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(No Subject) / みほ
こんばんわ!!!
(1)次の極限値を求めよ。
lim(x→0)=(e^x−1)/x


(2)次の導関数を求めよ
{X^2(X−1)}/(X−2)^3



この2問またお願いします。

No.6221 - 2009/06/10(Wed) 01:15:52

Re: / rtz
(1)
式がおかしいです。

与式
=limx→0(ex−e0)/(x−0)
=… [ヒント:微分の定義]

(2)
合成関数の微分や商の微分法を駆使して、最低1回は根性でやってください。
この手の導関数を問題中に求めさせることはありますので、それをできないでは済まされません。

その後ならt=x-2で置き直すと非常に楽になることが分かるかと思います。

No.6223 - 2009/06/10(Wed) 02:00:13

(No Subject) / みほ
ヒントありがとうございます。
(2)についてですが、何度も計算はしました。
ただ、どうしても分母の数が大きいままで約分がうまくできずつまずいてしまいました。


ご指摘いただいた通りやってみたいと思います。

No.6224 - 2009/06/10(Wed) 07:31:00

Re: / ヨッシー
(2) の分母は、最初は (x-2)^6 ですが、分子を書いたとたんに、
(x-2)^4 になり、最後までそのままです。

No.6226 - 2009/06/10(Wed) 08:53:56

(No Subject) / みほ
ヨッシーさん解説ありがとうございます!!!
頑張ってやってみます。

No.6235 - 2009/06/11(Thu) 11:11:11
微分 / 沙羅
微分の問題です

次の関数の増減を調べ、極地を求めよ。
また、そのグラフを書け。
y=-x^4-4x^3+16x+16

私はこれを微分して
y=-4x^3-12x^2+16
にするまでしか分かりません

教えて下さい!!

No.6218 - 2009/06/09(Tue) 23:20:04

Re: 微分 / ヨッシー
増減を調べ、なので、
 y’=4x^3-12x^2+16
の正負を調べないといけませんね。
そのためには、y’=0 となるxの値を見つけるわけですが、
その一つがx=−1なので、4x^3-12x^2+16 は、(x+1) で
割り切れて、
 4x^3-12x^2+16=4(x+1)(x^2-4x+4)
  =4(x+1)(x-2)^2
と書けます。
よって、x<−1 で y’<0 x≧−1 で y'≧0 となり、
さらに、x=2 でy’=0 となります。

No.6222 - 2009/06/10(Wed) 01:56:53
不定積分 / あやめ

今晩は!
早速ですが、
∫(3x+1)^4 dx
という問題で、公式の
∫x^a dx=1/2+1 x^a+1 +C
を使うと
1/4+1(3x+1)^4+1 +C
になるのですが、解答は
1/3×1/4+1(3x+1)^4+1 +C
でした。
なぜ1/3をかけるのでしょうか?

どなたかお願いします。

No.6214 - 2009/06/09(Tue) 20:35:10

Re: 不定積分 / 都
んー。

では、その出てきた答えの1/4+1(3x+1)^4+1 +Cをxで微分したらどうなりますか?

No.6216 - 2009/06/09(Tue) 21:23:50

Re: 不定積分 / angel
合成関数の微分の逆になります。
f(x)=g(x)^(n+1) の形に限定して考えると、
 f'(x)=(n+1)・g'(x)・g(x)^n
となります。
逆に、積分してあげると、
 ∫g'(x)・g(x)^n・dx = 1/(n+1)・f(x) + C
ということです。あやめさんの提示された公式は、g(x)=x の場合と一致します。

今回の場合、g(x)=3x+1 を適用してあげると、g'(x)=3 ですから、
 ∫3(3x+1)^4・dx = 1/(4+1)・(3x+1)^(4+1) + C
となります。
そのため、さらに1/3をかけると、答えになります。

No.6217 - 2009/06/09(Tue) 21:28:11

Re: 不定積分 / あやめ

なるほど!理解できました!
お二人とも分かりやすいご説明ありがとうございます!


