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お願いします。 / レッド
因数分解の問題ですが、問1の問題で分からない問題があります。問題は、
(2)の 4ax−2a
(3)の 8a²b−4b²
(4)の ax+bx+cx が、
どうしても解けなくて、困っています。
解説をお願いします。

No.10170 - 2010/04/29(Thu) 21:34:29

Re: お願いします。 / ヨッシー
因数分解の基本は、分配法則
 ab+ac=a(b+c)
です。つまり、共通の数および文字でくくることです。

3ab+6ac なら 共通因数は a と考えて、
a(3b+6c) でも因数分解したことになりますが、
係数も考慮して、3a(b+2c) とした方が良いです。

No.10171 - 2010/04/29(Thu) 21:57:49

(No Subject) / レッド
ありがとうございました。
また、よろしくお願いします。

No.10172 - 2010/04/30(Fri) 05:56:51
宜しくお願いします。 / ikuminori
1)z=(sqrt(5)+1)/2とする(z^n-(-z)^-n)/sqrt(5)をn=1,2,…,12について計算せよ。また,結果の規則性を述べよ。
(2)[x]とはx以上の最小の整数を表すものとする。このとき[(e)^n-2]をn=1,2,…,12について計算し,(1)の結果と比べよ。
上記の問題なんですが,maximaを使って,n=1,2,…,と当てはめてみたのですが,規則性が見えてきません。
どなたか分かる方教えてください。

No.10168 - 2010/04/29(Thu) 19:58:45

Re: 宜しくお願いします。 / mk
wikipediaで[フィボナッチ数]と調べてみてください。

解答になってませんが力になれれば幸いです。

No.10169 - 2010/04/29(Thu) 21:15:51
単位元の存在 / こんこる
初歩的な質問で申し訳ありません。
単位元の存在を数学記号で書くと、
A: ∀x∈X ∃e∈X s.t.xe=ex=x
B: ∃e∈X s.t.∀x∈X xe=ex=x
AかBなのかすごく悩んでます。
いろいろな参考書を読むと、すべてBの意味で書いてあると思うのですが・・・・・。
教えてください。

No.10164 - 2010/04/24(Sat) 21:16:12

Re: 単位元の存在 / らすかる
Aだと、xによってeが違っても良いことになってしまいますね。
No.10165 - 2010/04/24(Sat) 23:12:21

Re: 単位元の存在 / こんこる
らすかるさん ありがとうございます。
やっぱりBでOKですよね。スッキリしました。
親切にありがとうございました。

No.10167 - 2010/04/25(Sun) 00:45:53
大学の数学 / ぽんた
次の問題がわかりません。全部当たり前じゃんってツッコミたくなります。お教えください

A,BはRの空でない部分集合とする
(1)A⊂Bであるとする。次の(イ)(ロ)が成り立つこと   を示せ。
 (イ)Bが下に有界であるとき、Aも下に有界であって、     infB≦infAが成り立つ。
 (ロ)Bが上に有界であるとき、Aも上に有界であって、     supA≦supBが成り立つ。
(2)A,Bは下に有界であるとする。このとき、A∪Bも下に有   界であって、inf(A∪B)=min{infA,infB}であること   を示せ
(3)A,Bは上に有界であるとする。このとき、A∪Bも上に有   界であって、sup(A∪B)=max{supA,supB}であること   を示せ。

No.10163 - 2010/04/24(Sat) 10:20:27
流水算 / ゆき
次の問題がよくわかりません。2つの船の静水時での速さがちがう場合はどうしたらいいのでしょうか?教えてください。

静水での速さが時速20?qの船Xと、時速24?qの船Yがあります。船Xで川上のA町から川下のB町まで下ると3時間かかりました。船YでB町からA町まで上ると3時間36分かかりました。この川の流れの速さは時速何?qですか。

No.10156 - 2010/04/22(Thu) 21:30:08

Re: 流水算 / ヨッシー
まずかかった時間の比を簡単にしておくと
 180分:216分=5:6
よって、時速20km に川の流れの速さを加えた速さと、
時速24km から川の流れの速さを引いた速さの比が
時間の逆比の 6:5 となります。

それを図で表すと、図のようになります。
Xの部分が、川の流れの速さです。



両方の図のXの部分が重なるように並べると(下の図)、
全体の長さは、20+24=44(km) であり、?D+?E=?J
となり、?@=4km となります。
よって、?E=24km となり、Xの部分は、4kmとなります。

No.10157 - 2010/04/22(Thu) 23:31:15

Re: 流水算 / ゆき
ありがとうございます。図があったので、よくわかりました。
No.10166 - 2010/04/25(Sun) 00:08:28
(No Subject) / soraria
x^2+y^2+z^2=1のときN=(x+y+z)(x+y+z-1)の最大値とそのときのx、y、zを求めなさい。

