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ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

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質問される方は学年(質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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(No Subject) / オッドタクシー
y=ax^2+bx+cとy=dx^2+ex+fの二つの交点を通る直線の方程式を交点の座標を求めずに出す方法を教えていただきたいです。
No.82260 - 2022/06/01(Wed) 14:04:25

Re: / ヨッシー
2つの式は、
 ax^2+bx+c-y=0 ・・・(i)
 dx^2+ex+f-y=0 ・・・(ii)
と表せますが、
 ax^2+bx+c-y+k(dx^2+ex+f-y)=0 ・・・(iii)
(i) も (ii) も満たす(x, y)、つまり両グラフの交点は
(iii) を満たします。
x^2 の項が消えるように k を決めると、直線の式になります。

No.82261 - 2022/06/01(Wed) 14:26:16
偏微分 / 0
(a, b, a^2+b^2)での接平面の公式をS, Tとも立てて、それを連立して共通の接平面が2(z-x+y+1)=c となるところまではやったのですが、ここから具体値が求まりません。何か式を忘れているのでしょうか?ご教授お願いします。
No.82252 - 2022/05/31(Tue) 10:18:21

Re: 偏微分 / らすかる
2(z-x+y+1)=c は
2(z-x-y+1)=c の間違いだと思いますが、
z=x^2+y^2をこの式に代入して整理すると
(2x-1)^2+(2y-1)^2=2c-2
となることから、接点のx,y座標は1/2,1/2、c=1とわかりますね。

No.82253 - 2022/05/31(Tue) 13:04:53
(No Subject) / 46
y=(1/2)x^2とy=-2(1-a)/3 •x+1/3-2/3 •a^2が異なる2点で交わるとき、この放物線と直線で囲まれる部分の面積の最大値を求めよ
No.82251 - 2022/05/31(Tue) 10:16:31

Re: / 関数電卓
取りあえず図を。a を k と書き換えました。
No.82257 - 2022/05/31(Tue) 22:46:08

Re: / 関数電卓
略解を途中まで。
 y=(1/2)x^2 …(1)
 y=2(k−1)/3・x−(2k^2−1)/3 …(2)
(1)(2)が2交点をもち,囲まれる領域をもつとき,交点の x 座標をα, β (α<β) とすると
α,βは(1)(2)から y を消去し整理した
 3x^2−4(k−1)x+2(2k^2−1)=0 …(3)
の2解。
また,(1)(2)で囲まれた領域の面積 S(k) は
 S(k)=−(1/2)∫[α,β](x−α)(x−β)dx=(1/12)(β−α)^3
(3)を解くことにより,β−α=(2/3)√(−8k^2−8k+10)
S(k) の最大値を与える k は −8k^2−8k+10 の最大値を与え,それは
 −8k^2−8k+10=−8(k+1/2)^2+12
より,k=−1/2
あとは,自分でやって下さい。

No.82259 - 2022/05/31(Tue) 23:15:25
(No Subject) / あああああ
xyのxの偏微分がyになるという内容が
ある書籍に記載されていたのですが、
偏微分の場合yを定数として扱うので1になるのではないかと思い質問します。
(ちなみx+yのxの偏微分は1と記載されておりました)

No.82249 - 2022/05/31(Tue) 08:56:09

Re: / らすかる
2xの(xでの)偏微分は2
3xの偏微分は3のように
(定数)×xの偏微分は(定数)ですから、
y×xの偏微分はyになりますね。

No.82250 - 2022/05/31(Tue) 09:38:26
学校でやらされた問題なんですけど... / なちょ
素数pと正の整数aに対し、(ap)_C_p - aはp^2で割り切れることを示せ。

この問題を数学の先生が、余力のある人は考えてみろって出してくれたんですけどCの式変形だけして全く止まったので取っ掛りだけでも教えて欲しいです。

No.82246 - 2022/05/30(Mon) 20:25:25

Re: 学校でやらされた問題なんですけど... / IT
概略

与式 = (a/(p-1)!)((ap-1)(ap-2)(ap-3)...(ap-p+1))-(p-1)!)

