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ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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★ 確率の問題 / 毛蟹
質問は画像のとおりです。
文章だと伝えづらいので、手書きをしました。
読み難い文字で申し訳ないのですが、お答えいただけると嬉しいです。
No.84855 - 2023/02/08(Wed) 21:48:02
☆ Re: 確率の問題 / IT
２つめの解法は、確率計算の「積の定理」「加法定理」を使っていますね。

正確に書くと
(8/12)×(4/11)×(3/10)＋(4/12)×(8/11)×(3/10)＋(4/12)×(3/11)×(8/10) ですよね。

例えば、１つめの(8/12)×(4/11)×(3/10)の(4/11)では、白４つを区別していると考えられるのではないですか？
No.84856 - 2023/02/08(Wed) 22:21:23
☆ Re: 確率の問題 / 毛蟹
>１つめの(8/12)×(4/11)×(3/10)の(4/11)では、白４つを区別していると考えられるのではないですか？

場合の数ではなく、確率として計算している時点で区別は完了しているということでしょうか？
場合の数と確率の性質の違いなのでしょうか？
No.84857 - 2023/02/08(Wed) 22:31:21
☆ Re: 確率の問題 / IT
> 場合の数ではなく、確率として計算している時点で区別は完了しているということでしょうか？

そうですね。
No.84858 - 2023/02/08(Wed) 22:41:41
☆ Re: 確率の問題 / 毛蟹
分かりました！ありがとうございます！
No.84859 - 2023/02/08(Wed) 22:45:00
★ (No Subject) / りりたま
0≦α<2π,0≦β<2πのときf(α,β)=sinαsinβ-(1-cosα)(1+cosβ)の最大値を求めよ

という問題を数IAIIBの範囲で一文字固定法で解けるのでしょうか？
No.84853 - 2023/02/08(Wed) 19:11:09
☆ Re: / IT
数IAIIBの範囲　だと　微分は整式の微分しか使えませんね。

一文字固定といえるか分かりませんが
f(α,β)＝cos(α-β)+cosα-cosβ-1 として
α-βを固定して
　cosα-cosβ=-2sin((α+β)/2)sin((α-β)/2)の最大値を考えるとかですかね。
No.84854 - 2023/02/08(Wed) 20:55:50
★ 整数 / fm
この問題の(2)からがわからず、解説を読んでもうまく理解できません。解説の画像は返信に載せます。

(※)このとき条件を満たす自然数a,b,cの組は,（1,1+k,1+2k),...(2m-2k,2m-k,2m)の2m-2k個存在する。

a,b,cの組を(2m-2k,2m-k,2m)と表すことができることに疑問はないのですが、なぜ2m-2k個存在すると言えるのかがわかりません。
No.84838 - 2023/02/07(Tue) 22:13:14
☆ Re: 整数 / fm
解説です。よろしくお願いします。
No.84839 - 2023/02/07(Tue) 22:14:12
☆ Re: 整数 / ヨッシー
（　）の中の一番左の数は、1,2,3 と１つずつ増えていき、
2m-2k まで増えるので、2m-2k 個です。
No.84844 - 2023/02/07(Tue) 22:35:18
☆ Re: 整数 / fm
()の中のa,b,cはそれらが連続する場合のみのことを表しているのですか？

(1)のn=6の場合、一番左の数の1と2が被ってしまっているので、うまく理解できません。a,b,cの組を,（1,1+k,1+2k),...(2m-2k,2m-k,2m)となぜ表すことができるのか教えてください。
No.84846 - 2023/02/07(Tue) 23:11:25
☆ Re: 整数 / ヨッシー
n=6 つまり m=3 の時は、
k=1 のとき　2m-2k＝4(通り)。すなわち、
　(1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (4,5,6)
k=2 のとき　2m-2k＝2(通り)。すなわち
　(1,3,5), (2,4,6)
k=3 では、2m-2k=0 となり、これ以上はありません。

で、４＋２＝６　をやっているのが解答のΣの式です。
No.84848 - 2023/02/07(Tue) 23:53:34
☆ Re: 整数 / fm
ありがとうございます。理解することができました！
No.84850 - 2023/02/08(Wed) 03:28:12
★ 正n角形の対称性 / fm
現在高校3年生です。レベルは入試問題くらい？です。

kは3以上の自然数で、x=2π/kとするなら
(cos(nx),sin(nx))は(n=0,1...k-1)単位円周上にある正k角形の頂点という認識で良いですか？

例えばk=3なら(cos(nx),sin(nx))は単位円周上にある正3角形の頂点のように。

ここで質問なのですが
Σ記号の下がn=0で、上がk-1のΣcos(nx)=0なのですが、例えばk=3のときなどは計算ができて0となることが確認できるのですが、kが3以上の整数であってもΣcos(nx)=0は成立しますか？またそれを証明することは高校数学の知識で可能ですか？

私が解いていた問題ではk=7のときで(cos(nx),sin(nx))は(n=0,1...６)単位円周上にある正7角形の頂点をなす。
Σ記号の下がn=0で、上が6のΣcos(nx)=「あ」

「あ」に当てはまる数を答えよ。という問題で、答えは0
で解答は「正七角形の対称性より」しか書いていなかったため、理由が知りたくて質問しました。
No.84830 - 2023/02/07(Tue) 16:54:22
☆ Re: 正n角形の対称性 / ast
# 何させようとしてる問題なのか, 文脈がよくわからんなあ
そのような設定で作った正 k-角形の (幾何学的) 重心 ((1/k) Σ_[n=0,…,k-1] cos(2πn/k), (1/k) Σ_[n=0,…,k-1] sin(2πn/k)) が原点に一致するという話をしたいのか, あるいはそれは自明のこととして用いてよいのか, (問題文の全体すらきちんと引用されないような質問の仕方されると) 推測のしようもないですが, 何れにしてもこの部分で扱うのが重心であるというところはたぶん合っているでしょう.

