ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 三角関数 / みー

問題と解答は画像のとおりです。
(3)の一番最後のまとめの部分で、
t=1/2のとき　最大値5/4
と書いてあるのですが、
「t=1/2のとき」は書いてありますが、
θが何のときかは書いてありませんよね。
書かなくても問題ないのですか？
また、書いてもいいのでしょうか？

No.11217 - 2010/08/14(Sat) 05:47:29

☆ Re: 三角関数 / ヨッシー＠携帯

t だけで良いでしょう。
そもそも、なぜ、この「‥‥のとき」を書くかというと、
最大または最小を与える変数の値が存在し、
かつ定義域に入っていることを示すためなので、
(1)(2)を通してθの存在条件が t に移っているので、
t で代表させて良いと思います。

それ以前に、t=1/2 のときのθは、うまく表せないというのもありますが。
その意味では最小値の方は θ=π/4+2nπ (n は整数) のとき、
と書いても良いですが、最大値とのバランスが悪いことと
2nπ という厄介なのが付くので、やはり書かない方が無難でしょう。

No.11218 - 2010/08/14(Sat) 06:37:31

☆ Re: 三角関数 / ヨッシー＠携帯

θ=5π/4+2nπ でした。

No.11219 - 2010/08/14(Sat) 06:52:44

☆ Re: 三角関数 / みー

なるほど。バランスが悪くなるのですね。
納得しました。ありがとうございました。

No.11266 - 2010/08/16(Mon) 07:27:25

★ ２次関数 / ろみお

高校１年生のものです。

ｘ≧０、ｙ≧０、３ｘ＋ｙ＝１のとき、２ｘ＾２＋ｙ＾２の最大値、最小値を求めよ。

という問題があるのですが、
まず何をしたらいいのか分からず
苦戦しております。

どなたか説明してくれる方、
いらっしゃったら
宜しくお願いします。

No.11198 - 2010/08/12(Thu) 14:49:38

☆ Re: ２次関数 / ヨッシー＠携帯

3x+y=1 を y=-3x+1 に変形して
2x^2+y^2 に代入します。
0≦x≦1/3 の範囲での最大、最小を調べます。

No.11199 - 2010/08/12(Thu) 17:09:07

☆ Re: ２次関数 / ろみお

わかりやすいレスありがとうございました。
ひとつお聞きしたいことが。

代入すると
１１ｘ＾２－６ｘ＋１
になりました。
この後は平方完成でしょうか？

すみませんが
また宜しくお願いします。

No.11202 - 2010/08/12(Thu) 18:19:20

☆ Re: ２次関数 / ヨッシー＠携帯

平方完成もひとつの方法ですね。

No.11203 - 2010/08/12(Thu) 21:06:27

☆ Re: ２次関数 / ろみお

はい。

平方完成以外の方法もあるのでしょうか？

平方完成がうまくいかないのですが、

No.11208 - 2010/08/13(Fri) 21:03:58

☆ Re: ２次関数 / ヨッシー＠携帯

平方完成がうまくいかないということはありません。
どんな二次式でも平方完成は出来ます。
　11x^2-6x+1=11(x-3/11)^2+2/11
となります。

平方完成を使わないと言っても、
グラフをイメージして、下に凸のグラフなので
頂点で最小、頂点から遠いほど値は大きい
ということを利用するだけで、上記の 3/11 は使います。

No.11209 - 2010/08/13(Fri) 21:39:02

☆ Re: ２次関数 / ろみお

なるほど。

平方完成できました。

それで、この問題は解けました。

ありがとございました。

No.11210 - 2010/08/13(Fri) 21:53:51

★ 数学　式と計算の問題 / 熊った

恐れながら失礼致します。
当方、参考書を読んで数式の問題を解いておりますが、解説を読んでもさっぱりわかりません。もし、掻い摘んで説明して下さる方がいらっしゃったらレスお願い致します。

問題：
　２つのxの２次式f(x), g(x)があり、f(x)の定数項の絶対値はg(x)の定数項の絶対値よりも大きい。f(x)とg(x)の最大公約数はx-2, 最小公倍数は2x^3+x^2-7x-6である。このときf(x)は？

