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ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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★ 明治大学過去問 / Higashino
明治大学過去問

複素数平面

なにとぞよろしくお願いします

以下問題
No.89276 - 2024/11/09(Sat) 15:41:21
☆ Re: 明治大学過去問 / X
z[1]z[2]=-1 (A)
(z[1]^2)/z[2]=i (B)
とします。

(A)×(B)より
z[1]^3=-i
これより
z[1]^3=cos(3π/2)+isin(3π/2)
∴z[1]=cos(π/2)+isin(π/2),cos(π/2+2π/3)+isin(π/2+2π/3)
,cos(π/2+4π/3)+isin(π/2+4π/3)
z[1]=cos(π/2)+isin(π/2),-sin(2π/3)+icos(2π/3)
,-sin(4π/3)+icos(4π/3)
z[1]=i,(-√3-i)/2,(√3-i)/2 (C)
ここで(A)(B)の両辺の絶対値を取ることにより
|z[1]|=|z[2]|=1
更に(A)より
z[2]=-1/z[1]
∴zの共役複素数を\zと書くことにすると、
z[2]=-\z[1] (D)
(C)(D)より
(z[1],z[2])=(i,i),(-(√3+i)/2,(√3-i)/2),((√3-i)/2,-(√3+i)/2)
No.89279 - 2024/11/10(Sun) 17:42:48
☆ Re: 明治大学過去問 / Higashino
x先生、おはようございます

なんだかお久しぶりです

ご回答ありがとうございました

先生の考え方の方がずっとスマートなのですが

私なりの答案も作成しましたので

ご指摘アドバイスいただけると幸いです


以下答案
No.89280 - 2024/11/11(Mon) 09:55:30
☆ Re: 明治大学過去問 / Higashino
いただいた回答で
質問があります

教えてください

>zの共役複素数を\zと書くことにすると、
z[2]=-\z[1] (D)

z[2]=a+bi と置くと z[1]はどのように表されるのでしょうか？

教えてください

何卒よろしくお願いいたします
No.89282 - 2024/11/11(Mon) 10:56:42
☆ Re: 明治大学過去問 / らすかる
・zの共役複素数を\zと書く
・z[2]=-\z[1]
としたとき
z[2]=a+bi ならば
-\z[1]=a+bi
\z[1]=-a-bi
z[1]=-a+bi
のようになると思います。
No.89284 - 2024/11/11(Mon) 13:10:12
☆ Re: 明治大学過去問 / Higashino
ラスカル先生

ご回答ありがとうございます

的外れな質問かもしれませんが

z[1],z[2]は共役な関係なんでしょうか？

なにとぞよろしくお願いします
No.89286 - 2024/11/11(Mon) 16:48:29
☆ Re: 明治大学過去問 / らすかる
z[1]と-z[2]が共役ですから、z[1]とz[2]は共役ではありません。
No.89287 - 2024/11/11(Mon) 17:58:40
☆ Re: 明治大学過去問 / X
No.89280の添付写真について。

方針の流れに問題は無いのですが
指数の比較で、〇A"と〇B"を導く点について。
〇A"と〇B"の右辺の第二項ですが、パラメータは
独立していますので、一方を
2nπ
とするのであれば、他方は例えば
2mπ(mは整数)
とする必要があります。
No.89288 - 2024/11/11(Mon) 19:11:11
☆ Re: 明治大学過去問 / Higashino
ラスカル先生
おはようございます

教えてもらいたいことがありますのでよろしくお願いいたします

いただいた回答で

>z[1]と-z[2]が共役

とあるのですが　条件から　z[1]と-z[2]が共役までの過程を教えてください

全く理解できませんので、詳しく教えていただけると幸いです

お忙しいところ申し訳ありませんが

何卒よろしくお願いいたします
No.89289 - 2024/11/12(Tue) 05:23:30
☆ Re: 明治大学過去問 / Higashino
x先生
おはようございます

貴重なご指摘ありがとうございました

こうやってご指摘いただける事は本当に嬉しいです

これからも何卒よろしくお願いいたします

今回はありがとうございました
No.89290 - 2024/11/12(Tue) 05:25:07
☆ Re: 明治大学過去問 / らすかる
> いただいた回答で
> >z[1]と-z[2]が共役
> とあるのですが　条件から　z[1]と-z[2]が共役までの過程を教えてください
> 全く理解できませんので、詳しく教えていただけると幸いです

Xさんの回答にある通り
> z[1]z[2]=-1 (A)
> (z[1]^2)/z[2]=i (B)
> ここで(A)(B)の両辺の絶対値を取ることにより
> |z[1]|=|z[2]|=1
> 更に(A)より
> z[2]=-1/z[1]
> ∴zの共役複素数を\zと書くことにすると、
> z[2]=-\z[1] (D)
ですが、この中でどこがわかりませんか？
No.89297 - 2024/11/12(Tue) 11:28:44
☆ Re: 明治大学過去問 / Higashino
ラスカル先生、こんにちは

解決しました

念のため確かめてもらえると幸いです

以下答案
No.89298 - 2024/11/12(Tue) 14:57:38
☆ Re: 明治大学過去問 / らすかる
# ○にA,B,Cは書けませんのでＡ,Ｂ,Ｃと書きます。

