0861347

ヨッシーの八方掲示板(小中高の算数・数学 質問掲示板)

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年(質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

HOME | お知らせ(3/8) | 記事検索 | 投稿回数 | 携帯用URL | フィード | ヘルプ | 環境設定
(No Subject) / やり直しメン
算数です
□5の(2)です


なぜペンとえんぴつの本数を同じにする必要があるのですか。


私はペンを 1本、、、1本|8本あまり
 えんぴつは4本、、、4本|一本不足
——————————————————
3本、、、3本 |9本
9÷3=3人とやりました。

No.90342 - 2025/06/18(Wed) 20:41:48

Re: / X
>>なぜペンとえんぴつの本数を同じにする必要があるのですか。

えんぴつの本数を、ペンの本数と同じである
3束に小分けして、それぞれの束のえんぴつを
一本づつ配れば、ペンの余る本数は
8[本/束]×3[束]=24[本] (A)
と分かります。

この24本を一束にして、更に1本づつ配れば、
3束から1本づつ配ったのと合わせて
全体で4本配ったことと同じになります。

従って、条件から
(A)を1本づつ配ったときに1本足らない
ということになりますので、配った人数は
24+1=25[人]
と分かります。


>>3本、、、3本 |9本
とありますが、この
>>|9本
の意味は何ですか。

No.90343 - 2025/06/18(Wed) 22:42:24

Re: / やり直しメン
9本は差です。8本あまりと1本不足の差は9本とやりました
No.90344 - 2025/06/19(Thu) 00:06:52

Re: / X
ペンをa[本]として、n[人]に分けたとすると
ペンの本数について
a=n+8 (A)

(i)えんぴつの本数がペンの本数と同じ場合
えんぴつの本数はa[本]ですので、
4本づつ配った場合
a=4n-1 (B)
(B)-(A)より
3n-9=0 (C)
ですので
n=3

(ii)えんぴつの本数がペンの本数の3倍(つまりご質問の問題の条件)の場合
えんぴつの本数は3a[本]ですので、
4本づつ配った場合
3a=4n-1 (B)'
(B)'-(A)より
3n-9=2a (D)

(C)(D)を見比べてみて下さい。

No.90345 - 2025/06/19(Thu) 18:44:02
(No Subject) / ネコ丸
この問題の解き方がなぜこうなるのかわかりません
教えてください。

No.90337 - 2025/06/12(Thu) 12:39:58

Re: / ヨッシー
>c≦80 より a は a≦66 を満たす自然数
のところはわかりますか?

√3(a+7) が整数になるには、3(a+7) は、A×A (Aは整数) という
形に表される必要があります。
3がすでに見えていますので、3(a+7) は、
 (3×B)×(3×B) (Bは整数)
という形であるはずです。展開すると、
 3×3B^2 であり、3B^2 が a+7 に当たります。
よって、a+7=3B^2 であり、B にいろんな整数(この場合は自然数)を当てはめて 条件 0<a≦66 を満たすaを見つけています。

No.90338 - 2025/06/12(Thu) 13:26:27

Re: / ネコ丸
3(a+7) は、
 (3×B)×(3×B) (Bは整数)
            
     のところがわかりません

もう少し詳しくお願いできますか?

No.90339 - 2025/06/12(Thu) 14:55:30

Re: / ヨッシー
>3(a+7) は、A×A (Aは整数)
ここまでは理解されているとして、
3(a+7) は、3 の倍数ですから、Aは3の倍数です。
そこで、A=3×B (Bは整数) とおくと
 (3×B)×(3×B) (Bは整数)
と書けます。

No.90340 - 2025/06/12(Thu) 15:06:10

Re: / ネコ丸
ありがとうございました
No.90341 - 2025/06/12(Thu) 15:15:23
(No Subject) / 中3
このような問題が本当に解けません。
No.90333 - 2025/06/09(Mon) 21:00:35

Re: / ヨッシー
BD:DC=1:2 より
△BFA:△CFA=1:2 ・・・(1)
AE:EB=3:2 より
△BFA:△EFA=5:3 ・・・(2)
(1)(2) より
△BFA:△CFA:△EFA=5:10:3
よって、CF:FE=10:3

難関私立高校入試レベルなら、メネラウスの定理も習っているかも。

No.90334 - 2025/06/10(Tue) 08:28:56

Re: / WIZ
別解
# ヨッシーさんによる素晴らしい回答が投稿されていますが、
# 私も一生懸命解いたので複雑で無意味ですが投稿しちゃいます。

△ABCをxy座標上におきます。
点Bを原点に重ね、点Cはx軸の正の部分におきます。
各点の座標はu, v, wを正の実数として、A(5u, 5v), B(0, 0), C(3w, 0) とします。

すると、|AE|:|EB| = 3:2 より E(2u, 2v) となります。
また、|BD|:|DC| = 1:2 より D(w, 0) となります。

直線ADは (y-0)/(5v-0) = (x-w)/(5u-w) ⇒ y = {5v/(5u-w)}(x-w)
直線CEは (y-0)/(2v-0) = (x-3w)/(2u-3w) ⇒ y = {2v/(2u-3w)}(x-3w)
# 図から 5u-w ≠ 0 かつ 2u-3w ≠ 0 であることは自明とします。

