0849912

ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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★ 複素数平面 / Higashino
法政大学過去問

なにとぞよろしくお願いします


以下問題
No.89071 - 2024/10/09(Wed) 21:45:37
☆ Re: 複素数平面 / 大西
1±i＝√2(cosπ/4±isinπ/4)より
(1±i)^n＝(√2)^n(cos(nπ/4)±isin(nπ/4))

(1＋i)^n＋(1−i)^n
＝(√2)^n(cos(nπ/4)＋isin(nπ/4))＋(√2)^n(cos(nπ/4)−isin(nπ/4))
＝2×(√2)^n×cos(nπ/4)

2×(√2)^n＝2^5よりn＝8
これはcos(nπ/4)＝cos2π＝1
を満たす
よって、n＝8
No.89073 - 2024/10/09(Wed) 22:09:26
☆ Re: 複素数平面 / Higashino
お初です

ご回答ありがとうございました

私の答案を上げておきます

ご使用いただければ幸いです
No.89083 - 2024/10/10(Thu) 18:57:57
☆ Re: 複素数平面 / Higashino
ご使用いただければ幸いです

　失礼しました

ご意見いただけると幸いです
No.89084 - 2024/10/10(Thu) 19:20:49
☆ Re: 複素数平面 / 大西
n=9もいけるのですね。
勉強になりました。
No.89085 - 2024/10/10(Thu) 22:14:08
★ ガウス記号の等式の証明 / 大西
自然数nに対して、[√(16n+20)]=[√(16n+23)]が成り立つことを示したいのですが、どこから手を付けて良いのかが分かりません。[ ]：ガウス記号です。

=kとおいて、k≦[ ]＜k+1としてnの範囲を求めてもうまくいかないし、
数学的帰納法でも厳しいし、困っています。
示し方を教えてください。
No.89068 - 2024/10/09(Wed) 20:52:59
☆ Re: ガウス記号の等式の証明 / IT
[√(16n+20)]<[√(16n+23)]であるためには
16n+21,16n+22,16n+23 のどれかが平方数である必要があります。
4での剰余を考えると16n+21のみが候補ですが
16n+21=m^2 とはならないことを示せば良いと思います
（注意）ここで　m=4k±1とおけます。m,kは整数です。
No.89072 - 2024/10/09(Wed) 22:05:03
☆ Re: ガウス記号の等式の証明 / 大西
ITさんご返信ありがとうございます。

確かに[√(16n+20)]<[√(16n+23)]とならないことを示せば良いですね。気付きませんでした。
ありがとうございます。
No.89074 - 2024/10/09(Wed) 22:27:22
★ 九州大学過去問 / Higashino
複素数平面
九州大学過去問
何卒よろしくお願いします

以下問題
No.89064 - 2024/10/09(Wed) 14:18:37
☆ Re: 九州大学過去問 / X
(1)
条件から
z[1]=cosθ+isinθ
z[2]=cos(θ+π/2)+isin(θ+π/2)
z[3]=cos(θ+π)+isin(θ+π)
z[4]=cos(θ+3π/2)+isin(θ+3π/2)
∴ドモアブルの定理により
z[1]^k=coskθ+isinkθ
z[2]^k=cos(kθ+kπ/2)+isin(kθ+kπ/2)
z[3]^k=cos(kθ+kπ)+isin(kθ+kπ)
z[4]^k=cos(kθ+3kπ/2)+isin(kθ+3kπ/2)

(2)
条件から
z[1]=cosθ+isinθ
z[2]=i(cosθ+isinθ)
z[3]=-(cosθ+isinθ)
z[4]=-i(cosθ+isinθ)
∴ドモアブルの定理により
z[1]^k=coskθ+isinkθ
z[2]^k=(i^k)(coskθ+isinkθ)
z[3]^k={(-1)^k}(coskθ+isinkθ)
z[4]^k={(-i)^k}(coskθ+isinkθ)
よって、求める相異なるものの個数は
A[k]={1,i^k,(-1)^k,(-i)^k}
なる集合A[k]の相異なる要素の個数
と同じになるので
(i)k=2のとき
A[k]={1,-1,1,-1}
により2個
(ii)k=3のとき
A[k]={1,-i,-1,i}
により4個
(iii)k=4のとき
A[k]={1,1,1,1}
により1個
(iv)k=100のとき
A[k]={1,1,1,1}
により1個
No.89065 - 2024/10/09(Wed) 19:48:58
☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino
x 先生、こんにちは

お久しぶりでございます

今回もご回答くださりありがとうございました

私なりに考えた答案を無視をいただけると幸いです

何卒よろしくお願いいたします


以下、画像拡大リンク先
https://imgur.com/a/q6Xyw8i
No.89066 - 2024/10/09(Wed) 20:36:57
☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino
　　失礼しました

私なりに考えた答案を無視をいただけると幸いです

ではなく

答案を見ていただけると幸いです

この頃寒くなってきましたね　ご自愛ください
No.89069 - 2024/10/09(Wed) 21:16:25
☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino
所々、草案が間違っておりました

正しいものを改めて投稿いたします

よろしくお願いいたします
No.89075 - 2024/10/09(Wed) 23:03:17
★ (No Subject) / やり直しメン
□3の(2)についてです

