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(No Subject) / 極限弐!

limlog(1+4/n)^n=limlog((1+4/n)^n/4)^4
なんで
n/4乗にするのかがわかりません

No.1660 - 2008/07/19(Sat) 20:56:48

Re: / rtz
n→∞ですか?

それはともかく、e=lim[t→∞]{1+(1/t)}tを使うためです。

No.1662 - 2008/07/19(Sat) 21:10:29

Re: / 極限弐!
なるほど

完璧わかりました(笑)
ありがとううございますmm

No.1663 - 2008/07/19(Sat) 21:14:57
函数の単射 / なっち
大学2年生の問題です。

f(z)はD内で正則で、D内のあるzoで、f(zo)≠0であるならば、D内の小近傍で単射である事を示せ。
という問題です。なんとなくイメージ的には当たり前な気がするのですが、
いざ数式で証明するとなるとどうしていいか分かりません。
どなたか教えて下さい!

No.1657 - 2008/07/18(Fri) 23:29:10

Re: 函数の単射 / 黄桃
問題がおかしくありませんか?

「正則」とあるから、f(z) は複素正則関数で、D はCの領域(単連結開集合)らしい、と推測するところから始めないといけないのでは、回答はつけづらいです。
「なんとなくイメージ的には当たり前」なのであれば、そのイメージを書いてみてください(不完全でも結構です)。

本題ですが、f(z)≡1 (定数関数) はCで正則でしかもどの開集合でも単射ではありませんから、元の命題は偽です。

#元の問題を想像すると一致の定理を使いそうです。

No.1668 - 2008/07/20(Sun) 05:41:27
累次積分の領域について / とん
累次積分の領域について解りません。問題は
∬(x-2y+3)dxdy
D={(x,y)|x+y≦1,x≧0,y≧0}
という問題ですが、書籍にxを先に定数と思う場合、yの範囲をxで表示すると
0≦y≦1-x
となる。yをこの範囲で積分した後でxで積分する。xの積分範囲は
0≦x≦1なので・・・・・・
と書かれていましたが、xの積分範囲はどうして
0≦x≦1-y
とはならないのでしょうか?
宜しくお願いします。

No.1653 - 2008/07/18(Fri) 19:33:25

Re: 累次積分の領域について / rtz
z軸方向に、z=x−2y+3であるような面を考えて、
Dの領域の部分だけみれば、(0,0,3)(1,0,4)(0,1,1)を頂点とする三角形です。
これら頂点からxy平面に垂線を降ろすと、斜めに切られた三角柱ができます。

この体積を求めるとき、
yz平面、即ちx軸に垂直に切り分けて考えれば、
x=t(0≦x≦1)において、この三角柱の切断面の面積は
∫[0,1-t](t-2y+3)dyです。
その後この平面をx軸方向に積分すれば体積になり、
その際の積分範囲は0〜1です。

No.1655 - 2008/07/18(Fri) 21:46:20

Re: 累次積分の領域について / とん
rtzさん

教えて頂きありがとうございます。体積を考えるのですね。Dの領域から、三つの頂点(0,0,3)(1,0,4)(0,1,1)はどのようにして、見つけるのでしょうか?何度もすいませんが宜しくお願いします。

とん

No.1659 - 2008/07/19(Sat) 10:25:55

Re: 累次積分の領域について / rtz
見つけたというか、
z=x−2y+3に、Dの表す直角三角形の頂点(0,0)(1,0)(0,1)の座標を代入しただけです。

No.1661 - 2008/07/19(Sat) 21:06:14

Re: 累次積分の領域について / とん
rtz さん
ご回答ありがとうございます。
立体を考えるのが難しいですね。
頑張ってみます。

           とん

No.1664 - 2008/07/19(Sat) 22:01:55
連立不等式 / 桜 高校2
いつもお世話になっております。
よろしくお願いいたします。

xについての不等式x^2-(a+1)a+a<0,3x^2+2x-1>0を同時に満たす整数xがちょうど3つの存在するような定数aの値の範囲を求めよ。


私は、
x^2-(a+1)a+a<0を解いて
a<1のときa<x<1
a=1のとき 解なし
a>1のとき1<x<a

3x^2+2x-1>0を次にといて
x<-1, 1/3<x

とここまでやりましたが、次から何をしたらよいのかわかりません・

教えてください。
すみませんです。
よろしくお願いいたします。

No.1650 - 2008/07/18(Fri) 15:49:26

Re: 連立不等式 / rtz
場合分けのまま続けましょう。
a<1なら、
[ x<-1または1/3<x ] かつ a<x<1
で、これを満たす整数が3つ、です。
1/3〜1未満に整数は入りませんから、x<-1だけ考えればよいことになります。
つまり、a<x<-1を満たす整数xが3つ、要はx=-2,-3,-4のみが
↑の不等式の中に入るようにaの範囲を決めましょう。

