0801047

ヨッシーの八方掲示板(小中高の算数・数学 質問掲示板)

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

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質問される方は学年(質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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イプシロンデルタ / プレジョン1
写真の問題についてですが、なぜ赤線部のように
|x0-1|<min{δ,1/2}と考えるのでしょうか?どのように考えればmin{δ,1/2}という考えに至るのでしょうか?また、x0と置き直して?考えているのもよくわからないです。また青線部の条件でδ>0と書いてあることから赤線部のところを|x0-1|<δとして考えるのはダメなのでしょうか?うまく説明できずすみません。
解説おねがいします。

https://d.kuku.lu/wfk7z6axs

No.87981 - 2024/05/02(Thu) 22:17:59

Re: イプシロンデルタ / ポテトフライ
関数f(x)が区間I上の点aで連続であることの定義は理解しているものとします.

>なぜ赤線部のように|x0-1|<min{δ,1/2}と考えるのでしょうか?どのように考えればmin{δ,1/2}という考えに至るのでしょうか?

ここの解説で言いたいことは
lim[x \to 1]F(x)=4であることはおかしい
ということです.

しかし今は「lim[x \to 1]F(x)=4である」としているので定義により
ε=1/2に対して,あるδ>0が存在して|x-1|<δならば|F(x)-4|<1/2・・・(※)
であることが言えいます.
そのためxを極限を取りたい1の近く(この場合は|x-1|<1/2となるようなx)にしても|F(x)-4|<1/2が成立しなければいけません.

しかし下の方の計算を見れば
|F(x)-4|>=-|x-1|+1
であることは常に言えます.このときのxは|x-1|<1/2となるようなxを選んでいるので
|F(x)-4|>=-|x-1|+1>-1/2+1=1/2
となってしまい,(※)に反します.

すなわち|x-1|<min{δ,1/2}であるようなxについては
|F(x)-4|<1/2
|F(x)-4|>=1/2
という相反する状況が起こってしまう.ということを言っています.


>また、x0と置き直して?考えているのもよくわからないです。

ここはそこまで深い意味はないと思います.強いて言えば|x_0-1|<1/2となる特別な点について議論していることを強調しているのでしょう.


>また青線部の条件でδ>0と書いてあることから赤線部のところを|x0-1|<δとして考えるのはダメなのでしょうか?

|x_0-1|<δだけでは相反することまで言えないのでダメです.

No.87989 - 2024/05/03(Fri) 17:01:38
式変形 / ゆっこ
こちらの式変形はどう行なっているのでしょうか?
No.87977 - 2024/05/02(Thu) 01:38:21

Re: 式変形 / ヨッシー
1行目から2行目について
√8 が 2√2 になるのは良いですよね?

長い√ の中は公式
√(a+b−√ab)=√a−√b (ただし a≧b)
を使っています。
足して 2a^2+3、掛けて 2a^2+2 になる数として、
2a^2+2 と 1 を設定し、2a^2+2>1 なので、
 √(2a^2+2)−1
となります。

あとは、√(2a^2+2)=√2√(a^2+1) にしたりとかは、
よろしいかと思います。

No.87978 - 2024/05/02(Thu) 09:26:28
数学 / 磁石
(4)がわかりません。2乗でまとめるところまではわかるのですが、
そこからがわかりません。
解説よろしくお願いします。

No.87971 - 2024/04/30(Tue) 00:41:38

Re: 数学 / 磁石
答えです
No.87972 - 2024/04/30(Tue) 00:42:33

Re: 数学 / X
添付写真2枚目の(4)の2行目において
b-c=t
と置いてみましょう。

No.87973 - 2024/04/30(Tue) 01:34:29
(No Subject) / 独ソ不可侵条約
方針だけでも教えてください!
No.87967 - 2024/04/29(Mon) 11:53:27

Re: / らすかる
a[n+1]=(9a[n]+1)/(a[n]+9)
a[n+1]+1=(9a[n]+1)/(a[n]+9)+1
a[n+1]+1={(9a[n]+1)+(a[n]+9)}/(a[n]+9)
a[n+1]+1=(10a[n]+10)/(a[n]+9)
a[n+1]+1=10(a[n]+1)/(a[n]+9)
1/(a[n+1]+1)=(a[n]+9)/{10(a[n]+1)}
10/(a[n+1]+1)=(a[n]+9)/(a[n]+1)
10/(a[n+1]+1)={(a[n]+1)+8}/(a[n]+1)
10/(a[n+1]+1)=8/(a[n]+1)+1
b[n]=1/(a[n]+1)とおくと
10b[n+1]=8b[n]+1
また b[1]=1/(2+1)=1/3
この漸化式を解いて
b[n]=1/2-(1/6)(4/5)^(n-1)
b[n]=1/(a[n]+1)をa[n]の式に変形して
b[n]の式を代入して整理すると
a[n]=6/{3-(4/5)^(n-1)}-1

No.87968 - 2024/04/29(Mon) 13:10:52

Re: / ast
大学初年度級の線型代数の知識があれば, ((9,1);(1,9))^(n-1)(2;1) = (x[n];y[n]) のとき a[n]=x[n]/y[n] と行列の冪の計算として機械的に求められます (ここで "," および ";" はそれぞれ要素を横および縦に並べることを意味する区切りとします.).
# 実際に実行すると a[n]=(12*5^n+5*4^n)/(12*5^n-5*4^n) になるかな
# (見かけはともかく, らすかるさんの結果と一致すると思います).

## きちんと述べるなら:
## [x:y]:={(λx,λy)| λは0でない実数} と書くとき, y≠0 ならば [x:y]=[x/y:1] に注意して
## 射影直線 P:={[x:y] | x,y は実数} に x→[x:1] で実数全体 R を埋め込んで,
## さらに 2×2行列を ((a,b);(c,d))).[x:y] := [ax+by:cx+dy] で作用させます.
## このとき, もとの漸化式は [a[n+1]:1]=[(9a[n]+1):a[n]+9]=((9,1);(1,9)).[a[n]:1] と表せるので……,
## というような背景を埋めていく必要はありますが.

No.87969 - 2024/04/29(Mon) 18:44:13

Re: / 独ソ不可侵条約
らすかるさん・astさん
ありがとうございました。行列はちょっとわからないです...ごめんなさい...

