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接線 / aki
こんにちは。
質問お願いしたいです。宜しくお願いします。
http://w.upup.be/?DaDoiQxnQT
の(2)ですが、
接点のx座標をtとおき、さらに(0、b)を通るので
e^(−t)t^2=b …☆
まで出しました。
このあとそのままy=bとy=e^(−t)t^2
の共有点の個数が答えとしようと思ったのですが、間違えてますか?
ヒントによるとこの☆がでた時点で接線の本数が接点の個数に等しいことが示されている
らしいのですが、これが理解できません。
さらに接点の本数と個数が一致するかどうかの判断はどうすればいいのかいつもわかりません。入試問題では一致しないものはあまりでないのか、今までおざなりになっていたのですが…(>_<)
教えて下さい。

No.6929 - 2009/07/26(Sun) 11:39:57

Re: 接線 / angel
> このあとそのままy=bとy=e^(−t)t^2
> の共有点の個数が答えとしようと思ったのですが、間違えてますか?

問題ないと思います。

> ヒントによるとこの☆がでた時点で接線の本数が接点の個数に等しいことが示されているらしいのですが、これが理解できません。
> さらに接点の本数と個数が一致するかどうかの判断はどうすればいいのかいつもわかりません。

実を言うと、現役の時そんなこと気にした事はありませんでした。
※多分、解答にそこまで書かせることは想定していないと思う…
ただ、経験的には、4次関数 ( またはそれ以上 ) や、三角関数等の、波が沢山ある関数だけ気にするようにしていました。

今改めて考えると、一応説明はできそうですが。

 関数 y=f(x) のグラフに関して、x=αおよびx=βにおける接線が一致するような、α,β ( α<β ) が存在する

という問題をちょっと調べてみましょうか。
これを言い換えると、

 f'(α)=f'(β)=(f(β)-f(α))/(β-α) となる α,β ( α<β ) が存在する

なわけですが、一方、平均値の定理として、

 (f(β)-f(α))/(β-α)=f'(γ), α<γ<β を満たすγが存在する

という話がありますので、もしα,βが存在するならば、

 f'(α)=f'(β)=f'(γ)

となります。ということは、少なくとも3箇所でf'(x)の値 ( 微分係数 ) が一致している必要があります。
※あくまで「必要」であって、「十分」であるかどうかは分かりません。

しかしながら、今回の f'(x) は、グラフが\/のような形をしていますので、3箇所でf'(x)の値が一致するようなことはありません。( どんな場合でも f'(x)=(定数) は3つ以上の解を持たない )

なので、y=f(x)の異なる点における接線が一致することはない、すなわち、接点の数と接線の本数は一致する、と言えます。

No.6954 - 2009/07/26(Sun) 23:17:47

Re: 接線 / aki
平均値の定理でそういうことがわかるんですね、すごいです。
言われてみれば四次関数はよく出そうな気がするので気をつけます。
どうもありがとうございまさた!

No.6972 - 2009/07/27(Mon) 19:44:51
(No Subject) / かな
質問お願いします。
 
 
6人の人がいる。次のように分ける方法はそれぞれ何通りあるか。
(1)A、Bの2部屋に分ける(空室があってもよい)
(2)A、Bの2班に分ける(どの班にも1人はいる)
 
 
場合の数とか順列とか、とにかく苦手で・・・
よろしくお願いします。

No.6928 - 2009/07/26(Sun) 11:07:28

Re: / 七
(1)6人とも選び方はA,B2通りずつあるから
2・2・2・2・2・2=2^6=64 とおり
(2)6人とも選び方はA,B2通りずつあるから
2・2・2・2・2・2=2^6=64 とおり
ただし6人全員がAまたはB班に入る2通りを除いて
64-2=62 とおり

No.6937 - 2009/07/26(Sun) 14:01:13

Re: (No Subject) / かな
わかりました!

ありがとうございます(*^^*)

No.6940 - 2009/07/26(Sun) 16:19:27
場合分けが必要な最大.最小 / 花崎

またまた失礼いたします。
二次関数の範囲なのですが、
0≦x≦a (a>0) における二次関数 y=-x^2+4x-1 について最大値と最小値を求めよという問題で、
まず平方完成して y=-(x-2)^2+3 となり次に(?T)0<a<2 (?U)a≧2 と分類して図をかくと
0<a<2 のとき x=aのとき最大値 -a^2+4a-1
a≧2 のとき x=2のとき最大値3
までは解くことができました。
しかし最小値は (?T)0<a<4 (?U)a≧4 と分類して解くそうなのです。
なぜ最大値のときと同じ分類ではいけないのでしょうか?
また何故このような分類になるのでしょうか?

