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★ (No Subject) / drf
自然数nに対して、Rn（x)=1/1+x-{1-x-x^2-…+(-1)^nx^n}と
するとき、lim∫（0から1）Rn（ｘ）ｄｘとRn（ｘ＾2）
　　　　　n→∞
を求めて、
（1）1-1/2+1/3-1/4+…
（2）1-1/3+1/5-1/7+…
の無限級数の和を求めよ。

Rnの極限は両方とも0だと思うのですが、それらをいかしての
無限級数の和の求め方が分かりません。
No.12138 - 2010/11/07(Sun) 11:16:08
☆ Re: / angel
問題文にある定積分の極限を、2通りの方法で計算するのです。
一方の方法からは、予想通り、0 であることが分かります。
しかし、もう一方からは別の形が現れます。

具体的には、
(i) (1+x)(1-x+x^2-…+(-1)^n・x^n)=1+(-1)^n・x^(n+1) を利用する
　すると、Rn(x)=(-x)^(n+1)/(1+x) となります。
　この形は n→∞ の時、0≦x＜1 で Rn(x)→0 となりますから、
　n→∞の時、∫[0,1]Rn(x)dx も 0 に収束します。
　…これだと説明が大雑把なので、解答としてはもう少しちゃんと書く必要があるでしょうけど。

(ii) Rn(x)=1/(1+x) - Σ[k=0,n] (-x)^k と表す
　このまま定積分を求めると、
　∫[0,1]Rn(x)dx = ∫[0,1]dx/(1+x) - Σ[k=0,n] ∫[0,1](-x)^k dx

　で、この右辺のΣって、各定積分を求めると、1-1/2+1/3-1/4+… に他ならないのですね。

ということで、同じ定積分の極限を(i),(ii)2通りで表す事ができますから、それらの結果を比較すれば、問題の無限級数を求めることができます。上の説明は(1)の場合ですが、(2)でも似たような感じでいけるはずです。
No.12145 - 2010/11/07(Sun) 22:42:00
★ (No Subject) / こ〜ん★
解説ありがとうございます！！
２番をもう少し分かりやすく教えて頂けませんか？（＾◇＾）
No.12136 - 2010/11/07(Sun) 00:07:17
★ 図形の問題 / こ〜ん★
円Oの半径は５?pである。円周上に２点A,BをAB=８?pとなるようにとり、点Pは円周上を動くものとする。
　次の１，２の場合について、三角形ABPの面積を求めなさい。
　１、辺APが円Oの中心を通るとき。
　２、三角形ABPの面積が最大になるとき。

解説お願いします(>_<)
No.12134 - 2010/11/06(Sat) 10:45:33
☆ Re: 図形の問題 / X
1.
条件のとき円周角により
∠ABP=90°
従ってBPの長さが分かれば△ABPの面積は容易に求められます。
ここで三平方の定理を使うと…。

2.
点Pを通り辺ABに平行な直線lを考え、lを移動させることを考えると
△ABPの面積が最大となるのは、lが円Ｏに中心をはさんで
辺ABと反対側に接するとき(＝この接点がPのとき)になることが分かります。

このとき直線POと辺ABとの交点をH、△ABPの面積をSとすると
S=(1/2)AB×PH (A)
PH=OP+OH (B)
ここで
PH⊥l
l//AB
ですので
PH⊥AB (C)
ゆえに△AOHについて三平方の定理を使うことができ
OH=√(OA^2-AH^2) (D)
更にOP,OAは円Oの半径であり、(C)より点Hは辺ABの中点ですので…。
No.12135 - 2010/11/06(Sat) 11:35:55
☆ Re: 図形の問題 / ヨッシー
点Ｐが、図の位置に来ると、面積最大というのは、良いですね？

図の、？の部分を求めるのが、最初の目標になります。
No.12137 - 2010/11/07(Sun) 07:43:36
★ (No Subject) / 池之公爵☆
たびたびすいません。教えてください。

問１ 関数ｙ＝ x の２乗 （−２≦ｘ≦１）のy変域が

関数 y = a ｘの2乗 （−２≦ｘ≦４）のy変域が

一致するとき、定数aの値を求めろ。

問２ ２つの関数y=ｘの2乗 と y = 6x-1 についてｘの値が

a から a+2 まで増加する時の変化の割合が等しくなり

ました。このときaの値を求めろ。

答はそれぞれ分かっています。 問１ A a ＝ 4分の1

問２ A a = 2

でもやり方が分かりません。（中3です。）教えてください。
No.12130 - 2010/11/04(Thu) 21:44:13
☆ Re: / ヨッシー
問１
ｙ＝ｘ^2 のグラフは描けますか？
まず、それを描いてみて、−２≦ｘ≦１　の分だけ、
太く、なぞってみましょう。
ｙの値が一番小さいのは、ｘ＝０ のとき ｙ＝０ ですね？
一番大きいのは、ｘがいくつの時で、ｙはいくつですか？

