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へ・ヘルペスミー / L
Σn=1から無限log2底(n+1/n)
これって
lim無限log2底(n+1/n)=0
で収束
して
lim無限log2底(n+1)=無限
になってこれって和が発散??



てかんじでわかりません

No.2159 - 2008/08/20(Wed) 13:26:05

Re: (無題) / ヨッシー
どれが問題で、どれが解説で、どれが自分の解答??

てかんじでわかりません

問題をまず正しく書いてください。

No.2160 - 2008/08/20(Wed) 13:36:08

Re: へ・ヘルペスミー / L
すみません(笑)
問題が
Σn=1から無限log2底(n+1/n)
なんですが

liman=lim無限log2底(n+1/n)=0
で収束かぁ・・とおもったら

limSn=lim無限log2底(n+1)=無限
になってあれ?これって収束してなくね??・・
というわけなんですが

No.2161 - 2008/08/20(Wed) 13:50:23

Re: へ・ヘルペスミー / L
すいませんあと
こういいうときって
log底2
っていうんですかね;;;;;;

No.2162 - 2008/08/20(Wed) 13:53:23

Re: へ・ヘルペスミー / ヨッシー
どちらでも通じればいいです。

普通は、log(2)(n+1/n) と書いたりします。
タグを使うなら、log<sub>2</sub> と書くと、log2 と表示されます。(<>は実際は半角)

それよりも、n+1/n は、(n+1)/n のことでしょうか?
n+1/n だと、普通 n+(1/n) の意味になり、これだと
無限に行ってしまいます。

No.2163 - 2008/08/20(Wed) 13:58:16

Re: へ・ヘルペスミー / ヨッシー
で、問題ですが、
 Σn=1〜∞log2((n+1)/n)
で、

 (与式)=log2(2/1)+log2(3/2)+・・・+log2((k+1)/k)+log2((k+2)/(k+1))+・・・
 =log2{(2/1)(3/2)(4/3)・・・((k+1)/k)((k+2)/(k+1))・・・}
 =limn→∞log2(n+1)→∞
なので、収束しないぞ、と言いたいわけですね?

その通り収束しません。
単一の項が0に収束しても、和は収束するとは限りません。
例 Σn=1〜∞(1/n)

No.2164 - 2008/08/20(Wed) 14:14:42

Re: へ・ヘルペスミー / L
なるほど・・・・☆
まじでわかりました☆☆
まじでありがとううございますmmmmmmmmmm

No.2166 - 2008/08/20(Wed) 15:14:48
部分積分っすよね;;;; / fだs
三生
∫0〜π(xcos^2x)dx
の解説
をおねがいしますOTZ

No.2155 - 2008/08/20(Wed) 01:34:43

Re: 部分積分っすよね;;;; / にょろ

cos2x=cos^2x-sin^2x
=2cos^2x-1
∴cos^2x=(cos2x+1)/2

∴∫[0,π](xcos^2x)dx=(1/2)∫[0,π](x(cos2x+1))dx
あとは部分積分です。

No.2157 - 2008/08/20(Wed) 02:35:23

Re: 部分積分っすよね;;;; / fだs
xを微分して
cos2x+1
を積分するとき

1/2sin2x+x
でいいですよね??

No.2158 - 2008/08/20(Wed) 13:20:18

Re: 部分積分っすよね;;;; / L
つかこれの答えってπ/4
ですか???

No.2179 - 2008/08/20(Wed) 23:29:12
高3です。 / あずさ
はじめまして。教えていただきたい問題があります。

aを正の整数、b,cを整数とし、
f(x)=ax^2+bx+2ab+10、g(x)=x+2、h(x)=2x^3-x^2+cx+2とする。
(1)f(x)がg(x)で割り切れるとき、a,bは(a-あ)(b+い)+う=0を満たす。
したがって、a=え、b=お,またはa=か、b=き、である。

(2)h(x)=(x+1)f(x)+8x+4がすべてのxについて成り立つとき、
a=く、b=け、c=こ、である。


平仮名のあ〜こが解答となります。たいへん見にくい文章で申し訳ありません。
よろしくお願いします

No.2147 - 2008/08/19(Tue) 21:08:14

Re: 高3です。 / rtz
どこが分からないのか具体的に書いていただけますか?
(1)はともかく(2)が全く分からないというのはないと思いますが…。

No.2150 - 2008/08/19(Tue) 22:26:57

Re: 高3です。 / あずさ
説明不足で申し訳ありません。

(1)はほぼお手上げ状態でした。すみません;;

(2)はとりあえず式どおりに数字を代入して計算しました。(この方法でいいのか分かりませんが;)
xで整理すると(2-a)x^3+(-1-b)x^2+(cx-2ab-18)x-2=0となったのですが、違う気がしてなりません。
それにここから先がわからなくなりました。

No.2151 - 2008/08/19(Tue) 22:44:39

Re: 高3です。 / rtz
(1)
何も出てこないというなら
http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakua/jyouyo/jyouyo.htm
http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakua/insteiri/insteiri.htm
を復習された方がいいでしょう。
因数定理は本問において重要なポイントではありますが、
詰まるべきはここではなく、その先です。

方針としては
因数定理からa,bの関係式を出す
→問題文の形に直す(あ,い,うの部分)
→(a−あ),(b+い)が整数であることから(a−あ),(b+い)の候補を絞る
になります。

