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★ (No Subject) / あき
数学 ベクトルの問題

空間ベクトルの問題です。至急回答お願いします！

空間に４点Ａ（-2,0,0）、Ｂ(0,2,0)、Ｃ(0,0,2)、Ｄ(2,-1,0)がある。
３点Ａ、Ｂ、Ｃを含む平面をＴとする。
(1)点Ｄから平面Ｔに下ろした垂線の足Ｈの座標を求めよ。
(2)平面Ｔにおいて、３点Ａ、Ｂ、Ｃを通る円Ｓの中心の座標と半径を求めよ。
(3)点Ｐが円Ｓの周上を動くとき、ＤＰの長さが最小になる点Ｐの座標を求めよ


(3)
DP^2=DH^2+HP^2 であり、DHの長さは一定だから、DPが最小になるのはHPが最小のとき。

つまり、図2においてPがP'にあるとき。

OP'↑
=OG↑+GP'↑
=OG↑+(2√6/3 ÷√2)GH↑
=OG↑+(2√3/3)GH↑
=(-2/3,2/3,2/3) + (2√3/3,0,2√3/3)
=((-2+2√3)/3,2/3,(2+2√3)/3)

【分からないとこ】
OP'↑=OG↑+(2√6/3 ÷√2)GH↑の
2√6/3 ÷√2ってなんなんですか？
考えてみたのですがわかりませんでした。
だれかわかるかたおねがいします
No.11755 - 2010/09/29(Wed) 13:34:33
☆ Re: / X
題意から↑GP'は向きが↑GHと同じで、大きさが円Sの半径と
なるベクトルと等しくなります。
ここで(2)の結果より円Sの半径と線分GHの長さを考えると…。
No.11757 - 2010/09/29(Wed) 15:23:02
☆ Re: / あき
説明抜けてました。
円の中心がG（重心）です。
えっと、
GH＝√2
GP′=2√6/3だから
OP'↑=OG↑+GP'↑（tは実数）とおく。
GP'↑は

GH/GP’＝3/2√3
だから
GP'↑＝3/2√3・GH↑ということで理解したのですが
あっていますでしょうか？
No.11758 - 2010/09/29(Wed) 18:40:20
☆ Re: / あき
> 説明抜けてました。
> 円の中心がG（重心）です。
> えっと、
> GH＝√2
> GP′=2√6/3だから
> OP'↑=OG↑+GP'↑とおく。
> GP'↑は
>
> GH/GP’＝3/2√3
> だから
> GP'↑＝3/2√3・GH↑ということで理解したのですが
> あっていますでしょうか？
No.11759 - 2010/09/29(Wed) 18:43:06
☆ Re: / X
考え方は問題ないですが計算を間違えてます（タイプミス？）。

GH/GP’＝3/(2√3)
より
GP'/GH=(2√3)/3
「GH↑とGP'↑は向きが同じですので」
GP'↑＝{(2√3)/3}GH↑

(「」内の一言を忘れずにつけましょう。)
No.11760 - 2010/09/29(Wed) 18:59:19
★ (No Subject) / bone
こんばんは。
本当に申し訳ないのですが、浸透圧の問題を教えて頂けないでしょうか。
どうしてもわからないところがあります。

添付した問題についてです。
回答は両側の体積移動がつりあう液面差の高さにおいて
左の気相の圧力+２２cmの液面差が示す圧力＝AXの水溶液が示す浸透圧+右側の気相の圧力
としているようなのですが
２２cmの液面差が生じている高さでみれば
左側の気相の圧力+２２cmの液面差が示す浸透圧＝右側の気相の圧力
という式が成り立っているというのは正しいでしょうか？

そもそも気相があると液面差による圧力＝AXの浸透圧が成立しないのは何故なのでしょうか？閉空間にせず大気圧のときはつりあっていたと思いますが・・・

すみませんがどなたか教えて頂けないでしょうか？？？
よろしくお願いします・・・
No.11749 - 2010/09/29(Wed) 03:01:24
☆ Re: / bone
誤りがありました。

２２cmの液面差が生じている高さでみれば
左側の気相の圧力+２２cmの液面差が示す浸透圧＝右側の気相の圧力

の部分ですが
２２cmの液面差が生じている時の右側の水溶液の高さでみれば

です。
すみません。
No.11750 - 2010/09/29(Wed) 03:04:02
☆ Re: / X
容器が左右とも密封されていないのであれば、気相の圧力は
左右等しいので相殺し
２２cmの液面差が示す圧力＝浸透圧
が成立します。
しかしこの問題では容器が左右とも密封されていますので
液面の高さが変化しても左右それぞれの気相内の気体分子
(或いは気体原子)の数は一定です。
問題文に温度の記載はありませんのでボイルの法則を適用
すると、密封直前に比べて左の気相の圧力は上昇し、右の
気相の圧力は減少します。
従って気相の圧力は相殺せず、解説にあるような立式が必要
になります。
No.11754 - 2010/09/29(Wed) 10:39:08
☆ Re: / bone
よくよく考えましたが疑問点が解決できたと思います。
本当にありがとうございました！
No.11762 - 2010/09/30(Thu) 13:09:14
★ 立方体の切り口 / ほうこ　高3
一辺の長さが1である立方体ABCD-EFGHにおいて,辺BF,DHの中点をそれぞれP,Qとする。線分PQを含む平面による立方体の切り口の最大値と最小値をそれぞれ求めなさい。

切り口は正方形,ひし形(っぽい四角形),六角形,長方形の4種類あるところまでは何とかわかりましたが,ここから面積を求める手段がよくわからないです。最大値や最小値と言っていますが,何かをxとおくんでしょうか。おくとすれば何をxとおけばいいんでしょうか。面積の求め方を詳しく教えてください。お願いします。

