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★ 接線 / ハミルトンケーリー
１９６８年の京大の問題なんですが、ＸＹ平面状の定点（a,b）から放物線Ｙ＝Ｘの二乗に接線は何本引けるか。と言う問題です。三ヶ月前あるサイトでであった問題なのですが分かりません。
No.11619 - 2010/09/19(Sun) 17:38:58
☆ Re: 接線 / ToDa
放物線上の点(t,t^2)を接点とする接線の方程式を立てて、それが定点(a,b)を通るとするとtの方程式になります。この実数解tの1つが接線1本に対応するので…
No.11620 - 2010/09/19(Sun) 18:16:27
★ 不等式 / みー

問題と解答は画像のとおりです。
解説は理解できるのですが、最後の
(ア),(イ)を合わせて
の部分がいまいち理解できません。
バラバラで場合分けのままでは
だめなのでしょうか。
よろしくお願い致します。
No.11615 - 2010/09/19(Sun) 08:27:50
☆ Re: 不等式 / X
もちろんダメです。
(1)の不等式の解は
{(ア)の解}又は{(イ)の解}
ですので。

但し、(ii)は別解があります。
(ii)の別解)
(1)より
-1<x-1<1
辺々に1を足して
0<x<2
No.11616 - 2010/09/19(Sun) 09:15:06
☆ Re: 不等式 / みー
どこを見るとバラバラか
合わせなければならないのか
わかるのでしょうか。
「又は」ということは
どちらかでいいのでは、と思ってしまいます。

別解はとても楽ですね(^ ^)
No.11621 - 2010/09/19(Sun) 18:37:43
☆ Re: 不等式 / ヨッシー
もしも、?E が　ｘ＜０ だとすると、
?D?E の共通の範囲は
　ｘ＜０
(ア)(イ)を合わせて?@の解は
　ｘ＜０　または　１≦ｘ＜２
となります。

この問題の場合は、ｘ＝１ で両者がつながるので、
　０＜ｘ＜１　または　１≦ｘ＜２
をまとめて、　０＜ｘ＜２ と書くことができます。
　０＜ｘ＜１　または　１≦ｘ＜２
でも、ギリギリＯＫですが、あまりこなれた解答とは見てもらえないでしょう。

どちらかでいいとはどういうことでしょうか？
　１≦ｘ＜２　は?@を満たします。
　０＜ｘ＜１　も?@を満たします。
まで言っておいて、よって答えは　１≦ｘ＜２　のみ。
というのはおかしいですね。
No.11624 - 2010/09/19(Sun) 21:58:21
☆ Re: 不等式 / みー

なるほど！
「合わせる」という意味を共通範囲を
とることだと勘違いしていました。
共通範囲をとっていたのではなくて、
つながったからまとめただけだったんですね。

どちらかでいいというのも
xがどちらかを満たしていればいいのでは、
と思ったのですが、完全に勘違いでした。

理解できました。ありがとうございました。
No.11632 - 2010/09/20(Mon) 06:15:24
★ 集合？ / 真数条件
先ほどはすいません。
『自然数nに対して、Un={(x,y)｜|x|≦n,|y|≦n},Vn={(x,y)| |x|+|y|≦n}とする。
座標平面上の点の集合Ｓ={(a-b,a+b)|a,bは整数}に対して、集合Ｓ∩Un と　Ｓ∩Vn の要素の個数をそれぞれnで表せ。』
（必要ならば、1からnまでの自然数の和は1/2×n(n+1)を利用してもよい）

この問題が解けずに苦労しています。皆様のお力をいただけるとうれしいです。

高校2年
No.11608 - 2010/09/18(Sat) 22:15:17
☆ Re: 集合？ / ヨッシー
まず、Ｕn、Ｖn はどういう範囲かというと、このようになります。
枠線および内部が、その範囲です。
No.11609 - 2010/09/18(Sat) 22:35:02
☆ Re: 集合？ / ヨッシー
で、Ｓは、こういう点群です。
No.11610 - 2010/09/18(Sat) 22:43:15
☆ Re: 集合？ / ヨッシー
では、点の数を数えます。
　Ｎ(Ｓ∩Ｕ1)＝１＋４＝５
　Ｎ(Ｓ∩Ｕ2)＝１＋４＋８＝13
　Ｎ(Ｓ∩Ｕ3)＝１＋４＋８＋12＝25
　Ｎ(Ｓ∩Ｕ4)＝１＋４＋８＋12＋16＝41
これより、
　Ｎ(Ｓ∩Ｕn)＝１＋４(１＋２＋・・・＋ｎ)＝1＋2n(n+1)＝2n^2＋2n＋1

　Ｎ(Ｓ∩Ｖ1)＝１
　Ｎ(Ｓ∩Ｖ2)＝Ｎ(Ｓ∩Ｖ3)＝３^2＝９
　Ｎ(Ｓ∩Ｖ4)＝Ｎ(Ｓ∩Ｖ5)＝５^2＝25
これより、
　ｎが奇数の場合　Ｎ(Ｓ∩Ｖn)＝ｎ^2
　ｎが偶数の場合　Ｎ(Ｓ∩Ｖn)＝(ｎ＋１)^2
１つの式で書くなら、
　Ｎ(Ｓ∩Ｖn)＝{ｎ＋1/2＋(1/2)(-1)^n}^2
となります。
No.11611 - 2010/09/18(Sat) 22:59:10
☆ Re: 集合？ / 真数条件
非常に参考になりました。ありがとうございます！
No.11614 - 2010/09/19(Sun) 07:32:42
★ 幾何 / 濃縮還元
直角三角形ABCがあり、∠BAC=直角である。頂点Aから辺BCに降ろした垂線の足をHとする。
BH＝a、HC=bのとき、垂線AHの長さxをaとbで表しなさい。


直角三角形なので、三平方の定理を使うんだろうとは考えましたがうまくいかず、分かりません。申し訳ありませんが、よろしくお願い致します。
No.11602 - 2010/09/18(Sat) 17:17:33
☆ Re: 幾何 / angel
> 三平方の定理を使うんだろうとは考えましたが