・「a=0,b=1」と「a≠0,b≠1」という場合分けはすべての場合を尽くしていませんので問題があると思います。
（というか、その場合分けは不要では？）

・(1±3)/4 と (1-3)/4 をイコールで結ぶのは問題があると思います。（後に∵b≠1と書いてあるから良いということにはなりません）

・故にの後にＣは書かない方が良いと思います。

・あと、z1をzと書き間違えている箇所が多数あります。

z1=a+biとおいて解答を作るなら
ＣをＢに代入してa^2-b^2+b+a(2b+1)i=0
∴a^2-b^2+b=0…(1), a(2b+1)=0…(2)
(2)から a=0 または b=-1/2
a=0 のとき (1)に代入してb=0,1だがb=0はz1z2=-1を満たさず不適なのでb=1
b=-1/2 のとき（以下略）
のように進めた方が簡単かと思います。
No.89300 - 2024/11/12(Tue) 15:59:00
☆ Re: 明治大学過去問 / Higashino
ラスカル先生、こんばんは
　
返信が遅くなり申し訳ございませんでした

ありがとうございます

ご指摘は本当に嬉しいことです

先生の言われる通り　もう一度書き直します

その際は再度またご指摘ください

何卒よろしくお願いいたします
No.89301 - 2024/11/13(Wed) 00:12:42
☆ Re: 明治大学過去問 / Higashino
ラスカル先生、おはようございます

先生の言われた通りにやってみたら　計算がずいぶん楽になりました

ありがとうございます

まだ答案に不安がありますので、ご指摘いただければ幸いです

以下答案
No.89302 - 2024/11/13(Wed) 05:03:14
☆ Re: 明治大学過去問 / らすかる
b=-1/2のときにa^2+b^2-1=0を使って出したaの値は○１に代入して確認する必要があります。
例えば○２から出たa=0のときにこれをa^2-b^2+b=0でなくa^2+b^2-1=0に代入して
b=±1とするとb=-1は○１を満たさず不適解ですよね。
b=-1/2の場合は「たまたま」適解しか出てきませんが、a^2-b^2+b=0を
満たすことの確認が必要です。（「これは○１を満たす」の一文でもOK）
a=0の場合は「（∵Ａ）」と書いてありますのでかろうじてOKですが、こちらも
「a=0のとき、Ａからb=±1、○１からb=0,1なのでb=1…○３」
ぐらいの方が「∵Ａ」の中身が明確になって良いと思います。

あと、「a=±√3/2=干√3/2」というのは
+√3/2=-√3/2 かつ -√3/2=+√3/2
という意味になってしまって正しくありません。
a=+√3/2のとき(z1,z2)=(√3/2-i/2,-√3/2-i/2)、
a=-√3/2のとき(z1,z2)=(-√3/2-i/2,√3/2-i/2)
なのですから、a=±√3/2だけで十分です。
No.89303 - 2024/11/13(Wed) 06:37:24
☆ Re: 明治大学過去問 / Higashino
ラスカル先生、おはようございます

答えの書き方まで、親切の教えてくださり、心から感謝いたします

ここから先は、私でも出直してきますので、正しい答案を自分で作っておきます

これからも色々と教えてください

今回は最後までお付き合いいただきありがとうございました
No.89305 - 2024/11/13(Wed) 06:50:26
★ (No Subject) / 有栖川
xyz空間において、yz 平面上の放物線z =y^2, x=0をz軸のまわりに一回転して得られる曲面上を動く点Aと、点(2, 3, -1)を通りベクトル(1, 0, 2)に平行な直線上を動く点Bがある。
ABの長さの最小値と、その時のA、Bの座標を求めよ。

この問題の解説をお願いします
No.89274 - 2024/11/08(Fri) 17:43:49
☆ Re: / らすかる
直線上の点は (2,3,-1)+k(1,0,2)=(k+2,3,2k-1)
この点とz軸を含む平面で切ってその平面をtz平面とすると
放物面の断面は放物線z=t^2
（※tz平面の向きはkによって変化していく）
直線上の点はt＞0として(√(k^2+4k+13),2k-1)となるので
この点の軌跡はtz平面上ではt=√(z^2+10z+61)/2
t'=(z+5)/(2√(z^2+10z+61))なので
t=√(z^2+10z+61)/2上の点(√(k^2+4k+13),2k-1)における接線の傾きは
2√(k^2+4k+13)/(k+2)
放物線z=t^2においてz'=2tなので
この放物線上の点(s,s^2)における接線の傾きが2√(k^2+4k+13)/(k+2)となるとき
s=√(k^2+4k+13)/(k+2)
よってそのときの接点は
(√(k^2+4k+13)/(k+2),(k^2+4k+13)/(k+2)^2)
この点と(√(k^2+4k+13),2k-1)を通る直線の傾きは
{(2k-1)-(k^2+4k+13)/(k+2)^2}/{√(k^2+4k+13)-√(k^2+4k+13)/(k+2)}
=(2k^3+6k^2-17)/{(k+1)(k+2)√(k^2+4k+13)}
これが接線と直交しなければならないので
(2k^3+6k^2-17)/{(k+1)(k+2)√(k^2+4k+13)}・2√(k^2+4k+13)/(k+2)=-1
これを解いて k=1
k=1のとき直線上の点は(3,3,1)
s=√(k^2+4k+13)/(k+2)=√2なので放物線上の点は(√2,2)
k=1のときの断面はx=yなので放物面上の点は(1,1,2)
よってABが最小となるとき A(1,1,2), B(3,3,1), AB=3
No.89275 - 2024/11/09(Sat) 10:14:10
★ (No Subject) / bred
ありがとうございます！
No.89271 - 2024/11/08(Fri) 00:58:46
☆ Re: / bred
すみません操作ミスです
astさんに対してです
No.89272 - 2024/11/08(Fri) 01:00:47
★ 並べ方 / 高知
赤玉2個、白玉3個、黒玉7個をならべる。赤の右隣に必ず白黒黒となる並べ方の総数は？よろしくお願いします。
No.89267 - 2024/11/07(Thu) 07:27:28
☆ Re: 並べ方 / ヨッシー
ならべる＝横一列にならべる　と解釈します。

