ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 高3 / 匿名

いつもお世話になっています。

問：次の極限を求めよ。

画像の2問がわからないのと、

lim x→0 (tanx - sinx)/x^3

この問題もどうやって変形?
すればいいのかわかりません。

よろしくお願いします。

No.10609 - 2010/06/16(Wed) 20:29:37

☆ Re: 高3 / ヨッシー

画像の１
カッコの中を通分して、
　{√(4-x)－２√(1-x)}/√(4-x)√(1-x)
分子分母に　√(4-x)＋２√(1-x)　を掛けて分子を有理化すると
ｘがくくりだせて、(1/x) と約分出来ます。

画像の２
　ａ^n－ｂ^n＝(ａ－ｂ)(ａ^n-1＋ａ^n-2ｂ＋ａ^n-3ｂ²＋・・・＋ａ²ｂ^n-3＋ａｂ^n-2＋ｂ^n-1)
より、
　(分子)＝(ｘ－ｘ^-1)(ｘ^n-1＋ｘ^n-3＋ｘ^n-5＋・・・＋ｘ^5-n＋ｘ^3-n＋ｘ^1-n)
となり、(ｘ－ｘ^-1) で約分できて、
ｘ→１のとき
　(ｘ^n-1＋ｘ^n-3＋ｘ^n-5＋・・・＋ｘ^5-n＋ｘ^3-n＋ｘ^1-n)→(1+1+1+・・・+1+1+1)＝ｎ

tanx - sinx＝sinx(1/cosx－1)＝sinx(1－cosx)/cosx
として、
lim_x→∞(sinx/x)＝１
lim_x→∞{(１－cosx)/x²}＝1/2
を利用します。

No.10611 - 2010/06/17(Thu) 07:59:10

☆ Re: 高3 / 匿名

ご説明ありがとうございます！

基礎的なことでお恥ずかしいのですが･･･
ａ^n－ｂ^nの部分で、
二項定理を使うとnＣ0やnＣ1 が
出てくると思うのですが、
それはイコールの後の式の
どこに含まれているのでしょうか？

あとの2問は解くことができました！
ありがとうございました。

No.10613 - 2010/06/17(Thu) 12:37:59

☆ Re: 高3 / ヨッシー

二項定理は
　(a-b)^n
を展開した場合の式ですね？
　a^n－b^n＝(a-b)(・・・・)
はただの因数分解です。係数はすべて１です。

No.10614 - 2010/06/17(Thu) 17:59:49

☆ Re: 高3 / 匿名

あっ、わかりました！
本当にありがとうございました。

No.10616 - 2010/06/17(Thu) 19:38:11

★ 高２　数?T / あつき

ΔABCにおいて、辺AB、ACの中点をそれぞれD,Eとし、辺ABの垂直二等分線とΔABCの外接円OのCを含まない弧ABとの交点をF,辺ACの垂直二等分線と外接円OのBを含まない弧ACとの交点をGとする。そして、△ABCの内接円の中心をIとする。以下は、4DF・EG=AI^2が成立することの証明である。
∠CAB=α、∠ABC=β、∠BCA=γとし、以下の()にあてはまる数または式をα、β、γ、πを用いて、最も簡単な形で表せ。

(証明)
線分AIの中点をHとする。四角形AFDHについて、
∠ADH=(ア)、∠HAD=(イ)、∠DAF=(ウ)
であるから、
∠HAF＋∠FDH=(エ)となり、
四角形AFDHは円に内接する。よって、
∠AFH=(オ)
であり、
DF：AH=sin(カ)：sin(キ)
となる。一方、四角形AHEGについても、同様にして、
∠GAE=(ク)、∠HGA=(ケ)
であるから、
AH：EG=sin(カ)：sin(キ)
ゆえに、DF・EG=AH^2、つまり、4DF・EG=AI^2が成り立つ。

図を描いてみたのですが、さっぱりわかりません。

よろしくお願いします。

No.10594 - 2010/06/13(Sun) 13:24:47

☆ Re: 高２　数?T / ヨッシー

ＤはＡＢの中点、ＨはＡＩの中点なので、
ＤＨ//ＢＩよって、∠ＡＤＨ＝∠ＡＢＩ＝β/2　・・・(ア)
∠ＨＡＤ＝α/2　・・・(イ)
△ＡＢＦはＡＦ＝ＢＦの二等辺三角形で、∠ＡＦＢ＋γ＝π より
∠ＤＡＦ＝γ/2　・・・(ウ)

