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ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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★ 不等式の表す領域の体積 / むっちゃん
次の問題がわからないです。よろしくお願いいたします。

xyz空間において，
|logx|+|logy|+|logz|≦1
を満たす領域の体積を平面z=e^t(-1≦t≦1)による切り口の図形を調べることにより求めよ。
No.90297 - 2025/05/31(Sat) 17:38:34
☆ Re: 不等式の表す領域の体積 / WIZ
べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。
対数関数logは自然対数、eは自然対数の底と解釈します。

0 ≦ |log(z)| ≦ 1
⇒ -1 ≦ log(z) ≦ 1
⇒ 1/e ≦ z ≦ e
同様に、1/e ≦ x ≦ e, 1/e ≦ y ≦ e となります。

tの値を固定して e^t を定数と見なせば、z = e^t はxy平面に平行な平面となります。
平面 z = e^t による題意の立体の切り口の面積を s(t) とし、求める体積をVとすると、
V = ∫[1/e, e]s(t)dz = ∫[-1, 1]s(t)(e^t)dt

(1) t = log(z) < 0 の場合
1/e ≦ z = e^t < 1 つまり -1 ≦ t < 0 となり |log(x)|+|log(y)| ≦ 1-|log(z)| = 1+t です。
よって、|log(y)| ≦ 1+t-|log(x)| となります。

(1a) log(x) < 0 つまり 1/e ≦ x < 1 の場合
log(x) < -log(x) となりますから、
|log(y)| ≦ 1+t+log(x)
⇒ 1+t+log(x) ≦ log(y) ≦ 1+t-log(x)
⇒ e^(1+t+log(x)) ≦ y ≦ e^(1+t-log(x))
⇒ x(e^(1+t)) ≦ y ≦ (1/x)(e^(1+t))
この部分の面積は
∫[1/e, 1]{(1/x)(e^(1+t))-x(e^(1+t))}dx
= (e^(1+t))∫[1/e, 1]{1/x-x}dx
= (e^(1+t))[log(x)-(x^2)/2]_[1/e, 1]
= (e^(1+t)){(-1/2)-(-1-1/(2e^2))}
= (e^(1+t)){1/2+1/(2e^2)}

(1b) log(x) ≧ 0 つまり 1 ≦ x ≦ e の場合
-log(x) ≦ log(x) となりますから、(1a)とほぼ同様に
⇒ (1/x)(e^(1+t)) ≦ y ≦ x(e^(1+t))
この部分の面積は
(e^(1+t))∫[1, e]{x-1/x}dx
= (e^(1+t))[(x^2)/2-log(x)]_[1, e]
= (e^(1+t)){((e^2)/2-1)-(1/2)}
= (e^(1+t)){(e^2)/2-3/2}

よって、(1)の部分の面積は (e^(1+t)){2(e^2)/2-1} = (e^t)(e^3-e) となります。

(2) t = log(z) ≧ 0 の場合
1 ≦ z = e^t ≦ e つまり 0 ≦ t ≦ 1 となり |log(x)|+|log(y)| ≦ 1-|log(z)| = 1-t です。
よって、|log(y)| ≦ 1-t-|log(x)| となります。

(2a) log(x) < 0 つまり 1/e ≦ x < 1 の場合
log(x) < -log(x) となりますから、(1a)とほぼ同様に
⇒ x(e^(1-t)) ≦ y ≦ (1/x)(e^(1-t))
この部分の面積は
(e^(1-t))∫[1/e, 1]{1/x-x}dx = (e^(1-t)){1/2+1/(2e^2)}

(2b) log(x) ≧ 0 つまり 1 ≦ x ≦ e の場合
-log(x) ≦ log(x) となりますから、(1a)とほぼ同様に
⇒ (1/x)(e^(1-t)) ≦ y ≦ x(e^(1-t))
この部分の面積は
(e^(1-t))∫[1, e]{x-1/x}dx = (e^(1-t)){(e^2)/2-3/2}

よって、(2)の部分の面積は (e^(1-t)){2(e^2)/2-1} = (e^(-t))(e^3-e) となります。

以上から、
V = ∫[-1, 0]{(e^t)(e^3-e)(e^t)}dt+∫[0, 1]{(e^(-t))(e^3-e)(e^t)}dt
= (e^3-e){∫[-1, 0]{e^(2t)}dt+∫[0, 1]{1}dt
= (e^3-e){[(e^(2t))/2]_[-1, 0]+[t]_[0, 1]}
= (e^3-e){(1-e^(-2))/2+1}
= (e^3-e)(3-e^(-2))/2
= (3e^3-3e-e+e^(-1))/2
= (3e^3-4e+e^(-1))/2

