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★ 因数分解 / FF456
次の式を因数分解せよ。
（１）24a^4b+81ab^4
（２）c^2(a-b)+9(b-a)
（３）(x^2-x+1)(x^2-x+2)-12
（４）a^3+a^2b-ac^2-bc^2
（５）2x^2-xy-y^2+5x+y+2
（６）a^2(b-1)+b^2(1-a)+(a-b)

これらの計算過程を教えてください！
No.921 - 2008/05/31(Sat) 17:27:49
☆ Re: 因数分解 / にょろ
取りあえず
ヒントを出します。

基本レベルの問題なのでできればこれで分かってください

(1)3ab((2a)^3+(3a)^3)
(2)c^2(a-b)-3^2(a-b)
(3)取りあえず展開が常套手段
(4)aの3-1次項,2-0次項を纏めてみる
(5)まずxoryで括ってみる
(6)(5)同様どちらかで括る

まずやってみる
出来なければまたどうぞ
No.922 - 2008/05/31(Sat) 18:51:02
★ [問]fが[0,1]で積分可能ならlim[n→∞]n^2∫[0..1/n^3]f(x)=0である事を示せ / yuuka
[問]fが[0,1]で積分可能ならlim[n→∞]n^2∫[0..1/n^3]f(x)=0である事を示せ。
[証]
積分の定義(?)からf(x)は[0,1]で有界である。
従って、∃m,M∈R;m≦f(x)≦M(for ∀x∈[0,1])と言え、
m(1/n^3-0)≦∫[0..1/n^3]f(x)≦M(1/n^3-0)
m/n^3≦∫[0..1/n^3]f(x)≦M/n^3
よって
n^2m/n^3≦n^2∫[0..1/n^3]f(x)≦n^2M/n^3
m/n≦n^2∫[0..1/n^3]f(x)≦M/n
よって
lim[n→∞]m/n≦lim[n→∞]n^2∫[0..1/n^3]f(x)≦lim[n→∞]M/n
lim[n→∞]m/n=lim[n→∞]M/n=0より
lim[n→∞]n^2∫[0..1/n^3]f(x)=0

となったのですがこれで正しいでしょうか?
No.919 - 2008/05/31(Sat) 07:45:11
★ 図形 / ag
三角形OABをOA=OB=２、角AOB＝θとする。
ABの中点をMとして、OAを直径とする半円とOBを直径とする半円を、いずれもMを通るように描く。
半円の周と内部からなる図形を半円板ということにする。この二つの半円板の
共通部分の面積をSとする。

0＜θ＜π/2のときSをθを用いて表せ

お願いします
No.917 - 2008/05/30(Fri) 20:20:46
☆ Re: 図形 / 七
図を参考に求められませんか？
No.920 - 2008/05/31(Sat) 08:08:40
★ 軌跡 / √
よろしくお願い致します。

地球は太陽の周りを、自転しながら公転していますが、
日本の位置を、点Ｎとすると、
点Ｎの描く軌跡は、「花まる」の形ですか？
No.908 - 2008/05/30(Fri) 12:50:51
☆ Re: 軌跡 / rtz
地球は太陽の周りを1年≒360日で1周しますから、
太陽から見れば1日で約1度移動します。

太陽と地球の距離をおよそ15000万kmとすると、
地球が1日で移動する距離は15000万×2×π÷360≒260万km
対して、地球の直径は約1.3万kmしかありません。

つまり、花丸のような形にはならず、
公転軌道の内外を波打つような形になります。
(地球200個分の距離を移動してしまうので)
No.909 - 2008/05/30(Fri) 13:12:18
☆ Re: 軌跡 / ヨッシー
「花まる」にはなりません。
２π×(日本の位置の地軸からの半径)が、（１日の公転距離）
より大きければ、ループが出来ますが、
前者約3.3万km、後者約257万km と公転の方がずっと速いので、
極点の軌道より多少揺れる程度の軌跡になるでしょう。
No.910 - 2008/05/30(Fri) 13:33:35
☆ Re: 軌跡 / √
ｒｔｚさん
早速の、お返事有り難うございます。

> 公転軌道の内外を波打つような形になります。

私は、まだ「波打つような形」がイメージ出来ないでいるのですが、非常に細かいｓｉｎカーブのような形が輪になっているといった感じでしょうか？

公転軌道は地球に比べたら、はるかに大きく、
曲率が、とても小さく直線に近くなるので、どうしても、「サイクロイド」をイメージしてしまいます。

とても細かいサイクロイドが、輪になっているよーにしか
イメージ出来ないのですが、
もう少し考えてみます。
No.911 - 2008/05/30(Fri) 13:52:01
☆ Re: 軌跡 / √
ヨッシーさん
有り難うございます。

> ２π×(日本の位置の地軸からの半径)が、（１日の公転距離）
> より大きければ、ループが出来ますが、

地球の円周（球周？）が１日の公転距離（転がった分だけ）と、考えたのが、そもそもの間違えだったのでしょうか？

> 前者約3.3万km、後者約257万km と公転の方がずっと速いので、

地球が、自転しているから、自転した分だけ公転するのではなく、
自転と公転は無関係で動いていると考えれば良いのですか？
初歩的な質問で、すみません。
No.912 - 2008/05/30(Fri) 14:18:28
☆ Re: 軌跡 / ヨッシー
そうですね。
地球は別に何かに沿って転がっているわけではなく、
公転速度は、自転による転がり速度よりずっと速いのです。


