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★ 三角関数 / mazenda
以前も質問したんですが、
弧度法のとこででてくる、
πなんですが、πが3.14だったり、πが180°だったりして
πの単位はいくつもあるんですか？

よろしくおねがいします。
No.11712 - 2010/09/26(Sun) 18:11:19
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー
高校で習う角度の単位は、度(°)とラジアン(rad) に２種類です。
　180°＝π rad
という関係があります。
rad は普通省略して、単にπとかπ/6 のように書きます。

逆に　π　と書かれていれば、π rad のことです。
No.11713 - 2010/09/26(Sun) 18:34:08
☆ Re: 三角関数 / らすかる
πは3.14…であり180°=3.14…ラジアンです。
No.11717 - 2010/09/26(Sun) 22:39:28
☆ Re: 三角関数 / mazenda
ありがとうございます。もういちどゆっくり考えてみます。
No.11718 - 2010/09/27(Mon) 05:01:33
★ 三角関数の加法定理 / あみ
こたえはわかるのですが解き方がわかりません...。
お願いします;;

(問)0＜α＜π/2でcos2α=3/5のとき､次の値を求めよ

(１)sinα
　　　　　答…1/√5
(２)cosα
　　　　　答…2/√5
(３)tanα
　　　　　答...1/2
No.11711 - 2010/09/26(Sun) 17:48:02
☆ Re: 三角関数の加法定理 / ヨッシー
２倍角の公式
cos２α＝2cos2α−１＝１−2sin2α
より、
(1)
　１−2sin2α＝3/5
　sin2α＝1/5
　sinα＝±1/√5
0＜α＜π/2 より
　sinα＝1/√5

(2) も同様に出来ます。

(3)　
(1)(2) より
　tanα＝sinα/cosα＝1/2
No.11715 - 2010/09/26(Sun) 19:20:36
☆ Re: 三角関数の加法定理 / あみ
ありがとうございます！
自分でもやってみます。

ほんまにありがとうございました。
No.11716 - 2010/09/26(Sun) 20:42:52
★ ベクトル / L
252(2)の問題です

答えは
p=1 のとき q =-8±5√3
p=-1 のとき q =-√3/3

なのですが
q の求め方がわかりません。

お願いします ;;
No.11709 - 2010/09/26(Sun) 12:14:33
☆ Re: ベクトル / X
√2|↑a|=|↑b|
より
2|↑a|^2=|↑b|^2 (A)
(A)と
↑a=(p,2),↑b=(-1,3) (B)
から
2(p^2+2^2)={(-1)^2+3^2} (A)'
一方
↑a-↑bと↑cとのなす角が60°ですので
(↑a-↑b)・↑c=|↑a-↑b||↑c|cos60°
つまり
(↑a-↑b)・↑c=(1/2)|↑a-↑b||↑c|
∴{(↑a-↑b)・↑c}^2=(1/4){|↑a-↑b|^2}{|↑c|^2} (C)
(C)と(B)及び↑c=(1,q)より
{{p-(-1)}・1+(2-3)・q}^2
=(1/4){{p-(-1)}^2+(2-3)^2}(1^2+q^2) (C)'
(A)'(C)'をp,qについての連立方程式と見て解きます。
No.11710 - 2010/09/26(Sun) 14:48:20
★ 積分 / まり
関数Ｆ(x)=∫[x,0](at^2+bt+c)dt+dがx=-1で極大値17/3をとり,x=3で極小値-5をとるとき,定数a,b,c,dの値を求めよ。

この問題の解き方を教えてください！

No.11698 - 2010/09/25(Sat) 15:46:57
☆ Re: 積分 / ヨッシー
普通に積分してはどうでしょう？

　F(x)＝ax^3/3＋bx^2/2＋cx＋d
微分して、
　F'(x)＝ax^2＋bx＋c
これが、a(x+1)(x-3) の形に書けるので、
　b＝-2a、c＝-3a
よって、
　F(x)＝ax^3/3−ax^2−3ax＋d
と書け、
　F(-1)＝5a/3＋d＝17/3
　F(3)＝-9a＋d＝-5
これより、a＝1、d＝4 が得られ、
　b＝-2、c＝-3
となります。
No.11699 - 2010/09/25(Sat) 17:10:28
★ 漸化式についてです / ハオ
a_1=1
a_(n+1)=3^n(a_n)+7---?@
で表される漸化式がある。
この時一般項a_nを求めよ。

全く歯が立ちません。両辺を3^(n+1)で割っていって3^nの次数下げをはかりましたがよく分からなくなってしまいました
?@の両辺を3^(n+1)で割って
a_(n+1)/3^(n+1)=b_(n+1)とおいて
b_(n+1)=3^(n-1)b_n+7/3^(n+1)　これを更に割って同様に
c_(n+1)=3^(n-2)c_n+7/｛3^(n+1)｝^2
以下帰納的に
z_(n+1)=3^(n-n)z_n+7/{3^(n+1)}^n
まで持って行きましたがよく分かりませんでした
根本的に違いますか？アドバイスを下さい。
No.11691 - 2010/09/24(Fri) 21:44:57
☆ Re: 漸化式についてです / angel
うーん。答を単純な式で表すことができないのですが…。
　a_(n+1) = ( 3^n )×a_n + 7
でいいんですよね。

取り敢えず、a_1 の条件が無かったとして、一般解は
　a_n = a_1・3^( n(n-1)/2 ) + 7Σ[k=1,n-1] 3^( n(n-1)/2-k(k+1)/2 )　( n≧2 )
となりました。

解き方としては2段階。
一つは、x_(n+1)=3^n・x_(n) という、元の漸化式から +7 を省いた部分を解く事。

もう一つは、a_1=0 の場合の a_n の一般項 ( 以下 b_n とする ) を求めること。
　b_2 = 7・3^0
　b_3 = 7・( 3^0 + 3^2 )
　b_4 = 7・( 3^0 + 3^3 + 3^3・3^2 )
　…
　b_n = 7・( 3^0 + 3^(n-1) + 3^(n-1)・3^(n-2) + … )

