ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 無限級数の収束・発散 / Kay(高３女子)

２つ質問があります。よろしくお願いします。

１．部分和が奇数項までと偶数までで異なる場合の表現の仕
　　方について教えてください。

［問題］次の無限級数の収束・発散を調べ、収束するもの
　　　　は、その和を求めよ。
1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)+……

［模範解答］
　　　　n=2m-1のとき
　　　　Ｓ2m-1=1+{-(1/2)+(1/2)}+{-(1/3)+(1/3)}+…
　　　　　　　　…+{-(1/m)+(1/m)}=1

質問です。
この時、部分和の末尾の部分は
…+[{-{1/(2m-1)}+{1/(2m-1)}]
のようにはなりませんか。

また、なぜ末項の分母が m となるのですか。もしこれが n ならば、第n部分和の末項がnであるという本来の意味から考えてまだ理解しやすいと思うのですが。

同様に、
［模範解答］で、
　　　　　　n-2m のとき
　　　　　　Ｓ2m={1-(1/2)}+{(1/2)}-(1/3)}+…
　　　　　　　　…+[(1/m)+{1/(m+1)}]
ですが、これも部分和の末尾は、
…+{1/(n-1)-(1/n)}
とはならないでしょうか。

２．Σ(n=1→∞){2/n(n+1)(n+2)}ですが、
2/n(n+1)(n+2)=1/n(n+1)-{1/(n+1)(n+2)}
と部分分数に分解しているのですが、その変形の仕方が分かりません。汎用的な変形の仕方があるのでしょうか。

よろしくお願いします。

No.12161 - 2010/11/09(Tue) 23:47:35

☆ Re: 無限級数の収束・発散 / angel

1.
n,mに具体的な数値をあてはめて考えることです。
小さな数値で構いませんから。

ここで出てくる n は、+, - ひっくるめた項の総数です。
なので、
　S[1]=1
　S[2]=1-1/2
　S[3]=1-1/2+1/2
　S[4]=1-1/2+1/2-1/3
　…
ということで、S[2m-1]=…-1/(2m-1)+1/(2m+1)とはなりません。2項毎に分母が1増えていくので、mとnの増えるペースは違うのです。

No.12162 - 2010/11/09(Tue) 23:56:27

☆ Re: 無限級数の収束・発散 / angel

2.
> 汎用的な変形の仕方があるのでしょうか。

これはもう、こういうものだと思ってください。

1/n(n+1) = 1/n-1/(n+1)
1/n(n+1)(n+2) = 1/2・( 1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2) )
1/n(n+1)(n+2)(n+3) = 1/3・( 1/n(n+1)(n+2)-1/(n+1)(n+2)(n+3) )
…

といったように、こういった形は、数列の隣り合う項の差の形に置き換えることができるのです。

分数でなくとも似たようなもの。

n(n+1)=1/3・( -(n-1)n(n+1)+n(n+1)(n+2) )
n(n+1)(n+2)=1/4・( -(n-1)n(n+1)(n+2)+n(n+1)(n+2)(n+3) )
…
※なので、例えば
　1・2+2・3+3・4+…+9・10
　=1/3・( -0・1・2+1・2・3-1・2・3+2・3・4+…-8・9・10+9・10・11 )
　=1/3・( -0・1・2 + 9・10・11 )

No.12163 - 2010/11/10(Wed) 00:10:42

☆ Re: 無限級数の収束・発散 / Kay(高３女子)

angel様
早速ありがとうございます！遅い時刻まですみませんでした。今後ともよろしくお願いいたします。

No.12166 - 2010/11/10(Wed) 21:49:43

★ 小6です・・・ / ぜっとん

　　　方程式を立てて答えなさい。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
Ｐ町からＱ町まで、自動車で毎時60?qの速さで行くと、毎時40?qの速さで行くより30分速く着くという。Ｐ町からＱ町までの道のりは何?qか。また、毎時40?qの速さで行ったときは、何分かかるか。

よろしくお願いします。

No.12155 - 2010/11/08(Mon) 23:15:25

☆ Re: 小6です・・・ / roro

方程式ですね？

その１
Ｐ町からＱ町までの道のりを、x【?q】とすると
　毎時60?qの速さで行くときの時間が、x/60【時】
　毎時40?qの速さで行くときの時間が、x/40【時】
　※30分早くつくということは、30分{1/2時間}少ないということなので
　★(x/60)＝(x/40)－(1/2)
　　　これを解いて、x＝60
　Ｐ町からＱ町までの道のりが、60【?q】で、
　毎時40?qの速さで行くときの時間が、60/40＝3/2【時】つまり90【分】