No.87976 - 2024/05/01(Wed) 19:37:31
テイラー公式・ランダウ記号 / あまま
以下の赤線の部分の変形がわかりません
どなたか教えて欲しいです

No.87957 - 2024/04/28(Sun) 14:15:35

Re: テイラー公式・ランダウ記号 / IT
完全に検証してませんが、下記のベストアンサーが参考になるのでは? 私は[2]を思いつきました。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11183876251

No.87966 - 2024/04/29(Mon) 09:25:21
極限内に積分 / しのつか
画像の問題を解きたいのですが、答えにたどり着けません。答えは1/eのようです。
どこで私は積分を間違えてしまったのでしょうか。
それとも、そもそもはじめから解く方針が変だったのでしょうか。1時間くらい格闘したのですが、私一人では太刀打ちできそうにないので質問しました。
よろしくお願いいたします。

No.87955 - 2024/04/28(Sun) 11:59:43

Re: 極限内に積分 / らすかる
最初の(e^(-x^2)/(-2x))'が正しくないと思います。
No.87956 - 2024/04/28(Sun) 12:09:16

Re: 極限内に積分 / しのつか
よく考えたらいきなり失敗してますね。調べたら高校範囲では無理なようで。
友人から誕生日プレゼントにもらった問題なのですが、仕方なくその友人からヒントをもらおうと思います。
返信ありがとうございました。

No.87958 - 2024/04/28(Sun) 15:55:19
(No Subject) / bill
整数問題(高3)

a^b・b^a=c^(ab)
を満たす整数(a,b,c)の組は全部でX個あり、そのうちa+B+Cの最大値はYである。

XとYを求めよ

という問題が分かりません。
a,b,cの偶奇を考えるのかなと思っていますが詰まっているのでどなたか教えていただきたいです

No.87951 - 2024/04/27(Sat) 23:25:41

Re: / らすかる
問題は正しいですか?
その条件を満たす整数の組は無限個ありますので、Xは求まりません。
任意の自然数nに対し
(a,b,c)=(n,-n,(-1)^n)
とすれば成り立ちます。

No.87952 - 2024/04/28(Sun) 00:56:42

Re: / bill
申し訳ございません、
「整数(a,b,c)」は「正の整数(a,b,c)の誤りでした

No.87953 - 2024/04/28(Sun) 08:38:47

Re: / らすかる
与式を変形して
a^(1/a)・b^(1/b)=c
f(x)=x^(1/x)として増減を調べると
f(x)はx=eのとき最大値e^(1/e)をとり
f(2)=f(4)=√2となるから、xが自然数の場合のf(x)の大小関係は
f(1)<f(2)<f(3)>f(4)>f(5)>・・・
となる。
よってa^(1/a),b^(1/b)の最大値はf(3)=3^(1/3)なので
a^(1/a)・b^(1/b)の最大値は3^(2/3)
従ってc≦2
c=1の場合
与式の左辺が1になるためにはa=b=1でなければならない。
(a,b,c)=(1,1,1)のとき与式は成り立つ。
c=2の場合
与式の右辺の素因数が2のみなので、左辺の素因数も2のみ、すなわち
a=2^m, b=2^n(m,nは非負整数)でなければならない。
代入して整理すると
m/2^m+n/2^n=1
g(x)=x/2^xとして増減を調べると
g(x)はx=1/log2のとき最大値1/(elog2)をとり
g(1)=1/2,g(2)=1/2となるから、xが非負整数の場合のf(x)の大小関係は
g(0)<g(1)=g(2)>g(3)>g(4)>・・・
となる。
よってm/2^m,n/2^nの最大値はg(1)=g(2)=1/2なので、
m/2^m+n/2^n=1が成り立つためにはmもnも1か2でなければならない。
このときaとbは2か4。
∴(a,b,c)=(2,2,2),(2,4,2),(4,2,2),(4,4,2)
従って条件を満たす解は
(a,b,c)=(1,1,1),(2,2,2),(2,4,2),(4,2,2),(4,4,2)
の5個ですべてなので、X=5, Y=10。

No.87954 - 2024/04/28(Sun) 09:27:00

Re: / bill
回答ありがとうございます。
数3の知識っていろんなとこで使えるんだなと勉強になりました。ありがとうございmした。

No.87959 - 2024/04/28(Sun) 17:14:40
存在範囲 / ゆゆ
なぜBの存在範囲を考える必要がないのでしょうか?
No.87949 - 2024/04/27(Sat) 22:27:40

Re: 存在範囲 / ゆゆ
続きです。
No.87950 - 2024/04/27(Sat) 22:28:11

Re: 存在範囲 / X
模範解答も添付して頂かないと、添付写真2枚目の
内容が正しいかどうか回答しかねます。

No.87960 - 2024/04/28(Sun) 18:39:12

Re: 存在範囲 / ゆゆ
すみません、こちらです。
No.87962 - 2024/04/28(Sun) 21:28:04

Re: 存在範囲 / ゆゆ
続きです
No.87963 - 2024/04/28(Sun) 21:29:33

Re: 存在範囲 / ゆゆ
続きです。
No.87964 - 2024/04/28(Sun) 21:30:36

Re: 存在範囲 / ゆゆ
続きです.
No.87965 - 2024/04/28(Sun) 21:31:22

Re: 存在範囲 / 黄桃
その解説にある通りですが、もう少し説明してみます。

Q-B-A の順になる場合があれば、
AB=QA-QB
になるし、
Bのy座標qが2より大きくなる場合があれば
BC=q-2
となります。
だから、
(*)3点Q,A,Bは Q-A-B の順に並ぶ
(**)Bのy座標qはCのy座標2以下である
の2点をきちんといわなければなりません。

解答では、(*)を図で説明し、(**)を、qの範囲が0≦q≦√2 (<2)であること(Bの存在範囲はy=(√2/8)x^2のグラフで x≧0で、y座標qが0以上√2以下の部分、ということ)により説明しています。

(**)の部分は、QAの傾きの最大値はa=1の時の0であり、したがって、Cのy座標2はBのy座標qよりも大きい、と説明してもよく、
こうすれば、具体的にq≦√2をいう(Bの存在範囲を明確にする)必要はありません。

他にも、Aの取りうる範囲((a,√(a^2+1)) (0≦a≦1))は
y=2とy=(√2/8)x^2 で囲まれた範囲の内部にあり、半直線QAは、y=(√2/8)x^2 のx≧0 の部分と交わる
と説明できれば(Bの存在範囲を示さずに)(*)も(**)もいえたことになるでしょう。

こうした方法でもよい、と解答はいっています。

No.87970 - 2024/04/29(Mon) 18:48:14

Re: 存在範囲 / ゆゆ
ありがとうございます。追加でお聞きしたいのですが、なぜアスタリスクのように言えるのでしょうか?
No.87974 - 2024/04/30(Tue) 02:57:42

Re: 存在範囲 / X
条件から、点A,Bが直線y=mx+n上にあると考えます。
今、点A,Bのx座標をそれぞれα、βとすると
A(α,mα+n),B(β,mβ+n)
∴AB=√{(β-α)^2+{(mβ+n)-(mα+n)}^2}
=√{(β-α)^2+(mβ-mα)^2}
=√{(1+m^2)(β-α)^2}
=|β-α|√(m^2+1)
=|(A,Bのx座標の差)|√(m^2+1)

