ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / ばるぼっさ

式変形をする際、文字で
両辺をかけたり割ったりするとき
０でないことを確認するのはなぜですか？

よく、「両辺にa(≠０）をかけて・・・」
のような回答を目にします。

よろしくお願いします。

No.12225 - 2010/11/17(Wed) 20:12:05

☆ Re: / X

分母が0である分数は定義されていないこと
言い換えれば
0で割るということは定義されていないこと
が理由です。

No.12226 - 2010/11/17(Wed) 21:25:38

☆ Re: / ばるぼっさ

かけるときの場合もお願いします

No.12237 - 2010/11/18(Thu) 22:49:05

☆ Re: / X

質問での「回答」に対する問題の内容が不明のため、例題を
挙げて回答しておきます。
(これで理解できないようであれば、具体的に例題をアップして下さい。)

例題)
方程式
2/x=1 (A)
を解け。
解)
(A)の両辺にxをかけて
x=2
となりますが、分母≠0であることから
(A)の両辺にx(x≠0)をかけて
と書くのが正確です。
(特殊な指定がない限り、()内の注釈は書かなくても
特に支障はありませんが)

No.12238 - 2010/11/19(Fri) 09:18:47

☆ Re: / ast

横からになりますが, X さんとは少し別な言い方で (というか別な文脈を想定して) お答えしておきます.

両辺に0を掛けたり両辺を0で割ったりする操作は, それ以外の数を掛けたり割ったりするよりも「情報が減って損をする」ので, 他とは別に扱います. 情報が減って損をすることがちゃんと分かっていれば, 掛けたり割ったりしてもいいです (いいですが, する意味が無いことのほうが多いです).

情報が減る理由は簡単です. x ≠ y でも x = y でも必ず 0×x = 0×y になるので, せっかく x ≠ y という情報が分かっている場合でも 0 を掛けたあとの式では x ≠ y であることが隠れてしまいます. 割るほうはこの逆で, 0×x = 0×y という式が分かっているだけでは x ≠ y とも x = y とも決められないですから, 0×x = 0×y の両辺を 0 で割って消してしまう操作に意味がありません (0×x = 0×y と x = y との間に論理的なつながりが無いわけです).

No.12239 - 2010/11/19(Fri) 11:55:45

★ 微分可能と連続性 / Kay(高３女子)

関数f(x)の連続について、lim(x→z)f(x)=f(a)を示すことについて質問です。よろしくお願いします。

［問題］
関数f(x)=ax^2 +bx (x≧1), f(x)=x^3 -ax (x<1) について、f(x)がx=1で微分可能となるようにa, bの値を定めよ。

［模範解答］
x=1で微分可能であるためにはx=1で連続でなければならない。
lim(x→1-0)(x^3 -ax)=1-a, f(1)=a+b
lim(x→1)(x^3 -ax)=f(1)=a+bよりa+b=1-a…?@

［質問］
ア．lim(x→1)(x^3 -ax)を求めるのに、左側極限だけを求めていますが、右側極限は示さなくてもいいのですか。もちろん、lim(x→1+0)(x^3 -ax)=a+bとなる訳ですが、a+bは同じなので示す必要がないということですか。それとも他に重要な理由があるのでしょうか。

イ．微分の本来の意味から考えると、定義域から考えてf(x)=x^3 -ax は1を含まない開区間ですから、不適切であると思ったのですが。

ウ．むしろ、閉区間の関数f(x)=ax^2 +bxの方が微分するには適切だと思うのです。

以上について、理由も含めて教えてください。よろしくお願いします。

（以下省略）
ここから下は、x=1の時の右側極限＝左側極限とならなければならないことから、aとbの方程式を導き、それを?Aとし、上記?@と連立させて、a,bを導いているもので、理解できました。ここについて質問はありません。

No.12222 - 2010/11/17(Wed) 00:00:33

☆ Re: 微分可能と連続性 / ヨッシー

ア．
f(x)=x^3 -ax は、ｘ＜１でしか定義されていないので、
　ｘ→１＋０
という近付け方は出来ませんし、もし、ｘ＜１で定義されている関数
（この場合は、f(x)=x^3 -ax）が、ｘ＝１の手前までは、
ある数に収束して、ｘ＝１になった途端に、途方もない方にいったとしても、
それはそれで良いのです。

