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ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

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対称式の証明問題 / ひで
2005年鹿児島大学理学部AO問題なのですが、(4)からの証明をどう書けば良いか分かりません。教えて下さいm(_ _)m
No.77585 - 2021/08/13(Fri) 16:35:20

Re: 対称式の証明問題 / ast
(4) 対称性: F(y,x)=f(y,x)-f(y+x,0)=f(x,y)-f(x+y,0)=F(x,y).
 次数: f(x,y) の最高次項は x^k*y^(n-k) の定数倍 (を k=0,…,n について加えた和) の形をしているから, x に x+y, y に 0 を代用したとき (つまり f(x+y,0) の最高次項として) 残るのが k=n としたときの (x+y)^n に由来する項のみであり, ここで (x+y)^n は (x,y に関して) n 次であるから, F(x,y) の次数が n を超えることはない.//

(5) F(x,0)=f(x,0)-f(x+0,0)=0; F(0,y)=f(0,y)-f(0+y,0)f(y,0)-f(y,0)=0.
  (∵f(0,y)=f(y,0) は f の対称性による)

(6) (5) により, F(x,y) は x で割り切れ, かつ y で割り切れることがわかるが, x と y は共通因数を持たない (互いに素である) から, したがって F(x,y) は xy で割り切れる. 次数は xy の次数 2 だけ下がる.

No.77587 - 2021/08/13(Fri) 17:32:27

Re: 対称式の証明問題 / ast
(7) g(x,y):=F(x,y)/β, h(α):=f(α,0) と書けば (6) より g(x,y) は x,y の整式で, xy*g(x,y)=f(x,y)-f(x+y,0) すなわち
  f(x,y)=f(x+y,0)+xy*g(x,y)=h(α)+β*g(x,y)
と書ける. g(x,y)=c (定数) となるならばこれで終了. そうでないとき, (6) の通り g(x,y) は対称式であるから, g(x,y) に対して同じことを繰り返せば帰納的に g(x,y) の次数が 1 以下の場合に帰着されるが, その場合は (3) で既に示したので, 帰納法が完成する.

# こういう記述は大学レベルだとよくある (無限降下法とか調べると似たような記述にヒットすると思う) けど,
# 高校数学的な定型文にするのは面倒だな余計わかりにくい気がする.
## その場合, 帰納法の仮定は「次数が 2 以上低い任意の対称式が α,β の整式に書ける」かな.

No.77588 - 2021/08/13(Fri) 17:51:10

Re: 対称式の証明問題 / ひで
astさん、有難うございます。
(7)の使われている記号の確認なのですが、*はかけ算で宜しいでしょうか?
また、:= の記号は何でしょうか?

No.77589 - 2021/08/13(Fri) 19:05:41

Re: 対称式の証明問題 / ast
はい, "*" は掛け算です. ":=" は「左辺を右辺で定義する」という意味です.

# ":=" の左右逆で「右辺を左辺で定義する」 "=:" もあります.
# いろいろ計算していった結果を別の文字で置きたいときには "=:" を使うと便利です.

No.77590 - 2021/08/13(Fri) 19:19:52

Re: 対称式の証明問題 / ast
(4) の次数について, (訂正ではありませんが) 以下のような述べ方が簡潔でいいかもしれません.

一般に, (x+y)^k (k=0,…,n) は (x,y に関して) 斉 k-次である (つまり k-次の項のみからなる) から, f(x+y,0) の (x,y に関する) 次数は f(x,y) の x に関する次数と等しく, それは高々 n-次である. したがって, f(x,y)-f(x+y,0) は高々 n-次.

