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ベクトル / Jez-z
空間内に3点A(1,3,-1),B(-1,2,2),C(2,0,1)をとる。
点Pをxy平面上の単位円周上を動く点とする。四面体PABCの体積の最大値を求めよ。

(自分の考え)
三角形ABCを底面とみなすと、その面積は(7/2)√3
よって体積最大⇔四面体の高さ最大
である。
いま、P(cosθ、sinθ、0)とおく。Pから平面ABC上に下ろした垂線の足をHとおく。
一方、平面ABCの法線ベクトル↑nはtを実数として
↑n=t(1,1,1)とあらわされる。
よって↑PH=t(1,1,1)となるある実数tが存在すると考えられる。
以降、Hが平面ABC上にある条件などを考えて計算していったのですが、徒に文字が多くなってしまい、処理できませんでした。
計算で正面突破を図るのは無謀でしょうか?

また、なにかほかにやり方があったら参考にさせてください。

よろしくお願いします。

No.3882 - 2008/11/14(Fri) 23:42:52

Re: ベクトル / ヨッシー
>↑PH=t(1,1,1)となるある実数tが存在すると考えられる。
tは必ず存在します。ただ、それが最大かどうかを、判断しないと
いけません。
結局、Hの座標を出して、PHの長さを吟味することに
なると思いますが、それなら、ABCを含む平面の式を出して、
(法線ベクトルがわかっているので、すぐですね?)、
その平面と、点Pの距離を距離の公式により出すのが早いでしょう。

No.3884 - 2008/11/15(Sat) 00:01:57

Re: ベクトル / Jez-z
距離の公式は初めて知りました(数?UBしか習っていない者なので…)しかし、解説を読むと意外と納得できました。これは大学入試で使ってもよいのでしょうか…。証明は時間があったら書いておいた方がいいですよね?(と言いますのも、これは教科書に書いていないので、自明とするには抵抗があるからです)

平面ABCの方程式は
平面上の任意の点を(x,y,z)とすると、この平面は例えば、
点(1,3,-1)を通るので!?
(1,1,1)・(x-1,y-3,z+1)=0
⇔x-1+y-3+z+1=0
⇔x+y+z=3

以下上の公式を用いて最大を調べる。

ちなみに、「Hの座標を出して」の方針についても
教えてもらえませんか?(たぶんこれが自分の当初の方針に近い(ような)気がしますので・・・)

No.3886 - 2008/11/15(Sat) 00:57:25

Re: ベクトル / ヨッシー
点Pを通って、(1,1,1) に平行な直線の式は
 x=cosθ+t、y=sinθ+t、z=t
これを、x+y+z=3 に代入して、
 cosθ+sinθ+3t=3
 t=1−(cosθ+sinθ)/3
一方、Hの座標はこのtを使って、
 (cosθ+t, sinθ+t, t)
と書けるので、PHの距離は、
 PH2=3t2
 PH=√3|t|
よって、|t|が最大のときPHは最大です。
 t=1−(cosθ+sinθ)/3=1−√2sin(θ+π/4)/3
より、sin(θ+π/4)=−1 のとき、tは最大になります。
(以下略)

No.3890 - 2008/11/15(Sat) 04:23:28

Re: ベクトル / Jez-z
ヨッシーさん、ありがとうございます。

自分は、Hの座標をtで表せなかったので、求められなかったみたいです。

ちなみに、当初の考えていた方針を紹介すると、
Hが平面ABC上にある条件から
AH=αAB+βACとして
OH=OA+αAB+βAC
とする考え方です。

一応聞いておくと、上のやり方でも「解くこと」は可能なのでしょうか?(計算は半端ないですけど…)
所見では、「未知数に相当する方程式が立たず挫折」が結論なのですが・・・
本題が解決したあとにこのような質問をして尻切れトンボのようになってしまいすいません。最後にこれについて言及願えませんか?

