ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 割られる式の決定 / ドドラ

問題
x^2で割ると3x+2余り、x^2+2+1で割ると2x+3余るようなxの多項式のうちで、次数が最小のものを求めよ。

解説
多項式をP(x)とし、割る式x^2+1、x^2+x+1の積(x^2+1)(x^2+x+1)で割ったときの基本関係に注目すると
P(x)=(x^2+1)(x^2+x+1)Q(x)+R(x)　R(x)は3次以下または0
P(x)をx^2+1、x^2+x+1で割ったときの余りは、R(x)をx^2+1、x^2+x+1で割ったときの余りにそれぞれ等しいから、求める多項式はR(x)そのものである。

R(x)をx^2+1で割ったときの商は1次以下の式であり、条件から
R(x)=(x^2+1)(ax+b)+3x+2
同様に　R(x)=(x^2+x+1)(ax+c)+2x+3　と書ける。
よって(x^2+1)(ax+b)+3x+2=(x^2+x+1)(ax+c)+2x+3
この恒等式からa=1,b=2,c=1
したがって、求める多項式は
R(x)=(x^2+1)(x+2)+3x+2=x^3+2x^2+4x+4

i)なぜ多項式をP(x)とし、割る式x^2+1、x^2+x+1の積(x^2+1)(x^2+x+1)で割ったときの基本関係に注目するのか？

ii)なぜ求める多項式はR(x)そのものになるのか。

iii)R(x)=(x^2+1)(ax+b)+3x+2
同様に　R(x)=(x^2+x+1)(ax+c)+2x+3　となぜ書けるのか。

以上の３点が分かりません。
よろしくお願いします。

No.11370 - 2010/08/29(Sun) 18:08:57

☆ Re: 割られる式の決定 / rtz

問題文に間違いがありますね(× x² → ○ x²+1)。

i)簡単にいえば、
＞P(x)をx²+1、x²+x+1で割ったときの余りは、R(x)をx²+1、x²+x+1で割ったときの余りにそれぞれ等しい
ことを利用するためです。
(x²+1)(x²+x+1)Q(x)の部分はx²+1、x²+x+1両方で割り切れますから、
余りがいくらということには関与しません。
両方で割れてしまうところは、もう割れることは分かっているのでどけておいて、
残った部分で余りを考えるということです。

ii)もし4次(R(x)は3次以下)以上なら、(x²+1)(x²+x+1)という4次式で割れてしまいますね。
それなら「次数が最小」という問題の条件に合いません。

iii)R(x)は3次以下ですから、R(x)＝px³+qx²+rx+sなどとおいてもいいのですが、
結局これをx²+1で割ってみると、
px+qという「1次式の商」と、(r-p)x+(s-q)という「1次式の余り」が得られます。
この余りは3x+2に他ならないので、ここから求めてもよいのですが、
「1次式の商」と「1次式の余り(＝3x+2)」となることは明白ですから、
ならば割る手間を考えて、最初から「1次式の商」をax+bとしておけば、
R(x)＝(x²+1)(ax+b)＋(3x+2)と表すことができます。
まぁテクニックの1つだと思ってください。

No.11371 - 2010/08/29(Sun) 19:03:21

☆ Re: 割られる式の決定 / ドドラ

詳しい説明ありがとうございます。
理解できました。

No.11373 - 2010/08/29(Sun) 22:14:01

★ △ＡＢＣにおいて… / るゐ

△ＡＢＣにおいて、ＢＣ＝ａ、ＣＡ＝ｂ、ＡＢ＝ｃとする。
ａcosＡ＝ｂcosＢとｂtanＢ＝ｃtanＣがともに成り立つとき、
△ＡＢＣはどんな形をしているか。

正三角形になるみたいですが、式変形の方法を教えて下さい。

　

No.11364 - 2010/08/28(Sat) 16:28:26

☆ Re: △ＡＢＣにおいて… / ヨッシー

cos は余弦定理で、sin は正弦定理で辺の長さに変えるのが、
扱いやすいでしょう。
　ａcosＡ＝ｂcosＢ
は、余弦定理より
　ａ{(ｂ^2＋ｃ^2－ａ^2)/２ｂｃ}＝ｂ{(ｃ^2＋ａ^2－ｂ^2)/２ｃａ}
　ａ^2(ｂ^2＋ｃ^2－ａ^2)＝ｂ^2(ｃ^2＋ａ^2－ｂ^2)
　(ａ^2－ｂ^2)(ａ^2＋ｂ^2－ｃ^2)＝０　・・・(1)
まで、変形します。

