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★ (No Subject) / 大学院志望
数列の収束に関する「コーシーの収束判定基準」を正確に述べよ。
次に、フィボナッチ数列の隣接する２項の比が黄金比に収束することを証明せよ。
証明の方針として、まず、「コーシーの収束判定基準」に照らして収束性を明らかにし、しかる後に極限値が黄金比であることを示せ。
No.10903 - 2010/07/19(Mon) 00:26:13
★ 解析学 / 大学院志望
「ネイピア数e」の定義を、「実数の連続性公理」に基づいて正確に述べよ。
また、等式lim(ｎ→∞)(1+1/n)^n =??(n=0)〜∞まで（1/n!）が成り立つことを示せ。
No.10902 - 2010/07/19(Mon) 00:24:53
★ 確率です / 東大志望
白黒2種類のカードがたくさんある。そのうちk枚のカードを手もとに持っているとき,次の操作(A)を考える。
(A)手持ちのk枚の中から1枚を、等確率1/kで選び出し、それを違う色のカードにとりかえる。

問)最初に白2枚、黒2枚、合計4枚のカードを持っているとき、操作(A)をn回繰り返した後に初めて、4枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。

nが奇数と偶数の場合を分けて考えて、奇数のときの確率が0であることは分かるのですが偶数の場合にどうなるかが分かりません。よかったら教えてください。
No.10893 - 2010/07/18(Sun) 20:06:33
☆ Re: 確率です / らすかる
1回で3枚1枚になりますので、
2回で同じ色になる確率は1/4ですね。
そうすると2回で同じ色にならない確率は3/4ですから、
4回で同じ色になる確率は (3/4)×(1/4)
6回で同じ色になる確率は (3/4)×(3/4)×(1/4)
8回で同じ色になる確率は (3/4)×(3/4)×(3/4)×(1/4)
・・・
のようになりますね。
No.10896 - 2010/07/18(Sun) 20:36:34
☆ 確率です / 東大志望
答えが、nが奇数のとき0,nが偶数のとき1/4(3/4)^(n/2)となりました。

合ってますか？?ｫ
No.10897 - 2010/07/18(Sun) 21:00:18
☆ Re: 確率です / 東大志望
偶数のときは1/3(3/4)^(n/2)でした?ｫ
No.10898 - 2010/07/18(Sun) 21:07:17
☆ Re: 確率です / らすかる
はい、OKです。
No.10901 - 2010/07/18(Sun) 22:00:08
★ 整数論 / CEGIPO（社会人）
mを2以上の自然数とする時、

m(m+1)(m+2)...(2m-2)が、

2でm-1回割れ、m回は割れないことを示してください。

という問題です。よろしくお願いします。
No.10891 - 2010/07/18(Sun) 18:37:40
☆ Re: 整数論 / らすかる
f(m)=m(m+1)(m+2)…(2m-2) とします。
f(2)=2なのでm=2のときは成り立ちます。
m＞2のとき、f(m)/f(m-1)=2(2m-1)なので
f(m)はf(m-1)よりちょうど1回多く2で割れます。
No.10895 - 2010/07/18(Sun) 20:28:11
☆ Re: 整数論 / CEGIPO（社会人）
らすかるさん、ありがとうございます。
数学的帰納法を使用する方法は気が付きませんでした。
とても簡単になるんですね。

（自分で見つけた別解も付してみます）

次のように変形します。
（与式）
=m(m+1)(m+2)...(2m-2)
=(2m-2)!/(m-1)!
=1・２・３・4・...・(2m-6)(2m-5)(2m-4)(2m-3)(2m-2)
/{１・２・３・...・(m-3)(m-2)(m-1)}
=1・２・３・4・...・(2m-6)(2m-5)(2m-4)(2m-3)(2m-2)
/{２・４・６・...・(2m-6)(2m-4)(2m-2)}
・2^(m-1)
=１・３・５・７・...・(2m-5)(2m-3)(2m-3)・2^(m-1)

１・３・５・...・(2m-5)(2m-3)(2m-3)は奇数です。
したがって、与式は2でm-1回割れ、m回は割れません。

Q.E.D.
No.10899 - 2010/07/18(Sun) 21:08:34
☆ Re: 整数論 / CEGIPO（社会人）
すみません（汗）。数学的帰納法の解法、
検算してみたら式変形が次のようになりました。

f(m)=m(m+1)(m+2)…(2m-4)(2m-3)(2m-2)
f(m-1)=(m-1)m(m+1)(m+2)…(2m-5)(2m-4)

f(m)/f(m-1)
=(2m-3)(2m-2)/(m-1)
=2(2m-3)