で, 正多角形の対称性にはいろいろな種類がありうるが, (適当な角度での) 回転対称性から重心はその回転に対して不変だし, (適当な軸に関する) 線対称性を考えれば重心はその軸上にあるので, 重心を見つけるだけなら適当な対称軸を二つとってその交点が重心になる程度のことはすぐに言えるのだろうと言ったところでしょうか.
No.84831 - 2023/02/07(Tue) 17:27:06
☆ Re: 正n角形の対称性 / fm
うまく伝えることができず申し訳ありません。問題全体はこうなっています。
No.84833 - 2023/02/07(Tue) 17:50:29
☆ Re: 正n角形の対称性 / ast
画像での補足ありがとうございます. であれば, 正多角形の重心が外接円の中心に一致する (いまの場合, 外接円は単位円でその中心は原点) というのは自明としてよさそうだと思います.
No.84834 - 2023/02/07(Tue) 18:18:19
☆ Re: 正n角形の対称性 / fm
返信有りがとうございます。重心が外接円の中心と一致すると、なぜ「あ」が0だと言えるのでしょうか？理解力が足りず申し訳ありません。。。
No.84840 - 2023/02/07(Tue) 22:16:08
☆ Re: 正n角形の対称性 / ast
ん? それは真っ先に書いたつもりですが…….
今の話で重心が原点と一致するというのは式で書けば
　((1/7) Σ_[n=0,…,6] cos(nθ), (1/7) Σ_[n=0,…,6] sin(nθ)) = (0, 0)
ということですから, 知りたい [あ] がこの情報の中に含まれていることに説明が必要というようにはいまも思っていません.
No.84849 - 2023/02/08(Wed) 01:34:09
☆ Re: 正n角形の対称性 / fm
ありがとうございます。愚かにも私が重心を求める式の存在を忘れてしまっていました。ここまで丁寧に説明してくださりありがとうございます。
No.84851 - 2023/02/08(Wed) 03:33:19
★ (No Subject) / y
画像の添付が出来ないので文章で失礼します。

右の図1のように、直線lと2点A,Bがある。直線l上に点Cを書き入れて、?僊BCが辺ACを斜辺とする直角三角形となるように、手順1〜4で点Cを求めた。
No.84829 - 2023/02/07(Tue) 16:26:13
☆ Re: / ast
> 画像の添付が出来ない
(これが画像が用意できないという意味でなく) 画像自体は存在するという状況なのであれば, 画像ファイル選択から[投稿する]ボタンを押すまでの間にプレビューをしていませんか?
# プレビュー画面では画像ファイルが未選択の状態に戻ってしまいますので, # 再選択せずにそのまま投稿しようとすると画像は抜けてしまいます.

> ?僊
直角三角形の記号（右下が直角になった斜体のΔ, 差分を表すのにもたまに使われる）に A を続けて書いたことでこの文字化けになっているようですね. (直角三角形の記号自体がこの掲示板では化けます. むかしは大丈夫だったのに過去ログでもたくさんの記号が化けててなかなか妙なことになってる). できれば△ABCとか, むしろ記号を使わずに(直角)三角形ABCなどと書いてくれたほうが安心です.

> 文章で
たぶん画像にしようとした部分に書かれていた文章を手入力してくださったのだとは思います (それ自体は重要です, ヘタに改変してしまうと意味が変わってしまったりする恐れもあります) が, たとえば
> 右の図1のように、直線lと2点A,Bがある。
では l と A,B の位置関係がいろいろ考えられます. A,B が l の同じ側にあるのかそれとも l を挟んで A,B はそれぞれ l の違う側にあるのか, と言ったようなことも補足で書き足してくれないと回答者は問題を誤解してしまって, あなたに (悪意は無くても実質的に) 嘘を教えることになってしまうかもしれません. またたとえば
> 手順1〜4
が何をどのようにしようとしているのかなかなか想像つきづらいところです (絶対に誰がやってもこの順番で必ずこうすると言ったようなことはそうそうないことです).
No.84832 - 2023/02/07(Tue) 17:50:16
☆ Re: / y
添付の方法等教えてくださりありがとうございます。

おっしゃる通り、図がないと色んなパターンが考えられますよね。

もう一度添付してみます。
No.84837 - 2023/02/07(Tue) 19:17:24
☆ Re: / ヨッシー
この問題とは関係なく、
　直線上の点Ａから、この直線に垂直な直線
を作図することは出来ますか？
No.84841 - 2023/02/07(Tue) 22:26:08
☆ (No Subject) / y
垂線の作図は出来ます。
No.84843 - 2023/02/07(Tue) 22:34:54
☆ Re: / ヨッシー