最後に、a_n=αx_n+b_n ( αは定数 ) となることから、αを計算する、となります。
No.11692 - 2010/09/24(Fri) 22:58:45
☆ Re: 漸化式についてです / angel
細かいところですが、a_1 も含めて表現するなら、
a_n = (a_1-7)3^( n(n-1)/2 ) + 7Σ[k=1,n] 3^( n(n-1)/2-k(k-1)/2 )　( n≧1 )
ですね。
…a_1=7 だったら、少しキレイだったのに。
No.11696 - 2010/09/25(Sat) 07:52:28
☆ Re: 漸化式についてです / ハオ
申し訳ありませんがアドバイスだけだとやはり解けませんでした・・・。２段階目そして何故２段階で考えるのかは理解出来たのですが・・・・
x_(n+1)=3^n・x_(n)を解けとの事ですが
x_(n)の係数が3^nですと　どうにもこうにも解けません　

打つのが面倒だと言うのは承知の上ですが
略解を頼めないでしょうか？
No.11700 - 2010/09/25(Sat) 22:32:31
☆ Re: 漸化式についてです / ハオ
早急な解答は大変感謝いたします。
蛇足ですが、何処かの入試問題という訳ではなく
ネット上の掲示板での「この問題解けたら京大レベル」というのにノッテしまい解こうとするも解けないので皆様に質問させて頂いたという次第で御座います。
No.11701 - 2010/09/25(Sat) 22:34:42
☆ Re: 漸化式についてです / angel
> x_(n+1)=3^n・x_(n)を解けとの事ですが

ここは、答として載せた中の 3^( n(n-1)/2 ) の形から推理すれば分かったかも知れません。

　x_(n+1)=p_n・x_n

の形なので、両辺の対数を取ると、

　log(x_(n+1)) = log(x_n) + log(p_n)

y_n=log(x_n), q_n=log(p_n) と置くと、

　y_(n+1)=y_n+q_n

ということで、階差数列の話に還元できるのです。
対数の底としては、今回は 3 が良いでしょう。
実際に解答を書くとしたら、真数条件とかの説明が色々メンドウなので、対数の話はメモの片隅に追いやって、あたかも最初から分かっていた風に、帰納法にするでしょうけど。
No.11702 - 2010/09/25(Sat) 23:11:49
☆ 補足 / angel
> ２段階目そして何故２段階で考えるのかは理解出来たのですが・・・・

それが理解できるなら、十分な気もしますがね。

補足1.
　「a_1=0 の場合の a_n の一般項 ( 以下 b_n とする ) を求めること。」
　と書きましたが、別に a_1=0 に特別な意味はありません。
　要は、初項としてある値を選んだ時の一般項が1つ求められれば良いのです。
　最初、a_1=0 が分かりやすいかと思ったのですが、No.11696 の形が直接出てくるので、a_1=7 の方がベターかもしれません。(後から気付いた)

補足2.
　この「2段階」で考えるのは、割と常套手段だったりします。
　例えば、a_(n+1)=2a_n+1 という数列を求める場合、良くあるのが、

　　両辺に1を足して、a_(n+1)+1=2(a_n+1)
　　これは等比数列を表すため、a_n+1 = (a_1+1)・2^(n-1)
　　よって、a_n = (a_1+1)・2^(n-1)-1

　という方法ですが、これは見方を変えれば、

　　数列 b_n=-1 は、b_(n+1)=2b_n+1 を満たす
　　元の漸化式と辺々差を取ると、a_(n+1)-b_(n+1)=2(a_n-b_n)
　　x_n=a_n-b_nと置くと、x_(n+1)=2x_n よって、x_n=α・2^(n-1)
　　ゆえに a_n=x_n+b_n=α・2^(n-1)-1、後はa_1に合うようにαを決定

　と同じようなことなので。
No.11704 - 2010/09/25(Sat) 23:45:35
☆ Re: 漸化式についてです / らすかる
別解です。
a[n+1]=3^n*a[n]+7
両辺を3^f(n+1)で割ってa[n]/3^f(n)=b[n]と置きかえることを考えます。
そのように出来るためには f(n+1)-f(n)=n となる必要がありますので
f(n)は２次式で f(n)=n(n-1)/2 とすれば良いことがわかります。
そこで両辺を3^{n(n+1)/2}で割って
a[n+1]/3^{n(n+1)/2}=a[n]/3^{n(n-1)/2}+7/3^{n(n+1)/2}
b[n]=a[n]/3^{n(n-1)/2} とおくと
b[n+1]=b[n]+7/3^{n(n+1)/2}
b[1]=a[1]/3^(1*(1-1)/2)=1
よって
b[n]=b[1]+Σ[k=2〜n]7/3^{k(k-1)/2}　（n≧2）
=1+Σ[k=2〜n]7/3^{k(k-1)/2}　（n≧2）
={7Σ[k=1〜n]3^{k(1-k)/2}}-6　（n≧1）
なので
a[n]=3^{n(n-1)/2}*b[n]
=3^{n(n-1)/2}*{{7Σ[k=1〜n]3^{k(1-k)/2}}-6}
No.11705 - 2010/09/25(Sat) 23:53:38
☆ Re: 漸化式についてです / ToDa
それでは私も別解を。置き換えなどはしないぶん、理解しやすいかもしれません。
Σの部分を簡単に表記できないかなあとモタモタしてました。

a_n = 3^(n-1)a_(n-1) + 7
    = 3^(n-1)(3^(n-2)a_(n-2) + 7) + 7
    = 3^(n-1){3^(n-2)(3^(n-3)a_(n-3) + 7) + 7} + 7
    = …
    = 3^(n-1)[3^(n-2)[3^(n-3)[…[3^(1)a_1 + 7] + 7] + … 7] + 7
(↑ちょっと読みづらいですが、実際に紙に書いてみればすぐ分かります)
    = 3^(1+2+…+(n-1))a_1
     + 7・3^(2+3+4+…+(n-1))
     + 7・3^(3+4+…+(n-1))
　　 + …
     + 7・3^(n-1)
     + 7
    = 3^(n(n-1)/2) + 7 + 7(Σ[k=1 to n-2]3^(n(n-1)/2) - k(k+1)/2))