(2)
>数字を代入して
代入などされていないようですが…。
>(2-a)x^3+(-1-b)x^2+(cx-2ab-18)x-2=0
残念ながら違います。
もう一度確認してください。

方針としては
h(x)−{(x+1)f(x)+8x+4}=0が全てのxで成り立つので、
xのべき乗の係数が全て0であることから、
a,b,cに関する連立方程式を解く、となります。


失礼ながら、書かれた内容から察するに、
かなり実力的に不足しているようです。
休みの終わりにも近い時点で言うことではないかもしれませんが、
分からない部分はきちんと復習しなおされた方がいいと思います。

No.2154 - 2008/08/20(Wed) 01:01:53

Re: 高3です。 / にょろ
補足です。

(2-a)x^3+(-1-b)x^2+(cx-2ab-18)x-2=0

任意のxで成立するa,b,cが存在するはずがありません。
なぜならx=0を代入すれば見ての通りです。

No.2156 - 2008/08/20(Wed) 02:09:40

Re: 高3です。 / あずさ
一日頑張ってみました><

(1)を因数定理でやってみたところ、a=8b=-3,a=2b=-9という解答になったのですがあっているでしょうか?

紹介してくださったサイト、わかりやすかったです。ありがとうございます。

(2)ですが、代入して左辺と右辺で係数比較する、ということですよね。そこを理解していませんでした;;
整理して、
2x^3-x^2+cx+2=ax^3+(a+b)x^2+(2ab+b+18)x+2ab+14となり、
係数比較して、a=2,b=-3,c=3となりました。

大丈夫でしょうか?

No.2167 - 2008/08/20(Wed) 16:10:12

Re: 高3です。 / rtz
はい、問題ありません。
No.2177 - 2008/08/20(Wed) 21:53:49

Re: 高3です。 / あずさ
ありがとうございました!
復習して頑張ってみようと思います。

No.2201 - 2008/08/21(Thu) 17:54:20
(No Subject) / *Sana*
初めまして。高1です。分からない問題があるので教えて頂けないでしょうか?

【1】2次関数y=-x^2+2ax(0≦x≦2)について。

?@最大値M(a)を求めよ。

?Ay=M(a)のグラフを書け。

【2】2次関数y=x^2-3x-1について (a>0とする)

?@0≦x≦aにおける最大値が3であるとき、定数aの値を求めよ。

――――――――――――――――――――――――
【1】の?@は自分で解いてみたのですが、

   a<0のとき最大値Mは0(x=0)
(答) 0≦a≦2のとき最大値Mはa^2(x=a)
   a>2のとき最大値Mは4a-4(x=2)

でしょうか?(汗)

【1】の?Aはグラフの書き方が分かりません><;


宜しくお願い致します。

No.2144 - 2008/08/19(Tue) 20:03:40

(No Subject) / ヨッシー
(1)
前半は合っています。

y=M(a)のグラフは、横軸がa、縦軸がyのグラフです。
 y=0 のグラフ ・・・(a軸上のグラフ)
 y=a^2 のグラフ ・・・(下に凸のグラフ)
 y=4a−4 ・・・(直線)
を、aの範囲関係なく、まず書いてみましょう。
その後で、3つのグラフがなめらかにつながるように
aの範囲によって、グラフを選びます。

(2)
y=x^2-3x-1=(x-1.5)^2-3.25
より、yの値は     ※グラフを描いてくださいね
x=0でy=−1
x=1.5 で最小になり y=-3.25
x=3で再び y=−1 となり、
あとは増えるのみです。
そのどこかにy=3 となるxの値があります。それがaです。

No.2145 - 2008/08/19(Tue) 20:15:02

Re: / *Sana*
お返事が遅くなり申し訳ありません。

凄く分かりやすい説明有難う御座いました^^

助かりました。

No.2183 - 2008/08/21(Thu) 00:45:09
証明 / 桜 高校2
たびたびすみません。
よろしくお願いいたします。

△ABCにおいて、次の等式が成り立つことを証明せよ。
asinA-bsinB=c(sinAcosB-cosAsinB)

まったく検討がつかずわかりませんでした。。

教えてください
よろしくお願いいたします。

No.2138 - 2008/08/19(Tue) 16:12:14

Re: 証明 / 明智小五郎
△ABCの外接円の半径をRとします。

正弦定理より、
sinA=a/(2R), sinB=b/(2R)

また、余弦定理より、
cosB=(c^2+a^2-b^2)/(2ca),
cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
となります。

これらを使えば道は開けることでしょう。

No.2140 - 2008/08/19(Tue) 17:26:53

Re: 証明 / 明智小五郎
桜 高校2さん、
その後、いかがですか・・・?

No.2146 - 2008/08/19(Tue) 20:19:58

Re: 証明 / 桜 高校2
明智小五郎さんっ、お返事遅れてしまいすみません。
おかげさまで解けました☆
ありがとうございます。

また、何かありましたらよろしくおねがいいたします。

No.2148 - 2008/08/19(Tue) 21:39:51
/ 桜 高校2
こんにちは。
よろしくお願いいたします。

a=9,b=8,c=4 である三角形ABCのA,B,Cについて、
0°<C<30°、60°<B<90°<A<120°であることを示せ。

という問題がまったくわかりませんでした(>_<)
いったいこれはどのようにするのでしょうか。

教えてください
よろしくお願いいたします。

No.2137 - 2008/08/19(Tue) 16:01:17

Re: 角 / 七
余弦定理を用いてcosA,cosB,cosCの値を求めて
1>cosC>√(3)/2,1/2>cosB>0>cosA>−1/2
がいえれば

0°<C<30°、60°<B<90°<A<120°であることを示せます。

No.2139 - 2008/08/19(Tue) 17:24:37

Re: 角 / 桜 高校2
七さん、ありがとうございます☆
おかげさまでできました!