∠ＨＡＦ＝(α＋γ)/2、∠ＦＤＨ＝(π＋β)/2　より
　∠ＨＡＦ＋∠ＦＤＨ＝(α＋β＋γ＋π)/2＝π　・・・(エ)
円周角より　∠ＡＦＨ＝∠ＡＤＨ＝β/2　・・・(オ)
正弦定理より
　ＤＦ/sin∠ＤＡＦ＝ＡＨ/sin∠ＡＤＨ
よって、
　ＤＦ：ＡＨ＝sin∠ＤＡＦ：sin∠ＡＤＨ＝sin(γ/2)：sin(β/2)　・・・(カ)(キ)

同様に
　∠ＧＡＥ＝(α＋β)/2、∠ＨＧＡ＝γ/2
より
　ＡＨ：ＥＧ＝sin(γ/2)：sin(β/2)
よって、ＤＦ：ＡＨ＝ＡＨ：ＥＧ　となり・・・以下、問題文の通り。

No.10596 - 2010/06/13(Sun) 14:38:07

☆ Re: 高２　数?T / あつき

非常に分かりやすい解答と解説、ありがとうございます！

しかし、少し分からないところがあったので、質問させていただきます。

(ウ)の前の行に∠ＡＦＢ＋γ＝πとありますが、
これはどのようにして導かれたものなのでしょうか？

また、(エ)についてですが、
(α＋β＋γ＋π)/２＝πとありますが、
どのようにすれば答えはπと求められるのでしょうか？

教えていただけると嬉しいです。

No.10597 - 2010/06/13(Sun) 18:26:13

☆ Re: 高２　数?T / ヨッシー

> (ウ)の前の行に∠ＡＦＢ＋γ＝πとありますが、
> これはどのようにして導かれたものなのでしょうか？
円に内接する四角形の、向かいある角の和は180度
という性質によります。

>また、(エ)についてですが、
も、同様です。

No.10600 - 2010/06/13(Sun) 20:44:39

☆ Re: 高２　数?T / あつき

よく分かりました！

ありがとうございます。

No.10602 - 2010/06/13(Sun) 21:55:57

★ 順列 / 高一

順列の問題なんですが教えてください。

問題は

母音a,i,u,e,oと子音k,s,tの８個を一列に両端が母音になるようにならべよ。

です。

No.10588 - 2010/06/12(Sat) 18:13:16

☆ Re: 順列 / ヨッシー

ａｉｕｅｋｓｔｏ
が一例です。
これを含め、１４４００通りありますが、書ききれません。

No.10591 - 2010/06/12(Sat) 19:07:13

☆ Re: 順列 / 高一

すみません
問題を記入し間違えてました(汗)

> 母音a,i,u,e,oと子音k,s,tの８個を一列に両端が母音になるようにならべよ。
ではなくて、正しくは、

母音a,i,u,e,oと子音k,s,tの８個を一列に両端が母音になるようにならべると、何通りになるか。
でした

Pを使ってもう一度とき方を教えてくださいｍ(-　-)ｍ

No.10598 - 2010/06/13(Sun) 19:06:19

☆ Re: 順列 / angel

下の No.10562 と同じ問題ではないですか?

No.10599 - 2010/06/13(Sun) 19:34:20

☆ Re: 順列 / とくめい

両端の２ヶ所と中の６ヶ所を別に考えて

?@両端は母音５つから２つを選ぶので
５Ｐ２

?A両端は決まったので残り６つの文字を、６ヶ所に
並べる。並べ方は決まっていないので
６Ｐ６

?@かける?Aで１４４００通り。

No.10601 - 2010/06/13(Sun) 20:57:55

★ 2次関数 / 高校２年生

前にも質問しましたが、ちょっとわからなかったので、もう一度お願いします。

a＞０とし、ｘの2次関数ｙ＝３aｘ^2・・・（１）を考える。
１）（１）のグラフをｘ軸方向に２a ,ｙ軸方向に12aだけ平行移動すると、そのグラフはy=3a(x-2a)＾2＋12aである。
さらに、このグラフと直線y=12aに関して対称なグラフを表す2次関数は
y=-3a（ｘ^2ー4ax＋4a^2ー4）・・・（２）となる。

?@（１）と（２）のグラフが異なる２点で交わるとき、aの取り得る範囲は0<a<（あ）である。

※この問題は（１）と（２）の連立で求めると思いますが、どうしても答えがでません。

?A　?@において、aが整数の場合を考える。このとき、（１）と（２）のグラフの交点のx座標は（い）と（う）である。さらに直線ｘ＝ｋと（１）と（２）のグラフの交点をそれぞれｐ、ｑとする。線分ｐｑの長さをｋの式で表すと、
ｐｑ＝ー（え）k^2＋（お）k
となるから、k=（か）のとき、ｐｑ　の値はもっとも大きくなる。

