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(No Subject) / テスト間近の高一……
画像の上の問題は高一の二次方程式です。
答え 30?b

画像の下は同じく高一の二次方程式です。
答え 9?b 12?b

p,qを定数とする二次方程式 x^2+px+q=0 の解がx=-3,5となるようにp,qのをもとめよ
答えp=-2 q=-15

次の2つの一次不等式の解が一致するような定数aの値をもとめよ
x+3a-3a-2>4(x-2)
x-5<2(a^2-3)
答え -1 2分の3

こんな問題ですすみませんが
わからないので教えて下さい。

No.1335 - 2008/06/29(Sun) 08:07:28

Re: / 七
1つ目
(1/2)x(x+3)=54
x^2+3x=108 [これは正の実数解をもつ]
周の長さをy[m]とすると
y^2=4{x^2+(x+3)^2}=8x^2+24x+36
=8・108+36=900
y>0 より y=30

2つ目
2辺を x,21−x とすると
21^2−2x(21−x)=225
x^2−21x+108=0
(x−9)(x−12)=0
x=9,12

3つ目
x^2+px+q=(x+3)(x−5)
右辺を展開して係数を比較するといいですね。

4つ目
やってないのですが
式はあってますか?

No.1337 - 2008/06/29(Sun) 11:46:02

Re: / テスト間近の高一……
解答有難う御座います^^
四つ目ですが、すみません。少し間違えました。
x+3a-2>4(x-2)
x-5<2(a^2-3)
でした……

No.1341 - 2008/06/29(Sun) 17:11:16

Re: / 七
x+3a-2>4(x-2) … (1)
x-5<2(a^2-3) … (2)
(1) より x<a+2
(2) より x<2a^2−1
(1)(2)の解が一致するから
2a^2−1=a+2
2a^2−a−3=0
(a+1)(2a−3)=0
a=−1,3/2

No.1342 - 2008/06/29(Sun) 17:42:20
2次関数 / 匿名 高1
y=-2x^2-4x+1(-2≦x<1)に最大値、最小値があれば求めよ。

上の場合定義域に<があるのですがこのときはどうやって
考えればよいのでしょうか?

よろしくお願いします。

No.1333 - 2008/06/29(Sun) 00:48:10

Re: 2次関数 / にょろ
x<1
ということは、x=1は範囲外
よってもしx=1の時が最小値なら最小値なし
ですね。

しかしこんな問題初めて見たぞ

No.1334 - 2008/06/29(Sun) 01:27:00

Re: 2次関数 / 匿名 高1
お返事ありがとうございます!
考え方がよくわかりました★

初めて見たのですか!
それじゃあ珍しい問題なのですかね・・・?

とにかくありがとうございました*

No.1336 - 2008/06/29(Sun) 09:27:52
教えて下さい!! / 春日水桜
高校1年生の数学?Tの不等式の文章問題なのですが・・・

ある高等学校の1年生全員が長いすに座るのに、1脚に6人ずつかけていくと15人が座れないので、1脚に7人ずつかけていくと、使わない長いすが3脚できる。長いすの数は何脚以上何脚以下か。

お願いしますッ!!m(_ _)m

No.1330 - 2008/06/28(Sat) 21:46:04

Re: 教えて下さい!! / 魑魅魍魎
X脚あるとすると
『1脚に6人ずつかけていくと15人が座れない』
全員の人数は
6X+15(人)

『1脚に7人ずつかけていくと、使わない長いすが3脚できる』
7X-(6x+15)が椅子に空きがある人数で 使わない椅子が3脚あることから 空きがある人数が15人以上21人以下であればよいので

15≦7X-(6X+15)≦21
⇒30≦X≦39

No.1331 - 2008/06/28(Sat) 22:43:52

Re: 教えて下さい!! / rtz
長いすの数をx、人数をyとします。
6人がけの方は、yをxの式ですぐに表せます。
7人がけの方は、
使わない長いすが3脚できる、ということは、
最後の1脚は1人〜7人座っているということです。

これで人数をxの式で表す際、2通り考え方があって、
(i)足りない人数を考える
→全部のいすに7人座らせるなら、とりあえず7*3=21人足らない。
さらに「最後の1脚は1人〜7人座っている」ので、その椅子は0人〜6人足らない。
つまり全部のいすに7人座らせるなら、21人〜27人足らない。
(ii)最後の1脚は余りとして考える
→7人全部座っている椅子の数はx−4。
あとはこれに1人〜6人足せば人数になる。

どちらかの方法でyを、
(7人がけ:xで表した最小)≦y≦(7人がけ:xで表した最大)
で表します。
これにy=(6人がけ:xで表した)を代入し、
(7人がけ:xで表した最小)≦(6人がけ:xで表した)
(6人がけ:xで表した)≦(7人がけ:xで表した最大)
の2つを解けば、xの範囲が求まります。

No.1332 - 2008/06/28(Sat) 22:59:48

Re: 教えて下さい!! / 春日水桜
ありがとうございます!
とてもよくわかりました♪
ようやく解けました!!