類似の問題で

△ABCにおいてBC>CA>ABである。
cosAsinC,cosBsinBおそびcosCsinA野中で最大のものをM、最小のものをmとする。
M,mを求めよ。

という問題が解けませんでした><
教えてください。
たびたびすみませんよろしくお願いいたします。

No.2142 - 2008/08/19(Tue) 18:28:58

Re: 角 / 七
> △ABCにおいてBC>CA>ABである。
のとき A>B>C なので(これだけではありませんが)
cosA<cosB<cosC で 0<cosB<cosC
sinA>sinB>sinC>0 がいえます。

No.2143 - 2008/08/19(Tue) 18:56:36

Re: 角 / 桜 高校2
ありがとうございます。

A>B>Cまでどうやって求めたらよいでしょうか。

たびたびすみません。

No.2149 - 2008/08/19(Tue) 21:49:09

Re: 角 / 七
> △ABCにおいてBC>CA>AB のとき A>B>C
は数Aでやっているはずです。

No.2173 - 2008/08/20(Wed) 16:50:33
教えてください / amiamibunbun
?@xの2次方程式x2乗-2ax+3a=0の2つの解(重解を含む)が両方とも1より大きくなるとき、aのとりうる値の範囲を求めよ。

?Amを定数とし、f(x)=x2乗+m+3、g(x)=ーmxとする。xは0以上で、常に、f(x)はg(x)より大きい、となるためのmの値の範囲を求めよ。

この2問お願いします。

No.2129 - 2008/08/18(Mon) 16:22:16

Re: 教えてください / にょろ
とりあえず
x2乗はやめませふ
x^2が普通の表記
(1)
f(x)=x^2-2ax+3a
まず
判別式/4>=0
次に
f(x)は下に凸だから
f(1)>0
さらに軸がx=1より大きくなくてはならない

下の画像の赤い点の部分がポイント

(2)
f(x)>g(x)
f(x)-g(x)>0
x^2+mx+m+3>0

No.2132 - 2008/08/18(Mon) 20:43:58

Re: 教えてください / amiamibunbun
返信ありがとうございます!
No.2135 - 2008/08/19(Tue) 07:53:20
三角関数 / shiyo
aは定数とする。
f(θ)= a(√3sinθ-cosθ)-(√3sin2θ+cos2θ)+a+1
について次の問いに答えよ。ただし、0°≦θ≦180°とする。
?@関数 y=√3sinθ−cosθのグラフの概形を書きなさい。
?At=√3sinθ-cosθとおくとき、f(θ)は次のように表されることを示しなさい。
 f(θ)=t²+at+a−1

宜しくお願い致します。

No.2127 - 2008/08/18(Mon) 12:46:28

Re: 三角関数 / にょろ
y=√3sinθ−cosθ=2(sin(x-π/6))
∵三角関数の合成より

t^2=3sin^2θ-2√3sinθcosθ+cos^2θ

√3sin2θ+cos2θ=2√3sinθcosθ+cos^2θ-sinθ
=-t^2+2

∴f(θ)= a(√3sinθ-cosθ)-(√3sin2θ+cos2θ)+a+1
=at-(-t^2+2)+a+1
=t^2+at+a-1

でどうでしょ?
あと、全角と半角混ぜないでください
コピペするとき辛い

No.2133 - 2008/08/18(Mon) 20:59:49

Re: 三角関数 / shiyo
にょろさん 有り難うございます!!
No.2134 - 2008/08/18(Mon) 22:20:30
微分方程式の応用 / 白梅
高校3年生の問題です。宜しくお願い致します。

(問題)ある曲線上の任意の点Pにおける接線が、
    X軸,Y軸と交わる点をそれぞれQ、Rとする時、
    Pがつねに線分QRの中点であるような
    曲線を求めよ。

(解答)求める曲線y=f(x)上の任意の点をP(x,y)
    とするとPにおける接線の方程式は、
    Y−y=(dy/dx)(X−x)
    よって点Rのy座標はX=0として、
    Y=y−x*(dy/dx)
    「Pが線分QRの中点であるから
    2y=y−x*(dy/dx)」これより、
    x*(dy/dx)=−yとなり、xy≠0のとき、
    (1/y)*(dy/dx)=−1/xとなるから、
    ∫(1/y)*(dy/dx)*dx=−∫(1/x)dx
    よってlog|y|=−log|x|+C(1)
    ゆえにy=±{e^(C(1))/x}
    ここで±e^(C(1))=Cとおくと、
    y=C/x(C≠0)
    したがって求める曲線は 
    双曲線群xy=C (Cは0以外の任意の定数)

私が疑問に思うのは解答の鍵括弧の所です。
中点Pを求める際にそのような計算をすれば
カギ括弧の中の式が得られるのかが分かりません。
その前までに出てきた式を変形してみたのですが
なかなか上手くいかず、
その式を立てる事が出来ません。