これでも2でちょうどm-1回割れることは言えますね。
No.10908 - 2010/07/19(Mon) 06:21:42
☆ Re: 整数論 / CEGIPO（社会人）
別解も訂正。

正）
=１・３・５・７・...・(2m-5)(2m-3)・2^(m-1)

１・３・５・...・(2m-5)(2m-3)は奇数です。

誤）
=１・３・５・７・...・(2m-5)(2m-3)(2m-3)・2^(m-1)

１・３・５・...・(2m-5)(2m-3)(2m-3)は奇数です。
No.10912 - 2010/07/19(Mon) 09:42:59
☆ Re: 整数論 / らすかる
あ、そうですね。2(2m-3)でした。
No.10917 - 2010/07/19(Mon) 11:25:08
★ 計算のルール / √
初歩的な質問です。よろしくお願い致します。

１８÷３ｘ３＝１８
この計算は、左から順番に計算しますが、

１８÷３＾２＝２
この場合は２乗を先に計算にするのがルールですよね？
No.10887 - 2010/07/18(Sun) 16:36:17
☆ Re: 計算のルール / のぼりん
こんにちは。
ご賢察のとおりです。

特に明定された規則と言う訳ではないですが、数学では習慣的に、
?@　冪乗
?A　掛け算と割り算
?B　足し算と引き算
の順に演算を優先し、この順番を変えるにはかっこを使う、という慣習があり、特に断らない限りこの慣習に従うのが通例です。

詳細は、例えば http://en.wikipedia.org/wiki/Order_of_operations をお読み下さい。
No.10888 - 2010/07/18(Sun) 17:04:56
☆ Re: 計算のルール / √
のぼりんさん　有り難うございました。

ＢＭＩ＝（体重Ｋｇ）÷（身長ｍ）＾２
の計算をしていて、ふと疑問に思ったもので・・・
No.10889 - 2010/07/18(Sun) 17:18:37
★ (No Subject) / meta
２つの円Ｏ,Ｏ´が２点Ａ，Ｂで交わり,∠ＡＯＢ＝120°,∠ＡＯ´Ｂ＝90°,円Ｏの半径は２とする。ただし,点Ｏ´は円Ｏの内部に含まれないものとする。このとき、
(1)円Ｏ´の半径(2)円Ｏと円Ｏ´で囲まれる共通部分の面積(3)点Ａと点Ｏ´を結んだ線分が円Ｏと交わる点をＣとするとき、扇形ＯＡＣの面積
を求めよ

(2)以降がわかりません。考え方を教えてください
No.10886 - 2010/07/18(Sun) 14:33:00
☆ Re: / moto
参考

(2)円Ｏと円Ｏ´で囲まれる共通部分の面積
　　(扇形ＯＡＢ−△ＯＡＢ)＋(扇形Ｏ'ＡＢ−△Ｏ'ＡＢ)
　　扇形ＯＡＢ･･･半径2，中心角120°
　　　△ＯＡＢ･･･二等辺三角形{等辺2，底辺2√3，頂角120°底角30°}
　　扇形Ｏ'ＡＢ･･半径√6，中心角90°
　　　△Ｏ'ＡＢ･･･二等辺三角形{等辺√6，底辺2√3，頂角90°底角45°}
(3)扇形ＯＡＣの面積
　　半径　2
　　中心角を考える
　　　四角形ＯＡＯ'Ｂの内角を考え、∠ＯＡＯ'＝∠ＯＢＯ'＝75°
　　　△ＯＡＣが二等辺三角形で、底角∠ＯＡＣ＝∠ＯＡＣ＝75°
　　　　よって、中心角∠ＡＯＣ＝30°
No.10890 - 2010/07/18(Sun) 17:53:14
☆ Re: / meta
解けました!