算数です


分かりませんでした。

教えてください
No.89060 - 2024/10/09(Wed) 07:35:26
☆ Re: / やり直しメン
お願いします
No.89061 - 2024/10/09(Wed) 07:37:08
☆ Re: / やり直しメン
写真が出ないみたいです。
後でまた貼ります

申し訳ありません
No.89062 - 2024/10/09(Wed) 07:38:33
★ 数学IIIの定積分 / てリオ
ルート(1ーX)/(1+X)の[0,1]範囲の定積分ですが、
X=sinθと置換して、答えはπ/2-1と出たのですが、合ってますか？

また、他に求め方はありますか？
わかる方、宜しくお願いします。
No.89056 - 2024/10/08(Tue) 21:47:13
☆ Re: 数学IIIの定積分 / X
＞＞X=sinθと置換して、答えはπ/2-1と出たのですが、合ってますか？

＞＞ルート(1ーX)/(1+X)
が
√{(1-x)/(1+x)}
の意味であるなら、合っています。
No.89058 - 2024/10/09(Wed) 07:00:20
☆ Re: 数学IIIの定積分 / X
＞＞また、他に求め方はありますか？
√(1+x)=t
と置くと
x=t^2-1
dx=2tdt
∴∫[0→1]{√{(1-x)/(1+x)}}dx=2∫[1→√2]{√(2-t^2)}dt
更に
t=(√2)sinθ
と置いて
∫[0→1]{√{(1-x)/(1+x)}}dx=4∫[π/4→π/2]{(cosθ)^2}dθ
=2∫[π/4→π/2](1+cos2θ)dθ
=π/2-1
No.89059 - 2024/10/09(Wed) 07:09:17
☆ Re: 数学IIIの定積分 / てリオ
Xさん、返信有難うございます。

要するに、x＝cos2θとおけばよいということですね。
確かに同じ答えになりました！

形的に見て、双曲線関数(sinhx,coshx,tanhx)を使った置き換えで鮮やかに解けないかな？と試行錯誤してみたのですが難しいようですね・・・（数検1級の学習中です・・・）
No.89063 - 2024/10/09(Wed) 13:14:45
☆ Re: 数学IIIの定積分 / IT
簡単になるわけではないですが、
逆関数を考えると、見た目は少しシンプルになりますね。
No.89067 - 2024/10/09(Wed) 20:39:01
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です

□4について教えてください
No.89049 - 2024/10/07(Mon) 21:10:12
☆ Re: / _
平均点＝合計点÷回数　、合計点＝平均点×回数　はいいですか。

90点が△回、85点が□回 あったとすると
10回分の合計点を考えて

　85.5×10 ＝ 75 + 90×△ + 85×□

がいえる。なお　△と□は合わせて9回です。
ここから△と□を求めるのは難しくないのでは(算数ならつるかめ算とか使うのかな)。
No.89051 - 2024/10/07(Mon) 22:52:42
★ (No Subject) / era
中3範囲で解けるみたいですが手も足も出ないです。
図が若干雑ですが1辺が3,5,7の三角形の、赤い部分の角度は？という問題です。
No.89044 - 2024/10/06(Sun) 23:59:04
☆ Re: / らすかる
△ABCでAB=3、BC=7、CA=5とします。
∠Aの角の二等分線と辺BCの交点をDとすると
BD：DC=AB：AC=3：5からBD=21/8、DC=35/8
AからBCに垂線AHをおろすと、三平方の定理から
BH^2+AH^2=3^2=9, HC^2+AH^2=5^2=25
2式の差をとり
HC^2-BH^2=25-9=16
HC=7-BHだから
(7-BH)^2-BH^2=16
これを解いて BH=33/14
AH^2=9-BH^2=675/196
またHD=BD-BH=15/56なので
AD^2=AH^2+HD^2=675/196+(15/56)^2=(15/8)^2
∴AD=15/8
Bを通りADと平行な直線と直線ACの交点をEとすると
△EBC∽△ADCで相似比はBC：DC=7：35/8=8：5だから
EB=(8/5)AD=3、EC=(8/5)AC=8
よってEA=EC-AC=3=EB=ABなので△EBAは正三角形
従って∠CAD=∠CEB=60°なので、求める角度は∠CAB=2∠CAD=120°

(ちょっとズルめな別解)
見た感じ120°と予想されるので
2辺が3と5で間の角度が120°の三角形の残りの辺が
7になるかどうかを調べることにする。
一辺が3の正三角形EBAを描きEAの中点をMとするとAM=3/2、BM=3√3/2
EAの延長上にAC=5となるように点Cをとると
MC=AM+AC=13/2
BC^2=BM^2+MC^2=27/4+169/4=49からBC=7
従って△ABCは問題の三角形と合同だから、求める角度は120°
No.89045 - 2024/10/07(Mon) 05:56:09
☆ Re: / IT
△ABCでAB=3、BC=7、CA=5とします。
Cから直線ABに垂線CHをひくと

