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ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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★ 組み合わせの答えと解き方を教えてください。 / すけ
Aさんは10枚、Bさんは5枚、Cさんは6枚カードを持っています。
以下の条件下で、それぞれが1枚ずつカードを出した時、組み合わせが何通りあるか、またその解き方を教えてください。

【条件】
?@3人が持っている計21枚のカードは全て異なるカードです。
?A同じカードを何回出しても大丈夫です。（重複あり）
No.86661 - 2023/11/01(Wed) 16:52:23
☆ Re: 組み合わせの答えと解き方を教えてください。 / ヨッシー
問題文が「１回出したら終わり」のような感じなのに、
条件に「何回出しても」とあるのは不自然です。
問題文に間違いはありませんか？また、これで全部ですか？
No.86662 - 2023/11/01(Wed) 17:59:23
☆ Re: 組み合わせの答えと解き方を教えてください。 / WIZ
> ヨッシーさんへ
# 横から失礼します。

「組み合わせが何通りあるか」ということなので、
各自が１枚ずつカードを出すという試行を複数回繰り返すということなのではないでしょうか?
つまり「同じカードを何回出しても大丈夫」とは、
過去の試行で出したことのあるカードを今回の試行で再度出しても良いということだと思います。

・・・とは言っても、今までに出た組み合わせを記録して、違う組み合わせだったらカウントするとして、
どんなにたくさん試行を繰り返しても全ての組み合わせを網羅したかを確認するすべはないので、
問題文に違和感があるのは私も同じです。
No.86663 - 2023/11/01(Wed) 21:14:40
★ (No Subject) / ネコ丸
ありがとうございます。
No.86659 - 2023/11/01(Wed) 11:22:21
☆ Re: / ヨッシー
求める角度は　∠ＢＡＢ’(緑) です。
　∠ＢＡＣ＋∠ＢＡＢ’(緑)＝180°
であり、
　∠ＢＡＣ＝65°
であるので、
　∠ＢＡＢ’(緑)＝180°−65°
となります。
No.86660 - 2023/11/01(Wed) 11:41:09
★ (No Subject) / ネコ丸
どうしてこうなるのか教えてください。
中1の平面図形の問題です。
No.86657 - 2023/11/01(Wed) 10:07:35
☆ Re: / ヨッシー
画像が消えています。
おそらく、一度プレビューを押して、その時にファイルの選択が消えたものと思われます。
No.86658 - 2023/11/01(Wed) 11:02:50
★ 極限 / だぺろりん
画像の問題で、
(1)はそれぞれ√2 と1
(2)はI_nの式を1回部分積分して、途中の式変形で(cosh x)^2=(sinh x)^2+1を使うことで、(n+2)I_{n+2} = -(n+1)I_n +√2 になりました。(計算ミスがあったら申し訳ありません)
(3)が分かりません。よろしくお願いします。
No.86652 - 2023/10/29(Sun) 22:54:35
☆ Re: 極限 / WIZ
(1)(2)は合っていると思います。

(3)
sinh(x)はxが実数であれば増加関数であり、
0 ≦ x ≦ aで0 ≦ sinh(x) ≦ 1です。
特に、0 < x < aでは0 < sinh(x) < 1です。
⇒ 0 < x < aでは、非負整数nに対して0 < sinh(x)^(n+1) < sinh(x)^n
⇒ 0 < ∫[0,a]{sinh(x)^(n+1)}dx < ∫[0,a]{sinh(x)^n}dx
⇒ 0 < I[n+1] < I[n]
となります。

上記からI[n]は下界があリ単調減少ですから極限を持ちますので、その値をBとします。
I[n+2] > BかつI[n] > Bですから、漸化式から、
√2 = (n+2)I[n+2]+(n+1)I[n] > (2n+3)Bとなりますが、
もしB > 0であれば、nがある一定以上の値で(2n+3)Bが√2以上となってしまい矛盾です。
よって、B = 0でなければなりません。

次に、n*I[n] = n∫[0,a]{sinh(x)^n}dx
= ∫[0,a]{((sinh(x)^n)')sinh(x)/cosh(x)}dx
= [(sinh(x)^n)sinh(x)/cosh(x)]_[0,a]-∫[0,a]{(sinh(x)^n)/(cosh(x)^2)}dx
= (1/√2)-∫[0,a]{(sinh(x)^n)/(cosh(x)^2)}dx

