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★ オイラーの公式で質問です / おいらは
オイラーの公式の証明で

f(x)=cos(x)+i*sin(x)
両辺微分して
f'(x)=-sin(x)+i*cos(x)
=i{cos(x)+i*sin(x)}
=i*f(x)
これより
f'(x)/f(x)=i
両辺積分すると
log{f(x)}=i*x+C (Cは積分定数)

(＊)x=0,y=1,C=0

から
f(x)=e^(i*x)
e^(i*x)=cos(x)+i*sin(x)

と学んだのを覚えてます。

しかし、(＊)のところが何をもって【常にC=0】に結びついているのか、が分かりません。

誰かお分かりになる方いらっしゃいましたら、是非ご回答をよろしくお願いします。
No.10276 - 2010/05/12(Wed) 04:15:11
☆ Re: オイラーの公式で質問です / ヨッシー
x=0 のときに、
y=f(x)＝1 であるので、
log{f(x)}＝iｘ＋Ｃ　に代入して、
log(1)＝0＋Ｃ より　Ｃ＝０　です。
No.10277 - 2010/05/12(Wed) 05:11:34
☆ Re: オイラーの公式で質問です / おいらは
なるほど与式に戻っていたわけですね。
ありがとうございました。
No.10279 - 2010/05/12(Wed) 16:52:23
★ 関数 / なつ
追加でお願いいたします。
次の関数と直線y=xに関して対称になる関数を述べよ。
1)y=5x+2　
2)(x-1)^2+(y-3)^2=4
どのように解けばいいのでしょうか。
No.10273 - 2010/05/11(Tue) 22:57:39
☆ Re: 関数 / ヨッシー
結果からいうと、
y=5x+2 → x=5y+2
(x-1)^2+(y-3)^2=4　→　(y-1)^2+(x-3)^2=4
です。
No.10283 - 2010/05/12(Wed) 22:52:10
☆ Re: 関数 / なつ
xとyを入れ替えるのですか。入れ替えると、なぜ直線y=xに関して対称になる関数になるのでしょうか。
No.10293 - 2010/05/14(Fri) 20:42:35
☆ Re: 関数 / ヨッシー
(2,3) と (3,2)
(12,29) と (29,12)
(-31,9) と (9,-31)
などの、位置関係をグラフで調べてみましょう。
No.10294 - 2010/05/14(Fri) 23:10:23
☆ Re: 関数 / なつ
なるほど。わかりました。
ありがとうございます。
No.10311 - 2010/05/16(Sun) 12:48:09
★ 関数 / なつ
f(x)=√(2x-x^2)
f(x)=x+log[2](x-3)
f(x)=x√(a^2-x^2)
f(x)=1/(x+1)-1/(x-1)
考えてみたのですがわからなかったので、これら4つのグラフを図示していただけませんか。
お願いします。
No.10272 - 2010/05/11(Tue) 22:15:01
★ 図形の問題 / 高校２年生
３辺の長さがそれぞれAB=12、BC=6、CA＝12
であるような三角形ABCを考える。
辺BCの延長上に∠BAC=∠CADとなるような点Dをとると
AD、CDの長さはいくつか。

よろしくお願い申し上げます。
No.10269 - 2010/05/11(Tue) 21:51:51
☆ Re: 図形の問題 / shinji
CD=xとおいて△AHDに三平方の定理を適用しましょう。
No.10274 - 2010/05/11(Tue) 23:19:13
☆ Re: 図形の問題 / ヨッシー

図のように、△ＡＢＣと合同な△ＡＣＥと、
相似比 1/2 の△ＣＥＦを作ります。
△ＡＣＤと△ＥＦＤは、４：１ の相似であり、
ＦＤ＝２、ＤＥ＝４　が得られます。
No.10275 - 2010/05/11(Tue) 23:29:58
☆ Re: 図形の問題 / 高校２年生
わかりやすい解説、ありがとうございました。
No.10280 - 2010/05/12(Wed) 20:39:27
★ 大学入試の過去問題について / 高校２年生
aは6-2√2 を越えない最大の整数とし、b=6-2√2-a とする。
このとき、aはいくつか。

この「aは6-2√2 を越えない最大の整数とし」の意味がつかめません。
ぜひ解説をお願いします。
No.10266 - 2010/05/11(Tue) 20:45:51
☆ Re: 大学入試の過去問題について / ヨッシー
たとえば、2.4 を超えない最大の整数を考えます。
１は、2.4 を超えていません。
２も、2.4 を超えていません。
３は、2.4 を超えています。

