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★ 応用力学 / みなみ


物理関係の問題はマナー違反でしょうか？
でしたらすぐに削除させていただきます。すみません。


応用力学の問題の解答に

tan^(-1)45/60=36ﾟ52'

とあったのですが、ﾟや'、"を使って表記するにはどのようにしたらよいのでしょうか？
初歩的で申し訳ありません。
No.10242 - 2010/05/09(Sun) 00:27:16
☆ Re: 応用力学 / らすかる
度分秒は60進数ですから、度で計算された値は
整数部を度、
小数部の60倍の整数部を分、
小数部の60倍の小数部の60倍の整数部を秒
とすればいいですね。
arctan(45/60)≒36.8699°なので
度は整数部の36
分は0.8699×60=52.194の整数部の52
秒は0.194×60=11.64の整数部の11
で 36°52′11″となります。
No.10243 - 2010/05/09(Sun) 01:08:44
☆ Re: 応用力学 / みなみ

納得できました!
すごくわかりやすかったです!
ありがとうございました!
No.10245 - 2010/05/09(Sun) 12:08:06
★ 極値に関する質問です / あゆ
関数は実数全体で微分可能とする。
この時、
x=0の前後で導関数の符号が−から＋に変化
⇒F(x)はx=0で極小
は一般に正しいが、この逆は成り立たない。
x=0のみで最小値をとるような関数で
この逆を満たさない例をひとつ挙げよ。
この問題がわかりません。
解答よろしくお願いします。
No.10239 - 2010/05/08(Sat) 22:22:37
☆ Re: 極値に関する質問です / 我疑う故に存在する我
g (t) = t(1 + sin (1/t)), t ≠ 0,
　　　= 0, t = 0
と置くと連続函数になるので積分可能。
これを 0 から x 迄積分した函数を F (x) とすれば
逆の反例となる。
No.10244 - 2010/05/09(Sun) 09:10:30
☆ Re: 極値に関する質問です / あゆ
返信ありがとうございます。
これは、g(t)を0からxで積分した関数をF(x)とすると
F(x)はx=0を境に増加と減少が変わる、のはイメージできたのですが、
{F(x)}'=g(t)となって、x=0の前後でg(t)の符号が
変化しない、
この理由がよくわかりません。g(t)のt→＋0と
t→-0を調べればよいのでしょうか？
さらに質問で申し訳ないですが、解答をよろしくお願いします。
No.10246 - 2010/05/09(Sun) 14:01:14
☆ Re: 極値に関する質問です / 我疑う故に存在する我
g (t) は t = 0 の如何なる近傍でも値 0 を無限回取るので、
>符号が−から＋に変化
とはならない。
No.10251 - 2010/05/09(Sun) 17:56:36
★ センター試験に関して / ハオ
センター試験は試験時間が短いので余白に丁寧に記述している時間がありません。
二次の勉強との兼ね合いもあるので普段の2次対策も極力記述量を減らした方が良いのでしょうか？
例えば途中式の計算は暗算で行う等です。
マーク模試を受けても良い結果が得られません。途中の計算ミスでタイムロス、ベクトルの内積を計算する際に律儀に展開してからその後代入をしていたら時間が無くなりました。
ベクトルはわざわざ矢印を書く時間が惜しい様に思われます。
アドバイスを下さい。
No.10236 - 2010/05/08(Sat) 21:35:27
☆ Re: センター試験に関して / ヨッシー
原書房　渡部由輝著
数学コンプレックスを吹きとばせ！数学はやさしい
の１０８ページ「暗算は一段階だけにする」からの引用ですが、
「暗算は一段階だけにする」ことさえ心がければよい。それで(一)のタイプのミスの大部分は防げる。
たとえばこんなふうにだ。
例　次の方程式を解け
　４−３(ｘ−１)＝６ｘ＋１
これを、４−３ｘ＋３＝６ｘ＋１　と整理するのは一段階の暗算だ。かっこをはずすところしか暗算はしていない。
　それに対して、例題からいきなり
　−３ｘ−６ｘ＝１−４−３
とするのは二段階も三段階もの暗算だ。かっこをはずすところで一度暗算し、その暗算した答えを移項するところでもう一つ、暗算をしている。暗算が二重になっている。よほど計算力に自信がなかったら、それはしてはいけない。いや、自信があってもしない方がよい。たいして時間の節約にはならないからだ。
　(中略)
だから、生徒のノートを見れば、その子がどの程度計算ミスをしているかがわかる。ミスの多い子にかぎって、計算の途中を省略したがるのだ。

私も同感です。
同書に、目標---標準的な問題を考えなくても解けるようになることという
言葉があります。
手を動かして書いている時間よりも、手が止まって考え込んでいる時間の方が多くありませんか？
>センター試験は試験時間が短い
を見てそう思いました。
No.10240 - 2010/05/08(Sat) 22:50:23
☆ Re: センター試験に関して / ハオ
有難う御座います。最もな意見ではありますが自分では気づきにくい点でした。
No.10253 - 2010/05/09(Sun) 19:51:08
★ (No Subject) / ゆな
「正三角形の面積の」問題お願いします！
一辺１２センチです。
No.10231 - 2010/05/08(Sat) 17:26:23
☆ Re: / ヨッシー

