0877586

ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

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質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


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★ 法政大過去問 / Higashino
法政大過去問

複素数平面

なにとぞよろしくお願いします


以下問題
No.89565 - 2024/12/14(Sat) 03:35:42
☆ Re: 法政大過去問 / Higashino
こんにちは

以下のように私の考え方を作成しました

ご指摘アドバイスなどいただけると幸いです
No.89583 - 2024/12/16(Mon) 22:32:51
☆ Re: 法政大過去問 / X
(1)は問題ないのですが、(2)について。

条件を満たすとき
直線OPが線分ABの垂直二等分線
となるとしていますが、根拠は何ですか？

そもそも、点Pが線分ABの中点なら
t=1
となりますが。
No.89588 - 2024/12/17(Tue) 18:25:59
☆ Re: 法政大過去問 / Higashino
ｘ 先生ご指摘ありがとうございます

しばらく考えてみます
No.89594 - 2024/12/17(Tue) 20:48:47
☆ Re: 法政大過去問 / Higashino
x 先生　こんばんは

答案を書き直しました

ご指摘アドバイスのほどよろしくお願いします
No.89596 - 2024/12/17(Tue) 21:04:09
☆ Re: 法政大過去問 / X
言わんとしていることは問題ないのですが
文章が変ですね。

＞＞線分ABに垂直な直線は
「点Pは線分ABに垂直で原点を通る直線上にあるので」
でよいと思います。
＞＞〇Aにおいて〜=0のとき、
は不要ですね。単に
＞＞〇Aに〇1を代入して
だけで大丈夫です。
No.89609 - 2024/12/18(Wed) 22:23:52
★ (No Subject) / 有栖川
y=x^2/4 と合同な曲線Cが、x>=0, y>=0 内でx軸とy軸の両方に接するようにして動くとき、Cの焦点の軌跡を求めよ。

この問題の解説お願いします
No.89561 - 2024/12/13(Fri) 20:54:53
☆ Re: / らすかる
y=x^2/4を原点中心にt（0＜t＜π/2）右回転するとxsint+ycost=(xcost-ysint)^2/4
これをxに関する二次方程式とみると、判別式はD/4=ycost+(sint)^2
となるので、重解になるのはycost+(sint)^2=0すなわちy=cost-1/costのとき
またyに関する二次方程式とみると、判別式はD/4=xsint+(cost)^2
となるので、重解になるのはxsint+(cost)^2=0すなわちx=sint-1/sintのとき
そしてy=x^2/4の焦点は(0,1)だから、原点中心にt右回転したときの焦点は(sint,cost)
よってy=x^2/4を原点中心にt右回転したときの
x軸に平行な接線は y=cost-1/cost
y軸に平行な接線は x=sint-1/sint
焦点は(sint,cost)
となるから、(回転した)放物線がx軸とy軸に接するように平行移動すると
焦点の座標は(sint-(sint-1/sint),cost-(cost-1/cost))=(1/sint,1/cost)になる。
x=1/sint,y=1/costからtを消去すると1/x^2+1/y^2=1となり、これの第1象限部分が求める軌跡。
No.89566 - 2024/12/14(Sat) 04:26:18
☆ Re: / 黄桃
参考までに、放物線の性質を使う解法を示します（細かいところは飛ばしてます）。
結果を見るともっと幾何学的に簡単にできそうですが、ちょっとわかりませんでした。

Cと合同な第1象限内の放物線について、焦点をF(p,q),準線lをcos(t)x+sin(t)y+c=0 (0<t<π/2)
とできる(lの法線ベクトルを M>>0に対して lから (M,M)方向に進む方向を正となるようにとる）。

Fとlの距離は2だから、点と直線の公式より
cos(t)p+sin(t)q+c=2 ...(1)
となる。

Cとx軸との交点をA(u,0), y軸との交点をB(0,v)とする。
F'をx=uに関してFと対称な点、F''をy=vに関してFと対称な点とおけば、
F'(2u-p,q), F''(p,2v-q) となり、放物線の性質
（FAとlとの距離は等しく、また、焦点FからAに直進した点がAの接線で反射すると準線に直交する直線上を進む）より、
AはF'からlに下ろした垂線上に、BはF''からlに下ろした垂線上にあり、しかも
F'とlの距離はAとlの距離の2倍、
F''とlの距離もAとlの距離の2倍
だから、点と直線の距離の公式より

(2u-p)cos(t)+qsin(t)+c=2(cos(t)u+c)
pcos(t)+(2v-q)sin(t)+c=2(sin(t)v+c)

となる。整理すると、

pcos(t)-qsin(t)+c=0
pcos(t)-qsin(t)-c=0

となるから、

pcos(t)-qsin(t)=0 ...(2) かつ c=0 ...(3)

を得る。
(2),(3)と(1)を連立させると
pcos(t)=1 ...(4)
qsin(t)=1 ...(5)
となる。
逆に、0<t<π/2,(3),(4),(5)を満たすとき、FA=(Aとlの距離), FB=(Bとlの距離)により、
(p-u)^2+q^2=(cos(t)u+c)^2
p^2+(q-v)^2=(sin(t)v+c)^2
を解いて、
u=1/(sin^2(t)cos(t)), v=1/(cos^2(t)sin(t)) と求まる。
よって、(4),(5)からtを消去して (1/x)^2+(1/y)^2=1, x>0, y>0 が求める焦点の軌跡である。
No.89579 - 2024/12/15(Sun) 12:52:10
☆ Re: / IT
別解（細かい点は省略）

