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(No Subject) / 小6
正17角形の作図が何故出来るか教えてください。
No.752 - 2008/05/20(Tue) 17:52:12

Re: / 我疑う故に存在する我
正5角形が「何故」作図可能かは分かりますか?
正15角形、正16角形についてはどうですか?

No.768 - 2008/05/20(Tue) 21:37:28

Re: / 小6
遅れてすいません。
それならわかります。

No.792 - 2008/05/21(Wed) 14:50:37

Re: / 我疑う故に存在する我
どう答えていいか良く分かりませんが、
正5角形の場合、本に書いてある作図法が
ちゃんと正5角形の作図法になっている事を証明しなくてはなりません。

正17角形の場合も同様です。

むしろ正9角形が作図できないことの方の証明が問題です。
正17角形と合わせて、ガロア理論・群論と言った
高等数学が根拠になっています。

No.797 - 2008/05/21(Wed) 21:46:50
因数分解 / テスト間近の高一……
数Tの因数分解です。

x^3+3x^2-x-3
答え(x+3)(x+1)(x-1)

教えて下さい。

No.747 - 2008/05/20(Tue) 17:33:31

Re: 因数分解 / ヨッシー
まず、因数定理で f(x)=x^3+3x^2-x-3 に、
何を代入したらf(x)=0 になるかを探します。
たとえば、f(1)=0 が見つかったら、
x^3+3x^2-x-3 は (x-1) で割りきれますので、割ってみて、
 x^3+3x^2-x-3=(x-1)(x^2+4x+3)
とし、次に、(x^2+4x+3) を因数分解します。

No.749 - 2008/05/20(Tue) 17:40:04

Re: 因数分解 / テスト間近の高一……
わかりました^^有難う御座います。

2(x+y)^2-(x+y)-3 答え(x+y+1)(2x+2y-3)

も教えて下さい。

No.754 - 2008/05/20(Tue) 17:55:46

Re: 因数分解 / 魑魅魍魎
x+y=A
とおくと
2A^2-A-3
となり、これを因数分解してみてください

No.755 - 2008/05/20(Tue) 18:01:09

Re: 因数分解 / テスト間近の高一……
2A^2-A-3がわかりません……
No.759 - 2008/05/20(Tue) 18:17:37

Re: 因数分解 / 魑魅魍魎
2A^2-A-3
=(2A-3)(A+1)
なので
A=x+yを代入すると・・・

No.761 - 2008/05/20(Tue) 19:01:26

Re: 因数分解 / テスト間近の高一……
わかりました^^
有難う御座いました^^

No.766 - 2008/05/20(Tue) 21:29:39
(No Subject) / ラディン.ms
0°<θ<45°のとき sinθcosθ=1/4を満たすθを求めよ。


よろしくお願いします。

No.742 - 2008/05/20(Tue) 16:47:40

Re: / 魑魅魍魎
sin2θ=2sinθcosθ
を使ってみてはどうでしょうか。

No.743 - 2008/05/20(Tue) 16:50:52

Re: / ラディン.ms
ありがとうございます。倍角公式を使えばよかったのですね……
No.744 - 2008/05/20(Tue) 17:01:38

Re: / 魑魅魍魎
面倒ですが
sinθ+cosθ=A --------------(1)
と置く。
√2(sin(θ+π/4))=A>0 (∵0°<θ<45°)

(1)の両辺を二乗すると
1+2sinθcosθ=A^2
sinθcosθ=(A^2-1)/2
なので
(A^2-1)/2=1/4
A^2=3/2
A=√3/√2 (∵A>0)

√2(sin(θ+π/4))=√3/√2
⇒sin(θ+π/4)=√3/2
⇒θ+π/4=π/3
⇒θ=π/12

No.745 - 2008/05/20(Tue) 17:23:02

Re: / ラディン.ms
ありがとうございます。面倒くさそうですがやってみます。
No.746 - 2008/05/20(Tue) 17:25:14
(No Subject) / りょう
携帯からすいません。
今日テイラー展開を習いまして、そこで疑問に思ったことがあります。
0^0(ゼロのゼロ乗)=1というのはどうやって証明したらいいのでしょうか?? 教えてください。

No.739 - 2008/05/20(Tue) 13:57:15

Re: / 豆
極限値ですね。
x^x=e^(xlogx)→e^0=1 (x→+0)

No.740 - 2008/05/20(Tue) 14:47:56

Re: (No Subject) / りょう
なるほど〜極限とか意外でした!!!
ありがとうございます!!!

