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ヨッシーの八方掲示板(小中高の算数・数学 質問掲示板)

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年(質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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不等式と積分 / モモ
nは3以上の自然数とする。
次の不等式を証明しなさい。

1+logn<∫[n,n+1](1+logx)dx

グラフを描いてみると、1+lognはy=1+logxのx=nにおいてのy座標なので、縦1+logn、横1の長方形の面積に見えて、一方で不等式の右辺はn≦x≦n+1におけるy=1+logxとx軸の囲む面積なので、隙間の分だけ右辺の方が大きいのは明らかと書いたら、曖昧すぎてだめだと大幅に減点されました。

グラフに頼らず計算で示すにはどうしたらよいでしょうか。

ついでにの質問ですが、記述式の試験ではグラフよりと書くのは最終手段で、減点覚悟で書くしかないと言われたのですが、グラフを見れば明らかなことを、長々と書かなければいけないというのはちょっとどうなんでしょう。そんなものなんでしょうか。

No.86738 - 2023/11/19(Sun) 00:57:45

Re: 不等式と積分 / らすかる
例えば
logxは単調増加なのでa≦x≦bのときlogx≧loga、よって
∫[n〜n+1](1+logx)dx
=∫[n〜n+1/2](1+logx)dx+∫[n+1/2〜n+1](1+logx)dx
≧∫[n〜n+1/2](1+logn)dx+∫[n+1/2〜n+1](1+log(n+1/2))dx
=(1/2)(1+logn)+(1/2)(1+log(n+1/2))
>(1/2)(1+logn)+(1/2)(1+logn)
=1+logn

No.86739 - 2023/11/19(Sun) 01:17:44
(No Subject) / ありす
y=x^3-xを考える。座標平面上の任意の点Pについて、この曲線と相異なる交点を3つもつような点Pを通る直線Lが存在することを示せ。
という問題なのですが、

https://math.nakaken88.com/problem/tokyo-u-r-2022-4/
ここにあるように、結論としてはP(a, b)として直線Lの傾きをkとおけば、kを十分大きく取ったときに成立する
というような感じなんですが、これはつまりk→∞ということはLはx=aの直線ということですよね?この直線がy=x^3-xと交点を3つもつ気がしないのですが、どういう事なのでしょうか?

No.86734 - 2023/11/18(Sat) 18:13:29

Re: / IT
kを十分大きく取ったときに成立する
のkは有限な値です。 
Pの位置によって1かも知れませんし1000かも知れませんが。

No.86735 - 2023/11/18(Sat) 18:37:21

Re: / ありす
kが仮に有限値だったとしても、Pは任意の点だからa, b が十分大きいときはk->∞でとらないとだめじゃないですか?
あと、(10, -10)とかでも相異なる三点で交わるようなkが思いつかないんですけど。。。どんな値になりますか?

No.86736 - 2023/11/19(Sun) 00:35:24

Re: / らすかる
Pが(10,-10)の場合は、例えば直線Lをy=799x-8000とすれば
(-10-10√5,-15990-7990√5)
(-10+10√5,-15990+7990√5)
(20,7980)
の3点で交わりますね。

> Pは任意の点だからa, b が十分大きいときはk->∞でとらないとだめじゃないですか?
kはa,bの値に依存してとればよい値ですから、k→∞と考えるのは正しくありません。つまり「任意のa,bに対して成り立つkを考える」のではなく、「どんなa,bをとってもそれに対してあるkをとれば条件を満たす」という考え方です。
上記の例の(10,-10)の場合はkを799やもっと大きい定数にすれば3点で交わりますので、「∞」にする必要はありません。

No.86737 - 2023/11/19(Sun) 00:56:40

Re: / ありす
なるほど、、、
では(a,b) = (∞、∞)というような点PだとどんなKを取ればいいんでしょうか?

No.86753 - 2023/11/19(Sun) 18:58:11

Re: / らすかる
∞という数はありませんので、そのような点Pはとれません。
つまり、「座標平面上の任意の点P」に(∞,∞)のようなものは含まれません。

No.86756 - 2023/11/19(Sun) 19:20:17

Re: / ありす
ある実数aに対して、aよりも大きいa'は実数になりますから、a'についても成立することを示さないといけませんよね?
任意の点P(a, b)についてということは、P'(a', b') (a < a', b < b') となるような点P'についても成り立つことを言わなければいけなくて、という事を繰り返していけば(∞、∞)を実質的に考えなければならない事になりませんか?

