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★ 逆関数 / aki
こんにちは。
すみません新しい質問お願いします。
http://y.upup.be/?WHjIITyDE6
のまず(1)ですが、xについてまとめて、それから割る時にyC−aが=0じゃないことを示すのは確かに納得なのですが、 そうすると他の問題と比較して
http://s.upup.be/?hLhcEYd1tD
なども全て文字では無いにせよ文字が入っているので逆関数を求める際の割る時に、=0ではないことを確認しないといけないような気がするのですが、この時は確認しませんでした。混乱してしまいます…
どうしてこの時は=0ではないことの確認をいれないのでしょうか？

また(2)もそのまま文字の係数比較ができないのはなぜでしょうか？

そして、答えにより進めるとCx^2−(a−d)x−b=0が不適であることを証明しなければならなくて、これはad≠0だからf(x)=xとなるので不適である

となるそうですがこの部分が理解できません。
すみませんどうか宜しくお願いします。
No.6747 - 2009/07/14(Tue) 18:56:11
☆ Re: 逆関数 / ヨッシー
yc-a=0 を示していますか？
断りを入れているだけではないですか？
逆関数も、分数の形になりますが、その時点で、
分母≠０ は自明であり、定義域からも自然と（もちろん明記される
ことも多いですが)除かれます。

>Cx^2−(a−d)x−b=0が不適であることを証明しなければならなくて
これは、どういう式変形がされて、ad≠0 だから不適と
なっているのでしょうか？
No.6781 - 2009/07/15(Wed) 15:00:10
☆ Re: 逆関数 / aki
答えは(1)は
http://r.upup.be/?NjGoZkyPZn
のようになっていて軽く証明してあります。
(2)はhttp://w.upup.be/?7bR9Gw3Y4bです。
No.6789 - 2009/07/15(Wed) 19:51:16
☆ Re: 逆関数 / ヨッシー
いずれの画像も、本問に関係の無い画像です。

また、前にもお願いしましたが、
●左右がいつも切れているので、十分広めに撮ってください。
加えて
●800×600＝48万画素 程度で撮ってください。
　現行の1600×1200では、画面に入りきらずに読みにくいです。
No.6799 - 2009/07/16(Thu) 08:28:33
☆ Re: 逆関数 / angel
正直言うと、問題文は画像でなく、文章として入力して貰った方が分かりやすいですね。
※図付の問題や、記号類が込み入っていて入力し辛い問題もありますから、「画像がダメ」というわけではないですが…

特に、自分の考えを説明する時は、「文章化する」という行為で考えそのものが練られますから、画像で済ませるのはある意味もったいないです。

あと、分からない問題を集中的に複数質問するせいか、時々画像の取り違えが見られます。それについては、まあ、気をつけて十分確認してください、としか…
※いや、画像が間違えていても、私などは無視するだけなので、実質損をするのはakiさんだけなのですが。
No.6801 - 2009/07/16(Thu) 13:09:31
☆ Re: 逆関数 / angel
さて、今回の問題についてですが、「分母が 0 かどうか」を気にすべき場面はないはずです。

解き方についても複数あるので、参照されている解答例をまずは載せて頂いた方が良いです。
※(1),(2)のラインでいくと(3)だけ仲間はずれになり、(2),(3)のラインでいくと(1)が仲間はずれになるという、小問の位置づけが微妙な点、関数の定義域の扱いに触れていない点等、ちょっといやらしいですね。
No.6802 - 2009/07/16(Thu) 13:21:24
☆ Re: 逆関数 / aki
いつもご迷惑をおかけして申し訳ありません。入力できるものは頑張ります。
画像のサイズを下げればよいのでしょうか？ちなみに
(1)http://w.upup.be/?7rJZadoupD
(2)http://r.upup.be/?xw3IaJ9rBu
です。
ごめんなさい…
No.6808 - 2009/07/16(Thu) 20:29:28
☆ Re: 逆関数 / aki
いつもご迷惑をおかけして申し訳ありません。
画像のサイズを下げればよいということでしょうか？

ちなみに撮ってあった画像は
(1)http://w.upup.be/?7rJZadoupD
(2)http://r.upup.be/?xw3IaJ9rBu
です。
No.6809 - 2009/07/16(Thu) 20:31:12
☆ Re: 逆関数 / angel
えっと…。
この画像にある解答例は、(1)は一応正解ではあるでしょうがお勧めしません。私なら確実にボツにします。
(2)はまぁこんなものでしょうけど。

最初におさえておきたいのは、元の関数のグラフの形状です。
可能性としては、
　1. 分子が分母で割り切れる y=定数 のパターン
　　… ad-bc≠0 のため、今回はなし
　2. c=0 で、y=(xの一次式) となるパターン
　3. その他、xy=定数 をずらした双曲線
です。この話は解答に書くものではないですが、把握しておくと、少なくとも(2)には役に立ちます。
No.6811 - 2009/07/17(Fri) 00:00:27
☆ Re: 逆関数 / angel
で、(1)を解答するなら、こうします。

i) y=(ax+b)/(cx+d) の分母・分子が共に0になることがないことを述べる。背理法を使って ad-bc≠0 と矛盾することを言えば良いです。

ii) y=(ax+b)/(cx+d) ⇔ y(cx+d)=ax+b と変形する
　i)が済んでいれば、この変形は同値変形となります。

iii) x,yを入れ替えて逆関数を求める
　x(cy+d)=ay+b を y についてまとめれば終わり。
　一応、a=c=0 が ad-bc≠0 のためありえないことは言って置いた方が良いでしょうか。
No.6812 - 2009/07/17(Fri) 06:07:29
☆ Re: 逆関数 / ヨッシー
画像の大きさで言えば、この程度(400×300)で十分です。

ただ、デジカメだと、ここまで解像度の低いのは、無理でしょうから、
640×480 とか 800×600 で良いです。

ひょっとして、カメラは携帯のですか？
No.6813 - 2009/07/17(Fri) 09:38:01
☆ Re: 逆関数 / aki
はい携帯のです。ですからあまり指定ができないみたいで…(>_<)取り敢えず次は一番低いものにしてみます。
(1)は解答例だと少しよくないということで、解答例も背離法ですが、違う背離法で示すということですか？
ちょっとよくわからなくてごめんなさい…
No.6844 - 2009/07/20(Mon) 19:20:33
☆ Re: 逆関数 / angel
> (1)は解答例だと少しよくないということで、
はい。
何が良くないか、というと、y≠a/c を示すくだりがほぼ無駄に見えるところですね。
もっと大事なのは、分母を払っても条件が同値であること、つまり分母が 0 のケースを除外できている保証です。
そのために、背理法を使って、「ax+b=cx+d=0 は成立しない」ことを示すのが良いです。

なお、これと「a=c=0 は成立しない」をあわせると、y=(ax+b)/(cx+d) が定数関数にならないことも示しています。定数関数になってしまうと、逆関数が存在しませんから、定数関数にならないことを示すのは、逆関数の存在を保証していることにもなるのです。
No.6856 - 2009/07/21(Tue) 21:54:23
☆ Re: 逆関数 / aki
では、そもそもax＋b=cx＋d=0も示す必要はないと思うのですが…
f(x)の関数として示されている以上、分母=0ではないことの条件は含んでいるのが当たり前な気がします…

だから結局angelさんが最初におっしゃった通り何も証明はここではいらないということでいいということになるのではないでしょうか？

また(2)ですが、f(x)=f(−1)(x)をそのまま係数比較して最初にa=−dという条件をすぐに出してしまったのですがそれではだめなのでしょうか？
それとも解答のように式を作って長々と計算をするのはなぜですか？

すみませんがお願いします(>_<)
No.7380 - 2009/08/10(Mon) 18:38:05
☆ Re: 逆関数 / angel
まず説明しやすい方から。

＞ f(x)=f(−1)(x)をそのまま係数比較して最初にa=−dという条件をすぐに出してしまったのですがそれではだめなのでしょうか？

これはダメです。
恒等式かどうかを調べるために、係数比較をするよう習ったのは、整式だけのはずです。
今回は分数式ですからそのままではダメです。解答例にあるように、分母を払って整式の比較に持っていかないといけません。
※…確かに分数式の係数比較で済めばラクですけどね。

で、なぜダメかといえば、反例があるからです。
　(x+2)/(x+1)=(2x+4)/(2x+2)
各係数は違いますが、恒等式が成立しています。
恒等式が成立しているからといって、即「係数が等しい」と判断してしまうと、こういった例外を取りこぼすことになります。
※もしたまたま結果的に答えが合っていたとしても、例外を考慮しない解法では大幅減点を覚悟せざるをえない。
No.7403 - 2009/08/11(Tue) 00:36:04
☆ Re: 逆関数 / angel
後は、ちょっと説明し辛い方を。

＞ では、そもそもax＋b=cx＋d=0も示す必要はないと思うのですが…

もともとの(1)の解答例にせよ、私の説明にせよ、何を一番気にしているかと言えば、「本当に逆関数があるのか」なのです。
問題では「逆関数を求めよ」といっていますが、「必ず逆関数はあるよ」という保証はしてくれないのです。
今回は、ad-bc≠0 という条件がありますので、結果的に「必ず逆関数がある」という状況ではありますが、それはこっちで確かめないといけないわけです。

実際、ad-bc≠0 という条件を取っ払うと、y=(2x-2)/(x-1) といった、逆関数の無い例が作れます。( 約分できて、結果 y=2 (x≠1) という定数関数 )
逆の見方をすると、y=(定数) という形にさえならなければ、分数関数は双曲線の形のグラフになるものなので、必ず逆関数を持つことが分かります。
※そういった視点で解答例を見ると、y≠a/c に拘っている訳が分かります。これは、「yは定数関数ではないよ」と言いたいのです。が、いかんせん書き方がダサいので、私はボツ扱いにしたのです。
No.7406 - 2009/08/11(Tue) 01:06:55
☆ Re: 逆関数 / angel
続き。
で、私が「分子=分母=0 になることはない」「a=c=0 となることはない」を、まず示すことにしたのは、逆関数の存在を保証することなく話が終わるからです。

