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★ (No Subject) / レモン
∫[0〜２π]lcos(x-t/2)ldx=∫[0〜２π]lcosxldx

となる理由を誰か証明してください＞＜

よろしくお願いします。
No.11171 - 2010/08/10(Tue) 16:31:57
☆ Re: / ヨッシー
まともに計算すると、両辺とも０になるのがわかります。

グラフで理解するなら、y=cosｘ のグラフで、任意の位置に
幅2πの区間を取ると、ｘ軸より上の部分と、下の部分とで、
面積が等しいので、全区間の積分は、０になることからわかります。
No.11173 - 2010/08/10(Tue) 20:10:05
☆ Re: / レモン
問題を写し間違っていました。申し訳ありません。

訂正しましたのでよろしくお願いします。
No.11174 - 2010/08/10(Tue) 20:31:14
☆ Re: / ヨッシー
y=|cosｘ| のグラフと、y=|cos(x-t/2)| のグラフの
０〜２πにおける面積(ｘ軸とグラフとで挟まれた部分の面積)
が等しいことからわかります。


No.11178 - 2010/08/10(Tue) 20:57:21
☆ Re: / レモン
数式による証明ってありますでしょうか？

また、これはcos,sin独自の性質なのでしょうか？
No.11186 - 2010/08/11(Wed) 20:37:55
☆ Re: (No Subject) / ヨッシー＠携帯
左辺は x が０〜π/2, π/2〜3π/2, 3π/2〜2π に分けて積分します。
右辺は t/2 の値によって場合分けが必要ですが
出来なくはありません。

sin, cos に限らず、周期が 2π/k (k は自然数)であれば
任意の幅 2π の区間で積分した値はどれも等しくなります。
同様に、グラフを x 軸方向に任意の量移動したものを
x=０〜2π の区間で積分した値は、移動量に関わらず一定です。
No.11212 - 2010/08/13(Fri) 22:11:52
★ (No Subject) / そら
数列{an}(n=1,2,・・・）は

1≦Cn<2、∫(Cn〜２）logxdx=(１/n)∫（1〜２）logxdx

を満足するものとスル。

このとき、lim(n→∞）n(2-Cn)が存在するとして

その値を求めよ。という問題（名古屋工業大）についての質問です。


解答の最初の一行目が

（２−Cn)logCn≦∫(Cn〜２）logxdx≦（２−Cn)log２であるから始まっているのですが、まずこれをどうやって作ったのか全くわかりません。
誰か教えてください。
No.11170 - 2010/08/10(Tue) 16:22:24
☆ Re: / ast
> 数列{an}(n=1,2,・・・）は
a_n ではなく c_n ですね?

積分区間内の x について c_n ≤ x ≤ 2 であることから出ます.
No.11172 - 2010/08/10(Tue) 19:46:19
☆ Re: / そら
その情報から試してみましたが、まだ出来ません。

もっと具体的にお願いします。
No.11176 - 2010/08/10(Tue) 20:37:47
☆ Re: / ast
c_n ≤ x ≤ 2 と目的の式とをにらめばあからさまにわかるように, c_n ≤ x ≤ 2 に log の単調性と積分の単調性を適用するだけです (単調性とは, その操作を行っても不等式を保つという性質のことです).

具体的に情報が欲しいならば, 次回からは質問者さん自身が具体的に「何をどう試したか」をお書きになるよう心がけられるのが良いと思います.
No.11177 - 2010/08/10(Tue) 20:55:25
★ 2度目の投稿です / meta
このサイトの、3ページラストのあたりにあるやりとりです。

この投稿で4ページになると思いますが。

おそらく返信に気づかれないと思うので、別スレッドを立てさせていただきます。ご迷惑をおかけします。


☆ Re: 確率 / meta

箱の中にＡと書かれたカード、Ｂと書かれたカード、Ｃと書かれたカードがそれぞれ４枚ずつ入っている。男性６人、女性６人が箱の中から１枚ずつカードを引く。ただし、引いたカードは戻さない。
（1）Ａと書かれたカードを４枚とも男性が引く確率を求めよ。
（2）Ａ，Ｂ，Ｃと書かれたカードのうち、少なくとも１種類のカードを４枚とも男性または４枚とも女性が引く確率を求めよ。

確率はどうも苦手です…

分母は12！/4！*4!*4!=51975とかですか？
（2）は余事象っぽいですが…

しばらく確率をやっていなかったのでかなり曖昧になっています

考え方を教えてください。よろしくお願いします


No.10975 - 2010/07/26(Mon) 10:48:22

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☆ Re: 確率 / angel

(1)
この問題では、全てのカードが余ることなく、男性/女性に行き渡ります。なので、
　12人(男性6人・女性6人)が1枚ずつカードを引く
ではなく、
　カード12枚が、1人ずつパートナーを選ぶ
と考えることができます。

その上で、Aと書かれたカードに、こっそり A1〜A4まで名前をつけてあげると、求める確率は、
「A1〜A4が全て男性をパートナーとして選ぶ確率」と言い換えることができます。

後は組み合わせでも、順列でも行けますが…組み合わせで考えるなら、
　(確率)=(男性6人から4人選ぶ選び方)/(12人全員から4人選ぶ選び方)
とか。


No.10977 - 2010/07/26(Mon) 22:29:41

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☆ Re: 確率 / angel

(2)
余事象ではなく、
　(PまたはQである確率) = (Pである確率) + (Qである確率) - (PかつQである確率)
というような計算のお話。ピンと来ない場合は、ベン図を描いてみましょう。集合のお話と同じです。

さて、「少なくとも」という表現そのままでは漠然としていますから、こう整理します。
　少なくとも1種類のカードを４枚とも男性または女性が引く
　⇔ ( Aを4枚とも男性が引く ) または ( Aを4枚とも女性が引く )
　　または ( Bを4枚とも男性が引く ) または ( Bを4枚とも女性が引く )
　　または ( Cを4枚とも男性が引く ) または ( Cを4枚とも女性が引く )