No.86762 - 2023/11/19(Sun) 21:27:59

Re: / らすかる
なりません。「任意の大きな数」と「∞」は意味が全く異なります。おそらく具体的にkをaとbの式で表せると思いますので、それで証明は終わります。
No.86765 - 2023/11/19(Sun) 22:55:09
反比例 / えっとう
比例は比例定数、二乗に比例する関数なら(p<x<q)のときは(p+q)aで変化の割合がもとめられますが、反比例、二次関数、三次関数、ではそのような公式は存在するのですか。もしぞんざいするなら、その式にいたるまでの過程も教えてください。お願いします。
No.86724 - 2023/11/15(Wed) 20:43:39

Re: 反比例 / ヨッシー
1次関数:y=ax+b
 2点(p, ap+b), (q, aq+b) の変化の割合
 {(aq+b)−(ap+b)}/(q-p)=a
 比例の場合も含みます。
2次関数:y=ax^2+bx+c
 2点(p, ap^2+bp+c), (q, aq^2+bq+c) の変化の割合
 {(aq^2+bq+c)−(ap^2+bp+c)}/(q-p)=a(p+q)+b
 2乗に比例の場合はb=c=0とする。
3次関数:y=ax^3+bx^2+cx+d
 2点(p, ap^^3+bp^2+cx+d), (q, aq^3+bq^2+cq+d) の変化の割合
 {(aq^3+bq^2+cq+d)−(ap^^3+bp^2+cx+d)}/(q-p)=a(p^2+pq+q^2)+b(p+q)+c
 q^3−p^3=(q-p)(q^2+pq+p^2) を利用
反比例:y=a/x
 2点(p, a/p), (q, a/q) の変化の割合
 (a/q−a/p)/(q-p)=-a/pq

ちなみに、それぞれにおいて、q を p に近づけていった結果
3次関数の場合だと a(p^2+pp+p^2)+b(p+p)+c=3ap^2+2bp+c
を、x=pにおける微分係数と言います。

No.86729 - 2023/11/16(Thu) 09:33:49
円周上の点と直線の最長、最短距離について / あかあお
円周と直線(問題でいうPQ)の最小値についてですが、赤枠に書かれている条件を満たすときに距離が最小値となるのは当然のことだと思いますが、もしよろしければ、赤枠のことを理論的な説明?
や証明をおねがいします。
「この直線を円と接するように平行移動したら、確かに成り立つ」や「補助線や垂線を引っ張ってみると明らかにそう」などというのは思いついたのですが、これらは全て「視覚的にそうだよね」と示しているだけだと思います。僕的には三平方や三角比、ベクトルなどを使って数値や式的に成り立つことを示したいと思ったのですが、どうやれば示せるかわかりませんでした

No.86721 - 2023/11/15(Wed) 10:45:01

Re: 円周上の点と直線の最長、最短距離について / ヨッシー
「この直線を円と接するように平行移動したら」からでも、ちゃんとした証明になると思いますけど。

直線Lと円C1 は最初は離れているものとする。
直線Lを円C1に接するまで平行移動したときの直線をM、接点をQ、
LとMの間隔をdとします。
QからMまでの距離は0であるので、QからLまでの距離(=PQ)はdであるが、
円C1上のQ以外の点SとMは離れており、その距離をe(>0)とすると、
SからLまでの距離はd+e(>d=PQ) となり、
Qが直線Lから最も近い点と言える。

No.86723 - 2023/11/15(Wed) 14:28:33
ソーシャル・ディスタンス問題 / 浅野
一辺が10mの正方形の部屋の中に、n人の人間がいる。
このn人が、互いにできる限り距離をとろうとしているとき、
n人の最善の配置を考え、その距離を答えなさい。

n=2,3,4までは簡単なのですが、5以上がさっぱりです。

No.86718 - 2023/11/14(Tue) 22:15:37

Re: ソーシャル・ディスタンス問題 / IT
最善の配置 かどうかは、どうやって評価するのですか?
最短距離が最大とか?

n=5 のときは、一辺が5mの正方形4つに分割して考えれば良いのでは?

No.86719 - 2023/11/14(Tue) 22:25:17

Re: ソーシャル・ディスタンス問題 / らすかる
n=3はどうなりましたか?
No.86720 - 2023/11/15(Wed) 00:41:26

Re: ソーシャル・ディスタンス問題 / 浅野
> 最善の配置 かどうかは、どうやって評価するのですか?
> 最短距離が最大とか?
>
> n=5 のときは、一辺が5mの正方形4つに分割して考えれば良いのでは?

「最善の配置」は、おっしゃる通り、人間同士の距離の最短距離の最大値で考えています。

No.86725 - 2023/11/15(Wed) 22:20:27

Re: ソーシャル・ディスタンス問題 / 浅野
> n=3はどうなりましたか?

n=3のときは、正方形をO(0,0),A(10,0),B(10,10),C(0,10)としたとき、1人をOに固定し、後の2人をAB上とBC上に置き、正三角形ができる配置を最大と考えました。

No.86726 - 2023/11/15(Wed) 22:23:19

Re: ソーシャル・ディスタンス問題 / らすかる
回答ありがとうございます。
で、n=5の場合はITさんのヒントでわかりましたか?

