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ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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★ 数学?T（図形の計量） / ひろ
面積が240の△ABCがあり、辺BCの中点をMとすると、∠AMC =45°、AC =22 である。このとき、ABの長さを求めよ。
No.90403 - 2025/07/12(Sat) 01:41:23
☆ Re: 数学?T（図形の計量） / X
条件から座標平面上に
M(0,0),A(-a,0),B(a,0),C(X,X)
(但し、a＞0,X＞0)
と取っても一般性を失いません。
このとき、△ABCの面積について
(1/2)・2a・X=240
∴aX=240 (A)
一方、辺CAの長さについて
(X-a)^2+X^2=22^2 (B)
更に辺ABの長さをLとすると
(X+a)^2+X^2=L^2 (C)
(A)(B)(C)をX,a,Lについての連立方程式
として解きます。
(B)より
2X^2-2aX+a^2=22^2
これに(A)を代入して
2X^2+a^2=22^2+480 (B)'
一方、(B)+(C)より
2(2X^2+a^2)=22^2+L^2 (C)'
(C)'に(B)'を代入して
2(22^2+480)=22^2+L^2
これより
L^2=22^2+2・480
=4(11^2+240)
=4・361
∴L=2・19=38
No.90404 - 2025/07/12(Sat) 09:38:49
☆ Re: 数学?T（図形の計量） / IT
別解）
AからBCに下した垂線の足をHとする
h=AH,a=BM=MC とおくと
△ABC=ah=240

AC^2=AH^2+HC^2 (三平方の定理)
HC= a-h などを代入
22^2=h^2+(a-h)^2

一方
AB^2=AH^2+BH^2=h^2+(a+h)^2(三平方の定理)
=h^2+(a-h)^2+4ah=22^2+4*240=1444
No.90405 - 2025/07/12(Sat) 14:58:53
☆ Re: 数学?T（図形の計量） / ひろ
解答、ありがとうございます。
条件の立式はできたのですが、計算でハマってました。
No.90427 - 2025/07/17(Thu) 20:48:40
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です

□12(3)です

なぜ比の6:0.5で解けるのですか

3240/13°÷6の6は6毎分ということですか。
No.90400 - 2025/07/10(Thu) 23:54:20
☆ Re: / ヨッシー
何をどう比で解いたのかも、3240/13°÷6 がどこに書かれているのかもわからないので答えようがないですが、
普通に解くなら、
９：００から図の時刻までに、
長針は１２時の位置から、８時を少し回ったところまで、
短針はアの分だけ進みますが、これはイと同じです。
長針の進んだ角度にイを加えると、９時の位置まで来ますので、
長針と短針は合わせて２７０°進んだことになります。
長針と短針は１分間に合わせて６．５°進みますので、
２７０°進むのにかかる時間は
　270÷6.5＝540/13＝41と7/13（分）
であり、3240 は出てきません。
No.90401 - 2025/07/11(Fri) 08:28:17
★ (No Subject) / やり直しメン
□6（1）です


分かりませんでした。
240m手前はどこにありますか。
No.90389 - 2025/07/09(Wed) 20:12:32
☆ Re: / ヨッシー
グラフの主要な部分だけ抜き出すと、図のようになります。
すると、２つの相似な三角形が出来、相似比は
　３００：２４０＝５：４
です。15分から時刻アまでの時間は
　15×4/5＝12(分)
なので、時刻０から時刻アまでの時間hは
　１５＋１２＝２７(分)
となります。
No.90394 - 2025/07/10(Thu) 09:00:32
☆ Re: / やり直しメン
15×4/5で計算できるのは

三角形を変えられるからですか。
No.90396 - 2025/07/10(Thu) 12:47:10
☆ Re: / ヨッシー
相似比が５：４なので、（300と240を底辺とした）高さの比も５：４になります。
No.90397 - 2025/07/10(Thu) 13:22:50
☆ Re: / GandB
> 240m 手前はどこにありますか。
　「どこに」というのなら、240m 手前は 240m 手前に決まっている（笑）。

