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★ 再度・文字式 / すみれ
先日投稿したすみれです・・・
　　オリンピックの開催西暦の文字式問題を8月8日に投稿して答えを教えていただきましたが、何度も考えても納得がいかないのでまた書き込みします。X回後の開催西暦は何年かと言う質問なので・・・２００６＋４Xだと21回は2090年と4年どころか84年先になってしまいますよね・・・？？？？解答はこれでいいのでしょうか？
No.11234 - 2010/08/15(Sun) 11:05:19
☆ Re: 再度・文字式 / らすかる
問題が「X回後の開催」となっているのならそれでOKです。
1回後は2006+4×1=2010年
2回後は2006+4×2=2014年
3回後は2006+4×3=2018年
・・・・・・・・・・・・
のようになります。
「21回後」は21を代入して2090年と求まりますが、
「第21回」はこの問題文では情報がないので求まりません。
（「第21回」が何年かはこの問題とは関係ありません。）
No.11236 - 2010/08/15(Sun) 12:59:58
☆ Re: 再度・文字式 / すみれ
問題文に2006年の第20回トリノオリンピックから次のオリンピックX回は西暦何年ですか？とあるのですが・・・オリンピックは4年後とですのでこだわりましたが、それで間違いはないのならすっきりします！！
No.11239 - 2010/08/15(Sun) 15:43:28
☆ Re: 再度・文字式 / らすかる
「x回後」と「x回」では意味が全然違います。問題文は一字一句変更することなく
正確に書いてください。
「2006年の第20回トリノオリンピックから次のオリンピックX回は西暦何年ですか？」も
日本語として不自然なので、まだどこか変えているのではありませんか？

「2006年が第20回で第x回は何年？」という問題ならば、
20回が2006年なので2006+4(x-20)=1926+4x となります。
No.11240 - 2010/08/15(Sun) 16:50:17
★ 偏導関数問題 / 数学太郎
高等専門学校5年の偏導関数問題です
解答はありません

（１）は、単純に偏微分するだけですので解は求められました（あっているはず・・

（２），（３）については、意味がよく分からず困っています
参考書等を開いても、どうもパッとせず・・
公式のようなものを見つけましたが、極限をとったところで０になるだけですし・・
ロピタルの定理の出る幕もなく・・

解法のアドバイスを頂ければ助かります、お願いします
No.11233 - 2010/08/15(Sun) 10:44:53
☆ Re: 偏導関数問題 / X
(1)
問題ないと思います。
(2)
その通りです。その定義式のx=0の場合です。
(3)
(2)の結果にy=0を代入します。
No.11269 - 2010/08/16(Mon) 20:27:01
★ ２次方程式。 / ろみお
こんばんは。
また質問させて頂きます。

ｘの２次方程式３ｘ＾２−２ａｘ＋ａ＾２＋３ａ−５＝０の一つの解がａであるとき、定数ａの値とそのときの解を求めよ。

という問題なのですが。


まずａ＾２＋３ａ−５の部分を因数分解してたすき掛けかなと思ったんです。

しかしうまくいかず、これはどうしたものかと悩んでいます。

この方程式の正しい解き方を
どなたか教えてください。
No.11226 - 2010/08/14(Sat) 22:40:33
☆ Re: ２次方程式。 / らすかる
一つの解がaですから、xにaを代入すると成り立ちます。
このことからaの値が求められますね。
No.11231 - 2010/08/15(Sun) 00:07:20
☆ Re: ２次方程式。 / ろみお
なるほど。できました。
ありがとうございました。
No.11241 - 2010/08/15(Sun) 17:30:09
★ 数２の微分 / ひよこ
　　すべてのX≧0に対してX^3−3X^2≧k(3X^2−12Xー4)が成り立つ定数kの範囲を求めよ。
　左辺ー右辺＝ｆ(X)とおいて、X≧0の範囲でｆ(X)の最小値≧0とすればいいのはわかるのですが、解答でk≧0の時最小値≧0⇔ｆ(0)≧0∧f(2)≧0∧f(2k)≧0となっていて、f(2)≧0がいるのはどうしてなのですか。
　私はX＝2の時は３次の係数が正だから極大値とわかるので、最小値は2kか0ということで調べなかったのですが…。
No.11222 - 2010/08/14(Sat) 21:53:23
☆ Re: 数２の微分 / らすかる
＞X＝2の時は３次の係数が正だから極大値とわかる
k＜1の時は極小値ですよ。
No.11223 - 2010/08/14(Sat) 22:08:09
☆ Re: 数２の微分 / ひよこ
ありがとうございます。

