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ベクトル方程式 / サン 高3
三角形OABに対して、点Pは
→OP=qr/(r+p)→OA+pq/(r+p)→OB (p、q、rはそれぞれ1≦p≦2、1≦q≦2、1≦r≦2を満たす実数)
で与えられている。Pの描く図形を図示しなさい。
また→OA=(1,0)、→OB=(0,1)のとき、Pの描く図形の面積を求めなさい。

この問題の解き方がわからないので教えてください。
ヒントにr+p=kとして考える。とありますが、どう利用するのかわからないです。

→OAと→OBの係数を足すとqになるので、s=qr/(r+p)、t=pq/(r+p)とすると、→OP=s→OA+t→OBかつs+t=qなので、→OP=s/q(q→OA)+t/q(q→OB)とするとs/q+t/q=1なので、よく見かける形にはなりますが、ここからどうすればいいかわからないです。

No.9827 - 2010/02/22(Mon) 19:10:53

Re: ベクトル方程式 / サン 高3
→OPはベクトルOP、qr/(r+p)→OAはベクトルOAに係数qr/(r+p)がかかっていることをあらわしているつもりです。

よろしくお願いします。

No.9828 - 2010/02/22(Mon) 19:12:33

Re: ベクトル方程式 / ヨッシー
OP=q(rOA+pOB)/(r+p)
と考えると、ABをp:r に内分した点を、原点中心に
q倍に拡大する、と考えられます。

p:r のとりうる範囲は?
q倍するとは、何倍から何倍までか?
を考えましょう。

No.9830 - 2010/02/22(Mon) 21:42:35

Re: ベクトル方程式 / サン 高3
ご回答者様へ
早速のご回答ありがとうございます!

>原点中心にq倍に拡大する、と考えられます。
原点を中心にという意味がちょっと分からないです。これはABをp:rに内分する点をCとすると、→OP=b→OCだから、Pが直線OC上にあるということでしょうか。

>p:r のとりうる範囲は?
ここからまたわからないです。ここはどうやって考えればいいのでしょうか?もう少し詳しく教えていただけないでしょうか。お願いします!

>q倍するとは、何倍から何倍までか?
qは1倍から2倍までなので、求める図形は台形っぽい形になるような気がします?


この問題についてですが、今日先生から一部訂正がありまして、ヒントの「r+p=kとして考える。」はヒントではなく、問題文にr+p=k(2≦k≦4)という条件も付け加えるとのことでした。これが加わると結果に何か影響はあるんでしょうか?

No.9834 - 2010/02/23(Tue) 16:57:04

Re: ベクトル方程式 / ヨッシー
>原点中心にq倍に拡大する
原点からの距離をq倍にする、と言った方が良いでしょうか?
たとえば、(1,0)、(0,1) を結ぶ線分を、原点中心に2倍に拡大すると、
(2,0)、(0,2) を結ぶ線分になります。

p:r に対して、p/r を比の値といいますが、その範囲と言っても良いです。
最小は、1/2 で、最大は2です。
ただこれだけでは、何のことかわからないので、
ABをp:r に内分すると考えたときに、
p:r=2:1 のときが一番A寄りで、p:r=1:2 のときが
一番B寄りになり、
>これはABをp:rに内分する点をCとすると
に従うと、点Cは、その範囲内にあります。

>求める図形は台形っぽい
ではなく、正真正銘の台形です。

>これが加わると結果に何か影響はあるんでしょうか?
無いでしょう。
無いですが、何か別の解法を想定しているのかもしれません。

No.9843 - 2010/02/24(Wed) 21:14:51
片側極限について / ハオ
次の極限を求めよ。
lim_(x→-2) (3x+4)/(x+2)^2
という問題ですがどうしたら答えが導けますか?グラフを描くのでしょうか?しかし、そのグラフの描き方も分かりません。同様に
lim_(x→-0) (x-1)/(x^2-3x)も教えて下さい。

No.9822 - 2010/02/21(Sun) 19:05:22

Re: 片側極限について / 七
> lim_(x→-2) (3x+4)/(x+2)^2
x→-2のとき(分母)→+0>0,(分子)→-2<0
よって−∞に発散

> lim_(x→-0) (x-1)/(x^2-3x)
x→-0のとき(分母)→+0>0,(分子)→-1<0
よって−∞に発散

No.9824 - 2010/02/22(Mon) 08:30:32

Re: 片側極限について / ハオ
何故分母が0に近付くと無限に発散なのでしょうか?
No.9825 - 2010/02/22(Mon) 17:23:38

Re: 片側極限について / ヨッシー
分母が0に近付くと同時に、分子が0でない値に近づくので、
無限に発散します。
 a/b
で、aは0以外の数で、bをどんどん0に近付けると、無限に
なりますよね?