No.11706 - 2010/09/26(Sun) 00:37:26
☆ Re: 漸化式についてです / ハオ
皆さん本当に有難う御座います。数学に関係なく恐縮ですが何だか本当に凄いなぁと思ってしまいます。数学の偉人達と接している気分になります。

ジックリ皆さんの解答を考えて理解したいと思います。
有難う御座います。
No.11707 - 2010/09/26(Sun) 00:40:52
★ 図形と計量 / みー

問題と解答は画像の通りです。
(3)についてなのですが、私は模範と
違う方法で計算しました。
ですが答えが合いません。
私としては、計算のしかたは合っている気が
するのですが、どうしても計算ミスを
見つけることができません。
どこに問題が有るのでしょうか。
よろしくお願い致します。
No.11688 - 2010/09/24(Fri) 20:21:55
☆ Re: 図形と計量 / Ans
みーさんは、
【△ＡＢＣ】の内接{円}の半径を求めています。
「その意味では合ってます」

(3)で求めるものは
【正四面体】の内接{球}の半径です。
No.11690 - 2010/09/24(Fri) 21:42:58
☆ Re: 図形と計量 / みー

この立体を真上から見たら
内接円になるかなと
思ったのですが
それではだめでしょうか(>_<)

No.11693 - 2010/09/25(Sat) 03:20:48
☆ Re: 図形と計量 / X
内接円にはなりません。
∵)
四面体OABCの内接球を△ABCに投影した円が△ABCの内接円になると仮定します。
この内接円の接点を通り△ABCを含む平面に垂直な直線lを考えると、
lは四面体OABCの外側を通ります。
従ってこの接点に対応する内接球上の点は存在しないことになり、
仮定に矛盾します。
No.11694 - 2010/09/25(Sat) 07:37:16
☆ Re: 図形と計量 / angel
断面図を描いてみましょう。
今、ABの中点をM、△ABCの重心をG ( 解答の図と同じ )、△OABの重心をH、内接球の中心をXとします。
すると、内接球は、G,Hで面に接しています。そのため、内接球の半径は XG
そして、OCMでの断面図は、添付の図の上側のようになります。
※内接球は、各面に接しているのであって、各辺には接していないため、球とOCは離れています。

さて、添付の図の下側は、底面そのものです。
ここに内接円も描いた場合、その半径は GM となります。

ということで、添付の図の上側で比べて頂くと分かりますが、内接球の半径 XG と、底面の内接円の半径 GM は、長さが異なります。
No.11695 - 2010/09/25(Sat) 07:44:29
☆ Re: 図形と計量 / みー

内接円とは別物だったんですね(>_<)!
理解できました。
Ans様、X様、angel様
ありがとうございました。

No.11708 - 2010/09/26(Sun) 08:18:14
★ 溶解度計算 / bone
こんばんは。化学なのですが理論分野でかれこれ何日も考えているのですがどうしてもわからないので質問させてください。
不可だとは思うのですが本当にすみません。

ある塩は１００ｇの水に０℃で５０g、８０度で１５０ｇ溶ける。今８０度の飽和水溶液１００gから水を蒸発させてその後に０℃まで冷却したところ５０gの結晶が析出した。蒸発した水は何gか。

８０度に対応させた式を作りたいのですが
私の回答は
析出量/溶液＝(１５０−５０)/２５０＝５０/(100-x-50)
としたのですがどうしてもあいません。
溶質/溶液の方法はできるのですが、析出量/溶液で解きたいです。

どなたかどこが間違っているのかご指摘して頂けないでしょうか？
お願いします・・・
No.11677 - 2010/09/24(Fri) 00:26:49
☆ Re: 溶解度計算 / rtz
結晶として析出した50gには、
残った水が80℃から0℃に下がったことによって溶けきれなくなった塩の量(水100に対し150)と、
蒸発させた水の80℃で溶けうる塩の量(水100に対し100)とが足されています。

これらは同率の比率ではありませんから、
単純に比例関係だけで当てはまるものではありません。

現に、
80℃のときは、水40gに塩60gありましたが、
水20gが蒸発したことによる30gの析出と、
残った水20gが温度低下したことによる析出20gが
合わさって50gになっているのですから、
ぱっと思いつく簡単な1つの式になるようなものではないでしょう。
出来るかもしれませんが、時間の無駄以上に汎用性がないと思います。
No.11679 - 2010/09/24(Fri) 01:57:28
☆ Re: 溶解度計算 / moto
横から失礼します
rtz　さんの回答のおまけです。

左辺は、【溶液250g，8℃の飽和溶液】に対する
【そのまま0℃まで下げたときに析出する量】の割合なので
【8℃からそのまま0℃にしたとき】しか使えません。

この場合【溶液100g，8℃】の【飽和溶液】から水を蒸発させたものなので･･･
【既に飽和している溶液】から水を奪っていることにより
もし、8℃から冷やすときは、【既に何{g}か析出している】はずです。
★つまり右辺がおかしくなっています。
【析出量/溶液】を利用することは、相当無理のかかる式になってしまいます。


★どうしても「析出量/溶液で解きたい」ならば
8℃から冷やすとして、既に析出している量を、p{g}とし、
8℃の溶液は、100{g}から、蒸発した水x{g}、析出した食塩p{g}を除き
･･･(100−x−p){g}
0℃にしたとき新たに析出する食塩は、50{g}から新たに析出した分を除き
･･･50−p
【溶質/溶液＝(150−50)/250＝(50−p)/(100−p−x)】

●8℃の飽和溶液100{g}
100＊(150/250)＝60･･･食塩
100＊(100/250)＝40･･･水
●水{g}蒸発させ、食塩p{g}が析出した後の8℃の飽和溶液(100−p−x){g}
60−p･･･食塩
40−x･･･水
★8℃の溶液中の食塩とみすの比が150：100＝3：2であることから
･･･60−p：40−x＝3：2　で、p＝(3/2)x
●0℃にしたとき新たに析出する食塩
･･･50−(3/2)x
【溶質/溶液＝(150−50)/250＝{50−(3/2)x}/{100−(3/2)x−x}】
を解いて、【x＝20】

rtz　さんがおっしゃっているように、
「時間の無駄がおきます。」
「そのまま冷やすときしか使えないという汎用性無さがあります。」
No.11680 - 2010/09/24(Fri) 03:48:18
☆ Re: 溶解度計算 / rtz
＞motoさん
フォローありがとうございます。
本題とは関係ないですが1つだけ、
80℃が全部8℃になっちゃってますね。
No.11682 - 2010/09/24(Fri) 04:50:22
☆ Re: 溶解度計算 / bone
ご回答本当に有難うございます。
とても助かりました。。。
では溶質/溶液でできるだけやったほうが汎用性があるのですね。単純問題意外は其れでやりたいと思います。

