ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 高?U数学　式と計算 / YOSIKI

a^2/（a-b）（a-c）＋ b^2/（b-c）（b-a）＋c^2/（c-a）（c-b）を計算えよ。

通分をどうやればいいかわかりません。
それと答えには「交代式」が利用されている的なことが書いてあったのですが
自分で調べてみても交代式の意味がわかりませんでした。
誰かわかる方教えてください。
よろしくおねがいします。

No.11110 - 2010/08/05(Thu) 00:23:42

☆ Re: 高?U数学　式と計算 / ヨッシー

分母を (a-b)(b-c)(c-a) とします。
分子は
a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a)
=a^2(c-b)+a(b^2-c^2)+bc^2-b^2c
=a^2(c-b)-a(c+b)(c-b)+bc(c-b)
=(c-b){a^2-a(c+b)+bc}
=(c-b)(a-b)(a-c)
=(a-b)(b-c)(c-a)
となります。

No.11112 - 2010/08/05(Thu) 05:43:58

☆ Re: 高?U数学　式と計算 / YOSIKI

ありがとうございました！

No.11113 - 2010/08/05(Thu) 05:46:19

★ 順列 / 真癒

次の３問の解き方をおしえてくださいm(_　_)m

１、answerという単語の文字全部を使って順列を作るとき、少なくとも一方の端に子音の文字がくるのは何通りあるか。

２、６個の数字0,1,2,3,4,5を使ってできる、次のような整数は何個あるか。ただし、同じ数字は２度使わないとする。

Ａ、４桁の数字で５の倍数

Ｂ、４桁の整数で偶数

です。

答えは、上から

６７２通り
１０８個
１５６個　です

よろしくお願いします。

No.11107 - 2010/08/04(Wed) 23:10:52

☆ Re: 順列 / ヨッシー

１．
全部の並べ方は６！＝７２０(通り)
両端に母音(a,e)が来るのは、
　２！×４！＝４８(通り)
残りの　６７２通りが、少なくとも一方に子音が来ます。

２．
Ａ．
１の位が０の場合、他の３つの数は、
　５×４×３＝６０(通り)
１の位が５の場合、千の位は２，３，４，５の４通り
　十、百の位は　４×３＝１２(通り)なので、
　４×１２＝４８(通り)
合わせて
　６０＋４８＝１０８(通り)

Ｂ．も同じ考え方(０だけ別に考える)で行けます。

No.11111 - 2010/08/05(Thu) 05:37:10

★ 楕円の性質（数学Ｃ） / あつし

楕円外の1点をＣとする。
Ｃから楕円に引いた2本の接線のそれぞれと
楕円が接する点を左からＰ、Ｑとする。
焦点を左からＦ、Ｆ’とする時、
∠ＰＣＦ＝∠ＱＣＦ’となる事を示せ。
この問題がわかりません。
よろしくお願いします。