No.6219 - 2009/06/09(Tue) 23:22:24
無限級数 / aki
こんにちは*\(^o^)/*
少しお久し振りです。
質問お願い致します。
http://s.upup.be/?CDwcuxJtNB
の(2)は、T1 T2 を求めると公比がわかるのですが、それだけで公比だと決め付けてあとは無限等比級数の和だとして答えを求めてもよいのでしょうか?
本当は帰納法などで証明しないと断言できない気がするので減点になるのでしょうか?
どうかお願い致します。

No.6211 - 2009/06/09(Tue) 15:47:57

Re: 無限級数 / ヨッシー
>公比だと決め付けてあとは無限等比級数の和だとして答えを求めてもよい
です。
特に証明はいりません。

T1 に T2 がはまっている図と、
T2 に T3 がはまっている図とでは、
相似(2つの正三角形の比率ごと相似)なので、
T1 と T2 の面積比と、T2 と T3 の面積比、
ひいては、Tn と Tn-1 の面積比も
同じになります。

つまり、
 Tn=αTn-1
という漸化式になります。隣接する2項の比が一定ということで、
即座に、等比数列であると断定していいでしょう。
もちろん、証明してもいいです。

No.6212 - 2009/06/09(Tue) 16:20:23

Re: 無限級数 / aki
遅くなり大変失礼しました申し訳ありません。
少し分かったのですが、二つの正三角形の比率ごと等しいとはどういうことでしょうか?
よく数列で、
推測→帰納法で証明
の問題があるので、それと比較するとどういう時に証明して、どういう時に証明しなくてよいのかが混乱します。
すみませんが教えて下さい…

No.6627 - 2009/07/09(Thu) 17:22:31

Re: 無限級数 / ヨッシー
正三角形と、正三角形が相似なのは当たり前ですが、
T1 に T2 がはまっている形と、
T2 に T3 がはまっている形が相似だということです。

n=αTn-1 は、等比数列の漸化式です。
n=Tn-1+d は、等差数列の漸化式です。
このように、わかりきっているものは証明を省略してもいいでしょう。
どういうものがわかりきっているかは、その人のレベルによります。

No.6633 - 2009/07/09(Thu) 22:09:12

Re: 無限級数 / aki
わかりました!
正三角形と正三角形は相似で、その比が隣接する項で一定であればもう断定していいのですね、とても助かりましたありがとうございます。

No.6709 - 2009/07/12(Sun) 19:35:46
数?U+B / 神田

おはようございます。
円と接線の問題で、直線y=mx+2が円x^2+y^2=1に接するとき、接線の方程式を求めよ。
という問題なんですが、点と直線の距離の公式はわかっているのですが点がないのでうまく使えません。
もっと別の方法で解くのでしょうか?

No.6209 - 2009/06/09(Tue) 06:36:46

Re: 数?U+B / 豆
円と直線が接するとき、『円の中心』と直線の距離は円の半径ですね。
No.6210 - 2009/06/09(Tue) 06:48:16
数学 / みほ
大学の数学?Tについてお願いします。
次の極限値を求めよ。
(1)lim(x→0)={√(1+x)-√(1+x^2)}/{√(1-x^2)-√(1-x)}

(2)lim(x→0)=arcsinX/x


極限の計算がとても苦手です・・・
読みにくいかもしれませんが解説お願いします。

No.6203 - 2009/06/08(Mon) 16:26:38

Re: 数学 / 豆
(1)分母子とも有理化して0になる項を消してやりましょう。
(2)x=sin(arcsinx) ですね。

No.6204 - 2009/06/08(Mon) 17:02:46

Re: 数学 / ヨッシー
(1) 分母分子に、
 √(1+x)+√(1+x2) と √(1-x2)+√(1-x)
を掛けて、
 {√(1-x2)+√(1-x)}(x-x2)/{√(1+x)+√(1+x2)}(-x2+x)
 ={√(1-x2)+√(1-x)}/{√(1+x)+√(1+x2)}
となり、x→0 で、2/2=1 に収束します。

(2)
f(x)=arcsin(x), g(x)=x とすると
 f(0)=g(0)=0
 f'(x)=1/√(1-x2)
 g'(x)=1
 f'(0)=1, g'(0)=1
を、ロピタルの定理に適用して
 (与式)=1/1=1

No.6205 - 2009/06/08(Mon) 17:13:38

数学 / みほ
解説ありがとうございます!!!
ばっちり理解できました(*^_^*)

またよろしくお願いします。

No.6215 - 2009/06/09(Tue) 21:21:35
三角形の合同条件の証明 / ベジータ
こんばんは。

三角形の合同条件の証明はどのようにやるのでしょうか?教えて下さい。

ウィキペディアには、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%88%E5%90%8C
ユークリッド幾何学(原論)において、これらはそれぞれ定理として証明されている。一方、ヒルベルトによる幾何学の公理化においても、これらはそれぞれ定理として証明されているが、二辺夾角相等に関しては、これに非常に近い公理が用いられ証明されている。

とありますね。

しかし証明が載っていませんでした。どのように証明するのでしょうか?

また、「二辺挟角相等に関しては、これに非常に近い公理」とありますが、その公理とは何でしょうか?

