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お願いします / 高3
lim[n→∞](3^n−2^n)
の答えが1じゃなくて3になるのはどうしてですか??ォ

No.6288 - 2009/06/14(Sun) 11:57:53

Re: お願いします / rtz
1にも3にもなりませんが…。
No.6290 - 2009/06/14(Sun) 12:13:42
平面上のベクトル / ベケット
証明問題(2)の解法が解りません。

(1)は解けましたが誘導問題だと思うので書いておきます。

(1)不等式 2x・y≦|x|^2+|y|^2が成り立つ事を証明せよ。
(2)aを定ベクトルとし、ベクトルの集合S={x||x|^2+a・x≦1}を考える。Sに属する任意のベクトルx,yと、任意の実数t(0≦t≦1)に対して、ベクトルtx+(1―t)yはSに属する事を証明せよ。 (神戸大)

他の投稿者を真似てベキを表示してみましたが上手く伝わっているでしょうか?
それと念のため、x,y,aはベクトルです。

休日に投稿してしまい申し訳ありません。
お身体に気を付けて下さい。

No.6285 - 2009/06/14(Sun) 10:28:10

Re: 平面上のベクトル / rtz
ベクトルなら↑xとするか、xとするかでしょうか。


|t↑x+(1-t)↑y|2+↑a・(t↑x+(1-t)↑y)
=t2|↑x|2+2t(1-t)(↑x・↑y)+(1-t)2|↑y|2+t(↑a・↑x)+(1-t)(↑a・↑y)
≦t2+t(1-t)(↑a・↑x)+(1-t)2+t(1-t)(↑a・↑y)+2t(1-t)(↑x・↑y) (∵↑x,↑y∈S)
≦t2+(1-t)2+t(1-t)(↑a・↑x)+t(1-t)(↑a・↑y)+t(1-t)(|↑x|2+|↑y|2) (∵(1))
≦t2+(1-t)2+2t(1-t)
=1

ただ計算していくだけですね。

No.6289 - 2009/06/14(Sun) 12:12:56

Re: 平面上のベクトル / ベケット
ありがとうございます!

計算で証明できる事は解りましたが、「式が表す図形的な意味」という観点からの解法は無いのでしょうか?

No.6296 - 2009/06/14(Sun) 15:15:33

Re: 平面上のベクトル / rtz
Sが表す領域は、
(-1/2)↑aを中心とし、半径(1/2)√(|↑a|2+4)の円の周及び内部である。
この領域内の任意の2点を結ぶ線分は、必ず領域内にあることを証明せよ。

とすりかえられますが、
上の様に問題を変換できることが大前提です。
変換できるなら証明自体は簡単ですし、
そもそも要求されているであろう先の解法で問題なく解けていると思いますが。

No.6301 - 2009/06/14(Sun) 19:19:05

Re: 平面上のベクトル / ベケット
ありがとうございます!

御指摘通りですね(別解があるのか知っておきたかったんですよ?ォ)

計算でガリガリやっていきます。

No.6305 - 2009/06/14(Sun) 20:27:48
(No Subject) / 極限
以下の問題をお願いします
f(x)=x^2・sin(1/x)
g(x)=sinx
に対して
lim(x→0) f'(x)/g'(x)は存在しないが
lim(x→0) f(x)/g(x)は存在することを示せ。

No.6282 - 2009/06/13(Sat) 20:03:31
二次関数の問題です / rino
たびたびすみません。考え方がよくわからなくなってしまったので、教えてください。

放物線y=(1/3)x^2と直線x=−3、x=6との交点をそれぞれA、Bとする。また、直線=3と放物線との交点をCとする。直線ABとy軸との交点をDとするとき、この点Dを通る直線で△ACBの面積を2等分するとき、その直線の式を求めなさい。

どこに補助線をひいて考えればよいのでしょうか?