なのでA=(ap-1)(ap-2)(ap-3)...(ap-p+1))-(p-1)!がp^2で割り切れることを示せば良い
a=b+1 とおくと #この置き換えは不要でした#
A=(bp+(p-1))(bp+(p-2))(bp+(p-3))...(bp+1)-(p-1)!

これを展開して考える.
1つめの積ですべてが第2項目を取ると(p-1)!となり-(p-1)!で消えます。

残りの積の和を考えます。
bpが2つ以上の積はp^2 で割り切れますから
各因子からbp を1つだけ取り出して掛けた積の和がどうなるかを調べます。

No.82247 - 2022/05/30(Mon) 21:39:10

Re: 学校でやらされた問題なんですけど... / IT
各因子からbp を1つだけ取り出して掛けた積の和は
bp(p-1)!(1/(p-1)+1/(p-2)+1/(p-3)+...+1/2+1/1)
(pが奇数のとき)折り返したペアを考えると   #p=2 のときは別に証明する。 
=bp(p-1)!(1/(p-1)+1/1+1/(p-2)+1/2+1/(p-3)+1/3...)
=bp(p-1)!(p/((p-1)1)+p/((p-2)2)+p/((p-3)3)+...)
=(p^2)b{(p-1)!(1/(p-1)+1/((p-2)2)+1/((p-3)3)+...)}

#p^2 が括り出せた。

p は素数なので・・・
・・・

もう少し説明(p が素数であることから云えることなど)が必要です。
計算ミス、記入ミスがあるかも知れません。ご自分で確認してください。

No.82248 - 2022/05/30(Mon) 22:10:42

Re: 学校でやらされた問題なんですけど... / なちょ
ありがとうございます。参考にしてみてもう一度自分の答案を作り直して見ようと思います。
No.82256 - 2022/05/31(Tue) 19:39:56

Re: 学校でやらされた問題なんですけど... / 黄桃
ITさんのと同じことですが、そのまま利用すると、
f(x)=(x-1)(x-2)...(x-(p-1))
とおけば、
f(ap)-f(0)≡0 mod p^2
をいえばよい。それには、f(x)を展開した時の1次の係数がpで割り切れることをいえばよい(*)。
p=2は別に証明しておき、pは奇素数とします。
xの係数はΣ_[k=1,p-1] -(p-1)!/k =-(p-1)! Σ_[k=1,p-1] 1/k であり、
l:kのmod pでの逆数とすれば、lとkは1対1に対応するから、mod pで
Σ_[k=1,p-1] 1/k≡Σ_[l=1,p-1] l =(1/2)p(p-1)
pは奇素数だから、これはpの倍数。

#高校数学の範囲で(*)を次のように示したら、点数をもらえるのだろうか?
#係数をmod pで考える多項式として考える。
#g(x)=x^(p-1)-1 とおけば、フェルマーの小定理より g(1)=...=g(p-1)=0 だから、
#g(x)はf(x)で割り切れる(??)。
#f(x)とg(x)は次数も最高次係数も等しいから、
#係数をmod pで考える多項式として、f(x)=g(x)。
#特に、f(x)の1次の係数はpで割り切れる。

##(??)の部分は、実数係数多項式の場合の類推っぽいので、
##係数をmod pで考える多項式でも成立することを認めてよいかどうか。
##大学数学の言葉と定理を使えばちゃんとした証明にできるが、このままだとどうか。

No.82258 - 2022/05/31(Tue) 22:57:20
2次不等式の解について / まぐねしうむ
この画像についてなのですが、いまいち納得がいかず質問させていただきます。
数1の問題です。

この(2)a=1のとき解なし になる理由を教えてください。

➀の不等式でa=1であれば(x−1)の2乗になってx<1になるのではないでしょうか。

基礎の基礎でひっかかっていてすみません。どうかわかりやすくご教示ください。

No.82243 - 2022/05/30(Mon) 18:54:52

Re: 2次不等式の解について / IT

> この(2)a=1のとき解なし になる理由を教えてください。
>
> ➀の不等式でa=1であれば(x−1)の2乗になってx<1になるのではないでしょうか。

a=1とします。
たとえば x=0 のとき
 (x−1)の2乗は、いくらですか?
 問題の不等式は成立しますか?

