a(n+1)=ra(n)+ps^n+f(n)(r≠１,f(n)は整式でnのk次式）
このパターンはa(n)=ar^n+bs^n+g(n)(g(n)は整式でｎのｋ次式）
これを用いて、
例題）a(n+1)=3a(n)+2^n-2n+5(a(1)=0)は
a(n)=a3^n+b2^n+cn+dとおいて漸化式に代入して
a3^(n+1)+b2^(n+1)+c(n+1)+d=3(a3^n+b2^n+cn+d)+2^n-2n+5
係数比較により、b=-1,c=1,d=-2が求まり、初項a(1)=0からa=1とあります。
以上のようにして
a(n+1)=2a(n)-n+1+2^(n+2) (a(1)=1)
を求める方法を教えて下さい。
例題のように、a(n)=a2^n+b^n+cn+dとおいて
漸化式に代入して
a2^(n+1)+b2^(n+1)+c(n+1)+d=2(a2^n+b^n+cn+d)-n+1+2^(n+2)この後の係数比較の方法が分かりません。どなたかよろしくお願いいたします。
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No.12485 - 2010/12/24(Fri) 23:11:34
| ☆ Re: 未定係数法を用いた漸化式の解法 / ast | | | > a(n+1) = ra(n)+ps^n+f(n) (r≠1, f(n)は整式でnのk次式）
というかたちにあわせるなら, a(n+1) = 2a(n)-n+1+2^(n+2) は a(n+1) = 2a(n)+4*2^n+(-n+1) と書き直して, r=2, p=4, s=2, f(n)=-n+1 です. ですから, その解法にしたがって代入すべきは (a(n) = a2^n+b^n+cn+d ではなく) a(n) = a*2^n+b*2^n+cn+d であるということになりますが, 実は r=s=2 であることが災いして (条件式が減ってしまい) これでは解けません. 実際, a(n) = m*2^n+cn+d とすると
a(n+1) = 2m*2^n + cn + (c+d)
2a(n)-n+1+2^(n+2)=(2m+4)*2^n + (2c-1)*n + (2d+1)
から係数比較で 2m=2m+4 かつ c=2c-1 かつ c+d=2d+1 ですが, このような m は存在しません. そこで少々天下り式になりますが, a(n) = (a+bn)*2^n+cn+d を代入してみてはいかがでしょう.
これでざっとやってみると, たぶん a(n) = (n-1)2^(n+1) + n になるような気がしますが, 計算は得意ではありませんので保証はしません.
# このような個別の漸化式の解法についてはほとんど存じませんが,
# どういうものに係数比較が有効なのかといったようなことは,
# 線型独立など大学初年度級の線型代数で扱える話なので,
# 興味があれば調べてみられるのもよいかもしれません.
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No.12486 - 2010/12/25(Sat) 00:21:44 |
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