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★ ｘ先生に / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２３日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
こんばんは。

返信が遅くなり申し訳ございません

No.81361 - 2022/03/19(Sat) 06:17:35

に回答しました。
何卒宜しくお願い致します。
No.81370 - 2022/03/20(Sun) 02:14:19
☆ Re: ｘ先生に / X
No.81361の方に回答しておきましたので、ご覧下さい。
No.81375 - 2022/03/20(Sun) 09:30:03
☆ Re: ｘ先生に / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２４日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
解決済みです

ありがとうございました
No.81410 - 2022/03/22(Tue) 11:20:14
★ FFTとバタフライ演算について / ガロア
あのFFT(高速フーリエ変換を更に速くするために改良されたプログラム)の偶数行と奇数行に分けて計算を行うバタフライ演算に関して質問があります。
(N/2)²+(N/2)²=N²/2の(N/2)²に関してNが自乗されるのはわかるのですが、なぜ分母の2まで自乗されるのでしょうか？

また、なぜ偶数行と奇数行に分ける事でさらに早く計算処理が出来るとわかったのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。
No.81368 - 2022/03/19(Sat) 16:58:16
☆ Re: FFTとバタフライ演算について / 関数電卓
> なぜ分母の2まで自乗されるのでしょうか？
N 個のデータの FFT 計算量は N^2 …(1)
N 個の内，偶数項が N/2 個。計算量は (N/2)^2 …(2)
　　　　　奇数項が N/2 個。計算量は (N/2)^2 …(3)
(2)(3)合わせて 2(N/2)^2＝N^2/2
と言うことです。

> なぜ偶数行と奇数行に分ける事でさらに早く計算処理が出来るとわかったのでしょうか？
試行錯誤によるところが大きいとは思いますが，気がついてみれば，
　回転因子 WNnk＝exp(−2πik/N) が周期性をもつことが分かり
　その都度の積の演算をまとめることが出来ることを知った
と言うことかと思います。
こちら 等ご覧下さい。
No.81369 - 2022/03/19(Sat) 23:54:42
☆ Re: FFTとバタフライ演算について / ガロア
関数電卓さんありがとうございます。

あのもう一つお聞きしたいのですが
なぜ高速フーリエ変換(FFT)はO(n*log n)で計算できるのでしょうか？
どうか理由を詳しく教えて下さい。

また、
以下の「」はFFT
を説明したものですが、
「」のどの部分がO(n*log n)を表す(指す)のでしょうか？

「
Ck = (1/N)?納m=0→N-1] fm･e^(-jkmωD) (k = 0, 1, 2, …… , N-1)...?A
ω = 2π/T = 2π/ND、j は虚数単位

と定義したものを

　　N･Ck = Xk = ?納m=0→N-1] fm･e^(-jkmωD) (k = 0, 1, 2, …… , N-1) ･････(#)

と書き変えたものに過ぎない。DFTを高速フーリエ変換FFTに変えるにはバタフライ演算というややこしいものを理解しないといけない。はっきり言って掲示板でチョコチョコ説明できるようなものではない。
離散フーリエ変換は、数学者の書いたフーリエ解析の本にはまず載っていないので、信号処理関係の本を探して勉強されたい。

　W^(km) = e^(-jkmωD) として N = 4 のとき(#)を展開すれば
X0 = f0･W^0 + f1･W^0 + f2･W^0 + f3･W^0
X1 = f0･W^0 + f1･W^1 + f2･W^2 + f3･W^3
X2 = f0･W^0 + f1･W^2 + f2･W^4 + f3･W^6
X3 = f0･W^0 + f1･W^3 + f2･W^6 + f3･W^9
となるがW^(km)の性質から
X0 = f0･W^0 + f1･W^0 + f2･W^0 + f3･W^0
X1 = f0･W^0 + f1･W^1 - f2･W^0 - f3･W^1
X2 = f0･W^0 - f1･W^0 + f2･W^0 - f3･W^0
X3 = f0･W^0 - f1･W^1 - f2･W^0 + f3･W^1
と簡単になる。しかし、これでも16回の掛け算が必要なのは変わらない。そこで上の式を奇数行と偶数行に分け
X0 = f0･W^0 + f1･W^0 + f2･W^0 + f3･W^0
X2 = f0･W^0 - f1･W^0 + f2･W^0 - f3･W^0
X1 = f0･W^0 + f1･W^1 - f2･W^0 - f3･W^1
X3 = f0･W^0 - f1･W^1 - f2･W^0 + f3･W^1
ここからは上の展開式を行列で表さないとわかりにくいのだが、メンドーなので省略する。とにかく上のように行を入れ替えると
X0 = W^0(f0+f2) + W^0(f1+f3)
X2 = W^0(f0+f2) - W^0(f1+f3)
X1 = W^0(f0-f2) + W^1(f1-f3)
X3 = W^0(f0-f2) - W^1(f1-f3)
のように8個の掛け算だけで済むように変形できる。これがバタフライ演算であり、FFTがDFTより速い理由である。」
No.81371 - 2022/03/20(Sun) 05:33:58
☆ Re: FFTとバタフライ演算について / 関数電卓
> なぜ高速フーリエ変換(FFT)はO(n*log n)で計算できるのでしょうか？
↑に紹介した記事「高速フーリエ変換（FFT)」のずっと下の方にある『高速フーリエ変換の計算量』で説明されています。