No.82244 - 2022/05/30(Mon) 19:03:13

Re: 2次不等式の解について / まぐねしうむ

> a=1とします。
> たとえば x=0 のとき
>  (x−1)の2乗は、いくらですか?
>  問題の不等式は成立しますか?


あ、理解しました。すみません、ありがとうございました。

No.82245 - 2022/05/30(Mon) 19:11:21
円柱の斜め切断の切り口 / たか
半径r、高さhの円柱をちょうど斜めに2分割した時、
切った円柱の側面を展開したときに、切り口はどのような曲線になっているか
という質問です。

切り口は楕円である。
楕円の方程式が(x^2)/((r^2)+(h^2)/4) + (y^2)/(r^2) = 1

媒介変数を使って
x = r・cosθ
y = (((r^2)+(h^2)/4)^(1/2))・sinθ

切断面の平面の方程式は
z = (-tanθ)x + 1 …?@

tanθ= h/2r, x = r・cosθを ?@式に代入して、
z = (-h/2r)・r・cosθ + 1
と考えたのです。

斜め45度で切ったものはありましたが、今回は高さがh、直径が2rなので、tanθ= h/2rで考えればいいと思ったのですが、どうしても計算が合いません。
原点と2rで0になるようなサインカーブを期待したのですが、なぜかなりません。

No.82236 - 2022/05/30(Mon) 14:21:01

Re: 円柱の斜め切断の切り口 / らすかる
> 媒介変数を使って
> x = r・cosθ
> y = (((r^2)+(h^2)/4)^(1/2))・sinθ


これを楕円の方程式に代入しても成り立たないと思います。

> z = (-tanθ)x + 1 …?@

この「1」とは何ですか?

No.82239 - 2022/05/30(Mon) 16:02:32

Re: 円柱の斜め切断の切り口 / たか
すいません。

> z = (-tanθ)x + 1 …?@

は、確かめてみたら間違っていました。
立式ができず訳が分からなくなりました。

No.82240 - 2022/05/30(Mon) 16:53:29

Re: 円柱の斜め切断の切り口 / ヨッシー

図のように、上から見た図において、角度θの点を考えると、
この点のx座標は
 x=rcosθ
これを、下の側面図に当てはめると
 y=(h/2r)x=(h/2)cosθ
最終的には、yとt(=rθ)
との関係式を求めます。

No.82241 - 2022/05/30(Mon) 17:14:13

Re: 円柱の斜め切断の切り口 / X
横から失礼します。

>>たかさんへ
問題の楕円において、底面に平行な軸をx軸に
取っていますので、切断面の方程式を
> z = (-tanθ)x + 1
のようにzをxの式で表すのは明らかに誤りです。
又、添付写真の展開図の概形の横方向の目盛りですが
左から0,πr,2πr
であり、rが抜けています。

更に媒介変数と、切断面の底面に対する仰角を
同じθで表しているなど、変数の取り方が
ごちゃごちゃになっていますので、
以下のように最初から仕切り直して考えてみます。

円柱の底面上(切断面上ではありません)に、
切断面の楕円の水平方向の軸と平行
になるようにx軸を取り、対応するように
y軸をを取ります。
但し、底面の円の中心を原点とします。