図は、動円の半径に対して、0.5倍,1.0倍,1.5倍 の点の
軌跡です。
1.0 倍の場合をサイクロイド、他をトロコイドといいます。
1.0倍を超えるときに初めてループが出来ます。

中心あたりで、直線のようになっているのが、自転公転の場合の動きです。
ただし、誤解しないでいただきたいのは、図の円は、地球ではなく、
公転速度に見合う大きさの円を想定したものです。
No.913 - 2008/05/30(Fri) 14:44:50
☆ 有り難うございました / √
ヨッシーさん
有り難うございました。

やっと、誤解が解けました。

恥ずかしながら、今まで、
地球が、東に向かって、転がった分だけ、地球が移動（公転）する。
だから、
地球は３６５回、転がると、太陽の周りを１周するので、公転軌道の円周の長さは、
地球の円周（球周）の３６５倍の長さだと思ってました。
No.914 - 2008/05/30(Fri) 15:20:00
★ 平方根です / みき
中学校３年生の問題です。

√4=√(2^2)=2
になるのですが
√4=√(-2^2)=-2
という解釈もできてしまいます！どうして。-2は間違いだと説明できるのですか？？
No.901 - 2008/05/30(Fri) 06:03:51
☆ Re: 平方根です / ヨッシー
√4 は、
「２乗して４になる数のうち負でない方」
という意味です。「負でない」というのは、０のことを考慮してのことで、
大抵は「正の方」と考えて良いです。

ちなみに、
４の平方根は？→２と－２
平方根４は？→２
で、√4 は、後者の方です。
No.902 - 2008/05/30(Fri) 06:18:40
☆ Re: 平方根です / みき
ありがとうございます！！もう少し悩んでみます
No.904 - 2008/05/30(Fri) 06:47:25
★ 重複組み合わせの問題です。 / いさみ
「１，２，３の３つの数字から重複をゆるして４個の数字をとる組み合わせの総数を求めなさい。」という問題なのですが、解答は｢1111、2222、3333、1112、1113、2221、2223、3331、3332、1122、1133、2233、1123、2213、3312｣の15通り
　何故、1121や1211、2111などは含まれないのでしょうか。
まったく解りません、宜しくお願いいたします。
No.897 - 2008/05/30(Fri) 01:07:50
☆ Re: 重複組み合わせの問題です。 / にょろ
確かに
４桁の正数を作るという問題ならばそれであっていますが、
今回は選ぶだけなので2111,1211,1121,1112は同じ物です。
今回は、数もそんなになさそうなので取り尽くし法でやってみましょう。

1が４つある場合
1111の一通り

1が３つある場合
1112
1113
の２通り

1が２つある場合
1122
1123
1133
の３通り

1が一つだけの場合
1222
1223
1233
1333
の４通り

1が一つもない場合

2222
2223
2233
2333
3333
の５通り

よって1+2+3+4+5=15通りです。

このタイプの問題は重複組み合わせと呼ばれています
No.898 - 2008/05/30(Fri) 01:21:47
☆ Re: 重複組み合わせの問題です。 / いさみ
納得いたしました。どうもありがとうございました!!
No.899 - 2008/05/30(Fri) 01:55:56
★ 初めて書き込みさせていただきます。 / 白梅
高校３年生の数列の極限問題です。

（問題）
a１＝２／３　aK／a（K－１）＝2Kー３／2K＋１であり、
K＝２，３，４，……によって定められる数列｛an｝について
次の問いに答えよ。
（問い）第K項aKを求めよ。
答えはaK＝２／（2K＋１）（2K－１）です。

考え方として、与式の分母を省いて、
（2K＋１）aK＝（2K－３）a（K－１）とし、
2K－３と2K＋１が隣り合わない奇数の2項より、
2数間の2K－１を両辺にかけて、
（2K＋１）（2K－１）aK＝（2K＋３）（2K－１）a（K－１）
とした上で、「｛左辺｝は全ての項が等しい数列だから」
左辺＝bK、右辺＝b（K－１）と置けて、
bK＝b１だから、bK＝2であり、答えが前述のようになる。
と学校では説明されました。

私が疑問に思うのは鍵カッコの「｛左辺｝～」の箇所です。
Kを具体的に代入した所で、右辺と左辺の係数が違いますし、
わざわざ（2K－１）をかけてやる意味が考えても考えても分かりません。成立するとしても、（2K－１）をかける前の
与式でなぜbnなどと置き換えが出来ないのかが、全く
理解できません。　

どうか宜しくお願い致します。
No.896 - 2008/05/30(Fri) 00:52:20
☆ Re: 初めて書き込みさせていただきます。 / 七
>「｛左辺｝は全ての項が等しい数列だから」
という表現は間違いです。

(2k＋１)ak＝(2k－３)ak－1
両辺に2k－1をかけて
(2k＋１)(2k－１)ak＝(2k－１)(2k－３)ak－1
ここで bk＝(2k＋１)(2k－１)ak とおくと
bk－1＝{2(k－1)＋1}{2(k－1)－1}ak－1
＝(2k－１)(2k－３)ak－1
だから
bk＝bk－1
この式は{bk}がすべての項が等しい数列であることを示すから
bk＝b1
(2k＋１)(2k－１)ak＝3･1･a1＝2
よって ak＝2/(2k＋１)(2k－１)
です。
No.905 - 2008/05/30(Fri) 07:08:36
☆ Re: 初めて書き込みさせていただきます。 / ヨッシー
>与式でなぜbnなどと置き換えが出来ないのかが
たとえば、
　(2k+1)ak＝(2k-3)ak-1　･･･(i)
において、(i) の左辺を
　bk＝(2k+1)ak
とおいたとしても、右辺はbk-1 ではありませんよね？
　bk-1＝(2k-1)ak-1
なので、
　bk＝(2k-3)bk-1/(2k-1)
となって、結局ｋが残ってしまいます。

