ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 高校入試の問題です / ユキ

次の問題の最後の(4)がわからないので、教えてください。

１辺４?pの正方形を底面とし、ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ＝４?pの四角錐ＯＡＢＣＤがあります。また、点Ｅは辺ＯＤ、点Ｆは辺ＯＡの中点である。

(1)　△ＯＡＢの面積
　　　　４√３㎠だと思います
(2)　四角錐ＯＡＢＣＤの体積
　　　　（32√２)/３㎤だと思います
(3)　３つの点Ｅ、Ｆ、Ｂを結んでできる△ＥＦＢの面積
　　　　　√11㎠だと思います。
(4)　辺ＯＡ上に点Ｐをとる。ＥＰ＋ＰＢが最短距離になる
　　とき、ＯＰの長さ
　　　　　これがわかりません。よろしくお願いします。

No.9196 - 2009/12/23(Wed) 11:40:50

☆ Re: 高校入試の問題です / Bとん

（４）
展開図描きましょう
面OADとOABがつながった展開図です。（その２面以外はいりません）真ん中にOAが来るイメージです。
線対称の感じ

あとはEP＋PBが最短　→EBを結んでみる（直線が最短です）
三角形OEBをとりだし
忠実に絵を描いてみてください
角Oが120度になります
EOをOのほうに延長しBからEOに垂線を下ろし
その交点をQとする
三角形OBQは６０°の特別比三角形です
OB＝４なので各辺は長さが出ます
QB=２√３
EQ=４
最後に△BQEで三平方を使うと
EB=２√７です。これがまさにEP＋PBの最短になります

OPはそこからいろいろな辺を出していけば出てきます

No.9199 - 2009/12/23(Wed) 16:01:20

☆ Re: 高校入試の問題です / Bとん

おそらくOP＝４／３になると思います

No.9200 - 2009/12/23(Wed) 16:06:48

☆ Re: 高校入試の問題です / ユキ

わかりました。ありがとうございます。

No.9229 - 2009/12/26(Sat) 16:08:23

★ 空間図形の問題です / マオ

次の問題がわからないので、教えてください。

底面が一辺６?pの正三角形、高さが３?pの三角柱ＡＢＣＤＥＦがある。辺ＡＢの中点をＭとする。
点Ｆから△ＣＤＥに垂線ＥＦを引くとき、垂線ＦＪの長さは何?pか。

No.9194 - 2009/12/23(Wed) 11:32:27

☆ Re: 空間図形の問題です / Bとん

三角錐CーDEFを考えます

体積は底面積が面DEF　高さがCFですので

まず面DEFの面積は正三角形なので
教科書や参考書に必須の問題です。
６×３√３÷２＝９√３で
(ここがわからなければ再質問してください）
高さが３
よって体積は９√３×３×１／３＝９√３
（錐なので３分の１忘れずに）

次に三角錐CーDEFは△ＣＤＥを底面に見立てることもできます。その際の高さが垂線FJなので、
体積は９√３なので
面CDE×EF×１／３＝９√３となり

次に、面CDEを紙上に書いてみると
二等辺三角形です（辺が３√５、３√５、６の）
この面積の出し方も教科書レベルなので割愛します
面積は１８になるはずです
よって１８×FJ×１／３＝９√３

FJ＝３√３／２です

No.9197 - 2009/12/23(Wed) 15:30:51

☆ Re: 空間図形の問題です / マオ

その問題はよくわかりました。
では、線分ＭＦと△ＣＤＥの交点をＩとするときのＭＩの長さはどうなるのでしょうか。

No.9203 - 2009/12/24(Thu) 15:13:56

★ j数?B　回転体の体積 / しげる

　曲線y=4-x^2と直線y=-3xとで囲まれる図形を直線y=-3xの周りに回転して得られる立体の体積を求めよ。

というもんだいなのですが、一般的な直線の周りの回転体の体積の求め方は分かるのですが、この場合は除くべき部分があってどうやったらいいかわかりません。
おねがいします

No.9192 - 2009/12/22(Tue) 20:25:22

☆ Re: j数?B　回転体の体積 / ヨッシー

y=4-x^2 を微分して y'=-2x これが 1/3 になるのは、
x=-1/6 のときです。
つまり、(-1/6, 143/36)における接線は、y=-3x と直行します。

よって、x=-1/6 から x=4 までの範囲を回転させた体積(青＋黄)から、
x=-1 から x=-1/6 までの範囲を回転させた体積(黄)を引けばどうでしょう？

