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★ 図形と三角比 / meta
円に内接する四角形ＡＢＣＤがある。四角形ＡＢＣＤの各辺の長さは、ＡＢ＝2,ＢＣ＝3，ＣＤ＝1，ＤＡ＝2である
(1)coa∠ＢＡＤは□である
(2)対角線ＢＤの長さは□である
(3)2つの対角線ＡＣとＢＤの交点をＥとする。ＢＥ：ＥＤ＝ァ□：1であるので、ＢＥ＝ィ□ＢＤとなる。よって,ＢＥ＝ゥ□である

解答(1)-1/7(2)8√7/7(3)(ァ)3(ィ)3/4(ゥ)6√7/7

四角形に対角線を引いて三角形を作り、余弦定理を使ったのですが、うまくいきませんでした

教えてください。よろしくお願いします
No.10934 - 2010/07/20(Tue) 06:03:12
☆ Re: 図形と三角比 / ヨッシー
(1)(2)
∠ＢＣＤ＝π−∠ＢＡＤ　なので、
　cos∠ＢＣＤ＝−cos∠ＢＡＤ
となります。△ＢＡＤ，△ＢＣＤについて、それぞれ余弦定理にて、
　ＢＤ^2＝・・・・
の式を作り、連立させると、cos∠ＢＡＤ、ＢＤともに求められます。

(3)
ＢＥ：ＥＤ＝△ＡＢＣ：△ＡＤＣ　なので、
sin∠ＡＢＣ＝sin∠ＡＤＣ を用いて、
△ＡＢＣと△ＡＤＣの面積比を出します。
No.10935 - 2010/07/20(Tue) 06:47:47
☆ Re: 図形と三角比 / meta
(3)の、

sin∠ＡＢＣ＝sin∠ＡＤＣ

が、何故ＢＥ：ＥＤ＝△ＡＢＣ：△ＡＤＣによって言えるのか、いまいちわからないのですが…
No.10939 - 2010/07/21(Wed) 06:08:17
☆ Re: 図形と三角比 / ヨッシー
ＢＥ：ＥＤ＝△ＡＢＣ：△ＡＤＣ　→　sin∠ＡＢＣ＝sin∠ＡＤＣ
ではなくて、
ＢＥ：ＥＤ＝△ＡＢＣ：△ＡＤＣ　および　sin∠ＡＢＣ＝sin∠ＡＤＣ　→　ＢＥ：ＥＤ＝△ＡＢＣ：△ＡＤＣ＝３：１
です。

sin∠ＡＢＣ＝sin∠ＡＤＣ　は、最初から与えられた条件です。
No.10940 - 2010/07/21(Wed) 06:32:26
☆ Re: 図形と三角比 / meta
考えてみると確かに、対角の和がπなら、sin∠ＡＢＣ＝sin∠ＡＤＣが成り立ちますね

知らない性質でした。失礼しました
No.10942 - 2010/07/21(Wed) 06:59:57
☆ Re: 図形と三角比 / ヨッシー
上の
> (1)(2)
>∠ＢＣＤ＝π−∠ＢＡＤ　なので、
>　cos∠ＢＣＤ＝−cos∠ＢＡＤ
と同じです。

sin(π−θ)＝sinθ
cos(π−θ)＝−cosθ
tan(π−θ)＝−tanθ
です。
No.10943 - 2010/07/21(Wed) 17:38:19
★ 三角関数 / kenta
誘導過程が分からないので教えてください。

σ1＝(1+sinφ)/(1-sinφ)σ3+(2Ccosφ)/(1-sinφ) ?@
σ3＝(1-sinφ)/(1+sinφ)σ1-(2Ccosφ)/(1+sinφ)　 ?A
?@、?Aの式を三角関数の半角の公式を用いて次の式を誘導せよ。
σ1＝σ3tan^^2(45°+φ/2)+2Ctan(45°+φ/2)
σ3＝σ1tan^^2(45°-φ/2)-2Ctan(45°-φ/2)
No.10929 - 2010/07/19(Mon) 22:00:48
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー
45°+φ/2＝(90°＋φ)/2 なので、この部分に半角の公式
　tan^2(θ/2)＝(1-cosθ)/(1+cosθ)
を適用して、下の２式から、?@，?Aを導くことをやってみてはどうでしょう？
No.10936 - 2010/07/20(Tue) 06:52:20
★ (No Subject) / UX-LP
平面上の原点oとし、異なる2点A,Bがoと同一直線上にない時
点Pは
→　　　　→　　　　→
OP　＝　αOA　＋　βOB
で定まる点とする。α、βが３つの不等式
０≦α≦１、０≦β≦１、０≦α＋β≦1
を同時に満たしながら動くときの点Pの範囲を求めよ

