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★ (a_n)の規則性を調べよ。 / 御手洗景子
F(t)=(1+t)^2/(1-t^2-t^3)=Σ(n=0〜∞)(a_n)ｔ^nで(a_n)を定義する。
(a_n)の規則性を調べよ。
。

F(t)=(1+t)^2/(1-t^2-t^3)=Σ(n=0〜∞)(a_n)ｔ^nで(a_n)を定義する。
(a_n)の規則性を調べよ。
また，下記の表を作って，(ａ_ｎ)/(a_(n＋1))と「F(t)の分母=0」との関係を調べてみよ。

ｎ 　　(a_ｎ)　　 (a_(n+1)/a_n)
・ 　　　・　　　　　　 ・
・ 　　　・　　　　　　 ・
・ 　　　・　　　　　　 ・
・ 　　　・　　　　　　 ・

難しくて分からないので詳細に教えてもらえたらと思います。よろしくお願いします。
a_nの規則性は，基本だと思うのですが，分かりそうで分からないので教えてもらえませんか？
No.10828 - 2010/07/10(Sat) 17:03:15
☆ Re: (a_n)の規則性を調べよ。 / 小池イラたみ
「分かりそうで分からない」とは、どういう意味ですか？

丸投げをごまかすためなのか何なのか知らないけど、
「分かりそう」だなんて適当な嘘を言うもんじゃないよ。
なぜ嘘だと断言できるかというと、自分の手を動かして表を実際に作らない限り、規則性など分かるはずがないからです（そういう趣旨の出題です）。
No.11334 - 2010/08/26(Thu) 17:51:47
★ tanのｍ倍角の公式を作ってみよ。 / 御手洗景子
tanのｍ倍角の公式を作ってみよ。
tan(ｍθ)=(Σ_(ｊ)aｊ[tanθ]^j)/(Σ_(ｋ)bk[tanθ]^k)
ここで現れたaj，bkと2項係数との関係を調べよ。

tanの倍角は，２，３，４，５，６と求めることができたのですが，「tan(ｍθ)=(Σ_(ｊ)aｊ[tanθ]^j)/(Σ_(ｋ)bk[tanθ]^k)
ここで現れたaj，bkと2項係数との関係を調べよ。」のところが，よく分かりません。基本と思うのですが，教えてもらえませんか？
No.10827 - 2010/07/10(Sat) 17:01:43
★ tanの加法公式tan=（α＋β＋γ）=をつくれ / 御手洗景子
tanの加法公式tan=（α＋β＋γ）=をつくれ

(1)tanの加法公式tan=（α＋β＋γ）=＿＿＿＿＿をつくれ。
(2)(1)を使って，π/4=2arctan(1/3)＋arctan(1/7)を示せ。
(3)(2)にarctanのtaylor展開を適用して，πを計算せよ。下記のような表を作れ。

展開の次数　　有理数表示　　小数表示
…
…
厳密値

（１）の加法定理は作ることができたのですが（２）（３）にどう使っていったらよいのか分かりません。
教えてください。
No.10826 - 2010/07/10(Sat) 16:59:09
☆ Re: tanの加法公式tan=（α＋β＋γ）=をつくれ / パパ
（２）はα＝β＝arctan(1/3),γ＝arctan(1/7)とおいて，両辺のtanを考えれば当然左辺は１となり，右辺は（１）を用いて１となることがわかります。
（３）はテイラー展開に1/3と1/7を代入して計算して（２）の式からπの計算ができます。

といった感じでいいのではないでしょうか。
No.10841 - 2010/07/12(Mon) 22:59:30
★ 積分（高3） / tan
∫x√(2-x)dx
という問題なんですが、2-x = tとおいたときに、参考書の解答(√(2-x) = t　とおいた場合)と異なった答えが出てしまいます。どこが間違っているのか指摘していただけないでしょうか。
ルートの中身は隣に()でくくってある部分です

∫x√(2-x)dx
t = 2-x　とおく
x = 2-t
dx/dt = -1
dx = -dt
x = 2-tより
∫(t-2)*√(t)dt
=∫t^(3/2) - t^(1/2)dt
=(2/5)t^(5/2)-(2/3)t^(3/2) + c
=(2/15)(3t^(5/2) - 5t^(3/2)) + c
=(2/15)t√(t)*(3t-5) + c
ここでt = 2-xより
(2/15)(x-2)√(2-x)(3x-1) + c

が解答です
正しい答えは(3x-1)の部分が(3x+4)になっています。
宜しくお願いします。
No.10823 - 2010/07/10(Sat) 14:31:24
☆ Re: 積分（高3） / 雀
∫(t-2)*√(t)dt
=∫t^(3/2) - t^(1/2)dt

