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★ 数学　ベクトル / プリりカ
数学 ベクトルの問題です

空間内に長方形ABCDと動点Eが与えられている
ただしAB=CD=AE=1, BC=DA=CE=√3とする
(1)内積BE↑・DE↑の値を求めよ
(2)?傳EDの面積の最大値を求めよ

画像でどうした∠Eの部分が９０°で直角となるのかがわかりません。
だれかわかるかたおしえてください おねがいします
No.11669 - 2010/09/23(Thu) 20:28:41
☆ Re: 数学　ベクトル / rtz
△ABCと△AECが三辺相等により合同だからです。
No.11670 - 2010/09/23(Thu) 20:56:09
★ 2次関数 / マユ
2次関数の問題がわからないので教えて下さいm(-　-)m

1次関数f(X)＝ax+bが次の条件を満たすとき、定数a、bの値を求めよ。

(１)　f(2)＝8、f(-１)＝-４
(２)　f(0)＝２、f(3)＝-７
No.11667 - 2010/09/23(Thu) 18:25:24
☆ Re: 2次関数 / X
(1)
f(2)=8,f(-1)=-4
より
2a+b=8 (A)
-a+b=-4 (B)
(A)(B)をa,bについての連立方程式と見て解きます。

(2)も同様です。
No.11668 - 2010/09/23(Thu) 19:07:32
☆ Re: 2次関数 / マユ
すみません。

> 2a+b=8 (A)
> -a+b=-4 (B)
a,bについての連立方程式

のしかたがわからないので、教えて下さい。
No.11689 - 2010/09/24(Fri) 21:42:58
☆ Re: 2次関数 / X
では次の連立方程式は解けますか？。
2x+y=8 (P)
-x+y=-4 (Q)
この連立方程式(P)(Q)のx,yをa,bに変えたものが
(A)(B)になっています。
No.11697 - 2010/09/25(Sat) 12:43:59
☆ Re: 2次関数 / マユ
わかりました。

ありがとうございましたm(-　-)m
No.11714 - 2010/09/26(Sun) 19:15:13
★ (No Subject) / しん
今回初めてで間違えてしまいました。上の二つは無視して下さい。

関数f(x)=lx^2-2xlに対して、数列a=f(a)
(n=1,2,…）

1< a<1> <2を満たすとき、極限値a<n>を求めよ

という問題で解答はグラフを使い、鮮やかに解いています。

漸化式を解くという方針でこの問題をときたいのですが教えてください
No.11665 - 2010/09/23(Thu) 16:52:13
☆ Re: / angel
ascii文字 ( いわゆる半角 ) の<>をそのまま使うと、これらは特殊文字なので、意図した通りに表現できません。
代わりに ＜ ＞ [] 等を使うと良いでしょう。

問題は、
　f(x)=|x^2-2x| に対して、数列 a[n+1]=f(a[n]) (n=1,2,…) とする
　1＜a[1]＜2 を満たすとき、a[n]の極限値を求めよ
ですね。

まず、下準備として、「n≧2 に対して、0＜a[n]＜1」を示します。帰納法で良いでしょう。
すると、n≧2 に対して、a[n+1]=2a[n]-a[n]^2 です。
これより、
　a[n+1]-1=-a[n]^2+2a[n]-1
　a[n+1]-1=-(1-a[n])^2
　1-a[n+1]=(1-a[n])^2
0＜a[n],a[n+1]＜1 が分かっているので、両辺の対数を取って
　log(1-a[n+1])=log( (1-a[n])^2 )=2log(1-a[n])
つまり、b[n]=log(1-a[n]) なる数列 b[n] を考えてあげると、
　b[n+1]=2b[n]
です。これで一般項を求めることができます。
No.11666 - 2010/09/23(Thu) 17:49:33
★ 漸化式の問題 / しん
関数f(x)=lx^2-2xlに対して、数列a=f(a)
(n=1,2,…）

1< a<1> <2を満たすとき、極限値a<n>を求めよ

という問題で解答はグラフを使い、鮮やかに解いています。

漸化式を解くという方針でこの問題をときたいのですが教えてください
No.11663 - 2010/09/23(Thu) 16:41:23
☆ Re: 漸化式の問題 / しん
> 関数f(x)=lx^2-2xlに対して、数列a=f(a)
> (n=1,2,…）
>
> 1 を求めよ
>
> という問題で解答はグラフを使い、鮮やかに解いています。
>
> 漸化式を解くという方針でこの問題をときたいのですが教えてください
No.11664 - 2010/09/23(Thu) 16:44:57
★ 赤チャートのベクトルの問題です　高２ / プリりカ
平面上で辺の長さ1の正三角形ABCを考える。点Pに対し、ベクトルv(P)を、v(P)=↑PA-3･↑PB+2･↑PCで与える。
|↑PA+↑PB+↑PC|=|v(P)|となる点Pは、どのような図形を描くか。

この問題で、△ABCの重心をGとすると,↑PA+↑PB+↑PC=-3･↑AP+↑AB+↑AC=3(↑AG-↑AP)=3･↑PGとなります。
またv(P)=-3･↑AB+2･↑ACと変形でき、|v(P)|^2=7となり、|v(P)|=√7となることは理解できます。

しかし、ここから、よって3|↑GP|=√7となっています。
↑PA+↑PB+↑PC=3･↑PGとでているのに、なぜ↑GPとなったのでしょうか。

答えは重心Gを中心とする半径√7/3の円なんですが
これをPを中心とする〜
としてもいいようなきがするのですが
なんでだめなのかわかるかたおしえてください。
No.11655 - 2010/09/22(Wed) 17:55:10
☆ Re: 赤チャートのベクトルの問題です　高２ / ToDa
問題では点Pがどのような位置にあるのかと問われているのですが、それに対して、Gがどのような位置にあるのかを答えることにあまり意味はありません。まして、この問題設定ではGは定点なので、いろいろな場所を取り得るのはPの方ですね。

＃なんだか意図を取り違えていたので(そしてただ発言丸ごと消すのも宜しくないので)大幅に修正。
No.11656 - 2010/09/22(Wed) 20:51:50
☆ Re: 赤チャートのベクトルの問題です　高２ / angel
> ↑PA+↑PB+↑PC=3･↑PGとでているのに、なぜ↑GPとなったのでしょうか。