2.4 を超えないということでは、１でも２でも良いのですが、
最大ということでは、２です。
３は2.4 を超えているので、ダメです。

では、6-2√2 に、近そうな整数は、何でしょうか？
No.10267 - 2010/05/11(Tue) 21:29:13
☆ Re: 大学入試の過去問題について / 高校２年生
ものすごくよくわかりました。
ありがとうございました。
No.10268 - 2010/05/11(Tue) 21:44:46
★ 高２　数学 / マコトちゃん
区間-2≦x≦2で2つの関数
f（x）＝（x-1）^2 、g（x）＝-2x^2-4x＋aを考える。次のaの値の範囲を求めよ。
（１）すべてのxでf（x）＞g（x）となるaの値の範囲
（２）少なくとも1つのxでf（x）＞g（x）となるaの値の範囲
（３）すべてのx1、x2の組についてf（x1）＞g（x2）となるaの値の範囲
（４）少なくとも1組のx1、x2についてf（x1）＞g（x2）となるaの値の範囲

まず「すべて」と「少なくとも１つ」と「ある」の違いが判りません。

また、（２）以降グラフのイメージがうまくつかめないです＾＾：
解答では最小値＞0あるいは最小値＜0 最大値>0あるいは最大値＜0 を利用して答えを求めていました。

また似たような問題で
2つの関数f（x）＝x^2＋2ax＋5、g（x）＝-x^2＋（a-1）x-5について、次の条件を満たすように、定数aの値の範囲を定めよ。
（１）任意の実数xに対してf（x）＞g（x）が成り立つ。
（２）任意の実数x1、x2に対してf（x1）＞g（x2）が成り立つ。
という問題があるのですが、
（１）は
「2x^2＋（a＋1）x＋10>0が常に成り立つための条件は、x^2の係数が正であるから
D＝a^2＋2a-79<0
よって-1-4√5<a<-1＋4√5」とあるのですが
最初に書いた問題と解き方が全く違いました。
理解できていないので問題の区別すらつかない状態です。
ちなみに（２）はf（x）の最小値＞g（x）の最大値を利用していましたがよくわかりませんでした。

かなり問題が多いですが前者と後者の問題の解説をよろしくお願いします。
ちなみに私は文系で高校では数学の授業もなく完全独学状態なので数学?Tの範囲（この問題の範囲）内で
よろしくお願い致しますm（_ _）m
No.10256 - 2010/05/09(Sun) 20:26:43
★ (No Subject) / マコトちゃん
区間-2≦x≦2で2つの関数
f（x）＝（x-1）^2 、g（x）＝-2x^2-4x＋aを考える。次のaの値の範囲を求めよ。
（１）すべてのxでf（x）＞g（x）となるaの値の範囲
（２）少なくとも1つのxでf（x）＞g（x）となるaの値の範囲
（３）すべてのx1、x2の組についてf（x1）＞g（x2）となるaの値の範囲
（４）少なくとも1組のx1、x2についてf（x1）＞g（x2）となるaの値の範囲

まず「すべて」と「少なくとも１つ」と「ある」の違いが判りません。

また、（２）以降グラフのイメージがうまくつかめないです＾＾：
解答では最小値＞0あるいは最小値＜0 最大値>0あるいは最大値＜0 を利用して答えを求めていました。

また似たような問題で
2つの関数f（x）＝x^2＋2ax＋5、g（x）＝-x^2＋（a-1）x-5について、次の条件を満たすように、定数aの値の範囲を定めよ。
（１）任意の実数xに対してf（x）＞g（x）が成り立つ。
（２）任意の実数x1、x2に対してf（x1）＞g（x2）が成り立つ。
という問題があるのですが、
（１）は
「2x^2＋（a＋1）x＋10>0が常に成り立つための条件は、x^2の係数が正であるから
D＝a^2＋2a-79<0
よって-1-4√5<a<-1＋4√5」とあるのですが
最初に書いた問題と解き方が全く違いました。
理解できていないので問題の区別すらつかない状態です。
ちなみに（２）はf（x）の最小値＞g（x）の最大値を利用していましたがよくわかりませんでした。

かなり問題が多いですが前者と後者の問題の解説をよろしくお願いします。
ちなみに私は文系で高校では数学の授業もなく完全独学状態なので数学?Tの範囲（この問題の範囲）内で
よろしくお願い致しますm（_ _）m
No.10255 - 2010/05/09(Sun) 20:26:00
☆ Re: / shinji
まずは日本語の問題でしょう。
模式的に表しますが、左から順に(1)(2)(3)(4)です。
赤い矢印はf(x)とg(x)の大小関係を表しています。


(1)-2≦x≦2の区間の「すべて」でf(x)がg(x)よりも上に位置すればよいのです。
あるxにおいてf(x)とg(x)のxは同じですので、赤い矢印は垂直に上向きに成っています。

(2)-2≦x≦2の区間の「一部」でf(x)がg(x)よりも上に位置すればよいのです。
あるxにおいてf(x)とg(x)のxは同じですので、赤い矢印は垂直に上向きに成っています。

(3)-2≦x≦2の区間の「最小のf(x)」が「最大のg(x)」よりも上に位置すればよいのです。
どういう事かというとf(x)のどの値を取ってきてもg(x)より大きい条件はなにか？
ということを聞いているのです。
したがって(1)とは違ってx1とx2は違う値なので赤い矢印は鉛直上向きには伸びません。