バカな質問ばかりですみません…。

ｋ≧1にしてみると２≦2ｋだからＸ＝2で極大値ですよね？
No.11224 - 2010/08/14(Sat) 22:16:19
☆ Re: 数２の微分 / らすかる
はい、そうです。
No.11227 - 2010/08/14(Sat) 22:42:27
☆ Re: 数２の微分 / ひよこ
何度もごめんなさい…。
X≧0の範囲でｋ≧1の時ｆ(X)の最小値≧0⇔ｆ(0)≧0∧f(2)≧0∧f(2k)≧0となっていて、f(2)≧0があるのはどうしてなのですか。
No.11228 - 2010/08/14(Sat) 22:59:57
☆ Re: 数２の微分 / らすかる
「k≧0」でなく「k≧1」となっているのであれば、f(2)≧0は不要です。
わざわざ「k≧1」と「k＜1」で場合分けされているのですか？
であれば、k＜1の場合は何と書かれていますか？
No.11229 - 2010/08/14(Sat) 23:38:32
☆ Re: 数２の微分 / ひよこ
遅くなってすみません。
解答では　k≧0の時最小値≧0⇔ｆ(0)≧0∧f(2)≧0∧f(2k)≧0　ｋ≦0の時f（０）≦0より不適　　となっています。
No.11232 - 2010/08/15(Sun) 07:56:50
☆ Re: 数２の微分 / らすかる
0≦k＜1 のときはf(2)が極小値
1＜k のときはf(2k)が極小値
ですから、「k≧0」ならばその両方を考慮する必要があり、
解答の通りで正しいです。
No.11237 - 2010/08/15(Sun) 13:02:55
☆ Re: 数２の微分 / ひよこ
ありがとうございました！！！

よくわかりました。
No.11238 - 2010/08/15(Sun) 13:27:45
★ 三角関数 / みー

問題と解答は画像のとおりです。
(3)の一番最後のまとめの部分で、
t=1/2のとき　最大値5/4
と書いてあるのですが、
「t=1/2のとき」は書いてありますが、
θが何のときかは書いてありませんよね。
書かなくても問題ないのですか？
また、書いてもいいのでしょうか？
No.11217 - 2010/08/14(Sat) 05:47:29
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー＠携帯
t だけで良いでしょう。
そもそも、なぜ、この「‥‥のとき」を書くかというと、
最大または最小を与える変数の値が存在し、
かつ定義域に入っていることを示すためなので、
(1)(2)を通してθの存在条件が t に移っているので、
t で代表させて良いと思います。

それ以前に、t=1/2 のときのθは、うまく表せないというのもありますが。
その意味では最小値の方は θ=π/4+2nπ (n は整数) のとき、
と書いても良いですが、最大値とのバランスが悪いことと
2nπ という厄介なのが付くので、やはり書かない方が無難でしょう。
No.11218 - 2010/08/14(Sat) 06:37:31
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー＠携帯
θ=5π/4+2nπ でした。
No.11219 - 2010/08/14(Sat) 06:52:44
☆ Re: 三角関数 / みー

なるほど。バランスが悪くなるのですね。
納得しました。ありがとうございました。
No.11266 - 2010/08/16(Mon) 07:27:25
★ ｋ / ろみお
こんばんは。また質問させて頂きます。

