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★ 積分の問題 / ais
先生からの問題なのですが、

∫[α〜β]（x-α）(x-β)dx=-1/6(β-α)'3
であることを用いて、次の曲線や、直線で囲まれた図形の面積を求めよ。

(1y=x'2、x軸、x=-1、x=2
(2)y=x'2+1、x軸、x=-2、x=1
(3)y=4-x'2、x軸

という問題なのですが、理解不能です...

公式(?)をどう使うかさえ分かりません。
お手数ですが、(1)~(3)の解答・解説をお願いいたします。

明日の授業までなので、時間がないです。

高校二年です

No.12035 - 2010/10/25(Mon) 00:46:43
☆ Re: 積分の問題 / X
(1)(2)は問題の公式を使う必要はありません。
使うとしたら(3)です。
(3)
y=4-x^2のグラフとx軸との交点のx座標は-2,2。
求める面積をSとするとグラフの形状に注意して
S=∫[-2→2](4-x^2)dx=-∫[-2→2](x+2)(x-2)dx
=…
(ここに問題の公式を使うと…。)

この公式は普段問題を解くときに証明なしでは使えませんが
(3)のように放物線及びこれと交点を持つ直線とで囲まれた
領域の面積を求める際に検算として使うことができます。
又α、βの具体的な値が複雑な場合に、解と係数の関係を絡めて
使う場合もあります。
頭に入れておいて損はないと思います。
No.12036 - 2010/10/25(Mon) 07:03:26
☆ Re: 積分の問題 / ais
ありがとうございます。

でも、先生から「使え」とのことで...

１，２も使えないわけではないのなら、教えてください。

わがまま言ってすいません。
お願いします。
No.12037 - 2010/10/25(Mon) 07:15:30
☆ Re: 積分の問題 / ais

先生の勘違いだったみたいです。

お手数かけました。
ありがとうございました。
No.12039 - 2010/10/25(Mon) 12:13:10
☆ Re: 積分の問題 / 七
先生の勘違いとのことですが
先生が勘違いされたのはご自分では(1),(2)などでも
その公式を使って計算されているからではないかな？
僕は(1),(2)などの面積計算で,よく使いますよ。
No.12041 - 2010/10/25(Mon) 18:51:15
☆ Re: 積分の問題 / X
＞＞七さんへ
七さんが使われている方針とは(大雑把ですが)
直線と放物線で囲まれた図形の面積を
これを含む台形の面積から差し引く
という考え方でしょうか？。
そうだとすると、(3)を(1)に入れ替えて他の2問を
この方針に誘導するように配慮するんじゃないかと
考えたりします。
No.12042 - 2010/10/25(Mon) 19:22:33
★ B関数について / okakakao
　　　　　　 1
B関数、B(x,y)=∫t^(x-1)×(1-t)^(y-1)dt
0
の諸性質のひとつに
∞
B(x,y)=∫{t^(y-1)/(1+t)^(x+y)}dt
　　　　0
というものがあり確認の計算を行ったのですが、積分範囲について疑問があり、質問させていただきました。

自分のやった方法は、t=-1+1/sと置換して計算を行い最終的に
1
∫s^(x-1)×(1-s)^(y-1)dsの形にするものでした。
0
しかし、t=-1+1/sと置換するとt:0→∞のとき、s:1→+0となってしまい、sが→-0の証明ができませんでした…

よろしくお願いします。
No.12032 - 2010/10/24(Sun) 22:30:30
★ 場合の数 / 高２
８個の異なる形のケーキを３人に分配する方法は何通りあるか。
ただし、どの人も１個はもらうものとする。

3^8まではわかります。
でも、どの人も１個はもらうものとする、
という考え方はどうしたらよろしいでしょうか。
No.12031 - 2010/10/24(Sun) 22:20:40
☆ Re: 場合の数 / rtz
2人だけしかもらっていない場合と
1人占めの場合をのぞけばいいですね。
No.12034 - 2010/10/24(Sun) 23:13:18
★ 物理（エネルギと仕事）についてです / ハオ
滑らかで水平な床の上に長さl 質量Mの平たくて均質な板が置いてある。この板の上に静止している人が質量ｍ’の球を床に対する速さuでは水平に投げるには、どれだけのエネルギーを必要とするか。　という問いなのですが、
僕はこの問いに
エネルギーと仕事の関係を用いて
人がある仕事をしたので　人と板と球がある運動エネルギーを得た　と立式しました。

