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教えてください / 高3生
f(x)=x-(1+x)log(1+x)-(1-x)log(1-x)において0<x<1の範囲でf(x1)=0を満たすx1が存在することを示せ。ただし、lim(t→0)tlogt=0を用いてもよい。
という問題です。解法がわかりません。教えてください。

No.4946 - 2009/01/29(Thu) 16:34:41
(No Subject) / kasimu
関数f(x)=4x-x^2に対し、数列anをa1=c,an+1=√f(an)
(n=1,2,3...)で与える。ただし、0<c<2という問題で
1、0<an<2,an<an+1を示せ
2、2-an+1<2-c/2(2-an)をしめせ。
という問題で、1のほうは数学的帰納法でほとんど解けたのですが、2のほうがよくわかりません。教えてください。

No.4936 - 2009/01/29(Thu) 06:19:29

Re: / ヨッシー

に、適っていますか?
だとすると、成り立ちません。

No.4942 - 2009/01/29(Thu) 10:49:53

Re: / kasimu
2-an+1<(2-c)/2(2-an)
です。すいません。

No.4944 - 2009/01/29(Thu) 16:12:50

Re: / kasimu
> 2-an+1<(2-c/2)(2-an)
> です。再びすいません。

No.4945 - 2009/01/29(Thu) 16:13:51
(No Subject) / たつや
 大学の代数の問題なんですが…

29を法とする原始根を求めなさい。

という問題なんですが、調べてもよくわかりません。
お手数ですが詳しい解答よろしくお願いします。

No.4933 - 2009/01/29(Thu) 03:34:37

Re: / にょろ
原子根って単純計算以外無かったはず…
一応以下のJavaSciptソースでやったら
2,3,8ってでましたけど…ソース間違ってたらごめんなさい

p=29;
f();
function f(){
document.write("Start
");
//iがpの原子根であるか調べる
for(i=2;i<p;i++)
{
for(j=1;j<p;j++){
try{
n=Math.pow(i,j);//i^jをとる
}catch(e){document.write("EE"); return;}



if(n%p==1){
if(j==p-1){document.write(i+",");}
break;
}
}
}
}

No.4934 - 2009/01/29(Thu) 04:20:06

Re: / cametan
横から失礼します。

>>にょろさん

多分そのソース、マズいと思います。
プログラムにミスがある、んじゃなくって、JavaScriptの場合、EcmaScriptの仕様により、

「15桁以上の計算精度は保証しない」

んです。
従って、Math.pow(10, 14)前後の桁数から無茶苦茶な計算結果が返ってくる、んで、この手の数値計算には、正直JavaScriptは向きません。

No.4937 - 2009/01/29(Thu) 06:50:47

Re: / にょろ
やっぱり不味いですかね?
そうは思ったんですけどね
longで別の言語でやろうかなとは思ったんですけど
そうすると今度は出しても読めなくなるかと…
(しかも起動するのが面倒くさい)

C#でやったらlong型では8は結果として帰ってきませんでした。
ごめんなさい

というかこの問題はなんなんですかね?
単純に問題として出てくるような物ではないと思いますが…
(こんなもの手計算したくないですし)

No.4939 - 2009/01/29(Thu) 07:32:13

Re: / らすかる
プログラム

#include

int main(void)
{
 int i, j, k, p;

 p = 29;
 for(i = 2; i < p - 1; ++i){
  k = i;
  for(j = 2; j < p; ++j){
   k = (k * i) % p;
   if(k == 1){
    if(j == p - 1)
     printf(" %d", i);
    break;
   }
  }
 }
 printf("\n");
 return 0;
}

実行結果
2 3 8 10 11 14 15 18 19 21 26 27

No.4940 - 2009/01/29(Thu) 08:46:30

Re: / にょろ
らすかるさん
成る程そうか思いっきり忘れてました。
その方法なら無限大に飛びませんね。
確かに僕の方法だとすぐにコンピュータが出来る範囲ではなくなりますね。
ありがとうございます。

No.4941 - 2009/01/29(Thu) 10:08:57

Re: / cametan
>>らすかるさん

なるほど。Cだとそうやってプログラムすれば良いのですね。

>>にょろさん

ちなみに、直球勝負でしたらLisp系言語の方がやりやすいです。
JavaScriptなんかも内部的には「Lisp系言語」に極めて近いんですが、残念ながらブラウザで動かすのが前提の為、計算精度に対する要求が低いんですよね。まあ、ブラウザで数値計算やるヤツもあんまいない、と(笑)。
以前、開平法をJavaScriptで書いてみよう、と挑戦した事があったんですが、実は僕自身も思いっきりハマりました(笑)。開平法だとアルゴリズム上、どんどん引数が膨らんでいくので、何億、って数値になっちゃって計算結果が狂っちゃった、と言う経験があります。
それで、「JavaScriptのおかしな桁数の制限」ってのを示唆された、って経緯があったんです。

以下、Common Lispでの問題のソースコードを紹介しておきます。(mod a^i p)が1の時T、そうじゃない場合NIL、として、a^1〜a^(p-1)の計算結果を羅列するようにしました。左側から1〜p-1の並びになっています。

(defun f (p)
 (do ((i 1 (if (= i p)
         1
         (1+ i)))
    (a 2 (if (= i p)
         (1+ a)
         a))
    (ls0 '() (if (= i p)
           '()
           (cons (= (mod (expt a i) p) 1) ls0)))
    (ls1 '() (if (= i p)
           (cons (list a (reverse ls0)) ls1)
           ls1)))
    ((= a p) (pprint (reverse ls1)))))

;;実行結果

CL-USER> (f 29)

