[ 掲示板に戻る ]
過去ログ閲覧モード
★ 確率最大最小 / bone
こんばんは。
すみませんが質問お願いいたします。

１〜6までの目が等しい確率で出るさいころを４回投げる試行を考える。
?@出る目の最小値が１である確率を求めよ
?A出る目の最小値が１でかつ最大値が6である確率を求めよ

?@は１−（5/6)^4で解けました。
?Aは同じような方法でときたいのですがどうやったらいいのでしょうか？

よろしくお願いします。
No.11493 - 2010/09/11(Sat) 22:36:39
☆ Re: 確率最大最小 / angel
こんな表を書いてみましょうか。( 添付の図を参照 )
なお、赤字部分は他から導き出すところです。
表中のαを計算することで、?@の答え 1-α が出せているので、
同じようにβ,γを計算してあげれば、?Aの答え 1-α-β+γ が出せます。
β,γとも、αとほとんど同じやり方で。
なお、?Aは全パターン調べてもそんなに手間ではないです。結果の確認がてら、調べてみても良いでしょう。
No.11494 - 2010/09/11(Sat) 23:04:45
☆ Re: 確率最大最小 / bone
ありがとうございます図は理解できました。
しかしγはどうやってだすのでしょうか？
2〜5からのみ選ぶということで（4/6）^4でしょうか？
No.11501 - 2010/09/12(Sun) 09:21:51
☆ Re: 確率最大最小 / ヨッシー
>2〜5からのみ選ぶということで（4/6）^4でしょうか？
それで良いと思います。
No.11502 - 2010/09/12(Sun) 09:30:25
☆ Re: 確率最大最小 / bone
できました！
どうもありがとうございました。
また、今回の問題はこうやって表にしてとくのが一番簡単でしょうか？
違う方法もあるのでしょうか？
良ければ教えてください。
No.11505 - 2010/09/12(Sun) 14:39:37
☆ Re: 確率最大最小 / ヨッシー
余事象を何度となく使いますので、混乱しないように
表を書くなり、図に描くなりするのが良いでしょう。
計算自体は、この方法が一番楽でしょう。

例えば、
１が１回、６が１回、他が２回
１が２回、６が１回、他が１回
１が３回、６が１回
１が１回、６が２回、他が１回
１が２回、６が２回
１が３回、６が１回
で場合わけして、求めるというような方法もありますが、
やめたほうがいいでしょう。
No.11508 - 2010/09/12(Sun) 17:29:30
☆ Re: 確率最大最小 / bone
本当に余事象多くて混乱します・・・
わかりました、ありがとうございました！
No.11514 - 2010/09/13(Mon) 00:15:24
★ 数列 / ぬめぬめ
初項0、公差-2の等差数列を考える。
連続して並ぶ2n+1項のうち、初めのn+1項の和が、
次のn項の和に等しければ2n+1項のうちの中央の項は
（　　　）である。

答えは-2n^2-2nでしたが、どうしてこうなるのか分かりません。よろしくお願いします。
No.11488 - 2010/09/11(Sat) 18:12:57
☆ Re: 数列 / らすかる
求める項の値をkとおくと
初めのn+1項の和は (k+2n)+(k+2n-2)+…+(k)=(k+n)(n+1)
次のn項の和は (k-2)+(k-4)+…+(k-2n)=(k-n-1)n
これが等しいので…
No.11489 - 2010/09/11(Sat) 18:38:57
☆ Re: 数列 / angel
オーソドックスに行くなら、答として求めるべき「中央の項」を x とでも置いて、方程式を立てましょう。

で、どんな状況になっているか、具体的に小さな n で確かめてみるとして、n=3 の例を考えてみましょう。
公差は -2 で、中央の項 x を挟んで 3項ずつあるので、

　x+2×3, x+2×2, x+2×1, x, x-2×1, x-2×2, x-2×3

の7項がまずあります。
初めのn+1項とは、x+2×3〜x なので、その合計は、
　1/2 × ( (x+2×3) + x ) × (3+1)
です。( (初項+末項)×項数÷2 )
一方、次のn項とは、x-2×1〜x-2×3 なので、その合計は、
　1/2 × ( (x-2×1) + (x-2×3 ) × 3
この2通りの和が等しいということなので、求める方程式は、
　1/2×((x+2×3)+x)×(3+1) = 1/2×((x-2×1)+(x-2×3))×3
です。これで x が分かります。

これは、n=3に限定したお話なので、一般のnに対して同じように考えて方程式を立てれば良い、ということです。
No.11490 - 2010/09/11(Sat) 18:43:29
☆ Re: 数列 / ヨッシー
算数的に解くなら、
中央の項は、第n+1項で、これは初めのn+1項に属します。
これを除いた、第1項から第n項までと、後半の、第n+2項から第2n+1項の
それぞれｎ項ずつを比較すると、
　第n+2項は第1項より 2(n+1) 小さいです。
　第n+3項は第2項より 2(n+1) 小さいです。
　第n+4項は第3項より 2(n+1) 小さいです。
　　・・・
　第2n+1項は第n項より 2(n+1) 小さいです。
よって、第n+2項から第2n+1項の和は、第1項から第n項までの和より
　2(n+1)×n
小さいです。この分を、第n+1項で帳消しにしているので、
第n+1項は、　−2(n+1)×n　となります。