　↑PA+↑PB+↑PC=3･↑PG より、
　|↑PA+↑PB+↑PC|=|3･↑PG|=3|↑PG|=3|↑GP|

というお話で良いでしょうか? ( |↑XY|=|↑YX| のように、引っ繰り返しても大きさは同じ )

> これをPを中心とする〜
> としてもいいようなきがするのですが

確かに、|↑PG|=√7/3 という条件から、
「点Gは点Pを中心とする半径√7/3の円周上にある」
ということは言えますが、Pが主語になっていないのですから、答ではありませんね。
No.11657 - 2010/09/22(Wed) 21:58:10
★ ２倍角 / プリりカ
２倍角の公式について・・・

とある問題で
cosθ/2=1/3 で求めたいのはcosθなんですが
このとき
２倍角の公式より
cosθ=2cos^θ/2-1 ・・・となっているのですが
この部分がよくわかりません。
僕がこの公式を導き出すとき
まず、２倍角の公式よりcos2θ=2cos^2θ-1
2θ=Aとおくと
cosA＝2cos^2A/2 -1とするのですが
このAとA/2の部分はそれぞれ
θ、θ/2としていいんですか？
これでやってもいままで正解してきたんですが
普通に考えて2θ＝Aっておいてるのにおかしいですよね
誰か分かるかたおしえてください。おねがいします
No.11652 - 2010/09/22(Wed) 12:38:42
☆ Re: ２倍角 / ToDa
それが混乱の元となるのであれば、無理にθを二度使おうとしなければよいのです。

角ψに対して、2倍角の公式より、
cos2ψ = 2cos^2ψ - 1
2ψ = Aとおくと、
cosA = 2cos^2(A/2) - 1
A=θとおくと、
cosθ = 2cos^2(θ/2) - 1

ならば納得できますか？
No.11653 - 2010/09/22(Wed) 12:51:54
☆ Re: ２倍角 / プリりカ
理解できました。
ありがとうございました
No.11654 - 2010/09/22(Wed) 17:54:43
★ 確率 / bone
こんばんは。
いつもありがとうございます。
お願いします。

色の異なる７つの玉がある
七個の玉をABCの箱に分ける方法は何通りあるか。
ただしかく箱において何個入ってもよいが少なくとも一個は入る。
普通は3C2*(2^7-2)*3と解くと思うのですが、重複組み合わせで解けないかなと思い、考えてみたのですが答えと異なってしまいます。
最初に三つ各箱に入れる玉を考え、７P3
残りの四つと二つの仕切りを重複組み合わせで６！/4!2!
この二つをかけました。
このやり方では解けないのでしょうか？
個人的に重複組み合わせが楽でミスが少ないので積極的に利用したいと思いました・・・このように間違えていてはだめですが。
宜しくお願いします。
No.11648 - 2010/09/22(Wed) 02:58:51
☆ Re: 確率 / らすかる
その方法ではうまくいきません。
最初に玉1が選ばれて箱Aに入れる場合と
最初に玉1が選ばれず、後から箱Aに入る場合が
重複して数えられています。

しかも 3C2*(2^7-2)*3 も違いますし、
残りの4つを入れるのも 6!/(4!2!) ではありません。
No.11651 - 2010/09/22(Wed) 04:05:56
☆ Re: 確率 / bone
こんばんは。
3C2*(2^7-2)の間違いでした。すみません。

7P3は三つの順列を考えてその並び方をそのままはこの番号に適応させる、という考え方でそう思ったのですがらすかるさんのおっしゃる重複しているというのがどうしてかわかりません。
残りの四つの考え方は玉の色が違うからそのように考えられないということでしょうか？
そうなると結局重複組み合わせでは解くことはできないのでしょうか？
理解不足で大変申し訳ないのですがお願いします。
No.11659 - 2010/09/22(Wed) 23:17:34
☆ Re: 確率 / angel
3C2・(2^7-2) というのは、何の値でしょうか? 問題の答とは違うようですが。

> 最初に三つ各箱に入れる玉を考え、７P3
> 残りの四つと二つの仕切りを重複組み合わせで６！/4!2!

そういう式が使えるとしたら、例えば次のような問題です。

・問題
　a,b,c,d,e,f,g の7人分の同日・同時刻のバスの席を予約する。
　バスはA,B,Cの3台あり、全てのバスから、それぞれ最低1席以上予約する。
　旅行会社では、予約受付順に、前から席を隙間なく割り当てる。
　この7人以外が予約に関わらない場合、席の割り当て方は何通りあるか。
　なお、バスの定員は十分にあるものとする。

・解答
　まず、A,B,Cそれぞれの先頭座席、計3席が誰になるか、7P3通り
　残り4席について、A,B,Cからそれぞれ何席 ( 各0席以上 ) 確保するか、3H4=6C4通り
　確保した4席に残りの人がどう座るか、4!通り
　7P3×3H4×4!=75600通り

うーん。3H4×7! でいいじゃないかという気もしますが、まあそれは置いといて。

で、このバスの問題だと、例えば
　バスA … 1:a, 2:b, 3:c
と
　バスA … 1:b, 2:a, 3:c
というのは、席の割り当てとしては異なるものとなります。
しかしながら、今回の問題では、仮に何かしら順序付けをしたとしても、
　箱A … 玉a,b,c
と、
　箱A … 玉b,a,c
というのは、同じ入れ方とみなされます。
なので、バスの問題と同じ感覚で 7P3等を使ってしまうと、らすかるさんの指摘された通り、「重複した数え方」を免れません。

※というか、この問題の答からして、重複組み合わせが出てくる余地のない値だと思うのですが…
No.11661 - 2010/09/23(Thu) 00:37:07
☆ Re: 確率 / bone
ありがとうございます。
それは二つの箱だけに入る場合でした。寝ぼけていました・・・
すみません・・・

