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無限等比級数 / Kay(新高2女子)
[問]
座標平面状で、点Pが原点Oから出発して、x軸の正の方向に1だけ進み、次にy軸の正の向きに 1/2 だけ進み、次にx軸の正の方向に 1/(2^2)だけ進み、次にy軸の正の方向に 1/(2^3)だけ進む。以下このような運動を限りなく続けるとき、点Pが近づいていく点の座標を求めよ。

[私の答案]
x座標は、
1/(2^0)+1/(2^2)+1/(2^4)+1/(2^6)+・・・+1*{(1/4)^(n-1)}+・・・
という無限等比級数で、等比 r=1/4 で、|r|<1 より収束し、
その和は、1/{1-(1/4)}=1/(3/4)=4/3

y座標は、
1/2+1/(2^3)+1/(2^5)+・・・・・+(1/2)*{(1/4)^(n-1)}+・・・・
という無限等比級数で、等比 r=1/4 で、|r|<1より収束し、
その和は、(1/2)/{1-(1/4)}=(1/2)/(3/4)=4/6=2/3

としました。
無限等比級数であることと、等比の絶対値が1より小さいことを
示し、後は、a1/1-r を用いました。


しかし模範解答は、Σ記号を用いた以下のようなものでした。

[模範解答]
x=1+1/(2^2)+1/(2^4)+・・・・・+Σ n→∞, 1/{2^(2n-2)}+・・・
=1/{1-(1/4)}=1/(3/4)=4/3
y=1/2+1/(2^3)+1/(2^5)+・・・・・+Σ n→∞, 1/{2^(2n-1)}+・・・・
=(1/2)/{1-(1/4)}=2/3

質問は、特にy軸の座標について、確かに一般項を
1/{2^(2n-1)} と表すことはできますが、これが、無限等比級数であることを示さずに、a1/1-r を用いているところに違和感
があります。
また、Σ n→∞, 1/{2^(2n-1)}を変形して
Σ n→∞, (1/2)*{(1/4)^(n-1)}と示せば、これは等比が1未満の無限等比級数だと一目でわかり、a1/1-r を使えると思うの
ですが、変形しないで、1/{2^(2n-1)}のままなのは、少し乱暴だと思うのですが、私が慣れていないだけですか。

それではよろしくお願いします。








(特にy座標

No.5596 - 2009/04/11(Sat) 18:10:44

Re: 無限等比級数 / rtz
そこまで厳密でなくても、
公比が(1/2)2になるのは分かりますから、このままでもいいと思いますよ。
(ただ、?狽フ位置が変な気はしますが)

それを言いだすと、
部分和を出して極限を取ったほうが云々といった話になりますので。

No.5600 - 2009/04/11(Sat) 19:54:03
三角関数の極限について / Kay(新高2女子)
次の問題で、模範解答を読んで、それ自体は理解できたのです
が、なぜ絶対値を用いるのかが分かりません。よろしくお願いし
ます。


[問]
lim x→0,xsin(1/x)・・・?@ の極限を求めよ。

[模範解答]
0≦|sin(1/x)|≦1 より
0≦|xsin(1/x)|=|x|*|sin(1/x)|≦|x|
lim x→0, |x|=0 より、
lim x→0, |xsin(1/x)|=0・・・?A
?Aより
lim x→0,xsin(1/x)=0・・・?B

[質問]
1.単純に lim x→0, xsin(1/x)
=(lim x→0, x) * {lim x→0, sin(1/x)}
=∞ * 0
=0
とは出来ませんか。
数列の極限の計算では、
lim x→∞, an*bn
=(lim x→∞, an) * (lim x→∞, bn) が可能でした
  が、関数の極限には当てはめることができませんか。

2.そもそも何故絶対値を用いるのかが分からないでいます。
  それに伴い、?Aから?Bへ絶対値をはずすだけで解答が導ける
  のも分かりません。

新しい分野を独学で予習しているので、よろしくお願いします。


No.5595 - 2009/04/11(Sat) 17:25:13

Re: 三角関数の極限について / rtz
lim[x→0]sin(1/x)≠0ですのでできません。
振動しますので0になりません。

-1≦sin(1/x)≦1でもいいですが、
結局同じ方針の上、2回それを繰り返すことになります。
-x〜xで挟める以上、0になるのが見えますので、
絶対値を付けた方が楽でしょう。

No.5599 - 2009/04/11(Sat) 19:39:51
(No Subject) / スヌーピー
 
数列の問題です。高3です。 
 
 数列anのはじめのn項の和をSnとする。
 Sn=3n-7-an(n=1,2,3・・・)が成り立つとき
 anを求めよ。

階差数列を使うと思ったのですが
 勘違いみたいでよくわかりません。
 解説よろしくお願いします。

No.5592 - 2009/04/11(Sat) 12:04:04

Re: / angel
はい。ご想像の通り階差数列が鍵です。
数式で表すなら、a[n+1]=S[n+1]-S[n] を利用する、となります。
後は初項の決定に必要な、S[1]=a[1] も。