その２
毎時40?qの速さで行くときの時間を、x【分】とすると
毎時60?qの速さで行くときの時間が、(x－30)【分】
　x【分】→x/60【時】，(x－30)【分】→(x－30)/60【時】から
　※道のりが等しいことから
　★40＊(x/60)＝60＊{(x－30)/60}
　　これを解いて、x＝90
　毎時40?qの速さで行くときの時間が、90【分】で
　Ｐ町からＱ町までの道のりが、40＊(90/60)＝60【km】

No.12157 - 2010/11/09(Tue) 00:26:15

☆ Re: 小6です・・・ / ぜっとん

「＊」これって何のマークですか？「かける」かなぁ。

　方程式が分かってきました。ありがとうございました。

No.12158 - 2010/11/09(Tue) 16:58:45

☆ Re: 小6です・・・ / roro

「＊」は「かける」です。
説明不足でしたね。＾＾；すみません。
理解力に助けられたようです。

No.12160 - 2010/11/09(Tue) 23:30:40

☆ Re: 小6です・・・ / ぜっとん

どうもありがとううございました。
かっこいいから、僕も使ってみます。

No.12164 - 2010/11/10(Wed) 00:15:12

☆ Re: 小6です・・・ / ヨッシー

使うのは、ネット上だけにして、学校のテストなどでは
使わないのが無難ですよ。

No.12165 - 2010/11/10(Wed) 06:11:36

★ (No Subject) / レッド

中３です。　この問題が分からなくて困っています。

校舎の高さＰＨ
　　　
　　　校舎の壁の下端Ｈから適当に離れた地点Ａを決め、
　　　そこから点Ｐを見上げた角∠ＣＢＰの大きさと、
　　　ＡＨの長さを測る。
　　　これをもとにして、直角三角形ＰＢＣの縮図を
　　　かき、ＰＣの長さを求めて、それに、目の高さ
　　　ＡＢをたせばよい。

　　　
　　問題
　　　上の問題で、
　　　　　　　ＡＨ＝１４ｍ
　　　　　　　∠ＣＢＰ＝３０°
　　　　　　　ＡＢ＝１．５ｍ
　　　　　　であるとき、２００分の１の縮図を
　　　　　　かいて、高さＰＨを求めなさい。

　　　よろしくお願いします。

No.12153 - 2010/11/08(Mon) 21:40:52

☆ Re: / roro

「上の問題で、
　ＡＨ＝14ｍ
　∠ＣＢＰ＝30°
　ＡＢ＝1.5ｍ
　　　であるとき、
　200分の1の縮図を描いて･･･」

描きましたか？
描いたなら、
　ＰＨの長さを測って
　200倍をする
これをしなさい」

という問題です。

No.12156 - 2010/11/09(Tue) 00:05:54

★ ２年　数?U　微分積分 / あつき

よろしくお願いします。
　　　　　　　
関数ｆ(ｘ)＝∫(ｘからｘ＋２)|ｔ(ｔ－１)|ｄｔについて、

(１)ｘ≧１のときｆ(ｘ)をｘの整式で表せ。
(２)０≦ｘ≦１のときｆ(ｘ)をｘの整式で表せ。
(３)ｘ≧０の範囲でｆ(ｘ)の最小値を求めよ。

どのようにして解けばよいのでしょうか。　　　
　　　　　　　　　

No.12150 - 2010/11/08(Mon) 19:14:28

☆ Re: ２年　数?U　微分積分 / ヨッシー

t(t-1) は、0≦ｔ≦1 で、0または負、それ以外で正です。

(1) x≧1 のとき、積分範囲ｘからｘ＋２では、全範囲において、
　t(t-1)≧０なので、|t(t-1)|＝t(t-1)
よって、
　f(x)＝∫_x～x+2(t^2-t)dt
　　　＝[t^3/3－t^2/2]_x～x+2
　　　＝2x^2＋2x＋2/3
(2) 0≦x≦1 のとき
　x≦t≦1　のとき　|t(t-1)|＝t－t^2
　1≦t≦x+2 のとき　|t(t-1)|＝t^2－t
よって、
　f(x)＝∫_x～1(t-t^2)dt＋∫_1～x+2(t^2-t)dt
(以下略)
　

