x,y平面上に原点中心で半径3の円Cと直線L：y=2x+6 がある。A(-3,0)とする。
(1)CとLのA以外の交点をBとする。
半径が3√2でA、Bを通る円Dの中心の座標を求めよ。
ただし円Dの中心は直線Lに関して原点と反対側にある。
(2)円D上に点Pをとる。
三角形ABPの面積が54/5になるような点Pの座標
(1)から撃沈･･･
2円の交点と他の一点を通る円ならわかるのですが、2点と半径が与えられているこの問題がわかりません。
(2)もあわせてご教授願います。
テストがもうすぐなので早く解答解説をいただけると助かります。
よろしくお願いいたします。
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No.10284 - 2010/05/13(Thu) 00:58:25
| ☆ Re: / X | | | (1)
題意からCの方程式は
x^2+y^2=9 (A)
これとLの方程式を連立して解いて点Bの座標を
まず求めます。
次に求める円Dの中心の座標を(u,v)とでも置き、
点A,Bとの間の距離が3√2となることから
u,vについての連立方程式を立てます。
(別解)
>>2円の交点と他の一点を通る円
の方程式を使う方針と同類の方針を使いたいのであれば
次の方針があります。
(但し、この問題では(2)でBの座標が必要になりますので
この方針で解くことはお勧めしません。)
題意からCの方程式は
x^2+y^2=9 (A)
∴(A)とLの交点を通る円Dの方程式は
x^2+y^2-9+k(2x-y+6)=0 (B)
と置くことができます(必要条件)。
(B)より
(x+k)^2+(y-k/2)^2=(5/4)k^2-6k+9 (B)'
(B)'の半径が3√2ですので
(5/4)k^2-6k+9=(3√2)^2
これより
(5/4)k^2-6k-9=0
5k^2-24k-36=0
(5k-6)(k+6)=0
ここで円Dの中心はLに関して原点と反対側にありますので
(B)'の中心のx座標に注目すると、少なくとも
k<0
∴k=-6
よって(B)'より求める中心の座標は
D(-6,3)
(2)
P(x,y)と置くと、まず点Pは円D上にあるので(1)の結果により
(x+6)^2+(y-3)^2=18 (C)
次に△ABPにおいて辺ABを底辺と見たときの高さをhとすると
点と直線との間の距離の公式により
h=… (D)
又(1)の過程によりBの座標は求められていますので
AB=… (E)
更に△ABPの面積は54/5ですので
(1/2)AB・h=54/5 (F)
(D)(E)(F)よりx,yについての方程式ができますので
これと(C)とを連立して解き、(x,y)を求めます。
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No.10288 - 2010/05/13(Thu) 11:30:41 |
| ☆ Re: / X | | | もっちさん、まだ見ていますか？。
ごめんなさい。(2)ですが方針だけ示して解答が存在するか
チェックしていませんでした。
(2)ですが問題文は正しいでしょうか？
題意の条件の場合、三角形ABPの面積は54/5にはなりえません。
∵)
円Dから直線Lに落とした垂線の長さをlとすると
点と直線の間の距離の公式により
l=|2・(-6)-3+6|/√(2^2+1^2)=9/√5
一方(1)の過程によりB(-9/5,12/5)
∴AB=(6/5)√5
∴円Dの半径をr、△ABPの面積の最大値をSとすると
S=(1/2)AB(r+l)=(1/2){(6/5)√5}(3√2+9/√5)
=54/10+(6/10)√10
∴S-54/5=-54/10+(6/10)√10＜0
ですので
S＜54/5
となり、円D上でどのように点Pを取っても△ABPの面積は
54/5とはなりえません。
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No.10292 - 2010/05/14(Fri) 17:41:48 |
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