No.10577 - 2010/06/11(Fri) 20:30:11

☆ Re: 2次関数 / rtz

＞?@（１）と（２）のグラフが異なる２点で交わるとき
(1)のグラフはy＝12aより下には来ませんし、
(2)のグラフはy＝12aより上には来ません。
ですから(2a,12a)以外の交点は持ちません。

つまり、問題がおかしいです。

No.10579 - 2010/06/12(Sat) 02:23:42

☆ Re: 2次関数 / angel

＞つまり、問題がおかしいです。

問題は大丈夫ではないでしょうか。

＞ ※この問題は（１）と（２）の連立で求めると思いますが、どうしても答えがでません。

この部分だけ抜き出すと、

　y=3ax^2 …(1)
　y=-3a(x^2-4ax+4a^2-4)…(2)
　の2つのグラフが異なる2交点を持つようなaの範囲を求めよ

という問題なので、結局2次方程式の解の存在、つまり

　3ax^2 = -3a(x^2-4ax+4a^2-4) が異なる2実数解を持つ

を調べることになります。
で、この2次方程式の解が、(1),(2)の交点のx座標となります。

No.10581 - 2010/06/12(Sat) 05:50:54

☆ Re: 2次関数 / 高校２年生

angelさんありがとうございました。
異なる2実数解を持つという点に気がつきませんでした。
判別式はｘ軸との交点の数を調べるだけではないんですね。

3ax^2 = -3a(x^2-4ax+4a^2-4)を解く、ということですが、
x^2-2ax+2a^2-2=0から先に進めません。

それと、ｐｑの長さをｋの式で表すことができません。
よろしくお願いします。

No.10583 - 2010/06/12(Sat) 08:42:24

☆ Re: 2次関数 / angel

> x^2-2ax+2a^2-2=0から先に進めません。

?Aで交点を割り出すために解を求めるのなら、解の公式でいけます。aの文字式として。
ですが、その前にaの値がどうなるのかにも注意を払いましょう。
?@でaの範囲が出て、?Aでaの条件が追加されているので、値が絞り込めるはずです。

> それと、ｐｑの長さをｋの式で表すことができません。

グラフは描きましたか?

No.10584 - 2010/06/12(Sat) 12:07:18

☆ Re: 2次関数 / 高校２年生

angelさん、とても詳しいグラフをありがとうございました。

> ?Aで交点を割り出すために解を求めるのなら、解の公式でいけます。aの文字式として。
ですが、その前にaの値がどうなるのかにも注意を払いましょう。

x^2-2ax+2a^2-2=0で解の公式を使うと、
ｘ＝a±√a^2-2a^2+2
となって、ｘ＝0と2という答えが出ません。
よろしければ途中式を教えていただいていいですか。

No.10585 - 2010/06/12(Sat) 13:14:50

☆ Re: 2次関数 / angel

> angelさん、とても詳しいグラフをありがとうございました。

いいえ。どういたしまして。
…念のためですが、ご自分でもグラフを描いてますよね? 毎回。
解答としてグラフを描くように求められる場合はもちろんですが、そうでない場合も、解を考えるための重要なツールですからね。

> 解の公式を使うと、ｘ＝a±√a^2-2a^2+2 となって、

この計算はもちろん問題ありません。

ただ視点を変えてみると…
まず、?@を解いて 0＜a＜√2 という答が出ていますよね?
その上で、?Aでは「?@において、aが整数の場合を考える」とあるのですから、a=1 と状況が限定されるのです。

※aの値が先に分かっていれば、敢えて解の公式を使うかどうかも選択の余地がありますね。

No.10586 - 2010/06/12(Sat) 13:22:57

★ 関数の連続性 / sara

こんばんは。
質問させていただきます。

次の関数y=f(x)のグラフをかけ。また、f(x)が定義されないxの値、および定義域内でf(x)が不連続となるxの値を求めよ。
(1)f(x)=lim n→∞{(x＾(n+1)+1)/(x＾n+1)}
(2)f(x)=lim n→∞{(1+x)/(1+x＾2n)}
(3)f(x)=lim n→∞{sin＾nx} (0≦x≦2π)