公差がマイナスなので、ややこしいですが、イメージは、
公差プラス２として考えればいいでしょう。
No.11491 - 2010/09/11(Sat) 21:34:20
★ 数列 / bone
こんにちは。
質問お願いします。

a1=-4
a(n+1)=2an-2・3^n
anを求めよ。

回答では等比関数型に直してとくという方法のみ載っていたのですが、3^（n+1）でわって新たに簡単な漸化式にして解くという方法ではできないのでしょうか？
自分でやってみたところ正答と異なる回答になってしまいましたので、お聞きしたいです。
よろしくお願いします。
No.11486 - 2010/09/11(Sat) 14:37:28
☆ Re: 数列 / らすかる
正答と異なる回答になったということは、どこかに間違いがあるということです。
どのようにやったかここに書いてみて下さい。
No.11487 - 2010/09/11(Sat) 15:11:23
☆ Re: 数列 / bone
すみません、計算間違えておりました。
お騒がせしましたありがとうございました！
No.11492 - 2010/09/11(Sat) 22:12:45
★ (No Subject) / とも
１〜１０までの数字を１つづ書いた１０枚のカードが小さい数字の順に並べてある。この中から任意に２枚のカードを抜き出し、その場所を入れ替えるという操作を考える。この操作をｎ回行なったとき一枚目のカードの数字が１である確率Ｐｎを求めよ。

私は
Ｐ（ｎ＋１）＝Ｐｎ×９Ｃ２/10C2+(1-Pn)×９/10C2としたのですが解答は９/10C2のところが１/10C2となっていました。
１０枚から２枚を選ぶのだから（１，２）（１，３）・・・（１，９）の９通りの組み合わせがあるはずだと考えたのですが・・・何が駄目なんでしょうか。誰か教えてください。
No.11468 - 2010/09/10(Fri) 04:53:27
☆ Re: / ヨッシー
１枚目にある１ではないカードと、１とを入れ替えるので、
１通りだけです。

例えば、
　２３１５４６９８７Ｘ　（Ｘは10）
だと、２と１を入れ替えるしかありません。
No.11470 - 2010/09/10(Fri) 06:49:49
☆ 新たな疑問 / とも
確かに数字に注目すればそうですが、10C2をカードの数字ではなくカードの位置と考えたら、
１が２番目、３番目、・・・１０番目でやっぱり９通りありますよね。。
No.11481 - 2010/09/11(Sat) 02:09:21
☆ Re: / ast
ここで考えている事象のひとつひとつというのは「n 回の交換を終えて並べられているカードの並び」です. したがって, 1 のある場所は (事象ごとに異なるけれども) 各事象につき必ず 1 箇所のみです (その一箇所が何番目であるかは 1-P_n の確率で変わるということです).

あなたの主張に従うと, 並べ終わったカードの並びを目の前に見ているのに, 1 が見ている間にも位置を変え続けているというようなことを意味することになってしまいますね.
No.11482 - 2010/09/11(Sat) 03:58:41
☆ Re: / angel
astさんの説明と被りますが、

「n回目に1枚目が1でなく、かつ、n+1回目のランダムな入れ替えで、1枚目に1が来る確率」を計算するにあたり、
※以下 p(〜) というのは、「〜が起こる確率」と考えてください

1. n回目に2枚目が1、n+1回目に、1,2枚目を入れ替える
　→ 確率：p(n回目に2枚目が1)×1/10C2
2. n回目に3枚目が1、n+1回目に、1,3枚目を入れ替える
　→ 確率：p(n回目に3枚目が1)×1/10C2
…
9. n回目に10枚目が1、n+1回目に、1,10枚目を入れ替える
　→ 確率：p(n回目に10枚目が1)×1/10C2

と事象を分けて、それから 1〜9 の確率全部足して、

　( p(n回目に2枚目が1)+ … +p(n回目に10枚目が1) )×1/10C2
　= p(n回目に2〜10枚目のいずれかが1) × 1/10C2
　= p(n回目に1枚目以外のいずれかが1) × 1/10C2
　= ( 1-P(n) )×1/10C2