No.3923 - 2008/11/16(Sun) 13:59:08

Re: ベクトル / ヨッシー
それは、とても大変ですね。
最大であることを表現するのが、難しいと思います。

No.3926 - 2008/11/16(Sun) 18:50:51
面積 / あき
いつもありがとうございます!
質問させてください!
http://u.upup.be/?zSu2do6W31
の問題で解答のここの部分がわかりません
http://m.upup.be/?92Oto6j895
なんですがSがまずどこを表すのかがわからないしいつもと勝手が違う感じでよくわからないです…
できれば詳しく教えていただけませんか?お願いします…

No.3877 - 2008/11/14(Fri) 19:52:26

Re: 面積 / rtz
問題自体には触れませんが、前提として。

恐らく疑問として出てくるのが、
・cが0〜2に絞られるているのはなぜか
・x=0〜1という範囲が決まっているのはなぜか
の2点だと思います。
問題を解き終えた上で、改めて俯瞰的に見返さないと分かりにくいのですが、

まず、y=x3−3xというグラフを考えます。
このグラフは原点を変曲点とするグラフで、
x=0,±√3でx軸と交わり、x=−1で極大値2、x=1で極小値−2を持ちます。
(描いてみて下さい)

これにcを加えて上へ平行移動させると、0<c<2という範囲から、
「上へは上がるけど極小部はまだx軸より下にある」
ということが分かると思います。

つまり、
xが0〜1なのは、この範囲で単調減少でx=1で極小になるためで、
cが0〜2なのは、区間0<x<1でf(x)=0に解を持たすためだ、ということです。


以上のことからS(c)に該当するのは、
斜辺のゆがんだ三角形状の2つの領域です。
(1)は↑で書いたとおりですし、
(2)は上手く調整すれば面積を小さくできることは想像がつくかと思います。
((1)に関してはy=x3−3xとy=−cの交点としているかもしれませんが)

No.3878 - 2008/11/14(Fri) 21:31:47

Re: 面積 / あき
寝込んでいました返信遅れて申し訳ありません
どうもありがとうございました。

No.3947 - 2008/11/17(Mon) 17:58:10
初質問です / you
中学受験の問題です。
解答と地道な解き方はわかるのですが、計算式や速い解き方がわかりません。
よろしくお願いします。

5でわったら2あまり、7でわったら1あまる整数の中で、100に最も近い数は?

No.3873 - 2008/11/14(Fri) 17:24:47

Re: 初質問です / ヨッシー
地道に近いですが、7で割って1余る数は、
 1,8,15,22
ここまでで、5で割って2余る数が出てきましたので、
 (100−22)÷35=2 あまり 8
より、
 22+35×2=92
が100に一番近いです。

たとえば、1000に近いのだと、
 (1000−22)÷35=27 あまり 33
で、あまりが、35の半分以上なので、
 22+35×27=967
よりも、
 22+35×28=1002
の方が1000に近いです。

No.3875 - 2008/11/14(Fri) 18:08:00

Re: 初質問です / you
ありがとうございました!!
でも理解力がなくて追加質問が出てしまいました・・・。
申し訳ないです。

22を100からひく意味とそれを35でわる意味は何でしょうか?

No.3879 - 2008/11/14(Fri) 21:38:04

Re: 初質問です / ヨッシー
22は5で割ると2あまり、7で割ると1あまる数の1つです。
これに5と7の最小公倍数である35を足していった、
 57,92,127・・・
も、5で割ると2あまり、7で割ると1あまる数になります。

22という数字が1つ見つかっていて、あと100まで
78ですが、これを35で埋めていくと、何回足せるか
を計算したのが、
 78÷35=2 あまり 8
です。
もちろん、100の手前で近い場合と、100を少し超えて
近い場合とあるので、22に35を2回足すか、3回足すかは
確認しないといけませんが、その目安になるのが、あまりです。
あまり8ということは、もう1回35を足すと、100を
 35−8=27
超えることになります。よって、22に35を3回足した
127より、2回足した92の方が100に近いとわかります。

