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微積 / あき
いつもお世話になっております。
http://s.upup.be/?Z1Pgs5ymgx
の問題で
http://o.upup.be/?gch998uuZM
が解答ですがなぜ2を代入できるかがいまいちわかりません。相似の中心を代入すればいいということなんですか?
宜しくお願いします。

No.3728 - 2008/11/09(Sun) 14:55:21

Re: 微積 / rtz
定点ということは、p1やp2が消えなければならないので、
直線P1P2の傾きの分母がp2−p1=2−p2ですから、
x=2を入れたら消えそう → 入れたら消えた、程度のことでしょう。

補足しますと、これ以外の定点を通ることはありません。
なぜならこれ以外の定点も通るとすると、定点が2つになり、直線が1本しか存在しないことになるためです。

No.3731 - 2008/11/09(Sun) 16:15:14

Re: 微積 / あき
そうなんですかよくわかりました!
丁寧にありがとうございました!

No.3740 - 2008/11/09(Sun) 19:11:57
証明 / j
三角形ABCにおいて、角Aの二等分線とBCとの交点をDとする。このとき、ADの二乗=AB・ACーBD・CDが成り立つことを証明せよ
No.3726 - 2008/11/09(Sun) 13:42:50

Re: 証明 / DANDY U
もっとうまい方法があるかもしれませんが、回答します。

ADは∠Aの二等分線だから AB:AC=BD:CDとなり、AB*CD=AC*BD・・・(イ)
∠A/2=α とおくと、△ABDで余弦定理より
AD^2+AB^2-2*AD*AB*cosα=BD^2
∴ 2*AD*cosα=(AD^2+AB^2-BD^2)/AB
△ACDで余弦定理より
AD^2+AC^2-2*AD*AC*cosα=CD^2
∴ AD^2+AC^2-AC*(AD^2+AB^2-BD^2)/AB=CD^2
整理すると
AD^2*(AB-AC)=AB^2*AC-AB*AC^2+CD^2*AB-AC*BD^2  
  =AB*AC*(AB-AC)+CD*BD*AC-AB*CD*BD   ←(イ)より
  =AB*AC*(AB-AC)-BD*CD*(AB-AC)
よって、AD^2=AB*AC−BD*CD  となります。

No.3750 - 2008/11/09(Sun) 21:38:03

証明 / j
ありがとうございました。
No.3787 - 2008/11/11(Tue) 20:29:53
確率 / こん
a、bを4以上の整数とし、a個の席のある円いテーブルとb個の席のある円いテーブルがある。そこに二人が座るとき、二人がそれぞれ確率1/2でどちらかのテーブルを選んで座るものとする。二人が同じテーブルでとなりあって座る確率をp(a,b)とする。いつp(a,b)=14となるか調べてみよう。
p(a,b)=1/14を変形すると(aー〇)(bー〇)=〇〇となる。従ってa=bならばa=〇〇のとき、p(a,b)=1/14となる。
また、a>bならばa=〇〇、b=〇のとき、p(a,b)=1/14となる。


〇のなかに数字が入ります。
やり方がわらないので解説していただけたら嬉しいです。
お願いします。

No.3723 - 2008/11/09(Sun) 10:41:47

Re: 確率 / DANDY U
(1)2人がともにaに座る確率=1/4
このとき、1人が座ったとき残りの席は(a-1)あるので、もう1人が隣に座る確率は 2/(a-1)
よって、2人がaのテーブルで隣り合っている確率は、(1/4)×2/(a-1)=1/{2(a-1)}
(2) 同様に2人がbのテーブルで隣り合っている確率は、1/{2(b-1)}となります。

したがって、1/{2(a-2)}+1/{2(b-2)}=1/14 が成り立ちます。
分母を払って整理すると、ab−8a−8b=−15
さらに変形すると、(a−8)(b−8)=49

あとは、いいでしょうか・・

No.3725 - 2008/11/09(Sun) 12:45:06

Re: 確率 / こん
ありがとうございます。
あとは、比較してやってみます。
ほんとにありがとうございました。

No.3735 - 2008/11/09(Sun) 17:07:49
積分 / あき
毎度お助け下さりありがとうございます、質問させてください。
http://p.upup.be/?vFOdqgqz9G
がどっちもわからないのですが
http://s.upup.be/?iQrTdJJvzJ
が解答で
まず(1)の書いてある意味がわかりません。 (2)は一番最後のm^2α^2=1 と書いてあるところがどこからでてきたのかわからないです。
教えて下さい(^▽^)

No.3720 - 2008/11/08(Sat) 18:08:54

Re: 積分 / rtz
(1)
問題集の解説については後回しで、とりあえず概論として。

領域と共有点を持つ、持たないを考えるときは
領域の境界線に着目して考えます。
共有点を持つなら、要は領域内をぶち抜いてるか接しているかですから、
どこかから入ってどこかから出ているはずです。
例えば今回の正方形なら、
どこかの辺から入ってどこかの辺から出て行くはずです。