わかりやすい説明ありがとうございました☆

No.1340 - 2008/06/29(Sun) 13:02:27
極限 / 白梅
高校3年生の数学?V 極限の問題です。
宜しくお願いします。

(問題)次の極限を求めよ。
lim(n→無限大)
(n+1)^2+(n+2)^2+‥‥(2n)^2
/1^2+2^2+‥‥n^2

(解答)「分子=Σ(K=1から2n)K^2−
Σ(K=1からn)K^2」 と考えて、

(与式)={1^2+2^2+‥‥(2n)^2}−
(1^2+2^2+‥‥n^2)/1^2+2^2+‥‥n^2
=1/6•2n(2n+1)(4n+1)−
1/6n(n+1)(2n+1)
/1/6n(n+1)(2n+1)
分母•分子をn^2で割るとn→無限大のとき
与式=7 

私が疑問に思う1つ目は解答の考え方カギ括弧の所です。
前回この掲示板で質問した際、
第n項までの部分和 Sn を使って
第n項をan=Sn− S(n−1) と表す事を
再確認したのですが、今回はnの範囲が2nとnであり
1項差ではないのに、なぜこの様な考えが出来るのか
解説を読み返しても分かりませんでした。

さらに、この問題を解く際に私は分子を
Σ(K=1からn)(n+K)^2と置き、
Σ(K=1からn)(n^2+2nK+K^2)=
1/6n(n+1)(2n+1)+
2•1/2n(n+1)n+n^3と置いて計算しました。
すると答えは何度やっても1/7になってしまいました。
自分のやり方ではなぜ答えと違うのか分かりません。

No.1322 - 2008/06/27(Fri) 22:47:56

Re: 極限 / 魑魅魍魎
後半の質問ですが、

分子の計算
?納k=1〜n](n+k)^2
=?納k=1〜n]n^2+2nk+k^2
=n^3+{2n^2(n+1)/2}+{n(n+1)(2n+1)/6}
={7n^3/3}+・・・・  n^3の項だけを計算しました。

分母の計算
?納k=1〜n]k^2
={n(n+1)(2n+1)/6}
={n^3/3}+・・・  n^3の項だけを計算しました。

分母分子をn^3で割ってlim(n→無限大)をとると
分母分子にあるn^3以外の項(n^2やnや定数)はゼロとなり

{7/3}/{1/3}
=7

No.1324 - 2008/06/28(Sat) 01:54:29

Re: 極限 / 魑魅魍魎
前半の質問ですが、
an=Sn− S(n−1)
は使ってないです。

(n+1)^2+(n+2)^2+・・・・・・・+(2n)^2  --------------(1)

(1)式を

{1^2+2^2+3^2+・・・・・・+n^2+(n+1)^2+・・・・・・・+(2n)^2}
-{1^2+2^2+3^2+・・・・・・+n^2}

としただけです。

No.1325 - 2008/06/28(Sat) 02:11:33

半分理解できました / 白梅
魑魅魍魎様、分かりやすい回答を
深夜にも関わらずして下さり本当に感謝しています。
ありがとうございました^^

もう一度慎重に計算をした所、
魑魅魍魎様の回答と同じ分数を導く事が出来、
回答を得る事が出来ました^^

今だ疑問に思う事があります。

魑魅魍魎が仰る通り、
(n+1)^2+(n+2)^2+・・・・・+(2n)^2  ---(1)と置き、
{1^2+2^2+3^2+・・・・+n^2+(n+1)^2+・・・・・・・+(2n)^2}
-{1^2+2^2+3^2+・・・・・・+n^2}と言う式は(1)と
等号が成立するのは理解できたのですが、
問題の解答には(与式の分子)=
{{1^2+2^2+‥‥(2n)^2}−
(1^2+2^2+‥‥n^2)}と書いてあり、
魑魅魍魎様が示された式変換後の式のうち、
1^2+2^2+3^2+・・・・・・+n^2が余計に引かれた式が
使われてしまっている所が、どうも腑に落ちません。

魑魅魍魎様が示した式をそのまま使っているのなら、
まだ理解できたのですが、その理由がよくわかりません。

No.1326 - 2008/06/28(Sat) 12:35:29

Re: 極限 / rtz
余計に引かれていることは無いと思いますが…。

{1^2+2^2+3^2+・・・・+n^2+(n+1)^2+・・・・・・・+(2n)^2}と
{1^2+2^2+‥‥(2n)^2}は同じです。

No.1327 - 2008/06/28(Sat) 12:57:42

勘違いをしていました / 白梅
{1^2+2^2+3^2+・・・・+n^2+(n+1)^2+・・・・・・・+(2n)^2}のうちの
n^2+(n+1)^2の所で勝手に(n^2)と((n+1)^2)と
いった風に分解をして考えていました。
大きな視点で捉えると、魑魅魍魎さんの示された
考え方が出来るのですね。
rtz様、ありがとうございました^^

No.1328 - 2008/06/28(Sat) 20:06:06
線型代数 次元の証明 / さく  大学1回
有限次元ベクトルVとその部分空間Wについて
dimW<dimVが成り立つ。
特にdimW=dimVならW=Vである。


