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★ ベクトルの最小値 / ぴよぴよ
はじめまして。
ａ(→)≠0(→)　ｂ(→)≠0(→)　のとき、
｜ａ(→)+ｔｂ(→)|を最小にするｔの値をｔ0、
最小値をｍとする。
ｔ0とｍを｜ａ(→)｜、｜ｔｂ(→)|、ａ(→)・ｔｂ(→)で
表せ。という問題です。
*******************************
高２の僕が考えたのは
｜ａ(→)+ｔｂ(→)|>=0 だから
｜ａ(→)+ｔｂ(→)|^2　が最小のとき
｜ａ(→)+ｔｂ(→)|も最小になるので

｜ａ(→)+ｔｂ(→)|^2
=｜a｜^2 + 2t(a・b) + t^2｜b｜^2
=｜b｜^2*t^2 + 2(a・b)t +｜a｜^2
このtの２次式を平方完成して
⇔
｜b｜^2{t + (a・b)/｜b｜^2}^2 - (a・b)^2/｜b｜^2 + ｜a｜^2 /｜b｜^2

これがt = -(a・b)/｜b｜^2　のとき（=t0）
最小値m^2 = {｜a｜^2 - (a・b)^2}/｜b｜^2
だと思います。でもこの先がわかりません。
そしてもうひとつ思ったのは
絶対値がt0で最小だから、はじめからt0を
代入したら
m^2 = ｜a + t0b｜^2
= ｜t0b｜^2 + 2(a + t0b) + ｜a｜^2
だから
m= √｜t0b｜^2 + 2(a・t0b) + ｜a｜^2
かなぁとおもいます。
何かが変だと思います。よろしくお願いします。
No.11407 - 2010/09/03(Fri) 16:08:49
☆ Re: ベクトルの最小値 / angel
> でもこの先がわかりません。

t も m^2 も出たのですから、これで終わりですよ。
答、t_0=-(ａ・ｂ)/|ｂ|^2、m=√(|ａ|^2|ｂ|^2-(ａ・ｂ)^2)/|ｂ|
ってことで。

ちなみに、図形的に考えたならば、ａ+tｂがｂに垂直、もしくは0ベクトルの時 ( ａ,ｂが一次従属/平行の場合 ) が、ベクトルの大きさが最小となるため、いずれにしても内積が0となることを考えればよくて、
　(ａ+tｂ)・ｂ = 0
から t_0 が求まります。
もしくは、正射影ベクトルのことを知っていれば、そこからでも良いですね。
No.11409 - 2010/09/03(Fri) 21:55:56
☆ Re: ベクトルの最小値 / ぴよぴよ
angel様、ありがとうございます
tとm^2が出ていたのですね！
図形的にも考えられるんですね！
勉強になりました。
あと少しわからないのですが、
｜ａ(→)｜、｜ｔｂ(→)|、ａ(→)・ｔｂ(→)を使って
表せとあるのですが、そこがよくわかりませんでした。（汗）
No.11411 - 2010/09/03(Fri) 22:23:51
☆ Re: ベクトルの最小値 / angel
｜ｔｂ(→)| は ｜ｂ(→)| の誤植ではないでしょうか。
同じく ａ(→)・ｔｂ(→) も。

変数 t が入っているのに、これで表せというのは、ちょっと無理。
で、｜ａ(→)｜、｜ｂ(→)|、ａ(→)・ｂ(→)を使った形は既に出来ているので、これで終わり、と。
No.11412 - 2010/09/03(Fri) 22:51:56
★ 三角方程式 / BB
こんにちは。

Suppose that x=3cosθ with π/2<θ<π.
Express the following in terms of x without using trigonometric functions.
(a) sin2θ, (b) cos(θ-π/2), (c) tan^2(cos^-1(x/3))

の問題を下記のように解きました。

sinθ=2sinθcosθ(∵加法定理) =2(√(1-cos^2θ))cosθ(∵π/2<θ<π)=2(√(1-x^2/3^2))x/3=2x(√(1-x^2))/9

cos(θ-π/2)=cosθcosπ/2+sinθsinπ/2(∵加法定理) =sinθ=√(1-cos^2θ) (∵π/2<θ<π)
=√(1-(x/3)^2)=(√(1-x^2))/3

tan^2(cos^-1(x/3))=1/(cos^2(cos^-1(x/3)))+1=1/(x/3)^2+1=(9+x^2)/x^2

としたのですが何故かペケでした。
何処が間違ってるのでしょうか??
No.11405 - 2010/09/03(Fri) 10:20:52
☆ Re: 三角方程式 / らすかる
(a) √(1-x^2/3^2)=√(9-x^2)/3 です。 √の中は 1-x^2 にはなりません。
(b) 同上
(c) (tanx)^2=1/(cosx)^2-1 です。
No.11406 - 2010/09/03(Fri) 15:34:00
☆ Re: 三角方程式 / BB
> (a) √(1-x^2/3^2)=√(9-x^2)/3 です。 √の中は 1-x^2 にはなりません。

そうでした。2x(√(9-x^2))/9でしたね。

> (b) 同上

これも(√(9-x^2))/3でしたね。

> (c) (tanx)^2=1/(cosx)^2-1 です。

これも失礼致しました。

(9-x^2)/x^2でしたね。

どうもありがとうございました。
No.11414 - 2010/09/04(Sat) 00:54:40
★ 高2数学２ / プリりカ
数学?U 誰か分かる方！！！（250枚）

xに関する不等式（2a-4）（sinx-a）>5a-5＋4cos^2x を成り立たせるxの値が少なくとも１つ存在するためには、
定数aはどのような範囲になければならないか。

答えではsinx=tとおいて
f（t）＝4｛t＋（a-2/4）｝^2 -9/4a^2としてf（t）の最大値が正となることを利用しています。
場合わけで
[1]-（a-2）/4≦0のとき
[2]-（a-2）/4>0のとき と場合わけしているのですが