解説：
　２つの整式f(x), g(x)の最大公約数をG, 最小公倍数をL, PとQを互いに素である整式とすると、次式が成り立つ。
　f(x)=GP, g(x)=GQ, L=GPQ ・・・・?@
したがって、LはGすなわちx-2で割り切れる。・・・?A
Lをx-2で割ることにより、
　L=(x-2)(2x^2+5x+3)=(x-2)(x+1)(2x+3)

f(x),g(x)がともに2次式であることから、２つの整式は、
　(x-2)(x+1)=x^2-x-2
(x=2)(2x+3)=2x^2-x-6
である。したがって、定数項の絶対値を比較することにより、
f(x)=2x^2-x-6
となる。

----
当方、?@と?Aの解説が意味不明です。なぜそうなるのでしょうか？

No.11196 - 2010/08/12(Thu) 08:24:37

☆ Re: 数学　式と計算の問題 / ヨッシー＠携帯

二つの自然数 f, g の最大公約数が２、最小公倍数が２４であるとき、二数を求めよ。
というのと同じで、
互いに素な二数 P, Q に対して
　f=2P, g=2Q, 24=2PQ
と書け、
　PQ=12
より、P=1, Q=12 または P=3, Q=4 …　
と同じです。
当然、２４は２で割り切れます。

No.11204 - 2010/08/12(Thu) 21:26:05

★ ベクトルの問題です。 / Kay(高３女子）

解答解説を読みましたが、分かりませんでした。

問題と解答解説画像のとおりです。どうかよろしくお願いします。

ファイル添付が出来なかったので、もう一度投稿します。

No.11187 - 2010/08/11(Wed) 20:40:39

☆ Re: ベクトルの問題です。 / angel

どこが分かりませんでした? どこまで分かりました?

取り敢えず、解説の中でベクトルの和ａ+ｂ+ｃが強調されているのですが、そこはO.K.でしょうか?
重心G ( 位置ベクトルｇ=ｏ ) に関して、
　ｇ = 1/3・(ａ+ｂ+ｃ)
という関係があるので、今回特に都合が良いのです。

No.11191 - 2010/08/11(Wed) 22:01:39

☆ Re: ベクトルの問題です。 / Kay(高３女子）

解説の、重心G ( 位置ベクトルｇ=ｏ ) に関して、
　ｇ = 1/3・(ａ+ｂ+ｃ)
までは分かりました。
しかしながら、（１）でつまずきました。
ベクトルの内積で、例えば（ベクトルの表し方で、
ベクトルaを→a　としました。キーボードから打ち込んで表記する場合、正しくどう表現するのがわからないのですみません。）
→a・→a=|→a＾2　までは分かるのですが、
分かったようで後に続きません。
詳しい説明をお願いいたします。

No.11192 - 2010/08/11(Wed) 23:45:29

☆ Re: ベクトルの問題です。 / angel

なぜ**わざわざ**、→pの説明で「重心Gを始点とし」と書いてあるのか、注意してみることです。
これは、出題者からのヒントです。難易度を上げるならば、→pのことを誘導することもありませんし、小問(1),(2)は抜かして、(3)だけで出題してきますから。

今回 →g=→0 ですから、同様に →a+→b+→c=→0
よって、それを使った内積 (→a+→b+→c)・→p は Pの位置に関わらず 0 です。

でもって、内積 →a・→a というのは、ベクトルの大きさの2乗 |→a|^2 に一致します。今回は GA^2 ですね。
GAの大きさは図形的に計算して下さい。もとが正三角形ですから、色々やりようはあると思いますが、例えば 2GAcos30°=AB=√3・r とか。

式の変形を丁寧に書くなら
s
= (→a-→p)・(→a-→p) + (→b-→p)・(→b-→p) + (→c-→p)・(→c-→p)
= (→a・→a - 2→a・→p + →p・→p ) + (→b・→b - 2→b・→p + →p・→p ) + (→c・→c - 2→c・→p + →p・→p )
= →a・→a + →b・→b + →c・→c - 2(→a・→p + →b・→p + →c・→p ) + 3→p・→p
= |→a|^2 + |→b|^2 + |→c|^2 - 2(→a+→b+→c)・→p + 3|→p|^2
= r^2 + r^2 + r^2 - 0 + 3|→p|^2

