ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 1次関数 / 千紘

近畿の高校入試問題集の問題です。
答えしか載ってないので、解説お願いします。

正方形の折り紙ABCDの頂点Bを辺CDの中点Gに重ねて折ります。
このとき,辺ABが移される線分をIGとし,折り目の線分をJKとします。
また,線分ADと線分IGの交点をHとします。
下の図は折り紙の頂点Aを座標平面の原点に,辺ABをx軸の正の部分に,辺ADをy軸の正の部分に重ねて置いた図です。
正方形の一辺の長さを1とし,紙の厚さは考えないものとします。

(1)DG:DHを最も簡単な整数の比で表しなさい。
　　A.3:4
(2)直線GHの式を求めなさい。
　　A.y=(4/3)x+1/3
(3)点Jもy座標を求めなさい。
　　A.1/8

No.12075 - 2010/10/30(Sat) 23:02:09

☆ Re: 1次関数 / 七

△DHG∽△CGKだから
DG：DH＝CK：CG
GK＝BK＝xとおくと
CK＝1－k
三平方の定理より
x＾2＝(1－x)＾2＋(1/2)＾2
x＝5/8
CK：CG＝3/8：1/2＝3：4

No.12079 - 2010/10/31(Sun) 08:04:48

☆ Re: 1次関数 / 千紘

なるほど、相似になっているんですね。
ありがとうございました＾＾

No.12080 - 2010/10/31(Sun) 11:13:08

★ (No Subject) / ユキ

f(t)=1/(√2-t)^2×(√3/4-t^2)の最大値を求めよ。
（この後ろの√は3/4-t^2全体にかかっています。）

という問題なのですが、
f(t)=√｛(3/4-t^2)/(√2-t^2)^4｝
（式全体に√をつけました。）として、
g(t)=(3/4-t^2)/(√2-t^2)^4とおく。
g'(t)=…という形にして最大値を出したいのですが…。
この場合、
f(x)/g(x)=(f'(x)･g(x) - f(x)･g'(x))/{g(x)}^2
の公式を使えばいいのでしょうか？
それと、このg'(t)の最大値を出すとして、どのように
していったらいいのか分かりません…。

宜しくお願いします。

No.12074 - 2010/10/30(Sat) 22:26:12

☆ Re: / X

＞＞この場合、
＞＞f(x)/g(x)=(f'(x)･g(x) - f(x)･g'(x))/{g(x)}^2
＞＞の公式を使えばいいのでしょうか？
その通りです。

＞＞それと、このg'(t)の最大値を出すとして、どのように
＞＞していったらいいのか分かりません…。
この質問に答える前に、文中にいくつかタイプミスがあるようなので
修正のためにこちらの質問に答えて下さい。
まず
>>f(t)=√｛(3/4-t^2)/(√2-t^2)^4｝
ですがこれは
f(t)=√｛(3/4-t^2)/(√2-t)^4｝
のタイプミスですか？。
それとも
>>f(t)=1/(√2-t)^2×(√3/4-t^2)
が
f(t)=1/(√2-t^2)^2×(√3/4-t^2)
のタイプミスなんでしょうか？。
次に
＞＞それと、このg'(t)の最大値を出すとして、
とありますがこれは
＞＞それと、このg(t)の最大値を出すとして、
のタイプミスでしょうか？。

No.12076 - 2010/10/30(Sat) 23:23:20

☆ Re: / ユキ

うわわわ…すみません；；
タイプミスがだいぶありましたね…

>>f(t)=√｛(3/4-t^2)/(√2-t^2)^4｝
は、
f(t)=√｛(3/4-t^2)/(√2-t)^4｝
の間違いです。

＞＞それと、このg'(t)の最大値を出すとして、
は
＞＞それと、このg(t)の最大値を出すとして、
の間違いです…。

お手数をお掛けして申し訳ありませんでした；

No.12077 - 2010/10/30(Sat) 23:37:46

☆ Re: / X

分かりました。では後半の質問の回答を。
まず
g(t)≧0
の条件から
-(√3)/2≦t≦(√3)/2 (A)
次に回答通り、商の微分を使うと
g'(t)={-2t(√2-t)^4-(3/4-t^2)・{-4(√2-t)^3}}/(√2-t)^8
={-2t(√2-t)+(3-4t^2)}/(√2-t)^5
=(-2t^2-2t√2+3)/(√2-t)^5
=-2{t-(1/2)√2}{t+(3/2)√2}/(√2-t)^5
そこで
-(3/2)√2<-(√3)/2<(1/2)√2<(√3)/2<√2
に注意して(g'(t)の分母に注意)、(A)の範囲で
g(t)についての増減表を描くと
g(t)はt=(1/2)√2のときに最大となる
ことが分かります。

g((1/2)√2)の値の計算はご自分でどうぞ。

No.12087 - 2010/10/31(Sun) 15:52:47

☆ Re: / ユキ

度々すいません；；
g'(t)={-2t(√2-t)^4-(3/4-t^2)・{-(√2-t)^3}}/(√2-t)^8
とありますが、これは
g'(t)={-2t(√2-t)^4-(3/4-t^2)・{-4(√2-t)^3}}/(√2-t)^8
とはならないのでしょうか??

