ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 五肢択一 / りく

問題
b/a＝d/c＝3 　　　　a＋2c＞0
が成り立つように変数a,b,c,dがそれぞれある実数値をとるとき、
b＋2d/a＋2cのとる値に関する記述として最も妥当なのはどれ？

答え
b＋2d/a＋2cは常に3となる
（間違いの4肢は省略）

解法がわかりませんでした＞＜
アドバイスください

No.10337 - 2010/05/19(Wed) 06:17:13

☆ Re: 五肢択一 / ヨッシー

ｂ＝３ａ，ｄ＝３ｃと置けるので、
(b+2d)/(a+2c)＝(3a+6c)/(a+2c)＝３

No.10339 - 2010/05/19(Wed) 08:06:53

☆ Re: 五肢択一 / りく

返信ありがとうございます。
まだわからないところがあります。

(3a+6c)/(a+2c)＝9/3＝３だと思われますが
aとcはどうゆう計算方法で約分したのですか？
初歩的な質問ですみません。

No.10340 - 2010/05/19(Wed) 08:43:07

☆ Re: 五肢択一 / らすかる

＞(3a+6c)/(a+2c)＝9/3＝３だと思われますが
違います。
変数の値は与えられていませんので、3a+6c=9のようにはできません。
(3a+6c)/(a+2c)=3(a+2c)/(a+2c) であり、分子分母をa+2cで割ると3になります。

No.10342 - 2010/05/19(Wed) 14:14:31

☆ Re: 五肢択一 / りく

らすかるさん、わかりやすい説明ありがとうございました。
簡単なことなんですが思いつきませんでした（´Д`）

No.10343 - 2010/05/19(Wed) 14:36:00

★ 一次不等式 / スニフ

「xの不等式2ax-1≦4xの解がx≧-5の範囲を含むようなaの値を求めよ。」という問題なのですが、
aの値の場合によって分けて考えていくのですが、
a=2の時　左辺が0で、0≦1となり、これがxの値によらず成立する意味や、a<2、a>2の場合分けの時の考え方がわかりません。
宜しくお願いします。

No.10336 - 2010/05/19(Wed) 00:37:38

☆ Re: 一次不等式 / ヨッシー

a=2 とすると、
　4x-1≦4x
となります。このｘに、どんな数を代入しても、この不等式は
成り立ちます。（試しにいろんな数を入れてみてください)
よくみると、両辺に 4x があり、これを両辺から引くと
　-1≦0
となり、ｘに関係なく(ｘが消えてますからね)正しい不等式になります。

これがもし、　4x+1≦4x だと 1≦0 となり、
どんなｘについても成立しない不等式となります。

a≠2 のとき、
　2ax-1≦4x
移項して
　(2a-4)x≦1
ここで、両辺2a-4 で割るわけですが、2a-4 が正か負かによって、
不等号の向きが変わります。
2a-4＜0 つまり a＜2 のとき
　x≧1/(2a-4)
2a-4＞0 つまり a＞2 のとき
　x≦1/(2a-4)
このうち、x≧-5 が含まれるような解となるには、
　x≧1/(2a-4)
で、1/(2a-4) が -5以下の場合です。例えば、ｘ≧-6 は
x≧-5 をすべて含みます。

そこで、1/(2a-4)≦-5 を解くわけですが、a＜2 であるので、
両辺 2a-4(＜0)を掛けて、
　１≧-5(2a-4)
　１≧-10a＋20
　ａ≧1.9
以上、a=2 である場合も含めて、
　1.9≦a≦2
となります。