一般に、A=B/C という等式があった場合、AC=B は成立します。
しかし、AC=B だからといって A=B/C が成立するとは限りません。反例は B=C=0 ですね。
ということは、A=B/C よりも AC=B の方が緩い(広い)条件であることになります。そうすると、AC=B の時に成立することを調べても、A=B/C の時に成立することよりも大雑把すぎてノイズを含んでいる可能性があるわけです。

なので、y=(ax+b)/(cx+d)⇒y(cx+d)=ax+b⇔…⇔x(cy-a)=-dy+b
という式変形を行って、逆関数 y=(-dx+b)/(cx-a) と言うと、「ax+b=cx+d=0 に由来するノイズ x=-b/a から、ニセの逆関数 y=-b/a が見えているだけではないか」というツッコミを喰らいかねません。

しかし、B=C=0 が成立しないことが分かっていれば、AC=B⇔A=B/C は同値変形です。
今回、ax+b=cx+d=0 は成立しないことが分かりますから、
　y=(ax+b)/(cx+d)⇔y(cx+d)=ax+b⇔…⇔x(cy-a)=-dy+b
は一連全て同値変形です。上で挙げたようなノイズが入り込む心配はありません。
で、逆関数化すれば、y=(-dx+b)/(cx-a) で、a=c=0 も成立していませんから、ちゃんとした関数です。
ノイズの入らない変形 ( 同値変形 ) を行って逆関数を求めたら、ちゃんとした関数になりました、という結果なので、何もしなくとも逆関数の存在を証明していることになります。
No.7408 - 2009/08/11(Tue) 02:13:05
☆ Re: 逆関数 / aki
係数比較について


分数式は整式ではないということでしょうか？
似たような問題で
http://y.upup.be/?S9H6K9F1vk
は
http://q.upup.be/?ecMd2YaWx4
のようにしたのですが、これも間違えていたのでしょうか？(>_<)

証明について

ちょっと難しいです…高校数学でここまで考えなければならないのでしょうか…？(>_<)
結局解答には分母=0でないことの断りをいれるくらいではだめなのでしょうか？
No.7492 - 2009/08/16(Sun) 17:21:34
☆ Re: 逆関数 / angel
うーん。その類題の場合は、微妙ですけど減点にはならないかもしれません。
なぜかというと、分母の x の係数が共に 1 で一致しているからです。これで恒等式になるとしたら、分母が共に x+2 となるパターンしかありえないことは明らかですから。
とはいえ、分数のままで係数比較をするのは、基本NGだと考えて下さい。

証明については…。
逆関数自体、あまり高校では厳密にやらないところなので、已むを得ないところかもしれませんね。
なお、分母が0かどうかというのは、気にする所ではないです。ので、分母≠0 という説明を書く意味はありません。
※分数関数自体が、分母≠0 という前提でできているものなので…
※私が 分子=分母=0 のケースを特別扱いしたのは、全然意味合いが違うのです

ただ、逆関数の存在について、何かしらコメントは入れないと流石にマズいので、現実的に以下のような案の方が良いでしょうか。
これは、模範解答例にあった「ここで y=a/cとすると〜したがって y≠a/c」の改善版であり、「定数関数でないから逆関数がちゃんとあるよ」という説明を行っているものになります。( これくらいは書かないと○にならないと思います )

---
　y=(ax+b)/(cx+d) は定数関数とはならない
　なぜなら、もし定数関数になると仮定した場合、
　i) c=0 の場合
　　定数関数となるには a=0 が必要だが、すると a=c=0 のため、ad-bc≠0 に反する
　ii) c≠0 の場合
　　定数関数となるには、分子が分母で割り切れる必要があるため、
　　ax+b=a/c・(cx+d) となるが、すると定数項を比較して b=ad/c となるため、ad-bc≠0 に反する
　というように、いずれにしても矛盾が生じるためである。
　※ここまで背理法による証明

　であれば、y=(ax+b)/(cx+d) のグラフはx軸・y軸に平行でない直線 ( c=0 の場合 ) もしくは、x軸・y軸に平行な軸を持つ双曲線となるため、逆関数は確かに存在する。
No.7523 - 2009/08/18(Tue) 01:37:09
☆ Re: 逆関数 / aki
お返事が遅くなって申し訳ありません。
記述についてはやっと理解しまさた。
ただ一つ、yc−a≠0はそもそも示さなくてよいというのはなぜでしたでしょうか？
式変形の結果から出てきたものであり分母でないので自明とはいかないと思ったのですが…

何回も似たようなことをループしていて申し訳ないのですがお願いします…
No.7995 - 2009/09/17(Thu) 21:47:40
☆ Re: 逆関数 / aki
もう一つ質問があります。
元々の問題は
http://y.upup.be/?XoNOELQkvg
ですが、
(3)はそのまま逆関数の式=合成関数
を計算するとき、
そのまま展開すると
http://t.upup.be/?QPJOgjSFSo
のようになり
答えのように
http://u.upup.be/?Dffhm1KKse
きれいに因数二つで囲むに至る事ができませんでした。
すみませんが計算のどこが悪いか教えて下さい。
宜しくお願いします。
No.8003 - 2009/09/17(Thu) 23:13:35
☆ Re: 逆関数 / ヨッシー
http://t.upup.be/?QPJOgjSFSo
の式がどのようにして出来てきたのかわからないと、
どこが悪いかもわかりませんが、模範解答は、非常に
丁寧に書かれているので、ひとつひとつたどって行ってはどうでしょうか？
見るからに、符号が間違っていそうですが。
No.8022 - 2009/09/19(Sat) 06:33:16
☆ Re: 逆関数 / aki
ヨッシーさん助かります。
わかりました。

また、yc−aについてはどうでしょうか？
お答えいただけると助かります。
No.8028 - 2009/09/19(Sat) 17:28:50
★ 教えてください。。。 / minami
学校の宿題で出た問題です。

Q（√2）にならってQ（√3）を構成し、それが体の性質を満たすことを示せ。
但しそれは実際にはｐ＋ｑ√3（ｐ、ｑは有理数）の形のものの集まりを表していることにする。

この問題がわかりません。
分かる方、お願いします（泣）
No.6746 - 2009/07/14(Tue) 17:57:04
☆ Re: 教えてください。。。 / angel
> 体の性質を満たすことを示せ。

とあるのですから、調べましょう。
体の満たすべき性質は学校で話が出ているはずです。
把握していないのなら、wikipedia でも出ていますが、
　1. 加法に関する結合法則を満たす
　2. 加法に関する交換法則を満たす
　3. 加法に関する単位元(ゼロ元)が存在する
　4. 加法に関する逆元(マイナス元)が存在する
　5. 乗法に関する結合法則を満たす
　6. 乗法に関する単位元が存在する
　7. 3.のゼロ元以外に関して、乗法に関する逆元が存在する
　8. 加法に関する単位元と乗法に関する単位元は異なる
　9. 加法・乗法に関する分配法則を満たす
です。( 乗法に関する交換法則も満たすと、可換体ですね )

例えば、1 に関して言えば、
　x1=p1+q1√3, x2=p2+q2√3, x3=p3+q3√3 と置く。
　(x1+x2)+x3=(p1+q1√3+p2+q2√3)+p3+q3√3=(p1+p2+p3)+(q1+q2+q3)√3
　x1+(x2+x3)=p1+q1√3+(p2+q2√3+p3+q3√3)=(p1+p2+p3)+(q1+q2+q3)√3
これより、(x1+x2)+x3=x1+(x2+x3) が成立するため、結合法則を満たす
のように計算すれば示すことができます。
No.6766 - 2009/07/14(Tue) 22:52:28
☆ Re: 教えてください。。。 / minami
丁寧な説明ありがとうございます！！
No.6768 - 2009/07/14(Tue) 23:30:56
★ 不等式 / 桜　高3
いつもありがとうございます！！

2つの不等式3(x-2)＜8-4x,2x+b≧x+4を同時に満たす整数がただ１つあるときbのとりうる範囲は？

という問題が分かりませんでした。

x＜2 x≧4-b
となってなぜ
0＜4-b≦1
になるのでしょうか？

ありがとうございます☆
No.6745 - 2009/07/14(Tue) 17:29:30
☆ Re: 不等式 / gaku
4-b≦x<2
で，この式を満たす整数が1個だけなんだから
たとえば，4-b=-2なら，
-2≦x<2となるので，-2，-1，0，1　と満たす整数は4つになってしまう

4-bの値の範囲をもっと狭めなければ，整数1個にならない
No.6749 - 2009/07/14(Tue) 19:04:22
☆ Re: 不等式 / 桜　高3
ありがとうございます☆
No.6757 - 2009/07/14(Tue) 21:18:34
★ 漸化式 / aki
こんにちは。
質問お願いします。
http://r.upup.be/?LQuzOMyAFG
まず(2)ですが、答えは(−r)^(n−2)
ですが、私はn−1にしてしまいました。
等比数列の一般項の公式は初項×比^n−1
ですが、これはn≧1のときであって、今回はn≧2だからでしょうか。

また(3)はn≧2のとき
a2=Σ[K=2〜n]bn

をとくだけみたいなのですが、このΣの範囲以外にn=1や0のときを求める必要はないのでしょうか？
No.6744 - 2009/07/14(Tue) 17:21:17
☆ Re: 漸化式 / angel
> これはn≧1のときであって、今回はn≧2だからでしょうか。

そうです。
n=0 から始まる数列なのか、n=1 からなのか、それ以外なのかで一般項の形が微妙に変わります。
必ず例を挙げて、式が合っているかどうか試しましょう。

a[0]=α、公比 r の等比数列 … a[n]=α・r^n
a[1]=α、公比 r の等比数列 … a[n]=α・r^(n-1)
a[2]=α、公比 r の等比数列 … a[n]=α・r^(n-2)

