ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

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旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。

過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

★ 数列 / 山田山

引用

(n-2)から1の和で項数が(n-1)/2と表される意味が分かりません。回答よろしくお願いします。

No.85456 - 2023/05/24(Wed) 16:46:04

☆ Re: 数列 / ヨッシー

引用

ｎ＝３　のとき　１　のみの１項。
ｎ＝５　のとき　３，１　の２項。
ｎ＝７　のとき　５，３，１　の３項
ｎ＝９　のとき　７，５，３，１　の４項
なので、項数は　(n-1)/2 です。

No.85457 - 2023/05/24(Wed) 17:46:53

☆ Re: 数列 / X

引用

nが1から数えて第k項の奇数だとすると
n=2k-1
(kは自然数)
このとき
k=(n+1)/2
n-2はnの一つ前の項、つまりk-1項ですので
k-1=(n+1)/2-1
=(n-1)/2
となります。

(既にヨッシーさんがアップされていましたが、
このまま残しておきます。)

No.85458 - 2023/05/24(Wed) 17:47:43

☆ Re: 数列 / 山田山

引用

回答ありがとうございます。nに具体的な数を入れれば規則性は分かっていましたが、偶奇数をkを使った文字に起こす基本的な発想が抜けていました。本当にありがとうございました。

No.85459 - 2023/05/24(Wed) 21:53:27

★ ご回答よろしくお願いします / は

引用

この問題を教えてください。よろしくお願いします。

No.85451 - 2023/05/23(Tue) 10:51:34

☆ Re: ご回答よろしくお願いします / ast

引用

もしかしてヒントの趣旨は ∫_[1,∞) |x^(-k)|^2 dx < Σ_[n=1,…] |n^(-k)|^2 < ∫_[1,∞) |(x+1)^(-k)|^2 dx のような評価を利用するということか?
# この不等式自体は, 高さ 1/n^(2k), 幅 1 の短冊の可算和と適当な函数のグラフとで面積を比較したもの
# として得たもので, たしかに区分求積あたりの話でよく見る論法ではあるが, しかし,
# これを「区分求積法を用い」と表現するかといったらさすがに不自然すぎる (少なくとも私はすまい) がなぁ……
## (個人的には短冊の幅を 0 にする極限で積分と置き換わるのが区分求積法だと思っているので.)

No.85452 - 2023/05/23(Tue) 16:19:53

★ (No Subject) / めろん

引用

この問題の解説をお願い致します。

No.85446 - 2023/05/22(Mon) 21:21:10

☆ Re: / ヨッシー

引用

(i)
中央の小三角形を赤で塗る場合、
上の小三角形は青、黄の２通り。
左下、右下もそれぞれ２通りで、合計
　２×２×２＝８（通り）
そのうち２通り（中央以外の３個を青で塗る、黄で塗る）が２色で塗る場合。
中央が青、黄の場合も同数ずつあるので、
　８×３＝２４（通り）　・・・ソタ
　（８－２）×３＝１８（通り）・・・チツ

(ii)
ＰとＱが同じ色の場合
例えば両方赤の場合
Ｐの左下とその下の２個の小三角形の塗り方は青、黄か黄、青の２通り
Ｐの右下とその下の２個の小三角形の塗り方も青、黄か黄、青の２通り
一番上の小三角形はすぐ下の色以外の２通り
左下、右下の小三角形も同様に２通り
以上より、２×２×２×２×２＝３２（通り）
ＰとＱを青、黄で塗る場合も、３２通りなので、合計
　３２×３＝９６（通り）・・・テト

ＰとＱが異なる色の場合
例えば、Ｐを赤、Ｑを青で塗る場合
Ｐの左下とその下の２個の小三角形の塗り方は（青、黄）（青、赤）（黄、赤）の３通り
Ｐの右下とその下の２個の小三角形の塗り方も３通り
一番上の小三角形はすぐ下の色以外の２通り
左下、右下の小三角形も同様に２通り
以上より　３×３×２×２×２＝７２（通り）
ＰとＱの色の使い方は　３×２＝６（通り）
以上より
　７２×６＝４３２（通り）　・・・ナニヌ

No.85450 - 2023/05/23(Tue) 09:00:30

★ (No Subject) / M.Y.

