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★ 正八角形内の三角形の辺の長さについて / ふぶ
正八角形の頂点を結んで三角形をかきました。
三角形が二等辺三角形になる(2辺の長さが等しい)理由を教えてください。
No.81318 - 2022/03/16(Wed) 13:39:29
☆ Re: 正八角形内の三角形の辺の長さについて / ヨッシー

三角形とは図でいう△ＡＤＦのことですね？
三角形の合同は習得済みとして、
　△ＡＢＣ≡△ＡＨＧ　より　ＡＣ＝ＡＧ
これを使って
　△ＡＣＤ≡△ＡＧＦ
を示せば、
　ＡＤ＝ＡＦ
が言えます。
No.81319 - 2022/03/16(Wed) 14:31:11
☆ Re: 正八角形内の三角形の辺の長さについて / ふぶ
> 正八角形の頂点を結んで三角形をかきました。
> 三角形が二等辺三角形になる(2辺の長さが等しい)理由を教えてください。
返信ありがとうございます。

AC＝AG、CD＝GFは分かります。
根拠となる角度の仮定ですが、
正八角形の一つの内角の角度が135°で
△ABCを二等辺三角形と仮定し
両端の角度27.5°(=180°-135°÷2)
△AHGの両端の角度も27.5°
△ACDのCの角度が107.5°(=135°-27.5°)
△AGFのGの角度も107.5°

AC＝AG、CD=GFで
両辺の間の角度が107.5°で同じのため、
△ACD＝△AGFといえる。

この仮定は合ってますでしょうか。
No.81546 - 2022/03/28(Mon) 16:48:13
☆ Re: 正八角形内の三角形の辺の長さについて / ヨッシー
角度は、明確に算出できるので、仮定という言い方はそぐわないです。

また、
　(180°−135°)÷2＝22.5°
　135°−22.5°＝112.5°
です。

さらに、具体的に角度を出さなくても、
○と○が等しい、△と△が等しい。よって、
○−△と○−△は等しい、というだけで、
　∠ＡＣＤ＝∠ＡＧＦ
を示すことが出来ます。
No.81547 - 2022/03/28(Mon) 16:59:47
★ 広義積分の値 / 土佐
被積分関数1/((x-i)(x+i)(x-1))を-∞から∞まで
積分した値を留数を用いて求めよ。
iは虚数単位とする。
答えは-3.14159/2(-pi/2)なのですが
計算方法がわかりません。
どなたかよろしくお願いします。
No.81313 - 2022/03/15(Tue) 12:26:43
☆ Re: 広義積分の値 / ast
問題が何というか不審です. ちゃんと述べると,
> 被積分関数1/((x-i)(x+i)(x-1))を-∞から∞まで積分
という部分に, おもに二つの意味で引っかかっています.
[i] (そもそもの積分を「実解析」の範囲で考えられるかという意味で) 特異点 x=1 が積分路上にあるから広義積分を考えたいというのは理解できますが, これは広義積分が定義されない (極限のとり方に依存する) のでは?
# コーシー主値なら定まるし, 値も提示された値になるが
[ii] 被積分函数が 1/((x-i)(x+i)(x-1)) というのはどういう文脈を考えているのかちょっとよくわからない.「実函数の広義積分を複素線積分を使って求める (と容易に求まる)」というよくあるシチュエーションなら (内容はほぼ変わらないけど) "∫[-∞,∞] dx/(x^4-1)" などのほうがよほどしっくりくる (が, これも積分路上に特異点が載っていることに違いはないので [i] の疑問はそのまま残る)
# なので, 最初の例としては "∫[-∞,∞] dx/(x^4+1)" を計算してみるべきではないか,
# もしそれを計算した経験があるならば, 同様の「計算方法」でやればよいので, やっていないなら
# そっちをまず例にとったほうがいいのではないかと思う.