(4)-2≦x≦2の区間の一部のf(x)が一部のg(x)よりも上に位置すればよいのです。



二つ目の問題は
(1)頂点のy座標すなわち最小値が0より大きいという条件を実数解を持たない条件（D<0）と言い換えています。
(2)一つ目の問題の(3)と同じです。
No.10258 - 2010/05/10(Mon) 01:01:50
☆ Re: / マコトちゃん
> 区間-2≦x≦2で2つの関数
> f（x）＝（x-1）^2 、g（x）＝-2x^2-4x＋aを考える。次のaの値の範囲を求めよ。
> （１）すべてのxでf（x）＞g（x）となるaの値の範囲
> （２）少なくとも1つのxでf（x）＞g（x）となるaの値の範囲
> （３）すべてのx1、x2の組についてf（x1）＞g（x2）となるaの値の範囲
> （４）少なくとも1組のx1、x2についてf（x1）＞g（x2）となるaの値の範囲
>
> まず「すべて」と「少なくとも１つ」と「ある」の違いが判りません。
>
> また、（２）以降グラフのイメージがうまくつかめないです＾＾：
> 解答では最小値＞0あるいは最小値＜0 最大値>0あるいは最大値＜0 を利用して答えを求めていました。
>
> また似たような問題で
> 2つの関数f（x）＝x^2＋2ax＋5、g（x）＝-x^2＋（a-1）x-5について、次の条件を満たすように、定数aの値の範囲を定めよ。
> （１）任意の実数xに対してf（x）＞g（x）が成り立つ。
> （２）任意の実数x1、x2に対してf（x1）＞g（x2）が成り立つ。
> という問題があるのですが、
> （１）は
> 「2x^2＋（a＋1）x＋10>0が常に成り立つための条件は、x^2の係数が正であるから
> D＝a^2＋2a-79<0
> よって-1-4√5> 最初に書いた問題と解き方が全く違いました。
> 理解できていないので問題の区別すらつかない状態です。
> ちなみに（２）はf（x）の最小値＞g（x）の最大値を利用していましたがよくわかりませんでした。
>
> かなり問題が多いですが前者と後者の問題の解説をよろしくお願いします。
> ちなみに私は文系で高校では数学の授業もなく完全独学状態なので数学?Tの範囲（この問題の範囲）内で
> よろしくお願い致しますm（_ _）m

分かりやすい解説ありがとうございました！（図までつけてくださって＞＜

最後にこれだ答えてほしいんですが、
二つ目の問題の（１）は１つめの問題の解き方でも解けますか？
よろしくおねがいします＞＜
No.10259 - 2010/05/10(Mon) 01:21:20
☆ Re: / shinji
「一つ目の問題の解き方」ははっきり説明されていないのでよくわかりませんが
一つ目の問題はxの範囲が指定されているので頂点のx座標の位置との関係を気にしないといけません。

しかしながら二つ目の問題は範囲が指定されていないので
(1)f(x) - g(x)＞0より平方完成して頂点のy座標＞0
または
(2)f(x) - g(x)＞0よりf(x) - g(x) = 0は実数解を持たないからD＜0
のどちらかの解法が選べると思います。
No.10260 - 2010/05/10(Mon) 02:32:09
☆ Re: 高校数学 / マコトちゃん
一つ目の問題の解答で
（１）はh（x）＝f(x) - g(x)＞0とし、
h（x）＞0という条件を満たすためには、
最小値>0

（２）はh（x）＝f(x) - g(x)＞0とし、
h（x）>0という条件を満たすためには
最大値>0
とあるのですが、（１）は要するに下に凸のh（x）のグラフが
０よりも常に上にあることを示すために
最小値が0より大きければ条件を満たすということですか？

（２）はなぜ【最大値>0】であれば条件を満たすのでしょうか？

色々と長くなってしまって申し訳ありません。
あと少しで理解できそうです・・・＞＜
No.10262 - 2010/05/10(Mon) 07:36:24
☆ Re: / shinji
(1）は特に二次関数に絞らなくても大丈夫ですよ。
一般的な関数で言えます。

関数の一番小さい値が0より大きければ他の値は0より大きいですよね

(2) はh(x)の一部でも0より大きければ条件を満たしますよね。
その条件を満たすぎりぎりはh(x)の最大値が0より大きいということになります。
No.10270 - 2010/05/11(Tue) 21:52:27
★ 高1　数学?T / 慶
Kを正の定数とする。
連立不等式
|x+2|<3…1
|x-4|<k…2　　について

1、2をともに満たす実数xが
存在しないときのkの値の範囲を求めよ。
No.10250 - 2010/05/09(Sun) 16:44:34
☆ Re: 高1　数学?T / shinji
１と２の示す範囲を数直線上に図示してみましょう。
そして両者が被らないようにkを設定します。
No.10257 - 2010/05/10(Mon) 00:02:25
★ 高２　数学?T / マコトちゃん


【つねにf（x）≧k（kは定数）】
f（x） （p≦x≦q）がつねにf（x）≧kを満たすための条件は、f（x）が最小値をもつならば、
f（x）の最小値≧k・・・・・・（※）
と同値である。
（なお、つねにf（x）＞k⇔f（x）の最小値＞k）