[赤白黒黒] というかたまりが２つ、白玉１個、黒玉３個の
６個のものを横一列に並べると考えます。
　(６×５×４×３×２×１)÷(２×１）÷(３×２×１)＝６０(通り)

２つのかたまりと、３個の黒玉がすべて区別できるとすると、
６つのものの並べ方は
　６×５×４×３×２×１(通り)
実際は、区別しないので、かたまりの並べ方２通りと、黒玉の並べ方６通りが重複しており、これらで割ります。
No.89268 - 2024/11/07(Thu) 10:34:23
☆ Re: 並べ方 / 高知
早速の解答ありがとうございました。感謝です。
No.89269 - 2024/11/07(Thu) 12:04:11
★ (No Subject) / bred
これを証明してほしいです。(できれば高校数学の範囲で)
No.89264 - 2024/11/06(Wed) 23:12:56
☆ Re: / ast
# 積の記号 Π を使っておいて高校範囲もあったものではないようなきがしなくもないが, 以下のような感じか?
記号が面倒なので示すべき等式の左辺をいま仮に prod(x,n) と書く (ついでに組合せの数も C[n,k] のように添字は右側にまとめて書く) ことにするが:

いま x prod(x,n+1) = prod(x+1,n) および (x+n+1)prod(x,n+1) = prod(x,n) に注意すれば, prod(x,n+1) の部分分数分解が
　 prod(x,n+1) = (prod(x,n) − prod(x+1,n))/(n+1) …(A)
で与えられることが確認できる.
所期の等式が成り立つ非負整数 n に対して, (A) の右辺を等式の右辺で置き換えれば

　　prod(x,n+1)
　　=　(1/(n+1))(1/n!) Σ_[k=0,…,n] (−1)^k C[n,k]/(x+k)
　　 　− (1/(n+1))(1/n!) Σ_[j=0,…,n] (−1)^j C[n,j]/(x+1+j)
　　=　(1/(n+1)!) Σ_[k=0,…,n] (−1)^k C[n,k]/(x+k)
　　 　+ (1/(n+1)!) Σ_[k=1,…,n+1] (−1)^(k+1) C[n,k−1]/(x+k)
　　= (1/(n+1)!) ( (−1)^0 C[n,0] / (x+0)
　　　　　　　　　+ Σ_[k=1,…,n] (−1)^k (C[n,k]+C[n,k−1])/(x+k)
　　　　　　　　　+ (−1)^(n+1) C[n,n] /(x+n+1)),
ここで, 組合せの数は "任意の n,k に対して C[n+1,k]=C[n,k]+C[n,k−1]" および "任意の n に対して C[n,0]=C[n+1,0], C[n,n]=C[n+1,n+1]" を満たすから, 結局
　　prod(x,n+1) = (1/(n+1)!) Σ_[k=0,…,n+1] (−1)^k C[n+1,k]/(x+k)
となり, これは所期の等式が n+1 に対しても成り立つことを意味する.
n=0 のときは示すべき等式は自明だから, 帰納法により任意の非負整数 n について所期の等式は正しい.
No.89266 - 2024/11/07(Thu) 06:23:16
☆ Re: / ast
なお, 原理的には (A) を prod(x,n) = (prod(x,n-1) - prod(x+1,n-1))/n の形で n=0 になるまで再帰的に繰り返し用いることでももちろん示せるはず (これは帰納法を逆向きでやってるだけで先の証明と本質的に同じことであるはず) だけれど, その場合 (1/n! で括れるのは明らかなのでそれは別として) 結果の式に現れる prod(x+k,0)=1/(x+k) の項は n 回適用する (A) において右辺の二つの項のうち x+1 の側の項を k 回選ぶことで作られ, かつそれを選ぶごとに -1 が掛かるから, というような数え上げで係数 (-1)^k C[n,k] を正当化すれば組合せ論的な証明とすることは可能だと思う.
No.89273 - 2024/11/08(Fri) 09:58:41
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です


□４の(2)


よろしくお願いします
No.89259 - 2024/11/04(Mon) 22:34:46
☆ Re: / GandB
　問題文の一部がシャープペンで隠れている。

　仕入れ値が3000円の品物50個に、5割の利益を見込んで定価をつけ、定価で5個売り、定価の1割引きの特価品として20個売った。売れ残った品物はさらに値引きし、大特価品として売ろうと思う。それでも売れ残った品物は1個あたり500円支払って処分しなければならない。
(1)処分した品物が5個で、利益が14000円のとき、大特価品は定価の何割引きになるか。
(2)大特価品を定価の2割引きで売るとき、損をしないためには最低何個売ればよいか。

　定価で売った商品と1割引きで売った商品25個の売り上げ金額が
　　103500円
であることは(1)で求めているはず。

　大特価品の売値は
　　4500×0.8 = 3600円
であるから、残り25個を全てこの値段で売ると、売り上げ金額は
　　3600×25+103500 = 193500円
　仕入れ値の総額は
　　3000×50 = 150000円
なので、利益は
　　193500 - 150000 = 43500円
　大特価品が1個売れ残ると、利益が処分費も含め
　　3600 + 500 = 4100円
減ることになる。n個処分したとき赤字になったとすると
　　43500 < 4100×n
　　43500/4100 < n
　　43500/4100 ≒ 10.60
なのでnは10より大きい整数である11となる。確認すると
　n = 10 のとき
　　43500 > 4100×10 = 41000
　n = 11 のとき
　　43500 < 4100×11 = 45100

