ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 高２　三角関数 / 数学苦手マン

x,yは0°≦x≦90°、0°≦y≦90°であり、cosx＋cosy=1を満たしている。
このとき、1/2 ≦ cos(x＋y/2)≦1/√2 を示せ。

cosx＋cosy=1に和積の公式をつかったら
2cos(x＋y/2)cos(x-y/2)＝1・・・?@
x-yの取り得る範囲は、-90°以上90°以下であるから。
-45°≦(x-y)/2≦45°よって1/√2≦cos(x-y)/2≦1
?@とから、1/2 ≦ cos(x＋y/2)≦1/√2

とあるのですが
最後の【?@とから、1/2 ≦ cos(x＋y/2)≦1/√2】の部分が分かりません。
また。
【x-yの取り得る範囲は～】の部分で
x＋yの取り得る範囲を考えるとどうなるんでしょうか？
0°≦x＋y≦180°

0°≦(x＋y)/2≦90°
このときcos(x＋y)/2は(x＋y)/2=π/2で最小となり、0で最大となりますよね？
(半径1の単位円上ではcos(x＋y)/2 (x軸)がy軸と重なる部分が最小でx座標の1の部分にcos(x＋y)/2がくればこれが最大ということですよね？；)

本当に分からなくて困っています。
誰かわかるかたおしえてください。おねがいします。

No.12015 - 2010/10/21(Thu) 20:44:05

☆ Re: 高２　三角関数 / X

>>最後の【?@とから、1/2 ≦ cos(x＋y/2)≦1/√2】の部分が分かりません。

わかりづらいのであれば少し置き換えてみましょうか。
t=cos{(x+y)/2},u=cos{(x-y)/2}
と置くと(1)は
2tu=1 (1)'
1/√2≦cos{(x-y)/2}≦1
は
1/√2≦u≦1 (2)
となり問題は(1)'(2)のときのtの値の範囲を求めることに帰着します。
ということで(1)'を用いて(2)からuを消去すると…。

No.12016 - 2010/10/21(Thu) 21:11:31

☆ Re: 高２　三角関数 / X

>>【x-yの取り得る範囲は～】の部分で～
確かにその通りですが、それだけでは条件式
cosx＋cosy=1
を使っていないので誤りです。

No.12017 - 2010/10/21(Thu) 21:17:59

☆ Re: 高２　三角関数 / 数学苦手マン

回答ありがとうございます。
最後にわからないところ
>>【x-yの取り得る範囲は～】の部分で～
確かにその通りですが、それだけでは条件式
cosx＋cosy=1
を使っていないので誤りです。

では、cosx＋cosｙ＝１を使えばx＋yから考えてもできるのでしょうか？
もしできるならどうやるのか教えてほしいです＞＜；
何度も申し訳ないです。

No.12018 - 2010/10/21(Thu) 21:38:49

☆ Re: 高２　三角関数 / X

結論から言うと、大回りになるだけです。

分かり易いようにここでも
t=cos{(x+y)/2},u=cos{(x-y)/2}
と置き換えて考えます。
このとき
cosx+cosy=1
より
2tu=1 (1)'
一方
0°≦x≦90°、0°≦y≦90°
から
0≦t≦1 (2)
1/√2≦u≦1 (3)
横軸にt、縦軸にuに取って(1)'(2)(3)を図示すると下のようになります。
この図から、(1)'(2)のときのuの値の範囲(赤の部分)が(3)の値の範囲から
はみ出ていることが分かります。
従ってtの値の範囲を求めるためには(3)の値の範囲を使う必要があり、
結局模範解答の過程に行き着きます。