No.86727 - 2023/11/15(Wed) 22:56:01

Re: ソーシャル・ディスタンス問題 / 浅野
わかりました。
(0,0),(10,0),(10,10),(0,10),(5,5)に
配置すればいいんですね。
n=6以上が難しそうですね。

一般化なんて夢のまた夢です

No.86730 - 2023/11/16(Thu) 19:26:44

Re: ソーシャル・ディスタンス問題 / らすかる
n=6の場合は
(0,0),(10,0),(5,10/3),(0,20/3),(10,20/3),(5,10)
のように配置するのが良いようです。
n=20ぐらいまでの解はわかりますが、一般化は無理だと思います。

No.86731 - 2023/11/16(Thu) 21:27:41

Re: ソーシャル・ディスタンス問題 / 浅野
n=6のときは、n=3のときの正三角形の各辺から垂直二等分線を引いて、それと外郭の正方形との交点が最適な位置になると思っていましたが、違いますか?

n=20まですぐ出るなんて。すごいです。
何かコツがありますか?

No.86732 - 2023/11/18(Sat) 00:03:48

Re: ソーシャル・ディスタンス問題 / らすかる
> n=6のときは、n=3のときの正三角形の各辺から垂直二等分線を引いて、それと外郭の正方形との交点が最適な位置になると思っていましたが、違いますか?
違います。それだと最短距離が5(√6-√2)≒5.176になりますよね。
私が書いた座標にすると最短距離が5√13/3≒6.009となり、より長くなります。

> 何かコツがありますか?
いろいろネット検索して正解を見つけるのがコツです。

No.86733 - 2023/11/18(Sat) 01:32:30

Re: ソーシャル・ディスタンス問題 / 浅野
>いろいろネット検索して正解を見つけるのがコツです。
ネットに同じような問題があるんですか?
私も検索はしてみたんですが、見つからず、知りませんでした。
どんなワードで検索されたんですか?

No.86757 - 2023/11/19(Sun) 19:33:50

Re: ソーシャル・ディスタンス問題 / らすかる
「点を配置する」ものがあるかどうかはわかりませんが、正方形を大きくすれば
「円を正方形に詰め込む」問題と同様になります。
「詰め込み」はpacking、「円」はcircle、「正方形」はsquareなので
例えば「packing circle in square」のように検索すると
↓このページが見つかります。
https://en.wikipedia.org/wiki/Circle_packing_in_a_square
ここにn=20までの図があり、表のdnの値を10倍したものが
今回の問題の答えになります。
この図を見るとわかるように、例えばn=10などは一見きれいに見える図ですが
上の2個と右の3個を除いたサイコロの目のような配置の5個は上の2個のy座標が微妙に
異なるなど、かなり複雑な配置になっています。(n=10のdnの値は
18次方程式の解らしいです。)ここらへんが「一般化は無理」と思う理由です。

No.86761 - 2023/11/19(Sun) 20:36:10
(No Subject) / 1
途中式がよく分からないです。途中式の例を回答お願いします。
No.86716 - 2023/11/13(Mon) 22:44:10

Re: / ヨッシー
例えば、(3) だと、
それぞれの式に、x=1,y=1/2 を代入して、
 a+b/2=1
 3a+b=1
これを、aとbの連立方程式とみなして解くと、
 a=−1,b=4
このとき、元の方程式は
 −x+4y=1
 −3x+8y=1
となり、解は確かに x=1,y=1/2 となる
よって、 a=−1,b=4 が求める値となる。

他もだいたい同じでしょう。

No.86717 - 2023/11/14(Tue) 09:12:01
この問題の考え方について / あかあお
写真の問題の(2)についてですが、解答の1行1行の操作(何をしているか)は理解できるのですが、これを初見で解くとなった時、例えば、
底の違うlogの方程式を解くときは「底をそろえる→真数に注目する」というように、解答の流れが掴めるのですが、この問題については「何でこのような手順を踏むのか」ということが理解できないです。(主に「解答の赤枠部分を用いる」発想はどのようにして浮かぶのかがわからないです。)この問題を解くとき、どのようにアプローチすればよいのでしょうか?ご回答おねがいします。

明治大学総合数理学部2019年

解答 URL:https://d.kuku.lu/gyfm7parx

補足:(1)は(2)の誘導になっていないので、(2)だけを載せます。

No.86714 - 2023/11/13(Mon) 12:47:59
関数 / アヤ
先ほどの画像です。失礼しました。
No.86706 - 2023/11/12(Sun) 15:52:05
関数 / アヤ
大学入試の過去問です。解答は公表しておらず自力でなんとか解きました。不備や気になる点などがありましたら、ご指摘いただけたら助かります。