No.11103 - 2010/08/04(Wed) 17:55:41

☆ Re: 楕円の性質（数学Ｃ） / rtz

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/curve/ellipse.htm
参照。

この手の"性質"を問う問題は、
検索すれば見つかることが多いと思います。

No.11104 - 2010/08/04(Wed) 20:19:53

☆ Re: 楕円の性質（数学Ｃ） / あつし

ありがとうございました。
今度は自力で極力調べてから質問します。

No.11105 - 2010/08/04(Wed) 22:38:49

★ 高2　数学A / YOSIKI

１×２×３×・・・・・×１５０の末尾に続く０の個数を求めよ。

解答には
「0の個数は、1×2×3・・・×150に含まれる因数10の因数であり、10は2×5と素因数分解される。
1、2、3、・・・、150に含まれる因数2の個数が因数5の個数より多いのは明らかであるから、因数5の個数を求めればよい。
1、2、3、・・・、150に含まれる5の倍数は 150=5・30から 30個
5^2（＝25）の倍数は 150=25・6から6個
5^3（＝125）の倍数は 150=125・1＋25から１個
ゆえに、1、2、3、・・・、150に含まれる因数5の個数は全部で30＋6＋1＝37個
よって、求める0の個数は 37個」
とあります。
【0の個数は、1×2×3・・・×150に含まれる因数10の因数であり、10は2×5と素因数分解される。
1、2、3、・・・、150に含まれる因数2の個数が因数5の個数より多いのは明らかであるから、因数5の個数を求めればよい。】
ここまではなんとか分かるのですが
【1、2、3、・・・、150に含まれる5の倍数は 150=5・30から 30個
5^2（＝25）の倍数は 150=25・6から6個
5^3（＝125）の倍数は 150=125・1＋25から１個
ゆえに、1、2、3、・・・、150に含まれる因数5の個数は全部で30＋6＋1＝37個
よって、求める0の個数は 37個】
この部分が本当に分かりません。
なぜこのような計算で求める０の個数が求められるのでしょうか？

また、
実際に【1、2、3、・・・、150に含まれる5の倍数は 150=5・30から 30個】を書き出してみたのですが
当然かもしれませんが
25の倍数も含まれていました。
ここで疑問なのは
【5^2（＝25）の倍数は 150=25・6から6個】の個数とダブルカウントしてしまっているのではないか？ということです。

正直なぜ倍数を求めてるのか自体分かっていないので
誰か分かる方教えてください。よろしくお願いします。。

No.11095 - 2010/08/04(Wed) 03:34:55

☆ Re: 高2　数学A / rtz

とりあえず
http://www3.ocn.ne.jp/~fukiyo/math-qa/kaijou.htm
で基本的なことを確認し、理解された上で、
分からないところがあるならどうぞ。
ダブルカウントがどう処理されているかも考えてみましょう。

No.11096 - 2010/08/04(Wed) 04:50:08

☆ Re: 高2　数学A / ヨッシー

こちらも併せてご覧ください。

No.11097 - 2010/08/04(Wed) 06:38:57

☆ Re: 高2　数学A / YOSIKI

おかげで理解できました。
本当にありがとうございました＞＜

No.11109 - 2010/08/05(Thu) 00:22:25

★ 高1　数学確率 / YOSIKI

３人の女子と１２人の男子が無作為に円卓に座る
（１）３人の女子が連続して並ぶ確率
（２）少なくとも２人の女子が連続して並ぶ確率

わからないのは（２）です。
とりあえず（２）は（２）＝（１）＋「２連続と１人だけ離れている」というの風に分類しました。
まず、条件事象から・・・
席に右まわりに１～１５まで番号をつけ、
女子２人を例えば（1,2）と連続して座らせると
15と3はNGなんで
（1,2）に女子２人を連続して座らせたとき
もう一人の女子の座り方は今座っている（１、２）と題意に反する15、３以外の11通り
あり、２連続の席は（１、２）、（２、３）、（３、４）・・・・・（１５、１）の１５通りある。
また、女子３人の席の並び方は３！男子１２人の席の並び方は１２！通りある。
よって、【２連続と１人だけ離れているような３人の席の組み合わせ】は3!×１５×１２×12!通り

全事象は女子３人の選び方が15C3でかつ女子３人の並び方が3!通り
男子１２人の並び方が１２！通り
よって、求める確率は
（3!・12!・15・12）/15C3・3!・12!
3!・12!は相殺されるので
（15・12）/15C3＝36/91

※3!×１５×１２×12!通りの
15・12の部分は
（１）の１５通りを足して
15＋15・11・3!・12!＝15・12・3!・12! 通りです。

ここで質問なのですが
答えはあっていました。
が、解答では3!と12!の部分は全く触れられていませんでした。
でもこの問題では
最初に女子３人がどこに座るかを決めていますよね。
そしたらその３人のうち誰と誰がペア（隣り合う）になるのかなど順列を考えないといけないような気がするのです。
確率の問題ではすべてのものを区別するのが約束事なので
女1女2｜女3 というふうに区別すると（|は２人が隣り合い、１人が離れることを示してます）

