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ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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★ 複素数平面 / Higashino
出典不明

なにとぞよろしくお願いします

以下問題
No.89002 - 2024/10/04(Fri) 19:26:57
☆ Re: 複素数平面 / X
(√3+1)/2+i(√3-1)/2=cos(π/3)+cos(π/6)+isin(π/3)-isin(π/6)
=cos(π/3)+sin(π/3)+isin(π/3)-icos(π/3)
=cos(π/3)+isin(π/3)-i{cos(π/3)+isin(π/3)}
=(1-i){cos(π/3)+isin(π/3)}
=(√2){cos(π/3)+isin(π/3)}{cos(-π/4)+isin(-π/4)}
=(√2){cos(π/12)+isin(π/12)}
∴a[n]={(√2)^n}{cos(nπ/12)+isin(nπ/12)}
となるので、a[n]が実数であるためには
sin(nπ/12)=0
これより
nπ/12=mπ
(mは任意の実数)
∴n=12m
よって自然数nのうち、最小となるものは
n=12
∴求めるa[n]の値は
a[n]=a[12]={(√2)^12}cosπ=-64
No.89007 - 2024/10/05(Sat) 00:39:59
☆ Re: 複素数平面 / Higashino
x先生、おはようございます

今回もご回答くださりありがとうございました

大変ためになるご回答で毎回勉強させていただいております

私も、案を作成いたしましたので、アップさせていただきます

ご指導のほどよろしくお願いいたします
No.89022 - 2024/10/06(Sun) 03:33:57
★ 九州大学過去問 / Higashino
九州大学過去問

方程式

なにとぞよろしくお願いします

以下問題
No.88996 - 2024/10/04(Fri) 09:29:59
☆ Re: 九州大学過去問 / X
xの二次方程式
x^2-x√2+1=0
を解くと
x=cos(π/4)±isin(π/4)
∴条件から、因数定理とドモアブルの定理により
cos(nπ/2)+isin(nπ/2)-(√2){cos(nπ/4)+isin(nπ/4)}+1=0 (A)
cos(nπ/2)-isin(nπ/2)-(√2){cos(nπ/4)-isin(nπ/4)}+1=0 (B)
(A)(B)において、複素数の相等の定義により
cos(nπ/2)-(√2)cos(nπ/4)+1=0 (C)
sin(nπ/2)-(√2)sin(nπ/4)=0 (D)

(C)より
2{cos(nπ/4)}^2-(√2)cos(nπ/4)=0
∴cos(nπ/4)=1/√2,0 (C)'
(D)より
2sin(nπ/4)cos(nπ/4)-(√2)sin(nπ/4)=0
{2cos(nπ/4)-√2}sin(nπ/4)=0
∴
sin(nπ/4)=0又はcos(nπ/4)=1/√2 (D)'
(C)'(D)'より
cos(nπ/4)=1/√2
∴nπ/4=π/4+2mπ,-π/4+2mπ
(mは任意の整数)
となるので
n=1+8m,-1+8m
nはn＞1なる自然数ゆえ、求める最小となるnの値は
n=7
No.88998 - 2024/10/04(Fri) 10:32:05
☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino
x先生、こんにちは

お久しぶりでございます

ご回答ありがとうございました

私は図形的なアプローチをしていました

不備などあると思いますので、ぜひともアドバイスいただけると幸いです

以下答案
No.88999 - 2024/10/04(Fri) 12:54:27
☆ Re: 九州大学過去問 / X
＞＞n=8,4は〇Aに反する
nを議論する場合、xではなくて
x^n=cos(nπ/4)+isin(nπ/4)
をつかっていますので、その結論はおかしいです。
(実際、n=8のとき、〇Bは成立しています。
求めるのはnの値ではなくて、
nの値の最小値
です。
nの値の候補を探して、その中から、最小値を
求めるという方針を考えることになります。)

Higanshinoさんの解答は、
n=1,2,…,8
までにnの最小値の候補を絞り込んで、その中から
不適当なものを除いていく、という方針と見ました。
でしたら、その方針に沿って
〇Bにn=1,…,8を代入して判定した方が
よろしいと思います。
No.89001 - 2024/10/04(Fri) 19:14:15
☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino
x先生、こんばんは