七さんの回答では、プラスで、無限に大きくなるか、マイナスで
無限に小さくなるかについて、言及されています。

No.9829 - 2010/02/22(Mon) 21:08:07

Re: 片側極限について / ハオ
成程です。七さん、ヨッシーさん有難う御座います。
これからも宜しくお願いします。

No.9838 - 2010/02/23(Tue) 21:19:53

Re: 片側極限について / あやぱん
高校三年生のあやぱんです。

七さんのハオさんへの返事のなかの、

x→-2のとき”(分母)→+0>0”,”(分子)→-2<0”

x→-0のとき”(分母)→+0>0”,”(分子)→-1<0”

の部分の意味がわかりません。

なんでこうなるんですか?

もしよろしければ、メールを送っていたただけると
うれしいです。

No.10264 - 2010/05/10(Mon) 22:50:10
積分 / mii
等式を満たす関数f(x)を求める問題です。
おしえてください。

      3
?@f(x)=∫ {2x+f(t)}dt
      1

          2         1
?Af(x)=x^2-∫ xf(t)dt+2∫ f(t)dt


?@?A共に解説をよみましたが、xはtに無関係であるから・・・と書いてありさっぱり分かりませんでした

おしえてください
          0         0

No.9816 - 2010/02/20(Sat) 22:53:32

Re: 積分 / mii
?Aの問題は
   2    1
  ∫  と∫
   0    0 です。

No.9817 - 2010/02/20(Sat) 22:56:35

Re: 積分 / BossF
xはtに無関係であるから→∫(…)dt となってるので積分に関してはtのみが変数で他の文字は定数扱い
No.9818 - 2010/02/21(Sun) 00:36:05
導関数・積分 / mii
こんにちは

問?@:2つの曲線y=x^2+2・y=x^2+ax+3の交点をPとする
Pにおけるそれぞれの曲線の接線が垂直である時の定数aのあたいをもとめる。

?A:x^3-12x+6=0の因数分解はどうしてらいいですか?

?B:曲線y=ax^3+bx^2+cx+dは点A(0・1)において直線y=x+1に、B(3・4)において直線y=-2x+10にそれぞれ接する。このときの定数a・b・c・dのあたいをもとめる。

?C:てん(1・3)を通る放物線y=ax^2+bx+cが曲線y=x^3+dxと点(2・6)において共有の接線を持つ時定数a,b,c,dのあたいを求める。

沢山ありすみませんがおしえてください。

No.9813 - 2010/02/20(Sat) 16:40:18

Re: 導関数・積分 / ヨッシー
(1)
両式を連立させて、
 ax+3=2
より、交点のx座標は -1/a ただしa≠0
交点における、接線の傾きは、それぞれ
 -2/a, -2/a+a
であるので、積を取って、
 (-2/a)(-2/a+a)=4/a^2−2=-1
よって、a=±2

(2)
問題をそのまま書いてください。

(3)
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d とおくと
f'(x)=3ax^2+2bx+c
題意より
 f(0)=1, f'(0)=1, f(3)=4, f'(3)=-2
これらを解いて、
 a=-1/3, b=c=d=1

(4)
f(x)=ax^2+bx+c, g(x)=x^3+d
とおくと、
f'(x)=2ax+b, g'(x)=3x^2
題意より
 f(1)=3, f(2)=6, g(2)=6, f'(2)=g'(2)
これらを解いて、
 a=7, b=-16, c=10, d=-2

No.9814 - 2010/02/20(Sat) 18:58:10

Re: 導関数・積分 / mii
沢山あるのに回答ありがとうございます。

?Aの問題は
曲線y=-x^3+4x上の点(-2・0)における接線が、この曲線と交わるもうひとつの点のX座標を求める。問題です。

お願いします

No.9815 - 2010/02/20(Sat) 22:41:54

Re: 導関数・積分 / ヨッシー
(2)
点(-2, 0) における接線の傾きは
 -3(-2)^2+4=-8
なので、接線の式は
 y=-8x-16
です。y=-x^3+4x と連立させると、
 x^3-12x-16=0
が得られ、これなら、
 (x+2)^2(x-4)=0
と因数分解できます。

