ｎを正の整数とするとき，次の各問いに答えよ。 (1)平面上の3点(0,0),(n,0),(0,n)を頂点とする三角形内(周を含む)にある格子点の個数を求めよ。
(2)空間内の4点(0,0,0),(n,0,0),(0,n,0),(0,0,n)を頂点とする四面体内(表面を含む)にある格子点の個数を求めよ。
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No.9696 - 2010/02/06(Sat) 14:05:51
| ☆ Re: お願いします。 / ヨッシー  | | | (1)
図は、n=1 と n=2 の時の図ですが、
n=1 の時は、１＋２＝３
n=2 の時は、１＋２＋３＝６
となっており、一般には、
1+2+3+･･･+n+(n+1)＝(n+1)(n+2)/2 (個)
となります。
(2)
ｘｙ平面に平行な平面で、ｚ座標が整数のもので、
この四面体を切ると、そこに存在する格子点は、
ｚ座標の大きいものから順に
１個
１＋２＝３(個)
１＋２＋３＝６(個)
・・・
1+2+3+･･･+n+(n+1)＝(n+1)(n+2)/2 (個)
となります。これらの合計は
Σk=1〜(n+1)k(k+1)/2
＝(1/2)Σk=1〜(n+1)(k^2＋k)
＝(1/2){(k+1)(k+2)(2k+3)/6＋(k+1)(k+2)/2}
＝(1/12)(k+1)(k+2)(2k+3+3)
＝(1/6)(k+1)(k+2)(k+3)
となります。
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No.9697 - 2010/02/06(Sat) 14:59:39 |
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