いったん放物線を固定して考えます。
放物線C:y=x^2/4 の焦点はP(0,1)

C上の点(a,a^2/4)(a>0)における接線はL1:ｙ＝（a/2)x-a^2/4
L1と直交するCの接線はL2:y=-(2/a)x-4/a^2

焦点PとL1の距離は√(a^2/4+1),PとL2の距離は√(4/a^2+1)　

L1をx'軸、L2をｙ'軸とした座標系で考えると
　Pの(x'座標、ｙ'座標)は（√(4/a^2+1),√(a^2/4+1)）　

aを消去すると　(x'^2-1)(y'^2-1)=1,x'>1,y'>1

　　　（これは変形すると(1/x')^2+(1/y')^2=1　になります）
No.89580 - 2024/12/15(Sun) 19:31:39
☆ Re: / 有栖川
皆さん色んなアイデアを募っていただきありがとうございます！参考にさせて頂きます。
No.89630 - 2024/12/21(Sat) 11:05:04
★ 複素数平面 / 高2 数c
複素数zの共役複素数をzバーとする。a=cos2π/7+isin2π/7とし、b=a+a^2+a^4とする時、b+bバーの値を求めよ 答え−1
自力で解いたらb=cos2π+isin2π、bバー=cos(-2π)+isin(-2π)となり答えが1になってしまいました
どうやって正しい答えを求めればいいですか？
No.89558 - 2024/12/13(Fri) 19:20:25
☆ Re: 複素数平面 / IT
どこで間違ったかを確認されるのが良いと思います。
b=cos2π+isin2πを求めた過程を記入してみてください。

b=cos2π+isin2πから　bバー=cos(-2π)+isin(-2π)は、どうやって計算しましたか？
No.89559 - 2024/12/13(Fri) 19:29:09
☆ Re: 複素数平面 / IT
a,a^2,a^4, a^6,a^5,a^3 を複素平面上に図示して考えると見通しが良いと思います。

a^7-1=(a-1)(a^6+a^5+a^4+a^3+a^2+a+1)=0 も使うと良いと思います。
No.89560 - 2024/12/13(Fri) 20:14:14
☆ Re: 複素数平面 / 高2 数C
答え求められました。ありがとうございます
No.89562 - 2024/12/13(Fri) 22:18:32
★ 数C 複素数平面 / 高2
方程式｜iz-1｜=2｜z｜を満たす点z の全体の集合がどのような図形を描くか　A.点1i/3をを中心とする半径2／3の円　
複素数平面上の3点O(0)、A(2-i)、B について三角形OABがBを直角の頂点とする直角2等辺三角形となる時のBを表す複素数　A.3/2+1i/2,1/2-3i/2

1つ目は方程式の両辺を2乗して式変形するのはわかるのですが、変形の仕方がわかりません
2つ目はBが直角になるにはA-B/O-Bが純虚数になると考えたのですがそこから数値をどうやって求めるかがわかりません
No.89556 - 2024/12/13(Fri) 18:29:05
☆ Re: 数C 複素数平面 / X
１問目)
|iz-1|=2|z|
より
|iz-1|^2=4|z|^2 (A)
ここで例えばzの共役複素数を\zと表すことにすると
(A)より
(iz-1)\(iz-1)=4z\z
(iz-1)(-i\z-1)=4z\z
z\z+i\z-iz+1=4z\z
3z\z-i\z+iz-1=0
z\z-(i/3)\z+(i/3)z-1/3=0
(z-i/3)(\z+i/3)=1/3+1/9
|z-i/3|^2=4/9
|z-i/3|=2/3


2問目)
＞＞Bが直角になるにはA-B/O-Bが純虚数になると
＞＞考えたのですが

それだけでは条件が足りません。
B(z)とすると
∠B=90°
により、高2さんの仰る通り
z-(2-i)=kzi (A)
(kは0でない実数)
一方AB=OBにより
|z-(2-i)|=|z| (B)
(A)(B)をk,zについての連立方程式として解きます。
((A)をzについて解き、(B)に代入して
整理をします。
kは実数なので絶対値を外すのは容易なはずです。)

別解)
条件から点Bは、点Aを原点中心に
±45°回転移動させて、原点からの
距離を1/√2倍したものになるので
B(z)とすると
z=(1/√2)(2-i)(cos45°+isin45°)
,(1/√2)(2-i)(cos45°-isin45°)
これより
z=(2-i)(1+i)/2,(2-i)(1-i)/2
∴z=(3+i)/2,(1-3i)/2
No.89567 - 2024/12/14(Sat) 10:36:22
★ (No Subject) / 中3の数学
中3の学力テストの問題です。
2の(4)が、解説を見ても解き方がわかりません。
No.89554 - 2024/12/13(Fri) 15:54:31
☆ Re: / 中3の数学
2の(4)の解説です。
No.89555 - 2024/12/13(Fri) 15:55:31
★ 数cベクトル高2 / ran
画像の緑マーカーで引いてあるところの式の出し方がわからないです。
BH が　sa+(t-1)b
AH が　(s-1)a+tb
になる理由を教えてください。
No.89549 - 2024/12/13(Fri) 08:53:59
☆ Re: 数cベクトル高2 / ran
画像です。青チャートです。
No.89550 - 2024/12/13(Fri) 08:55:17
☆ Re: 数cベクトル高2 / ヨッシー
ＯＡ・ＢＨ＝ａ・(ＯＨ−ｂ)
　　＝ａ・(ｓａ＋ｔｂ−ｂ)
　　＝ａ・{ｓａ＋(ｔ−1)ｂ}＝０
ＯＢ・ＡＨ も同様です。
No.89551 - 2024/12/13(Fri) 09:04:23
☆ (No Subject) / ran
大変わかりやすかったです。ありがとうございました。
No.89552 - 2024/12/13(Fri) 09:22:11
★ 高2数学c 立体ベクトル / 数学3C難しい
一辺の長さが2の正四面体ABCDでCDの中点をMとする時、MA・MBの内積を求めよ。答え　1