(-2,0)で接する→x=-2 で重根を持つ→(x+2)^2 がくくり出せる
です。

No.9819 - 2010/02/21(Sun) 06:15:12

Re: 導関数・積分 / mii
x^3-12x-16=0
が得られ、これなら、
 (x+2)^2(x-4)=0

この因数分解のやり方を教えて下さい。

No.9821 - 2010/02/21(Sun) 16:53:40

Re: 導関数・積分 / ヨッシー
因数定理で、(x+2) で割り切れることがわかれば、実際に
x^3-12x-16 を x+2 で割ります。

No.9831 - 2010/02/22(Mon) 21:43:50
不等式と領域(高一) / syooo
はじめまして。
「実数x,yが、x^2+y^2=9 かつ y>=0 を満たすとき、(y-2)/(5-x)の取りうる値の範囲を求めよ。」

この問題を、xy平面で図形的に解くにはどうしたらいいでしょうか。    
 ちなみに正解は -1<=(y-2)/(5-x)<=(-5+3√5)/8 です

No.9808 - 2010/02/20(Sat) 00:48:29

Re: 不等式と領域(高一) / rtz
普通に式の値を文字でおいて、
定点を通る直線(ただしその定点は除く)として考えればいいのでは。

No.9809 - 2010/02/20(Sat) 06:07:36

Re: 不等式と領域(高一) / ヨッシー
(y-2)/(5-x)=k とおくと、
 y-2=k(5-x)
となり、(5,2) を必ず通り、傾き -k の直線になります。

図のように、その直線と、半円が共有点を持つように、kの値を変化させると、
傾きの最大値は(3,0) を通るときで 1。
このとき、kの最小値−1。

最小値は、円 x^2+y^2=9 と、直線 kx+y=5k+2 が y≧0 で接するとき。
代入して判別式=0 をしようとすると大変なので、
直線と原点の距離が3になると考えると
 |5k+2|/√(k^2+1)=3
 |5k+2|=3√(k^2+1)
2乗して
 25k^2+20k+4=9(k^2+1)
 16k^2+20k-5=0
 k=(-10±√180)/16=(-5±3√5)/8
傾きは負なので、kは正であり、k=(-5+3√5)/8
これが、kの最大値となります。

No.9810 - 2010/02/20(Sat) 06:07:40

Re:Re: 不等式と領域(高一) / syooo
返事が遅くなってすみません!こんなに早く返信してもらえるなんて思ってなかったです。

よくわかりました。ありがとうございました!

このようなサイトがあって、とても助かりました!

No.9826 - 2010/02/22(Mon) 18:05:57
線形代数(大1) / Quod
2次実対称行列のなすベクトル空間をM2とする。すなわち
M2={A=(a11 a12
a21 a22) ;aij∈R、(i,j=1,2)}
2次実対称行列のなす集合
SM2={A∈M2;A^t=A}(A^tはAの転置行列)がM2の部分空間であることを示せ。またSM2の基底を求めよ。
よろしくおねがいします

No.9807 - 2010/02/19(Fri) 19:55:07

Re: 線形代数(大1) / 我疑う故に存在する我
質問文に誤りはありませんか?
No.9811 - 2010/02/20(Sat) 12:39:48

Re: 線形代数(大1) / Quod
2次実行列のなすベクトル空間をM2とするでした。
No.9812 - 2010/02/20(Sat) 14:39:14

Re: 線形代数(大1) / 我疑う故に存在する我
(A + B)^t = A^t + B^t, (kA)^t = kA^t
から部分空間である事が導かれる。

>SM2の基底を求めよ。
一つで良いから求めよと云う事なら、例えば

|1 0|
|0 0|,

|0 1|
|1 0|,

|0 0|
|0 1|.

No.9820 - 2010/02/21(Sun) 09:15:44
中学入試の問題です / まお
こんばんわ。次の問題がよくわからないので、教えてください。
(?T)(1) 8分後
  (2) 28
  (3) 34?p
になると思うのですが、自信がありません。
ここから次がわかりません。(?U)はどうなるのでしょうか?