ところで着眼点に「正射影の利用」とあるんですが正射影とは何でしょうか。
No.11747 - 2010/09/29(Wed) 00:20:49
☆ Re: 立方体の切り口 / ヨッシー
切り口がＡＥを通る場合と、対角線ＡＣを通る場合に分けます。
前者の場合は、切り口が正方形になるとき最小値１で
切り口がＡＰＧＱのとき、最大値√6/2 です。



後者の場合、図の部分をｘと置きます。（０＜ｘ＜√2/2）
辺ＡＤ上の長さではなく、対角線ＡＣ上の長さです。
図で、見たままの長さです。
このとき、切り口が、正方形ＡＢＣＤ上に落とす影(これが正射影です)を
考えると、図の青い部分になりますが、この面積は、正方形から
白い部分を引いたものなので、
　2√2ｘ−２ｘ^2
実際の切り口は、この面積の　√(ｘ^2＋1/4)/ｘ 倍なので、
　{√(ｘ^2＋1/4)}(2√2−２ｘ)
となります。これは、ｘ＝０ のとき（切り口が長方形の時）も満たします。
また、ｘ＝√2/2 （ひし形の時）も満たします。
　f(x)＝{√(ｘ^2＋1/4)}(2√2−２ｘ)　（0≦ｘ≦√2/2）
とおき、微分すると
　f'(x)＝−(2x−√2/2)^2/√(ｘ^2＋1/4)≦０
であり、f(x) は単調減少となり、f(0)＝√2 が最大となります。

以上より、最大値√2、最小値１
No.11752 - 2010/09/29(Wed) 06:40:56
☆ Re: 立方体の切り口 / ほうこ　高3
大変ご丁寧な解説をしていただきましてありがとうございました。

切り口がAEを通る場合について
変数を用いずに最大値と最小値を求められていらっしゃいますが、この場合では切り口の面積は連続に変化するのでしょうか？

切り口がACを通る場合について
ちょっとこの場合がよくわからないのですが、正射影というのはつまり「面ABCDからみたときの切り口」ということでしょうか？
回答者様のxはBDとそれに平行なA側の辺までの距離、ということですよね？
一番分からないのが、『実際の切り口は、この面積の　√(ｘ^2＋1/4)/ｘ 倍なので』です。「√(ｘ^2＋1/4)/ｘ 倍」というのはいったいどこから出てきたのでしょうか？
No.11756 - 2010/09/29(Wed) 13:44:54
☆ Re: 立方体の切り口 / ヨッシー
ひし形の場合は、１つの対角線ＰＱは固定されたままで、
もう一方の対角線が変化しますので、この対角線の最大最小と
ひし形の面積の最大最小が一致します。


図は、立方体を斜めに切った切り口ＡＤＧＦ上の楕円と
その正射影（ＡＢＣＤ上の円）の様子です。
両者の面積は、ＡＤ方向の長さは変わらず、
ＡＢがＡＦに伸びたので、楕円の面積は、円の面積の
ＡＦ／ＡＢ＝√2倍　となります。
同じ理屈で、切り口の面積は、正射影の面積の
　ＲＱ/ＤＲ　倍（一番最初の図において）
となります。これを計算したのが、√(ｘ^2＋1/4)/ｘ です。
No.11761 - 2010/09/29(Wed) 22:54:56
☆ Re: 立方体の切り口 / ほうこ　高3
またのご丁寧な解説をありがとうございました。問題の解き方はよくわかりました。

ちょっと問題とは関係のない質問ですが…
・楕円の正射影は楕円ではなく円になるんですか？
・楕円と円は全然違う図形なのに,『ＡＢがＡＦに伸びたので、楕円の面積は、円の面積のＡＦ／ＡＢ＝√2倍となります。』という面積比が外接長方形の辺の比になる理由がどうもよくわからないです。面積比と辺の比の関係は三角形同士や四角形同士以外でも、円と楕円のような異なる図形にも当てはまるんでしょうか？
No.11764 - 2010/09/30(Thu) 13:42:35
☆ Re: 立方体の切り口 / ヨッシー
上の例は、正射影が円になる特殊な例です。
こちらの楕円、あちらの楕円と書くのが面倒なので、
円と楕円で区別できるように、片方を円にしました。

同じ方向に一定の倍率で伸び縮みした図形は、その
倍率分だけ、面積も何倍かされます。
半径ａの円の面積が　πａ^2 なのに対して、
ｘ軸方向に　ｂ/ａ 倍して、短径、長径がａ，ｂである
楕円の面積は、πａｂ ですから、面積も ｂ/ａ 倍になっていますね。
No.11766 - 2010/09/30(Thu) 18:59:23
★ 高1　ベクトル / あいじょう
空間内に３点Ａ(1,1,0),Ｂ(0,2,0),Ｃ(0,0,3)をとる。

(１) 空間内の点Ｐが ＡＰ↑・(ＢＰ↑＋２ＣＰ↑)＝０ を満たしながら動くとき、この点Ｐはある定点Ｑから一定の距離にあることを示せ。

問題集にあった九州大学の問題なんですけど
PA→・（PB→＋2PC→）＝0の間違いな気がするのですが＾＾；
この問題をぱっと見たとき
直径の円のベクトル方程式を利用する感じだなって思ったので
邪魔な(ＢＰ↑＋２ＣＰ↑)の部分を内分公式を利用して
AP→・｛（BP→＋2CP→）/3 ｝＝０
そんで線分BCを２：１に内分する点をXとすると
AP→・XP→＝０ってやっていってたんですけど
実際三角形PBCをかいてみて
XP→＝（BP→＋2CP→）/3となるようにかくと
なんかおかしくなるのですが；

OA→＝OB→＋2OC→/3とかならわかるんですけど＾＾；
あとAP→・XP→＝０より
AとXは円の直径の点なんで
∠APXは直径だからXがPと一定の距離になるためには
円の中心であればいいって感じで証明できたんですけど
（2）以降でXの座標もつかわないといけないんですが
Xの座標は
地道にもとめていくしかないですか？
X（x,y,ლ(^ʚ^ლ)）としAD→＝1/2AX→とやっていっても大丈夫ですかね？