　この問題、ごく平均的な小学生はどんな解き方をするのだろうか？

　質問(1)は、兄が家を出発してから郵便局に着くまで何分かかったのかを聞いている。
　アを式に入れるとちょっとみっともなく感じるので a としよう。

(1) 兄の歩く速さを v[m/分]、弟の歩く速さを u[m/分] とする。
　15 分後、兄が歩いた距離は v×15[m]、弟が歩いた距離はそれより 300[m] 少ないから
　　v×15 = u×15 + 300[m]
　　v×15 - u×15 = 300[m]
　　(v-u)15 = 300[m]
　　v-u = 300/15 = 20[m/分]
　a 分後、兄が歩いた距離は v×a[m]、弟が歩いた距離はそれより 300 + 240 = 540[m] 少ないから
　　v×a = u×a + 540[m]
　　v×a - u×a = 540[m]
　　(v-u)a = 540[m]
　　a = 540/(v-u) = 540/20 = 27[分]
No.90398 - 2025/07/10(Thu) 19:13:52
★ 大学数学 / Y
画像の無限和の値を求めてください。
ただしf(t)=-t (-π<=t<0),t (0<=t<=π)です。

解答と解説があるとありがたいです。
よろしくお願いします。
No.90386 - 2025/07/09(Wed) 13:42:49
☆ Re: 大学数学 / X
方針を。

問題のf(t)をフーリエ級数展開したものに
t=0を代入すると
(問題の無限和)×(定数)
の形が出現します。

f(t)のフーリエ級数展開の計算については
別の方の質問であるNo.90368のスレを
参考にしてみて下さい。
No.90388 - 2025/07/09(Wed) 17:19:36
☆ Re: 大学数学 / GandB
途中計算にまちがいがあったので再投稿
No.90399 - 2025/07/10(Thu) 19:18:22
☆ Re: 大学数学 / Y
ありがとうございます。
自分で解けるように頑張ります。
No.90402 - 2025/07/11(Fri) 23:57:01
★ 数学積分 / かい
画像の積分を順を追って解いていただきたいです。

よろしくお願いします。
No.90385 - 2025/07/09(Wed) 11:55:50
☆ Re: 数学積分 / X
いずれも部分積分を2回使います。

一問目だと
(2/π)∫[0→π]{(π-t)^2}cosntdt=(2/π)[(1/n){(π-t)^2}sinnt][0→π]
+{4/(nπ)}∫[0→π](π-t)sinntdt
={4/(nπ)}∫[0→π](π-t)sinntdt
={4/(nπ)}[-(1/n)(π-t)cosnt][0→π]-{4/(πn^2)}∫[0→π]cosntdt
=4/n^2
二問目も同様です。
No.90387 - 2025/07/09(Wed) 17:10:11
★ 教えてください / ！
∠ｙの角度を求める方法を教えてください！
No.90381 - 2025/07/06(Sun) 10:56:42
☆ Re: 教えてください / IT
∠ｙのところの頂点に名前を付けて　記入します。
また、円の中心に　記号（Ｏ　とか）を書く
と　分かり易いし　情報交換しやすいです


二等辺三角形ＯＦＢと直角三角形ＯＦＹについて調べると良いのでは。　
No.90382 - 2025/07/06(Sun) 11:43:52
☆ Re: 教えてください / ⭐︎
答えはどうなりますか？
No.90383 - 2025/07/06(Sun) 20:55:52
☆ Re: 教えてください / らすかる
円の中心付近に94°と84°がありますが、足して180°になりませんので
最初から問題の図にあったものではなく、おそらく自分で書き足した角度ですよね。
だとするとどの角度を書き足したかによって答えが変わりますので、
答えは一つに決まりません。
何も書き加えていない元の問題が知りたいところです。
No.90384 - 2025/07/07(Mon) 03:22:34
★ (No Subject) / やり直しメン
□5です
算数です

20コ全部売れたとすると
14400+180円（仕入れ180から定価の360円だから)×20=18000円


18000円÷180円=100コ ではないのですか。
No.90378 - 2025/07/04(Fri) 08:49:43
☆ Re: / ヨッシー
仮に１００個だとすると、
１個あたりの利益１８０円に対して、
　180×80＝14400（円）
ですが、これは、80個仕入れて、80個売ったときの利益です。
実際は、あと20個（原価3600円）買っているので、実際の利益は
　14400−3600＝10800（円）
です。逆に言うと、
　14400＋3600＝18000（円）
を、20個少ない個数でまかなわないといけないわけですから、
　18000÷180＝100（個）・・・20個少ない個数
で、答えは 120個 となります。

