ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。

過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

★ 複素関数 / エフゼット

引用

こちらの問題を教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

No.84527 - 2023/01/12(Thu) 03:20:38

☆ Re: 複素関数 / X

引用

No.84472で質問された問題の解法は理解できていますか？
できていないのであれば、この問題を複素積分を
使って解く方法は理解できませんよ。

No.84528 - 2023/01/12(Thu) 06:58:22

☆ Re: 複素関数 / エフゼット

引用

X様ご返信ありがとうございます。
前回の返信が遅れて申し訳ございません。
答えがあっているのかは分からないのですが、おかげさまで一応答えを導く事はできました。
もしよろしければ答えが合っているのか確認して頂きたいです。

答)
単純閉路Cの内部に含まれる極は
z=e^(πi/4),e^(3πi/4)となり、
これらの留数はそれぞれ
1/(1+i)2√2と-1/(1-i)2√2
となる。

No.84531 - 2023/01/12(Thu) 18:13:26

☆ Re: 複素関数 / GandB

引用

ここ参照。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1253906232

No.84533 - 2023/01/12(Thu) 19:27:58

☆ Re: 複素関数 / エフゼット

引用

GandB様
ご返信ありがとうございます。
おかげさまで解決することができました、ありがとうございます。

No.84547 - 2023/01/13(Fri) 05:47:11

☆ Re: 複素関数 / X

引用

＞＞エフゼットさんへ

＞＞z=e^(πi/4),e^(3πi/4)
は問題ありませんが、その後の計算が
間違っていますね。
e^(πi/4)=(1+i)/√2
e^(3πi/4)=(-1+i)/√2
です。

No.84548 - 2023/01/13(Fri) 06:14:28

☆ Re: 複素関数 / エフゼット

引用

X様何度も何度もお世話になっております。
ご指摘ありがとうございます。
後ほどもう一度計算し直してみます。

No.84551 - 2023/01/13(Fri) 11:46:09

★ 一次関数 / 学力不足　中２

引用

答え　（１）ｙ＝１２ｘ＋２

（２）９時５分　１５ｋｍ　

数学が不得意なので、よくわかりません。詳しい解説をよろしくお願いいたします。

No.84524 - 2023/01/10(Tue) 20:41:57

☆ Re: 一次関数 / ヨッシー

引用

(1)
時速12ｋｍなので、ｘが１増えると、ｙは１２増えます。
よって、求める式は
　ｙ＝１２ｘ＋□
の形になります。ｘ＝０のとき、ｙ＝２なので、
　ｙ＝１２ｘ＋２
となります。

(2)
時速4ｋｍなので、Ａ駅まで２ｋｍ戻るのに、30分かかります。
すると、８：４０発の列車に乗れます。この列車の８時からｘ時間後の
Ａ駅からの距離ｙを求めます。
時速は、３６ｋｍ（３０分で１８ｋｍ進むので）なので、
　ｙ＝３６ｘ＋□
の形になり、ｘ＝２／３（４０分）のとき、ｙ＝０なので
　ｙ＝３６ｘ－２４
これと、ｙ＝１２ｘ＋２　を解くと、
　ｘ＝13/12、　ｙ＝１５
答え：時刻：９時５分、距離１５ｋｍ

No.84525 - 2023/01/10(Tue) 22:53:01

★ 大学数学　統計学 / g

引用

大学数学の統計学の問題。ご教授お願いします。連投申し訳ありません。

ある工場で作られた製品 100 個の中に，不良品が 20 個含まれていることが分かっている.今 5 個の製品を無作為に取り出すとするとき，以下の問いに答えよ.
(a)非復元抽出により製品を取り出した場合に，不良品が 1 個以上含まれる確率を求めよ.
(b)復元抽出により製品を取り出した場合に，不良品が 1 個以上含まれる確率を求めよ.
(c)復元抽出により製品を取り出した場合に，不良品が 1 個以上含まれる確率を，正規近似を用いて求めよ(連続修正を用いること).