バス内での並びを考える際は順列になるんですね。
ではこの問題は3＾7から一つの箱のみに入る場合、二つの箱のみに入る場合を引く。という方法意外には目ぼしい解き方はないということになるのでしょうか？
No.11674 - 2010/09/23(Thu) 23:34:53
☆ Re: 確率 / らすかる
「3^7から…」の方法が最も綺麗に解ける方法だと思いますが、
他に解き方がないというわけではありません。

別解１
分ける個数で場合分けします。
(1,1,5)に分ける場合：7C5×3C1×2!通り
(1,2,4)に分ける場合：7C4×3C1×3!通り
(1,3,3)に分ける場合：7C3×4C3×3C2通り
(2,2,3)に分ける場合：7C2×5C2×3C2通り
合計 1806通り

別解２
箱Ａに入る玉の個数で場合分けします。
1個の場合：7C1×(2^6-2)通り
2個の場合：7C2×(2^5-2)通り
3個の場合：7C3×(2^4-2)通り
4個の場合：7C4×(2^3-2)通り
5個の場合：7C5×(2^2-2)通り
合計 1806通り

別解３
各箱の最も若い番号の玉で場合分けします。（後で箱の区別を考えます）
最も若い番号が(1,2,3)の場合：3^4通り
最も若い番号が(1,2,4)の場合：2^1×3^3通り
最も若い番号が(1,2,5)の場合：2^2×3^2通り
最も若い番号が(1,2,6)の場合：2^3×3^1通り
最も若い番号が(1,2,7)の場合：2^4×3^0通り
最も若い番号が(1,3,4)の場合：3^3通り
最も若い番号が(1,3,5)の場合：2^1×3^2通り
最も若い番号が(1,3,6)の場合：2^2×3^1通り
最も若い番号が(1,3,7)の場合：2^3×3^0通り
最も若い番号が(1,4,5)の場合：3^2通り
最も若い番号が(1,4,6)の場合：2^1×3^1通り
最も若い番号が(1,4,7)の場合：2^2×3^0通り
最も若い番号が(1,5,6)の場合：3^1通り
最も若い番号が(1,5,7)の場合：2^1×3^0通り
最も若い番号が(1,6,7)の場合：3^0通り
合計301通りなので301×3!=1806通り
No.11681 - 2010/09/24(Fri) 04:33:24
☆ Re: 確率 / bone
詳しく有難うございます。
取りこぼしができそうですが、分ける個数の場合わけはとても楽に思います！
この方法が妥当なんですね、よくわかりました。
ただ、ｃ、ｐがよくわからなくなってきてしまったのですが、最初の７P3というところだけについて議論したとき、箱ABCに入れる玉を一つずつ選ぶので順列になるというのはあっていますか？
例えば七個の異なる玉を箱abｃに一つずつ入れる、だったら７ｐ３であっていますでしょうか？樹形列で考えると問題ない様に思うのですが・・・
つまりはらすかるさんの最初の記事の、重複されている。というのが気になっているということなのですが・・・
混乱しているので意図が不明でしたらすみません。
お願いします・・・
No.11686 - 2010/09/24(Fri) 16:48:13
☆ Re: 確率 / らすかる
7個から最初に3つを選んでABCに入れるというのは
7P3で合っています。
私が「重複」と言ったのは、そこで入れた3つと
その後に入れる4つのうち3つが入れ替わっても
まったく同じパターンになりますから、
それが重複という意味です。
例えば最初に玉1、玉2、玉3を順にA,B,Cに入れて
残りの4個をA：玉4、B：玉5、C：玉6と玉7のように入れるのと
最初に玉4、玉5、玉6を順にA,B,Cに入れて
残りの4個をA：玉1、B：玉2、C：玉3と玉7のように入れるのとでは
結果はまったく同じですから、重複して数えていますね。
No.11687 - 2010/09/24(Fri) 18:09:03
★ ベクトルの問題です。 / kisa
平行六面体ABCD-EFGHにおいて、V(AC)=V(a),V(AH)=V(b),V(AF)=V(c)とする。V(BH)をV(a),V(b),V(c)を用いて表せ。

ベクトルACの場合、V(AC)と表記しました。

V(BH)を求める場合どのような考え方をすれば良いのでしょうか？

与えられたベクトルをBを始点に直してして考えたりしてみましたが、うまくいきませんでした。
No.11640 - 2010/09/20(Mon) 18:20:16
☆ Re: ベクトルの問題です。 / angel
V(a),V(b),V(c) が、そのままだと使いにくいので、添付の図のV(x)=V(AB),V(y)=V(AD),V(z)=V(AE) のように、分かり易いベクトルを基準に考えるのが良いでしょう。

平行六面体ですから、
　V(a)=V(x)+V(y)
　V(b)=V(y)+V(z)
　V(c)=V(z)+V(x)
という関係になります。ここから、連立一次方程式を解く要領で、V(x),V(y),V(z)を、V(a),V(b),V(c)で表すことができます。

V(x),V(y),V(z)を基準に考えれば、
　V(BH)=V(AH)-V(AB)=V(y)+V(z)-V(x)
となりますから、V(x),V(y),V(z)を、V(a),V(b),V(c)で表した形に置き換えてあげれば答えが計算できます。
No.11642 - 2010/09/20(Mon) 20:52:22
☆ Re: ベクトルの問題です。 / kisa
教えてくださってありがとうございました。
おかげで、自分で解答をつくることができました。
本当にありがとうございました。
No.11644 - 2010/09/20(Mon) 22:51:27
★ たすけてください(；一_一) / わかんない
はじめまして。
方べきの定理についての質問です。
さっそく画像にてお願いいたします。
ＰＡ：ＰＢ＝ＰＣ：ＰＤの公式はわかるんですが、これでいくとどの角がＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄだかわかりません。
こういう問題はどうすればいいのですか？
No.11635 - 2010/09/20(Mon) 14:06:36
☆ Re: たすけてください(；一_一) / X
方べきの定理の証明過程を見ると、円周角を使って
２つの相似な三角形を見つけ出してその相似比について
式を立てているのが分かります。