わからいことがおおすぎててんぱってます。
わかるかた回答おねがいします＞＜
No.11743 - 2010/09/28(Tue) 19:50:29
☆ Re: 高1　ベクトル / ヨッシー
　ＡＰ・(ＢＰ＋２ＣＰ)＝０
は、
　ＡＰ＝−ＰＡ
　ＢＰ＝−ＰＢ
　ＣＰ＝−ＰＣ
を考慮すると、
　ＰＡ・(ＰＢ＋２ＰＣ)＝０
とも書けますね。さらに両辺３で割って、
　ＰＡ・(ＰＢ＋２ＰＣ)/３＝０
と書くと、ＢＣを２：１ に内分する点
　Ｄ：(0, 2/3, 2)
に対して、
　ＰＡ・ＰＤ＝０
と書け、点ＰはＡＤを直径とする円で、求める点は、ＡＤの中点
　Ｑ：(1/2, 5/6, 1)
となります。
No.11744 - 2010/09/28(Tue) 20:24:49
☆ Re: 高1　ベクトル / angel
機械的に計算してもできるのが、ベクトルの良いところ。

OP↑=ｐ, OA↑=ａ, OB↑=ｂ, OC↑=ｃ とおくと、
　AP↑・(BP↑+2CP↑) = 0
　⇔ (ｐ-ａ)・((ｐ-ｂ)+2(ｐ-ｃ)) = 0
　⇔ (ｐ-ａ)・(3ｐ-(ｂ+2ｃ)) = 0
　⇔ 3ｐ・ｐ - (3ａ+ｂ+2ｃ)・ｐ + ａ・(ｂ+2ｃ) = 0
　⇔ 3(ｐ-1/6・(3ａ+ｂ+2ｃ))・(ｐ-1/6・(3ａ+ｂ+2ｃ)) = 1/12・(3ａ+ｂ+2ｃ)・(3ａ+ｂ+2ｃ) - ａ・(ｂ+2ｃ)

というように、平方完成と同じ要領でまとめることができ、
最終的に、ｑ=OQ↑=1/6・(3ａ+ｂ+2ｃ) なる点Qに対し、
　QP^2 = |ｐ-ｑ|^2 = (ｐ-ｑ)・(ｐ-ｑ) = (定数)
ということができます。
No.11746 - 2010/09/28(Tue) 22:45:57
★ (No Subject) / ゆう
↑名前かえるのわすれてました(汗)
No.11742 - 2010/09/28(Tue) 19:40:27
★ 方程式 / bone
こんにちは。
質問お願いします。

(a+1)/(b+c+2)=(b+1)/(c+a+2)=(c+1)/(a+b+2)のときこの式の値を求めよ

まず、与式＝ｋと置いて三つの式を足して変形していくと
(a+b+c+3）（2k-1）=0
となり、場合わけをしたうちの2k-1=0の場合についてなのですがa=b=cが出てきます。
しかし回答では分母より更にa=b=c≠-1となるそうですがこれがわかりません。
分母≠０かららしいですが、今この場合わけにおいては其れはわからないと思うのです・・・。
すみませんが教えてください。
宜しくお願いします。
No.11735 - 2010/09/28(Tue) 11:33:51
☆ Re: 方程式 / X
この問題文は以下の「」の部分が隠れています。

(a+1)/(b+c+2)=(b+1)/(c+a+2)=(c+1)/(a+b+2)のとき
この式の値「が存在するのであればそれ」を求めよ

この等式の分母は定数ではありませんので、
与式=k
と置く以前に値が存在する条件として
分母≠0
が必要になります。
No.11737 - 2010/09/28(Tue) 13:34:14
☆ Re: 方程式 / bone
わかりました。
どうもありがとうございました！
No.11748 - 2010/09/29(Wed) 02:44:43
★ (No Subject) / mazenda
よろしくおねがいします。

f(x)= sin(x/2)+sin(x/3)の周期のうち、正で最小なものをもとめよ。

それぞれ周期４π、６πで最小公倍数で１２πって答えなんでが
図的にどのようなイメージでしょうか？
No.11732 - 2010/09/28(Tue) 02:36:39
☆ Re: / rtz
図的とはどういうことでしょう。

グラフなら
ttp://b4.spline.tv/study777/?command=GRPVIEW&num=771
のようになりますが、そういうことですか？
No.11733 - 2010/09/28(Tue) 04:06:04
☆ Re: / mazenda
rtzさん
グラフのイメージつかめました。ありがとうございます。
追加で質問させてください。

グラフとグラフをたして周期がごちゃごちゃになる。それで、
各周期の最小公倍数がf(x)の周期になる。

なんで最小公倍数なんでしょうか？
No.11734 - 2010/09/28(Tue) 04:16:50
☆ Re: / rtz
ttp://b4.spline.tv/study777/?command=GRPVIEW&num=772

関数で考えると難しく思えますが、これならどうでしょう。
「4秒ごとに点滅する電球と6秒ごとに点滅する電球が同時に点滅するのは何秒ごと？」
これだと最小公倍数であることは分かりますね。

sin(x/2)は4πごとに同じ値を、
sin(x/3)も6πごとに同じ値をとります。
ですので、これらの最小公倍数になります。
(厳密には、例えば0になる周期は4π,6πごとではないですが、他の値も全部見たときに、ということです。)