No.87975 - 2024/04/30(Tue) 14:44:09
確率 / Nick
(4)を教えてください
No.87948 - 2024/04/27(Sat) 14:48:28
乱筆失礼します / かなで
3から7までの数字が書かれたカードがそれぞれ一枚ずつある。この5枚のカードの中から同時に3枚取り出し、数字を見ないでカードを1列に並べる。 この時、並べてできる3桁の整数が3の倍数になる確率を求めよ。

この組み合わせが4組?あるというところまではわかったのですが、見落としがありそうで心配です。
確実に漏らさず組み合わせの数を見つけるコツがありましたらご教示いただきたいです。

No.87943 - 2024/04/26(Fri) 22:47:45

Re: 乱筆失礼します / IT
この問題に限って言えば、残りの2枚の組合わせについて、表にして考えた方が良いかも知れません。
No.87944 - 2024/04/26(Fri) 23:04:44
大学生です / かなで
この問題の解き方を教えてくださいませんか。
答えは4cmらしいです

No.87942 - 2024/04/26(Fri) 22:37:58

Re: 大学生です / X
まず△ACEにおいて辺CEを底辺と見ると、条件から
CE=(1/5)BC=3[cm]
となるので
BE=BC-CE=12[cm] (A)

添付写真の図において、鉛筆書きで点Fが
定義されているので、そのまま使わせて
もらうことにすると、
△BEF,△DEFにおいて辺BE,DEをそれぞれ
底辺としてみることにより
DE=(1/3)BE (B)
(B)に(A)を代入して
DE=4[cm]

No.87947 - 2024/04/27(Sat) 11:04:20
(No Subject) / あ
nΣk=1 1/k(k+2)です。
すみません。

No.87924 - 2024/04/26(Fri) 05:02:05
隣の項の消えないシグマの部分分数分解について / あ
n 1
Σ ーーー
k=1 k(k+2)

を部分分数分解して


1 1 1
ー (ーーー - ーーー)となり、
2 k k+2

1から代入していくと隣の項ずつ消えず、一つ飛ばしで消えていきますが、最終的にそれを一般項として扱えるのかどうしても理解できません。

その公式に、1、や2を代入した時にもちゃんと成立するのは分かります。ですが、なぜ一個飛ばしで変形という形で求めた一般項が1、2を入れてもちゃんと成立できてしまうのか、分からないのです。このような場合の部分分数分解の理解においてどこか大事な部分を見落としているような気がします。

分かりづらい説明で申し訳ございません。

No.87923 - 2024/04/26(Fri) 04:59:16

Re: 隣の項の消えないシグマの部分分数分解について / あ
訂正

最終的にそれを一般項として扱えるのかどうしても理解できません。

->

最終的にどうしてそれを一般項として扱えるのか

その公式に -> その一般項に



何度もすみません。

No.87925 - 2024/04/26(Fri) 05:09:28

Re: 隣の項の消えないシグマの部分分数分解について / ast
疑問のありかがよくわからないのですが, Σ-記法を用いずに "+" だけで書くとどんな項が出てきて, どの項とどの項がどのように打ち消し合うのか, それを具体的に書き下せますか? あるいは書き下したとして,
  Σ_[k=1,…,n] (1/2)(1/k-1/(k+2)) = (1/2)((1/1-1/3)+(1/2-1/4)+…+(1/n-1/(n+2))
  = (1/2)(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+……+1/n)
   -(1/2)(    1/3+1/4+1/5+……+1/n+1/(n+1)+1/(n+2))
  = (1/2)(1/1+1/2 - (1/(n+1)+1/(n+2)))
の具体的にどの項があなたがおかしいと感じる部分ですか?

# (具体的過ぎる例では余計な要素が見えすぎて気を逸らしてしかねないので) もう少し抽象化するけれど,
少なくとも
 (i): 数列 {a[n]} が別の数列 {α[n]} を使って a[n]=α[n]-α[n+1] と書けるならば
    Σ_[k=1,…,n] a[n] = α[1] - α[n+1].

であることが本当にわかっているのであれば, 一般に

 (ii): 数列 {b[n]} が別の数列 {β[n]} を使って b[n]=β[n]-β[n+2] と書けるならば
    Σ_[k=1,…,n] b[n] = (β[1]+β[2]) - (β[n+1]+β[n+2]),
 (iii): 数列 {c[n]} が別の数列 {γ[n]} を使って c[n]=γ[n]-γ[n+3] と書けるならば
    Σ_[k=1,…,n] c[n] = (γ[1]+γ[2]+γ[3]) - (γ[n+1]+γ[n+2]+γ[n+3]),
 (iv): 数列 {d[n]} が別の数列 {δ[n]} を使って d[n]=δ[n]-δ[n+4] と書けるならば
    Σ_[k=1,…,n] d[n] = (δ[1]+δ[2]+δ[3]+δ[4]) - (δ[n+1]+δ[n+2]+δ[n+3]+δ[n+4]),
 …… etc.

もすべて全く同じ理屈 (何と何とがどう打ち消し合っていて, 何が残るのか) で言えること
# むろん, 本問においては,
# a[n]=1/(n(n+1)), b[n]=1/(n(n+2)), c[n]=1/(n(n+3)), d[n]=1/(n(n+4)), ……
# α[n]=1/n, β[n]=(1/2)(1/n), γ[n]=(1/3)(1/n), δ[n]=(1/4)(1/n), ……
# だと思って読めばよいが.
なので, こちらとしてまず気になることは
> 隣の項ずつ消え
の場合 (つまり (i)) もそもそもきちんと理解していないのでは, というところですね.
# (i) では "隣り合う項を k を 1 ずつ増やしながら消していく" ところ, 例えば
# (ii) では "打ち消し合う項は「一つ飛ばし」だが, そのために辿る k は 1 ずつ増えることに変わりない"
# といったあたりで,
# 例えば「一つ飛ばし」などの標語的な言葉に安直に流れて, 複数の異なる要素に妙な混同をするような
# 自縄自縛に陥らずに, 既知の例をきちんと敷衍できるかというようなところまでいって
# ようやくここで私が言うところの「きちんと理解」の範疇といえるところかと.

> それを一般項として扱える
は意味が分かりません, 単に (k=1 から k=n までの) 和を計算する (と n が残る) だけで一般項もくそも別段かかわりない話ではないですか?
# つまり, もし仮に「数列 {a[n]} から S[n]=a[1]+a[2]+…+a[n] で新しい数列 {S[n]} を作ったら
# {S[n]} の一般項 S[n] が n の式になった」という話なのであれば, そらあたりまえだろう, と.

