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★ 数?V / さくら

こんにちは！
数?Vと言っても途中式なんですが、
√x+2/x-2 × 2/(x+2)^2
ってどうやったら解けるでしょうか？
何方か宜しくお願いします。
No.7527 - 2009/08/18(Tue) 17:35:00
☆ Re: 数?V / angel
…「解く」ってどういう意味でしょうか?
途中の式と「解く」という漠然とした表現だけでは、問題の目的が分からないため、問題文と、その式を出した経緯を書いて頂けますでしょうか。
No.7531 - 2009/08/18(Tue) 21:47:16
★ 教えてください！ / たかし
数学?T？
次の問題のとき方を教えてください☆
　ｎ4乗が3ｎ＋７の倍数となるような自然数ｎをすべてもとめよ
No.7525 - 2009/08/18(Tue) 14:47:00
☆ Re: 教えてください！ / らすかる
とりあえず n^4/(3n+7) を計算しましょう。
No.7526 - 2009/08/18(Tue) 15:58:50
☆ Re: 教えてください！ / たかし
僕がやった限りでは何も見つかりませんでした
泣
No.7528 - 2009/08/18(Tue) 18:34:00
☆ Re: 教えてください！ / rtz
らすかるさんの仰られたとおり、
n4/(3n+7)の計算を"式で"ちゃんと出しましたか？
数字を適当に1,2,…と入れていくのではないですよ。
No.7529 - 2009/08/18(Tue) 19:16:23
☆ Re: 教えてください！ / たかし
してませんでした
やってみます
No.7530 - 2009/08/18(Tue) 19:49:19
☆ Re: 教えてください！ / phaos
その方法では不可能ではないかもしれませんが, かなり難しいのではないでしょうか。

n^4 を (3n + 7) が割り切るということは, (各々を素因数分解したとして考えてみると) n と 3n + 7 が互いに素ということは考えられないということから, 先ず n と 3n + 7 の最大公約数を求めてみるのがいいと思います。
No.7534 - 2009/08/18(Tue) 22:27:29
☆ Re: 教えてください！ / angel
＞ その方法では不可能ではないかもしれませんが, かなり難しいのではないでしょうか。

そうでもないと思いますよ。
ただし、「81n^4 を (3n+7) で割る ( そして余りを出す )」とした方が楽なのは確かですが。
No.7535 - 2009/08/18(Tue) 22:35:44
☆ Re: 教えてください！ / らすかる
m=3n+7 とおくと n=(m-7)/3 なので n^4=(Am+7^4)/3^4
よって81n^4を3n+7で割った余りは7^4
のようにすると、整式の割り算の手間が省けますね。
No.7539 - 2009/08/19(Wed) 00:15:52
☆ Re: 教えてください！ / たかし
わかりません
　　
　81n^4を3n+7で割った余りは7^4
　81n^4 を (3n+7) で割る
　 n と 3n + 7 の最大公約数を求めてみる

ってどういうことですか
No.7549 - 2009/08/19(Wed) 18:34:39
☆ Re: 教えてください！ / らすかる
＞81n^4 を (3n+7) で割る
例えば14を3で割ると商が4、余りが2ですが、これは
14=3×○＋□（ただし□＜3）
となる○と□を求めているわけです。
これと同様に、
81n^4=(3n+7)×○＋□（ただし□の次数は3n+7の次数未満）
となる○と□を求めるのが「81n^4を(3n+7)で割る」の意味です。
計算すると
81n^4=(3n+7)(27n^3-63n^2+147n-343)+2401
となりますので、81n^4を3n+7で割ると
商が27n^3-63n^2+147n-343、余りが2401ということになります。
No.7551 - 2009/08/19(Wed) 20:58:23
☆ Re: 教えてください！ / たかし
そっからどうなるのかがちでわかりません
No.7557 - 2009/08/20(Thu) 20:51:54
☆ Re: 教えてください！ / らすかる
81n^4=(3n+7)(27n^3-63n^2+147n-343)+2401 から
81n^4/(3n+7)=(27n^3-63n^2+147n-343)+2401/(3n+7)
n^4が3n+7の倍数となるとき、81n^4/(3n+7)は整数です。
また、81n^4/(3n+7)が整数のとき、3n+7は3で割り切れませんので
n^4/(3n+7)も整数となります。
よって
「n^4が3n+7の倍数」⇔「2401/(3n+7)が整数」
ですから、
「n^4が3n+7の倍数」⇔「3n+7が2401の約数」
となります。
No.7558 - 2009/08/20(Thu) 21:48:08
☆ Re: 教えてください！ / たかし
わざわざ僕のためにありがとうございました☆
その親切心に感極まります
またいつかお世話になります
蟻が父さんハエが母さん
No.7559 - 2009/08/20(Thu) 22:01:26
★ 誰か教えて！ / なみ
Bは行列でB=B^-1という式で、両辺によくB^-1とか逆行列をかける操作はよくするんですけど、この場合Bを両辺に掛けるってのもしていいんでしょうか。教えてください。
No.7522 - 2009/08/18(Tue) 01:07:38
☆ Re: 誰か教えて！ / angel
OKです。なおかつ、今回は同値変形になります。
つまり、
　Ｂ=Ｂ^(-1) ⇔ ＢＢ=ＢＢ^(-1) ⇔ Ｂ^2=Ｅ

