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★ 区分求積 / 匿名
151の問題なのですが、
全く解き方がわかりません…

宜しくお願いします。
No.11531 - 2010/09/14(Tue) 19:08:26
☆ Re: 区分求積 / ヨッシー
1+2+･･･+n＝n(n+1)/2
1^4＋2^4＋･･･n^4＝n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30
より、
　(与式)＝lim 900n^5(n+1)^5/32n^2(n+1)^2(2n+1)^2(3n^2+3n-1)^2
　　＝lim 225n^3(n+1)^3/8(2n+1)^2(3n^2+3n-1)^2
分母子とも６次なので、６次の項の係数だけ抜き出すと、
　(与式)＝225/(8・4・9)＝25/32
No.11534 - 2010/09/14(Tue) 22:12:42
☆ Re: 区分求積 / angel
一応、「区分求積」というヒントがありますので、積分を使った形で。

良くある添付の図のような形で、短冊状の長方形の面積の和は、積分値に近づいていきます。つまり、

　lim 1/n・( f(a+1/n) + f(a+2/n) + … + f(a+k/n) + … + f(a+n/n) ) = ∫[a,a+1] f(x)dx

今回の問題では、分母・分子とも n^10 で割ってやると、
　(分母)÷n^10 = ( 1/n・( (0+1/n)^4 + (0+2/n)^4 + … + (0+n/n)^4 ) )^2
　(分子)÷n^10 = ( 1/n・( (0+1/n) + (0+2/n) + … + (0+n/n) )^5
となり、いずれも積分を用いた値に収束するため、

(与式)
= lim(分子÷n^10)/lim(分母÷n^10)
= ( ∫[0,1] xdx )^5 / ( ∫[0,1] x^4dx )^2

と計算できます。
No.11536 - 2010/09/14(Tue) 22:49:51
☆ Re: 区分求積 / 匿名
ご説明ありがとうございます！

1つ目の解法の方で
1^4＋2^4＋･･･n^4＝n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30
とありますが、これはどのように出したものなのでしょうか?

また、2つ目の方で｢分母・分子とも n^10 で割る｣
とありますが、これに気づくコツ(?)のようなものはありますか…?
No.11539 - 2010/09/14(Tue) 23:44:01
☆ Re: 区分求積 / ToDa
＞1つ目の解法の方で
＞1^4＋2^4＋･･･n^4＝n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30
＞とありますが、これはどのように出したものなのでしょうか?

とりあえずヒント。

数列の項で、
1^2 + 2^2 + … + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
という公式を習いますが、さて、これはどのように証明したか覚えていますか？　それの応用です。
No.11541 - 2010/09/15(Wed) 00:10:51
☆ Re: 区分求積 / angel
> 気づくコツ(?)のようなものはありますか…?
「区分求積法」とあるので、1/n・f(a+k/n) の形を作るのが、コツと言えばコツでしょうか。なお、問題によっては、細部が変わってくることも。( 1/n・f(a+(k-1)/n) とか )

今回は、1^4+2^4+…+n^4 の形を見て、

　1^4+2^4+…+k^4+…+n^4　　※一般化のため、kを勝手に追加
　= n^4・( (1/n)^4+(2/n)^4+…+(k/n)^4+…+(n/n)^4 )
　= n^5・1/n・( (1/n)^4+(2/n)^4+…+(k/n)^4+…+(n/n)^4 )

といった感じ。
No.11542 - 2010/09/15(Wed) 00:17:07
★ ベクトル / bone
こんばんは。
すみませんが質問お願いします。

ベクトルabに対してOP→＝sa→+tb→(s,tは実数)と定める

(1)-1≦ｓ≦２、０≦ｔ≦１のとき、点Pの存在範囲を図示せよ

ｓ、ｔの射交座標を使ってとこうとし、s、tをたて、横にその範囲で動かした座標平面は単純にマス三つ分の範囲だと考えてしまいましたが、答えは全く異なるようです。（図示した図を載せられず、言葉足らずでわかりにくいかもしれませんが・・・）
どういう風に用い、考えればいいのでしょうか？
斜交座標について書いてある参考書が少なく調べられませんでした。
よろしくお願いします。
No.11524 - 2010/09/13(Mon) 23:20:30
☆ Re: ベクトル / シンジ
あっていると思いますよ。

特にa = (1, 0), b = (0,1)の場合が直交座標系で、sをx, tをyと置き換えればいつものxy座標平面ですね。
No.11527 - 2010/09/14(Tue) 04:16:13
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
こんな風になっていればＯＫです。
No.11528 - 2010/09/14(Tue) 06:09:54
☆ Re: ベクトル / bone
ありがとうございます。
私はヨッシーさんの図形のs、tを逆にした形を答えとしてしまったのですが、それでもよいのでしょうか？（ｓをx軸方向、tをy軸方向にとりました。）
ちなみに答えはこれです。
第四象限のようなところにも領域が食い込んでいるので、私が考えた図とは異なるなあと思いました。（私はこの正答の領域をちょっとずらして１，２象限にかかるようにした形だと思いました）
No.11529 - 2010/09/14(Tue) 11:34:04
☆ Re: ベクトル / ast
図はよく見えないんですが, 二つのベクトル a, b の直交座標系に関する成分が与えられているようなので, それを提示してもらったほうが皆さん答えやすいと思います.

> s、tを逆にした形
a, b を逆にしたならともかく, a, b はそのままで s, t を逆にしてたのならまずいですね.

# どうでもいいことではあるんですが「質問お願いします。」という表現に何か違和感を覚えるのは私だけでしょうか……^^;
No.11530 - 2010/09/14(Tue) 15:13:44
☆ Re: ベクトル / bone
ご回答ありがとうございます。

質問お願いします。というのはあった方が丁寧でいいと思っていましたが、簡素なほうがいいというのであればこれから気をつけたいと思います。

つまり答えは斜交座標で表した図はヨッシーさんの図を横のしたような平行四辺形の形になるようです。この領域を直交座標にそれをそのまま表した感じなので、平行四辺形の底辺がX座標に沿うのではなく斜めになっていて、何故X軸に沿うような形にならないのかと疑問なのです。
例えば一番左下に来ると思われる点は（-1,o）なのでその点をｘ座標にそのままとるのではないかと思ったのです。回答は(−1，1)辺りが一番左下の点になっています。
疑問点の説明が上手く伝わるといいのですが・・・

よろしくお願いします。
No.11546 - 2010/09/15(Wed) 11:48:02
☆ Re: ベクトル / ast
> 何故X軸に沿うような形にならないのかと疑問なのです。

斜交座標という概念自体について bone さんは思い違いをされているような気もしますが, 勝手なベクトル a, b が与えられて斜交座標系 "だけ" を考えているのなら「直交座標系との相互の関係は気にしません」のでシンジさんやヨッシーさんのようなお答えがでるのが普通です. もともとの直交座標と原点がどのようになっていたとしても, 斜交座標だけをもちいた記述であれば関係ありません, 原点も新たに取り直せます.