No.77595 - 2021/08/14(Sat) 05:55:31
2変数関数の不等式 / 高校三年生
『任意の実数組 (x,y) が、

 x^3-xy+y^3 = 1

 を満たすとき、実数 x+y の取り得る値の範囲を求めよ。』

つべに上がった問題の改題です。
元の問題は、

x≧0,y≧0

という条件付でした。二次方程式

F^2-(x+y)F+xy = 0

の解と係数の関係を利用するにしても、判別式は、

(x+y)^2-4xy = (x-y)^2 ≧0

となって自明なので使えません。(T_T)
解法をご教示ください。m(_ _)m

No.77580 - 2021/08/13(Fri) 12:41:14

Re: 2変数関数の不等式 / らすかる
x^3-xy+y^3=1
t=x+y, s=x-yとおいてx,yを消去し整理すると
t^3-t^2=-3(s^2)(t+1/3)+4
y=t^3-t^2 と y=-3(s^2)(t+1/3)+4 の交点を考える。
y=-3(s^2)(t+1/3)+4は(-1/3,4)を通る傾き-3s^2の直線であり
s^2=0のときの交点は(2,4)
s^2→∞のとき交点→(-1/3,-4/27)
なので交点のt座標の範囲は-1/3<t≦2
従って-1/3<x+y≦2

No.77581 - 2021/08/13(Fri) 13:14:30

Re: 2変数関数の不等式 / 高校三年生
らすかる さん、返信ありがとうございます。

なるほど。

s^2 = (x-y)^2 ≧0

という条件ではさむのですね。
ところで、変数変換のコツですが、実数 x+y と独立な変数を考える際、
xy でなく x-y を用いた根拠(発想メカニズム)をお教えください。m(_ _)m

No.77582 - 2021/08/13(Fri) 13:30:48

Re: 2変数関数の不等式 / らすかる
x+yとxyは任意の値をとらない(例えばx+y=1かつxy=1はあり得ない)のに対し、
x+yとx-yは任意の値をとり得ますので
x+yとx-yの相互関係を考える必要がありません。
また別の考え方で言うと、
x+yとx-yにするということは座標軸を45°回転して原点中心に拡大するのと
同じ意味であり、つまり座標の見方を変換しているだけですので
今回のように「x+y」の範囲について考える場合は一般に問題が簡単になります。

No.77583 - 2021/08/13(Fri) 14:38:40

Re: 2変数関数の不等式 / 高校三年生
らすかる さん、返信ありがとうございます。

なるほど。
座標を回転かつ拡大変換するわけですか。
ご教示ありがとうございました。m(_ _)m

No.77584 - 2021/08/13(Fri) 14:47:20
小学校算数?? / だめ先生
小学校教師です。夏休み中に、児童が塾で出された問題をもってきましたが、解けずに四苦八苦しております。助けていただけませんでしょううか。

問題
1から9までの数字が書かれた9枚のカードがあります。このカードのうち7枚を、下のようにア〜キにあてはめて、割り算の式をつくります。

アイウ÷エ=オカあまりキ
(たとば1,3,5,6,7,8,9を使うと、583÷9=97あまり1が成立します)

(1)このとき、絶対にエに入らない数字はなんですか?
(2)このとき、アイウに入るもっとも大きい3桁の数字はなんですか?

No.77577 - 2021/08/13(Fri) 10:41:21

Re: 小学校算数?? / らすかる
(1)
1と2。
÷1だと余りが出ない。
÷2だと余りのキは1だが、3桁の数を2で割って2桁になるためには
アも1でなければならず、不可能。
その他は以下のように全部可能。
176÷3=58あまり2
158÷4=39あまり2
139÷5=27あまり4
173÷6=28あまり5
165÷7=23あまり4
195÷8=24あまり3
284÷9=31あまり5

(2)
アが9だと商が2桁にならない。
アが8だと商が2桁になるためには
エは9でなければならないが、このとき
オも9になってしまい不適。
アが7のときエは8か9。
アイが79のときエは8だが、このときオが9となり不適。
アイが78のときエは9だが、このときオが8となり不適。
アイが76でエが8のとき、
ウが9ならオも9となり不適
ウが1〜5ならキもウと同じになり不適
アイが76でエが9のとき
ウが8ならオも8となり不適
ウが5ならあまりが0となり不適
ウが4ならカも4となり不適
ウが3ならキが7となり不適
ウが2ならキが6となり不適
ウが1なら761÷9=84あまり5となり条件を満たす。
よってアイウに入る最も大きい数は761。

No.77578 - 2021/08/13(Fri) 11:17:07

Re: 小学校算数?? / だめ先生
ありがとうございます。やっぱり手を動かさないとダメなんですね。
なんかもっと、「◯◯だからXXしか入らない」って簡潔に答えられるのかと思ってました。。。