No.12019 - 2010/10/21(Thu) 22:44:50

★ 数学Ａ　二項定理、事象と確率　高１ / yam

次の式の展開式における｛　｝内の項の係数を求めよ。
?@(x/2-1/x)^10 {x^2}
?A(4x^3-1/3x^2)^5 {定数項}

二項定理を用いて、次のことを証明せよ。
?B(1+1/n)^n>2 ただし　n=2,3,4,・・・・・

ＳＵＮＤＡＹの６文字を１列の並べるとき、次の確率を求めよ。
?CＳがＹよりも左側にある確率

?Cと似ていますが、、、
?DＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇの７文字を１列に並べるとき、ＡがＢより左側にあり、ＢがＣより左側にある確率を求めよ。　

質問が多くてすみません！
また、
?E４０人のクラスで、委員長と副委員長を選ぶとき、特定の４人の中の２人が選ばれる確率を求めよ。
この問題の解答の途中に場合の数の順列などでつかうＰがでてくるのですが、なぜ組み合わせでつかうＣではないのでしょうか。

よろしくお願いいたします。

No.12009 - 2010/10/20(Wed) 23:50:53

☆ Re: 数学Ａ　二項定理、事象と確率　高１ / ヨッシー

二項定理より
　(ａ＋ｂ)^n の項は、
nＣmａ^mｂ^(n-m)　　ｍ＝０，１，２，・・・ｎ
なので、
?@ａ＝x/2、ｂ＝-1/x、ｎ＝10 のとき、ｘ^2 が出てくるのは
　ｍ＝６　のときで、その項は
　10Ｃ6(x/2)^6(-1/x)^4＝210×(1/2)^6×(-1)^4ｘ^2
より、係数は、105/32
?Aａ＝4x^3、ｂ＝-1/3x^2、ｎ＝５　のとき、定数項は、
　ｍ＝２のときで、その項は
　5Ｃ2(4x^3)^2(-1/3x^2)^3＝10×16×(-1/27)＝-160/27

?C
あるＳがＹよりも左にある並び方に対して、
ＳとＹを入れ換えると、ＳがＹよりも右にある並び方になります。
そういうペアが必ず存在するので、確率は、1/2 です。
?D同様に 1/6 です。

?Eすべての選び方を40Ｐ2で計算したら、特定の４人から２人を
選ぶのも、4Ｐ2 とし、
すべてを、40Ｃ2 で計算したのなら、特定の４人から２人を
選ぶのも、4Ｃ2 とするなら、結果は同じです。

No.12010 - 2010/10/21(Thu) 00:59:22

★ 図形 / 高２

三角形ABCにおいて、
BC=14、cosB=3/5、cosC＝5/13

とする。
このとき、AB、ACはいくつか。
また三角形ABCの面積はいくつか。

sinB＝4/5、sinC=12/13
と計算できましたが、AB、AC、面積が求められませんでした。
解説をお願いします。

No.12006 - 2010/10/20(Wed) 21:05:27

☆ Re: 図形 / らすかる

sinAを求めれば正弦定理で他の辺の長さが求められますね。

No.12008 - 2010/10/20(Wed) 22:13:35

☆ Re: 図形 / 板橋

BC=ABcosB+ACcosC
AC=ABcosA+BCcosc
AB=ACcosA+BCcosB
が成立します。
今、BC、cosB、cosCが分かっているので、連立方程式を解けば、AB、AC、cosAが求まります。cosAが求まれば、sinAも求まります。
面積Sは、S=1/2AB*AC*sinAで求まります。

No.12011 - 2010/10/21(Thu) 01:58:18

☆ Re: 図形 / 七

AからBCに下ろした垂線の足をHとすると
AB：BH：HA＝5：3：4
AC：CH：HA＝13：5：12
AH＝xとすると
BH＋CH＝(3/4)x＋(5/12)x＝14

AB＝(5/4)x,AC＝(13/12)x,面積7x

No.12013 - 2010/10/21(Thu) 07:33:24

★ 高２　数学?U三角関数 / baziru

0°≦x≦90°のとき、2sinx ＋ cosxの最大値と最小値を求めよ。
まず
2sinx ＋ cosxを合成すると
√５cos（x-α）
0°≦x≦90°より
-α≦x-α≦90°-α
だから、x-α＝０°のとき最大値√５
x－α=－αのとき最小値１