元の等式から
 S[n] = 3n - 7 - a[n]
 S[n+1] = 3(n+1) - 7 - a[n+1]
 S[1] = 3・1 - 7 - a[1]
が導かれるため、上記を利用して
 a[n+1] = S[n+1]-S[n] = 3 + a[n] - a[n+1]
 a[1] = -4 - a[1]
という、2項間漸化式の問題に落ち着きます。

No.5593 - 2009/04/11(Sat) 13:02:31

Re: / スヌーピー

 解説ありがとうございます。
 
 S[1]=a[1]ということから
 a[1]=-2を出してみて
 a[n+1] = S[n+1]-S[n] = 3 + a[n] - a[n+1]
という式は理解できました。 
 
 すいませんがこの先どのようにして良いのか
 わかりません。
 自分の考えの間違いを含め解説お願いします。
 

No.5604 - 2009/04/11(Sat) 23:12:13

Re: / angel
遅くなって申し訳ないですが、その先です。

a[n+1] = 3 + a[n] - a[n+1]
整理すると、
2a[n+1] = a[n] + 3
(もしくは a[n+1] = 1/2・a[n] + 3/2)

という、隣接2項間漸化式の問題になります。
一般に、a[n+1] = r・a[n] であれば、公比 r の等比数列として計算できます。が、今回は +α がありますので、ちょっとだけ手間が増えます。

両辺から 6 を引いて
2a[n+1] - 6 = a[n] - 3
2(a[n+1]-3) = (a[n]-3)
(a[n+1]-3) = 1/2・(a[n]-3)
これより、b[n]=a[n]-3 なる数列 b[n] を考えると、b[n+1]=1/2・b[n] という漸化式になるため、b[n] は等比数列です。

-6 をどうやって思いつくか…? そこはテキトーです。(答案に求める過程を書く必要はないし)

しかし、一般に a[n+1] = r・a[n] + α の形 ( r≠1 ) の場合、上のような変形を行うために、次のような計算ができます。

 方程式 x = r・x + α を解く
   ※a[n+1] および a[n] を x に置き換えたもの
  ⇒ 解をβとする。( β=α/(1-r)、α=(1-r)β )
 漸化式の両辺からβを引く
  a[n+1]-β = r・a[n]+α-β
 これを変形すれば、a[n+1]-β=r(a[n]-β)
  ∵r・a[n]+α-β=r・a[n]+(1-r)β-β=r・a[n]-rβ

No.5640 - 2009/04/19(Sun) 01:16:42
期待値 よろしくお願いします / key
勝つとそのまま続けられるゲームがあります。今このゲームを9回再挑戦できるとして、合計何ゲーム期待できるか求めなさい。ただしゲームに勝つ確率は常に80%であるとする。

よろしくお願いします。 m(..)m

No.5586 - 2009/04/10(Fri) 14:28:00

Re: 期待値 よろしくお願いします / DANDY U
先ず1回負けるまでに出来る試合数の期待値Aを求めます。
1ゲームで終わる確率=1/5
2ゲーム目に進む確率=4/5 ,2ゲームで終わる確率=(4/5)*(1/5) ・・・
nゲーム目に進む確率=(4/5)^(n-1) ,nゲームで終わる確率=(4/5)^(n-1)*(1/5)
よって、A=1*(1/5)+2*(4/5)*(1/5)+3*(4/5)^2*(1/5)+・・  
すると
5A=1+2*(4/5)+3*(4/5)^2+4*(4/5)^3+・・・   (イ)
5A*(4/5)=(4/5)+2*(4/5)^2+3*(4/5)^3+・・・  (ロ)
(イ)-(ロ)より A=1+(4/5)+(4/5)^2+(4/5)^3+・・・
       =1/(1−4/5)=5
9回再挑戦できるということは、10回負けるまでということですよね? 
そうだとすると A*10=5×10=50(試合)ということになります。

No.5590 - 2009/04/10(Fri) 23:16:21

Re: 期待値 よろしくお願いします / key
回答ありがとうございます!
とてもよくわかりました^^

No.5591 - 2009/04/11(Sat) 00:26:13
三角関数について / 高2
三角関数という単元で関数のグラフ
(例えば y=2sin(1/2Θ-π/3)-1など)を書く意味として挙げられるのは何でしょうか?
単位円で全て解決だと僕は思うのですが。ただ、tanに関わる問題ではグラフは有効だと思います。
瑣末な問いへの返答お願い致します。

No.5584 - 2009/04/09(Thu) 18:54:38

Re: 三角関数について / rtz
実際、単一の関数で表されるものなら、
グラフを描くまでもなく式で処理できることも多々あります。
挙げられた例の正弦波ならば、位相と振幅は見えていますから、
グラフも容易に想像できうるものです。

挙げられた例なら描くまでもない、というのは
よく勉強されているということであり、素晴らしいことです。
が、まだ不慣れな場合は、グラフを描いて目で納得させるのが一番効果的なのでしょう。
だから描いてといわれるのだと思います。

今どの程度まで学習されていて、この先どこまで(文理の話)進まれるか分かりませんが、
先へ進むと、関数自体が複雑になり、概形すら想像出来ないものも出てきます。
その際には、グラフを描くことで視覚的に分かりやすくして、問題を解くことになります。
(式自体が複雑な例を挙げてもいいですが、
y=sin(θ2)やy=sin(1/θ)のような単純な形でもぱっと概形が想像付きますか?)