No.9805 - 2010/02/18(Thu) 20:39:51

Re: 中学入試の問題です / ヨッシー
(I) は合っています。

(II)は、
1の蛇口から入れると、Aの部分に1分間に2cmずつたまり、
8分で16cmの(ア)の仕切りを超えます。
2の蛇口は、1の2倍なので、Cの部分に1分間に4cm
ずつたまり、
7分で、28cmの(イ)の仕切りを超えます。

8分で、Aの水面は16cmになります。
このとき、Bにはすでに4cm水がたまっています。
この先、Bには1分間に2+4=6(cm)ずつたまっていき
2分で、高さ16cmになります。
(この2分間は、Aの高さは変わりません)
そこからは、底面積が2倍(AとB)になるので、
増える高さは1分間に3cmとなり
4分で、高さ28cmになります。
その後、底面積が元の3倍になるので、増える高さは
1分間に2cmとなり、3分でいっぱいになります。

これを考えると、グラフは・・・・

No.9806 - 2010/02/18(Thu) 21:07:17

Re: 中学入試の問題です / まお
ありがとうごさいます。よくわかりました。
No.9823 - 2010/02/21(Sun) 19:29:14
(No Subject) / LONGMAN
aの3乗足すbの3乗足すcの三乗はなんですか?        中学1年生です
No.9793 - 2010/02/17(Wed) 00:08:26

Re: / フリーザ
a^3+b^3+c^3はこれ以上簡単にできないかと
No.9794 - 2010/02/17(Wed) 00:52:47

Re: / のんぶ
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc
を使って解く問題なのでは?

No.9797 - 2010/02/17(Wed) 14:22:44
高校生です / napu
フェルマーの螺旋、双曲螺旋、リチュース、対数螺旋、クロソイドの中で高校で習った知識で描けるものはありますか?(アルキメデスの螺旋は描いたことがありますが)
No.9792 - 2010/02/16(Tue) 22:29:09

Re: 高校生です / ヨッシー
何を以て「描ける」というかですが、パラメータを細かく刻みながら、
点を打っていって、なめらかにつなぐということであれば、
どの曲線も描くことは出来ます。

微分をしたりして、増減を調べるとなると、どうでしょう?

No.9795 - 2010/02/17(Wed) 06:20:56

Re: 高校生です / napu
大学入試に出題され得るか、という観点で見たらどうなんでしょうか?
No.9799 - 2010/02/17(Wed) 18:53:48

Re: 高校生です / ヨッシー
r=a+bθ のような式を与えて
0≦θ≦2π の範囲でのグラフの概形を描け、
というようなのはまず出ないでしょう。
極座標って高校範囲でしたっけ?

ただし、x=(a+bθ)cosθ、y=(a+bθ)sinθ のように
媒介変数表示をして、0≦θ≦2π の範囲での、曲線の長さ
を求めさせるのは出る可能性があります。

その際に、高校範囲で求められる曲線は・・・はて?

No.9802 - 2010/02/18(Thu) 00:35:16
符号の変化について / QMaas
はじめまして、高校3年生のQMaasです。符号の変化について質問です。


x=−tとおく解法の方は、負の数で割るから符号が変わるというのは分かるのですが、

何故、xで割った場合(別解)も符号が変わるのでしょうか。

問題(1)は画像の方が分かりやすいと思いますので、画像をご覧ください。
疑問箇所は一番下の辺りに、?マークで示しています(見えにくかったらすみません)

よろしくお願いします。



『ニューアクションβ数学?V+C 新課程対応(東京書籍)』70ページ(例題44)より引用

No.9790 - 2010/02/16(Tue) 13:10:00

Re: 符号の変化について / にょろ
x=-√(x^2)

というのが何故か分かりますか?
これは考えている範囲が負なのでこうなっています。

例)-1=-√((-1)^2)ですよね

で、単純に分母分子をxで割っただけです。
すると分母は

(x-√(x^2+1))/x
=1+(-√(x^2+1)/x)
=1+(-√(x^2+1)/(-√x^2))
=1+(√1+(1/x^2))
となります

No.9791 - 2010/02/16(Tue) 21:27:31

Re: 符号の変化について / QMaas
ご回答ありがとうございます。

では極限の式というのは、limがないものとして式変形して、
後からlimを適用したら違う答えになってしまうのでしょうか。

よろしくお願いします。

No.9796 - 2010/02/17(Wed) 06:50:41

Re: 符号の変化について / にょろ
全然そんなことはございませんよ
ただ扱う範囲がx<0というだけです

No.9798 - 2010/02/17(Wed) 16:25:07

Re: 符号の変化について / QMaas
ご回答ありがとうございます。

細かい話で申し訳ないんですが、
扱う範囲がx<0というのは、limからきているものですよね。
だとすると、
式変形の段階で既にlimが関係しているように思えるのですが、どうでしょうか。