----
本当にその問題を解かなければいけない場合, もし「コーシー主値としてしか求まらない」ことを前提においていいのであれば, 本問で考えるべき周回積分において, 実軸上の特異点は無限に小さく避けてしまえばよい話になる
# "実軸を正の向きに進み, かつ, 実軸を含めて反時計回りに一周する積分路" が囲む 1/((z-i)(z+i)(z-1)) の
# 極は z=i だけなので, 留数定理を適用するのも易しいと思う
ので, 当コメントは穿ち過ぎなのかもしれません (でも個人的には腑に落ちない).
No.81315 - 2022/03/15(Tue) 18:35:17
☆ Re: 広義積分の値 / 土佐
ありがとうございました。
No.81316 - 2022/03/15(Tue) 18:54:45
★ 帰納法？ / 久々数学
1+2＝3
4+5+6＝7+8
9+10+11+12＝13+14+15
16+17+18+19+20＝21+22+23+24
....となることを証明したいのですが、
帰納法がベストなのでしょうか。

数学に触れるのが10年振りででお知恵をお借りしたいです。

No.81307 - 2022/03/15(Tue) 06:19:45
☆ Re: 帰納法？ / らすかる
1からnまでの和はn(n+1)/2なので
n^2(行の先頭の値)からn^2+2n(行の末尾の値)までの和は
(n^2+2n)(n^2+2n+1)/2-(n^2-1)n^2/2=2n^3+3n^2+n
n^2(行の先頭の値)からn^2+n(左辺の末尾の値)までの和は
(n^2+n)(n^2+n+1)/2-(n^2-1)n^2/2=(2n^3+3n^2+n)/2
よって左辺は行全体の和の1/2なので、等式は成り立ちます。
No.81308 - 2022/03/15(Tue) 06:34:40
☆ Re: 帰納法？ / IT
説明的には

例えば　4+5+6 と7+8 　で　7+8の先頭に0を加えて

4+5+6　と
0+7+8　を比較します
1項目は左辺が右辺より4=2*2 大きく
2項目以降の各項の値を順に比較すると、右辺が左辺より2大きく2項ある。合わせて右辺が2*2　大きい。

全部の項の合計は、左辺と右辺で等しい。

(一般にn行目の等式の場合）
左辺は、第１項がn^2 でその後ろに第２項から第n+1項までn^2+1,n^2+2,...,n^2+n のn個の項がある。
右辺は、第１項から第ｎ項まで、(n^2+1)+n,(n^2+2)+n,...,(n^2+n)+n　のn個の項がある。

右辺の第１項と左辺の第２項、...、右辺の第n項と左辺の第n+1項の差は、それぞれnである。
これらの差の合計はn×n＝左辺の第１項

よって左辺＝右辺。
No.81309 - 2022/03/15(Tue) 06:42:55
☆ Re: 帰納法？ / 久々数学
皆さん早速ご返信ありがとうございました。
参考にさせていただきます。
No.81317 - 2022/03/15(Tue) 23:04:48
★ (No Subject) / 数学苦手
この問題で、A大学の合格者数をxとして、B大学の合格者数をyとして(2x+4y):(9x+5y)=3:5という式を解いて、17x=5yとなりました。解説を見ると、ここから逆比になっていました。17xの方には17分の5、5yの方には5分の17を掛け算するのが逆比ですよね。間違えていたら、すみません。
また、例えば速さなどの特定の要素で両者共に一定のもの、この場合は道のりが一定であれば逆比になることが決まっていますが今回の場合は入学試験の倍率とのことで、両大学の一定のものはなさそうですし、=(イコール)の式である場合は係数を前述のように逆にしたものが逆比とただ暗記すればいいでしょうか？
No.81303 - 2022/03/14(Mon) 22:17:15
☆ Re: / 関数電卓
　17x＝5y ⇔ x：y＝5：17
であることはお分かりですか？
No.81305 - 2022/03/14(Mon) 23:27:45
☆ Re: / 数学苦手
そこが何故そうなるのか分からないです。左辺の17xの方は5/17を掛けて、右辺の5yの方は17/5を掛けて、逆比になっているということだとは自分で考えてますが…これも間違えているかもしれないですね(⌒-⌒; )
No.81306 - 2022/03/15(Tue) 00:24:12
☆ Re: / 関数電卓
> そこが何故そうなるのか分からないです
何をそんなに難しく考えておられるのか？？
　17x＝5y
なのだから
　x＝17, y＝5
になるわけない，ですよね。17×17≠5×5 (！！)
素直に (一例として）x＝5，y＝17 (17×5＝5×17) で，x：y＝5：17 です。

　x：y＝5：17
は，両辺の・・の間に−(横線) を入れて
　x ÷ y＝5 ÷ 17
のこと，と 覚えて ください。

ところで
> (2x＋4y)：(9x＋5y)＝3：5 という式を解いて、17x＝5y となりました。
は，どのように計算されたのですか？
No.81310 - 2022/03/15(Tue) 08:53:48
☆ Re: / ヨッシー
数学苦手さん