No.9193 - 2009/12/22(Tue) 21:45:57

☆ Re: j数?B　回転体の体積 / しげる

黄色のトコを求めるときと青のトコをもとめるとき、どちらもｙ＝４－ｘ＾２をつかうのに、値がちがいますよね。そこの区別はどうすればいいんですか？

No.9201 - 2009/12/23(Wed) 18:33:16

☆ Re: j数?B　回転体の体積 / ヨッシー

「一般的な直線の周りの回転体の体積の求め方」とは、
どういう方法でやっていますか？

それによって、答え方が変わるかと。

No.9202 - 2009/12/23(Wed) 23:20:51

★ 高2　二項定理 / 匿名

(x^2-2x+3)^7の展開式において、x^11の項の係数を求めよ。

(x^2-2x+3)^7={x^2+(-2x+3)}^7として
(x^2)^a+(-2x)^b+(-1)^c
とおいたのですが、
このあとどうすればいいのかわからなくなりました。

よろしくお願いします。

No.9185 - 2009/12/21(Mon) 23:00:15

☆ Re: 高2　二項定理 / X

多項定理により問題の式を展開したときの
{(x^2)^a}{(-2x)^b}(3^c)
(但しa+b+c=7 (A),a,b,cは0以上の整数 (B))
の係数は
7/(a!b!c!)
ここで
{7/(a!b!c!)}{(x^2)^a}{(-2x)^b}(3^c)
={7/(a!b!c!)}{(-2)^b}(3^c)x^(2a+b)
∴x^(2a+b)の係数は{7/(a!b!c!)}{(-2)^b}(3^c) (C)
さて(C)によりx^11の係数について
2a+b=11 (D)
(A)(D)からb,cをaの式で表し、(D)によりaの値を絞り込みます。

No.9186 - 2009/12/21(Mon) 23:31:15

★ 解説をお願いします。 / りん

とても困ってます。

----------------------
問題。
比例の式ｙ＝4x(0≦x≦ａ)の値域が
0≦ｙ≦8であるとき、
ａの値を求めなさい。

答えはa＝2
---------------------

範囲が体系数学1の比例、反比例＋比例反比例の利用。なのですが、問題集、チャート式参考集を見ても、似てる問題がないので、分かりません。
解説お願いします！！！

No.9177 - 2009/12/20(Sun) 18:51:51

☆ Re: 解説をお願いします。 / Kurdt（かーと）

中学1年生の内容ですよね。

y=4x は右上がりのグラフになるので、
x=0 で最小値 y=0、x=a で最大値 y=8をとります。
（最小値と最大値は値域からわかります。）

なので、x=a と y=8 を代入して 4a=8 → a=2 です。

No.9179 - 2009/12/20(Sun) 22:03:41

☆ 中?@用の / フリーザ

xが大きくなればyが大きくなるのがわかますね。
ということはy=8に対応するxはx=aですので
y=4xのy,xにそれぞれ8,aを代入すればa=2を得ます。

No.9188 - 2009/12/22(Tue) 00:21:05

★ ベクトル / はる

ベクトルの質問、お願いします。

　等式|a+b|^2+|a-b|^2=2(|a|^2+|b|^2)を証明せよ。（a,bの　上にはすべて矢印がつきます。）
　という問題で、参考書には、

|a+b|^2+|a-b|^2
　=(a+b)・(a+b)+(a-b)・(a-b)・・?@
=|a|^2+2ab+|b|^2　　　　　・・?A

と書いていますが、?@を書かずに、いきなり?Aの式を
　書いても大丈夫でしょうか。教えてください。

No.9169 - 2009/12/20(Sun) 10:28:46

☆ Re: ベクトル / 七

1の式は合っていますが
2の式は間違っていますので
だめです。

No.9170 - 2009/12/20(Sun) 14:18:57

☆ Re: ベクトル / はる

すみません。?Aは間違っていますね。

　=|a|^2+2ab+|b|^2+|a|^2-2ab+|b|^2・・?A

ですね。?@をとばして、?Aを書いても間違いにはなりません
か？教えてください。

No.9174 - 2009/12/20(Sun) 17:41:32

☆ Re: ベクトル / 七

abはa・bですよね。
問題ないと思います。

No.9175 - 2009/12/20(Sun) 17:55:39

☆ Re: ベクトル / はる

ありがとうございます。それに関連して

　|4/7p-1/7q|={1/7|4p-q|} (p,qの上にもベクトルがつきます）　このように定数は前にだせますか？
　それと、｜｜この記号は絶対値と考えてよいですか？
　よろしくお願いします。

