［問題］
不等式 ab+1≦abc≦bc+ca+ab+1 を満たす自然数 a, b, c のすべての組を求めよ。ただし、a > b > c とする。
［質問］
模範解答では手間を掛けて、c の条件を絞り込んでいるのですが、私は以下のようにして絞り込みました。緻密さに掛けると言いますか、厳密に数学的な視点から「甘い」絞り方でしょうか。
アドバイスをお願いします。
掲載した部分以降は、私も模範解答のように考えましたので、該当部分だけお願いします。
［私の答案］
ab+1≦abc ・・・・・・・・①
abc≦bc+ca+ab+1 ・・・・ ②
1≦c
①より
abc-ab≧1
ab(c-1)≧1
③より、0<ab<1なので
c-1≧1/ab
c≧1+1/ab
0<1/ab<1 より
2>1+1/ab>1
よって、
c≧2・・・・④
［模範解答］
①より
abc-ab≧1
ab(c-1)≧1
となる。
c=1はこの不等式を満たさず、c≧2 であれば
ab(c-1)>c^2(c-1)=2^2(2-1)=4>1
より満たす。
したがって、①を満たすa, b, c の条件は
c≧2
である。
［アドバイスをいただきたいところ］
（１）私の答案について、
2>1+1/ab>1 ということは、1+1/ab は、たとえば、
1.4 とか 1.9 、1.001などの値を取れます。
つまり、限りなく②に近づくか、①に近づくことができま
す。よって、ｃは１以下になることはなく、整数なので２以
上と考えました。
別な観点からすれば、ｃは３以上、の４、５,,,になる
可能性もあるが、２にならない根拠も挙げられないので、
c≧2 に落ち着きました。
すこし「甘い」ような感じがするのですが、どこがどう甘
いのか、自分でも説明できません。これでいいような気もし
ますし。
（２）模範解答について
「したがって」以下に、「①を満たすa,b,c の条件はc≧2」とありますが、聊か乱暴な気がしています。
結論に行く前に「③より、ab>0 なので」などと入れなくとも良いのでしょうか。
以上よろしくお願いいたします。
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No.683 - 2008/05/18(Sun) 12:56:09
| ☆ Re: 整数問題（変数の絞込み）（高１） / WIZ | | | > ③より、0
③がどの式を指しているのか分からないのですが、
a, b, cが自然数であることから「0 < ab < 1」となることは有り得ません。
# a > b > cという条件から、c ≧ 1, b ≧ 2, a ≧ 3は
# 直感的に分かると思うので、ab ≧ 6。
>（１）私の答案について、
「甘い」ことはなく、数学的に充分です。
c-1 ≧ 1/(ab)と1/(ab) > 0を組み合わせて、c-1 > 0。
c-1は整数で、負でない整数の内0より大きいものの最小は1なので、
c-1 ≧ 1と結論して良いと思います。
>（２）模範解答について
「乱暴」ではありません。
Kayさん自身の回答の中でも、事前に「ab ≠ 0なので」などと断わらずに、
1/(ab)という割り算をしてしまっていますよね?
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No.686 - 2008/05/18(Sun) 13:32:29 |
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