…「または」で6個のパートが連結しているので、分かりにくいかもしれません。ちょっと少ない例から行ってみましょう。

　(XまたはYまたはZである確率)
　= (Xまたは(YまたはZ)である確率)
　= (Xである確率) + (YまたはZである確率) - (Xかつ(YまたはZ)である確率)
　= (Xである確率) + (YまたはZである確率) - ((XかつY)または(XかつZ)である確率)

ちょっとここで一旦止めます。
今回、男性も女性も6人しかいませんから、2種類以上のカードを男性/女性のみで独占することはできません。
できるとすれば、男性がAを独占かつ女性がBを独占といったような複合のみです。

そうすると、上のX,Y,Zを使った例でいくと、
　XかつYかつZは起こらない、つまり (XかつYかつZとなる確率)=0
ということになります。(X等には、例えば「男性がAを独占する」等をあてはめてください)

なので、
　(XまたはYまたはZである確率)
　= (Xである確率) + (YまたはZである確率) - ((XかつY)または(XかつZ)である確率)
　= (Xである確率) + (YまたはZである確率) - (XかつYである確率) - (XかつZである確率)
　※((XかつY)かつ(XかつZ)である確率) = (XかつYかつZである確率)=0
と、「または」の3連結を2連結に落とし込むことができます。
同じ調子で、「または」の6連結を、5,4,3,2 と落とし込めば良いです。

ああ、1種類計算しなければならない確率がありますので、念のため。
「Aと書かれたカードを4枚とも男性が引き、かつ、Bと書かれたカードを4枚とも女性が引く確率」です。これは(1)と同じ要領で、別途計算しておいて下さい。


No.10978 - 2010/07/26(Mon) 22:51:25

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☆ Re: 確率 NEW / meta

返信がかなり遅れてしまいました。申し訳ありません。

後半で疑問点が浮上しました。

(XまたはYまたはZである確率)
= (Xである確率) + (YまたはZである確率) - ((XかつY)または(XかつZ)である確率)
= (Xである確率) + (YまたはZである確率) - (XかつYである確率) - (XかつZである確率)

という部分です。

これって最初の変形では、（XかつYかつZである確率）を1回しか引いていないのに、2度目の変形では2回引いていることになりませんか？
No.11169 - 2010/08/10(Tue) 12:49:11
☆ Re: 2度目の投稿です / angel
ちょっと文字を変えますが、

　(PまたはQである確率) = (Pである確率) + (Qである確率) - (PかつQである確率)

今回、P に (XかつY)、Q に (XかつZ) を代入してください。

　((XかつY)または(XかつZ)である確率)
　= (XかつYである確率) + (XかつZである確率) - ((XかつY)かつ(XかつZ)である確率)

でもって、最後の項は (XかつYかつZである確率) になるのですが、上で説明している通り、この問題では 0 となるため、消えます。
そこから符号を反転すると、

　- ((XかつY)または(XかつZ)である確率)
　= - (XかつYである確率) - (XかつZである確率)

となります。
No.11181 - 2010/08/11(Wed) 00:35:06
★ 確率 / meta
1から6までの数字が1つずつ書かれている6枚のカードがある。これらをよくきった上で、左から右に1列に並べる。カードに書かれた数字を左から順にa,b,c,d,e,fとする。
（1）a+b=cとなる確率を求めよ。
（2）a+b=c+dとなる確率を求めよ。

実際に条件を満たすように並べてみると、cが1,2でないことはわかるのですが、そこからがわかりません…

答は（1）1/10（2）7/45

よろしくお願いします。
No.11166 - 2010/08/10(Tue) 11:59:25
☆ Re: 確率 / ヨッシー
すべての並べ方は、別途計算しておくとして、
(1)
(a,b,c) に入る数字として、
(1,2,3)(1,3,4)(1,4,5)(1,5,6)(2,3,5)(2,4,6)
および、a と b を入れ換えた、合計12通りの場合があり、
他の3枚(d,e,f) の並び方はそれぞれ３！＝６(通り)あるので、
a+b=c となる並べ方は 12×6＝72(通り)
これを、すべての並べ方で割ると、確率が出ます。
(2)
和が５の場合　1+4 と 2+3
和が６の場合　1+5 と 2+4
和が７の場合　1+6 と 2+5 と 3+4
和が８の場合　2+6 と 3+5
和が９の場合　3+6 と 4+5

和が５の場合、a,b,c,d への振り分け方は
　(1,4,2,3)(1,4,3,2)(4,1,2,3)(4,1,3,2)
および、a,b と c,d を入れ換えた、合計８通りの場合があります。
また、和が７の場合を、
和が７の場合　1+6 と 2+5
和が７の場合　1+6 と 3+4
和が７の場合　2+5 と 3+4
とすれば、やはり、それぞれ８通りの場合があります。
よって、７×８＝５６(通り)の、a,b,c,d の決め方があり、
残りの e,f の並べ方がそれぞれ２通りあるので、
a+b=c+d を満たす並べ方は、56×２＝112(通り)あります。
No.11167 - 2010/08/10(Tue) 12:29:10
★ (No Subject) / とも
連続な関数f(x)と問題文で与えられたら、
それはー∞から∞まで連続とみなしていいんでしょうか？

次の問題で定義域が０を含むか含まないかがそのことと関係しているのです。

連続な関数ｆ（ｘ）は次のa,bを満たしている。

a)f(π/2)=０、ｂ）ｆ’（ｘ）＝cosx(0<x<t),sint(t<x<π/2)

f(x)を求めよ。
No.11163 - 2010/08/09(Mon) 22:17:48
☆ Re: / angel
> それはー∞から∞まで連続とみなしていいんでしょうか？

いえ、その関数の定義域次第です。

今回の f(x) の場合、

・0＜x＜t, t＜x＜π/2 で f'(x) が存在
・f(π/2) が定義されている

ということから、

・少なくとも 0＜x≦π/2 を定義域に含み、その範囲でf(x)は一意に定まる
・x=0 も定義域に含む場合は、f(0)も一意に定まる ( f(0)=lim[x→0+0] f(x) )
・それ以外の範囲を定義域に含むとしても、そこでのf(x)を特定する情報は与えられていない