こうすると問題文のどれだけのエネルギーを要するか。に違和感を覚えます。正確には　どれだけの仕事をするか？
ではないのでしょうか？　
No.12029 - 2010/10/24(Sun) 17:27:01
☆ Re: 物理（エネルギと仕事）についてです / angel
「仕事」というのは、力学的に遣り取りされる「エネルギー」ですから、「エネルギーを要する」でも別に問題はないと思います。
単位も一緒で、J(ジュール) ですしね。
No.12030 - 2010/10/24(Sun) 22:04:18
☆ Re: 物理（エネルギと仕事）についてです / ハオ
なるほど！
ついぞ　エネルギーと仕事の互換性の関係
いやはや　エネルギーと仕事の等価性を
忘れていました。

有難う御座います！
No.12033 - 2010/10/24(Sun) 22:50:25
★ 大学数学です / help
y={(x^2)-1}^nとおく。
このとき{(x^2)-1}y^(n+2)+2xy^(n+1)-n(n+1)y^n=0を示せ。
ただしy^nはyのn次導関数とする。

ライプニッツの定理を使うようですがよく分かりません。
どうかお願いします。
No.12028 - 2010/10/24(Sun) 15:14:08
★ センター試験過去問2008年度数?UＢ第１問 / Kay(高３女子)
センター試験２００８年度数学?UＢの第１問ですが、（４）の設問の意味が分かりません。解説なども見てみたのですが、「正の周期のうち最小のものが４π」よりという部分が理解できないのです。「正の」周期があれば「負の」周期もあるのかとか、「最小のものが４π」ならば「次に小さいのは８π」なのか」とかいろいろ考えましたが行き詰まっています。

解説を見ても分からない程度ですので、何卒詳しい説明をお願いいたします。

添付したファイルは電送数学舎さまのホームページからダウンロードしたものです。
No.12022 - 2010/10/23(Sat) 10:11:17
☆ Re: センター試験過去問2008年度数?UＢ第１問 / Kay(高３女子)
問題が添付できていなかったので、添付致しました。
よろしくお願いします。
No.12023 - 2010/10/23(Sat) 10:12:48
☆ Re: センター試験過去問2008年度数?UＢ第１問 / ToDa
周期云々について、正確な語の定義よりも、つまるところはこの出題者が何を言いたいのかということを考えてみてください。

たとえばxの関数sinxについて考えてみると、その周期は、2π、4π、6π……や、ほかにも
-2π、-4π、-6π……と、まあ無数にあるわけです。
これらの中で特に2πについて言及したい場合は、それを「正の周期のうち最小のもの」と表現しているのだ、ということを掴みましょう。
No.12025 - 2010/10/23(Sat) 14:02:56
☆ Re: センター試験過去問2008年度数?UＢ第１問 / angel
まずは問題文に分からない表現があり、先に進み辛いというところでしょうか。
日常会話で使うような日本語とは違い、数学では、特に問題として提示される文章では、曖昧な解釈をされないように表現をより厳密にする傾向があります。今回引っかかっているところも、そういったところから出ているように見えます。

こうした細かい点に気がつくのは良い事だと思います。しかし、拘りすぎて自縄自縛に陥るのは勿体無いと思います。

今回は「周期」についての解釈のお話になるかと思います。

ご存知の通り、sinx や cosx といった関数は、「周期」2πの関数です。おそらく、グラフに描いた場合に、同じ形状が延々一定間隔で繰り返されるイメージはあるかと思います。

このことを数式で表現するとすれば、つまり、sin,cos に限らず、周期2πの関数 f(x) の持つ性質を表すとすれば、

　任意の x に対して f(x+2π)=f(x)

