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ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

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ベクトル / Sky
ベクトルで、2問わからない問題があるのですが、解答解説がなく途方に暮れています。
どなたか途中式含め、解答を教えていただけないでしょうか。

1問目は添付の問題です。

No.82338 - 2022/06/08(Wed) 22:56:25

Re: ベクトル / Sky
2問目はこちらです。
どなたかよろしくお願いします。

No.82339 - 2022/06/08(Wed) 22:57:22

Re: ベクトル / ヨッシー
1問目
平面OAB上の任意の点Dは
 s(-1, 1, 3)+t(2, 1, -3)=(-s+2t, s+t, 3s-3t)
OA⊥CDより
 (-1, 1, 3)・(-s+2t-5, s+t-3, 3s-3t-5)=(s-2t+5)+(s+t-3)+3(3s-3t-5)
  =11s-10t-13=0 ・・・(i)
OB⊥CDより
 (2, 1, -3)・(-s+2t-5, s+t-3, 3s-3t-5)=2(-s+2t-5)+(s+t-3)−3(3s-3t-5)
  =-10s+14t+2=0 ・・・(ii)
(i)(ii) を解いて、
 s=3, t=2
このときの点Dが点Hであるので、
 (-s+2t, s+t, 3s-3t)=(1, 5, 3)  ・・・([4],[5],[6])

点Hに関して点Cと対称な点が点Iなので、
 2(1, 5, 3)−(5, 3, 5)=(-3, 7, 1) ・・・([7][8],[9],[10])

No.82340 - 2022/06/08(Wed) 23:53:18

Re: ベクトル / ヨッシー
2問目
(1)
OAOB=OA・OBcos∠AOB=3 ・・・[11]
(2)
OBOC=OB・OCcos∠BOC=1 ・・・[12]
(3)
OCOA=OC・OAcos∠COA=3/2 ・・・[13]/[14]
(4)
OD=(2/3)OA
OE=(1/3)OB+(2/3)OC
OF=(1/3)OC
より
OG=(1/3)(ODOEOF)
  =(2/9)OA+(1/9)OB+(1/3)OC
CGOGOC=(2/9)OA+(1/9)OB−(2/3)OC
|CG|^2=(4/81)OA^2+(1/81)OB^2+(4/9)OC^2+(4/81)OAOB−(4/27)OBOC−(8/27)OCOA
  =4/9+4/81+4/9+4/27−4/27−4/9=40/81
よって、
 CG=√(40/81)=2√10/9 ・・・[15]〜[18]

No.82341 - 2022/06/09(Thu) 00:42:02

Re: ベクトル / Sky
ありがとうございました!
理解できました!

No.82347 - 2022/06/09(Thu) 20:22:42
(No Subject) / ピースで目潰しパンチ
aを正の実数とする

√(a^2-x^2)<x-a^2 を満たす実数xの範囲を求めよ

y=√(a^2-x^2)とy=x-a^2の位置関係で調べようとしたのですが
y=√(a^2-x^2)が表す図形やa^2-x^2が負になるときがわかりません。それも含めて解説お願いいたします。

No.82328 - 2022/06/08(Wed) 00:32:21

Re: / X
y=√(a^2-x^2) (A)
より
y^2=a^2-x^2
x^2+y^2=a^2 (A)'
∴(A)は円(A)'のy≧0の部分です。

>>a^2-x^2が負になるときがわかりません。
不等式は両辺が実数のときにしか定義できませんので
a^2-x^2<0とはなりません。

No.82330 - 2022/06/08(Wed) 05:57:08

Re: / X
No.82330の内容を踏まえて図形的に考えます。

y=√(a^2-x^2) (A)
は点(a,0),(-a,0)を結ぶ線分
を直径とする上側の半円
y=x-a^2 (B)
は点(a^2,0)を通る傾きが正の直線
従って点(a,0)と点(a^2,0)の位置関係について
場合分けすればよいことが分かります。
∴条件である0<aに注意すると
(i)a^2<a、つまり0<a<1のとき
(A)と(B)との交点のx座標について
√(a^2-x^2)=x-a^2
これを解いて
x={a^2+a√(2-a^2)}/2
∴求めるxの値の範囲は
{a^2+a√(2-a^2)}/2<x≦a
(ii)a≦a^2、つまり1≦aのとき
(A)(B)のグラフから
√(a^2-x^2)≧x-a^2
∴問題の不等式を満たすxの値は存在しません。

