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★ 高2 / ゆうきんころ
0≦x≦π/2、0≦y≦π/2 cosx+cosy=1のとき
[1]x-yのとりうる値の範囲を求めよ。
解答には
0≦x≦π/2の範囲で、cosxは単調減少→cosyは単調増加→yは単調減少→x-yは単調増加
よって-π/2≦x-y≦π/2
とあるのですが

まずcosx+cosy=1を
cosx=1-cosyに変形します。
cosyが増加するとcosxは減少します。
なので
【cosxは単調減少→cosyは単調増加】は分かるのですが
【→yは単調減少→x-yは単調増加】の意味がわかりません。
誰か分かる方教えてください。おねがいします。
No.10979 - 2010/07/26(Mon) 23:50:09
☆ Re: 高2 / ヨッシー
0≦y≦π/2 の範囲で、
cosｙ が、どんどん大きくなることと、ｙがどんどん小さくなることは
一致しますね？

さらに、−ｙを考えると、−ｙは単調増加です。
ｘがどんどん増えるにつれて、−ｙがどんどん増えるなら、
両者を足した　ｘ−ｙ も、どんどん増えることでしょう。

よって、ｘ−ｙ は、
ｘが最小の時最小で、ｘが最大の時最大となります。
No.10980 - 2010/07/27(Tue) 00:06:19
☆ Re: 高2 / ゆうきんころ
回答ありがとうございます。
ですがまだわからないところが；
私はまず
y=cosxとしてグラフを書いてみました。
今xには０≦x≦π/２という条件があるので
この０〜π/2の間では
グラフは単調減少になっていますよね。
そしてこのグラフが単調減少しているのでxは増加しています。
これをy=cosyとしても軸の設定が変わるだけで同じように思えるのですがこれは一体どういうことなんでしょうか(〜〜；)
あと
【 0≦y≦π/2 の範囲で、
cosｙ が、どんどん大きくなることと、ｙがどんどん小さくなることは
一致しますね？ 】
すみません。頭がかなり弱いので良く理解できません。
0〜π/2の範囲ではcosyが増えることはある（？）のでしょうが
グラフに書いてみてもそれがうまくつかめません。

最初に書いたように
cosx+cosy＝1
を変形してcosx=1-cosy
cosyが例えば10とか11とか適当に決めたとして
これをどんどんふやしていくと
cosxは当然減少するしcosyは増加します。
だから
cosxは単調減少するのならcosyは単調増加というのはなんとなく理解できるのですが
そのあとのyは単調減少というのがやはり分かりません。
そもそもcosxとcosyというのはグラフ的には同じじゃないんですか？
解答の続きには
「x=0のときy=π/2　でx-y=-π/2
x=π/2のときy=0でx-y＝π/2よって　答え」
とあるのですが
x=0のとき
cosx+cosy=1より
cos0+cosy=1
cosy=1となってこのあとがわかりません
たぶんはなっからまちがっているとおもいます。
長くなりましたが、この疑問に対するお答えの方よろしくおねがいいたしますm_m

No.10982 - 2010/07/27(Tue) 00:33:03
☆ Re: 高2 / ヨッシー
>y=cosxとしてグラフを書いてみました。
とおくと、
　cosx+cosy=1
のｙと混同するので、
　u=cosｘ
　v=cosｙ
　ｕ＋ｖ＝１
とおくのが良いでしょう。

たとえば、ｘ＝０のとき
　ｕ＝cos０＝１
なので、
　ｖ＝１−ｕ＝０
ｖ＝０ となるｙはπ/2 です。
ｘが０より少し大きくなると、ｕは１より少し小さくなります。
それにつれて、ｖは０より少し大きくなり、ｙはπ/2 より少し小さくなります。

これが、ｘを０からπ/2 まで増やすとき、至る所で起こります。
つまり、ｘを増やすと、ｕは必ず減っていき、ｖは必ず増えていき、ｙは必ず減っていきます。

グラフで表すと、たとえば下のようになります。

No.10983 - 2010/07/27(Tue) 06:43:42
☆ Re: 高2 / ゆうきんころ
図までつけてくださりありがとうございました！
No.11001 - 2010/07/28(Wed) 01:37:19
★ 確率 / meta
箱の中にＡと書かれたカード、Ｂと書かれたカード、Ｃと書かれたカードがそれぞれ４枚ずつ入っている。男性６人、女性６人が箱の中から１枚ずつカードを引く。ただし、引いたカードは戻さない。
（1）Ａと書かれたカードを４枚とも男性が引く確率を求めよ。
（2）Ａ，Ｂ，Ｃと書かれたカードのうち、少なくとも１種類のカードを４枚とも男性または４枚とも女性が引く確率を求めよ。