No.9176 - 2009/12/20(Sun) 18:33:49

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

定数は前に出せます。
|　| は、絶対値という言い方はあまりしません。
こちらをご覧ください。

No.9181 - 2009/12/20(Sun) 22:14:24

☆ Re: ベクトル / フリーザ

この場合?@の式をかかなければ理解しているアピールはできません。｜a＋b｜^2がなぜそうなるかわかっているかを聞きたいのが出題者の意図でしょう。そうなるもんだと覚えて理解してない人は少なくはないはず。

No.9187 - 2009/12/22(Tue) 00:16:33

☆ Re: ベクトル / はる

ありがとうございます。
わかりました。また、よろしくお願いします。

No.9215 - 2009/12/24(Thu) 22:45:32

★ 微分です / kakimoto

?@(2^x+3^x)^(1/x)
?Alog{√(x)*(1-2x)^2}
?Bsin^(-1)(3x-4x^2)，|x|<1
?C1/2{x√(x^2-a^2)-a^2/2(e^(x/2)+e^(-x/2))}
?D1/2(x√(x^2+a^2)+alog|x+√(x^2+a))
※aは実数

?@は答えが0になってしまったり、
?Cは解いたら
1/2{[(2x^2-a^2)/√(x^2-a^2)]-a(e^(x/a)-e^(-x/a))/2}
などとなってしまい,きっと簡単な答えがでるのではないかと思うのですがどうすればいいのか分かりません。
よろしくお願いします。

No.9166 - 2009/12/19(Sat) 14:17:58

☆ Re: 微分です / ヨッシー

(1)
　ｙ＝(2^x+3^x)^(1/x)
とおきます。両辺の対数を取って、
　log(y)＝(1/x)log(2^x+3^x)
ｘで微分して、
　y'/y＝(-1/x^2)log(2^x+3^x)＋(1/x)(2^x+3^x)’/(2^x+3^x)
　＝(-1/x^2)log(2^x+3^x)＋(1/x){(2^x)log２+(3^x)log３}/(2^x+3^x)
よって、
　y'＝ｙ[(-1/x^2)log(2^x+3^x)＋(1/x){(2^x)log２+(3^x)log３}/(2^x+3^x)]
　＝(2^x+3^x)^(1/x)×[・・・・・]

(2)
ｙ＝log{√(x)*(1-2x)^2} とおくと
　ｙ＝log√ｘ＋log(1-2x)^2
　　＝(1/2)logｘ＋2log(1-2x)
よって、
　ｙ’＝1/2x－4/(1-2x)
　
(3)
ｙ＝sin^(-1)(3x-4x^2) とおきます。
　(sin^(-1)ｘ)'＝1/√(1-x^2)
を用いれば、
　ｙ’＝(3-8x)/√{１－(3x-4x^2)^2}

(4)(5)は

に沿っているか、もう一度確認してください。
また、(5) は絶対値記号が閉じていません。

No.9168 - 2009/12/20(Sun) 09:26:04

☆ Re: 微分です / kakimoto

?@(2^(x)+3^x)^(1/x)
?C(1/2){x√(x^(2)-a^2)-a^(2)/2(e^(x/2)+e^(-x/2))}
?D(1/2)(x√(x^(2)+a^2)+alog|x+√(x^(2)+a)|)
書き間違えてすいませんでした。
よろしくお願いします。

2と3は理解できました。

No.9171 - 2009/12/20(Sun) 15:26:02

☆ Re: 微分です / ヨッシー

(1)は、
(2^x+3^x)^(1/x) も (2^(x)+3^x)^(1/x) も同じですので
上の通りです。

(4)は、
(1/2){x√(x^2-a^2)} と　－(1/2){a^2/2(e^(x/2)+e^(-x/2))} とに分けて
考えれば出来るでしょう。
たとえば、x√(x^2-a^2) の微分は
　√(x^2-a^2)＋(1/2)x・(2x)/√(x^2-a^2)
です。２項目は、(e^(x/2)+e^(-x/2)) が分子にあるのか分母なのか
わかりませんが、どちらも大差なく(小差はありますが)出来るでしょう。
特に、簡単に式になることは無いようです。