【-α≦x-α≦90°-α
だから、x-α＝０°のとき最大値√５
x－α=－αのとき最小値】
この部分がどうしてこうなるのかわかりません。
なんで、x-α＝０°で最大なのか
x-α＝-αのとき最小なのか・・・
誰か分かる方教えてください。おねがいします！

No.12001 - 2010/10/20(Wed) 05:52:51

☆ Re: 高２　数学?U三角関数 / X

No.12000と似たような質問ですが、ちなみにxの関数cosx(0≦x≦π)
の最大値、最小値とそのときのxの値は答えられますか？。
これが答えられないのならば、この種の問題を解く前に教科書の
三角関数の項目に戻ってcos,sinのとりうる値の範囲について
復習しましょう。

No.12003 - 2010/10/20(Wed) 09:34:15

★ 高２　数学?U三角関数 / baziru

関数y=（2cosθ-3sinθ）sinθ （0≦θ≦π/2）の最大値と最小値を求めよ。

とりあえず展開して
まとめた式を合成すると
y=√13cos（2θ-α）になるのですが
ここまでの変形は分かるのですが
次の
最大値が2θ-α＝0のとき
最小値が2θ-α=π-αのときにとるというのがよくわかりません。

誰か分かる方がいればこの部分を詳しく教えてください。
おねがいします！

No.12000 - 2010/10/20(Wed) 05:52:25

☆ Re: 高２　数学?U三角関数 / X

0≦θ≦π/2
より
0≦2θ≦π
-α≦2θ-α≦π-α
ここで
0<α<π/2
に注意すると
-π/2<-α≦2θ-α≦π-α<π (A)
よってcos(2θ-α)は
2θ-α=0のとき最大値1
を取ります。
問題はcos(2θ-α)最小値の方ですが
|π-α|-|-α|=π-2α>0
∴|-α|<|π-α| (B)
(A)(B)に注意して単位円上で-αとπ-αの角を取ることを考えると
cos(2θ-α)は
2θ-α=π-αのときに最小値cos(π-α)
を取ることが分かります。

No.12002 - 2010/10/20(Wed) 09:30:27

★ (No Subject) / よっち

厚さ、密度にばらつきの無い薄い金属板で、円筒（直円柱）形状の一定容積の密閉液槽を作る。
強度を持たせる為、側面と底面は２倍の厚さの板を用いる。
材料の金属板の重量を最も小さくできるときの、円筒の半径と高さの関係は、

　円筒の半径：円筒の高さ＝＿：＿　である。

但し、金属板の厚さは、円筒の大きさに対して非常に薄く、接合代等を考慮する必要は無い。
（例：円筒の半径をr、高さをh、金属板の厚みをd、容積をVとした場合、d<<r、d<<hである為、天板、底面の面積をπr^2、容積をV=πr^2hと考えてよい。）

No.11998 - 2010/10/19(Tue) 23:57:11

☆ Re: / X

金属板の単位面積当たりの重量をρ、円筒の半径をr、高さをh、
容器の体積をV、容器の製造に必要な金属板の重量をMとすると
題意から
V=πhr^2 (A)
M=2ρπr^2+2ρ(2πrh)+ρπr^2 (B)
(A)より
h=V/(πr^2) (A)'
これを(B)に代入して
M=3ρπr^2+4ρV/r (B)'
(B)'のr>0における増減を考えます。
dM/dr=6ρπr-4ρV/r^2
=2ρ(3πr^3-2V)/r^2
∴Mはr={2V/(3π)}^(1/3)のときに最小になります。
よって求める比は
r:h=r:V/(πr^2)
={2V/(3π)}^(1/3):(V/π){3π/(2V)}^(2/3)
={2V/(3π)}^(1/3):{(3/2)^(2/3)}(V/π)^(1/3)
=(2/3)^(1/3):(3/2)^(2/3)
=1:1
となります。