繰り返しになりますが、
式のみで処理できる範囲で処理する分には一向に構わないと思います。

No.5585 - 2009/04/10(Fri) 11:30:45

Re: 三角関数について / 高2
rtzさん 有難う御座います。僕の質問の意図を正確に捉えてくださりその上納得出来る回答、深く感謝致します。
僕は理系で加法定理が終わった所です。グラフの重要性についてはよく分かりました。これから複雑になる関数に関しては視覚的に捉えて躓く事が無いように精進していきます。

ところで、y=sin(θ2)やy=sin(1/θ)のグラフはどの様に描くのでしょうか?僕の学校では教わっていません。もしよろしければ、グラフの概形を見せてください。

No.5587 - 2009/04/10(Fri) 15:27:03

Re: 三角関数について / rtz
http://b4.spline.tv/study777/?command=GRPVIEW&num=651
通常、高校までではこの2つは出てこないと思います。
(概形を述べる程度なら可能性はありますが)

通常のθ→sinθに対し、θ2や1/θの値のとり方を考えて、
どんなグラフになるか分かる程度で十分です。
むしろ、まだ三角関数をやっている段階では出来なくても問題ありません。
これらはあくまで単純な形でも想像しにくい例として挙げたものですので。

No.5588 - 2009/04/10(Fri) 17:04:23

Re: 三角関数について / 犬
rtzさん  毎度毎度有難う御座います。
ところで名前を「犬」に変えたいと思います。名前が「高2」
というのは分かり難いし紛らわしいと思ったので。
ここで聞きたい事があるのですが、学校の予習をする際にあたってそろそろ理解が出来ない部分がでてくるかもしれません。その場合についてもここで質問して宜しいのでしょうか?土曜日あたりに一括して聞きたく思うのであまり迷惑にはならないとは思っています。

No.5608 - 2009/04/13(Mon) 18:20:19
数?U / 優 高3
点(-1,2)を通る直線で、点(3,5)との距離が4である直線の方程式を求めよ。

この問題の模範解答として、

求める直線を a^2+b^2≠0(a, bの少なくとも一方は0でない)として、
a(x+1)+b(y-2)=0とする。
ax+by+a-2b=0
|3a+5b+a-2b|/√a^2+b^2=4
∴(4a+3b)^2=16(a^2+b^2)
b(7b-24a)=0
よってb=0,24/7a
b=0のときx=-1で、同じように
b=24/7aのとき7x+24y-41=0

とあるのですが、この解説が最初からわかりません。なぜ急に|3a+5b+a-2b|/√a^2+b^2=4が出てくるかとか…さっぱりです。連続で申し訳ありませんが、よろしくお願いします。

No.5575 - 2009/04/07(Tue) 21:17:28

Re: 数?U / ヨッシー
なぜ急に、と言われると、「距離の公式だから」という
しかありません。

点(m,n) から、直線 ax+by+c=0 までの距離は
 |ax+by+c|/√(a^2+b^2)
で表されます。

No.5576 - 2009/04/07(Tue) 22:01:10

Re: 数?U / 優 高3
ありがとうございました!!

質問なのですが、
∴(4a+3b)^2=16(a^2+b^2)
ここまでは分かるのですが、
b(7b-24a)=0
よってb=0,24/7a
と答えが出るのが分かりません。
教えてください。お願いします。

No.5578 - 2009/04/08(Wed) 00:08:48

Re: 数?U / rtz
単に展開→移項→bで括っただけです。
到って普通の計算ですね。

No.5580 - 2009/04/08(Wed) 02:32:36

Re: 数?U / 優 高3
解説をありがとうございます!!
また質問で申し訳ないのですが…

(4a+3b)^2=16(a^2+b^2)
b(7b-24a)=0 とbでくくり、b=0 と出すところまではできるのですが、あともう一つの解の 24/7a をどうしても出せません;

教えてください。よろしくお願いします。

No.5581 - 2009/04/08(Wed) 03:17:15

Re: 数?U / ヨッシー
x(7x-24)=0
の解は、x=0,24/7 ですね?
xがbに、24が24aになっただけです。

No.5582 - 2009/04/08(Wed) 06:28:41
数?U / 優 高3
直線2x-y+5=0に関して、次の点Pと対称な点Qの座標を求めよ。
1. P (2, 3)

この問題の模範解答に
Q(a, b)とすると、PQの中点が直線上
2×(a+2)/2-(b+3)/2+5=0
2a-b+11=0・・・(1)PQと直線が垂直より2×(b-3)/(a-2)=-1
∴a+2b-8=0・・・(2)
(1),(2)より Q(-14/5,27/5)