関数電卓さんの
>どのように計算されたのですか？
は、計算の過程を聞いておられるのではなく、
　17x＝5y ⇔ x：y＝5：17
この変形を知らないと計算できないはずなのに、
>そこが何故そうなるのか分からないです
と矛盾しませんか？
という問いかけです。念のため。

解説に書いてあったので、というオチは無しですよ。
No.81311 - 2022/03/15(Tue) 10:55:08
☆ Re: / 数学苦手
ああ、すみません。また同じことを書いて申し訳ないのですが17x=5yについて私が考えたのは17x(5/17)=5y(17/5)をすることで、逆比となるというものでした。それが間違えているか、合っているか確認したかったのです。
No.81336 - 2022/03/17(Thu) 23:58:20
☆ Re: / 関数電卓
> 17x＝5y について 17x(5/17)＝5y(17/5) をする
等式 17x＝5y の左辺に 5/17 を掛け右辺に 17/5 を掛ける，と 両辺に異なる数を掛けている のですから，その結果は等しくなりません。すなわち 間違えて います。
> 逆比となる
は，意味不明です。
No.81338 - 2022/03/18(Fri) 09:21:02
☆ Re: / 数学苦手
では何故係数、比とも言うのでしょうか。逆になっているのか教えてください…
No.81346 - 2022/03/18(Fri) 17:17:39
☆ Re: / 数学苦手
あ、書いてくれてました…失礼しました。一例の…と書かれたところの考え方ですね。
No.81347 - 2022/03/18(Fri) 17:20:06
★ (No Subject) / みの中1
「315にできるだけ小さい自然数をかけて、30の倍数にするには、どんな数をかければ良いか」という問題が解けません。誰か解説してください。お願いします。
No.81301 - 2022/03/14(Mon) 22:04:34
☆ Re: / ヨッシー
30を素因数分解すると
　30＝2×3×5
なので、2でも3でも5でも割り切れる数は30でも割り切れます。
315は
　２で割り切れますか？
　３で割り切れますか？
　５で割り切れますか？
ある数で割り切れなかったら、その数を掛けましょう。
No.81302 - 2022/03/14(Mon) 22:14:54
☆ Re: / みの中1
3で割って105になりましたが、その後どうすれば良いのでしょうか。
No.81304 - 2022/03/14(Mon) 22:21:06
☆ Re: / ヨッシー
割った答えは聞いていません。
割り切れるかどうかを聞いています。

例題
　200にできるだけ小さい自然数をかけて、42の倍数にするには（以下同文）
解答
　42を素因数分解すると
　　42＝2×3×7
　200は
　　2で割り切れる
　　3で割り切れない
　　7で割り切れない
　割り切れなかった3と7を掛けて　21 が答え。
No.81312 - 2022/03/15(Tue) 11:01:06
★ 三角関数の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２２日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
質問をもう一つお願い致します。

何卒宜しくお願い致します。
No.81297 - 2022/03/14(Mon) 14:27:59
☆ Re: 三角関数の極限 / X
これもNo.81296で質問された問題と方針は同じです。
No.81298の内容を参考にして、もう一度考えてみて下さい。
No.81299 - 2022/03/14(Mon) 17:18:21
★ 三角関数の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２２日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
こんにちは

問題が４題あります。

一つでもご回答いただければ幸いです。
No.81296 - 2022/03/14(Mon) 13:22:10
☆ Re: 三角関数の極限 / X
いずれも公式である
lim[x→0](sinx)/x=1
が使えるように式変形していくのが基本です。

(1)
x=π/2-t
と置くと
(与式)=lim[t→0]cos(3π/2-3t)tan(5π/2-5t)
ここで
cos(3π/2-3t)=-cos(π/2-3t)=-sin3t
tan(5π/2-5t)=tan(π/2-5t)=1/tan5t=(cos5t)/sin5t
∴(与式)=lim[t→0]-(3/5){(sin3t)/(3t)}(cos5t)/{(sin5t)/5t}
=-3/5

(2)
2つ方針が考えられます。
方針その1)分子の√の中に半角の公式を適用します。
方針その2)分母分子に√(1+cosx)をかけます。

但し、考えている極限がx→-0、つまりx＜0の側から
xを0に近づけていることに注意して、分子の√を
外しましょう。


(3)
和積の公式などを使うと
tanx(cosx-cos3x)={(sinx)/cosx}・(-2)sin2xsin(-x)
=2sin2x{(sinx)^2}/cosx
∴…