(2k+1)(2k-1)ak＝(2k-1)(2k-3)ak-1　･･･(ii)
とすると、bk＝(2k+1)(2k-1)ak
に対して
　(左辺)＝bk
　(右辺)＝bk-1
となり、bk＝bk-1 という定数数列になります。
(ii) のように、左辺と右辺が同じ規則の式の形にするために
(2k-1) を掛けています。
No.906 - 2008/05/30(Fri) 08:39:34
☆ Re: 初めて書き込みさせていただきます。 / 七
自分では余り使わないのですが図のような解法もあります。
No.907 - 2008/05/30(Fri) 12:13:08
☆ 本当に感謝しています / 白梅
七様、ヨッシー様、この上なく大変詳しく分かりやすい
解説及び別解をを、予備校の先生以上に
親身に教えて下さって本当にありがとうございました。
周りの人が疑問にも感じず、次の問題へと移る姿を見て
焦りと不安で帰り道はこの問題の事で頭が一杯で、
泣きそうになりました。今は人にこの問題を質問されても
自分の言葉で説明が出来ます。　本当に、本当に
ありがとうございました。
No.918 - 2008/05/30(Fri) 22:35:22
★ 過去問です… / KEY
問１
a,bを実数とし、f(x)=x^2-2a|x|+bと定義する。また、|f(x)|=1を満たす実数xの個数をNとする。以下の問いに答えよ。

(1)a≦0のとき、Nの最大値を求めよ。
(2)N=6となるような点(a,b)の範囲をab平面に図示せよ。


問２
xの方程式ax^2+2bx-a+1=0が-1≦x≦1を満たす解を持つような実数a,bの範囲をab平面に図示せよ。


学校で出されたもので、答えがわかりません…
解答・解説よろしくお願いします＞＜
No.886 - 2008/05/29(Thu) 00:50:34
☆ Re: 過去問です… / ヨッシー
(1)
f(x)=x^2-2ax+b=(x-a)^2-a^2+b (x≧0)
f(x)=x^2+2ax+b=(x+a)^2-a^2+b (x＜0)
であり、a≦0 であるので、グラフは図のようになります。


y=1,y=-1 との位置関係が、図のようであれば、Ｎは最大４になります。

(2)
ａ＞０ のときは、

図のような位置関係のときにＮ＝６となります。
ｙ切片はｂ、頂点のｙ座標は-a^2+b であることを踏まえて、
(i)
ｂ＞１　かつ　-a^2+b＝－１→ｂ＝a^2－１
(ii)
ｂ＜１　かつ　-a^2+b＜－１→ｂ＜a^2－１
以上より、

No.892 - 2008/05/29(Thu) 12:25:45
☆ Re: 過去問です… / KEY
回答ありがとうございます。グラフとてもわかりやすかったですww
No.900 - 2008/05/30(Fri) 03:01:38
★ ２次方程式 / 礼花　高２
こんばんは。いつもお世話になります。

a,bは実数でf(x)=x^2+ax+bとする。α、βを2次方程式f(x)=0の異なる2つの実数解とする。α^2,β^2がまたf(x)=0の異なる2つの実数解であるとき、a,bの値を求めよ。

この問題を判別式D=(a+2b)(a-2b)＞0として、2b＜a,a＜2 と、ここまでは解いたのですが、ここからどうやって解いたらいいのか全く分かりません。解説をよろしくお願いします。
No.885 - 2008/05/29(Thu) 00:02:22
☆ Re: ２次方程式 / 案山子
> こんばんは。いつもお世話になります。
>
> a,bは実数でf(x)=x^2+ax+bとする。α、βを2次方程式f(x)=0の異なる2つの実数解とする。α^2,β^2がまたf(x)=0の異なる2つの実数解であるとき、a,bの値を求めよ。
>
> この問題を判別式D=(a+2b)(a-2b)＞0として、2b＜a,a＜2 と、ここまでは解いたのですが、ここからどうやって解いたらいいのか全く分かりません。解説をよろしくお願いします。




さて，本題に入ります．

「二次方程式f(x)=0は実数解を持つ」ので，その判別式をDとすると，

D=a^2-4b＞0

この判別式は無理に解く必要はありませんが，見た目に分かりやすく次のようにしておきましょう．

a^2＞4b　・・・条件（＊）

「α，βが二次方程式f(x)=0の実数解」なので，

解と係数の関係から
　和　α＋β＝-a/1 →　α＋β＝－a ・・・①
　積　α・β＝b/1　 →　αβ＝b ・・・②

「α^2，β^2も二次方程式f(x)=0の実数解」なので，

解と係数の関係から
　和　α^2＋β^2＝-a/1 →　α^2＋β^2＝－a ・・・③
　積　α^2・β^2＝b/1 →　(αβ）^2＝b ・・・④

③は，(α＋β）＾2－２αβ＝－a　なので，①，②の関係を代入して

（－a)＾2－２（b）＝－a　→a^2－２b＝－a ・・・⑤

④は，②の関係を代入して

（b）＾2＝１ →b^2＝b ・・・⑥


⑥を解くと
b^2-b=0
b(b-1)=0
b=0，１

これより⑤から
（あ）b=0の場合
a^2＝-a
a^2+a=0
a(a+1)=0
a=0，-1
ここで，一旦整頓して書いておくと
（a，b)=(0，0)と(0，-1)