No.6272 - 2009/06/13(Sat) 13:15:14

Re: 二次関数の問題です / DANDY U
BCの中点をEとし、DとEを結びます。
Aを通るDEの平行線とBCとの交点をFとします。
すると直線DFは△ACBの面積を二等分します。

(∵ △DFB=△DEB+△DFE=△DEB+△DEA=△ABE=(1/2)*△ABC)

No.6273 - 2009/06/13(Sat) 15:14:37

Re: 二次関数の問題です / rino
わかりました。ありがとうございます。そのようにして等積変形をするのですね。
No.6293 - 2009/06/14(Sun) 14:22:15
高校入試の問題です / rino
すみません。またわからないことが出てきたので、教えてください。よろしくお願いします。

一辺の長さが4cmの立方体の展開図である。図のように線分AB、CD、EFで影をつけた部分を切り落とし、立方体を作るように組み立てたとき、次の問いに答えなさい。

(1) 線分AB、CD、EFで囲まれた図形の面積
    確信はありませんが、これは12√3だと思います。
(2) 線分AB、CD、EFで囲まれた図形を底面とし、点Pを頂点とする角錘の体積

(3) 出来上がった立体の体積

No.6271 - 2009/06/13(Sat) 13:01:10

Re: 高校入試の問題です / DANDY U
(1) は一辺2√3の正六角形になるから、12√3で正しいです。
(2) この角錐の高さは,もとの立方体の対角線の長さの 1/2だから 2√3 です。
(3) 出来上がった立体の体積は、もとの立方体の体積の 1/2です。

(2)(3)については、出来上がった立体はもとの立方体を切断したものになっており、
切断された部分と合同になっているからです。

No.6275 - 2009/06/13(Sat) 16:39:47

Re: 高校入試の問題です / ヨッシー

図のように、立方体を、ちょうど半分に切った形になります。
(1)1辺2√2の正六角形なので、12√3 でいいです。
(2)
高さは、1辺4の立方体の対角線(最も遠い2点の距離)
の半分なので、4√3÷2=2√3
あとは底面積×高さ÷3 です。
または、

図のように、立方体の半分から、三角錐3つを取り除いた
ものと考える方法もあります。
(3) 立方体の半分なので・・・

No.6277 - 2009/06/13(Sat) 17:08:09

Re: 高校入試の問題です / rino
ありがとうございます。空間の図形のイメージがしやすい解説ありがとうございました。よくわかりました。
No.6294 - 2009/06/14(Sun) 14:23:47
(No Subject) / りえ
はじめまして。√を使った計算を教えてください。

√2×√6×√3=
です。よろしくお願いします。

また、他にも分からないことがありますので、また質問させてください。

No.6270 - 2009/06/13(Sat) 12:27:06

Re: / ヨッシー
√2×√3 は出来ますか?
No.6274 - 2009/06/13(Sat) 15:46:20

Re: / りえ
> √2×√3 は出来ますか?

そのまま掛ければいいのでしょうか?
√6 ?

No.6278 - 2009/06/13(Sat) 17:30:01

Re: / ヨッシー
なぜ、そのまま掛ければいいと思いますか?
No.6279 - 2009/06/13(Sat) 18:35:34

Re: / りえ
分かりません。
No.6283 - 2009/06/14(Sun) 09:42:58

Re: / ヨッシー
√2×√3=x (x>0)とおき、両辺2乗すると、
 √2×√3×√2×√3=x2
 (左辺)=(√2×√2)×(√3×√3)=2×3=6
より、
 x2=6
x>0 より x=√6

これだけのことがわかっていて、公式
 √a×√b=√(ab) (a>0,b>0)
を、使う資格があります。

では、√2×√6×√3 は、すぐ出来ますね。

No.6286 - 2009/06/14(Sun) 10:34:38

Re: / りえ
ヨッシーさん こんなに丁寧に教えていただきありがとうございます。

> では、√2×√6×√3 は、すぐ出来ますね。

√36 です。

No.6287 - 2009/06/14(Sun) 10:49:18

Re: / ヨッシー
√36は、もっと簡単になりますね。
No.6309 - 2009/06/15(Mon) 06:07:33

Re: / りえ
> √36は、もっと簡単になりますね。

6 ですね。

No.6324 - 2009/06/16(Tue) 15:14:52
極限 / みほ
またお願いします。
連日すみません・・・。
中間テストが近いもので・・・・。