どうしたらいいでしょうか？
No.10926 - 2010/07/19(Mon) 15:42:30
☆ Re: / ヨッシー
(α、β)＝(0,0),(1,0),(0,1),(0.5,0.5),
(0.2,0.7),(0.4,0.4)
など、いろいろなαβの値の時の点Ｐの位置を調べましょう。

または、ＯＡ＝(1,0)、ＯＢ＝(0,1) とおくと、
点Ｐは、座標(α、β) で表されます。そのときに、
０≦α≦１、０≦β≦１、０≦α＋β≦1　を適用すると・・・
No.10927 - 2010/07/19(Mon) 16:53:45
★ 不等式 / 高校２年生
x>0のとき、常に不等式x^2+2x-a>0が成り立つような定数aの範囲を定めよ。

この問題、頂点のy座標>0で解くことは出来ないのでしょうか。
解答だとx>0で単調に増加し、x=0のときy=-a
よって-a≧０よりa≦０
とあります。
y座標>0だと答えが違ってしまって。。。
No.10916 - 2010/07/19(Mon) 10:25:28
☆ Re: 不等式 / らすかる
＞頂点のy座標>0で解くことは出来ないのでしょうか。
できません。
例えば頂点が(-1,-1)のとき頂点のy座標＜0ですが
問題の条件は満たします。
No.10920 - 2010/07/19(Mon) 12:01:39
☆ Re: 不等式 / 高校２年生
らすかるさん、ありがとうございます。

> 頂点が(-1,-1)のとき頂点のy座標＜0ですが
> 問題の条件は満たします

この部分を詳しく教えていただきたいと思います。
No.10922 - 2010/07/19(Mon) 12:20:00
☆ Re: 不等式 / 高校２年生
もう一つ、a=0を含むのはなぜでしょうか。
与式>0なら、=０を含まないような気がするのですが。
No.10923 - 2010/07/19(Mon) 12:22:02
☆ Re: 不等式 / ToDa
らすかるさんのヒントをもとに、自分の手を動かしてグラフを描いてみましたか？
面倒だなんて思っちゃダメですよ。

らすかるさんの仰った、「頂点が(-1,-1)のとき」のグラフは



で、「x ＞ 0のとき、常に不等式 x^2 + 2x - a ＞ 0が成り立つ」の条件は満たしています。その一方で、「頂点のy座標 ＞ 0」には反しているわけです。

なので、単純に「頂点のy座標 ＞ 0」だけを考えるのでは答えとは違ってしまいます。「頂点のy座標 ＞ 0」じゃなくても、「x ＞ 0のとき、常に不等式 x^2 + 2x - a ＞ 0が成り立つ」場合があるのですから。

a=0を含む場合云々は、まさに、らすかるさんの例と上記のグラフがその例です。
No.10925 - 2010/07/19(Mon) 13:05:10
☆ Re: 不等式 / 高校２年生
はい、グラフを書いて悩みました。
頂点が(-1,-1)のとき、x=y=0となりますが、
ｘ＞０が条件ですから、x=0を含める意味がわかりませんでした。
No.10930 - 2010/07/19(Mon) 23:45:01
☆ Re: 不等式 / ToDa
むむ？

＞頂点が(-1,-1)のとき、x=y=0となりますが、

念のため言及しておきますが、
「頂点が(-1,-1)の場合、x=0のときy=0となりますが」という意味でよろしいですね？

---

さて、
y=x^2 + 2x - aとします。

yの値はx＞0にて単調に増加(さらに細かいことをいえば、「x＞-1にて単調に増加」なのですが、当然この範囲にx＞0はもれなく含まれています)するのですから、
xが0より大きい場合、x=1でも0.1でも0.0000000000001でも、どれだけわずかな差でもとにかくxが0より大きいのであれば、その時yの値は、x=0のときのyの値より大きいわけです。

そして、x=0のときy=-aとなります。つまり、x＞0のとき、つねにy＞-aとなるのです。-a≧0であれば、x＞0のとき、つねにy(=x^2 + 2x - a)＞-a≧0となるわけですね。