よろしくお願いします。

No.9800 - 2010/02/17(Wed) 22:06:53

Re: 符号の変化について / にょろ
そうですね
式変形の時点でlimが影響下入ってきています。
だって=でつないでいるんですもの別にlimが関わってはいけないなんて道理はありません。
lim××=lim○○であったとして(×とか○は便宜上)
××≡○○で無くても大丈夫です。
lim_[x→∞](1/x)=lim_[x→∞](1/x^2)ですけど
1/x=1/x^2ではないですよね

No.9801 - 2010/02/17(Wed) 23:46:20

Re: 符号の変化について / QMaas
よく分かりました。
細かいところまで回答して頂き、ありがとうございました。

No.9803 - 2010/02/18(Thu) 08:38:48
数?Tの問題 高1 / あつき
よろしくお願いします。

(1)不等式x^2-(a^2+a)x+a^3<0(aは定数)を満たす
 xの範囲を求めよ。

(2)2次方程式x^2-2(a+1)x+a+3=0について考えたとき、
 2解がともに整数となるようなaの値を求めよ。

(1)は、やはり場合分けか何かをするのでしょうか…?

No.9781 - 2010/02/14(Sun) 17:52:27

Re: 数?Tの問題 高1 / にょろ
普通に因数分解して
x^2-(a^2+a)x+a^3
=(x-a)(x-a^2)<0
不等式の形としては
◯<x<◯
ですから
a=a^2(a=1)
の時
a<a^2
の時
a>a^2
の時
の場合分けでいいですね

x^2-2(a+1)x+a+3は
解の公式に当てはめて(分数部分は消える)
のでルートの中身を考えればよいでしょう

No.9782 - 2010/02/14(Sun) 18:02:52

Re: 数?Tの問題 高1 / あつき

よくわかりました!
ありがとうございます。

No.9786 - 2010/02/15(Mon) 00:21:42
ベクトルの問題 / 中部の高校生
ベクトルの問題です。よろしくお願いします
3つのベクトルa=(x,1,2)、b=(-1,y,0)、c=(1,-√2,z)がある。ベクトルaとベクトルbは垂直、ベクトルaとベクトルcは120度の角をなし、ベクトルcの大きさは2のとき、x,y,zを求めよ。
答えには、z=1,x=y=(7√2+6)/4は不適、とあります。どうして不適になるかわかりません。解き方と、理由を教えてください。

No.9778 - 2010/02/14(Sun) 10:26:21

Re: ベクトルの問題 / ヨッシー
途中で、両辺2乗しているところはありませんか?
z=1,x=y=(7√2+6)/4 が、2乗する前の式を満たすかどうか
確認しましょう。

実際、が、120°になるか計算してみても
良いでしょう。

No.9779 - 2010/02/14(Sun) 10:39:49

Re: ベクトルの問題 / 中部の高校生
> 途中で、両辺2乗しているところはありませんか?
> z=1,x=y=(7√2+6)/4 が、2乗する前の式を満たすかどうか
> 確認しましょう。
>
> 実際、aとcが、120°になるか計算してみても
> 良いでしょう。


ベクトルa⊥ベクトルbから、x=yがわかります。
ベクトルcの大きさ2から、z=±1がわかります。
ベクトルaとベクトルcのなす角120度から、
(x+2z-√2)/((√(x^2+5)・(√(z^2+3))=-1/2
がわかり、z=1の時
(x+2-√2)/2・√(x^2+5)=-1/2  ?@
z=-1の時
(x-2-√2)/2・√(x^2+5)=-1/2  ?A
?@は、x-√2+2=-√(x^2+5)
?Aは、x-√2-2=-√(x^2+5)
となりました。
この後、両辺を2乗してxを求めると
?@からは、x=(4√2-1)/2(2-√2)になり
解答のx=(7√2+6)/4になりません。
まず、xの求め方から教えてください。

よろしくお願いします。

No.9783 - 2010/02/14(Sun) 18:36:35

Re: ベクトルの問題 / ヨッシー
x=(4√2-1)/2(2-√2) の分母を有理化すると
x=(7√2+6)/4 になります。

No.9784 - 2010/02/14(Sun) 20:32:34

Re: ベクトルの問題 / 中部の高校生
x,y,zは求められました。
z=1,x=y=(7√2+6)/4は不適は、2乗する前の式
x-√2+2=-√(x^2+5)にx=7√2+6)/4を代入すると
左辺は正、右辺は負になることから、不適ということで
いいのでしょうか?