ご指導ありがとうございます

n = 1、8 の時

共役複素数にはなりませんが

この議論が間違っているのでしょうか？

教えてください

何卒よろしくお願いします
No.89003 - 2024/10/04(Fri) 21:42:37
☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino
追伸

n に間違いがありました

正しくは
n =0、4、8

です
No.89004 - 2024/10/04(Fri) 21:45:27
☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino
x先生

改めた答案と、私の考え方を述べました

以下になります
No.89005 - 2024/10/04(Fri) 22:11:50
☆ Re: 九州大学過去問 / X
虚数部が0の複素数をzとすると、zの共役複素数は
z自身です。
共役複素数が存在しないわけではありません。
No.89008 - 2024/10/05(Sat) 00:49:47
☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino
遅くまでありがとうございます

私の持っている書物には
共役複素数の定義は

虚部の符号だけが違う2つの複素数を、互いに共役であると言い　一方は、他方の共役複素数と言う

と定義されています

書に誤りがあるのでしょうか？

何卒よろしくお願いします
No.89010 - 2024/10/05(Sat) 01:17:18
☆ Re: 九州大学過去問 / X
その定義が間違っているのではありません。

以下、zの共役複素数を\zと書くことにします。

まず、
実数は「虚数部が0である」複素数
であることはよろしいですか？
つまり、rを実数として
z=r
なる複素数zを考えるとき
z=r+i0
これの共役複素数は
\z=r-i0
となる、ということです。

Higashinoさんの持っている書物の
共役複素数の定義でも、
共役複素数を持つ複素数の虚数部は0ではない
という条件はどこにもありませんよね。
No.89012 - 2024/10/05(Sat) 12:25:45
☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino
x先生、こんにちは

私のためにお時間を割いていただき感謝いたします

この問題では
共役複素数解を持たねばなりません

その意味において

次の定理を探しました

ご意見いただけると幸いです
No.89013 - 2024/10/05(Sat) 14:38:36
☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino
推進です

どうぞよろしくお願いします
No.89014 - 2024/10/05(Sat) 14:52:23
☆ Re: 九州大学過去問 / X
書き方が悪かったようですね。
No.89008添付写真の下から２行目で

＞＞n=8のとき
＞＞f(n_8)=0

とありますが、議論がおかしいです。
n=8のときのf(α)
を
n=8のときのf(α^n)
と混同してしまっています。

そもそもn=8のとき、
α^n=1
ですので
f(α)≠0
です。
No.89018 - 2024/10/05(Sat) 18:55:06
☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino
　何度も申し訳ございません

ありがとうございます

n = 0 、4、8

については　前述した通り　共役な複素数解を持ちませんから　不適切で
議論から外しても良いのではないかと思います
No.89019 - 2024/10/05(Sat) 20:02:42
☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino
失礼しました

n は1より大きい数なので
n = 4、8 の時
図より、明らかに　共役な複素数解は持たないので
特に議論は必要ないと思うのです
No.89020 - 2024/10/05(Sat) 20:26:10
★ 広島女子大学過去問 / Higashino
広島女子大学過去問

複素数平面

なにとぞよろしくお願いします

以下問題
No.88994 - 2024/10/04(Fri) 04:40:09
☆ Re: 広島女子大学過去問 / ヨッシー
(分子)＝cos(π/2−Ａ)−ｉsin(π/2−Ａ)
　　　＝cos(Ａ−π/2)＋ｉsin(Ａ−π/2)
(分母)＝cos(Ｂ＋Ｃ)＋ｉsin(Ｂ＋Ｃ)
　　　＝cos(π−Ａ)＋ｉsin(π−Ａ)
よって、
　(与式)＝cos(２Ａ＋π/2)＋ｉsin(２Ａ＋π/2)
これが実数になるのは
　sin(２Ａ＋π/2)＝０
のときであり、三角形の内角としては、
　Ａ＝π/4, 3π/4
No.88997 - 2024/10/04(Fri) 09:30:43
☆ Re: 広島女子大学過去問 / Higashino
ヨッシー先生、こんにちは

ご回答ありがとうございます

ほとんど同じなのですが　念のため答案を投稿させていただきます。
No.89000 - 2024/10/04(Fri) 13:00:52
★ 広島工業大学、過去問 / Higashino
複素数平面