どなたかご指導宜しくお願いします。

No.6927 - 2009/07/26(Sun) 10:58:20

Re: 場合分けが必要な最大.最小 / 七
なぜ最大値のとき
0<a<2、a≧2 と分けるのですか?

No.6936 - 2009/07/26(Sun) 13:53:53

Re: 場合分けが必要な最大.最小 / ヨッシー
七さんの回答は、
>なぜ最大値のとき
>0<a<2、a≧2 と分けるのか、考えましたか?

ということですね。

上の記事で、
>分類して図をかくと
とあります。図とはグラフのことだとすると、順序が逆です。
まずグラフを描いて、そこに0≦x≦a の範囲を当てはめてみて、
最小値、最大値の出方によって、aを場合分けするのです。
たぶん、そういうグラフの描き方が出来ていないのだと思います。

No.6966 - 2009/07/27(Mon) 08:46:12
(No Subject) / tsuyu
負でない整数の組X0,X1,X2,X3が
Xn+1={(Xn)の3乗}+1(n=0.1.2)を満たすとき以下のことを示せ。
1)0≦n≦2に対しXnXn+1は2で割り切れる。
2)X1を9で割った余りは0.1.2のいずれかである。
の2)について

なぜX0を3で割った余りによって分類するのか、その根拠が知りたいです。この3という数字がどこから来たのか知りたいです。

No.6924 - 2009/07/26(Sun) 08:57:50

Re: / rtz
(3k+t)3=9(3k3+3k2t+kt2)+t3
であるからです。

(a+b)3=a33a2b+3ab2+b3
の"3"があるため、aは3の倍数で十分なのです。

平方数を4で割った余りを考えるときに、
偶数奇数のみでよかったのと同じ理屈です。

No.6925 - 2009/07/26(Sun) 10:02:39

Re: / tsuyu
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
の"3"があるため、aは3の倍数で十分なのです。

平方数を4で割った余りを考えるときに、
偶数奇数のみでよかったのと同じ理屈です。
→よく分かりません。できれば詳しく教えてほしいです。よろしくお願いします。

No.6933 - 2009/07/26(Sun) 13:04:17
(No Subject) / tsuyu
文章問題の途中に出てきたxy=yz=zx=0の解がx=y=0またはy=z=0またはz=x=0となるというのが分かりません。ちなみにx、y、z≧0でした。
No.6923 - 2009/07/26(Sun) 08:46:16

Re: / rtz
まずは単純に
x≠0なら〜
x=0なら〜
で考えてみては。

No.6926 - 2009/07/26(Sun) 10:04:58
積分 / みほ
定積分を用いて次の極限値を求めよ。

(1)lim(n→∞)1/(n^2){√(n^2−1)+√(n^2−2^2)+・・・・・+√(n^2−(n−1)^2)}

答えはπ/4になります。
プロセスが全くわかりません。
詳しい解説至急おねがいします。
読みにくくてすみません・・・・・・。

No.6921 - 2009/07/26(Sun) 06:16:55

Re: 積分 / 豆
与式=lim[n→∞](1/n)Σ[k=1→n-1]√(1-(k/n)^2)
=∫[x=0→1]√(1-x^2)dx
=π/4 (単位円の1/4の面積)

No.6922 - 2009/07/26(Sun) 07:58:48

Re: 積分 / みほ
解説ありがとうございます!!!
できました。

No.6950 - 2009/07/26(Sun) 22:16:17
線積分について・・・ / mitsuya
ベクトルの線積分の問題で、ノートが不十分だったためにわからない部分がありました。お願いします。
問題は、
スカラー場f(x,y)=-3x+6y,曲線C:x=t^2,y=t(0≦t≦2)のとき、
∫c fd

を求めよ。(p=x+y) *<>で括弧したものはベクトルで太字で表記されています。
というものだったのですが、
解答には
∫(-3t^2+6t)*2tdt=∫(-6t^3+12t^2)dt=8 (tの範囲0〜2は省略)
とありました。
この式だと、∫f(x,y)dx→∫f(t)dtの場合のみで答えている
ように見えるのですが、これで会っているのでしょうか?
また、これが空間ベクトル場f[x,y]=f[-3x,6y],曲線Cx=t^2,y=t(0≦t≦2)の場合だとどうなるのでしょうか??
わかりにくくてすいません。。