というふうに考えています。
なので、パッと見9通りに見えるかもしれませんが、だからといって×9/10C2 にはならないのです。

でもって、それぞれの×1/10C2 は、それぞれ入れ替える場所が違うところの計算で使われていますが、「1枚目と、1のある場所を交換する ( どんな場合でも1通り )」という意味では共通です。なので、分配法則でくくりだすことが出来る、と捉えることもできます。
No.11484 - 2010/09/11(Sat) 09:28:21
★ 積分 / oka
(1)ｘ≧1のとき、logx<2√Xであることを示し、logx/x（x→∞）を求めよ。
(2)nが自然数のとき、lim∫1→x　logt/t^n dtをもとめよ。
x→∞
（２）をおねがいします。
No.11465 - 2010/09/10(Fri) 00:56:36
☆ Re: 積分 / angel
(2)
まず不定積分 ∫logt/t^n dt は求められましたか?
今回、n=1, n＞1 で変わってきますので注意しましょう。
(logt)'=1/t ですから、n=1 ならば ∫(logt)'logt dt の形になります。
n＞1 の場合は部分積分 ∫fg dt = Fg - ∫Fg' dt で。( F=∫f dt )
f=1/t^n, g=logt とするのが良いでしょう。
( F=-1/( (n-1)t^(n-1) ) )
No.11483 - 2010/09/11(Sat) 09:09:22
★ 数列 / bone
質問よろしくお願いします。

3a, 2b,6cがこの順に等差数列をなし2a,b,3cがこの潤に等比数列をなすとき二次方程式ax^2+bx+c=0の実数解を求めよ。
ただしabcは互いに異なるせいの実数とする。

4b=3a+6b・・・?@
b^2=6ac・・・?A
をまずbを消去しacの方程式にすると
a^2+36c^2-42ac=0となりました。
これに更に?@を代入してbのみの方程式にするというやり方はだめでしょうか？
それから解と係数より解を出そうと思ったのですが答えと異なる答えになってしまいました。
ご助言いただけると助かります。
よろしくお願いします。
No.11464 - 2010/09/10(Fri) 00:18:27
☆ Re: 数列 / らすかる
> a^2+36c^2-42ac=0となりました。
計算間違いがあるようです。
もう一度計算してみましょう。

> これに更に?@を代入してbのみの方程式にするというやり方はだめでしょうか？
ダメです。
上の計算を正しく行った後で実際にやってみるとわかりますが、
?@と?Aから出した式に再び?@を使っても堂々巡りになるだけです。

aとcの式が正しく計算してaとcの関係を出し、?@を使ってa,b,cを
a=○t, b=○t, c=○t のように表してみましょう。
No.11467 - 2010/09/10(Fri) 01:13:32
☆ Re: 数列 / bone
二回ほど計算しなおしてみたところ
3a^2+a(12+32c)+12c＾2＝0
となりましたが、今度はあっていますでしょうか？
しかしこの場合因数分解が上手くいかず、次に繋がりません。
どうしたらよいのでしょうか？

また、先の質問でも言ったのですが解と係数の関係を使ってとくことはできないでしょうか？

すみませんがお願いします。
No.11474 - 2010/09/10(Fri) 14:04:09
☆ Re: 数列 / ヨッシー
まだ違うようです。
　b^2＝6ac
は、２次式であり、
　4b＝3a+6c
は１次式なので、b^2＝6ac から 12a などという１次の項は
出てきません。

解と係数の関係は、たとえば、どのように解くことを考えていますか？
>答えと異なる答えになった
ということは、解まで行き着いたということですよね？
No.11475 - 2010/09/10(Fri) 14:32:08
☆ Re: 数列 / bone
本当ですね。間違い箇所発見できましたありがとうございます！
解と係数の方法は間違いに気づき、回答までたどり着くことができませんでした。
例えばこの場合acのみの方程式を解いて
a=6c,2/3cと出せ、
a=6cのとき
α＝-a/b=-1
β=c/a=1/6
となるのですが、ここからαとβを求める方法がわかりません。
できるのでしょうか？
No.11477 - 2010/09/10(Fri) 15:07:13
☆ Re: 数列 / らすかる
例えばa=b=6c の場合、方程式に素直に代入すれば
6cx^2+6cx+c=0
6x^2+6x+1=0
となりますので、普通に解の公式で求められますね。

α=-1, β=1/6 から2解を求めるには
x^2+x+1/6=0 を解けば良いわけですが、
これは元の方程式にただa,b,cを代入したのと同じです。
つまり解と係数の関係を考えても遠回りなだけです。
No.11478 - 2010/09/10(Fri) 15:35:39
☆ Re: 数列 / bone
方程式に代入する方法では、其れをとくとx=(-3±√3)/6となるのですが、正答は分母が2になるようです。
どこが間違っているのでしょうか・・・

また、解と係数の話は書き間違いをしてしまったのですが
α+β＝-１
αβ＝1/6です。
αβが求められていればそれ自体がもう答えになってしまいますよね・・・すみません。
ここから求められるかを知りたいです。
何度もすみませんがお願いします。
No.11479 - 2010/09/10(Fri) 18:52:58
☆ Re: 数列 / らすかる
> 其れをとくとx=(-3±√3)/6となるのですが、正答は分母が2になるようです。
> どこが間違っているのでしょうか・・・