No.741 - 2008/05/20(Tue) 16:15:35
質問 / loof
携帯からは画像を添付出来ないんですか?
No.736 - 2008/05/20(Tue) 08:03:22

Re: 質問 / ヨッシー
設定には、画像を添付出来る/出来ないの設定はありません。

画面にそういう欄がないならば、出来ないと考えざるを得ません。
私は、日本にいませんので確認出来ません。
他の方どうでしょう?

No.738 - 2008/05/20(Tue) 13:19:53
整数問題 / loof
(1)(2)を詳しく解説してください。
No.733 - 2008/05/19(Mon) 23:49:07

Re: 整数問題 / ヨッシー
(1)x=1 のとき
 1/2y+1/3z=1/3
両辺に6yzを掛けて、
 3z+2y=2yz
 2yz-2y-3z=0
これを、(2y+・・・)(z+・・・)= または (y+・・・)(2z+・・・)=
の形にすることを考えると、
 (2y−3)(z−1)=3
 (y−3/2)(2z−2)=3
が考えられますが、後者は、左辺の2つの()が整数とは限らないので、
考えにくいので、
 (2y−3)(z−1)=3
を考えます。y,z は正の整数なので、左辺の()はともに正です。
この式を成り立たせるのは
 2y−3=3, z−1=1
または
 2y−3=1, z−1=3
のときで、それぞれ、
 y=3, z=2 および y=2, z=4
となります。

(2)
1/2y 1/3z ともに、yやzが1のときが最大になります。
このとき、
 1/x=4/3−1/2−1/3=1/2
より、xの最大値は2。
一方、y、zが大きくなると、1/2y, 1/3z は0に近づくので、
 1/x=4/3
より得られる x=3/4 がxが最小であり、整数では、x=1 が最小。
よって、x=1またはx=2

No.734 - 2008/05/20(Tue) 00:30:10
円の弧と弦の関係 / 北野新二
模型の電車を作るとき。車体の幅と丸い屋根の寸法が合わなくて困っています。
No.732 - 2008/05/19(Mon) 23:46:46

Re: 円の弧と弦の関係 / ヨッシー
車体の幅が決まっているのは当然ですが、他に決まっているのは
盛り上がりの高さでしょうか?


図のように寸法が決まっていると、
r,d,r-h で直角三角形ができるので、
 r2=(r-h)2+d2
より、
 r=(h2+d2)/2h
と弧の半径が決まります。また、弧の中心角θは、
 θ=2×cos-1{(r-h)/r}
となるので、弧の長さは、
 2rθ=4rcos-1{(r-h)/r}
となります。

No.737 - 2008/05/20(Tue) 13:01:21

Re: 円の弧と弦の関係 / らすかる
弧の長さは rθ=2rarccos{(r-h)/r} のような気がします。
No.748 - 2008/05/20(Tue) 17:36:10

Re: 円の弧と弦の関係 / ヨッシー
そうですね。
らすかるさんの書かれた通りです。

円周の公式 2πr の連想から、余計な2を付けてしまいました。

No.750 - 2008/05/20(Tue) 17:41:37
(No Subject) / ひまわり
Q(有理数全体の集合)の2つのコーシー列{an},{bn}について、
 
 (1){an+bn}はQの中のコーシー列であることを証明せよ。
 (2){an−bn}はQの中のコーシー列であることを証明せよ。
という問題がわかりません。
教えてください。
お願いします。