広島工業大学、過去問

なにとぞよろしくお願いします

以下問題
No.88993 - 2024/10/04(Fri) 03:53:50
☆ Re: 広島工業大学、過去問 / ヨッシー
cosα−ｉsinα＝cos(−α)＋ｉsin(−α)
　　＝cos(β−π/4)＋ｉsin(β−π/4)
よって、
　(cosα−ｉsinα)/(cosβ＋ｉsinβ)
　　＝cos(β−π/4−β)＋ｉsin(β−π/4−β)
　　＝1／√2−ｉ/√2
　(cosβ＋ｉsinβ)/(cosα−ｉsinα)＝1／√2＋ｉ/√2
以上より
　(与式)＝√2
No.88995 - 2024/10/04(Fri) 09:21:54
★ 数学?U / ほ
（2）（3）（4）の解き方を教えていただきたいです。お願いします。

2 答え　　x＝√2,y＝√2 最大値2√2
3答え　　x＝8/5,y＝−6/5 最大値2/5
4答え　　　m≧2
No.88990 - 2024/10/02(Wed) 19:47:43
☆ Re: 数学?U / ヨッシー
(2)
ｘ＋ｙ＝ｋ とおき、ｋを変化させると、この直線のグラフは
傾き−１を保ちながら上下に移動します。（ｋはｙ切片）
(1) で選んだ領域と、この直線が共有点を持ちながら、ｋを限界まで
大きくすると、この直線が円に接する(√2, √2) を通る位置まで上げることが出来ます。
これが最大値で、ｘ＝√2, ｙ＝√2, ｘ＋ｙ＝2√2
(3)
同様に、ｋを小さくすると、(8/5, −6/5) を通る位置まで下げることが出来ます。
これが最小値で、ｘ＝8/5, ｙ＝−6/5, ｘ＋ｙ＝2/5
(4)
傾きが−ｍの直線を (1) の領域と共有点を持ちながら動かすとき、
点(0,2) を通るときよりも、下に動かせないような場合を考えます。
答え ｍ≧２ が出ているので、それ以外の場合、直線が(0,2) を通る位置より
下げられることを確認しましょう。
No.88991 - 2024/10/03(Thu) 09:07:40
★ 東京理科大過去問 / Higashino
複素数平面

東京理科大過去問


なにとぞよろしくお願いします
No.88984 - 2024/09/30(Mon) 20:56:40
☆ Re: 東京理科大過去問 / ヨッシー
分母の実数化はご自分でやってもらうとして、その答えをＡとします。

偏角が60°(π/3) で絶対値が１の複素数として
　(1＋√3ｉ)/２
偏角が45°(π/4) で絶対値が１の複素数として
　(1＋ｉ)/√2
を考えます。
　(1＋√3ｉ)/２÷(1＋ｉ)/√2＝cos(π/3−π/4)＋ｉsin(π/3−π/4)
　＝cos(π/12)＋ｉsin(π/12)＝Ａ/√2
より、
　Ａ/√2
の虚部が sin(π/12) となります。
No.88985 - 2024/10/01(Tue) 09:09:38
☆ Re: 東京理科大過去問 / Higashino
ヨッシー先生

こんばんは

いつもご回答くださりありがとうございます

東案を作りました
ぜひともアドバイスいただけると幸いです
No.88987 - 2024/10/01(Tue) 17:59:48
★ (No Subject) / ニシダ
(3)お願いします。
mは｛a^2-2a (0<a≦1)、-1 (1≦a)｝
Mは｛-a^2+2a (0<a≦1)、1 (1≦a≦1+√2)、a^2-2a (1+√2≦a)｝

　　
No.88982 - 2024/09/30(Mon) 20:07:47
☆ Re: / ニシダ
高一です。
No.88983 - 2024/09/30(Mon) 20:11:41
☆ Re: / ヨッシー
0＜a≦1 のとき
　Ｍ−ｍ＝−2a^2＋4a＜3a/2
　よって、
　2a^2−5a/2＞0
　これを解いて
　a＜0 または a＞5/4＞1
　よって、この範囲に適当な a は存在しない。
1≦a≦1＋√2 のとき
　Ｍ−ｍ＝2＜3a/2
　これを解いて
　4/3＜a
　よって、4/3＜a≦1＋√2　が答えの１つである。
1＋√2≦a のとき
　Ｍ−ｍ＝a^2−2a＋1＜3a/2
　よって、
　a^2−7a/2＋1＜0
　これを解いて
　(7−√33)/4＜a＜(7＋√33)/4
　よって、　1＋√2≦a＜(7＋√33)/4 が答えの１つである
以上より
　4/3＜a＜(7＋√33)/4
No.88986 - 2024/10/01(Tue) 10:51:48
★ 複素数平面 / Higashino
三角形の形状