そこで、f（x） （a≦x≦b）が単調な場合 つねにf（x）≧k⇔min｛f（a）、f（b）｝≧k
となる。min｛f（a）、f（b）｝≧kをとらえるとき、
f（a）とf（b）の大小で場合分けしたくなるところであるが、実は大小比較は不要で
⇔f（a）≧kかつf（b）≧k
とすればよい。なぜなら、もしもf（a）が最小値ならf（a）≧kが成り立つことが条件であるが、このとき
f（b）≧kも自動的に成り立つので、
f（a）≧k⇔f（a）≧kかつf（b）≧kであるからである。
なお、f（x）の値域がf（x）＞mの形の場合、f（x）は最小値をもたないが、mを最小値と思うと、【ほぼ】
（※）が適用できる。
つねにf（x）≧k⇔m≧k
つねにf（x）＞k⇔m≧k

何度読んでも理解できません。
ちなみに私は高２の文系です。
このこともふまえて誰か上手く解説できるかた、
解説してください。よろしくお願い致します。
No.10249 - 2010/05/09(Sun) 15:59:36
☆ Re: 高２　数学?T / rtz
どこが分からないのかもっと具体的かつ丁寧にに書いてみてください。

少なくとも、こちらで読む分には
特に文章として変なところもありませんし、
意味として通らないところもないと思います。
No.10252 - 2010/05/09(Sun) 18:32:07
☆ Re: 高２　数学?T / マコトちゃん
強いて言うなら
f（x） （a≦x≦b）が単調な場合 つねにf（x）≧k⇔min｛f（a）、f（b）｝≧k
となる。min｛f（a）、f（b）｝≧kをとらえるとき、
f（a）とf（b）の大小で場合分けしたくなるところであるが、実は大小比較は不要で
⇔f（a）≧kかつf（b）≧k
とすればよい。なぜなら、もしもf（a）が最小値ならf（a）≧kが成り立つことが条件であるが、このとき
【f（b）≧kも自動的に成り立つので、
f（a）≧k⇔f（a）≧kかつf（b）≧kであるからである。】
の部分ですね。
正直なにがわからないのかさえわからない状態です＾＾；
No.10254 - 2010/05/09(Sun) 20:25:41
☆ Re: 高２　数学?T / rtz
1. f(x)がa〜bの範囲でずっと増加するなら、
f(a)が最小で、f(x)はこの間ずっと増加し、f(b)が最大。

2. f(x)がa〜bの範囲でずっと減少するなら、
f(a)が最大で、f(x)はこの間ずっと減少し、f(b)が最小。

要は(※)の理屈から、
上ならf(a)≧kを、下ならf(b)≧kを満たせばよいわけだが、
上ならf(b)＞f(a) ≧kだし、下ならf(a)＞f(b) ≧kなわけで、
小さい方がk以上なら大きい方もk以上に決まってるから、
どちらか一方がk以上などと言わず、
どっちもk以上と言っても同じことになる。


…ということだが、いかがですか。
No.10261 - 2010/05/10(Mon) 04:38:07
★ 関数 / なつ
大学１年ですが、主に高校数学?Vの内容を質問したいと思っています。
1.次の関数に対して、合成関数g(f(x))とf(g(x))を求めよ。
問1)f(x)=1/(1-x),g(x)=x/(x-1)
g(f(x))=g(1/(1-x))
この後、どうすればいいのでしょうか。
問2)f(x)=3^x,g(x)=log[2](x)
g(f(x))のほうはできたのですが、f(g(x))ができません。
答えは、x^log[2](3)だとわかっているのですが、下の式
f(g(x))=3^log[2](x)からどうやって導くのですか。

2.y=2+√(1-x)の定義域と値域を求めよ。
自分なりの解答）
定義域は√の中≧0すなわちx≧1 (-∞,1]
値域は書けませんでしたので、解説をお願いします。

3.y=log[a](√(x-1))(a＞0,a≠1)の逆関数を求め、またその定義域と値域も述べよ。
逆関数y=(1+a^x)^2となったのですが、定義域と値域が求められません。答えは、定義域：(-∞,∞)，値域：(1,∞)です。
たくさん質問させていただきましたが、よろしくお願いします。
No.10247 - 2010/05/09(Sun) 15:23:03
☆ Re: 関数 / なつ
数学問題集「考える葦」数学質問掲示板でも、同じ質問をしています。
No.10248 - 2010/05/09(Sun) 15:28:33
★ 応用力学 / みなみ


物理関係の問題はマナー違反でしょうか？
でしたらすぐに削除させていただきます。すみません。


応用力学の問題の解答に

tan^(-1)45/60=36ﾟ52'