((2
 (NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL
  NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL T))
 (3
 (NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL
  NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL T))
 (4
 (NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL T NIL NIL NIL NIL
  NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL T))
 (5
 (NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL T NIL NIL NIL NIL
  NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL T))
 (6
 (NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL T NIL NIL NIL NIL
  NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL T))
 (7
 (NIL NIL NIL NIL NIL NIL T NIL NIL NIL NIL NIL NIL T NIL NIL NIL NIL NIL
  NIL T NIL NIL NIL NIL NIL NIL T))
 (8
 (NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL
  NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL T))
 (9
 (NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL T NIL NIL NIL NIL
  NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL T))
 (10
 (NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL
  NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL T))
 (11
 (NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL
  NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL T))
 (12
 (NIL NIL NIL T NIL NIL NIL T NIL NIL NIL T NIL NIL NIL T NIL NIL NIL T
  NIL NIL NIL T NIL NIL NIL T))
 (13
 (NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL T NIL NIL NIL NIL
  NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL T))
 (14
 (NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL
  NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL T))
 (15
 (NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL
  NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL T))
 (16
 (NIL NIL NIL NIL NIL NIL T NIL NIL NIL NIL NIL NIL T NIL NIL NIL NIL NIL
 NIL T NIL NIL NIL NIL NIL NIL T))
 (17
 (NIL NIL NIL T NIL NIL NIL T NIL NIL NIL T NIL NIL NIL T NIL NIL NIL T
  NIL NIL NIL T NIL NIL NIL T))
 (18
 (NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL
  NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL T))
 (19
 (NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL
  NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL T))
 (20
 (NIL NIL NIL NIL NIL NIL T NIL NIL NIL NIL NIL NIL T NIL NIL NIL NIL NIL
  NIL T NIL NIL NIL NIL NIL NIL T))
 (21
 (NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL
  NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL T))
 (22
 (NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL T NIL NIL NIL NIL
  NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL T))
 (23
 (NIL NIL NIL NIL NIL NIL T NIL NIL NIL NIL NIL NIL T NIL NIL NIL NIL NIL
  NIL T NIL NIL NIL NIL NIL NIL T))
 (24
 (NIL NIL NIL NIL NIL NIL T NIL NIL NIL NIL NIL NIL T NIL NIL NIL NIL NIL
  NIL T NIL NIL NIL NIL NIL NIL T))
 (25
 (NIL NIL NIL NIL NIL NIL T NIL NIL NIL NIL NIL NIL T NIL NIL NIL NIL NIL
  NIL T NIL NIL NIL NIL NIL NIL T))
 (26
 (NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL
  NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL T))
 (27
 (NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL
  NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL T))
 (28
 (NIL T NIL T NIL T NIL T NIL T NIL T NIL T NIL T NIL T NIL T NIL T NIL T
  NIL T NIL T))); No value
CL-USER>

らすかるさんの結果と変わりませんね(当たり前ですが)。
やっぱり2、3、8、10、11、14、15、18、19、21、26、27が原始根、です。
ちなみに、アルゴリズム的にはにょろさんのものと丸っきり変わりありません。

No.4943 - 2009/01/29(Thu) 14:22:36

Re: / らすかる
乗除算をなくしたプログラム
手作業で求めるならばこの方法が良いかと思います。

#include

#define N  29

int a[N];

int main(void)
{
 int i, j, k;

 for(i = 2; i < N - 1; ++i){
  k = 0;
  for(j = 1; j < N; ++j){
   if((k += i) >= N)
    k -= N;
   a[j] = k;
  }
  k = 1;
  for(j = 1; j < N; ++j)
   if((k = a[k]) == 1)
    break;
  if(j == N){
   printf("\n%d は素数ではありません.\n", N);
   return 1;
  }
  if(j == N - 1)
   printf(" %d", i);
 }
 printf("\n");
 return 0;
}

No.4947 - 2009/01/29(Thu) 17:14:04

Re: / にょろ
JavaScriptけっこう手軽なので(ブラウザで動くし…)
単純な物だとよく使うんですよね。
ただ、平均をとると言うことをやったとき
ずれが生じたので(多分2→10進数)C#のdecimalに流れたことが…
ラスカルさんのと同じアルゴリズムでやったら
2、3、8、10、11、14、15、18、19、21、26、27がでてきました。
Javaって内部でintとdouble値だとおもってたんですが…
doubleだけだったんですね
しらべてみたら確かに15桁ってありました…

No.4948 - 2009/01/29(Thu) 17:16:20

Re: / cametan
>JavaScriptけっこう手軽なので(ブラウザで動くし…)単純な物だとよく使うんですよね。

そうですね。手軽さ、って意味では結構僕も好きです。
あくまで「数値計算用」のラピッドプロトタイピングには向かない、って事ですね。
結構「数値計算」をマトモにJSで行おうとすると、手間的にはCで書くのとあんま変わんなくなっちゃうんですよね。JSの最大の魅力「手軽さ」が無くなっちゃう、って事で。
相当「良く考えないと」計算結果が信頼出来なくなっちゃいます。

>Javaって内部でintとdouble値だとおもってたんですが…

恐らくタイポだと思っていますが、一応ここ見てる人の為に。
「Java」と「JavaScript」は丸っきり違う言語です。設計者も全然違いますし、両者には全く関係がありません。
(もっとも、最近のJava開発キット=JDKにはJavaScriptが同梱されていますが……)
にょろさんの発言は「JavaScriptにintとdouble値が無い」って意味ですね。JavaScriptには数値型としてはNumber型、と言う大まかな型しか存在しません。

参考:とほほのJavaScript入門(数値)
http://pzxa85.hp.infoseek.co.jp/www/wwwjsnum.htm

一方、JavaにはC言語よろしく、short、int、long、float、double、等の型が存在します。

参考:Javaのデータ型
http://www.ics.kagoshima-u.ac.jp/edu/proen3/datatype.html

なお、どっちがプログラミング言語として優秀か?って話が良く出ますが、「全く違う言語」なんで比較してもあまり意味が無いですね(笑)。ただし、ハッカー(プログラミングの達人)連中はJavaScriptの方を高く評価している傾向がある、と言う事を申し添えておきます。「仕事では」must言語のJavaですが、設計自体はあまり評価されていないようです。
反面、初期はバグが多かったらしいんですが、設計自体は「JavaScriptの方が優秀だ」と言う評価が多い模様です。

