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関数 / ラビ
もう一問お願いします。過去の入試問題です。関数が苦手なのでわかりやすく教えてください。よろしくお願いします。
図2は放物線y=4/9x^と直線y=4の交点をA,Bとし、Aを通る直線と放物線、x軸との交点をそれぞれC、Dとします。また、点Bから∠ABOの二等分線を引き、直線ACとの交点をEとします。AC:CD=3:1のとき、次の問に答えなさい。(^は二乗です)
(1)直線ACの式を求めなさい。
(2)三角形AEBの面積を求めなさい。
答えは、(1)y=-2/3x+2
(2)36/7 です。

No.9564 - 2010/01/28(Thu) 10:15:09

Re: 関数 / らぴ
ACを通る直線をmとすると
m:y=m(x+3)+4とおける

Cのx座標を求めると

m(x+3)+4=4/9x^2
⇔x=(9/4)m+3

Dのx座標を求めると

m(x+3)+4=o⇔x=-3-4/m

A,Cからx軸への垂線の足をA',C'とすると
AC:CD=A'C:C'D=3:1

よって
(9/4)m+6:-4/m-(9/4)m-6=3:1
⇔m=-2/3,-2

よってy=(-2/3)x+2,y=-2x-2
図よりy=(-2/3)x+2が適。

直線OBをL
Lとmの交点をFとし、Fの座標を求めると
F(1,4/3)よりBF=10/3となるので

AB:BF=6:10/3=9:5
角の2等分線の性質よりAB:BF=AE:EF

?僊EBと?僊BCは高さが等しいので面積比=底辺の比 
よって?僊EB=(9/14)?僊BC=(9/14)×8=36/7

No.9577 - 2010/01/28(Thu) 23:00:02

Re: 関数 / ラビ
ありがとうございました。よくわかりました。
No.9586 - 2010/01/29(Fri) 08:45:12
図形−三平方の定理 / ラビ
中3です。図2はAB=6cm、BC=4cm、∠ABC=90度の直角三角形ABCの辺AC、辺BCの中点をそれぞれD、EとしAEとBDの交点をFとしたものです。このとき、DFの長さを求めなさい。
答えは、√13/3cmです。解き方を教えてください。お願いします。

No.9563 - 2010/01/28(Thu) 09:34:23

Re: 図形−三平方の定理 / moto
概略です

中点連結定理より、
 DE//AB,DE=(1/2)AB=3

三平方の定理より
 DB=√13

△DEF∽△BAF、相似比1:2 より
 DF=(1/3)√13

No.9568 - 2010/01/28(Thu) 16:54:33

Re: 図形−三平方の定理 / ラビ
わかりやすい説明ありがとうございました。
No.9573 - 2010/01/28(Thu) 20:56:18
大学複素関数 / maria
f(z)が整関数で|f(z)|≦e^x(z=x+iy)が任意の複素平面で成り立つときf(z)=ae^z(aは複素定数、|a|≦1)を示すためにリュービルの定理を使うそうなのですが、使い方が分かりません。どのように証明すればよいのでしょうか。
No.9560 - 2010/01/28(Thu) 01:24:04

Re: 大学複素関数 / ぽけっと
与えられた不等式の両辺に|e^(-z)|を掛けるだけです.
|f(z)e^(-z)|≦1
となり, Liouvilleからf(z)e^(-z)≡a (aは絶対値が1以下の定数)です.

これより言えます.

No.9561 - 2010/01/28(Thu) 02:12:13

Re: 大学複素関数 / maria
ありがとうございました。
No.9583 - 2010/01/29(Fri) 01:06:27
小学生の速さの問題です / ゆき
速さがすごく苦手なので、教えてください。よろしくお願いします。
ある電車の同じ場所にたかし君、あきら君、とも子さんが乗っていました。3人が乗っている場所がトンネルに入ったと同時に、たかし君は電車の進行方向と同じ向きに、あきら君は逆の向きに歩き始め、とも子さんはその場に立っていました。たかし君は、トンネルに入ってから8秒後にトンネルから出て、とも子さんよりも9m先にいました。また、あきら君はトンネルに入ってから9秒後にトンネルから出て、とも子さんよりも11m後ろにいました。このとき、次の問いに答えなさい。
?@ 電車の速さは毎秒何mですか。
   これは自信がないのですが、毎秒20mでしょうか。
?A とも子さんは、たかし君がトンネルを出てから何秒後にトンネルを出ますか。
   これがわかりません。
?B トンネルの長さは何mですか。
   これは?Aがわかれば、20×(8+?Aの答え)という式になるような気がします。