No.12091 - 2010/10/31(Sun) 20:37:04

☆ Re: / X

ごめんなさい。その通りですね。
No.12087を直接修正しましたので、再度ご覧下さい。

No.12097 - 2010/11/01(Mon) 16:16:52

☆ Re: / ユキ

よく分かりました！
ありがとうございました!!＾＾

No.12098 - 2010/11/01(Mon) 19:00:42

★ (No Subject) / シャボン

xy平面上に放物線Ｃ：ｙ＝ｘ＾２がある。Ｃ上の２点Ｐ（α、α＾２）（α＜０）Ｑ（β、β＾２）（β＞０）におけるＣの接線を其々ｌ１ｌ２とし、ｌ１、ｌ２およびＣで囲まれた図形の面積をＳとする。

Ｐ，Ｑからｘ軸におろした垂線の足を其々Ｈ１，Ｈ２とし、四角形PH1H2Qの面積をＳ０とする。ｌ１とｌ２が直交している時Ｓ/S0の最大値を求めたいのですが、
Ｓ÷S0=(1/12)(βーα）＾３÷｛(１/2)(α＾２＋β＾２）（βーα）｝
＝(1/3)(βーα）＾２/｛2(βーα）＾２＋４αβ｝
ここで
垂直条件より4αβ＝－１、
βーα＝Ｘ、Ｓ÷S0=ｇ（Ｘ）とおいて
ｇ（Ｘ）＝（１/3)Ｘ^2/(2Ｘ^2-1)
ｇ’（Ｘ）の符号はー２Ｘと等しくなりＸ＝０で極大かつ最大といいたいところなのですが、Ｘ＞０なのでいえません。しかし何度やってもこのようになるのです。どこが悪いのかご指摘お願いします。

答えは1/3です

No.12061 - 2010/10/29(Fri) 10:49:09

☆ Re: / rtz

X＞0は正しいですが、まだ範囲を絞れます。
垂直条件で得られた結果からきちんとXの範囲を出しましょう。

そもそも0＜X＜1/2で面積同士の除算で負の値が出てくることや、
lim[X→(1/(√2))+0]g(X)＝＋∞であることから
もっとXの範囲が絞れることに気づく必要があります。

また、わざわざg'(X)などを計算せずとも、
分母と分子ひっくり返せばよいですね。

No.12063 - 2010/10/29(Fri) 13:06:12

☆ Re: / シャボン

Xの範囲がこれ以上絞られたところで、結局Ｘ＝０で極大であることにかわりはなく、最大値が存在しないということには変わりないと思いますが・・・

No.12065 - 2010/10/29(Fri) 18:06:39

☆ Re: / rtz

違います。

Xの範囲をきちんと出せばX≧1になります。
そもそもX＜1でのg(X)自体定義されていないのですから、
関数がX＝0で極大をとろうがとるまいが、
最大値をとるかとらないかには関係ありません。

-1≦x≦2でf(x)＝x²の最大値は？と聞かれて、
範囲でもないx→±∞のことを考えてf(x)の最大値なんて存在しません、
と答えるのと同じです。

あなたのおっしゃるX＝0近く(例えばX＝0.1など)を
とるようなα,βは4αβ＝-1の条件で存在しますか？
実際に存在するα,βで以てXを計算するのですから、
そのXの範囲を考えずにXの関数だけを追っても結論は得られません。

No.12068 - 2010/10/29(Fri) 22:44:53

☆ Re: / シャボン

Xの範囲の導き方を教えて下さい。垂直という条件から、とありましたがＸの範囲が出せません。。

No.12069 - 2010/10/30(Sat) 09:44:54

☆ Re: / angel

Xの範囲については、次の問題を考えているのと同じです。

・4αβ=-1, α＜0, β＞0 の時、X=β-α の範囲を調べよ

マイナスが入っているので、そのままではやりにくいかも知れませんが、プラスで統一したら?