「例えばa=b=6cの場合」というのは問題の条件に合わない方のケースですね。
（問題に「a,b,cは互いに異なる」という条件がありますね。）
もう一つの「a=(2/3)c」の場合を計算すればちゃんと出ると思います。

> また、解と係数の話は書き間違いをしてしまったのですが
> α+β＝-１
> αβ＝1/6です。
> αβが求められていればそれ自体がもう答えになってしまいますよね・・・すみません。
> ここから求められるかを知りたいです。

2解がαとβでも上に書いたことは変わりません。
和が-1、積が1/6であれば結局二次方程式 x^2+x+1/6=0 を解くことになりますので、
解と係数の関係を使わずにa,b,cに代入した方が早いです。
No.11480 - 2010/09/10(Fri) 20:08:53
☆ Re: 数列 / bone
よくわかりました。
ご丁寧に本当に有難うございました。
No.11485 - 2010/09/11(Sat) 14:32:23
★ 確率 / みか
中２の女子です。確率でわからない問題があるのでお願いします。
１０本中４本あたりがあるくじから３本を同時に引いて２本あたりがでる確率はいくつか？
樹形図を書いてもよくわかりませんでした。
No.11462 - 2010/09/09(Thu) 20:16:13
☆ Re: 確率 / ヨッシー
まず、こちらを読んで、順列、組み合わせの
意味と、3Ｃ2 などの書き方を覚えてください。

くじを　ＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪ として、ＡＢＣＤ が当たりとします。
３本のくじの引き方は　10Ｃ3＝(10×9×8)/(3×2×1)＝120(通り)
２本あたりになるのは、
ＡＢＣＤから２本選ぶ　4Ｃ2＝(4×3)/(2×1)＝６
ＥＦＧＨＩＪから１本選ぶ　６通りで、全部で6×6＝36(通り)
よって、確率は36/120＝3/10
No.11469 - 2010/09/10(Fri) 06:05:24
☆ Re: 確率 / ヨッシー
樹系図を確率付きで書くと楽でしょう。
この場合は、３つ同時ではなく、ごくわずかな時間差で
１本ずつ３回引くと考えます。（結果は同じですからね)

１回目　　　　２回目　　　　３回目
当たり(2/5)---当たり(1/3)---はずれ(3/4)　→1/10
当たり(2/5)---はずれ(2/3)---当たり(3/8)　→1/10
はずれ(3/5)---当たり(4/9)---当たり(3/8)　→1/10
合わせて　3/10　です。
No.11472 - 2010/09/10(Fri) 07:02:21
★ 確率 / shiyo
問：男の子3人、女の子2人を一列に並べる時、男の子が隣り合わない確率は？

→男の子が隣り合わない並び方は、男女男女男　しかないので（2!×3！）/5！　で求める事が出来るかと思いますが、解き方を隣り合う場合を考えて、場合分けしてから求めるにはどのように考えればいいのでしょうか？（つまらない質問ですみません。）

→男の子3人一緒の場合と男の子2人一緒の場合で場合分けだけですと答えが一致しません。。
No.11458 - 2010/09/08(Wed) 22:57:54
☆ Re: 確率 / らすかる
3人一緒は 3!×3!通り
2人一緒は 3×2!×2!×3P2通り
∴1-(3!×3!+3×2!×2!×3P2)/5! となり、一致します。
No.11459 - 2010/09/08(Wed) 23:21:04
☆ Re: 確率 / ToDa
「男の子が2人隣り合うが3人は隣り合わない場合」
「男の子が3人隣り合う場合」
で場合分けすればよいのではないでしょうか。
No.11460 - 2010/09/08(Wed) 23:21:44
☆ Re: 確率 / shiyo
らすかるさん、ToDaさん　ありがとうございます！！　わかりました　納得です！！
No.11461 - 2010/09/09(Thu) 18:18:57
★ 方程式 / bone
こんにちは。
お願いします。

実数x yが方程式x^2+y^2-2(x+y)-6=0を満たすときx+yのとりうる値の範囲を求めよ

これは対称式だと気づいてやるのが定石かと思いますが
(x+y)^2-2xy-2(x+y)-6=0
と変形してやることはできるのでしょうか？
自分でやってみたときは、三文字も出てきてしまい収拾がつかずできなかったのですが・・・

よろしくお願いします。
No.11454 - 2010/09/08(Wed) 15:47:10
☆ Re: 方程式 / angel
えーと、定石ということなら、
X=x+y, Y=x-y と置いて、X^2+Y^2=2(x^2+y^2) を利用してやるのが早いような気もしますが…

