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ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年(質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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高1 数1 / なっちゃん
この問題の解き方を教えてください。
No.82476 - 2022/06/19(Sun) 23:42:12

Re: 高1 数1 / X
例えばAの補集合を\Aと書くことにします。

条件から
A⊃A∩\B={2,5} (A)
なので
a^2+1=5
これより
a=2,-2
(i)a=2のとき
条件から
B={4,9,1}
∴(A)を満たします。
(ii)a=-2のとき
条件から
B={4,5,17}
∴(A)を満たさないので不適。

(i)(ii)から
a=2
このとき
A={2,4,5}
∴(i)から
A∪B={1,2,4,5,9}

No.82477 - 2022/06/20(Mon) 17:43:28

Re: 高1 数1 / なっちゃん
ありがとうございます!
No.82479 - 2022/06/20(Mon) 21:01:16
教えてください! / T山
直径400mm、長さ55mの滑らかな管内を常温(25℃)の水が流れている。損失ヘッドが2.0mであるとき、管内の断面平均流速を求めよ。ただし損失係数として、ブラジウスの式を用いよ。水の動粘度を0.89×10^-6 m^2/sとする。
解き方を教えてください

No.82469 - 2022/06/19(Sun) 16:55:01
正負の数 至急! / いちご
和が-1で、積が-12である2つの整数を求めなさい。
この問題の意味がわかりません

No.82467 - 2022/06/19(Sun) 15:50:50

Re: 正負の数 至急! / IT
求める2つの整数を○、□とすると
○+□=-1
○×□=-12 を満たす。
このような整数○と整数□を求めよ。という意味です。

No.82468 - 2022/06/19(Sun) 15:54:11
正負の数 至急! / いちご
(+4/3)+(-5/8)-□=-1/2この四角の求め方を教えて下さい。
No.82466 - 2022/06/19(Sun) 15:49:44

Re: 正負の数 至急! / いちご
お願いします!
No.82478 - 2022/06/20(Mon) 19:59:13

Re: 正負の数 至急! / IT
-□を右辺に移項、-1/2を左辺に移項し、
左辺を計算(通分などする)すればよいと思います。

No.82480 - 2022/06/20(Mon) 21:23:58
単調減少 / 微分しても分からなかった人
π/6<x<π/2で
tanx-(1+x/tanx)/(π/2-x)
が単調減少であることの証明を教えて下さい。

No.82465 - 2022/06/19(Sun) 14:28:24
確率 / uni
この問題の(2)を条件付き確率で解いたのですが、答えが合いません。解答に書いてあることは理解したのですが、解き方の不備が見つかりません。どなたか教えてください。
No.82463 - 2022/06/19(Sun) 14:13:54

Re: 確率 / uni
> この問題の(2)を条件付き確率で解いたのですが、答えが合いません。解答に書いてあることは理解したのですが、解き方の不備が見つかりません。どなたか教えてください。
No.82464 - 2022/06/19(Sun) 14:14:40

Re: 確率 / IT
説明が難しいですね、
例えば、
{3,4,5}は、2×2×2 =8通り
{3,5,5}は、2通り なのですが、うまく数えられてないと思います。

X=5の場合に
2つの5のうち一方の決まった5(「固定」としてある)が取り出されているとしているのが間違いの元だと思います。

No.82470 - 2022/06/19(Sun) 19:31:39

Re: 確率 / IT
X=5になるのを列挙してみると
{554}2通り
{553}2通り
{552}2通り
{551}2通り○
{544}2通り
{543}8通り
{542}8通り
{541}8通り○
{533}2通り
{532}8通り
{531}8通り○
{522}2通り
{521}8通り○
{511}2通り○

No.82471 - 2022/06/19(Sun) 19:40:21

Re: 確率 / uni
ありがとうございました。
No.82474 - 2022/06/19(Sun) 21:08:05
式と証明 / Nao
この2問、解答がなく、正答がわかりません。
どなたか解いていただけないでしょうか。

