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ヨッシーの八方掲示板(小中高の算数・数学 質問掲示板)

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年(質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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(No Subject) / ネコ丸
ありがとうございます。
No.86659 - 2023/11/01(Wed) 11:22:21

Re: / ヨッシー
求める角度は ∠BAB’(緑) です。
 ∠BAC+∠BAB’(緑)=180°
であり、
 ∠BAC=65°
であるので、
 ∠BAB’(緑)=180°−65°
となります。

No.86660 - 2023/11/01(Wed) 11:41:09
(No Subject) / ネコ丸
どうしてこうなるのか教えてください。
中1の平面図形の問題です。

No.86657 - 2023/11/01(Wed) 10:07:35

Re: / ヨッシー
画像が消えています。
おそらく、一度プレビューを押して、その時にファイルの選択が消えたものと思われます。

No.86658 - 2023/11/01(Wed) 11:02:50
極限 / だぺろりん
画像の問題で、
(1)はそれぞれ√2 と1
(2)はI_nの式を1回部分積分して、途中の式変形で(cosh x)^2=(sinh x)^2+1を使うことで、(n+2)I_{n+2} = -(n+1)I_n +√2 になりました。(計算ミスがあったら申し訳ありません)
(3)が分かりません。よろしくお願いします。

No.86652 - 2023/10/29(Sun) 22:54:35

Re: 極限 / WIZ
(1)(2)は合っていると思います。

(3)
sinh(x)はxが実数であれば増加関数であり、
0 ≦ x ≦ aで0 ≦ sinh(x) ≦ 1です。
特に、0 < x < aでは0 < sinh(x) < 1です。
⇒ 0 < x < aでは、非負整数nに対して0 < sinh(x)^(n+1) < sinh(x)^n
⇒ 0 < ∫[0,a]{sinh(x)^(n+1)}dx < ∫[0,a]{sinh(x)^n}dx
⇒ 0 < I[n+1] < I[n]
となります。

上記からI[n]は下界があリ単調減少ですから極限を持ちますので、その値をBとします。
I[n+2] > BかつI[n] > Bですから、漸化式から、
√2 = (n+2)I[n+2]+(n+1)I[n] > (2n+3)Bとなりますが、
もしB > 0であれば、nがある一定以上の値で(2n+3)Bが√2以上となってしまい矛盾です。
よって、B = 0でなければなりません。

次に、n*I[n] = n∫[0,a]{sinh(x)^n}dx
= ∫[0,a]{((sinh(x)^n)')sinh(x)/cosh(x)}dx
= [(sinh(x)^n)sinh(x)/cosh(x)]_[0,a]-∫[0,a]{(sinh(x)^n)/(cosh(x)^2)}dx
= (1/√2)-∫[0,a]{(sinh(x)^n)/(cosh(x)^2)}dx

ここで、0 ≦ x ≦ aで1 ≦ cosh(x) ≦ √2より、
⇒ 1/2 ≦ 1/(cosh(x)^2) ≦ 1
⇒ ∫[0,a]{(sinh(x)^n)*(1/2)}dx < ∫[0,a]{(sinh(x)^n)/(cosh(x)^2)}dx < ∫[0,a]{(sinh(x)^n)*1}dx
⇒ (1/√2)-I[n] < n*I[n] < (1/√2)-I[n]/2

n→∞のときI[n]→0ですから、挟み撃ちによりn*I[n]→1/√2となります。

# 検算みたいなもの。
極限が存在すると仮定して、lim[n→∞]{n*I[n]} = Aとすると、
漸化式より、(n+2)I[n+2] = {-(n+1)/n}{n*I[n]}+√2となりますが、
n→∞のとき、(n+2)I[n+2]→A, (n+1)/n→1ですから、
A = -1*A+√2より、A = 1/√2となります。

No.86655 - 2023/10/30(Mon) 19:24:27
複素数 / だぺろりん
画像の問題で、(1)は -αβ であり、(2)で重心が一致する条件が
1+α^2+α^2β^2=α+α^2β-αβ
になって、結局α=βとなることを示せば良いと思うのですが、そこから先が分かりません。よろしくお願いします。

