x,y の連立方程式
y=x^2+ax+1
x=y^2+ay+1 ‥＊
について考える。
(i) ＊を満たす実数x,y値の組（x,y）はいくつあるか。aの値で分類して答えよ。
(ii) 条件「（*）かつx≠y かつx+y=k」
を満たす実数の組（x,y）が存在するようなkの値の範囲を求めよ。
この問題の取りかかり方がわかりません。課題で答えがなく申し訳ないのですが、どなたか教えていただけたらうれしいです。
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No.88410 - 2024/07/22(Mon) 09:00:58
| ☆ Re: 高一 二次関数 / ast | | | べつに (連立一次方程式のような) 何か一般論があるわけでもなし, 適当に
y=x^2+ax+1……(1)
x=y^2+ay+1……(2)
とでもしておくと, (1)-(2) から 0=(x+y+a+1)(x-y) ⇔ [x=y または x+y+a+1=0]
[α] x=y のとき: (1) ⇔ 0=x^2+(a-1)x+1 の解の個数を数える.
[β] x+y+a+1=0 のとき: x+y=-(a+1)……(3), また (1)+(2) から xy=a+2……(4). (3),(4) を満たす実数 x,y が存在するとき a は実数. 一方, f(t):=(t-x)(t-y)=t^2+(a+1)t+(a+2). f(t)=0 ⇔ t=x または t=y だから実数 a に対し方程式 f(t)=0 が二実解を持てばそれを x,y として (3),(4) が満たされるから, そのような x,y の組の数を数える.
最後に, a の値によって [α]または[β] の何れの場合も生じる可能性があること, また [α]かつ[β] を満たす x,y が存在しうること, などを考慮して a ごとに何個あったか慎重にまとめる.
のような話になるかと.
# これは論理を追える程度のざっくりとした内容で, 計算等は細かくやってはいないので,
# 齟齬がある可能性を考慮の上で話を追ってください.
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No.88421 - 2024/07/22(Mon) 17:22:08 |
| ☆ Re: 高一 二次関数 / ast | | | (3),(4) を満たす実数 x,y が存在するような実数 a のときだけを考えればよいが, そのような a は二次方程式 f(t)=0 が実数解を持つような a (で, x,y は f(t)=0 の二つの解) にほかならないから f(t)=0 の判別式および f(t)=0 の解 x,y (この x,y は a の式として表される) を調べればいい, ということ.
# ただし, [α] のときは x=y だったから x と y の組 (x,y) というのは (x の値が x=x_0 なら
# (x,y)=(x_0,x_0) の形をしているので) ちょうど方程式の解 x の数だけあったが,
# [β] のときは例えば (x,y)=(c,d) が条件を満たす組 (かつ c≠d) なら (x,y)=(d,c) も条件を満たす組
# というようなことなどが起きるので, 単に二次方程式 f(t)=0 の解の個数だけ知ればいいという話ではない
# ということは留意すべきところ.
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No.88437 - 2024/07/23(Tue) 18:16:20 |
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