バームクーヘン積分の直接の証明は高校範囲では無理と聞いたことがあるのですが、下の証明ではどこがまずいのでしょうか？詳しく教えてください。
[定理]
0≦a≦b, y=f(x) を[a, b] 上の正の値をとる可微分な関数とする。
領域{(x,y) ;a≦x≦b, 0≦y≦f(x)}
をy軸に関して回転した立体をBとしたとき、
Bの体積 =2π ∫ xf(x) dx である。ただし積分範囲はa≦x≦b
[証明]
V(p) は領域{(x,y) ;a≦x≦p, 0≦y≦f(x)}
をy軸に関して回転した立体の体積とする。
正数h に対して、p≦x≦p+h におけるf(x) の最大値をM、
最小値をm とすると、
π(2ph+h^2)m ≦ V(p+h) - V(p) ≦ π(2ph+h^2)M
両辺をh >0 で割ると
π(2p+h)m ≦ {V(p+h) - V(p)}/h ≦ π(2p+h)M
h → 0 のとき、m, M → f(p) であるので、
π(2p+h)m, π(2p+h)M → 2πpf(p)
従って、
dV/dp = lim {V(p+h) - V(p)}/h = 2πpf(p)
ゆえに、
Bの体積 = V(b) - V(a) = ∫ (dV/dx) dx , (a≦x≦b)
= 2π ∫ xf(x) dx, (a≦x≦b) ■
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No.12243 - 2010/11/19(Fri) 19:47:34
| ☆ Re: / のぼりん | | | こんにちは。
お手伝いできるか自信ありませんが、
＞ π(2ph+h^2)m ≦ V(p+h) - V(p) ≦ π(2ph+h^2)M
この式は、どこから出てきたのでしょうか？
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No.12246 - 2010/11/20(Sat) 08:58:48 |
| ☆ Re: / simizu | | | {π(p+h)^2-πp^2}m ≦ V(p+h) - V(p) ≦{π(p+h)^2-πp^2}M より
π(2ph+h^2)m ≦ V(p+h) - V(p) ≦ π(2ph+h^2)M
です。
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No.12254 - 2010/11/21(Sun) 02:36:49 |
| ☆ Re: / soredeha | | | No.12255 - 2010/11/21(Sun) 02:50:49 |
| ☆ Re: / soredeha | | | > 良くできました！
ちなみに、m, M → f(p) であればよいので
f(x)は連続であれば十分です。
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No.12256 - 2010/11/21(Sun) 04:11:45 |
| ☆ Re: / simizu | | | f(x)は可微分なので連続なのは初めから分かっているのではないでしょうか？
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No.12257 - 2010/11/21(Sun) 09:17:11 |
| ☆ Re: / angel | | | >> f(x)は連続であれば十分です。
> f(x)は可微分なので連続なのは初めから分かっているのではないでしょうか？
定理が成立する前提として、「f(x)が可微分」とされていますが、それよりも条件の緩い「f(x)が連続」にしても同じように成立する ( つまり、こちらの方が適用範囲が広い )、ということでしょう。
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No.12268 - 2010/11/21(Sun) 19:39:13 |
| ☆ Re: / フリーザ | | | 閉区間で連続関数f:R→Rが最大値最小値をもつことが高校だと証明できないずら
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No.12279 - 2010/11/22(Mon) 19:29:23 |
| ☆ Re: / simizu | | | No.12310 - 2010/11/24(Wed) 03:10:27 |
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