こういうことですか？

学年によって、答え方も違いますが。
No.10234 - 2010/05/08(Sat) 19:09:57
★ 複素数 すうに / マコトちゃん
複素数の問題 おねがいします ２次方程式x^2-px＋2p=0の解は虚数で、解の３乗は実数であるとき、実数pの値を求めよ。

答え、２次方程式の解は虚数だから、D＜０より
p（p-8）＜0
0このとき１つの虚数解をωとすると
ω^2-pω＋2p=0
よって
ω^2=pω-2p
ゆえに
ω^3=ω・ω^2=ω（pω-2p）
＝pω^2-2pω
＝p（pω-2p）-2pω
=（p^2-2p）ω-2p^2p^2-2p≠0とすると、pは実数で、aは虚数であるから、右辺は虚数である。
これは左辺のa^3が実数であることに矛盾する。
ゆえにp^2-2p=0
?@からp=2

p^2-2p≠0というのはなぜ示す必要があるのでしょうか？
p^2-2p＝0なら
ω^3=-2p^2で実数＝実数となり成立するような気がするんですが
なぜ≠0なんですか？
（p^2-2p）×ω＝実数×虚数＝実数ですよね
-2p^2も実数なら
右辺は実数になるんじゃないんですか？
また、p^2-2p=0というのは複素数の相当というやつですか？

調べてみたのですがわかりませんでした
誰かわかるかた教えてくださいお願いしますm(._.)m
No.10230 - 2010/05/08(Sat) 16:38:11
☆ Re: 複素数 すうに / ヨッシー
ちょっと勘違いがあるようです。
p^2-2p≠0 では矛盾がある → p^2-2p＝0 である
と言っているだけで、p^2-2p≠0 を示しているわけではありません。

(p^2-2p)ω−2p^2＝ω^3(実数)
の時点で、即座に p^2-2p＝0 と言っても良いと思います。
上の解答は、それを念入りに説明しているだけです。

複素数の相当というなら、ω＝ａ＋ｂｉ　(a,bは実数 ｂ≠0)
とおいて、
　ω^3＝(p^2-2p)ω−2p^2
　　＝(p^2-2p)(a+bi)−2p^2
　　＝(p^2-2p)a−2p^2＋ｂ(p^2-2p)ｉ
より
　(p^2-2p)a−2p^2−ω^3＋ｂ(p^2-2p)ｉ＝０
ω^3 は実数なので、
　(p^2-2p)a−2p^2−ω^3＝０　かつ　ｂ(p^2-2p)＝０
ｂ≠０ より p^2-2p＝０ となります。
まぁ、同じことですね。
No.10232 - 2010/05/08(Sat) 17:33:04
☆ Re: 複素数 すうに / マコトちゃん
p^2-2p≠0とすると　pは実数で、aは虚数であるから、右辺は虚数である

最後にこの部分がわかりません。
=（p^2-2p）ω-2p^2　
pは実数なので
p^2-2pは実数
aは虚数ですよね。
例えばp^2-2pを５だとすると
５×a（虚数）は虚数になるんですか？
だから右辺は虚数ということなんでしょうか？
最後によろしくおねがいします＞＜
No.10235 - 2010/05/08(Sat) 20:10:27
☆ Re: 複素数 すうに / ヨッシー
まず、右辺というのは　（p^2-2p）ω-2p^2　のことで、
ａというのはωのことですね？

質問だけに答えると、
>５×a（虚数）は虚数になるんですか？
はい。
>だから右辺は虚数ということなんでしょうか？
はい。

(実数)×(虚数)は、(実数)の部分が、０でない限り虚数です。

虚数とは、実数以外の複素数のことで、
　ｍ＋ｎｉ　ｍは実数、ｎは０でない実数
で表されます。これに、０でない実数ｋを掛けると、
　ｋｍ＋ｋｎｉ
となり、ｋｍは実数、ｋｎは０でない実数となるので、
やはり虚数になります。
No.10237 - 2010/05/08(Sat) 22:16:41
★ 組み合わせ / まりな
次の問題の最後の問題が、不明です。教えていただけますか？
図１のような、２×３のマスに、図２のような２×１のブロックを３個しきつめる方法は、図３のように３通りあります。

?@　２×４のマスに２×１のブロックを４個しきつめる方法は何通りありますか。
　　　これは５通り
?A　２×５マスに２×１のブロックを５個しきつめる方法は何通りありますか。
　　　これは８通りかと…
?B　２×６のマスに２×１のブロックを６個しきつめる方法は何通りありますか。
　　　たぶん13通りかなと思います
?C　４×６のマスにブロックを12個しきつめる方法は何通りありますか。
　　　これは、?@〜?Bを使うのかなと想像したのですが、よくわからなくなってしまいました。
No.10229 - 2010/05/08(Sat) 13:26:34
☆ Re: 組み合わせ / ヨッシー