返信ありがとうございました
No.10900 - 2010/07/18(Sun) 21:49:55
★ 数学B 数列 3ヶ月は悩みました / おぷす
Ａ円をある年の初めに借り、その年の終わりから同額ずつn回で返済する。年利率をr(r>0)とし、１年ごとの複利法とすると、毎回の返済金額は何円であるか。

【解答】借りたA円のn年後の元利合計はA（1+r）^n 円
毎回の返済金額をx円とすると、n回分の元利合計はr＞0から
x+x（1+r）+x（1+r）^2+・・・・・・・+x（1+r）^n-1
=x｛（1+r）^n -1｝/（1+r）-1 ＝x｛（1+r）^n -1｝/r
よって、x{（1+r）^n -1}/r ＝ A（1+r）^nとすると
x=Ar（1+r）^n/（1+r）^n -1 （円）

※毎回の返済金額をx円とし、n年後の、借りたA円の元利合計と返済金額の元利合計が等しくなると考える。
また、まず
n年間まったく返済しないで, n年目にまとめて返す場合
A(1+r)^n円払わないといけません

これを基準に考えます

1年目にx円払うということは
残りn-1年でx円に掛かる筈だった利子も払うことになります
つまり, n年間で考えると
A(1+r)^nのうちの x(1+r)^(n-1)円分返したことになります
という回答を頂いたのですがいまいちよくわかりません。

もう3ヶ月以上これに悩まされています。
どんな解説をみても全く理解できません。
なんでこんな考え方するんですか？
暗記に走りかけています。
誰か教えてください。本当に・・・おねがいいたします。
No.10878 - 2010/07/18(Sun) 02:11:25
☆ Re: 数学B 数列 3ヶ月は悩みました / ヨッシー
こちらと同じような問題ですね。
この内容は、理解できるでしょうか？
No.10879 - 2010/07/18(Sun) 03:08:34
☆ Re: 数学B 数列 3ヶ月は悩みました / おぷす
すみません。やはりそちらもよくわかりません・・・
特に「１年目に銀行に預けたｘ円は、その先９年預けられるので、
返済時には、ｘ×1.05^9 円になります。」の部分が謎に近いです。
こういうのは本来なら一般常識なんですよね。
今まで本当の意味で勉強してこなかったツケがまわってきたようなきがします。
どうかヨッシーさん。私にこの問題を理解させてください。
いつでも良いのでご返事まっております。
本当にみなさんよろしくおねがいしますｍｍ
No.10880 - 2010/07/18(Sun) 03:39:07
☆ Re: 数学B 数列 3ヶ月は悩みました / ヨッシー
>「１年目に銀行に預けたｘ円は、その先９年預けられるので、
返済時には、ｘ×1.05^9 円になります。」
の部分だけについていえば、たとえば、1,000,000円を年利５％で
預けたとします。
１年後：1,000,000×0.05＝50,000 の利息が付いて 1,050,000円
　　　つまり、1,000,000×1.05 になります。
２年後： １年後の残高1,050,000円に対して、利息が付きます。
　　　1,050,000円×0.05＝52,500 の利息が付いて、1,102,500円
　　　つまり、1,000,000×1.05^2 になります。
このように、１年経つごとに、前年の1.05倍になりますので、
９年後には、元の額の 1.05^9 倍になります。
No.10881 - 2010/07/18(Sun) 03:55:06
☆ Re: 数学B 数列 3ヶ月は悩みました / おぷす
回答ありがとうございます！
やっとわかりました＞＜
が、最後にもう一つ・・・
【１年目に銀行に預けたｘ円は、その先９年預けられるので、
返済時には、ｘ×1.05^9 円になります。
２年目に銀行に預けたｘ円は、その先８年預けられるので、
返済時には、ｘ×1.05^8 円になります。
　・・・
10年目に銀行に預けたｘ円は、その日預けたばかりなので、
ｘ円のままです。
これらを足した
　ｘ(1.05^9＋1.05^8＋・・・＋1.05＋１)
が、返さずに置いておいた、100万円の10年後の元利込みの
　100万×1.05^10
に一致すればいいので、】とありますが、
これは
「１年目に銀行に預けたｘ円は、その先９年預けられるので、〜」の造作を10年目までやった金額の合計の価値（?）的なものが
一括で返済したA（1+r）^n 円と一致するということなんでしょうが、この部分がひっかかります。
最後にここだけ教えてください。お願いしますm（＿　＿）m
No.10883 - 2010/07/18(Sun) 12:03:28
☆ Re: 数学B 数列 3ヶ月は悩みました / ヨッシー
「価値」というのは、ある意味正しい理解です。
実際に、ｘ円ずつ返すときは、別途積み立てるようなことはしませんので、
毎年返していった、ｘ円の価値が増えたと考えて良いでしょう。
私の説明では、その分が目で見えるように、別途積み立てた金額と
相CENSOREDる形で説明しています。