直線ADと直線CEの交点が点Fなので、点Fのx座標は
{5v/(5u-w)}(x-w) = {2v/(2u-3w)}(x-3w)
⇒ 5(2u-3w)(x-w) = 2(5u-w)(x-3w)
⇒ {(10u-15w)-(10u-2w)}x = (10u-15w)w-(10u-2w)*3w
⇒ (-13w)x = (10u-15w)w-(30u-6w)w
⇒ -13x = -20u-9w
⇒ x = (20u+9w)/13

点Fのy座標は
y = {5v/(5u-w)}((20u+9w)/13-w)
= {5v/(5u-w)}((20u+9w)-13w)/13
= {5v/(5u-w)}(20u-4w)/13
= {5v/(5u-w)}*4(5u-w)/13
= 20v/13

よって、F((20u+9w)/13, 20v/13) となります。

|CF|^2 = (3w-(20u+9w)/13)^2+(0-20v/13)^2
= {(39w-(20u+9w))^2+(-20v)^2}/169
= {(30w-20u)^2+(20v)^2}/169
= {900w^2-1200wu+400u^2+400v^2}/169
= (100/169)(9w^2-12wu+4u^2+4v^2)

|FE|^2 = ((20u+9w)/13-2u)^2+(20v/13-2v)^2
= {((20u+9w)-26u)^2+(20v-26v)^2}/169
= {(9w-6u)^2+(-6v)^2}/169
= {81w-108wu+36u^2+36v^2}/169
= (9/169)(9w-12wu+4u^2+4v^2)

上記の文字式の部分は同一ですので、
(|CF|^2):(|FE|^2) = 100:9
⇒ |CF|:|FE| = 10:3

No.90335 - 2025/06/10(Tue) 08:48:01

Re: / らすかる
別解
Eを通りADに平行な直線とBCの交点をGとするとDG:GB=AE:EB=3:2
またCD:DB=2:1なのでCD:DG:DG=10:3:2
よってCF:FE=CD:DG=10:3

No.90336 - 2025/06/11(Wed) 00:31:06
(No Subject) / 中3
この問題が分かりません
No.90331 - 2025/06/09(Mon) 20:10:14

Re: / ヨッシー
(1)
△ADBは直角三角形で、∠A=36°より、∠B=54°
弧CD=弧AC×2 なので、∠CBD=∠ABC×2
よって、∠CBD=54°×2/3=36°
△EDBは直角三角形なので、∠BED=90°−36°=54°・・・答え
△OBCは二等辺三角形なので、∠OCB=∠OBC=54°×1/3=18°
∠OCY=90°なので、∠BCY=90°−18°=72°・・・答え

No.90332 - 2025/06/09(Mon) 20:57:55
(No Subject) / やり直しメン

算数です。

□6の(2)教えてください。
特に432-285をする理由が分かりませんでした

No.90327 - 2025/06/04(Wed) 23:51:48

Re: / GandB
  ある整数を x
  432、315、285 をxで割った商をq1、q2、q3
  432 と 285 をxで割った同じ余りを r

とすると

  432 = q1×x + r
  315 = q2×x
  285 = q3×x + r
  432-285 = 147 = (q1-q3)x (432-285 は x で割り切れる)

 x は147 と 315 の共通の約数だから、その最大値である最大公約数が求める最大の整数である。

  147 = 3×7×7
  315 = 3×3×5×7

なので、最大公約数は21。

No.90328 - 2025/06/05(Thu) 08:20:40
高校数学(数A) / 314
nx̄がどこから出てきたのかわかりませんでした。
No.90319 - 2025/06/02(Mon) 23:06:01

Re: 高校数学(数A) / 314
問題文です。
No.90320 - 2025/06/02(Mon) 23:08:04

Re: 高校数学(数A) / ast
> nx̄がどこから出てきたのか
変形の前後で項・因子の対応がわかるように式が書かれていますから, 結局
  x^- = (x_1f_1+x_2f_2+…+x_nf_n)/(f_1+f_2+…+f_n)
であるかどうか, という話であるようです.
# 右辺の分母は =n で, その分母を払うと nx^- が分かると思います.

これが正しいのかどうかは問題文にすら書かていませんので挙げられた画像だけではわかりかねますが, しかしおそらくこれ(あるいはこれが誤りならばこれとよく似た正しい式)が, 当然の常識としておくべき前提にあるのではないでしょうか.

No.90321 - 2025/06/02(Mon) 23:59:29

Re: 高校数学(数A) / 314
> > nx̄がどこから出てきたのか
> 変形の前後で項・因子の対応がわかるように式が書かれていますから, 結局
>   x^- = (x_1f_1+x_2f_2+…+x_nf_n)/(f_1+f_2+…+f_n)
> であるかどうか, という話であるようです.
> # 右辺の分母は =n で, その分母を払うと nx^- が分かると思います.
>
> これが正しいのかどうかは問題文にすら書かていませんので挙げられた画像だけではわかりかねますが, しかしおそらくこれ(あるいはこれが誤りならばこれとよく似た正しい式)が, 当然の常識としておくべき前提にあるのではないでしょうか.