とあったのですが、ﾟや'、"を使って表記するにはどのようにしたらよいのでしょうか？
初歩的で申し訳ありません。
No.10242 - 2010/05/09(Sun) 00:27:16
☆ Re: 応用力学 / らすかる
度分秒は60進数ですから、度で計算された値は
整数部を度、
小数部の60倍の整数部を分、
小数部の60倍の小数部の60倍の整数部を秒
とすればいいですね。
arctan(45/60)≒36.8699°なので
度は整数部の36
分は0.8699×60=52.194の整数部の52
秒は0.194×60=11.64の整数部の11
で 36°52′11″となります。
No.10243 - 2010/05/09(Sun) 01:08:44
☆ Re: 応用力学 / みなみ

納得できました!
すごくわかりやすかったです!
ありがとうございました!
No.10245 - 2010/05/09(Sun) 12:08:06
★ 極値に関する質問です / あゆ
関数は実数全体で微分可能とする。
この時、
x=0の前後で導関数の符号が−から＋に変化
⇒F(x)はx=0で極小
は一般に正しいが、この逆は成り立たない。
x=0のみで最小値をとるような関数で
この逆を満たさない例をひとつ挙げよ。
この問題がわかりません。
解答よろしくお願いします。
No.10239 - 2010/05/08(Sat) 22:22:37
☆ Re: 極値に関する質問です / 我疑う故に存在する我
g (t) = t(1 + sin (1/t)), t ≠ 0,
　　　= 0, t = 0
と置くと連続函数になるので積分可能。
これを 0 から x 迄積分した函数を F (x) とすれば
逆の反例となる。
No.10244 - 2010/05/09(Sun) 09:10:30
☆ Re: 極値に関する質問です / あゆ
返信ありがとうございます。
これは、g(t)を0からxで積分した関数をF(x)とすると
F(x)はx=0を境に増加と減少が変わる、のはイメージできたのですが、
{F(x)}'=g(t)となって、x=0の前後でg(t)の符号が
変化しない、
この理由がよくわかりません。g(t)のt→＋0と
t→-0を調べればよいのでしょうか？
さらに質問で申し訳ないですが、解答をよろしくお願いします。
No.10246 - 2010/05/09(Sun) 14:01:14
☆ Re: 極値に関する質問です / 我疑う故に存在する我
g (t) は t = 0 の如何なる近傍でも値 0 を無限回取るので、
>符号が−から＋に変化
とはならない。
No.10251 - 2010/05/09(Sun) 17:56:36
★ センター試験に関して / ハオ
センター試験は試験時間が短いので余白に丁寧に記述している時間がありません。
二次の勉強との兼ね合いもあるので普段の2次対策も極力記述量を減らした方が良いのでしょうか？
例えば途中式の計算は暗算で行う等です。
マーク模試を受けても良い結果が得られません。途中の計算ミスでタイムロス、ベクトルの内積を計算する際に律儀に展開してからその後代入をしていたら時間が無くなりました。
ベクトルはわざわざ矢印を書く時間が惜しい様に思われます。
アドバイスを下さい。
No.10236 - 2010/05/08(Sat) 21:35:27
☆ Re: センター試験に関して / ヨッシー
原書房　渡部由輝著
数学コンプレックスを吹きとばせ！数学はやさしい
の１０８ページ「暗算は一段階だけにする」からの引用ですが、
「暗算は一段階だけにする」ことさえ心がければよい。それで(一)のタイプのミスの大部分は防げる。
たとえばこんなふうにだ。
例　次の方程式を解け
　４−３(ｘ−１)＝６ｘ＋１
これを、４−３ｘ＋３＝６ｘ＋１　と整理するのは一段階の暗算だ。かっこをはずすところしか暗算はしていない。
　それに対して、例題からいきなり
　−３ｘ−６ｘ＝１−４−３
とするのは二段階も三段階もの暗算だ。かっこをはずすところで一度暗算し、その暗算した答えを移項するところでもう一つ、暗算をしている。暗算が二重になっている。よほど計算力に自信がなかったら、それはしてはいけない。いや、自信があってもしない方がよい。たいして時間の節約にはならないからだ。
　(中略)
だから、生徒のノートを見れば、その子がどの程度計算ミスをしているかがわかる。ミスの多い子にかぎって、計算の途中を省略したがるのだ。

私も同感です。
同書に、目標---標準的な問題を考えなくても解けるようになることという
言葉があります。
手を動かして書いている時間よりも、手が止まって考え込んでいる時間の方が多くありませんか？
>センター試験は試験時間が短い
を見てそう思いました。
No.10240 - 2010/05/08(Sat) 22:50:23
☆ Re: センター試験に関して / ハオ
有難う御座います。最もな意見ではありますが自分では気づきにくい点でした。
No.10253 - 2010/05/09(Sun) 19:51:08
★ (No Subject) / ゆな
「正三角形の面積の」問題お願いします！
一辺１２センチです。
No.10231 - 2010/05/08(Sat) 17:26:23
☆ Re: / ヨッシー

こういうことですか？

学年によって、答え方も違いますが。
No.10234 - 2010/05/08(Sat) 19:09:57
★ 複素数 すうに / マコトちゃん
複素数の問題 おねがいします ２次方程式x^2-px＋2p=0の解は虚数で、解の３乗は実数であるとき、実数pの値を求めよ。