という問題で、答えはx=y=z=−1/√3のとき3+√3という答えですが、解き方が分かりません。y、zを固定して、xを変数としてN=f(x)の最大値をy、zを用いて表し、次にyを変数として最大値=g(y)とおき、g(y)の最大値をzを用いて表し・・・などとすると思うのですが、まずxを変数としてN=f(x)の最大値をy、zを用いて表す、というのができません。f(x)は一次関数なのに変域がないし、単調増加か単調減少かも何も分かってないのです。
答えまでの一連の流れをどなたかご教授ください。よろしくお願いします。

No.10154 - 2010/04/22(Thu) 17:22:14

Re: / のぼりん
こんにちは。
u=x+y+z とおけば、
   x+y+z=1 ⇔ |u|≦√3 … ?@
です。 z=u(u−1)=(u−1/2)−1/4 は、?@ の範囲で、u=−√3 のとき最大値 z=3+√3 を取ります。

No.10155 - 2010/04/22(Thu) 20:39:09

Re: / soraria
|u|≦√3 と変形できませんでした。どのようにやったのか知りたいです。また、そのときのx、y、zの値もどうやって出すのか教えてください。

u^2=1+2(xy+yz+zx)というのは分かりますが。。

No.10158 - 2010/04/23(Fri) 08:24:22

Re: / ヨッシー
x^2+y^2+z^2=1 は、原点中心半径1の球ですので、
平面 x+y+z=u が、原点から距離1以下であれば、その平面上に
x^2+y^2+z^2=1 の点があります。(平面と球の交線上の点がそれです)

平面 x+y+z=uと原点の距離は、
 |u|/√(1^2+1^2+1^2)=|u|/√3≦1
よって、|u|≦√3 です。

No.10160 - 2010/04/23(Fri) 20:42:27
(No Subject) / ばんだ
上三角行列の行列式は対角成分の積に等しいことを示せ。が分かりません。誰か分かる人いませんでしょうか。
No.10149 - 2010/04/20(Tue) 21:58:28

Re: / rtz
k×kのとき成り立つとして、
(k+1)×(k+1)について第1列で余因子展開すれば
同様に成り立つことが分かるので以下略。

No.10150 - 2010/04/21(Wed) 17:17:07

Re: / ばんだ
もう少し詳しくお願いします
No.10152 - 2010/04/22(Thu) 04:34:52

Re: / ヨッシー
3次の場合の余因子展開が上の式です。
これが、上三角行列だと、下のようになります。

No.10153 - 2010/04/22(Thu) 05:44:21

Re: / soraria
3-3の行列式では確かにそうなりますが一般の場合を教えてほしいです。
No.10159 - 2010/04/23(Fri) 19:35:52

Re: / ヨッシー
k次の上三角行列をAとします。
これに、上と左に1行1列加えて、k+1次の上三角行列Bにします。
このとき加えた要素を、
第1行を左から、
1,1、b1,2・・・b1,n+1
第1列を上から
1,1、b2,1・・・bn+1,1
とします。ただし、
 b2,1=b3,1=・・・=bn+1,1=0
です。

Bのi行j列の余因子をBi,jとします。
特に、B1,1=|A| です。
Bを第1列で余因子展開すると
 |B|=b1,11,1+b2,12,1+b3,13,1+・・・+bn+1,1n+1,1
  =b1,1|A|+0・B2,1+0・B3,1+・・・+0・Bn+1,1
  =b1,1|A|
よって、|A| がAの対角成分の積であれば、|B|はBの
対角成分の積となります。

No.10161 - 2010/04/23(Fri) 21:06:33
大学の数学?T / ぽんた
次の問題なのですが、どうやってとけばいいのかわかりません。よろしくおねがいします。

実数xに対し、|x|=max{a,-a}と定める。R(実数)の元a,bに対して次の(1)〜(4)が成り立つことを確認せよ。
(1)|a|≧0. |a|=o⇔a=0
(2)|a+b|≦|a|+|b|
(3)|ab|=|a||b|
(4)||a|-|b||≦|a-b|

No.10145 - 2010/04/18(Sun) 11:35:13

Re: 大学の数学?T / ヨッシー
|x|=x (x>0)
  0 (x=0)
  −x(x<0)
と、定義し直しましょう。時には、
|x|=x (x≧0)
  −x(x<0)
も使います。