という所でしょうか。ベクトルの内積の計算は、まあ、慣れてくださいとしか言えませんね。

No.11194 - 2010/08/12(Thu) 00:26:22

☆ Re: ベクトルの問題です。 / Kay(高３女子）

大変すっきりしました。ありがとうございました！

No.11316 - 2010/08/25(Wed) 21:36:49

★ (No Subject) / レモン

∫[0～２π]lcos(x-t/2)ldx=∫[0～２π]lcosxldx

となる理由を誰か証明してください＞＜

よろしくお願いします。

No.11171 - 2010/08/10(Tue) 16:31:57

☆ Re: / ヨッシー

まともに計算すると、両辺とも０になるのがわかります。

グラフで理解するなら、y=cosｘのグラフで、任意の位置に
幅2πの区間を取ると、ｘ軸より上の部分と、下の部分とで、
面積が等しいので、全区間の積分は、０になることからわかります。

No.11173 - 2010/08/10(Tue) 20:10:05

☆ Re: / レモン

問題を写し間違っていました。申し訳ありません。

訂正しましたのでよろしくお願いします。

No.11174 - 2010/08/10(Tue) 20:31:14

☆ Re: / ヨッシー

y=|cosｘ| のグラフと、y=|cos(x-t/2)| のグラフの
０～２πにおける面積(ｘ軸とグラフとで挟まれた部分の面積)
が等しいことからわかります。

No.11178 - 2010/08/10(Tue) 20:57:21

☆ Re: / レモン

数式による証明ってありますでしょうか？

また、これはcos,sin独自の性質なのでしょうか？

No.11186 - 2010/08/11(Wed) 20:37:55

☆ Re: (No Subject) / ヨッシー＠携帯

左辺は x が０～π/2, π/2～3π/2, 3π/2～2π に分けて積分します。
右辺は t/2 の値によって場合分けが必要ですが
出来なくはありません。

sin, cos に限らず、周期が 2π/k (k は自然数)であれば
任意の幅 2π の区間で積分した値はどれも等しくなります。
同様に、グラフを x 軸方向に任意の量移動したものを
x=０～2π の区間で積分した値は、移動量に関わらず一定です。

No.11212 - 2010/08/13(Fri) 22:11:52

★ (No Subject) / そら

数列{an}(n=1,2,・・・）は

1≦Cn<2、∫(Cn～２）logxdx=(１/n)∫（1～２）logxdx

を満足するものとスル。

このとき、lim(n→∞）n(2-Cn)が存在するとして

その値を求めよ。という問題（名古屋工業大）についての質問です。

解答の最初の一行目が

（２－Cn)logCn≦∫(Cn～２）logxdx≦（２－Cn)log２であるから始まっているのですが、まずこれをどうやって作ったのか全くわかりません。
誰か教えてください。

No.11170 - 2010/08/10(Tue) 16:22:24

☆ Re: / ast

> 数列{an}(n=1,2,・・・）は
a_n ではなく c_n ですね?

積分区間内の x について c_n ≤ x ≤ 2 であることから出ます.

No.11172 - 2010/08/10(Tue) 19:46:19

☆ Re: / そら

その情報から試してみましたが、まだ出来ません。

もっと具体的にお願いします。

No.11176 - 2010/08/10(Tue) 20:37:47

☆ Re: / ast

c_n ≤ x ≤ 2 と目的の式とをにらめばあからさまにわかるように, c_n ≤ x ≤ 2 に log の単調性と積分の単調性を適用するだけです (単調性とは, その操作を行っても不等式を保つという性質のことです).

具体的に情報が欲しいならば, 次回からは質問者さん自身が具体的に「何をどう試したか」をお書きになるよう心がけられるのが良いと思います.