参考:JavaScript: 世界で最も誤解されたプログラミング言語
http://d.hatena.ne.jp/brazil/20050829/1125321936

今回のネタの場合、あくまで「数値計算」と言うジャンルはJavaScriptが得意ではない、と言うお話です。

No.4950 - 2009/01/29(Thu) 18:00:32

Re: / にょろ
指摘されて気付きました
タイプミスです。
(いつもJSって書くんですけど…あれ?)
Javaは初めてさわったプログラミング言語なんですよ…(何で間違えたんだろう?)
ごめんなさい
指摘ありがとうございます

No.4952 - 2009/01/29(Thu) 20:43:05

Re: / cametan
>>にょろさん

>タイプミスです。

ああ、やっぱりそうでしょう。そうだとは思ってはいたのですが。
あくまで上で書いた注釈は「掲示板を見ている人の為」なんで、にょろさん向けのものじゃないです。
実際、タイポやる可能性はあるんで(笑)。JavaScriptって打つには長すぎますしね(笑)。

と言う辺りで本題。
上のらすかるさんの2つ目のプログラム、ってのがどう言うアルゴリズムなんだろ?と解読するのに時間がかかりました(笑)。何か上手いことやってるらしいんですが、僕の感覚から言うと、正直C言語って読みづらいです(笑)。break;被ると何が条件でどこから何の目的で脱出してんだか、パっと見じゃ分からないんですよね。感覚的な話ですけど。
しかも、らすかるさんは相当なCの達人らしく、表記法でかなりのショートカット噛ましています。従って、「手計算でやる」と言うにしても読解がかなり難しいな、と。
恐らく「宿題」のつもりだろう、ってんでCommon Lisp使って解読してみました。

まず、第一段階としては次の部分があります。

  k = 0;
  for(j = 1; j < N; ++j){
   if((k += i) >= N)
    k -= N;
   a[j] = k;

まあ、これは単純に言うと「配列生成」ですよね。要素数N=29の配列aを用いる、ってのがこのプログラムのポイントなんですが、1≦j<Nの範囲で次のルールを適用しています。

1:適当な数iを考える。
2:kの初期値は0。
3:j番目の配列要素には数値kを代入する。
4:ただし、kがN以上の場合、kはk−Nとする。
5:それ以外の場合はk=k+iとなる。

まず、これが一体どう言う配列を生成するのか、って事なんですけど、これがCだと部分的なテストが出来ないんで見づらいのです。
上の作業をCommon Lispに翻訳すると、次のようなソースになります。

(defun f (i N)
 (do ((j 1 (if (>= k N)
       j
       (1+ j)))
    (k 0 (if (>= k N)
         (- k N)
         (+ k i)))
    (a '() (if (>= k N)
          a
          (cons k a))))
   ((> j N) (reverse a))))

これで、例えばiを2として、N=29とすると次のような配列(リスト)を返すようです。

CL-USER> (f 2 29)
(0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
27)
CL-USER>

iを4としてN=29とすると次のような配列(リスト)を返すようですね。

CL-USER> (f 4 29)
(0 4 8 12 16 20 24 28 3 7 11 15 19 23 27 2 6 10 14 18 22 26 1 5 9 13 17 21
25)
CL-USER>

つまり、手計算的に言うと、初期値がゼロで29個の数列を考えて、与えられたiを加算していく、って事を考えます。ただし、その加算していった過程で、数列が29を越えた場合、そこから29を引いて、またiを加算していき、N番目まで計算する、と言う手順を踏みます。

次がこの数列から新しい数列を一種「生成する」んですね。Cのソースで言うと次の部分、です。

  k = 1;
  for(j = 1; j < N; ++j)
   if((k = a[k]) == 1)
    break;

1≦j<Nの範囲で次の事を行います。

1:初期値k=1とする(ただし、このkは前出のkとは無関係)。
2:配列aのk番目の要素を次の要素番号とする。
3:延々とa[k]をピックアップし続ける。

ってのがポイントのようです。
ただし、終端条件j=Nに到達しない内にa[k]=1、になると「計算終了」となります。j<Nの状態で1が出てくる、と言うのは、端的に言うと「原始根ではない」ようです。これがこのアルゴリズムの肝、のようですね。
これを考える前、では配列aがどう変換されるのか、見てみたいと思います。Common Lispで書くと次のようなソースになります。

(defun ex (N a)
 (do ((j 1 (1+ j))
    (k (nth 1 a) (nth k a))
    (ls '() (cons k ls)))
   ((= j N) (reverse ls))))

例えば、先ほどの(f 2 29)は配列(リスト)を返すんで、このリストがどう変換されるのか見てみたい、と思います。

CL-USER> (ex 29 (f 2 29))
(2 4 8 16 3 6 12 24 19 9 18 7 14 28 27 25 21 13 26 23 17 5 10 20 11 22 15
1)
CL-USER>

同様に、(f 4 29)がどう変換されるか見てみます。

CL-USER> (ex 29 (f 4 29))
(4 16 6 24 9 7 28 25 13 23 5 20 22 1 4 16 6 24 9 7 28 25 13 23 5 20 22 1)
CL-USER>

これ、面白いんですよ(笑)。結論から言うと2は原始根で4はそうじゃない、んですが、このアルゴリズムに従うと、原始根の場合は、終端条件(j=N)になるまで一切1が出てこない、んです。反面、4のような「原始根じゃない」場合、数列の途中辺りで1が出現して以降は同要素でループし出す、んですね。
らすかるさんの提示したソースですと、平たく言うと、この中間地点で1が出現するかどうか見定めて、1が出ちゃうと後は「同要素でループし出す」のを見越して計算を打ち切り、そうじゃない場合は終端まで計算していく、って事のようです。終端まで計算する以上、与えられたiは必然的に「原始根になる」って事のようです。なるへそ、ですね。
なお、Cのソースに準じるように上のexを書き直すを次のようになります。