原点Oから平面x+2y+2z-27=0に垂線OHを引く時Hの座標を求めよ。
答え(3,6,6)
解き方がわかりません、解説よろしくお願いします
No.89546 - 2024/12/12(Thu) 22:09:12
☆ Re: 高2数学c 立体ベクトル / 数学3c難しい
MAとMBのベクトルはそれぞれ√3だと思うんですけどそこからどうすれば1になるのかわからないです
No.89547 - 2024/12/12(Thu) 22:14:00
☆ Re: 高2数学c 立体ベクトル / らすかる
前半
Aから面BCDに垂線AHを下すとHは△BCDの重心なので
HはMB上にあってMH=(1/3)MBです。
よって
(MA・MB)=|MA|cos∠AMB・|MB|=|MH||MB|=(√3/3)(√3)=1
となります。

後半
平面x+2y+2z-27=0の法線ベクトルは(1,2,2)なので
(∵x,y,zの係数が1,2,2)
直線OH上の点は(t,2t,2t)とおけます。
これをx+2y+2z-27=0に代入してtを出すとt=3となりますので
Hの座標は(3,6,6)となります。
No.89548 - 2024/12/12(Thu) 22:57:03
★ 合同式 / JIN
合同式で等式の両辺をcで割る場合、
次の(1)(2)は⇔で正しいですか。それとも⇒か←ですか。

a,b,c,sは自然数とする。
(1) cとｓが互いに素数であり、ｃで割る場合
ac≡bc (mod ｓ)　⇔　a≡b (mod ｓ)


(2) ｃとｓが互いに素数でなく、ｃとｓの最大公約数をｇとする。ｃで割る場合
ac≡bc (mod s )　⇔ a≡b (mod s/g )
No.89539 - 2024/12/12(Thu) 16:00:15
☆ Re: 合同式 / IT
(1) cとｓが互いに素数であり、ｃで割る場合
ac≡bc (mod ｓ)　⇔　a≡b (mod ｓ)

「互いに素数」は、正しい表現ですか？「互いに素な数」のことですか？（文脈からすると後者だと思いますが念の為）

例えばc=s=3（素数） のときは　「cとｓが互いに素数」ですか？
No.89541 - 2024/12/12(Thu) 19:07:09
☆ Re: 合同式 / jin
ごめんなさい。間違えました。
「互いに素数」ではなく「互いに素な数」のことにして、教えて下さい。
No.89542 - 2024/12/12(Thu) 20:14:11
☆ Re: 合同式 / IT
ac≡bc (mod ｓ)　⇔ac-bc ≡0(mod ｓ)　⇔　(a-b)c ≡0(mod ｓ)　

a≡b (mod ｓ)⇔a-b ≡0(mod ｓ)
ですから、

(a-b)c ≡0(mod ｓ)　と　a-b ≡0(mod ｓ)　について考えると分かり易いと思います。
No.89543 - 2024/12/12(Thu) 20:22:51
☆ Re: 合同式 / IT
(2) c=gt,s=gu とおいて考えるといいと思います。
このとき tとuは互いに素であり、u=s/g です。
No.89544 - 2024/12/12(Thu) 20:46:26
☆ Re: 合同式 / jin
（1）（2）は⇔で成り立つでよろしいと導けましたが、それで正しいですか。

また、「aとcが互いに素である」「aとcが互いに素でない」「tとcが互いに素である」「tとcが互いに素でない」「gとtが互いに素である」「gとtが互いに素でない」の場合も
⇔で成り立つで正しいですか。

例外など成り立たない例はありますか?
No.89545 - 2024/12/12(Thu) 21:51:21
☆ Re: 合同式 / JIN
（1）（2）は⇔で成り立つと思うのですが、以下の問題で
(a)と（ｄ）が一致しないのはなぜですか。


x≡1 (mod 6)　……(a)　
(a)より
x≡1 (mod 6)　……(b)

(a)+(b)より
2x≡2 (mod 6)　……(c)

2と6の最大公約数は2だから(c)より2で割って
x≡1 (mod 3)　……(d)
No.89553 - 2024/12/13(Fri) 12:12:08
☆ Re: 合同式 / IT
(c)→(a) は、なぜ言えるのですか？（言えませんよね）
No.89557 - 2024/12/13(Fri) 18:52:12
☆ Re: 合同式 / JIN
x≡1 (mod 6)　……(a)　　　　(a)より
x≡1 (mod 6)　……(b)
↓↑
(a)+(b)より(2と6は互いに素ではないのでmodも2倍）
2x≡2 (mod 6×2)　……(c)
ですかね。