例えば、
　f(x)＝[x]　（ｘ＜１）
　f(x)＝(x-1)^2　（ｘ≧１)
が、ｘ＝１で微分可能かというような場合、
f(x)＝[x] のｘ→１－０とｘ→１＋０とが
違いますが、ｘ→１－０の方が f(1) に一致すれば良いのです。

イ．ウ．は、適切、不適切というのが、何を指すのか分かりませんが、ア．が解決すれば、少しクリアになるのではないでしょうか？

No.12223 - 2010/11/17(Wed) 06:04:39

☆ Re: 微分可能と連続性 / 七

蛇足かも知れませんが
定義域がすべての実数である場合
> lim(x→1+0)(x^3 -ax)=a+b
ではなく
lim(x→1+0)(x^3 -ax)=1－a
です。
> lim(x→1-0)(x^3 -ax)=1-a, f(1)=a+b
の f(1)=a+b というのは
当然 f(x)=ax^2 +bx (x≧1) を用いており
これが f(x)のx＝1における右側極限です。
これが左側極限 1－a と一致しなければ
f(x)がx＝1で連続とはいえません。

No.12224 - 2010/11/17(Wed) 14:24:59

☆ Re: 微分可能と連続性 / Kay(高３女子)

ヨッシーさん、七さんへ
お礼が遅れてしまいすみません。
ちゃんと読んで、理解しました。
これからもよろしくお願いします。

No.12320 - 2010/11/28(Sun) 13:59:44

★ 軌跡の問題の変数の変換 / りお

軌跡の問題で添付のようにX、Yを最後にさらっとx,yに変換する解答があるのですが、これをして良い理由がわかりません。
X,Yで出てきた不等式を図示するには、XY平面が必要ですよね。それはx+y軸とxy軸であって、x,y軸ではないのではないかと思います。よろしくお願い致します。

No.12217 - 2010/11/15(Mon) 19:10:26

☆ Re: 軌跡の問題の変数の変換 / rtz

いえ、XY平面という認識で構いませんよ。
なぜなら、
この領域は(X,Y)＝(x+y,xy)が動きうる領域ですから、
元の(x,y)とは違うものです。
元のxy座標上に(x+y,xy)を表す点はおけませんね。

X,Yで表された関係式なら、グラフをXY平面で描きますし、
a,bで表された関係式なら、グラフをab平面で描きますし、
当然x,yで表された関係式なら、グラフをxy平面で描きます。
戻した理由は「普段見慣れている文字」に直すためでしょう。
勿論、元のx,yとは違うので、混乱のもとだといえばそうなのですが、
XYでグラフを描け、というだけで戸惑う人もいます。
そういう人達への配慮ではないでしょうか。

No.12219 - 2010/11/15(Mon) 19:46:06

☆ Re: 軌跡の問題の変数の変換 / りお

ありがとうございました。疑問が解消されました。

No.12220 - 2010/11/15(Mon) 21:28:06

★ 漸化式… / 長束

ｐを正の整数とし、２次方程式ｘ＾－ｐｘ－1＝0の２つの解をα、βとする。数列{a[n]}を a[n]＝a＾(n-1)＋ｂ＾(n-1)（ｎ＝１，２，３，…）によって定める。

(1)すべての正の整数ｎに対し、a[n＋2]＝ｐa[n＋1]＋a[n]が成り立つことを示せ。
(2)すべての正の整数ｎに対し、a[n]は正の整数であることを示せ。
(3)ｐが奇数であるとき、すべての正の整数ｎに対し、a[n]とa[n＋1]の最大公約数は１であることを示せ。

(1)、(2)は解けたのですが…(3)が、どうしても解けません。宜しくお願いします。高2です。

No.12215 - 2010/11/14(Sun) 22:00:22

☆ Re: 漸化式… / angel

(3)直接示すのは難しそうなので、やはり帰納法に持っていくのだと考えられます。
a[1],a[2]については、何とかするとして。

n=k⇒n=k+1 の推移に対しては、(1)で出てきた3項間漸化式で。
背理法を使います。
a[k+1]とa[k+2]に2以上の最大公約数gがあるとすれば、a[k]もgの倍数であることを示し、矛盾に導くことになるでしょう。