No.3883 - 2008/11/14(Fri) 23:50:33

Re: 初質問です / you
ありがとうございました!!
すごく納得できました!!
またお世話になりたいです☆

No.3895 - 2008/11/15(Sat) 15:53:58
高1 / 匿名
いつもお世話になっています。

A,B,C,D,E,Fの6人が図のようなコートにそれぞれ2人ずつ入り
同じコートの者どうし対戦する。
・コート?@〜?Eの場所を区別しないとき、6人の対戦の仕方
は何通りあるか。

図が横になってしまってすみません。
よろしくお願いします!

No.3872 - 2008/11/14(Fri) 15:57:12

Re: 高1 / ヨッシー
AとBが対戦すると
(AB,CD,EF)(AB,CE,DF)(AB,CF,DE)
の3通りがあります。同様にAとC,D,E,F についても
3通りずつあり、合計15通りです。

または、A〜Fを、1〜6に当てはめるのは、6!=720(通り)
このうち、コートの入れ替えが3!=6(通り)、面の入れ替えが
2×2×2=8(通り)ずつの重複があるので、
 720÷6÷8=15(通り)
です。

No.3874 - 2008/11/14(Fri) 18:02:34

Re: 高1 / 匿名
詳しく説明して頂いたお陰で
理解することができました!
ありがとうございました(^ω^)

No.3880 - 2008/11/14(Fri) 23:10:27
場合の数 / みかん 小5
また、お願いします。
 
1円、5円、10円、50円の硬貨がそれぞれ10枚ずつある。

?@硬貨の一部、または全部を使い、支払うことのできる金額は何通りか。(1枚も使わない硬貨があってもよい)

?Aすべての種類の硬貨を1枚以上使って、150円を支払うには、何通りあるか。

教えてください。

No.3869 - 2008/11/14(Fri) 11:49:45

Re: 場合の数 / ヨッシー
(1)
1円が10枚あるので、5,10,50で、適当な10の倍数を作れば、
1の位は0から9 まで作れます。
(5+10+50)×10=650
さらに、651,652・・・660 まで切れ目なく作れます。

(2)1枚以上なので、
 1円を10枚、5円2枚、10円1枚、50円1枚
を確定させて、残りの70円を、
 5円8枚、10円9枚、50円9枚
で作る場合(使わない硬貨があっても良い)
50円1枚のとき
 (10円,5円)を(2,0),(1,2),(0,4) の3通り
50円0枚のとき
 (10円,5円)を(7,0),(6,2),(5,4),(4,6),(3,8) の5通り
合わせて 8通り

 1円を5枚、5円1枚、10円1枚、50円1枚
を確定させて、残りの80円を、
 5円9枚、10円9枚、50円9枚
で作る場合(使わない硬貨があっても良い)
50円を1枚のとき
 (10円,5円)を(3,0)(2,2)(1,4)(0,6) の4通り
50円を0枚のとき
 (10円,5円)を(8,0)(7,2)(6,4)(5,6)(4,8) の5通り
合わせて9通りで、全部で17通り

No.3871 - 2008/11/14(Fri) 15:06:39

Re: 場合の数 / みかん 小5
(2)の質問ですが、もっとたくさんの組み合わせがあるように思うのですが、17通りですべてなのですか?
どうしてなのか、わからないので、説明していただけたらありがたいです。
例えば、80円を作るのに、(10円、5円、1円)(6、3、5)などはどうなのでしょうか。

よろしくお願いいたします。

No.3944 - 2008/11/17(Mon) 13:45:46

Re: 場合の数 / ヨッシー
>80円を作るのに、(10円、5円、1円)(6、3、5)
は、確定した「1円5枚、5円1枚、10円1枚、50円1枚」と
あわせて、50×1,10×7,5×4,1×10 になりますが、
これは、「1円10枚、5円2枚、10円1枚、50円1枚」を
確定させた場合(前半の8通りの方)にふくまれます。