> このΣの範囲以外にn=1や0のときを求める必要はないのでしょうか？

はい。必要ありません。
極限というのは、限りなく先の項を辿っていったらどうなるか、という考え方をしますので、1項目や2項目は無視して構いません。
※勿論、無視しなくても構いません。
極端な話、n≧10000 とか、もっと先から考えても良いのです。
ただ、この問題であれば、n≧2 から考えるのが一番分かり易いと思います。
No.6764 - 2009/07/14(Tue) 22:26:00
☆ Re: 漸化式 / aki
よくわかりました！
私にもわかるように丁寧に説明して下さり有り難いです。
どうもありがとうございました。
No.6790 - 2009/07/15(Wed) 20:00:44
★ 斜交座標 / とも
↑op=α↑OA＋β↑OB↑、α＋β≦１、０≦α、０≦βをみたすときのｐの存在する領域の面積を求めよという類題がありますが、一方の係数（↑OAまたは↑OB）にαとβ両方含む場合（α＋１/２βなど）どうやってもとめればよいのでしょうか。
No.6742 - 2009/07/14(Tue) 15:09:27
☆ Re: 斜交座標 / ヨッシー
たとえば、
　ＯＰ＝αＯＡ＋(α＋β/２)ＯＢ
の場合、
　ＯＰ＝α(ＯＡ＋ＯＢ)＋βＯＢ/２
ですので、
　ＯＣ＝ＯＡ＋ＯＢ
　ＯＤ＝ＯＢ/２
という、新しいベクトルを設定して考えます。
No.6743 - 2009/07/14(Tue) 15:39:50
☆ Re: 斜交座標 / とも
ありがとうございました！！
No.6774 - 2009/07/15(Wed) 03:08:06
★ 算チャレ３６３問について / haru
　363問について、作図して求めたとありますが、
(途中削除)
・・・作図が不正確ということで、答えが合ってしまったことですよね。
これは、どうゆうことなのでししょうか？

下に書かれた理由で、解答の核心に触れる部分は、割愛しました。
ご了承ください。(ヨッシー)
No.6727 - 2009/07/13(Mon) 21:26:28
☆ Re: 算チャレ３６３問について / angel
…それ、ここで聞くことではないような。
2つの意味でマズい質問です。

一つには、他サイト ( リンクページから辿れる、算数にチャレンジ Ver3!! のようですが ) の内容を、説明なしに書いているので、見ている人にとって訳が分からなくなっている点

もう一つには、( 恐らく ) 新作で解答が公開されていない問題に対して、ネタばれとなることを書いてしまっている点。
※そのサイトにある、正解者専用の掲示板ならまだしもでしょうが…

私は、この質問は消した方が良いと思いますよ。
No.6735 - 2009/07/13(Mon) 23:59:32
☆ Re: 算チャレ３６３問について / angel
一応、私見ですが、「解き方アンケート」にあった、「作図して求めました」は、具体的な解き方が書いていませんが、その内容は不適だろうと思います。たまたま答えの数字が合っただけではないでしょうか。
※詳しくは書いた本人に聞かないと何とも言えませんが。

PAの長さは計算で出ますし、図上で直接測っても綺麗な数字になりますから、後は PAを底辺とした時の△PABの高さを、定規か何かで測ったのではないかと思っています。
なお、ABの長さは無理数 ( 2√?? ) となりますので、作図で求められるとは思えません。
No.6736 - 2009/07/14(Tue) 00:16:42
☆ Re: 算チャレ３６３問について / DANDY　U
> 私は、この質問は消した方が良いと思いますよ。
同感です！　
回答の締め切りまではこういう質問は自粛しましょう。
No.6737 - 2009/07/14(Tue) 01:07:17
☆ Re: 算チャレ３６３問について / ヨッシー
ここでいう作図は、いわゆる定規とコンパスでやる方法ではなく、
花子に描いて面積を求めさせた、というだけです。

ですから、すみませんて(^^;
No.6740 - 2009/07/14(Tue) 05:39:26
☆ Re: 算チャレ３６３問について / haru
ありがとうございました！
No.6741 - 2009/07/14(Tue) 12:34:24
★ (No Subject) / jannk
実数ｘ，ｙに対してＸ=(ｘ -ｙ)　を満たす正方行列
　　　　　　　　　　 (ｙ ｘ)　
またＥ=(１０)の単位行列とする。
　　　 (０１)　
(１)Ｘ^2＝Ｅを満たす?I，ｙの組を全て求めよ。
(２)Ｘ^8＝Ｅを満たすときｘ^2＋ｙ^2＝１である事を示せ。
という問題が分かりません。答えと解説をおねがいします。。
No.6726 - 2009/07/13(Mon) 21:02:53
☆ Re: / KINO
(1) X^2 を計算してみましたか？
X^2 は
(x^2-y^2 -2xy)
( 2xy x^2-y^2)
なので（自分でちゃんと確かめてください！），
これが E に等しいということは，
x^2-y^2=1 かつ xy=0 ということです。
xy=0 ということは，x か y は 0 ということですが，
x=y=0 だと x^2-y^2=1 が成り立たないので，
x=0 か y=0 のいずれかのみが成り立つということになります。

まず x=0 のときはどうかというと，-y^2=1 で，y は実数なのでこれを満たす y はありません。

次に y=0 のときはどうかを考えることになりますが，それは jannk さんにお任せしましょう。

(2) X^8 を計算するのは大変そうなので，(1) とは異なる観点から攻めてみます。
r=√(x^2+y^2) とおくと，
(x/r)^2+(y/r)^2=1
なので，x/r=cosθ，y/r=sinθを満たす実数θがあります。
そこで，行列 R(θ) を
(cosθ -sinθ)
(sinθ cosθ)
とおくと，
X=rR(θ)
と表せます。
三角関数の加法定理を用いると，
R(θ)^n は
(cos(nθ) -sin(nθ))
(sin(nθ) cos(nθ))
になることが数学的帰納法で示せます。
したがって，
X^8=r^8 R(8θ)
となり，これが E に等しいとき，r≠0 であり，
sin8θ=0 かつ r^8cos8θ=1 なので，
r^8>0 より cos8θ>0.
したがって cos8θ=1 であることがわかります。
そして r=√(x^2+y^2)>0 なので r=1 であり，
最終的に x^2+y^2=r^2=1 であることが示せます。
No.6731 - 2009/07/13(Mon) 22:31:01
☆ Re: / angel
(2) もっと楽に行くなら、行列式の性質
　det(ＡＢ)=det(Ａ)・det(Ｂ)
を利用します。…これ習ってますよね?
※det(Ｘ) は、行列Ｘの行列式を表します。( 「行列式」を表す英語 determinant の略 )

そうすると、Ｘ^8=Ｘ・Ｘ^7 ですから、
　det(Ｘ^8) = det(Ｘ)・det(Ｘ^7)
同様に
　det(Ｘ^7) = det(Ｘ)・det(Ｘ^6)
　…
となりますので、まとめると
　det(Ｘ^8) = det(Ｘ)^8

後は、det(Ｘ)=x^2+y^2≧0、det(Ｘ^8)=det(Ｅ)=1 であることをあわせると、x^2+y^2=1 が示せます。
No.6734 - 2009/07/13(Mon) 23:12:44
☆ Re: / KINO
angelさんの解法の方がすっきりしていますね。
僕は1次変換の観点から説明しましたが，出題者の意図はおそらく angel さんの解法の方でしょう。

ただ，行列式の高校での扱いがよくわからないので僕は行列式を持ち出すのをためらいました。
レベルの高い進学校や予備校では教えているみたいですが，指導要領にはなんとも書いてありませんし・・・。

# これは独り言です。
No.6739 - 2009/07/14(Tue) 02:27:38
☆ Re: / jannk
自分でやって見たんですが、(１)からＸ＾2＝ＥでＸ^8＝ＥだからＸ^2＝Ｘ^8になってではいけませんか！？？
No.6754 - 2009/07/14(Tue) 20:14:34
☆ Re: / jannk
どうしてr=√(x^2+y^2) とおけるんですか！？
No.6758 - 2009/07/14(Tue) 21:48:14
☆ Re: / angel
> (１)からＸ＾2＝ＥでＸ^8＝ＥだからＸ^2＝Ｘ^8になってではいけませんか！？？

いけません。
(2)は(1)とは状況が違いますから。( 問題文中にも、(1)の条件を満たす時〜というようなことは書いていない )

なお、Ｘ^8=Ｅを解くと、
　(x,y)=(±1,0), (0, ±1), (±1/√2, ±1/√2) (複号任意)
の8通りですが、このときＸ^2は、
Ｙ=(0 -1)
　 (1　0)
と置く時、Ｘ^2=±Ｅ、±Ｙ のいずれかとなります。
なので、Ｘ^2=Ｅとは限りません。
No.6759 - 2009/07/14(Tue) 22:11:45
☆ Re: / angel
> どうしてr=√(x^2+y^2) とおけるんですか！？

そういう考え方をすると、形が綺麗になることがあるのです。
「おける」というより、「おいてみた」の方があっていると思います。

図形的に考えるなら、xy平面上の点P(x,y) に関して、
　r=OP
　θ=( x軸の正の部分を、点Pに到達するまで、反時計周りに回転させた時の角度 )
とすると、
　x=rcosθ、y=rsinθ
という関係ができ、このr,θを使って問題を進めていくことができます。
これは、(平面での)極座標です。

KINOさんも説明されていますが、このr,θを使うと、
　Ｘ^8=(r^8・cos8θ -r^8・sin8θ)
　　　　(r^8・sin8θ　r^8・cos8θ)
と綺麗な形で計算できるので、丁度良いのです。
No.6765 - 2009/07/14(Tue) 22:34:37
☆ Re: / jannk
(２)なんですけど、、
?]^8＝Ｅより(?]^2)^4＝Ｅで(１)よりｘ＝±１，ｙ＝０だから４乗してｘ＝１，ｙ＝０となりｘ^2＋ｙ^2＝１に代入して１＝１でなりたつ。となりました。。いかがでしょうか？
No.6795 - 2009/07/15(Wed) 22:25:34
☆ Re: / KINO
> ?]^8＝Ｅより(?]^2)^4＝Ｅで(１)より