答え、２次方程式の解は虚数だから、D＜０より
p（p-8）＜0
0このとき１つの虚数解をωとすると
ω^2-pω＋2p=0
よって
ω^2=pω-2p
ゆえに
ω^3=ω・ω^2=ω（pω-2p）
＝pω^2-2pω
＝p（pω-2p）-2pω
=（p^2-2p）ω-2p^2p^2-2p≠0とすると、pは実数で、aは虚数であるから、右辺は虚数である。
これは左辺のa^3が実数であることに矛盾する。
ゆえにp^2-2p=0
?@からp=2

p^2-2p≠0というのはなぜ示す必要があるのでしょうか？
p^2-2p＝0なら
ω^3=-2p^2で実数＝実数となり成立するような気がするんですが
なぜ≠0なんですか？
（p^2-2p）×ω＝実数×虚数＝実数ですよね
-2p^2も実数なら
右辺は実数になるんじゃないんですか？
また、p^2-2p=0というのは複素数の相当というやつですか？

調べてみたのですがわかりませんでした
誰かわかるかた教えてくださいお願いしますm(._.)m
No.10230 - 2010/05/08(Sat) 16:38:11
☆ Re: 複素数 すうに / ヨッシー
ちょっと勘違いがあるようです。
p^2-2p≠0 では矛盾がある → p^2-2p＝0 である
と言っているだけで、p^2-2p≠0 を示しているわけではありません。

(p^2-2p)ω−2p^2＝ω^3(実数)
の時点で、即座に p^2-2p＝0 と言っても良いと思います。
上の解答は、それを念入りに説明しているだけです。

複素数の相当というなら、ω＝ａ＋ｂｉ　(a,bは実数 ｂ≠0)
とおいて、
　ω^3＝(p^2-2p)ω−2p^2
　　＝(p^2-2p)(a+bi)−2p^2
　　＝(p^2-2p)a−2p^2＋ｂ(p^2-2p)ｉ
より
　(p^2-2p)a−2p^2−ω^3＋ｂ(p^2-2p)ｉ＝０
ω^3 は実数なので、
　(p^2-2p)a−2p^2−ω^3＝０　かつ　ｂ(p^2-2p)＝０
ｂ≠０ より p^2-2p＝０ となります。
まぁ、同じことですね。
No.10232 - 2010/05/08(Sat) 17:33:04
☆ Re: 複素数 すうに / マコトちゃん
p^2-2p≠0とすると　pは実数で、aは虚数であるから、右辺は虚数である

最後にこの部分がわかりません。
=（p^2-2p）ω-2p^2　
pは実数なので
p^2-2pは実数
aは虚数ですよね。
例えばp^2-2pを５だとすると
５×a（虚数）は虚数になるんですか？
だから右辺は虚数ということなんでしょうか？
最後によろしくおねがいします＞＜
No.10235 - 2010/05/08(Sat) 20:10:27
☆ Re: 複素数 すうに / ヨッシー
まず、右辺というのは　（p^2-2p）ω-2p^2　のことで、
ａというのはωのことですね？

質問だけに答えると、
>５×a（虚数）は虚数になるんですか？
はい。
>だから右辺は虚数ということなんでしょうか？
はい。

(実数)×(虚数)は、(実数)の部分が、０でない限り虚数です。

虚数とは、実数以外の複素数のことで、
　ｍ＋ｎｉ　ｍは実数、ｎは０でない実数
で表されます。これに、０でない実数ｋを掛けると、
　ｋｍ＋ｋｎｉ
となり、ｋｍは実数、ｋｎは０でない実数となるので、
やはり虚数になります。
No.10237 - 2010/05/08(Sat) 22:16:41
★ 組み合わせ / まりな
次の問題の最後の問題が、不明です。教えていただけますか？
図１のような、２×３のマスに、図２のような２×１のブロックを３個しきつめる方法は、図３のように３通りあります。

?@　２×４のマスに２×１のブロックを４個しきつめる方法は何通りありますか。
　　　これは５通り
?A　２×５マスに２×１のブロックを５個しきつめる方法は何通りありますか。
　　　これは８通りかと…
?B　２×６のマスに２×１のブロックを６個しきつめる方法は何通りありますか。
　　　たぶん13通りかなと思います
?C　４×６のマスにブロックを12個しきつめる方法は何通りありますか。
　　　これは、?@〜?Bを使うのかなと想像したのですが、よくわからなくなってしまいました。
No.10229 - 2010/05/08(Sat) 13:26:34
☆ Re: 組み合わせ / ヨッシー

２×４の並びは上の通りです。
これを縦に２つ並べて、４×４のマスにすることを考えます。

Ａの下に、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，ＥをつないだＡＡ，ＡＢ，ＡＣ，ＡＤ，ＡＥ の５通り
Ｂの下に、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅをつないだ
ＢＡ，ＢＢ，ＢＣ，ＢＤ，ＢＥ の５通りと
ＢＢ，ＢＥのつなぎ目に出来た横横の正方形を縦縦の正方形にした
ＢＢ’，ＢＥ’の計７通り、