なので、後半の方は、
「残りの80円を、
 5円9枚、10円9枚、50円9枚
で作る」のであって、1円を、さらに5枚追加することは
しないのです。

No.3945 - 2008/11/17(Mon) 14:13:10

Re: 場合の数 / みかん 小5
ありがとうございました。
すっきりしました。
場合の数は、むずかしいですね。
これからもよろしくお願いいたします。

No.3946 - 2008/11/17(Mon) 15:51:28
題意が・・・ / Jez-z
箱の中にn個(n≧3)の球があり、連続したn個の整数a,a+1,a+2,…,a+n-1がそれぞれ1つずつ記されている。nの値は知らされているが、aの値は知らされていない。この箱から無作為に1個の球を取り出し、記されている整数を調べることを繰り返し行う。このとき、k回目(k≧2)に初めてaの値がわかる確率を求めよ。ただし、取り出した球はもとに戻さない。



質問?@
題意の「わかる」というのがどういうことを言っているのかよくわかりません。具体的に値が決まるということなのでしょうか…
ちなみに、
質問?A
問題文の「aの値は知らされていない」の条件がないと設問文にあるような「k回目(k≧2)に初めてaの値がわかる」なんて(特殊な)状況は起こり得ませんよね?

以上の2点について回答お願いします。

No.3858 - 2008/11/13(Thu) 23:32:06

Re: 題意が・・・ / ヨッシー
たとえば、n=5とします。
球が5個とわかっている状態で、「5」「7」を出したとすると、
 (3,4,5,6,7)(4,5,6,7,8)(5,6,7,8,9)
のどれかわかりません。次に「3」を出すと、
 (3,4,5,6,7)
だけが残り、a=3 とわかります。この場合は3回でわかりました。

2個出したときに、「5」「9」だと、a=5であると、2回でわかります。

No.3859 - 2008/11/13(Thu) 23:42:54

Re: 題意が・・・ / Jez-z
なるほど…題意の把握ができました。
これを一般のkについて考えればよいのだから…
最大の数と最小の数に目をつければ「よさそう」な感じですけど…(←数学的に証明する必要あり!?)

ヨッシーさん、こんあ適格なヒントをいただいた後で申し訳ないのですが、もう少しだけ(本質に迫るような)ヒントをいただけないでしょうか?

No.3861 - 2008/11/14(Fri) 00:53:38

Re: 題意が・・・ / ヨッシー
問題を書き換えてみましょう。

箱の中にn個(n≧3)の球があり、1からnまでの連続した
数字が1つずつ書かれています。
(引き方の説明省略)
k回目(k≧2)に初めて、1の球とnの球がそろう確率は?

さらに換えると、
箱の中にn個(n≧3)の球があり、2個は赤、n-2個は白です。
(引き方の説明省略)
k回目(k≧2)に初めて、赤2個が取り出される確率は?

No.3865 - 2008/11/14(Fri) 07:06:37

Re: 題意が・・・ / Jez-z
なるほど!ヨッシーさんありがとうございます。

これを本問にあてはめて考えればよいですねw

No.3881 - 2008/11/14(Fri) 23:35:46
(No Subject) / www
教えていただきたいのですが
三桁の数字(それぞれの桁の数は等しくない)
を数字の大きいものから並べたものから小さいものから並べたものを引く、それを何度か繰り返すと必ず495になることを証明せよ
です

No.3853 - 2008/11/13(Thu) 22:33:09

Re: / rtz
abc−cba=99*(a−c)なので、最大と最小の差しか関係がありません。
1回目の時点で2≦a−c≦8ですから、
198、297、396、495、594、693、792しかありえません。
で、この後
198→792→693→594→495
297→693→594→495
396→594→495
(594、693、792は上記内)
となり、495は以後ループしますので必ず495です。

No.3854 - 2008/11/13(Thu) 23:03:42

Re: / www
198、297、396、495、594、693、792しかありえません
とはどういうことでしょうか?

