ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学 質問掲示板）
since 2008/03/25
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質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。
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(No Subject)
/ T.I
引用
素因数分解の可能性について質問です。
素因数分解が可能であることの証明について
「素数（および1）はもちろん素因数分解可能なので n は素数ではない。」
と有りますが、この部分は正直わかりません。
１は素因数分解は不可能ではないかと考えています。
また、素数は素因数分解が不可能ではないかと思います。
詳しく回答いただければと思います
No.89185 - 2024/10/25(Fri) 08:36:55
☆
Re:
/ ヨッシー
引用
注： 1 の素因数分解についてはいくつか流儀があるようなのですが，ここでは「0 個の素数の積」とみなすことにします。
と注釈があるので、これを認めるならば、
１は０個の素数の積
素数は１個の素数の積
なので、ともに素因数分解可能ということになります。
もちろん、１は素因数分解不可能という考え方もあります。
No.89187 - 2024/10/25(Fri) 09:05:25
☆
Re:
/ ヨッシー
引用
＞最小性の仮定よりaとｂは素数の積であらわされる
とは、
ｎは素因数分解不可能な最小の数である ・・・これが最小性の仮定
→ｎは素数でない （素数は素因数分解可能なので）
→ｎ＝ａｂ (１＜ａ，ｂ＜ｎ）に書ける
→ａやｂはｎより小さいので、素因数分解可能
→ｎも素因数分解可能・・・矛盾
ということです。
No.89193 - 2024/10/25(Fri) 14:15:03
☆
Re:
/ T.I
引用
「ａやｂはｎより小さいので、素因数分解可能」
この部分は何とも理解し難いですが、これはnを素因数分解
不可能な最小の数であると仮定したからでしょうか？
No.89194 - 2024/10/25(Fri) 14:40:09
☆
Re:
/ T.I
引用
「ａやｂはｎより小さいので、素因数分解可能」
この部分は本当に言い切れるのでしょうか？
No.89195 - 2024/10/25(Fri) 14:43:24
☆
Re:
/ T.I
引用
現在は素因数分解可能であることの証明を行っているのに
ａやｂが素因数分解可能だと言い切れるのか？
この部分は理解できません
No.89196 - 2024/10/25(Fri) 14:59:03
☆
Re:
/ ヨッシー
引用
ｎが素因数分解不可能な数の最小と仮定したので、
それより小さいａやｂは素因数分解可能に決まっているのです。
もし素因数分解不可能なら、そちらの方が最小になってしまうので。
No.89197 - 2024/10/25(Fri) 15:57:10
★
条件付き確率
/ 西田
引用
黒玉3個,赤玉4個,白玉5個が入っている袋から玉を1個ずつ取り出し、取り出した玉を順に横一列に12個すべて 並べる。ただし、袋から個々の玉が取り出される確率は等しいものとする。
どの赤玉も隣り合わないとき、どの黒玉も隣り合わない条件付き確率を求めよ。
No.89181 - 2024/10/24(Thu) 20:27:14
☆
Re: 条件付き確率
/ ヨッシー
引用
こちら
をどうぞ。
No.89190 - 2024/10/25(Fri) 11:00:13
★
複素数平面
/ Higashino
引用
今さら聞けない複素数平面の疑問
(1) 複素平面と複素数平面の違い
(2) e^iθ と e^i(θ) の違い
(3) e^iθ の e 読み方は イーいいでいいの (4) 対数関数の微分で出てくる e と オイラーの公式の e 関係性
一つでもいいです教えていただければ幸いです
No.89179 - 2024/10/24(Thu) 13:05:20
★
問題は何とか理解できたのですが…
/ YUKI
引用
私の使ってる数学の問題集で整数nに対してn^2を3で割って2余るようなnは存在しない。
これはすごく重要な概念だとか書かれていました、問題自体は理解できたのですが
なぜ上記が重要なのかが理解できていません、数学に明るい方おられましたら
ご教授いただければ幸いです。