No.82457 - 2022/06/19(Sun) 09:36:40

Re: 式と証明 / らすかる
(4)
2x+2y+z=2からz=2-2x-2y
x^2+2y^2+z^2に代入して整理すると
x^2+2y^2+z^2=x^2+2y^2+(2-2x-2y)^2
=5x^2+8xy+6y^2-8x-8y+4
=(1/5)(25x^2+40xy)+6y^2-8x-8y+4
=(1/5)(25x^2+40xy+16y^2)+6y^2-(16/5)y^2-8x-8y+4
=(1/5)(5x+4y)^2+(14/5)y^2-8x-8y+4
=(1/5)(5x+4y)^2+(14/5)y^2-(8/5)(5x+4y)-(8/5)y+4
=(1/5)(5x+4y)^2-(8/5)(5x+4y)+(14/5)y^2-(8/5)y+4
=(1/5){(5x+4y)^2-8(5x+4y)}+(2/35)(49y^2-28y)+4
=(1/5){(5x+4y)^2-8(5x+4y)+16}+(2/35)(49y^2-28y+4)+4-16/5-8/35
=(1/5)(5x+4y-4)^2+(2/35)(7y-2)^2+4/7
となるので5x+4y-4=0かつ7y-2かつ2x+2y+z=2すなわち
(x,y,z)=(4/7,2/7,2/7)のときに最小値4/7をとる。

(5)
3変数の相加相乗平均により
1/x+1/y+1/z=2から
2=1/x+1/y+1/z≧3/[3]√(xyz)
∴[3]√(xyz)≧3/2(等号は1/x=1/y=1/zのとき)
再び3変数の相加相乗平均により
x+y+z≧3[3]√(xyz)≧9/2(等号はx=y=zかつ1/x=1/y=1/zのとき)
となるので、x+y+zの最小値はx=y=z=3/2のときで9/2

ちなみに答え合わせは↓こちらのサイトでできます。
(4)
(5)

No.82458 - 2022/06/19(Sun) 10:51:37

Re: 式と証明 / X
別解)
以下はベクトルを学習済みであることが前提になります。

(4)
2x+2y+z=2 (A)
f=x^2+2y^2+z^2 (B)
とします。
↑b=(x,y√2,z)
↑a=(2,√2,1)
と置くと(A)(B)は
↑a・↑b=2 (A)'
f=|↑b|^2 (B)'

|↑a|^2=7 (C)
ここで
|↑a||↑b|≧↑a・↑b
∴(|↑a|^2)|↑b|^2≧(↑a・↑b)^2
これに(A)'(B)'(C)を代入すると
7f≧4
∴f≧4/7
となるので、fの最小値は4/7

(5)
↑a=(1/√x,1/√y,1/√z)
↑b=(√x,√y,√z)
f=x+y+z
と置くと、
|↑a|^2=2 (A)

↑a・↑b=(1/√x)√x+(1/√y)√y+(1/√z)√z
∴↑a・↑b=3 (B)
更に
f=|↑b|^2 (C)
ここで
|↑a||↑b|≧↑a・↑b
∴(|↑a|^2)|↑b|^2≧(↑a・↑b)^2
これに(A)(B)(C)を代入すると
2f≧9
∴f≧9/2
となるのでfの最小値は9/2です。

No.82461 - 2022/06/19(Sun) 11:05:55

Re: 式と証明 / Nao
らすかるさま、Xさま

ご丁寧な解説ありがとうございます!
お陰様で理解できました。

No.82475 - 2022/06/19(Sun) 21:16:28
三角方程式 / だい
三角関数についての質問です。
π/2≦α≦π、0≦β≦πのとき、sinα=cos2βを満たす角βをαを用いて表せ。
cosに統一して角度を比較する解き方と、和積から求めた方程式では答えが変わってしまうのですが計算ミスでしょうか。具体的に言えば、和積の公式を用いてsin×sin=0にしてそれぞれについて0になる時を求めたのですが、角度を比較する解き方では出てこなかったものまで出てきてしまいます。(α/2+3π/4など)