No.3855 - 2008/11/13(Thu) 23:17:46

Re: / ヨッシー
abc−cba の答えとして、その7つしかないということです。
なぜなら、99×(a-c) かつ、a は c より最低でも2大きいからです。

No.3856 - 2008/11/13(Thu) 23:20:50

Re: / www
あ、すいませんわかりました
ありがとうございました

No.3857 - 2008/11/13(Thu) 23:23:27
(No Subject) / 絵美
y=e^x×sinx (0≦x≦2π)
この関数のグラフをかけ。

この問題お願いします。

No.3852 - 2008/11/13(Thu) 21:51:31

Re: / ヨッシー
y’=ex(sinx+cosx)=√2exsin(x+π/4)
y”=√2ex{sin(x+π/4)+cos(x+π/4)}
 =2exsin(x+π/2)

以上より、
y’=0 となるのは、x=3π/4, 7π/4
y”=0 となるのは、x=π/2, 3π/2
極値と、変曲点はこんな感じです。
グラフは、こんな感じになります(目盛りは省略)

No.3860 - 2008/11/14(Fri) 00:23:33

Re: (No Subject) / 絵美
極大値はe^3π/4/√2ですか?
No.3866 - 2008/11/14(Fri) 08:15:25

Re: / ヨッシー
そうですね。
x=3π/4 のときの yになります。

No.3867 - 2008/11/14(Fri) 08:48:51

Re: (No Subject) / 絵美
わかりました

No.3868 - 2008/11/14(Fri) 11:24:13
重複順列 / 翔
6個の数字0.1.2.3.4.5を用いてつくられる3桁の整数のうち、5の倍数になる整数の個数をNとする。同じ数字を重複して用いてよい場合はN=□で、重複を許さない場合はN=□である。

すみませんが解説お願いします。

No.3848 - 2008/11/13(Thu) 11:06:44

Re: 重複順列 / ヨッシー
<重複を許す場合>
1の位は0か5の 2通り
 10の位は0〜5の 6通り
  100の位は1〜5の 5通り
 計60通り

<重複を許さない場合>
1の位は0か5です。
1の位が0のとき
 10の位は1〜5の5通り。
  100の位はそれ以外の4通り。 計20通り
1の位が5のとき
 (中略)
 計16通り
あわせて、36通り

No.3849 - 2008/11/13(Thu) 13:39:53
(No Subject) / かかし
連立不等式x^2+y^2≦1,y≧x^2-1/4の表す領域の面積を求めよ
誰か教えて下さい

No.3842 - 2008/11/13(Thu) 01:37:54

Re: / ヨッシー

両曲線の交点を求めます。
第一象限の交点を(cosθ,sinθ) とおくと、
 sinθ=cos2θ-1/4
  =3/4−sin2θ
 sinθ=1/2、 θ=π/6
よって、直線OAの式は y=x/√3
赤い扇形は、中心角2π/3 となるので、
(扇形の面積)=π/3
(青い部分の面積)=2∫0√3/2(x/√3−x2+1/4)dx
 =√3/4
合計して、π/3+√3/4 です。

No.3845 - 2008/11/13(Thu) 08:49:18
微分の応用 / 高三
【問】
半径4の球に内接する直円柱のうちで、側面積が最大になるものの半径と高さを求めよ。
また、側面積の最大値を求めよ。