Ｃの下には、ＣＡ，ＣＢ，ＣＣ，ＣＤ，ＣＥ，ＣＣ’ の６通り
Ｄの下には、ＤＡ，ＤＢ，ＤＣ，ＤＤ，ＤＥ，ＤＤ’ＤＥ’の７通り
Ｅの下には、ＥＡ，ＥＢ，ＥＣ，ＥＤ，ＥＥ，ＥＢ’，ＥＤ’，ＥＥ’，ＥＥ”，ＥＥ'"の１０通りが出来ます。

今度は、こうして出来た４×４のマスの上にＡ〜Ｅをくっつけることを考えます。
元々Ａだったものの上には、やはり５通り、
Ｂだったものの上には、７通り（下にくっつけた時の回転は
上には影響しないので)
Ｃ，Ｄ，Ｅとそれぞれ、６通り、７通り、１０通り出来ます。

よって、Ａの上下にＡ〜Ｅを１つずつくっつけたものは２５通り、
Ｂが４９通り、Ｃが３６通り、Ｄが４９通り、Ｅが１００通りになります。

以上より、合計２５９通り　となります。

こちらもあわせてご覧ください。
No.10233 - 2010/05/08(Sat) 19:01:34
☆ Re: 組み合わせ / まりな
あろがとうございます。４×４のところまではわかります。そのあと、４×６にするときですが、上につけるというのがよくわかりません。下のくっつけた時の回転は上に影響しないというのはどういうことなのか、説明していただくことは可能ですか？お願いします。
No.10263 - 2010/05/10(Mon) 12:52:42
☆ Re: 組み合わせ / ヨッシー

図は、ＢＢの上にＢを付けようとしているところと、
ＢＢ’の上にＢを付けようとしているところです。

上や下にＡ〜Ｅを付けて、何通り出来るかは、横横の正方形が
出来るかどうかによります。
たとえば、Ａの上や下にＡ〜Ｅの何を付けても横横の正方形は出来ませんから、
単純に５通りずつです。

Ｂについて言うと、下にＡ〜Ｅを付けると、
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｂ’，Ｅ’ の７通り。
そのそれぞれについて、上にＡ〜Ｅを付けると、同じく、
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｂ’，Ｅ’ の７通りが出来るので、
合計で、７×７＝４９(通り)出来ます。

もし、ＢＢをＢＢ’にしたときに、一番上の並びも変わってしまっては、
同じように７通り出来るかどうかはわかりません。
ところが、ＢＢもＢＢ’も、最上辺の並び方は変わらないので、
それぞれ、同じように７通りのくっつけ方が出来るのです。
No.10265 - 2010/05/11(Tue) 00:31:53
☆ Re: 組み合わせ / まりな
よくわかる丁寧な説明ありがとうございます。
意味がよくわかりました。
No.10278 - 2010/05/12(Wed) 16:31:12
★ 行列 / カカオ
v,v'を平面ベクトル、AとA'を二次の正方行列とする。次のことを示しなさい。
１、すべてのvに対して、Av=A'v⇔A=A'
2、すべてのAに対して、Av=Av'⇔v=v'
No.10224 - 2010/05/06(Thu) 18:40:27
☆ Re: 行列 / ヨッシー

とおきます。
１．すべてのｖに対してＡｖ＝Ａ’ｖが成り立つので、
　
として、a=e,c=g
　
として、b=f,d=h
よって、すべてのｖに対して、
　Ａｖ＝Ａ’ｖ→Ａ＝Ａ’
逆にＡ＝Ａ’ ならば、明らかにすべてのｖに対して
　Ａｖ＝Ａ’ｖ
が成り立ちます。

２．すべてのＡに対して　Ａｖ＝Ａｖ’が成り立つので、
Ａ＝Ｅとすると、ｖ＝ｖ’
逆に、ｖ＝ｖ’であれば、明らかにすべてのＡに対して
　Ａｖ＝Ａｖ’
が成り立ちます。　
No.10225 - 2010/05/06(Thu) 21:49:32
★ 高２ 数学ベクトル / マコトちゃん
ベクトル 数学B 本当に分かりません 原点Oを中心とする半径3√6の球面をSとし、２点A（-5,2,-1）、B（-3,0,3）を通る直線をLとする。
SとLの交点をＰ,Qとするとき、線分PQの長さを求めよ。

解答
点Ｒが直線L上にあるとき
OR→＝（1-t）OA→＋tOB→
＝（2t-5, -2t＋2 , 4t-1）・・・?@
とおける。また、球面Sの方程式は
x^2＋y^2＋z^2=（3√6）^2であるから
点rがS上にあるとき
（2t-5）^2＋（-2t＋2）^2＋（4t-1）^2=54
〜〜
t=-1/2、2
これらを?@に代入したものが点P、Qの位置ベクトルであるから
OP→＝（-6,3,-3） OQ→＝（-1,-2,7）とすると
PQ→＝OQ→-OP→＝（5,-5,10）であるから、
求める線分PQの長さは
｜PQ→｜＝√5^2＋（-5）^2＋10^2 ＝5√6