２×４の並びは上の通りです。
これを縦に２つ並べて、４×４のマスにすることを考えます。

Ａの下に、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，ＥをつないだＡＡ，ＡＢ，ＡＣ，ＡＤ，ＡＥ の５通り
Ｂの下に、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅをつないだ
ＢＡ，ＢＢ，ＢＣ，ＢＤ，ＢＥ の５通りと
ＢＢ，ＢＥのつなぎ目に出来た横横の正方形を縦縦の正方形にした
ＢＢ’，ＢＥ’の計７通り、

Ｃの下には、ＣＡ，ＣＢ，ＣＣ，ＣＤ，ＣＥ，ＣＣ’ の６通り
Ｄの下には、ＤＡ，ＤＢ，ＤＣ，ＤＤ，ＤＥ，ＤＤ’ＤＥ’の７通り
Ｅの下には、ＥＡ，ＥＢ，ＥＣ，ＥＤ，ＥＥ，ＥＢ’，ＥＤ’，ＥＥ’，ＥＥ”，ＥＥ'"の１０通りが出来ます。

今度は、こうして出来た４×４のマスの上にＡ〜Ｅをくっつけることを考えます。
元々Ａだったものの上には、やはり５通り、
Ｂだったものの上には、７通り（下にくっつけた時の回転は
上には影響しないので)
Ｃ，Ｄ，Ｅとそれぞれ、６通り、７通り、１０通り出来ます。

よって、Ａの上下にＡ〜Ｅを１つずつくっつけたものは２５通り、
Ｂが４９通り、Ｃが３６通り、Ｄが４９通り、Ｅが１００通りになります。

以上より、合計２５９通り　となります。

こちらもあわせてご覧ください。
No.10233 - 2010/05/08(Sat) 19:01:34
☆ Re: 組み合わせ / まりな
あろがとうございます。４×４のところまではわかります。そのあと、４×６にするときですが、上につけるというのがよくわかりません。下のくっつけた時の回転は上に影響しないというのはどういうことなのか、説明していただくことは可能ですか？お願いします。
No.10263 - 2010/05/10(Mon) 12:52:42
☆ Re: 組み合わせ / ヨッシー

図は、ＢＢの上にＢを付けようとしているところと、
ＢＢ’の上にＢを付けようとしているところです。

上や下にＡ〜Ｅを付けて、何通り出来るかは、横横の正方形が
出来るかどうかによります。
たとえば、Ａの上や下にＡ〜Ｅの何を付けても横横の正方形は出来ませんから、
単純に５通りずつです。

Ｂについて言うと、下にＡ〜Ｅを付けると、
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｂ’，Ｅ’ の７通り。
そのそれぞれについて、上にＡ〜Ｅを付けると、同じく、
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｂ’，Ｅ’ の７通りが出来るので、
合計で、７×７＝４９(通り)出来ます。

もし、ＢＢをＢＢ’にしたときに、一番上の並びも変わってしまっては、
同じように７通り出来るかどうかはわかりません。
ところが、ＢＢもＢＢ’も、最上辺の並び方は変わらないので、
それぞれ、同じように７通りのくっつけ方が出来るのです。
No.10265 - 2010/05/11(Tue) 00:31:53
☆ Re: 組み合わせ / まりな
よくわかる丁寧な説明ありがとうございます。
意味がよくわかりました。
No.10278 - 2010/05/12(Wed) 16:31:12
★ 行列 / カカオ
v,v'を平面ベクトル、AとA'を二次の正方行列とする。次のことを示しなさい。
１、すべてのvに対して、Av=A'v⇔A=A'
2、すべてのAに対して、Av=Av'⇔v=v'
No.10224 - 2010/05/06(Thu) 18:40:27
☆ Re: 行列 / ヨッシー

とおきます。
１．すべてのｖに対してＡｖ＝Ａ’ｖが成り立つので、
　
として、a=e,c=g
　
として、b=f,d=h
よって、すべてのｖに対して、
　Ａｖ＝Ａ’ｖ→Ａ＝Ａ’
逆にＡ＝Ａ’ ならば、明らかにすべてのｖに対して
　Ａｖ＝Ａ’ｖ
が成り立ちます。

２．すべてのＡに対して　Ａｖ＝Ａｖ’が成り立つので、
Ａ＝Ｅとすると、ｖ＝ｖ’
逆に、ｖ＝ｖ’であれば、明らかにすべてのＡに対して
　Ａｖ＝Ａｖ’
が成り立ちます。　
No.10225 - 2010/05/06(Thu) 21:49:32
★ 高２ 数学ベクトル / マコトちゃん
ベクトル 数学B 本当に分かりません 原点Oを中心とする半径3√6の球面をSとし、２点A（-5,2,-1）、B（-3,0,3）を通る直線をLとする。
SとLの交点をＰ,Qとするとき、線分PQの長さを求めよ。

