x+y+z≦n(x,y,zはo以上の整数、nは整数）
を満たす組(x,y,z)は何組あるか？
z=iと固定すると
x+y≦n-i
ここで、x+y=n-iの場合を考えると、
(x,y)=(0,n-i),(1,n-i-1),……,(n-i,0)の
n-i+1組あるので
?納i=0→n](n-i+1)=〔{(n+1)(n+2)}/2〕
とここまではできましたが、こんかいは等号ではなく不等号（≦）であるので、ここで混乱してしまい挫折してしまいました。xyzの空間を描いたら、三角錐の周および内部の格子点を求めればよいのかと想像したのですが、どこをどう、動かせば（どう切れば）よいのか検討が付きませんでした。
できれば、図なども添付していただければ嬉しいのですが・・・（自分は図かうまく書けなかったので）
（注）格子点の解き方でお願いします。どうしても格子点で解く解法だけが理解できないもので…（泣）
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No.2058 - 2008/08/15(Fri) 00:08:08
| ☆ Re: 格子点（立体） / rtz | | | 要はx＋y≦n−i、x≧0、y≧0であるような
整数x,yの組み合わせですね。
和で考えるのではなく、直接xやyを考えてみましょう。
x＝0のときはyは0〜n-iのn-i+1個です。
x＝1のときはyは0〜n-i-1のn-i個です。
…
x＝n-i-1のときはyは0〜1の2個です。
x＝n-iのときはyは0のみで1個です。
以上から、組み合わせ総数は
1〜n-i+1の総和ですので(1/2)(n-i+1)(n-i+2)ですね。
あとはiの0〜nまでの総和です。
もちろん展開して?婆や?婆2を用いても出来ますが、
(1/2)(n-i+1)(n-i+2)＝(1/6){(n-i+1)(n-i+2)(n-i+3)−(n-i)(n-i+1)(n-i+2)}
に気付けば、計算の手間がかなり省けます。
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No.2061 - 2008/08/15(Fri) 04:40:25 |
| ☆ Re: 格子点（立体） / ＤＡＮＤＹ Ｕ | | | （横から失礼します）
立体の格子点で考えるのなら、ｘ+ｙ+ｚ＝ｋ（ｘ,ｙ,ｚ,ｋ：0以上の整数）をみたす
(ｘ,ｙ,ｚ)の組の個数は(1/2)(k+1)(k+2)であることを利用して次のように考えられます。
原点ＯとＡ(n,0,0) Ｂ(0,n,0) Ｃ(0,0,n)で囲まれた三角錐の周上および内部の格子点
の数が答えとなります。
0≦ｋ≦ｎである整数ｋにおいて、この三角錐を面ｘ+ｙ+ｚ＝ｋで切断すればその断面
上に格子点が(1/2)(k+1)(k+2)個あります。ｋを0〜ｎまで動かしそれらの和を求めれ
ばよいので
?納i=0→n]{(n+1)(n+2)/2}＝(1/2)?納i=0→n]{(n+1)(n+2)}
で求めます。
rtz さんが書かれておられるのと同様に
(1/2)(n+1)(n+2)＝(1/6){(n+1)(n+2)(n+3)−n(n+1)(n+2)}
を用いると楽ですね。
・・格子点で考える以外では、(n+3)Ｃ3 という式で瞬殺ですが・・
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No.2063 - 2008/08/15(Fri) 09:20:42 |
| ☆ Re: 格子点（立体） / Jez-z | | | rtzさん、ＤＡＮＤＹ Ｕ さんに質問なのですが、
(1/2)(n+1)(n+2)＝(1/6){(n+1)(n+2)(n+3)−n(n+1)(n+2)}
はどのようにして導かれたのでしょうか？
確かに、手計算で右辺を整理してみたら、左辺になりました。しかし、これを導く方法がわかりません。
次に活かすという意味でも、この「方法」をお教示ください。
回答お待ちしております。
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No.2070 - 2008/08/15(Fri) 20:02:52 |
| ☆ Re: 格子点（立体） / rtz | | | "導いた"というよりは、"知っていた"というべきでしょうか。
問題によってはこの手法がヒントとして提示されているものもありますので、
それを憶えていて、使ったという感じです。
ちょっとした小手技のようなものでしょうか。
似たものに
??1/{k(k+1)}＝??(1/k)−{1/(k+1)}
などがありますね。
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No.2071 - 2008/08/16(Sat) 00:47:18 |
