ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 因数分解 / 高1ｱﾒ

「a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)を因数分解せよ。」
という問題で答えに「(a-b)(a-c)(b-c)」と書いたらﾊﾞﾂ喰らいました…　検算もして合ってる確証もあるのになぜﾊﾞﾂ何ですか? わかる方教えてください。

途中経過
a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)
a^2(b-c)-ab^2+ac^2+bc(b-c)
a^2(b-c)-a(b+c)(b-c)+bc(b-c)
(b-c){a^2-a(b+c)+bc}
(a-b)(a-c)(b-c)←合っますよね?

No.12259 - 2010/11/21(Sun) 12:41:18

☆ Re: 因数分解 / X

ええ、問題ないと思います。

No.12261 - 2010/11/21(Sun) 13:52:32

☆ Re: 因数分解 / 高1ｱﾒ

答えはそれでいいはずですが、なぜﾊﾞﾂを喰らったのかが知りたいのです。書く順序の問題とかですか?(ab,bc,caと書け,みたいな)

No.12280 - 2010/11/22(Mon) 19:59:44

☆ Re: 因数分解 / X

質問文の内容を見る限り、×になる理由は見当たらないと思います。
先生に直接理由を尋ねてみてはどうでしょうか？。

No.12309 - 2010/11/24(Wed) 01:39:52

☆ Re: 因数分解 / 高1ｱﾒ

やっぱり先生曰く、"ab,bc,caの順に書け"と言われました…。　いつもab,ac,bcと書いていたので、今までのやり方を変えるしかないですね。ありがとうございました。

No.12312 - 2010/11/24(Wed) 21:56:23

☆ Re: 因数分解 / ヨッシー

いやいや。
それは、×の理由にはなりませんよ。

(a-b)(c-a)(b-c) のように、符号が逆になっているとか、
明らかな計算ミスでない限り
(a-b)(a-c)(b-c) も (b-c)(c-a)(b-a) 正解です。

部分点でさえ、文句を言って良いほどです。

ただし、書く順を改めれば、その先生からは○がもらえるとわかったなら、
それに従うのも、世渡り的には正解でしょう。

いずれにしても、本質的でない話です。（書く順だけの問題であれば）

ちなみに、bc,ca,ab の順で書いてある本も見たことがあります。
(aが無い, bが無い, cが無いの順です)

No.12314 - 2010/11/24(Wed) 23:28:36

★ ４step 数B座標空間における図形　１４２　 / よだか

こんばんは！

問題
次の球面の方程式を求めよ。
（１）点（4、2、2）を通り、３つの座標平面に接する球面

回答
球面の半径をr(r>0)とする。
この球面が点（4、2、2）を通り、
３つの座標平面に接することから
球面の中心の座標は（ｒ、ｒ、ｒ）とおける。・・・?@
したがって球面の方程式は
（x-r)^2+(y-r)^2+(z-r)^2=r^2
この球面が点（4、2、2）を通ることから
(4-r)^2+(2-r)^2+(2-r)^2=r^2
展開して整理するとr^2-8r+12=0
これを解いて　r=2、6
よって求める球面の方程式は
（x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2=4
（x-6)^2+(y-6)^2+(z-6)^2=36

ここで質問なんですが
なぜxもyもzもrなのですか？

よろしくお願いいたします。

No.12251 - 2010/11/20(Sat) 22:23:10

☆ Re: ４step 数B座標空間における図形　１４２　 / X

問題の球はxy平面に接しますから、球の中心とxy平面との間の距離は
球の半径であるrに等しくなります。
ここで球の中心の座標を(x,y,z)とすると、球の中心とxy平面との距離は
|z|
ですので
|z|=r
∴z=±r
となりますが、ここで問題の球は点(4,2,2)を通りますので
z>0
よって
z=r
となります。