次に、ｙ＝ａｘ^2 のグラフを描いてみて、（ａは適当で良いですが、正の数と考えて良いでしょう）
−２≦ｘ≦４　の部分を、太くなぞってみましょう。
ｙの値が一番小さいのは、ｘ＝０ のとき ｙ＝０ ですね？
一番大きいのは、ｘがいくつの時で、ｙはいくつですか？
その範囲が、ｙ＝ｘ^2 のときと一致するためには、ａはいくつであるべきでしょうか？

問２
まず、ｙ＝６ｘ−１　で、ｘがａからａ＋２まで増えると、
ｙはいくつ増えるか考えます。
　ｘ＝ａ＋２　のとき、ｙ＝６ａ＋１１
　ｘ＝ａ　のとき、　ｙ＝６ａ−１
より、前者の方が１２大きいです。つまり、１２増えています。
ｙ＝ｘ^2 において、
　ｘ＝ａ＋２　のとき　ｙ＝(ａ＋２)^2＝ａ^2＋４ａ＋４
　ｘ＝ａ　のとき　ｙ＝a^2
その差は、○○であり、これが、１２となるので、
ａ＝２ となります。
No.12132 - 2010/11/04(Thu) 22:44:56
★ (No Subject) / 池之公爵☆
中学３年です。教えてください。

問. y は ｘ の２乗に比例しｘの値が―５から―２まで増加

すると、y の値は１４増加します。yをｘの式で表せ。

という問題です。

答と共にやり方を中学３年の私に教えてください

お願いします。
No.12129 - 2010/11/04(Thu) 21:32:37
☆ Re: / ヨッシー
まず、ｙはｘに比例するというのは、ｙ＝ａｘ ですね？
　ｙ＝２ｘ　や　ｙ＝−３ｘ などがそうで、
　ｙ＝ｘ＋１　や　ｙ＝−２ｘ−３　などは違います。
一方、ｙはｘ^2 に比例するというのは、ｙ＝ａｘ^2 です。
　ｙ＝ｘ^2　や　ｙ＝−２ｘ^2 がそうです。
ｙ＝ａｘ^2 とするとき、
　ｘ＝−５ のとき　ｙ＝２５ａ
　ｘ＝−２ のとき　ｙ＝４ａ
です。このときの増加量が１４なので、
　４ａ−２５ａ＝１４
より　ａ＝-2/3　となり、
　ｙ＝-2x^2/3
が求める式です。
No.12131 - 2010/11/04(Thu) 22:36:01
★ (No Subject) / さる
一遍の長さ２の立方体ＡＢＣＤ−ＥＦＧＨの辺ＡＤ，ＣＤ，ＦＧの中点を其々Ｐ，Ｑ，Ｒとするとき、この３点を通る平面で立方体を切ったときの切り口の面積を求めよ。という問題で立方体のＡＢＣＤ面とＢＣＧＦ面の切り口の線分の延長はＢＣの延長上の一点で交わる。とあるのですが、これは何故ですか？誰か教えてくださいませんか？
No.12125 - 2010/11/04(Thu) 07:15:51
☆ Re: / らすかる
同じ大きさの立方体をCGHD面にもう１個くっつけて、
その立方体も同じ平面で一緒に切ったとして、
切り口の線分がどうなるか考えてみて下さい。
No.12126 - 2010/11/04(Thu) 07:39:46
☆ Re: / さる
互いに平行でない３つの平面はただ一点で交わるという定理を使った説明をお願いします。
No.12127 - 2010/11/04(Thu) 18:10:00
☆ Re: / らすかる
二度手間になりますので、そういうことは先に書いて下さい。
ＡＢＣＤ面とＢＣＧＦ面と切断面は一点で交わるが
ＡＢＣＤ面とＢＣＧＦ面の交線は直線ＢＣだから
交点は直線ＢＣ上にある。
No.12128 - 2010/11/04(Thu) 19:34:10
★ 高校2年生です。 / 葉
放物線y=x^2-a^2とx軸で囲まれた部分の面積Sが最小になるように、
定数aの値を定めよ。
　　a
S=?? 　{0-(x^2-a^2)}dx
　　-a