p=x+y, q=xy と置く手もあります。
あるp,qに対して、解x,yが存在するための必要十分条件は、p^2-4q≧0
(x+y)^2-2xy-2(x+y)-6=0 と変形した方程式は、p^2-2q-2p-6=0 となりますから、
この2つの式からqを消去すれば、p の2次不等式ができあがります。
No.11456 - 2010/09/08(Wed) 21:49:00
☆ Re: 方程式 / ast
> これは対称式だと気づいてやるのが定石かと思いますが
の意図は測りかねますが, 個人的には円の方程式だと気づいてx+y=kとなるkが直線のy切片として取り出せることを利用して図形的に処理するか, y=-x+kを代入して実数解を持つ条件を考察するというのが定石というか正攻法だと思います.
No.11457 - 2010/09/08(Wed) 22:27:23
☆ Re: 方程式 / bone
お二方ありがとうございます。
沢山方法があるんですね・・・定石と思っていたものが定石ではないようですみません。

astさんの最後のやり方簡単にできて楽ですね。
本当にありがとうございました。
angelさんの最初のやり方は、その後どういう風にやるのでしょうか？
No.11463 - 2010/09/10(Fri) 00:10:28
☆ Re: 方程式 / らすかる
横レスですが
X=x+y, Y=x-y とおくと
x^2+y^2-2(x+y)-6=0 は (X-2)^2=16-Y^2 と変形できることから
(X-2)^2≦16 → -2≦X≦6 とわかります。
No.11466 - 2010/09/10(Fri) 01:00:03
☆ Re: 方程式 / bone
わかりました！
できました。
どうもありがとうございました。
No.11473 - 2010/09/10(Fri) 12:41:16
★ 数の桁数についてです。 / 木山雄介
数年前にお世話になったものです。
またよろしくお願いいたします。

1000は4桁ですが、0.1と0.001は
それぞれ何桁なのでしょうか。

0.1は2桁
0.001は4桁なのでしょうか。
No.11450 - 2010/09/08(Wed) 13:29:42
☆ Re: 数の桁数についてです。 / らすかる
小数点を含む数に「桁数」の一般的な定義はないと思いますが、
単に「0.1は何桁か」「0.001は何桁か」と聞かれたら
「2桁」「4桁」と答えるでしょうね。
No.11451 - 2010/09/08(Wed) 15:29:51
☆ Re: 数の桁数についてです。 / 木山雄介
回答ありがとうございます。
よく分かりました。
No.11455 - 2010/09/08(Wed) 20:15:32
★ 場合の数 / bone
こんばんは。
また、よろしくお願いします。

三個のさいころを同時に投げる試行で、出た目の数が４で割り切れる事象をAとする。
このAを満たす条件は　三個とも奇数　か　三個中二個奇数残り一個が２か６
だと思いますが、これがもし二個のさいころ、或いは4個のさいころだったらどういう条件になるのでしょうか？
2個の場合
二つとも奇数　か　片方奇数、片方２か６
4個の場合
四つとも奇数　か　三つ奇数一つ２か６　でしょうか？
とても気になります。
お願いいたします。
No.11447 - 2010/09/08(Wed) 00:46:40
☆ Re: 場合の数 / らすかる
> 出た目の数が４で割り切れる事象をAとする
「出た目の数が４で割り切れる」のは４だけですが、
出た目の積ですか？

> 「このAを満たす条件は　三個とも奇数　か　三個中二個奇数残り一個が２か６」
例えば三個とも奇数のとき積は４で割り切れず、Ａを満たしません。
どこかが間違いだと思います。
No.11448 - 2010/09/08(Wed) 01:44:25
☆ Re: 場合の数 / bone
すみません、色々と言葉足らずでした。
出た目の数の積についてです。
そしてAの余事象を今考えたいです。
お願いします。
No.11449 - 2010/09/08(Wed) 10:31:20
☆ Re: 場合の数 / らすかる
Aが積で余事象ならば、2個の場合と4個の場合はそれで正しいです。
一般にn個の場合「n個奇数か、1個が2か6で残りが奇数」ですね。
No.11452 - 2010/09/08(Wed) 15:31:49
☆ Re: 場合の数 / bone
そうなんですか、わかりました。
本当にどうもありがとうございました。
No.11453 - 2010/09/08(Wed) 15:33:08
★ 三角比 / bone
三角形ABCにおいて角Aの二等分線がBCと交わる点をRとする。
辺BC,CA,ABの長さをそれぞれabcとおく。
?@線分BR、RCをそれぞれabcで示せ。
?A線分ARの長さrabcを用いて表せ。

?@は角の二等分線でBR=ac/(b+c) RC=ab/(b+c)と出せました
?Aは、三角形ABRについてAR＾２として余弦定理を用いて見たのですが計算と答えが煩雑になってしまいましたが、この方法でもすっきり求められますでしょうか？
よろしくお願いします。
No.11443 - 2010/09/07(Tue) 09:08:39
☆ Re: 三角比 / ヨッシー
こちらおよび、その回答をご覧ください。
No.11444 - 2010/09/07(Tue) 21:25:31
☆ Re: 三角比 / angel
> この方法でもすっきり求められますでしょうか？

えーと、cosB = (c^2+a^2-b^2)/(2ca) を、
r^2 = c^2 + BR^2 - 2c・BR・cosB
に代入して求める、でしょうか。
ごく普通の方法かと思います。ちょっと計算が面倒かもしれませんが。