しかし, bone さんは "斜交座標と直交座標の相互関係" のほうを問題にしておられるので, その問題の設定では a, b が直交座標のどこにあるべきかはあらかじめ決まっているという可能性も高く, それは bone さんに明らかにしていただかないと, それ以上の検討は進みません.
# No.11529 の図は小さすぎてまったく読めないです.

再度お伺いします, bone さんの口ぶりだと "二つのベクトル a, b の直交座標系に関する成分がもともと与えられている" としかおもえないのですが, そのような記載はあるか確認して教えてください. あるいはそのような記述が見当たらない場合, ベクトル a, およびベクトル b がどのように与えられているか教えてください.

> 質問お願いします。というのはあった方が丁寧でいいと思っていましたが、
> 簡素なほうがいいというのであればこれから気をつけたいと思います。

いえ, そういう意味ではなく「質問お願いします」だと, 恐らく何らかの文章が省略されてしまった結果だとは推測できるものの, その文面どおりに受け取ると「質問をしてください」という意味になるのではないか, 実際には「回答 (あるいはアドバイス) をお願いします」あるいは「質問 (あるいは疑問) があるので回答お願いします」というような表現が用いられる場面ではないのだろうか, というような意味です.
No.11549 - 2010/09/15(Wed) 16:40:47
☆ Re: ベクトル / bone
astさん、ご丁寧に有難うございました。
ご指摘のことがわかりました！
今回問題文をよく見たら隣に図があり、概念的なベクトルではなくしっかり与えられていましたので直交座標との相互関係を考えなければいけなかったのですね。

一応写真を拡大してみました。今度は見れるといいのですが・・・


(1)は理解できました。
(２)ですが、今度はs+０，５t＝１、０≦ｓ、０≦ｔを斜交座標で表すことはできるのですがそれをこの直交座標に適応するにはどうやったらいいのでしょうか？なんだか混乱してよくわかりません。
すみませんがお願いします。

文について
成程です。
そういうことだったんですね。
明らかに日本語の省略がありました。
これから改めます！
No.11554 - 2010/09/15(Wed) 17:29:21
☆ Re: ベクトル / bone
自分で考えた斜交座標の画像はこれです。
これを直交座標に適応したいのですが・・・
No.11555 - 2010/09/15(Wed) 17:31:13
☆ Re: ベクトル / ast
No.11555 を見る限り点の軌跡自体はきちんとわかっているようですから, 後は単に "点を位置ベクトルで表す" ことを復習するのが肝要ではないでしょうか.

本問 (2) は a を位置ベクトルとする点を A, 2b を位置ベクトルとする点を B とおけば (要するにベクトル a, 2b の終点にそれぞれ A, B と名前を付ければ), P は二点 A, B を内分する点ですから, お示しの軌跡は線分 AB となるはずです.
No.11557 - 2010/09/15(Wed) 18:11:40
☆ Re: ベクトル / bone
多分わかりました。
単にベクトルの位置に直して適応させてみればよいのですね。
長々とありがとうございました！
No.11562 - 2010/09/16(Thu) 02:18:08
★ 垂心 / bone
こんにちは。
毎日すみません。
質問お願いします。

三角形ABCの垂心Hは三角形ABCの各頂点から対辺に引いた垂線の交点である。それから点Aを通りBCに平行な直線、点Bを通りCAに平行な直線、点Cを通りABに平行な3本の直線を引き、それぞれの交点をDEFとおく。すると三角形ABCの三頂点から対辺に下ろした垂線は三角形DEFの各辺の垂直二等分線になっているため三角形DEFの外心が三角形ABCの垂心Hにあたる。

最後の記述の
垂直二等分線になる
というところがわからないんどえすが、平行線による錯角で垂線がひかれることはわかりましたが二等分するのはなぜかわかりません。

教えてほしいです。お願いします。
No.11517 - 2010/09/13(Mon) 12:17:05
☆ Re: 垂心 / らすかる
△ABC≡△CEA≡△BAF≡△DCB ですから
EA=AF, FB=BD, DC=CD です。
No.11518 - 2010/09/13(Mon) 13:58:57
☆ Re: 垂心 / bone
ありがとうございます。
合同だからとのことですが、平行より２角が等しいまでは導出できましたがもう一つの辺の条件がクリアできません・・・
合同条件は何でしょうか？？
お願いします。
No.11520 - 2010/09/13(Mon) 22:39:13
☆ Re: 垂心 / ヨッシー
四角形ＡＢＣＥ は、平行四辺形なので、向かい合う辺
ＡＥとＢＣ，ＥＣとＡＢは等しく、ＡＣは共通なので、
三辺相等により、△ＡＢＣ≡△ＣＥＡ
などです。

２角がどこを指すのか分かりませんが、例えば、
　∠ＢＡＣ＝∠ＡＣＥ　と　∠ＡＣＢ＝∠ＣＡＥ
とすると、ＡＣは共通で、二角挟辺より、
　△ＡＢＣ≡△ＣＥＡ
です。
No.11522 - 2010/09/13(Mon) 22:53:39
☆ Re: 垂心 / bone
よくわかりました。
本当に有難うございました。
No.11523 - 2010/09/13(Mon) 23:12:45
★ 教えてください / 受験生
log[6]12が有理数でないことを示せ。
No.11510 - 2010/09/12(Sun) 22:13:42
☆ Re: 教えてください / らすかる
有理数と仮定して p/q=log[6]12 とおくと
6^(p/q)=12
6^p=12^q
以下略。
No.11512 - 2010/09/12(Sun) 22:24:40
★ 直線の通過領域 / bone
質問お願いします。