No.9558 - 2010/01/28(Thu) 00:30:01

Re: 小学生の速さの問題です / Kurdt(かーと)
おはようございます。

この問題でいちばん難しいのは?@じゃないかなと思います。
だから、?@ができていればあと一息のところまで来ていると言えます。

そして、ゆきさんの出した?@の答えは合っています。

?Aはたかし君がトンネルを出たところから考えます。
このとき、とも子さんはたかし君より 9m 後ろにいますね。

なので、電車があと 9m 先に進めばとも子さんはトンネルを出ます。
電車の速さは秒速20mなので、電車があと 9m 進むのにかかる時間は 9÷20=9/20 秒ですね。

したがって、とも子さんがトンネルを出たのは、
たかし君がトンネルを出た 9/20 秒後となります。

?Bはゆきさんが考えた式でちゃんと答えが出ます。
答えは 169m になりますね。

No.9562 - 2010/01/28(Thu) 07:59:54

Re: 小学生の速さの問題です / ゆき
ありがとうございます。
No.9570 - 2010/01/28(Thu) 20:25:11
平面図形の問題です / rino
こんばんわ。図形の問題がどうしてもわからなかったので、教えてください。
次の図の三角形ABCの面積を求めなさい。ただし、AB=ADとします。

No.9557 - 2010/01/28(Thu) 00:22:36

Re: 平面図形の問題です / ぽけっと
AからBDに垂線を下ろしてみましょう.

その足をHとすれば, 三平方の定理からAH=6です.

高さが分かったので面積も分かりますね.

No.9559 - 2010/01/28(Thu) 01:09:06

Re: 平面図形の問題です / rino
すみません。小学生なので、三平方の定理はわかりません。他にはどうやったら解けるのですか?
No.9571 - 2010/01/28(Thu) 20:26:24

Re: 平面図形の問題です / Kurdt(かーと)
こんばんは。

辺の比が 3:4:5 の直角三角形を利用させる問題かもしれませんね。

    A
??
B   C

有名な直角三角形として辺の比が 3:4:5 のものがあります。
もちろん一番長い辺は直角と向かい合う辺AB(斜辺)です。

このとき、もし BC=4cm , CA=3cm だったりすると、
BC:CA=4:3 となっていることから、
これが 3:4:5 の直角三角形とわかり AB=5cm とできます。

同じように AB=10cm , BC=6cm であれば、
AB:BC=5:3 となっていることから、
3:4:5 の直角三角形とわかり CA=8cm となります。

質問の問題も BD と垂直になるように A から辺を下ろし、
その辺と BD との交点を H とすると、3:4:5 の直角三角形ができます。

直角三角形AHC に注目すると、HC=8cm , AC=10cm なので、
これが 3:4:5 の直角三角形だとわかりますね。
したがって、AH=6cm というふうに直角三角形の高さがわかります。

No.9578 - 2010/01/28(Thu) 23:06:10

Re: 平面図形の問題です / rino
それは知りませんでした。よく出る形なんですね。しっかり覚えておきます。ありがとうございました。
No.9602 - 2010/01/30(Sat) 23:03:28
高1 放物線とx軸の共有点の位置 / あつき
よろしくお願いします。

放物線y=x^+ax+2と直線y=x+1が相異なる2点で交わり、
それらのx座標がともに−2と2の間であるような定数aの
値の範囲を求めよ。

No.9554 - 2010/01/27(Wed) 19:03:13

Re: 高1 放物線とx軸の共有点の位置 / ヨッシー
両者を連立させて、yを消去した
 x^+ax+2=x+1
が、-2<x<2 の範囲に2つの異なる実数解を持つと考えます。