ただし、今回は放物線と正方形の位置関係から、
(2)の解説にある3通り(実際はEH→FGも考えるべきだが)しかないわけです。
(上に凸な2次関数や、円など考えると様々な出入りの仕方があるのが分かるかと)
つまりこれらの場合を1つ1つ考えていけば答えにたどり着きます。
(EHと放物線が交わるmは…で、HGと交わるmは……、という感じで)

一段階進んで、
「入ったら勝手に出るだろうから入るところだけ考える」
こともできます。
つまり、今回だとEFかEHと交われば必ず通過する、ということです。
これも先ほど同様求めることができます。
(もしくは出るところだけ考えて、HGかFGで考えても同じです)


ここまではあくまで一般的な方針です。
ところが、今回は放物線と正方形の位置関係により、
「グラフはHとFの間を通過する」ことはほぼ自明としてよいかと思います。
あとは解説の通りです。

(2)
(α,1)や(β,4)は放物線上の点です。

No.3722 - 2008/11/08(Sat) 23:03:12

Re: 積分 / あき
何度も読ませていただきました、詳しくありがとうございます

この場合はおかげでなんとか理解できました、 rtzさんありがとうございました。

No.3727 - 2008/11/09(Sun) 13:58:45
微積 / あき
いつもありがとうございます、質問お願いします!
http://r.upup.be/?pgGDoD8kWP
の問題で
http://l.upup.be/?KcneoyZDYa
このようにといたのですが増減が答えとあいません。
どこが間違ってますか???
宜しくお願いします!

No.3706 - 2008/11/07(Fri) 21:36:14

Re: 微積 / rtz
画像がありません。
No.3711 - 2008/11/08(Sat) 15:21:47

Re: 微積 / あき
気付かなくてずっと待ってました…ありがとうございます、
http://r.upup.be/?frkvNq8jx3
http://q.upup.be/?c0XaWpXwD5
です!

No.3712 - 2008/11/08(Sat) 15:25:39

Re: 微積 / rtz
画像で見える範囲ではどこも間違っていませんが…。

ちなみにf'(x)は
「0〜π/6で−、π/6〜π/3で+、π/3〜πで−」
です。

No.3713 - 2008/11/08(Sat) 15:56:07

Re: 微積 / あき
その
0〜6/πで−にならず+になるんです…
sinxもsin2xも+じゃないでしょうか(?_?)

No.3714 - 2008/11/08(Sat) 16:19:12

Re: 微積 / rtz
もう一度ご自身の書かれた"f'(x)の式"を見直してみてください。

それから、この手のミスを無くす為に、
あらかじめf'(x)の式内で、
(2sin2x−√3)に変形しておくようにすることをお勧めします。

No.3715 - 2008/11/08(Sat) 17:00:00

Re: 微積 / あき
すみませんまだ気付きません。
ブランクがあるので根本的なことが間違ってるのかもしれません、教えて下さい、

No.3717 - 2008/11/08(Sat) 17:08:47

Re: 微積 / あき
気付きました!
すごく基本的なことをまちがってました、ごめんなさい、ありがとうございました

No.3718 - 2008/11/08(Sat) 18:01:57

Re: 微積 / rtz
f'(x)=3sinx(2sin2x−√3)であり、
sin2xが正であることと、f'(x)が正であることは関係ありません。

No.3719 - 2008/11/08(Sat) 18:03:12
微積 / あき
申し訳ありませんが質問お願いします。

http://m.upup.be/?0qawoC1I2a
の問題について上下両方疑問があるのですがhttp://o.upup.be/?pHEe0YfMaE
が答えで
上の方は中点が定点だとそれが対称点だということになるということなのでしょうか??
また下の方は自分では2/3≦2a≦3/8かつa≦2/3と考えたのですが、答えはa=4/3という単体もあるらしいんです。すごく不思議なのですがどう考えたらいいのでしょうか?
いつもお早いご回答有り難いです。
教えて下さい

No.3698 - 2008/11/07(Fri) 03:22:06

Re: 微積 / ヨッシー
グラフ y=f(x)上の、任意の点(x,f(x))と、点(-1,k) に対して
対称な点(-2-x, 2k-f(x)) も、y=f(x) 上にあるので、
y=f(x) のグラフは、点(-1,k) に対して対称なのです。
その結果として、対称な2点の中点が定点になります。

x=32/27 となる点は2ヶ所あります。
1つは極大点で、1つは、(8/3,32/27) です。
a≦x≦2a が極大点を含み、それ以上の点がその範囲にないという範囲が、1/3≦a≦2/3 で、
a≦x≦2a の端点で、点(8/3,32/27) が、最大値となるのが a=4/3 です。

グラフに a≦x≦2a の範囲を当てはめながら考えると、
わかると思います。
逆に、答えがわかっているので、a=4/3 のときの範囲
4/3≦x≦8/3 が、グラフのどこにあたるかを、見てみても
良いでしょう。

No.3699 - 2008/11/07(Fri) 08:49:02

Re: 微積 / あき
(−1、k)はどこからでてくるのでしょうか?解答のように定めて出て来るのですか?すみませんが全然わからないです…詳しく教えていただけませんか?お願い致します…
No.3701 - 2008/11/07(Fri) 16:28:15