引用

この問題の(2)なのですが、解説を読むと2行目でいきなり自分で不等式を作って、それを使って証明しています。(2)で示す不等式のうち、右側は(1)を使えば良いので容易ですが、左側を示すために必要な不等式をどういうふうに考えれば自分で作れるのか教えていただきたいです。0から1で積分して(e-1)/eになる関数を見つけられませんでした。

No.85441 - 2023/05/22(Mon) 18:34:24

☆ Re: / M.Y.

引用

解説はこちらでございます

No.85442 - 2023/05/22(Mon) 18:35:11

☆ Re: / IT

引用

M.Y.さんと同感です。直近でe^(-x) の定積分が出てきてなければ、試行錯誤の範囲内かもしれませんが直ぐには思いつかないと思います。

No.85454 - 2023/05/23(Tue) 19:09:55

★ (No Subject) / M.Y.

引用

この問題の(2)なのですが、自分は[1]と[2]の場合分けをせず[2]だけ計算して回答してしまいました。この場合分けがなぜ必要なのか、そもそもどういう意味なのかが解答を見てもわからないので教えていただきたいです。

No.85439 - 2023/05/22(Mon) 18:21:35

☆ Re: / M.Y.

引用

解説です

No.85440 - 2023/05/22(Mon) 18:23:11

☆ Re: / IT

引用

問題の条件に「0≦t≦eとする」とありますから、
1＜t≦eのときだけではなく、当然、0≦t≦1のときも考えなくてはいけません。

No.85444 - 2023/05/22(Mon) 20:12:13

☆ Re: / M.Y.

引用

なぜ1<t≦eと0≦t≦1で場合分けをしているのかがわかりません。

No.85445 - 2023/05/22(Mon) 21:17:17

☆ Re: / IT

引用

y=e^x のグラフと　y=t^2 のグラフを考えてみてください。
例えばt=1/2 のとき、２つのグラフの位置関係はどうなりますか？
そのとき|e^x-t^2| はどうなりますか？

No.85447 - 2023/05/22(Mon) 21:30:31

☆ Re: / M.Y.

引用

0≦x≦2では常にe^xの方が大きいですね。e^x-t^2≧0だから|e^x-t^2|＝e^x-t^2。ということですか？

No.85448 - 2023/05/22(Mon) 23:42:15

☆ Re: / IT

引用

そうですね、その上で、(2)にまとめられないことを確認してください。

No.85449 - 2023/05/23(Tue) 08:13:41

☆ Re: / M.Y.

引用

理解しました。ありがとうございました。

No.85453 - 2023/05/23(Tue) 18:29:41

★ お願いします! / 榊

引用

この写真の重積分の問題を解いているのですが、
途中まで解いて分からなくなってしまいました。

途中まであっていますか？
もしよろしければここから教えて欲しいです

No.85432 - 2023/05/20(Sat) 18:17:50

☆ Re: お願いします! / X

引用

計算に問題はありません。
只、最後の行で部分積分を使うよりも、
最後から一行上の行から
=(31/5)[-(1/4)(cosθ)^4][0→π/2]
=…
とした方が簡単です。
(部分積分でも計算できますが、多少煩雑です。
もし、部分積分での方針が知りたいのであれば
その旨をアップして下さい。)

No.85433 - 2023/05/20(Sat) 19:32:19

☆ Re: お願いします! / 榊

引用

ありがとうございます！！！
できました！！！！！

No.85434 - 2023/05/20(Sat) 21:16:39

★ 複素解析 / マゼンタ

引用

e^zが正則であることを利用して、e^iz、e^-izが正則であることを言いなさい。(コーシー・リーマンの方程式は使わないこと)