同様なことをyz平面、zx平面についても考えてみましょう。

No.12252 - 2010/11/20(Sat) 22:34:11

☆ Re: ４step 数B座標空間における図形　１４２　 / よだか

分かりやすいご説明
ありがとうございました！

No.12258 - 2010/11/21(Sun) 12:03:05

★ (No Subject) / アカ犬

中心Ａ（０，a),半径1の円上の点Ｐ（cosθ、a+sinθ）についてθが１８０°≦θ≦３６０°の範囲を動くときの点Ｐの軌跡をＣとする。Ｃが不等式ｙ≧ｘ＾２のあらわす範囲にあるとき、a≧５/4であることを示せ。

解答はファイルのような感じなのですが、
なんで解答のグラフのように放物線と円が2点で接すると言えているのかが分かりません。というか、そもそも円と放物線が内部で接するとき、2点で重解を持つときは接する⇔Ｄ＝０は言えるが、一点で重解をもつ（この場合y=0)とき接する≠Ｄ＝０という事実を知っています。この問題の場合は、2点で重解をもつという条件ではないのだから安易に判別式＝０ですまないと思うのですが・・・。疑問が尽きません。
どなたかよろしくお願いします。

No.12244 - 2010/11/19(Fri) 23:54:07

☆ Re: / ヨッシー

円全体が、放物線より上にある(接する場合も含む)ときを
調べる問題です。
ａがずっと大きければ、円もずっと上の方に行くので、放物線より
上にあるのは明らかですが、では、ａをどこまで小さくできるか
を調べると、図のように、ぎりぎり接する状態を考えることになります。

No.12245 - 2010/11/20(Sat) 06:47:00

☆ Re: / angel

こういうイメージです。
断面が放物線状のコップにピンポン玉を落とすと、底までつかず、途中でひっかかる、その様子を見ているようなものです。
で、丁度ひっかかる所で、解答にあるyの2次方程式が重解を持つことになります。

ただし、ピンポン玉が十分小さければ、底まで到達します。
この問題の例で言えば、円の半径が1ではなく、1/2以下であれば、円が原点を通る場合がa最小になります。

No.12247 - 2010/11/20(Sat) 13:17:45

☆ Re: / アカ犬

要するに、この解答（赤本なのですが）では不十分だと言うことでいいんですよね？

赤本の解答では最初から2点で接するという前提でしか話を進めていないので。

No.12248 - 2010/11/20(Sat) 16:34:58

☆ Re: / angel

> 要するに、この解答（赤本なのですが）では不十分だと言うことでいいんですよね？

いいえ。そんな要約しないでください…。
例えば私の挙げた「ただし、ピンポン玉が十分小さければ、…」以降の説明は、これは問題の条件が変わった時のお話ですから、この解答が適切かどうかとは直接の関係はありません。

ただ、この解答は、個人的にはやや不親切だとは思います。
※といっても、模範解答というのはそういうものですけど。
なぜかというと、
　円（半円）全体が放物線より上にある
　⇒ 円が放物線の内側に接する時、a が最小
　⇒ 解答にあるyの2次方程式が重解を持つ
という論理の最後が、やや飛躍気味であるためです。
なぜ飛躍気味かと言うと、問題の条件が変わって円の半径がもっと小さくなると、成立しないことだから。なので、本音としては、「なぜ重解なのか」については説明が欲しいところです。

そうはいっても、この問題では「重解を持つ」というのは正しいですし、なぜ重解なのかを細かく説明するのは結構大変なので、そこまで解答としては求められないだろうと思います。なので、模範解答として、この解答が不十分だとは思いません。

もうちょっと深く掘り下げたいのであれば、円の半径が 1 ではなく、一般の数として r ( r＞0 ) にした場合を考えてみてください。

No.12249 - 2010/11/20(Sat) 17:10:03

☆ Re: / アカ犬

なぜ重解なのかを細かく説明するのは結構大変、とありましたがよかったら説明してもらえないでしょうか？

No.12250 - 2010/11/20(Sat) 20:49:15

☆ Re: / angel

うーん。一般の r ( r＞0 ) で考えれば見えてくるのですがね。

まず、放物線の底は原点なので、円の中心の位置を考えると、a≧1 が必要。
で、放物線と円が接している場合、共有点のy座標が満たす方程式は、解答にある通り y^2-(2a-1)y+(a^2-1)=0
同時に y=x^2≧0 なので、結局この yの2次方程式が、0以上の解を1つのみ持つことが必要十分。