(1) をどう使ったのでしょうか？よくわかりません。

どうしても (1) を使いたければ，次のような流れになると思います。
X の形から，X^n は
(x[n] -y[n])
(y[n] x[n])
の形であることが示せます。
これと (1) の結果を組み合わせると，(X^4)^2=E なので
x[4]=±1，y[4]=0 であることは言えます。
X^4=(X^2)^2 なので
x[4]=x[2]^2-y[2]^2，y[4]=2x[2]y[2] となり，
(x[2],y[2])=(±1,0)，(0,±1).
x[2]=x^2-y^2，y[2]=2xy なので
x[2]^2+y[2]^2=(x^2-y^2)^2+4x^2y^2=(x^2+y^2)^2=1.
x^2+y^2≧0 なので x^2+y^2=1 となります。
No.6806 - 2009/07/16(Thu) 20:17:43
★ (No Subject) / jannk
すみません。。また質問です。。
自然数ｎに対して，ｆn(ｘ)=ｘ^n+2・ｅ^-nxとする。
(１)ｆn(ｘ)の導関数を求めよ。
(２)曲線ｙ=ｆn(ｘ)の原点Ｏを通る接線の方程式を全て求めよ。
です。
(１)は積の微分で
ｆn(ｘ)＝(ｎ+２)Ｘ^n+1・ｅ^-nx＋ｘ^n+2・-ｎｅ^-nx
になったんですがあってますか！？？
(２)はまったく分かりません。。接線の方程式ですか？？
No.6711 - 2009/07/12(Sun) 21:41:56
☆ Re: / ヨッシー
ｆn(ｘ)=ｘ^(n+2)・ｅ^(-nx) ですね。
だとすると、(1) は合っています。
ただし、掛けるのマーク・のすぐあとに−(マイナス)は、
よくありません。カッコを使いましょう。

y=fn(x) 上の点 (x0,fn(x0)) における接線の式は、
　ｙ＝fn'(x0)(x-x0)＋fn(x)
です。これが、原点を通るようにｎを決めます。
No.6713 - 2009/07/12(Sun) 21:57:54
☆ Re: / jannk
> ｆn(ｘ)=ｘ^(n+2)・ｅ^(-nx) ですね。
> だとすると、(1) は合っています。
> ただし、掛けるのマーク・のすぐあとに−(マイナス)は、
> よくありません。カッコを使いましょう。
>
> y=fn(x) 上の点 (x0,fn(x0)) における接線の式は、
> 　ｙ＝fn'(x0)(x-x0)＋fn(x)
> です。これが、原点を通るようにｎを決めます。

ということはｙ=ｘ=０を代入するんですか！？
No.6715 - 2009/07/12(Sun) 22:06:23
☆ Re: / X
その通りですよ。
No.6722 - 2009/07/13(Mon) 00:36:46
☆ Re: / jannk
> その通りですよ。

わかりました！！ありがとうございます！
No.6725 - 2009/07/13(Mon) 20:54:18
★ 連投すいません。 / ハオ
数?TAの範囲です。
２次不等式x^2-(2a+3)x+a^2+3a<0 ---?@
　　　　　x^2+3x-4a^2+6a<0 ---?A
?@?Aを同時に満たす整数xが存在しないのはaがどんな範囲にあるときか。
という問題です。?@?Aを解いた後、手がつけられません。
No.6708 - 2009/07/12(Sun) 19:13:23
☆ Re: 連投すいません。 / angel
これは丁寧に場合分けをする必要がありそうです。
いきなり整数のことを考えると訳がわからなくなるので、段階的に行きましょう。
　i) 2つの不等式を同時に満たす実数解xがあるのはどんな場合か
　ii) 2つの不等式を同時に満たす整数解xがあるのはどんな場合か
　iii) 2つの不等式を同時に満たす整数解xがないのはどんな場合か

ii)→iii)は、単に条件を反転させるだけですから良いとして。
まずは i) を場合分けして考えます。
添付した図では、(1)〜(7)の7通りに分けています。
※(4)はa=3/4ですが、明らかに解がないため、省略しています。
図中、2つの不等式を同時に満たすxの範囲は、赤線で引いた部分です。

最後に、i)→ii)の部分ですが、i)で場合分けした(1),(2),(6),(7)それぞれ個別に考えます。
特に(6)の場合は、更に a＞4 か a≦4 かで更に場合分けするのが良いです。
a≦4 の場合、( もし整数解を持つとすれば ) 整数解の値が特定できますから、そこからaの条件を絞りこむことができます。
No.6717 - 2009/07/12(Sun) 22:25:21
☆ Re: 連投すいません。 / angel
そうそう、場合分けがなぜこうなったか、ですが、a,a+3,2a-3,-2aそれぞれをグラフ化してみるのが良いでしょう。
非常に大雑把ですが、添付の図のようなかんじになります。
No.6721 - 2009/07/12(Sun) 23:44:00
★ 数学ではないのですが… / aki
生物なのですが、お聞きしても宜しいでしょうか？
http://t.upup.be/?7PZ3OiG8Lp

の(3)ですが、なぜ答えがaになるのかわかりません。
そもそもaが変異したらオルニチンもシトルリンもアルギニンも生成されないように思います。
生物学的な知識ではなく、数学的思考で考えられる問題だと思ったので、教えていただけたら助かります。
宜しくお願いします。
No.6701 - 2009/07/12(Sun) 16:45:36
☆ Re: 数学ではないのですが… / angel
カビのアルギニン合成経路が
　前駆物質-(酵素a)→オルニチン-(酵素b)→シトルリン-(酵素c)→アルギニン
となっていて、株Aはアルギニンを加えないと生育できない、という情報がある状態では、まだ色々な候補が考えられます。
「アルギニンが生成できるか、与えられる環境でないと生育できない」ことは確定しますが、オルニチン・シトルリンがどうなのかは判断できないのです。( 単なる中間物質で、アルギニンさえあれば、生成できなくても良いかも知れない )

その上で、「オルチニンを与えれば生育できた」という情報を加えて考えると、オルチニンからアルギニンを生成できることが分かりますから、酵素b,cは有効であると判断できます。

最終的に、消去法により、使えなくなった酵素はaと分かります。同時に、このカビにとっては、アルギニンさえあれば、オルニチンもシトルリンも必要ないことも分かります。
No.6710 - 2009/07/12(Sun) 21:33:45
☆ Re: 数学ではないのですが… / aki
なるほどですよくわかりました！ありがとうございました！
No.6723 - 2009/07/13(Mon) 20:25:26
★ 受験数学について / ハオ
この掲示板の趣旨から逸れている内容と見なされた場合は無視して頂いて構いませんが、出来る限り答えてもらいたいと思います。
僕は今高2でチャート式で学習しているのですが、演習問題AやBには誘導形式の問題が多く見られます。誘導式ならば容易く答えられる様な問題でもいきなり(1)(2)を見ずに(3)を解き始めると手をつける事が出来ません。
やはり、目標としては誘導なしで解ける方がいいのでしょうか？それとも、誘導問題は誘導問題として解く方がよいのでしょうか？
ご教授願います。
No.6698 - 2009/07/12(Sun) 12:26:50
☆ Re: 受験数学について / ヨッシー
同じような問題でも、誘導なしで出す大学もあれば、
誘導付きで出す大学もあるでしょう。
また、(1)(2)(3) とあるからといって、誘導型であるとも
限りません。

ただ、概して、レベルの高い大学ほど、誘導を付ける(付けないと
解けない)問題が多いように思えますし、(1)(2) を誘導として、
しっかり(3)で使えるということも、数学の能力を見る指標の
１つであるので、誘導なしでいきなり解くのばかりが良いとも
一概には言えないと思います。

チャートは、色んなレベルに分かれているとは言え、一般的な
テキストですので、各大学の傾向も、見ておいた方が良いと思います。
No.6699 - 2009/07/12(Sun) 12:57:43
★ (No Subject) / 小春
ベクトルの問題なんですけど答えが分かりません。。
問題。大きさがそれぞれ５，３，１の平面上のベクトルａ↑，ｂ↑，ｃ↑に対してｚ↑＝ａ↑＋ｂ↑＋ｃ↑とおく。
(１)ａ↑、ｂ↑、ｃ↑を動かすとき｜ｚ↑｜(絶対値)の最大値と最小値を求めよ。
(２)ａ↑を固定して、ａ↑・ｚ↑＝２０を満たすようにｂ↑、ｃ↑を動かすとき｜ｚ↑｜の最大値と最小値を求めよ。
というもんだいです。色々試しましたが全くだめでした。。
答えと解説をお願いします。。
No.6680 - 2009/07/11(Sat) 13:52:23
☆ Re: / ハオ
自分の為という事が主な書き込む理由なので、無視されても構いません。
(1)|a→|-|b→|≦|a→+b→|≦|a→|+|b→|という公式を駆使します。最小値について
|a→|-|b→|-|c→|≦|a→+b→|-|c→|≦|a→+b→+c→|
より最小値 1
最大値についても同様にして
|a→+b→+c→|≦|a→|+|b→|+|c→|より最大値 9

(2)-|b→||c→|≦b→・c→≦|b→||c→|---?@という不等式を使います。
a→・z→=20と出ているので z→-a→=b→+c→
の両辺2乗をすると、|z→|^2 -2a→・b→+|a→|^2=
|b→|^2+2b→・c→+|c→|^2 整理して
|z→|^2=2b→・c→＋25
?@を用いて
-|b→||c→|≦b→・c→≦|b→||c→|,|z|>0より
|z→|の最大値√31 最小値√19

本当に良い復習になりました。因みにこの問題の出典は一橋大ではないですか？
No.6681 - 2009/07/11(Sat) 15:38:02
☆ Re: / ヨッシー
図で理解するとこんな感じです。