(1)
a≧0 のとき、|a|=a≧0
a<0 のとき、|a|=−a>0 より |a|≧0
a=0 のとき、|a|=0
a>0 のとき、|a|=a≠0
a<0 のとき、|a|=−a≠0
以上より、|a|=0⇔a=0
(2)
a≧0 かつ b≧0 のとき a+b≧0 より
 |a+b|=a+b、|a|=a、|b|=b より
 |a+b|=|a|+|b|
a≧0 かつ b<0 かつ a+b≧0 のとき
 |a+b|=a+b、|a|=a、|b|=−b より
 |a+b|=|a|+|b|+2b<|a|+|b|
a≧0 かつ b<0 かつ a+b<0 のとき
 |a+b|=−a−b、|a|=a、|b|=−b より
 |a+b|=|a|+|b|−2a≦|a|+|b|
a<0 かつ b≧0 の時も同様。
a<0 かつ b<0 のとき a+b<0 より
 |a+b|=−a−b、|a|=−a、|b|=−b より
 |a+b|=|a|+|b|
以上より、|a+b|≦|a|+|b|
等号成立は、a、bが同符号か、少なくとも一方が0のとき。
(3)
a,bの少なくとも一方が0の時は明らかに成り立つ。
a>0 かつ b>0 のとき
 |ab|=ab、|a|=a、|b|=b より
 |ab|=|a||b|
a>0 かつ b<0 のとき
 |ab|=−ab、|a|=a、|b|=−b より
 |ab|=|a||b|
a<0 かつ b>0 のとき
 |ab|=−ab、|a|=−a、|b|=b より
 |ab|=|a||b|
a<0 かつ b<0 のとき
 |ab|=ab、|a|=−a、|b|=−b より
 |ab|=|a||b|
(4)
 0≦|a|≦|b| より |a|≦|b| と a^2≦b^2 は同値であるので、
 (|a|−|b|)^2≦(a−b)^2
を示します。
 (右辺)−(左辺)=(a^2−2ab+b^2)−(|a|^2−2|a||b|+|b|^2)
|a|^2=a^2 であるので、
 (右辺)−(左辺)=2|a||b|−2ab=2(|ab|−ab)
|a|≧a であるので、
 (右辺)−(左辺)≧0
よって、
 (|a|−|b|)^2≦(a−b)^2
であり、
 ||a|−|b||≦|a−b|
等号は、a,bが同符号の時。

No.10146 - 2010/04/18(Sun) 16:47:15

Re: 大学の数学?T / ぽんた
丁寧な解説ありがとうございました。
とてもわかりやすかったです!

No.10162 - 2010/04/23(Fri) 23:09:42
(No Subject) / きら☆ 高1
高校数学 2次関数と2次不等式の応用

f(x)=-2x^2+12x-16とおくとき
(1)f(x)の最大値とそのときのxの値を求めよ。
答え、2 x=3

(2)不等式{f(x)}^2 -4f(x)<0の解(xの値の範囲)を求めよ。
解説には、
「{f(x)}^2 -4f(x)<0
⇔f(x){f(x)-4}<0
0ここで、f(x)=-2x^2+12x-16
=-2(x-2)(x-4)
より、このグラフとx軸との交点の座標は(2,0)、(4,0)
よって求めるxの値の範囲は2<x<4」
とあるのですが、?@を求めた理由がわかりません?
f(x)はグラフでいうy座標にこの問題ではあたっていますよね?
それが0<f(x)<4っていうことはf(x)の取り得る値ってのは整数だけでみると1.2,3しかないじゃないですか。
なのに、なぜ答えではこのグラフとx軸との交点の座標は(2,0)、(4,0)とf(x)=0が含まれているのでしょうか?
また、グラフとx軸の交点の座標は-2(x-2)(x-4)という形にすることによって求めることができるのでしょうか?
なんだかよくわかりません・・・(〜。〜::)

(3)方程式-{f(x)}+af(x)-a+6=0
が異なる3個の実数解をもつような定数aの値とそのときの実数解を求めよ。

解答には
「(1)の結果より、f(x)が
f(x)>2をみたすとき、xは0個
f(x)=2をみたすとき、xは1個
f(x)<2をみたすとき、xは2個」
とあるのですが
なぜそうなるかわかりません。
なんで(1)の結果が利用できるのでしょうか?
本当にわかりません・・・

誰か分かりやすく教えてください。
お願いしますm(_ _)m

No.10142 - 2010/04/17(Sat) 13:10:47

Re: / ヨッシー
(2)
f(x){f(x)-4}<0 より
 0<f(x)<4
ですが、(1) より f(x)≦2 は確定なので、
 0<f(x)
を満たすxの範囲を求めればいいことになります。
その解が、2<x<4 です。
x=2 や x=4 は含まれていないので、f(x)=0 には
なりません。


図は、y=f(x) のグラフですが、f(x)=0 の解と、
x軸との交点が一致するのは、見ての通りです。
x軸というのは、y=0 ですから、これと、y=f(x)を
連立させたものが、f(x)=0 であり、その解が両グラフ
(y=f(x) と y=0)の交点になることは、自然なことです。

(3)は
 -{f(x)}^2+af(x)-a+6=0
でしょう。

(1) より f(x)≦2 であり、グラフは、

このようになるので、
f(x)>2 (aの場合)となるようなxは存在しない
f(x)=2 (bの場合) となるようなxはx=3 の1個
f(x)<2 (cの場合) となるようなxはα、βの2個
それぞれ存在します。