No.9785 - 2010/02/14(Sun) 22:09:15

Re: ベクトルの問題 / ヨッシー
そういうことですね。
No.9788 - 2010/02/15(Mon) 07:00:47

Re: ベクトルの問題 / 中部の高校生
すっきりしました。ありがとうございました。
No.9789 - 2010/02/15(Mon) 20:05:07
回転体と組み合わせの複合問題 / あみ
一般的な回転体の問題でしたらわかるのですが、これは、どのように場合分けして考えたらよいのかよくわかりません。
答えもちょっと想像がつきませんので、教えてください。
ちなみに小学生の問題です。

次の図の?@〜?Oで区分された16個の図形は、すべて1辺の長さが1?pの正方形です。
この?@〜?Oの位置にある正方形の何個かを選んで、直線ℓを軸に1回転させたときにできる立体の体積について考えます。
ただし、円周率は3.14とします。
?@〜?Oの位置から7か所選び、その場所にある7個の正方形からなる図形を、直線ℓを軸として1回転させたときにできる立体の体積について考えます。ただし、7個の正方形は辺でつながっているものとし、頂点だけが一致しているような場合は考えないものとします。異なる体積の値は全部で何通りありますか。

No.9767 - 2010/02/13(Sat) 09:17:26

Re: 回転体と組み合わせの複合問題 / ヨッシー
ここでは、体積の値の種類を聞いているので、
体積が同じなら、形は問われません。

たとえば、1,2,5,6,9,10,13 も
1,2,5,9,10,13,14 も同じ体積です。

1,5,9,13 の正方形を回転させると、正方形1つにつきπcm^3
2,6,10,14 は、3πcm^3
3,7,11,15 は、5πcm^3
4,8,12,16 は、7πcm^3
です。
これらから、7つの正方形を選ぶと、
最小13πcm^3 から 最大43πcm^3 まで
2πcm^3 きざみで 16種類の体積を作ることが出来ます。

No.9768 - 2010/02/13(Sat) 12:51:14

Re: 回転体と組み合わせの複合問題 / あみ
なるほど。それなら、かぶっているものを考えずにすみますし、数え間違いもないですね。ありがとうございました。
No.9804 - 2010/02/18(Thu) 20:24:14
高1 数A / あつき
よろしくお願いします。

(1)10人を2人、2人、3人、3人の4組に分けるとき、
  10人の中のある特定の1人が2人の組に入る場合の総数は  何通りあるか。

(2)8人を2人ずつA,B,C,Dの4組に分けるとき、特定の1人が
 A組に入らないような分け方は何通りあるか。

(どちらか1題でも教えていただけると嬉しいです。) 

No.9765 - 2010/02/13(Sat) 00:06:12

Re: 高1 数A / 七
(1)特定の1人とペアを組む人の選び方は9通り
このそれぞれについて残りの8人を
2人,3人,3人の3組に分ける方法は?

(2)特定の1人が入る組は3通り
このそれぞれについて特定の1人とペアを組む人の選び方は7通りずつ
このそれぞれについて残りの6人を
区別のある3組,2人ずつに分ける方法は?