(a)（b)ように簡単な式であれば、「(a)+(b)は(c)のように(a)を2倍で、この2とmodの6は互いに素」と気が付きますが、「(a)を何倍かして、新しく(e)式を作り、(a)の左辺に6xを加え加え(f)式を作り、(e)+(f)を計算など」を行う場合、
これが(a)の両辺を数倍（modの6と互いに素でない数をかけた）とどのように判断したらよいのですか。

また、一般に合同式の方程式は(a)と(b)→（c)→………→　x≡1 (mod 3)
など解（必要条件？）を求めたら、十分条件になっていることを確認するのですか。その場合、どのように確認をしますか。（求めた解を最初の式に代入して確認するのでしょうか）
No.89563 - 2024/12/14(Sat) 00:58:13
☆ Re: 合同式 / GandB
> 「(a)+(b)は(c)のように(a)を2倍で、この2とmodの6は互いに素」と気が付きますが、
　こういう愉快な文章を書くと、以後回答をもらえなくなるぞwwwww。
　なにしろ、「われわれが普通に学ぶ数学」においては、2 と 6 は「互いに素」ではないからな（笑）。
　以下適当な感想。

　No.89563 の(c)は
　　2x≡2 (mod 12)
なので、合同式の性質から

　　2x≡2 (mod 12)⇒x≡1 (mod 6) ……(1)

が成り立つが、No.89553 の(c)は
　　2x≡2 (mod 6)
なので

　　2x≡2 (mod 6)⇒x≡1 (mod 6)

は一般には成り立たない。たとえば、x = 16 としたとき
　　32≡2 (mod 6) ……(2)
であるが、この両辺を2で割った
　　16≡1 (mod 6)
は成り立たない。
　mod も含めて(2)の両辺を2で割った
　　16≡1 (mod 3)
は(1)と同じ理由で当然成り立つ。
No.89568 - 2024/12/14(Sat) 10:58:52
☆ Re: 合同式 / jin
「2とmodの6は互いに素と気が付きますが」は
「2とmodの6は互いに素でない」と気が付きますが」です。
変な質問になって、アドバイスしていただける方に負担をかけてすみませんでした。
No.89569 - 2024/12/14(Sat) 11:50:24
☆ Re: 合同式 / IT
>
> 「(a)を何倍かして、新しく(e)式を作り、(a)の左辺に6xを加え加え(f)式を作り、(e)+(f)を計算など」を行う場合、
> これが(a)の両辺を数倍（modの6と互いに素でない数をかけた）とどのように判断したらよいのですか。

的確なアドバイスか自信がないですが、
最終形だけみて判断すれば良いのでは？
No.89570 - 2024/12/14(Sat) 13:23:53
☆ Re: 合同式 / jin
最終形だけみて判断すれば良いようなので、
そのやり方で今後解きます。

ありがとうございました。
変な質問になってすみませんでした。
No.89576 - 2024/12/15(Sun) 07:13:12
★ 津田塾大学過去問 / Higashino
津田塾大学過去問

複素数平面

何卒よろしくお願いします

以下問題
No.89536 - 2024/12/12(Thu) 06:44:11
☆ Re: 津田塾大学過去問 / ヨッシー
(1)
　α＝β{cos(−60°)＋ｉsin(−60°)}
なので、αはβを大きさそのままで、Ｏを中心に−60°回転させた位置にあります。
よって、△Ｏαβは正三角形になります。
(2)
α＝ｚβ とおくと、
　α^2＋ａαβ＋ｂβ^2＝ｚ^2β^2＋ａｚβ^2＋ｂβ^2＝０
β≠０　より
　ｚ^2＋ａｚ＋ｂ＝０
ｚ＝１±ｉ
ｚ＝1/2±i/2
のとき、△Ｏαβは∠Ｏ＝45°の直角二等辺三角形になります。

ｚ＝１±ｉ のとき
　±２ｉ＋ａ(１±ｉ)＋ｂ＝０　(複号同順)
　ａ＋ｂ＝０、±(２＋ａ)＝０
よって
　ａ＝−２、ｂ＝２
逆にこのとき
　ｚ^2＋ａｚ＋ｂ＝０
は
　ｚ^2−２ｚ＋２＝０
となり、この解は
　ｚ＝１±ｉ
となり条件を満たします。

ｚ＝1/2±i/2 のとき
　±i/2＋ａ(1/2±i/2)＋ｂ＝０
　a/2＋ｂ＝０、±1/2(１＋ａ)
よって、
　ａ＝−１、ｂ＝1/2
逆にこのとき
　ｚ^2＋ａｚ＋ｂ＝０
は
　ｚ^2−ｚ＋1/2＝０
となり、この解は
　ｚ＝1/2±i/2
となり条件を満たします。

以上より、
　ａ＝−２、ｂ＝２　または　ａ＝−１、ｂ＝1/2
No.89537 - 2024/12/12(Thu) 11:01:53
☆ Re: 津田塾大学過去問 / Higashino
ヨッシー先生

