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ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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★ 平面による空間分割 / 清瀬　高2
四つの平面x=0、y=0、z=0、x+y+z=1によって、空間は何個の領域に分割されるか。理由を明記して答えなさい。

(A)x＞0、y＞0、z＞0
(B)x＜0、y＞0、z＞0
(C)x＜0、y＜0、z＞0
(D)x＞0、y＜0、z＞0
(E)x＞0、y＞0、z＜0
(F)x＜0、y＞0、z＜0
(G)x＜0、y＜0、z＜0
(H)x＞0、y＜0、z＜0

として、f(x,y,z)=x+y+z-1とおきます。

(A)から(H)までの8個の領域の内、f(x,y,z)=0によって正領域と負領域に分けられる可能性があるのは、x、y、zの内の少なくとも一つに正のものがある領域だけな感じですので、(G)以外の7個の領域はそれぞれ2分割され、(G)は常にf(x,y,z)=0に対して負領域に属するので、分割されることはないため、2×7+1=15個と解答しました。

空間図形の問題なのに解析的な解き方で見栄えが悪いということで、大幅に減点されてしまいました。4個もの平面によって空間が何個に分割されるのかをイメージするのが難しくて、図を何個描いても理解できないです。

どのように図を描いて説明するべきでしょうか。コツなどあれば教えていただけないでしょうか。よろしくお願いいたします。
No.87028 - 2023/12/27(Wed) 00:18:30
☆ Re: 平面による空間分割 / らすかる
例えば、平面x+y+z=1の図（描くものはx=0,y=0,z=0との交線）を描いて、直線で分けられた領域に「x＞0,y＜0,z＜0」のような説明を書き、直線それぞれに直線の式（あるいは交わる平面の式すなわちx=0,y=0,z=0）を描くというのはどうでしょうか。
3本の直線が中心に正三角形ができるように交わる図で、交点は(1,0,0)と(0,1,0)と(0,0,1)になります。図にある7つの領域はそれぞれ2つに分けられ、x＜0かつy＜0かつz＜0の領域は図に表れないので分割されない、ということです。
（あまりわかりやすいとは思えませんが、空間の図も難しいと思います。）
No.87029 - 2023/12/27(Wed) 00:37:42
☆ Re: 平面による空間分割 / 清瀬　高2
らすかる先生

ご解説ありがとうございます。大変参考になりました。

ちなみに先生がこの問題をお解きになる場合は、どのような解法を取りますでしょうか。

先生は15個の領域をさっと鮮明にイメージできてしまうのでしょうか。
No.87036 - 2023/12/27(Wed) 12:02:33
☆ Re: 平面による空間分割 / らすかる
「さっと」でもないですが、「鮮明にイメージ」はできますね。
空間座標における平面x+y+z=1の図がイメージできれば、15個になることもすぐにわかると思います。
No.87038 - 2023/12/27(Wed) 12:11:55
☆ Re: 平面による空間分割 / 清瀬　高2
らすかる先生

仰る通りでした！x+y+z=1の図をうまく利用すればわかりやすいです！

助かりました。ありがとうございました。

ちなみにのはなしですが、直線による平面分割は数列で表せますが、平面による空間分割も数列で表せたりするのでしょうか。もし表せるのなら、冬休みの自由研究のテーマにしてみたいです。
No.87039 - 2023/12/27(Wed) 13:09:40
☆ Re: 平面による空間分割 / らすかる
はい、表せます。次元が増えて少し考えにくいですが、考え方は平面分割の応用になります。
No.87059 - 2023/12/28(Thu) 04:03:03
☆ Re: 平面による空間分割 / 清瀬　高2
らすかる先生

助言をいただき、ありがとうございます！現在取り組み中ですが、早速躓いてしまいました。

n=4の場合ですが、最初の質問した問題のように、3枚の平面がx=0、y=0、z=0で、ここに4枚目の平面をx+y+z=1のように加えれば、空間分割個数は15個ですが、例えば4枚目をx+y=1のように加えてしまうと、空間分割個数は14個になってしまうように思えます。4枚目の平面の入れ方次第(すべての交線に交わるように加えるか、すでにある交線の一本に平行になるように加えるか)で、空間分割個数は変わってしまいそうです。

先生が「表せます」と仰って下さったのは、うまく分割した場合の最大の空間分割個数のことを指しているのでしょうか。それともある平面の加え方では何個といったように場合分けをしたものを指しているのでしょうか。

その場合、命題の前提条件をちゃんと決めておかないとまずいと思いますが、最大個数条件はすでにある交線のすべてに交わるように平面を加えるでよいでしょうか。

「少し考えにくい」とのことですが、ものすごく難しく感じてしまい、もしかして考え違いをしているかもです。わかるかたはすっとわかってしまうんですね…
No.87070 - 2023/12/28(Thu) 16:06:54
☆ Re: 平面による空間分割 / らすかる
平面分割の式を作るために「3本以上の直線が1点で交わらない」「どの2直線も平行でない」という条件を付けるのと同様に、空間分割の場合も「4つ以上の平面が1点で交わらない」「どの2平面も平行でない」という条件を付けるのが普通だと思います。そのような条件がないとしたら「最大値の式」「最小値の式」あたりしか作れませんね。

> 最大個数条件はすでにある交線のすべてに交わるように平面を加えるでよいでしょうか。
そうですね。その考え方から式が導出できますので、もう少し考えてみて下さい。
No.87080 - 2023/12/28(Thu) 20:52:21
☆ Re: 平面による空間分割 / 清瀬　高2
らすかる先生

先生の助言通り、

(?@)4つ以上の平面が1点で交わらない
(?A)どの2平面も平行でない
(?B)新たに追加する平面はそれまでにある交線のすべてに交わるようにする

という条件のもとでの最大分割個数を求めるという設定にしました。

以下、ここまでの経過です。

n=2のとき
n=1の平面に1枚の平面を加えると、2枚目の平面が1本の交線により、2分割されます。

n=3のとき
n=1、2の平面に1枚の平面を加えると、3枚目の平面がすでにある2枚の平面と交わりますが、すでにある1本の交線によって、新たに追加される交線が2分割されます。

すでにある交線によって、新たに追加される交線は分割されますが、このそれぞれを分割交線、分割交線1本につき、新たに追加される平面は2分割されますが、このそれぞれを分割平面と呼ぶことにします。言葉の使い方には目を瞑っていただきたいです。

分割交線が1本増えることにより、分割平面は2枚増えますので、増加する空間の個数は2個となります。

n枚の平面による空間分割個数をSn、n枚目の平面の追加により新たに生まれる分割平面枚数と分割交線本数をそれぞれPn、Lnとします。先の考察から、

S(n+1)=Sn+P(n+1)
Pn=2Ln
Ln=n-1

でも解かないまでもこれが間違いだとはわかります。S4が15にならないからです。それに空間座標を題材にしているので、nの次数は3になるような。

どこを間違えたのかと探してましたが、私はz軸方向から見た図ばかり描いてました。これでは例えばx+y+z=1とx＜0、y＜0、z＞0の間の分割が考慮されていない感じです。

方針を根本から立て直した方がよいでしょうか。助言していただけると幸いです。
No.87087 - 2023/12/29(Fri) 13:27:34
☆ Re: 平面による空間分割 / らすかる
平面を1枚加えたとき、その平面上に他の平面との交線がすべて存在します。
そして、平面を加えたときに増える領域の個数は、交線で区切られた各平面に見える空間領域のすべてがその平面で2分割されることになりますので、交線で区切られた平面の個数と同じです。
よって「平面を直線で分割したときの領域数(1,2,4,7,11,…)」を加えていくことになります。
No.87105 - 2023/12/30(Sat) 02:16:35
☆ Re: 平面による空間分割 / 清瀬　高2
らすかる先生

先生の仰る通り、だいぶ考え違いひどかったことがわかりましたので、投稿はいったん編集させてください。

漸化式はS(n+1)=Sn+(n+1)C2+1でよいとのことですので、ここにたどり着くまでずっと考え続けます。

もう10時間を軽く超えてまして恥ずかしい限りですが、絶対解決します。
No.87106 - 2023/12/30(Sat) 03:07:31
☆ Re: 平面による空間分割 / らすかる
結果の数列は合っていますが、考え方が正しくない気がします。
> n+1枚目の平面を加えると、n+1本の交線ができますが、
例えば3枚目の平面を加えたとき、その平面上に（新たに）できる交線の数は2本です。

