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★ ベクトルの問題 / みー

こんばんは。センター数学ベクトル問題についての質問です。

画像の解説部分の黄色矢印で書いたところなのですが、
どうやってkの値を出したのでしょうか。
どんな計算をしたのかがわかりません。
よろしくお願い致します。
No.12471 - 2010/12/22(Wed) 22:09:27
☆ Re: ベクトルの問題 / ast
いくつか考えられますが, 例えば k/3 = (1 − α − β)/2 に α = k/3, β = k/3 を代入すれば k に関する非自明な等式が得られ, k が求まります.
No.12472 - 2010/12/22(Wed) 22:53:26
☆ Re: ベクトルの問題 / みー

おはようございます。

非自明ですか(・_・;)

計算は解説通りの答えに
導くことができました!!
ありがとうございました。


No.12474 - 2010/12/23(Thu) 06:04:12
☆ Re: ベクトルの問題 / ast
> 非自明ですか

ああ, 要するに "k=k みたいな「何の情報も無い」(= 自明な) 等式じゃない" という程度の意味ですよ.
No.12475 - 2010/12/23(Thu) 11:49:35
☆ Re: ベクトルの問題 / みー

そういう意味でしたか(>_<)
こんな式では本当は
証明しきれていないとか
そういう類かと思っていました(^^；)


No.12476 - 2010/12/23(Thu) 16:32:07
★ 数Iの問題で・・・ / えだふじ
２次方程式 x^2+8x+k+6=0 が異なる２つの実数解をもつようにkの値の範囲を定めなさい。

こちら３０代の一般常識を復習しているものです
（近いうちに試験がありまして）
しかし時の流れは残酷にも記憶を消し去ってしまいます。

この問題も？？？です。
わかりやすく答えを導いてくれるかた・・
よろしくおねがいします。
No.12467 - 2010/12/22(Wed) 13:07:03
☆ Re: 数Iの問題で・・・ / らすかる
二次方程式では
「異なる2つの実数解を持つ」⇔「(判別式)＞0」です。
ax^2+bx+c=0 の判別式Dは D=b^2-4ac ですから
この問題では D=8^2-4*1*(k+6)=-4k+40 となり、
-4k+40＞0 を解くと k＜10 となります。
No.12468 - 2010/12/22(Wed) 13:13:15
★ (No Subject) / 合同式をモノにしたい者
合同式の使い方が分からなくなりました。

nを自然数とするとき1^n+2^n+3^n+4^nを５で割った余りを求めよ。（hint:ｎをmod4で分類して答えよ）
この問題で
ｎ≡０（mod4)のとき
与式≡４≡ー１（mod5)
ｎ≡１（mod4)のとき、与式≡１０(mod5)≡0(mod5)

ｎ≡2(mod4)のとき与式≡３０（mod5)≡０(mod5)

ｎ≡3(mod4)のとき与式≡1^3+2^3+3^3+4^3≡1^3+2^3+(-2)^3+(-1)^3≡０（mod5)

が回答なのですが、なんでmod5の与式にmod4の値が代入できるのかが分かりません。
回答が誤っているのでしょうか？

よろしくお願いします。
No.12456 - 2010/12/18(Sat) 12:43:55
☆ Re: / らすかる
代入はしていません。
n=0,1,2,3,… に対して
1^n≡1,1,1,1,1,1,1,1,… (mod5)
2^n≡1,2,4,3,1,2,4,3,… (mod5)
3^n≡1,3,4,2,1,3,4,2,… (mod5)
4^n≡1,4,1,4,1,4,1,4,… (mod5)
となって4つずつで同じパターンが繰り返されますから
nをmod4で分類しているのです。

mod5で考えているのは ○^n
mod4で考えているのは n
で、別物です。
No.12458 - 2010/12/18(Sat) 14:49:53
☆ Re: / 合同式をモノにしたい者
aを自然数、pを素数とするときa^p≡a(modp)より周期が４で繰り返すことは承知しております。