Re: 微積 / ヨッシー
f(-1+t)+f(-1-t) がtに限らず一定なので、
f(-1+t)+f(-1-t)=k とおきます。(あとで2kと置き換えます)
一方、f(-1+t)、f(-1-t) は、x座標 -1+t, -1-t に対する、
グラフのy座標ですが、
 {f(-1+t)+f(-1-t)}/2=k(一定) →y座標の中点が一定
  →ではx座標は?
 {(-1+t)+(-1-t)}/2=−1(一定)→x座標の中点も一定
 →(−1,k) について対称だと気付く
 →極小の対称点は極大
 →極大点のx座標が-3なので、極小点との中点が−1
という流れです。

No.3702 - 2008/11/07(Fri) 17:27:02

Re: 微積 / あき
丁寧に教えて下さってありがとうございますやっとわかりました!p^^)
今t−1と−t−1というどの任意の二点についても中点が一定であることが成り立つということですね!問題の意味がわかりました(>_<)ありがとうございました!

No.3705 - 2008/11/07(Fri) 21:20:36
(No Subject) / コウ
三角関数の問題なのですが

π/2≦θ≦πとする。

1) sinθ+cosθ=1/√5のとき cosθ‐sinθの値を求めよ。

2)sinθ+cosθ=1/√5のとき 2cos(2θ‐π/3)の値を求めよ。

3)2cos(2θ‐π/3)≦-1のとき cosθ+√3sinθの最大値と最小値を求めよ

というものです。
(1)まではなんとか求められたのですがその続きがわかりません。
よろしくお願いします。

No.3694 - 2008/11/06(Thu) 23:58:15

Re: / ヨッシー
1)この範囲では、sinθ≧0、cosθ≦0
 (sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=1/5
 2sinθcosθ=-4/5
 これを利用して
 (cosθ−sinθ)2=1−2sinθcosθ=9/5
 よって、cosθ−sinθ=-3/√5
2)和差算によって、
 cosθ=-1/√5、sinθ=2/√5 まで求めておきます。
 2cos(2θ-π/3)=2cos2θcos(π/3)+2sin2θsin(π/3)
  =(cos2θ−sin2θ)+2√3sinθcosθ
  =(1/5−4/5)-4√3/5=-3/5-4√3/5

3) π/2≦θ≦π より
 2π/3≦2θ-π/3≦5π/3
このとき、
 2cos(2θ‐π/3)≦-1 → cos(2θ‐π/3)≦-1/2
より、2π/3≦2θ-π/3≦4π/3
変形して π≦2θ≦5π/3
 π/2≦θ≦5π/6
この範囲において、
 cosθ+√3sinθ=2sin(θ+π/3)
 5π/6≦θ+π/3≦7π/6 より、
 最大はθ=π/2 のとき 1/2
 最小はθ=5π/6 のとき -1/2

No.3695 - 2008/11/07(Fri) 00:44:47

Re: (No Subject) / コウ
ありがとうございました!
No.3703 - 2008/11/07(Fri) 18:37:38

Re: (No Subject) / コウ
ありがとうございました!
No.3704 - 2008/11/07(Fri) 18:37:43
(No Subject) / かなみ
実数xに対して、xを超えない最大の整数を[x]とする。
このとき、0<θ<πとして次の問いに答えよ。
だだし、必要ならsinα=1/2√2となる角α(0<α<π/2)を用いてよい。

(1)不等式log(2)[5/2+cosθ]≦1をみたすθの範囲を求めよ。
(2)不等式[3/2+log(2)sinθ]≧1をみたすθの範囲を求めよ。
(3)不等式log(2)[5/2+cosθ]≦[3/2+log(2)sinθ]をみたすθの範囲を求めよ。

解き方と答えをお願いします。
logの後の(2)は底が2という意味です。
よろしくお願いします。

No.3686 - 2008/11/06(Thu) 21:52:37

Re: / ヨッシー
(1) A=[5/2+cosθ] とおくと、
 log2A≦1 より、0<A≦2
 1≦5/2+cosθ<3
 -3/2≦cosθ<1/2
 よって、π/3<θ<π

(2) [3/2+log2sinθ]≧1 より
 3/2+log2sinθ≧1
 log2sinθ≧-1/2
 sinθ≧2-1/2=1/√2
 よって、π/4≦θ≦3π/4

(3) (1)(2) の共通部分である π/3<θ≦3π/4 では、
 log2[5/2+cosθ]≦1≦[3/2+log2sinθ]

それ以外の
3π/4<θ<π のとき
 -1<cosθ<-1/2
 3/2<5/2+cosθ<2
 よって、[5/2+cosθ]=1
 log2[5/2+cosθ]=0
 これより、
 0≦[3/2+log2sinθ]
 -3/2≦log2sinθ
 2-3/2=1/2√2=sinα≦sinθ
 α≦θ≦π−α
 3π/4<θ<π と合わせて、
 3π/4<θ≦π−α

0<θ<π/4 のとき
 0<sinθ<1/√2
 log2sinθ<-1/2
 3/2+log2sinθ<1
 [3/2+log2sinθ]≦0

 √2/2<cosθ<1
 [5/2+cosθ]=3
 log2[5/2+cosθ]=log23>0

よって、この範囲には解なし。

以上より、
 π/3<θ≦π−α

No.3688 - 2008/11/06(Thu) 23:05:50

Re: (No Subject) / かなみ
ありがとうございます。
(1)での
0<A≦2から
1≦5+cosθ<3
になるのが分かりません。
説明して頂けないでしょうか?