どうして
[1]-（a-2）/4≦0 とできるのか分かりません
-（a-2）/4=0のときは
f（-1）=f（1）=0ですよね
これはわかるんですが・・・
あとたぶん-（a-2）/4≦0のとき というふうにできるのは
-（a-2）/4＝0が、-（a-2）/4<0のときの値と一致しているからなんだとおもうのですが
実際計算してみたところよくわからなくなってしまいました。
誰か分かるかたおしえてください。おねがいします！
No.11402 - 2010/09/03(Fri) 02:37:12
☆ Re: 高2数学２ / rtz
質問の趣旨がはっきりしませんが、
場合分けの境界の根拠ですか？

題意⇔-1≦t≦1の範囲でf(t)の最大値が0より大きい
ですから、y＝f(t)が下に凸な2次関数である以上、
-1≦t≦1の範囲では最大値はt＝-1かt＝1でしか取り得ません。
「t＝-1で最大となる」「t＝1で最大となる」の境界は、-1≦t≦1の中央であるt＝0です。
軸t＝-(1/4)(a-2)がt＝0より右ならt＝-1で最大ですし、左ならt＝1で最大です。
No.11403 - 2010/09/03(Fri) 03:12:49
★ 解の公式の利用について / レッド
中学３年生です。　この問題がどうしても解けなくて悩んでいます。

問題
横が縦より６?p長い長方形の厚紙があります。
この４すみから１辺が４?pの正方形を切り取り、
長方体をつくると、その体積は２００?p³になりました。
はじめの厚紙の縦と横の長さを求めなさい。

お手数ですが、教えてください。よろしくお願いします。
No.11397 - 2010/09/02(Thu) 19:17:47
☆ Re: 解の公式の利用について / ヨッシー
縦ｘcmとすると、横はｘ＋６cm です。
４隅から、4cm ずつ切り取ると底面の縦横は、
ｘ−８，ｘ−２ であり、面積は、(x-8)(x-2)
高さは４cmなので、体積は
　4(x-8)(x-2)＝200
４で割って、
　(x-8)(x-2)＝50
展開して
　ｘ^2−10x−34＝０
解の公式より
　ｘ＝５±√59
ｘ＞０より　ｘ＝５＋√59
縦が　5＋√59cm　横が　11＋√59cm
No.11398 - 2010/09/02(Thu) 21:43:55
☆ Re: 解の公式の利用について / レッド
ありがとうございます！！　これで頭が、
すっきりしました。
No.11404 - 2010/09/03(Fri) 04:52:10
★ 場合の数について / りかです
場合の数について勉強しています。小学校６年生です。
わかっているつもりなんですけど、問題をやってみたいので
ここのどこを見たらいいですか？教えて下さい。
No.11396 - 2010/09/02(Thu) 17:37:27
☆ Re: 場合の数について / ヨッシー
ここは、特に問題を載せているページではありませんので、
「この問題！！」と指し示すことは出来ませんが、
質問のコーナーには、何かあるかも知れません。
No.11399 - 2010/09/02(Thu) 21:48:39
★ 数学2の問題です！＞＜　こう２です！ / プリりカ
数学 よくわからない問題

0≦x≦π/2の範囲で、不等式 asin^2x＋bcos^2x＋2sinx≧0・・・?@の解が
π/4≦x≦π/3であるとき、定数a,bの値を求めよ。

π/4≦x≦π/3
つまりsinx=tとおいたとき
1/√2 ≦t≦ √3/2の範囲で?@がy=0よりも上にあればいいんですよね？
このときは、上に凸でないといけませんよね。
それはイメージできるのですが、上に凸であるこの関数が
ちょうど1/√2 ≦t≦ √3/2の範囲でy=0になる・・・
どういえばよくわからないのですが
の範囲で
asin^2x＋bcos^2x＋2sinx>0なら
上に凸でその範囲内で＞０（y=0より上にあればいい）というのはわかるのですが、
asin^2x＋bcos^2x＋2sinx=0の場合がわからないんです。
この場合って別に（1/√2 、0）と（√3/2 、0）を通らなくてもいいですよね？
asin^2x＋bcos^2x＋2sinx>0ならこの2点をとおらなきゃいけないというのはなんとなくわかるのですが・・・

あと答えでは
題意を満たすための条件が
「f（1/√2）＝0かつf（√3/2）かつt^2の係数が＜０」となっているのですが
正直意味がよくわかっていません。

もし、asin^2x＋bcos^2x＋2sinxの関数が重解をもって
範囲の1/√2 ≦t≦ √3/2中のどこかで1点で交わった場合は
交点（1/√2 、0）と（√3/2 、0）を通る必要がないようにおもうのですが

誰か分かる方教えてください。お願いします。

ちなみに答えは、a=√2-2√3、b=2√3-3√2です。
No.11393 - 2010/09/02(Thu) 07:23:40
☆ Re: 数学2の問題です！＞＜　こう２です！ / rtz
「解がπ/4≦x≦π/3の範囲にある」ではなく、
「解がπ/4≦x≦π/3である」ですから、
y＝f(t)について、
t＝1/√2,√3/2でy＝0になるような上に凸の2次関数になります。

解いた結果がπ/4≦x≦π/3に一致するのです。
例えば解が(13/48)π≦x≦(5/16)πだとか、x＝(7/24)πだとかになるような場合を考える必要はありません。
No.11395 - 2010/09/02(Thu) 13:06:04
☆ Re: 数学2の問題です！＞＜　こう２です！ / angel
0≦x≦π/2の範囲で、不等式 asin^2x＋bcos^2x＋2sinx≧0の解がπ/4≦x≦π/3である