（略）

S=4/3 a^3

までたどり着いたのですが続きをどうしたらいいかわかりません（><）
教えて下さい。
No.12117 - 2010/11/03(Wed) 15:26:10
☆ Re: / X
aの値の範囲について何か条件はありませんか？。
No.12118 - 2010/11/03(Wed) 15:43:33
☆ Re: / 葉
ありました。

0＜a＜1のとき、0≦x≦1において

だそうです。

すみません入力ミスでした。
No.12120 - 2010/11/03(Wed) 17:26:55
☆ Re: 高校2年生です。 / 板橋
x軸とy=x^2-a^2,x=0,x=1が囲む面積をS(a)とすると、
S(a)=∫[0〜a]{0-(x^2-a^2)}dx+∫[a〜1]x^2-a^2dx=4a^3/3-a^2+1/3
dS(a)/da=4a^2-2aであるので、dS(a)/da=0の解は、
a=0,1/2
増減表を書いて頂ければ分かると思うのですが、S(a)は、0<a<1において、a=1/2で最小値を取ります。
No.12121 - 2010/11/03(Wed) 18:25:17
★ (No Subject) / mari
いたって普通のｘについての二次方程式なのですが
9x^2-508x+224=0
これを初見でミスなく解を出すにはどのようなことをしっていればいいですか？たすきがけは現実的に見つけ出すのはほぼ不可能だと思います。となると解の公式となります。普通なら√D/4の部分は素因数分解してルートの外に出すようにしているのですが、この問題の場合、ほとんど素因数分解できません。誰か細かい計算過程を教えてください（＞＜）
No.12110 - 2010/11/02(Tue) 19:51:04
☆ Re: / そら
D/4=62500=250^2で非常に簡単です.

たすき掛けも可能です.
9は(1,9)(3,3)にしか分解出来ませんが,
508は3の倍数ではないために,(3,3)はあり得ません.
従って(1,9)です.
224の方は(1,224)(2,112)(4,56)(7,32)(8,28)(14,16)
が考えられますが,508は偶数だから(7,32)もあり得ません.
あとはひたすらあてはめていくことになります.
No.12112 - 2010/11/02(Tue) 21:53:18
☆ Re: / 板橋
mariさんが仰るように、この問題に関しては、たすき掛けで良いと思います。この問題の場合、解の公式を使用する方が面倒な気がします・・・。
私が考えたのは、たすき掛けした時に-508となるような9と224の約数を考えることでした。私が知らないだけの可能性もありますが、この問題に限らず、ミスなく初見で二次方程式の解を出すような方法は、解の公式以外存在しないと思います。
肝心な因数分解の結果ですが、
(X-56)(9X-4)です。
No.12113 - 2010/11/02(Tue) 21:57:36
☆ Re: / らすかる
9と224を素因数分解すると 9=3^2, 224=2^5×7 なので
9×224=2^5×3^2×7 です。
9×224を2数の積に分けて2数を足し、508にすることを考えます。
9と224に分けると9+224=233で508の半分より小さいので
9の半分より小さい4と他の数に分けます。
(9×224)÷4=2^3×3^2×7=504 なので
4×504=9×224、4+504=508です。
そこで元の方程式の１次の係数を分けます。
9x^2-4x-504x+224=0
すると504：224=9：4ですから
左辺は (9x-4)(x-56) と因数分解できることがわかります。
No.12114 - 2010/11/02(Tue) 22:29:34
★ 小６です。 / ぜっとん
　あるバス乗り場から、A町行きとB町行きのバスが発車している。　A町行きは９分おきに、B町行きは１５分おきに発射する。
　午前６時に両方のバスが同時に発車するとき、次の問いに答えなさい。
　ただし、同時に両方のバスが発車するときは、A町いきを先に数えるものとする。
　　
　◎午後５時から午後６時までの間で、A町行きが発射した３分　　後にB町行きが発射した。このとき、A町行きが発射した時刻
　　を求めなさい。求める過程も書きなさい。

お願いします。
No.12103 - 2010/11/01(Mon) 23:37:20
☆ Re: 小６です。 / ヨッシー
A町行きは９分おきに、B町行きは１５分おきに発車するので、
両方のバスは、９と１５の最小公倍数４５分後にもう一度
同時に発車します。
　45分×16＝720分＝12時間
より、午後6時にも同時に発車します。
午後5時台では、
　Ａ：06 15 24 33 42 51
　Ｂ：00 15 30 45
にそれぞれ発車するので、A町行きが発射した３分後にB町行きが発車したのは、
Ａ町行きが 17:42 のとき。
No.12115 - 2010/11/02(Tue) 23:25:12
☆ Re: 小６です。 / ぜっとん
ヨッシー先生、よくわかりました。また教えて下さい。
No.12116 - 2010/11/03(Wed) 14:57:05
★ 数?T / マユ
数?Tの問題です。教えて下さい。