No.87927 - 2024/04/26(Fri) 10:51:05

Re: 隣の項の消えないシグマの部分分数分解について / ast
あと, "部分分数分解" は (和をとる Σ とは無関係に) 本問で言うと 1/(k(k+2))=(1/k-1/(k+2))/2 を得る部分のことで, (Σ に関係して) つぎつぎ打ち消し合う操作 (本問の Σ_[k=1,…,n] 1/(k(k+2)) = (1/1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2))/2 を得る部分) のことは "畳み込み (telescoping)" と言います.
# 全く別の意味を持つ「畳み込み」という数学用語もある (こちらは英語では convolution) ので注意.

No.87928 - 2024/04/26(Fri) 11:10:15

Re: 隣の項の消えないシグマの部分分数分解について / あ
せっかく回答していただいたのに、まだ完璧には教えていただいたことを、汲み取れていない気がします。

そもそもn番目までの和を求める、と言われている問題では、どんな正の整数を当てはめても、和の一般項として働くものを求めよ、と言われていると思っていたのですが、そうではないのですか?

あくまでn番目というものを考えるからこの変形をしてもいいのでしょうか

1/2(1/1-1/3 + 1/2-1/4 + 1/3-1/5 + 1/4-1/6...
+1/n-1 - 1/n+1 + 1/n - 1/n+2)となって、
1/2(1/1 + 1/2 -1/n+1 - 1/n+2)と畳み込み?されますが、この最初の1/1-1/3 + 1/2-1/4 で、1/1 + 1/2が残るのは分かるのですが、だとしてもそれを使って一般項(私の解釈ではどんな正の整数を入れても和を作ってくれるもの)求められるのが分からないのです。というのも、1/1-1/3 で1を入れた時、1/1-1/3 + 1/2-1/4で2番目、1/1-1/3 + 1/2-1/4 + 1/3-1/5で3番目(ここから打ち消しが始まる)となりますが、以降n番目まで打ち消し...ですがこれで求めた一般項に1、2を再び代入しても成立することに物凄く違和感を感じます。

No.87931 - 2024/04/26(Fri) 12:34:52

Re: 隣の項の消えないシグマの部分分数分解について / あ
  Σ_[k=1,…,n] (1/2)(1/k-1/(k+2)) = (1/2)((1/1-1/3)+(1/2-1/4)+…+(1/n-1/(n+2))
  = (1/2)(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+……+1/n)
   -(1/2)(    1/3+1/4+1/5+……+1/n+1/(n+1)+1/(n+2))
  = (1/2)(1/1+1/2 - (1/(n+1)+1/(n+2)))

この整理された変形を見て、少しずつ分かってきた気がします。ast様の言う通り、自分でも(i)をしっかり消化できてないのだと思ってきました。

No.87932 - 2024/04/26(Fri) 13:01:46

Re: 隣の項の消えないシグマの部分分数分解について / ast
## 書いてる途中で返答があったようなので齟齬はあるだろうけれどそのままレスします:

# これはそもそも「Σ を何だと捉えている」と問うべきだろうか?
n=1,2 のときの和
 Σ_[k=1] (1/2)(1/k-1/(k+2)) = (1/2)(1/1-1/3)
 Σ_[k=1,2] (1/2)(1/k-1/(k+2)) = (1/2)((1/1-1/3)+(1/2-1/4)

にどんな「物凄い違和感」があるのかなるべく具体的に説明してみてくれますか? あるいは
 Σ_[k=1,2,3] (1/2)(1/k-1/(k+2)) = (1/2)((1/1-1/3)+(1/2-1/4)+(1/3-1/5)),
 Σ_[k=1,2,3,4] (1/2)(1/k-1/(k+2)) = (1/2)((1/1-1/3)+(1/2-1/4)+(1/3-1/5)+(1/4-1/5)),
 ……
 Σ_[k=1,2,…,m] (1/2)(1/k-1/(k+2)) = (1/2)((1/1-1/3)+(1/2-1/4)+…+(1/m-1/(m+2)), (ただし m は 1<m<n)
 Σ_[k=1,2,…,n] (1/2)(1/k-1/(k+2)) = (1/2)((1/1-1/3)+(1/2-1/4)+…+(1/n-1/(n+2))
とすべて書き並べた場合, 物凄い違和感はどこかで薄れますか? もしくはどこまで物凄い違和感を覚えますか?
違和感が残るのであれば具体的にそれはどのような違和感ですか?

> そもそもn番目までの和を求める、と言われている問題では、
そういう問題において「n は (任意の値の) 定数」(n の具体的な値を解答者は知ることはできないが, 問題の最初から最後まで同じ一つの値であり続けるもの) ですよ.
# それでたとえ出題者が n がどんな値だと開示しても, それで正解不正解が変わったりしない答案を
# 文字のまま n を使って書くというのが趣旨.
## そしてそれは「一般項」(n が自然数値を亘る変数) の話ではない.

No.87933 - 2024/04/26(Fri) 13:11:12

Re: 隣の項の消えないシグマの部分分数分解について / あ
Σを+に直させることと自体は分かります。

Σの下は最初に入れる数、上は最後に入れる数。

最初に入れた数から最後に入れた数を一つずつ一般項に入れたものの和を出すのですよね。

しかしなんとなく、我ながらn項目を求めるということに対する理解が甘い気がします。

No.87934 - 2024/04/26(Fri) 13:14:31

Re: 隣の項の消えないシグマの部分分数分解について / あ
> # これはそもそも「Σ を何だと捉えている」と問うべきだろうか?
> n=1,2 のときの和
>  Σ_[k=1] (1/2)(1/k-1/(k+2)) = (1/2)(1/1-1/3)
>  Σ_[k=1,2] (1/2)(1/k-1/(k+2)) = (1/2)((1/1-1/3)+(1/2-1/4)
>
> にどんな「物凄い違和感」があるのかなるべく具体的に説明してみてくれますか? あるいは
>  Σ_[k=1,2,3] (1/2)(1/k-1/(k+2)) = (1/2)((1/1-1/3)+(1/2-1/4)+(1/3-1/5)),
>  Σ_[k=1,2,3,4] (1/2)(1/k-1/(k+2)) = (1/2)((1/1-1/3)+(1/2-1/4)+(1/3-1/5)+(1/4-1/5)),
>  ……
>  Σ_[k=1,2,…,m] (1/2)(1/k-1/(k+2)) = (1/2)((1/1-1/3)+(1/2-1/4)+…+(1/m-1/(m+2)), (ただし m は 1<m<n)
>  Σ_[k=1,2,…,n] (1/2)(1/k-1/(k+2)) = (1/2)((1/1-1/3)+(1/2-1/4)+…+(1/n-1/(n+2))
> とすべて書き並べた場合, 物凄い違和感はどこかで薄れますか? もしくはどこまで物凄い違和感を覚えますか?
> 違和感が残るのであれば具体的にそれはどのような違和感ですか?
>


いえ、こう見ると物凄く分かります。
1を入れても、成立している。
2を入れても、成立している。
3を入れても、成立している。

これを見ると隣り合う項ずつ消えるかどうかは、どうでもいいことなのだと思います。
上手く言えないことが悔しいのですが、
強いて言えば、なぜ成立するのか、ということを言いたいのかもしれません。痒いところに手が届かないような感じです。

> > そもそもn番目までの和を求める、と言われている問題では、
> そういう問題において「n は (任意の値の) 定数」(n の具体的な値を解答者は知ることはできないが, 問題の最初から最後まで同じ一つの値であり続けるもの) ですよ.
> # それでたとえ出題者が n がどんな値だと開示しても, それで正解不正解が変わったりしない答案を
> # 文字のまま n を使って書くというのが趣旨.
> ## そしてそれは「一般項」(n が自然数値を亘る変数) の話ではない.