同じようにして⑤から，
（い）b=1の場合
a^2-2=-a　←整頓しますよ．
a^2+a-2=0
(a-1)(a+2)=0
a=1，-2
ここで，一旦整頓して書いておくと
（a，b)=(1，1)と(-2，1)

ところが，この中で条件（＊）に適しているのは
(a，b)=(0，-1)と(-2，1)　[終]

最後に，肝心な判別式の条件（＊）を忘れないようにしましょう．
No.888 - 2008/05/29(Thu) 02:02:13
☆ Re: ２次方程式 / 案山子
礼花さんの考えですが，まず判別式に気付いたところは良いです．

でも判別式を解くときに，文字aとbがあるので注意が必要です．

礼花さんのように単に

「2b＜a，a＜2（こちらは打ち間違いかな？）」

とはしないことが肝心ですよ
No.889 - 2008/05/29(Thu) 02:03:55
☆ Re: ２次方程式 / 七
(a,b)=(-1,0)ではありませんか？
(a，b)＝(0，－1) では解は±1でどちらも2乗すると1になり，元の方程式の解ですが異なる解ではありません。
(a，b)＝(－2，1)では重解1をもつことになり，やはり異なる解とはなりません。(a^2＝4bです)
No.891 - 2008/05/29(Thu) 09:32:08
☆ Re: ２次方程式 / 礼花　高２
返信がとても遅くなってしまい、本当に申し訳ありません…。
案山子さまの分かり易い解説で、一度はあきらめかけたこの問題がやっと理解できるようになりました。
嬉しくて嬉しくてたまりません！
案山子さま、七さま、教えてくださって本当にありがとうございました。
No.938 - 2008/06/01(Sun) 23:44:34
★ (No Subject) / DEBORAH
連続投稿となりますが、よろしくお願いします。
No.883 - 2008/05/28(Wed) 22:18:25
☆ (No Subject) / ヨッシー
(1)
f(x)＝x^2-2ax+a-1/2 とおきます。
y=f(x) のグラフは下に凸なので、f(0)＜0 であれば、
異符号の解を持ちます。
　f(0)＝a-1/2＜０　より
　a＜1/2
(2)
解と係数の関係より
　1+sinθ+cosθ＝2a　･･･(i)
　(1/2＋sinθ)(1/2+cosθ)＝a-1/2　･･･(ii)
(ii) より
　sinθcosθ＋(1/2)(sinθ+cosθ+1)+1/4＝a
(i) を代入して
　sinθcosθ+1/4=0
　sin2θ＝-1/2
より、2θ=7π/6 または 11π/6
　θ=7π/12 または 11π/12
ここで、1/2+sinθ と 1/2+cosθ が異符号となるのは、
θ＝11π/12　･･･(3)の答え

sin(11π/12)＝sin(π/12)＝sin(π/3－π/4)
　＝sin(π/3)cos(π/4)－cos(π/3)sin(π/4)
　＝(√3－1)/2√2
cos(11π/12)＝－cos(π/12)＝－cos(π/3－π/4)
　＝－cos(π/3)cos(π/4)－sin(π/3)sin(π/4)
　＝(-√3－1)/2√2
よって、(i) より
　2a＝1+sinθ+cosθ＝１－1/√2
　a=(√2-1)/2√2＝(2-√2)/4

(2) からやって(3)が楽になる方法があるかも知れません。
No.893 - 2008/05/29(Thu) 13:21:10
☆ Re: / DEBORAH
やっと理解できました。
何度やっても、答えが出ず悪戦苦闘していたもので・・。
ありがとうございました。
No.915 - 2008/05/30(Fri) 18:47:00
★ (No Subject) / DEBORAH
今回もよろしくお願いします。
以下の写真の問題です。
No.881 - 2008/05/28(Wed) 22:09:44
☆ Re: / DEBORAH
失礼しました投稿ミスです。
No.882 - 2008/05/28(Wed) 22:10:57
☆ Re: / 成瀬
　　1/{√(k + 2) + √k} = {√(k + 2) - √k}/2
と変形(有理化)すれば、
　　Σ[k=1,48] 1/{√(k + 2) + √k}
　　= (√3 - √1)/2
　　 +(√4 - √2)/2
　　 +(√5 - √3)/2
　　 +(√6 - √4)/2
　　 +・・・
　　 +{√(46+2) - √46}/2
　　 +{√(47+2) - √47}/2
　　 +{√(48+2) - √48}/2
となり、ほとんどの項が消える事が分かります。
No.884 - 2008/05/28(Wed) 22:31:42
☆ Re: / DEBORAH
理解できました。ありがとうございました。
No.916 - 2008/05/30(Fri) 18:48:13
★ 因数分解 / テスト間近の高一……
数Ⅰの因数分解です
No.878 - 2008/05/28(Wed) 19:20:25
☆ Re: 因数分解 / テスト間近の高一……
↑間違えて途中で投稿してしまいましたすみません。

①(a+b)(b+c)(c+a)+abc
②(b+c)^3+(c+a)^3+(a+b)^3+3abc
③a^3+b^3+c^3-3abc

解答は不明です

よろしくお願いします＾＾
No.879 - 2008/05/28(Wed) 19:24:58
☆ Re: 因数分解 / 豆
まず、3番は基本公式ですのでどこかに出ていると思います。
答えは(a+b+c)(a^2+b^2+c^-bc-ca-ab)