No.77579 - 2021/08/13(Fri) 11:55:49
合成関数の積分の計算 / TAKA
∫x・√(x^2+1)dxの求め方を教えてください。

1/2∫(x^2+1)^1/2・(x^2+1)′dxと考えるまでは出来たのですが、原始関数を考える部分でどう言う計算を辿ったのか分かりません。

解答は1/2(x^2+1)^3/2・2/3+cとなっています。

No.77568 - 2021/08/12(Thu) 22:39:44

Re: 合成関数の積分の計算 / GandB
  t = x^2 + 1   dt = 2xdx

  ∫x√(x^2+1)dx
  = (1/2)∫√(t)dt
  = (1/2)∫t^(1/2)dt
  = (1/2)(2/3)t^(3/2) + C
  = (1/3)(x^2+1)^(3/2) + C

あいうえお

No.77576 - 2021/08/13(Fri) 06:31:24

Re: 合成関数の積分の計算 / TAKA
ありがとうございました。
No.77586 - 2021/08/13(Fri) 16:44:13
(No Subject) / 数学苦手
この問題なんですけど…
No.77567 - 2021/08/12(Thu) 22:38:21

Re: / 数学苦手
線を延長してみたのですが相似…には多分ならないのでしょうか。対頂角と錯角があるように自分は思ってしまいました
No.77569 - 2021/08/12(Thu) 22:39:44

Re: / 数学苦手
あ、でも錯覚は三角形ABEの中に入らないから錯覚じゃないですね
No.77572 - 2021/08/12(Thu) 23:10:48

Re: / 関数電卓
いろいろなやり方があるのですが,下図のように
 F を通り BC に平行な直線と BE の交点を H
とします。各点間に赤字の長さを与えた場合 線分 FH の長さがいくらになるか 考えてみて下さい。結構ムズいですよ。

No.77575 - 2021/08/13(Fri) 00:41:59
指数計算(高2)についての質問です。 / tinti
平方根の計算について質問です。
通常、√(-5)*2=5となりますが指数法則を用いて計算すると
(-5)*2*1/2=-5となると思うのですが定義を理解できていないでしょうか。

※*2は2乗 *1/2は1/2乗を表します。

No.77563 - 2021/08/12(Thu) 18:17:31

Re: 指数計算(高2)についての質問です。 / 関数電卓
> 定義を理解できていないでしょうか
はい,その通り。
 指数法則 (a^p)^q=a^(p・q)
がなりたつのは,a>0 の場合のみ で(これが 定義
a=−5 の場合には適用できません。

No.77564 - 2021/08/12(Thu) 18:59:01
高校レベルでの積分の概念についての質問です / 徹夜ターボー
積分とは導関数と見なしたモノから原始関数を求めること。
と理解して良いのでしょうか?初歩的な質問で申し訳ありません。

No.77562 - 2021/08/12(Thu) 15:52:31
もうひとつベクトルの問題を解いてください! / Nao
添付のベクトルの問題の答えを教えてください。
先程と同様、解法は不要で、答えだけで結構です。
次の数列の講座を受講するためにこの2問を正答する必要があり、どなたかわかる方、よろしくお願いいたします。

No.77556 - 2021/08/12(Thu) 00:28:22

Re: もうひとつベクトルの問題を解いてください! / ヨッシー
(1)

図のように座標平面上に、A(1,0)、B(0,1) をとり、
問題文の通りにM,N,Pをとります。
このときのPの座標が([1/2], [3/4]) になります。
(2)

図のように、OA=1,OB=3、∠AOB=60°とすると、
条件を満たします。その上で、問題文の通りにM,N,Pをとり
OPの長さを求め2乗したものが[56]/16 になります。

No.77559 - 2021/08/12(Thu) 07:25:18

Re: もうひとつベクトルの問題を解いてください! / ヨッシー
訂正
OPの長さを求める前に、OP2 が求まりますので、
それがそのまま答えとなります。

No.77560 - 2021/08/12(Thu) 07:57:52

Re: もうひとつベクトルの問題を解いてください! / Nao
ヨッシーさま

(1)は正答でき、(2)は43/16だと求まったのですが、一の位が誤答のようで、まだ解けていません。。
何度計算し直しても43になるのですが、、もう少し考えてみます。

No.77570 - 2021/08/12(Thu) 22:42:10

Re: もうひとつベクトルの問題を解いてください! / Nao
(2)も解けました!
ありがとうございました!!