文字ｔを含む直線ｌ：y=(1-2t)x+t^2がある。tが０≦ｔ≦１の範囲で変化するときこの直線ｌが通過する領域をxy座標平面状に図示せよ。

まず、ｔについての方程式にし
t^2-2xt+x-y=0
これが0≦ｔ≦１の間に実数解を持てばよい。とし
ここから計算する際
実数解の個数で場合分けで
二個もつ場合の条件が
D>0
0<軸<1
とt＝0，1のとき方程式≧０
の条件だと思うのですが、イコールが軸と判別式の条件どちらにもつくようなのです。
二個の場合はつかないと思うのですが・・・
何故つくのでしょうか？

また、この実数解の個数の場合わけ以外にも何かやり方はあるのでしょうか？
すみませんがお願いします。
No.11506 - 2010/09/12(Sun) 14:50:12
☆ Re: 直線の通過領域 / ヨッシー
t^2-2xt+x-y=0
の解は２つありますね。虚数解であるときは、論外として、
それ以外のときで、
1) 重解も含めて、解が両方とも 0≦ｔ≦1 にある。
2) 一方が 0≦ｔ≦1 で、一方が、ｔ＜0 または ｔ＞1
とに分けているのではないでしょうか？

1) をさらに、異なる２解の場合と、重解の場合に分けても良いでしょうが、
結局「＝」が入る入らないの違いでしょうから、分けていないのだと思います。
No.11507 - 2010/09/12(Sun) 15:43:54
☆ Re: 直線の通過領域 / angel
> 何故つくのでしょうか？

場合分けの流儀は、結構色々あるので、慎重に見ないといけません。
途中の論理に不整合がなく、かつ、最終結果が同じになるのであれば、それもそれで「正解」なのです。

> 二個もつ場合の条件が
> D＞0
> 0＜軸＜1
> とt＝0，1のとき方程式≧０
> の条件だと思うのですが、イコールが軸と判別式の条件どちらにもつくようなのです。
> 二個の場合はつかないと思うのですが・・・

もし、「異なる2実数解」を持つ条件と明言した上で、軸や判別式の条件の不等号として≦や≧を使用しているのであれば、明確な誤りです。減点は免れないでしょう。
しかし、「2実数解もしくは重解」等々、まとめやすい単位でまとめてしまった結果であれば、≦や≧も考えられる所です。
そこは、解答に書いてある文言を注意深く見直してみましょう。

※ずるい言い方をすれば、「〜の時の条件は…、〜の時の条件は…、・・・」という解答だと対応にズレがあると減点の的になりますが、「条件…、もしくは条件…、・・・」と言えば、総合的にあっていればO.K.という事になります。
No.11509 - 2010/09/12(Sun) 21:53:11
☆ Re: 直線の通過領域 / angel
お騒がせしてすいません。
ウソを含んだ内容だったので、書き直しました。

> また、この実数解の個数の場合わけ以外にも何かやり方はあるのでしょうか？

解の個数が違うと、条件にも大きな差が出ますから、この観点での場合分けは必須です。
ただ、どのように分かり易く、かつ計算し易く場合分けするか、は、工夫の余地があると思います。

以下は私の好みになりますが…

もともとの条件 0≦t≦1 というのは、= を含んだ不等号があり、条件として結構厄介なので、
　・t=0 もしくは t=1 の解を持つ
　・t=0,1 の解を持たず、0＜t＜1 の解を持つ
と分離するのが吉。

そうすると、場合分け第一弾としては、f(t)=t^2-2xt+x-y と置いて表現すると、

　1. t=0 もしくは t=1 の解を持つ ⇔ f(0)=0 もしくは f(1)=0 ⇔ f(0)・f(1)=0
　2. t=0,1 の解を持たず、0＜t＜1 の解を持つ

= を含まない不等号になれば、あまり悩む必要はなくて、

　1. f(0)・f(1)=0
　2.1. t=0,1の解を持たず、0＜t＜1 では重解でない1解のみを持つ ⇔ f(0)・f(1)＜0
　2.2. 0＜t＜1 の重解を持つ ⇔ D=0 かつ 0＜軸＜1
　　※f(0)＞0, f(1)＞0 は自動的に満たされる
　2.3. 0＜t＜1 の2解を持つ ⇔ f(0)＞0 かつ f(1)＞0 かつ D＞0 かつ 0＜軸＜1

意味的には、この4通りの場合分けで過不足・重複はありません。
後は、やらなくても良いですが、数式的に似たような条件をまとめるなら、
　1. および 2.1. … f(0)・f(1)≦0
　2.2. および 2.3. … f(0)＞0 かつ f(1)＞0 かつ D≧0 かつ 0＜軸＜1
と、最終的に2通りにまで絞れます。
※2.2.と2.3.をまとめることができるのは、2.2.の条件が、暗黙の内に f(0)＞0, f(1)＞0 を含んでいるからです。
※勿論、最初から2.2.と2.3.を場合分けせずに、まとめて「0＜t＜1 に2解もしくは重解を持つ」という条件にしてしまっても構いません。
No.11511 - 2010/09/12(Sun) 22:16:34
☆ Re: 直線の通過領域 / ToDa
＞この実数解の個数の場合わけ以外にも何かやり方

直線lは、曲線y=x-x^2の点(t,t-t^2)における接線であることに注目してみるのはどうでしょう。
No.11513 - 2010/09/12(Sun) 22:57:35
☆ Re: 直線の通過領域 / bone
みなさん沢山有難うございます。

ヨッシーさんの方法は今までよく載っていた書き方でした！ありがとうございます！

angelさんの方法は条件をイコールの持つ持たないで分けてしまうのは全く思いつかなかったです。楽そうな気がします。
?Aの条件はまとめて
D≧０
０＜軸＜１
f(0)>0
f(1)>0
でいいでしょうか？？

また、※ずるい言い方をすれば、「〜の時の条件は…、〜の時の条件は…、・・・」という解答だと対応にズレがあると減点の的になりますが、「条件…、もしくは条件…、・・・」と言えば、総合的にあっていればO.K.という事になります。
というのはどういう意味でしょうか？
私は上のほうの表現を使いがちなので、知らず知らずに減点受けているかもしれません。
教えてほしいです。