No.3689 - 2008/11/06(Thu) 23:18:38

Re: / ヨッシー
Aは整数ですから、 0<A≦2 は、
 A=1 または A=2
と同じです。A=[5+cosθ] の[ ]の中身 5+cosθ は
 1≦5+cosθ<2 のとき [5+cosθ]=1
 2≦5+cosθ<3 のとき [5+cosθ]=2
で、あわせて、1≦5+cosθ<3 です。

No.3691 - 2008/11/06(Thu) 23:22:59

Re: (No Subject) / かなみ
なる程!
分かりました。
ありがとうございます。

No.3692 - 2008/11/06(Thu) 23:25:19
2項定理 / 白梅
98年横浜国立大学過去問です。
宜しくお願いします。

(問題)(1+x)^nの展開を考えて
    次の和を求めよ。
    Σ[r=0,n] {1/(r+1)}*nCr

(解答){2^(n+1)−1/(n+1)}


途中まで式変形してみたのですが、
このやり方であっているのか分からなくなり
解答を得られませんでした。
私のやり方でよいのか、それとも
別の方法でやらなければいけないのか
ご教示下さい。宜しくお願い致します。

(1+x)^n=nC0+nC1*x
       +nC2*x^2‥nCn*x^n 変形して、
(1+x)^(n+1)=(n+1)C0+(n+1)C1*x+‥
          +(n+1)C(n+1)x^(n+1)
また、(n+1)C(r+1)=
{(n+1)/(r+1)}(nCr)が成立する。
Σ[r=0,n]{1/(r+1)}nCr=
Σ[r=0,n]{1/(n+1)}(n+1)C(r+1)

ここから先が分かりません。
宜しくお願い致します。

No.3684 - 2008/11/06(Thu) 19:47:21

Re: 2項定理 / rtz
それで問題ないですよ。

1/(n+1)はrに無関係ですので外に出せます。
?納r=0,n]n+1Cr+1が分からないなら、
k=r+1とすれば、?納k=1,n+1]n+1Ck
さらにm=n+1とすれば?納k=1,m]mCk=?納k=0,m]mCkmC0です。

No.3685 - 2008/11/06(Thu) 20:08:09

ありがとうございました^^ / 白梅
rtz様、素早い回答をありがとうございます^^

なるほど、文字が複雑なものは
簡単な文字に置き換えることで
上手く計算が出来ますね。^^
rtz様が示された方法を悩まずに
すぐに頭の中から取り出せるように
繰り返し、解こうと思います^^

ありがとうございました^^

No.3693 - 2008/11/06(Thu) 23:55:03
ひずめ形の体積について / 馬蹄
円柱におけるひずめ形体積の求め方が判りません。
切断角度は60°です。参考文献で円中心より半径以上の箇所で切断した場合の公式はあるみたいです。(添付ファイル参照願います。)
御教示頂きたいのは、中心点OよりもA側で切断した場合の体積の公式が参考公式では解けませんので解説の程、よろしくお願い致します。

No.3682 - 2008/11/06(Thu) 15:04:40

Re: ひずめ形の体積について / X
添付ファイルが載っていないようですので、
掲載をお願いします。
文章だけでは解りませんので。

No.3683 - 2008/11/06(Thu) 16:13:08

Re: ひずめ形の体積について / 馬蹄
申し訳ありません。添付ファイルの掲載したつもりだったのですがいすいません。
では、再度 ご質問いたします。
円柱におけるひずめ形体積の求め方が判りません。
切断角度は60°です。参考文献で円中心より半径以上の箇所で切断した場合の公式はあるみたいです。(添付ファイル参照願います。)
御教示頂きたいのは、中心点OよりもA側で切断した場合の体積の公式が参考公式では解けませんので解説の程、よろしくお願い致します。

No.3696 - 2008/11/07(Fri) 01:59:48

Re: ひずめ形の体積について / angel
いえ、添付の式そのままで、CがOA内部にある場合も表現できます。
が、まずは「公式」なんていう考えは捨てることです。この式はあくまで計算の結果に過ぎません。

先に、添付の式を整理しなおしてみましょう。

切り口の傾き60°をαと置くと、h/b=tanα
残りはθで統一することを考えると、a=rsinθ, r-b=rcosθ

V=1/3・tanα・{ rsinθ(3r^2-(rsinθ)^2) + 3r^2(-rcosθ)θ }
=1/3・tanα・r^3・( 3sinθ-(sinθ)^3-3θcosθ )
=tanα・r^3 ( sinθ - 1/3・(sinθ)^3 - θcosθ )

この形も、θがπ/2よりも大きいか、小さいかに関わらず成立します。

No.3708 - 2008/11/08(Sat) 13:00:31

Re: ひずめ形の体積について / angel
さて、肝心の計算方法ですが、ACを軸として垂直に切断した面の面積を積分するとして考えます。
※θ=π/2であれば、BDを軸とした方が楽なのですが…
軸上Oからの距離(符号込み、Aの方が正)を x で表してみます。
点Aでは x=r、点Cでは x=rcosθ ( θ>π/2 であれば負 ) となります。