　ｂtanＢ＝ｃtanＣ
は、
　ｂsinＢcosＣ＝ｃsinＣcosＢ　・・・(2)
正弦定理より
　sinＢ＝ｂ/２Ｒ、sinＣ＝ｃ/２Ｒ　（Ｒは外接円の半径）
よって、(2) は
　ｂ^2{(ａ^2＋ｂ^2－ｃ^2)/２ａｂ}＝ｃ^2{(ｃ^2＋ａ^2－ｂ^2)/２ｃａ}
　ｂ(ａ^2＋ｂ^2－ｃ^2)＝ｃ(ｃ^2＋ａ^2－ｂ^2)
　(ｂ－ｃ)(ａ^2＋ｂ^2＋２ｂｃ＋ｃ^2)＝０　　・・・(3)
(1) から言えることは、△ＡＢＣは
　ａ＝ｂ　の二等辺三角形　または　∠Ｃ＝90°の直角三角形
(3) から言えることは、△ＡＢＣは、
　ｂ＝ｃの二等辺三角形

これらが両方満たされるのは、ａ＝ｂ＝ｃのとき。

No.11365 - 2010/08/28(Sat) 19:27:17

☆ Re: △ＡＢＣにおいて… / るゐ

解説有難うございます＞＜
助かりました。

　

No.11374 - 2010/08/29(Sun) 22:33:28

★ こう２ / 菊次郎

△OABがあり、OA＝4、OB=3,cos∠AOB＝2/3である。
OA→・OB→＝ア
辺ABを１：２にない分する点をCとし、辺OA上にOD→＝kOA（kは実数）となる点Dをとると
CD→＝｛k-（イ/ウ）OA→ - （エ/オ）OB→
これはCD→＝OD→ - OC→を利用すればいいだけですよね。
CD⊥ABのとき kの値を求めよ。
これはCD→・AB→＝０で解くだけですか？
一応計算が間違ってなければk=5/ 8になりました（暗算でやったので間違ってるかもしれないです。）
さらにこのとき、辺OB、AB上にそれぞれ点E,Fをとり、四角形CDEFが長方形になるようにすると
OF→＝（ク/ケコ）OA→＋（サシ/スセ）OB→である。
一応自分の答えは
1/24OA→＋17/24→OB→ （?）すいません。うろおぼえなので数値が違うかもしれないです。
分母がたしか２０なんとかになったきがします。
長方形になるということは
いまCD⊥ABなので点Cと点Dはちょうど垂線をおろした直線上と辺との交点というわけですから
要するに真下にあるってことですよね。
だから四角形CDEFが長方形になるっていうのは
EFの位置はだいたいきまってきますよね。
だからCE=DFとかなんとかを利用して
OF→＝OＣ→＋CD→＋DF→でまず1通り表して、つぎに
AF：FBをt:1-tするとの流れで
OF→をもう一通り表してあとは係数比較してkとtがでてくるのでtを消去するとkが
5/8となり
OD→＝5/8OA→＝5/8OB→となって
あ、これは長方形になりそうだな・・っておもって
答えたかんじなのですが、友達に聞いたところ
「それ普通にまちがってる。だいたいk=5/8とか同じになるわけないじゃん」と返されました。
自分でも間違ってるきがするので
誰か正しい答えを教えてください。おねがいします

No.11358 - 2010/08/28(Sat) 00:54:39

☆ Re: こう２ / 菊次郎

「OD→＝5/8OA→＝5/8OB→となって
あ、これは長方形になりそうだな・・っておもって」
すみません、この部分は誤りです。
あと答えは
OF→＝1/24OA→＋23/24OB→になりました。

No.11359 - 2010/08/28(Sat) 00:55:57

☆ Re: こう２ / ヨッシー

ＤＥ//ＡＢより、
ＯＥ＝ｋＯＢ＝(5/8)ＯＢ
一方、ＤＣ＝(1/24)ＯＡ＋(1/3)ＯＢ
より
ＯＦ＝ＯＥ＋ＤＣ
　　　＝(1/24)ＯＡ＋(23/24)ＯＢ
です。

No.11363 - 2010/08/28(Sat) 10:39:32

★ 拡張された不等式の証明 / ドドラ

問題
a≧2,b≧2,c≧2,d≧2のとき、次の不等式を証明せよ。
abcd≧a+b+c+d

解説
a≧2,b≧2のとき
ab-(a+b)=(a-1)(b-1)-1≧1×1-1=0
よって　ab≧a+b…?@
c≧2,d≧2から、同様にして　cd≧c+d…?A
｛ab≧4＞2、cd≧4＞2から　ab×cd≧ab+cd…?B｝
?@、?A、?B、から　abcd≧a+b+c+d