⇔

・0≦x＜π/4
　不等式 asin^2x+bcos^2x+2sinx≧0 はこの範囲では常に不成立
　( つまり、常にasin^2x+bcos^2x+2sinx＜0 )
・π/4≦x≦π/3
　不等式 asin^2x+bcos^2x+2sinx≧0 はこの範囲では常に成立
・π/3＜x≦π/2
　不等式 asin^2x+bcos^2x+2sinx≧0 はこの範囲では常に不成立
　( つまり、常にasin^2x+bcos^2x+2sinx＜0 )
・上記以外のx ( x＜0 または x＞π/2 )
　不等式が成立してもしなくてもどちらでも良い
No.11400 - 2010/09/02(Thu) 21:55:31
☆ Re: 数学2の問題です！＞＜　こう２です！ / プリりカ
ありがとうございました。
No.11401 - 2010/09/03(Fri) 02:36:15
★ 高2　数?U / hiro
問題　aを正の定数とする。xに関する不等式ax^3＋ｋ/√ａ≧xが、x＞0で成り立つようなｋの中で最小となるものは？

√ａは0でないので、−ａ√a・x^3＋√a・x≦k

左辺をf(x)とすると、導関数はー√a(3ax^2−1)となるので、極値はx＝±１/√3a　
x＞0より最大値はx＝１/√3a

題意よりｙ＝ｋがf(x)の最大値の時ｋの最小値となる。
よってf(１/√3a)＝−1/2√3

と私は解いたのですが…。
答えは、2/3√3です。

どこが違うのか教えて下さい。よろしくお願いします。
No.11388 - 2010/09/01(Wed) 11:16:15
☆ Re: 高2　数?U / angel
f(1/√(3a))=2/(3√3)=2√3/9 ですよ。なので、最後だけ計算間違いですね。
No.11389 - 2010/09/01(Wed) 22:06:54
☆ 補足 / angel
後は、解答を書くときに気をつけるとしたら。

・√ａは0でないので、
　→ 「不等式の両辺に√a＞0 をかけて整理すると」くらい。
　　負の数をかけると、不等号の向きが逆転するため、正か負かは毎回言及した方が良い
・極値はx＝±１/√3a
　→「x＝±１/√(3a) においてf(x)は極値を取る」
　　もしくは、「f'(x)＝0の解は、x＝±１/√(3a)」
・x＞0より最大値はx＝１/√3a
　→「x＞0より、f(x)が最大値を取るxの値は、x＝１/√(3a)」
　　もしくは、「x＞0において、f(1/√(3a))が極大値かつ最大値」
・題意よりｙ＝ｋがf(x)の最大値の時ｋの最小値となる。
　→ ストレートに、「題意を満たすkの最小値は、f(x)の最大値に等しい」でよい

というところでしょうか。
No.11390 - 2010/09/01(Wed) 22:25:07
☆ Re: 高2　数?U / hiro
ありがとうございます！！
何回か解いてみても同じ答えになって…

解決しました。
No.11394 - 2010/09/02(Thu) 10:07:40
★ (No Subject) / kana
問題）1,2,・・・10の１０枚のカードから同時に3枚のカードを選び、選んだ3数に書かれている数の積が１０の倍数となる確率を求めよ。

私が作った解答）

10枚同時に、とあるので確率の分母は１０Ｃ３＝１２０

１）１０を含むとき

残り9枚から2枚を選べばよいので、
確率の分子は９Ｃ２＝３６
よって36/120

２）１０を含まないとき

まず、５は必ず含まれていないといけないので、
残り2枚の組み合わせを考えればよい。
その残り2枚のうち、少なくとも1枚は偶数（10以外の２，４，６，８）なので4通り。残り1枚は
「５」、「１０」、「２，４，６，８で選ばれた一枚」
以外の7枚から選ぶので7通り
よって確率の分子は１・４・７＝２８

よって確率は２８/120

1)、２）の事象は互いに独立なので
36/120+28/120=8/15

となったのですが、実際の答えは２９/60なのです。
どこが悪いのでしょうか。教えてください。
No.11386 - 2010/09/01(Wed) 02:33:34
☆ Re: / らすかる
10を含まないとき、
(5) と 偶数(2) と 残りのうち(4)
と選ぶのと
(5) と 偶数(4) と 残りのうち(2)
と選ぶのが重複しています。
つまり5以外の2枚が偶数である場合が2倍数えられています。
5以外が2枚とも偶数の場合と
偶数奇数1枚ずつの場合は
別々に計算しましょう。
No.11387 - 2010/09/01(Wed) 02:50:57
☆ 別解 / angel
逆 ( 余事象 ) を考えるのも良いですね。
「10の倍数にならない」だと、
・10,5を含まない
　→ 8種類中3種類、8C3=56通り
・5を含むが、偶数を含まない
　→ 5および、1,3,7,9の奇数4種類中2種類、4C2=6通り

「10の倍数にならない」確率は、(56+6)/120 = 31/60 と計算できます。答はその余事象の確率で、1-31/60=29/60
2通り以上の方法で計算するクセをつけておくと、自然に答のチェックができますし、良いですよ。
No.11391 - 2010/09/01(Wed) 23:02:37
☆ Re: / らすかる
他には、場合分けしなくて済む方法として
(全体)=10C3通り
(2の倍数でない組合せ)=5C3通り　(奇数)
(5の倍数でない組合せ)=8C3通り　(5の倍数以外)
(2の倍数でも5の倍数でもない組合せ)=4C3通り　(1,3,7,9)
∴(2の倍数かつ5の倍数である組合せ)=10C3-5C3-8C3+4C3=58通り
という計算方法もあります。
No.11392 - 2010/09/02(Thu) 00:03:43
★ 高2　数2 / 秋人
円x^2＋y^2-4=0と円x^2-2x＋y^2-4y＋3=0の交点を通り、
中心が直線x-2y-2=0上にある円の方程式を求めよ。
まずk（x^2＋y^2-4）＋x^2-2x＋y^2-4y＋3=0と表せれるのはわかるのですが
これを変形して｛x-（1/k＋1）｝^2＋｛y-（2/k＋1）｝^2＝（4k^2＋k＋2）/（k＋1）^2・・・?@
となるのですが
（4k^2＋k＋2）/（k＋1）^2
この部分がどうしてもうまくいきません。
次数が３のものがでてきてしまうのです・・・
一度はできたのですが
ノートを紛失しまったために確認できずにいます。
また、疑問なんですが
（x^2＋y^2-4）＋k（x^2-2x＋y^2-4y＋3）=0として?@のような要領であらわすと
円の方程式の中心の座標がかわりますよね？
自分でやるとｘ座標がk/k＋1とかになりました・・・
これはいったいどういうことなんでしょうか。
誰か分かるかたおしえてください。おねがいします
No.11384 - 2010/08/31(Tue) 22:44:51
☆ Re: 高2　数2 / ヨッシー
k（x^2＋y^2-4）＋x^2-2x＋y^2-4y＋3=0
より
(k+1)x^2-2x＋(k+1)y^2-4y−4k＋3＝０
k+1=0 の時は、この式は直線を表し、今回は、そういう場合は
考えないので、両辺 k+1 で割ります。
　x^2-2x/(k+1)＋y^2-4y/(k+1)＝(4k−3)/(k+1)
完全平方にして、
　x^2-2x/(k+1)＋{1/(k+1)}^2＋y^2-4y/(k+1)＋{2/(k+1)}^2＝(4k−3)/(k+1)＋{1/(k+1)}^2＋{2/(k+1)}^2
　{x-1/(k+1)}^2＋{y-2/(k+1)}^2＝(4k−3)(k+1)/(k+1)^2＋5/(k+1)^2＝(4k^2+k-3+5)/(k+1)^2
です。この中心が、x-2y-2=0 上にあるので、
　1/(k+1)−4/(k+1)＝2
　-3/(k+1)＝2
より
　k+1＝-3/2
　k=-5/2
このとき、中心は、(-2/3, -4/3)　(半径は省略)

