a^2, b^2, c^2, a+b+cが有理数となるとき、a, b, cが全て無理数となるような組(a,b,c)は存在するか。
この問題の解説お願いします。
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No.88298 - 2024/07/04(Thu) 19:07:43
| ☆ Re: / らすかる | | | まわりくどいかも知れませんが、とりあえず「存在しない」ことを示せました。
a,b,cが無理数
ab/c,bc/a,ca/b,a+b+cが有理数
とすると
a^2=(ab/c)(ca/b), b^2=(ab/c)(bc/a), c^2=(bc/a)(ca/b) はすべて有理数なので
a=±√p, b=±√q, c=±√r（p,q,rは有理数の平方でない有理数）と書ける。
x=a+b=±√p±√qとすると
x^2=p+q±2√(pq)
(x^2-p-q)^2=4pq
x^4-2(p+q)x^2+(p-q)^2=0 … (1)
y=a+b+c=±√p±√q±√rとすると
x=y-c=y±√r
これを(1)に代入して整理すると
y^4+6ry^2+r^2-2(p+q)(y^2+r)+(p-q)^2=干4y(y^2+(r-p-q))√r … (2)
同様に、x=b+c=±√q±√r,x=y-a=y±√pとすると
y^4+6py^2+p^2-2(q+r)(y^2+p)+(q-r)^2=干4y(y^2+(p-q-r))√p … (3)
x=c+a=±√r±√p,x=y-b=y±√qとすると
y^4+6qy^2+q^2-2(r+p)(y^2+q)+(r-p)^2=干4y(y^2+(q-r-p))√q … (4)
(2)(3)(4)の左辺は有理数なので、
(2)が成り立つためには y=0 または y^2=p+q-r
(3)が成り立つためには y=0 または y^2=-p+q+r
(4)が成り立つためには y=0 または y^2=p-q+r
y≠0とするとy^2=p+q-r=-p+q+r=p-q+rとなるのでp=q=r
このときy=±√p,±3√pとなりyが有理数であることと矛盾。
従ってy=0すなわちa+b+c=0
ところで
(ab/c)(bc/a)(ca/b)=abcは0でない有理数、cは無理数なので
abは無理数
よって(a+b)^2=a^2+b^2-2abは無理数だが
(a+b)^2=c^2は有理数なので矛盾。
従って
「a,b,cが無理数でab/c,bc/a,ca/b,a+b+cが有理数」となるようなa,b,cは存在しない。
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No.88302 - 2024/07/05(Fri) 10:05:23 |
| ☆ Re: / 有栖川 | | | a) Show that there exist irrational numbers $a$, $b$, and $c$ such that the numbers $a+b\cdot c$, $b+a\cdot c$, and $c+a\cdot b$ are rational numbers.
（無理数a, b, cで a+bc, b+ac, a+ab が有理数となるような
a, b, c が存在することを示せ。）
b) Show that if $a$, $b$, and $c$ are real numbers such that $a+b+c=1$, and the numbers $a+b\cdot c$, $b+a\cdot c$, and $c+a\cdot b$ are rational and non-zero, then $a$, $b$, and $c$ are rational numbers.
（実数a, b, c, a+b+c=1, a+bc, b+ac, c+abが0でない有理数であるとき，これを満たす(a,b,c)は有理数であることを示せ。）
こちらの問題を解いている過程で生じた問題でした。学コンとは知らずに申し訳ありません。削除してもらって構いません。出典はRomania NMO 2023 Grade 7 P4です。
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No.88309 - 2024/07/06(Sat) 12:11:09 |
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