３！＝３P３＝6通りより
女1女2｜女3
女1女3｜女2
女2女1｜女3
女2女3｜女1
女3女1｜女2
女3女2｜女1 のように区別する必要があるように思えます。

ですが解答ではこのようなことは全く触れられていませんでした。
やはり根本から間違っているのでしょうか？
高２でもう受験まで時間がないのでかなり焦っています。
確率は一番苦手なので
誰かわかる方教えてください。
よろしくお願いいたします。。

No.11094 - 2010/08/04(Wed) 00:09:46

☆ Re: 高1　数学確率 / ヨッシー

YOSIKI さんの方法がより細かい数え方ですね。

求めるのは、確率なので、全事象の数え方と、女子が連続して
並ぶ数え方が一貫していれば問題ありません。

つまり、
YOSIKI さんの考え方は、
女子が連続：女子が連続する席の位置の場合の数を求め、それに女子の並び方３！、男子の並び方１２！を掛ける。
全事象：女子の位置の場合の数(15Ｃ3)を求め、それに女子の並び方３！、男子の並び方１２！を掛ける。
ですね？
それに対して、解答の考え方は、
女子が連続する場合も、全事象も、女子の席の位置が決まれば、
具体的な人の並び方は３！×１２！を掛けるだけなので、
席の位置だけで確率を出しても良い
というものです。

>確率の問題ではすべてのものを区別するのが約束事
とは言い切れませんが、「すべてのものを区別すれば、より安全」
とは言えます。
これは区別しなくて良い、これは区別すべき
と判別するのは大変ですからね。
「常に区別する」の一辺倒で良いと思います。

No.11099 - 2010/08/04(Wed) 07:22:04

☆ Re: 高1　数学確率 / YOSIKI

ありがとうございました！

No.11108 - 2010/08/05(Thu) 00:21:59

★ 高１数学A　樹形図の意味 / 乙村

4つの箱があってどの箱にも赤､黄､緑､青の球が1つずつ入っている。それぞれの箱からでたらめに1つの球を取り出すとき
(1)4個がすべて同色である確率を求めよ。
(2)4個がちょうど2色である確率を求めよ。

解答では、箱にA，B，Ｃ，Dと名前をつけ赤､黄､緑､青を１、２、３、４とあわしていて

樹形図（画像）を書いてあるあるのですが
なぜこの樹形図からみて4^4=256通りあるのかわかりません。
画像の樹形図だと線がつながってるのは
Aから順番に
１→1→1→1だけでなんでこっから４＾４でもとまるのかわかりません。
たとえば
Aから順番に1-1-2-4とかもあるんですよね？

樹形図を書かず
ひとつの箱から取り出し方を４通り
箱は４つあるので4^4通り
とか
ひとつの箱から球を１個とりだす確率は1/4
それが4つあるから
1/4・1/4・1/4・1/4
とかだとわかるのですが
この樹形図の意味がよくわかりません。
問題は大丈夫なので
この樹形図の意味を誰か教えてください。
お願いいたします。

追加：まずAの時点でどれからスタートするかで４通り
この樹形図では1からスタートしています。
次にBへ行くのに１６通り。
次にCへいくのにもまた１６通り
CからDも同様１６通り
Aの１からスタートした場合の数を全部足して１６・３＝４８
ほかの２と３と４の場合も同様なので
4×４８＝192通りとなったのですが・・・

No.11086 - 2010/08/03(Tue) 17:59:11

☆ Re: 高１数学A　樹形図の意味 / ヨッシー

こういうのも樹系図です。
左から、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの箱から取り出す色と考えると、
２５６通りあることが分かります。