No.77574 - 2021/08/12(Thu) 23:36:55
ベクトルの問題を教えてください! / Nao
添付のベクトルの問題の答えを教えてください。
途中式などの解法は省略いただいて結構です。
ベクトルは未習のため、さっぱりわからないのですが、教材のシステム上、この問題を正答しないと次進めない仕組みになっていることから、答えだけで結構ですので、どなたか解いていただけないでしょうか?
よろしくお願いいたします!

No.77555 - 2021/08/12(Thu) 00:21:44

Re: ベクトルの問題を教えてください! / ヨッシー
以下、太字はベクトルを表します。
|| は、線分ABの長さを表します。
その2乗が[1]です。

[2]
△OABにおいて、
 OAOB
  =(OA^2+OB^2−AB^2)/2
で求められます。

[3][4]も同様です。

No.77558 - 2021/08/12(Thu) 06:45:27

Re: ベクトルの問題を教えてください! / Nao
ヨッシーさま

解けました!
ありがとうございました!

No.77566 - 2021/08/12(Thu) 22:37:43
高校化学 / シンカ
難易度は標準で、どう解いたのかと答えを書いていただけると幸いです。一応、答えはちゃんと書いてあります。
No.77554 - 2021/08/11(Wed) 23:54:02

Re: 高校化学 / X
大気から水1.0[l]に溶けるC02の物質量を
x[mol]とすると、ヘンリーの法則により
x:0.033=(0.040/100)・1.0×10^5:1.0×10^5
∴x≒1.3×10^(-5)[mol]
となるので求める物質量は
2x≒2.6×10^(-5)[mol]

No.77561 - 2021/08/12(Thu) 08:17:15

Re: 高校化学 / シンカ
どのように、co2の分圧を求めたのか知りたいです。答えは合っています。
No.77565 - 2021/08/12(Thu) 21:50:27

Re: 高校化学 / X
問題文中の
大気はCO2を体積で0.040%含む
とは大気の体積がVのとき、
大気中の各元素を同温、同圧で、
Vの中のある体積だけ局在させた
という仮定の下での話です。
このことと気体の状態方程式から

大気の物質量に対するCO2の物質量比(つまりモル比)は0.040% (A)

となることが分かります。
ここまではよろしいですか?

さてここで視点を、
体積Vの大気中で各元素が遍満(局在ではなくて)している
という一般の場合に戻すと、CO2を含む大気中の各元素の
体積は全てVになりますので、気体の状態方程式と(A)から
大気圧に対するCO2の分圧比は0.040%
となります。よってCO2の分圧は
(0.040/100)・1.0×10^5[Pa]
となります。

No.77571 - 2021/08/12(Thu) 22:51:55
不定方程式の解き方を教えて下さい / 歯科大進学希望者
「5X+7Y=1

この方程式の解となる整数X、Yの組の中で、Yの値が最小のものは何か?ちなみに、この時のXの値は負である。」

この問題では、ユークリッドの互除法を使うのではなく、勘であてはまる数を探せば良いのでしょうか?

あなたが最も良いと考える解法を教えて下さい。

No.77549 - 2021/08/11(Wed) 23:19:09

Re: 不定方程式の解き方を教えて下さい / 歯科大進学希望者
問題文の訂正をします。

「Yの値が最小のものは何か?」とありますが、正しくは「Yの値が正で最小のものは何か?」です。

No.77550 - 2021/08/11(Wed) 23:21:52

Re: 不定方程式の解き方を教えて下さい / らすかる
私ならこう解きます。
7×1-1は5の倍数ではない
7×2-1は5の倍数ではない
7×3-1は5の倍数
よってY=3

No.77551 - 2021/08/11(Wed) 23:28:41

Re: 不定方程式の解き方を教えて下さい / ヨッシー
7Y の1の位が1か6になれば、X を適当に決めることにより
 5X+7Y=1
に出来ます。
いきなり最小値Y=3(X=−4)を見つければ、それはそれで良いですが、
もし Y=8(X=-11)としてしまった場合、Yを5減らして
Xを7増やせば、値は1のままなので、Y=3、X=−4 に
持って行くことが出来ます。