> これらがすでにあるn本と交わることにより、(n+1)C2個の交点を作ること、
「交点」は空間の分割とはあまり関係ない気がします。

> また、このとき一枚の三角形ができることから、
交線が増えると三角形もどんどん増えます。「一枚の三角形」ができるのは
4枚目の平面を加えたときだけです。
No.87107 - 2023/12/30(Sat) 05:08:14
★ (No Subject) / KS
高校受験の問題です。どなたか解説していただけると幸いです。答えは√14-√2です。
<問題>
この図は、点Oを中心とし、半径をOAとする、中心角90度の扇形OABである。
　線分OBの中点をC、弧AB上にある点をPとし、点Cと点Pを結ぶ。
　線分CBと線分CPと弧PBとで囲まれた図形を、直線CPを対称の軸として対称移動させたとき、点Bと線対称な点をQとする。
No.87026 - 2023/12/26(Tue) 23:12:22
☆ Re: / X
点Pから線分OBに下した垂線の足をHとします。

今、
CP=x[cm]
とすると、直角二等辺三角形である
△HPCに注目して
CH=HP=x/√2[cm]
後は△HPOに三平方の定理を適用して
xについての方程式を立てます。
No.87030 - 2023/12/27(Wed) 00:53:26
☆ Re: / KS
助かりました。ありがとうございます!
No.87032 - 2023/12/27(Wed) 01:14:06
★ 数学?Vの区分求積法 / MK
高校の数学?Vの内容で区分求積法の問題で質問です。
なぜ私の解答ではいけないのか教えてください。

【問題】
a　=　lim＜n→∞＞Σ＜k=1〜ｎ＞１/(n+(2k-1))を求めよ。

【私の解答】
t = 2k-1とおく。
kが１からn　　までのとき
tは1から2n-1　までだから、
a = lim＜n→∞＞Σ＜k=1〜ｎ＞１/(n+(2k-1))
＝ lim＜n→∞＞Σ＜t=1〜2ｎ-1＞１/(n+ｔ)
＝ lim＜n→∞＞1/n×Σ＜t=1〜2ｎ-1＞１/(1+ｔ/n)

長方形の面積でt=1から2n-1をt=1からt=2nまでを求め、その後t=2nの場合を除けばよいから
ｘ＝ t/nだから
a = lim＜n→∞＞1/n×Σ＜t=1〜2ｎ＞１/(1+ｔ/n)-lim＜n→∞＞1/n×1/(1+2n/n)
= lim＜n→∞＞1/n×Σ＜t=1〜2ｎ＞１/(1+ｔ/n)-lim＜n→∞＞1/n×1/(1+3)
= ∫＜０〜２＞１/(1+x)dx-lim＜n→∞＞1/n×1/(1+3)
= [log(1+x)]＜0~2> -0
= log３　←　これは誤りらしいです。正解は以下のように1/2 log３です。


【正解】
a = lim＜n→∞＞Σ＜k=1〜ｎ＞１/(n+(2k-1))
= lim＜n→∞＞1/n×Σ＜k=1〜ｎ＞１/(1+2×(k-０.５)/n)

ｈ= k-0.5とおく
kが１から n　　までのとき
ｈは1からn-0.5　までだから、
h/nつまりｘ＝h/nは1/(2n)〜１−1/(2n)まで変化する。
ｎ→∞のとき、1/(2n)→０　　　１−1/(2n)→０だから
a = lim＜n→∞＞Σ＜k=1〜ｎ＞１/(n+(2k-1))
= lim＜n→∞＞1/n×Σ＜k=1〜ｎ＞１/(1+2×(k-０.５)/n)
　= lim＜n→∞＞1/n×Σ＜h=1~2＞１/(1+2×h/n)
= ∫＜０〜１＞１/(1+2x)dx
= 1/2[log(1+2x)]＜0~１>
=1/2 log３
No.87020 - 2023/12/26(Tue) 19:31:18
☆ Re: 数学?Vの区分求積法 / MK
高校数学の「数学?Vの区分求積法」が文字が変換されないようでした。「数学３の区分求積法」にしてください。
No.87021 - 2023/12/26(Tue) 19:35:17
☆ Re: 数学?Vの区分求積法 / IT
kが１からn　　までのとき
tは1から2n-1　までだから
a ＝ lim＜n→∞＞Σ＜t=1〜2ｎ-1＞１/(n+ｔ)　の
＜t=1〜2ｎ-1＞は、間違いです。
ｔの値は奇数しかとりません。
No.87022 - 2023/12/26(Tue) 20:19:42
☆ Re: 数学?Vの区分求積法 / MK
確かにｔ＝２ｋ−１のように置き換えると、ｔの値は奇数しかとりませんので、誤りが納得できました。
勝手に置き換えると、自然数だったのに、奇数になるなど、値で過不足がでて答えが誤ることになるのですね。

Ｑ１
では、置換積分でも、ｔ＝２ｋ−１のように置き換えると、値で過不足がでて答えが誤ることになりそうですが、
なぜ置換積分ではｔ＝２ｋ−１のように置き換えていいのですか。
例えば、∫＜0~1>(２ｋ−１）ｄｋの計算を
ｔ＝２ｋ−１とおいて
∫＜0~1>(２ｋ−１）ｄｋ　＝　∫＜-1~1>t(1/2)ｄt　のように計算しますが、
Σのように、自然数だったのに、奇数になるなど、値で過不足がでててきても（？）計算してよいのはなぜですか？

Ｑ２
【正解】で
a = lim＜n→∞＞Σ＜k=1〜ｎ＞１/(n+(2k-1))
　= lim＜n→∞＞1/n×Σ＜k=1〜ｎ＞１/(1+2×(k-０.５)/n)
　
を変形して
　lim＜n→∞＞1/n×Σ＜k=1〜ｎ＞１/(1+2×(k-０.５)/n)＝
＝lim＜n→∞＞1/n×Σ＜k=1〜ｎ＞１/(1+2×(k/n)-1/n)

一番の右のー1/nはn→∞のとき、ー1/n→０だから
　lim＜n→∞＞1/n×Σ＜k=1〜ｎ＞１/(1+2×(k/n)-1/n)
＝lim＜n→∞＞1/n×Σ＜k=1〜ｎ＞１/(1+2×(k/n)-０)
＝lim＜n→∞＞1/n×Σ＜k=1〜ｎ＞１/(1+2×(k/n)
= ∫＜０〜１＞１/(1+2x)dx

のようにしてもよいですか。
No.87023 - 2023/12/26(Tue) 22:12:15
☆ Re: 数学?Vの区分求積法 / IT
極限の取り扱いは、センシティブなので、高校レベルで分かり易くかつ正確に回答する自信がありません。
どなたかお願いします。
No.87024 - 2023/12/26(Tue) 23:08:14
☆ Re: 数学?Vの区分求積法 / ast
その"【正解】" って本当に模範解答か? さすがに h まわりの記述がデタラメすぎる (私が採点者だったらこれが誰かの答案として出て来たら不正解にしてる) と思うが…….
# 仮に誰かが何かおかしな改変を加えていると仮定しても, 誤字とかちょっと直せば模範解答になるような記述とも思えない.

どう考えても通常の模範解答なら, (実質的な理由は IT さんの No.87022 の話と同じ根拠で) 「a=∫[0,2]dx/(1+x) - ∫[0,1]dx/(1+2x) (=log(3)/2)」とするだけだと思うが.
No.87025 - 2023/12/26(Tue) 23:08:48
☆ Re: 数学?Vの区分求積法 / MK
a　=　lim＜n→∞＞Σ＜k=1〜ｎ＞１/(n+(2k-1))

から「a=∫[0,2]dx/(1+x) - ∫[0,1]dx/(1+2x) (=log(3)/2)」
になる理由を教えてください。


【正解】" って本当に模範解答？

模範解答であるかわかりませんが、解説として以下のところに書いてありました。

https://www.youtube.com/watch?v=rID1u5GsiUE
で10:00 あたりにあります。
No.87027 - 2023/12/26(Tue) 23:49:12
☆ Re: 数学IIIの区分求積法 / ast
> になる理由を教えてください。
MK さんのもとの答案の方針で, IT さんの指摘された部分を直せば (その式を結論とする) 模範解答になる, と指摘したつもりです. なのでとくに加えるべき説明はこちらからは無いだろうといまのところは考えています.