また、合同条件が証明できれば相似条件も示せるらしいのですが、これはどう示せばよいのでしょうか?

よろしくお願いいたします。

No.6193 - 2009/06/07(Sun) 21:46:39

Re: 三角形の合同条件の証明 / Light
文章や図から読み取るしかありません。
文章には仮定条件や中点や角の二等分線などの文章が使われています。それらを頼りにする他はないです。

わかりやすく説明すると、幾何学的にそれらの公式(公理)が正しいことが立証されたと言うことです。

合同と相似は似ています。合同が出来ないと、相似で困りますかね。
合同の場合は、線分の長さや角の大きさは等しいです。
相似とは、同じ図形を拡大したり縮小したりすることです。拡大や縮小はして、線分の長さは変わりますが、角の大きさは変わりません。
合同で出てくる、共通の角を使って相似でも使うことが出来ます。相似の場合は、線分の長さが違う為、線分比をを用います。

例えば、次のような問題があったとします。
(例題) 三角形PABに於いて、線分ABの垂直二等分線上の点Pとすると、AB=BPとなる。
このことを、証明せよ。

[証明] 三角形PAMと三角形PBMに於いて
AP=BP (仮定)・・・ 1
PM=PM (共通)・・・ 2
∠APM=∠BPM (仮定)・・・ 3

1,2,3 より、
2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
三角形PAM ≡ 三角形PBM  //

No.6201 - 2009/06/08(Mon) 00:22:50

Re: 三角形の合同条件の証明 / ベジータ
>文章や図から読み取るしかありません。
とありますが、ここで言う、「文章や図」とはどこの何を指しているのでしょうか?具体的にどこでしょうか?

No.6207 - 2009/06/08(Mon) 20:26:18

Re: 三角形の合同条件の証明 / Light
「線分ABの垂直二等分線をPとする」ということは、垂直二等分線である為、線分ABの中点だということ、垂直二等分線を取るということは、角度が直角になるということです。

図形に、点や線が書いてありますがあれらは線分の長さや角度の大きさが等しいことを示します。

この図の場合は、2通りの証明が出来ます。


例題) 下図のような図形がある。(合同のように見えないかも知れませんが、合同です。)
その図形は、AB=AD,BE=DC ならば、 BC=DE であることも証明せよ。



(解説)[証明] 三角形は"Δ" ,合同は"≡",角は"∠"と表す。
ΔAEDとΔACBに於いて、
AB=AD ・・・1(仮定)
BE=DC ・・・2(仮定)
∠EAD=∠CAB ・・・3(共通) 若しくは∠A=∠A でも可。

1,2,3より、 2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
ΔAED≡ΔACB 
よって、BC=DE となる。//



文章を読み取って、この角とこの線分は等しいところには印を付ける習慣を付けましょう。

(問)ΔABCはAB=BCの二等辺三角形であり、辺AB,AC上にBD=CDとなるように点D,Eをとるとき、ΔFBCが二等辺三角形であることを証明しなさい。

ヒント:
 証明する三角形の図を、文章から読み取り自分で作図をする。勿論、手書きでよい。
 二等辺三角形を証明したいといっているが、先ずは合同な三角形を証明した後に、二等辺三角形の定理である「二等辺三角形の底角(底の角)は等しい」を使用する。

No.6213 - 2009/06/09(Tue) 20:22:38

Re: 三角形の合同条件の証明 / ベジータ
それで、三角形の合同条件の証明はどのようにやるのでしょうか?
No.6220 - 2009/06/10(Wed) 00:11:01

Re: 三角形の合同条件の証明 / DANDY U
横から失礼します。次のように考えてみればどうでしょう。

「2つの図形が合同」というのは、「一方を形,大きさを変えずに移動して他方にぴったり
重ね合わせることができる」として考えます。(合同条件以前の段階だから、この定義に戻るしかありません)

【一辺両端角相等の場合】
△ABC と△DEF において、BC=EF,∠B=∠E,∠C=∠F とします。
△ABCを移動していき、辺BCを辺EFに重ねます。、(BC=EFより可能。また、EFに関してAと
Dが反対側にあれば対称移動させます)このとき
∠ABC=∠EよりAは半直線ED上にきます。
∠ACB=∠FよりAは半直線FD上にきます。
よって、点Aは半直線ED,FD上にあるので、点Dと重ならざるを得なくなります。
よって、△ABCが△DEFに重ね合わせることができ、合同であるといえます。

他の合同条件も同様に考えられますね。

No.6225 - 2009/06/10(Wed) 08:37:45

Re: 三角形の合同条件の証明 / ベジータ
あ・あの〜…
肝心の、三角形の合同条件の証明はどのようにやるのでしょうか?
という質問に対する答えが欲しいのですけれども……。

No.6241 - 2009/06/11(Thu) 21:00:46

Re: 三角形の合同条件の証明 / ベジータ
すみません。残っていたクッキーでHPを見ていたので、新しい書き込みがあったことに気づかず、古い書き込みを見ていました。今から読みます。上のコメントは勘違いです。すみません。
No.6242 - 2009/06/11(Thu) 21:03:20

Re: 三角形の合同条件の証明 / ベジータ
DANDY U さん、ありがとうございます。

納得行きました。すばらしい!
これはダンディーUさんが考えた証明ですか?