いいえ。相似形に着目して下さい。
元の三角形が直角三角形で、そこに垂線を引いていますから、いろいろ相似形ができています。
No.11603 - 2010/09/18(Sat) 17:30:19
☆ Re: 幾何 / 濃縮還元
相似形で考えてもよくわかりません。すいません。
BCとAHの交点をPとおくと、△ABCと△PACが相似ですよね。
これ以外にも相似があるのでしょうか。
No.11604 - 2010/09/18(Sat) 18:02:06
☆ Re: 幾何 / らすかる
BCとAHの交点はHですよ。
△HBAも相似です。
No.11605 - 2010/09/18(Sat) 18:40:47
☆ Re: 幾何 / 濃縮還元
問題を勘違いしていたようです・・・・。

angelさん、らすかるさん、お手数おかけしました。
ありがとうございました！
No.11606 - 2010/09/18(Sat) 19:00:35
★ 合成関数のグラフ / bone
f（x）(０≦ｘ≦１)が次のように定義されるとき合成関数y＝f・f(x)(０≦ｘ≦１)のグラフをｘｙ座標平面状に書け。

f(x)＝２ｘ（０≦ｘ≦1/2）
-２ｘ+２(1/2≦ｘ≦１)


まず私は単純に
０≦ｘ≦1/2の場合　f・f(x)＝２・２x＝４x
1/2≦ｘ≦１の場合f・f(x)＝−２(−２x+２)+２＝４ｘ−２
と考えて後はグラフと考えてしまったんですが、正解は四つの場合分けになるそうです。
何故そうなるのか全くわかりません・・・

すみませんが教えてください。
No.11595 - 2010/09/18(Sat) 09:58:16
☆ Re: 合成関数のグラフ / angel
元のf(x)がこういう形をしているので、
　xがAの範囲にある … f(x)=A(x)
　xがBの範囲にある … f(x)=B(x)

場合分けとしては、
　xがAの範囲に、f(x)がAの範囲にある … f・f(x)=A(A(x))
　xがAの範囲に、f(x)がBの範囲にある … f・f(x)=B(A(x))
　xがBの範囲に、f(x)がAの範囲にある … f・f(x)=A(B(x))
　xがBの範囲に、f(x)がBの範囲にある … f・f(x)=B(B(x))
となります。
No.11597 - 2010/09/18(Sat) 10:25:18
☆ Re: 合成関数のグラフ / bone
ご回答有難うございます。
申し訳ないのですが全然わからないのでもう少し詳しく教えて頂けないでしょうか？
よろしくお願いします・・・

また、ちょっとお聞きしたいことがあるのですが、
lim［x→０］（x^2+1)/xを考えるとき、式自体にｘ＝０を代入すれば０なので０に収束するはずですが、今０/1というのは不定形ではないですよね？
極限の不定形の話に混乱していまして・・・
∞×０や０/0は明らかに不定形だとわかるのですが・・・・
すみませんがお願いします。
No.11612 - 2010/09/19(Sun) 02:10:01
☆ Re: 合成関数のグラフ / ToDa
では具体例を。

x = 1/8 , 3/8 , 5/8 , 7/8のとき、それぞれのf(x)の値と、f・f(x)の値はいくらになりますか？

で、後半。

0/1=0ですが、それを議論するのであれば

＞lim［x→０］（x^2+1)/xを考えるとき

この式間違っていませんか？　この式はx=0を代入すると1/0になります。0/1にはなりません。
No.11617 - 2010/09/19(Sun) 09:16:58
☆ Re: 合成関数のグラフ / angel
念のため、ですが、合成関数 f・f(x) というのは、f(f(x)) のことだというのは良いですよね。
※f・g(x) の場合は、f(g(x))、g(f(x)) のどちらを指すのかは、流儀によるのでややこしいのですが…

ToDaさんのヒントの通り、幾つか具体的な値を計算して、イメージ作りに役立てることです。

例えば、x=0.1 の時であれば、f(0.1)=0.2 なので、
　f・f(0.1)=f(f(0.1))=f(0.2)=0.4
といった具合に。

> 極限の不定形の話に混乱していまして・・・
> ∞×０や０/0は明らかに不定形だとわかるのですが・・・・

別の話は、別記事としてあげた方が良いでしょう。話が混ざると混乱しますから。
で、不定形というと、0/0 か ∞×0 か ∞/∞ 位しか出てこないと思いますが…
逆に言えば、それ以外は収束か発散かが一目で分かる形になるということです。
No.11618 - 2010/09/19(Sun) 10:55:36
☆ Re: 合成関数のグラフ / bone
お二方有難うございます。
angelさんのおっしゃる合成関数の公式みたいなのは一応把握しるつもりです・・・＞＜
申し訳ないのですが、そもそも今何を出して何をやりたいのかがよくわかりません。
Todaさんの問いは
x=1/8で　f(x)=2*1/8=1/4 ff(x)=2+2+1/8=1/2
x=3/8で　f（x）=2*3/8=3/4 ff(x)=2*2*3/4
と思うのですが答えから推測すると違うのでしょうか・・・
一応青チャで似たような問題を見つけましたがまた同じように場合わけするところからわかりません。（-1≦ｘ≦-１/2のところから）
合成関数の意味がわかっていないのでしょうか・・・

後半について
分子分母逆でした。ごめんなさい。
不定形でも∞/∞であれば強さで値を出すことが可能な場合がありますが、0があると一応割り算や掛け算に直すことで結果を変えることができることもあるけれど変えれなければ不定形ということで進まないのかなと思いました。
No.11629 - 2010/09/20(Mon) 03:25:03
☆ Re: 合成関数のグラフ / ToDa 


＞x=1/8で　f(x)=2*1/8=1/4 ff(x)=2*2*1/8=1/2
＞x=3/8で　f（x）=2*3/8=3/4 ff(x)=2*2*3/4

についてですが(赤字部分はケアレスミスだと思うので直しておきました。落ち着いて書き込んでください。)、

f(1/8)=1/4
f(3/8)=3/4　で、ここまではいいでしょう。

だったら、
f・f(1/8) = f(1/4) = 1/2 (←これは結果的に一致していますが)
f・f(3/8) = f(3/4) = 1/2

となる、という事に納得はできませんか？

---
おそらくは、合成関数についての把握が不十分なのではないかと思います。

f(x)=2x    (0≦x≦1/2)
     -2x+2 (1/2≦x≦1)

で、f・f(x)=f(f(x))なのだから、上記のxをf(x)に置き換えて

f・f(x)=f(f(x))=2f(x)    (0≦f(x)≦1/2)
                -2f(x)+2 (1/2≦f(x)≦1)

とすべきであって、

f・f(x)=f(f(x))=2f(x)    (0≦x≦1/2)
                -2f(x)+2 (1/2≦x≦1)

ではないのです。条件(xの範囲)のほうのxだけ特別扱いして、それを置き換えなくていい、なんて理由はありません。

No.11633 - 2010/09/20(Mon) 08:07:46
☆ Re: 合成関数のグラフ / angel
ToDaさんと重複しますが、大事な所なので。