答が b,c に関する対称式になることを見越して計算するなら、実は cosA を使った方が楽ができます。
とは言え、使うのは cos(A/2)=√( (1+cosA)/2 ) ですが。
※倍角、半角をまだ習ってないなら使えませんね。

?@の定理の解説に出てくる図を見てみます。
△ABP∽△ACQ、△RBP∽△RCQ は、いずれも相似比 c:b です。
ここから、RP:RQ=c:b、RはPQをc:bに内分する点ですから、
AR=(b・AP+c・AQ)/(b+c)
これに、AP=c・cos(A/2)、AQ=b・cos(A/2) を適用すると、
AR=2bc・cos(A/2)/(b+c) として求めることができます。
この形は最初から b,c に関する対称式なので、計算が幾分楽です。
No.11445 - 2010/09/07(Tue) 21:54:37
☆ Re: 三角比 / bone
成程、いろいろな方法があるのですね。
勉強になります。
ヨッシーさんのほうは教科書で見たような気がします。
私のやり方だと、煩雑なんですね。
ありがとうございました！
No.11446 - 2010/09/08(Wed) 00:41:16
★ 円順列 / bone
こんばんは。
よろしくお願いします。

男子5人と女子２人が手を繋いで一つの輪を作る。
このとき２人の女子同士が隣り合わない確率を求めよ。

以下の様に自分は考えました。
男子五人の円順列を先に考え、その後に男子の間に女子を入れる場所を考える。
（4!×5P2）/7!
しかし計算したところ答えと合いません。
この考え方のどこが間違いなのか、そして正しい考え方を教えてください。
お願いします。
No.11438 - 2010/09/07(Tue) 01:24:37
☆ Re: 円順列 / らすかる
分母も円順列にしなければいけません。
No.11439 - 2010/09/07(Tue) 02:40:10
☆ Re: 円順列 / シンジ
分母が6!です

2人が隣り合う確率を1から引く方法もあります。
女子2人が隣り合う場合は2*5!あるので
1 - 2*5!/6! = 2/3
No.11440 - 2010/09/07(Tue) 02:42:32
☆ Re: 円順列 / bone
！！
わかりました・・・
本当にどうもありがとうございました！
No.11442 - 2010/09/07(Tue) 09:00:36
★ (No Subject) / oka
f(x)はｘ＾４の係数が１の４次関数であり、Pは素数とする。
次の条件（?@）（?A）がいずれも成り立つ時、Y＝f(x)
のグラフはy軸に平行なある直線に関して対称であることを
示せ。
（?@）Xの方程式f(x)＝0は異なる４つの整数解をもつ
（?A）Xの方程式f(x)=p^2は整数解をもつ
よろしくおねがいします。
No.11436 - 2010/09/06(Mon) 23:11:19
☆ Re: / angel
素数 p が出てくる所から、約数の組み合わせが限られてくることを想定すると良いです。
具体的には、4整数a,b,c,dに対して、abcd=p^2 の場合、
1,1,1,p^2 か、1,1,p,p か、これらの符号を適当に変えたものしか、組み合わせがないのです。

ここで、a＜b＜c＜d という縛りを入れると、もう (a,b,c,d)=(-p,-1,1,p) しかありません。

条件(i)から、f(x)=(x-A)(x-B)(x-C)(x-D) と表せること、
条件(ii)から、f(α)=p^2 となるαが存在すること、も組み合わせると、f(x)の形がほぼ決まります。

最後に、f(x-β)=f(β-x) の形になることを示して終わり。
No.11437 - 2010/09/06(Mon) 23:36:02
☆ Re: / oka
よく分かりました。ありがとうございます。
No.11441 - 2010/09/07(Tue) 06:37:56
★ 質問です / ham
高３（文系）です。
f(n)=√（n^2+112）のとき（nは自然数）
(１)　n<f(n)<n+10を示せ。
(２)　f(n)が整数になるような自然数nを求めよ。
という問題で、(１)は解けましたが（２）がわかりません。
教えてください。よろしくお願いします。
No.11432 - 2010/09/06(Mon) 22:01:52
☆ Re: 質問です / angel
(1)を(2)のヒントとして捉えるなら、
f(n)が整数であれば、それは n より大きく n+10 より小さい、
つまり、n+1 か n+2 か、…、高々 n+9 までの範囲に収まります。

ということで、この +？ の部分に着目します。
n+k=f(n) とした時 1≦k≦9 というところから、n,k の組み合わせを割り出しましょう。
No.11433 - 2010/09/06(Mon) 22:28:26
☆ Re: 質問です / らすかる
nが奇数のときf(n)も奇数
nが偶数のときf(n)も偶数
という点に気付くと、候補が減らせます。
No.11434 - 2010/09/06(Mon) 22:32:33
☆ Re: 質問です / ham
解けました。
ありがとうございました！
No.11435 - 2010/09/06(Mon) 22:39:56
★ 数検準２ / ゆっち
３２６ｍ＋１０３ｎ＝１を満たす整数（ｍ、ｎ）の組のうち
ｎが０以上３２５以下の整数であるものは１組だけ存在します。下の式をもとに（ｍ、ｎ）の組を求めよ
　１＝１０３−１７×６
１７＝３２６−１０３×３