> 以下のところ
予想はしてたがゴミのような動画だった…… (変な動画がサジェストされるようになったりしたら嫌だなぁ
# 動画の投降者自身が「(h まわりの話は) 答案に書くな」と言ってることから正しい解説でないことは
# わかって述べてるのだろうという点はまだ良心があるほうかもしれないところかもしれんが
# その理由が「書かなければ採点者を誤魔化せる」というバッドノウハウな時点で擁護する気は失せた.
## 院生時代にTAで採点側を経験した友人同士で「バレバレだよなあ」と盛り上がったのを思い出す…….
## (「たとえ間違ったことは書いて無くても, 肝心の根拠が書いてない」とかだと本当にすぐにわかる.
## あと, 「何も書かないよりはましだろう」も実際は「書けば書くほどわかってないことを喧伝するようなもの」だったりはあるある話だった.)
No.87033 - 2023/12/27(Wed) 01:26:29
☆ Re: 数学?Vの区分求積法 / MK
すみません。まだわかっていないのですが、

a　=　lim＜n→∞＞Σ＜k=1〜ｎ＞１/(n+(2k-1))

から「a=∫[0,2]dx/(1+x) - ∫[0,1]dx/(1+2x) (=log(3)/2)」
になる理由を教えてください。

また、Q1とQ2も教えてください。
No.87035 - 2023/12/27(Wed) 11:25:58
☆ Re: 数学?Vの区分求積法 / MK
すみません。Σの前に1/nが入っていませんでした。
（入力ミスに気が付いて考えてくださっている方もいると思いますが）Σの前に1/nを入れて説明をお願い致します。


Q3

Q2の類題で私が勝手に考えた問題で以下の解答も可能であれば教えてください。


【問題】
ｐ　=　lim＜n→∞＞(1/n)Σ＜k=３〜(ｎ＋５)＞１/((k/n)+(2/n))を求めよ。

n→∞のとき　2/n→０だから
ｐ　=　lim＜n→∞＞(1/n)Σ＜k=３〜(ｎ＋５)＞１/((k/n)+(2/n))
　　=　lim＜n→∞＞(1/n)Σ＜k=３〜(ｎ＋５)＞１/((k/n)+０)
で計算していいのですか。

また、k=３〜(ｎ＋５)のとき
k/nは3/n~(n+5)/nだから
n→∞のとき、3/n→０、　(n+5)/n→０なので
k/nは0~1だから、面積を考えると
ｐ　=　lim＜n→∞＞(1/n)Σ＜k=３〜(ｎ＋５)＞１/((k/n)+(2/n))
　　＝∫＜０〜１＞(1/(x+0))dx
＝∫＜０〜１＞(1/x)dx
=log1-log0
=0-?

誤りを直していただけると助かります。
No.87037 - 2023/12/27(Wed) 12:08:16
☆ Re: 数学IIIの区分求積法 / ast
> まだわかっていない
やっぱり IT さんの指摘された内容をどこか曲解している可能性がたかそうですね.
# 必要なもの: "1 から 2n までの間のすべての奇数に関する和",
# に対して, "1 から 2n までのすべての自然数に関する和" では余分なものをたくさん足しすぎている (→足し過ぎた分はすべて除かなければならない)
# という事態を要約する文として
# > 自然数だったのに、奇数になる
# とはふつうは言いませんでしょう (なのでなにかしら引っかかる感じはしていた).

> で計算していいのですか。
Q3 ならば
　Σ_[k=3,…,n+5] 1/(k+2) = Σ_[k=3,…,n+5] 1/k + (誤差)
と書けば明示的に
　(誤差)=1/(n+6)+1/(n+7)-1/3-1/4
だから (誤差)/n → 0 は明らかで, それゆえに「していい」と判断できます. Q2 も同様のことを確認しなければいいかわるいか決められません (が, 誤差を明示的な式で表すのは困難でしょう, それでも挟み撃ちやイプシロンデルタ論法はこのような「定量的」な根拠を示すのに十分強力な武器なので, それでうまく処理できる可能性は考えてもいいはずです).

>n→∞のとき、3/n→０、　(n+5)/n→０なので
>k/nは0~1だから、
あいかわらず端点のきめ方が異常(ここが変なのは動画すら斜め読みしかしてないせい?)ですが……
　p=∫_[0,1] dx/x = lim_[ε↓0] ∫_[ε,1]dx/x
が広義積分で高校範囲外であることを除けば
　∫_[ε,1]dx/x → ∞ (as ε↓0)
と
　Σ_[k=3,…,n+5] 1/(k+2) → ∞ (as n→∞)
は矛盾しませんので直すところはありません.
No.87051 - 2023/12/27(Wed) 18:30:31
☆ Re: 数学?Vの区分求積法 / MK
長い質問に答えていただきありがとうございました。
皆さんの丁寧な説明で理解できました。
他にQ3の質問にも答えていただきありがとうございました。
No.87054 - 2023/12/27(Wed) 22:18:40
★ 確率 / ふま
中学確立の問題です。
赤玉1個、青玉2個、白玉3個入った袋の中から同時に２個取り出すとき、少なくとも1個が白玉である確率を求めよ。という問題で、15通りの中から少なくとも1個が白玉になる確率なので11/15という答えを出したのですが不正解でした。どなたか答えと解説を頂けたら幸いです。
No.87017 - 2023/12/26(Tue) 10:40:36
☆ Re: 確率 / ヨッシー
15通りとは、
　（赤Ａ、青Ａ）（赤Ａ、青Ｂ）（青Ａ、青Ｂ）
　（赤Ａ、白Ａ）（赤Ａ、白Ｂ）（赤Ａ、白Ｃ）
　（青Ａ、白Ａ）（青Ａ、白Ｂ）（青Ａ、白Ｃ）
　（青Ｂ、白Ａ）（青Ｂ、白Ｂ）（青Ｂ、白Ｃ）
　（白Ａ、白Ｂ）（白Ａ、白Ｃ）（白Ｂ、白Ｃ）
であり、上の３組以外の12通りが白を含みます。
No.87018 - 2023/12/26(Tue) 11:14:10
☆ Re: 確率 / ふま
組み合わせが違っていたみたいですね…
助かりました。ありがとうございます！
No.87019 - 2023/12/26(Tue) 14:29:48
★ 平均値の定理 / らじあん
数3Cの問題です。
0<a≦bのときに 2(b-a) / (a+b) ≦ logb - loga
を証明する問題なのですが、平均値の定理を用いてもうまくいきません。
どなたか解法をご教授いただければ幸いです。
No.87010 - 2023/12/25(Mon) 15:21:53
☆ Re: 平均値の定理 / X
0＜a≦b (A)
から
(証明すべき不等式)⇔2(b/a-1)/(b/a+1)≦log(b/a)
(A)⇔1≦b/aかつa＞0
よって問題は
1≦x (B)
のとき
2(x-1)/(x+1)≦logx (C)
を証明することに帰着します。

ここで
f(x)=logx-2(x-1)/(x+1)
と置くと
f(x)=logx-2+4/(1+x)
∴f'(x)=1/x-4/(1+x)^2={(1+x)^2-4x}/{x(1+x)^2}
={(x-1)^2}/{x(1+x)^2}≧0
∴f(x)は(B)において単調増加なので
f(x)≧f(1)=0
∴(C)は成立します。
No.87012 - 2023/12/25(Mon) 19:29:36
☆ Re: 平均値の定理 / らじあん
ありがとうございました！
No.87013 - 2023/12/25(Mon) 19:45:09
☆ Re: 平均値の定理 / ast
平均値の定理と関連付けるなら:
示すべき式の右辺を y=1/x のグラフと x-軸, 直線 x=a, x=b で囲まれた図形の面積
# 左辺は 高さ 1/((a+b)/2), 幅 b-a の長方形の面積 ∫[a,b] dx/((a+b)/2)
と思うとき, 平均値の定理はその図形の平均の高さ 1/c を与える点 x=c を与えるものと解釈できるから, その図形を高さ一定の直線 y=1/((a+b)/2) で切ってできる二つの面積 ∫[a,(a+b)/2] 1/x - 1/((a+b)/2) dx (過剰部分) および ∫[(a+b)/2,b] 1/((a+b)/2) - 1/x dx (不足部分) を比べて, 前者が大きいことを言えば, 点 x=c は区間の中点 x=(a+b)/2 よりも左側にある (これが示すべきこと i.e. 0<a≤b のとき: c≤(a+b)/2 ⇔ (b-a)/((a+b)/2)≤(b-a)/c) と結論付けられる.
No.87014 - 2023/12/25(Mon) 20:45:45
★ 難角問題 / あ
四角形ABCDにおいて
∠CAB=80°,∠ABD=50°,∠CBD=30°,∠BCA=20°,∠ACD=20°,∠CDB=110°
であるとき
∠ADB,∠CAD を求めよ.