次のページにあるNo.7395以下でも、似たような話がありますので、ご参考まで。
No.7524 - 2009/08/18(Tue) 01:51:46
☆ Re: 誰か教えて！ / なみ
納得しました☆特に７４００番はちょっとしたお宝ですね。

そこでちょっと気になったのですが
C=0のときのA=BとAC=BCの同値関係で（行列じゃないです）
A=B→AC=BCは真で
AC=BC→A=Bは偽で合ってますか。

これが合っていたら
C=０でも両辺に掛けるときは断り書きがいらないこと。
両辺から割るときはC≠０よりと断り書きを入れること。
の二つが一本でつながるのですが・・
とても初歩的なことかもしれないんですけど
確認の意味もかねてよろしくおねがいします。
No.7532 - 2009/08/18(Tue) 22:14:47
☆ Re: 誰か教えて！ / ヨッシー
C=0 と断らなくても、
A=B→AC=BCは真で
AC=BC→A=Bは偽です。

※断らなくてもとは、C=0 以外でも偽になることがあるという
ことではなく、どうせ反例で C=0 が挙げられるので、
最初に言わなくてもいい、という意味です。

>二つが一本でつながるのですが・・
つながりますね。ちなみに、両辺を割る、ですね。
No.7533 - 2009/08/18(Tue) 22:22:32
☆ Re: 誰か教えて！ / なみ
とりあえず、Cが０のとき
A=B→AC=BCは成り立って
AC=BC→A=Bは成り立たない
ってのは合ってるってことで
いいんですよね？

何度もすいません。。
No.7536 - 2009/08/18(Tue) 22:56:18
☆ Re: 誰か教えて！ / ヨッシー
いいですよ。
No.7537 - 2009/08/18(Tue) 23:13:26
★ 複雑な場合の数 / 数学好きの数学下手
　またお世話になります。
　今度は場合の数の問題なのですが、かなり複雑で手こずりました。解き方を教えてください。

【問題】
　4組の夫婦を以下の条件に従って横1列に並ばせる。
　（条件）女性の隣にはその人の夫かあるいは女性のみが
　　　　　座る。
　このとき、この8人の並べ方は何通りあるか？


　自分の考えでは、女性の隣にその女性の夫ではない男の並べ方を考えて、全体からその場合の数を引くのではないか、と考えたのですが、その後の整理をどうするかで、頭がこんがらがりました。
No.7513 - 2009/08/17(Mon) 10:09:04
☆ Re: 複雑な場合の数 / 数学好きの数学下手
　座る、じゃなくて、「いる」ですね。細かいことですが一応訂正します。
No.7514 - 2009/08/17(Mon) 10:10:44
☆ Re: 複雑な場合の数 / ヨッシー
女性が男性に挟まれることはなく、
また、男性が女性に挟まれることはありません。
よって、男性も女性も、端にいるとき以外は
必ず２人以上のかたまりになります。
それを踏まえて、女性のかたまり方によって、
男女の並び方を調べると以下のようになります。
※右端の数字は、後述。

1)女性４人のかたまり
女女女女男男男男　６
男女女女女男男男　２
男男女女女女男男　２
男男男女女女女男　２
男男男男女女女女　６

2)女性が３−１に分かれる場合
女女女男男男男女　２
男女女女男男男女　１
男男女女女男男女　１
女男男女女女男男　１
女男男男女女女男　１
女男男男男女女女　２

3)女性が２−２に分かれる場合
女女男男女女男男　１
女女男男男女女男　１
女女男男男男女女　２
男女女男男女女男　１
男女女男男男女女　１
男男女女男男女女　１

4)女性が１−２−１に分かれる場合
女男男女女男男女　１

たとえば、女女女女男男男男 は、女の並び方が４！＝２４通り
それに対して、男は、女と接している一人はその夫に固定されますが、
他の３人は自由なので３！＝６通り　の並び方があります。
そこで、男の並び方にどれだけの場合の数があるかを示したのが、
右の数字です。
それらを合計すると、３４なので、
　２４×３４＝８１６(通り)
となります。
No.7516 - 2009/08/17(Mon) 11:56:17
☆ Re: 複雑な場合の数 / 数学好きの数学下手
　最初からもう並べ方が限られちゃうのですね。全く、頭になかったです（恥）。確かに、余事象考えるよりは、こっちのほうが落ち着いて数え上げることが出来ますね。

　今回もありがとうございました。
No.7520 - 2009/08/17(Mon) 23:49:36
☆ Re: 複雑な場合の数 / 春
女性が男性に挟まれることはなく、
また、男性が女性に挟まれることはありません