って、ひょっとして、
>樹形図（画像）
と書いてあるということは、画像がどこかにあるのかな？

No.11087 - 2010/08/03(Tue) 18:27:21

☆ Re: 高１数学A　樹形図の意味 / ヨッシー

ちなみに、追加のところは、何が書いてあるか、わかりませんでした。
やはり、画像が・・・？

No.11088 - 2010/08/03(Tue) 18:28:35

☆ Re: 高１数学A　樹形図の意味 / 乙村

すみません！
画像張り忘れていました・・

No.11093 - 2010/08/04(Wed) 00:04:48

☆ Re: 高１数学A　樹形図の意味 / ヨッシー

本当は、こういう図を描くのですが、
一部だけを描いているわけです。

これを認めると、追加以降に書かれている
疑問も出ないのではないでしょうか？

No.11098 - 2010/08/04(Wed) 07:03:51

★ 根元事象　高1 / syooo

根元事象の定義がよくわかりません。　
　教科書に、「根元事象とは、『全事象の集合Ｕ』の1個の要素からなる集合であらわされる事象（これ以上分けられない事象）のこと」とありました。
　
　また、「２つのさいころＡ，Ｂを同時に投げるとき、すべての根元事象が『同様に確からしい』とするためには、たとえば
（２、３）、（３，２）を異なる根元事象と考える必要がある」
とありましたが、「異なる根元事象と考える」ということは、同じ１つの根元事象と考えることもできるのでしょうか。　２つのさいころにはＡ、Ｂといった区別がない場合はどうでしょうか。「2と3が出る」という事象は、さらに細かく（２、３）、（３，２）と分けられるので、一番上に示した根元事象の定義と違っているような気もしますが・・・

　もうひとつ疑問があります。「赤玉4個白玉3個入っているふくろから同時に3個取り出すとき、赤玉1個白玉２個となる確率」という問題で、普通は全事象の根元事象の総数は7Ｃ3と考えますが、塾の先生は7Ｐ3と考えてもよい（もちろんその場合は赤玉1個白玉2個の場合の数もＰで計算する）といっていましたが、根元事象は、1つの組み合わせのことをいっても1つの順列のことをいってもいいのでしょうか。たとえば、「赤1，白2，赤4」を１つの根元事象とみなすべきでしょうか、それともそれをもっと細かく分けて順列まで考えて「白２，赤４，赤１」など全部で3！通りの根元事象とみなすべきでしょうか。

つまり、根元事象とはどれくらい細かく分けたものをいうのかがわかりません。長くなってすみません、誰か教えてください。

No.11084 - 2010/08/03(Tue) 03:09:29

☆ Re: 根元事象　高1 / rtz

とにかく細かく、という方向です。
サイコロならA,B,C、と分けますし、球も1,2,3、と番号を振ります。
見分けが付く付かないは後の話、とりあえず全部区別します。

「サイコロ2つ振って2と3が出る」ではなく、
「サイコロAで2が出てBで3が出た」「Aで3が出てBで2が出た」です。

＞順列も含めて根元事象にすべきか
結果として「同様に確からしい」ことが立証できるなら組み合わせの方でもかまいません。
実際「赤1,白2,赤4」は「赤1→白2→赤4」等を含む6つの順列で構成されていて、
全ての選び方において順列数も6で変わらないからです。

先の例で言えば
「サイコロAで2が出てBで3が出た」は、
「1回目にAで2が出て、2回目はBで3が出た」「1回目にBで3が出て、2回目はAで2が出た」
まで考えるか否か、ということです。

実際どこまで分けて考えるべきか、
というのは問題によっても変わりますし、
無意識的な共通理解のもとに組み合わせが選択されていることもあるでしょう。

まとめるなら、
・袋でも人でも球でもとりあえず区別して番号をふる
・往々にして順列でも組み合わせでもいい場合が多い(一応確認する)