ここで、0 ≦ x ≦ aで1 ≦ cosh(x) ≦ √2より、
⇒ 1/2 ≦ 1/(cosh(x)^2) ≦ 1
⇒ ∫[0,a]{(sinh(x)^n)*(1/2)}dx < ∫[0,a]{(sinh(x)^n)/(cosh(x)^2)}dx < ∫[0,a]{(sinh(x)^n)*1}dx
⇒ (1/√2)-I[n] < n*I[n] < (1/√2)-I[n]/2

n→∞のときI[n]→0ですから、挟み撃ちによりn*I[n]→1/√2となります。

# 検算みたいなもの。
極限が存在すると仮定して、lim[n→∞]{n*I[n]} = Aとすると、
漸化式より、(n+2)I[n+2] = {-(n+1)/n}{n*I[n]}+√2となりますが、
n→∞のとき、(n+2)I[n+2]→A, (n+1)/n→1ですから、
A = -1*A+√2より、A = 1/√2となります。
No.86655 - 2023/10/30(Mon) 19:24:27
★ 複素数 / だぺろりん
画像の問題で、(1)は -αβ であり、(2)で重心が一致する条件が
1+α^2+α^2β^2=α+α^2β-αβ
になって、結局α=βとなることを示せば良いと思うのですが、そこから先が分かりません。よろしくお願いします。
No.86651 - 2023/10/29(Sun) 21:05:22
☆ Re: 複素数 / X
以下、例えば複素数zの共役複素数を\zと書くことにします。

条件から
\αα=\ββ=1
に注意して、
1+α^2+(α^2)(β^2)=α+(α^2)β-αβ
の両辺に\(αβ)をかけると
αβ+\(αβ)+α\β=\β+α-1
これをθ[1],θ[2]を使って書き直すと
2cos(θ[1]+θ[2])+cos(θ[1]-θ[2])+isin(θ[1]-θ[2])
=cosθ[1]+cosθ[2]-1+i(sinθ[1]-sinθ[2])
∴複素数の相等の定義により
2cos(θ[1]+θ[2])+cos(θ[1]-θ[2])=cosθ[1]+cosθ[2]-1 (A)
sin(θ[1]-θ[2])=sinθ[1]-sinθ[2] (B)
(B)より
2sin{(θ[1]-θ[2])/2}cos{(θ[1]-θ[2])/2}
=2cos{(θ[1]+θ[2])/2}sin{(θ[1]-θ[2])/2}
sin{(θ[1]-θ[2])/2}{cos{(θ[1]+θ[2])/2}-cos{(θ[1]-θ[2])/2}}=0
sin{(θ[1]-θ[2])/2}sin(θ[1]/2)sin(θ[2]/2)=0 (B)'
ここで
θ[1]＞0,θ[2]＞0,θ[1]+θ[2]＜π (C)
により
0＜θ[1]/2＜π/2,0＜θ[2]/2＜π/2 (C)'
∴sin(θ[1]/2)sin(θ[2]/2)≠0
なので、(B)'より
sin{(θ[1]-θ[2])/2}=0
(C)'より
-π/2＜(θ[1]-θ[2])/2＜π/2
∴θ[2]=θ[1] (B)"
(B)"を(A)に代入すると
2cos2θ[1]+1=2cosθ[1]-1
これより
4(cosθ[1])^2-2cosθ[1]=0
(2cosθ[1]-1)cosθ[1]=0
∴cosθ[1]=0,1/2
となるので、(B)"(C)'より
(θ[1],θ[2])=(π/2,π/2),(π/3,π/3)
ところが、(C)により
(θ[1],θ[2])=(π/2,π/2)
のときは不適ゆえ
(θ[1],θ[2])=(π/3,π/3) (D)

∴円周角により
∠ACE={2π-(2θ[1]+2θ[2])}/2
=π-(θ[1]+θ[2])
=π/3 (E)
更に(D)により、点A,Eは直線OCに関し対称ゆえ
△ACEはAC=CEの二等辺三角形 (F)
(E)(F)により△ACEは正三角形になります。
No.86654 - 2023/10/30(Mon) 19:20:10
☆ Re: 複素数 / X
＞＞だぺろりんさんへ
ごめんなさい。No.86654で誤りがありましたので
直接修正しました。
再度ご覧下さい。
No.86656 - 2023/10/31(Tue) 18:17:51
★ この問題について教えて下さい / 太郎丸
数列a(n)=α1×n+α2
数列b(n)=β1×β2^(n−1)

