[ 掲示板に戻る ]
過去ログ閲覧モード
★ 高2　数学 / 太郎
x^2006をx^2-x＋1で割った時の余りをそれぞれ求めよ

商をQ（x）、あまりax＋bとおくと
x^2006=x^2-x＋1Q（x）＋ax＋bで
といていこうとおもったのですが
x^2-x＋1をどう処理したらよいかわからなくなりました。

二項定理でやるやり方以外なにか解き方はあるのでしょうか？
分かる方教えてください、おねがいします。
No.11283 - 2010/08/18(Wed) 18:51:00
☆ Re: 高2　数学 / らすかる
x^2006=x^2-x+1Q(x)+ax+b は
x^2006=(x^2)-(x)+(1Q(x))+(ax)+(b) という意味になってしまいますので
x^2006=(x^2-x+1)Q(x)+ax+b と書きましょう。

例えば -1の虚数３乗根である {1+(√3)i}/2 をxに代入するという解き方もあります。
No.11284 - 2010/08/18(Wed) 20:35:21
☆ Re: 高2　数学 / angel
後2通り程解法が考えられます。

一つは、x^2006 なんてまともに割り算できっこないので、1,x,x^2,x^3,… というように、次数の低い場合の延長として考える方法。
これはつまり、「x^nをx^2-x+1で割った余り」と「x^(n+1)をx^2-x+1で割った余り」の関連を考えると言う事で、数列の問題になります。例えばこんな感じ。

　x^nをx^2-x+1で割った余りを a[n]x+b[n] と置く。
　この時、あるQ(x)に対して、x^n=(x^2-x+1)Q(x)+a[n]x+b[n] が成立する。
　よって、x^(n+1)=x・x^n=(x^2-x+1)・xQ(x)+a[n]x^2+b[n]x=…

こういうふうに計算していけば、x^(n+1)に対する余りが分かる、つまり、a[n],b[n]からa[n+1],b[n+1]を導くことが出来るわけで、これがそのまま数列a[n],b[n]の漸化式になります。

もう一つは、らすかるさんの解き方ともかぶりますが、
x^3+1=(x+1)(x^2-x+1) に気付いて有効利用すること。
例えば、X^668 を X+1 で割った余りは 1 なのですが、ということは、次のように置く事ができます。
　X^668 = (X+1)Q(X) + 1
ここで、X=x^3 とすれば
　(x^3)^668 = (x^3+1)Q(x^3) + 1
　x^2004 = (x^2-x+1)・(x+1)Q(x^3) + 1
更に両辺に x^2 をかけると、
　x^2006 = (x^2-x+1)・x^2(x+1)Q(x^3) + x^2
とまあ、この説明は天下り的ですが、ともかくも、ぐっと答に近づくことができます。
No.11297 - 2010/08/22(Sun) 23:30:37
★ (No Subject) / 太郎
P（ｘ）＝ｘ＾３−ｘ＾２＋（２−４a＾２）ｘ＋５a（aは正の定数）がある



（１）ｘ＝１＋iのとき、ｘ＾２−２ｘの値を求めよ


（２）ｘ＝１＋iのときのP（ｘ）の値をaを用いて表せ


（３）P（１＋i）が実数ｋとなるaの値を求めよ。このとき、方程式P（ｘ）＝ｋの３つの値をa、β、γとする。
a^4＋β＾４＋γ＾４の値を求めよ。またｎを自然数とするとき、a＾４＋β＾４＋γ＾４をｎを用いて表せ。

（3）が分かりません。誰かわかるかたおしえてください。
おねがいします。
No.11279 - 2010/08/18(Wed) 16:43:35
☆ Re: / 太郎
高2　数学?Uです
No.11280 - 2010/08/18(Wed) 16:44:06
☆ Re: / X
方針だけ。
題意から３次方程式
P(x)=k (A)
の解の一つはx=1+iですので
共役複素数である1-iも(A)の解となります。(証明は省略)
後は３次方程式の解と係数の関係を使うと…。
どうでしょうか？。
No.11281 - 2010/08/18(Wed) 18:13:42
☆ Re: / 太郎
ありがとうございます！

今からでかけるので
帰ってきたら自分で解いてみたやつをここにかきこむので
あってるかどうかまた判定をおねがいします＞＜；
No.11282 - 2010/08/18(Wed) 18:50:43
★ 文字式・ラスカル先生へ / すみれ
　　国語力がないので伝え切れていません・・ごめんなさい
「第20回冬季オリンピック大会が西暦２００６年に、イタリアのトリノで開催された。冬季オリンピック大会は４年ごとに開催されるものとして、今後、西暦何年に開催されることになるかを考えたい。第X回冬季オリンピック大会が開催される年は西暦何年か。Xを使った式で表しなさい。」
これが問題のままです。すみません・・・私が短くしたりして伝え切れていませんでした。宜しくお願いします
No.11277 - 2010/08/18(Wed) 01:44:39
☆ Re: 文字式・ラスカル先生へ / ヨッシー
答えはNo11240で、すでに出されています。