見参すると、
　仕入れ値：120×180＝21600（円）
　売り上げ：100×360＝36000（円）
　利益：36000−21600＝14400（円）
で辻褄が合います。
No.90380 - 2025/07/04(Fri) 10:29:53
★ 数学的概念 / 龍之介
数学(論理学) において項とはどう定義されるのでしょうか？また、数学で1+1と2+0と1+1+0となどなどを区別するような理論はありますか？
大学数学以上の程度
No.90376 - 2025/07/03(Thu) 17:16:42
★ 数列 / ドンキーコング
a[1]=4,S[n+1]=3S[n]-6( =1,2,…),S[n]は初項からn項までの和

次の回答は合っていますか？

また、S[1]=a[1]となっていませんが、なるときとならない時の違いのようなものは何ですか？
No.90373 - 2025/07/03(Thu) 14:06:10
☆ Re: 数列 / ドンキーコング
回答です
No.90374 - 2025/07/03(Thu) 14:13:11
☆ Re: 数列 / IT
> また、S[1]=a[1]となっていません
S[1]=a[1]= 4 では？

a[1]が初項なら常にS[1]=a[1] のはずです。
No.90377 - 2025/07/03(Thu) 18:59:00
☆ Re: 数列 / ドンキーコング
すいません。

a[1]=4(与えられた条件
a[1]=2/3(導いた一般項から
が違っているのですが、これらが一致するための条件は何か？

です。
例えばS[n]=n^3だとすると、a[n]=S[n]-S[n-1]=3n^2-3n+1でa[1]=S[1]=1、a[1]=3-3+1=1で一致します。
No.90379 - 2025/07/04(Fri) 09:10:04
★ 大学数学フーリエ級数 / ゆゆ
画像の周期2πの関数のフーリエ級数を求めてください。

答えと解説があると非常に助かります。
よろしくお願いします。
No.90368 - 2025/07/02(Wed) 14:56:16
☆ Re: 大学数学フーリエ級数 / X
方針を。

問題のf(x)は偶関数ですので、sinの
係数は全て0。
ということでcosの係数のみ求めれば
よいことになります。

で、cosnx(nは0又は自然数)の係数をa[n]とすると
nが自然数のとき
a[n]=(1/π)∫[-π→π]f(x)cosnxdx
=(2/π)∫[0→π]xcosnxdx
=…(部分積分を使います。)

a[0]={1/(2π)}∫[-π→π]f(x)dx
=(1/π)∫[0→π]xdx
=π/2

よって…
No.90369 - 2025/07/02(Wed) 18:24:13
★ (No Subject) / あああ
この問題の解き方をお願いしますm(＿ ＿)m
No.90367 - 2025/07/02(Wed) 00:49:59
☆ Re: / X
問題の二次方程式を(A)とします。
又、例えばzの共役複素数を\zと書くことにします。

(1)
(A)より
z-a=±it(z+a)
∴z=a(1±it)/(1干it) (B)
(複号同順、以下同じ)
ここで
1+it=r(cosθ+isinθ) (P)
(r＞0)
と置くと、t≧0より
0≦θ＜π/2
で(P)より
1-it=r(cosθ-isinθ) (P)'
(B)に(P)(P)'を代入して整理をすると
z=a(cos2θ±isin2θ)

よってzの軌跡は,
原点中心、半径aの円
となります。

(2)
ω[1]=az/(z-a)
より
ω[1](z-a)=az
∴z=aω[1]/(ω[1]-a) (C)
一方、(1)の結果から
|z|=a (B)'
(C)を(B)'に代入して
|aω[1]|=a|ω[1]-a| (D)(但しω[1]≠a)
(D)より
|aω[1]|^2={a|ω[1]-a|}^2
両辺展開して
0=-a(ω[1]+\ω[1])+a^2
∴(ω[1]+\ω[1])/2=a/2