No.731 - 2008/05/19(Mon) 21:46:01
(No Subject) / サッカー
ありがとうございました。
No.730 - 2008/05/19(Mon) 21:23:15
連立方程式 / サッカー
A、B、C3人の貯金箱の合計は6500円であるという。また、Aの貯金額の3倍はBの貯金額より600円多く、Aの貯金額の80%をCにあげると、Cの貯金額はBの貯金額より260円多くなるという。このとき、A、B、Cそれぞれの現在の貯金額を求めよ。 
     

  答えはAが1200円B3000円C2300円です。

No.727 - 2008/05/19(Mon) 18:09:21

Re: 連立方程式 / 魑魅魍魎
「A、B、C3人の貯金箱の合計は6500円であるという」
⇒A+B+C=6500

「Aの貯金額の3倍はBの貯金額より600円多く」
⇒3A=B+600

「Aの貯金額の80%をCにあげると、Cの貯金額はBの貯金額より260円多くなる」
⇒{A×8/10}+C=B+260

これらの連立方程式より求まります。

No.728 - 2008/05/19(Mon) 18:42:00
(No Subject) / 図形と式
中心(2,4)、半径5の円Cがy=x+kと異なる2点で交わるとき、その交点をそれぞれP,Qとするとき∠PBQ=60°となるkの値を求め三角形PBQの面積を求めよ。

よくわからないのでよろしくお願いします。。

No.708 - 2008/05/19(Mon) 00:23:39

Re: / 図形と式
すいません点Bについての説明が抜けてました。。

点Bは円Cとx軸との交点のうちx座標の小さい点です
一応(−1、0)のはずです

No.709 - 2008/05/19(Mon) 00:36:15

Re: / DANDY U
y=x+k と中心C(2,4)との距離が 5/2のときに中心角∠PCQ=120°となり、∠PBQ=60 °となります。

x-y+k=0 と中心C(2,4)との距離が5/2だから
|2-4+k|/√2=5/2
これを解けば、条件を満たすkが求まります。

kが分かれば、B(-1,0)と x-y+k=0の距離が求まるので、PQ=√5だから 三角形PBQの面積が求まります。

No.729 - 2008/05/19(Mon) 18:50:34

Re: / 図形と式
ありがとうございます

Kの値面積共に2つ別々の値でますよね?

No.735 - 2008/05/20(Tue) 01:32:27

Re: / DANDY U
はい。そういうことになりますね。
No.753 - 2008/05/20(Tue) 17:54:10
積分 / 悩める学生
Tとαは定数とする。
(1)∫[0→T]a*sin^2(2πt/T+α)dt
(2)∫[0→∞]dt/(a^2+t^2)^3/2
(3)∫[0→π/2]sin^3θdθ
がわかりません。教えてください。

No.706 - 2008/05/18(Sun) 22:34:30

Re: 積分 / type
(1)(3)は倍角, 3倍角で次数下げ
No.710 - 2008/05/19(Mon) 00:53:14

Re: 積分 / 悩める学生
なるほどーやってみます。
2番はどうしたらいいですか?

No.712 - 2008/05/19(Mon) 01:14:18

Re: 積分 / kei
t=atanxでおきかえ。
No.713 - 2008/05/19(Mon) 02:02:01

Re: 積分 / 魑魅魍魎
横から失礼致します。
keiさんのヒントで
t=atanθと置いた場合の積分範囲はどのようになるのでしょうか?

私は次のように考えました。(自信ないですが。。。)
a>0のとき
a^2-2at+t^2 < a^2+t^2 < a^2+2at+t^2

(a-t)^3 < (a^2+t^2)^3/2 < (a+t)^3

1/(a-t)^3 > 1/(a^2+t^2)^3/2 > 1/(a+t)^3


∫[0→∞]dt/(a-t)^3 =1/(2a^2)

∫[0→∞]dt/(a+t)^3 =1/(2a^2)

よって
∫[0→∞]dt/(a^2+t^2)^3/2=1/(2a^2)
としました。a<0の場合も同様です。a=0のときも成り立つ

No.716 - 2008/05/19(Mon) 02:56:04

Re: 積分 / りょう
2番は
t=acotθと置けばいいと、思ったけど、どうですか??