No.11133、11135 の記事も含め、元の問題文と、どこを変えたり
抜かしたりしたので、伝わらなかった(問題として成立しなかった)
かを、調べておけば、今後、問題文を読むときに、重要なところを
読み落とすことが減ると思います。
No.11278 - 2010/08/18(Wed) 06:55:29
★ 数学?U 対数関数の文章問題 / がんばれ谷口同盟
10％の食塩水が１００gある。
これから２０gを取り出すごとに、２０ｇの水を加えることにする。
この操作をくりかえすとき、何回目に食塩水の濃度が１％以下になるか。
ただしlog10 2＝0,3010とする。

解答「はじめの食塩水１００ｇには１０ｇの食塩が含まれる。１回目の操作で食塩の量は８ｇになり、濃度は８％になる
２回目以降も同様で操作１回ごとに濃度は０、８倍になる。
求める回数をｘ回とすると〜〜（略）
x≧10,309 よって11回目」とあるのですが、
正直書いてある意味がわかりません。
食塩とか食塩水とか濃度とか・・・
ﾈｯﾄで調べてみてもいまいちよくわかりません。
「食塩の求め方」で検索かけてもあんまりでてきませんでした（塩水算というものがでてきました・・

できれば解答の意味を詳しく教えていただけないでしょうか＞＜；
それと【これから２０gを取り出すごとに、２０ｇの水を加えることにする。】
ってどういう意味なんですか？
本当にわからなくてこまっています。
誰か分かる方教えてください。おねがいいたしますm（＿ ＿）m
No.11270 - 2010/08/16(Mon) 20:39:11
☆ Re: 数学?U 対数関数の文章問題 / rtz
容器に入った食塩水を20g捨てて、そのあと20g水を入れてよくかき混ぜる。
これを繰り返すだけです。

捨てていく分の20gに含まれる食塩が減っていくが、
全体は100gのままであり、濃度が下がっていくのは明らかです。

「食塩水」で検索すれば中学受験用のサイトが幾つか見つかるので、
そこである程度コツを掴むのも手。
もちろんこの問題のを解くにあたっては
濃度が0.8倍になっていくのが分かっていればいいだけなので、
そこまでの必要はないですが。
No.11271 - 2010/08/16(Mon) 21:04:50
☆ Re: 数学?U 対数関数の文章問題 / がんばれ谷口同盟
最後にひとつ伺いたいところがあるのですが
２０gを取り出すと２ｇの食塩が消えて水を２０ｇ加えると
水の量は加える以前の段階で
２０ｇ（食塩水）なので何グラムが塩か水かはわかりませんよね？
でも計算によりこの２０ｇの中には食塩が２ｇ含まれていることがわかりました。
だから残りの水は２０−２＝１８ｇとなり
２０ｇ（食塩水）の中には
水１８ｇ 食塩２ｇ含まれている。
そして、食塩水を２０ｇ取り出すということは水１８ｇと塩２ｇを取り除くということなので
今この分がなくなりました。
でもこの操作のあとに２０ｇの水を加えているので
水は２ｇ残り食塩はそのまま２ｇ取り除かれたということになります。
だから1回のこの操作で食塩は全体の食塩の量１０ｇから２ｇ分を引いた８ｇになることは
理解できたんです＞＜
ですがなぜ濃度が８％になるのかまだよくわかっていません。。
１０％の食塩水２０ｇのうち２ｇが塩 残り１８ｇは水
濃度の求め方は
調べたところ「（食塩の量）÷（食塩水の量）×１００」でもとまるそうなんで
これにあてはめてみると
２０ｇ中食塩の量は２ｇ
食塩水の量は２０ｇだから
2/20　×100　＝10（％）となってしまったのですが・・・
如何にして濃度１８％がでてくるのでしょうか？
すみません。
No.11274 - 2010/08/16(Mon) 22:12:15
☆ Re: 数学?U 対数関数の文章問題 / がんばれ谷口同盟
> 最後にひとつ伺いたいところがあるのですが
> ２０gを取り出すと２ｇの食塩が消えて水を２０ｇ加えると
> 水の量は加える以前の段階で
> ２０ｇ（食塩水）なので何グラムが塩か水かはわかりませんよね？
> でも計算によりこの２０ｇの中には食塩が２ｇ含まれていることがわかりました。
> だから残りの水は２０−２＝１８ｇとなり
> ２０ｇ（食塩水）の中には
> 水１８ｇ 食塩２ｇ含まれている。
> そして、食塩水を２０ｇ取り出すということは水１８ｇと塩２ｇを取り除くということなので
> 今この分がなくなりました。
> でもこの操作のあとに２０ｇの水を加えているので
> 水は２ｇ残り食塩はそのまま２ｇ取り除かれたということになります。
> だから1回のこの操作で食塩は全体の食塩の量１０ｇから２ｇ分を引いた８ｇになることは
> 理解できたんです＞＜
> ですがなぜ濃度が８％になるのかまだよくわかっていません。。
> １０％の食塩水２０ｇのうち２ｇが塩 残り１８ｇは水
> 濃度の求め方は
> 調べたところ「（食塩の量）÷（食塩水の量）×１００」でもとまるそうなんで
> これにあてはめてみると
> ２０ｇ中食塩の量は２ｇ
> 食塩水の量は２０ｇだから
> 2/20　×100　＝10（％）となってしまったのですが・・・
> 如何にして濃度１８％がでてくるのでしょうか？
> すみません。