a>1の方は1<x<aだけ考えればいいので、
こちらは考えやすいかと思います。
x=2,3,4だけが満たすようにaの範囲を決めます。

どちらにせよ分かりにくければ数直線を描いてみて下さい。

No.1651 - 2008/07/18(Fri) 16:01:00

Re: 連立不等式 / 桜 高校2
rtzさんありがとうございます。(*^_^*)
こちらの問題は無事解けました☆!!

類似の問題で、
xについての2つの二次不等式
x^2-2x-8<0, x^2+(a-3)x-3a≧0
を同時に満たす整数がただ1つ存在するように定数aの値の範囲を定めよ。

という問題を同様に解いてみるのですが、できません。。
教えてください。
再度すみませんです。
よろしくお願いいたします。

No.1652 - 2008/07/18(Fri) 18:21:13

Re: 連立不等式 / rtz
こっちも先ほど同様、解が判明している方がヒントになります。
1つ目の式を解いて、先に数直線上に表しておきます。

そして2つ目の式の解をaの値で場合わけします。
これらも数直線上に表し、
解であるような整数が1つだけになるようにすればいいです。

No.1654 - 2008/07/18(Fri) 21:25:38

Re: 連立不等式 / 桜 高校2
ありがとうございます。

-2<a<-1となりましたが、これでよいのでしょうか。

すみません
よろしくお願いいたします。

No.1656 - 2008/07/18(Fri) 22:08:11

Re: 連立不等式 / rtz
残念ながら違うようです。
1つ目は-2<x<4で、
2つ目は
-a>3でx≧-a,x≦3、-a=3で全てのx、-a<3でx≧3,x≦-aです。

この時点で-a≧3は除外されます。
あとはx=3が条件を満たしますので、
x≦-aがx=-1を含まないようにaを考えましょう。

No.1658 - 2008/07/19(Sat) 01:37:21
(No Subject) / ayu
第2項が43、第9項が22である等差数列について、(1)初項と公差(2)初項から第n項までの和が最大になるようなnの値をそれぞれ求めよ。

どなたか教えてください。

No.1645 - 2008/07/18(Fri) 12:09:06

(No Subject) / ヨッシー
(1)
第2項から第9項までは、公差の7個分増えているので、
 (22−43)/7=-3 ・・・公差
よって、初項(第1項)は、
 43-(-3)=46 ・・・初項
(2)
この数列は、公差が負なので、ある項までが正(または0)で、
その次の項から後はすべて負になります。
第n項までの和は、項が正であるあいだは増え続け、
項が負になる1つ手前が最大で、その後減り続けます。
一般項 46−3(n−1)=−3n+49
より、第16項が1,第17項が−2 なので、第16項が
最大になります。

No.1648 - 2008/07/18(Fri) 14:50:20
(No Subject) / さかな
次の数列の初項からn項までの和をもとめよ。
(1)1・2,3・4,5・6,7・8,9・10,…
(2)1(n+1),2(n+2),3(n+3),4(n+4)…

教えてください。よろしくお願いします。

No.1642 - 2008/07/18(Fri) 11:57:26

(No Subject) / ヨッシー
第n項をnの式で表して、和の公式に持ち込むのが、あれこれ
考えなくて済む方法です。

(1)
第n項は、(2n-1)・2n =4n^2-2n であるので、
n項までの和は
 4n(n+1)(2n+1)/6 − 2n(n+1)/2
 =2(2n^3+3n^2+n)/3 − 3(n^2+n)/3
 =(4n^3+3n^2-n)/3