ここで a=1 とすると、y の2次方程式の解は y=0,1 となるため不適。そのため、a＞1
よって2次方程式の係数として、-(2a-1)＜0, a^2-1＞0 であり、yの2次方程式が実数解を持つ場合は正となる。

ということで、yの2次方程式が2実数解を持つのは不適で、重解を持つことが分かる、となります。

No.12253 - 2010/11/20(Sat) 23:54:15

★ (No Subject) / simizu

バームクーヘン積分の直接の証明は高校範囲では無理と聞いたことがあるのですが、下の証明ではどこがまずいのでしょうか？詳しく教えてください。

[定理]
0≦a≦b, y=f(x) を[a, b] 上の正の値をとる可微分な関数とする。
領域{(x,y) ;a≦x≦b, 0≦y≦f(x)}
をy軸に関して回転した立体をBとしたとき、
Bの体積 =2π ∫ xf(x) dx である。ただし積分範囲はa≦x≦b　
[証明]
V(p) は領域{(x,y) ;a≦x≦p, 0≦y≦f(x)}
をy軸に関して回転した立体の体積とする。
正数h に対して、p≦x≦p+h におけるf(x) の最大値をM、
最小値をm とすると、
π(2ph+h^2)m ≦ V(p+h) - V(p) ≦ π(2ph+h^2)M
両辺をh >0 で割ると
π(2p+h)m ≦ {V(p+h) - V(p)}/h ≦ π(2p+h)M
h → 0 のとき、m, M → f(p) であるので、
π(2p+h)m, π(2p+h)M → 2πpf(p)
従って、
dV/dp = lim {V(p+h) - V(p)}/h = 2πpf(p)
ゆえに、
Bの体積 = V(b) - V(a) = ∫ (dV/dx) dx , (a≦x≦b)
= 2π ∫ xf(x) dx, (a≦x≦b)　■

No.12243 - 2010/11/19(Fri) 19:47:34

☆ Re: / のぼりん

こんにちは。
お手伝いできるか自信ありませんが、
＞　　π(2ph+h^2)m ≦ V(p+h) - V(p) ≦ π(2ph+h^2)M
この式は、どこから出てきたのでしょうか？

No.12246 - 2010/11/20(Sat) 08:58:48

☆ Re: / simizu

{π(p+h)^2-πp^2}m ≦ V(p+h) - V(p) ≦{π(p+h)^2-πp^2}M より
π(2ph+h^2)m ≦ V(p+h) - V(p) ≦ π(2ph+h^2)M
です。

No.12254 - 2010/11/21(Sun) 02:36:49

☆ Re: / soredeha

良くできました！

No.12255 - 2010/11/21(Sun) 02:50:49

☆ Re: / soredeha

> 良くできました！
ちなみに、m, M → f(p) であればよいので
f(x)は連続であれば十分です。

No.12256 - 2010/11/21(Sun) 04:11:45

☆ Re: / simizu

f(x)は可微分なので連続なのは初めから分かっているのではないでしょうか？

No.12257 - 2010/11/21(Sun) 09:17:11

☆ Re: / angel

>> f(x)は連続であれば十分です。
> f(x)は可微分なので連続なのは初めから分かっているのではないでしょうか？

定理が成立する前提として、「f(x)が可微分」とされていますが、それよりも条件の緩い「f(x)が連続」にしても同じように成立する ( つまり、こちらの方が適用範囲が広い )、ということでしょう。