確率はどうも苦手です…

分母は12！/4！*4!*4!=51975とかですか？
（2）は余事象っぽいですが…

しばらく確率をやっていなかったのでかなり曖昧になっています

考え方を教えてください。よろしくお願いします
No.10975 - 2010/07/26(Mon) 10:48:22
☆ Re: 確率 / angel
(1)
この問題では、全てのカードが余ることなく、男性/女性に行き渡ります。なので、
　12人(男性6人・女性6人)が1枚ずつカードを引く
ではなく、
　カード12枚が、1人ずつパートナーを選ぶ
と考えることができます。

その上で、Aと書かれたカードに、こっそり A1〜A4まで名前をつけてあげると、求める確率は、
「A1〜A4が全て男性をパートナーとして選ぶ確率」と言い換えることができます。

後は組み合わせでも、順列でも行けますが…組み合わせで考えるなら、
　(確率)=(男性6人から4人選ぶ選び方)/(12人全員から4人選ぶ選び方)
とか。
No.10977 - 2010/07/26(Mon) 22:29:41
☆ Re: 確率 / angel
(2)
余事象ではなく、
　(PまたはQである確率) = (Pである確率) + (Qである確率) - (PかつQである確率)
というような計算のお話。ピンと来ない場合は、ベン図を描いてみましょう。集合のお話と同じです。

さて、「少なくとも」という表現そのままでは漠然としていますから、こう整理します。
　少なくとも1種類のカードを４枚とも男性または女性が引く
　⇔ ( Aを4枚とも男性が引く ) または ( Aを4枚とも女性が引く )
　　または ( Bを4枚とも男性が引く ) または ( Bを4枚とも女性が引く )
　　または ( Cを4枚とも男性が引く ) または ( Cを4枚とも女性が引く )

…「または」で6個のパートが連結しているので、分かりにくいかもしれません。ちょっと少ない例から行ってみましょう。

　(XまたはYまたはZである確率)
　= (Xまたは(YまたはZ)である確率)
　= (Xである確率) + (YまたはZである確率) - (Xかつ(YまたはZ)である確率)
　= (Xである確率) + (YまたはZである確率) - ((XかつY)または(XかつZ)である確率)

ちょっとここで一旦止めます。
今回、男性も女性も6人しかいませんから、2種類以上のカードを男性/女性のみで独占することはできません。
できるとすれば、男性がAを独占かつ女性がBを独占といったような複合のみです。

そうすると、上のX,Y,Zを使った例でいくと、
　XかつYかつZは起こらない、つまり (XかつYかつZとなる確率)=0
ということになります。(X等には、例えば「男性がAを独占する」等をあてはめてください)

なので、
　(XまたはYまたはZである確率)
　= (Xである確率) + (YまたはZである確率) - ((XかつY)または(XかつZ)である確率)
　= (Xである確率) + (YまたはZである確率) - (XかつYである確率) - (XかつZである確率)
　※((XかつY)かつ(XかつZ)である確率) = (XかつYかつZである確率)=0
と、「または」の3連結を2連結に落とし込むことができます。
同じ調子で、「または」の6連結を、5,4,3,2 と落とし込めば良いです。

ああ、1種類計算しなければならない確率がありますので、念のため。
「Aと書かれたカードを4枚とも男性が引き、かつ、Bと書かれたカードを4枚とも女性が引く確率」です。これは(1)と同じ要領で、別途計算しておいて下さい。
No.10978 - 2010/07/26(Mon) 22:51:25
☆ Re: 確率 / meta
返信がかなり遅れてしまいました。申し訳ありません。

後半で疑問点が浮上しました。

(XまたはYまたはZである確率)
= (Xである確率) + (YまたはZである確率) - ((XかつY)または(XかつZ)である確率)
= (Xである確率) + (YまたはZである確率) - (XかつYである確率) - (XかつZである確率)

という部分です。

これって最初の変形では、（XかつYかつZである確率）を1回しか引いていないのに、2度目の変形では2回引いていることになりませんか？
No.11168 - 2010/08/10(Tue) 12:41:05
★ logの背理法 / k
やってみてもわからないから、
質問させていただいたわけです。


ぜひ教えてください
No.10962 - 2010/07/25(Sun) 16:44:11
☆ Re: logの背理法 / スーパーカブ
自分で考えてどこで詰まったのか書きましょう。
単に教えてじゃ答え書く気にもなりません。
No.10967 - 2010/07/25(Sun) 20:28:41
☆ Re: logの背理法 / のぼりん
追加質問は、元スレッドに書いて下さい。