No.86651 - 2023/10/29(Sun) 21:05:22

Re: 複素数 / X
以下、例えば複素数zの共役複素数を\zと書くことにします。

条件から
\αα=\ββ=1
に注意して、
1+α^2+(α^2)(β^2)=α+(α^2)β-αβ
の両辺に\(αβ)をかけると
αβ+\(αβ)+α\β=\β+α-1
これをθ[1],θ[2]を使って書き直すと
2cos(θ[1]+θ[2])+cos(θ[1]-θ[2])+isin(θ[1]-θ[2])
=cosθ[1]+cosθ[2]-1+i(sinθ[1]-sinθ[2])
∴複素数の相等の定義により
2cos(θ[1]+θ[2])+cos(θ[1]-θ[2])=cosθ[1]+cosθ[2]-1 (A)
sin(θ[1]-θ[2])=sinθ[1]-sinθ[2] (B)
(B)より
2sin{(θ[1]-θ[2])/2}cos{(θ[1]-θ[2])/2}
=2cos{(θ[1]+θ[2])/2}sin{(θ[1]-θ[2])/2}
sin{(θ[1]-θ[2])/2}{cos{(θ[1]+θ[2])/2}-cos{(θ[1]-θ[2])/2}}=0
sin{(θ[1]-θ[2])/2}sin(θ[1]/2)sin(θ[2]/2)=0 (B)'
ここで
θ[1]>0,θ[2]>0,θ[1]+θ[2]<π (C)
により
0<θ[1]/2<π/2,0<θ[2]/2<π/2 (C)'
∴sin(θ[1]/2)sin(θ[2]/2)≠0
なので、(B)'より
sin{(θ[1]-θ[2])/2}=0
(C)'より
-π/2<(θ[1]-θ[2])/2<π/2
∴θ[2]=θ[1] (B)"
(B)"を(A)に代入すると
2cos2θ[1]+1=2cosθ[1]-1
これより
4(cosθ[1])^2-2cosθ[1]=0
(2cosθ[1]-1)cosθ[1]=0
∴cosθ[1]=0,1/2
となるので、(B)"(C)'より
(θ[1],θ[2])=(π/2,π/2),(π/3,π/3)
ところが、(C)により
(θ[1],θ[2])=(π/2,π/2)
のときは不適ゆえ
(θ[1],θ[2])=(π/3,π/3) (D)

∴円周角により
∠ACE={2π-(2θ[1]+2θ[2])}/2
=π-(θ[1]+θ[2])
=π/3 (E)
更に(D)により、点A,Eは直線OCに関し対称ゆえ
△ACEはAC=CEの二等辺三角形 (F)
(E)(F)により△ACEは正三角形になります。

No.86654 - 2023/10/30(Mon) 19:20:10

Re: 複素数 / X
>>だぺろりんさんへ
ごめんなさい。No.86654で誤りがありましたので
直接修正しました。
再度ご覧下さい。

No.86656 - 2023/10/31(Tue) 18:17:51
この問題について教えて下さい / 太郎丸
数列a(n)=α1×n+α2
数列b(n)=β1×β2^(n−1)

のとき

{c(n)}={a(n)}∧{b(n)}

となるような数列c(n)と,c(n)が空集合でない条件を求めよ。

について教えて下さい!

No.86650 - 2023/10/29(Sun) 12:46:11
(No Subject) / 蘆川
数列{a(n)}はa(1)=1,a(n+1)=(n+1)(a(n)+n!)を満たしている。(n=1,2,…)
(1)a(n)の一般項を求めよ。
(2) 割愛

(1)の解答はa(n)=n・n!なんですが、どうやって求めるのか分かりません。解説してください。

No.86647 - 2023/10/27(Fri) 23:21:52

Re: / X
(1)
問題の漸化式の両辺を(n+1)!で割って
a[n]/n!=b[n]
と置くと、{b[n]}は公差1の等差数列になります。

No.86648 - 2023/10/28(Sat) 09:07:45

Re: / 蘆川
なるほどです
ありがとうございました

No.86649 - 2023/10/28(Sat) 11:14:27
(No Subject) / 吉田
x = a + 3b - c
y = 2a + b + c
(1 <= a <= 2, 1 <= b <= 2, 1 <= c <= 2)
の通過領域を求めよ

この問題について、それぞれ1文字消去した3式の最大値と最小値を求めてその共通部分が通過領域となる。という解法がありました。

1文字消去していない三式を作って(同値変形、x , y , a, b, c の関係式)それぞれの式で同様に最大値、最小値を評価したものの、共通部分が成す領域が、十分性を持たないのはなぜですか?
媒介変数表示の通過領域について、
1文字消去を絶対に行わないと行けないということでしょうか。それはどうしてなのでしょうか。

No.86639 - 2023/10/26(Thu) 22:14:11

Re: / らすかる
xとyに関連性があるためです。もしxの最小値から最大値の任意の値に対してyも最小値から最大値の任意の値をとるのであれば、共通部分が十分性を持ちますが、そうでない限り十分性は持ちません。
例えばx^2+y^2≦1という単位円の周及び内部の領域があり、xとyを個別に考えると-1≦x≦1,-1≦y≦1ではありますが、「-1≦x≦1かつ-1≦y≦1である領域」は明らかに円ではないですね。それと同じです。

No.86640 - 2023/10/27(Fri) 06:36:42

Re: / 吉田
>> もしxの最小値から最大値の任意の値に対してyも最小値から最大値の任意の値をとるのであれば、共通部分が十分性を持ちます

つまり、xが定まればyが定まるような関係式を立てる必要があり、複数変数の媒介変数表示の場合、十分性を保つためには、その関係式をできるだけ少ない文字で表す事が必要という事ですか?