No.6916 - 2009/07/25(Sat) 23:58:52

Re: 線積分について・・・ / mitsuya
<>で囲った部分が消えてしまいました。
4行目:∫c fdp
5行目:p=xi+yj
p,i,jはベクトルです。

No.6917 - 2009/07/26(Sun) 00:00:51
三角関数 / aki
こんばんは。
質問お願いします。

f(x)=2e^πxsin(πx)の区間−1
f'(x)=0は計算すると√2sin(πx+π/4)=0を考えればよいようで、この解はx=−1/4 3/4となりました。
それで、このあとの増減が問題だったのですが、−1こんなところでつまずいて申し訳ありませんが、教えて下さい(>_<)

No.6913 - 2009/07/25(Sat) 18:59:26

Re: 三角関数 / aki
間違えて途中消えてしまいました…
−1sinのグラフでちょっと平行移動したものであるだけなので形は変わらないので 正になると思ってしまいました。

形の認識を間違えているのでしょうか?
お願いします。

No.6914 - 2009/07/25(Sat) 19:02:13

Re: 三角関数 / angel
sinx は奇関数 ( sin(-x)=-sinx ) ですから、原点に関して点対称です。
実際、原点付近で x座標が0以下の辺りでは \/ ( 0以下 )
原点付近で x座標が0以上の辺りでは /\ ( 0以上 ) の形です。

なので、sin(π(x+1/4)) の場合、-1<x<-1/4 では値は負です。

No.6919 - 2009/07/26(Sun) 01:25:01

Re: 三角関数 / aki
そのとおりですね(>_<)
前ばかり見て後ろの点対称の部分は考えていなかったのが原因です…
ありがとうございました!

No.6931 - 2009/07/26(Sun) 12:13:48
増減 / aki
すみませんがもう1題お願いします…
http://t.upup.be/?vbW5lOHXs3
についてですが正方形の右下の点に注目して、その点と、Y=logxの正方形と交わる点との距離をf(t)としf(t)=log(1+r)t−(1−r)tとおきました。
ここからrによる場合わけで考える際、まず0t=1/1−rで極大をとることがわかりました。この極大値が≧0であるのが条件になるらしいのですが、それが理解できません。
極小値≧0ならわかるのですが…



また簡単なことをお聞きしますが、
y=log(1+r)tのtによる微分は1/(1+r)t ではないのはなぜでしょうか?
y=log2xの微分は1/2xのような気がしたのですが…

どうかお願いします…

No.6902 - 2009/07/25(Sat) 14:47:34

Re: 増減 / angel
問題そのものについては、読めなかったのでノーコメントです。
log の微分に関しては、

f(x)=log(ax) (a≠0) とする時、
・f'(x)=a・(1/ax)=1/x ( 合成関数の微分 (f(ax))'=a・f'(ax) )
また、a>0 であれば
・f(x)=log(ax)=logx+loga → f'(x)=1/x ( loga は定数のため影響なし )
でも示せます。

No.6906 - 2009/07/25(Sat) 15:57:13

Re: 増減 / aki
問題は
正の実数r t に対し 点(t、t)を中心とし一辺が2trの正方形をSとする
ただしSの各辺はx軸またはy軸に平行
このとき正方形Sと曲線y=logxが共有点をもつようなtか存在するためのrの条件を求めよ

です

再三ご迷惑おかけしごめんなさい。

No.6909 - 2009/07/25(Sat) 16:36:29

Re: 増減 / angel
この問題で調べたいことは、

・正方形の右下の頂点が、y=logx のグラフに関して、原点の逆側( 要するに右下 ) にくることがあるような r の条件
 ※解答では左右上下の表現は使えませんので念のため

となっていることに注目。
そのような条件を満たす r ならば、
 log((1+r)t)-(1-r)t≧0
となる t が存在していることになりますし、逆に満たさない r ならば、不等式を満たす t が存在しないことになります。

ということで、改めて
 tの不等式 f(t)=log((1+r)t)-(1-r)t≧0 が解を持つ
という問題として見直すと、f(t)のグラフは r<1 であれば /\ のような形を描きますから、極大値=最大値が0以上、という条件になります。
※最大値が0未満の場合、全ての t で f(t)<0 なので、f(t)≧0 は解を持たない

