ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 高３　二次方程式 / はら

tが整数で２次方程式 x^2-2tx-2t+20=0 が二つの整数解を持つとする。
このとき、tと整数解を求めよ。

がわかりません。とりあえず２次方程式なので、判別式か解と係数の関係を使うのかと思ったんですが、どうも手がつけられません。
よろしくお願いします。

No.11072 - 2010/08/01(Sun) 21:37:27

☆ Re: 高３　二次方程式 / rtz

2整数解をα,βとすると、
解と係数の関係から、α,βとtの関係式が2つできます。
ここからtを消去したのち、(aα+b)(cβ+d)＝kの形にすれば、
(aα+b),(cβ+d)何れも整数ですから何通りか候補が出てきます。

あとはtを求めればいいのですが、
α,βの和、積とも偶数であること、
α,βには区別がないことを踏まえれば、
多少考えなければならない候補は減るでしょう。

No.11080 - 2010/08/01(Sun) 23:01:25

★ 高2　領域 / nu

ｎを自然数とするとき、放物線
　　　ｙ＝ｘ＾2　…?@
と直線
　　　ｙ＝ｘ＋ｎ（ｎ-1）…?A
で囲まれた領域をＤ〔ｎ〕で表す。ただしＤ〔ｎ〕は境界を含むものとする。Ｄ〔ｎ〕の点（ｘ，ｙ）でｘ，ｙがともに整数となる点の個数を求めよ。

No.11070 - 2010/08/01(Sun) 20:24:07

☆ Re: 高2　領域 / ヨッシー

(1)(2)を連立させると
　x^2-x-n(n-1)＝０
　(x+n-1)(x-n)＝０
より、ｘ＝1-n，n を解に持ちます。
ｘ＝１－ｎのとき　ｙ＝(1-n)^2～(1-n)^2 の1個
ｘ＝２－ｎのとき　ｙ＝(2-n)^2～(1-n)^2+1 の 2n-1個
ｘ＝３－ｎのとき　ｙ＝(3-n)^2～(1-n)^2+2 の 4n-5個
　・・・
ｘ＝ｋ－ｎのとき　ｙ＝(k-n)^2～(1-n)^2+(k-1) の (2k-2)n－k^2+k+1
これを、ｋ＝１～ｎまで足すと、負の部分の個数が出ます。

同様に正の部分の個数を出して足します。

No.11078 - 2010/08/01(Sun) 22:45:43

★ 高１　数学Ａ / ベル

３０未満の素数２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９をひとつずつ書いた１０枚のカードから同時に３枚のカードを引く。引いた３つの素数の積を計算する。
（Ａ）積が偶数となる組み合わせは何通りあるか。
（Ｂ）積の１の位の数字が５となる組み合わせは何通りあるか。
（Ｃ）積の１の位の数字が４となる組み合わせは何通りあるか。

No.11069 - 2010/08/01(Sun) 19:42:25

☆ Re: 高１　数学Ａ / ヨッシー

(A) ２と、あと２つ素数を選ぶ選び方です。
(B) ５と、あと２つ奇数を選ぶ選び方です。
(C) ２と、あと２つ、積の１の位が７となる２数を選ぶ選び方です。

No.11077 - 2010/08/01(Sun) 22:26:10

☆ Re: 高１　数学Ａ / ベル

（Ｃ）の４はそうやってつくるんですね！！
ありがとうございました＞＜！

No.11082 - 2010/08/02(Mon) 14:25:40

★ 高１　数学Ａ / ベル

数直線上に３５以下の自然数を座標とする点が３５個並んでいる。同じ点を選ぶことを許して、最初に選んだ数をｍとし、２番目に選んだ数をｎとする。
（Ａ）｜ｍ－ｎ｜≦３である場合の数を求めよ。
（Ｂ）ｍ＋ｎ≧３１かつ｜ｍ－ｎ｜≦３である場合の数を求めよ。