ありがとうございます。

No.90322 - 2025/06/03(Tue) 11:33:10

Re: 高校数学(数A) / IT
各階級に含まれるデータの値がすべてその階級値x_iに等しい。
各階級の度数がf_i と書いてあります。
度数の計 f_1+f_2+…+f_k  = n

文脈からx^- は、考えているn個のデータの平均値を表すと読めます(astさんの回答にある 当然の常識)から
x^- = (x_1f_1+x_2f_2+…+x_kf_k)/(f_1+f_2+…+f_k)

No.90324 - 2025/06/03(Tue) 19:36:06

Re: 高校数学(数A) / IT
高校数学1(私の手持ではAではなくて1)の教科書には
「一般に、変量xについて、大きさnのデータの総和をnで割った値を、このデータの「平均値」といい,x^- で表す。」
とあります。

No.90325 - 2025/06/03(Tue) 20:01:28
漸化式 / ドンキーコング
次の漸化式で与えられる数列の一般項を求めよ。
a1=2,an=an-1 +n(n+1) n=2,3,4…


次のように解きましたが違うようです。どうして違うのか教えて下さい。

No.90311 - 2025/06/02(Mon) 13:15:01

Re: 漸化式 / ヨッシー
解答の3行目の式に、n=2 を入れてみると、
 a[2]=a[1]+2
ですが、漸化式
 a[n]=a[n-1]+n(n+1)
にn=2を入れると
 a[2]=a[1]+6
であり、この3行目からして誤りであることがわかります。

普通の漸化式は
 a[n+1]=a[n]+b[n]
の式で書かれているのを前提に
 a[n]=a[1]+Σb[n]
が言えるのですが、この問題は
 a[n]=a[n-1]+・・・
の形なので、少し変形が必要です。

No.90312 - 2025/06/02(Mon) 13:26:16

Re: 漸化式 / ヨッシー
図が消えてたので、載せておきます。
No.90313 - 2025/06/02(Mon) 13:28:15

Re: 漸化式 / ドンキーコング
ありがとうございます。

これも違ってるみたいなんですが、どこがいけないのですか?

No.90314 - 2025/06/02(Mon) 13:45:38

Re: 漸化式 / ヨッシー
6n だけ2で割られていませんね。
原因は、項をまとめることと、約分することを同時にしたためです。

No.90315 - 2025/06/02(Mon) 14:10:06

Re: 漸化式 / ドンキーコング
ありがとうございます。

初歩的なミスでした。
解決できました。

もう一つ質問ですが、漸化式でnをn+1に置き換えて解きましたが、これって大丈夫な操作なんですか?

No.90316 - 2025/06/02(Mon) 15:04:32

Re: 漸化式 / ヨッシー
a[1]=2, a[n]=a[n-1]+n(n+1) n=2,3,4…

a[1]=2, a[n+1]=a[n]+(n+1)(n+2) n=1,2,3…
は同じものです。

nの範囲が違っていることに注意すると、上の疑問は解決するでしょう。

No.90317 - 2025/06/02(Mon) 17:03:16

Re: 漸化式 / ドンキーコング
なるほど。そうゆうことですか。
理解できました。
ありがとうございました。

No.90318 - 2025/06/02(Mon) 21:50:16
(No Subject) / 中3
相似です。
解き方が分かりません。答えは、1:5です。

No.90304 - 2025/06/01(Sun) 16:53:51

Re: / X
平行四辺形ABCDの面積をSとすると
条件から
(△BEDの面積)=(1/2)S×(BE/BC)
=(1/2)S×(2/3)
=(1/3)S (A)
一方、AD//BEより
△AFD∽△BEF
なので
BF:DF=BE:AD=2:3 (B)
(A)(B)から
(△DEFの面積)=(DF/BD)×(△BEDの面積)
=(3/5)×(1/3)S
=(1/5)S
よって
(△DEFの面積):S=(1/5):1
=1:5

No.90305 - 2025/06/01(Sun) 17:13:28
(No Subject) / 中3
十五の一の解き方が分かりません。
No.90303 - 2025/06/01(Sun) 16:35:14

Re: / X
点A,Bからx軸に下ろした垂線の足を
それぞれH,Iとすると
△CBI∽△CAH
よって条件から
BI:AH=CI:CH
=4:1 (A)
一方、点A,Bは放物線y=(1/4)x^2の点
で,点Aは第1象限、点Bは第2象限の点なので
A(t,(1/4)t^2),B(-u,(1/4)u^2) (B)
(0<t,0<u (C))
と置くことができます。
(A)(B)から
(1/4)u^2:(1/4)t^2=4:1
これより
u^2:t^2=4:1
4t^2=u^2
(2t-u)(2t+u)=0
よって(C)より
u=2t
となるので
OI:OH=u:t=2:1 (D)

ここで、点(0,2)を点Dとすると
(台形BIOD)∽(台形ADOH)
なので(D)より
BI:OD=OI:OH=2:1
よって
BI=2OD
なので
(1/4)u^2=4
これより
u^2=16
よって(C)より
u=4
となるので
B(-4,4)

よって直線ABの傾きは
(0-4)/{0-(-4)}=-1
なので求める方程式は
y=-x+2
(もっと簡単な方法があるかもしれません。)