ｎ≡０（mod4)のとき1^n+2^n+3^n+4^n≡1^0+2^0+3^0+4^0≡４（mod5)という風にnの部分にｎ≡０（mod4)の「０」mod5の式が代入されてますし、
ｎ≡１（mod4)のときも1^n+2^n+3^n+4^n≡1^１+2^１+3^１+4^１≡１０（mod5)という風に、ｎ≡１（mod4)の「１」がmod5の式に代入されているのですが・・・。
No.12459 - 2010/12/18(Sat) 15:24:11
☆ Re: / らすかる
代入していると考えるから混乱するのだと思います。
例えば
3^0≡1, 3^1≡3, 3^2≡4, 3^3≡2, (mod5)
3^4≡1, 3^5≡3, 3^6≡4, 3^7≡2, (mod5)
・・・
のように4つずつ繰り返されていることをまとめて書くと
3^(4k)≡1, 3^(4k+1)≡3, 3^(4k+2)≡4, 3^(4k+3)≡2 (mod5)
となりますから、指数部をmod表記にすると
3^n≡
1(mod5)　(n≡0(mod4))
3(mod5)　(n≡1(mod4))
4(mod5)　(n≡2(mod4))
2(mod5)　(n≡3(mod4))
となるというだけのことです。
No.12460 - 2010/12/18(Sat) 15:32:27
☆ Re: / らすかる
説明の続きです。
上のように
「3^nをmod5で考えるとnをmod4で場合分けした時に同じ値になる」
わけですから、例えばn≡2(mod4)のとき
3^n≡3^2≡4(mod5)です。
同様に
n≡0 のとき 3^n≡3^0
n≡1 のとき 3^n≡3^1
n≡3 のとき 3^n≡3^3
も成り立ち、また1^n,2^n,4^nについても同様に成り立ちます。
よって例えばn≡2(mod4)のとき
1^n≡1^2(mod5), 2^n≡2^2(mod5), 3^n≡3^2(mod5), 4^n≡4^2(mod5)
が成り立ちますので
n≡2(mod4)のとき
1^n+2^n+3^n+4^n≡1^2+2^2+3^2+4^2(mod5)
が成り立ちます。
結果的にnにmod4の値を代入した形になっていますが、
(nが)mod3とかmod7とかでは成り立ちませんので
勝手に代入できるわけではありません。
3^n≡3^(nを4で割った余り) (mod5)が成り立つから
nで場合分けすれば 3^nを3^2のように具体的な数字に置き換えられる、と
考えれば良いと思います。
No.12465 - 2010/12/18(Sat) 18:18:16
★ (No Subject) / 合同式をモノにしたい者
自然数から２の倍数３の倍数５の倍数を取り除いて１，７，１１、・・・のように小さい順に並べる。

１）５０番目の数を求めよ
２）１番目の数から５０番目の数までの和を求めよ。

問題は２）なのですが
題意の数を書き並べると、
１，７，１１，１３、・・・、１６７，１６９，１７１，１７３，１７９，１８１，１８７のようになり１〜１７９までが左右対称にみて足して１８０になる組が２４あるので、答えは１８０×２４＋１８１＋１８７＝４６８８とあります。

１，７，１１，１３、・・・、１６７，１６９，１７１が両端ずつ足したら１８０になるというのはどのようにして発見したらよいのでしょうか？

今回もよろしくお願いします。
No.12455 - 2010/12/18(Sat) 09:29:03
☆ Re: / らすかる
2,3,5の最小公倍数は30ですから
nが2か3か5で割り切れれば30*6-nも2か3か5で割り切れ、
nが2,3,5で割り切れなければ30*6-nも2,3,5で割り切れません。
No.12457 - 2010/12/18(Sat) 14:44:07
☆ Re: / 合同式をモノにしたい者
回答有難うございます。

「nが2か3か5で割り切れれば30*6-nも2か3か5で割り切れ、
nが2,3,5で割り切れなければ30*6-nも2,3,5で割り切れない」
ということから確かに、１８０が区切れだとあらかじめ知っていた場合の証明にはなっています。
しかし、左右対称に足して同じになるペアがどこからどこまでの数で出来るのか見つける方法が知りたいのです。つまり、「nが2か3か5で割り切れれば30*6-nも2か3か5で割り切れ、
nが2,3,5で割り切れなければ30*6-nも2,3,5で割り切れない」
の30＊６をどうやって見つけたのかが知りたいのです。

しつこいですが、どうかよろしくお願いします。
No.12461 - 2010/12/18(Sat) 15:44:09
☆ Re: / らすかる
同じパターンが30個単位で繰り返されますから
1,7,11,…,29 で考えれば両端を足して30になりますし
1,7,11,…,59 で考えれば両端を足して60になりますし、
1,7,11,…,89 で考えれば両端を足して90になります。
（同様に 61,67,71,…,119 のような範囲で考えることもできます。）
このパターンで187に一番近いのは179（∵187÷30=6余り7、30*6-1=179）
ですから、 1,7,11,…,179 で考えるのがベストですね。
No.12462 - 2010/12/18(Sat) 15:50:01
☆ Re: / 合同式をモノにしたい者
1,7,11,…,29 で考えれば両端を足して30になり
1,7,11,…,59 で考えれば両端を足して60になり、
1,7,11,…,89 で考えれば両端を足して90になる

というのは、｢両端同士を足すと同じ数になるグループを１つ見つければその整数倍も両端同士を足すと同じ数になるグループになる。」・・・?@ということですよね？
これはこの問題だけの偶然なのですか？一般にいえることですか？また、?@が成り立つ理由も教えて下さい。　

よろしくお願いします。
No.12463 - 2010/12/18(Sat) 17:44:35
☆ Re: / らすかる
「すべてのグループが同じパターン」であれば一般に成り立ちます。
例えば 1,7,11,…,89 は
(1,7,11,…,29),(30+1,30+7,30+11,…,30+29),(60+1,60+7,60+11,…,60+29)
となっていますから、
両端から順に足せば (1,7,11,…,29) を両端から順に足したもの+60になりますね。
No.12464 - 2010/12/18(Sat) 18:09:26
☆ Re: / 合同式をモノにしたい者
「すべてのグループが同じパターン」であれば、とありますが、どういうときに同じパターンになり、どういうときに違うパターンになるのですか？
No.12469 - 2010/12/22(Wed) 15:44:05
☆ Re: / らすかる
この問題では
nが2か3か5で割り切れればn+30も2か3か5で割り切れ、
nが2,3,5で割り切れなければn+30も2,3,5で割り切れませんので、
1〜29,31〜59,61〜89,… は同じパターンになります。