ｚが最大になるのは、ａ、ｂ、ｃを
めいっぱいつなげたとき。
ｚが最小になるのは、出来るだけ原点近くに戻したとき。

ａ・ｚ＝20 で、|ａ|＝５ なので、
ａとｚのなす角をθとすると
　|ｚ|cosθ＝４
となり、ｚの終点は、図の点線上に来ます。
ａ とできるだけ離そうとしたときが最大、出来るだけ
近づけようとしたときが最小になります。
離すときは、ｂとｃ をつないで長さ４を作ります。
　√(４2−１2＋４2)＝√31
近づけるときは、ｂとｃを逆向きにつないで長さ２を作り
　√(２2−１2＋４2)＝√19
です。
No.6682 - 2009/07/11(Sat) 17:20:08
☆ Re: / jannk
> 自分の為という事が主な書き込む理由なので、無視されても構いません。
> (1)|a→|-|b→|≦|a→+b→|≦|a→|+|b→|という公式を駆使します。最小値について
> |a→|-|b→|-|c→|≦|a→+b→|-|c→|≦|a→+b→+c→|
> より最小値 1
> 最大値についても同様にして
> |a→+b→+c→|≦|a→|+|b→|+|c→|より最大値 9
>
> (2)-|b→||c→|≦b→・c→≦|b→||c→|---?@という不等式を使います。
> a→・z→=20と出ているので z→-a→=b→+c→
> の両辺2乗をすると、|z→|^2 -2a→・b→+|a→|^2=
> |b→|^2+2b→・c→+|c→|^2 整理して
> |z→|^2=2b→・c→＋25
> ?@を用いて
> -|b→||c→|≦b→・c→≦|b→||c→|,|z|>0より
> |z→|の最大値√31 最小値√19
>
> 本当に良い復習になりました。因みにこの問題の出典は一橋大ではないですか？

すみませんが大学まではわからないんですけど、(１)の一番最初の公式って高校で習いますか！？
No.6684 - 2009/07/11(Sat) 20:26:13
☆ Re: / ハオ
すいません、公式ではなくて不等式でしたね。訂正いたします。この不等式はコーシーシュワルツの不等式同様、チャート式には記載されていますよ（証明問題として）。
僕も、実際解いてみました。
一緒に受験頑張りましょう！
No.6685 - 2009/07/11(Sat) 20:49:22
☆ Re: / jannk
> すいません、公式ではなくて不等式でしたね。訂正いたします。この不等式はコーシーシュワルツの不等式同様、チャート式には記載されていますよ（証明問題として）。
> 僕も、実際解いてみました。
> 一緒に受験頑張りましょう！
黄色チャートにのってました！！
どうして、ａ↑、ｂ↑、ｃ↑を動かすときにその不等式を使うんですか！？
No.6687 - 2009/07/11(Sat) 22:15:21
☆ Re: / ハオ
どうしてと言われても困りますが・・・強いて言うならば
|z→|=|a→+b→+c→|を考えた場合、
頭にその不等式が閃いたからです。
最大値、最小値を求める問題は不等式を用いて解く場合が多いので。
No.6697 - 2009/07/12(Sun) 09:53:47
★ (No Subject) / jannk
数列の問題なんですけど…色々試したんですがわかりません＞＜！問題は
数列｛Ｘn｝をX1＝１、X2＝２、Xn+2=２/Xn+1＋Xn　(ｎ＝１、２、３．．．．．．)で定めるＸnの一般項を求めよ。という問題です。
三項間、分数、置き換えのパターンをそれぞれ試したのですが全然進まないので、ぜひお力をお借りしたいです。。
一般項がどうしてそうなるのか答えと解説をお願いします！！
No.6669 - 2009/07/11(Sat) 00:32:34
☆ Re: / rtz
Xn+2＝(2/Xn+1)＋Xn
Xn+2＝2/(Xn+1+Xn)

どちら。
No.6670 - 2009/07/11(Sat) 02:14:24
☆ Re: / jannk
> Xn+2＝(2/Xn+1)＋Xn
のほうです。
No.6672 - 2009/07/11(Sat) 10:36:02
☆ Re: / angel
答えは、
　nが奇数の時 X[n]= 2^(n-1)・((n-1)/2)!^2/(n-1)!
　nが偶数の時 X[n]= (n-1)!/( 2^(n-3)・(n/2-1)!^2 )
です。

解き方としては、
1. X[n+2]X[n+1] = X[n+1]X[n] + 2 に気付く
　数列 X[n+1]X[n] が、公差 2 の等差数列と分かります

2. 対数を取って階差数列にする
　X[n+1]X[n]=a[n] の形になるので、Y[n]=(-1)^(n-1)・log(X[n]) とすれば、
　Y[n+1]-Y[n]=(-1)^n・log(a[n]) というように、階差数列ができあがります。

3. 偶数・奇数で場合分けして考える
　nが奇数であれば、
　　log(2・1)+log(2・2)+…+log(2(n-1))
　　　=log(2^(n-1)・(n-1)!)
　　log(2・2)+log(2・4)+…+log(2(n-1))
　　　= log(2^2・1)+log(2^2・2)+…+log(2^2・(n-1)/2)
　　　= log(2^(n-1)・((n-1)/2)!)
　　という形が
　nが偶数であれば、
　　log(2・1)+log(2・2)+…+log(2(n-1)) ※奇数の場合と一緒
　　log(2・2)+log(2・4)+…+log(2(n-2))
　　　= log(2^2・1)+log(2^2・2)+…+log(2^2・(n/2-1))
　　　= log(2^(n-2)・(n/2-1)!)
　という形が出てきます。
　それぞれなんとかまとめましょう。
No.6673 - 2009/07/11(Sat) 12:33:39
☆ Re: / らすかる
X[n+2]=2/X[n+1]+X[n]
X[n+1]X[n+2]=X[n]X[n+1]+2
X[1]X[2]=2 なので X[n]X[n+1]=2n
X[n+1]=2n/X[n]
X[n+2]=2(n+1)/X[n+1]={(n+1)/n}X[n]

X[1]=1
X[3]=(2/1)
X[5]=(4/3)(2/1)=(4*2)/(3*1)=4!!/3!!
X[7]=(6/5)(4/3)(2/1)=(6*4*2)/(5*3*1)=6!!/5!!
・・・
よってnが奇数のとき X[n]=(n-1)!!/(n-2)!!

X[2]=2
X[4]=2(3/2)
X[6]=2(5/4)(3/2)=2(5*3)/(4*2)=2*5!!/4!!
X[8]=2(7/6)(5/4)(3/2)=2(7*5*3)/(6*4*2)=2*7!!/6!!
・・・
よってnが偶数のとき X[n]=2(n-1)!!/(n-2)!!

偶奇まとめて X[n]={((-1)^n+3)(n-1)!!}/{2(n-2)!!}
No.6674 - 2009/07/11(Sat) 12:49:41
☆ Re: / jannk
そこの設問にｙn＝Xn+1Xn
があるのでXnの一般項まｄｗｄよりもエンジェルさんの解き方１まででいいんでしょうか。。
No.6676 - 2009/07/11(Sat) 12:59:43
☆ Re: / jannk
そこの設問にｙn＝Xn+1Xn
があるのでXnの一般項までよりもエンジェルさんの解き方１まででいいんでしょうか。。
No.6677 - 2009/07/11(Sat) 13:00:15
☆ Re: / angel
二重階乗で来ましたか…。表現がすっきりして良いですよね。
No.6678 - 2009/07/11(Sat) 13:03:55
☆ Re: / らすかる
＞そこの設問にｙn＝Xn+1Xnがあるので
上には書かれていませんね。
設問にあるのなら、省略せずにすべて書いてください。

＞Xnの一般項までよりもエンジェルさんの解き方１まででいいんでしょうか。。
「Xnの一般項を求めよ」という問題ならば、Xnの一般項を求めないとダメです。
No.6679 - 2009/07/11(Sat) 13:15:46
☆ Re: / jannk
すみません。設問は
(１)数列｛Ｘn｝をX1＝１、X2＝２、Xn+2=２/Xn+1＋Xn　(ｎ＝１、２、３．．．．．．)で定めるＸnの一般項を求めよ。という問題です。
(２)Yn＝Xn+1XnとおいたときYnの一般項を求めよ。
(３)自然数ｎに対して，Xn+2＝(ｎ＋１／ｎ)Xnが成り立つことを示せ。
(４)自然数ｋに対して，X2k+1＝４^K(ｋ！)／(２ｋ)！が成り立つ事を示せ。
です。。全部どうしたらいいかわかりません。解説と答えをそれぞれお願いします。。
No.6683 - 2009/07/11(Sat) 20:23:49
☆ Re: / らすかる
設問はその順番なのですか？
(1)の答えを出すために(2)(3)(4)を使うように思えるのですが。

(1)(2)(3)は私の回答の中に含まれています。
(4)は「nが奇数のときX[n]=(n-1)!!/(n-2)!!」から
X[2k+1]=(2k)!!/(2k-1)!!
=(2k)!!/{(2k)!/(2k)!!}
={(2k)!!}^2/(2k)!
=4^k(k!)^2/(2k)!
となりますので、2乗が抜けていると思います。
No.6686 - 2009/07/11(Sat) 21:39:17
☆ Re: / jannk
> 設問はその順番なのですか？
> (1)の答えを出すために(2)(3)(4)を使うように思えるのですが。
>
> (1)(2)(3)は私の回答の中に含まれています。
> (4)は「nが奇数のときX[n]=(n-1)!!/(n-2)!!」から
> X[2k+1]=(2k)!!/(2k-1)!!
> =(2k)!!/{(2k)!/(2k)!!}
> ={(2k)!!}^2/(2k)!
> =4^k(k!)^2/(2k)!
> となりますので、2乗が抜けていると思います。

すみませんでした！！２乗が抜けてました
あと(１)(２)(３)の答えがそれぞれどこに入っているかおしえてください！！
No.6688 - 2009/07/11(Sat) 22:18:56
☆ Re: / らすかる
式を見ればわかると思うんですが…
(1)の答えは最後の行、(2)の答えは1行目〜3行目、(3)の答えは1行目〜5行目です。
No.6689 - 2009/07/11(Sat) 22:25:07
☆ Re: / jannk
> 式を見ればわかると思うんですが…
> (1)の答えは最後の行、(2)の答えは1行目〜3行目、(3)の答えは1行目〜5行目です。

ありがとうございます。わかりました。
もうひとつ質問したいのですが新しいのを立てていいですか！？
No.6690 - 2009/07/11(Sat) 22:43:35
☆ Re: / jannk
> 式を見ればわかると思うんですが…
> (1)の答えは最後の行、(2)の答えは1行目〜3行目、(3)の答えは1行目〜5行目です。