如何にして濃度１８％→如何にして濃度８％でした。すみません
No.11275 - 2010/08/16(Mon) 22:14:58
☆ Re: 数学?U 対数関数の文章問題 / ヨッシー
最初に１０％の食塩水１００ｇがあります。
濃度１０％なので、この食塩水１０ｇ中には、食塩が１ｇ
２０ｇ中には２ｇ、３０ｇ中には３ｇそれぞれ含まれます。
　食塩の量＝食塩水の量×濃度
です。濃度１０％は、０．１です。

まず、１０％の食塩水１００ｇから、２０ｇ取り出すと、
取り出した中には、食塩２ｇ、水１８ｇ
残りの食塩水には、食塩８ｇ、水７２ｇ　がそれぞれ存在します。
これに、水２０ｇ加えると、食塩８ｇ、水９２ｇの食塩水が出来ます。
その濃度は、
　濃度＝食塩の量÷食塩水の量
　　　＝８÷１００＝０．０８＝８％
です。

図のように、１回の操作で、食塩(黄色の部分)の 1/5 が削られて、
水に変わっていくのがわかると思います。

No.11276 - 2010/08/16(Mon) 23:25:55
★ 表にかく部分とかかない部分 / みー

問題と解答は画像の通りです。
(1)では、表に空欄があったり、
(2)では、表に斜線を引いたりしていますが…。
この違いは何なのでしょうか。
よろしくお願いします。
No.11267 - 2010/08/16(Mon) 08:50:47
☆ Re: 表にかく部分とかかない部分 / X
(1)の場合はy'はx=0,1で連続ですので、x=0,1のときの
y'の値を記入する意味が無いためと思われます
只、私だったら空白の部分にはy'の符号を書き入れます。
(2)の場合はxの範囲に等号が入っていないため、x=0,6では
g(x)は定義できないという意味で斜線が入っています。
No.11268 - 2010/08/16(Mon) 09:01:20
☆ Re: 表にかく部分とかかない部分 / みー

なるほど。理解できました！
ありがとうございました。
No.11285 - 2010/08/18(Wed) 21:27:03
★ 進研模試の問題３（２００８年度） / ろみお
これも分からなくて困っているのでどなたか
宜しくお願いします。




ｘの三つの不等式がある。

ｘ＾２−ａｘ≦０・・・?@
４（ｘ＋ａ）≧５ａ・・・?A
ｌ２ｘ＋１ｌ≦８・・・?B
ただし、ａは定数とする。

（１）不等式?@を解け。

０≦ｘ≦ａ
これはできました。

（２）ｘ＝１が２つの不等式?@、?Aを同時に満たすとき、ａのとりうる値の範囲を求めよ。

ここから分かりません。

（３）２つの不等式?A、?Bを同時に満たすｘが存在するとき、ａのとりうる値の範囲を求めよ。


（４）３つの不等式?@、?A、?Bを同時に満たす整数ｘが、ちょうど３個存在するとき、ａのとりうる値の範囲を求めよ。



以上の３つです。
多くてすいません。
説明を頼みます。
宜しくお願いします。
No.11264 - 2010/08/16(Mon) 00:24:30
☆ Re: 進研模試の問題３（２００８年度） / シンジ
(1)
aは正ですか？
a≦0の場合
a≦x≦0
となります。

(2)
?A?Bにx = 1を代入したらaの不等式になるのでその共通部分を取れば良いですね

(3)
?A?Bをxについて解いて
ｘ≧a/4・・・?A
-9/2≦x≦7/2・・・?B
だから共通部分があるためにはa/4≦7/2であればいいです。
数直線に書いてみよう。

(4)
?Bを満たす整数は-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

a＞0の場合
?Aの条件で1, 2, 3を含めばいいことがわかるので
0＜a/4≦1より0＜a≦4
?@の条件で1, 2, 3を含むには
a≧3
結局3≦a≦4

次にa＜0の場合
?A?Bの条件から-2, -1, 0を含めばよいことがわかるので
a＜a/4だから
?Aの条件のx≧a/4のa/4が-3＜a/4≦-2であればよいので
-12＜a≦-8
No.11265 - 2010/08/16(Mon) 05:32:11
★ 数学　べくとる / よしお
鋭角三角形ABCの辺BC上(ただし、2点B,Cは除く)に点Dがあって、AB^2+AC^2=2AD^2+BD^2+CD^2が成り立つとき、Dは辺BC上のどのような点か。