# 私の勘違い、計算間違いがある可能性大ですので質問者さんの方で良く確認してください!
No.90300 - 2025/06/01(Sun) 12:17:25
☆ Re: 不等式の表す領域の体積 / IT
私は求積はやっていませんが
(3e^3-4e+e^(-1))/2 > e^3 なので、まちがっているようですね
No.90301 - 2025/06/01(Sun) 14:46:12
☆ Re: 不等式の表す領域の体積 / X
＞＞WIZさんへ
(1a)で絶対値を外す箇所が間違っているようです。
＞＞⇒ 1+t+log(x) ≦ log(y) ≦ 1+t-log(x)
ではなくて
-{1+t+log(x)} ≦ log(y) ≦ 1+t+log(x)
では？。
No.90307 - 2025/06/01(Sun) 17:45:01
☆ Re: 不等式の表す領域の体積 / WIZ
ITさん、Xさん、ご指摘ありがとうございます。

少なくとも「絶対値を外し方」と「積分範囲」を間違えていました。
(1)は -1 ≦ t < 0 なので 0 ≦ |log(x)|+|log(y)| = 1+t < 1 であり、
(1a)は log(x) < 0 なので 0 < -log(x) ≦ 1+t
⇒ -(1+t) ≦ log(x) < 0
⇒ e^(-1-t) ≦ x < 1

また |log(y)| ≦ 1+t-|log(x)| より、
⇒ -{1+t+log(x)} ≦ log(y) ≦ 1+t+log(x)
⇒ (1/x)e^(-1-t) ≦ y ≦ x(e^(1+t))

この部分の面積は
∫[e^(-1-t), 1]{x(e^(1+t))-(1/x)e^(-1-t)}dx
= [((x^2)/2)e^(1+t)-log(x)e^(-1-t)]_[e^(-1-t), 1]
= {(1/2)e^(1+t)}-{(1/2)(e^(-2-2t))e^(1+t)-(-1-t)e^(-1-t)}
= (1/2)e^(1+t)-(1/2)e^(-1-t)+(1+t)e^(-1-t)
= (1/2)e^(1+t)+(1/2+t)e^(-1-t)

同様に(1b)は 0 ≦ log(x) ≦ 1+t なので 1 ≦ x ≦ e^(1+t) となり、
-{1+t-log(x)} ≦ log(y) ≦ 1+t-log(x)
⇒ x(e^(-1-t)) ≦ y ≦ (1/x)(e^(1+t))

この部分の面積は
∫[1, e^(1+t)]{(1/x)e^(1+t)-x(e^(-1-t))}dx
= [log(x)e^(1+t)-((x^2)/2)e^(-1-t)]_[1, e^(1+t)]
= {(1+t)e^(1+t)-(1/2)(e^(2+2t))e^(-1-t)}-{-(1/2)e^(-1-t)}
= (1/2+t)e^(1+t)+(1/2)e^(-1-t)

よって、-1 ≦ t < 0 において
s(t) = {(1/2)e^(1+t)+(1/2+t)e^(-1-t)}+{(1/2+t)e^(1+t)+(1/2)e^(-1-t)}
= (1+t){e^(1+t)+e^(-1-t)}

(2)は 0 ≦ t ≦ 1 なので 0 ≦ |log(x)|+|log(y)| = 1-t < 1 であり、
(2a)は log(x) < 0 なので 0 < -log(x) ≦ 1-t
⇒ -(1-t) ≦ log(x) < 0
⇒ e^(-1+t) ≦ x < 1

また -{1-t+log(x)} ≦ log(y) ≦ 1-t+log(x) より、
⇒ (1/x)e^(-1+t) ≦ y ≦ x(e^(1-t))

この部分の面積は
∫[e^(-1+t), 1]{x(e^(1-t))-(1/x)e^(-1+t)}dx
= [((x^2)/2)e^(1-t)-log(x)e^(-1+t)]_[e^(-1+t), 1]
= {(1/2)e^(1-t)}-{(1/2)(e^(-2+2t))e^(1-t)-(-1+t)e^(-1+t)}
= (1/2)e^(1-t)+(-3/2+t)e^(-1+t)

同様に(2b)は 0 ≦ log(x) ≦ 1-t なので 1 ≦ x ≦ e^(1-t) となり、
-{1-t-log(x)} ≦ log(y) ≦ 1-t-log(x)
⇒ x(e^(-1+t)) ≦ y ≦ (1/x)(e^(1-t))