のとき

｛c(n)｝=｛a(n)｝∧｛b(n)｝

となるような数列c(n)と，c(n)が空集合でない条件を求めよ。

について教えて下さい！
No.86650 - 2023/10/29(Sun) 12:46:11
★ (No Subject) / 蘆川
数列｛a(n)｝はa(1)=1,a(n+1)=(n+1)(a(n)+n!)を満たしている。(n=1,2,…）
(1)a(n)の一般項を求めよ。
(2)　割愛

(1)の解答はa(n)=n・n!なんですが、どうやって求めるのか分かりません。解説してください。
No.86647 - 2023/10/27(Fri) 23:21:52
☆ Re: / X
(1)
問題の漸化式の両辺を(n+1)!で割って
a[n]/n!=b[n]
と置くと、{b[n]}は公差1の等差数列になります。
No.86648 - 2023/10/28(Sat) 09:07:45
☆ Re: / 蘆川
なるほどです
ありがとうございました
No.86649 - 2023/10/28(Sat) 11:14:27
★ (No Subject) / 吉田
x = a + 3b - c
y = 2a + b + c
(1 <= a <= 2, 1 <= b <= 2, 1 <= c <= 2)
の通過領域を求めよ

この問題について、それぞれ1文字消去した3式の最大値と最小値を求めてその共通部分が通過領域となる。という解法がありました。

1文字消去していない三式を作って(同値変形、x , y , a, b, c の関係式)それぞれの式で同様に最大値、最小値を評価したものの、共通部分が成す領域が、十分性を持たないのはなぜですか？
媒介変数表示の通過領域について、
1文字消去を絶対に行わないと行けないということでしょうか。それはどうしてなのでしょうか。
No.86639 - 2023/10/26(Thu) 22:14:11
☆ Re: / らすかる
xとyに関連性があるためです。もしxの最小値から最大値の任意の値に対してyも最小値から最大値の任意の値をとるのであれば、共通部分が十分性を持ちますが、そうでない限り十分性は持ちません。
例えばx^2+y^2≦1という単位円の周及び内部の領域があり、xとyを個別に考えると-1≦x≦1,-1≦y≦1ではありますが、「-1≦x≦1かつ-1≦y≦1である領域」は明らかに円ではないですね。それと同じです。
No.86640 - 2023/10/27(Fri) 06:36:42
☆ Re: / 吉田
>> もしxの最小値から最大値の任意の値に対してyも最小値から最大値の任意の値をとるのであれば、共通部分が十分性を持ちます

つまり、xが定まればyが定まるような関係式を立てる必要があり、複数変数の媒介変数表示の場合、十分性を保つためには、その関係式をできるだけ少ない文字で表す事が必要という事ですか？
No.86641 - 2023/10/27(Fri) 08:24:15
☆ Re: / らすかる
「絶対に必要」ということはないと思いますが、xとyの関係式を立てた方が通過領域がわかりやすくなるのは確かですね。
No.86643 - 2023/10/27(Fri) 13:34:22
☆ Re: / 吉田
なんとなく理解できました。ありがとうございました。
No.86644 - 2023/10/27(Fri) 16:35:06
★ 虚数 / えっとう
虚数って2乗したらー１になる数なんですよね。
そんな数なぜありえるんですか？
性質と、表し方も教えてください。
No.86638 - 2023/10/26(Thu) 20:29:34
☆ Re: 虚数 / ヨッシー
２乗して−１になる数の１つをｉで表します。
もう１つは−ｉです。
２乗して−４になる数は２ｉと−２ｉ
２乗して−２になる数は √2ｉ と −√2ｉ　です。

ｉを虚数単位と言い、ｉ^2＝−１であること以外は、
ｘやｙなどの文字と同じように扱えます。
　（１−２ｉ)＋（３＋５ｉ）＝４＋３ｉ
　(２＋ｉ)(３−２ｉ)＝６＋３ｉ−２ｉ−２ｉ^2＝６＋ｉ＋２＝８＋ｉ

>そんな数なぜありえるんですか？
−５ｍのロープなんてものはありえませんね。
でも、負の数を使っていろいろ計算に使っています。
その方が、式が１つで済むなど色々便利だからです。
虚数も、それを考えることによって色々便利であることがわかったので、
ありえない（手にとって実感できない）数を、約束して使うようになったのです。
実用面で何に使われるかというのは
↓こちらなど。