No.10338 - 2010/05/19(Wed) 06:25:35

☆ Re: 一次不等式 / スニフ

すごく解り易く説明してくださり、本当に有難うございます。
やっと理解できました。
本当に有難うございました。

No.10341 - 2010/05/19(Wed) 09:50:52

★ 図形について / 高校２年生

∠Aの二等分線と円Oの交点をDとする。
このとき、cos∠BDC、BDはいくつか。
また、三角形BCDの面積はいくつか。

お願いします。

No.10332 - 2010/05/18(Tue) 21:43:59

☆ Re: 図形について / ヨッシー

長さとか、半径とか、角度とか与えられていませんか？

No.10335 - 2010/05/18(Tue) 22:03:09

☆ Re: 図形について / 高校２年生

すみませんでした。
AB=２、AC=３、cosA＝1/4です。

No.10348 - 2010/05/20(Thu) 08:44:59

☆ Re: 図形について / X

途中まで。
四角形ABCDは円に内接しているので
cos∠BDC=cos(π-A)=-cosA=-1/4 (A)
又、線分ADは∠Aの２等分線ですので半角の公式により
(sin∠BAD)^2=(sin∠CAD)^2=(1-cosA)/2
=3/8
題意より0＜A＜π/2ですので
sin∠BAD＞0,sin∠CAD＞0
∴sin∠BAD=sin∠CAD=√(3/8) (B)
さて△ABCにおいて余弦定理により
BC^2=AB^2+AC^2-2AB・ACcosA
=10
∴BC=√10 (C)
よって△ABCの外接円の半径をRとすると正弦定理により
2R=BC/sinA=(√10)/√(1-(1/4)^2)=4√(2/3)
∴R=2√(2/3) (D)
(B)(D)から△ABD,△ACDにおいて正弦定理により
BD=… (E)
CD=… (F)
よって(D)(E)(F)からヘロンの公式により△BCDの面積は…。

No.10352 - 2010/05/20(Thu) 16:01:44

☆ Re: 図形について / 高校２年生

アドバイスありがとうございました。
数学?Tしかとってないので半角の公式やπというのはわかりませんでした。

No.10412 - 2010/05/25(Tue) 20:45:26

★ (No Subject) / おっ君

三角形ABCにおいてBC=4√3とし、辺BCを1：3に内分する点をｄとすると

AB:AC:AD＝3：5：2

線分ABの長さは（ベクトルを使って）

No.10325 - 2010/05/18(Tue) 01:59:08

☆ Re: / ヨッシー

この図形と相似な図形で、
ＡＢ＝３、ＡＣ＝５、ＡＤ＝２とします。
　ＡＤ＝(３ＡＢ＋ＡＣ)/４
より、両辺の２乗（同じベクトルどうしの内積）を取ると、
　|ＡＤ|²＝(９|ＡＢ|²＋６ＡＢ・ＡＣ＋|ＡＣ|²)/１６
∠ＢＡＣ＝θ　とし、|ＡＢ|＝３、|ＡＣ|＝５、|ＡＤ|＝２
を代入すると、
　４＝(９・９＋６・ＡＢ・ＡＣcosθ＋２５)/１６
　ＡＢ・ＡＣcosθ＝－７
余弦定理より、
　ＢＣ²＝ＡＢ²＋ＡＣ²－２ＡＢ・ＡＣcosθ
　　＝９＋２５＋１４＝４８
　ＢＣ＝４√3
となり、元の図形との相似比は、１：１
よって、ＡＢ＝３

No.10330 - 2010/05/18(Tue) 21:26:35

★ 数学A　高１ / 静

数学A 図形と組み合わせ

平面上に、どの３本も同一点で交わらない９本の直線がある。
９本中２本だけが平行であるとき、これら９本の直線によってできる交点の個数、および三角形の個数を求めよ。

解答「まず、平行である２本のうち、１本の直線Lを除いて考える。
他の８本はいずれも２本ずつで１つの交点をもち、どの３本も同じ点を通らないから交点の数は8Ｃ2個三角形の数は8C3個
【除いた直線Lを加えると、Lに平行でない７本の直線とで交点が7C1個増える。また、7本の直線のうちの２本とで7C2個の三角形が増える。】よって交点は35個三角形は77個」
とあるのですが
【除いた直線Lを加えると、Lに平行でない７本の直線とで交点が7C1個増える。また、7本の直線のうちの２本とで7C2個の三角形が増える。】から意味が理解できず混乱してしまいました。
誰か頭の硬い私に教えてください。
よろしくおねがいしますm（＞＜）m