> 「」のどの部分がO(n*log n)を表す(指す)のでしょうか？
N＝4 のときの掛け算の計算量 16 回，が
> のように8個の掛け算だけで済むように変形できる。
のところです。
ここだけ見ると計算量が半分になっているように見えますが，もっと大きな N については O(n*log n) で，『高速フーリエ変換の計算量』に書かれている通りです。
No.81377 - 2022/03/20(Sun) 09:47:48
☆ Re: FFTとバタフライ演算について / ガロア
回答でありがとうございます。
>> ↑に紹介した記事「高速フーリエ変換（FFT)」のずっと下の方にある『高速フーリエ変換の計算量』で説明されています。

申し訳ありません。質問に載せた「」の中のどの部分でO(n*log n)に関する高速フーリエ変換の計算量』を説明しているか教えて頂けないでしょうか。

どうかよろしくお願い致します。
No.81380 - 2022/03/20(Sun) 17:36:42
☆ Re: FFTとバタフライ演算について / 関数電卓
↑(No.81377) の第２パラグラフに書いた通りですが，これでお分かりいただけないのであれば，誰が何を回答しても貴方が求めるものにはならないでしょう。
No.81382 - 2022/03/20(Sun) 17:52:15
☆ Re: FFTとバタフライ演算について / ガロア
申し訳ありません。
>> > なぜ高速フーリエ変換(FFT)はO(n*log n)で計算できるのでしょうか？
↑に紹介した記事「高速フーリエ変換（FFT)」のずっと下の方にある『高速フーリエ変換の計算量』で説明されています。

に関しては
「」のバタフライ演算の部分がO(n*log n)であるためO(n*log n)で計算できるとわかりました。

最後にn回のバタフライ演算の計算式からO(n*log n)の公式を導くまでの計算過程を教えて頂けないでしょうか？
No.81384 - 2022/03/20(Sun) 19:02:14
☆ Re: FFTとバタフライ演算について / 関数電卓
言葉尻を捉えるわけではありませんが，
> O(n*log n)で計算できるとわかりました。
分かった のですよね？
> O(n*log n)の公式を導くまでの計算過程を教えて頂けないでしょうか？
計算過程を辿れなくて，結果が 分かった のですか？
No.81386 - 2022/03/20(Sun) 20:14:08
★ 非正規直交基底とフーリエ級数展開 / ガロア
非正規直交基底からフーリエ級数展開を導くまでを簡単にで良いので証明して頂けますか？

個人的にはフーリエ級数展開に近い形の式なるだけでフーリエ級数展開にはならないと考えています。
No.81363 - 2022/03/19(Sat) 14:22:15
☆ Re: 非正規直交基底とフーリエ級数展開 / ガロア
多分、内積の定義をいじれば非正規直交基底からでもフーリエ級数展開が導けるかも知れませんが、導くまでの過程の計算がわかりません。

どうかフーリエ級数展開を導くまでを教えて頂けないでしょうか。
No.81365 - 2022/03/19(Sat) 14:24:45
☆ Re: 非正規直交基底とフーリエ級数展開 / ガロア
多分、内積の定義をいじれば非正規直交基底からでもフーリエ級数展開が導けるかも知れませんが、導くまでの過程の計算がわかりません。

どうかフーリエ級数展開を導くまでを教えて頂けないでしょうか。
No.81367 - 2022/03/19(Sat) 16:44:09
☆ Re: 非正規直交基底とフーリエ級数展開 / m
ヒルベルト空間上のフーリエ級数展開を考えているのですか？
その場合，「非正規直交基底」とは何ですか．どう定義しますか．

// もしかしたら私の知識不足でとんちんかんなことを聞いているかもしれません．
// ヒルベルト空間の"基底"は，正規直交系のうち完全であるものと定義したい．
No.81373 - 2022/03/20(Sun) 05:50:09
☆ Re: 非正規直交基底とフーリエ級数展開 / GandB
> 知識不足でとんちんかんなことを聞いているかもしれません．
　知識不足でとんちんかんなことを聞いているのは質問者の方である。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12857595.html
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12857620.html
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12852238.html
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12847152.html
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12855481.html
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12855671.html
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12853906.html?from=open_category
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12852208.html
で、大活躍している。同じ質問を繰り返し大いに顰蹙を買っている。以前、算数レベルの知識でローラン展開の質問を繰り返していた猛者でもある。
　名前を騙られたガロアが心から気の毒だ（笑）。
No.81376 - 2022/03/20(Sun) 09:43:20
★ (No Subject) / dshhhk
多変数関数の積分法の問題です。写真の5.と6.について、6.は解けたのですが5.が解けません。
6.はx^2+y^2≦1より

https://ja.wolframalpha.com/input?i=r%5E2%E2%89%A61%2Cr%E2%89%A70%2C0%E2%89%A6%CE%B8%E2%89%A62%CF%80%E3%82%92r%E3%81%AB%E3%81%A4%E3%81%84%E3%81%A6%E8%A7%A3%E3%81%8F