No.86642 - 2023/10/27(Fri) 08:43:58
★ 解き方がわかりません。a≠0とa=0で考えa≠0の正負それぞれ最大最小6パターンで場合分けして考えればいいのですか?何方か解法を教えてください / yyyy
f(x)=ax^2-4x+3(a≦x≦a+2)の最大最小を求めよ
No.86631 - 2023/10/25(Wed) 19:53:06
☆ Re: 解き方がわかりません。 / ヨッシー
ａ＝０ のときは、別途考えるとして、
ａ≠０ のときは、頂点のｘ座標が 2/a になりますので、
a≦x≦a+2 この範囲にそれが入るのか。入る場合、左寄りか右寄りかによって、
最小、最大の位置が変わってきます。

1) ａ＞０（下に凸）の場合
1-1) 2/a＜ａ となるのは √2＜a のとき
　このとき
　　f(a)＝a^3−4a＋3 が最小
　　f(a+2)＝a(a+2)^2-4(a+2)+3＝a^3＋4a^2−5　が最大
1-2) a≦2/a＜a+1 となるのは 1＜a≦√2 のとき
　このとき
　　f(a+1)＝a(a+1)^2-4(a+1)+3＝a^3＋2a^2−3a−1　が最小
　　f(a+2)＝a(a+2)^2-4(a+2)+3＝a^3＋4a^2−5　が最大
1-3) a+1≦2/a＜a+2 となるのは √3−1＜a≦１　のとき
　このとき
　　f(a+1)＝a(a+1)^2-4(a+1)+3＝a^3＋2a^2−3a−1　が最小
　　f(a)＝a^3−4a＋3 が最大
1-4) a+2≦2/a となるのは 0＜a≦√3−1 のとき
　このとき
　　f(a+2)＝a(a+2)^2-4(a+2)+3＝a^3＋4a^2−5　が最小
　　f(a)＝a^3−4a＋3 が最大

こんな感じで、ａ＜０（上に凸）の場合も考えます。
No.86637 - 2023/10/26(Thu) 10:28:43
★ 中学3年　発展 / ねこぬん
やり方が分かりません。詳しく書いてくださったら幸いです。
No.86626 - 2023/10/25(Wed) 16:01:28
☆ Re: 中学3年　発展 / X
(1)
条件から点Qのx座標はaですので
Q(a,2a-4)

(2)
これは点Rの座標をaで表す必要はありません。

まず、点Aのx座標をbとすると、条件から
2b-4=0
これより
b=2
なのでA(2,0)
ここでQA=QRより、△QARは二等辺三角形ですので
条件から線分PQは辺ARの垂直二等分線。

よって△QAPの面積は△QARの面積の半分なので
(1)の結果から、△QAPの面積について
(1/2)(a-2)(2a-4)=(1/2)×18
これより
(a-2)^2=9
a-2=3,-3
a=5,-1
条件より2＜aゆえ
a=5
よって
P(5,0)
No.86628 - 2023/10/25(Wed) 18:11:37
★ (No Subject) / 算数やり直し
解説の12✖︎60分の90ですがどこから12がでてきたんですか？
No.86624 - 2023/10/25(Wed) 00:53:53
☆ Re: / ヨッシー
グラフの左下の部分で、妹が姉を追い抜く地点までの距離を
姉は90分、妹は30分で進むので、妹は姉の３倍の速さとわかります。
これが 4×3＝12km/時 です。
No.86625 - 2023/10/25(Wed) 08:42:03
★ 導関数の公式 / 前進
1/hになる意味がわかりません。よろしくお願いいたします
No.86619 - 2023/10/24(Tue) 23:42:18
☆ Re: 導関数の公式 / 前進
過程です
No.86620 - 2023/10/24(Tue) 23:46:18
☆ Re: 導関数の公式 / GandB
> 1/hになる意味がわかりません。
　？？？