で、断面は、BDに平行な辺が 2√(r^2-x^2)、高さが tanα・(x-rcosθ) の長方形となります。
そのため、
V=∫[rcosθ,r] tanα・(x-rcosθ)・2√(r^2-x^2) dx

rを一々書くのは面倒なので、x=rt (その時 dx=rdt) で置換しましょうか。

V=∫[cosθ,1] tanα・(rt-rcosθ)・2√(r-(rt)^2) rdt
= tanα・r^3 ∫[cosθ,1] 2(t-cosθ)・√(1-t^2) dt
= tanα・r^3 ( ∫[cosθ,1] 2t√(1-t^2)dt - cosθ∫[cosθ,1] 2√(1-t^2) dt )

括弧内の最初の∫は f'・f^(1/2) の形になりますので、そのまま積分できます。値は 2/3・(sinθ)^3 です。
後の∫は置換積分を使っても良いですが…、円を途中で切った場合の面積そのものですから、θ-sinθcosθと計算できます。
これらを当てはめれば、上と同じ値になることが分かります。

No.3709 - 2008/11/08(Sat) 13:50:03

Re: ひずめ形の体積について / angel
後は余談ですが、典型的な状況での値を計算してみて、整合性が取れているかどうかを確認すると、解答の精度が上がるのでお勧めです。
典型と考えられるのは、

θ=0 の場合 … 明らかに V=0 となるため O.K.
θ=π の場合 … 円柱の半分、1/2・( πr^2・(2rtanα) ) と一致するため O.K.
θ=π/2 の場合 … BDを軸とした積分計算 ∫[-r,r] 1/2・tanα・( √(r^2-x^2) )^2 dx = 2/3・tanα・r^3 と一致するため O.K.

ということで、全て整合性が取れているので、問題はなさそうだ、と分かります。

No.3710 - 2008/11/08(Sat) 14:14:29

Re: ひずめ形の体積について / 馬蹄
angelさんご丁寧な解説ありがとうございました。
ついつい公式に頼りがちで こうして解説していただけると
数学の基本を参考に解を導き出す事の重要性を感じます。
反省反省です。本当にありがとうございました。

No.3721 - 2008/11/08(Sat) 19:28:57
積分 / 信
放物線C:y=х^2‐3хと直線l:y=mх(ただし,m>0)の交点のх座標は,х=(ア),х=(イ)(ただし,(ア)<(イ))である。また,放物線Cと直線lで囲まれる領域Mの面積Sは,mを用いた式でS=(ウ)と表される。よって,領域Mの面積を2等分する直線y=aхの傾きaは,mを用いた式でa=(エ)と表される。

の解き方が解りません。
お手数ですが解説のほど宜しくお願いします。

No.3674 - 2008/11/05(Wed) 22:49:25

Re: 積分 / ヨッシー
(ア)(イ)は、連立方程式を解くだけなので、出るでしょう。
Sを求める式は、こちらをどうぞ。
後半のy=axのときも、同様です。

No.3679 - 2008/11/06(Thu) 08:36:03

Re: 積分 / 信
ア、イはできたのですがその後がどうも解りません?ホ?ホ
解説お願いします

No.3729 - 2008/11/09(Sun) 15:41:06
対数関数 / 礼花 高2
こんばんは。いつもお世話になります。

1.曲線y=x^2-3(-1≦x≦2)と、3直線y=-2x,x=-1,x=2で囲まれた2つの部分の面積の和Sを求めよ。

2.放物線y=x^2-4x+3と、この放物線上の点(4,3),(0,3)における接線で囲まれた図形の面積を求めよ。

2問も、しかも丸投げで申し訳ありません。学校を休んでいる間に授業が随分進んでしまったようで、正直2問ともよく分かりません。本当にすみませんが、解説をよろしくお願いします!

No.3673 - 2008/11/05(Wed) 21:57:49

Re: 対数関数 / ヨッシー
1.

図の2つの部分の面積ですね。
黄色の方は、
 ∫-1〜1{-2−(x2−3)}dx=4/3
水色の方は
 ∫1〜2{(x2−3)−(-2)}=4/3
S=8/3

2.
y’=2x−4 より、点(4,3)、点(0,3)における接線の傾きは
それぞれ、4,−4で、その式はそれぞれ
 y=4x−13、y=−4x+3
よって、求める面積は、図の部分です。

左半分と右半分に分けますが、対称性より、左だけ求めて2倍します。
 ∫0〜2{(x^2-4x+3)−(-4x+3)}dx=∫0〜2x2dx=[x3/3]0〜2=8/3
よって、求める面積は、16/3

No.3676 - 2008/11/05(Wed) 23:53:24

Re: 対数関数 / ヨッシー
2.の方は、こちらの3番により、
 (4-0)3/12=16/3
と求められますが、公式だけ覚えるのは、要注意です。

No.3677 - 2008/11/05(Wed) 23:56:01

Re: 対数関数 / 礼花 高2
お返事が遅くなってしまい、本当に申し訳ありませんでした;
ヨッシーさんのおかげで何とか理解することができ、この単元のテストでも高得点をゲットすることができました!
本当にありがとうございました。