とありますが
女性が男性に挟まれることはなく、は問題に書いてあるのですが、男性が女性に挟まれることはありません
はどこから来たのでしょうか。
気になったので教えてください。
No.7636 - 2009/08/27(Thu) 00:20:21
☆ Re: 複雑な場合の数 / ヨッシー
男性の両端が女性だとすると、少なくともどちらか一方は
自分の妻ではなく、その女性にとっては、自分の夫以外の
男と隣り合うことになるためです。
No.7637 - 2009/08/27(Thu) 00:33:02
★ 数学?U / 小次郎
(１)２点A,Bが次のように与えられている時、線分ABの垂直二等分線の方程式を求めよ。

　A（-1,3）B (7,-1)


(２)２直線 ax+4y=2とx+(a-4)y=1がある。a≠4である。
　　2直線が平行になるようなaの値を求めよ。


(1)については傾きまでは導けるのですが切片をどのように導くのかわかりません・・。
(2)はまったくわかりません・・解法の記載おねがいします。
No.7506 - 2009/08/16(Sun) 23:14:40
☆ Re: 数学?U / ヨッシー
(1)
ＡＢの中点は(3,1) ですが、求める直線は、この点を通ります。

(2)
２直線が平行←→傾きが等しい　（ただし、ｙ軸に平行な場合を除く）
No.7508 - 2009/08/17(Mon) 00:20:11
☆ Re: 数学?U / 小次郎
(2)の式x+(a-4)y=1をどのように式変形すればよいのですか？
No.7515 - 2009/08/17(Mon) 11:14:55
☆ Re: 数学?U / ヨッシー
両辺 a-4 で割ります。
No.7517 - 2009/08/17(Mon) 13:09:02
☆ Re: 数学?U / 小次郎
理解できました。
式変形のときににｙをかけてしまっていました・・・。
No.7519 - 2009/08/17(Mon) 20:34:51
★ 計算 / parasol
すごく初歩的な計算問題ですが

a^2-b^2=1・・・?@
かつab=√５・・・?Aで

?Aを２乗したいのですが
同値性が保たれるのかどうかわかりません。
同値性に注意した途中過程を教えてください。

答えは(a,b)=(1,√5)(-1,√5)です

よろしくお願いします。
No.7497 - 2009/08/16(Sun) 20:23:31
☆ 訂正です / parasol
a^2-b^2=-4
でした。
No.7498 - 2009/08/16(Sun) 20:24:25
☆ Re: 計算 / らすかる
問題と答えが合っていません。
(a,b)=(-1,√5) は ab=√5 を満たしません。
No.7500 - 2009/08/16(Sun) 21:00:35
☆ Re: 計算 / rtz
(a,b)＝(-1,-√5)ですかね。

ab＝√5⇔a2b2＝5 かつ ab＞0
程度でいいのでは。
a,b＞0 または a,b＜0 でもいいですが、冗長な気がします。
No.7501 - 2009/08/16(Sun) 21:06:38
☆ Re: 計算 / ヨッシー
ａｂ＝−√5 なのかも。

２乗して、
　a2b2＝５　　ａｂ＜０
と書いておくのが、慎重なやり方と思いますが、
ａｂ＜０ は気にせずに解いていって、最後に
ａｂ＝−√5　を満たすかチェックする、ということで良いと思います。
No.7512 - 2009/08/17(Mon) 08:21:05
★ 回転拡大を表す行列 / 数Cを独学でやる者
行列

a -b
b a

が回転拡大を表す行列、だという簡単な証明を教えてください。(1,0)が(a,b)に移ることを利用した証明があったらより助かります。よろしくお願いします。
No.7491 - 2009/08/16(Sun) 17:04:26
☆ Re: 回転拡大を表す行列 / 七
> 行列
>
> a -b
> b a
>
> が回転拡大を表す行列、

とは限りません。
No.7496 - 2009/08/16(Sun) 20:10:52
☆ Re: 回転拡大を表す行列 / 七
原点に関してθの回転を表す行列は
cosθ　-sinθ
sinθ cosθ
です。
またｒ倍の拡大を表す行列は
ｒ　0
0　ｒ
です。
θの回転とｒ倍の拡大を表す行列は
この2つの行列の積です。　
No.7499 - 2009/08/16(Sun) 20:25:10
☆ (No Subject) / parasol
質問の仕方に不備があったようなので、質問の仕方を変えます。

問題）A=
a -b
b a

(a,b:実数）

とする。A^6=EをみたすAを全て求めよ。
　
解）（１，０）方向から（a,b）方向への回転角をθ（０≦θ＜２π）とおき、√(a^2+b^2)=rとおくとa=rsinθ、b=rcosθにより、A=ｒ
cosθ　-sinθ

sinθ cosθ

と表せる。よって〜

解答をそのまま写しました。
行列
a -b
b a

からAの行列を出してるみたいなのですが
この回答の意味（Aの行列の導き方）が理解できません
分かる人がいたらどうか教えてください。
No.7502 - 2009/08/16(Sun) 21:20:18
☆ Re: 回転拡大を表す行列 / ast
模範解答でやっている内容と同じことは, 受験数学でおなじみの三角函数の合成で散々やっているはずですが…….
No.7503 - 2009/08/16(Sun) 22:28:34
☆ Re: 回転拡大を表す行列 / parasol
ならば細かい部分から

（１，０）はどこからきたのですか
No.7509 - 2009/08/17(Mon) 02:06:25
☆ Re: 回転拡大を表す行列 / ast
"ならば" で接続するような内容という気がしないのですが, (1,0) は x-軸 (の正の部分) 上の点であるという以上の意味はありませんし, それ以上の意味を持たせる必要もありません. そもそも模範解答の文言は "(1,0)-方向" であるということに注意してください.