それならば、この図を目指して作図してみましょう。
No.84845 - 2023/02/07(Tue) 22:42:47
☆ Re: / y
理解できました！ありがとうございます。
No.84847 - 2023/02/07(Tue) 23:20:31
★ 中学の作図 / y
作図の方法を教えてください。
No.84827 - 2023/02/07(Tue) 16:21:33
☆ Re: 中学の作図 / y
こちらです
No.84828 - 2023/02/07(Tue) 16:22:32
★ 微分　高3 / のあああ
高3の微分です。
No.84825 - 2023/02/07(Tue) 15:00:01
☆ Re: 微分　高3 / ヨッシー
ご質問は何ですか？
No.84836 - 2023/02/07(Tue) 18:58:28
★ 分野不明 / 瑞奈
最大辺の長さが1の四面体がある。この四面体のどのような正射影によってできる四角形の対角線の長さは1以下であると言えるか。言えるのだったらそれを示しなさい。
No.84824 - 2023/02/07(Tue) 11:35:28
☆ Re: 分野不明 / ヨッシー
対角線が１より長い正射影が出来たとします。
その対角線の両端に対応する頂点をＡ，Ｂとすると、
この対角線は辺ＡＢの正射影になります。
線分の正射影はその線分の長さ以下であるので、
辺ＡＢは１より長いことになり条件に反します。

よって、正射影の四角形の対角線は１以下となります。

「線分の正射影はその線分の長さ以下であるので」
ここの証明は省略します。
No.84826 - 2023/02/07(Tue) 15:54:12
★ (No Subject) / ラジオディア
xy平面において、原点Oと異なる点Pがあり、点Oを端点とする半直線OP上にOP×OQ＝1となるような点Q(x,y)を考える。点Pがx=h(h>0)上を動くとき点Qの動く軌跡を求めよ
No.84822 - 2023/02/06(Mon) 19:59:57
☆ Re: / X
方針を。

P(X,Y)とすると、条件から
↑OQ=(1/OP^2)↑OP
∴
x=X/(X^2+Y^2) (A)
y=Y/(X^2+Y^2) (B)
一方、点Pの存在範囲について
X=h (C)
(C)を(A)(B)に代入して
x=h/(h^2+Y^2) (A)'
y=Y/(h^2+Y^2) (B)'
後は(A)'(B)'からYを消去します。
但し、(A)'とh＞0により
xの値の範囲に注意しましょう。
No.84835 - 2023/02/07(Tue) 18:46:50
☆ Re: / ラジオディア
どうYを消去するのですか？
No.84852 - 2023/02/08(Wed) 18:37:11
☆ Re: / ラジオディア
自分で解いて（1/2k,0)を中心とする半径1/2kの円から原点を除いたものとなりました。問題に続きがあり、３点(-1,2),(-1,-1),(2,-1)を結んだ三角形上を点Pが動くときのQの軌跡を求めよという問題で、上の問題を使うのはわかるのですが範囲をどう絞ればいいかわかりません。
No.84861 - 2023/02/09(Thu) 17:46:46
☆ Re: / X
＞＞自分で解いて〜なりました。

＞＞（1/2k,0)
が
((1/2)h,0)
＞＞半径1/2kの円
が
半径(1/2)hの円
のタイプミスであるなら、こちらの計算結果と同じです。

＞＞３点(-1,2),(-1,-1),(2,-1)を結んだ三角形上〜
「三角形上」とは三角形の周及び内部
という意味ですか？
No.84862 - 2023/02/09(Thu) 18:06:40
☆ Re: / ラジオディア
すいません。タイプミスでした。三角形上は周だけです。
No.84863 - 2023/02/09(Thu) 18:14:18
☆ Re: / X
＞＞３点(-1,2),(-1,-1),(2,-1)を結んだ三角形上〜
について、ヒントを。

(A)(B)と同様にして
双対性(つまりP,Qの立場を入れ替えても同じ)
により
X=x/(x^2+y^2) (A)"
Y=y/(x^2+y^2) (B)"
が成立します。

もし、このヒントで解けないようならその旨を
アップして下さい。
(ちなみに最初にご質問の問題の結果は
使いません。)
No.84864 - 2023/02/09(Thu) 18:20:35
☆ Re: / X
それから一言お詫びを。

最初の問題の質問についてですが、最初から
(A)"を提示できていれば
(つまり、↑OP,↑OQの対応関係を
逆に考えていれば)
簡単に解ける問題でした。
(ごめんなさい。)
No.84865 - 2023/02/09(Thu) 18:25:56
☆ Re: / ラジオディア
AC上を動くときがわかりません。
No.84885 - 2023/02/10(Fri) 14:39:58
☆ Re: / X
他の掲示板の同じ問題の質問から
A(-1,2),B(-1,-1),C(2,-1)
と解釈して回答を。
条件から辺CAの方程式は
y=-x+1　(但し-1≦x≦2)
∴点Pについて
Y=-X+1 (C)
-1≦X≦2 (D)
(C)(D)に(A)"(B)"を代入すると
y/(x^2+y^2)=-x/(x^2+y^2)+1 (C)'
-1≦x/(x^2+y^2)≦2 (D)'
(C)'より
y=-x+x^2+y^2 かつ(x,y)≠(0,0)
∴(x-1/2)^2+(y-1/2)^2=1/2かつ(x,y)≠(0,0) (C)"
(D)より
-(x^2+y^2)≦x≦2(x^2+y^2)かつ(x,y)≠(0,0)
∴
(x+1/2)^2+y^2≧1/4 (E)
かつ
(x-1/4)^2+y^2≧1/16 (F)
かつ
(x,y)≠(0,0) (G)