No.90306 - 2025/06/01(Sun) 17:39:08

Re: / WIZ
Xさん、
> (0-4)/{0-(-4)}=-1

上記は点Bと点Dの座標から直線ABの傾きを計算しているのであれば、
(2-4)/{0-(-4)} = -1/2 の間違いだと思います。

以下別解 (簡単になった訳ではありません。)

(1)
直線ABはy切片が2なので y = px+2, 但し p < 0 とおけます。
放物線との交点は (1/4)x^2 = px+2 より x = 2p±√(4p^2+8) となります。

点Aのx座標をa, 点Bのx座標をb, 点Cのx座標をcとすると、
a > b より a = 2p+√(4p^2+8), b = 2p-√(4p^2+8) となります。
また、0 = pc+2 より c = -2/p です。

|CA|:|AB| = 1:3 より (c-a):(a-b) = 1:3 なので、
3(c-a) = a-b
⇒ 3(-2/p)-3(2p+√(4p^2+8)) = (2p+√(4p^2+8))-(2p-√(4p^2+8))
⇒ -6/p-6p = 5√(4p^2+8)
⇒ -6(1+p^2) = 5p√(4p^2+8)
⇒ 36(1+2p^2+p^4) = 25(p^2)(4p^2+8)
⇒ 0 = 64p^4+128p^2-36
⇒ 0 = 16p^4+32p^2-9 = (4p^2)^2+8(4p^2)-9 = (4p^2-1)(4p^2+9)

4p^2 > 0 より 4p^2 = 1, p < 0 より p = -1/2 となり
直線ABは y = (-1/2)x+2 となります。

(2)
直線ABはx切片が-3なので y = p(x+3), 但し p > 0 とおけます。
放物線との交点は 2x^2 = p(x+3) より 2x^2-px-3p = 0 となり
x = {p±√(p^2+24p)}/4 となります。

点Aのx座標をa, 点Bのx座標をbとすると、
a < b より a = {p-√(p^2+24p)}/4, b = {p+√(p^2+24p)}/4 となります。

|CA|:|AB| = 4:5 より (a-c):(b-a) = 4:5 なので、
5(a-c) = 4(b-a)
⇒ 5{p-√(p^2+24p)}/4-5(-3) = 4{p+√(p^2+24p)}/4-4{p-√(p^2+24p)}/4
⇒ 5p+15*4 = 8√(p^2+24p)+5√(p^2+24p)
⇒ 5p+60 = 13√(p^2+24p)
⇒ 25(p^2+24p+144) = 169(p^2+24p)
⇒ 0 = 144(p^2+24p)-25*144 = 144(p^2+24p-25) = 144(p-1)(p+25)

p > 0 より p = 1 となり、直線ABは y = x+3 となります。

No.90323 - 2025/06/03(Tue) 18:08:26

Re: / X
>>WIZさんへ
ご指摘ありがとうございます。

>>中3さんへ
ごめんなさい。WIZさんの仰る通りです。

No.90326 - 2025/06/04(Wed) 18:07:46
不等式の表す領域の体積 / むっちゃん
次の問題がわからないです。よろしくお願いいたします。

xyz空間において,
|logx|+|logy|+|logz|≦1
を満たす領域の体積を平面z=e^t(-1≦t≦1)による切り口の図形を調べることにより求めよ。

No.90297 - 2025/05/31(Sat) 17:38:34

Re: 不等式の表す領域の体積 / WIZ
べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。
対数関数logは自然対数、eは自然対数の底と解釈します。

0 ≦ |log(z)| ≦ 1
⇒ -1 ≦ log(z) ≦ 1
⇒ 1/e ≦ z ≦ e
同様に、1/e ≦ x ≦ e, 1/e ≦ y ≦ e となります。

tの値を固定して e^t を定数と見なせば、z = e^t はxy平面に平行な平面となります。
平面 z = e^t による題意の立体の切り口の面積を s(t) とし、求める体積をVとすると、
V = ∫[1/e, e]s(t)dz = ∫[-1, 1]s(t)(e^t)dt

(1) t = log(z) < 0 の場合
1/e ≦ z = e^t < 1 つまり -1 ≦ t < 0 となり |log(x)|+|log(y)| ≦ 1-|log(z)| = 1+t です。
よって、|log(y)| ≦ 1+t-|log(x)| となります。

(1a) log(x) < 0 つまり 1/e ≦ x < 1 の場合
log(x) < -log(x) となりますから、
|log(y)| ≦ 1+t+log(x)
⇒ 1+t+log(x) ≦ log(y) ≦ 1+t-log(x)
⇒ e^(1+t+log(x)) ≦ y ≦ e^(1+t-log(x))
⇒ x(e^(1+t)) ≦ y ≦ (1/x)(e^(1+t))
この部分の面積は
∫[1/e, 1]{(1/x)(e^(1+t))-x(e^(1+t))}dx
= (e^(1+t))∫[1/e, 1]{1/x-x}dx
= (e^(1+t))[log(x)-(x^2)/2]_[1/e, 1]
= (e^(1+t)){(-1/2)-(-1-1/(2e^2))}
= (e^(1+t)){1/2+1/(2e^2)}