No.84519 - 2023/01/08(Sun) 21:36:47

★ 大学数学　統計学 / g

引用

大学数学統計学の問題です。どなたかご教授お願いします。

確率変数 Z が標準正規分布に従い，確率変数 X が平均 1，分散 9 の正規分布に従っている.Z と X は独立としたとき，以下の問いに答えよ.
(a)P (Z < 1.64) を求めよ. (b)P (X ≤ 0) を求めよ.
(c)P (0 < X ≤ 1.5) を求めよ. (d)P (X － 3Z > －3) を求めよ.
(e)P (Z > a) = 0.9032 となる定数 a を求めよ.
(f)P (X － √7Z > b) = 0.4602 となる定数 b を求めよ.

No.84518 - 2023/01/08(Sun) 21:35:22

☆ Re: 大学数学　統計学 / ポテトフライ

引用

まず、次の補題を認めておきます。（証明は確率統計の教科書にあるでしょう）

補題（正規分布の再生性）
確率変数X_1,X_2がそれぞれ正規分布N(m_1,σ_1^2),N(m_2,σ_2^2)に従うとする。
このとき確率変数a_1X_1+a_2X_2は正規分布N(a_1m_1+a_2m_2, a_1^2σ_1^2+a_2^2σ_2^2)に従う。

今回の問題はX~N(1,3^2),Z~N(0,1^2)であり、Xを標準化する、すなわち
Z=(X-1)/3
となっています。
割り切れない分数は小数点以下第3位を四捨五入して計算するものとします。

(a)標準正規分布表を見ましょう。
(b)標準化と標準正規分布の対称性からP(X≦0)=P(Z≦-1/3)= P(Z≦-0.33)= P(Z>0.33)
(c) P(0<X≦1.5)=P(-1/3<Z≦1/6)=P(-0.33<Z≦0.17)
あとは(b)と同様に標準正規分布の対称性で計算しましょう。
(d)補題からX-3Z~N(1,18)である。このときY=X-3Zとすれば
P(Y>-3)=P(Z>-2/9)=P(Z>-0.22)
(e)標準正規分布表を見ましょう。
(f) 補題からX-√7Z~N(1,16)である。このときW= X-√7Zとすれば
P(W>b)=P(Z>(b-1)/16)=0.4602となるbを標準正規分布表から探す。

※今回は正規分布が再生性をもっていることから、大変な計算することはほとんどありません。
一般に確率変数の和の密度関数は畳み込み積を用いるので非常に大変です。
（と言っても異なる分布に従う確率変数を考えることはほとんどないかと思います。

No.84530 - 2023/01/12(Thu) 13:02:17

★ 数列数学的帰納法 / Nao

引用

添付の解説で理解できない点があります。
黄色下線部分の式の展開において、”≧“となっていますが、前の式では赤丸をつけた部分が”>“であるため、展開後の式では左右の式がイコールとなることはなく、不等号は“≧”となるべきだと思うのですが、なぜ“≧”となるのでしょうか？

No.84500 - 2023/01/07(Sat) 01:13:49

☆ Re: 数列数学的帰納法 / 山田山

引用

赤丸のひとつ上の行で
{2k+1/k+1}-{2(k+1)/k+2}>0
と示されているからでは無いでしょうか？

No.84501 - 2023/01/07(Sat) 02:15:25

☆ Re: 数列数学的帰納法 / IT

引用

>展開後の式では左右の式がイコールとなることはなく、不等号は“＞”となるべきだと思うのですが、なぜ“≧”となるのでしょうか？

という質問ですよね？

まず、例えば３＞２も３≧２も正しい不等式です。
a＞bならばa≧b です。

これを理解したうえで。

本問の場合は、
1+1/2+...+1/(k+1)≧(2k+1)/(k+1)＞2(k+1)/(k+2)
よって、1+1/2+...+1/(k+1)＞2(k+1)/(k+2)
したがって、1+1/2+...+1/(k+1)≧2(k+1)/(k+2)
最後のこの形が示したい不等式だからこう書いてあるのです。