＞　やってみてもわからないから、
＞　質問させていただいたわけです。

そう開き直ってしまっては、先に進みませんよ。 先ず、背理法で、とヒントを出した訳ですから、ｌｏｇ３７ を有理数とおいてみましょう。 文字で表したい訳ですが、どう書きますか？
No.10971 - 2010/07/26(Mon) 07:15:04
☆ Re: logの背理法 / ハオ
全く勝手ながら解かせて頂きました。
参考程度にどうぞ。

log(3)7が有理数であると仮定する。
log(3)7= n/m と書ける（但しn,mは互いに素）
mlog(3)7=n
log(3)7^m=n
3^n=7^m-------☆
ここで左辺は3の因数しか持たない
右辺は7の因数しか持たない
そして3と7は互いに素であるから
☆は不合理。
よって最初の仮定が間違っていて
背理法により題意は満たされた。

多分有理数をn/mと置く事が出来なかったのではないでしょうか？n/mと置けば後は一本道の様に思います。
有理数とは「比のある数」を意味しますのでn/mと置く事も納得ではないかと思います。
No.11012 - 2010/07/29(Thu) 03:53:40
★ (No Subject) / rtako
また質問です。
縦の長さがm,横の長さがnの長方形の花だんの周りに、幅aの道がついている。道の真ん中を通る線の長さをLとすると、道の　面積はaLに等しい。このことを証明しなさい。

Lが求められません・・・
No.10959 - 2010/07/25(Sun) 15:03:49
☆ Re: / のぼりん
こんにちは。
回答でなくて申し訳ありませんが、「また質問」の前に、放置しておられる前質問を解決なさってはいかがでしょうか。
No.10961 - 2010/07/25(Sun) 15:40:11
☆ Re: / rtako
すいません、忘れていました。前問題は理解でき、解決しました。
No.11016 - 2010/07/29(Thu) 12:00:37
★ logの背理法 / k
何年か前に慶応大で出題されたものです


log{3}７が有理数ではないことを証明せよ



大至急教えてください
No.10957 - 2010/07/25(Sun) 08:11:25
☆ Re: logの背理法 / のぼりん
こんにちは。
背理法で簡単に示せますよ。
先ずは、ご自分で考えてみて下さい。
それでもわからない場合には、また書き込んで下さい。
No.10960 - 2010/07/25(Sun) 15:38:03
★ 一次従属の証明について / ｔｂ
R^4に属する３つのベクトルａ=(1 -2 5 1), ｂ=(2 1 -1 -3),ｃ(2 -7 ｘ ｙ)が一次従属となるためには、
ｃ＝αａ＋βｂ
となる必要があることを証明しなさい。

この問題ができません。よろしくお願いします。
No.10956 - 2010/07/24(Sat) 14:04:09
☆ Re: 一次従属の証明について / のぼりん
こんにちは。
ａ、ｂ は一次独立だから、ａ、ｂ、ｃ が一次従属となるためには、ｃ が ａ、ｂ の張る二次元部分空間に属することが必要です。
よって、題意の式が成り立ちます。
No.10958 - 2010/07/25(Sun) 14:52:56
★ 三角形の証明 / rtako
正三角形ABCの辺CA上に点Pをとり、BPを１辺とする正三角形BPQを作る。ただし、点Qは直線BPについて点Aと同じ側にとる。
このとき、△AQB≡△CPBであることを証明しなさい。

証明の進め方がよく分かりません・・・
No.10954 - 2010/07/24(Sat) 00:12:58
☆ Re: 三角形の証明 / ヨッシー
三角形の合同なので、
　三辺相等
　二辺挟角相等
　二角挟辺相等
のいずれかを言えばいいのですが、
　ＢＱ＝ＢＰ
　ＢＡ＝ＢＣ
はすぐにわかるので、
　ＡＱ＝ＣＰ
または
　∠ＡＢＱ＝∠ＣＢＰ
が言えれば出来上がりです。
図をにらんで、どちらを示すのが適当か考えてみてください。
No.10955 - 2010/07/24(Sat) 01:45:03
☆ Re: 三角形の証明 / rtako
すいませんでした。これを基に問題は解けました、ありがとうございました。
No.10969 - 2010/07/25(Sun) 22:59:22
★ 無限等比数列とeの収束について / ラディン.ms
わからないことがあったので久しぶりに質問させてください。

教科書には無限等比数列{rn}の極限について
　　r>1のとき　rn→∞
としていますがこれはeが収束するのとは矛盾しないのでしょうか？

e=lim(1+　1/n)n　と定義されてますよね。
　n→∞

1+　1/nは1より大ですから，上の定理を使うと
∞に発散してしまいそうですが，実際は2.7ぐらいに収束しています。

どこがおかしいのでしょうか？（上の考えが）
No.10947 - 2010/07/23(Fri) 13:30:15
☆ Re: 無限等比数列とeの収束について / ast
r を 1 に十分近くとって, それを r = 1 + ε とします. つまり ε は値がほぼ 0 となる正の数です. しかし, ε がどれほど小さいとしても十分大きな番号 N をとると n ≥ N となる n について必ず 1/n < ε とすることができます (これを実数におけるアルキメデスの原則といいます). そこで, N 以降の番号 n でだけ考えることにすると, (1+1/n)^n < (1+ε)^n = r^n です. 大きいほうが発散して小さいほうが収束しても矛盾はしません.