(1b) log(x) ≧ 0 つまり 1 ≦ x ≦ e の場合
-log(x) ≦ log(x) となりますから、(1a)とほぼ同様に
⇒ (1/x)(e^(1+t)) ≦ y ≦ x(e^(1+t))
この部分の面積は
(e^(1+t))∫[1, e]{x-1/x}dx
= (e^(1+t))[(x^2)/2-log(x)]_[1, e]
= (e^(1+t)){((e^2)/2-1)-(1/2)}
= (e^(1+t)){(e^2)/2-3/2}

よって、(1)の部分の面積は (e^(1+t)){2(e^2)/2-1} = (e^t)(e^3-e) となります。

(2) t = log(z) ≧ 0 の場合
1 ≦ z = e^t ≦ e つまり 0 ≦ t ≦ 1 となり |log(x)|+|log(y)| ≦ 1-|log(z)| = 1-t です。
よって、|log(y)| ≦ 1-t-|log(x)| となります。

(2a) log(x) < 0 つまり 1/e ≦ x < 1 の場合
log(x) < -log(x) となりますから、(1a)とほぼ同様に
⇒ x(e^(1-t)) ≦ y ≦ (1/x)(e^(1-t))
この部分の面積は
(e^(1-t))∫[1/e, 1]{1/x-x}dx = (e^(1-t)){1/2+1/(2e^2)}

(2b) log(x) ≧ 0 つまり 1 ≦ x ≦ e の場合
-log(x) ≦ log(x) となりますから、(1a)とほぼ同様に
⇒ (1/x)(e^(1-t)) ≦ y ≦ x(e^(1-t))
この部分の面積は
(e^(1-t))∫[1, e]{x-1/x}dx = (e^(1-t)){(e^2)/2-3/2}

よって、(2)の部分の面積は (e^(1-t)){2(e^2)/2-1} = (e^(-t))(e^3-e) となります。

以上から、
V = ∫[-1, 0]{(e^t)(e^3-e)(e^t)}dt+∫[0, 1]{(e^(-t))(e^3-e)(e^t)}dt
= (e^3-e){∫[-1, 0]{e^(2t)}dt+∫[0, 1]{1}dt
= (e^3-e){[(e^(2t))/2]_[-1, 0]+[t]_[0, 1]}
= (e^3-e){(1-e^(-2))/2+1}
= (e^3-e)(3-e^(-2))/2
= (3e^3-3e-e+e^(-1))/2
= (3e^3-4e+e^(-1))/2

# 私の勘違い、計算間違いがある可能性大ですので質問者さんの方で良く確認してください!

No.90300 - 2025/06/01(Sun) 12:17:25

Re: 不等式の表す領域の体積 / IT
私は求積はやっていませんが
(3e^3-4e+e^(-1))/2 > e^3 なので、まちがっているようですね

No.90301 - 2025/06/01(Sun) 14:46:12

Re: 不等式の表す領域の体積 / X
>>WIZさんへ
(1a)で絶対値を外す箇所が間違っているようです。
>>⇒ 1+t+log(x) ≦ log(y) ≦ 1+t-log(x)
ではなくて
-{1+t+log(x)} ≦ log(y) ≦ 1+t+log(x)
では?。

No.90307 - 2025/06/01(Sun) 17:45:01

Re: 不等式の表す領域の体積 / WIZ
ITさん、Xさん、ご指摘ありがとうございます。

少なくとも「絶対値を外し方」と「積分範囲」を間違えていました。
(1)は -1 ≦ t < 0 なので 0 ≦ |log(x)|+|log(y)| = 1+t < 1 であり、
(1a)は log(x) < 0 なので 0 < -log(x) ≦ 1+t
⇒ -(1+t) ≦ log(x) < 0
⇒ e^(-1-t) ≦ x < 1

また |log(y)| ≦ 1+t-|log(x)| より、
⇒ -{1+t+log(x)} ≦ log(y) ≦ 1+t+log(x)
⇒ (1/x)e^(-1-t) ≦ y ≦ x(e^(1+t))

この部分の面積は
∫[e^(-1-t), 1]{x(e^(1+t))-(1/x)e^(-1-t)}dx
= [((x^2)/2)e^(1+t)-log(x)e^(-1-t)]_[e^(-1-t), 1]
= {(1/2)e^(1+t)}-{(1/2)(e^(-2-2t))e^(1+t)-(-1-t)e^(-1-t)}
= (1/2)e^(1+t)-(1/2)e^(-1-t)+(1+t)e^(-1-t)
= (1/2)e^(1+t)+(1/2+t)e^(-1-t)

同様に(1b)は 0 ≦ log(x) ≦ 1+t なので 1 ≦ x ≦ e^(1+t) となり、
-{1+t-log(x)} ≦ log(y) ≦ 1+t-log(x)
⇒ x(e^(-1-t)) ≦ y ≦ (1/x)(e^(1+t))

この部分の面積は
∫[1, e^(1+t)]{(1/x)e^(1+t)-x(e^(-1-t))}dx
= [log(x)e^(1+t)-((x^2)/2)e^(-1-t)]_[1, e^(1+t)]
= {(1+t)e^(1+t)-(1/2)(e^(2+2t))e^(-1-t)}-{-(1/2)e^(-1-t)}
= (1/2+t)e^(1+t)+(1/2)e^(-1-t)