(4)
x°≡πx/180[rad]
となりますので…
No.81298 - 2022/03/14(Mon) 17:16:36
★ 数列の質問 / 高校数学
問題と解説を載せます。
問題文の式から解説の1行目への変形がどうなるのかわかりません。
教えていただきたいです。
宜しくお願い致します。
No.81288 - 2022/03/13(Sun) 14:22:46
☆ Re: 数列の質問 / 高校数学
解説です。
No.81289 - 2022/03/13(Sun) 14:23:43
☆ Re: 数列の質問 / IT
誤植だと思います。
（全体に、でたらめのように見えます。
　出典は何ですか？　クレームを言ってもいいと思います。）
No.81290 - 2022/03/13(Sun) 15:16:26
☆ Re: 数列の質問 / 高校数学
回答ありがとうございます。
とある県の教員採用試験の過去問です。
No.81292 - 2022/03/13(Sun) 16:53:20
☆ Re: 数列の質問 / IT
教員試験過去問専門（数学専門ではない）の出版社（？）だと思いますが、ひどいですね。
No.81294 - 2022/03/13(Sun) 17:33:36
★ 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
今投稿している質問が複数あるので

ここでマトメマス

何卒宜しくお願い致します。
No.81276 - 2022/03/13(Sun) 10:40:24
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
追伸

No.81270 - 2022/03/13(Sun) 07:27:18


もご参考にしてください。
No.81277 - 2022/03/13(Sun) 10:44:58
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
尚
この質問は

No.81266 - 2022/03/12(Sat) 23:41:38

に起因しております。
No.81278 - 2022/03/13(Sun) 10:51:02
☆ Re: 無限等比数列の極限 / X
No.81279で回答していますのでご覧下さい。
No.81280 - 2022/03/13(Sun) 11:06:43
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
出来ました♥♥♥

酷評ください。
No.81285 - 2022/03/13(Sun) 12:33:21
☆ Re: 無限等比数列の極限 / X
方針に問題はありませんが、計算結果が整理不足ですね。
(1/a)(1+1/a)/(1-1/a)^3=(a^2)(a+1)/(a-1)^3
です。
No.81291 - 2022/03/13(Sun) 16:01:31
☆ Re: 無限等比数列の極限 / m
その変形は大学数学の範囲で，証明としては論証不足です．

1 + x + x^2 + ... + x^n + ...
の微分が
1 + 2x + ... + nx^(n-1) + ...
になることは自明ではありません．（結果はあっている．）
一般に，極限（無限和）と微分の順番を入れ替えることができるとは限りません．

この変形を正当化するには大学数学を学ぶしかないと思います．


「極限をとってから微分すると 0 になるが，微分してから極限をとったものは存在しない」例：
f_n (x) = sin(nx)/n
とすると，
f_n'(x) = cos(nx)．
また，f_n の極限関数は f(x) = 0 （恒等的にゼロ）である．
f'(x) = 0 であるが，
lim[n→∞] f_n'(x) は存在しない．
No.81293 - 2022/03/13(Sun) 16:57:40
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｘ先生
ｍ先生

ありがとうございました
No.81295 - 2022/03/14(Mon) 13:19:43
★ 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
おはようございます。

以下の問題

難題でしょうか❔

何卒宜しくお願い致します。
No.81271 - 2022/03/13(Sun) 07:56:29
☆ Re: 無限等比数列の極限 / X
問題の無限級数の部分和をS[n]とすると
S[n]≧Σ[k=1〜n]2^k=2^(n+1)-1
ここでn→∞のとき2^(n+1)-1→∞
∴問題の無限級数の和は存在しません。
No.81274 - 2022/03/13(Sun) 10:31:43
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｘ先生に

おはようございます

今、以下の内容が？です

教えてください。
No.81275 - 2022/03/13(Sun) 10:33:51
☆ Re: 無限等比数列の極限 / X
微分可能なxの関数でできた数列{f[n](x)}に対し
lim[n→∞]f[n](x)=f(x)
(f(x)は微分可能な関数)
のとき
lim[n→∞]f'[n](x)=f'(x)