例が良くないですが、例えば「この問題の条件を満たす数列から41を除いた数列」
であれば、1〜29と31〜59は同じパターンになりませんね。
No.12470 - 2010/12/22(Wed) 17:23:18
★ 合同式 / 合同式をモノにしたい者
x^2≡１（mod１２０)（１≦ｘ≦１２０）・・・?@を解きたいのですが、
?@⇔x^2≡１（mod５)・・・アかつ
x^2≡１（mod３)・・・イかつ
x^2≡１（mod８)・・・ウ

と読み替えて
アはx^2-1≡１（mod5)
（x+1)(xー1)≡１(mod5)で５が素数よりx≡±１（mod5)

イも同様にx≡±１（mod３）

とできるのですが
x^2≡１（mod8)の解き方が分かりません。

どなたかよろしくお願いします。
No.12447 - 2010/12/17(Fri) 00:48:30
☆ Re: 合同式 / 板橋
x^2≡1(mod5)ならばx^2-1≡1(mod5)
ではなく、
x^2≡1(mod5)ならばx^2-1≡0(mod5)では・・・？

同様に、x^2≡1(mod3)ならばx^2-1≡0(mod3)

120=5*3*8から3,5,8で場合分けをなさったと思うのですが、
8=2^3なので、8ではなく、2で場合分けをなさる方が良いと思います。
No.12448 - 2010/12/17(Fri) 02:33:13
☆ Re: 合同式 / らすかる
x^2≡1(mod8) を解くと
(x+1)(x-1)≡0(mod8)
x≡±1,±3(mod8)
（つまり奇数全部）
No.12449 - 2010/12/17(Fri) 03:08:19
☆ Re: 合同式 / 合同式をモノにしたい者
板橋さんへ
mod5かつmod3かつmod2で考えるとx^2-1≡０(mod30)を解くことになりますよね・・・？実際に求めるのはx^2-1≡０(mod120)なのでその間をどう埋め合わせるのか教えて下さい。

らすかるさんへ
２行目から３行目の間の計算過程を教えて下さい。

どうかよろしくお願いします。
No.12450 - 2010/12/17(Fri) 09:05:15
☆ Re: 合同式 / らすかる
xが偶数ならば(x+1)(x-1)≡0にならない。
xが奇数ならばx+1とx-1は両方とも偶数であり、
しかもx+1とx-1のうち一つは4の倍数なので、
(x+1)(x-1)は8で割り切れる。
よってxは奇数
No.12451 - 2010/12/17(Fri) 14:56:16
☆ Re: 合同式 / 板橋
済みません。8でなく2でやるとxが奇数であることはすぐにわかるのですが、最終的な解答を出すのに適切ではありませんでした。お詫びして訂正致します。
らすかるさんが示してくださっているのでやる必要はないかもしれませんが、xは奇数であるということだけ示しておきます。
x^2-1=(x-1)(x+1)≡0(mod2)
(x-1)と(x+1)という組み合わせは、偶数と偶数、または奇数と奇数であるが、2を法として(x-1)(x+1)は0と合同であるということより、(x-1),(x+1)という組み合わせは、偶数と偶数の組み合わせである（奇数*奇数=奇数であるから、2で割り切れないため）。従って、xは奇数となる。
No.12453 - 2010/12/17(Fri) 19:17:37
☆ Re: 合同式 / 合同式をモノにしたい者
理解できました。御二方有難うございます。
No.12454 - 2010/12/18(Sat) 09:17:03
★ (No Subject) / えむ
問題は中学2年生のです。

A地点とB地点は9km離れている。佐藤くんは歩いてAからBに
向かって、鈴木くんは自転車で佐藤くんが出発してから30分後に
BからAに向かって出発したところ、途中2人はC地点で出会った。
佐藤くんの歩く速さは時速4km、鈴木君の自転車の速さは時速10kmとして、
AからCまでの道のりを求めなさい。

答えは4kmなのですが求め方がわかりません。
お願いします。
No.12440 - 2010/12/16(Thu) 17:44:32
☆ Re: / 板橋
佐藤君が出発してからX時間後に鈴木君と会ったとする。
そのとき、佐藤君は、4Xkmを徒歩で移動している。
鈴木君は、10(X-0.5)kmを自転車で移動している。
そして、その合計が9kmであるのだから、
4X+10(X-0.5)=9
という等式が成立する。
この方程式を解くと、X=1
従って、求める道のりは、4km/h*1h=4km
No.12441 - 2010/12/16(Thu) 18:42:49
☆ Re: / えむ
質問ですが、
10(X-0.5)km
この式の0.5は30分後を意味するのですかね？
No.12442 - 2010/12/16(Thu) 19:50:16
☆ Re: / 板橋
ご説明が不足していたようで、誠に申し訳ありません。
おっしゃるとおり、0.5は30分後を意味します。
No.12443 - 2010/12/16(Thu) 20:04:29
☆ Re: / えむ
丁寧な説明ありがとうございました。
よくわかりました！
No.12452 - 2010/12/17(Fri) 18:30:44
★ (No Subject) / サマー
xcosx＜sinx＜x (0＜x＜2π)を示して
lim[x→+0](x-sinx)/x^2 を求めよ。