(1) f(3/4)=1/2 である
　まず、これはO.K.でしょうか?
(2) f(3/8)=3/4 である
　これもO.K.でしょうか。
(3) (1),(2)の結果より、f・f(3/8)=f(f(3/8))=f(3/4)=1/2 である。
　これもO.K.だと即答できるでしょうか?
　これこそが、「合成関数のことを把握しているかどうか」なのです。

そうしたら、また改めて f・f(1/8), f・f(3/8), f・f(5/8), f・f(7/8) を計算してみて下さい。
上にあげた (2)→(1)→(3) の順で考えるようにすると良いでしょう。
No.11643 - 2010/09/20(Mon) 21:58:45
☆ Re: 合成関数のグラフ / bone
こんばんは、色々考えていてお返事が遅くなりました、すみません。
みなさん一生懸命説明してくださって感謝です。
間違っていたポイントがわかったと思います。つまり合成関数にしたとき定義域を今度は値域に変えないといけないといいますか、f(x)の範囲に直さなかったからだめだったんですね。
ただ、f(x)を完全に別の文字で置き換えるなどしなければ混乱してしまいます。丁寧にグラフに対応させないとわかりません。
f・f(3/8)=f(f(3/8))=f(3/4)=1/2 である。
　これもO.K.だと即答できるでしょうか?
というのは値から見た結果論で見ればわかりますがそれではまずいでしょうか？？
最初のangelさんの記事のようにスマートに頭の中でわかるようになれば早いのだろうとおもいます・・・

幾度もすみません、よろしくお願いします。
No.11649 - 2010/09/22(Wed) 03:22:28
☆ Re: 合成関数のグラフ / angel
> スマートに頭の中でわかるようになれば早いのだろうとおもいます・・・

んー。そりゃ「解説」なのでなるべくスマートに書くように心がけていますが、必ずしも考える時にスマートにやっているわけではないので…。

> 値から見た結果論で見ればわかりますがそれではまずいでしょうか？？

いいえ、全然問題ナシです。
そうしたら、「計算してみて下さい」と書きましたよね。
これは、何もダシオシミやシゴキではなく、具体的に数例の計算を行うことが、実際に重要だからです。(※これは大抵の場合にあてはまる話ですが)
ある x ( 1/8 や 3/8 や… ) に対して、f・f(x) の値を、「この問題の答」を知らない状態で、boneさんはどうやって計算しますか? ということ。

面倒なので、A(x)=2x, B(x)=-2x+2 と置いて話を進めますが、f・f(3/8) を求める場合、

　・まず f(3/8) を求める
　・0≦3/8≦1/2 であることを確認
　・なので、B(3/8) ではなく A(3/8) を計算する
　・f(3/8)=A(3/8)=3/4
　・次に、その 3/4 を元に f(3/4) を求める
　・1/2≦3/4≦1 ( 1/2≦A(3/8)≦1 ) であることを確認
　・なので、A(3/4) ではなく B(3/4) を計算する
　・f(3/4)=B(3/4)=1/2
　・最終的に f・f(3/8)=1/2 ( = B(3/4) = B(A(3/8)) )

のようなことを考えるはずで。
で、一般の x に対して f・f(x) の値を計算する場合には、A(〜) を計算するか、B(〜) を計算するか、条件に応じた2通りの分かれ道が2箇所あるので、場合分けも全部で4通りになるだろう、という判断になるわけです。

ということで、実際に数例計算して、それからまたNo.11597を見返してください。
No.11658 - 2010/09/22(Wed) 22:41:04
☆ Re: 合成関数のグラフ / bone
とてもご丁寧にありがとうござます。おかげで多分わかったと思います。
似たような問題でまた色々とトライしてみます。
なにかあったらまた教えて頂けると嬉しいです。
本当にありがとうございました！
No.11660 - 2010/09/22(Wed) 23:32:54
★ 整数 / 28
a+b+c+d+1=abcd を満たす正の整数a,b,c,dの組を全て求めよ

例えばa≦b≦c≦dとしたとき (a,b,c,d) = (1,2,2,2), (1,1,2,5), (1,1,3,3) などです
これ以外に無い気もするのですが

一つでも偶数があれば右辺は偶数になるので奇数は奇数個などある程度は考えたのですがわかりませんでした

よろしくお願いします
No.11593 - 2010/09/18(Sat) 09:52:25
☆ Re: 整数 / angel
はい。a≦b≦c≦d と大小関係を指定すれば、答えはその3通りのみになります。

で、これ以外にないことを言わないといけないので、大小関係を指定した時に、大きさの見積もりを行っておくと良いです。

今回、a+b+c+d≦4d となりますから、abcd=a+b+c+d+1≦4d+1
両辺を d で割れば、abc≦4+1/d ということで、abc が高々5と見積もることが出来ます。
※a=b=c=d=1 の解はないので、abc が高々4 というのがより正確ですが…

これで、a,b,c の組合せが必然的に限られることになります。
No.11596 - 2010/09/18(Sat) 10:17:04
★ 極小値 / 磁石
はじめまして。

『1/π＜x＜πの範囲で　sinx・sin(1／x)が極小値となるときのxを求めよ。』

素直に微分で解こうとしたのですが上手くいきません。
感覚的にはx=1のような…?

どのようなアプローチをすればいいのでしょうか?よろしくお願いしますm(_ _)m
No.11588 - 2010/09/18(Sat) 00:34:49
☆ Re: 極小値 / X
大学の解析学の範囲であれば
u=x,v=1/x
と置いて問題を

1/π＜u＜π,1/π＜v＜π,uv=1のとき
sinu・sinvが極小値となるu,vの値を求めよ

と置き換え、これを条件付き極値問題と見てラグランジュの未定乗数法を
使うという方針があります。

解答ですが、極小値を取るxの値は存在しません。
(x=1のときは問題の関数は極大になります。)
No.11599 - 2010/09/18(Sat) 10:55:41
☆ Re: 極小値 / 磁石
ありがとうございますm(_ _)m
助かりました。
No.11600 - 2010/09/18(Sat) 11:34:44
★ サイクロイド / bone
すみません、連続になりますが聞きたいことがあるので投稿させてください。

添付した問題についてですが、まずPの位置について、内接した円を回転させた場合私が図に鉛筆で書き込んだような位置（右上当たり）にPがくると思ったのですが、問題に書いてあるとおり回転させたときPはｘ軸上にくるようなのです。
そこからまず納得できません。

すみませんが教えてくださるとありがたいです。
お願いします。
No.11580 - 2010/09/17(Fri) 15:20:19
☆ Re: サイクロイド / ヨッシー
とりあえずこちらをご覧ください。
No.11581 - 2010/09/17(Fri) 18:17:22
☆ Re: サイクロイド / angel
円C2が、円C1に内接しながら、すべることなく回転して移動した、とありますので、点Pの初期位置をP'、円C1,C2の接点をXとすると、弧PX=弧P'X と長さが等しいことになります。

