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ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

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質問される方は学年(質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


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高2、最大最小問題です。 / はる
解き方、解答ともわからないので、質問させていただきました。全部でなくてもいいので、教えていただけると助かります。よろしくお願いします。
No.78309 - 2021/09/19(Sun) 11:51:02

Re: 高2、最大最小問題です。 / X
@
x+y=π/3
より
y=π/3-x (A)
これと
y≧0
により
π/3-x≧0
∴これとx≧0により
0≦x≦π/3 (B)
又(A)により
cosx+cosy=cosx+cos(π/3-x)
=2cos(π/6)cos(x-π/6) (∵)和積の公式
=(√3)cos(x-π/6)
ここで(B)より
-π/6≦x-π/6≦π/6
∴求める最大値は3/2(このとき(x.y)=(π/3,0),(0,π/3))

No.78310 - 2021/09/19(Sun) 12:58:54

Re: 高2、最大最小問題です。 / X
A
0≦x≦1 (A)
0≦y≦1 (B)
とします
(B)より少なくとも
0≦y
ゆえ(A)から
-y^2≦(x^2)y-y^2≦y-y^2
-y^2≦(x^2)y-y^2≦-(y-1/2)^2+1/4
∴(B)より問題の関数の
最大値は-1(このとき(x,y)=(0,1))
最小値は1/4(このとき(x,y)=(1,1/2))

No.78311 - 2021/09/19(Sun) 13:03:24

Re: 高2、最大最小問題です。 / X
E
x>0,y>0から
x=rcosθ
y=rsinθ
(0<r,0<θ<π/2)
と置くことができるので
(x^2-xy+y^2)/(x^2+xy+y^2)=(1-sinθcosθ)/(1+sinθcosθ)
=(2-sin2θ)/(2+sin2θ)
=4/(2+sin2θ)-1
ここで
0<θ<π/2
により
0<2θ<π
∴問題の関数の最大値は存在しません。

No.78312 - 2021/09/19(Sun) 13:07:28

Re: 高2、最大最小問題です。 / X
D
x+y+2z=1 (A)
x^2+y^2+4z^2=3 (B)
とします。
(B)より
(x+y+2z)^2-2(xy+2yz+2zx)=3
これに(A)を代入して
xy+2yz+2zx=-1 (C)

u=xyz
と置くと
2xyz=2u (D)
(A)(C)(D)と三次方程式の解と係数の関係
からx,y,2zはtの三次方程式
t^3-t^2-t-2u=0 (E)
の実数解。
∴(E)が実数解のみを持つ条件を求めます。
f(t)=t^3-t^2-t-2u (F)
と置くと
f'(t)=3t^2-2t-1
=(3t+1)(t-1)
∴f(t)が
極大値f(-1/3)=-11/27-2u
極小値f(1)=-1-2u
を取ることに注意して、
横軸にt、縦軸にf(t)を取った(F)のグラフ
を考えることにより
-11/27-2u≧0 (G)
-1-2u≦0 (H)
(G)(H)より
-1/2≦u≦-11/54
∴求める最大値、最小値はそれぞれ
-11/54,-1/2

No.78313 - 2021/09/19(Sun) 13:25:10

Re: 高2、最大最小問題です。 / X
F
u^2-3≦v≦(1/4)u^2 (A)
とします。
v-2u=k (B)
(kは定数)
と置き,横軸にu,縦軸にvを取った座標平面上で
領域(A)と直線(B)が共有点を持つ条件を
考えます。
kが(B)のy切片であることに注意すると
(i)kが最大のとき
直線(B)は(A)(B)の境界線である
v=u^2-3
v=(1/4)u^2
の交点の一つである
点(-2,1)
を通るときで
k=5

(ii)kが最小のとき
直線(B)は(A)(B)の境界線である
v=u^2-3 (C)
と接しています。
さて(C)より
v'=2u
∴接点のu座標について
2u=2
∴u=1
これを(C)に代入することにより
接点の座標は
(1,-2)
∴このときのkの値は
k=-4

以上から
最大値は5,最小値は-4

No.78314 - 2021/09/19(Sun) 13:32:56

Re: 高2、最大最小問題です。 / IT
E 三角関数を使わない方法
x>0、y>0のとき
与式<1であり、
y=1のとき 
 与式=(x^2-x+1)/(x^2+x+1)
   =1-2x/(x^2+x+1)
   =1-2/(x+1+(1/x)) → 1 (x→∞)
なので最大値を持たない。

No.78315 - 2021/09/19(Sun) 13:40:57

Re: 高2、最大最小問題です。 / X
C
x^2+xy+y^2≦3 (A)
とします。
x+y=u
xy=v
と置くと、解と係数の関係から
x,yはtの二次方程式
t^2-ut+v=0 (B)
の実数解ですので(B)の解の判別式を
Dとすると
D=u^2-4v≧0 (C)
一方(A)より
u^2-v≦3 (D)
(C)(D)より
u^2-3≦v≦(1/4)u^2 (E)
一方
xy-2x-2y=v-2u
∴これはFと同じ問題に帰着します。

No.78316 - 2021/09/19(Sun) 13:46:35

Re: 高2、最大最小問題です。 / X
B
A>0 (A)
B>0 (B)
A+B<π (C)
とします。
まずは前準備。
(A)(B)(C)から
0<(A+B)/2<π/2 (C)

A-B=k (D)
と置き、横軸にA,縦軸にBを取った
座標平面上で、領域(A)かつ(B)かつ(C)
と直線(D)との共有点を考えることにより
-π<A-B<π
∴-π/2<(A-B)/2<π/2 (E)
さて
sin(A/2)sin(B/2)cos{(A+B)/2}
=-(1/2){cos{(A+B)/2}-cos{(A-B)/2}}cos{(A+B)/2} (F)

cos{(A+B)/2}=x
cos{(A-B)/2}=y
と置くと(C)(E)から
0<x<1 (C)'
0<y<1 (D)'

(F)=-(1/2)(x-y)x
=(1/2)xy-y^2
(C)'(D)より
-y^2<(F)<(1/2)y-y^2
∴求める最大値は存在しません。

No.78317 - 2021/09/19(Sun) 14:06:25

Re: 高2、最大最小問題です。 / IT
B は最大値があると思います。
(簡単のため)a=A/2,b=B/2 とおくと、a+b<π/2

与式=sin(a)sin(b)cos(a+b)=(1/2)(cos(a-b)-cos(a+b))cos(a+b)
cos(a+b)> 0なので
a+bが一定のとき 
 与式はcos(a-b)=1 すなわち a=b で
 最大 (1/2)(1-cos(2a))(cos(2a)) となる。
これは cos(2a)=1/2 、すなわちa=b=π/6のとき 最大値 1/8 をとる。(このときa>0,b>0 a+b<π/2 を満たす)