解答お願いしますm(__)m

No.12432 - 2010/12/15(Wed) 14:57:29
☆ Re: / 板橋
0<x<2πで、sinx<xは成立しても、xcosx<sinxは成立しないのでは・・・？
No.12433 - 2010/12/15(Wed) 20:31:38
☆ Re: / サマー
「xcosx＜sinx＜x (0＜x＜π)を示して」でした…
No.12435 - 2010/12/15(Wed) 22:36:38
☆ Re: / サマー
xcosx＜sinx　は
f(x)=-xcosx+sinx とおいて、
f'(x)=sinx＞0(0＜x＜π)
∴f(x)は単調増加で、f(0)=0より、
f(x)=-xcosx+sinx＞0
よってxcosx＜sinxが示された。

とできました。
No.12436 - 2010/12/15(Wed) 23:11:42
☆ Re: / X
後は証明した不等式をはさみうちの原理が使えるように
あれこれ変形してみましょう。
No.12438 - 2010/12/16(Thu) 10:57:15
☆ Re: / サマー
xcosx＜sinx＜x (0＜x＜2π)より
0＜(x-sinx)/x^2＜x(1-cosx)/x^2
右辺＝(1-cosx)/x＝{(sinx)/x}*sinx/(1+cosx)→1*0*1/2=0(x→+0)
∴はさみうちの原理よりlim[x→+0](x-sinx)/x^2＝０
でOKですか？
No.12444 - 2010/12/16(Thu) 22:02:21
☆ Re: / 板橋
はい。良いと思います。

参考までに・・・。
私は、次のように解きました。
xcosx<sinx<x　より、
0<(x-sinx)/x^2<(x-xcosx)/x^2

ここで、cosx=1-2(sinx/2)^2であるので、
(x-xcosx)/x^2=x(1-cosx)/x^2={x*2(sinx/2)^2}/x^2
=t*(sint/t)^2 (t=x/2)
t→0のとき、t*(sint/t)^2→0であるので、はさみうちの原理より、(x-sinx)/x^2→0
No.12445 - 2010/12/16(Thu) 22:41:11
☆ Re: / サマー
大変参考になりました。
ありがとうございました。
No.12446 - 2010/12/16(Thu) 23:34:11
★ 再びお願いします / 壱
cosx(a^2cos^2x+a^2sin^2x)=a^2cos^2x

となるようですが､よくわかりません｡
どういう公式ですか？
よろしくお願いします｡
No.12424 - 2010/12/15(Wed) 00:32:05
☆ Re: 再びお願いします / らすかる
その式は成り立ちません。
(cosx){a^2(cosx)^2+a^2(sinx)^2}
=a^2(cosx){(cosx)^2+(sinx)^2}
=a^2cosx
です。
No.12426 - 2010/12/15(Wed) 00:43:20
☆ Re: 再びお願いします / 壱
ですよね｡
すっきりしました｡
ありがとうございました｡
No.12434 - 2010/12/15(Wed) 21:33:15
★ 位置ベクトルの問題 / たまごん
こんばんわ！一つ分からない問題があったのでお聞きしたいです。

四面体ABCDにおいて、AB、CB、AD、CDを1:2に内分する点を、それぞれP、Q、R、Sとするとき、四角形PQRSは平行四辺形であることを示せ。

位置ベクトルを利用してPQ↑＝RS↑を示すということですが、そこまでの過程が分かりません。
できれば位置ベクトルの説明からしていただければ幸いです。
No.12423 - 2010/12/14(Tue) 23:33:11
☆ Re: 位置ベクトルの問題 / 板橋
平行四辺形の定義は、『２組の対辺がそれぞれ平行』のはずなのですが・・・。
AB↑=b↑,AC↑=c↑,AD=d↑とすると、
PR↑=QS↑=(d↑-b↑)/3
PQ↑=RS↑=2c/3↑
であるので、PR‖QS,PQ‖RS
従って、四角形PQRSは平行四辺形である。

次に位置ベクトルの定義に関してですが、
http://www.ravco.jp/cat/view.php?cat_id=6612
によれば、
　平面上で，基準とする点 O をあらかじめ定めておくと，任意の点 P の位置は
p↑=OP↑
というp↑によって表すことができる．
このp↑ を，点 O に関する点 P への位置ベクトルという．
No.12427 - 2010/12/15(Wed) 01:54:44
★ 微分方程式 / かるた
実は電気回路の問題なのですが
Ｌ（ｄＩ/dt)+RI=U(Ｕは直流起電力、Ｉは電流、Ｒは抵抗、Ｌは自己インダクタンス）
スイッチを入れてからの過渡現象という感じです。