No.4187 - 2008/12/09(Tue) 19:56:44
(No Subject) / 巧
x+2y+2≧a…?@
y+2z+1≧a…?A
z+2x-3≧a…?B
x+y+z=8…?C

(1)?@〜?Cの式を満たすaの値の最も大きい値を求めよ。
(2)(1)で求めたaに対して、その時のx,y,zの値を求めよ。

(1)はa=8となったのですが、自信ありません。
(2)は全く分かりません。

答えはどれも一桁になるみたいです。
よろしくお願いします。

No.3664 - 2008/11/05(Wed) 19:20:55

Re: / rtz
あっている、あっていないは別にして、
恐らく第1式〜第3式まで足して24≧3a⇔a≦8から考えたのだと思いますが、
それならまずは
x+2y+2=8、y+2z+1=8、z+2x−3=8
を満たすようなx,y,zがあるかどうか考えましょう。
(なかったからと言って「a=8となる可能性を否定できる」わけではありませんが、あったら「a=8となることがある」ことは言えます。)


というかこの問題(2)の答えが出ない限り、
(1)の答えが正しいことを立証できないわけで、
(1)(2)で配点があるならちょっと違和感を覚えますね…。

No.3665 - 2008/11/05(Wed) 20:01:14

Re: (No Subject) / 巧
(1)(2)という感じにはなってませんでした。

解き方教えて頂けませんか?

No.3667 - 2008/11/05(Wed) 20:39:46

Re: / rtz
既に書きましたが…。
No.3668 - 2008/11/05(Wed) 20:48:12

Re: (No Subject) / 巧
3つの連立方程式解いたのですが、分数になってしまいます。
解答欄は一桁になってるので…。

No.3671 - 2008/11/05(Wed) 21:08:08

Re: (No Subject) / 巧
すいません。
計算ミスでした…

No.3672 - 2008/11/05(Wed) 21:12:04
次数 / あき
いつもありがとうございます!またお願いします(^^)
http://s.upup.be/?j6owfJG5Sw
の問題で次数を定めるまでがわからなくて答えでは
http://p.upup.be/?kXaaoIuU86
このように書いていたのですがどうも理解出来ませんでした!
まず−がはいる時は次数を単純に定められないということなのでしょうか???
教えて下さいp(^^)q

No.3662 - 2008/11/05(Wed) 18:31:51

Re: 次数 / あき
画像が逆になっていました、 取り直しました、問題です
http://k.upup.be/?vLSXyTT4b4
お願いします…

No.3669 - 2008/11/05(Wed) 20:48:54

Re: 次数 / ヨッシー
答えの方も、かなりピンぼけで見えなかったのですが、
こちらの場合は、
(n+1次式)+(n次式) であるので、(n次式)の方がどんな式であっても、
(n+1次式)の方の、n+1次の項が消えることはありません。

ところが今回の場合、
(n次式A)+(n次式B) だと、
n次式A と n次式Bのxn の係数によっては、
n の項が消えてしまうことがあります。
ということを言っています。
「−が入る時」ではなく、「同じ次数の式を足すとき」です。

No.3670 - 2008/11/05(Wed) 20:53:55

Re: 次数 / あき
なるほどです!
今までそんな細かいことは考えておりませんでした…
勉強になります。
答えの方撮り直しました、
http://i.upup.be/?FBcZ1qjq5v
です、
先程の話は理解できたのですがいざ答えはじゃあどうすればいいのかというのがわからなかったので教えて下さい宜しくお願いします!

No.3678 - 2008/11/06(Thu) 02:04:24

Re: 次数 / ヨッシー
とはいうものの、f(x) が何次式か、1次,2次,3次,4次と
調べていく際には、上のようなことを、気にする場面はありません。
(知識としては、心に留めておいてください)

さて、何次式かは、上に書いたように、また、解答にあるように、
1次、2次・・・と吟味していくと、2次であることがわかります。
その先は、f(x)=ax^2+bx+c (a≠0) とおくところから始まります。

No.3680 - 2008/11/06(Thu) 09:45:19

Re: 次数 / あき
そうなんですか!じゃ普通に1/3x^3があるから二次式と考えられる。というような感じでいいのでしょうか?
No.3681 - 2008/11/06(Thu) 11:42:34

Re: 次数 / あき
解決できました、ありがとうございました
No.3697 - 2008/11/07(Fri) 03:13:33
周期 / みかん
小5です。

1周が30cmの円があります。その円周上を点アから出発し、時計回りに毎秒3?pの速さで動く光があります。
この光は、動き始めと同時につき始め、A秒間ついて、B秒間消えるというようにくり返して、1時間で停止します。また、点ア、点イ、点ウ、点エは、円周を4等分した点です。