＃上記の説明が分かりづらいのであれば、とりあえずそれは置いておくとして、

a=0の場合に、「x＞0のとき、常に不等式 x^2 + 2x - a ＞ 0が成り立つ」ことは理解できますか？
No.10932 - 2010/07/20(Tue) 00:40:25
☆ Re: 不等式 / 高校２年生
ToDaさん、ありがとうございます。
たぶん、「x＞0のとき、常に不等式 x^2 + 2x - a ＞ 0が成り立つ」
が理解出来ていないから納得できないのだと思います。

x>0の範囲で、y=x^2 + 2x - aの2次関数がy=0よりも上に存在する、
という意味でよろしいでしょうか。
No.10937 - 2010/07/20(Tue) 22:44:43
☆ Re: 不等式 / ToDa
グラフを用いて考えるのなら、そういう意味でよろしいです。
No.10946 - 2010/07/21(Wed) 21:01:43
★ 絶対値 / 高校２年生
||x|-1|=aの方程式の解の個数を求めよ。

絶対値の中にある絶対値、解けません。
場合分けをしたんですが、解答と違ってしまいました。
途中式、教えていただきたいです。
よろしくお願いします。
No.10915 - 2010/07/19(Mon) 10:22:20
☆ Re: 絶対値 / らすかる
y=||x|-1| と y=a の交点を考えると簡単だと思います。
No.10919 - 2010/07/19(Mon) 11:57:42
☆ Re: 絶対値 / 高校２年生
はい、そのように考えたのですが、
絶対値を外すときに間違えたのか、答えがでませんでした。
No.10921 - 2010/07/19(Mon) 12:14:49
☆ Re: 絶対値 / ToDa
y=||x|-1|のグラフは
「y=xのグラフをx軸に対してy軸正方向に折り返し、それをy軸方向に-1だけ平行移動させ、それを更にx軸に対してy軸正方向に折り返したもの」
なのですが、この説明がピンと来ないようであれば、丁寧に絶対値記号を外してゆきましょう。ここで間違えたとのことですが、どのように間違えたのかを書いてもらえれば、教えるほうもポイントを絞りやすいです。


||x|-1| = |x-1|  (x≧0) = x-1     (x≧0 かつ x-1≧0)
                        = -(x-1)  (x≧0 かつ x-1≦0)

        = |-x-1| (x≦0) = -x-1    (x≦0 かつ -x-1≧0)
                        = -(-x-1) (x≦0 かつ -x-1≦0)


です。以上を整理して、グラフは



のようになって、これとy=aの交点を考えればよいわけですね。
No.10924 - 2010/07/19(Mon) 12:48:24
☆ Re: 絶対値 / 高校２年生
とても詳しく解説してくださいまして、ありがとうございました。
よくわかりました。
No.10931 - 2010/07/19(Mon) 23:47:55
★ (No Subject) / meta
△ＡＢＣと辺ＡＢ上の点Ｄおよび辺ＡＣ上の点Ｅがあり、ＡＤ：ＡＥ＝2：1,ＢＤ：ＣＥ＝1：3で,４点Ｂ，Ｃ，Ｅ，Ｄは同一円周上にある。このとき、次の問いに答えよ
(1)ＡＢ：ＡＣを求めよ
(2)ＡＤ：ＤＢを求めよ
(3)直線ＤＥと直線ＢＣが交わる点をＦとするとき、ＥＤ：ＤＦを求めよ。
（図を添えたかったのですが、よくわからなくてできませんでした）

問題で与えられた条件をどのように拡張していけばよいか見当がつきませんでした

考え方を教えてください
No.10909 - 2010/07/19(Mon) 07:06:19
☆ Re: / ヨッシー
(1)
ＡＥ＝ｘ、ＡＤ＝２ｘ、ＢＤ＝ｙ、ＣＥ＝３ｙ とおくと、
方べきの定理より、
　２ｘ（２ｘ＋ｙ）＝ｘ（ｘ＋３ｙ）
ｘ＞０ より、両辺ｘで割って
　４ｘ＋２ｙ＝ｘ＋３ｙ
　ｙ＝３ｘ
よって、ＡＢ＝２ｘ＋ｙ＝５ｘ、ＡＣ＝ｘ＋３ｙ＝１０ｘ