(C)"(E)(F)(G)を図示します。
No.84894 - 2023/02/12(Sun) 18:00:15
☆ Re: / X
(C)"(E)(F)(G)を図示するとこのようになります。
No.84900 - 2023/02/12(Sun) 20:52:53
☆ Re: / X
ここで(E)(F)の境界線と(C)"との
原点以外の交点の座標はそれぞれ
(-1/5,2/5),(2/5,-1/5)
よって辺CAに対応する点Qの軌跡は

点(1/2,1/2)を中心とし、
点(-1/5,2/5),(2/5,-1/5)
を両端とする劣弧

となります。
No.84901 - 2023/02/12(Sun) 20:56:21
☆ Re: / X
改めて図示するとこんな感じになります。
No.84910 - 2023/02/13(Mon) 17:46:29
★ 速さの答え方について / やゆん
小学6年算数です。

問題1 おさむさんは10kmはなれたデパートまで、買い物に行きました。行きは毎時3km、帰りは毎時5kmの速さで歩いたとすると、おさむさんの平均の速さは毎時何kmですか。
答え　3と3/4(3.75)km

問題2 長さ118mの列車が、毎秒12mで走る長さ2mのオートバイに追いついて、完全に追いこすまでに15秒かかりました。この列車の速さは毎秒何mですか。
答え　毎秒20m

問題1は毎時を答えに含んでおらず、問題2では毎秒が含んでいます。
自分的には問いに毎時や毎秒が入ってるので、答える時は入れずに答えるのかなと思うのですが、どう答えるのが正解になりますか。
No.84821 - 2023/02/06(Mon) 19:09:00
☆ Re: 速さの答え方について / ヨッシー
どちらも正解ですが、入れた方が良いでしょう。
毎時〜km で１つの単位ですので。

逆に、何ｍですか？と聞かれて、ｍはすでに書かれているので、
答えは６、というのも変ですよね。
No.84823 - 2023/02/06(Mon) 20:47:01
★ 2次関数:2変数関数 / 山田山
過去に回答を頂きましたが、まだよくわからないので再度質問させていただきます。

質問1
?Aをtの関数とみなした時、2次の係数がマイナスなので減少関数であることは分かります。なぜa<0と記述してあるのか。

質問2
軸が分からず、なぜt=0で最大値を取ることが分かるのか。

今回の質問で最後にしたいと思います。回答よろしくお願いします。
No.84814 - 2023/02/04(Sat) 23:03:27
☆ Re: 2次関数:2変数関数 / 山田山
質問1直後冒頭?Aは(丸2)です。
No.84815 - 2023/02/04(Sat) 23:05:35
☆ Re: 2次関数:2変数関数 / ast
同じことの繰り返しにしかならないと思います (結局は, まる2の行の右傍注に書いてあることに尽きるので).

強いて言うべきことがあるとすると, どちらの質問も, また以前のスレッドのやり取りでもそうだけど, そもそも
> 減少関数
の意味が解ってない, としか思えないが…….
# もう少し正確に言うなら閉区間 [0,2] 上(※)で (単調) 減少函数(※※).
# ※ この部分は解説文では「この範囲では，」という形で書いてある.)
# ※※ 考えている範囲 (定義域) の全域で単調減少な函数のことを単に減少函数と(「単調」を落として)呼ぶことも少なくない.
## "考えている範囲 (定義域)" が重要であることは, 定義域が実数全体なら, どんな二次函数であっても
## 減少函数にも増大函数にもなり得ない (ある範囲では増加しある範囲では減少する) ことから
## 普通は明らかだし, 質問1の
## > 2次の係数がマイナスなので減少関数である
## が明らかに誤りであることも普通は説明しなくても分かると考えるようなことなので,
## だからわからない原因はそもそも減少函数の意味 (定義) が分かっていないのにわかったつもりで
## 軽くスルーしてしまっているのでは, というのが蓋然性高そうだと言っているわけです.
No.84816 - 2023/02/04(Sat) 23:34:07
☆ Re: 2次関数:2変数関数 / IT
＞tの関数とみなした時、2次の係数がマイナスなので減少関数であることは分かります。なぜa<0と記述してあるのか。

「2次の係数がマイナスなので減少関数であることは分かります」→間違いです。
山田山さんが気にしておられる「軸」の位置によっては、区間 [0,2]での増減が変わってきます。

問題を書き込んでおられない（？）ので、aが何者か確実には分かりませんが、

例えば [0,2]での -2t^2+8t の増減はどうなりますか？
No.84819 - 2023/02/05(Sun) 09:59:34
☆ Re: 2次関数:2変数関数 / 山田山
回答ありがとうございます。
No.84820 - 2023/02/05(Sun) 13:56:41
★ 曲線の長さの比較 / 大西
y=x^a(0≦x≦1)(a>1)の長さはaが大きくなると長くなることを
示したいです。
グラフより明らかと書くと雑なような気がするので、何か示すいい方法は無いでしょうか？
No.84802 - 2023/02/02(Thu) 21:55:27
☆ Re: 曲線の長さの比較 / ポテトフライ
甘い点もありますが、次のようにすればよいと思います。