この証明のしかたがわかりません。お願いします。

No.1321 - 2008/06/27(Fri) 04:45:04
数?U:等式の証明 / めい 高2
x/(b-c)=y/(c-a)=z/(a-b)のとき、
等式ax+by+cz=0が成り立つことを証明せよ。
問題の解説をお願いします。

No.1319 - 2008/06/27(Fri) 00:28:07

Re: 数?U:等式の証明 / 魑魅魍魎
x/(b-c)=y/(c-a)=z/(a-b)=k
とおいて
x=k(b-c)
y=k(c-a)
z=k(a-b)
が得られるので、これらを
ax+by+cz
に代入すると・・・・

No.1320 - 2008/06/27(Fri) 01:40:25

Re: 数?U:等式の証明 / めい 高2
ありがとうございます。
No.1329 - 2008/06/28(Sat) 20:59:58
宜しくお願いします / ひろ
sinα+cosα=tとするとき、sin^3α+cos^3αをtを使って表すとどうなるか。

すみませんが、宜しくお願いします。

No.1313 - 2008/06/26(Thu) 23:11:47

Re: 宜しくお願いします / ヨッシー
sinαとcosαの対称式ですので、
 sinαcosα
を求めておけば楽です。
 t2=(sinα+cosα)2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+2sinαcosα
より、
 sinαcosα=(t2−1)/2

あとは、
 sin3α+cos3α=(sinα+cosα)3−3sinαcosα(sinα+cosα)
より...

No.1315 - 2008/06/26(Thu) 23:42:13
確率 / 佐波
 確率の問題です。

[問]A、Bの2人がいて、Aの袋には白球3個、黒球2個が、
Bの袋には白球3個、黒球3個が入っている。

次の規則で、勝敗が決まるゲームをする。

A、Bが自分の袋からそれぞれ同時に2個の球を取り出し、相手の袋に入れる。すなわち、2個ずつ球を交換する。この交換の後、袋の中の白球の多い方を勝ちとする。ただし、白球が同数のときは引き分けとする。


(1)このゲームの後、Aの袋の中の球が白球のみになる確率を求めよ。

(2)このゲームでAが勝つ確率を求めよ。


という問題です。根本的な考え方が分かりません。相手の袋に入れるという条件をどのように考えればいいのでしょうか?
(1)はAが黒球2こをBへ、Bが白球2個をAへ渡せばよいということは分かるのですが、どのような計算式を立てたらよいか分かりません。

No.1309 - 2008/06/26(Thu) 21:29:47

Re: 確率 / rtz
(1)
球の移動自体はお分かりのようなので、では
(1-i)Aが袋の中から黒を2個取り出す確率はいくらか?
(1-ii)Bが袋の中から白を2個取り出す確率はいくらか?
の2つは分かるのでしょうか。

これが分かっているなら、(1)はこれら2つの積です。
もし分からないのでしたら、
少し易しめの問題を復習された方がいいかと思います。

No.1310 - 2008/06/26(Thu) 22:23:27
数学III 微分 / ta
数学III 微分の質問です。
y=2log√{(1-x^2)/x} を微分すると y'={x^2+1}/{x(x^2-1)} になるようですが、解法が分かりません。
どのような手順でこの解答に導かれるのか、教えて下さい。

※それとは関係ありませんが、グラフを書く際に微分をしますが、
 その際式が複雑になってしまうことがあります。【ex. x^3−3x^2−3x+9】
 そのような場合は、どのようにして因数分解すればいいのでしょうか。
 (適当な式(x−3など)で割ってみるetc…)
 微分は出来ても、因数分解ができず、増減表・グラフまで持ち込めない!ということがよくあります。
 宜しくお願い致します。

No.1296 - 2008/06/25(Wed) 21:10:13

Re: 数学III 微分 / hari
y = 2log√{(1 - x^2)/x}
= log{(1 - x^2)/x} = log(1 - x^2) - logx
y' = -2x/(1 - x^2) - 1/x = (x^2 + 1)/x(x^2 - 1)
となります。


因数分解には因数定理が有効かと思います。

No.1304 - 2008/06/25(Wed) 23:40:54

Re: 数学III 微分 / ta
1/2で2を消す、ということだったんですね。有難うございます!

因数定理ですか、、アドバイスに感謝です!

No.1305 - 2008/06/26(Thu) 00:09:49
HINTください / Jez-z
四面体OABCがあり、OA=3,OB=4,OC=2,OA⊥OB,OB⊥OC,OC⊥OAを満たしている。この四面体内にあって底面の1つが面OABにある直円柱の体積の最大値を求めよ。

※すべての辺を表しましたが、次の一手が思いつきません。
そこで、なにかヒントを私にください。

回答待ってます。

No.1293 - 2008/06/25(Wed) 20:33:34

Re: HINTください / ヨッシー
OA,OB,OC方向にx軸、y軸、z軸をとります。
底面OABに円をおいて、直円柱を作ったとき、
円が、x軸、y軸に触れていないものは、x軸、y軸に触れるように
移動させると、もっと高さを伸ばせるので、x軸、y軸両方に
接する円を考えます。
円の半径rの最大値は、△OABの内接円のr=1です。