宜しくお願い致します。

No.2113 - 2008/08/17(Sun) 21:50:11

Re: 微分方程式の応用 / to
y軸上の点Rのy座標 y−x*(dy/dx)
x軸上の点Qのy座標 0
RQの中点Pのy座標 Y
 以上から、Y=[{y−x*(dy/dx)}+{0}]/2
 両辺2倍、2Y=−x*(dy/dx)

【参考】
(a,b),(c,d)の中点
 {(a+c)/2,(b+d)/2}

No.2115 - 2008/08/18(Mon) 00:01:16

ありがとうございました^^ / 白梅
to様、深夜遅くにも関わらず、
分かりやすい回答ありがとうございました^^

なるほど、中点座標を出すには
線分の端の点を1/2すれば簡単に
出せるのですね。接線の方程式を無理に
難しく考えてしまって、基本的な事を忘れていました。
やっと理解できました^^

ありがとうございました^^

No.2120 - 2008/08/18(Mon) 09:13:28
図形 / 中1
「2つの三角形(△ABC △DEF)において 2組の辺(AB=DE、AC=DF)がそれぞれ等しく、その1組の等しい辺の対角(その辺に向かい合う角 ∠B=∠E)が等しいとき、この2つの三角形は合同(△ABC≡△DEF)であるか、または、他の1組の等しい辺の対角が補角(∠C+∠F=2∠R)をなす」
この事柄を図を用いて証明せよ との問題

No.2109 - 2008/08/17(Sun) 19:39:40

図形 / 中1
すみません。質問文の途中で間違って投稿してしまいました。
 答えは必ずしも合同になるとは限らないという結論になるようですが、よくわからいのでよろしくお願いします。

No.2110 - 2008/08/17(Sun) 19:55:35

Re: 図形 / Bob
三角形の合同条件と照らし合わせましょう
No.2112 - 2008/08/17(Sun) 21:43:43

Re: 図形 / 中1
> 三角形の合同条件と照らし合わせましょう

Bob さま

基本的な三角形の合同条件(三辺相等、二辺挟角、二角挟辺)はもちろんわかっているんです。

基本的な合同条件を踏まえた上での宿題です。

ネットで調べてみたところ あまり有名ではない定理で
『二辺と1対角』というのがあるみたいです。
 上の問題の条件の場合、
・△ABC≡△DEF   か
・∠C+∠F=2∠R 
のどちらかが成り立つという定理があるようです。
この定理は習っていませんが、三角形の基本的な合同条件や習ったことを踏まえて証明してしてみなさいということだと思うのです。

No.2114 - 2008/08/17(Sun) 22:04:25

Re: 図形 / rtz
調べればすぐ出てきそうな気はしますが…。

図の通り2辺1非狭角の場合、
△DEF、△DEF'の2つの可能性があるということです。

今回は結論まで書いてあるのですから、
その結論に合うような図を描けば解くことができますね。

No.2119 - 2008/08/18(Mon) 04:44:53

Re: 図形 / 中1
> 調べればすぐ出てきそうな気はしますが…。
>
> 図の通り2辺1非狭角の場合、
> △DEF、△DEF'の2つの可能性があるということです。
>
> 今回は結論まで書いてあるのですから、
> その結論に合うような図を描けば解くことができますね。



なるほど。。
「他の1組の等しい辺の対角が補角(∠C+∠F=2∠R)をなす」
という部分をどう図で示して証明したらよいのかがよくわからなかったのですが、
rtzさんの図をみてよくわかりました。
すっきりしました。
本当にありがとうございました。

No.2124 - 2008/08/18(Mon) 11:48:26
平面図形(三角形) / ポテチ
中学2年生(中高一貫進学校なので3年の範囲かもしれません)の夏休みの宿題です。
△ABCの底辺BCの中点をDとする。辺AB,ACをそれぞれ斜辺とする直角二等辺三角形ABG,ACHを△ABCの外側にそれぞれ作る。このとき、DG=DH,角GDH=90°になることを証明せよ。
よろしくお願いします。

No.2108 - 2008/08/17(Sun) 18:03:26

Re: 平面図形(三角形) / DANDY U
宿題とあらばヒントにとどめましょう。

AB,ACの中点をそれぞれI,Jとし、IとG,DおよびJとH,Dを結びます。
中点連結定理などをつかって △IGDと△JDHを比較すると・・・・

∠GDH=∠GDI+∠IDJ+∠JDH=∠DHJ+∠DJC+∠JDH=・・・

・・・という方向で考えていけば何とかなるかもね・・・

No.2116 - 2008/08/18(Mon) 01:00:06

Re: 平面図形(三角形) / ポテチ
DANDY Uさま!!

ありがとうございました。
こんなところに合同があったなんて!目からうろこでした。
シンプルすぎてどう手を付けたらいいかわからなかったのですが、「中点連結定理!」脱帽です。

これで夏が終われます。ありがとうございました。

No.2123 - 2008/08/18(Mon) 10:28:30
変数分離形微分方程式 / 白梅
高校3年生の問題です。宜しくお願いします。

(問題)微分方程式dy/dx=−2yを解け。
 
(解答)dy/dx=−2yにおいて、y≠0とすると、
    (1/y)*(dy/dx)=−2 両辺をXで積分すると、
   ∫(1/y)*(dy/dx)*dx=∫(−2)dx
   ∫(1/y)dy=∫(−2)dx
   log|y|=−2x+C(1)(C(1)は定数)
   よってy=±e^(−2x+C(1))
   ここでC=±e^(C(1))とすると、
   「y=Ce^(−2x) (C≠0)
   また関数y=0は微分方程式を満たしており、
   これはC=0のとき表される。」
   したがって、求める一般解は
   y=Ce^(−2x) (Cは任意定数)

私が疑問に思うのは解答の鍵括弧の所です。
カギ括弧前半部分でCは0でないと定義しているのに
後半部分でC=0のとき、y=0を満たすと言うのは
矛盾しているのではないでしょうか?
Cが0で定義できないのなら、y=0も
成り立つ事も出来なくて、答えも
「Cは0を除く任意の定数」と
するべきではないでしょうか?