ということで問題の図に適当な補助線をつけて相似な
２つの三角形を作ってみましょう。
No.11636 - 2010/09/20(Mon) 15:01:17
☆ Re: たすけてください(；一_一) / わかんない
ありがとうございます。
ですがあまり理解できません(+_+)
結果的にどこがどの点になるのでしょうか？
No.11637 - 2010/09/20(Mon) 15:07:32
☆ Re: たすけてください(；一_一) / X
例１)
長さ2,3の線分のPと反対側の端点をA,C (A)
長さ4,xの線分のPと反対側の端点をB,D (B)
として△PAC,△PBDを作ってみます。
(図を描いてみましょう)
すると円周角により
△PAC∽△PBD
であり、対応する辺の比により
＞＞ＰＡ：ＰＢ＝ＰＣ：ＰＤ (C)
が成立しています。

上の場合はあくまで例の一つであり
長さ2,3の線分のPと反対側の端点をB,D
長さ4,xの線分のPと反対側の端点をA,C
として△PAC,△PBDを作ってもよい(図を描いてみましょう)
ですし、或いは
長さ2,xの線分のPと反対側の端点をB,D
長さ3,4の線分のPと反対側の端点をA,C
と取って△PAC,△PBDを作っても(図を描いてみましょう)
やはり成立します。

更に(A)(B)のように点A,B,C,Dを取って
今度は例１とは異なり、△PAB,△PCDを作ってみます。
(図を描いてみましょう)
するとやはり円周角により
△PAB∽△PCD
であり、対応する辺の比の関係により
PA:PC=PB:PD
これは(C)とは異なりますが方べきの定理です。



以上長々と書きましたが、この定理は補助線を加えて
相似な三角形を作り出すことで導き出されます。
ですので定理の等式を丸呑みにして
＞＞どこがどの点になる
という視点ではなくて、
1)相似な三角形がどこにでき、
2)２つの三角形を比較したときに対応する辺はどことどこか
という視点で考えてみましょう。
No.11638 - 2010/09/20(Mon) 16:03:14
☆ Re: たすけてください(；一_一) / わかんない
なるほど！！
わかりました。
まずは図を書いてみますね。
ありがとうございました（＾ｕ＾）
No.11639 - 2010/09/20(Mon) 16:34:23
★ MAXMIN / bone
続けて失礼します。
宜しくお願いします。

関数の最大最小を求める問題についてなのですが、f'(x)を考えるだけで大概大丈夫で、概形を考える必要がある場合は殆ど存在しないのでしょうか？？（受験数学で）
それか必ずしも概形を考えなくていいということは一概に言えず、考えたほうがいいというような場合もあるのでしょうか？？あるとしたらその見分け方やコツなど教えてほしいです。
ちなみにf(x)=√(2-x^2)　-x　(√2≦x≦√2)の最大最小を求めよ
等の?VCで出てくる少し考えないとわからないような関数についてです。
ちょっと抽象的な質問になるかもしれませんが、宜しくお願いします。
No.11630 - 2010/09/20(Mon) 03:43:39
☆ Re: MAXMIN / ヨッシー
概形を考えると、図のようになりますが、図から得られる情報はここまでで、
具体的な数値は、微分しないと分かりませんね。

ただ、微分するということは、グラフの概形を考えるということですので、
グラフと微分は、ワンセットです。

実際にグラフを描く描かないは別にして、頭の中では、イメージしているはずです。
No.11631 - 2010/09/20(Mon) 05:55:24
☆ Re: MAXMIN / シンジ
グラフの概形は数問題を解いていくと
だいたいどんな形かはわかるようになりますよ。
でも入試問題ではわからないようなのが出たりします。

ちなみにf(x)=√(2-x^2)-x
は円の上半分y = √(2-x^2)からy = -xを足した形って感じで考えるとイメージしやすいです。
No.11645 - 2010/09/21(Tue) 02:24:09
☆ Re: MAXMIN / bone
こんばんは、どうもありがとうございます。
こういう予想ができるものに関してはいいですが、例えば三角関数の場合グラフが面倒だなと思うのですが変わらず考えるべきでしょうか？
例えばy=sinx(1-cosx)のようなものなどです。
基本的にはヨッシーさんがおっしゃるとおり少なくとも判断ができる物に関しては最大最小のみ聞かれていてもグラフを考えたほうがいいのでしょうか。ちなみに回答にも書いたほうがいいのでしょうか？書けとはいっていないので書かなくてもよいと聞いたことがあったのですが・・・

すみませんがよろしくお願いします。
No.11647 - 2010/09/22(Wed) 02:50:16
☆ Re: MAXMIN / ast
解答として記述を整理する話と, 解答を考えるための思考を整理する話とがごっちゃになっている気がします.

面倒でもちゃんと概形を考えないと落とし穴に陥ることもあれば, ざっと増減表を書き出す程度で必要な情報が得られることもあるわけで, そういった補助情報は必要に応じて必要なレベルで用いればよいと思います.

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E3%81%AA%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%BC%E3%82%AF
には次のようなジョークが載っています.
------------------
数学者、哲学者と科学者が談笑している。科学者が「ああ、研究に金がかかって仕方がない。試薬や器具を必要としない君たちが羨ましいよ」と言うと、それに答えて数学者が哲学者の方を見ながら言う。「全く同じことを言いたいよ。僕ら(数学者と哲学者)はどちらも紙と鉛筆で研究するが、君(哲学者)はゴミ箱を買わなくて済むからね」と。
------------------

「グラフの概形」は, 考える上ではほぼ必須だが解答にする段階で捨てられるものの代表格といってもいいのではないでしょうか.
No.11662 - 2010/09/23(Thu) 12:48:53
☆ Re: MAXMIN / bone
確かにごっちゃになっていました、ありがとうございます。

そんなジョークがあるんですね、面白いです！
わかりました、ありがとうございました。
No.11675 - 2010/09/23(Thu) 23:42:29
★ log / bone
こんばんは。
質問をさせてください。
化学と比較した話をしたいのですが、中和のph=-log［H］という式をよく活用していますがこれはlogの底は１０で常用対数だと思います。（よく１０^nという形が出てきてnを整数に直す作業をすることが多いので・・・）
しかし数学でやるlogの底で省略できるのはeで、自然対数ですよね？
桁数を考えるときなどよく使いますが１０が底であれば省略はしないと思うのでとても不思議です。
凄く初歩的なことなのですが、とても腑に落ちないのでどなたかよろしくお願いします。
No.11627 - 2010/09/20(Mon) 02:08:00
☆ Re: log / angel
それは、分野によって何を標準の底とすると便利かが、違ってくるため。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E6%95%B0#.E7.89.B9.E6.AE.8A.E3.81.AA.E5.BA.95