(defun g (i N a)
 (do ((j 1 (if flag
         N
         (1+ j)))
    (k (nth 1 a) (nth k a))
    (flag nil (= k 1)))
   ((= j N) (and flag i))))

flagと言う変数を設定してkが1の場合は計算脱出してnilを返し、そうじゃなければ、最終的にiを返すようになっています。
ここまで出来れば、あとは2≦i<Nの範囲で繰り返させるだけ、です。最終的には次の形で関数fとgを纏めます。

(defun h (N)
 (do ((i 2 (1+ i))
    (ls '() (let ((flag (g i N (f i N))))
           (if flag
             (cons flag ls)
             ls))))
   ((= i N) (reverse ls))))

ここでもflagを設定して、gが数値を返すのかそれともnilを返すのか、でリストlsの要素として追加するのかどうか判定しています。
実行結果は以下のとおり、ですね。

CL-USER> (h 29)
(2 3 8 10 11 14 15 18 19 21 26 27)
CL-USER>

と言うわけで、らすかるさんのアルゴリズムでCommon Lispでも記述可能、だと言うことが分かりました。
ちょっとハードだったんですけど、なかなか面白かった、です。

No.4991 - 2009/02/01(Sun) 22:10:34
回答ありがとうございます。 / ゆきこ
また教えてください☆

∠A = 90゜である直角三角形ABCの2辺b,cの長さを測定して、辺aの長さを
a =√(b^2+c^2)
によって求める。辺b,cの測定誤差をそれぞれ△b,△cとするとき、辺aの誤差△aを求めなさい。

よろしくお願いします。

図は添付しました☆

No.4932 - 2009/01/29(Thu) 01:18:06

Re: 回答ありがとうございます。 / ヨッシー
bがb+△b、cがc+△c のときの
 √(b^2+c^2)
の値は、
 √{(b+△b)^2+(c+△c)^2}
これが、本当の a=√(b^2+c^2) との差は
 △a=√{(b+△b)^2+(c+△c)^2}−√(b^2+c^2)

No.4935 - 2009/01/29(Thu) 05:49:50

Re: 回答ありがとうございます。 / ゆきこ
参考になりました。ありがとうございました!
No.4955 - 2009/01/30(Fri) 05:04:24
(No Subject) / ゆう
周の長さが一定な値Lの扇形でその面積が最大となるときの中心角と半径の大きさを求めよ。


よろしくお願いします!

No.4931 - 2009/01/29(Thu) 01:07:08

Re: / ヨッシー
半径r、弧の長さlの扇形の面積は
 (1/2)rl
で表されます。半径rとすると、弧の長さはL−2rなので、
面積は、
 (1/2)r(L−2r)=−r2+rL/2
  =−(r−L/4)2+L2/16
よって、面積最大は、r=L/4 のとき

半径r、弧l、中心角θの間には
 l=rθ
の関係があるので、中心角は、
 (L−2r)/r=L/r−2=2
単位はラジアンです。

No.4938 - 2009/01/29(Thu) 06:55:19

Re: (No Subject) / ゆう
分かりました!ありがとうございました!
No.4951 - 2009/01/29(Thu) 18:39:33
(No Subject) / ゆきこ
こんばんは!どうぞよろしくおねがいします。

次の2変数実数関数の定義域を図示しなさい。
(1)z = loge(2-x^2-y^2)

(2)z = √x(1-y)

No.4928 - 2009/01/29(Thu) 00:27:21

Re: / ヨッシー
(1)真数条件より
 2-x^2-y^2>0
 x^2+y^2<2
より、円x^2+y^2<2 の内部(円周上は含まない)

(2)
 x(1-y)≧0 より
 x≧0 かつ 1-y≧0 または
 x≦0 かつ 1-y≦0
十文字の左上と右下になります。

No.4929 - 2009/01/29(Thu) 00:31:06
(No Subject) / キラ
YOKOHAMAの8文字を1列に並べ替えるとき並べ方はなん通りでしょう?
わかりません

No.4926 - 2009/01/28(Wed) 22:41:39

Re: / ヨッシー
これがもし、YOKPHAMB だったら、8P8=8! です。
ところが、YOKPHAMB と YPKOHAMB のように、OとPを入れ替えたものは、
実際は同じものです。このようなものが、2つずつあります。また、
YOKPHAMB と YOKPHBMA のように、AとBを入れ替えたものも、
実際は同じものです。このようなものが、2つずつあります。
よって、
 8!÷2÷2=10080(通り)
となります。

No.4927 - 2009/01/28(Wed) 23:26:46
(No Subject) / kuro
中学3年です。理科の質問お願いします。
コージェネレーションシステム(電気エネルギー30%、熱エネルギー50%)で利用される電力が4500KWのとき、このシステム全体で利用されるエネルギーは1秒間の何KJになるか。
解答

電気エネルギー30%、熱エネルギー50%
利用されるエネルギーは80%

4500×(80/30)=12000KJ


この計算の意味がよくわかりません・・・・。
比を利用してもっと簡単にできないでしょうか?

塾の宿題なので至急解答解説お願いします。

No.4919 - 2009/01/28(Wed) 15:19:38

Re: / ヨッシー
理科の問題なので、コージェネレーションシステムとはとか、
電気エネルギー30% の30%は、何に対して30%なのか
の説明がされていると思いますが、あいにく、こちらは
そういう情報がありません。

一方、この計算が正しいなら、これより簡単にと言うのは、
至難の業かと思います。

No.4922 - 2009/01/28(Wed) 16:36:57

Re: / cametan
単に

利用される電気エネルギー=4500KW
利用される熱エネルギー=xKW

で、

4,500:x=3:5

で、x+4,500は何だ?って話じゃないんですか?