No.89176 - 2024/10/24(Thu) 01:44:03
☆
Re: 問題は何とか理解できたのですが…
/ IT
引用
整数論の重要な概念に「平方剰余」があり、それの１例です。
ここで説明するのは難しいかなと思います。
「平方剰余」で検索するといろいろ出て来ます。
たとえば下記などをご覧ください。
https://manabitimes.jp/math/685
No.89177 - 2024/10/24(Thu) 07:07:33
☆
Re: 問題は何とか理解できたのですが…
/ YUKI
引用
IT 様
ありがとうございました。大変勉強になりました
No.89183 - 2024/10/24(Thu) 22:48:35
★
(No Subject)
/ cavy
引用
⑶の問題ですが解くことはできたのですが中1の子供に上手く教える事ができません。出来るだけ簡単かつ詳しい説明をして頂きたく思います
No.89175 - 2024/10/23(Wed) 21:41:29
☆
Re:
/ ヨッシー
引用
ｎ行目のＣ列が１であるとき、その１を並べるまでに、
１と０を全部で何個並べたかを考えます。
ｎ−１行目のＥ列までで
５（ｎ−１）個
で、５（ｎ−１）＋３ がｎ列目Ｃ列までの個数です。
その１つ前、５（ｎ−１）＋２ までで、ちょうど
・・・１０００ １０００
の区切りになり、１は４回に１回現れるので、
{５（ｎ−１）＋２}÷４ 個
の１が、ｎ行目Ｂ列までに並べられ、ｎ行目Ｃ列の１と合わせて
{５（ｎ−１）＋２}÷４＋１ 個となります。
式を変形して
（５ｎ−３）／４＋１＝（５ｎ＋１）／４ （個） ・・・答え
No.89178 - 2024/10/24(Thu) 09:35:29
★
芝浦工業大学柏高等学校 過去問
/ ごとー
引用
2020年度の芝浦工業大学柏高等学校の数学の前期第2回の解説をお願いします。
No.89174 - 2024/10/23(Wed) 19:28:42
☆
Re: 芝浦工業大学柏高等学校 過去問
/ 独ソ不可侵条約
引用
(1) Pの座標をy=ax^2に代入して
-8=6^2*a
36a=-8
a=-2/9 答え ア(2) イ(9)
(2)＜下の写真もみてください＞
Aの座標はy=x^2にx座標-3を代入して(-3,9)
Bの座標はy=x^2にx座標2を代入して(2,4)
BPがy軸に平行だから点Pもx=2の上にあり、
x=2をy=-1/4x^2に代入して座標は(2,-1)
下図より、BPを底辺とすると長さは5,
高さはBPとAのx座標の差で5。
面積=5×5÷2=25/2 答え ウ(2) エ(5) オ(2)
(3)からは次で書きます。
No.89180 - 2024/10/24(Thu) 19:04:48
★
群馬大過去問
/ Higashino
引用
範囲
複素数平面
群馬大過去問
なにとぞよろしくお願いします
以下問題
No.89171 - 2024/10/21(Mon) 16:17:01
☆
Re: 群馬大過去問
/ Higashino
引用
私の答案が出来上がりましたので、アップさせていただきます
ご指導気になる点がありましたら、ぜひともご指摘ください
以下答案
No.89173 - 2024/10/22(Tue) 15:28:44
★
漸化式
/ kanaly
引用
f(x)=Sum_{k=0}^{x-1} f(k)g(x-k)
g(x)は適当な数列とします
このように定義されるf(x)の漸化式について、求解はできなくとも、有効な式変形はありませんか?
また、このような漸化式に名称はありますか？
No.89169 - 2024/10/20(Sun) 17:18:14
☆
Re: 漸化式
/ ast
引用
# 数列の添字が x というは個人的に気持ち悪い (あとで x を使いたいこともある) ので,
# 以下では添字を n とするが
漸化式の右辺はコーシー積に (番号のずれなどを気にしなければ) 見えるので, f(n),g(n) (n=0,1,2,…) の母函数 F(x),G(x) (i.e. F(x):=Σ_[n=0,1,2,…]f(n)x^n, G(x):=Σ_[n=0,1,2,…]g(n)x^n) について, 与えられた漸化式は
F(x)(G(x)-G(0))/x=(F(x)-F(0))/x (F(0)=f(0), G(0)=g(0))
のような感じの式にまとめられて, 仮にそれが正しければ F(x) = f(0)/(1-G(x)+g(0)) のようにしてから f(n)=F^{(n)}(0)/n! (F(x) の x=0 の周りでのテイラー係数) を求めればいい.
