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ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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★ 中学校の入試問題 / こうたぱぱ
ア：イの比を求めなさいというものですが
どうやって求めるのでしょうか？
No.88836 - 2024/09/13(Fri) 00:29:03
☆ Re: 中学校の入試問題 / こうたぱぱ
あ、いわずもがなですが正方形と四分円と対角線です
No.88837 - 2024/09/13(Fri) 00:31:51
☆ Re: 中学校の入試問題 / ヨッシー
図で、△ＡＢＣと△ＡＤＥは合同な直角二等辺三角形で、
対称性から、弧で示した部分の長さはすべて等しく、
　ア：イ＝１：２
となります。
No.88839 - 2024/09/13(Fri) 10:40:58
★ 和文差分を利用した数列について / 数弱
上の式変形のどこが間違っているのかわかりません。下の式変形は特殊解を利用したもので正答が出ています。
どうかよろしくお願いします。
No.88835 - 2024/09/12(Thu) 23:36:24
☆ Re: 和文差分を利用した数列について / ヨッシー
ここまでは正しいと　の行のすぐ下の式で、ｎ＝２とすると、
　a[2]/(3/2)^2＝a[1]/(3/2)^1＋(4/9)(4/3)^0(2+1)＝a[1]/(3/2)＋4/3
になりますが、さらにその下の行で、ｎ＝２とすると、
　a[2]/(3/2)^2＝a[1]/(3/2)^1＋(1/4)(4/3)^1(1+1)＝a[1]/(3/2)＋2/3
になります。
階差を一般化するところでミスっていると思われます。
No.88840 - 2024/09/13(Fri) 11:09:15
☆ Re: 和文差分を利用した数列について / 数弱
[n-1]→→+階差n-1→→[n]を一般化するとき
[n]→→+階差n-1→→[n+1]というように
なっているため、直すには
ここまでは正しいとわかっているのすぐ下の式に
n=n+1を代入してnの範囲を変え、
[n]→→+階差n→→[n+1]
の形に変形すれば良いということでしょうか？
No.88841 - 2024/09/13(Fri) 17:11:50
★ 学習院大学　過去問　複素数 / Higashino
学習院大学　過去問　複素数平面
難あり
何卒よろしくお願いします
以下問題
No.88832 - 2024/09/12(Thu) 10:19:37
☆ Re: 学習院大学　過去問　複素数 / Higashino
おはようございます
答案が出来上がりましたので、投稿させていただきます
どなたか　アドバイス　ご指摘　ご指導のほどよろしくお願いいたします

以下答案
No.88838 - 2024/09/13(Fri) 09:09:37
★ 一橋大学の過去問 / 数弱
硬貨が2枚ある.最初は2枚とも表の状態で置かれている.次の操作をn回行っ
たあと，硬貨が 2 枚とも裏になっている確率を求めよ.
[操作]2 枚とも表，または 2 枚とも裏のときには，2 枚の硬貨両方を投げる.
表と裏が 1 枚ずつのときには，表になっている硬貨だけを投げる.

自分の解法
2枚とも裏である確率をa［n］としたとき、コインの裏表の対称性より2枚とも表である確率もa［n］このことから表と裏が1枚ずつである確率は1-2a［n］。
n回目の操作で2枚とも表、または2枚とも裏であった時、n+1回目で2枚とも裏になる確率は1/4。n回目の操作で表と裏が1枚ずつであった時、n+1回目で2枚とも裏になる確率は1/2。よって以下の漸化式が得られる。
a［n+1］=（1/4）×（2a［n］）+（1/2）×（1-2a［n］）　（n >=2）
これをa［1］=1/4として解くとa［n］=1/3+（1/6）×（-1/2）^n （n>=1）

解答
n=1の時1/4 n>=2の時3/8

どうして回答が違うのかわからないです。どうかよろしくお願いします。
No.88829 - 2024/09/12(Thu) 01:41:27
☆ Re: 一橋大学の過去問 / らすかる
「表と裏が 1 枚ずつのときには，表になっている硬貨だけを投げる.」
という操作がありますので
「2枚とも裏である確率をa［n］としたとき、コインの裏表の対称性より2枚とも表である確率もa［n］」
は正しくないと思います。
No.88830 - 2024/09/12(Thu) 03:35:25
☆ Re: 一橋大学の過去問 / 数弱
コインの裏表には対称性があると思い込んでいました、、
ご指摘ありがとうございます。
No.88831 - 2024/09/12(Thu) 09:02:16
★ 古田水平面第4日目 / Higashino
東京教育大学過去問　複写数
なぞなぞよろしくお願いいたします
以下問題
No.88828 - 2024/09/11(Wed) 19:22:59
☆ Re: 古田水平面第4日目 / ヨッシー
Ａ(0,0)、Ｂ(1,0)、Ｃ(1,1) とします。
1)
ＡＢ上の点は (t,0) (0≦t≦1) と書けるので、
　ｚ＝ｔ
とおくと、
　ｗ＝ｔ^2＋ｔ＋１
ｗの座標は (ｔ^2＋ｔ＋１, 0) であり、(1,0) から (3,0) までの線分上を動きます。

2)
ＢＣ上の点は (1, t) (0≦t≦1) と書けるので、
　ｚ＝１＋ti
とおくと、
　ｗ＝(１＋ti)^2＋(１＋ti)＋１
　　＝３−ｔ^2＋３ｔｉ
ｗの座標は　(3−ｔ^2, 3t) であり、
　ｘ＝3−(y/3)^2
この放物線上を (3, 0) から (2, 3) まで動きます。

3)
ＣＡ上の点は (t, t) (0≦t≦1) と書けるので、
　ｚ＝ｔ＋ｔｉ
とおくと、
　ｗ＝(ｔ＋ti)^2＋(ｔ＋ti)＋１
　　＝ｔ＋１＋(２ｔ^2＋ｔ)ｉ
ｗの座標は　(ｔ＋１, ２ｔ^2＋ｔ) であり、
　ｙ＝２(ｘ−１)^2＋ｘ−１
　　＝２ｘ^2−３ｘ＋１
この放物線上を　(1,0) から (2,3) まで動きます。
No.88833 - 2024/09/12(Thu) 11:48:40
☆ Re: 古田水平面第4日目 / Higashino
ご回答ありがとうございます