∠ADB=30°,∠CAD=20°です.
初等幾何による解法でご教授願います.
No.87009 - 2023/12/25(Mon) 15:15:01
☆ Re: 難角問題 / 黄桃
こういうのは、
ラングレーの問題 20 20 30 50
で検索すれば解がみつかることが多いです。
一例は
http://www.himawarinet.ne.jp/~rinda/newpage41.html
です(図が反転しているので A,B,C,D が D,C,B,Aにそれぞれ対応しているのに注意）。
No.87015 - 2023/12/26(Tue) 06:53:37
☆ Re: 難角問題 / あ
ご紹介いただいたホームページにより、解決することができました。

ご協力ありがとうございました。
No.87016 - 2023/12/26(Tue) 10:38:25
★ (No Subject) / ふぁ中１
中１です。
6×2a+1/3で、答えが4a+2になってるのですが、2a+1/3は2a/3と
1/3に分けられるので答えは4a+3/1になるのではないのですか？
No.87001 - 2023/12/25(Mon) 00:07:30
☆ Re: / らすかる
1/3を6倍したら2なので4a+3でなく4a+2ですね。
No.87003 - 2023/12/25(Mon) 00:43:05
☆ Re: / ast
# 印刷物のような組み文字のない分数表記の面倒もあるのだと思います (もし以下が本当にそうであるなら,
# 2a+1/3 も 4a+1/3 も文字の並びは 2 と 4 が違う以外は全く同じにもかかわらず,
# これを, 2a+1/3 は 3分の2a+1 と読み, 4a+1/3 は 4a 足す 3 分の1 と読ませようとしている,
# ということになってしまって, これで誤解なしに思った通りに伝わると本当に思うかを
# 問わずにはいられなくなる) が, まあそれはあきらめて差っ引かないといけないのでしょうなぁ……
## とはいえ思ったのと違う読まれ方をして損をするのは質問者くらいなのだし,
## たとえ適切な表記法が選べずとも注釈くらいは入れるようにしたほうがいい.
----
閑話休題. もしかして
> 6×2a+1/3で、答えが4a+2になってるのですが、2a+1/3は2a/3と
> 1/3に分けられるので答えは4a+3/1になるのではないのですか？
は (「範囲」や「対象」の区別をつけるための括弧を余分に加えて書けば)
　「6×((2a+1)/3)で、答えが4a+2になってるのですが、(2a+1)/3は2a/3と
　1/3に分けられるので答えは(4a)+(1/3)になるのではないのですか？」
のような感じで書くのが質問内容を察するところ正しいものなのではないですか?
# 下線部については, もとのままだと質問の意図がよくわからないことになるなと感じたので,
# 誤記なのではないかと想定した.
## (つまり, 実際の質問内容は「2a/3 だけを 6 倍して, 1/3 はそのままにすべきでは」とか
## 「ふたつめの 6 はどこからきたのか」のような趣旨のことなのではないか, と考えた.)

もし仮に質問内容がそうであったなら, 「まずは簡単な例題として, (1+3)×2 に対して 1+(3×2) と (1×2)+3 と (1×2)+(3×2) をそれぞれ計算して結果を比較してください」というような話をすることになるのだと思います.
No.87004 - 2023/12/25(Mon) 01:28:19
★ チルノ問題について / れたす
一般的な高校生です。これについてですが「最初のkをいかなる自然数にしても最終的にk=1にすることができる」という予想があってる事を証明したいのですが、どこから手を付ければいいのかわかりません…教えてください…
No.86997 - 2023/12/24(Sun) 19:51:05
★ 青稜中学2023年2-B入試問題 / WATAPA
中学受験問題です。声の教育社の過去問を買ったのですが、答えは14.4㎠と書いてあるのですが、解説がありません。解法を教えていただければ幸いです。
No.86994 - 2023/12/24(Sun) 13:38:11
☆ Re: 青稜中学2023年2-B入試問題 / らすかる
ひし形の左端をA、下端をB、右端をC、上端をDとし、
左側の「3cm」の範囲の右上端をE（つまりAE=3cm）、
左側の「2cm」の範囲の右下端をF（つまりAF=2cm）、
右側の「3cm」の範囲の左下端をG（つまりCG=3cm）、
右側の「2cm」の範囲の左上端をH（つまりCH=2cm）
として、斜線部分左側の四角形の右端（GHに接している点）をIとします。
EF//HGから△EFI=△EFG、また△AFE≡△CHGなので
△AFE+△EFI+△CHG=△AFE×2+△EFGの面積を求めればOKです。
△AFE=(1/3)△ABE=(1/3){(1/2)△ABD}=(1/6)△ABD=(1/6){(1/2)ひし形}=34.56÷12=2.88
同様に
△FBG=△HDE=(2/3)△ABG=(2/3){(1/2)△ABC}=(1/3)△ABC=(1/3){(1/2)ひし形}=5.76
から
△EFG=(1/2)平行四辺形EFGH=(1/2){ひし形-2△AFE-2△FBG}=(1/2){34.56-5.76-11.52}=8.64
従って求める面積は
2.88×2+8.64=14.4[cm^2]
となります。
図で説明しないと結構わかりにくいですね。
No.86995 - 2023/12/24(Sun) 14:20:45
☆ Re: 青稜中学2023年2-B入試問題 / WATAPA
ご丁寧に解説していただいたお陰で理解ができました。
ありがとうございました！
No.86996 - 2023/12/24(Sun) 15:23:32
★ 中学数学の問題 / ★
　ＯからＣを通って、Ｄまで進む最短経路は何通りあるか。中学生です。中学生でも解ける方法を教えてください
No.86992 - 2023/12/24(Sun) 10:27:31
☆ Re: 中学数学の問題 / IT
OからCまでの最短経路が何通りかを調べます
CからDまでの最短経路が何通りかを調べます

２つの数を掛けた値が　求める値です。

OからCまでの最短経路が何通りかを調べる方法
　途中の交差点（例えばA）に辿り着く経路数を、その交差点の横に書きます。

A：１、B：１
Aから右に一つ行った交差点は、AとBから来れますので　１+１の２を書きます。
同様に他の交差点にも書きます。
交差点Cに書いた値が　OからCまでの最短経路の個数です。

交差点が多い場合は、この方法だと大変ですが、少ない場合は、有効です。

授業では、類似の例題はどのような方法で解いていますか？
No.86993 - 2023/12/24(Sun) 12:46:26
☆ Re: 中学数学の問題 / ★
いきなり応用問題で出題されました。例題とかでは解いてないです。その後、どうように解いたら良いのですか？
No.86998 - 2023/12/24(Sun) 22:46:52
☆ Re: 中学数学の問題 / GandB
中学数学 順列 最短経路

で検索すれば参考になるサイトがいっぱい出てくる。たとえば
https://bunpon.com/?p=4674
No.87005 - 2023/12/25(Mon) 07:46:48
★ 難角問題 / 名前
AB=ACである三角形ABCの∠Bの二等分線とACの交点をDとする.
AD+BD=BCであるとき∠Aの大きさを求めよ.