２次関数ｆ(x)＝-2x^2-8x+a^2，g(x)＝x^2-2bx+b^2+b-9，があり、0≦x≦3における関数g(x)の最小値は-4である。ただし、a，bは正の定数とする。

(１)y＝f(x)のグラフの頂点を求めよ。

(２)bの値を求めよ
。
(３)-a≦x≦0における関数f(x)の最大値をM1，0≦x≦2aにおける関数g(x)の最大値をM2とする。M1＝M2であるようなaの値を求めよ。

です。
よろしくお願いします。
No.12102 - 2010/11/01(Mon) 20:54:33
☆ Re: 数?T / X
(1)
f(x)=-2(x+2)^2+a^2+8
∴頂点の座標は(-2,a^2+8)

(2)
g(x)=(x-b)^2+b-9
よりy=g(x)のグラフの
頂点の座標は(b,b-9)
軸の方程式はx=b (P)
そこで問題の定義域
0≦x≦3
と(P)との位置関係、及びb>0であることから次の２通りに
場合分けします。
(i)0<b≦3のとき
g(x)はx=bのときに最小になる(グラフを描きましょう)ので
g(b)=-4
∴b-9=-4
∴b=5となるが、これは条件に合わないので不適。
(ii)3<bのとき
g(x)はx=3のときに最小になる(グラフを描きましょう)ので
g(3)=-4
∴9-6b+b^2+b-9=-4
これより
b^2-5b+4=0
(b-1)(b-4)=0
3<bよりb=4

以上からb=4

(3)
(1)の結果により
M1=f(a)=-a^2-8a(-2<-a,つまり0<a<2のとき) (A)
M1=f(-2)=a^2+8(2≦aのとき) (B)
一方(2)の結果により
g(x)=x^2-8x+11
=(x-4)^2-5
∴
M2はg(0),g(2a)の内の大きい方の値になります。
ここでg(0)≧g(2a)のとき
11≧4a^2-16a+11
0<aを考慮に入れると0<a≦4
よって
M2=g(0)=11(0<a≦4のとき) (C)
M2=g(2a)=4a^2-16a+11(4<aのとき) (D)
(A)(B)(C)(D)から
(i)0<a<2のとき
(ii)2≦a≦4のとき
(iii)4<aのとき
に場合分けしてaについての方程式M1=M2を解きます。
(i)のときだけ計算しますので(ii)(iii)はご自分でどうぞ。
(i)のとき
(A)=(C)となるので
-a^2-8a=11
∴a^2+8a-11=0
これよりa=-4±3√3
0<a<2よりa=-4+3√3
No.12106 - 2010/11/02(Tue) 01:40:58
★ 図形と相似 / レッド
こんにちは。　分からない問題があります。

問題
　２つの三角形ABCと三角形DEFで、
AB＝６?p，BC＝4.5?p，DE＝10?p，EF＝7.5?p，
∠B＝∠E　
となっています。
　(1)三角形ABC∽三角形DEFであるわけをいいなさい。
　(2)三角形ABCと三角形DEFの相似比を求めなさい。
　(3)AC＝９?pのとき、DFの長さは何?pですか。
の問題が理解が出来ませんので、教えてください。
よろしくお願いします。
No.12101 - 2010/11/01(Mon) 20:44:37
☆ Re: 図形と相似 / 板橋
（１）AB:DE=BC:EF=3:5 ∠B=∠Eであるので、
二組の辺の比とその間の角が等しいので、△ABCと△DEFは相似である。
（２）3:5
（３）3:5=9:DFより、DF=15

三角形の相似条件は、
（１）３組の辺の比が等しい
（２）2組の辺の比が等しく、そのはさむ角が等しい
（３）2組の角が、それぞれ等しい
です。
No.12107 - 2010/11/02(Tue) 07:24:56
★ 組み合わせの問題 / ゆり
男子１０人、女子５人の中から６人の委員を選ぶ時女子を４人以上選ぶ選び方は何通りあるか。
No.12100 - 2010/11/01(Mon) 20:23:02
☆ Re: 組み合わせの問題 / angel
女子が5人しかいない中で、「女子を4人以上」と言われると、