というのはどうですか?
# まあ, 上記はボンヤリ考えただけなのでおそらく正しくないだろうし,
# 仮に正しくとも実際には何も役に立たないとは思われるが……
## 例えば G(x) が既知の函数かどうかわからないし, そもそも g(0) は漸化式に現れないので好きにできそう. etc.
No.89172 - 2024/10/22(Tue) 02:32:51
☆
Re: 漸化式
/ kanaly
引用
回答ありがとうございます
自分の本来求めたかった具体的なf,gで試したところ、合っていそうでした。
助かりました。本当にありがたいです
No.89182 - 2024/10/24(Thu) 20:37:07
★
(No Subject)
/ ぴよ
引用
連続ですみません。
宜しくお願いします。
No.89166 - 2024/10/20(Sun) 13:09:27
☆
Re:
/ IT
引用
頂点Aから直接つながる４頂点グループをB,Aから直接つながらない頂点をA'とします。
１回の試行でBに移動します その後Aに移動する確率とA’に移動する確率は等しい。
AとA’を併せてCと書きます
。
遷移図を描いて、
Bから出発し4回目にCにある確率を求め、
２で割ります。
B→C (1/2), B→B(1/2), C→B(1),C→C(0) です
（）内は確率
No.89168 - 2024/10/20(Sun) 14:49:44
★
(No Subject)
/ ぴよ
引用
解説がらなくて困っています。
宜しくお願いします。
No.89165 - 2024/10/20(Sun) 13:08:42
☆
Re:
/ IT
引用
まず人数の遷移を考える。
４回行われて終了する場合
１回目終了後から４回目終了後までの人数は
3331
3321
3221
2221
だと思います（もれがないか確認してください）
3→3,3→2,3→1,2→2,2→1などの確率を計算し
上記の確率を計算し 合計します。
No.89167 - 2024/10/20(Sun) 13:59:40
★
北海道大学過去問
/ Higashino
引用
範囲
複素数平面
何卒よろしくお願いいたします
以下問題
No.89162 - 2024/10/19(Sat) 23:22:43
☆
Re: 北海道大学過去問
/ X
引用
(1)
zの広義の偏角をΘとすると、条件から
12Θ=nπ
(nは整数)
∴Θ=nπ/12 (A)
ここでzの実部虚数部の符号から
π/2+2mπ＜Θ＜π+2mπ (B)
(mは整数)
(A)に(B)を代入して
1/2+2m＜n/12＜1+2m
6+24m＜n＜12+24m
∴n=k+24m
(k=7,8,…,11)
これを(A)に代入して
Θ=kπ/12+2mπ (A)'
ここで条件から(A)'の第一項において
kと12は互いに素でなければならない
ので
k=7,11
∴Θ=7π/12+2mπ,11π/12+2mπ
となるので
θ=7π/12,11π/12
(2)
(1)の結果から
-t=tan(7π/12),tan(11π/12)
∴t=tan(π-7π/12),tan(π-11π/12)
∴t=tan(5π/12),tan(π/12)
ここで半角の公式から
{tan(π/12)}^2={1-(√3)/2}/{1+(√3)/2}
=(2-√3)^2
∴tan(π/12)=2-√3
同様にして
tan(5π/12)=2+√3
∴t=2±√3 (C)
よって、解と係数の関係からtは
t^2-4t+1=0
の解なので
t^2=4t-1 (D)
(C)(D)から
t(1-t^2)/(1+t^2)^2=(2-4t)/(16t)
=1/(8t)-1/4
=±(1/8)√3
No.89163 - 2024/10/20(Sun) 09:39:44
☆
Re: 北海道大学過去問
/ Higashino
引用
x先生、おはようございます
お久しぶりでございます
素敵な回答ありがとうございます
私も似たり寄ったりですが
図形的アプローチもしてみました
ご指導などいただければ幸いです
以下答案
No.89170 - 2024/10/21(Mon) 07:32:26