　つまり、11個処分すると赤字になるので
　　25 - 10 = 15個
以上を大特価価格で売ればよい。
No.89260 - 2024/11/05(Tue) 19:24:46
★ 青山大学過去問 / Higashino
問題の解説で

>f(x)=x⁵-1とすれば(与式)=f'(2)/f(2) -1=49/31

とあるのですが

与式の変形が分かりません

わかる方がいらっしゃいましたら
教えてください

お願いします

以下問題
No.89252 - 2024/11/02(Sat) 11:29:55
☆ Re: 青山大学過去問 / らすかる
(与式)+1
=
1/(2-α^0)+1/(2-α^1)+1/(2-α^2)+1/(2-α^3)+1/(2-α^4)
=
{(2-α^1)(2-α^2)(2-α^3)(2-α^4)+
(2-α^0)(2-α^2)(2-α^3)(2-α^4)+
(2-α^0)(2-α^1)(2-α^3)(2-α^4)+
(2-α^0)(2-α^1)(2-α^2)(2-α^4)+
(2-α^0)(2-α^1)(2-α^2)(2-α^3)}
/
{(2-α^0)(2-α^1)(2-α^2)(2-α^3)(2-α^4)} … (★)

f(x)=x^5-1=(x-α^0)(x-α^1)(x-α^2)(x-α^3)(x-α^4)
なので
(★)の分母はf(2)
f'(x)=
(x-α^1)(x-α^2)(x-α^3)(x-α^4)+
(x-α^0)(x-α^2)(x-α^3)(x-α^4)+
(x-α^0)(x-α^1)(x-α^3)(x-α^4)+
(x-α^0)(x-α^1)(x-α^2)(x-α^4)+
(x-α^0)(x-α^1)(x-α^2)(x-α^3)
なので
(★)の分子はf'(2)
よって(与式)=f'(2)/f(2)-1
No.89255 - 2024/11/02(Sat) 16:23:11
☆ Re: 青山大学過去問 / Higashino
ご返信が遅くなり申し訳ございませんでした

ラスカル先生の説明に感動に浸っておりました

まだしっかり理解したわけではないので

自分でもう少し考えてまた質問があればさせていただきます

解読までもう少しお時間を下さい

今回は本当にありがとうございました

感動いたしました
No.89257 - 2024/11/03(Sun) 04:47:25
☆ Re: 青山大学過去問 / GandB
　もう解読したかもしれないけど、参考までに。

　　α = cos(2π/5) + isin(2π/5)
より
　　x^5 - 1 = (x-α^0)(x-α^1)(x-α^2)(x-α^3)(x-α^4)
　右辺の微分は5個の一次式の積の微分になるから、まともにやると少しメンドイ。

　　f(x) = x^5 - 1
とおくと
　　f'(x) = 5x^4

　　A = x-α^0, B = x-α^1, C = x-α^2, D = x-α^3, E = x-α^4
とおくと
　　f(x) = ABCDE
　　log(ABCDE) = log(A) + log(B) + log(C) + log(D) + log(E)
　両辺をxで微分すると
　　f'(x)/ABCDE = 1/A + 1/B + 1/C + 1/D + 1/E
　元に戻して
　　f'(x)/f(x) = 1/(x-α^0) + 1/(x-α^1) + 1/(x-α^2) + 1/(x-α^3) + 1/(x-α^4)
　　f'(2)/f(2) = 1/(2-α^0) + 1/(2-α^1) + 1/(2-α^2) + 1/(2-α^3) + 1/(2-α^4)
　　　　　　　 = 1 + 与式
　　与式 = f'(2)/f(2) - 1 = 80/31 - 1 = 49/31
No.89258 - 2024/11/04(Mon) 09:56:41
☆ Re: 青山大学過去問 / 黄桃
kitanoの投稿なので無視しようと思っていたが、これを読んで使ってみようという人がいるかもしれないので、老婆心ながらコメントします。

f(x)=x^5-1 の微分が5x^4 であることは問題ないし、
x^5-1=(x-1)(x-a)(x-a^2)(x-a^3)(x-a^4)
(面倒なのでαをaと書いた）
とするところも問題ない。

ただし、
f(x)=(x-1)(x-a)(x-a^2)(x-a^3)(x-a^4)
を積の微分公式を使って微分するところは、厳密には(aは複素数だから複素関数の微分となり）高校数学の範囲を超える。
確かに複素関数の積の微分公式の証明も実数の場合と同様にできるけれども、そもそも変数が複素数の範囲での微分の定義自体が高校の範囲外だから、うるさいことをいえば「微分の公式の乱用」。

積の微分公式を使わずに5x^4がらすかるさんの (★)の分子に等しいことをいうなら問題ない。露骨に計算するなり、xに1,a,a^2,a^3,a^4を代入して両辺を比較するなり、とかすればいえるはず（だが、それなら最初から元の式を計算しろ、ということになりそう）。

＃GandB さんには申し訳ないが、log なんかとろうものなら、
＃複素数のlogはどうとるのか、という問題に直面する。
＃＃なので、その解説は「厳密には大学でやるけど」の前置き
＃＃つきで、大学入試では使えない技、というべき。
No.89261 - 2024/11/06(Wed) 00:11:19
☆ Re: 青山大学過去問 / GandB

> f(x)=(x-1)(x-a)(x-a^2)(x-a^3)(x-a^4)
> を積の微分公式を使って微分するところは、厳密には
> (aは複素数だから複素関数の微分となり）高校数学の範囲を超える。