y=x^a(0≦x≦1)(a>1)の長さをL(a)とすれば
L(a)=∫_[0,1](1+ax^{a-1})^{1/2}dx
よって
(∂/∂a) L(a)=∫_[0,1](∂/∂a)(1+ax^{a-1})^{1/2}dx
=∫_[0,1]x^{a-2}(x+a(a-1))/{2(1+ax^{a-1})^{1/2}}dx
このときx∈[0,1],a>1のときx+a(a-1)>0より、
(∂/∂a) L(a)の被積分関数は正。
すなわち(∂/∂a) L(a)>0なのでL(a)は単調増加
No.84803 - 2023/02/03(Fri) 01:58:10
☆ Re: 曲線の長さの比較 / らすかる
f(x)=x^a, g(x)=x^b (a＜b)とします。
y=g(x)上の点(p,g(p))におけるy=g(x)の接線l1を考え、
点(p,g(p))を通り接線l1と垂直な直線l2とy=f(x)との交点を(q,f(q))とします。
pが0に近いときはf'(q)＞g'(p)、1に近い時はf'(q)＜g'(p)となりますので、
pが0＜p＜1を満たすある値のときにf'(q)=g'(p)となります。
このとき、接線l1をs軸、直線l2をt軸とみなしてst座標系を考えて
xy座標系におけるy=f(x)をst座標系におけるt=h(s)、
xy座標系におけるh=g(x)をst座標系におけるt=i(s)とすると、
h'(0)=i'(0)=0
s＞0のとき0＜h'(s)＜i'(s)
s＜0のとき0＞h'(s)＞i'(s)
となりますので、任意の微小区間[α,α+ε]において
「h(α)からh(α+ε)の長さ」＜「i(α)からi(α+ε)の長さ」
となり、その合計である全体の長さもt=h(s)よりt=i(s)の方が長くなります。
従ってy=f(x)よりy=g(x)の方が長いことになります。

# 細かいところははしょっていますので厳密性に欠けますが、
# 図形的イメージはつかみやすいかと思います。
No.84804 - 2023/02/03(Fri) 02:09:49
☆ Re: 曲線の長さの比較 / 大西
ポテトフライさん、らすかるさんありがとうございます。

ポテトフライさんの方の回答は曲線の長さの式からaに対するL(a)の増減を調べるという点の説明は理解できました。

曲線の長さは
L(a)=∫_[0,1](1+(ax^{a-1})^2)^{1/2}dx
でしょうか。
あと、私の勉強不足かも知れませんが、aではなくてxで微分しているように見えてしまいました。

らすかるさんの方の回答はグラフのイメージ通りのことで理解しやすかったです。

ありがとうございました。
No.84805 - 2023/02/03(Fri) 07:53:47
☆ Re: 曲線の長さの比較 / ポテトフライ
すみません。間違ったことをかいてしまいました。

一般に関数y=f(x)のa≦x≦bの曲線の長さLは
L=∫_[a,b]√(1+f'(x)^2)dx
です。なので今回の場合大西さんの
L(a)=∫_[0,1](1+(ax^{a-1})^2)^{1/2}dx
が正しいです。

その上でaの関数とみて微分しても増減を簡単に判定できそうもないですね。
(∂/∂a) L(a)=∫_[0,1](∂/∂a)(1+(ax^{a-1})^2)^{1/2}dx
=∫_[0,1]ax^{a-2}(2+alogx)/{2(1+ax^{a-1})^{1/2}}dx

あとは
＞L(a)の増減を調べる
で間違いないです。
No.84806 - 2023/02/03(Fri) 12:37:15
☆ Re: 曲線の長さの比較 / 大西
ポテトフライさんご返信ありがとうございます。

私も最初は曲線の長さの式を微分しようと思ったのですが、うまくいきませんでした。
区間を分割したりしてもなかなかうまくいかずに混乱していました。ありがとうございます。
No.84807 - 2023/02/03(Fri) 19:06:45
☆ Re: 曲線の長さの比較 / IT
陸上競技で凸曲線またはその外側を走るとき、その曲線が最短路であることは当たり前の気がしましたが、証明は思いつきませんでした。検索したら見つかりましたので紹介します。

「単純閉凸曲線の長さ」で検索すると佐賀大学のレポートが見つかると思いますのでご覧ください。

（概要）細かい定義や証明は原文をご覧ください。
Cを単純閉曲線とする。
Cは平面を２つの領域に分割するが、そのうち有界な方の領域をCの内部といい、C及びその内部からなる集合を[C]で表す。
[C]が凸集合であるような単純閉曲線を「単純閉凸曲線」という。
単純閉曲線Cの長さをCに内接する単純多辺形の長さの上限として定義できこれをL(C) と表す。


単純閉凸曲線C1,C2 について、[C1]⊂[C2]ならばL(C1)≦L(C2)が成り立つ。等号は[C1]＝[C2]のときに限る

証明の流れ
[補題１]
　P、Qが単純多辺形であるとする。
[P],[Q]が凸であって[P]⊂[Q]を満たすならば、L(P)≦L(Q)が成り立つ。

[補題２]
　単純閉凸曲線C上に一定の向きに点A1,A2,...,Anをとるとき、これらの点を順次結んで得られる閉折線Pは単純多辺形であり、[P]は凸多角形になる。

[定理１]単純閉凸曲線Cの長さは有限である。

[定理２]C1,C2が単純閉凸曲線で[C1]⊂[C2]ならば、L(C1)≦L(C2)が成り立つ。等号は[C1]＝[C2]のときに限る。

証明の概要：C1に内接する任意の単純多辺形Pについて、C2に内接する単純多辺形Qで[P]⊂[Q]となるものを構成することができる。(省略）
このとき補題２からL(P)≦L(Q)。
L(C2)の定義よりL(Q)≦L(C2)だから,L(P)≦L(C2)となる。
Pに関して上限をとってL(C1)≦L(C2)を得る。