(5) も同様で、alog|x+√(x^(2)+a)| の微分は、
　a(1+x/√(x^2+a))/{x+√(x^2+a)}
です。

No.9180 - 2009/12/20(Sun) 22:09:44

☆ Re: 微分です / kakimoto

(4)は
(1/2){(2x^2+a^2)/√(x^(2)+a^2)+a(e^(x/a)+e(-x/a))/2}}
(5)は
(1/2)(2x^(2)+ax+a^2)/√(x^(2)+a^2)
あってるかどうか分かりませんが答えを出せました

ヨッシーさんありがとうございました。

No.9182 - 2009/12/21(Mon) 05:21:15

☆ Re: 微分です / ヨッシー

(4)
第１項目は、符合が微妙に違います。
ひょっとして、元の式が違うのか？

第２項目は、ａが指数の分母に来るのは、おかしいですね。
a^2 が a になっていることといい、これも、元の式が違うのでしょうか？

No.9183 - 2009/12/21(Mon) 06:16:44

☆ Re: 微分です / kakimoto

すいませんでした(>_<)
問題を書き間違えました　何度もすいません

?C(1/2){x√(x^(2)-a^2)-a^(2)(e^(x/a)+e^(-x/a))/2}
?D(1/2)(x√(x^(2)+a^2)+alog|x+√(x^(2)+a)|)
でした

?Cは
(1/2){(2x^(2)-a^2)/√(x^(2)-a^2)-a(e^(x/a)-e(-x/a))/2}}
?Dは
(1/2){(2x^(2)+a^2)/√(x^(2)+a^2)+a/√(x^(2)+a)}
でどうでしょうか

No.9184 - 2009/12/21(Mon) 20:05:46

★ 因数分解 / あやみ

(x-2)^2+(√(3)x^2)^2=4
これって因数分解できますか？
x^4とx^2だけの計算なら解るのですが次数がバラバラで解き方が分かりません。
よろしくお願いします。

No.9161 - 2009/12/17(Thu) 20:09:42

☆ Re: 因数分解 / ヨッシー

3x^4+(x-2)^2＝4
ということで良いですか？

そもそも、等式を因数分解するというのも変な話ですが、
「方程式を解きたいのですが、因数分解を使って解けますか？」
というふうに理解します。

つまり、因数分解すべき式は、
　3x^4+(x-2)^2－4
とします。
　f(x)＝3x^4+(x-2)^2－4＝3x^4＋x^2-4x
とおくと、f(0)＝０、f(1)＝０なので、x(x-1) が括り出せて、
　f(x)＝x(x-1)(3x^2+3x+4)
となります。

No.9162 - 2009/12/17(Thu) 21:19:38

☆ Re: 因数分解 / あやみ

因数定理ですね。
本当に助かりました。詳しくありがとうございます。

この問題の続きで積分の面積の範囲で質問です。

2曲線
(x-2)^2+y^2=4,y=√(3)x^2で囲まれた2つの図形のうち小さい方の面積を求めよ。
交点を教えて頂いたようにだすと(0,0)(1,√3)で積分の範囲は1から√3になり、円から放物線を引いて
(4-x)-√(3)x^2
という式を出したのですが続きがわかりません。
式が違うのでしょうか？