Todaさんの考え方はちょっとわかりませんでした、すみません。
No.11515 - 2010/09/13(Mon) 00:37:25
☆ Re: 直線の通過領域 / ToDa
詳しくは「包絡線」あたりの単語で検索していただくとして…

直線lはどうせ何かの接線にでもなるのだろうと見当を付けて計算してみれば、曲線y=x-x^2の点(t,t-t^2)における接線となることが分かるので(この辺、ちょっと乱暴な考え方ですが)、y=x-x^2を描いてみたうえでtをいろいろ動かしてみれば、


のようになるので、求める領域はだいたい見当が付きます。もちろん答案に書く上ではその辺はきっちりと詰めなければなりませんが。

また別の方法として、xを固定した上でtを動かし、yのとりうる範囲を求めてみる、というのもありますね。
No.11516 - 2010/09/13(Mon) 08:56:51
☆ Re: 直線の通過領域 / bone
TODAさん
わかりました。
ご丁寧に有難うございました。
xを固定した上でtを動かし、yのとりうる範囲を求めてみる
というのはやってみますね。

angelさんの記述に関してはどなたかおわかりにならないでしょうか？？
No.11521 - 2010/09/13(Mon) 22:51:02
☆ Re: 直線の通過領域 / angel
> angelさんの記述に関してはどなたかおわかりにならないでしょうか？？

ああ、あまり深く考える必要はないですよ。あんまり大した事ではないので。
例えば、図のような条件があったとして。

これを場合分けする場合、A,Bの2通りで場合分けしても、A,Cの2通りで場合分けしても良いのですが…

O.K.な例その1
　1. Aの場合
　　A(x)=0 より、x=1,2
　2. Bの場合
　　B(x)=0 より、x=2,3
　よって、題意を満たす x は、x=1,2,3

O.K.な例その2
　1. Aの場合
　　A(x)=0 より、x=1,2
　2. Cの場合
　　C(x)=0 より、x=3
　よって、題意を満たす x は、x=1,2,3

N.G.な例
　1. Aの場合
　　A(x)=0 より、x=1,2
　2. Bの場合
　　C(x)=0 より、x=3　　← 条件Bとその時の方程式C(x)=0が不一致
　よって、題意を満たす x は、x=1,2,3

ずるい例 ( でもO.K. )
　1. A(x)=0 の場合
　　x=1,2
　2. C(x)=0 の場合
　　x=3
　よって、題意を満たす x は、x=1,2,3

全部、最終的な答えは合っていますが、N.G.の例は部分的に説明にウソがあるので減点対象になります。
例えば、今回の問題なら、
　tが0≦t≦1に2解を持つ
　⇔ f(0)≧0かつf(1)≧0かつD≧0かつ0≦軸≦1
とか書いたら、部分的にウソなのでN.G.
でも、数式で条件を書いているだけなら、「2解を持つ」と名言しなければ、他の条件との組み合わせがちゃんとしていればO.K.
とはいえ、数式の意味する所を説明していないので、「ずるい」と表現しています。( ダメとは言わないけど、説明不足と取られる可能性はあるので注意 )

結局何が言いたいかと言うと、
・場合分けする場合には、自分の分類した各状況と、それを表す数式条件はちゃんと一致させましょう
　※数式だけしか書かなければ、ちょっとズルいけど、ボロを出す可能性は減るかも。その代わり、説明不足と取られる可能性は増えるかも。
・解答例等で、数式しか書いていない場合は、それがどういう意味を持つかは、あせって決め打たずに、じっくり吟味しましょう
ということです。

※実は、No.11511を最初に書いたとき、場合分け 2. や 2.1. で「t=0,1 の解を持たず」という文言を抜かしていたので、正にN.G.な例を自分で作ってしまっていました。なんで、訂正したのですが、まあ、あまり偉そうな事は言えなかったりします。
No.11525 - 2010/09/14(Tue) 01:04:43
☆ Re: 直線の通過領域 / bone
成程ご丁寧にどうもありがとうございました！
最後に聞きたいのですが、前の前の記事の
?Aの条件はまとめて
D≧０
０＜軸＜１
f(0)>0
f(1)>0
でいいでしょうか？？
ということに関しての答えをいただけると嬉しいです。
宜しくお願いします。
No.11526 - 2010/09/14(Tue) 02:08:57
☆ Re: 直線の通過領域 / angel
> ?Aの条件はまとめて …(中略)… でいいでしょうか？？

iiというのが何処を指しているのかがちょっと分からないのですが、私が分類した中で 2.2. と 2.3. に当たる部分は、boneさんの提示した形の条件にまとめられますよ。
No.11511 の最後の方で、その点に触れていますが、その事で良いでしょうか?
No.11533 - 2010/09/14(Tue) 22:03:57
★ 極限の定義式 / rio
例題19の解説の下から8行目の所です。
f^(k+1)(0)を求めるところで、f^(k)(h)がg_k(h)e^(-1/x^2)となっています。なぜeの乗数にだけxが残っているのでしょうか、私の感覚ではf^(k)(h)はg_k(h)e^(-1/h^2)
となる気がします。
No.11503 - 2010/09/12(Sun) 12:19:05
☆ Re: 極限の定義式 / らすかる
おっしゃる通り、間違いですね。
e^(-1/h^2) が正しいです。
No.11504 - 2010/09/12(Sun) 14:20:38
☆ Re: 極限の定義式 / rio
ありがとうございました。安心できました。
No.11519 - 2010/09/13(Mon) 19:31:55
★ 代数系 / 美優
すいません。もうひとつおねがいします。
実数を要素とする2×2正方行列
a11 a12
A=(a21 a22)
の集合をM2(R)とする。今集合M2(R)が作る環において、行列Aが乗法行列を有するための必要十分条件は
a11a22-a12a21≠0
で与えられることを証明せよ。


がわかりません。
解説お願いします。
No.11500 - 2010/09/12(Sun) 06:51:30
★ 代数系 / 美優
通常の加法、乗法演算において、以下に示す集合Aが環であるか、体であるかを判定せよ。という問題があり、
(1)A={正整数、0}とあるのですが、
∀a,b,c∈Aとし、
(a+b)+c=a+(b+c)→結合律が成り立つ
a+0=a　　　　　→単位元(零元)の存在
a+(-a)=0となる逆元(-a)は存在せず、
この場合、環でも体でもないということなんでしょうか。