No.6918 - 2009/07/26(Sun) 01:17:40

Re: 増減 / aki
まず右下という表現は使えないということですが、正方形の右下の点というのも使ってはいけないのでしょうか?また、その点が原点と逆側にくるような…という表現がいまいちぴんときません。どういうことか教えて下さい(>_<)

わかりました、私は全てのtで成立つことを考えてしまっていたようです。満たすtがとにかく一つでも存在するには極大値が少なくとも≧0でなければ一つも満たすtが存在しなくなるのですね。

微分のはなし
わかりました、ではlog2xの微分も元々1/xが答えでしたでしょうか?

No.6934 - 2009/07/26(Sun) 13:11:07

Re: 増減 / angel
しまった。正方形の頂点で「右下」を使っていましたね。
正解としては、
・グラフを描いて、その図中で頂点に名前を付けて、その付けた名前を使う
・「x座標が大きく、かつy座標が小さい方の頂点」といった表現にする
・座標 ((1+r)t,(1-r)t) のみで説明する
のどれかですね。
解説の時であれば、分かり易い方が良いので、上下左右をつい使ってしまうのですが、解答を書くときには「まぎれがない」「曖昧でない」といった所が重要ですから。ひょっとしたら、「右下」とかでも減点されないかもしれませんがね。

「原点と逆側にくる」という表現については、添付の図を見て下さい。こういう状態になるような r,t を調べているわけなので、この時、件の頂点と原点は、曲線 y=logx に関して逆(反対)、ということです。
※敢えて文章で表現しなくとも、「頂点が、領域 y≦logx に存在する」で良いのですがね。

> ではlog2xの微分も元々1/xが答えでしたでしょうか?
そうです。(log2x)' = 1/x です。

No.6953 - 2009/07/26(Sun) 22:32:32

Re: 増減 / aki
なるほどよくわかりました!
わざわざ図までつけてくださり感謝です。ありがとうございました!

No.6973 - 2009/07/27(Mon) 19:51:47

Re: 増減 / aki
なるほどよくわかりました!
わざわざ図までつけてくださり感謝です。ありがとうございました!

No.6974 - 2009/07/27(Mon) 19:51:49
(No Subject) / ゆう
等式sinA=sinBcosCが成り立っているとき、△ABCはどのような三角形か。

よろしくお願いします!

No.6901 - 2009/07/25(Sat) 14:47:05

Re: / rtz
左辺AをB,Cで表し、加法定理で展開して以下略。
No.6903 - 2009/07/25(Sat) 15:01:24

Re: / angel
以下にあげた性質を使った色々な方法があるので、必ず自分で試行錯誤して解きましょう。

※以下、A,B,C,X,Y,Z は角度、a,b,c,x,y,z は辺の長さを表します。

・三角形の性質
 A+B+C=180° ( 半分にすれば、A/2+B/2+C/2=90°)
 x=y ⇔ X=Y … 三角形は二等辺三角形
  特に a=b=c ⇔ A=B=C=60° … 三角形は正三角形
 x^2+y^2=z^2 ⇔ Z=90°… 三角形は直角三角形
  更に x=y なら、X=Y=45°… 三角形は直角二等辺三角形

・三角比の性質
 sin(180°-X)=sinX, cos(180°-X)=-cosX
 sin(90°-X)=cosX, cos(90°-X)=sinX
 sinX > 0, -1<cosX<1, sinX=1 ⇔ cosX=0 ⇔ X=90°( 0<X<180°のため )
 sinX=sinY ⇔ X=Y または X+Y=180°, cosX=cosY ⇔ X=Y ( 0<X,Y<180°のため )
 
・加法定理
 sin(X+Y)=sinXcosY+cosXsinY, sin(X-Y)=sinXcosY-cosXsinY
 cos(X+Y)=cosXcosY-sinXsinY, cos(X-Y)=cosXcosY+sinXsinY

・加法定理の応用(積和・和積)
 2sinXcosY=sin(X+Y)+sin(X-Y)
 2cosXcosY=cos(X+Y)+cos(X-Y), 2sinXsinY=cos(X-Y)-cos(X+Y)
 sin2X+sin2Y=sin((X+Y)+(X-Y))+sin((X+Y)-(X-Y)=2sin(X+Y)cos(X-Y)
 sin2X-sin2Y=…=2cos(X+Y)sin(X-Y)
 cos2X+cos2Y=cos((X+Y)+(X-Y))=2cos(X+Y)cos(X-Y)
 cos2X-cos2Y=…=-2sin(X+Y)sin(X-Y)