No.12216 - 2010/11/14(Sun) 23:15:42

☆ Re: 漸化式… / 長束

解けました！
ありがとうございました。

No.12221 - 2010/11/15(Mon) 21:55:23

★ (No Subject) / isumaru

壁に密度一定で質量Ｍ長さｌの棒を立てかける。壁にはしし摩擦力μ２、床には静止摩擦係数μ１で摩擦があるとすると、ずり落ちずに棒が立てかけられるために満たすべき角度の条件を求めよ。ただし、重力加速度はｇとし、棒は紙面に垂直方向には倒れないとする。

棒に働く力は、床に垂直に垂直抗力Ｎ１，壁が左側にあるとして、左側に床からの摩擦力ｆ１、棒の中心に重力Ｍｇ、壁に垂直に垂直抗力Ｎ２，上向きに壁からうける摩擦力ｆ２までは分かりましたが、この後どうしたら求まるのかが分かりません。よろしくお願いします。

No.12211 - 2010/11/14(Sun) 11:00:50

☆ 適切な件名をお付け下さい。 / のぼりん

こんにちは。
床と棒のなす角度を θ、床からの垂直抗力をＮ_１、床からの摩擦力をｆ_１、壁からの垂直抗力をＮ_２、壁からの摩擦力をｆ_２とおきます。垂直、水平向きの力の釣合いから、
　　Ｍｇ＝Ｎ_１＋ｆ_２、　ｆ_１＝Ｎ_２
です。床と棒の接点の周りのモーメントの釣合いから、
　　Ｎ_２ｌｓｉｎθ＋ｆ_２ｌｃｏｓθ＝Ｍｇｌ/２･ｃｏｓθ
です。摩擦の条件から、
　　０≦ｆ_ｊ≦μ_ｊＮ_ｊ　（ｊ＝１，２）
です。Ｎ_１、Ｎ_２を消去して整理し、（ｆ_１，ｆ_２）平面において、直線
　　　ｆ_２＝－ｆ_１ｔａｎθ＋Ｍｇ/２
が、領域
　　　０≦ｆ_２≦μ_２ｆ_１、　０≦ｆ_２≦Ｍｇ/２－ｆ_１/μ_１
を通るためのθに関する必要十分条件を求めます。

No.12213 - 2010/11/14(Sun) 15:10:06

☆ Re: / isumaru

こんな解法だなんて予想だにしてませんでした＾＾；
座標を使うなんて数学みたいですね。答えを出してみます。
ありがとうございます。

No.12214 - 2010/11/14(Sun) 20:30:06

★ 群数列 / ゆり

奇数の列を、次のように1個、2個、3個、・・・の群にわける。
{1}、　{3,5}、{7,9,11}、・・・
第1群、第2群、第3群、　・・・

（１）ｎ≧2のとき、第ｎ群の最初の奇数をｎの式で表せ。
（２）第15群に入るすべての奇数の和を求めよ。

よろしくお願いします。

No.12204 - 2010/11/13(Sat) 13:44:20

☆ Re: 群数列 / らすかる

(1)
第n-1群までの項数の合計は 1+2+3+…+(n-1)=○ だから
第n群の最初の奇数は ○×2+1

(2)
(1)を使うと第15群の最初の奇数は□だから
第15群の奇数の和は初項□、公差2、項数15の等差数列の和

No.12205 - 2010/11/13(Sat) 14:34:29

☆ Re: 群数列 / ゆり

ありがとうございました！

No.12206 - 2010/11/13(Sat) 16:31:13

★ 数ヲリ / seiya

39*37+41*82+43*80+45*39
上手い計算方法教えて下さい。
お願いいたしまする。

No.12193 - 2010/11/12(Fri) 22:54:34

☆ Re: 数ヲリ / ctrlz

共通因数でくくる
39*37+41*82+43*80+45*39
=39(37+45)+41*82+43*80
=39*82+41*82+43*80
=82(39+41)+43*80
=…

No.12195 - 2010/11/12(Fri) 23:09:16

☆ Re: 数ヲリ / らすかる

40=t とおくと
39*37+41*82+43*80+45*39
=(t-1)(t-3)+(t+1)(2t+2)+(t+3)(2t)+(t+5)(t-1)
=t^2-4t+3+2t^2+4t+2+2t^2+6t+t^2+4t-5
=(6t+10)t
=250*40
=10000

No.12197 - 2010/11/13(Sat) 01:00:21

☆ Re: 数ヲリ / seiya

気づきませんでした。ありがとうございました。

No.12200 - 2010/11/13(Sat) 08:51:42

★ 積分 / riki

関数f(x)が等式f(x)=x^2-x∫<0～1>f(t)dt+2∫<1～x>f'(t)dtを満たすとき
(1)f(x)は2次関数であることを示せ。
(2)f(x)を求めよ。

