0857332

ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

HOME | お知らせ(3/8) | 記事検索 | 投稿回数 | 携帯用URL | フィード | ヘルプ | 環境設定
★ 微分方程式 / みずき
y'=(x+y)^2, 初期条件y(0)=0という微分方程式の解き方を教えていただきたいです。
展開するとy'=2xy+y^2+x^2となるのでリッカチ型の微分方程式だと考えているのでですが、特殊解を見つけることができません。
No.89460 - 2024/12/01(Sun) 21:08:04
☆ Re: 微分方程式 / みずき
z=x+yという置換で解決しました。
No.89461 - 2024/12/01(Sun) 22:08:11
★ 中学数学 / あおと
中3です。三角形の面積が分からず質問しました。
△BEF≡△CDEは分かっています。
No.89459 - 2024/12/01(Sun) 16:20:00
☆ Re: 中学数学 / ヨッシー
ＡＦ：ＦＢ＝２：１　であるならば
ＢＣ：ＣＥ＝２：１　も言えます。

△ＢＦＥと△ＣＧＥは相似であり、相似比は
　ＢＥ：ＣＥ＝３：１
よって、
　ＦＢ：ＧＣ＝３：１
であり、
　ＡＢ：ＦＢ：ＧＣ＝９：３：１
となります。
△ＢＥＧの面積は、平行四辺形ＡＢＣＤと比べて、
　底辺ＢＥはＢＣの 3/2 倍。
　高さは ＧＣ／ＡＢ＝1/9 (倍)
よって、
　36×3/2×1/9÷2＝３(cm^2)
となります。
最後の÷２は、三角形であるためです。
No.89462 - 2024/12/02(Mon) 09:09:25
★ (No Subject) / 朱子
大学への数学 学力コンテスト
に
自作問題が採用されるには、どうしたら良いですか？
No.89456 - 2024/12/01(Sun) 00:07:14
★ (No Subject) / もんもん
解説中にある丸1と丸2を左のように式変形をした際、似ている形だったので、係数比較をしたのですが、答えと合わなかったので、なぜこの方法がダメなのか教えていただけるとありがたいです。
No.89454 - 2024/11/30(Sat) 19:21:17
★ 係数比較 / もんもん
?@と?Aを左のように係数比較してはいけない理由を教えてください
No.89452 - 2024/11/30(Sat) 16:19:29
☆ Re: 係数比較 / IT
何の係数を　比較していますか？
互いに一次（線形）独立なベクトル a→,b→についてなら
sa→+tb→=0→(s,t は実数)ならば　s=t=0 が言えますが、

ご質問の式は、この形ではないですよね？
No.89453 - 2024/11/30(Sat) 17:35:31
☆ Re: 係数比較 / IT
(s-1/2)16+t＝(t-1/2)25+s …(1)から
係数？比較？して
t＝sかつ 16(s-1/2)＝25(t-1/2) としたということですか？

だとすると、まったくの間違いです。
何の係数比較にもなっていません。

(1)を移項してs,t について整理してみてください。

たとえば　u+v=x+y だからといってu=x,v=y とは限らないのは分かりますよね？
No.89455 - 2024/11/30(Sat) 20:29:14
★ 山梨大学過去問 / Higashino
山梨大学過去問

複素数平面

何卒よろしくお願いします

以下問題
No.89449 - 2024/11/29(Fri) 09:32:19
☆ Re: 山梨大学過去問 / Higashino
反転したものをさらに反転すれば元に戻りますか
No.89450 - 2024/11/29(Fri) 10:00:33
☆ Re: 山梨大学過去問 / Higashino
（２）