ちなみに、1つ注意したいのは、
「4πと6πの最小公倍数として12π」ではなく、
「4(×π)と6(×π)の最小公倍数として12(×π)」だということです。
π自体は無理数ですので、そのまま最小公倍数と考えるのは危険です。
例えば、
sinx [周期2π]とsin(πx) [周期2]の和であるsinx+sin(πx)は、
周期関数にはなりません(こんな問題は滅多に出ないと思いますが)。
No.11738 - 2010/09/28(Tue) 18:42:01
☆ Re: / mazenda
rtzさん　ありがとうございました。
点滅のお話たいへんよくわかりました。
まえに生物の話で
アメリカで２年に一回地上に出る蝉と
３年に一回地上に出る蝉は６年目に出会って、
ちょっとづつ交配して種が混ざり合うって話がありました。
それを、おもいだしました。（ちがってたらごめんなさい）
No.11751 - 2010/09/29(Wed) 03:04:39
★ 二次方程式 / ゆう
二次方程式の問題です。
教えて下さい。

長さ8?pの線分を大小2つに分けて、それぞれの長さを一辺とする正方形を作る。
2つの正方形の面積の和が46?pであるとき、大きい正方形の一辺の長さは何?pか。

という問題です。
教えて下さい。
No.11726 - 2010/09/27(Mon) 19:56:53
☆ Re: 二次方程式 / ヨッシー
面積の和が46cmということはないと思いますが、
46cm2 の間違いでしょうね。

大きい正方形の一辺の長さを聞いているので、これを、ｘcmとします。
（ただし４＜ｘ＜８）
小さい方の正方形の一辺は、８−ｘ cm なので、
大小それぞれの正方形の面積は、
　ｘ2cm2　と　(８−ｘ)2cm2
その和が４６cm2なので、
　ｘ2＋(８−ｘ)2＝４６
これを解いて、ｘ＝４＋√7(cm)
No.11727 - 2010/09/27(Mon) 21:26:12
☆ Re: 二次方程式 / マユ
なんとなくわかりました。
ありがとうございましたm(-　-)m
No.11741 - 2010/09/28(Tue) 19:38:53
★ 2次関数の値域と最大・最小 / マユ
下の問題を教えてください。

関数y＝x^2-4x+1の定義域として(1<x<4)をとるとき、最大値と最小値をもとめよ。

という問題です。教えてください。
No.11724 - 2010/09/27(Mon) 19:44:28
☆ Re: 2次関数の値域と最大・最小 / ヨッシー
ｙ＝(ｘ−２)2−３　なので、
ｘ＝２　のとき　最小値−３

最大値はありません。定義域が　１＜ｘ≦４ であれば、
ｘ＝４ のとき　最大値１　です。
No.11728 - 2010/09/27(Mon) 21:28:58
☆ Re: 2次関数の値域と最大・最小 / 板橋
まず、定義域なのですが、1<x<4ではなく、1<=x<=4なのでは？
そうしないと、最小値はもとまっても、最大値は求まらないので。
ですから、定義域を、1<=x<=4として、話を進めます。
y=f(x)とおくと、
f(x)=x^2-4x+1=(x-2)^2-3と変形でき、定義域が1<=x<=4であるので、
最小値は、f(2)=-3であり、
最大値は、f(4)=1
となります。
No.11729 - 2010/09/27(Mon) 21:37:49
☆ Re: 2次関数の値域と最大・最小 / マユ
わかりました。
ありがとうございます＾＾
No.11739 - 2010/09/28(Tue) 19:33:33
☆ Re: 2次関数の値域と最大・最小 / マユ
板橋さんへ

えっと、最大値と最小値はなければなしでOKです＾＾

わざわざありがとうございました＾＾
No.11740 - 2010/09/28(Tue) 19:35:48
★ 数B法線ベクトル / 265
法線ベクトルとは、P(↑p)としたとき既に分かっているベクトルや実数を使ってP(↑p)の存在する範囲を示したものと解釈してよいのですか？
No.11722 - 2010/09/27(Mon) 19:29:13
☆ Re: 数B法線ベクトル / らすかる
法線ベクトルとは、
2次元では「ある線に垂直なベクトル」
3次元では「ある面に垂直なベクトル」
のことです。
「既に分かっているベクトルや実数を使ってP(↑p)の存在する範囲を示したもの」
のような意味はありません。
No.11723 - 2010/09/27(Mon) 19:37:58
☆ Re: 数B法線ベクトル / 265
済みません、ベクトル方程式でした
No.11725 - 2010/09/27(Mon) 19:46:23
☆ Re: 数B法線ベクトル / らすかる
「既に分かっている」を除けばほぼ正しいと思います。
No.11730 - 2010/09/28(Tue) 00:08:22
☆ Re: 数B法線ベクトル / 265
ありがとうございました
No.11745 - 2010/09/28(Tue) 21:05:52
★ 予想外の数字 / √
よろしくお願い致します。

昨日の熱血平成教育学院の問題で

水槽の中に、
グッピー１９８匹
金魚２匹
合計２００匹います。

で、グッピーは９９％ということになります。

このグッピーを９８％にするには、
グッピーを何匹、取り除けば良いかという問題です。

計算すれば、すぐに答えは１００匹と出るのですが、

たった１％減らすのに、
１９８匹中、１００匹減らすということは、
半分以上、減らすことになるので、
あまりにも大きな数字になったので、びっくりしてしまいました。

最初は、計算間違いしたと思った程でした。

私には、感覚的に予想外の数字でした。

なぜ、計算結果と感覚が、かけ離れてしまったのでしょうか？

大変、変な質問で申し訳ありません。
改めて、１％の変化の大きさを感じました。
No.11719 - 2010/09/27(Mon) 12:02:03
☆ Re: 予想外の数字 / らすかる
「99％」と「98％」を見ると「近い値」に見えますが、
金魚の割合「1％」と「2％」を見ると2倍の違いがあります。
金魚の数を変えずに金魚の割合を2倍にするには
全体を半分にするしかないですね。
No.11720 - 2010/09/27(Mon) 14:49:33
☆ Re: 予想外の数字 / √
あっ　分りました。
らすかるさん　有り難うございました。
No.11721 - 2010/09/27(Mon) 15:59:26
★ 三角関数 / mazenda
以前も質問したんですが、
弧度法のとこででてくる、
πなんですが、πが3.14だったり、πが180°だったりして
πの単位はいくつもあるんですか？