No.86641 - 2023/10/27(Fri) 08:24:15

Re: / らすかる
「絶対に必要」ということはないと思いますが、xとyの関係式を立てた方が通過領域がわかりやすくなるのは確かですね。
No.86643 - 2023/10/27(Fri) 13:34:22

Re: / 吉田
なんとなく理解できました。ありがとうございました。
No.86644 - 2023/10/27(Fri) 16:35:06
虚数 / えっとう
虚数って2乗したらー1になる数なんですよね。
そんな数なぜありえるんですか?
性質と、表し方も教えてください。

No.86638 - 2023/10/26(Thu) 20:29:34

Re: 虚数 / ヨッシー
2乗して−1になる数の1つをiで表します。
もう1つは−iです。
2乗して−4になる数は2iと−2i
2乗して−2になる数は √2i と −√2i です。

iを虚数単位と言い、i^2=−1であること以外は、
xやyなどの文字と同じように扱えます。
 (1−2i)+(3+5i)=4+3i
 (2+i)(3−2i)=6+3i−2i−2i^2=6+i+2=8+i

>そんな数なぜありえるんですか?
−5mのロープなんてものはありえませんね。
でも、負の数を使っていろいろ計算に使っています。
その方が、式が1つで済むなど色々便利だからです。
虚数も、それを考えることによって色々便利であることがわかったので、
ありえない(手にとって実感できない)数を、約束して使うようになったのです。
実用面で何に使われるかというのは
↓こちらなど。

No.86642 - 2023/10/27(Fri) 08:43:58
解き方がわかりません。a≠0とa=0で考えa≠0の正負それぞれ最大最小6パターンで場合分けして考えればいいのですか?何方か解法を教えてください / yyyy
f(x)=ax^2-4x+3(a≦x≦a+2)の最大最小を求めよ
No.86631 - 2023/10/25(Wed) 19:53:06

Re: 解き方がわかりません。 / ヨッシー
a=0 のときは、別途考えるとして、
a≠0 のときは、頂点のx座標が 2/a になりますので、
a≦x≦a+2 この範囲にそれが入るのか。入る場合、左寄りか右寄りかによって、
最小、最大の位置が変わってきます。

1) a>0(下に凸)の場合
1-1) 2/a<a となるのは √2<a のとき
 このとき
  f(a)=a^3−4a+3 が最小
  f(a+2)=a(a+2)^2-4(a+2)+3=a^3+4a^2−5 が最大
1-2) a≦2/a<a+1 となるのは 1<a≦√2 のとき
 このとき
  f(a+1)=a(a+1)^2-4(a+1)+3=a^3+2a^2−3a−1 が最小
  f(a+2)=a(a+2)^2-4(a+2)+3=a^3+4a^2−5 が最大
1-3) a+1≦2/a<a+2 となるのは √3−1<a≦1 のとき
 このとき
  f(a+1)=a(a+1)^2-4(a+1)+3=a^3+2a^2−3a−1 が最小
  f(a)=a^3−4a+3 が最大
1-4) a+2≦2/a となるのは 0<a≦√3−1 のとき
 このとき
  f(a+2)=a(a+2)^2-4(a+2)+3=a^3+4a^2−5 が最小
  f(a)=a^3−4a+3 が最大

こんな感じで、a<0(上に凸)の場合も考えます。

No.86637 - 2023/10/26(Thu) 10:28:43
中学3年 発展 / ねこぬん
やり方が分かりません。詳しく書いてくださったら幸いです。
No.86626 - 2023/10/25(Wed) 16:01:28

Re: 中学3年 発展 / X
(1)
条件から点Qのx座標はaですので
Q(a,2a-4)

(2)
これは点Rの座標をaで表す必要はありません。

まず、点Aのx座標をbとすると、条件から
2b-4=0
これより
b=2
なのでA(2,0)
ここでQA=QRより、△QARは二等辺三角形ですので
条件から線分PQは辺ARの垂直二等分線。

よって△QAPの面積は△QARの面積の半分なので
(1)の結果から、△QAPの面積について
(1/2)(a-2)(2a-4)=(1/2)×18
これより
(a-2)^2=9
a-2=3,-3
a=5,-1
条件より2<aゆえ
a=5
よって
P(5,0)

No.86628 - 2023/10/25(Wed) 18:11:37
(No Subject) / 算数やり直し
解説の12✖︎60分の90ですがどこから12がでてきたんですか?
No.86624 - 2023/10/25(Wed) 00:53:53

Re: / ヨッシー
グラフの左下の部分で、妹が姉を追い抜く地点までの距離を
姉は90分、妹は30分で進むので、妹は姉の3倍の速さとわかります。
これが 4×3=12km/時 です。

No.86625 - 2023/10/25(Wed) 08:42:03
導関数の公式 / 前進
1/hになる意味がわかりません。よろしくお願いいたします
No.86619 - 2023/10/24(Tue) 23:42:18

Re: 導関数の公式 / 前進
過程です
No.86620 - 2023/10/24(Tue) 23:46:18

Re: 導関数の公式 / GandB
> 1/hになる意味がわかりません。
 ???

