y=x^2/4 と合同な曲線Cが、x>=0, y>=0 内でx軸とy軸の両方に接するようにして動くとき、Cの焦点の軌跡を求めよ。
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No.89561 - 2024/12/13(Fri) 20:54:53
| ☆ Re: / 黄桃 | | | 参考までに、放物線の性質を使う解法を示します（細かいところは飛ばしてます）。
結果を見るともっと幾何学的に簡単にできそうですが、ちょっとわかりませんでした。
Cと合同な第1象限内の放物線について、焦点をF(p,q),準線lをcos(t)x+sin(t)y+c=0 (0<t<π/2)
とできる(lの法線ベクトルを M>>0に対して lから (M,M)方向に進む方向を正となるようにとる）。
Fとlの距離は2だから、点と直線の公式より
cos(t)p+sin(t)q+c=2 ...(1)
となる。
Cとx軸との交点をA(u,0), y軸との交点をB(0,v)とする。
F'をx=uに関してFと対称な点、F''をy=vに関してFと対称な点とおけば、
F'(2u-p,q), F''(p,2v-q) となり、放物線の性質
（FAとlとの距離は等しく、また、焦点FからAに直進した点がAの接線で反射すると準線に直交する直線上を進む）より、
AはF'からlに下ろした垂線上に、BはF''からlに下ろした垂線上にあり、しかも
F'とlの距離はAとlの距離の2倍、
F''とlの距離もAとlの距離の2倍
だから、点と直線の距離の公式より
(2u-p)cos(t)+qsin(t)+c=2(cos(t)u+c)
pcos(t)+(2v-q)sin(t)+c=2(sin(t)v+c)
となる。整理すると、
pcos(t)-qsin(t)+c=0
pcos(t)-qsin(t)-c=0
となるから、
pcos(t)-qsin(t)=0 ...(2) かつ c=0 ...(3)
を得る。
(2),(3)と(1)を連立させると
pcos(t)=1 ...(4)
qsin(t)=1 ...(5)
となる。
逆に、0<t<π/2,(3),(4),(5)を満たすとき、FA=(Aとlの距離), FB=(Bとlの距離)により、
(p-u)^2+q^2=(cos(t)u+c)^2
p^2+(q-v)^2=(sin(t)v+c)^2
を解いて、
u=1/(sin^2(t)cos(t)), v=1/(cos^2(t)sin(t)) と求まる。
よって、(4),(5)からtを消去して (1/x)^2+(1/y)^2=1, x>0, y>0 が求める焦点の軌跡である。
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No.89579 - 2024/12/15(Sun) 12:52:10 |
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