です。
更に一般化すれば、周期 C というのは、「任意のxに対して f(x+C)=f(x)」ということになります。

しかしながら、実はこれだけでは曖昧なこともあります。
例えば、f(x)=sinx の場合、
　f(x+2π)=f(x)
でもありますが、同時に、f(x+4π)=f(x), f(x+6π)=f(x), … でもあるからです。
2π毎に同じ値をとるのであれば、その間隔を広げて4π毎にしたって、同じ値をとることには変わりはないのです。
つまり、上述の“C”にあたる値は幾通りもあることになります。

そうすると、より厳密さを求める場面では、
　任意のxに対して f(x+C)=f(x)が成立するような最小のC
でしょうか。
しかし、元々の“C”にあたる値は負の値もとりえますから、まだ不十分です。

結局、厳密な表現としては、
　f(x)の周期がC
　⇔ 任意のxに対して f(x+C)=f(x)が成立するような最小の正数がCである
というところに落ち着きます。

以上を鑑みると、単に「周期」といった場合、イメージするのは最後の表現で使った「最小の正数C」かもしれませんが、そう決まっている訳ではありませんから、曖昧さが生じることがあるのです。
実際問題として、「同じ値を繰り返す間隔」として「周期」を使う場合もありますから。その場合は、sinx の「周期」としては、2π以外に-2πや4πや6πといった値を持ってきても、間違いにはなりません。

ということで、そういった曖昧さを回避するために、「正」や「最小」といった文言で限定をしているのだと思います。
No.12026 - 2010/10/23(Sat) 14:30:16
☆ Re: センター試験過去問2008年度数?UＢ第１問 / angel
問題の解法としては、あまり多く言うべき事はなくて。

ある正数 k に対して、
　f(x)=sin(kx) の「周期」が C である
　⇔ C=2π/k
　※ここで言っている「周期」は「最小」で「正」のものです
というお話です。

例えば、sin(4x) ならば、x がπ/2変化しただけで、sin() の中が 2π変化して、sin自体は同じ値を繰り返しますから、周期は 2π÷4 ということになります。
つまり x の係数は逆数として働きます。

なお、k が正か負か確定していないのなら、
　C=2π/|k|
となります。
No.12027 - 2010/10/23(Sat) 14:38:11
☆ Re: センター試験過去問2008年度数?UＢ第１問 / Kay(高３女子)
ToDa様、angel様
御礼が大変遅れてしまい本当に申し訳ありませんでした。ありがとうございました！
No.12152 - 2010/11/08(Mon) 20:59:12
★ (No Subject) / ざぶざ
アルファベットは全部ベクトルです。
Ａ×（Ｂ×Ｃ）＝（Ａ・Ｃ）Ｂ−（Ａ・Ｂ）Ｃとなるが
それを実際に右辺と左辺のベクトルのｚ成分を計算して確かめよ。

という問題ですがどうやっても同じになりません。誰か教えて下さい。
No.12020 - 2010/10/22(Fri) 10:46:52
☆ Re: / rtz
「ベクトル三重積」で検索してみてください。
解説してあるサイトがヒットすると思います。
No.12021 - 2010/10/22(Fri) 19:53:38
★ 高２　三角関数 / 数学苦手マン
x,yは0°≦x≦90°、0°≦y≦90°であり、cosx＋cosy=1を満たしている。
このとき、1/2 ≦ cos(x＋y/2)≦1/√2 を示せ。

cosx＋cosy=1に和積の公式をつかったら
2cos(x＋y/2)cos(x-y/2)＝1・・・?@
x-yの取り得る範囲は、-90°以上90°以下であるから。
-45°≦(x-y)/2≦45°よって1/√2≦cos(x-y)/2≦1
?@とから、1/2 ≦ cos(x＋y/2)≦1/√2

とあるのですが
最後の【?@とから、1/2 ≦ cos(x＋y/2)≦1/√2】の部分が分かりません。
また。
【x-yの取り得る範囲は〜】の部分で
x＋yの取り得る範囲を考えるとどうなるんでしょうか？
0°≦x＋y≦180°