よろしくおねがいします。
No.11712 - 2010/09/26(Sun) 18:11:19
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー
高校で習う角度の単位は、度(°)とラジアン(rad) に２種類です。
　180°＝π rad
という関係があります。
rad は普通省略して、単にπとかπ/6 のように書きます。

逆に　π　と書かれていれば、π rad のことです。
No.11713 - 2010/09/26(Sun) 18:34:08
☆ Re: 三角関数 / らすかる
πは3.14…であり180°=3.14…ラジアンです。
No.11717 - 2010/09/26(Sun) 22:39:28
☆ Re: 三角関数 / mazenda
ありがとうございます。もういちどゆっくり考えてみます。
No.11718 - 2010/09/27(Mon) 05:01:33
★ 三角関数の加法定理 / あみ
こたえはわかるのですが解き方がわかりません...。
お願いします;;

(問)0＜α＜π/2でcos2α=3/5のとき､次の値を求めよ

(１)sinα
　　　　　答…1/√5
(２)cosα
　　　　　答…2/√5
(３)tanα
　　　　　答...1/2
No.11711 - 2010/09/26(Sun) 17:48:02
☆ Re: 三角関数の加法定理 / ヨッシー
２倍角の公式
cos２α＝2cos2α−１＝１−2sin2α
より、
(1)
　１−2sin2α＝3/5
　sin2α＝1/5
　sinα＝±1/√5
0＜α＜π/2 より
　sinα＝1/√5

(2) も同様に出来ます。

(3)　
(1)(2) より
　tanα＝sinα/cosα＝1/2
No.11715 - 2010/09/26(Sun) 19:20:36
☆ Re: 三角関数の加法定理 / あみ
ありがとうございます！
自分でもやってみます。

ほんまにありがとうございました。
No.11716 - 2010/09/26(Sun) 20:42:52
★ ベクトル / L
252(2)の問題です

答えは
p=1 のとき q =-8±5√3
p=-1 のとき q =-√3/3

なのですが
q の求め方がわかりません。

お願いします ;;
No.11709 - 2010/09/26(Sun) 12:14:33
☆ Re: ベクトル / X
√2|↑a|=|↑b|
より
2|↑a|^2=|↑b|^2 (A)
(A)と
↑a=(p,2),↑b=(-1,3) (B)
から
2(p^2+2^2)={(-1)^2+3^2} (A)'
一方
↑a-↑bと↑cとのなす角が60°ですので
(↑a-↑b)・↑c=|↑a-↑b||↑c|cos60°
つまり
(↑a-↑b)・↑c=(1/2)|↑a-↑b||↑c|
∴{(↑a-↑b)・↑c}^2=(1/4){|↑a-↑b|^2}{|↑c|^2} (C)
(C)と(B)及び↑c=(1,q)より
{{p-(-1)}・1+(2-3)・q}^2
=(1/4){{p-(-1)}^2+(2-3)^2}(1^2+q^2) (C)'
(A)'(C)'をp,qについての連立方程式と見て解きます。
No.11710 - 2010/09/26(Sun) 14:48:20
★ 積分 / まり
関数Ｆ(x)=∫[x,0](at^2+bt+c)dt+dがx=-1で極大値17/3をとり,x=3で極小値-5をとるとき,定数a,b,c,dの値を求めよ。

この問題の解き方を教えてください！

No.11698 - 2010/09/25(Sat) 15:46:57
☆ Re: 積分 / ヨッシー
普通に積分してはどうでしょう？

　F(x)＝ax^3/3＋bx^2/2＋cx＋d
微分して、
　F'(x)＝ax^2＋bx＋c
これが、a(x+1)(x-3) の形に書けるので、
　b＝-2a、c＝-3a
よって、
　F(x)＝ax^3/3−ax^2−3ax＋d
と書け、
　F(-1)＝5a/3＋d＝17/3
　F(3)＝-9a＋d＝-5
これより、a＝1、d＝4 が得られ、
　b＝-2、c＝-3
となります。
No.11699 - 2010/09/25(Sat) 17:10:28
★ 漸化式についてです / ハオ
a_1=1
a_(n+1)=3^n(a_n)+7---?@
で表される漸化式がある。
この時一般項a_nを求めよ。

全く歯が立ちません。両辺を3^(n+1)で割っていって3^nの次数下げをはかりましたがよく分からなくなってしまいました
?@の両辺を3^(n+1)で割って
a_(n+1)/3^(n+1)=b_(n+1)とおいて
b_(n+1)=3^(n-1)b_n+7/3^(n+1)　これを更に割って同様に
c_(n+1)=3^(n-2)c_n+7/｛3^(n+1)｝^2
以下帰納的に
z_(n+1)=3^(n-n)z_n+7/{3^(n+1)}^n
まで持って行きましたがよく分かりませんでした
根本的に違いますか？アドバイスを下さい。
No.11691 - 2010/09/24(Fri) 21:44:57
☆ Re: 漸化式についてです / angel
うーん。答を単純な式で表すことができないのですが…。
　a_(n+1) = ( 3^n )×a_n + 7
でいいんですよね。

取り敢えず、a_1 の条件が無かったとして、一般解は
　a_n = a_1・3^( n(n-1)/2 ) + 7Σ[k=1,n-1] 3^( n(n-1)/2-k(k+1)/2 )　( n≧2 )
となりました。

解き方としては2段階。
一つは、x_(n+1)=3^n・x_(n) という、元の漸化式から +7 を省いた部分を解く事。

もう一つは、a_1=0 の場合の a_n の一般項 ( 以下 b_n とする ) を求めること。
　b_2 = 7・3^0
　b_3 = 7・( 3^0 + 3^2 )
　b_4 = 7・( 3^0 + 3^3 + 3^3・3^2 )
　…
　b_n = 7・( 3^0 + 3^(n-1) + 3^(n-1)・3^(n-2) + … )