よって、 -{f(x)}^2+af(x)-a+6=0 がf(x) について、
異なる2つの解を持って、片方がf(x)=2 他方がf(x)<2
であれば、xとしての解は3つになります。

No.10143 - 2010/04/18(Sun) 06:26:21
中学入試の問題らしいのですが… / マオ
1つ答えは出てきたような気がしたのですが、答えが複数あるのか、何なのか、いったいどういう問題なのかよくわからなくなってしまったので、教えてください。問題1は解けました。おそらく35?pだと思います。問題2は、アは3倍、イは4倍、ウは26?pになりました。ですが、他にもいっぱい出てくるような気がします。これは規則性があるのでしょうか?合っているかどうかも自信がありません。

問題1 プール1には7?pの水が入っていて、プール2には水が入っていません。それぞれのじゃ口から、最初に調べたときの水の量で、同時に水を入れ始めます。時間がたってから、二つのプールの水の深さを測ってみると同じになりました。このときの水の深さは何?pですか。

問題2 それぞれのプールに二つのじゃ

No.10137 - 2010/04/15(Thu) 19:57:20

中学入試の問題らしいのですが… / マオ
すみません。途中で切れてしまいました。
問題2 それぞれのプールに二つのじゃ口AとBで水を入れます。それぞれのじゃ口から出る水の量を下に書かれているようにするとき、ア、イ、ウにあてはまる整数を書きなさい。ただし、水の深さはプールの深さ50?pをこえないものとします。

 プール1は、7?pの水が入っている状態から、じゃ口Aから出る水の量は変えずに、じゃ口Bから出る水の量を最初のア倍にして水を入れます。
 プール2は、水のない状態から、じゃ口Aから出る水の量を最初のイ倍にして、じゃ口Bから出る水の量を最初の2倍にして水を入れます。
 同時に水を入れ始め、時間がたってから二つのプールの水の深さを測ってみると、ウ?pのときに同じになりました。

No.10138 - 2010/04/15(Thu) 20:06:17

Re: 中学入試の問題らしいのですが… / Kurdt(かーと)
こんばんは。

問題1はそれでいいですね。

問題2
水の深さが同じになればいいので、
プール1とプール2のだぶっている部分を簡単にします。

じゃ口Bはプール2に水を入れないと考えるかわりに、
プール1に水を ア-2 倍入れていると考えてあげます。
また、この ア-2 を エ としておきます。

じゃ口Aはプール1に水を入れないと考えるかわりに、
プール2に水を イ-1 倍入れていると考えてあげます。
また、この イ-1 を オ としておきます。

すると、問題は次のように簡単になります。
プール1:7cm+5×[エ]
プール2:4×[オ]
([エ]と[オ]は比を表しています)

プール1のほうは 7,12,17,22,・・・ と1の位が7か2になります。
プール2は1の位が偶数にしかならないので、
1の位が2になるとうまく行くことがわかります。

すると、[オ] は 3,8,13,18・・・ となり、
[エ] は 1,5,9,13,・・・ となることがわかります。

あとは ウ が50cmをこえないようにすればいいですね。

No.10139 - 2010/04/15(Thu) 21:54:51

Re: 中学入試の問題らしいのですが… / Kurdt(かーと)
問題2はこの説明だけだと十分でないかもしれませんね。
よりくわしく調べると答えは8つあるようです。
26,19,14,13 と 46,39,34,33 になりますね。

[エ]と[オ]の比は上に書いた 1:3 と 5:8 が使えます。
それ以上は50cmをこえてしまうのでダメなようです。

とりあえず簡単に考えるために、
じゃ口Aは1分で4cm、Bは1分で5cmの高さになるとします。

さて、上に書いたのはあくまで エ と オ の比でした。
なので、この比さえ守ればどこかでうまくいきます。
まずは エ:オ=1:3 のときを考えてあげます。

プール2の水の高さをもう少しくわしく見ます。
すると 4×オ×(分)+14×(分) になることがわかります。
そこで エ=1 、オ=3 とすると、線分図などを利用して (分)=1 がわかります。
すると水の高さは 4×3+14=26 cm となります。

さらに エ=2 、オ=6 とするとどうでしょう。
このときは (分)=1/2 となって、水の高さは 19cm になります。
エとオを2倍すると (分) は逆に 1/2倍になるわけです。

さて、水の高さが整数になるには 14×(分) が整数にならないといけません。
それを考えるとエとオは1倍、2倍、7倍、14倍の4つが使えます。
ちなみに 4×オ×(分) の部分はエとオの比が同じなら
何倍しても数字は変わりません。
(オが7倍されると、(分) が1/7になり、結果として同じになります)
なので、14×(分) のところだけが変わります。