返信が遅くなりまして申し訳ございませんでした

大変役に立つご回答で心から感謝いたします

私は別なプロして解いてみました

ご指摘アドバイス等あれば幸いです
No.89564 - 2024/12/14(Sat) 03:32:52
★ コラッツ予想 / 成清　愼
http://dongram.6te.net/web/index.php?p=1
そういうことだったのか。よろしくご査収の上ご批評賜りたく
No.89533 - 2024/12/11(Wed) 22:13:16
★ １次関数問題 / 数学苦手。
この問題教えてください！
No.89532 - 2024/12/11(Wed) 21:12:33
☆ Re: １次関数問題 / ヨッシー
次の事柄はすべて理解できますか？
(1) このグラフは下に凸のグラフである。
(2) ｘの範囲に頂点が含まれるときは、頂点で最小値を取る。
(3) 頂点から（左右とも）離れるほどｙの値は大きくなる。
(4) このグラフの頂点のｘ座標は a+1 である。
(5) ｘが１以上５以下の範囲の真ん中のｘ座標は３である。
(6) 頂点のｘ座標が３のとき、ａ＝２である。
(7) ａ＝２のとき、ｙはｘ＝１とｘ＝５の両方で同じ値となり、これがＭとなる。
(8) ａが２より小さい時、ｘ＝５のときのｙがＭとなる。
(9) ａが２より大きい時、ｘ＝１のときのｙがＭとなる。
No.89538 - 2024/12/12(Thu) 13:12:07
★ 島根大学過去問 / Higashino
島根大学過去問

複素数平面

なにとぞよろしくお願いします

以下問題
No.89530 - 2024/12/11(Wed) 07:28:29
☆ Re: 島根大学過去問 / X
条件から
z[2]=kz[1]
(kは0でない実数)
と置くことができるので
a+2-i=3k+i(2a-1)k
∴複素数の相等の定義により
a+2=3k (A)
-1=(2a-1)k (B)
(A)より
k=(a+2)/3 (A)'
これを(B)に代入して
-1=(2a-1)(a+2)/3
これより
2a^2+3a+1=0
(2a+1)(a+1)=0
∴a=-1/2,-1
このとき、(A)'より
いずれのaの値に対しても
k≠0
∴a=-1/2,-1
No.89531 - 2024/12/11(Wed) 18:46:14
☆ Re: 島根大学過去問 / Higashino
x 先生、こんにちは

ご回答ありがとうございます

以下のように考えました　ご指摘等ございましたらよろしくお願いいたします
No.89535 - 2024/12/12(Thu) 00:32:06
☆ Re: 島根大学過去問 / X
二つの方針、共に問題ないと思います。
No.89540 - 2024/12/12(Thu) 17:27:30
★ 東京大学過去問 / Higashino
東京大学過去問

複素数平面

なにとぞよろしくお願いします

以下問題
No.89519 - 2024/12/09(Mon) 06:03:29
☆ Re: 東京大学過去問 / Higashino
以下問題です
No.89520 - 2024/12/09(Mon) 06:05:15
☆ Re: 東京大学過去問 / X
(1)
条件から
(z[3]-z[2])/(z[1]-z[2])=(√3+i)/(1+i√3)
=(√3+i)(1+i√3)/4
={cos(π/6)+isin(π/6)}{cos(π/3)+isin(π/3)}
=i
これをwとすると、点P[1],P[2],P[3]の位置関係から
∠P[1]P[2]P[3]=Argw=π/2

(2)
上の計算過程から
P[1]P[2]=P[2]P[3]=1
これと(1)の結果から、求める面積は
(1/2)P[1]P[2]・P[2]P[3]=1/2

(3)
条件から
α=(4/3){cos(π/3)+isin(π/3)} (A)
∴ある複素数にαをかけることは、複素平面上において
原点中心のπ/3の回転移動となる変換
と
原点から見た4/3倍の拡大変換
の合成変換と見なすことができるので
(2)の結果から
(△Q[1]Q[2]Q[3]の面積)=(△P[1]P[2]R[3]の面積)・(4/3)^2
=2/9

(4)
Q[2](u)とすると、(A)と条件から
u=(4/3){cos(π/3)+isin(π/3)}・{(1+√3)/√2}{cos(π/4)+isin(π/4)}
=(2/3)(√2+√6){cos(7π/12)+isin(7π/12)}
∴求める角は
Argu=7π/12
No.89523 - 2024/12/09(Mon) 18:21:55
☆ Re: 東京大学過去問 / Higashino
x 先生、こんばんは