この問題の答えは、辺BCの中点または点Aから辺BCに下ろした垂線と辺BCの交点
なんですが
解答では
DA→＝a→、DB→＝b→、DC→＝c→としているのですが、
最初自分はAB→＝b→、AC→＝c→、AD→＝d→ としていったのですが
途中の計算でつまづいてしまいました。
このやり方で解けるのでしょうか？
正直、AB→＝b→、AC→＝c→、AD→＝d→とか３つおいてますけど
今までの慣れ（?）のようなかんじでなんとなくおいてる感があるのですが・・
たとえばこれをAB→=b→、AC→＝c→だけで表しても答えがでるのでしょうか？
その場合AD→というのは
AD→というのはどういう風に表せばいいのでしょうか？
お願いします＞＜
No.11257 - 2010/08/15(Sun) 21:45:40
☆ Re: 数学　べくとる / rtz
＞このやり方で解けるのでしょうか？
解けます。
どのように詰まったのか書いてみてください。

＞AD→というのはどういう風に表せばいいのでしょうか？
通常特に指定がなければ適当な変数2つ持ってきて
↑AD＝p↑AB+q↑ACとする必要がありますが、
今回の場合はDがBC上とあるので↑AD＝p↑AB+(1-p)↑AC (0≦p≦1)です。
ただし、結局文字数は3のまま変わりません(d→p)ので、
数字とベクトルを混ぜるよりは、
ベクトルだけの方が混乱しにくいのではないかと思いますが。
No.11258 - 2010/08/15(Sun) 23:23:22
★ 進研模試の問題。 / ろみお
７つくらい連続で分からない問題があるのですが、そのうちの一つを質問させて頂きます。

２次方程式ｘ＾２−４ｘ−３＝０の二つの解をｐ、ｑとする。ただし。ｐ＜ｑとする。

（１）ｐ、ｑの値をそれぞれ求めよ。
これはできました。

ｐ＝２−√７、ｑ＝２＋√７

（２）１/ｐの分母を有理化せよ。また、l１/ｐlの少数部分を求めよ。

これは前半が　
−（２＋√７）/３　とできたのですが、
後半の絶対値のができませんでした。

説明をお願いします。
No.11256 - 2010/08/15(Sun) 21:42:53
☆ Re: 進研模試の問題。 / rtz
いつ行われた模試でしょうか。
直近の模試なら他の方が受ける可能性があるため、
答えることはできませんので悪しからず。
No.11259 - 2010/08/15(Sun) 23:26:28
☆ Re: 進研模試の問題。 / ろみお
ですよね。
すいません、説明不足で。
２００７年度のものです。
No.11260 - 2010/08/15(Sun) 23:32:29
☆ Re: 進研模試の問題。 / ヨッシー
l１/ｐl＝（２＋√７）/３　ですね？
だとすると、√７＝２．・・・
なので、
　l１/ｐl＝１．・・・
となり、l１/ｐlの整数部分は、１です、
小数部分は、l１/ｐl から、整数部分を引いたものなので、(以下略)
No.11262 - 2010/08/15(Sun) 23:46:05
☆ Re: 進研模試の問題。 / ろみお
なるほど。
できました！

ありがとうございます。
No.11263 - 2010/08/16(Mon) 00:09:04
★ 高２　ベクトル / よしお
円（x-2）^2＋（y-2）^2＝4の上を動く点pと、円（x＋1）^2＋（y＋1）＾2＝1の上を動く点Qがある。
このとき、内積OP→・OQ→の最大値と最小値を求めよ。
ただし、Oは原点である。

以下ベクトルの→を省略します。
解答「OPとOQのなす核をθとすると90°≦θ≦１８０°
また、OP・OQ＝|OP|OQ|cosθ
90°≦θ≦１８０°から-1≦cosθ≦0
よって、OP・OQが最大となるのは、cosθ＝０すなわちθ＝９０°のときで、最大値は０
このとき、P（２、０）、Q（０、−１）またはP（０，２）、Q（−１、０）となる。
またOP・OQが最小となるのは、P、Qがそれぞれ図のP１、Q１に一致するときである
（図ではP1,Q1は原点Oからそれぞれの円の中心を通る直線を引き、円との交点になっています）|
|OP１|＝2√2 ＋2
|OQ1|＝√２ ＋１
よって、OP・OQの最小値は-6-4√2である。

また解説中のヒントの部分に
「|OP|、|OQ|が最大になるとき、cosθ＝-1となる⇔ＯＰ・OQは最小」とあるのですが
この部分の意味がわかりません。
範囲は-1≦cosθ≦0なんだから|OP|、|OQ|が最大になるときというのはθ＝0のときじゃないのかな・・って
なんとなくおもっちゃったり・・
「P（２、０）、Q（０、−１）またはP（０，２）、Q（−１、０）となる。
またOP・OQが最小となるのは、P、Qがそれぞれ図のP１、Q１に一致するときである」
この部分もわかりません。PとQの座標がどうやってもとまったのか。
あとなぜ、P１とQ1に一致するときに最小となるのか・・
正直この問題は解き方だけ暗記しているような感じで全く理解できていません（＾＾；
誰か分かる方教えてください。
No.11255 - 2010/08/15(Sun) 21:42:03
☆ Re: 高２　ベクトル / ヨッシー
最大値が０であることは、異論ないですね？