No.82454 - 2022/06/19(Sun) 00:24:50

Re: 三角方程式 / IT
求め方の途中が分からないので、なぜ除外されなかったかは分かりませんが
0≦β≦πを満たさないものを含んでいますね
α=π/2 のときは α/2+3π/4=πでOKですが
α>π/2のとき α/2+3π/4 > πです。

No.82455 - 2022/06/19(Sun) 07:14:37

Re: 三角方程式 / だい
角度を比較する方法であれば、
cos(π/2-α)=cos2βより
2β=±(π/2-α)+2nπ (n:整数)
β=π/4-α/2+nπのとき、-π/4≦-α/2+π/4≦0より、
-π/4+nπ≦β≦nπより、n=1のみ適する。この時β=5π/4-α/2

β=-π/4+α/2+nπのとき0≦-π/4+α/2≦π/4より、nπ≦β≦nπ+π/4 n=0のみ適する。
よってβ=α/2-π/4
模範解答は以上の二つでした。和積の公式で整理した後は
sin(β-α/2+π/4)×sin(β+α/2-π/4)=0となり、sinが0になるのをそれぞれ求めました。
β-α/2+π/4=nπ、このとき
-π/4≦nπ≦πとなるので、n=0,1であり、β=α/2-π/4と、β=α/2+3π/4と二つ出てきてしまいます。β=α/2+3π/4はαの値によって範囲から外れてしまうので不適ということなのでしょうか。
もう一方のsinについても同様です。

No.82460 - 2022/06/19(Sun) 11:04:33

Re: 三角方程式 / IT
>β=α/2+3π/4はαの値によって範囲から外れてしまうので不適ということなのでしょうか。

β=α/2+3π/4は 
 α>π/2のときは、βが範囲から外れてしまうので不適
 α=π/2のときは、OK(もう一方と同じ値になり吸収されると思います)

模範解答と同じ方法で、範囲条件を調べればどうですか?

No.82462 - 2022/06/19(Sun) 11:30:04
正負の数 / いちご
中1の問題です。(-7/3)-(-0.2)なんですが =(-7/3)+(+2/10)=(-70/30)+(+6/30)になると思うのですが違うそうです。ちなみに答えは=(-7/3)+(+7/5)=-32/15だそうです。お願いします
No.82449 - 2022/06/18(Sat) 15:24:32

Re: 正負の数 / X
>>〜違うそうです。
違っていません。単に計算が足りないだけです。
(-7/3)-(-0.2)=(-7/3)+(+2/10)=(-70/30)+(+6/30)
=-64/30
=-32/15

No.82450 - 2022/06/18(Sat) 15:37:07

Re: 正負の数 / けんけんぱ
>ちなみに答えは=(-7/3)+(+7/5)=-32/15だそうです。

これでは、
-(-0.2)=+7/5となってしまうので、これは間違いです。

No.82451 - 2022/06/18(Sat) 17:51:23

Re: 正負の数 / いちご
> これでは、
> -(-0.2)=+7/5となってしまうので、これは間違いです。

ということはどちらの答え方があっているのですか?

No.82452 - 2022/06/18(Sat) 22:00:37

Re: 正負の数 / けんけんぱ
(-70/30)+(+6/30)=-64/30=-32/15
でも
=(-7/3)+(+1/5)=-32/15
でも
どちらでもいいです。

No.82453 - 2022/06/18(Sat) 22:15:43

Re: 正負の数 / いちご
> (-70/30)+(+6/30)=-64/30=-32/15
> でも
> =(-7/3)+(+1/5)=-32/15
> でも
> どちらでもいいです。

