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お願いします☆ / 高@girl
今日16歳になった高@girlです。         

√5-√3 √5+√3
 分の - 分の
√5+√3 √5-√3
はどうするんですか??書き方がへたですいません↓↓

No.660 - 2008/05/17(Sat) 11:34:36

Re: お願いします☆ / 成瀬
(√5 - √3)/(√5 + √3) - (√5 + √3)/(√5 - √3)
ですか?
通分すれば、
  {(√5 - √3)2 - (√5 + √3)2}/(√5 + √3)(√5 - √3)
となるので、あとは
  (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
  (a + b)(a - b) = a2 - b2
を使って簡単にしてあげれば良いですね。  

No.661 - 2008/05/17(Sat) 12:10:48
(No Subject) / 匿名 高1
いつもお世話になっています。

・-1≦a<2、1≦b<3のとき
次の数はどのような範囲になるか。

(1)-3a+2b
これを計算?すると
  9□-3a+2b□-4
  となり、□に不等号が入るのですが
  どうやって判断して決めたらよいのかわかりません。

1問ですがよろしくお願いします!


No.655 - 2008/05/16(Fri) 21:17:59

Re: / X
-3a+2bの値の範囲を求めよ、ということですね。

-1≦a<2
より
-6<-3a≦3 (A)

1≦b<3
より
2≦2b<6 (B)
不等号の下の等号が成立するかを確認しながら(A)(B)の各辺を足してみましょう。

No.656 - 2008/05/16(Fri) 22:52:00

Re: / 匿名 高1
早速お返事ありがとうございます!
不等号の下の等号が成立することを調べるのには
どうすればよいのでしょうか?

お手数お掛けしてすみません;;

No.658 - 2008/05/16(Fri) 23:19:16

(No Subject) / ヨッシー
3□a+b の□に<か≦のどちらが入るか考えてみましょう。
(1) 1<a,2<b のとき
(2) 1≦a,2<b のとき
(3) 1<a,2≦b のとき
(4) 1≦a,2≦b のとき
ポイントは、3=a+bになるa,bがあるか?ということです。

結論:((4))の時だけ≦が入る。

No.659 - 2008/05/17(Sat) 08:39:17

Re: / 匿名 高1
ヨッシーさん
お返事ありがとうございます。
(4)のときだけ≦が入りました!
このような要領で調べればいいのですね!

答えは-4<-3a+2b<9であっていますか・・・?

No.666 - 2008/05/17(Sat) 14:01:37

(No Subject) / ヨッシー
そうですね。
両方≦ のときだけ、足したものも≦になります。

>答えは-4<-3a+2b<9であっていますか・・・?
問題の順に沿うなら、
 9>-3a+2b>-4
ですが、意味が分かっていれば、良いでしょう。

No.667 - 2008/05/17(Sat) 15:03:32

Re: / 匿名 高1
詳しく説明して下さり、とても助かりました。
本当にありがとうございました!

No.670 - 2008/05/17(Sat) 17:11:09
因数分解 / テスト間近の高一……
たびたびすみません。

数Tの因数分解です。
x²-y²+4x+6y-5  答え(x+y-1)(x-y+5)

なぜ答えがこのようになるのか分かりません。
教えて下さい。よろしくお願いします。

No.653 - 2008/05/16(Fri) 20:07:54

Re: 因数分解 / 魑魅魍魎
x²-y²+4x+6y-5
=x^2+4x-(y^2-6y+5)
=x^2+4x-(y-5)(y-1)
={x-(y-5)}{x+(y-1)}
=(x+y-1)(x-y+5)
です。

No.654 - 2008/05/16(Fri) 20:54:18
(No Subject) / 礼花 高2
こんばんは。

2.次の方程式を解け。
(3)2(x-1)^2-4(x-1)+3=0
(4)x^2-2x+9+2√15

(3)は (4±√2)/2と答えが出たのですが、合っていますでしょうか?
(4)は根号が入っているので、分からなくなってしまいました。
すみませんが、この2問を教えてください。よろしくお願い致します。