となっていますが

∫(t-2)*√(t)dt
=∫t^(3/2) - ２t^(1/2)dt
ですね。
No.10824 - 2010/07/10(Sat) 15:24:14
☆ Re: 積分（高3） / tan
あわわ、計算ミスだったなんてお恥ずかしい限りです。
どうもありがとうございました。
No.10829 - 2010/07/10(Sat) 17:37:57
★ (No Subject) / からす
ｙ’＝ｙ＾２cosx・・・?@
について考える。
１）?@の一般解を求めよ
２）初期条件ｙ（π/2)=１を満たす解を求めよ。

という問題ですが
１）はｙ＝０、ｙ＝−１/(sinx+c)
2)はｙ＝-1/(sinx+2)

で合っていますでしょうか？教えてください＞＜
No.10821 - 2010/07/10(Sat) 12:08:15
☆ Re: / 雀
(1)合っていると思います。
(2)　
y=-1/(sinx-2)
ですね。
No.10825 - 2010/07/10(Sat) 15:30:57
★ 三角関数（05弘前大学） / 文系
（１）sin5θ=16sin^5θ-20sin^3θ+5sinθを示せ。
（２）半径1の円に内接する正十角形の面積を求めよ。



というものです。分かる方教えてください。
No.10816 - 2010/07/10(Sat) 10:40:49
☆ Re: 三角関数（05弘前大学） / angel
(1)
sin5θ=sin(3θ+2θ) として、加法定理 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβを適用
その後、倍角・三倍角をそれぞれ処理
sin2θ=2sinθcosθ
cos2θ=1-2sin^2θ
sin3θ=3sinθ-4sin^3θ
cos3θ=4cos^3θ-3cosθ

最後に、cos^2θやcos^4θ=(cos^2θ)^2 が残るので、cos^2θ=1-sin^2θを使って全てsinに直す。

(2)
下の図のような三角形を考える。これは、正十角形を、外接円の中心をもとにして1/10に切り出したもの。
図にあるxは、方程式 x^2+x=1 の正の解として求められることから、この三角形の形状が分かる。
※二等辺三角形や相似の関係で、赤字の部分が分かる

そうすると、三角形の面積Sも求められる。
具体的には、S=1/2・x・√(1-(x/2)^2)
xの値を直接代入すると、二重根号が出てきて結構大変なので、両辺を平方した
S^2=1/4・x^2・(1-(x/2)^2) の形に直して整理するのが吉。
x^2+x=1 という関係があることから、x^2を消去して、xの一次式にまとめられる。

最終的に、正十角形の面積は 10S として計算できる。
No.10817 - 2010/07/10(Sat) 11:23:55
☆ Re: 三角関数（05弘前大学） / ToDa
(1)は、単に等式を示せばよいだけなので、sin5θ=sin(2θ+3θ)とでもして、地道に加法定理で展開しましょう。加法定理を使えるのであれば、実際にやってみればすぐに解けます。他にも方法はあると思いますがとりあえずこれが一番簡単だと思います。

(2)その正十角形は

の赤い三角形(中心角π/5)を10個集めたものなので、sin(π/5)の値が分かれば面積が出せるわけです。
この値を算出するために(1)の等式が誘導になっているわけですね。sin(π/5)を求めるのに都合が良くなるように(1)のθの値を調整してみましょう。

＃もっとも、この誘導に乗らなければならないという決まりはないわけで、元からsin(π/5)の値を知っていたり、他の求め方をご存じであれば誘導を無視しても構わないと思います。
No.10818 - 2010/07/10(Sat) 11:31:04
☆ Re: 三角関数（05弘前大学） / ヨッシー
こちらも参考にしてください。
No.10819 - 2010/07/10(Sat) 11:40:52
☆ Re: 三角関数（05弘前大学） / angel
ああそうか。5次方程式だけど、θ=36°とすれば実質2次方程式になるんですね。そっちの方が早いですね。
No.10820 - 2010/07/10(Sat) 11:52:21
☆ Re: 三角関数（05弘前大学） / 文系
有難うございます。
参考になります。
No.10822 - 2010/07/10(Sat) 13:44:11
★ 因数分解 / 高一


(a＋b)(b＋c)(c＋a)＋abc
を因数分解をしなさい。

という問題です。

よろしくお願いします。
No.10813 - 2010/07/09(Fri) 19:27:30
☆ Re: 因数分解 / ヨッシー
展開すると
a^2b+a^c+abc+b^2a+b^2c+abc+c^2a+c^2b+abc
となりますね。

なぜ、3abc としていないか。
なぜ項をこの順に並べているか、考えてください。
No.10814 - 2010/07/09(Fri) 21:32:19
☆ Re: 別解 / 七
aについて整理することを意識して展開すると
(a＋b)(b＋c)(c＋a)＋abc
＝(b＋c){a2＋(b＋c)a＋bc}＋abc
＝(b＋c)a2＋(b＋c)2a＋bc(b＋c)＋abc
＝(b＋c)a2＋{(b＋c)2＋bc}a＋bc(b＋c)
＝{a＋(b＋c)}{(b＋c)a＋bc}
＝(a＋b＋c)(ab＋bc＋ca)