この部分の面積は
∫[1, e^(1-t)]{(1/x)e^(1-t)-x(e^(-1+t))}
= [log(x)e^(1-t)-((x^2)/2)e^(-1+t)]_[1, e^(1-t)]
= {(1-t)e^(1-t)-(1/2)(e^(2-2t))e^(-1+t)}-{-(1/2)e^(-1+t)}
= (1-t)e^(1-t)-(1/2)e^(1-t)+(1/2)e^(-1+t)
= (1/2-t)e^(1-t)+(1/2)e^(-1+t)

よって、0 ≦ t ≦ 1 において
s(t) = {(1/2)e^(1-t)+(-3/2+t)e^(-1+t)}+{(1/2-t)e^(1-t)+(1/2)e^(-1+t)}
= (1-t){e^(1-t)-e^(-1+t)}

以上から
V = ∫[-1, 0]{(1+t){e^(1+t)+e^(-1-t)}e^t}dt+∫[0, 1]{(1-t){e^(1-t)-e^(-1+t)}e^t}dt
= ∫[-1, 0]{(1+t){e^(1+2t)+1/e}}dt+∫[0, 1]{(1-t){e-e^(-1+2t)}}dt

前半の積分は
[(1+t)(e^(1+2t))/2+(t+(t^2)/2))/e]_[-1, 0]-∫[-1, 0]{(e^(1+2t))/2}dt
= {e/2-(-1+1/2)/e}-[(e^(1+2t))/4]_[-1, 0]
= (1/2)(e+1/e)-(1/4)(e-1/e)
= (1/4)(e+3/e)

後半の積分は
[(t-(t^2)/2)e-(1-t)(e^(-1+2t))/2]_[0, 1]+∫[0, 1]{(-1)(e^(-1+2t))/2}dt
= {(1-1/2)e+(1/2)(1/e)-[(e^(-1+2t))/4]_[0, 1]
= (1/2)(e+1/e)-(1/4)(e-1/e)
= (1/4)(e+3/e)

よって、V = (1/4)(e+3/e)+(1/4)(e+3/e) = (1/2)(e+3/e) となると思います。
No.90309 - 2025/06/01(Sun) 23:38:13
☆ Re: 不等式の表す領域の体積 / むっちゃん
返信が遅くなり申し訳ありません。
とても助かりました。
ありがとうございます。
No.90329 - 2025/06/06(Fri) 20:39:18
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です
120÷3=40

59÷3=19あまり2

40-19=21まい
21÷4=5あまり1

Ｂさんが取ったカードは５枚です

答えでは10枚でした。
No.90292 - 2025/05/29(Thu) 10:30:42
☆ Re: / ヨッシー
Ａさんが取った21枚の３の倍数のカードから
Ｂさんが４の倍数のカードを取る
のであれば、その考えでいい（正しい答えは６枚ですが）ですが、
この問題は、Ａさんが取らなかった40枚のカードから
Ｂさんが４の倍数のカードを取る
なので根本的に違います。
No.90293 - 2025/05/29(Thu) 13:47:47
☆ Re: / やり直しメン
Aが取った120÷3=40
59÷3=19あまり2
40-19=21枚
Ｂは120÷4=30
59÷4＝14あまり3
Ｂは30-14=16まい
答えは16枚ですか
No.90294 - 2025/05/30(Fri) 15:41:34
☆ Re: / GandB
　A が取った3の倍数 { 60, 63, 66, …,120 } の個数は
　　(120-60)/3 + 1 = 21

　この中には3の倍数であると同時に4の倍数である数、つまりは 12 の倍数
　　{ 60, 72, 84, …,120 }
の個数が
　　(120-60)/12 + 1 = 6
だけある。
　4の倍数 { 60, 64, 68, …,120 } の個数は全部で
　 (120-60)/4 + 1 = 16
あるわけだが、このうち6個はすでにAが取っている。
　したがって求める個数は
　　16 - 6 = 10

　カードは全部で

60,　61,　62,　63,　64,　65,　66,　67,　68,　69
70,　71,　72,　73,　74,　75,　76,　77,　78,　79
80,　81,　82,　83,　84,　85,　86,　87,　88,　89
90,　91,　92,　93,　94,　95,　96,　97,　98,　99
100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109
110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119
120

だけしかないのだから、わかりにくいときは手作業で数える。
No.90295 - 2025/05/30(Fri) 16:19:30
☆ Re: / やり直しメン
59÷12=4あまり9
10-4=6
16-6=10まいということです。
なぜこのような計算はされてないのでしょうか。
No.90296 - 2025/05/31(Sat) 15:35:40
☆ Re: / ヨッシー
そのような式の羅列ではなく、前後に日本語を書くクセをつけましょう。