No.11068 - 2010/08/01(Sun) 19:41:50

☆ Re: 高１　数学Ａ / ヨッシー

（Ａ）
ｍ＝１のとき　ｎ＝１，２，３，４　の４通り
ｍ＝２のとき　ｎ＝１，２，３，４，５　の５通り
ｍ＝３のとき　ｎ＝１，２，３，４，５，６　の６通り
ｍ＝４のとき　ｎ＝１，２，３，４，５，６，７　の７通り
ｍ＝５のとき　７通り
　・・・
ｍ＝３１のとき　７通り
ｍ＝３２のとき　７通り
ｍ＝３３のとき　６通り
ｍ＝３４のとき　５通り
ｍ＝３５のとき　４通り
以上より　３５×７－６×２＝２３３(通り)

（Ｂ）
ｍ＝１４　のとき　ｎ＝１７　の１通り
ｍ＝１５　のとき　ｎ＝１６，１７，１８　の３通り
ｍ＝１６　のとき　ｎ＝１５，１６，１７，１８，１９　の５通り
ｍ＝１７　のとき　７通り
　・・・
ｍ＝３２のとき　７通り
ｍ＝３３のとき　６通り
ｍ＝３４のとき　５通り
ｍ＝３５のとき　４通り
以上、７×２２－１２－６＝１３８(通り)

No.11076 - 2010/08/01(Sun) 22:23:43

★ 高１　数学Ａ / ベル

x＋y＋z＝９（x≧0、ｙ≧0、ｚ≧0）を満たす整数（x,y,z）の組の個数は（　）組である。
また、２x＋y＋z＝９（x≧0、ｙ≧0、ｚ≧0）を満たす整数（x,y,z）の組の個数は（　）組である。

（　）の部分をうめよ。

No.11067 - 2010/08/01(Sun) 19:40:40

☆ Re: 高１　数学Ａ / ヨッシー

ｘ＝０のとき、ｙ、ｚの振り分け方は　１０通り
ｘ＝１のとき　９通り
　・・・
ｘ＝９のとき　１通り
よって、合計５５通り

後半も、同様にしてできるでしょう。

※前半は、重複組み合わせを使って、
　3Ｈ9＝11Ｃ9＝５５
としても求められます。

No.11075 - 2010/08/01(Sun) 22:16:01

★ 高１　数学Ａ / ベル

１から１５までの整数を書いたカードが各一枚、計１５枚ある。この中、同時に３枚のカードを取り出す。
（Ａ）取り出された３枚のカードに書かれた数の中で、最小の数が５以下であるような選び方は何通りか。
（Ｂ）取り出された３枚のカードに書かれた数の中で、最小の数が５以下であり、かつ最大の数が１１以上であるような選び方は何通りか。

No.11066 - 2010/08/01(Sun) 19:38:53

☆ Re: 高１　数学Ａ / ヨッシー

(A) 全ての取り出し方から、６以上の数だけを取り出す取り出し方を
除いたものが、求める場合の数です。
(B)
全ての取り出し方　・・・Ａ
６以上だけを取り出す取り出し方　・・・Ｂ
１０以下だけを取り出す取り出し方　・・・Ｃ
６以上かつ１０以下の数だけを取り出す取り出し方　・・・Ｄ
とすると、Ａ－Ｂ－Ｃ＋Ｄが求める場合の数となります。

No.11074 - 2010/08/01(Sun) 22:06:05

★ 高校 / ベル

２と３と５のうち少なくとも１つで割り切れる自然数３５個からなる集合について考える。この集合には２の倍数は２０個、３の倍数は１３個、５の倍数は１１個ある。３０の倍数はなく、１５の倍数は２個ある。６の倍数の個数は、１０と１５のうち少なくとも一方で割り切れる要素の個数の１/２である。このとき６の倍数は（　）個あり、１０の倍数は（　）個ある。