No.649 - 2008/05/16(Fri) 00:43:40

Re: / 魑魅魍魎
(3)
虚数単位がないです。
(4±(√2)i)/2

(4)
解の公式を使ってみてはどうでしょうか。

No.650 - 2008/05/16(Fri) 01:04:30

Re: / 礼花 高2
返信遅くなってしまい、申し訳ありません。
魑魅魍魎さま、ありがとうございました。

No.695 - 2008/05/18(Sun) 17:19:30
因数分解 / テスト間近の高一……
数T因数分解です。教えて下さい。
@x²-(y+z)² 
A(a-b)²-3(a-b)
Bx²-y²-z²+2yz
Cx²-xy-2y²-4x+5y+3

よろしくお願いします。

No.646 - 2008/05/15(Thu) 22:49:29

Re: 因数分解 / ヨッシー
(1) a2−b2=(a+b)(a−b) を使います。
(2) (a-b) でくくります。
(3)x2−(y2−2yz+z2) として、後半をまず因数分解します。
 あとは、(1) と同じです。
(4) x2−(y+4)x−2y2+5y+3
 =x2−(y+4)x−(2y+1)(y−3)
 ={x−(2y+1)}{x+(y−3)}

No.647 - 2008/05/15(Thu) 23:40:58

Re: 因数分解 / テスト間近の高一……
有難う御座います。
@BCはわかったのですが、
Aの答えがどうしてもわかりません。
どのような答えになるのでしょうか?

No.648 - 2008/05/15(Thu) 23:50:28

Re: 因数分解 / 魑魅魍魎
A(a-b)²-3(a-b)
a-b=A
と置くと
A^2-3A
A(A-3)
なので
(a-b)(a-b-3)

No.651 - 2008/05/16(Fri) 01:08:06

Re: 因数分解 / テスト間近の高一……
よく分かりました。
有難う御座います^^

No.652 - 2008/05/16(Fri) 17:17:41
(No Subject) / フェニックス 高二
こんばんは。以下の問題を教えてください。

ア  点(x,y)が不等式x+y-4≧0の表す領域を動く時、
   x^2+y^2の最小値を求めよ。 答え 8

イ  (1) 三点A(-1,2)、B(4,1)、C(1,5)を頂点とする
    三角形ABCの内部および周を表す連立不等式を求めよ。


    答え x+5y-9≧0  4x+3y-19≦0  
       3x-2y+7≧0
   (2) 点(x、y)が(1)の三角形ABCの内部および周      上を動く時、次の式の最大値と最小値を求めよ。

     (あ)2x+y

      答え 最大値9 最小値0
     (い)x^2+y^2
      
      答え 最大値26 最小値 81/26

No.642 - 2008/05/15(Thu) 20:46:29

Re: / rtz

図を描きましょう。
x2+y2=r2 (r≧0)とすれば、
原点中心半径rの円になりますので、
r2が最小=rが最小を踏まえれば、
x+y−4=0と円が接するときが最小ですね。


(1)これも図を描きます。
直線AB、直線BC、直線CAはすぐ求まりますから、
あとはそれらの上側なのか下側なのか図から判断して、
不等号の向きを考えればいいです。

(2)
先ほどの図を利用します。

(あ)
2x+y=k⇔y=−2x+kとすれば、傾き−2、y切片kの直線になります。
kが最小ということは、
直線がなるべく下のほうにあって、かつ三角形と共有点を持つわけですから、
x+5y−9=0の傾きから考えれば直線点Aを通るとき最小です。
kが最大ということは、
直線がなるべく上のほうにあって、かつ三角形と共有点を持つわけですから、
4x+3y−19=0の傾きから考えれば直線点Bを通るとき最大です。

(い)
アと考え方は同じです。
原点中心の円の半径が最大最小となるときを考えます。
最小となるのはx+5y−9=0に接するとき、
最大となるのは点Cを通るときです。

No.645 - 2008/05/15(Thu) 21:19:21
連立方程式 / レアル
中学二年生です。よろしくお願いします。
原価に100円の利益を見込んで定価をつけた品物を定価の一割引で売ると原価に対して5分の利益があるとき、品物の原価は、いくらですか。