実際、会社の経営では、「今日受け取る1000万円」と「５年後に受け取る1000万円」は価値が違うとされています。
No.10885 - 2010/07/18(Sun) 12:19:31
★ 整数問題 / 佐々木
nを自然数とする。219!は2^nで割り切れるが,2^(n＋1)では割り切れないとき,nの値を求めよ。
No.10876 - 2010/07/17(Sat) 22:52:48
☆ Re: 整数問題 / らすかる
219!=1×2×3×4×5×6×7×8×…×219
=(1)×(2)×(3)×(2×2)×(5)×(2×3)×(7)×(2×2×2)×…×(219)
のように分解して2がいくつあるか計算。
No.10877 - 2010/07/17(Sat) 23:07:52
☆ Re: 整数問題 / 佐々木
ありがとうございます。
計算してみると解がn＝213となりました。

合っているでしょうか？
No.10892 - 2010/07/18(Sun) 19:55:43
☆ Re: 整数問題 / らすかる
219÷2=109…1
109÷2=54…1
54÷2=27
27÷2=13…1
13÷2=6…1
6÷2=3
3÷2=1…1
109+54+27+13+6+3+1=213
合ってますね。
No.10894 - 2010/07/18(Sun) 20:19:39
★ 中２数学 / なお
宿題が分かりません。教えてください。

正四角すいO-ABCDがある。OB、ODの中点をそれぞれP,Qとし、A,P,Qを通る平面でこの正四角すいを切断する。
OCとの交点をRとしたとき、OR:RCを求めよ。

です。よろしくお願いします。
No.10868 - 2010/07/17(Sat) 16:19:14
☆ Re: 中２数学 / らすかる
Bが手前、Dが後ろになってBとDが重なるように横から見た図を描けば、
「二等辺三角形OACがあり、ACの中点をBとする。OBの中点をPとし、
直線APとOCとの交点をRとしたとき、OR：RCを求めよ。」
という平面上の問題になりますね。
No.10869 - 2010/07/17(Sat) 16:40:28
☆ Re: 中２数学 / ヨッシー
つまりこういうことです。


No.10870 - 2010/07/17(Sat) 16:57:12
☆ Re: 中２数学 / なお
> つまりこういうことです。

分かりました！
ありがとうございますm(__)m
No.10871 - 2010/07/17(Sat) 17:35:33
☆ Re: 中２数学 / なお
Pが中点ではなく、OP:PB=2:1のときはどうやって考えればよいですか？？
自分で解こうと思ったんですが、どうしてもできませんでした。何回もスミマセン。
No.10872 - 2010/07/17(Sat) 18:26:13
☆ Re: 中２数学 / らすかる
OP：PB=2：1 で OQ：QD=1：1 ということですよね？
その場合は、以下のように2段階に分ければ解けます。
(1) Aが手前、Cが後ろとなるような側面図を描いて、
PQとOH（Hは正方形ABCDの中心だが側面図ではA=C=H）の
交点をMとし、OM：MHを求めます。
(2) Bが手前、Dが後ろとなる側面図を描いて、
直線AMとOCとの交点をRとして同じように求めます。
No.10873 - 2010/07/17(Sat) 18:57:24
☆ Re: 中２数学 / ヨッシー
つまりこういうことです。


No.10874 - 2010/07/17(Sat) 21:40:47
★ (No Subject) / ka-mu
微分方程式の解を定数変化法を用いて求めよ
(dx/dt)+x=t

を教えてください

dx/dt+x=0の解はｘ＝Ce^(-t)までは分かっています。
よろしくお願いします。
No.10866 - 2010/07/16(Fri) 21:48:01
☆ Re: / ヨッシー
こちらなどに、詳しく書いています。