このx,y軸に対してz軸を原点がx,y軸のそれと
一致するように上向きに取ります。
このとき、x,y軸を極座標に変換すると
円柱の側面上の点のx,y座標に対し
x=rcosθ (A)
y=rsinθ (B)
(但し、π/2≦θ≦π/2+2πとします。)
又、切断面の底面に対する仰角をΘ(0≦Θ<π/2)
とすると
z=-ytanΘ+h/2 (C)
tanΘ=h/(2r) (D)
更に側面の円周方向に点(0,1,0)を原点として
θが増加する向きにt軸を取ると
t=r(θ-π/2) (E)
(A)(D)(E)を用いて(C)からΘ,xを消去すると
z=(h/2){1-cos(t/r)}
となり、添付写真の展開図のような概形を
得ます。

No.82242 - 2022/05/30(Mon) 18:18:16

Re: 円柱の斜め切断の切り口 / たか
Xさんのおっしゃることを、横から見た図と上から見た図と斜め上から見た図、そして座標軸を設定するとわかりました。
ありがとうございます。

No.82255 - 2022/05/31(Tue) 17:40:24
級数の証明 / YUKI
wolframのデフォルトで見れるこのシグマの式の証明を教えていただけないでしょうか?

何卒よろしくお願いいたします。

No.82233 - 2022/05/29(Sun) 14:40:01

Re: 級数の証明 / _
1-i=√2(cos(-π/4)+isin(-π/4))ゆえ
(1-i)/√2=cos(-π/4)+isin(-π/4)
ドモアブルの定理を用いて
f(k)=((1-i)/√2)^2k=cos(-kπ/2)+isin(-kπ/2)
=-i(k=1,5,9,…)
-1(k=2,6,10,…)
i(k=3,7,11,…)
1(k=4,8,12,…)

k=2017までの和は2016までの和+f(2017)
2016までの和は0でf(2017)=-iなので等式は成り立つ

No.82234 - 2022/05/29(Sun) 15:51:24

Re: 級数の証明 / YUKI
ありがとうございます!!
No.82235 - 2022/05/29(Sun) 16:57:48
ベクトル解析 / 大学生
次のスカラー場の勾配φを求めよという問題がわからないので解答を教えてください
φ=(x^3)(y^2)+x(y^3)(z^2)
φ=cos(xy)+xe^(yz)
φ=(x^2)z+e^(y/z)
φ=(2y)z^2−x(y^2)

No.82231 - 2022/05/29(Sun) 10:54:23

Re: ベクトル解析 / X
一問目だけ解くので、参考にして残りはご自分でどうぞ。

以下x,y,z軸方向の正の向きの単位ベクトルを
それぞれ
↑i,↑j,↑k
とします。

gradφ={(∂/∂x){(x^3)(y^2)+x(y^3)(z^2)}}↑i+{(∂/∂y){(x^3)(y^2)+x(y^3)(z^2)}}↑j
+{(∂/∂z){(x^3)(y^2)+x(y^3)(z^2)}}↑k
={(3x^2)(y^2)+(y^3)(z^2)}↑i+{(2x^3)y+3x(y^2)(z^2)}↑j+{2x(y^3)z}↑k

No.82232 - 2022/05/29(Sun) 11:30:32
(No Subject) / えな
この写真の問題3問ありますが、どうしても分かりません。解き方を教えて欲しいです。
No.82226 - 2022/05/28(Sat) 21:47:41

Re: / えな
> この写真の問題3問ありますが、どうしても分かりません。解き方を教えて欲しいです。
大学3年、情報理論と確率論の問題です。

No.82227 - 2022/05/28(Sat) 21:48:53

Re: 情報理論と確率論 / えな
件名を入力し忘れてました!ごめんなさい!
No.82228 - 2022/05/28(Sat) 21:53:17

Re: / IT
問題の意味(各用語の定義)が分かれば、ほとんど解けるのでは? テキストに各用語の定義が書いてないですか?
No.82230 - 2022/05/29(Sun) 08:01:09
曲線の弧長 / あお
大学3年です
s = √2(e^t - e^-t) というのは出ていて
そこからtをsで表す手順が分からないので教えて頂きたいです.