よろしくお願いします。

No.3839 - 2008/11/12(Wed) 23:22:54

Re: 微分の応用 / X
前半を途中まで。

円柱の底面の円の中心を通り、底面に垂直な平面による
断面を考えます。
今、直円柱の高さをh,底面の円の半径をrとすると、上記の断面上に
底辺がr,高さがh/2,斜辺が4(=球の半径)の直角三角形
ができていることがわかりますので、三平方の定理から
r^2+(h/2)^2=4^2 (A)
一方、直円柱の体積をVとすると
V=hπr^2 (B)
(A)(B)(C)よりrを消去して
V=πh{16-(h/2)^2} (B)'
一方、題意から
0<h (C)
更に(A)から
r^2=16-(h/2)^2>0 (D)
(C)(D)から
0<h<8 (E)
(E)の範囲でhの関数(B)'の増減を考えます。

注)(B)からhを消去してrの関数として考えてもよいのですが
その場合は√が式に混じりますので処理が多少煩雑になります。

No.3843 - 2008/11/13(Thu) 08:45:38

Re: 微分の応用 / ヨッシー
>>Xさん
不等号(<>、特に<)を、全角で書いてみてください。

No.3846 - 2008/11/13(Thu) 08:54:50

Re: 微分の応用 / X
>>ヨッシーさんへ
お手数をおかけしました。
不等号を修正し、表示に問題がなくなりました。

No.3847 - 2008/11/13(Thu) 09:06:11

Re: 微分の応用 / 高三
ここまでは理解できました!
この後、どのような処理をすると、h、rが出てくるのでしょうか?
教えて下さい。

No.3920 - 2008/11/16(Sun) 11:51:42

Re: 微分の応用 / X
dV/dhを求めて増減表を描きましょう。
No.3959 - 2008/11/18(Tue) 07:52:58
代数 / 大1
Gを群,eをGの単位元とする。
Gが位数有限の巡回群であるとき,任意の自然数nに対してx^n=eとなる元xの個数はn以下であることを示せ。

わかる方,よろしくお願いします。

No.3838 - 2008/11/12(Wed) 22:53:08
高1 / 匿名
箱の中に赤、青、黄のカードがそれぞれ1枚ずつ入っている。箱からカードを1枚取り出し、その色を確かめて箱の中に戻す。この操作を4回行う。

(1)異なる2色のカードをそれぞれ2回ずつ取り出す確率を求めよ。
(2)取り出したカードの色が全部でX種類であるとする。
  X=2となる確率を求めよ。

(1)と(2)の違いがわかりません。
教えていただきたいです(pq)

No.3836 - 2008/11/12(Wed) 22:11:21

Re: 高1 / にょろ
とりあえず
(1)は分かっているという風にとらえたのですが大丈夫ですか?

では(2)との違いですが
こんな取り方があります
赤、青、青、青

どうですかこれでもX=2ですよね?

そういうことです。

No.3837 - 2008/11/12(Wed) 22:24:32

Re: 高1 / 匿名
(1)は一応解けました。
そういう場合もありますね!
思いつきませんでした;;

ご説明ありがとうございました★

No.3870 - 2008/11/14(Fri) 13:53:50
浪人生なんですけどよろしくです>< / くm
よろしくです><
No.3835 - 2008/11/12(Wed) 21:57:49

Re: 浪人生なんですけどよろしくです>< / ヨッシー

(1)
角の二等分線の定理より、
 BD:DC=AB:AC=3:2
よって、BD=6,CD=4
方べきの定理より、
 AD・DE=BD・DC=24

(2)
△ACDと△AEBの相似より
 AC:AD=AE:AB
よって、
 AD・AE=AB・AC=96 ・・・(i)
(1) の結果と合わせて、
 DE:AE=24:96
より、
 AE=4DE
同時に
 AD=3DE
(i) より
 AD・AE=12DE・DE=96
 DE=2√2

また、
 AC:CD=AE:BE
より、
 BE=CD・AE/AC=4・8√2/8=4√2

No.3841 - 2008/11/13(Thu) 00:10:51
(No Subject) / かなえ
座標空間内に4点P(3,1,4),A(1,2,3),B(1,1,2),C(5,-2,8)がある。直線PAとxy平面の交点をA′,直線PBとxy平面の交点をB′,直線PCとxy平面の交点をC′とするとき△A′B′C′の面積を求めよ。
よろしくお願いします。