すみませんそしたらやりやすい方を最初から式でお願いします

No.82456 - 2022/06/19(Sun) 08:53:40
三角比の不等式 / ここがさりな
この問題を教えて下さい
いくら考えても解決に繋がりそうなことを一切思い付けなくて、歯痒いです

よろしくお願いします

No.82448 - 2022/06/17(Fri) 20:53:51
よろしくお願いします / cavy
角度を求める問題です。よろしくお願いします。
No.82445 - 2022/06/17(Fri) 20:32:47

Re: よろしくお願いします / けんけんぱ
Eを通るAD,BCに平行な直線を引きます。
角DEFは10°+60°とわかります。
△DEFは二等辺三角形なので角xが求められます。

No.82446 - 2022/06/17(Fri) 20:39:03

Re: よろしくお願いします / cavy
ありがとうございます。
その補助線がすぐに思いつきませんでした(^^;;

No.82447 - 2022/06/17(Fri) 20:47:29
球の体積 / John Titor
みのうえしんぱいあるさんじょう
No.82444 - 2022/06/17(Fri) 16:28:51
3次元空間のベクトル / Asada
下の問題について教えてほしいです。

直線ℓ1:(2 0 -1)+t(2 3 -1) 直線ℓ2:{2x-y+z+15=0 2y-z-3=0 とする
(1)直線ℓ3と原点の距離が√6、ℓ2とℓ3の距離が2√6でℓ1、ℓ2、ℓ3は共通の垂線を持つとき直線ℓ3のパラメータ表示を求めよ。該当する直線が複数ある場合はすべて求めること。
(2) ℓ1とℓ3の距離を求めよ。ℓ3に該当する直線が複数ある場合は各々について求めること。

No.82441 - 2022/06/16(Thu) 22:53:54

Re: 3次元空間のベクトル / GM
直線ℓ2は(-6 0 -3)+s(1 -2 -4)と表すことができる(sは実数)
ℓ1とℓ2に垂直な方向ベクトルのひとつを求めると(2 -1 1)
ℓ1と垂線との交点の座標を(2t+2,3t,-t-1)
ℓ2と垂線との交点の座標を(s-6,-2s,-4s-3)とすると
ベクトル(s-2t-8 -2s-3t -4s+t-2)とベクトル(2 -1 1)が並行で
これを解いてs=0,t=-1
よってℓ2上の交点の座標は(-6,0,-3)
この点から垂線方向に2√6離れた点の座標は垂線の方向ベクトルより
(-6,0,-3)+(4,-2,2)=(-2,-2,-1)
または
(-6,0,-3)-(4,-2,2)=(-10,2,-5)

(-2,-2,-1)を通りベクトル(2 -1 1)に垂直な直線はa,bを実数として
(-2 -2 -1)+s(a b b-2a)と表すことができ原点との距離が√6であることより
(sa-2)^2+(sb-2)^2+(sb-2sa-1)^2の最小値が6となるようなa,bの関係を求めればよい

もうひとつの(-10,2,-5)の方はこの点を通りベクトル(2 -1 1)を法線とする
平面の方程式を求めると原点との距離が√6より大きいので不適

No.82493 - 2022/06/22(Wed) 17:40:29
期待値、分散 / Kanami
サイコロを振って 1 の目が出たら成功とする. サイコロを 3 回振って成功 する回数を X とすると, これは成功確率 1/6 の二項確率変数である. 3 回 中 k 回成功する確率は 画像 となる。この期待値と分散を求めよ。
No.82438 - 2022/06/16(Thu) 20:35:17

Re: 期待値、分散 / Kanami
> サイコロを振って 1 の目が出たら成功とする. サイコロを 3 回振って成功 する回数を X とすると, これは成功確率 1/6 の二項確率変数である. 3 回 中 k 回成功する確率は 画像 となる。この期待値と分散を求めよ。が分かりません。
No.82439 - 2022/06/16(Thu) 20:36:21