No.12014 - 2010/10/21(Thu) 12:07:58

★ 円形断面のゴムリングの重量 / よっち

レポート問題が分らないので教えていただきたいです！

下図の円形断面のゴムリングの重量は＿[kg]である。
但し、R≧r＞0、L＞10R、ゴムの密度をD[kg/m3]とする。

No.11996 - 2010/10/19(Tue) 23:49:04

☆ Re: 円形断面のゴムリングの重量 / X

問題のゴムリングは
断面の半径r,高さLの円柱4本(体積の和をT[m^3]とします。)
と
断面の半径r,断面の中心が作る円の半径Rの円環(体積をU[m^3]とします)
に分割されます。
ここで
T=4Lπr^2 [m^3]
Uについてですが、パップス・ギュルダンの定理により
U=(πr^2)・2πR
=2R(πr)^2 [m^3]
よってゴムリングの体積をVとすると
V=T+U=4Lπr^2+2R(πr)^2 [m^3]
ですので求める質量は
DV=2πD(2L+πR)r^2 [kg]
となります。

No.12004 - 2010/10/20(Wed) 09:53:41

☆ Re: 円形断面のゴムリングの重量 / X

No.12004について補足。
Uについてですが、パップス・ギュルダンの定理を使えないのであれば
回転体の体積として積分を計算して求めます。

No.12005 - 2010/10/20(Wed) 09:56:20

★ (No Subject) / mazenda

整式P(x)をx-2で割った余りが３
(x-1)^2で割った余りが2x+1であるとき、
P(x)を(x-2)(x-1)^2で割った余りを求めよ。

P(x)=(x-2)(x-1)^2Q(x)+ax^2+bx^1+c　?@　とおくのは分かりますが、
?@を(x-1)^2で割るとかかいてあります。
じゃ?@を(x-1)で割ったしても答えはでるんですか？

そもそもわかってないんでへんな解釈だと思いますが
どなたこの問題を解説していただけないでしょうか？
よろしくお願いします。

No.11994 - 2010/10/19(Tue) 22:42:10

☆ Re: / karubi

x-1で割っても答えがでるのかは分かりません。
様々な手法をフルに活用していくつかの方程式を連立させればもしかしたら出るかもしれませんが、普通は考えないと思います。とりあえずx-1で割った余りが与えられていないのでムリしてx-1で割ることはないでしょう。

Ｐ（ｘ）＝(x-2)(x-1)^2Q(x)+(xの２次以下の式）
（x-1)^2で割った余りが2x+1より
（xの２次以下の式）＝a(x-1)^2+2x+1とおける

Ｐ（２）＝３⇔a+5=3⇔a=-2より

求める余りは
-2(x-1)^2+1
=-2x^2+4x-1

No.11997 - 2010/10/19(Tue) 23:55:37

☆ Re: / mazenda

ありがとうございます。
理解する事ができました。
またよろしくお願いします。

No.12012 - 2010/10/21(Thu) 04:02:41

★ 曲線の長さ / shimeji

曲線の長さを求める問題です。よろしくお願いします。

aは正の定数,r=(x^2+y^2)^(1/2),θ=arctan(y/x)であるとき
r=aθ(0≦θ≦b)
の曲線の長さを求めよ。

という問題なのですが、x^2+y^2=(aθ)^2として三角関数を媒介変数表示で表すとx=aθcosθ,y=aθsinθとなるので求める長さLは
　 b
L=∫〔{(aθcosθ)^2+(aθsinθ)^2})^(1/2)〕dθ
　 0
　 b
=a∫{(1+θ^2)^(1/2)}dθ
　 0
=a/2〔b(b^2+1)^(1/2)+log{b+(b^2+1)}〕
という方法で答えになり正解なのですが、θ=arctan(y/x)を使っていないので、間違っているのだと思います。