先生とほぼ同じ考え方となりました

何かご指摘　アドバイス　ご指導等ありましたら　何卒よろしくお願いいたします

以下答案
No.88834 - 2024/09/12(Thu) 18:37:03
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です。

赤い文字は解説書を見て書き加えました。

なぜイ+ウ＝12になるのですか？

8点になるのは一問と3問を正解した人か2問と3問を正解した人に分かれると思うのですが
No.88817 - 2024/09/10(Tue) 22:35:57
☆ Re: / やり直しメン
ですのでイ＝12かウ＝12になるのだと思ってしまいます。
No.88818 - 2024/09/10(Tue) 22:39:30
☆ Re: / らすかる
・テストの点数が8点だった人は表から12人
・8点になるためには2点+6点しかあり得ないから、
　8点の人は第1問と第3問の二つを正解したか、または第2問と第3問の二つを正解したはず
・よって「第1問と第3問を正解した人数」と「第2問と第3問を正解した人数」を合わせて12人とわかる
・「第1問と第3問を正解した人数」＝イ、「第2問と第3問を正解した人数」＝ウだから、イ＋ウ＝12。
のようになりますが、この中でわからない（納得のいかない）点はどこですか？
No.88822 - 2024/09/11(Wed) 02:23:08
★ 複素数平面　類題 / Higashino
前回の質問の類題です
何卒よろしくお願いいたします

以下問題
No.88814 - 2024/09/10(Tue) 03:02:18
☆ Re: 複素数平面　類題 / X
α,β,γに対応する点をA,B,Cとすると
|α|=|β|=|γ|
より、△ABCの外心は原点 (A)
一方
α+β+γ=0
より
(α+β+γ)/3=0
∴△ABCの重心も原点 (B)
(A)(B)より、問題の命題は成立します。
No.88815 - 2024/09/10(Tue) 19:05:15
☆ Re: 複素数平面　類題 / IT
「外心と重心が一致する三角形は、正三角形である。」は正しいですが、証明が必要だと思います。
No.88816 - 2024/09/10(Tue) 20:26:17
☆ Re: 複素数平面　類題 / Higashino
先生方、ご回答ありがとうございます

x先生のご回答ですが
>『三角形において、重心、外心、内心、垂心のうち、

少なくとも2つが一致していれば、正三角形である、』

の証明が必要になりますが、私には煩雑すぎて諦めました

ベクトルを使い証明しました

以下答案です　

ご指導　アドバイス　ご指摘のほど何卒よろしくお願いいたします
No.88819 - 2024/09/10(Tue) 22:58:13
☆ Re: 複素数平面　類題 / IT
Higashinoさんの A,B,C はどんな点ですか？
なぜα＝AB→、β＝BC→、γ＝CA→と置けるのですか？
No.88820 - 2024/09/10(Tue) 23:34:08
☆ Re: 複素数平面　類題 / Higashino
IT先生へ

ご指摘ありがとうございます

再度私なりの説明をいたします
No.88821 - 2024/09/11(Wed) 00:44:42
☆ Re: 複素数平面　類題 / X
＞＞ITさんへ
やはり、その証明が必要になりますね。
証明なしで使える前提にしたかったのですが。

＞＞Higashinoさんへ
以下の補題を証明します。
但し、証明なしで中線定理を使うことを
前提にします。

補題)
△ABCの重心と外心が一致するとき、
△ABCは正三角形である。

証明)
△ABCの重心をG、外接円の半径をRとすると、
条件から
AG=BG=CG=R
∴辺BCの中点をMとすると
AM=(3/2)AG=(3/2)R (A)
となるので、中線定理により
AB^2+CA^2=2{{(3/2)R}^2+(BC/2)^2}
これより
∴AB^2+CA^2-(1/2)BC^2=(9/2)R^2 (B)
同様に辺CA,ABの中点に注目した中線定理により
BC^2+AB^2-(1/2)CA^2=(9/2)R^2 (C)
BC^2+CA^2-(1/2)AB^2=(9/2)R^2 (D)
(B)-(C)より
(3/2)CA^2-(3/2)BC^2=0
(CA-BC)(BC+CA)=0
∴BC＞0,CA＞0から
BC=CA (E)
同様に(C)-(D)から
CA=AB (F)
(E)(F)より、△ABCは正三角形。
No.88824 - 2024/09/11(Wed) 17:40:40
☆ Re: 複素数平面　類題 / X
只、これでは確かに練習問題の解答としては煩雑ですので
別解をアップしておきます。

別解)
|α|=|β|=|γ| (A)
α+β+γ=0 (B)
とします
(B)より
γ=-(α+β)
これを(A)に代入して
|α|=|β|=|α+β|^2
各辺2乗して右辺を展開すると
|α|^2=|β|^2=|α|^2+|β|^2+(α\β+\αβ)
∴|α|^2=2|α|^2+(α\β+\αβ)
α\β+\αβ=-|α|^2 (C)
同様に(B)を用いて、β、γを消去することにより
β\γ+\βγ=-|β|^2 (D)
γ\α+\γα=-|γ|^2 (E)

(A)(C)より
|α-β|^2=|α|^2+|β|^2-(α\β+\αβ)
=3|α|^2 (C)'
同様に(A)(D)により
|β-γ|^2=3β^2 (D)'
(A)(E)により
|γ-α|^2=3γ^2 (E)'

(A)(C)'(D)'(E)'から
|α-β|^2=|β-γ|^2=|γ-α|^2
∴|α-β|=|β-γ|=|γ-α|
となるので、問題の命題は成立します。
No.88825 - 2024/09/11(Wed) 17:50:01
☆ Re: 複素数平面　類題 / X
No.88825について、少し解説を。

問題の点α,β,γでできる三角形が正三角形だとして
複素平面上に図を描いてみると
|α-β|=(√3)|α| (P)
となっていることが分かります。
(正三角形の頂点と原点とを結んだ線分を考えましょう)

(P)⇔|α-β|^2=3|α|^2 (Q)
となることから、(Q)を証明する方針で
解くことになりますが、

問題となるのが、(Q)の左辺を展開した
ときに出てくる
α\β+\αβ
をどのようにαの式で表すか、です。
その処理がNo.88825の(C)までの過程
になっています。