（等号条件の証明はあとで）


　
No.84808 - 2023/02/03(Fri) 22:02:26
☆ Re: 曲線の長さの比較 / IT
（等号条件の証明用の略図です）
No.84809 - 2023/02/03(Fri) 22:46:02
☆ Re: 曲線の長さの比較 / 大西
ITさんご返信ありがとうございます。

興味深い文献をご紹介いただきありがとうございます。
当たり前のことのようでそれを示すのは意外と難しいのですね。
勉強になりました。
No.84810 - 2023/02/04(Sat) 00:57:57
☆ Re: 曲線の長さの比較 / IT
本問の場合に特化した説明図を書いてみました。

厳密にはy=x^a 上の折れ点の数がいくらでも、折れ点を結ぶ線分の長さの和が、y=x^bの内側の折れ線の長さより小さいことを示す必要があります。
No.84811 - 2023/02/04(Sat) 10:40:04
☆ Re: 曲線の長さの比較 / IT
折れ点が３つの場合を描いてみました。
No.84812 - 2023/02/04(Sat) 13:29:14
☆ Re: 曲線の長さの比較 / 大西
ITさんご返信ありがとうございます。

非常にわかりやすいイメージ図を描いていただきありがとうございます。
点の数が増えていって曲線に近付いた時でも同じことが言えますね。

ありがとうございました。
No.84813 - 2023/02/04(Sat) 22:14:56
★ 数3　置換積分 / 吉田　
いつもお世話になっております。

∫[0, π](sin(x)/x) dx の定積分について
sin(x) = u とおいて
∫[0, 0](u / (arcsin(u) * √(1-u^2)) du と式変形し,
積分区間が0から0なので解は0

この記述のどこが間違いですか？
No.84793 - 2023/02/01(Wed) 14:59:04
☆ Re: 数3　置換積分 / らすかる
xを単純にarcsinuにしているところと、
dxをdu/√(1-u^2)としているところが誤りです。
sinx=uのとき、xは
arcsinu　（0≦x≦π/2）
π-arcsinu　（π/2≦x≦π）
また
sinx=uから
cosxdx=du
dx=du/cosx
ここでcosxは
√(1-u^2)　（0≦x≦π/2）
-√(1-u^2)　（π/2≦x≦π）
なので
∫[0〜π](sinx/x)dx
=∫[0〜π/2](sinx/x)dx + ∫[π/2〜π](sinx/x)dx
=∫[0〜1](u/(arcsinu*√(1-u^2)))du
　+∫[1〜0](u/((π-arcsinu)*(-√(1-u^2))))du
=∫[0〜1](u/(arcsinu*√(1-u^2))+u/((π-arcsinu)*√(1-u^2)))du
のようになります。
No.84794 - 2023/02/01(Wed) 15:22:09
★ フーリエ解析 / こんばんわ
突然失礼致します。
回答があまりわかりません。
どなたかお分かりの方いらっしゃいませんか。
よろしくお願い致します。
No.84791 - 2023/01/31(Tue) 22:36:28
☆ Re: フーリエ解析 / GandB
https://www.krrk0.com/fourier-series-expansion-examples/

などを参照。
No.84792 - 2023/02/01(Wed) 13:07:43
★ dreaming muscle / 絶対値付きの積分の最小値
問題文:f(x)=??(0→1)|t^3-3t-x|dt の最小値を求めよ
No.84787 - 2023/01/31(Tue) 19:06:58
☆ Re: dreaming muscle / 絶対値付きの積分の最小値
ここまで解いたのですが先が解けません。どなたか解答＆解説よろしくお願いします！
No.84788 - 2023/01/31(Tue) 19:07:57
☆ Re: dreaming muscle / X
(i)(ii)それぞれのf(x)の値の範囲を
求めた上で、(iii)の続きの方針を。

p^3-3p-x=0
を使ってf(x)の式からxを消去し
f(x)をpの関数と見て
0≦p＜1
の範囲で最小値を求めます。
No.84789 - 2023/01/31(Tue) 19:41:45
☆ Re: dreaming muscle / IT
厳密性は？ですが
グラフを使ってt=0,t=1,y=g(t),t軸で囲まれる部分の面積の変化を考えれば
p=1/2 のときが最小であることが分かります。
（ちゃんとした解法（Xさんの方針）で解いて計算間違いがないかを確認するのに使えます。）

この方法で厳密に示すには、縦横を変えて積分を考える必要があります。
No.84790 - 2023/01/31(Tue) 20:07:36
☆ Re: dreaming muscle / 絶対値付きの積分の最小値
> (i)(ii)それぞれのf(x)の値の範囲を
> 求めた上で、(iii)の続きの方針を。
>
> p^3-3p-x=0
> を使ってf(x)の式からxを消去し
> f(x)をpの関数と見て
> 0≦p＜1
> の範囲で最小値を求めます。


この先は4次の増減表で地道にやるしかないのでしょうか？
No.84795 - 2023/02/01(Wed) 19:07:14
☆ Re: dreaming muscle / IT
でしょうね。
pで 微分すると　a(p-(1/2))(1-p^2) ,(aは正定数）になるので　0≦p＜1での増減表は、簡単ですね。
No.84796 - 2023/02/01(Wed) 19:49:45
☆ Re: dreaming muscle / 絶対値付きの積分の最小値
ありがとうございます。
No.84798 - 2023/02/01(Wed) 21:41:34
☆ Re: dreaming muscle / 黄桃
>この先は4次の増減表で地道にやるしかないのでしょうか？
初見だとそうなるでしょうが、以下のようにまとめることができます。