という命題を証明なしで使っていいという前提であれば
以下の通りです。

|x|＜1に対し
Σ[n=1〜∞]x^(n-1)=1/(1-x) (A)
(A)の両辺をxで微分すると
Σ[n=2〜∞](n-1)x^(n-2)=1/(1-x)^2
左辺において、n-1を改めてnと置くと
Σ[n=1〜∞]nx^(n-1)=1/(1-x)^2 (B)
更に(B)の両辺をxで微分した上で左辺に同様の操作をすると
Σ[n=1〜∞]n(n+1)x^(n-1)=2/(1-x)^3 (C)
(C)-(B)より、証明すべき等式を得ます。
No.81279 - 2022/03/13(Sun) 10:59:47
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｘ先生に

ご回答ありがとうございます。

私も；今解けそうです

出来たらUPします

今しばらくお待ちください。
No.81281 - 2022/03/13(Sun) 11:17:13
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
約　１２時間考えたかいがありました

大分興奮しております。

S(n)-rS(n)

に頼らない方法があると信じて粘りました

数学　最強！
No.81282 - 2022/03/13(Sun) 11:26:09
☆ Re: 無限等比数列の極限 / X
No.81279において誤りがありましたので
直接修正しました(ごめんなさい)。
再度ご覧下さい。
No.81283 - 2022/03/13(Sun) 11:56:37
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
出来ました♥♥

酷評ください。
No.81286 - 2022/03/13(Sun) 12:34:24
★ 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
朝早くからごめんなさい

おはようございます

何卒宜しくお願い致します。
No.81268 - 2022/03/13(Sun) 05:46:47
☆ Re: 無限等比数列の極限 / らすかる
下と同じように、その式を3倍したものとその式自身の
差をとれば（分母が同じもの同士を引く）
求められると思います。
というより、下のTの計算でa=3とおくだけですね。
No.81269 - 2022/03/13(Sun) 06:30:34
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
おはようございます

ご回答ありがとうございます。

私は以下のように考えました
No.81270 - 2022/03/13(Sun) 07:27:18
★ 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
こんばんは。

遅い時間に申し訳ございません


何卒宜しくお願い致します。
No.81266 - 2022/03/12(Sat) 23:41:38
☆ Re: 無限等比数列の極限 / らすかる
Σ[n=1〜∞]a^(-n)=Σ[n=1〜∞](1/a)^n=1/(a-1)

T=Σ[n=1〜∞]na^(-n) とおくと
aT=Σ[n=1〜∞]na^(-n+1)
=Σ[n=0〜∞](n+1)a^(-n)
(a-1)T=aT-T={Σ[n=0〜∞](n+1)a^(-n)}-{Σ[n=1〜∞]na^(-n)}
=1+{Σ[n=1〜∞](n+1)a^(-n)}-{Σ[n=1〜∞]na^(-n)}
=1+Σ[n=1〜∞]{(n+1)a^(-n)-na^(-n)}
=1+Σ[n=1〜∞]{(n+1)-n}a^(-n)
=1+Σ[n=1〜∞]a^(-n)
=1+1/(a-1)
=a/(a-1)
∴T=a/(a-1)^2

よって
S=Σ[n=1〜∞]n^2・a^(-n)
aS=Σ[n=1〜∞]n^2・a^(-n+1)
=Σ[n=0〜∞](n+1)^2・a^(-n)
(a-1)S=aS-S={Σ[n=0〜∞](n+1)^2・a^(-n)}-{Σ[n=1〜∞]n^2・a^(-n)}
=1+{Σ[n=1〜∞](n+1)^2・a^(-n)}-{Σ[n=1〜∞]n^2・a^(-n)}
=1+Σ[n=1〜∞]{{(n+1)^2・a^(-n)}-{n^2・a^(-n)}}
=1+Σ[n=1〜∞]{(n+1)^2-n^2}a^(-n)
=1+Σ[n=1〜∞](2n+1)a^(-n)
=1+2{Σ[n=1〜∞]na^(-n)}+{Σ[n=1〜∞]a^(-n)}
=1+2a/(a-1)^2+1/(a-1)
=a(a+1)/(a-1)^2
従って
S=a(a+1)/(a-1)^3
No.81267 - 2022/03/13(Sun) 00:12:24
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ラスカル先生に


ご回答ありがとうございます。

私も同様の手段は取れたのですが

微分などを用いた考えを模索しています

出来ましたら、教えていただけると幸いです
No.81272 - 2022/03/13(Sun) 09:34:08
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
別の掲示板で恐縮ですが、

以下が理解できません

ご指導いただけると幸いです
No.81273 - 2022/03/13(Sun) 10:00:16
☆ Re: 無限等比数列の極限 / X
添付写真の2行目の式の両辺にxをかけているだけです。
No.81284 - 2022/03/13(Sun) 12:17:25
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
できました♥♥