※うまく縦に画像を設定できなくて申し訳ないです。

No.86705 - 2023/11/12(Sun) 15:51:08

Re: 関数 / IT
(1) 少し書きすぎかなというくらい丁寧な答案ですが、
極値の判定記述は、増減表の後に書くか、増減表そのものに書いた方が良いと思います。

No.86707 - 2023/11/12(Sun) 16:31:15

Re: 関数 / アヤ
ご回答ありがとうございます。
以後、ご指摘の通りにします

No.86708 - 2023/11/12(Sun) 16:38:00

Re: 関数 / IT
(2) 曲線y=x^3+x^2-x+2 と直線y=x+2 の交点のx座標を求めるところを書くべきと思います。

「グラフで・・・面積を求める」や「xの変域が」の記述は不要だと思います。

「故にs1=」なども 最初に 「S1=∫・・・」と書けば済みます。

最後は 「よって、求める面積=S1+S2=8/3+5/12=37/12 //」とかですかね。

No.86709 - 2023/11/12(Sun) 17:06:19

Re: 関数 / アヤ
ありがとうございます。
x^3+x^2-x+2=x+2
x^3+x^2-2x=0
x(x^2+x-2)=0
x(x+2)(x-1)=0
よって x=-2,0,1

これを書くべきでした。
失礼しました。

No.86710 - 2023/11/12(Sun) 17:55:01

Re: 関数 / IT
(1) のグラフ 極小値のところが 折れ点のように見えますね、できれば、滑らかな曲線にみえると良いと思います。
No.86711 - 2023/11/12(Sun) 18:39:49

Re: 関数 / アヤ
度々ありがとうございます。
IT様の指摘の通りです。

No.86712 - 2023/11/12(Sun) 18:42:46
三角形の相似条件 / ここあ 中3
三角形の相似の単元に入りました。
相似条件の一つに、三組の辺の比がそれぞれ等しいというのがありますが、この条件の読み方を、二人の先生が異なるように教えてきます。

たとえば、三角形ABCと三角形DEFを以下のように仮定します。

三角形ABC
AB=3
BC=4
CA=5

三角形DEF
DE=6
EF=8
FD=10

A先生によると、三組の辺の比とは、

AB:DE=1:2
BC:EF=1:2
CA:FD=1:2

のように、二つの三角形を比べて、対応する辺の比のことだそうです。

B先生によると、三組の辺の比とは、

AB:BC:CA=3:4:5
DE:EF:FA=3:4:5

のように、ある三角形の三辺の辺の比の組が、他方の三角形の三辺の辺の比の組と等しいとのことです。

A先生とB先生のどちらが言っていることが正しいのでしょうか。個人的にはB先生のやり方の方がわかりやすいし、問題も解きやすいのですが。

No.86703 - 2023/11/11(Sat) 17:59:10

Re: 三角形の相似条件 / IT
「(対応する)三組の辺の比・・・」と言う場合は,A先生の方が合っています。

ーーーー「中学校学習指導要領解説 数学編」には、下記の記載があります。ーーーーー

二つの図形は,次のそれぞれの場合に相似である。
 (1) 一方の図形を拡大または縮小したときに他方の図形と合同になる。
 (2) 対応する線分の比がすべて等しく,対応する角がそれぞれ等しい。
 (3) 適当に移動して相似の位置に置くことができる。

(1)は,第2学年で学習した合同を図形の移動という操作に基づいて,「一方を移
動して他方に重ねることのできる二つの図形は合同である。」と定義しているもの
に対応する相似の定義となる。この定義は,相似な図形を作図する学習の導入とし
て分かりやすい。また,曲線図形にも適用でき,元の図形との対応が比較的はっき
りしている。

この定義を基にすると,(2)は相似の性質とみることができる。
(2)の定義は,証明の根拠として重要であり,これによって,演えん繹えき的に推論し,図形の性質
を見いだしたり確かめたりすることが可能になる。

(3)は,合同な図形が「ぴったり
と重ね合わすことができる図形」を意味するのに対し,相似な図形は「1点から見
通すことによって重ね合わすことができる図形」であるということを意味している。
つまり,二つの図形の対応する点どうしを通る直線が全て1点を通り,その点から
対応する点までの距離の比が全て等しいとき,二つの図形は,その点を相似の中心
として,相似の位置にあるといえる。この定義は曲線図形にも適用ができる。ただ,
裏返さないと相似の位置に置けない場合があることに注意する必要がある。