ちなみに、eはネイピア数、zは0ではない複素数、iは虚数単位です。よろしくお願いします。

No.85429 - 2023/05/19(Fri) 15:33:04

☆ Re: 複素解析 / X

引用

以下、hは複素数とします。

f(z)=e^z
と置くと、条件より
f'(z)=lim[h→0]{e^(z+h)-e^z}/h
=lim[h→0]{(e^h-1)/h}e^z
∴lim[h→0](e^h-1)/h=f'(0) (A)

∴lim[h→0]{e^{i(z+h)}-e^(iz)}/h
=lim[h→0]{e^(ih)-1}/h}{e^(iz)}
=lim[h→0]{e^(ih)-1}/(ih)}{ie^(iz)}
=f'(0)ie^(iz) (∵)(A)より
となるので、導関数の定義によりe^(iz)は正則。
同様の計算によりe^(-iz)も正則。

No.85430 - 2023/05/19(Fri) 18:57:33

★ (No Subject) / 初夏

引用

120桁の自然数で各桁の和が60となるものは
幾つあるでしょうか。
この問題の解法を教えてください。
宜しくお願いします。

No.85426 - 2023/05/18(Thu) 11:44:49

☆ Re: / らすかる

引用

(求める個数)
=(先頭桁が0であるものを含めた個数)-(先頭桁が0であるものの個数)
=(60を120桁に割り振る場合の数)-(60を119桁に割り振る場合の数)

最初に「60を120桁に割り振る場合の数」を求めます。
各桁が10以上でよければ120H60通り
ここから10以上の桁を含むものを除外します。
10以上の桁が6個あるものは120C6通り
10以上の桁が5個以上のものは120C5・120H10通り
これには10以上の桁が6個あるものが6重複で含まれているので
10以上の桁が5個であるものは120C5・120H10-120C6×6通り
10以上の桁が4個以上のものは120C4・120H20通り
これには10以上の桁が5個あるものが5重複で含まれ、
6個あるものが6C2重複で含まれているので、
10以上の桁が4個であるものは
120C4・120H20-(120C5・120H10-120C6×6)×5-120C6×6C2
=120C4・120H20-120C5・120H10×5+120C6×15通り
同様に
10以上の桁が3個であるものは
120C3・120H30-(120C4・120H20-120C5・120H10×5+120C6×15)×4
-(120C5・120H10-120C6×6)×5C2-120C6×6C3
=120C3・120H30-120C4・120H20×4+120C5・120H10×10-120C6×20通り
10以上の桁が2個であるものは
120C2・120H40-(120C3・120H30-120C4・120H20×4+120C5・120H10×10-120C6×20)×3
-(120C4・120H20-120C5・120H10×5+120C6×15)×4C2
-(120C5・120H10-120C6×6)×5C3-120C6×6C4
=120C2・120H40-120C3・120H30×3+120C4・120H20×6-120C5・120H10×10+120C6×15通り
10以上の桁が1個であるものは
120C1・120H50
-(120C2・120H40-120C3・120H30×3+120C4・120H20×6-120C5・120H10×10+120C6×15)×2
-(120C3・120H30-120C4・120H20×4+120C5・120H10×10-120C6×20)×3C2
-(120C4・120H20-120C5・120H10×5+120C6×15)×4C3
-(120C5・120H10-120C6×6)×5C4-120C6×6C5
=120C1・120H50-120C2・120H40×2+120C3・120H30×3
-120C4・120H20×4+120C5・120H10×5-120C6×6
よって60を120桁に割り振る場合の数は
120H60-(120C1・120H50-120C2・120H40×2+120C3・120H30×3
-120C4・120H20×4+120C5・120H10×5-120C6×6)
-(120C2・120H40-120C3・120H30×3+120C4・120H20×6-120C5・120H10×10+120C6×15)
-(120C3・120H30-120C4・120H20×4+120C5・120H10×10-120C6×20)
-(120C4・120H20-120C5・120H10×5+120C6×15)
-(120C5・120H10-120C6×6)-(120C6)
=120H60-120C1・120H50+120C2・120H40-120C3・120H30
+120C4・120H20-120C5・120H10+120C6