というところです。…問題が不親切でしょうか。
ちなみに、x=0 が定義域に含まれないとしても、f(π/2) から逆に遡ればよいので、解くのに困ることはないと思いますよ。
No.11180 - 2010/08/10(Tue) 23:57:05
☆ Re: / とも
f(π/2)から逆にさかのぼればx=0が定義域に入るかどうか分かるということですか？何をどのようにさかのぼれよいのでしょうか。教えてください＞＜
No.11184 - 2010/08/11(Wed) 14:16:11
☆ 定義域 / angel
> f(π/2)から逆にさかのぼればx=0が定義域に入るかどうか分かるということですか？

…? いいえ、定義域は問題を解いて解明するものではないのですよ。
「出題者がどのように f(x) の定義域を定めたか」次第なのです。
それが明記されていないようなので、「問題が不親切」と言った訳です。
No.11189 - 2010/08/11(Wed) 21:16:12
☆ Re: / angel
f(0) が定義されるかどうかを気にされているのは、
　f(x)=f(0)+∫[0,x]f'(z)dz
を使うためではないのですか?

であれば、
　f(x)=f(π/2)-∫[x,π/2]f'(z)dz
を使えば良いので、
> f(π/2) から逆に遡ればよいので、解くのに困ることはないと思いますよ。
と申し上げた次第で。
No.11190 - 2010/08/11(Wed) 21:44:34
★ (No Subject) / ganba
a(k)(k=1,2,・・・,n)は実数でa1=1とする。
f(x)=Σ(j=1〜n)a(j)sinjxについて

∫（０〜π）ｆ（ｘ）sinkxdx=a(k)π/2を証明せよという問題で
∫（０〜π）sinjxsinkx=・・・０（ｊ＝ｋでない）、π/2（ｊ＝ｋ）までは分かりました。
計算すると何回やってもπ/2Σ(j=1〜n)a(j)になってしまいます。

この問題の解答の流れを教えてください。
No.11158 - 2010/08/09(Mon) 11:25:21
☆ Re: / ヨッシー
※積分範囲０〜πは省略します。

　∫f(x)sinkxdx＝∫{a1sinx＋a2sin(2x)＋・・・＋ansin(nx)}sin(kx)dx
　＝a1∫sinx・sin(kx)dx＋a2∫sin(2x)・sin(kx)dx＋・・・＋an∫sin(nx)・sin(kx)dx
すると、途中にある
　ak∫sin(kx)・sin(kx)dx
以外はすべて０になって、
　ak∫sin(kx)・sin(kx)dx＝　akπ/2
だけが残ります。
No.11165 - 2010/08/10(Tue) 08:31:30
★ 領域 / アルト
表し方が判らないので、以下ではベクトル
→
(OA)
などを、v(OA)で表します。
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
0≦α≦π、0≦β≦π/2 として、
v(OA)=(α,sinα)、v(OB)=(β,cosβ)
とする。
点Pをv(OP)=(x,y)=v(OA)+v(OB)で表される点とするとき、Pの存在する領域をxy平面上に図示せよ。
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
という問題です。
これを次のように解こうとしましたが、結果的に挫折しました。

x=α+β、y=sinα+cosβよりβを消去して、
y=sinα+cos(x-α)=sinα+cosxcosα+sinxsinα=(1+sinx)sinα+cosxcosα
これを合成して、
y=(√)cos(α-φ)　(√=(1+sinx)^2+(cosx)^2))
あとはこの式の"cos(α-φ)"の部分をαの関数f(α)と見て、各xにおけるαの値で場合分けをしてf(α)、ひいてはyの変域を出そう・・・としたのですが、その途中で煩雑になり挫けてしまいました。

ちなみに答えは、
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
(i)　0≦x≦(π/2)のとき、cosx≦y≦1+sinx
(ii) (π/2)≦x≦(3π/2)のとき、-cosx≦y≦2cos((x/2)-(π/4))
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
のようです。

この問題を、今回私がとった方針で解いていくことは出来ないのでしょうか？
また他に解法があるなら、そちらを教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いします。
　
No.11143 - 2010/08/08(Sun) 05:07:11
☆ Re: 領域 / angel
取り敢えず、基本で考えるなら、

・あるxの値に着目する
・そのxに対して、取りうる(α,β)の範囲を決定する
・その(α,β)の範囲に対して、yの値の範囲を計算する

というのを、xの範囲 0≦x≦3π/2 の全域でやることになるので、xが主役になる形で考えないと厳しいでしょうね。
No.11149 - 2010/08/08(Sun) 09:46:03
☆ Re: 領域 / angel
方法として、α,βの対象性っぽい所で行くなら、
x=α+β の他に、z=α-β というのを導入して、

y = sinα + cosβ
= sin(x/2+z/2) + cos(x/2-z/2)
= sin(x/2)cos(z/2)+cos(x/2)sin(z/2) + cos(x/2)cos(z/2)+sin(x/2)cos(z/2)
= ( sin(x/2)+cos(x/2) )( sin(z/2)+cos(z/2) )

という変形が、まあ、xが主役になってるっぽいでしょう。
で、f(x)=sin(x/2)+cos(x/2) という形は、合成して調べてみると分かりますが、今回の x の範囲では非負です。
なので、g(z)=sin(z/2)+cos(z/2) の範囲だけ考えればO.K.