また、三辺相当、二辺挟角相当、はどうやるのでしょう?

三辺相当について、
△ABC と△DEF において、BC=EF,AB=DE,CA=FD とし、このあとどうやるのでしょう?1辺は重ねることができますが、あと2辺が重なるとは限りませんし。とまりました。

二辺挟角相当においては、
△ABC と△DEF においてAB=DE,∠B=∠E,BC=EFとし、
どう理由をつければよいのでしょう?
これは明らかに明らかですよね…。
証明は、明らかでよいのでしょうか…?

No.6244 - 2009/06/11(Thu) 21:14:58

Re: 三角形の合同条件の証明 / DANDY U
> これはダンディーUさんが考えた証明ですか?
自分で考えたつもりですが、過去にどこかで見たものが頭の中に残っていたかもしれません。

【三辺相等について】
(AはEFに関してD側になるように、BCをEFに重ねたとします。)
Eを中心にDを通る円を描きます。すると AB=DEより、Aはこの円周上にあります。
また、Fを中心にDを通る円を描きます。すると AC=DFより、Aはこの円周上にあります。
すると、どうしてもAはDと重ならずるを得なくなり、△ABCと△DEFが重なり合同になります。

【二辺夾角相等について】(BCをEFに重ねます)
∠B=∠E より Aは半直線ED上にきます。ところが BA=EDより、AはDと重ならざるを得なくなり、
△ABCと△DEFが重なり合同になります。
(私ならこのように説明します)
 

No.6251 - 2009/06/12(Fri) 10:07:57

Re: 三角形の合同条件の証明 / ベジータ
よ〜くわかりましたし、よ〜く納得できました。
すばらしく美しい証明。

ダンディーさんありがとうございました。

No.6261 - 2009/06/13(Sat) 00:07:46
(No Subject) / zambara
a,bは実数とする.xについての関数f(x)を
  f(x)=|x^3+ax+b|
と定める.|x|≦1におけるf(x)の最大値をM(a,b)として,M(a,b)の最小値を求めよ.

お願いします

No.6189 - 2009/06/07(Sun) 18:15:36

Re: / だるまにおん
もしM(a,b)<1/4とすると
3
>4f(1)+6f(1/2)+2f(-1/2)
=4|1+a+b|+6|1/8+a/2+b|+2|-1/8-a/2+b|
≧|4(1+a+b)-6(1/8+a/2+b)+2(-1/8-a/2+b)|
=3
となり不合理。
∴M(a,b)≧1/4
(a,b)=(-3/4,0)とすれば等号が成り立つことが
容易に確かめられるので、M(a,b)の最小値は1/4

No.6196 - 2009/06/07(Sun) 22:39:03

Re: / zambara
>>もしM(a,b)<1/4とすると

この1/4はどこからでてきたのですか?

No.6269 - 2009/06/13(Sat) 10:47:49

Re: / angel
M(a,b)が最小になるf(x)を先に予想した結果と思われます。
M(a,b)をなるべく最小にするように a,b を決める場合、g(x)=x^3+ax+b と置くと、f(x)=|g(x)| なので、g(x)としては、プラスにもマイナスにも満遍なく、かつ高さがあまりない形を考えることになります。
つまり、
 g(-1)=-M
 g(-α)=M
 g(0)=0
 g(α)=-M
 g(1)=M
 ※M>0, α>0、x=±αでgは極値をとる
という時が M(a,b) 最小になる一例だと推定されます。
続けて考えると、g(x)=x^3-3α^2・x という形になりますので、計算していくと、α=1/2、M=1/4 が分かります。
※だるまにおんさんが示された (a,b)=(-3/4,0) というのが、丁度このケースにあたります

No.6335 - 2009/06/17(Wed) 13:18:17
和積の公式 / きりん
「cos55°+sin65°+sin175°の値を求めよ」という問題ですが、
いくつか公式に当てはめてみましたが、うまくできません。
すみませんがお助け下さい。

No.6187 - 2009/06/07(Sun) 16:40:39

Re: 和積の公式 / rtz
cos55°+sin65°+sin175°

出典はどちらでしょうか?