No.9164 - 2009/12/18(Fri) 00:00:57

☆ Re: 因数分解 / ヨッシー

まずは、y=4-x は、円の式ではありませんので、
　(4-x)-√(3)x^2
は誤りです。

また、積分範囲も、１～√3 ではありません。

図のように、中心角60°の扇形から、青と黄を引きます。

No.9165 - 2009/12/18(Fri) 06:15:25

★ 数?V微分法 / 梶

共有点における共通接線の問題についてです。

x＞0で定義される関数f(x)=logx/x,g(x)=(a/x)+bについて、原点を通り曲線y=f(x)に接する直線lの方程式と、その接線Pの座標を求めよ。

f(x)を微分してもxに0を代入すると傾き0になってしまって解き方がいまいち分かりません。
どなたか宜しくお願いします。

No.9154 - 2009/12/16(Wed) 15:02:06

☆ Re: 数?V微分法 / 七

> f(x)を微分してもxに0を代入すると傾き0になってしまって解き方がいまいち分かりません。

f(x)を微分したらどうなりましたか？

xに0を代入したのはなぜですか？

No.9155 - 2009/12/16(Wed) 18:52:19

☆ Re: 数?V微分法 / 梶

お返事ありがとうございます。

f'(x)=1-logx/x^2

になり、原点を通るとあったので0を代入しました。

No.9156 - 2009/12/16(Wed) 20:55:03

☆ Re: 数?V微分法 / あいうえお

あの・・
めちゃくちゃなことしてます。

・導関数は接線の方程式ではありません
・ｆはx=0で定義されてないのでf'(0)は意味なし
・f'(0)はそもそも極限値として考えるべきです

数３の前に対数関数も数２の微分をわかっていないので話になりません。いまいちではなくさっぱりわかっていません

No.9158 - 2009/12/17(Thu) 01:05:29

☆ Re: 数?V微分法 / 七

y＝f(x)のx＝tにおける接線の方程式は
y－f(t)＝f'(t)(x－t)です。
これが原点を通るのですからx＝y＝0を代入しましょう。

No.9159 - 2009/12/17(Thu) 06:10:28

★ よろしくお願いいたします / 中村

ｙ＝Ｘ＾3＋ｂＸ＾2－ｂＸ－１と
ｙ＝Ｘ＾2＋２Ｘ－３の共有点がちょうど2点となるｂの値を求めよ。

よろしくお願いいたします

No.9152 - 2009/12/15(Tue) 22:09:13

☆ Re: よろしくお願いいたします / ヨッシー

両者を連立させた
　x^3＋(b-1)x^2－(b+2)x＋２＝０
が、２つの異なる実数解を持てば良いので、因数分解して、
　(x-1)(x^2+bx-2)＝０
x^2+bx-2＝０の、判別式を取って、
　Ｄ＝b^2＋８＞０
より、x^2+bx-2＝０は、異なる２実根を持ちます。
そのうちの１つが x=1 であれば良いので、x=1 を代入して、
　b=1
このとき、(1, 0)、(-2, -3) の2点を、共有点に持ちます。

No.9153 - 2009/12/16(Wed) 06:12:36

★ 最大値 / ソリトン

正方形ＡＢＣＤを底面にもち、すべての辺の長さが2である四角錐ＥＡＢＣＤがある.辺ＥＡ上に点Ｐ、辺ＥＢ上に点ＱをＥＰ=ＥＱが満たされるようにとる.ＰおよびＱから底面ＡＢＣＤに下ろした垂線の足をそれぞれＰ'およびＱ'とし、正方形ＡＢＣＤの2本の対角線の交点をＯとする.
(1)∠ＰＡＯの大きさを求めよ.
(2)四角形ＰＰ'Ｑ'Ｑの面積は、ＥＰ=＿のとき最大値＿をとる.
(3)(2)の場合、cos∠ＰＯＱを求めよ.

(1)△ＥＡＯを考えてcosＡ=√2/2∴∠ＰＡＯ=45°

(2)(3)考え方を教えてください.

No.9149 - 2009/12/14(Mon) 20:15:48

☆ Re: 最大値 / ヨッシー

(2)ＥＰ＝ｘとおくと、
　ＰＰ’＝ＱＱ’＝ＡＰ/√2＝(２－ｘ)/√2
また、ＰＱ＝Ｐ’Ｑ’＝ＥＰ＝ｘより、
四角形ＰＰ’Ｑ’Ｑ＝ｘ(２－ｘ)/√2
・・・(以下略)　

(3)は(2)の答えがわかったものとして書いています。

(3)
Ｏを原点、Ａ(1,1,0)、Ｂ(-1,1,0) とすると、
Ｐ(1/2,1/2,√2/2)、Ｑ(-1/2,1/2,√2/2) となり、
ＯＰ＝ＯＱ＝１、ＰＱ＝１より、△ＯＰＱにおける余弦定理より
　∠ＰＯＱ＝・・・(以下略)

No.9151 - 2009/12/14(Mon) 22:41:37

★ 数?V無理関数 / 宮島

今日は。数?Vの無理関数の範囲で分からないところがあったので投稿させていただきました。

aは実数でa＞-2とする。関数f(x)= √{4-(x^2-a)^2}の定義域を求めよ。

というものです。
4-(x^2-a)^2≧0
x^4-2ax^2+a^2-4≦0
{x^4-(a+2)}{x^4-(a-2)}≦0

まではやってみたのですが、続きをどうやっていいのかわかりません。
どなたかご教授宜しくお願いします。

No.9147 - 2009/12/14(Mon) 14:01:08

☆ Re: 数?V無理関数 / 豆

因数分解も間違えていますが、因数分解は不要で、
最初の式から
-2≦x^2-a≦2　　は分かります。　　　移項して、
a-2≦x^2≦a+2　　
ここで、左辺と右辺がどんな値をとるかを考えて
場合分けしましょう。