お手数お掛けしますが解説・アドバイス等よろしくお願いします。

No.11987 - 2010/10/19(Tue) 19:00:03

☆ Re: 曲線の長さ / shimeji

すいません。答えが間違っていました…

a/2〔b(b^2+1)^(1/2)+log{b+(b^2+1)}〕
ではなく、
a/2〔b(b^2+1)^(1/2)+log{b+(b^2+1)^(1/2)}〕
です。

改めてよろしくお願いします。

No.11988 - 2010/10/19(Tue) 19:14:52

☆ Re: 曲線の長さ / 板橋

御自身の解答の中で、x=aθcosθ,y=aθsinθとおいてらっしゃいます。θ≠0の場合、y/x=aθsinθ/aθcosθ=tanθであるため、θ=tan-1(y/x)=arctan(y/x)となり、使ってらっしゃいます。

No.11990 - 2010/10/19(Tue) 20:05:05

☆ Re: 曲線の長さ / shimeji

確かに使ってますね！気づきませんでした…

ありがとうございました。

No.11993 - 2010/10/19(Tue) 22:13:45

★ 数学１（高１） / ♪

こんばんは。
２次不等式の質問です。
放物線y=x^2-2ax+a+2とx軸が次の範囲において異なる２点で交わる時、定数aの値の範囲を求めよ。
１点はx<1,ほかの１点はx>1

よろしくお願いします！

No.11984 - 2010/10/19(Tue) 00:03:43

☆ Re: 数学１（高１） / ヨッシー

y=x^2-2ax+a+2 のグラフを色々描いてみました。
このうちで、条件を満たすものは、青のグラフです。
青にはあって、赤にはない特徴は、ｘ＝「　　」のとき、ｙが「　　」である。
このことからａについての不等式が作れます。

No.11985 - 2010/10/19(Tue) 06:47:26

★ (No Subject) / たけ

高校２年生です。数学が中学から苦手でどうしても分からないので質問に来ました…。

a,bを実数として、２次方程式 x^2-ax+b=0 を考える。

（1）この方程式が実数解をもつような点（a,b）の存在範囲を図示せよ。
（2）この方程式が-1<x<1の範囲に少なくとも１つの解をもつような点（a,b）の存在範囲を図示せよ。
（3）この方程式の解の絶対値がすべて1より小となるような点（a,b）の存在範囲を図示せよ。ただし、複素数z=u+iv（u,v：実数）の絶対値とは √u^2+v^2 のことである。

お願いします…！

No.11982 - 2010/10/18(Mon) 22:36:07

☆ Re: / ヨッシー

(1)は判別式より
　a^2-4b≧0
このグラフを描きます。
(2) を満たす y=x^2-ax+b のグラフは、下の３通りです。

　f(x)＝x^2-ax+b　とおくと、
　?@ f(-1)＜０かつ f(1)＞０
　?A f(-1)＞０かつ f(1)＜０
　?B 判別式 a^2-4b≧0、　軸 x=-a/2 が－１＜-a/2＜１
　　f(-1)＞０かつ f(1)＞０
をそれぞれ求めます。?@または?Aまたは?B の範囲が、求める範囲です。

(3)解が実数の時は、(2) で求めていますので、解が虚数の時を調べます。

No.11986 - 2010/10/19(Tue) 06:58:55

☆ Re: / たけ

ヨッシーさんありがとうございます！
（3）なのですが、
2解が共に複素数の時、α+βi,α-βiとする。
D＜0
（α+βi）+（α-βi）＝2α
（α+βi）（α-βi）＝α^2+β^2
まではやってみたのですが、それからどうすればいいのかと、
どう図示していいのか分かりません；；

No.11991 - 2010/10/19(Tue) 21:09:45

☆ Re: / ヨッシー

（α+βi）+（α-βi）＝2α
（α+βi）（α- βi）＝α^2+β^2
に、解と係数の関係を適用すると
　2α＝a
　α^2＋β^2＝ｂ
であり、解の絶対値は√(α^2＋β^2)＜１なので、
　√ｂ＜１　よって　ｂ＜１
となります。
これに、Ｄ＜０の条件を合わせます。

No.11992 - 2010/10/19(Tue) 21:32:10

☆ Re: / たけ

分かりました！本当にありがとうございました!!