のように範囲を出し、曲面積の公式で出した答えを極座標変換して、rとθの範囲で積分して答えを出せました。
5.も同じように、x^2+y^2+z^2=1よりz=±√(1-x^2-y^2)とする所までは分かるのですが、6.と違って、z≦x^2+y^2-1/2という三次元なので、範囲の出し方が分かりません。どうやって範囲を出したら良いでしょうか？
No.81362 - 2022/03/19(Sat) 13:35:32
☆ Re: / X
x^2+y^2+z^2=1 (A)
z=x^2+y^2-1/2 (B)
します。
(A)+(B)より
z+z^2=1/2
2z^2+2z-1=0 (C)
(B)より-1/2≦zに注意すると
(C)より
z=(-1+√3)/2
これを(B)に代入して
x^2+y^2=(√3)/2 (D)
よって、積分する領域をDとすると
D={(x,y)|x^2+y^2≦(√3)/2}
但し、表面積を求める図形は
0≦z
の側にあることに注意します。
No.81364 - 2022/03/19(Sat) 14:24:06
★ 整数問題 / ゆの
解き方教えてください
No.81356 - 2022/03/18(Fri) 22:25:25
☆ Re: 整数問題 / ゆの
画像が添付できてませんでした。すみません
No.81357 - 2022/03/18(Fri) 22:26:35
☆ Re: 整数問題 / ゆの
あれ？まだ表示されてない、、、不慣れですみません。訳あって答えが手に入らないのでこちらの画像の問題の解き方を教えて欲しいです。
No.81358 - 2022/03/18(Fri) 22:50:20
☆ Re: 整数問題 / IT
１
(1)からf(x) は、３次以下の整式であることが分かる。( ４次以上なら不適であることを示す。）
　f(x)=ax^3+bx^2+cx+d とおいて　(1) の恒等式を考える。
(2) で x=0,x=1 のときを考える.
などで絞れるのでは。

「整数問題」ではないと思いますが
No.81359 - 2022/03/18(Fri) 23:24:07
★ 解と係数の関係 / まい
x^2+3x+4=0の2つの解をα、βとするとき、α+4/αの値を求めよ。という問題です。答えは-3です。解き方を教えてください。
No.81350 - 2022/03/18(Fri) 18:06:57
☆ Re: 解と係数の関係 / 関数電卓
　x^2＋3x＋4＝0 …<1>
αは<1>の解なので α^2＋3α＋4＝0 …<2>
　α＋4/α＝(α^2＋4)/α＝−3α/α＝−3 (∵<2>)
No.81352 - 2022/03/18(Fri) 18:29:17
☆ Re: 解と係数の関係 / らすかる
解と係数の関係から
α+β=-3 … (1)
αβ=4 … (2)
(2)から4/α=β … (3)
(1)(3)から
α+4/α=α+β=-3
No.81353 - 2022/03/18(Fri) 19:11:47
★ (No Subject) / 数学苦手
この問題の図と式の書き方、ポイントが分かりません。
No.81348 - 2022/03/18(Fri) 17:27:17
☆ Re: / 数学苦手
例えば図を書くときは後ろを基準に進んだ距離とすれば抜かした後の後ろを基準にして…といった風にするのでしょうか？
No.81349 - 2022/03/18(Fri) 17:50:33
☆ Re: / 関数電卓
以下の図でご理解下さいますでしょうか。
No.81355 - 2022/03/18(Fri) 21:19:42
☆ Re: / 数学苦手
ありがとうございます。わかりやすいです。
No.81429 - 2022/03/23(Wed) 00:07:46
★ (No Subject) / djfhskj
多変数関数の積分法の問題についてです。写真の2.(3)と2.(4)は、変数変換(ヤコビアン)を使って解けますでしょうか？
一応Dを縦線集合or横線集合として書き表す方法では答えは出せるのですが、変数変換(ヤコビアン)を使って解けるかどうが気になったので質問させて頂きます。宜しくお願いします。
ちなみに、2.(3)のDは、{(x^2)/4}+y^2≦1です。
No.81343 - 2022/03/18(Fri) 13:07:15
☆ Re: / 関数電卓
(3)は素直に x＝2rcosθ，y＝rsinθ とおく。その後は容易。
(4)は，変数変換はうまくいかなそう。D が台形なので。
No.81344 - 2022/03/18(Fri) 13:41:44
☆ Re: / X
横から失礼します。

(4)ですが、極座標に置き換えると簡単にできそうです。
x=rcosθ,y=rsinθ
と置くと
(与式)=∫[θ:0→π/4]∫[r:1/cosθ→2/cosθ]rsinθcosθdrdθ
=(3/2)∫[θ:0→π/4]{(sinθ)/cosθ}dθ
=…
No.81354 - 2022/03/18(Fri) 19:33:10
★ (No Subject) / ななし
りんご3個、みかん3個、柿2個をA、B、Cの
3人に分ける方法の数
(1)1個ももらわない人がいてもよい。
(2)全員が最低1個はもらう
この問題の解法をご教授ください。
よろしくおねがいします。
No.81337 - 2022/03/18(Fri) 08:09:05
☆ Re: / らすかる
(1)
りんごの分け方は3個の○と2個の仕切りの並べ方と同じなので
5C2=10通り（例えば○|○○|はAが1個Bが2個Cが0個）
同様にみかんも10通り、柿は4C2=6通りなので
全部で10×10×6=600通り