Re: 期待値、分散 / ヨッシー
こちらなどどうでしょう?
No.82440 - 2022/06/16(Thu) 20:51:53
(No Subject) / 鷲尾史保
k>1
((3-k^2)÷(1+k^2),4k÷(1+k^2))の軌跡を求めよ

x=(3-k^2)/(1+k^2),y=4k/(1+k^2 )とおくと
y=k(x+1)

としたのですがこの先どうすれば良いでしょうか。

No.82432 - 2022/06/16(Thu) 15:05:52

Re: / X
(i)x≠-1のとき
y=k(x+1)
から
k=y/(x+1)
これを
y=4k/(1+k^2)
に代入して整理をすると…

(ii)x=-1のとき
y=k(x+1)
から
y=0
これを
y=4k/(1+k^2)
に代入して…

No.82436 - 2022/06/16(Thu) 18:19:29

Re: / ast
> y=k(x+1) としたのですがこの先

軌跡を求めるには x,y を連立してパラメータ k を消去しないといけないので, k が残っているこの形は役に立たないですね.
x,y それぞれを k について解く (つまり k=(xの式),k=(yの式) にする) のが最も地道で確実な方法だと思います.

ただ, 結論を先取りして言うと, (x-1)^2+y^2 を計算してみると k が消えます.

No.82437 - 2022/06/16(Thu) 18:36:15
命題について / しょう
例題13で、3番の問題で、PかつQバーに変換出来るのは分かるのですが、それが空集合になるというのはどういうことでしょうか?
No.82430 - 2022/06/16(Thu) 11:51:15

Re: 命題について / ヨッシー
p~かつ q は図の斜線部分になります。

すべての自然数がこの斜線部分にあって、Uには自然数以外存在しないので、
白の部分は空になります。
つまり、P全体がQに含まれるのと同じことです。

No.82431 - 2022/06/16(Thu) 13:02:07

Re: 命題について / IT
横から失礼します。

> PかつQバーに変換出来るのは分かる

何が「PかつQバーに変換出来る」となぜ分かるのですか?

「すべての自然数が条件p~かつ q を満たす。」の
「すべての自然数が」「を満たす。」などの部分はどうなりますか? #命題全体を考える必要があります。

No.82434 - 2022/06/16(Thu) 18:12:42
行列式の導出について / 行列
大学生で、行列の式の導出過程が分かる方がおられましたら教えていただきたいです。

(1 / 2 )・d^2x / du^2 + u・dX / du = μ_1X (1)
式 (1) は固有値がμ_l = l であり、l = 0, 1, 2・・・、固有関数がエルミート多項式X (u) = Hl (u) でたる固有問題を表す、これらの多項式は漸化式により定義される。

H_l + 1 (u) =2uH_l (u) - 2lH_l - 1 (u) (2)

H_0 (u) = 1、H_1 (u) = 2u (3)
したがって、
H_2 (u) = 4u^2 - 2、H_3 (u) = 8u^3 - 12u (4)

(1) 式から(2) 式への導出と、(2) 、(3) 式から (4) 式の導出過程を教えていただきたいです。
エルミート行列を用いると思うのですが、まだ習ったことがなく、分かる方がいましたらお願い致します。

No.82429 - 2022/06/16(Thu) 11:49:10
証明できない / 不等式 微分
x≧1のとき,不等式(x+1)logx≧2(x-1)が成り立つことを証明せよ.