(2)
同様に、ＡＤ＝２ｘ、ＤＢ＝ｙ＝３ｘ

(3)
△ＡＥＤ と△ＡＢＣは １：５ の相似なので、
　ＤＥ：ＢＣ＝１：５
また、△ＦＤＢと△ＦＣＥ は１：３ の相似なので、
ＤＥ＝１，ＢＣ＝５，ＦＤ＝ｘ，ＦＢ＝ｙ とおくと、
　ｙ＋５＝３ｘ
　ｘ＋１＝３ｙ
これより　ｘ＝２，ｙ＝１　となります。
No.10911 - 2010/07/19(Mon) 08:42:03
☆ Re: / meta
方べきの定理という発想はおもいつきませんでした

丁寧に解説していただき、ありがとうございました
No.10933 - 2010/07/20(Tue) 03:26:09
★ 合同式に関する性質 / 涼流
a ≡ b (mod m) 〔以下(mod m)は省略させて頂きます。〕
ならば、a^n ≡ b^nですよね。

恐らくa^n ≡ b^n ならば a ≡ bだと思います。
しかし、証明をしようと思つてもどう考えたらよいか見当もつきません……
背理法や待遇で示そうとしてみたりしましたが難しいです。

そこで質問は、
(1) a^n ≡ b^n ならば a ≡ bの真偽
(2) 証明のアプローチ
です。

どうかよろしくお願いします。
No.10907 - 2010/07/19(Mon) 02:31:06
☆ Re: 合同式に関する性質 / のぼりん
ｎ は、外部から与えられた定数ですね？
「任意の ｎ」であれば、ｎ＝１ とおき直ちに結果が得られるので、そうだとは思いますが、今後、質問時にはすべての条件を明示する様お願いします。

さて、質問に関してですが
（１）　偽です。
（２）　反例を示します。
です。
No.10910 - 2010/07/19(Mon) 08:34:40
☆ Re: 合同式に関する性質 / 涼流
早急なご回答をありがとうございます。
条件不足な質問をしてしまって申し訳ありません。
ふと疑問に思ったことをそのまま書いてしまいまして……

疑問に思ったことは、
「任意の自然数nに対して、適当な整数a, bに於いてa^n ≡ b^n (mod m)ならばa ≡ b (mod m)」
の真偽でしたが、
“「任意の ｎ」であれば、ｎ＝１ とおき直ちに結果が得られる”
の部分がよく分かりません……
n = 1の時はa ≡ bですので成立します。

凡例ですか……任意のa, bについてではないのでなかなか凡例が見つかりません……
具体的に何が挙げられますかね?
No.10913 - 2010/07/19(Mon) 10:01:32
☆ Re: 合同式に関する性質 / らすかる
「任意の自然数nに対してa^n ≡ b^n (mod m)」⇒「a ≡ b (mod m)」
という命題ならば、n=1の時も成り立つので自明です。
「特定のnに対してa^n ≡ b^n (mod m)」⇒「a ≡ b (mod m)」
という命題ならば、例えば
「2^2 ≡ 1^2 (mod 3)」 ⇒ 「2 ≡ 1 (mod 3)」
は成り立ちません。
No.10918 - 2010/07/19(Mon) 11:32:09
☆ Re: 合同式に関する性質 / 涼流
ご回答ありがとうございます。
初歩的な質問で申し訳ありませんでした……

「2^2 ≡ 1^2 (mod 3)」 ⇒ 「2 ≡ 1 (mod 3)」
は確かに成立しませんよね。
こんな簡単な反例が見つからなかったのが残念です;;

どうもありがとうございました。
No.10928 - 2010/07/19(Mon) 17:29:19
★ (No Subject) / 大学院志望
0<α＜１とする。「テーラーの定理」を用いて次の不等式が成り立つことを示せ。
(1+x)^α≤1+αx (x>-1)
また、この不等式から次の不等式を導け。
pa+qd≥a^p b^q ただし、a,b,p,qは正であり、p+q=1であるとする。
No.10906 - 2010/07/19(Mon) 00:30:27
★ (No Subject) / 大学院志望
テーラー展開を用いて０の近くでの次の関数の大小を調べよ。
sinｘ/ｘと(1-(x^2)/2)^1/3
No.10905 - 2010/07/19(Mon) 00:29:40
★ (No Subject) / 大学院志望
実数全体をRとする。関数f:R→Rが連続であることの定義をε‐δ論法で書け。
次に、任意の連続関数f:R→Rと任意の開集合Bに対して集合f^(-1) (B)={a∈R|f(a)∈B}が開集合であることを証明せよ。