(1)は、
∫<0～1>f(t)dt=k(kは定数）とおくと
f(x)=x^2-kx+2∫<1～x>f'(t)dt
また
∫<1～x>f'(t)dt=f(x)-f(1)
f(x)=x^2-kx+2{f(x)-f(1)}
と解いていったのですが、これからどうすれば良いか
分かりません…

(2)も同様に分からないので、教えて頂けないでしょうか。
宜しくお願い致します。

No.12190 - 2010/11/12(Fri) 22:04:22

☆ Re: 積分 / angel

(1)
> f(x)=x^2-kx+2{f(x)-f(1)}
> と解いていったのですが、これからどうすれば良いか分かりません…

ついでに、f(1)=h ( hは定数 ) と置いてしまいますか。
　f(x)=x^2-kx+2(f(x)-h)
　f(x)=2f(x)+x^2-kx-2h
よって、f(x)=… ということで、2次関数であることが分かります。

(2)
後は、∫[0,1]f(t)dt=k と、f(1)=h から k,h を確定させましょう。

No.12191 - 2010/11/12(Fri) 22:18:07

☆ Re: 積分 / ctrlz

f(x)=x^2-kx+2{f(x)-f(1)}から
f(x)=-x^2+kx+2f(1)

与式にｘ＝１を代入して、
f(1)=1-k
∴f(x)=-x^2+kx+2(1-k)■
(2)
∫<0～1>f(t)dt=k　より
-1/3+(1/2)k+2(1-k)=k
∴k=2/3

No.12194 - 2010/11/12(Fri) 23:01:18

☆ Re: 積分 / riki

お二人ともありがとうございます！
質問なのですが、
f(x)=x^2-kx+2(f(x)-h)
f(x)=2f(x)+x^2-kx-2h

この間に、f(x)が消えているのはなぜなのですか？；

No.12196 - 2010/11/12(Fri) 23:24:47

☆ Re: 積分 / らすかる

移動しただけで、消えていませんが…

No.12198 - 2010/11/13(Sat) 01:02:48

☆ Re: 積分 / riki

すいません；間違えました…
ctrlzさんの、
f(x)=x^2-kx+2{f(x)-f(1)}から
f(x)=-x^2+kx+2f(1)
の方です。

No.12201 - 2010/11/13(Sat) 13:16:11

☆ Re: 積分 / らすかる

f(x)=x^2-kx+2{f(x)-f(1)}
f(x)=x^2-kx+2f(x)-2f(1)
両辺から2f(x)を引いて
-f(x)=x^2-kx-2f(1)
両辺に-1を掛けて
f(x)=-x^2+kx+2f(1)

No.12202 - 2010/11/13(Sat) 13:31:06

☆ Re: 積分 / riki

両辺から2f(x)を引いているのですね！
教えて頂きありがとうございました!!

No.12203 - 2010/11/13(Sat) 13:43:14

★ 場合の数と確率 / みー

問題と解答は画像のとおりです。
わからない部分は、オレンジの下線部なのですが、
２か所とも同じ内容です。
どう考えてこのCを使った式になるのかが
わからないのです。
よろしくお願い致します。

No.12189 - 2010/11/12(Fri) 21:53:57

☆ Re: 場合の数と確率 / angel

1箇所目の 5C1=5 については、BAAAB という塊Ｌと、残り4個のAを並べた場合の並べ方を数える式になっています。
実際並べてみると、
　ＬAAAA, AＬAAA, AAＬAA, AAAＬA, AAAAＬ
と確かに5通りで。
5文字分のうち、Ｌの入る箇所を1箇所選べば、残りは全てAと確定し並び方が決まってしまうため、組み合わせCが使われるのです。
逆に、5文字分のうちAの入る4箇所を選ぶ、5C4としても同じことです。

