数列x1、x2、・・・・・・・、xnはn個の自然数1,2,・・・、nを並べ替えたものである。
（1）Σ｛n,k=1｝（xk - k）^2 ＋ Σ｛n,k=1｝（xk -n ＋k -1）^2をnの式で表せ。
（2）Σ｛n,k=1｝（xk - k）^2が最大となるx1、x2、・・・・・・、xnの並べ方を求めよ。
（1）の答えは
Σ｛n,k=1｝（xk - k）^2 ＋ Σ｛n,k=1｝（xk -n ＋k -1）^2＝n（n＋1）（n-1）/3です
（2）が分かりません。
解答には（1）の結果からΣ｛n,k=1｝（xk - k）^2 ＋ Σ｛n,k=1｝（xk -n ＋k -1）^2はx1.x2.・・・xnの並べ方に
よらず一定である。
また、Σ｛n,k=1｝（xk -n ＋k -1）^2≧0が成り立つ。
したがって
Σ｛n,k=1｝（xk - k）^2はΣ｛n,k=1｝（xk -n ＋k -1）^2＝０すなわちxk=n-k＋1のとき最大になる。
とあるのですが
分からないところ
?@【解答には（1）の結果からΣ｛n,k=1｝（xk - k）^2 ＋ Σ｛n,k=1｝（xk -n ＋k -1）^2はx1.x2.・・・xnの並べ方に
よらず一定である。】
この意味です。
?A
また、Σ｛n,k=1｝（xk -n ＋k -1）^2≧0が成り立つ。
したがって
Σ｛n,k=1｝（xk - k）^2はΣ｛n,k=1｝（xk -n ＋k -1）^2＝０すなわちxk=n-k＋1のとき最大になる。
なんでΣ｛n,k=1｝（xk -n ＋k -1）^2≧0を利用するのか・・・
（1）までは自力でできたのですが（２）はお手上げ状態です。
誰か分かる方教えてください。おねがいします＞＜
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No.11795 - 2010/10/02(Sat) 17:54:17
| ☆ Re: 高2 数列 難問？ / ヨッシー  | | | >並べ方によらず一定
たとえば、n=2 のときは、
{1,2} のときは、
(1-1)^2+(2-2)^2 ＋ (1-2+1-1)^2+(2-2+2-1)^2＝２
{2,1} のときは
(2-1)^2+(1-2)^2 ＋ (2-2+1+1)^2+(1-2+2-1)^2＝２
のように、つねに一定だと言うことです。
n=3 だと 8、n=4 だと 20 になります。
Ａ＋Ｂ＝１０ （Ａ≧０、Ｂ≧０） のとき、Ａの最大値は？
と聞かれたら、Ｂが最小の時、Ａは最大で、それはＢ＝０ の時ですね？
今、Ａ＝Σ｛n,k=1｝（xk - k）^2
Ｂ＝Σ｛n,k=1｝（xk -n ＋k -1）^2
とおくと、同じことが言えますね。
Ｂが最小になるのは、（xk -n ＋k -1）^2 の部分がすべて０になるときです。
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No.11796 - 2010/10/02(Sat) 18:59:50 |
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