No.12268 - 2010/11/21(Sun) 19:39:13

☆ Re: / フリーザ

閉区間で連続関数f:R→Rが最大値最小値をもつことが高校だと証明できないずら

No.12279 - 2010/11/22(Mon) 19:29:23

☆ Re: / simizu

皆さんありがとうございました。

No.12310 - 2010/11/24(Wed) 03:10:27

★ 母関数 / 美優

フィボナッチ数列を母関数で解くやり方なのですが、
An=An-1+An-2が成り立つとします。

G(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+…
xG(x)=a0x+a1x^2+a2x^3+a3x^4+…
G(x)+xG(x)=a0+(a1+a0)x+(a1+a2)x^2+(a2+a3)^3+…
(1+x)G(x)=a0+a2x+a3x^2+a4x^3+…
x(1+x)G(x)=a0x+a2x^2+a3x^3+a4x^4+…
x(1+x)G(x)=a1x+a2x^2+a3x^3+a4x^4+…
　　　　　=G(x)-a0
　　　　　=G(x)-1
　　　　・
　　　　・
　　　　・
とありますが、
質問:
G(x)にxをかけたり、足したりということをしていますが、なぜxをかけたりするのかがわかりません。他の問題でもハノイの塔などの式でAn=2An-1+1という式がありますが、母関数で解くとき、G(x)に2とxをかけ、2xG(x)=…という式にして解くやり方をしています。なぜ2xをかけると良いとわかるのでしょうか？いろいろ調べてもわかりませんでした。詳しい解説をお願いします。説明がわかりにくくてすいません。

No.12231 - 2010/11/18(Thu) 05:05:23

☆ Re: 母関数 / X

質問内容を
母関数を求める方針の解説が分からない
と解釈して回答を。

次の例題を考えます。
例題)
S=1+2x+…+nx^(n-1) (但しx≠1) (A)
を簡単にせよ。
解)
(A)より
xS=x+2x^2+…+(n-1)x^(n-1)+nx^n (B)
(A)-(B)を計算すると
(1-x)S=1+x+x^2+…+x^(n-1)-nx^n
=(1-x^n)/(1-x)-nx^n
∴S=(1-x^n)/(1-x)^2-(nx^n)/(1-x)

ここでのポイントはSにxをかけることで右辺のべきを１つずらし
これと元のSとを足し引きすることでSの右辺の
1+2x+…+(n-1)x^(n-2)
の部分の係数を、和が簡単な式に変形できるような形に
持っていくことです。

同様に１つ目のフィボナッチ数列も２つ目の数列についても
方針は
漸化式の一部を母関数の各係数に出現させて、級数を
無限和を含まない式に変形できるように係数を変更する
ことです。
このことを頭に入れてもう一度解答を見て考えてみて下さい。

No.12233 - 2010/11/18(Thu) 11:18:36

★ (No Subject) / brabus

七つの数字００１１１２３を用いて７桁の数を作るとき、
（１）７桁の整数は何通りか
（２）７桁の整数で偶数であるものは何通りか

という問題なのですが答えがわからずに困っています。
解答宜しくお願いします・・・

No.12230 - 2010/11/18(Thu) 00:31:24

☆ Re: / X

(1)
問題の７つの数字でできる順列の数は
7!/(2!3!)=420[通り]
このうち、先頭が0になる場合は
残りの６つの数字でできる順列を考えて
6!/3!=120[通り]
よって７桁の整数は
420-120=300[通り]
できます。

(2)
問題の順列が７桁の偶数になるためには
(i)末尾が0の７桁の整数
(ii)末尾が2の７桁の整数
のいずれかにならなければなりません。
(i)の場合
0を除いた6つの数字でできる順列の数は
6!/3!=120[通り]
このうち先頭に0が来る場合は
5!/3!=20[通り]
∴末尾が0の７桁の整数は
120-20=100[通り]
(ii)の場合
2を除いた6つの数字でできる順列の数は
…[通り]
このうち先頭に0が来る場合は
…[通り]
∴末尾が2の７桁の整数は
…[通り]

(i)(ii)より求める場合の数は
…[通り]

No.12232 - 2010/11/18(Thu) 10:30:56

★ 図形と方程式 / nana

a>b>0とする。円x^2+y^2=a^2上の点(b,√(a^2-b^2))における
接線とx軸をの交点をPとする。また、円の外部の点(b,c)から
この円に2本の接線を引き、交点をQ,Rとする。このとき、
Q,Rを通る直線はPを通ることを示せ。