この問題で、解き方としてはf(x)=(x+1)logx-2(x-1)とおいて、f'(x),f''(x)の符号調べて、単調増加ということを示すと思うんですけど、どうしてもf'(x)=logx+(1/x)-1が単調増加すること示せません。どうかこの証明の計算過程や解答を教えてください。

No.82428 - 2022/06/16(Thu) 10:28:22

Re: 証明できない / X
f'(x)=logx+1/x-1
から
f"(x)=1/x-1/x^2=(x-1)/x^2
∴1≦xにおいてf"(x)≧0ゆえ
1≦xにおいてf'(x)は単調増加です。

No.82435 - 2022/06/16(Thu) 18:15:36
代入による式の導出過程について / 式の導出
物理の本を勉強しており、式の導出過程が分からずこちらに投稿させていただきました。具体的な式を以下に示します。

A (x, y, z) = X [√2x / W (z)] Y [√2y / w (z)] exp [jZ (z)] A_G (x, y, z) (1)

u = √2x / W (z), ν = √2y / W (z)、
∇^2_TA - j2k dA / dZ = 0 (2)

(2) 式に (1) 式を代入すると、
(∇^2_T = d^2 / dx^2 + d^2 / dy^2)

1 / X (d^2X / du^2 - 2u dX / du)+ 1 / Y (d^2Y / dν^2 - 2ν dY/dν) + kW^2 (z) dZ / dz=0 (3)

(2) 式に (1) 式を代入すると (3) 式になると本に書いてあり、主に2階微分して代入するのだと思うのですが、(1) 式から (3) 式が導けず困っています。分かる方がいらっしゃいましたら、(1) 式から(3) 式の導出過程を教えていただきたいです。

No.82427 - 2022/06/16(Thu) 07:44:41
三角関数 / Nao
添付の2問がわかりません。
右側の青数字は正答でして、1問目は「15」のみ誤答です。
2問目は解き方がわかりません。
解答解説がないため、途中式含め解説いただけると助かります。

No.82425 - 2022/06/16(Thu) 00:15:14

Re: 三角関数 / X
以下、ベクトルは縦ベクトルとします。

(3)の後半)
点Bが原点に平行移動するとき、
点Aが点Bと位置関係を変えずに
点A'に平行移動したとすると
A'(4,-2)
ここで原点の周りに30°回転移動
させる行列をCとすると
C=M{((√3)/2,-1/2),(1/2,(√3)/2)}
∴点A'を原点の周りに30°回転移動
させて点A"に移動したとすると
↑OA"=C・↑OA'
=(1+2√3,2-√3)
∴B"(1+2√3,2-√3)
よって原点を点Bに平行するとき
点A"をその平行移動させる原点と
位置関係を変えずに平行移動
させることを考えて、
求める点の座標は
(2√3,6-√3)

No.82426 - 2022/06/16(Thu) 06:22:54

Re: 三角関数 / X
(4)
↑a=(2,s,1)
↑b=(-1,2,t)
↑c=(4,3,1)
と置くと、問題のベクトル方程式は
↑OP=(cosθ)↑a+(sinθ)↑b+↑c
これより
↑OP-↑c=(cosθ)↑a+(sinθ)↑b
|↑OP-↑c|^2=|(cosθ)↑a+(sinθ)↑b|^2
右辺を展開し、2倍角の公式、半角の公式を
使って整理をすると
|↑OP-↑c|^2=(↑a・↑b)sin2θ+{(|↑a|^2-|↑b|^2)/2}cos2θ+(|↑a|^2+|↑b|^2)/2 (A)
ここで条件から(A)の右辺はθの値に依らず
一定値にならなければならないので
sin2θ、cos2θの係数について
↑a・↑b=0 (B)
(|↑a|^2-|↑b|^2)/2=0 (C)
(B)(C)をs,tの式で表すことにより
-2+2s+t=0 (B)'
s^2+5=t^2+5 (C)'
s>1に注意して、(B)'(C)'を連立して解き
(s,t)=(2,-2)
このとき
↑a=(2,2,1)
↑b=(-1,2,-2)
となるので(A)から
|↑OP-↑c|=3
∴円の中心の座標は(4,3,1)、半径は3

No.82433 - 2022/06/16(Thu) 18:09:07

Re: 三角関数 / Nao
Xさま

ご丁寧な解説ありがとうございます!
理解できました。

No.82443 - 2022/06/17(Fri) 07:03:30
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