というわけで、a=-α, b=β で置き直してみましょう。

・4ab=1, a＞0, b＞0 の時、X=a+b の範囲を調べよ

ちなみに、X≧1 となります。

翻って、元の問題では g(X) を微分せずとも、X≧1 の範囲で単調減少であることは分かりますから、X=1 で g(X) 最大、これが答になります。

No.12071 - 2010/10/30(Sat) 12:01:57

★ (No Subject) / 雄大

3x≡６（mod15)・・?@
⇔ｘ≡２（mod5)・・?A
⇔x≡２、２＋５，２＋５×２（mod15)・・?B

?@から?Aへの変形でなんでmod5に直したのか、など疑問が尽きません。あと、合同式は割り算はしてはいけないのにしているし。。１～３の変形の一連の流れを教えてほしいです。

No.12058 - 2010/10/29(Fri) 07:29:04

☆ Re: / らすかる

mod3はmod5の間違いですね。

No.12059 - 2010/10/29(Fri) 08:04:10

☆ Re: / 雄大

訂正しておきました。よろしくお願いします

No.12060 - 2010/10/29(Fri) 08:58:41

☆ Re: / らすかる

?@→?A
modを含めてすべて3の倍数なので全部を3で割った

# 3x=15n+6 → x=5n+2

?A→?B
mod5で2ならばmod15では2,2+5,2+5×2

# 5n+2=
# 15k+2（n=3kのとき）
# 15k+7（n=3k+1のとき）
# 15k+12（n=3k+2のとき）

No.12062 - 2010/10/29(Fri) 12:03:45

☆ Re: / 雄大

例えば
4００x≡１２０（mod16)
⇔２００ｘ≡６０（mod8)
⇔１００ｘ≡３０（mod4)
というように普通の等式と同じように扱ってよいということですか？

No.12066 - 2010/10/29(Fri) 19:27:02

☆ Re: / ヨッシー

400x≡120（mod16)　は、
　400x＝16n＋120　（n は整数)
と書けるということですから、２で割って、
　200x＝8n＋60　→　200x≡60（mod8)
さらに割って、
　100x≡30　(mod 4)　
となります。
　50x≡15 (mod 2)
までも行けます。

No.12067 - 2010/10/29(Fri) 21:24:19

☆ Re: / 雄大

これは一般に成り立つ定理ですか？

No.12070 - 2010/10/30(Sat) 10:19:35

☆ Re: / angel

定理としてあるかどうかは分かりませんが、一般に成り立ちます。

つまり、こういうこと。
　ga≡gb ( mod gn ) ⇔ a≡b ( mod n )

※上の例は、g=8, a=50x, b=15, n=2 に相当します

実際、
　p≡q ( mod m ) ⇔ p-q=km となる k が存在する
を用いれば、

　ga≡gb ( mod gn )
　⇔ ga-gb=kgn となる k が存在する
　⇔ a-b=kn となる k が存在する
　a≡b ( mod n )

と証明できます。

No.12072 - 2010/10/30(Sat) 12:10:08

★ 数?U積分　高２ / あつき

よろしくお願いします。

座標平面において、放物線ｙ＝２ｘ^2をCとし、直線ｙ＝aｘをlとする。ただし、０＜a＜２とする。Ｃとｌで囲まれた図形の面積をＳ１とし、次にＣとｌと直線ｘ＝１で囲まれた図形の面積をＳ２とする。

(１)Ｓ１はＳ１＝(ア/イウ)a^エ　と表わされる。

(２)２つの面積の和Ｓ＝Ｓ１＋Ｓ２は
　　Ｓ＝(１/オカ)a＾キ－(１／ク)a＋２/ケ
　　と表わされる。

(３)Ｓはa＝√コのとき
　　最小値サ/シ－(√ス)/セ　をとる。

(１)はア…１、イ…２、ウ…４、エ…３　
となったのですが、残りの問題の答えがどうも合いません。

　　

No.12053 - 2010/10/28(Thu) 18:42:44

☆ Re: 数?U積分　高２ / ヨッシー

直線ｌは直線Ｌと書くことにします。

(1) は、ＣとＬを連立させて、
　２ｘ^2＝ａｘ
　ｘ（２ｘ－ａ）＝０
より、解は、ｘ＝０，a/2
面積Ｓ1 は、
　Ｓ1＝2(a/2－0)^3/6＝(1/24)ａ^3

(2) は、
　∫_0～a/2(ax－2x^2)dx＋∫_a/2～1(2x^2－ax)dx
からも求められますが、思い切って、
　 ∫_0～1(2x^2－ax)dx＝2/3－a/2
を出してみます。これは何かというと、本来
　Ｓ1＋Ｓ2
を求めるところ、Ｓ1 の方は、符号が違うので、
　－Ｓ1＋Ｓ2
になっています。よって、この 2/3－a/2 に(1)で求めたＳ1 を
２回足せば、Ｓ1＋Ｓ2 になります。