No.6190 - 2009/06/07(Sun) 18:41:08

Re: 和積の公式 / Light
多分こんな感じです。

与式= {cos(40)*(√(3)+1)*√(2)/2}+sin(5)

No.6199 - 2009/06/07(Sun) 23:49:53

Re: 和積の公式 / 雀
別解というほどのものではないですか、
cos55°+sin65°+sin175°={cos(55°)}(1+√3)

No.6200 - 2009/06/08(Mon) 00:06:17

Re: 和積の公式 / きりん
出典は学校の試験です。
解答出たらまた書き込みます。
やっぱり{cos(55°)}(1+√3)でいいんでしょうかね。
なんか半端です。

No.6202 - 2009/06/08(Mon) 16:12:34
対数 / 鴇
この間、対数のテストがありました。
そこで出て来た問題なのですが・・・
考えても分かりません・・・
テストがまだ返って来ていないので
答えは分かりませんが、宜しくお願いします。

10^log(10)xの値は?
※( )に底を入れておきます

No.6181 - 2009/06/07(Sun) 15:55:45

Re: 対数 / rtz
y=10log10xとして、
両辺の、10を底とする対数をとってみるとよいでしょう。


…実は定義を考えれば明らかなのですが、
log10xとは、10を何乗したものがxになるか、
ということですから、
その数を持ってきて10を"その数"乗すれば、まぁ結果がそうなって当たり前といえば当たり前です。

No.6184 - 2009/06/07(Sun) 16:08:19

Re: 対数 / 鴇
すみません…
それでもよく分かりません

No.6186 - 2009/06/07(Sun) 16:33:27

Re: 対数 / rtz
具体的に何が分からないのか書いてもらえますか?
どこで詰まっているのかが分かりません。

No.6188 - 2009/06/07(Sun) 17:01:55

Re: 対数 / angel
rtzさんの繰り返しになってしまうのですが。

10^n = x となるような n の事を log[10](x) と表します、というのが log の定義な訳です。
つまり、10^n=x ⇔ n=log[10](x)

であれば、n=log[10](x) の時、
10^n=10^(log[10](x))
となる上に、10^n=x ですから、10^(log[10](x))=x となります。

まぁ、x=10, 100, 1000, 10000 … と、色々な値を適用して計算して確かめてみてください。

No.6195 - 2009/06/07(Sun) 22:00:06
またまたすみません / デフ
実数a、bについて次の条件を考える。
a>0かつb>0・・?@、a+b>0・・?A、|a|+|b|>0・・?B、a+b>0かつab>0・・?C
2次関数y=x^2−ax+bのグラフがx軸の正の部分と2点で交わる・・?D

?@〜?Dのうち?@と同値な条件は?
また、?@〜?Dのうち( )は他のすべての条件の十分条件であり、( )は他のすべての条件の必要条件である。
( )を答えよ。

この問題がうまく考えられません。お願いします。

No.6180 - 2009/06/07(Sun) 15:49:33

Re: またまたすみません / rtz
とりあえず各々について、
横軸a、縦軸bのグラフに領域を図示してみてください。

No.6182 - 2009/06/07(Sun) 15:59:44

Re: またまたすみません / デフ
わかりました。やってみます。
確認のために、もしよろしければ答えを教えていただけるとありがたいです。

No.6183 - 2009/06/07(Sun) 16:03:49

Re: またまたすみません / rtz
前回の質問で画像を添付されていましたね。
同様に手書きでもいいので見せてもらえれば判断できますが。

No.6185 - 2009/06/07(Sun) 16:10:53
積分の体積 / ナノ
xy平面上の曲線C:y=sinx(0≦x≦π)上に点P(t,sint)をとり、PでのCの法線とx軸との交点をQとする。線分PQを底辺とする高さsintの長方形PQRSをxy平面に垂直にその上方(z≧0)に作る。実数tが0からπまで変化するとき、この長方形PQRSが通過する部分の体積Vを求めよ。

まずPでのCの法線を求めるとy=-x/cost+(t+costsint)/costとなります。y=0とするとx=t+sintcostとなって、Qの座標は(t+sintcost,0)となります。P(t,sint)とQ(t+sintcost,0)から二点間の距離の公式により、PQ=sint√{(cost)^2+1}となって、長方形PQRSの面積は(sint)^2√{(cost)^2+1}と求まります。後はこの面積を0≦z≦πで積分〜
せっかくといたのに間違えちゃいました。どこが間違えかわからないです。