という問題なのですが…どう示せば良いか分かりません。
よろしくお願いします。

No.12228 - 2010/11/17(Wed) 23:19:20

☆ Re: 図形と方程式 / nana

＞この円に2本の接線を引き、交点をQ,Rとする。

すみません、接点でした…。

No.12229 - 2010/11/17(Wed) 23:20:30

☆ Re: 図形と方程式 / ヨッシー

原点をＯ、点Ａ(ｂ，√(a^2－b^2))、点Ｂ（ｂ，ｃ）とします。

点Ａにおける接線の傾きは、
－ｂ/√(a^2－b^2) であるので、接線の式は、
　ｙ＝－ｂ(ｘ－ｂ)/√(a^2－b^2)＋√(a^2－b^2)
　ｙ√(a^2－b^2)＝－ｂｘ＋ｂ^2＋(a^2－b^2)
ｙ＝０とすると、ｘ＝ａ^2/ｂ
よって、点Ｐの座標は　（ａ^2/ｂ，０）

ＯＢとＱＲの交点をＳとします。
ＱＲを通る直線の傾きは、－ｂ／ｃ
ＯＢ＝√(b^2＋c^2)、ＯＱ＝ａ
三平方の定理より　ＢＱ＝√(b^2＋c^2－a^2)
　ＢＳ：ＳＯ＝ＢＱ^2：ＯＱ^2＝(b^2＋c^2－a^2)：a^2
よって、
　ＯＳ＝ＯＢ×a^2/(b^2＋c^2)
よって、点Ｓの座標は、(a^2b/(b^2＋c^2), a^2c/(b^2＋c^2))
直線ＱＲの式は、
　ｙ＝－ｂ{ｘ－a^2b/(b^2＋c^2)}／ｃ＋a^2c/(b^2＋c^2)
　ｃ(b^2＋c^2)ｙ＝－ｂ{ｘ(b^2＋c^2)－a^2b}＋a^2c^2
ｙ＝０とすると、
　bx(b^2＋c^2)＝a^2(b^2＋c^2)
　ｘ＝a^2/b
となり、Ｐと一致します。

No.12235 - 2010/11/18(Thu) 21:22:11

☆ Re: 図形と方程式 / nana

よく分かりました！ありがとうございました！

No.12260 - 2010/11/21(Sun) 13:18:50

★ おねがいします / YUU

箱の中に数字の0が書かれたカードが2枚数字の1が書かれたカードが4枚、計6枚のカードが入っている。
?@この箱の中からカードを1枚取り出し、カードに書かれている数を記録してもとに戻すという操作を4回繰り返す。記録した4つの数の和をXとするとき、X=1となる確率はア/イウであり、X=2となる確率はエ/オカとなる

?Aこの箱の中に数字の2が書かれたカードを2枚追加する。このとき、箱の中からカードを同時に3枚取り出し、3枚のカードに書かれている数の和をYとする。
Y=1となるのはｷ/ｸｹであり Y=2となるのはコ/サである
Yの期待値はシである

ア/イウ=8/81 エ/オカ=8/27 キ/クケ=1/14 コ/サ=1/4 シ=3

解説おねがいします

No.12227 - 2010/11/17(Wed) 22:08:33

☆ Re: おねがいします / ヨッシー

?@
カードの選び方は全部で　６^4通り
Ｘ＝１となるのは、
　１０００の順・・・4×２^3＝32(通り)
以下、０１００，００１０，０００１も同様に32通りで、
合計 128通り
確率は、2^7/6^4＝2^3/3^4＝8/81

ｘ＝２となるのは
　１１００の順・・・4^2×2^2＝64(通り)
並べ替えで4Ｃ2＝６(通り) あるので、合計 6×2^6(通り)
確率は、6×2^6/6^4＝2^3/3^3＝8/27