なにとぞよろしくお願いいたします

以下問題
No.88975 - 2024/09/29(Sun) 21:41:13
☆ Re: 複素数平面 / ヨッシー
とりあえず、ＡＢ，ＢＣ，ＣＡの長さを求めてみてはどうでしょう？
No.88976 - 2024/09/30(Mon) 08:51:01
☆ Re: 複素数平面 / Higashino
ご回答ありがとうございます

以下、私の答案です

詳しく述べて見ました
No.88980 - 2024/09/30(Mon) 11:55:01
★ 愛知工業大学、過去問 / Higashino
複素数平面

なにとぞよろしくお願いいたします


以下問題
No.88974 - 2024/09/29(Sun) 21:03:03
☆ Re: 愛知工業大学、過去問 / ヨッシー
ｚ^8−1＝(ｚ−1)(1＋ｚ＋ｚ^2＋・・・＋ｚ^7)
において、
　ｚ＝√2(cos(-45°）＋ｉsin(−45°))
より、
　ｚ^8＝16
よって、
　1＋ｚ＋ｚ^2＋・・・＋ｚ^7＝(ｚ^8−1)/(ｚ−1)
　　＝15÷(−ｉ)
　　＝15ｉ
No.88977 - 2024/09/30(Mon) 09:04:54
☆ Re: 愛知工業大学、過去問 / Higashino
ヨッシー先生、こんにちは

いただいた答案とても興味深かったです


以下、私の答案
No.88989 - 2024/10/01(Tue) 19:30:38
★ 複素数平面回転 / Higashino
複素数平面回転

なにとぞよろしくお願いします

以下問題
No.88973 - 2024/09/29(Sun) 20:40:03
☆ Re: 複素数平面回転 / ヨッシー
(1)
２倍して偏角が 30°増えているので、ｗに
　2(cos30°＋ｉsin30°)＝√3＋ｉ
を掛けます。
　ｗ(√3＋ｉ)
(2)
Ａが原点に来るまでＡ，Ｂ，Ｃを並行移動すると
Ｂは ２＋ｉ に来ます。
これを、２倍して偏角を30°増やすと
　（２＋ｉ）(√3＋ｉ）＝(2√3−1)＋(2＋√3)ｉ
これを、最初移動した分戻すと
　(2√3−1)＋(2＋√3)ｉ＋１＋ｉ＝2√3＋(3＋√3)ｉ　・・・答え
No.88978 - 2024/09/30(Mon) 09:32:20
☆ Re: 複素数平面回転 / Higashino
ヨッシー先生、こんにちは

ご回答ありがとうございます

以下、答案となります
No.88988 - 2024/10/01(Tue) 18:07:11
★ 日本女子大過去問 / Higashino
日本女子大過去問
複素数平面

よろしくお願いいたします
No.88972 - 2024/09/29(Sun) 20:33:01
☆ Re: 日本女子大過去問 / ヨッシー
ｚ[1]＝１、α＝(1/√2)(cos45°＋ｉsin45°)＝1/2＋i/2 とし、
　ｚ[n+1]＝αｚ[n]
によって、ｚ[2], ｚ[3], ・・・ を定義すると、
　Ｐ[1]＝ｚ[1]
　Ｐ[2]＝ｚ[1]＋ｚ[2]
　Ｐ[3]＝ｚ[1]＋ｚ[2]＋ｚ[3]
　・・・
で計算されます。
ただし、Ｐ[n] は、Ｐn が表す複素数を意味するものとします。