No.3828 - 2008/11/12(Wed) 17:44:16

Re: / ヨッシー
直線PAは、点(3,1,4) を通り、PA=(-2,1,-1) に
平行なので、その式は、
 (x,y,z)=(3,1,4)+t(-2,1,-1)  (tは実数)
と書けます。これと、xy平面 z=0 との交点は、z=0
を代入して、t=4のときの
 (-5, 5, 0)・・・A’
です。
同様に、B’:(-1, 1, 0)、C’:(1, 4, 0) となります。

あとは、方眼紙でも、ヘロンの公式でも、何でもいいので、
面積を求めます。

答えは10になります。

No.3833 - 2008/11/12(Wed) 20:44:15
(No Subject) / 南
お願いします。
AB=3,AC=5,↑AB・↑AC=5である三角形ABCに対して↑AB=↑b,↑AC=↑cとする。このとき三角形ABCの外接円の中心をOとして↑AOを↑b,↑cを用いて表せっていう問題なんですけど…どうもわかりません。教えて下さい。

No.3827 - 2008/11/12(Wed) 17:36:35

Re: / ヨッシー

 cos∠BAC=ABAC/AB・AC
より、
 cos∠BAC=1/3
これより、
 sin∠BAC=2√2/3
余弦定理より
 BC2=AB2+AC2−2AB・ACcos∠BAC
  =9+25−10=24
よって、
 BC=2√6
正弦定理より
 2AO=BC/sin∠BAC=3√3
よって、
 AO=3√3/2
NをACの中点とすると、AN=5/2 より
 NO2=AO2+AN2
  =(27+25)/4=13
 NO=√13
BからACにおろした垂線の足をDとすると、
 AD=ABcos∠BAC=1
 BD=ABsin∠BAC=2√2
よって、
 DBABAD/5
 NO=(√13/2√2)DB
であり、
 AOANNO
であるので、
 AO/2+(√13/2√2)DB
  =/2+(√13/2√2)(/5)
  =(√13/2√2)+(1/2−√13/10√2)

No.3832 - 2008/11/12(Wed) 20:36:17

Re: (No Subject) / 南
どうもありがとうございます!
No.3840 - 2008/11/12(Wed) 23:33:34
2008に最も近い整数 / √
何度も、すみません。
また、よろしくお願い致します。算数です。

5で割ると2余り、
4で割ると1余り、
3で割ると1余る整数で2008に最も近い整数を求める問題です。

答えは2017です。
考え方が分らないので教えてください。
よろしくお願い致します。

No.3824 - 2008/11/12(Wed) 17:19:04

Re: 2008に最も近い整数 / ヨッシー
5は特殊なので、あとまわしにします。

4で割ると1余り、3で割ると1余る だけ考えると、
「3でも4でも割れる数に1を足す」で出来ますね。
たとえば、12,24,36 に1を足した、
13,25,37 などがそれです。
これらの中で、5で割ると2余る数をさがします。

見つかったら、それに、60(3,4,5の最小公倍数)を
足していったものは、すべて条件を満たします。

No.3826 - 2008/11/12(Wed) 17:29:56

有り難うございました / √
ヨッシーさん 有り難うございました。

一番小さい数で条件満たす数字を見つけて、
あとは、最小公倍数を何個足すかで決まるのですね。

考え方、分かりました。
いつも、本当に有り難うございます。

No.3829 - 2008/11/12(Wed) 17:47:55
数学A〜三角形 / ゆっき
△ABCで辺BCの中点をMとする。AB=9,BC=10,CA=7であるとき,中線Mの長さを求めよ。

この問題を教えてもらえませんか?
宜しくお願いします。

No.3815 - 2008/11/12(Wed) 02:30:43

Re: 数学A〜三角形 / rtz
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kika/heimenkika/tyuusenteiri.html
で。