?A
ＡＢが０、ＣＤＥＦが１、ＧＨが２とします。
すべて組み合わせで考えます。
取り出し方は、8Ｃ3＝56(通り)
Ｙ＝１　・・・　ＡＢとＣ～Ｆの４通り
確率は、　4/56＝1/14
Ｙ＝２　・・・０を１枚と、１を２枚　2Ｃ1×4Ｃ2＝12(通り)
　　　０を２枚と、２を１枚　2Ｃ2×2Ｃ1＝２(通り)
合わせて 14通りで、確率は、14/56＝1/4

Ｙ＝３　・・・０と１と２　2×4×2＝16(通り)
　　1を3枚　4Ｃ3＝4通り　合計20通り
Ｙ＝４　・・・０を１枚と２を２枚　２通り
　　１を２枚と２を１枚　６×２＝１２通り　合計１４通り
Ｙ＝５　・・・１を１枚と、２を２枚　４通り
よって、期待値は
　(1×4＋2×14＋3×20＋4×14＋5×4)/56＝３

以上です。

No.12236 - 2010/11/18(Thu) 21:44:44

★ (No Subject) / ばるぼっさ

式変形をする際、文字で
両辺をかけたり割ったりするとき
０でないことを確認するのはなぜですか？

よく、「両辺にa(≠０）をかけて・・・」
のような回答を目にします。

よろしくお願いします。

No.12225 - 2010/11/17(Wed) 20:12:05

☆ Re: / X

分母が0である分数は定義されていないこと
言い換えれば
0で割るということは定義されていないこと
が理由です。

No.12226 - 2010/11/17(Wed) 21:25:38

☆ Re: / ばるぼっさ

かけるときの場合もお願いします

No.12237 - 2010/11/18(Thu) 22:49:05

☆ Re: / X

質問での「回答」に対する問題の内容が不明のため、例題を
挙げて回答しておきます。
(これで理解できないようであれば、具体的に例題をアップして下さい。)

例題)
方程式
2/x=1 (A)
を解け。
解)
(A)の両辺にxをかけて
x=2
となりますが、分母≠0であることから
(A)の両辺にx(x≠0)をかけて
と書くのが正確です。
(特殊な指定がない限り、()内の注釈は書かなくても
特に支障はありませんが)

No.12238 - 2010/11/19(Fri) 09:18:47

☆ Re: / ast

横からになりますが, X さんとは少し別な言い方で (というか別な文脈を想定して) お答えしておきます.

両辺に0を掛けたり両辺を0で割ったりする操作は, それ以外の数を掛けたり割ったりするよりも「情報が減って損をする」ので, 他とは別に扱います. 情報が減って損をすることがちゃんと分かっていれば, 掛けたり割ったりしてもいいです (いいですが, する意味が無いことのほうが多いです).

情報が減る理由は簡単です. x ≠ y でも x = y でも必ず 0×x = 0×y になるので, せっかく x ≠ y という情報が分かっている場合でも 0 を掛けたあとの式では x ≠ y であることが隠れてしまいます. 割るほうはこの逆で, 0×x = 0×y という式が分かっているだけでは x ≠ y とも x = y とも決められないですから, 0×x = 0×y の両辺を 0 で割って消してしまう操作に意味がありません (0×x = 0×y と x = y との間に論理的なつながりが無いわけです).

No.12239 - 2010/11/19(Fri) 11:55:45

★ 微分可能と連続性 / Kay(高３女子)

関数f(x)の連続について、lim(x→z)f(x)=f(a)を示すことについて質問です。よろしくお願いします。

［問題］
関数f(x)=ax^2 +bx (x≧1), f(x)=x^3 -ax (x<1) について、f(x)がx=1で微分可能となるようにa, bの値を定めよ。

［模範解答］
x=1で微分可能であるためにはx=1で連続でなければならない。
lim(x→1-0)(x^3 -ax)=1-a, f(1)=a+b
lim(x→1)(x^3 -ax)=f(1)=a+bよりa+b=1-a…?@