（　）の部分をうめよ。

No.11065 - 2010/08/01(Sun) 19:34:12

☆ Re: 高校 / ヨッシー

図のようなベン図を考えると、
　ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ＝３５　・・・(1)
　ａ＋ｄ＋ｆ＝２０　・・・(2)
　ｂ＋ｄ＋ｅ＝１３　・・・(3)
　ｃ＋ｅ＋ｆ＝１１　・・・(4)
　ｅ＝２　　　・・・(5)
　２ｄ＝ｅ＋ｆ　・・・(6)
が成り立ちます。(2)＋(3)＋(4)－(1) より
　ｄ＋ｅ＋ｆ＝９
(6) を代入して
　ｄ＝３　・・・６の倍数
　ｆ＝４　・・・１０の倍数

No.11073 - 2010/08/01(Sun) 21:55:46

★ (No Subject) / ゆりかもめ

カードと封筒をｎ枚ずつ用意し、それぞれに１からｎまでの番号を書き、カードを１枚ずつ封筒にいれる。ｎ枚の封筒のうち、ｋ枚封筒の番号と中のカードの番号が一致し、残りのｎ－ｋ枚は封筒の番号と中のカードの番号が一致しないような場合の数をan,kであらわす。

?@a3,0を求めよ。
?Aa5,2とa5,3を求めよ。
?Ba5,0＋a5,1を求めよ。

No.11058 - 2010/08/01(Sun) 11:44:51

☆ Re: / ヨッシー

(1)
２３１，３１２の２通りなので、a3,0＝２
(2)
番号が一致する２つの番号の選び方は　5Ｃ2＝10通り
残りの３枚を番号が一致しないようにする方法は(1)より２通り
　10×2＝20
よって、a5,2＝20
また、２つの番号を選んで、それらを入れ替えると３枚が一致する状態になるので、
　a5,3＝5Ｃ2＝１０
(3)
a5,0＋a5,1＋a5,2＋a5,3＋a5,4＋a5,5＝５！＝１２０
であり、a5,5＝1、a5,4＝0 であるので、
　a5,0＋a5,1＝120－1－20－10＝89

No.11064 - 2010/08/01(Sun) 17:38:48

★ 高校一年　数Ａ / ゆりかもめ

ｎを正の整数とする。数字１、２、３、・・・・、ｎを順序を考えに入れ重複を許さないで１列に並べたものa1、a2、a3、・・・・、aｎのうち、すべてのｋ＝１、２、３・・・・、ｎについてaｋ≦ｋ＋１を満たすものの個数をＮとする。

?@ｎ＝３のときＮの値を求めよ。
?Aｎ＝４のときＮの値を求めよ。
?Bｎ＝５のときＮの値を求めよ。

No.11057 - 2010/08/01(Sun) 11:36:29

☆ Re: 高校一年　数Ａ / ヨッシー

(1)
１２３　○
１３２　○
２１３　○
２３１　○
３１２　×　ａ₁＝３≦１＋１を満たしていない
３２１　×　ａ₁＝３≦１＋１を満たしていない
よって、Ｎ＝４
(2)
満たすもの
１２３４、１２４３、１３２４、１３４２、
２１３４、２１４３、２３１４、２３４１
満たさないもの
１４２３、１４３２、２４１３、２４３１、
３１２４、３１４２、３２１４、３２４１、
３４１２、３４２１、４１２３、４１３２、
４２１３、４２３１、４３１２、４３２１
で、Ｎ＝８

実は、ｎ＝５，６，７に対して、
Ｎ＝１６，３２，６４となるのですが、理由は分かりますか？
ｎ＝３で○となったものと、ｎ＝４で○となったものとを
見比べてみてください。

No.11061 - 2010/08/01(Sun) 15:19:02

★ 高1 数Ａ / まっちょ

ＡとＢがテニスの試合を行うとき、各ゲームでＡ,Ｂが勝つ確率はそれぞれ2/3,1/3であるとする。３ゲーム先に勝った方が試合の勝者になるとき、Ａが勝者になる確率を求めよ。