No.638 - 2008/05/15(Thu) 18:12:12

Re: 連立方程式 / ヨッシー
別に連立ではありませんね。

原価をx円とおきます。
条件は、
原価に100円の利益を見込んでつけた定価の一割引 と
原価+5%の利益 が等しいということです。
前者は
 (x+100)×0.9
後者は
 1.05x
です。(1割引は0.9倍、5%の利益は1.05倍です)
 (x+100)×0.9=1.05x
を解いて、原価600円となります。(途中省略)

No.640 - 2008/05/15(Thu) 18:52:58

Re: 連立方程式 / レアル
そうですね。連立ではないですね。ありがとうございました。
No.641 - 2008/05/15(Thu) 19:27:46
組合せの問題です / タケノコ
高1の数学です。
先生の解説がよく聞き取れませんでした。
基本的な問題ですが、解説をお願いします。

8人を3人・3人・2人の3つの組に分ける時、分け方は何通りあるか。

よろしくお願いします。

No.634 - 2008/05/15(Thu) 17:48:04

Re: 組合せの問題です / ヨッシー
解法1
8人を順に並べて、前から順に3人、3人、2人と分けるとします。
8人の並べ方は 8!=40320(通り)
最初の1,2,3人目は、どんな並び方でも、結果は同じなので、
 3!=6(通り) が重複しています。
4,5,6人目も、入れ替えても、結果は同じなので、
 3!=6(通り) が重複しています。
また、7,8人目が入れ替わっても、結果は同じなので、
 2!=2(通り) が重複しています。
また、1,2,3人目で作られた3人のチームと、4,5,6人目で
作られた3人のチームは入れ替わっても、結果は同じなので、
 2!=2(通り) が重複しています。
以上より、
 40320÷6÷6÷2÷2=280(通り)

解法2
8人から3人を選ぶ組み合わせは
 8C3=56通り
残り5人から3人を選ぶ組み合わせは
 5C3=10通り
残り2人は自動的に決まるので、1通り。
2つの3人のチームは、区別しないので、2で割って、
 56×10÷2=280(通り)

解法1は順列で数えあとで重複分を割っています。
解法2は最初から組み合わせで考えています。

No.636 - 2008/05/15(Thu) 18:01:09

Re: 組合せの問題です / タケノコ
ヨッシーさんありがとうございます。
解法2は先生が説明していた方法と同じでした。
解法1は初めて知りました。こんな解法もあるのですね。
勉強になりました。

助かりました、本当にありがとうございました。

No.639 - 2008/05/15(Thu) 18:15:49
因数分解 / けい
高一数Tの因数分解の問題です。分からないので教えて下さい。

(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc  答え(a+b)(b+c)(c+a)

よろしくお願いします。

No.633 - 2008/05/15(Thu) 17:29:01

Re: 因数分解 / ヨッシー
まず展開して整理していきます。

(与式)=a2(b+c)+a(b2+2bc+c2)+b2c+bc2
 =a2(b+c)+a(b+c)2+bc(b+c)
 =(b+c){a2+a(b+c)+bc}
 =(b+c)(a+b)(a+c)

No.635 - 2008/05/15(Thu) 17:49:32

Re: 因数分解 / けい
ありがとうございます^^
とてもよくわかりました。すっきりです^^

展開せずに因数分解する方法はありませんか…?
もしあるのならば教えて下さい。
よろしくお願いします。

No.637 - 2008/05/15(Thu) 18:01:51

Re: 因数分解 / rtz
あえて言うなら、
a=-bのとき、式の値が0になるので因数にa+bを持つ。
同様にb=-c、c=-aで式の値が0より因数にb+c、c+aを持つ。

3次なので式はk(a+b)(b+c)(c+a)と因数分解されるが、
a=b=1、c=0で元の式が2、↑は2kとなるのでk=1
よって(a+b)(b+c)(c+a)