No.12151 - 2010/11/08(Mon) 20:52:39

☆ Re: ２年　数?U　微分積分 / あつき

ｘ≦ｔ≦１と１≦ｔ≦ｘ＋２に分けるのですね。

よくわかりました。ありがとうございます。

No.12154 - 2010/11/08(Mon) 22:29:56

★ 数列の極限について / Kay(高３女子）

はさみ打ちの原理を使った問題で、
lim(n→∞)(an-√3)=0 であるから、lim(n→∞)(an)=√3
であることを示している解答について２つ質問があります。
よろしくお願いします。

１．参考書には一般に、
lim(n→∞)|an-α|=0 ⇔lim(n→∞)(an)=α
と載っていたのですが、左側の式の左辺の数列の部分が
　　絶対値記号で囲まれているのに、右辺では|α｜ではなく
　　単にαで絶対値記号がついていないのはどうしてです
　　か。また、左辺に絶対値記号が付いていないとどういう
　　不具合が生じるのでしょうか。

２．「lim(n→∞)(an-√3)=0 であるから、
　　lim(n→∞)(an)=√3 である」が、どうして成り立つか
　　というのは、
lim(n→∞)(an-√3)=0 を
　　lim(n→∞)(an)-lim(n→∞)√3 であると考えて、
　　lim(n→∞)√3=√3 であるから、
　　lim(n→∞)(an)=√3 ということですか。

手書きでなく、分かりにくい表記になってしまいましたが、
何卒よろしくお願いいたします。

　　

No.12144 - 2010/11/07(Sun) 22:40:51

☆ Re: 数列の極限について / ToDa

単に式をそのまま覚えてみるのではなく、式によって与えられている意味を理解することが大事です。

１．によって言及されることは、やや大雑把に言うなら、anとαとの差がなくなってくるのであれば、anはαに収束するということを言っているのです。絶対値記号は、αに上から収束するのか下から収束するのか、あるいは振動して上下を変えつつ収束するのかということを考慮するために付けているわけですね。

これを理解した後であれば、αに絶対値がなぜ付かないのかという疑問も晴れると思います。

２．厳密に言えば間違っています。anはn→∞で収束するとは限らないのに、そう決めつけた上で議論を進めているからです。まあ、√3は定数なのでそこはあまりやかましく言わなくてもいいような気もするのですが…一応、こう考えましょうという道筋を書いておきます。

以下、極限はn→∞にて、
lim(an) = lim{(an-√3)+√3} = lim(an-√3) + lim√3 = √3
という感じで。

＃あと、新たに質問をする場合、前の質問に決着を付けてからのほうが良いと思いますよ。

No.12148 - 2010/11/08(Mon) 00:15:50

☆ Re: 数列の極限について / Kay(高３女子)

ToDa様
ありがとうございました。マナーも守っていきます。これからもよろしくお願いします。

No.12159 - 2010/11/09(Tue) 20:37:13

★ (No Subject) / ダル吉

初めてです　宜しくお願いします！
実数x,y で　4x^2(y-1)=x^2y^2-xy+3 を満たしながら動く
1 xy=p と置くとき、 yを用いずxとpの関係を表す等式
2 xyが最少にするときのxとyの値
どうしても分かりません　宜しくお願いします

No.12141 - 2010/11/07(Sun) 22:32:49

☆ Re: / angel

問題の通り、計算を進めるしかないですかね。

1.
xy=p と置いて、「yを用いずxとpの関係を表す等式」を導くわけなので、y=p/x として代入するのが手っ取り早いでしょう。

なお、4x^2(y-1)=x^2y^2-xy+3 が成立する場合は x≠0 ですから、分母はO.K.です。

2.
1. で求めた等式は、x,p の2次式になります。
ここで、2次の項 ( x^2, xp, p^2 ) だけをじっくり観て下さい。何かまとめられるはずです。
最終的に「xyが最小」とは、pが最小ということです。pが最小になるケースが何かを見つけてください。

No.12146 - 2010/11/07(Sun) 22:49:50

☆ Re: / ダル吉

angelさん
ありがとうございます
おかげでとくことができました！
(1)が等式という言葉に惑わされ代入してどうするかとあたふた考えてました　本当にありがとうございます！