また、似たような問題なのですが硝酸カリウムについて水１００ｇの10度で22g、70度で137g溶ける
25パーセントの飽和水溶液200ｇを冷却して10度にすると何gの結晶が析出するか

溶質/溶液＝（２００*２５/１００）-x/２００＝２２/１２２
と立てたのですが答えがマイナスになってしまいます。
大丈夫だと思ったのですが・・・
どこが間違っているのでしょうか？？
すみませんがお願いいたします・・・
No.11683 - 2010/09/24(Fri) 15:56:34
☆ Re: 溶解度計算 / rtz
硝酸カリウムの溶解度は正しいようですが、
「25パーセントの飽和水溶液200ｇ」はちょっとおかしな表現ですね。
(適切な温度が書いてあるべき、或いは70℃の水溶液と書くべき)

＞溶質/溶液＝（２００*２５/１００）-x/２００＝２２/１２２
は、
{（２００*２５/１００）-x｝/２００＝２２/１２２
ですか？

これが正しいとして、
左辺の溶液の重さは、冷却して結晶が出来ているのに本当に200gでしょうか。

あくまで溶解度は溶媒100に対する量ですから、
析出が絡む問題でこのようなミスをおかしたくないなら、
溶媒と溶質の比率で考えたほうが無難です。
今回も水を分母にすれば間違えることはないですね。
No.11685 - 2010/09/24(Fri) 16:37:40
☆ Re: 溶解度計算 / bone
こんばんは、遅くなりましてすみません。
やっと確実性が増してきまいｓた。
本当に助かりました！！
本当にどうもありがとうございました！！！
No.11731 - 2010/09/28(Tue) 01:53:17
★ 三角関数 / bone
こんばんは、質問をさせてください。

0≦x≦π/4 o≦y≦π/4に対し連立方程式
sinx^2+cosy^2=3/4
sinxcosy=√2/4
が成りたつ。
このときｘｙの値を求めよ。

解き方はわかるのですが、この問題を解く上でのsinxとcosyの大小関係についてわからないことがあります。
回答によるとsinx≦cosyだということなのですが、今確かに０からπ/4の間ではサインの方が小さくなりますが、それは同じ文字について言えることであり、今ｘ、ｙと異なるものについてのsin,cosの大小はいえないと思うのです。
例えばsinx≦cosxなら成り立つけれど今回この文字がｘとｙで異なるので回答のようになるとは限らないのではないかということです。
とても腑に落ちません。
教えてほしいです。
No.11676 - 2010/09/24(Fri) 00:04:59
☆ Re: 三角関数 / のぼりん
こんばんは。
　　０≦ｘ≦π/４　⇒　０≦ｓｉｎ ｘ≦１/√２
　　０≦ｙ≦π/４　⇒　１/√２≦ｃｏｓ ｙ≦１
ですから、確かに
　　ｓｉｎ ｘ≦ｃｏｓ ｙ
ですね。
No.11678 - 2010/09/24(Fri) 00:28:13
☆ Re: 三角関数 / bone
なるほどです！
わかりました、ありがとうございました！
No.11684 - 2010/09/24(Fri) 15:58:34
★ 学年は高校から大学 / mansan
nを正の整数とする時、
∫(logx)^n dxを求めたいです。積分範囲は0〜1です。
よろしくお願いします。
テイラー展開を使い級数で表そうとしましたが上手くいきません。
No.11671 - 2010/09/23(Thu) 21:07:21
☆ Re: 学年は高校から大学 / のぼりん
こんばんは。

【方針１】ガンマ関数をご存じなら、ｔ＝−ｌｏｇ ｘ とおくと、直接
　　　∫０１（ｌｏｇ ｘ）ｎｄｘ＝（−１）ｎΓ（ｎ＋１）
が示せます。

【方針２】先ず、帰納法とド･ロピタルの定理により、
　　　ｌｉｍｘ→＋０ ｘ（ｌｏｇ ｘ）ｎ＝０
を示します。 次に、これを使って、帰納法により、
　　　∫０１（ｌｏｇ ｘ）ｎｄｘ＝（−１）ｎ ｎ！
を示します。
No.11672 - 2010/09/23(Thu) 22:09:13
☆ Re: 学年は高校から大学 / mansan
有難うございます!
試してみます。
No.11673 - 2010/09/23(Thu) 23:20:38
★ 数学　ベクトル / プリりカ
数学 ベクトルの問題です

空間内に長方形ABCDと動点Eが与えられている
ただしAB=CD=AE=1, BC=DA=CE=√3とする
(1)内積BE↑・DE↑の値を求めよ
(2)?傳EDの面積の最大値を求めよ

画像でどうした∠Eの部分が９０°で直角となるのかがわかりません。
だれかわかるかたおしえてください おねがいします
No.11669 - 2010/09/23(Thu) 20:28:41
☆ Re: 数学　ベクトル / rtz
△ABCと△AECが三辺相等により合同だからです。
No.11670 - 2010/09/23(Thu) 20:56:09
★ 2次関数 / マユ
2次関数の問題がわからないので教えて下さいm(-　-)m

1次関数f(X)＝ax+bが次の条件を満たすとき、定数a、bの値を求めよ。

(１)　f(2)＝8、f(-１)＝-４
(２)　f(0)＝２、f(3)＝-７
No.11667 - 2010/09/23(Thu) 18:25:24
☆ Re: 2次関数 / X
(1)
f(2)=8,f(-1)=-4
より
2a+b=8 (A)
-a+b=-4 (B)
(A)(B)をa,bについての連立方程式と見て解きます。