No.9766 - 2010/02/13(Sat) 09:01:38

Re: 高1 数A / あつき

本当にすみません。
(1)「このそれぞれについて残りの8人を…」と
(2)「このそれぞれについて残りの6人を…」の部分が
まだ分からないのですが…

No.9769 - 2010/02/13(Sat) 18:32:56

Re: 高1 数A / ヨッシー
たとえば、4人を縦一列に並べる並べ方は、何通りあるか、
という問題において、
一番前に来る人は、4通り。
そのそれぞれについて、残り3人を並べる方法は6通りなので
全部で、4×6=24(通り)
というのと同じですね。

No.9772 - 2010/02/13(Sat) 21:05:39

Re: 高1 数A / あつき

なるほど!よく分かりました。
七さん、ヨッシーさん、ありがとうございました。

No.9780 - 2010/02/14(Sun) 13:43:00
行列 / ガリクソン
こんばんは。

Aを行列とし、
A^2 =(a+d)Aのとき、
A^n = A^2 A^n-2
=(a+d)A・A^n-2
=(a+d)A^2・A^n-3
=(a+d)^2 A・A^n-3

これを繰り返すと
A^n =(a+d)^n-2・A^2
となるのがなぜなのか分からないので教えて下さい。お願いいたします。

No.9760 - 2010/02/11(Thu) 23:55:02

Re: 行列 / にょろ
(a+b)=cとおきます。(見やすくするため)
A^n=cA・A^(n-2)
=cA^(n-1)

なので
A^n=cA^(n-1)
ここでAを普通の実数と見れば等比数列ですよね。
というわけでその式が導かれます。(なんで自乗で止まってるか知らないけど)

No.9762 - 2010/02/12(Fri) 03:14:22

Re: 行列 / ガリクソン
なぜ等比数列と見なせるのでしょうか?
これは行列ですよね?行列Aとcの関係を調べているときに、等比数列と見なせる理由が分からないです…。

No.9770 - 2010/02/13(Sat) 20:38:43

Re: 行列 / ガリクソン
数列Anならわかりますが、今考えているのは行列A^nなので、等比数列と見れるという理由が分かりませんです…
No.9771 - 2010/02/13(Sat) 20:42:09

Re: 行列 / ヨッシー
「Aを普通の実数と見れば」と書いてありますね。

Aを実数とし、
A^2 =(a+d)Aのとき、
A^n = A^2 A^n-2
=(a+d)A・A^n-2
=(a+d)A^2・A^n-3
=(a+d)^2 A・A^n-3

これを繰り返すと
A^n =(a+d)^(n-1)・A
となる

ならわかりますか?

No.9773 - 2010/02/13(Sat) 21:13:14

Re: 行列 / ガリクソン
回答ありがとうございます。

A^n =(a+d)^(n-1)・Aがなぜ言えるのか?について、

もし、「Aが行列とするなら」、なぜ言えるのかがわかりません。
もし、「Aが数列(実数)とするなら」、言えるのかはわかります。

つまり、現問題は、「行列」として出されている問題にもかかわらず、回答は、『「数列(実数)」とするならば、コレがいえる』と言っているだけであり、肝心の質問内容である「行列の場合はなぜ言えるのか?」に関しての記述がないままに、「実数では言える」という回答で終わってしまっているのでわからないのですが…。

ものわかり悪くてスミマセンです。。

No.9776 - 2010/02/14(Sun) 00:02:13

Re: 行列 / にょろ
う〜んと
じゃあこんな感じでわかりますかね?
(c=a+dです)

A[n]=A^n=(cA)*A^(n-2)
=cA^(n-1)
=cA[n-1]
=c*(c*A[n-2])
=c^2*(c*A[n-3])

=c^(n-1)*A

ここで等比数列の教科書の項を見てもらえばわかると思いますが

等比数列の漸化式から一般項を求めるときも同じ論法を使っていることに気がつきますか?

そしてこれは実数の性質も行列の性質も使っていません。
単純に漸化式としての式に忠実に次数を落としていっているだけです。

(A*A=A^2,a*a=a^2は使っています)

なので実数でも行列でも同じことが言えます

No.9777 - 2010/02/14(Sun) 03:05:25

Re: 行列 / ガリクソン
わかりました。にょろさん、ヨッシーさんありがとうございました。
No.9787 - 2010/02/15(Mon) 00:57:03
平面図形です。 / shiyo
直径が2である円Oにおいて、1つの直径ABをBの方に延長し、BC=2ABとなる点Cをとる。また、Cから円Oに接線を引き その接点をTとする。線分CT、ATの長さを求めなさい。