★
(No Subject)
/ やり直しメン
引用
□１番です
よろしくお願いします
No.89159 - 2024/10/19(Sat) 14:58:48
☆
Re:
/ やり直しメン
引用
問題です
No.89160 - 2024/10/19(Sat) 15:12:09
☆
Re:
/ X
引用
条件から、
98+106+118+134=(元の4つの数字の和)×2
よって求める平均は
(98+106+118+134)÷2÷4=(98+106+118+134)÷8
=…
No.89161 - 2024/10/19(Sat) 17:08:27
★
(No Subject)
/ ぴよ
引用
群数列の問題です。
答えは3008です。解説をお願いいたします。
No.89151 - 2024/10/17(Thu) 21:37:10
☆
Re:
/ ぴよ
引用
問題の画像です。
No.89152 - 2024/10/17(Thu) 21:37:57
☆
Re:
/ ヨッシー
引用
第５群の最後の項までの数字の個数は
１＋２＋４＋８＋１６＝３１
31番目の奇数は 31×2−1＝61
第６群は 63から始まり、個数2^5＝32(個)の奇数列
第６群の最後の数は 63×2−1＝125
求める総和は
(63＋125)×32÷2＝3008 ・・・答え
No.89154 - 2024/10/17(Thu) 22:39:43
☆
Re:
/ ぴよ
引用
ありがとうございます。
No.89164 - 2024/10/20(Sun) 13:07:51
★
九州大学過去問
/ Higashino
引用
複素数平面
九州大学過去問
何卒よろしくお願いします
以下問題
No.89146 - 2024/10/17(Thu) 09:19:40
☆
Re: 九州大学過去問
/ ヨッシー
引用
(1)
ｚ2 と ｚ3 の絶対値は同じです。
ｚ2 と ｚ3 は、ｙ＝ｘ に対して対称な位置にあります。
ｚ3 の偏角は、ｚ2 の２倍です。
ｚ2 は第１象限か第４象限にありますが、ｚ2 が第４象限だと、
ｚ3 は第３か第４象限になり、第２象限には来ないので、ｙ＝ｘ に対して対称とはなりません。
よって、ｚ2 の偏角θ と ｚ3 の偏角２θの平均 1.5θ が π/4 になるので、
θ＝π/6
ｚ2 と ｚ3＝(ｚ2)^2 の絶対値が同じなので、ｚ2 の絶対値は１。
ａ＝√3/2, ｂ＝1/2
であり、
ｚ2＝√3/2＋ｉ/2＝cos(π/6)＋ｉsin(π/6)
(2)
単位円上に、偏角が
0, π/6, π/3, π/2, 2π/3 ・・・
の複素数が配置され、ｚ12 まで並んだときに、
ｚ7＝−ｚ1, ｚ8＝−ｚ2, ｚ9＝−ｚ3, ・・・ｚ12＝−ｚ7
と、６組の和が０になるペアが出来て、合計０になります。 n＝12 ・・・答え１
積は
cos(0＋π/6＋π/3＋・・・＋11π/6)＋ｉsin(0＋π/6＋π/3＋・・・＋11π/6)
＝cos{π/6・(0＋1＋・・・11)}＋ｉsin{π/6・(0＋1＋・・・11)}
＝cos(11π)＋ｉsin(11π)＝cos(π)＋ｉsin(π)＝−１ ・・・答え２
No.89148 - 2024/10/17(Thu) 11:11:05
☆
Re: 九州大学過去問
/ Higashino
引用
ヨッシー先生、おはようございます
ご回答ありがとうございました
今回も私の答案を投稿しますので、ご指導等いただければ幸いです
以下答案
No.89158 - 2024/10/19(Sat) 06:01:51
★
埼玉大学過去問
/ Higashino
引用
複素数平面
埼玉大学過去問
なにとぞよろしくお願いします
以下問題
No.89145 - 2024/10/17(Thu) 09:17:33
☆
Re: 埼玉大学過去問
/ ヨッシー
引用
まず、絶対値にのみ着目すると、
|１＋ｉ|＝√2
|ａ−ｉ|＝√(ａ^2＋１)
|ａ−3ｉ|＝√(ａ^2＋９)
に対して、
|ｚ|＝√8(ａ^2＋１)/√2(ａ^2＋９)
＝２(ａ^2＋１)/(ａ^2＋９)＝２／３
３(ａ^2＋１)＝(ａ^2＋９)
これを解いて、