（x^2＋y^2-4）＋k（x^2-2x＋y^2-4y＋3）=0　とすると、
(1+k)x^2-2kx＋(1+k)y^2-4ky＝4-3k
両辺1+kで割って、
　x^2-2kx/(1+k)＋y^2-4ky/(1+k)＝(4-3k)/(1+k)
　x^2-2kx/(1+k)＋{k/(1+k)}^2＋y^2-4ky/(1+k)＋{2k/(1+k)}^2＝(4-3k)/(1+k)＋{k/(1+k)}^2＋{2k/(1+k)}^2
　{x-k/(1+k)}^2＋{y-2k/(1+k)}^2＝(-3k^2+k+4+5k^2)/(1+k)^2＝(2k^2+k+4)/(1+k)^2
この中心が、x-2y-2=0 上にあるので、
　k/(1+k)−4k/(1+k)＝2
　-3k/(1+k)＝2
　-3k＝2(k+1)
　ｋ＝-2/5
このとき中心は、(-2/3, -4/3)　(半径は省略)

となり、結果は同じになります。
No.11385 - 2010/08/31(Tue) 23:44:20
★ (No Subject) / rui


詳しい解説をお願いしたいです。

0≦θ≦πのとき、次の関数の最大値、最小値を求めよ。
?@y=3sinθ+4cosθ
?Ay=3sin^2+4sinθcosθ

教えてください。

答えは、?@最大値５最小値ー４?A最大値４最小値ー１です。

　
No.11376 - 2010/08/30(Mon) 17:19:48
☆ Re: / ヨッシー
(1) 合成の公式より
　ｙ＝５sin(θ＋α)
　sinα＝4/5, cosα＝3/5
と書けます。αは第１象限の角なので、0≦θ≦π のとき、
sin(θ＋α)自身は、θ＋α＝π/2 のとき最大、θ＝πのとき最小です。

(2)
sin^2θ＝(1−cos2θ)/2
2sinθcosθ＝sin2θ　より、
　ｙ＝(3/2)(1−cos2θ)＋2sin2θ
　　＝3/2＋2sin2θ−(3/2)cos2θ
合成の公式より
　ｙ＝3/2＋(5/2)sin(2θ＋α)
　sinα＝-3/5, cosα＝4/5　と書けます。
0≦2θ≦2π より、2θ＋α は、全周の角を取るので、
sin(2θ＋α) は、最大値１、最小値−１です。
No.11377 - 2010/08/30(Mon) 18:46:01
☆ Re: / rui


> ヨッシーさん
　解説ありがとうございました！


　
No.11382 - 2010/08/31(Tue) 15:30:42
★ (No Subject) / ナミネ
はじめてここを利用させていただきます。
解説のない問題なので、出来れば解答の大まかな流れを教えてください。
よろしくお願いいたします。

OA=2√2　OB=3　角度AOB=π/4である三角形OAB
OCベクトル=OAベクトル-(2/3)OBベクトルを満たす点をCとする

辺ABをt:1-tに内分する点をPとし、直線OPと直線BCの交点をQよする

(1)内積OA･OB、OC･ACの値を求めよ
(2)OQベクトル=k(OP)ベクトルとするとき、実数kの値をtを用いて表せ

(3)4点O A C Pが同一円周上にあるとする。
tの値を求めよ
三角形OBQの面積を求めよ
No.11375 - 2010/08/29(Sun) 23:59:31
☆ Re: / ヨッシー

図のように、ＯＢとＯＣは直角になることを確認しておきます。

(1)
ＯＡ・ＯＢ＝2√2×３×√2/2＝６
ＯＣ・ＡＣ＝ＯＣ・(ＯＣ−ＯＡ)
　＝|ＯＣ|2−ＯＣ・ＯＡ
　＝２2−２×2√2×√2/2＝０
（ＯＣ、ＡＣ は、見るからに直角ですが）

(2)
まず、
ＯＡとＢＣの交点をＤとすると、ＯＤ：ＤＡ＝３：２
より、メネラウスの定理より
　(ＯＱ/ＱＰ)(ＰＢ/ＢＡ)(ＡＤ/ＤＯ)＝１
　{k/(1-k)}{(1-t)/1}(2/3)＝１
これより、
　ｋ＝3/(5-2t)