0°≦(x＋y)/2≦90°
このときcos(x＋y)/2は(x＋y)/2=π/2で最小となり、0で最大となりますよね？
(半径1の単位円上ではcos(x＋y)/2 (x軸)がy軸と重なる部分が最小でx座標の1の部分にcos(x＋y)/2がくればこれが最大ということですよね？；)

本当に分からなくて困っています。
誰かわかるかたおしえてください。おねがいします。
No.12015 - 2010/10/21(Thu) 20:44:05
☆ Re: 高２　三角関数 / X
>>最後の【?@とから、1/2 ≦ cos(x＋y/2)≦1/√2】の部分が分かりません。

わかりづらいのであれば少し置き換えてみましょうか。
t=cos{(x+y)/2},u=cos{(x-y)/2}
と置くと(1)は
2tu=1 (1)'
1/√2≦cos{(x-y)/2}≦1
は
1/√2≦u≦1 (2)
となり問題は(1)'(2)のときのtの値の範囲を求めることに帰着します。
ということで(1)'を用いて(2)からuを消去すると…。
No.12016 - 2010/10/21(Thu) 21:11:31
☆ Re: 高２　三角関数 / X
>>【x-yの取り得る範囲は〜】の部分で〜
確かにその通りですが、それだけでは条件式
cosx＋cosy=1
を使っていないので誤りです。
No.12017 - 2010/10/21(Thu) 21:17:59
☆ Re: 高２　三角関数 / 数学苦手マン
回答ありがとうございます。
最後にわからないところ
>>【x-yの取り得る範囲は〜】の部分で〜
確かにその通りですが、それだけでは条件式
cosx＋cosy=1
を使っていないので誤りです。

では、cosx＋cosｙ＝１を使えばx＋yから考えてもできるのでしょうか？
もしできるならどうやるのか教えてほしいです＞＜；
何度も申し訳ないです。
No.12018 - 2010/10/21(Thu) 21:38:49
☆ Re: 高２　三角関数 / X
結論から言うと、大回りになるだけです。

分かり易いようにここでも
t=cos{(x+y)/2},u=cos{(x-y)/2}
と置き換えて考えます。
このとき
cosx+cosy=1
より
2tu=1 (1)'
一方
0°≦x≦90°、0°≦y≦90°
から
0≦t≦1 (2)
1/√2≦u≦1 (3)
横軸にt、縦軸にuに取って(1)'(2)(3)を図示すると下のようになります。
この図から、(1)'(2)のときのuの値の範囲(赤の部分)が(3)の値の範囲から
はみ出ていることが分かります。
従ってtの値の範囲を求めるためには(3)の値の範囲を使う必要があり、
結局模範解答の過程に行き着きます。
No.12019 - 2010/10/21(Thu) 22:44:50
★ 数学Ａ　二項定理、事象と確率　高１ / yam
次の式の展開式における｛　｝内の項の係数を求めよ。
?@(x/2-1/x)^10 {x^2}
?A(4x^3-1/3x^2)^5 {定数項}

二項定理を用いて、次のことを証明せよ。
?B(1+1/n)^n>2 ただし　n=2,3,4,・・・・・

ＳＵＮＤＡＹの６文字を１列の並べるとき、次の確率を求めよ。
?CＳがＹよりも左側にある確率

?Cと似ていますが、、、
?DＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇの７文字を１列に並べるとき、ＡがＢより左側にあり、ＢがＣより左側にある確率を求めよ。　

質問が多くてすみません！
また、
?E４０人のクラスで、委員長と副委員長を選ぶとき、特定の４人の中の２人が選ばれる確率を求めよ。
この問題の解答の途中に場合の数の順列などでつかうＰがでてくるのですが、なぜ組み合わせでつかうＣではないのでしょうか。