(A)(B)はα、β、γに関する対称式に
なっていますので、(C)(C)'が求められれば
残りのβ、γについての式はα、β、γを
サイクリックに回していけば容易に求められます。
No.88826 - 2024/09/11(Wed) 18:06:13
☆ Re: 複素数平面　類題 / Higashino
x先生IT 先生

今回もありがとうございました

またよろしくお願いいたします
No.88827 - 2024/09/11(Wed) 19:21:26
★ (No Subject) / 有栖川
実数a, b (a<b)で、aとbの間に整数が存在しないようなa, bの必要十分条件はどうなりますか？
No.88804 - 2024/09/09(Mon) 07:59:23
☆ Re: / IT
aとbの間にa,bは含まれますか？
「実数a, b (a<b)で、aとbの間に整数が存在しない」そのままが最も簡明な表現の一つだと思いますが、どんな場面で使うのですか？
No.88807 - 2024/09/09(Mon) 09:17:29
☆ Re: / らすかる
「aとbの間」にa,bが含まれないものとして
(a＜)b≦[a]+1
（[ ]はガウス記号）
と表せると思います。
# もしa,bが含まれるならば
# [b]＜a(＜b)
No.88808 - 2024/09/09(Mon) 11:33:27
★ 複素数平面　第二2日目 / Higashino
岐阜大学過去問

なにとぞよろしくお願いします

以下問題
No.88799 - 2024/09/08(Sun) 21:57:43
☆ Re: 複素数平面　第二2日目 / Higashino
おはようございます
答案を作成したのですが
問題は複素数平面上での議論になります
私の座標設定は正しいものなのでしょうか？
何分複素数平面は習い始めたばかりなので教えてください

以下、私の答案を示します

なにとぞよろしくお願いいたします
No.88803 - 2024/09/09(Mon) 06:58:46
☆ Re: 複素数平面　第二2日目 / X
別解をアップしておきます。

別解)
条件から
|z[1]|=|z[2]|=|z[3]|=|z[4]|=r(rは正の定数) (A)
z[1]+z[2]+z[3]+z[4]=0 (B)
今、z[k](k=1,2,3,4)を解とする4次方程式を
x^4+ax^3+bx^2+dx+d=0 (C)
と置くと
x^4+ax^3+bx^2+dx+d=(x-z[1])(x-z[2])(x-z[3])(x-z[4])
右辺を展開して係数を比較すると
a=-(z[1]+z[2]+z[3]+z[4]) (D)
c=-{z[1]z[2]z[3]+z[1]z[3]z[4]+z[1]z[2]z[4]+z[2]z[3]z[4]} (E)
d=z[1]z[2]z[3]z[4] (F)
(B)(D)より
a=0 (D)'
一方(F)を(E)に用いると
c=-d(1/z[1]+1/z[2]+1/z[3]+1/z[4]) (E)'
ここで(A)より
\z[k]=(r^2)/z[k] (k=1,2,3,4) (\zはzの共役複素数。以下同じ)
∴(E)'から
c=-d(\z[1]+\z[2]+\z[3]+\z[4])/r^2
=-(d/r^2)\(z[1]+z[2]+z[3]+z[4])
=0 (E)" (∵)(B)を代入

(D)'(E)"より(C)は
x^4+bx^2+d=0 (C)'
∴(C)'の解のうち、２つをt,u(但しt≠-u)とすると、
残りの二つは-t,-uとなるので、z[1],z[2],z[3],z[4]に対応する
複素平面上の点は、原点に関して対称な2点2組で構成されます。

∴(A)よりz[1],z[2],z[3],z[4]に対応する点を頂点とする
四角形の２本の対角線の長さは等しく、かつ対角線の中点
は原点となるので、問題の命題は成立します。
No.88809 - 2024/09/09(Mon) 17:49:13
☆ Re: 複素数平面　第二2日目 / X
＞＞Higashinoさんの解答について。
大筋で問題ありません。
A,Dを実軸に関し、対称に設定するのはうまいですね。
No.88810 - 2024/09/09(Mon) 18:12:12
★ 数列　高3 / ふっく
⑶の解き方がわかりません、お願いします
No.88798 - 2024/09/08(Sun) 21:05:08
☆ Re: 数列　高3 / ヨッシー
(3)
１辺が１の下向き正三角形は、２段積んだときに１個現れ、１段積むごとに＋２、＋３していきます。
１辺が２の下向き正三角形は、４段積んだときに１個現れ、１段積むごとに＋２、＋３していきます。
　・・・
１辺がｋの下向き正三角形は、2k段積んだときに１個現れ、１段積むごとに＋２、＋３していきます。

ｎ段積んだときを考えると、
ｎが偶数のとき
　１辺がn/2の下向き正三角形は、１個
　１辺がn/2−1 の下向き正三角形は、1＋2＋3 個
　１辺がn/2−2 の下向き正三角形は、1＋2＋3＋4＋5 個
　　　・・・
　１辺が k の下向き正三角形は、1＋2＋3＋・・・＋(n−2k＋1) 個
　　　・・・　
　１辺が １ の下向き正三角形は、1＋2＋3＋・・・＋(n−1) 個
これらを小さい順に
　1, 1＋3, 1+3+5,・・・1＋2＋3＋・・・＋(n−1)
のように n/2 個の数を並べ、順に a[1], a[2],・・・a[n/2] とします。
　a[k]＝Σ[i=1〜k](4i-3)＝2k(k+1)−3k＝k(2k−1)
これを k=1〜n/2 まで足すと
　Σ[k=1〜n/2](2k^2−k)＝(n/2)(n/2+1)(n+1)/3−(n/2)(n/2+1)/2＝(n/2)(n/2+1)(2n-1)/6　・・・答え１