２次関数ｙ＝ｘ＾２−２ｘ＋ｋ（−２≦ｘ≦２）のグラフがｘ軸の下方にあるとき、定数ｋの値の範囲を求めよ。


という問題を解いているのですが、


平方完成すると
（１、ｋ−１）
という風になって、


グラフを書いてみました。

下に凸のグラフなので、最大値が０（ｘ＝２）の時のｋの値を出せばいいのかなと思って計算してみたら
見事に０になってしまって。

これは、どうしたらいいのでしょうか。

レスください。
No.11215 - 2010/08/14(Sat) 02:43:59
☆ Re: ｋ / ToDa
＞最大値が０（ｘ＝２）の時のｋの値を

ここを考え直してみましょう。
No.11216 - 2010/08/14(Sat) 04:50:46
☆ Re: ｋ / ろみお
ｘ＝−２でした！！


できました。
どうもありがとうございます。
No.11225 - 2010/08/14(Sat) 22:24:17
★ ２次関数です。 / みみか
こんばんは。

夏休みの宿題がこのままでは間に合わず、かなり焦っている高校１年生のものです。

次の問題の説明をしてくれる方、いらっしゃったらとても助かります。


２次関数ｙ＝ｘ＾２＋ａｘ＋２の−１≦ｘ≦２における最大値、最小値を求めよ。


というものです。

場合分けが５個あると先生が言っていたのですが・・・。


平方完成をしたところ

頂点（−１/２ａ、２−１/４ａ＾２）

という風になりました。


このあとがよくわからないです。

どなたかよろしくお願いします。。
No.11211 - 2010/08/13(Fri) 22:09:22
☆ Re: ２次関数です。 / ヨッシー＠携帯
私のページの「二次関数の最大・最小」を
一読してください。
グラフは下に凸なので、
−１≦x≦３に頂点が入っていればそこが最小。では最大は？
頂点が入っていなかったら、どこが最小？
と考えていきます。
No.11213 - 2010/08/13(Fri) 22:20:18
☆ Re: ２次関数です。 / みみか
なるほど！

わかりました。
どうもありがとうございました！
No.11214 - 2010/08/13(Fri) 22:30:06
★ (No Subject) / とんぼ
数学の「高々」ってどういう意味ですか？
No.11205 - 2010/08/13(Fri) 00:40:32
☆ Re: / らすかる
「最大で」という意味です。
No.11206 - 2010/08/13(Fri) 00:45:00
☆ Re: / とんぼ
ありがとうございます。
逆に「最小で」という意味
は数学ではどういう用語を使いますか？
No.11220 - 2010/08/14(Sat) 18:04:18
☆ Re: / らすかる
「少なくとも」が多い気がします。
No.11221 - 2010/08/14(Sat) 19:02:17
★ ２次関数 / ろみお
高校１年生のものです。

ｘ≧０、ｙ≧０、３ｘ＋ｙ＝１のとき、２ｘ＾２＋ｙ＾２の最大値、最小値を求めよ。

という問題があるのですが、
まず何をしたらいいのか分からず
苦戦しております。

どなたか説明してくれる方、
いらっしゃったら
宜しくお願いします。
No.11198 - 2010/08/12(Thu) 14:49:38
☆ Re: ２次関数 / ヨッシー＠携帯
3x+y=1 を y=-3x+1 に変形して
2x^2+y^2 に代入します。
0≦x≦1/3 の範囲での最大、最小を調べます。
No.11199 - 2010/08/12(Thu) 17:09:07
☆ Re: ２次関数 / ろみお
わかりやすいレスありがとうございました。
ひとつお聞きしたいことが。


代入すると
１１ｘ＾２−６ｘ＋１
になりました。
この後は平方完成でしょうか？

すみませんが
また宜しくお願いします。
No.11202 - 2010/08/12(Thu) 18:19:20
☆ Re: ２次関数 / ヨッシー＠携帯
平方完成もひとつの方法ですね。
No.11203 - 2010/08/12(Thu) 21:06:27
☆ Re: ２次関数 / ろみお
はい。

平方完成以外の方法もあるのでしょうか？

平方完成がうまくいかないのですが、
No.11208 - 2010/08/13(Fri) 21:03:58
☆ Re: ２次関数 / ヨッシー＠携帯
平方完成がうまくいかないということはありません。
どんな二次式でも平方完成は出来ます。
　11x^2-6x+1=11(x-3/11)^2+2/11
となります。

平方完成を使わないと言っても、
グラフをイメージして、下に凸のグラフなので
頂点で最小、頂点から遠いほど値は大きい
ということを利用するだけで、上記の 3/11 は使います。
No.11209 - 2010/08/13(Fri) 21:39:02
☆ Re: ２次関数 / ろみお
なるほど。

平方完成できました。


それで、この問題は解けました。

ありがとございました。
No.11210 - 2010/08/13(Fri) 21:53:51
★ 軌跡の問題 / みー

問題と解答は画像のとおりです。
(2)の解説の最後の方、
「これより点Ｍの…」からが意味がわかりません。
そこまでの解説は理解していると思います。
何故そのような軌跡になるのでしょうか。
よろしくお願いします。
No.11197 - 2010/08/12(Thu) 14:16:51
☆ Re: 軌跡の問題 / ヨッシー＠携帯
∠AMO=90°なので、円周角より、M は AO を直径とする円周上にあります。あとは、満たさない点を除くだけです。
No.11200 - 2010/08/12(Thu) 17:22:00
☆ Re: 軌跡の問題 / みー