・正弦定理
 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r ( r は外接円の半径 )
 ⇔ a=2r・sinA, b=2r・sinB, c=2r・sinC
 ⇔ sinA=a/(2r), sinB=b/(2r), sinC=c/(2r)

・余弦定理
 a^2+b^2-c^2-2ab・cosC=b^2+c^2-a^2-2bc・cosA=c^2+a^2-b^2-2ca・cosB=0
 ⇔ cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc), cosB=(c^2+a^2-b^2)/(2ca), cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)

No.6904 - 2009/07/25(Sat) 15:25:13

Re: (No Subject) / ゆう
分かりました!詳しく書いていただきありがとうございました。
No.6911 - 2009/07/25(Sat) 17:37:11
微分 / aki
こんにちは。
質問をお願いします。
サイズを下げてみました。どうでしょうか?
http://y.upup.be/?3PJkOL7Wby

の(2)を自分では
http://p.upup.be/?HiSdbxFGOW
のようにといてみましたが答えが合わないです。どこが間違えているのでしょうか?
教えて下さい。

No.6900 - 2009/07/25(Sat) 14:31:55

Re: 微分 / angel
取り敢えず文字が分かりません。
縦横が違うのはご愛嬌としても、文字がかすれたり割れたりして写っているので読めないのです。( 虫眼鏡で拡大してもどうにもなるものではないし… )

まだしも、以前のような大きな画像の方が良いです。
もっと言えば、写真で見易く文字を写すのは原則として難しいので、文章として入力して頂いた方が良いです。
※ひょっとして、投稿内容をPCから確認する環境がない…とか?

No.6905 - 2009/07/25(Sat) 15:50:27

Re: 微分 / aki
問題は
f(−x)=f(x)+2x
f(x)'=1
f(1)=0
を満たすとき
lim[x→1]f(x)+f(−x)−2/x−1の値を求めよ

自分の解答は取り直して見ました、まただめなら申し訳ありません
http://r.upup.be/?p8b0FdrHNC

はいパソコンがかなり前にばぐって原因もわからず対処もできず、買うしかないように思われます。
ごめんなさい

No.6908 - 2009/07/25(Sat) 16:31:31

Re: 微分 / angel
了解です。パソコンが使えないと辛いですね…。

ミスは小さなもので、
 lim[x→1] 2(f(x)-f(1))/(x-1) +2
 = 2f'(1)+2
とすべきところを、f'(1)に2をかけるのを忘れているせいでしょう。

No.6910 - 2009/07/25(Sat) 16:54:38

Re: 微分 / aki
本当ですね!
ばかです…

ありがとうございました。

angelさんにはいつも感謝してます。

No.6912 - 2009/07/25(Sat) 18:49:55
水の問題 / 明
高さa,半径2aの円筒形のふたのない容器がある

底面が水平になるように容器を置き,内部に水を満たした

次に容器を静かに45度傾けた

このとき容器に残っている水の水面の面積を求めよ

という問題です



どこから手をつけていいかわかりません
軸を導入しないと面積は出せないと思うのですが切り口がわかりません

ヒントを頂けるとうれしいです

No.6898 - 2009/07/25(Sat) 11:06:30

Re: 水の問題 / angel
先に状況と図形の形を把握した方が良いと思います。

ある平面図形の影が長く伸びていると見るか、柱体を斜めに切った断面図と見るか、イメージはそれぞれですが、極々単純に考えて、長方形同士なら面積が 1/cosθ になるわけです。
※図形としては、横幅そのままに、縦だけを 1/cosθ倍にしたもの

これは、今回のような曲線を含んだ図形でも同じ。( 積分の考え方として、細かく短冊状に区切れば… )

なので、今回求める面積は、( 円の一部分÷cos45°) となります。

なお、この形は楕円の一部になります。( 円を引き伸ばせば楕円になる )
イメージがわかないならば、方程式を元にゴリゴリ計算してもいけます。
※傾ける前の円柱の側面は x^2+y^2=4a^2, 0≦z≦2a とおけるので、y軸を軸に45°傾けると、1/2・(X-Z)^2+Y^2=4a^2, 0≦(X+Z)/√2≦2a という図形に移ります。平面 Z=-a/√2 で切断すれば、楕円(の一部)を示す方程式が現れます