・男子2人、女子4人を委員に選ぶ
・男子1人、女子5人を委員に選ぶ

の場合しかありません。

それぞれで何通りあるか計算し、合計を出せば答です。
No.12104 - 2010/11/02(Tue) 00:56:13
★ (No Subject) / たけし
(1)2^m≦4m^2であるが、2^(m+1)＞4(m+1)^2である最小の自然数mを求めよ。
(2)mを(1)で求めた自然数とする。そのときm＜nをみたすすべての自然数nについて、4n^2＜2^nが成り立つことを示せ。
(3)Sn=Σ(k=1→n)2^k-Σ(k=1→n)4k^2とする。nを動かした時のSnの最小値を求めよ。

(1)の問題で、
2^m+8m+4≦4m^2+8m+4＜2^(m+1)という形にして
2^m+8m+4＜2^m+2^m
8m+4<2^m
m=6と出たのですが、そうすると（2）でそれを当てはめて
数学的帰納法で解こうとしたら、答えが合いません。
(1)の解き方が違うのでしょうか？
すみませんが(1)〜(3)の解説をお願い致します。
No.12099 - 2010/11/01(Mon) 19:12:54
☆ Re: / angel
8m+4<2^m というのは必要条件ではありますが、十分条件ではありません。
実際に 2^m≦4m^2 かつ 2^(m+1)＞4(m+1)^2 を満たすかどうか、m=6 から順に試していく必要があります。

そして、丁度 2^8 = 4・8^2 であることに着目すれば、(1)の答が m=8 と分かります。
No.12105 - 2010/11/02(Tue) 01:22:13
☆ Re: / たけし
確かにそうですね。
(1)(2)は解くことが出来ました。ありがとうございます！
すいませんが、(3)の解説もどなたかお願いします…；
No.12109 - 2010/11/02(Tue) 19:29:05
☆ Re: / 板橋
S(n)が最小であるのならば、
S(n-1)>=S(n)・・・?@
S(n)<=S(n+1)・・・?A
が成立する。
?@より、Σ(k=1→n)(2^k-4k^2)-Σ(k=1→n-1)(2^k-4k^2)=2^k-4k^2<0 2^k<=4k^2・・・?B
?Aより、Σ(k=1→n+1)(2^k-4k^2)-Σ(k=1→n)(2^k-4k^2)=2^(n+1)-4*(n+1)^2>0 2^(n+1)>=4*(n+1)^2・・・?C
(1)より?B、?Cを満たすnは、n=8,・・・
また、(2)より、n>=8においては、2^n-4n^2>0が成立するので、求めるものはS(8)=Σ(k=1→8)(2^k-4k^2)=-306
No.12111 - 2010/11/02(Tue) 21:21:17
☆ Re: / たけし
度々質問すいません。

?@より、Σ(k=1→n)(2^k-4k^2)-Σ(k=1→n-1)(2^k-4k^2)=2^k-4k^2<0 2^k<=4k^2・・・?B

なのですが、
Σ(k=1→n-1)(2^k-4k^2)-Σ(k=1→n)(2^k-4k^2)=2^k-4k^2>0
では駄目なのでしょうか？
No.12119 - 2010/11/03(Wed) 17:08:17
☆ Re: / 板橋
Σ(k=1→n-1)(2^k-4k^2)-Σ(k=1→n)(2^k-4k^2)= -(2^k-4k^2)だと思うのですが・・・。
No.12122 - 2010/11/03(Wed) 18:40:24
☆ Re: / たけし
すいません…；
なぜ-(2^k-4k^2)になるのか教えていただきたいのですが…；
No.12123 - 2010/11/03(Wed) 20:58:28
☆ Re: / たけし
すいません…！解決しました；
ありがとうございました！
No.12124 - 2010/11/03(Wed) 21:20:16
★ (No Subject) / あべべ
何故か問いの部分が消えてる・・・。