[注:Rの部分集合Aが開集合であるとは、任意のa∈Aに対して正の数εが存在して、開区間(a−ε,a＋ε)がAの部分集合となる時をいう。
No.10904 - 2010/07/19(Mon) 00:27:05
★ (No Subject) / 大学院志望
数列の収束に関する「コーシーの収束判定基準」を正確に述べよ。
次に、フィボナッチ数列の隣接する２項の比が黄金比に収束することを証明せよ。
証明の方針として、まず、「コーシーの収束判定基準」に照らして収束性を明らかにし、しかる後に極限値が黄金比であることを示せ。
No.10903 - 2010/07/19(Mon) 00:26:13
★ 解析学 / 大学院志望
「ネイピア数e」の定義を、「実数の連続性公理」に基づいて正確に述べよ。
また、等式lim(ｎ→∞)(1+1/n)^n =??(n=0)〜∞まで（1/n!）が成り立つことを示せ。
No.10902 - 2010/07/19(Mon) 00:24:53
★ 確率です / 東大志望
白黒2種類のカードがたくさんある。そのうちk枚のカードを手もとに持っているとき,次の操作(A)を考える。
(A)手持ちのk枚の中から1枚を、等確率1/kで選び出し、それを違う色のカードにとりかえる。

問)最初に白2枚、黒2枚、合計4枚のカードを持っているとき、操作(A)をn回繰り返した後に初めて、4枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。

nが奇数と偶数の場合を分けて考えて、奇数のときの確率が0であることは分かるのですが偶数の場合にどうなるかが分かりません。よかったら教えてください。
No.10893 - 2010/07/18(Sun) 20:06:33
☆ Re: 確率です / らすかる
1回で3枚1枚になりますので、
2回で同じ色になる確率は1/4ですね。
そうすると2回で同じ色にならない確率は3/4ですから、
4回で同じ色になる確率は (3/4)×(1/4)
6回で同じ色になる確率は (3/4)×(3/4)×(1/4)
8回で同じ色になる確率は (3/4)×(3/4)×(3/4)×(1/4)
・・・
のようになりますね。
No.10896 - 2010/07/18(Sun) 20:36:34
☆ 確率です / 東大志望
答えが、nが奇数のとき0,nが偶数のとき1/4(3/4)^(n/2)となりました。

合ってますか？?ｫ
No.10897 - 2010/07/18(Sun) 21:00:18
☆ Re: 確率です / 東大志望
偶数のときは1/3(3/4)^(n/2)でした?ｫ
No.10898 - 2010/07/18(Sun) 21:07:17
☆ Re: 確率です / らすかる
はい、OKです。
No.10901 - 2010/07/18(Sun) 22:00:08
★ 整数論 / CEGIPO（社会人）
mを2以上の自然数とする時、

m(m+1)(m+2)...(2m-2)が、

2でm-1回割れ、m回は割れないことを示してください。

という問題です。よろしくお願いします。
No.10891 - 2010/07/18(Sun) 18:37:40
☆ Re: 整数論 / らすかる
f(m)=m(m+1)(m+2)…(2m-2) とします。
f(2)=2なのでm=2のときは成り立ちます。
m＞2のとき、f(m)/f(m-1)=2(2m-1)なので
f(m)はf(m-1)よりちょうど1回多く2で割れます。
No.10895 - 2010/07/18(Sun) 20:28:11
☆ Re: 整数論 / CEGIPO（社会人）
らすかるさん、ありがとうございます。
数学的帰納法を使用する方法は気が付きませんでした。
とても簡単になるんですね。

（自分で見つけた別解も付してみます）

次のように変形します。
（与式）
=m(m+1)(m+2)...(2m-2)
=(2m-2)!/(m-1)!
=1・２・３・4・...・(2m-6)(2m-5)(2m-4)(2m-3)(2m-2)
/{１・２・３・...・(m-3)(m-2)(m-1)}
=1・２・３・4・...・(2m-6)(2m-5)(2m-4)(2m-3)(2m-2)
/{２・４・６・...・(2m-6)(2m-4)(2m-2)}
・2^(m-1)
=１・３・５・７・...・(2m-5)(2m-3)(2m-3)・2^(m-1)

１・３・５・...・(2m-5)(2m-3)(2m-3)は奇数です。
したがって、与式は2でm-1回割れ、m回は割れません。

Q.E.D.
No.10899 - 2010/07/18(Sun) 21:08:34
☆ Re: 整数論 / CEGIPO（社会人）
すみません（汗）。数学的帰納法の解法、
検算してみたら式変形が次のようになりました。

f(m)=m(m+1)(m+2)…(2m-4)(2m-3)(2m-2)
f(m-1)=(m-1)m(m+1)(m+2)…(2m-5)(2m-4)

f(m)/f(m-1)
=(2m-3)(2m-2)/(m-1)
=2(2m-3)