三平方の定理から
BH^2+CH^2＝BC^2 ∴(3+AH)^2+CH^2=7^2
AH^2+CH^2=AC^2=5^2

2式の差を取ると
9+6AH=24∴AH=5/2＝AC/2

直線AB上にAH=HD となるAとは異なる点Dを取ると
△ACDは正三角形で∠CAD=60°
∴∠BAC=180°-60°=120°

※種明かし、高校で習う「余弦定理」の特別な場合なので証明を真似しました。
No.89050 - 2024/10/07(Mon) 21:53:06
★ 確率的解釈について / ぐっち
https://academic.oup.com/ptp/article/79/2/313/1901015
pdfにある(14),(15)の式がなぜ成り立つのかわからないです。
ご教授よろしくお願いいたします。
No.89034 - 2024/10/06(Sun) 18:12:19
★ 整数問題…？ / 伊月
pを素数、a、bを互いに素な正の整数とするとき、(a+bi)^pは実数ではないことを示せ。ただしiは虚数単位を示す。

(a+bi)^pの虚部は、

pC1a^(p-1)b-pC3a^(p-3)b^3+…+pCp(-1)^(p-1)/2b^p

です。(a+bi)^pが実数にはならないということは、この虚部が0にはならないということですので、背理法を利用して、この虚部が0になると仮定して矛盾を導く方針を考えました。

pC1a^(p-1)b-pC3a^(p-3)b^3+…+pCp(-1)^(p-1)/2b^p=0

左辺に第1項のみ残して、あとは全部右辺に移項します。

pC1a^(p-1)b=pC3a^(p-3)b^3-…-pCp(-1)^(p-1)/2b^p

b≠0で両辺を割って、右辺はp^2でくくります。

pa^(p-1)=b^2(pC3a^(p-3)-…-pCp(-1)^(p-1)/2b^(p-3))

左辺は素数pの倍数で、aとbは互いに素なので、b^2がpの倍数となり、このときbがpの倍数なので、b=mpとおけて、

pa^(p-1)=m^2p^2(pC3a^(p-3)-…-pCp(-1)^(p-1)/2b^(p-3))
a^(p-1)=m^2p(pC3a^(p-3)-…-pCp(-1)^(p-1)/2b^(p-3))

aがpの倍数となり、aとbが互いに素であることに矛盾する。

答案が不備だらけで、これではだめだそうです。どこがだめなのか指摘していただけないでしょうか。
No.89025 - 2024/10/06(Sun) 11:59:59
☆ Re: 整数問題…？ / IT
ざっと見ただけですが
> (a+bi)^pの虚部は、
>
> pC1a^(p-1)b-pC3a^(p-3)b^3+…+pCp(-1)^(p-1)/2b^p
>
(-1)^(p-1)/2b^p　は　カッコを使って分かり易くする必要があります。

p=2 のときは、別にした方が良いかも。（小さなこと）
> です。(a+bi)^pが実数にはならないということは、この虚部が0にはならないということですので、背理法を利用して、この虚部が0になると仮定して矛盾を導く方針を考えました。
>
> pC1a^(p-1)b-pC3a^(p-3)b^3+…+pCp(-1)^(p-1)/2b^p=0
>
> 左辺に第1項のみ残して、あとは全部右辺に移項します。
>
> pC1a^(p-1)b=pC3a^(p-3)b^3-…-pCp(-1)^(p-1)/2b^p
>
> b≠0で両辺を割って、右辺はp^2でくくります。

「b^2 でくくります」ですよね。
>
> pa^(p-1)=b^2(pC3a^(p-3)-…-pCp(-1)^(p-1)/2b^(p-3))
>
> 左辺は素数pの倍数で、aとbは互いに素なので、b^2がpの倍数となり、このときbがpの倍数なので、b=mpとおけて、
「左辺は素数pの倍数」これは当たり前ですね。書き方の問題ですが「右辺がpの倍数」を明記した方が良いと思います。

右辺の(pC3a^(p-3)-…-pCp(-1)^(p-1)/2b^(p-3))がpの倍数でないことは、なぜ言えますか？　
正しかったとしても説明不足だと思います。
（ここがポイントだと思うので証明なしではだめでしょうね）
No.89026 - 2024/10/06(Sun) 12:52:08
☆ Re: 整数問題…？ / らすかる
こういう方法はいかがでしょうか。
(a+bi)^2=(a^2-b^2)+(2ab)iの実部a^2-b^2はaと互いに素な数、虚部2abはaの倍数。
pをaと互いに素な数、sを任意の整数とすると
(as+pi)((a^2-b^2)+(2ab)i)=a(s(a^2-b^2)-2bp)+((2bs+p)a^2-pb^2)i
は実部がaの倍数、虚部がaと互いに素な数となるから、
(a+bi)に(a+bi)^2を何回掛けても実部がaの倍数で虚部がaと互いに素である数になる。
よってa+biの奇数乗の虚部はaと互いに素だから、a+biの奇素数乗は虚数。
また(a+bi)^2=(a^2-b^2)+(2ab)iも虚数なので、a+biの素数乗が実数になることはない。
No.89033 - 2024/10/06(Sun) 18:01:26
☆ Re: 整数問題…？ / 伊月
＞(-1)^(p-1)/2b^p　は　カッコを使って分かり易くする必要があります。

これではp-1の分母が2b^pに見えてしまうということですよね。{(-1)^(p-1)/2}b^pのように書けばよいでしょうか。

＞p=2 のときは、別にした方が良いかも。
p=2の場合の虚部は2abiで、aもbも正の整数ですので、さすがにこれは0ではないと、また思い込みの解答の書き方をしてしまいました。丁寧に書くべきでした。