No.11995 - 2010/10/19(Tue) 23:29:45

★ 数列 / ドドラ

いつもお世話になります。
解説の赤線を引いたところで、なぜ{bn}(n=1,2,3…)が等差数列になるとき
6+2p=p+5
になるのかが分かりません。
よろしくお願いします。

No.11976 - 2010/10/18(Mon) 20:52:33

☆ Re: 数列 / rtz

b_n＝6n+2pはn≧2の範囲で等差数列です。
n≧1で等差数列になるためには、
↑の式自体がn＝1でも合っていなければなりません。

ですので、
式から導かれた6*1+2pと、本当の値であるp+5が等しいとすれば、
求めるべきpの値が出ます。

まぁ公差6を出して、
b₂＝12+2pから6引いても同じことですね。
こちらの方が分かりやすいでしょうか。

No.11977 - 2010/10/18(Mon) 21:16:17

★ 確立 / マユ

中間考査の問題です。
わからなっかた問題があるので教えて下さいｍ(_　_)ｍ

１から１５０までの１５０枚の番号札から１枚引くとき、次の確立を求めよ。

?@７の倍数が出る確率
?A７の倍数が出ない場わい
?B３の倍数または７の倍数がでる確立
?C３の倍数でも７の倍数でもない確立

男子３人、女子４人が１列に並ぶときの次の確立を求めよ。

?@両端が男子になる確率
?A女子４人が続いて並ぶ確立
?B男女交互に並ぶ確立

です。
おしえてくださいｍ(_　_)ｍ　　　　　　　　　　

No.11975 - 2010/10/18(Mon) 20:23:19

☆ Re: 確立 / X

一問目)
まず全ての札の引き方は150[通り] (A)
(1)
150÷7=21余り3
∴7の倍数になる札の引き方は21[通り] (B)
∴求める確率は21/150=7/50
(2)
問題の事象は(1)の事象の否定となっていますので
(A)(B)を使うと求める場合の数は
150-21=129[通り]
(3)
150÷3=50
∴3の倍数になる札の引き方は50[通り] (C)
又、3と7の最小公倍数は21で
150÷21=7余り3
∴3と7の公倍数になる札の引き方は7[通り] (D)
(B)(C)(D)より
3の倍数又は7の倍数になる札の引き方は
21+50-7=64[通り]
∴求める確率は
64/150=32/75
(4)
これは(3)の事象の否定の事象の確率ですので、
(3)の結果を使うと求める確率は
1-32/75=43/75

No.11979 - 2010/10/18(Mon) 21:27:57

☆ Re: 確立 / X

2問目)
まず全ての並び方は
7![通り]
(1)
両端の男子の選び方は
3P2=6[通り]
残りの男子1人と女子4人でできる列の並び方は
5![通り]
よって問題の事象の場合の数は
6・5![通り]
∴求める場合の数は
6・5!/7!=1/7
(2)
女子4人だけで列を作る場合、その並び方の数は
4![通り]
一方、女子4人の連続した並び方が特定の一つになる場合の
並び方の数は
(3+1)!=4![通り]
∴問題の事象の場合の数は
4!・4![通り]
ですので求める確率は
4!・4!/7!=4/35
(3)
まず、同じ性別では区別できない場合の列の並びを考えます。
今、○を男子、×を女子とすると男女交互となる列の作り方は
×○×○×○×
の1[通り]しかありません。
ここで同じ性別でも区別して考えるとすると、同じ性別で
作る順列の数を考えて、問題の事象の場合の数は
3!・4![通り]
よって求める確率は
3!・4!/7!=1/35