No.6174 - 2009/06/07(Sun) 01:20:06

Re: 積分の体積 / 雀
zで積分してもtが残りませんか。自分もまだわかりませんが、解答があるようなので書いたほうがいいかと思います。
No.6191 - 2009/06/07(Sun) 19:52:09

Re: 積分の体積 / angel
この問題って高校範囲でしょうか?
( 高校レベルでも解けそうですが、ちょっと難しいように思います )
手元で解いてみた所、答えがπ/2になったのですが、あっているかどうかはあまり自信がありません。

とりあえず、ナノさんの方法のまずい所は、各tにおける□PQRSが平行かつ、□PQRSの移動幅がtの変化量に比例する、という状況でないと使えないことです。
※「0≦z≦πで積分」は、「0≦t≦πで積分」と読み替えています。

私が計算したところでは、□PQRSの通る領域の形は結構ややこしくて、次のような形になると考えています。
※y,zによりxを表すような表現にしています。

 0≦y≦1 かつ 0≦z≦1 かつ
 ( ( y≧z かつ arcsin(y)≦x≦π-arcsin(y) )
  または ( y<z かつ arcsin(z)≦x+√(1-z^2)・(y-z)≦π-arcsin(z) )

体積を、y≧z と y<z の領域に2分して考えると、

 V=∫[0,1] y(π-2arcsin(y))dy + ∫[0,1] z(π-2arcsin(z))dz
 = π-4∫[0,1]w・arcsin(w)dw
 = π-[ (2w^2-1)arcsin(w)+w√(1-w^2) ][0,1]
 = π/2

という計算で π/2 が答えとして出て来ました。
ナノさんには解答例の掲載を、方々にはツッコミを、是非お願いします。

No.6194 - 2009/06/07(Sun) 21:48:54

Re: 積分の体積 / angel
まず、前回の内容に一部誤りがありました。
□PQRSの通過する領域ですが、最後の「または」以降が誤りです。
正しくは、
 または ( y<z かつ arcsin(z)+√(1-z^2)・(z-y)≦x≦π-arcsin(z)-√(1-z^2)・(z-y) )
です。
これにより、答えも変わってきます。2重積分を行うため、高広範囲を逸れてしまいますが…。
数値としては、∫[0,1]z^2・√(1-z^2)dz = π/16 だけ小さくなって、7π/16 が答えです。
申し訳ありませんでした。

No.6239 - 2009/06/11(Thu) 12:46:16

Re: 積分の体積 / angel
なお、もっと楽な解法は次の通りです。
まず、x軸・曲線Cで挟まれる領域の内、PQよりも原点側にある部分の面積を S(t) と置きます。
この時、S(t)=∫[0,t]sinx・dx + 1/2・(sint)^2・cost
となります。

さて、t→t+?冲 と変化する際に、□PQRSが通過する範囲は、というと、底面が S'(t)?冲、高さが sint の柱体と近似することができます。
そのため、その体積は、
 ∫[0,π] sint・S'(t)dt = 7π/16
となります。

ただし、この計算の裏には、「異なる t に対する PQ は互いに交わらない」という条件があります。
※交わる場合は、重複した分を引かなければなりませんから。
この条件については、点Qのx座標の増減を調べれば良いです。( 単調増加になる )

No.6240 - 2009/06/11(Thu) 12:53:44
図形 / デフ
円Aと円Bが交わるのはxの範囲がどんなときか。
またx=12のときyの値を求めよ。

この問題を教えてください。

No.6171 - 2009/06/07(Sun) 00:02:42

Re: 図形 / にょろ
xの円に入っていない部分をx'とします。
x'はxから各々の円の半径を引いたもので交わるときは
x'<0です。

また接戦と中心から接点に下ろした線は垂直に交わります。
なのでBAに延長線を引くと相似の問題になります。

No.6175 - 2009/06/07(Sun) 02:36:46

Re: 図形 / デフ
ありがとうございます。
もしよろしければ答えまで教えていただいてもいいですか?

No.6177 - 2009/06/07(Sun) 03:35:45

Re: 図形 / ヨッシー

こんな感じです。
xがいくつの時に、交わるか、見極めてください。

No.6178 - 2009/06/07(Sun) 05:15:39

Re: 図形 / デフ
わかりやすい説明ありがとうございました。
No.6179 - 2009/06/07(Sun) 13:27:35
素数の一般項 / sig
結構様々な資料を見たのですが、はっきりと言及しているものが見つかりませんでした。
素数の一般項…というか素数についての閉じた式はありますか?