ｎが奇数のとき
　１辺が(n−1)/2 の下向き正三角形は、1＋2 個
　１辺が(n−1)/2−1 の下向き正三角形は、1＋2＋3＋4 個
　　　・・・
　１辺が k の下向き正三角形は、1＋2＋3＋・・・ (n−2k+1) 個
　　　・・・
　１辺が 1 の下向き正三角形は、1＋2＋3＋・・・＋(n−1) 個
同様に　a[1], a[2],・・・a[(n-1)/2] とすると、
　a[k]＝Σ[i=1〜k](4i-1)＝2k(k+1)−k＝2k^2＋k
これを k=1〜(n−1)/2 まで足すと
　Σ[k=1〜(n-1)/2](2k^2＋k)＝n{(n-1)/2}{(n＋1)/2}/3＋{(n−1)/2}{(n＋1)/2}/2＝{(n−1)/2}{(n＋1)/2}(2n＋3)/6　・・・答え２
No.88823 - 2024/09/11(Wed) 09:19:59
★ いよいよ複素平面 / Higashino
岐阜大学過去問　嘘数平面
なにとぞよろしくお願いします
以下問題
No.88789 - 2024/09/08(Sun) 06:23:30
☆ Re: いよいよ複素平面 / X
問題の方程式から
x^2+2ax+b=0 (A)
又は
x^2+x+1=0 (B)
(B)より
x=-1/2±i(√3)/2 (B)'
(B)'を複素平面上に図示することにより
次の二つに場合分けします。
(i)(B)'の2点が正方形の隣り合う2点となるとき
正方形の縦の辺の長さは√3となりますので
(A)の解は
x=-1/2+√3±i(√3)/2 (A)'
又は
x=-1/2-√3±i(√3)/2 (A)"
(A)'から
(2x+1-√3)^2=-3
4x^2+(5-2√3)x+4-2√3=0
x^2+{(5-2√3)/4}x+1-(1/2)√3=0
これと(A)とを係数比較して
(a,b)=((5-2√3)/8,1-(1/2)√3)
同様に(A)"から
(a,b)=((5+2√3)/8,1+(1/2)√3)

(ii)(B)の2点を結ぶ線分が正方形の対角線となるとき
2点の中点に対応する複素数は
z=-1/2
対角線の長さは√3
対角線は互いに垂直ですので、(A)の解は
x=-1/2±(√3)/2
これより
(2x+1)^2=3
4x^2+4x-2=0
x^2+x-1/2=0
これと(A)'の係数比較をして
(a,b)=(1/2,-1/2)

以上から
(a,b)=(1/2,-1/2),((5-2√3)/8,1-(1/2)√3),((5+2√3)/8,1+(1/2)√3)
No.88797 - 2024/09/08(Sun) 20:51:29
☆ Re: いよいよ複素平面 / Higashino
x先生、こんばんは

ご回答いただきありがとうございます

まだ複素数平面を習い始めて2日目ですのでご容赦ください

以下答案
No.88800 - 2024/09/08(Sun) 23:09:13
★ 二次関数 / あ
場合わけのやり方はわかるのですが、不等号の意味がよくわかりません。
なぜ、（i）と（ii）で不等号が違うのでしょうか。
教えていただきたいです。よろしくおねがいいたします。
No.88786 - 2024/09/08(Sun) 01:30:07
☆ Re: 二次関数 / あ
写真です。
No.88787 - 2024/09/08(Sun) 01:34:13
☆ Re: 二次関数 / IT
a=1 のときを(i)(ii)のどちらに入れるか？の違いのことですか？

a=1 のときは、どちらに入れても良いですし、３つに分けても良いです。

ただ、区間0≦x≦a に　放物線の頂点が入らない場合と入る場合に分ける。

その方法が分かり易くて自然かなと思います。
No.88794 - 2024/09/08(Sun) 17:38:55
☆ Re: 二次関数 / あ
回答ありがとうございます。自分の説明が悪くてすみません。
なぜ、（i）では不等号が<なのに、（ii）では≦なのかが知りたいです。
ご回答してもらったのにすみません、自分の説明不足でした。
度々すみませんが、よろしくお願いします。
No.88801 - 2024/09/08(Sun) 23:15:31
☆ Re: 二次関数 / IT
No.88794で回答しています。良く読んでみてください。
No.88806 - 2024/09/09(Mon) 08:23:32
☆ Re: 二次関数 / あ
回答ありがとうございます。良く読んでなくてすみません。
理解できました。分かりやすい回答ありがとうございました。
No.88813 - 2024/09/09(Mon) 22:28:32
★ (No Subject) / 算数
算数です

5番です。

難しかったです

教えてください
No.88782 - 2024/09/07(Sat) 20:08:52
☆ Re: / ヨッシー
(1)
６×５÷２＝１５(試合)

(2)
ＢとＥともに５勝ということはないので、仮に３勝２敗とします。
すると、Ｆは多く勝っても２勝３敗、Ｃは１勝４敗、ＡとＤが０勝５敗となり、
エの条件にも合いませんし、勝ち数の合計と、負け数の合計が一致しません。
よって、ＢとＥは４勝１敗で、ＥはＣに負け、ＢはＥに負けたことがわかります。

Ｆが２勝３敗とすると、Ｃは１勝４敗、ＡとＤが０勝５敗となり、やはり、勝ち数と負け数が一致しません。
よって、Ｆは３勝２敗。

Ｃが１勝４敗だと、ＡとＤが０勝５敗で、やはりダメで、Ｃは２勝３敗。

ここまでの４チームは　１３勝７敗。
ＡとＤとで、２勝８敗にするには、それぞれ　１勝４敗。

これを踏まえて勝敗表を作ると図のようになります。
No.88811 - 2024/09/09(Mon) 18:45:27
★ (No Subject) / SUN
三角形ABCがあり点Aを通り直線BCと平行な直線，点Bを通り直線CAと平行な直線，点Cを通り直線ABと平行な直線によってつくられる三角形を△STUとする。また点Hは三角形ABCの垂心を表すとする。

四角形ABSC，四角形ＢＣＴＡ，四角形ＣＡＵＢが平行四角形であることに着目して点Ｈは△ＳＴＵの[カ　外心]である
また△ＳＴＵと△ＡＢＣのキ [重心]は一致する

△STUのキ[重心]をXとし△STUを点Xの周りで180度回転移動しさらに点Xを中心にク[1/2]倍に縮小すると△ABCと重なるので△STUのカ [外心]とキ[重心]の位置関係が分かる

△ABCの外心をOとする。3点H,X,Oの位置関係は?