このとき、辺ABの方向からこの立体を見ると、右の図のように
△OABのABを底辺としたときの高さ2.4と、OC=2とからなる
直角三角形と、円柱の側面が長方形となったものが見えます。

No.1295 - 2008/06/25(Wed) 21:03:22

疑問 / Jez-z
ヨッシーさんありがとうございます。
上には書きませんでしたが、実ははじめ、自分も
三角形OABの内接円が最大の体積の直円柱の底面だろうと思ってその方針で行こうとしたのですが、よくよく考えてみると、平面ABCが底面OABに対して「垂直」ではなく「斜め」に交わっているので、必ずしもヨッシーさんのいう「x軸、y軸両方に接する円」のとき、円柱の高さも最大になるといってよいのかという疑問が生まれました。
つまり、高さと円の半径の2つを変数として設定してやらる必要があるのではないかと思いました。

これについてお願いします。

No.1299 - 2008/06/25(Wed) 21:37:42

疑問?A / Jez-z
ヨッシーさんが示してくれた方針で、
△OABのABを底辺としたときの高さ2.4
というのはOから辺ABに下ろした垂線の長さのことですか?
ちなみに、よろしかったらその計算式も教えてもらえませんか?{直角三角形の相似が3つできる(3:4:5)のでそれらを使って求めるんですよね?}

あと、「右の図」で分からないところが1点ありまして…
上で言及した垂線の足をDとするなら、線分ODと内接円との間には隙間ができるので「2r」とはならない気がするのですが・・・「右の図」がzx平面で切った図形なら納得はいくのですが・・・ただしその場合は「2.4」→「3」(=OA)ですが。

No.1301 - 2008/06/25(Wed) 22:26:41

Re: HINTください / ヨッシー
上のは、ダメですね。
方法は良いですが、確かに、z軸には接しません。
やり直します。

No.1303 - 2008/06/25(Wed) 23:21:00

Re: HINTください / らすかる
x軸とy軸の両方に接していない場合、接する方向に動かせば
△ABCから離れ、高さが伸ばせますので最大ではありません。
最大体積の直円柱の上面は△ABCに接しますが、そのときの
上面で四面体を切ると、辺の長さの比が3:4:5である
直角三角形に上面が内接している状態となります。
直角三角形の内接円と斜辺の接点は、斜辺を2:3(短辺側が2)
に内分した点ですから、結局直円柱と△ABCの接点は
ABを2:3に内分した点をDとするとCD上にあります。
従って高さだけ決まれば最大体積が決まり、
高さをhとすると底面の半径は(2-h)/2ですから
体積はπh(2-h)^2/4となります。
これの最大値を調べればいいですね。

No.1308 - 2008/06/26(Thu) 06:52:22

Re: HINTください / Jez-z
らすかるさん1点質問です。
>>直角三角形の内接円と斜辺の接点は、斜辺を2:3(短辺側が2)に内分した点

とありますが、これの求め方を具体的に教えていただけませんか?

No.1314 - 2008/06/26(Thu) 23:41:44

Re: HINTください / ヨッシー

上は、辺が3,4,5の直角三角形に内接する円の、各接点と
三角形の頂点までの距離の図です。
これで、斜辺の接点が、2:3 の位置にあることが分かるでしょう。

No.1316 - 2008/06/26(Thu) 23:46:32

Re: HINTください / Jez-z
ヨッシーさん、ありがとうございます。
No.1318 - 2008/06/27(Fri) 00:09:22
(No Subject) / 積分
∫3x+2/x(x+1)^2dxを計算せよ。という問題で

(1)で(与式)=a/x+b/x+1+c/(x+1)^2と変形されるんですが、
係数比較しても答えがあいません。

なぜa/x+b/(x+1)^2ではないのでしょうか?
お願いします。

No.1289 - 2008/06/25(Wed) 17:49:22

Re: / 積分
すみません。
∫(3x+2)/x(x+1)^2dxです。

No.1290 - 2008/06/25(Wed) 17:51:31

(No Subject) / ヨッシー
a/x+b/x+1+c/(x+1)^2 を計算すると、分母をx(x+1)^2 としたとき
分母は (a+b)x^2+(2a+b+c)x+a となるはずです。
これを、3x+2 と係数比較して、
 a+b=0, 2a+b+c=3, a=2
から、a=2,b=-2,c=1 を得ます。

a/x+b/(x+1)^2 だと、分子が
 ax^2+(2a+b)x+a=3x+2
で、文字が2つ、式が3つなので、特殊な場合を除いて、
解は求まりません。逆に、a/x+b/(x+1)^2 の形になるようであれば、
a/x+b/x+1+c/(x+1)^2 から求めていって、b=0 になるだけですので、
最初は、a/x+b/x+1+c/(x+1)^2 です。

No.1294 - 2008/06/25(Wed) 20:45:52

Re: / 積分
わかりました!ありがとうございます。
積分して、
与式=∫2/x-2/x+1+1/(x+1)^2dx
  =2log|x|-2log|x+1|-1/x+1+C
=logx^2/(x+1)^2-1/x+1+C
でいいんでしょうか?