円周角を使うのですか！
理解できました。
ありがとうございました！

No.11207 - 2010/08/13(Fri) 05:19:08
★ 数学　式と計算の問題 / 熊った
恐れながら失礼致します。
当方、参考書を読んで数式の問題を解いておりますが、解説を読んでもさっぱりわかりません。もし、掻い摘んで説明して下さる方がいらっしゃったらレスお願い致します。

問題：
　２つのxの２次式f(x), g(x)があり、f(x)の定数項の絶対値はg(x)の定数項の絶対値よりも大きい。f(x)とg(x)の最大公約数はx-2, 最小公倍数は2x^3+x^2-7x-6である。このときf(x)は？

解説：
　２つの整式f(x), g(x)の最大公約数をG, 最小公倍数をL, PとQを互いに素である整式とすると、次式が成り立つ。
　f(x)=GP, g(x)=GQ, L=GPQ ・・・・?@
したがって、LはGすなわちx-2で割り切れる。・・・?A
Lをx-2で割ることにより、
　L=(x-2)(2x^2+5x+3)=(x-2)(x+1)(2x+3)

f(x),g(x)がともに2次式であることから、２つの整式は、
　(x-2)(x+1)=x^2-x-2
(x=2)(2x+3)=2x^2-x-6
である。したがって、定数項の絶対値を比較することにより、
f(x)=2x^2-x-6
となる。

----
当方、?@と?Aの解説が意味不明です。なぜそうなるのでしょうか？
No.11196 - 2010/08/12(Thu) 08:24:37
☆ Re: 数学　式と計算の問題 / ヨッシー＠携帯
二つの自然数 f, g の最大公約数が２、最小公倍数が２４であるとき、二数を求めよ。
というのと同じで、
互いに素な二数 P, Q に対して
　f=2P, g=2Q, 24=2PQ
と書け、
　PQ=12
より、P=1, Q=12 または P=3, Q=4 …　
と同じです。
当然、２４は２で割り切れます。
No.11204 - 2010/08/12(Thu) 21:26:05
★ (No Subject) / ムーン
x,y≧0のとき、常に不等式
√（x+y)+√y≧√（x+ay)
が成り立つような正の定数aの最大値を求めよ。

解けなかったのですが、解答を見て自分なりの解答をつくりました。何か間違っているところがあれば解説などよろしくお願いします。

√（x+y)+√y≧√（x+ay)・・・?@
任意のｘ、ｙ≧０に対して?@が成り立つためにはx=0,y=1
のとき成り立つこと、つまり２≧√aよってa≦４が必要。

逆に、a=4のとき
｛√（x+y)+√y｝＾２ー｛√（x+4y)｝＾２
＝２√（x+y)√y-2y≧２√ｙ√ｙ−２ｙ＝０

となり任意のx、y≧0に対して?@が成り立つから
もとめるaの最大値は４．
No.11193 - 2010/08/11(Wed) 23:47:49
☆ Re: / angel
良いんじゃないですかね。
No.11195 - 2010/08/12(Thu) 00:29:46
★ ベクトルの問題です。 / Kay(高３女子）
解答解説を読みましたが、分かりませんでした。

問題と解答解説画像のとおりです。どうかよろしくお願いします。

ファイル添付が出来なかったので、もう一度投稿します。
No.11187 - 2010/08/11(Wed) 20:40:39
☆ Re: ベクトルの問題です。 / angel
どこが分かりませんでした? どこまで分かりました?