No.4924 - 2009/01/28(Wed) 20:04:21
(No Subject) / 貧乏学生
はい。そのとおりです。

Aから左周りに、それぞれの頂点がB.C.Dとなっています。それ以外、ありません。

一番下はDです。すみません。分かりにくくて。
よろしくお願いします。

No.4918 - 2009/01/28(Wed) 15:17:03
ピタゴラスの原理だと思いますが・・ / 貧乏学生
教えて下さい。

ある中学受験の算数の問題の一つで、僕は高校1年生ですが
ということは、この問題を小学生が解くということでいとこが聞いてきたのですが、わかりません。

すぐに、ピタゴラスだと感じましたが、又小学生は、Sin,Cos・・・なども習ってないだろうし。
小学生の知っている知識で解くとなると
どのように解くのですか?教えて下さい。

5cm、4cm、3cmの三角形です。
これらは、ピタゴラスだったら、2乗で
16+9=25を利用すると思っても
どこを利用すればいいのかわかりません
年上で恥ずかしいですが、教えて下さい。

問題は、
?@ADを結んだ直線は何cm
?ABCを結んだ直線は何cm

どちらも直線は何cmですかという問題です。
教えて下さい。

No.4914 - 2009/01/28(Wed) 11:54:43

Re: ピタゴラスの原理だと思いますが・・ / ヨッシー
一番高い位置にある頂点が、Aというのは読み取れます。
一番下はDでしょうか?
左に突き出しているのが、BとCですか?

No.4916 - 2009/01/28(Wed) 15:02:56

Re: ピタゴラスの原理だと思いますが・・ / ju__
(1/23)の灘中学入試問題(算数2日目)の問題5だそうです。
(1) 9.6
(2) 3.52

【一例です】図を見ながら確認してみてください。

(1)右の2つの三角形を赤のように並び変えた図で考えます。
△PABについて
?@PA=PB=4×2=8cmで、{Q,R}は{PA,PBの中点になります。
…つまり、ABはQRの2倍になります。
?A四角形PQRO=12c?u、PO=5cm,PO⊥QRから、QR=(24/5)=4.8cm
…よって、AB=4.8×2=9.6cm

(2)次の2つの三角形を青のように並び替えた図で考えます。
?@△OABと△OEFを考え、OA=5cm,OE=3cmで、AB=9.6cmから
…EF=9.6×(3/5)=5.76cm
?A△CGKと△DHIの辺CG,DHの中点がE,Fであることから
…GI=IK=HJ=JLであることを利用します。
まず、GH=8cmから、EF=5.76cmを引けば、GI+HJがでます
…8−5.76=2.24
さらに、GI+HJ=GI+IK=GKであり
同様に、GI+HJ=HJ+JL=HLであるので
…GK=HL=2.24
求めるCDが、KLと等しいことから
…CD=KL=GH−(GK+HL)=8−2.24×2=3.52

No.4921 - 2009/01/28(Wed) 16:33:13

Re: ピタゴラスの原理だと思いますが・・ / ヨッシー

既に、回答がされているので、一応、私の描いた図を載せておきます。
別解というほどでもないので、解説は省略します。
●の角があるのが1問目
○の角があるのが2問目です。
それぞれの等しい角を含む直角三角形の相似を使います。

No.4923 - 2009/01/28(Wed) 17:18:43

Re: ピタゴラスの原理だと思いますが・・ / 貧乏学生
ju_様、ヨッシー先生。回答有難うございました。
灘中の入試問題だったのですか。
とてもよく分かりました。有難うございました。

ヨッシー先生、僕は小学生は、合同も相似も習ってないので
これを使おうと思ったのですが、迷いました。
投稿させていただく前に。
http://yosshy.sansu.org/sigu1.htm を
もちろん、見せていただいていました。

どちらも、とても、よく分かりました。
有難うございました。中学入試問題を出来るか
試された、家庭教師でした(苦笑)公立小学校6年生では
無理ですね。低学年からレベルの高い塾にでも
通っていないと。ju_さんの考え方もむりですよね。
学区内の一応1番の公立高校ですがこれを
小学生が解けたのかと思うと自信をなくしました。
しかも2日間もにらんでいました。

スッとしました。本当に、有難うございました。

No.4925 - 2009/01/28(Wed) 20:04:46
ベクトル / 紗耶香
こんばんは。どうぞよろしくお願い致します。

△ABCにおいて、辺BCを3:2に内分する点をD、辺BCを1:2に内分する点をE、△ABCの重心をGとする。AB↑=b↑、AC↑=c↑とするとき、次のベクトルをb↑、c↑を用いて表せ。
(1)AD↑
(2)AE↑
(3)AG↑
(4)GE↑
(5)DG↑
(1)はできましたが、(2)から分かりません;すみませんが、どなたか解説をよろしくお願い致します。

No.4913 - 2009/01/27(Tue) 23:48:16

Re: ベクトル / ヨッシー
(1) が出来たなら、(2) は同じ公式なので、出来るでしょう。
(3) は、重心の公式
 AGAAABAC
および、AAABAC より。

(4)(5)
一般に、Aを任意の点とすると、
 BCACAB
です。ADAEAG がそれぞれわかっているので、
求められます。

No.4920 - 2009/01/28(Wed) 15:26:50
教えてください?ォ / 積分
次の関数F(x)の導関数を求めよ。

(1)F(x)=∫-1(下)x(上)(2t^2-xt)

(2)F(x)=∫-3(下)x(上)(e^t+x)dt

No.4909 - 2009/01/27(Tue) 22:07:54

Re: 教えてください?ォ / ヨッシー
(1) は F(x)=∫-1x(2t^2-xt)dt だとします。
 ∫-1x(2t^2-xt)=[2t^3/3-xt^2/2]-1x
 =2x^3/3-x^3/2+2/3−x/2
 =x^3/6+2/3−x/2
xで微分して、
 F'(x)=x^2/2−1/2