こういう問題で考えるのは
 判別式
 軸の位置
 境界線上の値
の3つです。境界線というのは、この場合、x=-2 と x=2 です。

 判別式>0
 -2<軸の位置<2
 x=-2 で正 かつ x=2 で正
の3つで解けます。
このどれかひとつでも満たさないと、範囲外に解がある可能性が
あることはグラフを描いて確認してください。

No.9555 - 2010/01/27(Wed) 22:16:43

Re: 高1 放物線とx軸の共有点の位置 / あつき
ありがとうございます。
よく理解できました。

No.9556 - 2010/01/27(Wed) 23:08:58
連立方程式の応用 / ラビ
中三です。お願いします。
毎分aリットル排水できるポンプAと毎分45リットル排水できるポンプBがある。午前10時にAとBの2つのポンプを同時に用いて、900リットルの水の入った水槽から排水を始めた。ところが、t分後にポンプBが故障してしまったので、その後はポンプAだけを用いて排水を続けた。その結果、水槽が空になるのは午前11時30分となる見込みになった。 (1)tをaで表しなさい。

(2)実際は、ポンプBを修理し、午前11時14分から再び2つのポンプで排水した。その結果、午前11時24分に水槽は空になった。a,tの値を求めなさい。
答えは(1)t=-2a+200 (2)a=75,t=50です。解き方を教えてください。
 

No.9550 - 2010/01/27(Wed) 09:39:36

Re: 連立方程式の応用 / moto
★問題は正確に!
?@水槽が900リットルだと、(1)t=−2a+20,(2)a=75,t=−130
?A水槽が9000リットルだと、(1)t=−2a+200,(2)a=75,t=50

★以下水槽が9000リットルだとした場合の参考です。
 ポンプA:排水能力a(リットル/分)
 ポンプB:排水能力45(リットル/分)
●個別に稼働時間を考える
(1)見込みのとき
 A:10時00分〜11時30分[90(分)]
 B:10時00分〜10時t分[t(分)]
  90a+45t=9000
(2)実際のとき
 A:10時00分〜11時24分[84(分)]
 B:10時00分〜10時t分,11時14分〜11時24分[t+10]・・・0<t<74
  84a+45(t+10)=9000
(1)とともに、(a,t)の連立方程式として解く

★計算確認[?@のときと?Aのとき]
?@見込:75*90+45*(−130)=900,実際:75*84+45*(−130+10)=900
?A見込:75*90+45*50=9000,実際:75*84+45*(50+10)=9000

No.9552 - 2010/01/27(Wed) 16:24:42

Re: 連立方程式の応用 / ラビ
9000リットルでした。すみません。よくわかりました。ありがとうございます。
No.9553 - 2010/01/27(Wed) 16:46:55
式の計算 / ラビ
中3です。2問わからないので教えてください。
(1) 1/a+1/b=1/cをaについて解け。答えはa=bc/b-cですが、解き方を教えてください。

(2) 1/√5+2 +1/√5-2 を計算しなさい。
    答えは2√5です。こちらも解き方を教えてください。よろしくお願いします。

No.9543 - 2010/01/26(Tue) 08:45:07

Re: 式の計算 / だるまにおん
(1)
1/a+1/b=1/c
1/a=1/c-1/b
   =(b-c)/(bc) (通分)
a=(bc)/(b-c) (逆数を考える)
(2)
1/(√5+2)+1/(√5-2)
={(√5-2)+(√5+2)}/{(√5+2)*(√5-2)} (通分)
=(2√5)/(5-4)
=2√5

No.9544 - 2010/01/26(Tue) 10:17:16

Re: 式の計算 / ラビ
ありがとうございます。
1/a=1/c-1/b
   =(b-c)/(bc) ここがどうしてこうなるのかわかりません。すみませんが教えてください。

No.9546 - 2010/01/26(Tue) 11:55:49

Re: 式の計算 / だるまにおん
No.9544に書いたとおり、通分したんです。
通分はしってますよね?