(ただし, 今説明した内容だけでは (1+1/n)^n の極限 e が有限な値に収まるかどうかは何も検討していませんのでわかりません, あくまでそうなってもおかしくないということの説明です).
No.10948 - 2010/07/23(Fri) 16:07:02
☆ Re: 無限等比数列とeの収束について / ラディン.ms
アルキメデスの原則の部分がよくわかりませんでした。

0に限りなく近い数εと
分母が無限大の1/nを比較した場合
1/nの方が小さいということなんでしょうか？

結局1+　1/nは1より大きいのかどうかもわかりません。
1より大きいとするとその差はεで表せますがそれよりも小さいということですか？

頭が混乱してきました……
No.10949 - 2010/07/23(Fri) 18:13:20
☆ Re: 無限等比数列とeの収束について / ast
> 0に限りなく近い数ε

ではありません, 任意に選んだ 0 に近い正の実数 ε です. 近さはどれだけ近くしてもいいですが, 限りなく近くはありません. 0 に限りなく近い実数は 0 自身です. ε は 0 ではありません. 1 < r ならば r がどれほど 1 に近くても, r は 1 よりもわずかに大きいです. そのわずかなズレの大きさを ε としています.

> 分母が無限大の1/n

ではありません, 十分大きな自然数 n に対する 1/n です. n は無限大ではありませんし, 1/n は無限小ではありません.

N は ε に依存して決まります. しかし, 各 ε に対して確実にそのような N がとれます.
No.10950 - 2010/07/23(Fri) 19:57:41
☆ Re: 無限等比数列とeの収束について / ラディン.ms
無限大・無限小と勘違いしていてわからなかったようです。

例えば
ε=0.1のときは　N>10と取るとn>10となって
　必ず1/n<εが成り立ち
ε=0.01,0.001,0.0001……とどんどん小さくしていっても
それに対してNが取れるので1/n<εが成り立つということでしょうか。

アルキメデスの原則が理解できたような気がします。

あとは，n→∞を考えているので，N以降のnで考えて
(1+1/n)^nよりr^nの方が大きいということですね。
No.10951 - 2010/07/23(Fri) 20:55:19
☆ Re: 無限等比数列とeの収束について / ast
ご明察. こういった話が理解できると, 大学初年度級の数学で鬼門とされる所謂 ε-δ 論法をほとんどクリアしたも同然ですね.
No.10952 - 2010/07/23(Fri) 21:13:55
☆ Re: 無限等比数列とeの収束について / ラディン.ms
解説ありがとうございました。

εδ論法やεＮ論法などは以前にネットで調べたことがあったのですが，
文字ばかりでほとんど理解できなかった記憶があります。

大学に入るまでには理解できるように頑張ることにします。
No.10953 - 2010/07/23(Fri) 22:38:02
★ 公倍数について / みみ
６．８．９の公倍数を教えてください。
No.10944 - 2010/07/21(Wed) 18:47:39
☆ Re: 公倍数について / ヨッシー
こちらで最小公倍数の出し方を
覚えたら、６，８，９の最小公倍数を出します。
その、２倍、３倍、４倍・・・が、６，８，９の公倍数です。
さらに、０も公倍数です。
マイナスは・・・まぁ、いいでしょう。
No.10945 - 2010/07/21(Wed) 19:20:12
★ 中２　数学 / のん
教えてください。
△ABCにおいて、∠BAD=∠CAE，AB=5，AC=3，AD=a，AE=bとする。（D,EはBC上の点）
(1)　BD/CE　をa,bを用いて表せ。
(2)　BD=2，CD=4とするとき、CEの長さを求めよ。

(1)はできました。
(2)ができずにとまっています。
どなたか教えてくださいm(__)m
No.10938 - 2010/07/21(Wed) 02:03:50
☆ Re: 中２　数学 / ヨッシー