　の解き方を教えてください
No.11430 - 2010/09/06(Mon) 21:33:31
☆ Re: 数検準２ / らすかる
17をxとおいて、103と326は残したまま
2式からxを消去してみて下さい。
No.11431 - 2010/09/06(Mon) 21:44:11
☆ Re: 数検準２ / ｎ
よく分からないのですが・・・
詳しく説明していただけますか。
No.12375 - 2010/12/06(Mon) 18:01:12
☆ Re: 数検準２ / ヨッシー
　１＝１０３−１７×６
１７＝３２６−１０３×３
において、１７をｘとおくと、
　１＝１０３−６ｘ
　ｘ＝３２６−１０３×３
下式を上式に代入して、
　１＝１０３−６(３２６−１０３×３)
カッコを外して、以下略
３２６　と　１０３　が見える形でカッコを外します。
No.12382 - 2010/12/06(Mon) 22:37:46
★ ９月２日のレッドさんの問題について / 潤一郎
よろしくおねがいします。
レッドさんの問題を解いていたのですが。
計算はわかりますが。
一体この４ｃｍの正方形を４隅から取り除いた
平面はどのような形になるのですか？
どこにも底面が長方形になるとは書かれていません。

又それを組み立てるなんてできるとどうしてわかるのですか？つまり高さ４ｃｍとどうして決められるのですか？

教えて下さい宜しくお願いします。
No.11424 - 2010/09/05(Sun) 16:50:13
☆ Re: ９月２日のレッドさんの問題について / らすかる
ふたのない箱は身近にありませんか？（なければ想像して下さい）
箱を平面にするために、側面と側面の接続部分（90度に折れ曲がっている箇所）を
4箇所全部切って広げたらどういう形になるかやってみて下さい
（または考えてみて下さい）。
No.11425 - 2010/09/05(Sun) 17:59:04
☆ Re: ９月２日のレッドさんの問題について / 潤一郎
お返事ありがとうございました。
ああああ、なんて馬鹿な質問をしたのでしょう。
４隅たしかに正方形取れています。
しかも高さは何の問題もなく４ｃｍです。
てっきり、長方形から４ｃｍの正方形をとれば
あまりが出てもおかしくないという風に考えていました。
本当に僕もすっきりしました。
わかりやすい答えを教えてくださって感謝しています。
有難うございました。
No.11426 - 2010/09/05(Sun) 18:42:34
☆ Re: ９月２日のレッドさんの問題について / 潤一郎
らすかる先生へ
少し文章が変だったので、追加します。
頭に描いた図は凸が左右のようなのが浮かんで
でっぱってるところが２センチぐらいの
絵を描いていました。本当に情けないです。
以上です。すみませんでした。
No.11427 - 2010/09/05(Sun) 18:53:21
★ ?TA/?UBの応用 / masaki
こんにちは。

放物線y=x^2上の２点P(α,α^2),Q(β,β^2)(α＜β)における接線ℓ,mが直交しているとき、次の問いに答えよ。

(3)P,QがＣ上を動くとき、(2)で求めたＳが最小となるのはα＋βがどのような値をとったときか。また、Ｓの最小値も求めよ。

※(2)Ｃとℓ,mで囲まれる図形の面積をＳとすると
　　　Ｓ＝{(β-α))}^3/12 である。


Ｓが最小となる状況をどのように式として表すのかわかりません。よろしくおねがいします。
No.11423 - 2010/09/05(Sun) 14:28:35
☆ Re: ?TA/?UBの応用 / ヨッシー
ｙ＝ｘ^2 において、(α、α^2) (β、β^2) における接線の傾きは
それぞれ、２α、２βであり、これらが直交するので、
　２α・２β＝−１
　α＝-１/(４β)
の関係があります。αが　ｘ＜０ の範囲を動き、βが ｘ＞０の範囲を動くとします。
　Ｓ＝(β−α)^3/１２
　　＝(β＋1/4β)^3/12
β＋1/4β＞０ なので、β＋1/4β が最小の時、
(β＋1/4β)^3 も最小となります。