「分数関数の導関数の導出」で検索。
　たとえば
　　https://manabitimes.jp/math/2047
に、より一般的な分数関数 f(x)/g(x) の導出例がある。
No.86622 - 2023/10/25(Wed) 00:30:56
☆ Re: 導関数の公式 / 前進
こちらであっていますでしょうか？
No.86632 - 2023/10/25(Wed) 21:33:43
☆ Re: 導関数の公式 / 前進
一旦ここは飛ばして公式だけ覚えてまた戻ってくるのかもしれません
No.86633 - 2023/10/25(Wed) 21:52:46
☆ Re: 導関数の公式 / 前進
⚪︎(分子)と△(分母)それぞれ囲った部分で分母同士（1/h）を前に出して
残った分子同士が後ろに来るという積み木のようなものが成り立つのでしょうか？ それが次の式になります。

あまり戻りたくありませんが、もし教えてくださるのでしたらどの分野に戻った方がいいのか教えていただくことは可能でしょうか？

よろしくお願いたします
No.86634 - 2023/10/25(Wed) 21:57:43
☆ Re: 導関数の公式 / GandB
　何でそんな奇妙な式変形をするのかよくわからんのだが、導関数の定義を使って

　　( 1/g(x) )' = -g'(x)/(g(x))^2

を証明することが目的であれば、あなたが最初提示した画像の中にほとんどその答えは示されている。

　なんか極限の復習も必要な感じ・・・
No.86636 - 2023/10/25(Wed) 23:50:42
☆ Re: 導関数の公式 / 前進
夜分遅くのご返信ありがとうございます。
極限の復習もしていこうと思います。
またよろしくお願いいたします
No.86646 - 2023/10/27(Fri) 21:48:59
★ (No Subject) / 積分
区分求積で解こうとしているのですが-π/6nの部分の処理がどう進めていいか分かりません。解説お願いします。
No.86617 - 2023/10/24(Tue) 22:10:09
☆ Re: / WIZ
lim[n→∞]{(1/n)Σ[k=1,n]cos(((k/n)π-π/(6n))/2)}の計算と解釈して回答します。

cos(((k/n)π-π/(6n))/2)
= cos((π/2)(k/n)-π/(12n))
= cos((π/2)(k/n))cos(π/(12n))+sin((π/2)(k/n))sin(π/(12n))

ここで、n→∞ のとき π/(12n)→0 ですから、
cos(π/(12n))→1 かつ sin(π/(12n))→0 となります。

よって、
lim[n→∞]{(1/n)Σ[k=1,n]cos(((k/n)π-π/(6n))/2)}
= lim[n→∞]{(1/n){cos((π/2)(k/n))cos(π/(12n))+sin((π/2)(k/n))sin(π/(12n))}}
= {∫[0,1]cos((π/2)x)dx}*1+{∫[0,1]sin((π/2)x)dx}*0

t = (π/2)xとおくと、dt = (π/2)dx かつ t の積分範囲は[0,π/2]となるので、

∫[0,1]cos((π/2)x)dx
= ∫[0,π/2]cos(t)(2/π)dt
= (2/π)[sin(t)]_[0,π/2]
= 2/π
No.86623 - 2023/10/25(Wed) 00:31:39
★ (No Subject) / 積分
解説お願いします。
No.86613 - 2023/10/24(Tue) 17:53:44
☆ Re: / X
問題の等式を(A)とします。

(A)にx=0を代入して
f(0)=0 (B)
一方(A)より
f(x)=x^2+{e^(-x)}∫[0→x]{f'(t)e^t}dt
右辺の第二項を部分積分して
f(x)=x^2+{e^(-x)}{f(x)e^x-f(0)-∫[0→x]{f(t)e^t}dt}
(B)を代入して
f(x)=x^2+f(x)-{e^(-x)}∫[0→x]{f(t)e^t}dt
これより
∫[0→x]{f(t)e^t}dt=(x^2)e^x
両辺xで微分して
f(x)e^x=(x^2+2x)e^x
∴f(x)=x^2+2x
No.86615 - 2023/10/24(Tue) 20:02:20
☆ Re: / X
別解)
(A)より
f(x)=x^2+{e^(-x)}∫[0→x]{f'(t)e^t}dt (A)'
となるところまではNo.86615の場合と同じです。

(A)'の両辺をxで微分すると、
f'(x)=2x-{e^(-x)}∫[0→x]{f'(t)e^t}dt+f'(x)
(右辺の第２項に積の微分を使っています)
∴{e^(-x)}∫[0→x]{f'(t)e^t}dt=2x (C)
(C)を(A)'に代入して
f(x)=x^2+2x
No.86627 - 2023/10/25(Wed) 18:05:03
★ 点の通過領域 / 吉田
x = 3k - s
y = √3s + √3k(3-2s)
1 <= s <= 3
0 <= t <= 1
の4式を満たすx, y について点P(x, y) の存在範囲をxy平面上に図示せよ。