よって、ω[1]の軌跡は
実軸上の点a/2を通る、虚軸に平行な直線
となります。

(3)
ω[2]=z/(z-i)
より
z=iω[2]/(ω[2]-1)
これを(B)'に代入して
|ω[2]|=a|ω[2]-1|(但しω[2]≠1)
(E)より
|ω[2]|^2={a|ω[2]-1|}^2
(a^2-1)|ω[2]|^2-(a^2)(ω[2]+\ω[2])+a^2=0
|ω[2]|^2-{(a^2)/(a^2-1)}(ω[2]+\ω[2])+(a^2)/(a^2-1)=0
|ω[2]-(a^2)/(a^2-1)|^2={(a^2)/(a^2-1)}^2-(a^2)/(a^2-1)
|ω[2]-(a^2)/(a^2-1)|^2={a/(a^2-1)}^2
∴|ω[2]-(a^2)/(a^2-1)|=a/(a^2-1)
よってω[2]の軌跡は
実軸上の点(a^2)/(a^2-1)を中心とする
半径a/(a^2-1)の円
となります。

(4)
(2)の軌跡の直線をl,(3)の軌跡の円をCとすると、
題意を満たすためには
(Cの中心とlとの間の距離)≦(Cの半径)
∴|(a^2)/(a^2-1)-a/2|≦a/(a^2-1)
a＞1＞0に注意すると、これより
(a^2-1)|a/(a^2-1)-1/2|≦1
|2a-(a^2-1)|≦2
|a^2-2a-1|≦2
-2≦a^2-2a-1≦2
∴
-2≦a^2-2a-1 (F)
かつ
a^2-2a-1≦2 (G)
(F)より
(a-1)^2≧0
∴aは任意の実数
(G)より
(a-3)(a+1)≦0
∴-1≦a≦3

∴求めるaの値の範囲は
1＜a≦3
となります。
No.90371 - 2025/07/02(Wed) 19:18:23
☆ Re: / あああ
ありがとうございます！
よく理解できました！
No.90372 - 2025/07/02(Wed) 22:17:13
★ 数学Aの問題 / ま
こちらの図形の問題の解き方と答えを教えてもらいたいです。
No.90363 - 2025/06/28(Sat) 13:44:17
☆ Re: 数学Aの問題 / X
条件が足りません。
点Iに対する条件が何かありませんか？
No.90364 - 2025/06/28(Sat) 16:29:29
☆ Re: 数学Aの問題 / ま
> 条件が足りません。
> 点Iに対する条件が何かありませんか？
すみません抜けてました。Iは△ABCの内心です。
No.90365 - 2025/06/28(Sat) 16:52:57
☆ Re: 数学Aの問題 / X
30°となっている角に対する頂点を起点にして
外側の三角形の頂点が時計回りにA,B,C
となっていると仮定して方針を。

点Iが△ABCの内心なので
線分AI,BIはそれぞれ、
∠BAC,∠ABCの二等分線になっています。
よって、△ABC,△ABIの内角の和について
30°×2+2x+53°=180° (A)
30°+x+y=180° (B)
(A)(B)をx,yについての連立方程式
として解きます。
No.90366 - 2025/06/28(Sat) 21:28:55
★ (No Subject) / やり直しメン
□8です。

（2）です。

なぜ(10+15)÷2をするのですか。
No.90361 - 2025/06/27(Fri) 07:16:29
☆ Re: / ヨッシー
食塩水Ａと食塩水Ｂを混ぜた食塩水の濃さを求めるためです。
両方同じ重さずつ加えたので、普通の平均で求められます。
一般に 10% の食塩水 ａｇと、15% の食塩水 ｂｇを混ぜたときの濃さは、
　(10×a＋15×b)/(a+b)
となりますが、ここでは ａ＝ｂ なので、(10＋15)/2 となります。
No.90362 - 2025/06/27(Fri) 09:11:46
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です。


□7の（3）です。

解けなかったです。

よろしくお願いします。
No.90358 - 2025/06/23(Mon) 12:56:15
☆ Re: / ヨッシー
(3)
Ｃの水を入れたＡ,Ｂの中身は
Ａ、Ｂ、Ｃすべての量に等しく、濃さも等しいので、
その濃さは４％です。