ｘ＝Ｃｅ-t　　　・・・(1)
において、Ｃがｔの関数だったとすると、ｔで微分して、
　dx/dt＝(dＣ/dt)ｅ-t−Ｃｅ-t　　・・・(2)
(1)(2) を (dx/dt)+x=t に代入して、
　(dＣ/dt)ｅ-t＝ｔ
　dＣ/dt＝ｔｅt
積分して、Ｃを求めると、
　Ｃ＝ｔｅt−ｅt＋Ｄ　（Ｄは積分定数）
(1) より、
　ｘ＝ｔ−１＋Ｃｅ-t　Ｃは積分定数（ＤをＣに置き換えました)
No.10867 - 2010/07/16(Fri) 23:30:36
★ 高2　数列 / みさ
高2 数学わかりません！＞＜。

第9項が5、第27項が17の等差数列{an}がある。
（1）anをnを用いて表せ。
a9=a+（n-1）×d=5
a27=a+（n-1）×d=17

として連立で解くのかな・・・？と思ったのですが
ここで疑問が・・
等差はどうやってもとめればいいのでしょうか；；

（2）数列｛an｝の整数の項を小さい順にならべたものを数列｛bｎ}とする。bnをnを用いて表せ。
（3）（2）のとき、nΣk=1 akbk nΣk=1 1/akbkをnを用いて表せ。

数学は一番苦手なので誰か分かる方教えてください。
おねがいします＞＜
No.10862 - 2010/07/16(Fri) 16:41:06
☆ Re: 高2　数列 / 七
> 第9項が5、第27項が17の等差数列{an}がある。
> （1）anをnを用いて表せ。
> a9=a+（n-1）×d=5
> a27=a+（n-1）×d=17

a9=a+（9-1）×d=5
a27=a+（27-1）×d=17
です。
これでaとdは出ます。
No.10863 - 2010/07/16(Fri) 16:58:55
☆ Re: 高2　数列 / みさ
回答ありがとうございます。
（１）はできました！
（２）なんですが、正直問題の意味がよくわかりません。
申し訳ないのですが、お時間があれば考え方だけでもいいので教えていただけないでしょうか＞＜
No.10864 - 2010/07/16(Fri) 17:56:20
☆ Re: 高2　数列 / スーパーカブ
（１）の結果から数列を順に書き出してみましょう。
すると分数の項やら整数の項が表れると思います。
その整数の項だけを拾っていったのをBnとしようじゃないかってことです。
No.10865 - 2010/07/16(Fri) 21:14:21
★ 因数分解 / 真癒
下の問題を教えて下さいｍ(_　_)ｍ

１、8x＾3+y＾3
２、x＾2-y＾2+2y-1
３、x＾2+aｘ-x-2a-2
４、ab-bc+b＾2-ac
５、x＾2+2x-(y-1)(y-3)
７、x^2-xy-6y＾2+3x+y+2
８、2x＾2-3xy-2y^2+5x+5y-3

です。おしえてくださいｍ(_　_)ｍ

問題数多くてすみません(汗)
No.10859 - 2010/07/15(Thu) 20:26:04
☆ Re: 因数分解 / ヨッシー
1. (2x)^3+y^3
2. x^2-(y-1)~2
3. x^2+(a-1)x-2(a+1) より 足して a-1、掛けて -2(a+1) に
　なる２数は？
4. a でくくる、残った部分も、ある数でくくる。
5. 足して 2、掛けて -(y-1)(y-3) になる２数は？
7. x^2+(3-y)x-6y^2+y+2＝x^2+(3-y)x-(3y-2)(2y+1) より
　足して 3-y、掛けて -(3y-2)(2y+1) になる２数は？
8. 2x^2+(5-3y)-2y^2+5y-3＝2x^2+(5-3y)-(2y-3)(y-1)
　あとはたすき掛け。
No.10860 - 2010/07/15(Thu) 21:37:53
☆ Re: 因数分解 / 真癒
返事遅くなってすみません。

ありがとうございました＾＾
No.11106 - 2010/08/04(Wed) 23:01:01
★ (No Subject) / 高一
No.10856の
回答ください(汗)
No.10857 - 2010/07/15(Thu) 20:03:55
★ 整数問題 / 幸一
整数問題です。

正の整数aにたいして、2^aを9で割ったときのあまりをr(a)で表す。
（1）r(3),r(6)の値をそれぞれ求めよ。
(2) 正の整数a,b,kに対して、次の(ア),(イ)が成り立つことを求めよ。
(ア）r(a)=1,r(b)=x(x=0,1,2…,8)ならばr(a+b)=x
(イ) r(a)=1ならばr(ka)=1