No.9547 - 2010/01/26(Tue) 12:20:17

Re: 式の計算 / ラビ
わかりました。ありがとうございます。
No.9548 - 2010/01/26(Tue) 12:28:48
教えてください?ォ / 高3
曲線C:(x^2/a^2)−(y^2/b^2)=1上の点をP(p,q)とし、原点をOとする。また、線分OPを直径とする円と曲線Cの2つの漸近線との交点をそれぞれQ,Rとする。ただし、a,bは正の定数とする。2つの線分PQ,PRの長さをそれぞれd,d'とするとき、積dd'は点P(p,q)の位置によらず一定であることを示せ。
No.9538 - 2010/01/25(Mon) 21:56:55

Re: 教えてください?ォ / ヨッシー
漸近線の式は、y=±(b/a)x であり、
OPは円の直径なので、∠OQP=∠ORP=90°です。
よって、d、d’は、点(p,q) から、y=±(b/a)x までの
距離ということになります。

漸近線の式は、ay±bx=0 と書けるので、
距離の公式より
 d^2=(aq−bp)^2/(a^2+b^2)
 d’^2=(aq+bp)^2/(a^2+b^2)
よって、
 (dd’)^2=(a^2q^2−b^2p^2)^2/(a^2+b^2)^2
点Pは、漸近線C上の点なので、
 b^2p^2−a^2q^2=a^2b^2
よって、
 (dd’)^2=(-a^2b^2)^2/(a^2+b^2)^2
  =a^4b^4/(a^2+b^2)^2 ・・・(一定)
となります。

No.9541 - 2010/01/26(Tue) 05:44:54
ふと思ったのですが。 / ハオ
球の体積を微分すると球の表面積(4πr^2)を得ます。
球の表面積を微分すると8πrが得られますが、この8πrの持つ数学的な意味は何でしょうか?何か意味がありそうな気がしてなりません。ご教授願います。

No.9535 - 2010/01/25(Mon) 21:18:13

Re: ふと思ったのですが。 / ヨッシー
数学的というか、図形的に無理やりこじつけるなら、
球の表面積は、その球がピッタリ納まる円柱(底面の半径r、
高さ2r)の側面積と等しいのですが、
この側面積は、展開すると、2r×2πr の長方形になります。
πがついているとややこしいので、1/π 倍に縮めて
2r×2r の正方形にします。この面積を求めるに当たって、
正方形の周の長さ 8r を積分して、4r^2 となったと考えると、
8r が出てきます。

2r×2πr の長方形で考えると、微小変化量は8πrになるのですが、
周の長さと対応させられないので、(縦と横で、r の変化に対する
変化量が違うので)正方形に直してみました。

No.9542 - 2010/01/26(Tue) 06:07:41

Re: ふと思ったのですが。 / √
> 球の表面積は、その球がピッタリ納まる円柱(底面の半径r、
> 高さ2r)の側面積と等しいのですが、
> この側面積は、展開すると、2r×2πr の長方形になります。


これを初めて知り感動しました。

「円柱の内接球の表面積は、その円柱の側面積に等しい」
ので
「地球の表面積を、長方形の面積として表すことができる」ので、
円筒図法(メルカトル図法)はコレを利用したものだったのですね?

No.9623 - 2010/01/31(Sun) 23:56:52
速さの問題です / ユキ
よくわからないので、考え方もふくめて教えてください。

長さ210mの普通列車が、鉄橋をわたりはじめてからわたり終わるまでに50秒かかりました。同じ鉄橋を、長さ290mの急行列車が普通列車の1.5倍の速さでわたったら、わたりはじめてからわたり終わるまでに36秒かかりました。普通列車の速さは時速何kmですか。

No.9534 - 2010/01/25(Mon) 20:59:08

Re: 速さの問題です / ヨッシー
もし、急行列車が、普通列車と同じ速さで進んだら、何秒かかるかを考えて見ましょう。
No.9537 - 2010/01/25(Mon) 21:24:49
大学数学積分 / raruku
広義積分の問題なんですが、わからないので教えてください。

∫_{1}^{∞} sinx/(x^2) dx
この積分の収束か発散を調べる問題です。

No.9533 - 2010/01/25(Mon) 17:55:57

Re: 大学数学積分 / だるまにおん
|sinx/x^2|≦1/x^2 優関数をかんがえましょう。
No.9545 - 2010/01/26(Tue) 10:25:00