まとめると次のようになります。
エ:オ=1:3 のとき

エ=1 , オ=3 → 高さ 12+14=26cm
エ=1×2 , オ=3×2 → 高さ 12+7=19cm
エ=1×7 , オ=3×7 → 高さ 12+2=14cm
エ=1×14 , オ=3×14 → 高さ 12+1=13cm
(エとオは最後にアとイに直しておきましょう)

エ:オ=5:8 のときも同じようにできます。
エ=5 , オ=8 → 高さ 32+14=46cm
エ=5×2 , オ=8×2 → 高さ 32+7=39cm
エ=5×7 , オ=8×7 → 高さ 32+2=34cm
エ=5×14 , オ=8×14 → 高さ 32+1=33cm

おそらくこれで全部ではないかと思います。

No.10141 - 2010/04/16(Fri) 10:10:53

Re: 中学入試の問題らしいのですが… / マオ
かーとさん、ありがとうございます。何だかとても難しくて、考えこんでしまいました。が、意味はわかりました。私は2つしか答えが出せなかったのですが、確かに他のもあてはまりますね。もう一度よく考えてみたいと思います。
No.10147 - 2010/04/18(Sun) 22:48:09

Re: 中学入試の問題らしいのですが… / Kurdt(かーと)
おはようございます。

プール1:7cm+5×[エ]
プール2:4×[オ]

この部分をもう少しくわしく説明してみますね。
ここが誤解をまねきやすい説明になっていたようです。

プール2 は1分で 4×オ [cm] の高さになります。
なので、□ [分]だけ水を入れたときの高さは 4×オ×□ になります。
プール1 も同じように考えると 7cm+5×エ×□ になります。

プール1:7cm+5×エ×□
プール2:4×オ×□

すなわち、[エ] というのは エ×□[分] のことで、
[オ] というのは オ×□[分] のことなわけですね。

そして、エ×□ と オ×□ が
 [エ]=エ×□=1 , [オ]=オ×□=3 と
 [エ]=エ×□=5 , [オ]=オ×□=8
のときに高さが同じになるということでしたね。

そこで エ×□=1 , [オ]=オ×□=3 について考えました。
エ=1 , オ=3 なら □=1 とすれば上手くいきます。
エ=1×2 , オ=3×2 なら □=1/2 とすれば上手くいきます。
エ=1×3 , オ=3×3 なら □=1/3 と・・・
というふうに、答えはいくらでも考えられます。

でも、プールの高さをよく見るとそこまでうまくはいきません。
プール1 もプール2 の高さも本当は 14cm×□ がつくからです。

プール1:7cm+5×エ×□ +14×□
プール2:4×オ×□ +14×□

青い部分が同じ整数になるだけなら エ=1×5 , オ=1×5 でも、
エ=1×190 , オ=1×190 でも □ を 1/5 や 1/190 にすれば上手くいきます。
でも、そうすると赤い部分が整数にならないときが出るので、
ウ の部分が整数になってくれないのですよね。

そこで、赤い部分が整数になるためには
 □ = 1 , 1/2 , 1/7 , 1/14
のどれかにしてあげないといけないわけです。

すなわち、次の両方を満たしてあげないといけないのですね。
 エ×□=1 , オ×□=3
 □ = 1 , 1/2 , 1/7 , 1/14 のどれか

すると、答えは次の4つになるわけです。
□=1 のとき エ=1 , オ=3
□=1/2 のとき エ=1×2 , オ=3×2
□=1/7 のとき エ=1×7 , オ=3×7
□=1/14 のとき エ=1×14 , オ=3×14

これは [エ]=エ×□=5 , [オ]=オ×□=8 でも同じなので、
答えは全部で8種類ということになります。

No.10148 - 2010/04/19(Mon) 06:05:12
中学入試の速さの問題 / まりな
次の問題を途中まで考えてみたのですが…途中でわからなくなってしまったので教えてください。お願いします。

A町から、峠をこえてB町へ向かう坂道があります。ともひろ君は、上り坂は時速2?q、 下り坂は時速6?qの速さで歩きます。ともひろ君がA町からB町へ行くのに2時間20分、B町からA町へ帰るのに3時間かかります。ただし、と中で休息したり止まったりしないものとします。次の❶〜❺に、あてはまる数を入れなさい。

ともひろ君が1?q歩くのにかかる時間は、登り坂のほうが下り坂より❶分よけいにかかるので、峠からA町までの道のりは、峠からB町までの道のりより❷?q短いことが分かります。また、ともひろ君がA町からB町まで往復したとき、平均すると時速❹?qで歩いたことになります。したがって、A町からB町までの片道の道のりは❸?qあります。以上のことから、峠からA町までの道のりは❺?qです。

❶ 1?qの坂道を上るのにかかる時間は、60÷2=30(分)
  1?qの坂道を下るのにかかる時間は、60÷6=10(分)
  よって、上り坂のほうが下り坂より、1?qあたり、30−10=20(分)よけいにかかる。