No.12147 - 2010/11/07(Sun) 23:50:31

★ (No Subject) / ユキ

度々申し訳ありません…！

正八面体ABCDEFがある。動点Pは最初、頂点A上にあるが、
1回の操作で一辺を伝わり最も近い他の頂点に移動させる。
1回の操作で、最も近い頂点の中でどの頂点に移動させるかは
無作為に決める。この操作を繰り返し、点Pを移動させていく
場合、n回の操作が完了した時点で点Pが頂点A,B,C,D,E,Fにある
確率をそれぞれ、a(n),b(n),c(n),d(n),e(n),f(n)とする。
(1)数学的帰納法により、b(n)=c(n)=d(n)=e(n)(n≧1)を示せ。
(2)a(n+1),f(n+1)をb(n)で表し、また数列{b(n)}の漸化式を求めよ。
(3)a(n),b(n),f(n)を求めよ。

どう求めていけば良いか分かりません…。
宜しくお願いします…！

No.12139 - 2010/11/07(Sun) 20:27:20

☆ Re: / ヨッシー

(1)
n=0 のとき
　b(n)=c(n)=d(n)=e(n)＝0
n=k のとき、
　b(k)=c(k)=d(k)=e(k)
とするとき、
　b(k+1)＝{a(k)+c(k)+e(k)+f(k)}/4＝{a(k)+2b(k)+f(k)}/4
　c(k+1)＝{a(k)+b(k)+d(k)+f(k)}/4＝{a(k)+2b(k)+f(k)}/4
　d(k+1)＝{a(k)+c(k)+e(k)+f(k)}/4＝{a(k)+2b(k)+f(k)}/4
　e(k+1)＝{a(k)+b(k)+d(k)+f(k)}/4＝{a(k)+2b(k)+f(k)}/4
よって、
　b(k+1)=c(k+1)=d(k+1)=e(k+1)
となり、０以上の整数ｎについて、
　b(n)=c(n)=d(n)=e(n)
が成り立ち、ｎ≧１に限っても、当然成り立つ。

(2)
　a(n+1)＝{b(n)+c(n)+d(n)+e(n)}/4＝b(n)
　f(n+1)＝{b(n)+c(n)+d(n)+e(n)}/4＝b(n)
よって、
　b(n+1)＝{a(n)+2b(n)+f(n)}/4
　　　＝{b(n-1)+2b(n)+b(n-1)}/4
　　　＝{b(n-1)＋b(n)}/2

(3)
　2b(n+1)＝b(n-1)＋b(n)　ただし、b(0)=0, b(1)＝1/4
変形して、
　2{b(n+1)-b(n)}＝-{b(n)-b(n-1)}
g(n)＝b(n)-b(n-1)　とおくと、g(1)＝1/4
　g(n+1)＝-g(n)/2
より、g(n) は初項1/4 公比-1/2 の等比数列となり、一般項は
　g(n)＝(-1/2)^(n+1)
b(n)-b(n-1)＝(-1/2)^(n+1)　は、b(n) の階差数列なので、
　b(n)＝b(0)＋Σ_k=1～n(-1/2)^(k+1)
　　＝{1/2＋(-1/2)^(n+1)}/3

a(n)＝b(n-1)＝{1/2＋(-1/2)^n}/3　ただし、ｎ≧１
f(n)＝b(n-1)＝{1/2＋(-1/2)^n}/3　ただし、ｎ≧１

No.12140 - 2010/11/07(Sun) 21:21:57

☆ Re: / ユキ

ヨッシー様ありがとうございます！
質問なのですが、(1)で何故n=1ではなくn=0で最初示す
のでしょうか？

No.12143 - 2010/11/07(Sun) 22:37:32

☆ Re: / ヨッシー

１．n=0 の状態も、定義できること。
２．n=0 だけ特殊なわけでなく、n=0→1→2 という流れで、
　　漸化式を作ることが出来ること。
３．n=0 だと、a(n)＝1、b(n)＝・・・＝f(n)＝０と、簡単な
　　値になっていること。
また結果として、
４．階差数列の計算が楽であること（k=1～n-1 ではなく、k=1～n で、計算できる)
が、n=0 から始めた理由です。別にn=1 からでも問題ありません。

