時刻 t および x軸上の位置 x に依存する物理量 f(t, x) が、次のような方程式に従って変化してい
る。
(∂^2f/∂t^2)+γ(∂f/∂t)−c^2(∂^2f/∂x^2)= 0
ここで、γ はゼロ以上の定数、c は正の定数である。
時刻 t = 0 において、波数 k で振幅 A の波動 f(t = 0, x) = A sin(kx) が存在していたとする。その後、
f(t, x) は、f(t, x) = F(t) sin(kx) と表された。
1. γ = 0 の場合に、F(t) が満たす微分方程式を求めよ。
2. γ = 0 の場合に、t > 0 において、f(t, x) はどのように変化するか。前問の微分方程式の解を求めた上
で、言葉でその様子を説明せよ。
3. γ > 0 の場合に、t > 0 における f(t, x) の変化がどうなるかを説明せよ。
(1)と(2)を教えてほしいです。よろしくお願いします。
もし時間がある様でしたら、(3)も教えていただけると助かります。
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No.80048 - 2021/12/25(Sat) 02:01:38
| ☆ Re: 波動について / X | | | 3.は方針だけ。
1.
条件のとき、問題の偏微分方程式は
F"sinkx+{(kc)^2}Fsinkx=0
これより
{F"+F(kc)^2}sinkx=0
∴求める微分方程式は
F"+F(kc)^2=0
2.
1.の結果から
F=C[1]sinkct+C[2]coskct
(C[1],C[2]は任意定数)
ここで
f(0,x)=Asin(kx)
より
F(0)=A
∴C[2]=A
よって
f={C[1]sinkct+Acoskct}sinkx
となるので
f=αsin(kct+φ)sinkx (C[1]≠0)
(但し、
α=√{{C[1]^2+A^2},φ=arctan(A/C[1]))
f=Acoskctsinkx (C[1]=0)
よって横軸にx,縦軸にfを取ったときの
グラフは、正弦波であり
振幅が周期2π/(kc)で周期的に変化します。
3.
1.と同様に考えるとFが満たす微分方程式は
F"+γF'+F(kc)^2=0 (B)
∴横軸にx,縦軸にfを取ったときのグラフが
正弦波であることは2.の場合と変わりませんが
その振幅の変化が異なります。
でここからですが、物理の教科書で単振動の
微分方程式の項目を調べてみて下さい。
(B)と似たような微分方程式になっています。
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No.80054 - 2021/12/25(Sat) 20:20:55 |
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