No.9148 - 2009/12/14(Mon) 17:10:28

★ 不等式の証明(訂正) / ゆう

問題

a,bを複素数とする

d(a,b)=|a-b|/√(1+|a|^2)√(1+|b|^2)

のとき

d(a,b)<=d(a,c)+d(c,b)

(証明)

(a-b)(1+c・cバー)=(a-c)(1+b・cバー)+(c-b)(1+a・cバー)　・・・・(*)

これより

|a-b|(1+|c|^2)<=|a-c||1+b・cバー|+|c-b||1+a・cバー| ・・・・(**)

となる。容易にわかるように

|1+b・cバー|^2=(1+b・cバー)(1+bバー・c)
<=(1+|b|^2)(1+|c|^2)
|1+a・cバー|^2<=(1+|a|^2)(1+|c|^2)　・・・・(***)

であるから、(*)より

|a-b|(1+|c|^2)
<={|a-c|√(1+|b|^2)+|c-b|√(1+|a|^2}√(1+|c|^2)

√(1+|a|^2)√(1+|b|^2)√(1+|c|^2) で両辺を割って

d(a,b)<=d(a,c)+d(c,b) ・・・・(****)

(終)

この証明の中でわからない部分がいくつかあります。

１、なぜ(*)の式が得られるのでしょうか？
２、(**)の不等式は(*)の式に絶対値をつけると、(**)の不等式になるのでしょうか？
３、(***)の２つの不等式式はなぜ上記のような不等式になるのでしょうか？
４、両辺で割る部分、(****)の結果が得られるまでの途中式がわかりません。

ちなみに「バー」はその前の文字の上に付くもの「・」は掛け算、「√」は２分の１乗です。

よろしくお願いいたします。

No.9146 - 2009/12/14(Mon) 11:57:44

☆ Re: 不等式の証明(訂正) / ヨッシー

(*) は、右辺を注意深く展開すれば得られます。

(**)は、ｃ・ｃバー＝|ｃ|^2 であることをまず理解しましょう。
あとは、複素数ａ，ｂ，ｃについて
　ｃ＝ａ＋ｂ　ならば　|ｃ|≦|ａ|＋|ｂ|
が言えるので、(*) にこれを適用します。

(***)は、やはり、ｃ・ｃバー＝|ｃ|^2　より等号は導けます。
不等号は、(右辺)－(左辺)を計算して、
　(1+|b|^2)(1+|c|^2)－(1+b・cバー)(1+bバー・c)
　＝|b|^2＋|c|^2－b・cバー－bバー・c
　＝ｂ・ｂバー＋ｃ・ｃバー－b・cバー－bバー・c
　＝(ｂ－ｃ)(ｂバー－ｃバー)＝|ｂ－ｃ|^2≧０

(****) の前の式は、少し書き間違えていますし、(*)より
ではなく、(**)より、です。
(**)の|1+b・cバー| と |1+a・cバー| にそれぞれ、(***)を
適用して、
　|a-b|(1+|c|^2)<=|a-c|√(1+|b|^2)√(1+|c|^2)＋|c-b|√(1+|a|^2)√(1+|c|^2)
で、両辺√(1+|c|^2)で割って、
　|a-b|√(1+|c|^2)<=|a-c|√(1+|b|^2)＋|c-b|√(1+|a|^2)
で、
　√(1+|a|^2)√(1+|b|^2)√(1+|c|^2) で両辺を割って
とつながります。

No.9157 - 2009/12/16(Wed) 23:10:50

★ 高2・微分 / 匿名

いつもお世話になっています。

方程式x^3-3ax^2+32=0　の異なる実数解の個数を調べよ。
但しa>0とする。

解答は画像の通りなのですが、
どうしてこのような範囲のときに
解の個数が決まるのかわかりません。
それと｢x<0の範囲にx軸との共有点が必ず1個ある｣
というのもわかりませんでした。

よろしくお願いします！

No.9140 - 2009/12/13(Sun) 18:00:35

☆ Re: 高2・微分 / フリーザ

文章だけでは説明がうまくできませんがグラフは書いてみましたか？

No.9141 - 2009/12/14(Mon) 00:31:09

☆ Re: 高2・微分 / 数学好きの数学下手

　x^3-3ax^2+32=0の解が何個あるかを調べるというのは、すなわち、f(x)=x^3-3ax^2+32として、y=f(x)とy=0（すなわちx軸）との交点が何個あるかを調べるということである、というところまではよろしいでしょうか？（最初の三行の部分ですね）