(2)
全部を特定の2人に分ける方法は上記と同様に
4C1×4C1×3C1=48通り
このうち2通りはどちらか一人が独占するので
ちょうど2人に分ける方法は46通り
よって(1)のうち
独り占めが3通り
2人だけもらうのが46×3C2=138通り
なので、全員が最低1個もらうのは
600-3-138=459通り
No.81339 - 2022/03/18(Fri) 09:47:13
☆ Re: / ななし
懇切丁寧な解説ありがとうございました。
助かりました。
No.81340 - 2022/03/18(Fri) 10:04:51
★ 三角関数の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２２日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
過去にも同じ様な問題を質問しましたが

以下の基礎問題から解決しようとおもいます

何卒宜しくお願い致します。

厳しくお願い申し上げます。
No.81324 - 2022/03/17(Thu) 08:39:27
☆ Re: 三角関数の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２２日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
No.81297 - 2022/03/14(Mon) 14:27:59

はこの問題が解決したら

考えます

我儘言って申し訳ございません
No.81325 - 2022/03/17(Thu) 08:41:16
☆ Re: 三角関数の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２２日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
No.81296 - 2022/03/14(Mon) 13:22:10

これも同様です。

何卒よろしくお願い申し上げます。
No.81326 - 2022/03/17(Thu) 08:42:46
☆ Re: 三角関数の極限 / X
(1)
答えは問題ないのですが
x→π/2のときsinx→1
ですのでわざわざ、置き換えの必要はありません。

(2)
x→+0のときsinx→+0
x→-0のときsinx→-0
∴問題の極限は存在しません。

(3)
これも(2)と同様です。
x→π/2+0のときcosx→-0
x→π/2-0のときcosx→+0
∴問題の極限は存在しません。

(4)
答えは正しいのですが過程で余分なところがあります。
＞＞cos0°
ではなくて単に
cos0
で十分です。

(5)
(2)(3)と考え方は同じです。
x→3π/2+0のときtanx→-∞
x→3π/2-0のときtanx→+∞
∴問題の極限は存在しません。

(6)
答えは正しいのですが過程で余分なところがあります。
＞＞tan0°
ではなくて単に
tan0
で十分です。
No.81329 - 2022/03/17(Thu) 17:15:15
☆ Re: 三角関数の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２２日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｘ先生

こんばんは！

二日ほど寝込んでました

ご返答ありがとうございます！

ｘ先生の考え方を理解するため

自分なりにかんがえてみたところ

片側極限と関係があると思い

参考書などで調べています


片側極限などというものを知ったのは今です

方向性として

片側極限を勉強するということで大丈夫でしょうか。

何卒宜しくお願い致します。
No.81330 - 2022/03/17(Thu) 18:04:09
☆ Re: 三角関数の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２２日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
早速ですが

質問があります

以下です

＞(3)
これも(2)と同様です。
x→π/2+0のときcosx→-0

以上です。

x→π/2+0のときcosx→-0

の過程を教えてください。

何卒宜しくお願い致します。
No.81331 - 2022/03/17(Thu) 18:19:47
☆ Re: 三角関数の極限 / X
＞＞片側極限を勉強するということで大丈夫でしょうか。
必ず勉強して下さい。

＞＞x→π/2+0のときcosx→-0
＞＞の過程を教えてください。
cos(3π/4)=-1/√2
cos(2π/3)=-1/2
…
というように
cosx＜0
の側から0に近づきます。
No.81332 - 2022/03/17(Thu) 18:57:03
☆ Re: 三角関数の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２２日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｘ先生に

片側極限を０から学ぶので

本日中の返信はできないと思います

明日には返信出来るように頑張ります
No.81334 - 2022/03/17(Thu) 19:23:58
☆ Re: 三角関数の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２２日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｘ先生

難航しています。

独学ですので

明日また、ご返信致します。

何卒宜しくお願い致します。
No.81345 - 2022/03/18(Fri) 15:16:55
☆ Re: 三角関数の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２３日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｘ先生に

おはようございます。

宜しくお願い致します。

一つ、どうしてもｘ先生の回答と違うものがあります

教えていただけると幸いです
No.81361 - 2022/03/19(Sat) 06:17:35
☆ Re: 三角関数の極限 / X
ごめんなさい。K・Aの解答で正解です。
No.81329での私の回答が間違っていますね。
No.81329を直接修正しましたので、再度ご覧下さい。
No.81374 - 2022/03/20(Sun) 09:27:23
☆ Re: 三角関数の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２３日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｘ先生に

ホッとしました

ありがとうございました

ｘ先生のおかげで、また学を深めることができました

感謝申し上げます。
No.81378 - 2022/03/20(Sun) 13:40:07
★ (No Subject) / 多変数関数の積分法
多変数関数の積分法の問題です。(1),(2)のθの範囲について、解き方はわかるのですが、θの範囲を、wolfram alphaで瞬時に答えを知るためには、何と入力すれば良いでしょうか？
No.81320 - 2022/03/17(Thu) 05:04:00
☆ Re: / GandB
(1)の場合