この微分方程式をとくと、
初期条件ｔ＝０のときＩ＝０よりＩ＝(Ｕ/R)(1-e^(-Rt/L))なのですが、途中経過を誰か教えて下さい。よろしくお願いします。
No.12421 - 2010/12/14(Tue) 19:00:40
☆ Re: 微分方程式 / 板橋
L(dI/dt)+RI=U⇔d(I-U/R)/dt=-R(I-U/R)/Lであるので、
I-U/R=Ae^(-Rt/L) （Aは積分定数）
ここで初期条件t=0のときI=0より、
A=-U/R
∴I=(U/R)(1-e^(-Rt/L)
No.12425 - 2010/12/15(Wed) 00:42:31
★ (No Subject) / 壱
y=a^2cos^2x+b^2sin^2x　の微分をお願いします｡
2倍角とか三角関数がよく分からなくて混乱します｡
途中式もお願いします｡
No.12418 - 2010/12/14(Tue) 01:28:43
☆ Re: / ヨッシー
合成関数の微分ですね。
　ｙがｕの関数、ｕがｘの関数であるとき
　dy/dx＝dy/du×du/dx
というのが公式です。
　ｙ＝a^2cos^2x
については、ｙ＝a^2ｕ^2、ｕ＝cosｘ　とおくと、このケースになります。
　dy/du＝2a^2ｕ、du/dx＝-sinｘ
であり、dy/du＝2a^2ｕ＝2a^2cosｘ　と書けるので、
　dy/dx＝2a^2cosｘ(-sinｘ)
このままでもいいですが、２倍角の公式
　sin２ｘ＝２sinｘcosｘ
を適用すると、
　dy/dx＝-a^2sin２ｘ
となります。同様に、
　ｙ＝b^2sin^2ｘ
については、
　dy/dx＝b^2sin２ｘ
となり、y=a^2cos^2x+b^2sin^2x　の微分は、
　dy/dx＝(b^2−a^2)sin２ｘ
となります。
No.12420 - 2010/12/14(Tue) 06:39:09
☆ Re: / 壱
理解できました｡
ヨッシーさん
丁寧に回答いただき
ありがとうございます｡
No.12422 - 2010/12/14(Tue) 22:32:51
★ (No Subject) / ぴっぴ
周期２πの周期関数ｆ（ｘ）のフーリエ係数は
Ａn=1/π∫（−π〜π）ｆ（ｘ）cosnxdx(n=0,1,2・・）とあるのですが、この実践問題の計算過程でcos（nπ）というのが出てきたのですが、これってn=0,1,2・・・なので（−１）＾（n-1)なのでしょうか？でもフーリエ級数の方はｎが１から∞とあるし・・・n=0からと（つまりcosnπ＝(-1)^(n-1))ｎ＝１から（つまりcosnπ＝(-1)^n)どっちを採用したらいいのでしょうか？
No.12417 - 2010/12/13(Mon) 23:27:58
☆ Re: / フリーザ
フーリエ級数展開の計算ですね。
cosnπ＝(-1)^n（n∈N）ですのでどちらを採用とかっておかしい話です。
No.12428 - 2010/12/15(Wed) 09:02:15
☆ Re: / ぴっぴ
Ａn=1/π∫（−π〜π）ｆ（ｘ）cosnxdx(n=0,1,2・・）とあり、この計算過程でcosnπが出てきた場合n=0から始まるので、１、−１，１、−１、・・・となりcosnπ＝(-1)^(n-1)となるのですが・・・？
No.12437 - 2010/12/16(Thu) 09:49:39
☆ Re: / ast
なんだかよくわかりませんが,
> 1, -1, 1, -1, ...
という数列の一般項 (初項を 1 番目と数えたときの第 n 項) は (-1)^(n-1) だろうというご主張ですか? しかし, ご自身で仰るように
> n=0から始まるので
初項は 1 番目の項ではなく 0 番目の項なのですから, これは正しくありません. 1 から数え始めて n 番目の項が第 n 項となるような数列 a_n = (-1)^(n-1) のために変数 n を用いたいのであれば, cos(nπ) と書かずに cos(mπ) のように文字を n でないものに変更し, m は 0 から開始するものとして n=m+1 あるいは m=n-1 の関係があるものとしなければなりません. そうすれば, cos(mπ)=(-1)^(n-1) が正しい関係式を与えることになります (文字は m, n でなくても, 異なるということをきちんと意識できていれば, 何を使っても構いません. 特に, 逆でもいいです).