ａ＝√3
次に、偏角（arg(z) で、z の偏角を表すことにします）に着目すると
arg(１＋ｉ)＝π/4
arg(ａ−ｉ)＝−π/6
arg(ａ−3ｉ)＝−π/3
に対して
arg(z)＝π/4×３−π/6×２＋π/3×２＝13π/12
よって、
ｚ^n ＝(2/3)^n{cos(13ｎπ/12)＋ｉsin(13ｎπ/12)}
であり、これが実数になる最小の自然数ｎは ｎ＝１２
このとき
ｚ^n＝−２^12/３^12
No.89149 - 2024/10/17(Thu) 15:39:57
☆
Re: 埼玉大学過去問
/ X
引用
横から失礼します。
＞＞ヨッシーさんへ
aが負の実数の場合が抜けていませんか？
No.89150 - 2024/10/17(Thu) 17:23:41
☆
Re: 埼玉大学過去問
/ ヨッシー
引用
>>Xさん
そうでした。
正なのはｎだけでしたね。
以下、ａ＝−√3 の時の解答です。
ａ＝−√3 のとき、
偏角に着目すると
arg(１＋ｉ)＝π/4
arg(ａ−ｉ)＝7π/6
arg(ａ−3ｉ)＝4π/3
に対して
arg(z)＝π/4×３＋7π/6×２−4π/3×２＝5π/12
よって、
ｚ^n ＝(2/3)^n{cos(5ｎπ/12)＋ｉsin(5ｎπ/12)}
であり、これが実数になる最小の自然数ｎは ｎ＝１２
このとき
ｚ^n＝−２^12/３^12
No.89153 - 2024/10/17(Thu) 22:33:54
☆
Re: 埼玉大学過去問
/ Higashino
引用
ヨッシー先生、こんにちは
ご回答ありがとうございます
オイラーの法則 複数数指数関数で考えてみました
ご指導いただければ幸い
以下答案
No.89157 - 2024/10/18(Fri) 15:00:11
★
高校入試
/ ゆうま
引用
よろしくお願いします。
No.89134 - 2024/10/15(Tue) 15:24:27
☆
Re: 高校入試
/ ヨッシー
引用
ＡＥとＣＤの交点をＧ、ＥＦとＣＤの交点をＨとします。
Ｇは△ＡＢＣの重心なので、ＡＧ：ＧＥ＝２：１
メネラウスの定理
(ＣＨ/ＨＧ)(ＧＥ/ＥＡ)(ＡＦ/ＦＣ)＝１
より
(ＣＨ/ＨＧ)(１/３)(３/１)＝１
ＣＨ：ＨＧ＝１：１
△ＣＥＧ は △ＡＢＣ の 1/6 倍であり、
△ＥＧＨ はその半分で
1/12 倍
。
No.89135 - 2024/10/15(Tue) 15:56:07
☆
Re: 高校入試
/ ゆうま
引用
ありがとうございます。
メネラウスの定理を使わなくて解けるでしょうか？
よろしくお願いします。
No.89141 - 2024/10/16(Wed) 08:03:31
☆
Re: 高校入試
/ らすかる
引用
メネラウスの部分は
Gを通りEFと平行な直線とACの交点をPとすると
AP：PF=AG：GE=2:1、AF：FC=3：1なので
AP：PF：FC=2：1：1
∴CH：HG=CF：FP=1：1
のようすればいいですね。
No.89142 - 2024/10/16(Wed) 08:15:31
☆
Re: 高校入試
/ ゆうま
引用
そういう補助線を引くのですね。
ありがとうございました！
No.89147 - 2024/10/17(Thu) 10:04:34
★
京都大学過去問
/ Higashino
引用
複素数平面
京都大学過去問
何卒よろしくお願いします
以下問題
No.89129 - 2024/10/15(Tue) 13:00:37
☆
Re: 東京医大過去問
/ ヨッシー
引用
京大でも複素数平面でもないですが、問題合ってますか？
普通に、５倍角の公式
cos5θ＝16cos^5θ−20cos^3θ＋5cosθ
から一発では？
No.89130 - 2024/10/15(Tue) 13:39:47
☆
Re: 京都大学過去問
/ Higashino
引用
早速のご回答ありがとうございます
5倍速の公式を覚えていること自体が、私には信じられなんてないすごいです
この問題が発展して
cos6θ cos7θ
のようになれば、どのように考えるかと言うことがその問題の主題だと思うのですが