よろしくお願いいたします。
No.12009 - 2010/10/20(Wed) 23:50:53
☆ Re: 数学Ａ　二項定理、事象と確率　高１ / ヨッシー
二項定理より
　(ａ＋ｂ)^n の項は、
nＣmａ^mｂ^(n-m)　　ｍ＝０，１，２，・・・ｎ
なので、
?@ａ＝x/2、ｂ＝-1/x、ｎ＝10 のとき、ｘ^2 が出てくるのは
　ｍ＝６　のときで、その項は
　10Ｃ6(x/2)^6(-1/x)^4＝210×(1/2)^6×(-1)^4ｘ^2
より、係数は、105/32
?Aａ＝4x^3、ｂ＝-1/3x^2、ｎ＝５　のとき、定数項は、
　ｍ＝２ のときで、その項は
　5Ｃ2(4x^3)^2(-1/3x^2)^3＝10×16×(-1/27)＝-160/27

?C
あるＳがＹよりも左にある並び方に対して、
ＳとＹを入れ換えると、ＳがＹよりも右にある並び方になります。
そういうペアが必ず存在するので、確率は、1/2 です。
?D同様に 1/6 です。

?Eすべての選び方を40Ｐ2で計算したら、特定の４人から２人を
選ぶのも、4Ｐ2 とし、
すべてを、40Ｃ2 で計算したのなら、特定の４人から２人を
選ぶのも、4Ｃ2 とするなら、結果は同じです。
No.12010 - 2010/10/21(Thu) 00:59:22
★ 図形 / 高２
三角形ABCにおいて、
BC=14、cosB=3/5、cosC＝5/13

とする。
このとき、AB、ACはいくつか。
また三角形ABCの面積はいくつか。


sinB＝4/5、sinC=12/13
と計算できましたが、AB、AC、面積が求められませんでした。
解説をお願いします。
No.12006 - 2010/10/20(Wed) 21:05:27
☆ Re: 図形 / らすかる
sinAを求めれば正弦定理で他の辺の長さが求められますね。
No.12008 - 2010/10/20(Wed) 22:13:35
☆ Re: 図形 / 板橋
BC=ABcosB+ACcosC
AC=ABcosA+BCcosc
AB=ACcosA+BCcosB
が成立します。
今、BC、cosB、cosCが分かっているので、連立方程式を解けば、AB、AC、cosAが求まります。cosAが求まれば、sinAも求まります。
面積Sは、S=1/2AB*AC*sinAで求まります。
No.12011 - 2010/10/21(Thu) 01:58:18
☆ Re: 図形 / 七
AからBCに下ろした垂線の足をHとすると
AB：BH：HA＝5：3：4
AC：CH：HA＝13：5：12
AH＝xとすると
BH＋CH＝(3/4)x＋(5/12)x＝14

AB＝(5/4)x,AC＝(13/12)x,面積7x
No.12013 - 2010/10/21(Thu) 07:33:24
★ 高２　数学?U三角関数 / baziru
0°≦x≦90°のとき、2sinx ＋ cosxの最大値と最小値を求めよ。
まず
2sinx ＋ cosxを合成すると
√５cos（x-α）
0°≦x≦90°より
-α≦x-α≦90°-α
だから、x-α＝０°のとき最大値√５
x−α=−αのとき最小値１

【-α≦x-α≦90°-α
だから、x-α＝０°のとき最大値√５
x−α=−αのとき最小値】
この部分がどうしてこうなるのかわかりません。
なんで、x-α＝０°で最大なのか
x-α＝-αのとき最小なのか・・・
誰か分かる方教えてください。おねがいします！
No.12001 - 2010/10/20(Wed) 05:52:51
☆ Re: 高２　数学?U三角関数 / X
No.12000と似たような質問ですが、ちなみにxの関数cosx(0≦x≦π)
の最大値、最小値とそのときのxの値は答えられますか？。
これが答えられないのならば、この種の問題を解く前に教科書の
三角関数の項目に戻ってcos,sinのとりうる値の範囲について
復習しましょう。
No.12003 - 2010/10/20(Wed) 09:34:15
★ 高２　数学?U三角関数 / baziru
関数y=（2cosθ-3sinθ）sinθ （0≦θ≦π/2）の最大値と最小値を求めよ。