(3)
∠ＯＣＡは直角なので、∠ＯＰＡが直角なら、
４点ＯＡＣＰは、同一円周上にあります。
　ＯＰ・ＡＢ＝{(1-t)ＯＡ＋ｔＯＢ}・(ＯＢ−ＯＡ)
　　＝５ｔ−３＝０
より　ｔ＝３／５
このとき、
　ｋ＝15/19
なので、
△ＯＡＢ＝３
△ＯＰＢ＝△ＡＢＣ×2/5＝6/5
△ＯＢＱ＝△ＯＰＢ×15/19＝18/19
No.11378 - 2010/08/30(Mon) 21:57:21
☆ Re: / ナミネ
解説ありがとうございます。
学校のプリントの問題だったのですが
先生の（3）の解答は 9/7 となっていました。
（1）（2）は先生の答えと一致しています。
先生の答えが間違っているのでしょうか？
No.11379 - 2010/08/30(Mon) 23:34:18
☆ Re: / ヨッシー
(3) は、
ｔ＝２／５
ｋ＝５／７

△ＯＰＢ＝△ＡＢＣ×3/5＝9/5
△ＯＢＱ＝△ＯＰＢ×５／７＝９／７
ですね。

失礼しました。
No.11380 - 2010/08/31(Tue) 00:09:49
☆ Re: / ナミネ
解説ありがとうございます。
ひとつわからない点があります。

(2)
まず、
ＯＡとＢＣの交点をＤとすると、ＯＤ：ＤＡ＝３：２

とのことですが、どこからこの比を求めたのでしょうか？
No.11381 - 2010/08/31(Tue) 11:26:25
☆ Re: / ヨッシー
ＤからＯＣに垂線ＤＥを下ろします。
ＣＥ：ＥＤ＝ＣＯ：ＯＢ＝２：３
ＯＥ：ＥＤ＝１：１＝３：３
よって、ＡＤ：ＤＯ＝ＣＥ：ＥＯ＝２：３
です。
No.11383 - 2010/08/31(Tue) 15:36:55
★ 割られる式の決定 / ドドラ
問題
x^2で割ると3x+2余り、x^2+2+1で割ると2x+3余るようなxの多項式のうちで、次数が最小のものを求めよ。

解説
多項式をP(x)とし、割る式x^2+1、x^2+x+1の積(x^2+1)(x^2+x+1)で割ったときの基本関係に注目すると
P(x)=(x^2+1)(x^2+x+1)Q(x)+R(x)　R(x)は3次以下または0
P(x)をx^2+1、x^2+x+1で割ったときの余りは、R(x)をx^2+1、x^2+x+1で割ったときの余りにそれぞれ等しいから、求める多項式はR(x)そのものである。

R(x)をx^2+1で割ったときの商は1次以下の式であり、条件から
R(x)=(x^2+1)(ax+b)+3x+2
同様に　R(x)=(x^2+x+1)(ax+c)+2x+3　と書ける。
よって(x^2+1)(ax+b)+3x+2=(x^2+x+1)(ax+c)+2x+3
この恒等式からa=1,b=2,c=1
したがって、求める多項式は
R(x)=(x^2+1)(x+2)+3x+2=x^3+2x^2+4x+4


i)なぜ多項式をP(x)とし、割る式x^2+1、x^2+x+1の積(x^2+1)(x^2+x+1)で割ったときの基本関係に注目するのか？

ii)なぜ求める多項式はR(x)そのものになるのか。

iii)R(x)=(x^2+1)(ax+b)+3x+2
同様に　R(x)=(x^2+x+1)(ax+c)+2x+3　となぜ書けるのか。

以上の３点が分かりません。
よろしくお願いします。
No.11370 - 2010/08/29(Sun) 18:08:57
☆ Re: 割られる式の決定 / rtz
問題文に間違いがありますね(× x2 → ○ x2+1)。

i)簡単にいえば、
＞P(x)をx2+1、x2+x+1で割ったときの余りは、R(x)をx2+1、x2+x+1で割ったときの余りにそれぞれ等しい
ことを利用するためです。
(x2+1)(x2+x+1)Q(x)の部分はx2+1、x2+x+1両方で割り切れますから、
余りがいくらということには関与しません。
両方で割れてしまうところは、もう割れることは分かっているのでどけておいて、
残った部分で余りを考えるということです。

ii)もし4次(R(x)は3次以下)以上なら、(x2+1)(x2+x+1)という4次式で割れてしまいますね。
それなら「次数が最小」という問題の条件に合いません。

iii)R(x)は3次以下ですから、R(x)＝px3+qx2+rx+sなどとおいてもいいのですが、
結局これをx2+1で割ってみると、
px+qという「1次式の商」と、(r-p)x+(s-q)という「1次式の余り」が得られます。
この余りは3x+2に他ならないので、ここから求めてもよいのですが、
「1次式の商」と「1次式の余り(＝3x+2)」となることは明白ですから、
ならば割る手間を考えて、最初から「1次式の商」をax+bとしておけば、
R(x)＝(x2+1)(ax+b)＋(3x+2)と表すことができます。
まぁテクニックの1つだと思ってください。
No.11371 - 2010/08/29(Sun) 19:03:21
☆ Re: 割られる式の決定 / ドドラ
詳しい説明ありがとうございます。
理解できました。
No.11373 - 2010/08/29(Sun) 22:14:01
★ 関数項級数の一様収束 / rio
(1)の解法なのですが、最後の∴sup以下の式の意味がわかりません。
わたしは、1/2nが求まった後に
与えられたεに対して、n>ε/2となるnを取れば、xとは無関係にg(x)<εと出来る。よって一様収束する。
と書きました。この論は間違いでしょうか。
No.11368 - 2010/08/29(Sun) 02:03:24
☆ Re: 関数項級数の一様収束 / サボテン
n>2/εの間違いですよね？

他の議論は問題ないと思います。
No.11369 - 2010/08/29(Sun) 15:10:54
☆ Re: 関数項級数の一様収束 / rio
すいません
1/2n<ε　より　n>1/2ε　となるnを取る　の間違いでした。これでは如何でしょうか。
No.11372 - 2010/08/29(Sun) 19:27:00
★ △ＡＢＣにおいて… / るゐ