Ｏとαを結んだ直線とＣ’の交点は２つあり
近い方は　原点からの距離が２−ｒ、遠い方は２＋ｒ
近い方の反転は距離が１／（２−ｒ）、遠い方は１／（２＋ｒ）に移動する。
このとき　１／（２−ｒ）＝２＋ｒ、１／（２＋ｒ）＝２−ｒ
即ち　１＝４−ｒ＾２が成立するとき　それぞれの交点は反転により
相互に入れ替わる。
これを円周上全体で相互に入れ替われば、反転した点の集合と
元の点の集合は同じとなる。
No.89457 - 2024/12/01(Sun) 09:14:26
☆ Re: 山梨大学過去問 / Higashino
求める半径は
１＝４−ｒ＾２ → ｒ＝√３
No.89458 - 2024/12/01(Sun) 09:16:17
★ 座標平面上の図形の問題 / ペペロンチーノ
y=x^2上に点A(4,16)、点B(-2,4)、点P(p,q)がある。
この3つの点が一つの円周上にあり、この円周の長さが最も短くなる時、pとqの値を3つずつ求めよ。
ただし、-2≦p≦4とする。
中学校の定期テストのおまけ問題(得点外)として出されました。
ABの中点(1,10)を円の中心として半径が3√5の円(x-1)^2+(y-10)^2=45と2次関数y=x^2の交点を求めようとしたのですがうまくいきませんでした。私の解き方の間違っている点と正しい解法を教えていただきたいです。
No.89443 - 2024/11/28(Thu) 22:50:06
☆ Re: 座標平面上の図形の問題 / ペペロンチーノ
追記:私の答えは
p=-2,√38-√137/√2,38+√137/2,4
q=4,38+√137/2,16
となりました。
No.89444 - 2024/11/28(Thu) 22:54:27
☆ Re: 座標平面上の図形の問題 / X
立てた連立方程式が
(p-1)^2+(q-10)^2=45
q=p^2
であるのなら、
-2≦p≦4
に注意して
(p,q)=(-2,4),(4,16),(-1+2√2,9-4√2)
となりました。
No.89446 - 2024/11/28(Thu) 23:26:40
★ 合成関数 / あ
f(x)=ax^2+bx+cとおく。
f(f(x))の合成関数の求め方を教えてください。
No.89439 - 2024/11/28(Thu) 17:27:10
☆ Re: 合成関数 / ヨッシー
f(x)=ax^2+bx+c の x に f(x)=ax^2+bx+c を入れます。つまり
　f(f(x))=a(ax^2+bx+c)^2+b(ax^2+bx+c)x+c
あとはひたすら計算するのみです。
No.89440 - 2024/11/28(Thu) 17:57:52
☆ Re: 合成関数 / らすかる
右のほうに余計なxが…
No.89441 - 2024/11/28(Thu) 19:50:44
☆ Re: 合成関数 / あ
xの中に代入するという考えですかね？
No.89447 - 2024/11/29(Fri) 07:31:10
☆ Re: 合成関数 / ヨッシー
>>らすかるさん
f(f(x))=a(ax^2+bx+c)^2+b(ax^2+bx+c)+c
ですね。消し忘れです。

>>あさん
よく見るパターンとしては、
　f(u)＝u^2＋u
　g(x)＝2x+1
のときに
　f(g(x)) を x の式で表せ
というようなものですが、この場合は
u に 2x+1 を代入しますね？
本文では、f(x) と f(x) の合成になっていますが、同じことで、
x に ax^2+bx+c を代入します。
No.89448 - 2024/11/29(Fri) 09:17:43
☆ Re: 合成関数 / あ
分かりました。
No.89451 - 2024/11/29(Fri) 10:21:04
★ (No Subject) / 高校数学
⑶をお願いします。
ちなみにAQ=√3xです
No.89431 - 2024/11/27(Wed) 23:33:42
☆ Re: / X
(2)はできていますか？
(2)は△ABQに注目してx,θの関係式を立てていましたが
同様に△BCQに注目して、x,θの関係式を立て、
それと(2)の結果をx,cosθについての連立方程式として
解きます。