0≦x≦π/2 の範囲では、単純に -x≦z≦x ( (α,β)=(0,x),(x,0) が両端 ) で、
g(-x)≦g(z)≦g(x) つまり、f(x)g(-x)≦y≦f(x)g(x)

π/2＜x≦π の範囲では、x-π≦z≦x ( (α,β)=(x-π/2,π/2), (x,0) が両端 ) で、
g(x-π)≦g(z)≦g(π/2) つまり、f(x)g(x-π)≦y≦f(x)g(π/2)

π＜x≦3π/2 の範囲では、x-π≦z≦2π-x ( (α,β)=(x-π/2,π/2), (π,π-x) が両端 ) で、
g(x-π)=g(2π-x)≦g(z)≦g(π/2) つまり、f(x)g(x-π)≦y≦f(x)g(π/2)
これは、一つ前のケースと、結果は同じ。

と、こんな感じで、同じ答が出るはずです。
No.11150 - 2010/08/08(Sun) 10:09:45
☆ Re: 領域 / angel
ああ、上の説明で f と g が同じ形なのに、文字を分けているのは、特に意味はありません。
※敢えて言えば、「たまたま同じ形になっただけ」という所
No.11151 - 2010/08/08(Sun) 10:17:49
☆ Re: 領域 / アルト
angel さん、ありがとうございました。
対称性がキレイにはまっていてとてもすっきりしました。

これからもよろしくお願いします。。。
No.11157 - 2010/08/09(Mon) 04:54:07
★ 数列の問題 / ふな
慶応義塾大学 数列の問題

初項a、公差17の等差数列a、a+17、a+34、a+51、……を考え、初項aは0以上の整数とする。この数列において値が1000以下の項の和をS(a)とするとき、S(a)の最大値とそのときのaの値を求めよ。

解答でははじめに
一般項anを求めて
an≦1000としています

そこからは第n項までの和をSとして
表し、画像のようになっています。（見にくかったらすみません。

分からないところは「S≦〜」 と どうして「≦」となっているのでしょうか？
No.11137 - 2010/08/07(Sat) 23:48:30
☆ Re: 数列の問題 / ふなあいり
すみません。
画像間違えました。
No.11138 - 2010/08/07(Sat) 23:50:20
☆ Re: 数列の問題 / angel
模範解答にある、
　( 2a + 17(n-1) )/2・n
　≦( 1000 - 17(n-1) + 17/2・(n-1) )・n
の代わりに、
　( 2a + 17(n-1) )/2・n
　＝ an + 17/2・n(n-1)
　≦ ( 1000-17(n-1) )・n + 17/2・n(n-1)
となっていればどうでしょうか。

これは、先に導かれた a≦1000-17(n-1) を≦を＝とみなして代入して、代入した結果は＝でなく≦でつなぐ形となっています。

今回これができるのは、an の n が正だから。
つまり、n＞0 という前提において、a≦b ⇔ an≦bn となることを利用しています。
No.11142 - 2010/08/08(Sun) 00:58:07
★ 高3です / 田中
c>1,a(1)=1,a(n+1)=√（a(n)+c)
で定められる数列a(n)が極限値Ａを持つと仮定してその値を求め、実際に｛a(n)｝がＡに収束することを示せ。（芝浦工大）についての質問です。

前半部の答えはＡ＝{１＋√（1+4c)}/2でこれは解けました。
後半部の「実際にa(n)｝がＡに収束することを示せ」についての質問です。
後半部は｛a(n)｝がＡに収束することを示せ。つまりＡ＝√（Ａ＋ｃ）となることを示せと
言っているのに
a(n+1)―Ａ=√（a(n)+c)―√（Ａ＋ｃ）によって定まる数列｛a(n+1)―Ａ｝が０に収束することを示せばよいと解答にあるように
示すべきはずのＡ＝√（Ａ＋ｃ）がすでに使われてしまっています。
つまり示すべきはずのＡ＝√（Ａ＋ｃ）がすでに証明されてしまっています。
これでなぜ証明になるのですか？
解答）
ｎ→∞のときa(n)→Ａとするとa(n+1)=√（a(n)+c)・・・?@において
ｎ→∞とすることによって
Ａ＝√（Ａ＋ｃ）したがってＡ＝{１＋√（1+4c)}/2
次にa(n+1)―Ａ=√（a(n)+c)―√（Ａ＋ｃ）…?Aによって定まる数列｛a(n+1)―Ａ｝が０に収束することを示せばよい。（以下略）
No.11136 - 2010/08/07(Sat) 23:09:58
☆ Re: 高3です / angel
> 示すべきはずのＡ＝√（Ａ＋ｃ）がすでに使われてしまっています。
ちゃいます。
示すべきは、「ある適切なAに対して、a[n]-A が 0 に収束すること」です。
で、その適切なAを求めておくのが前半部。なんですが、この前半部って証明のコアではありません。単にAの候補を絞り込んでるだけなんです。( 必要条件 )
後半部こそが証明。ここでは、その適切な Aの値が、A=√(A+c) を満たす事が既に分かっているものとして始まるのです。
No.11141 - 2010/08/08(Sun) 00:45:32
☆ Re: 高3です / 田中
A=√(A+c) と書けるということはa(n+1)、a(n)の極限値がＡつまりa(n+1)-Aが０に収束することですよね？


A=√(A+c)と書いたしまった時点でa(n),a(n+1)は極限値Ａをもつ。つまりa(n+1)ーＡは０に収束すると書いてしまってるわけで、これでは証明にならないのではないかということです。繰り返しになりますがよろしくお願いします。
No.11146 - 2010/08/08(Sun) 08:44:04
☆ Re: 高3です / angel
> …と書けるということは…に収束することですよね？

いいえ。まだそれは「確定」ではありません。
前半部では、Aの満たすべき条件を示し、値を求める、という必要条件を示す段階、
後半部では、そのAの満たすべき条件を用いて、実際に収束することを示す証明、となるのです。

問題文を良く見てください。
前半部には「極限値Ａを持つと仮定してその値を求め」とあります。
これは、極限値にAという名前を付けるだけでなく、「数列a(n)が収束する」という仮定も含んでいるのです。
そのため、Aの値を求めたとしても、収束することはまだ示されたことにはなりません。