問は0<x<π/2の時、(2/π)x<sinxが成り立つことの証明です。
No.12093 - 2010/10/31(Sun) 21:33:18
☆ Re: / 板橋
f(x)=sinx-(2/π)x　(0f'(x)=cosx-2/π
0<x<π/2におけるf'(x)=0の解をx=αとでもおいて増減表を書いて下されば分かると思うのですが、f(x)は0<x<αで増加し、x=αで極大（最大）となり、α<x<π/2で減少します。そして、f(0)=f(π/2)=0であるので、f(x)>0 (0<x<π/2)であることが分かります。
No.12094 - 2010/10/31(Sun) 22:39:43
☆ 追加 / 板橋
一般的にα<=x<=βにおいて、f(x)>=g(x)を証明する場合、h(x)=f(x)-g(x)とすると、α<=x<=βにおけるh(x)の最小値が0以上である事を証明すればいいです。その証明方法は、微分したりなど色々です。微分するのが一般的なのかもしれません。f(x)とg(x)の関数の形を見て、方法は考えてください。
No.12095 - 2010/10/31(Sun) 22:57:52
☆ Re: / スーパーカブ
参考までに。
sinのグラフと(2/π)xのグラフをかけば問題の背景がわかります。
No.12108 - 2010/11/02(Tue) 10:18:04
★ (No Subject) / あべべ
2002年の琉球大学の問題です。
現在高3です。

問、0

証明問題は苦手で、このレベルでも何をしていいか解りません。
自分で考えたのはsinx-(2/π)x>0に変形するのかな？って感じですが解答どころか解説すらないので自信がないです。


証明なので詳しく教えて頂けると幸いです。
No.12092 - 2010/10/31(Sun) 21:30:37
★ (No Subject) / クナイ
以下modp(pは３以上の素数と考える）
任意のｋ（ｋは１≦ｋ≦ｐ−１を満たす整数）についてｋｋ’≡１（modp)を満たすｋ’が存在することの証明で、
ｋ、２ｋ、・・・、（ｐ−１）ｋはmodｐで全て異なり、・・・?@
しかもmoｄｐで０でないから、・・・?A
この中には必ずmodpで１となるものが存在する。
という文があるのですが?@と?Aがいえる理由をどなたか教えてもらえないでしょうか。よろしくお願いいたします。
No.12084 - 2010/10/31(Sun) 13:44:33
☆ Re: / らすかる
?@
もしk,2k,…,(p-1)kの中にmodpで等しいものがあれば
1≦i＜j≦p-1 として jk-ik=np つまり (j-i)k=np（nは自然数）
ところが1≦j-i≦p-2, 1≦k≦p-1からj-iもkもpで割り切れないので矛盾。

?A
もしmodpが0のものがあれば
1≦i≦p-1 として ik=np（nは自然数）
ところがiもkもpで割り切れないので矛盾。
No.12086 - 2010/10/31(Sun) 14:08:05
★ (No Subject) / karu
1/（1+2ω）＝a+bω（a,bは実数）を満たすa,bを求めよ。
という問題ですが、どうやっても有理化がうまくいきません。誰か教えて下さい。ωはx^3-1=0の１でない解です。よろしくお願いします。
No.12081 - 2010/10/31(Sun) 11:57:29
☆ Re: / 板橋
仮定より、ωは、ω^3=1(ω≠1)であるので、ω^2=-ω-1であるから、
1=(1+2ω)(a+bω)
(2a-b)ω+a-2b-1=0
また、ω=(-1±√3i)2であるので、
｛a-2b-1+(b-2a)/2｝±(2a-b)√3i=0
∴a=-1/3,b=-2/3
No.12082 - 2010/10/31(Sun) 13:21:46
☆ 失礼しました / 板橋
ω=(-1±√3i)2でなく、ω=(-1±√3i)/2です。
No.12083 - 2010/10/31(Sun) 13:24:45
☆ Re: / らすかる
分子分母に(1+2ω)を掛ければ
1/(1+2ω)
=(1+2ω)/(1+4ω+4ω^2)
=-(1+2ω)/3　（∵ω^2+ω+1=0から4ω^2+4ω+1=4(ω^2+ω+1)-3=-3）
のように有理化できますので、係数比較によりa=-1/3, b=-2/3となります。
No.12085 - 2010/10/31(Sun) 14:00:18
☆ Re: / 七
板橋さんの方法ならば
(2a-b)ω+a-2b-1=0
の時点で
ωは虚数なので
2a-b＝0,a-2b-1＝0
でいいと思います。
No.12088 - 2010/10/31(Sun) 17:23:04
☆ Re: / 板橋
済みません。七さんの仰る通りです。失礼しました。
No.12090 - 2010/10/31(Sun) 20:02:41
★ 1次関数 / 千紘
近畿の高校入試問題集の問題です。
答えしか載ってないので、解説お願いします。

正方形の折り紙ABCDの頂点Bを辺CDの中点Gに重ねて折ります。
このとき,辺ABが移される線分をIGとし,折り目の線分をJKとします。
また,線分ADと線分IGの交点をHとします。
下の図は折り紙の頂点Aを座標平面の原点に,辺ABをx軸の正の部分に,辺ADをy軸の正の部分に重ねて置いた図です。
正方形の一辺の長さを1とし,紙の厚さは考えないものとします。