No.11177 - 2010/08/10(Tue) 20:55:25

★ 2度目の投稿です / meta

このサイトの、3ページラストのあたりにあるやりとりです。

この投稿で4ページになると思いますが。

おそらく返信に気づかれないと思うので、別スレッドを立てさせていただきます。ご迷惑をおかけします。

☆ Re: 確率 / meta

箱の中にＡと書かれたカード、Ｂと書かれたカード、Ｃと書かれたカードがそれぞれ４枚ずつ入っている。男性６人、女性６人が箱の中から１枚ずつカードを引く。ただし、引いたカードは戻さない。
（1）Ａと書かれたカードを４枚とも男性が引く確率を求めよ。
（2）Ａ，Ｂ，Ｃと書かれたカードのうち、少なくとも１種類のカードを４枚とも男性または４枚とも女性が引く確率を求めよ。

確率はどうも苦手です…

分母は12！/4！*4!*4!=51975とかですか？
（2）は余事象っぽいですが…

しばらく確率をやっていなかったのでかなり曖昧になっています

考え方を教えてください。よろしくお願いします

No.10975 - 2010/07/26(Mon) 10:48:22

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☆ Re: 確率 / angel

(1)
この問題では、全てのカードが余ることなく、男性/女性に行き渡ります。なので、
　12人(男性6人・女性6人)が1枚ずつカードを引く
ではなく、
　カード12枚が、1人ずつパートナーを選ぶ
と考えることができます。

その上で、Aと書かれたカードに、こっそり A1～A4まで名前をつけてあげると、求める確率は、
「A1～A4が全て男性をパートナーとして選ぶ確率」と言い換えることができます。

後は組み合わせでも、順列でも行けますが…組み合わせで考えるなら、
　(確率)=(男性6人から4人選ぶ選び方)/(12人全員から4人選ぶ選び方)
とか。

No.10977 - 2010/07/26(Mon) 22:29:41

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☆ Re: 確率 / angel

(2)
余事象ではなく、
　(PまたはQである確率) = (Pである確率) + (Qである確率) - (PかつQである確率)
というような計算のお話。ピンと来ない場合は、ベン図を描いてみましょう。集合のお話と同じです。

さて、「少なくとも」という表現そのままでは漠然としていますから、こう整理します。
　少なくとも1種類のカードを４枚とも男性または女性が引く
　⇔ ( Aを4枚とも男性が引く ) または ( Aを4枚とも女性が引く )
　　または ( Bを4枚とも男性が引く ) または ( Bを4枚とも女性が引く )
　　または ( Cを4枚とも男性が引く ) または ( Cを4枚とも女性が引く )

…「または」で6個のパートが連結しているので、分かりにくいかもしれません。ちょっと少ない例から行ってみましょう。

　(XまたはYまたはZである確率)
　= (Xまたは(YまたはZ)である確率)
　= (Xである確率) + (YまたはZである確率) - (Xかつ(YまたはZ)である確率)
　= (Xである確率) + (YまたはZである確率) - ((XかつY)または(XかつZ)である確率)

ちょっとここで一旦止めます。
今回、男性も女性も6人しかいませんから、2種類以上のカードを男性/女性のみで独占することはできません。
できるとすれば、男性がAを独占かつ女性がBを独占といったような複合のみです。

そうすると、上のX,Y,Zを使った例でいくと、
　XかつYかつZは起こらない、つまり (XかつYかつZとなる確率)=0
ということになります。(X等には、例えば「男性がAを独占する」等をあてはめてください)

なので、
　(XまたはYまたはZである確率)
　= (Xである確率) + (YまたはZである確率) - ((XかつY)または(XかつZ)である確率)
　= (Xである確率) + (YまたはZである確率) - (XかつYである確率) - (XかつZである確率)
　※((XかつY)かつ(XかつZ)である確率) = (XかつYかつZである確率)=0
と、「または」の3連結を2連結に落とし込むことができます。
同じ調子で、「または」の6連結を、5,4,3,2 と落とし込めば良いです。

ああ、1種類計算しなければならない確率がありますので、念のため。
「Aと書かれたカードを4枚とも男性が引き、かつ、Bと書かれたカードを4枚とも女性が引く確率」です。これは(1)と同じ要領で、別途計算しておいて下さい。

No.10978 - 2010/07/26(Mon) 22:51:25

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☆ Re: 確率 NEW / meta

返信がかなり遅れてしまいました。申し訳ありません。

後半で疑問点が浮上しました。

(XまたはYまたはZである確率)
= (Xである確率) + (YまたはZである確率) - ((XかつY)または(XかつZ)である確率)
= (Xである確率) + (YまたはZである確率) - (XかつYである確率) - (XかつZである確率)