No.77552 - 2021/08/11(Wed) 23:29:07

Re: 不定方程式の解き方を教えて下さい / 歯科大進学希望者
らすかるさんとヨッシーさん、

わかりやすい説明をありがとう。

No.77557 - 2021/08/12(Thu) 05:11:41
等比×等差型の数列の和 / jasmine
S=Σ[k=1,n]{k・2^(k-1)}を求めよという問題で、公比をかけて引くやり方(S-2S)ではなく下のような解き方を見ました。1行目から2行目でkを2(k-1)-(k-2)と変形して解いていますが、どういった発想なのでしょうか?そこの考え方を教えてください
S=Σ[k=1,n]{k・2^(k-1)}
=Σ[k=1,n]{{2(k-1)-(k-2)}・2^(k-1)}
=Σ[k=1,n]{(k-1)・2^k-(k-2)・2^(k-1)}
=(n-1)2^n+1

No.77546 - 2021/08/11(Wed) 19:55:41

Re: 等比×等差型の数列の和 / X
結論からさかのぼって考えています。
つまり
k・2^(k-1)=a[k+1]-a[k] (A)
なる{a[n]}が存在すると仮定すると
階差を考えることになるので
S=a[n]-a[1]
と求めることができる。

そこで(A)の左辺の形から
a[n]=(n-c)・2^(n-1) (B)
(cは定数)
なる形にならないか?と考えます。

(A)(B)から
k・2^(k-1)=(k+1-c)・2^k-(k-c)・2^(k-1)
={2(k+1-c)-(k-c)}・2^(k-1)
=(k+2-c)・2^(k-1)
∴2-c=0
つまり
c=2
とすれば、(A)を満たす(B)のようなa[n]を
作ることができる、といった流れです。

No.77547 - 2021/08/11(Wed) 21:08:29

Re: 等比×等差型の数列の和 / jasmine
理解できました。ありがとうございます!
No.77548 - 2021/08/11(Wed) 21:57:53
塁乗数の余り / 高校三年生
『ある自然数 n に対して、
  
 3^m≡1 (mod 10^n)

 を満たすような自然数 m は存在するか?』

夏休みの宿題第3弾です。
フェルマーの小定理っぽいのですが、よく分からないです。
解法をご教示ください。m(_ _)m

No.77529 - 2021/08/11(Wed) 13:08:51

Re: 塁乗数の余り / X
3^mの1の位をa[m]とすると、kを自然数として
a[m]=1(m=4kのとき)
a[m]=3(m=4k-3のとき)
a[m]=9(m=4k-2のとき)
a[m]=7(m=4k-1のとき)
∴m=4kのとき
3^m≡1(mod 10^1)
なので命題は成立します。

No.77532 - 2021/08/11(Wed) 13:23:36

Re: 塁乗数の余り / 高校三年生
X さん、返信ありがとうございます。

なるほど。n=1の場合はそうなるのですね。
ちなみに、「ある自然数」の解釈ですが、
受験数学では、「任意の自然数」と同義で用いられることは無いのでしょうか?

「ある(特定の)自然数」
「ある(任意の)自然数」
「すべての自然数」

ここら辺の表現の認識があいまいです。
量子記号の導入が必要かも・・・。

No.77534 - 2021/08/11(Wed) 13:40:59

Re: 塁乗数の余り / ast
ずっと気になってた (この方は過去質問でもいつも一貫して塁乗って書かれてる) んですが,
×塁 (土盛り, (野球の) ベース)
○累 (かさねる, 反復する)
で, (この場合の「乗」は掛け算という意味なので) 「累乗」という熟語の構成で「繰り返し掛ける, 重ね掛け」という意味になります.