ありがとうございます。ここは理解できました。

No.87936 - 2024/04/26(Fri) 13:24:36

Re: 隣の項の消えないシグマの部分分数分解について / あ
ああああ!!理解出来ました!!!

ありがとうございました!!!

No.87937 - 2024/04/26(Fri) 13:56:55

Re: 隣の項の消えないシグマの部分分数分解について / あ
ちゃんと過程を理解していなかっただけでした!本当に助かりました!

こんなに分かりやすく見せていただいてなかったら、分かってなかったと思います!

No.87938 - 2024/04/26(Fri) 13:59:21

Re: 隣の項の消えないシグマの部分分数分解について / ast
### もう解決したようで蛇足になりますが, せっかくなので書いていた補足を投げておきます.

# 何となく想定していた内容はあって, だいぶ近い返答まで来たので,
# 当初の想定でよかったのだろうなとは思ってはいるが……
しかし例えば n=2 のときの等式 "(1/1-1/3)+(1/2-1/4)=(1/1+1/2)-(1/3-1/4)" は一般の
 "(1/1-1/3)+…+(1/n-1/(n+2))=(1/1+1/2)-(1/(n+1)+1/(n+2))"
に n=2 を代入したものと (特に右辺の形までくれば項の数まで過不足なく) まったく一致するので, n=1,2 がともに疑問だということになぜなのだろうかと足踏みしていました.
n=1 のときは「たまたま一致する」という認識でもいいのではと回答しようと思っていたからです.
# ただもちろん, n=1 のときは, 等式に代入する時点で右辺は 1/2 と -1/(n+1) が同じ項 (だから打ち消し) で
# "(1/1+1/2)-(1/(n+1)+1/(n+2))=1/1-1/3" になるので,
# また左辺 (1/1-1/3)+…+(1/n-1/(n+2)) のほうは項がたくさんあるように見えて
# 1/n-1/(n+2) =1/1-1/3 の一つがあるだけなので, 一致するのは必然なのだけれど,
# これを例えば通分して (n(3n+5))/(2(n+1)(n+2)) のような閉じた式でかいてあると
# 「式の内部で足し引き打ち消し合ってる」というような感覚は持ちづらいのもわかるという意図です.
## まあ部分和の話で "n=1 だけ例外" みたいなのはよく見かけるものではありますし.

"…" とか Σ とかでは, こういう「別のところにあるように見えて実は実体が同じ」とか, 「見かけ上あるように見えて実は存在しない虚像」とかそういう "記号の妙" があるので, そのへんは場合によっては好みの問題などで済ませるところではないか, という話を想定していたというところです.

No.87939 - 2024/04/26(Fri) 14:12:03

Re: 隣の項の消えないシグマの部分分数分解について / あ
補足読みました。
最終的に辿り着いた解釈が間違っていないようで安心しました!もっと精進します!

No.87940 - 2024/04/26(Fri) 14:55:10
イプシロンエヌ論法 / プレジョン1
イプシロンエヌ論法についてですが、
写真の問題の青全部についてですが、なぜεの範囲を0<ε<2として考えてよいのでしょうか?確かに極限を求める上では写真にも書かれている通りεは限りなく0に近づけることからεの範囲を絞っても問題ないように思えるのですが、εの範囲を絞ることはイプシロンエヌ論法の定義の「任意(全て)のε>0に対して…」と書かれていることに矛盾するのでは?と思いました。なぜεの範囲を定めてよいのかの解説おねがいします。

No.87921 - 2024/04/25(Thu) 23:27:34

Re: イプシロンエヌ論法 / ast
2≤ε のとき任意の自然数 n に対して 2/(n^2+1)<2≤ε」は自明だから, 問題においてクリティカルなのが 0<ε<2 のときだという話でしょう? これを「範囲を絞った」と表現してもそれはべつに構わないこととは思うが, それを "任意の ε>0 に対し" という原則を破壊するものかのような意図で用いると主張するのであればそれは曲解というべきです.
No.87922 - 2024/04/26(Fri) 00:13:41

Re: イプシロンエヌ論法 / WIZ
そもそも、n^2 > 2/ε-1 ⇒ n > √(2/ε-1)などという変形をしているから
2/ε-1 ≧ 0つまりε≦ 2という条件が必要となり、εの値により場合分け発生しています。

n^2 > |2/ε-1| ≧ 2/ε-1 ⇒ n > √|2/ε-1|
となるようにnを選べば、εの値による場合分けは必要ありませんよね?
それと、上記の記号はnではなくNを使うべきだったと思います。
# 本の解説に文句言っても仕方ないけど。

No.87926 - 2024/04/26(Fri) 10:37:21

Re: イプシロンエヌ論法 / ast
「そもそも論」で言うなら, "ε を大きくとる" ということは "N に対する制約を緩くする" こと (「N に対する制約」というのは "N を十分大きくとる必要がある" ということで, それを緩めるというのは "N は存外小さくとれる" ということ) です.
だから,「"ε をどれほど小さくしてもいい" ことが言えている場面」に至って「ε が大きいときを無視しているのだ」と捉えるのは論法を理解してない何よりの証拠, 本来ならば「したがって, "大きい ε に関しては言わずもがな" であるはずの場面」と認識できなければ.

No.87929 - 2024/04/26(Fri) 11:28:37

Re: イプシロンエヌ論法 / WIZ
astさんのNo.87929の書き込みが私のNo.87926への反論なのかは分かりませんが、
私が「そもそも」を使ったのはεの値で場合分けしなくても済む論理展開ができるということを言いたかったからです。
質問者さんの疑問は、「本ではε< 2の場合だけ解説されていて、任意の正の実数εで成り立つ論理展開になっていない」
点であると思ったからです。

あと、ε-N論法ではεに対してNが存在することが示せれば良い訳で、
Nの値を求めたり、εに対してより小さなNが存在するとか、その様なNが選択できる論理があるとかは関係ないですよね?