もう少しだけ詳しく述べれば, No.7499 に書かれているような事実を念頭において, r * cos(θ) = a, r * sin(θ) = b となるような θ を求めたければ, そういう三角形 (原点, (a,0), (a,b) を頂点に持つ直角三角形) を書けばいいというだけの話です (直角や平角を越える場合は何処のどの値がどのようにどの三角函数の値を定めているか, 三角函数の定義を今一度復習なさるのも良い考えでしょう).

もう一度繰り返しますが, 上述の説明文の中でご質問の (1,0) は (極座標での) 偏角 θ を x-軸の正方向へ向かう半直線から測りはじめるという約束事を再度確認する程度の役割しか持っていませんし, それで十分役割を果たしていることが確認できると思います.

なお, "三角函数の合成" a * sin(x) + b * cos(x) = r * sin(x + θ) 云々の話は, 加法定理 sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y) を逆に用いるために, a = r * cos(θ), b = r * sin(θ) となるように r, θ を決定するといったようなことをやっているはずだ, という意味です. このときもやはり同様の三角形を想定する必要があったはずです (もちろん三角形を描かなくてもすぐに見つけられる, という方もいらっしゃるでしょうが).

たとえば (sin(x) + cos(x) = r * sin(x + θ) という合成を行いたいときなど) 1 = r * cos(θ), 1 = r * sin(θ) となる r, θ を導出するには, (0,0), (1,0), (1,1) を頂点に持つ直角三角形を書けば, r = √2, θ = π/4 ととればよいことが一目瞭然になります. そういうことをなさった記憶はありませんか?
No.7510 - 2009/08/17(Mon) 07:56:18
★ 三次式 / black
こんにちは＾＾
質問お願いします＞＜

ｋを２以上の数とし、F(x)＝kx^3-(k+1)^2*x^2+(2k^2+k+2)x-2k
とするとき
F(x)≧を示せ

という問題です。

F(x)の微分を考えて、その最大値≧０であればよいと考えようと思いました。
F'(x)=3kx^2-2(k^2+2k+1)+2k^2+k+2
=(x-1)(3kx-2k^2-k-2)
となったので
1<(2k^2+k+2)/3kの場合と同様に1>(2k^2+k+2)/3kを考えようとしました。
x=（2k^2+k+2)/3kとなる場合はこれをF(x)に代入すると計算が大変でうまくいかなくなってしまいました。
この考え方ではできないのでしょうか？

色々とご指導よろしくお願いします＞＜
No.7490 - 2009/08/16(Sun) 15:46:32
☆ Re: 三次式 / rtz
問題文が不完全ですね。
＞F(x)≧？
No.7495 - 2009/08/16(Sun) 18:40:58
☆ Re: 三次式 / black
ごめんなさい！
≧０です。
No.7505 - 2009/08/16(Sun) 23:10:45
☆ Re: 三次式 / ヨッシー
ｋが正であれば、ｘを思い切り小さくすると、
　F(x)＜０
になるので、F(x)≧０ とはなりません。
ｘの範囲に、何か制限はありませんか？
ｘ≧０ とか。
No.7511 - 2009/08/17(Mon) 08:15:39
★ 恒等式 / mina
　こんにちは(*^^*)
　質問お願いします☆

x+y+z=5,3x+y-z=-15を満たす任意のx,y,z,に対して常に
ax^2+ｂｙ^2+ｃｚ^2=5^2が成り立つ時、定数a,b,c,の値を求めないといけない問題です。

y=-2x-5,z=x+10にしてax^2+by^2+cz^2=5^2に代入し、計算して
(a+4b+c)x^2+20(b+c)x+25(b+4c)=5^2
　にして、
　a+4b+c,b+c,b+4cに恒等式の値を＝でつければいい
というところまで分かったのですが、
いったいどこの値を持ってきたらいいのかわかりません。

　教えて下さい。お願いします。宜しくお願いします。
No.7475 - 2009/08/15(Sat) 18:51:15
☆ Re: 恒等式 / rtz
恒等式で分からないなら、とりあえず移項は完成させましょう。
(a+4b+c)x2＋20(b+c)x＋25(b+4c-1)＝0