光がついたままで、点イを通過した回数が300回とする。AとBは整数で、和が12のときAはいくつですか。考えられるすべての数を答えなさい。

よろしくお願いいたします。

No.3658 - 2008/11/05(Wed) 17:15:49

Re: 周期 / ヨッシー
光は、10秒で1周するので、1時間=3600秒で 360周します。
一方、60秒で 6周したところで、点く、消えるの繰り返しが
ちょうど5回繰り返されて、スタート地点に戻ります。
これが、60回繰り返されると、1時間分になります。

よって、問題を、同じ条件で、60秒(6周)までの間に、光が点いたままで、
イを5回通過したと考えます。

さて、文には書いていませんが、ア→イに進む方向が時計回りとします。
イを通過する時刻は、出発してから、
 2.5, 12.5, 22.5, 32.5, 42.5, 52.5 (秒)
の6回です。12秒周期の最初から何秒かで言うと、(たとえば、
点いて、消えて、次に点くのが12秒なので、12.5秒は、そこから
数えると、0.5秒になります。同様に、24秒、36秒、48秒から
何秒かを考えます)
 2.5, 0.5, 10.5, 8.5, 6.5, 4.5
となり、一番遅い 10.5秒の時には消えていて、その前の
8.5 秒の時には点いていたことになります。
(以下略)です。

 

No.3660 - 2008/11/05(Wed) 17:40:08

Re: 周期 / みかん
ありがとうございました。
私には、まだ難しくて自力では解けそうにない問題です。
よく考えて、やってみます。

No.3661 - 2008/11/05(Wed) 17:56:42

Re: 周期 / みかん
質問なのですが、
12秒周期の最初から何秒…そこから数えると、0.5秒になります…
の考え方が、難しくてわかりません。
AとBの秒数は、整数にしなければならないのですが、どう考えたらいいでしょうか?

No.3663 - 2008/11/05(Wed) 18:51:13

Re: 周期 / ヨッシー

図で描くのが難しいですが、たとえば、上のように、
0秒から12秒まで、A秒間ついて、B秒間消えます。
12秒から24秒までも、A秒間ついて、B秒間消えます。
24秒から36秒まで、36秒から48秒までも同じです。

たとえば、1秒後についていたとすると、12秒から1秒過ぎた
13秒もついているはずです。同じように、24秒から1秒過ぎた
25秒もついているはずです。(図の赤い線)
0秒から、12秒から、24秒から、36秒から それぞれ同じ
パターンが始まるので、このようになります。

同じように、2秒、14秒、26秒、38秒、50秒・・・の状態
(ついているか消えているか)は同じです。
また、0.5秒、12.5秒、24.5秒、36.5秒・・・も、状態は同じです。

そこで、点イを通る
 2.5, 12.5, 22.5, 32.5, 42.5, 52.5 (秒)
が、0秒から12秒の、どの時刻とおなじ状態かを調べます。
結果からいうと、12,24,36,48 などを引くのですが、
 2.5秒は 0秒から12秒 に入っているのでそのまま。
 12.5秒は 12.5-12=0.5秒と同じ状態。
 22.5秒は 22.5-12=10.5秒と同じ状態。
 32.5秒は 32.5-24=8.5秒と同じ状態。
 42.5秒は 42.5-36=6.5秒と同じ状態。
 52.5秒は 52.5-48=4.5秒と同じ状態。です。
これらを、小さい順に並べると、
 0.5, 2.5, 4.5, 6.5, 8.5, 10.5
で、これら6つの時刻は、点イを通る、1回目から6回目の
どれか1つずつと同じ状態です。
そして、このうち5つはついていて1つは消えています。
この12秒間で、最初はついていて、あるところから12秒までは
消えているので、1つ消えているとすれば、10.5秒の時で、
8.5秒の時はついていたのです。
A,Bは、整数ですが、もしAが8だとすると、8.5秒の時は
消えているはずです。
また、Aが11だとすると、10.5秒の時も、まだついています。
このように考えると、Aに当てはまる整数は・・・(以下略)

No.3666 - 2008/11/05(Wed) 20:37:51
場合の数 / ゆ
500円硬貨が5枚,100円硬貨が4枚,10円硬貨が2枚ある.
これらの一部または全部を使って支払うことができる金額は何通りあるか.

という問題の解き方を教えてください!

No.3650 - 2008/11/05(Wed) 10:43:23

Re: 場合の数 / ヨッシー
できる金額の1の位は必ず0ですね?
10の位は、0,1,2 です。
あとは、100の位以上でどういう金額が作れるかです。
100は、100円1枚で作れますね。
200,300,400も作れます。
500は、500円を使えば作れます。
このように調べると、100以上の位で、何通りの
金額ができるでしょうか?
その場合の数×3 が答えです。

No.3651 - 2008/11/05(Wed) 11:36:38
(No Subject) / しょう
放物線y=2x-x^2とx軸とで囲まれた図形を直線y=kxで分割する。このとき、y≧kxの部分とy≦kxの部分との面積の比が1:2になるような定数kの値を求めよ。
解き方がわかりません…すいませんが解答をお願いします。