Ｐ[10]＝ｚ[1]＋ｚ[2]＋ｚ[3]＋・・・＋ｚ[10]
　　　＝1＋α＋α^2＋・・・＋α^9
であるので、
　1−α^10＝(1−α)(1＋α＋α^2＋・・・＋α^9)
において、
　α^10＝(1/32)(cos450°＋ｉsin450°)＝(1/32)ｉ
よって、
　Ｐ[10]＝(1−α^10)/(1−α)＝(1−i/32)/(1/2−i/2)
　　＝(以下略)
No.88979 - 2024/09/30(Mon) 09:55:13
☆ Re: 日本女子大過去問 / Higashino
ヨッシー先生こんばんは

ヨッシー先生の巧みな変形、すごいなぁと思います
1−α^10＝(1−α)(1＋α＋α^2＋・・・＋α^9)

これは感動ものですね

ぜひぜひ使ってみたいものと思います


ただ今は基礎を固める時なので　公式にない童話を作成していこうと思います

その際はよろしくお願いいたします
No.88992 - 2024/10/04(Fri) 03:52:56
★ 2次方程式 / みはる
中3です。
説明の5行目まではわかるのですが、最後の2行が分かりません。最後から2行目の式でa=1になってしまっているのに、なぜx²-1は答えとして良いのでしょうか。
お願いします。
No.88965 - 2024/09/29(Sun) 13:00:13
☆ Re: 2次方程式 / X
＞＞最後から2行目の式でa=1になってしまっているのに
問題の条件は
a≠1
ですので
a-1≠0
です。
No.88966 - 2024/09/29(Sun) 13:58:19
☆ Re: 2次方程式 / IT
最後から2行目の式⇔[a-1=0 または x^2-1=0」です。
元の条件a≠1からa-1≠0なので、x^2-1=0です。
No.88967 - 2024/09/29(Sun) 14:01:59
☆ Re: 2次方程式 / みはる
ありがとうございます。
No.88969 - 2024/09/29(Sun) 16:06:21
★ (No Subject) / やり直しメン
6番です

算数です

(1)ですが整数の和ということで数列の公式を使いましたので正解はしましたがその後の(2)、(3)は解けませんでした。

どのように解けばいいですか？
No.88962 - 2024/09/29(Sun) 10:03:56
☆ Re: / やり直しメン
問題になります
No.88963 - 2024/09/29(Sun) 10:46:39
☆ Re: / IT
数列の公式 は、どんな公式ですか？
中学入試でどこまで使っていいのか分からないので回答が付きにくいかも知れません。

（２）は、【イ,ア】＝31 になることは分りますか？
No.88964 - 2024/09/29(Sun) 12:48:16
☆ Re: / あいうえお
(2)は既に回答が書かれてますが、組み合わせはそんなに多くないので解けるのは時間の問題です。(3)は(2)が解けてから考えると解けるでしょう。
No.88970 - 2024/09/29(Sun) 16:08:06
★ 順列 / あ
⑶の問題がわかりません。
なぜ、⑴と同じ解き方ではいけないんでしょうか？
÷3をする理由も教えてください。
よろしくお願いします。
No.88955 - 2024/09/28(Sat) 17:00:09
☆ Re: 順列 / IT
(3)を⑴と同じ解き方 で解くとどうなりますか？

異なる３個の宝石を机の上で円形に並べる方法は何通りあるか。
という問題を(1)と同じ解き方で解くとどうなりますか？
No.88957 - 2024/09/28(Sat) 17:19:53
☆ Re: 順列 / あ
すみません、どうなるかわかりません
No.88958 - 2024/09/28(Sat) 18:53:55
☆ Re: 順列 / IT
(1)もわからない。ということでしょうか？

(1)の宝石の個数を少なくした
異なる３個の宝石を机の上で円形に並べる方法は何通りあるか。
という問題もわかりませんか？
できるところまでやって、書き込んでみてください。　
No.88960 - 2024/09/29(Sun) 07:36:52
☆ Re: 順列 / あ
やってみました。よろしくお願いします。
No.88971 - 2024/09/29(Sun) 19:59:38
☆ Re: 順列 / IT
計算は合っています。
なぜ、(3-1)！としましたか？その理由を理解することが大切です。
なお、(3-1)！＝3!/3 でもあります。

