「A」「B」「C」「D」「E」の5つの文字を使って4文字を作成する組み合わせ総数の考え方を教えてください。
5つの文字は何回使ってもよいという条件です。
「AAAA」や「AABB」もOKという事です。
答えは「70」通りになります。
重複を除かない場合は「5x5x5x5」＝625通り、これは理解できます。
そこから重複を除くと「70」通りになる考え方が判りません。
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No.88320 - 2024/07/10(Wed) 18:10:52
| ☆ Re: 組合せの総数 / ast | | | 余談です.
C[8,4] ……(1)
= C[6,2]+2C[6,3]+C[6,4] ……(2)
= C[5,1]+3C[5,2]+3C[5,3]+C[5,4] ……(3)
= C[4,0]+4C[4,1]+6C[4,2]+4C[4,3]+C[4,4] ……(4)
で, らすかるさんのやり方が (1), IT さんのやり方が (多少見た目が違うが) (3)
ということになりますが, (2) や (4) に (あるいは n 文字並べるように一般化して同様に展開していって (5),(6),… に) 相当する数え方ができるやり方は何かあるでしょうか?
## わたしもらすかるさんのやりかたは思いつかなかったのですが, 知ってから見ると
## No.88301 で自分も同じやり方をしてたことに気付いた……
## (「端をひとつ固定」<->「ちょうど」, 「端を固定しない」<->「以下」の違いくらい)
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No.88333 - 2024/07/13(Sat) 16:32:40 |
| ☆ Re: 組合せの総数 / ast | | | IT さんの No.88334 の計算には
(*) Σ_[j=0,…,n-x] C[n-x-j,k] = C[n-x+1,k+1]
が成り立つので, n=4 のとき 1=C[4-(a+b+c+d),0] からはじめて
> Σ[a=0,4](Σ[b=0,4-a](Σ[c=0,4-a-b](Σ[d=0,4-a-b-c]1)))
は
Σ_[d=0,…,4-(a+b+c)] C[4-(a+b+c)-d,0] = C[5-(a+b+c),1],
Σ_[c=0,…,4-(a+b)] C[5-(a+b)-c,1] = C[6-(a+b),2],
Σ_[b=0,…,4-a] C[6-a-b,2] = C[7-a,3]
Σ_[a=0,…,4] C[7-a,3] = C[8,4]
という見通しが立てられるので立式の素朴さを思えば案外良い方法かもしれません (もちろん単に計算というだけでなく各式に組合せ論的解釈が与えられてしかるべきですし, それは可能そうな形をした式ではありますが). あるいは
> Σ[a=0,4](Σ[b=0,4-a](Σ[c=0,4-a-b](Σ[d=0,4-a-b-c]1)))
=Σ[a=0,4](Σ[b=a,4](Σ[c=b,4](Σ[d=c,4]1)))
と書いても同じですから, (*) を
(**) Σ_[j=x,…,n] C[n-j,k] = C[n-x+1,k+1]
として用いて
Σ_[d=c,…,4] C[4-d,0] = C[5-c,1],
Σ_[c=b,…,4] C[5-c,1] = C[6-b,2],
Σ_[b=a,…,4] C[6-b,2] = C[7-a,3],
Σ_[a=0,…,4] C[7-a,3] = C[8,4]
でも同じことですが.
# (*)(**) は基本的には階乗冪 x^n := x(x-1)…(x-n+1) が和分差分に関してよく振る舞うという話:
# 差分 Δx^n = nx^n-1, 和分 Σx^n) = x^n+1/(n+1).
この論法で一般に, 並べる文字数が n 個なら Σ_[d=c,…,n] C[n-d,0] から始めて最後が C[n+4,4] に, さらに選べる文字が m+1 種なら Σ が m 重になるから C[n+m,m] を得る, でいいかな.
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No.88342 - 2024/07/14(Sun) 00:58:04 |
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