(2)
 ∫-3x(e^t+x)dt=[e^t+xt]-3x
 =e^x+x^2−e^(-3)+3x
xで微分して、
 F'(x)=e^x+2x+3

No.4917 - 2009/01/28(Wed) 15:12:39
接線 / あき
連続投稿申し訳ありません!
悪いのですが教えて下さい(>_<)

http://w.upup.be/?8jwNlug3ia
http://q.upup.be/?5IbvkM5TkC
の問題で
エ〜ケの部分がわからなくて、
http://r.upup.be/?kZySZvuhL2
このように解答にはあるんですが、yが等しいまでは理解できたのですがそれからαβがXの二次方程式の解としてこのようにできるのかなぜかわかりません。教えて下さい(>_<)お願い致します(>_<)

No.4906 - 2009/01/27(Tue) 17:17:52

Re: 接線 / 七
例えば
aα^2+bα+c=0,
aβ^2+bβ+c=0 ならば
α,β は
ax^2+bx+c=0 の解です。

No.4907 - 2009/01/27(Tue) 18:23:22
接線 / あき
こんにちは(^ ^)/
質問どうかお願い致します。
http://x.upup.be/?a2FwPebpjx
http://u.upup.be/?5XziSHuje7
の問題で普通円の公式と言うと
x1x+y1y=a^2
を思い付くと思うんですがこの問題の場合右辺が0なのでどのように考えたらよいのかよく分かりません。
すみませんが教えて下さい(>_<)

No.4903 - 2009/01/27(Tue) 15:28:26

Re: 接線 / angel
まあ、公式に頼るな、ということでしょうね。

まず、ア,イは微分の問題です。
y=( f(x) )^2 を微分すれば、dy/dx=2f'(x)f(x) となるのと同様、x^2 を t で微分すれば、d(x^2)/dt = 2x・dx/dt となります。
結局、x^2+y^2=65^2 の両辺を t で微分すれば、2x・dx/dt+2y・dy/dt=0 ということです。

ウエ, オカ, キク, ケコ は全て同じ値で、円上で x座標16の場合の y座標の値(正のもの)ですね。√(65^2-16^2) を計算します。

サシ, スセ, ソタ は逆パターンで、円上で y座標33の場合の x座標の値(正のもの)です。

ここまでで出てきた計算を行うと、
 円 x^2+y^2=r^2 上の点(p,q)における接線は p(x-p)+q(y-q)=0 ⇔ px+qy=p^2+q^2=r^2 となる
ということで、公式に辿りつくわけではありますが。

No.4904 - 2009/01/27(Tue) 15:47:40

Re: 接線 / angel
この後の展開も含めて考えると、

・円の場合
 x・dx/dt+y・dy/dt=0 ( 2は余分なので取りました )
 → ベクトル (x,y) と (dx/dt,dy/dt) は垂直
 ところで、ベクトル(dx/dt,dy/dt) は円の接線の方向ベクトルそのもの。つまり、ベクトル(x,y)は法線ベクトル。
 点(p,q) ( p^2+q^2=r^2 ) における接線を考えると、法線ベクトルは(p,q)なので、
  p(x-p)+q(y-q)=0
 が接線となる。
・楕円の場合
 x^2+ay^2=c の両辺を微分してまとめると、
 x・dx/dt+ay・dy/dt=0
 円の時と同様に考えると、ベクトル (x,ay) は法線ベクトル。
 点(p,q) (p^2+aq^2=c) における接線を考えると、法線ベクトルが(p,aq)のため、
  p(x-p)+aq(y-q)=0 ⇔ px+aqy=p^2+aq^2=c

楕円 x^2/a^2+y^2/b^2=1 上の点(p,q)における接線は px/a^2+qy/b^2=1 となるのですが、このお話の由来を計算するのが趣旨の問題と言えるでしょう。
※a=b=rの場合、そのまま円の接線の話になります

No.4905 - 2009/01/27(Tue) 15:56:59

Re: 接線 / あき
ありがとうございます。
ただx yの方向ベクトルがdx/dt〜になる
というのがなぜかわかりません!
どうか教えて下さい(>_<)

No.4949 - 2009/01/29(Thu) 17:40:20

Re: 接線 / angel
> ただx yの方向ベクトルがdx/dt〜になる
> というのがなぜかわかりません!


これはそういうものだと思ってください。
どちらかというと物理ですね。

簡単にいうと、
 dy/dt = dx/dt・dy/dx
ですから、
ベクトル (1, dy/dx) と (dx/dt, dy/dt) = dx/dt・(1,dy/dx) は向きが一致するのです。
で、曲線の微分係数=接線の傾き dy/dx に対して、接線の方向ベクトルは (1, dy/dx) ですから、方向ベクトルとして (dx/dt, dy/dt) を採用しても良いわけです。

dx/dt=0, dy/dt≠0 のとき ( 接線が y軸に平行な時 ) はちょっと例外ですが。

No.4957 - 2009/01/30(Fri) 18:43:54
数A:論証 / 高1
a+b、abが整数⇒a,bが整数 の反例が分かりません。
お願いします。

No.4892 - 2009/01/27(Tue) 05:55:37

Re: 数A:論証 / NISSK
a = √2, b = - √2 とすると,
a + b = 0, ab = - 2 で共に整数ですが a, b は整数ではありません.

No.4893 - 2009/01/27(Tue) 06:57:50
お願いします?ォ / 高校1年
xは0<x<π/2の範囲で考えるものとする。
π/2<a<3π/4のaを適当にとって,
y=sin^2xとy=cos(xーa)のグラフが共有点で共有の接線をもつようにする。このときsinaの値を求めよ。

No.4891 - 2009/01/27(Tue) 01:10:14

Re: お願いします / angel
「y=f(x)とy=g(x)のグラフが共有点で共通の接線を持つ」
ということは、
 f(x)=g(x)
 f'(x)=g'(x)
の両方程式が共通解を持つということ。
その共通解をθ ( 0<θ<π/2 ) と置いてあげれば、今回は
 (sinθ)^2 = cos(θ-a)
 2sinθcosθ = -sin(θ-a)
となります。
辺々平方して足してあげれば、
 (sinθ)^4 + 4(sinθ)^2(cosθ)^2 = 1
ここから θ が決定できます。( 実際には sinθ,cosθ の組 )
最終的に a の値が π/2<a<3π/4 の範囲に収まることまで調べないと片手落ちになりますので、注意してください。
( つまり、sina, cosa の値を両方調べる必要があるということ )