また、こういう問題の場合、このように解いていけばいいんでしょうか。


初歩的な質問ですいません。
色々と調べたのですがぜんぜんピンとくるものがなかったので質問させていただきました。
よろしくお願いします。
No.11499 - 2010/09/12(Sun) 06:28:16
★ 高3・大学入試問題より / 文系
（１）は分かったのですが、それ以降分かりません。
お願いします。


*画像が見難いですが御了承ください
No.11496 - 2010/09/11(Sat) 23:18:59
☆ Re: 高3・大学入試問題より / angel
(1) の「a[n+6]-a[n]が7で割り切れる」が判明したのであれば、a[n]を7で割った余りが、6周期で繰り返すということが分かります。
例えば、a[2]=14 は7で割り切れる ( 7で割った余りが 0 ) ですが、6周期毎の a[8],a[14],a[20]等も、同様に7で割り切れるということです。

なので、(2)は代表してa[6]を調べれば終わり。
(3)は、a[1]〜a[6]を調べれば終わり。
証明を書くときは帰納法でしょうか。
No.11497 - 2010/09/11(Sat) 23:40:06
☆ Re: 高3・大学入試問題より / rtz
(2)
a6が割り切れないことが分かれば、
(1)を利用して数学的帰納法で証明できますね。

(3)
(2)と同じように、a1〜a5を調べてみてはどうでしょう。
No.11498 - 2010/09/11(Sat) 23:40:47
★ 確率最大最小 / bone
こんばんは。
すみませんが質問お願いいたします。

１〜6までの目が等しい確率で出るさいころを４回投げる試行を考える。
?@出る目の最小値が１である確率を求めよ
?A出る目の最小値が１でかつ最大値が6である確率を求めよ

?@は１−（5/6)^4で解けました。
?Aは同じような方法でときたいのですがどうやったらいいのでしょうか？

よろしくお願いします。
No.11493 - 2010/09/11(Sat) 22:36:39
☆ Re: 確率最大最小 / angel
こんな表を書いてみましょうか。( 添付の図を参照 )
なお、赤字部分は他から導き出すところです。
表中のαを計算することで、?@の答え 1-α が出せているので、
同じようにβ,γを計算してあげれば、?Aの答え 1-α-β+γ が出せます。
β,γとも、αとほとんど同じやり方で。
なお、?Aは全パターン調べてもそんなに手間ではないです。結果の確認がてら、調べてみても良いでしょう。
No.11494 - 2010/09/11(Sat) 23:04:45
☆ Re: 確率最大最小 / bone
ありがとうございます図は理解できました。
しかしγはどうやってだすのでしょうか？
2〜5からのみ選ぶということで（4/6）^4でしょうか？
No.11501 - 2010/09/12(Sun) 09:21:51
☆ Re: 確率最大最小 / ヨッシー
>2〜5からのみ選ぶということで（4/6）^4でしょうか？
それで良いと思います。
No.11502 - 2010/09/12(Sun) 09:30:25
☆ Re: 確率最大最小 / bone
できました！
どうもありがとうございました。
また、今回の問題はこうやって表にしてとくのが一番簡単でしょうか？
違う方法もあるのでしょうか？
良ければ教えてください。
No.11505 - 2010/09/12(Sun) 14:39:37
☆ Re: 確率最大最小 / ヨッシー
余事象を何度となく使いますので、混乱しないように
表を書くなり、図に描くなりするのが良いでしょう。
計算自体は、この方法が一番楽でしょう。

例えば、
１が１回、６が１回、他が２回
１が２回、６が１回、他が１回
１が３回、６が１回
１が１回、６が２回、他が１回
１が２回、６が２回
１が３回、６が１回
で場合わけして、求めるというような方法もありますが、
やめたほうがいいでしょう。
No.11508 - 2010/09/12(Sun) 17:29:30
☆ Re: 確率最大最小 / bone
本当に余事象多くて混乱します・・・
わかりました、ありがとうございました！
No.11514 - 2010/09/13(Mon) 00:15:24
★ 数列 / ぬめぬめ
初項0、公差-2の等差数列を考える。
連続して並ぶ2n+1項のうち、初めのn+1項の和が、
次のn項の和に等しければ2n+1項のうちの中央の項は
（　　　）である。

答えは-2n^2-2nでしたが、どうしてこうなるのか分かりません。よろしくお願いします。
No.11488 - 2010/09/11(Sat) 18:12:57
☆ Re: 数列 / らすかる
求める項の値をkとおくと
初めのn+1項の和は (k+2n)+(k+2n-2)+…+(k)=(k+n)(n+1)
次のn項の和は (k-2)+(k-4)+…+(k-2n)=(k-n-1)n
これが等しいので…
No.11489 - 2010/09/11(Sat) 18:38:57
☆ Re: 数列 / angel
オーソドックスに行くなら、答として求めるべき「中央の項」を x とでも置いて、方程式を立てましょう。

で、どんな状況になっているか、具体的に小さな n で確かめてみるとして、n=3 の例を考えてみましょう。
公差は -2 で、中央の項 x を挟んで 3項ずつあるので、

　x+2×3, x+2×2, x+2×1, x, x-2×1, x-2×2, x-2×3

の7項がまずあります。
初めのn+1項とは、x+2×3〜x なので、その合計は、
　1/2 × ( (x+2×3) + x ) × (3+1)
です。( (初項+末項)×項数÷2 )
一方、次のn項とは、x-2×1〜x-2×3 なので、その合計は、
　1/2 × ( (x-2×1) + (x-2×3 ) × 3
この2通りの和が等しいということなので、求める方程式は、
　1/2×((x+2×3)+x)×(3+1) = 1/2×((x-2×1)+(x-2×3))×3
です。これで x が分かります。