∠ＢＡＣの２等分線とＢＣの交点をＦとすると、
角の二等分線の定理より
　ＢＦ：ＦＣ＝ＡＢ：ＡＣ＝５：３
よって、ＢＦ＝15/4、ＣＦ＝9/4
ＡＦで、△ＡＣＦを折り返すと、ＡＤとＡＥはぴったり重なります。
Ｃの移動先をＧ、Ｅの移動先をＨとします。

メネラウスの定理より
　(ＨＧ/ＦＨ)(ＡＢ/ＧＡ)(ＤＦ/ＢＤ)＝１
これに
　ＧＡ＝３，ＡＢ＝５，ＢＤ＝２，ＤＦ＝7/4
を代入すると、
　ＨＧ/ＦＨ＝24/35
ＣＦ＝ＧＦ＝9/4　より
　ＣＥ＝ＧＨ＝54/59
No.10941 - 2010/07/21(Wed) 06:57:00
★ 図形と三角比 / meta
円に内接する四角形ＡＢＣＤがある。四角形ＡＢＣＤの各辺の長さは、ＡＢ＝2,ＢＣ＝3，ＣＤ＝1，ＤＡ＝2である
(1)coa∠ＢＡＤは□である
(2)対角線ＢＤの長さは□である
(3)2つの対角線ＡＣとＢＤの交点をＥとする。ＢＥ：ＥＤ＝ァ□：1であるので、ＢＥ＝ィ□ＢＤとなる。よって,ＢＥ＝ゥ□である

解答(1)-1/7(2)8√7/7(3)(ァ)3(ィ)3/4(ゥ)6√7/7

四角形に対角線を引いて三角形を作り、余弦定理を使ったのですが、うまくいきませんでした

教えてください。よろしくお願いします
No.10934 - 2010/07/20(Tue) 06:03:12
☆ Re: 図形と三角比 / ヨッシー
(1)(2)
∠ＢＣＤ＝π−∠ＢＡＤ　なので、
　cos∠ＢＣＤ＝−cos∠ＢＡＤ
となります。△ＢＡＤ，△ＢＣＤについて、それぞれ余弦定理にて、
　ＢＤ^2＝・・・・
の式を作り、連立させると、cos∠ＢＡＤ、ＢＤともに求められます。

(3)
ＢＥ：ＥＤ＝△ＡＢＣ：△ＡＤＣ　なので、
sin∠ＡＢＣ＝sin∠ＡＤＣ を用いて、
△ＡＢＣと△ＡＤＣの面積比を出します。
No.10935 - 2010/07/20(Tue) 06:47:47
☆ Re: 図形と三角比 / meta
(3)の、

sin∠ＡＢＣ＝sin∠ＡＤＣ

が、何故ＢＥ：ＥＤ＝△ＡＢＣ：△ＡＤＣによって言えるのか、いまいちわからないのですが…
No.10939 - 2010/07/21(Wed) 06:08:17
☆ Re: 図形と三角比 / ヨッシー
ＢＥ：ＥＤ＝△ＡＢＣ：△ＡＤＣ　→　sin∠ＡＢＣ＝sin∠ＡＤＣ
ではなくて、
ＢＥ：ＥＤ＝△ＡＢＣ：△ＡＤＣ　および　sin∠ＡＢＣ＝sin∠ＡＤＣ　→　ＢＥ：ＥＤ＝△ＡＢＣ：△ＡＤＣ＝３：１
です。

sin∠ＡＢＣ＝sin∠ＡＤＣ　は、最初から与えられた条件です。
No.10940 - 2010/07/21(Wed) 06:32:26
☆ Re: 図形と三角比 / meta
考えてみると確かに、対角の和がπなら、sin∠ＡＢＣ＝sin∠ＡＤＣが成り立ちますね

知らない性質でした。失礼しました
No.10942 - 2010/07/21(Wed) 06:59:57
☆ Re: 図形と三角比 / ヨッシー
上の
> (1)(2)
>∠ＢＣＤ＝π−∠ＢＡＤ　なので、
>　cos∠ＢＣＤ＝−cos∠ＢＡＤ
と同じです。

sin(π−θ)＝sinθ
cos(π−θ)＝−cosθ
tan(π−θ)＝−tanθ
です。
No.10943 - 2010/07/21(Wed) 17:38:19
★ 三角関数 / kenta
誘導過程が分からないので教えてください。