つまり、Ｂに何ｇ水を入れると、４％になるかということです。
Ｂに最初に入っている食塩は ５．５ｇなので、
これが４％になるには、食塩水全体で、
　５．５÷０．０４＝137.5(g)
になればいいので、最初のＢの量を除くと
　137.5−100＝37.5(g)　・・・Ｃから入れた水の量
No.90359 - 2025/06/23(Mon) 14:40:25
★ 高校1年生 / 名無し
アとイの両方の解き方がわからないです。
教えて欲しいです。
チャートの解説を読んでも分からなかったです。
No.90350 - 2025/06/22(Sun) 17:56:33
☆ Re: 高校1年生 / X
アについて。
AAとOOをそれぞれ一つの文字と見ると
残りの4文字と合わせて6文字でできる
順列を考えればよく
6P6=6!=720[通り] (A)

イについて。
問題の8文字でできる順列の数は
8!/(2!2!)=10080[通り] (B)
一方

Aのみが隣り合い、かつOが隣り合わない
順列の数は、(A)を使うと
7!/2!-720=1800[通り] (C)

Oのみが隣り合い、かつAが隣り合わない
順列の数も(C)と同じ。

(A)(B)(C)から、同じ文字が隣り合わない順列の数は
10800-1440-1440-720=7200[通り]

(注)
イについては
8文字でできる順列全体の集合をU
Aが隣り合っている順列の集合をα
Oが隣り合っている順列の集合をβ
として、ベン図を描いてみるといいかもしれません。
No.90353 - 2025/06/22(Sun) 20:00:36
☆ Re: 高校1年生 / 名無し
> 10800-1440-1440-720=7200[通り]
なぜ引くのは1800ではないのですか？
No.90354 - 2025/06/22(Sun) 20:21:47
☆ Re: 高校1年生 / X
ごめんなさい。計算を間違えていますね。
訂正します。

誤：
10800-1440-1440-720=7200[通り]
正：
10800-1800-1800-720=6480[通り]
No.90360 - 2025/06/23(Mon) 19:29:31
★ 数A 組み合わせです / 名無し
次の条件を満たす（a,b,c,d,e）の個数を求めよ

0≦a≦b＜c≦d≦e≦3

求め方教えてくださいm(_ _)m
No.90346 - 2025/06/22(Sun) 17:12:23
☆ Re: 数A 組み合わせです / IT
a,b,c,d,e が実数なら、無数です。整数と書いてありませんか？
No.90347 - 2025/06/22(Sun) 17:34:11
☆ Re: 数A 組み合わせです / 名無し
> a,b,c,d,e が実数なら、無数です。整数と書いてありませんか？

書いてありました💦
No.90348 - 2025/06/22(Sun) 17:52:13
☆ Re: 数A 組み合わせです / IT
(b,c)=(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3) について
数え上げる（図を描いてもいいし、重複組み合わせを使ってもいいです）
No.90349 - 2025/06/22(Sun) 17:54:32
☆ Re: 数A 組み合わせです / 名無し
ありがとうございます
No.90351 - 2025/06/22(Sun) 17:57:57
☆ Re: 数A 組み合わせです / IT
b=c も許した場合を数えて（重複組み合わせ）
b=c=0,1,2,3 の場合を除く　方が少し簡単かも
No.90352 - 2025/06/22(Sun) 18:09:48
☆ Re: 数A 組み合わせです / 名無し
> b=c も許した場合を数えて（重複組み合わせ）
> b=c=0,1,2,3 の場合を除く　方が少し簡単かも
ありがとうございます
No.90355 - 2025/06/22(Sun) 20:34:24
☆ Re: 数A 組み合わせです / IT
下記のように考えるのが良いかも
0-a-b-c-d-e-3

+1を6か所の-の内、重複を許して3か所に入れます。
b-c には少なくとも1つ+1を入れます
残りの2つの+1を重複を許して6か所の-の内2か所に入れます。
C(6-1+2,2)=C(7,2)=21 通り
No.90356 - 2025/06/22(Sun) 21:12:58
☆ Re: 数A 組み合わせです / らすかる
A=a+1
B=b+2
C=c+2
D=d+3
E=e+4
とおくと
0≦a≦b＜c≦d≦e≦3
は
1≦A＜B＜C＜D＜E≦7
に変わりますので1〜7から5個選ぶ組合せとなり、7C5=21通りです。

※bとcの間だけ「＜」であることからB=b+2とC=c+2は同じ値を加算しており、
他は「≦」を「＜」にするために加算する値を1ずつ増やしています。
No.90357 - 2025/06/23(Mon) 07:16:49
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です
□5の（2）です