ヨッシー先生はいかがお考えでしょうか？
No.89131 - 2024/10/15(Tue) 14:07:52
☆
Re: 京都大学過去問
/ Higashino
引用
この問題は、過去に京都大学でも出題されています
私は2倍角の公式までが限界で、それ以降は覚えられません
和席の公式などとなると、もう1つも覚えていません
三角関数が、どうしても苦手なのは、そこら辺にあるのかもしれません
何卒よろしくお願いいたします
No.89132 - 2024/10/15(Tue) 14:43:19
☆
Re: 京都大学過去問
/ IT
引用
ヨッシーさん
> 普通に、５倍角の公式
> cos5θ＝16cos^5θ−20cos^3θ＋5cosθ
> から一発では？
入試の答案としては、５倍角の公式の証明が必要では？
No.89136 - 2024/10/15(Tue) 18:56:19
☆
Re: 京都大学過去問
/ IT
引用
> この問題は、過去に京都大学でも出題されています
1996年後期 京都大学文系で
(1)cos5θ＝f(cosθ)を満たす多項式f(x)を求めよ
(2)省略 （1）を使う問題
が出題されているようです。
No.89137 - 2024/10/15(Tue) 19:36:53
☆
Re: 京都大学過去問
/ らすかる
引用
cos5θ,cos6θ,cos7θの導出例
cos2θ=2(cosθ)^2-1
cos4θ=2(cos2θ)^2-1=2{2(cosθ)^2-1}^2-1=8(cosθ)^4-8(cosθ)^2+1
sin2θ=2sinθcosθ
sin4θ=2sin2θcos2θ=2(2sinθcosθ){2(cosθ)^2-1}={8(cosθ)^3-4cosθ}sinθ
cos5θ=cos4θcosθ-sin4θsinθ
={8(cosθ)^4-8(cosθ)^2+1}cosθ-{8(cosθ)^3-4cosθ}sinθ・sinθ
={8(cosθ)^4-8(cosθ)^2+1}cosθ-{8(cosθ)^3-4cosθ}{1-(cosθ)^2}
=16(cosθ)^5-20(cosθ)^3+5cosθ
sin5θ=sin4θcosθ+cos4θsinθ
={8(cosθ)^3-4cosθ}sinθ・cosθ+{8(cosθ)^4-8(cosθ)^2+1}・sinθ
={16(cosθ)^4-12(cosθ)^2+1}sinθ
cos6θ=cos5θcosθ-sin5θsinθ
={16(cosθ)^5-20(cosθ)^3+5cosθ}cosθ-{16(cosθ)^4-12(cosθ)^2+1}sinθ・sinθ
={16(cosθ)^5-20(cosθ)^3+5cosθ}cosθ-{16(cosθ)^4-12(cosθ)^2+1}{1-(cosθ)^2}
=32(cosθ)^6-48(cosθ)^4+18(cosθ)^2-1
sin6θ=sin5θcosθ+cos5θsinθ
={16(cosθ)^4-12(cosθ)^2+1}sinθ・cosθ+{16(cosθ)^5-20(cosθ)^3+5cosθ}sinθ
={32(cosθ)^5-32(cosθ)^3+6cosθ}sinθ
cos7θ=cos6θcosθ-sin6θsinθ
={32(cosθ)^6-48(cosθ)^4+18(cosθ)^2-1}cosθ
-{32(cosθ)^5-32(cosθ)^3+6cosθ}sinθ・sinθ
={32(cosθ)^6-48(cosθ)^4+18(cosθ)^2-1}cosθ
-{32(cosθ)^5-32(cosθ)^3+6cosθ}{1-(cosθ)^2}
=64(cosθ)^7-112(cosθ)^5+56(cosθ)^3-7cosθ
No.89138 - 2024/10/16(Wed) 02:17:33
☆
Re: 京都大学過去問
/ Higashino
引用
ご回答ありがとうございます
早速ですが、私は次のように考えました
答案で使った漸化式は 慶応大学医学部等で証明で出題されたりしております
以下答案
No.89139 - 2024/10/16(Wed) 03:26:58