ご教授願います.
No.86991 - 2023/12/23(Sat) 22:08:09
☆ Re: 難角問題 / WIZ
べき乗演算^は四則演算より優先度が高いものとします。

|AB| = |AC|・・・(1)
|AD|+|BD| = |BC|・・・(2)

∠ABD = ∠CBD = θとおきます。
∠B = ∠C = 2θ, ∠A = π-4θ, ∠ADB = 3θ, ∠CDB = π-3θとなります。

計算の見通しを良くするために、x = cos(θ)とおきます。
cos(2θ) = 2x^2-1, cos(3θ) = 4x^3-3xです。

(第二)余弦定理と(1)より、
|AC|^2 = |AB|^2+|BC|^2-2|AB||BC|cos(∠B)
= |AB|^2+|BC|^2-2|AB||BC|cos(2θ)
= |AB|^2+|BC|^2-2|AB||BC|(2x^2-1)
⇒ |BC|^2 = |AB||BC|(4x^2-2)
⇒ |BC| = |AB|(4x^2-2)・・・(3)

(第一)余弦定理と(3)より、
|BC| = |BD|cos(∠CBD)+(|AC|-|AD|)cos(∠C)
= |BD|cos(θ)+(|AC|-|AD|)cos(2θ)
= |BD|x+(|AB|-|AD|)cos(2θ)
= |BD|x+|BC|/2-|AD|(2x^2-1)
⇒ |BC|/2 = |BD|x-|AD|(2x^2-1)
⇒ |BC| = |BD|(2x)-|AD|(4x^2-2)・・・(4)

(2)(4)を|AD|と|BD|の連立方程式と見なし、(3)を使用すると、
|BD| = |BC|-|AD|
⇒ |BC| = (|BC|-|AD|)(2x)-|AD|(4x^2-2)
⇒ |BC|(2x-1) = |AD|(4x^2+2x-2)
⇒ |AD| = |BC|(2x-1)/{2(2x^2+x-1)}
= |AB|(4x^2-2)(2x-1)/{2(2x-1)(x+1)}
= |AB|(2x^2-1)/(x+1)・・・(5)

|BD| = |AB|(4x^2-2)-|AB|(2x^2-1)/(x+1)
= |AB|{(4x^2-2)(x+1)-(2x^2-1)}/(x+1)
= |AB|{(4x^3+4x^2-2x-2)-(2x^2-1)}/(x+1)
= |AB|(4x^3+2x^2-2x-1)/(x+1)
= |AB|(2x^2-1)(2x+1)/(x+1)・・・(6)

# この辺りからの計算はwolfram alphaのお世話になっています。

(第二)余弦定理と(3)(5)(6)より、
|AB|^2 = |AD|^2+|BD|^2-2|AD||BD|cos(∠ADB)
⇒ (|AB|^2)(x+1)^2 = (|AB|(2x^2-1))^2+(|AB|(2x^2-1)(2x+1))^2-2|AB|(2x^2-1)|AB|(2x^2-1)(2x+1)cos(3θ)
⇒ (x+1)^2 = ((2x^2-1)^2){1+(2x+1)^2-2(2x+1)(4x^3-3x)}
= (4x^2-4x+1){1+(4x^2+4x+1)-2(8x^4+4x^3-6x^2-3x)}
= (4x^2-4x+1)(-16x^4-8x^3+16x^2+10x+2)
= -2(4x^2-4x+1)(x+1)(8x^3-4x^2-4x-1)
⇒ x+1 = -2(4x^4-4x^2+1)(8x^3-4x^2-4x-1)
⇒ (x+1)+2(4x^4-4x^2+1)(8x^3-4x^2-4x-1) = 0
= 64x^7-32x^6-96x^5+24x^4+48x^3-7x-1
= (x-1)(2x-1)((2x+1)^2)(8x^3-6x-1)・・・(7)

0 < θ < π かつ 0 < ∠A = π-4θ < π つまり 0 < θ < π/4 だから、
1 > x = cos(θ) > 1/√2 です。
よって、(7)の根の内、x = 1, 1/2, -1/2は該当しません。

8x^3-6x-1 = 0 の解は全て実数なのですが、
カルダーノの公式で解くと複素数の3乗根を用いた表現となってしまい∠Aの値が分からない。

そこで技巧的(偶然閃いただけ)ですが、
8x^3-6x-1 = 2(4x^3-3x)-1 = 0 かつ x = cos(θ) だから、
2(4x^3-3x)-1 = 2cos(3θ)-1 = 0
⇒ cos(3θ) = 1/2
⇒ 0 < 3θ < π より、3θ = π/3
⇒ 0 < θ < π/4 より、θ = π/9

以上から、∠A = π-4π/9 = 5π/9 となります。

# 計算間違いしている可能性が大いにありますので、質問者さんの方で良く検算してみてください!
No.86999 - 2023/12/24(Sun) 23:29:08
☆ Re: 難角問題 / 名前
ご回答いただき、ありがとうございます。
答えは100度で間違いございませんが、こちらの問題は小学生向けの問題のため、初等幾何による解法はございませんでしょうか？
No.87006 - 2023/12/25(Mon) 09:22:41
☆ Re: 難角問題 / ヨッシー
辺ＢＣ上に、ＥＣ＝ＡＤとなる点Ｅを取り、△ＥＣＤを考えます。
　ＥＣ：ＣＤ＝ＡＤ：ＣＤ＝ＡＢ：ＢＣ　角の二等分線の定理より
および、
　∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＥ
より、　△ＥＣＤと△ＡＢＣは相似となり、
　ＥＤ＝ＥＣ
ＡＤ＋ＢＤ＝ＢＣ　より
　ＢＤ＝ＢＥ
が言えます。
　∠ＤＢＥ＝●
とすると、
　∠ＤＣＥ＝∠ＣＤＥ＝●×２
外角の性質より
　∠ＢＥＤ＝∠ＢＤＥ＝●×４
△ＢＤＥにおける内角の和は　●×９
となり、●＝20°
　∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝40°
　∠ＢＡＣ＝100°
が順に言えます。
No.87007 - 2023/12/25(Mon) 10:29:20
☆ Re: 難角問題 / 名前
ご回答ありがとうございます。
おかげさまで解決しました。

ご協力ありがとうございました。
No.87008 - 2023/12/25(Mon) 14:35:00
★ (No Subject) / 雪だるま
座標平面上の原点Oを中心とする半径1の円周をCとし点A(-1，0)におけるCの接線と点B(1/√2,1/√2)におけるCの接線の交点をDとする。また線分AD上の点P(-1，k)を取り線分BD上の点Qをとる。直線PDとCが点Rにおいて接するとき以下の問いに答えよ。ただし0＜k<1とする

(1)点Dの座標を求めよ
(2)点Rの座標を求めよ
(3)PD/BQをkを用いて表せ

(3)の模範解答よろしくお願いします
No.86984 - 2023/12/23(Sat) 00:59:05
☆ Re: / X
＞＞直線PDとCが点Rにおいて接するとき
が
直線PQとCが点Rにおいて接するとき
のタイプミスと見て、方針を。

(2)の結果から点Rにおける接線の方程式として
直線PQの方程式(これを(A)とします)が得られます。

(A)と点BにおけるCの接線の方程式を連立して解き
点Qの座標を求めれば、BQの長さをkで表すことができます。
更に(1)の結果からPDの長さもkで表すことができます。
No.86986 - 2023/12/23(Sat) 01:38:53
★ (No Subject) / 群P
aを実数とする。点A(0,a)と曲線y=√(x^2+4)上を動く点Bの距離の最小値を求めよ

解説お願いします
No.86977 - 2023/12/22(Fri) 13:06:11
☆ Re: / らすかる
a≦2のとき自明（最短はB(0,2)のときで距離は2-a）
a＞2の場合
y=√(x^2+4)からy'=x/√(x^2+4)
B(t,√(t^2+4))とすると点Bにおける法線の式は
y=-(√(t^2+4)/t)x+2√(t^2+4)
y軸との交点CはC(0,2√(t^2+4))
BC=√(2t^2+4)
√(2t^2+4)≧2だから
a≦4のとき最短距離a-2（B(0,2)のとき）
a＞4のときはa=2√(t^2+4)とすると(0,a)から
(t,√(t^2+4))=(±√(a^2-16)/2,a/2)までの距離が最短で、
その距離は√(2a^2-16)/2
∵a＞4のとき√(2a^2-16)/2＜a-2
従ってまとめると、ABの最短距離は
a≦4のとき |a-2|
a＞4のとき √(2a^2-16)/2