解答
点Ｒが直線L上にあるとき
OR→＝（1-t）OA→＋tOB→
＝（2t-5, -2t＋2 , 4t-1）・・・?@
とおける。また、球面Sの方程式は
x^2＋y^2＋z^2=（3√6）^2であるから
点rがS上にあるとき
（2t-5）^2＋（-2t＋2）^2＋（4t-1）^2=54
〜〜
t=-1/2、2
これらを?@に代入したものが点P、Qの位置ベクトルであるから
OP→＝（-6,3,-3） OQ→＝（-1,-2,7）とすると
PQ→＝OQ→-OP→＝（5,-5,10）であるから、
求める線分PQの長さは
｜PQ→｜＝√5^2＋（-5）^2＋10^2 ＝5√6

【点Ｒが直線L上にあるとき
OR→＝（1-t）OA→＋tOB→
＝（2t-5, -2t＋2 , 4t-1）・・・?@】
いきなり点Rって・・・どういうことなんですか？

【これらを?@に代入したものが点P、Qの位置ベクトルであるから
OP→＝（-6,3,-3） OQ→＝（-1,-2,7）とすると】
さっぱりです！
なぜ↑の解答のようになるのか；；
なぜ
これらを?@に代入したものが点P、Qの位置ベクトルであるから
Oと言えるのでしょうか＾＾;？？;だれかわかるかたおしえてください。
おねがいします。



また解答では（1-t）とtを実数としてつかっていますが
s,tを用いて

OR→＝sOA→＋tOB→ （s＋t=1）
とするのは大丈夫ですよね？
数学



No.10220 - 2010/05/05(Wed) 23:48:40
☆ Re: 高２ 数学ベクトル / X
＞＞また解答では〜大丈夫ですよね？。
ええ、大丈夫ですよ。(同じことですので)

＞＞いきなり点Rって・・・どういうことなんですか？
解答はすでに試行錯誤した後にまとめている文章なので
点Rが沸いて出てきたように見えるだけです。
＞＞点Ｒが直線L上にあるとき
を
＞＞SとLとの交点の一つをRとすると、RはL上にあるので
と読み替えてみてください。
No.10222 - 2010/05/06(Thu) 11:35:58
☆ Re: 高２ 数学ベクトル / マコトちゃん
＞＞SとLとの交点の一つをRとすると、RはL上にあるので

なんでRをもちだす必要があるのでしょうか？
No.10223 - 2010/05/06(Thu) 18:22:40
☆ Re: 高２ 数学ベクトル / X
この解答の方針では、まずS,Lの交点の座標を求める必要がありますので
この点を変数として点Rに設定しているだけです。
No.10226 - 2010/05/07(Fri) 15:42:09
★ (No Subject) / 高校２年生
白旗２本、赤旗３本、青旗５本からそれぞれ２本ずつ使って円形に並べると、
何通りできる。

ぜひ解説お願いいたします。
No.10216 - 2010/05/05(Wed) 12:18:47
☆ Re: / ヨッシー
問題の意図がよくわかりません。
「それぞれ２本使って」なら
白旗２本、赤旗２本、青旗２本で良いのでは？
No.10217 - 2010/05/05(Wed) 12:25:14
☆ Re: / 高校２年生
設問が他にいくつかあって、最後の１問で上記の問題があったんです。
答えは16通りとなっていますが、どうしてそうなるのかがわかりませんでした。

問題集では
白旗２本、赤旗３本、青旗５本がある。
（４）白旗、赤旗、青旗それぞれ２本ずつ使って円形に並べると、
何通りできる。

何のところが穴埋めになっていました。
No.10218 - 2010/05/05(Wed) 19:37:16
☆ Re: / ヨッシー
図の１６通りです。

赤が隣り合っている場合、１個離れている場合、２個離れている場合
それぞれについて、青、白の並び方は 4Ｃ2＝6（通り）ですが、
赤が２個離れている場合は、180°回すと、別の並び方になるものが
２つあるので、重複分は除外します。よって、
　６×３−２＝１６（通り）
です。
No.10219 - 2010/05/05(Wed) 22:40:31
☆ Re: / 高校２年生
ありがとうございました。
詳しい解説、すごくわかりやすかったです。
No.10228 - 2010/05/08(Sat) 13:12:28
★ 高２　軌跡 / syooo
こんにちは。
直線2x+y+1=0とA（3,1）がある。点Qがこの直線上を動く時、線分AQを2：1に内分する点Pの軌跡を求めよ。
解き方がいくつかあるみたいですが、わからないのでよろしくお願いします
No.10212 - 2010/05/05(Wed) 07:15:44
☆ Re: 高２　軌跡 / ヨッシー
まず、どんな図形になるか見当を付けます。
見当を付けたら、決めうちで、点（○、○）を通って、傾きいくつ
で、直線の式を決めればいいでしょう。