(b＋c)a2＋{(b＋c)2＋bc}a＋bc(b＋c)
から
{a＋(b＋c)}{(b＋c)a＋bc}
への変形は
aについての2次式を「たすきがけ」の因数分解したものです。
No.10815 - 2010/07/10(Sat) 06:42:00
☆ Re: 因数分解 / 高一
すみません(汗)
なんで下の式から
その次の式になるのかわかりません(＞_＜)
理由(？)も教えてください(＞_＜)

(b＋c)a2＋(b＋c)2a＋bc(b＋c)＋abc
＝(b＋c)a2＋{(b＋c)2＋bc}a＋bc(b＋c)
No.10856 - 2010/07/15(Thu) 20:02:51
☆ Re: 因数分解 / 七
(b＋c)2a と abc をまとめただけです。
No.10858 - 2010/07/15(Thu) 20:08:38
★ 高２　数２ / pat
xy平面上に円A:x^2＋y^2＝25と直線B:y＝mxがある。

円Aと直線Bが異なる2点で交わるようなmの範囲を求めよ。

円Aと直線Bが異なる２点で交わる
⇔円Aの中心（０、０）と直線Bとの距離（dとする）が
d<5（円Aの半径）であればよい。

このことを利用して求めればでるとおもったのですが
点と直線の距離の公式をつかったとき
上の部分が０になってしまい答えまでいたりません。
どうしたらよいのでしょうか？
だれかわかるかたいましたら教えてください。おねがいします。
No.10809 - 2010/07/08(Thu) 23:38:59
☆ Re: 高２　数２ / angel
…問題はあっていますか?

もしあっているのなら、常に d=0 となるのは尤もな話でして。
なぜなら、直線Bは、mの値に関わらず円Aの中心(0,0)を通ることになるからです。

そうすると、mの値に関わらず d=0＜5 ということで、「任意の実数mは題意を満たす」言い方を替えれば、「題意を満たすようなmの範囲は、実数全体である」ということになります。
No.10811 - 2010/07/09(Fri) 00:10:59
★ 高３ 体積 / なつ
解き方がわからないので
質問させてもらいます(>_<)


0空間において点(0,0,0)を中心とする半径rの球と
点(1,0,0)を中心とする半径√1ーr^2の球との共通部分の体積をV(r)とする。

(1)V(r)を求めよ

(2)rが0V(r)を最大にするrの値およびV(r)を求めよ。






わかる方いらっしゃいましたら
教えていただけると嬉しいです。

よろしくお願いします。
No.10804 - 2010/07/08(Thu) 21:25:32
☆ Re: 高３ 体積 / angel
取り敢えず、図(グラフ)を描きましょう。
立体なので、全貌を把握するように描くのは難しいかもしれませんが、y軸方向から見てx-z平面図にすれば、2つの球の位置関係が掴めるはずです。( 平面図上では、それぞれ円に見える )

体積については、球の一部なので、軸に沿って断面積を計算し、適切な範囲で積分することです。
※球が2種類あるので、2箇所分計算して、最後に和を求めます。
具体的な積分計算はともかく、式まで立てることはできますか?
No.10806 - 2010/07/08(Thu) 22:46:22
☆ Re: 高３ 体積 / なつ
angelさん

お返事ありがとうございます！
図まで書いていただき
本当に感謝しています。



ｘーｚ平面にするところまではわかったのですが

共通部分の面積の求め方がわかりません…

書いてくださった図なんですが
三角形はどうして直角三角形になるとわかるんですか？

あとそこからどうやって面積を求めるのかわかりません…


すみません勉強不足で…

時間がありましたら
教えていただけると嬉しいです。
No.10807 - 2010/07/08(Thu) 23:27:58
☆ Re: 高３ 体積 / angel
> 三角形はどうして直角三角形になるとわかるんですか？
それは三角形の3辺の長さが分かっていて、なおかつ3平方の定理(ピタゴラスの定理)にあてはまっているから。
今回、ここの三角形は重要なので、何か特殊な形状ではないか、調べるものでしょう。
なお、ピンクと緑に塗った箇所の境界のx座標、r^2 というのも、この三角形が直角三角形であるところから分かります。小さく割った三角形が相似形になっているからです。

> あとそこからどうやって面積を求めるのかわかりません…
球の体積を積分で出す、ってやったことありませんか?
一般に半球の場合なら、
　∫[0,R] π(R^2-t^2)dt = 2/3・πR^3 ← 球の体積 4/3・πR^3の半分
のような計算をやります。