以上から
0<a<1のとき {a^2+a√(2-a^2)}/2<x≦a
1≦aのとき 解なし

No.82331 - 2022/06/08(Wed) 06:54:24

Re: / X
ごめんなさい。No.82331に誤りがありましたので
直接修正しました。
再度ご覧下さい。

No.82335 - 2022/06/08(Wed) 17:47:05
(No Subject) / 藻
x+2y+3z=1とx^2+2y^2+3z^2=2を満たしながら実数x,y,zが動くときxの取りうる値の範囲を求めよ
No.82327 - 2022/06/08(Wed) 00:26:10

Re: / らすかる
2式からzを消去して整理すると(6x-1)^2+4(x+5y-1)^2=55なので
-√55≦6x-1≦√55
∴(1-√55)/6≦x≦(1+√55)/6
ちなみにx=(1-√55)/6となるときのy,zの値は
x+5y-1=0,x+2y+3z=1からy=z=(5+√55)/30、
x=(1+√55)/6となるときのy,zの値は
x+5y-1=0,x+2y+3z=1からy=z=(5-√55)/30

No.82329 - 2022/06/08(Wed) 04:51:44

Re: / 藻
どこから6x-1やx+5y-1がでてきたのでしょうか。
No.82358 - 2022/06/10(Fri) 18:41:54

Re: / らすかる
x^2+2y^2+3z^2=2
両辺を3倍
3x^2+6y^2+9z^2=6
9z^2=(3z)^2であり3z=1-x-2yなので
3x^2+6y^2+(1-x-2y)^2=6
展開して整理すると
4x^2+4xy+10y^2-2x-4y=5
(xの式)^2+(xとyの式)^2=(定数)
という形を目指します。
つまり4xyは(xとyの式)^2に含まれるようにします。
10y^2と4xyだと分数が出てきますので
まず両辺を10倍して
40x^2+40xy+100y^2-20x-40y=50
これで
(○+10y)^2の形が作れて40xyが含まれるようにするためには○=2x
(2x+10y)^2=4x^2+40xy+100y^2なので
36x^2+(2x+10y)^2-20x-40y=50
36x^2+4(x+5y)^2-20x-40y=50
○(x+5y)で-40yが出てくるようにすると○=-8
-8(x+5y)=-8x-40yなので
36x^2+4(x+5y)^2-12x-8(x+5y)=50
36x^2-12x+4(x+5y)^2-8(x+5y)=50
36x^2-12xを平方完成すると(6x-1)^2-1
4(x+5y)^2-8(x+5y)を平方完成すると{2(x+5y)-2}^2-4
よって
(6x-1)^2-1+{2(x+5y)-2}^2-4=50
∴(6x-1)^2+4(x+5y-1)^2=55
のように整理できます。

No.82360 - 2022/06/10(Fri) 20:48:09
(No Subject) / り
可能な限り計算過程を詳しくご教授願いますm(_ _)m
No.82322 - 2022/06/07(Tue) 21:54:23

Re: / けんけんぱ
次数の低い文字に着目して整理する、という因数分解の鉄則があります。
これにならうと

与式
=(b+c)a^2+(b^2+c^2+2bc)a+b^2c+bc^2
ここで、定数項はb^2c+bc^2=(b+c)bcだから
=(b+c)a^2+(b+c)^2a+b^2c+(b+c)bc
(b+c)でくくって
=(b+c){a^2+(b+c)a+bc}
=(b+c)(a+b)(a+c)
となり、カッコよくすれば
=(a+b)(b+c)(c+a)
となります