ただ、私は「すなわち」でつなぐのは違和感がありますが。

No.84503 - 2023/01/07(Sat) 09:50:56

☆ Re: 数列数学的帰納法 / Nao

引用

なるほど！
理解できました！
ありがとうございました。

No.84512 - 2023/01/07(Sat) 22:27:02

★ 高校数学:関数 / 山田山

引用

?Aをtの関数としたとき、x=0の時最大値を取る理由が分かりません。解説をお願いします。

No.84494 - 2023/01/06(Fri) 20:26:32

☆ Re: 高校数学:関数 / X

引用

添付写真の
〇2(〇の中に2)の式
の二行下の行の下線部がその理由です。

この下線部の内容のようになる理由が分からない、
ということでしょうか？

No.84495 - 2023/01/06(Fri) 20:36:28

☆ Re: 高校数学:関数 / 山田山

引用

基本最大•最小は定義域と軸、定義域の中点によって判別されると思います。今回は”減少関数”なので定義域と軸の関係で大丈夫ですが、a<0という理由のみで判別の記述がなされていませんでした。その注釈と理由を教えて頂けると助かります。よろしくお願いします。長文失礼します。

No.84496 - 2023/01/06(Fri) 20:57:12

☆ Re: 高校数学:関数 / X

引用

この解説では減少関数であるかどうかの判定に
軸の位置関係を使っていないようです。

0≦tより
-2t^2はtの減少関数
更にa＜0より
atもtの減少関数
∴これらと定数関数である
8
との和である問題の関数もtの減少関数です。

No.84502 - 2023/01/07(Sat) 06:45:24

☆ Re: 高校数学:関数 / 山田山

引用

ご回答ありがとうございました。

No.84505 - 2023/01/07(Sat) 14:15:44

★ 数3　微積分 / 吉田　

引用

またお世話になります。微分積分の記号についてです。
問題を解いていると, 置換積分の時に x = t^2 - 1 と置換して dx/dt = 2t から, dx = 2t dt という記述を見ました。
dx/dt などは記号ではなく, dx = 微小なxの変化, dt = 微小なtの変化などの意味のある値が与えられていて, 実際の分数として扱えるということですか？
それとも逆関数の微分, 合成関数の微分などから, 分数的性質を満たすと考えられ, ”分数のように”扱われているだけですか？
dx/dy や∫f(x)dx などのこれらの記号は, 記号ではなく実際に文字として扱えるのはどうしてでしょうか。
どなたか解説していただきたいです。

No.84488 - 2023/01/05(Thu) 11:28:39

☆ Re: 数3　微積分 / 黄桃

引用

解説するにはそれこそ17世紀以降の微分と積分の歴史を説明することになり、とても無理です。

物理屋さんなら、「その通り。 dt とか dx とかはΔt, Δx と読みかえて「とても小さな量」とみなしていればOK」というでしょう。

y=f(x)の時、xがΔxだけ変化するとyはΔyだけ変化する、その割合を Δy/Δx という、としても高校で扱う内容ならほぼ問題ないです。
Δxが非常に小さければ、実用上はそのままで問題ありません（実生活では、有効数字なんて3桁もあれば十分でしょう）。
具体的にいくつかの関数で電卓で計算してみれば、納得できるでしょう。

積分もそうでy=f(x)と、x軸、x=a、x=b、で囲まれる部分の面積∫[a,b]f(x)dx もxの刻み幅Δxを非常に小さくしてx,x+Δx,f(x+Δx),f(x)が作る長方形の面積を足し合わせれば、実用上は求まるでしょう。
（∫[a,b]f(x)dx＝Σ_[x=a,b] f(x)*Δx; ここで　xは a, a+Δx, a+2*Δx, ...., でbの直前までをとる）
いろいろな記号も、こうした過程で考え出され、使われてきました。