注1)
条件から
∠CBQ=180°-θ
又、
cos(180°-θ)=-cosθ
です。

注2)
添付写真の(2)の解答欄の鉛筆書きの図で
∠BAQ=30°
と取れるような書き込みがありますが
誤りです。
問題の条件は
∠PAQ=30°
です。
No.89436 - 2024/11/28(Thu) 07:57:05
☆ Re: / X
(3)の別解)
(1)の結果を使って、△PACに対して、中線定理を
適用し、xについての方程式を立てます。
(こちらの方が恐らく計算は簡単です。
が、問題文の流れから、問題製作者は
No.89436での方針で解くことを
想定していると思います。)
No.89438 - 2024/11/28(Thu) 08:02:08
★ (No Subject) / cavy
中2の問題です。よろしくお願いします。
No.89429 - 2024/11/27(Wed) 20:25:25
☆ Re: / X
条件からBさんがコースを一周するのにかかる時間は
10[分]×3/2=15[分]
よってコース1周の距離をL,二人が初めて出会うまでに
x[分]かかるとすると、出会うまでに二人が進んだ距離
の和について
(L/15)x+(L/10)x=L
これより
x/15+x/10=1
25x=150
x=6
ということで6分です。
No.89430 - 2024/11/27(Wed) 23:30:37
☆ Re: / 高校数学
ありがとうございました。子供もきちんと理解してくれて助かりました。
No.89432 - 2024/11/27(Wed) 23:49:12
★ (No Subject) / 桟橋
最初の主張に合うように()を付け足してみました。
No.89420 - 2024/11/27(Wed) 08:06:48
★ シグマ計算 / 桟橋
画像の式変形で、2段目から3段目のシグマが外れる部分を詳しく解説していただきたいです。
ただし、[x^m] ()で()内のx^mの係数を表します。
No.89413 - 2024/11/27(Wed) 06:07:34
☆ Re: シグマ計算 / ポテトフライ
数式が意味不明。

> ただし、[x^m] ()で()内のx^mの係数を表します。

とあるが、[x^m]()という書かれ方を2行目後半にない。件の3行目もそうなっていない。

それ以前に1行目は数の和なのに、2行目は多項式のわになっててイコールじゃない。


とりあえずxは何かということと、あまりにも特殊すぎる数式の書き方をやめてオリジナルの問題を上げた方がいい。もし、ご使用のテキストがそう書かれてるなら、それを写真に撮って上げてほしい(万一市販の本で上記の書き方をしてるなら、その書籍は速やかに利用をやめた方がよい。)
No.89415 - 2024/11/27(Wed) 06:35:21
☆ Re: シグマ計算 / 桟橋
＞[x^m]()という書かれ方を2行目後半にない。件の3行目もそうなっていない

説明不足でした。
[x^a] ()で()内を冪級数で表した時のx^aの係数です。aとは説明のために代わりに置いた文字です。

＞それ以前に1行目は数の和なのに、2行目は多項式のわになっててイコールじゃない。

2行目は多項式の和ではなく、その冪級数のうち特定のxべきの係数の和です。

＞xは何か

不定元と呼ばれる、組み合わせ等で形式的冪級数を扱う際に用いられる特殊な定数です。
No.89416 - 2024/11/27(Wed) 07:15:33
☆ Re: シグマ計算 / らすかる
> ただし、[x^m] ()で()内のx^mの係数を表します。
2行目の前半は
[x^m](…)
という形式になっていて上の定義に当てはまっていますが、
後半は
[x^(n-m)]の後に()がなく、上の定義に該当しませんので
『[x^(n-m)]』が意味不明になっていると思います。
3行目も同じです。
『[x^m]()』という定義ならば『[』と『]』と『(』と『)』が必要です。

という意味のことをポテトフライさんが書かれています。

あと、2行目の途中にあるe^xは前半の[x^m]()に入っていませんし後半の[x^(n-m)]とも関係ありませんので、完全に「xを含む項」になってしまっています。このxは意味不明です。
No.89418 - 2024/11/27(Wed) 07:51:34
☆ Re: シグマ計算 / 桟橋
指摘の意図が把握出来ておらず申し訳ありませんでした。
分数の場合は()は不要のようです。
No.89419 - 2024/11/27(Wed) 08:02:23
☆ Re: シグマ計算 / 桟橋
最初の主張に合うように()を付け足してみました
No.89421 - 2024/11/27(Wed) 08:08:14
☆ Re: シグマ計算 / らすかる
例えば
a+bx+cx^2+dx^3+ex^4+… と
f+gx+hx^2+ix^3+jx^4+…
を掛けた結果の3乗の係数は
ai+bh+cg+df
になりますよね。
2行目のΣはそれと同じ意味で、例えばn=3のとき
[x^0](左の式)・[x^3](右の式)
+[x^1](左の式)・[x^2](右の式)
+[x^2](左の式)・[x^1](右の式)
+[x^3](左の式)・[x^0](右の式)
のようになっています。
つまりΣの結果は「左の式と右の式を掛けたもののx^nの係数」という意味になりますので、単純に
(x+7x^2+6x^2+x^4)e^x と e^(-x)/(1-x)
を掛けたものを
[x^n](★)の★に入れればいいですね。
No.89424 - 2024/11/27(Wed) 11:10:14
☆ Re: シグマ計算 / 桟橋
理解できました！ありがとうございます。
No.89425 - 2024/11/27(Wed) 13:38:08
★ 単調増加 / 高校３年生
数学そのものの内容ではないのかもしれませんが、質問させてください。
「単調増加」という言葉についてです。