No.1302 - 2008/06/25(Wed) 22:39:15

(No Subject) / ヨッシー
logx^2/(x+1)^2-1/(x+1)+C
の方が、より正確ですが、紙の上では分かっておられると思うので、
良いでしょう。

No.1317 - 2008/06/26(Thu) 23:47:41
三角関数 / りゅう
図のように、x,y,l1,l2, θ1,θ2ととります。

(1)l1,l2,θ1,θ2が与えられたとき x,yはどうなるか?
(2)x,y,l1,l2が与えられたとき θ1,θ2はどうなるか?

と、いう問題が分かりません。教えてください宜しくお願いします。

No.1284 - 2008/06/25(Wed) 10:04:04

Re: 三角関数 / ヨッシー
太字はベクトルです。

(1)
図のように、点A、点Pとすると、
 OA=(l1cosθ1、l1sinθ1)
 AP=(l2cos(θ1+θ2)、l2sin(θ1+θ2))
であるので、
 OPOAAP=(l1cosθ1+l2cos(θ1+θ2)、l1sinθ1+l2sin(θ1+θ2))
よって、
 x=l1cosθ1+l2cos(θ1+θ2)
 y=l1sinθ1+l2sin(θ1+θ2)

(2) は逆三角関数を使いますが、良いですか?

No.1287 - 2008/06/25(Wed) 17:34:05

Re: 三角関数 / りゅう
よっしーさんありがとうございます。
大丈夫です〜!!
逆三角関数使ってよいので、教えてください!!!

No.1288 - 2008/06/25(Wed) 17:43:58

Re: 三角関数 / ヨッシー
l3=√(x^2+y^2) とおき、∠POA=θ3 とおくと、
 cosθ3=(l12+l32−l22)/2・l1・l3
より、
 θ3=acos{(l12+l32−l22)/2・l1・l3}
また、線分OPとx軸のなす角θ4は、
 tanθ4=y/x
より、
 θ4=atan(y/x)
で表せます。よって、
 θ1=θ4−θ3=atan(y/x)−acos{(l12+x2+y2−l22)/2・l1・√(x^2+y^2)}

一方、∠PAO について、
 cos∠PAO=(l12+l22−l32)/2・l1・l2
より、
 ∠PAO=acos{(l12+l22−l32)/2・l1・l2}
θ2はその補角なので、
 θ2=π−θ4=π−acos{(l12+l22−x2−y2)/2・l1・l2}

No.1306 - 2008/06/26(Thu) 00:17:46

Re: 三角関数 / りゅう
よっしーさんありがとうございました。
逆三角関数を使うとは、おもってもみませんでした^^;
よく分かりました!!

No.1307 - 2008/06/26(Thu) 00:26:01
確率 / √
よろしくお願い致します。

箱の中に[○●●]合計3個の、玉が入っています。
(○は当たり ・ ●はハズレ)
誰が引いても、○が出る確率は「1/3」ですよね?

ここで、
3人が順番に、1つづつ、引いていきます。

1番目の人が、引いたら●でした。
すると
2番目の人が、○を引く確率が
「1/3」から「1/2」に上がった。と考えるのは間違いですよね???


私は次のように考えました。

1番目の人が、○を引く確率は「1/3」

2番目の人が、○を引くには、1番目の人が、●を引かなければならないので、
【計算は】
「2/3」x「1/2」=「1/3」

3番目の人が、○を引くには、1番目、2番目の人が共に●を引かなければならないので、
【計算は】
「2/3」x「1/2」x「1/1」=「1/3」

だから、
○を引く確率は、誰もが平等に「1/3」なので、
たとえ、
1番目の人が、●を引いたからといって、
2番目の人は、喜ぶのは間違い。

この考え方で、合ってますでしょうか?

No.1276 - 2008/06/24(Tue) 23:48:02

Re: 確率 / らすかる
>1番目の人が、引いたら●でした。
>すると
>2番目の人が、○を引く確率が
>「1/3」から「1/2」に上がった。と考えるのは間違いですよね???

間違いではありません。
「1番目の人が引いて●だった」という結果が出た後なら、1/2に上がります。
よって

>だから、
>○を引く確率は、誰もが平等に「1/3」なので、

これは合っていますが、

>たとえ、
>1番目の人が、●を引いたからといって、
>2番目の人は、喜ぶのは間違い。

>この考え方で、合ってますでしょうか?

これは合っていません。

No.1277 - 2008/06/24(Tue) 23:51:07

Re: 確率 / √
らすかるさん 
早速のお返事有り難うございます。

> 「1番目の人が引いて●だった」という結果が出た後なら、1/2に上がります。

すると、
前の人の「結果を見てから引く」のと「結果を見ないで引く」のでは、確率が変わってしまうということですか?

「引く順番」が関係してくると、3人が平等で無くなってしまうようにも思えるのですが。

でも現実では、
1番目の人が●を引いたら、
2番目・3番目の人は喜ぶというのも事実ですが。

もう少し考えてみます。

取り急ぎ、有り難うございました。

No.1278 - 2008/06/25(Wed) 00:19:40

Re: 確率 / らすかる
>すると、
>前の人の「結果を見てから引く」のと「結果を見ないで引く」のでは、
>確率が変わってしまうということですか?