(2)
かなり変わった数列(第何項まで足すかを決めてから、
数列の内容を決め、必ずその項まで足し、途中の合計は
気にしない)ですが、やってみます。

数列の第k項は k(n+k) で、これを、k=1 から k=n まで足します。
 k(n+k)=nk+k^2
より、求める和は
 n^2(n+1)/2+n(n+1)(2n+1)/6
 =n(n+1)(5n+1)/6

No.1647 - 2008/07/18(Fri) 14:45:03
不等式 / 桜 高校2
こんにちは。
よろしくお願いいたします。

次の不等式を解く問題です。ただしaは定数とします。
x^2-(a+a^2)x+a^3<0

このような問題を見たことがなくて
いつもどおり
といて
a<x<a^2と出しましたが不正解でした。

わかりません。
教えてください
いつもすみません。よろしくお願いいたします。

No.1641 - 2008/07/18(Fri) 11:47:57

Re: 不等式 / ヨッシー
a=2 とすると
 x^2−6x+8<0
 (x-2)(x-4)<0
 2<x<4
これは問題ありません。では、a=0.5 の場合
 x^2−0.75x+0.125<0
 (x-0.25)(x-0.5)<0
 0.5<x<0.25
これはおかしいですね。
 0.25<x<0.5
でないといけません。
a<x<a^2 で良いときと、a^2<x<a になるときとあるようです。

No.1643 - 2008/07/18(Fri) 11:58:35

Re: 不等式 / 桜 高校2
そういうことですね!!!
すごくわかりました。
本当に本当にありがとうございます☆

No.1649 - 2008/07/18(Fri) 15:08:23
(No Subject) / さおり
追加でお願いします。
y=x/{x-√(a^2-x^2 )}

見にくくなってしまいすみません。

No.1639 - 2008/07/18(Fri) 10:00:13
(No Subject) / さおり
次の極限をもとめよ。
(1)y=xarctanX-log√(1-x^2)
(2)y=e^(x^x )

解答お願いします。

No.1638 - 2008/07/18(Fri) 09:56:20

(No Subject) / ヨッシー
どうしたときの極限ですか?
x→∞ とか x→0 とか。

また、(1) は、
 y=x(arctanX)-log√(1-x^2)
 y=xarctan{X-log√(1-x^2)}
 その他
のどれでしょうか?
X は x のことでしょうか?

No.1640 - 2008/07/18(Fri) 10:19:38

Re: / さおり
わかりにくくてすみません・・・・。
たぶんロピタルを利用して答えるのですが・・・。
全く解き方がわからないんですね。
ただ、
(1)arctanx
が解答です。
あとXはxと同じです。
wordで数式を作ったのですが、貼り付けたらおかしくなってしまいました。
お願いします。

No.1646 - 2008/07/18(Fri) 14:31:27
微分積分 / みほ
次の関数のどう関数を求めよ。
(1)y=arcsin(x/a)a>0
(2)y=(1/a)arctan(x/a)a>0
(3)y=arcsin(cosx)

お願いします

No.1635 - 2008/07/18(Fri) 07:50:33

Re: 微分積分 / みほ
「どう関数」ではなく「導関数」でした・・・・。
No.1636 - 2008/07/18(Fri) 09:45:21
(No Subject) / あん
初項2、公比3の等比数列の第n項から第N項までの和が2178であるとき、自然数n、Nの値を求めよ。

教えてください。お願いします。

No.1629 - 2008/07/17(Thu) 14:20:58

(No Subject) / ヨッシー
第n項は 2・3n-1
第N項は 2・3N-1 であり、
 S=2・3n-1+2・3n+・・・+2・3N-1 ・・・(1)
とおくと、
 3S=2・3n+・・・+2・3N-1+2・3N ・・・(2)
(2)−(1) より、
 2S=2・3N−2・3n-1=2178×2
よって、
 3N−3n-1=2178
 3n-1(3N-n+1−1)=2178
3N-n+1−1 は3の倍数でないことを考慮すると、
 2178=32×242
より、
 3n-1=32
 3N-n+1−1=242
と考えられます。以上より
 n=3
 N-n+1=5 より N=7

No.1630 - 2008/07/17(Thu) 14:56:50
マンハッタン距離 / フルカワ
マンハッタン距離(L1-距離)というのを考えます。
平面上で2点からの距離が等しい点はどういった曲線を描くのでしょうか?
式は複雑なので、図を描いてイメージをしたいです。
たとえば、

|x|+|y|=|x-p|+|y-q|

という曲線のグラフはどんなかんじになるのでしょうか?