Int[r^3cos^2θ,{θ,0,2π},{r,0,1}]

でいける。
No.81321 - 2022/03/17(Thu) 05:49:15
☆ Re: / 多変数関数の積分法
言葉足りずですみません。θの範囲を知りたいということです。
No.81323 - 2022/03/17(Thu) 06:11:04
☆ Re: / ast
これは入力者側が極座標 (平面上の点を一意に表すためには 0<r, 0≤θ≤2π などを大前提の仮定として加えないといけない) を理解していないといけない場面だとおもいます.
# 質問者も分かっているのだとは思いますが, WolframAlpha にとっては θ は任意の実数と認識します.
# 参考: WolframAlpha における "x^2+y^2 ≤ 1 in polar" の結果
# 　　(これは x=r*cos(θ), y=r*sin(θ) のもとで x^2+y^2≤1 ⇔ [-1≤r≤1 かつ θ は任意] ということです).

実際のところ, 本問において θ の範囲はそもそも一意に決定されない (一周 2π の範囲の区間をとる限りなんでもよい, 例えば -π≤θ≤π などでもよい) ので, WolframAlpha は勝手に判断するわけにはいかず, 必然的に入力者自身の選択に委ねられることになると思います.
# このあたり, プログラムのコンパイルエラーとワーニングの違いみたいなもので,
## エラーは機械的に通らないと機械側で判断できるので勝手に動作を終了するというメッセージ,
## ワーニングは機械的には通るけど不審だから人間が判断するように機械側が促すメッセージです
## (人間の目で見て特に問題が無ければ無視されるし, そもそも無視してもとくに問題がないことも多々ある).
# そういう意味で本問でもワーニングに相当するメッセージくらいは欲しい気はするがそれは贅沢なのか
# といったところでしょうか.

## WolframAlpha は質問すれば知りたいことを一発で教えてくれる魔法ではなく,
## 入力者側が WolframAlpha が一発で答えられる形で疑問を投げかけないといけないただの機械,
## というまあ面倒臭いところなのでしょう.
No.81327 - 2022/03/17(Thu) 13:33:31
☆ Re: / 多変数関数の積分法
astさん

ご返信ありがとうございます。
理解力がなくて申し訳ないのですが、つまりθの範囲を教えてもらうのは不可能ということでしょうか？
以下のように、2問ともrの範囲は出力できるのですが、(2)のθの範囲の出力の仕方がわかりません。

https://ja.wolframalpha.com/input?i=%28rcosθ%29%5E2%2B%28rsinθ%29%5E2≦1%2Cr≧0%2C0≦θ≦2πをθについて解く

https://ja.wolframalpha.com/input?i=%28rcosθ%29%5E2%2B%28rsinθ%29%5E2≦rcosθ%2Cr≧0%2C0≦θ≦2πをθについて解く
No.81328 - 2022/03/17(Thu) 15:40:47
☆ Re: / ast
# あ, "r≥0, 0≤θ≤2π" みたいな条件は自分でつけてるのね. それならば先の私のコメントは杞憂でした.

質問者が提示したURLにおける指定「θ について解く」は "r を止めたときの θ のとりうる値" を訊いているということだから, 範囲はちゃんと示されているのでは……?

どのみち重積分を逐次積分として, θ から先に積分するなら r を止めたときの θ の範囲で積分するので,
　 ∫[0,1] (∫[-cos^(-1)(r),cos^(-1)(r)] 〜 dθ) dr
の形になり, 提示されたURLの内容で十分だと思う.
## これを解釈次第だと言っても構わないけれど, 図 5.8 からわかるってのも同じようなことだしなあ
## (まあ解説のほうは θ を止めて r を動かしてる (だから r から先に積分している) んだけど)

あととりあえず, 名前欄に件名として書くべき内容を書くのは止めろ (適当でも構わないから名乗れ).
No.81333 - 2022/03/17(Thu) 18:57:08
☆ Re: / ast
ああ, 単純に
(1) (rcosθ)^2+(rsinθ)^2≦1,r≧0,0≦θ≦2πをrについて解く
(2) (rcosθ)^2+(rsinθ)^2≦rcosθ,r≧0,0≦θ≦2πをrについて解く
に変えればいい話じゃん…….
No.81335 - 2022/03/17(Thu) 19:47:46
★ 正八角形内の三角形の辺の長さについて / ふぶ
正八角形の頂点を結んで三角形をかきました。
三角形が二等辺三角形になる(2辺の長さが等しい)理由を教えてください。
No.81318 - 2022/03/16(Wed) 13:39:29
☆ Re: 正八角形内の三角形の辺の長さについて / ヨッシー

三角形とは図でいう△ＡＤＦのことですね？
三角形の合同は習得済みとして、
　△ＡＢＣ≡△ＡＨＧ　より　ＡＣ＝ＡＧ
これを使って
　△ＡＣＤ≡△ＡＧＦ
を示せば、
　ＡＤ＝ＡＦ
が言えます。
No.81319 - 2022/03/16(Wed) 14:31:11
☆ Re: 正八角形内の三角形の辺の長さについて / ふぶ
> 正八角形の頂点を結んで三角形をかきました。
> 三角形が二等辺三角形になる(2辺の長さが等しい)理由を教えてください。
返信ありがとうございます。