(1)DG:DHを最も簡単な整数の比で表しなさい。
　　A.3:4
(2)直線GHの式を求めなさい。
　　A.y=(4/3)x+1/3
(3)点Jもy座標を求めなさい。
　　A.1/8
No.12075 - 2010/10/30(Sat) 23:02:09
☆ Re: 1次関数 / 七
△DHG∽△CGKだから
DG：DH＝CK：CG
GK＝BK＝xとおくと
CK＝1−k
三平方の定理より
x＾2＝(1−x)＾2＋(1/2)＾2
x＝5/8
CK：CG＝3/8：1/2＝3：4
No.12079 - 2010/10/31(Sun) 08:04:48
☆ Re: 1次関数 / 千紘
なるほど、相似になっているんですね。
ありがとうございました＾＾
No.12080 - 2010/10/31(Sun) 11:13:08
★ (No Subject) / ユキ
f(t)=1/(√2-t)^2×(√3/4-t^2)の最大値を求めよ。
（この後ろの√は3/4-t^2全体にかかっています。）

という問題なのですが、
f(t)=√｛(3/4-t^2)/(√2-t^2)^4｝
（式全体に√をつけました。）として、
g(t)=(3/4-t^2)/(√2-t^2)^4とおく。
g'(t)=…という形にして最大値を出したいのですが…。
この場合、
f(x)/g(x)=(f'(x)･g(x) - f(x)･g'(x))/{g(x)}^2
の公式を使えばいいのでしょうか？
それと、このg'(t)の最大値を出すとして、どのように
していったらいいのか分かりません…。

宜しくお願いします。
No.12074 - 2010/10/30(Sat) 22:26:12
☆ Re: / X
＞＞この場合、
＞＞f(x)/g(x)=(f'(x)･g(x) - f(x)･g'(x))/{g(x)}^2
＞＞の公式を使えばいいのでしょうか？
その通りです。

＞＞それと、このg'(t)の最大値を出すとして、どのように
＞＞していったらいいのか分かりません…。
この質問に答える前に、文中にいくつかタイプミスがあるようなので
修正のためにこちらの質問に答えて下さい。
まず
>>f(t)=√｛(3/4-t^2)/(√2-t^2)^4｝
ですがこれは
f(t)=√｛(3/4-t^2)/(√2-t)^4｝
のタイプミスですか？。
それとも
>>f(t)=1/(√2-t)^2×(√3/4-t^2)
が
f(t)=1/(√2-t^2)^2×(√3/4-t^2)
のタイプミスなんでしょうか？。
次に
＞＞それと、このg'(t)の最大値を出すとして、
とありますがこれは
＞＞それと、このg(t)の最大値を出すとして、
のタイプミスでしょうか？。
No.12076 - 2010/10/30(Sat) 23:23:20
☆ Re: / ユキ
うわわわ…すみません；；
タイプミスがだいぶありましたね…

>>f(t)=√｛(3/4-t^2)/(√2-t^2)^4｝
は、
f(t)=√｛(3/4-t^2)/(√2-t)^4｝
の間違いです。

＞＞それと、このg'(t)の最大値を出すとして、
は
＞＞それと、このg(t)の最大値を出すとして、
の間違いです…。

お手数をお掛けして申し訳ありませんでした；
No.12077 - 2010/10/30(Sat) 23:37:46
☆ Re: / X
分かりました。では後半の質問の回答を。
まず
g(t)≧0
の条件から
-(√3)/2≦t≦(√3)/2 (A)
次に回答通り、商の微分を使うと
g'(t)={-2t(√2-t)^4-(3/4-t^2)・{-4(√2-t)^3}}/(√2-t)^8
={-2t(√2-t)+(3-4t^2)}/(√2-t)^5
=(-2t^2-2t√2+3)/(√2-t)^5
=-2{t-(1/2)√2}{t+(3/2)√2}/(√2-t)^5
そこで
-(3/2)√2<-(√3)/2<(1/2)√2<(√3)/2<√2
に注意して(g'(t)の分母に注意)、(A)の範囲で
g(t)についての増減表を描くと
g(t)はt=(1/2)√2のときに最大となる
ことが分かります。