No.82223 - 2022/05/28(Sat) 12:22:26

Re: 曲線の弧長 / IT
e^t=x とおいてみると分かり易いのでは?
No.82224 - 2022/05/28(Sat) 12:36:03

Re: 曲線の弧長 / あお
ありがとうございます。解けました。
No.82225 - 2022/05/28(Sat) 13:02:55
円柱の展開図の側面の長さ計算について / ふぶ
小学5年です。円柱の展開図を書く問題です。
円柱の展開図の側面の横の長さを求める計算において、答えが12.56cmで定規で測れない場合、書ける長さをどう求めるのでしょうか。
解答が12.6cmだったり、13cmだったりバラバラでした。
どちらでも正解になるのでしょうか。

No.82219 - 2022/05/27(Fri) 20:04:51

Re: 円柱の展開図の側面の長さ計算について / X
得られた横の長さの数字をどこで四捨五入するかによります。

質問内容から、問題となっている円柱の底面の半径が
恐らく2cmであると思いますが、
円周率を3.14として計算した結果を
そのまま使うのであれば
12.56cm
小数点第2位で四捨五入するのであれば
12.6cm
小数点第1位で四捨五入するのであれば
13cm
がそれぞれ正解になります。

問題に四捨五入の指定がないのであれば
12.56cm
を答えとするのが無難だと思います。

No.82220 - 2022/05/27(Fri) 20:20:08

Re: 円柱の展開図の側面の長さ計算について / ふぶ
> 得られた横の長さの数字をどこで四捨五入するかによります。
>
> 質問内容から、問題となっている円柱の底面の半径が
> 恐らく2cmであると思いますが、
> 円周率を3.14として計算した結果を
> そのまま使うのであれば
> 12.56cm
> 小数点第2位で四捨五入するのであれば
> 12.6cm
> 小数点第1位で四捨五入するのであれば
> 13cm
> がそれぞれ正解になります。
>
> 問題に四捨五入の指定がないのであれば
> 12.56cm
> を答えとするのが無難だと思います。


返信ありがとうございます。
四捨五入指定なしで、実際に展開図を書く際には、定規で測れる12.6cmで書き、辺の下に12.56cmと書く形が無難でしょうか。

No.82237 - 2022/05/30(Mon) 14:55:34

Re: 円柱の展開図の側面の長さ計算について / X
ごめんなさい。スレが流れていて見逃していました。

もう見ていないかもしれませんが、回答を。
定規にこだわらず12.56cmで問題ないと思います。

>>定規で測れる〜
とありますが、どのような定規を使うかで
測れる最小の長さも異なりますので、
定規を基準に考えるのは意味がありません。

No.82473 - 2022/06/19(Sun) 20:34:06
数列の発散をε-N論法を用いて示す問題です / ユキオトコ

数列(a_n)がa_n→∞(n→∞)をみたすとき、次を示す。

(na_1+(n-1)a_2+…+2a_(n-1)+1a_n) 2/n(n-1) → ∞ (n→∞)

自分で考えてわからなくなったところを下に書きます
(細かい説明は割愛しますがご容赦ください)

(与式) = (na_1+(n-1)a_2+…+(n+1-N)a_N) 2/n(n-1) + (a_n+2a_(n-1)+…+(n-N)a_(N+1))
= A_n + B_n
A_nについて
任意の正の数Mに対してA_n>Mを示す。(ここがわかりません)
B_nについて
ここは大丈夫です。

No.82217 - 2022/05/27(Fri) 18:12:10

Re: 数列の発散をε-N論法を用いて示す問題です / GM
条件より任意の正の数εに対して十分大きなNでN<nとなるnでa_n>ε
N≧nのnで最も小さいa_nをαとする

na_1+(n-1)a_2+………………………………………+2a_(n-1)+1a_n
=na_1+(n-1)a_2+…+(n+1-N)a_N+(n-N)a_(N+1)+…+2a_(n-1)+1a_n
>(n + n-1 + …… + n+1-N)α+(n-N + n-N-1 + … + 2 + 1)ε
2つのかっこの中はそれぞれnからn+1-Nまでの和と
n-Nから1までの和になっているので
=N(2n+1-N)α/2+…+(n-N)(n-N+1)ε/2
ここでnをNに対して十分大きくとればεの係数のところのnの次数が2であることと
与式の分母のnの次数が2であることを合わせると
与式>定数×εとすることができ題意が示せます