(3)で5個から3個選ぶ方法は何通りですか？
No.88981 - 2024/09/30(Mon) 12:41:56
★ (No Subject) / さっし
b＝0とそうでないときで場合分けが必要なのはなぜですか？
No.88953 - 2024/09/28(Sat) 14:29:40
☆ Re: / さっし
同値な2次方程式であるのはわかるのですが
No.88954 - 2024/09/28(Sat) 14:31:53
☆ Re: / ast
(その本での「同値な二次方程式」の定義や扱いがわかりませんが) 同値な二次方程式であるならば "係数の比" の比較ができて, 本問の場合 a-1:b:c=4a:2b:1 です. このとき, 比 (連比) の一般論から ("0" を含む比には気を付けなければなりませんが "a-1=a=0", "b=2b=0", "c=1=0" のうち "b=2b=0" の場合のみ起こりうるので),
　a-1:b:c=4a:2b:1 ⇔ [[(a-1)/4a=b/2b=c/1 …(i)] または [b=2b=0 かつ (a-1)/4a=c/1 …(ii)]]
とすることになります. これら比の条件と判別式の条件 D>0 とをを併せて考えると, a,c について模範解答のような関係式が出ることを確認してください.
No.88961 - 2024/09/29(Sun) 08:16:02
★ 静岡大学　過去問　複素数平面 / Higashino
静岡大学過去問　複素数平面

それなりに悩む問題ですよね

なにとぞよろしくお願いいたします

以下問題

画像拡大リンク先

https://imgur.com/a/DbrFIhx
No.88949 - 2024/09/28(Sat) 03:38:45
☆ Re: 静岡大学　過去問　複素数平面 / X
問題の方程式はz=0を解に持たないので
|z|=-(2-i)z-1=r
(r＞0)
と置くことができ、
|z|=r (A)
-(2-i)z-1=r (B)
(B)より
z=(r+1)/(i-2) (B)'
これを(A)に代入すると
(r+1)/√5=r
∴r=1/(√5-1)=(√5+1)/4
これを(B)'に代入して
z=(√5+5)/{4(i-2)}
=-(5+√5)(2+i)/20
No.88951 - 2024/09/28(Sat) 10:14:43
☆ Re: 静岡大学　過去問　複素数平面 / Higashino
x先生、こんにちは

だいぶ涼しくなってきましたね

いつもいつもご回答ありがとうございます

回答いただいたもの拝見させていただきました


学べることが多く感謝しております


以下、私も答案を作りましたので、投稿させていただきます

ご指導　ご指摘アドバイス等いただけると幸いです。以下答案
No.88956 - 2024/09/28(Sat) 17:14:42
☆ Re: 静岡大学　過去問　複素数平面 / X
ごめんなさい。No.88951で誤りがありましたので
直接修正しました。
再度ご覧下さい。
No.88959 - 2024/09/28(Sat) 20:32:03
★ (No Subject) / 有栖川
極限値を求めるときに微分の定義を使う方法がありますが
lim[x->a] (f(x) - f(a))/(x-a) = f'(a)



lim[x->a] (f(x) - X)/(x-a)において，X = f(a)の時は成立しますが，X = lim[x->a] f(x) の時も成立するのでしょうか？
(X = f(a)かどうかは不明）

理由とともに教えていただきだいです。
No.88948 - 2024/09/27(Fri) 23:53:13
☆ Re: / らすかる
X=f(a)ならば成立、X≠f(a)ならば不成立、
「X=f(a)かどうか不明」ならば「成立するかどうか不明」です。
もしlimの式が入れ子になっていた場合、内側のlimを先に計算することから、そのようになります。
No.88950 - 2024/09/28(Sat) 03:50:03
★ 積分 / オリオン
3行目から4行目の式変形の意図
5行目から6行目にどうやって式変形しているのか
bの値を求める計算をどうやっているのか
がわからないので教えていただきたいです。
No.88943 - 2024/09/27(Fri) 17:14:07
☆ Re: 積分 / オリオン
解説です
No.88944 - 2024/09/27(Fri) 17:14:58
☆ Re: 積分 / X
東工大の問題なので、大仰に構えているようですが
解説で言っていることは
条件を使って、変数a,b,c,dの個数を2個に減らした
(この解説ではc,dを消去してa,bを残していますが
例えば、a,bを消去してc,dを残しても後の方針は
同じです)
上で、その2個の変数それぞれに関して
平方完成しているだけ、というシンプルなものです。
(定積分が混じって見にくいようであれば、
定積分を適当にA,Bとか置き換えて
全て単なる数値と見て下さい。)