＞「b^2 でくくります」ですよね。
仰る通りでした。校正が甘かったです。

＞右辺の(pC3a^(p-3)-…-pCp(-1)^(p-1)/2b^(p-3))がpの倍数でないことは、なぜ言えますか？　

最初、ここが仰っておられることがよくわからなかったのですが、

pa^(p-1)=b^2(pC3a^(p-3)-…-pCp{(-1)^(p-1)/2}b^(p-3))

という形において、右辺がpの倍数であるのは何もb^2の方であることは明らかなことではないので、(pC3a^(p-3)-…-pCp{(-1)^(p-1)/2}b^(p-3))の方がpの倍数になることはないことをきちんと書かなければならないということでしょうか。

この場合、b^2はpの倍数でもaの倍数でもないということで、b=1になるという考え方はあっていますでしょうか。

b=1とすると、右辺の括弧の中身は、

pC3a^(p-3)-pC5a^(p-5)+…-pCp(-1)^(p-1)/2

ですが、これがpの倍数にならないことを以下のように考えてみました。

pCqにおいて、q=3、5、7、…、p-2とします。
pCq=(p/q)(p-1)C(q-1)
q(pCq)=p((p-1)C(q-1))
右辺がpの倍数なので、左辺もpの倍数で、qについての仮定から、qがpの倍数であることはなく、したがってpCqがpの倍数です。

pC3a^(p-3)-pC5a^(p-5)+…-pCp(-1)^(p-1)/2において、一番最後の項以外はすべてpの倍数で、pCp(-1)^(p-1)/2は1か-1なので、pC3a^(p-3)-pC5a^(p-5)+…-pCp(-1)^(p-1)/2はpで割り切れない(mp±1の形をしているから)。

このように考えてみたのですが、これは合っていますでしょうか。考えに考えましたが、これ以上はわからないです。改善箇所がありましたら、詳しく教えて頂けないでしょうか。
No.89035 - 2024/10/06(Sun) 20:20:07
☆ Re: 整数問題…？ / IT
＞という形において、右辺がpの倍数であるのは何もb^2の方であることは明らかなことではないので、(pC3a^(p-3)-…-pCp{(-1)^(p-1)/2}b^(p-3))の方がpの倍数になることはないことをきちんと書かなければならないということでしょうか。

そうですね。

＞この場合、b^2はpの倍数でもaの倍数でもないということで、b=1になるという考え方はあっていますでしょうか。

まちがってます。b=1 になるとは限りません。
No.89036 - 2024/10/06(Sun) 21:01:08
☆ Re: 整数問題…？ / 伊月
＞こういう方法はいかがでしょうか。

読めば読むほどすごい証明方法だと思うのですが、誤解してないか、一つ一つ確認させてください。

＞a^2-b^2はaと互いに素な数
この証明を以下のようにしてみたのですが、合っていますでしょうか。

a^2-b^2とaの最大公約数をgとします。
a^2-b^2=cg…(1)
a=dg…(2)

(2)を(1)に代入して、
b^2=g(d^2g-c)
b^2はgで割り切れるが、(1)より、aもgで割り切れるので、aとbが互いに素である過程から、g=1なので、a^2-b^2はaと互いに素である。

ちなみにこれでよい場合、このようなすごい発想の解法の答案にこの程度のことは書く必要はあるのでしょうか。

＞(as+pi)((a^2-b^2)+(2ab)i)=a(s(a^2-b^2)-2bp)+((2bs+p)a^2-pb^2)i
は実部がaの倍数、虚部がaと互いに素な数となるから、

as+piの意味をたぶんわかっていないので、確認させてください。

(a+bi)^3=(a+bi)(a+bi)^2
s=1、p=b

(a+bi)^5=(a+bi)^3(a+bi)^2
s=a^2-3b^2、p=3a^2b-b^3(←がaと互いに素なのは確認済み)

(a+bi)^7=(a+bi)^5(a+bi)^2
s=a^4-10a^2b^2+5b^4、p=5a^4b-10a^2b^3+b^5(←がaと互いに素なのは確認済み)

こうやってみると、(a+bi)^2に、((aの倍数)+(aと互いに素な整数)i)をかける計算が延々と続く感じです。

(a+bi)^5={(a+bi)(a+bi)^2}(a+bi)^2
(a+bi)^7=[{(a+bi)(a+bi)^2}(a+bi)^2](a+bi)^2

上のように、(a+bi)(a+bi)^2…(a+bi)^2のように分解して、頭から掛け算をしていくと、必ず(a+bi)^2と((aの倍数)+(aと互いに素な整数)i)の掛け算が登場するので、それだったらまず、(aの倍数)+(aと互いに素な整数)iをas+piとおいて、(as+bi)(a+bi)^2が(aの倍数)+(aと互いに素な整数)iになることを示しておくという理解は正しいでしょうか。
No.89037 - 2024/10/06(Sun) 21:43:27
☆ Re: 整数問題…？ / 伊月
＞まちがってます。b=1 になるとは限りません。

pa^(p-1)=b^2(pC3a^(p-3)-…-pCp{(-1)^(p-1)/2}b^(p-3))

pC3a^(p-3)-…-pCp{(-1)^(p-1)/2}b^(p-3)がpの倍数であると仮定し、mを整数として、

pC3a^(p-3)-…-pCp{(-1)^(p-1)/2}b^(p-3)=mpと表せたとします。このとき、
pa^(p-1)=b^2mp
両辺をpで割ると、
a^(p-1)=b^2m
これだとaとbが互いに素であるにも関わらず、a^(p-1)を素因数分解したときに、その因数にbが現れてしまって矛盾するのではないでしょうか。b=1でないとまずいと思うのですが、どう考え違いしているのかわからないです。