Xさんの 、0<y<1 (D)' はまちがいだと思います。

No.78318 - 2021/09/19(Sun) 22:23:12

Re: 高2、最大最小問題です。 / はる
Xさん、ITさん、ありがとうございます。こんなにも早く返信していただけるとは思っていませんでしたので、返信遅くなってしまいすいません。本当にありがとうございます、また分からない事があったら質問させて下さい。よろしくお願いします。
No.78322 - 2021/09/20(Mon) 09:48:01

Re: 高2、最大最小問題です。 / X
>>ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>はるさんへ
ごめんなさい。もう見ていないかもしれませんが
ITさんの仰る通りです。

No.78349 - 2021/09/20(Mon) 16:51:04
数B / 数列
xy平面上の3点(n, 0), (0, n), (3n, 3n)を頂点とする三角形の周および内部に含まれる格子点の個数を a[n] とする.ただし, n は自然数であり,格子点とは x, y 座標がともに整数である点のことである。
(1) a[n] を n を用いて表せ.
(2) lim[n→∞] a[n]/n^2を求めよ.

学校で3点の内、ひとつが原点(0,0)を通る問題はやったんですけど、こちらの類題の解き方がわかりません。お手数ですが、解説していただけないでしょうか。

No.78288 - 2021/09/18(Sat) 16:41:54

Re: 数B / Jin
この三角形を平行移動させて、一頂点を原点に持っていけば学校でやったという原点を通る問題に帰着できます。
No.78289 - 2021/09/18(Sat) 16:55:59
該当する数学用語を教えてください / とあるprogrammer
例えば

AはBより大きい。
CはAより大きい。
最も大きいのは?

という問題があったとして「最も大きいのは?」は"質問文/question"と言えますよね?わからないのが「AはBより大きい。」や「CはAより大きい。」で、これらは数学用語で何と言いますか?"定義文"とかでしょうか?英語日本語の両方の言い方を教えてほしいです。 m(_ _)m

No.78279 - 2021/09/18(Sat) 09:43:11
防衛医科大平成27年度です / ぴーたろー
この3問がわかりません。よろしくお願いいたします。
No.78277 - 2021/09/18(Sat) 09:04:34

Re: 防衛医科大平成27年度です / X
問3
|x+1|<a
より
-a<x+1<a
-a-1<x<a-1
∴A={x|-a-1<x<a-1}
となるので、条件のとき
(-a-1)+5+1=a-1
これより
a=3
ということで答えは(1)

問4
x^2-(2b+c)x+b^2+bc≦0
から
x^2-(2b+c)x+b(b+c)≦0
(x-b-c)(x-b)≦0
∴b≦x≦b+c
となるので
B={x|b≦x≦b+c}
よってBの要素の個数は
(b+c)-b+1=c+1
ということで答えは(3)

問5
問3の結果から、
A={x|-4<x<2}
∴Aの補集合を\Aと書くことにすると、
\A={x|x≦-4,2≦x}
一方、問4の結果からBの要素数が1のとき
c+1=1
∴c=0
となるのでBの要素数は2以上となります。
∴\A∩Bの要素数が1のとき
\A∩B={-4},{2}
(i)\A∩B={-4}のとき
b=-4
b+c=-3,-2,-1,0,1
∴(b,c)の組の個数は5個
(ii)\A∩B={2}のとき
b+c=2
b=-3,-2,-1,0,1
∴(b,c)の組の個数は5個

以上から求める要素数は10
ということで答えは(2)

No.78280 - 2021/09/18(Sat) 09:59:28
教養微積分の本の定積分の問題 / 松野仁
大学教養微積分学の本の定積分が解けません。得意な方お願いします。
(1)∫(0→π)log(1+acosx)dx 条件(|a|<1)
(2)∫(0→2π)1/(1-2acosx+a^2) dx 条件(0<a<1)

No.78276 - 2021/09/18(Sat) 03:04:13

Re: 教養微積分の本の定積分の問題 / X
(2)だけ方針を。
これは被積分関数が三角関数を変数と見たときの
分数関数である典型的な問題です。
tan(x/2)=t
と置けばtの分数関数の積分として計算できます。
(解析学の教科書、又は参考書の積分の項目で
f(sinx,cosx)の形の関数の積分
等といった書かれた方をしている項目を調べて
見て下さい。
この説明で分からないようであれば、この積分を
計算するには学習が足りません。)

No.78284 - 2021/09/18(Sat) 14:01:23

Re: 教養微積分の本の定積分の問題 / 松野仁
(2)はできそうです。ありがとうございます。

(1)の方針を教えてくれる方も待っています。

No.78287 - 2021/09/18(Sat) 15:53:57

Re: 教養微積分の本の定積分の問題 / IT
(1) 教養微積分 にしては、難しそうですね。転記ミスはないですか? 出典(本の名称・著者など)は何ですか?
No.78290 - 2021/09/18(Sat) 18:10:35

Re: 教養微積分の本の定積分の問題 / Jin
笠原 晧司さんの「微分積分学」(サイエンス社)。2章の演習問題15の(2)です。2章は、導関数、定積分、不定積分、広義積分の定義と基本定理の証明と例題で構成されていました。
No.78292 - 2021/09/18(Sat) 18:31:57

Re: 教養微積分の本の定積分の問題 / IT
その本は私も持ってます。たしかに問題は合ってますね。(長年教科書として使われて本なので誤植はなさそうです)

答えは、πlog((1+√(1-a^2))/2) となってますね。

No.78293 - 2021/09/18(Sat) 19:28:52

Re: 教養微積分の本の定積分の問題 / IT
2.7 パラメータを含む定積分の応用ですかね。
No.78294 - 2021/09/18(Sat) 19:36:46

Re: 教養微積分の本の定積分の問題 / m
https://r7.whiteboardfox.com/71391093-2897-2514

手書きで式変形だけ.
数学的な厳密さは必要なら後で考えます.

// あ,答えと合わないですね.数値計算でだいたい一致したかokだと思ったけど...

No.78295 - 2021/09/18(Sat) 19:40:07

Re: 教養微積分の本の定積分の問題 / m
上のリンク先修正できました.積分区間間違えてました.
No.78296 - 2021/09/18(Sat) 19:52:30

Re: 教養微積分の本の定積分の問題 / Jin
凄い!
数学的な厳密さですが、積分と微分の交換可能性はすぐわかる。
後は、aの範囲ですが、ワイトボードの表現ですとa=0では df/da が定義されないもののちゃんと0で収束するのでよさそうですね。分母分子に(1+(1-a^2)^(1/2))をかけてaを消した表現にするとa=0も含んだ表現になりました。通してみた結果大丈夫そうです。ありがとうございます。

積分求める際に、別の変数で微分してこのように求める方法ってメジャーなんですか?