その視点でもう一度解説をご覧下さい。
それでも分からないのであれば、
その旨をアップして下さい。
No.88945 - 2024/09/27(Fri) 17:28:55
★ 早稲田大学過去問　複素数平面 / Higashino
何やら難しそうです

よろしくお願いいたします

以下問題
No.88936 - 2024/09/27(Fri) 04:01:08
☆ Re: 早稲田大学過去問　複素数平面 / ヨッシー
ｚ＋ｗ が、点(-1,0) 中心、半径１の円上にあれば、
１を足すことによって、原点からの距離が１になります。

では、この円上の点まで、長さ１の移動２回で行き着くには、
多くの場合、片方がｘ軸に平行になります。
原点に行くときだけが、任意の方向に１進んで、また戻ることにより、ｚ、ｗが実数にならずにすみます。
よって、ｚ＋ｗ＝０
No.88940 - 2024/09/27(Fri) 11:29:59
☆ Re: 早稲田大学過去問　複素数平面 / 数弱
横槍すみませんm(_ _;)m
原点に行くときだけが、任意の方向に１進んで、また戻ることにより、ｚ、ｗが実数にならずにすむ
という部分は証明しなくてもよいのでしょうか？
No.88941 - 2024/09/27(Fri) 16:57:45
☆ Re: 早稲田大学過去問　複素数平面 / ヨッシー
原点に行くとき「だけ」ＯＫ
つまり、原点以外はダメという証明はいると思います。
No.88942 - 2024/09/27(Fri) 17:10:18
☆ Re: 早稲田大学過去問　複素数平面 / Higashino
^_^先生、こんにちは

今回は座標平米じゃなく、コツコツと計算しました

結構シンプルな回答になったと思います

ご指摘　アドバイス　ご指導等いただければ幸いです


以下答案
No.88947 - 2024/09/27(Fri) 19:05:52
★ 関数　2問 / たーこ
2問、よろしくお願いいたします。
一問だけでも構いません。面白い解答お待ちしております。
No.88932 - 2024/09/26(Thu) 18:27:07
☆ Re: 関数　2問 / らすかる
(1)
x=u+v, y=u-v とおくと
x^2-xy+y^2=u^2+3v^2, xy+x+y=u^2+2u-v^2 となるので
u^2+3v^2=1のときにu^2+2u-v^2の最大値と最小値を求める問題になる。
z=u^2+2u-v^2にv^2=(1-u^2)/3を代入し整理すると
u^2+(3/2)u-(3z+1)/4=0
これが|u|≦1である解を持てばよい。
f(u)=u^2+(3/2)u-(3z+1)/4=(u+3/4)^2-(12z+13)/16とおくと
f(u)はu=-3/4を軸とする下に凸な放物線なので、|u|≦1である解を持つとき
-(12z+13)/16はf(1)=0のとき最小、f(-3/4)=0のとき最大
f(1)=0→z=3、f(-3/4)=0→z=-13/12なので
u^2+2u-v^2の最小値はu=-3/4のときで-13/12、最大値はu=1のときで3
u=-3/4→v=±√21/12→(x,y)=((-9±√21)/12,(-9干√21)/12) (複号同順)
u=1→v=0→(x,y)=(1,1)
なので、求める答えは
(x,y)=(1,1)のとき最大値3、
(x,y)=((-9±√21)/12,(-9干√21)/12) (複号同順)のとき最小値-13/12

(2)
xy≠0のとき
z=(-x^2+xy+y^2)/(x^2+xy+y^2)=(-x/y+1+y/x)/(x/y+1+y/x)
t=x/yとおくと
z=(-t+1+1/t)/(t+1+1/t)
=(-t^2+t+1)/(t^2+t+1)
=(-2t^2+t^2+t+1)/(t^2+t+1)
=1-2t^2/(t^2+t+1)
=1-2/(1+1/t+1/t^2)
zが最小⇔2/(1+1/t+1/t^2)が最大⇔1+1/t+1/t^2が最小
1+1/t+1/t^2=kとおいて整理すると
(1-k)t^2+t+1=0
これが解を持つためには
D=1-4(1-k)≧0→k≧3/4
よって最小値はk=3/4、このときz=1-2/(3/4)=-5/3
k=3/4のとき(1-k)t^2+t+1=0の解はt=-2つまり(x,y)=(2s,-s)
x=0のときz=1だがこれは最小値ではない。
y=0のときz=-1だがこれも最小値ではない。
従って(x,y)=(2t,-t)（tは0でない任意の実数）のとき最小値-5/3をとる。
No.88937 - 2024/09/27(Fri) 05:42:57
☆ Re: 関数　2問 / たーこ
ありがとうございます。