(2)も同様です。
No.11668 - 2010/09/23(Thu) 19:07:32
☆ Re: 2次関数 / マユ
すみません。

> 2a+b=8 (A)
> -a+b=-4 (B)
a,bについての連立方程式

のしかたがわからないので、教えて下さい。
No.11689 - 2010/09/24(Fri) 21:42:58
☆ Re: 2次関数 / X
では次の連立方程式は解けますか？。
2x+y=8 (P)
-x+y=-4 (Q)
この連立方程式(P)(Q)のx,yをa,bに変えたものが
(A)(B)になっています。
No.11697 - 2010/09/25(Sat) 12:43:59
☆ Re: 2次関数 / マユ
わかりました。

ありがとうございましたm(-　-)m
No.11714 - 2010/09/26(Sun) 19:15:13
★ (No Subject) / しん
今回初めてで間違えてしまいました。上の二つは無視して下さい。

関数f(x)=lx^2-2xlに対して、数列a=f(a)
(n=1,2,…）

1< a<1> <2を満たすとき、極限値a<n>を求めよ

という問題で解答はグラフを使い、鮮やかに解いています。

漸化式を解くという方針でこの問題をときたいのですが教えてください
No.11665 - 2010/09/23(Thu) 16:52:13
☆ Re: / angel
ascii文字 ( いわゆる半角 ) の<>をそのまま使うと、これらは特殊文字なので、意図した通りに表現できません。
代わりに ＜ ＞ [] 等を使うと良いでしょう。

問題は、
　f(x)=|x^2-2x| に対して、数列 a[n+1]=f(a[n]) (n=1,2,…) とする
　1＜a[1]＜2 を満たすとき、a[n]の極限値を求めよ
ですね。

まず、下準備として、「n≧2 に対して、0＜a[n]＜1」を示します。帰納法で良いでしょう。
すると、n≧2 に対して、a[n+1]=2a[n]-a[n]^2 です。
これより、
　a[n+1]-1=-a[n]^2+2a[n]-1
　a[n+1]-1=-(1-a[n])^2
　1-a[n+1]=(1-a[n])^2
0＜a[n],a[n+1]＜1 が分かっているので、両辺の対数を取って
　log(1-a[n+1])=log( (1-a[n])^2 )=2log(1-a[n])
つまり、b[n]=log(1-a[n]) なる数列 b[n] を考えてあげると、
　b[n+1]=2b[n]
です。これで一般項を求めることができます。
No.11666 - 2010/09/23(Thu) 17:49:33
★ 漸化式の問題 / しん
関数f(x)=lx^2-2xlに対して、数列a=f(a)
(n=1,2,…）

1< a<1> <2を満たすとき、極限値a<n>を求めよ

という問題で解答はグラフを使い、鮮やかに解いています。

漸化式を解くという方針でこの問題をときたいのですが教えてください
No.11663 - 2010/09/23(Thu) 16:41:23
☆ Re: 漸化式の問題 / しん
> 関数f(x)=lx^2-2xlに対して、数列a=f(a)
> (n=1,2,…）
>
> 1 を求めよ
>
> という問題で解答はグラフを使い、鮮やかに解いています。
>
> 漸化式を解くという方針でこの問題をときたいのですが教えてください
No.11664 - 2010/09/23(Thu) 16:44:57
★ 赤チャートのベクトルの問題です　高２ / プリりカ
平面上で辺の長さ1の正三角形ABCを考える。点Pに対し、ベクトルv(P)を、v(P)=↑PA-3･↑PB+2･↑PCで与える。
|↑PA+↑PB+↑PC|=|v(P)|となる点Pは、どのような図形を描くか。

この問題で、△ABCの重心をGとすると,↑PA+↑PB+↑PC=-3･↑AP+↑AB+↑AC=3(↑AG-↑AP)=3･↑PGとなります。
またv(P)=-3･↑AB+2･↑ACと変形でき、|v(P)|^2=7となり、|v(P)|=√7となることは理解できます。

しかし、ここから、よって3|↑GP|=√7となっています。
↑PA+↑PB+↑PC=3･↑PGとでているのに、なぜ↑GPとなったのでしょうか。

答えは重心Gを中心とする半径√7/3の円なんですが
これをPを中心とする〜
としてもいいようなきがするのですが
なんでだめなのかわかるかたおしえてください。
No.11655 - 2010/09/22(Wed) 17:55:10
☆ Re: 赤チャートのベクトルの問題です　高２ / ToDa
問題では点Pがどのような位置にあるのかと問われているのですが、それに対して、Gがどのような位置にあるのかを答えることにあまり意味はありません。まして、この問題設定ではGは定点なので、いろいろな場所を取り得るのはPの方ですね。

＃なんだか意図を取り違えていたので(そしてただ発言丸ごと消すのも宜しくないので)大幅に修正。
No.11656 - 2010/09/22(Wed) 20:51:50
☆ Re: 赤チャートのベクトルの問題です　高２ / angel
> ↑PA+↑PB+↑PC=3･↑PGとでているのに、なぜ↑GPとなったのでしょうか。

　↑PA+↑PB+↑PC=3･↑PG より、
　|↑PA+↑PB+↑PC|=|3･↑PG|=3|↑PG|=3|↑GP|

というお話で良いでしょうか? ( |↑XY|=|↑YX| のように、引っ繰り返しても大きさは同じ )

> これをPを中心とする〜
> としてもいいようなきがするのですが

確かに、|↑PG|=√7/3 という条件から、
「点Gは点Pを中心とする半径√7/3の円周上にある」
ということは言えますが、Pが主語になっていないのですから、答ではありませんね。
No.11657 - 2010/09/22(Wed) 21:58:10
★ ２倍角 / プリりカ
２倍角の公式について・・・

とある問題で
cosθ/2=1/3 で求めたいのはcosθなんですが
このとき
２倍角の公式より
cosθ=2cos^θ/2-1 ・・・となっているのですが
この部分がよくわかりません。
僕がこの公式を導き出すとき
まず、２倍角の公式よりcos2θ=2cos^2θ-1
2θ=Aとおくと
cosA＝2cos^2A/2 -1とするのですが
このAとA/2の部分はそれぞれ
θ、θ/2としていいんですか？
これでやってもいままで正解してきたんですが
普通に考えて2θ＝Aっておいてるのにおかしいですよね
誰か分かるかたおしえてください。おねがいします
No.11652 - 2010/09/22(Wed) 12:38:42
☆ Re: ２倍角 / ToDa
それが混乱の元となるのであれば、無理にθを二度使おうとしなければよいのです。

