実数x,yに対してx^2+y^2=4が成り立つ時
x+2yの最小値、最大値を求めよ。
ただし、できる限り多くの解法で解け。
という問題があるのですが、
どんな解法があるでしょうか。
グラフ上に表した時の実数解が
(0,2)(2,0)(-2,0)(0,-2)のみなので
全部を代入すれば最大値と最小値は求まるのですが
その他の解法が全く浮かびません。
よろしければ、解説付きで教えていただきたいです。
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No.9402 - 2010/01/14(Thu) 05:34:01
| ☆ Re: 最大値・最小値 / 七 | | | > グラフ上に表した時の実数解が
> (0,2)(2,0)(-2,0)(0,-2)のみなので
どういうことですか？
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No.9403 - 2010/01/14(Thu) 05:59:16 |
| ☆ Re: 最大値・最小値 / 千葉 高3 | | | >七さん
x,yが共に実数という仮定があったので
x^2+y^2=4の解(x,y)は、上記の４つのみかなと思った次第です。
間違ってましたか？^^；
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No.9404 - 2010/01/14(Thu) 06:35:54 |
| ☆ Re: 最大値・最小値 / 我疑う故に存在する我 | | | ここ
http://www3.rocketbbs.com/603/bbs.cgi?id=aoki&mode=res&resto=10594
参照
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No.9405 - 2010/01/14(Thu) 08:10:42 |
| ☆ Re: 最大値・最小値 / フリーザ | | | 円周上にある点はすべてx^2＋y^2=4・・☆を満たします。
?@線形計画法
x＋2y=kなどとおきこの直線を円と交わるように動かして考えます。このときkは直線の切片になっていることに注意
?A存在条件
x＋2y=kとおき☆へ代入
(k-2y)^2＋y^2=4としてyが実数であることから判別式で答えを得ます。
?B三角函数
x^2＋y^2=4より
x=2sint,y=2cost(0≦ｔ＜2π)
とおける。あとは代入すれば三角函数の２次函数の問題に帰着。
?C微分
☆から１文字消去して2x＋yに代入して1変数化して微分
?Dベクトル内積
x＋2y=(1 2)*(x y)=２√５cost(tは２つのベクトルのなす角）
?Eコーシーシュワルツの不等式
(x^2＋y^2)(1^1＋2^2)≧(x＋2y)^2を使います。
注?Eは本質的には?Dと同じです。コーシーシュワルツが内積を利用して示すことができるので。
?F3角形の面積とみる
1/2｜2x＋y｜=1/2｜1×y-(-2)×x｜とみれば
(x,y)と(1,-2)と原点を通る三角形の面積を意味しています。
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No.9406 - 2010/01/14(Thu) 10:35:05 |
| ☆ Re: 最大値・最小値 / フリーザ | | | 苦言を呈しますが、上記で貴方がいってることがめちゃくちゃであることがわからなければこの問題の別解を考えるレベルには到底達していません。それに?@の解法も出てこないのは明らかに勉強不足です。教科書レベルから復習した方がよいかと思います。
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No.9407 - 2010/01/14(Thu) 15:22:58 |
| ☆ Re: 最大値・最小値 / 千葉 高3 | | | >我疑う故に存在する我さん
すいません、過去記事を先に検索すべきでした＞＜。
>フリーザさん
すいません、どうやら実数と整数を勘違いしていたようです^^;
そして、詳しい解説ありがとうございました！
とりあえず、もっかい教科書の問題を洗ってみようかと思います＞＜
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No.9408 - 2010/01/14(Thu) 16:25:08 |
| ☆ Re: 最大値・最小値 / フリーザ | | | いえいえ。きつい言い方をしてしまい申し訳ありません。
頑張ってくださいね！また質問してください！
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No.9411 - 2010/01/14(Thu) 18:57:24 |
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