> log なんかとろうものなら、
> 複素数のlogはどうとるのか、という問題に直面する。

　いやいや、申し訳ない。
　まことにその通りで実に軽率な投稿でした。

　削除したほうがいいと思うが、反面教師的投稿として（自戒も込めて）しばらくそのまましておく。
No.89262 - 2024/11/06(Wed) 07:22:03
☆ Re: 青山大学過去問 / Higashino
今回は様々な方にご意見　指導いただきありがとうございました

今後とも、何卒よろしくお願いいたします

私は今回のこの考え方は、あまりに難しく平凡な返答とはなりましたが、投稿させていただきます。ご指導等あれば何卒よろしくお願いいたします。
No.89263 - 2024/11/06(Wed) 07:31:29
☆ Re: 青山大学過去問 / IT
地道に計算してみました。途中計算や記述を減らすために工夫はしています。（結果が分かっているから出来たのかも）

1/(2-α)+1/(2-α^2)+1/(2-α^3)+1/(2-α^4)
　第１項と第４項、第２項と第３項をペアにし通分すると

＝(4-α-α^4)/(5-2α-2α^4)+(4-α^2-α^3)/(5-2α^2-2α^3)…（１）

α^4+α^3+α^2+α+1=0なので、
　a=α+α^4とおくとα^2+α^3=-a-1

これを(1)に代入
与式=(4-a)/(5-2a)+(5+a)/(7+2a)
　通分すると
　＝(53-4a-4a^2)/(35-4a-4a^2)
　
　ここでa^2+a=(α^4+α)^2+α^4+α
　=α^8+2α^5+α^2+α^4+α
　 α^5=1なので
　=α^3+2+α^2+α^4+α
　=α^4+α^3+α^2+α+1+1
　=1
　よって
　与式＝(53-4)/(35-4)=49/3

HIGASHINO さんの解法でα^4=1/αなどととしておられるところを そのままα^4 と書いたという感じですね。
No.89270 - 2024/11/07(Thu) 20:44:45
☆ Re: 青山大学過去問 / Higashino
IT先生、こんばんは

ご回答ありがとうございました

先生の方がスマートで良いですよね

色々と学び点が多くありがとうございました

これからも何卒よろしくお願いします
No.89277 - 2024/11/09(Sat) 20:03:47
★ (No Subject) / はると
y=x分の12(反比例) の変域が-3<x<1のときはyの変域はどうなるのですか？-4<y<12ではないんですか？
「No.89225 - 2024/10/30(Wed) 22:11:39」が間違ったので再投稿します。
No.89247 - 2024/11/01(Fri) 23:13:24
☆ Re: / X
問題がおかしいです。

y=12/x
はx=0では定義できませんので、
xの変域が
-3＜x＜0,0＜x＜1
であるなら話は分かりますが
-3<x<1
ということはあり得ません。
No.89251 - 2024/11/02(Sat) 02:13:50
☆ Re: / 独ソ不可侵条約
お返事ありがとうございます、
ということは、「変域の中に定義されない値を入れてはいけない」という解釈であってますか？
No.89253 - 2024/11/02(Sat) 15:46:30
☆ Re: / 独ソ不可侵条約
(追記) ユーザー名変えました。
No.89254 - 2024/11/02(Sat) 15:48:16
☆ Re: / X
それで問題ありません。
No.89256 - 2024/11/02(Sat) 18:38:15
★ 中3二次関数 / 名無しの権兵衛
y＝aｘ２乗においてXの値が−１から−9まで変化するときyの値は7だけ増加した。aの値を求めろ
この求め方を教えてください🙇‍♀️
No.89246 - 2024/11/01(Fri) 23:12:58
☆ Re: 中3二次関数 / 独ソ不可侵条約
x座標が -1→-9 ということは左に行くということですね。
このときy座標は7増えるから、左に行けば行くほど増えるので、aは正の値となります。(下図で確認してください。左に行くと増えるのは赤い方ですね)
次に、y=ax2乗にx=-1,-9を代入して、y座標を無理やりaで表して方程式を立てて解くという方針で。
x=-1を代入して、y=a
x=-9を代入して、y=81a
xが-1→-9になるとyはa→81aになるってことですね。
問題より、このときの増加量は7だから、
a+7=81a
移項して -80a=-7
割り算して a=7分の80 ←正の数だから問題にあってる
答え 7分の80
No.89248 - 2024/11/01(Fri) 23:23:40
☆ Re: 中3二次関数 / 名無しの権兵衛
ありがとうございます🙇‍♀️
とても分かりやすかったです！
No.89250 - 2024/11/01(Fri) 23:41:27
★ 中3二次関数 / 名無しの権兵衛
y＝aｘ２乗においてXの値が−１から−9まで変化するときyの値は7だけ増加した。aの値を求めろ
No.89245 - 2024/11/01(Fri) 23:12:23
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です