酷評ください。
No.81287 - 2022/03/13(Sun) 12:35:48
★ (No Subject) / あい
問3が分かりません
No.81256 - 2022/03/12(Sat) 20:01:41
☆ Re: / IT
出来たところまで書き込まれた方が、回答が付きやすいですよ。
No.81259 - 2022/03/12(Sat) 21:22:54
☆ Re: / 関数電卓
グラフは↓。
問３は，このグラフからお分かりでしょう。
No.81260 - 2022/03/12(Sat) 22:18:06
★ 積分 / あ
写真の1番上の式の計算について、置換積分でやろうとしましたがうまくいきません。積分の仕方を教えてください。
No.81250 - 2022/03/12(Sat) 10:44:10
☆ Re: 積分 / IT
私の見間違いか、勘違いでなければ、
eの（log(x^2)）乗 を計算（というほどでもないですが）すれば良いのでは？
No.81251 - 2022/03/12(Sat) 11:51:27
☆ Re: 積分 / あ
なるほど。x^2に変形できますね。ありがとうございます。
No.81252 - 2022/03/12(Sat) 14:20:31
☆ Re: 積分 / ast
直接関係ないけれど, 最後の式は dx=dt/(2x) ではきちんと変数変換できてなくて, dx=dt/(2√t) とすべきですね.
No.81255 - 2022/03/12(Sat) 19:58:37
★ 高校入試数学 / yuuma
(3)の１と２の解説をお願い致します。

解答
１・・・9/7 倍
２・・・4/11 cm
No.81246 - 2022/03/12(Sat) 03:12:50
☆ Re: 高校入試数学 / 関数電卓
(3)[1] △CAD∽△DAE より CA：AD＝DA：AE
∴ AE＝AD^2/AC＝6^2/8＝9/2，CE＝7/2
△ABE/△BCE＝AE/CE＝9/7
[2] △ADE∽△BCE より BE＝3，DE＝21/4，BD＝33/4
△ABD∽△GAC より AB：BD＝GA：AC　∴AG＝AD･AC/BD＝6･8/(33/4)＝64/11
No.81254 - 2022/03/12(Sat) 15:26:20
☆ Re: 高校入試数学 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
関数電卓様へ

いつも大変きれいな図などを使っておられまづが

何のソフトを使って描かれているのか教えていただけると幸いです

数学の質問からは少し外れますが

な何卒宜しくお願い致します。
No.81257 - 2022/03/12(Sat) 20:20:04
☆ Re: 高校入試数学 / 関数電卓
↑の図は，質問者の添付図を jpg で読み出し，paint で切り出して情報追加しました。
他，関数のグラフは grapes を，空間図形は grapes3D を用いて描き，print screen で読み込み情報追加･修正しています。
No.81258 - 2022/03/12(Sat) 20:47:02
☆ Re: 高校入試数学 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
関数電卓様に

わざわざありがとうございます。

尊敬します

時が来たら私も挑戦してみたいと思います

ハードル高そう、、、、
No.81261 - 2022/03/12(Sat) 22:43:23
☆ Re: 高校入試数学 / yuuma
大変わかりやすくありがとうございました。
相似を見つけるのが苦手な気がします。がんばります。
No.81263 - 2022/03/12(Sat) 23:07:19
★ 積分 / あ
写真の矢印を引いている部分の計算が分かりません。部分積分をすれば良いのでしょうか？
No.81233 - 2022/03/11(Fri) 21:05:09
☆ Re: 積分 / あ
写真です
No.81234 - 2022/03/11(Fri) 21:06:24
☆ Re: 積分 / けんけんぱ
xを積分して、(1/2)x^2としているだけです。
カッコの外にも同じ積分がありますが、そちらは疑問ではなかったでしょうか？
No.81235 - 2022/03/11(Fri) 21:19:26
☆ Re: 積分 / けんけんぱ
見るとこ間違えてました。その下ですか。
部分積分で計算してます。
No.81236 - 2022/03/11(Fri) 21:21:12
☆ Re: 積分 / あ
計算したのですが、ここからどうしていいか分かりません。そもそも途中で間違えているのでしょうか？
No.81237 - 2022/03/11(Fri) 21:28:16
☆ Re: 積分 / ast
> ここからどうしていいか分かりません。そもそも途中で間違えているのでしょうか？
d(e^(x^2/2)/x)/dx ≠ e^(x^2/2) だから最初から違う.
# ↑の実際の左辺は = e^(x^2/2) - e^(x^2/2)/x^2.
それ以前に, 部分積分じゃなくて置換積分を考えるべきでしょう (部分積分のために e^(x^2/2) を微分したと思うので, そのときに気が付いて然るべきと個人的には思う).
No.81242 - 2022/03/11(Fri) 22:19:08
☆ Re: 積分 / けんけんぱ
ごめんなさい。部分積分じゃなかったです。
No.81244 - 2022/03/11(Fri) 22:41:24
☆ Re: 積分 / あ
ありがとうございました。置換積分で解けました！
No.81245 - 2022/03/11(Fri) 23:15:42
★ (No Subject) / 積分研究会
2以上の整数nに対して,
n!に含まれる素数pの個数をS(n)とおく.
今,あるnの多項式をf(n)とすると,
n→∞のとき,S(n)/f(n)は1/(p-1)に収束することがわかっている.
f(n)をnの式で表せ.