よって、-1 ≦ t < 0 において
s(t) = {(1/2)e^(1+t)+(1/2+t)e^(-1-t)}+{(1/2+t)e^(1+t)+(1/2)e^(-1-t)}
= (1+t){e^(1+t)+e^(-1-t)}

(2)は 0 ≦ t ≦ 1 なので 0 ≦ |log(x)|+|log(y)| = 1-t < 1 であり、
(2a)は log(x) < 0 なので 0 < -log(x) ≦ 1-t
⇒ -(1-t) ≦ log(x) < 0
⇒ e^(-1+t) ≦ x < 1

また -{1-t+log(x)} ≦ log(y) ≦ 1-t+log(x) より、
⇒ (1/x)e^(-1+t) ≦ y ≦ x(e^(1-t))

この部分の面積は
∫[e^(-1+t), 1]{x(e^(1-t))-(1/x)e^(-1+t)}dx
= [((x^2)/2)e^(1-t)-log(x)e^(-1+t)]_[e^(-1+t), 1]
= {(1/2)e^(1-t)}-{(1/2)(e^(-2+2t))e^(1-t)-(-1+t)e^(-1+t)}
= (1/2)e^(1-t)+(-3/2+t)e^(-1+t)

同様に(2b)は 0 ≦ log(x) ≦ 1-t なので 1 ≦ x ≦ e^(1-t) となり、
-{1-t-log(x)} ≦ log(y) ≦ 1-t-log(x)
⇒ x(e^(-1+t)) ≦ y ≦ (1/x)(e^(1-t))

この部分の面積は
∫[1, e^(1-t)]{(1/x)e^(1-t)-x(e^(-1+t))}
= [log(x)e^(1-t)-((x^2)/2)e^(-1+t)]_[1, e^(1-t)]
= {(1-t)e^(1-t)-(1/2)(e^(2-2t))e^(-1+t)}-{-(1/2)e^(-1+t)}
= (1-t)e^(1-t)-(1/2)e^(1-t)+(1/2)e^(-1+t)
= (1/2-t)e^(1-t)+(1/2)e^(-1+t)

よって、0 ≦ t ≦ 1 において
s(t) = {(1/2)e^(1-t)+(-3/2+t)e^(-1+t)}+{(1/2-t)e^(1-t)+(1/2)e^(-1+t)}
= (1-t){e^(1-t)-e^(-1+t)}

以上から
V = ∫[-1, 0]{(1+t){e^(1+t)+e^(-1-t)}e^t}dt+∫[0, 1]{(1-t){e^(1-t)-e^(-1+t)}e^t}dt
= ∫[-1, 0]{(1+t){e^(1+2t)+1/e}}dt+∫[0, 1]{(1-t){e-e^(-1+2t)}}dt

前半の積分は
[(1+t)(e^(1+2t))/2+(t+(t^2)/2))/e]_[-1, 0]-∫[-1, 0]{(e^(1+2t))/2}dt
= {e/2-(-1+1/2)/e}-[(e^(1+2t))/4]_[-1, 0]
= (1/2)(e+1/e)-(1/4)(e-1/e)
= (1/4)(e+3/e)

後半の積分は
[(t-(t^2)/2)e-(1-t)(e^(-1+2t))/2]_[0, 1]+∫[0, 1]{(-1)(e^(-1+2t))/2}dt
= {(1-1/2)e+(1/2)(1/e)-[(e^(-1+2t))/4]_[0, 1]
= (1/2)(e+1/e)-(1/4)(e-1/e)
= (1/4)(e+3/e)

よって、V = (1/4)(e+3/e)+(1/4)(e+3/e) = (1/2)(e+3/e) となると思います。

No.90309 - 2025/06/01(Sun) 23:38:13

Re: 不等式の表す領域の体積 / むっちゃん
返信が遅くなり申し訳ありません。
とても助かりました。
ありがとうございます。

No.90329 - 2025/06/06(Fri) 20:39:18
(No Subject) / やり直しメン
算数です
120÷3=40

59÷3=19あまり2

40-19=21まい
21÷4=5あまり1

Bさんが取ったカードは5枚です

答えでは10枚でした。

No.90292 - 2025/05/29(Thu) 10:30:42

Re: / ヨッシー
Aさんが取った21枚の3の倍数のカードから
Bさんが4の倍数のカードを取る
のであれば、その考えでいい(正しい答えは6枚ですが)ですが、
この問題は、Aさんが取らなかった40枚のカードから
Bさんが4の倍数のカードを取る
なので根本的に違います。

No.90293 - 2025/05/29(Thu) 13:47:47

Re: / やり直しメン
Aが取った120÷3=40
59÷3=19あまり2
40-19=21枚
Bは120÷4=30
59÷4=14あまり3
Bは30-14=16まい
答えは16枚ですか

No.90294 - 2025/05/30(Fri) 15:41:34

Re: / GandB
 A が取った3の倍数 { 60, 63, 66, …,120 } の個数は
  (120-60)/3 + 1 = 21

 この中には3の倍数であると同時に4の倍数である数、つまりは 12 の倍数
  { 60, 72, 84, …,120 }
の個数が
  (120-60)/12 + 1 = 6
だけある。
 4の倍数 { 60, 64, 68, …,120 } の個数は全部で
  (120-60)/4 + 1 = 16
あるわけだが、このうち6個はすでにAが取っている。
 したがって求める個数は
  16 - 6 = 10