そうすると、∠XOP'=θに対して、円の半径の比から、∠XAP=2θ が求まり、∠AOP=1/2・∠XAP=θ=∠AOP' となります。
No.11584 - 2010/09/17(Fri) 22:35:42
☆ Re: サイクロイド / bone
angelさんのおっしゃるとき方自体は一応わかるのですが、図の想像ができません。
ヨッシーさんのリンク先で見れる回転とは今逆の向きで回転をさせていますよね？
そうするとPは今（2，0）にあるので上のほうへ移動して行くと思うのです。
しかしこの図でのPの移動位置はX軸上で、隣に動いたような形になります。
それがどうしても想像できないというか納得がいきません。
幾度もすみませんがお願いします。
No.11586 - 2010/09/17(Fri) 22:46:42
☆ Re: サイクロイド / ToDa
最初の図の鉛筆の点から察するに、この図のような動き方になるのではないか、ということでしょうか。アニメーションにしてみるとよく分かりますが、この動き方はどうにも不自然ですよね。

実際はこの図のようになるのですが、実際に厚紙を円形に切ってみるなどして、自分で描いてみればよく分かるのではないかと思います。
No.11589 - 2010/09/18(Sat) 00:59:00
☆ Re: サイクロイド / bone
Todaさんのおっしゃる通りそのように考えていました。
確かに言われてみれば不自然なのかもしれないです。
自分で円を切ってみます！
どうもありがとうございました！
No.11594 - 2010/09/18(Sat) 09:52:31
★ 微分係数 / bone
こんにちは。
お願いします。

F(x)が任意の定数Aに関してｆ（ｘ+A）＝f（x）+ｆ（A ）+４Ax-1
を満たすときF(0)を求めよ

A=0を代入すれば簡単に出せると思いますが、X=0でも問題ないのでしょうか？
今までどちらでもいいと思っていたのですが心配になってきました。
一応任意だといっているのはAだけなので・・・

すみませんがお願いします。
No.11579 - 2010/09/17(Fri) 09:34:08
☆ Re: 微分係数 / ヨッシー
Ａは定数で、ｘは変数と考えるのが普通で、
ｘ＝０ としても良いです。
No.11582 - 2010/09/17(Fri) 18:21:57
☆ Re: 微分係数 / bone
ではどちらでもいいということでいいでしょうか？？

ありがとうございます！
No.11585 - 2010/09/17(Fri) 22:38:25
★ 代数系 / 美優
通常の加法、乗算演算において、以下に示す集合Aが環であるか、体であるかを判定しなさい。
(1)A={u+(√2)v | u,v:整数}
(2)A={u+(√2)v+(√3)w | u,v,w:有理数}

という問題なのですが、(1)は環であり、体でもある。(2)は環であるが、体ではないという答えになっています。

(1)については、加法において結合律、単位元0、逆元、交換律が成り立ち、乗法においても結合律、交換律、分配律、単位元1が成り立つことということまではわかったのですが、
乗法の逆元がなぜ存在するのかがわかりません。

(2)についても同様で、加法において結合律、単位元0、逆元、交換律が成り立ち、乗法においても結合律、交換律、分配律、単位元1が成り立つことということまではわかったのですが、
乗法の逆元がなぜ存在しないのかがわかりません。

どなたか教えてください！！
No.11576 - 2010/09/16(Thu) 18:57:14
☆ Re: 代数系 / サボテン
(1)の問題が正しいとするなら、(1)は体ではありません。
u,vは有理数なのではないですか？

(2)は例えば1+√2+√3の逆元が存在するとして、
それをu+(√2)v+(√3)wと置けば、

u+2v+3w+(√2)(u+v)+(√3)(u+w)+(√6)(w+v)=1

これから、u+2v+3w=1
u+v=0
u+w=0
w+v=0

となりますが、この解は存在しません。
No.11590 - 2010/09/18(Sat) 08:20:52
☆ Re: 代数系 / ast
それ以前に (2) は積について閉じてない気がしますが……

問題文か解答のいずれかが別の問題のものを見ているのではないかという気が……
# 本当に合ってるとするとさらにヤバイ気が……
No.11613 - 2010/09/19(Sun) 05:00:31
★ △不等式 / 才賀　高校2年
失礼します。よろしくお願いします。

tは0≦t＜2πを満たす。cos(4t+π/6)≧1/2を解きなさい。

u=4t+π/6とおいてcosu≧1/2に直すところまでは分かったんですが、ここから先がよくわからないです。cosu≧1/2を解くと、0≦t≦π/3と5π/3≦t＜2πになると思ったんですが、答えが全然合いません。
分かり易く教えてください。お願いします。
No.11574 - 2010/09/16(Thu) 16:35:44
☆ Re: △不等式 / X
変数をtからuに置き換えたことにより、uの値の範囲も
変わっています。

0≦t＜2π (A)
u=4t+π/6 (B)
より
π/6≦u＜8π+π/6 (A)'
一方
cosu≧1/2 (C)
より
-π/3+2nπ≦u≦π/3+2nπ (C)'
(nは任意の整数)
(A)'(C)'より
π/6≦u≦π/3
,-π/3+2π≦u≦π/3+2π
,-π/3+4π≦u≦π/3+4π
,-π/3+6π≦u≦π/3+6π
,-π/3+8π≦u＜π/6+8π (D)
(B)を(D)に代入すると…。
No.11575 - 2010/09/16(Thu) 17:48:49
☆ Re: △不等式 / 才賀　高校2年
X様回答してくれてありがとうございました。
置き換えについてはよくわかりましたが、いろいろ調べたんですがどうしてもわからないことがあるのでさらに質問です。

＞/3+2nπ≦u≦π/3+2nπ (C)'
この式の意味がわからないです。2nπとかnは任意の整数とか、こちらはいったい何のことなんですか？

＞(A)'(C)'より
ここから先もよくわからないです。(A)'と(C)'を合わせるとどうして下のような5つの不等式になるのかもよくわからないです。
No.11587 - 2010/09/18(Sat) 00:14:14
☆ Re: △不等式 / X
まず次の例題を考えてみてください。
例題）
0≦u＜2π (P)
のとき
cosu≧1/2 (Q)
を満たすuの値の範囲を求めよ。