1,2番はまともに展開すると多少厄介になるかも知れません。
ちょっとした工夫で処理します。
この場合は、いずれもa+b+c=Aとおくと良さそうです。

(1)与式=(A-c)(A-a)(A-b)+abc
　　　=[A^3-(a+b+c)A^2]+(bc+ca+ab)A+[-abc+abc]
　　　=(a+b+c)(bc+ca+ab)
二つの[　]のところは消えてしまいます

(2)与式=(A-a)^3+(A-b)^3+(A-c)^3+3abc
　　　=[3A^3-3(a+b+c)A^2]+3(a^2+b^2+c^2)A-a^3-b^3-c^3+3abc
　　　　　[　]は消える
　　　=(a+b+c)(3(a^2+b^2+c^2)-(a^2+b^2;c^2-bc-ca-ab))
　　　=(a+b+c)(2a^2+2b^2+2c^2+bc+ca+ab)
No.890 - 2008/05/29(Thu) 08:13:39
☆ Re: 因数分解 / 豆
(1)はまともに展開しても、大したことはないですね。
aに注目して展開すれば、
与式=(b+c)(a^2+(b+c)a+bc)+bca
=(b+c)a^2+((b+c)^2+bc)a+(b+c)bc
=((b+c)a+bc)(a+b+c)
=(a+b+c)(bc+ca+ab)
No.894 - 2008/05/29(Thu) 15:48:57
☆ Re: 因数分解 / テスト間近の高一……
ご回答有難う御座います＾＾
これで次のテストものりきれそうです＾＾
有難う御座いました。
No.895 - 2008/05/29(Thu) 19:02:55
★ (No Subject) / こまったガール
学校のテスト前に授業で出された問題です．形式はセンター試験的な問題なので問題文の記号（ア）～（エ）の部分が穴埋めです．
私の考え方では答えが違っていたんですがどうしてなのか分かりません．助けてください．

問題文：Xの二次不等式「(2X-a)(X-3a+2)＜0の解がちょうど3個の整数を含むとき，正の定数aの値の範囲は（ア）＜a＜（イ），（ウ）＜a＜＝（エ）である．」
補足：＜＝（小なりイコール）です．

解答：（ア）5/3　（イ）2　（ウ）2　（エ）7/3


私の考え方：
・不等式の左辺＝０として解きました．「X＝a/2，X＝3a-2」
・左辺をグラフ化してX軸よりも下側の範囲で3個の整数が含まれるとよいので今求めたXの解の差が「３＜解の差＜＝４」となればいいのね．

・場合わけに気を付けて・・・

・a/2＜3a-2なら（→つまり4/5＜aの場合なら）不等式の解は「a/2＜X＜3a-2」．
・だからこの場合の解の差は「(3a-2)-(a/2)=5a/2-2」となり，さっきの考え方から「３＜5a/2-2（解の差）＜＝４」．
・これを解いて，「2＜a＜＝12/5」．場合わけに適する．

同じようにして
・場合わけに気を付けて・・・

・a/2＞3a-2なら（→つまり4/5＞aの場合なら）不等式の解は「3a-2＜X＜a/2」．
・だからこの場合の解の差は「(a/2)-（3a-2)=-5a/2+2」となり，さっきの考え方から「３＜-5a/2+2（解の差）＜＝４」．
・これを解いて，「-12/5＜a＜＝-2」．場合わけには適するけれど問題文の正の定数に適していない

以上のことから解答は・・・「2＜a＜＝12/5」．

感想：こんな風に解いて実際に解答集で自己解答したら全然答えが違っていてガッカリ（泣）．先生に聞きに行ったのに先生も「ちょっと先に解いてみるから待ってて」って言ったものの解答してみたら間違えていました．そして最後に私に「これはできなくてもいいから」って．助けて（泣）．
No.874 - 2008/05/28(Wed) 08:58:56
☆ (No Subject) / ヨッシー
たとえば、解答と違う点の、具体的なところとして、
ａ＝12/5 が、解答には入っていないのに、こまったガールさんの
解答には入っています。
では、このときどういうことになるかというと、
不等式の解は、
　6/5＜ｘ＜26/5
となり、2,3,4,5 の整数が含まれることになります。

つまり、「３＜解の差≦４」では、ダメだということです。
たとえば、0.9＜ｘ＜3.1 は、解の差は2.2 ですが、整数解は
３つ含みますね。

正解は、次の記事で。
No.875 - 2008/05/28(Wed) 10:00:42
☆ (No Subject) / ヨッシー
不等式の解が、
　4/5＜a のとき　a/2＜ｘ＜3a-2
　０＜a＜4/5 のとき　3a-2＜ｘ＜a/2
になることは良いですね？

(1)
4/5＜a のとき　a/2＜ｘ＜3a-2　において、
解の差ということに関しては、
　２＜(3a-2)－a/2＜４
が必要です。（十分ではありません）
そこで、8/5＜a＜12/5　の範囲で、整数解がいくつ含まれるか調べます。
整数解の個数が変わるのは、a/2 または 3a-2 が整数になるところです。

8/5＜a＜2 の範囲では、
　4/5＜a/2＜１
なので、a/2＜ｘ＜3a-2 に、０は含まれず１は含まれることは確実です。
あとは、３が含まれて４が含まれなければいいので、
　３＜3a-2≦４
より、5/3＜ａ≦２
8/5＜a＜2 を考慮して、5/3＜ａ＜２