１以上５９以下の１２の倍数は
　59÷12=4あまり9
より、４枚。
１以上１２０以下の１２の倍数は
　120÷12＝10
より、１０枚。よって、６０以上１２０以下の１２の倍数は
　10-4=6
より、６枚。一方、６０以上１２０以下の４の倍数は １６枚（方法は省略）なので、
Ｂさんの取った、６０以上１２０以下で、３の倍数でない４の倍数の枚数は
　16-6=10 （枚）

太字の部分が全部抜けています。

その上で、GandB さんの回答と比較して、どこが違いますか？　
No.90310 - 2025/06/02(Mon) 08:51:35
★ (No Subject) / えｃれふぃるぇｘｒ
Σ(∞,n=1)1/(n^2×2^n)=(π^2)/12-((log2)^2)/2を示して下さい。解き方が分からないので出てくるか知りませんが、もしバーゼル問題がでてきても証明なしに使ってよいです。
No.90285 - 2025/05/25(Sun) 19:19:44
☆ Re: / WIZ
Li2(x) = Σ[n=1,∞]{(x^n)/(n^2)}における Li2(1/2) の計算方法は、ググると下記で解説されています。
[まめけびのごきげん数学・物理]-[ホーム]-[数学]-[特殊関数]-[多重対数関数（ポリログ）の関係式一覧・証明付き]
https://mamekebi-science.com/math/spetialfunction/polylog-identities/
No.90291 - 2025/05/26(Mon) 12:59:19
★ (No Subject) / 中3
解き方が分かりません
No.90284 - 2025/05/25(Sun) 16:25:39
☆ Re: / X
方針だけ。

添付写真において、大きい三角形と小さい三角形
がありますが、そのうち、大きい三角形の頂点を
右上の頂点から反時計回りにA,B,Cとし、
小さい三角形の頂点をAから反時計回りに
D,Eとします。

このとき、四角形DBCEは円に内接しているので
∠ABC=∠AED (A)
∠ACB=∠ADE (B)
(A)(B)より
△ABC∽△ADE
このことから対応する辺の相似比について
(6+4):x=(x+3):4=8:y (C)

(C)をx,yについての連立方程式として
解きます。
No.90289 - 2025/05/25(Sun) 20:15:10
☆ Re: / ヨッシー
方べきの定理は、円周角（円に内接する四角形の定理）と三角形の相似だけで説明できる定理です。
ご参考まで。
No.90290 - 2025/05/26(Mon) 08:52:36
★ 円 / 中3
xの求め方が分かりません。
No.90283 - 2025/05/25(Sun) 16:19:58
☆ Re: 円 / X
添付写真において、線分の端点のうち、円周上
にあるものを、左上にあるものから反時計回りに
A,B,C,D
とし、線分AC,BDの交点をEとします。
すると、円周角により
△ABE∽△CDE
なので、対応する辺について
AE:DE=BE:CE
よって
(16×5/8):(19-x)=x:(16×3/8) (A)

(A)を
0＜x＜19 (B)
に注意して解きます。

注)
添付写真の図では
BE＜DE (C)
となっていますが、もし(C)が条件になっている
のであれば、(B)の代わりに
0＜x＜19/2 (B)'
がxに対する条件になります。
No.90288 - 2025/05/25(Sun) 20:10:20
★ 三角関数の回転の方向と正負について / やすゆき
数学の三角関数の問題です。添付の問題の（1）の解説で、x'=rcos(α+3/π)となっている部分が、x'=rcos(3/π-α)のように思えてしまって、なぜカッコの中がα+3/πとなるのかがわかりません。基本的な考え方が身に付いていないのかもしれず、その前提で教えていただけると大変ありがたいです。
No.90278 - 2025/05/21(Wed) 23:55:37
☆ Re: 三角関数の回転の方向と正負について / ヨッシー
だいたいの数値で考えると、
Ｐ’の角が α＝−５５°くらいとして、そこから
６０°回転して、Ｑ’が５°くらいになると考えると、
　α＋π/3＝−５５°＋６０°＝５°
でいいと思いますが。
No.90279 - 2025/05/22(Thu) 09:35:18
☆ Re: 三角関数の回転の方向と正負について / X
横から失礼します。

これはαがどう定義されているか、ということですね。

(1)の解説の4行目から
cosα＞0,sinα＜0
∴
-π/2+2nπ＜α＜2nπ (A)
(nは任意の整数)

ヨッシーさんの解説は(A)において
n=0のとき、つまり
-π/2＜α＜0 (A)'
に当たります。
一方、例えば、n=1のときは
x軸の正の向きから一周して
3π/2＜α＜2π (A)"
となります。

(A)'(A)"においても、動径OP'が角αの位置から
反時計回りにπ/3だけ回転移動するわけですので
α+π/3(=π/3+α)
となります。
No.90281 - 2025/05/22(Thu) 17:48:11
☆ Re: 三角関数の回転の方向と正負について / やすゆき
ヨッシーさん、xさん