2箇所目も同じ事。
1箇所目は、ＬとAがあわせて5文字でしたが、今度はあわせて(8-n)文字になっているため、(8-n)C1 という計算になっています。

No.12192 - 2010/11/12(Fri) 22:24:11

☆ Re: 場合の数と確率 / みー

なるほど!!
そういう意味だったんですね。
とてもすっきり理解することができました。
ありがとうございました。

No.12199 - 2010/11/13(Sat) 08:10:45

★ (No Subject) / zy

重心と外心が一致する三角形は正三角形であることを示せ。

どうすればいいんでしょうか？

No.12185 - 2010/11/12(Fri) 20:15:01

☆ Re: / ToDa

さしたる工夫もしていませんが、とりあえず…

A(1,0),B(-1,0),C(s,t)とでもして、外心と重心の座標が一致するという条件から考えてみるのはどうでしょう。

No.12187 - 2010/11/12(Fri) 21:27:41

☆ Re: / rtz

各辺に対して、
中線と垂直二等分線が一致するから二等辺三角形である
ことを言うとかでも。

No.12188 - 2010/11/12(Fri) 21:52:46

☆ Re: / 板橋

rtzさんの方針で解くのならば・・・

仮定より、重心と外心が一致するので、その一致する点をOとおき、AB,BC,CAの中点をそれぞれ、L,M,Nとおく。
(?@)Oは外心であるので、辺ABの垂直二等分線上にある。また、重心でもあるので、線分CLの上にある。つまり、CLは線分ABの垂直二等分線である。
従って、?僊CL≡?傳CL　∴AC=BC

(?A)Oは外心であるので、線分BCの垂直二等分線上にある。また、重心でもあるので、線分AMの上にある。つまりAMは線分BCの垂直二等分線である。従って、?僊BM≡?僊CM
∴AB=AC
(?@),(?A)より、AB=BC=CAであるので、?僊BCは正三角形である。

No.12207 - 2010/11/13(Sat) 18:34:38

☆ Re: / zy

幾何的なアプローチが分かりやすいですね。
>all ありがとうございました。

No.12209 - 2010/11/14(Sun) 02:23:31

★ (No Subject) / ジョズ

A(n+2)-3A(n+1)-4A(n)=0(n≧０）A0=1,A1=3を解いたら
A(n+2)+A(n+1)=4(A(n+1)+A(n))=・・・＝4^(n+1)(A1+A0)=4^(n+2)（n≧０）・・?@

A(n+2)-4A(n+1)=-(A(n+1)-4A(n))=・・・＝（-1)^(n+1)(A1-4A0)=(-1)^(n+2)（ｎ≧０）・・?A

?@はn≧０、?Aはｎ≧０で、?@かつ?Aより、ｎ≧０のもとで
A(n+1)={4^(n+2)-(-1)^(n+2)}/5(ｎ≧０）
よって
A(n)={4^(n+1)-(-1)^(n+1)}/5（ｎ≧１）
ｎ＝０のときも成り立つので
A(n)={4^(n+1)-(-1)^(n+1)}/5（ｎ≧０）

となるので、ｎ＝０が成り立つかどうかの確認がやはり必要ですか？

No.12182 - 2010/11/12(Fri) 11:07:14

☆ Re: / らすかる

n=0で成り立つかどうかの確認は必要です。
問題によって、n=0の場合は成り立たないこともあります。

No.12183 - 2010/11/12(Fri) 12:00:26

☆ Re: / ジョズ

訂正しておきました。

No.12184 - 2010/11/12(Fri) 18:45:28

★ (No Subject) / 雄大

以前合同式で
ga≡gb（modgn）
⇔a≡b（modn）

が成り立つ、とここでお世話になったのですが

6y≡-8(mod16)
⇔ｙ≡-4（mod8)という変形を目にしました。

これってどういうことなんでしょうか。。
本来なら
両辺、modを２で割って
３ｙ≡-4(mod8)ですよね・・・

誰か教えて下さい。よろしくお願いします

No.12179 - 2010/11/11(Thu) 22:38:33

☆ Re: / angel

まず、
　6y≡-8 ( mod 16 ) ⇔ 3y≡-4 ( mod 8 )
はその通りです。

そして更に続きがあるのです。以下 mod 8 は省略しますが、
　3y≡-4 ⇒ 3・3y≡3・(-4) ⇒ 8y+y≡-8-4 ⇒ y≡-4
　y≡-4 ⇒ 3・y≡3・(-4) ⇒ 3y=-8-4 ⇒ 3y≡-4
そのため、
　3y≡-4 ⇔ y≡-4

ということで、
　6y≡-8 ( mod 16 ) ⇔ 3y≡-4 ( mod 8 ) ⇔ y≡-4 ( mod 8 )