□４です

教えてください
No.89240 - 2024/11/01(Fri) 14:44:47
☆ Re: / 西田
仕入れた個数をAとする
仕入れた総額は240×A(円)
売った総額は300×(A-10)(円)
利益は売った総額引く仕入れた総額
よって300×(A-10)-240A＝6600
300A-240A-3000＝6600
60A-3000＝6600
60A＝9600
A＝160
No.89243 - 2024/11/01(Fri) 18:50:56
☆ Re: / らすかる
こわれたグラスも300円で売れば、利益は300×10=3000円増えて6600+3000=9600円になる。
240円で仕入れて300円で売ると1個あたりの利益は60円なので、仕入れたグラスは9600÷60=160個
No.89244 - 2024/11/01(Fri) 19:31:57
☆ Re: / 独ソ不可侵条約
グラスを1個売れば300-240=60円の利益になる。
グラスを1個壊せば240円無駄になる。
無駄になった金額は240×10=2400円
無駄さえなければ6600+2400=9000で、利益は9000円になるはずだった。
9000円はグラス数でいうと9000÷60=150。これが売れた数で、壊れた10個を足せば160個。
No.89249 - 2024/11/01(Fri) 23:37:44
★ ヨッシー先生へ / Higashino
改めて、ヨッシー先生の答案を何度も読み直したところ　すごいすごい考え方だと改めて実感しました
私の考え方などは至ってヨッシー先生に比べれば　馬鹿げたものです

これからも色々と教えてください

感動的な解説ありがとうございました
No.89238 - 2024/11/01(Fri) 06:30:02
☆ Re: ヨッシー先生へ / Higashino
ヨッシー先生の答案

No.89230 - 2024/10/31(Thu) 10:42:29

改めて感謝いたします
No.89239 - 2024/11/01(Fri) 06:31:59
☆ Re: ヨッシー先生へ / Higashino
ヨッシー先生様

いただいた回答をもとに
私なりに答案を作成しました

ご意見いただけると幸いです

以下答案
No.89241 - 2024/11/01(Fri) 16:59:13
☆ Re: ヨッシー先生へ / Higashino
改めて素晴らしい書き方を教えていただいてありがとうございました

今後も何卒よろしくお願いいたします
No.89265 - 2024/11/06(Wed) 23:22:16
★ 数3 極限　数列 / ふつく
(4)の解き方がわかりません
No.89234 - 2024/10/31(Thu) 17:35:01
☆ Re: 数3 極限　数列 / IT
αはいくらですか？

方針だけ
(2) より　x[n+1]-α=(1/(x[n+1]+α))(x[n]-α)
　　　　　|x[n+1]-α|=(1/(x[n+1]+α))|x[n]-α|

(3)より　|x[n+1]-α|≦(1/(2α))|x[n]-α|
　　　　　　・・・
No.89235 - 2024/10/31(Thu) 19:11:17
☆ Re: 数3 極限　数列 / ふつく
α＝(1+√5)/2です
No.89236 - 2024/10/31(Thu) 19:28:09
☆ Re: 数3 極限　数列 / IT
ということは
|x[n+1]-α|≦(1/2)|x[n]-α|
・・・
≦((1/2)^n)|x[1]-α|→0 (n→∞) といえませんか？

答案作成はご自分でお願いします

もちろん (1/2)としたところは 1/(2α）のままでも良いです。
No.89237 - 2024/10/31(Thu) 19:36:26
★ 数列、漸化式 / 犬
右下の文字を｟｠で表します。(1)についてなのですが、「よってa｟n｠>1(n=1、2、•••)であり、これと漸化式から~」がよくわかりません。
√2-1/a｟n｠+1|a｟n｠-√2|までは単純に式変形するだけだとわかるのですが、急に≦√2-1/2|a｟n｠-√2|が出てきてよくわからないです。
No.89231 - 2024/10/31(Thu) 11:32:54
☆ Re: 数列、漸化式 / ヨッシー
その直前の行の最後の項の、分母にあるａ[n] を１に変えたのが、
　(√2−1)/2 |a[n]−√2|
です。分母のａ[n] をより小さい１に変えたので、数値自体は大きくなります。
No.89232 - 2024/10/31(Thu) 11:57:18
★ 東京大学過去問 / Higashino
東京大学過去問

複素数平面

何卒よろしくお願いします

問題
No.89228 - 2024/10/31(Thu) 06:02:34
☆ Re: 東京大学過去問 / ヨッシー
(1)
ａ＝cos(π/3)＋ｉsin(π/3)
ａ^2＝cos(2π/3)＋ｉsin(2π/3)
ａ^3＝cosπ＋ｉsinπ
ａ^4＝cos(4π/3)＋ｉsin(4π/3)
ａ^5＝cos(5π/3)＋ｉsin(5π/3)
ａ^6＝cos(2π)＋ｉsin(2π)＝１
となり、ｎ＝７以上は
　ａ^n＝ａ^(n-6)×ａ^6＝ａ^(n-6)
となり、同じ値が重複します。
よって、異なる値は６個。

(2)
(1) の結果から、ｎを
　ｎ＝6s＋t　（ｓは０以上の整数、ｔは１から６の整数）
の形に表して、ｔの値によって場合分けします。
ｔ＝１ のとき
　ａ^n＝ａ なので、分子と分母は等しくなり、（与式）＝１
ｔ＝２　および　ｔ＝４ のとき
　ａ^(3n)＝ａ^6＝１　となり、（与式）＝０
ｔ＝３　のとき
　ａ^(2n)＝ａ^6＝１　となり、（与式）＝０
ｔ＝５ のとき、
　ａ^n＝ａ^5、ａ^(2n)＝ａ^4、ａ^(3n)＝ａ^3、ａ^(4n)＝ａ^2、ａ^(5n)＝ａ　となり　（与式）＝１
ｔ＝６ のとき
　ａ^n＝１　より　（与式）＝０
No.89230 - 2024/10/31(Thu) 10:42:29
☆ Re: 東京大学過去問 / Higashino
ヨッシー先生、こんにちは