(3)
Ｓをａで微分すると、
　(1/4)（ａ^2－2)
になるので、極値は、ａ＝±√２です。

No.12055 - 2010/10/28(Thu) 20:24:58

☆ Re: 数?U積分　高２ / あつき

よく分かりました。
ありがとうございました。

No.12056 - 2010/10/28(Thu) 21:32:02

☆ Re: 数?U積分　高２ / ヨッシー

表現がまずかったですね。
>極値は、ａ＝±√２です。
ではなく、ａ＝±√２のときにＳは極値を取ります。
ですね。

No.12064 - 2010/10/29(Fri) 13:14:10

★ 群数列 / ドドラ

赤線を引いた部分がわかりません…
なぜこう言えるのでしょうか？
そもそも2k+1って何ですか？

No.12049 - 2010/10/27(Wed) 21:21:02

☆ Re: 群数列 / ヨッシー

たとえば、ｋ＝３で、ｌを１から２ｋ＋１＝７まで順々に当てはめると、
ｎ＝ｋ^2＋ｌは、
　ｎ＝10, 11, 12, 13, 14, 15, 16
となり、

図の、赤丸の数列になります。
ｋ＝４で、ｌを１から９まで当てはめると、さらに外側の
17 から 25 までを表します。
ｋ＝２だと内側の５から９です。

ｋ＝３のとき、ｎは左から４列目(縦)にあるか、上から４行目(横)にあるかのどちらかです。
もう少し詳しく書くと、
　ｌ＝１からｋ（＝３）まではｎは左から４列目にあり、
　ｌ＝ｋ＋１（＝４）のときは、左から４列目、上から４行目にあり、
　ｌ＝ｋ＋２（＝５）から２ｋ＋１（＝７）までは、上から４行目にあります。
さらに、
　ｌ＝１からｋ（＝３）まではｎは左から４列目にある
このとき、上から何行目にあるかを考えると、ｌ＝１から順に
上から下に数えるので、ｌ行目にあります。
　ｌ＝ｋ＋２（＝５）から２ｋ＋１（＝７）までは、上から４行目にある
このとき、左から何列目にあるかを考えると、ｌ＝２ｋ＋１（＝７）が一番左で、
ｌが１減るごとに列は１列右に行くので、２ｋ＋２－ｌ（＝８－ｌ）列目にあります。

No.12051 - 2010/10/27(Wed) 23:56:20

★ 独立事象の乗法定理 / ぐうたら虫

添削お願い致します。

数学C 独立事象の乗法定理の問題です。
[問題]
大小2個のさいころを同時に投げるとき、
｢大きいさいころの目が１である」という事象をＡ、
｢小さいさいころの目が2である｣という事象をＢ、
「2個の目のさいころの目の和が7であるという事象をＤとするとき、次のことを示せ。

（１）事象Ａ、Ｂ，Ｄのどの2つの事象も互いに独立である。
（２） 3つの事象Ａ，Ｂ，Ｄは独立でない。

（１）Ｐ（Ａ）＝1/6 Ｐ（Ｂ）＝1/6 Ｐ＝6/36＝1/6
?@ ＰA（B）＝Ｐ（Ａ∩Ｂ）/Ｐ（Ａ）＝１/36÷1/6＝1/6
ゆえにＰ（Ａ）＝Ｐ（Ｂ）
?A ＰB（Ｄ）＝Ｐ（B∩Ｄ）/Ｐ（Ｂ）＝１/36÷1/6＝1/6
ゆえにＰ（Ｂ）＝Ｐ（Ｄ）
?B ＰD（Ａ）＝Ｐ（Ｄ∩Ａ）/Ｐ（Ｄ）＝１/36÷1/6＝1/6
ゆえにＰ（Ｄ）＝Ｐ（Ａ）
?@?A?Bより、事象ＡＢＤはどの二つも互いに独立である。・・・（終）

（２）（私の考え方）3つの事象Ａ，Ｂ，Ｄが独立である条件は
?@ どの2つの事象も互いに独立である。
?A どの2つの積事象も残りの1つの事象と独立である。
の2つを満たすことである。
?@は（１）で証明されているので?Aが満たされていないことを証明する。

（?@）
ＡとＢの積事象はＡ∩Ｂ
Ｐ（Ａ∩Ｂ）＝1/36
ゆえにＰD（Ａ∩Ｂ）＝1/6
したがって、Ｐｃ（Ａ∩Ｂ）≠Ｐ（Ａ∩Ｂ）
よって、Ａ，Ｂの積事象と、事象Ｄは独立でない。

（?A）ＡとＤの積事象はＡ∩Ｄ
Ｐ（Ａ∩Ｄ）＝1/36
ゆえにＰB（Ａ∩Ｄ）＝1/61/6
したがって、ＰB（Ａ∩Ｄ）≠Ｐ（Ａ∩Ｄ）
よって、Ａ，Ｄの積事象と、事象Ｂは独立でない。