私は普段
?@「単調増加である」
?A「単調に増加する」
?B「単調増加関数」
という使い方をしますが，

昨日塾の先生が黒板に
「単調増加する」
という言葉を書きました。
ひとつの動詞（？）のような使い方でしょうか。

どうも気持ちが悪いのですが，ほかの皆さんにとっては普通なのでしょうか。

細かいと言われればそれまでかもしれませんが，気になります。

ご教授くだされば嬉しいです。
No.89408 - 2024/11/26(Tue) 14:12:07
☆ Re: 単調増加 / ポテトフライ
質問者さんの認識で正しい。

> 私は普段
> ?@「単調増加である」
> ?A「単調に増加する」
> ?B「単調増加関数」
> という使い方をしますが，

は正しい言い回しである。
しかし

> 「単調増加する」

というのはおかしい。
「関数が偶関数する」と言わないのと同様。
No.89414 - 2024/11/27(Wed) 06:19:58
☆ Re: 単調増加 / 高校卒業生
文脈から紛れなく解釈できれば、あまり気にしなくて良いのでは。
ポテトフライさん＞
＞「関数が偶関数する」と言わないのと同様。
「増加する」とは言っても、「関数する」とはふつうは言わないので少し違うのではないでしょうか？
No.89428 - 2024/11/27(Wed) 19:40:55
☆ Re: 単調増加 / 高校３年生
お二人ともありがとうございました。細かいことが気になる性格ですみません。ご助言助かりました。
No.89467 - 2024/12/03(Tue) 12:50:58
★ 部分和 / 高知
集合(2,2,2,3,5,7,10)で部分和が10となる部分集合の個数は？
No.89407 - 2024/11/26(Tue) 11:08:28
☆ Re: 部分和 / らすかる
「部分和が10となる部分集合」が「総和が10となる部分集合」の意味である場合
奇数は3,5,7の3つなので、この中から偶数個選ぶ必要がある。
0個の場合
残りは2,2,2,10で、2+2+2＜10なので(10)のみ
2個の場合
3と5ならあと2なので(3,5,2)
3と7ならそれで10なので(3,7)
よって全部で(10),(2,3,5),(3,7)の3通り。

「部分和が10となる部分集合」がそのままの意味である場合
部分和が10となるためには上記の3通りのいずれかを含めばよい。
つまり「10」を含むか、「2と3と5」を含むか、「3と7」を含めばよい。
よって場合分けして考えると
(1) 10を含む場合
残りは何でもよいので、3,5,7は含むか含まないかでそれぞれ2通りずつ、
2は0個〜3個の4通りとなり、2×2×2×4=32通り。
(2) 10を含まない場合
3は必要。
(2-1) 7を含む場合
残りの5と2は含んでも含まなくてもよいので、2×4=8通り。
(2-2) 7を含まない場合
5は必要、2は1個以上必要なので2が1〜3個の3通り。
従って全部で32+8+3=43通り。
具体的には
(10),(7,10),(5,10),(5,7,10),(3,10),(3,7,10),(3,5,10),(3,5,7,10),
(2,10),(2,7,10),(2,5,10),(2,5,7,10),(2,3,10),(2,3,7,10),(2,3,5,10),(2,3,5,7,10),
(2,2,10),(2,2,7,10),(2,2,5,10),(2,2,5,7,10),(2,2,3,10),(2,2,3,7,10),(2,2,3,5,10),(2,2,3,5,7,10),
(2,2,2,10),(2,2,2,7,10),(2,2,2,5,10),(2,2,2,5,7,10),(2,2,2,3,10),(2,2,2,3,7,10),(2,2,2,3,5,10),(2,2,2,3,5,7,10),
(3,7),(3,5,7),(2,3,7),(2,3,5,7),(2,2,3,7),(2,2,3,5,7),(2,2,2,3,7),(2,2,2,3,5,7),
(2,3,5),(2,2,3,5),(2,2,2,3,5)
No.89409 - 2024/11/26(Tue) 14:53:20
☆ Re: 部分和 / 高知
詳しい解答ありがとうございました。深く感謝します。
No.89412 - 2024/11/26(Tue) 21:41:07
★ 東京大学過去問 / Higashino
東京大学過去問