これでも2でちょうどm-1回割れることは言えますね。
No.10908 - 2010/07/19(Mon) 06:21:42
☆ Re: 整数論 / CEGIPO（社会人）
別解も訂正。

正）
=１・３・５・７・...・(2m-5)(2m-3)・2^(m-1)

１・３・５・...・(2m-5)(2m-3)は奇数です。

誤）
=１・３・５・７・...・(2m-5)(2m-3)(2m-3)・2^(m-1)

１・３・５・...・(2m-5)(2m-3)(2m-3)は奇数です。
No.10912 - 2010/07/19(Mon) 09:42:59
☆ Re: 整数論 / らすかる
あ、そうですね。2(2m-3)でした。
No.10917 - 2010/07/19(Mon) 11:25:08
★ 計算のルール / √
初歩的な質問です。よろしくお願い致します。

１８÷３ｘ３＝１８
この計算は、左から順番に計算しますが、

１８÷３＾２＝２
この場合は２乗を先に計算にするのがルールですよね？
No.10887 - 2010/07/18(Sun) 16:36:17
☆ Re: 計算のルール / のぼりん
こんにちは。
ご賢察のとおりです。

特に明定された規則と言う訳ではないですが、数学では習慣的に、
?@　冪乗
?A　掛け算と割り算
?B　足し算と引き算
の順に演算を優先し、この順番を変えるにはかっこを使う、という慣習があり、特に断らない限りこの慣習に従うのが通例です。

詳細は、例えば http://en.wikipedia.org/wiki/Order_of_operations をお読み下さい。
No.10888 - 2010/07/18(Sun) 17:04:56
☆ Re: 計算のルール / √
のぼりんさん　有り難うございました。

ＢＭＩ＝（体重Ｋｇ）÷（身長ｍ）＾２
の計算をしていて、ふと疑問に思ったもので・・・
No.10889 - 2010/07/18(Sun) 17:18:37
★ (No Subject) / meta
２つの円Ｏ,Ｏ´が２点Ａ，Ｂで交わり,∠ＡＯＢ＝120°,∠ＡＯ´Ｂ＝90°,円Ｏの半径は２とする。ただし,点Ｏ´は円Ｏの内部に含まれないものとする。このとき、
(1)円Ｏ´の半径(2)円Ｏと円Ｏ´で囲まれる共通部分の面積(3)点Ａと点Ｏ´を結んだ線分が円Ｏと交わる点をＣとするとき、扇形ＯＡＣの面積
を求めよ

(2)以降がわかりません。考え方を教えてください
No.10886 - 2010/07/18(Sun) 14:33:00
☆ Re: / moto
参考

(2)円Ｏと円Ｏ´で囲まれる共通部分の面積
　　(扇形ＯＡＢ−△ＯＡＢ)＋(扇形Ｏ'ＡＢ−△Ｏ'ＡＢ)
　　扇形ＯＡＢ･･･半径2，中心角120°
　　　△ＯＡＢ･･･二等辺三角形{等辺2，底辺2√3，頂角120°底角30°}
　　扇形Ｏ'ＡＢ･･半径√6，中心角90°
　　　△Ｏ'ＡＢ･･･二等辺三角形{等辺√6，底辺2√3，頂角90°底角45°}
(3)扇形ＯＡＣの面積
　　半径　2
　　中心角を考える
　　　四角形ＯＡＯ'Ｂの内角を考え、∠ＯＡＯ'＝∠ＯＢＯ'＝75°
　　　△ＯＡＣが二等辺三角形で、底角∠ＯＡＣ＝∠ＯＡＣ＝75°
　　　　よって、中心角∠ＡＯＣ＝30°
No.10890 - 2010/07/18(Sun) 17:53:14
☆ Re: / meta
解けました!