No.77535 - 2021/08/11(Wed) 13:46:25

Re: 塁乗数の余り / 高校三年生
すいません。漢字変換で気付きませんでした。m(_ _)m
手書きの時は、「累」を使います。あしからず。

No.77542 - 2021/08/11(Wed) 16:06:35

Re: 塁乗数の余り / IT
たしかに、その問題の表現は、あいまいな気がします。

出題者の意図は、各自然数n毎に判定せよ。ということかな、
言い換えれば
どのような自然数nのときに3^m≡1 (mod 10^n)

 を満たすような自然数 m は存在するか?』 ということではないでしょうか。

No.77543 - 2021/08/11(Wed) 16:17:10

Re: 塁乗数の余り / 高校三年生
IT さん、返信ありがとうございます。

なるほど。もし、「任意の自然数」という意味なら、
「その値にかかわらず、どんな n でも」ってことですね。

No.77544 - 2021/08/11(Wed) 16:51:15
整式 / ホホ
ωを入れてみたのですが上手くいきません
No.77523 - 2021/08/11(Wed) 10:58:01

Re: 整式 / ヨッシー
 3x^(3n+2)=Q(x)(x^2+x+1)+ax+b
と置けたとします。x=ω を代入すると、
 3ω^(3n+2)=aω+b
ω^3=1 より
 3ω^2=aω+b
 ω^2=(a/3)ω+(b/3)
ω^2+ω+1=0 に代入して
 (a/3+1)ω+(b/3+1)=0
よって、a=b=−3

どうしても、答えを得たいときは、答えがnに関係ないことを利用して、
 3x^5÷(x^2+x+1)
とか、いっそ
 3x^2÷(x^2+x+1)
を実際にやってみるという力業もあります。

No.77526 - 2021/08/11(Wed) 11:44:34

Re: 整式 / ホホ
ありがとうございます!
No.77527 - 2021/08/11(Wed) 11:47:45
? / kk
正の有理数rに対してr+1とr/(r+1)を"有理数rの子ども"と呼ぶことにする。このとき、1以外のどのような正の有理数も1の子孫として、ただ一度現れることを示せ。

すみません。よろしくお願いします。

No.77519 - 2021/08/11(Wed) 07:27:54

Re: ? / IT
元の kaiさんの方に回答しました。
黄桃さんの回答もついていますよ。

No.77540 - 2021/08/11(Wed) 15:34:00
ポンプと水槽の問題 / 唐揚げドンキー
市民プールには水を入れるのに a,b 二本の管がある。a管だけ水を入れると、b管だけの場合よりも5時間早くプールを一杯にすることができ、二本の管を同時に使うと6時間で一杯になる。a管だけを使って満水にするには何時間かかるか求めよ。

出題ジャンルとしては、高1「二次関数」なので、中学受験的な解き方にならないようにして下さるとありがたいです。よろしくお願いします。

No.77513 - 2021/08/10(Tue) 20:06:45

Re: ポンプと水槽の問題 / X
プールの容積をy,a,b間の1時間当たりの流量を
それぞれA,Bとすると条件から
y=6(A+B) (A)
y/A+5=y/B (B)
(A)(B)をA,Bについての連立方程式として解きます。
(A)より
A+B=y/6 (A)'
一方(B)より
By+5AB=Ay (B)'
(A)'を用いて(B)'からBを消去すると
(y/6-A)y+5A(y/6-A)=Ay
これより
5A^2+7yA/6-(1/6)y^2=0
30A^2+7yA-y^2=0
(10A-y)(3A+y)=0
条件からA>0,y>0ゆえ
10A=y
∴y/A=10なので
a管だけだと10時間かかります。

No.77514 - 2021/08/10(Tue) 20:30:53
図形と方程式 / ほびほび
点Pにおける接線がX軸に垂直ではないというのは図を書いて判断するしかないのでしょうか?
No.77509 - 2021/08/10(Tue) 18:38:23

Re: 図形と方程式 / ヨッシー
頭の中で、あるいは欄外で、と言うなら、そういうことになるでしょうね。
x軸に垂直な接線は左右2つしかないので、それに該当するか
どうかを見れば、判断できます。
この問題の場合は、(6,2)と(−4,2)を接点とする接線が
x軸に垂直になります。

No.77511 - 2021/08/10(Tue) 18:52:22

Re: 図形と方程式 / 関数電卓
その上の [2] に
> 直線 CP の傾きは 4/3
とあります。
接線は半径と垂直ですから,ここから接線の傾きは −3/4
ですから図を描かなくても,
> P における接線は x 軸に垂直でない
ことは分かります。ですが,図を描いて 視覚的に確認 することは理解を深めます。
問題がもっと複雑になったときのため,図を描く習慣をつけることをおすすめします。