　まずは、グラフの概形をつかむところから始めましょう。

?@
　f(x)=x^3-3ax^2+32を微分することにより増減を調べてみましょう。
　f'(x)=3x^2-6ax=3x(x-2a)となり、x=0,2aで極値をとることがわかります。すなわち、x=0、x=2aのうちどちらかが極小値になり、残りのどちらかが極大値になるということです。

　ですが、a>0となっているので、絶対に0<2aとなります。このことを踏まえて増減表を書いてみましょう。そうすると、極大値はx=0のときにとり、極小値はx=2aのときにとることがわかり、グラフは図のようになります。

?A
　さて、x<0について、グラフよりxが十分に小さいときにはf(x)<0であることがわかります。f(0)>0となるので、グラフからどこかx<0でf(x)=0なるxが一つあることがわかります。
　このような考え方は、中間値の定理と言いますが、これは数?Vの範囲であり、後々学ぶことになるでしょう。
　ですので、今の地点では十分にxが小さい場合はyの値は負になるし、x=0では正になる。グラフはずっとつながっていてしかもx<0の部分ではグラフは増加していくだけだから、共有点は一つだけあるはずだ、という考え方でいいでしょう。
　詳しくは教科書を見たり、授業を聞いたりして学んでいってくださいね。｢x<0の範囲にx軸との共有点が必ず1個ある｣というのはこういうことです。

?B
　では、x>0のところを見てみましょう。x>0に関しては極小値で最小であることがわかります。これはグラフを書いてみればあきらかです。
　さて、その最小値が正か0か負か？つまりf(2a)の値が正か０か負か？これでx軸の共有点の個数が決まってきます。

　これが負であるときは、x>0でのx軸との共有点は2個存在し、0であるときはx>0において共有点は1個、正であるときはx>0において共有点はなし、ということになります。
　ということで、aがどういう値のときにf(2a)は正か０か負かというのを調べることになります。そこで、解答のようになるのです。

　以上より、答えは貴方が画像で載せたようなとおりになるのです。理解していただけたでしょうか。

No.9144 - 2009/12/14(Mon) 02:09:42

☆ Re: 高2・微分 / 匿名

返事が遅れてしまい申し訳ありません。

とても詳しい説明で私でも理解できました！
類題を解いて復習してみます。

本当にありがとうございました！

No.9178 - 2009/12/20(Sun) 19:33:02

★ (No Subject) / 数学好きの数学下手

某質問サイトで興味深い問題を見つけたのですが、なかなか解けません。おそらく高校までの範囲でできるのでしょうが…回答をお願いします。

・問題

正四面体ABCDについて、Aから面BCDに引いた垂線の足をE、Bから面ACDに引いた垂線の足をF、Cから面ABDに引いた垂線の足をG、Dから面ABCに引いた垂線の足をHとする。AE、BF、CG、DHの中点をそれぞれP、Q、R、Sとするとき、4つの立体P-BCD、Q-ACD、R-ABD、S-ABCすべてに共通する部分の体積は、正四面体の体積の何倍か。

No.9138 - 2009/12/12(Sat) 08:42:40

☆ Re: / フリーザ

マックスパワーの半分も出せば解けると思ったのですが・・・
フルパワーでもわかりません。どなたか解ける方はいませんかね。。

No.9142 - 2009/12/14(Mon) 00:33:47

☆ Re: / 数学好きの数学下手

難しいですよね、これ…。

結局、グラフ描画ソフトを入手して検討してみましたが、それでも図形をあんまり把握できてないという感じですね。（汗）。正八面体に４つ三角柱をくっつけたような形…ということになるのでしょうか。図のような感じです(P,Q,R,Sになってしまっていますが、本当はQ,R,S,Tですね)。