あたりでどうでしょう。
No.11628 - 2010/09/20(Mon) 02:24:33
☆ Re: log / ハオ
angelさんが非常に詳しいサイトを載せてくれています
横槍ながら僕の知っているお話をさせて頂こうと思います

日本の受験業界では数学はlog(e)をlogとして
化学はlog(10)=log と一般的にしています。
国際的にはlog(10)=logです
ではlog(e)は？と聞かれたら log(e)=ln（ロン）です。
ですから関数電卓にもこのln という表記が見られます。

この話は代ゼミの亀田先生がして下さいました
No.11641 - 2010/09/20(Mon) 20:45:17
☆ Re: log / bone
こんばんは。
昨日PC見れず遅くなりすみません。
とてもよくわかりました、本当に有難うございます。
すっきりしました！
亀田先生の講義を直に聞けるのはうらやましいです＾＾
ありがとうございました。
No.11646 - 2010/09/22(Wed) 02:42:13
★ (No Subject) / ドドラ
この問題ですが、答案の青線の箇所の意味がわかりません…
どうしてこんな操作が必要なんでしょうか？
No.11622 - 2010/09/19(Sun) 20:07:00
☆ Re: / ドドラ
すいません、写真が入れられませんでした
No.11623 - 2010/09/19(Sun) 20:12:54
☆ 真数条件の扱い / angel
必ずしも、この解答例の通りでなくとも構いません。

ただ、x^2-4x+5=a という形だけ見ていると、
a=5 の時、解 x=0,4 の2個となりますが、この x=0 は実は不適なので除かないといけません。
なぜかというと、元の方程式に代入した時、
　log[2](0-1)+log[2](5-0)=log[2](2・0-5)
　log[2](-1)+log[2]5=log[2](-5)
となり、真数部分がマイナスになるからです。

この解答例では、2x-a の正負を見ることで、不適切な解を除こうとしています。
すなわち、y=2x から見て右下側の領域の解は適切で、左上側の領域の解は不適切、という識別をしています。
No.11625 - 2010/09/20(Mon) 01:15:33
☆ 別法 / angel
別の方法としては、既に出ている 1＜x＜5 を利用するという手があります。

つまり、
　x^2-4x+5=a が持つ 1＜x＜5 の範囲の解の個数
と考えるわけです。
こうすれば、2x-a=(x-1)(5-x) ですから、自動的に 2x-a＞0 が保証されています。なので、解答例のような説明は不要となります。

なお、描くグラフそのものは殆ど同じです。( y=2x を描かない位 )
No.11626 - 2010/09/20(Mon) 01:19:41
☆ Re: / ドドラ
理解できました。ありがとうございます！
No.11634 - 2010/09/20(Mon) 09:51:08
★ 接線 / ハミルトンケーリー
１９６８年の京大の問題なんですが、ＸＹ平面状の定点（a,b）から放物線Ｙ＝Ｘの二乗に接線は何本引けるか。と言う問題です。三ヶ月前あるサイトでであった問題なのですが分かりません。
No.11619 - 2010/09/19(Sun) 17:38:58
☆ Re: 接線 / ToDa
放物線上の点(t,t^2)を接点とする接線の方程式を立てて、それが定点(a,b)を通るとするとtの方程式になります。この実数解tの1つが接線1本に対応するので…
No.11620 - 2010/09/19(Sun) 18:16:27
★ 不等式 / みー

問題と解答は画像のとおりです。
解説は理解できるのですが、最後の
(ア),(イ)を合わせて
の部分がいまいち理解できません。
バラバラで場合分けのままでは
だめなのでしょうか。
よろしくお願い致します。
No.11615 - 2010/09/19(Sun) 08:27:50
☆ Re: 不等式 / X
もちろんダメです。
(1)の不等式の解は
{(ア)の解}又は{(イ)の解}
ですので。

但し、(ii)は別解があります。
(ii)の別解)
(1)より
-1<x-1<1
辺々に1を足して
0<x<2
No.11616 - 2010/09/19(Sun) 09:15:06
☆ Re: 不等式 / みー
どこを見るとバラバラか
合わせなければならないのか
わかるのでしょうか。
「又は」ということは
どちらかでいいのでは、と思ってしまいます。

別解はとても楽ですね(^ ^)
No.11621 - 2010/09/19(Sun) 18:37:43
☆ Re: 不等式 / ヨッシー
もしも、?E が　ｘ＜０ だとすると、
?D?E の共通の範囲は
　ｘ＜０
(ア)(イ)を合わせて?@の解は
　ｘ＜０　または　１≦ｘ＜２
となります。

この問題の場合は、ｘ＝１ で両者がつながるので、
　０＜ｘ＜１　または　１≦ｘ＜２
をまとめて、　０＜ｘ＜２ と書くことができます。
　０＜ｘ＜１　または　１≦ｘ＜２
でも、ギリギリＯＫですが、あまりこなれた解答とは見てもらえないでしょう。

どちらかでいいとはどういうことでしょうか？
　１≦ｘ＜２　は?@を満たします。
　０＜ｘ＜１　も?@を満たします。
まで言っておいて、よって答えは　１≦ｘ＜２　のみ。
というのはおかしいですね。
No.11624 - 2010/09/19(Sun) 21:58:21
☆ Re: 不等式 / みー

なるほど！
「合わせる」という意味を共通範囲を
とることだと勘違いしていました。
共通範囲をとっていたのではなくて、
つながったからまとめただけだったんですね。

どちらかでいいというのも
xがどちらかを満たしていればいいのでは、
と思ったのですが、完全に勘違いでした。

理解できました。ありがとうございました。
No.11632 - 2010/09/20(Mon) 06:15:24
★ 集合？ / 真数条件
先ほどはすいません。
『自然数nに対して、Un={(x,y)｜|x|≦n,|y|≦n},Vn={(x,y)| |x|+|y|≦n}とする。
座標平面上の点の集合Ｓ={(a-b,a+b)|a,bは整数}に対して、集合Ｓ∩Un と　Ｓ∩Vn の要素の個数をそれぞれnで表せ。』
（必要ならば、1からnまでの自然数の和は1/2×n(n+1)を利用してもよい）