ありがとうございます

図形上の位置関係で考えてしまっていました。

αとx,y座標の関係性を式で考えたらプラスですね

理解できました、ありがとうございました。


> 横から失礼します。
>
> これはαがどう定義されているか、ということですね。
>
> (1)の解説の4行目から
> cosα＞0,sinα＜0
> ∴
> -π/2+2nπ＜α＜2nπ (A)
> (nは任意の整数)
>
> ヨッシーさんの解説は(A)において
> n=0のとき、つまり
> -π/2＜α＜0 (A)'
> に当たります。
> 一方、例えば、n=1のときは
> x軸の正の向きから一周して
> 3π/2＜α＜2π (A)"
> となります。
>
> (A)'(A)"においても、動径OP'が角αの位置から
> 反時計回りにπ/3だけ回転移動するわけですので
> α+π/3(=π/3+α)
> となります。
No.90282 - 2025/05/24(Sat) 15:19:41
★ 転換法 / TOM
転換法は以下のようにアイウの仮定が重ならず更にすべての場合を表し、
結論もが重ならずさらにすべての場合を表しすべての場合を表す場合、すべての逆が
成り立つことですか。

転換法を利用して以下のア　x>3⇒x^2>9、イ　x＝3⇒x^2＝9、ウ　x＜3⇒x^2＜9
を考えると、逆　ア　x>3←x^2>9、イ　x＝3←x^2＝9、ウ　x＜3←x^2＜9
が成り立つことが考えられます。
しかし、この例はなぜ誤りですか。

転換法が利用できるときと、できないときの違いは何ですか。
No.90275 - 2025/05/21(Wed) 17:40:29
☆ Re: 転換法 / らすかる
最初のウが正しくありません。例えばx=-4のときx^2＞9です。
No.90276 - 2025/05/21(Wed) 17:48:57
☆ Re: 転換法 / TOM
最初のウの誤りがわかりました。

転換法は「アイウの仮定が重ならず更にすべての場合を表し、
結論もが重ならずさらにすべての場合を表しすべての場合を表す場合、すべての逆が成り立つこと」ですか。
No.90277 - 2025/05/21(Wed) 20:57:05
★ イエンセン不等式 / Higashino
以下の問題をイエンセン不等式で考えるとどうなるか教えてください
No.90271 - 2025/05/19(Mon) 17:49:39
☆ Re: イエンセン不等式 / Higashino
次のような回答いただいているのですが
正しいものあるかどうか教えてください
No.90272 - 2025/05/20(Tue) 04:06:16
☆ Re: イエンセン不等式 / Higashino
自己解決しました
No.90273 - 2025/05/20(Tue) 11:41:33
★ 2022早稲田理工 / ぐっちょん
2022年の早稲田大学理工数学の[4]の正八面体の問題
https://kgkrkgk.com/math/wsm22s.htm#google_vignette
なのですが、Z(B[1],B[2],B[3]の共通部分の体積)
を求めることは可能でしょうか。よろしくお願いいたします。
No.90269 - 2025/05/18(Sun) 23:26:40
★ (No Subject) / りんご
nを自然数とする。2つの変量ｘ,ｙのn個のデータ
(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)…(xn,yn)
が与えられている。ｘの平均値はｘ=16，分散はSx^2=3でありｙの平均値はｙ=3，分散はSy^2=2/3である。Xとyの共分散をsxyとおく。さらにz=2x-3yで新たな変量zを作る。Zのデータはzi=2xi−3yi(i=1,2…n)である。この時zの平均値zはz=[23]となる。Zの分散Sz^2をSxyを用いて書き表すとSz^2=？

この問題って分散=「2乗の期待値 - 期待値の2乗」を利用し
てyi^2の期待値，xi^2の期待値 を求める。そしてｚの分散=「2乗の期待値 - 期待値の2乗」を利用して求めることはできないのでしょうか。このやり方だと答え合わないのですが
No.90268 - 2025/05/18(Sun) 00:58:26
☆ Re: / ポテトフライ
> そしてｚの分散=「2乗の期待値 - 期待値の2乗」を利用して求めることはできないのでしょうか。このやり方だと答え合わないのですが