次の極限を求めよ。
(1)lim(x→0)(sinx−xcosx)/(sinx−x)
(2)lim(x↓π/2){log(x−(π/2))}/tanx
(3)lim(x→0)(a^x−b^x)/x√(1−x^2)


ロピタルの定理を利用すると思うのですが、どこまで変換すればいいのかわかりません。
解説お願いします。

No.6267 - 2009/06/13(Sat) 09:03:17

極限 / みほ
自力でなんとか解決できました。
解説は大丈夫です。

No.6276 - 2009/06/13(Sat) 16:42:56
対称性という用語の使い方。 / ベジータ
こんばんは。

対称性(たいしょうせい)、又はシンメトリー(Symmetry)とは、ある変換に関して不変である性質のことを言う。

と書いてありました。

図において、
「正方形の対称性から、a=bである。」
という「対称性」という用語の使い方は間違えていますか?

No.6264 - 2009/06/13(Sat) 00:23:37

Re: 対称性という用語の使い方。 / ヨッシー
言葉通りに解釈するなら、対角線に対して
対称に移すという変換に対して不変と言えます。

ただ、その前に正方形の定義というものがあって、
その結果として、「対角線に対して対称」が出てくるので、
対称だから、正方形であるというのは、話が逆だと思います。

No.6268 - 2009/06/13(Sat) 09:16:15

Re: 対称性という用語の使い方。 / ベジータ
図において、
「正方形の対称性から、a=bである。」
という「対称性」という用語の使い方は間違えていますか?

No.6280 - 2009/06/13(Sat) 18:51:16

Re: 対称性という用語の使い方。 / だいさんしゃ
No.6280の ベジータ さんの書き込みは
「No.6268 ヨッシーさんの回答はまったく役立たず。
 どなたか別の回答はありませんか?」
と思えます。とても失礼な態度ではないでしょうか?

まあ・・

No.6281
そうやってやるというのを思いつくダンディーさんはすごい頭がいいです。

このような表現をしている人間であればしょうがないんでしょうね。

本題に関しては、まず
「正方形の対称性から、a=bである。」
という文の妥当性について考えてみたらいかがでしょうか?

No.6284 - 2009/06/14(Sun) 09:48:15
(No Subject) / ベジータ
ユークリッド原論で、
三角形の合同条件「二辺夾角相等」の証明に使われている、「二辺夾角相等に非常に近い公理」があるというのですが、その公理とはどのようなものでしょうか?

No.6263 - 2009/06/13(Sat) 00:16:36
(No Subject) / ベジータ
三角形の合同条件から、三角形の相似条件を示すにはどうやるのですか?

よろしくお願いいたします。

No.6262 - 2009/06/13(Sat) 00:16:19

Re: / DANDY U
2つの図形が相似であるとは「一方を拡大または縮小して他方と合同にすることができる」こと。
拡大(縮小)した場合は「対応する線分の比はすべて等しく、対応する角もすべて等しい」
これらを前提に説明してみます。

【2組の辺の比が等しく、その間の角が等しければ相似である】の証明
△ABCと△DEFにおいて、AB=k*DE,AC=k*DF,∠A=∠D とします。
△DEFのDEがk倍になるように拡大してできる三角形を△D'E'F'とします。すると
D'E'=k*DE ,D'F'=k*DF ,∠D'=∠D
となります。
初めにあった△ABCと△D'E'F'を比較すると2辺夾角相等で合同となります。
よって、△DEFを拡大して△ABCと合同にすることができたので、2つの図形は相似である
ということになります。