No.10323 - 2010/05/18(Tue) 01:04:30

☆ Re: 数学A　高１ / ヨッシー

９本の直線を、
Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄ,Ｅ,Ｆ,Ｇ,Ｈ,Ｌとし、ＨとＬが平行とします。
Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄ,Ｅ,Ｆ,Ｇ,Ｈの８本の直線では、
　交点 8Ｃ2＝28(個)
　三角形　8Ｃ3＝56(個)
ここまでは良いですね？

ここに、Ｌが加わると、交点は、
ＡとＬ、ＢとＬ、ＣとＬ、ＤとＬ・・・ＧとＬ　の７個の交点が
新たに出来、ＨとＬとでは交点は出来ません。
三角形は、
ＡＢＬ，ＡＣＬ，ＡＤＬ・・・ＡＧＬ
ＢＣＬ，ＢＤＬ・・・ＢＧＬ
ＣＤＬ・・・ＣＧＬ
・・・
ＦＧＬ
が新たに出来ます。これらは、Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄ,Ｅ,Ｆ,Ｇの
７本から選んだ２本の直線とＬとで出来たもので、
その数は、7Ｃ2＝21(個) です。
Ｈが含まれたのでは、三角形は出来ません。

No.10331 - 2010/05/18(Tue) 21:42:15

★ 数学A　高１ / 静

数学A 防衛大

１×２×３×・・・・・×１５０の末尾に続く０の個数を求めよ。

解答には
「0の個数は、1×2×3・・・×150に含まれる因数10の因数であり、10は2×5と素因数分解される。
1、2、3、・・・、150に含まれる因数2の個数が因数5の個数より多いのは明らかであるから、因数5の個数を求めればよい。
1、2、3、・・・、150に含まれる5の倍数は 150=5・30から 30個
5^2（＝25）の倍数は 150=25・6から6個
5^3（＝125）の倍数は 150=125・1＋25から１個
ゆえに、1、2、3、・・・、150に含まれる因数5の個数は全部で30＋6＋1＝37個
よって、求める0の個数は 37個」

恥ずかしながら、問題の問うている意味がわかりません。
また、解答では因数（？）を利用していますが、
本当になぜこのような解答になるのかわかりません。
すみませんが誰か分かる方がいましたら教えていただけませんでしょうか^^;
よろしくお願いしますm（_ _）m

No.10322 - 2010/05/18(Tue) 00:55:08

☆ Re: 数学A　高１ / shinji

例えば
1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 = 3628800
の末尾の0の数は2です。
これが150の場合は末尾の0はいくつになるか？と聞いています。

ですから
「0の個数は、1×2×3・・・×150に含まれる因数10の因数であり、10は2×5と素因数分解される。
1、2、3、・・・、150に含まれる因数2の個数が因数5の個数より多いのは明らかであるから、因数 5の個数を求めればよい。」
となります。

No.10324 - 2010/05/18(Tue) 01:27:33

☆ Re: 数学A　高１ / 静

疑問 25の倍数には5×5と5が２個含まれ、125の倍数には5×5×5と5が３個含まれる。
ですがなぜ25の倍数と125の倍数と個別に考えなくてはいけないのでしょうか？
最初の5の倍数の中には25の倍数も125の倍数も含まれていますよね？
よくわかりません；

No.10326 - 2010/05/18(Tue) 02:21:23

☆ Re: 数学A　高１ / shinji

5の倍数を数えただけでは5^2の倍数、5^3の倍数に含まれる5の因数の数を数えられないからです。

No.10327 - 2010/05/18(Tue) 10:21:28

☆ Re: 数学A　高１ / shinji

25の倍数を数えるときは
(25の倍数の数)×(因数5の数の2)
という発想があると思いますが、2つの因数のうち、1つは5の倍数で数えているので、1回数えるだけでOKです。