宜しくお願い致します。

追伸:豆様、七様、前回回答して下さった
   質問に対して返信が遅くなりました。
   申し訳ございません。そして、豆様、
   もしこの質問を見て下さっているならば
   前回の質問に返信しているので見ていただけないで    
   しょうか?ぜひ豆様の意見が聞きたいと思います。

No.2103 - 2008/08/17(Sun) 13:55:49

Re: 変数分離形微分方程式 / rtz
これはどちらかというと文章の切れ目の問題に近いでしょう。

y≠0で議論を進めているのですから、
y=C*e-2xとしたなら、当然C≠0は付記すべき事項です。

その上で(「また」の前後で議論が変わります)、
除外したy=0は微分方程式を満たしているので、これも加える必要があり、
y=C*e-2xにおいてC=0とすればy=0となり、まとめて表記できることから、
y=C*e-2x (Cは任意の定数)としているわけです。

別にy=C*e-2x (C≠0) または y=0でも間違いではありません。
でもまとめられるならまとめた方がいいよね、ということです。

No.2104 - 2008/08/17(Sun) 14:14:23

ありがとうございました^^ / 白梅
rtz様、素早くて大変分かりやすい
回答をありがとうございました^^

確かにrtz様が仰る通り、解答部分をどこで
場合分けしているのかが理解できていませんでした。
y≠0⇔C≠0が1つの場合、
y=0⇔C=0を1つの場合と考えれば、
なるほど、全体的に条件を満たすのは
Cが任意の定数ですね。rtz様の説明は
とても分かりやすいです。やっと納得できました^^

今、またこの問題を解き直しましたが、
y≠0とした後、(1/y)*dy=−2dxと考えて、
∫(1/y)*dy=∫(−2)*dxを導いてもよいことが
分かったので、追加してここに書いておきます。

ありがとうございました。^^

No.2106 - 2008/08/17(Sun) 15:19:36

Re: 変数分離形微分方程式 / 豆
白梅殿
以前の問題に関するコメントを入れました。

No.2122 - 2008/08/18(Mon) 09:49:33

ありがとうございました^^ / 白梅
豆様、回答ありがとうございました。

ようやく納得できました^^
追伸という小さい告示だったにも関わらず、
見つけて回答して下さってありがとうございました^^

今後また機会がありましたら、
宜しくお願い致します。^^

No.2126 - 2008/08/18(Mon) 12:16:30
2次関数 / 爆弾三朗 (高1)
2次関数
Y=-2x^2+8x-4 の定義域をc<=x<=c+1 とし、この定義域における2次関数の最大値をM、最小値mとする。

M+mのとりうる値を考えるとき、M+mの最大値と、そのときのcの値をもとめよ。


よろしくお願いいたします。

No.2102 - 2008/08/17(Sun) 13:50:22

Re: 2次関数 / rtz
この分野の問題に慣れていらっしゃらないのでしたら、
普通にM、mをcの値で場合分けして出し、
M+mをcで表して、最大値を求めた方がいいでしょう。

ある程度慣れているなら、
Mはx=c+(1/2)が軸の位置のとき、
mはx=cおよびx=c+1の値が等しいとき、
要は区間の中央が軸と一致するときM+mが最大になることは分かりますので、
あとはここで最大になることを言えばよいでしょう。

No.2105 - 2008/08/17(Sun) 15:16:44

Re: 2次関数 / 爆弾三朗 (高1)
わかりました。

ご指導ありがとうございました。

No.2130 - 2008/08/18(Mon) 19:07:05
(No Subject) / 7bitm 
・△ABC≡△DEF 
・∠AGD=60°
このとき図において、
AE,BF,CDの中点同士を結ぶと
正三角形になることの証明。

自力で解くと補助線が凄まじくなってしまって。
簡単な解き方は無いでしょうか。お願いします。

No.2092 - 2008/08/17(Sun) 03:26:40

Re: / にゃんこ先生といいます
複素数を使うとよいのでは?
A=0,B=b,C=cとする。
△ABCをAを中心に-60度回転(-ωをかける)し、平行移動(pをたす)したのが△DEFだから、
D=p,E=-ωb+p,F=-ωc+p

AE,BF,CDの中点はそれぞれ、
(-ωb+p)/2,(b-ωc+p)/2,(c+p)/2

ところで、点α,β,γが正の向きに正三角形をなすとき、
α+ωβ+ω^2γ=0
だから、それらはこの式を満たすので正三角形

No.2093 - 2008/08/17(Sun) 07:57:05

Re: / にょろ
↑複素数は高校の範囲になっていないので使えそうにありません。
(何ではずした文科省中途半端な行列は残したくせに)

なので座標を使ったらどうでしょう?
a(0,0),b(1,0),c(1/2,1/√3)
d(c,d)〜

で、それの中点を求める
というのは?