No.3645 - 2008/11/05(Wed) 08:32:26

Re: / ヨッシー

図の、黄色と水色の面積比が1;2 になるということです。
まず、全体の面積は、
 ∫0〜2(2x-x^2)dx=4/3
次に、黄色の面積ですが
 2x-x^2=kx の解は、k<2 において x=0,x=2-k ですが、
 α=2-k とおくと、求める面積は、
 α3/6=(2-k)3/6
これが、4/3 の1/3 になるので、
 (2-k)3/6=4/9
 (2-k)3=8/3
 k=2−2/3√3

いずれも、こちらの公式を使っています。

No.3646 - 2008/11/05(Wed) 08:52:03
(No Subject) / ルイ
こんばんわ。よろしくお願いします<(_ _)>

∫1/cos(2x) dx がどうしても解けません。

tanπ/2=tなど試してみましたができませんでした。

宜しくお願いします(*- -)(*_ _)

No.3643 - 2008/11/05(Wed) 00:35:40

Re: / ToDa
1/cos2x = (cos2x)/(1-sin^2(2x))
という感じで変形してみてはいかがでしょうか。

No.3644 - 2008/11/05(Wed) 03:35:21

Re: / 豆
手間ですが、定石のtanx=tという置き換えでも出来ますね。
No.3647 - 2008/11/05(Wed) 09:17:55

Re: / ルイ
解くことができました。
ありがとうございました<(_ _)>

No.3659 - 2008/11/05(Wed) 17:23:21
(No Subject) / ちえみ 
こんにちわ。ヨロシクお願いします。

逆関数の微分法を用いて、次の関数を微分せよ(導関数y´を求めよ)
1)y=arctanhx

次の関数の第n次導関数をもとめよ
1)y=sinx
2)y=1/x+1

問題数が多いてすみません。宜しくお願いします。

No.3639 - 2008/11/04(Tue) 20:50:11

Re: / 豆
y=arctanhx
x=tanhy=(e^y-e^(-y))/(e^y+e^(-y))
yで微分
dx/dy=((e^y+e^(-y))^2-(e^y-e^(-y))^2)/ (e^y+e^(-y))^2
   =1-(tanhy)^2=1-x^2
∴dy/dx=1/(1-x^2)

yのn階微分をy[n]とする
(1)y=sinx
 y[1]=cosx=sin(x+π/2)
∴y[n]=sin(x+nπ/2)
(2)y=1/(x+1)でしょうね
 y=(x+1)^(-1)なので、
 y[n]=(-1)^2・n!(x+1)^(-n-1)=(-1)^n・n!/(x+1)^(n+1)

No.3648 - 2008/11/05(Wed) 09:27:48

Re: / ヨッシー
前半は、とりあえず、こちら

後半
1)y’=cosx
 y”=-sinx
 y(3)=-cosx
 y(4)=sinx=y
より、mを自然数とすると
 n=4m のとき y(n)=sinx
 n=4m-3 のとき y(n)=cosx
 n=4m-2 のとき y(n)=-sinx
 n=4m-1 のとき y(n)=-cosx

2)y=1/(x+1) だとします。
 y=(x+1)-1
 y’=-(x+1)-2
 y”=2(x+1)-3
 y(3)=-6(x+1)-4
以上より
 y(n)=(-1)n(n!)(x+1)-(n+1)
と書けます。

No.3649 - 2008/11/05(Wed) 09:35:12

Re: / ちえみ 
ありがとうございました。自分でもう一度解いてみます。
No.3675 - 2008/11/05(Wed) 23:17:10
積分 / あき
すみませんがまたお聞きしたいことがあります(>_<)
http://m.upup.be/?VHsEHWspHy
のしたの問題で私は
http://m.upup.be/?buuiFMdiT4
このようにといて一通りしかでてこなかったんですが、この考え方はどこが悪いでしょうか?困ってます(>_<)お願いします!

No.3638 - 2008/11/04(Tue) 20:04:03

Re: 積分 / rtz
1−a≦1ですね。
つまりグラフの軸より右側の部分が通過する箇所が間違っています。

No.3640 - 2008/11/04(Tue) 20:56:00

Re: 積分 / あき
どういうことでしょうか?
すみませんがもう少し詳しく教えて下さい(>_<)

No.3642 - 2008/11/05(Wed) 00:32:29

Re: 積分 / あき
すみません軸は−a+1−(−a−1)よりx=1でした!
でもそうすると−a−1<0より
一通りの積分だけですみますよね?
それをといてもやはり答えが合いません、どこが悪いでしょうか?
すごく困っていますどなたかお助け下さい(>_<)

No.3652 - 2008/11/05(Wed) 14:01:57

Re: 積分 / ヨッシー
軸について言うなら、2解の中点なので、
{(-a+1)+(-a-1)}/2=-a です。

No.3653 - 2008/11/05(Wed) 14:14:47

Re: 積分 / ヨッシー

図は、a=0〜1 の間で、グラフを動かしたものです。
a>1 については、自分で想像してください。
aの値によって、積分の方法が変わるのがわかりますか?

No.3654 - 2008/11/05(Wed) 14:53:12

Re: 積分 / あき
そうですね間違いまくっていてごめんなさい(>_<)
0が−a+1より右にあるか左にあるかですね?
多分できたと
思います…
ありがとうございましたいつも感謝しています。

No.3655 - 2008/11/05(Wed) 15:11:56
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