 三角形の相似条件としては,次の三つを取り上げる。
 二つの三角形は,次のそれぞれの場合に相似となる。
→・対応する3組の辺の比がすべて等しい
 ・対応する2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
 ・対応する2組の角がそれぞれ等しい

No.86704 - 2023/11/11(Sat) 20:28:27
図形の問題 / 位相空間を中和
中3で解けるセンター試験らしいんですが、ODの長さを求めるときに、APとODが垂直であることはどこからわかりますか?
解説ではいきなりAP⊥ODより・・のようになっています。
回答は、OD=(3√10)/5となっています。

No.86697 - 2023/11/11(Sat) 12:54:51

Re: 図形の問題 / 位相空間を中和
画像貼れてなかったです。ごめんなさい。
No.86698 - 2023/11/11(Sat) 12:55:35

Re: 図形の問題 / IT
直角三角形APD と 直角三角形APO が合同は、分かりますか?

直角三角形APD と 直角三角形APO の 等辺や等角にそれぞれ同じ印をして下さい。

AP⊥ODの証明自体が問題でない限り、AP⊥ODは、証明なしで使って良いと思います。

No.86699 - 2023/11/11(Sat) 13:47:21
確率の問題 / あおい
画像の問題が解けません。最初の2問は何となく答えを出しましたが、最後の答えが1を超えてしまって、最初の2問もあってる自信がありません、よろしくお願いいたします。
No.86695 - 2023/11/09(Thu) 20:36:33

Re: 確率の問題 / IT
ご自分の解答を書き込まれた方が、回答も付きやすいですし、どこを間違えているか分かって勉強になると思いますよ。
No.86696 - 2023/11/10(Fri) 02:36:03

Re: 確率の問題 / 位相空間を中和
(1)試合はA-B,A-C,B-Cの3回行われます。
2つのチームが2勝することはありません。(どうあがいてもどっちも勝ち状態が生まれる)
Aが2勝0敗で優勝する確率を求めることは、各々のチームにある2つの試合で両方勝つことと同じ、Bに勝つ確率は0.6,Cに勝つ確率は0.4で両方が起こる確率は0.24ではないでしょうか?
同様に考えると、B=0.28,C=0.18でいずれかだから足して0.6になりました。
(2)Y,Z戦では、必ずBとCが戦います。
Bが勝つ確率は0.7→決勝でAが勝つ確率は0.6だからBと戦って優勝する確率が0.42
Cが勝つ確率は0.3→決勝でAが勝つ確率は0.4だからCと戦って優勝する確率が0.12
答えは、足して0.54
(3)
(2)より、Aが1/3の確率でXに入ったとき、優勝の確率は0.54
Yに入ったとき、Zに入るのがBだったら0.6の確率で決勝へ、Cと対戦して優勝する確率は0.24,
ZがCだったら同様に考えて0.24
それぞれ、X,Y,Zに振り分けられる確率は1/3だから、それぞれに1/3をかけて足す。(全部足してから1/3をかけてもいい)
0.34となりました。
おそらく、最後の1/3をかけ忘れ、1.02とかになったのではないですか?青いさんの回答も教えていただけると幸いです。

No.86700 - 2023/11/11(Sat) 16:40:10
(No Subject) / レット—サー
この国際信州学院大学の問題の解説が見つからなかったので解説願いします
No.86685 - 2023/11/08(Wed) 21:54:56

Re: / レット—サー
ごめんなさい
添付画像間違えました

No.86686 - 2023/11/08(Wed) 21:55:55

Re: / IT
国際信州学院大学 は、実在の大学ですか?

なんとなく正しい不等式のような気がしますが、高校レベルで1、2時間で解けるとは思えません。

No.86713 - 2023/11/12(Sun) 22:26:25

Re: / 黄桃
検索すればわかりますが、この大学はweb上だけで存在するジョーク大学です。
だから問題自体もユーモアにあふれています。ただ残念ながら2020である必然性は乏しいようです。
なので、どうしようかと思いましたが、一応書いておきます。

左側の不等式は、式の意味が分かれば簡単ですが、右側はすこしきちんと評価しないと出てこないようです。
高校数学の範囲で解けますが、四則演算ができる電卓が使えればともかく、そうでなければ、
1.55<log[2](3)<1.6
くらいは与えてほしいところです(2^8>3^5、2^14<3^9から言えますが面倒で退屈な計算です)。

#問題自体もジョークでしょうから与えない方がいいのでしょう。

入試問題として適切かどうかはおいておくと、解法の1つは 1+1/2+1/3+... =∞ を示す方法の1つ(2^n 毎に区切って区切った部分の和が1/2より大きいことを使う)を応用するだけなので、この手法を知っていれば、多少の試行錯誤と計算力(と根気)は必要ですが、1時間あれば解けると思います。