考えても分かりませんでした。この問題の解き方を教えてください。
No.86610 - 2023/10/24(Tue) 15:38:07
☆ Re: 点の通過領域 / X
＞＞y = √3s + √3k(3-2s)
ですが右辺の√はどこまでかかっていますか。
括弧を使って分かるように書いて再度アップして下さい。

(例えば右辺の√が両方とも、右隣の3までしか
かかっていないのであれば
y = (√3)s + (√3)k(3-2s)
というように書いて下さい。)
No.86616 - 2023/10/24(Tue) 20:08:37
☆ Re: 点の通過領域 / 吉田
y = (√3)s + (√3)k(3-2s)
この表記で正しいです。紛らわしくてすみません。
s, k についてx, y の文字のみで表すことは、kについての二次方程式を解くということですか？

私は x+(√3)y= と(√3)x+y=の二式を求めてそれぞれの最大最小の領域を考えたのですが、これだと十分性が失われてしまう理由も、合わせて教えていただけますでしょうか。
No.86618 - 2023/10/24(Tue) 22:35:54
☆ Re: 点の通過領域 / X
＞＞s, k についてx, y の文字のみで表すことは、kについての二次方程式を解くということですか？
その通りです。
計算が明らかに煩雑になり、お勧めできません
(一旦アップしたレスを消した理由です)が方針だけ。

x=3k-s (A)
y=s√3+k(3-2s)√3 (B)
とします。

(A)より
s=3k-x (A)'
(B)に代入して整理をすると
6k^2-2(x+3)k+x+y/√3=0 (C)
一方、(A)より
k=(x+s)/3
(C)に代入して整理をすると
2(s+x)^2-2(x+3)(s+x)+3x+y√3=0 (D)
よって求める条件は
kについての２次方程式(C)が
1≦k≦3 (E)
なる実数解を少なくとも一つ持ち、かつ
s+xについての２次方程式(D)が
x≦s+x≦x+1 (F)
なる実数解を少なくとも一つ持つ条件
ということになります。

後は
f(k)=6k^2-2(x+3)k+x+y/√3
と置き、横軸にk、縦軸にf(k)を取ったグラフが
k軸と(E)の範囲で交点を少なくとも一つ持つ条件
と
g(u)=2u^2-2(x+3)u+3x+y√3
と置き、横軸にu、縦軸にg(u)を取ったグラフが
u軸と
x≦u≦x+1
の範囲で交点を少なくとも一つ持つ条件
を求めればよいことになるのですが…

グラフの対称軸の位置関係について、それぞれ
３つの場合分け(つまり合計６つの場合分け)
が必要になります。


注)
解と係数の関係を使って、k,s(或いはk,sそれぞれの定数倍)
が一つの二次方程式の解となるように持っていければ、
まだ方針としてお勧めできるのですが、(C)(D)は
見ての通り、kとsを適当にtとでも置いて、tの二次方程式
と見ても等価ではないので、そのような計算はできないようです。
No.86629 - 2023/10/25(Wed) 19:30:54
☆ Re: 点の通過領域 / X
＞＞私は x+(√3)y= と(√3)x+y=〜
その方針では単に座標軸を
x+(√3)y=0
(√3)x+y=0
の2つの直線に変換した
(但し、直交座標ではなく斜交座標への変換になります)
だけで、元の
x=3k-s
y=s√3+k(3-2s)√3
でx,yの最大値、最小値を求めているのと何ら
変わりはありません。
No.86630 - 2023/10/25(Wed) 19:33:51
☆ Re: 点の通過領域 / 吉田
なるほど理解できました！ありがとうございます。

＞＞でx,yの最大値、最小値を求めているのと何ら
変わりはありません。

これとは違う問題で、
x = a + 3b - c
y = 2a + b + c
(1 <= a <= 2, 1 <= b <= 2, 1 <= c <= 2)
の通過領域を求めよ
という問題なのですが、この問題の一つの解法として、三文字のうち一文字を消去したものをそれぞれ３式作って、それぞれ一文字固定法で最大値最小値を出してその三式のなす積集合が真理集合となる、という解法だったのですが、
その方針では問題なく、今回の場合だとうまくいかない理由がわかりません。一文字消去をしていないからでしょうか？
なぜ一文字消去しないと成立しないのでしょうか？
理解が甘くて申し訳ないです。
No.86635 - 2023/10/25(Wed) 23:47:49
☆ Re: 点の通過領域 / X
ごめんなさい。回答が遅くなりました。