これは、n=3に限定したお話なので、一般のnに対して同じように考えて方程式を立てれば良い、ということです。
No.11490 - 2010/09/11(Sat) 18:43:29
☆ Re: 数列 / ヨッシー
算数的に解くなら、
中央の項は、第n+1項で、これは初めのn+1項に属します。
これを除いた、第1項から第n項までと、後半の、第n+2項から第2n+1項の
それぞれｎ項ずつを比較すると、
　第n+2項は第1項より 2(n+1) 小さいです。
　第n+3項は第2項より 2(n+1) 小さいです。
　第n+4項は第3項より 2(n+1) 小さいです。
　　・・・
　第2n+1項は第n項より 2(n+1) 小さいです。
よって、第n+2項から第2n+1項の和は、第1項から第n項までの和より
　2(n+1)×n
小さいです。この分を、第n+1項で帳消しにしているので、
第n+1項は、　−2(n+1)×n　となります。

公差がマイナスなので、ややこしいですが、イメージは、
公差プラス２として考えればいいでしょう。
No.11491 - 2010/09/11(Sat) 21:34:20
★ 数列 / bone
こんにちは。
質問お願いします。

a1=-4
a(n+1)=2an-2・3^n
anを求めよ。

回答では等比関数型に直してとくという方法のみ載っていたのですが、3^（n+1）でわって新たに簡単な漸化式にして解くという方法ではできないのでしょうか？
自分でやってみたところ正答と異なる回答になってしまいましたので、お聞きしたいです。
よろしくお願いします。
No.11486 - 2010/09/11(Sat) 14:37:28
☆ Re: 数列 / らすかる
正答と異なる回答になったということは、どこかに間違いがあるということです。
どのようにやったかここに書いてみて下さい。
No.11487 - 2010/09/11(Sat) 15:11:23
☆ Re: 数列 / bone
すみません、計算間違えておりました。
お騒がせしましたありがとうございました！
No.11492 - 2010/09/11(Sat) 22:12:45
★ (No Subject) / とも
１〜１０までの数字を１つづ書いた１０枚のカードが小さい数字の順に並べてある。この中から任意に２枚のカードを抜き出し、その場所を入れ替えるという操作を考える。この操作をｎ回行なったとき一枚目のカードの数字が１である確率Ｐｎを求めよ。

私は
Ｐ（ｎ＋１）＝Ｐｎ×９Ｃ２/10C2+(1-Pn)×９/10C2としたのですが解答は９/10C2のところが１/10C2となっていました。
１０枚から２枚を選ぶのだから（１，２）（１，３）・・・（１，９）の９通りの組み合わせがあるはずだと考えたのですが・・・何が駄目なんでしょうか。誰か教えてください。
No.11468 - 2010/09/10(Fri) 04:53:27
☆ Re: / ヨッシー
１枚目にある１ではないカードと、１とを入れ替えるので、
１通りだけです。

例えば、
　２３１５４６９８７Ｘ　（Ｘは10）
だと、２と１を入れ替えるしかありません。
No.11470 - 2010/09/10(Fri) 06:49:49
☆ 新たな疑問 / とも
確かに数字に注目すればそうですが、10C2をカードの数字ではなくカードの位置と考えたら、
１が２番目、３番目、・・・１０番目でやっぱり９通りありますよね。。
No.11481 - 2010/09/11(Sat) 02:09:21
☆ Re: / ast
ここで考えている事象のひとつひとつというのは「n 回の交換を終えて並べられているカードの並び」です. したがって, 1 のある場所は (事象ごとに異なるけれども) 各事象につき必ず 1 箇所のみです (その一箇所が何番目であるかは 1-P_n の確率で変わるということです).

あなたの主張に従うと, 並べ終わったカードの並びを目の前に見ているのに, 1 が見ている間にも位置を変え続けているというようなことを意味することになってしまいますね.
No.11482 - 2010/09/11(Sat) 03:58:41
☆ Re: / angel
astさんの説明と被りますが、

「n回目に1枚目が1でなく、かつ、n+1回目のランダムな入れ替えで、1枚目に1が来る確率」を計算するにあたり、
※以下 p(〜) というのは、「〜が起こる確率」と考えてください

1. n回目に2枚目が1、n+1回目に、1,2枚目を入れ替える
　→ 確率：p(n回目に2枚目が1)×1/10C2
2. n回目に3枚目が1、n+1回目に、1,3枚目を入れ替える
　→ 確率：p(n回目に3枚目が1)×1/10C2
…
9. n回目に10枚目が1、n+1回目に、1,10枚目を入れ替える
　→ 確率：p(n回目に10枚目が1)×1/10C2

と事象を分けて、それから 1〜9 の確率全部足して、

　( p(n回目に2枚目が1)+ … +p(n回目に10枚目が1) )×1/10C2
　= p(n回目に2〜10枚目のいずれかが1) × 1/10C2
　= p(n回目に1枚目以外のいずれかが1) × 1/10C2
　= ( 1-P(n) )×1/10C2

というふうに考えています。
なので、パッと見9通りに見えるかもしれませんが、だからといって×9/10C2 にはならないのです。

でもって、それぞれの×1/10C2 は、それぞれ入れ替える場所が違うところの計算で使われていますが、「1枚目と、1のある場所を交換する ( どんな場合でも1通り )」という意味では共通です。なので、分配法則でくくりだすことが出来る、と捉えることもできます。
No.11484 - 2010/09/11(Sat) 09:28:21
★ 積分 / oka
(1)ｘ≧1のとき、logx<2√Xであることを示し、logx/x（x→∞）を求めよ。
(2)nが自然数のとき、lim∫1→x　logt/t^n dtをもとめよ。
x→∞
（２）をおねがいします。
No.11465 - 2010/09/10(Fri) 00:56:36
☆ Re: 積分 / angel
(2)
まず不定積分 ∫logt/t^n dt は求められましたか?
今回、n=1, n＞1 で変わってきますので注意しましょう。
(logt)'=1/t ですから、n=1 ならば ∫(logt)'logt dt の形になります。
n＞1 の場合は部分積分 ∫fg dt = Fg - ∫Fg' dt で。( F=∫f dt )
f=1/t^n, g=logt とするのが良いでしょう。
( F=-1/( (n-1)t^(n-1) ) )
No.11483 - 2010/09/11(Sat) 09:09:22
★ 数列 / bone
質問よろしくお願いします。

3a, 2b,6cがこの順に等差数列をなし2a,b,3cがこの潤に等比数列をなすとき二次方程式ax^2+bx+c=0の実数解を求めよ。
ただしabcは互いに異なるせいの実数とする。