グラフを書いてみても、どこかが間違っており、
完璧なグラフがかけません。
グラフの書き方の手順とコツを教えていただきたいです。

No.10576 - 2010/06/11(Fri) 19:36:01

☆ Re: 関数の連続性 / angel

おはようございます。

> グラフを書いてみても、どこかが間違っており、

グラフを描く前に、このような問題であれば、x の範囲に応じて場合分けをし、f(x)の形を具体的に調べることになります。
そこの解析の部分が問題なのでしょうか。それともグラフを描画するのが問題なのでしょうか。
どちらかで状況が全く違いますよ。

ちなみに(1)だとこんな感じでしょうか。

　x≧1 の時 f(x)=x
　-1＜x＜1 の時 f(x)=1
　x=-1 の時 f(x)は定義されない
　x＜-1 の時 f(x)=x

No.10580 - 2010/06/12(Sat) 05:27:00

☆ Re: 関数の連続性 / sara

場合わけが適当で曖昧だったみたいです。
angelさんの回答を手本に
すべての図を正確に書くことができました。

後定義域はどうやって求めたらいいのでしょうか。

No.10590 - 2010/06/12(Sat) 18:36:41

☆ Re: 関数の連続性 / angel

> 定義域はどうやって求めたらいいのでしょうか。

これは、
> また、f(x)が定義されないxの値、
のことでしょうか。
(1)であれば、
> x=-1 の時 f(x)は定義されない
と書いた通りでして、x=-1 が「f(x)が定義されないxの値」で、逆に定義域はそれ以外。つまり x≠-1
これは場合分けした結果 ( lim n→∞ ～が収束するかどうか ) 次第、ですね。

もし、
> 定義域内でf(x)が不連続となるxの値
のことを気にされているのでしたら、(1)の場合、不連続であるx=-1は、元々定義域内に入っていないということで、「定義域内でf(x)が不連続となるxの値はなし」となります。
※(2)の場合 x=1、(3)の場合 x=π/2 ですかね。

No.10593 - 2010/06/13(Sun) 00:27:05

☆ Re: 関数の連続性 / sara

わかりました！
ありがとうございました。

No.10595 - 2010/06/13(Sun) 14:27:16

★ 逆行列 / sara

こんばんは。
質問させていただきます。
高校３年生です。

Aは2次の正方行列、k,sは実数とする。
(1)k≠0で、A+kEもA-kEも逆行列をもたないとき、Aは逆行列をもつことを示せ。
(2)A＾2sA+E=0ならばAは逆行列をもつことを示せ。

教えてください。

No.10570 - 2010/06/11(Fri) 00:34:38

☆ Re: 逆行列 / ヨッシー

Ａを
(a　b)
(c　d)　とします。
(1)
条件より
　(a+k)(d+k)-bc=0
　(a-k)(d-k)-bc=0
両者を足して、
　ad＋k^2-bc＝０
よって、
　ad-bc＝-k^2≠０
より、Ａは逆行列を持つ。

(2)は
Ａ^2＋sＡ＋Ｅ＝０　の誤りだとします。

ケーリー・ハミルトンの方程式
　Ａ^2－（ａ＋ｄ）Ａ＋（ａｄ－ｂｃ）Ｅ＝Ｏ
から、Ａ^2＋sＡ＋Ｅ＝０を引くと
　-(a+d+s)Ａ＋(ad-bc-1)Ｅ＝０
ad-bc-1＝０とすると、ad-bc＝1≠０でありＡは逆行列を持つ。
ad-bc-1≠０　とすると、
　{(a+d+s)/(ad-bc-1)}Ａ＝Ｅ
であり、a+d+s＝０ではあり得ないので、Ａは
逆行列　{(ad-bc-1)/(a+d+s)}Ｅを持つ。

No.10573 - 2010/06/11(Fri) 05:44:26

☆ Re: 逆行列 / sara

分かりやすいご解答ありがとうございました。

No.10575 - 2010/06/11(Fri) 19:25:45

★ 確率 / るる

つづけてすいません。もう一問お願いします。
１分ごとに確率p（0<p<1）で２個に分裂する細胞がある。最初この細胞が2個あるときの、２分後の細胞の個数が3となる確率をf(p)とする。ただし、この分裂はすべて独立におこるものとする。
１、q=1-pとする。f(p)をqを用いて表せ。
２、f(p)を最大にするようなpの値を求めよ。