No.78297 - 2021/09/18(Sat) 20:11:02

Re: 教養微積分の本の定積分の問題 / IT
この問題はないですが、同じ、笠原 晧司さんほか共著の「詳説演習微分積分学」(培風館)には、積分記号内微分の問題がいくつか載っています。
No.78299 - 2021/09/18(Sat) 20:25:00

Re: 教養微積分の本の定積分の問題 / m
厳密さも検証されているようでよかったです.

// 本名前と単元から微分することを思いたちました.
// わざわざ数学書の演習問題になっているから,ひと癖ありそうというゲスな考えです笑

No.78300 - 2021/09/18(Sat) 22:05:07
(No Subject) / 数学苦手
こちらの問題について質問です
No.78274 - 2021/09/18(Sat) 00:50:52

Re: / 数学苦手
これは普通に4x=5aで代入しないと解けませんか?
No.78275 - 2021/09/18(Sat) 00:52:20

Re: / ヨッシー
殴り書きはダメって言われませんでしたっけ?
たとえば、下の右辺は何ですか?
 クムリ?

No.78282 - 2021/09/18(Sat) 12:19:10

Re: / 数学苦手
44=7ayですね
No.78286 - 2021/09/18(Sat) 15:16:23

Re: / ヨッシー
そこだけ判明しても、全部が読めるようになるわけではないのでねぇ。
No.78291 - 2021/09/18(Sat) 18:28:36

Re: / 数学苦手
すいません。自分で結構考えてから、汚すぎたので、、書き直して綺麗とは言えませんが見える程度に書いたつもりですがうーん…ダメですか…たしかにこれも汚いのは汚いですが…
No.78301 - 2021/09/18(Sat) 22:30:33

Re: / IT
横から失礼します。

「綺麗か汚いか」というよりも、後でその式だけを読んで、紛れなく読めるかが大切だと思います。

少なくとも、0やaは、閉じて#いないと、0やaと読めないと思います。
x(エックス)と×(掛ける)も、一部分かりません。(これはやむを得ないかも知れませんが)

#「閉じている」という意味は分かりますよね?

No.78308 - 2021/09/19(Sun) 10:36:03

Re: / 数学苦手
ちょっと今から私用なので、また後で、書き直します
No.78331 - 2021/09/20(Mon) 12:39:50
数lll / たろう
(1)y={xcos(x)}/sin(x)は0<x<πの範囲で単調減
少となることを証明せよ.
(2)1/π<x<πにおいて,f(x)=sin(x)·sin(1/x)が極大となるxの値を求めよ.
この2問が宿題で予習してこいとだされたのですが、今一解き方がわかりません。恐縮ですが、解法、解答教えていただきたいです。

No.78271 - 2021/09/18(Sat) 00:03:53

Re: 数lll / X
(1)
問題の関数から
y'={(cosx-xsinx)sinx-(xcosx)cosx}/(sinx)^2
={(1/2)sin2x-x}/(sinx)^2 (A)
ここで
g(x)=(1/2)sin2x-x
と置くと
g(0)=0 (B)
g'(x)=cos2x-1
∴0<x<πにおいてg'(x)<0
となるので(B)より
0<x<πにおいてg(x)<0
∴(A)から
0<x<πにおいてy'<0
となるので問題の命題は成立します。

No.78272 - 2021/09/18(Sat) 00:35:21

Re: 数lll / X
(2)
条件から
f(x)=f(1/x)
∴f'(x)=-(1/x^2)f'(1/x) (A)
(A)にx=1を代入して
f'(1)=0 (B)
ここで
1/x=X
と置くと
(A)から
f'(x)=-(1/x^2)f'(X) (A)'

1/π<x<1
のとき
1<X<π
(A)'から
f(x),f(X)が異符号、又は同時に0
に注意すると
1/π<x<1のときf'(x)>0
を示せば
f(x)はx=1においてのみ極大
となることが分かります。

さて
f'(x)=cosxsin(1/x)-(1/x^2)sinxcos(1/x)

(i)1/π<x≦2/πのとき
(1/x^2)sinxcos(1/x)≦0かつcosxsin(1/x)>0
∴f'(x)>0
(ii)2/π<x<1のとき
1<1/x<π/2
となるので
f'(x)>cosxsin(1/x)+{(π/2)^2}sinxcos(1/x)
=sin(x+1/x)+{(π/2)^2-1}sinxcos(1/x)
ここで
1<x+1/x<(π/2)^2+(2/π)^2
<1.6^2+1/1.6^2<2.56+1/2<π
∴f'(x)>0

ということでf(x)はx=1でのみ極大となります。

No.78278 - 2021/09/18(Sat) 09:35:42

Re: 数lll / たろう
(2)の解説において
> f'(x)>cosxsin(1/x)+{(π/2)^2}sinxcos(1/x)
=sin(x+1/x)+{(π/2)^2-1}sinxcos(1/x)
の式変形どのようにしたらこうなるのでしょうか。
お手数ですが教えていただきたいです。

No.78285 - 2021/09/18(Sat) 14:59:26

Re: 数lll / IT
X さんから 回答が未だなので、代わりにヒントを

sin(x+(1/x)) に加法定理を適用するとどうなりますか?

No.78298 - 2021/09/18(Sat) 20:19:12

Re: 数lll / X
>>たろうさんへ
ごめんなさい。
> f'(x)>cosxsin(1/x)+{(π/2)^2}sinxcos(1/x)
ですが、間違っていました。
1<1/x<π/2
より
-(π/2)^2<-1/x^2<-1
∴f'(x)>cosxsin(1/x)-{(π/2)^2}sinxcos(1/x)
となります。
ですが、これでは
f'(x)>0
の証明には使えません。

但し、ここまでの前段階の
1/π<x<1のときf'(x)>0
が証明できれば、
f(x)がx=1でのみ極大
となることに変わりはありませんので
No.78278は参考として残しておきます。

ちなみに
y=sinxsin(1/x)(1/π≦x≦π)
のグラフは以下のリンク先にあります。
参考までに。
https://ja.wolframalpha.com/input/?i=sinxsin%281%2Fx%29%281%2F%CF%80%E2%89%A6x%E2%89%A6%CF%80%29%E3%81%AE%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%95%E3%82%92%E4%BD%9C%E6%88%90




>>ITさんへ
フォローして頂いて申し訳ないのですが
上記の通りですのでご容赦下さい。

No.78303 - 2021/09/18(Sat) 22:45:10

Re: 数lll / IT
(1)が使えるようですね。
No.78305 - 2021/09/19(Sun) 08:49:13

Re: 数lll / IT
f'(x)=cosxsin(1/x)-(1/x^2)sinxcos(1/x)

これにx/(sinxsin(1/x))(>0) を掛け、xcosx/sinx - (1/x)cos(1/x)/sin(1/x)=g(x) とおくと、
g(1)=0,

1<x<πで
 (1)よりxcosx/sinxは減少関数、(1/x)cos(1/x)/sin(1/x)は増加関数
 よってg(x)は減少関数
 ∴g(x)<0,∴f'(x)<0
よってf(x)は減少関数.