今回は球の一部の体積を求めるので、積分範囲がちょっと違うだけ。( 勿論 R の代わりに、それぞれの球の半径を使います )
・図中緑に塗った箇所に対応する体積
　∫[r^2,r] π(r^2-t^2) dt
・図中ピンクに塗った箇所に対応する体積
　∫[1-r^2,√(1-r^2)] π((1-r^2)-t^2) dt
ここで持ち出している t というのは、それぞれ球の中心から、積分のために考えている断面図までの距離です。( 前の書き込みの図の右側参照 )
なので、積分範囲も、「球の中心からどの程度離れている箇所が対象か」で決めています。
t を改めて持ち出さずに x を使って積分しても良いのですが…
( 断面図を x の関数で表し、x の範囲を指定して積分する )
ただ、右側の球 ( 中心が(1,0,0)の球 ) で出てくる式があまり綺麗でなく、分かりにくくなるでしょう。
No.10810 - 2010/07/09(Fri) 00:05:57
★ 高2　数列 / syooo
大学受験の数学に詳しい人、お願いいたします。

a,b,cという3つの数があり、abc=125,「a,b,c」は等差数列、「b,c,a」は等比数列のとき、a,b,cの値の組をすべて求めよ。

このもんだいで、c^2=abより、c^3=125より、c=5ですが、
c=(-5±5√3i)/2という2つの虚数解も出てきます。だから、(a,b,c)=｛(-5±5√3i)/2,(-5±5√3i)/2,(-5±5√3i)/2｝というような値の組もあるわけですが、数列の各項は実数と決まっているのでしょうか？　　　それとも公比や各項が虚数でもいいんでしょうか？
No.10803 - 2010/07/08(Thu) 11:18:50
☆ Re: 高2　数列 / スーパーカブ

問題文に実数とかいていなければ虚数も考えるべきです。
大学になれば関数を一般項にもつ関数列というのもでてくるくらいですから各項が実数という決まりはないです。
No.10808 - 2010/07/08(Thu) 23:34:09
☆ Re: 高2　数列 / syooo
わかりました、ありがとうございます！！
No.10812 - 2010/07/09(Fri) 13:08:31
★ 高２　数?U　指数・対数 / あつき
いくら考えてもわかりません。
よろしくお願いします。

方程式27・3^3x-93・3^2x+37・3^x-3=0のすべての実数解の積を求めよ

という問題で、答えは２です。

解と係数の関係などを用いてみたのですが、
答えが一致しません…
　

　
No.10799 - 2010/07/07(Wed) 23:00:41
☆ Re: 高２　数?U　指数・対数 / X
計算過程をもう少し具体的にアップしてもらえないでしょうか。
その質問の内容だけではどこで計算を間違えているのか
判断ができません。
No.10801 - 2010/07/08(Thu) 00:15:16
☆ Re: 高２　数?U　指数・対数 / ヨッシー
方程式27・3^3x-93・3^2x+37・3^x-3=0のすべての実数解を求めよ。
ならどうでしょう？
No.10802 - 2010/07/08(Thu) 07:51:34
☆ Re: 高２　数?U　指数・対数 / あつき
Xさん、ヨッシーさん、ありがとうございます。

頑張って解いてみます。
No.10805 - 2010/07/08(Thu) 21:57:42
★ こう二 確率 / みほし
サイコロを6回振れば1がでるか？
問題
Ａ君は次のように考えた。
　「さいころを 6 回振ることにする。 m = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 のおのおのについて、 m 回目に 1 の目が出る確率はである。
　したがって、 6 回のうちに少なくとも 1 回は 1 の目が出る確率は、である。

正解は
正しくないです。

理由は互いにはいはんでないのにたしあわせているからだそうです。

意味がわかりません
はいはんというのは例えば2つの事象をＡ、Ｂとするならこの二つが同時に起こらないということですよね

本問の場合、一かいめに一がでる、二回目に一がでる、………
というふうにそれそれ違う回の確率が１/６なんだからはいはんじゃないのですか？
いろんな解説を見たのですが理解力に乏しいため納得がいきません。
誰か分かる方教えてくださいお願いします
No.10795 - 2010/07/06(Tue) 21:05:13
☆ Re: こう二 確率 / angel
それは「同時」の捉え方が違うのです。
今回は、さいころを6回振って、それを総合した結果を考えています。1回1回をバラバラに考えてはいけないのです。

なので、例えば事象Aを「1回目に1が出る」事象Bを「2回目に1が出る」と単に言った場合、これを正確に言い直すなら

・事象A
　1回目は1が出る
　2回目〜6回目に出る目は何でも良い
・事象B
　2回目は1が出る
　1回目、3回目〜6回目に出る目は何でも良い

となるのです。

そうすると、例えば
　1回目・2回目に1が出て、3〜6回目に6が出る
というのは、事象A,Bどちらにも該当しますし、実際に起こりうる話なので、A,Bは背反ではない、となります。
No.10797 - 2010/07/06(Tue) 23:03:01
☆ 背反となる/ならない例 / angel
身近な所で、背反となる例、ならない例を挙げてみましょうか。

例1.
AさんとBさんが、学校の運動会で、全員参加のマラソン大会に出場した。
・事象A：Aさんがマラソン大会で優勝する
・事象B：Bさんがマラソン大会で優勝する
※同着はないものとする