では、最小値を求めるわけですが、
　ＯＰ・ＯＱ＝|ＯＰ||ＯＱ|cosθ
において、
　|ＯＰ| が最大、|ＯＱ|が最大、cosθがマイナスで、絶対値が最大
の状態があるとすれば、それは、他のどのような、ＯＰ、ＯＱ よりも、
ＯＰ・ＯＱ が小さいとは、思いませんか？
No.11261 - 2010/08/15(Sun) 23:43:23
★ 展開。 / ろみお
（５）（ｘ−ｙ）＾３（ｘ＾２＋ｙ＾２）＾３（ｘ＋ｙ）＾３

これの解き方がまったく分かりません。

だれか、説明をお願いします。
No.11249 - 2010/08/15(Sun) 19:12:42
☆ Re: 展開。 / らすかる
{(x-y)(x^2+y^2)(x+y)}^3 として
最初に(x-y)と(x+y)を掛けましょう。

# 展開は「解く」とはいいません。
No.11250 - 2010/08/15(Sun) 19:16:40
☆ Re: 展開。 / ろみお
{（ｘ＾２−ｙ＾２）（ｘ＾２＋ｙ＾２）}

という風になりました。

> 展開は「解く」とはいいません

気をつけます。
No.11251 - 2010/08/15(Sun) 20:25:23
☆ Re: 展開。 / らすかる
{(x^2-y^2)(x^2+y^2)}^3 ですよね？
{　}内を掛けて、最後に3乗しましょう。
No.11253 - 2010/08/15(Sun) 21:19:16
☆ Re: 展開。 / ろみお
すいません、間違いでした。
そうです。

・・できました。

いつもありがとうございます。
No.11254 - 2010/08/15(Sun) 21:24:34
★ 判別式。 / ろみお
ｋの値が答えと合いません。
やり方が間違っているのでしょうか。
ご指摘お願いします。


放物線ｙ＝ｘ＾２−２（ｋ−２）ｘ＋９とｘ軸について、
放物線とｘ軸が２点で交わるときの定数ｋの値の範囲を求めよ。


ｂ＾２−４ａｃ＞０
で計算してみました。
するとｋ＞±３

となり間違い。

正しい答えは
ｋ＜−１、５＜ｋ
です。

宜しくお願いします。
No.11242 - 2010/08/15(Sun) 17:52:44
☆ Re: 判別式。 / らすかる
計算の方針は合っていますので、
単なる計算間違いだと思います。
No.11243 - 2010/08/15(Sun) 17:55:48
☆ Re: 判別式。 / ろみお
すいません。何回計算しても同じです。

{−２（ｋ−２）}＾２−４×９＞０
（−２ｋ＋４）＾２−３６＞０
４ｋ＾２−１６＋１６−３６＞０
４ｋ＾２−３６＞０
（２ｋ−６）＾２＞０

・・・

どこか違うでしょうか？；
No.11244 - 2010/08/15(Sun) 18:10:12
☆ Re: 判別式。 / ヨッシー
{−２（ｋ−２）}＾２−４×９＞０　・・・○
（−２ｋ＋４）＾２−３６＞０　　　・・・○
４ｋ＾２−１６＋１６−３６＞０　　・・・×
です。
No.11245 - 2010/08/15(Sun) 18:21:03
☆ Re: 判別式。 / ろみお
−１６ｋでした!
（１）はできました。
どうもありがとうございました。

（２）
放物線ｙ＝ｘ＾２−２（ｋ−２）ｘ＋９とｘ軸について
放物線とｘ軸が接するときの定数ｋの値と、接点の座標を求めよ。

これも分からないです。

これはＤ＝０ですか？
それとも全然違う感じで進めるのでしょうか？

宜しくお願いします。
No.11246 - 2010/08/15(Sun) 18:29:16
☆ Re: 判別式。 / らすかる
D=0です。
No.11247 - 2010/08/15(Sun) 18:39:32
☆ Re: 判別式。 / ろみお
できました。

ありがとうございました。
No.11248 - 2010/08/15(Sun) 18:46:36
★ 高2　ベクトル / ふなあいり
数学 ベクトルの問題です

座標平面において、△ABCはBA→・CA→＝０を満たしている。この平面上の
点Pが条件AP→・BP→＋BP→・CP→＋CP→・AP→＝０を満たすとき、Ｐはどのような
図形上の点であるか。