ご返信が遅くなり申し訳ございませんでした

先生とは異なる答えですが

その点も踏まえ、アドバイスなどいただければ幸いです

以下答案
No.89534 - 2024/12/12(Thu) 00:10:05
★ 九州大学過去問 / Higashino
九州大学過去問

複素数平面

なにとぞよろしくお願いします

以下問題
No.89518 - 2024/12/09(Mon) 04:23:34
☆ Re: 九州大学過去問 / X
問題の正六角形の対角線の交点をwとすると、
条件からwはz[1],z[4]を結ぶ線分の中点ゆえ
w=(z[1]+z[4])/2 (A)
又
z[2]-w=(z[1]-w){cos(π/3)+isin(π/3)}
∴z[2]-w=(z[1]-w)(1+i√3)/2 (B)
同様にして
z[6]-w=(z[1]-w)(1-i√3)/2 (C)
z[3]-w=(z[2]-w)(1-i√3)/2 (D)
z[5]-w=(z[2]-w)(1+i√3)/2 (E)
(A)を(B)(C)(D)(E)に代入して
z[2]=(z[1]+z[4])/2+(z[1]-z[4])(1+i√3)/4
z[3]=(z[1]+z[4])/2+(z[4]-z[1])(1-i√3)/4
z[5]=(z[1]+z[4])/2+(z[4]-z[1])(1+i√3)/4
z[6]=(z[1]+z[4])/2+(z[1]-z[4])(1-i√3)/4
もう少し整理をして
z[2]=(3+i√3)z[1]/4+(1-i√3)z[4]/4
z[3]=(1+i√3)z[1]/4+(3-i√3)z[4]/4
z[5]=(1-i√3)z[1]/4+(3+i√3)z[4]/4
z[6]=(3-i√3)z[1]/4+(1+i√3)z[4]/4
No.89522 - 2024/12/09(Mon) 17:48:07
☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino
ｘ 先生
おはようございます
お世話になりっぱなしで
心から感謝いたします
いつもいつもありがとうございます
今回の答案も先生とはずいぶん異なりますが
ご指摘アドバイスなどいただければ幸いです
No.89524 - 2024/12/10(Tue) 09:28:20
☆ Re: 九州大学過去問 / X
No.89522ですが、もう少し計算をして整理をしました。
再度ご覧下さい。
No.89527 - 2024/12/10(Tue) 21:51:29
★ 横浜市立大学過去問 / Higashino
横浜市立大学過去問

複素数平面

何卒よろしくお願いします

以下問題
No.89501 - 2024/12/08(Sun) 12:50:14
☆ Re: 横浜市立大学過去問 / Higashino
ｘ 先生こんばんは


ご回答ありがとうございます

これもまたｘ先生とは
アプローチの仕方が違いますので
「自分の回答が不安です
ご指摘アドバイスいただけると幸いです
何卒よろしくお願いいたします
No.89507 - 2024/12/08(Sun) 23:04:35
☆ Re: 横浜市立大学過去問 / X
(1)は問題ないのですが、(2)は答えとしている
P,Qの値以外に題意を満たすものが存在しない
ことを示していないので不十分です。
(添付された図の考えで行けば、
円周角により、点Qは
OPを直径とする円と直線lとの交点
ならばP≠Qを満たす限り、
どこでもいいはずですので)
No.89508 - 2024/12/08(Sun) 23:17:11
☆ Re: 横浜市立大学過去問 / Higashino
ｘ先生こんばんは
ご指摘いただきありがとうございます

ーーーーーーーーーー＿−−


円周角により、点Qは
OPを直径とする円と直線lとの交点
ならばP≠Qを満たす限り、
どこでもいいはずですので)

ーーーーーーーーーー＿−−



点Ｐは円周上の点ですので
どこでもいいというわけではないと思うのですが

よろしくお願いします
No.89512 - 2024/12/08(Sun) 23:43:50
☆ Re: 横浜市立大学過去問 / X
点Pを原点を中心とする半径1の円周上に取った上で
更にOPを中心とする円を描き、
それと直線lとの交点を考えると
点P,Qの取り方は無数にあるのに、何故
P(i),Q((1+i)/2)
P(-i),Q((1-i)/2)
以外の点は不適となるのかの理由が書かれていない、
という意味です。

上記以外の点P,Qの取り方では、点P,Qの対応関係が
1対1とならない、という記述が抜けている
ということです。
No.89515 - 2024/12/08(Sun) 23:53:28
☆ Re: 横浜市立大学過去問 / Higashino
夜遅くなるのに
度々本当に申し訳ございません
お付き合いしていただいていることに感謝致します
まず点はＰは
x=0上にあることは自明として良いのでしょうか

何卒よろしくお願いします
No.89516 - 2024/12/09(Mon) 00:06:15
☆ Re: 横浜市立大学過去問 / X
自明とはできないと思います。

まず、押さえなければならないのは、条件から
円周角により、点Qは
線分OPの中点を中心とする半径OP/2(=1/2)の円
(Cとします)
の上の点ということです。
ここでP(z),Q(1/(1-z))により、点P,Qは1対1
の対応関係でなければならない、つまり

l上で取れるQは一つのCに対して、ただ一つ

である必要があるので
Cはlに接することが必要十分です。

よって、(1)の結果から
線分OPの中点をRとすると
OR=RQ=1/2かつRQ⊥l
∴R(i/2)又はR(-i/2)
∴P(i)又はP(-i)
となります。
No.89521 - 2024/12/09(Mon) 17:33:11
☆ Re: 横浜市立大学過去問 / Higashino
ｘ先生
貴重なアドバイスありがとうございます
少し時間をくださいゆっくり考えてみます
No.89525 - 2024/12/10(Tue) 09:37:04
★ 名古屋大学過去問 / Higashino
名古屋大学過去問
複素数平面
何卒よろしくお願いします以下問題
No.89496 - 2024/12/08(Sun) 05:59:50
☆ Re: 名古屋大学過去問 / X
zの共役複素数を\zと書くことにします。

問題の不等式を(A)とすると
(i)a=0のとき
(A)は題意を満たします。
(ii)a≠0のとき
z=w/a
と置くと、(A)は
|w|^2+(w+\w)|a|^2+|a|^2≧0
∴|w+|a|^2|^2≧(|a|-1)(|a|+1)|a|^2
よって題意を満たすためには
(|a|-1)(|a|+1)|a|^2≦0
∴0＜|a|≦1