Re: 大学数学積分 / raruku
ありがとうございます。
-1≦sinx≦1を利用するんですね。
理解できました。

No.9551 - 2010/01/27(Wed) 11:16:30
高校入試 / Aki
正の整数から2の倍数、3の倍数、5の倍数を除いて、残った倍数を小さい数から並べていく。

(1) 1から160までの中で残った数はいくつか。また、その総和はいくらか。

(2) 残った数で100番目の数はなにか。

と、言う問題が分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

No.9531 - 2010/01/25(Mon) 17:16:45

Re: 高校入試 / Aki
訂正です。
問題で、残った倍数ではなく、正しくは、残った数です。

すいません。

No.9532 - 2010/01/25(Mon) 17:18:30

Re: 高校入試 / ヨッシー
(1)
2,3,5の最小公倍数は30ですので、
たとえば、1は残る数のひとつですが、これに30を次々に加えた
31,61,91 なども残る数です。
7,37,67,97・・・
11,41,71,101・・・
も同様です。
このことから、1から30までの数で、残った数の個数と
31から60までの数で、残った数の個数とは同じとわかります。
61から90まで、91から120まででも同じです。

1から30までで残る数は、
 1,7,11,13,17,19,23,29
の8個で、合計は120です。
31から60まででは、個数はやはり8個で、合計は
1個1個の数が、1から30のときより30ずつ大きいので、
 120+240=360
となります。

1から160では
 120+360+600+840+1080=3000
が、1から150までの合計で、あと151,157を加えて、
3308 となります。

(2)
 100÷8=12 あまり4
なので、30×8=240 までに、残った数は 8×12=96(個)
あり、241,247,251,253 が100番目です。

No.9536 - 2010/01/25(Mon) 21:18:22

Re: 高校入試 / Aki
ヨッシーさんありがとうございます。

(2)は、100番目は373ではないでしょうか?
30×8ではなく、30×12で、360までに96コあると思うのですが、どうですか??

No.9539 - 2010/01/25(Mon) 22:19:13

Re: 高校入試 / ヨッシー
あ、そうですね。
すみません。

No.9549 - 2010/01/26(Tue) 23:17:48
ある中学入試の問題 / rino
はじめまして。ある中学入試の問題だそうです。最後の問題がわからないので、教えてください。

ある小学校では、6年生が126人います。男子と女子の比は5:4です。6年生に対してめがねの調査を行いました。その結果は、めがねをかけている男子はめがねをかけている女子の2倍で、めがねをかけていない女子はめがねをかけている女子の7倍でした。

?@ 男子は何人いますか。
   これは70人で間違いないと思います。
?A めがねをかけていない男子とめがねをかけていない女子の人数の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。
   これは、8:7じゃないかなあと思います。
?B 半年後、同じ6年生に2回目のめがねの調査を行いました。その結果は、めがねをかけている男子はめがねをかけている女子の2倍で、めがねをかけていない男子は、めがねをかけていない女子の比は9:8になりました。めがねをかけていない女子は何人になりましたか。
   これがわかりません。教えてください。お願いします。

No.9526 - 2010/01/24(Sun) 17:42:54

Re: ある中学入試の問題 / Kurdt(かーと)
こんばんは。

(1)と(2)は合っています。

(3)
メガネありを有、メガネなしを無で書くことにします。
まず、有男:有女=2:1 ということがわかっています。
そこで、有男→?A、有女→?@ と書くことにします。

また、無男:無女=9:8 ということもわかっています。
そこで、無男→[9]、無女→[8] と書くことにします。

ところで、男子の人数は70人で、女子は56人でした。
これらをもとに男女の人数をメガネの有り無しで分けた線分図を書いてみます。
      70人
├─┼─┼───────────┤ 男子 (図1)
  ?A      [9]
       56人
  ├─┼─────────┤   女子 (図2)
   ?@     [8]
男子から女子を引いてみます。
  14人
├─┼──┤ (図3)
 ?@ [1]
今度は図2からさらに図3を引きます。
    42人
├────────┤ (図2)−(図3)
    [7]
ここから [1] は6人ということがわかります。
メガネをかけていない女子の数は [8] なので、6×8=48人ですね。