（?B）ＢとＤの積事象はＢ∩Ｄ
Ｐ（Ｂ∩Ｄ）＝1/36
ゆえにＰA（Ｂ∩Ｄ）＝1/6
したがって、ＰA（Ｂ∩Ｄ）≠Ｐ（Ｂ∩Ｄ）
よって、Ｂ，Ｄの積事象と、事象Ａは独立でない

（?@)～(?B)の結果より、どの2つの積事象も、残りの1つと独立ではないので、事象Ａ、Ｂ、Ｄは独立ではない。（終）

どうでしょうか？まだ予習の段階です。自信はありません。きょう授業でやるはずでした。風邪を引いて熱があるので学校を休んでいます。よろしくお願い致します。
1年生です。

No.12045 - 2010/10/26(Tue) 13:13:27

★ 分かりません / yuuki

３次式P(x)=x^3+kx^2-3(k+1)x+2(k-1)
※P（x）は異なる２つの虚数解を持つ。
方程式P(x)=0の3つの買いをα、β、γとし、
複素数z=a+biに対して、
z=a^2+b^2と定義する。（a、bは実数、ｉは虚数単位）
このときに、α＝β＝γとなるようなｋの値を求めよ。

P(x)=(x-2){x^2+(k+2)x-(k-1)}だから
解はα＝２、β、γと置けます。
βとγは虚数解なので
条件に与えられた複素数を使うと
β＝a^2＋b^2 γ＝a^2＋b^2
これで解いていくと、
k=-2、-6とでたのですが
α＝β＝γ＝2に計算してもなりません。
どなたか教えてください。

No.12043 - 2010/10/26(Tue) 07:29:55

☆ Re: 分かりません / らすかる

> ※P（x）は異なる２つの虚数解を持つ。
これはどういう意味ですか？
P(x)は方程式ではなく、ただの3次式ですので解は持ちません。

No.12044 - 2010/10/26(Tue) 08:44:58

☆ Re: 分かりません / yuuki

方程式P(x)=0の3つの解をα、β、γ（このうち異なる２つの虚数解を持つものがある）
ということだとおもいます

No.12046 - 2010/10/26(Tue) 15:41:18

☆ Re: 分かりません / らすかる

「方程式P(x)=0の3つの解をα、β、γ（このうち異なる２つの虚数解を持つものがある）」
だとするとα＝β＝γにはなり得ないと思いますが。

No.12047 - 2010/10/27(Wed) 00:22:26

☆ Re: 分かりません / みっちゃ

k=-1では？

No.12054 - 2010/10/28(Thu) 18:49:47

☆ Re: 分かりません / angel

こういう問題でしょうか?

z=a+biに対し、|z|=√(a^2+b^2) と定義する。
|α|=|β|=|γ| となるような k を求めよ。
⇒ 答 k=-1

No.12057 - 2010/10/29(Fri) 00:34:53

☆ Re: 分かりません / みっちゃ

これ、どうやって解くのが一番効率いいのかな・・・？

No.12073 - 2010/10/30(Sat) 21:18:39

☆ Re: 分かりません / らすかる

問題が12057の通りだとして、普通に解けば
P(x)=x^3+kx^2-3(k+1)x+2(k-1)
=(x-2){x^2+(k+2)x-(k-1)}
x^2+(k+2)x-(k-1)=0 の解は x=(-k-2±√(k^2+8k))/2
これが虚数解なので k^2+8k＜0 ⇒ -8＜k＜0
条件から (-k-2)^2/4-(k^2+8k)/4=4
これを解いて k=-3
（これは -8＜k＜0 を満たしている）

確認
k=-3 のとき P(x)=x^3-3x^2+6x-8=(x-2)(x^2-x+4)
x=2,(1±i√15)/2
|(1±i√15)/2|=√{(1/2)^2+(√15/2)^2}=2

No.12078 - 2010/10/30(Sat) 23:51:59

☆ Re: 分かりません / みっちゃ

すいません。
k=-3ですね。

No.12089 - 2010/10/31(Sun) 17:46:47

★ 積分の問題 / ais

先生からの問題なのですが、

∫[α～β]（x-α）(x-β)dx=-1/6(β-α)'3
であることを用いて、次の曲線や、直線で囲まれた図形の面積を求めよ。

(1y=x'2、x軸、x=-1、x=2
(2)y=x'2+1、x軸、x=-2、x=1
(3)y=4-x'2、x軸

という問題なのですが、理解不能です...