No.717 - 2008/05/19(Mon) 07:59:35

Re: 積分 / 豆
魑魅魍魎さんへ
>t=atanθと置いた場合の積分範囲はどのようになるのでしょうか?
0→π/2 です。

>∫[0→∞]dt/(a-t)^3 =1/(2a^2)
積分範囲にaを含んでいます。この変格積分は値を持ちません。
(意味のある議論かどうかは分かりませんが)仮に持ったとしても、
0→aとa→2aの値はキャンセルするので
残りの2a→∞の積分は負にならないと、おかしいですね。

No.718 - 2008/05/19(Mon) 09:18:39

Re: 積分 / 魑魅魍魎
豆さんへ
t=atanθと置いたときの積分範囲は理解できました。


>積分範囲にaを含んでいます。この変格積分は値を持ちません。(意味のある議論かどうかは分かりませんが)仮に持ったとしても、0→aとa→2aの値はキャンセルするので
残りの2a→∞の積分は負にならないと、おかしいですね。

ここの部分がわかりません><
積分範囲にaを含んでいますというのはどういうことなのでしょうか?

あと、変格積分がどのようなものか知らなかったのでネットで調べてみました。
いまいち理解できなかったのですが、積分範囲が∞(−∞)の場合のこと・・・・なのでしょうか・・・

No.720 - 2008/05/19(Mon) 10:23:07

Re: 積分 / 成瀬
変格積分はいわゆる広義積分ですね。
積分区間が無限区間であったり、積分区間に被積分関数の特異点(発散してしまう点など)が含まれているときの積分のことです。

今、考えている積分区間は無限区間[0, ∞)で a > 0 としているため、積分範囲に a が含まれます。

0 dt/(a - t)3 は豆さんの仰るとおり存在しないと思います。

No.721 - 2008/05/19(Mon) 10:58:47

Re: 積分 / 魑魅魍魎
本当に申し訳ありませんが、

もしa=1なら
∫[0→∞] dt/(1 - t)^3
= {∫[0→1] dt/(1 - t)^3}+{∫[1→∞] dt/(1 - t)^3}

=[1/2(1-t)^2]{0→1} + [1/2(1-t)^2]{1→∞}
= ∞ -1/2 + 0 -∞

となり、∞-∞の計算ができないので
∫[0→∞] dt/(1 - t)^3は存在しないということなのでしょうか?

No.722 - 2008/05/19(Mon) 14:07:04

Re: 積分 / 豆
∫[0→1] dt/(1 - t)^3+∫[1→∞] dt/(1 - t)^3
=lim[a→1-0]∫[0→a] dt/(1 - t)^3+lim[b→1+0,c→∞]∫[b→c] dt/(1 - t)^3
ということです。
それぞれが収束しなければ、値を持ちません。

No.723 - 2008/05/19(Mon) 15:04:10

Re: 積分 / 魑魅魍魎
わかりました!
皆様ありがとうございました。

悩める学生さん、横から申し訳ありませんでした。

No.724 - 2008/05/19(Mon) 15:29:16

Re: 積分 / 悩める学生
いえいえ、俺も分からなかったので、勉強になりました。
ありがとうございました。

No.725 - 2008/05/19(Mon) 16:28:10

Re: 積分 / 豆
解決したようですが、(2)はtanの置換以外に次の方法もあります。
∫dt/(a^2+t^2)^(3/2)=(1/a^2)∫(a^2+t^2-t^2)dt/(a^2+t^2)^(3/2)
=(1/a^2)(∫dt/(a^2+t^2)^(1/2)-∫t^2dt/(a^2+t^2)^(3/2))
=(1/a^2)(t/(a^2+t^2)^(1/2)-∫t(-2t)/(2(a^2+t^2)^(3/2))- ∫t^2dt/(a^2+t^2)^(3/2))
=(1/a^2)t/(a^2+t^2)^(1/2)+定数
従って0→∞の定積分は1/a^2