さて、あとはxに関する恒等式ですから…。
No.7476 - 2009/08/15(Sat) 18:59:51
☆ Re: 恒等式 / 七
x,y,zについての恒等式ですから
y,zを消去したらｘについての恒等式と考えればいいです。
したがってｘについての同類項の係数が等しいとすればいいです。
(a+4b+c)x^2+20(b+c)x+25(b+4c)=5^2　より
(a+4b+c)＝０、20(b+c)＝０、25(b+4c)=5^2
とすればいいのです。
No.7479 - 2009/08/15(Sat) 19:25:07
☆ Re: 恒等式 / mina
わかりました！
ありがとうございました☆
No.7484 - 2009/08/15(Sat) 21:52:51
★ 三角比の問題です。 / 葉桜

三角形ABCにおいて内接円が辺BCに接する点をDとするとき、BD・CD＝△ABC・□となる。
□を求めよ。ただし、□には三角比で表した式が入る。

という問題がどうしてもわかりませんっ。
学年は高一です。
直角三角形の場合で考えるとできるのですが、どうも問題の解答からだんだんと遠ざかっているような気がします。
よろしくお願いします。
No.7471 - 2009/08/15(Sat) 15:15:12
☆ Re: 三角比の問題です。 / 七
> 三角形ABCにおいて内接円が辺BCに接する点をDとするとき、BD・CD＝△ABC・□となる。
> □を求めよ。ただし、□には三角比で表した式が入る。

の部分は正しいですか？

> 直角三角形の場合で考えるとできるのですが、…

どういうことですか？
No.7486 - 2009/08/16(Sun) 07:33:23
☆ Re: 三角比の問題です。 / ヨッシー
数値をいろいろ当てはめると
　tan(A/2)
になるようなのですが、証明はまだです。
No.7487 - 2009/08/16(Sun) 07:54:39
☆ Re: 三角比の問題です。 / rtz
証明なら
2BD=AB+BC-AC=BC+(AB-AC)
2CD=AC+BC-AB=BC-(AB-AC)
BD*CD=(1/4){BC^2-(AB-AC)^2}=(1/2)AB*AC(1-cosA)=△ABC(1-cosA)/sinA=tan(A/2)
No.7489 - 2009/08/16(Sun) 14:13:50
★ 確認 / 数学が苦手な者
k^3A=kA(A:行列で逆行列を持たない）でA≠０よりk^3=k

と解答にあったのですが
解答のミスでしょうか。
私はAが逆行列を持たないということからA≠rEで係数比較してよいのでk^3=kとできたのですが、気になります。
No.7467 - 2009/08/15(Sat) 13:37:44
☆ Re: 確認 / 七
AがO零行列であれば係数比較はできません。

前の質問のついては理解できたのですか？
No.7468 - 2009/08/15(Sat) 13:56:15
☆ (No Subject) / 数学が苦手な者
わかりました。勘違いでした、すいません。
No.7469 - 2009/08/15(Sat) 14:52:51
★ 体積の件 / math嫌い
　お邪魔いたします。次の問題の方針を教えてもらいたいです。

《問題》
　xyz平面において、xz平面上の領域0≦z≦(4-x^2)をz軸の周りに1回転してできた立体をAとおく。
　xy平面上の三角形x≧0、y≧0、x+y≦1を底面とし、xy平面に垂直に、z軸正方向に無限に延びる三角柱とおく。
　A、Bの共通部分の体積はいくらか？
　
　答えは11/6．
No.7464 - 2009/08/15(Sat) 00:35:00
☆ Re: 体積の件 / math嫌い
訂正です。失礼しました。

・・・無限に延びる三角柱をBとおく。
No.7465 - 2009/08/15(Sat) 00:37:27
☆ Re: 体積の件 / rtz
あるz＝k(0≦k≦4)において、
k＝4−x2⇔|x|＝√(4−k)
即ち、平面z＝kとAは、中心(0,0,k)、半径√(4−k)の円において交わる。

あとは
x,y≧0、x＋y≦1、x2＋y2＝4−kを描いて、
共通部分がkの値でどう変化するか考えましょう。
具体的には0≦k≦3、3≦k≦7/2、7/2≦k≦4の3通りですね。
No.7466 - 2009/08/15(Sat) 01:08:06
☆ Re: 体積の件 / math嫌い
返信遅れてすみません。
アドバイス、助かりました。ありがとうございました。
No.7494 - 2009/08/16(Sun) 17:47:06
★ 剰余の定理 / coz
整式P(x)をx-1で割ると13余り、(x+1)^2で割ると-x+2余る。
(1)P(x)をx+1で割った余りを求めよ。
(2)P(x)を(x+1)(x-1)で割った余りを求めよ。
(3)P(x)を(x-1)・(x+1)^2で割った余りを求めよ。

答え
(1)3
(2)5x+8
(3)3x^2 +5x +5

(1),(2)は解けるのですが,(3)の解法がわかりません。解説よろしくお願いします。
No.7456 - 2009/08/14(Fri) 18:06:48
☆ Re: 剰余の定理 / rtz
(2)と方針は同じですよ。
(2)はどうやって解かれたのでしょうか。
No.7457 - 2009/08/14(Fri) 18:13:26
☆ Re: 剰余の定理 / coz
余りをax+bとして、条件より
P(1)=a+b=13
P(-1)=-a+b=3
これを解きました。