という部分です。

これって最初の変形では、（XかつYかつZである確率）を1回しか引いていないのに、2度目の変形では2回引いていることになりませんか？

No.11169 - 2010/08/10(Tue) 12:49:11

☆ Re: 2度目の投稿です / angel

ちょっと文字を変えますが、

　(PまたはQである確率) = (Pである確率) + (Qである確率) - (PかつQである確率)

今回、P に (XかつY)、Q に (XかつZ) を代入してください。

　((XかつY)または(XかつZ)である確率)
　= (XかつYである確率) + (XかつZである確率) - ((XかつY)かつ(XかつZ)である確率)

でもって、最後の項は (XかつYかつZである確率) になるのですが、上で説明している通り、この問題では 0 となるため、消えます。
そこから符号を反転すると、

　- ((XかつY)または(XかつZ)である確率)
　= - (XかつYである確率) - (XかつZである確率)

となります。

No.11181 - 2010/08/11(Wed) 00:35:06

★ 確率 / meta

1から6までの数字が1つずつ書かれている6枚のカードがある。これらをよくきった上で、左から右に1列に並べる。カードに書かれた数字を左から順にa,b,c,d,e,fとする。
（1）a+b=cとなる確率を求めよ。
（2）a+b=c+dとなる確率を求めよ。

実際に条件を満たすように並べてみると、cが1,2でないことはわかるのですが、そこからがわかりません…

答は（1）1/10（2）7/45

よろしくお願いします。

No.11166 - 2010/08/10(Tue) 11:59:25

☆ Re: 確率 / ヨッシー

すべての並べ方は、別途計算しておくとして、
(1)
(a,b,c) に入る数字として、
(1,2,3)(1,3,4)(1,4,5)(1,5,6)(2,3,5)(2,4,6)
および、a と b を入れ換えた、合計12通りの場合があり、
他の3枚(d,e,f) の並び方はそれぞれ３！＝６(通り)あるので、
a+b=c となる並べ方は 12×6＝72(通り)
これを、すべての並べ方で割ると、確率が出ます。
(2)
和が５の場合　1+4 と 2+3
和が６の場合　1+5 と 2+4
和が７の場合　1+6 と 2+5 と 3+4
和が８の場合　2+6 と 3+5
和が９の場合　3+6 と 4+5

和が５の場合、a,b,c,d への振り分け方は
　(1,4,2,3)(1,4,3,2)(4,1,2,3)(4,1,3,2)
および、a,b と c,d を入れ換えた、合計８通りの場合があります。
また、和が７の場合を、
和が７の場合　1+6 と 2+5
和が７の場合　1+6 と 3+4
和が７の場合　2+5 と 3+4
とすれば、やはり、それぞれ８通りの場合があります。
よって、７×８＝５６(通り)の、a,b,c,d の決め方があり、
残りの e,f の並べ方がそれぞれ２通りあるので、
a+b=c+d を満たす並べ方は、56×２＝112(通り)あります。

No.11167 - 2010/08/10(Tue) 12:29:10

★ (No Subject) / とも

連続な関数f(x)と問題文で与えられたら、
それはー∞から∞まで連続とみなしていいんでしょうか？

次の問題で定義域が０を含むか含まないかがそのことと関係しているのです。

連続な関数ｆ（ｘ）は次のa,bを満たしている。

a)f(π/2)=０、ｂ）ｆ’（ｘ）＝cosx(0<x<t),sint(t<x<π/2)

f(x)を求めよ。

No.11163 - 2010/08/09(Mon) 22:17:48

☆ Re: / angel

> それはー∞から∞まで連続とみなしていいんでしょうか？

いえ、その関数の定義域次第です。

今回の f(x) の場合、

・0＜x＜t, t＜x＜π/2 で f'(x) が存在
・f(π/2) が定義されている

ということから、

・少なくとも 0＜x≦π/2 を定義域に含み、その範囲でf(x)は一意に定まる
・x=0 も定義域に含む場合は、f(0)も一意に定まる ( f(0)=lim[x→0+0] f(x) )
・それ以外の範囲を定義域に含むとしても、そこでのf(x)を特定する情報は与えられていない

というところです。…問題が不親切でしょうか。
ちなみに、x=0 が定義域に含まれないとしても、f(π/2) から逆に遡ればよいので、解くのに困ることはないと思いますよ。