No.12149 - 2010/11/08(Mon) 00:42:55

☆ Re: / ユキ

懇切丁寧に教えて下さり、ありがとうございました！
おかげで理解することが出来ました＾＾

No.12170 - 2010/11/11(Thu) 00:34:48

★ (No Subject) / drf

自然数nに対して、Rn（x)=1/1+x-{1-x-x^2-…+(-1)^nx^n}と
するとき、lim∫（0から1）Rn（ｘ）ｄｘとRn（ｘ＾2）
　　　　　n→∞
を求めて、
（1）1-1/2+1/3-1/4+…
（2）1-1/3+1/5-1/7+…
の無限級数の和を求めよ。

Rnの極限は両方とも0だと思うのですが、それらをいかしての
無限級数の和の求め方が分かりません。

No.12138 - 2010/11/07(Sun) 11:16:08

☆ Re: / angel

問題文にある定積分の極限を、2通りの方法で計算するのです。
一方の方法からは、予想通り、0 であることが分かります。
しかし、もう一方からは別の形が現れます。

具体的には、
(i) (1+x)(1-x+x^2-…+(-1)^n・x^n)=1+(-1)^n・x^(n+1) を利用する
　すると、Rn(x)=(-x)^(n+1)/(1+x) となります。
　この形は n→∞ の時、0≦x＜1 で Rn(x)→0 となりますから、
　n→∞の時、∫[0,1]Rn(x)dx も 0 に収束します。
　…これだと説明が大雑把なので、解答としてはもう少しちゃんと書く必要があるでしょうけど。

(ii) Rn(x)=1/(1+x) - Σ[k=0,n] (-x)^k と表す
　このまま定積分を求めると、
　∫[0,1]Rn(x)dx = ∫[0,1]dx/(1+x) - Σ[k=0,n] ∫[0,1](-x)^k dx

　で、この右辺のΣって、各定積分を求めると、1-1/2+1/3-1/4+… に他ならないのですね。

ということで、同じ定積分の極限を(i),(ii)2通りで表す事ができますから、それらの結果を比較すれば、問題の無限級数を求めることができます。上の説明は(1)の場合ですが、(2)でも似たような感じでいけるはずです。

No.12145 - 2010/11/07(Sun) 22:42:00

★ 図形の問題 / こ～ん★

円Oの半径は５?pである。円周上に２点A,BをAB=８?pとなるようにとり、点Pは円周上を動くものとする。
　次の１，２の場合について、三角形ABPの面積を求めなさい。
　１、辺APが円Oの中心を通るとき。
　２、三角形ABPの面積が最大になるとき。

解説お願いします(>_<)

No.12134 - 2010/11/06(Sat) 10:45:33

☆ Re: 図形の問題 / X

1.
条件のとき円周角により
∠ABP=90°
従ってBPの長さが分かれば△ABPの面積は容易に求められます。
ここで三平方の定理を使うと…。

2.
点Pを通り辺ABに平行な直線lを考え、lを移動させることを考えると
△ABPの面積が最大となるのは、lが円Ｏに中心をはさんで
辺ABと反対側に接するとき(＝この接点がPのとき)になることが分かります。

このとき直線POと辺ABとの交点をH、△ABPの面積をSとすると
S=(1/2)AB×PH (A)
PH=OP+OH (B)
ここで
PH⊥l
l//AB
ですので
PH⊥AB (C)
ゆえに△AOHについて三平方の定理を使うことができ
OH=√(OA^2-AH^2) (D)
更にOP,OAは円Oの半径であり、(C)より点Hは辺ABの中点ですので…。

No.12135 - 2010/11/06(Sat) 11:35:55

☆ Re: 図形の問題 / ヨッシー

点Ｐが、図の位置に来ると、面積最大というのは、良いですね？

図の、？の部分を求めるのが、最初の目標になります。

No.12137 - 2010/11/07(Sun) 07:43:36

★ (No Subject) / 池之公爵☆

たびたびすいません。教えてください。

問１関数ｙ＝ x の２乗（－２≦ｘ≦１）のy変域が

関数 y = a ｘの2乗（－２≦ｘ≦４）のy変域が

一致するとき、定数aの値を求めろ。

問２２つの関数y=ｘの2乗と y = 6x-1 についてｘの値が

a から a+2 まで増加する時の変化の割合が等しくなり

ました。このときaの値を求めろ。

答はそれぞれ分かっています。問１ A a ＝ 4分の1

問２ A a = 2

でもやり方が分かりません。（中3です。）教えてください。

No.12130 - 2010/11/04(Thu) 21:44:13

☆ Re: / ヨッシー

問１
ｙ＝ｘ^2 のグラフは描けますか？
まず、それを描いてみて、－２≦ｘ≦１　の分だけ、
太く、なぞってみましょう。
ｙの値が一番小さいのは、ｘ＝０のときｙ＝０ですね？
一番大きいのは、ｘがいくつの時で、ｙはいくつですか？