ご回答ありがとうございます

シンプルな回答で学び取る点がとても多かったので助かりました

以下、私の答案です

ご意見ご指摘アドバイス等ありましたら、何卒よろしくお願いします

以下とは
No.89233 - 2024/10/31(Thu) 16:31:42
★ 中１　変域 / はると
y=12分のx の変域が-3<x<1のときはyの変域はどうなるのですか？-4<y<12ではないんですか？
No.89225 - 2024/10/30(Wed) 22:11:39
☆ Re: 中１　変域 / ヨッシー
ｙ＝ｘ／１２ (分数の下が12、上がｘ)で間違いなければ、
　ｘ＝−３　のとき　ｙ＝−１／４
　ｘ＝１　のとき　ｙ＝１／１２
で、この間ｙは増え続けるので、
　-1/4＜ｙ＜1/12
です。
No.89229 - 2024/10/31(Thu) 07:02:08
☆ Re: 中１　変域 / はると
間違えました…x分の12です。反比例です。
No.89242 - 2024/11/01(Fri) 17:53:51
★ 法政大学過去問 / Higashino
難あり

複素数平面

何卒よろしくお願いします

以下問題
No.89210 - 2024/10/29(Tue) 13:26:47
☆ Re: 法政大学過去問 / ヨッシー
　ｚ^4＝√2{cos(π/4)＋ｉsin(π/4)}
ですので、
　ｚ＝2^(1/8){cos(π/16)＋ｉsin(π/16)}
また、
　ｚ^4＝√2{cos(π/4＋ｎπ)＋ｉsin(π/4＋ｎπ)}　（ｎ＝２，４，６）
も考慮すると、
　ｚ＝2^(1/8){cos(9π/16)＋ｉsin(9π/16)}
　ｚ＝2^(1/8){cos(17π/16)＋ｉsin(17π/16)}
　ｚ＝2^(1/8){cos(25π/16)＋ｉsin(25π/16)}
も解となります。

cos(π/16)、sin(π/16) の値が必要なら、半角の公式を２回使えば、出すことが出来ます。
No.89211 - 2024/10/29(Tue) 14:17:12
☆ Re: 法政大学過去問 / らすかる
x^2=a+bi のとき x=±{√(r+a)+s・i√(r-a)}/√2
ただし r=√(a^2+b^2)、sはb≧0のとき1、b＜0のとき-1
という公式を使ってよければ
x=z^2とするとx^2=1+iなのでa=b=s=1,r=√2
x=±{√(√2+1)+i√(√2-1)}/√2
=±{√(2√2+2)+i√(2√2-2)}/2
z^2=±{√(2√2+2)+i√(2√2-2)}/2に再度公式を適用
a=±√(2√2+2)/2, b=±√(2√2-2)/2, s=±1, r=√√2（複号同順）
∴z={√(2√(√2)±√(2√2+2))±i√(2√(√2)干√(2√2+2))}/2（複号同順）,
={-√(2√(√2)±√(2√2+2))干i√(2√(√2)干√(2√2+2))}/2（複号同順）
整理してわかりやすくまとめると
z=
±{√(2+√(2+√2))+i√(2-√(2+√2))}/2^(7/8),
±{√(2-√(2+√2))-i√(2+√(2+√2))}/2^(7/8)
No.89214 - 2024/10/29(Tue) 16:47:16
☆ Re: 法政大学過去問 / Higashino
　こんばんは

本問題の正解です
No.89215 - 2024/10/30(Wed) 01:48:16
☆ Re: 法政大学過去問 / らすかる
私が書いた最後の2行と同じですね。
No.89218 - 2024/10/30(Wed) 06:22:24
☆ Re: 法政大学過去問 / Higashino
ラスカル先生、おはようございます

貴重なご指導ありがとうございます

どうしても答えが合いません

以下の間違いを教えてください
No.89219 - 2024/10/30(Wed) 06:37:43
☆ Re: 法政大学過去問 / Higashino
また

奇数の場合

No.89198 - 2024/10/26(Sat) 02:42:07

どのように利用すれば良いのでしょうか？

教えてください。何卒よろしくお願いいたします。
No.89220 - 2024/10/30(Wed) 06:48:34
☆ Re: 法政大学過去問 / Higashino
No.89219 - 2024/10/30(Wed) 06:37:43

納得です　先生は分数で表したんですね。申し訳ございませんでした。

ただ、奇数の場合は、使い方だけはどのように必要良いのか、どのように理解利用できるのか教えていただけると幸いです
No.89221 - 2024/10/30(Wed) 06:54:57
☆ Re: 法政大学過去問 / Higashino
私の答案が出来上がりましたので、投稿させていただきます

ご指導アドバイス等ありましたら、何卒よろしくお願いいたします

以下答案
No.89222 - 2024/10/30(Wed) 07:56:01
☆ Re: 法政大学過去問 / らすかる
答案は特に問題ないと思います。
それと、私の書いた公式は「平方根の公式」なので3乗根には使えません。
No.89224 - 2024/10/30(Wed) 10:51:08
☆ Re: 法政大学過去問 / Higashino
ヨッシー先生、並びにラスカル先生
ご指摘アドバイスありがとうございました

これからも何卒よろしくお願いいたします
No.89226 - 2024/10/31(Thu) 03:49:09
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です
□5番です
教えてください
No.89207 - 2024/10/28(Mon) 21:52:55
☆ Re: / ヨッシー
(1)
出来ているようなので省略
(2)
(1)で求めた 567 人より、実際には 56 人少ない 511 人になっています。
これは、女子が 5% 増えたのではなく、15% 減っているためで、
この差の 56 人が、昨年の女子の人数の (5＋15＝)20% に当たります。
よって、
　56÷0.2＝280(人)　・・・答え
(3)
昨年の男子は
　540−280＝260(人)
であり、今年は 5% 増えたので、
　260×1.05＝273(人)　・・・答え
No.89208 - 2024/10/29(Tue) 08:47:32
★ (No Subject) / もりお
x^2+xy+y^2≦1のとき、x^2+y^2の最大値を求めよ。