次の例題を考えてみます。

例題)
x=t (P)
y=t (Q)
0≦t≦1 (R)
のとき、点(x,y)の存在領域を求めよ

解)
(P)(Q)を(R)に代入することにより
0≦x≦1,0≦y≦1
とはなりますが、これは正解ではありません。
なぜならtによってx,yが連動することを
考慮に入れていないからです。
この「連動するのを考慮に入れる」ことが
媒介変数を消去する、この例題の場合だと
tを消去して
y=x
を導くことに当たります。


No.86610、No.86635で挙がっている問題についても同様です。
但し、これらの場合は媒介変数は複数ですので、それぞれの
文字を消去した上で、それぞれの式の積集合を考える必要が
あります。

ちなみにNo.86635についてですが、消去する文字数は１つである
必要はありません。
方程式2つに対して媒介変数は3つですので、例えば
a,b２つをまとめて消去してできる式でcのみ自由にして
最大最小を考えた式
と
cのみ消去した上でa,bを自由にして
最大最小を考えた式
の積集合を考えても問題ありません。
(計算の煩雑さを考えると、a,b,c１文字づつ消去する
模範解答とどちらがより良い解答かは判断しかねますが。)
No.86645 - 2023/10/27(Fri) 18:31:03
★ データ / えっとう
xあたりのyの値がわかるとき、yあたりのxの値はわかりますか。
　　たとえば、一週間の勉強時間とその人数の関係で、
　　　　　　　　　　　　　　(A地域)(B地域)
　　　　　　　　　0以上8未満　　4人、2人
　　　　　　　　　8以上16未満　9人、9人
　　　　　　　　　16以上24未満10人、7人
　　　　　　　　　24以上32未満7人、8人
　　　　　　　　　32以上40人未満2人、4人
のときの1人あたりの学習時間はA地域とB地域のどちらの方が長いかを聞かれたときに、本来なら、階級ごとの階級値を求め、それを度数にかけて、合計人数で割り、平均値を求め比べるが、0以上40未満はA地域が32人でB地域は30人ということだけでも、だせると思います。かんがえました。まず1時間あたりの値は、この情報だけで、A地域は32/20で、B地域は30/20で出せて、これを比例式と考えると、A地域ならy(人数)=1.6x(時間)と表せられるので、1人あたりの時間ははこのyに1を代入するとx=5/8だから5／8と考えれました。これをB地域もすると、B地域の方が長いことが分かりました。実際に平均値を求めてやってみても大小関係は同じくBの方が長くなりましたが、これってあっていますか。
No.86604 - 2023/10/21(Sat) 15:47:09
☆ Re: データ / X
ひとまず問題を脇において、階級の数を２つにした例
を考えてみましょうか。

A,Bにおいて階級の数が２つのこんな例を考えてみます。
0以上20未満　　1人、9人
20以上40未満　9人、1人

このとき、各階級それぞれを考慮して、
セオリー通りの平均を考えたときは
一人当たりの勉強時間はAの方が多くなります。
しかし、えっとうさんの方針だと
一人当たりの勉強時間はA、B共に同じになります。