「分数関数の導関数の導出」で検索。
 たとえば
  https://manabitimes.jp/math/2047
に、より一般的な分数関数 f(x)/g(x) の導出例がある。

No.86622 - 2023/10/25(Wed) 00:30:56

Re: 導関数の公式 / 前進
こちらであっていますでしょうか?
No.86632 - 2023/10/25(Wed) 21:33:43

Re: 導関数の公式 / 前進
一旦ここは飛ばして公式だけ覚えてまた戻ってくるのかもしれません
No.86633 - 2023/10/25(Wed) 21:52:46

Re: 導関数の公式 / 前進
⚪︎(分子)と△(分母)それぞれ囲った部分で分母同士(1/h)を前に出して
残った分子同士が後ろに来るという積み木のようなものが成り立つのでしょうか? それが次の式になります。

あまり戻りたくありませんが、もし教えてくださるのでしたらどの分野に戻った方がいいのか教えていただくことは可能でしょうか?

よろしくお願いたします

No.86634 - 2023/10/25(Wed) 21:57:43

Re: 導関数の公式 / GandB
 何でそんな奇妙な式変形をするのかよくわからんのだが、導関数の定義を使って

  ( 1/g(x) )' = -g'(x)/(g(x))^2

を証明することが目的であれば、あなたが最初提示した画像の中にほとんどその答えは示されている。

 なんか極限の復習も必要な感じ・・・

No.86636 - 2023/10/25(Wed) 23:50:42

Re: 導関数の公式 / 前進
夜分遅くのご返信ありがとうございます。
極限の復習もしていこうと思います。
またよろしくお願いいたします

No.86646 - 2023/10/27(Fri) 21:48:59
(No Subject) / 積分
区分求積で解こうとしているのですが-π/6nの部分の処理がどう進めていいか分かりません。解説お願いします。
No.86617 - 2023/10/24(Tue) 22:10:09

Re: / WIZ
lim[n→∞]{(1/n)Σ[k=1,n]cos(((k/n)π-π/(6n))/2)}の計算と解釈して回答します。

cos(((k/n)π-π/(6n))/2)
= cos((π/2)(k/n)-π/(12n))
= cos((π/2)(k/n))cos(π/(12n))+sin((π/2)(k/n))sin(π/(12n))

ここで、n→∞ のとき π/(12n)→0 ですから、
cos(π/(12n))→1 かつ sin(π/(12n))→0 となります。

よって、
lim[n→∞]{(1/n)Σ[k=1,n]cos(((k/n)π-π/(6n))/2)}
= lim[n→∞]{(1/n){cos((π/2)(k/n))cos(π/(12n))+sin((π/2)(k/n))sin(π/(12n))}}
= {∫[0,1]cos((π/2)x)dx}*1+{∫[0,1]sin((π/2)x)dx}*0

t = (π/2)xとおくと、dt = (π/2)dx かつ t の積分範囲は[0,π/2]となるので、

∫[0,1]cos((π/2)x)dx
= ∫[0,π/2]cos(t)(2/π)dt
= (2/π)[sin(t)]_[0,π/2]
= 2/π

No.86623 - 2023/10/25(Wed) 00:31:39
(No Subject) / 積分
解説お願いします。
No.86613 - 2023/10/24(Tue) 17:53:44

Re: / X
問題の等式を(A)とします。

(A)にx=0を代入して
f(0)=0 (B)
一方(A)より
f(x)=x^2+{e^(-x)}∫[0→x]{f'(t)e^t}dt
右辺の第二項を部分積分して
f(x)=x^2+{e^(-x)}{f(x)e^x-f(0)-∫[0→x]{f(t)e^t}dt}
(B)を代入して
f(x)=x^2+f(x)-{e^(-x)}∫[0→x]{f(t)e^t}dt
これより
∫[0→x]{f(t)e^t}dt=(x^2)e^x
両辺xで微分して
f(x)e^x=(x^2+2x)e^x
∴f(x)=x^2+2x

No.86615 - 2023/10/24(Tue) 20:02:20

Re: / X
別解)
(A)より
f(x)=x^2+{e^(-x)}∫[0→x]{f'(t)e^t}dt (A)'
となるところまではNo.86615の場合と同じです。

(A)'の両辺をxで微分すると、
f'(x)=2x-{e^(-x)}∫[0→x]{f'(t)e^t}dt+f'(x)
(右辺の第2項に積の微分を使っています)
∴{e^(-x)}∫[0→x]{f'(t)e^t}dt=2x (C)
(C)を(A)'に代入して
f(x)=x^2+2x

No.86627 - 2023/10/25(Wed) 18:05:03
点の通過領域 / 吉田
x = 3k - s
y = √3s + √3k(3-2s)
1 <= s <= 3
0 <= t <= 1
の4式を満たすx, y について点P(x, y) の存在範囲をxy平面上に図示せよ。