例2.
AさんとBさんが、学校の運動会で、徒競走に出場した。
・事象A：Aさんが徒競走で1着を取る
・事象B：Bさんが徒競走で1着を取る
※徒競走では、出場者を数人ずつの組に分け、組毎に競走を行いそれぞれ順位を決める。同じ組の中で同着はないものとする

例1では事象A,Bは背反ですが、例2では背反となっていないことに注意して下さい。
No.10798 - 2010/07/06(Tue) 23:15:01
★ ２次不等式の応用 / かな


次の不等式または連立不等式を満たす整数xの値を全て求めよ。

（1）
x²−２x−４<０

（２）
{x²＋２ｘ>１
{x²≦１０
↑ここは長いカッコ

答え見ても全然わかりません。
出来れば頭悪いので噛み砕いて教えて下さい。
No.10791 - 2010/07/06(Tue) 18:18:02
☆ Re: ２次不等式の応用 / X
(1)
xが実数であるとして問題の不等式を解く(つまり普通に解く)と
1-√5＜x＜1+√5 (A)
ここまではよろしいですか？。
さてその後ですが(A)の端点である
x=1-√5,1+√5
をはさんでいる整数をそれぞれ求めます。
2＜√5＜3
ですので
1+2＜1+√5＜1+3
1-3＜1-√5＜1-2
つまり
3＜1+√5＜4 (B)
-2＜1-√5＜-1 (C)
(A)を数直線に表し、その同じ数直線に(B)(C)に基づいて
x=3,4,-2,-1
を書き込んでみましょう。
すると問題の不等式を満たす整数xが含まれる範囲は
-1≦x≦3
であることが分かりますので求める整数xは
x=-1,0,1,2,3
となります。

(2)の方針も同様です。(こちらはご自分でどうぞ)
但し、こちらは問題の不等式を満たす実数xの値の範囲が
数直線上に二ヶ所できるので、やや煩雑です。
No.10794 - 2010/07/06(Tue) 20:21:44
★ 高１　確率 / amatu
1が書かれたカードが1枚、2が書かれたカードが1枚、･･･、nが書かれたカードが1枚の全部でn枚のカードからなる組がある。この組から1枚を抜き出し元にもどす操作を3回行う。抜き出したカードに書かれた数をa，b，cとするとき、得点Xを次の規則(i)，(ii)に従って定める。
(i) a，b，cがすべて異なるとき、Xはa，b，cのうちの最大でも最小でもない値とする。
(ii) a，b，cのうちに重複しているものがあるとき、Xはその重複した値とする。
をみたすkに対して、となる確率をとする。
(1) をnとkで表せ。
(2) が最大となるkをnで表せ。

http://www.riruraru.com/cfv21/math/htm07f5.htm
ここにある答えで

「n+1/2が整数、つまり、nが奇数のときには、pkはk=n+1/2のときに最大です。
n+1/2が整数にならないとき、つまり、nが偶数のときには、n+1/2に近い整数は、n/2とn/2+1になるので、pn/2とpn/2+1とを比較することになります。」
とあるのですがここのいってることがさっぱりわかりません。
だれかわかるかた教えてください。おねがいします。。
No.10787 - 2010/07/06(Tue) 05:54:32
☆ Re: 高１　確率 / ヨッシー
>をみたすkに対して、となる確率をとする。
の部分が、文字が欠落しています。
たぶん、画像で式が表示されていたのかと思いますが。
No.10789 - 2010/07/06(Tue) 06:22:26
☆ Re: 高１　確率 / ヨッシー
ちなみに、海外出張のため、
http://www.riruraru.com/cfv21/math/htm07f5.htm
のページは読めませんが、最大云々のところで詰まっている
ということは、(1) は理解できたのですよね？
No.10790 - 2010/07/06(Tue) 06:25:24
☆ Re: 高１　確率 / angel
とりあえず(1)の答が、
　( 6(k-1)(n-k) + 3n - 2 )/n^3
となるので、(k-1)(n-k) の部分に着目します。

添付の図のようにグラフを描いたなら、(1,0),(n,0) の2点を通り、上に凸な放物線なので、軸 k=(n+1)/2、頂点のy座標 (n-1)^2/4 となることが分かります。( 平方完成は必要ないのです )

しかしながら、今回 k は整数なので、nが奇数ならば丁度頂点の所で最大値と言えるのですが、n が偶数の場合は最大値となるポイントがずれます。
放物線は左右対称なので、軸から左右に1/2ずれた所 ( yの値は1/4小さくなる ) が最大値ということです。