とできますが、
見つけられるかどうか分からないこと、
結局あまり時間が変わらないだろうことから
普通にやった方がいいと思います。

No.643 - 2008/05/15(Thu) 21:02:59

Re: 因数分解 / けい
ありがとう御座います^^

普通にやってみます^^

No.644 - 2008/05/15(Thu) 21:13:31
数V積分の問題です / Φ
関数g(x)=∫1〜e|log t - x |dt の0≦x≦1における
最小値とそのときのxの値を求めよ。

よろしくお願いします。

No.629 - 2008/05/14(Wed) 21:48:04

Re: 数V積分の問題です / X
0≦x≦1
ですので
logt-x≦0
のとき
0<t≦e^xかつ1≦e^x≦e
∴g(x)の被積分関数の絶対値を外すと
g(x)=-∫[1〜e^x](logt-x)dt+∫[e^x〜e](logt-x)dt
となります。

No.630 - 2008/05/14(Wed) 22:01:11

Re: 数V積分の問題です / Φ
回答ありがとうございます。

logt-x≧0 の時も考える必要はありますか?

No.631 - 2008/05/14(Wed) 22:36:07

Re: 数V積分の問題です / X
絶対値を外す際に調べる必要があるのは積分範囲の
1≦t≦e (A)
において
logt-x≦0 (B)
logt-x≧0 (C)
となる範囲です。
真数条件よりt>0ですので、(B)を満たす積分範囲が分かれば
それを(A)から除いた積分範囲が(C)を満たすことが分かります。
従ってチェックは不要です。

No.632 - 2008/05/15(Thu) 15:41:08
連立方程式 / レアル
中学二年生です。よろしくお願いします。
空のプールに二つのバブルA,Bを使って水を入れると次のようになった。はじめに、Aのみ30分間開き、次にAを閉めてBのみ20分開いたところ、水の量は全体の3/5となった。その後A,Bを両方とも開くと、15分後に満水となった。
Aのみで満水にするにはX分かかり、Bのみではy分かかるとして、連立方程式をつくれ。解き方がわかりません。お願いします。

No.626 - 2008/05/14(Wed) 10:47:33

Re: 連立方程式 / ヨッシー
まず、バブルではなく、バルブですね。(蛇口のようなもの)

プール全体の水の量を1とすると、
Aのバルブからは1分に 1/x、Bからは1分に 1/y の水が入ると言えます。

「Aのみ30分間開き、次にAを閉めてBのみ20分開いたところ、水の量は全体の3/5となった。」より、
 30/x + 20/y = 3/5
残り 2/5 を AB両方開いて15分で入れたので
 15/x + 15/y = 2/5
この2つが連立方程式です。
X=1/x、Y=1/y とおくと、これらの式は、
 30X+20Y=3/5
 15X+15Y=2/5
となり、普通の連立方程式になります。これを解いて
 X=1/150 Y=1/50
よって、
 x=150、y=50
となります。
Aのみで満水にするには150分かかり、Bのみでは50分かかる。

No.627 - 2008/05/14(Wed) 11:49:05

Re: 連立方程式 / レアル
とてもよくわかりました。ありがとうございます。
No.628 - 2008/05/14(Wed) 15:18:10
整式の計算 / とこ 高二

問題:整式P(x)をx-1で割ると5余り、x-2で割ると7余る。
P(x)を(x-1)(x-2)で割ったときの余りを求めよ。

解説:P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b
   P(1)=a+b=5, P(2)=2a+b=7
∴a=2, b=3
   よって余り2x+3

解説の意味がよく分かりません。
もう少し詳しい説明をお願いします><

No.623 - 2008/05/14(Wed) 00:17:56

Re: 整式の計算 / 成瀬
整式 P(x) を 2次式 (x - 1)(x - 2) で割った時の余りは、
  ax + b
と書けますので、商を Q(x) をすれば
  P(x) = Q(x)(x - 1)(x - 2) + ax + b … (A)
と書けます。
また、条件から
  P(x) = Q1(x)(x - 1) + 5
  P(x) = Q2(x)(x - 2) + 7
と書けるので、
  P(1) = 5, P(2) = 7 … (B)
となり、また (A) にx = 1, 2 を代入すれば、
  P(1) = a + b, P(2) = 2a + b
となるのでこれと (B) を合わせて、
  a + b = 5
  2a + b = 7
となるのでこれを解けば、a = 2, b = 3 となります。
よって、求める余りは 2x + 3 となります。