高校生らしく解くなら、
　２ｘ＋ｙ＋１＝０　←→　ｘ＝ｔ、ｙ＝−２ｔ−１
という変形をして、点Ｑの座標を(t,-2t-1) とし、
ＡＱを２：１に内分する点を求め、その点を
ｘ＝(3+2t)/3、ｙ＝(-4t-1)/3 などのように置き直して、
ｔを消去すればいいでしょう。
No.10213 - 2010/05/05(Wed) 07:50:59
☆ Re: 高２　軌跡 / syooo
返信遅れてすみません！　大体分かりました、ありがとうございます。
No.10271 - 2010/05/11(Tue) 22:14:29
★ 平方数の和に関して / 質問者
こんばんわ。
平方数の和を求める公式の証明について、1からｎ番目の平方数であるｎ^2までの和を求めることを通して解説していただけないでしょうか。
自身の力量不足もあり、初歩的な証明の仕方であれば幸いです。
No.10205 - 2010/05/04(Tue) 23:45:45
☆ Re: 平方数の和に関して / ヨッシー
まずは、変わり種ですがこちらなど。
No.10210 - 2010/05/05(Wed) 06:04:05
☆ Re: 平方数の和に関して / ヨッシー
一方、正統派。
Σ{k^3−(k-1)^3}＝Σ(3k^2-3k+1)
を考えます。範囲はｋ＝１〜ｎです。
(左辺)＝(1-0)+(8-1)+(27-8)+・・・{n^3-(n-1)^3}＝n^3
(右辺)＝3Σk^2−3Σk＋n＝3Σk^2−(3n^2+n)/2
よって、
　3Σk^2＝n^3＋(3n^2+n)/2＝n(n+1)(2n+1)/2
　Σk^2＝n(n+1)(2n+1)/6
となります。
No.10211 - 2010/05/05(Wed) 07:03:24
☆ Re: 平方数の和に関して / 豆
その他では、
(n+2)(n+1)n=??((k+2)(k+1)k-(k+1)k(k-1))
　　　　　　　=3?婆^2+3?婆
∴?婆^2=(1/3)((n+2)(n+1)n-3?婆)
　　　　　=(1/3)( (n+2)(n+1)n-(3/2)(n+1)n)
　　　　　=(1/6)n(n+1)(2n+1)
No.10227 - 2010/05/07(Fri) 17:17:28
★ 高２数Bベクトル　京都大学　平面方程式の応用 / あいりん　高２
座標空間に４点A（２，１、０）、B（1,0,1）、C（0,1,2）、
D（1,3,7）がある。
３点A、B、Cを通る平面に関して点Dと対称な点をEとするとき、点Eの座標を求めよ。

解答「平面ABCの法線ベクトルをn→＝（a,b,c）とする。
AB→＝（-1,-1,1）、AC→＝（-2,0,2）であるから、
n→・AB→＝０、n→・AC→＝０より
-a-b＋c=0、-2a＋2c=0
よってb=0, c=a
ゆえに、n→＝（1,0,1）【適当に設定した】とすると、
平面ABCの方程式は
1・（x-2）＋０・（y-1）＋1・（z-0）＝０からx＋z-2=0
【Oを原点、ｋを実数とする。
点Dから平面ABCに垂線DHを下ろすと、
n→//DH→であるから
OH→＝OD→＋DH→＝OD→＋kn→＝（1＋k,3,7＋k）】
点Hは平面ABC上にあるから
（1＋k）＋（7＋k）-2=0
よって　k=-3　ゆえにOH→＝（-2.3.4）
よって【OE→＝2OH→-OD→＝2（-2,3,4）-（1,3,7）＝
（-5,3,1）
したがって　E（-5,3,1）】」
とあるのですが、
【Oを原点、ｋを実数とする。
点Dから平面ABCに垂線DHを下ろすと、
n→//DH→であるから
OH→＝OD→＋DH→＝OD→＋kn→＝（1＋k,3,7＋k）】
どうやったらこんな式がでてくるんですか？！

【OE→＝2OH→-OD→＝2（-2,3,4）-（1,3,7）＝
（-5,3,1）
したがって　E（-5,3,1）】この部分が全く分かりません
特にOE→＝2OH→-OD→という式はどこから・・・

だれかわかるかたおねがいしますm（＿　＿）m
No.10204 - 2010/05/04(Tue) 23:24:58
☆ Re: 高２数Bベクトル　京都大学　平面方程式の応用 / X
＞＞どうやったらこんな式がでてくるんですか？！
↑n//↑DHであるから
↑DH=k↑n(kはある実数)
と表すことができます。
従って…。