ということで、後半部で、何かしら収束することが分かっている形に落とし込んで証明しない限り、収束するということは仮定のままになってしまうのです。
No.11147 - 2010/08/08(Sun) 09:16:57
☆ Re: 高3です / angel
例えば、ですけど。

　a(1)=α, a(n+1) = a(n)^2 で定められる数列a(n)の極限を求めよ

で同じような決めうちをやったらマズいでしょ?
※答は、
　|α|＜1 の時、lim a(n) = 0
　|α|＝1 の時、lim a(n) = 1
　|α|＞1 の時、lim a(n) = +∞ ( 発散 )
No.11148 - 2010/08/08(Sun) 09:29:06
☆ Re: 高3です / 田中

後半部で、何かしら収束することが分かっている形に落とし込んで証明しない限り、収束するということは仮定のままになってしまうのです。
の部分がちょっとよく分からなかったです。

まだいまいち分かりません。

c>1,a(1)=1,a(n+1)=√（a(n)+c)
で定められる数列a(n)が収束することをしめせ。

という問題だったら解答はじゃぁどうなりますか？

No.11152 - 2010/08/08(Sun) 17:50:15
☆ Re: 高3です / angel
> という問題だったら解答はじゃぁどうなりますか？

殆ど同じ解答になります。
結局、収束することを示すためには、具体的な極限値を把握しないと、証明が難しいためです。
ただ、A を求めることは、問題としては要求されていないため、A の値をどう見せるか、解答者側である程度自由に決めることができるでしょう。
なので、例えばこういった解答も考えられます。
--
まず、任意の n に対して、a(n)＞0 である。
※簡単な数学的帰納法の説明を入れる

次に、A=(1+√(1+4c))/2 と定める
この時、A=√(A+c) を満たす。
また、c＞1 より、A＞(1+√(1+4・1))/2＞1 である。

このAに対し、a(n)がAに収束することを以下に示す。

a(n+1) = √(a(n)+c)
⇔ a(n+1)-A = √(a(n)+c) - √(A+c)
⇔ a(n+1)-A = ( √(a(n)+c) - √(A+c) )( √(a(n)+c) + √(A+c) )/( √(a(n)+c) + √(A+c) )
⇔ a(n+1)-A = ( a(n)-A )/( √(a(n)+c) + √(A+c) )
⇔ a(n+1)-A = ( a(n)-A )/( √(a(n)+c) + A )
⇒ | a(n+1)-A | = | a(n)-A |/| √(a(n)+c) + A |
⇒ | a(n+1)-A | ≦ | a(n)-A |/A

これにより、帰納的に |a(n)-A|≦|a(1)-A|/A^(n-1) である。
※簡単な数学的帰納法の説明を入れる

この不等式に関し、A＞1 であるため、右辺は 0 に収束する。ゆえに左辺も 0 に収束する。
以上により、a(n) が A に収束することが示された。
--
実は、元の問題で先に A を求めさせているのは、ちょっとした親切心 ( 問題の難易度を落とす処置 ) なのです。
No.11154 - 2010/08/08(Sun) 21:56:16
☆ Re: 高3です / 田中
前の記事になりますが、
その適切な Aの値が、A=√(A+c) を満たす事が既に分かっているものとして始めていいという理由を教えてください。
これが全てなきがします。
No.11155 - 2010/08/08(Sun) 22:30:20
☆ Re: 高3です / angel
> 既に分かっているものとして始めていいという理由を教えてください。

No.11154の解答例でも、A=√(A+c)の条件を自分で出して使っているでしょう。それと同じ事。

結局の所、「a(n) が A=(1+√(1+4c))/2 に収束する」という証明の目標設定は、たとえ問題に誘導されているとしても、解答者が自分でやっていることなんです。

元の問題で、
・A=√(A+c) を満たすような A を求める
・求めた A に対して、lim a(n) = A を目標とし、証明を行う
という解き方をするのは、あくまで解答者自身です。
で、A は「A=√(A+c)を満たすよう」に求めたのですから、証明を始めるにあたって、この性質は自身で自由に使うことができるのです。
No.11156 - 2010/08/08(Sun) 23:01:43
★ すっきりしました☆ / すみれ
ありがとうございました。きっと冬季オリンピックだけだと思います。公立中学なのでそんなに難しいとは思えません。ただ、私は中学受験に失敗をしているので、受験期の色々な解放が頭に入り込み、混乱することがあります。また困ったら教えてくださいね。
No.11135 - 2010/08/07(Sat) 11:45:13
★ 文字式です / すみれ
はじめまして。中学一年生です。夏休みの宿題で困っています。教えてください。「2006年の冬季オリンピックからX回後のオリンピックは西暦何年に開催されますか。第X回オリンピックをXを使った式で表しなさい」ですが、2006年＋４Xではだめですか？ものすごく考えたのですが、自信がありません。教えてください。
No.11133 - 2010/08/07(Sat) 01:23:56
☆ Re: 文字式です / かーと
こんばんは。

これは問題文が少し微妙ですね。
「X回後のオリンピック」が冬季オリンピックだけを指してるなら、
すみれさんの書いた 2006+4x の式で合っています。
（式の中に入っている「年」は外しましょう）

もし夏季オリンピックも含めてるのだとすると、
2年おきにオリンピックがあることになるので、
2006+2x という式になります。

でも大事なことはちゃんと式が立てられることなので、
夏季を含むかどうかなんてあまり気にしなくてもいいですけどね。
No.11134 - 2010/08/07(Sat) 02:06:49
★ 高２　数列　ずらし引き / あいり
｛an｝を初項が１、公差が２の等差数列、｛bn｝を初項が１、公比が-1の等比数列とする。
数列｛cn｝をcn=an・bnとするとき
（3）数列｛cn｝の初項から第n項までの和Snを求めよ

数列｛cn｝をcn=an・bn
anは等差数列 bnは等比数列なので
ｃｎの和を表すには
等差数列×等比数列を利用すればいいんですよね？
いまcｎはcn=（2n-1）（-1）^n-1なんで

これをとりあえずSnとおいて実際に書き出してみます。
すると
Sn=1-3＋5-7＋・・・・・・＋（2n-1）・（-1）^n-1

となりました。
今、公比は題意より-1なので
Sn-（-Sn）を求めることにします。
-Snは
-Sn= -1＋3-5＋7・・・・・＋（2n-3）・（-1）^n-2 -（2n-1）・（-1）^n-1