No.82324 - 2022/06/07(Tue) 22:17:42
不等式について / しょう
11行目の4小なりの下にイコールがついてるのはなぜなのでしょうか?
No.82316 - 2022/06/07(Tue) 18:08:57

Re: 不等式について / ヨッシー
4≦x<6 ではなく
(4以上の数)<x<6 です。
x=4 は解になりません。

No.82317 - 2022/06/07(Tue) 18:14:33

Re: 不等式について / IT
x>a+4 で、具体的にx=4,5 として、考えてみると良いと思います。 
No.82318 - 2022/06/07(Tue) 18:16:12

Re: 不等式について / しょう
> 4≦x<6 ではなく
> (4以上の数)<x<6 です。
> x=4 は解になりません。


4以上の数ならどうしてイコールがついてるのでしょうか?

No.82320 - 2022/06/07(Tue) 19:09:13

Re: 不等式について / ヨッシー
4も4以上の数ですから。
No.82325 - 2022/06/07(Tue) 22:20:43

Re: 不等式について / しょう
4も4以上の数なら整数の数は2つになってしまうんじゃないんですか?
No.82333 - 2022/06/08(Wed) 17:09:34

Re: 不等式について / ヨッシー
xが4以上ではなく、
○<x<6
↑ここに入る数が4以上と言っているのです。
 4<x<6
に整数は2つありますか?

No.82334 - 2022/06/08(Wed) 17:16:32

Re: 不等式について / しょう
その説明はわかるのですが問題とうまく結びつかないのです。
No.82336 - 2022/06/08(Wed) 17:47:12

Re: 不等式について / ヨッシー
 a+4<x<6
この範囲に、整数が1つだけ含まれるには、aはどんな範囲の
数であるべきか? という問題であることはわかりますか?
ただ1つ含まれる整数はx=5であり、そのためには
 a+4 は4以上5未満
つまり
 4≦a+4<5
4を含んでもいいことは、先刻から説明済みなので4以上。
5を含むと、今度はx=5も含まれなくなるので、未満です。
あとは各辺から4を引いて
 0≦a<1
です。

No.82337 - 2022/06/08(Wed) 17:55:45
不等式について / しょう
1-4の最後に4以下となってるのはなぜなのでしょうか?
No.82313 - 2022/06/07(Tue) 17:19:16

Re: 不等式について / ヨッシー
10/3<x<m を満たす整数xが存在しないためのmの範囲は?
と聞かれているのと同じです。
10/3 は3より少し大きいので、3以下の整数になることはありません。
mが大きい、例えば、10/3<x<10 とかだと、4,5,6などが含まれます。
mをどこまで小さくすれば、整数xが存在しないかを調べると、
結局は、4を含むかどうかということになります。
mが4より少しでも大きい 4.000001 とかだとx=4 が含まれます。
mが4より少しでも小さい、3.999999 だと、x=4は含まれません。
では、m=4 だとどうでしょうか?

No.82315 - 2022/06/07(Tue) 18:05:26

Re: 不等式について / しょう
m=4は含んでしまうんじゃないんですか??
No.82319 - 2022/06/07(Tue) 18:29:02

Re: 不等式について / ヨッシー
m=4 ということは
 10/3<x<4
ということです。
x=4 はこの範囲に入りますか?

No.82326 - 2022/06/07(Tue) 22:21:44
大学数学です。 / ゆうじん
この証明が分かりません。
特に不等式評価から与式が有界であることによって微分がe^z0になる点が分かりません。
ご教示ください。

No.82304 - 2022/06/06(Mon) 23:56:40

Re: 大学数学です。 / ast
> 与式が有界であることによって微分が
当該の式(これを与式って言い方するのは個人的には違和感ある)が s,t が十分に小さい時有界という意味は, "t,s→0 (あるいは同じことだが √(s^2+t^2)→0) のとき (分母)→0 かつ limsup が存在する" ということなので, そのためには (分子)→0 は必要条件, つまり |(e^(t+is)-1)-(t+is)| →0 ⇔ |(e^(t+is)-1)/(t+is)|→1 というようなことが「したがって」の一言で済まされていると考えられます.
# 厳密には ε-δ 論法で書くべきところだとは思いますが
# 「分数の形の極限で limit が存在してかつ (分母)→0 なら (分子)→0 が必要」のようなケースは
# 高校数学の範囲でも典型的な問題として既知だと思いますので, 深入りしません.