三角形STU上の任意の点をE，三角形ABC上の任意の点をFとすると重心Xを中心に1/2倍に縮小するということは
1/2XE=XF…<1>
が常に成り立つように三角形STUを縮小することですよね
だから△STUを重心Xを中心に1/2倍の三角形は△ABCと等しい
=△STUの外心Hは1/2倍に圧縮されたために△OABの外心Oに移動した

三角形の周上の点以外でも(外心，内心)も<1>のように移動するはずなので
1/2XH=XO
よってXO;OH=1:1だと思ったのですが…
選択肢全てXは直線ＯＨを〇：△に内分する点である
しかないんですけど…
これだとXは直線OHを1:2に外分するになってしまうんですが…何がいけないんでしょうか？解説よろしくお願いします
No.88780 - 2024/09/07(Sat) 16:47:02
☆ Re: / 黄桃
>1/2XH=XO
は合ってますが、X,O,Hの位置関係を誤解しているようです。

平面上に、XとHの2点だけをとり、
HをXの回りに180度回転し
移動先をYとし(※)、
XYをXからYの方向に半分の地点、つまり、XYの中点がO
という位置関係になっています。

※の部分は、アナログ時計の中心をX
12時の部分をHとすれば、Yは6時の部分になります。
No.88802 - 2024/09/08(Sun) 23:34:27
★ 法政大学　複素数 / Higashino
法政大学過去問　複素数
なにとぞよろしくお願いします
以下問題
No.88775 - 2024/09/07(Sat) 12:47:41
☆ Re: 法政大学　複素数 / Higashino
こんばんは
私の答案が出来上がりましたので、投稿させていただきます
先生方よろしくお願いいたします

以下答案
No.88795 - 2024/09/08(Sun) 18:30:17
☆ Re: 法政大学　複素数 / X
その解答で問題ありません。
No.88796 - 2024/09/08(Sun) 20:30:11
★ 広島大学　複素数 / Higashino
広島大学複素数　過去問
なにとぞよろしくお願いいたします
以下問題
No.88764 - 2024/09/07(Sat) 07:51:22
☆ Re: 広島大学　複素数 / X
例えばzの共役複素数を\zと書くことにします。

条件から
|z[1]|=|z[2]|=1 (A)
|z[1]+z[2]|^2=1 (B)
(B)の左辺を展開し、(A)を代入すると
z[1]\z[2]+\z[1]z[2]=-1
∴z[1]\z[2]=-1/2+it (C)
(tは実数)
(C)の両辺の絶対値を取り、(A)を代入すると
1/4+t^2=1
∴t=±(√3)/2
これを(C)に代入すると
z[1]\z[2]=-1/2±i(√3)/2
(複号同順、以下同じ)
更に(A)より
\z[2]=1/z[2]
∴z[1]/z[2]=-1/2±i(√3)/2
2z[1]/z[2]+1=±i√3
(2z[1]/z[2]+1)^2=-3
(z[1]/z[2])^2+z[1]/z[2]+1=0
z[1]^2+z[1]z[2]+(z[2])^2=0
両辺にz[1]-z[2]をかけて
z[1]^3-z[2]^3=0
∴z[1]^3=z[2]^3
No.88767 - 2024/09/07(Sat) 09:15:17
☆ Re: 広島大学　複素数 / GandB
　　z1 = cosα + i*sinα
　　z2 = cosβ + i*sinβ
とおいて |z1+z2| を計算すると
　　α-β = 2π/3
が得られるから、この結果を
　　z1^3 = cos3α + i*sin3α
　　z2^3 = cos3β + i*sin3β
のどちらかに代入して比較する。
　こちらの方が少しだけ楽な気がするが、どうかな（笑）
No.88769 - 2024/09/07(Sat) 09:25:05
☆ Re: 広島大学　複素数 / X
＞＞GandBさんへ
私も初めは同じ方針で計算したのですが
その方針だと、例えば
0≦α＜2π,0≦β＜2π
というように、最低でも幅2πでα,βの範囲を
設定しなければならず、そうすると
-2π＜α-β＜2π
ここから、α-βの値を4個考えなくてはならなく
なってしまうので止めました。
No.88770 - 2024/09/07(Sat) 09:35:01
☆ Re: 広島大学　複素数 / Higashino
諸先生方
ご回答くださりありがとうございます
複素数平面をまだ勉強していませんので、理解できない部分がたくさんございましたが　これから複素数平命を勉強したらまた読んでみたいと思います
今回の私の答案です
ご指導　ご指摘　アドバイスのほど、何卒よろしくお願いいたします
No.88772 - 2024/09/07(Sat) 10:41:55
☆ Re: 広島大学　複素数 / X
＞＞Higashinoさんへ
その解答で問題ありません。
No.88783 - 2024/09/07(Sat) 20:47:47
★ 数列の解答の書き方 / ヒロ
以下の問題で解答１と解答２でどちらにするほうがいいですか。理由も教えて下さい。
（ a［ｎ＋１］=２a［n］を使えば、すぐにa［n］=3・２^(n-1)ですが、
a［n］=２a［n-1］のときは書き方がわかりませんでした。）

●問題●
時刻ｎのときの細胞の個数をa［n］とする。細胞は１分ごとに２倍に増える。a［1］＝３として
時刻nのときの細胞の個数a［n］をnの式で表せ。

●解答１●
a［1］＝３, a［n］=２a［n-1］より、　a［n］=3・２^(n-1)

●解答２●
a［1］＝３, a［n］=２a［n-1］　（ｎ≧２）より
a［n］=3・２^(n-1)　　（ｎ≧２）　……(1)
(1)はｎ＝１のとき、a［1］=3・２^(1-1)=3だから　ｎ＝１のときも成り立つ。
よって、a［n］=3・２^(n-1)　　　（ｎ≧１）
No.88761 - 2024/09/07(Sat) 00:27:00
☆ Re: 数列の解答の書き方 / X
略解なら解答1でも問題ありませんが、正確に書くなら
解答2になります。
No.88766 - 2024/09/07(Sat) 09:00:19
☆ Re: 数列の解答の書き方 / ヒロ
ちなみに、

等比数列a［n］=r×a［n-1］……(あ)　　（rは公比）
等差数列a［n］=［n-1］＋d……（い）　　（dは公差）
漸化式a［n］=p×a［n-1］+ｑ……（う）　（p,qは定数）