No.10568 - 2010/06/10(Thu) 05:39:25

☆ Re: 確率 / ヨッシー

１．
１分後に分裂が起こらず、２分後に１個が分裂した確率
　(1-p)^2×p(1-p)×2＝2p(1-p)^3
１分後に１個が分裂し、２分後は分裂が起こらなかった確率
　2p(1-p)×(1-p)^3＝2p(1-p)^4
よって、
　f(p)＝2p(1-p)^3(2-p)＝2q^3(1-q)(1+q)＝2q^3(1-q^2)

２．
　g(q)＝2q^3(1-q^2) とおくと、
　g'(q)＝6q^2-10q^4＝2q^2(3-5q^2)
よって、
　q<-√(3/5) のとき g'(q)＜０
　-√(3/5)≦q≦√(3/5) のとき g'(q)≧０
　q＞√(3/5) のとき　g'(q)＜０
であるので、０＜ｑ＜１の範囲では、
ｑ＝√(3/5) のとき、つまり　ｐ＝１－√(3/5) のとき
f(p) は最大。

No.10572 - 2010/06/11(Fri) 05:26:42

★ 確率 / るる

こんにちは。高３です。
文字の入った確率に困ってます。
この問題の解き方を教えてください。
n個の球とn個の箱がある。各球を無造作にどれかの箱に入れる。すなわち各球を独立に確率1/nでどれか1つの箱に入れるものとする。n≧3のとき2箱のみが空となる確率をpnとする。
(a)p3,p4を求めよ。
(b)n≧4とする。2箱のみが空で、1箱に3個の球が入り、その他の(n-3)箱のそれぞれに1個の球が入る確率qnを求めよ。
(c)n≧5に対しpnを求めよ
お願いします。

No.10567 - 2010/06/10(Thu) 05:31:25

☆ Re: 確率 / ヨッシー

(a)
ｎ＝３のとき
すべての入れ方は　3^3＝27(通り)
１個の箱に３個、他の２つの箱は空、という入れ方は３通り。
よって　p3＝3/27＝1/9

ｎ＝４　のとき
すべての入れ方は　4^4＝256(通り)

（３，１，０，０）の入れ方
３つ入れる箱を選ぶのは４通り
これに入れる３個の球を選ぶのが4Ｃ3＝4(通り)
残りの１個を入れる箱を選ぶのが３通り。以上より
題意のように入れる入れ方は
　４×４×３＝４８

（２，２，０，０）の入れ方
２つ入れる箱を選ぶのは６通り
それに２個ずつ球を入れるのは4Ｃ2＝6(通り)。以上より
題意のように入れる入れ方は
　6×6＝36(通り)

p4＝(48＋36)/256＝21/64

(b)
すべての入れ方は n^n 通り。
３個入れる箱の選び方がｎ通り。
それに入れる３個の球の選び方が nＣ3 通り。
残りのn-1個の箱に、n-3個の球を１個ずつ入れる入れ方が
_n-1Ｐ_n-3＝(n-1)!/２通りで、合計
　ｎ・n(n-1)(n-2)/6・(n-1)!/２＝n(n-1)(n-2)n!/12
よって、
　qn＝n(n-1)(n-2)n!/12n^n

(c)
2箱のみが空で、2箱に2個の球が入り、その他のn-4箱に
それぞれ１個の球が入る確率をrnとするとき、
２個入れる箱の選び方が nＣ2 通り
それに4個の球を入れる入れ方が n(n-1)(n-2)(n-3)/(2・2) 通り。
残りのn-2個の箱に、n-4個の球を入れる入れ方が
　_n-2Ｐ_n-4＝(n-2)!/２通りで、合計
　n(n-1)/2 × n(n-1)(n-2)(n-3)/4 × (n-2)!/２＝n(n-1)(n-2)(n-3)n!/16
よって、
　rn＝n(n-1)(n-2)(n-3)n!/16n^n

　pn＝qn+rn＝n(n-1)(n-2)(3n-5)n!/48n^n

No.10571 - 2010/06/11(Fri) 05:10:51

★ (No Subject) / sara

こんばんは。
高校３年生です。
また質問させていただきます。
学校からのプリントの問題です。

kを実数とする。xに関する2次方程式8x＾2-8|k-1|x+8k＾2-4k+1=0について
(1)この方程式が実数解をもつとき、kの値の範囲を求めよ。
(2)この方程式が異なる２つの実数解をもつとき、２つの解がともに０と１の間にあることを証明せよ。