複素数平面

何卒よろしくお願いします

以下問題
No.89406 - 2024/11/26(Tue) 08:34:34
☆ Re: 東京大学過去問 / X
(1)
条件から
|z-α||w-α|=α^2 (A)
w-α=k(z-α) (B)
(但しkは正の実数)
(A)に(B)を代入して
k={α/|z-α|}^2
これを(B)に代入して
w=(z-α){α/|z-α|}^2+α
∴f[α](z)=(z-α){α/|z-α|}^2+α

(2)
(1)の結果から
f[α](i)=(i-α){α/|i-α|}^2+α
=α/(α^2+1)+i(α^2)/(α^2+1)
∴複素数の相等の定義より
x=α/(α^2+1) (C)
y=(α^2)/(α^2+1) (D)

(3)
(C)を(D)に代入して
y=αx
(C)(D)からxy≠ゆえ
α=y/x (E)
(E)を(D)に代入して
y=(y^2)/(x^2+y^2)
y{y-(x^2+y^2)}=0
∴y-(x^2+y^2)=0
x^2+(y-1/2)^2=1/4

よって求める曲線は
点(i/2)を中心とする半径1/2の円のうちの
第1象限にある半円の部分。
No.89411 - 2024/11/26(Tue) 18:48:10
☆ Re: 東京大学過去問 / Higashino
x 先生、こんにちは。ご回答ありがとうございます。

この問題は、(2を考えずとも写像と言う観点から(3はおのずと出ると思いますので

今それを思考しています

とりあえず(1だけですが、私の考え方を投稿させていただきます

ご指摘アドバイス等ありましたらよろしくお願いいたします

以下答案
No.89422 - 2024/11/27(Wed) 08:15:47
☆ Re: 東京大学過去問 / X
正しいか誤りか以前に、方針が掴みかねます。
(説明の端折りすぎ)

文面だけ見ると〇1がおかしいですね。
約分できて
w'=α
となってしまうように見えますが。

以前、別の問題でのHigashinoさんの解答でも
同じ文字を使って、別の文字として扱う
ような書き方をしていたものがありましたが
今回もそのように書いていますか？
もしそうなのであれば、区別がつくように
別の文字を割り当てるように書かないと
数学の解答にはなりませんよ。
No.89426 - 2024/11/27(Wed) 18:26:20
☆ Re: 東京大学過去問 / Higashino
x 先生、おはようございます

ご指摘ありがとうございました

再度答案を書き直しました

ご指摘アドバイス等ございましたら、どんどんとよろしくお願いいたします

以下答案
No.89434 - 2024/11/28(Thu) 05:13:51
☆ Re: 東京大学過去問 / Higashino
追伸

あまりにも、この問題の(2番の誘導が　受験生を馬鹿にしているようで　(2番はスルーして　(3番を解きました

あまりにもあっけなく解けましたので
自分の考え方がとても不安です

ご指摘アドバイスなどいただければ幸いです

以下答案
No.89435 - 2024/11/28(Thu) 06:18:37
★ 東北大学過去問 / Higashino
東北大学過去問

複素数平面

なにとぞよろしくお願いします

以下問題
No.89405 - 2024/11/25(Mon) 23:39:42
☆ Re: 東北大学過去問 / X
以下、複素数を対応する複素平面上の点に対する
位置ベクトルとして扱うものとします。
つまり、例えば
点T(a)(aは複素数)
とすると
↑OT=a

(1)
Q(w)とすると、条件から
w=↑OP+↑OA
=z+(1+i√3)
∴z=w-(1+i√3)
これを
|z+2|=1
に代入すると
|w-(-1+i√3)|=1 (A)
よって点Qの軌跡は
点(-1+i√3)を中心とする半径1の円