＞＞特にOE→＝2OH→-OD→という式はどこから・・・
題意から点Hは線分DEの中点ですので
↑OH=…
この式を変形すると…。
No.10206 - 2010/05/04(Tue) 23:55:31
☆ Re: 高２数Bベクトル　京都大学　平面方程式の応用 / あいりん　高２
> ＞＞どうやったらこんな式がでてくるんですか？！
> ↑n//↑DHであるから
> ↑DH=k↑n(kはある実数)
> と表すことができます。
> 従って…。
>
> ＞＞特にOE→＝2OH→-OD→という式はどこから・・・
> 題意から点Hは線分DEの中点ですので
> ↑OH=…
> この式を変形すると…。
中点の公式より
OH→＝1/2（OE→＋OD→）
両辺に２をかけてOEに関する式に変形すると
2OH→＝OE→＋OD→
OE→＝2OH→-OD→　ということですか？？
No.10209 - 2010/05/05(Wed) 01:37:14
☆ Re: 高２数Bベクトル　京都大学　平面方程式の応用 / X
その通りです。
No.10214 - 2010/05/05(Wed) 07:57:28
★ 高２　数学B　ベクトルの応用 / あいりん　高２
二点（0、0、1）、（2、2、5）を直径の両端とする球面をＳ１、二点（-1、0、3）、（3、4、1）を直径の両端とする球面をＳ２とし、Ｓ１、Ｓ２の交わ りの円Ｃの中心Ｃの座標と半径を求めよ。

解答
「Ｓ１、Ｓ２の中心をそれぞれＯ１、Ｏ２、交わりの円Ｃ上の１点をPとする。球の中心は、直径の中点であるから
Ｏ１（１、１、３）、Ｏ２（１、２、２）
Ｓ１の半径はR１=ルート６
Ｓ２の半径はR２=３
また、△Ｏ１ＰＣ、△Ｏ２ＰＣ は直角三角形である。
円Ｃの半径をR、ＣＯ１=x、ＣＯ２=yとすると
y±x=Ｏ１Ｏ２=ルート２であり
x＾２ ＋R＾２=６…(1)
y＾２＋R＾２=９…(２）
解いて、
y＾２-x＾２=３…(３)
以下計算
…………
R=ルート94／4
また、この時点Ｃは線分Ｏ１Ｏ２をx：y=１：5に外分する。
したがって
Ｃ(１、3／4、13／4)、半径ルート94／4」なのですがなぜ△Ｏ１ＰＣ、△Ｏ２ＰＣ は直角三角形である。
とわかるのですか。
また、y±x= のところ
なぜ±なんですか？
そして最後の
点Ｃは〜に外分する
なぜ外分？図は二通りあってひとつめ(上の）は内分の形になっていますよね？
誰かわかるかた教えてくださいお願いしますm(._.)m
No.10202 - 2010/05/04(Tue) 23:11:10
☆ Re: 高２　数学B　ベクトルの応用 / あいりん　高２
> 二点（0、0、1）、（2、2、5）を直径の両端とする球面をＳ１、二点（-1、0、3）、（3、4、1）を直径の両端とする球面をＳ２とし、Ｓ１、Ｓ２の交わ りの円Ｃの中心Ｃの座標と半径を求めよ。
>
> 解答
> 「Ｓ１、Ｓ２の中心をそれぞれＯ１、Ｏ２、交わりの円Ｃ上の１点をPとする。球の中心は、直径の中点であるから
> Ｏ１（１、１、３）、Ｏ２（１、２、２）
> Ｓ１の半径はR１=ルート６
> Ｓ２の半径はR２=３
> また、△Ｏ１ＰＣ、△Ｏ２ＰＣ は直角三角形である。
> 円Ｃの半径をR、ＣＯ１=x、ＣＯ２=yとすると
> y±x=Ｏ１Ｏ２=ルート２であり
> x＾２ ＋R＾２=６…(1)
> y＾２＋R＾２=９…(２）
> 解いて、
> y＾２-x＾２=３…(３)
> 以下計算
> …………
> R=ルート94／4
> また、この時点Ｃは線分Ｏ１Ｏ２をx：y=１：5に外分する。
> したがって
> Ｃ(１、3／4、13／4)、半径ルート94／4」なのですがなぜ△Ｏ１ＰＣ、△Ｏ２ＰＣ は直角三角形である。
> とわかるのですか。
> また、y±x= のところ
> なぜ±なんですか？
> そして最後の
> 点Ｃは〜に外分する
> なぜ外分？図は二通りあってひとつめ(上の）は内分の形になっていますよね？
> 誰かわかるかた教えてくださいお願いしますm(._.)m

画像はり忘れました＞＜
No.10203 - 2010/05/04(Tue) 23:11:57
☆ Re: 高２　数学B　ベクトルの応用 / X
＞＞なぜ△Ｏ１ＰＣ、△Ｏ２ＰＣ は直角三角形である。
＞＞とわかるのですか。
問題の立体の点O1,O2を含む断面を考えると
点Pは
点O1を中心とする半径R1の円と点O2を中心とする半径R2の円
との二つの交点のうちの一つ
点Cは
上記の二つの交点を結ぶ直線(lとします)と直線O1O2との交点になっています(図を描きましょう)。
ここで
l⊥O1O2
ですので…。
No.10207 - 2010/05/05(Wed) 00:08:10
☆ Re: 高２　数学B　ベクトルの応用 / X
＞＞なぜ外分？図は二通りあってひとつめ(上の）は内分の形になっていますよね？