どうしてｎを奇数と偶数で分けないといけないんですか！？
(４)が?]2k+1だからですか！？？
No.6691 - 2009/07/11(Sat) 23:12:54
☆ Re: / jannk
何度もすみません。。
(４)のＸ5＝(４／３)(２／１)＝(４・２)／(３・１)まではわかるんですがそのあとの４!!／３!!になんでなるのかわかりません。。
No.6692 - 2009/07/11(Sat) 23:38:08
☆ Re: / らすかる
＞どうしてｎを奇数と偶数で分けないといけないんですか！？

「分けないといけない」なんてことはありません。
分けずに解ければ、それでも結構です。
私は、分けた方がはるかに簡単なように思えたので分けました。

＞そのあとの４!!／３!!になんでなるのか

「!!」（二重階乗）は１つ飛ばしの階乗で、
例えば 10!!=10・8・6・4・2 です。
二重階乗を使わずに、例えば
(6・4・2)/(5・3・1)
=(6・4・2)/{6!/(6・4・2)}
=(6・4・2)^2/6!
={2^3(3・2・1)}^2/6!
=4^3(3・2・1)^2/6!
のようにすることもできます。
No.6694 - 2009/07/12(Sun) 00:44:51
☆ Re: / jannk
すごくわかりやすい説明ありがとうございました。。


また質問させていたただきます。どうぞその節はまたお願いします。
No.6700 - 2009/07/12(Sun) 14:08:02
☆ Re: / jannk
> 設問はその順番なのですか？
> (1)の答えを出すために(2)(3)(4)を使うように思えるのですが。
>
> (1)(2)(3)は私の回答の中に含まれています。
> (4)は「nが奇数のときX[n]=(n-1)!!/(n-2)!!」から
X[2k+1]=(2k)!!/(2k-1)!!から
=(2k)!!/{(2k)!/(2k)!!}までの行きかたと

={(2k)!!}^2/(2k)!から
=4^k(k!)^2/(2k)!までの行きかたが分かりません。。
No.6716 - 2009/07/12(Sun) 22:25:20
☆ Re: / らすかる
上に 5・3・1=6!/(6・4・2) という例を示したように、
(n-1)!!=n!/n!! ですから、
(2k-1)!!=(2k)!/(2k)!! となります。

また、上に 6・4・2=2^3(3・2・1) という例を示したように、
(2n)!!=2^n・n! ですから、
{(2k)!!}^2=(2^k・k!)^2=(2^k)^2・(k!)^2=4^k・(k!)^2 となります。
No.6719 - 2009/07/12(Sun) 23:06:54
☆ Re: / jannk
(３)(４)を数学的帰納法で証明してほしいです。。
No.6724 - 2009/07/13(Mon) 20:52:32
☆ Re: / らすかる
(3)
X[n+2]=2/X[n+1]+X[n]
X[n+1]X[n+2]=X[n]X[n+1]+2
X[1]X[2]=2 なので X[n]X[n+1]=2n
∴X[n]=2n/X[n+1]

X[3]=2/X[2]+X[1]=2だから
X[n+2]={(n+1)/n}X[n]はn=1のとき成り立つ。
n=kのときに成り立つとすると
X[k+2]={(k+1)/k}X[k]
2(k+2)/X[k+3]={(k+1)/k}・2k/X[k+1]
整理して X[k+3]={(k+2)/(k+1)}X[k+1]
よってn=k+1のときも成り立つので、
X[n+2]={(n+1)/n}X[n]は任意のnに対して成り立つ。

# X[n]X[n+1]=2nまで出ていれば直接
# X[n+2]=2(n+1)/X[n+1]={(n+1)/n}X[n] と出ますので
# 数学的帰納法を使うほどのものではないと思いますが…

(4)
X[3]=2だから
X[2k+1]=4^k(k!)^2/(2k)!はk=1のとき成り立つ。
k=tのときに成り立つとすると
X[2t+1]=4^t(t!)^2/(2t)!
{(2t+1)/(2t+2)}X[2t+3]=4^t(t!)^2/(2t)!
整理して X[2(t+1)+1]=4^(t+1){(t+1)!}^2/{2(t+1)}!
よってk=t+1のときも成り立つので、
X[2k+1]=4^k(k!)^2/(2k)!は任意のkに対して成り立つ。

# 「整理して」の部分の途中計算は自分でやってみてください。
No.6728 - 2009/07/13(Mon) 21:39:08
☆ Re: / jannk
> (3)
> X[n+2]=2/X[n+1]+X[n]
> X[n+1]X[n+2]=X[n]X[n+1]+2
> X[1]X[2]=2 なので X[n]X[n+1]=2n
> ∴X[n]=2n/X[n+1]
>
> X[3]=2/X[2]+X[1]=2だから
> X[n+2]={(n+1)/n}X[n]はn=1のとき成り立つ。
> n=kのときに成り立つとすると
> X[k+2]={(k+1)/k}X[k]
> 2(k+2)/X[k+3]={(k+1)/k}・2k/X[k+1]
> 整理して X[k+3]={(k+2)/(k+1)}X[k+1]
> よってn=k+1のときも成り立つので、
> X[n+2]={(n+1)/n}X[n]は任意のnに対して成り立つ。
>
> # X[n]X[n+1]=2nまで出ていれば直接
> # X[n+2]=2(n+1)/X[n+1]={(n+1)/n}X[n] と出ますので
> # 数学的帰納法を使うほどのものではないと思いますが…
>
> (4)
> X[3]=2だから
> X[2k+1]=4^k(k!)^2/(2k)!はk=1のとき成り立つ。
> k=tのときに成り立つとすると
> X[2t+1]=4^t(t!)^2/(2t)!
> {(2t+1)/(2t+2)}X[2t+3]=4^t(t!)^2/(2t)!
> 整理して X[2(t+1)+1]=4^(t+1){(t+1)!}^2/{2(t+1)}!
> よってk=t+1のときも成り立つので、
> X[2k+1]=4^k(k!)^2/(2k)!は任意のkに対して成り立つ。
>
> # 「整理して」の部分の途中計算は自分でやってみてください。

はい！わからなくなったらまた聞きます。
No.6729 - 2009/07/13(Mon) 22:10:25
☆ Re: / jannk
(３)はわかりましたが(４)の整理してがわかりません…
あとどこからＫ＝ｔ＋１になるんですか！？
No.6730 - 2009/07/13(Mon) 22:26:26
☆ Re: / らすかる
＞(４)の整理して
{(2t+1)/(2t+2)}X[2t+3]=4^t(t!)^2/(2t)!
X[2t+3]={(2t+2)/(2t+1)}4^t(t!)^2/(2t)!
X[2t+3]={2(t+1)/(2t+1)}4^t(t!)^2/(2t)!
X[2t+3]=2・4^t(t+1)!t!/(2t+1)!
X[2t+3]=2(2t+2)・4^t(t+1)!t!/{(2t+2)(2t+1)!}
X[2t+3]=4(t+1)・4^t(t+1)!t!/{(2t+2)(2t+1)!}
X[2(t+1)+1]=4^(t+1){(t+1)!}^2/{2(t+1)}!

＞どこからＫ＝ｔ＋１
X[2k+1]=4^k(k!)^2/(2k)! のkにt+1を代入すると
X[2(t+1)+1]=4^(t+1){(t+1)!}^2/{2(t+1)}!です。
No.6732 - 2009/07/13(Mon) 22:48:11
☆ Re: / jannk

X[2t+1]=4^t(t!)^2/(2t)!から
{(2t+1)/(2t+2)}X[2t+3]=4^t(t!)^2/(2t)!
にどうしてなるんですか！？
No.6733 - 2009/07/13(Mon) 22:58:33
☆ Re: / らすかる
(3)の X[n+2]={(n+1)/n}X[n] のnに2t+1を代入すれば
X[2t+3]={(2t+2)/(2t+1)}X[2t+1] ですから
X[2t+1]={(2t+1)/(2t+2)}X[2t+3] となります。
No.6738 - 2009/07/14(Tue) 02:01:25
☆ Re: / jannk
> (3)の X[n+2]={(n+1)/n}X[n] のnに2t+1を代入すれば
> X[2t+3]={(2t+2)/(2t+1)}X[2t+1] ですから
> X[2t+1]={(2t+1)/(2t+2)}X[2t+3] となります。

どうして代入するんですか！？
No.6755 - 2009/07/14(Tue) 20:20:03
☆ Re: / らすかる
どうして？
「何故」という意味ですか？
X[2t+1]= の式を変形して
X[2t+3]= の式を作り、数学的帰納法による解答にするためです。
No.6770 - 2009/07/14(Tue) 23:52:37
☆ Re: / jannk
> (3)の X[n+2]={(n+1)/n}X[n] のnに2t+1を代入すれば
> X[2t+3]={(2t+2)/(2t+1)}X[2t+1] ですから
> X[2t+1]={(2t+1)/(2t+2)}X[2t+3] となります。

どうして(３)のにも代入できるんですか！？？
(４)の帰納法の解答中にできますか！？
No.6796 - 2009/07/15(Wed) 23:09:14
☆ Re: / らすかる
(3)を証明した後なら、当然代入できますよ。
前問の結果を使うのは普通のことですよね。
No.6797 - 2009/07/16(Thu) 00:21:14
☆ Re: / jannk
> (3)を証明した後なら、当然代入できますよ。
> 前問の結果を使うのは普通のことですよね。

はい。全問は使います。。あとは計算ですね？？
No.6798 - 2009/07/16(Thu) 07:15:34
☆ Re: / らすかる
そうですね。
No.6800 - 2009/07/16(Thu) 10:34:35
★ (No Subject) / 祐巳　高
関数f(x)をf(x)=3x^2/(2x^2+1)とする。
0＜α＜1とし、数列{a_n}を
a_1=α、a_(n+1)=f(a_n) (n=1,2,…)
とする。αの値に応じて、lim[n→∞]a_nを求めよ。

どうやって解くのか全然思いつかないです。解き方を教えてください。お願いします。
No.6661 - 2009/07/10(Fri) 23:08:13
☆ Re: / ヨッシー