No.4895 - 2009/01/27(Tue) 12:31:00
確率(格子点がらみ) / Jez-z
番号1,2,…nのついた札が、袋Aにはそれぞれ一枚ずつ、袋Bにはそれぞれ2枚ずつ入っている。ただしn≧2とする
(1)袋Aから札を2枚取り出すとき、その2枚の札の番号の和がnより大きい確率を求めよ。
(2)袋Bから札を2枚取り出すとき、その2枚の札の番号の和がnより大きい確率を求めよ。

初めに質問内容を書きますと、
?@(1)は格子点の問題に帰着させて解くことができました。ところが、別解を作ってみたところ、なぜか答が一致しなかったため、その原因を客観的に指摘・修正してほしいという点

?A(2)も同様に格子点で考えたところ、何度計算をやり直しても答が一致しなかったため、自分なりの分析を経たうえで、考え方に問題があった可能性が高いという結論に至りました。そこで、(2)に関してはできれば解説に格子点の領域を図示してほしいのですが…(ずうずうしくてすいません)

以下に?@でいう「別解」を書きます
2枚の札の取り出し方はnC2通り
求める場合の数はa+b>n(ただし、a,bはとりだした2数でa<bとする)を満たす(a,b)の組の個数
まず、aを固定するとbはa+b≧n+1⇔b≧n-a+1を満たしかつ
b≦nよりn-a+1≦b≦nのa(枚)存在する。
つまり、この場合の個数は
aを1≦a≦n-1で動かせばよいので
1/2n(n-1) (個)

よって求める確率は{1/2n(n-1)}÷nC2

長くなりましたが、以上の?@、?Aの2つの質問についての回答をお待ちしております。

No.4889 - 2009/01/27(Tue) 00:05:41

Re: 確率(格子点がらみ) / angel
格子点というか、マトリクス(表)ですね。
それは良い考えだと思います。
さて、(2)よりも(1)の方が面倒だと気付いているでしょうか。

先に丸1の問題点を指摘しますと、設定した条件 a<b を忘れているところです。
つまり、「n-a+1≦b≦n の a(枚)」とは単純に行かないのです。
敢えて書けば、max(n-a+1,a+1)≦b≦n ということになりますが、a の値に応じて場合わけが必要ですし、n の偶奇によっても変わります。( ガウス記号を使えば、偶奇による場合わけは不要ですが )

で、マトリクスを使うとなぜ良いか、というと、勿論見易いことが一番なのですが、1枚目・2枚目の大小関係を考えず、対等に扱える所だと思います。
添付図 ( n=4,5 の例 ) 中、表内の各セルは、灰色の所を除き、全て同確率です。その中で、和が n より大きいのは黄色の所となります。

そうすると、(2) は n の偶奇を考える必要がなく、答えはそのまま (n+1)/(2n) です。
(1) は、全体 n(n-1) の中で、黄色は n(n-1)/2+[n/2] ( nが偶数の時 n(n-1)/2+n/2、nが奇数の時 n(n-1)/2+(n-1)/2 ) ですから、答えは 1/2+[n/2]/n(n-1) ( nが偶数の時 n/(2(n-1))、nが奇数の時 (n+1)/(2n) ) となります。

No.4896 - 2009/01/27(Tue) 13:17:54

Re: 確率(格子点がらみ) / ToDa
要点はangel氏のご回答が的確で明快かと思いますが、少し注意が必要です。以下の例をご覧ください。

---

n=2のとき。カードに1a,1b,2a,2bと区別をつけてみる。
 |1a|1b|2a|2b|
--+--+--+--+--+
1a|\|×|○|○|
--+--+--+--+--+
1b|×|\|○|○|
--+--+--+--+--+
2a|○|○|\|○|
--+--+--+--+--+
2b|○|○|○|\|
--+--+--+--+--+

確率:10/12=5/6(≠(2+1)/(2*2))

という感じで。
No.4910 - 2009/01/27(Tue) 22:11:54

Re: 確率(格子点がらみ) / Jez-z
(2)の解答が
nが奇数のとき
(n+1)/2n

nが偶数のとき
(2n+1)/2(2n-1)

とあるのですが…

それと、自分は組み合わせで考えたのですが、そうすると、
「1枚目・2枚目の大小関係を考えず、対等に扱え」ないので、最適な解法とは言えないのでしょうか?
お願いします

No.4911 - 2009/01/27(Tue) 23:16:02

Re: 確率(格子点がらみ) / angel
最初にお詫びと訂正です。
(2)は単純ではなかったですね。(1)と同じくらい面倒でした。
「セルが全て同確率」というのが誤りです。
同じ数のペアに対し、異なる数のペアは確率が2倍になります。
※1枚目・2枚目が逆の分も考えると、(a,a)の組み合わせに対し、(a,b)の組み合わせとなる確率は4倍になります。

新しく添付した図中、水色および緑色は同じ数の組み合わせであり、それ以外は確率2倍のセルとなります。
そして、合計nより大なのが黄色および緑色の所です。

そのため、
全体:2・n(n-1)+1・n=n(2n-1)
nより大:2・( 1/2・n(n-1)+[n/2] ) + 1・(n-[n/2]) = n^2+[n/2]
 ( 偶数の時 n^2+n/2、奇数の時 n^2+(n-1)/2 )
確率:(n^2+[n/2])/n(2n-1)
 ( 偶数の時 (2n+1)/( 2(2n-1) )、奇数の時 (n+1)/(2n) )

が正しくなります。
申し訳ありませんでした。

No.4915 - 2009/01/28(Wed) 13:00:18

Re: 確率(格子点がらみ) / angel
> 最適な解法とは言えないのでしょうか?