 カードは全部で

60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69
70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79
80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89
90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99
100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109
110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119
120

だけしかないのだから、わかりにくいときは手作業で数える。

No.90295 - 2025/05/30(Fri) 16:19:30

Re: / やり直しメン
59÷12=4あまり9
10-4=6
16-6=10まいということです。
なぜこのような計算はされてないのでしょうか。

No.90296 - 2025/05/31(Sat) 15:35:40

Re: / ヨッシー
そのような式の羅列ではなく、前後に日本語を書くクセをつけましょう。

1以上59以下の12の倍数は
 59÷12=4あまり9
より、4枚。
1以上120以下の12の倍数は
 120÷12=10
より、10枚。よって、60以上120以下の12の倍数は

 10-4=6
より、6枚。一方、60以上120以下の4の倍数は 16枚(方法は省略)なので、
Bさんの取った、60以上120以下で、3の倍数でない4の倍数の枚数は

 16-6=10 (枚)

太字の部分が全部抜けています。

その上で、GandB さんの回答と比較して、どこが違いますか? 

No.90310 - 2025/06/02(Mon) 08:51:35
(No Subject) / えcれふぃるぇxr
Σ(∞,n=1)1/(n^2×2^n)=(π^2)/12-((log2)^2)/2を示して下さい。解き方が分からないので出てくるか知りませんが、もしバーゼル問題がでてきても証明なしに使ってよいです。
No.90285 - 2025/05/25(Sun) 19:19:44

Re: / WIZ
Li2(x) = Σ[n=1,∞]{(x^n)/(n^2)}における Li2(1/2) の計算方法は、ググると下記で解説されています。
[まめけびのごきげん数学・物理]-[ホーム]-[数学]-[特殊関数]-[多重対数関数(ポリログ)の関係式一覧・証明付き]
https://mamekebi-science.com/math/spetialfunction/polylog-identities/

No.90291 - 2025/05/26(Mon) 12:59:19
(No Subject) / 中3
解き方が分かりません
No.90284 - 2025/05/25(Sun) 16:25:39

Re: / X
方針だけ。

添付写真において、大きい三角形と小さい三角形
がありますが、そのうち、大きい三角形の頂点を
右上の頂点から反時計回りにA,B,Cとし、
小さい三角形の頂点をAから反時計回りに
D,Eとします。

このとき、四角形DBCEは円に内接しているので
∠ABC=∠AED (A)
∠ACB=∠ADE (B)
(A)(B)より
△ABC∽△ADE
このことから対応する辺の相似比について
(6+4):x=(x+3):4=8:y (C)

(C)をx,yについての連立方程式として
解きます。

No.90289 - 2025/05/25(Sun) 20:15:10

Re: / ヨッシー
方べきの定理は、円周角(円に内接する四角形の定理)と三角形の相似だけで説明できる定理です。
ご参考まで。

No.90290 - 2025/05/26(Mon) 08:52:36
/ 中3
xの求め方が分かりません。
No.90283 - 2025/05/25(Sun) 16:19:58

Re: 円 / X
添付写真において、線分の端点のうち、円周上
にあるものを、左上にあるものから反時計回りに
A,B,C,D
とし、線分AC,BDの交点をEとします。
すると、円周角により
△ABE∽△CDE
なので、対応する辺について
AE:DE=BE:CE
よって
(16×5/8):(19-x)=x:(16×3/8) (A)

(A)を
0<x<19 (B)
に注意して解きます。

注)
添付写真の図では
BE<DE (C)
となっていますが、もし(C)が条件になっている
のであれば、(B)の代わりに
0<x<19/2 (B)'
がxに対する条件になります。

No.90288 - 2025/05/25(Sun) 20:10:20
三角関数の回転の方向と正負について / やすゆき
数学の三角関数の問題です。添付の問題の(1)の解説で、x'=rcos(α+3/π)となっている部分が、x'=rcos(3/π-α)のように思えてしまって、なぜカッコの中がα+3/πとなるのかがわかりません。基本的な考え方が身に付いていないのかもしれず、その前提で教えていただけると大変ありがたいです。
No.90278 - 2025/05/21(Wed) 23:55:37

Re: 三角関数の回転の方向と正負について / ヨッシー
だいたいの数値で考えると、
P’の角が α=−55°くらいとして、そこから
60°回転して、Q’が5°くらいになると考えると、
 α+π/3=−55°+60°=5°
でいいと思いますが。

No.90279 - 2025/05/22(Thu) 09:35:18

Re: 三角関数の回転の方向と正負について / X
横から失礼します。

これはαがどう定義されているか、ということですね。

(1)の解説の4行目から
cosα>0,sinα<0

-π/2+2nπ<α<2nπ (A)
(nは任意の整数)

ヨッシーさんの解説は(A)において
n=0のとき、つまり
-π/2<α<0 (A)'
に当たります。
一方、例えば、n=1のときは
x軸の正の向きから一周して
3π/2<α<2π (A)"
となります。