と書いてあったのですが、最初からわかりません。すみませんが、教えてください。よろしくお願い致します。

No.5574 - 2009/04/07(Tue) 20:51:48

Re: 数?U / X
題意から直線2x-y+5=0は線分PQの垂直二等分線になります。
このことを踏まえてもう一度模範解答を見て下さい。

No.5577 - 2009/04/07(Tue) 22:14:24

Re: 数?U / 優 高3
ありがとうございました。

質問なのですが、
PQと直線が垂直より、
2×(b-3)/(a-2)=-1
∴a+2b-8=0
なぜこのような式になるのでしょうか?またこの式をどういうふうに解いたら、a+2b-8=0 となるでしょうか?
教えてください。よろしくお願いします。

No.5579 - 2009/04/08(Wed) 00:12:46

Re: 数?U / X
>>なぜこのような式になるのでしょうか?
傾きm,n(但しmn≠0)の直線が互いに垂直であるとき
mn=-1
の関係が成り立ちます。

>>またこの式をどういうふうに解いたら、a+2b-8=0 となるでしょうか?
問題の式の両辺にa-2をかけて整理してみましょう。

No.5583 - 2009/04/09(Thu) 10:47:48
よろしくお願いします?ォ / 高3です
lim(x→1+0)x^3/(x−1)=∞

lim(x→1−0)x^3/(x−1)=−∞

にどうしてなるのか説明してくれませんか??ォ

No.5570 - 2009/04/07(Tue) 19:15:15

Re: よろしくお願いします?ォ / ヨッシー

x→1+0 は、1よりちょっと大きいところから、1に近づく。
x→1−0 は、1よりちょっと小さいところから、1に近づく。
という意味です。

↓上の図の原画です。

No.5571 - 2009/04/07(Tue) 19:50:16

(No Subject) / 高3
よく分かりました?ォ
ありがとうございます。

No.5573 - 2009/04/07(Tue) 20:36:35
(No Subject) / ゆき
お久しぶりです。また悩んでいるので教えてください。

問.次の式を簡単にせよ。
(1) cos(α+β)sin(α-β)+cos(β+γ)sin(β-γ)+cos(γ+α)sin(γ-α)
(2) cosαsin(β-γ)+cosβsin(γ-α)+cosγsin(α-β)

解答はどちらも0です。

(1)は、とりあえずcos(α+β)sin(α-β)を展開して
 sinαcosα(cos^2β+sin^2β)+sinβcosβ(cos^2α+sin^2α)
とまで持ってきてみたのですが、その後が続きません。

(2)はどうしたらいいのか思いつきませんでした><

No.5567 - 2009/04/07(Tue) 12:56:05

Re: / ヨッシー
(1)
和積の公式
 sinαcosβ=(1/2){sin(α+β)+sin(α-β)}
より
 sin(α-β)cos(α+β)=(1/2){sin(2α)−sin(2β)}
 sin(β-γ)cos(β+γ)=(1/2){sin(2β)−sin(2γ)}
  ・・・・
(以下略)

(2) (1)と同様に
 sin(β-γ)cosα=(1/2){sin(β-γ+α)+sin(β-γ-α)}
 sin(γ-α)cosβ=(1/2){sin(γ-α+β)+sin(γ-α-β)}
  ・・・
(以下略)
例えば、sin(β-γ+α)+sin(γ-α-β)=0 ですね。

No.5568 - 2009/04/07(Tue) 14:03:14

Re: / ゆき
公式があったのを知らずにいました…^^;

ヨッシーさん、ありがとうございました。

No.5569 - 2009/04/07(Tue) 15:52:41

Re: / ヨッシー
和積の公式は、加法定理の式
 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
 sin(α-β)=sinαcosβ−cosαsinβ
を、足したり引いたりして作れるので、一度やっておくと良いでしょう。

No.5572 - 2009/04/07(Tue) 19:54:12
(No Subject) / ゆんな
すいません。もう1つお願いします!
新高一です。

たすき掛けってありますよね?
あれってひたすら合うものを見つけるしかないんですか?
コツとかあったら教えてください!

No.5563 - 2009/04/06(Mon) 01:42:55

Re: / らすかる
たすき掛けではないですが…
たとえば 12x^2+17x+6 の場合 12×6=72 なので
まず足して17、掛けて72になるものを考えます。
それを満たすのは8と9ですから、17を8と9に分解します。
12x^2+17x+6=12x^2+8x+9x+6
そして前2項と後ろ2項をそれぞれ因数分解すると
12x^2+8x+9x+6=4x(3x+2)+3(3x+2)=(4x+3)(3x+2)
のように3x+2という共通因数が見つかり、全体が因数分解できます。

No.5564 - 2009/04/06(Mon) 05:23:04

Re: / ヨッシー
蛇足ながら、らすかるさんの 12x^2+17x+6 は、
 12x^2+17x+6=12(x^2+17x/12+6/12)
  =12(x^2+17x/12+72/12^2)
とおけるので、a+b=17, ab=72 となるa,b に対して
 12x^2+17x+6=12(x^2+(a+b)x/12+ab/12^2)
  12{x^2+(a/12+b/12)x+(a/12)(b/12)}
  =12(x+a/12)(x+b/12)
と書けますね。
後は、先頭の12を適当に2つの( )に振り分けてやれば、
完成です。