No.3816 - 2008/11/12(Wed) 03:09:51

Re: 数学A〜三角形 / ヨッシー
拡張形の中線定理もあります。
http://yosshy.sansu.org/theorem/chusen.htm

No.3819 - 2008/11/12(Wed) 09:17:49

Re: 数学A〜三角形 / ヨッシー
解法1)
中線定理に従うと
 81+49=2(AM^2+25)
 65=AM^2+25
 AM=2√10

解法2)

図のように、垂線AHを引いて、HC=x とします。
三平方の定理より
 AH^2=81−(10−x)^2=49−x^2
より、
 20x=68
 x=3.4
 AH^2=37.44
 HM=5−3.4=1.6
よって、
 AM^2=AH^2+HM^2=40
 AM=2√10

解法3)
ヘロンの式により、△ABCの面積は
 √(13・3・4・6)=6√26
よって、BCを底辺としたときの高さAHは、
 AH=2×6√26÷10=1.2√26
よって、
 AH^2=37.44
△ACHにおける三平方の定理より
 CH^2=49−37.44=11.56
 CH=3.4
(以下同様)

No.3821 - 2008/11/12(Wed) 14:01:40
2008までの積の総和 / √
また よろしくお願い致します。
算数です。

1+(1x2)+(1x2x3)+(1x2x3x4)+・・・+(1x2x・・・x2008)

を計算した時、一の位の数字を求める問題です。

答えは「3」なのですが、
求め方が分らないので、教えてください。
よろしくお願い致します。

No.3807 - 2008/11/12(Wed) 00:42:57

Re: 2008までの積の総和 / ヨッシー
実は、(1×2×3×4×5) よりあとは、全部1の位は同じ数になります。
No.3810 - 2008/11/12(Wed) 00:45:18

有り難うございました / √
なっ なるほど!!
『∞まで掛けても、一の位は永遠に「3」ということですね』

とても良いことを教わりました。
ヨッシーさん 本当に有り難うございました。

いつも、感謝しても感謝しきれません。

No.3812 - 2008/11/12(Wed) 00:59:27
(No Subject) / カナダ
xy平面上に放物線C:y=1/3x^2がある。点P(p,1/3p^2)(ただし,p>0)を通り,PにおけるCの接線に垂直な直線をnとする。nとCのP以外の交点をQとするときCとnで囲まれる部分の面積Sの最小値とそのときのpの値を求めよ。が解けないです。教えて下さい。
No.3804 - 2008/11/12(Wed) 00:03:40

Re: / ヨッシー
y’=2x/3 より、点Pにおける接線の傾きは 2p/3。
これに垂直な直線の傾きは -3/2p。
よって、nの式は、
 y=(-3/2p)(x-p)+p^2/3
これと、y=x^2/3 を連立させて、
 x^2/3=-3x/2p+(3/2+p^2/3)
移項して
 x^2/3+3x/2p−(3/2+p^2/3)=0
3倍して
 x^2+9x/2p−(9/2+p^2)=0
これの解をα、β(α<β)とすると、解と係数の関係より
 α+β=-9/2p、αβ=−(9/2+p^2)
 (α+β)2=81/4p^2
 (β−α)2=(α+β)2−4αβ
  =81/4p^2+4(9/2+p^2)
  =(2p+9/2p)2
よって、
 β−α=2p+9/2p
こちらの公式より、Sは、
 S=(1/3)(2p+9/2p)3/6
2p+9/2p>0 より、p+9/2p が最小の時、Sも最小となります。
相加、相乗平均より
 2p+9/2p≧2√(2p・9/2p)=6
等号は、2p=9/2p で、p=3/2 のとき。

No.3808 - 2008/11/12(Wed) 00:43:46

Re: (No Subject / カナダ
ありがとうございます!
No.3825 - 2008/11/12(Wed) 17:26:05
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