次に、ｙ＝ａｘ^2 のグラフを描いてみて、（ａは適当で良いですが、正の数と考えて良いでしょう）
－２≦ｘ≦４　の部分を、太くなぞってみましょう。
ｙの値が一番小さいのは、ｘ＝０のときｙ＝０ですね？
一番大きいのは、ｘがいくつの時で、ｙはいくつですか？
その範囲が、ｙ＝ｘ^2 のときと一致するためには、ａはいくつであるべきでしょうか？

問２
まず、ｙ＝６ｘ－１　で、ｘがａからａ＋２まで増えると、
ｙはいくつ増えるか考えます。
　ｘ＝ａ＋２　のとき、ｙ＝６ａ＋１１
　ｘ＝ａ　のとき、　ｙ＝６ａ－１
より、前者の方が１２大きいです。つまり、１２増えています。
ｙ＝ｘ^2 において、
　ｘ＝ａ＋２　のとき　ｙ＝(ａ＋２)^2＝ａ^2＋４ａ＋４
　ｘ＝ａ　のとき　ｙ＝a^2
その差は、○○であり、これが、１２となるので、
ａ＝２となります。

No.12132 - 2010/11/04(Thu) 22:44:56

★ (No Subject) / 池之公爵☆

中学３年です。教えてください。

問. y はｘの２乗に比例しｘの値が―５から―２まで増加

すると、y の値は１４増加します。yをｘの式で表せ。

という問題です。

答と共にやり方を中学３年の私に教えてください

お願いします。

No.12129 - 2010/11/04(Thu) 21:32:37

☆ Re: / ヨッシー

まず、ｙはｘに比例するというのは、ｙ＝ａｘですね？
　ｙ＝２ｘ　や　ｙ＝－３ｘなどがそうで、
　ｙ＝ｘ＋１　や　ｙ＝－２ｘ－３　などは違います。
一方、ｙはｘ^2 に比例するというのは、ｙ＝ａｘ^2 です。
　ｙ＝ｘ^2　や　ｙ＝－２ｘ^2 がそうです。
ｙ＝ａｘ^2 とするとき、
　ｘ＝－５のとき　ｙ＝２５ａ
　ｘ＝－２のとき　ｙ＝４ａ
です。このときの増加量が１４なので、
　４ａ－２５ａ＝１４
より　ａ＝-2/3　となり、
　ｙ＝-2x^2/3
が求める式です。

No.12131 - 2010/11/04(Thu) 22:36:01

★ (No Subject) / さる

一遍の長さ２の立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨの辺ＡＤ，ＣＤ，ＦＧの中点を其々Ｐ，Ｑ，Ｒとするとき、この３点を通る平面で立方体を切ったときの切り口の面積を求めよ。という問題で立方体のＡＢＣＤ面とＢＣＧＦ面の切り口の線分の延長はＢＣの延長上の一点で交わる。とあるのですが、これは何故ですか？誰か教えてくださいませんか？

No.12125 - 2010/11/04(Thu) 07:15:51

☆ Re: / らすかる

同じ大きさの立方体をCGHD面にもう１個くっつけて、
その立方体も同じ平面で一緒に切ったとして、
切り口の線分がどうなるか考えてみて下さい。

No.12126 - 2010/11/04(Thu) 07:39:46

☆ Re: / さる

互いに平行でない３つの平面はただ一点で交わるという定理を使った説明をお願いします。

No.12127 - 2010/11/04(Thu) 18:10:00

☆ Re: / らすかる

二度手間になりますので、そういうことは先に書いて下さい。
ＡＢＣＤ面とＢＣＧＦ面と切断面は一点で交わるが
ＡＢＣＤ面とＢＣＧＦ面の交線は直線ＢＣだから
交点は直線ＢＣ上にある。