他の相似条件も同様です。

No.6265 - 2009/06/13(Sat) 08:38:55

Re: / ベジータ
そうやってやるのですね。
そうやってやればよいということが思いつきませんでしたが。

そうやってやるというのを思いつくダンディーさんはすごい頭がいいです。

ありがとうございました。

No.6281 - 2009/06/13(Sat) 19:04:27
逆三角関数の微積 / 大1
∫1/(1+x^2)dx=tan^-1(x)なのはいいのですが
∫1/(3+x^2)dx=(1/√3)・tan^-1(x/√3)
となるのはなぜでしょうか??
導き方がわかりません
よろしくお願いします

No.6259 - 2009/06/12(Fri) 23:37:17

Re: 逆三角関数の微積 / 雀
t=x/√3
と置換すると分かりと思います。

No.6260 - 2009/06/12(Fri) 23:42:56
二次方程式 / リン
はじめての投稿です。よろしくお願いします。
高校1年の二次方程式の問題です。答えは分かっているのですが…

問題 xについての方程式2(k−1)x2乗+2(k+3)x+k+6=0の    実数解がただ1つだけであるような定数kの値を求めよ。

(?@)k=0のとき
  ここがわかりませんので教えてください。

(?A)kノット=0のとき
  判別式D/4 =(k+3)2乗−2(k−1)(k+6)
       =k2乗+4k−21
(k+7)(k−3)=0
k=−7,3

答えk=−7,1,3
※(?@)でどのように解けばk=1が導くことが出来るのか教えて
 ください。
 

No.6257 - 2009/06/12(Fri) 21:45:05

Re: 二次方程式 / rtz
それより先に表記を。
・累乗は「 ^ 」
・not equalは「 ≠ 」(=の変換候補に出るはず)

条件も間違えてますが、
k≠1は"2次"方程式である条件です。
k=1なら2次にはなりません。

投稿前に書いた内容を確認しましょう。

No.6258 - 2009/06/12(Fri) 21:50:50
ライプニッツ / みほ
また投稿します。

次の第2次導関数を求めよ。
(1-x^2)^n


たとえば{x^3*e^(3x)}という問題ならば、f(x)=x^3、g
(x)=e^(3x)とおいて微分して求めることができますが、今回はどのように設定すればいいのでしょうか?

解説お願いします。

No.6253 - 2009/06/12(Fri) 14:19:12

Re: ライプニッツ / ヨッシー
上の、fとgのは、積の積分ですね。
 (fg)'=f'g+fg'
というヤツです。で、(1−x2)n は、合成関数の積分
 y=f(u),u=g(x) のとき、
 dy/dx=(dy/du)(du/dx)
これは、公式よりも、やったほうが早いです。
 u=1−x2, y=un
とすると、y=f(u),u=g(x) の形になりますね。
 dy/du=(un)'=nun-1
 du/dx=-2x
なので、
 dy/dx=(-2x)・nun-1
u のままではいけないので、u=1−x2 より、
 dy/dx=-2nx(1−x2)n-1
です。さらにもう一回微分します。今度は、積の微分も
使いますよ。

No.6255 - 2009/06/12(Fri) 15:03:01

ライプニッツ / みほ
理解できました。

わかりやすい解説本当にありがとうございます。


またよろしくお願いします。

No.6266 - 2009/06/13(Sat) 08:53:52
微分 / 沙羅
三次方程式x^3-3x^2-9x-a+3=0
の異なる実数解の個数は、定数aの値によって
どのように変わるか調べよ。


これは
まず微分するんでしょうか??
でもそうしたら
aが消えてしまいます‥‥

宜しくお願いします

No.6247 - 2009/06/11(Thu) 22:36:51

Re: 微分 / BossF
f(x)=x^3-3x^2-9x+3 と y=-a の交点の個数として考えます

y=f(x)の概形はかけますよね?