△ＡＢＣにおいて、ＢＣ＝ａ、ＣＡ＝ｂ、ＡＢ＝ｃとする。
ａcosＡ＝ｂcosＢとｂtanＢ＝ｃtanＣがともに成り立つとき、
△ＡＢＣはどんな形をしているか。

正三角形になるみたいですが、式変形の方法を教えて下さい。

　
No.11364 - 2010/08/28(Sat) 16:28:26
☆ Re: △ＡＢＣにおいて… / ヨッシー
cos は余弦定理で、sin は正弦定理で辺の長さに変えるのが、
扱いやすいでしょう。
　ａcosＡ＝ｂcosＢ
は、余弦定理より
　ａ{(ｂ^2＋ｃ^2−ａ^2)/２ｂｃ}＝ｂ{(ｃ^2＋ａ^2−ｂ^2)/２ｃａ}
　ａ^2(ｂ^2＋ｃ^2−ａ^2)＝ｂ^2(ｃ^2＋ａ^2−ｂ^2)
　(ａ^2−ｂ^2)(ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2)＝０　・・・(1)
まで、変形します。

　ｂtanＢ＝ｃtanＣ
は、
　ｂsinＢcosＣ＝ｃsinＣcosＢ　・・・(2)
正弦定理より
　sinＢ＝ｂ/２Ｒ、sinＣ＝ｃ/２Ｒ　（Ｒは外接円の半径）
よって、(2) は
　ｂ^2{(ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2)/２ａｂ}＝ｃ^2{(ｃ^2＋ａ^2−ｂ^2)/２ｃａ}
　ｂ(ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2)＝ｃ(ｃ^2＋ａ^2−ｂ^2)
　(ｂ−ｃ)(ａ^2＋ｂ^2＋２ｂｃ＋ｃ^2)＝０　　・・・(3)
(1) から言えることは、△ＡＢＣは
　ａ＝ｂ　の二等辺三角形　または　∠Ｃ＝90°の直角三角形
(3) から言えることは、△ＡＢＣは、
　ｂ＝ｃ の二等辺三角形

これらが両方満たされるのは、ａ＝ｂ＝ｃのとき。
No.11365 - 2010/08/28(Sat) 19:27:17
☆ Re: △ＡＢＣにおいて… / るゐ


解説有難うございます＞＜
助かりました。


　
No.11374 - 2010/08/29(Sun) 22:33:28
★ こう２ / 菊次郎
△OABがあり、OA＝4、OB=3,cos∠AOB＝2/3である。
OA→・OB→＝ア
辺ABを１：２にない分する点をCとし、辺OA上にOD→＝kOA（kは実数）となる点Dをとると
CD→＝｛k-（イ/ウ）OA→ - （エ/オ）OB→
これはCD→＝OD→ - OC→を利用すればいいだけですよね。
CD⊥ABのとき kの値を求めよ。
これはCD→・AB→＝０で解くだけですか？
一応計算が間違ってなければk=5/ 8になりました（暗算でやったので間違ってるかもしれないです。）
さらにこのとき、辺OB、AB上にそれぞれ点E,Fをとり、四角形CDEFが長方形になるようにすると
OF→＝（ク/ケコ）OA→＋（サシ/スセ）OB→である。
一応自分の答えは
1/24OA→＋17/24→OB→ （?）すいません。うろおぼえなので数値が違うかもしれないです。
分母がたしか２０なんとかになったきがします。
長方形になるということは
いまCD⊥ABなので点Cと点Dはちょうど垂線をおろした直線上と辺との交点というわけですから
要するに真下にあるってことですよね。
だから四角形CDEFが長方形になるっていうのは
EFの位置はだいたいきまってきますよね。
だからCE=DFとかなんとかを利用して
OF→＝OＣ→＋CD→＋DF→でまず1通り表して、つぎに
AF：FBをt:1-tするとの流れで
OF→をもう一通り表してあとは係数比較してkとtがでてくるのでtを消去するとkが
5/8となり
OD→＝5/8OA→＝5/8OB→となって
あ、これは長方形になりそうだな・・っておもって
答えたかんじなのですが、友達に聞いたところ
「それ普通にまちがってる。だいたいk=5/8とか同じになるわけないじゃん」と返されました。
自分でも間違ってるきがするので
誰か正しい答えを教えてください。おねがいします
No.11358 - 2010/08/28(Sat) 00:54:39
☆ Re: こう２ / 菊次郎
「OD→＝5/8OA→＝5/8OB→となって
あ、これは長方形になりそうだな・・っておもって」
すみません、この部分は誤りです。
あと答えは
OF→＝1/24OA→＋23/24OB→になりました。
No.11359 - 2010/08/28(Sat) 00:55:57
☆ Re: こう２ / ヨッシー
ＤＥ//ＡＢ より、
ＯＥ＝ｋＯＢ＝(5/8)ＯＢ
一方、ＤＣ＝(1/24)ＯＡ＋(1/3)ＯＢ
より
ＯＦ＝ＯＥ＋ＤＣ
　　　＝(1/24)ＯＡ＋(23/24)ＯＢ
です。
No.11363 - 2010/08/28(Sat) 10:39:32
★ 拡張された不等式の証明 / ドドラ
問題
a≧2,b≧2,c≧2,d≧2のとき、次の不等式を証明せよ。
abcd≧a+b+c+d

解説
a≧2,b≧2のとき
ab-(a+b)=(a-1)(b-1)-1≧1×1-1=0
よって　ab≧a+b…?@
c≧2,d≧2から、同様にして　cd≧c+d…?A
｛ab≧4＞2、cd≧4＞2から　ab×cd≧ab+cd…?B｝
?@、?A、?B、から　abcd≧a+b+c+d

解説の｛｝でくくった部分の意味が分からないです…
そもそも?Bの式って等号成立するんでしょうか？
よろしくお願いします。
No.11336 - 2010/08/26(Thu) 20:19:33
☆ Re: 拡張された不等式の証明 / ヨッシー
２以上の数を２つ持ってくると、それらを、ａ，ｂとしたとき
　ａｂ≧ａ＋ｂ が成り立つと?@で言っています。?Aも同様です。
では、２以上である２つの数、ａｂとｃｄを持ってきても
同じことが言えるでしょう、というのが?Bです。