No.625 - 2008/05/14(Wed) 01:47:13
二項定理 / シエル 高1

こんばんは。お世話になりますw


教科書の問題の解説がよく分からないので質問します。

問 (x+y+z)^6の展開式におけるx²y³zの係数を求めよ。

解 x+yを1つのものと考えて{(x+y)+z}^6を展開する。
  {(x+y)+z}^6の展開式の一般項は
  6Cr・(x+y)^(6-r)・z^r …@
  となる。
  ここで、zの次数に着目すると、x²y³zが現れるのはr=1の場合だけである。
  このとき、@は6C1・(x+y)^5・zとなり、(x+y)^5を展開したときのx²y³の係数は5C3である。
  したがって、x²y³zの係数は
  6C1・5C3=60


とあるのですが、下から3行目の『x²y³zの係数は5C3である』となるのがよく分かりません。
なぜ5C3になるんですか?
解説よろしくお願いします。

No.620 - 2008/05/13(Tue) 22:39:40

Re: 二項定理 / ヨッシー
二項定理より
(x+y)550x551x4y+52x3y253x2y354xy455y5
なので、x2y3 の係数は、53 です。

No.621 - 2008/05/13(Tue) 23:55:21

Re: 二項定理 / シエル 高1
分かりました!
ありがとうございますw

No.622 - 2008/05/14(Wed) 00:11:35
不等式の証明 / 礼花 高2
こんばんは。
0<a<bのとき、a^2<{(3a^2+2b^2)/5}<b^2を証明せよ。

この問題をどうやって解いたらいいのか分かりません。よろしくお願いします。

No.618 - 2008/05/13(Tue) 00:27:59

Re: 不等式の証明 / DANDY U
(3a^2+2b^2)/5>(3a^2+2a^2)/5=a^2
(3a^2+2b^2)/5<(3b^2+2b^2)/5=b^2
だから・・・・・・ですね。

No.619 - 2008/05/13(Tue) 00:39:49

Re: 不等式の証明 / 礼花 高2
何とか理解することができました!
分かり易く解説してくださって、ありがとうございました。

No.624 - 2008/05/14(Wed) 00:55:28
単位ステップ関数のフーリエ変換 / ICE 大学3年
こんにちは!
証明でわからないところがあります。
教えていただけると嬉しいです。

x(t)=u(t)のとき、フーリエ変換すると、

X(ω)=πδ(ω)+1/jω

となるみたいなのですが、計算してもこうなりません。
教えてください!

No.614 - 2008/05/12(Mon) 19:38:55
お願いします! / なつみ 高一
x3 - 3x2 - 3x + 1

a3 -6a2 + 12a - 8

を教えていただけないでしょうか?
よろしくお願いします!

No.600 - 2008/05/11(Sun) 23:10:45

Re: お願いします! / 成瀬
因数分解ですか?
であれば、
  x3 - 3x2 - 3x + 1 = (x3 + 1) - 3(x2 + x)
としてみると何か見えてきませんか?

No.603 - 2008/05/12(Mon) 00:06:32

Re: お願いします! / ヨッシー
下の方は、
 a3 -6a2 + 12a - 8 = (a3 - 23) - 6a(a-2)
と分けます。
または、一気に
  a3 -6a2 + 12a - 8 = a3 + 3・(-2)・a2 + 3・(-2)2a + (-2)3
まで、行きましょうか?

No.616 - 2008/05/12(Mon) 22:51:42
組み合わせ / みかげ 高1
再びすみません
組み合わせの問題ですが、さっぱり理解できません

【例】パターン@9人を3人ずつの3組に分ける方法は何通りあるか。
解答 A、B、Cの3組に分けたとすると、
 C(9,3)・C(3,6)・C(3,3)=1680通り

1つの組み分けに対して、各組にA、B,Cの名前を付ける方法は3!通りある。
求める組み分けの方法がx通りあるとすると、A、B、Cの3組に分けるわけ方は全部で x×3!=1680
ゆえにx=15(通り) ←答


パターンA 12人を、5人、4人、3人の3組に分ける方法は何通りあるか。
解答 C(12、5)・C(7,4)・C(3,3)=27720(通り)


【疑問点】同じA、B、Cなどの組の区別がない問題なのに、
パターンAだけなぜ、そのまま、3!で割ることなく計算するのでしょうか?