(参考)
無理矢理一つの式で表せば
√(3a^2-8a-(a-4)|a-4|)/2
No.86981 - 2023/12/22(Fri) 17:54:25
☆ Re: / WIZ
別解

べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。

tを実数として、x = 2sinh(t)と置けば、y = √(x^2+4) = √(4sinh(t)^2+4) = 2cosh(t)です。
点A(0, a)と点B(x, y) = (2sinh(t), 2cosh(t))の距離を|AB|で表すことにします。
|AB|^2 = (0-2sinh(t))^2+(a-2cosh(t)^2)
= 4sinh(t)^2+a^2-4a*cosh(t)+4cosh(t)^2
= a^2-4a*cosh(t)+4cosh(2t)

|AB|はtの関数となるので、導関数を求めます。
(d/dt)(|AB|^2) = -4a*sinh(t)+8sinh(2t)
= 8sinh(t){cosh(t)-a/2}

y = √(x^2+4)のグラフはy軸に対して線対称なので、x ≧ 0の部分、つまりt ≧ 0の部分を考えれば十分です。

cosh(t) ≧ 1かつsinh(t) ≧ 0ですから、a/2 ≦ 1のときは(d/dt)(|AB|^2) ≧ 0です。
つまり、|AB|は単調増加であり、t = 0で最小と言えます。、
|AB|^2 = (0-2sinh(0))^2+(a-2cosh(0))^2 = (0-2*0)^2+(a-2*1)^2より、|AB| = |a-2|が最小です。

a/2 > 1のときは、
1 ≦ cosh(t) < a/2なら、(d/dt)(|AB|^2) ≦ 0なので、|AB|^2は(単調)減少です。
cosh(t) = a/2なら、(d/dt)(|AB|^2) = 0なので、|AB|^2は極小となります。
a/2 < cosh(t)なら、(d/dt)(|AB|^2) > 0なので、|AB|^2は増加です。

cosh(t) = a/2とき、sinh(t) = √((a/2)^2-1) = (1/2)√(a^2-4)ですので、
|AB|^2 = (0-2*(1/2)√(a^2-4))^2+(a-2*a/2)^2 = a^2-4
よって、|AB| = √(a^2-4)が最小となります。

・・・と、らすかるさんと違う答えになりましたのて、多分私が何か勘違いしているか間違っているのでしょう。
ただ、らすかるさんの回答では点Bから最も近い点Aの候補を求めてるんじゃないかと思いますが、
何故、点Bの座標を表す媒介変数を用いて点Aの座標も表せるのかが私には分からないです。
勿論、らすかるさんのことだから何らかの根拠があってのことだとは思いますが・・・。
No.86983 - 2023/12/23(Sat) 00:26:14
☆ Re: / らすかる
> WIZさん

ABが最短距離の場合、直線ABは問題の曲線の点Bにおける法線（接線と直交する直線）です（法線でないときに最短距離でないことの証明は簡単です）。
なので、「点Bから最も近い点Aの候補」を求めているのではなく、「点BがAから最も近い点になりうるようなAの候補」を求めています。

> |AB| = √(a^2-4)が最小
例えばa=3のとき、この式によると|AB|=√5となりますが、
a=3のときの点A(0,3)と曲線上の点B(0,2)の距離は1ですから、
|AB|=√5は最小ではないですね。

> -4a*sinh(t)+8sinh(2t)
> = 8sinh(t){cosh(t)-a/2}

sinh(2t)=2sinh(t)cosh(t)なので、この部分の計算が正しくないようです。
No.86985 - 2023/12/23(Sat) 01:31:42
☆ Re: / ast
# とくに別解とかでもなく, 本質的にはほかの方の回答と同じ内容ではありますが…….

点 A(0,a) と曲線上の任意の点 B=B[t](t,√(t^2+4)) との間の距離 d(t):=AB[t]=√(t^2+(a-√(t^2+4))^2)=√((2t^2+4+a^2)-2a√(t^2+4)) の最小値を d=d[a] と書くことにすると:

函数 d(t) (あるいはその自乗 d(t)^2=(2t^2+4+a^2)-2a√(t^2+4)) を最小にする t を決めるために微分して
　d'(t)=(2t(2-a/√(t^2+4)))/(2√(t^2+(a-√(t^2+4))^2))
(あるいは
　((2t^2+4+a^2)-2a√(t^2+4))'=2t(2-a/√(t^2+4)))
となり, 極値を (a の値によって) t=0 または t=0, ±(√(a^2-16))/2 でとることはすぐに確かめられるので (必要なら増減表を書いて),
　|a|<4 のとき B=B[0] において d[a]=|a-2|,
　|a|≥4 のとき B=B[±(√(a^2-16))/2] で d[a]=(√(6a^2-4|a|a-16))/2.
# 参考: a を動かしたときの d=d[a] の様子
とする極値問題の定型通りの解答でいいはずだと愚考します (むろん, 質問者が平方根函数の微分はふつうに計算できるものと仮定しています).
# 定型通りに処理すればいいだけのはずの問題で, 質問者は何を困難と認識しているのか,
# 質問者が解けない理由を推測することが私にとっては本問の回答に際して最も難しい, といったところです.
No.86987 - 2023/12/23(Sat) 04:25:33
☆ Re: / らすかる
> astさん

|a|＜4, |a|≧4という場合分けでaに絶対値を付けているのは、
何かの勘違いではないでしょうか。
aが負のときに極値をとるのはt=0のときだけだと思います。
No.86988 - 2023/12/23(Sat) 05:17:37
☆ Re: / ast
> らすかるさん
おっしゃる通りですね, すみません.
# No.86987 の論旨は「たんに微分して増減表書けばいいのでは」というところだったので
# 具体的な式というのは「(微分は) 計算困難ではないはず」というのを確かめる以上の意味を
# 持たせるつもりがそもそもなかった, と言い訳しておきます.
No.86989 - 2023/12/23(Sat) 05:42:54
☆ Re: / WIZ
> らすかるさん
> sinh(2t)=2sinh(t)cosh(t)なので、この部分の計算が正しくないようです。

ご指摘ありがとうございます。

(d/dt)(|AB|^2) = 16sinh(t){cosh(t)-a/4}だから、
a/4 ≦ 1なら、t = 0で最小値|AB| = |a-2|となります。

a/4 > 1なら、cosh(t) = a/4, sinh(t) = √(a^2/16-1) = (1/4)√(a^2-16)で極小(最小)となり、
|AB|^2 = (0-2*(1/4)√(a^2-16))^2+(a-2*a/4)^2 = (a^2-16)/4+a^2/4 = (2a^2-16)/4
⇒ |AB| = (1/2)√(2a^2-16)
となる訳ですね!