解説の｛｝でくくった部分の意味が分からないです…
そもそも?Bの式って等号成立するんでしょうか？
よろしくお願いします。

No.11336 - 2010/08/26(Thu) 20:19:33

☆ Re: 拡張された不等式の証明 / ヨッシー

２以上の数を２つ持ってくると、それらを、ａ，ｂとしたとき
　ａｂ≧ａ＋ｂが成り立つと?@で言っています。?Aも同様です。
では、２以上である２つの数、ａｂとｃｄを持ってきても
同じことが言えるでしょう、というのが?Bです。

等号は成り立たなくても良いのです。
ｘ＞ｙ　が真なら、ｘ≧ｙ　も真です。

No.11339 - 2010/08/26(Thu) 20:57:11

☆ Re: 拡張された不等式の証明 / ドドラ

納得しました。
ありがとうございました。

No.11342 - 2010/08/26(Thu) 22:16:58

★ 微分_3 / meta

axf(x)=-x^3+3ax^2/2-aの0≦x≦1における最大値をＭ(a)とおく。b=Ｍ(a)のグラフをかき、最小値を求めよ。

微分してf´(x)=-3x^2+3ax

極大・極小はx=0,aなので、増減表をかくにはaで場合分けになりそう。

(?@)a＜0(?A)a=0(?B)0＜a
という感じでやってみました。

(?@)の場合、Ｍ(a)=f(0)
(?A)の場合、Ｍ(a)=f(0)?
(?B)の場合、Ｍ(a)=f(1)?
全然自信ないですが…

よろしくお願いします。

No.11328 - 2010/08/26(Thu) 16:39:40

☆ Re: 微分_3 / meta

問題文が変ですね…

正しくは、

aを実数とし、xの関数f(x)=-x^3+3ax^2/2-aの0≦x≦1における最大値をＭ(a)とおく。b=Ｍ(a)のグラフをかき、最小値を求めよ。

です。

No.11329 - 2010/08/26(Thu) 16:41:33

☆ Re: 微分_3 / meta

かなり問題のかたちが似ているので追加です。

aを実数とし、xの関数f(x)=x^3-3ax^2/2-aの0≦x≦1における最大値をＭ(a)とおく。b=Ｍ(a)のグラフをかけ。

No.11337 - 2010/08/26(Thu) 20:37:24

☆ Re: 微分_3 / angel

それぞれの場合分けに対して、y=f(x)のグラフの概形を描いて考えていますか?

最初の問題は、
(i) a＜0
(ii) a＝0
(iii)-1 0＜a≦1
(iii)-2 a＞1
の4通りの場合分けになります。

添付の図は、(i) の場合の、y=f(x)のグラフです。ここから見てとれる通り、(i) の場合は、M(a)=f(0) となります。
なお、たまたま極小値 f(a) が x軸より上に来ている例になっていますが、別にそこは深く気にする必要はありません。( x軸は描かなくても良いくらい )

No.11341 - 2010/08/26(Thu) 21:37:32

☆ Re: 微分_3 / meta

場合分けは4通り必要だったんですね。
グラフをかいて、Ｍ(a)を調べてみました。

(?@)Ｍ(a)=f(0)
(?A)Ｍ(a)=f(a)=f(0)
(?B-1)Ｍ(a)=f(a)
(?B-2)Ｍ(a)=f(1)

といった感じでしょうか？

No.11344 - 2010/08/26(Thu) 22:42:44

☆ Re: 微分_3 / angel

はい。それで合っています。

> 場合分けは4通り必要だったんですね。

先に4通りという数字を出していますが、多分普通に解くと、y=f(x) のグラフ形状からまず 3通りの場合分けを行い、そこから a＞0 のケースで更に場合分けが必要であることに気付く、となると思います。
※(iii)-1, (iii)-2 と敢えて書いているのはそのため。

No.11346 - 2010/08/26(Thu) 23:02:24

☆ Re: 微分_3 / meta

(?B-1)から導かれるb=a^3/2-aのグラフがどのようになるか教えていただきたいのですが…

他のグラフとの位置関係が掴めません…

No.11349 - 2010/08/26(Thu) 23:46:51

☆ Re: 微分_3 / angel

えーと、普通に3次関数のグラフです。
しかも、b=1/2・a^3-a って、変曲点が原点ですから、原点を中心とした点対称なグラフになります。
0＜a＜1 の範囲で極小値を取りますので、そこは計算してください。