のときは、解答1のようにn≧2を考えずに、以下のことが常に成り立ちますか。
また、大学入試、学校の定期試験では、n≧2を考えずに解答しても減点はないですか。

（αは初項）　(あ)は、　　a［n］=α×r^(n-1)、
　　　　　　　(い)は、　　a［n］=α＋(n-1)×d、
　　　　　　 (う)は、　　a［n］=（α-ｃ)×r＾(n-1)+ｃ　（ｃは特性方程式ｃ＝ｐｃ＋ｑの解）


よろしくお願いします。
No.88771 - 2024/09/07(Sat) 10:14:15
★ 横浜国立大です / ぴーたろ
(2)のスケッチ以外をよろしくお願いします！
No.88754 - 2024/09/06(Fri) 15:01:54
★ 微分法 / 伊月
aは0＜a＜1を満たす。xの方程式

a^x=loga(x)

の解の個数を求めなさい。

a^xはaのx乗、loga(x)は底がaで真数がxの対数です。

1個だろうと思いましたが、0＜a＜1/e^eのときは3個になるらしいのです。どうやって調べればいいのか、教えて頂けないでしょうか。
No.88752 - 2024/09/06(Fri) 11:43:38
☆ Re: 微分法 / ヨッシー
こちらなど。
No.88753 - 2024/09/06(Fri) 13:27:57
☆ Re: 微分法 / 伊月
ご紹介いただいたHPのやっていることがよくわからなかったので、自分で途中まで考えた以下のやり方で通す方法を教えていただきたいです。間違えているところやこの方法では無理ということだったらご指摘いただきたいです。

f(x)=a^x-loga(x)とおく。x＞0,0＜a＜1

f'(x)={xa^x(log(a))^2-1}/xlog(a)

x＞0,log(a)＜0なので、f'(x)の分母は常にマイナスなので、f'(x)の符号の変化は分子に依存する。
そこで、g(x)=xa^x(log(a))^2-1とおく。

g'(x)=(log(a))^2a^x(xlog(a)+1)

g'(x)=0はx=-1/log(a)で、p=-1/log(a)とおく。
g(p)=-log(a)/e-1
g(0)=-1

g(p)≦0ならばg(x)≦0であるのでf'(x)≧0であるため、f(x)は単調増加だから、f(x)=0を満たす解は1個。

g(p)＞0、すなわちa＜e^-eのとき、g(x)=0となる解が二つ存在し、それらを小さい順にα、βとする。

x→-0、x→∞のそれぞれで、f(x)→-∞、f(x)→∞なので、f(α)＞0かつf(β)＜0が言えれば、f(x)=0を満たす解は3個になりそうです。

0＜a＜e^-eではf(x)=0となる解が3個になるということは、0＜a＜e^-eのもとではf(α)＞0かつf(β)＜0が言えるということだと思いますが、f(α)やf(β)の形が複雑で、どうやって示せばよいのかわからないです。
No.88755 - 2024/09/06(Fri) 15:16:52
☆ Re: 微分法 / IT
>0＜a＜e^-eではf(x)=0となる解が3個になるということは、0＜a＜e^-eのもとではf(α)＞0かつf(β)＜0が言えるということだと思いますが、f(α)やf(β)の形が複雑で、どうやって示せばよいのかわからないです。

f(α)やf(β)の値を具体的に計算するのではなくて、
f(x) の増減などからf(α)やf(β)の正負を調べれば良いと思います。

a^γ=γ=Log[a]γとなる（このときf(γ)=0 です）実数γがちょうど１つ存在し、α＜γ＜β　であること
α＜x＜βでｆ'(x) ＜0であること
などを示せば良いと思います。
No.88756 - 2024/09/06(Fri) 19:09:41
☆ Re: 微分法 / 伊月
＞α＜x＜βでｆ'(x) ＜0であること

g(p)＞0と仮定しているため、g(0)＜0、x→∞でg(x)＜0なので、0＜x＜p、p＜xのそれぞれの範囲にα、βをとれるため、0＜x＜α、β＜xでg(x)＜0なので、f'(x)＞0が言え、α＜x＜βでg(x)＞0なので、f'(x)＜0が言えるので、この部分はこれでよいかと思います。

＞a^γ=γ=Log[a]γとなる（このときf(γ)=0 です）実数γがちょうど１つ存在し、α＜γ＜β　であること

ここが克服できないです。f(α)＞0、f(β)＜0が言えれば、f(γ)=0、α＜γ＜βとなるγが存在するということだと思いますが、そもそも、f(α)＞0、f(β)＜0の示し方がわからないです。

a^γ=γ=Log[a]γのところですが、真ん中の=γ=は何なのでしょうか。なぜこれがはさまれているのかわからないです。
No.88757 - 2024/09/06(Fri) 23:16:00
☆ Re: 微分法 / IT
> a^γ=γ=Log[a]γのところですが、真ん中の=γ=は何なのでしょうか。なぜこれがはさまれているのかわからないです。

y=a^x,y=Log[a]x,y=x のグラフを描いてこれらの位置関係

y=a^x とy=xの交点、y=Log[a]x とy=xの交点　を考えます。
No.88759 - 2024/09/06(Fri) 23:58:22
☆ Re: 微分法 / IT
あるいは
a^γ=γなる実数γがあることを示す。
両辺のLog[a]をとるとγ=Log[a]γ
このときa^γ=γ=Log[a]γ
No.88760 - 2024/09/07(Sat) 00:12:58
☆ Re: 微分法 / 伊月
詳しい回答ありがとうございます。

y=xに関してy=a^xとy=loga(x)が対称であることを利用するのですね。すっかり見落としていました。

ちなみにたぶん最後の質問ですが、a＞1の場合と違って、0＜a＜1のときはy=a^xとy=loga(x)がy=x上で交点を必ず交点を持つこと、その交点のx座標であるγはαとβの間にあることは図を描けば明らかなことですので、この部分は図より明らかで済ませてしまってよいでしょうか。
No.88762 - 2024/09/07(Sat) 00:42:01
☆ Re: 微分法 / IT
> ちなみにたぶん最後の質問ですが、a＞1の場合と違って、0＜a＜1のときはy=a^xとy=loga(x)がy=x上で交点を必ず交点を持つこと、その交点のx座標であるγはαとβの間にあることは図を描けば明らかなことですので、この部分は図より明らかで済ませてしまってよいでしょうか。