No.11085 - 2010/08/03(Tue) 16:07:54

☆ Re: 根元事象　高1 / syooo

なるほど、ありがとうございました！

No.11089 - 2010/08/03(Tue) 18:50:06

★ 高３　二次方程式 / はら

tが整数で２次方程式 x^2-2tx-2t+20=0 が二つの整数解を持つとする。
このとき、tと整数解を求めよ。

がわかりません。とりあえず２次方程式なので、判別式か解と係数の関係を使うのかと思ったんですが、どうも手がつけられません。
よろしくお願いします。

No.11072 - 2010/08/01(Sun) 21:37:27

☆ Re: 高３　二次方程式 / rtz

2整数解をα,βとすると、
解と係数の関係から、α,βとtの関係式が2つできます。
ここからtを消去したのち、(aα+b)(cβ+d)＝kの形にすれば、
(aα+b),(cβ+d)何れも整数ですから何通りか候補が出てきます。

あとはtを求めればいいのですが、
α,βの和、積とも偶数であること、
α,βには区別がないことを踏まえれば、
多少考えなければならない候補は減るでしょう。

No.11080 - 2010/08/01(Sun) 23:01:25

★ 高2　領域 / nu

ｎを自然数とするとき、放物線
　　　ｙ＝ｘ＾2　…?@
と直線
　　　ｙ＝ｘ＋ｎ（ｎ-1）…?A
で囲まれた領域をＤ〔ｎ〕で表す。ただしＤ〔ｎ〕は境界を含むものとする。Ｄ〔ｎ〕の点（ｘ，ｙ）でｘ，ｙがともに整数となる点の個数を求めよ。

No.11070 - 2010/08/01(Sun) 20:24:07

☆ Re: 高2　領域 / ヨッシー

(1)(2)を連立させると
　x^2-x-n(n-1)＝０
　(x+n-1)(x-n)＝０
より、ｘ＝1-n，n を解に持ちます。
ｘ＝１－ｎのとき　ｙ＝(1-n)^2～(1-n)^2 の1個
ｘ＝２－ｎのとき　ｙ＝(2-n)^2～(1-n)^2+1 の 2n-1個
ｘ＝３－ｎのとき　ｙ＝(3-n)^2～(1-n)^2+2 の 4n-5個
　・・・
ｘ＝ｋ－ｎのとき　ｙ＝(k-n)^2～(1-n)^2+(k-1) の (2k-2)n－k^2+k+1
これを、ｋ＝１～ｎまで足すと、負の部分の個数が出ます。

同様に正の部分の個数を出して足します。

No.11078 - 2010/08/01(Sun) 22:45:43

★ 高１　数学Ａ / ベル

３０未満の素数２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９をひとつずつ書いた１０枚のカードから同時に３枚のカードを引く。引いた３つの素数の積を計算する。
（Ａ）積が偶数となる組み合わせは何通りあるか。
（Ｂ）積の１の位の数字が５となる組み合わせは何通りあるか。
（Ｃ）積の１の位の数字が４となる組み合わせは何通りあるか。

No.11069 - 2010/08/01(Sun) 19:42:25

☆ Re: 高１　数学Ａ / ヨッシー

(A) ２と、あと２つ素数を選ぶ選び方です。
(B) ５と、あと２つ奇数を選ぶ選び方です。
(C) ２と、あと２つ、積の１の位が７となる２数を選ぶ選び方です。

No.11077 - 2010/08/01(Sun) 22:26:10

☆ Re: 高１　数学Ａ / ベル

（Ｃ）の４はそうやってつくるんですね！！
ありがとうございました＞＜！

No.11082 - 2010/08/02(Mon) 14:25:40

★ 高１　数学Ａ / ベル

数直線上に３５以下の自然数を座標とする点が３５個並んでいる。同じ点を選ぶことを許して、最初に選んだ数をｍとし、２番目に選んだ数をｎとする。
（Ａ）｜ｍ－ｎ｜≦３である場合の数を求めよ。
（Ｂ）ｍ＋ｎ≧３１かつ｜ｍ－ｎ｜≦３である場合の数を求めよ。