何が最適かはわかりませんが、次の点からして、私の考えた解の方が分かりやすいと思いました。
※そっちの方が投稿しやすいですし

1. 「組み合わせ」をベースで考えると、a<b というような前提を入れざるをえないため、計算がややこしくなる。
 実際、Jez-zさんは a<b を扱う部分をミスしてしまいましたし。
2. まず表で考えれば、後から組み合わせベースに移行することはできる。( 表の上半分だけで考えれば良い )
 しかし、逆は難しい。

確率は、あくまで等確率な事象を元に考えれば良いので、組み合わせか順列かといったことに拘る必要はないのです。
ならば、受け(選択肢)が広い方がオトクです。

勿論、引き出しは沢山あった方が良いので、Jez-zさんの方法でも解けるのが望ましいと思います。何がより良いかは自身で煮詰めていくものかと思います。

No.4930 - 2009/01/29(Thu) 00:32:16

Re: 確率(格子点がらみ) / Jez-z
わかりました。自分でもいろいろと研究したいと思います。特に確率の問題では。
No.4960 - 2009/01/30(Fri) 19:28:36
初めまして / 祐 高3
考えたのですが、手も足もでないので御願いします。

p,qを正の実数とする。xの方程式log10(px)・log10(qx)+1=0が1よりも大きい解をもつとき、点(log10p,log10q)の存在する範囲を座標平面上に図示せよ。

log10は底が10という意味です。

No.4887 - 2009/01/26(Mon) 20:01:10

Re: 初めまして / rtz
log10px・log10qx+1=0でxが1より大きい解を持つ
⇔t2+(X+Y)t+(XY+1)=0でt=log10xが0より大きい解を持つ
(X=log10p、Y=log10q)
⇔[ D≧0 かつ y=f(t)の軸t=−(1/2)(X+Y)≧0 かつ f(0)≧0 (ただしX+Y=XY+1=0を除く)] または [ f(0)<0 ]
(f(t)=t2+(X+Y)t+(XY+1)={t+(1/2)(X+Y)}2+1−(1/4)(X−Y)2として、f(t)=0の判別式D=(X−Y)2−4)
⇔…

No.4890 - 2009/01/27(Tue) 00:12:18
(No Subject) / かなみ
xy平面上に原点を中心とする楕円Eがある。その長軸はx軸上にあり、長さ2a、短軸は長さ2bである(a>b)。
E上の3点A(-a,0)、B(0,-b)、P(p,q)が作る△ABPの辺ABを底辺とする時の高さをp,qで表すと【ア】であるから、△ABPの面積をSとすると、S=【イ】である。したがって、Sは(p,q)=(【ウ】,【エ】)のときに最大であり、最大値は【オ】である。

直線ABはbx+ay+b=0だということと
点と直線の距離の公式で点Pから直線ABまでの距離は
|bp+aq+b|/√(a^2+b^2)
だということまで分るのですが、高さをp,qで表すのが分りません。
その後もよく分らないので、教えて下さい。

No.4886 - 2009/01/26(Mon) 19:56:17

Re: / angel
先に指摘しますと、直線ABは bx+ay+ab=0 です。
そのため、AB・P間の距離は |bp+aq+ab|/√(a^2+b^2) です。

ここまで分かっていれば、これはそのまま「高さ」です。
つまり
 S=1/2×AB×(AB・P間の距離)
 S=1/2×AB×(ABを底辺とした時の△ABPの高さ)
この2つの表現は同等なのです。

後は、S を最大にする p,q をどう求めるか、です。
添付の図にあるように、「ABに平行な直線と楕円の接点がPとなる時、S最大」と考えます。( 接点となるのは2箇所ですが、一方はハズレです )

ABに平行でPを通る直線は、bx+ay=bp+aq ですから、これと楕円が接する、と考えるなら、
 bx+ay=bp+aq
 x^2/a^2+y^2/b^2=1
の連立方程式が重解を持つ、という攻め方になります。

逆に、P上の接線が px/a^2+qy/b^2=1 となることを利用すれば、px/a^2+qy/b^2=1 と AB:bx+ay+ab=0 が平行と考えて、
 p/a^2・a = q/b^2・b
 p^2/a^2+q^2/b^2 = 1 ( ∵(p,q)は楕円上にあるから )
という方程式を解いても良いです。

どちらでも結果は同じです。

No.4900 - 2009/01/27(Tue) 14:04:59

Re: / angel
申し訳ありません。
添付した図で、Bの位置が逆でした。本来は x 軸より下になります。上下逆として考えていただければ、と思います。

さて、余談ですが、楕円 x^2/a^2+y^2/b^2=1 というのは、円 x^2+y^2=1 を、x軸方向にa倍、y軸方向にb倍した図形です。

であれば、添付の図を x軸方向に a倍、y軸方向に b倍した状況、というのが、本問題での「S最大」の状況です。
※拡大して円が楕円になっても、「接している」等の状況は変わらないため。
a倍、b倍により、面積は ab倍になりますので、(p,q)=(√2/2・a, √2/2・b) の時 Sは最大値 (1+√2)/2・ab を取るということが分かります。
答え合わせに使えますね。

No.4902 - 2009/01/27(Tue) 14:51:11
(No Subject) / kasimu
初項1、公比a/3の無限等比級数が収束するようなaの値を求めよ。また、そのとき、和Sのとりうる値の範囲を求めよ。という問題で、aの範囲はわかるのですが、和Sの範囲がよくわかりません。どうやって解くのかおしえてください。
ちなみに答えはS>1/2になります。

No.4884 - 2009/01/26(Mon) 19:26:04

Re: / NISSK
a の範囲は |a| < 3 ですよね。
またこの無限等比級数の和は
  S = ??n=1 (a/3)n-1
   = 1/(1 - a/3) = 3/(3 - a)
ですから,
  |a| < 3 のとき,S = 3/(3 - a) の取り得る範囲を求めよ
という問題に帰着します.

No.4888 - 2009/01/26(Mon) 20:07:40
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