No.11180 - 2010/08/10(Tue) 23:57:05

☆ Re: / とも

f(π/2)から逆にさかのぼればx=0が定義域に入るかどうか分かるということですか？何をどのようにさかのぼれよいのでしょうか。教えてください＞＜

No.11184 - 2010/08/11(Wed) 14:16:11

☆ 定義域 / angel

> f(π/2)から逆にさかのぼればx=0が定義域に入るかどうか分かるということですか？

…? いいえ、定義域は問題を解いて解明するものではないのですよ。
「出題者がどのように f(x) の定義域を定めたか」次第なのです。
それが明記されていないようなので、「問題が不親切」と言った訳です。

No.11189 - 2010/08/11(Wed) 21:16:12

☆ Re: / angel

f(0) が定義されるかどうかを気にされているのは、
　f(x)=f(0)+∫[0,x]f'(z)dz
を使うためではないのですか?

であれば、
　f(x)=f(π/2)-∫[x,π/2]f'(z)dz
を使えば良いので、
> f(π/2) から逆に遡ればよいので、解くのに困ることはないと思いますよ。
と申し上げた次第で。

No.11190 - 2010/08/11(Wed) 21:44:34

★ 領域 / アルト

表し方が判らないので、以下ではベクトル
→
(OA)
などを、v(OA)で表します。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
0≦α≦π、0≦β≦π/2 として、
v(OA)=(α,sinα)、v(OB)=(β,cosβ)
とする。
点Pをv(OP)=(x,y)=v(OA)+v(OB)で表される点とするとき、Pの存在する領域をxy平面上に図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
という問題です。
これを次のように解こうとしましたが、結果的に挫折しました。

x=α+β、y=sinα+cosβよりβを消去して、
y=sinα+cos(x-α)=sinα+cosxcosα+sinxsinα=(1+sinx)sinα+cosxcosα
これを合成して、
y=(√)cos(α-φ)　(√=(1+sinx)^2+(cosx)^2))
あとはこの式の"cos(α-φ)"の部分をαの関数f(α)と見て、各xにおけるαの値で場合分けをしてf(α)、ひいてはyの変域を出そう・・・としたのですが、その途中で煩雑になり挫けてしまいました。

ちなみに答えは、
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
(i)　0≦x≦(π/2)のとき、cosx≦y≦1+sinx
(ii) (π/2)≦x≦(3π/2)のとき、-cosx≦y≦2cos((x/2)-(π/4))
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
のようです。

この問題を、今回私がとった方針で解いていくことは出来ないのでしょうか？
また他に解法があるなら、そちらを教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いします。
　

No.11143 - 2010/08/08(Sun) 05:07:11

☆ Re: 領域 / angel

取り敢えず、基本で考えるなら、

・あるxの値に着目する
・そのxに対して、取りうる(α,β)の範囲を決定する
・その(α,β)の範囲に対して、yの値の範囲を計算する

というのを、xの範囲 0≦x≦3π/2 の全域でやることになるので、xが主役になる形で考えないと厳しいでしょうね。

No.11149 - 2010/08/08(Sun) 09:46:03

☆ Re: 領域 / angel

方法として、α,βの対象性っぽい所で行くなら、
x=α+β の他に、z=α-β というのを導入して、

y = sinα + cosβ
= sin(x/2+z/2) + cos(x/2-z/2)
= sin(x/2)cos(z/2)+cos(x/2)sin(z/2) + cos(x/2)cos(z/2)+sin(x/2)cos(z/2)
= ( sin(x/2)+cos(x/2) )( sin(z/2)+cos(z/2) )

という変形が、まあ、xが主役になってるっぽいでしょう。
で、f(x)=sin(x/2)+cos(x/2) という形は、合成して調べてみると分かりますが、今回の x の範囲では非負です。
なので、g(z)=sin(z/2)+cos(z/2) の範囲だけ考えればO.K.