公式(?)をどう使うかさえ分かりません。
お手数ですが、(1)~(3)の解答・解説をお願いいたします。

明日の授業までなので、時間がないです。

高校二年です

No.12035 - 2010/10/25(Mon) 00:46:43

☆ Re: 積分の問題 / X

(1)(2)は問題の公式を使う必要はありません。
使うとしたら(3)です。
(3)
y=4-x^2のグラフとx軸との交点のx座標は-2,2。
求める面積をSとするとグラフの形状に注意して
S=∫[-2→2](4-x^2)dx=-∫[-2→2](x+2)(x-2)dx
=…
(ここに問題の公式を使うと…。)

この公式は普段問題を解くときに証明なしでは使えませんが
(3)のように放物線及びこれと交点を持つ直線とで囲まれた
領域の面積を求める際に検算として使うことができます。
又α、βの具体的な値が複雑な場合に、解と係数の関係を絡めて
使う場合もあります。
頭に入れておいて損はないと思います。

No.12036 - 2010/10/25(Mon) 07:03:26

☆ Re: 積分の問題 / ais

ありがとうございます。

でも、先生から「使え」とのことで...

１，２も使えないわけではないのなら、教えてください。

わがまま言ってすいません。
お願いします。

No.12037 - 2010/10/25(Mon) 07:15:30

☆ Re: 積分の問題 / ais

先生の勘違いだったみたいです。

お手数かけました。
ありがとうございました。

No.12039 - 2010/10/25(Mon) 12:13:10

☆ Re: 積分の問題 / 七

先生の勘違いとのことですが
先生が勘違いされたのはご自分では(1),(2)などでも
その公式を使って計算されているからではないかな？
僕は(1),(2)などの面積計算で,よく使いますよ。

No.12041 - 2010/10/25(Mon) 18:51:15

☆ Re: 積分の問題 / X

＞＞七さんへ
七さんが使われている方針とは(大雑把ですが)
直線と放物線で囲まれた図形の面積を
これを含む台形の面積から差し引く
という考え方でしょうか？。
そうだとすると、(3)を(1)に入れ替えて他の2問を
この方針に誘導するように配慮するんじゃないかと
考えたりします。

No.12042 - 2010/10/25(Mon) 19:22:33

★ 物理（エネルギと仕事）についてです / ハオ

滑らかで水平な床の上に長さl 質量Mの平たくて均質な板が置いてある。この板の上に静止している人が質量ｍ’の球を床に対する速さuでは水平に投げるには、どれだけのエネルギーを必要とするか。　という問いなのですが、
僕はこの問いに
エネルギーと仕事の関係を用いて
人がある仕事をしたので　人と板と球がある運動エネルギーを得た　と立式しました。

こうすると問題文のどれだけのエネルギーを要するか。に違和感を覚えます。正確には　どれだけの仕事をするか？
ではないのでしょうか？　

No.12029 - 2010/10/24(Sun) 17:27:01

☆ Re: 物理（エネルギと仕事）についてです / angel

「仕事」というのは、力学的に遣り取りされる「エネルギー」ですから、「エネルギーを要する」でも別に問題はないと思います。
単位も一緒で、J(ジュール) ですしね。

No.12030 - 2010/10/24(Sun) 22:04:18

☆ Re: 物理（エネルギと仕事）についてです / ハオ

なるほど！
ついぞ　エネルギーと仕事の互換性の関係
いやはや　エネルギーと仕事の等価性を
忘れていました。

有難う御座います！

No.12033 - 2010/10/24(Sun) 22:50:25

★ センター試験過去問2008年度数?UＢ第１問 / Kay(高３女子)

センター試験２００８年度数学?UＢの第１問ですが、（４）の設問の意味が分かりません。解説なども見てみたのですが、「正の周期のうち最小のものが４π」よりという部分が理解できないのです。「正の」周期があれば「負の」周期もあるのかとか、「最小のものが４π」ならば「次に小さいのは８π」なのか」とかいろいろ考えましたが行き詰まっています。

解説を見ても分からない程度ですので、何卒詳しい説明をお願いいたします。

添付したファイルは電送数学舎さまのホームページからダウンロードしたものです。

No.12022 - 2010/10/23(Sat) 10:11:17

☆ Re: センター試験過去問2008年度数?UＢ第１問 / Kay(高３女子)

問題が添付できていなかったので、添付致しました。
よろしくお願いします。

No.12023 - 2010/10/23(Sat) 10:12:48

☆ Re: センター試験過去問2008年度数?UＢ第１問 / ToDa

周期云々について、正確な語の定義よりも、つまるところはこの出題者が何を言いたいのかということを考えてみてください。

たとえばxの関数sinxについて考えてみると、その周期は、2π、4π、6π……や、ほかにも
-2π、-4π、-6π……と、まあ無数にあるわけです。
これらの中で特に2πについて言及したい場合は、それを「正の周期のうち最小のもの」と表現しているのだ、ということを掴みましょう。