解答(1)-1/√6≦k≦1/√6

(1)はk＜1のときと、k＞1のときと場合わけしてみたのですが、答えが合いません。
(2)もさっぱりです。

教えてください。

No.10564 - 2010/06/09(Wed) 22:18:43

☆ Re: / ヨッシー

(1) は、とりあえず、場合分けは必要ありません。
判別式を取って、
　D/4＝16(k-1)^2－8(8k^2-4k+1)
　　＝16k^2-32k+16-64k^2+32k-8
　　＝-48k^2+8≧0
より　k^2≦1/6、　-1/√6≦ｋ≦1/√6　となります。

(2)
f(x)＝8x＾2-8|k-1|x+8k＾2-4k+1 とおくと、
　f(x)＝8(x-|k-1|/2)^2-2(k-1)^2+8k＾2-4k+1
　　＝8(x-|k-1|/2)^2+6k^2-1
より、軸は x=|k-1|/2 であり、-1/√6＜k＜1/√6 のとき
　(１－1/√6)/2＜ｘ＜(１＋1/√6)/2
であり、
　０＜(１－1/√6)/2＜ｘ＜(１＋1/√6)/2＜１
より、軸は　０＜ｘ＜１の範囲にある、
f(0)＝8k＾2-4k+1＝8(k-1/4)^2＋1/2＞０
f(1)＝8-8|k-1|+8k＾2-4k+1
　＝-8|k-1|+8k＾2-4k+9
-1/√6＜ｋ＜1/√6＜１であるので
f(1)＝-8(1-k)+8k＾2-4k+9
　　＝8k^2+4k+1＝8(k+1/4)^2＋1/2＞０
よって、２解はともに、０と１の間にあります。

No.10565 - 2010/06/09(Wed) 22:54:14

☆ Re: / sara

場合わけはいらないんですね！
ありがとうございました。

No.10569 - 2010/06/11(Fri) 00:25:35

★ 三角関数 / sara

こんばんは。
高校三年生です。
学校のプリントの問題です。

θの関数y=sin2θ+sinθ+cosθについて
(1)t=sinθ+cosθとおいて、yをtの関数で表せ。
(2)tのとりうる値の範囲を求めよ。
(3)yのとりうる値の範囲を求めよ。

(1)の答えはt＾2+t-1と出ました。
(2)は√2sin(θ+π/4)=tと変形するらしいのですが
どうやって変形したのかがわかりません。
(3)は(2)の答えが出たらできると思います。
なので、(2)を教えてください。
お願いします。

No.10557 - 2010/06/08(Tue) 20:29:42

☆ Re: 三角関数 / ヨッシー

合成の公式です。

こちらをご覧ください。
↑よその掲示板ですので、そのまま返信を送らないように
注意してください。

No.10558 - 2010/06/08(Tue) 20:54:51

☆ Re: 三角関数 / sara

合成の公式についてよくわかりました。

√2sin(θ+π/4)=t
から、どうして-√2≦t≦√2
になるのかが分かりません。

No.10559 - 2010/06/08(Tue) 22:43:58

☆ Re: 三角関数 / らすかる

-1≦sin(○)≦1 ですから
-√2≦(√2)sin(○)≦√2 となります。

No.10560 - 2010/06/09(Wed) 00:33:07

☆ Re: 三角関数 / sara

○の中は関係ないんですね！
ありがとうございました。

No.10563 - 2010/06/09(Wed) 22:00:56

★ 可換的、結合的 / オレンジ

整数の集合Zの2項演算f:Z×Z→Zのとき、下に示す式がそれぞれ可換的であるか、結合的であるか判定せよ。という問題なんですが、
1. f(x,y)=x+y-2xy
2. f(x,y)=x^y
3. f(x,y)=min{x,y}

この3つの問だけ、解き方がわかりません。
それぞれf(y,x)=…と、xとyを反対にした式を書けばいいのでしょうか。
解き方を教えてください。

No.10549 - 2010/06/06(Sun) 17:40:39

☆ Re: 可換的、結合的 / のぼりん

こんばんは。
二項演算ｆが
?@　可換的であるとは、任意のｘ、ｙに対してｆ（ｘ，ｙ）＝ｆ（ｙ，ｘ）が成り立つこと、
?A　結合的であるとは、任意のｘ、ｙ、ｚに対してｆ（ｆ（ｘ，ｙ），ｚ）＝ｆ（ｘ，ｆ（ｙ，ｚ））が成り立つこと
です。つまり、各問題で、?@、?A が成り立つか、一つ一つ見ていけば良い訳です。