とりあえず展開して
まとめた式を合成すると
y=√13cos（2θ-α）になるのですが
ここまでの変形は分かるのですが
次の
最大値が2θ-α＝0のとき
最小値が2θ-α=π-αのときにとるというのがよくわかりません。

誰か分かる方がいればこの部分を詳しく教えてください。
おねがいします！
No.12000 - 2010/10/20(Wed) 05:52:25
☆ Re: 高２　数学?U三角関数 / X
0≦θ≦π/2
より
0≦2θ≦π
-α≦2θ-α≦π-α
ここで
0<α<π/2
に注意すると
-π/2<-α≦2θ-α≦π-α<π (A)
よってcos(2θ-α)は
2θ-α=0のとき最大値1
を取ります。
問題はcos(2θ-α)最小値の方ですが
|π-α|-|-α|=π-2α>0
∴|-α|<|π-α| (B)
(A)(B)に注意して単位円上で-αとπ-αの角を取ることを考えると
cos(2θ-α)は
2θ-α=π-αのときに最小値cos(π-α)
を取ることが分かります。
No.12002 - 2010/10/20(Wed) 09:30:27
★ テーラー・マクローリン展開 / よっち
0＜x≦0.1の区間において、下記fとgにおいて、
大きいのは＿である。
　f=exp(x)=e^x　，g=cosx+x^2/sinx
No.11999 - 2010/10/20(Wed) 00:01:16
★ (No Subject) / よっち
厚さ、密度にばらつきの無い薄い金属板で、円筒（直円柱）形状の一定容積の密閉液槽を作る。
強度を持たせる為、側面と底面は２倍の厚さの板を用いる。
材料の金属板の重量を最も小さくできるときの、円筒の半径と高さの関係は、

　円筒の半径：円筒の高さ＝＿：＿　である。

但し、金属板の厚さは、円筒の大きさに対して非常に薄く、接合代等を考慮する必要は無い。
（例：円筒の半径をr、高さをh、金属板の厚みをd、容積をVとした場合、d<<r、d<<hである為、天板、底面の面積をπr^2、容積をV=πr^2hと考えてよい。）
No.11998 - 2010/10/19(Tue) 23:57:11
☆ Re: / X
金属板の単位面積当たりの重量をρ、円筒の半径をr、高さをh、
容器の体積をV、容器の製造に必要な金属板の重量をMとすると
題意から
V=πhr^2 (A)
M=2ρπr^2+2ρ(2πrh)+ρπr^2 (B)
(A)より
h=V/(πr^2) (A)'
これを(B)に代入して
M=3ρπr^2+4ρV/r (B)'
(B)'のr>0における増減を考えます。
dM/dr=6ρπr-4ρV/r^2
=2ρ(3πr^3-2V)/r^2
∴Mはr={2V/(3π)}^(1/3)のときに最小になります。
よって求める比は
r:h=r:V/(πr^2)
={2V/(3π)}^(1/3):(V/π){3π/(2V)}^(2/3)
={2V/(3π)}^(1/3):{(3/2)^(2/3)}(V/π)^(1/3)
=(2/3)^(1/3):(3/2)^(2/3)
=1:1
となります。
No.12014 - 2010/10/21(Thu) 12:07:58
★ 円形断面のゴムリングの重量 / よっち
レポート問題が分らないので教えていただきたいです！

下図の円形断面のゴムリングの重量は＿[kg]である。
但し、R≧r＞0、L＞10R、ゴムの密度をD[kg/m3]とする。
No.11996 - 2010/10/19(Tue) 23:49:04
☆ Re: 円形断面のゴムリングの重量 / X
問題のゴムリングは
断面の半径r,高さLの円柱4本(体積の和をT[m^3]とします。)
と
断面の半径r,断面の中心が作る円の半径Rの円環(体積をU[m^3]とします)
に分割されます。
ここで
T=4Lπr^2 [m^3]
Uについてですが、パップス・ギュルダンの定理により
U=(πr^2)・2πR
=2R(πr)^2 [m^3]
よってゴムリングの体積をVとすると
V=T+U=4Lπr^2+2R(πr)^2 [m^3]
ですので求める質量は
DV=2πD(2L+πR)r^2 [kg]
となります。
No.12004 - 2010/10/20(Wed) 09:53:41
☆ Re: 円形断面のゴムリングの重量 / X
No.12004について補足。
Uについてですが、パップス・ギュルダンの定理を使えないのであれば
回転体の体積として積分を計算して求めます。
No.12005 - 2010/10/20(Wed) 09:56:20
★ (No Subject) / mazenda
整式P(x)をx-2で割った余りが３
(x-1)^2で割った余りが2x+1であるとき、
P(x)を(x-2)(x-1)^2で割った余りを求めよ。