(3)はax^2+bx+cとしても、解けなくて困っています。
No.7460 - 2009/08/14(Fri) 23:23:12
☆ Re: 剰余の定理 / rtz
普通に(x+1)2で割ってみましょう。
そうすればb,cがaで表せるので、あとはP(1)が使えますね。


ちなみに、別解として、
あまりをa(x+1)2-x+2と置く方法もあります。
これなら面倒な手順を踏むまでもなくP(1)のみです。

もっとも、こうしてよい理由を分かっていないといけませんが。
No.7463 - 2009/08/14(Fri) 23:57:03
☆ Re: 剰余の定理 / coz
>普通に(x+1)2で割ってみましょう。

どういうことでしょうか。何を割るのですか。


＞別解としてあまりをa(x+1)2-x+2と置く方法もあります。

どうしてこのような置き方ができるのですか。
No.7483 - 2009/08/15(Sat) 21:20:42
☆ Re: 剰余の定理 / ヨッシー
>整式P(x)をx-1で割ると13余り、(x+1)^2で割ると-x+2余る。
とありますから、もちろん P(x) を (x+1)^2で割るのです。

P(x) を (x-1)・(x+1)^2で割ると ax^2+bx+c 余る
を式で書くと、商をQ(x) として、
　P(x)＝Q(x)(x-1)・(x+1)^2＋ax^2+bx+c
これを、(x+1)^2で割って -x+2 余ることと照らし合わせます。
このとき、Q(x)(x-1)・(x+1)^2 の部分は、(x+1)^2 で
割り切れますから、ax^2+bx+c を (x+1)^2 で割ったあまりが、
-x+2 であると言えます。
そこで、商をａとして、
　ax^2+bx+c＝a(x+1)^2 -x+2
と書けます。
No.7518 - 2009/08/17(Mon) 13:39:46
☆ Re: 剰余の定理 / coz
理解できました！！
解説ありがとうございました
No.7554 - 2009/08/20(Thu) 00:11:48
★ 今日もまたお願いします / 数学が苦手な者
原点の周りのθ回転とｋ倍拡大の合成変換f（回転拡大）によって中心p、半径rの円が中心ｆ（ｐ）、半径krの円にうつる

とありますが、ここでなんで円の半径も拡大されるのかが分かりません。（中心の座標が変わるだけで円の大きさは変わらないと思うのですが。）よろしくお願いします。
No.7453 - 2009/08/14(Fri) 12:42:56
☆ Re: 今日もまたお願いします / angel
＞ …(前略)…とｋ倍拡大の合成変換f（回転拡大）によって

とあるのですから、拡大されるのはごく自然なことだと思いますが…?
No.7454 - 2009/08/14(Fri) 14:21:50
☆ Re: 今日もまたお願いします / angel
回転を考えずに、単に k倍拡大だけで考えてみましょうか。

表現行列 kＥ ( k＞0 ) で表される k倍拡大の一次変換 f により、点(x,y)が(X,Y)に移るとします。
この時、X=kx, Y=ky であり、逆変換を考えると、x=X/k, y=Y/k

では、f により、(p,q)を中心とする半径 r の円 (x-p)^2+(y-q)^2=r^2 がどう移るかを計算します。
上記の x=X/k, y=Y/k を代入すると、
　(X/k-p)^2 + (Y/k-q)^2 = r^2
　(X-kp)^2/k^2 + (Y-kq)^2/k^2 = r^2
　(X-kp)^2+(Y-kq)^2 = (kr)^2
ということで、(kp,kq)を中心とする、半径 kr の円に移ることが分かります。
No.7455 - 2009/08/14(Fri) 15:37:41
☆ 補足になるかどうか… / 七
上のangelさんのレスでも明らかなように変換されるのは円周上の点です。
中心は、言ってみれば結果としてついていくのです（正確な言い方ではないかもしれませんが）。
そして円にはこの中心という便利なものがありますから結果だけを考えるとき
> 中心ｆ（ｐ）、半径krの円にうつる…
といった考え方ができるのです。
たとえば三角形に同様な変換を加えた場合を想像してみてください。
数学が苦手な者さんの想像されていたであろう移動は拡大変換ではなく、
特殊な平行移動であることがわかるのではありませんか？
No.7458 - 2009/08/14(Fri) 18:32:17
★ 続けて質問です。。 / 数学が苦手な者
A:行列　a,y：定数

A(1) =(a-1)(1)
（y) (y)

を繰り返し用いると

A^n(1) =(a-1)^n(1)
（y) (y)