【点Ｒが直線L上にあるとき
OR→＝（1-t）OA→＋tOB→
＝（2t-5, -2t＋2 , 4t-1）・・・?@】
いきなり点Rって・・・どういうことなんですか？

【これらを?@に代入したものが点P、Qの位置ベクトルであるから
OP→＝（-6,3,-3） OQ→＝（-1,-2,7）とすると】
さっぱりです！
なぜ↑の解答のようになるのか；；
なぜ
これらを?@に代入したものが点P、Qの位置ベクトルであるから
Oと言えるのでしょうか＾＾;？？;だれかわかるかたおしえてください。
おねがいします。



また解答では（1-t）とtを実数としてつかっていますが
s,tを用いて

OR→＝sOA→＋tOB→ （s＋t=1）
とするのは大丈夫ですよね？
数学



No.10220 - 2010/05/05(Wed) 23:48:40
☆ Re: 高２ 数学ベクトル / X
＞＞また解答では〜大丈夫ですよね？。
ええ、大丈夫ですよ。(同じことですので)

＞＞いきなり点Rって・・・どういうことなんですか？
解答はすでに試行錯誤した後にまとめている文章なので
点Rが沸いて出てきたように見えるだけです。
＞＞点Ｒが直線L上にあるとき
を
＞＞SとLとの交点の一つをRとすると、RはL上にあるので
と読み替えてみてください。
No.10222 - 2010/05/06(Thu) 11:35:58
☆ Re: 高２ 数学ベクトル / マコトちゃん
＞＞SとLとの交点の一つをRとすると、RはL上にあるので

なんでRをもちだす必要があるのでしょうか？
No.10223 - 2010/05/06(Thu) 18:22:40
☆ Re: 高２ 数学ベクトル / X
この解答の方針では、まずS,Lの交点の座標を求める必要がありますので
この点を変数として点Rに設定しているだけです。
No.10226 - 2010/05/07(Fri) 15:42:09
★ (No Subject) / 高校２年生
白旗２本、赤旗３本、青旗５本からそれぞれ２本ずつ使って円形に並べると、
何通りできる。

ぜひ解説お願いいたします。
No.10216 - 2010/05/05(Wed) 12:18:47
☆ Re: / ヨッシー
問題の意図がよくわかりません。
「それぞれ２本使って」なら
白旗２本、赤旗２本、青旗２本で良いのでは？
No.10217 - 2010/05/05(Wed) 12:25:14
☆ Re: / 高校２年生
設問が他にいくつかあって、最後の１問で上記の問題があったんです。
答えは16通りとなっていますが、どうしてそうなるのかがわかりませんでした。

問題集では
白旗２本、赤旗３本、青旗５本がある。
（４）白旗、赤旗、青旗それぞれ２本ずつ使って円形に並べると、
何通りできる。

何のところが穴埋めになっていました。
No.10218 - 2010/05/05(Wed) 19:37:16
☆ Re: / ヨッシー
図の１６通りです。

赤が隣り合っている場合、１個離れている場合、２個離れている場合
それぞれについて、青、白の並び方は 4Ｃ2＝6（通り）ですが、
赤が２個離れている場合は、180°回すと、別の並び方になるものが
２つあるので、重複分は除外します。よって、
　６×３−２＝１６（通り）
です。
No.10219 - 2010/05/05(Wed) 22:40:31
☆ Re: / 高校２年生
ありがとうございました。
詳しい解説、すごくわかりやすかったです。
No.10228 - 2010/05/08(Sat) 13:12:28
★ 高２　軌跡 / syooo
こんにちは。
直線2x+y+1=0とA（3,1）がある。点Qがこの直線上を動く時、線分AQを2：1に内分する点Pの軌跡を求めよ。
解き方がいくつかあるみたいですが、わからないのでよろしくお願いします
No.10212 - 2010/05/05(Wed) 07:15:44
☆ Re: 高２　軌跡 / ヨッシー
まず、どんな図形になるか見当を付けます。
見当を付けたら、決めうちで、点（○、○）を通って、傾きいくつ
で、直線の式を決めればいいでしょう。


高校生らしく解くなら、
　２ｘ＋ｙ＋１＝０　←→　ｘ＝ｔ、ｙ＝−２ｔ−１
という変形をして、点Ｑの座標を(t,-2t-1) とし、
ＡＱを２：１に内分する点を求め、その点を
ｘ＝(3+2t)/3、ｙ＝(-4t-1)/3 などのように置き直して、
ｔを消去すればいいでしょう。
No.10213 - 2010/05/05(Wed) 07:50:59
☆ Re: 高２　軌跡 / syooo
返信遅れてすみません！　大体分かりました、ありがとうございます。
No.10271 - 2010/05/11(Tue) 22:14:29
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