No.12025 - 2010/10/23(Sat) 14:02:56

☆ Re: センター試験過去問2008年度数?UＢ第１問 / angel

まずは問題文に分からない表現があり、先に進み辛いというところでしょうか。
日常会話で使うような日本語とは違い、数学では、特に問題として提示される文章では、曖昧な解釈をされないように表現をより厳密にする傾向があります。今回引っかかっているところも、そういったところから出ているように見えます。

こうした細かい点に気がつくのは良い事だと思います。しかし、拘りすぎて自縄自縛に陥るのは勿体無いと思います。

今回は「周期」についての解釈のお話になるかと思います。

ご存知の通り、sinx や cosx といった関数は、「周期」2πの関数です。おそらく、グラフに描いた場合に、同じ形状が延々一定間隔で繰り返されるイメージはあるかと思います。

このことを数式で表現するとすれば、つまり、sin,cos に限らず、周期2πの関数 f(x) の持つ性質を表すとすれば、

　任意の x に対して f(x+2π)=f(x)

です。
更に一般化すれば、周期 C というのは、「任意のxに対して f(x+C)=f(x)」ということになります。

しかしながら、実はこれだけでは曖昧なこともあります。
例えば、f(x)=sinx の場合、
　f(x+2π)=f(x)
でもありますが、同時に、f(x+4π)=f(x), f(x+6π)=f(x), … でもあるからです。
2π毎に同じ値をとるのであれば、その間隔を広げて4π毎にしたって、同じ値をとることには変わりはないのです。
つまり、上述の“C”にあたる値は幾通りもあることになります。

そうすると、より厳密さを求める場面では、
　任意のxに対して f(x+C)=f(x)が成立するような最小のC
でしょうか。
しかし、元々の“C”にあたる値は負の値もとりえますから、まだ不十分です。

結局、厳密な表現としては、
　f(x)の周期がC
　⇔ 任意のxに対して f(x+C)=f(x)が成立するような最小の正数がCである
というところに落ち着きます。

以上を鑑みると、単に「周期」といった場合、イメージするのは最後の表現で使った「最小の正数C」かもしれませんが、そう決まっている訳ではありませんから、曖昧さが生じることがあるのです。
実際問題として、「同じ値を繰り返す間隔」として「周期」を使う場合もありますから。その場合は、sinx の「周期」としては、2π以外に-2πや4πや6πといった値を持ってきても、間違いにはなりません。

ということで、そういった曖昧さを回避するために、「正」や「最小」といった文言で限定をしているのだと思います。

No.12026 - 2010/10/23(Sat) 14:30:16

☆ Re: センター試験過去問2008年度数?UＢ第１問 / angel

問題の解法としては、あまり多く言うべき事はなくて。

ある正数 k に対して、
　f(x)=sin(kx) の「周期」が C である
　⇔ C=2π/k
　※ここで言っている「周期」は「最小」で「正」のものです
というお話です。

例えば、sin(4x) ならば、x がπ/2変化しただけで、sin() の中が 2π変化して、sin自体は同じ値を繰り返しますから、周期は 2π÷4 ということになります。
つまり x の係数は逆数として働きます。

なお、k が正か負か確定していないのなら、
　C=2π/|k|
となります。

No.12027 - 2010/10/23(Sat) 14:38:11

☆ Re: センター試験過去問2008年度数?UＢ第１問 / Kay(高３女子)

ToDa様、angel様
御礼が大変遅れてしまい本当に申し訳ありませんでした。ありがとうございました！

No.12152 - 2010/11/08(Mon) 20:59:12

★ 高２　三角関数 / 数学苦手マン

x,yは0°≦x≦90°、0°≦y≦90°であり、cosx＋cosy=1を満たしている。
このとき、1/2 ≦ cos(x＋y/2)≦1/√2 を示せ。

cosx＋cosy=1に和積の公式をつかったら
2cos(x＋y/2)cos(x-y/2)＝1・・・?@
x-yの取り得る範囲は、-90°以上90°以下であるから。
-45°≦(x-y)/2≦45°よって1/√2≦cos(x-y)/2≦1
?@とから、1/2 ≦ cos(x＋y/2)≦1/√2

とあるのですが
最後の【?@とから、1/2 ≦ cos(x＋y/2)≦1/√2】の部分が分かりません。
また。
【x-yの取り得る範囲は～】の部分で
x＋yの取り得る範囲を考えるとどうなるんでしょうか？
0°≦x＋y≦180°

0°≦(x＋y)/2≦90°
このときcos(x＋y)/2は(x＋y)/2=π/2で最小となり、0で最大となりますよね？
(半径1の単位円上ではcos(x＋y)/2 (x軸)がy軸と重なる部分が最小でx座標の1の部分にcos(x＋y)/2がくればこれが最大ということですよね？；)