一番左の式は、ルートを外していけば、
1^(1/2+1/4+...+1/2^1989)*2^(1/2^2+...+1/2^1989)*...*1988^(1/2^1988+1/2^1989)*1989^(1/2^1989)
=1^(1-2^1989)*2^(1/2-2^1989)*3^(1/2^2-2/1989)*...*1988^(1/2^1987-1/2^1989)*1989^(1/2^1988-1/2^1989)
になり、真ん中の式は
1*2^(1/2)*3^(1/2^2)*4^(1/2^3)*...*2021^(1/2^2020)
であり、
a>1, x>y>0 なら a^x>1および a^x>a^y に注意すれば、左側の不等式は明らか。

右側の不等式は、もっといい方法がありそうですが、2を底とする対数をとれば(以下、logの底の2は略します)、以下のようにlog(3)より小さいといえます。
1.55<log(3)<1.6は最初に示しておきます(以下で使います)。
log(真ん中の式)
=(1/2)+(1/4)log(3)+1/4+
(1/2^4)log(5)+(1/2^5)log(6)+(1/2^6)log(7)+(1/2^7)log(8)+
(1/2^8)log(9)+....+(1/2^15)log(15)+
(1/2^16)log(17)+...+(1/2^31)log(32)+
...
(1/2^1024)*log(1025)+...(1/2^2020)*log(2021)
<(1/2)+(1/4)log(3)+1/4+
(1/2^4)log(8)+(1/2^5)log(8)+(1/2^6)log(8)+(1/2^7)log(8)+
(1/2^8)log(16)+....+(1/2^15)log(16)+
(1/2^16)log(32)+...+(1/2^31)log(32)+
...
(1/2^1024)*log(2048)+...+(1/2^2020)*log(2048)+...+(1/2^2047)*log(2048)
(log(2^k)=k で括って等比級数の和を計算)
=(1/2)+(1/4)log(3)+1/4+
3(1/2^3-1/2^7)+
4(1/2^7-1/2^15)+
5(1/2^15-1/2^31)+
...
11(1/2^1023-1/2^2047)
(ななめに同類項が現れるのに注意)
=(1/2)+(1/4)log(3)+1/4+
3/2^3
+1/2^7
+1/2^15
...
+1/2^1023-11/2^2047
<(1/2)+(1/4)log(3)+1/4+3/8+1/2^7+1/2^7
=(9/8)+(1/4)log(3)+1/2^6 (log(3)<1.6だから)
<(9/8)+(1/4)(16/10)+1/50
=1.125+0.4+0.02=1.545
<1.55<log(3) (1.55<log(3)だった)

#最初は対数の底を3にして失敗し、2にして精度を上げて何とか出した、というのが舞台裏。
#普通の入試問題とはやっぱり違って面倒です。

No.86728 - 2023/11/15(Wed) 23:32:44
三角形 / えっとう
二つの三角形においてそれぞれの三角形の二辺の長さとその間の角が等しければ合同がなりたつことが知られていますが、ならば、それらがわかれば他の2角の大きさともう一つの長さってわかりますか?教えてください。
No.86684 - 2023/11/08(Wed) 21:47:55

Re: 三角形 / らすかる
わかります。
ただし、角度が有名角でない場合は三角関数が必要になります。

No.86687 - 2023/11/09(Thu) 01:58:52

Re: 三角形 / えっとう
1、その導出の仕方を教えてください。ある程度、三角比の知識はあります。
2、なぜですか?有名角を基準に円の性質(三平方と円の方程式)を利用し、あともう一つ、三角形(場合わけする)の一つの角の大きさとその大きさ具合と対辺(一つの角が一番上にきた時の底辺)のひらき具合の関係を式で示せればグラフ上で考えてわかるのではないのですか?
マニヤックな質問ですみませんお願いします。

No.86691 - 2023/11/09(Thu) 16:56:46

Re: 三角形 / ヨッシー
1.
三角形の3つの頂点、およびその角の大きさをA,B,Cで表し、
辺の長さをa=BC,b=CA,c=ABとします。

2辺a,bと間の角Cがわかっているとき、
余弦定理
 c^2=a^2+b^2−2abcosC
からcが分かり、正弦定理
 a/sinA=b/sinB=c/sinC
から、角A,角Bが分かります。

2.
どのようなグラフか、わかりかねますが、
グラフの式を求めたりする時に、三角関数が要ると思います。
有名角だと、y=√3x のように書けますが。

No.86692 - 2023/11/09(Thu) 18:46:08

Re: 三角形 / ヨッシー
角A,角Bが分かります。→角A,角Bのsin値が分かります。
No.86693 - 2023/11/09(Thu) 18:47:49
(No Subject) / たかし
★ 計算式教えて NEW / たかし 引用
教えてください。

幅1.5mx長さ300mのシート
1平方メートル@単価50円

弟に教えたいですが不安です。
自分としては1.5x300
450x50 @22,500
合ってますか? 