4b=3a+6b・・・?@
b^2=6ac・・・?A
をまずbを消去しacの方程式にすると
a^2+36c^2-42ac=0となりました。
これに更に?@を代入してbのみの方程式にするというやり方はだめでしょうか？
それから解と係数より解を出そうと思ったのですが答えと異なる答えになってしまいました。
ご助言いただけると助かります。
よろしくお願いします。
No.11464 - 2010/09/10(Fri) 00:18:27
☆ Re: 数列 / らすかる
> a^2+36c^2-42ac=0となりました。
計算間違いがあるようです。
もう一度計算してみましょう。

> これに更に?@を代入してbのみの方程式にするというやり方はだめでしょうか？
ダメです。
上の計算を正しく行った後で実際にやってみるとわかりますが、
?@と?Aから出した式に再び?@を使っても堂々巡りになるだけです。

aとcの式が正しく計算してaとcの関係を出し、?@を使ってa,b,cを
a=○t, b=○t, c=○t のように表してみましょう。
No.11467 - 2010/09/10(Fri) 01:13:32
☆ Re: 数列 / bone
二回ほど計算しなおしてみたところ
3a^2+a(12+32c)+12c＾2＝0
となりましたが、今度はあっていますでしょうか？
しかしこの場合因数分解が上手くいかず、次に繋がりません。
どうしたらよいのでしょうか？

また、先の質問でも言ったのですが解と係数の関係を使ってとくことはできないでしょうか？

すみませんがお願いします。
No.11474 - 2010/09/10(Fri) 14:04:09
☆ Re: 数列 / ヨッシー
まだ違うようです。
　b^2＝6ac
は、２次式であり、
　4b＝3a+6c
は１次式なので、b^2＝6ac から 12a などという１次の項は
出てきません。

解と係数の関係は、たとえば、どのように解くことを考えていますか？
>答えと異なる答えになった
ということは、解まで行き着いたということですよね？
No.11475 - 2010/09/10(Fri) 14:32:08
☆ Re: 数列 / bone
本当ですね。間違い箇所発見できましたありがとうございます！
解と係数の方法は間違いに気づき、回答までたどり着くことができませんでした。
例えばこの場合acのみの方程式を解いて
a=6c,2/3cと出せ、
a=6cのとき
α＝-a/b=-1
β=c/a=1/6
となるのですが、ここからαとβを求める方法がわかりません。
できるのでしょうか？
No.11477 - 2010/09/10(Fri) 15:07:13
☆ Re: 数列 / らすかる
例えばa=b=6c の場合、方程式に素直に代入すれば
6cx^2+6cx+c=0
6x^2+6x+1=0
となりますので、普通に解の公式で求められますね。

α=-1, β=1/6 から2解を求めるには
x^2+x+1/6=0 を解けば良いわけですが、
これは元の方程式にただa,b,cを代入したのと同じです。
つまり解と係数の関係を考えても遠回りなだけです。
No.11478 - 2010/09/10(Fri) 15:35:39
☆ Re: 数列 / bone
方程式に代入する方法では、其れをとくとx=(-3±√3)/6となるのですが、正答は分母が2になるようです。
どこが間違っているのでしょうか・・・

また、解と係数の話は書き間違いをしてしまったのですが
α+β＝-１
αβ＝1/6です。
αβが求められていればそれ自体がもう答えになってしまいますよね・・・すみません。
ここから求められるかを知りたいです。
何度もすみませんがお願いします。
No.11479 - 2010/09/10(Fri) 18:52:58
☆ Re: 数列 / らすかる
> 其れをとくとx=(-3±√3)/6となるのですが、正答は分母が2になるようです。
> どこが間違っているのでしょうか・・・

「例えばa=b=6cの場合」というのは問題の条件に合わない方のケースですね。
（問題に「a,b,cは互いに異なる」という条件がありますね。）
もう一つの「a=(2/3)c」の場合を計算すればちゃんと出ると思います。

> また、解と係数の話は書き間違いをしてしまったのですが
> α+β＝-１
> αβ＝1/6です。
> αβが求められていればそれ自体がもう答えになってしまいますよね・・・すみません。
> ここから求められるかを知りたいです。

2解がαとβでも上に書いたことは変わりません。
和が-1、積が1/6であれば結局二次方程式 x^2+x+1/6=0 を解くことになりますので、
解と係数の関係を使わずにa,b,cに代入した方が早いです。
No.11480 - 2010/09/10(Fri) 20:08:53
☆ Re: 数列 / bone
よくわかりました。
ご丁寧に本当に有難うございました。
No.11485 - 2010/09/11(Sat) 14:32:23
★ 確率 / みか
中２の女子です。確率でわからない問題があるのでお願いします。
１０本中４本あたりがあるくじから３本を同時に引いて２本あたりがでる確率はいくつか？
樹形図を書いてもよくわかりませんでした。
No.11462 - 2010/09/09(Thu) 20:16:13
☆ Re: 確率 / ヨッシー
まず、こちらを読んで、順列、組み合わせの
意味と、3Ｃ2 などの書き方を覚えてください。

くじを　ＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪ として、ＡＢＣＤ が当たりとします。
３本のくじの引き方は　10Ｃ3＝(10×9×8)/(3×2×1)＝120(通り)
２本あたりになるのは、
ＡＢＣＤから２本選ぶ　4Ｃ2＝(4×3)/(2×1)＝６
ＥＦＧＨＩＪから１本選ぶ　６通りで、全部で6×6＝36(通り)
よって、確率は36/120＝3/10
No.11469 - 2010/09/10(Fri) 06:05:24
☆ Re: 確率 / ヨッシー
樹系図を確率付きで書くと楽でしょう。
この場合は、３つ同時ではなく、ごくわずかな時間差で
１本ずつ３回引くと考えます。（結果は同じですからね)

１回目　　　　２回目　　　　３回目
当たり(2/5)---当たり(1/3)---はずれ(3/4)　→1/10
当たり(2/5)---はずれ(2/3)---当たり(3/8)　→1/10
はずれ(3/5)---当たり(4/9)---当たり(3/8)　→1/10
合わせて　3/10　です。
No.11472 - 2010/09/10(Fri) 07:02:21
★ 確率 / shiyo
問：男の子3人、女の子2人を一列に並べる時、男の子が隣り合わない確率は？