なお、上記の話は、k^2 の係数が -1 が前提なので、今回の問題の場合、更に 6/n^3 倍されることに注意してください。
No.10796 - 2010/07/06(Tue) 22:46:57
★ 高１　確率 / amatu
数学 確率の問題 互いに同形のガラス玉 g 個と，互いに同形のダイヤモンド d 個と，表裏のあるペンダント 1 個とを，丸くつないでネックレス状のものを作る。 ただし，ペンダントの両隣りはダイヤモンドにする。
（ d ≧2 , g ≧1 ）
(1) 何通りの作り方があるか。
まず、ペンダントの位置を固定し、そしてさらにペンダントの両隣にあるダイモンドを１個ずつ固定すると
残りのガラス玉、ダイヤモンドの数はg+d-2（個）になるので
g+d-2Ｃd-2 通りとしたのですが
解答ではこれをg+d-2Ｃgとしていたのですがどっちも同じように思います。
先にgかdのどちらかを並べたかの違いだけで・・・
誰か分かる方お願いします
No.10783 - 2010/07/05(Mon) 22:51:50
☆ Re: 高１　確率 / angel
> どっちも同じように思います。

はい。同じです。

組み合わせ Ｃ には、nＣm = nＣ(n-m) という性質があります。
n個からm個を選んで採用するのも、n個から(n-m)個を選んで除外するのも同じことですから。

というわけで、amatuさんの考えで問題ないでしょう。
No.10785 - 2010/07/06(Tue) 00:11:38
☆ Re: 高１　確率 / amatu
angelさん
ありがとうございます！
学校の先生には全くの別物とか言われたので不安だったのですがすっきりしました！
No.10786 - 2010/07/06(Tue) 05:53:00
★ 数A / 高一
期末考査の問題です。


１、NAGASAKAの８文字を一列に並べるとする。全部で何通りの並べ方があるか。

２、４桁の自然数のうち１と２だけで表されるものの個数は何個か。ただし、１と２は１回は使っているものとする。

３、４桁の自然数のうち１と２と３だけで表されるものの個数は何個か。ただし、１と２と３はそれぞれ１回は使っているものとする。



です。
ちなみに、
２と３は力づくで解いたら

２は６通りに
３は４５通りになりました(＾_＾；)


やり方と答え教えて下さい。
No.10780 - 2010/07/05(Mon) 20:30:58
☆ Re: 数A / ヨッシー
１．
　もしＮＡＧＢＳＣＫＤ だと ８！通り。
このうち、ＡＢＣＤが入れ替わった４！通りは、すべてＡに変えると
同じ並びになります。
よって、
　８！÷４！＝1680(通り)

２．
各位には、１か２が入るので
　２4＝16(通り)
このうち、1111 と 2222 は除くので、14通り。

３．
１１２３の並べ替えは、4×3＝12(通り)
１２２３、１２３３の並べ替えも12通りずつ。
合計　36通り。
No.10781 - 2010/07/05(Mon) 22:08:45
☆ Re: 数A / 高一
わかりました＾＾

ありがとうございました。
No.10792 - 2010/07/06(Tue) 19:41:34
★ 高校三年 / u-a
　今「式と曲線」という範囲の勉強をしています。
そこで y^2-x　などの存在範囲を図示せよ。
という問題なのですが、答えの図を見てもピンときません。
なにか良い考えかたはありませんか？
No.10779 - 2010/07/05(Mon) 19:55:14
☆ Re: 高校三年 / ヨッシー
>そこで y^2＜x , y^2＞-x　などの存在範囲を図示せよ。
と書いてあります。

y^2＝x や y^2＝-x のグラフは描けるのでしょうか？
No.10782 - 2010/07/05(Mon) 22:41:37
☆ Re: 高校三年 / u-a
　はい、描けます。
存在範囲がグラフの内側か外側かの判断ができません。
No.10784 - 2010/07/05(Mon) 23:42:08
☆ Re: 高校三年 / ヨッシー
y^2＜x についていうと、点（２，０）は、この式を満たしますね？
なら、この点が含まれるほうが、求める範囲です。

この点は、曲線上の点以外なら、何でもいいです。
No.10788 - 2010/07/06(Tue) 06:04:10
★ 数列 / meta(高２)
１が書かれたカードが１枚,２が書かれたカードが１枚,……,ｎが書かれたカードが１枚の全部でｎ枚のカードからなる組が２組ある。Ａはそのうちの１組をもち、Ｂは別の１組をもつ。ＡとＢは、それぞれ無作為に自分のもっている組のうちの１枚を取り出す。Ａが取り出したカードに書かれている数をａとし、Ｂが取り出したカードに書かれている数をｂとする。次の規則(?@),(?A)に従って,ＡとＢの得点を定める。
(?@)ａ＝ｂのとき,Ａの得点をａ^2とし、Ｂの得点を０とする
(?A)ａ≠ｂのとき,Ａの得点を０とし、Ｂの得点を|ａ−ｂ|とする
(1)Ａの得点の期待値を求めよ
(2)Ｂの得点の期待値を求めよ

