ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。

過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

★ 高校数学(数A) / 314

引用

nx̄がどこから出てきたのかわかりませんでした。

No.90319 - 2025/06/02(Mon) 23:06:01

☆ Re: 高校数学(数A) / 314

引用

問題文です。

No.90320 - 2025/06/02(Mon) 23:08:04

☆ Re: 高校数学(数A) / ast

引用

> nx̄がどこから出てきたのか
変形の前後で項・因子の対応がわかるように式が書かれていますから, 結局
　 x^- = (x_1f_1+x_2f_2+…+x_nf_n)/(f_1+f_2+…+f_n)
であるかどうか, という話であるようです.
# 右辺の分母は =n で, その分母を払うと nx^- が分かると思います.

これが正しいのかどうかは問題文にすら書かていませんので挙げられた画像だけではわかりかねますが, しかしおそらくこれ（あるいはこれが誤りならばこれとよく似た正しい式）が, 当然の常識としておくべき前提にあるのではないでしょうか.

No.90321 - 2025/06/02(Mon) 23:59:29

☆ Re: 高校数学(数A) / 314

引用

> > nx̄がどこから出てきたのか
> 変形の前後で項・因子の対応がわかるように式が書かれていますから, 結局
> 　 x^- = (x_1f_1+x_2f_2+…+x_nf_n)/(f_1+f_2+…+f_n)
> であるかどうか, という話であるようです.
> # 右辺の分母は =n で, その分母を払うと nx^- が分かると思います.
>
> これが正しいのかどうかは問題文にすら書かていませんので挙げられた画像だけではわかりかねますが, しかしおそらくこれ（あるいはこれが誤りならばこれとよく似た正しい式）が, 当然の常識としておくべき前提にあるのではないでしょうか.

ありがとうございます。

No.90322 - 2025/06/03(Tue) 11:33:10

☆ Re: 高校数学(数A) / IT

引用

各階級に含まれるデータの値がすべてその階級値x_iに等しい。
各階級の度数がf_i と書いてあります。
度数の計　f_1+f_2+…+f_k　 = n

文脈からx^- は、考えているｎ個のデータの平均値を表すと読めます（astさんの回答にある　当然の常識）から
x^- = (x_1f_1+x_2f_2+…+x_kf_k)/(f_1+f_2+…+f_k)

No.90324 - 2025/06/03(Tue) 19:36:06

☆ Re: 高校数学(数A) / IT

引用

高校数学１（私の手持ではAではなくて1)の教科書には
「一般に、変量xについて、大きさnのデータの総和をnで割った値を、このデータの「平均値」といい,x^- で表す。」
とあります。

No.90325 - 2025/06/03(Tue) 20:01:28

★ 漸化式 / ドンキーコング

引用

次の漸化式で与えられる数列の一般項を求めよ。
a1=2,an=an-1 +n(n+1) n=2,3,4…

次のように解きましたが違うようです。どうして違うのか教えて下さい。

No.90311 - 2025/06/02(Mon) 13:15:01

☆ Re: 漸化式 / ヨッシー

引用

解答の３行目の式に、ｎ＝２を入れてみると、
　a[2]＝a[1]＋２
ですが、漸化式
　a[n]=a[n-1]+n(n+1)
にｎ＝２を入れると
　a[2]＝a[1]＋６
であり、この３行目からして誤りであることがわかります。

普通の漸化式は
　a[n+1]＝a[n]＋b[n]
の式で書かれているのを前提に
　a[n]＝a[1]＋Σb[n]
が言えるのですが、この問題は
　a[n]＝a[n-1]＋・・・
の形なので、少し変形が必要です。