扱う対象（関数）が増えていくうちに、直観では簡単にわからないようなことも出てくることになり、数学では、これまでの考え方を抽象化（一般化）し、厳密に定義しなおしました。下で質問されている極限もその１つです。
もちろん、それまでに直観的に導かれる現象はすべて理論的に裏付けができるような定義にしたのです。
なので、数学で使うこれらの記号（というか記法＝書き方）は、直観的なΔxではなく、厳密な定義としての記号として使っています。だから、高校数学の教科書では dy/dx とか　∫* dx という形でしか出てきません。

ですが、古典的な直観のイメージなしに、厳密な定義をみてもまったく意味がわからないでしょうから、高校ではまず古典的な直観に基づいた微積分を習っていて、記号の厳密な意味は説明していません。

というわけで、高校の微積分の内容は、記法だけは厳密厳格なのに、説明は古典的直観的アプローチという中途半端な状態になってます。
これは本来は厳密な理論があるんだけど、高校では教えられない、どうしよう、という妥協の産物なのかもしれません。

No.84492 - 2023/01/06(Fri) 08:00:22

★ 高校数学　極限 / 吉田

引用

極限を習ったのですが、例えば
lim_[x->0] x = 0という式の0は、実際に本当の0なのか、それとも0に限りなく近い正の実数なのかどちらでしょうか。
lim_[x->0]という記号の意味としてはｘを限りなく0に近づけるということですから、x /= 0 ですよね？仮に本当の0なのであれば、 f(x) = x の関数は
x = 0の時にしか f(x) = 0を取りませんから、矛盾していると思うのですが。一体どういうことなんでしょうか。どなたか説明していただきたいです。

No.84477 - 2023/01/04(Wed) 14:35:27

☆ Re: 高校数学　極限 / らすかる

引用

lim[x→0]f(x) というのは
「xを限りなく0に近づけていったときにf(x)がとる値」ではなく、
「xを限りなく0に近づけていったときにf(x)がどんな値に近づくか、その近づく先の値」
という意味です。ですからf(x)がその値をとらなくても問題ありませんし、f(0)が定義されている必要もありません。
よってlim[x→0]xは
「xを限りなく0に近づけていったとき、xはどのような値に近づくか」の答えですから、(ピッタリ)0となります。

No.84478 - 2023/01/04(Wed) 14:55:18

☆ Re: 高校数学　極限 / IT

引用

横から失礼します。高校数学の範囲で説明すると　らすかるさんの回答のとおりだと思います。
＞極限を習ったのですが、
高等学校数学２（あるいは、数学３）の教科書に（高校数学なりの）定義が書いてないですか？
まず最初に教科書で確認すべきと思います。

数研出版　高等学校数学２には
「一般に、関数ｆ(x)において、xがaと異なる値をとりながら、aに限りなく近づくとき、ｆ(x)の値が一定の値αに限りなく近づくならば、
αをxがaに限りなく近づくときの関数ｆ(x)の極限値という。
このことを、次のように書く。
　lim[x→a]f(x)＝α　あるいは　x→aのときf(x)→α」
とあります。

＃「aと異なる値をとりながら」にはアンダーライン
＃「極限値」は、太字

No.84484 - 2023/01/04(Wed) 19:43:33

☆ Re: 高校数学　極限 / ポテトフライ

引用

らすかるさんやITさんの話は高校数学的な極限の定義です。間違ってるとは言わないが、多くの「誤魔化し」を含んでいる書き方になってしまっているのが事実です。（しかし、正確な記述をするには準備が必須であり、高校内容ではこれが限界ということも認識している）
おそらく吉田さんはこの「誤魔化し」の部分が腑に落ちないということだと思います。

現代数学（大学以上の話）では極限は「イプシロンデルタ論法」と呼ばれるものを用いて定義されます。

探せばいくらでも出てきますが、私個人としては

黒田紘敏先生（北海道大学）
http://www7b.biglobe.ne.jp/~h-kuroda/pdf/text_calculus.pdf
35頁数列の極限の定義