よろしくおねがいします.
No.81224 - 2022/03/11(Fri) 16:19:03
☆ Re: / m
確認ですが，例えば p = 5, n = 1000 のとき， S(n) を求めることはできますか．
No.81238 - 2022/03/11(Fri) 21:37:05
☆ Re: / 積分研究会
> 確認ですが，例えば p = 5, n = 1000 のとき， S(n) を求めることはできますか．

ルジャンドルの定理知らないのですか？
No.81240 - 2022/03/11(Fri) 22:01:39
☆ Re: / m
おお，詳しそうですね．残りは不等式評価です．

前半部分は"ルジャンドルの定理"の説明なので読む必要ありません．
手書き：https://r7.whiteboardfox.com/72059958-5201-3728
No.81241 - 2022/03/11(Fri) 22:12:55
☆ Re: / 積分研究会
> おお，詳しそうですね．残りは不等式評価です．
>
> 前半部分は"ルジャンドルの定理"の説明なので読む必要ありません．
> 手書き：https://r7.whiteboardfox.com/72059958-5201-3728

ありがとうございます！
No.81249 - 2022/03/12(Sat) 07:44:04
★ 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
すみません、

此方もよろしくお願いいたします
No.81222 - 2022/03/11(Fri) 10:46:03
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
私の考え方です

正解に至りませんでした

教えてください。
No.81223 - 2022/03/11(Fri) 14:23:03
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
上の答案を書き直しました

何卒宜しくお願い致します。
No.81225 - 2022/03/11(Fri) 17:18:19
☆ Re: 無限等比数列の極限 / X
まず
上から2行目の()内の命題は成立しますが
だからと言って
lim[m→∞]S[3m]
だけ求めればよいことにはなりません。
飽くまで()内の命題は
lim[m→∞]S[3m]=lim[m→∞]S[3m+1]=lim[m→∞]S[3m+2]=α
が成立するという「前提」での命題ですので。

次にその命題の下の計算ですが、支離滅裂です。
K・Aさんが計算しているのは
a[n]=(1/2^n)sin(2nπ/3) (A)
としたときの
lim[n→∞]Σ[k=1〜m]a[3k] (B)
であって
lim[n→∞]S[3m]
ではありません。
(A)を使うと
lim[n→∞]S[3m]=lim[n→∞]Σ[k=1〜3m]a[k] (C)
(B)(C)は等しくありません。

それにそもそも
a[3k]={1/2^(3k)}sin2kπ=0
です。
No.81226 - 2022/03/11(Fri) 17:38:02
☆ Re: 無限等比数列の極限 / X
で、方針ですが、等比数列の和の公式の導出過程と
似たような計算を使えば、場合分けは不要です。


S[n]=Σ[k=1〜n](1/2^k)sin(2kπ/3) (A)
と置くと
(1/2^3)S[n]=Σ[k=1〜n]{1/2^(k+3)}sin(2kπ/3)
=Σ[k=4〜n+3](1/2^k)sin{2(k-3)π/3}
((∵)k+3を改めてkと置いた)
=Σ[k=4〜n+3](1/2^k)sin(2kπ/3-2kπ)
=Σ[k=4〜n+3](1/2^k)sin(2kπ/3)
∴(1/8)S[n]=Σ[k=4〜n+3](1/2^k)sin(2kπ/3) (B)
(A)-(B)より
(7/8)S[n]=(1/2)sin(2π/3)+(1/4)sin(4π/3)+(1/8)sin2π
-{1/2^(n+1)}sin{2(n+1)π/3}-{1/2^(n+2)}sin{2(n+2)π/3}-{1/2^(n+3)}sin{2(n+3)π/3}
∴S[n]=(√3)/7-(8/7){1/2^(n+1)}sin{2(n+1)π/3}
-(8/7){1/2^(n+2)}sin{2(n+2)π/3}
-(8/7){1/2^(n+3)}sin{2(n+3)π/3}
∴(与式)=lim[n→∞]S[n]=(√3)/7
No.81227 - 2022/03/11(Fri) 18:23:01
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｘ先生