なぜ、そのような図になるかを示す必要があると思います。
No.88765 - 2024/09/07(Sat) 07:58:46
☆ Re: 微分法 / 伊月
＞なぜ、そのような図になるかを示す必要があると思います。

明らかとしてはいけないということは、y=a^xとy=loga(x)がy=x上で交点を持たないことがある、あるいは持ったとして、その交点のx座標γがαとβの間に来ないことがあるかもしれないから、その可能性を否定しなさいということでしょうか。

さすがにこれは自明なことではないでしょうか。どうやって示したらよいのかわからないです。

y=a^xとy=xの交点を(γ,γ)としますと、γ=a^γですが、これに対して、aを底とする対数を両辺にとると、loga(γ)=γですので、これが(γ,γ)がy=loga(x)も満たしているということでしょうか。

y=a^xもy=loga(x)もともにy'＜0かつy''＞0で、つまり常に下に凸の単調減少関数です。γがαとβの間に来ない、例えばγ＜α＜βになるということはy=a^xとy=loga(x)がy=xの右側で2回上下関係が入れ替わるということですが、これはさすがにありえないと思うのですが、どうやって示せばよいのかわからないです。

どうやるのでしょうか。
No.88773 - 2024/09/07(Sat) 10:50:40
☆ Re: 微分法 / IT
＞さすがにこれは自明なこと

「自明」ではないと思います。

y=a^xとy=x,y=loga(x)とy=x の位置関係
あるいは y=a^x-x、y=loga(x)-x の増減などを調べることによって、言えることだと思います。
No.88776 - 2024/09/07(Sat) 13:44:18
☆ Re: 微分法 / 伊月
y=a^xとy=loga(x)がy=x上で交点を持つことは、先に書きました、

y=a^xとy=xの交点を(γ,γ)としますと、γ=a^γですが、これに対して、aを底とする対数を両辺にとると、loga(γ)=γですので、これが(γ,γ)がy=loga(x)も満たしている

というものでよろしいでしょうか。

α＜γ＜βの証明がわからないです。詳しく教えていただけないでしょうか。
No.88777 - 2024/09/07(Sat) 15:04:43
☆ Re: 微分法 / IT
> y=a^xとy=loga(x)がy=x上で交点を持つことは、先に書きました、

どこの投稿No.のどの部分ですか？ 「図を描けば明らか」、とか「自明」とかはダメですよ。「自明」は書かない方がましです。
No.88778 - 2024/09/07(Sat) 15:23:19
☆ Re: 微分法 / 伊月
No.88773の6行目に書いてあります。

今、α＜γ＜βの証明を考えています。

γ＜xでy=a^xとy=loga(x)の上下関係が1回しか変化しないことの証明を考えています。

図をたくさん描いていたら、y=a^xとy=loga(x)のγ＜xにおける接線の傾きに着目するのではないかと思えてきました。傾きの大小関係が変わらなければ、1回交わった後はあとは両グラフの差は広がっていくため、もう交わることはないのではないかと思えるのですが、この考え方は間違えていますでしょうか。

でもa^xlog(a)と1/xlog(a)の大小関係を調べるところでつまづいています。

どうやったらよいのでしょうか。
No.88779 - 2024/09/07(Sat) 16:01:57
☆ Re: 微分法 / IT
>No.88773の6行目に書いてあります。
y=a^xとy=xの交点を(γ,γ)としますと、γ=a^γですが、

のことですか？　y=a^xとy=xが交点を持つことを示してないと思いますが。

流れだけ
f(x)=a^x-loga(x) について　f'(x)の正負を調べると　＋０−０＋
f'(α)=f'(β)=0,α＜βとおく…（１）　。

h(x)=a^x-xとおく、h(x)は連続で狭義減少関数で、h(a)＞0、h(1/e)＜0なので
h(γ)=0(a＜γ＜1/e)なるγがただ一つ存在する。
このγについてf(γ)=0.

f'(γ）を計算すると負
したがって（１）よりα＜γ＜β。
No.88781 - 2024/09/07(Sat) 19:53:36
☆ Re: 微分法 / 伊月
＞y=a^xとy=xが交点を持つことを示してないと思いますが。

y=a^xは、x=0のときy=1で、x→∞のときy→0ですよね。y=xと交わらないわけないと思うのですが、こんなことも記述しないといけないのですか。学校の先生は図を描けばわかることは図を描くだけでいいみたいなことを仰るので、IT先生と仰ることが違いすぎるのですが…

＞h(a)＞0、h(1/e)＜0なので
＞h(γ)=0(a＜γ＜1/e)なるγがただ一つ存在する。

ここのaは正しくはαでしょうか。

a^α＞αやa^(1/e)＜1/eはこれこそなぜこんなことが言えるのでしょうか。
No.88788 - 2024/09/08(Sun) 01:37:20
☆ Re: 微分法 / IT
> ＞y=a^xとy=xが交点を持つことを示してないと思いますが。
>
> y=a^xは、x=0のときy=1で、x→∞のときy→0ですよね。y=xと交わらないわけないと思うのですが、こんなことも記述しないといけないのですか。

図によって考察・説明することを否定するものではありません。

少なくとも解答・答案ではなぜそのような図になるかのポイント部分は記述すべきということです。

教科書などでもグラフを描く前に増減表などを記載していませんか？

今回の場合
（0<a<1 なので）
「y=a^xは、（単調減少で）x=0のときy=1で、x→∞のときy→0」
ということを書いてからy=a^xのグラフを描く必要があると思います。
No.88790 - 2024/09/08(Sun) 08:51:23
☆ Re: 微分法 / IT
> ＞h(a)＞0、h(1/e)＜0なので
> ＞h(γ)=0(a＜γ＜1/e)なるγがただ一つ存在する。
>
> ここのaは正しくはαでしょうか。
いいえaです。

（略証）後半は、自力で思いつくのは難しいかも知れません。
0＜a＜e^-eのとき　h(a)＞0、h(1/e)＜0 の証明
（行間は埋めてください）

h(a)＝(a^a)-a＞(a^1)-a＝0　∵a^xは狭義減少でa＜1　

h(1/e)
＝a^(1/e)-(1/e)
＜((e^-e)^(1/e))-(1/e) 　∵　0＜a＜e^-e
＝(1/e)-(1/e)=0
No.88791 - 2024/09/08(Sun) 09:19:14
☆ Re: 微分法 / 伊月
ありがとうございました。とても助かりました。