なぜペンとえんぴつの本数を同じにする必要があるのですか。


私はペンを　1本、、、1本|8本あまり
　えんぴつは4本、、、4本|一本不足
——————————————————
3本、、、3本　|9本
9÷3=3人とやりました。
No.90342 - 2025/06/18(Wed) 20:41:48
☆ Re: / X
＞＞なぜペンとえんぴつの本数を同じにする必要があるのですか。

えんぴつの本数を、ペンの本数と同じである
3束に小分けして、それぞれの束のえんぴつを
一本づつ配れば、ペンの余る本数は
8[本/束]×3[束]=24[本] (A)
と分かります。

この24本を一束にして、更に1本づつ配れば、
3束から1本づつ配ったのと合わせて
全体で4本配ったことと同じになります。

従って、条件から
(A)を1本づつ配ったときに1本足らない
ということになりますので、配った人数は
24+1=25[人]
と分かります。


＞＞3本、、、3本　|9本
とありますが、この
＞＞|9本
の意味は何ですか。
No.90343 - 2025/06/18(Wed) 22:42:24
☆ Re: / やり直しメン
9本は差です。8本あまりと1本不足の差は9本とやりました
No.90344 - 2025/06/19(Thu) 00:06:52
☆ Re: / X
ペンをa[本]として、n[人]に分けたとすると
ペンの本数について
a=n+8 (A)

(i)えんぴつの本数がペンの本数と同じ場合
えんぴつの本数はa[本]ですので、
4本づつ配った場合
a=4n-1 (B)
(B)-(A)より
3n-9=0 (C)
ですので
n=3

(ii)えんぴつの本数がペンの本数の３倍(つまりご質問の問題の条件)の場合
えんぴつの本数は3a[本]ですので、
4本づつ配った場合
3a=4n-1 (B)'
(B)'-(A)より
3n-9=2a (D)

(C)(D)を見比べてみて下さい。
No.90345 - 2025/06/19(Thu) 18:44:02
★ (No Subject) / ネコ丸
この問題の解き方がなぜこうなるのかわかりません
教えてください。
No.90337 - 2025/06/12(Thu) 12:39:58
☆ Re: / ヨッシー
>ｃ≦80 より ａ は ａ≦66 を満たす自然数
のところはわかりますか？

√3(a+7) が整数になるには、3(a+7) は、Ａ×Ａ　(Ａは整数) という
形に表される必要があります。
３がすでに見えていますので、3(a+7) は、
　(３×Ｂ)×(３×Ｂ)　(Ｂは整数)
という形であるはずです。展開すると、
　3×3B^2 であり、3B^2 が a+7 に当たります。
よって、a+7＝3B^2 であり、B にいろんな整数(この場合は自然数)を当てはめて 条件　0＜ａ≦66 を満たすａを見つけています。
No.90338 - 2025/06/12(Thu) 13:26:27
☆ Re: / ネコ丸
3(a+7) は、
　(３×Ｂ)×(３×Ｂ)　(Ｂは整数)
　　　　　　　　　　　　
　　　　　のところがわかりません

もう少し詳しくお願いできますか？
No.90339 - 2025/06/12(Thu) 14:55:30
☆ Re: / ヨッシー
>3(a+7) は、Ａ×Ａ　(Ａは整数)
ここまでは理解されているとして、
3(a+7) は、3 の倍数ですから、Ａは３の倍数です。
そこで、Ａ＝３×Ｂ (Ｂは整数) とおくと
　(３×Ｂ)×(３×Ｂ)　(Ｂは整数)
と書けます。
No.90340 - 2025/06/12(Thu) 15:06:10
☆ Re: / ネコ丸
ありがとうございました
No.90341 - 2025/06/12(Thu) 15:15:23
★ (No Subject) / 中3
このような問題が本当に解けません。
No.90333 - 2025/06/09(Mon) 21:00:35
☆ Re: / ヨッシー
ＢＤ：ＤＣ＝１：２　より
△ＢＦＡ：△ＣＦＡ＝１：２　・・・(1)
ＡＥ：ＥＢ＝３：２　より
△ＢＦＡ：△ＥＦＡ＝５：３　・・・(2)
(1)(2) より
△ＢＦＡ：△ＣＦＡ：△ＥＦＡ＝５：１０：３
よって、ＣＦ：ＦＥ＝１０：３