返信ありがとうございました
No.10900 - 2010/07/18(Sun) 21:49:55
★ 数学B 数列 3ヶ月は悩みました / おぷす
Ａ円をある年の初めに借り、その年の終わりから同額ずつn回で返済する。年利率をr(r>0)とし、１年ごとの複利法とすると、毎回の返済金額は何円であるか。

【解答】借りたA円のn年後の元利合計はA（1+r）^n 円
毎回の返済金額をx円とすると、n回分の元利合計はr＞0から
x+x（1+r）+x（1+r）^2+・・・・・・・+x（1+r）^n-1
=x｛（1+r）^n -1｝/（1+r）-1 ＝x｛（1+r）^n -1｝/r
よって、x{（1+r）^n -1}/r ＝ A（1+r）^nとすると
x=Ar（1+r）^n/（1+r）^n -1 （円）

※毎回の返済金額をx円とし、n年後の、借りたA円の元利合計と返済金額の元利合計が等しくなると考える。
また、まず
n年間まったく返済しないで, n年目にまとめて返す場合
A(1+r)^n円払わないといけません

これを基準に考えます

1年目にx円払うということは
残りn-1年でx円に掛かる筈だった利子も払うことになります
つまり, n年間で考えると
A(1+r)^nのうちの x(1+r)^(n-1)円分返したことになります
という回答を頂いたのですがいまいちよくわかりません。

もう3ヶ月以上これに悩まされています。
どんな解説をみても全く理解できません。
なんでこんな考え方するんですか？
暗記に走りかけています。
誰か教えてください。本当に・・・おねがいいたします。
No.10878 - 2010/07/18(Sun) 02:11:25
☆ Re: 数学B 数列 3ヶ月は悩みました / ヨッシー
こちらと同じような問題ですね。
この内容は、理解できるでしょうか？
No.10879 - 2010/07/18(Sun) 03:08:34
☆ Re: 数学B 数列 3ヶ月は悩みました / おぷす
すみません。やはりそちらもよくわかりません・・・
特に「１年目に銀行に預けたｘ円は、その先９年預けられるので、
返済時には、ｘ×1.05^9 円になります。」の部分が謎に近いです。
こういうのは本来なら一般常識なんですよね。
今まで本当の意味で勉強してこなかったツケがまわってきたようなきがします。
どうかヨッシーさん。私にこの問題を理解させてください。
いつでも良いのでご返事まっております。
本当にみなさんよろしくおねがいしますｍｍ
No.10880 - 2010/07/18(Sun) 03:39:07
☆ Re: 数学B 数列 3ヶ月は悩みました / ヨッシー
>「１年目に銀行に預けたｘ円は、その先９年預けられるので、
返済時には、ｘ×1.05^9 円になります。」
の部分だけについていえば、たとえば、1,000,000円を年利５％で
預けたとします。
１年後：1,000,000×0.05＝50,000 の利息が付いて 1,050,000円
　　　つまり、1,000,000×1.05 になります。
２年後： １年後の残高1,050,000円に対して、利息が付きます。
　　　1,050,000円×0.05＝52,500 の利息が付いて、1,102,500円
　　　つまり、1,000,000×1.05^2 になります。
このように、１年経つごとに、前年の1.05倍になりますので、
９年後には、元の額の 1.05^9 倍になります。
No.10881 - 2010/07/18(Sun) 03:55:06
☆ Re: 数学B 数列 3ヶ月は悩みました / おぷす
回答ありがとうございます！
やっとわかりました＞＜
が、最後にもう一つ・・・
【１年目に銀行に預けたｘ円は、その先９年預けられるので、
返済時には、ｘ×1.05^9 円になります。
２年目に銀行に預けたｘ円は、その先８年預けられるので、
返済時には、ｘ×1.05^8 円になります。
　・・・
10年目に銀行に預けたｘ円は、その日預けたばかりなので、
ｘ円のままです。
これらを足した
　ｘ(1.05^9＋1.05^8＋・・・＋1.05＋１)
が、返さずに置いておいた、100万円の10年後の元利込みの
　100万×1.05^10
に一致すればいいので、】とありますが、
これは
「１年目に銀行に預けたｘ円は、その先９年預けられるので、〜」の造作を10年目までやった金額の合計の価値（?）的なものが
一括で返済したA（1+r）^n 円と一致するということなんでしょうが、この部分がひっかかります。
最後にここだけ教えてください。お願いしますm（＿　＿）m
No.10883 - 2010/07/18(Sun) 12:03:28
☆ Re: 数学B 数列 3ヶ月は悩みました / ヨッシー
「価値」というのは、ある意味正しい理解です。
実際に、ｘ円ずつ返すときは、別途積み立てるようなことはしませんので、
毎年返していった、ｘ円の価値が増えたと考えて良いでしょう。
私の説明では、その分が目で見えるように、別途積み立てた金額と
相CENSOREDる形で説明しています。