そうです。確率は、条件が変われば変わって当然です。
例えば「前の人が○を引いたのがわかっていても、後の人が残念に思うのは間違い」
ということはないですよね。
前の人が○を引いたのがわかっていたら、後の人は○は引けませんから残念に決まってます。

No.1280 - 2008/06/25(Wed) 00:37:44

Re: 確率 / √
らすかるさん
昨日からお世話になっております。
有り難うございます。

この問題は、映画「ラスベガスをぶっつぶせ」を見て思いついたのですが、

少し言い方を変えてみます。

では、
【3人(全員)が引き終わった後という条件で】
?@「せーの」で3人同時に手を開く。
?A1人づつ、順番に手を開いていく。

この場合は、?@も?Aも、3人は平等に、○の確率は「1/3」ですよね?

すると、
【今度は、まだ1番目の人しか引いてない時】
1番目の人が玉を引いて、その結果を2番目の人に「見せる」か「見せない」で、2番目の人の確率が変ってしまうのは変な気もするのですが。

たとえば、
1番目の人が、●だったという結果を、
2番目の人に
「見せた」時は、○を引く確率は「1/2」
では、
「見せなかった」時は、○を引く確率は「1/3」
ということになってしまうのでしょうか?

本当は、上記の【3人全員が引き終わった後の条件】と結果的には同じでなくては おかしいような気もするのですが。

私の表現の仕方がうまくないのですが、
私は、もともと、どこの部分を勘違いしているのでしょうか???

No.1285 - 2008/06/25(Wed) 12:51:28

Re: 確率 / rtz
>【3人(全員)が引き終わった後という条件で】
>この場合は、(1)も(2)も、3人は平等に、
>○の確率は「1/3」ですよね?
(1)は正しいですが、(2)はどの時点で言ってるかどうかで違いが出るでしょう。
全員が開く前なら1/3ですが。

>上記の【3人全員が引き終わった後の条件】と
>結果的には同じでなくては 
>おかしいような気もするのですが。
与えられた情報によって、考えられる確率は変わります。
極端な話、100人でくじ引き(当たり1つだけ)をして、
みんなが引いてまだ見ていない段階では当たりの確率は全員等しく1/100ですが、
みんなが引いて99人が見てはずれなら、残る1人が当たりの確率は1です。

No.1286 - 2008/06/25(Wed) 16:32:58

Re: 確率 / ToDa@修正しまくり。
ちょうど私も、同じような質問を高校生から受けました。

>私は、もともと、どこの部分を勘違いしているのでしょうか???

現実の事象と確率空間を混同しているところにあるのでは。
以下の主張に反論はできますか?

「玉を引いてまだその色を見ていない時点でも、手の中の玉の色は●なら●、○なら○とその時点で既に決まっていて、もう一方の色である可能性は皆無なのだから、そもそも誰の引いた玉がどの色であるかなどという確率を論じることが不合理だ」

No.1292 - 2008/06/25(Wed) 20:03:12

Re: 確率 / らすかる
>たとえば、
>1番目の人が、●だったという結果を、
>2番目の人に
>「見せた」時は、○を引く確率は「1/2」
>では、
>「見せなかった」時は、○を引く確率は「1/3」
>ということになってしまうのでしょうか?

「1番目の人が●を引いた」という結果を知っている人にとっては
1番目の確率が0、2番目と3番目の○の確率が1/2ずつ … (1)
「1番目の人が●を引いた」という結果を知らない人にとっては
1番目、2番目、3番目の○の確率が1/3ずつ … (2)
です。
「見せた」「見せない」というよりは、「知っているかどうか」です。
つまり、結果を誰にも見せない場合でも
 1番目の人にとっては (1)
 他の人にとっては (2)
となります。

No.1297 - 2008/06/25(Wed) 21:12:23

Re: 確率 / らすかる
補足
1番目の人が●を引いたということを公表したとしますよね。
その場合、「1番目の人の○の確率は0」というのはよろしいでしょうか?
これでもし2番目と3番目の人の確率が1/3ずつだとしたら、
確率の合計が2/3になってしまっておかしいですね。

No.1298 - 2008/06/25(Wed) 21:17:56

Re: 確率 / √
お返事遅くなりました。

★rtzさん
有り難うございます。
rtzさんの書かれた内容自体は理解できました。


★ToDa@修正しまくり。さん
有り難うございます。

> 現実の事象と確率空間を混同しているところにあるのでは。

『数学的確率』は、どんな場合でも変化なく「1/3」
ただ、前に引いた人の結果を知ってしまった時に、心の中で
ラッキー or アンラッキー と思うだけ。だと考えたのですが。

> 以下の主張に反論はできますか?
>
> 「玉を引いてまだその色を見ていない時点でも、手の中の玉の色は●なら●、○なら○とその時点で既に決まっていて、もう一方の色である可能性は皆無なのだから、そもそも誰の引いた玉がどの色であるかなどという確率を論じることが不合理だ」