さらに蛇足ながら、たすき掛けを、因数分解するための
道具と見なして、因数分解さえ出来ればいいと言うのであれば、
 12x^2+17x+6=0
を、解の公式で解いて、
 x={-17±√(17^2−4・12・6)}/24=-2/3, -3/4
より、
 12x^2+17x+6=12(x+2/3)(x+3/4)=(3x+2)(4x+3)
となります。

No.5565 - 2009/04/06(Mon) 10:30:18
教えてください。 / ゆんな
新高一です。
数学の

(x+y+z)(x-y-z) を置き換えたり、分配法則でそのまま求める以外に式を変形して展開しやすくする方法を教えてください。 

答えは:  x2-y2-2yz xとyの後ろの2は2乗です。

No.5560 - 2009/04/06(Mon) 01:06:57

Re: 教えてください。 / BossF
まず、xのn乗は普通webでは"x^2"のように表記するようです

さて
与式={x+(y+z)}{x-(y+z)}
=x^2-(y+z)^2
=x^2-y^-z^2-2yz

置き換えとは、上のような塊(→(y+z))を別な文字で便宜的に表すわけですから、これは本質的には置き換えと同じですが、いかがでしょうか?

No.5561 - 2009/04/06(Mon) 01:32:14
(No Subject) / ゆう
2つの2次方程式x^2-3x+m-1=0、x^2+(m-2)x-2=0が共通な実数解をただ1つもつとき、mの値とその共通解を求めよ。

よろしくお願いします。

No.5558 - 2009/04/05(Sun) 22:09:41

Re: / X
x^2-3x+m-1=0 (A)
x^2+(m-2)x-2=0 (B)
とします。
(A)(B)をx,mの連立方程式と見て解くことを考えてみましょう。
(B)-(A)より
(m+1)x-m-1=0
(m+1)(x-1)=0
∴m=-1又はx=1
(i)m=-1のとき
(A)(B)は共に
x^2-3x-2=0
これの解の判別式をDとすると
D=9-4・(-2)=17>0
∴(A)(B)の共通解が2つとなり不適
(ii)x=1のとき
(A)よりm=3
このとき(A)は
x^2-3x+2=0
これよりx=2,1
一方(B)は
x^2+x-2=0
これよりx=-2,1
∴共通解は一つですので題意を満足します。

以上から
m=3,共通解はx=1
となります。

No.5559 - 2009/04/05(Sun) 23:48:12
数列の極限 / Kay(新高2女子)
数列の極限の予習をしています。用語とか概念がまだよく分からないので、なるべく詳しく解説してください。よろしくお願いします。

1.数列と級数の関係は簡潔に捉えるとどういう関係です 
  か。
   無限数列の第n項までの和を部分和と言い、部分和の
  和を無限級数の和と言うのですか。

2.級数というのは、数列の和と考えていいですか。もし、
  よければ、無限級数の第n項までの和を部分和というの
  に対して、無限級数そのものは(そんな用語はないかも
  しれませんが)、「無限和」と考えていいですか。

3.教科書には、
  無限等比級数 a+ar+ar^2+・・・+a*r^(n-1)+・・・?@
  について
   a≠0のとき
    |r|<1 ならば 収束し、その和は a/(1-r)である。
  とありますが、これは、「無限等比級数?@はa/(1-r)に収
  束する」と表現しても同じことを表していることになり
  ますか。



 に収束する

No.5556 - 2009/04/05(Sun) 20:24:39

Re: 数列の極限 / BossF
1.無限数列の第n項までの和を部分和と言い/ここまではOK、

部分和の和を無限級数の和と言うのですか。

→部分和の極限を級数といいます

2.3.その通りです

No.5562 - 2009/04/06(Mon) 01:41:13

Re: 数列の極限 / Kay(新高2女子)
BossFさんへ
ありがとうございました。部分和の極限を級数というのですね。
また、一般に級数と言えば、無限級数を指すのですね。

No.5594 - 2009/04/11(Sat) 16:59:29
(No Subject) / スヌーピー

 新高3です。
 微積分の問題でわからないところがあります。
 解説お願いします。

 aが1≦aの範囲を動く時
S(a)=∫[a〜a+1]|-2x^2+4x|dxとおく。
 S(a)が(1≦a≦2)と(2≦a)の場合を求めよ。

 よろしくお願いします。
 

No.5549 - 2009/04/04(Sat) 00:40:59

Re: / 雀
ヒントです。
f(x)=|-2x^2+4x|
のグラフを描いてみると分かりやすいです。
f(x)=2x^2-4x x≦0
f(x)=-2x^2+4x 0≦x≦2
f(x)=2x^2-4x 2≦x

1≦a≦2のとき
2≦a+1≦3なので
x=2を境にf(x)が変わってきます。

S(a)=∫[a〜a+1]|-2x^2+4x|dx
=∫[a〜2](-2x^2+4x)dx+∫[2〜a+1](2x^2-4x)dx

分かり難かったらすみません。

No.5550 - 2009/04/04(Sat) 01:17:14

Re: / スヌーピー

 解説ありがとうございます。
 
 ∫[a〜2](-2x^2+4x)dx+∫[2〜a+1](2x^2-4x)dx
 =4/3a^3-2a^2-2a+4(1≦a≦2)