ちなみに、傾き(微分係数)にも注意しておきましょう。
a＝0,1 の境界で、どのように直線のグラフとスイッチするのか、見え方が変わって来ますから。

No.11357 - 2010/08/27(Fri) 22:46:03

★ 微分_2 / meta

a＞0とする。f(x)=x^3-3a^2x+2a^3の区間-1≦x≦1における最小値をm(a)とするとき、b=m(a)のグラフをかけ。

そもそも問題の意味がわかりません…
b=m(a)のbってなんのことでしょう？

とりあえず微分の問題なので微分してみました。

f´(x)=3x^2-3a^2

極大・極小のx座標(±a)やf(-1),f(1)も出しましたが、手がかりが掴めません。

よろしくお願いします。

No.11325 - 2010/08/26(Thu) 15:58:10

☆ Re: 微分_2 / ヨッシー

y＝m(x) ならわかりますか？
でも、変数は、a なので、ｙ＝m(a)。
でも、ａとｙだとイマイチなので、ｂ＝m(a) にしよう。
というだけの話です。

極大極小の結果から、このグラフを描いて、－１≦ｘ≦１の範囲を
見てみると、極小極大が、両方含まれているか、両方含まれていないかになります。

両方含まれている場合、最小は、極小値か、f(-1) の大きくない方となります。
両方含まれないときは、－1≦ｘ≦1 において、このグラフは
単調減少なので、f(1) が最小となります。

No.11340 - 2010/08/26(Thu) 21:04:04

☆ Re: 微分_2 / meta

x^3の係数がプラスなのにグラフは単調減少なんですか？

極大値は(-a,f(-a)),極小値は(a,f(a))でいいですよね？

-1≦x≦1の範囲についてですが、極小・極大のどちらかが含まれているというパターンがないのはなぜですか？

f(-1) の大きくない方、という表現がよくわからないのですが…

No.11343 - 2010/08/26(Thu) 22:28:21

☆ Re: 微分_2 / ヨッシー

グラフを描いてください。
上の質問の１と３は解決するはずです。
２番目の質問は、「それでいい」です。
４番目の質問：
上の文は、「極小値とf(-1)のうち、大きくない方」と
読んでください。

とにかく、グラフを描いてください。
極値が、－１≦ｘ≦１　の中にある場合と、ない場合と。

No.11345 - 2010/08/26(Thu) 22:53:57

☆ Re: 微分_2 / meta

変曲点のx座標が0であることをふまえると、すべての疑問が解決しました。気づくのが遅くてすいません…

極値が-1≦x≦1にある場合とない場合の2通りが考えられるわけですが、後者はｍ(a)=f(1)ですから、問題は極値が含まれる場合ですが、その場合、f(-1)<f(a)とf(a)<f(-1)でさらに2通りの場合分けが必要になってきますね。f(-1)=f(a)は必要ないですか？

f(-1)<f(a)の場合：ｍ(a)=f(-1)
f(a)<f(-1)の場合：ｍ(a)=f(a)

これが正解なら、あとはb=m(a)のグラフだけですね。

No.11348 - 2010/08/26(Thu) 23:32:46

★ 微分_1 / meta

f(x)はxの3次関数で、x=0で極大値3をとり、x=1で極小値-1をとる。
(1)f(x)をもとめよ。
(2)f(x)=0の負の解を-α、正の解をβ、γ（β＜γ）とするとき、α＜βであることを証明せよ。

3次関数なんで、f(x)=ax^3+bx^2+cx+dとおきました。

これを微分して、f´(x)=3ax^2+2bx+c　…Ａ

f´(0)=3
f´(1)=-1

の2式が立てられるので、Ａにxの値を代入して、

c=3
3a+2b+c=-1

これだとaとbが求められないのでまだ式が立てられると思うのですが…

よろしくお願いします。

No.11323 - 2010/08/26(Thu) 15:42:13

☆ Re: 微分_1 / らすかる

f'(0)=3ではありません。f(0)=3です。
f'(1)も同様です。
x=0,1で極大値、極小値をとりますので、f'(0)=f'(1)=0です。

No.11324 - 2010/08/26(Thu) 15:49:15

☆ Re: 微分_1 / meta

返信ありがとうございます、らすかるさん。

とりあえずf(x)=8x^3-12x^2+3となりました。
(a=8,b=-12,c=0,d=3)