できます。答えが合わないと言われても、あなたがどんな途中計算をしたのか見せてもらわないと、回答しようがない。
合わないのはあなたの計算のどこかが間違ってるからです。
(まあ多分共分散のけいさんが間違えているのだろう。)
No.90280 - 2025/05/22(Thu) 17:07:03
★ 一次関数 / 数弱中3
以下の問題の解き方が分かりません。
答えは、A(7,10)です
No.90265 - 2025/05/16(Fri) 10:03:12
☆ Re: 一次関数 / X
A(x,y)とすると、中点の座標について
(x-3)/2=2 (A)
(y+2)/2=6 (B)
(A)(B)より
(x,y)=(7,10)
よってA(7,10)
No.90266 - 2025/05/16(Fri) 17:50:42
★ 連立方程式 / 数弱中3
以下の問題の解き方が分かりません。
答えはa＝15分の2です。
No.90264 - 2025/05/16(Fri) 09:59:14
☆ Re: 連立方程式 / X
3ax+2y+2=0 (A)
x-3y+5=0 (B)
とします。
(B)においてy=0のときx=-5
なので(B)とx軸との交点の座標は
(-5,0)
これを(A)が通るので
-15a+2=0
これを解いて
a=2/15
No.90267 - 2025/05/16(Fri) 17:52:11
★ 微分 / Higashino
何卒よろしくお願いします
以下問題
No.90261 - 2025/05/15(Thu) 15:42:47
☆ Re: 微分 / X
a=1のときは題意を満たさないので不適。

a≠1のとき
f(x)=a^x-x
と置くと
f(0)=1 (A)
f'(x)=(a^x)loga-1 (B)
(i)0＜a＜1のとき
(B)より0＜xにおいてf(x)は単調減少
で
lim[x→∞]f(x)=-∞
∴不適。
(ii)1＜aのとき
(B)より、0＜xにおける増減表を書くと
f(x)はx=-log[a](loga)のときに
最小値
f(-log[a](loga))=1/loga+log[a](loga)
を取ることが分かるので、題意を満たすためには
1/loga+log[a](loga)≧0
これより
loga≧a^(-1/loga)=1/e
∴e^(1/e)≦a
これと1＜e^(1/e)により
e^(1/e)≦a

以上より、求めるaの値の範囲は
e^(1/e)≦a
No.90262 - 2025/05/15(Thu) 17:51:11
☆ Re: 微分 / Higashino
ご返信が遅くなり申し訳ございませんでした
ご回答ありがとうございました
わたくしは次のように考えました
ご指摘アドバイスのほどよろしくお願いいたします
No.90270 - 2025/05/19(Mon) 07:16:23
★ (No Subject) / ネバラン
実数 A <= B, C <= D　について

A <= x <= B
C <= x <= D

をともに満たす実数xが存在するとき
A、B、C、Dが満たすべき必要十分条件を求めよ。

これの答えはどうなりますか？
No.90256 - 2025/05/15(Thu) 10:28:31
☆ Re: / ヨッシー
Ｃ≦Ｂ　かつ　Ａ≦Ｄ
ですかね。
No.90257 - 2025/05/15(Thu) 11:36:06
☆ Re: / ネバラン
A <= C かつ B <= Dとかは良いんですか
No.90258 - 2025/05/15(Thu) 13:34:48
☆ Re: / ヨッシー
Ａ≦Ｃ でなくても、あるいは　Ｂ≦Ｄ でなくても
たとえば、
　Ｃ＜Ａ≦ｘ≦Ｄ＜Ｂ
であれば、ｘは存在するので、
ＡとＣ、ＢとＤ の大小は関係ないと思います。
No.90259 - 2025/05/15(Thu) 15:10:28
☆ Re: / IT
Ｃ≦Ｂ　かつ　Ａ≦Ｄ が　必要条件であることは容易に分かるので省略します。

Ｃ≦Ｂ　かつ　Ａ≦Ｄ が十分条件であることを示す。

実数 Ａ ≦Ｂ, Ｃ≦Ｄ　について
　Ｃ≦Ｂ　かつ　Ａ≦Ｄ ならば
　　Ｃ≦Ａのときは、Ｃ≦Ａ≦ＤかつＡ≦Ａ≦Ｂ（ｘ＝Ａが両方の区間に共通に存在する）
　　Ａ＜Ｃのときは、Ａ≦Ｃ≦ＢかつＣ≦Ｃ≦Ｄ（ｘ＝Ｃが両方の区間に共通に存在する）

　
No.90263 - 2025/05/15(Thu) 20:44:30
★ 微分 / Higashino
何卒よろしくお願いします
以下問題
No.90249 - 2025/05/12(Mon) 20:42:35
☆ Re: 微分 / _
f(x)=x^p とおく。

　A=(2^p)*((a+b)/2)^p
　B=(2^p)*( (a^p + b^p)/2 )

だから,
「AとBの大小関係」は 「f((a+b)/2) と (f(a)+f(b))/2 の大小関係」と同じ。

・p>1 のとき：f(x)のグラフは下に凸だから,
　f((a+b)/2) < (f(a)+f(b))/2 , i.e. A
・0<p<1 のとき：f(x)のグラフは上に凸だから,
　f((a+b)/2) > (f(a)+f(b))/2 , i.e. A>B .