g((1/2)√2)の値の計算はご自分でどうぞ。
No.12087 - 2010/10/31(Sun) 15:52:47
☆ Re: / ユキ
度々すいません；；
g'(t)={-2t(√2-t)^4-(3/4-t^2)・{-(√2-t)^3}}/(√2-t)^8
とありますが、これは
g'(t)={-2t(√2-t)^4-(3/4-t^2)・{-4(√2-t)^3}}/(√2-t)^8
とはならないのでしょうか??
No.12091 - 2010/10/31(Sun) 20:37:04
☆ Re: / X
ごめんなさい。その通りですね。
No.12087を直接修正しましたので、再度ご覧下さい。
No.12097 - 2010/11/01(Mon) 16:16:52
☆ Re: / ユキ
よく分かりました！
ありがとうございました!!＾＾
No.12098 - 2010/11/01(Mon) 19:00:42
★ (No Subject) / シャボン
xy平面上に放物線Ｃ：ｙ＝ｘ＾２がある。Ｃ上の２点Ｐ（α、α＾２）（α＜０）Ｑ（β、β＾２）（β＞０）におけるＣの接線を其々ｌ１ｌ２とし、ｌ１、ｌ２およびＣで囲まれた図形の面積をＳとする。

Ｐ，Ｑからｘ軸におろした垂線の足を其々Ｈ１，Ｈ２とし、四角形PH1H2Qの面積をＳ０とする。ｌ１とｌ２が直交している時Ｓ/S0の最大値を求めたいのですが、
Ｓ÷S0=(1/12)(βーα）＾３÷｛(１/2)(α＾２＋β＾２）（βーα）｝
＝(1/3)(βーα）＾２/｛2(βーα）＾２＋４αβ｝
ここで
垂直条件より4αβ＝−１、
βーα＝Ｘ、Ｓ÷S0=ｇ（Ｘ）とおいて
ｇ（Ｘ）＝（１/3)Ｘ^2/(2Ｘ^2-1)
ｇ’（Ｘ）の符号はー２Ｘと等しくなりＸ＝０で極大かつ最大といいたいところなのですが、Ｘ＞０なのでいえません。しかし何度やってもこのようになるのです。どこが悪いのかご指摘お願いします。

答えは1/3です
No.12061 - 2010/10/29(Fri) 10:49:09
☆ Re: / rtz
X＞0は正しいですが、まだ範囲を絞れます。
垂直条件で得られた結果からきちんとXの範囲を出しましょう。

そもそも0＜X＜1/2で面積同士の除算で負の値が出てくることや、
lim[X→(1/(√2))+0]g(X)＝＋∞であることから
もっとXの範囲が絞れることに気づく必要があります。


また、わざわざg'(X)などを計算せずとも、
分母と分子ひっくり返せばよいですね。
No.12063 - 2010/10/29(Fri) 13:06:12
☆ Re: / シャボン
Xの範囲がこれ以上絞られたところで、結局Ｘ＝０で極大であることにかわりはなく、最大値が存在しないということには変わりないと思いますが・・・
No.12065 - 2010/10/29(Fri) 18:06:39
☆ Re: / rtz
違います。

Xの範囲をきちんと出せばX≧1になります。
そもそもX＜1でのg(X)自体定義されていないのですから、
関数がX＝0で極大をとろうがとるまいが、
最大値をとるかとらないかには関係ありません。

-1≦x≦2でf(x)＝x2の最大値は？と聞かれて、
範囲でもないx→±∞のことを考えてf(x)の最大値なんて存在しません、
と答えるのと同じです。

あなたのおっしゃるX＝0近く(例えばX＝0.1など)を
とるようなα,βは4αβ＝-1の条件で存在しますか？
実際に存在するα,βで以てXを計算するのですから、
そのXの範囲を考えずにXの関数だけを追っても結論は得られません。
No.12068 - 2010/10/29(Fri) 22:44:53
☆ Re: / シャボン
Xの範囲の導き方を教えて下さい。垂直という条件から、とありましたがＸの範囲が出せません。。
No.12069 - 2010/10/30(Sat) 09:44:54
☆ Re: / angel
Xの範囲については、次の問題を考えているのと同じです。

・4αβ=-1, α＜0, β＞0 の時、X=β-α の範囲を調べよ

マイナスが入っているので、そのままではやりにくいかも知れませんが、プラスで統一したら?

というわけで、a=-α, b=β で置き直してみましょう。

・4ab=1, a＞0, b＞0 の時、X=a+b の範囲を調べよ

ちなみに、X≧1 となります。

翻って、元の問題では g(X) を微分せずとも、X≧1 の範囲で単調減少であることは分かりますから、X=1 で g(X) 最大、これが答になります。
No.12071 - 2010/10/30(Sat) 12:01:57
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