No.2096 - 2008/08/17(Sun) 08:41:22

Re: / 7bitm 
図形的に考えなくても良いんですね!

複素数の方は感覚的にしかわからないのでちょっと。

座標の方は60°をどう使うかがわかりません。
それと、 c(1/2,1/√3) というのもいまいち…

No.2101 - 2008/08/17(Sun) 12:09:06

Re: / にょろ
あ、思いっきり間違えました
a(0,0),b(2,0),c(1,√3)
でした。

少し急いでいたので…
正三角形はすべて合同なので一辺の長さが2の時だけ考えればよいことになります。
d(c,d),e(e,f)
とするとfはどう表せますか?

ただタブン複雑になりますよ^^;

No.2107 - 2008/08/17(Sun) 17:08:44

Re: / 7bitm 
度々すみません。
a,b,cを結ぶと正三角形になるのは解ったのですが、
その「a,b,c」は何を指すのでしょうか。

3つの中点ならばd,eは何を指すのでしょうか。
△ABCの頂点ならば△ABCは正三角形とは限らないので
おかしくなってしまい…。

というわけでfが表せないのです…

No.2111 - 2008/08/17(Sun) 21:02:34

Re: / にょろ
あ、問題読み間違えました

それはもう力一杯
というわけでこの方法でやると
変数が大量に出てくるのでお勧めしません。
A(0,0)B(1,0)←ここまでは決めて問題ない
C(a,b)

D(c,d)
E(e,f)
ただし
DE=1
F(g,h)
ただし
AC=DF
AB=DF
という座標には表せます。
が、これを計算で持って行くとなると
大変だと思います。

あとは、行列もありますが…

No.2117 - 2008/08/18(Mon) 02:33:11

Re: / 7bitm 
やっぱりそう簡単にはいかないですね。
座標は角度が入ると辛いです。

一応図に30本ぐらい線を引けば図形的に証明できるには
できます(もっと簡単にできるかも、ですが)

にょろさん、にゃんこ先生といいますさん、
ありがとうございました。

No.2118 - 2008/08/18(Mon) 04:35:08

(No Subject) / ヨッシー
ごりごり計算するには違いありませんが、

図のように、△ABCと△DEFは、ある点を中心に60°回転した関係にあります。
(ある点とは、AD,BEそれぞれの垂直二等分線の交点です)
この中心を原点として D(a,b),E(c,d),F(e,f) とおくと、
A((a-√3b)/2,(√3a+b)/2),B((c-√3d)/2,(√3c+d)/2),C((e-√3f)/2,(√3e+f)/2) となり、
AE,BF,CDの中点の座標を出して、中点間の距離の2乗を計算すると、いずれも
 a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2+√3(ad+cf+eb-af-cb-ed)-(ac+ce+ea+bd+df+fb)
になります。

それはさておき、この問題は、図のように

1つの頂点を共有する3つの正三角形の問題に帰着するのですが、
こういうの、どなたかご存じないですか?

おまけ

No.2136 - 2008/08/19(Tue) 14:16:09

Re: / 7bitm 
「1つの頂点を共有する3つの正三角形の問題」
ならしっていますよ。

この問題自体が、
一年前に実習生として来ていた大学生から出された
その問題をアレンジして作ったものですから。

自分の解き方は、その問題の形にしてから解いていく、
というものですし。

No.2153 - 2008/08/20(Wed) 00:32:56
(No Subject) / soky 中2
Oを原点とするxy平面上に、放物線y=1/4x二乗…?@と直線y=x+3…?Aがあり、?@と?Aの交点を左からA,Bとする。また、y軸の正の部分に点Cを、△ABC=20となるようにとる。次に、点Cを通り?Aに平行な直線と?@の交点を左からD,Eとする。
(1)D,Eの座標、および、台形ABEDの面積を求めなさい。
(2)ABの中点Mを通り、台形ABEDの面積を二等分する直線の式を求めなさい。
(3)Oを通り、台形ABEDの面積を二等分する直線の式を求めなさい。

考え方を付け加えてお願いします!

No.2086 - 2008/08/16(Sat) 22:18:47

Re: / Bob
とりあえず?@と?Aの連立をといてA・Bの座標を出します

そして?Aの切片(Hとする)より上のy軸上にCをとり
CとH・A・Bを結んで△ABCの面積20になるようにCHの長さを出す。

そうするとCHが5となりC(0,8)となるはずです。

よってDEの式は?Aと平行でCを通ることから
y=x+8となります

ここでy=x+8と?@との連立で
x=8とー4で
D(−4,4)
E(8,16)となる

No.2091 - 2008/08/17(Sun) 02:46:20

Re: / soky 中2
途中まででも、ありがとうございます!
No.2131 - 2008/08/18(Mon) 19:52:07
(No Subject) / ゆぅ 高1
A、Bをいくつか並べて新しい記号を作るとき、A、Bを最小限何個まで並べると100個の記号が作れるか。


正十ニ角形の頂点を結んで三角形を作るとき、正十ニ角形と辺を共有しない三角形は何個できるか。


お願いします!