図にあるとおり点Cは
(i)線分O1O2の内分点となる場合
(ii)線分O1O2の外分点となる場合
の２つの可能性があります。
内分点となる場合は
y+x=O1O2=√2 (A)
外分点となる場合は
y-x=O1O2=√2 (B)
これらをまとめて
x±y=O1O2=√2
と解答では書いています。
ここからですが、(A)(B)それぞれの場合について
(1)(2)と連立して解き(x,y,R)を計算すると
(A)の場合
(x,y,R)=(-(1/4)√2,(5/4)√2,(1/4)√94)
∴x<0となり、不適。
(B)の場合
(x,y,R)=((1/4)√2,(5/4)√2,(1/4)√94)
となり点Cは線分O1O2を
(1/4)√2:(5/4)√2=1:5
に外分します。

ということで点Cは線分O1O2の外分点となっています。
No.10208 - 2010/05/05(Wed) 00:31:17
☆ Re: 高２　数学B　ベクトルの応用 / X
ごめんなさい。No.10208に誤りがありましたので直接修正しました。
再度ご覧下さい。
(x,yは長さなのに、比と混同していました。)
No.10215 - 2010/05/05(Wed) 08:04:37
★ 因数分解 / seki
x^3-(b-1)x^2+abx-ab(b-1)

いまいちわからずに悩んでいます。
わかる方がいらっしゃればよろしくお願いします。
No.10195 - 2010/05/04(Tue) 17:30:10
☆ Re: 因数分解 / Kurdt（かーと）
こんにちは。

(b-1) が共通していることに着目して、

-(b-1)x^2-ab(b-1) の部分を
= -(b-1)(x^2+ab)
としてみると何かが見えてくるでしょう。
No.10196 - 2010/05/04(Tue) 17:43:13
☆ Re: 因数分解 / seki
Kurdt（かーと）さん返信ありがとうございます。
すみません困ったことにさっぱり見えて来ませんでした。

x^3-(b-1)x^2+abx-ab(b-1)
(b-1)が共通しているので-(b-1)(x^2+ab)
との事でしたがx^3+abx-(b-1)(x^2+ab)となるのでしょうか？
No.10197 - 2010/05/04(Tue) 19:27:40
☆ Re: 因数分解 / ast
問題の式は x に関して 3 次, b に関して 2 次, a に関して 1 次なので, わたしならまず次数が一番低い a について整理することを薦めます. 1 次式がもし因数分解できるならば, 共通因数をくくりだす以外に選択肢はありませんし, 気にするべき文字が x と b のふたつに減って考えを整理しやすくなるはずです.
No.10198 - 2010/05/04(Tue) 19:58:10
☆ Re: 因数分解 / Kurdt（かーと）
x^3+abx-(b-1)(x^2+ab) の残っている部分を x でくくると、
x(x^2+ab)-(b-1)(x^2+ab) となって x^2+ab でくくれるようになりますね。
No.10199 - 2010/05/04(Tue) 20:59:22
★ お願いします / ｚｚｚ
Ｑは１３で割り切れる
Ｑを１５で割ると１あまる
このときのＱの値は？

頭が混乱しわからなくなりました
解説お願いします
No.10192 - 2010/05/04(Tue) 13:12:31
☆ Re: お願いします / 佐藤
こういう場合って難しく考えずに、実際にどんな数字なのか書いてみたらどうでしょうか。
13で割り切れるから13の倍数ってことだから、
13、26，39，52，65，78，91

15で割ると1余るんだから
1、16，31，46，61，76，91

両方を満たすから「91」が正解。
ただし、このときのQの範囲が与えられていないから、
91の倍数ってことも考えられますよね
No.10193 - 2010/05/04(Tue) 15:29:13
☆ Re: お願いします / ヨッシー
91 の倍数ではなくて、
91＋(195の倍数)　ですね。
195 は、13と15の最小公倍数です。
No.10194 - 2010/05/04(Tue) 16:03:16
★ 円錐曲線 / saito
こんにちは。いま古代の人の気持ちに立って幾何学的に円錐曲線の方程式を導びこうとしているのですが、双曲線の方程式に出てくるbを図中の何処に取れば良いのかで悩んでいます。
図というのは円錐(を二つ組み合わせたもの)に切断面を加えた、比較的良くある立体図です。最初なので、歪んでいない、頂点が底面(円)の中心から真上に位置する円錐を考えています。

切断面における2本の(双)曲線の頂点間の距離を2aと置きました。
楕円については、aもb長直径と短直径に当たるので分かりやすかったのですが、双曲線については手近な参考書を見てもbについての説明はあまり有りません…。

切断面が底面に垂直な場合は相似を使って上手く求めることが出来たのですが、(そのときbは、2aの中点と円錐の頂点とを結ぶ距離と置きました。)切断面を斜めにしてしまうと相似形が使えなくなって成り立ちません。