「60を119桁に割り振る場合の数」も全く同様に
119H60-119C1・119H50+119C2・119H40-119C3・119H30
+119C4・119H20-119C5・119H10+119C6
となるので、求める場合の数は
(120H60-120C1・120H50+120C2・120H40-120C3・120H30
+120C4・120H20-120C5・120H10+120C6)
-(119H60-119C1・119H50+119C2・119H40-119C3・119H30
+119C4・119H20-119C5・119H10+119C6)
=805598322158225912529975677319006202392829957013通り

No.85427 - 2023/05/18(Thu) 13:25:58

☆ Re: / 初夏

引用

詳しい解説に感謝します。
大変わかりやすかったです。
ありがとうございました。

No.85428 - 2023/05/18(Thu) 14:33:17

★ 微分方程式 / ひろ

引用

dx/dt＝x-2y +e^t
dy/dt＝-3x +2y+1
初期値[1,0] [x,y] この連立した微分方程式をラプラス変換や逆行列を使って解きたいのですが上手くいきません。解答を途中式含めて教えてください
とりあえず、ラプラス変換し、初期条件を代入した上で、行列での連立方程式な形をした後、逆行列を左からかけて、逆ラプラス変換しようとしても上手くいきませんでした

No.85419 - 2023/05/15(Mon) 18:19:41

☆ Re: 微分方程式 / X

引用

>>初期値[1,0] [x,y]
を
t=0のとき,[x,y]=[1,0]
と解釈して方針を。

x.yのラプラス変換をX,Yとすると、問題の連立方程式のラプラス変換は
sX-1=X-2Y+1/(s-1) (A)
sY=-3X+2Y+1/s (B)
整理をして
(s-1)X+2Y=1+1/(s-1) (A)'
3X+(s-2)Y=1/s (B)'
これにクラーメルの公式を適用(逆行列を使っても可)し、整理をすると
こちらの計算では
X=(s^3-2s^2-2s+1)/{s(s-1)(s+1)(s-4)} (C)
Y=(-2s^2-2s+1)/{s(s-1)(s+1)(s-4)} (D)
となりましたが、ここまではよろしいですか？

ここからですが、(C)(D)を部分分数分解した上で逆ラプラス変換します。
(分母の因数が全て一次式で、かつべきが全て1なので
部分分数分解はそこまで煩雑ではありません。)

No.85420 - 2023/05/15(Mon) 18:35:04

★ リカッチの微分方程式 / 田中

引用

du/dt=(-2/(t^2))+x^2の解のひとつがx=1/tの時、別の解xを求めよという問題なのですが、早い段階で分からなくなっていて手詰まりです。どなたか解答例を教えてもらえないでしょうか。

No.85414 - 2023/05/14(Sun) 21:55:30

☆ Re: リカッチの微分方程式 / 田中

引用

すみません、最初はdu/dtではなくdx/dtです。

No.85415 - 2023/05/14(Sun) 22:14:12

☆ Re: リカッチの微分方程式 / ポテトフライ

引用

> 早い段階で分からなくなっていて手詰まりです。

一体どこまでいったのでしょうか？

私が計算してみたところ、一般解をx(t)=1/t+y(t)とすればyに関して
dy/dt=2y/t+y^2
という式を得ました。あとはベルヌーイの微分方程式の解法をもちいてやれば良いと思います。