No.82312 - 2022/06/07(Tue) 16:41:36
画像の(4),(5)を解いて貰えないでしょうか。 / こうしん
画像の(4),(5)を解いて貰えないでしょうか。課題として出たのですが例題も少なく分かりませんでした。都合の着く友達もいないので、教えて欲しいです
No.82303 - 2022/06/06(Mon) 21:43:53
(No Subject) / あいかわ
すごくたすかりました!!!!!ありがとうございます!!!!!!!
No.82299 - 2022/06/06(Mon) 21:13:35

Re: / X
もう見ていないかもしれませんがごめんなさい。
最初の回答に不備がありましたので一旦削除し、
改めて回答を元のスレにアップしました。
再度ご覧下さい。

No.82301 - 2022/06/06(Mon) 21:33:29

Re: / あいかわ
> もう見ていないかもしれませんがごめんなさい。
> 最初の回答に不備がありましたので一旦削除し、
> 改めて回答を元のスレにアップしました。
> 再度ご覧下さい。

ありがとうございます!さっきの回答で私は満足していました。丁寧にありがとうございます。ありがたく今から考えさせていただきます!

No.82302 - 2022/06/06(Mon) 21:36:58
行列に関する問題です、助けてください / あいかわ
https://imgur.com/a/381THhP
こちらの問題です。理解力に乏しいので詳しく答えを教えてほしいです

No.82297 - 2022/06/06(Mon) 20:54:08

Re: 行列に関する問題です、助けてください / X
単位行列をEとします。
Aにかけた基本変形行列の全ての積をP
とすると、条件から
PA=E (A)
PE=B (B)
(B)より
P=B (B)'
一方、Pの定義によりPには逆行列が存在し
(A)により
P^(-1)=A
∴AP=E (A)'
(A)(A)'(B)'から
AB=BA=E
∴逆行列の定義により
B=A^(-1)

No.82300 - 2022/06/06(Mon) 21:29:26
整数の性質について教えて下さい。 / YUKI
2つの正の整数の最大公約数と最小公倍数の積の値が

2つの正の整数の積の値と同じになるのはなぜですか?

No.82294 - 2022/06/06(Mon) 00:11:05

Re: 整数の性質について教えて下さい。 / ヨッシー
AとBの最大公約数がCである時
 A=C×A’
 B=C×B’ A’とB’は互いに素
と書けます。次にAとBの最小公倍数を作るのに、
Aに何か整数を掛けて、Bの倍数になるようにします。
Bを掛けて A×B とすると、Bの倍数にはなりますが、
最小とは限りません。
 A=A’×C
なので、これにB’を掛けて、
 A’×C×B’
とすれば、B=C×B’も含んでおり、Bの倍数になります。
A’とB’は互いに素なので、B’より小さい数を掛けると、C×B’ を約数に持つことが出来ません。
よって、C×A’×B’ が最小公倍数となります。
これに最大公約数Cを掛けると、
 C×C×A’×B’=(C×A’)×(C×B’)=A×B
と、2数の積と一致します。

No.82295 - 2022/06/06(Mon) 01:11:03

Re: 整数の性質について教えて下さい。 / YUKI
ありがとうございます!!
No.82296 - 2022/06/06(Mon) 01:50:33
入射角と反射角について / さ
いくら考えても分からないので思い切って質問します。

2枚の平面鏡が角度θで組み合わされており、第1の鏡への入射角をαとする時、第1の反射で光線の方向は180°−2αだけ回転し、2回目の反射で180°−2(θ−α)だけ回転する。

この第1の法則は分かるのですが、第2の場合、なぜこうなるのか分かりません。
θが90°なら分かりやすいのですが、90°ではない場合には、平行線もない為同位角や対頂角も見つけられず、証明する事が出来ません。

この2回目の入射角と反射角がそれぞれθ−αである事の証明をお願い出来ませんか?