解答
辺BCの中点をＭとすると、点Pは線分AMを２：１にない分する点を中心とし、半径が2/3AMの円周上の点である。」

この問題でだいたいやっていることはわかるのですが、
この問題では
冒頭でAB→＝b→、AC→＝c→、AP→＝ｐ→とおいているのですが
これはAを始点にしているんですよね？
もしこの問題を解くにあたって、
A（a→）、B（b→）、Ｃ（c→）、P（p→）と各ベクトルを位置ベクトルで表したらどうなるのでしょうか？
一応やってみたのですが
式が複雑になりどうすればよいかわからなくなりました。

正直AB→＝b→、AC→＝c→、AP→＝ｐ→とおくのかA（a→）、B（b→）、Ｃ（c→）、P（p→）とおいたほうがいいのか
違い（?）のようなものがわかりません。
だれかわかるかた教えてください。お願いいたします
No.11235 - 2010/08/15(Sun) 11:16:54
☆ Re: 高2　ベクトル / X
では
>>A（a→）、B（b→）、Ｃ（c→）、P（p→）
と置く方針で解いてみましょうか。
上記のように置くと
>>AP→・BP→＋BP→・CP→＋CP→・AP→＝０
は
(↑p-↑a)・(↑p-↑b)＋(↑p-↑b)・(↑p-↑c)＋(↑p-↑c)・(↑p-↑a)=0
これより、まず内積を展開して整理すると
3|↑p|^2-2(↑a+↑b+↑c)・↑p+(↑a・↑b+↑b・↑c+↑c・↑a)=0
これを左辺を平方完成する感じで変形して
3|↑p-(↑a+↑b+↑c)/3|^2=(1/3)|↑a+↑b+↑c|^2-(↑a・↑b+↑b・↑c+↑c・↑a)
∴|↑p-(↑a+↑b+↑c)/3|^2=(1/9){|↑a|^2+|↑b|^2+|↑c|^2-(↑a・↑b+↑b・↑c+↑c・↑a)} (A)
さてここで
>>BA→・CA→＝０
ですので
(↑a-↑b)・(↑a-↑c)=0
∴|↑a|^2-(↑b+↑c)・↑a+↑b・↑c=0
∴|↑a|^2-(↑a・↑b+↑c・↑a)=-↑b・↑c (B)
(B)を用いて(A)の右辺から↑aを消去すると
|↑p-(↑a+↑b+↑c)/3|^2=(1/9)(|↑b|^2+|↑c|^2-2↑b・↑c)
∴|↑p-(↑a+↑b+↑c)/3|^2=(1/9)|↑b-↑c|^2
これは点Pが△ABCの重心を中心とする半径が(1/3)BCの円
の上の点であることを示します。

一見最終的な結論が解答と異なっているように見えますがこれでも正解です。
(続く)
No.11272 - 2010/08/16(Mon) 21:07:18
☆ Re: 高2　ベクトル / X
(No.11272の続き)
さてそれでは
>>AB→＝b→、AC→＝c→、AP→＝ｐ→
と置く方針で計算してみましょう。
このとき
>>AP→・BP→＋BP→・CP→＋CP→・AP→＝０
を整理していくと
|↑p-(↑b+↑c)/3|^2=(1/9){|↑b|^2+|↑c|^2-↑b・↑c} (C)
更に
BA→・CA→＝０
より
↑b・↑c=0 (D)
問題は(D)をどのような形で(C)に用いるかです。
解答では(D)を用いて(C)を
|↑p-(↑b+↑c)/3|^2=(1/9){|↑b|^2+|↑c|^2+2↑b・↑c}
という形にして
|↑p-(↑b+↑c)/3|^2=(1/9)|↑b+↑c|^2
|↑p-(2/3){(↑b+↑c)/2}|^2={(2/3)|(↑b+↑c)/2|}^2
とすることで最終的な答えを導いています。

しかしながら(D)より(C)は
|↑p-(↑b+↑c)/3|^2=(1/9){|↑b|^2+|↑c|^2-2↑b・↑c}
とも変形できるわけです。このとき
|↑p-(↑b+↑c)/3|^2=(1/9)|↑b-↑c|^2
|↑p-(↑b+↑c)/3|^2={(1/3)|↑b-↑c|}^2
ここからNo.11272での解答と同じ結論を導くことができます。
No.11273 - 2010/08/16(Mon) 21:15:51
★ 再度・文字式 / すみれ
先日投稿したすみれです・・・
　　オリンピックの開催西暦の文字式問題を8月8日に投稿して答えを教えていただきましたが、何度も考えても納得がいかないのでまた書き込みします。X回後の開催西暦は何年かと言う質問なので・・・２００６＋４Xだと21回は2090年と4年どころか84年先になってしまいますよね・・・？？？？解答はこれでいいのでしょうか？
No.11234 - 2010/08/15(Sun) 11:05:19
☆ Re: 再度・文字式 / らすかる
問題が「X回後の開催」となっているのならそれでOKです。
1回後は2006+4×1=2010年
2回後は2006+4×2=2014年
3回後は2006+4×3=2018年
・・・・・・・・・・・・
のようになります。
「21回後」は21を代入して2090年と求まりますが、
「第21回」はこの問題文では情報がないので求まりません。
（「第21回」が何年かはこの問題とは関係ありません。）
No.11236 - 2010/08/15(Sun) 12:59:58
☆ Re: 再度・文字式 / すみれ
問題文に2006年の第20回トリノオリンピックから次のオリンピックX回は西暦何年ですか？とあるのですが・・・オリンピックは4年後とですのでこだわりましたが、それで間違いはないのならすっきりします！！
No.11239 - 2010/08/15(Sun) 15:43:28
☆ Re: 再度・文字式 / らすかる
「x回後」と「x回」では意味が全然違います。問題文は一字一句変更することなく
正確に書いてください。
「2006年の第20回トリノオリンピックから次のオリンピックX回は西暦何年ですか？」も
日本語として不自然なので、まだどこか変えているのではありませんか？