ａ＝２ のとき、
　a/2＝１、3a-2＝4 であり、１＜ｘ＜４ には、整数は２つだけなので、不適

２＜ａ＜12/5 の範囲では、
　１＜a/2＜6/5
なので、a/2＜ｘ＜3a-2 に、１は含まれず２は含まれることは確実です。
あとは、４が含まれて５が含まれなければいいので、
　４＜3a-2≦５
より、２＜ａ≦7/3
これは、２＜ａ＜12/5 に完全に含まれるので、そのまま答えとなり
　２＜ａ≦7/3

(2)
０＜a＜4/5 のとき　3a-2＜ｘ＜a/2 において、
　２＜a/2－(3a-2)＜４
が必要です。このためには、
　-8/5＜ａ＜０
が必要ですが、ａは正の定数なので、これを満たすことは出来ません。

以上より、5/3＜ａ＜２ および ２＜ａ≦7/3 となります。
No.876 - 2008/05/28(Wed) 10:23:18
☆ Re: / こまったガール
とても親身な解説で驚きです．ありがとうございます．学校の先生よりも全然筋道を通してお話してくださっている感じが伝わりました．
私の考えで出した解答の中で具体的な値（a＝12/5では整数が4個入ってしまう）という部分には感動しました．

ただ，解答するのに一番肝心な部分であると思いますが，正解の記事の初めの方で，解の差がどうして次のようになるのかまだよく分かりません．私は左辺＝0を解いてからグラフ化して考えたのがいけなかったのかな？
グラフ化してX軸との共有点に綺麗な点（整数となる点）が3個含まれたらよいと視覚的に考えたので「3＜解の差≦4」としました．
ヨッシー先生の解説で具体的な例からだめなのは分かってもただ単純にその部分を読んでみて確かにだめだわって感じた程度です（汗）


> (1)
> 4/5＜a のとき　a/2＜ｘ＜3a-2　において、
> 解の差ということに関しては、
> 　２＜(3a-2)－a/2＜４
> が必要です。（十分ではありません）


今回，ヨッシー先生は私が「解の差」にこだわった考え方だったのでそれに合わせてくださいましたが，他に何かよい解き方があるのなら別解説をおねがいできますか．（すいません，頭悪くて＾＾）

余談：私は女子だけど数学が好きです．絶対に筋道をたどって考える学問だから．いつも心得ているのは間違えた問題は自分のどういう考え方が間違いの道に迷い込んだのか考えると時間を忘れてしまいます．今回みたいな問題ができないっていうのはどういう部分がよく理解できていないのかなって今も考えています．（整数の勉強不足かな？）
ヨッシー先生はどんな問題集や参考書で勉強しているのかな？とも思ってしまいました．尊敬です．

初めの方ですでに解説ではなくてどうして「2＜解の差＜4」なのかは分からないだけど，そこを強制的に理解したとして読んでみて解答集と同じ解答までたどりついていることに感動しています．ありがとうございました．
No.877 - 2008/05/28(Wed) 17:50:05
☆ (No Subject) / ヨッシー
解の差は、別に合わせたわけではなく、２解にはさまれた部分の
幅を考えるのは、普通にやることです。

2＜解の差＜4 になるのは、以下の図の通りです。

ただし、2＜解の差＜4　で範囲が確定されるわけではなく(＝十分でない)
範囲はさらに狭められる可能性を含んでいます。
ただし、少なくとも、２以下や４以上について、調べる
必要はないということがわかり、解の目安になります。
No.880 - 2008/05/28(Wed) 20:28:11
★ 数学Ⅰ / kry
「x=(1+√5)/2とする。このとき、

(1)x^2-x-1の値を求めよ。

(2)x^8の値を求めよ。」

特に(2)を、代入以外の方法で解くやり方を教えていただきたいです。よろしくお願いします。
No.866 - 2008/05/27(Tue) 23:23:51
☆ Re: 数学Ⅰ / ＤＡＮＤＹ　Ｕ
(1) x^2-x-1＝ｘ(ｘ－1)－1＝｛(√5+1)/2}*(√5-1)/2－1
　　　　　＝1－1＝0
としてもいいし、ｘの値を見て x^2-x-1＝0　の解になっていることに気がつけば、なおさら楽ですね。

(2) (1)の結果より ｘ^2=ｘ＋1
x^8＝(ｘ^2)^4＝(x+1)^4＝(x^2+2x+1)^2
　＝{(x+1)+2x+1}^2＝(3x+2)^2＝9x^2＋12ｘ+4
　＝9(x+1)＋12ｘ+4＝21ｘ＋13
＝21*(√5+1)/2＋13＝(47＋21√5)/2
こんなもんでどうでしょう。
No.868 - 2008/05/28(Wed) 00:08:34
☆ Re: 数学Ⅰ / kry
自分も試行錯誤したのですが、なかなかうまくいきませんでした。累乗のまま代入しないスマートな解答をしていただきありがとうございます。
No.869 - 2008/05/28(Wed) 00:19:21
★ 数学Ⅱ / 桜　高校2
こんにちは。
よろしくお願いいたします。

二次方程式x^2+(a-2)x+2a=0の解の比が2:3になるように定数aの値を定めよ。


私は
2α,3αとおいて、
5α=-a+2
3α^2=a

5α=-3α^2+2まで求めたのですがこのあとわからずうまくいきません。

教えてください。
よろしくお願いいたします
No.858 - 2008/05/27(Tue) 19:41:49
☆ Re: 数学Ⅱ / ヨッシー
5α=-3α^2+2 は、3α^2+5α-2=0 という二次方程式です。
因数分解して
　(3α-1)(α+2)=0
より、α=1/3 または -2
α=1/3 のとき、a=1/3
α=-2 のとき、a=12