という風になったのですが、
 (2≦a)の場合がよくわかりません。
 解説お願いします。

No.5551 - 2009/04/04(Sat) 11:19:56

Re: / 雀
2≦aのときは
∫[a〜a+1](2x^2-4x)dx
となります。

No.5552 - 2009/04/04(Sat) 13:44:34

Re: / スヌーピー

 解説ありがとうございます。
 わかりやすかったです。
 おかげさまで納得できますした。
 ありがとうございました。

No.5553 - 2009/04/05(Sun) 00:06:32

Re: / スヌーピー

 すいません。
 納得したつもりだったのですが、自力で解こうとしたら
 わからないところができてしまいました。
 よろしければ解説お願いします。 
 
 始めのf(x)=|-2x^2+4x|のグラフを
 描くところなのですが
 f(x)=2x^2-4x x≦0
 f(x)=-2x^2+4x 0≦x≦2
 f(x)=2x^2-4x 2≦x
 という範囲になるのがよくわかりません。
 なぜ第3第4象限はなくなるのでしょうか。

 解説お願いします。

No.5554 - 2009/04/05(Sun) 01:14:47

Re: / 雀
絶対値が付いているからですね。
|a|=a (a≧0)
|a|=-a (a≦0)

例えば
f(x)=|x-3|は

x-3≧0 の場合
f(x)=x-3

x-3≦0 の場合
f(x)=-(x-3)

となります。


f(x)=|-2x^2+4x|
も同様に
-2x^2+4x≧0のとき
つまり 0≦x≦2のとき
f(x)=-2x^2+4x

-2x^2+4x≦0のとき
つまり
x≦0 2≦xのとき
f(x)=-(-2x^2+4x)

となります。

第3第4象限にないのは絶対値がついてるのでf(x)<0になることはありません。

No.5555 - 2009/04/05(Sun) 01:38:49

Re: / スヌーピー

 解説ありがとうございます。
 細かく丁寧に解説していただき理解することが
 できました。
 ありがとうございました。

No.5557 - 2009/04/05(Sun) 21:17:36
二次方程式 / アンパンマン
中学二年生です。よろしくお願いします。
(x-3)(x-5)=8
答えは、1,7になりますが、解き方を教えてください。

No.5545 - 2009/04/03(Fri) 12:41:38

Re: 二次方程式 / ヨッシー
中2だと、予習になるのか、進んだ中学なのかわかりませんが、
まずは、こちらをご覧下さい。
その上で、いくつかの方法で解くと、

(解法1)
 (x-3)(x-5)=(x-5+2)(x-5)=8
なので、x-5 と、それより2大きい数とを掛けて、
8になっているので、それらは、
 2と4 または −4と−2
です。よって、x-5=2 または x-5=-4 より、x=7 または x=1

(解法2)
 (x-3)(x-5)=8
展開して移項すると、
 x^2-8x+7=0
因数分解して
 (x-1)(x-7)=0
よって、x-1=0 または x-7=0 よって、x=1 または x=7

(解法2)
 (x-3)(x-5)=8
展開して移項すると、
 x^2-8x+7=0

 (x−m)^2+n=0
の形になるように考えると、m=4 のとき、
 (x-4)^2=x^2-8x+16
なので、
 x^2-8x+7=x^2-8x+16-9=(x-4)^2-9=0
よって、
 (x-4)^2=9
 x-4=3 または x-4=-3
よって、 x=7 または x=1

No.5546 - 2009/04/03(Fri) 14:08:08

Re: 二次方程式 / アンパンマン
ありがとうございました
No.5547 - 2009/04/03(Fri) 14:14:24
(No Subject) / ゆう
nを整数とし、S=(n-1)^3+n^3+(n+1)^3とする。
(1)Sが偶数であればnは偶数であることを示せ。(2)Sが偶数であればSは36で割り切れることを示せ。


よろしくお願いします。

No.5535 - 2009/04/02(Thu) 10:10:28

Re: / ヨッシー
(1)
nが奇数だと仮定すると、から始まる背理法で証明します。
(2)
nは偶数なので、n=2m(mは整数)とおくと
 S=(2m-1)^3+(2m)^3+(2m+1)^3
展開して...
このあと、mによって、場合分けします。

No.5537 - 2009/04/02(Thu) 10:43:17

Re: (No Subject) / ゆう
分かりました!
ありがとうございました!

No.5542 - 2009/04/02(Thu) 23:18:10
(No Subject) / TDJ
2人の人が1つのサイコロを1回ずつふり、大きい目を出した方を勝ちとすることにした。ただし、このサイコロは必ずしも正しいものではなく、Kの目が出る確率はP(K)である。
(K=1,2,3,4,5,6)このときP≧1/6であることを示せ。また、P=1/6ならばP(k)=1/6である(K=1,2,3,4,5,6)ことを示せ。
よろしくお願いします。

No.5530 - 2009/04/02(Thu) 01:19:25

Re: / ??
何を「P」とおいたのでしょう?
No.5531 - 2009/04/02(Thu) 02:28:42

Re: / TDJ
さいころの目(1,2,3,4,5,6、)がでる確率を直接Pとおくのだと思います。
No.5532 - 2009/04/02(Thu) 08:06:42