(iii)の場合に　最初から　t^3-3t は0≦t≦1で単調減少だから、 x=p^3-3p (0≦p≦1) となるpがただ1つある、として、
f(x)=f(p^3-3p)=g(p)と置き、g(p)の変化を調べる、といえば
g(p)
=∫[0,p] t^3-3t-(p^3-p) dt + ∫[p,1] (p^3-p)-(t^3-3t) dt
=∫[0,p] (t^3-3t)dt -∫[0,p](p^3-3p) dt+∫[p,1](p^3-3p)dt -∫[p,1](t^3-3t)dt
=∫[0,p] (t^3-3t)dt -p(p^3-3p)-∫[p,1](t^3-3t)dt+(1-p)(p^3-3p)
=∫[0,p] (t^3-3t)dt -∫[p,1](t^3-3t)dt+(1-2p)(p^3-3p)
だから、
dg(p)/dp
=(p^3-3p)+(p^3-3p)-2(p^3-3p)+3(1-2p)(p^2-1)
((1-2p)(p^3-3p) の微分には積の微分の公式を使った）
=3(1-2p)(p^2-1)
（(p^3-3p)をPとでもおけば、P+P-2P=0)
となり、g(p)の増減がすぐにわかります。

おそらく、この計算（t^3-3tでなくても、積分区間で単調増加や単調減少の微分可能な関数であれば同様に積分区間の中点で最小となる）がITさんのいう厳密性に相当するものではないかと思います。
No.84799 - 2023/02/02(Thu) 07:58:07
☆ Re: dreaming muscle / IT
グラフを90度回転して考えた場合のイメージ図です。
No.84800 - 2023/02/02(Thu) 19:58:47
☆ Re: dreaming muscle / IT
イメージを示すのが目的なのでh(u)が何かとか細かいことは書いてません。
No.84801 - 2023/02/02(Thu) 20:01:52
★ 大学の物理、数学です。 / やや
教えてください！！！！！
No.84784 - 2023/01/31(Tue) 02:27:46
★ 猛者よ、助けて下さい！ / あらぶる
全ての辺の長さがaの正四角錐o-abcdにおいて、4つの辺OA、OB、OC、ODに接し、底面ABCDにも接する球の半径を求めよ。

どのような作図で解いたら良いか分かりません。猛者よ、助けて下さい。（図があれば有難いです。）
No.84781 - 2023/01/30(Mon) 22:53:58
☆ Re: 猛者よ、助けて下さい！ / ヨッシー

図のように△ＯＡＣで考えます。
ＯからＡＣに下ろした垂線上に球の中心はあり、半径をｒとすると、
　ｒ＋√2ｒ＝ａ/√2
これを、ｒについて解きます。
No.84782 - 2023/01/31(Tue) 00:06:46
☆ Re: 猛者よ、助けて下さい！ / あらぶる
ありがとうございます！
No.84783 - 2023/01/31(Tue) 00:31:34
★ (No Subject) / 豆
次のデータは12名で行ったあるゲームの得点である
12,10,23,18,6,10,a,b,c,d,e,f,(単位は点)
ここで得点はすべて0以上の整数とし下記のことが分かっている


?@最高点は23点，最低点は6点である
?A第一四分位数は10.5点，中央値は15点，第3四分位数は19点である
?B全体の平均点は15点，分散は27である
?C上位3名の平均値は22点である

この時a〜fの値はいくつか。ただしa≦b≦ｃ≦ｄ≦ｆである

解答＆解説よろしくお願いします
No.84772 - 2023/01/30(Mon) 13:38:47
☆ Re: / ヨッシー
小さい方からの３数は
6,10,10 であり、この間に文字は入りません。（第1四分位数が10より大きいため）
よって、４番目は a=11 となります。

大きい方からの３数は
23,f,e であり、第３四分位数が19なので、
23,f,19,19 または 23,f,20,18 であり、上位３名の平均が 22 になるには、
23,f,19,19 ではダメで、23,23,20,18 と決まります。f=23。

整理すると
　6,10,10,11,・・・12,・・・18,20,23,23
であり、・・・の部分に b,c,d,e が入ります

中央値が15なので、考えられるのは
　6,10,10,11,11, 12,18, 18,18,20,23,23　計180
　6,10,10,11,12, 12,18, 18,18,20,23,23　計181

　6,10,10,11,12, 13,17, 17,18,20,23,23　計180
　6,10,10,11,12, 13,17, 18,18,20,23,23　計181

　6,10,10,11,12, 14,16, 16,18,20,23,23　計179
　6,10,10,11,12, 14,16, 17,18,20,23,23　計180
　6,10,10,11,12, 14,16, 18,18,20,23,23　計181

　6,10,10,11,12, 15,15, 15,18,20,23,23　計178
　6,10,10,11,12, 15,15, 16,18,20,23,23　計179
　6,10,10,11,12, 15,15, 17,18,20,23,23　計180
　6,10,10,11,12, 15,15, 18,18,20,23,23　計181
で、平均 15（合計180) になるのは、
　6,10,10,11,11, 12,18, 18,18,20,23,23　計180
　6,10,10,11,12, 13,17, 17,18,20,23,23　計180
　6,10,10,11,12, 14,16, 17,18,20,23,23　計180
　6,10,10,11,12, 15,15, 17,18,20,23,23　計180
この４通りに絞られます。