No.2085 - 2008/08/16(Sat) 19:47:30

Re: / DANDY U
横1列に並べて出来る記号と捉えて回答します。

例えば AAA,ABA,BBA,・・のように3つ並べた記号は 2^3 個できます。
このようにn個のABを並べると2^n個の記号が出来るので、n個以内で出来る記号の数は
2^1+2^2+2^3+・・・+2^n=2^(n+1)−2 となります。

この値が100以上になるには 2^(n+1)≧102
2^6<102<2^7 だからn=6で128個までの記号が作れます。
(n=5では64個しか作れません)・・・答えは6個
(2次元的に並べるならもっと少なくてすみます)

共有してもよいのなら出来る三角形の総数は 12C3(個)
そのうち2辺が共有するものは・・頂点の数と同じで 12個
1辺が共有するものは・・1辺につき(12-4)個あるので、全部で 12×8(個)あります。
よって、12C3−(12+12×8)で求まります。

No.2095 - 2008/08/17(Sun) 08:30:04

Re: (No Subject) / ゆぅ
ありがとうございました!!
答えはあってるのですが、100個の記号を作る.というのを、100以上の記号を作ると考えてよいのはなぜですか??


2問目は分かりました!

No.2097 - 2008/08/17(Sun) 09:43:37

Re: / DANDY U
2^(n+1)−2=100 になる整数nがあればそれにこしたことはないのですが、丁度100
になる場合があるとは限りません。
そこで、「この値が100以上になる整数nのうち最小のもの」を求めると、必要な最小
限の数となると考えたのです。

No.2098 - 2008/08/17(Sun) 10:24:55

Re: (No Subject) / ゆぅ
分かりました!
どうもありがとうございました!!?~

No.2099 - 2008/08/17(Sun) 10:30:24
この問題の答え教えて下さいm(_ _)m / 山本開
   ___ロ.ロロロロロロロ
ロロロ)ロロロ
    ロロロ
    ーーー
     ロロロ
     ロロロ
     ーーーーーー
       ロロロロ
       ロロロロ
       ーーーーーー
          ロロロ
          ロロロ
          ーーーー
          ロロロロ
          ロロロロ
          ーーーー 
            ロロ

                         お願いします!!

No.2075 - 2008/08/16(Sat) 13:37:56

Re: この問題の答え教えて下さいm(_ _)m / らすかる
548÷498です。
No.2078 - 2008/08/16(Sat) 14:41:38

Re: この問題の答え教えて下さいm(_ _)m / 高1
横槍すいませんが解き方を教えて頂いてもいいですか?
興味深い問題なので・・・。

No.2081 - 2008/08/16(Sat) 17:29:31

Re: この問題の答え教えて下さいm(_ _)m / rtz
注目するのは、4桁−4桁=1桁のところ。
明らかに?000−????=?であるから、引く数は?99?。
これに該当するものを考える。
1桁×3桁(A)で該当するものを候補に上げる。

ただし、その1つ下が3桁(B)−3桁=3桁で、
引かれる数の最大が900であるから、引く数の最大は799。
また(B)から、(A)の引きうる最大倍数を引いて、ちゃんと
3桁分残るものでないといけない。(この時点で候補は恐らく3つに絞れる)
そして、4桁−4桁=1桁の1つ上、3桁(C)−3桁(D)=1桁(E)のところ、
(C)の下1桁は当然0で、(D)は(A)の倍数。
既に分かっている(E)に(A)の倍数を足し、下1桁が0でかつ3桁に収まるような候補は1つしか残らないのでそれが答え。

…という方針で私はやりましたが、
もっといい方法があるかもしれません。

No.2082 - 2008/08/16(Sat) 18:02:00
(No Subject) / にゃんこ先生といいます
半径1の円に内接する正n角形の辺を含めた対角線の長さの2乗の和は,非常に巧妙かつ簡単に求めることができて,  n^2である。

上記のことをどのように示せばよいのでしょうか?
ピタゴラスの定理が使えそうだと感じるのですが、うまくいきません。
http://www.geocities.jp/tomodak_grapes/volume24.html
より

No.2072 - 2008/08/16(Sat) 01:13:38

Re: / キューダ
Σ[k<j][{cos(2kπ/n)-cos(2jπ/n)}^2+{sin(2kπ/n)-sin(2jπ/n)}^2]
=Σ[k=1,n]Σ[j=1,n][1-cos(2(k-j)π/n)]=n^2
という方針が念頭にあってのコメントではないでしょうか。

No.2077 - 2008/08/16(Sat) 14:16:27

Re: / にゃんこ先生といいます
ありがとうございます。
Σ[k<j][{cos(2kπ/n)-cos(2jπ/n)}^2+{sin(2kπ/n)-sin(2jπ/n)}^2]
=Σ[k=1,n]Σ[j=k+1,n][2-cos(2(k-j)π/n)]
=(1/2)Σ[k=1,n]Σ[j=1,n][2-cos(2(k-j)π/n)]
=n^2
と個人的には解釈しました。

でも、なにか図形的な方法のような気がします。
ピタゴラスの定理・トレミーの定理が使えそうだと感じるのですが、うまくいきません。

No.2079 - 2008/08/16(Sat) 16:15:11

Re: / rtz
nが偶数なら三平方は使えますね。
直径を斜辺とする直角三角形の残りの辺の2乗和は、
直径の2乗つまり4です。
あとはn倍して2*2の重複で割ればn2になります。

No.2080 - 2008/08/16(Sat) 17:15:52

Re: / キューダ
Σ[k]Σ[j]=Σ[k<j]+Σ[j<k]+Σ[j=k]
ですが、加算される関数では、第一項と第二項は等しく、第三項は0なので、
Σ[k<j]=(1/2)Σ[k]Σ[j]と対称形に変形できるのがミソとなってます。

示されている2行目のような式を入れているのをみると、Σ[k=j]についてしっか
り考察していないようにおもわれます。

あと、cosineの係数は定数項と同じ2ですね。k=jのとき、非0となってしまいますよ。

No.2083 - 2008/08/16(Sat) 18:56:32

Re: / にゃんこ先生といいます
rtzさん、ありがとうございます。
そうですね。nが奇数のときも、うまい方法はないでしょうかね?