そう考えると、相似比から考えて、どうやら求める体積は1/8倍のようです。

No.9143 - 2009/12/14(Mon) 01:24:27

☆ Re: / ヨッシー

△ＢＣＰと△ＡＣＱの交わるところに、直線ＴＣが出来ます。

△ＡＢＲも考慮すると、図のような形になります。
これが４面合わさったような形になりますね。

No.9150 - 2009/12/14(Mon) 22:30:44

★ 極限についてなのですが… / take

次の問題がわかりません。回答お願いします！

・問題
t=-(log(cos(k)))/kとおくとき、lim(t→+0) k/tを求めてください。
ただし、0≦k≦π/2

なお、x≧0のとき、次の二つの式を使用しても大丈夫です。

1-(x^2/2)<=cosx<=1-(x^2/2)+(x^4/24)
1-x+x^2/2-x^3/6<=e^(-x)<=1-x+x^2/2

t→+0のとき、k→+0が示せれば簡単なのですが、それがわからず困っています。

答えは1/2だと思います。
宜しくお願いします。

No.9128 - 2009/12/11(Fri) 17:11:11

☆ Re: 極限についてなのですが… / take

一応解きましたが、k→0の証明はこれでいいでしょうか？

kt+(log|cos(k)|)=0 において、0t→+0のとき、kt→+0したがって、(log|cos(k)|)→0
よって、cos(k)→1
ゆえに、k→0

No.9129 - 2009/12/11(Fri) 18:29:46

☆ Re: 極限についてなのですが… / フリーザ

> t→+0のとき、kt→+0したがって、
ｋが定数ではないのでここはまずいです

(log|cos(k)|)→0
> よって、cos(k)→1
　証明ではlogxの連続性よりと一言かくとよいです。

で肝心の問題は今考えましたがわかりません。。
もう少し考えてみます

No.9131 - 2009/12/11(Fri) 23:40:42

☆ Re: 極限についてなのですが… / take

返信ありがとうございます。

kはｔに依存する変数であっても有限だから、こうみなしてもよいかと思ったのですが・・・。

　ちなみに答えは２ですね。間違えました。

No.9132 - 2009/12/12(Sat) 00:29:04

☆ Re: 極限についてなのですが… / フリーザ

あ！そうですねｋは有界なので問題ないです。
すみません。厳密にははさみうち？

じゃあ解決ですね！

No.9133 - 2009/12/12(Sat) 00:32:44

☆ Re: 極限についてなのですが… / take

そうですね。
あとは、はさみうちで解決です。

貴重な時間を割いていただいて、ありがとうございました。

No.9136 - 2009/12/12(Sat) 01:02:44

★ (No Subject) / 数学好きの数学下手

質問です。

　xy平面上で4つの点ABCDが共円になる条件を考えよ(A,B,C,Dの座標は与えられています)、という問題があるのですが、この条件は次のように考えてもよいでしょうか。

「線分AB、BC、CDの垂直二等分線が交わるようなとき、A,B,C,Dは同一円周上にある。」
　

　なお解答してくださる方は、次のようなことを考慮してください。（図のような感じです）
(i)A,Dは必ず直線BCについて同じ側にある。
(ii)∠ABC、∠BCDは必ず鈍角。

　それともやはり、円周角の定理や、対角の和が180°のような条件を使い地道に解いた方がよろしいでしょうか。

　

No.9123 - 2009/12/11(Fri) 10:04:17

☆ Re: / フリーザ

垂直２等分線が交わるではなく1点で交わるですよね？
ABとBCの垂直2等分線でABCの３点を通る円が決まり
BCとCDの垂直2等分線でBCDの３点を通る円が決まります
よってそれらの中心が一致すればABCDは同一演習上にあるといえます。

No.9124 - 2009/12/11(Fri) 12:31:25

☆ Re: / 数学好きの数学下手

中心が一致するという重要なことを見落としていました。

どうもありがとうございました！

No.9127 - 2009/12/11(Fri) 14:05:49

★ 順列組み合わせの問題です / ﾋﾛ

3種類の材料ｻｹ，鶏肉，ｶﾆから1種類と7種類の材料白菜，豆腐，春菊，日本産ﾈｷﾞ，中国産ﾈｷﾞ，日本産椎茸，中国産椎茸から異なる4種類の計5種類を選ぶ組み合わせは何通りありますか？日本産と中国産のﾈｷﾞを同時に選ぶことはできません。椎茸も同様です。

No.9120 - 2009/12/10(Thu) 23:46:50

☆ Re: 順列組み合わせの問題です / BossF

7種類の材料白菜，豆腐，春菊，日本産ﾈｷﾞ，中国産ﾈｷﾞ，日本産椎茸，中国産椎茸から異なる4種類のほうだけ、方針を

ﾈｷﾞ椎茸の両方が入る場合
ﾈｷﾞ椎茸のいずれか一方が入る場合
ﾈｷﾞ椎茸のいずれも入らない場合

に分けたら簡単だと思います

No.9121 - 2009/12/11(Fri) 00:55:59

☆ Re: 順列組み合わせの問題です / フリーザ

まずは中国産日本産を考えずに計算してから不適切なものを全体からひきます

No.9126 - 2009/12/11(Fri) 12:42:39