No.78306 - 2021/09/19(Sun) 09:04:01

Re: 数lll / IT
1/π<x< 1 について
 xが増加すると,
  1/x は1<1/x<πであり 減少する。
  f(x)=f(1/x)なので、前記より f(x) は増加する。

したがって、1/π<x<πにおいてf(x) が極大となるのは x=1 のときのみ。

No.78307 - 2021/09/19(Sun) 10:20:54

Re: 数lll / たろう
XさんITさん、お二人とも本当に丁寧に対応していただき、ありがとうございます。本当に助かります。
No.78319 - 2021/09/20(Mon) 08:55:09
(No Subject) / 高校太郎
x^11の虚数解の一つをhとする
h+h^3+h~4+h^5+h^9の値を求めよという問題が分かりません。
調べたらガウス和が関係しているようですが、高校生の私には理解はできませんでした。簡単な解き方などがあれば教えていただきたいです

No.78260 - 2021/09/17(Fri) 17:30:32

Re: / 高校太郎
誤字がありました h^4です
No.78261 - 2021/09/17(Fri) 17:31:24

Re: / らすかる
「x^11の虚数解」が「x^11=1の虚数解」という意味の場合
a=h+h^3+h^4+h^5+h^9
b=h^2+h^6+h^7+h^8+h^10
とおくと
a+b=-1
ab=(h+h^3+h^4+h^5+h^9)(h^2+h^6+h^7+h^8+h^10)
=h^3+h^5+h^6+2h^7+h^8+2h^9+2h^10+5h^11+2h^12+2h^13+h^14+2h^15+h^16+h^17+h^19
=h^3+h^5+h^6+2h^7+h^8+2h^9+2h^10+5+2h+2h^2+h^3+2h^4+h^5+h^6+h^8
=2(h+h^2+h^3+h^4+h^5+h^6+h^7+h^8+h^9+h^10)+5
=3
よってa,bはt^2+t+3=0の2解すなわちt=(-1±i√11)/2
虚数部の正負を考えてa=(-1+i√11)/2,b=(-1-i√11)/2なので
h+h^3+h^4+h^5+h^9=(-1+i√11)/2

No.78264 - 2021/09/17(Fri) 18:58:23

Re: / IT
横から失礼します。
らすかるさん

a+b=-1 は思いついても、ab を計算するのは思いつきませんでした!!

ところで「虚数部の正負を考えて」のところをもう少し詳しく教えていただけませんか? どちらかに定まらない気がするのですが?

No.78265 - 2021/09/17(Fri) 19:14:21

Re: / らすかる
失礼しました。定まらないですね。
頭の中で勝手にh=cos(2π/11)+isin(2π/11)と決めつけていました。
hがその共役複素数ならば当然虚数部が反転しますので、
(-1±i√11)/2の両方ともあり得ますね。

No.78267 - 2021/09/17(Fri) 19:27:15

Re: / 高校太郎
こんなに早く回答が返ってくるとは思いませんでした。
皆様、ありがとうございます...

すごい発想力ですね、もう驚きしかないです。
おかげさまでよく理解ができました。
ガウス和もはやく理解できるように頑張ろうと思います!
改めて、回答ありがとうございました。

No.78269 - 2021/09/17(Fri) 21:05:22

Re: / 黄桃
もう見てないでしょうが、せっかくガウス和のことを調べているようなので、参考までに、この例について書き下しておきます。

x[n]=0 (nが11で0), =1 (nが法11で0でない平方剰余), =-1 (nが法11の平方非剰余) 
とおくと、整数a,bについて、
x[ab]=x[a]*x[b]
がいえます(ディリクレ指標の例)。
具体的には、
x[n]=1 ⇔ n≡1,3,4,5,9 mod 11
x[n]=-1 ⇔ n≡2,6,7,8,10 mod 11
となっています(x[ab]=x[a]x[b]を満たすことだけが必要なのでそれを確認してください)。
なお、x[-1]=x[10]=-1 です。

y=e^(2πi/11) とおき、h=z=y^r の場合を考えます。

S=x[1]z+x[2]z^2+...+x[10]z^10 とおけば、
S~=(x[1]z+x[2]z^2+...+x[10]z^10)~ (~は共役)
=(x[-10]z^(-10)+x[-9]z^(-9)+...+x[-1]z^(-1))~
=x[-10]*z^10+x[-9]*z^9+..+x[-1]*z (x[*]は実数, (z^(-k))~=z^k)
=x[-1](x[10]*z^10+...+x[1]*z) (x[-a]=x[-1]x[a])
=-S

したがって、Sは純虚数。

一般的な定理により |S|=√11 が言えます。今回の場合にその証明を書き下せば以下のようになります。
らすかるさんがabを計算している部分に対応すると思います。

SS~
=(x[1]z+...+x[10]z^10)(x[1]z^(-1)+...+x[10]z^(-10))
=Σ_(k1,k2) x[k1]x[k2] y^(r(k1-k2))
ここで、rを1,2,...,10 に渡って動かして辺々加えると
10*SS~=Σ_(k1,k2) x[k1]x[k2] Σ_[r=1,10] y^(r(k1-k2))
となります。さらに、r=0に相当する式すなわち、
0=(x[1]+x[2]+...+x[10])*(x[1]+...+x[10])
を加えてもいいから、
10*SS~=Σ_(k1,k2) x[k1]x[k2] Σ_[r=0,10] y^(r(k1-k2))
がいえます。
Σ_[r=0,10] y^(r(k1-k2))
の部分は k1=k2 の時だけ 11, そうでなければ(すべての1の11乗根の和で)0 になるので、
10*SS~=11*(x[1]^2+...+x[10]^2)=11*10
です。

したがって、S=i√11 または -i√11

求める和を X とし、Y=x[2]*z^2+x[6]*z^6+x[7]*z^7+x[8]*z^8+x[10]*z^10 とすれば、
(らすかるさんの記号で X=a, Y=-b)
S=X+Y =±i√11
X-Y=-1 だから、
X=(-1±i√11)/2

となります。

No.78283 - 2021/09/18(Sat) 13:12:41

Re: / 高校太郎
貴桃さん

丁寧な解説有難うございます。らすかる さんの解答を照らし合わせた解説、分かりやすかったです。なんとなく概念はつかめたような気がします(笑)。くどいですが、ありがとうございます

No.78323 - 2021/09/20(Mon) 10:24:23
複素数の軌跡 / せりあ
w=(1+z)/(1+z^2)とする。複素数zが複素数平面上の単位円のうち虚部が正の部分(z≠i)を動くとき、wの描く軌跡をもとめよ。

初手が分かりませんでした。zを極形式θで表すのもzについて解くのも行き詰まってしまって...
どのように進めると良いのでしょうか?よろしくお願いします。

No.78249 - 2021/09/17(Fri) 01:41:33

Re: 複素数の軌跡 / m
z = cosθ + i sinθ と表して w=(1+z)/(1+z^2) に代入.
w の実部を x, 虚部を y として x, y を θで表す.