No.726 - 2008/05/19(Mon) 17:01:15
(No Subject) / まや
2つの袋それぞれに、赤白黒の玉が1つずつ入っている。

2つの袋から1つずつ玉をとりだすとき、2つが同じ色ならA、異なればBのかちとし、先にどちらかが4回勝った時点で終了する。

このとき
Bの勝ち数が常にA以下でAがかつ確率を求めよ。


お願いします

No.703 - 2008/05/18(Sun) 20:55:17

Re: / DANDY U
2つの袋を区別すると取り出し方は 3×3=9 通り
そのうち2つが同じであるのは 3通り
1回ごとにおいて、Aが勝つ確率は1/3,Bが勝つ確率は2/3

xy平面で(0,0)(0,4)(4,0)(4,4)で囲まれた部分の格子を考え、原点をスタートして
Aが勝てば1目盛右へ進み、Bが勝てば上に進むとします。
すると「Bの勝ち数が常
にA以下でAが勝つ」のは、対角線y=x以下の部分を通りながら直線x=4にたど
り着く場合です。
この条件を満たしながら各格子点までの行き方を数を出していくと
(4,0)までの行き方は1通りだから、その確率は
    1×(1/3)^4  
(4,1)までの行き方は3通りだから、その確率は
    3×(1/3)^4×(2/3)
(4,2)までの行き方は5通りだから、その確率は
    5×(1/3)^4×(2/3)^2
(4,3)までの行き方は5通りだから、その確率は
    5×(1/3)^4×(2/3)^3
よって合計すると
 {1×(1/3)^4}+{3×(1/3)^4×(2/3)}+{5×(1/3)^4×(2/3)^2}+{5×(1/3)^4×(2/3)^3}
=181/2187
・・・以上のようになりましたが・・・

No.707 - 2008/05/18(Sun) 22:39:43
2次方程式 / 礼花 高2
こんにちは。いつもお世話になります。

次の二次方程式が重解をもつように、定数mの値を定め、そのときの解を求めよ。
(2)x^2-mx+m=0

この問題を、判別式D=0で解いて、m=0、4というmの値が出て、m=0のときx=0、m=4のときx=2と答えが出たのですが、これは正しいでしょうか?
こういう問題で答えが0になるのは間違っていないのでしょうか?
基本的な問題で申し訳ないのですが、教えてください。よろしくお願いします。

No.694 - 2008/05/18(Sun) 17:17:51

Re: 2次方程式 / ヨッシー
間違っていません。
m=0のときx=0 も、ちゃんとした解です。

No.696 - 2008/05/18(Sun) 17:28:14

Re: 2次方程式 / 礼花 高2
そうなんですか!安心しました。
ヨッシーさま、ありがとうございました。

No.704 - 2008/05/18(Sun) 21:10:26
極限 / GURURU
座標平面上に原点Oを中心とした半径1の円C1と、A(1,0)、B(3,0)がある。線分AB(両端を除く)上の点Pを中心とする半径2の円C2とC1の2交点をQRとする。
∠AOQ=θ (0<θ<π)のとき、
(1)lim(θ→+0)(△OQR/θ)を求めよ。
(2)QRの中点をHとする。lim(θ→+0)(AH/θ^2)を求めよ。
(3)線分BPの長さをθで表し、lim(θ→+0)((BP)^k/θ)が0以外の値に収束するような定数の値と、極限値を求めよ。