私が何か勘違いしていたら申し訳ありません。

No.87935 - 2024/04/26(Fri) 13:16:45

Re: イプシロンエヌ論法 / ast
> 質問者さんの疑問は、「本ではε< 2の場合だけ解説されていて、任意の正の実数εで成り立つ論理展開になっていない」
> 点であると思ったからです。


には同意で, No.87929 は「そもそも」に便乗した補足 (一つの式を無理に使い回さずとも単に大きい ε には N=1 でいいってだけだよね, という話) のつもりだったのだけれど, No.87935 を読む限りだとWIZさんは論理というより式(√の)計算上の都合の排除のほうを優先したというほうが近いようにも読めるので, そうだとしたらある種「反論」のようなものになっていたのかもしれないと感じました. 気に障ったのならすみません.
# いくらNは存在さえすればどんな値でもよいと言っても,
# (この場合は No.87926 のように絶対値を付けても影響はないが)
# 安易に符号だけ変えればよいとすると論理的には除く必要のないものも除く前提で考えてしまうことになりかねないし,
# 除かれたのが偶然なのか必然なのか, 質問者が判断できないのは潜在的な危険を生みかねないと思います.

## |a[n]-1|<ε は a[n] が (先の方では) "1 の近くにある" という定性的な話を
## (n≥N では) "1 の ε-近傍にある" という定量的な話として述べるものなので,
## ε と N との量的関係 (何がどのくらい制約されるか) をどうでもいいものみたいな方向性で見てしまうのは
## ε-N 論法の根幹を損なうと思っている.
### (これは特定の値に拘らなくていいという意味での「どうでもいい」ではない.)

No.87941 - 2024/04/26(Fri) 15:06:57

Re: イプシロンエヌ論法 / 黄桃
下も含めて教えて!gooとのマルチポストで、質問に対する答は出そろっていると思います。そこで、こういう疑問が出る背景を考察してみます。

私は、
高校までの数学では必要十分条件を求めていく、という問題ばかりなのに、ここでは(εに対する)Nの十分条件を求める問題である
ことが大きな理由だと思います。
つまり、この問題なら、
ε>0 を与えて |a[n]-1|<ε となるようなnは何か?
ととらえ、これを必要十分条件で解いて、その答の中で n>N ならOKとなる(ギリギリの)Nを探す、
というような発想になってしまうのです(この参考書の解答は、高校数学に合わせているのか、この発想に近い;だから複雑な式になるとお手上げだと思う)。
この解法だと|a[n]-1|<1をみたすnと|a[n]-1|<2 をみたすnは一般には違うので、必要十分となるNが違うはずなのに、ε<2の場合だけ扱うのは変だ、という感覚になるのでしょう。

実際は、
ε>0 を与えると nがとても大きければその先は必ず |a[n]-1|<ε となることを示せ。
という問題なので、例えば、 「n>10 ⇔ |a[n]-1|<ε」だったとしても、それを n>10000 ならば |a[n]-1[<εとしてもいいという考え方ができないのでしょう。
別の言い方をすれば、εに応じて決まるNは、無限にある(1つあれば、それより大きいものは全部OK)というのが理解できてない(答は1つという信念がある)。

#こうした解法を載せる参考書は、何も苦労してギリギリのNにしなくてもいい、
#という注釈も加える必要があるのでは?と外野は思う。

ここで質問されているεについても同様で1つあればそれより大きいεについてはOKと気づけよ、と皆さん言及されているわけですが、発想の転換が必要なので、これで質問者は腑に落ちたかどうか、ちょっと興味があります。

No.87945 - 2024/04/27(Sat) 05:32:52
ε-N論法について / 某理系大学生
「an=(n-1)/(n+1)のときlim[n→∞]an=1」となることをε-N論法を使って示せ。という問題についてですが、写真の解説文の青線部の意味がわからないです。
なぜ「n≧Nとすれば|an-1|<εが成り立つ」ということが言えるのでしょうか?解説お願いします。

No.87919 - 2024/04/24(Wed) 10:56:38

Re: ε-N論法について / WIZ
解説が混乱させる記号の使い方をしていると思います。
「∴n > 2/ε-1が導ける」のnと、「n ≧ Nとすれば」のnは別物ですね。

ε-N論法だから、εに対してNが存在することを示せばよいのだから、

最初からNを自然数として、
|a[N]-1| = |(N-1)/(N+1)-1| = 2/(N+1) < ε
として、
N > 2/ε-1
を導き、

自然数nがn ≧ Nなら、
2/(n+1) ≦ 2/(N+1) < ε
⇒ 2/(n+1) = |(n-1)/(n+1)-1| = |a[n]-1| < ε
が成り立つ

・・・とする方が良かったかもしれません。

No.87920 - 2024/04/24(Wed) 16:49:15

Re: ε-N論法について / ast
# その本の「解説」が丁寧であるのかは確かに疑問は残るのかもしれないが……
そもそも, (試験で言うなら)「ここでは, |a[n]-1|<ε に〜 ∴n>2/ε-1 が導ける」の部分は "計算用紙には書くが答案には書かずあとで用紙ごとゴミ箱遺棄" する部分で, 答案にはそのあとの「どんなに小さな〜」の部分が書かれるべき本番 (ただし論理が繋がるように根拠 "n≥"N ならば |a[n]-1|<2/(n+1)≤2/(N+1)<ε とできる" を「計算用紙に書いた内容」から汲み上げる) という区別を持てるようになるべき, という話では? その意味では「解説」は決して不親切とまで言えるような類いのものではないだろうと感じます.
# 計算用紙に書く自分用のメモと考えると, そこで使う記号にまで細かい注文をつけるのは,
# むしろ奇異な話であるように思える.

No.87930 - 2024/04/26(Fri) 12:25:25
(No Subject) / aaa
x tan(x) = 1
の解を求めたいです

No.87915 - 2024/04/22(Mon) 13:03:27

Re: / らすかる
解析的には求められないと思います。
ニュートン法で数値的に解くと、0に近い解から順に
±0.86033358901937976248389342413766233341188436323765…,
±3.42561845948172814647771386218545617769640923939753…,
±6.43729817917194712036263985102563324532173417144797…,
±9.52933440536196360296847179433270425169576796951821…,
±12.64528722385664310384997064744045307818945852945339…,
±15.77128487481588204687190532017547318529283255038390…,
±18.90240995686002415082252702567346999018571450830619…,
±22.03649672793856508292481928715823329623406884020373…,
±25.17244632664666471360226933770435495671361332188284…,
±28.30964285445201236403998493296010302659083242352349…,
・・・
のようになります。解は無限個あります。

No.87916 - 2024/04/22(Mon) 14:19:40
(No Subject) / ぴよ
連続投稿すみません。解説がなくて、、
添付画像の解説をお願いします。
回答は2(e-1)になります。