(-2t^2+t^2+t+1)/(t^2+t+1)
=1-2t^2/(t^2+t+1)
(2)のこの変形のところがわかりません。
よろしければ教えていただきたいです。
No.88938 - 2024/09/27(Fri) 07:57:34
☆ Re: 関数　2問 / らすかる
(-2t^2+t^2+t+1)/(t^2+t+1)
={(-2t^2)+(t^2+t+1)}/(t^2+t+1)
=(-2t^2)/(t^2+t+1)+(t^2+t+1)/(t^2+t+1)
=(-2t^2)/(t^2+t+1)+1
=1-2t^2/(t^2+t+1)
です。
No.88939 - 2024/09/27(Fri) 08:41:30
☆ Re: 関数　2問 / X
横から失礼します。

(2)について。
らすかるさんは
t=x/y
と置いていますが
t=y/x
と置けば多少簡単になります。

(2)
(i)x=0のとき
z=1
(ii)x≠0のとき
t=y/xと置くと
z=(-1+t+t^2)/(1+t+t^2)
=1-2/(1+t+t^2)
=1-2/{(t+1/2)^2+3/4} (A)
ここで
(t+1/2)^2+1/4≧3/4
∴1/{(t+1/2)^2+1/4}≦4/3
-2/{(t+1/2)^2+1/4}≧-8/3
∴(A)から
z≧1-8/3=-5/3
(不等号の下の等号はいずれもt=-1/2、
つまりx+2y=0のときに成立)

(i)(ii)より、zの最小値は-5/3
(このとき、x+2y=0(但し(x,y)≠(0,0)))

注)
最小値を取るときのx,yの条件がらすかるさん
のそれと異なるように見えますが、
見かけだけで、言っていることは同じです。
No.88946 - 2024/09/27(Fri) 17:44:13
☆ Re: 関数　2問 / 黄桃
受験用の簡単な例題でしょうから、ありがちな解法を一応コメントしておきます。

(1)
対称式の場合は
u=x+y
v=xy
と置く方法もよく使われます。
x,yが実数なので、この場合は、u^2-4v≧0 という条件が付きます(x,yは t^2-(x+y)t+xy=0 という2次方程式の２つの実数解だから）。
結局
u^2-3v=1 および u^2-4v≧0 の下で
u+v の最大、最小を求める問題になります。
vについて解けるので、vを消去してuに関する条件 -2≦u≦2 の下で、u+(1/3)(1-u^2)の最大最小を求める問題となります。
こちらだと、具体的にx,yを求めなくてもいいので少し楽です。

なお、高校数学にこだわらなければ、ラグランジュの未定乗数法でも解けますが、計算はちょっと面倒です。

(2)
テクニックとしては、分母分子同次式(すべての単項式の次数が同じ)なので、
x,yの同次式(x^2,xy,y^2など）で分母分子を割ると(もちろん、0の場合は別扱い）、
1変数の場合に帰着できる、というものです。

ただ、この問題に関しては、単純な形なので、オーソドックスに最大値の最大値でもいいでしょう。
1-2x^2/(x^2+xy+y^2)
と変形し、
x^2/(x^2+xy+y^2)=x^2/((y+x/2)^2+(3/4)x^2)
の最大を求める問題に帰着します。
次に、まずxを固定してyを動かして最大値(xの関数になる)を求め、その後xを動かして最大値の最大を求めます。
xを固定すれば、x=0の時0, そうでないときはy=-x/2(≠0)の時に分母が最小で、この時の値はxによらず 4/3。
これより、最小値は1-2*4/3=-5/3。
No.88952 - 2024/09/28(Sat) 13:36:52
☆ Re: 関数　2問 / たーこ
らすかるさん、Xさん、黄桃さん。ありがとうございます。
おかげでよく理解できました。
No.88968 - 2024/09/29(Sun) 14:13:49
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