また、pC3a^(p-3)-…-pCp{(-1)^(p-1)/2}b^(p-3)は最後の項以外はすべてpの倍数だと思いますが、これがpの倍数ということはb自身がpの倍数ということになると思います。そうすると、

pa^(p-1)=b^2(pC3a^(p-3)-…-pCp{(-1)^(p-1)/2}b^(p-3))

において、右辺は素因数分解すると、少なくとも素因数pの指数は3以上ですが、左辺はaとbが互いに素なので、aがpの倍数であることはないので、左辺の素因数分解でpの指数は1で、これまた矛盾してしまうように思えます。

やはりpC3a^(p-3)-…-pCp{(-1)^(p-1)/2}b^(p-3)はpの倍数ではないように思えてならないのですが、どこを考え違いしているのかわからないです。
No.89038 - 2024/10/06(Sun) 22:23:02
☆ Re: 整数問題…？ / IT
＞この場合、b^2はpの倍数でもaの倍数でもないということで、b=1になるという考え方はあっていますでしょうか。

これを読んで、（b=1になるかならないかは別にして）この論述は間違っていると指摘したのですが。
No.89039 - 2024/10/06(Sun) 22:45:14
☆ Re: 整数問題…？ / 伊月
＞これを読んで、この論述は間違っていると指摘したのですが。

仰る通りでした。

＞b^2はpの倍数でもaの倍数でもないということで、b=1
これはおかしかったです。

No.89038にも書きました通り、

pC3a^(p-3)-…-pCp{(-1)^(p-1)/2}b^(p-3)=mpと表せるとし、
pa^(p-1)=b^2mp
a^(p-1)=b^2m
aとbは互いに素なので、b=1

このように書くなら、これはおかしくないということで、問題ないでしょうか。
No.89040 - 2024/10/06(Sun) 23:05:01
☆ Re: 整数問題…？ / らすかる
> ちなみにこれでよい場合、このようなすごい発想の解法の答案にこの程度のことは書く必要はあるのでしょうか。
多少の説明は書いた方が良いでしょうね。
ユークリッドの互除法により
gcd(a+b,a)=gcd(b,a)=1, gcd(a-b,a)=gcd(-b,a)=1なので
a^2-b^2=(a+b)(a-b)からa^2-b^2はaと互いに素
ぐらいで良いかと思います。

> ・・・を示しておくという理解は正しいでしょうか。
正しいです。
No.89041 - 2024/10/06(Sun) 23:21:33
☆ Re: 整数問題…？ / らすかる
89033に書いた内容がイマイチすっきりしませんので、書き直してみました。
内容は同じです。
q,rをaと互いに素な整数、m,nを任意の整数として
ma+qiと表せる数（すなわち実部がaの倍数、虚部がaと互いに素な整数）の集合をA
r+naiと表せる数（すなわち実部がaと互いに素な整数、虚部がaの倍数）の集合をB
とする。
(ma+qi)(a+bi)=(ma^2-bq)+a(mb+q)i∈B
(r+nai)(a+bi)=a(r-bn)+(na^2+br)i∈A
（∵aと互いに素な整数を掛けたものはaと互いに素、またそれに
　　aの倍数を足してもaと互いに素だから、ma^2-bqとna^2+brはaと互いに素）
つまり集合Aに属する数にa+biを掛けると集合Bに属する数になり、
集合Bに属する数にa+biを掛けると集合Aに属する数になる。
a+biは集合Aに属するから、a+biの奇数乗は集合Aに属する。
集合Aに属する数は虚部がaと互いに素であることから虚数なので、
a+biの奇素数乗は虚数。
また(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abiも虚数なので、a+biの素数乗は実数にならない。
No.89046 - 2024/10/07(Mon) 06:20:08
☆ Re: 整数問題…？ / 伊月
らすかる様

素晴らしい解法を教えてくださり、ありがとうございました。本当に勉強になりました。

初めてみる解法で、使いこなせるようになりたいのですが、この解法が活躍する問題をご存じでしたら、紹介していただけないでしょうか。

色々探しているのですが、そもそもテーマ名がわからず、なかなか見つけられないです。
No.89052 - 2024/10/07(Mon) 23:37:08
☆ Re: 整数問題…？ / らすかる
このような解法を用いたのはおそらく（私にとって）初めてで、
同様の解法を使う問題は残念ながら思いつきません。
発想は「虚部がaやbで割り切れないことを言えば虚数」に
気づいた点です。
No.89054 - 2024/10/08(Tue) 06:15:11
☆ Re: 整数問題…？ / 伊月
ご丁寧にお返しありがとうございました。
一つの芸術作品、観賞用の解法ですね。

重ね重ね、ありがとうございました。
No.89057 - 2024/10/08(Tue) 21:50:53
★ 早稲田大学過去問 / Higashino
複素数平面

早稲田大学過去問

何卒よろしくお願いします

以下問題
No.89024 - 2024/10/06(Sun) 07:01:56
☆ Re: 早稲田大学過去問 / Higashino
私の答案が出来上がりましたので、投稿させていただきます