難関私立高校入試レベルなら、メネラウスの定理も習っているかも。
No.90334 - 2025/06/10(Tue) 08:28:56
☆ Re: / WIZ
別解
# ヨッシーさんによる素晴らしい回答が投稿されていますが、
# 私も一生懸命解いたので複雑で無意味ですが投稿しちゃいます。

△ABCをxy座標上におきます。
点Bを原点に重ね、点Cはx軸の正の部分におきます。
各点の座標はu, v, wを正の実数として、A(5u, 5v), B(0, 0), C(3w, 0) とします。

すると、|AE|:|EB| = 3:2 より E(2u, 2v) となります。
また、|BD|:|DC| = 1:2 より D(w, 0) となります。

直線ADは (y-0)/(5v-0) = (x-w)/(5u-w) ⇒ y = {5v/(5u-w)}(x-w)
直線CEは (y-0)/(2v-0) = (x-3w)/(2u-3w) ⇒ y = {2v/(2u-3w)}(x-3w)
# 図から 5u-w ≠ 0 かつ 2u-3w ≠ 0 であることは自明とします。

直線ADと直線CEの交点が点Fなので、点Fのx座標は
{5v/(5u-w)}(x-w) = {2v/(2u-3w)}(x-3w)
⇒ 5(2u-3w)(x-w) = 2(5u-w)(x-3w)
⇒ {(10u-15w)-(10u-2w)}x = (10u-15w)w-(10u-2w)*3w
⇒ (-13w)x = (10u-15w)w-(30u-6w)w
⇒ -13x = -20u-9w
⇒ x = (20u+9w)/13

点Fのy座標は
y = {5v/(5u-w)}((20u+9w)/13-w)
= {5v/(5u-w)}((20u+9w)-13w)/13
= {5v/(5u-w)}(20u-4w)/13
= {5v/(5u-w)}*4(5u-w)/13
= 20v/13

よって、F((20u+9w)/13, 20v/13) となります。

|CF|^2 = (3w-(20u+9w)/13)^2+(0-20v/13)^2
= {(39w-(20u+9w))^2+(-20v)^2}/169
= {(30w-20u)^2+(20v)^2}/169
= {900w^2-1200wu+400u^2+400v^2}/169
= (100/169)(9w^2-12wu+4u^2+4v^2)

|FE|^2 = ((20u+9w)/13-2u)^2+(20v/13-2v)^2
= {((20u+9w)-26u)^2+(20v-26v)^2}/169
= {(9w-6u)^2+(-6v)^2}/169
= {81w-108wu+36u^2+36v^2}/169
= (9/169)(9w-12wu+4u^2+4v^2)

上記の文字式の部分は同一ですので、
(|CF|^2):(|FE|^2) = 100:9
⇒ |CF|:|FE| = 10:3
No.90335 - 2025/06/10(Tue) 08:48:01
☆ Re: / らすかる
別解
Eを通りADに平行な直線とBCの交点をGとするとDG：GB=AE：EB=3：2
またCD：DB=2：1なのでCD：DG：DG=10：3：2
よってCF：FE=CD：DG=10：3
No.90336 - 2025/06/11(Wed) 00:31:06
★ (No Subject) / 中3
この問題が分かりません
No.90331 - 2025/06/09(Mon) 20:10:14
☆ Re: / ヨッシー
(1)
△ＡＤＢは直角三角形で、∠Ａ＝３６°より、∠Ｂ＝５４°
弧ＣＤ＝弧ＡＣ×２ なので、∠ＣＢＤ＝∠ＡＢＣ×２
よって、∠ＣＢＤ＝５４°×2/3＝３６°
△ＥＤＢは直角三角形なので、∠ＢＥＤ＝９０°−３６°＝５４°・・・答え
△ＯＢＣは二等辺三角形なので、∠ＯＣＢ＝∠ＯＢＣ＝５４°×1/3＝１８°
∠ＯＣＹ＝９０°なので、∠ＢＣＹ＝９０°−１８°＝７２°・・・答え
No.90332 - 2025/06/09(Mon) 20:57:55
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