No.6248 - 2009/06/11(Thu) 23:00:08

Re: 微分 / 雀
横から申し訳ありません。
f(x)=x^3-3x^2-9x+3 と y=a
ですね。

No.6249 - 2009/06/11(Thu) 23:23:27

Re: 微分 / DANDY U
[別解] f(x)=x^3−3x^2−9x−a+3 とおいて微分してもできますよ。

f'(x)=3x^2−6x−9 で f'(x)=0 なるxは 3,−1 であるから
極小値は f(3)=−a−24、極大値は f(-1)=−a+8 となり
(1) f(3)>0 なら解の個数は1個
(2) f(3)=0 なら解の個数は2個
(3) f(3)<0<f(-1) なら解の個数は3個
(4)(5) ・・・

(1)〜(5)のときのaの範囲をだす手間の分だけ、BossFさんの解法のほうがやや楽でしょう。
(式については、雀さんが指摘されたとおりですね)

No.6254 - 2009/06/12(Fri) 14:26:19
大学数学 / xx
f(X)が区間I上の凸関数であるとき?煤ij=1〜n)Tj=1を満たす
任意のT1,T2,・・・,Tn∈(0,1)に対して

f(?煤ij=1〜n)TjXj)<?煤ij=1〜n)Tjf(Xj)
(X1,X2・・・,Xn)∈I

が成り立つことをnに関する数学的帰納法を用いて示せ。

よろしくお願いします。表記がむずかしい..

No.6245 - 2009/06/11(Thu) 21:23:49

Re: 大学数学 / xx
もう一問お願いします。
lim(x→-∞,0,∞の3つについて)〈{(a^x)+(b^x)}/2〉^1/x
極限値を求めよ

No.6246 - 2009/06/11(Thu) 21:42:51
方程式の変形について / ハオ
2^4x(2の4x乗)-4^x+1(4のx+1乗)>0の問題について

2^4x>4^x+1⇔2^4x>2^2x+2 底>0より4x>2x+2⇔x>1

と僕はノートに書いています。ところで方程式の変形において⇔の記号を用いても問題ありませんか?
又、もし問題があるのなら模試等でどの様に記せばよいのかご教授下さい。
代ゼミの模試の模範解答ではα=0.001などの時の電離の式に用いられる矢印が書いてありました。

No.6243 - 2009/06/11(Thu) 21:12:40

Re: 方程式の変形について / ヨッシー
同値変形なら、問題ないと思います。
ですから、上の場合も、OKです。

x=−2 ⇔ x2=4
は、まずいですね。

No.6250 - 2009/06/11(Thu) 23:35:51
よろしくお願いします / みほ
また解説おねがいします!!!


次の関係式よりdy/dxを求めなさい。
(1)x=t√t
y={4√t)+5}t^2


まずx=t√tの式でtを求めて、それをy={4√t)+5}t^2
に代入して求めるんだと思うのですが、うまくtがだせません・・・。
解説お願いします。

No.6236 - 2009/06/11(Thu) 11:15:30

Re: よろしくお願いします / ヨッシー
媒介変数の微分の公式
 dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)
個別にtで微分して、割ります。
あとは、どうtを処理するかです。

>x=t√tの式でtを求めて
の方針でも出来ます。
x=t^(3/2) なので、t=x^(2/3) です。

No.6237 - 2009/06/11(Thu) 11:35:25

(No Subject) / みほ
tを求める方針でやっていきたいと思います。
ありがとうございます!!!

No.6252 - 2009/06/12(Fri) 14:14:41
よろしくお願いします / key
x,y が実数で 2x^2+3xy+2y^2≦7 のとき
z=(x+a)(y+a) (aは正の定数)
の最小値を求めよ。

よろしくお願いします。

No.6229 - 2009/06/10(Wed) 22:41:54

Re: よろしくお願いします / angel
x,yの基本対称式を x+y=p, xy=q とでも置き、p,q の問題にすりかえてしまいましょう。

 x,yが実数 ⇔ p,qが実数、p^2-4q≧0
 2x^2+3xy+2y^2≦7 ⇔ 2p^2-q≦7
 z=q+ap+a^2

前2つの条件から、p,qの範囲を絞り込み、zが最小になるp,qを調べましょう。a の大きさによって場合分けが必要となることに注意してください。( 多分、a=1 が境界 )

No.6231 - 2009/06/10(Wed) 23:06:18

Re: よろしくお願いします / key
早い回答ありがとうございます!
対称式ですか…気がつきませんでした^^;
とてもよくわかりましたありがとうございます!