つまり、えっとうさんの方針は、階級を最初から一つにまとめて
大雑把に考えるというのであれば、数学的には間違っていませんが、
階級を分割してデータを収集しているのに、その点を生かさずに
一人当たりの勉強時間を比較している、という点で
間違えている、ということです。
No.86606 - 2023/10/21(Sat) 21:22:55
☆ Re: データ / えっとう
追加で質問させてください。
Xさんは平均値を求めてから大小関係を考えてらっしゃいますが、
たとえば、もし平均値と1人あたりの学習時間が完全に等しいわけではないと仮定すれば、ほかの方法で1人あたりの学習時間の近似値を求められるのではないかと思いました。そこで私は見方を変えて、1時間あたりの人数を求め、それを利用して
1人あたりの学習時間を求めました。たとえばAさんは3時間勉強し、Bさんは2時間勉強したなら、本来なら3時間勉強した人が1人、2時間勉強した人が1人となり、(3x1+2x1)/2で1人あたりの勉強時間は２.5時間と求められますが、そうではなく、2人で5時間勉強したから1時間あたりに勉強している人の数0.4人、1時間あたり0.4人勉強しているのなら1人あたりは1=0.4xより2.5時間勉強しているとわかるわけです。本来の方法では何時間勉強した人が何人、何時間勉強した人が何人と全部知らないといけませんが、私の考えた方法では、合計人数と合計時間がわかればできるのでは？というわけです。で、さっきの問題(A地域)は合計時間がわからないので、かわりに0時間から４０時間未満の人が32人いるのは事実なので、
No.86607 - 2023/10/22(Sun) 16:41:56
☆ Re: データ / えっとう
すみません途中で切れてしまいました。もう一度送り直します
No.86608 - 2023/10/22(Sun) 16:49:38
☆ Re: データ / えっとう
追加で質問させてください。
Xさんは平均値を求めてから大小関係を考えてらっしゃいますが、
たとえば、もし平均値と1人あたりの学習時間が完全に等しいわけではないと仮定すれば、ほかの方法で1人あたりの学習時間の近似値を求められるのではないかと思いました。そこで私は見方を変えて、1時間あたりの人数を求め、それを利用して
1人あたりの学習時間を求めました。たとえばAさんは3時間勉強し、Bさんは2時間勉強したなら、本来なら3時間勉強した人が1人、2時間勉強した人が1人となり、(3x1+2x1)/2で1人あたりの勉強時間は２.5時間と求められますが、そうではなく、2人で5時間勉強したから1時間あたりに勉強している人の数0.4人、1時間あたり0.4人勉強しているのなら1人あたりは1=0.4xより2.5時間勉強しているとわかるわけです。本来の方法では何時間勉強した人が何人、何時間勉強した人が何人と全部知らないといけませんが、私の考えた方法では、合計人数と合計時間がわかればできるのでは？というふうに考えました。実質これだと同じことやっているようなものなのでここで新しく単位を作ります。0〜8の時は4人とありましたがその時の0以上８未満を1d、8以上16未満を2dというふうにしていくと、
　　1d →4
　　2d→9
　　3d→10
　　4d→7
　　5d→2
と表せます。
1時間足す2時間は3時間なのと同じように1d足す2dも3dなので、
(1x4+2x9+3x10+4x7+5x2)=90なので、90/32が1人あたりの平均学習時間(d)です。ちなみにdはてきとうに当てた単位なので気にしないでください。でこのときに、1dあたりの人数は、32/90とわかります。よって最初の方でやったことの逆を辿ると、32人で90d勉強したことがわかります。あとはxdの範囲を考えてそれを９０dに代入し、32人の合計時間(90d)を(？時間)に変換して,通常通りの平均の出し方でやればできると思うのですが私はまだここからの計算技術がないのでやっていただきませんか。お願いします。
No.86609 - 2023/10/22(Sun) 17:20:16
☆ Re: データ / ヨッシー
一般には　１人あたりａ時間であれば、１時間あたり 1/a 人です。
ただし、ａ＝０であってはいけませんし、1/a という数字に意味があるのかはケースバイケースです。

この問題がややこしくなっているのは、範囲のある時間の何を使って平均を求めるかが決められていないからです。
0〜8 時間を代表する数値は何か？下限の０なのか？中間値の４なのか？上限の８なのか？
上限と決めたなら、
　　1d→4
　　2d→9
　　3d→10
　　4d→7
　　5d→2
は正しく、ｄ＝８です。よって、90d＝720 であり、32人で720時間なので、
１人あたり、720/32＝22.5時間。１時間あたり 32/720＝2/45人。

中間値と決めたなら、
　　1d→4
　　3d→9
　　5d→10
　　7d→7
　　9d→2
となり、ｄ＝４ です。合計は 148d＝592 であり、32人で592時間なので、
１人あたり、592/32＝18.5時間。１時間あたり　32/592＝2/37人。

下限に決めたなら
　　0d→4
　　1d→9
　　2d→10
　　3d→7
　　4d→2
となり、ｄ＝８ です。合計は 58d＝464 であり、32人で464時間なので、
１人あたり、464/32＝14.5時間。　１時間あたり　32/464＝2/29人。

となります。代表値を４時間ずつずらしているので、平均も４時間ずつずれます。
No.86611 - 2023/10/24(Tue) 15:48:43
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