それぞれ
x^2-5x/3+2/3=0
　(1/3)(3x-2)(x-1)=0 より、x=2/3, 1 で、比が２：３
x^2+10x+24=0
　(x+4)(x+6)=0　より、x=-4,-6 で、比が２：３
とそれぞれ、条件を満たします。
No.863 - 2008/05/27(Tue) 20:15:49
☆ Re: 数学Ⅱ / 桜　高校2
ヨッシーさん
ありがとうございました！！

おかげさまで解決しました☆
そして、数学が苦手でしたがだんだんわかるようになりました！！
No.865 - 2008/05/27(Tue) 21:51:22
★ 球面 / ナナ
またまたお願いします・・・・。
（1）
球面x＾２+y＾2+Ｚ＾2＝3が直線x＝（y/２）＝Z-１から切り取る線分の長さを求めよ。
（2）
点（1.2.1）を通り、3つの座標平面に同時に接する球面の方程式を求めよ。

詳しい解説お願いします。
No.850 - 2008/05/27(Tue) 16:35:29
☆ Re: 球面 / rtz
(1)
直線の方程式からy,zをxで表し、
球面の方程式に放り込めば、両交点のx座標が出ます。
そのまま両方の座標を出して長さを出してもいいし、
方向ベクトルが(1,2,1)であることを使って出してもいいと思います。

(2)
題意の球面の中心の座標は(a,a,a) (a＞0)、半径がaとおけることは良いでしょうか。
(実際は(a,a,-a)(-a,a,-a)など考えられますが、(1,2,1)を通りません)
つまり(x－a)2＋(y－a)2＋(z－a)2＝a2が球面の方程式になります。
No.853 - 2008/05/27(Tue) 16:51:21
★ (No Subject) / トキ
製品Ａを１個つくるのに原料Ｐが４トン、Ｑが２トン人手が２人必要である。
製品Ｂを１個作るには原料Ｐが３とん、Ｑが８トン人手が５人必要です。また、
製品Ａを１個作るのに６万円、製品Ｂを１個つくると２０万円の利益がある。
利益を最大にするには１日にＡ、Ｂをそれぞれ何個ずつつくればいいのでしょう？ただし原料はＰ、Ｑとも２４０トン以内、人手は１８０人以内１日使えるとする。

4x+3y<=240
2x+8y<=240
2x+5y<=180 　
x>=0,y>=0

3x+10y=k　（利益の式）
No.847 - 2008/05/27(Tue) 15:32:19
☆ Re: / rtz
2chのスレでも聞いてましたね。
それだけの情報が分かっているのですから、
条件をグラフに表してみては？

かつ利益の式が、
その範囲内を通過できて、k(＝y切片の1/10)が最大となるような点をグラフから判断すれば自ずと答えが出ます。


それから利益の式は、
間違ってはいませんが、そうおくと後で混乱の元のような気がしますが…。
No.852 - 2008/05/27(Tue) 16:41:28
☆ (No Subject) / トキ
説明ありがとうございます。

けれど、グラフを書いたはいいですけど
グラフの意味がわかっていません。

できれば詳しく説明お願いします。

（ヨッシー代筆）
No.856 - 2008/05/27(Tue) 19:12:12
☆ (No Subject) / ヨッシー
新しいスレッドを立てると、古い記事が消えるのが早まりますので、
極力、「返信」でお願いします。
（途中の２記事も削除しました）

製品Ａをｘ個、製品Ｂをｙ個作るとして、
4x+3y≦240
2x+8y≦240
2x+5y≦180
をグラフにすると、以下のようになります。



一方、利益をｋ円とすると、
　6x+20y=k
であるので、変形して、
　y=-3x/10＋k/20
となるので、ｘｙ平面上の、ある点(x,y)から、傾き-3/10 の
直線を引き、ｙ軸との交点（ｙ切片)の20倍が、利益になります。
上のグラフで、塗られた範囲の、あらゆる点から、傾き-3/10
の直線を引いたとき、ｙ切片が最大になるのは、

図のように、(40,20) を通るときで、このときのｙ切片は、
　k/20=y+3x/10＝32
よって、最大利益は32×20＝640(万円) となります。
No.857 - 2008/05/27(Tue) 19:36:01
☆ Re: / トキ
ヨッシー様々です。
ほんとうにありがとうございます。
私もいずれ教える立場になれるよう勤めたいと思います。

ヨッシー代筆
No.860 - 2008/05/27(Tue) 20:05:42
☆ Re: / トキ
すいません何回も言わせてしまい。
No.862 - 2008/05/27(Tue) 20:15:36
★ 空間図形の方程式 / ナナ
またお願いします。
つぎの直線の方程式を求めよ
（1）原点を通り、方向ベクトルが（1,1、-1）である直線
（2）点（1,2,1）を通り、方向ベクトルが（-1、0、3）である直線
（3）２点（1、2、-3）（-4、1、5）を通る直線
No.845 - 2008/05/27(Tue) 12:31:52
☆ Re: 空間図形の方程式 / ヨッシー
点(a,b,c) を通り、方向ベクトルが(i,j,k) である直線の式は、
実数ｔを使って、
　ｘ＝it+a、ｙ＝jt+b、ｚ＝kt+c
と表せます。i,j,k いずれも０でない場合は、それぞれ
　ｔ＝(x-a)/i、ｔ＝(y-b)/j、ｔ＝(z-c)/k
と変形出来るので、
　(x-a)/i＝(y-b)/j＝(z-c)/k
という表し方もできます。また、ｋだけ０であるような場合は、
　(x-a)/i＝(y-b)/j、ｚ＝ｃ
のように、複合した表し方もあります。