となる理由が分かりません。
ｎ回ずつ掛けたのならば
(1)
(y)
の部分もｎ乗になると思うのですが。


（　）
（　）で一つの括弧です。
No.7446 - 2009/08/13(Thu) 22:10:05
☆ Re: 続けて質問です。。 / X
見難いので
↑x=(1,y)(縦ベクトルです)
とします。すると
A↑x=(1-a)↑x
∴(A^2)↑x=A(A↑x)=A{(1-a)↑x}
=(1-a)A↑x={(1-a)^2}↑x
(A^3)↑x=A{(A^2)↑x}=A{{(1-a)^2}↑x}
={(1-a)^2}A↑x={(1-a)^3}↑x
…
(A^n)↑x=A{(A^(n-1))↑x}=A{{(1-a)^(n-1)}↑x}
={(1-a)^(n-1)}A↑x={(1-a)^n}↑x
となります。
No.7450 - 2009/08/13(Thu) 23:41:39
☆ 納得です / 数学が苦手な者
ありがとうございました！助かりました。
No.7451 - 2009/08/14(Fri) 01:52:06
★ 確認 / 数学が苦手な者
行列P,Qは逆行列を持たないときにP+Q=Eの両辺に左からPを掛けてP^2+PQ=P,今度は右からPをかけてP^2+QP=P
よってPQ=ＱＰとする操作はだめなんでしょうか。
No.7440 - 2009/08/13(Thu) 17:06:36
☆ Re: 確認 / angel
内容がぼやけるので、問題 ( 分からない部分 ) の中で、前提条件や目的、考え、操作等は区別して書いてください。

　Ｐ+Ｑ=Ｅ …(1) という前提条件から、目的として ＰＱ=ＱＰ を導く時に、

　　(1)の両辺に左からＰをかけて、Ｐ^2+ＰＱ=Ｐ …(2)
　　(1)の両辺に右からＰをかけて、Ｐ^2+ＱＰ=Ｐ …(3)
　　(2),(3)よりＰＱ=ＱＰ

　という操作が正しいかどうか

ということであれば、問題ありません。
Ｐ,Ｑが逆行列を持つ(正則)かどうかには関係なく使えます。
※一応念のためですが、Ｘ=Ｙ⇒ＡＸ=ＡＹ や、Ｘ=Ｙ⇒ＸＡ=ＹＡ はいつでも使って問題ありませんが、その逆 ＡＸ=ＡＹ⇒Ｘ=Ｙ や ＸＡ=ＹＡ⇒Ｘ=Ｙ が使えるのは、Ａが正則な ( 逆行列を持つ ) 場合のみです。
No.7442 - 2009/08/13(Thu) 18:57:13
☆ Re: 確認 / ast
質問とは直接関係無いと思いますが, 補足しておきます. やっていることは本質的に同じ操作ですが, P + Q = E ならば Q = E − P ですから,

　PQ = P(E − P) = P − P^2 = (E − P)P = QP

として P, Q の可換性を示すことができます. もう少し一般に, Q が P の多項式 (定数項は E の定数倍とみる) であれば, まったく同じ理屈で P, Q の可換性が保障されます.
No.7444 - 2009/08/13(Thu) 19:25:06
☆ Re: 確認 / 数学が苦手な者
ありがとうございました。納得しました。
No.7445 - 2009/08/13(Thu) 21:58:51
★ 高校ですが / 数学マニア
3-3行列の逆行列、外積、合同式以外で、大学で習う数学（普通高校ではやらない数学）で大学受験に役立つものがあれば教えてください。
No.7434 - 2009/08/13(Thu) 01:30:22
☆ Re: 高校ですが / BossF
固有値　固有Vector　について、自習しておくと得です
No.7435 - 2009/08/13(Thu) 04:11:16
☆ Re: 高校ですが / angel
物理をやるのなら、外積も良いです。
物理の諸公式の中には、外積を使って書くと非常にすっきりするものもありますから。
No.7462 - 2009/08/14(Fri) 23:54:11
☆ Re: 高校ですが / KINO
う〜ん，すぐに思いつくのは双曲線関数かな。
No.7485 - 2009/08/16(Sun) 02:05:50
★ (No Subject) / ゆう
｜x｜＜1、｜y｜＜1、｜z｜＜1のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
｜x+y+z+xyz/1+xy+yz+zx｜＜1

よろしくお願いします!
No.7433 - 2009/08/12(Wed) 23:31:22
☆ Re: / X
|x|＜1,|y|＜1,|z|＜1 (A)
のとき
|1+xy+yz+zx|≠0 (P)
であることが証明されているとすると
|(x+y+z+xyz)/(1+xy+yz+zx)|＜1
⇔|x+y+z+xyz|＜|1+xy+yz+zx|
⇔-(1+xy+yz+zx)＜x+y+z+xyz＜1+xy+yz+zx (B)
(A)のとき(B)であることをまず証明します。
(i)-(1+xy+yz+zx)＜x+y+z+xyzの証明
(右辺)-(左辺)=x+y+z+xyz+1+xy+yz+zx=…
(因数分解すると…)
(ii)x+y+z+xyz＜1+xy+yz+zxの証明
((i)と同様な方針です)

注)
飽くまで上記の方針は思考過程をそのまま書いただけで
この形式で解答を書くと(P)の証明をいきなりしなくては
ならなくなり困難です。
従って解答を書くときは以下のようにして下さい。