No.12128 - 2010/11/04(Thu) 19:34:10

★ 高校2年生です。 / 葉

放物線y=x^2-a^2とx軸で囲まれた部分の面積Sが最小になるように、
定数aの値を定めよ。
　　a
S=?? 　{0-(x^2-a^2)}dx
　　-a

（略）

S=4/3 a^3

までたどり着いたのですが続きをどうしたらいいかわかりません（><）
教えて下さい。

No.12117 - 2010/11/03(Wed) 15:26:10

☆ Re: / X

aの値の範囲について何か条件はありませんか？。

No.12118 - 2010/11/03(Wed) 15:43:33

☆ Re: / 葉

ありました。

0＜a＜1のとき、0≦x≦1において

だそうです。

すみません入力ミスでした。

No.12120 - 2010/11/03(Wed) 17:26:55

☆ Re: 高校2年生です。 / 板橋

x軸とy=x^2-a^2,x=0,x=1が囲む面積をS(a)とすると、
S(a)=∫[0～a]{0-(x^2-a^2)}dx+∫[a～1]x^2-a^2dx=4a^3/3-a^2+1/3
dS(a)/da=4a^2-2aであるので、dS(a)/da=0の解は、
a=0,1/2
増減表を書いて頂ければ分かると思うのですが、S(a)は、0<a<1において、a=1/2で最小値を取ります。

No.12121 - 2010/11/03(Wed) 18:25:17

★ (No Subject) / mari

いたって普通のｘについての二次方程式なのですが
9x^2-508x+224=0
これを初見でミスなく解を出すにはどのようなことをしっていればいいですか？たすきがけは現実的に見つけ出すのはほぼ不可能だと思います。となると解の公式となります。普通なら√D/4の部分は素因数分解してルートの外に出すようにしているのですが、この問題の場合、ほとんど素因数分解できません。誰か細かい計算過程を教えてください（＞＜）

No.12110 - 2010/11/02(Tue) 19:51:04

☆ Re: / そら

D/4=62500=250^2で非常に簡単です.

たすき掛けも可能です.
9は(1,9)(3,3)にしか分解出来ませんが,
508は3の倍数ではないために,(3,3)はあり得ません.
従って(1,9)です.
224の方は(1,224)(2,112)(4,56)(7,32)(8,28)(14,16)
が考えられますが,508は偶数だから(7,32)もあり得ません.
あとはひたすらあてはめていくことになります.

No.12112 - 2010/11/02(Tue) 21:53:18

☆ Re: / 板橋

mariさんが仰るように、この問題に関しては、たすき掛けで良いと思います。この問題の場合、解の公式を使用する方が面倒な気がします・・・。
私が考えたのは、たすき掛けした時に-508となるような9と224の約数を考えることでした。私が知らないだけの可能性もありますが、この問題に限らず、ミスなく初見で二次方程式の解を出すような方法は、解の公式以外存在しないと思います。
肝心な因数分解の結果ですが、
(X-56)(9X-4)です。

No.12113 - 2010/11/02(Tue) 21:57:36

☆ Re: / らすかる

9と224を素因数分解すると 9=3^2, 224=2^5×7 なので
9×224=2^5×3^2×7 です。
9×224を2数の積に分けて2数を足し、508にすることを考えます。
9と224に分けると9+224=233で508の半分より小さいので
9の半分より小さい4と他の数に分けます。
(9×224)÷4=2^3×3^2×7=504 なので
4×504=9×224、4+504=508です。
そこで元の方程式の１次の係数を分けます。
9x^2-4x-504x+224=0
すると504：224=9：4ですから
左辺は (9x-4)(x-56) と因数分解できることがわかります。

No.12114 - 2010/11/02(Tue) 22:29:34

★ 小６です。 / ぜっとん

　あるバス乗り場から、A町行きとB町行きのバスが発車している。　A町行きは９分おきに、B町行きは１５分おきに発射する。
　午前６時に両方のバスが同時に発車するとき、次の問いに答えなさい。
　ただし、同時に両方のバスが発車するときは、A町いきを先に数えるものとする。
　　
　◎午後５時から午後６時までの間で、A町行きが発射した３分　　後にB町行きが発射した。このとき、A町行きが発射した時刻
　　を求めなさい。求める過程も書きなさい。

お願いします。

No.12103 - 2010/11/01(Mon) 23:37:20

☆ Re: 小６です。 / ヨッシー

A町行きは９分おきに、B町行きは１５分おきに発車するので、
両方のバスは、９と１５の最小公倍数４５分後にもう一度
同時に発車します。
　45分×16＝720分＝12時間
より、午後6時にも同時に発車します。
午後5時台では、
　Ａ：06 15 24 33 42 51
　Ｂ：00 15 30 45
にそれぞれ発車するので、A町行きが発射した３分後にB町行きが発車したのは、
Ａ町行きが 17:42 のとき。