よって
2Snは ２Sn＝1-2＋2-2＋・・・・・・＋（2n-1）・（-1）^n-1 - （2n＋3）・（-1）^n-2 ＋（2n-1）・（-1）^n-1

となりました。
ここまであっているでしょうか？
そしてSnだけで表そうと思ったのですが、
まず【＋（2n-1）・（-1）^n-1 - （2n＋3）・（-1）^n-2】の部分が消去できません。

こっから先はどうすればいいのでしょうか？
誰か分かる方教えてください・・・
お願いします。
No.11123 - 2010/08/06(Fri) 00:22:36
☆ Re: 高２　数列　ずらし引き / らすかる
＞ここまであっているでしょうか？
そこまでは合っていますが、
nが偶数のときと奇数のときで余る項が違いますので
「【＋（2n-1）・（-1）^n-1 - （2n＋3）・（-1）^n-2】の部分の消去」
では済みません。

最初にnが偶数の時と奇数のときで分けて直接Snを計算した方が簡単だと思います。
No.11124 - 2010/08/06(Fri) 00:36:18
☆ Re: 高２　数列　ずらし引き / あいり
nが偶数のとき
Sn=(1-3)+(5-7)+…+(c(n-1)+cn)
=(-2)(n/2)
=-n

nが奇数のとき
Sn=(1-3)+(5-7)+…+(c(n-2)+c(n-1))+cn
=(-2)((n-1)/2)+(2n-1)
=n

と答えなんですが、
【=(-2)(n/2)】と【=(-2)((n-1)/2)+(2n-1)】はなんなんですか？
全く分かりません。誰かお願いします。
No.11126 - 2010/08/06(Fri) 02:24:00
☆ Re: 高２　数列　ずらし引き / らすかる
(1-3)+(5-7)+(9-11)+…
=(-2)+(-2)+(-2)+… ← n/2個
=(-2)(n/2)

(-2)((n-1)/2)+(2n-1) は
-2が(n-1)/2個と最後のペアにならずに余った2n-1
No.11127 - 2010/08/06(Fri) 03:21:05
☆ Re: 高２　数列　ずらし引き / あいり
なるほど。そのようにやるのですね。
その方法は分かったのですが
解答にあるやり方がわかりません。（画像）です

画像は上から下に
nが偶数のとき　と　nが奇数のとき　を表しています。
Σで求めていますが
なぜ2つ目（nが奇数のとき）のΣの式で
[m-1]Σ[k=1] c2kとかになってるんですか？
正直ここだけじゃなくて
Σの式に分けてること自体意味が分かりません
誰かわかるかたおねがいします。
No.11129 - 2010/08/06(Fri) 08:15:30
☆ Re: 高２　数列　ずらし引き / あいり
2つ目です。
No.11130 - 2010/08/06(Fri) 08:18:04
☆ Re: 高２　数列　ずらし引き / らすかる
その式がどういう意味か考えてみましょう。
Σ[k=1〜m-1]C[2k] というのは
Cの添え字を2,4,6,…2(m-1)にしたものの合計
という意味ですよね。
これはつまり
1-3+5-7+…
の2番目、4番目、6番目、…を抜き出したものです。

同様に、Σ[k=1〜m]C[2k-1]は
1-3+5-7+…
の1番目、3番目、5番目、…を抜き出したものです。

つまり
1-3+5-7+…
=(-3-7-11-…)+(1+5+9+…)
のように分けて計算しているということです。
No.11131 - 2010/08/06(Fri) 09:50:37
☆ Re: 高２　数列　ずらし引き / ふなあいり
ありがとうございました！
No.11139 - 2010/08/07(Sat) 23:51:43
★ 整数問題です / ハオ
xを自然数とする時分数3/xがちょうど小数第３位までの有限小数となるようなxはいくつあるか？　
という問題は分母に着目して解く事は参考書の解説を読んで理解できました。
ここで疑問に思ったのですが
例えば3/xが8/xであった場合の答えはいくつになるのでしょうか？
２８通りであっていますか？
No.11121 - 2010/08/05(Thu) 23:39:18
☆ Re: 整数問題です / らすかる
合っていません。
No.11125 - 2010/08/06(Fri) 00:44:36
☆ Re: 整数問題です / ヨッシー
3/x のときも、４×４＝１６　ではなく　４＋４＝８
だったはずですが。
No.11128 - 2010/08/06(Fri) 06:13:49
☆ Re: 整数問題です / ハオ
3/xが小数第３位までの有限小数となるようなxが８個という事でしょうか？
No.11132 - 2010/08/06(Fri) 21:49:59
☆ Re: 整数問題です / angel
こんばんは。ちょっと横から失礼します。
3/x の場合の答は、
　8,24,40,120,125,200,250,375,500,600,750,1000,1500,3000
の 14通りで良いのでしょうか。
ヨッシーさんの意図が良く分からなかったので。

この14の計算式としては、
　(3+1)×(1+1)×(3+1) - (2+1)×(1+1)×(2+1) = 14
を想定しました。

同じ考えで行くと、8/x の場合は
　(6+1)×(3+1) - (5+1)×(2+1) = 10
で、10が答なのかと思いましたが。どうでしょうか。
※64,125,250,320,500,1000,1600,2000,4000,8000
No.11140 - 2010/08/08(Sun) 00:34:15
☆ Re: 整数問題です / ヨッシー
あ、すみません。
３のあるなしを数え忘れたのと、
1000 を２回数えてました。
４＋４＝８　ではなく　４＋４−１＝７
７×２＝１４ でした。

考え方は、
２^3×(1, 5, 5^2, 5^3) で４通り
５^3×(1, 2, 2^2, 2^3) で４通り
２^3×５^3 がダブっているので、引いて７通り
これに、３を掛けるか掛けないかで　１４通りです。