考えても分かりませんでした。この問題の解き方を教えてください。

No.86610 - 2023/10/24(Tue) 15:38:07

Re: 点の通過領域 / X
>>y = √3s + √3k(3-2s)
ですが右辺の√はどこまでかかっていますか。
括弧を使って分かるように書いて再度アップして下さい。

(例えば右辺の√が両方とも、右隣の3までしか
かかっていないのであれば
y = (√3)s + (√3)k(3-2s)
というように書いて下さい。)

No.86616 - 2023/10/24(Tue) 20:08:37

Re: 点の通過領域 / 吉田
y = (√3)s + (√3)k(3-2s)
この表記で正しいです。紛らわしくてすみません。
s, k についてx, y の文字のみで表すことは、kについての二次方程式を解くということですか?

私は x+(√3)y= と(√3)x+y=の二式を求めてそれぞれの最大最小の領域を考えたのですが、これだと十分性が失われてしまう理由も、合わせて教えていただけますでしょうか。

No.86618 - 2023/10/24(Tue) 22:35:54

Re: 点の通過領域 / X
>>s, k についてx, y の文字のみで表すことは、kについての二次方程式を解くということですか?
その通りです。
計算が明らかに煩雑になり、お勧めできません
(一旦アップしたレスを消した理由です)が方針だけ。

x=3k-s (A)
y=s√3+k(3-2s)√3 (B)
とします。

(A)より
s=3k-x (A)'
(B)に代入して整理をすると
6k^2-2(x+3)k+x+y/√3=0 (C)
一方、(A)より
k=(x+s)/3
(C)に代入して整理をすると
2(s+x)^2-2(x+3)(s+x)+3x+y√3=0 (D)
よって求める条件は
kについての2次方程式(C)が
1≦k≦3 (E)
なる実数解を少なくとも一つ持ち、かつ
s+xについての2次方程式(D)が
x≦s+x≦x+1 (F)
なる実数解を少なくとも一つ持つ条件
ということになります。

後は
f(k)=6k^2-2(x+3)k+x+y/√3
と置き、横軸にk、縦軸にf(k)を取ったグラフが
k軸と(E)の範囲で交点を少なくとも一つ持つ条件

g(u)=2u^2-2(x+3)u+3x+y√3
と置き、横軸にu、縦軸にg(u)を取ったグラフが
u軸と
x≦u≦x+1
の範囲で交点を少なくとも一つ持つ条件
を求めればよいことになるのですが…

グラフの対称軸の位置関係について、それぞれ
3つの場合分け(つまり合計6つの場合分け)
が必要になります。


注)
解と係数の関係を使って、k,s(或いはk,sそれぞれの定数倍)
が一つの二次方程式の解となるように持っていければ、
まだ方針としてお勧めできるのですが、(C)(D)は
見ての通り、kとsを適当にtとでも置いて、tの二次方程式
と見ても等価ではないので、そのような計算はできないようです。

No.86629 - 2023/10/25(Wed) 19:30:54

Re: 点の通過領域 / X
>>私は x+(√3)y= と(√3)x+y=〜
その方針では単に座標軸を
x+(√3)y=0
(√3)x+y=0
の2つの直線に変換した
(但し、直交座標ではなく斜交座標への変換になります)
だけで、元の
x=3k-s
y=s√3+k(3-2s)√3
でx,yの最大値、最小値を求めているのと何ら
変わりはありません。

No.86630 - 2023/10/25(Wed) 19:33:51

Re: 点の通過領域 / 吉田
なるほど理解できました!ありがとうございます。

>>でx,yの最大値、最小値を求めているのと何ら
変わりはありません。

これとは違う問題で、
x = a + 3b - c
y = 2a + b + c
(1 <= a <= 2, 1 <= b <= 2, 1 <= c <= 2)
の通過領域を求めよ
という問題なのですが、この問題の一つの解法として、三文字のうち一文字を消去したものをそれぞれ3式作って、それぞれ一文字固定法で最大値最小値を出してその三式のなす積集合が真理集合となる、という解法だったのですが、
その方針では問題なく、今回の場合だとうまくいかない理由がわかりません。一文字消去をしていないからでしょうか?
なぜ一文字消去しないと成立しないのでしょうか?
理解が甘くて申し訳ないです。

No.86635 - 2023/10/25(Wed) 23:47:49

Re: 点の通過領域 / X
ごめんなさい。回答が遅くなりました。

次の例題を考えてみます。

例題)
x=t (P)
y=t (Q)
0≦t≦1 (R)
のとき、点(x,y)の存在領域を求めよ

解)
(P)(Q)を(R)に代入することにより
0≦x≦1,0≦y≦1
とはなりますが、これは正解ではありません。
なぜならtによってx,yが連動することを
考慮に入れていないからです。
この「連動するのを考慮に入れる」ことが
媒介変数を消去する、この例題の場合だと
tを消去して
y=x
を導くことに当たります。