No.6899 - 2009/07/25(Sat) 13:36:19
図形 / 桜 高3
こんにちは。
いつもありがとうございます。
よろしくお願いいたします。

半径4の円に内接する四角形ABCDがあり、AB=2,BC=7,∠BCD=90°である。

AD=?
CD=?
cos∠ABC=?
AC=?
四角形ABCDのS=?
sin∠AEB=?
という設問がまずあって
私がわからないのは

最後の問題の
sin∠ABE=?
AE:EC=?
の2つです。

なぜSin∠ABE=AD/BDなのでしょうか

ありがとうございます。
よろしくお願いいたします。

No.6890 - 2009/07/24(Fri) 19:32:36

Re: 図形 / 雀
Eはどこでしょうか?
No.6891 - 2009/07/24(Fri) 21:37:33

Re: 図形 / 桜 高3
すみませんです。
Eは対角線ACとBDの交点でした。

No.6892 - 2009/07/24(Fri) 21:41:27

Re: 図形 / ヨッシー
BDが直径であり、△ABDは∠A=90°の直角三角形だからですね。
∠ABEを∠ABDと書いた方がわかりやすいでしょう。

No.6893 - 2009/07/24(Fri) 23:19:45

Re: 図形 / 桜 高3
ありがとうございます(^^)

初めてこのとき方を見たんですが、
AD/BDでsin∠ABEが出るのは公式ですか??

No.6894 - 2009/07/24(Fri) 23:26:16

Re: 図形 / 七
横から失礼します。

> 初めてこのとき方を見たんですが、
> AD/BDでsin∠ABEが出るのは公式ですか??


はじめに三角比を習ったとき正弦はこう習ったはずです。

No.6895 - 2009/07/25(Sat) 06:49:43

Re: 図形 / 桜 高3
みなさん。本当にありがとうございました☆
おかげさまで解けました!!
うれしいです☆

ありがとうございます。

No.6897 - 2009/07/25(Sat) 08:34:52
(No Subject) / ゆう
F=-a^2-2ab+b^2+4b+34とおくときすべてのbに対してF>0となるaの値の範囲を求めよ。

お願いします。

No.6885 - 2009/07/24(Fri) 10:07:31

Re: / ヨッシー
bで整理すると、
F=b^2+2(2-a)b−a^2+34
のように、bの2次式になります。bとFのグラフを描くと、
b^2 の係数が正なので、下に凸のグラフになります。
こういう関数が、常にF>0になるための必要十分条件は、
(判別式)<0 ですから、
 D/4=(2-a)^2−(−a^2+34)
  =2a^2−4a−30=2(x+3)(x-5)<0
より -3<a<5

No.6888 - 2009/07/24(Fri) 13:14:00

Re: (No Subject) / ゆう
分かりました!
分かりやすく教えていただきありがとうございます!

No.6896 - 2009/07/25(Sat) 08:01:19
解に文字を含む不等式 / 花崎

おはようございます!数|の範囲なのですが、
二次不等式x^2-(a+1)x+a<0 (a≠1)の解が整数を2個含むように、定数aの値の範囲を定めよ。という問題で、
まず二次不等式を因数分解して
(x-1)(x-a)<0
そして(?T)a>1のとき(?U)a<1のときに場合わけして
(?T)のとき1どなたかご指導宜しくお願いします。

No.6882 - 2009/07/24(Fri) 09:55:18

Re: 解に文字を含む不等式 / ヨッシー
上の記事は、

おはようございます!数|の範囲なのですが、
二次不等式x^2-(a+1)x+a<0 (a≠1)の解が整数を2個含むように、定数aの値の範囲を定めよ。という問題で、
まず二次不等式を因数分解して
(x-1)(x-a)<0
そして(?T)a>1のとき(?U)a<1のときに場合わけして
(?T)のとき1<x<aまではわかったのですが、次が解答では3<a≦4となっていたのですが、なぜこのようなaの範囲になるのかが分かりません。
どなたかご指導宜しくお願いします。