等号は成り立たなくても良いのです。
ｘ＞ｙ　が真なら、ｘ≧ｙ　も真です。
No.11339 - 2010/08/26(Thu) 20:57:11
☆ Re: 拡張された不等式の証明 / ドドラ
納得しました。
ありがとうございました。
No.11342 - 2010/08/26(Thu) 22:16:58
★ 微分_3 / meta
axf(x)=-x^3+3ax^2/2-aの0≦x≦1における最大値をＭ(a)とおく。b=Ｍ(a)のグラフをかき、最小値を求めよ。

微分してf´(x)=-3x^2+3ax

極大・極小はx=0,aなので、増減表をかくにはaで場合分けになりそう。

(?@)a＜0(?A)a=0(?B)0＜a
という感じでやってみました。

(?@)の場合、Ｍ(a)=f(0)
(?A)の場合、Ｍ(a)=f(0)?
(?B)の場合、Ｍ(a)=f(1)?
全然自信ないですが…

よろしくお願いします。
No.11328 - 2010/08/26(Thu) 16:39:40
☆ Re: 微分_3 / meta
問題文が変ですね…

正しくは、

aを実数とし、xの関数f(x)=-x^3+3ax^2/2-aの0≦x≦1における最大値をＭ(a)とおく。b=Ｍ(a)のグラフをかき、最小値を求めよ。

です。
No.11329 - 2010/08/26(Thu) 16:41:33
☆ Re: 微分_3 / meta
かなり問題のかたちが似ているので追加です。

aを実数とし、xの関数f(x)=x^3-3ax^2/2-aの0≦x≦1における最大値をＭ(a)とおく。b=Ｍ(a)のグラフをかけ。
No.11337 - 2010/08/26(Thu) 20:37:24
☆ Re: 微分_3 / angel
それぞれの場合分けに対して、y=f(x)のグラフの概形を描いて考えていますか?

最初の問題は、
(i) a＜0
(ii) a＝0
(iii)-1 0＜a≦1
(iii)-2 a＞1
の4通りの場合分けになります。

添付の図は、(i) の場合の、y=f(x)のグラフです。ここから見てとれる通り、(i) の場合は、M(a)=f(0) となります。
なお、たまたま極小値 f(a) が x軸より上に来ている例になっていますが、別にそこは深く気にする必要はありません。( x軸は描かなくても良いくらい )
No.11341 - 2010/08/26(Thu) 21:37:32
☆ Re: 微分_3 / meta
場合分けは4通り必要だったんですね。
グラフをかいて、Ｍ(a)を調べてみました。

(?@)Ｍ(a)=f(0)
(?A)Ｍ(a)=f(a)=f(0)
(?B-1)Ｍ(a)=f(a)
(?B-2)Ｍ(a)=f(1)

といった感じでしょうか？
No.11344 - 2010/08/26(Thu) 22:42:44
☆ Re: 微分_3 / angel
はい。それで合っています。

> 場合分けは4通り必要だったんですね。

先に4通りという数字を出していますが、多分普通に解くと、y=f(x) のグラフ形状からまず 3通りの場合分けを行い、そこから a＞0 のケースで更に場合分けが必要であることに気付く、となると思います。
※(iii)-1, (iii)-2 と敢えて書いているのはそのため。
No.11346 - 2010/08/26(Thu) 23:02:24
☆ Re: 微分_3 / meta
(?B-1)から導かれるb=a^3/2-aのグラフがどのようになるか教えていただきたいのですが…

他のグラフとの位置関係が掴めません…
No.11349 - 2010/08/26(Thu) 23:46:51
☆ Re: 微分_3 / angel
えーと、普通に3次関数のグラフです。
しかも、b=1/2・a^3-a って、変曲点が原点ですから、原点を中心とした点対称なグラフになります。
0＜a＜1 の範囲で極小値を取りますので、そこは計算してください。

ちなみに、傾き(微分係数)にも注意しておきましょう。
a＝0,1 の境界で、どのように直線のグラフとスイッチするのか、見え方が変わって来ますから。
No.11357 - 2010/08/27(Fri) 22:46:03
★ 微分_2 / meta
a＞0とする。f(x)=x^3-3a^2x+2a^3の区間-1≦x≦1における最小値をm(a)とするとき、b=m(a)のグラフをかけ。

そもそも問題の意味がわかりません…
b=m(a)のbってなんのことでしょう？

とりあえず微分の問題なので微分してみました。

f´(x)=3x^2-3a^2

極大・極小のx座標(±a)やf(-1),f(1)も出しましたが、手がかりが掴めません。

よろしくお願いします。
No.11325 - 2010/08/26(Thu) 15:58:10
☆ Re: 微分_2 / ヨッシー
y＝m(x) ならわかりますか？
でも、変数は、a なので、ｙ＝m(a)。
でも、ａとｙだとイマイチなので、ｂ＝m(a) にしよう。
というだけの話です。

極大極小の結果から、このグラフを描いて、−１≦ｘ≦１の範囲を
見てみると、極小極大が、両方含まれているか、両方含まれていないかになります。

両方含まれている場合、最小は、極小値か、f(-1) の大きくない方となります。
両方含まれないときは、−1≦ｘ≦1 において、このグラフは
単調減少なので、f(1) が最小となります。
No.11340 - 2010/08/26(Thu) 21:04:04
☆ Re: 微分_2 / meta
x^3の係数がプラスなのにグラフは単調減少なんですか？

極大値は(-a,f(-a)),極小値は(a,f(a))でいいですよね？

-1≦x≦1の範囲についてですが、極小・極大のどちらかが含まれているというパターンがないのはなぜですか？

f(-1) の大きくない方、という表現がよくわからないのですが…
No.11343 - 2010/08/26(Thu) 22:28:21
☆ Re: 微分_2 / ヨッシー
グラフを描いてください。
上の質問の１と３は解決するはずです。
２番目の質問は、「それでいい」です。
４番目の質問：
上の文は、「極小値とf(-1)のうち、大きくない方」と
読んでください。