同様に125の倍数を数えるときは
(25の倍数の数)×(因数5の数の3)
となりますが、5の倍数および25の倍数を数えるときに3つのうち2つ数えているので、1回数えればよいとなります。

No.10333 - 2010/05/18(Tue) 21:55:49

☆ Re: 数学A　高１ / ヨッシー

1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12×13×14×15×16
には、２が何回掛けられているでしょう？
という問題を考えます。

図は、２が掛けられている部分だけ抜き出したものです。
２の倍数は８個　・・・これで、赤の２が数えられます
４の倍数は４個　・・・これで、青の２が数えられます
８の倍数は２個　・・・これで、緑の２が数えられます
16の倍数は１個　・・・これで、紫の２が数えられます
合計で、２は１５個掛けられています。

５についても同様です。

最初に２５，１２５なども含め、５の倍数を数え、
それに加え、２５の倍数を数え、次に、125の倍数を数えます。
それぞれ、１回ずつ数え、２５だからと言って、一度に
２回足すわけではなく、５の倍数のときに１回、２５の倍数の
ときに１回、合計２回数えられます。

↓この図は、上の図と同じです。

No.10334 - 2010/05/18(Tue) 21:57:14

★ 因数分解　高一 / Ｌ

?@x^3-3x^2-6x+8
?A(x-4)(x-2)(x+1)(x+3)-24
?Bx^6-4
?Ca(a^2+b^2)-c(b^2+c^2)

いろいろとまとめたりしたのですが
どのように解くのかわかりません。

お願いします。

No.10306 - 2010/05/16(Sun) 00:08:00

☆ Re: 因数分解　高一 / ヨッシー

(1) x=-2 を代入すると０になるので (x+2) で割り切れます。
(2) x=1 を代入すると０になるので、(x-1) で割り切れます。
また、x=0 を代入すると０になるので、x でも割り切れます。
　(与式)＝x^4-2x^3-13x^2+14x
　　＝x(x-1)(x^2-x-14)
　有理数ならここまでです。
(3)x^6＝(x^3)^2 なので、
　(与式)＝(x^3-2)(x^3+2)
　有理数ならここまでです。
(4)
　(与式)＝a^3+ab^2-b^2c-c^3
　　＝(a^3-c^3)＋(ab^2-b^2c)
　　＝(a-c)(a^2+ac+c^2)＋(a-c)b^2
　　＝(a-c)(a^2+ac+c^2+b^2)

No.10307 - 2010/05/16(Sun) 01:19:01

☆ Re: 因数分解　高一 / Ｌ

ごめんなさい。
タイプミスしてました。

?Bx^6-64 でした。

それともうひとつ。
abx^2-(b^2-a^2)x-ab=(ax-b)(bx+a)
あまり自信がないのですが
答え合っていますか？
文字が入っている式のたすきがけは
どうも苦手で…

もう一度、お願いします(><)

No.10309 - 2010/05/16(Sun) 09:32:04

☆ Re: 因数分解　高一 / ヨッシー

(3)
(x^3-8)(x^3+8) までは同じ考え方で、そのあと、
x~3-y^3 あるいは x^3+y^3 の因数分解の公式を使います。

因数分解が合っているかどうかは、展開して元の式になるかどうかで
わかります。
ちなみに、それで合っています。

No.10312 - 2010/05/16(Sun) 13:03:14

☆ Re: 因数分解　高一 / Ｌ

わかりやすい説明
ありがとうございました(^^)!