・p=1 のときは 　f((a+b)/2) = (f(a)+f(b))/2 だから A=B .
No.90254 - 2025/05/13(Tue) 14:40:03
☆ Re: 微分 / Higashino
ご返信が遅くなり
申し訳ございませんでした
素敵な考え方をありがとうございました
私も回答を作りましたが
先生のようなスマートさありませんです
何卒よろしくお願いします
No.90260 - 2025/05/15(Thu) 15:16:28
★ 小学校の算数に詳しい方？ / ぬば
小４の公開模試の問題の中の１問
「ある町の人口は，男の人が25469人，女の人が19402人です。この町の人口はおよそ何万人ですか。千の位を四捨五入して求めなさい。」
答え（解説は無く答えのみしかありません）は50000人となっているのですが，小学校では，最後に四捨五入ではなく，四捨五入してから足すのですか？
No.90247 - 2025/05/12(Mon) 20:36:00
☆ Re: 小学校の算数に詳しい方？ / IT
その問題の場合は「四捨五入してから足す」で正しいようです。

「小学校学習指導要領（平成29 年告示）解説　算数編」

[小学４年生　Ａ（2）概数と四捨五入]　には下記の記述があります。

「概数を日常生活に生かすこと
　概数を用いる場合，対象となる数について，四捨五入等の処理をし，その処理した数を用いて計算する。

このとき，そのまま計算するときと比べると処理の回数が増えることから，概数を用いるよさを感じにくい場合がある。

それゆえ，形式的に処理するのみでなく，日常生活の場面の目的に応じて，概数を用いることで，より能率的に処理できることに気付くようにする。」
No.90250 - 2025/05/12(Mon) 21:53:47
☆ Re: 小学校の算数に詳しい方？ / IT
東京書籍（教科書も出版）の下記サイトなどが信頼性もあり　分かり易いかも

https://mathconnect.tokyo-shoseki.co.jp/hitokufu/20240924-02/
No.90252 - 2025/05/12(Mon) 22:08:00
☆ Re: 小学校の算数に詳しい方？ / ヨッシー
中学以上の（特に物理などの）理科では、有効数字を意識した概数計算になります。
有効数字　途中の式　でググったＡＩによる概要では、
計算途中の数値の扱い方
より多くの有効数字を保持する:
計算途中の数値は、最終的な結果の有効数字よりも1〜2桁多く保持するのが一般的です。
丸めすぎない:
計算途中で丸めすぎると、誤差が積み重なって最終的な結果に影響が出ることがあります。

この辺が、質問者さんのモヤモヤされていることへの答えになるかと思います。
小学校での手順はさておき、将来こういうこともあるよと教えておいてあげるのも良いかもしれません（混乱しない程度に）
No.90253 - 2025/05/13(Tue) 08:56:07
☆ Re: 小学校の算数に詳しい方？ / ぬば
ITさん，ヨッシーさん分かり易い説明ありがとうございます。
No.90255 - 2025/05/13(Tue) 20:31:41
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です
◻︎2の丸2番です

この問題文は２つあるとおもうのですが
最後のかな子さんだけが125mスタートした時の比は5:4でこれは同じタイミングでスタートしたので時間ぎ同じことになります。なので距離、速さは5:4です
ここで疑問なのですがなぜこの比の5:4は最初の話に使えるのでしょうか。
例えば醤油:お酢＝5:4というとき
コーラ:ファンタ=5:4という少し疑問な感覚です。

なので5:4を最初の話に使うという発想ができないです

最後の問題が見切れていたので追加します

かなこさんの走る速さは秒速何メートルですか。 です
No.90242 - 2025/05/10(Sat) 17:34:03
☆ Re: / やり直しメン
写真です
No.90243 - 2025/05/10(Sat) 17:34:34
☆ Re: / ヨッシー
醤油と酢の１リットルあたりの値段は、５：４です。
醤油とコーラ、酢とファンタの１リットルあたりの値段が同じであるとき、
１リットルあたりの値段の比は
　コーラ：ファンタ＝５：４
であっても、不思議ではありませんよね？
二人は、１回目も２回目も同じ速さで走っているので、
常に、速さの比は　５：４　となります。
No.90246 - 2025/05/12(Mon) 09:03:41
★ 何卒よろしくお願いします以下問題 / Higashino
何卒よろしくお願いします
No.90240 - 2025/05/10(Sat) 04:58:06
☆ Re: 何卒よろしくお願いします以下問題 / X
(1)(3)については、高校数学の範囲外の
知識を使っていいのか否か、の問題を脇に
置くことが前提であれば、数学的な計算に
おいては、大筋で問題ありません。
((3)には誤植がありますが。)