8/x のばあいは、
２^6×(1, 5, 5^2, 5^3) で４通り
５^3×(1, 2, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, 2^6) で７通り
２^6×５^3 がダブっているので、引いて１０通り　です。
こちらは、３のように、別の素数が入らないので、ここまでです。

失礼しました。
No.11144 - 2010/08/08(Sun) 06:49:44
☆ Re: 整数問題です / angel
なるほど。了解です。

ちなみに、私の出した式は、例えば 3/x の場合

・3/x が高々小数第3位までの有限小数、または整数となる
　3/x = n/1000 となる自然数 n が存在する。
　⇔ n = 3000/x となる自然数 n が存在する
　⇔ x は 3000 の正の約数 … 32通り

・3/x が高々小数第2位までの有限小数、または整数となる
　3/x = m/100 となる自然数 m が存在する。
　⇔ … ⇔ x は 300 の正の約数 … 18通り

差を取って、答14通り
を意図しています。
No.11145 - 2010/08/08(Sun) 08:05:45
☆ Re: 整数問題です / ハオ
返信有難う御座います。
また一つ頭が良くなった気が致します！
No.11153 - 2010/08/08(Sun) 21:20:36
★ 数列　高2 / huzita
慶応義塾大学 数列の問題

初項a、公差17の等差数列a、a+17、a+34、a+51、……を考え、初項aは0以上の整数とする。この数列において値が1000以下の項の和をS(a)とするとき、S(a)の最大値とそのときのaの値を求めよ。

解答でははじめに
一般項anを求めて
an≦1000としています

そこからは第n項までの和をSとして
表し、画像のようになっています。（見にくかったらすみません。

なぜこのような手順で
またこのような計算式になるのでしょうか？
数列はかなり苦手な単元なので誰か教えてください。
よろしくお願いします。。
No.11117 - 2010/08/05(Thu) 19:24:56
☆ Re: 数列　高2 / huzita
画像です。
No.11118 - 2010/08/05(Thu) 19:26:06
☆ Re: 数列　高2 / ヨッシー
初項ａとすると、第ｎ項は　a+17(n-1) なので、等差数列の和の公式
　{(初項)＋(末項)}×(工数)÷2
より、１行目の右辺が出ます。
さらに、末項は1000以下なので、
　a+17(n-1)≦1000
移項して
　a≦1000−17(n-1)
これを、１行目のａの部分に代入して、２行目、
展開して３行目
完全平方の形にして４行目
です。
No.11120 - 2010/08/05(Thu) 21:19:04
★ 数学?U　高２　三角関数 / YOSIKI
sinπ/14は３次方程式8x^3-4x^2-4x＋1=0の解であることを示せ
解答
「α＝π/14とすると、4α＝π/2 -3αとなる。
sin4α＝sin（π/2 -3α）＝cos３αより、
2sin2αcos2α＝4cos^3α-3cosα、
4sinαcosα（1-2sin^2α）＝cosα（4cos^2α-3）
cosα≠0より、
4sinα-8sin^3α＝4（1-sin^2α）-3,
8sin^3α-4sin^2α-4sinα＋1=0
よって、sinπ/14は与えられた方程式の解である。」

これが解答なんですが
正直いって冒頭から何をやっているのわかりません。
この解答の意味をもう少し分かりやすく教えて頂けないでしょうか？
誰か分かる方
よろしくお願いいたします。
No.11116 - 2010/08/05(Thu) 06:08:08
☆ Re: 数学?U　高２　三角関数 / YOSIKI
自己解決しました。
失礼しました。
No.11122 - 2010/08/06(Fri) 00:21:31
★ 高２赤チャート 数学?U 恒等式の応用問題 / YOSIKI
赤チャート 数学?U 恒等式の応用問題

◆多項式f(x)について恒等式f(x^2)=x^3f(x+1)-2x^4+2x^2が成り立つとする。
(1).f(0),f(1),f(2)の値を求めよ。
(2).f(x)の次数を求めよ。
(3).f(x)の決定せよ。


3がわかりません
解答では
f(x)=ax^3−3ax^2+2ax
=ax(x−1)(x−2)
こっからあとはこうとうしきで考えているのですが
最後のところで
【x^2の項の係数を比較すると2a=２】となってますこれはどういうことなんでしょう
か？
なぜx^2の項の係数なのでしょうか？

書き忘れるとこでしたが
３の問題では
最初に
f(x)=ax^3＋bx^2＋cx＋dとおいてます

誰か分かるかた教えてください
お願いします
No.11114 - 2010/08/05(Thu) 05:46:39
☆ Re: 高２赤チャート 数学?U 恒等式の応用問題 / YOSIKI
3) 2) より f(x)の最高次数が3であると分かったので
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d (a≠0)とおくと
ax^6+bx^4+c^x2+d = x^3{ax(x+1)^3+b(x+1)^2+c(x+1)+d} -2x^4+2x^2
恒等式であるから

f(0)=0 より d = 0
f(1)=0 より a+b+c+d=0 --> a+b+c=0
f(2)=0 より 8a+4b+2c+d=0 --> 4a+2b+c=0
b, c を aであらわすと
b=-3a
c=2a

ax^6+bx^4+c^x2+d = x^3{ax(x+1)^3+b(x+1)^2+c(x+1)+d} -2x^4+2x^2
より
a(x^6-3x^4+2x^2)=x^3×a{(x+1)^3-3(x+1)^2+2(x+1)} -2x^4 +2x^2
右辺を整理すると
右辺
=ax^3{x^3+3x^2+3x+1-3x^2-6x-3 +2x+2} -2x^4+2x^2
=ax^6-(a+2)x^4 -2x^2
右辺と左辺の係数を比較して
a=-(a+2) から
a=-1
b=3, c=-2

係数比較の部分がなぜこのようになるのかわかりません。
No.11115 - 2010/08/05(Thu) 06:00:23
☆ Re: 高２赤チャート 数学?U 恒等式の応用問題 / YOSIKI
すみません。質問しすぎですね。
少し自重します。。
No.11119 - 2010/08/05(Thu) 20:46:17
★ 高?U数学　式と計算 / YOSIKI
a^2/（a-b）（a-c） ＋ b^2/（b-c）（b-a） ＋c^2/（c-a）（c-b）を計算えよ。