実際、会社の経営では、「今日受け取る1000万円」と「５年後に受け取る1000万円」は価値が違うとされています。
No.10885 - 2010/07/18(Sun) 12:19:31
★ 整数問題 / 佐々木
nを自然数とする。219!は2^nで割り切れるが,2^(n＋1)では割り切れないとき,nの値を求めよ。
No.10876 - 2010/07/17(Sat) 22:52:48
☆ Re: 整数問題 / らすかる
219!=1×2×3×4×5×6×7×8×…×219
=(1)×(2)×(3)×(2×2)×(5)×(2×3)×(7)×(2×2×2)×…×(219)
のように分解して2がいくつあるか計算。
No.10877 - 2010/07/17(Sat) 23:07:52
☆ Re: 整数問題 / 佐々木
ありがとうございます。
計算してみると解がn＝213となりました。

合っているでしょうか？
No.10892 - 2010/07/18(Sun) 19:55:43
☆ Re: 整数問題 / らすかる
219÷2=109…1
109÷2=54…1
54÷2=27
27÷2=13…1
13÷2=6…1
6÷2=3
3÷2=1…1
109+54+27+13+6+3+1=213
合ってますね。
No.10894 - 2010/07/18(Sun) 20:19:39
★ 中２数学 / なお
宿題が分かりません。教えてください。

正四角すいO-ABCDがある。OB、ODの中点をそれぞれP,Qとし、A,P,Qを通る平面でこの正四角すいを切断する。
OCとの交点をRとしたとき、OR:RCを求めよ。

です。よろしくお願いします。
No.10868 - 2010/07/17(Sat) 16:19:14
☆ Re: 中２数学 / らすかる
Bが手前、Dが後ろになってBとDが重なるように横から見た図を描けば、
「二等辺三角形OACがあり、ACの中点をBとする。OBの中点をPとし、
直線APとOCとの交点をRとしたとき、OR：RCを求めよ。」
という平面上の問題になりますね。
No.10869 - 2010/07/17(Sat) 16:40:28
☆ Re: 中２数学 / ヨッシー
つまりこういうことです。


No.10870 - 2010/07/17(Sat) 16:57:12
☆ Re: 中２数学 / なお
> つまりこういうことです。

分かりました！
ありがとうございますm(__)m
No.10871 - 2010/07/17(Sat) 17:35:33
☆ Re: 中２数学 / なお
Pが中点ではなく、OP:PB=2:1のときはどうやって考えればよいですか？？
自分で解こうと思ったんですが、どうしてもできませんでした。何回もスミマセン。
No.10872 - 2010/07/17(Sat) 18:26:13
☆ Re: 中２数学 / らすかる
OP：PB=2：1 で OQ：QD=1：1 ということですよね？
その場合は、以下のように2段階に分ければ解けます。
(1) Aが手前、Cが後ろとなるような側面図を描いて、
PQとOH（Hは正方形ABCDの中心だが側面図ではA=C=H）の
交点をMとし、OM：MHを求めます。
(2) Bが手前、Dが後ろとなる側面図を描いて、
直線AMとOCとの交点をRとして同じように求めます。
No.10873 - 2010/07/17(Sat) 18:57:24
☆ Re: 中２数学 / ヨッシー
つまりこういうことです。


No.10874 - 2010/07/17(Sat) 21:40:47
★ (No Subject) / ka-mu
微分方程式の解を定数変化法を用いて求めよ
(dx/dt)+x=t

を教えてください

dx/dt+x=0の解はｘ＝Ce^(-t)までは分かっています。
よろしくお願いします。
No.10866 - 2010/07/16(Fri) 21:48:01
☆ Re: / ヨッシー
こちらなどに、詳しく書いています。

ｘ＝Ｃｅ-t　　　・・・(1)
において、Ｃがｔの関数だったとすると、ｔで微分して、
　dx/dt＝(dＣ/dt)ｅ-t−Ｃｅ-t　　・・・(2)
(1)(2) を (dx/dt)+x=t に代入して、
　(dＣ/dt)ｅ-t＝ｔ
　dＣ/dt＝ｔｅt
積分して、Ｃを求めると、
　Ｃ＝ｔｅt−ｅt＋Ｄ　（Ｄは積分定数）
(1) より、
　ｘ＝ｔ−１＋Ｃｅ-t　Ｃは積分定数（ＤをＣに置き換えました)
No.10867 - 2010/07/16(Fri) 23:30:36
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