No.77512 - 2021/08/10(Tue) 18:57:53

Re: 図形と方程式 / ほびほび
なるほど、図が大事なのですね!お二人ともご丁寧にありがとうございました。
No.77520 - 2021/08/11(Wed) 08:33:27
漸化式 / 高校数学
すみません。さっき思いっきり間違えて質問しました。
b(n+1)=5bn+3・5^n
の解き方を教えてほしいです。
よろしくお願いします。

No.77497 - 2021/08/10(Tue) 16:05:27

Re: 漸化式 / X
問題の漸化式の両辺を5^(n+1)で割った上で
b[n]/5^n=a[n]
と置くと
a[n+1]=a[n]+3/5
∴{a[n]}は公差3/5の等差数列ですので
a[n]=a[1]+(3/5)(n-1)
a[n]を元に戻して
b[n]/5^n=b[1]/5+(3/5)(n-1)
∴b[n]=(3n-3+b[1])・5^(n-1)

No.77500 - 2021/08/10(Tue) 16:12:48

Re: 漸化式 / 高校数学
分かりやすい解説をありがとうございます。
No.77503 - 2021/08/10(Tue) 16:28:51
高校の基礎問題で、楕円の接線を求める問題 / 徹夜ターボー
x^2+2y^2=2と接して点(x.y)=(1.2)を通る直線を求めよ。

上の様な楕円の接線を求める問題の時、接点が不明だから求める接線をy=m(x-1)+2とおいて、傾きmを求める方針で解いてみたのですが、途中で判別式の重解の条件を考えると4次方程式が出てきて凄く面倒くさいです。計算が解答と合いません。考え方が間違えているのか、それとも途中計算においてうまい処理の仕方があるか分からない状態です。計算の途中経過を詳しく教えて下さい。お願いします。
答えは二本の接線が出てきてy=(-2+√7)(x-1)+2,y=(-2-√7)(x-2)+2となるようです。

No.77494 - 2021/08/10(Tue) 15:18:46

Re: 高校の基礎問題で、楕円の接線を求める問題 / 徹夜ターボー
y=(-2-√7)(x-1)+2の間違いでした。
No.77495 - 2021/08/10(Tue) 15:20:53

Re: 高校の基礎問題で、楕円の接線を求める問題 / ヨッシー
一瞬4次になりますが、相殺されて2次になります。

y=m(x−1)+2 とおいて、x^2+2y^2=2 に代入して
 x^2+2{m(x−1)+2}^2=2
展開して
 x^2+2{m^2(x−1)^2+4m(x−1)+4}=2
 x^2+2{m^2(x^2−2x+1)+4mx−4m+4}=2
 x^2+2{m^2x^2−2m^2x+m^2+4mx−4m+4}=2
 (2m^2+1)x^2+2(4m−2m^2)x+2m^2−8m+6=0
判別式を取って
 D/4=(4m−2m^2)^2−(2m^2+1)(2m^2−8m+6)
  =4m^4−16m^3+16m^2−4m^4+16m^3−14m^2+8m−6
  =2m^2+8m−6=0
m^2+4m−3=0 を解いて
 m=−2±√7
(以下略)

No.77499 - 2021/08/10(Tue) 16:07:06

Re: 高校の基礎問題で、楕円の接線を求める問題 / 徹夜ターボー
丁寧な返信ありがとうございます。勉強頑張ります。
No.77506 - 2021/08/10(Tue) 17:18:06
数列 漸化式 / 高校数学
b(n+1)=5bn=3・5^n
の解き方を教えてください。

No.77492 - 2021/08/10(Tue) 15:16:32

Re: 数列 漸化式 / らすかる
5b[n]=3・5^nならば
b[n]=3・5^(n-1)です。
またこれはb[n+1]=3・5^nも満たしますので、
一般項はb[n]=3・5^(n-1)です。

No.77496 - 2021/08/10(Tue) 15:23:26

Re: 数列 漸化式 / 高校数学
返信ありがとうございます。
大変申し訳ないのですが、式の=と+を間違えており、正しい式でもう一度スレッドを作り直したので、そちらも教えていただけるとありがたいです。

No.77498 - 2021/08/10(Tue) 16:06:42
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