ご指導のほどよろしくお願いいたします

以下答案
No.89027 - 2024/10/06(Sun) 17:19:07
☆ Re: 早稲田大学過去問 / X
(1)は問題ないとして(2)について。

添付写真の下から５行目の
2cos(nπ/2)+2 ((A)とします)
から、Higashinoさんのように4を法とした
剰余を考えた表示でも問題ないのですが
解答としては(A)で十分です。
No.89030 - 2024/10/06(Sun) 17:27:19
☆ Re: 早稲田大学過去問 / Higashino
x先生、こんばんは

今回も最後までお使いいただきありがとうございました。今後ともなにとぞよろしくお願いいたします。
No.89043 - 2024/10/06(Sun) 23:42:29
★ 大阪府立大過去問 / Higashino
複素数平面　難あり

大阪府立大学過去問

以下問題

何卒よろしくお願いします
No.89023 - 2024/10/06(Sun) 05:24:15
☆ Re: 大阪府立大過去問 / ヨッシー
x[k]＝cos(2kπ/n)＋ｉsin(2kπ/n)　と置きます。

ｎが偶数のとき
　x[0]^2＝x[0]
　x[1]^2＝x[2]
　x[2]^2＝x[4]
・・・
　x[n/2]^2＝x[0]
　x[n/2＋1]^2＝x[2]
　x[n/2＋2]^2＝x[4]
　・・・
　x[n−1]^2＝x[n−2]
となり、存在する解は
　x[0], x[2], x[4]・・・x[n-2]
の偏角等間隔の n/2 個の単位円上の複素数なので、
　ｘ^(n/2)−１＝０

ｎが奇数のとき
　x[0]^2＝x[0]
　x[1]^2＝x[2]
　x[2]^2＝x[4]
・・・
　x[(n-1)/2]^2＝x[n-1]
　x[(n+1)/2]^2＝x[1]
　x[(n+1)/2＋1]^2＝x[3]
　・・・
　x[n−1]^2＝x[n−2]
となり、存在する解は
　x[0], x[1], x[2]・・・x[n-1]
と、元の方程式と同じになり、
　ｘ^n−１＝０
No.89047 - 2024/10/07(Mon) 10:41:30
☆ Re: 大阪府立大過去問 / Higashino
ヨッシー先生、おはようございます

ご回答ありがとうございます

私の考え方を上げておきます

画像拡大リンク先

https://imgur.com/a/1hBWj73
No.89053 - 2024/10/08(Tue) 05:39:01
★ 三角級数の和 / Higashino
複素数平面　証明問題

富山大学過去問

以下問題

何卒よろしくお願いします
No.89021 - 2024/10/06(Sun) 03:02:21
☆ Re: 三角級数の和 / X
方針を。

z=cosθ+isinθ
と置き
S[n]=Σ[k=0〜n]z^k
を
等比数列の和として計算した場合の表示
と
ドモアブルの定理を用いた表示
の二通りで表し、複素数の相等の定義を使って
実部、虚数部の比較を行います。
No.89031 - 2024/10/06(Sun) 17:34:29
☆ Re: 三角級数の和 / Higashino
先生、こんばんは

いつもいつもありがとうございます
心から感謝しております

　今回は複素数の範囲を使わず証明しました
究極の所、この問題は数列の和ですので　数列を使った考え方で解いてみました

ご指導のほど、何卒よろしくお願いいたします


以下答案
No.89042 - 2024/10/06(Sun) 23:39:20
☆ Re: 三角級数の和 / X
問題ないと思います。
No.89055 - 2024/10/08(Tue) 17:33:57
★ (No Subject) / あ
教えて下さい！
No.89009 - 2024/10/05(Sat) 00:51:14
★ (No Subject) / やり直しメン
問5についてです
算数です

どのように解けばいいですか？
No.89006 - 2024/10/05(Sat) 00:03:34
☆ Re: / IT
Aさんを除いたときと、Bさんを除いたときの
それぞれの３５人分の合計点の差はいくらですか？
（それぞれの合計点を計算せずに求めることができます）

その差は、何と何の差から来ているか分りますか？
No.89011 - 2024/10/05(Sat) 11:24:12
★ 複素数平面 / Higashino
出典不明

なにとぞよろしくお願いします

以下問題
No.89002 - 2024/10/04(Fri) 19:26:57
☆ Re: 複素数平面 / X
(√3+1)/2+i(√3-1)/2=cos(π/3)+cos(π/6)+isin(π/3)-isin(π/6)
=cos(π/3)+sin(π/3)+isin(π/3)-icos(π/3)
=cos(π/3)+isin(π/3)-i{cos(π/3)+isin(π/3)}
=(1-i){cos(π/3)+isin(π/3)}
=(√2){cos(π/3)+isin(π/3)}{cos(-π/4)+isin(-π/4)}
=(√2){cos(π/12)+isin(π/12)}
∴a[n]={(√2)^n}{cos(nπ/12)+isin(nπ/12)}
となるので、a[n]が実数であるためには
sin(nπ/12)=0
これより
nπ/12=mπ
(mは任意の実数)
∴n=12m
よって自然数nのうち、最小となるものは
n=12
∴求めるa[n]の値は
a[n]=a[12]={(√2)^12}cosπ=-64
No.89007 - 2024/10/05(Sat) 00:39:59
☆ Re: 複素数平面 / Higashino
x先生、おはようございます