この問題が解けずに苦労しています。皆様のお力をいただけるとうれしいです。

高校2年
No.11608 - 2010/09/18(Sat) 22:15:17
☆ Re: 集合？ / ヨッシー
まず、Ｕn、Ｖn はどういう範囲かというと、このようになります。
枠線および内部が、その範囲です。
No.11609 - 2010/09/18(Sat) 22:35:02
☆ Re: 集合？ / ヨッシー
で、Ｓは、こういう点群です。
No.11610 - 2010/09/18(Sat) 22:43:15
☆ Re: 集合？ / ヨッシー
では、点の数を数えます。
　Ｎ(Ｓ∩Ｕ1)＝１＋４＝５
　Ｎ(Ｓ∩Ｕ2)＝１＋４＋８＝13
　Ｎ(Ｓ∩Ｕ3)＝１＋４＋８＋12＝25
　Ｎ(Ｓ∩Ｕ4)＝１＋４＋８＋12＋16＝41
これより、
　Ｎ(Ｓ∩Ｕn)＝１＋４(１＋２＋・・・＋ｎ)＝1＋2n(n+1)＝2n^2＋2n＋1

　Ｎ(Ｓ∩Ｖ1)＝１
　Ｎ(Ｓ∩Ｖ2)＝Ｎ(Ｓ∩Ｖ3)＝３^2＝９
　Ｎ(Ｓ∩Ｖ4)＝Ｎ(Ｓ∩Ｖ5)＝５^2＝25
これより、
　ｎが奇数の場合　Ｎ(Ｓ∩Ｖn)＝ｎ^2
　ｎが偶数の場合　Ｎ(Ｓ∩Ｖn)＝(ｎ＋１)^2
１つの式で書くなら、
　Ｎ(Ｓ∩Ｖn)＝{ｎ＋1/2＋(1/2)(-1)^n}^2
となります。
No.11611 - 2010/09/18(Sat) 22:59:10
☆ Re: 集合？ / 真数条件
非常に参考になりました。ありがとうございます！
No.11614 - 2010/09/19(Sun) 07:32:42
★ 幾何 / 濃縮還元
直角三角形ABCがあり、∠BAC=直角である。頂点Aから辺BCに降ろした垂線の足をHとする。
BH＝a、HC=bのとき、垂線AHの長さxをaとbで表しなさい。


直角三角形なので、三平方の定理を使うんだろうとは考えましたがうまくいかず、分かりません。申し訳ありませんが、よろしくお願い致します。
No.11602 - 2010/09/18(Sat) 17:17:33
☆ Re: 幾何 / angel
> 三平方の定理を使うんだろうとは考えましたが

いいえ。相似形に着目して下さい。
元の三角形が直角三角形で、そこに垂線を引いていますから、いろいろ相似形ができています。
No.11603 - 2010/09/18(Sat) 17:30:19
☆ Re: 幾何 / 濃縮還元
相似形で考えてもよくわかりません。すいません。
BCとAHの交点をPとおくと、△ABCと△PACが相似ですよね。
これ以外にも相似があるのでしょうか。
No.11604 - 2010/09/18(Sat) 18:02:06
☆ Re: 幾何 / らすかる
BCとAHの交点はHですよ。
△HBAも相似です。
No.11605 - 2010/09/18(Sat) 18:40:47
☆ Re: 幾何 / 濃縮還元
問題を勘違いしていたようです・・・・。

angelさん、らすかるさん、お手数おかけしました。
ありがとうございました！
No.11606 - 2010/09/18(Sat) 19:00:35
★ 合成関数のグラフ / bone
f（x）(０≦ｘ≦１)が次のように定義されるとき合成関数y＝f・f(x)(０≦ｘ≦１)のグラフをｘｙ座標平面状に書け。

f(x)＝２ｘ（０≦ｘ≦1/2）
-２ｘ+２(1/2≦ｘ≦１)


まず私は単純に
０≦ｘ≦1/2の場合　f・f(x)＝２・２x＝４x
1/2≦ｘ≦１の場合f・f(x)＝−２(−２x+２)+２＝４ｘ−２
と考えて後はグラフと考えてしまったんですが、正解は四つの場合分けになるそうです。
何故そうなるのか全くわかりません・・・

すみませんが教えてください。
No.11595 - 2010/09/18(Sat) 09:58:16
☆ Re: 合成関数のグラフ / angel
元のf(x)がこういう形をしているので、
　xがAの範囲にある … f(x)=A(x)
　xがBの範囲にある … f(x)=B(x)

場合分けとしては、
　xがAの範囲に、f(x)がAの範囲にある … f・f(x)=A(A(x))
　xがAの範囲に、f(x)がBの範囲にある … f・f(x)=B(A(x))
　xがBの範囲に、f(x)がAの範囲にある … f・f(x)=A(B(x))
　xがBの範囲に、f(x)がBの範囲にある … f・f(x)=B(B(x))
となります。
No.11597 - 2010/09/18(Sat) 10:25:18
☆ Re: 合成関数のグラフ / bone
ご回答有難うございます。
申し訳ないのですが全然わからないのでもう少し詳しく教えて頂けないでしょうか？
よろしくお願いします・・・

また、ちょっとお聞きしたいことがあるのですが、
lim［x→０］（x^2+1)/xを考えるとき、式自体にｘ＝０を代入すれば０なので０に収束するはずですが、今０/1というのは不定形ではないですよね？
極限の不定形の話に混乱していまして・・・
∞×０や０/0は明らかに不定形だとわかるのですが・・・・
すみませんがお願いします。
No.11612 - 2010/09/19(Sun) 02:10:01
☆ Re: 合成関数のグラフ / ToDa
では具体例を。

x = 1/8 , 3/8 , 5/8 , 7/8のとき、それぞれのf(x)の値と、f・f(x)の値はいくらになりますか？

で、後半。

0/1=0ですが、それを議論するのであれば

＞lim［x→０］（x^2+1)/xを考えるとき

この式間違っていませんか？　この式はx=0を代入すると1/0になります。0/1にはなりません。
No.11617 - 2010/09/19(Sun) 09:16:58
☆ Re: 合成関数のグラフ / angel
念のため、ですが、合成関数 f・f(x) というのは、f(f(x)) のことだというのは良いですよね。
※f・g(x) の場合は、f(g(x))、g(f(x)) のどちらを指すのかは、流儀によるのでややこしいのですが…