No.1624 - 2008/07/17(Thu) 02:47:30

Re: マンハッタン距離 / あり
平面上で2点からの距離が等しい図形は楕円形です。

wikipediaでも参照してみてください

No.1625 - 2008/07/17(Thu) 03:01:46

Re: マンハッタン距離 / ヨッシー
こちら・・・かな?
No.1626 - 2008/07/17(Thu) 08:35:10

Re: マンハッタン距離 / 黄桃
ご質問の趣旨は、ユークリッド距離(L^2-距離)なら、平面上の2点からの距離が等しい点はその垂直二等分線になりますが、L^1-距離ならどうなるか、ということでしょうか?

|x|+|y|=|x-p|+|y-q|
で、p≧q>0 とします。x,y について、x<0, 0≦x<p, x≧p の場合と y<0, 0≦y<q, y≧q の場合がありますから、全部で9通り考えればOKです。
結論から言うと、3本の線からなる折れ線になります。_/~ これを縦横変えたような形です。

(1)x,y<0 の時
-x-y=-x+p+(-x+q) ⇔ p+q=0 これをみたす x,y なし。
(2)x<0, 0≦y<q の時
-x+y=-x+p-y+q ⇔ y=(p+q)/2≧q だから、これをみたす x,y なし。
(3)x<0, y≧q の時
-x+y=-x+p+y-q ⇔ p+q=0 これをみたす x,y なし。
(4)0≦x<p, y<0 の時
x-y=p-x+q-y ⇔ x=(p+q)/2 0<(p+q)/2≦p だから、これを満たす x,y は {(x,y)| y<0, x=(p+q)/2}
(5)0≦x<p, 0≦y<q の時
x+y=-x+p-y+q ⇔ x+y=(p+q)/2 0≦x+y<p+q だから、これを満たすx,y は{(x,y)| 0≦x<p, 0≦y<q, x+y=(p+q)/2}
(6)0≦x<p, y≧q の時
x+y=-x+p+y-q ⇔ x=(p-q)/2 0≦(p-q)/2<p だから、これを満たす x,y は{(x,y)| y≧q, x=(p-q)/2}
以下同様。x≧p の場合は式を満たす x,y はありません。

No.1634 - 2008/07/18(Fri) 00:03:15

Re: マンハッタン距離 / フルカワ
みなさま、まことにありがとうございました。
No.1644 - 2008/07/18(Fri) 12:05:56
確率に関する問題です。 / かな
?@確率変数Xが区間(0.1)上の一様分布に従うとし、
 確率変数YをY=(-1/λ)logXとする。(但し、λは正)
 このとき、以下の問に答えよ。

(1)0<b<aとするとき、P(b≦Y≦a)を求めよ。
(2)確率変数Yはパラメータλの指数分布に従うことを示せ。

?A硬貨を10000回投げたとき、表の出た回数をSとして、
 次の確率を求めよ。

(1)P(S≧4900)
(2)P(4900≦S≦5050


この問題の解答・解説の方をお願いできないでしょうか?
大変申し訳ないのですがよろしくお願いいたします

No.1622 - 2008/07/16(Wed) 22:10:20
二次不等式 / 桜 高校2
こんにちは。
よろしくお願いいたします。

aを定数として、二次関数f(x)=x^2+4x-a^2+5aがある。
(1)すべてのxの値に対してf(x)>0となるようなaの値の範囲を求めよ。
(2)x>0を満たすすべてのxの値に対してf(x)>0となるようなaの値の範囲を求めよ。
(3)a≦x≦a+1を満たすすべてのxの値に対してf(x)≦0となるようなaの値の範囲を求めよ。
(4)a≦x≦a+1における二次関数y=f(x)の最大値が-6のときaの値を求めよ。


教えてください。
よろしくお願いいたします。

No.1617 - 2008/07/16(Wed) 16:15:57

Re: 二次不等式 / X
方針を。

(1)
xの二次方程式f(x)=0の解の判別式をDとすると
D/4<0
が条件になります。

(2)
y=f(x)のグラフは軸がx=-2である下に凸の放物線ですので
f(x)はx≧0において単調増加
になります。よって
f(0)≧0
が条件になります。

(3)
y=f(x)のグラフは下に凸の放物線ですので
a≦x≦a+1におけるf(x)の最大値は
f(a),f(a+1)のいずれか大きい方
になります。よって条件は
(i)f(a)≦f(a+1)のときはf(a+1)≦0
(ii)f(a+1)<f(a)のときはf(a)≦0
となります。