樹系図を書いて地道にやると、
Bが1回も勝たない時
(2/3)^3
Bが1回勝つとき
(2/3)^3×2
Bが2回勝つとき
(2/3)^3×2

これを全て足して
136/243になったのですが、
答えわ64/81でした。

簡単な解き方があれば
教えてください。

あと私がやった解き方
はどこが違うのでしょう

No.11054 - 2010/08/01(Sun) 01:19:04

☆ Re: 高1 数Ａ / ヨッシー

Bが1回も勝たない時
　(2/3)^3＝8/27
Bが1回勝つとき
　勝つ順番は BAAA,ABAA,AABA の3通りであり、
　1回あたりの確率は
　　(2/3)^3×(1/3)＝8/81
　なので、全確率は 8/27
Bが2回勝つとき
　勝つ順番は BBAAA,BABAA,BAABA,ABBAA,ABABA,AABBA
　の6通りであり、
　1回あたりの確率は
　　(2/3)^3×(1/3)^2＝8/243
　なので、全確率は　16/81
全部足して、
　8/27＋8/27＋16/81＝64/81
となります。

No.11055 - 2010/08/01(Sun) 03:01:56

☆ Re: 高1 数Ａ / まっちょ

よくわかりました！
ありがとうございます！

No.11056 - 2010/08/01(Sun) 08:50:08

★ 高２数学【答えが同じになったのですがちゃんとあってるのか不安です】 / 秋山ZERO

実数a,bに対してf（x）＝a（x-b）^2・・・?@とおく。
放物線y=f（x）が直線y=-4x＋4・・・?Aに接する
このときbをaを用いてあらわせ。

この問題で
答えでは
?@と?Aを連立してでた式を判別式を用いて重解をもてばよいということを利用して求めていました。

確かにこれでも納得できるんです。
ですが、
私は
「放物線?@と直線?Aの接点をPとおき、接点のx座標をtとすると
P（t,-4t＋4）・・・?Bと表すことができる。
放物線?@は?Bを通るので代入して
～～～

というような感じでときました。
結果答えは同じになったのですが
正直このとき方だといちいち連立でやるほうがはやいしPを出す必要もないし
やはり入試の答案でこんな回りくどく書いてしまうと
わかっていないと思われて
減点されるのでしょうか？
正直x→tに変わっただけだし時間の無駄・・ですよね＾＾；

ちなみに問題は神戸大学の文系数学です。

No.11051 - 2010/07/31(Sat) 23:59:20

☆ Re: 高２数学【答えが同じになったのですがちゃんとあってるのか不安です】 / angel

「時間の無駄」かどうかはなんとも。
自分で納得して解けるかどうかが、まず一番重要だと思いますから。

ただ、t を導入しない方が、答案の記述量・計算の手間等考えて、時間は短縮できるでしょうから、そっちに徐々に慣れていけば良いんじゃないでしょうか。

> わかっていないと思われて減点されるのでしょうか？

論理展開に問題がなければ減点はないでしょう。
たとえ回り道に思える解き方だとしても。

No.11052 - 2010/08/01(Sun) 00:32:44

★ 高1 数Ａ / まっちょ

　　　　Ａ
　　　　／＼
　　　／　　＼
　　Ｂ￣￣￣￣Ｃ

上の図で点ＰはＡを出発点
とし、さいころを投げてＡ
→Ｂ→Ｃと移動する。偶数
の目が出たらその数だけ進
み、奇数の目が出たら１つ
進む。次に、もう１回さい
ころを投げて、Ｐは移った
点を出発点として、同様に
移動する。２回の移動後に
、ＰがＢにある確率を求め
よ。

考え方がわかりません

教えてください

No.11048 - 2010/07/31(Sat) 17:26:54

☆ Re: 高1 数Ａ / らすかる

1,4,7,10,13,…進めばBにいることになりますが、
最小でも1+1=2、最大でも6+6=12ですから、
2回の合計が4か7か10になればいいですね。
2回とも奇数だと2ですから条件を満たしません。
奇数が1回の場合は合計が奇数ですから7になる必要があります。
奇数が0回の場合は合計が偶数ですから4か10になる必要があります。
これらを踏まえてパターンを列挙して確率を求めましょう。