No.12181 - 2010/11/11(Thu) 23:43:44

★ (No Subject) / マルコー

無限に深い井戸型ポテンシャル中の電子の定常状態（ｎ＝１，２，３）のエネルギーＥ１，Ｅ２，Ｅ３は其々何eVか？井戸の幅が１．００nmの場合について計算せよ。ただし、電子の質量は9.11×１０＾（－３１）ｋｇである。

井戸の幅が１．００nmの場合について、電子がｎ＝３の状態からｎ＝２の状態へ遷移するときに放射される光の波長λを求めよ。また、放射される光は可視光か？

この問題を解くためのヒント、答え、参考、定理など何でもいいので教えて下さい。

No.12175 - 2010/11/11(Thu) 20:59:08

☆ Re: / のぼりん

こんにちは。
「井戸の幅」ということは、一次元で考えると言うことでしょうか。そう解して回答します。

井戸の幅をＬとすると、ポテンシャルは、
　　Ｖ（ｘ）＝０　（｜ｘ｜≦Ｌ/２），＝∞（｜ｘ｜＞Ｌ/２）
です。ポテンシャルが時間によらないので、時間発展を考える必要がありません。電子の質量をｍ、波動関数をｕ＝ｕ（ｘ）と書くと、シュレーディンガー方程式は、
　　ｕ”＝－２ｍ/ħ･｛Ｅ－Ｖ（ｘ）｝ｕ
です。簡単のため、ｋ＝√（２ｍＥ）/ħ とおくと、｜ｘ｜≦Ｌ/２では、ｕ”＝－ｋ^２ｕです。これを解いて、
　　　ｕ＝Ａｃｏｓ（ｋｘ）＋Ｂｓｉｎ（ｋｘ）（Ａ、Ｂは定数）
です。境界条件ｕ（±Ｌ/２）＝０を満たすから、
　　Ａｃｏｓ（ｋＬ/２）±Ｂｓｉｎ（ｋＬ/２）＝０
です。詳細は、教科書等をお読みいただくとして、これから、
　　ｋ＝ｎπ/Ｌ、ｎ＝１，２，３，…
　　Ｅ_ｎ＝（ｋħ）^２/（２ｍ）＝（ｎπħ）^２/（２ｍＬ^２）
となります。

波長の方は、振動数を ν とすると、
　　　Ｅ_３－Ｅ_２＝ｈν
であることから、求められます。

No.12212 - 2010/11/14(Sun) 13:58:52

★ 三角関数の式の証明 / 高1ｱﾒﾌﾄ

次の等式を証明せよ。(ただし、証明方法は左辺のみを分解して右辺を導く、のみに限る)

I){tanx/(1+secx)}+{(1+secx)/tanx}=2*cscx
II)(tanx)^2-(sinx)^2=(tanx)^2*(sinx)^2

※secx=1/cosx, cscx=1/sinx
ﾜｹがわかりません。どなたか教えてください。

No.12173 - 2010/11/11(Thu) 19:52:28

☆ Re: 三角関数の式の証明 / X

I)
secx=1/cosx, cscx=1/sinx
ですので問題の等式は
{tanx/(1+1/cosx)}+{(1+1/cosx)/tanx}=2/sinx
と等価ですのでこの等式を証明します。
tanx=sinx/cosx (A)
であることを使うと
(左辺)=…

II)
これも考え方はI)と同じです。
(A)を使うと問題の等式は
(sinx/cosx)^2-(sinx)^2=(sinx/cosx)^2*(sinx)^2 (B)
と等価ですので(B)を証明しましょう。

注)
I)II)共に証明途中で更に
(sinx)^2+(cosx)^2=1
であることも使います。

No.12176 - 2010/11/11(Thu) 21:01:50

☆ Re: 三角関数の式の証明 / 板橋

(1)左辺=tanx/(1+1/cosx)+(1+1/cosx)/tanx
={(tanx)^2+(1+1/cosx)^2}/{tanx*(1+1/cosx)}
ここで、1+(tanx)^2=(1/cosx)^2であるので、
={(1+1/cosx)*2/cosx}/{tanx*(1+1/cosx)}
=2/sinx

(2)(tanx)^2-(sinx)^2=(tanx+sinx)(tanx-sinx)
={(sinx+sinx*cosx)/cosx}*{(sinx-sinxcosx)/cosx}=(sinx)^2(1+cosx)(1-cosx)/(cosx)^2
(tanx)^2*(sinx)^2