自分でかいておいてなんですが問題の意味からしてわけがわかりません…
数列のカテゴリー内にあったので件名は数列としました

わかりやすい解答と解説をお願いします
No.10770 - 2010/07/03(Sat) 22:58:23
☆ Re: 数列 / angel
取り敢えず、問題の内容を把握するところから。
一般のnで考えてワケワカランとなるのなら、比較的小さいnの場合を例として挙げてみるのが良いでしょう。
と、いうわけでn=3の場合の表を作ってみました。

これだと、Aの得点の期待値は14/9、Bの得点の期待値は8/9ですね。

そこから更に一般のnの場合を考えてみましょう。( Bの得点の期待値の方は、若干工夫が要るかも )
答は(1)…(n+1)(2n+1)/(6n)、(2)…(n+1)(n-1)/(3n) になると思いますが、それは最後の答え合わせにどうぞ。

※「それぞれ無作為に」ではなく「それぞれ最善を尽くすように」だと面白くなるんですが…まあそれは別のお話
No.10771 - 2010/07/03(Sat) 23:58:27
☆ Re: 数列 / meta(高２)
(2)がangelさんの答と一致しません…

分母がn^2になるのはわかっているのですが、分子の合計値を出すのに手間取っています

対角線はずっと０なので無視して、そこを境に右上と左下にそれぞれ同じ数列が2つずつあると考えました

つまり、1,2,3,……,n-1と1,2,3,……,n-2と1,2,3,……,n-3の3つです

1〜(n-3)までは共通なので、６*?納k=1,n-3](k)++2(n-2)+2(n-1)=3n^2-9n+12

よって３(n^2-3n+4)/n^2となってしまいました…
No.10772 - 2010/07/04(Sun) 02:40:45
☆ Re: 数列 / angel
(2)に関して。
規則性が見えづらければ、もう少しnの値を大きくして考え直すのが良いでしょう。
あまりあせって決め打たずに。

nがある程度大きい想定での、Bの得点の表を抜粋した図を載せます。2段階で和を求める必要がありまして、取り敢えず2案考えられます。案1の方が素直かも。
No.10773 - 2010/07/04(Sun) 10:48:26
☆ Re: 数列 / meta(高２)
わかりやすい図をかいてもらって申し訳ないのですが…

Ｂの得点がどうなるのか、全体像を掴むことはできたのですが、和を求められません

?納k=2,n](k)(k-1)とすれば案１で求めることが可能だと思うのですがこれでは計算ができないですし…

案２のほうも同様です
No.10774 - 2010/07/04(Sun) 11:46:35
☆ Re: 数列 / meta(高２)
すいません。説明不足でした

分母の２は左下の部分を足すことを考えた２倍と合わせて消しています

２((n(n-1)/2)+((n-1)(n-2)/2)+……+(3*2/2)+(2*1/2))

⇔２*(n(n-1)+(n-1)(n-2)+……+(3*2/2)+(2*1/2))/2

⇔n(n-1)+(n-1)(n-2)+……+3*2+2*1

⇔?納k=2,n]k(k-1)

というようなかたちです。

そもそもk=2とするのは可能なのでしょうか？
No.10775 - 2010/07/04(Sun) 11:55:45
☆ Re: 数列 / angel
> そもそもk=2とするのは可能なのでしょうか？

勿論可能です。
ただし、
・1+2+…+n = Σ[k=1,n] k = 1/2・n(n+1)
・1^2+2^2+…+n^2 = Σ[k=1,n] k^2 = 1/6・n(n+1)(2n+1)
といった公式の活用を考えているなら、これはk=1開始が前提ですから、

Σ[k=2,n] 〜 = Σ[k=1,n] 〜 - Σ[k=1,1] 〜

のように差を考える必要があります。
そういった意味では、k=2〜n ではなく、k=1〜n-1 で範囲を取った方が話は早いかも。
?納k=2,n]k(k-1) の代わりに Σ[k=1,n-1](k+1)k ですね。

Σ[k=1,n-1] k = 1/2・(n-1)(n-1+1) = 1/2・n(n-1)
Σ[k=1,n-1] k^2 = 1/6・(n-1)(n-1+1)(2(n-1)+1) = 1/6・n(n-1)(2n-1)

というように、おしりが変わる分には対応は楽ですから。
No.10776 - 2010/07/04(Sun) 14:05:08
☆ Re: 数列 / angel
ちなみに、案1の方が素直かも、と言ったのは

　2・1 = 1/3・(3-0)・2・1 = 1/3・(3・2・1-2・1・0)
　3・2 = 1/3・(4-1)・3・2 = 1/3・(4・3・2-3・2・1)
　4・3 = 1/3・(5-2)・4・3 = 1/3・(5・4・3-4・3・2)
　…
　(n-1)(n-2) = 1/3・(n-(n-3))・(n-1)(n-2) = 1/3・(n(n-1)(n-2)-(n-1)(n-2)(n-3))
　n(n-1) = 1/3・((n+1)-(n-2))・n(n-1) = 1/3・((n+1)n(n-1)-n(n-1)(n-2))