今度解く模試の過去問なんですが、教えてもらえるとありがたいです。

No.692 - 2008/05/18(Sun) 16:39:24

Re: 極限 / X
(1)
>>lim(θ→+0)(△OQR/θ)

lim(θ→+0)(∠OQR/θ)
のタイプミスと見て、方針を。
△AOP,△AOQ,△POQに注目して∠OQRをθで表します。
但し、点P,Qがx軸に関して対称になっていることに注意しましょう。

(2)
(1)の過程で得た∠OQRを使ってAHをθを用いて表します。

No.701 - 2008/05/18(Sun) 20:45:15

Re: 極限 / X
(3)
△OPQに∠POQに注目した余弦定理を使うと,
OP=…
従ってBPをθで表すと
BP=OB-OP=…

No.702 - 2008/05/18(Sun) 20:52:30

Re: 極限 / GURURU
>>>lim(θ→+0)(△OQR/θ)
>>を
>>lim(θ→+0)(∠OQR/θ)
>>のタイプミスと見て、方針を。

↑ですがタイプミスではありません。

△OQRは三角形OQRの面積を表す。
の一文が抜けてました。すみません。

No.711 - 2008/05/19(Mon) 00:54:42

Re: 極限 / rtz
どちらにしろ方針は同じでしょう。
△OQR=(1/2)OQ・OR・sin∠QORですので。

No.714 - 2008/05/19(Mon) 02:39:03

Re: 極限 / GURURU
ありがとうございます。了解です。
No.807 - 2008/05/23(Fri) 18:57:16
対数関数 / 数学苦手
x^log2x(底が2、対数がx)=8x^2の計算がわかりません。どなたか、教えてください。

No.688 - 2008/05/18(Sun) 13:57:36

Re: 対数関数 / 成瀬
両辺に底を 2 とする対数を取れば、
  log2(xlog2x) = log2(8x2)
  ⇔ (log2x)2 = log28 + log2x2 = 3 + 2log2x
  ⇔ (log2x)2 - 2log2x - 3 = 0
となりますのであとはこれを解けば良いですね。
(もし分からなければ t = log2x と置いてみてください。)

No.689 - 2008/05/18(Sun) 14:06:03

Re: 対数関数 / 数学苦手
ありがとうございます。x=8になりました。
また、x^log104(底が10、対数が4)=4・2^log10x(底が10,対数が4)の計算はどうなるのでしょうか? よろしくお願いします

No.690 - 2008/05/18(Sun) 15:19:07

Re: 対数関数 / 成瀬
x = 8 も勿論方程式の解ですが、
  (log2x)2 - 2log2x - 3 = 0
  ⇔ (log2x - 3)(log2x + 1) = 0
  ⇔ log2x = 3, - 1
であり、
  log2x = 3 ⇔ x = 23 = 8
  log2x = - 1 ⇔ x = 2-1 = 1/2
ですので x = - 1/2 も解となります。

次のご質問についてですが、
>4・2^log10x(底が10,対数が4)
との事ですが、
これは 4・2log10x で宜しいですか?
あと、書き間違いあるいは勘違いされているのかもしれませんがlogab の a を底と言い、 b を真数と呼びます。

解法としては、先ほどと同様に常用対数(底を 10 とする対数)をとれば良いです。

No.691 - 2008/05/18(Sun) 15:54:03

Re: 対数関数 / 数学苦手
勘違いしていました。途中なのですが log104・log10x=log104+2log10x(10はすべて底)となったのですが、なんとなく間違えている気がするのですがご指摘お願いします。
No.693 - 2008/05/18(Sun) 17:16:03

Re: 対数関数 / 成瀬
方程式は
  xlog104 = 4・2log10x
で宜しいですね?
>log104・log10x=log104+2log10x
は最後の 2log10x の部分が残念ながら間違っています。
常用対数を取れば、
  log10xlog104 = log10(4・2log10x)
  ⇔ (log104)log10x = log104 + log102log10x = log104 + (log102)log10x
  ⇔ 2(log102)log10x = 2log102 + (log102)log10x
  ⇔ (log102)log10x - 2log102 = 0
  ⇔ (log102)(log10x - 2) = 0
となります。