No.6232 - 2009/06/10(Wed) 23:17:32
高校入試の問題です / rino
次の問題の解き方がわかりません。教えてください。
AD=6cmの長方形ABCDの辺ADを2:1に分ける点をE、線分BEと対角線ACとの交点をFとし、Bから対角線ACに下ろした垂線をBGとする。△BGF∽△BAEであり、辺ABの中点をMとするとき、GMの長さを求めなさい。

No.6228 - 2009/06/10(Wed) 21:54:31

Re: 高校入試の問題です / rino
> 次の問題の解き方がわかりません。教えてください。
> AD=6cmの長方形ABCDの辺ADを2:1に分ける点をE、線分BEと対角線ACとの交点をFとし、Bから対角線ACに下ろした垂線をBGとする。△BGF∽△BAEであり、辺ABの中点をMとするとき、GMの長さを求めなさい。


追伸 答えは4cmらしいのですが、どうしてもわからないのです。

No.6233 - 2009/06/11(Thu) 00:02:08

Re: 高校入試の問題です / ヨッシー
図の●の角度が等しいので、FからABに垂線FHを下ろした
とき、△FHB≡△FGB となり、△EAB戸の相似比より
FH=FG=2.4cm となります。
また、長方形ABCDの面積をSとすると、
△FHB=△FGB=(3/25)S
△AHF=(2/25)S,△BCG=(9/50)S
となり、△FGB:△BCG=2:3 より、
GC=2.4×3/2=3.6(cm)
FA=FC×2/3=4(cm)
より、AC=10cm、
三平方(を使うほどでもありませんが)よりAB=8cm
がわかります。

一方、GからABに下ろした垂線GJの長さは、
 6×(AG/AC)=3.84
また、
 AJ=8×(AG/AC)=5.12
 MJ=AJ−AM=1.12
△GJMにおける三平方の定理より
 GM2=3.842+1.122
  =0.162(242+72)
  =0.162×625=(0.16×25)2
より
 GM=0.16×25=4(cm)

No.6234 - 2009/06/11(Thu) 09:16:20

Re: 高校入試の問題です / angel
蛇足ながら、△AGBは直角三角形のため、斜辺ABの中点Mが外心となります。すなわち、AM=GM=BM=AB/2。
これより、AB=8(cm)が出た時点で、GM=AB/2=4(cm) が分かります。

No.6238 - 2009/06/11(Thu) 12:39:38

Re: 高校入試の問題です / rino
ありがとうございます。幾つか考え方があるのですね。同一円周上にあるとも言えるし、中点連結定理を使って持っていく方法もありますね。ひたすら考えて、意見も読んでやっとわかりました。
No.6256 - 2009/06/12(Fri) 21:15:51
(No Subject) / あやめ

今晩は。またまた不定積分の問題なのですが、
∫x^2+3x-5/x+2 dxを求めよ。
という問題で、分子の次数の方が大きいので分子÷分母で(x+2)(x+1)-7までは出たのですが、これの続きが
x^2+3x-5/x+2=x+1- 7/x+2
となるそうなんですが、右辺は一体どうやって出したのでしょうか?

どなたか宜しくお願いします。

No.6227 - 2009/06/10(Wed) 20:46:30

Re: / angel
x^2+3x-5 = (x+2)(x+1)-7 なので、
(x^2+3x-5)/(x+2)
= ( (x+2)(x+1)-7 )/(x+2)
= (x+2)(x+1)/(x+2) - 7/(x+2)  (∵(A-B)/C=A/C-B/C )
= (x+1) - 7/(x+2)

という部分が焦点でしょうか?
それとも、なぜこの形に直したのか、が問題でしょうか?

No.6230 - 2009/06/10(Wed) 22:57:40
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