No.10314 - 2010/05/16(Sun) 13:56:38

★ 高1、三角関数の性質 / u-a

　今私は高3で、三角関数の極限を学校で習っているのですが、この画像の性質をつかった変形などがあります。
　しかしこの画像の性質が頭の中でピン！と、来ないのです。
　なにか判りやすく理解できる方法などはないでしょうか。

No.10305 - 2010/05/15(Sat) 23:06:57

☆ Re: 高1、三角関数の性質 / ヨッシー

図は、θとθ＋π の関係の図ですが、このように単位円で、
それぞれのsin, cos の関係を理解するのが良いでしょう、
tanθ の値は、sinθ/cosθ で求めます。

No.10308 - 2010/05/16(Sun) 01:25:48

☆ Re: 高1、三角関数の性質 / u-a

　単位円で考えたのですが、下の二つだけがなぜか自分の考えにあいません。
　sin(θ+π/2)=cosθ
　cos(θ+π/2)=-sinθ
この二つを説明してくれませんか。お願いします。

No.10316 - 2010/05/16(Sun) 16:58:21

☆ Re: 高1、三角関数の性質 / ヨッシー

こんな感じです。

sin(θ＋π/2) が表すｙ座標と、cosθが表すｘ座標は同じです。
cos(θ＋π/2) が表すｘ座標と、sinθが表すｙ座標は符号が逆で、絶対値が同じです。

θが他の象限にある場合も同じです。

No.10317 - 2010/05/16(Sun) 18:44:12

☆ Re: 高1、三角関数の性質 / u-a

よくわかりました。
貴重な時間をこんな自分のためにありがとうございます。

No.10319 - 2010/05/16(Sun) 19:31:57

★ 数?U　微分です / ハオ

(a,b)からy=x^3+xに接線が3本引ける時a,bの取る値の範囲を図示せよ。
という問題です。

接線の方程式を立てて、その接線が(a,b）を通るので方程式に代入後tの3次関数が得られるので３解を持つ事を示したのですがどうも途中が上手くいきません。
僕の解答ですとg(a)=-a^3+a-bとb=aで囲まれる部分が図示する範囲になります。合っていますか？

No.10302 - 2010/05/15(Sat) 20:47:03

☆ Re: 数?U　微分です / rtz

この類の問題は
「3次関数の変曲点における接線と、元の3次関数に挟まれる部分 (境界除く)」
が答えですので、
b＝aの方は正しいと思いますが、g(a)はちょっと変ですね。
どこかで正負が間違ったりしていませんか。

No.10303 - 2010/05/15(Sat) 21:57:39

☆ Re: 数?U　微分です / ハオ

お早い回答有難う御座います。
符号ミスがありました。正確にはg(x)=-a^3-a+bでした。
又g(x)と置く事も不適でした。
-a^3-a+b=0の正領域、負領域を考えるので図示する範囲は
b=a^3+aとb=aに囲まれる部分となり
rtzさんの言われた答えと一致しました。
有難う御座います

No.10304 - 2010/05/15(Sat) 22:07:52

★ 図形の問題 / 高校２年生

△ABCにおいて、AB=7、BC=9、CA=8とする。
（１）△ABCの面積は12√5となる。
（２）辺AB上に点P,辺AC上にQを,△APQの面積が△ABCの面積の1/2となるよ　　　うにする。
　　　AP=ｘ、AQ=ｙ、PQ＝ｌとすると、
　　　　ｘｙとｌの二乗はいくつか。

よろしくお願いします。

No.10298 - 2010/05/15(Sat) 12:39:12

☆ Re: 図形の問題 / 七

△ABC＝(1/2)・7・8・sinA＝28sinA
△APQ＝(1/2)xysinA
ですから
(1/2)xysinA＝14sinA より
xy＝28

l²＝x²＋y²－2xycosA
ですから相加・相乗平均を用いてl²の最小値なら求められます。

No.10300 - 2010/05/15(Sat) 15:55:22

☆ Re: 図形の問題 / 高校２年生

アドバイスありがとうございます。
相加相乗平均って何ですか？

No.10328 - 2010/05/18(Tue) 21:02:39

☆ Re: 図形の問題 / 高校２年生

問題の続きをお願いします。
今求めたもので、ｘ、ｙが変化するとき、ｌの値がもっとも小さくなる場合を調べる。
まず（ｘ－ｙ）2＞＝０だからx2＋y2＞＝（あ）ｘｙ＝（い）
となり、l2＞＝（う）である。
ここでl2＝40となるのはｘ－ｙ＝（え）のときであるから、
ｘ＝ｙ＝（お）