No.12115 - 2010/11/02(Tue) 23:25:12

☆ Re: 小６です。 / ぜっとん

ヨッシー先生、よくわかりました。また教えて下さい。

No.12116 - 2010/11/03(Wed) 14:57:05

★ 数?T / マユ

数?Tの問題です。教えて下さい。

２次関数ｆ(x)＝-2x^2-8x+a^2，g(x)＝x^2-2bx+b^2+b-9，があり、0≦x≦3における関数g(x)の最小値は-4である。ただし、a，bは正の定数とする。

(１)y＝f(x)のグラフの頂点を求めよ。

(２)bの値を求めよ
。
(３)-a≦x≦0における関数f(x)の最大値をM1，0≦x≦2aにおける関数g(x)の最大値をM2とする。M1＝M2であるようなaの値を求めよ。

です。
よろしくお願いします。

No.12102 - 2010/11/01(Mon) 20:54:33

☆ Re: 数?T / X

(1)
f(x)=-2(x+2)^2+a^2+8
∴頂点の座標は(-2,a^2+8)

(2)
g(x)=(x-b)^2+b-9
よりy=g(x)のグラフの
頂点の座標は(b,b-9)
軸の方程式はx=b (P)
そこで問題の定義域
0≦x≦3
と(P)との位置関係、及びb>0であることから次の２通りに
場合分けします。
(i)0<b≦3のとき
g(x)はx=bのときに最小になる(グラフを描きましょう)ので
g(b)=-4
∴b-9=-4
∴b=5となるが、これは条件に合わないので不適。
(ii)3<bのとき
g(x)はx=3のときに最小になる(グラフを描きましょう)ので
g(3)=-4
∴9-6b+b^2+b-9=-4
これより
b^2-5b+4=0
(b-1)(b-4)=0
3<bよりb=4

以上からb=4

(3)
(1)の結果により
M1=f(a)=-a^2-8a(-2<-a,つまり0<a<2のとき) (A)
M1=f(-2)=a^2+8(2≦aのとき) (B)
一方(2)の結果により
g(x)=x^2-8x+11
=(x-4)^2-5
∴
M2はg(0),g(2a)の内の大きい方の値になります。
ここでg(0)≧g(2a)のとき
11≧4a^2-16a+11
0<aを考慮に入れると0<a≦4
よって
M2=g(0)=11(0<a≦4のとき) (C)
M2=g(2a)=4a^2-16a+11(4<aのとき) (D)
(A)(B)(C)(D)から
(i)0<a<2のとき
(ii)2≦a≦4のとき
(iii)4<aのとき
に場合分けしてaについての方程式M1=M2を解きます。
(i)のときだけ計算しますので(ii)(iii)はご自分でどうぞ。
(i)のとき
(A)=(C)となるので
-a^2-8a=11
∴a^2+8a-11=0
これよりa=-4±3√3
0<a<2よりa=-4+3√3

No.12106 - 2010/11/02(Tue) 01:40:58

★ 図形と相似 / レッド

こんにちは。　分からない問題があります。

問題
　２つの三角形ABCと三角形DEFで、
AB＝６?p，BC＝4.5?p，DE＝10?p，EF＝7.5?p，
∠B＝∠E　
となっています。
　(1)三角形ABC∽三角形DEFであるわけをいいなさい。
　(2)三角形ABCと三角形DEFの相似比を求めなさい。
　(3)AC＝９?pのとき、DFの長さは何?pですか。
の問題が理解が出来ませんので、教えてください。
よろしくお願いします。

No.12101 - 2010/11/01(Mon) 20:44:37

☆ Re: 図形と相似 / 板橋

（１）AB:DE=BC:EF=3:5 ∠B=∠Eであるので、
二組の辺の比とその間の角が等しいので、△ABCと△DEFは相似である。
（２）3:5
（３）3:5=9:DFより、DF=15

三角形の相似条件は、
（１）３組の辺の比が等しい
（２）2組の辺の比が等しく、そのはさむ角が等しい
（３）2組の角が、それぞれ等しい
です。

No.12107 - 2010/11/02(Tue) 07:24:56