No.11980 - 2010/10/18(Mon) 21:42:18

☆ Re: 確立 / マユ

わかりました＾＾

ありがとうございました＾＾

No.12007 - 2010/10/20(Wed) 21:07:56

★ パズル的な問題 / たける

大学１年です。かなり考えましたが、できそうでできません。誰か教えてください。
「kを自然数とする。円状にオセロが3k+1枚置かれている。今すべてが白であるとする。次の作業を繰り返すとき、ちょうど３個の白のオセロだけが残ることはないことを証明しなさい。
作業：白のオセロを一つ選んで、取り除く。取り除いたオセロの両隣のオセロの白黒を反転させる（取り除いて空いたスペースは埋めていくものとする）。」

No.11966 - 2010/10/18(Mon) 01:08:14

★ 高２　数?U / アジル

x^100をx^2＋x＋1で計算する。
商の中でx^88、x^33の係数を求めよ。
また、余りを求めよ。

画像は、係数だけをとって計算しています。
解答には計算で
商のx^88の係数は、（98-88＋1）÷3＝3余り2から「-1」
商のx^33の係数は、（98-33＋1）÷3＝22余り0から「０」
商の定数項は、（98＋1）÷3＝33余り0から「０」
よって、余りはx

とあるのですが
計算式の意味とその計算結果からどうして「－１」や「０」などが分かるのか
全く分かりません。
誰か分かる方教えてください。
おねがいします！

No.11963 - 2010/10/17(Sun) 23:43:34

☆ Re: 高２　数?U / angel

計算式には深い意味はありませんし、この通りの計算式でなければならないという必然性もありません。

ただ、商のx^nの係数なり、割り算の筆算のそれぞれの段で現れる余りが、周期3で繰り返している、ということを利用しているのです。
※解説にある筆算の結果を見れば、それが分かります。

商で言えば、x^98, x^97, x^96 の係数がそれぞれ 1, -1, 0 です。これに周期3ということで考えると、88と97は3で割った余りが同じですから、x^88の係数は、x^97と同じ -1 になることが分かるのです。

No.11965 - 2010/10/18(Mon) 00:49:22

★ 平方根（？） / 千紘

中3の平方根の問題です。
2つわからない問題があるので、教えてください。

問題集のものなので答えはあるんですが、
解説がないので困っています。

?@2つの数A,Bがある。最大公約数が12で、2つの数の積が2160であるとき、AとBの最小公倍数を求めなさい。
　A.180

?A分母が80である78個の分数2/80,3/80,4/80,………,78/80,79/80の中で、約分すると分子が1となる分数は何個あるか答えなさい。
　A.8個

No.11962 - 2010/10/17(Sun) 23:19:37

☆ Re: 平方根（？） / angel

?@
一般に、2数A=aG, B=bG ( Gは最大公約数 ) に関して、
最小公倍数 L は、L=abG=AB/G として表すことができます。
今回、最大公約数 G=12, 積AB=2160 なので、上の式に当てはめることで、最小公倍数を計算する事ができます。

?A
「約分すると分子が1」ということは、「分子が分母を割り切る」ということです。
つまり、今回数えるのは、分子が分母80を割り切るものの数、つまり約数の数なのです。
80=2^4×5^1 の約数は、(4+1)×(1+1)=10 個ですが、内 1,80 の2個は最初から除かれているため、10-2=8 が最終的な答です。