答の確認、お願いします。

続いて(2)なんですが、正攻法で因数分解しようとしてもなかなかうまくいきませんでした。

やり方を変えたほうがいいでしょうか？

No.11326 - 2010/08/26(Thu) 16:10:47

☆ Re: 微分_1 / らすかる

答えはそれで合ってます。
(2)はf(1/2)とf(-1/2)を計算するとわかります。

No.11327 - 2010/08/26(Thu) 16:29:45

☆ Re: 微分_1 / meta

f(1/2)=1,f(-1/2)=-1となりましたが…

まだ糸口が掴めません…

No.11330 - 2010/08/26(Thu) 16:58:09

☆ Re: 微分_1 / らすかる

今までわかったことをすべて満たすグラフを書いてみてください。

No.11331 - 2010/08/26(Thu) 17:25:30

☆ Re: 微分_1 / meta

グラフをかいてみてわかりました！

つまり、α<1/2,1/2<βということですか？

No.11332 - 2010/08/26(Thu) 17:38:10

☆ Re: 微分_1 / らすかる

その通りです。

No.11333 - 2010/08/26(Thu) 17:47:51

☆ Re: 微分_1 / meta

ありがとうございました。なんとかなりそうです。

No.11338 - 2010/08/26(Thu) 20:49:52

★ 関数の問題 / B子

よろしくどうぞ。

[Q] A new species of bird was discovered in the forests of North Carolina. Naturalists studying the population of birds found that the number of birds t months from when the species was discovered can be modeled by P(t)=12(1+0.45t)/(2+0.03t).
If P(t) is invertible, find P^-1(35) and explain its meaning in the context of this problem.

という問題です。

P^-1(35)より,12(1+0.45t)/(2+0.03t)=35と書け,
これを解くと12(1+0.45t)=35(2+0.03t)で12+5.4t=70+1.05tで4.35t=58
t≒13.33となったのですがペケでした。
何が間違っているのでしょうか?

それと"explain its meaning in the context of this problem"の部分はどのように答えればいいのでしょうか?

No.11321 - 2010/08/26(Thu) 09:48:40

☆ Re: 関数の問題 / X

>>何が間違っているのでしょうか?
計算自体は間違っていないと思います。
ただ、最終的な答えを
P^-1(35)≒13.33
としましたか？。

>>それと"explain its meaning ～
問題の英文の訳は
「この問題の文脈におけるP^-1(35)の値の意味を説明せよ。」
となります。
従って…。

No.11322 - 2010/08/26(Thu) 11:06:07

☆ Re: 関数の問題 / B子

> >>何が間違っているのでしょうか?
> 計算自体は間違っていないと思います。
> ただ、最終的な答えを
> P^-1(35)≒13.33
> としましたか？。

はい、そうしました。

> >>それと"explain its meaning ～
> 問題の英文の訳は
> 「この問題の文脈におけるP^-1(35)の値の意味を説明せよ。」
> となります。
> 従って…。

なるほど。P^-1(35)は35匹に達するまでの月数ですよね。

No.11350 - 2010/08/26(Thu) 23:55:44

☆ Re: 関数の問題 / X

>>はい、そうしました。
そうですか。
だとすると、解答をチェックされた先生に直接理由を
伺う方がよいと思います。

>>なるほど。P^-1(35)～
その通りです。

No.11353 - 2010/08/27(Fri) 15:43:43

☆ Re: 関数の問題 / B子

> >>はい、そうしました。
> そうですか。
> だとすると、解答をチェックされた先生に直接理由を
> 伺う方がよいと思います。

了解いたしました。聞いてみたいと思います。

No.11361 - 2010/08/28(Sat) 10:01:51

★ 漸化式の問題です / Kay(高３女子）

数研出版の入試問題集です。
等比関数列型漸化式で（ウ）がわかればあとは分かると思うのですが、、、、。ヒントを見ても分かりません。何卒よろしくお願いします。

、

No.11317 - 2010/08/25(Wed) 22:10:02

☆ Re: 漸化式の問題です / ヨッシー

p2 は、１回目が４以下で、２回目が４以下の確率と、
１回目が５以上で、２回目が４以下の確率の和なので、
　2/3×2/3＋1/3×2/3＝2/3　・・・(ア)
p3 は、
１回目が5以上で、2回目が4以下で、3回目が4以下
１回目が4以下で、2回目が4以下で、3回目が4以下
１回目が4以下で、2回目が5以上で、3回目が4以下
の確率の和なので、
　1/3×2/3×2/3＋2/3×2/3×2/3＋2/3×1/3×2/3＝16/27　・・・(イ)
これは、
１回目は何でも良くて、2回目が4以下で、3回目が4以下
１回目が4以下で、2回目が5以上で、3回目が4以下
の確率の和なので、
　p2×2/3＋p1×1/3×2/3＝4/9＋4/27＝16/27
と考えた方が、あとあと役に立ちます。

p_n+2 は、
　n回目は何でも良くて、n+1回目が4以下で、n+2 回目が4以下
　n回目が4以下で、n+1回目が5以上で、n+2回目が4以下
の確率の和なので、
　p_n+2＝(2/3)p_n+1＋(2/9)pn　・・・これがヒントの所の式
とりあえず、ここまで。