No.87909 - 2024/04/21(Sun) 18:13:55

Re: / X
条件から
f[2](x)=x/(x-1)^2+2
f[3](x)=(x^2)/(x-1)^2+2x+3
f[4](x)=(x^3)/(x-1)^2+2x^2+3x+4

f[n](x)={x^(n-1)}/(x-1)^2+2x^(n-2)+3x^(n-3)+…+(n-1)x+n
={x^(n-1)}/(x-1)^2+Σ[k=2〜n]kx^(n-k)

∴f[n](e^(1/n))={e^(1-1/n)}/{e^(1/n)-1}^2
+Σ[k=2〜n]ke^{(n-k)/n}
となるので
f[n](e^(1/n))/n^2={e^(1-1/n)}・{(1/n)/{e^(1/n)-1}}^2
+(1/n)Σ[k=2〜n](k/n)e^(1-k/n)
={e^(1-1/n)}・{(1/n)/{e^(1/n)-1}}^2
+(1/n)Σ[k=1〜n](k/n)e^(1-k/n)-(1/n^2)e^(1-1/n)
∴g(x)=e^xと置くと
lim[n→∞]f[n](e^(1/n))/n^2=e/{g'(0)}^2+∫[0→1]{xe^(1-x)}dx
=e+[-xe^(1-x)][0→1]+∫[0→1]{e^(1-x)}dx
=e-1+(e-1)
=2(e-1)

No.87912 - 2024/04/21(Sun) 20:14:27

Re: / WIZ
> Xさん
計算間違い(漸化式の解釈誤り)をされています。

> f[2](x)=x/(x-1)^2+1
> f[3](x)=(x^2)/(x-1)^2+x+2
> f[4](x)=(x^3)/(x-1)^2+x^2+2x+3
> …
> f[n](x)={x^(n-1)}/(x-1)^2+x^(n-2)+2x^(n-3)+…+(n-2)x+n-1
> ={x^(n-1)}/(x-1)^2+Σ[k=1〜n-1]kx^(n-1-k)


nを正の整数とすれば、e^(1/n) > 1なので、x > 1の場合のみ考えて、x^0 = 1とします。
f[n](x) = x*f[n-1](x)+n, f[1] = 1/(x-1)^2なのだから、

f[2](x) = x/((x-1)^2)+2
f[3](x) = (x^2)/((x-1)^2)+2x+3
f[4](x) = (x^3)/((x-1)^2)+2x^2+3x+4

f[n](x) = (x^(n-1))/((x-1)^2)+2x^(n-2)+3x^(n-3)+…+(n-1)x+n
= (x^(n-1))/((x-1)^2)+Σ[k=2, n]{k(x^(n-k))}

以降の計算は精査していませんが、問題文と正解2(e-1)が正しいとすると、
間違った計算から正解に辿り着くとは考えにくいので、
以降の計算にも再度間違いがあり、偶然正解に一致してしまったのではないかと想像します。

失礼しました。

No.87913 - 2024/04/21(Sun) 23:32:21

Re: / WIZ
続きを計算してみました。

f[n](x)
= (x^(n-1))/((x-1)^2)-x^(n-1)+Σ[k=1, n]{k(x^(n-k))}
= (x^(n-1)){1/((x-1)^2)-1}+Σ[k=1, n]{k(x^(n-k))}
= (x^(n-1)){(2x-x^2)/((x-1)^2)}+Σ[k=1, n]{k(x^(n-k))}
= (x^n)(2-x)/((x-1)^2)+Σ[k=1, n]{k(x^(n-k))}

⇒ f[n](e^(1/n))
= (e)(2-e^(1/n))/((e^(1/n)-1)^2)+Σ[k=1, n]{k(e^(1-k/n))}

⇒ f[n](e^(1/n))/(n^2)
= (e)(2-e^(1/n))/{(n(e^(1/n)-1))^2}+(1/n)Σ[k=1, n]{(k/n)(e^(1-k/n))}

n→∞のとき、
n(e^(1/n)-1) = (e^(1/n)-1)/(1/n) = (-1/(n^2))(e^(1/n))/(-1/(n^2)) = 1

(1/n)Σ[k=1, n]{(k/n)(e^(1-k/n))} = ∫[0, 1]{t(e^(1-t))}dt
= e[-(1+t)e^(-t)]_[0, 1] = e{-2e(-1)+e^0} = e-2

以上から、
lim[n→∞]{f[n](e^(1/n))/(n^2)} = e(2-1)/(1^2)+(e-2) = 2(e-1)
となります。

No.87914 - 2024/04/22(Mon) 00:15:35

Re: / X
>>WIZさんへ
ご指摘ありがとうございます。

>>ぴよさんへ
ごめんなさい。WIZさんの仰る通りです。
漸化式の右辺の第二項の値を、nのつもりが
n-1として計算していました。
No.87912を直接修正しましたので
再度ご覧下さい。

No.87917 - 2024/04/22(Mon) 16:24:31
数列 / ぴよ
添付写真の蛍光ペンが引かれてる部分(2つ目と3つ目)の変形部分が分かりません。具体的にどのように式変形されているのでしょうか?
No.87908 - 2024/04/21(Sun) 17:09:44

Re: 数列 / X
(1)
b[n]={5^(-n)}(n+1)a[n]
と置くと、条件となる等式は
Σ[k=1〜n]b[k]=2(n+1/4)^2
ここから、まずb[n]を求めることを考えましょう。

(2)
単に式変形という意味であれば、(1)の結果から
a[n]={{5n-(n+1)}/{n(n+1)}}・5^n
={5/(n+1)}・5^n-(1/n)・5^n
={1/(n+1)}・5^(n+1)-(1/n)・5^n
と変形しています。
何故、こんな変形をしているかの理由を知りたいのであれば
ご質問の行の2行下の式を見てもう一度考えてみましょう。
(階差になっていますね。)

No.87910 - 2024/04/21(Sun) 18:49:09
高校数学 数列 / きりん
こんばんは。初めまして。高3生です。
添付ファイルの問題がわからないので、教えてください。まず、問題文の「すべての表の個数」という意味がよくわかりません。

お忙しいところ申し訳ありませんが、できれば1,2,3全ての解説をよろしくお願い致します。

No.87903 - 2024/04/20(Sat) 01:17:31

Re: 高校数学 数列 / X
>>すべての表の個数〜
例えばk=3のとき、問題の上部のような表で
考えられるのは
1,2,3
3,2,1
とか
5,4,3
2,8,6
といったように無数にありますよね。
そのように無数にある表のうち、
(i)(ii)(iii)を満たすものの個数をA[n.k]とする。
と言っています。

現在の高校数学の過程では学習範囲に入っていませんが
言葉を変えると、この問題ではA[n,k]の定義として

全ての成分が整数である2行k列の行列に対し
成分が(i)(ii)(iii)の条件を満たすものの個数
をA[n,k]とする

ということと同等のことを言っています。
(興味があれば、行列、というキーワードを
ネット検索してみて下さい。)

No.87904 - 2024/04/20(Sat) 07:44:03

Re: 高校数学 数列 / きりん
返信ありがとうございます!
大学受験に向けて、今までたくさん問題を解いてきましたが、今まで見たことの無い問題で戸惑いました。学習範囲に入っていないんですね…。
じっくり考えてみます。ありがとうございました!