☆
Re: 京都大学過去問
/ IT
引用
複素数平面とあるので
ドモアブルの定理でcos5θ+isin5θ=(cosθ+isinθ)^5 で右辺を展開して
(sinθ)^2=1-(cosθ)^2 を使って実部の係数をcosθで表す方法が想定されているのかも
No.89140 - 2024/10/16(Wed) 07:25:08
☆
Re: 京都大学過去問
/ ヨッシー
引用
ＩＴさん
> 入試の答案としては、５倍角の公式の証明が必要では？
もちろん、公式を作るのですよ。
私は
こちら
を持っているので、すぐ参照できましたが。
No.89143 - 2024/10/16(Wed) 08:57:53
★
(No Subject)
/ やり直しメン
引用
算数です
□９です
よろしくお願いします
また、(１)についてですが解説書を読んだのですが合計点の差を平均点の差で割るとクラスの人数が求められていました。
No.89116 - 2024/10/13(Sun) 23:21:44
☆
算数より1次方程式（笑）
/ GandB
引用
No.89078
の説明でわかりにくいのなら、無理して難解な算術的解法にこだわらず、1次方程式で解いた方がわかりやすいんじゃないの。
質問者は「やり直しメン」と名乗るくらいだから、おそらく小学生ではあるまい。簡単な1次方程式なら頭の片隅に残っているはず（笑）。
(1)クラスの人数を求める。
「クラスの人数より1名除いた（1名少ない）」人数をA[人]とする。
最高点の1名を除いたときの平均点は62点なのだから、A人の合計得点は 62×A点
最低点の1名を除いたときの平均点は64.5点なのだから、A人の合計得点は 64.5×A点
62×A点には最低点が含まれ、最高点は含まれない。
64.5×A点には最高点が含まれ、最低点は含まれない。
したがって2つの合計得点の差が、最高点と最低点の差になる。その差は65点なのだから
64.5×A - 62×A = 65点
が成り立つ。あとはこれを解けばよい。
A×(64.5-62) = 65
64.5 - 62 = 2.5
A×2.5 = 65
A = 65÷2.5 = 26
したがって、求めるクラスの人数は
26 + 1 = 27人
(2)最高点を求める。
最高点をBで表す。
(1)より最高点の1名を除いたA = 26名の合計得点は 62*26 = 1612点
これにBを足して27名で割ったのがクラスの平均点だから
(1612+B)÷27 = 63
1612 + B = 27*63 = 1701
B = 1701 - 1612 = 89点
No.89126 - 2024/10/14(Mon) 18:07:53
☆
Re:
/ やり直しメン
引用
ご返信ありがとうございました。
勉強がんばります。
No.89128 - 2024/10/14(Mon) 19:06:22
★
ルービックキューブの中の立方体の数
/ √
引用
教えて下さい。
３ｘ３ｘ３
４ｘ４ｘ４
５ｘ５ｘ５
上記３個の
ルービックキューブがあって
この中に
２ｘ２ｘ２
の立方体が何個存在するか
考えてみました。
３ｘ３ｘ３ の中には ８個
４ｘ４ｘ４ の中には ２７個
５ｘ５ｘ５ の中には ６４個
で合っていますでしょうか？
宜しくお願いいたします。
付け足しです
(本物のルービックキューブは中心に立方体が入ってない
のですが、有るものとして下さい)
No.89113 - 2024/10/13(Sun) 22:18:34
☆
Re: ルービックキューブの中の立方体の数
/ ヨッシー
引用
合っています。
No.89124 - 2024/10/14(Mon) 17:20:34
☆
Re: ルービックキューブの中の立方体の数
/ √
引用
ヨッシーさん
お久し振りです。
有難うございました。。。
No.89125 - 2024/10/14(Mon) 17:26:27
★
極限の問題
/ Kana
引用
lim[n→∞]1/nΣ[k=1〜n]1/(√k/n)