(4)
(3)と同様に考えると
(i)f(a)≦f(a+1)のときはf(a+1)=-6
(ii)f(a+1)<f(a)のときはf(a)=-6
が条件となります。

では頑張って下さい。

No.1618 - 2008/07/16(Wed) 16:50:44

Re: 二次不等式 / 桜 高校2
回答ありがとうございます。
(1)おかげさまで解けました☆

(2)からなかなか難しくて解けません><
申し訳ございません。
もうすこしヒントを下さると幸いです。

本当にすみませんです。。

No.1623 - 2008/07/16(Wed) 22:11:33

Re: 二次不等式 / ヨッシー

たとえば(2)は、上のようなグラフを考えると、
f(0) が0以上であると、条件を満たすことが分かります。

No.1627 - 2008/07/17(Thu) 09:47:49

Re: 二次不等式 / 桜 高校2
ありがとうございます。
あと少しでわかりそうです。

(3)の文章からどうして最大値を求めることがわかったのでしょうか。

すみません。。
よろしくお願いいたします。

No.1631 - 2008/07/17(Thu) 19:21:14

Re: 二次不等式 / rtz
a≦x≦a+1を満たすすべてのxの値に対してf(x)≦0となるような、

ですから、
a〜a+1での最大が0以下であれば、a〜a+1全部が必ず0以下になりますね。

No.1632 - 2008/07/17(Thu) 21:39:13

Re: 二次不等式 / 桜 高校2
みなさま本当にありがとうございました☆
みなさまのおかげで解くことができました。

本当に本当にXさん、ヨッシーさん、rtzさん
感謝しております。ありがとうございました!!

No.1633 - 2008/07/17(Thu) 22:31:13
(No Subject) / み
(1)f(X)を[a,b]で定義された連続関数とすると、f(X)の値域{f(x)|a≦x≦b}は一点かまたは閉区間であることを証明せよ。


(2)f(X)を[a,b]で定義された関数とする。f(X)の値域{f(x)|a≦x≦b}が閉区間であればf(X)は連続であるといえるか。

連続ですみません・・・。
解答お願いします。

No.1614 - 2008/07/16(Wed) 12:05:51
(No Subject) / み
閉区間[a,b]から[a,b]の中へ連続関数f
f:[a,b]→[a,b]
に対して、f(c)=cをみたすc∈[a,b]が存在することを示せ。

お願いします。

No.1611 - 2008/07/16(Wed) 10:23:19
微分積分法-1変数の場合 / カカ
次の等式を示せ。
(1)arcsinX+arccosX=π/2
(2)arctan1/2+arctan1/3=π/4
(3)双曲線関数tanhXの逆関数arctanhXを求めよ。
(3)の解答1/2log(1+X)/(1-X)

解き方が全くわかりません。
解答お願いします。

No.1609 - 2008/07/16(Wed) 10:19:03

Re: 微分積分法-1変数の場合 / ヨッシー
(1)
-π/2≦arcsinX≦π/2
0≦arccosX≦π
で定義するのが普通ですので、これに従います。
arccosX=Y とおくと、cosY=X
 0≦Y≦π
 -π/2≦π/2−Y≦π/2
より
 cosY=sin(π/2−Y)=X
 arcsinX=π/2−Y
が成り立ちます。よって、
 arcsinX+arccosX=(π/2−Y)+Y=π/2

(2)
 arctan(1/2)=x
 arctan(1/3)=y
とおくと、
 tanx=1/2, tany=1/3
ただし、0≦x≦π/2, 0≦y≦π/2
加法定理より
 tan(x+y)=(tanx+tany)/(1−tanx・tany)=1
よって、
 x+y=π/4

(3)
定義より
 tanhx=(ex−e-x)/(ex+e-x)
 x=(ey−e-y)/(ey+e-y)
とおいて、yについて解きます。
 ey−e-y=x(ey+e-y)
 (1-x)ey=(1+x)e-y
 e2y=(1+x)/(1-x)
 2y=log(1+x)/(1-x)
 y=(1/2)log(1+x)/(1-x)
となります。

No.1612 - 2008/07/16(Wed) 11:27:45

微分積分法-1変数の場合 / カカ
早い解答ありがとうございます。
(2)、(3)理解できました。
(1)についてなんですが、<-π/2≦π/2−Y≦π/2
より>という部分がわかりません。
0≦Y≦πに何をしたらそのようになるのです?