角ψに対して、2倍角の公式より、
cos2ψ = 2cos^2ψ - 1
2ψ = Aとおくと、
cosA = 2cos^2(A/2) - 1
A=θとおくと、
cosθ = 2cos^2(θ/2) - 1

ならば納得できますか？
No.11653 - 2010/09/22(Wed) 12:51:54
☆ Re: ２倍角 / プリりカ
理解できました。
ありがとうございました
No.11654 - 2010/09/22(Wed) 17:54:43
★ 確率 / bone
こんばんは。
いつもありがとうございます。
お願いします。

色の異なる７つの玉がある
七個の玉をABCの箱に分ける方法は何通りあるか。
ただしかく箱において何個入ってもよいが少なくとも一個は入る。
普通は3C2*(2^7-2)*3と解くと思うのですが、重複組み合わせで解けないかなと思い、考えてみたのですが答えと異なってしまいます。
最初に三つ各箱に入れる玉を考え、７P3
残りの四つと二つの仕切りを重複組み合わせで６！/4!2!
この二つをかけました。
このやり方では解けないのでしょうか？
個人的に重複組み合わせが楽でミスが少ないので積極的に利用したいと思いました・・・このように間違えていてはだめですが。
宜しくお願いします。
No.11648 - 2010/09/22(Wed) 02:58:51
☆ Re: 確率 / らすかる
その方法ではうまくいきません。
最初に玉1が選ばれて箱Aに入れる場合と
最初に玉1が選ばれず、後から箱Aに入る場合が
重複して数えられています。

しかも 3C2*(2^7-2)*3 も違いますし、
残りの4つを入れるのも 6!/(4!2!) ではありません。
No.11651 - 2010/09/22(Wed) 04:05:56
☆ Re: 確率 / bone
こんばんは。
3C2*(2^7-2)の間違いでした。すみません。

7P3は三つの順列を考えてその並び方をそのままはこの番号に適応させる、という考え方でそう思ったのですがらすかるさんのおっしゃる重複しているというのがどうしてかわかりません。
残りの四つの考え方は玉の色が違うからそのように考えられないということでしょうか？
そうなると結局重複組み合わせでは解くことはできないのでしょうか？
理解不足で大変申し訳ないのですがお願いします。
No.11659 - 2010/09/22(Wed) 23:17:34
☆ Re: 確率 / angel
3C2・(2^7-2) というのは、何の値でしょうか? 問題の答とは違うようですが。

> 最初に三つ各箱に入れる玉を考え、７P3
> 残りの四つと二つの仕切りを重複組み合わせで６！/4!2!

そういう式が使えるとしたら、例えば次のような問題です。

・問題
　a,b,c,d,e,f,g の7人分の同日・同時刻のバスの席を予約する。
　バスはA,B,Cの3台あり、全てのバスから、それぞれ最低1席以上予約する。
　旅行会社では、予約受付順に、前から席を隙間なく割り当てる。
　この7人以外が予約に関わらない場合、席の割り当て方は何通りあるか。
　なお、バスの定員は十分にあるものとする。

・解答
　まず、A,B,Cそれぞれの先頭座席、計3席が誰になるか、7P3通り
　残り4席について、A,B,Cからそれぞれ何席 ( 各0席以上 ) 確保するか、3H4=6C4通り
　確保した4席に残りの人がどう座るか、4!通り
　7P3×3H4×4!=75600通り

うーん。3H4×7! でいいじゃないかという気もしますが、まあそれは置いといて。

で、このバスの問題だと、例えば
　バスA … 1:a, 2:b, 3:c
と
　バスA … 1:b, 2:a, 3:c
というのは、席の割り当てとしては異なるものとなります。
しかしながら、今回の問題では、仮に何かしら順序付けをしたとしても、
　箱A … 玉a,b,c
と、
　箱A … 玉b,a,c
というのは、同じ入れ方とみなされます。
なので、バスの問題と同じ感覚で 7P3等を使ってしまうと、らすかるさんの指摘された通り、「重複した数え方」を免れません。

※というか、この問題の答からして、重複組み合わせが出てくる余地のない値だと思うのですが…
No.11661 - 2010/09/23(Thu) 00:37:07
☆ Re: 確率 / bone
ありがとうございます。
それは二つの箱だけに入る場合でした。寝ぼけていました・・・
すみません・・・

バス内での並びを考える際は順列になるんですね。
ではこの問題は3＾7から一つの箱のみに入る場合、二つの箱のみに入る場合を引く。という方法意外には目ぼしい解き方はないということになるのでしょうか？
No.11674 - 2010/09/23(Thu) 23:34:53
☆ Re: 確率 / らすかる
「3^7から…」の方法が最も綺麗に解ける方法だと思いますが、
他に解き方がないというわけではありません。

別解１
分ける個数で場合分けします。
(1,1,5)に分ける場合：7C5×3C1×2!通り
(1,2,4)に分ける場合：7C4×3C1×3!通り
(1,3,3)に分ける場合：7C3×4C3×3C2通り
(2,2,3)に分ける場合：7C2×5C2×3C2通り
合計 1806通り

別解２
箱Ａに入る玉の個数で場合分けします。
1個の場合：7C1×(2^6-2)通り
2個の場合：7C2×(2^5-2)通り
3個の場合：7C3×(2^4-2)通り
4個の場合：7C4×(2^3-2)通り
5個の場合：7C5×(2^2-2)通り
合計 1806通り