最後に、a_n=αx_n+b_n ( αは定数 ) となることから、αを計算する、となります。
No.11692 - 2010/09/24(Fri) 22:58:45
☆ Re: 漸化式についてです / angel
細かいところですが、a_1 も含めて表現するなら、
a_n = (a_1-7)3^( n(n-1)/2 ) + 7Σ[k=1,n] 3^( n(n-1)/2-k(k-1)/2 )　( n≧1 )
ですね。
…a_1=7 だったら、少しキレイだったのに。
No.11696 - 2010/09/25(Sat) 07:52:28
☆ Re: 漸化式についてです / ハオ
申し訳ありませんがアドバイスだけだとやはり解けませんでした・・・。２段階目そして何故２段階で考えるのかは理解出来たのですが・・・・
x_(n+1)=3^n・x_(n)を解けとの事ですが
x_(n)の係数が3^nですと　どうにもこうにも解けません　

打つのが面倒だと言うのは承知の上ですが
略解を頼めないでしょうか？
No.11700 - 2010/09/25(Sat) 22:32:31
☆ Re: 漸化式についてです / ハオ
早急な解答は大変感謝いたします。
蛇足ですが、何処かの入試問題という訳ではなく
ネット上の掲示板での「この問題解けたら京大レベル」というのにノッテしまい解こうとするも解けないので皆様に質問させて頂いたという次第で御座います。
No.11701 - 2010/09/25(Sat) 22:34:42
☆ Re: 漸化式についてです / angel
> x_(n+1)=3^n・x_(n)を解けとの事ですが

ここは、答として載せた中の 3^( n(n-1)/2 ) の形から推理すれば分かったかも知れません。

　x_(n+1)=p_n・x_n

の形なので、両辺の対数を取ると、

　log(x_(n+1)) = log(x_n) + log(p_n)

y_n=log(x_n), q_n=log(p_n) と置くと、

　y_(n+1)=y_n+q_n

ということで、階差数列の話に還元できるのです。
対数の底としては、今回は 3 が良いでしょう。
実際に解答を書くとしたら、真数条件とかの説明が色々メンドウなので、対数の話はメモの片隅に追いやって、あたかも最初から分かっていた風に、帰納法にするでしょうけど。
No.11702 - 2010/09/25(Sat) 23:11:49
☆ 補足 / angel
> ２段階目そして何故２段階で考えるのかは理解出来たのですが・・・・

それが理解できるなら、十分な気もしますがね。

補足1.
　「a_1=0 の場合の a_n の一般項 ( 以下 b_n とする ) を求めること。」
　と書きましたが、別に a_1=0 に特別な意味はありません。
　要は、初項としてある値を選んだ時の一般項が1つ求められれば良いのです。
　最初、a_1=0 が分かりやすいかと思ったのですが、No.11696 の形が直接出てくるので、a_1=7 の方がベターかもしれません。(後から気付いた)

補足2.
　この「2段階」で考えるのは、割と常套手段だったりします。
　例えば、a_(n+1)=2a_n+1 という数列を求める場合、良くあるのが、

　　両辺に1を足して、a_(n+1)+1=2(a_n+1)
　　これは等比数列を表すため、a_n+1 = (a_1+1)・2^(n-1)
　　よって、a_n = (a_1+1)・2^(n-1)-1

　という方法ですが、これは見方を変えれば、

　　数列 b_n=-1 は、b_(n+1)=2b_n+1 を満たす
　　元の漸化式と辺々差を取ると、a_(n+1)-b_(n+1)=2(a_n-b_n)
　　x_n=a_n-b_nと置くと、x_(n+1)=2x_n よって、x_n=α・2^(n-1)
　　ゆえに a_n=x_n+b_n=α・2^(n-1)-1、後はa_1に合うようにαを決定

　と同じようなことなので。
No.11704 - 2010/09/25(Sat) 23:45:35
☆ Re: 漸化式についてです / らすかる
別解です。
a[n+1]=3^n*a[n]+7
両辺を3^f(n+1)で割ってa[n]/3^f(n)=b[n]と置きかえることを考えます。
そのように出来るためには f(n+1)-f(n)=n となる必要がありますので
f(n)は２次式で f(n)=n(n-1)/2 とすれば良いことがわかります。
そこで両辺を3^{n(n+1)/2}で割って
a[n+1]/3^{n(n+1)/2}=a[n]/3^{n(n-1)/2}+7/3^{n(n+1)/2}
b[n]=a[n]/3^{n(n-1)/2} とおくと
b[n+1]=b[n]+7/3^{n(n+1)/2}
b[1]=a[1]/3^(1*(1-1)/2)=1
よって
b[n]=b[1]+Σ[k=2〜n]7/3^{k(k-1)/2}　（n≧2）
=1+Σ[k=2〜n]7/3^{k(k-1)/2}　（n≧2）
={7Σ[k=1〜n]3^{k(1-k)/2}}-6　（n≧1）
なので
a[n]=3^{n(n-1)/2}*b[n]
=3^{n(n-1)/2}*{{7Σ[k=1〜n]3^{k(1-k)/2}}-6}
No.11705 - 2010/09/25(Sat) 23:53:38
☆ Re: 漸化式についてです / ToDa
それでは私も別解を。置き換えなどはしないぶん、理解しやすいかもしれません。
Σの部分を簡単に表記できないかなあとモタモタしてました。

a_n = 3^(n-1)a_(n-1) + 7
    = 3^(n-1)(3^(n-2)a_(n-2) + 7) + 7
    = 3^(n-1){3^(n-2)(3^(n-3)a_(n-3) + 7) + 7} + 7
    = …
    = 3^(n-1)[3^(n-2)[3^(n-3)[…[3^(1)a_1 + 7] + 7] + … 7] + 7
(↑ちょっと読みづらいですが、実際に紙に書いてみればすぐ分かります)
    = 3^(1+2+…+(n-1))a_1
     + 7・3^(2+3+4+…+(n-1))
     + 7・3^(3+4+…+(n-1))
　　 + …
     + 7・3^(n-1)
     + 7
    = 3^(n(n-1)/2) + 7 + 7(Σ[k=1 to n-2]3^(n(n-1)/2) - k(k+1)/2))