なんにせよ, 既に指摘があるように,

　cos(0π) = 1 = (-1)^0
　cos(1π) = -1 = (-1)^1
　cos(2π) = 1 = (-1)^2
　……
　cos(kπ) = (-1)^k
　……

であることは, フーリエ級数・フーリエ係数とは無関係であり, 変わったりしません.
No.12439 - 2010/12/16(Thu) 16:22:33
★ (No Subject) / 遥
２で割ると１余り、３で割ると２余り、５で割ると３余る数は２，３，５の最小公倍数の３０ごとに繰り返すはずである。という記述があったのですが、これって何で何でしょうか？確かにがむしゃらに実験したらそうなってはいるので認めざるを得ないのですが・・・。よろしくオネガイします。
No.12412 - 2010/12/13(Mon) 00:24:38
☆ Re: / rtz
この問題の場合、
解く過程で最小の自然数として23が出てきますが、
この23は当然2で割って1余る数ですから、
次以降の候補は、2を何回か足した数(2の倍数を足した数)であるはずです。
同様に3や5の場合も、次の候補は3や5の倍数をそれぞれ足した数です。

つまり、
「23」に「2の倍数であり3の倍数でも5の倍数でもある数」、
即ち「2,3,5の公倍数」を足した数が条件を満たします。
公倍数は最小公倍数の倍数ですので、今回の場合は30ごとに繰り返すことになります。
No.12413 - 2010/12/13(Mon) 00:48:48
☆ Re: / らすかる
2で割ると1余る数は2個に1個のペースで出現します。
3で割ると2余る数は3個に1個のペースで出現します。
5で割ると3余る数は5個に1個のペースで出現します。
これを図で表すと
2：○−○−○−○−○−○−○−○−○−○−○−○−○−○−○−○−
3：○−−○−−○−−○−−○−−○−−○−−○−−○−−○−−○−
5：○−−−−○−−−−○−−−−○−−−−○−−−−○−−−−○−
のようになりますから、30ごとに繰り返します。実際、
「2で割ると1余る数」に30を足した数を2で割ると1余り、
「3で割ると2余る数」に30を足した数を3で割ると2余り、
「5で割ると3余る数」に30を足した数を5で割ると3余りますね。
No.12414 - 2010/12/13(Mon) 00:49:22
★ (No Subject) / とくめい
導関数を求める問題です｡

y=[{1-x^(1/4)}/{1+x^(1/4)}]^1/2

対数をとり
logy=1/2[log{1-x^(1/4)}-log{1+x^(1/4)}]

両辺微分して
y'/y=1/2[-1/4x^(3/4)/{1-x^(1/4)}-
1/4x^(3/4)/{1+x^(1/4)}]
=-1/8x^(3/4)[1/{1-x^(1/4)}+1/{1+x^(1/4)}]
=-1/4x^(3/4)[1/{1-x^(1/2)}]

合っているかは分かりませんが､
ここまでなんとかしましたが
ここから先が上手くまとまりません｡
どなたか助けてください｡
No.12404 - 2010/12/12(Sun) 23:01:14
☆ Re: / angel
うーん。
t=x^(1/4) とでも置いて、dy/dx=dy/dt・dt/dx という合成関数の微分を考えた方が楽じゃないでしょうかね。
No.12409 - 2010/12/12(Sun) 23:37:53
☆ Re: / 壱
angelさんコメントありがとうございます｡
できれば具体的な回答をしていただけると
ありがたいです｡
No.12466 - 2010/12/21(Tue) 20:43:10
☆ Re: / angel
…具体的、とは?
dy/dt や dt/dx の計算のやり方が分からないということ?
それとも、合成関数の微分の公式 dy/dx=dy/dt・dt/dx が良く分からないということ?

それと、当初の貴方の計算とは全く方針が違うので、「先が上手くまとまらない」の直接の解決策ではないのですが、それは問題ないのでしょうか?
No.12473 - 2010/12/23(Thu) 00:25:06
★ (No Subject) / 遥
０〜３０までの数で２，３，５で割り切れる数は●でぬりつぶすことにすると、２，３，５で割り切れない数が左右対称のならびに何故かなります。さらにその左右対称なものの対称なもの同士の組、例えば（１，２９）（７、２３）などは足したら何故か３０になります。これらのちゃんとした理由を誰か教えてくれませんか。よろしくオネガイします。
No.12403 - 2010/12/12(Sun) 21:41:59
☆ Re: / angel
2,3,5いずれでも割り切れない数を x とします。
ここから 30 を引いても、30は2,3,5の公倍数なので、やっぱり x-30 は2,3,5いずれでも割り切れません。
※証明するなら背理法で。
　例えばx-30が2で割り切れると仮定すると、
　あるnに対してx-30=2n、ということはx=2n+30=2(n+15) と表せるため、
　xが2で割り切れないことに矛盾します。

続いて、x-30 に (-1) をかけた 30-x もやっぱり2,3,5いずれでも割り切れません。

ということで、x に対して 30-x という、割り切れない数のペアができることになります。
No.12405 - 2010/12/12(Sun) 23:17:31
☆ Re: / ヨッシー
15をはさんで、対称な位置にある２数は、
片方が 15-n とすると、もう一方は 15+n と表せます。
（15から等距離にあるので、こうなります）
すると、足して30になることは明白です。