σ1＝(1+sinφ)/(1-sinφ)σ3+(2Ccosφ)/(1-sinφ) ?@
σ3＝(1-sinφ)/(1+sinφ)σ1-(2Ccosφ)/(1+sinφ)　 ?A
?@、?Aの式を三角関数の半角の公式を用いて次の式を誘導せよ。
σ1＝σ3tan^^2(45°+φ/2)+2Ctan(45°+φ/2)
σ3＝σ1tan^^2(45°-φ/2)-2Ctan(45°-φ/2)
No.10929 - 2010/07/19(Mon) 22:00:48
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー
45°+φ/2＝(90°＋φ)/2 なので、この部分に半角の公式
　tan^2(θ/2)＝(1-cosθ)/(1+cosθ)
を適用して、下の２式から、?@，?Aを導くことをやってみてはどうでしょう？
No.10936 - 2010/07/20(Tue) 06:52:20
★ (No Subject) / UX-LP
平面上の原点oとし、異なる2点A,Bがoと同一直線上にない時
点Pは
→　　　　→　　　　→
OP　＝　αOA　＋　βOB
で定まる点とする。α、βが３つの不等式
０≦α≦１、０≦β≦１、０≦α＋β≦1
を同時に満たしながら動くときの点Pの範囲を求めよ

どうしたらいいでしょうか？
No.10926 - 2010/07/19(Mon) 15:42:30
☆ Re: / ヨッシー
(α、β)＝(0,0),(1,0),(0,1),(0.5,0.5),
(0.2,0.7),(0.4,0.4)
など、いろいろなαβの値の時の点Ｐの位置を調べましょう。

または、ＯＡ＝(1,0)、ＯＢ＝(0,1) とおくと、
点Ｐは、座標(α、β) で表されます。そのときに、
０≦α≦１、０≦β≦１、０≦α＋β≦1　を適用すると・・・
No.10927 - 2010/07/19(Mon) 16:53:45
★ 不等式 / 高校２年生
x>0のとき、常に不等式x^2+2x-a>0が成り立つような定数aの範囲を定めよ。

この問題、頂点のy座標>0で解くことは出来ないのでしょうか。
解答だとx>0で単調に増加し、x=0のときy=-a
よって-a≧０よりa≦０
とあります。
y座標>0だと答えが違ってしまって。。。
No.10916 - 2010/07/19(Mon) 10:25:28
☆ Re: 不等式 / らすかる
＞頂点のy座標>0で解くことは出来ないのでしょうか。
できません。
例えば頂点が(-1,-1)のとき頂点のy座標＜0ですが
問題の条件は満たします。
No.10920 - 2010/07/19(Mon) 12:01:39
☆ Re: 不等式 / 高校２年生
らすかるさん、ありがとうございます。

> 頂点が(-1,-1)のとき頂点のy座標＜0ですが
> 問題の条件は満たします

この部分を詳しく教えていただきたいと思います。
No.10922 - 2010/07/19(Mon) 12:20:00
☆ Re: 不等式 / 高校２年生
もう一つ、a=0を含むのはなぜでしょうか。
与式>0なら、=０を含まないような気がするのですが。
No.10923 - 2010/07/19(Mon) 12:22:02
☆ Re: 不等式 / ToDa
らすかるさんのヒントをもとに、自分の手を動かしてグラフを描いてみましたか？
面倒だなんて思っちゃダメですよ。

らすかるさんの仰った、「頂点が(-1,-1)のとき」のグラフは



で、「x ＞ 0のとき、常に不等式 x^2 + 2x - a ＞ 0が成り立つ」の条件は満たしています。その一方で、「頂点のy座標 ＞ 0」には反しているわけです。

なので、単純に「頂点のy座標 ＞ 0」だけを考えるのでは答えとは違ってしまいます。「頂点のy座標 ＞ 0」じゃなくても、「x ＞ 0のとき、常に不等式 x^2 + 2x - a ＞ 0が成り立つ」場合があるのですから。

a=0を含む場合云々は、まさに、らすかるさんの例と上記のグラフがその例です。
No.10925 - 2010/07/19(Mon) 13:05:10
☆ Re: 不等式 / 高校２年生
はい、グラフを書いて悩みました。
頂点が(-1,-1)のとき、x=y=0となりますが、
ｘ＞０が条件ですから、x=0を含める意味がわかりませんでした。
No.10930 - 2010/07/19(Mon) 23:45:01
☆ Re: 不等式 / ToDa
むむ？

＞頂点が(-1,-1)のとき、x=y=0となりますが、

念のため言及しておきますが、
「頂点が(-1,-1)の場合、x=0のときy=0となりますが」という意味でよろしいですね？

---

さて、
y=x^2 + 2x - aとします。

yの値はx＞0にて単調に増加(さらに細かいことをいえば、「x＞-1にて単調に増加」なのですが、当然この範囲にx＞0はもれなく含まれています)するのですから、
xが0より大きい場合、x=1でも0.1でも0.0000000000001でも、どれだけわずかな差でもとにかくxが0より大きいのであれば、その時yの値は、x=0のときのyの値より大きいわけです。