この解答は才賀さんが最初のレスで答えられているとおり、
0≦u≦π/3、5π/3≦u＜2π (R)
となります。
ここで重要なのはuの値の範囲に(P)という条件が付いていることです。
もしこの条件が付いていない場合、解答としては(R)の他に
単位円を余分に一周した
0+2π≦u≦π/3+2π、5π/3+2π≦u＜2π+2π
も解になりますし、更に余分に一周した
0+4π≦u≦π/3+4π、5π/3+4π≦u＜2π+4π
も解、逆向きに単位円を回ることも考えると、解は結局
0+2nπ≦u≦π/3+2nπ、5π/3+2nπ≦u＜2π+2nπ (R)'
(nは任意の整数)
となります。

では(P)が
π/6≦u＜8π+π/6 (P)'
となった場合はどうなるでしょうか。
この場合はuの値は単位円を(P)の場合に比べて余分に4周する範囲まで考える必要があります。
∵)(P)'の右辺において8π=2π×4

よって解は、まず１周目は(P)'の左辺を考慮に入れて
π/6≦u≦π/3、5π/3≦u＜2π (R1)
次に２周目は
0+2π≦u≦π/3+2π、5π/3+2π≦u＜2π+2π (R2)
以下３周目、４周目は
0+4π≦u≦π/3+4π、5π/3+4π≦u＜2π+4π (R3)
0+6π≦u≦π/3+6π、5π/3+6π≦u＜2π+6π (R4)
５周目は(P)'の右辺を考慮に入れて
0+8π≦u≦π/6+8π (R5)
ここで(R1)の２式目と(R2)の１式目の値の範囲が連続していることなどを考えて
(R1)〜(R5)までをまとめると結局(P)'の場合のuの値の範囲は
π/6≦u≦π/3
,5π/3≦u≦π/3+2π
,5π/3+2π≦u≦π/3+4π
,5π/3+4π≦u≦π/3+6π
,5π/3+6π≦u＜π/6+8π (T)
となります。(続く)
No.11591 - 2010/09/18(Sat) 08:45:03
☆ Re: △不等式 / X
(No.11591の続き)
(D)と(T)は一見すると異なっているように見えますが、解答としては同じことです。
(それぞれの範囲の左辺を具体的に計算して比較してみましょう。)
なぜ見かけが違っているかですが、これは(C)'と(R)'の見かけ上の違いによります。
単位円上で見ると
0≦u≦π/3　(1)
5π/3≦u＜2π (2)
の二つの値の範囲は連続しています。
(0≦u＜2πであるために(1)(2)に分割してしまっている)
ですのでまず基準となるuの値の範囲として0≦u＜2πの代わりに
-π≦u＜π
を使い、１周目のuの値の範囲を
-π/3≦u≦π/3
と求めて、一般角に拡張しています。
No.11592 - 2010/09/18(Sat) 08:59:16
☆ Re: △不等式 / 才賀　高校2年
X様ありがとうございました！ホントにわかりやすかったです！！
No.11601 - 2010/09/18(Sat) 13:14:01
★ ２直線の一致 / bone
こんにちは。
お願いします。

2ax+2by-a^2-b^2-5=0
6x+2y-15=0
が一致するための条件
を考えたいのですが、
単純に係数比較で
2a=6
2b=2
-a^2-b-2-5=-15
のようにしてはいけないのでしょうか？
必ず2a/6=2b/2=(−a^2-b^2-5)=-15
の形を公式どおりとらねばならないのでしょうか？

初歩的な質問で申し訳ないのですが、よろしくお願いします。
No.11568 - 2010/09/16(Thu) 11:43:40
☆ Re: ２直線の一致 / ToDa
「単純に」係数比較してはならない一例として…

二直線
x+y+1=0
と
10000x+10000y+10000=0

は、直線としては一致しますが係数は一致しません。
No.11569 - 2010/09/16(Thu) 11:50:32
☆ Re: ２直線の一致 / bone
具体的に有難うございます。
よくわかりましたTODAさんありがとうございました。
No.11578 - 2010/09/17(Fri) 09:28:29
★ 数列です　見辛いですがお願いします / ハオ
数列a_nを以下のように定める
a_1=1 a_(n+1)=a_n +√(n+1)
(1)
a_n>n√n---(＊）　を証明せよ。

nについての証明ですから帰納法が妥当と思われますが
k=mの時（＊）を仮定してもk=m+1に繋がりません・・・。
宜しくお願いします
No.11566 - 2010/09/16(Thu) 08:31:57
☆ Re: 数列です　見辛いですがお願いします / ToDa
問題文は正しいでしょうか？
少なくともn=1のとき、すでに(＊)は破綻しています。

---

…もし(＊)の不等号が"≦"であればどうやら成立しそうなので、勝手にそういうことにして考えてみます。もし問題文の漸化式に誤りがあるのであればあまり意味がなくなりますが…

数学的帰納法で解いてみると、

n=kのときの成立を仮定し、n=k+1のときも成立する

ことを言えばよいのですが(k=m,m+1という指定の意図が分かりかねたのですが、数学的帰納法のステップは理解しているということで宜しいですね？)

仮定により、
0 ≦ k√k - a_k が成り立つので、この元で
0 ≦ (k+1)√(k+1) - a_(k+1) を示せばいいわけです。

漸化式を用いればa_(k+1)が消去できるので、仮定を持ち出すことが出来るようになります。

とりあえずここまで。
No.11570 - 2010/09/16(Thu) 12:01:41
☆ Re: 数列です　見辛いですがお願いします / ハオ
大変失礼いたしました
訂正
(1)a_n>(2/3)*n√n です
宜しくお願いします
No.11571 - 2010/09/16(Thu) 13:36:11
☆ Re: 数列です　見辛いですがお願いします / ハオ
連投申し訳ありません
k=mの時→n=mの時
k=m+1の時→n=m+1の時
に訂正お願いします
No.11572 - 2010/09/16(Thu) 13:38:01
☆ Re: 数列です　見辛いですがお願いします / ToDa
やはり上記と同様に、a_(k+1)を消去して不等式を評価しましょう。他に方法があり、工夫の余地もあると思いますが、とりあえずガリガリとやってみたら解けたようなのでそれを書いておきます。

前半は略しますが、つまるところ
a_k + √(k+1) - (2/3)(k+1)√(k+1) ＞ 0をいえばよいので、

a_k + √(k+1) - (2/3)(k+1)√(k+1) ＞ (2/3)k√k + √(k+1) - (2/3)(k+1)√(k+1)
= (2/3)k(√k - √(k+1)) + (1/3)√(k+1)
= (2/3)k(√k - √(k+1))(√k + √(k+1))/(√k + √(k+1)) + (1/3)√(k+1)
= (√(k(k+1)) - k + 1)/3(√k + √(k+1)) ＞ 0 (∵√(k(k+1)) - k ＞ 0)