［質問］
ア．lim(x→1)(x^3 -ax)を求めるのに、左側極限だけを求めていますが、右側極限は示さなくてもいいのですか。もちろん、lim(x→1+0)(x^3 -ax)=a+bとなる訳ですが、a+bは同じなので示す必要がないということですか。それとも他に重要な理由があるのでしょうか。

イ．微分の本来の意味から考えると、定義域から考えてf(x)=x^3 -ax は1を含まない開区間ですから、不適切であると思ったのですが。

ウ．むしろ、閉区間の関数f(x)=ax^2 +bxの方が微分するには適切だと思うのです。

以上について、理由も含めて教えてください。よろしくお願いします。

（以下省略）
ここから下は、x=1の時の右側極限＝左側極限とならなければならないことから、aとbの方程式を導き、それを?Aとし、上記?@と連立させて、a,bを導いているもので、理解できました。ここについて質問はありません。

No.12222 - 2010/11/17(Wed) 00:00:33

☆ Re: 微分可能と連続性 / ヨッシー

ア．
f(x)=x^3 -ax は、ｘ＜１でしか定義されていないので、
　ｘ→１＋０
という近付け方は出来ませんし、もし、ｘ＜１で定義されている関数
（この場合は、f(x)=x^3 -ax）が、ｘ＝１の手前までは、
ある数に収束して、ｘ＝１になった途端に、途方もない方にいったとしても、
それはそれで良いのです。

例えば、
　f(x)＝[x]　（ｘ＜１）
　f(x)＝(x-1)^2　（ｘ≧１)
が、ｘ＝１で微分可能かというような場合、
f(x)＝[x] のｘ→１－０とｘ→１＋０とが
違いますが、ｘ→１－０の方が f(1) に一致すれば良いのです。

イ．ウ．は、適切、不適切というのが、何を指すのか分かりませんが、ア．が解決すれば、少しクリアになるのではないでしょうか？

No.12223 - 2010/11/17(Wed) 06:04:39

☆ Re: 微分可能と連続性 / 七

蛇足かも知れませんが
定義域がすべての実数である場合
> lim(x→1+0)(x^3 -ax)=a+b
ではなく
lim(x→1+0)(x^3 -ax)=1－a
です。
> lim(x→1-0)(x^3 -ax)=1-a, f(1)=a+b
の f(1)=a+b というのは
当然 f(x)=ax^2 +bx (x≧1) を用いており
これが f(x)のx＝1における右側極限です。
これが左側極限 1－a と一致しなければ
f(x)がx＝1で連続とはいえません。

No.12224 - 2010/11/17(Wed) 14:24:59

☆ Re: 微分可能と連続性 / Kay(高３女子)

ヨッシーさん、七さんへ
お礼が遅れてしまいすみません。
ちゃんと読んで、理解しました。
これからもよろしくお願いします。

No.12320 - 2010/11/28(Sun) 13:59:44

★ 軌跡の問題の変数の変換 / りお

軌跡の問題で添付のようにX、Yを最後にさらっとx,yに変換する解答があるのですが、これをして良い理由がわかりません。
X,Yで出てきた不等式を図示するには、XY平面が必要ですよね。それはx+y軸とxy軸であって、x,y軸ではないのではないかと思います。よろしくお願い致します。

No.12217 - 2010/11/15(Mon) 19:10:26

☆ Re: 軌跡の問題の変数の変換 / rtz

いえ、XY平面という認識で構いませんよ。
なぜなら、
この領域は(X,Y)＝(x+y,xy)が動きうる領域ですから、
元の(x,y)とは違うものです。
元のxy座標上に(x+y,xy)を表す点はおけませんね。

X,Yで表された関係式なら、グラフをXY平面で描きますし、
a,bで表された関係式なら、グラフをab平面で描きますし、
当然x,yで表された関係式なら、グラフをxy平面で描きます。
戻した理由は「普段見慣れている文字」に直すためでしょう。
勿論、元のx,yとは違うので、混乱のもとだといえばそうなのですが、
XYでグラフを描け、というだけで戸惑う人もいます。
そういう人達への配慮ではないでしょうか。