分散が 27（差分平方和324）になるのは、
　6,10,10,11,12, 14,16, 17,18,20,23,23　計180
この場合であり、
　(a,b,c,d,e,f)＝(11,14,16,17,20,23)
と決まります。
No.84773 - 2023/01/30(Mon) 14:25:17
★ 正二十面体の計量 / I
（2）?@?Aの解説をお願いします！
（どうやら重心の性質を使うようです）
No.84770 - 2023/01/30(Mon) 10:40:12
☆ Re: 正二十面体の計量 / I
（2）1,2です
画像つけ忘れと文字化けすみません
No.84771 - 2023/01/30(Mon) 10:42:46
☆ Re: 正二十面体の計量 / ヨッシー
(1)

図のように、ｘを取ると、ｘ，ｘ，２ の三角形と、２，２，(x+2) の三角形は相似なので、
　ｘ：２＝２：(x+2)
　x(x+2)＝4
　ｘ^2＋2x−4＝０
これを ｘ＞０ で解いて、
　ｘ＝√5−1
求める対角線は
　ｘ＋２＝√5＋1　・・・答え(1)

(2) は後ほどですが、三角関数履修済みということでいいですか？
No.84775 - 2023/01/30(Mon) 19:05:45
☆ Re: 正二十面体の計量 / ヨッシー
※(1) の解答でｘを使いましたが、(2) で聞かれているｘとは別物です。

(2)

正五角形ＡＢＦＣ’Ｅ’において、中心をＯ、ＡＣ’の中点をＭ、Ｃ’Ｆの中点をＨとします。
Ｃ’Ｅ’＝２、Ｃ’Ｍ＝(√5＋1)/2　より、
　Ｅ’Ｍ^2＝４−(√5＋1)^2/４
　　＝４−(6＋2√5)/4＝(5−√5)/2
△Ｃ’Ｅ’Ｍ∽△ＯＨＣ’　より
　Ｃ’Ｏ：Ｃ’Ｈ＝Ｃ’Ｅ’：Ｅ’Ｍ
　Ｃ’Ｏ^2＝Ｃ’Ｈ^2・Ｃ’Ｅ’^2／Ｅ’Ｍ^2
　　＝１^2・２^2／{(5−√5)/2}
　　＝８／(5−√5)＝８(5＋√5)/２０＝２(5＋√5)/５

△Ｃ’ＯＤ’（Ｄ’は元の問題の図の点Ｄ’）における三平方の定理より
　ＯＤ’^2＝Ｃ’Ｄ’^2−Ｃ’Ｏ^2
　　＝４−２(5＋√5)/５＝２(５−√5)／５

正五角形Ａ’Ｂ’Ｆ’ＣＥ の中心をＯ’とすると、
　Ｄ’、Ｏ、Ｏ’、Ｄ
は一直線上にあり、
　Ｄ’Ｏ：ＯＯ’：Ｏ’Ｄ＝ｘ：２：ｘ＝(√5−1)：２：(√5−1)
よって、ＤＤ’の長さ（ＡＡ’も同じ）は、Ｄ’Ｏの
　2√5/(√5−1)　倍。
つまり、ＡＡ’^2は、ＯＤ’^2 の 20/(√5−1)^2＝10/(3−√5)＝5(3＋√5)/2 倍。
よって、
　ＡＡ’^2＝２(５−√5)／５×5(3＋√5)/2＝(５−√5)(3＋√5)＝10＋2√5


△ＡＢＣに垂直な方向から△ＡＢＣと△Ａ’Ｂ’Ｃ’を見ると、
図のようになり、水平距離でＡＡ’＝(4/3)√3　です。
右の図は△ＡＢＣが線分に見える方向から見た図で、三平方の定理より
　ｈ^2＝ＡＡ’^2−{(4/3)√3}^2＝10＋2√5−16/3＝14/3＋2√5
No.84780 - 2023/01/30(Mon) 22:34:30
☆ Re: 正二十面体の計量 / I
中3です（一応三角関数はできます）
No.84785 - 2023/01/31(Tue) 12:08:00
☆ Re: 正二十面体の計量 / I
わかりやすい解説ありがとうございます！
No.84786 - 2023/01/31(Tue) 12:08:49
★ 三角関数の極限 / nn
lim(x→∞) sin1/x の極限を求めよ。
という問題ですが、
x→∞にするとsin0に限りなく近づくので、答えはすぐに0と分かると思うのですが、学校の教科書はt=1/xとおいて、x→∞のとき、t→+0と置き換えています。わざわざ置き換えているのは、何か理由があるのですか。
よろしくお願いします。
No.84767 - 2023/01/30(Mon) 06:46:55
☆ Re: 三角関数の極限 / けんけんぱ
>x→∞にするとsin0に限りなく近づくので
ということがすぐにはわからない人のためにしています。
(x+y+1)(x+y+2)を展開する際に、x+y=tとおくのと同じ理由です。


ひとつひとつ確実に理解していくことも大事なことです。
一足飛びに考えることに慣れてしまうと、少し難しい問題にであうと手も足もでない五里霧中ということがあります。
半歩でも前進する方法を知っていると、半歩進んだ先では霧が晴れているかも知れません。
No.84769 - 2023/01/30(Mon) 09:41:24
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