No.82287 - 2022/06/05(Sun) 19:43:18

Re: 入射角と反射角について / ast
二度目の反射における入射角(=反射角)を=βとおくと, 鏡二枚と鏡と光線の交点を結んだ線分で出来る三角形のθ以外の角度はそれぞれ 90°-α と 90°-β ですから, θ+(90°-α)+(90°-β)=180° で, 解けば β=θ-α はすぐにわかるのでは.
No.82290 - 2022/06/05(Sun) 19:55:48

Re: 入射角と反射角について / さ
本当ですね!
スッキリしました!
ありがとうございました。

No.82292 - 2022/06/05(Sun) 20:23:07
微分方程式 / ゆゆ
yf=e^λtとおいて解いたのですが、dy/dxの場合は、yf=e^λxと置くべきでしょうか?

yf=e^λtとおいて、xで微分しているため、最終的な答えはxに書き改めればいいと思ったのですが、どうなのでしょうか?

No.82284 - 2022/06/05(Sun) 17:29:24

Re: 微分方程式 / ast
何がしたいのかよく分からないが, 元々の問題は?
書いてあるだけだといい場合もダメな場合もありうるとしか言いようがない. むしろ「解いた」と書かれると「解けたのだったらそれでいいじゃないの」と受け取ってしまいますが.

No.82291 - 2022/06/05(Sun) 19:59:11
(No Subject) / りこ
(2)がわからず困っています。どなたか教えていただきたいです!
No.82281 - 2022/06/05(Sun) 15:10:35

Re: / m
まずは,b<1, 1≦b<2, 2≦b で場合分けをして
f^{-1} ([-∞, b]) を求めてみてください.

No.82283 - 2022/06/05(Sun) 17:10:17

(No Subject) / りこ
ありがとうございます。
b<1のとき f^{-1} ([-∞, b])=Φ
1≦b<2のとき f^{-1} ([-∞, b])=(0,1/3]
2≦bのとき f^{-1} ([-∞, b])=(1/3,1]
となりÀの元になるので、満たしているということでいいでしょうか?

No.82285 - 2022/06/05(Sun) 17:47:40

Re: / m
そのとおりです!

[訂正]
今見返すと.
2≦bのときは f^{-1} ([-∞, b])=(0,1]
ですね.

No.82289 - 2022/06/05(Sun) 19:47:13

Re: / m
蛇足:唐突に出てくる f^{-1} ((-∞, b]) のお気持ち

よく,リーマン積分はグラフを縦に切っていて,ルベーグ積分は横に切ると説明されます.
なので本当は a<f(x)≦b となる x の集合.つまり f^{-1} ((a, b]) を調べたい.
ただ,文字が二つあると面倒なのでいろいろ議論すると f^{-1} ((-∞, b]) だけを調べれば十分ということがわかり(正確には測度空間の性質から必要十分),簡単だからそうしているというだけです.

ちなみに可測関数の定義に
f^{-1} ([a, b]) や f^{-1} ((a, ∞]) を採用しても同値です.

No.82293 - 2022/06/05(Sun) 20:24:45
分配法則について / しょう
この分配なのですが、9回ではなく3回で済ませています、どういうことなのでしょうか?
No.82277 - 2022/06/05(Sun) 11:34:35

Re: 分配法則について / ast
その他の6回の中でx^2の項が出てくるものはありますか?
No.82278 - 2022/06/05(Sun) 11:39:46

Re: 分配法則について / IT
結果が x^2 になる項だけを調べているからでは?