がおすすめです。無料で公開されているものでこれ以上に丁寧で、気持ちに踏み込んで書かれているものはないと思います。

追記
ヨッシーさんありがとうございます。URL編集しました

No.84485 - 2023/01/04(Wed) 21:11:33

☆ Re: 高校数学　極限 / ヨッシー

引用

http://www7b.biglobe.ne.jp/~h-kuroda/pdf/text_calculus.pdf
こちらですね。

No.84486 - 2023/01/05(Thu) 09:05:20

☆ Re: 高校数学　極限 / 吉田

引用

沢山の方々、回答ありがとうございます。

らすかるさん
＞「xを限りなく0に近づけていったときにf(x)がどんな値に近づくか、その近づく先の値」
なるほど。どのような値にたどり着くのか？という話で、f(x)がその値をとる必要はないという事ですね。

ＩＴさん
＞まず最初に教科書で確認すべきと思います。
確認したつもりだったのですが、問題を解いているうちに段々とよく分からなくなってしまったようです。

ヨッシーさん、ポテトフライさん
イプシロンデルタ論法調べてみました。任意の正の数εを考えることでことで、「限りなく近づける」を数学的に明確にしているんですね。

丁寧に対応してくださり、ありがとうございました。

No.84487 - 2023/01/05(Thu) 11:12:07

★ 「あまり」を求める時 / √

引用

教えて下さい。
基本的なことが分からなくなってしまいました。

（７ｘ７）／（３ｘ７）＝（４９）／（２１）
右辺を割り算すると
「２」あまり【７】になります。

では、同様に
（７ｘ７）／（３ｘ７）の計算をするときに
分子の７と分母の７を約分すると
７／３になります。
これを、割り算すると
「２」あまり【１】になります。

「商」の値は同じになりますが、
「あまり」の値が異なってしまいます。

「あまり」を求める問題だとしたら
途中で約分してはイケナイということですよね？

No.84476 - 2023/01/04(Wed) 14:12:02

☆ Re: 「あまり」を求める時 / らすかる

引用

その通りです。
割る前に被除数と除数をnで割った場合、余りもnで割った値になります。
a÷bの商がc、余りがdならばa=b×c+dであり
両辺にnを掛けるとan=bn×c+dnとなり、この意味は
an÷bnの商がc、余りがdnですから、
被除数と除数をk倍すれば余りもk倍になりますね。
（上の議論ではk=1/7）

No.84480 - 2023/01/04(Wed) 15:01:13

☆ Re: 「あまり」を求める時 / √

引用

らすかるさん
有難うございました。

商を「帯分数」や「小数」で
表すのなら良いけど、
「余りを求めよ」の時は要注意なのですね。

時々、算数をやると、引っかかります。

No.84482 - 2023/01/04(Wed) 15:34:33

★ 複素関数 / エフゼット

引用

こちらの問題が分かりません。
どなたかご教授お願いしたいです。
よろしくお願いします。

No.84472 - 2023/01/02(Mon) 20:27:26

☆ Re: 複素関数 / X

引用

前半)
条件からf(z)の極について
z^4+1=0
これより
z=e^(iπ/4),e^{i(π/4+π/2)},e^{i(π/4+π)},e^{i(π/4+3π/2)}
後はこれらを複素平面上にCと共に図示します。

後半)
前半の結果を使って留数の定義に従って計算します。

No.84474 - 2023/01/02(Mon) 21:02:51

☆ Re: 複素関数 / X

引用

ごめんなさい。No.84474に誤記がありましたので
修正しました。再度ご覧下さい。

No.84475 - 2023/01/03(Tue) 21:17:15

☆ Re: 複素関数 / エフゼット

引用

X様
度々ご返信ありがとうございます。
修正版はどうやって見ることができますか？

No.84479 - 2023/01/04(Wed) 14:56:01

☆ Re: 複素関数 / らすかる

引用

「修正した」とのことですから、今見えているのが修正版ですね。

No.84481 - 2023/01/04(Wed) 15:05:09

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