No.11706 - 2010/09/26(Sun) 00:37:26
☆ Re: 漸化式についてです / ハオ
皆さん本当に有難う御座います。数学に関係なく恐縮ですが何だか本当に凄いなぁと思ってしまいます。数学の偉人達と接している気分になります。

ジックリ皆さんの解答を考えて理解したいと思います。
有難う御座います。
No.11707 - 2010/09/26(Sun) 00:40:52
★ 図形と計量 / みー

問題と解答は画像の通りです。
(3)についてなのですが、私は模範と
違う方法で計算しました。
ですが答えが合いません。
私としては、計算のしかたは合っている気が
するのですが、どうしても計算ミスを
見つけることができません。
どこに問題が有るのでしょうか。
よろしくお願い致します。
No.11688 - 2010/09/24(Fri) 20:21:55
☆ Re: 図形と計量 / Ans
みーさんは、
【△ＡＢＣ】の内接{円}の半径を求めています。
「その意味では合ってます」

(3)で求めるものは
【正四面体】の内接{球}の半径です。
No.11690 - 2010/09/24(Fri) 21:42:58
☆ Re: 図形と計量 / みー

この立体を真上から見たら
内接円になるかなと
思ったのですが
それではだめでしょうか(>_<)

No.11693 - 2010/09/25(Sat) 03:20:48
☆ Re: 図形と計量 / X
内接円にはなりません。
∵)
四面体OABCの内接球を△ABCに投影した円が△ABCの内接円になると仮定します。
この内接円の接点を通り△ABCを含む平面に垂直な直線lを考えると、
lは四面体OABCの外側を通ります。
従ってこの接点に対応する内接球上の点は存在しないことになり、
仮定に矛盾します。
No.11694 - 2010/09/25(Sat) 07:37:16
☆ Re: 図形と計量 / angel
断面図を描いてみましょう。
今、ABの中点をM、△ABCの重心をG ( 解答の図と同じ )、△OABの重心をH、内接球の中心をXとします。
すると、内接球は、G,Hで面に接しています。そのため、内接球の半径は XG
そして、OCMでの断面図は、添付の図の上側のようになります。
※内接球は、各面に接しているのであって、各辺には接していないため、球とOCは離れています。

さて、添付の図の下側は、底面そのものです。
ここに内接円も描いた場合、その半径は GM となります。

ということで、添付の図の上側で比べて頂くと分かりますが、内接球の半径 XG と、底面の内接円の半径 GM は、長さが異なります。
No.11695 - 2010/09/25(Sat) 07:44:29
☆ Re: 図形と計量 / みー

内接円とは別物だったんですね(>_<)!
理解できました。
Ans様、X様、angel様
ありがとうございました。

No.11708 - 2010/09/26(Sun) 08:18:14
★ 溶解度計算 / bone
こんばんは。化学なのですが理論分野でかれこれ何日も考えているのですがどうしてもわからないので質問させてください。
不可だとは思うのですが本当にすみません。

ある塩は１００ｇの水に０℃で５０g、８０度で１５０ｇ溶ける。今８０度の飽和水溶液１００gから水を蒸発させてその後に０℃まで冷却したところ５０gの結晶が析出した。蒸発した水は何gか。

８０度に対応させた式を作りたいのですが
私の回答は
析出量/溶液＝(１５０−５０)/２５０＝５０/(100-x-50)
としたのですがどうしてもあいません。
溶質/溶液の方法はできるのですが、析出量/溶液で解きたいです。

どなたかどこが間違っているのかご指摘して頂けないでしょうか？
お願いします・・・
No.11677 - 2010/09/24(Fri) 00:26:49
☆ Re: 溶解度計算 / rtz
結晶として析出した50gには、
残った水が80℃から0℃に下がったことによって溶けきれなくなった塩の量(水100に対し150)と、
蒸発させた水の80℃で溶けうる塩の量(水100に対し100)とが足されています。

これらは同率の比率ではありませんから、
単純に比例関係だけで当てはまるものではありません。

現に、
80℃のときは、水40gに塩60gありましたが、
水20gが蒸発したことによる30gの析出と、
残った水20gが温度低下したことによる析出20gが
合わさって50gになっているのですから、
ぱっと思いつく簡単な1つの式になるようなものではないでしょう。
出来るかもしれませんが、時間の無駄以上に汎用性がないと思います。
No.11679 - 2010/09/24(Fri) 01:57:28
☆ Re: 溶解度計算 / moto
横から失礼します
rtz　さんの回答のおまけです。

左辺は、【溶液250g，8℃の飽和溶液】に対する
【そのまま0℃まで下げたときに析出する量】の割合なので
【8℃からそのまま0℃にしたとき】しか使えません。

この場合【溶液100g，8℃】の【飽和溶液】から水を蒸発させたものなので･･･
【既に飽和している溶液】から水を奪っていることにより
もし、8℃から冷やすときは、【既に何{g}か析出している】はずです。
★つまり右辺がおかしくなっています。
【析出量/溶液】を利用することは、相当無理のかかる式になってしまいます。


★どうしても「析出量/溶液で解きたい」ならば
8℃から冷やすとして、既に析出している量を、p{g}とし、
8℃の溶液は、100{g}から、蒸発した水x{g}、析出した食塩p{g}を除き
･･･(100−x−p){g}
0℃にしたとき新たに析出する食塩は、50{g}から新たに析出した分を除き
･･･50−p
【溶質/溶液＝(150−50)/250＝(50−p)/(100−p−x)】