「2006年が第20回で第x回は何年？」という問題ならば、
20回が2006年なので2006+4(x-20)=1926+4x となります。
No.11240 - 2010/08/15(Sun) 16:50:17
★ 偏導関数問題 / 数学太郎
高等専門学校5年の偏導関数問題です
解答はありません

（１）は、単純に偏微分するだけですので解は求められました（あっているはず・・

（２），（３）については、意味がよく分からず困っています
参考書等を開いても、どうもパッとせず・・
公式のようなものを見つけましたが、極限をとったところで０になるだけですし・・
ロピタルの定理の出る幕もなく・・

解法のアドバイスを頂ければ助かります、お願いします
No.11233 - 2010/08/15(Sun) 10:44:53
☆ Re: 偏導関数問題 / X
(1)
問題ないと思います。
(2)
その通りです。その定義式のx=0の場合です。
(3)
(2)の結果にy=0を代入します。
No.11269 - 2010/08/16(Mon) 20:27:01
★ ２次方程式。 / ろみお
こんばんは。
また質問させて頂きます。

ｘの２次方程式３ｘ＾２−２ａｘ＋ａ＾２＋３ａ−５＝０の一つの解がａであるとき、定数ａの値とそのときの解を求めよ。

という問題なのですが。


まずａ＾２＋３ａ−５の部分を因数分解してたすき掛けかなと思ったんです。

しかしうまくいかず、これはどうしたものかと悩んでいます。

この方程式の正しい解き方を
どなたか教えてください。
No.11226 - 2010/08/14(Sat) 22:40:33
☆ Re: ２次方程式。 / らすかる
一つの解がaですから、xにaを代入すると成り立ちます。
このことからaの値が求められますね。
No.11231 - 2010/08/15(Sun) 00:07:20
☆ Re: ２次方程式。 / ろみお
なるほど。できました。
ありがとうございました。
No.11241 - 2010/08/15(Sun) 17:30:09
★ 数２の微分 / ひよこ
　　すべてのX≧0に対してX^3−3X^2≧k(3X^2−12Xー4)が成り立つ定数kの範囲を求めよ。
　左辺ー右辺＝ｆ(X)とおいて、X≧0の範囲でｆ(X)の最小値≧0とすればいいのはわかるのですが、解答でk≧0の時最小値≧0⇔ｆ(0)≧0∧f(2)≧0∧f(2k)≧0となっていて、f(2)≧0がいるのはどうしてなのですか。
　私はX＝2の時は３次の係数が正だから極大値とわかるので、最小値は2kか0ということで調べなかったのですが…。
No.11222 - 2010/08/14(Sat) 21:53:23
☆ Re: 数２の微分 / らすかる
＞X＝2の時は３次の係数が正だから極大値とわかる
k＜1の時は極小値ですよ。
No.11223 - 2010/08/14(Sat) 22:08:09
☆ Re: 数２の微分 / ひよこ
ありがとうございます。

バカな質問ばかりですみません…。

ｋ≧1にしてみると２≦2ｋだからＸ＝2で極大値ですよね？
No.11224 - 2010/08/14(Sat) 22:16:19
☆ Re: 数２の微分 / らすかる
はい、そうです。
No.11227 - 2010/08/14(Sat) 22:42:27
☆ Re: 数２の微分 / ひよこ
何度もごめんなさい…。
X≧0の範囲でｋ≧1の時ｆ(X)の最小値≧0⇔ｆ(0)≧0∧f(2)≧0∧f(2k)≧0となっていて、f(2)≧0があるのはどうしてなのですか。
No.11228 - 2010/08/14(Sat) 22:59:57
☆ Re: 数２の微分 / らすかる
「k≧0」でなく「k≧1」となっているのであれば、f(2)≧0は不要です。
わざわざ「k≧1」と「k＜1」で場合分けされているのですか？
であれば、k＜1の場合は何と書かれていますか？
No.11229 - 2010/08/14(Sat) 23:38:32
☆ Re: 数２の微分 / ひよこ
遅くなってすみません。
解答では　k≧0の時最小値≧0⇔ｆ(0)≧0∧f(2)≧0∧f(2k)≧0　ｋ≦0の時f（０）≦0より不適　　となっています。
No.11232 - 2010/08/15(Sun) 07:56:50
☆ Re: 数２の微分 / らすかる
0≦k＜1 のときはf(2)が極小値
1＜k のときはf(2k)が極小値
ですから、「k≧0」ならばその両方を考慮する必要があり、
解答の通りで正しいです。
No.11237 - 2010/08/15(Sun) 13:02:55
☆ Re: 数２の微分 / ひよこ
ありがとうございました！！！