図のように、y=f(x) のグラフとその逆関数のグラフを描きます。

ここでは、説明上 f(x) の逆関数をg(x) とします。
ｘ座標がa1 であるf(x)上の点のｙ座標がa2 になります。
今度は、ｙ座標がa2 であるg(x)上の点のｘ座標が a3 になります。
これを、ずっと繰り返すと、図に書いたような位置では、
(0,0) に近づいていきます。

一方、(0,0)(1,1)以外でｙ＝f(x) と y=g(x) が交わる点Ａより
a1 が大きいところから始めると(1,1) に近づいていきます。
Ａ点のｘ座標から始めると、その値のままです。
No.6666 - 2009/07/10(Fri) 23:45:21
☆ Re: / 祐巳　高3
解答を教えてくださってありがとうございます。でもよくわからないことがあるのでもう少し質問させてください。

急に逆関数g(x)を持ち出されていますが、どうして逆関数を考えていらっしゃるのかがわからないです。逆関数はx軸とy軸をひっくり返してできる関数で間違いないですよね？

グラフと解答は、a_nはどんどん小さくなっていく数列なので、最終的には0になる、といった感じのように読めるのですが、ここがどうもすっきりしないです。
No.6693 - 2009/07/11(Sat) 23:46:37
☆ Re: / ヨッシー

図のように、ｘ座標 a1 である点のｙ座標を a2 とし、
a2 をｘ座標に取り直して、それに対応する a3 を取り、
a3 をｘ座標に取り直して、それに対応する a4 を取る。
というふうにしていけば、逆関数を考える必要はありません。
「ｘ座標に取り直して」を省くために、ｙ軸上にa2 が取れたら、
それをそのまま a3に移すために逆関数を使っています。
また、ｙ＝ｘ の直線を使って、右の図のようにする方法もあります。
No.6695 - 2009/07/12(Sun) 02:25:59
☆ Re: / 祐巳　高3
よくわかりました。ありがとうございました。
No.6696 - 2009/07/12(Sun) 06:54:04
★ ベクトル / 涼流
初めまして。高校2年生の者です。
ベクトルの問題で自分で答案を書いてみたのですが、
答えが凄く半端な数になりましたので、添削をお願い致します。
※a↑をaベクトルとします。以後、冗長なので省略させて頂きます--

【問題】
AD // BC, BC = 2ADなる台形ABCDがある。
辺CDの中点をM, 線分ACと線分BMの交点をEとする。
AB↑=b↑, AD↑=d↑とするとき、次の問に答えよ。

(1) AC, AMをそれぞれ、b, dを用いて表せ。
AC = AB + BC = b + 2d
AM = (AC + AD)/2 = (b + 2d + d)/2 = (1/2)b + (3/2)d

(2) |AC|:|AE| = 1:s, |BE|:|EM| = t:(1-t)とするとき、実数s, tを求めよ。
AE = (1 - t)b + tAM = (1 - t/2)b + (3t/2)d
|AC|:|AE| = 1:sより、AE = sAC = sb + 2sd

b, dは1次独立だから、
s = 1 - t/2, 2s = 3t/2
これを解いて、s = 3/5, t = 4/5

<ここまでは恐らくあつていると思います。>

(3) |AD| = 1, cos∠BAD = -√2/3とし、△ABEの重心をGとする。|AG|=2/3のとき、|b|の値を求めよ。
(2)より、AE = (3/5)b + (6/5)dだから、
BEの中点をLとすると、AL = 3AG = (b + AE)/2
⇔ 15g = 4b + 3d ⇔ 225|g|^2 = 16|b|^2 + 24b・d + 9|d|^2
⇔ 100 = 16|b|^2 + 24b・d + 9 ⇔ 16|b|^2 = 91- 24b・d …… ?@

ここで、b・d = |b||d|cos∠BAD = -(√2/3)|b|より、
?@ ⇔ 16|b|^2 = 91 +8√2|b|
⇔ 16|b|^2 - 8√2|b| - 91 = 0
|b| = (√2 + √62)/4 (∵|b| > 0)

因みに、(電卓で)計算したところ、(√2 + √62)/4 ≒ 2.32です。
どうか宜しくお願いします!
No.6659 - 2009/07/10(Fri) 22:56:54
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
>BEの中点をLとすると、AL = 3AG = (b + AE)/2
この辺が怪しいですね。それ以降の変形は確かめていませんが、
少なくとも、
ＡＬ＝３ＡＧ ではなく
ＡＬ＝３ＡＧ/２です。
No.6662 - 2009/07/10(Fri) 23:15:30
☆ Re: ベクトル / angel
|b|=√2 が正しそうですね。
ストレートに、↑AG=1/3・(↑AA+↑AB+↑AE) で良いのではないでしょうか。
No.6664 - 2009/07/10(Fri) 23:16:49
☆ Re: ベクトル / 涼流
本当に有り難う御座います!
非常に初歩的なことの理解が浅かったようです。
もう一度重心の正面をしてきます--

aベクトルは、↑aと表すのが一般的だったのですか^^; 失礼しました。

AG = (1/3)・(AA + AB + AE)
⇔ 3AG = AB + AE = (8/5)b + (6/5)d
⇔ 15AG = 8b + 6d
は確かにストレートでいいですね!
遠回しに中点でやるよりも簡潔で美しいです^^
色々な補足、有り難う御座いました。

最終的に|↑b| = 4√2/4 = √2となって解決致しました。

今後もお世話になるかも知れませんが、どうか宜しくお願い致します!
No.6665 - 2009/07/10(Fri) 23:44:00
☆ Re: ベクトル / angel
> aベクトルは、↑aと表すのが一般的だったのですか^^; 失礼しました。

や、一般的かどうかは知らないですよ?
ただ私はそう書く癖がついているもので… ( 私は「見て分かれば良い」でやっているので結構アバウトです )

まあ、なんにせよ、解決したようで何よりです。
No.6671 - 2009/07/11(Sat) 06:25:10
★ 分数関数 / aki
新しい問題すみません。
どうかお願いします。
http://y.upup.be/?IBJix3Bn8Q
はxとx−3、そして残り、と二つにわけて通分した後、x−1とx−2で通分した方は、2を引けば他の項と通分できる
と考え、分母分子から−2してみる
のは間違いでしょうか？
答えは合わなかったので間違いなのだとは思いますが…
教えて下さい、
No.6648 - 2009/07/10(Fri) 13:04:44
☆ Re: 分数関数 / moto
おっしゃっていることが
●「xとx−3、そして残り、と二つにわけて通分した後、」
・・・ここまではわかります。

「xとx−3、そして残り、と二つにわけて通分すると、以下のようになるはずです。

{1/x}＋{1/(x−3)}＋{1/(x−1)}＋{1/(x−2)}＝0
{(x−3)/x(x−3)}＋{x/x(x−3)}＋{(x−2)/(x−1)(x−2)}＋{(x＋1)/(x−1)(x−2)}＝0

●「x−1とx−2で通分した方は、2を引けば他の項と通分できると考え、分母分子から−2してみる」
・・・どのようなことをしたのか書いて頂かないとわかりません。

●「のは間違いでしょうか」
・・・具体的な数を用いて試してみると間違いかどうかわかる場合があります。
例：x＝8　とすると
(1/8)＋(1/7)＋(1/6)＋(1/5)
＝(1/8)＋(1/5)＋(1/7)＋(1/6)
＝(5/40)＋(8/40)＋(6/42)＋(7/42)
「2を引けば他の項と通分できると考え、分母分子から−2してみる」　
・・・どのようなことをされたのでしょうか？
No.6650 - 2009/07/10(Fri) 14:53:39
☆ Re: 分数関数 / aki
説明不足で大変申し訳ありません。
具体的には2x−3/(x−1)(x−2)から分母分子−2してみて
2x−5/x^2−3x
としてみたということです。自分としては新たな試みなんですが(^^;)
下の●でいうと分母42の項を4/40とかにしてみたということです
No.6653 - 2009/07/10(Fri) 15:47:02
☆ Re: 分数関数 / KINO
> 具体的には2x−3/(x−1)(x−2)から分母分子−2してみて

つまり，2/3=(2-2)/(3-2)=0/1=0 のような計算をしたというわけですか。

そんな計算は成立しませんよ。
No.6654 - 2009/07/10(Fri) 16:44:20
☆ Re: 分数関数 / aki
そうですよね。
ありがとうございました
No.6702 - 2009/07/12(Sun) 16:46:49
★ 中学数学 / kazu
a=bならばa二乗=b二乗=abである。
だから、a二乗-ab=a二乗-b二乗
a(a-b)=(a-b)(a+b)
両辺を(a-b)でわると
a=a+b
どこをどう間違えたのか述べよ。

さっぱりわかりません。。。
No.6645 - 2009/07/10(Fri) 11:09:49
☆ Re: 中学数学 / ヨッシー
具体的な数字で考えてみるとわかると思いますよ。

５＝５ ならば ５^2＝５^2＝５・５ である。
だから ５^2−５・５＝５^2−５^2
　５(５−５)＝(５−５)(５＋５)
両辺を (５−５)でわると
　５＝５＋５

どこで狂いましたか？
No.6646 - 2009/07/10(Fri) 11:13:50
☆ Re: 中学数学 / kazu
あっ！a-bでわるということは0でわるということですか！？
No.6647 - 2009/07/10(Fri) 12:11:59
☆ Re: 中学数学 / ヨッシー
そゆことです。
No.6667 - 2009/07/11(Sat) 00:04:22
★ なぞです / tomo
正の整数ｎで（ｎの3乗）＋1が３で割り切れるものをすべて求めよという問題で答えはｎ＝3k−1（ｋ；自然数）です。ここでnを3で割ったあまりで分けて考える理由がわかりません。nを二で割ったあまりでわけてうまくいかなかったから結果的にそうなったということなのでしょうか。
No.6637 - 2009/07/09(Thu) 23:30:15
☆ Re: なぞです / angel
(nに関する式が)3で割り切れる(3で割った余りが0)、という条件が提示されていますから、それに合わせて、nの分類も3で割った余りに沿ってやるのです。

3に限らず、何かしら自然数で割った余りで分類をする、という考えがありまして。
mで割る場合だと、余りは 0〜m-1 の m通りありますから、整数全体が m個のグループに分割できます。
そうした場合、任意の整数 a,b に対して、