No.12177 - 2010/11/11(Thu) 21:19:51

☆ Re: 三角関数の式の証明 / 板橋

失礼致しました。Xさんが先に解答なさっていました。

No.12178 - 2010/11/11(Thu) 21:21:09

★ (No Subject) / ユキ

2b(n+2)-b(n+1)-b(n)=0
という3項間漸化式のb(n)を求めたいのですが、

この式をx^2-x-1=0として、x=-1/2,1 となりました。
そして、(α,β)=(-1/2,1),(1,-1/2)として、
場合分けをして出たものを連立方程式として解く、
というのは分かるのですが、途中でよく分からなく
なってしまいます。
すみませんが、宜しくお願いします。

No.12172 - 2010/11/11(Thu) 19:27:06

☆ Re: / X

場合分けは必要ありません。
問題の３項間漸化式の特性根をα、βとすると
b[n]はα、βについての対称式になります。
(証明は省略します)
従ってα、βの値の対応を逆にしても、得られるb[n]は
同じですので、
(α,β)=(-1/2,1),(1,-1/2)
いずれかの場合のみで漸化式を解けば問題ありません。

No.12174 - 2010/11/11(Thu) 20:38:39

☆ Re: / ユキ

そうなのですね！
迅速に答えて頂き、ありがとうございます＾＾

No.12180 - 2010/11/11(Thu) 22:54:14

★ 無限級数の収束・発散 / Kay(高３女子)

２つ質問があります。よろしくお願いします。

１．部分和が奇数項までと偶数までで異なる場合の表現の仕
　　方について教えてください。

［問題］次の無限級数の収束・発散を調べ、収束するもの
　　　　は、その和を求めよ。
1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)+……

［模範解答］
　　　　n=2m-1のとき
　　　　Ｓ2m-1=1+{-(1/2)+(1/2)}+{-(1/3)+(1/3)}+…
　　　　　　　　…+{-(1/m)+(1/m)}=1

質問です。
この時、部分和の末尾の部分は
…+[{-{1/(2m-1)}+{1/(2m-1)}]
のようにはなりませんか。

また、なぜ末項の分母が m となるのですか。もしこれが n ならば、第n部分和の末項がnであるという本来の意味から考えてまだ理解しやすいと思うのですが。

同様に、
［模範解答］で、
　　　　　　n-2m のとき
　　　　　　Ｓ2m={1-(1/2)}+{(1/2)}-(1/3)}+…
　　　　　　　　…+[(1/m)+{1/(m+1)}]
ですが、これも部分和の末尾は、
…+{1/(n-1)-(1/n)}
とはならないでしょうか。

２．Σ(n=1→∞){2/n(n+1)(n+2)}ですが、
2/n(n+1)(n+2)=1/n(n+1)-{1/(n+1)(n+2)}
と部分分数に分解しているのですが、その変形の仕方が分かりません。汎用的な変形の仕方があるのでしょうか。

よろしくお願いします。

No.12161 - 2010/11/09(Tue) 23:47:35

☆ Re: 無限級数の収束・発散 / angel

1.
n,mに具体的な数値をあてはめて考えることです。
小さな数値で構いませんから。

ここで出てくる n は、+, - ひっくるめた項の総数です。
なので、
　S[1]=1
　S[2]=1-1/2
　S[3]=1-1/2+1/2
　S[4]=1-1/2+1/2-1/3
　…
ということで、S[2m-1]=…-1/(2m-1)+1/(2m+1)とはなりません。2項毎に分母が1増えていくので、mとnの増えるペースは違うのです。

No.12162 - 2010/11/09(Tue) 23:56:27

☆ Re: 無限級数の収束・発散 / angel

2.
> 汎用的な変形の仕方があるのでしょうか。

これはもう、こういうものだと思ってください。

1/n(n+1) = 1/n-1/(n+1)
1/n(n+1)(n+2) = 1/2・( 1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2) )
1/n(n+1)(n+2)(n+3) = 1/3・( 1/n(n+1)(n+2)-1/(n+1)(n+2)(n+3) )
…

といったように、こういった形は、数列の隣り合う項の差の形に置き換えることができるのです。

分数でなくとも似たようなもの。

n(n+1)=1/3・( -(n-1)n(n+1)+n(n+1)(n+2) )
n(n+1)(n+2)=1/4・( -(n-1)n(n+1)(n+2)+n(n+1)(n+2)(n+3) )
…
※なので、例えば
　1・2+2・3+3・4+…+9・10
　=1/3・( -0・1・2+1・2・3-1・2・3+2・3・4+…-8・9・10+9・10・11 )
　=1/3・( -0・1・2 + 9・10・11 )