(2)
R(r)、線分OQの中点をUとし、
(1)と同じwを使うと、条件から
r=↑OU+↑UR
=(1/2)↑OQ±{(√3)/2}i↑OQ
={(1±i√3)/2}w
∴w={(1干i√3)/2}r (複号同順、以下同じ)
これを(A)に代入すると
|{(1干i√3)/2}r-(-1+i√3)|=1
これより
|r-(-1+i√3){(1±i√3)/2}|=|{(1±i√3)/2}|
∴
|r+2|=1
又は
|r-(1+i√3)|=1
よって点Rの軌跡は
点(1+i√3),(-2)を中心とする半径1の2つの円
No.89410 - 2024/11/26(Tue) 18:05:56
☆ Re: 東北大学過去問 / Higashino
x 先生、お久しぶりです

この日が待っておりました

おはようございます

いただいた回答ですが　先生の計算ミスでしょうか？　若干正解と異なるようです。

以下、私の答案です

ご指摘アドバイスなどをいただければ光栄です

以下答案
No.89417 - 2024/11/27(Wed) 07:46:51
☆ Re: 東北大学過去問 / Higashino
追伸

ベクトルORはベクトルOQを原点の周りに60度またはマイナス60度回転したものです
No.89423 - 2024/11/27(Wed) 08:20:28
☆ Re: 東北大学過去問 / X
ごめんなさい。No.89410で誤りがありましたので
直接修正しました。
再度ご覧下さい。

それでNo.89417について。
(1)は問題ないのですが、(2)の論理の展開の仕方が
おかしいです。
((1)(2)共に答えは正しいですが。)
そもそも、円円対応であることが分かっているのであれば
条件から

点Rの軌跡の円の中心は、
点Q[0]を原点中心で±π/3だけ回転移動させたもの

となることが分かりますので、P[0],Aを持ち出す必要がありません。
(単にQ[0]の移動先がたまたまP[0],Aが重なっただけ)
私には
＞＞四角形Q[0]P[0]OA〜O→A
の過程が、全く意味のない議論にしか見えませんでした。
No.89427 - 2024/11/27(Wed) 19:20:48
☆ Re: 東北大学過去問 / Higashino
x 先生、おはようございます

本日もよろしくお願いいたします

先生のご指摘ですが

> 私には
＞＞四角形Q[0]P[0]OA〜O→A
の過程が、全く意味のない議論にしか見えませんでした。


原点を通らない円の移動は、原点を通るない円の移動になるのですが

それは必ずしも合同変換なのでしょうか？

なにとぞよろしくお願いします
No.89437 - 2024/11/28(Thu) 08:00:12
☆ Re: 東北大学過去問 / X
今回の場合は回転移動だったので、合同変換でしたが
一般の場合は合同変換とは限りません。

反例)
|z-1|=2 (A)
は原点を通らない円です。
(A)に対し
w=z/2
なる変換を考えると
|2w-1|=2
∴|w-1/2|=1 (B)
(B)は(A)とは異なる半径の円です。
No.89442 - 2024/11/28(Thu) 20:31:40
★ (No Subject) / けんたろう
1+2x＞0、1＋2x＜0というふうに場合分けして考える方法は正しいのでしょうか。xは実数です。
No.89403 - 2024/11/25(Mon) 20:15:47
☆ Re: / ヨッシー
それが一番いいでしょう。
他にも １＋２ｘ≠０ だけことわって、両辺に
(１＋２ｘ)^2　を掛けるというのもありますが、かえって面倒です。
No.89404 - 2024/11/25(Mon) 21:05:39
★ 極限 / もんもん
この計算過程でなぜこうなるのかわからないです。教えていただきたいです類題八の7番です
No.89399 - 2024/11/24(Sun) 13:43:10
☆ Re: 極限 / IT
どの行が不明ですか？
No.89400 - 2024/11/24(Sun) 14:05:57
☆ Re: 極限 / GandB
　一部隠れている上右隅の解説をじっくり読み、有理化をすればすぐわかる。
No.89401 - 2024/11/24(Sun) 14:26:17
☆ Re: 極限 / IT
模範？解答のように、与式の分母分子をnで割って２行目に変形するよりも、
与式の分母を有理化する方が分かり易いかも知れません。