別解３
各箱の最も若い番号の玉で場合分けします。（後で箱の区別を考えます）
最も若い番号が(1,2,3)の場合：3^4通り
最も若い番号が(1,2,4)の場合：2^1×3^3通り
最も若い番号が(1,2,5)の場合：2^2×3^2通り
最も若い番号が(1,2,6)の場合：2^3×3^1通り
最も若い番号が(1,2,7)の場合：2^4×3^0通り
最も若い番号が(1,3,4)の場合：3^3通り
最も若い番号が(1,3,5)の場合：2^1×3^2通り
最も若い番号が(1,3,6)の場合：2^2×3^1通り
最も若い番号が(1,3,7)の場合：2^3×3^0通り
最も若い番号が(1,4,5)の場合：3^2通り
最も若い番号が(1,4,6)の場合：2^1×3^1通り
最も若い番号が(1,4,7)の場合：2^2×3^0通り
最も若い番号が(1,5,6)の場合：3^1通り
最も若い番号が(1,5,7)の場合：2^1×3^0通り
最も若い番号が(1,6,7)の場合：3^0通り
合計301通りなので301×3!=1806通り
No.11681 - 2010/09/24(Fri) 04:33:24
☆ Re: 確率 / bone
詳しく有難うございます。
取りこぼしができそうですが、分ける個数の場合わけはとても楽に思います！
この方法が妥当なんですね、よくわかりました。
ただ、ｃ、ｐがよくわからなくなってきてしまったのですが、最初の７P3というところだけについて議論したとき、箱ABCに入れる玉を一つずつ選ぶので順列になるというのはあっていますか？
例えば七個の異なる玉を箱abｃに一つずつ入れる、だったら７ｐ３であっていますでしょうか？樹形列で考えると問題ない様に思うのですが・・・
つまりはらすかるさんの最初の記事の、重複されている。というのが気になっているということなのですが・・・
混乱しているので意図が不明でしたらすみません。
お願いします・・・
No.11686 - 2010/09/24(Fri) 16:48:13
☆ Re: 確率 / らすかる
7個から最初に3つを選んでABCに入れるというのは
7P3で合っています。
私が「重複」と言ったのは、そこで入れた3つと
その後に入れる4つのうち3つが入れ替わっても
まったく同じパターンになりますから、
それが重複という意味です。
例えば最初に玉1、玉2、玉3を順にA,B,Cに入れて
残りの4個をA：玉4、B：玉5、C：玉6と玉7のように入れるのと
最初に玉4、玉5、玉6を順にA,B,Cに入れて
残りの4個をA：玉1、B：玉2、C：玉3と玉7のように入れるのとでは
結果はまったく同じですから、重複して数えていますね。
No.11687 - 2010/09/24(Fri) 18:09:03
★ ベクトルの問題です。 / kisa
平行六面体ABCD-EFGHにおいて、V(AC)=V(a),V(AH)=V(b),V(AF)=V(c)とする。V(BH)をV(a),V(b),V(c)を用いて表せ。

ベクトルACの場合、V(AC)と表記しました。

V(BH)を求める場合どのような考え方をすれば良いのでしょうか？

与えられたベクトルをBを始点に直してして考えたりしてみましたが、うまくいきませんでした。
No.11640 - 2010/09/20(Mon) 18:20:16
☆ Re: ベクトルの問題です。 / angel
V(a),V(b),V(c) が、そのままだと使いにくいので、添付の図のV(x)=V(AB),V(y)=V(AD),V(z)=V(AE) のように、分かり易いベクトルを基準に考えるのが良いでしょう。

平行六面体ですから、
　V(a)=V(x)+V(y)
　V(b)=V(y)+V(z)
　V(c)=V(z)+V(x)
という関係になります。ここから、連立一次方程式を解く要領で、V(x),V(y),V(z)を、V(a),V(b),V(c)で表すことができます。

V(x),V(y),V(z)を基準に考えれば、
　V(BH)=V(AH)-V(AB)=V(y)+V(z)-V(x)
となりますから、V(x),V(y),V(z)を、V(a),V(b),V(c)で表した形に置き換えてあげれば答えが計算できます。
No.11642 - 2010/09/20(Mon) 20:52:22
☆ Re: ベクトルの問題です。 / kisa
教えてくださってありがとうございました。
おかげで、自分で解答をつくることができました。
本当にありがとうございました。
No.11644 - 2010/09/20(Mon) 22:51:27
★ たすけてください(；一_一) / わかんない
はじめまして。
方べきの定理についての質問です。
さっそく画像にてお願いいたします。
ＰＡ：ＰＢ＝ＰＣ：ＰＤの公式はわかるんですが、これでいくとどの角がＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄだかわかりません。
こういう問題はどうすればいいのですか？
No.11635 - 2010/09/20(Mon) 14:06:36
☆ Re: たすけてください(；一_一) / X
方べきの定理の証明過程を見ると、円周角を使って
２つの相似な三角形を見つけ出してその相似比について
式を立てているのが分かります。

ということで問題の図に適当な補助線をつけて相似な
２つの三角形を作ってみましょう。
No.11636 - 2010/09/20(Mon) 15:01:17
☆ Re: たすけてください(；一_一) / わかんない
ありがとうございます。
ですがあまり理解できません(+_+)
結果的にどこがどの点になるのでしょうか？
No.11637 - 2010/09/20(Mon) 15:07:32
☆ Re: たすけてください(；一_一) / X
例１)
長さ2,3の線分のPと反対側の端点をA,C (A)
長さ4,xの線分のPと反対側の端点をB,D (B)
として△PAC,△PBDを作ってみます。
(図を描いてみましょう)
すると円周角により
△PAC∽△PBD
であり、対応する辺の比により
＞＞ＰＡ：ＰＢ＝ＰＣ：ＰＤ (C)
が成立しています。

上の場合はあくまで例の一つであり
長さ2,3の線分のPと反対側の端点をB,D
長さ4,xの線分のPと反対側の端点をA,C
として△PAC,△PBDを作ってもよい(図を描いてみましょう)
ですし、或いは
長さ2,xの線分のPと反対側の端点をB,D
長さ3,4の線分のPと反対側の端点をA,C
と取って△PAC,△PBDを作っても(図を描いてみましょう)
やはり成立します。

更に(A)(B)のように点A,B,C,Dを取って
今度は例１とは異なり、△PAB,△PCDを作ってみます。
(図を描いてみましょう)
するとやはり円周角により
△PAB∽△PCD
であり、対応する辺の比の関係により
PA:PC=PB:PD
これは(C)とは異なりますが方べきの定理です。