❷以降がよくわからないのです。1?q往復するのにかかる時間は、30+10=40(分) 1往復するのに、5時間20分かかっているので、A町からB町までの道のりは、320÷40=8(?q)と、突然❹が出てしまうのですが、❷と❸の出し方がよくわかりません。ちなみに、❺は、❹があっていれば、(8−❷)÷2で出てくるような気はするのですが…。

No.10132 - 2010/04/14(Wed) 18:56:19

Re: 中学入試の速さの問題 / Kurdt(かーと)
おはようございます(*゚ー゚)

?@はそれでいいですね。

?Aはまず峠がAとBのまん中にあると考えてみます。
このときはもちろん行きも帰りもかかる時間は同じです。

ここで峠をまん中からAに1kmだけ近づけてみます。
すると行きはその1km分が下りになり、帰りは上りになります。
すなわち、?@で出したように 20分 だけ帰りの時間が長くなります。

実際は行きよりも帰りが40分長くなっています。
なので、40÷20=2 (km) だけ峠はまん中よりもAに近い場所にあります。

次に平均の時速を考えます。
行きと帰りを合わせて考えると往復全体としては、
上りの距離も下りの距離も結局は同じになります。

なので、平均の時速は 1km上って1km下るときの平均の時速と同じです。
このときにかかる時間は 40分で、歩いた距離は2kmなので時速は 3km になります。

そして平均時速3kmで往復に320分かかったので、
往復の距離は 320×(1/20)=16(km) で、片道は 8km です。

?D についてはまりなさんの考え方でいいですね。

No.10134 - 2010/04/15(Thu) 05:54:03

Re: 中学入試の速さの問題 / ヨッシー
問題文の(3)と(4)が逆ですね。


行きの上り坂は帰りには下りになり、行きの下り坂は帰りは上りになります。
峠が、ABのちょうど真ん中にあれば、行きも帰りも同じ時間ですが、
峠からBまでの方が長いので、その分帰りに時間がかかります。
その長さは、40分余計に時間がかかるだけの距離ですから、
 40÷20=2(km) ・・・(2)の答え

(3)では、平均の速さを聞いているので、
 1km往復=2km 進むのに40分かかるので、
 平均 2÷40×60=3(km) ・・・(3)の答え

(4)は、上の方法でも良いですし、(3)を使って、
 往復320分×3÷60=16(km) ・・・往復の距離
 片道は8km
としても出ます。

(5) の出し方は上の通りで良いです。

No.10135 - 2010/04/15(Thu) 06:05:45

Re: 中学入試の速さの問題 / まりな
かーとさん、ヨッシ―さん、ありがとうございます。大変よくわかりました。問題の番号は間違えました。すみません。図も書いていただいたので、すごくイメージしやすかったです。
No.10136 - 2010/04/15(Thu) 19:01:39
教えてください?ォ / 浪人生
数列a[1],a[2],a[3],a[4],……,a[k],……を次のように,第n群が2^(n-1)個の項を含むように分ける。

(問)a[k]=1/k^2のとき,第1群から第n群までのすべての項の和は2を超えないことを示せ。

第n群の初項はa[2^(n-1)]、末項はa[2^n-1]と求めたのですがこれを使うのでしょうか?

No.10126 - 2010/04/12(Mon) 20:49:20

Re: 教えてください?ォ / のぼりん
こんばんは。
   1/1+1/2+…+1/n<1+∫dx/x=1−〔1/x〕=2−1/n<2
です。

No.10128 - 2010/04/12(Mon) 21:11:50

Re: 教えてください?ォ / 浪人生
数列の末項がどうして1/n^2となるんですか??ォ
No.10129 - 2010/04/12(Mon) 23:14:47

Re: 教えてください?ォ / のぼりん
No.10128 の n は、第 n 群の n ではなく、任意の n という意味です。
与えられた数列の項を幾ら多く足し合わせても 2 より小さいのだから、第 1 群から第 n 群までのすべての項を足したところで、2 未満です。

No.10130 - 2010/04/12(Mon) 23:57:53

Re: 教えてください?ォ / 浪人生
分かりました!

ありがとうございます.