よろしくお願いします。

No.10329 - 2010/05/18(Tue) 21:17:09

★ 絶対値　数?T / Ｌ

｜x^2-x-6｜=4x^2

i) x≦-2,x≧3…?@
　 x^2-x-6=4x^2 より
　 3x^2+x+6=0
これを満たす実数xは存在しない。

ii) -2<x<3…?A
　　-x^2+x+6=4x^2 より
　　5x^2-x-6=0
これを解いて
　　x=-1,6/5
ともに?Aを満たす

i),ii)より解は x=-1,6/5

という問題なのですが
i)の『これを満たす実数xは存在しない』
の意味がよくわかりません。

解の公式を使えば
xの値はでてくるのですが…

よろしくお願いします!!

No.10295 - 2010/05/15(Sat) 01:57:29

☆ Re: 絶対値　数?T / shinji

解の公式を使ってでたｘの値は実数ですか？
複素数ですよね。

No.10296 - 2010/05/15(Sat) 02:17:01

☆ Re: 絶対値　数?T / Ｌ

√71iという数字が出てきました。
これは虚数ですね(^^;)
気がつきませんでした。

もしこれが√71で
虚数単位iがついていなかったら
xは存在するということに
なるのですか？

何度もすみません…

No.10297 - 2010/05/15(Sat) 11:57:00

☆ Re: 絶対値　数?T / 七

求めたxの値が
x≦-2,またはx≧3を満たせばそうなりますね。

No.10299 - 2010/05/15(Sat) 15:12:27

☆ Re: 絶対値　数?T / Ｌ

x≦-2,またはx≧3を満たすことも
条件でしたね。
範囲があったこと忘れてました…

よくわかりました!!
ありがとうございます＼(^^)／

No.10301 - 2010/05/15(Sat) 19:30:30

★ (No Subject) / もっち

連投で申し訳ありません。

α＞β＞0であり
数列｛a[n]｝が a[1]=(α/β)-1、a[n+1]+1=(α/β)*(a[n]+1) (n=1,2,3･･･) で定義される。

(1)a[n]をnを用いて表せ。また、lim_[n→∞]a[n]を求めよ。←これは出来ました。
　解 a[n]={(α/β)~n}-1、lim_[n→∞]a[n]=∞

(2)b[n]=(β~n)*a[n] とする。

　(?T)n→∞のときに数列{b[n]}が収束するようなα、βの条件は？
ｎ→∞でａ［ｎ］→∞だからｂ［ｎ］が収束するには０＜β＜１が必要で
ｂ［ｎ］＝α^ｎ－β^ｎだから収束するには０＜α＜１で十分
すなわち０＜β＜α＜１

自信がないのですがこれであっているでしょうか？

　(?U)Σ_[n=1,∞]a(n)=1 が成り立つようなα、βの条件は？
これはさっぱりなんです･･･

こちらもテスト前なので大筋でもいいので急ぎで教えていただけると助かります。
よろしくお願いいたします。

No.10285 - 2010/05/13(Thu) 01:03:04

☆ Re: / もっち

(?U)Σ_[n=1,∞]a(n)=1 が成り立つようなα、βの条件は？
これはタイプミスで、正しくはb[n]の和でした。
よろしくお願いいたします。

No.10286 - 2010/05/13(Thu) 07:16:45

☆ Re: / X

(2)
(I)
それで問題ないありません。
(II)
まずは問題の無限級数の部分和を計算しましょう。
Σ_[k=1,n]b[k]=Σ_[k=1,n]α^k-Σ_[k=1,n]β^k
=…
(等比数列の和の公式を使うと…。)