以上長々と書きましたが、この定理は補助線を加えて
相似な三角形を作り出すことで導き出されます。
ですので定理の等式を丸呑みにして
＞＞どこがどの点になる
という視点ではなくて、
1)相似な三角形がどこにでき、
2)２つの三角形を比較したときに対応する辺はどことどこか
という視点で考えてみましょう。
No.11638 - 2010/09/20(Mon) 16:03:14
☆ Re: たすけてください(；一_一) / わかんない
なるほど！！
わかりました。
まずは図を書いてみますね。
ありがとうございました（＾ｕ＾）
No.11639 - 2010/09/20(Mon) 16:34:23
★ MAXMIN / bone
続けて失礼します。
宜しくお願いします。

関数の最大最小を求める問題についてなのですが、f'(x)を考えるだけで大概大丈夫で、概形を考える必要がある場合は殆ど存在しないのでしょうか？？（受験数学で）
それか必ずしも概形を考えなくていいということは一概に言えず、考えたほうがいいというような場合もあるのでしょうか？？あるとしたらその見分け方やコツなど教えてほしいです。
ちなみにf(x)=√(2-x^2)　-x　(√2≦x≦√2)の最大最小を求めよ
等の?VCで出てくる少し考えないとわからないような関数についてです。
ちょっと抽象的な質問になるかもしれませんが、宜しくお願いします。
No.11630 - 2010/09/20(Mon) 03:43:39
☆ Re: MAXMIN / ヨッシー
概形を考えると、図のようになりますが、図から得られる情報はここまでで、
具体的な数値は、微分しないと分かりませんね。

ただ、微分するということは、グラフの概形を考えるということですので、
グラフと微分は、ワンセットです。

実際にグラフを描く描かないは別にして、頭の中では、イメージしているはずです。
No.11631 - 2010/09/20(Mon) 05:55:24
☆ Re: MAXMIN / シンジ
グラフの概形は数問題を解いていくと
だいたいどんな形かはわかるようになりますよ。
でも入試問題ではわからないようなのが出たりします。

ちなみにf(x)=√(2-x^2)-x
は円の上半分y = √(2-x^2)からy = -xを足した形って感じで考えるとイメージしやすいです。
No.11645 - 2010/09/21(Tue) 02:24:09
☆ Re: MAXMIN / bone
こんばんは、どうもありがとうございます。
こういう予想ができるものに関してはいいですが、例えば三角関数の場合グラフが面倒だなと思うのですが変わらず考えるべきでしょうか？
例えばy=sinx(1-cosx)のようなものなどです。
基本的にはヨッシーさんがおっしゃるとおり少なくとも判断ができる物に関しては最大最小のみ聞かれていてもグラフを考えたほうがいいのでしょうか。ちなみに回答にも書いたほうがいいのでしょうか？書けとはいっていないので書かなくてもよいと聞いたことがあったのですが・・・

すみませんがよろしくお願いします。
No.11647 - 2010/09/22(Wed) 02:50:16
☆ Re: MAXMIN / ast
解答として記述を整理する話と, 解答を考えるための思考を整理する話とがごっちゃになっている気がします.

面倒でもちゃんと概形を考えないと落とし穴に陥ることもあれば, ざっと増減表を書き出す程度で必要な情報が得られることもあるわけで, そういった補助情報は必要に応じて必要なレベルで用いればよいと思います.

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E3%81%AA%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%BC%E3%82%AF
には次のようなジョークが載っています.
------------------
数学者、哲学者と科学者が談笑している。科学者が「ああ、研究に金がかかって仕方がない。試薬や器具を必要としない君たちが羨ましいよ」と言うと、それに答えて数学者が哲学者の方を見ながら言う。「全く同じことを言いたいよ。僕ら(数学者と哲学者)はどちらも紙と鉛筆で研究するが、君(哲学者)はゴミ箱を買わなくて済むからね」と。
------------------

「グラフの概形」は, 考える上ではほぼ必須だが解答にする段階で捨てられるものの代表格といってもいいのではないでしょうか.
No.11662 - 2010/09/23(Thu) 12:48:53
☆ Re: MAXMIN / bone
確かにごっちゃになっていました、ありがとうございます。

そんなジョークがあるんですね、面白いです！
わかりました、ありがとうございました。
No.11675 - 2010/09/23(Thu) 23:42:29
★ log / bone
こんばんは。
質問をさせてください。
化学と比較した話をしたいのですが、中和のph=-log［H］という式をよく活用していますがこれはlogの底は１０で常用対数だと思います。（よく１０^nという形が出てきてnを整数に直す作業をすることが多いので・・・）
しかし数学でやるlogの底で省略できるのはeで、自然対数ですよね？
桁数を考えるときなどよく使いますが１０が底であれば省略はしないと思うのでとても不思議です。
凄く初歩的なことなのですが、とても腑に落ちないのでどなたかよろしくお願いします。
No.11627 - 2010/09/20(Mon) 02:08:00
☆ Re: log / angel
それは、分野によって何を標準の底とすると便利かが、違ってくるため。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E6%95%B0#.E7.89.B9.E6.AE.8A.E3.81.AA.E5.BA.95

あたりでどうでしょう。
No.11628 - 2010/09/20(Mon) 02:24:33
☆ Re: log / ハオ
angelさんが非常に詳しいサイトを載せてくれています
横槍ながら僕の知っているお話をさせて頂こうと思います

日本の受験業界では数学はlog(e)をlogとして
化学はlog(10)=log と一般的にしています。
国際的にはlog(10)=logです
ではlog(e)は？と聞かれたら log(e)=ln（ロン）です。
ですから関数電卓にもこのln という表記が見られます。

この話は代ゼミの亀田先生がして下さいました
No.11641 - 2010/09/20(Mon) 20:45:17
☆ Re: log / bone
こんばんは。
昨日PC見れず遅くなりすみません。
とてもよくわかりました、本当に有難うございます。
すっきりしました！
亀田先生の講義を直に聞けるのはうらやましいです＾＾
ありがとうございました。
No.11646 - 2010/09/22(Wed) 02:42:13
全22696件 [ ページ : << 1 ... 981 982 983 984 985 986 987 988 989 990 991 992 993 994 995 ... 1135 >> ]