No.10131 - 2010/04/13(Tue) 08:24:30

Re: 教えてください?ォ / らすかる
1/1+1/2^2+1/3^2+…+1/n^2
<1+1/(1・2)+1/(2・3)+…+1/{(n-1)n}
=1+(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+…+{1/(n-1)-1/n}
=2-1/n
<2
という方法もありますね。

No.10133 - 2010/04/14(Wed) 22:24:32
個数の / 囲碁
n桁の自然数のうち、ちょうど2種類の数字から成り立っているものの個数を求めよ。ただし、nは2以上とする。

どうか教えて下さい。

No.10124 - 2010/04/12(Mon) 12:36:55

Re: 個数の / rtz
つ http://www3.rocketbbs.com/603/bbs.cgi?id=aoki&mode=res&resto=11538
No.10125 - 2010/04/12(Mon) 18:21:06
二次関数の最大・最小問題 / チェルシー
この問題をお願いします。
2変数x、yが0≦x≦y≦3をみたしながら変わる時、
Z=3x^2-2xy-8x+2y+1の最大値、最小値を求めよ。

No.10123 - 2010/04/10(Sat) 11:36:08

Re: 二次関数の最大・最小問題 / のぼりん
こんばんは。 x を 0≦x≦3 の範囲で固定します。
   Z=3x−2xy−8x+2y+1=2(1−x)y+3x−8x+1
を y の(一次)関数と見ると、x≦y≦3 の範囲で値域 R(x) は閉区間です。
   f(x)=2(1−x)x+3x−8x+1=x−6x+1=(x−3)−8
   g(x)=2(1−x)3+3x−8x+1=3x−14x+7=3(x−7/3)−28/3
とおくと、0≦x≦1 のとき、R(x)=〔f(x),g(x)〕、1≦x≦3 のとき、R(x)=〔g(x),f(x)〕 です。 0≦x≦1 のとき、f(x) の最小値は f(1)=−4、g(x) の最大値は g(0)=7 です。 1≦x≦3 のとき、g(x) の最小値は g(7/3)=−28/3、f(x) の最大値は f(1)=−4 です。 よって、Z の値域は、閉区間 〔−28/3,7〕 です。

No.10127 - 2010/04/12(Mon) 21:03:47

Re: 二次関数の最大・最小問題 / チェルシー
のぼりんさん、丁寧なご回答ありがとうございました★
おバカな私でも、すごくわかりやすい解答でした♪(*^_^*)

No.10140 - 2010/04/16(Fri) 08:41:27
漸近線 / 九医脂肪
はじめまして。
大学受験数学の数?Vの問題からです。
ある問題集をやっていて、その解説が分かりません。
具体的なことは画像にあります。宜しくお願いします。

No.10116 - 2010/04/06(Tue) 11:35:48

Re: 漸近線 / 豆
x<0の場合を考えてください
No.10117 - 2010/04/06(Tue) 15:08:53

Asymptote / 九医脂肪
I have already thought of the case when x is less than 0, but I couldn't really understand it. However, looking at the formula carefully again, I realized that I should think of whether x is more than 0 or not. Thanks a lot! Oops, you are Japanese... OK, you can just read here. ありがとうございました。
No.10119 - 2010/04/06(Tue) 23:12:20
質問 / ひみこ
簡単な問題なのでしょうが、答えをお聞きしたいです。

10%の食塩水と、30%の食塩水を混ぜて 15%の食塩水を300g作る時、
10%の食塩水は何g必要ですか?

という問いなのですが、求めたい量をXとして、
1/10X + 3/10(300-X) = 300×(←掛)0.15=45
1/10X + 90 - 3/10X = 45
-2/10(-1/5)X = -45
X = 45 × 5 = 225
よって10%食塩水は225g

と、導きだしたのですが、適当に出したものなので 自身はありません・・。
合ってますでしょうか?

No.10111 - 2010/04/05(Mon) 20:50:48

Re: 質問 / X
それで問題ないと思います。
No.10112 - 2010/04/05(Mon) 23:27:57

Re: 質問 / ひみこ
ありがとうございました。

安心致しました。

No.10121 - 2010/04/08(Thu) 10:02:51
(No Subject) / 木村
問題は以下です

円に内接する四角形ABCDがあり、直線ADと直線BCの交点をFとする。また、△ABFと直線ACの交点をG,△DBFの外接円と直線DCとの交点をHとするとき、(?@)4点A,D,G,Hは同一円周上にあること、(?A)3点F,G,Hは同一直線上にあることをそれぞれ証明せよ。

(?@)は∠DACと∠FAGが共通なことと円周角の定理を使って∠DAG=∠DHGを示し証明できました。
(?A)についてはそもそもどのようにして証明するのかも分かりません。


説明お願いします

No.10108 - 2010/04/05(Mon) 20:20:27

Re: / 木村
済みません
高校数学平面図形の問題です

No.10109 - 2010/04/05(Mon) 20:23:09

Re: / tk
(?A)
(?@)と円周角の定理より、
∠DHG=∠DAG=∠DBF=∠DHF
よって、∠DHG=∠DHF であるから3点F,G,Hは同一直線上にある

でどうでしょう

No.10113 - 2010/04/06(Tue) 06:26:37

Re: / 木村
自力で解決できました。
気付けば何でもないことでした・・・

弧AFに対する円周角なので∠ABF=∠AGF
弧AHに対する円周角なので∠ADH=∠AGH
四角形ABCDは円に内接するので∠ABC+∠ADC=180°⇔∠ABF+ADH=180°
よって∠AGH+∠AGF=180°なので、点Gは線分HF上にある。
したがって3点F,G,Hは同一直線上にある。