No.12219 - 2010/11/15(Mon) 19:46:06

☆ Re: 軌跡の問題の変数の変換 / りお

ありがとうございました。疑問が解消されました。

No.12220 - 2010/11/15(Mon) 21:28:06

★ 漸化式… / 長束

ｐを正の整数とし、２次方程式ｘ＾－ｐｘ－1＝0の２つの解をα、βとする。数列{a[n]}を a[n]＝a＾(n-1)＋ｂ＾(n-1)（ｎ＝１，２，３，…）によって定める。

(1)すべての正の整数ｎに対し、a[n＋2]＝ｐa[n＋1]＋a[n]が成り立つことを示せ。
(2)すべての正の整数ｎに対し、a[n]は正の整数であることを示せ。
(3)ｐが奇数であるとき、すべての正の整数ｎに対し、a[n]とa[n＋1]の最大公約数は１であることを示せ。

(1)、(2)は解けたのですが…(3)が、どうしても解けません。宜しくお願いします。高2です。

No.12215 - 2010/11/14(Sun) 22:00:22

☆ Re: 漸化式… / angel

(3)直接示すのは難しそうなので、やはり帰納法に持っていくのだと考えられます。
a[1],a[2]については、何とかするとして。

n=k⇒n=k+1 の推移に対しては、(1)で出てきた3項間漸化式で。
背理法を使います。
a[k+1]とa[k+2]に2以上の最大公約数gがあるとすれば、a[k]もgの倍数であることを示し、矛盾に導くことになるでしょう。

No.12216 - 2010/11/14(Sun) 23:15:42

☆ Re: 漸化式… / 長束

解けました！
ありがとうございました。

No.12221 - 2010/11/15(Mon) 21:55:23

★ (No Subject) / isumaru

壁に密度一定で質量Ｍ長さｌの棒を立てかける。壁にはしし摩擦力μ２、床には静止摩擦係数μ１で摩擦があるとすると、ずり落ちずに棒が立てかけられるために満たすべき角度の条件を求めよ。ただし、重力加速度はｇとし、棒は紙面に垂直方向には倒れないとする。

棒に働く力は、床に垂直に垂直抗力Ｎ１，壁が左側にあるとして、左側に床からの摩擦力ｆ１、棒の中心に重力Ｍｇ、壁に垂直に垂直抗力Ｎ２，上向きに壁からうける摩擦力ｆ２までは分かりましたが、この後どうしたら求まるのかが分かりません。よろしくお願いします。

No.12211 - 2010/11/14(Sun) 11:00:50

☆ 適切な件名をお付け下さい。 / のぼりん

こんにちは。
床と棒のなす角度を θ、床からの垂直抗力をＮ_１、床からの摩擦力をｆ_１、壁からの垂直抗力をＮ_２、壁からの摩擦力をｆ_２とおきます。垂直、水平向きの力の釣合いから、
　　Ｍｇ＝Ｎ_１＋ｆ_２、　ｆ_１＝Ｎ_２
です。床と棒の接点の周りのモーメントの釣合いから、
　　Ｎ_２ｌｓｉｎθ＋ｆ_２ｌｃｏｓθ＝Ｍｇｌ/２･ｃｏｓθ
です。摩擦の条件から、
　　０≦ｆ_ｊ≦μ_ｊＮ_ｊ　（ｊ＝１，２）
です。Ｎ_１、Ｎ_２を消去して整理し、（ｆ_１，ｆ_２）平面において、直線
　　　ｆ_２＝－ｆ_１ｔａｎθ＋Ｍｇ/２
が、領域
　　　０≦ｆ_２≦μ_２ｆ_１、　０≦ｆ_２≦Ｍｇ/２－ｆ_１/μ_１
を通るためのθに関する必要十分条件を求めます。

No.12213 - 2010/11/14(Sun) 15:10:06

☆ Re: / isumaru

こんな解法だなんて予想だにしてませんでした＾＾；
座標を使うなんて数学みたいですね。答えを出してみます。
ありがとうございます。

No.12214 - 2010/11/14(Sun) 20:30:06