No.11049 - 2010/07/31(Sat) 17:37:48

☆ Re: 高1 数Ａ / まっちょ

解けました！
詳しい説明ありがとうござ
います^^

No.11053 - 2010/08/01(Sun) 01:08:13

★ すいません　書き間違えました / かめた

(a＾2-1)/(1-a)=1 でaについて解いたとき

答えがa=-2,1となりました。

考え方は　a＾2-1=1-a

a＾2+a-2=0

(a+2)(a-1)=0

a=-2,1

です。　しかし、1のとき、式があわず0/0=1となりました。

どうすればいいのでしょうか？　教えてください

No.11041 - 2010/07/31(Sat) 11:55:36

☆ Re: すいません　書き間違えました / らすかる

最初の式から1-a≠0すなわちa≠1です。
(a^2-1)/(1-a)=1
(a+1)(a-1)/(1-a)=1
1-a≠0なので分子分母を1-aで割って
-(a+1)=1
∴a=-2
のようにも計算できます。

No.11044 - 2010/07/31(Sat) 13:46:39

★ 数列の問題 / masaki

こんにちは。基礎問題なのですが、どうやっても正解にたどり着きません。解法のどこが間違っているのですか？また、正しい解法おしえてください。よろしくお願いします。

次の数列{an}について答えよ。
5,55,555,5555,…
一般項ｎの式で表せ。
解）{an}={5,55,555,5555,…}
　　{bn}={50,50×10,50×10^2,50×10^3…}
bn=50・10^(n-1)

an=a1+Σ【上：n-1,下：k=1】(50・10^(k-1))

an=5+50(10^n-1)/(10-1)
=5+50(10^n-1)/9

ここまでが自分の解法です。
正解は5(10^n-1)/9　らしいのですが、行き詰まりました…。

No.11039 - 2010/07/31(Sat) 02:25:07

☆ Re: 数列の問題 / かーと

＞50(10^n-1)/(10-1)

n-1項の和なので 10^n → 10^(n-1) となりますね。
あとは出てきた式を整理すれば正しい式が得られます。

とにかく解ければいいということであれば、
9,99,999,9999・・・・
の一般項が (10^n)-1 であることから、
a[n] の一般項はこれを 5/9 倍すれば簡単に求まります。

No.11040 - 2010/07/31(Sat) 02:52:34

☆ Re: 数列の問題 / masaki

なるほど！
丁寧な解説ありがとうございました！

No.11050 - 2010/07/31(Sat) 23:44:17

★ 高1 数Ａ / まっちょ

３個のさいころを同時に投
げる時、出る目の最小値が
３以上５以下である確率を
求めよ

という問題なのですが、
最小値が３,４,５の時で
場合分けをすると、
３→(2/3)^2
４→(1/2)^2
５→(1/3)^2
でこれらを足して49/72
と計算したのですが、
正解わ7/24でした

余事象も考えたのですが
最初と同じ答えになりま
した

教えてください

No.11033 - 2010/07/30(Fri) 21:38:08

☆ Re: 高1 数Ａ / ヨッシー

目の出方は 6~3＝216（通り）

最小が５の場合の数：
　５，６だけで出る目の場合の数は
　2^3＝８通り
　このうち、６，６，６は除いて　７通り。
最小が４の場合の数:
　４，５，６だけで出る目の場合の数は
　3^3＝27通り
　このうち８通りは、４を使っていないので、
　２７－８＝１９通り
最小が３の場合の数：
　３，４，５，６だけで出る目の場合の数は、
　4^3＝６４通り
　このうち２７通りは３を使っていないので、
　６４－２７＝３７通り
合計　７＋１９＋３７＝63
確率は、63/216＝7/24　となります。

No.11034 - 2010/07/30(Fri) 22:00:40

☆ Re: 高1 数Ａ / まっちょ

そうやって解くんですか！
全然思いつきませんでした

ありがとうございます！

No.11036 - 2010/07/30(Fri) 23:06:50

☆ Re: 高1 数Ａ / らすかる

別解
目の出方は6^3=216通り
最小が3以上となるのは出目が3,4,5,6のみの場合なので4^3=64通り
このうち最小が6となるのは(6,6,6)の1通りなので
最小が3～5となるのは64-1=63通り
∴63/216=7/24