多分(x, y)=±(1/√2, -1/√2)のときに最大値1だと思うのですが、証明できません。

よろしくお願いします。
No.89203 - 2024/10/28(Mon) 18:24:59
☆ Re: / もりお
すみません、予想が間違ってました
正しくは(x,y)=±(1,-1)のとき最大値2です。
No.89204 - 2024/10/28(Mon) 18:51:18
☆ Re: / IT
x=rcosθ,y=rsinθ（r≧0) とおくと　x^2+y^2=r^2 です。
条件x^2+xy+y^2≦1はどう書けますか？

高校数学ですか？　三角関数の倍角公式は既習ですか？
No.89205 - 2024/10/28(Mon) 19:15:18
☆ Re: / IT
s=x+y,t=x-y とおいて

x^2+xy+y^2≦1、x^2+y^2　をs,tで 表しても出来ますね。
No.89206 - 2024/10/28(Mon) 19:49:23
★ 北海道大学過去問 / Higashino
複素数平面

北海道大学過去問

なにとぞよろしくお願いします

以下問題
No.89201 - 2024/10/28(Mon) 10:56:48
☆ Re: 北海道大学過去問 / X
(1)
条件から
ω^5=1
これより
(ω-1)(ω^4+ω^3+ω^2+ω+1)=0
ω≠1ゆえ
ω^4+ω^3+ω^2+ω+1=0 (A)
よって
α^2+α=(ω+1/ω)^2+(ω+1/ω)
=ω^2+1/ω^2+2+ω+1/ω
=(ω^4+ω^3+ω^2+ω+1)/ω^2+1
=1(∵(A)を代入)

(2)
(1)のωは
ω=cos(2π/5+2kπ/5)+isin(2π/5+2kπ/5)
(k=0,1,2,3)
これらの複素平面上に対応する点は
z=1
を含めて正5角形を構成するので
xy座標系との対応関係から
β=cos(2π/5) (B)
ここで(1)の結果から
α^2+α-1=0
α=(-1±√5)/2
∴ω+1/ω=(-1±√5)/2 (複号同順、以下同じ)
2ω^2-(-1±√5)ω+2=0
∴ωの実部は
(-1±√5)/4
(B)より
β＞0
∴β=(-1+√5)/4

(3)
(2)の結果から
4β+1=√5
16β^2+8β-4=0
∴2β^2+β-1/2=0 (C)
となるので
2β^3-β^2-β=(2β^2+β-1/2)β-2β^2-(1/2)β
=(β-1)/2
=(-5+√5)/8
ここで
x=(-5+√5)/8
とすると
8x+5=√5
64x^2+80x+20=0
∴求める二次方程式は
16x^2+20x+5=0
No.89202 - 2024/10/28(Mon) 18:02:34
☆ Re: 北海道大学過去問 / Higashino
x先生、こんにちは

ご返信遅くなりました。申し訳ございません。

ご回答ありがとうございました

私は、この問題は誘導がどうもおかしいように感じられて　私になりに考えて見ました

以下答案です
No.89209 - 2024/10/29(Tue) 13:24:33
☆ Re: 北海道大学過去問 / X
添付写真の解答の5行目ですが、こう変形できたらいいな、
という気持ちは分かりますが、計算は間違えていますね。

zの共役複素数を\zと表すことにすると
ここは3行目から以下のように計算できます。

左図において
ω^4=\(ω^2),ω^5=\ω
∴(A)から
\ω+\(ω^2)+ω^2+ω+1=0 (B)
ここで、条件から
ω+\ω=2β
ω^2+\(ω^2)=(ω+\ω)^2-2ω\ω
=4β^2-2
∴(B)より
4β^2+2β-1=0
No.89213 - 2024/10/29(Tue) 16:31:41
☆ Re: 北海道大学過去問 / Higashino
　こんばんは

x先生ご指摘ありがとうございます

さて、ご指摘ですが

>\ω+\(ω^2)+ω^2+ω+1=0 (B)

ではありません

あくまで実数での等式です

ω+ω^2+ω^2+ω+1=0 (B)

となります

なにとぞよろしくお願いします
No.89216 - 2024/10/30(Wed) 02:04:22
☆ Re: 北海道大学過去問 / Higashino
　追伸

答案にも書きましたが
>ω^4=\(ω^2),ω^5=\ ω‘


ではなく

　Re(ω^4)=Re(ω^2),
ω^5=\ω も同様


左図において
ω^4=\(ω^2),ω^5=\ω
No.89217 - 2024/10/30(Wed) 02:41:39
☆ Re: 北海道大学過去問 / X
＞＞あくまで実数での等式です
でしたら、それが分かる表記でないと×です。
書き方としては
＞＞ω+ω^2+ω^2+ω+1=0
ではなくて
Re[ω]+Re[ω^2]+Re[ω^2]+Re[ω]+1=0
です。
ここから
2Re[ω^2]+2Re[ω]+1=0
∴2cos2θ+2cosθ+1=0
…
と続きます。
No.89223 - 2024/10/30(Wed) 09:45:43
☆ Re: 北海道大学過去問 / Higashino
x先生 今回はご指摘いただきありがとうございました
大変参考になりました
これからもよろしくお願いいたします
No.89227 - 2024/10/31(Thu) 03:50:25
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