詳しく説明お願いします。

No.1613 - 2008/07/16(Wed) 11:57:46

Re: 微分積分法-1変数の場合 / ヨッシー
 0≦Y≦π
各辺-1 を掛けて
 0≧-Y≧-π
π/2 を足して、
 π/2≧π/2-Y≧-π/2
です。

No.1615 - 2008/07/16(Wed) 13:39:01

微分積分法-1変数の場合 / カカ
理解できました。
ありがとうございます。

No.1637 - 2008/07/18(Fri) 09:46:12
積分の問題です / はな
関数f(x)は、

f(x)=∫[0,x]f(t){f(t)-1}dt+1/3 をみたすものとする。f(x)を求めよ。

解き方がよくわかりません。よろしくお願いします。

No.1604 - 2008/07/16(Wed) 00:24:15

Re: 積分の問題です / X
f(x)=∫[0,x]f(t){f(t)-1}dt+1/3 (A)
にx=0を代入すると
f(0)=1/3 (B)
又(A)の両辺をxで微分すると
f'(x)=f(x){f(x)-1} (A)'
(A)'をxの微分方程式と見て初期条件(B)の下で解きます。

No.1616 - 2008/07/16(Wed) 15:38:53
対数関数 / K
(log[x]y)^2 + (log[y]x)^2 = 17/4 (x>1, y>1)のとき、次の値を求めよ。

⑴ log[x]y + log[y]x
⑵ (log[x]y)^3 + (log[y]x)^3

解答 ⑴5/2 ⑵65/8


対数の性質がよくわからないのですが、
(log[a]P)^2 となっていた場合は log[a](P)^2 としていいのですか?

どなたか解答までの過程と解説をお願いします。

No.1602 - 2008/07/15(Tue) 22:55:37

Re: 対数関数 / ヨッシー
>(log[a]P)^2 となっていた場合は log[a](P)^2 としていいのですか?
もちろんダメです。
log28=3 に対して
(log28)2=32=9 ですが、
log22=log264=6 です。

(1)
X=logxy とおくと、
logyx=1/X であるので、
 (logxy+logyx)2=(X+1/X)2
 =X2+(1/X)2+2
 =17/4+2=25/4
よって、logxy+logyx>0 より
 logxy+logyx=5/2

(2)
 (logxy+logyx)3=125/8 ですが、
左辺を展開して
 X3+(1/X)3+3(X+1/X)
 =X3+(1/X)3+15/2
よって、
 X3+(1/X)3=125/8−15/2=65/8

No.1603 - 2008/07/16(Wed) 00:22:04

Re: 対数関数 / K
わかりました!!
条件は展開しないでそのまま利用すればいいんですね。
すっきりしました。
ありがとうございます!

No.1610 - 2008/07/16(Wed) 10:19:46
三角比の問題です。 / pi-ko
はじめまして。

三角形ABCの<Aの2等分線が辺BCと交わる点をDとする、AB=
15 AC=10 AD=6 のとき

辺BCの長さと<Aの大きさを求めなさい。

お願いします。

No.1600 - 2008/07/15(Tue) 21:14:20

Re: 三角比の問題です。 / X
∠BAD=∠CAD=θ
BD=x,CD=y
と置くと△ABD,△ACDについて余弦定理により
x^2=15^2+6^2-2・15・6・cosθ (A)
y^2=10^2+6^2-2・10・6・cosθ (B)
一方、線分ADは∠Aの二等分線ですので
AB:AC=BD:CD
∴15:10=x:y (C)
(A)(B)(C)をx,y,θについての連立方程式と見て解きます。

No.1601 - 2008/07/15(Tue) 21:31:39

Re: 三角比の問題です。 / pi-ko
解けました。

ありがとうございました。

No.1628 - 2008/07/17(Thu) 11:19:29
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