を区分求積法を用いて計算したところ、積分にx=0で定義されない1/√xが現れたので答えは合っているけれど減点になりました。正しくはどのように計算すればよいのでしょうか？色々調べたのですが、広義積分というのがあるらしいのですが、高校生なので高校の範囲でご回答をして下さると嬉しいです。よろしくお願いします。
No.89111 - 2024/10/13(Sun) 21:40:12
☆
Re: 極限の問題
/ IT
引用
√k/nは√(k/n) ですか？(√k)/nですか？
後者なら問題の級数は収束しないので前者かな
区分求積法でどう計算しましたか？
No.89112 - 2024/10/13(Sun) 22:07:12
☆
Re: 極限の問題
/ Kana
引用
ITさん
√(k/n)です。正確に入力できなくてすみません。
積分すると∫[0,1]1/√xdx (被積分関数は√x分の1です)となり、
原始関数2√xにx=1,x=0をそれぞれ代入した値の差を求めて答えは2となりました。
No.89114 - 2024/10/13(Sun) 23:02:23
☆
Re: 極限の問題
/ IT
引用
無理やり？ 高校範囲の区分求積法を用いて計算の考えを使って計算するなら
積分区間 1/n 〜1+(1/n)の定積分と前後の過不足を考慮すれば出来るのでは？
出題者（採点者）の意図する解答は教えてもらえないのですか？
No.89115 - 2024/10/13(Sun) 23:14:18
☆
Re: 極限の問題
/ Kana
引用
ご返信ありがとうございます。
先生には休明けの授業までに考えておくようにと言われました。
1/nΣ[k=1〜n]1/√x＝∫[1/n,1+1/n]1/√xdx+(各長方形のy=1/√xの上側にある部分の面積)
として、
下から右辺第1項で評価して、上から右辺第2項を横1/n、高さ1/√(1/n)＝√nの長方形の面積1/√nの面積と右辺第1項の和で評価したあと、はさみうちの原理を使えばよろしいでしょうか？
No.89119 - 2024/10/13(Sun) 23:52:30
☆
Re: 極限の問題
/ IT
引用
時間がないのでKanaさんの考えが良いかを確認できませんが、
私が思いついたのは
(1/n)Σ[k=1〜n]1/√(k/n)=(1/n){1/√(1/n)}+ (1/n)Σ[k=2〜n+1]1/√(k/n)-(1/n){1/√(n+1/n)}
ここでlim[n→∞](1/n)Σ[k=2〜n+1]1/√(k/n)=∫[1/n..1+(1/n)](1/√x)dx=・・・
No.89120 - 2024/10/14(Mon) 00:14:09
☆
Re: 極限の問題
/ IT
引用
>上から右辺第2項を横1/n、高さ1/√(1/n)＝√nの長方形の面積1/√nの面積と右辺第1項の和で評価し
良いような気がしますが、図を描かれると分かり易いと思います。
No.89122 - 2024/10/14(Mon) 10:18:17
☆
Re: 極限の問題
/ ast
引用
出題者が想定しているのは求める和を積分で挟み撃つこと, つまり (n は任意の有限値でいったん止めて)
∫_[1/n,1+1/n]dx/√x ≤ (k=1,…,n までの和) ≤ 1/n + ∫_[1/n,1]dx/√x
のように (面積の比較から) 和を評価 (積分はこの段階で計算) したのちに n→∞ とする方法ではないですか? (これなら広義積分は現れないですし.)
# この式が正しいかどうかは確認しないが, 「求める和を幅 1/n の短冊の合併の面積とみるとき:
# 曲線 y=1/√x がすべての短冊の左上, および右上, をそれぞれ通るとき下および上からの評価がでる」
# というかたちで式を提示したつもり.
No.89123 - 2024/10/14(Mon) 16:18:15
☆
Re: 極限の問題
/ Kana
引用
ITさん、astさん
ご回答どうもありがとうございます。
はさみうちが使える状態に式を評価できることがよく分かりました。丁寧な解説ありがとうございました！
No.89127 - 2024/10/14(Mon) 18:34:41
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