以上から、題意を満たすa全体の集合をA
とすると
A={a|aは0≦|a|≦1を満たす複素数}

複素平面に図示をすると、
題意を満たす領域は
原点を中心とする半径1の円の周及び内部
となります。
No.89498 - 2024/12/08(Sun) 11:06:33
☆ Re: 名古屋大学過去問 / Higashino
ｘ先生
今日は
ご回答ありがとうございます
いつもいつもすいません
先生とはだいぶ違う考え方をしてしまったので自分の考え方に不安があります
ご指摘アドバイスなどいただけると幸いです以下答案
No.89500 - 2024/12/08(Sun) 12:38:10
☆ Re: 名古屋大学過去問 / X
私も引っ掛かりそうになったのですが
|z+a|^2=(z+a)(\z+\a)
=|z|^2+a(\z)+(\a)z+a(\a)
ですので、添付写真の解答の一行目は
誤りです。
No.89504 - 2024/12/08(Sun) 22:08:35
☆ Re: 名古屋大学過去・問 / Higashino
ｘ先生こんばんは

ご指摘いただきありがとうございます

ただご指摘の内容がよくわかりません

正しくは半径の長さはどのように表わされるのでしょうか

教えてください

何卒よろしくお願いします
No.89506 - 2024/12/08(Sun) 23:00:12
☆ Re: 名古屋大学過去問 / Higashino
>aが実数でないとき
>(問題の不等式の左辺)=0
<なる方程式が円の方程式とはならない

とはどういう理由からでしょうか
教えてください
何卒よろしくお願いします
No.89510 - 2024/12/08(Sun) 23:29:39
☆ Re: 名古屋大学過去問 / X
ごめんなさい。こちらが勘違いしていたようです。
|z|^2+az+\a\z+1=|z+\a|^2-a\a+1
と円の方程式になるように変形できますね。
わざわざ
z=w/a
と置き換える必要はなかったようです。
No.89511 - 2024/12/08(Sun) 23:35:11
☆ Re: 名古屋大学過去問 / X
で改めてNo.89500についてですが、
下から3,4,5行目は不要だと思います。
No.89513 - 2024/12/08(Sun) 23:45:05
☆ Re: 名古屋大学過去問 / Higashino
ｘ先生
度々すみません
夜遅くのに申し訳ありません
それ以降の答案は正しいのでしょうか
何卒よろしくお願いします
No.89514 - 2024/12/08(Sun) 23:47:13
☆ Re: 名古屋大学過去問 / Higashino
回答が行き違いになりましたね
ご回答ありがとうございました
自分の考え方に自信が持てなかったので
解決できて幸いです
これからも何卒よろしくお願いします
No.89517 - 2024/12/09(Mon) 00:17:58
★ 2変数関数の最大値 / 清瀬
xとyは、それぞれ、0＜x＜1、0＜y＜1を満たす実数である。

xとyが、2x+2y=2xy+1を満たすとき、xyの最大値を求めなさい。

yを消去して、f(x)=(x-2x^2)/2(1-x)を微分して、一応、正答の3/2-√2を求めることはできたのですが、品がないと注意されました。

対称性を活かすなど、もっといろいろな解き方があるらしいのですが、一文字消去以外で、どうやって解いたらよいでしょうか。
No.89489 - 2024/12/07(Sat) 10:40:51
☆ Re: 2変数関数の最大値 / IT
私は、微分法も思いつきやすくて良いと思います。

（別解）二次方程式の解と係数の関係
b=x+y,c=xy とおくと
二次方程式の解と係数の関係から
x,y は　t^2-bt+c=0の２つの解

2b=2c+1∴b=c+(1/2)なので
t^2-(c+(1/2))t+c=0 が0<x,y<1 なる解を持つ条件を調べる

ｆ(ｔ)＝t^2-(c+(1/2))t+cとして
判別式≧0,軸が0< <1 で　f(0)>0,f(1)>0 。
No.89490 - 2024/12/07(Sat) 12:09:04
☆ Re: 2変数関数の最大値 / らすかる
(x+y)^2-(x-y)^2=4xy　（恒等式）
条件から4xy=4x+4y-2なので
(x+y)^2-(x-y)^2=4x+4y-2
移項などして
(x+y)^2-4(x+y)+4=(x-y)^2+2
左辺を因数分解して
(x+y-2)^2=(x-y)^2+2
左辺のカッコ内は負なので
2-(x+y)=√{(x-y)^2+2}
条件からx+y=xy+1/2なので代入して
2-(xy+1/2)=√{(x-y)^2+2}
よって
xy=3/2-√{(x-y)^2+2}
となるので、xyの最大値はx=yのときで
xy=3/2-√2

ちなみに一文字消去でも相加相乗平均を使えば
2x+2y=2xy+1からy=(2x-1)/(2x-2)なので
xy=(2x-1)x/(2x-2)
=3/2-{(1-x)+1/(2-2x)}
≦3/2-2√{(1-x)・1/(2-2x)}
=3/2-√2
（等号は1-x=1/(2-2x)のとき、すなわちx=y=1-1/√2のとき）
のように簡潔に示せますね。
No.89491 - 2024/12/07(Sat) 13:05:21
☆ Re: 2変数関数の最大値 / IT
グラフで考える方法(厳密性が？ですが）