これに従うと、
(1)
　ｘ＝ｔ、ｙ＝ｔ、ｚ＝－ｔ　（ｔは実数）または
　ｘ＝ｙ＝－ｚ
(2)
　ｘ＝－ｔ＋１、ｙ＝２，ｚ＝３ｔ＋１　(ｔは実数)　または
　(x-1)/(-1)＝(z-3)/3、ｙ＝２
(3) 方向ベクトルは、２点を結ぶベクトル(-5,-1,8)なので、
(1,2,-3) を通ることより
　ｘ＝－５ｔ＋１，ｙ＝－ｔ＋２，ｚ＝８ｔ－３　（ｔは実数）　または
　(x-1)/(-5)＝(y-2)/(-1)＝(z+3)/8
もちろん、(-4，1，5) を通ることより、
　ｘ＝－５ｔ－４，ｙ＝－ｔ＋１，ｚ＝８ｔ＋５　（ｔは実数）　または
　(x+4)/(-5)＝(y-1)/(-1)＝(z-5)/8
としても良いです。
No.846 - 2008/05/27(Tue) 12:48:11
☆ Re: 空間図形の方程式 / ナナ
早速取り組んでみます♪♪
ありがとうございます
No.851 - 2008/05/27(Tue) 16:36:21
★ ベクトル / ナナ
問1　空間の3点Ａ（1、2、3）Ｂ（-2、0、4）Ｃ（3、5、-1）を頂点とする三角形の面積を求めよ。

問2　次の直線の方向ベクトルを求め、その直線を図示せよ。（1）x＝y＝z
（2）x＝３　3-y＝（Z+１）/３

教えてください。
No.840 - 2008/05/27(Tue) 10:49:34
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
問1
距離の公式より
　ＡＢ＝√14、ＢＣ＝5√3、ＣＡ＝√29
ヘロンの公式より面積Ｓは、
　Ｓ＝{√(√14＋5√3＋√29)(－√14＋5√3＋√29)(√14－5√3＋√29)(√14＋5√3－√29)}/4
　４Ｓ＝√{(5√3＋√29)^2－14}{14－(5√3－√29)^2}
　　＝√(90＋10√87)(-90＋10√87)
　　＝√600＝10√6
　Ｓ＝5√6/2

問2
(1) (1,1,1)
(2) (0,-1,3)

No.841 - 2008/05/27(Tue) 11:34:41
☆ ベクトル / ナナ

ありがとうございます。。
図がとてもわかりやすいです（＞。＜）
No.844 - 2008/05/27(Tue) 12:25:18
★ 線形代数 / 美穂
指数関数
問1　次の値をa+biの形で表せ
（1）e^(-πi)
（2）e^(1+(πi/2))
（3）e^(2-i)

問2　１のn乗根、複素数aのn乗根を指数の形で表せ
問3　z=x+iyに対して、次の関数をx.yで表せ
（1）e^(-z+πi)

明日中間テストなんですが全然できなくて……。
はやい解説お願いします。
お願いします。。。。

E
No.839 - 2008/05/27(Tue) 09:00:42
☆ Re: 線形代数 / ヨッシー
まず、
　ｅ^(θi)＝cosθ＋ｉsinθ
という、オイラーの公式は、押さえておきます。

問1(1)
ｅ^(-πi)＝cos(-π)＋ｉsin(-π)＝－１＋０ｉ
(2)
ｅ^(1+(πi/2))＝ｅ・ｅ^(πi/2)＝ｅ{cos(π/2)＋ｉsin(π/2)}
　　＝０＋ｅｉ
(3)
ｅ^(2-i)＝ｅ^2・ｅ^(-i)＝ｅ^2{cos(-1)＋ｉsin(-1)}
　　＝ｅ^2cos(1)－ｅ^2sin(1)ｉ

問2
１＝ｅ^0i＝(e^0i)^n と考えると、１のｎ乗根の１つは　ｅ^0＝１
１＝ｅ^2πi＝{e^(2πi)/n}^n と考えると、１のｎ乗根の１つは　ｅ^(2πi)/n
１＝ｅ^4πi＝{e^(4πi)/n}^n と考えると、１のｎ乗根の１つは　ｅ^(4πi)/n
これらより、１のｎ乗根は
　ｅ^(kπi)/n　（ｋ＝0，1，2，･･･n-1)
同様に、ａのｎ乗根は、ｎ乗根ａをn√ａ と書くと、
　(n√ａ)ｅ^(kπi)/n　（ｋ＝0，1，2，･･･n-1)

問3
　e^(-z+πi)＝e^(-x-yi)・e^πi
　　＝e^(-x)・e^(-yi)×(-1)
　　＝(-1/e^x){cos(-y)＋ｉsin(-y)}
　　＝(－cosｙ＋ｉsinｙ)/e^x
No.842 - 2008/05/27(Tue) 12:11:36
☆ Re: 線形代数 / 美穂
ありがとうございます！！！！
早速やってみます
No.843 - 2008/05/27(Tue) 12:23:44
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