No.86610、No.86635で挙がっている問題についても同様です。
但し、これらの場合は媒介変数は複数ですので、それぞれの
文字を消去した上で、それぞれの式の積集合を考える必要が
あります。

ちなみにNo.86635についてですが、消去する文字数は1つである
必要はありません。
方程式2つに対して媒介変数は3つですので、例えば
a,b2つをまとめて消去してできる式でcのみ自由にして
最大最小を考えた式

cのみ消去した上でa,bを自由にして
最大最小を考えた式
の積集合を考えても問題ありません。
(計算の煩雑さを考えると、a,b,c1文字づつ消去する
模範解答とどちらがより良い解答かは判断しかねますが。)

No.86645 - 2023/10/27(Fri) 18:31:03
データ / えっとう
xあたりのyの値がわかるとき、yあたりのxの値はわかりますか。
  たとえば、一週間の勉強時間とその人数の関係で、
              (A地域)(B地域)
         0以上8未満  4人、2人
         8以上16未満 9人、9人
         16以上24未満10人、7人
         24以上32未満7人、8人
         32以上40人未満2人、4人
のときの1人あたりの学習時間はA地域とB地域のどちらの方が長いかを聞かれたときに、本来なら、階級ごとの階級値を求め、それを度数にかけて、合計人数で割り、平均値を求め比べるが、0以上40未満はA地域が32人でB地域は30人ということだけでも、だせると思います。かんがえました。まず1時間あたりの値は、この情報だけで、A地域は32/20で、B地域は30/20で出せて、これを比例式と考えると、A地域ならy(人数)=1.6x(時間)と表せられるので、1人あたりの時間ははこのyに1を代入するとx=5/8だから5/8と考えれました。これをB地域もすると、B地域の方が長いことが分かりました。実際に平均値を求めてやってみても大小関係は同じくBの方が長くなりましたが、これってあっていますか。

No.86604 - 2023/10/21(Sat) 15:47:09

Re: データ / X
ひとまず問題を脇において、階級の数を2つにした例
を考えてみましょうか。

A,Bにおいて階級の数が2つのこんな例を考えてみます。
0以上20未満  1人、9人
20以上40未満 9人、1人

このとき、各階級それぞれを考慮して、
セオリー通りの平均を考えたときは
一人当たりの勉強時間はAの方が多くなります。
しかし、えっとうさんの方針だと
一人当たりの勉強時間はA、B共に同じになります。


つまり、えっとうさんの方針は、階級を最初から一つにまとめて
大雑把に考えるというのであれば、数学的には間違っていませんが、
階級を分割してデータを収集しているのに、その点を生かさずに
一人当たりの勉強時間を比較している、という点で
間違えている、ということです。

No.86606 - 2023/10/21(Sat) 21:22:55

Re: データ / えっとう
追加で質問させてください。
Xさんは平均値を求めてから大小関係を考えてらっしゃいますが、
たとえば、もし平均値と1人あたりの学習時間が完全に等しいわけではないと仮定すれば、ほかの方法で1人あたりの学習時間の近似値を求められるのではないかと思いました。そこで私は見方を変えて、1時間あたりの人数を求め、それを利用して
1人あたりの学習時間を求めました。たとえばAさんは3時間勉強し、Bさんは2時間勉強したなら、本来なら3時間勉強した人が1人、2時間勉強した人が1人となり、(3x1+2x1)/2で1人あたりの勉強時間は2.5時間と求められますが、そうではなく、2人で5時間勉強したから1時間あたりに勉強している人の数0.4人、1時間あたり0.4人勉強しているのなら1人あたりは1=0.4xより2.5時間勉強しているとわかるわけです。本来の方法では何時間勉強した人が何人、何時間勉強した人が何人と全部知らないといけませんが、私の考えた方法では、合計人数と合計時間がわかればできるのでは?というわけです。で、さっきの問題(A地域)は合計時間がわからないので、かわりに0時間から40時間未満の人が32人いるのは事実なので、