取り敢えず、解説の中でベクトルの和 ａ+ｂ+ｃ が強調されているのですが、そこはO.K.でしょうか?
重心G ( 位置ベクトル ｇ=ｏ ) に関して、
　ｇ = 1/3・(ａ+ｂ+ｃ)
という関係があるので、今回特に都合が良いのです。
No.11191 - 2010/08/11(Wed) 22:01:39
☆ Re: ベクトルの問題です。 / Kay(高３女子）
解説の、重心G ( 位置ベクトル ｇ=ｏ ) に関して、
　ｇ = 1/3・(ａ+ｂ+ｃ)
までは分かりました。
しかしながら、（１）でつまずきました。
ベクトルの内積で、例えば（ベクトルの表し方で、
ベクトルaを→a　としました。キーボードから打ち込んで表記する場合、正しくどう表現するのがわからないのですみません。）
→a・→a=|→a＾2　までは分かるのですが、
分かったようで後に続きません。
詳しい説明をお願いいたします。
No.11192 - 2010/08/11(Wed) 23:45:29
☆ Re: ベクトルの問題です。 / angel
なぜ**わざわざ**、→pの説明で「重心Gを始点とし」と書いてあるのか、注意してみることです。
これは、出題者からのヒントです。難易度を上げるならば、→pのことを誘導することもありませんし、小問(1),(2)は抜かして、(3)だけで出題してきますから。

今回 →g=→0 ですから、同様に →a+→b+→c=→0
よって、それを使った内積 (→a+→b+→c)・→p は Pの位置に関わらず 0 です。

でもって、内積 →a・→a というのは、ベクトルの大きさの2乗 |→a|^2 に一致します。今回は GA^2 ですね。
GAの大きさは図形的に計算して下さい。もとが正三角形ですから、色々やりようはあると思いますが、例えば 2GAcos30°=AB=√3・r とか。

式の変形を丁寧に書くなら
s
= (→a-→p)・(→a-→p) + (→b-→p)・(→b-→p) + (→c-→p)・(→c-→p)
= (→a・→a - 2→a・→p + →p・→p ) + (→b・→b - 2→b・→p + →p・→p ) + (→c・→c - 2→c・→p + →p・→p )
= →a・→a + →b・→b + →c・→c - 2(→a・→p + →b・→p + →c・→p ) + 3→p・→p
= |→a|^2 + |→b|^2 + |→c|^2 - 2(→a+→b+→c)・→p + 3|→p|^2
= r^2 + r^2 + r^2 - 0 + 3|→p|^2

という所でしょうか。ベクトルの内積の計算は、まあ、慣れてくださいとしか言えませんね。
No.11194 - 2010/08/12(Thu) 00:26:22
☆ Re: ベクトルの問題です。 / Kay(高３女子）
大変すっきりしました。ありがとうございました！
No.11316 - 2010/08/25(Wed) 21:36:49
★ ベクトルの問題です。 / Kay(高３女子）
解答解説を読みましたが、分かりませんでした。

問題と解答解説画像のとおりです。どうかよろしくお願いします。
No.11185 - 2010/08/11(Wed) 20:34:45
★ 確率 / みー
問題と解答は画像のとおりです。
(3)についてですが、
(3)の２行目の3C1になる理由がわかりません。
よろしくお願いします。
No.11175 - 2010/08/10(Tue) 20:36:26
☆ Re: 確率 / ヨッシー
２枚のカードだけ等しい＝２種類の数字だけ使っている
なので、どの２つの数字を使うかで、
　3Ｃ1＝３
つまり、１と２、１と３、２と３ の３通り。
それぞれについて、どちらが２枚でどちらが１枚になるかは、
２通りあるので、　３×２＝６
が数字の選び方です。
No.11179 - 2010/08/10(Tue) 21:03:54
☆ Re: 確率 / みー
どの２つの数字を使うかで、
　3Ｃ2＝3Ｃ1＝３
ということですか?


No.11182 - 2010/08/11(Wed) 07:03:24
☆ Re: 確率 / ヨッシー
そうですね。
　どの２枚を取るか・・・3Ｃ2＝３
　どの１枚を残すか・・・3Ｃ1＝３
で、どちらも同じです。
No.11183 - 2010/08/11(Wed) 07:51:11
☆ Re: 確率 / みー
そういうことだったんですか!!
理解できました。ありがとうございました。
No.11188 - 2010/08/11(Wed) 20:47:23
★ (No Subject) / レモン
∫[0〜２π]lcos(x-t/2)ldx=∫[0〜２π]lcosxldx

となる理由を誰か証明してください＞＜

よろしくお願いします。
No.11171 - 2010/08/10(Tue) 16:31:57
☆ Re: / ヨッシー
まともに計算すると、両辺とも０になるのがわかります。

グラフで理解するなら、y=cosｘ のグラフで、任意の位置に
幅2πの区間を取ると、ｘ軸より上の部分と、下の部分とで、
面積が等しいので、全区間の積分は、０になることからわかります。
No.11173 - 2010/08/10(Tue) 20:10:05
☆ Re: / レモン
問題を写し間違っていました。申し訳ありません。