とにかく、グラフを描いてください。
極値が、−１≦ｘ≦１　の中にある場合と、ない場合と。
No.11345 - 2010/08/26(Thu) 22:53:57
☆ Re: 微分_2 / meta
変曲点のx座標が0であることをふまえると、すべての疑問が解決しました。気づくのが遅くてすいません…

極値が-1≦x≦1にある場合とない場合の2通りが考えられるわけですが、後者はｍ(a)=f(1)ですから、問題は極値が含まれる場合ですが、その場合、f(-1)<f(a)とf(a)<f(-1)でさらに2通りの場合分けが必要になってきますね。f(-1)=f(a)は必要ないですか？

f(-1)<f(a)の場合：ｍ(a)=f(-1)
f(a)<f(-1)の場合：ｍ(a)=f(a)

これが正解なら、あとはb=m(a)のグラフだけですね。
No.11348 - 2010/08/26(Thu) 23:32:46
★ 微分_1 / meta
f(x)はxの3次関数で、x=0で極大値3をとり、x=1で極小値-1をとる。
(1)f(x)をもとめよ。
(2)f(x)=0の負の解を-α、正の解をβ、γ（β＜γ）とするとき、α＜βであることを証明せよ。

3次関数なんで、f(x)=ax^3+bx^2+cx+dとおきました。

これを微分して、f´(x)=3ax^2+2bx+c　…Ａ

f´(0)=3
f´(1)=-1

の2式が立てられるので、Ａにxの値を代入して、

c=3
3a+2b+c=-1

これだとaとbが求められないのでまだ式が立てられると思うのですが…

よろしくお願いします。
No.11323 - 2010/08/26(Thu) 15:42:13
☆ Re: 微分_1 / らすかる
f'(0)=3ではありません。f(0)=3です。
f'(1)も同様です。
x=0,1で極大値、極小値をとりますので、f'(0)=f'(1)=0です。
No.11324 - 2010/08/26(Thu) 15:49:15
☆ Re: 微分_1 / meta
返信ありがとうございます、らすかるさん。

とりあえずf(x)=8x^3-12x^2+3となりました。
(a=8,b=-12,c=0,d=3)

答の確認、お願いします。

続いて(2)なんですが、正攻法で因数分解しようとしてもなかなかうまくいきませんでした。

やり方を変えたほうがいいでしょうか？
No.11326 - 2010/08/26(Thu) 16:10:47
☆ Re: 微分_1 / らすかる
答えはそれで合ってます。
(2)はf(1/2)とf(-1/2)を計算するとわかります。
No.11327 - 2010/08/26(Thu) 16:29:45
☆ Re: 微分_1 / meta
f(1/2)=1,f(-1/2)=-1となりましたが…

まだ糸口が掴めません…
No.11330 - 2010/08/26(Thu) 16:58:09
☆ Re: 微分_1 / らすかる
今までわかったことをすべて満たすグラフを書いてみてください。
No.11331 - 2010/08/26(Thu) 17:25:30
☆ Re: 微分_1 / meta
グラフをかいてみてわかりました！

つまり、α<1/2,1/2<βということですか？
No.11332 - 2010/08/26(Thu) 17:38:10
☆ Re: 微分_1 / らすかる
その通りです。
No.11333 - 2010/08/26(Thu) 17:47:51
☆ Re: 微分_1 / meta
ありがとうございました。なんとかなりそうです。
No.11338 - 2010/08/26(Thu) 20:49:52
★ 関数の問題 / B子
よろしくどうぞ。

[Q] A new species of bird was discovered in the forests of North Carolina. Naturalists studying the population of birds found that the number of birds t months from when the species was discovered can be modeled by P(t)=12(1+0.45t)/(2+0.03t).
If P(t) is invertible, find P^-1(35) and explain its meaning in the context of this problem.

という問題です。

P^-1(35)より,12(1+0.45t)/(2+0.03t)=35と書け,
これを解くと12(1+0.45t)=35(2+0.03t)で12+5.4t=70+1.05tで4.35t=58
t≒13.33となったのですがペケでした。
何が間違っているのでしょうか?

それと"explain its meaning in the context of this problem"の部分はどのように答えればいいのでしょうか?
No.11321 - 2010/08/26(Thu) 09:48:40
☆ Re: 関数の問題 / X
>>何が間違っているのでしょうか?
計算自体は間違っていないと思います。
ただ、最終的な答えを
P^-1(35)≒13.33
としましたか？。

>>それと"explain its meaning 〜
問題の英文の訳は
「この問題の文脈におけるP^-1(35)の値の意味を説明せよ。」
となります。
従って…。
No.11322 - 2010/08/26(Thu) 11:06:07
☆ Re: 関数の問題 / B子
> >>何が間違っているのでしょうか?
> 計算自体は間違っていないと思います。
> ただ、最終的な答えを
> P^-1(35)≒13.33
> としましたか？。

はい、そうしました。

> >>それと"explain its meaning 〜
> 問題の英文の訳は
> 「この問題の文脈におけるP^-1(35)の値の意味を説明せよ。」
> となります。
> 従って…。

なるほど。P^-1(35)は35匹に達するまでの月数ですよね。
No.11350 - 2010/08/26(Thu) 23:55:44
☆ Re: 関数の問題 / X
>>はい、そうしました。
そうですか。
だとすると、解答をチェックされた先生に直接理由を
伺う方がよいと思います。

>>なるほど。P^-1(35)〜
その通りです。
No.11353 - 2010/08/27(Fri) 15:43:43
☆ Re: 関数の問題 / B子
> >>はい、そうしました。
> そうですか。
> だとすると、解答をチェックされた先生に直接理由を
> 伺う方がよいと思います。

了解いたしました。聞いてみたいと思います。
No.11361 - 2010/08/28(Sat) 10:01:51
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