No.86607 - 2023/10/22(Sun) 16:41:56

Re: データ / えっとう
すみません途中で切れてしまいました。もう一度送り直します
No.86608 - 2023/10/22(Sun) 16:49:38

Re: データ / えっとう
追加で質問させてください。
Xさんは平均値を求めてから大小関係を考えてらっしゃいますが、
たとえば、もし平均値と1人あたりの学習時間が完全に等しいわけではないと仮定すれば、ほかの方法で1人あたりの学習時間の近似値を求められるのではないかと思いました。そこで私は見方を変えて、1時間あたりの人数を求め、それを利用して
1人あたりの学習時間を求めました。たとえばAさんは3時間勉強し、Bさんは2時間勉強したなら、本来なら3時間勉強した人が1人、2時間勉強した人が1人となり、(3x1+2x1)/2で1人あたりの勉強時間は2.5時間と求められますが、そうではなく、2人で5時間勉強したから1時間あたりに勉強している人の数0.4人、1時間あたり0.4人勉強しているのなら1人あたりは1=0.4xより2.5時間勉強しているとわかるわけです。本来の方法では何時間勉強した人が何人、何時間勉強した人が何人と全部知らないといけませんが、私の考えた方法では、合計人数と合計時間がわかればできるのでは?というふうに考えました。実質これだと同じことやっているようなものなのでここで新しく単位を作ります。0〜8の時は4人とありましたがその時の0以上8未満を1d、8以上16未満を2dというふうにしていくと、
  1d →4
  2d→9
  3d→10
  4d→7
  5d→2
と表せます。
1時間足す2時間は3時間なのと同じように1d足す2dも3dなので、
(1x4+2x9+3x10+4x7+5x2)=90なので、90/32が1人あたりの平均学習時間(d)です。ちなみにdはてきとうに当てた単位なので気にしないでください。でこのときに、1dあたりの人数は、32/90とわかります。よって最初の方でやったことの逆を辿ると、32人で90d勉強したことがわかります。あとはxdの範囲を考えてそれを90dに代入し、32人の合計時間(90d)を(?時間)に変換して,通常通りの平均の出し方でやればできると思うのですが私はまだここからの計算技術がないのでやっていただきませんか。お願いします。

No.86609 - 2023/10/22(Sun) 17:20:16

Re: データ / ヨッシー
一般には 1人あたりa時間であれば、1時間あたり 1/a 人です。
ただし、a=0であってはいけませんし、1/a という数字に意味があるのかはケースバイケースです。

この問題がややこしくなっているのは、範囲のある時間の何を使って平均を求めるかが決められていないからです。
0〜8 時間を代表する数値は何か?下限の0なのか?中間値の4なのか?上限の8なのか?
上限と決めたなら、
  1d→4
  2d→9
  3d→10
  4d→7
  5d→2
は正しく、d=8です。よって、90d=720 であり、32人で720時間なので、
1人あたり、720/32=22.5時間。1時間あたり 32/720=2/45人。

中間値と決めたなら、
  1d→4
  3d→9
  5d→10
  7d→7
  9d→2
となり、d=4 です。合計は 148d=592 であり、32人で592時間なので、
1人あたり、592/32=18.5時間。1時間あたり 32/592=2/37人。

下限に決めたなら
  0d→4
  1d→9
  2d→10
  3d→7
  4d→2
となり、d=8 です。合計は 58d=464 であり、32人で464時間なので、
1人あたり、464/32=14.5時間。 1時間あたり 32/464=2/29人。

となります。代表値を4時間ずつずらしているので、平均も4時間ずつずれます。

No.86611 - 2023/10/24(Tue) 15:48:43
(No Subject) / 大学への数学
任意の2つの楕円について、重なった部分の面積を求める一般式を導出することはできますか?ただし、それぞれの楕円の長軸・短軸は既知とします。
No.86602 - 2023/10/20(Fri) 13:28:49

Re: / X
かなり雑ですが、
一般に、閉曲線C上の点を(x(t),y(t))(tはパラメータ)
とできるときのCで囲まれた図形の面積Sは
S=(1/2)∫[C](ydx-xdy)
=(1/2)∫[C](x'y-xy')dt
(但し積分路は反時計回りに取ります)
(∵)曲線を含む平面に垂直にz軸を設定することで
3次元に拡張してストークスの定理を使う。

ですので、二つの楕円の軸が平行で、交点が二つの場合
であれば、どうにか計算はできるようです。
(交点の座標をどう表すかの問題で計算結果は
余り綺麗にならないかもですが。)

しかし、一般には、
交点が3つ、4つになる場合
を考えなければならず、更に
二つの楕円の軸が平行でない場合
もありますので計算は煩雑になります。

No.86603 - 2023/10/21(Sat) 11:38:18
(No Subject) / 算数やり直し
◽︎25です。

なぜ 食塩水B200と食塩水300に含まれる食塩の量を?Cと置けるのですか?

No.86597 - 2023/10/19(Thu) 01:19:29

Re: / 算数やり直し
訂正です。解説では比の丸4と置いてといていきました
No.86598 - 2023/10/19(Thu) 01:42:26

Re: / 算数やり直し
> 訂正です。解説では比の丸4と置いてといていきました
解説です

No.86599 - 2023/10/19(Thu) 12:36:41

Re: / ヨッシー
たぶん、初めから見通して(4)と置いたのではないと思いますよ。
最初は(1)と置いてみて、
 (1)×150/200=(3/4)
のところで、(4)と置いて、仕切り直したものと思います。
その後、また分数が出てきたら、もう一度仕切り直しもあったかも知れません。

もちろん、分数が出てもかまわず突っ走るのもありです。

No.86600 - 2023/10/19(Thu) 13:20:09
一個下は間違えました / チム小3
73÷6のさくらんぼ計算でなぜ間違えてしまうのかを教えてください。
73を70と3にわけました。
70÷6を計算するときに、0を一旦隠して、7÷6=1あまり1になり、0をどちらにもつけると10あまり10になりました。この時点でおかしいと感じました。なにがいけないのでしょうか?
73を60と13で分けて計算したらちゃんとできました。
なぜ73を70と3にわけるとうまく計算できなかったのでしょうか?
ちなみに、最初の70÷6をするときに0を一旦隠すのは、2桁の割り算がまだできないからです。