と書いてあります。

No.6883 - 2009/07/24(Fri) 10:00:15

Re: 解に文字を含む不等式 / ヨッシー
さて、回答ですが、
1<x<a の範囲内に、整数であるxが2個含まれるように
aの範囲を決めよ。という問題でした。
1<x<a に含まれる整数としては、x=1 はダメなので、
x=2、x=3 の2つが含まれるようにします。

a=3 だと、不等式の解は、
 1<x<3
となり、x=3 が含まれません。aが3より、少しでも大きければ、
 1<x<a
に、3は含まれます。次に、a=4 だと
 1<x<4
となり、x=4 は含まれません。a が4より、少しでも大きければ、
x=4 が含まれてしまいます。

以上より、aは3は含まず3より大きく、4を含んで4より小さい
値であれば良いことになり、
 3<a≦4
が(I)のときのaの範囲となります。

No.6884 - 2009/07/24(Fri) 10:06:39

Re: 解に文字を含む不等式 / 花崎

詳しいご説明ありがとうございます!

しかしまた質問失礼します。
1<x<a に含まれる整数として、x=1 はダメなのはわかったのですが、そうするとなぜx=2、x=3 となるのかがわかりませんでした。
2や3以外の整数は考えられないのでしょうか?

No.6886 - 2009/07/24(Fri) 10:15:03

Re: 解に文字を含む不等式 / ヨッシー
1<x<a で、左端は1に確定しています。
こういう状態で、2をすっ飛ばして、3や4が含まれる
ということはあり得ません。

No.6887 - 2009/07/24(Fri) 13:07:42

Re: 解に文字を含む不等式 / 花崎

なるほど!
理解できました。
本当に助かりました。
ありがとうございました!

No.6889 - 2009/07/24(Fri) 15:59:46
(No Subject) / ゆう
因数分解で
(x^2+x+2)(x^2+5x+2)+3x^2
がわかりません。

よろしくお願いします!

No.6877 - 2009/07/23(Thu) 23:23:24

Re: / ヨッシー
A=x^2+x+2 とおくと、
(与式)=A(A+4x)+3x^2
 =A^2+4xA+3x^2
 =(A+x)(A+3x)
 =(x^2+2x+2)(x^2+4x+2)
有理数ならここまでです。

No.6878 - 2009/07/24(Fri) 05:15:48

Re: (No Subject) / ゆう
分かりました!
ありがとうございました!

No.6879 - 2009/07/24(Fri) 08:05:13

Re: / ヨッシー
件名は必ず入れてください (T_T)
No.6881 - 2009/07/24(Fri) 08:50:32
逆関数 / きょうこ
以下の逆関数を求めよ。
y=f(x)=log { x+√(x^2+1) }

【自分の考え】
0<x+√(x^2+1)<∞より、f(x)値域は実数全体。
y=log { x+√(x^2+1) }
⇔x+√(x^2+1)=e^y
⇔√(x^2+1)=e^y -x
⇔x^2+1=e^2y -2xe^y +x^2 , e^y -x>0(両辺を2乗した)
⇔x=(e^2y -1)/2e^y , x<e^y
⇔x=(e^2y -1)/2e^y

したがって
y^-1=(e^2x -1)/2e^x

正しいでしょうか。特に、2乗したときの同値変形が気になります。

No.6873 - 2009/07/23(Thu) 07:22:48

Re: 逆関数 / ヨッシー
2乗を戻したときに、
x^2+1=e^2y -2xe^y +x^2 → √(x^2+1)=x - e^y
の可能性は、ありませんので、問題ないと思います。

ただし、f-1(x) という書き方はしますが、
-1 とはあまり書きませんね。
1/y の意味になってしまいます。

No.6874 - 2009/07/23(Thu) 08:17:25
(No Subject) / 小次郎
4点A,B,C,Pの間に次のような関係があるとき、APベクトルをABベクトルとACベクトルを用いて表せ。

PAベクトル+2PBベクトル+3PCベクトル=0ベクトル

すみません以前にも質問したかもしれないのですが、この問題の解答解説をおねがいします!!

No.6872 - 2009/07/23(Thu) 01:25:58

Re: / ヨッシー
PA=−AP
PBABAP
PCACAP
と置き換えて、AP= の形に整理します。

No.6875 - 2009/07/23(Thu) 08:19:12

Re: / 小次郎
なるほど!!