整理すると
x = 1/2 + 1/(2cosθ), y = -(tanθ)/2
となる.

// この式からθを削除し,x と y の関係を見つけたい.
// cos と tan を関係づける式は?

1/(cosθ)^2 - (tanθ)^2 = 1 だから x, y は
(2x-1)^2 - (2y)^2 = 1
を満たす.よって,求める軌跡はこの双曲線の一部である.

双曲線を図示した後で,θの動く範囲 0<θ<π/2, π/2<θ<π それぞれについて 1/cosθ と tanθの動く範囲(特に符号)に注意してwの軌跡を決定する.

答え確認用の図実線部が求めるもの

No.78252 - 2021/09/17(Fri) 04:21:54

Re: 複素数の軌跡 / せりあ
双曲線が頭の中から抜けてました...
ありがとうございます!

No.78268 - 2021/09/17(Fri) 21:03:02
(No Subject) / コスモス
1からmまでの異なる数字の書かれたm枚のカードをn組に分ける方法をfn(m)通りとする。ただしm≧n≧1とし各組には少なくとも1枚のカードが含まれてるとする。

(1)m≧2を満たすすべての自然数mについてf2(m)={ウ^(m-1)}−エが成り立つ。これよりf2(m)≧2021となる最小のmはオカである。

(2)m≧3を満たすすべての自然数mについて
f3(m)=コ/サ[シ^(m-1)−(ス^m)+1]が成り立つ。これよりf3(m)≧2021となる最小のmはセである。

全然わかりません。模範解答よろしくお願いします

No.78246 - 2021/09/17(Fri) 00:24:09

Re: / けんけんぱ
f2(m)はどういうものか、言葉で説明してみてください。
No.78258 - 2021/09/17(Fri) 13:40:43
非等速円運動 / わをん
先程質問した者ですが、束縛条件はもしかしてこの問題にはないですが、非等速運動するなどがその例ですが?
もし、そうでなければ何故等速円運動と分かるのですか?
非等速運動じゃないと実際、力•エ•保も成り立たないので、せめて、Cまで非等速運動したなど書いたらいいのに

No.78245 - 2021/09/17(Fri) 00:20:29

Re: 非等速円運動 / 関数電卓
> 束縛条件はもしかしてこの問題にはないですが、
「小球が円周上を動く」が 束縛 です。
> 力•エ•保
“力学的エネルギー保存則” のことですね。小球には重力の他に円弧面からの垂直抗力(拘束力)もはたらくのですが,なぜ “エネ保存” が成り立つのか説明できますか?
> せめて、Cまで非等速運動したなど書いたらいいのに
“エネ保存” 下での鉛直面内での運動なので,「非等速」が自明だからでしょう。

No.78255 - 2021/09/17(Fri) 12:33:25

Re: 非等速円運動 / わをん
すみません、質問の仕方が下手なのか、よくわかりませんでした。
例えば、θ=30°の所を普通の斜面を駆け上がる物体と見るのか、非等速円運動と見るのかで、垂直抗力の大きさは変わりませんか?
他の問題集でも、円運動する的なことはあまり書かれていた覚えがないので、どうして円運動しているとわかるのか教えてください。

No.78259 - 2021/09/17(Fri) 16:10:53

Re: 非等速円運動 / 関数電卓
> どうして円運動しているとわかるのか
問題文に
「B から C までは点 O を中心とする半径 R の滑らかな円弧であり…」
とある以上,
 小球が(少なくとも O の高さまでは)円弧上に束縛されている
ことは,暗黙の了解ごとです。そう言うものだと思って下さい。O の高さの上どこまで円運動するかは,v0 によって定まります。
この問題も図の下に小問があって,それを求めさせるようになっていませんか?
> θ=30°の所を普通の斜面を駆け上がる物体と見るのか、非等速円運動と見るのかで、垂直抗力の大きさは変わりませんか?
その通りですが,この問題では 紛れなく円運動 です。

No.78262 - 2021/09/17(Fri) 17:35:27
(No Subject) / 共通接線
円x^2+y^2=4と円(x-2√2)^2+(y-1)^2=1の共通接線の方程式を求めよ(できれば円x^2+y^2=4の接線と円x^2+y^2=4との接点の座標を(a,b)とおく方法でお願いします)
No.78244 - 2021/09/17(Fri) 00:06:53

Re: / 編入受験生
> 円x^2+y^2=4と円(x-2√2)^2+(y-1)^2=1の共通接線の方程式を求めよ(できれば円x^2+y^2=4の接線と円x^2+y^2=4との接点の座標を(a,b)とおく方法でお願いします)

一番簡単なやり方で解かせていただきます.
異なる半径の二つの円が共通接線を持つのは,
小さいほうの円が1点で大きい方の円に外接するときか内接するときのいずれかしかない.
外接するとき,二つの円の中心点間の距離が二つの円の半径の和に等しくなる。
問題の二つの円は中心点間の距離が√{(2√2)^2+1^2}=3,
半径の和が2+1=3で等しくなるからこの二つの円は外接の場合であることがわかる.
ゆえに,二つの円が接する点は,大きい方の円の中心(0,0)と小さい方の円の中心(2√2,1)を2:1に内分する点である.
これより, 接点の座標は(4√2/3,2/3)である.
次に,共通接線の方程式を求める.
円の接線は中心点を結ぶ直線に垂直だから,
垂直条件m×m'=-1を用いると,
m' = -/m = -2√2と接線は接点を通るから,
求める共通接線の方程式は,y = -2√2(x-4√2/3)+2/3
= -2√2x + 6.