という変形から、
　(左辺の和) = 1/3・( (n+1)n(n-1) - 2・1・0 )
というすっきりした求め方もあるからです。決まると気持ちが良いですね。
No.10777 - 2010/07/04(Sun) 14:31:57
★ 小６ / AZX
つぎの■にあてはまる整数を書きなさい。ただし、２つの■には異なる数がはいります。

?@5/8 = 1/■ + 1/■
?A3/11 = 1/■ + 1/■

答え?@2,8?A4,44

力技で解けましたが解説の「それぞれ5/8,3/11の計算と考える」の意味ができませんでした。どう考えればいいでしょうか。
No.10767 - 2010/07/03(Sat) 19:19:02
☆ Re: 小６ / ヨッシー

5/8 は５個のものを８人で分けるということですから、
まず、1/2 ずつ与えて、残りの１を８等分して 1/8ずつ与えます。

同様に、3/11 は、1/4 ずつ11人に与えて、残り 1/4 を11等分して、 1/44 ずつ与えます。
No.10768 - 2010/07/03(Sat) 21:14:00
☆ Re: 小６ / angel
その解説の意味は、私にもちょっと分かりません。
が、ちょっと工夫を考えるなら、一つの数を、二個の和に分けているので、その大きい方の片割れに着目します。
※「2つの■には異なる数」とあるので、半分に分かれることはない

すると、?@の場合
　5/8÷2=5/16＜(大きい方)＜5/8
分子を1で揃えると、
　1/3.2＜1/■＜1/1.6
となりますから、■の一方の候補が2もしくは3と絞れます。

ここから、どちらが正しいか ( もしくは両方か ) は、実際に計算してみないと分かりませんが…
No.10769 - 2010/07/03(Sat) 21:19:15
☆ Re: 小６ / AZX
ヨッシーさん　angelさん
そういう考え方ができるのですね。
お二人のおかげでやっと理解できました。
どうもありがとうございました。
No.10778 - 2010/07/04(Sun) 20:29:48
★ 長方形を対角線で折った時 / √
教えてください。　算数の範囲です。

下記の長方形を、対角線で折ります。

長方形ＡＢＣＤ（反時計回りに）
ＡＢ＝ＤＣ＝６ｃｍ
ＡＤ＝ＢＣ＝８ｃｍ
対角線ＢＤで折った時のＣ点の移動先をＥとします。

この時、ＣＥ間の長さを教えてください。

答えは９．６ｃｍです。

よろしくお願い致します。
No.10761 - 2010/07/03(Sat) 15:39:08
☆ Re: 長方形を対角線で折った時 / ヨッシー

ＣＥとＢＤの交点をＦとすると、ＦはＣＥの中点であり、
また、ＣＥとＢＤは直交します。

△ＢＣＤは、いわゆる ３：４：５ の直角三角形であり、
△ＢＦＣも同様です。

その比を使って、ＢＣ＝８cm からＣＦと求めると、
　ＣＦ＝８×(3/5)＝4.8(cm)
　ＣＥ＝ＣＦ×２＝9.6(cm)
となります。
No.10762 - 2010/07/03(Sat) 16:31:34
☆ Re: 長方形を対角線で折った時 / √
ヨッシーさん　有り難うございます。

（すみません。
問題文に対角線の長さは１０ｃｍと書いてあったのですが
書き忘れていました。）


また教えてください。
なぜ、ＣＥとＢＤが直交していると言えるのか
分らないので教えてください。

それと、三角形ＢＦＣが３：４：５の比になっている
という理由が分らないので教えてください。

よろしくお願い致します。
No.10763 - 2010/07/03(Sat) 16:54:00
☆ Re: 長方形を対角線で折った時 / √
ヨッシーさん

直交する理由、分りました。
当たり前のことでした。

それと３：４：５になる理由ですが、
「３：４：５の直角三角形において、斜辺に垂線を降ろすと、この垂線によって分割された２つの直角三角形も
また３：４：５の比になる」
と言い切ってしまってよろしいでしょうか？
No.10764 - 2010/07/03(Sat) 17:27:48
☆ Re: 長方形を対角線で折った時 / ヨッシー
△ＢＣＤと△ＢＦＣは、大きさは違いますが、
直角を含む３つの角はすべて等しい、
形が同じ三角形です。こういう関係を相似といいます。

相似な２つの三角形は、辺の長さの比が、すべて等しいことが
知られています。

もちろん
>「３：４：５の直角三角形において、斜辺に垂線を降ろすと、この垂線によって分割された２つの直角三角形も
>また３：４：５の比になる」
と言い切って良いのです。
No.10765 - 2010/07/03(Sat) 18:37:54
☆ Re: 長方形を対角線で折った時 / √
ヨッシーさん
理解できました。有り難うございました。

最近の算数は難しく感じます。
No.10766 - 2010/07/03(Sat) 18:53:13
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