ToDaさんのヒントの通り、幾つか具体的な値を計算して、イメージ作りに役立てることです。

例えば、x=0.1 の時であれば、f(0.1)=0.2 なので、
　f・f(0.1)=f(f(0.1))=f(0.2)=0.4
といった具合に。

> 極限の不定形の話に混乱していまして・・・
> ∞×０や０/0は明らかに不定形だとわかるのですが・・・・

別の話は、別記事としてあげた方が良いでしょう。話が混ざると混乱しますから。
で、不定形というと、0/0 か ∞×0 か ∞/∞ 位しか出てこないと思いますが…
逆に言えば、それ以外は収束か発散かが一目で分かる形になるということです。
No.11618 - 2010/09/19(Sun) 10:55:36
☆ Re: 合成関数のグラフ / bone
お二方有難うございます。
angelさんのおっしゃる合成関数の公式みたいなのは一応把握しるつもりです・・・＞＜
申し訳ないのですが、そもそも今何を出して何をやりたいのかがよくわかりません。
Todaさんの問いは
x=1/8で　f(x)=2*1/8=1/4 ff(x)=2+2+1/8=1/2
x=3/8で　f（x）=2*3/8=3/4 ff(x)=2*2*3/4
と思うのですが答えから推測すると違うのでしょうか・・・
一応青チャで似たような問題を見つけましたがまた同じように場合わけするところからわかりません。（-1≦ｘ≦-１/2のところから）
合成関数の意味がわかっていないのでしょうか・・・

後半について
分子分母逆でした。ごめんなさい。
不定形でも∞/∞であれば強さで値を出すことが可能な場合がありますが、0があると一応割り算や掛け算に直すことで結果を変えることができることもあるけれど変えれなければ不定形ということで進まないのかなと思いました。
No.11629 - 2010/09/20(Mon) 03:25:03
☆ Re: 合成関数のグラフ / ToDa 


＞x=1/8で　f(x)=2*1/8=1/4 ff(x)=2*2*1/8=1/2
＞x=3/8で　f（x）=2*3/8=3/4 ff(x)=2*2*3/4

についてですが(赤字部分はケアレスミスだと思うので直しておきました。落ち着いて書き込んでください。)、

f(1/8)=1/4
f(3/8)=3/4　で、ここまではいいでしょう。

だったら、
f・f(1/8) = f(1/4) = 1/2 (←これは結果的に一致していますが)
f・f(3/8) = f(3/4) = 1/2

となる、という事に納得はできませんか？

---
おそらくは、合成関数についての把握が不十分なのではないかと思います。

f(x)=2x    (0≦x≦1/2)
     -2x+2 (1/2≦x≦1)

で、f・f(x)=f(f(x))なのだから、上記のxをf(x)に置き換えて

f・f(x)=f(f(x))=2f(x)    (0≦f(x)≦1/2)
                -2f(x)+2 (1/2≦f(x)≦1)

とすべきであって、

f・f(x)=f(f(x))=2f(x)    (0≦x≦1/2)
                -2f(x)+2 (1/2≦x≦1)

ではないのです。条件(xの範囲)のほうのxだけ特別扱いして、それを置き換えなくていい、なんて理由はありません。

No.11633 - 2010/09/20(Mon) 08:07:46
☆ Re: 合成関数のグラフ / angel
ToDaさんと重複しますが、大事な所なので。

(1) f(3/4)=1/2 である
　まず、これはO.K.でしょうか?
(2) f(3/8)=3/4 である
　これもO.K.でしょうか。
(3) (1),(2)の結果より、f・f(3/8)=f(f(3/8))=f(3/4)=1/2 である。
　これもO.K.だと即答できるでしょうか?
　これこそが、「合成関数のことを把握しているかどうか」なのです。

そうしたら、また改めて f・f(1/8), f・f(3/8), f・f(5/8), f・f(7/8) を計算してみて下さい。
上にあげた (2)→(1)→(3) の順で考えるようにすると良いでしょう。
No.11643 - 2010/09/20(Mon) 21:58:45
☆ Re: 合成関数のグラフ / bone
こんばんは、色々考えていてお返事が遅くなりました、すみません。
みなさん一生懸命説明してくださって感謝です。
間違っていたポイントがわかったと思います。つまり合成関数にしたとき定義域を今度は値域に変えないといけないといいますか、f(x)の範囲に直さなかったからだめだったんですね。
ただ、f(x)を完全に別の文字で置き換えるなどしなければ混乱してしまいます。丁寧にグラフに対応させないとわかりません。
f・f(3/8)=f(f(3/8))=f(3/4)=1/2 である。
　これもO.K.だと即答できるでしょうか?
というのは値から見た結果論で見ればわかりますがそれではまずいでしょうか？？
最初のangelさんの記事のようにスマートに頭の中でわかるようになれば早いのだろうとおもいます・・・

幾度もすみません、よろしくお願いします。
No.11649 - 2010/09/22(Wed) 03:22:28
☆ Re: 合成関数のグラフ / angel
> スマートに頭の中でわかるようになれば早いのだろうとおもいます・・・

んー。そりゃ「解説」なのでなるべくスマートに書くように心がけていますが、必ずしも考える時にスマートにやっているわけではないので…。

> 値から見た結果論で見ればわかりますがそれではまずいでしょうか？？

いいえ、全然問題ナシです。
そうしたら、「計算してみて下さい」と書きましたよね。
これは、何もダシオシミやシゴキではなく、具体的に数例の計算を行うことが、実際に重要だからです。(※これは大抵の場合にあてはまる話ですが)
ある x ( 1/8 や 3/8 や… ) に対して、f・f(x) の値を、「この問題の答」を知らない状態で、boneさんはどうやって計算しますか? ということ。