●8℃の飽和溶液100{g}
100＊(150/250)＝60･･･食塩
100＊(100/250)＝40･･･水
●水{g}蒸発させ、食塩p{g}が析出した後の8℃の飽和溶液(100−p−x){g}
60−p･･･食塩
40−x･･･水
★8℃の溶液中の食塩とみすの比が150：100＝3：2であることから
･･･60−p：40−x＝3：2　で、p＝(3/2)x
●0℃にしたとき新たに析出する食塩
･･･50−(3/2)x
【溶質/溶液＝(150−50)/250＝{50−(3/2)x}/{100−(3/2)x−x}】
を解いて、【x＝20】

rtz　さんがおっしゃっているように、
「時間の無駄がおきます。」
「そのまま冷やすときしか使えないという汎用性無さがあります。」
No.11680 - 2010/09/24(Fri) 03:48:18
☆ Re: 溶解度計算 / rtz
＞motoさん
フォローありがとうございます。
本題とは関係ないですが1つだけ、
80℃が全部8℃になっちゃってますね。
No.11682 - 2010/09/24(Fri) 04:50:22
☆ Re: 溶解度計算 / bone
ご回答本当に有難うございます。
とても助かりました。。。
では溶質/溶液でできるだけやったほうが汎用性があるのですね。単純問題意外は其れでやりたいと思います。

また、似たような問題なのですが硝酸カリウムについて水１００ｇの10度で22g、70度で137g溶ける
25パーセントの飽和水溶液200ｇを冷却して10度にすると何gの結晶が析出するか

溶質/溶液＝（２００*２５/１００）-x/２００＝２２/１２２
と立てたのですが答えがマイナスになってしまいます。
大丈夫だと思ったのですが・・・
どこが間違っているのでしょうか？？
すみませんがお願いいたします・・・
No.11683 - 2010/09/24(Fri) 15:56:34
☆ Re: 溶解度計算 / rtz
硝酸カリウムの溶解度は正しいようですが、
「25パーセントの飽和水溶液200ｇ」はちょっとおかしな表現ですね。
(適切な温度が書いてあるべき、或いは70℃の水溶液と書くべき)

＞溶質/溶液＝（２００*２５/１００）-x/２００＝２２/１２２
は、
{（２００*２５/１００）-x｝/２００＝２２/１２２
ですか？

これが正しいとして、
左辺の溶液の重さは、冷却して結晶が出来ているのに本当に200gでしょうか。

あくまで溶解度は溶媒100に対する量ですから、
析出が絡む問題でこのようなミスをおかしたくないなら、
溶媒と溶質の比率で考えたほうが無難です。
今回も水を分母にすれば間違えることはないですね。
No.11685 - 2010/09/24(Fri) 16:37:40
☆ Re: 溶解度計算 / bone
こんばんは、遅くなりましてすみません。
やっと確実性が増してきまいｓた。
本当に助かりました！！
本当にどうもありがとうございました！！！
No.11731 - 2010/09/28(Tue) 01:53:17
★ 三角関数 / bone
こんばんは、質問をさせてください。

0≦x≦π/4 o≦y≦π/4に対し連立方程式
sinx^2+cosy^2=3/4
sinxcosy=√2/4
が成りたつ。
このときｘｙの値を求めよ。

解き方はわかるのですが、この問題を解く上でのsinxとcosyの大小関係についてわからないことがあります。
回答によるとsinx≦cosyだということなのですが、今確かに０からπ/4の間ではサインの方が小さくなりますが、それは同じ文字について言えることであり、今ｘ、ｙと異なるものについてのsin,cosの大小はいえないと思うのです。
例えばsinx≦cosxなら成り立つけれど今回この文字がｘとｙで異なるので回答のようになるとは限らないのではないかということです。
とても腑に落ちません。
教えてほしいです。
No.11676 - 2010/09/24(Fri) 00:04:59
☆ Re: 三角関数 / のぼりん
こんばんは。
　　０≦ｘ≦π/４　⇒　０≦ｓｉｎ ｘ≦１/√２
　　０≦ｙ≦π/４　⇒　１/√２≦ｃｏｓ ｙ≦１
ですから、確かに
　　ｓｉｎ ｘ≦ｃｏｓ ｙ
ですね。
No.11678 - 2010/09/24(Fri) 00:28:13
☆ Re: 三角関数 / bone
なるほどです！
わかりました、ありがとうございました！
No.11684 - 2010/09/24(Fri) 15:58:34
★ 学年は高校から大学 / mansan
nを正の整数とする時、
∫(logx)^n dxを求めたいです。積分範囲は0〜1です。
よろしくお願いします。
テイラー展開を使い級数で表そうとしましたが上手くいきません。
No.11671 - 2010/09/23(Thu) 21:07:21
☆ Re: 学年は高校から大学 / のぼりん
こんばんは。

【方針１】ガンマ関数をご存じなら、ｔ＝−ｌｏｇ ｘ とおくと、直接
　　　∫０１（ｌｏｇ ｘ）ｎｄｘ＝（−１）ｎΓ（ｎ＋１）
が示せます。

【方針２】先ず、帰納法とド･ロピタルの定理により、
　　　ｌｉｍｘ→＋０ ｘ（ｌｏｇ ｘ）ｎ＝０
を示します。 次に、これを使って、帰納法により、
　　　∫０１（ｌｏｇ ｘ）ｎｄｘ＝（−１）ｎ ｎ！
を示します。
No.11672 - 2010/09/23(Thu) 22:09:13
☆ Re: 学年は高校から大学 / mansan
有難うございます!
試してみます。
No.11673 - 2010/09/23(Thu) 23:20:38
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