間違ったことを書いてしまいごめんなさい。 > 質問者さん
No.86990 - 2023/12/23(Sat) 08:36:42
★ (No Subject) / しらす
xの上限が3で、x=1.2.3というとこまで分かりました。そこからどう考えればいいかわからないです。
No.86973 - 2023/12/21(Thu) 19:23:54
☆ Re: / IT
A:x=0は１つめの不等式を満たさない。
B:x=1は１つめの不等式を満たす。
C:x=2は１つめの不等式を満たす
D:x=3は１つめの不等式を満たす
ということですね。
A,B,C,Dは、それぞれどういう不等式で表せますか？
No.86974 - 2023/12/21(Thu) 20:24:59
☆ Re: / しらす
k≧-3、k≧-2、k≧-1、k≧0
となります
No.86975 - 2023/12/21(Thu) 22:29:38
☆ Re: / IT
D:k≧0 は合ってます。
それ以外は、まったく間違っています。
x=0,1,2 のとき｜x-3｜の値はそれぞれいくらですか？
No.86976 - 2023/12/22(Fri) 00:13:30
☆ Re: / しらす
絶対値だから値が変化するということですか
No.86978 - 2023/12/22(Fri) 13:52:36
☆ Re: / しらす
そうなると-記号が変化してkには負は含まれなくなります
No.86979 - 2023/12/22(Fri) 13:53:37
☆ Re: / GandB
> そうなると-記号が変化してkには負は含まれなくなります
No.86980 - 2023/12/22(Fri) 15:51:52
☆ Re: / IT
> そうなると-記号が変化してkには負は含まれなくなります
そうですね。
No.86982 - 2023/12/22(Fri) 20:21:51
★ 図形 / 有栖川
円O上にA, B, C をAB = 1, BC = √7 となるように取り, ∠ABC の二等分線と円Oの交点をDとすると, AD = 2 となった。このときBDの長さを求めよ。
ただしXYで線分XYの長さを表すものとする。
この問題の解説をお願いします。
No.86970 - 2023/12/20(Wed) 11:14:43
☆ Re: 図形 / ヨッシー
ＢＤ＝ｘ、∠ＢＡＤ＝θ　とおくと、
　∠ＢＣＤ＝π−θ
また、∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤであることから、
　ＡＤ＝ＣＤ＝２
△ＡＢＤ、△ＢＣＤにおける余弦定理から、ｘをそれぞれ表すと、
　ｘ^2＝5−4cosθ
　ｘ^2＝11＋4√7cosθ
これより
　cosθ＝−(√7−1)/4
　ｘ＝(√14＋√2)/2
が得られます。　
No.86971 - 2023/12/20(Wed) 13:48:03
★ (No Subject) / 算数
問よんについてです。


分かりません


分かりやすくお願いします。
No.86968 - 2023/12/18(Mon) 23:48:41
☆ Re: / らすかる
もし男子だけの平均点が70点で女子だけの平均点が75点だとすると
全体の平均は75点未満になりますので、男子だけの平均点は
70点より大きいことになります。
そして
男子だけの平均点が70点で女子だけの平均点が75点だとすると
全体の合計は70×4+75×6=730
ここから全員の点数が1点上がると
「男子だけの平均点が女子だけの平均点よりも5点低い」
というのが変わらないまま、全体の合計は10点増えます。
全体の平均が75点であることから全体の合計は75×10=750であり
男子平均70点女子平均75点時、全体の合計は730ですから
男子平均71点女子平均76点時、全体の合計は730+10=740
男子平均72点女子平均77点時、全体の合計は740+10=750
のようになり、男子だけの平均は72点であることがわかります。
No.86969 - 2023/12/19(Tue) 00:09:10
★ Re: 場合の数の問題 / ast
★ 場合の数の問題 No.86948 について, 漸化式の話です.
# もう一つのスレッドがあったので話が混線しなくて都合がいいやと思ってたら,
# 書いてる間に消えてた (まあそりゃ管理の都合上は消すのが正当よね) ので,
# 新規にスレッドを建てます (内容コピーしてて助かった^^;).

## 内容は完全ではありません (途中まではともかく後半は話が完結してない).
以下, x個のボールの「間」と言ったら便宜上ボールの並びの両端を含む x+1 箇所を指すこととします.
求める場合の数を a[n], 0≤m≤n に対し「ちょうど m 色のボールが隣り合う」場合の数を a^(m)[n] と書く (ただし, a^(0)[n]=a[n], また誤解の虞が無いならば a^(1)[n], a^(2)[n], … の代わりに a'[n], a''[n], … のように ' の個数で区別する記法でも構わない※もちろん微分ではない) ことにすれば,
　[*] Σ_[m=0,1,…n] a^(m)[n] = (2n)!/(2!)^n. (2n 個すべての並べ方)
　[0] a[n-1] 通りの各場合に 2(n-1)+1 個の「間」から n 色目を入れる2箇所を選ぶ: (2n-1)C2 * a[n-1] 通り,
　[1] a'[n-1] 通りの各場合に同色隣り合うところの間に n 色目を一つ入れて, 2(n-1)+1 個の並びにした後, もう一つはさっきの一個目の両隣を除く ((2(n-1)+1)+1)-2 個の「間」から1箇所選ぶ: (2n-2) a'[n-1] 通り,
　[2] a''[n-1] 通りの各場合について, n 色目はそれぞれ同色隣り合う2色のそれぞれの間に入れる一通り: a''[n-1] 通り.
が a[n] に寄与し, 3 色以上が同色隣り合っていたら a[n] へは寄与しないので,
　a[n]=(2n-1)(2n-2)a[n-1]/2+(2n-2) a'[n-1]+a''[n-1],
　a[n-1]+a'[n-1]+a''[n-1]+…+a^(n-1)[n-1]=(2(n-1))!/(2!)^(n-1).
となるはずです.
# 便宜的に a[0]=1, a[1]=0, a'[1]=1 および m>n のとき a^(m)[n]=0 とすると,
# この漸化式は n=1,2,3 までは解けて, a[2]=2, a[3]=30 となります.
# 実際に書きならべるとこれは正しいように思います.

n≥4 のときは条件が足りずに解けませんが, 例えば a'[n] も同様に, n 色並べたとき 1 色のみが隣り合う場合ということは
　[i] a[n-1] 通りの各場合に n 色目を同じ個所の「間」に2つ並べて入れる
　[ii] a'[n-1] 通りの各場合に, その同色隣り合う箇所を保ったまま n 色目を残りの「間」から2箇所それぞれ入れる
　[iii] a''[n-1] 通りの各場合に, 同色隣り合ううちの1色は潰すようにあいだに n 色目をひとつ入れて, 残りは同色隣り合うのを保つように「間」に入れる
　[iv] a'''[n-1] 通りの各場合は, n 色目は同色隣り合う3色のうち2色を潰すように入れる
　[v] n-1 色並べて4色以上が同色隣り合う場合は a'[n] に寄与しない
といったように, ほかの a^(m)[n-1] たちの情報も使えばわかるはずで, 二項間の連立漸化式が
　a^(0)[n]=(2n-1)(2n-2)a[n-1]/2+(2n-2) a'[n-1]+a''[n-1],
　a^(1)[n]= f[1,0](n)a[n-1]+f[1,1](n)a'[n-1]+f[1,2](n)a''[n-1]+f[1,3](n)a'''[n-1],
　…
　a^(m)[n]=f[m,m-1](n)a^(m-1)[n-1]+f[m,m](n)a^(m)[n-1]+f[m,m+1](n)a^(m+1)[n-1]+f[m,m+2](n)a^(m+2)[n-1],
　…
　a^(n-2)[n]=f[n-2,n-3](n)a^(n-3)[n-1]+f[n-2,n-2](n)a^(n-2)[n-1]+f[n-2,n-1](n)a^(n-1)[n-1],
　a^(n-1)[n]=f[n-1,n-2](n)a^(n-2)[n-1]+f[n-1,n-1](n)a^(n-1)[n-1].
　初期条件: a[n-1]+a'[n-1]+a''[n-1]+…+a^(n-1)[n-1]=(2n-2)!/(2!)^(n-1).
のような形で得られるはずです (係数となる n の式 f[i,j](n) は真面目に見れば具体的に組合せの数などを用いて書けると思いますが, 私はそこまで気力が無い).
# 上の [i]-[v] が正しい (かつ, それを a^(m)[n] についての記述に正しく読み替えた) ならば
# おそらく 0 になるであろう箇所は省きましたが, 上に出てこない f[i,j](n) が実際はあったならすみません.
これは小さい n に対して順番にということなら高校までの知識の範囲である程度までは計算できるでしょうし, 一般に解くには大学初年度級の「行列」の知識が要るものの理屈の上では解けるはずです (が, 私がそれを計算できるとかするとかという意味ではない).