No.87905 - 2024/04/20(Sat) 08:34:23

Re: 高校数学 数列 / IT
> 大学受験に向けて、今までたくさん問題を解いてきましたが、今まで見たことの無い問題で戸惑いました。学習範囲に入っていないんですね…。

「行列」が現在の高校数学の学習課程に入っていないことと、この問題が現在の高校数学の学習課程に入っているかどうかは、少し別のことだと思います。
表現として二重数列が「行列」と同一視されることはあるとは思いますが。

No.87907 - 2024/04/21(Sun) 08:43:17

Re: 高校数学 数列 / 黄桃
行列も二重数列も使わず、ただの数え上げです。

問題の意味はXさんが説明していますので重複しますが、意味がわかりにくい時は具体例で考えましょう。
例えば n=3, k=2について考えます。
a1,a2の並べ方が
11 12 13 22 23 33
の6通り、b1,b2の並べ方も同じく6通りで、両方を上下に並べると6x6=36通りの表ができますが、そのうち、どこかの上下で(k=2の場合は一方と他方になりますが)、上の方が大きい、下の方が大きい、のどちらも起こっている表が何個かありますが、その個数をA3,2と書きます、という意味です。

表の例をあげると、
11
12
であれば、下の方が大きい場合は2列目にありますが、上の方が大きい場合がないので、ダメです。
13
22
であれば、1列目は下が大きく、2列目は上が大きいのでOKです。

(1)
条件を書き下すと
1<=a1<=a2<=n
かつ
1<=b1<=b2<=n
かつ、
a1<b1 or a2<b2
かつ
a1>b1 or a2>b2
となります。
最後の2つの部分は、a1<b1とa1>b1は両立しないので、結局
(A)a1<b1 かつ a2>b2
または
(B)a1>b1 かつ a2<b2
と書き換えられます。
(A)の時、a1<b1<=b2<a2
(B)の時、b1<a1<=a2<b2
となります。いずれの場合もn<3 であればこのような場合はありません。以下、n>=3とします。
(A)の場合、b1=b2 の場合がやっかいなので、場合分けします。
(A-1) b1<b2 の時。このとき、a1<b1<b2<a2 だから、1-nの数から4つ選ぶ場合の数と1対1対応します。つまり、このような場合の数は nC4です。
(A-2) b1=b2 の時 a1, b1=b2, a2 の相異なる3つの数を 1-n の中から選ぶので、nC3通りとなります。
以上から、この場合は nC4+nC3 通りです。
(B)の場合は、よく見ると、a,bを入れ替えた形になっているので、(A)の場合の議論をa,b入れ替えればOKです。つまり、この場合の数も nC4+nC3通りです。
したがって、全部で 2*(nC4+nC3)=(1/12)(n+1)n(n-1)(n-2)...答 n=1,2の場合もこれに含まれる。

#最終的な答えが2*(n+1)C4 なので、(A-1),(A-2)に分けなくても簡単に計算する方法があるかもしれない。

(2)
(1)の(B)の場合で議論したように、
aとbを入れ替える(表の上下を反対にする)と、同じ性質の表になる(i,jが反対になる:ai>bi だったのが ai<bi, aj<bj だったのが aj>bjとなる)。
しかも上下入れ替えたものが元と同じになることはない(i,j列で大小関係が変わっている)。
したがって、例えば、(iii)を満たす最小のi,jについて、i<j であるような表とi>jであるような表はちょうど同じ数だけあるので、全体の数は偶数である。

(3)
面倒ですが、(iii)を(1)と同様に場合分けします。
(1-1)a1>b1 or (1-2)a2>b2 or (1-3)a3>b3
(2-1)a1<b1 or (2-2)a2<b2 or (2-3)a3<b3

ありうる場合は次の6通りですが、そのうち3つの場合だけ数えれば(2)により2倍すればOK.
(1-1)(2-2) b1<a1<=a2<b2
(1-1)(2-3) b1<a1<=a3<b3
(1-2)(2-1) a1<b1<=b2<a2 (1-1)(2-2)で、a,bを入れかえたもの
(1-2)(2-3) b2<a2<=a3<b3
(1-3)(2-2) a2<b2<=b3<a3 (1-2)(2-3)で、a,bを入れかえたもの
(1-3)(2-1) a1<b1<=b3<a3 (1-2)(2-3)で、a,bを入れかえたもの

いずれの場合も、3つの相異なる数が必要だから、一番小さいのが1、2番目が2で必ず等号が成立、最後が3と決まります。

(1-1)(2-2)の場合。
b1=1,a1=a2=2, b2=3
よって、b3=3が決まり、 a3=2 or 3 しかないので、2通り

(1-1)(2-3)の場合
b1=1,a1=a3=2, b3=3
a2=2が自動的にきまり、b2は1,2,3いずれでもOK 3通り

(1-2)(2-3) b2<a2<=a3<b3 の場合
b2=1,a2=a3=2, b3=3 が決まり、b1=1が自動的に決まり、a1=1 or 2だから2通り。

以上を合わせて 7通り

これの2倍が求める答だから14通り...答

#出題者の意図としては、(1)をしっかり自分で理解していれば、(3)で
#「k=2の時で既に3つの異なる数が必要になっているから、
#上限が3のn=3の場合なら、かなり制約されるのでは?」
#とわかるはず、だと思います。
#なお、An,3を求めようとしたら、Σk^4が必要になり、計算する気が失せました。

##ちょっとレベルの高い数学の入試問題は基本的には解法未知の問題です。
##その解き方(取り組み方)を見ることで受験生の能力を判断しようとしています。

No.87918 - 2024/04/22(Mon) 23:31:03
極大値極小値 / ゆゆ
こちらの問題でg(t)の絶対値をはずした式をh(t)と置く時、微分した式h'(t)を用いて表していただけますか?
No.87899 - 2024/04/17(Wed) 06:38:16

Re: 極大値極小値 / ゆゆ
解答は画像のようになっていますが、1/3など、どう求めているのかわかりません…
No.87900 - 2024/04/17(Wed) 06:39:39

Re: 極大値極小値 / ヨッシー
P(x) を Q(x) で割ったときの商が S(x)、あまりが R(x) とすると、
 P(x)=Q(x)S(x)+R(x)
となります。
h(x) を P(x)、h'(x) を Q(x) と見立てて、上の式の形になるように割り算してやります。

No.87901 - 2024/04/17(Wed) 09:34:14
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