AC＝AG、CD＝GFは分かります。
根拠となる角度の仮定ですが、
正八角形の一つの内角の角度が135°で
△ABCを二等辺三角形と仮定し
両端の角度27.5°(=180°-135°÷2)
△AHGの両端の角度も27.5°
△ACDのCの角度が107.5°(=135°-27.5°)
△AGFのGの角度も107.5°

AC＝AG、CD=GFで
両辺の間の角度が107.5°で同じのため、
△ACD＝△AGFといえる。

この仮定は合ってますでしょうか。
No.81546 - 2022/03/28(Mon) 16:48:13
☆ Re: 正八角形内の三角形の辺の長さについて / ヨッシー
角度は、明確に算出できるので、仮定という言い方はそぐわないです。

また、
　(180°−135°)÷2＝22.5°
　135°−22.5°＝112.5°
です。

さらに、具体的に角度を出さなくても、
○と○が等しい、△と△が等しい。よって、
○−△と○−△は等しい、というだけで、
　∠ＡＣＤ＝∠ＡＧＦ
を示すことが出来ます。
No.81547 - 2022/03/28(Mon) 16:59:47
★ 広義積分の値 / 土佐
被積分関数1/((x-i)(x+i)(x-1))を-∞から∞まで
積分した値を留数を用いて求めよ。
iは虚数単位とする。
答えは-3.14159/2(-pi/2)なのですが
計算方法がわかりません。
どなたかよろしくお願いします。
No.81313 - 2022/03/15(Tue) 12:26:43
☆ Re: 広義積分の値 / ast
問題が何というか不審です. ちゃんと述べると,
> 被積分関数1/((x-i)(x+i)(x-1))を-∞から∞まで積分
という部分に, おもに二つの意味で引っかかっています.
[i] (そもそもの積分を「実解析」の範囲で考えられるかという意味で) 特異点 x=1 が積分路上にあるから広義積分を考えたいというのは理解できますが, これは広義積分が定義されない (極限のとり方に依存する) のでは?
# コーシー主値なら定まるし, 値も提示された値になるが
[ii] 被積分函数が 1/((x-i)(x+i)(x-1)) というのはどういう文脈を考えているのかちょっとよくわからない.「実函数の広義積分を複素線積分を使って求める (と容易に求まる)」というよくあるシチュエーションなら (内容はほぼ変わらないけど) "∫[-∞,∞] dx/(x^4-1)" などのほうがよほどしっくりくる (が, これも積分路上に特異点が載っていることに違いはないので [i] の疑問はそのまま残る)
# なので, 最初の例としては "∫[-∞,∞] dx/(x^4+1)" を計算してみるべきではないか,
# もしそれを計算した経験があるならば, 同様の「計算方法」でやればよいので, やっていないなら
# そっちをまず例にとったほうがいいのではないかと思う.

----
本当にその問題を解かなければいけない場合, もし「コーシー主値としてしか求まらない」ことを前提においていいのであれば, 本問で考えるべき周回積分において, 実軸上の特異点は無限に小さく避けてしまえばよい話になる
# "実軸を正の向きに進み, かつ, 実軸を含めて反時計回りに一周する積分路" が囲む 1/((z-i)(z+i)(z-1)) の
# 極は z=i だけなので, 留数定理を適用するのも易しいと思う
ので, 当コメントは穿ち過ぎなのかもしれません (でも個人的には腑に落ちない).
No.81315 - 2022/03/15(Tue) 18:35:17
☆ Re: 広義積分の値 / 土佐
ありがとうございました。
No.81316 - 2022/03/15(Tue) 18:54:45
★ 帰納法？ / 久々数学
1+2＝3
4+5+6＝7+8
9+10+11+12＝13+14+15
16+17+18+19+20＝21+22+23+24
....となることを証明したいのですが、
帰納法がベストなのでしょうか。

数学に触れるのが10年振りででお知恵をお借りしたいです。

No.81307 - 2022/03/15(Tue) 06:19:45
☆ Re: 帰納法？ / らすかる
1からnまでの和はn(n+1)/2なので
n^2(行の先頭の値)からn^2+2n(行の末尾の値)までの和は
(n^2+2n)(n^2+2n+1)/2-(n^2-1)n^2/2=2n^3+3n^2+n
n^2(行の先頭の値)からn^2+n(左辺の末尾の値)までの和は
(n^2+n)(n^2+n+1)/2-(n^2-1)n^2/2=(2n^3+3n^2+n)/2
よって左辺は行全体の和の1/2なので、等式は成り立ちます。
No.81308 - 2022/03/15(Tue) 06:34:40
☆ Re: 帰納法？ / IT
説明的には

例えば　4+5+6 と7+8 　で　7+8の先頭に0を加えて

4+5+6　と
0+7+8　を比較します
1項目は左辺が右辺より4=2*2 大きく
2項目以降の各項の値を順に比較すると、右辺が左辺より2大きく2項ある。合わせて右辺が2*2　大きい。