という感じです。気づけば分かる点だと思うので最後まで書きました。
No.11573 - 2010/09/16(Thu) 15:50:55
☆ Re: 数列です　見辛いですがお願いします / ハオ
有難うございました。
式の扱いの未熟さを痛感いたしました。
No.11577 - 2010/09/16(Thu) 20:01:11
★ 唯一つの実数解 / bone
こんばんは、質問があるので教えてください。

方程式(1/x^n)-logx-1/e=0(nは自然数)がx≧１の範囲に唯一つの実数解xnを持つことを示しlim(n→∞)xnを求めよ

まず左辺をf(x)とおき、微分した物は-n/(x)^(n+1)−１/x＜０となりました。
f(１)＝１−１/e＞０
までできました。

それから判断するものがないなあと困ってしまいました。
その後回答はf(e^(1/n))＜０
より規定の範囲に唯一つの実数解を持つことができる
としていました。
このe^(1/n)はどこからでてきたのでしょうか？

お願いします。
No.11564 - 2010/09/16(Thu) 02:30:16
☆ Re: 唯一つの実数解 / らすかる
1/x^n が 1/e と消し合うようにしたものですね。
No.11565 - 2010/09/16(Thu) 05:11:18
☆ Re: 唯一つの実数解 / bone
ありがとうございます。今負であることをしめすのに、そこの注目するんですね。
わかりました、らすかるさんありがとうございました。
No.11567 - 2010/09/16(Thu) 11:29:04
★ 三次関数の実数解 / bone
こんにちは。
お願いします。

x^2-3ax+4a=0(aは実数定数)の愛子となる実数解の個数を求めよ

典型問題だと思いますが、今までは、右辺の関数をf(x)とおき、f(x)’の二つの解が＝０の場合と、そうでない場合、とで場合わけをしてやっていました。
しかし、f(x)'が判別式で極値を持つか否かに注目し、D>0か≦０かで場合わけすると言う方法でもいいのでしょうか？
後者の場合→実数解１つ
前者の場合→f(０)ｆ（２a ）>0,<0,=0でそれぞれ場合わけ
一つの場合は最後に範囲をあわせる

また、どちらの方がこれから難問などといていくに当たり対応しやすいでしょうか？
宜しくお願いします。
No.11551 - 2010/09/15(Wed) 16:57:11
☆ Re: 三次関数の実数解 / ast
落ち着いて説明を見直してください, わたしには「二次方程式」の問題に見えます. 三次「方程式」の問題の解き方を聞いておられるということでよいのですよね?

> 右辺の関数をf(x)とおき、
「左辺」を f(x) とおいたのですね, それで f(x) は x の三次多項式なのですね?

> f(x)’の二つの解が＝０の場合と、そうでない場合、とで場合わけ
導函数の解が 0 かどうかで場合が異なるというのは考えにくいのですが, 本当はどのような場合わけですか? f(x)′ は f(x) の導函数 f′(x) のつもりということでよいのですよね, f(x) が三次ですから, f′(x) は二次です. 二次方程式 f′(x)=0 を解くと三次函数 f(x) の極値の位置が決まりますから, 二次方程式 f′(x)=0 が重根を持つかどうかで場合わけということですか? それとも f′(x)=0 に解があるかどうかでの場合わけですか?
# 注意. f′(x) とか (f(x))′ とは書きますが, f(x)′ とは書きません, たとえば x=1 における導函数の値 f′(1) を表したくて f(1)′ と書いてしまうと, 事によっては「f(1) は定数なので f(1)′ は定数函数を微分した」という意味になって 0 になってしまい不都合です.

> f(x)'が判別式で極値を持つか否かに注目し、D>0か≦０かで場合わけすると言う方法でもいいのでしょうか？
どういう意味でしょうか, f′(x) は二次函数なので極値は必ず持ちます. f(x) が極値を持つかどうかということであれば, bone さんの仰るもう一つのやり方との差異がわかりません.

> どちらの方がこれから難問などといていくに当たり対応しやすいでしょうか？
一般論で言えば, 難問に対応したいならば, 一つの方法に絞るのではなく, さまざまなアプロ−チを試せるようにしておいたほうがいいです. 一発撃って外れたらもう打つ手が無いというのは, 玉砕の可能性が高まります.
No.11552 - 2010/09/15(Wed) 17:04:16
☆ Re: 三次関数の実数解 / bone
x^3-3ax^2+4aでした。
次数が大きく間違っておりすみませんでした！

まず一般的？と思うのが、(f(x))’＝０はｘ＝０，２aとでてくるので、この二つが等しいとき極値を持たず実数解一つ
等しくない場合は極値の符号で場合わけ

という方法です。

私が考えたのは二次にした微分の方程式をとかずにDで場合わけして、（Dで極値の有無が調べられる）実数解を考えていく
というものです。

極値で場合わけした所で実数解の個数とは異なるために再度色々考えることになるので少し遠回りなのかもしれないですが・・・＞＜
とりあえずD≦０であれば極値を持たないので実数解は一つのみと絞ることができました。

拙い説明で申し訳ありませんがお願いします。
No.11556 - 2010/09/15(Wed) 17:39:32
☆ Re: 三次関数の実数解 / angel
> 等しくない場合は極値の符号で場合わけ

そんなboneさんには、これを進呈しましょう。

　f(α)とf(β)が異符号 ⇔ f(α)・f(β)＜0

f(0), f(2a) のどちらが極大/極小かは分かりませんが、x軸をはさんで極が逆の領域にあれば、それで方程式は3実数解を持つわけですから、f(0)・f(2a)＜0 を解けば必要十分。

ちなみに、f(0)・f(2a)=0 ( a≠0 ) の場合、どちらかの極でx軸と接するので、いずれにせよ、重解+異なる実数解となります。

ちなみに、一般の3次方程式 px^3+qx^2+rx+s=0 ( p≠0 ) に関しては、
D=27(27p^2s-9pqr+q^3)^2 + 4(9pr-q^2)^3
に対して、
・D＜0 … 異なる3実数解
・D=0 … 3重解もしくは、重解+異なる実数解 ( 3重解は 9pr-q^2=0 のみ )
・D＞0 … 1実数解+共役複素数解
となります。…覚えてもしようがないですけど。
※面倒なので、普通は x^3+px+q=0 で考えて、D=27q^2+4p^3 でしょうけど。
No.11561 - 2010/09/15(Wed) 23:58:43
☆ Re: 三次関数の実数解 / bone
ご回答有難うございます。
f(α)とf(β)の掛け算の符号による場合わけというのは、私が１１５５６の記事で書いた最初の方法でとりました。

angelさんの最後の方法は三次方程式のDでしょうか？
受験数学ではおそらく未だ見たことないです・・・
結局１１５５６の記事の後者のほうでは（微分した二次方程式のDの場合わけ）上手いやり方とはいえないのでしょうか・・・？
No.11563 - 2010/09/16(Thu) 02:22:40
☆ Re: 三次関数の実数解 / angel
boneさんのおっしゃる場合分けは、