すると、15をはさんで、対称な位置にある２数の
片方を、ｋ とすると、もう一方は、30-k です。
もし、ｋが２で割れると、ｋ＝２ｍと書けるので、
30-k＝30-2m＝2(15-m) となり、30-k も2で割れます。
一方、ｋが2で割り切れないとすると、k=2m+1 と書けて、
30-k＝2(15+m)+1 となり、30-k も２で割り切れません。
３，５についても、同様のことが言えればいいでしょう。
No.12407 - 2010/12/12(Sun) 23:21:31
☆ Re: / 遥
angelさん、ヨッシーさんありがとうございました。よく分かりました！
No.12411 - 2010/12/13(Mon) 00:20:41
★ 地球の重さ / √
どうでも　いいこと　ですが。
もし、分ったら教えてください。
（こんな時期に、受験生のみなさんの邪魔してすみません）

地球上の人間の数が、どんどん増えていったら、
地球全体の重さは重くなっていくのでしょうか？
No.12398 - 2010/12/10(Fri) 20:45:09
☆ Re: 地球の重さ / angel
その「増えた人間」がどこから来たものか…
私達の体が何からできているか、それを考えてみては。

あ、もちろん「宇宙人（便宜上人間に分類する）」が沢山来たら、地球全体の質量は増えていくでしょうね。
No.12400 - 2010/12/11(Sat) 23:35:17
☆ Re: 地球の重さ / √
ａｎｇｅｌさん
こんな質問に答えてくださり、有り難うございます。

私達の体の成分は、水やタンパク質ｅｔｃですね。

人間という言い方をしてしまい、少し誤解を招いてしまいました。
えーと、人間の増加だけでなく、
今は沢山の高層ビルなどが作られていますが、
この材料は、元々、地球にあった物で作られているので
地球全体の重さは変らないのかなぁ〜とも思いました。

人間にしても、人間が増えれば食べ物が減り・・・と、
何かが増えた分、何かが減っているはずで、
他の星から、何かを持って来たり、逆に持って行かなければ
と・・・・・

（ただし、いん石とか宇宙に飛ばしてしまった人工衛星などは無視して考えるとします）

結局は、どーでもいい質問なんですけど興味がありましたら
教えてください。
No.12401 - 2010/12/12(Sun) 00:55:27
☆ Re: 地球の重さ / angel
> 地球全体の重さは変らないのかなぁ〜とも思いました。

基本はそれで良いと思います。
※厳密に言えば、地球の大気も僅かずつ宇宙に漏れているはずで、トータルではマイナスなんでしょうけど。

> 人間にしても、人間が増えれば食べ物が減り・・・と、何かが増えた分、何かが減っているはずで、

そこはそれ食物連鎖や物質循環というものがありまして。
人間が消費した食物は、排泄された後分解されて植物の養分となって、そこから動物に食べられるかもしれませんが、巡り巡ってまた食物とすることができます。

人間なり特定の動物が増えて困るとすれば、需要・供給のバランスが崩れて、その「循環」が上手く回らなくなること。決して物質の総量が減るわけではないのです。
No.12408 - 2010/12/12(Sun) 23:31:34
☆ Re: 地球の重さ / √
ａｎｇｅｌさん　有り難うございました。

地球の中で、どんな変化が起こっても、
変化前と変化後の重さは変らない「質量保存の法則」が
働いているのですね。

余談ですけど、
今、不景気ですけど、お金全体の総量は変ってないはず、
ですね。
No.12415 - 2010/12/13(Mon) 12:34:40
☆ Re: 地球の重さ / らすかる
細かいことを言うと、質量がエネルギーに変わったり
その逆が起こったりしますので、
地球の系が閉じていると考えても一定ではないと思います。
現実的には、増減どちらでしょうね？
太陽光線とか太陽風とかで増えてたりしないでしょうか。
No.12416 - 2010/12/13(Mon) 17:37:03
☆ Re: 地球の重さ / √
らすかるさん　有り難うございました。

らすかるさん説も考えてみます。

増減があったとしても、
その増減は、地球の重さに比べたら、きっと誤差範囲程度なんでしょうね。
No.12419 - 2010/12/14(Tue) 02:08:47
★ (No Subject) / ハム
P(x,y), x=(1-t^2)/(1+t^2), y=(4t)/(1+t^2) のとき，Pの速度ベクトルの大きさが最大になるときのtの値を求めよ。
という問題がわかりません。
大きさの公式に入れて微分すると４乗や分数が出て複雑な式になってしまい困っています。
よろしくお願いします。
No.12395 - 2010/12/09(Thu) 20:43:50
☆ Re: / angel
tのままで計算するのは大変そうなので、形からすると t=tanθ と置換して考えるのが良いのではないでしょうか。