訂正しましたのでよろしくお願いします。
No.11174 - 2010/08/10(Tue) 20:31:14
☆ Re: / ヨッシー
y=|cosｘ| のグラフと、y=|cos(x-t/2)| のグラフの
０〜２πにおける面積(ｘ軸とグラフとで挟まれた部分の面積)
が等しいことからわかります。


No.11178 - 2010/08/10(Tue) 20:57:21
☆ Re: / レモン
数式による証明ってありますでしょうか？

また、これはcos,sin独自の性質なのでしょうか？
No.11186 - 2010/08/11(Wed) 20:37:55
☆ Re: (No Subject) / ヨッシー＠携帯
左辺は x が０〜π/2, π/2〜3π/2, 3π/2〜2π に分けて積分します。
右辺は t/2 の値によって場合分けが必要ですが
出来なくはありません。

sin, cos に限らず、周期が 2π/k (k は自然数)であれば
任意の幅 2π の区間で積分した値はどれも等しくなります。
同様に、グラフを x 軸方向に任意の量移動したものを
x=０〜2π の区間で積分した値は、移動量に関わらず一定です。
No.11212 - 2010/08/13(Fri) 22:11:52
★ (No Subject) / そら
数列{an}(n=1,2,・・・）は

1≦Cn<2、∫(Cn〜２）logxdx=(１/n)∫（1〜２）logxdx

を満足するものとスル。

このとき、lim(n→∞）n(2-Cn)が存在するとして

その値を求めよ。という問題（名古屋工業大）についての質問です。


解答の最初の一行目が

（２−Cn)logCn≦∫(Cn〜２）logxdx≦（２−Cn)log２であるから始まっているのですが、まずこれをどうやって作ったのか全くわかりません。
誰か教えてください。
No.11170 - 2010/08/10(Tue) 16:22:24
☆ Re: / ast
> 数列{an}(n=1,2,・・・）は
a_n ではなく c_n ですね?

積分区間内の x について c_n ≤ x ≤ 2 であることから出ます.
No.11172 - 2010/08/10(Tue) 19:46:19
☆ Re: / そら
その情報から試してみましたが、まだ出来ません。

もっと具体的にお願いします。
No.11176 - 2010/08/10(Tue) 20:37:47
☆ Re: / ast
c_n ≤ x ≤ 2 と目的の式とをにらめばあからさまにわかるように, c_n ≤ x ≤ 2 に log の単調性と積分の単調性を適用するだけです (単調性とは, その操作を行っても不等式を保つという性質のことです).

具体的に情報が欲しいならば, 次回からは質問者さん自身が具体的に「何をどう試したか」をお書きになるよう心がけられるのが良いと思います.
No.11177 - 2010/08/10(Tue) 20:55:25
★ 2度目の投稿です / meta
このサイトの、3ページラストのあたりにあるやりとりです。

この投稿で4ページになると思いますが。

おそらく返信に気づかれないと思うので、別スレッドを立てさせていただきます。ご迷惑をおかけします。


☆ Re: 確率 / meta

箱の中にＡと書かれたカード、Ｂと書かれたカード、Ｃと書かれたカードがそれぞれ４枚ずつ入っている。男性６人、女性６人が箱の中から１枚ずつカードを引く。ただし、引いたカードは戻さない。
（1）Ａと書かれたカードを４枚とも男性が引く確率を求めよ。
（2）Ａ，Ｂ，Ｃと書かれたカードのうち、少なくとも１種類のカードを４枚とも男性または４枚とも女性が引く確率を求めよ。

確率はどうも苦手です…

分母は12！/4！*4!*4!=51975とかですか？
（2）は余事象っぽいですが…

しばらく確率をやっていなかったのでかなり曖昧になっています

考え方を教えてください。よろしくお願いします


No.10975 - 2010/07/26(Mon) 10:48:22

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☆ Re: 確率 / angel

(1)
この問題では、全てのカードが余ることなく、男性/女性に行き渡ります。なので、
　12人(男性6人・女性6人)が1枚ずつカードを引く
ではなく、
　カード12枚が、1人ずつパートナーを選ぶ
と考えることができます。