まず(i)(ii)の方針で(B)を証明します。
すると
|x+y+z+xyz|＜|1+xy+yz+zx| (B)'
が成立することが分かります。
ここで(A)より
|x+y+z+xyz|≧0
∴(B)'より|1+xy+yz+zx|＞0
つまり|1+xy+yz+zx|≠0
よって(B)'の両辺を|1+xy+yz+zx|で割ることができ…。
No.7437 - 2009/08/13(Thu) 11:18:32
☆ Re: (No Subject) / ゆう
ご丁寧にありがとうございました。

分かりました!
No.7439 - 2009/08/13(Thu) 14:57:32
★ 高2･ベクトル / 匿名
四面体OABCにおいて、辺OAを1:2に内分する点をD、
辺BCの中点をM、線分OMの中点をEとする。
平面BCDと直線AEの交点をPとする。
OAベクトル=aベクトル、
OBベクトル=bベクトル、
OCベクトル=cベクトル　とするとき
OPベクトルをa,b,cベクトルを用いて表せ。

という問題なのですが、
画像の下線部分で
どうしてaベクトルを3ODベクトルと
置き換えなければならないのでしょうか?
置き換える前の式で
点Pが平面BCD上にある条件の｢係数の和が1｣
を使ったらいけないのでしょうか?
No.7430 - 2009/08/12(Wed) 20:36:46
☆ Re: 高2･ベクトル / ハオ
僕の解答はあまり信憑性のある回答ではありません、と言うのも僕も今この部分を習っているからです。それ故僕の解答は無視されて頂いても構いません。
一般化した事を言わせて頂くと
点P(p→)が点A(a→),B(b→),C(c→)の定める平面α上にある時　p→=sa→+tb→+uc→　(s+t+u=1)となる実数s,t,uが存在する。
この事より匿名さんの問題に当てはめると
点P(p→)が点D(d→),B(b→),C(c→)の定める平面α上にある時　p→=sd→+tb→+uc→　(s+t+u=1)となる実数s,t,uが存在する。　となるので
d→をa→に直さなくては問題に背くことになります。
No.7431 - 2009/08/12(Wed) 21:30:35
☆ Re: 高2･ベクトル / 匿名
返信ありがとうございます。

とてもわかりやすく説明して頂き、
納得できました!

本当にありがとうございました!
No.7441 - 2009/08/13(Thu) 18:28:38
★ 平面図形 / 小次郎
連続してすみません。
半径Rの円に内接する四角形ABCDがAB＝√3-1,BC=√3+1
cos∠ABC=-1/4を満たし、?僊CDの面積は?僊BCの面積の3倍であるとする。

?僊CDと?僊BCの面積についての条件から
AD×CD及びAD^2+CD^2を求めよ。

また、AD及びCDを求めよ。

解法解答お願いします。
No.7425 - 2009/08/12(Wed) 12:39:56
☆ Re: 平面図形 / ハオ
cos∠ABC=-1/4よりsin∠ABC=√15/4
△ABC=1/2(√3-1)(√3+1)√15/4 =√15/4
よって△ACD=3√15/4
また△ACD=1/2AC×CD×cos∠ADCで表せる。
円に内接する四角形の対角の和は180°なのでcos∠ACD=
cos(180°-∠ABC)=-cos∠ABCよりsin∠ADCを導く。
先程の式を利用して△ACD=1/2AC×CD×√15/4=3√15/4
整理してAC×CD=6

AD^2+CD^2については式の形を注意して見ると
△ADCにおける余弦定理より
AC^2=AD^2+CD^2-2AD×CDcos∠ADCを利用して導出する事を考えます。
AC^2は△ABCにおける余弦定理より求めます。
以上より
AD^2+CD^2=12

AD×CD=6 AD^2+CD^2=12より連立方程式を立てて求めます。
AD^4-12AD+36=0(複二次式)
AD^2=t(t>0)と置く。
t^2-12t+36=0⇔(t-6)^2=0
t=6 よってAD=√6
CD=√6
No.7428 - 2009/08/12(Wed) 16:01:03
☆ Re: 平面図形 / 小次郎

> また△ACD=1/2AC×CD×cos∠ADCで表せる。
何の公式を使用したのですか？



> AD×CD=6 AD^2+CD^2=12より連立方程式を立てて求めます。
> AD^4-12AD+36=0(複二次式)
どのようにすると上の式になるのでしょうか？
No.7447 - 2009/08/13(Thu) 22:38:23
☆ Re: 平面図形 / ハオ
申し訳御座いません。
入力ミスです。
×△ACD=1/2AC×CD×cos∠ADC
○×△ACD=1/2AC×CD×sin∠ADC
計算結果は正しいと思います。

× AD^4-12AD+36=0(複二次式)
○AD^4-12AD^2+36=0(複二次式)
こちらも入力ミスですね。結果には作用していません。

これからも日々精進してまいります。
No.7448 - 2009/08/13(Thu) 22:42:28
☆ Re: 平面図形 / 小次郎
ありがとうございます！！
No.7504 - 2009/08/16(Sun) 23:07:03
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