根拠はすべて書くということですよね。解答づくりはできるだけ丁寧にするように心がけます。
No.88792 - 2024/09/08(Sun) 10:51:04
☆ Re: 微分法 / IT
そうですね、そのことがその問題に占める重要度にもよると思いますが。

なお、この問題は、けっこう難問ですね。
No.88793 - 2024/09/08(Sun) 11:08:45
★ 滋賀大　過去問　複素数 / Higashino
滋賀大　過去問　複素数
なにとぞよろしくお願いいたします
以下問題
No.88744 - 2024/09/05(Thu) 16:27:30
☆ Re: 滋賀大　過去問　複素数 / X
例えば、zの共役複素数を\zと書くことにします。

条件から
\z[k]z[k]=1
(k=1,2,3)
∴
|z[1]z[2]+z[2]z[3]+z[3]z[1]|^2=(z[1]z[2]+z[2]z[3]+z[3]z[1])(\z[1]\z[2]+\z[2]\z[3]+\z[3]\z[1])
=3+(z[1]z[2]\z[2]\z[3]+\z[1]\z[2]z[2]z[3])+(z[2]z[3]\z[3]\z[1]+\z[2]\z[3]z[3]z[1])+(z[3]z[1]\z[1]\z[2]+\z[3]\z[1]z[1]z[2])
=3+(z[1]\z[3]+\z[1]z[3])+(z[2]\z[1]+\z[2]z[1])+(z[3]\z[2]+\z[3]z[2]) (A)
|z[1]+z[2]+z[3]|^2=(z[1]+z[2]+z[3])(\z[1]+\z[2]+\z[3])
=3+(z[1]\z[3]+\z[1]z[3])+(z[2]\z[1]+\z[2]z[1])+(z[3]\z[2]+\z[3]z[2]) (B)
(A)(B)より
|z[1]z[2]+z[2]z[3]+z[3]z[1]|^2=|z[1]+z[2]+z[3]|^2
これより
|z[1]z[2]+z[2]z[3]+z[3]z[1]|=|z[1]+z[2]+z[3]|
よって
(i)z[1]+z[2]+z[3]≠0のとき
|(z[1]z[2]+z[2]z[3]+z[3]z[1])/(z[1]+z[2]+z[3])|=1
(ii)z[1]+z[2]+z[3]=0、つまり
(z[1].z[2],z[3]=(cosθ+isinθ,cos(θ+2π/3)+isin(θ+2π/3),cos(θ+4π/3)+isin(θ+4π/3))
(θは0≦θ＜2πなる任意の実数)
のとき
|(z[1]z[2]+z[2]z[3]+z[3]z[1])/(z[1]+z[2]+z[3])|
の値は存在しません。
No.88745 - 2024/09/05(Thu) 17:24:53
☆ Re: 滋賀大　過去問　複素数 / Higashino
エス先生、こんにちは
このたびもご回答くださりありがとうございます
いよいよこれから複素数平面の勉強に入っていきます。これからもよろしくお願いいたします。
私の回答がまとまりましたので
投稿させていただきます
ご指摘指　アドバイス　ご指導のほど、何卒よろしくお願いいたします

以下答案
No.88747 - 2024/09/05(Thu) 19:47:20
☆ Re: 滋賀大　過去問　複素数 / X
いくつか質問を。

1)
一行目に
＞＞対等性から〜
とありますが、「対等性」とはどのような意味で
使っていますか。

2)
補1において
p=z[1]+z[2]+z[3]
のとき
\p=1/p
となっていますが、根拠は何ですか。
No.88750 - 2024/09/05(Thu) 21:29:50
☆ Re: 滋賀大　過去問　複素数 / Higashino
X先生、おはようございます
ご返信が遅くなり誠に申し訳ございませんでした
ご指摘の箇所ですが、私なりにご説明いたしました
不十分かと思われますが　その際はご指摘アドバイスよろしくお願いいたします


以下、答案書き直し
No.88763 - 2024/09/07(Sat) 07:41:57
☆ Re: 滋賀大　過去問　複素数 / X
まず、補1)について

|z[1]|=|z[2]|=|z[3]|=1
であっても
|z[1]+z[2]+z[3]|=1
とは限りませんので
\(z[1]+z[2]+z[3])=1/(z[1]+z[2]+z[3])
は一般には成立しません。
反例)
z[1]=1,z[2]=1,z[3]=1/√2+i/√2のとき
z[1]+z[2]+z[3]=(2+1/√2)+i/√2
∴|z[1]+z[2]+z[3]|^2=(2+1/√2)^2+1/2
=5+2√2≠1
となるので
\(z[1]+z[2]+z[3])≠1/(z[1]+z[2]+z[3])

次に
＞＞対等性より
＞＞z[1]=z[2]=z[3]
としていますが、問題の条件は
|z[1]|=|z[2]|=|z[3]|=1 (A)
ですので
z[1]=z[2]=z[3] (B)
は(A)の特別な場合に過ぎません。
従って(B)を使って、問題の値を計算しても
解答としては不完全です。
No.88768 - 2024/09/07(Sat) 09:24:00
☆ Re: 滋賀大　過去問　複素数 / Higashino
x先生へ
度々申し訳ございません
ご指摘の
>|z[1]+z[2]+z[3]|=1
をどこで私が使っているのかがわかりません
教えてくださると幸いです
No.88774 - 2024/09/07(Sat) 12:14:52
☆ Re: 滋賀大　過去問　複素数 / X
No.88763の添付写真の、2)から4行目の最右辺の一つ左の辺
と二つ左の辺の
＞＞\z[1]+\z[2]+\z[3]=1/(z[1]+z[2]+z[3])
です。

p=z[1]+z[2]+z[3]
としているのであれば
\p=1/p⇔\pp=1⇔|p|^2=1
⇔|p|=1
∴|z[1]+z[2]+z[3]|=1
となってしまいます。
No.88784 - 2024/09/07(Sat) 20:53:10
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