No.697 - 2008/05/18(Sun) 17:41:05

Re: 対数関数 / 数学苦手
早い返信助かりました。有難うございました。
No.705 - 2008/05/18(Sun) 21:18:47
整数問題(変数の絞込み)(高1) / Kay
[問題]
不等式 ab+1≦abc≦bc+ca+ab+1 を満たす自然数 a, b, c のすべての組を求めよ。ただし、a > b > c とする。

[質問]
 模範解答では手間を掛けて、c の条件を絞り込んでいるのですが、私は以下のようにして絞り込みました。緻密さに掛けると言いますか、厳密に数学的な視点から「甘い」絞り方でしょうか。
アドバイスをお願いします。
 掲載した部分以降は、私も模範解答のように考えましたので、該当部分だけお願いします。


[私の答案]

ab+1≦abc ・・・・・・・・@
abc≦bc+ca+ab+1 ・・・・ A
1≦c
@より
   abc-ab≧1
ab(c-1)≧1
Bより、0<ab<1なので
   c-1≧1/ab
c≧1+1/ab
0<1/ab<1 より
    2>1+1/ab>1
   よって、
    c≧2・・・・C


[模範解答]
@より
   abc-ab≧1
ab(c-1)≧1
となる。
c=1はこの不等式を満たさず、c≧2 であれば
ab(c-1)>c^2(c-1)=2^2(2-1)=4>1
より満たす。
したがって、@を満たすa, b, c の条件は
c≧2
である。

[アドバイスをいただきたいところ]
(1)私の答案について、
   2>1+1/ab>1 ということは、1+1/ab は、たとえば、
  1.4 とか 1.9 、1.001などの値を取れます。
   つまり、限りなくAに近づくか、@に近づくことができま
  す。よって、cは1以下になることはなく、整数なので2以
  上と考えました。

   別な観点からすれば、cは3以上、の4、5,,,になる
  可能性もあるが、2にならない根拠も挙げられないので、
  c≧2 に落ち着きました。

   すこし「甘い」ような感じがするのですが、どこがどう甘
  いのか、自分でも説明できません。これでいいような気もし
  ますし。

(2)模範解答について
「したがって」以下に、「@を満たすa,b,c の条件はc≧2」とありますが、聊か乱暴な気がしています。

結論に行く前に「Bより、ab>0 なので」などと入れなくとも良いのでしょうか。

以上よろしくお願いいたします。





 




 

No.683 - 2008/05/18(Sun) 12:56:09

Re: 整数問題(変数の絞込み)(高1) / WIZ
> Bより、0
Bがどの式を指しているのか分からないのですが、
a, b, cが自然数であることから「0 < ab < 1」となることは有り得ません。
# a > b > cという条件から、c ≧ 1, b ≧ 2, a ≧ 3は
# 直感的に分かると思うので、ab ≧ 6。

>(1)私の答案について、
「甘い」ことはなく、数学的に充分です。
c-1 ≧ 1/(ab)と1/(ab) > 0を組み合わせて、c-1 > 0。
c-1は整数で、負でない整数の内0より大きいものの最小は1なので、
c-1 ≧ 1と結論して良いと思います。

>(2)模範解答について
「乱暴」ではありません。
Kayさん自身の回答の中でも、事前に「ab ≠ 0なので」などと断わらずに、
1/(ab)という割り算をしてしまっていますよね?