No.11038 - 2010/07/30(Fri) 23:23:33

☆ Re: 高1 数Ａ / まっちょ

楽に解けますね！
別解ありがとうございます！

No.11047 - 2010/07/31(Sat) 17:17:59

★ 高２青チャート数?T１４７ / 秋山ZERO

右の図の折れ線で表される関数をf(x)とする。
このとき、y＝f{f(x)}のグラフをかけ。また、0≦x≦1でf{f(x)}＝xとなるxの値を求めよ。

グラフはxが０でyが２、1で4、2で3、3で1、4で0です。

答えはx＝2/3です。
まず

解説
【与えられたｆ（ｘ）の式は，
０≦ｘ≦１のとき，ｙ＝２ｘ＋２で，値域は２～４…?@
１≦ｘ≦２のとき，ｙ＝－ｘ＋５で，値域は３～４…?A
２≦ｘ≦３のとき，ｙ＝－２ｘ＋７で，値域は１～３…?B
３≦ｘ≦４のとき，ｙ＝－ｘ＋４で，値域は０～１…?C

さらに?@の式は
０≦ｘ≦１／２のとき，値域は２～３…?D

１／２≦ｘ≦１のとき，地域は３～４…?E

とわけておく

ｆ（ｆ（ｘ））は，０≦ｘ≦１のとき，内側の値は?@によるので，
?Dのとき外側のｆ（ｘ）は?Bの式になり，

ｙ＝－２（２ｘ＋２）＋７となるから
ｆ（ｆ（ｘ））＝ｘは，
－２（２ｘ＋２）＋７＝ｘを解いて，ｘ＝３／５。ところが，?Dのときのｘの範囲に入っていないので解ではない。
?Eのとき外側のｆ（ｘ）は?Cの式になり，

ｙ＝－（２ｘ＋２）＋４となるから
ｆ（ｆ（ｘ））＝ｘは，
－（２ｘ＋２）＋４＝ｘを解いて，ｘ＝２／３。これは，?Eのときのｘの範囲に入っているので解である。

グラフに関しては，

０≦ｘ≦１／２のときは前出。
１／２≦ｘ≦１のときは前出。
１≦ｘ≦２のとき，外側のｆ（ｘ）は?Cだから，ｙ＝－（－ｘ＋５）＋４
２≦ｘ≦５／２のときは，内側のｆ（ｘ）外側のｆ（ｘ）とも?Bだから，ｙ＝－２（－２ｘ＋７）＋７
５／２≦ｘ≦３のときは，外側のｆ（ｘ）は?Aだから，ｙ＝－（－２ｘ＋７）＋５
３≦ｘ≦４のとき，外側のｆ（ｘ）は?@だから，ｙ＝２（－ｘ＋４）＋２】

グラフで
【さらに?@の式は
０≦ｘ≦１／２のとき，値域は２～３…?D

１／２≦ｘ≦１のとき，地域は３～４…?E

とわけておく】とするのはどうしてなんでしょうか？
それ以降も全くわかりません。
誰か分かる方教えてください。
お願いします

No.11027 - 2010/07/29(Thu) 23:32:18

☆ Re: 高２青チャート数?T１４７ / ヨッシー

>グラフで
>【さらに?@の式は
>０≦ｘ≦１／２のとき，値域は２～３…?D
>
>１／２≦ｘ≦１のとき，地域は３～４…?E
>
>とわけておく】とするのはどうしてなんでしょうか？

f(x) の値域が、f(f(x)) では、定義域になるので、
折れ線の折れ目の３のところで、分けるのです。

図のようにy=f(x) のグラフと、x=f(y) のグラフを描いて、
両者が交わる●の点が f(f(x))=x となる点で、0≦x≦1 では
x=2/3 です。

No.11031 - 2010/07/30(Fri) 06:57:51