No.597 - 2008/05/11(Sun) 22:58:01

Re: 組み合わせ / らすかる
組の人数が違って「5人の組」「4人の組」「3人の組」と区別があるからです。
No.598 - 2008/05/11(Sun) 23:01:17
極限 / けい 高三

a>1でkは実数の定数とする。次のAnの極限を求めよ。
(1)An=n/a^n (2)An=n^k/a^n

という問題なんですが、まだ極限習い始めたばかりでよくわかりません…どなたか教えてください。よろしくお願いします。

No.596 - 2008/05/11(Sun) 22:26:56

Re: 極限 / にょろ
(1)番について
nではなく「x」でやってみましょう。

下の図は、

赤:y=x
青:y=a^x
緑:y=1^x

です。

コレを見ると

赤よりも青の方が(一時的には赤の方が大きくても)
青の方がとても速く大きくなることことが分かります。

つまり十分大きいxについては青は赤とは比べ物にならないほど大きくなってしまうのです。

で、問題はn/a^nです。
これは先程「赤/青」ですが、十分xが多きいと青の方が遙かに大きいんです。

要するにAn=10/1000ぐらいにすぐなってしまいます。
もっと大きくしていくと…
An=100/10000000…ぐらいになります。
つまりlimAn=0

ところで、緑はそんなことはないただの「1」です。
これでa>1の理由が分かりますか?

分数系の極限は分かりやすく言うと
「どっちがどれぐらい速い?」ということだと思います。
3x/xを考えると…3xの方がxより3倍速いから3
n/a^nはnよりa^nの方が恐ろしく速いから0

そういうイメージでどうでしょう…

(実際答案に何か書いたら大きな×ですが…)

後はこれを教えて良い物か分かりませんが、
「ロピタルの定理」という分数系の極限でとても有名な定理があります。
(興味があったらしらべてみてください)

(2)もグラフを書いてみましょうよ…
そうすると分かるかもしれません…
(aは3くらいkは2位にすると分かりやすいと思います)

No.605 - 2008/05/12(Mon) 01:27:23
恒等式 / 礼花 高2
こんにちは。
2.次の各場合について,定数a,bの値を求めよ。
(1)2x^3+ax+10をx^2−3x+bで割ると,余りが3x−2である。

この問題で、2x^3+ax+10=Q(x^2−3x+b)+2x−2と式を立て、計算したのですが、どうしても答えが出ません。よろしくお願いします。

No.591 - 2008/05/11(Sun) 21:18:13

Re: 恒等式 / 成瀬
x3 の係数が 2 であることから、
  2x3 + ax + 10 = (2x + c)(x2 - 3x + b) + 3x - 2
と書けますので、後は右辺を展開して係数比較すれば良いと思います。

No.592 - 2008/05/11(Sun) 21:52:17

Re: 恒等式 / rtz
割られる式が3次、割る式が2次ですから、
商Q(x)は1次です。
Q(x)=cx+dとして考えてみましょう。

あと立てた式の、加えた余りが間違っているので
計算するときには訂正してください。

No.593 - 2008/05/11(Sun) 21:52:40

Re: 恒等式 / rtz
成瀬さんかぶりました、申し訳ありません。
No.594 - 2008/05/11(Sun) 21:53:04

Re: 恒等式 / 礼花 高2
早々のお返事、ありがとうございました!

成瀬様、2x^3+ax+10=(2x+c)(x^2-3x+b)+3x-2の右辺を展開して、左辺と係数比較したのですが、cd-2=10というようになってしまい、どうしても解けません。係数比較するところからもう一度教えて頂けないでしょうか?

rtz様、式は2x^3+ax+10=(x^2-3x+b)(cx+d)+3x-2となるのでしょうか?すみませんが、もう一度教えて頂けないでしょうか?