ありがとうございます。

No.6915 - 2009/07/25(Sat) 22:52:49
積分 / みほ
∫(sin^2x)(cos^2x)dx

(sin^2x)(cos^2x)=(sinx*cosx)^2
={1/2(sin2x)}^2
=(1/4)sin^22x
            = 1/8(1−cos4x)


読みにくくなってしまってすみません・・・・・。
式の2行目は1/4のサイン2乗の2xという意味です。


式の1行目までは理解できるのですが、2行目への変換ができません。
たぶん、倍角・半角の公式を利用するんですよね?
解説お願いします。

No.6865 - 2009/07/22(Wed) 21:22:39

Re: 積分 / X
2倍角の公式より
sin2x=2sinxcosx
∴sinxcosx=(1/2)sinx
となります。
又、半角の公式により
(sin2x)^2={sin((4x)/2)}^2
=(1-cos4x)/2
となります。

No.6868 - 2009/07/22(Wed) 22:52:17

(No Subject) / みほ
解説ありがとうございます!!!
さっそくやってみます。

No.6920 - 2009/07/26(Sun) 06:11:15
度々すみません / jannk
行列Aで表される座標平面上の点の移動(行列Aの表す1次変換)をfとする。
(1)fによって点P(2,1)が点P'(5,8)に移され、点Q  (1,2)が点Q'(4,7)に移される。このときの行列A  を求めよ。
(2)R(x1,y1),S(x2,y2)を任意の異なる2点とする。  (1)のfによってR,SはそれぞれR’,S’に移され  るとする。このとき,線分RSは線分R’S’に移され  ることを示せ。
(3)Oを原点とする。(1)のfによって△OPQの内部は△  OP’Q’の内部の点に移される事を示せ。

という問題です。(1)はでたのですが(2)(3)が全くわかりません。。お願いします。。

No.6863 - 2009/07/22(Wed) 19:10:15

Re: 度々すみません / angel
(2)は(3)のヒントになっています。
先に、ベクトルの話の中であったと思いますが、
 点X が 線分AB上にある
 ⇔ ↑OX=t↑OA+(1-t)↑OB で 0≦t≦1 なる t が存在する
を思い出しましょう。
※「↑OX=s↑OA+t↑OB で 0≦s≦1, 0≦t≦1, s+t=1 となる s,t の組が存在する」でも良いです。

(2) 線分RS上の点をXとし、Xの移った先を R',S'を使って表してみましょう

(3) △OPQ の内部の点を Y とし、OY を延長すると線分PQと交わります。この点を X としてみます。
ここで逆の見方をすると、△OPQの内部の点Y というのは、「線分PQ上のある点X に関して、線分OX上にある点」と言う事ができます。
そうすると、(2)の話を拡張することで(3)も示すことができます。

No.6866 - 2009/07/22(Wed) 22:03:07

Re: 度々すみません / jannk
そうすると(2)はどうなりますか!??
詳しくお願いします。
ベクトルの話はわかりますがどう使ったらいいか分かりません。。。

No.6869 - 2009/07/22(Wed) 22:55:31

Re: 度々すみません / angel
一次変換の最も重要な性質として、
 f(αu+βv)=αf(u)+βf(v)  ( u,vはベクトル )
なので、
 ↑OX=t↑OR+(1-t)↑OS
 f(↑OR)=↑OR'
 f(↑OS)=↑OS'
で、X が X' に移る、つまり f(↑OX)=↑OX' であれば
 ↑OX'=f(↑OX)
 =f(t↑OR+(1-t)↑OS)
 =tf(↑OR)+(1-t)f(↑OS)
 =t↑OR'+(1-t)↑OS'
…なので、ほとんどこのままで答えになります。上で挙げた線分の条件を組み合わせて、X' が線分 R'S'上にあることを説明してください。

No.6870 - 2009/07/22(Wed) 23:12:47

Re: 度々すみません / jannk
(2)は
x'=t↑OR'+(1-t)↑OS'
となって線分R'S'上に移るとなったんですが、(3)がわかりません…教えてください.。

No.6876 - 2009/07/23(Thu) 22:01:57

Re: 度々すみません / ヨッシー
線分PQ上の点は
 tOP+(1−t)OQ (0≦t≦1)
で表されるんでしたね?では、それを、0倍から1倍までの
範囲で縮めてやれば、△OPQの内部の点に行き着くでしょう。
つまり、
 s{tOP+(1−t)OQ} (0≦s≦1,0≦t≦1)
です。普通は、
 sOP+tOQ (0≦s,0≦t,0≦s+t≦1)
と表します。

こちらをご覧ください。

No.6880 - 2009/07/24(Fri) 08:46:57
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