反論はできません。ごもっとも。
自分が玉を引いた時点で自分の結果が決まる。

「1/2」に上がっただの「1/3」のままだの、
論じること自体、不合理だということですね。
内容自体は理解できました。


★らすかるさん
昨日から有り難うございます。
らすかるさんの、おっしゃりたいことも理解できました。

皆様の、それぞれのご回答は、それなりに納得しました。
自分の中では、少し、あやふやなのですが、あやふやのままでもいいかなと思います。
有り難うございました。

No.1300 - 2008/06/25(Wed) 22:24:51
(No Subject) / m 高校2
数学Bの数列で

第n項がn^2−3nで表される数列の階差数列はどのような数列か。

答え:初項0、公差2の等差数列

という問いなのですが、どのように解いていけばよいのか分かりません。教えてください宜しくお願いします。

No.1275 - 2008/06/24(Tue) 23:38:17

(No Subject) / らすかる
第n+1項と第n項の差をとれば
{(n+1)^2-3(n+1)}-(n^2-3n)
=2n-2
ですから、初項0、公差2の等差数列ですね。

No.1281 - 2008/06/25(Wed) 00:41:07

Re: / m 高校2
なるほど!分かりました!
ありがとうございます!!

No.1291 - 2008/06/25(Wed) 19:31:55
もう1題あるのですが / ひろ
0<a<1のとき、loga(x-a)≧2loga3(x-a)を満たすxの範囲を求めよ。

すみません。皆様、宜しくお願いします。

No.1273 - 2008/06/24(Tue) 22:59:21

Re: もう1題あるのですが / とん
真数条件
  x>a・・・・・・?@

loga(x-a)≧2loga3(x-a)より
loga(x-a)≧loga{3(x-a)}^2

0<a<1 より

x−a≦{3(x-a)}^2
x−a≦9x^2−18ax+9a^2
9x^2−(18a+1)x+9a^2+a≧0
たすきがけで

(x−a)(9x−9a−1)≧0
 x≦a,(9a+1)/9 ≦x ・・・・・?A

?@と?Aの共通範囲を求めればいいのでは?

No.1283 - 2008/06/25(Wed) 04:35:32

Re: もう1題あるのですが / ひろ
ありがとうございます!
感謝です!!

No.1311 - 2008/06/26(Thu) 23:06:06
中学生でもわかるように / ひろ
教えていただけますでしょうか?

2・3+3・5+4・7+・・・・+(n+1)(2n+1)の和

宜しくお願いします。

No.1272 - 2008/06/24(Tue) 22:53:03

Re: 中学生でもわかるように / らすかる
中学生でわかるかどうかはわかりませんが…

(n+1)(2n+1)=2n^2+3n+1 をうまく差で表します。
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1 から (2/3){(n+1)^3-n^3}=2n^2+2n+2/3
(2n^2+3n+1)-(2n^2+2n+2/3)=n+1/3
(n+1)^2-n^2=2n+1 から (1/2){(n+1)^2-n^2}=n+1/2
(n+1/3)-(n+1/2)=-1/6
(n+1)-n=1 から (-1/6){(n+1)-n}=-1/6
(-1/6)-(-1/6)=0
よって
(n+1)(2n+1)=2n^2+3n+1
=(2n^2+2n+2/3)+(n+1/2)+(-1/6)
=(2/3){(n+1)^3-n^3}+(1/2){(n+1)^2-n^2}+(-1/6){(n+1)-n}
={(2/3)(n+1)^3+(1/2)(n+1)^2-(1/6)(n+1)}-{(2/3)n^3+(1/2)n^2-(1/6)n}
つまり
n=1 → 2・3={(2/3)2^3+(1/2)2^2-(1/6)2}-{(2/3)1^3+(1/2)1^2-(1/6)1}
n=2 → 3・5={(2/3)3^3+(1/2)3^2-(1/6)3}-{(2/3)2^3+(1/2)2^2-(1/6)2}
のように表せるので
2・3+3・5+4・7+…+(n+1)(2n+1)
={(2/3)2^3+(1/2)2^2-(1/6)2}-{(2/3)1^3+(1/2)1^2-(1/6)1}
+{(2/3)3^3+(1/2)3^2-(1/6)3}-{(2/3)2^3+(1/2)2^2-(1/6)2}
+{(2/3)4^3+(1/2)4^2-(1/6)4}-{(2/3)3^3+(1/2)3^2-(1/6)3}
+・・・
+{(2/3)(n+1)^3+(1/2)(n+1)^2-(1/6)(n+1)}-{(2/3)n^3+(1/2)n^2-(1/6)n}
={(2/3)(n+1)^3+(1/2)(n+1)^2-(1/6)(n+1)}-{(2/3)1^3+(1/2)1^2-(1/6)1}
={4(n+1)^3+3(n+1)^2-(n+1)}/6-(4+3-1)/6
=(4n^3+15n^2+17n+6)/6-1
=n(4n^2+15n+17)/6