No.82254 - 2022/05/31(Tue) 14:52:29
式の計算 / みほ
中学1年生です。
解説がないため、どうやって解けばいいかわかりません。教えていただきたいです。

答えは 69と87です。

No.82212 - 2022/05/26(Thu) 23:19:53

Re: 式の計算 / ast
[0: 要点] a がふた桁の奇数であるということは, a の十のくらいの数を n, 一の位の数を m とすれば, n=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, m=1,3,5,7,9 のそれぞれ何れかを用いて a=10n+m と書ける, ということです.
[1: 条件] よって, b=10m+n, (a+b)/8 = 11(n+m)/8 となりますから, 不等式 20≤11(n+m)/8≤21 を満たす n,m を上記の中から見つければいい, ということになります.
[2: 方針] 後は調べるだけです. 抜けが無いように n,m を総当たりで調べてもいいと思いますし, あるいは労力を減らすために工夫するなら例えば [1] の不等式を 160/11≤n+m≤168/11 と書き換えると 14 < 160/11 < 15 < 168/11 < 16 なので n+m は 14 より大きく 16 より小さい自然数でないといけないので, n+m=15 となる組合せから探せばよいということになります.

No.82213 - 2022/05/27(Fri) 01:02:10

Re: 式の計算 / みほ
ast様

丁寧に教えていただきありがとうございました!がんばって解いてみます!

No.82214 - 2022/05/27(Fri) 07:32:53
確率漸化式 / イーグルス
n:正の整数
正方形ABCDの頂点上を点Xが、
さいころの出た目が1,2,3の時は出た目の数だけ反時計回りに頂点を移動し、4,5,6の時は移動しない
という規則に従って動く。
初め点Xは頂点Aにある。さいころをn回投げてXが動いた時、Xが頂点Aにいる確率を求めよ

               

No.82208 - 2022/05/26(Thu) 15:51:03

Re: 確率漸化式 / ヨッシー
n回後に点Xが、A,B,C,Dにある確率を a[n], b[n], c[n], d[n] とします。
初期値は a[0]=1, b[0]=c[0]=d[0]=0 です。
A,B,C,Dが時計回りに並んでいるとします。

 a[n+1]=a[n]/2+b[n]/6+c[n]/6+d[n]/6 ・・・(i)
 b[n+1]=a[n]/6+b[n]/2+c[n]/6+d[n]/6 ・・・(ii)
 c[n+1]=a[n]/6+b[n]/6+c[n]/2+d[n]/6 ・・・(iii)
 d[n+1]=a[n]/6+b[n]/6+c[n]/6+d[n]/2 ・・・(iv)

ここで、問題になるのは、Aにいるかどうかなので、b[n]+c[n]+d[n]=e[n] とおくと、
(i) より
 a[n+1]=a[n]/2+e[n]/6
(ii)+(iii)+(iv) より
 e[n+1]=a[n]/2+5e[n]/6
と書けます。

こちらを参照してこれを解くと、
 a[n]={1+(1/3)^(n-1)}/4
となります。

No.82209 - 2022/05/26(Thu) 16:45:47

Re: 確率漸化式 / イーグルス
ありがとうございます。これってXが一度も動かなかった事象も入ってるのでしょうか。
No.82210 - 2022/05/26(Thu) 17:19:23

Re: 確率漸化式 / ヨッシー
入ってますね。
抜く場合は、(1/2)^2 を引きます。ただし n≧1。

No.82211 - 2022/05/26(Thu) 17:36:36

Re: 確率漸化式 / イーグルス
問題文はサイコロをn回投げた時ではなくn回投げてXが動いた時なのですがただ引くだけで大丈夫なのでしょうか。
No.82215 - 2022/05/27(Fri) 08:04:36