No.86682 - 2023/11/08(Wed) 12:18:12

Re: / X
合っています。
No.86683 - 2023/11/08(Wed) 15:09:13
因数分解 / 因数分解
x^6-21x^4+35x^2-7を有理数の範囲で因数分解してください
No.86674 - 2023/11/06(Mon) 12:21:51

Re: 因数分解 / WIZ
べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。

アイゼンシュタインの既約判定法のWikiによれば、
題意の整式は有理数係数の範囲では既約ですので、
有理数係数の範囲では因数分解できないようです。

No.86675 - 2023/11/06(Mon) 14:13:24

Re: 因数分解 / らすかる
x^6-21x^4+35x^2-7 は有理数範囲で因数分解できません。
x^6-21x^4+35x^2+6 とか
x^6-21x^4+35x^2-15 ならば因数分解できます。

No.86676 - 2023/11/06(Mon) 22:01:10

Re: 因数分解 / 因数分解
申し訳ございません、有理数の範囲ではなく、実数の範囲でした。
No.86677 - 2023/11/07(Tue) 08:35:24

Re: 因数分解 / らすかる
x^2=tとおくとt^3-21t^2+35t-7
t^3-21t^2+35t-7=0を解くと解は
t={21+(8√21)cos(arccos(3√21/14)/3)}/3,
{21-(8√21)cos(arccos(-3√21/14)/3)}/3,
{21-(8√21)sin(arcsin(3√21/14)/3)}/3
の3つの正の実数となるので、元の式を実数範囲で因数分解すると
x^6-21x^4+35x^2-7=
(x+√{{21+(8√21)cos(arccos(3√21/14)/3)}/3})
(x-√{{21+(8√21)cos(arccos(3√21/14)/3)}/3})
(x+√{{21-(8√21)cos(arccos(-3√21/14)/3)}/3})
(x-√{{21-(8√21)cos(arccos(-3√21/14)/3)}/3})
(x+√{{21-(8√21)sin(arcsin(3√21/14)/3)}/3})
(x-√{{21-(8√21)sin(arcsin(3√21/14)/3)}/3})
となります。

No.86678 - 2023/11/07(Tue) 11:07:01

Re: 因数分解 / 因数分解
t^3-21t^2+35t-7=0を解くと〜の部分ですが、どのように解いたのですか?
No.86679 - 2023/11/07(Tue) 17:11:01

Re: 因数分解 / らすかる
http://www10.plala.or.jp/rascalhp/math.htm#7
↑ここにある公式に代入して答えを導きました。
公式を使わずに求めようとすると結構面倒ですが、
そこらへんも自分で計算して出したいということでしたら
↓こちらをご覧下さい。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F

No.86680 - 2023/11/07(Tue) 17:52:52

Re: 因数分解 / WIZ
x^5の係数が0であることから、以下の様におけます。
x^6-21x^4+35x^2-7 = (x^3+Ax^2+Bx+C)(x^3-Ax^2+Dx+E)
上記から、A, B, C, D, Eを求めると、B = DとかCE = -7などから、
以下の様に変形できることが分かりました。

x^6-21x^4+35x^2-7
= (x^6-14x^4+49x^2)-7x^4-14x^2-7
= (x^3-7x)^2-7(x^2+1)^2
= (x^3-7x)^2-{(√7)(x^2+1)}^2
= (x^3+(√7)x^2-7x+(√7))(x^3-(√7)x^2-7x-(√7))

No.86688 - 2023/11/09(Thu) 10:16:43

Re: 因数分解 / らすかる
WIZさんの変形を使って因数分解すると
(x+(4cos(arccos(13/14)/3)+1)√7/3)
(x-(4cos(arccos(13/14)/3)+1)√7/3)
(x+(4sin(arcsin(13/14)/3)-1)√7/3)
(x-(4sin(arcsin(13/14)/3)-1)√7/3)
(x+(4cos(arccos(-13/14)/3)-1)√7/3)
(x-(4cos(arccos(-13/14)/3)-1)√7/3)
となり、全体の√も取れて結構すっきりした解になりますね。
(解の順は上の因数分解と合わせてあります)

