松坂集合で集合系の和集合の記述について
「一つの集合系（アー）が与えられたとすると、（アー）に属する少なくとも一つの集合の元となるもの全体の作る集合を'（アー）に属するすべての集合の和集合'」と定義しています。この時（アー）に属する集合はその集合の特定の元によって構成された集合全体ということでしょうか？
例 A＝｛1,2,3｝のべき集合において｛1｝｛1,2｝｛1,3｝｛1,2,3｝のようにAの元１が含まれている集合系に属する集合の和集合
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No.89789 - 2025/01/19(Sun) 18:26:37
| ☆ Re: 集合論 / ast | | | # 質問者の言ってる内容がさっぱり分からないが.
`集合を元とする集合' のことを集合系と言っているだけだから, 「集合系に属する集合」はふつうに `(集合系と称される) 集合' と 'その元 (となる集合)' との関係を言っている以外のことを意味しません.
ドイツ文字の A(アー) の代用として下線付き A で表すことにしますが
> 例 A＝｛1,2,3｝のべき集合において｛1｝｛1,2｝｛1,3｝｛1,2,3｝のようにAの元１が含まれている集合系に属する集合の和集合
がもし, もともと与えられた集合系 A が
A = { {1}, {1,2}, {1,3}, {1,2,3} }
であるという意図であれば
[a] E が A に属する集合 (記号では E ∈ A) とは E が集合 {1}, {1,2}, {1,3}, {1,2,3} のうちのどれでもいいが何れか一つに (集合として) 一致するという意味,
[b] A に属するすべての集合の和集合 ∪A = {1}∪{1,2}∪{1,3}∪{1,2,3} (= {1,2,3}).
とくに
[b-1] x∈∪A ⇔[x∈{1} または x∈{1,2} または x∈{1,3} または x∈{1,2,3}]
[b-2] 1∈∪A ∵1∈{1}, 2∈∪A ∵1∈{1,2}, 3∈∪A ∵1∈{1,2,3}.
あるいはもしもとが A = P(A) (A = {1,2,3} の冪集合) という意図ならば, 明らかに
[a] E ∈ A = P(A) ⇔(by def) E ⊂ A,
[b] ∪P(A) = A, ∩P(A) = ∅ (空集合)
(で, A の元がどのようなものであるかに言及することを要しない) です.
/* 追記 (ここから)
そもそもの話として:
"集合系 A に属する各集合 E" がどのような元 x からなる集合 E={x | x に関する条件} なのかを明らかにしなくとも, あるいは何らかの集合 A の冪集合の部分集合に属する元となる集合 E={x∈A | x に関する条件} でなくとも(※),
# (※) 実利上は何らかの `大きな' 集合 U の中でもともと合併がとれる状況の方が多いとは思うが
# 抽象的にはむしろ「`集合系から合併や冪をとって U を作る' 方向で議論領域 U を得る」認識が意味を持つ.
一般に, 与えられた集合系 A := {A_λ | λ∈Λ} (つまり集合系に属する元となる集合はハッキリしていて, かつそれら各集合がどのような元を持つか必ずしもハッキリしない状況) に対して
[a] E ∈ A ⇔ ∃A_λ∈A s.t. E=A_λ (⇔∃λ∈Λ s.t E=A_λ),
[b] ∪A = ∪_[λ∈Λ] A_λ,
とくに集合の有限族 A = {A_1, A_2, …, A_n} (n:自然数) について
[a] E ∈ A: E=A_1 または E=A_2 または … または E=A_n,
[b] ∪A = ∪_[i=1,2,…,n] A_i = A_1∪A_2∪…∪A_n. (中辺は記号では ∪の下にi=1,上にn と書くよくあるアレ)
あるいは集合列 (可算族) A = {A_1, A_2, …} について
[a] E ∈ A: E=A_i (∃i: 自然数) (つまり略式的には E=A_1 または E=A_2 または …).
[b] ∪A = ∪_[i=1,2,…] A_i = A_1∪A_2∪…. (中辺は記号では ∪の下にi=1,上に∞ と書くよくあるアレ)
なのは特段ややこしくもないしたぶん高校までの集合の知識でだいたいカバーしてるはずだと思うんですが.
もちろんこれら集合の等式の各辺に現れる集合を {x | x に関する条件} のような形で書けるか, 同じことだがこれら等式を各集合に属する元 x に関する条件の必要十分条件 (たとえば "x∈A∪B⇔x∈Aまたはx∈B" とか "x∈A_1∪A_2∪…⇔∃i(i=1,2,…) s.t. x∈A_i" とか) の形に書けるか, なども似たような範疇の知識のはず.