　2次方程式 f'(x)=0 の判別式 D に対して
　(1) D＜0 … f(x)=0 の解は1実数解と共役複素数解
　(2) D=0 … f(x)=0 の解は3重解または、1実数解と共役複素数解
　　→ いずれにしても、実数解は1種類
　(3) D＞0 の場合、f'(x)=0 の解をα,β として、
　　(3)-1 f(α)f(β)＜0 … f(x)=0 の解は3実数解
　　(3)-2 f(α)f(β)=0 … f(x)=0 の解は重解と異なる実数解
　　(3)-3 f(α)f(β)＞0 … f(x)=0 の解は1実数解と共役複素数解

ということでしょうか?
これはこれで、勿論正しいですよ。

ただ、今回の問題では、f'(x)=0 の D を計算するまでもなく、f'(x)=0 の解が分かりますから、敢えて計算する意味は薄いかな、と。

では、一般の問題として、f'(x)=0 の解が簡単に求まらない場合。
その時は勿論 D を計算することになるでしょうが、(3)あたりの計算が大変過ぎるので、あまりそういう問題を解く機会はないでしょうね。

> angelさんの最後の方法は三次方程式のDでしょうか？
> 受験数学ではおそらく未だ見たことないです・・・
ええ、出ないですから。覚える必要もないです。
ただ、単純な形 x^3+px+q=0 であれば、解の個数とその条件は自力で計算できると思います。
No.11583 - 2010/09/17(Fri) 22:28:36
☆ Re: 三次関数の実数解 / bone
お返事が遅くなってすみません。
よくわかりました、これからも適宜考えていこうと思います。。。。
ありがとうございました。
No.11650 - 2010/09/22(Wed) 03:24:15
★ ３実数解 / bone
こんにちは、お願いします。

相異なる実数X,Y,Z が条件X+Y+Z=10
XY+YZ+ZX=25
を満たすときXYZのとりうる範囲を求めよ


これはXYZ=ｋというようにおいて、三次関数の実数解を調べ、今回は相異なる実数とあるので、三つの異なる解をもつ範囲をグラフから割り出すのみだと思いますが、もしこの条件がなかったらどうなるのでしょうか？ただの実数XYZというような記述になっていれば、三つの場合わけをした答えを出せばよいのでしょうか？

よろしくお願いします。
No.11547 - 2010/09/15(Wed) 11:54:14
☆ Re: ３実数解 / X
その通りですよ。
但し、その場合分けで
(i)２重解
(ii)３重解
の場合はわざわざ解と係数の関係を用いた３次方程式を持ち出さなくても、
２元、或いは１元の連立方程式の問題となります。
No.11548 - 2010/09/15(Wed) 13:40:47
☆ Re: ３実数解 / bone
わかりましたありがとうございました。
No.11550 - 2010/09/15(Wed) 16:41:27
☆ Re: ３実数解 / angel
場合分け…と言えば、確かにそうなのですが、
どうせ描くグラフは共通で一個なので、場合分けをする感覚とはちょっと違うような気もします。

今回であれば、3次関数 y=f(x)=x^3-10x^2+25x と、直線 y=k との位置関係を調べるような解き方になりますが
・3点で交わる … 異なる実数解X,Y,Zが存在する
・極で接する … 重解と異なる実数解が存在する
・変曲点で接する … 3重解 ※今回はなし
という対応ですから、殆ど同じこと。
No.11560 - 2010/09/15(Wed) 22:44:50
★ 曲線で囲まれる面積（積分） / meta
C[1]:y=x^2/2上の点P(√3,3/2)がある。
また、x軸上の点(α,0)(ただしα>√3)でx軸に接し、点PでC[1]にも接する円C[2]がある。
C[1]とC[2]とx軸で囲まれる領域の面積を求めよ。

C[1]とC[2]の共通接線を引いて求める領域の面積を２分割する方法でやっているのですが、共通接線,C[2],x軸で囲まれる部分の領域の面積がどうしても求まりません。

教えてください！よろしくお願いします。
No.11544 - 2010/09/15(Wed) 03:29:48
☆ Re: 曲線で囲まれる面積（積分） / 七
共通接線,x軸,それぞれとC[2]との接点とC[2]の中心を結んでできる四角形の面積から扇形の面積を引いて求めればいいのでは？
No.11545 - 2010/09/15(Wed) 11:06:22
☆ Re: 曲線で囲まれる面積（積分） / meta
はい、そのとおりなのですが、その四角形と扇形の面積の求め方を教えていただきたいのです。

具体的に言いますと、αの値や円の中心の座標などをどのように求めればよいか教えてください。
No.11553 - 2010/09/15(Wed) 17:19:00
☆ Re: 曲線で囲まれる面積（積分） / angel
こんなふうに図を描いてみましょう。
まず、角θは、Pにおける接線なり法線なりの傾きが分かれば、そこから調べることができますね。
そうすれば、Pのy座標というのは、図中の r ( 円の半径 ) とθを用いて、r(1+sinθ) と表せるので、r を求めることができます。
扇形の中心角も、θから直ぐに分かりますね。
No.11559 - 2010/09/15(Wed) 22:35:08
★ ラジアンってなに？ / mazenda
はじめまして。高３の数学?Vの問題で質問させてください。
f(x)=x+2cosx (0≦x≦π)の最大値、最小値を答えよという問題です。
微分したf(x)=1-2sinxで　増減表より
f(0)=2
f(Π／6)=(Π／6)+3
f((5/6)π)=(5/6)π-√3
f(Π)=π-2　　のそれぞれの値が求まった後　大小比較して
最大値と最小値きめるのですがその先がわかりません。

（Π／6)+3＞π-2
　(5/6)π-√3>2 .........?@
と解答はなっていて

（Π／6)+3が最大値
　(5/6)π-√3が最小値

?@の大小比較が全くわかりません。
ラジアン＋実数がなにをあらわすんでしょうか？
（これが一番の疑問です。）
どうやったら大小が比較できるのでしょうか？
よろしくおねがいします。
No.11538 - 2010/09/14(Tue) 23:11:46
☆ Re: ラジアンってなに？ / ToDa
(5/6)π-√3 ≒ (5/6)×3.141592 - 1.7320508なので……
というのでは答えにはなりませんかね？

---
三角関数の微分まで進んでいるということは、それまでの段階で弧度法を学んでいるということになります。

弧度法が出てくるまでは、角度は度数法で表していました。それまでの三角関数というものは、sin30°だのcos120°だの、度数法で表された角度を定義域として持つ関数でした。