　(aと同じグループに属する数)＋(bと同じグループに属する数) は、a+b と同じグループに属する
　(aと同じグループに属する数)×(bと同じグループに属する数) は、ab と同じグループに属する

といった綺麗な性質を持つので、色々使い易いのです。
興味があれば、合同式やmoduloといったキーワードで調べると良いでしょう。
No.6639 - 2009/07/09(Thu) 23:55:30
☆ Re: なぞです / tomo
任意の整数 a,b に対して、
(aと同じグループに属する数)＋(bと同じグループに属する数) は、a+b と同じグループに属する
　(aと同じグループに属する数)×(bと同じグループに属する数)は、ab と同じグループに属する
というのがよく分かりませんでした。
一般に、ｎに関する式がaで割り切れるときはｎの分類もaで割った余りに沿ってやる、と考えてよいのでしょうか。
よろしくお願いします。
No.6649 - 2009/07/10(Fri) 13:46:48
☆ Re: なぞです / angel
すいません。上の回答に関して、「3に限らず…」以降は余談であり、元の問題と直接関係はないのですが、問題中にある n を使用したため紛らわしくなりました。
被らないよう、m に修正しました。

> 一般に、ｎに関する式がaで割り切れるときはｎの分類もaで割った余りに沿ってやる、と考えてよいのでしょうか。

そうです。

余談ついでに、「同じグループに属する」を表す数式で書いてみましょうか。
「x と a は m で割った余りが等しい ( mで割った余りにより分類したグループで考えると、x と a は同じグループに属する )」は、
　x≡a (mod m)
と書きます。“(mod m)”は明らかであれば省略することもあります。
特に x≡0 (mod m) は、x が m で割り切れることを表します。

この表現で書き直すと、上で書いた性質は
　x≡a (mod m) かつ y≡b (mod m) ⇒ x+y≡a+b (mod m)
　x≡a (mod m) かつ y≡b (mod m) ⇒ xy≡ab (mod m)
となります。

更にこの表現を用いて今回の問題を解くと、
　n≡0 (mod 3) の場合、n^3+1≡0^3+1≡1 (mod 3) であり題意を満たさない
　n≡1 (mod 3) の場合、n^3+1≡1^3+1≡2 (mod 3) であり題意を満たさない
　n≡2 (mod 3) の場合、n^3+1≡2^3+1≡9≡0 ( mod 3 ) であり題意を満たす
任意の n は上記3通りのいずれかに分類されるため、題意を満たす n は、n≡2 ( mod 3 ) かつ n>0 であるものとなる。
※自然数 k を用いて表すと n=3k-1

となります。
…この解答は学校では使えませんが、考え方を知っておくのはよいかもしれません。
重ねて言いますが、これは余談ですので、深く悩む必要はありません。
No.6656 - 2009/07/10(Fri) 18:18:00
☆ Re: なぞです / tomo
[一般に、ｎに関する式がaで割り切れるときはｎの分類もaで割った余りに沿ってやる]は理屈云々より定理として覚えておきべきもののようですね。どうもありがとうございました。
No.6663 - 2009/07/10(Fri) 23:15:37
★ 円 / aki
続けて失礼します。
http://p.upup.be/?UIT6ZjBqC6の問題を、私は
弦の比は辺の比より、TBをxと置いた時に、3角形ATBに三平方を使い、
4x^2＋x^2=4a^2
でx=2a/√5となりましたが答えはx=aだそうです。
この考え方のどこが間違えてるかわかりません。どうか教えて下さい(>_<)
No.6614 - 2009/07/09(Thu) 15:29:13
☆ Re: 円 / ヨッシー
問題に書いてあるＡＴ，ＢＴは、弦ではなく弧です。
No.6622 - 2009/07/09(Thu) 16:50:53
☆ Re: 円 / aki
分かりにくい説明で失礼しました。
弧の比は弦の比なので、弦の方を文字で置いてみました。ということです。
宜しくお願いします。
また大分前の記事になりますが6211のヨッシーさんの回答についての質問を書き込みましたので誠に申し訳ありませんが教えていただけないでしょうか。
ご迷惑をおかけして申し訳ありません。
No.6628 - 2009/07/09(Thu) 17:25:39
☆ Re: 円 / ヨッシー
ですから、問題に書いてある
　ＡＴ：ＢＴ＝２：１
は、線分の長さの比ではなく、弧の長さの比です。
線分ＢＴ をｘとおいても、線分ＡＴは２ｘではありません。

結論から言うと、ＢＴ＝ｘ とおくと、ＡＴ＝√3ｘ　なので、
　３ｘ^2＋ｘ^2＝４ａ^2
より　ｘ＝ａ となります。
No.6632 - 2009/07/09(Thu) 21:30:12
☆ Re: 円 / angel
図中に 30°とか 60°とか正しい角度が書き込んであるように見えますが…? それを元に考えれば良いです。( 線分AT:線分BT=√3:1 というのはそこから分かる )

この角度がどこから来たかと言えば、
　弧AT:弧BT=∠AOT:∠BOT=∠ABT:∠BAT
ですね。
弧長の比と、中心角の比と円周角の比が一致する、ということで。
※円周角=中心角÷2 のため、円周角の比も一致

なお、△BOTが正三角形となること、OT⊥PTを利用すれば、△ABT≡△POTが言えます。これが一番早そうな気がします。
No.6638 - 2009/07/09(Thu) 23:38:03
☆ Re: 円 / ヨッシー
あぁ、書いてますね。
そして、弧ＡＴのところにマル２と書いてあるのを、
わざわざ消して、弦ＡＴの方に書き換えてありますね。
もう一度、弧の方に戻してみましょう。
No.6642 - 2009/07/10(Fri) 04:19:58
☆ Re: 円 / aki
角度でやるのが正しいやり方だと聞いたので、そちらでやってみた場合はできました!
弧の比=弦の比
だと思いこんでいたのですが、もしや
二つの弧の長さが等しいときその二つの弦の長さも等しい
だけで、比として弧と弦が同比になるわけではないということでしょうか？
No.6651 - 2009/07/10(Fri) 15:24:42
☆ Re: 円 / angel
> 比として弧と弦が同比になるわけではないということでしょうか？

そうです。
1例として、半径 r の円を基に考えてみましょう。
・中心角180°の扇形 ( つまり半円 ) の場合
　弦長 2r ( 直径 )、弧長 πr
・中心角60°の扇形の場合
　弦長 r ( 正三角形ができる )、弧長 1/3・πr

ということで、弦が半分になって、弧は1/3なので比は同じになりませんね。
No.6655 - 2009/07/10(Fri) 17:55:36
☆ Re: 円 / aki
本当によくわかりました！
いつも図形の問題を変に間違えてしまうのはこの勘違いを勝手に使っていたせいかもしれません。
どうもありがとうございました!!
No.6703 - 2009/07/12(Sun) 16:59:04
★ 図形 / aki
こんにちは。
苦手な図形に取組んでいます。
http://v.upup.be/?D9PkjQiueL
の問題ですが、まずこういう問題でどこから手をつけたらいいのかがさっぱりわからず色々やってみるもうまくいかずで困ってしまいます。
どうか着目点や着手すべきことを教えて下さい…
No.6611 - 2009/07/09(Thu) 13:13:12
☆ Re: 図形 / aki
添付を間違えてしまいました
http://q.upup.be/?1MHWmZPSWX
こちらです
どうかお願いします
No.6612 - 2009/07/09(Thu) 13:18:05
☆ Re: 図形 / ヨッシー
四角形ＢＥＤＣが、ＢＥ//ＣＤの台形となり、
円に接することから、等脚台形になります。

60度の角と、∠Ｂの二等分角、∠Ｃの二等分角を
円にありったけ描くと、見つかります。
∠Ｂの二等分角＋∠Ｃの二等分角がいくつになるかも、必要でしょう。
No.6613 - 2009/07/09(Thu) 13:55:45
☆ Re: 図形 / aki
ごめんなさい。
さっぱりわかりません。
平行であるのはなぜわかるのですか？図からは判断できないですし…
等脚台形というのは上底と下底だけが等しい物をいうのですか？
No.6615 - 2009/07/09(Thu) 15:44:17
☆ Re: 図形 / ヨッシー
このように、３つの角度と等しいものをありったけ描くんです。
この図と、上に書いた内容とで判断できますよ。
No.6621 - 2009/07/09(Thu) 16:46:02
☆ Re: 図形 / aki
成る程です。
これからやってみます貴重なadviceありがとうございます。
また、等脚台形についてですが、円に接するから長方形ではないのでしょうか???
No.6652 - 2009/07/10(Fri) 15:42:12
☆ Re: 図形 / angel
横から失礼しますが、実は「等脚台形」であることを言わなくても解く事はできますね。( 下記 3 )

1. □BCDEの全ての角を調査して等脚台形であることを示す ( ∠B=∠E かつ ∠C=∠D )
2. □BCDEがBE//CDの台形であることを示す ( ∠B+∠C=180°) ⇒ 円に内接する台形であることから、自動的に等脚台形 ( 含む長方形/正方形 … 今回正方形はないけれど ) と分かる
3. BC, DEそれぞれの円周角が同じであることを示す ( ∠A=∠DBE や、∠A=∠DCE )

のいずれかでいけます。

なお 2. についてですが、まず円に内接する四角形の性質として、対角の和が180°というのがあります。
つまり、□BCDEでは∠B+∠D=180°
これに、BE//CDの条件、例えば∠B+∠C=180°を組み合わせれば ∠C=∠D が言えますから、結局 1 と同じになるわけです。
No.6658 - 2009/07/10(Fri) 22:49:17
☆ Re: 図形 / ヨッシー
上の図は、かなり正確です。

それでも長方形にみえるなら仕方ありませんが、
円に内接する四角形の条件って、何でしたっけ？
No.6668 - 2009/07/11(Sat) 00:07:14
☆ Re: 図形 / aki
対角の和が180でしょうか？
わかりました、どうもありがとうございました。
No.6704 - 2009/07/12(Sun) 17:22:26
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