線分CTは2√6 と出たのですが、ATが求められません。宜しくお願い致します。
ATの解答は(2√15)/5です。

No.9751 - 2010/02/11(Thu) 21:42:24

Re: 平面図形です。 / rtz
△ACTと△TCBからBTがATで表され、
△ABTが直角三角形であることから三平方の定理が利用可能、
など。

No.9753 - 2010/02/11(Thu) 22:15:13

Re: 平面図形です。 / ヨッシー
円の中心をO、∠TOBの二等分線とTCの交点をD、
ATの中点をEとすると、図の●の角は、すべて等しくなります。
角の二等分線の定理より
 TD:DC=TO:OC=1:5
よって、TD=2√6/6
三平方より、OD=√(5/3)
△AEOと△OTDは相似な直角三角形であり、
 TO:OD=AE:AO
から、AE=√15/5 が得られ、その2倍がATです。

No.9755 - 2010/02/11(Thu) 22:32:15

Re: 平面図形です。 / ヨッシー
OD=√(5/3)
が出たら、その6/5倍がATとしてもいいですね。
(△ATCと△ODCの相似より)

No.9756 - 2010/02/11(Thu) 22:37:16

Re: 平面図形です。 / shiyo
rtzさん、ヨッシーさん 有り難うございます。
導き出せました!!

No.9758 - 2010/02/11(Thu) 22:53:04
ヨッシー先生すみません。 / 遼太郎
ヨッシー先生へのお礼が別に載ってしまいました。
すみません。返信を押すのだったのかな
すみません。よくわからなくて汚してしまって
丁寧に教えてくださってありがとうございました。
算盤のことです。何度もすみません。

No.9749 - 2010/02/11(Thu) 20:38:47
(No Subject) / an
y1=cosx+cos(x+y)=0
y2=cosy+cos(x+y)=0
より、cosx=cosy
ここで、0≦x, y>2πのとき
x=y,x+y=2π
となるというところなのですが、

x=yになるのは分かるんですけど、
x+y=2πとなる理由が分かりません。
解説お願いします。

No.9748 - 2010/02/11(Thu) 20:37:11

Re: / 理一生
>ここで、0≦x, y>2πのとき
↑は0≦x、y<2πですよね?

単位円で考えると、cosの値が等しいならば単位円周上を動く動点Pのx座標が等しくなります。

端点(θ=0,π)を除いて必ず2つの点が対応するはずです。
その点の関係はθと(―θ)のように絶対値が等しくなっています。

今回は0≦x、y<2π のもとで考えるので、θと(2π―θ)という関係です。
よってx+y=2πもOKです。(x=yも当然OKですが…)

No.9750 - 2010/02/11(Thu) 21:29:28
ありがとうございました。 / 遼太郎
こちらの3の立法根は一緒に算盤をおいて
がんばったのでとてもよく分かりました。
お礼がおそくなりました。数学なので
やっぱり教えてもらえないかなって思って
あきらめかかっていました。隣の市の珠算の教場にいって
昨日全珠連向けのドリルを売ってもらいにいきました。
すごく難しいですがこれからがんばってみます。
色々なサイトもみましたがやり方が色々とあるみたいで
このドリルを最後まで一度分かるまでやってみたいと
思います。全珠連を教えてくださってありがとうございました。
ドリルが別にあるとは知りませんでしたのでそれを見てから
投稿しようと思っていましたのでおそくなって
すみませんでした。

No.9747 - 2010/02/11(Thu) 20:34:52
極座標変換における積分範囲 / 理一生
D={(x,y)|(x-a)^2+y^2≦a^2}
f(x,y)=(x^2+y^2)^(1/2)

において∫fを求める際に
x=rcosθ
y=rsinθ
と座標変換を利用して解こうと思い積分範囲を
0<r<2a, -(π/2)<θ<(π/2)
としたのですが、解答では
0<r<2a(cosθ)となっていました。

なぜrはこのような範囲に設定するのでしょうか?

数学がとても苦手です。どなたかお願いします。

No.9746 - 2010/02/11(Thu) 20:00:30

Re: 極座標変換における積分範囲 / rtz
極座標をそうおいたのなら、
x2+y2≦2axから0≦r≦2acosθ
では。

No.9754 - 2010/02/11(Thu) 22:28:21

Re: 極座標変換における積分範囲 / 理一生
確かにそうですね。
今までは図示をして何となくの感覚で積分範囲を決めてきていましたが(大概の問題はそれで大丈夫でした)、
やはり積分領域を表す式に着目しなければなりませんね。

明日が微積の期末でしたので助かりました。
ありがとうございました!

No.9757 - 2010/02/11(Thu) 22:52:08
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