No.85418 - 2023/05/15(Mon) 15:28:02

★ (No Subject) / 吉田

引用

二階対称導関数について質問です。
二階微分可能な関数f(x)について
lim[h->0] [1/h^2 * (f(x+h) + f(x-h) - 2f(x))] で定義される極限が二階微分f''(x)に一致するらしいですが、その証明で
与式 =
lim[h->0] 1/h * (1/h * (f(x+h) - f(x)) - 1/h * (f(x) - f(x - h))) …[1]
= Lim[h->0] 1/h * (lim[h->0] (1/h * (f(x+h) - f(x)) -　1/h * (f(x) - f(x-h)))) …[2]
= Lim[h->0] 1/h * (lim[h->0] 1/h * (f(x+h) - f(x)) - lim[h->0] 1/h * (f(x) - f(x-h)))
= Lim[h->0] 1/h * (h'(x) - h(x-h))
= f''(x)

この[1]から[2]の式変形がなぜ可能なのか分かりません。
lim[h->0]はなぜこのように二回に分けて計算することができるのでしょうか。また、どのような極限操作ですか？

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E5%B0%8E%E9%96%A2%E6%95%B0

http://k-kyogoku2.com/cn134/corner102/pg140.html
問3の解説です

No.85409 - 2023/05/14(Sun) 03:33:45

☆ Re: / IT

引用

吉田さんの疑問はもっともで
http://k-kyogoku2.com/cn134/corner102/pg140.html
には「若干形式的な方法・・」と断り書きがありますが、極限を扱う上では、乱暴な計算（採点基準によっては０点）だと思います。

正しくは、平均値の定理などを使って示す必要があります。
下記など参考にして下さい。
https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/23/23-3.pdf

No.85411 - 2023/05/14(Sun) 09:18:09

☆ Re: / ポテトフライ

引用

> 二階微分可能な関数f(x)について
> lim[h->0] [1/h^2 * (f(x+h) + f(x-h) - 2f(x))]
は「中心差分」とも呼ばれるもので、この極限値がf''(x)になることは有名です。

私の知っている証明だとテイラーの定理を利用するので高校範囲外ですが簡単に述べることにします。

テイラーの定理より
f(x±h)=f(x)±h*f'(x)+h^2/2*f''(x)+O(h^3)
なので
f(x+h)+f(x-h)=2f(x)+h^2f''(x)+O(h^3)
これをf''(x)について整理してh→0とすればよい。
O(h^3)はランダウ記号でh→0でO(h^3)→0です。

> lim[h->0]はなぜこのように二回に分けて計算することができるのでしょうか。

できません。かなり粗雑な計算だと思います。
今回は「偶然うまくいく」タイプではないかと思います。

No.85412 - 2023/05/14(Sun) 11:51:26

☆ Re: / 吉田

引用

もし大学入試で出題された場合、どのように記述するのが正解でしょうか。
Calc BCでTaylor展開は習いましたが、日本の数3範囲で利用できますか？

No.85416 - 2023/05/15(Mon) 04:52:39

☆ Re: / ポテトフライ

引用

S(a)=(a^2/2-1)sina+acosa
なので
{S(a+h)+S(a-h)-2S(a)}/h^2
を純粋に計算して極限を求めるのが良いと思います。

No.85417 - 2023/05/15(Mon) 14:53:39

☆ Re: / IT

引用

ポテトフライさんのおっしゃる通りだと思います。
少し工夫して地道に計算すると

S(a±h)=(a^2/2±ah+h^2/2-1)(sinacosh±cosasinh) + (a±h)(cosacosh干sinasinh) なので

S(a+h)+S(a-h)=(a^2+h^2-2)sinacosh+2ahcosasinh+2acosacosh-2hsinasinh

S(a+h)+S(a-h)-2S(a)=(a^2)sina(cosh-1)+(h^2)sinacosh-2sina(cosh-1)+2ahcosasinh +2acosa(cosh-1)-2hsinasinh

lim(h→0)(sinh)/h=1,lim(h→0)(cosh-1)/h^2=-1/2を使うと

lim(h→0){S(a+h)+S(a-h)-2S(a)}/h^2=(-1/2)(a^2)sina+sina+sina+2acosa-acosa-2sina

=(-1/2)(a^2)sina+acosa

検算に二階微分を使うのはありかなと思います。

No.85421 - 2023/05/15(Mon) 21:06:45

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