本当に分からなくて困っています。
誰かわかるかたおしえてください。おねがいします。

No.12015 - 2010/10/21(Thu) 20:44:05

☆ Re: 高２　三角関数 / X

>>最後の【?@とから、1/2 ≦ cos(x＋y/2)≦1/√2】の部分が分かりません。

わかりづらいのであれば少し置き換えてみましょうか。
t=cos{(x+y)/2},u=cos{(x-y)/2}
と置くと(1)は
2tu=1 (1)'
1/√2≦cos{(x-y)/2}≦1
は
1/√2≦u≦1 (2)
となり問題は(1)'(2)のときのtの値の範囲を求めることに帰着します。
ということで(1)'を用いて(2)からuを消去すると…。

No.12016 - 2010/10/21(Thu) 21:11:31

☆ Re: 高２　三角関数 / X

>>【x-yの取り得る範囲は～】の部分で～
確かにその通りですが、それだけでは条件式
cosx＋cosy=1
を使っていないので誤りです。

No.12017 - 2010/10/21(Thu) 21:17:59

☆ Re: 高２　三角関数 / 数学苦手マン

回答ありがとうございます。
最後にわからないところ
>>【x-yの取り得る範囲は～】の部分で～
確かにその通りですが、それだけでは条件式
cosx＋cosy=1
を使っていないので誤りです。

では、cosx＋cosｙ＝１を使えばx＋yから考えてもできるのでしょうか？
もしできるならどうやるのか教えてほしいです＞＜；
何度も申し訳ないです。

No.12018 - 2010/10/21(Thu) 21:38:49

☆ Re: 高２　三角関数 / X

結論から言うと、大回りになるだけです。

分かり易いようにここでも
t=cos{(x+y)/2},u=cos{(x-y)/2}
と置き換えて考えます。
このとき
cosx+cosy=1
より
2tu=1 (1)'
一方
0°≦x≦90°、0°≦y≦90°
から
0≦t≦1 (2)
1/√2≦u≦1 (3)
横軸にt、縦軸にuに取って(1)'(2)(3)を図示すると下のようになります。
この図から、(1)'(2)のときのuの値の範囲(赤の部分)が(3)の値の範囲から
はみ出ていることが分かります。
従ってtの値の範囲を求めるためには(3)の値の範囲を使う必要があり、
結局模範解答の過程に行き着きます。

No.12019 - 2010/10/21(Thu) 22:44:50

★ 数学Ａ　二項定理、事象と確率　高１ / yam

次の式の展開式における｛　｝内の項の係数を求めよ。
?@(x/2-1/x)^10 {x^2}
?A(4x^3-1/3x^2)^5 {定数項}

二項定理を用いて、次のことを証明せよ。
?B(1+1/n)^n>2 ただし　n=2,3,4,・・・・・

ＳＵＮＤＡＹの６文字を１列の並べるとき、次の確率を求めよ。
?CＳがＹよりも左側にある確率

?Cと似ていますが、、、
?DＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇの７文字を１列に並べるとき、ＡがＢより左側にあり、ＢがＣより左側にある確率を求めよ。　

質問が多くてすみません！
また、
?E４０人のクラスで、委員長と副委員長を選ぶとき、特定の４人の中の２人が選ばれる確率を求めよ。
この問題の解答の途中に場合の数の順列などでつかうＰがでてくるのですが、なぜ組み合わせでつかうＣではないのでしょうか。

よろしくお願いいたします。

No.12009 - 2010/10/20(Wed) 23:50:53

☆ Re: 数学Ａ　二項定理、事象と確率　高１ / ヨッシー

二項定理より
　(ａ＋ｂ)^n の項は、
nＣmａ^mｂ^(n-m)　　ｍ＝０，１，２，・・・ｎ
なので、
?@ａ＝x/2、ｂ＝-1/x、ｎ＝10 のとき、ｘ^2 が出てくるのは
　ｍ＝６　のときで、その項は
　10Ｃ6(x/2)^6(-1/x)^4＝210×(1/2)^6×(-1)^4ｘ^2
より、係数は、105/32
?Aａ＝4x^3、ｂ＝-1/3x^2、ｎ＝５　のとき、定数項は、
　ｍ＝２のときで、その項は
　5Ｃ2(4x^3)^2(-1/3x^2)^3＝10×16×(-1/27)＝-160/27

?C
あるＳがＹよりも左にある並び方に対して、
ＳとＹを入れ換えると、ＳがＹよりも右にある並び方になります。
そういうペアが必ず存在するので、確率は、1/2 です。
?D同様に 1/6 です。

?Eすべての選び方を40Ｐ2で計算したら、特定の４人から２人を
選ぶのも、4Ｐ2 とし、
すべてを、40Ｃ2 で計算したのなら、特定の４人から２人を
選ぶのも、4Ｃ2 とするなら、結果は同じです。

No.12010 - 2010/10/21(Thu) 00:59:22