説明が下手で申し訳ありませんが、お教えいただけると嬉しいです。
No.10190 - 2010/05/04(Tue) 09:31:29
☆ Re: 円錐曲線 / saito
すみません、因みに焦点や準線は用いていません。
宜しくお願いいたします。
No.10191 - 2010/05/04(Tue) 09:34:21
★ (No Subject) / TKO
?@と書かれたカードが1枚、?Aと書かれたカードが2枚、?Bと書かれたカードが3枚、合計6枚のカードが袋の中に入っている。この中から無作為に1枚のカードを取り出し、その数字よりも大きなカードが袋の中にあればそれらをすべて取り除き、取り出したカードは袋の中にもどす、という操作をn回繰り返したあとで、袋の中に?@と?Aのカードが残っている（3のカードは残っていない）確率をPnとし、そのPnを求めよ。

n≧2のときn=2で?Bを取り出した時のPnの表し方がわかりません。
お願いします。
No.10188 - 2010/05/03(Mon) 23:00:26
☆ Re: / ヨッシー
ポイントは、
・?@を引いてはいけない
・?Aは少なくとも１回は引かなくてはならない
　?Aを引くと、?@?A?Aになるので、それ以降は?Aのみを引く
です。

ｎ回の試行をする場合
１回目に?Aを引いて、その後ｎ−１回?Aを引く確率
　(1/3)×(2/3)^(n-1)
１回目?B、２回目?Aを引いて、その後ｎ−２回?Aを引く確率
　(1/2)×(1/3)×(2/3)^(n-2)
ｋ−１回?Bを引き、ｋ回目に?Aを引いて、その後ｎ−ｋ回?Aを引く確率
　(1/2)^(k-1)×(1/3)×(2/3)^(n-k)
と書けます。実は、最後の
　(1/2)^(k-1)×(1/3)×(2/3)^(n-k)
だけで、ｋ＝１〜ｎすべて表せています。変形すると、
　(1/2)^(k-1)×(1/3)×(2/3)^(n-k)
　＝2(1/2)^k×(1/3)×(2/3)^n×(3/2)^k
　＝(2/3)^(n+1)×(3/4)^k
これを、ｋ＝１〜ｎで和を取れば
　Pn＝3・(2/3)^(n+1)−(1/2)^(n-1)
となります。
No.10189 - 2010/05/04(Tue) 07:39:21
★ お願いします / 良平
正の実数a,b(a>b)に対して、数列{an},{bn}を
a0=a,b0=b,a(n+1)=(an+bn)/2,b(n+1)=√(an･bn)(n≧0)
で定義されるものとする。このとき以下の問に答えよ。

(1)任意のn≧0にｔに対して、an≧bnを示せ。
(2){an}単調減少であること、{bn}が単調増加であることを示せ。
(3){an}は単調減少且つan≧b,{bn}は単調増加且つbn≦aより、{an}および{bn}は収束する。
このとき、{an}の極限値と{bn}の極限値が一致することを示せ。

参考書などを見たのですが、分からなくて困っています。
どなたかよろしくお願いします。
No.10186 - 2010/05/03(Mon) 11:32:00
★ 小学校算数より / 力不足
子どもに算数のことを聞かれいまだにうまく答えられません。ご存知の方がいらっしゃいましたらよろしくお願いいたします。
小学校の算数において「時刻と時間」を３年生で習います。
そこで時間において、「〜時間〜分」や「〜分〜秒間」などと習いますが、なぜ「〜時間〜分間」や「〜分間〜秒」などとは言わないのでしょうか。

子どもにもわかるように教えていただけると助かります。よろしくお願いいたします。
No.10183 - 2010/05/02(Sun) 01:42:43
☆ Re: 小学校算数より / ヨッシー
このへんに書いてある、算数と言うより日本語の問題というのに賛成です。

おおよその規則性は書き連ねられますが、いずれも、今現在
こう呼んでいるとかをまとめたものに過ぎず、大本の理由などは
よくわかりません。
No.10184 - 2010/05/03(Mon) 07:27:48
☆ Re: 小学校算数より / 力不足
返信ありがとうございます。
やはり明確な規定はないのですね？

いちよネットでは検索しましたので上記のような答えにもたどり着きました。しかしながらやはりパッとしなかったので、算数や数学の質問を行えるこちらにお願いをしたのですが、国語の問題なのですかね？

国語で調べてみたいと思います。
ありがとうございました。
No.10185 - 2010/05/03(Mon) 09:39:24
★ 数?V　高3 / 匿名
y=x^3/(x^2-1)のグラフを書け。

という問題で、解答がないので
とりあえず書いてみたのですが…
あっていますでしょうか？

お手数お掛けしますが
宜しくお願いします。
No.10180 - 2010/05/01(Sat) 00:13:07
☆ Re: 数?V　高3 / X
そのグラフで問題ないと思います。
No.10182 - 2010/05/01(Sat) 14:03:00
☆ Re: 数?V　高3 / 匿名
よかったです！
ありがとうございました。
No.10187 - 2010/05/03(Mon) 20:35:01
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