No.6169 - 2009/06/06(Sat) 22:58:06

Re: 素数の一般項 / らすかる
役に立たない式ですが、あることはあります。
p[n]=1+Σ[m=1〜2^n][[n/Σ[j=1〜m]F(j)]^(1/n)]
ただし F(j)=[{cos(π((j-1)!+1)/j)}^2]

No.6176 - 2009/06/07(Sun) 03:17:58

Re: 素数の一般項 / sig
お礼が遅くなってしまいました
てっきりないものだと思っていたので意外です
とても使いこなせそうにありませんが、がんばってみたいと思います。

ありがとうございました。

No.6206 - 2009/06/08(Mon) 19:05:38
高校入試の問題です / rino
次の問題の解き方を教えてください。
円周上に、等間隔に5点A、B、C、D、Eが順に並んでいる。また、袋の中にこれらの点を結んだ線分の名前が1つだけ書いてあるカードが、すべての線分について1枚ずつ入っている。
カードを2枚取り出したとき、カードに対応する2本の線分が重なり合う点をもたない場合は何通りありますか。

重なりがあるので、うまく考えられません。カードは全部で10枚だとはわかるのですが、続きの解き方を教えていただけませんか?よろしくお願いします。

No.6167 - 2009/06/06(Sat) 22:36:34

Re: 高校入試の問題です / ヨッシー

図の10通りです。

No.6168 - 2009/06/06(Sat) 22:48:58

Re: 高校入試の問題です / rino
なるほど。図で書いていただいたので、意味がわかりました。こういうことだったんですね。ありがとうございます。最初の1枚をABとおくと…と考えていたので、ものすごくややこしくてうまくつかめないなあと思っていたのですが、確かにそうですね。納得しました。ありがとうございました。
No.6170 - 2009/06/06(Sat) 23:02:53
二次関数についてです / ハオ
2つの関数y=x^2-4x,y=k(x-a)のグラフがどんなkの値に対しても-2≦x≦2の範囲で少なくとも1つの共有点を持つようなaの値の範囲を求めよ。 という問題です。

解答には傾き-4の接線を求め幾何的に考えると0≦a≦1と記してあります。ここで疑問なのはこの解答の場合だとk=-4の時だけしか考えていないという事ですよね?何故k=-3,2,8などの場合は考えなくてよいのでしょうか。ご教授願います。

No.6165 - 2009/06/06(Sat) 20:18:23

Re: 二次関数についてです / ヨッシー
-4 という傾きは、このグラフにとって、特別な値です。
まず、グラフを、もれなく描いてみましょう。
-4 ってなに?
-3 ではダメなんです。
2 や 8 では、もう何が何だかです。

No.6166 - 2009/06/06(Sat) 22:29:04

Re: 二次関数についてです / angel
>解答には…(中略)…何故k=-3,2,8などの場合は考えなくてよいのでしょうか。

ご覧になったのが「模範解答」であれば、k=-4以外のケースについても、説明が書かれているはずです。逆に、解答を書く時に、k=-4以外の事をきっちり説明していないと、減点もしくは×にされます。
「解説」であれば、ヨッシーさんの回答にもある通り、k=-4が特別(k=-4のみ考えればaの範囲が出てしまう)ため、k=-4のことだけ書いてあったのでしょう。
いずれにしても、「考えなくて良い」わけではありませんので、ご注意下さい。

No.6172 - 2009/06/07(Sun) 00:05:36

Re: 二次関数についてです / angel
図形的に見てみると、この問題というのは、

 点(a,0)を通る任意の直線(但し、y軸に平行な直線を除く)が、放物線 y=x^2-4x の -2≦x≦2 の部分と少なくとも1つ共有点を持つような a の範囲を求めよ

と言い換えることが出来ます。
ここで、放物線上の (-2,12), (2,-4) を結ぶ線分と、放物線とで囲まれる領域(切片)に着目してみましょう。( 必ず絵を描いて下さい )
もし、点(a,0)がこの領域の中(境界除く)にあれば、点(a,0)を通る直線は、必ず境界と2箇所以上で共有点を持つと考えることができます。
点(a,0)と境界の線分部分の共有点は高々1つですから、少なくとも1つ以上は、放物線部分との共有点になります。

それでは、点(a,0)がこの領域の外にある場合はどうでしょうか。
点(a,0)を通る直線の中で、領域の境界と共有点を持つものもあるでしょう。しかし、共有点を持たない直線も必ず一部に出てきます。
特に、領域のほんの少し外に、点(a,0)があると考えてみましょう。点(a,0)を通る直線が、領域と共有点を最も持ちにくいようにするには…と考えると、傾き-4というのが浮かび上がってきます。
※実は偶然にも、この問題では、領域の左側でも右側でも、どちらでも傾き-4がポイントになっています。