No.9527 - 2010/01/24(Sun) 21:27:30

Re: ある中学入試の問題 / rino
ありがとうございます。よくわかりました。
No.9540 - 2010/01/25(Mon) 22:34:23
収束or発散 / apfel
次のanについてΣanは収束するか?

an=sin(1/n)
an=sin^2(1/n)

よろしくお願いします

No.9525 - 2010/01/24(Sun) 15:49:34

Re: 収束or発散 / 我疑う故に存在する我
正の定数 A, B が存在して
0 ≦ x ≦ 1 の時
Ax ≦ sin x ≦ Bx
となるから、比較判定法により、
前半は発散、後半は収束

No.9529 - 2010/01/24(Sun) 21:54:09
方程式の解 / レイトン
一元三次方程式方程式はどのように求めるのでしょうか?
No.9521 - 2010/01/24(Sun) 12:22:07

Re: 方程式の解 / ヨッシー
こちらをご覧ください。
No.9524 - 2010/01/24(Sun) 15:49:27
(No Subject) / レイトン
三乗根の求め方
No.9520 - 2010/01/24(Sun) 12:20:02

Re: / ヨッシー
こちらをご覧ください。
No.9523 - 2010/01/24(Sun) 15:48:58
特異二重積分 / 123
∫∫dxdy/√(y-x)
(0≦x≦y≦1)
の積分についてy=xで無定義なのですが、どのように積分すればよいのでしょうか??

No.9517 - 2010/01/24(Sun) 00:36:00

Re: 特異二重積分 / X
広義積分として計算します。
(与式)=∫[x:0→1]∫[y:x→1]{1/√(y-x)}dydx
=∫[x:0→1]{lim[t→x+0]∫[y:t→1]{1/√(y-x)}dy}dx
=…

No.9518 - 2010/01/24(Sun) 05:39:16
受験生 / nao
整数の2乗を7で割ったあまりは0.1.2.4.にかぎられることをしめせ

どのような整数nにたいしてもn^2+n+3は7で割
り切れないことを示せ


がぜんぜんわかりません

No.9512 - 2010/01/23(Sat) 19:41:56

Re: 受験生 / X
一問目)
あまりスマートではないですが問題の整数をnとして
(i)n=7kのとき
(ii)n=7k+1のとき
(iii)n=7k+2のとき
(iv)n=7k+3のとき
(v)n=7k+4のとき
(vi)n=7k+5のとき
(vii)n=7k+6のとき
(いずれの場合もkは0または自然数)
に場合分けしてn^2を計算してみましょう。

No.9515 - 2010/01/23(Sat) 21:20:48

Re: 受験生 / X
二問目)
n^2+n+3=n^2-6n+7n+3
=(n-3)^2+7n-6
=(n-3)^2+7(n-1)+1
と変形し一問目の結果を使います。

No.9516 - 2010/01/23(Sat) 21:32:17
(No Subject) / 微分
aを0でない実数とする。2つの曲線y=eのx乗およびy=ax^2の
両方に接する接線の本数を求めよ。

お願いします

No.9509 - 2010/01/23(Sat) 10:53:28

Re: / X
途中まで。

y=e^x (A)
よりy'=e^x
∴(A)上の点(t,e^t)における接線の方程式は
y=(e^t)(x-t)+e^t (B)
(B)と
y=ax^2 (C)
との交点のx座標について
(e^t)(x-t)+e^t=ax^2
∴ax^2-(e^t)x+(t-1)e^t=0 (D)
よって
「(D)の解の判別式をDとすると(B)(C)が接するためには
D=e^(2t)-4a(t-1)e^t=0 (E)」
∴問題はtの方程式(E)の実数解の個数を求めることに帰着します。
ここで(E)より
{e^t-4a(t-1)}e^t=0
e^t-4a(t-1)=0
∴(e^t)/{4(t-1)}=a
そこで
f(t)=(e^t)/{4(t-1)}
と置き、…

(接する条件として「」内の条件を使うことがこの問題を簡単に解くポイントだと思います。)

No.9513 - 2010/01/23(Sat) 21:16:17
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