Re: / ヨッシー
P1,P2,P3,P4,P5,P6 のうち、最大のものを P とおくように思います。

私は、実際の問題文を見ていないので、あくまで「思います」
のレベルですが。

No.5533 - 2009/04/02(Thu) 08:44:41

Re: / TDJ
問題文の文脈からたぶん最大の確率がPだと思います。
ご迷惑おかけしました

No.5534 - 2009/04/02(Thu) 09:42:35

Re: / TDJ
すいません、(1)でひきわけになる確率Pをもとめよ。
とあるので、Pはひきわけになる確率です。

No.5536 - 2009/04/02(Thu) 10:33:06

Re: / DANDY U
引き分けは同じ目を出したときだから
P=P(1)^2+P(2)^2+P(3)^2+・・+P(6)^2 です。
いま 、P(k)=1/6+a(k) (1≦k≦6)とおくと、a(1)+a(2)+a(3)+・・・+a(6)=0 だから

P={1/6+a(1)}^2+{1/6+a(2)}^2+・・・+{1/6+a(6)}^2
=6*(1/6)^2+2*(1/6)*{a(1)+a(2)+・・・+a(6)}+{a(1)^2+a(2)^2+a(3)^2+・・・+a(6)^2}
=1/6+{a(1)^2+a(2)^2+a(3)^2+・・・+a(6)^2}≧1/6

等号が成り立つのは、{a(1)^2+a(2)^2+a(3)^2+・・・+a(6)^2=0 のときだから
a(k)=0 (1≦k≦6) すなわち P(k)=1/6 (1≦k≦6)のときですね。
 

No.5539 - 2009/04/02(Thu) 16:58:22

Re: / 魑魅魍魎
別解です。
P(1)+P(2)+・・・+P(6)=1

P=P(1)^2+P(2)^2+P(3)^2+・・+P(6)^2


コーシー・シュワルツの不等式から
(1^2+1^2+・・・1^2)(P(1)^2+P(2)^2+・・・+P(6)^2)≧
(P(1)+P(2)+・・・+P(6))^2
6P≧1
P≧1/6

等号が成り立つのは
1:1:・・・:1=P(1):P(2):・・・:P(6)
よりP(1)=P(2)=・・・=P(6)

No.5540 - 2009/04/02(Thu) 20:09:54
(No Subject) / ゆう
何回も続けて質問してしまってすいません。

不等式x^2+2ax+1≦0…?@2x^2+7x-4≦0…?Aについて不等式?@の解が常に存在するとする。このとき、不等式?@の解を満たすxがすべて不等式?Aを満たすようなaの値の範囲を求めよ。

よろしくお願いします!

No.5521 - 2009/03/31(Tue) 10:03:50

Re: / rtz
f(x)=x2+2ax+1とする。

題意
⇔f(x)=0の判別式≧0 かつ 第2式の小さい方の解(以下α)≦第1式の小さい方の解≦第1式の大きい方の解≦第2式の大きい方の解(以下β)
⇔f(x)=0の判別式≧0 かつ f(α)≧0 かつ f(β)≧0

グラフを描いて考えましょう。
あとは第2式を解くことから始めます。

No.5522 - 2009/03/31(Tue) 13:12:25

Re: / DANDY U
横から失礼します。
rtzさん
> ⇔f(x)=0の判別式≧0 かつ f(α)≧0 かつ f(β)≧0
の部分ですが
f(x)=0 の軸 x=−a において「α≦−a≦β であること」の条件も必要では?

No.5523 - 2009/03/31(Tue) 15:13:12

Re: / rtz
>DANDY U さん
あ、本当ですね。
横にはみ出てる場合が除外できていませんね。
失礼しました。

ゆうさん、DANDY U さんの条件も加味してください。

No.5524 - 2009/03/31(Tue) 17:57:27

Re: / 高1
横槍すいません。僕の発言は無視していただいても一向に構いませんが気になったので一応僕の回答を書かせてもらいます。幾何的ではなく代数的に解くのはどうでしょうか?
?Aについて求めるxの範囲は-4≦x≦1/2 題意より?@の解をα,β(α≦β)とおくと数直線を書くと分かると思うのですが、
α≧-4かつβ≦1/2が得られる。ここで?@の解を解の公式を用いてx=-a±√a^2 - 1となるのでα=-a-√a^2 - 1
β=-a+√a^2 - 1とおける。先程のα,βに関する不等式より
-a-√a^2 - 1≧-4⇔-√a^2-1≧-4+a
左辺は√の中身に関係なく負か0なので、それ以下の右辺も当然負か0 よって、両辺を2乗してa^-1≦16-8a+a^2
整理して、a≦17/8--?B
解βについても同様にしてa≧-5/4--?C
?B?Cの共通範囲をとって-5/4≦x≦17/8
とするのはどうでしょうか?ご指摘お願いします。

No.5525 - 2009/03/31(Tue) 20:33:36

Re: / 高1
↑下から2行目
-5/4≦x≦17/8→-5/4≦a≦17/8 へ訂正お願いします。

No.5526 - 2009/03/31(Tue) 20:34:55

Re: / rtz
>高1さん
間違った私が指摘するのも失礼かと思いますが…。

√(a2−1)のa2−1≧0が抜けているのでは。
また、解βについての方はa+(1/2)≧0が考慮されていません。

No.5527 - 2009/03/31(Tue) 21:04:48

Re: / 高1
rtzさん 私の浅はかな考えに態々コメントして頂いて恐縮です。すっきりしました、有難う御座います。
No.5528 - 2009/03/31(Tue) 21:35:26

Re: (No Subject) / ゆう
ありがとうございました!
よく分かりました!