No.11318 - 2010/08/25(Wed) 22:39:36

★ 放物線 / みー

問題と解答は画像のとおりです。
(3)の解答のしかたについてなのですが…。
この答えはC1とC2の係数比較を使っていますよね。
そのときの記述なんですが、
「C1とC2の方程式の同類項の係数を比較して」
と書いたらよいのでしょうか。
この問題集には特に記述されていませんでしたが、
書かれている問題集も依然見かけたので気になりました。
よろしくお願い致します。

No.11314 - 2010/08/25(Wed) 17:58:53

☆ Re: 放物線 / angel

>「C1とC2の方程式の同類項の係数を比較して」と書いたらよいのでしょうか。

書いても、書かなくても、どちらでも良いと思います。
もっと丁寧に書くなら、

　C2とC1が一致するため、
　-px^2+8x-7 = -2x^2+(a+4)x-a+b
　は、x に関する恒等式となる。
　これにより、両辺の同類項の係数はそれぞれ一致するため、
　-p=-2, 8=a+4, -7=-a+b

って感じですけど、ここまで書かなくても分かりますからね。
細かい所を言うなら、-p=-2 としたならば、次は a+4=8 ではなくて 8=a+4 でしょうね。まあ、単に気分的なものですが。

No.11315 - 2010/08/25(Wed) 21:27:53

☆ Re: 放物線 / みー

その記述とても分かりやすいです^^
でも書いても書かなくてもどちらでも
いいなら時間短縮もかねて
かかないほうがいいかもしれませんね(><)

確かにC1とC2の順番はそろえたほうが
わかりやすいですね。

納得しました。ありがとうございました。

No.11320 - 2010/08/26(Thu) 04:27:57

★ 増減を確認するには / 受験生ブルース

数?VCの問題からです。おねがいします。
問、ｆ(x)＝xlogx（x＞0)の極値を求める問題ですが、
ｆ'(x)＝logeX－loge（1/e)はわかりますが、
ｆ(x)の極値（f'=0）となるxの値1/eの前後での
f(x)の増減、ｆ’(x)の符号の確認の仕方がわかりません。
これまで解いた問題では、導関数f'(x)にf'(x)=0となる前後のx数値を代入して求めましたが、この問題では、それもできないので、このような場合どのように増減の確認すればよいのでしょうか？

No.11307 - 2010/08/23(Mon) 21:09:39

☆ Re: 増減を確認するには / rtz

どんな計算をされたかよく分かりませんが、
f'(x)＝x*(d/dx(logx))+(d/dx(x))*logx＝1+logxです。
ですからf'(x)＝0⇔logx＝-1です。

というか、
＞ｆ'(x)＝logeX－loge（1/e)
log_ex－log_e(1/e)＝(log_ex)+1です。

No.11308 - 2010/08/23(Mon) 21:44:18

☆ Re: 増減を確認するには / angel

多分、問題集についてた解答例で、そのような式が出てきたのでしょう。

　f'(x) = 1・logx + x・1/x
　= logx + 1
　= log[e]x - log[e](1/e)

って感じじゃないですかね。
で、ここで g(X)=log[e]X とでも置いてみると、

　f'(x) = log[e]x - log[e](1/e)
　= g(x) - g(1/e)

となりまして。しかも g(X)=log[e]X というのは単調増加関数なので、
x＞1/e ならば g(x)＞g(1/e) で f'(x)＞0 ですし、x＜1/e ならば逆に f'(x)＜0 と。

> 導関数f'(x)にf'(x)=0となる前後のx数値を代入して求めましたが、この問題では、それもできないので、
「できない」のではなく「やってない」だけなのですよ。多分。
※質問する時は、自分で考えた解法で行き詰まったのか、模範解答を見て分からなかったのか、どちらかはっきりさせると良いと思います。

No.11309 - 2010/08/23(Mon) 22:13:11

★ 青チャートの問題です / ドドラ

動点Ｐが正五角形ＡＢＣＤＥの頂点Ａから出発して正五角形の周上を動くものとする。
Ｐがある頂点にいるとき、一秒後にはその頂点に隣接する2頂点のどちらかにそれぞれ1/2で
移っているものとする。
ＰがＡから出発して9秒後にＡにいる確率を求めよ。