ところが、弧度法というものが登場した時に、sin(π/6)だの、cos(2π/3)だの、「°」の記号が付かないただの実数値を三角関数の定義域として使ってもよいということになったわけですが、なんで今まで「°」を使うように約束されていたルールを無視してもいいのか、という疑問は湧きませんでしたか？　そうでなくても、なんで弧度法なんて新しいものを持ち出す必要があるのか、とは思いませんでしたか？　(思いませんでした、と言われたら困るのですが…)その疑問はどうやって解決しましたか？

＃分かり辛いようでしたら、この書き込みは丸ごと無視しちゃってください。
No.11540 - 2010/09/15(Wed) 00:06:14
☆ todaさん返答ありがとうございます。 / mazenda

πは3.14をすっかりわすれていました。
あとラジアンって単位が混乱のもとなのは間違いありません。

返信にあったような疑問がどんどんふくらみます。
角度（°）が実数値に置き換わった変遷がぜんぜんわかりません。

もしヒントがおありでしたら、ぜひアドバイスおねがいします。
自分でもグーグルで調べようとおもいます。
No.11543 - 2010/09/15(Wed) 00:37:13
☆ Re: ラジアンってなに？ / angel
こんな図ではいかがでしょう。
角度θの単位は、勿論ラジアン(rad)です。

一緒に出てくる r というのは、意味的には「長さ」
2 というのは、2倍の2ですから、意味的には倍率とか割合とか比とか。
と考えると、2 と足し算しているθの位置づけが見えてこないでしょうか。
No.11558 - 2010/09/15(Wed) 21:56:37
★ 質問です。 / ham
高３文系です。
0≦x≦2πのときcos^2x+2asinx-a-1=0の実数解の個数を求めよ。という問題です。
相互関係でsin^2x-2asinx+a=0まで変形し、t=sinx　(tは-1以上1以下)とおいてt^2-2at+a=0と考えましたが、定数aを分離できないので困っています。このまま場合分けをして進めたらいいのでしょうか？それとももっと違う解き方があるのでしょうか？教えてください。
No.11532 - 2010/09/14(Tue) 20:26:39
☆ Re: 質問です。 / rtz
そのまま進んでいいのでは？
f(t)＝t2-2at+aとして、
f(1/2)＝1/4＞0であることに注意して、グラフを考えてみてはどうでしょう。

あと、0≦x≦2πでいいのでしょうか。
t＝±1で対応するxは1個、0＜|t|＜1で対応するxは2個、t＝0で対応するxが3個になって、
ちょっと場合分けが面倒になる気も。
No.11535 - 2010/09/14(Tue) 22:49:41
☆ Re: 質問です。 / angel
> それとももっと違う解き方があるのでしょうか？
文系ということは、微分は範囲外ですかね…
方程式を、
　a=f(x)
　f(x)=(cos^2x-1)/(1-2sinx)
と変形することで、解の個数を y=a と y=f(x) の共有点の数として可視化する方法もありますが。
y=f(x)のグラフを描く時に、分数関数、三角関数の微分を使って、導関数を求める必要があります。
No.11537 - 2010/09/14(Tue) 23:11:02
★ 区分求積 / 匿名
151の問題なのですが、
全く解き方がわかりません…

宜しくお願いします。
No.11531 - 2010/09/14(Tue) 19:08:26
☆ Re: 区分求積 / ヨッシー
1+2+･･･+n＝n(n+1)/2
1^4＋2^4＋･･･n^4＝n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30
より、
　(与式)＝lim 900n^5(n+1)^5/32n^2(n+1)^2(2n+1)^2(3n^2+3n-1)^2
　　＝lim 225n^3(n+1)^3/8(2n+1)^2(3n^2+3n-1)^2
分母子とも６次なので、６次の項の係数だけ抜き出すと、
　(与式)＝225/(8・4・9)＝25/32
No.11534 - 2010/09/14(Tue) 22:12:42
☆ Re: 区分求積 / angel
一応、「区分求積」というヒントがありますので、積分を使った形で。

良くある添付の図のような形で、短冊状の長方形の面積の和は、積分値に近づいていきます。つまり、

　lim 1/n・( f(a+1/n) + f(a+2/n) + … + f(a+k/n) + … + f(a+n/n) ) = ∫[a,a+1] f(x)dx

今回の問題では、分母・分子とも n^10 で割ってやると、
　(分母)÷n^10 = ( 1/n・( (0+1/n)^4 + (0+2/n)^4 + … + (0+n/n)^4 ) )^2
　(分子)÷n^10 = ( 1/n・( (0+1/n) + (0+2/n) + … + (0+n/n) )^5
となり、いずれも積分を用いた値に収束するため、

(与式)
= lim(分子÷n^10)/lim(分母÷n^10)
= ( ∫[0,1] xdx )^5 / ( ∫[0,1] x^4dx )^2

と計算できます。
No.11536 - 2010/09/14(Tue) 22:49:51
☆ Re: 区分求積 / 匿名
ご説明ありがとうございます！

1つ目の解法の方で
1^4＋2^4＋･･･n^4＝n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30
とありますが、これはどのように出したものなのでしょうか?

また、2つ目の方で｢分母・分子とも n^10 で割る｣
とありますが、これに気づくコツ(?)のようなものはありますか…?
No.11539 - 2010/09/14(Tue) 23:44:01
☆ Re: 区分求積 / ToDa
＞1つ目の解法の方で
＞1^4＋2^4＋･･･n^4＝n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30
＞とありますが、これはどのように出したものなのでしょうか?

とりあえずヒント。

数列の項で、
1^2 + 2^2 + … + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
という公式を習いますが、さて、これはどのように証明したか覚えていますか？　それの応用です。
No.11541 - 2010/09/15(Wed) 00:10:51
☆ Re: 区分求積 / angel
> 気づくコツ(?)のようなものはありますか…?
「区分求積法」とあるので、1/n・f(a+k/n) の形を作るのが、コツと言えばコツでしょうか。なお、問題によっては、細部が変わってくることも。( 1/n・f(a+(k-1)/n) とか )

今回は、1^4+2^4+…+n^4 の形を見て、

　1^4+2^4+…+k^4+…+n^4　　※一般化のため、kを勝手に追加
　= n^4・( (1/n)^4+(2/n)^4+…+(k/n)^4+…+(n/n)^4 )
　= n^5・1/n・( (1/n)^4+(2/n)^4+…+(k/n)^4+…+(n/n)^4 )

といった感じ。
No.11542 - 2010/09/15(Wed) 00:17:07
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