No.10550 - 2010/06/06(Sun) 20:35:40

☆ Re: 可換的、結合的 / オレンジ

ありがとうございます。
1、2はなんとかできそうです。
3のmin{x,y}だけ意味がわからないので教えてもらえますか？

No.10551 - 2010/06/07(Mon) 06:09:53

☆ Re: 可換的、結合的 / ヨッシー

min{x, y}=x (x≦y のとき)
　　　　　y (x＞y のとき)
要するに、x と y のうち、小さい方(大きくない方)です。

一般に定義されている表記ではないかも知れません。
大きい方は max{x,y} と書くと思われます。

No.10552 - 2010/06/07(Mon) 06:39:45

★ 最小値を求める問題 / sara

こんばんは。高校3年生です。
学校からのプリントで質問です。

x,yがx＞0,y＞0,x+y=1を満たすとき
(1)1/(xy)がとりうる値の最小値を求めよ。
(2)(1+1/x)(1+1/y)がとりうる値の最小値を求めよ。

解答
(1)x=1/2,y=1/2のとき最小値4
(2)x=1/2,y=1/2のとき最小値9

まず何からしたらいいのかも分かりません。
教えてください。

No.10538 - 2010/06/05(Sat) 19:36:08

☆ Re: 最小値を求める問題 / angel

んー。色々足掻く方法はあると思いますが。
x＞0, y＞0, x+y=1 という前提から、y=1-x, 0＜x＜1 はわかるので、代入すれば x の関数として処理できますし。

もしくは、x+y, xy という対象式に着目して、xy の値の範囲を調べてみるとか。( 2次方程式の解と係数の関係とか )

ただ、恐らく今回の問題で一番楽なのは、相加平均・相乗平均の関係 (x+y)/2≧√(xy) を使う方法でしょうね。x＞0, y＞0 という前提もありますし。
というのも、「最小値」を求める問題だからです。xy の値の範囲全てではなく、最大値を一本釣りできれば良いというのがミソ。

(2)も同じ理屈で。
(1+1/x)(1+1/y) = 1+( (x+y)+1 )/(xy) = 1+2/(xy)
と変形できますから。

No.10539 - 2010/06/05(Sat) 20:09:32

☆ Re: 最小値を求める問題 / sara

お返事ありがとうございます。

相加平均･相乗平均でやってみると
すぐに答えが出ました！

ありがとうございました！

No.10540 - 2010/06/05(Sat) 20:43:39

★ 集合 / yuua

すいません。また質問します…。
A∈/B→｢AはBに属さない｣ということを表すとします。

(１)A∩(B-A)=φ
(２)(A-B)∪(A∩B)=A
それぞれ証明せよ。

という問題なんですが、
(１)は、
x∈B-Aとすると、x∈B、x∈/Aとなるので、
A∩(B-A)=φがいえる

という解答でいいんでしょうか？

また、(２)は、
x∈A-Bとすると、x∈A、x∈/Bとなる。
また、x∈/A∩Bなので…

ここからどう証明したらいいかわかりません！！

解答してくださるとうれしいです…

No.10534 - 2010/06/05(Sat) 15:49:31

☆ Re: 集合 / angel

(1)気持ちは分かりますが、解答としてはどうかと。
あることを証明するために、何を説明すべきか。それには決まった型があるのです。それに沿った形にまずはブレイクダウンした方が良いでしょう。

集合の話として、「Ｘ=Ｙを証明せよ」ならば、「Ｘ⊃Ｙ」と「Ｙ⊃Ｘ」がそう。(∵Ｘ=Ｙ⇔Ｘ⊃ＹかつＹ⊃Ｘ)
で、「Ｘ⊃Ｙ」を証明するために示すべきは「任意のxに対して、x∈Ｙ⇒x∈Ｘ」といった具合に。

また、今回の問題には、∩や∪が出てきているので追加すると、
「x∈Ｘ∩Ｙ」を説明するならば「x∈Ｘかつx∈Ｙ」
「x∈Ｘ∪Ｙ」を説明するならば「x∈Ｘまたはx∈Ｙ」
となります。

No.10535 - 2010/06/05(Sat) 17:11:05

☆ Re: 集合 / angel

以下、具体的に

(1)
比較対象がφという特殊な集合なので、目指すゴールは
「Ａ∩(Ａ-Ｂ)は要素を含まない」言い換えるなら、「任意のxに対して、x∈/Ａ∩(Ｂ-Ａ)」という否定命題になります。

ということで、背理法にするのが説明しやすいでしょう。

--
x∈Ａ∩(Ａ-Ｂ)となるxが存在すると仮定する。
このxに対しては、x∈Ａかつx∈(Ｂ-Ａ)