おそらくこの方法は求められていないと思うのですが、
誰も解答していなかったの一応解答させていただきました。
少し計算は大変になるけれども、質問者さんが求められているような方程式を解くやり方はほかの方がしてくれるでしょう。

No.78248 - 2021/09/17(Fri) 01:33:17

Re: / らすかる
接点の座標を(a,b)とおくと接線はax+by=4でありa^2+b^2=4
2つ目の円の式を展開して両辺にa^2を掛け、ax=4-byによりxを消去して整理すると
(a^2+b^2)y^2+2{(2√2)ab-a^2-4b}y+8{a^2-(2√2)a+2}=0
接線であるためには判別式が0でなければならないので
D/4={(2√2)ab-a^2-4b}^2-8(a^2+b^2){a^2-(2√2)a+2}=0
整理して
{7a^2+(4√2)ab-(16√2)a-8b+16}a^2=0
a^2=0のときa=0、このときb=±2だがb=-2は不適
7a^2+(4√2)ab-(16√2)a-8b+16=0 … (1)
のとき
7a^2-8b+16=(4√2)(4-b)a
両辺を2乗し、a^2=4-b^2を代入してaを消去し整理すると
81b^4-144b^3-168b^2+320b-112=0
(b-2)(9b+14)(3b-2)^2=0
∴b=2,-14/9,2/3 … (2)
(1)から
7a^2-(16√2)a+16=4{2-(√2)a}b
両辺を2乗し、b^2=4-a^2を代入してbを消去し整理すると
81a^4-(288√2)a^3+672a^2-(256√2)a=0
a=c√2とおいて整理すると
81c^4-288c^3+336c^2-128c=0
c(9c-8)(3c-4)^2=0
c=0,8/9,4/3
∴a=0,8√2/9,4√2/3 … (3)
(2)(3)から
(a,b)=(0,2),(8√2/9,-14/9),(4√2/3,2/3)
これより共通接線の方程式は
y=2, y={(4√2)x-18}/7, y=(-2√2)x+6
の3本とわかる。

No.78250 - 2021/09/17(Fri) 02:19:21

Re: / 編入受験生
> 円x^2+y^2=4と円(x-2√2)^2+(y-1)^2=1の共通接線の方程式を求めよ(できれば円x^2+y^2=4の接線と円x^2+y^2=4との接点の座標を(a,b)とおく方法でお願いします)

ごめんなさい、共通接線の定義勘違いしていました。
私の解答は無視してください。

No.78251 - 2021/09/17(Fri) 02:44:49
化学 / Po
1mol/Lの水ってありますか?
No.78241 - 2021/09/16(Thu) 20:25:46
分数漸化式の質問 / ちびすけ
以下のような分数漸化式の解き方を教えてください。

分数型の漸化式は勉強しましたが、自分ではこの漸化式を解ける形に変形できませんでした。

No.78234 - 2021/09/16(Thu) 18:29:38

Re: 分数漸化式の質問 / 関数電卓
冒頭の漸化式には,何か自然現象もしくは社会現象に由来する背景があるのでしょうか?
与式のままでは余りに一般的すぎて,私にはとても一般項は求められませんが,定数(β等)が数値で与えられ,初期値が与えられれば,(収束するならば)極限を探るヒントなどお伝え出来るかもしれません。

No.78254 - 2021/09/17(Fri) 11:50:15

Re: 分数漸化式の質問 / ちびすけ
返信ありがとうございます。

これは経済学からのインフレーションを説明するモデルの一つなんです。

取り合えず自分で色々理解しようと図解した物と、Desmosで実際に数値を入力したやつを張り付けておきます。
リンク↓
https://www.desmos.com/calculator/hn8gkj3dti

使っている記号が経済学的な物になっているので、混乱させてしまうかもしてません。
一応画像内に大体の説明は入れてみました。

よろしくお願いいたします

No.78256 - 2021/09/17(Fri) 12:53:12

Re: 分数漸化式の質問 / ちびすけ
解きたい式・元々投稿した式を、経済学的に書き直すと以下のようになります。

これをtの式にしたいんです。

お手数をおかけします。

No.78257 - 2021/09/17(Fri) 13:13:28

Re: 分数漸化式の質問 / 関数電卓
リンク先は拝見しました。が,門外漢に理解できるものではありません。
(私に出来る範囲で)
与式 …(1) は
 a[n]−ε=b[n]
と置くと
 b[n+1]=pb[n]+q/b[n]+r …(2)
の形に変形できます。p,q,r は β〜ε からなる面倒なものです。時間がありましたらご確認下さい。
(2)式の方が,b[n] の振る舞いの本質に迫りやすい形です。
以降「迫る」方法を明日夜に書きますので,その間お気づきのことがありましたらお書き下さい。

No.78270 - 2021/09/17(Fri) 23:54:46

Re: 分数漸化式の質問 / 関数電卓
上で(2)のように書きましたが,私がグラフ作成に用いているソフト grapes の仕様に合わせて,改めて

与式 …(1) は
 a[n+1]=a(a[n]−d)+b/(a[n]−d)+c …(2)
の形に変形できます。a,b,c,d は β〜εにより定まる定数です。(2)に対し
 y=a(x−d)+b/(x−d)+c …(3)
を定め,一例として図中のように a〜d を定めると(3)のグラフは図のようになります。
初期値 a[1] を図のように定めると,漸化式(2)で定まる後々の値は,図のように(3)と y=x の間を階段状に変化していきます。
これは各項の値の変化を2次元的にイメージする方法ですが,数値だけで良ければ,Excel で計算するだけで済みます。ただ,パラメータ a〜d を微妙に変化させたときの(3)の変化をすぐ見ることは大変有効かと思い,書かせていただきました。お役に立たなかった場合には,悪しからず。
 

No.78302 - 2021/09/18(Sat) 22:35:53
ガウスの法則 高校物理 / がざみ
一枚目はなぜ電気力線が導線の両端からは出ないのか?導体であるから、帯電していたら、電荷は表面上にあり、なので、面積は円柱上ではなくはなく半径rの球を二等分したものの中心を両端につけた錠剤のカプセル型だと思いました。

二枚目はE={8πk(0)Q}/Sに何故ならないのか?極板Aからも極板Bからも4πk(0)Q本の電気力線が出ているので、極板間は計8πk(0)Q本の電気力線が存在すると思いました。

なるべくわかりやすくお願いします!!