今回もご回答くださりありがとうございました

大変ためになるご回答で毎回勉強させていただいております

私も、案を作成いたしましたので、アップさせていただきます

ご指導のほどよろしくお願いいたします
No.89022 - 2024/10/06(Sun) 03:33:57
★ 九州大学過去問 / Higashino
九州大学過去問

方程式

なにとぞよろしくお願いします

以下問題
No.88996 - 2024/10/04(Fri) 09:29:59
☆ Re: 九州大学過去問 / X
xの二次方程式
x^2-x√2+1=0
を解くと
x=cos(π/4)±isin(π/4)
∴条件から、因数定理とドモアブルの定理により
cos(nπ/2)+isin(nπ/2)-(√2){cos(nπ/4)+isin(nπ/4)}+1=0 (A)
cos(nπ/2)-isin(nπ/2)-(√2){cos(nπ/4)-isin(nπ/4)}+1=0 (B)
(A)(B)において、複素数の相等の定義により
cos(nπ/2)-(√2)cos(nπ/4)+1=0 (C)
sin(nπ/2)-(√2)sin(nπ/4)=0 (D)

(C)より
2{cos(nπ/4)}^2-(√2)cos(nπ/4)=0
∴cos(nπ/4)=1/√2,0 (C)'
(D)より
2sin(nπ/4)cos(nπ/4)-(√2)sin(nπ/4)=0
{2cos(nπ/4)-√2}sin(nπ/4)=0
∴
sin(nπ/4)=0又はcos(nπ/4)=1/√2 (D)'
(C)'(D)'より
cos(nπ/4)=1/√2
∴nπ/4=π/4+2mπ,-π/4+2mπ
(mは任意の整数)
となるので
n=1+8m,-1+8m
nはn＞1なる自然数ゆえ、求める最小となるnの値は
n=7
No.88998 - 2024/10/04(Fri) 10:32:05
☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino
x先生、こんにちは

お久しぶりでございます

ご回答ありがとうございました

私は図形的なアプローチをしていました

不備などあると思いますので、ぜひともアドバイスいただけると幸いです

以下答案
No.88999 - 2024/10/04(Fri) 12:54:27
☆ Re: 九州大学過去問 / X
＞＞n=8,4は〇Aに反する
nを議論する場合、xではなくて
x^n=cos(nπ/4)+isin(nπ/4)
をつかっていますので、その結論はおかしいです。
(実際、n=8のとき、〇Bは成立しています。
求めるのはnの値ではなくて、
nの値の最小値
です。
nの値の候補を探して、その中から、最小値を
求めるという方針を考えることになります。)

Higanshinoさんの解答は、
n=1,2,…,8
までにnの最小値の候補を絞り込んで、その中から
不適当なものを除いていく、という方針と見ました。
でしたら、その方針に沿って
〇Bにn=1,…,8を代入して判定した方が
よろしいと思います。
No.89001 - 2024/10/04(Fri) 19:14:15
☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino
x先生、こんばんは

ご指導ありがとうございます

n = 1、8 の時

共役複素数にはなりませんが

この議論が間違っているのでしょうか？

教えてください

何卒よろしくお願いします
No.89003 - 2024/10/04(Fri) 21:42:37
☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino
追伸

n に間違いがありました

正しくは
n =0、4、8

です
No.89004 - 2024/10/04(Fri) 21:45:27
☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino
x先生

改めた答案と、私の考え方を述べました

以下になります
No.89005 - 2024/10/04(Fri) 22:11:50
☆ Re: 九州大学過去問 / X
虚数部が0の複素数をzとすると、zの共役複素数は
z自身です。
共役複素数が存在しないわけではありません。
No.89008 - 2024/10/05(Sat) 00:49:47
☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino
遅くまでありがとうございます

私の持っている書物には
共役複素数の定義は

虚部の符号だけが違う2つの複素数を、互いに共役であると言い　一方は、他方の共役複素数と言う

と定義されています

書に誤りがあるのでしょうか？

何卒よろしくお願いします
No.89010 - 2024/10/05(Sat) 01:17:18
☆ Re: 九州大学過去問 / X
その定義が間違っているのではありません。

以下、zの共役複素数を\zと書くことにします。

まず、
実数は「虚数部が0である」複素数
であることはよろしいですか？
つまり、rを実数として
z=r
なる複素数zを考えるとき
z=r+i0
これの共役複素数は
\z=r-i0
となる、ということです。

Higashinoさんの持っている書物の
共役複素数の定義でも、
共役複素数を持つ複素数の虚数部は0ではない
という条件はどこにもありませんよね。
No.89012 - 2024/10/05(Sat) 12:25:45
☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino
x先生、こんにちは

私のためにお時間を割いていただき感謝いたします

この問題では
共役複素数解を持たねばなりません

その意味において

次の定理を探しました

ご意見いただけると幸いです
No.89013 - 2024/10/05(Sat) 14:38:36
☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino
推進です

どうぞよろしくお願いします
No.89014 - 2024/10/05(Sat) 14:52:23
☆ Re: 九州大学過去問 / X
書き方が悪かったようですね。
No.89008添付写真の下から２行目で