このことについてもGandBさんの御指摘の通り、上右隅の解説に書いてあるようですね。
No.89402 - 2024/11/24(Sun) 14:41:37
★ (No Subject) / 有栖川
両方とも真だと思うのですが、どうやったら示せるのか分かりません。解説して頂けますか？
No.89388 - 2024/11/23(Sat) 17:09:06
☆ Re: / IT
何年生ですか？
有界な単調数列は収束列である。という定理を使って良いですか？
この定理の証明が必要ですか？
No.89389 - 2024/11/23(Sat) 18:16:58
☆ Re: / 有栖川
高３です。大学数学は全然理解していません。
No.89390 - 2024/11/23(Sat) 18:20:37
☆ Re: / 有栖川
高校数学範囲で説明できるならお願いしたいです。
No.89391 - 2024/11/23(Sat) 18:23:27
☆ Re: / IT
極限を扱う場合は、厳密な議論が必要なので「高校範囲で説明」は、私には出来そうもありません。
参考までに、上記の大学１年レベルの定理は、既知として書いておきます。

１　Lim(n→∞) b[n]=βより、自然数Nがあって,n≧Nならば　b[n]＜β+1
任意の自然数nでa[n]≦b[n] なので、n≧Nならば　a[n]＜β+1

・・・

したがって、数列a[n]は、単調増加で上に有界なので収束する。

２　Lim(n→∞) a[n]=αとおく。
　自然数Nがあってn≧Nならば　 α-0.1＜a[n]＜α+0.1…(1)
　任意の自然数mについて a[N+m] はa[N] 以上の自然数（帰納法で証明）
　(1)よりα-0.1＜a[N]≦a[N+m] ＜α+0.1
　α-0.1とα+0.1の 間には、たかだか１つの自然数しかないのでa[N]=a[N+m]
　
　よってn≧Nならばa[n]=a[N]
　・・・
No.89392 - 2024/11/23(Sat) 18:51:38
☆ Re: / IT
下記でどうでしょうか？　２も下記の途中からを少し書き換えるだけです。

Lim(n→∞) b[n]=βより、自然数Nがあって,n≧Nならば　b[n]＜β+1
β+１以上の最小の自然数をMとする。
任意の自然数nでa[n]≦b[n] なので、n≧Nならば　a[n]＜M
数列a[n]は、単調増加なので　任意の自然数nについて　a[n]＜M

すなわち,任意の自然数nについて a[n]≦L となる自然数Lが存在する。

このような自然数Lのうち最小のものが存在する。これをAとする。
このとき　自然数mが存在して,a[m]=A である。（要証明）
m≦n について、A=a[m]≦a[n]≦A なので　a[n]=A である。

したがってLim(n→∞) a[n]=A
No.89393 - 2024/11/23(Sat) 20:31:11
☆ Re: / 有栖川
なるほどありがとうございます。自分が正しく理解できているかの確認なのですが、

β+1でなくてもβ+0.01などでも構わないという事ですか？

Nは十分大きいNに対してという事ですか？
No.89394 - 2024/11/23(Sat) 22:03:35
☆ Re: / 有栖川
εN論法を高校数学的に書き換えたという感じでしょうか？
No.89395 - 2024/11/23(Sat) 22:04:56
☆ Re: / IT
そうですね
No.89397 - 2024/11/24(Sun) 08:47:42
★ 複素数平面　反転写像 / Higashino
複素数平面
東京大学過去問

なにとぞよろしくお願いします

以下の答案が分かりません

2カ所あります

どなたか教えてください。よろしくお願いいたします。

以下わからないところ
No.89387 - 2024/11/23(Sat) 00:50:37
☆ Re: 複素数平面　反転写像 / Higashino
　追伸

点Aが，単位円に関する反転をして，点A'に移った と言うのは，
・ A'が半直線OA上にある
・ OA×OA'＝1
これを満たすことです。


このことと、?Aの質問は関係があるのでしょうか？よろしくお願いいたします。
No.89396 - 2024/11/24(Sun) 04:01:00
☆ Re: 複素数平面　反転写像 / Higashino
おはようございます

自分なりに答案を作成しました

反転と言うことも、資料不足で全くのお手上げ状態ですが

人の手も3分の1ほど借りて、残りは自力で考えました

数多多くの間違いがあると思いますが

ドンドンとご指摘ください

どうにか反転と言う数学の技を身に付けたいのです

お力をお貸しください

何卒よろしくお願いします

以下、不十分な答案
No.89398 - 2024/11/24(Sun) 09:39:25
以下のフォームに記事No.と投稿時のパスワードを入力すれば
投稿後に記事の編集や削除が行えます。
300/300件 [ ページ : << 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 >> | 過去ログ | 画像リスト ]