No.78232 - 2021/09/16(Thu) 18:26:10

Re: ガウスの法則 高校物理 / がざみ
2枚目です。
No.78233 - 2021/09/16(Thu) 18:28:06

Re: ガウスの法則 高校物理 / X
一つ目の質問)
問題文の冒頭の部分をもう一度読んでみてください。

真空中〜伸びた「十分に長い」導線を〜

とありますよね。
問題は「」で囲んだ部分です。
これは
導線の長さはこれが無限の場合と同じ性質であるとする
=導線の両端については考えないことにする
という意味です。

No.78237 - 2021/09/16(Thu) 18:45:46

Re: ガウスの法則 高校物理 / X
二つ目の質問)
極板Aの電荷から出た電気力線が極板Bの電荷に吸い込まれるわけ
ですので、電気力線の本数は片方(例えば極板A)から出ている
4πk[0]Q
で正解です。

No.78238 - 2021/09/16(Thu) 18:48:31

Re: ガウスの法則 高校物理 / 編入受験生
一つ目の問いについての解答。
電気力線はもちろん両端からもでます.
仮に十分に長いまっすぐ伸びた導線の長さをLとします.
導線上のすべての点の電場の向きは、クーロンの法則から
導線の方向を向いている.
だから導線の端点にもし微小な正電荷をおけば、その端点からは電気力線が導線を延長するように出ている。


しかし,例えば10kmの導線の中点+-数ミリの間の電場を考えるときに,銅線の長さはどのようにいえるでしょうか?
10kmの導線から考えれば、中点も中点+数ミリも同じ位置にあるといえるほど僅かな差でしかありません。だからそのような状況では、導線は無限に長くて電場を考えるときは,その点の垂線は導線の中点で交わると考えてよい。
この仮定はすなわち、考える点よりも上側の導線が作る電場と下側の導線が作る電場の導線方向の電場は向きが逆で大きさが同じになるということです。それは、クーロンの法則から実際に計算してみればわかります.
だから、足しわせると相殺されて導線方向には電場は存在しません.そのために円柱面で導線を覆えば,電場は必ず底面に平行になって,その部分での電気力線の本数は0になります.
電気力線の本数は∫E・dSで求められることは習いましたか?
ここで、Eは電場でdSは面に対して垂直なベクトルです.
・は内積を表し,つまりEが面に平行ならばEとdSは垂直になるので,E・dS=0となって電気力戦の本数は0になります.
したがって、底面は無視して側面だけの電気力戦の本数を数えればいいことになるのです.

現実には実際の導線はすべて有限の長さですから,どのくらいの誤差を許容できるかという議論を踏まえたうえで、適応できる差(中点からどのくらいの長さまで許容できるか)を考えることになります。
そしてそのような状況でしかガウスの法則は適用できないことがわかっています。
ですから、導線の端まで考えてガウスの法則から電場を求めることはできません(対称性がなく上記のような議論ができないから)。
また、ガウスの法則は閉じた曲面を貫く電気力戦の本数がその閉曲面の内部の電荷の総和に等しいということを言っているだけで、閉曲面の形はなんでもいいので、円柱でもカプセル型でも、自分のわかりやすいようにすればいいと思う。
ただし上記の議論ではカプセル型の曲面では求められない.

最後に、物理を理解する上で心がけるべきこととして、
物理学で学ぶ理論は現実には適用できない理想化された場合が多い。現実にはありえないいろんな仮定を設けて現象を簡単にして理論的に説明しようとする。
それが物理学の根幹であって、どのような仮定をおいてどのような理想化された状況を考えているのかを読み解かないと、答えを出すことはできない。

No.78240 - 2021/09/16(Thu) 20:06:25

Re: ガウスの法則 高校物理 / がさみ
一枚目は分かりました。解釈が大事なのですね。ありがとうございます。2枚目はもうそう解釈するしかないと言う奴ですね。
No.78242 - 2021/09/16(Thu) 20:43:06

Re: ガウスの法則 高校物理 / 編入受験生
> 一枚目は分かりました。解釈が大事なのですね。ありがとうございます。2枚目はもうそう解釈するしかないと言う奴ですね。

すみません、気分で1枚目しか答えませんでした。
2枚目についての解答。

電気力線っていうのはごまかしてるにすぎません。
そうやって考えると都合がいいというだけで、
電気力線ですべてを説明できるわけではないということをまず言っておきます。
そのうえで、電気力線の定義は電場のある空間に電荷量1の点電荷をおいて、その電荷に外力を加えてゆっくり動かしたときの軌跡です。
電場中に電荷をおけばもちろん電場から力を受けるから、動きます。しかし、何かしら力を加えるなりして加速度が極めて小さくなるように補正して、電荷を動かすとその電荷の軌道が電気力線になるということです。
つまり、簡単に言えば電気力線とは電場ベクトルを各点で足し合わせたものです。
ここで、がさみさんが誤解していることは、
電気力戦の本数は、単に電荷をもった各々の物体が作り出す電気力戦の本数の和ではないということです。
なぜなら、空間に作られる電場は必ず一つしかありません。
それぞれの物体が作り出す電場があるからといって、それぞれの電場が空間にあるわけではないです。それらは足しあわされて一つの電場として空間に存在します。
ですから、そもそも極板Aが作る電気力線の本数+極板Bが作る電気力戦の本数のような単純な足し合わせはできません。
では、どうやって求めるのかというとガウスの法則に忠実に求めればいい。
実はガウスの法則から、ある閉じた曲面上を貫く電気力線の本数はその閉曲面内部の電荷量のみに依存するということがわかる。
外部にどれだけ、電荷があってもそれらは無意味です。

実際に、電場Eをガウスの法則から求めてみます。
まず極板Aと同じ面積Sをもつ長方体で極板Aを含み板Bを含まないように囲むとき,
電場の向きは常に板に垂直だから側面の電気力線の本数は0,
板Aと板Bの間にない方の面(上面)は、電場がそもそも存在しないので、板Aと板Bの間の電場をEとすると、その底面での電気力線の本数は定義からE×Sで、長方体内部には板Aの電荷量4πkQがあるから、これらはガウスの法則より等しいので,
E = 4πkQ/Sとなる.
∴ 板Aと板Bの間の電場は板Bに向かう向きで大きさは4πkQ/S.
少し補足すると,Eが極板Aに垂直になるということと
板Aより上側の部分で電場が0になるということはガウスの法則からは求めることができません。
それは実際にクーロンの法則から電場を計算しなければわからないことです。
そして、また極板間の距離は面積Sに比べると極めて小さいという仮定もなければ上記は成り立ちません。
結論からいうと、極板の面の中心付近であって面積に対して十分小さい高さの位置にある電場は面に垂直で高さによらないということは、クーロンの法則から計算して初めてわかり、そしてそれを用いなければ厳密な意味でガウスの法則から電場を導出することはできないということです。
ですから、ガウスの法則だけを用いて電場を導出することはほとんどの場合で不可能だと思ってください。
だからこそ、教科書だと上のようなごまかした表現になってしまいます。
ただし、極板によって生じる電場は極板間の間だけで、
また板の面に対して垂直になるということをわかっていれば、ガウスの法則から求めることはできます。
あと、この教科書の説明には極板間の距離が面積Sに対して十分小さいという仮定が与えられていないので、よろしくないです。
最後に、蛇足ですが物理は理解しようと思うとどうしても微分積分の知識が必要になってくる、もっと欲を言えばベクトル解析。しかし、それだと時間がかかるのでやはり参考書の解法を暗記しまくるほうがいいとも思います。
教科書レベルの理解だと、何十枚もの極板が作る電場とかに対応できないはずです。難関大はそのレベルの問題は出してきますので。以上、蛇足でした。