「x^2掛ける2x^2」や「-3掛ける-1」などは、不要です。

No.82279 - 2022/06/05(Sun) 11:42:05
ルベーグ積分 / りこ
次の問題が全く検討がつかず困っています。教えていただきたいです!
No.82274 - 2022/06/04(Sat) 17:33:56

Re: ルベーグ積分 / m
(1)について.
f(x) のグラフは描けますか.
「積分確定」の意味は説明できますか.

No.82276 - 2022/06/04(Sat) 21:48:41

Re: ルベーグ積分 / りこ
f(x)のグラフは描けます!
∫f+か∫f-の少なくとも一方が有限なら積分確定になると思います。

No.82280 - 2022/06/05(Sun) 14:41:41

Re: ルベーグ積分 / m
(1)
A の定義関数(特性関数ともいう)を 1_{A} と書きます.

f+ を f の正の部分とすれば
f+ = 2 * 1_{(0, 1]}
と表せる.従って
∫f+ = 2
このことから f は積分確定.


(2)
集合 [0, 1] ∩ Q が可算集合であるという事実を使って
μ{[0, 1] ∩ Q} = 0
を示すことはできますか.
これを使うと与えられた積分が求まります

// ルベーグ測度 μ の性質「一点集合は測度ゼロ」を使うことに注意.
// 大学の講義なら,ルベーグ積分では可算集合はある意味無視できるといったことを既に扱っているかも.

No.82282 - 2022/06/05(Sun) 16:57:03

ルベーグ積分 / りこ
μ{[0, 1] ∩ Q} = 0は示すことができたのですが、これを使って積分の値を求めるとはどうすればいいのかわかりません。
いっぱい質問してしまいすみません。

No.82286 - 2022/06/05(Sun) 18:35:11

Re: ルベーグ積分 / m
μ([0, 1] ∩ Q) = 0
から
∫_{[0,1]∩Q} f = 2*μ([0, 1] ∩ Q) = 0
が従います.

さらに積分の加法性により
(∫_{[0,1]-Q} f) + (∫_{[0,1]∩Q} f) = ∫_{[0,1]} f
ですから,∫_{[0,1]} f = 2 を代入して
∫_{[0,1]-Q} f = 2 を得ます.

(ただし,[0,1]-Q は差集合を表しています.)

No.82288 - 2022/06/05(Sun) 19:46:07
角錐の側面について / ふぶ
中1です。
参考書に「底面が正多角形の角錐の側面はそれぞれ合同な二等辺三角形になる」と書いてありました。
この理由もしくは証明を教えてください。

No.82273 - 2022/06/04(Sat) 17:09:47

Re: 角錐の側面について / IT
>「底面が正多角形の角錐の側面はそれぞれ合同な二等辺三角形になる」
正しくありません。

書いてあるそのままですか? 
だとすると、その参考書の記述は、まちがっていると思います。

「角錐のうち底面が、正n角形で、側面がすべて合同な二等辺三角形であるものを「正n角錐」といいます。(nは3以上の整数)」
↑このように「教科書」に書いてないですか? 確認してみてください。

底面が正多角形の角錐の側面はそれぞれ合同な二等辺三角形になるとは、限りません。

No.82275 - 2022/06/04(Sat) 18:52:54
一般での期待値(平均値)μを求める公式 / KYさん
有難うございます。

つまり無条件に∫_α^β xf(x) dxという公式は使えないと言う事ですね。
μ=∫_α^β xf(x) dx
が使える条件とは何でしょうか?

No.82269 - 2022/06/04(Sat) 09:32:14

Re: 一般での期待値(平均値)μを求める公式 / ast
> つまり無条件に∫_α^β xf(x) dxという公式は使えない
使えないのではなくて, 待ち時間の期待値を求めるならその公式の x は待ち時間で f(x) は待ち時間の密度函数でないといけないので, 待ち時間の密度函数を知らないとその公式に当てはめられないということでしょう.
# 前スレで書いたように問題で与えられた f(x) は駅着時刻の密度函数なので, その公式の f(x) とは違う.