(3) r(2007)の値を求めよ。

という問題です。(1)は分かりますが、(2),(3)が分かりません。ご教授お願いします。
No.10848 - 2010/07/14(Wed) 21:30:35
☆ Re: 整数問題 / スーパーカブ
（２）のヒント

r(a)=1よりr^a=9m＋1などとおけますね？
同様にr(b)も式で表し
2^(a＋b)を9で割ったあまりをかんがえましょう。

(ィ)も似たような感じですが2^(ka)=(2^a)^kに注意して2項定理でも使いましょう
No.10852 - 2010/07/14(Wed) 22:34:46
☆ 訂正 / スーパーカブ
r(a)=1よりr^a=9m＋1などとおけますね？
↓
r(a)=1より2^a=9m＋1などとおけますね？
No.10861 - 2010/07/15(Thu) 22:03:47
★ (No Subject) / おのでら
図において角度αを求めろという問題です。
電卓の使用は可で、求め方をご教示してくださると大変助かります。

図はURLにあります。
No.10846 - 2010/07/14(Wed) 20:35:48
☆ (No Subject) / おのでら
図をあげなおしました。
引き続きお願いします。
No.10847 - 2010/07/14(Wed) 20:37:32
☆ Re: / らすかる
それだけの情報では角度は一意的に決まりませんので、
求めることは出来ません。
No.10849 - 2010/07/14(Wed) 22:00:17
☆ (No Subject) / おのでら
申し訳ありません。
間違った図を提示してしまいました。

問題は以下の図です。。
No.10850 - 2010/07/14(Wed) 22:29:34
☆ (No Subject) / おのでら
図です。
No.10851 - 2010/07/14(Wed) 22:31:04
☆ Re: / らすかる
もしAB⊥BC, DA//CB, EC//AB, DE//FGならば、この図はあり得ません。
もしDEとFGが平行でないならば、50がどこを測ったものかわかりません。
No.10853 - 2010/07/14(Wed) 22:52:16
☆ (No Subject) / おのでら
問題に記述はありませんでしたが、AB⊥BC, DA//CB, EC//AB, DE//FGです。
問題通りに図も記しましたので、問題の間違いでしょうか？

もしよければ、図のどのあたりがあり得ないのか教えていただけませんでしょうか？
No.10854 - 2010/07/14(Wed) 23:02:21
☆ Re: / らすかる
もし「50」がなければ図は成り立ちますが、この場合
DEとFGの幅は50より大きくなります。
もし「70」がなくても図は成り立ちますが、この場合
BGは70より大きくなります。
もし「50」と「70」が正しいとしたら、「10」「25」「126」「120」の
どれかが誤りです。
No.10855 - 2010/07/14(Wed) 23:33:43
★ (No Subject) / すーる
{sinx/（sinx+cosx)}'=１/(sinx^2+cosx^2)

{(1/2)log(a+x/a-x)}'=a/(a^2-x^2)

{arcsin(x/√（1+x^2))}'=1/(1+x^2)

∫sinx^2cosxdx=(1/3)sin^3(x)+C

∫x^2exp(-x)dx=(-x^2+2x+2)exp(-x)+C

∫√（2x+3)dx=(1/3)(2x+3)^(1/2)+C

これで合っているかどうか
誰か確認お願いします！＞＜
No.10844 - 2010/07/13(Tue) 07:57:33
☆ Re: / ヨッシー
(1) 分母がそれでは１になりますね。
(2)(3) 正解
積分は、右辺を微分してみれば、検算できるでしょう。
ちなみに、上から順に
○××
いずれも、単純なミスでしょう。
No.10845 - 2010/07/13(Tue) 07:58:28
★ (No Subject) / karu
y=(x-1)/xの積分ってどうやるか分かる人いませんか？
No.10842 - 2010/07/13(Tue) 06:26:14
☆ Re: / ToDa
y = (x-1)/x = 1 - (1/x)

で、以下略。
No.10843 - 2010/07/13(Tue) 07:42:40
★ 教えて下さい / ねるそん
　ｘ+２ｙ+３ｚ＝ｘｙｚを満たす自然数ｘ、ｙ、ｚの組を求めなさい
No.10834 - 2010/07/10(Sat) 22:24:10
☆ Re: 教えて下さい / angel
なかなか良い方法は思い浮かびませんが…