(A)'(A)"においても、動径OP'が角αの位置から
反時計回りにπ/3だけ回転移動するわけですので
α+π/3(=π/3+α)
となります。

No.90281 - 2025/05/22(Thu) 17:48:11

Re: 三角関数の回転の方向と正負について / やすゆき
ヨッシーさん、xさん

ありがとうございます

図形上の位置関係で考えてしまっていました。

αとx,y座標の関係性を式で考えたらプラスですね

理解できました、ありがとうございました。


> 横から失礼します。
>
> これはαがどう定義されているか、ということですね。
>
> (1)の解説の4行目から
> cosα>0,sinα<0
> ∴
> -π/2+2nπ<α<2nπ (A)
> (nは任意の整数)
>
> ヨッシーさんの解説は(A)において
> n=0のとき、つまり
> -π/2<α<0 (A)'
> に当たります。
> 一方、例えば、n=1のときは
> x軸の正の向きから一周して
> 3π/2<α<2π (A)"
> となります。
>
> (A)'(A)"においても、動径OP'が角αの位置から
> 反時計回りにπ/3だけ回転移動するわけですので
> α+π/3(=π/3+α)
> となります。

No.90282 - 2025/05/24(Sat) 15:19:41
転換法 / TOM
転換法は以下のようにアイウの仮定が重ならず更にすべての場合を表し、
結論もが重ならずさらにすべての場合を表しすべての場合を表す場合、すべての逆が
成り立つことですか。

転換法を利用して以下のア x>3⇒x^2>9、イ x=3⇒x^2=9、ウ x<3⇒x^2<9
を考えると、逆 ア x>3←x^2>9、イ x=3←x^2=9、ウ x<3←x^2<9
が成り立つことが考えられます。
しかし、この例はなぜ誤りですか。

転換法が利用できるときと、できないときの違いは何ですか。

No.90275 - 2025/05/21(Wed) 17:40:29

Re: 転換法 / らすかる
最初のウが正しくありません。例えばx=-4のときx^2>9です。
No.90276 - 2025/05/21(Wed) 17:48:57

Re: 転換法 / TOM
最初のウの誤りがわかりました。

転換法は「アイウの仮定が重ならず更にすべての場合を表し、
結論もが重ならずさらにすべての場合を表しすべての場合を表す場合、すべての逆が成り立つこと」ですか。

No.90277 - 2025/05/21(Wed) 20:57:05
イエンセン不等式 / Higashino
以下の問題をイエンセン不等式で考えるとどうなるか教えてください
No.90271 - 2025/05/19(Mon) 17:49:39

Re: イエンセン不等式 / Higashino
次のような回答いただいているのですが
正しいものあるかどうか教えてください

No.90272 - 2025/05/20(Tue) 04:06:16

Re: イエンセン不等式 / Higashino
自己解決しました
No.90273 - 2025/05/20(Tue) 11:41:33
2022早稲田理工 / ぐっちょん
2022年の早稲田大学理工数学の[4]の正八面体の問題
https://kgkrkgk.com/math/wsm22s.htm#google_vignette
なのですが、Z(B[1],B[2],B[3]の共通部分の体積)
を求めることは可能でしょうか。よろしくお願いいたします。

No.90269 - 2025/05/18(Sun) 23:26:40
(No Subject) / りんご
nを自然数とする。2つの変量x,yのn個のデータ
(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)…(xn,yn)
が与えられている。xの平均値はx=16,分散はSx^2=3でありyの平均値はy=3,分散はSy^2=2/3である。Xとyの共分散をsxyとおく。さらにz=2x-3yで新たな変量zを作る。Zのデータはzi=2xi−3yi(i=1,2…n)である。この時zの平均値zはz=[23]となる。Zの分散Sz^2をSxyを用いて書き表すとSz^2=?

この問題って分散=「2乗の期待値 - 期待値の2乗」を利用し
てyi^2の期待値,xi^2の期待値 を求める。そしてzの分散=「2乗の期待値 - 期待値の2乗」を利用して求めることはできないのでしょうか。このやり方だと答え合わないのですが

No.90268 - 2025/05/18(Sun) 00:58:26

Re: / ポテトフライ
> そしてzの分散=「2乗の期待値 - 期待値の2乗」を利用して求めることはできないのでしょうか。このやり方だと答え合わないのですが

できます。答えが合わないと言われても、あなたがどんな途中計算をしたのか見せてもらわないと、回答しようがない。
合わないのはあなたの計算のどこかが間違ってるからです。
(まあ多分共分散のけいさんが間違えているのだろう。)

No.90280 - 2025/05/22(Thu) 17:07:03
一次関数 / 数弱中3
以下の問題の解き方が分かりません。
答えは、A(7,10)です

No.90265 - 2025/05/16(Fri) 10:03:12

Re: 一次関数 / X
A(x,y)とすると、中点の座標について
(x-3)/2=2 (A)
(y+2)/2=6 (B)
(A)(B)より
(x,y)=(7,10)
よってA(7,10)

No.90266 - 2025/05/16(Fri) 17:50:42
以下のフォームに記事No.と投稿時のパスワードを入力すれば
投稿後に記事の編集や削除が行えます。
300/300件 [ ページ : << 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 >> | 過去ログ | 画像リスト ]