| ☆ Re: 格子点（立体） / Jez-z | | | そうだったのですか・・・何か「求め方」もしくは「発見の仕方」のようなものを教えてもらえるのかと期待していたのですが・・・
確かに、??1/{k(k+1)}＝??(1/k)−{1/(k+1)}は有名な変形ですよね。
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No.2073 - 2008/08/16(Sat) 01:36:29 |
| ☆ 私が考えていること / ぱんだ | | | ??1/{k(k+1)}＝??(1/k)−{1/(k+1)}は確かに有名な変形です。
この変形でなぜ簡単になったのでしょうか？
1/{k(k+1)}を「似たような形のものの引き算で表せたから」うまくまとめて消していくことが出来たわけです。
（正確に言うと、f(k+1)-f(k)の形に表現できたから）
ではどうすればその「似たような形のものの引き算にできるのか？」
そこで「○/kから△/(k+1)を引くと、分母はk(k+1)になって、近い形が出来そうだ」と分析してみることも重要だと思います。
類題としては、1/{k(k+2)}を見たときに(1/k)-{1/(k+2)}と「似た（いきなり一致させるのは大変）」形にならないか考えてみてください。
1/{k(k+1)(k+2)}を見たときに、うまく引き算の形で分母だけでも似た形にならないか考えてみてください。
（もっというとf(k+1)-f(k)の形、「次の番号」−「前の番号」）
1/■-1/◇の分母がk(k+1)(k+2)になるにはどうすれば？
（しかも■は◇の次の番号あるいは前の番号）
■にk(k+1)、◇に(k+1)(k+2)を入れたらいいのはお分かりでしょうか。
1/{k(k+1)(k+2)(k+3)}ならどうすれば分解できるか、考えてみてください。
次に、(n+1)(n+2)についてですが、その前にもっと項を増やして
(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)をどうすればいいか考えてみてください。（この値をＡとでもおいておきます）
f(n+1)-f(n)=(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)となる。
ｆはｎの多項式になるだろう。そしてf(n)にはn+1やn+2などがたくさん出てきそうだ。
f(n+1)-f(n)という引き算の結果(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)という項が残るには、
f(n+1)もf(n)も(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)を因数に持っていれば簡単ですね。
あとはちょっと考えてみてください。
今回の説明はあくまでも私が個人的に考えていることであり、若干プロブレムソルバー的な（つまりこのタイプの問題だけを解くならばよい姿勢だが、数学の本質に迫る考え方かというと疑問が残る）考え方になってしまっています。
ただし、あくまでも公式として「覚える」だけよりも、「こうすれば解けるのではないか？」という意識を持って自分で実験してみるという姿勢は非常に重要だと思います。
上の例の他にも、Σ{(kの一次式)/k(k+1)}などのときに
{(ak+b)/k}-[{a(k+1)+b}/(k+1)]がその形にならないかと考えてaとbを求める、というのはよくやる手法です。
このときも「こんな引き算をすれば『似たような形』になるのではないか」という考えが根底にあります。
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No.2076 - 2008/08/16(Sat) 13:49:13 |
| ☆ Re: 格子点（立体） / dust | | | 和分と差分について調べてみては。読み物でよいなら、結城浩さんの『数学ガール』の中の一話ですが「ミルカさんの隣で」 (PDF) あたりはどうでしょうか。
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No.2100 - 2008/08/17(Sun) 12:00:43 |
| ☆ Re: 格子点（立体） / ぱんだ | | | 「ミルカさんの隣で」、本質的な内容で非常にうまく説明していますね。（登場人物は高校生ということになっていますが、受験生にはちょっと難しいかもしれませんが）
私にも大変参考になりました。ありがとうございます。
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No.2152 - 2008/08/19(Tue) 23:15:07 |
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