解答
ＡＢＣＤＥの位置をそれぞれ
5m,5m+1,5m+2,5m+3,5m+4,5m+5（mは整数）とする。
n回の移動のうち反時計回りにk回、時計回りにn-k回動いたとき、Ｐの位置は
k-(n-k)=2k-n

n=9のとき、2k-9=5mとするとm=(2k-9)/5
mは整数であるから0≦k≦9より　k=2、7
よって、9秒後にＡにいるのは、反時計回りに2回、時計回りに7回動くか、
反時計回りに7回、時計回りに2回動いた場合である。
ゆえに、求める確率は
9C2(1/2)＾2(1/2)^7+9C7(1/2)^7(1/2)^2=9/64

なんですけど、解答でなぜ
「ＡＢＣＤＥの位置をそれぞれ
5m,5m+1,5m+2,5m+3,5m+4,5m+5（mは整数）」
とおけるのかが分かりません…

No.11301 - 2010/08/23(Mon) 13:06:43

☆ Re: 青チャートの問題です / ヨッシー

Ａの位置を０として、Ｂを１、Ｃを２・・・・とします。
すると、５はＡ、６はＢ・・・となります。
また、－１はＥで、－２はＤ、－３はＣ・・・となります。

すると、
Ａは、０，５，10・・・および、-5,-10・・・
Ｂは、１，６，11・・・および、-4,-9・・・
Ｃは、２，７，12・・・および、-3,-8・・・
　・・・
なので、上のようになります。

No.11302 - 2010/08/23(Mon) 16:00:17

☆ Re: 青チャートの問題です / ドドラ

ありがとうございました！

No.11306 - 2010/08/23(Mon) 18:50:15

★ 文章題 / かもめーる

連続した３つの自然数がある。その最小の数と最大の数との積は、真ん中に数の－２倍よりもa2－２だけ大きいという。次の問いに答えよ。
ただしaは２より大きい自然数とする。

?@この３つの自然数をaの式で表せ。
?Aこの３つの自然数のそれぞれの２乗の和が５０のときaの値を求めよ。

詳しく解説おねがいしたいです。

No.11300 - 2010/08/23(Mon) 11:51:29

☆ Re: 文章題 / ヨッシー

a2 は a^2 と解釈します。

(1)
３つの連続した自然数の最初の数をｔとすると、３つの数は、
　ｔ，ｔ＋１，ｔ＋２
と書けます。
条件より
　ｔ×(ｔ＋２)＝－２(ｔ＋１)＋a^2－2
　ｔ^2＋4t＋4＝ａ^2
　(t+2)^2＝a^2
　ｔ＞０、ａ＞２より
　t+2＝a
　３数は、a-2，a-1，a
(2)
条件に合うのは、３，４，５なので、a=5

No.11303 - 2010/08/23(Mon) 16:12:10

★ 指数関数 / みー

問題と解答は画像のとおりです。

青で書き入れたところが
よくわからない部分なのですが…。

x=1　のときとしているので、(1-x)に代入すると
(1-x)は0になってしまうのではないかと考えてしまいます。
そして0になったらSnはなくなってしまい、
左辺=0になるのではないかと…。
でもそれは間違っていますよね。
何が間違っているのかご指摘お願いします。

No.11294 - 2010/08/22(Sun) 13:45:39

☆ Re: 指数関数 / サボテン

間違っていませんよ。
x=1の時は、仰っているように、左辺=0になります。

よって、x=1の場合だけ等差級数の和の公式を使って求めています。

No.11295 - 2010/08/22(Sun) 15:44:13

☆ Re: 指数関数 / みー

おはようございます。

等差級数の和とは、
[(項数)×{(初項)+(末項)}]/2
という式のことですか？

No.11298 - 2010/08/23(Mon) 09:34:34

☆ Re: 指数関数 / 七

x＝1のときは
(1－x)S_n＝…
の式ではなく
S_n＝1＋2x＋3x²＋…＋nx^n－1
の式にx＝1を代入して
S_n＝1＋2＋3＋…＋n
としていますから
[(項数)×{(初項)+(末項)}]/2
でいいですよ。

No.11299 - 2010/08/23(Mon) 11:09:49

☆ Re: 指数関数 / みー

そういう意味だったんですね。
てっきり代入しているのだと思って
まだＳが存在していることを
ずっと悩んでいました。
すっきりしました。ありがとうございました。

No.11305 - 2010/08/23(Mon) 18:23:22

★ 曲線の方程式の求め方 / Erica

y切片が2/3で漸近線がx=-1,x=2,y=-3である下記の曲線
http://www.geocities.jp/merissa0/study/calculus/fractiona__function.jpg
はどういう方程式になるか推測せよ。