0≦x≦π/2 の範囲では、単純に -x≦z≦x ( (α,β)=(0,x),(x,0) が両端 ) で、
g(-x)≦g(z)≦g(x) つまり、f(x)g(-x)≦y≦f(x)g(x)

π/2＜x≦π の範囲では、x-π≦z≦x ( (α,β)=(x-π/2,π/2), (x,0) が両端 ) で、
g(x-π)≦g(z)≦g(π/2) つまり、f(x)g(x-π)≦y≦f(x)g(π/2)

π＜x≦3π/2 の範囲では、x-π≦z≦2π-x ( (α,β)=(x-π/2,π/2), (π,π-x) が両端 ) で、
g(x-π)=g(2π-x)≦g(z)≦g(π/2) つまり、f(x)g(x-π)≦y≦f(x)g(π/2)
これは、一つ前のケースと、結果は同じ。

と、こんな感じで、同じ答が出るはずです。

No.11150 - 2010/08/08(Sun) 10:09:45

☆ Re: 領域 / angel

ああ、上の説明で f と g が同じ形なのに、文字を分けているのは、特に意味はありません。
※敢えて言えば、「たまたま同じ形になっただけ」という所

No.11151 - 2010/08/08(Sun) 10:17:49

☆ Re: 領域 / アルト

angel さん、ありがとうございました。
対称性がキレイにはまっていてとてもすっきりしました。

これからもよろしくお願いします。。。

No.11157 - 2010/08/09(Mon) 04:54:07

★ 高3です / 田中

c>1,a(1)=1,a(n+1)=√（a(n)+c)
で定められる数列a(n)が極限値Ａを持つと仮定してその値を求め、実際に｛a(n)｝がＡに収束することを示せ。（芝浦工大）についての質問です。

前半部の答えはＡ＝{１＋√（1+4c)}/2でこれは解けました。
後半部の「実際にa(n)｝がＡに収束することを示せ」についての質問です。
後半部は｛a(n)｝がＡに収束することを示せ。つまりＡ＝√（Ａ＋ｃ）となることを示せと
言っているのに
a(n+1)―Ａ=√（a(n)+c)―√（Ａ＋ｃ）によって定まる数列｛a(n+1)―Ａ｝が０に収束することを示せばよいと解答にあるように
示すべきはずのＡ＝√（Ａ＋ｃ）がすでに使われてしまっています。
つまり示すべきはずのＡ＝√（Ａ＋ｃ）がすでに証明されてしまっています。
これでなぜ証明になるのですか？
解答）
ｎ→∞のときa(n)→Ａとするとa(n+1)=√（a(n)+c)・・・?@において
ｎ→∞とすることによって
Ａ＝√（Ａ＋ｃ）したがってＡ＝{１＋√（1+4c)}/2
次にa(n+1)―Ａ=√（a(n)+c)―√（Ａ＋ｃ）…?Aによって定まる数列｛a(n+1)―Ａ｝が０に収束することを示せばよい。（以下略）

No.11136 - 2010/08/07(Sat) 23:09:58

☆ Re: 高3です / angel

> 示すべきはずのＡ＝√（Ａ＋ｃ）がすでに使われてしまっています。
ちゃいます。
示すべきは、「ある適切なAに対して、a[n]-A が 0 に収束すること」です。
で、その適切なAを求めておくのが前半部。なんですが、この前半部って証明のコアではありません。単にAの候補を絞り込んでるだけなんです。( 必要条件 )
後半部こそが証明。ここでは、その適切な Aの値が、A=√(A+c) を満たす事が既に分かっているものとして始まるのです。

No.11141 - 2010/08/08(Sun) 00:45:32

☆ Re: 高3です / 田中

A=√(A+c) と書けるということはa(n+1)、a(n)の極限値がＡつまりa(n+1)-Aが０に収束することですよね？

A=√(A+c)と書いたしまった時点でa(n),a(n+1)は極限値Ａをもつ。つまりa(n+1)ーＡは０に収束すると書いてしまってるわけで、これでは証明にならないのではないかということです。繰り返しになりますがよろしくお願いします。

No.11146 - 2010/08/08(Sun) 08:44:04

☆ Re: 高3です / angel

> …と書けるということは…に収束することですよね？

いいえ。まだそれは「確定」ではありません。
前半部では、Aの満たすべき条件を示し、値を求める、という必要条件を示す段階、
後半部では、そのAの満たすべき条件を用いて、実際に収束することを示す証明、となるのです。

問題文を良く見てください。
前半部には「極限値Ａを持つと仮定してその値を求め」とあります。
これは、極限値にAという名前を付けるだけでなく、「数列a(n)が収束する」という仮定も含んでいるのです。
そのため、Aの値を求めたとしても、収束することはまだ示されたことにはなりません。