　すなわち、x∈Ａかつx∈Ｂかつx∈/Ａ
　しかし、x∈Ａとx∈/Ａは排他である ( どちらか一方しか満たさない ) ため矛盾。

よって、任意のxに対して、x∈/Ａ∩(Ｂ-Ａ)が成立する。
ゆえに、Ａ∩(Ｂ-Ａ)=φである
---
解答の中の部分のロジック ( インデントしている部分 ) は自分で考える必要がありますが、その上下は殆ど様式のようなものになっています。

No.10536 - 2010/06/05(Sat) 17:20:53

☆ Re: 集合 / angel

(2)
Ｘ∪Ｙ=Ｚという形なので、ブレークダウンすると
(i)Ｘ∪Ｙ⊃Ｚかつ (ii)Ｘ∪Ｙ⊂Ｚ
なお、(ii)に関しては、今回はたまたま、深く説明する必要がなかったりします。

(i)をさらにブレークダウンすると、
(i') 任意のxに対して、x∈Ｚ⇒x∈Ｘ∪Ｙ
(i'') 任意のxに対して、x∈Ｚ⇒( x∈Ｘまたはx∈Ｙ )
ここからは、x に対して場合分けをしても良いのですが、一番都合の悪いケースだけ考えればよいでしょう、つまり、
　任意のxに対して、x∈Ｚかつx∈/Ｘ⇒x∈Ｙ
を説明すれば必要十分ということ。

なので、こんな解答様式が思い浮かびます。
--
(i)
任意のxに対して、x∈Ａかつx∈/(Ａ-Ｂ)⇒x∈Ａ∩Ｂが成立する。なぜならば、

　…(ロジックを考えていれてください)…

だからである。
ゆえに、任意のxに対して、x∈Ａ⇒( x∈(Ａ-Ｂ)またはx∈Ａ∩Ｂ )、すなわち、x∈Ａ⇒x∈(Ａ-Ｂ)∪(Ａ∩Ｂ) が成立する。
これは、(Ａ-Ｂ)∪(Ａ∩Ｂ)⊃Ａが成立することを示す。

(ii)
明らかに (Ａ-Ｂ)∪(Ａ∩Ｂ)⊂Ａが成立する。
なぜなら、(Ａ-Ｂ)⊂Ａ、Ａ∩Ｂ⊂Ａが共に成立しているからである。
※「Ｘ⊂ＺかつＹ⊂Ｚ⇒Ｘ∪Ｙ⊂Ｚ」ということ。ベン図を描いて確かめてみてください。

(i),(ii)より、(Ａ-Ｂ)∪(Ａ∩Ｂ)=Ａが示された。
--
まあ、(ii)も基本に立ち返って、丁寧に書いても良いと思いますが。

No.10537 - 2010/06/05(Sat) 17:44:08

☆ Re: 集合 / yuua

回答ありがとうございます！！
(１)は理解することができました。

(２)なんですが、どうしても｢x∈Ａかつx∈/(Ａ-Ｂ)⇒x∈Ａ∩Ｂが成立する｣理由がわからないです。ごめんなさい！詳しく解説お願いできますか？

No.10541 - 2010/06/05(Sat) 21:10:37

☆ Re: 集合 / angel

＞(２)なんですが、どうしても…(略)…理由がわからないです。

理由を実感したければ、ベン図でも描いて確認してください。
以下では機械的に行きます。
面倒なので、略記として、x∈Ａのことをα、x∈Ｂのことをβと書くことにします。( 実際の解答では勿論使いません )

まず、準備としては、
　x∈Ａ∩Ｂ⇔αかつβ
　x∈Ａ-Ｂ⇔αかつnotβ
よって、
　x∈Ａかつx∈/(Ａ-Ｂ)
　⇔αかつnot(αかつnotβ)
　⇔αかつ(notαまたはβ)
　⇔(αかつnotα)または(αかつβ)
　⇔(αかつβ)
　⇔x∈Ａ∩Ｂ
とこういった感じ。同値変形になりましたが、⇔は⇒を含んでいるので、まあ良いでしょう。
全部正直に書き下すと面倒でしょうから、論理の飛躍がなさそうな程度に間引いて下さい。

No.10547 - 2010/06/06(Sun) 00:52:27

☆ Re: 集合 / yuua

わかりやすく解説してくださってありがとうございました！！
なるほど。そういうことなんですね！！
理解できました。

本当にありがとうございました！

No.10548 - 2010/06/06(Sun) 05:41:20