# もし↑が多少なりとも分かっているなら今回のようなことにはならないと思うが…….
## と言っても, このような一般に通用する抽象的な記述の「意味」は今回のような具体例を通じて
## 獲得しなければ (つまり, 字面で分かったつもりでも具体例で意味不明になっているのでは)
## 本当の意味で理解したとは言えないので, それは話が逆か.
(ここまで) */
> 和集合ではなく共通集合です。
複数箇所で用いられていますが, 質問のどの部分のそれを読み替える意図ですか.
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No.89792 - 2025/01/19(Sun) 21:18:02 |
| ☆ Re: 集合論 / ast | | | > 整理されていない質問をしてしまい
No.89792 で分からないと言ったのは整理されてないからではなくて論理的に意味が通らない記述しかなく解釈不能という意味です (まあ「整理はされてる」とも言いづらいのは (自分も整理は苦手なこともあるので) それはそれとして).
まえまえからちょくちょく (論理の通らない, 数学的に) おかしな言い回しをする人だとは思っていたが, 今回ばかりはさすがに見過ごしたらダメだと思う (書けば書くほどどれも完全に意味不明のデタラメで誰にも意味が通じないレベルとしか言いようがないので).
(せめて式も併用して書かれていればワンチャンあったか?)
> ・基本的に集合系には冪集合が存在しますが
-> [1] 特定の集合 A を与えたとき「冪集合 P(A) は一つの集合系を成す」ならば正しいが,
任意に集合系 A をあたえられたのならば何かしらの集合 B の冪集合 P(B) が
A に (部分集合として, もちろん元としても) 含まれるとは限らない
ので, 「集合系には冪集合が存在する」は (「てにをは」のレベルで) オカシイ.
あるいは仮に「冪集合 P(A) の基 (生成元) となる何らかの集合 A が存在する
(適当な A をとって A⊂P(A) とできる)」という話なら議論のしようもあるところだが,
そういう想定で「集合系には冪集合が存在する」と書いたのなら A と P(A) の区別がつかない記述で論外.
> ・それが部分集合系のことなのかそれを構成する元のことなのか
> ・部分集合系はあくまで集合系の元であり
-> [2] ふつう "部分集合系" という用語は「(集合としての) P(A) の部分集合 B (i.e. B⊂P(A))」
のことを指して「`(B は) "A 上の (あるいは A の)" 部分集合' (からなる) 系」のように使います,
なのであなたの記述には意味がとれる部分が一つもない.
> ・集合系の部分集合の取り方はその元である集合の元（集合を構成する元）で判断する
-> ([2] とも関係するが) もしかして
「集合系に属する元 (となる) 集合」と「集合系 (にぞくする集合) の和集合」の性質を
(あるいは "⊂" と "∈" を) 混同していないか?
(不正確な表現だが "所属関係 ∈" に関する「階層」の違い, という趣旨の話)
# 「集合系 A の部分集合 B」は "E∈B ならば E∈A" (B に属するどの集合 E もそもそも A に属する)
# という意味だし, 当然これは "E に属する元" に関する言及ではない
# (いっぽう和集合 ∪A の方は, "`(A の各元) E' の元" に関する言及).
あるいは例えば, 集合系の和集合はもとの集合系に属するとは限らない (し, ましてや集合系の部分集合でもない) ことは理解している?.
# そもそも, 「"集合の合併 ∪" は "既知のふたつ集合 A, B から新しい集合 A∪B を作る操作" である」
# という記述を ("集合ふたつ" から "任意濃度の集合系" に) 一般化すると
# 「"集合系の合併 ∪" は "既知の集合からなる集合系 A から新しい集合 ∪A を作る操作" である」になる
# というのは (何が何とどう対応するアナロジーなのか) 理解できる?
> 今回質問させていただきたかったのは「少なくとも一つの集合の元となっているもの」という言い回しです。
結局のところ, (多少略式ですが) 記号で書けば
>（アー）に属する少なくとも一つの集合の元となるもの全体の作る集合:
{x | x∈ ∃A s.t A∈A}, (これをふつうは {x | x∈A, A∈A} と書くだろうと思うが, いまは "∃" であることに意味があるので強調.)
あるいは標語的に "「少なくとも一つの」=∃" です.
# 後者は「標語的」と書いている通り不正確 (インフォーマル) ですが, それでも略式という共通理解の上では
# "x: [A: A に属する∃集合] の元" のような記述もままあるので
# (さすがに正式なところで使ったら怒られるだろうが……).
しかし質問内容がこの言い回しに関してであったというのならば,
> すみません。和集合ではなく共通集合です。
は一体どういう意図で述べたものか? もし共通部分の定義の記述に関してであったならば,
∩A := {x | x∈∀A (A∈A)},
つまり「∀:すべての」が定義のカギであり, その場合そもそも「∃: 少なくとも一つ」ではないのでこの質問に至ると思えません.
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No.89794 - 2025/01/20(Mon) 10:05:52 |
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