＞＞n=8のとき
＞＞f(n_8)=0

とありますが、議論がおかしいです。
n=8のときのf(α)
を
n=8のときのf(α^n)
と混同してしまっています。

そもそもn=8のとき、
α^n=1
ですので
f(α)≠0
です。
No.89018 - 2024/10/05(Sat) 18:55:06
☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino
　何度も申し訳ございません

ありがとうございます

n = 0 、4、8

については　前述した通り　共役な複素数解を持ちませんから　不適切で
議論から外しても良いのではないかと思います
No.89019 - 2024/10/05(Sat) 20:02:42
☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino
失礼しました

n は1より大きい数なので
n = 4、8 の時
図より、明らかに　共役な複素数解は持たないので
特に議論は必要ないと思うのです
No.89020 - 2024/10/05(Sat) 20:26:10
★ 広島女子大学過去問 / Higashino
広島女子大学過去問

複素数平面

なにとぞよろしくお願いします

以下問題
No.88994 - 2024/10/04(Fri) 04:40:09
☆ Re: 広島女子大学過去問 / ヨッシー
(分子)＝cos(π/2−Ａ)−ｉsin(π/2−Ａ)
　　　＝cos(Ａ−π/2)＋ｉsin(Ａ−π/2)
(分母)＝cos(Ｂ＋Ｃ)＋ｉsin(Ｂ＋Ｃ)
　　　＝cos(π−Ａ)＋ｉsin(π−Ａ)
よって、
　(与式)＝cos(２Ａ＋π/2)＋ｉsin(２Ａ＋π/2)
これが実数になるのは
　sin(２Ａ＋π/2)＝０
のときであり、三角形の内角としては、
　Ａ＝π/4, 3π/4
No.88997 - 2024/10/04(Fri) 09:30:43
☆ Re: 広島女子大学過去問 / Higashino
ヨッシー先生、こんにちは

ご回答ありがとうございます

ほとんど同じなのですが　念のため答案を投稿させていただきます。
No.89000 - 2024/10/04(Fri) 13:00:52
★ 広島工業大学、過去問 / Higashino
複素数平面

広島工業大学、過去問

なにとぞよろしくお願いします

以下問題
No.88993 - 2024/10/04(Fri) 03:53:50
☆ Re: 広島工業大学、過去問 / ヨッシー
cosα−ｉsinα＝cos(−α)＋ｉsin(−α)
　　＝cos(β−π/4)＋ｉsin(β−π/4)
よって、
　(cosα−ｉsinα)/(cosβ＋ｉsinβ)
　　＝cos(β−π/4−β)＋ｉsin(β−π/4−β)
　　＝1／√2−ｉ/√2
　(cosβ＋ｉsinβ)/(cosα−ｉsinα)＝1／√2＋ｉ/√2
以上より
　(与式)＝√2
No.88995 - 2024/10/04(Fri) 09:21:54
★ 数学?U / ほ
（2）（3）（4）の解き方を教えていただきたいです。お願いします。

2 答え　　x＝√2,y＝√2 最大値2√2
3答え　　x＝8/5,y＝−6/5 最大値2/5
4答え　　　m≧2
No.88990 - 2024/10/02(Wed) 19:47:43
☆ Re: 数学?U / ヨッシー
(2)
ｘ＋ｙ＝ｋ とおき、ｋを変化させると、この直線のグラフは
傾き−１を保ちながら上下に移動します。（ｋはｙ切片）
(1) で選んだ領域と、この直線が共有点を持ちながら、ｋを限界まで
大きくすると、この直線が円に接する(√2, √2) を通る位置まで上げることが出来ます。
これが最大値で、ｘ＝√2, ｙ＝√2, ｘ＋ｙ＝2√2
(3)
同様に、ｋを小さくすると、(8/5, −6/5) を通る位置まで下げることが出来ます。
これが最小値で、ｘ＝8/5, ｙ＝−6/5, ｘ＋ｙ＝2/5
(4)
傾きが−ｍの直線を (1) の領域と共有点を持ちながら動かすとき、
点(0,2) を通るときよりも、下に動かせないような場合を考えます。
答え ｍ≧２ が出ているので、それ以外の場合、直線が(0,2) を通る位置より
下げられることを確認しましょう。
No.88991 - 2024/10/03(Thu) 09:07:40
★ 東京理科大過去問 / Higashino
複素数平面

東京理科大過去問


なにとぞよろしくお願いします
No.88984 - 2024/09/30(Mon) 20:56:40
☆ Re: 東京理科大過去問 / ヨッシー
分母の実数化はご自分でやってもらうとして、その答えをＡとします。

偏角が60°(π/3) で絶対値が１の複素数として
　(1＋√3ｉ)/２
偏角が45°(π/4) で絶対値が１の複素数として
　(1＋ｉ)/√2
を考えます。
　(1＋√3ｉ)/２÷(1＋ｉ)/√2＝cos(π/3−π/4)＋ｉsin(π/3−π/4)
　＝cos(π/12)＋ｉsin(π/12)＝Ａ/√2
より、
　Ａ/√2
の虚部が sin(π/12) となります。
No.88985 - 2024/10/01(Tue) 09:09:38
☆ Re: 東京理科大過去問 / Higashino
ヨッシー先生

こんばんは

いつもご回答くださりありがとうございます

東案を作りました
ぜひともアドバイスいただけると幸いです
No.88987 - 2024/10/01(Tue) 17:59:48
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