通分をどうやればいいかわかりません。
それと答えには「交代式」が利用されている的なことが書いてあったのですが
自分で調べてみても交代式の意味がわかりませんでした。
誰かわかる方教えてください。
よろしくおねがいします。
No.11110 - 2010/08/05(Thu) 00:23:42
☆ Re: 高?U数学　式と計算 / ヨッシー
分母を (a-b)(b-c)(c-a) とします。
分子は
a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a)
=a^2(c-b)+a(b^2-c^2)+bc^2-b^2c
=a^2(c-b)-a(c+b)(c-b)+bc(c-b)
=(c-b){a^2-a(c+b)+bc}
=(c-b)(a-b)(a-c)
=(a-b)(b-c)(c-a)
となります。
No.11112 - 2010/08/05(Thu) 05:43:58
☆ Re: 高?U数学　式と計算 / YOSIKI
ありがとうございました！
No.11113 - 2010/08/05(Thu) 05:46:19
★ 順列 / 真癒
次の３問の解き方をおしえてくださいm(_　_)m

１、answerという単語の文字全部を使って順列を作るとき、少なくとも一方の端に子音の文字がくるのは何通りあるか。

２、６個の数字0,1,2,3,4,5を使ってできる、次のような整数は何個あるか。ただし、同じ数字は２度使わないとする。

Ａ、４桁の数字で５の倍数

Ｂ、４桁の整数で偶数

です。

答えは、上から

６７２通り
１０８個
１５６個　です

よろしくお願いします。
No.11107 - 2010/08/04(Wed) 23:10:52
☆ Re: 順列 / ヨッシー
１．
全部の並べ方は６！＝７２０(通り)
両端に母音(a,e)が来るのは、
　２！×４！＝４８(通り)
残りの　６７２通りが、少なくとも一方に子音が来ます。

２．
Ａ．
１の位が０の場合、他の３つの数は、
　５×４×３＝６０(通り)
１の位が５の場合、千の位は２，３，４，５の４通り
　十、百の位は　４×３＝１２(通り)なので、
　４×１２＝４８(通り)
合わせて
　６０＋４８＝１０８(通り)

Ｂ．も同じ考え方(０だけ別に考える)で行けます。
No.11111 - 2010/08/05(Thu) 05:37:10
★ 楕円の性質（数学Ｃ） / あつし
楕円外の1点をＣとする。
Ｃから楕円に引いた2本の接線のそれぞれと
楕円が接する点を左からＰ、Ｑとする。
焦点を左からＦ、Ｆ’とする時、
∠ＰＣＦ＝∠ＱＣＦ’となる事を示せ。
この問題がわかりません。
よろしくお願いします。
No.11103 - 2010/08/04(Wed) 17:55:41
☆ Re: 楕円の性質（数学Ｃ） / rtz
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/curve/ellipse.htm
参照。

この手の"性質"を問う問題は、
検索すれば見つかることが多いと思います。
No.11104 - 2010/08/04(Wed) 20:19:53
☆ Re: 楕円の性質（数学Ｃ） / あつし
ありがとうございました。
今度は自力で極力調べてから質問します。
No.11105 - 2010/08/04(Wed) 22:38:49
★ 高2　数学A / YOSIKI
１×２×３×・・・・・×１５０の末尾に続く０の個数を求めよ。

解答には
「0の個数は、1×2×3・・・×150に含まれる因数10の因数であり、10は2×5と素因数分解される。
1、2、3、・・・、150に含まれる因数2の個数が因数5の個数より多いのは明らかであるから、因数5の個数を求めればよい。
1、2、3、・・・、150に含まれる5の倍数は 150=5・30から 30個
5^2（＝25）の倍数は 150=25・6から6個
5^3（＝125）の倍数は 150=125・1＋25から１個
ゆえに、1、2、3、・・・、150に含まれる因数5の個数は全部で30＋6＋1＝37個
よって、求める0の個数は 37個」
とあります。
【0の個数は、1×2×3・・・×150に含まれる因数10の因数であり、10は2×5と素因数分解される。
1、2、3、・・・、150に含まれる因数2の個数が因数5の個数より多いのは明らかであるから、因数5の個数を求めればよい。】
ここまではなんとか分かるのですが
【1、2、3、・・・、150に含まれる5の倍数は 150=5・30から 30個
5^2（＝25）の倍数は 150=25・6から6個
5^3（＝125）の倍数は 150=125・1＋25から１個
ゆえに、1、2、3、・・・、150に含まれる因数5の個数は全部で30＋6＋1＝37個
よって、求める0の個数は 37個】
この部分が本当に分かりません。
なぜこのような計算で求める０の個数が求められるのでしょうか？

また、
実際に【1、2、3、・・・、150に含まれる5の倍数は 150=5・30から 30個】を書き出してみたのですが
当然かもしれませんが
25の倍数も含まれていました。
ここで疑問なのは
【5^2（＝25）の倍数は 150=25・6から6個】の個数とダブルカウントしてしまっているのではないか？ということです。

正直なぜ倍数を求めてるのか自体分かっていないので
誰か分かる方教えてください。よろしくお願いします。。
No.11095 - 2010/08/04(Wed) 03:34:55
☆ Re: 高2　数学A / rtz
とりあえず
http://www3.ocn.ne.jp/~fukiyo/math-qa/kaijou.htm
で基本的なことを確認し、理解された上で、
分からないところがあるならどうぞ。
ダブルカウントがどう処理されているかも考えてみましょう。
No.11096 - 2010/08/04(Wed) 04:50:08
☆ Re: 高2　数学A / ヨッシー
こちらも併せてご覧ください。
No.11097 - 2010/08/04(Wed) 06:38:57
☆ Re: 高2　数学A / YOSIKI
おかげで理解できました。
本当にありがとうございました＞＜
No.11109 - 2010/08/05(Thu) 00:22:25
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