キューダさん、ありがとうございます。
Σ[k=j]に考慮はしましたが、記述は省いていました。
cosineの係数は間違えていました。

No.2088 - 2008/08/16(Sat) 23:52:38

Re: / にゃんこ先生といいます
半径1の円に内接する正n角形の辺を含めた対角線の長さの2乗の和はn^2

次の方法はいかがでしょう。
複素平面の単位円をとり、α=exp(2πi/n)として、~を共役として、
頂点を1,α,α~,α^2,α~^2,…とする。
頂点1を端点とする対角線の2乗の和は、
Σ|1-α^k|^2
=Σ(1-α^k)(1-α~^k)
=Σ(2-α^k-α~^k)

この和は共役どうしで打ち消しあう。
nを奇数か偶数かで分ければうまくいきそう。
本質的にキューダさんの方法と同じですね。

No.2089 - 2008/08/17(Sun) 00:12:56

(No Subject) / にゃんこ先生といいます
似たものに、
半径1の円に内接する正n角形において、一つの頂点から残りの(n−1)個の頂点へ引いた線分の長さの総積は、ちょうどnになる、
ことの証明を見つけました。
http://d.hatena.ne.jp/kuro-yo/20070418/1176912035

そこのコメントの質問が分かる方はいらっしゃいますでしょうか?

「単位円に内接する正n角形のある一つの頂点から
 残りのn−1個の頂点に引いて出来る対角線の
長さの【逆m乗】の和は いくつになるでしょうか?」

No.2090 - 2008/08/17(Sun) 00:14:54
(No Subject) / 高3
四角形ABCDにおいて,4つの辺の長さの2乗の和をS,2つの
対角線の長さの2乗の和をTとする.
四角形ABCDが平行四辺形であるための必要十分条件は,S=T
であることを示せ.

よろしくお願いします

No.2069 - 2008/08/15(Fri) 16:24:35

Re: / rtz
必要は比較的容易なので、十分の方を。

|↑AC|^2+|↑AD−↑AB|^2=|↑AB|^2+|↑AD|^2+|↑AC−↑AB|^2+|↑AC−↑AD|^2
⇔|↑AC|^2+|↑AB|^2+|↑AD|^2−2↑AC・↑AB−2↑AC・↑AD+2↑AB・↑AD=0
⇔(↑AB−↑AC+↑AD)^2=0
⇔↑AD=↑AC−↑AB=↑BC

No.2074 - 2008/08/16(Sat) 11:48:16
(No Subject) / ゆぅ 高1
500以上1000以下の整数のうち7の倍数であるが3の倍数でない数は何個あるか。

という問題で答えが47なのに48になってしまうのですが…



360の正の約数全体の和を求めよ。



大中小3つのサイコロを投げるとき、目の和が奇数になる場合は何通りか。


何問もすいません。
よろしくお願いします!

No.2064 - 2008/08/15(Fri) 12:10:56

(No Subject) / rtz
1つ目
どう考えたか書いてみてください。
間違っているところを指摘できるかと思います。

2つ目
単純な公式があるにはあるのですが、
何をやってるのか分からなくなっては意味がないので、
http://arot.net/sanzyutsuman/public_html/Pages/unit2.html
をとりあえず参考にして下さい。
その上で約数の総和、などで検索してみるとよいでしょう。

3つ目
和が奇数になるのは
「偶数+偶数+奇数」か「奇数+奇数+奇数」のいずれかです。
それぞれ求めて足し合わせるといいでしょう。

No.2065 - 2008/08/15(Fri) 12:43:00

Re: (No Subject) / ゆぅ
ありがとうございます☆
2つ目は見てみます!


1つ目は
500÷7で7の倍数の個数を出し、500÷21で7、3の倍数の個数を出して引きました。


3つ目はその考え方でやったのですが計算の方法が間違ってたみたいで…よく分からなくて…

No.2066 - 2008/08/15(Fri) 13:25:44

Re: / rtz
1つ目
方向性は間違いではありません。
でもそれだと1〜500なら確かにそうですが、501〜1000でそうとは限りません。

例を出せば、
1〜10に6の倍数は1つですが、11〜20には2つありますね。
整数の数自体は同じでも、このように結果が違うこともありうるわけです。

そこで、
(1〜1000の7の倍数の個数)−(1〜500の7の倍数の個数)
を計算することで501〜1000の7の倍数の個数を出しましょう。
21も同様にすれば出せますね。


3つ目
奇数の目は3通りですから奇数3つの方はいいでしょう。
偶数も同じく3通りですが、
偶数2つ奇数1つの場合、どのさいころが奇数なのか選ぶ必要がありますね。

No.2068 - 2008/08/15(Fri) 13:37:32

Re: (No Subject) / ゆぅ
丁寧にありがとうございました!
No.2084 - 2008/08/16(Sat) 19:43:19
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