あるいは, 二つの確率変数 X,Y に対し, そのそれぞれの確率密度函数を f_X(x), f_Y(y) と書くことにすると, 確率変数 Y が確率変数 X の適当な函数として Y=φ(X) であるときに ∫_[φ(α),φ(β)] y f_Y(y) dy (= ∫_[α,β] φ(x)f_X(x)φ'(x) dx) を計算する問題だというだけでは? (X が駅に着く時刻で, Y が駅に着いた時刻から決まる列車の待ち時間)
# 今の例ではたまたま常に φ'(x)=−1 になるので結局 f_X(x) しか見えてこないが.

Xさんがすでにお書きのことですが, 一口に単語レベルで期待値といったところで, そこで思考停止せずに「何の」期待値なのかを考えないと公式があっても意味がありません.
# 前回のスレッドでも短絡思考と形容しましたが, 理解を阻害している根底にあるものは今回も同じかと.

No.82271 - 2022/06/04(Sat) 14:08:55

Re: 一般での期待値(平均値)μを求める公式 / KYさん
どうも有難うございます。参考にさせていただきたいと思います。
No.82332 - 2022/06/08(Wed) 09:10:28
一般での期待値(平均値)μを求める公式 / KYさん
度々すみません。

https://kyokoyoshikawa.web.fc2.com/newdir/question/pdf_and_mean.jpg

にて期待値(平均値)μが∫_α^β xf(x) dxと確率密度関数f(x)とxの積で求められる事を知りました。
でも下記の例題では∫_0^10 x 1/35 dx
ではなく∫_0^10 (10-x) 1/35 dxとなっていて公式通りではありません。
一般での期待値(平均値)μを求める公式はどうなっているのでしょうか?

https://kyokoyoshikawa.web.fc2.com/newdir/question/question06012200.jpg

No.82266 - 2022/06/03(Fri) 22:39:26

Re: 一般での期待値(平均値)μを求める公式 / X
離散確率分布(つまり、期待値がΣで計算できる場合)
の場合と考え方は同じです。

>>確率密度関数f(x)とxの積で求められる
のは「xの」期待値です。
それに対し2つ目の問題で求める期待値は
「待ち時間の」期待値
です。
ですので、確率密度関数f(x)にかけるのは
待ち時間(模範解答ではxの関数になっていますが)
です。

もし、待ち時間がxであれば、待ち時間の期待値は
f(x)とxの積の積分
で計算できます。

No.82268 - 2022/06/04(Sat) 06:59:18
確率密度関数って。。 / KYさん
宜しくお願いいたします。

下記の問題についてです。

https://kyokoyoshikawa.web.fc2.com/newdir/question/IMG_1167.JPG
https://kyokoyoshikawa.web.fc2.com/newdir/question/question06012200.jpg

前者の確率密度関数f(x)=1/4 kx(6-x)は6分に近づくに連れて待ち時間が小さくなっている事に辻褄が合うと納得したのでず
後者の確率密度関数f(x)=kと何故,定数関数になってるのか不思議に思いました。
いつ駅に到着としても待ち時間は一定とは変だと思いました。

どうして定数関数になるのでしょうか?

No.82262 - 2022/06/02(Thu) 11:42:39

Re: 確率密度関数って。。 / ast
前者の確率変数 X は「乗客が駅に着いてから列車が到着するまでの待ち時間」であり, X=x のとき「x 分間待つ」ことを意味します (だから前の列車が出た直後から 6 分待つことになる確率も次の列車が出る直前についてほぼ待たない (=0 分待つ) ことになる確率もともに 0 に近く, 前のが出発してから次が来るまでの真ん中あたりから 3 分待つ確率が一番高い) という仮定がされています: f(x)=(k/4)x(6-x) は待ち時間の確率密度函数です.
# なので, 書き込まれている手描きのグラフはおかしいですね, y=(1/36)x(6-x) なら正しくは
# x=0 のとき y=0, x=3 のところで頂点になる上に凸の抛物線です.