ひとまず、両辺にxをかけて整理すると、
　x^2+2xy+3xz=(xy)(xz)
　x^2+6=(xy)(xz)-3xz-2xy+6
　(xy-3)(xz-2)=x^2+6
で、y=z=1となる解がないことは簡単に調べられますから、
y≧1かつz≧2 もしくは y≧2かつz≧1
前者の場合、
　(左辺)≧(x-3)(2x-2)=2x^2-8x+6
後者の場合、
　(左辺)≧(2x-3)(x-2)=2x^2-7x+6＞2x^2-8x+6
いずれにせよ、(左辺)≧2x^2-8x+6
よって、2x^2-8x+6≦x^2+6 が必要、これを解いて 0≦x≦8
後は、x＝1〜8 に応じて (xy-3)(xz-2)=x^2+6 の解を虱潰しに調べる、でしょうか。
No.10835 - 2010/07/10(Sat) 23:40:09
☆ Re: 教えて下さい / ToDa
では、正統派ではない(？)答え方を。


まず、

X + Y + Z = XYZ/6　…　☆

をみたす自然数(X,Y,Z)の組を求める。

ここにX≦Y≦Zを仮定する。

XYZ/6 = X+Y+Z ≦ 3Z

ゆえ、XY ≦ 18 であり、X^2 ≦ XYであるから、
X^2 ≦ 18 したがってX = 1,2,3,4のいずれかに限られる。これらのそれぞれの場合を考える。

X=1のとき、☆; 1 + Y + Z = YZ/6 ∴ (Y-6)(Z-6) = 42で、Y-6,Z-6は整数なので、
(Y,Z) = (7,48),(8,27),(9,20),(12,13)を得る。

X=2,3,4の時も考えて(略)、結局、

(X,Y,Z) = (1,7,48),(1,8,27),(1,9,20),(1,12,13),(2,4,18),(2,6,8),(3,3,12),(3,4,7)
(ただし、仮定を排除するので、()内の順序は任意である)

を得る。

さて、☆において、X = x , Y = 2y , Z = 3zとすると、本来の題意に帰着されるので、(以下略)
No.10836 - 2010/07/11(Sun) 05:17:30
☆ Re: 教えて下さい / ねるそん
ありがとうございます。また質問した時はよろしくお願いします。
No.10837 - 2010/07/11(Sun) 09:30:04
★ 大１です。　位数と留数について質問させてください… / 鍵
∫[0→∞]sin^3x/x^3 dx

という問題ですが、f(z)=(3e^(iz)-e^(i3z)-2)/z^3 と置いてz=0を１位の極にして解いてました。

位数についてまだあまり理解しておらず、これが１位であることが直感でわかりません…
留数計算は、１位であることさえ分かれば何とか出来ました。

このような問題を解いていく上で、即座に位数がわかる方法があれば宜しくお願いします。
ローラン展開を利用すればいい、という記述を見つけましたが、これについてもまだ勉強が追い付いていなくて…　

宜しくお願いします!
No.10832 - 2010/07/10(Sat) 18:44:15
☆ Re: 大１です。　位数と留数について質問させてください… / のぼりん
どんなことでもそうですが、勉強せずに理解することは不可能だと思います。
畏れながら、先ずは、ローラン展開、留数、位数等の定義を確認し、関連定理等を十分理解して、それでも納得できなければ再質問された方が良いと思います。
No.10833 - 2010/07/10(Sat) 19:05:11
☆ Re: 大１です。　位数と留数について質問させてください… / 鍵
わかりました。
もう一度見返してきます。
No.10839 - 2010/07/11(Sun) 12:21:16
★ (No Subject) / a
{f(ax＋b)}´とf´(ax＋b)の違いを教えてください
No.10830 - 2010/07/10(Sat) 17:46:18
☆ Re: / 七
例えば
f(x)＝x＾2
のとき
f’(x)＝2x
ですから
f’(ax＋b)＝2(ax＋b)

f(ax＋b)＝a＾2x＾2＋2abx＋b＾2
ですから
{f(ax＋b)}’＝2a＾2x＋2ab
であろうと思います。
No.10831 - 2010/07/10(Sat) 18:22:43
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