そして、x=0のときy=-aとなります。つまり、x＞0のとき、つねにy＞-aとなるのです。-a≧0であれば、x＞0のとき、つねにy(=x^2 + 2x - a)＞-a≧0となるわけですね。

＃上記の説明が分かりづらいのであれば、とりあえずそれは置いておくとして、

a=0の場合に、「x＞0のとき、常に不等式 x^2 + 2x - a ＞ 0が成り立つ」ことは理解できますか？
No.10932 - 2010/07/20(Tue) 00:40:25
☆ Re: 不等式 / 高校２年生
ToDaさん、ありがとうございます。
たぶん、「x＞0のとき、常に不等式 x^2 + 2x - a ＞ 0が成り立つ」
が理解出来ていないから納得できないのだと思います。

x>0の範囲で、y=x^2 + 2x - aの2次関数がy=0よりも上に存在する、
という意味でよろしいでしょうか。
No.10937 - 2010/07/20(Tue) 22:44:43
☆ Re: 不等式 / ToDa
グラフを用いて考えるのなら、そういう意味でよろしいです。
No.10946 - 2010/07/21(Wed) 21:01:43
★ 絶対値 / 高校２年生
||x|-1|=aの方程式の解の個数を求めよ。

絶対値の中にある絶対値、解けません。
場合分けをしたんですが、解答と違ってしまいました。
途中式、教えていただきたいです。
よろしくお願いします。
No.10915 - 2010/07/19(Mon) 10:22:20
☆ Re: 絶対値 / らすかる
y=||x|-1| と y=a の交点を考えると簡単だと思います。
No.10919 - 2010/07/19(Mon) 11:57:42
☆ Re: 絶対値 / 高校２年生
はい、そのように考えたのですが、
絶対値を外すときに間違えたのか、答えがでませんでした。
No.10921 - 2010/07/19(Mon) 12:14:49
☆ Re: 絶対値 / ToDa
y=||x|-1|のグラフは
「y=xのグラフをx軸に対してy軸正方向に折り返し、それをy軸方向に-1だけ平行移動させ、それを更にx軸に対してy軸正方向に折り返したもの」
なのですが、この説明がピンと来ないようであれば、丁寧に絶対値記号を外してゆきましょう。ここで間違えたとのことですが、どのように間違えたのかを書いてもらえれば、教えるほうもポイントを絞りやすいです。


||x|-1| = |x-1|  (x≧0) = x-1     (x≧0 かつ x-1≧0)
                        = -(x-1)  (x≧0 かつ x-1≦0)

        = |-x-1| (x≦0) = -x-1    (x≦0 かつ -x-1≧0)
                        = -(-x-1) (x≦0 かつ -x-1≦0)


です。以上を整理して、グラフは



のようになって、これとy=aの交点を考えればよいわけですね。
No.10924 - 2010/07/19(Mon) 12:48:24
☆ Re: 絶対値 / 高校２年生
とても詳しく解説してくださいまして、ありがとうございました。
よくわかりました。
No.10931 - 2010/07/19(Mon) 23:47:55
★ (No Subject) / meta
△ＡＢＣと辺ＡＢ上の点Ｄおよび辺ＡＣ上の点Ｅがあり、ＡＤ：ＡＥ＝2：1,ＢＤ：ＣＥ＝1：3で,４点Ｂ，Ｃ，Ｅ，Ｄは同一円周上にある。このとき、次の問いに答えよ
(1)ＡＢ：ＡＣを求めよ
(2)ＡＤ：ＤＢを求めよ
(3)直線ＤＥと直線ＢＣが交わる点をＦとするとき、ＥＤ：ＤＦを求めよ。
（図を添えたかったのですが、よくわからなくてできませんでした）

問題で与えられた条件をどのように拡張していけばよいか見当がつきませんでした

考え方を教えてください
No.10909 - 2010/07/19(Mon) 07:06:19
☆ Re: / ヨッシー
(1)
ＡＥ＝ｘ、ＡＤ＝２ｘ、ＢＤ＝ｙ、ＣＥ＝３ｙ とおくと、
方べきの定理より、
　２ｘ（２ｘ＋ｙ）＝ｘ（ｘ＋３ｙ）
ｘ＞０ より、両辺ｘで割って
　４ｘ＋２ｙ＝ｘ＋３ｙ
　ｙ＝３ｘ
よって、ＡＢ＝２ｘ＋ｙ＝５ｘ、ＡＣ＝ｘ＋３ｙ＝１０ｘ