Re: 確率漸化式 / ヨッシー
あ、間違いました。
(1/2)^2 ではなく (1/2)^n を引く でした。

サイコロを何回か投げて、n回Xが動いた時
ではなく
サイコロをn回投げて、少なくとも1回はXが動いた時
なので、
1回も動かずにAに留まっている確率 (1/2)^n を引けばいいと考えました。

No.82216 - 2022/05/27(Fri) 16:45:25
統計学度数分布表階級値について / あり
こんにちは。数学ではないのですが、数学に関連したものなので答えていただけると嬉しいです。
階級値は上限プラス下限の割る2という認識なのですが、画像の食品の株価上昇率1段目では下限の値が-2.3858、上限が-1.5917となっております。数値は以上から未満の数値になっていると条件が課されております。上限の未満がどこなのかがわからないため、階級値と下限の値を使って計算したところ、、(下限+上限)÷2=階級値で -2.3858+ X÷2=-3.1834 、 X =-0.7976となってしまい上限の値を超えてしまいました。自分の計算がどこか間違っているのでしょうか、それともこの上限の未満というのは度数分布表を作成するにあたって求める必要がないのでしょうか。
教えていただけると嬉しいです。どうぞよろしくお願いします

No.82205 - 2022/05/26(Thu) 12:29:28

Re: 統計学度数分布表階級値について / らすかる
表を見ると明らかに「階級値は上限プラス下限の割る2」にはなっていませんね。
例えば最下行で(3.3502+0.9623)÷2=2.15625
なので階級値と一致しません。

# そもそも上限は表に出ているのに、何を計算したいのでしょう?

No.82207 - 2022/05/26(Thu) 13:15:18
(No Subject) / あいうえおっくん
ゆる募です。
「空間内の任意の三角形に対して正射影をして正三角形にできるか」
教えてください!

No.82200 - 2022/05/25(Wed) 19:56:12

Re: / らすかる
正三角形にできます。

「空間内の任意の三角形に対して正射影をして正三角形にできる」
⇔「xyz空間上の平面z=0に描かれたある正三角形の頂点のz座標を変えれば
辺の長さの比が1:p:q(1≦p≦q,q-p<1)である三角形が作れる」
が成り立つので
A(0,0,s), B(2,0,t), C(1,√3,0)(s≧0, t≧0)
とおいて(s=t=0のときz=0上の正三角形)
AB:BC:CA=1:p:q(1≦p≦q,q-p<1)としたときにs,tが求まればよい。
AB^2:BC^2:CA^2=4+(s-t)^2:4+t^2:4+s^2から
(4+t^2)/(4+(s-t)^2)=p^2, (4+s^2)/(4+(s-t)^2)=q^2
2式から4+t^2:4+s^2=p^2:q^2なのでs=√{(4+t^2)(q/p)^2-4}
これを(4+t^2)/(4+(s-t)^2)=p^2に代入しsを消去して整理すると
(途中計算は長いので省略)
{2p^2+2q^2-1-(q^2-p^2)^2}(t^2+4)^2-8(p^4+p^2q^2+p^2)(t^2+4)+48p^4=0
これを解いて
t^2=4{{p^2+√(p^4-p^2q^2+q^4-p^2-q^2+1)}^2-q^2}/{{q^2-(p-1)^2}{(p+1)^2-q^2}}
任意のp,q(1≦p≦q,q-p<1)に対して√の中身や右辺が非負となり
t≧0が定まり、s=√{(4+t^2)(q/p)^2-4}の√の中身も非負なのでsも定まる。
よって辺の比が1:p:q(1≦p≦q,q-p<1)である任意の三角形が
正三角形に正射影可能なことが示された。