全部の項の合計は、左辺と右辺で等しい。

(一般にn行目の等式の場合）
左辺は、第１項がn^2 でその後ろに第２項から第n+1項までn^2+1,n^2+2,...,n^2+n のn個の項がある。
右辺は、第１項から第ｎ項まで、(n^2+1)+n,(n^2+2)+n,...,(n^2+n)+n　のn個の項がある。

右辺の第１項と左辺の第２項、...、右辺の第n項と左辺の第n+1項の差は、それぞれnである。
これらの差の合計はn×n＝左辺の第１項

よって左辺＝右辺。
No.81309 - 2022/03/15(Tue) 06:42:55
☆ Re: 帰納法？ / 久々数学
皆さん早速ご返信ありがとうございました。
参考にさせていただきます。
No.81317 - 2022/03/15(Tue) 23:04:48
★ (No Subject) / 数学苦手
この問題で、A大学の合格者数をxとして、B大学の合格者数をyとして(2x+4y):(9x+5y)=3:5という式を解いて、17x=5yとなりました。解説を見ると、ここから逆比になっていました。17xの方には17分の5、5yの方には5分の17を掛け算するのが逆比ですよね。間違えていたら、すみません。
また、例えば速さなどの特定の要素で両者共に一定のもの、この場合は道のりが一定であれば逆比になることが決まっていますが今回の場合は入学試験の倍率とのことで、両大学の一定のものはなさそうですし、=(イコール)の式である場合は係数を前述のように逆にしたものが逆比とただ暗記すればいいでしょうか？
No.81303 - 2022/03/14(Mon) 22:17:15
☆ Re: / 関数電卓
　17x＝5y ⇔ x：y＝5：17
であることはお分かりですか？
No.81305 - 2022/03/14(Mon) 23:27:45
☆ Re: / 数学苦手
そこが何故そうなるのか分からないです。左辺の17xの方は5/17を掛けて、右辺の5yの方は17/5を掛けて、逆比になっているということだとは自分で考えてますが…これも間違えているかもしれないですね(⌒-⌒; )
No.81306 - 2022/03/15(Tue) 00:24:12
☆ Re: / 関数電卓
> そこが何故そうなるのか分からないです
何をそんなに難しく考えておられるのか？？
　17x＝5y
なのだから
　x＝17, y＝5
になるわけない，ですよね。17×17≠5×5 (！！)
素直に (一例として）x＝5，y＝17 (17×5＝5×17) で，x：y＝5：17 です。

　x：y＝5：17
は，両辺の・・の間に−(横線) を入れて
　x ÷ y＝5 ÷ 17
のこと，と 覚えて ください。

ところで
> (2x＋4y)：(9x＋5y)＝3：5 という式を解いて、17x＝5y となりました。
は，どのように計算されたのですか？
No.81310 - 2022/03/15(Tue) 08:53:48
☆ Re: / ヨッシー
数学苦手さん

関数電卓さんの
>どのように計算されたのですか？
は、計算の過程を聞いておられるのではなく、
　17x＝5y ⇔ x：y＝5：17
この変形を知らないと計算できないはずなのに、
>そこが何故そうなるのか分からないです
と矛盾しませんか？
という問いかけです。念のため。

解説に書いてあったので、というオチは無しですよ。
No.81311 - 2022/03/15(Tue) 10:55:08
☆ Re: / 数学苦手
ああ、すみません。また同じことを書いて申し訳ないのですが17x=5yについて私が考えたのは17x(5/17)=5y(17/5)をすることで、逆比となるというものでした。それが間違えているか、合っているか確認したかったのです。
No.81336 - 2022/03/17(Thu) 23:58:20
☆ Re: / 関数電卓
> 17x＝5y について 17x(5/17)＝5y(17/5) をする
等式 17x＝5y の左辺に 5/17 を掛け右辺に 17/5 を掛ける，と 両辺に異なる数を掛けている のですから，その結果は等しくなりません。すなわち 間違えて います。
> 逆比となる
は，意味不明です。
No.81338 - 2022/03/18(Fri) 09:21:02
☆ Re: / 数学苦手
では何故係数、比とも言うのでしょうか。逆になっているのか教えてください…
No.81346 - 2022/03/18(Fri) 17:17:39
☆ Re: / 数学苦手
あ、書いてくれてました…失礼しました。一例の…と書かれたところの考え方ですね。
No.81347 - 2022/03/18(Fri) 17:20:06
★ (No Subject) / みの中1
「315にできるだけ小さい自然数をかけて、30の倍数にするには、どんな数をかければ良いか」という問題が解けません。誰か解説してください。お願いします。
No.81301 - 2022/03/14(Mon) 22:04:34
☆ Re: / ヨッシー
30を素因数分解すると
　30＝2×3×5
なので、2でも3でも5でも割り切れる数は30でも割り切れます。
315は
　２で割り切れますか？
　３で割り切れますか？
　５で割り切れますか？
ある数で割り切れなかったら、その数を掛けましょう。
No.81302 - 2022/03/14(Mon) 22:14:54
☆ Re: / みの中1
3で割って105になりましたが、その後どうすれば良いのでしょうか。
No.81304 - 2022/03/14(Mon) 22:21:06
☆ Re: / ヨッシー
割った答えは聞いていません。
割り切れるかどうかを聞いています。