の解き方をお教え下さい。

No.11291 - 2010/08/22(Sun) 01:34:33

☆ Re: 曲線の方程式の求め方 / Erica

グラフです

No.11292 - 2010/08/22(Sun) 01:36:18

☆ Re: 曲線の方程式の求め方 / らすかる

x→-1+0 のとき f(x)→+∞
x→-1-0 のとき f(x)→-∞
x→2+0 のとき f(x)→-∞
x→2-0 のとき f(x)→-∞
ですから、分母が(x+1)(x-2)^2の分数関数が考えられます。
y=-3が漸近線であることと(0,2/3)を通ることから
分子は -3x^3+ax^2+bx+8/3 とおけて、
これにx=0のときの傾きが-1ぐらいで
x=-2あたりで極大値をとることを加味すると
f(x)=(-9x^3-13x^2-12x+8)/{3(x+1)(x-2)^2}
という式が導けます。
この式は一応問題の条件は満たしていますが、
グラフソフトでグラフを描くとわかるように、
問題の手書きのグラフとは結構曲線の形状が異なります。

より問題のグラフに似ている式を作るとしたら、
例えば -x/{(x+1)(x-2)^2} を元にして
x=2あたりに極大値が出来て(0,2/3)を通るように 2/{(x+1)^2+2} を加え、
x＜-1とx＞2の部分を下に3下げるように
(3/2){|x+1|/(x+1)-|x-2|/(x-2)-2} を加えることにより
f(x)=-x/{(x+1)(x-2)^2}+2/{(x+1)^2+2}+(3/2){|x+1|/(x+1)-|x-2|/(x-2)-2}
といった式を作れば、見た目も元のグラフに近くなります。

でも、おそらくもっと綺麗な式があるのだと思います。

No.11296 - 2010/08/22(Sun) 16:44:46

☆ Re: 曲線の方程式の求め方 / Erica

> x→-1+0 のとき f(x)→+∞
> x→-1-0 のとき f(x)→-∞
：
> でも、おそらくもっと綺麗な式があるのだと思います。

大変ありがとうございます。このように求めるのですね。さすがです。

実際に描いてみましたらそのようなグラフになりました。

これは先日の試験問題で答案を返してくれなくて記憶だけで曲線を手書きしてしまいましたが
先日少しだけその答案を確認させてもらえましたら
添付ファイルの曲線でした。

x=-1とx=3とy=0が漸近線で(0,2/3)と(-2,0)を通ります。
(-2,0)の所は特に極大値にはなってませんでした。

これをy=a[(x+1)(x-2)]/[(x+1)(x-3)^2] (aは定数)と於いて
で(0,2/3)を通る事から
a=3/2で
y=3/2[(x+1)(x-2)]/[(x+1)(x-3)^2]
と求めてみたのですがあまりにも簡単すぎと思うのですがこれで正しいでしょうか?

No.11351 - 2010/08/27(Fri) 03:51:15

☆ Re: 曲線の方程式の求め方 / Erica

すいません。書きミスです。

a=-3/2で
y=-3/2[(x+1)(x-2)]/[(x+1)(x-3)^2]

でした。

No.11352 - 2010/08/27(Fri) 04:20:04

☆ Re: 曲線の方程式の求め方 / らすかる

分子に(x+1)があると分母の(x+1)と相殺されてx=-1が漸近線にならず、
全然違うグラフになってしまいます。
また、y=-(3/2){(x+1)(x-2)}/{(x+1)(x-3)^2} は (0,2/3)を通りません。

x軸との交点を(-2,0)と(2,0)だとすると、分子は -(3/2)(x+2)(x-2) となり、
これは一応条件を満たしています。

No.11354 - 2010/08/27(Fri) 17:14:01

☆ Re: 曲線の方程式の求め方 / Erica

恐縮です。

> x軸との交点を(-2,0)と(2,0)だとすると、分子は -(3/2)(x+2)(x-2) となり、
> これは一応条件を満たしています。

y=-3/2[(x+2)(x-2)]/[(x+1)(x-3)^2]

でしたね。

No.11360 - 2010/08/28(Sat) 10:00:06

☆ Re: 曲線の方程式の求め方 / らすかる

はい、それで大丈夫です。

No.11362 - 2010/08/28(Sat) 10:08:01

☆ Re: 曲線の方程式の求め方 / Erica

どうもありがとうございます。

感謝感謝です。

No.11366 - 2010/08/29(Sun) 01:46:28