2x+2y=2xy+1を変形すると (x-1)(y-1)=1/2 なので
(x,y) は 漸近線が x=1, y=1である双曲線上にある。
0<x<1,0<y<1 なので左下側。

グラフからxy=x+y+(1/2) が最大になるのはx=y のときで
x<1なので　x-1＝-√(1/2)
∴x=1-√(1/2) ( これは0<x<1を満たす)

したがってxy=2(1-√(1/2))+(1/2)=(3/2)-√2 が最大値
No.89492 - 2024/12/07(Sat) 16:47:30
☆ Re: 2変数関数の最大値 / IT
らすかるさんのと本質的には同じですが
s=x+y,t=x-yとおくと　（記述量が減って見通しが良くなるかも）
2x+2y=2xy+1よりxy=s-(1/2)なので sの最大値を求めれば良い。
s^2-t^2=4xy
xy=s-(1/2)を代入
s^2-t^2=4s-2
移項してs^2-4s+2-t^2=0
sについて解くとs=2±√(4-2+t^2)
s<2 なのでs=2-√(2+t^2)≦2-√2
No.89493 - 2024/12/07(Sat) 22:00:57
☆ Re: 2変数関数の最大値 / 清瀬
IT様　らすかる様

ご回答、大変ありがとうございます。
素晴らしい発想力の数々に圧倒されてしまいました。

現実的には、らすかる様の”一文字消去での相加相乗平均”か、IT様の”双曲線グラフによる方法”が一番良さそうですね。

らすかる様の”恒等式”は、なかなか使いこなせるか自信がないです。

お二人様、重ね重ね、ありがとうございました。

ちなみに、以前、らすかる様にヒントをたくさんいただきました、”平面による空間分割の個数”にはまだ挑戦し続けてます。
No.89495 - 2024/12/07(Sat) 23:28:03
☆ Re: 2変数関数の最大値 / 黄桃
今更ですが、文系用？の解を。

2x+2y=2xy+1 ⇔ 2(1-x)(1-y)=1
だから、
u=1-x
v=1-y
とおくと、
0<u<1
0<v<1
2uv=1
のもとで、
xy=3/2-(u+v)
を最大にする問題となる。
相加相乗平均より、
u+v>=2√(uv)=√2, 等号はu=v=1/2 の時に成立、だから、
u+vの最小値は√2,したがってxyの最大値は3/2-√2
No.89502 - 2024/12/08(Sun) 12:53:58
☆ Re: 2変数関数の最大値 / IT
黄桃さん＞
> u+v>=2√(uv)=√2, 等号はu=v=1/2 の時に成立、

等号はu=v=1/√2 ・・・の入力ミスですね？
No.89503 - 2024/12/08(Sun) 14:05:14
☆ Re: 2変数関数の最大値 / 黄桃
> 黄桃さん＞
> > u+v>=2√(uv)=√2, 等号はu=v=1/2 の時に成立、
>
> 等号はu=v=1/√2 ・・・の入力ミスですね？

あら、そうですね。失礼しました。
No.89578 - 2024/12/15(Sun) 12:42:05
★ 大分大学過 / Higashino
大分大学過去問

複素数平面

なにとぞよろしくお願いします

以下問題

汚い画像で申し訳ございません
No.89488 - 2024/12/07(Sat) 06:57:05
☆ Re: 大分大学過 / Higashino
私用答案です

ご指摘アドバイスなどございましたら、何卒よろしくお願いいたします
No.89494 - 2024/12/07(Sat) 22:50:12
★ 名城高校 過去問 / 独ソ不可侵条約
問題は以下です。
No.89484 - 2024/12/06(Fri) 18:43:44
☆ Re: 名城高校 過去問 / 独ソ不可侵条約
画像の上半分は無視してください。以下は問題文の続きです。

名城さん以外の11人は先にゲームを行いもらえたアメの個数は以下のようになった。
1,5,2,1,2,3,4,5,5,2,4

このあと名城さんがサイコロを投げるとき、次の問いに答えなさい。大小2個それぞれのサイコロは1から6までのどの目が出ることも同様に確からしいとする。

12人の小学生がもらえたアメの個数の最頻値が素数のみになる確率は(エ/オ)である。
正解　2/3
自分の回答 7/9
自分の思考 最大は√36=6,最小が√1=1
だから、整数部分は1~6のどれか。
整数部分が
1の場合、最頻値は1,2,5だからだめ
2の場合、最頻値は2だからOK
3の場合、最頻値は2,5だからOK
4の場合、最頻値は2,4,5だからだめ
5の場合、最頻値は5だからOK
6の場合、最頻値は2,5だからOK
整数部分が1になるのは(a,b)=(1,1)
4になるのは(a,b)=(3,6)(4,4)(4,5)(4,6)(5,4)(6,3)(6,4)
だから整数部分が2,3,5,6になるのは36-8=28通り
28/36=7/9
No.89485 - 2024/12/06(Fri) 18:55:28
☆ Re: 名城高校 過去問 / IT
√(ab)の整数部分が1になるのは(a,b)=(1,1)(1,2)(1,3).... (3,1)です
No.89486 - 2024/12/06(Fri) 20:31:36
★ 相加・相乗平均 / あ
相加・相乗平均の使い方のコツを教えてください。
No.89482 - 2024/12/05(Thu) 09:56:59
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