面倒なので、A(x)=2x, B(x)=-2x+2 と置いて話を進めますが、f・f(3/8) を求める場合、

　・まず f(3/8) を求める
　・0≦3/8≦1/2 であることを確認
　・なので、B(3/8) ではなく A(3/8) を計算する
　・f(3/8)=A(3/8)=3/4
　・次に、その 3/4 を元に f(3/4) を求める
　・1/2≦3/4≦1 ( 1/2≦A(3/8)≦1 ) であることを確認
　・なので、A(3/4) ではなく B(3/4) を計算する
　・f(3/4)=B(3/4)=1/2
　・最終的に f・f(3/8)=1/2 ( = B(3/4) = B(A(3/8)) )

のようなことを考えるはずで。
で、一般の x に対して f・f(x) の値を計算する場合には、A(〜) を計算するか、B(〜) を計算するか、条件に応じた2通りの分かれ道が2箇所あるので、場合分けも全部で4通りになるだろう、という判断になるわけです。

ということで、実際に数例計算して、それからまたNo.11597を見返してください。
No.11658 - 2010/09/22(Wed) 22:41:04
☆ Re: 合成関数のグラフ / bone
とてもご丁寧にありがとうござます。おかげで多分わかったと思います。
似たような問題でまた色々とトライしてみます。
なにかあったらまた教えて頂けると嬉しいです。
本当にありがとうございました！
No.11660 - 2010/09/22(Wed) 23:32:54
★ 整数 / 28
a+b+c+d+1=abcd を満たす正の整数a,b,c,dの組を全て求めよ

例えばa≦b≦c≦dとしたとき (a,b,c,d) = (1,2,2,2), (1,1,2,5), (1,1,3,3) などです
これ以外に無い気もするのですが

一つでも偶数があれば右辺は偶数になるので奇数は奇数個などある程度は考えたのですがわかりませんでした

よろしくお願いします
No.11593 - 2010/09/18(Sat) 09:52:25
☆ Re: 整数 / angel
はい。a≦b≦c≦d と大小関係を指定すれば、答えはその3通りのみになります。

で、これ以外にないことを言わないといけないので、大小関係を指定した時に、大きさの見積もりを行っておくと良いです。

今回、a+b+c+d≦4d となりますから、abcd=a+b+c+d+1≦4d+1
両辺を d で割れば、abc≦4+1/d ということで、abc が高々5と見積もることが出来ます。
※a=b=c=d=1 の解はないので、abc が高々4 というのがより正確ですが…

これで、a,b,c の組合せが必然的に限られることになります。
No.11596 - 2010/09/18(Sat) 10:17:04
★ 極小値 / 磁石
はじめまして。

『1/π＜x＜πの範囲で　sinx・sin(1／x)が極小値となるときのxを求めよ。』

素直に微分で解こうとしたのですが上手くいきません。
感覚的にはx=1のような…?

どのようなアプローチをすればいいのでしょうか?よろしくお願いしますm(_ _)m
No.11588 - 2010/09/18(Sat) 00:34:49
☆ Re: 極小値 / X
大学の解析学の範囲であれば
u=x,v=1/x
と置いて問題を

1/π＜u＜π,1/π＜v＜π,uv=1のとき
sinu・sinvが極小値となるu,vの値を求めよ

と置き換え、これを条件付き極値問題と見てラグランジュの未定乗数法を
使うという方針があります。

解答ですが、極小値を取るxの値は存在しません。
(x=1のときは問題の関数は極大になります。)
No.11599 - 2010/09/18(Sat) 10:55:41
☆ Re: 極小値 / 磁石
ありがとうございますm(_ _)m
助かりました。
No.11600 - 2010/09/18(Sat) 11:34:44
★ サイクロイド / bone
すみません、連続になりますが聞きたいことがあるので投稿させてください。

添付した問題についてですが、まずPの位置について、内接した円を回転させた場合私が図に鉛筆で書き込んだような位置（右上当たり）にPがくると思ったのですが、問題に書いてあるとおり回転させたときPはｘ軸上にくるようなのです。
そこからまず納得できません。

すみませんが教えてくださるとありがたいです。
お願いします。
No.11580 - 2010/09/17(Fri) 15:20:19
☆ Re: サイクロイド / ヨッシー
とりあえずこちらをご覧ください。
No.11581 - 2010/09/17(Fri) 18:17:22
☆ Re: サイクロイド / angel
円C2が、円C1に内接しながら、すべることなく回転して移動した、とありますので、点Pの初期位置をP'、円C1,C2の接点をXとすると、弧PX=弧P'X と長さが等しいことになります。

そうすると、∠XOP'=θに対して、円の半径の比から、∠XAP=2θ が求まり、∠AOP=1/2・∠XAP=θ=∠AOP' となります。
No.11584 - 2010/09/17(Fri) 22:35:42
☆ Re: サイクロイド / bone
angelさんのおっしゃるとき方自体は一応わかるのですが、図の想像ができません。
ヨッシーさんのリンク先で見れる回転とは今逆の向きで回転をさせていますよね？
そうするとPは今（2，0）にあるので上のほうへ移動して行くと思うのです。
しかしこの図でのPの移動位置はX軸上で、隣に動いたような形になります。
それがどうしても想像できないというか納得がいきません。
幾度もすみませんがお願いします。
No.11586 - 2010/09/17(Fri) 22:46:42
☆ Re: サイクロイド / ToDa
最初の図の鉛筆の点から察するに、この図のような動き方になるのではないか、ということでしょうか。アニメーションにしてみるとよく分かりますが、この動き方はどうにも不自然ですよね。

実際はこの図のようになるのですが、実際に厚紙を円形に切ってみるなどして、自分で描いてみればよく分かるのではないかと思います。
No.11589 - 2010/09/18(Sat) 00:59:00
☆ Re: サイクロイド / bone
Todaさんのおっしゃる通りそのように考えていました。
確かに言われてみれば不自然なのかもしれないです。
自分で円を切ってみます！
どうもありがとうございました！
No.11594 - 2010/09/18(Sat) 09:52:31
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