t=tanθ の両辺を t で微分することで、1=dθ/dt・1/cos^2θ
となり dθ/dt がθの式として表せますし、
dx/dt=dx/dθ・dθ/dt, dy/dt=dy/dθ・dθ/dt という関係からも、色々とθの式でまとめられます。
No.12406 - 2010/12/12(Sun) 23:21:31
★ (No Subject) / ばるたん
インテグラルとlimや?狽ﾌ入れ替えが出来るのはその中身が一様収束しているときだとあったのですが、一様収束ってどういうことですか？
No.12394 - 2010/12/09(Thu) 20:14:47
☆ Re: / らすかる
I⊂R　fn,f：I→R として、{fn}がfにI上一様収束するとは
∀ε＞0　∃n0∈N　∀x∈I　∀n∈N　［n≧n0 ⇒ |fn(x)-f(x)|＜ε］
が成り立つことです。（出典：Wikipedia「極限」）
No.12397 - 2010/12/10(Fri) 11:16:07
☆ Re: / ばるたん
簡単な例を挙げて説明してもらえたらありがたいのですが・・・
No.12402 - 2010/12/12(Sun) 21:26:59
☆ Re: / らすかる
例えば I=(0,1), fn(x)=x^n とすると
n→∞のときfn(x)→0に収束しますが
1付近で一様収束の定義を満たしません。
No.12410 - 2010/12/12(Sun) 23:40:19
☆ Re: / フリーザ
一様収束ってのは関数がいっせいにある関数に収束するイメージで、各点収束はxを固定したときにｎを都合よくとれば収束するといっているので一様収束のほうが強い概念になるわけです。
論理記号でn0がxに依存しないで存在すると書いてありますので、納得できるかと思います。
No.12429 - 2010/12/15(Wed) 09:10:25
★ 高3です。 / ren
初めて質問させていただきます。
今、『9の9乗+2で割った時の余りはいくつか』という問題に行き詰っています。
解決策を模索した結果、二項定理とか色々方法があるそうですが私が習ったことがあるのは二項定理のみなのでこれを用いることができるかどうかやってみましたが分かりませんでした。
どうか解説お願い致します。
No.12386 - 2010/12/07(Tue) 19:19:56
☆ Re: 高3です。 / 板橋
『9の9乗+2で割った時の余りはいくつか？』という事ですが、『9の9乗を2で割ったときの余りはいくつか？』の間違いでは？
『9の9乗を2で割ったときの余りはいくつか？』という問題だと解釈して、お答えしたいと思います。
二項定理より、9^9=(8+1)^9=8*整数+1^9であるので、2で割ったときの余りは、1となります。

参考までに・・・
『合同式』というものを検索してみて下さい。
No.12387 - 2010/12/07(Tue) 20:19:04
☆ Re: 高3です。 / らすかる
もし「2で割った時の余り」なら、
9×9×9×9×9×9×9×9×9 は当然奇数なので
計算するまでもなく1とわかると思いますが…
No.12388 - 2010/12/07(Tue) 20:53:16
☆ Re: 高3です。 / ren
ありがとうございます。
すみません。とんでもない問題ミスをしてしまいました。

『9＾9＋２を８で割った時、余りはいくつか』
です。

合同式を調べてみます。
No.12389 - 2010/12/07(Tue) 21:45:36
☆ Re: 高3です。 / ヨッシー
合同式も良いですが、板橋さんの記事で、答えが出てますね。
No.12390 - 2010/12/07(Tue) 22:09:49
☆ Re: 高3です。 / ren
ありがとうございます。
『二項定理より、9^9=(8+1)^9=8*整数+1^9であるので、2で割ったときの余りは、1となります。』

まだ、ちんぷんかんのようです。
これはどういう式なのでしょうか。（特に『整数』？？）
No.12391 - 2010/12/07(Tue) 22:25:31
☆ Re: 高3です。 / ヨッシー
(8+1)^9 を二項定理で展開すると、
9Ｃ0・8^9＋9Ｃ1・8^8＋9Ｃ2・8^7＋・・・＋9Ｃ8・8^1＋9Ｃ9・1
ですが、最後の 9Ｃ9・1 以外は、全部８が掛けられているので、
9Ｃ0・8^9＋9Ｃ1・8^8＋9Ｃ2・8^7＋・・・＋9Ｃ8・8^1 をまとめて、
８×整数 とおいたのです。整数という書き方に抵抗があるなら、
　８ｎ　（ただし、ｎは整数)
と考えればいいでしょう。

で、８ｎ＋１ に２を足したものを、８で割るのですから・・・
No.12393 - 2010/12/07(Tue) 22:35:01
☆ Re: 高3です。 / ren
返信が遅くなってすみません。
整数という書き方にとらわれてしまいました。
板橋さん、らすかるさん、ヨッシーさんありがとうございました。
No.12399 - 2010/12/11(Sat) 14:08:53
★ 三角形の外心 / 高1ｱﾒ
AB=AC=9, BC=6の二等辺△ABCの外心をOとする。この時,AOの長さを求めよ。

期末考査に出てきたのですが全然わかりません。どなたか教えて下さい。中点連結定理を使うのか迷ったのですが…
No.12381 - 2010/12/06(Mon) 22:37:40
☆ Re: 三角形の外心 / ヨッシー
単元によりますが、正弦定理に持って行くのが１つの方法です。
余弦定理より、
　cos∠ＢＡＣ＝(８１＋８１−３６)/(２・９・９)＝７／９
よって、
　sin∠ＢＡＣ＝４√2/９
正弦定理より、
　２ＡＯ＝ＢＣ/sin∠ＢＡＣ＝27√2/4
よって、
　ＡＯ＝27√2/8
No.12383 - 2010/12/06(Mon) 22:42:48
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