但し、(2)について。
これは、単に証明すべき命題に対する
同値関係を書いているだけで命題の
証明になっていません。
No.90244 - 2025/05/11(Sun) 07:35:33
☆ Re: 何卒よろしくお願いします以下問題 / Higashino
ご指摘ありがとうございました
No.90248 - 2025/05/12(Mon) 20:41:35
☆ Re: 何卒よろしくお願いします以下問題 / _
(3)もまったく不十分。

sqrt(2)<x_(n+1)<x_n で、単調減少有界列より{x_n}が収束することはいいとして
その収束値がsqrt(2)であることはこの議論だけではいえませんよ。
これで言えるのは「sqrt(2)以上の値に収束する」ということだけです。

実際にsqrt(2)そのものに収束することを言うにはさらなる議論が必要。
No.90251 - 2025/05/12(Mon) 22:05:42
★ 微分 / Higashino
何卒よろしくお願いします
以下問題
No.90234 - 2025/05/09(Fri) 05:57:58
☆ Re: 微分 / X
ニュートン法ですね。

(1)
f'(x)=2x
∴点(x[n],f(x[n]))における曲線y=f(x)
の接線の方程式は
y=2x[n](x-x[n])+x[n]^2-2
整理して
y=2x[n]x-x[n]^2-2
条件より、これが点(x[n+1],0)を通るので
0=2x[n]x[n+1]-x[n]^2-2
∴x[n+1]=x[n]/2+1/x[n] (A)

(2)
x[n]＞√2 (B)
とします。
(i)n=1のとき
x[1]に対する条件より(B)は成立
(ii)n=kのとき(B)の成立を仮定します。
つまり
x[k]＞√2 (B)'
ここで(A)と相加平均と相乗平均の関係から
x[k+1]=x[k]/2+1/x[k]≧2√{(x[k]/2)(1/x[k])}=√2
ここで不等号の下の等号は
x[k]/2=1/x[k]
のときに成立するが、(B)'によりこれを満たす
x[k]は存在しないので
x[k+1]＞√2
∴(B)はn=k+1のときも成立。

(i)(ii)から数学的帰納法により(B)は成立します。

(3)
(A)より
x[n+1]-√2=x[n]/2+1/x[n]-√2={(x[n]-√2)^2}/(2x[n]) (A)'
ここで(B)より
(x[n]-√2)-{(x[n]-√2)^2}/x[n]=(x[n]-√2){1-(x[n]-√2)/x[n]}
=(x[n]-√2)(√2)/x[n]＞0 (C)
(A)'(C)より
x[n+1]-√2＜(1/2)(x[n]-√2)
∴x[n]-√2＜(x[1]-√2)(1/2)^(n-1) (D)
(D)と(B)より
√2＜x[n]＜(x[1]-√2)(1/2)^(n-1)+√2 (E)
となるので、(E)においてn→∞を考えると、はさみうちの原理により
lim[n→∞]x[n]=√2
No.90237 - 2025/05/09(Fri) 17:49:50
☆ Re: 微分 / Higashino
何卒よろしくお願いします
No.90239 - 2025/05/10(Sat) 04:52:40
☆ Re: 微分 / Higashino
何卒よろしくお願いします
No.90241 - 2025/05/10(Sat) 04:58:50
★ 数3極限 / さざなみ/高校3年
なぜ赤マーカー部分のようになるかがわかりません。
なぜ判別式D2≦0なのでしょうか。D1<0になる理由は実数解が存在してはいけないからだと理解しました。しかしD2では異なる実数解が二つ存在しても良いのではと思ってしまいます。だからD2はどんな値でもいいと思ったのですが。
解説お願いします。
No.90232 - 2025/05/08(Thu) 20:25:09
☆ Re: 数3極限 / さざなみ/高校3年
回答です。
No.90233 - 2025/05/08(Thu) 20:26:01
☆ Re: 数3極限 / X
＞＞しかしD2では異なる実数解が二つ存在しても良いのでは
＞＞と思ってしまいます。

よろしくありません。
〇2の(左辺)=0が異なる実数解をもつと仮定して
それらをα、β(α＜β)とすると
〇2の解は
x≦α、β≦x
つまり
α＜x＜β
なる実数xに対して、〇2は
成立しなくなってしまいます。
No.90236 - 2025/05/09(Fri) 07:13:23
☆ Re: 数3極限 / IT
y=x^2-x+2p のグラフ（特にx軸との位置関係）を考えると分かり易いかも知れません。
No.90238 - 2025/05/09(Fri) 20:31:30
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