相加・相乗平均の関係より
　β＋1/4β≧２√(β・1/4β)＝1/2
等号は、β＝１/4βの時で、β^2＝１／４ の時。
β＞０ より β＝１／２ のとき。
このとき　α＝−１／２ であり、
　Ｓ＝１^3/12＝1/12
α＋β＝０となります。
No.11428 - 2010/09/05(Sun) 21:09:30
☆ Re: ?TA/?UBの応用 / masaki
なるほど。相加相乗平均を用いて、具体的にα、βを求めるということだったんですね！
式変形してα＋βを求めようとばかり考えていました。
丁寧な解説ありがとうございました。
No.11429 - 2010/09/05(Sun) 21:57:39
★ 高３ / tabibito
前回のmasakiさんの問題なんですけど・・・

angelさんがテーラー展開とマクローリン展開という言葉を口にしましたが、これって何ですか・・？ちょっと興味をもったのでよかったら教えてください。
No.11419 - 2010/09/04(Sat) 23:49:12
☆ Re: 高３ / らすかる
検索すれば詳しい説明がいくらでも出てきますよ。
No.11420 - 2010/09/04(Sat) 23:53:13
☆ Re: 高３ / スーパーカブ
n回微分できる関数、例えば三角函数なんかを
整関数で近似できるというすごいものです。
大学入試で出される問題の背景に潜んでいることが多いです。

さらに数学をやると区分的に滑らかな関数を三角函数で近似するものもあります。こちらはN回微分より条件が弱いのでさらに応用が広いです。
No.11421 - 2010/09/04(Sat) 23:57:48
☆ Re: 高３ / angel
あれ、ひょっとして今の高校の教科書 ( 微分・積分や数III、数Cとか ) には、全く載ってないんでしたっけ。
私の昔の記憶から、高校でもお話としては聞くものだと思って用語を出してしまいました。
載ってないのだとすれば、私の勘違いであり、勇み足です。申し訳ありません。

いずれにせよ、マクローリン/テイラー展開 ( もしくは「級数」 ) のちゃんとした話は大学の範囲なんですけどね。

らすかるさんの仰る通り、詳しくは検索にかけるなりして探して頂いた方が良いと思いますが、まあ、例えば、

　e^x = 1 + x + 1/2・x^2 + 1/6・x^3 +…+ 1/n!・x^n +…
　sinx = x - 1/6・x^3 + 1/120・x^5 +…+ (-1)^n/(2n+1)!・x^(2n+1) +…
　cosx = 1 - 1/2・x^2 + 1/24・x^4 +…+ (-1)^n/(2n)!・x^(2n) +…

みたいなことができるんです。
ちなみに、この例では右辺が無限和ですが、途中で打ち切れば ( もしくは無限和にできない場合は )、近似になります。
コンピュータで初等関数の値を計算する時なんかにも、使われてたりしますよ。
No.11422 - 2010/09/05(Sun) 00:48:01
★ 微分の応用 / masaki
こんにちは。
久々の投稿となります。
問題は画像の通りです。
近似式を求める問題なのですが、チャート式等で調べてみましたがさっぱりです…。
f(x)≒f(0)+f'(0)xでも使うのでしょうか？
解説よろしくお願いします。
No.11410 - 2010/09/03(Fri) 22:09:08
☆ Re: 微分の応用 / angel
> f(x)≒f(0)+f'(0)x

そういうことです。
ただ、これは x≒0 の時の話なので、x≒3 であるこの問題ではそのままでは適用できなくて。
t=x-3 とでもおけば、t≒0 なので、f(t)≒f(0)+f'(0)t が使えます。( ヒントにある?凅というのが正にそれ )
No.11413 - 2010/09/03(Fri) 22:59:07
☆ Re: 微分の応用 / masaki
なるほど。
計算してみた結果、画像のようになりました。
√(1-x)の式にするにはどーすればよいのでしょうか？
No.11415 - 2010/09/04(Sat) 07:22:14
☆ Re: 微分の応用 / angel
あ…、ごめんなさい。これは私の説明が悪かった。
t=x-3 ( x=t+3 ) と置いたならば、√(1+x) = √(1+(t+3)) = √(t+4)
として、
f(t)=√(t+4)、t≒0 において f(t)≒f(0)+f'(0)t と考えなければなりません。
その後、t=x-3 を代入し直して、
　f(x-3)≒f(0)+f'(0)(x-3)
つまり、
　√(1+x)≒f'(0)x+f(0)-3f'(0)

ちなみに、これは t=0 周り、つまりマクローリン展開の話なので、最初から x=3 周りのテイラー展開で考えることもできます。
　g(x)=√(1+x) とするとき、
　x≒3 において、g(x)≒g(3)+g'(3)(x-3)
　つまり、√(1+x)=g(x)=g'(3)x+g(3)-3g'(3)

まあ、f(0),f'(0)か、g(3),g'(3)かの違いだけですね。

念のためですが、もし記述式で解答を書く場合は≒は使わないで下さいね。( 今は単なる説明なので、≒を使っていますが… )
No.11416 - 2010/09/04(Sat) 10:12:35
☆ Re: 微分の応用 / masaki
なるほど。解決しました！
近似式はまだ理解し切れていない部分が多いので練習が必要ですね。ありがとうございました。
No.11417 - 2010/09/04(Sat) 15:21:46
全22527件 [ ページ : << 1 ... 975 976 977 978 979 980 981 982 983 984 985 986 987 988 989 ... 1127 >> ]