No.1279 - 2008/06/25(Wed) 00:33:57

Re: 中学生でもわかるように / らすかる
技巧的な方法としては
2・3+3・5+4・7+…+(n+1)(2n+1)
=2・1+3・1+4・1+…+(n+1)・1
+2・1+3・2+4・3+…+(n+1)・n
+2・1+3・2+4・3+…+(n+1)・n
と分けて
2・1+3・1+4・1+…+(n+1)・1
=2+3+4+…+(n+1)
=n{2+(n+1)}/2=n(n+3)/2

2・1+3・2+4・3+…+(n+1)・n
=(1/3){1・2・3+2・3・3+3・4・3+…+n・(n+1)・3}
=(1/3){1・2・(3-0)+2・3・(4-1)+3・4・(5-2)+…+n・(n+1)・{(n+2)-(n-1)}}
=(1/3){(1・2・3-0・1・2)+(2・3・4-1・2・3)+(3・4・5-2・3・4)+…
    +{n・(n+1)・(n+2)-(n-1)・n・(n+1)}}
=(1/3){n・(n+1)・(n+2)}
=n(n+1)(n+2)/3

よって
2・3+3・5+4・7+…+(n+1)(2n+1)
=n(n+3)/2+2{n(n+1)(n+2)/3}
=n(4n^2+15n+17)/6

No.1282 - 2008/06/25(Wed) 01:39:19

Re: 中学生でもわかるように / ひろ
大変参考になりました。
ありがとうございました。

No.1312 - 2008/06/26(Thu) 23:06:45
項の係数 / ゆっち (高1)
(χ−2y+z^2)^7におけるχ^2y^3z^4

を 教えてください

答えはー1680です

No.1271 - 2008/06/24(Tue) 20:56:26

Re: 項の係数 / 魑魅魍魎
ヒントです。
(a+b+c)^n
の一般項は
{n!/(p!q!r!)}(a^p)(b^q)(c^r)

今回の場合
(χ−2y+z^2)^7
なので
{7!/(p!q!r!)}(x^p)((-2y)^q)((z^2)^r)

χ^2y^3z^4
から
p=2 q=3 r=2

No.1274 - 2008/06/24(Tue) 23:16:08
極限 / りょう
たびたびすいません・・・。

lim[n→∞](1+1/(n+1))^n

lim[n→∞](1-1/(n^2))^n

lim[x→0](1+x+x^2)^1/x

lim[x→0]x^2*sin(1/x)/sinx

という問題が分かりません。教えてください。

No.1264 - 2008/06/24(Tue) 16:23:28

Re: 極限 / りょう
すいません。訂正です

最初の問題の1+1/n+1ではなく、1-1/n+1です。

No.1265 - 2008/06/24(Tue) 16:40:21

Re: 極限 / 豆
無理やり作りたい形に持っていく
1番 (1-1/(n+1))^n=((n/(n+1))^(-n))^(-1)=((1+1/n)^n)^(-1)
2,3番も類似形
4番 =(x/sinx)・x・sin(1/x)
3つの積ですが、各々はどうなりますか?

No.1267 - 2008/06/24(Tue) 16:48:42

Re: 極限 / りょう
1と3は出来ました。
2は全く分かりません。
4はx/sinx*sin(1/x)/(1/x)となるのは分かるんですが、最後はsin(1/x)/(1/x)は0になるのでしょうか??

No.1268 - 2008/06/24(Tue) 17:14:19

Re: 極限 / 豆
ただ、意味もなく変形しても何にもなりません。
(x/sinx)・x・sin(1/x)としているのを、
何が目的でsin(1/x)/(1/x)などと意味のない変形を???
x/sinx→1  x→0  |sin(1/x)|≦1です
(x/sinxはもちろん意味があります)

(1-1/(n^2))^n=((n^2-1)/n^2)^n
n^2-1=m^2と置きましょう 
=(m^2/(m^2+1))^((-m^2)・(-n/m^2))  (1番でもこうやっています)
=((1+1/m^2)^(m^2))^(-n/m^2)

No.1269 - 2008/06/24(Tue) 17:46:23

Re: 極限 / りょう
なるほど!!!
豆さんありがとうございました!!

No.1270 - 2008/06/24(Tue) 18:45:16
微分・積分 / りょう
方程式:e^x-3x=0は0と1の間、また1と2の間に解をもつことを示せ。
と、いう問題が分かりません。教えてください。

No.1260 - 2008/06/24(Tue) 14:41:38

Re: 微分・積分 / 魑魅魍魎
y=e^x-3xのグラフを描いてみると分かると思います。
No.1262 - 2008/06/24(Tue) 15:37:35

Re: 微分・積分 / りょう
中間値の定理も使ってできそうです。ありがとうございました!!
No.1263 - 2008/06/24(Tue) 16:08:39
微分の問題 / ケンタ
y=(1+1/x)^xの微分はどうなりますか?
自分でやったらy'=(1+1/x)^2{log(1+1/x)+x^2/(x+1)}となったんですが、不安です。

No.1259 - 2008/06/24(Tue) 14:27:37

Re: 微分の問題 / 魑魅魍魎
y´=(1+1/x)^2{log(1+1/x)+x^2/(x+1)}
       ↑ここが2ではなくx
ですね。

No.1261 - 2008/06/24(Tue) 15:32:42
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