No.12163 - 2010/11/10(Wed) 00:10:42

☆ Re: 無限級数の収束・発散 / Kay(高３女子)

angel様
早速ありがとうございます！遅い時刻まですみませんでした。今後ともよろしくお願いいたします。

No.12166 - 2010/11/10(Wed) 21:49:43

★ 小6です・・・ / ぜっとん

　　　方程式を立てて答えなさい。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
Ｐ町からＱ町まで、自動車で毎時60?qの速さで行くと、毎時40?qの速さで行くより30分速く着くという。Ｐ町からＱ町までの道のりは何?qか。また、毎時40?qの速さで行ったときは、何分かかるか。

よろしくお願いします。

No.12155 - 2010/11/08(Mon) 23:15:25

☆ Re: 小6です・・・ / roro

方程式ですね？

その１
Ｐ町からＱ町までの道のりを、x【?q】とすると
　毎時60?qの速さで行くときの時間が、x/60【時】
　毎時40?qの速さで行くときの時間が、x/40【時】
　※30分早くつくということは、30分{1/2時間}少ないということなので
　★(x/60)＝(x/40)－(1/2)
　　　これを解いて、x＝60
　Ｐ町からＱ町までの道のりが、60【?q】で、
　毎時40?qの速さで行くときの時間が、60/40＝3/2【時】つまり90【分】

その２
毎時40?qの速さで行くときの時間を、x【分】とすると
毎時60?qの速さで行くときの時間が、(x－30)【分】
　x【分】→x/60【時】，(x－30)【分】→(x－30)/60【時】から
　※道のりが等しいことから
　★40＊(x/60)＝60＊{(x－30)/60}
　　これを解いて、x＝90
　毎時40?qの速さで行くときの時間が、90【分】で
　Ｐ町からＱ町までの道のりが、40＊(90/60)＝60【km】

No.12157 - 2010/11/09(Tue) 00:26:15

☆ Re: 小6です・・・ / ぜっとん

「＊」これって何のマークですか？「かける」かなぁ。

　方程式が分かってきました。ありがとうございました。

No.12158 - 2010/11/09(Tue) 16:58:45

☆ Re: 小6です・・・ / roro

「＊」は「かける」です。
説明不足でしたね。＾＾；すみません。
理解力に助けられたようです。

No.12160 - 2010/11/09(Tue) 23:30:40

☆ Re: 小6です・・・ / ぜっとん

どうもありがとううございました。
かっこいいから、僕も使ってみます。

No.12164 - 2010/11/10(Wed) 00:15:12

☆ Re: 小6です・・・ / ヨッシー

使うのは、ネット上だけにして、学校のテストなどでは
使わないのが無難ですよ。

No.12165 - 2010/11/10(Wed) 06:11:36

★ (No Subject) / レッド

中３です。　この問題が分からなくて困っています。

校舎の高さＰＨ
　　　
　　　校舎の壁の下端Ｈから適当に離れた地点Ａを決め、
　　　そこから点Ｐを見上げた角∠ＣＢＰの大きさと、
　　　ＡＨの長さを測る。
　　　これをもとにして、直角三角形ＰＢＣの縮図を
　　　かき、ＰＣの長さを求めて、それに、目の高さ
　　　ＡＢをたせばよい。

　　　
　　問題
　　　上の問題で、
　　　　　　　ＡＨ＝１４ｍ
　　　　　　　∠ＣＢＰ＝３０°
　　　　　　　ＡＢ＝１．５ｍ
　　　　　　であるとき、２００分の１の縮図を
　　　　　　かいて、高さＰＨを求めなさい。

　　　よろしくお願いします。

No.12153 - 2010/11/08(Mon) 21:40:52

☆ Re: / roro

「上の問題で、
　ＡＨ＝14ｍ
　∠ＣＢＰ＝30°
　ＡＢ＝1.5ｍ
　　　であるとき、
　200分の1の縮図を描いて･･･」

描きましたか？
描いたなら、
　ＰＨの長さを測って
　200倍をする
これをしなさい」

という問題です。

No.12156 - 2010/11/09(Tue) 00:05:54