一方の後者の X は前者と全く意味が異なり, X=x は「乗客が駅に着く「到着時刻」が 時刻 (○ 時) x 分であること (時刻 0 分から時刻 35 分の間に駅で待ち始めて, そこから決まった時刻 x=10,30,45 分になるまで列車を待つ)」を示しており (だから「待ち時間」は各 10-x,30-x,45-x 分間のどれかであり, 前の列車が出発した時刻の直後最大でそこから次の列車の到着時刻に近づくにつれて減る), つまり f(x)=k と置くのは「どの時刻 (一分刻みの一分間) に駅に着く (列車待ち開始) かは等確率であるものと仮定した」という意味になります: f(x)=k は到着時刻の密度函数です.
# つまり, x の意味が違うので「いつ駅に到着としても待ち時間は一定」という意味には全くなりません.
# また, 「待ち時間」についても, 前者の f(x) は待ち時間が x になる事象の発生確率であるのに対し,
# 後者の 10-x or 30-x or 45-x は待ち時間の長さ自体なので, まったく同じものというわけでもありません.
# ついでに, 「到着時刻」もここでは乗客の駅到着時刻であり, もし列車の到着/発車時刻 (発着時刻) と
# 混同することがあったならば訳が分からなくなります.

## もし, 同じ "x" という文字で書かれているからとか, "waiting time", "arrive" といった単語だけ見て
## 判断してしまうのだとしたら, 実際は主語も動作も全然違うので, 完全に短絡思考に陥っています.
## 仮にそうなっていた場合には, まずはその辺を意識することを心がけることからだと思います.

No.82263 - 2022/06/02(Thu) 14:30:31

Re: 確率密度関数って。。 / KYさん
> つまり f(x)=k と置くのは
>「どの時刻 (一分刻みの一分間) 
> に駅に着く (列車待ち開始) かは
> 等確率であるものと仮定した」
> という意味になります: 


なんとなくわかって来ました。確率密度関数のx軸は事象の値を表してて、y軸はその事象が起こる頻度(?)を100分率で表してますよね?
特に何も条件がないので何分に来るかという頻度は一定なのですね。

前者の例題ではどの待ち時間になるかという確率も普通は一定ですが
この問題では(3分待ちとなる確率が一番高くなるようにな)確率密度関数が与えられていているので使ってあるのですね。

No.82265 - 2022/06/03(Fri) 03:48:05

Re: 確率密度関数って。。 / ast
> 前者の例題ではどの待ち時間になるかという確率も普通は一定ですが
これには同意しませんが, 他はまあそういう感じでしょう.
# 同意しないのは, 「どういう数学的設定が文章題で参考にした現実の状況の数理モデルとして妥当か,
# あるいは今の設定はどの程度ふさわしいか, といったような問いには常に検討の余地がある」
# と私は考えるからです.
## 例えば, 本問(=前者)では常に同じ間隔で電車が発着するのなら発着の真ん中くらいに駅に着くよう家を出て
## 実際の到着はそこからの誤差が正規分布になるようなモデルを考えて, さらにそのより平易な近似として
## 抛物線近似を持ってきた, ということなら問題の仮定は普通な仮定であるように私には思えます.
### 質問者さんの言い分を見るに "どうしても前者と後者を同種類のものと結論付けたい" という趣旨の
### 結論あり気の論を張ろうとする気配がありそうなのですが, 個人的には危険な発想だと思います.
#### 個人的な感触では恐らく, 前者は一人の人間が特定の時間に駅に行って列車を待つ状況で,
#### 後者はたくさんの人間がつねに一定数駅を訪れるという状況で, それぞれ考えたときに
#### 平均してどうなるかというのを表している確率密度と期待値だと感じます.

No.82272 - 2022/06/04(Sat) 14:28:13
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