No.86592 - 2023/10/17(Tue) 22:21:18

Re: 一個下は間違えました / ヨッシー
一個下の記事は消しましたが、一行目が
>70÷6のさくらんぼ計算で・・・
となっているものでした。

さて、73÷6 の「÷6」とはどういうことでしょうか?
よく、「6つに分ける」という言い方をされますが、
この考え方は、あまり良くなくて、「6が何回引けるか」
というふうに考えましょう。

73個(または70個)のさくらんぼから、
6個持ってきて、6人に1個ずつ上げる、でも良いですし
6個持ってきて、ふくろに入れる、でも良いです。
これを何回かやって、残っている分を「あまり」にしましょう
というのが、「割り切れない割り算」の考え方です。

ですから、70÷6 を、10 あまり 10 (6を10回引いて、10残っている)
も、間違いではありません。
ただ、「もう、これ以上引けない時の残りをあまりにしましょう」という
ルールがありますので、あまりの 10 からもう1回6を引いて
 10 あまり 10 → 11 あまり 4
と直してあげれば、問題ありません。

これに、最初に分けておいた3を加えると、もう1回6が引けますので、
 73÷6=12 あまり 1
となります。

>2桁の割り算がまだできない
と言われますが、「何回引けるか」が割り算ですので、
引き算が出来れば、2桁でも3桁でも、答えを出すことは出来ます。
ただ、筆算など、便利なやり方は、今後習っていくということです。

No.86593 - 2023/10/18(Wed) 07:33:22

Re: 一個下は間違えました / チム小3
ありがとうございました!
No.86596 - 2023/10/18(Wed) 19:13:55
移項 / あみ
基本的なことですみません。なぜこうなるのか分からない移項があり、ルールのようなものがあれば教えてほしいです。

?@0.14-g=4÷50
   ↓
?A0.14-4÷50=g (gは0.006であることを解かせる問題)

どうして?@を?Aのように変形させられるのでしょうか?
同じ数を足したり引いたりかけたりという移項のルールでは説明できない気がしました。

No.86581 - 2023/10/17(Tue) 09:49:43

Re: 移項 / あみ
文字化けしてしまいましたが、
?@はまるいち、?Aはまるにを入力していました。

No.86582 - 2023/10/17(Tue) 09:50:31

Re: 移項 / ヨッシー
4÷50 のような割り算(掛け算も)は、足し算、引き算よりも
先に計算します。
移項も足し算、引き算を使った変形ですので、4÷50 は、移項よりも先に行います。

 0.14-g=(4÷50)
と書くとわかりやすいでしょうか。

ちなみに、gは0.006 ではなく、0.06 になります。

No.86583 - 2023/10/17(Tue) 10:08:39

Re: 移項 / あみ
さっそくありがとうございます!
0.14-g=(4÷50)
で、
1.()部分を丸ごと左に移項させたということなのでしょうか。
2.左に移項させたので-()の形になっているのですね?
3.gも同じく右に移動させたので+になっているのですね。
4.移項は今回のような割り算だけでなく、足し算、引き算、掛け算の式も()の考え方でまるごと移すことができるのですね?数字や英字ひとつ単位でしかできないと思っていました。
5.()の考え方で式ごと移しても÷や+はかわらず(÷が×になったりせず)、式の先頭の正負が逆になるだけなのですね。
念のため上の5点を確認させてください。

計算間違えについても教えてくれてありがとうございます!

No.86584 - 2023/10/17(Tue) 10:36:42

Re: 移項 / あみ
上の1−5は
0.14-g=4÷50
   ↓
0.14-4÷50=g
の変形理由について詳しく伺っている質問です。

No.86585 - 2023/10/17(Tue) 10:38:37

Re: 移項 / ヨッシー
この問題はわかりますか?
 a+b+a×b
 x−y+x÷z
は、項がいくつで、それらは何と何ですか?

実際はこういう問題は出ることはなくて、その前段階で、
 a+b+a×b
 x−y+x÷z
上の式を、×、÷ を使わずに表しましょう。
というのがあります。

これが理解出来れば、項を動かす、という操作の意味が
理解できるのではないかと思います。

ちなみに、一番上の問題の答えは
 3個:aとbとa×b
 3個:xと−yとx÷z
です。

何度も言いますが、項を動かすのです。

No.86586 - 2023/10/17(Tue) 11:11:09

Re: 移項 / あみ
そもそも項の考え方を間違っていたことがわかりました!
とても詳しく丁寧に教えてくださってありがとうございます。
項がただしくわかったので最初の質問についても簡単なことだと理解できました。

No.86587 - 2023/10/17(Tue) 11:22:57
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