21:37:53 |
| ☆ Re: 積分 / X | | | 問題2
(1)
まずは
y=|x|-1
のグラフ((P)とします)を描きましょう。
y=f(x)
のグラフは(P)でy<0の部分をx軸に関して折り返した形になります。
更にこれをx軸の正の向きに1だけ平行移動させてできるグラフが
y=f(x-1)
のグラフです。
(2)
G(0)=∫[0,1]{f(x)}^2dx
=∫[0,1]||x|-1|^2dx
=∫[0,1](|x|-1)^2dx
=∫[0,1](x-1)^2dx (∵)積分範囲においてx≧0
=…
G(1)=∫[0,1]f(x-1)f(x)dx
=∫[0,1]||x-1|-1|||x|-1|dx
=∫[0,1]|-(x-1)-1||x-1|dx
=∫[0,1]|-x||x-1|dx
=∫[0,1]|x||x-1|dx
=∫[0,1]|x(x-1)|dx
=-∫[0,1]x(x-1)dx
=…
(3)
題意より
G(t)=∫[0,1]||x-t|-1|||x|-1|dx
積分範囲に注意すると
G(t)=∫[0,1]||x-t|-1||x-1|dx
=-∫[0,1]||x-t|-1|(x-1)dx (A)
ここで
0≦t≦1 (B)
よりtの値はG(t)を構成する定積分の積分範囲に含まれています。
よって(A)から
G(t)=-∫[0,t]|-(x-t)-1|(x-1)dx-∫[t,1]|(x-t)-1|(x-1)dx
=-∫[0,t]|x-t+1|(x-1)dx-∫[t,1]|x-t-1|(x-1)dx
=-∫[0,t]|x-(t-1)|(x-1)dx-∫[t,1]|x-(t+1)|(x-1)dx (A)'
更に(B)より
-1≦t-1≦0,1≦t+1≦2
となることから(A)'は
G(t)=-∫[0,t]{x-(t-1)}(x-1)dx+∫[t,1]{x-(t+1)}(x-1)dx
=…
(4)
(3)の結果からG'(t)を計算してG(t)の増減表を描きましょう。
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No.11814 - 2010/10/03(Sun) 22:04:11 |
| ☆ Re: 積分 / X | | | 問題3
∫[1,x]g(t)dt=x^2+bx+c (A)
g(1)=5 (B)
とします。
(A)の両辺をxで微分して
g(x)=2x+b
これと(B)よりbの値とg(x)が求められます。
得られたg(x)を(A)の左辺に代入して積分を計算し、両辺の係数を
比較します。
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No.11815 - 2010/10/03(Sun) 22:06:36 |
| ☆ Re: 積分 / meta（高2） | | | 非常に丁寧な解答をありがとうございました。
参考になりました。
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No.11892 - 2010/10/11(Mon) 09:02:53 |
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