こんばんは

丁寧な解説ありがとうございます

なるほどですね

一つ質問があります

以下の考え方はアリですか
No.81228 - 2022/03/11(Fri) 18:53:35
☆ Re: 無限等比数列の極限 / X
記号の定義をきちんとして下さい。
No.81228の解答において
S[3],S[2],S[1]
の定義は何なのかはっきりしません。
いずれも問題の無限級数の部分和のつもりで
書いていませんよね？。
No.81229 - 2022/03/11(Fri) 20:03:16
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｘ先生に

遅い時間までごめんなさい

以下が質問です
No.81231 - 2022/03/11(Fri) 20:16:52
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｘ先生に怒られそうな答案ですが

私のいまの最大限の答案です

このままでは眠れない、、、、
No.81232 - 2022/03/11(Fri) 20:35:10
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
出来ました

具体的に考えれば

n=3k.n=3k-1,n=3k-2

これで政界に至りますね

申し訳ございません。
No.81239 - 2022/03/11(Fri) 21:49:45
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
遅くなり申し訳ございません

以下私の答案


何卒宜しくお願い致します。
No.81243 - 2022/03/11(Fri) 22:32:15
☆ Re: 無限等比数列の極限 / X
ざっと見ただけなので細かい計算間違いなどの見落とし
があるかもしれませんが、この問題に限って言えば
その方針でも正しい解答が出ます。

ですが飽くまで「この問題に限って言えば」です。
問題の条件によっては、正しい答えが出ないからです。

で、その「正しい答えが出ない条件」についてですが、
その説明は高校数学の範囲を超えます。
ですのでK・Aさんの学習段階では
無限級数では、勝手に項を足す順番を変えてはいけない
とだけ、頭に入れて、今回の方針は使わないように
して下さい。
No.81247 - 2022/03/12(Sat) 06:55:35
☆ Re: 無限等比数列の極限 / X
参考になるのは、以前K・Aさんが質問された
No.81116の(3)(4)です。
この問題は無限級数を取る項の並びは同じですが
括弧の付け方の違いで和が存在するか否かが
変わっていますよね。
No.81248 - 2022/03/12(Sat) 07:03:53
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｘ先生に

今回も最後までお付き合いいただきありがとうございました


今後もご教授お願い致します。
No.81262 - 2022/03/12(Sat) 22:47:03
★ 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
おはようございます

本日もよろしくお願いします
No.81221 - 2022/03/11(Fri) 10:14:38
☆ Re: 無限等比数列の極限 / X
(1)
a^(2n-1)=a・(a^2)^(n-1)
∴問題の無限級数は
初項a,公比a^2の無限等比級数ですので
-1＜a＜1のとき、無限級数の和はa/(1-a^2)
a≦-1,1≦aのとき、無限級数の和は存在しません。

(2)
問題の無限級数は
初項a,公比1-a^2の無限等比級数
ですので
(i)-1＜1-a^2＜1、つまり-√2＜a＜0,0＜a＜√2のとき
無限級数の和はa/{1-(1-a^2)}=1/a
(ii)a=0のとき
無限級数の和は0
(iii)a≦-√2,√2≦aのとき
無限級数の和は存在しません。
No.81230 - 2022/03/11(Fri) 20:13:05
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｘ先生に

今回も最後までお付き合いいただきありがとうございました
No.81264 - 2022/03/12(Sat) 23:38:07
★ 中学数学　空間図形 / シャー芯
続いて失礼します。

空間図形を学んだときに投えいずをやったのですが、投影図のいいところって言うのは全体の形が正確にわかることでしょうか？他に長所があれば教えていただきたいです。
また、柱体が底面積 ×　高さで求められるのはなぜでしょうか?

質問ばかりですみません。数学の先生に聞いてもよくわからず、質問しました。
宜しくお願いします
No.81219 - 2022/03/10(Thu) 22:57:56
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