No.86689 - 2023/11/09(Thu) 13:19:32

Re: 因数分解 / らすかる
「正解」がわかりました。
x^6-21x^4+35x^2-7=0
x=tanθ(-π/2<θ<π/2)とおくと
(tanθ)^6-21(tanθ)^4+35(tanθ)^2-7=0
tanの7倍角の公式から
tan7θ=((tanθ)^6-21(tanθ)^4+35(tanθ)^2-7)tanθ/(7(tanθ)^6-35(tanθ)^4+21(tanθ)^2-1)=0
x=0は解ではないのでtanθ=0は解ではない。
よってx^6-21x^4+35x^2-7=0の解はx=tan(2nπ/7)(n=1〜6)なので、
x^6-21x^4+35x^2-7
=(x-tan(2π/7))(x-tan(4π/7))(x-tan(6π/7))(x-tan(8π/7))(x-tan(10π/7))(x-tan(12π/7))

No.86694 - 2023/11/09(Thu) 19:07:03
線形代数 / r
なぜ赤線のように置いてよいのかが分かりません。任意のxyで証明しなければならないのではないでしょうか。
No.86671 - 2023/11/04(Sat) 12:06:38

Re: 線形代数 / IT
1行前の不等式は、2行前に書いてあるように「任意の複素数a,b に対して」成り立つので a=(略) ,b=(略) と置いても成り立ちます。
(略)の中のx,y は、任意の複素数(のまま)です。

No.86672 - 2023/11/04(Sat) 12:55:17

Re: 線形代数 / r
なるほど、ありがとうございます!
No.86673 - 2023/11/05(Sun) 16:21:38
中学 三角形の内角と外角 / くっくるーつー
次の図で、角yの解き方の説明がわかりません。

答えには、49+47+y=99+24 y=27

どうぞよろしくお願いします(>人<;)

No.86665 - 2023/11/03(Fri) 19:06:40

Re: 中学 三角形の内角と外角 / X
図において、24°となる頂点をAとし、Aから時計回りに
各頂点を順にB,C,D,E,F,Gとします。
さらに、∠xに対応する頂点をH、
99°の角に対応する頂点をIとします。

このとき、△BCDに注目することにより
∠DBG=∠BCD+∠CDE
=49°+47°
従って△BEFに注目することにより
∠BEH=∠DBG+∠BFE
=49°+47°+y (A)
一方、△AEIに注目することにより
∠BEH=∠GAB+∠DIA
=24°+99° (B)
(A)(B)より
49°+47°+y=24°+99°
です。

No.86667 - 2023/11/03(Fri) 20:36:26
(No Subject) / 鉱山太郎
x>0のときx・((x-1)^((1-x)/x))の最大値を求めてください。
またその過程も教えて下さい。

No.86664 - 2023/11/03(Fri) 17:07:04

Re: / X
>>x>0のとき
とありますが
x>1のとき
のタイプミスですか?

No.86666 - 2023/11/03(Fri) 20:25:27

Re: / 鉱山太郎
あ本当ですね
ではx>1のときでお願いします

No.86668 - 2023/11/03(Fri) 20:37:00

Re: / X
f(x)=x・(x-1)^{(1-x)/x}
と置くと
logf(x)=logx+{(1-x)/x}log(x-1)
∴f'(x)/f(x)=1/x-(1/x^2)log(x-1)-1/x
=-(1/x^2)log(x-1)
∴f'(x)=-{f(x)/x^2}log(x-1)
よってx>1におけるf(x)の増減表により
f(x)の最大値は
f(2)=2

No.86670 - 2023/11/03(Fri) 20:51:52
組み合わせの答えと解き方を教えてください。 / すけ
Aさんは10枚、Bさんは5枚、Cさんは6枚カードを持っています。
以下の条件下で、それぞれが1枚ずつカードを出した時、組み合わせが何通りあるか、またその解き方を教えてください。

【条件】
?@3人が持っている計21枚のカードは全て異なるカードです。
?A同じカードを何回出しても大丈夫です。(重複あり)

No.86661 - 2023/11/01(Wed) 16:52:23

Re: 組み合わせの答えと解き方を教えてください。 / ヨッシー
問題文が「1回出したら終わり」のような感じなのに、
条件に「何回出しても」とあるのは不自然です。
問題文に間違いはありませんか?また、これで全部ですか?

No.86662 - 2023/11/01(Wed) 17:59:23

Re: 組み合わせの答えと解き方を教えてください。 / WIZ
> ヨッシーさんへ
# 横から失礼します。

「組み合わせが何通りあるか」ということなので、
各自が1枚ずつカードを出すという試行を複数回繰り返すということなのではないでしょうか?
つまり「同じカードを何回出しても大丈夫」とは、
過去の試行で出したことのあるカードを今回の試行で再度出しても良いということだと思います。

・・・とは言っても、今までに出た組み合わせを記録して、違う組み合わせだったらカウントするとして、
どんなにたくさん試行を繰り返しても全ての組み合わせを網羅したかを確認するすべはないので、
問題文に違和感があるのは私も同じです。

No.86663 - 2023/11/01(Wed) 21:14:40
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