例題
　200にできるだけ小さい自然数をかけて、42の倍数にするには（以下同文）
解答
　42を素因数分解すると
　　42＝2×3×7
　200は
　　2で割り切れる
　　3で割り切れない
　　7で割り切れない
　割り切れなかった3と7を掛けて　21 が答え。
No.81312 - 2022/03/15(Tue) 11:01:06
★ 三角関数の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２２日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
質問をもう一つお願い致します。

何卒宜しくお願い致します。
No.81297 - 2022/03/14(Mon) 14:27:59
☆ Re: 三角関数の極限 / X
これもNo.81296で質問された問題と方針は同じです。
No.81298の内容を参考にして、もう一度考えてみて下さい。
No.81299 - 2022/03/14(Mon) 17:18:21
★ 三角関数の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２２日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
こんにちは

問題が４題あります。

一つでもご回答いただければ幸いです。
No.81296 - 2022/03/14(Mon) 13:22:10
☆ Re: 三角関数の極限 / X
いずれも公式である
lim[x→0](sinx)/x=1
が使えるように式変形していくのが基本です。

(1)
x=π/2-t
と置くと
(与式)=lim[t→0]cos(3π/2-3t)tan(5π/2-5t)
ここで
cos(3π/2-3t)=-cos(π/2-3t)=-sin3t
tan(5π/2-5t)=tan(π/2-5t)=1/tan5t=(cos5t)/sin5t
∴(与式)=lim[t→0]-(3/5){(sin3t)/(3t)}(cos5t)/{(sin5t)/5t}
=-3/5

(2)
2つ方針が考えられます。
方針その1)分子の√の中に半角の公式を適用します。
方針その2)分母分子に√(1+cosx)をかけます。

但し、考えている極限がx→-0、つまりx＜0の側から
xを0に近づけていることに注意して、分子の√を
外しましょう。


(3)
和積の公式などを使うと
tanx(cosx-cos3x)={(sinx)/cosx}・(-2)sin2xsin(-x)
=2sin2x{(sinx)^2}/cosx
∴…

(4)
x°≡πx/180[rad]
となりますので…
No.81298 - 2022/03/14(Mon) 17:16:36
★ 数列の質問 / 高校数学
問題と解説を載せます。
問題文の式から解説の1行目への変形がどうなるのかわかりません。
教えていただきたいです。
宜しくお願い致します。
No.81288 - 2022/03/13(Sun) 14:22:46
☆ Re: 数列の質問 / 高校数学
解説です。
No.81289 - 2022/03/13(Sun) 14:23:43
☆ Re: 数列の質問 / IT
誤植だと思います。
（全体に、でたらめのように見えます。
　出典は何ですか？　クレームを言ってもいいと思います。）
No.81290 - 2022/03/13(Sun) 15:16:26
☆ Re: 数列の質問 / 高校数学
回答ありがとうございます。
とある県の教員採用試験の過去問です。
No.81292 - 2022/03/13(Sun) 16:53:20
☆ Re: 数列の質問 / IT
教員試験過去問専門（数学専門ではない）の出版社（？）だと思いますが、ひどいですね。
No.81294 - 2022/03/13(Sun) 17:33:36
★ 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
今投稿している質問が複数あるので

ここでマトメマス

何卒宜しくお願い致します。
No.81276 - 2022/03/13(Sun) 10:40:24
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
追伸

No.81270 - 2022/03/13(Sun) 07:27:18


もご参考にしてください。
No.81277 - 2022/03/13(Sun) 10:44:58
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
尚
この質問は

No.81266 - 2022/03/12(Sat) 23:41:38

に起因しております。
No.81278 - 2022/03/13(Sun) 10:51:02
☆ Re: 無限等比数列の極限 / X
No.81279で回答していますのでご覧下さい。
No.81280 - 2022/03/13(Sun) 11:06:43
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
出来ました♥♥♥

酷評ください。
No.81285 - 2022/03/13(Sun) 12:33:21
☆ Re: 無限等比数列の極限 / X
方針に問題はありませんが、計算結果が整理不足ですね。
(1/a)(1+1/a)/(1-1/a)^3=(a^2)(a+1)/(a-1)^3
です。
No.81291 - 2022/03/13(Sun) 16:01:31
☆ Re: 無限等比数列の極限 / m
その変形は大学数学の範囲で，証明としては論証不足です．

1 + x + x^2 + ... + x^n + ...
の微分が
1 + 2x + ... + nx^(n-1) + ...
になることは自明ではありません．（結果はあっている．）
一般に，極限（無限和）と微分の順番を入れ替えることができるとは限りません．

この変形を正当化するには大学数学を学ぶしかないと思います．


「極限をとってから微分すると 0 になるが，微分してから極限をとったものは存在しない」例：
f_n (x) = sin(nx)/n
とすると，
f_n'(x) = cos(nx)．
また，f_n の極限関数は f(x) = 0 （恒等的にゼロ）である．
f'(x) = 0 であるが，
lim[n→∞] f_n'(x) は存在しない．
No.81293 - 2022/03/13(Sun) 16:57:40
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｘ先生
ｍ先生

ありがとうございました
No.81295 - 2022/03/14(Mon) 13:19:43
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