その上で、Aと書かれたカードに、こっそり A1〜A4まで名前をつけてあげると、求める確率は、
「A1〜A4が全て男性をパートナーとして選ぶ確率」と言い換えることができます。

後は組み合わせでも、順列でも行けますが…組み合わせで考えるなら、
　(確率)=(男性6人から4人選ぶ選び方)/(12人全員から4人選ぶ選び方)
とか。


No.10977 - 2010/07/26(Mon) 22:29:41

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☆ Re: 確率 / angel

(2)
余事象ではなく、
　(PまたはQである確率) = (Pである確率) + (Qである確率) - (PかつQである確率)
というような計算のお話。ピンと来ない場合は、ベン図を描いてみましょう。集合のお話と同じです。

さて、「少なくとも」という表現そのままでは漠然としていますから、こう整理します。
　少なくとも1種類のカードを４枚とも男性または女性が引く
　⇔ ( Aを4枚とも男性が引く ) または ( Aを4枚とも女性が引く )
　　または ( Bを4枚とも男性が引く ) または ( Bを4枚とも女性が引く )
　　または ( Cを4枚とも男性が引く ) または ( Cを4枚とも女性が引く )

…「または」で6個のパートが連結しているので、分かりにくいかもしれません。ちょっと少ない例から行ってみましょう。

　(XまたはYまたはZである確率)
　= (Xまたは(YまたはZ)である確率)
　= (Xである確率) + (YまたはZである確率) - (Xかつ(YまたはZ)である確率)
　= (Xである確率) + (YまたはZである確率) - ((XかつY)または(XかつZ)である確率)

ちょっとここで一旦止めます。
今回、男性も女性も6人しかいませんから、2種類以上のカードを男性/女性のみで独占することはできません。
できるとすれば、男性がAを独占かつ女性がBを独占といったような複合のみです。

そうすると、上のX,Y,Zを使った例でいくと、
　XかつYかつZは起こらない、つまり (XかつYかつZとなる確率)=0
ということになります。(X等には、例えば「男性がAを独占する」等をあてはめてください)

なので、
　(XまたはYまたはZである確率)
　= (Xである確率) + (YまたはZである確率) - ((XかつY)または(XかつZ)である確率)
　= (Xである確率) + (YまたはZである確率) - (XかつYである確率) - (XかつZである確率)
　※((XかつY)かつ(XかつZ)である確率) = (XかつYかつZである確率)=0
と、「または」の3連結を2連結に落とし込むことができます。
同じ調子で、「または」の6連結を、5,4,3,2 と落とし込めば良いです。

ああ、1種類計算しなければならない確率がありますので、念のため。
「Aと書かれたカードを4枚とも男性が引き、かつ、Bと書かれたカードを4枚とも女性が引く確率」です。これは(1)と同じ要領で、別途計算しておいて下さい。


No.10978 - 2010/07/26(Mon) 22:51:25

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☆ Re: 確率 NEW / meta

返信がかなり遅れてしまいました。申し訳ありません。

後半で疑問点が浮上しました。

(XまたはYまたはZである確率)
= (Xである確率) + (YまたはZである確率) - ((XかつY)または(XかつZ)である確率)
= (Xである確率) + (YまたはZである確率) - (XかつYである確率) - (XかつZである確率)

という部分です。

これって最初の変形では、（XかつYかつZである確率）を1回しか引いていないのに、2度目の変形では2回引いていることになりませんか？
No.11169 - 2010/08/10(Tue) 12:49:11
☆ Re: 2度目の投稿です / angel
ちょっと文字を変えますが、

　(PまたはQである確率) = (Pである確率) + (Qである確率) - (PかつQである確率)

今回、P に (XかつY)、Q に (XかつZ) を代入してください。

　((XかつY)または(XかつZ)である確率)
　= (XかつYである確率) + (XかつZである確率) - ((XかつY)かつ(XかつZ)である確率)

でもって、最後の項は (XかつYかつZである確率) になるのですが、上で説明している通り、この問題では 0 となるため、消えます。
そこから符号を反転すると、

　- ((XかつY)または(XかつZ)である確率)
　= - (XかつYである確率) - (XかつZである確率)

となります。
No.11181 - 2010/08/11(Wed) 00:35:06
★ 確率 / meta
1から6までの数字が1つずつ書かれている6枚のカードがある。これらをよくきった上で、左から右に1列に並べる。カードに書かれた数字を左から順にa,b,c,d,e,fとする。
（1）a+b=cとなる確率を求めよ。
（2）a+b=c+dとなる確率を求めよ。