No.10115 - 2010/04/06(Tue) 09:54:46
2次方程式 / 狗羽


2次方程式の問題がわかりません

aを定数とするとき次の二次不等式を解け
x^2+(a+2)x+2a=0

No.10107 - 2010/04/05(Mon) 18:51:09

Re: 2次方程式 / 木村
方程式のx^2の係数をa,xの係数をb,定数をcとおき、
解の公式 x={-b±√(b^2-4ac)}/2a に代入します。
x=[{-(a+2) ± √{(a+2)^2-4(a+2)*1}] / 2

No.10110 - 2010/04/05(Mon) 20:34:14

Re: 2次方程式 / 七
x^2+(a+2)x+2a=0
ならば
(x+a)(x+2)=0
x=−a,−2

x^2+(a+2)x+2a>0
ならば
(x+a)(x+2)>0
−a>−2,つまりa<2のときx<−2,−a<x
−a=−2,つまりa=2のときxは−2以外のすべての実数
−a<−2,つまりa>2のときx<−a,−2<x

x^2+(a+2)x+2a≧0
ならば
(x+a)(x+2)≧0
−a>−2,つまりa<2のときx≦−2,−a≦x
−a=−2,つまりa=2のときxはすべての実数
−a<−2,つまりa>2のときx≦−a,−2≦x

x^2+(a+2)x+2a<0
ならば
(x+a)(x+2)<0
−a>−2,つまりa<2のとき−2<x<−a
−a=−2,つまりa=2のとき解なし
−a<−2,つまりa>2のとき−a<x<−2

x^2+(a+2)x+2a≦0
ならば
(x+a)(x+2)≦0
−a>−2,つまりa<2のとき−2≦x≦−a
−a=−2,つまりa=2のときx=−2
−a<−2,つまりa>2のとき−a≦x≦−2

No.10114 - 2010/04/06(Tue) 08:04:26
高校平面図形 / 庄之介
下の問題が分かりません。
(1)は理解できます
(2)について教えてください
よろしくお願いします


原点をOとするxy平面上にOA=3,OB=2の△OABがあり、Aはx軸の正の部分、Bは第一象限内におかれていて、∠OAB=θとする。

(1)(?@)辺ABの長さ、(?A)△OABの面積、(?B)△OABの外接円の半径をsinθやcosθを含む式で表せ。

(2)△OABをOの周りに回転し、点Bがy軸の正の部分にくるようにしたとき、A,Bが移った点をそれぞれA',B'とする。点Cを四角形BCA'B'が平行四辺形になるようにとる。
このとき、(?@)∠ABC,(?A)△ABCの面積Sをθの式で表せ。(ABの延長とA'B'との交点Dを考えろとのヒントがあります。)
また、0°≦θ≦90°の範囲でθが変化するときSの最大値を求めよ。

解答です
(1) √(13-12cosθ) , 3sinθ , √(13-12cosθ)/(2sinθ)
(2) 90°-θ , S=-6cos^2θ+13/2cosθ , 169/96

No.10106 - 2010/04/05(Mon) 18:03:38

Re: 高校平面図形 / ヨッシー
∠OAB=θ ではなく ∠BOA=θ ですね。

△OABが△OA'B' になるまで、90°−θだけ回転しますが、
この角度は、OAとOA'、OBとOB'、ABとA'B' の
間の角に現れます。
ABとA'B' の交点をDとすると、
 ∠ABC=∠ADA'=90°−θ
となります。
あとは、BC=B'A'=BA であるので、
 S=(1/2)AB^2sin(90°−θ)
  =(1/2)(13-12cosθ)cosθ
cosθ の2次式になるので、最大値は求められるでしょう。

No.10120 - 2010/04/07(Wed) 06:58:51

Re: 高校平面図形 / 庄之介
よくわかりました。
どうもありがとうございました。

No.10122 - 2010/04/09(Fri) 20:42:26
接線 / でっていう
接点が与えられてない接線を求める方法は
3つ全部覚えたほうがいいんですか?

No.10101 - 2010/04/04(Sun) 14:26:07

Re: / ヨッシー
3つとは、何と何と何ですか?
また、何に対する接線ですか?

No.10102 - 2010/04/04(Sun) 17:06:59

Re: / でっていう
すみません、円に対する接線です。
3つとは、接線の公式を利用する方法と、
判別式を使う方法と、中心と接線の距離を使う方法です。

No.10103 - 2010/04/04(Sun) 17:50:43

Re: 接線 / FC3S
覚えるってのはずれてる気がします。
それに理解してれば接線の公式以外は覚えるものではないかと(合成関数の微分ができれば接線公式も簡単に導けますが)
それぞれに長所短所があります。

No.10104 - 2010/04/05(Mon) 01:04:26
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