No.10287 - 2010/05/13(Thu) 10:59:57

☆ Re: / rtz

模試の問題ではないのですか。

No.10290 - 2010/05/13(Thu) 19:55:32

★ (No Subject) / もっち

x,y平面上に原点中心で半径3の円Cと直線L：y=2x+6 がある。A(-3,0)とする。

(1)CとLのA以外の交点をBとする。
　　半径が3√2でA、Bを通る円Dの中心の座標を求めよ。
　　ただし円Dの中心は直線Lに関して原点と反対側にある。

(2)円D上に点Pをとる。
　三角形ABPの面積が54/5になるような点Pの座標

　　(1)から撃沈･･･
　　2円の交点と他の一点を通る円ならわかるのですが、2点と半径が与えられているこの問題がわかりません。
　　(2)もあわせてご教授願います。
テストがもうすぐなので早く解答解説をいただけると助かります。
よろしくお願いいたします。

No.10284 - 2010/05/13(Thu) 00:58:25

☆ Re: / X

(1)
題意からCの方程式は
x^2+y^2=9 (A)
これとLの方程式を連立して解いて点Bの座標を
まず求めます。
次に求める円Dの中心の座標を(u,v)とでも置き、
点A,Bとの間の距離が3√2となることから
u,vについての連立方程式を立てます。

(別解)
>>2円の交点と他の一点を通る円
の方程式を使う方針と同類の方針を使いたいのであれば
次の方針があります。
(但し、この問題では(2)でBの座標が必要になりますので
この方針で解くことはお勧めしません。)

題意からCの方程式は
x^2+y^2=9 (A)
∴(A)とLの交点を通る円Dの方程式は
x^2+y^2-9+k(2x-y+6)=0 (B)
と置くことができます(必要条件)。
(B)より
(x+k)^2+(y-k/2)^2=(5/4)k^2-6k+9 (B)'
(B)'の半径が3√2ですので
(5/4)k^2-6k+9=(3√2)^2
これより
(5/4)k^2-6k-9=0
5k^2-24k-36=0
(5k-6)(k+6)=0
ここで円Dの中心はLに関して原点と反対側にありますので
(B)'の中心のx座標に注目すると、少なくとも
k<0
∴k=-6
よって(B)'より求める中心の座標は
D(-6,3)

(2)
P(x,y)と置くと、まず点Pは円D上にあるので(1)の結果により
(x+6)^2+(y-3)^2=18 (C)
次に△ABPにおいて辺ABを底辺と見たときの高さをhとすると
点と直線との間の距離の公式により
h=… (D)
又(1)の過程によりBの座標は求められていますので
AB=… (E)
更に△ABPの面積は54/5ですので
(1/2)AB・h=54/5 (F)
(D)(E)(F)よりx,yについての方程式ができますので
これと(C)とを連立して解き、(x,y)を求めます。

No.10288 - 2010/05/13(Thu) 11:30:41

☆ Re: / X

もっちさん、まだ見ていますか？。
ごめんなさい。(2)ですが方針だけ示して解答が存在するか
チェックしていませんでした。

(2)ですが問題文は正しいでしょうか？
題意の条件の場合、三角形ABPの面積は54/5にはなりえません。
∵)
円Dから直線Lに落とした垂線の長さをlとすると
点と直線の間の距離の公式により
l=|2・(-6)-3+6|/√(2^2+1^2)=9/√5
一方(1)の過程によりB(-9/5,12/5)
∴AB=(6/5)√5
∴円Dの半径をr、△ABPの面積の最大値をSとすると
S=(1/2)AB(r+l)=(1/2){(6/5)√5}(3√2+9/√5)
=54/10+(6/10)√10
∴S-54/5=-54/10+(6/10)√10＜0
ですので
S＜54/5
となり、円D上でどのように点Pを取っても△ABPの面積は
54/5とはなりえません。