P(x)=(x-2)(x-1)^2Q(x)+ax^2+bx^1+c　?@　とおくのは分かりますが、
?@を(x-1)^2で割るとかかいてあります。
じゃ?@を(x-1)で割ったしても答えはでるんですか？

そもそもわかってないんでへんな解釈だと思いますが
どなたこの問題を解説していただけないでしょうか？
よろしくお願いします。
No.11994 - 2010/10/19(Tue) 22:42:10
☆ Re: / karubi
x-1で割っても答えがでるのかは分かりません。
様々な手法をフルに活用していくつかの方程式を連立させればもしかしたら出るかもしれませんが、普通は考えないと思います。とりあえずx-1で割った余りが与えられていないのでムリしてx-1で割ることはないでしょう。

Ｐ（ｘ）＝(x-2)(x-1)^2Q(x)+(xの２次以下の式）
（x-1)^2で割った余りが2x+1より
（xの２次以下の式）＝a(x-1)^2+2x+1とおける

Ｐ（２）＝３⇔a+5=3⇔a=-2より

求める余りは
-2(x-1)^2+1
=-2x^2+4x-1
No.11997 - 2010/10/19(Tue) 23:55:37
☆ Re: / mazenda
ありがとうございます。
理解する事ができました。
またよろしくお願いします。
No.12012 - 2010/10/21(Thu) 04:02:41
★ 曲線の長さ / shimeji
曲線の長さを求める問題です。よろしくお願いします。

aは正の定数,r=(x^2+y^2)^(1/2),θ=arctan(y/x)であるとき
r=aθ(0≦θ≦b)
の曲線の長さを求めよ。

という問題なのですが、x^2+y^2=(aθ)^2として三角関数を媒介変数表示で表すとx=aθcosθ,y=aθsinθとなるので求める長さLは
　 b
L=∫〔{(aθcosθ)^2+(aθsinθ)^2})^(1/2)〕dθ
　 0
　 b
=a∫{(1+θ^2)^(1/2)}dθ
　 0
=a/2〔b(b^2+1)^(1/2)+log{b+(b^2+1)}〕
という方法で答えになり正解なのですが、θ=arctan(y/x)を使っていないので、間違っているのだと思います。

お手数お掛けしますが解説・アドバイス等よろしくお願いします。
No.11987 - 2010/10/19(Tue) 19:00:03
☆ Re: 曲線の長さ / shimeji
すいません。答えが間違っていました…

a/2〔b(b^2+1)^(1/2)+log{b+(b^2+1)}〕
ではなく、
a/2〔b(b^2+1)^(1/2)+log{b+(b^2+1)^(1/2)}〕
です。

改めてよろしくお願いします。
No.11988 - 2010/10/19(Tue) 19:14:52
☆ Re: 曲線の長さ / 板橋
御自身の解答の中で、x=aθcosθ,y=aθsinθとおいてらっしゃいます。θ≠0の場合、y/x=aθsinθ/aθcosθ=tanθであるため、θ=tan-1(y/x)=arctan(y/x)となり、使ってらっしゃいます。
No.11990 - 2010/10/19(Tue) 20:05:05
☆ Re: 曲線の長さ / shimeji
確かに使ってますね！気づきませんでした…