(2)
同様に、ＡＤ＝２ｘ、ＤＢ＝ｙ＝３ｘ

(3)
△ＡＥＤ と△ＡＢＣは １：５ の相似なので、
　ＤＥ：ＢＣ＝１：５
また、△ＦＤＢと△ＦＣＥ は１：３ の相似なので、
ＤＥ＝１，ＢＣ＝５，ＦＤ＝ｘ，ＦＢ＝ｙ とおくと、
　ｙ＋５＝３ｘ
　ｘ＋１＝３ｙ
これより　ｘ＝２，ｙ＝１　となります。
No.10911 - 2010/07/19(Mon) 08:42:03
☆ Re: / meta
方べきの定理という発想はおもいつきませんでした

丁寧に解説していただき、ありがとうございました
No.10933 - 2010/07/20(Tue) 03:26:09
★ 合同式に関する性質 / 涼流
a ≡ b (mod m) 〔以下(mod m)は省略させて頂きます。〕
ならば、a^n ≡ b^nですよね。

恐らくa^n ≡ b^n ならば a ≡ bだと思います。
しかし、証明をしようと思つてもどう考えたらよいか見当もつきません……
背理法や待遇で示そうとしてみたりしましたが難しいです。

そこで質問は、
(1) a^n ≡ b^n ならば a ≡ bの真偽
(2) 証明のアプローチ
です。

どうかよろしくお願いします。
No.10907 - 2010/07/19(Mon) 02:31:06
☆ Re: 合同式に関する性質 / のぼりん
ｎ は、外部から与えられた定数ですね？
「任意の ｎ」であれば、ｎ＝１ とおき直ちに結果が得られるので、そうだとは思いますが、今後、質問時にはすべての条件を明示する様お願いします。

さて、質問に関してですが
（１）　偽です。
（２）　反例を示します。
です。
No.10910 - 2010/07/19(Mon) 08:34:40
☆ Re: 合同式に関する性質 / 涼流
早急なご回答をありがとうございます。
条件不足な質問をしてしまって申し訳ありません。
ふと疑問に思ったことをそのまま書いてしまいまして……

疑問に思ったことは、
「任意の自然数nに対して、適当な整数a, bに於いてa^n ≡ b^n (mod m)ならばa ≡ b (mod m)」
の真偽でしたが、
“「任意の ｎ」であれば、ｎ＝１ とおき直ちに結果が得られる”
の部分がよく分かりません……
n = 1の時はa ≡ bですので成立します。

凡例ですか……任意のa, bについてではないのでなかなか凡例が見つかりません……
具体的に何が挙げられますかね?
No.10913 - 2010/07/19(Mon) 10:01:32
☆ Re: 合同式に関する性質 / らすかる
「任意の自然数nに対してa^n ≡ b^n (mod m)」⇒「a ≡ b (mod m)」
という命題ならば、n=1の時も成り立つので自明です。
「特定のnに対してa^n ≡ b^n (mod m)」⇒「a ≡ b (mod m)」
という命題ならば、例えば
「2^2 ≡ 1^2 (mod 3)」 ⇒ 「2 ≡ 1 (mod 3)」
は成り立ちません。
No.10918 - 2010/07/19(Mon) 11:32:09
☆ Re: 合同式に関する性質 / 涼流
ご回答ありがとうございます。
初歩的な質問で申し訳ありませんでした……

「2^2 ≡ 1^2 (mod 3)」 ⇒ 「2 ≡ 1 (mod 3)」
は確かに成立しませんよね。
こんな簡単な反例が見つからなかったのが残念です;;

どうもありがとうございました。
No.10928 - 2010/07/19(Mon) 17:29:19
★ (No Subject) / 大学院志望
0<α＜１とする。「テーラーの定理」を用いて次の不等式が成り立つことを示せ。
(1+x)^α≤1+αx (x>-1)
また、この不等式から次の不等式を導け。
pa+qd≥a^p b^q ただし、a,b,p,qは正であり、p+q=1であるとする。
No.10906 - 2010/07/19(Mon) 00:30:27
★ (No Subject) / 大学院志望
テーラー展開を用いて０の近くでの次の関数の大小を調べよ。
sinｘ/ｘと(1-(x^2)/2)^1/3
No.10905 - 2010/07/19(Mon) 00:29:40
★ (No Subject) / 大学院志望
実数全体をRとする。関数f:R→Rが連続であることの定義をε‐δ論法で書け。
次に、任意の連続関数f:R→Rと任意の開集合Bに対して集合f^(-1) (B)={a∈R|f(a)∈B}が開集合であることを証明せよ。

[注:Rの部分集合Aが開集合であるとは、任意のa∈Aに対して正の数εが存在して、開区間(a−ε,a＋ε)がAの部分集合となる時をいう。
No.10904 - 2010/07/19(Mon) 00:27:05
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