No.10292 - 2010/05/14(Fri) 17:41:48

★ (No Subject) / 御手洗

△ＡＢＣの内角をＡＢＣとするとき，以下を説明せよ。
?@sinＡ＋sinＢ＋sinＣ＝４cos(Ａ/２)cos(Ｂ/２)cos(Ｃ/２)
?Asin(２Ａ)＋sin（２Ｂ)＋sin(２Ｃ)＝４sinＡsinＢsinＣ
?BtanＡ＋tanＢ＋tanＣ＝tanＡtanＢtanＣ

できれば詳しく教えてください。

No.10281 - 2010/05/12(Wed) 22:10:38

☆ Re: / ヨッシー

いずれも、Ｃ＝π－(Ａ＋Ｂ)を使います。
(1)
　(左辺)＝sinＡ＋sinＢ＋sin(Ａ＋Ｂ)
　　＝sinＡ＋sinＢ＋sinＡcosＢ＋sinＢcosＡ
Ａ＝２α，Ｂ＝２β とおくと、
　(左辺)＝2sinαcosα(１＋cos2β)＋2sinβcosβ(１＋cos2α)
１＋cos2α＝2cos²α　より
　(左辺)＝4sinαcosαcos²β＋4sinβcosβcos²α
　＝4cosαcosβ(sinαcosβ＋sinβcosα)　・・・(a)
(右辺)を変形して、(a) に持って行けばいいでしょう。

(2)
(左辺)＝sin２Ａ＋sin２Ｂ－sin(２Ａ＋２Ｂ)
　＝sin２Ａ＋sin２Ｂ－sin２Ａcos２Ｂ－sin２Ｂcos２Ａ
　＝sin２Ａ(１－cos２Ｂ)＋sin２Ｂ(１－cos２Ａ)
　＝4sinＡcosＡsin²Ｂ＋4sinＢcosＢsin²Ａ
　＝4sinＡsinＢ(sinＢcosＡ＋cosＢsinＡ)
　＝4sinＡsinＢsin(Ａ＋Ｂ)
　＝4sinＡsinＢsinＣ

(3)
tanＣ＝tan(π－Ａ－Ｂ)＝－tan(Ａ＋Ｂ)＝(tanＡ＋tanＢ)/(tanＡtanＢ－１)　より
(左辺)＝(tanＡ＋tanＢ){１＋１/(tanＡtanＢ－１)}
　＝(tanＡ＋tanＢ){tanＡtanＢ/(tanＡtanＢ－１)}
　＝tanＡtanＢtanＣ

No.10282 - 2010/05/12(Wed) 22:50:19

☆ Re: / 御手洗景子

ありがとうございます。
変形で分からないところがあるので教えてください。
（１）Ａ＝２α，Ｂ＝２β とおくのはなぜですか？
（２）(左辺)＝sin２Ａ＋sin２Ｂ－sin(２Ａ＋２Ｂ)
のところで，なぜ，－sin(２Ａ＋２Ｂ)になるのでしょうか？
（３）もtanＣ＝tan(π－Ａ－Ｂ)のところが分からないので解説してもらえないでしょうか？

No.10289 - 2010/05/13(Thu) 16:32:47

☆ Re: / ヨッシー

>（１）Ａ＝２α，Ｂ＝２β とおくのはなぜですか？
A/2 とか B/2 と書くのが面倒だからです。
他の意図はありません。

(2)も(3) もＣ＝π－(Ａ＋Ｂ) を使います。

(2)
sin(２Ｃ)＝sin(2π－2A－2B)＝sin(－2A－2B)＝－sin(2A+2B)
それぞれ、
　sin(2π＋θ)＝sinθ
　sin(-θ)＝－sinθ
を使っています。

(3)
tanＣ＝tan(π－Ａ－Ｂ)
は、Ｃ＝π－(Ａ＋Ｂ) を代入しただけです。

No.10291 - 2010/05/13(Thu) 20:33:13