No.11068 - 2010/08/01(Sun) 19:41:50

☆ Re: 高１　数学Ａ / ヨッシー

（Ａ）
ｍ＝１のとき　ｎ＝１，２，３，４　の４通り
ｍ＝２のとき　ｎ＝１，２，３，４，５　の５通り
ｍ＝３のとき　ｎ＝１，２，３，４，５，６　の６通り
ｍ＝４のとき　ｎ＝１，２，３，４，５，６，７　の７通り
ｍ＝５のとき　７通り
　・・・
ｍ＝３１のとき　７通り
ｍ＝３２のとき　７通り
ｍ＝３３のとき　６通り
ｍ＝３４のとき　５通り
ｍ＝３５のとき　４通り
以上より　３５×７－６×２＝２３３(通り)

（Ｂ）
ｍ＝１４　のとき　ｎ＝１７　の１通り
ｍ＝１５　のとき　ｎ＝１６，１７，１８　の３通り
ｍ＝１６　のとき　ｎ＝１５，１６，１７，１８，１９　の５通り
ｍ＝１７　のとき　７通り
　・・・
ｍ＝３２のとき　７通り
ｍ＝３３のとき　６通り
ｍ＝３４のとき　５通り
ｍ＝３５のとき　４通り
以上、７×２２－１２－６＝１３８(通り)

No.11076 - 2010/08/01(Sun) 22:23:43

★ 高１　数学Ａ / ベル

１から１５までの整数を書いたカードが各一枚、計１５枚ある。この中、同時に３枚のカードを取り出す。
（Ａ）取り出された３枚のカードに書かれた数の中で、最小の数が５以下であるような選び方は何通りか。
（Ｂ）取り出された３枚のカードに書かれた数の中で、最小の数が５以下であり、かつ最大の数が１１以上であるような選び方は何通りか。

No.11066 - 2010/08/01(Sun) 19:38:53

☆ Re: 高１　数学Ａ / ヨッシー

(A) 全ての取り出し方から、６以上の数だけを取り出す取り出し方を
除いたものが、求める場合の数です。
(B)
全ての取り出し方　・・・Ａ
６以上だけを取り出す取り出し方　・・・Ｂ
１０以下だけを取り出す取り出し方　・・・Ｃ
６以上かつ１０以下の数だけを取り出す取り出し方　・・・Ｄ
とすると、Ａ－Ｂ－Ｃ＋Ｄが求める場合の数となります。

No.11074 - 2010/08/01(Sun) 22:06:05

★ 高校 / ベル

２と３と５のうち少なくとも１つで割り切れる自然数３５個からなる集合について考える。この集合には２の倍数は２０個、３の倍数は１３個、５の倍数は１１個ある。３０の倍数はなく、１５の倍数は２個ある。６の倍数の個数は、１０と１５のうち少なくとも一方で割り切れる要素の個数の１/２である。このとき６の倍数は（　）個あり、１０の倍数は（　）個ある。

（　）の部分をうめよ。

No.11065 - 2010/08/01(Sun) 19:34:12

☆ Re: 高校 / ヨッシー

図のようなベン図を考えると、
　ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ＝３５　・・・(1)
　ａ＋ｄ＋ｆ＝２０　・・・(2)
　ｂ＋ｄ＋ｅ＝１３　・・・(3)
　ｃ＋ｅ＋ｆ＝１１　・・・(4)
　ｅ＝２　　　・・・(5)
　２ｄ＝ｅ＋ｆ　・・・(6)
が成り立ちます。(2)＋(3)＋(4)－(1) より
　ｄ＋ｅ＋ｆ＝９
(6) を代入して
　ｄ＝３　・・・６の倍数
　ｆ＝４　・・・１０の倍数

No.11073 - 2010/08/01(Sun) 21:55:46