ありがとうございました。
No.11993 - 2010/10/19(Tue) 22:13:45
★ 数学１（高１） / ♪
こんばんは。
２次不等式の質問です。
放物線y=x^2-2ax+a+2とx軸が次の範囲において異なる２点で交わる時、定数aの値の範囲を求めよ。
１点はx<1,ほかの１点はx>1

よろしくお願いします！
No.11984 - 2010/10/19(Tue) 00:03:43
☆ Re: 数学１（高１） / ヨッシー

y=x^2-2ax+a+2 のグラフを色々描いてみました。
このうちで、条件を満たすものは、青のグラフです。
青にはあって、赤にはない特徴は、ｘ＝「　　」 のとき、ｙが「　　」である。
このことからａについての不等式が作れます。
No.11985 - 2010/10/19(Tue) 06:47:26
★ (No Subject) / たけ
高校２年生です。数学が中学から苦手でどうしても分からないので質問に来ました…。

a,bを実数として、２次方程式 x^2-ax+b=0 を考える。

（1）この方程式が実数解をもつような点（a,b）の存在範囲を図示せよ。
（2）この方程式が-1<x<1の範囲に少なくとも１つの解をもつような点（a,b）の存在範囲を図示せよ。
（3）この方程式の解の絶対値がすべて1より小となるような点（a,b）の存在範囲を図示せよ。ただし、複素数z=u+iv（u,v：実数）の絶対値とは √u^2+v^2 のことである。

お願いします…！
No.11982 - 2010/10/18(Mon) 22:36:07
☆ Re: / ヨッシー
(1)は判別式より
　a^2-4b≧0
このグラフを描きます。
(2) を満たす y=x^2-ax+b のグラフは、下の３通りです。

　f(x)＝x^2-ax+b　とおくと、
　?@ f(-1)＜０ かつ f(1)＞０
　?A f(-1)＞０ かつ f(1)＜０
　?B 判別式 a^2-4b≧0、　軸 x=-a/2 が −１＜-a/2＜１
　　f(-1)＞０ かつ f(1)＞０
をそれぞれ求めます。?@または?Aまたは?B の範囲が、求める範囲です。

(3)解が実数の時は、(2) で求めていますので、解が虚数の時を調べます。
No.11986 - 2010/10/19(Tue) 06:58:55
☆ Re: / たけ
ヨッシーさんありがとうございます！
（3）なのですが、
2解が共に複素数の時、α+βi,α-βiとする。
D＜0
（α+βi）+（α-βi）＝2α
（α+βi）（α-βi）＝α^2+β^2
まではやってみたのですが、それからどうすればいいのかと、
どう図示していいのか分かりません；；
No.11991 - 2010/10/19(Tue) 21:09:45
☆ Re: / ヨッシー
（α+βi）+（α-βi）＝2α
（α+βi）（α- βi）＝α^2+β^2
に、解と係数の関係を適用すると
　2α＝a
　α^2＋β^2＝ｂ
であり、解の絶対値は√(α^2＋β^2)＜１なので、
　√ｂ＜１　よって　ｂ＜１
となります。
これに、Ｄ＜０ の条件を合わせます。
No.11992 - 2010/10/19(Tue) 21:32:10
☆ Re: / たけ
分かりました！本当にありがとうございました!!
No.11995 - 2010/10/19(Tue) 23:29:45
★ 数列 / ドドラ
いつもお世話になります。
解説の赤線を引いたところで、なぜ{bn}(n=1,2,3…)が等差数列になるとき
6+2p=p+5
になるのかが分かりません。
よろしくお願いします。
No.11976 - 2010/10/18(Mon) 20:52:33
☆ Re: 数列 / rtz
bn＝6n+2pはn≧2の範囲で等差数列です。
n≧1で等差数列になるためには、
↑の式自体がn＝1でも合っていなければなりません。

ですので、
式から導かれた6*1+2pと、本当の値であるp+5が等しいとすれば、
求めるべきpの値が出ます。


まぁ公差6を出して、
b2＝12+2pから6引いても同じことですね。
こちらの方が分かりやすいでしょうか。
No.11977 - 2010/10/18(Mon) 21:16:17
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