→男の子が隣り合わない並び方は、男女男女男　しかないので（2!×3！）/5！　で求める事が出来るかと思いますが、解き方を隣り合う場合を考えて、場合分けしてから求めるにはどのように考えればいいのでしょうか？（つまらない質問ですみません。）

→男の子3人一緒の場合と男の子2人一緒の場合で場合分けだけですと答えが一致しません。。
No.11458 - 2010/09/08(Wed) 22:57:54
☆ Re: 確率 / らすかる
3人一緒は 3!×3!通り
2人一緒は 3×2!×2!×3P2通り
∴1-(3!×3!+3×2!×2!×3P2)/5! となり、一致します。
No.11459 - 2010/09/08(Wed) 23:21:04
☆ Re: 確率 / ToDa
「男の子が2人隣り合うが3人は隣り合わない場合」
「男の子が3人隣り合う場合」
で場合分けすればよいのではないでしょうか。
No.11460 - 2010/09/08(Wed) 23:21:44
☆ Re: 確率 / shiyo
らすかるさん、ToDaさん　ありがとうございます！！　わかりました　納得です！！
No.11461 - 2010/09/09(Thu) 18:18:57
★ 方程式 / bone
こんにちは。
お願いします。

実数x yが方程式x^2+y^2-2(x+y)-6=0を満たすときx+yのとりうる値の範囲を求めよ

これは対称式だと気づいてやるのが定石かと思いますが
(x+y)^2-2xy-2(x+y)-6=0
と変形してやることはできるのでしょうか？
自分でやってみたときは、三文字も出てきてしまい収拾がつかずできなかったのですが・・・

よろしくお願いします。
No.11454 - 2010/09/08(Wed) 15:47:10
☆ Re: 方程式 / angel
えーと、定石ということなら、
X=x+y, Y=x-y と置いて、X^2+Y^2=2(x^2+y^2) を利用してやるのが早いような気もしますが…

p=x+y, q=xy と置く手もあります。
あるp,qに対して、解x,yが存在するための必要十分条件は、p^2-4q≧0
(x+y)^2-2xy-2(x+y)-6=0 と変形した方程式は、p^2-2q-2p-6=0 となりますから、
この2つの式からqを消去すれば、p の2次不等式ができあがります。
No.11456 - 2010/09/08(Wed) 21:49:00
☆ Re: 方程式 / ast
> これは対称式だと気づいてやるのが定石かと思いますが
の意図は測りかねますが, 個人的には円の方程式だと気づいてx+y=kとなるkが直線のy切片として取り出せることを利用して図形的に処理するか, y=-x+kを代入して実数解を持つ条件を考察するというのが定石というか正攻法だと思います.
No.11457 - 2010/09/08(Wed) 22:27:23
☆ Re: 方程式 / bone
お二方ありがとうございます。
沢山方法があるんですね・・・定石と思っていたものが定石ではないようですみません。

astさんの最後のやり方簡単にできて楽ですね。
本当にありがとうございました。
angelさんの最初のやり方は、その後どういう風にやるのでしょうか？
No.11463 - 2010/09/10(Fri) 00:10:28
☆ Re: 方程式 / らすかる
横レスですが
X=x+y, Y=x-y とおくと
x^2+y^2-2(x+y)-6=0 は (X-2)^2=16-Y^2 と変形できることから
(X-2)^2≦16 → -2≦X≦6 とわかります。
No.11466 - 2010/09/10(Fri) 01:00:03
☆ Re: 方程式 / bone
わかりました！
できました。
どうもありがとうございました。
No.11473 - 2010/09/10(Fri) 12:41:16
★ 数の桁数についてです。 / 木山雄介
数年前にお世話になったものです。
またよろしくお願いいたします。

1000は4桁ですが、0.1と0.001は
それぞれ何桁なのでしょうか。

0.1は2桁
0.001は4桁なのでしょうか。
No.11450 - 2010/09/08(Wed) 13:29:42
☆ Re: 数の桁数についてです。 / らすかる
小数点を含む数に「桁数」の一般的な定義はないと思いますが、
単に「0.1は何桁か」「0.001は何桁か」と聞かれたら
「2桁」「4桁」と答えるでしょうね。
No.11451 - 2010/09/08(Wed) 15:29:51
☆ Re: 数の桁数についてです。 / 木山雄介
回答ありがとうございます。
よく分かりました。
No.11455 - 2010/09/08(Wed) 20:15:32
★ 場合の数 / bone
こんばんは。
また、よろしくお願いします。

三個のさいころを同時に投げる試行で、出た目の数が４で割り切れる事象をAとする。
このAを満たす条件は　三個とも奇数　か　三個中二個奇数残り一個が２か６
だと思いますが、これがもし二個のさいころ、或いは4個のさいころだったらどういう条件になるのでしょうか？
2個の場合
二つとも奇数　か　片方奇数、片方２か６
4個の場合
四つとも奇数　か　三つ奇数一つ２か６　でしょうか？
とても気になります。
お願いいたします。
No.11447 - 2010/09/08(Wed) 00:46:40
☆ Re: 場合の数 / らすかる
> 出た目の数が４で割り切れる事象をAとする
「出た目の数が４で割り切れる」のは４だけですが、
出た目の積ですか？

> 「このAを満たす条件は　三個とも奇数　か　三個中二個奇数残り一個が２か６」
例えば三個とも奇数のとき積は４で割り切れず、Ａを満たしません。
どこかが間違いだと思います。
No.11448 - 2010/09/08(Wed) 01:44:25
☆ Re: 場合の数 / bone
すみません、色々と言葉足らずでした。
出た目の数の積についてです。
そしてAの余事象を今考えたいです。
お願いします。
No.11449 - 2010/09/08(Wed) 10:31:20
☆ Re: 場合の数 / らすかる
Aが積で余事象ならば、2個の場合と4個の場合はそれで正しいです。
一般にn個の場合「n個奇数か、1個が2か6で残りが奇数」ですね。
No.11452 - 2010/09/08(Wed) 15:31:49
☆ Re: 場合の数 / bone
そうなんですか、わかりました。
本当にどうもありがとうございました。
No.11453 - 2010/09/08(Wed) 15:33:08
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