ということで、後半部で、何かしら収束することが分かっている形に落とし込んで証明しない限り、収束するということは仮定のままになってしまうのです。

No.11147 - 2010/08/08(Sun) 09:16:57

☆ Re: 高3です / angel

例えば、ですけど。

　a(1)=α, a(n+1) = a(n)^2 で定められる数列a(n)の極限を求めよ

で同じような決めうちをやったらマズいでしょ?
※答は、
　|α|＜1 の時、lim a(n) = 0
　|α|＝1 の時、lim a(n) = 1
　|α|＞1 の時、lim a(n) = +∞ ( 発散 )

No.11148 - 2010/08/08(Sun) 09:29:06

☆ Re: 高3です / 田中

後半部で、何かしら収束することが分かっている形に落とし込んで証明しない限り、収束するということは仮定のままになってしまうのです。
の部分がちょっとよく分からなかったです。

まだいまいち分かりません。

c>1,a(1)=1,a(n+1)=√（a(n)+c)
で定められる数列a(n)が収束することをしめせ。

という問題だったら解答はじゃぁどうなりますか？

No.11152 - 2010/08/08(Sun) 17:50:15

☆ Re: 高3です / angel

> という問題だったら解答はじゃぁどうなりますか？

殆ど同じ解答になります。
結局、収束することを示すためには、具体的な極限値を把握しないと、証明が難しいためです。
ただ、A を求めることは、問題としては要求されていないため、A の値をどう見せるか、解答者側である程度自由に決めることができるでしょう。
なので、例えばこういった解答も考えられます。
--
まず、任意の n に対して、a(n)＞0 である。
※簡単な数学的帰納法の説明を入れる

次に、A=(1+√(1+4c))/2 と定める
この時、A=√(A+c) を満たす。
また、c＞1 より、A＞(1+√(1+4・1))/2＞1 である。

このAに対し、a(n)がAに収束することを以下に示す。

a(n+1) = √(a(n)+c)
⇔ a(n+1)-A = √(a(n)+c) - √(A+c)
⇔ a(n+1)-A = ( √(a(n)+c) - √(A+c) )( √(a(n)+c) + √(A+c) )/( √(a(n)+c) + √(A+c) )
⇔ a(n+1)-A = ( a(n)-A )/( √(a(n)+c) + √(A+c) )
⇔ a(n+1)-A = ( a(n)-A )/( √(a(n)+c) + A )
⇒ | a(n+1)-A | = | a(n)-A |/| √(a(n)+c) + A |
⇒ | a(n+1)-A | ≦ | a(n)-A |/A

これにより、帰納的に |a(n)-A|≦|a(1)-A|/A^(n-1) である。
※簡単な数学的帰納法の説明を入れる

この不等式に関し、A＞1 であるため、右辺は 0 に収束する。ゆえに左辺も 0 に収束する。
以上により、a(n) が A に収束することが示された。
--
実は、元の問題で先に A を求めさせているのは、ちょっとした親切心 ( 問題の難易度を落とす処置 ) なのです。

No.11154 - 2010/08/08(Sun) 21:56:16

☆ Re: 高3です / 田中

前の記事になりますが、
その適切な Aの値が、A=√(A+c) を満たす事が既に分かっているものとして始めていいという理由を教えてください。
これが全てなきがします。

No.11155 - 2010/08/08(Sun) 22:30:20

☆ Re: 高3です / angel

> 既に分かっているものとして始めていいという理由を教えてください。

No.11154の解答例でも、A=√(A+c)の条件を自分で出して使っているでしょう。それと同じ事。

結局の所、「a(n) が A=(1+√(1+4c))/2 に収束する」という証明の目標設定は、たとえ問題に誘導されているとしても、解答者が自分でやっていることなんです。

元の問題で、
・A=√(A+c) を満たすような A を求める
・求めた A に対して、lim a(n) = A を目標とし、証明を行う
という解き方をするのは、あくまで解答者自身です。
で、A は「A=√(A+c)を満たすよう」に求めたのですから、証明を始めるにあたって、この性質は自身で自由に使うことができるのです。

No.11156 - 2010/08/08(Sun) 23:01:43