実際に条件を満たすように並べてみると、cが1,2でないことはわかるのですが、そこからがわかりません…

答は（1）1/10（2）7/45

よろしくお願いします。
No.11166 - 2010/08/10(Tue) 11:59:25
☆ Re: 確率 / ヨッシー
すべての並べ方は、別途計算しておくとして、
(1)
(a,b,c) に入る数字として、
(1,2,3)(1,3,4)(1,4,5)(1,5,6)(2,3,5)(2,4,6)
および、a と b を入れ換えた、合計12通りの場合があり、
他の3枚(d,e,f) の並び方はそれぞれ３！＝６(通り)あるので、
a+b=c となる並べ方は 12×6＝72(通り)
これを、すべての並べ方で割ると、確率が出ます。
(2)
和が５の場合　1+4 と 2+3
和が６の場合　1+5 と 2+4
和が７の場合　1+6 と 2+5 と 3+4
和が８の場合　2+6 と 3+5
和が９の場合　3+6 と 4+5

和が５の場合、a,b,c,d への振り分け方は
　(1,4,2,3)(1,4,3,2)(4,1,2,3)(4,1,3,2)
および、a,b と c,d を入れ換えた、合計８通りの場合があります。
また、和が７の場合を、
和が７の場合　1+6 と 2+5
和が７の場合　1+6 と 3+4
和が７の場合　2+5 と 3+4
とすれば、やはり、それぞれ８通りの場合があります。
よって、７×８＝５６(通り)の、a,b,c,d の決め方があり、
残りの e,f の並べ方がそれぞれ２通りあるので、
a+b=c+d を満たす並べ方は、56×２＝112(通り)あります。
No.11167 - 2010/08/10(Tue) 12:29:10
★ (No Subject) / とも
連続な関数f(x)と問題文で与えられたら、
それはー∞から∞まで連続とみなしていいんでしょうか？

次の問題で定義域が０を含むか含まないかがそのことと関係しているのです。

連続な関数ｆ（ｘ）は次のa,bを満たしている。

a)f(π/2)=０、ｂ）ｆ’（ｘ）＝cosx(0<x<t),sint(t<x<π/2)

f(x)を求めよ。
No.11163 - 2010/08/09(Mon) 22:17:48
☆ Re: / angel
> それはー∞から∞まで連続とみなしていいんでしょうか？

いえ、その関数の定義域次第です。

今回の f(x) の場合、

・0＜x＜t, t＜x＜π/2 で f'(x) が存在
・f(π/2) が定義されている

ということから、

・少なくとも 0＜x≦π/2 を定義域に含み、その範囲でf(x)は一意に定まる
・x=0 も定義域に含む場合は、f(0)も一意に定まる ( f(0)=lim[x→0+0] f(x) )
・それ以外の範囲を定義域に含むとしても、そこでのf(x)を特定する情報は与えられていない

というところです。…問題が不親切でしょうか。
ちなみに、x=0 が定義域に含まれないとしても、f(π/2) から逆に遡ればよいので、解くのに困ることはないと思いますよ。
No.11180 - 2010/08/10(Tue) 23:57:05
☆ Re: / とも
f(π/2)から逆にさかのぼればx=0が定義域に入るかどうか分かるということですか？何をどのようにさかのぼれよいのでしょうか。教えてください＞＜
No.11184 - 2010/08/11(Wed) 14:16:11
☆ 定義域 / angel
> f(π/2)から逆にさかのぼればx=0が定義域に入るかどうか分かるということですか？

…? いいえ、定義域は問題を解いて解明するものではないのですよ。
「出題者がどのように f(x) の定義域を定めたか」次第なのです。
それが明記されていないようなので、「問題が不親切」と言った訳です。
No.11189 - 2010/08/11(Wed) 21:16:12
☆ Re: / angel
f(0) が定義されるかどうかを気にされているのは、
　f(x)=f(0)+∫[0,x]f'(z)dz
を使うためではないのですか?

であれば、
　f(x)=f(π/2)-∫[x,π/2]f'(z)dz
を使えば良いので、
> f(π/2) から逆に遡ればよいので、解くのに困ることはないと思いますよ。
と申し上げた次第で。
No.11190 - 2010/08/11(Wed) 21:44:34
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