{a'[n]},{a''[n]},… などを用いない {a[n]} 単独の高階漸化式がどうなるかは見ていませんが, a[n]を表すのに (a[0],a[1],) a[2],…,a[n-1] 全部必要な気がします.
No.86960 - 2023/12/17(Sun) 15:13:51
☆ Re: 場合の数の問題 / 高校１年生
>ast様
ありがとうございました。
高校生の僕にはあまりに難しい内容ですが、親切に教えていただきまして本当に感謝します。
No.86962 - 2023/12/17(Sun) 16:30:26
☆ Re: 場合の数の問題 / ヨッシー
># 書いてる間に消えてた (まあそりゃ管理の都合上は消すのが正当よね) ので
こちらでは、消しておりませんです。
No.86972 - 2023/12/21(Thu) 09:01:38
★ コラッツ予想 / 成清　愼
http://dongram.6te.net/web/index.php?p=6
よろしくご査収の上ご批評賜りたくお願い申し上げます。
No.86957 - 2023/12/16(Sat) 21:39:57
★ コラッツ予想 / 成清愼
http://dongram.6te.net/web/index.php?p=6
よろしくご査収の上ご批評賜りたくお願い申し上げます。
No.86956 - 2023/12/16(Sat) 21:38:05
★ 場合の数の問題 / 高校１年生
次の問題を教えてください。
よろしくお願いします。

n色のボールがそれぞれ2個ずつあり、この2n個のボールを一列に並べる。同じ色のボールが隣り合わないような並べ方は何通りあるか。ただし、同じ色のボールは区別しないものとする.
No.86948 - 2023/12/16(Sat) 09:25:26
☆ Re: 場合の数の問題 / IT
「包除原理」は、御存知ですか？
「包除原理」でやるしかないかも知れませんね。
No.86949 - 2023/12/16(Sat) 13:00:31
☆ Re: 場合の数の問題 / 高校１年生
包除原理分かりません。
数列を習って日が浅いのですが、
漸化式を作ろうと思って挫折して困っています。
No.86950 - 2023/12/16(Sat) 14:20:43
☆ Re: 場合の数の問題 / IT
出題されたのは、学校の授業ですか？（数Aとしては難しすぎるので出てこない気がしますが）

「包除原理」の解説は、検索されるといろいろ出てくると思いますが、
下記でも扱われています。
http://shochandas.xsrv.jp/number/number4.htm

https://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=pickup&no=86894
No.86951 - 2023/12/16(Sat) 14:53:53
☆ Re: 場合の数の問題 / 高校１年生
この原理をどのように使うのか、どなたか教えてください。せめてピントを。

また漸化式の解法はないのでしょうか。
No.86952 - 2023/12/16(Sat) 18:03:19
☆ Re: 場合の数の問題 / IT
http://shochandas.xsrv.jp/number/number4.htm
は見られましたか？

これの下の方に、
例として、　赤、青、黄の３色の球　を同色が隣り合わないように並べる場合の数を　「包除原理」を使って計算する方法が書いてあります。
この例では同色の球を大小で区別していますので少し違いますが原理は同じです。
No.86953 - 2023/12/16(Sat) 18:45:40
☆ Re: 場合の数の問題 / 高校１年生
見ました。
ただ３色だから３つの円のベン図で済みますが、n色なのでよくわかりません。n個の円のベン図を考えることが僕はできません。
No.86955 - 2023/12/16(Sat) 20:03:28
☆ Re: 場合の数の問題 / IT
nが4以上だと、ベン図で考えるのは難しいので式で考えるしかないと思います。
No.86958 - 2023/12/16(Sat) 22:09:09
☆ Re: 場合の数の問題 / 高校１年生
Σ(-1)^k × nCk × (2n-k)!/2^(n-k)
でしょうか。
合っているとしてもこれをさらに計算は可能なのでしょうか。
No.86959 - 2023/12/17(Sun) 10:44:20
☆ Re: 場合の数の問題 / ast
シグマの添字は k=0,1,…, n の範囲でとるのであれば, 合っていると思います.
計算はそれ以上しなくてよいのでは (参考 (WolframAlpha)).

----
ITさんの示されたリンク先, 包除原理での計算は正しいと思いますし, それと一致している「普通」の方も正しいのだと思うのですが, 例えば
> その１通り、例えば　× ● × ● × ● × ●×　に対して、大小２個の黄球を×印に入れる場合の数は、　5Ｐ2＝５×４＝２０（通り）
のあたりで 黄青赤赤青黄 のような不適なものも数えているように思えてしまうので, なぜそれで計算が合うのかわたしはちょっとよくわかりません^^;;
# その前の段で同色隣あってもかまわない (最終的に隣にないようにできる) のはわかる
No.86961 - 2023/12/17(Sun) 16:06:33
☆ Re: 場合の数の問題 / IT
ast さん
> ----
> ITさんの示されたリンク先, 包除原理での計算は正しいと思いますし, それと一致している「普通」の方も正しいのだと思うのですが, 例えば
> > その１通り、例えば　× ● × ● × ● × ●×　に対して、大小２個の黄球を×印に入れる場合の数は、　5Ｐ2＝５×４＝２０（通り）
> のあたりで 黄青赤赤青黄 のような不適なものも数えているように思えてしまうので, なぜそれで計算が合うのかわたしはちょっとよくわかりません^^;;

たしかに、私が示したリンク先の普通の考え方はまちがっていますね。
「黄青赤赤青黄」 のような不適なものを数えている代わりに、
青の間には必ず赤がないといけなくなってますね。
つまり「青黄青赤黄赤」などを数えてないですね。
No.86963 - 2023/12/17(Sun) 16:48:53
☆ Re: 場合の数の問題 / らすかる
https://oeis.org/A114938
↑こちらによると、式は
Σ[k=0〜n](-1)^(n-k)*nCk*(n+k)!/2^k
と表されるようです。先頭の方の具体値は、n=2,3,4,…に対して
2, 30, 864, 39480, 2631600, 241133760,…
のようになります。また、漸化式は
a[n]=n(2n-1)a[n-1]+(n-1)na[n-2]
と表されるようです。
No.86964 - 2023/12/17(Sun) 17:09:13
☆ Re: 場合の数の問題 / ast
さすがOEIS, なんでもあるなぁ……

> 式は Σ[k=0〜n](-1)^(n-k)*nCk*(n+k)!/2^k と表されるようです。
については, すでに挙げられた
> Σ(-1)^k × nCk × (2n-k)!/2^(n-k) でしょうか。
で n-k を改めて k と置いた (逆向きに足した) ものに一致しますので齟齬はないですね.
# i.e. j=n-k とおくと k=n-j, nCk=nCj, 2n-k=n+j, k=0,…,n ↔ j=n,…,0 で
# Σ_[k=0,…,n] (-1)^k nCk (2n-k)!/2^(n-k) = Σ_[j=n,…,0] (-1)^(n-j) nCj (n+j)!/2^j.
No.86965 - 2023/12/17(Sun) 17:40:25
☆ Re: 場合の数の問題 / 高校１年生
＞皆様
　ありがとうございました。
　半分くらいしか理解できていませんが、とても助かりました。
No.86966 - 2023/12/17(Sun) 21:41:51
☆ Re: 場合の数の問題 / ast
まだ不完全 (ほとんど n=3 のときしか検討してない, 少なくとも n=4 くらいはちゃんとやらないといけないだろうが未検討) ですが.
# きちんと検討してから書けと言われそうではあるが, どう検討していいものやらよくわからないので……^^A;

漸化式は:
　a[n]/n! = (2n-1)a[n-1]/(n-1)! + a[n-2]/(n-2)!
と見ると, n! は塗る色の順番の数, a[n]/n! はどのボール対から順番に塗るかのパターン数と思えるから, a[n] は
　[i] n-2 色のパターンのあとに, n-1,n 番目の 2 色を交互に: 1 通り.
　[ii] n-1 色のパターンに対して 2(n-1)+1 個の「間」の k+1 番目と (k+n-1 mod 2n-1)+1 番目 (k=0,1,…,2n-2) に n 色目: 2n-1 通り.
というように解釈するのではないかと推測します.
ただし, [ii] はこれでいいのか, なぜ [i] と [ii](誤っていればその修正バージョン) でパターンを尽くせるのか etc., 全然見当つかないレベルで検討できていません.
# もしや [ii] は一方が 2n-1 箇所を一周するあいだに他方が n-1 周する位置とする必要があるか?
No.86967 - 2023/12/18(Mon) 12:43:13
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