No.78273 - 2021/09/18(Sat) 00:41:05
二次放物線の弧の長さについて / 寝屋川のポチャッコ
二次放物線のy=ax^2の弧の長さについてn>=x>=mについての計算方法を教えてください。
積分を使うそうなので、積分した後の数値を教えてください。
できれば、数学特有の特殊記号を使わない形式に指揮を変形できませんか。

No.78231 - 2021/09/16(Thu) 18:26:05

Re: 二次放物線の弧の長さについて / ヨッシー
こちらの中ほどにある Lp,a は、
y=px^2 の 0≦x≦a の範囲の長さです。
その下に、1≦x≦2 の出し方もあるので、それを応用すれば
m≦x≦n の場合も求められます。

でも、√ や log は、数学特有の特殊記号なのでダメですね。

No.78235 - 2021/09/16(Thu) 18:38:27

Re: 二次放物線の弧の長さについて / 寝屋川のポチャッコ
少し質問と違うのですが、別に√やlogぐらいでしたらかまいません。
Excelで計算できたらいいのです。

No.78236 - 2021/09/16(Thu) 18:41:24
四面体の体積 / 生ハム受験生
O(0,0,0)A(6,0,2)B(6,0,-3)P(5,√5,0)の立体の体積の簡単な求め方を教えてください
No.78227 - 2021/09/16(Thu) 10:23:46

Re: 四面体の体積 / ヨッシー
頂点の座標が、O,A,B,Pである、四面体の体積
ですね。

O,A,Bともにy座標が0なので、△OABはzx平面上にあります。
よって、これを底面として面積を求めます。
Pまでの距離(高さ)は√5なので、
 △OABの面積に√5を掛けて3で割ります。

No.78228 - 2021/09/16(Thu) 10:33:47

Re: 四面体の体積 / 生ハム受験生
5√5になりました!
No.78229 - 2021/09/16(Thu) 11:03:22

Re: 四面体の体積 / ヨッシー
正解です。
No.78230 - 2021/09/16(Thu) 11:20:47
分からない / nya
(1)〜(4)まで全てお願いします。
No.78220 - 2021/09/15(Wed) 22:57:24

Re: 分からない / X
(1)
条件から求める道のりは
2x-(12+11+10)×(20/60)
=2x-11[km]

(2)
まずAのゴールまでにかかった時間は
x/12+x/10=11x/60[時間]
次にBのゴールまでにかかった時間は
(1)の結果から
(2x-11)/9+(20/60)×3
=(2x-2)/9[時間]

(3)
(2)の結果からxについて
11x/60=(2x-2)/9
これを解いて
x=40/7

(4)
スタートしてからt時間後にBがAを追い越したとします。
条件からBはコースを一周する前に速度が落ちますので
BがAを抜かすときのA,Bの速さはそれぞれ
10[km/時]、11[km/時]
このことに注意すると
まずAが走る距離は(3)の結果から
40/7+10{t-(40/7)/12}[km] (A)
次にBが走る距離は
12×(20/60)+11(t-20/60)[km] (B)
(A)(B)が等しいので
40/7+10{t-(40/7)/12}=12×(20/60)+11(t-20/60) (C)
これを解きます。
(C)より
40/7+10(t-10/21)=4+11(t-1/3)
t=40/7-100/21-4+11/3
=97/21-4
=13/21 (D)
ということで13/21時間後となります。

ちなみにAが最初の1周をするまでにかかる時間は
(3)の結果から
(40/7)/12=10/21[時間]
ですので(D)より小さい値となり、題意を満たします。

No.78239 - 2021/09/16(Thu) 19:48:51

Re: 分からない / nya
ありがとうございます😭
分かりました!
丁寧にありがとうございました

No.78243 - 2021/09/16(Thu) 23:31:00
(No Subject) / 数学苦手
こちらの問題について質問です
No.78217 - 2021/09/15(Wed) 22:45:05

Re: / 数学苦手
このようにkmをmに直して頑張ってみましたがここから先、どのように解けば良いか分からなくなりました。
No.78219 - 2021/09/15(Wed) 22:47:10

Re: / 関数電卓
問題文に「コースを 往復するのに」とあるので,A, B の速さはお書きのものの2倍です。
追いつくまでの時間 52.5 分は OK です。
このとき,追いつくまでに B が走った距離は
 360(m/分)×52.5(分)=18,900(m)=18.9(km)
それは,折り返し地点より…

No.78221 - 2021/09/15(Wed) 23:20:36

Re: / 数学苦手
18.9-12.6でしょうか?
No.78223 - 2021/09/16(Thu) 00:25:44

Re: / 数学苦手
9450っていうのが頭から離れなくて分かりませんでした
No.78224 - 2021/09/16(Thu) 00:30:04
数学B 漸化式 / 高2
a(n+1)=a(n)^2-2 a(1)=2 a(n)の一般項を求めよ

という問題をYouTube で見つけたのですが、そこではいきなり

a(n)=β^(2^n)+β^(2^n) ・・・@

とおいたら、 a(n+1)=a(n)^2-2 が成り立つと説明していたのですが、一体どういった思考を経て@の式が思いつくのでしょうか。

No.78214 - 2021/09/15(Wed) 22:30:44

Re: 数学B 漸化式 / 高2
すみません、

a(n)=β^(2^n)+1/β^(2^n)

の誤りです。

No.78215 - 2021/09/15(Wed) 22:33:30

Re: 数学B 漸化式 / IT
a(n+1)=a(n)^2-2、 a(1)=2 なら
a(2)=a(1)^2-2=2=a(1) なので、任意の自然数nについて a(n)=a(1)=2 では?

漸化式が違いますか?

No.78222 - 2021/09/15(Wed) 23:25:58

Re: 数学B 漸化式 / 高2
すいません、a(1)=3です。
度々すいません。

No.78225 - 2021/09/16(Thu) 01:31:48

Re: 数学B 漸化式 / IT
a(n+1)=a(n)^2 なら a(n)=α^(2^n) の形なので

この問題の場合は、a(n)=α^(2^n)+b(n) とおくと

a(n+1)=α^(2^(n+1))+b(n+1) =a(n)^2-2= (α^(2^n)+b(n) )^2 - 2
=α^(2^(n+1))+2(α^(2^n))b(n)+b(n)^2-2

∴ b(n+1)=b(n)^2+2(α^(2^n))b(n)-2
 ここで (α^(2^n))b(n)=1 とすれば、b(n+1)=b(n)^2
 ちょうどうまくいく。

No.78226 - 2021/09/16(Thu) 02:09:35
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