No.601 - 2008/05/11(Sun) 23:16:58

Re: 恒等式 / 成瀬
   (2x + c)(x2 - 3x + b) + 3x - 2
  = 2x3 + (c - 6)x2 + (2b - 3c + 3)x + (bc - 2)
となりますので、これと 2x3 + ax + 10 と係数比較をすれば、
  c - 6 = 0 (x^2 の係数)
  2b - 3c + 3 = a (x の係数)
  bc - 2 = 10 (定数項)
となりますので、これを解けば答えが得られます。

No.602 - 2008/05/11(Sun) 23:33:42

Re: 恒等式 / rtz
私のも基本的には成瀬さんのと同じです。

x3の係数を見比べればc=2はすぐ分かりますので、
あとは成瀬さんのと同じになります。

No.607 - 2008/05/12(Mon) 03:29:06

Re: 恒等式 / 礼花 高2
遅くなってしまい、すみません。
a=−11、b=2と答えが出ました!
お二方とも丁寧に解説していただいて、本当にありがとうございました。

No.617 - 2008/05/13(Tue) 00:21:43
写像について / 悩める学生
集合{1,2,...,n}から集合{1,2,...,m}への写像について次の問題に答えなさい。
1 写像は何通りあるか。
2 nとmの関係がどのような場合に単射を作れるか?作れる場合の単射は何通りあるか?
3 nとmの関係がどのような場合に全射を作れるか?
4 nとmの関係がどのような場合に全単射を作れるか?作れる場合の全単射は何通りあるか。

(a,b)={x∈R|a<x<b}とする。
1 開区間(a,b)から開区間(c,d)への関数で、全単射となる関数を1つあげよ。

という問題がわかりません。答えてくれれば幸いです。

No.590 - 2008/05/11(Sun) 20:11:37

Re: 写像について / にょろ
(1)

A(x)を集合{1,2,...,n}から集合{1,2,...,m}への写像
Bを集合{1,2,...,n}
とします。

Bの1から考え得る写像は
A(1)=1
A(2)=2



とmまであります
よって1の写像m通り
他の2,3,4からの写像もm通りなので

m^n通りです。
(写像に制限はないので全てのxでA(x)=1でも可)

(2)

単射とは
A(1)=2ならば
もう他のA(x)では2になら無いと言うことです。

取りあえずn=3,m=4でやってみましょう。

A(1)=2
とすると
A(2)=4
A(3)=1

と決めるんです。

要するにnのグループの数字一つにつきmのグループの数字が一つ
一緒にいないといけないんです。
(浮気はダメです)
逆にmの数字は一人でもやっていけます。

というわけでn≦mです。

で、こういった理由で考え得る写像mPn通りです。
なぜなら、1…n迄の数字がmの中から数字を選ぶんですから

(3)さっきの例を挙げると
今度はmは寂しがり屋で絶対一人になること(A(x)=mとなるxが存在すること)を許してはくれません。
でも、自分は浮気します。
何人でも対応します。
(A(1)=A(3)=5とかでも良い)

n=4,m=3でやってみましょう。
A(1)=3
A(2)=1
A(3)=2
A(4)=3

これで、全てのmは遊び相手が見付かりました。

(4)

今回はmもnも寂しがり屋で浮気禁止です。
要するにnの遊び相手のmは絶対一人居ないといけないし
その逆もそう
勿論浮気も認めない(A(2)=A(5)=2はだめ)

つまりn=mでなければいけません。

で、何通りかというと(2)のm=nの場合つまりn!(=m!)です。

1もっと簡単に言うと逆関数のある関数は何か?
といってるんです。

a=c,b=dになりますけど

y=xが一番簡単な関数ですかね?

No.606 - 2008/05/12(Mon) 01:53:34

Re: 写像について / 悩める学生
にょろさんありがとうございました。
とてもわかりすかったです。またよろしくおねがいします。

No.608 - 2008/05/12(Mon) 06:58:53
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