逆に言えば、傾き-4で考えても共有点を持つのであれば、傾き-4が最も共有点を持ちにくいのだから、どんな傾きでも共有点を持つことになると、考えることができます。これがk=-4が特別である理由となります。

なお、以上の話は図形的にイメージするための説明に過ぎませんのでご注意ください。
この話だけを元に解答を書くのは、恐らく非常に難しいです。(もし書き上げたとしても○にならない可能性が高い)
解答は必ず、数式を元にした説明で組み立てて下さい。

No.6173 - 2009/06/07(Sun) 00:32:27

Re: 二次関数についてです / ハオ
回答有難う御座います、納得です。
No.6192 - 2009/06/07(Sun) 20:51:11
2変数関数の積分  / 翔
よろしくお願い致します。
No.6164 - 2009/06/05(Fri) 23:26:39

Re: 2変数関数の積分  / ウルトラマン
翔さん,こんばんわ。

こんな感じでいかがでしょうか?

No.6197 - 2009/06/07(Sun) 23:23:42

Re: 2変数関数の積分  / ウルトラマン
すみません。画像を貼り忘れていました。

> 翔さん,こんばんわ。
>
> こんな感じでいかがでしょうか?

No.6198 - 2009/06/07(Sun) 23:26:13

Re: 2変数関数の積分  / 翔
親切に、途中式も書いてくださってありがとうございます。
なるほど、場合分けをしっかりとやらないといけなかったみたいですね。極座標の定理もすっかり忘れていました。
納得いく御回答ありがとうございました。

No.6208 - 2009/06/08(Mon) 20:40:19
??階偏導関数 / Light
(1) f(x,y)=3x^4+2xy^3-y について,{(∂^2)*f/∂x∂y},{(∂^3)*f/∂x∂y∂x} を求めなさい。

(2) f(x,y)=log(x+y) について,f_xx,f_xxy を求めなさい。(fの底です。)

お願い申し上げます。

No.6163 - 2009/06/05(Fri) 23:15:36
数列 / まこ
数列αnを初項4/5、公比2の等比数列、数列βnを初項1/5、公比-1/2の等比数列とし、αn+βnの小数部分をbnとする。
bnの初項から第100項までの和の整数部分を求めよ。
お願いします。

No.6160 - 2009/06/05(Fri) 00:06:00

Re: 数列 / ヨッシー
αnは、0.8, 1.6, 3.2, 6.4, 12.8 のような数列です。
βnは、0.2, -0.1, 0.05, -0.025, 0.0125 のような数列です。

bn は、第1項こそ 小数が繰り上がって、小数部は0になりますが、
それ以降は、βn 自体が小さすぎて、繰り上がり繰り下がりは起こらず、
αn からは 0.6, 0.2, 0.4, 0.8 の繰り返しが、
βn は、第2項〜第100項までがbn に足されます。

αn からの合計が
 (0.6+0.2+0.4+0.8)×24+0.6+0.2+0.4=49.2
βn からの合計が
 S=-0.1+0.05-0.025+・・・+0.2・(-0.5)^99
-0.5S=+0.05-0.025+・・・+0.2・(-0.5)^99+0.2・(-0.5)^100
上式から下式を引いて、
 1.5S=-0.1−0.2・(-0.5)^100
よって、
 S=−{0.1+0.2・(-0.5)^100}/1.5
0.2・(-0.5)^100 はほとんど無視できるので、
 S≒-0.1/1.5=−0.0666・・・
よって、求める整数部は、49 となります。

No.6161 - 2009/06/05(Fri) 00:57:44
(No Subject) / 葉月

今晩は。
命題と条件の範囲なんですが、
「|x|≦1」は「x^2+2x≦0」であるための○○条件である。
というもんだいなのですが、必要・十分・どちらでもないのどれになるのでしょうか?

反例の求め方も教えて頂きたいです。

No.6155 - 2009/06/04(Thu) 21:01:12

Re: / ヨッシー
両方不等式なので、実際に範囲を調べればいいでしょう。

|x|≦1 は -1≦x≦1 ・・・(1)
2+2x≦0 は、−2≦x≦0 ・・・(2)

(1)と(2)が、ぴったり同じなら、必要十分条件。
(1)が(2)に含まれれば、十分条件
(2)が(1)に含まれれば、必要条件
それ以外は、どちらでもない です。

反例を言うなら、片方にだけ含まれる数をそれぞれ1つずつ
挙げればいいでしょうが、上の説明だけで、十分と思いますが。

No.6157 - 2009/06/04(Thu) 21:11:44
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