No.686 - 2008/05/18(Sun) 13:32:29
問題 / 降参高校生
失敗しました。問題です。

xy平面上の曲線y=x^4+2ax^2+4ax+1(aは実数)をCとする。C上の相異なる2点で、Cに接する直線をlとする。
このとき、l上の点が存在する領域を図示せよ。

図示とありますが、方程式だけでもいいのでお願いします。

No.682 - 2008/05/18(Sun) 09:38:41

Re: 問題 / WIZ
直線lをy = bx+cとおくと、lがCと異なる2点で接するということは
x^4+2ax^2+4ax+1 = bx+c
が4次方程式として、異なる2つの2重解を持つということ同値。

すなわち、解をu, vとして
x^4+2ax^2+(4a-b)x+(1-c) = (x-u)^2*(x-v)^2
と因数分解できることになる。

x^4+2ax^2+(4a-b)x+(1-c)
= (xx-2ux+uu)(xx-2vx+vv)
= x^4+(-2u-2v)x^3+(uu+vv+4uv)x^2+(-2uvv-2vuu)x+uuvv
よって
-2u-2v = 0・・・・・(1)
uu+vv+4uv = 2a・・・・・(2)
-2uvv-2vuu = 4a-b・・・・・(3)
uuvv = 1-c・・・・・(4)

(1)より、u+v = 0。v = -u。
(2)より、2a = (u+v)^2+2uv = 2uv。a = uv = -uu。
(3)より、4a-b = -2uv(u+v) = 0。b = 4a。
(4)より、1-c = uuvv = uuuu = aa。c = 1-aa。

以上より直線lはy = (4a)x+(1-aa)

No.684 - 2008/05/18(Sun) 13:00:37

Re: 問題 / 降参高校生
ありがとうございました。
重解に気がつきませんでした。
方程式をaについて整理して、判別式が0以上でいいですよね?

No.687 - 2008/05/18(Sun) 13:47:52
領域 / 降参高校生
はじめまして。高三です。解き方がわからないので教えて下さい。文系で四乗が出てくるのは初めてなのですが・・・。
No.681 - 2008/05/18(Sun) 09:33:35
微分方程式の解の一意性 / おっさんめ〜
はじめまして。社会人です。下の問題なのですが・・・(おそらく高校レヴェル?)ご教授いただきたく。

f''(x)-3f'(x)+2f(x)=0 ・・・・(D)
問1:f'(x)=f(x)またはf'(x)=2f(x)ならば、f(x)は微分方程式(D)の解であることを示せ。
問2:f(x)=e^xおよびf(x)=e^2xは微分方程式(D)の解であることを示せ。
問3:微分方程式(D)の任意の解f(x)はある実数a,bを用いてf(x)=ae^x+be^2xと一意的に表せることを示せ。

問1、2はさておき問3ですが、以下のような解しか思い浮かびませんが、高校レヴェルの解答ならどのようになるのでしょうか?小生は苦し紛れに次の如く解答しましたが・・・。

解:二階定数係数線形微分方程式(D)の解空間は二次元線形空間である。問2の結果から、(D)の解空間はe^xおよびe^2xを基底にもつ。ゆえに、f(x)はaとbを係数としてf(x)=ae^x+be^2xと一意的に表せる。

No.679 - 2008/05/18(Sun) 01:40:01

Re: 微分方程式の解の一意性 / 雲雀
高校レベルの解答ではないですが、
(D)式を
f''(x)-f'(x)-2{f'(x)-f(x)}=0 --------(1)
とし
f'(x)-f(x)=g(x) ---------(2)
とおくと
(1)式は
g'(x)-2g(x)=0
となり これを解くと
g(x)=Ae^(2x)
(2)式から
f'(x)-f(x)=Ae^(2x)
これを解くと
f(x)=Ae^(2x)+Be^x  
となります。

No.680 - 2008/05/18(Sun) 02:01:09

Re: 微分方程式の解の一意性 / おっさんめ〜
高校レヴェルでの解答は不可能ですかね。
2階微分方程式から次数を下げてやって一階微分方程式にして定数変化法を用いて解いてやればよかったのですね。
ナルホド・・・・。
試験では深く考えすぎてドツボにはまりました。
とりあえずモヤモヤが晴れてスッキリしました。
雲雀様、御回答ありがとうございました。

No.715 - 2008/05/19(Mon) 02:55:03
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