No.11964 - 2010/10/18(Mon) 00:36:08

☆ Re: 平方根（？） / 千紘

ありがとうございました！

そうやって考えたらいいんですね；；

No.11973 - 2010/10/18(Mon) 19:21:36

☆ Re: 平方根（？） / 千紘

80の約数の数は、(4+1)×(1+1)で求められるんですか？

約数の数の求め方の公式があるのでしたら、
教えていただけると嬉しいです。

No.11974 - 2010/10/18(Mon) 19:31:16

☆ Re: 平方根（？） / ヨッシー

公式もありますが、まずは、こちらを見て、理屈を理解しましょう。

No.11978 - 2010/10/18(Mon) 21:23:34

☆ Re: 平方根（？） / 千紘

あ、ありがとうございます！！

No.11981 - 2010/10/18(Mon) 21:58:03

★ (No Subject) / クロ

離心率というのがよくわかりません。楕円に関して言えば、ある参考書にはx^2/a^2+y^2/b^2=1,A(a,0)B(0,b)
e=√（a^2-b^2)/a=OF/OAとあり

ある参考書には定点ＦとＦを通らない低直線ｌが与えられたときＦまでの距離とｌまでの距離の比が一定であるＰの奇跡は二次曲線である。Ｆを焦点ｌを準線という。Ｐからｌにおろした垂線をＰＨとしe=PF/PHとありました。

最初の参考書ではe=(原点から焦点までの距離）÷（原点からＡまでの距離）であったのに対し、

後者ではe=(焦点から二次曲線状の点）÷（準線から二次曲線状の点）となっています

この2者が同じになる理由が知りたいです。

No.11960 - 2010/10/17(Sun) 21:24:30

☆ 離心率 / angel

前者では「楕円」(真円含む)に限った話になっているのに対し、後者では「楕円」ではなく「二次曲線」となっている所に注意。

つまり、後者の方がより広い概念であり、二次曲線(楕円・放物線・双曲線)の形状を特徴付ける数値になっているということです。
実際、離心率が等しければ相似になりますから。
※例えば、真円(離心率0)は全て相似、放物線(離心率1)も全て相似

ただまあ、「離心率」という用語からすると、前者の定義の方がイメージしやすいようにも思いますが。

2者が同じになる理由は良く分からないです。まあ、とはいえ、少なくとも計算すれば、両者が一緒になることは確認できます。

後者と一致するように前者を定めたのか、前者と後者の概念が別々に生まれて、後で一致することが確認されたのか、歴史的な経緯については分かりません。

No.11967 - 2010/10/18(Mon) 01:11:39

★ 積分 / あおい

模試の問題でわからなかった問題です。
関数f(x)=2x(logx-1)があり、曲線y=f(x)上の点(e,f(e))における接線をl:y=g(x)とする。ただし、e=2.718…は自然対数の底である。
(1)接線lの方程式を求めよ。
(2)x>0において、不等式f(x)≧g(x)が成り立つことを示せ。
(3)曲線y=f(x)の1/e≦x≦eの部分とx軸および直線x=1/eで囲まれた部分の面積をSとする。Sを求めよ。また、曲線y=f(x)と、接線lおよび直線x=1/eで囲まれた部分の面積をTとする。
このとき、SとTの大小を比較せよ。

(1)までは解けましたが、それからがわかりません。
よろしくお願いします。

No.11957 - 2010/10/17(Sun) 20:34:07

☆ Re: 積分 / X

(2)
h(x)=f(x)-g(x)
と置いてx>0におけるh(x)の増減を調べh(x)≧0を証明します。

(3)
1/e≦x≦eにおいてf(x)≦0であることに注意すると
S=-∫[1/e→e]f(x)dx
=∫[1/e→e]2x(1-logx)dx
=…(部分積分を使いましょう。)
又(2)の結果を使うと
T=∫[1/e→e]{f(x)-g(x)}dx
=∫[1/e→e]f(x)dx-∫[1/e→e]g(x)dx
=-S-∫[1/e→e]g(x)dx
=…
よって
S-T=…

No.11958 - 2010/10/17(Sun) 21:09:16

☆ Re: 積分 / あおい

ありがとうございます。
じっくり考えてみます

No.11968 - 2010/10/18(Mon) 02:40:10