No.5529 - 2009/04/01(Wed) 00:03:33
(No Subject) / ゆう
a.bを実数の定数とし、3次方程式x^3+ax^2+bx-(a+b+7)=0の1つの解が2+iであるとする。ただしiは虚数単位である。このとき、の値を求めよ。また3次方程式の実数解を求めよ。

よろしくお願いします!

No.5514 - 2009/03/31(Tue) 00:14:29

Re: / X
前半)
問題の3次方程式にx=2+iを代入して左辺を展開、整理し
複素数の相等の定義を使ってa,bについての連立方程式を立てます。

後半)
前半の結果から問題の3次方程式が定まりますので
適当な整数を代入して解を探します。

No.5518 - 2009/03/31(Tue) 00:32:22

Re: / ヨッシー
実数係数の3次方程式は、少なくとも1つの実数解を持つので、
x^3+ax^2+bx-(a+b+7)=0 の実数解を x=α とすると
 x^3+ax^2+bx-(a+b+7)=(x−α)(x^2+mx+n)
のように因数分解でき、x^2+mx+n=0 の解が
 x=2±i
ということになります。
解と係数の関係より
 −m=(2+i)+(2−i) → m=−4
 n=(2+i)(2−i)=5
より、
 x^3+ax^2+bx-(a+b+7)=(x−α)(x^2−4x+5)
と書けます。展開して
 (右辺)=x^3−(4+α)x^2+(5+4α)x−5α
左辺と係数比較して
 a=−4−α
 b=5+4α
 a+b+7=5α
これを解いて、
 α=4,a=−8,b=21

No.5519 - 2009/03/31(Tue) 00:34:06

Re: (No Subject) / ゆう
xさん、ヨッシーさん、ありがとうございました!!

よく分かりました!
またよろしくお願いします。

No.5520 - 2009/03/31(Tue) 09:53:41
質問数が多くてすみません。。。。。 / むささび3年
(1)sinθ+cosθ=23/17であるときsinθの値を二通り表せ。

(2)円に内接する四角形ABCDがありAB=3,BC=5,CD=6,DA=5のとき。

1,sin∠BAD

2,四角形ABCDの面積

(3)男5人、女7人の中から男女ペアを3組選ぶ選び方は。


この問題に関しては答えがわからないです・・・・・
解答、解説をお願いします!!

No.5512 - 2009/03/31(Tue) 00:00:56

Re: 質問数が多くてすみません。。。。。 / X
(1)
条件式を(A)とします。
(A)の両辺を2乗して左辺を展開し
(sinθ)^2+(cosθ)^2=1
を使うと
1+2sinθcosθ=(23/17)^2
∴sinθcosθ=120/289 (B)
(A)(B)から解と係数の関係によりsinθ,cosθの値は
tの2次方程式
t^2-23t/17+120/289=0 (C)
の二つの解になります。
(C)より
289t^2-391t+120=0
(17t-15)(17t-8)=0
∴t=15/17,8/17
よって求める値は15/17,8/17となります。

No.5515 - 2009/03/31(Tue) 00:17:24

Re: 質問数が多くてすみません。。。。。 / ヨッシー
(1)
合成公式より
 sinθ+cosθ=√2sin(θ+π/4)=23/17
 sin(θ+π/4)=23/17√2
これより
 cos(θ+π/4)=±7/17√2
加法定理より
 sinθ=sin{(θ+π/4)−π/4}
  =sin(θ+π/4)cos(π/4)−cos(θ+π/4)sin(π/4)
より求まります。

(2)
∠BAD=θ とすると ∠BCD=π−θ
△ABDにおける余弦定理より
 BD^2=AB^2+AD^2−2AB・ADcosθ
  =34−30cosθ
△CBDにおける余弦定理より
 BD^2=CB^2+CD^2−2CB・CDcos(π−θ)
  =61+60cosθ
両者を結んで
 34−30cosθ=61+60cosθ
 cosθ=−3/10
よって、
 sinθ=√91/10

 △ABD=(1/2)AB・ADsinθ
 △CBD=(1/2)CB・CDsinθ
合計すれば四角形ABCDになります。

(3)
男を3人選ぶのは 5C3=10(通り)
その3人を並べて、女を1人ずつあてがうのは
 7P3=210(通り)
以上より
 10×210=2100(通り)

No.5516 - 2009/03/31(Tue) 00:24:38

Re: 質問数が多くてすみません。。。。。 / むささび3年
ありがとうございます!!
No.5541 - 2009/04/02(Thu) 23:15:45
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