よくわかりました。
No.11238 - 2010/08/15(Sun) 13:27:45
★ 三角関数 / みー

問題と解答は画像のとおりです。
(3)の一番最後のまとめの部分で、
t=1/2のとき　最大値5/4
と書いてあるのですが、
「t=1/2のとき」は書いてありますが、
θが何のときかは書いてありませんよね。
書かなくても問題ないのですか？
また、書いてもいいのでしょうか？
No.11217 - 2010/08/14(Sat) 05:47:29
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー＠携帯
t だけで良いでしょう。
そもそも、なぜ、この「‥‥のとき」を書くかというと、
最大または最小を与える変数の値が存在し、
かつ定義域に入っていることを示すためなので、
(1)(2)を通してθの存在条件が t に移っているので、
t で代表させて良いと思います。

それ以前に、t=1/2 のときのθは、うまく表せないというのもありますが。
その意味では最小値の方は θ=π/4+2nπ (n は整数) のとき、
と書いても良いですが、最大値とのバランスが悪いことと
2nπ という厄介なのが付くので、やはり書かない方が無難でしょう。
No.11218 - 2010/08/14(Sat) 06:37:31
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー＠携帯
θ=5π/4+2nπ でした。
No.11219 - 2010/08/14(Sat) 06:52:44
☆ Re: 三角関数 / みー

なるほど。バランスが悪くなるのですね。
納得しました。ありがとうございました。
No.11266 - 2010/08/16(Mon) 07:27:25
★ ｋ / ろみお
こんばんは。また質問させて頂きます。

２次関数ｙ＝ｘ＾２−２ｘ＋ｋ（−２≦ｘ≦２）のグラフがｘ軸の下方にあるとき、定数ｋの値の範囲を求めよ。


という問題を解いているのですが、


平方完成すると
（１、ｋ−１）
という風になって、


グラフを書いてみました。

下に凸のグラフなので、最大値が０（ｘ＝２）の時のｋの値を出せばいいのかなと思って計算してみたら
見事に０になってしまって。

これは、どうしたらいいのでしょうか。

レスください。
No.11215 - 2010/08/14(Sat) 02:43:59
☆ Re: ｋ / ToDa
＞最大値が０（ｘ＝２）の時のｋの値を

ここを考え直してみましょう。
No.11216 - 2010/08/14(Sat) 04:50:46
☆ Re: ｋ / ろみお
ｘ＝−２でした！！


できました。
どうもありがとうございます。
No.11225 - 2010/08/14(Sat) 22:24:17
★ ２次関数です。 / みみか
こんばんは。

夏休みの宿題がこのままでは間に合わず、かなり焦っている高校１年生のものです。

次の問題の説明をしてくれる方、いらっしゃったらとても助かります。


２次関数ｙ＝ｘ＾２＋ａｘ＋２の−１≦ｘ≦２における最大値、最小値を求めよ。


というものです。

場合分けが５個あると先生が言っていたのですが・・・。


平方完成をしたところ

頂点（−１/２ａ、２−１/４ａ＾２）

という風になりました。


このあとがよくわからないです。

どなたかよろしくお願いします。。
No.11211 - 2010/08/13(Fri) 22:09:22
☆ Re: ２次関数です。 / ヨッシー＠携帯
私のページの「二次関数の最大・最小」を
一読してください。
グラフは下に凸なので、
−１≦x≦３に頂点が入っていればそこが最小。では最大は？
頂点が入っていなかったら、どこが最小？
と考えていきます。
No.11213 - 2010/08/13(Fri) 22:20:18
☆ Re: ２次関数です。 / みみか
なるほど！

わかりました。
どうもありがとうございました！
No.11214 - 2010/08/13(Fri) 22:30:06
★ (No Subject) / とんぼ
数学の「高々」ってどういう意味ですか？
No.11205 - 2010/08/13(Fri) 00:40:32
☆ Re: / らすかる
「最大で」という意味です。
No.11206 - 2010/08/13(Fri) 00:45:00
☆ Re: / とんぼ
ありがとうございます。
逆に「最小で」という意味
は数学ではどういう用語を使いますか？
No.11220 - 2010/08/14(Sat) 18:04:18
☆ Re: / らすかる
「少なくとも」が多い気がします。
No.11221 - 2010/08/14(Sat) 19:02:17
全22653件 [ ページ : << 1 ... 984 985 986 987 988 989 990 991 992 993 994 995 996 997 998 ... 1133 >> ]