No.82206 - 2022/05/26(Thu) 13:12:14

Re: / あいうえおっくん
返信ありがとうございます。私もXY平面に正三角形をつくり、z軸を動かして考えていました。どうしても計算が煩雑になってしまうのが悩みです。なにか方法ないですかね?
No.82218 - 2022/05/27(Fri) 18:44:01

Re: / らすかる
では全く別の方法。

・△ABCでBCが最長辺とします。
・△ABCをxy平面上に、△ABCの重心Gが原点、BCがx軸と平行になるように置きます。
・△ABCをy軸中心に適当にk倍に拡大(縮小)すれば
  A→A'、B→B'、C→C'、A'B'=B'C'となるようにできます。
・C'A'の中点をMとし、直線B'M中心に適当にm倍に拡大(縮小)すれば
  A'→A''、C'→C''、A''B'=B'C''=C''A''となるようにできます。
・正三角形A''B'C''の内接円を描きます。
・内接円を直線B'M中心に1/m倍にすると、内接円は△A'B'C'の各辺の
  中点で接する内接楕円になります。
・この内接楕円をy軸中心に1/k倍すると、内接楕円は△ABCの各辺の
  中点で接する内接楕円になります。
・楕円は長軸方向から斜めに見れば真円に見える方向がありますが、
  △ABCの内接楕円が真円に見える方向から見れば
  その真円は△ABCの各辺の中点で接していますので、
  △ABCは正三角形に見えます。
・よってその方向に正射影すれば正三角形になります。

# 原点中心の楕円をy軸中心に拡大(縮小)するとまた楕円になることは、
# 原点中心の楕円の式がax^2+bxy+cy^2=1と表されることから明らかです。

No.82222 - 2022/05/28(Sat) 09:03:04
(No Subject) / コペ隊
a,bを自然数とする。二つの集合A={1,3a+1,2b}, B={a+1, b-1, 2a+2b, 5a+b} に対して、A∩B={4,10}である。このとき、a,b
の値を求めなさい。

この問題でそれぞれa,b2つずつ解が出てきました。(a=1,3 b=5,2)回答に二組書いていいんでしょうか。

No.82196 - 2022/05/25(Wed) 18:36:04

Re: / IT

2組あるのなら、2組とも書かなければいけません。
a,b をペアにして解を記述する必要があります。

No.82197 - 2022/05/25(Wed) 18:59:47
証明 / アジャス
命題「m,nを整数とする時m^2+n^2が奇数ならば、m,nの少なくとも一方は偶数」が真であることを対偶をとることで証明しなさい。

という問題です。対偶のとり方やそれを数値化するのがわからないので、解説お願いします。

No.82194 - 2022/05/25(Wed) 16:57:46

Re: 証明 / ヨッシー
対偶は
「m,nを整数とする時、m,nがともに奇数ならば、m^2+n^2 は偶数である」
です。
ともに奇数なので、整数 s,t に対して
 m=2s+1, n=2t+1
と置けば出来ます。

No.82195 - 2022/05/25(Wed) 17:06:47

Re: 証明 / コペ隊
理解できました。ありがとうございます。
No.82201 - 2022/05/25(Wed) 20:52:37
物理 / おらい
川幅が500mで川岸に沿って右向きに速さ3m/sで水が流れている川がある。この川を、静止している水に対する速さが5m/sの船が渡ろうとしている。このとき、船の船首を上流に傾けて進ませたところ、地面に静止している人には川岸に対して垂直に進んでいるように見えた。船が川を渡るのにかかる時間を答えなさい。

普通に自分で解いたら100sになったのですが答えは恐らく125sです。なぜそうなったのかがわからないので解説お願いします。

No.82187 - 2022/05/25(Wed) 00:33:15

Re: 物理 / ヨッシー

こういうことです。

No.82189 - 2022/05/25(Wed) 06:30:47

Re: 物理 / おらい
なるほど!三平方で求めればいけますね。ありがとうございます!
No.82190 - 2022/05/25(Wed) 07:10:43
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