No.90312 - 2025/06/02(Mon) 13:26:16

☆ Re: 漸化式 / ヨッシー

引用

図が消えてたので、載せておきます。

No.90313 - 2025/06/02(Mon) 13:28:15

☆ Re: 漸化式 / ドンキーコング

引用

ありがとうございます。

これも違ってるみたいなんですが、どこがいけないのですか？

No.90314 - 2025/06/02(Mon) 13:45:38

☆ Re: 漸化式 / ヨッシー

引用

6n だけ２で割られていませんね。
原因は、項をまとめることと、約分することを同時にしたためです。

No.90315 - 2025/06/02(Mon) 14:10:06

☆ Re: 漸化式 / ドンキーコング

引用

ありがとうございます。

初歩的なミスでした。
解決できました。

もう一つ質問ですが、漸化式でnをn+1に置き換えて解きましたが、これって大丈夫な操作なんですか？

No.90316 - 2025/06/02(Mon) 15:04:32

☆ Re: 漸化式 / ヨッシー

引用

a[1]=2, a[n]=a[n-1]+n(n+1) n=2,3,4…
と
a[1]=2, a[n+1]=a[n]+(n+1)(n+2) n=1,2,3…
は同じものです。

ｎの範囲が違っていることに注意すると、上の疑問は解決するでしょう。

No.90317 - 2025/06/02(Mon) 17:03:16

☆ Re: 漸化式 / ドンキーコング

引用

なるほど。そうゆうことですか。
理解できました。
ありがとうございました。

No.90318 - 2025/06/02(Mon) 21:50:16

★ (No Subject) / 中3

引用

十五の一の解き方が分かりません。

No.90303 - 2025/06/01(Sun) 16:35:14

☆ Re: / X

引用

点A,Bからx軸に下ろした垂線の足を
それぞれH,Iとすると
△CBI∽△CAH
よって条件から
BI:AH=CI:CH
=4:1 (A)
一方、点A,Bは放物線y=(1/4)x^2の点
で,点Aは第1象限、点Bは第2象限の点なので
A(t,(1/4)t^2),B(-u,(1/4)u^2) (B)
(0＜t,0＜u (C))
と置くことができます。
(A)(B)から
(1/4)u^2:(1/4)t^2=4:1
これより
u^2:t^2=4:1
4t^2=u^2
(2t-u)(2t+u)=0
よって(C)より
u=2t
となるので
OI:OH=u:t=2:1 (D)

ここで、点(0,2)を点Dとすると
(台形BIOD)∽(台形ADOH)
なので(D)より
BI:OD=OI:OH=2:1
よって
BI=2OD
なので
(1/4)u^2=4
これより
u^2=16
よって(C)より
u=4
となるので
B(-4,4)

よって直線ABの傾きは
(0-4)/{0-(-4)}=-1
なので求める方程式は
y=-x+2
(もっと簡単な方法があるかもしれません。)

No.90306 - 2025/06/01(Sun) 17:39:08

☆ Re: / WIZ

引用

Xさん、
> (0-4)/{0-(-4)}=-1

上記は点Bと点Dの座標から直線ABの傾きを計算しているのであれば、
(2-4)/{0-(-4)} = -1/2 の間違いだと思います。

以下別解 (簡単になった訳ではありません。)

(1)
直線ABはy切片が2なので y = px+2, 但し p < 0 とおけます。
放物線との交点は (1/4)x^2 = px+2 より x = 2p±√(4p^2+8) となります。

点Aのx座標をa, 点Bのx座標をb, 点Cのx座標をcとすると、
a > b より a = 2p+√(4p^2+8), b = 2p-√(4p^2+8) となります。
また、0 = pc+2 より c = -2/p です。

|CA|:|AB| = 1:3 より (c-a):(a-b) = 1:3 なので、
3(c-a) = a-b
⇒ 3(-2/p)-3(2p+√(4p^2+8)) = (2p+√(4p^2+8))-(2p-√(4p^2+8))
⇒ -6/p-6p = 5√(4p^2+8)
⇒ -6(1+p^2) = 5p√(4p^2+8)
⇒ 36(1+2p^2+p^4) = 25(p^2)(4p^2+8)
⇒ 0 = 64p^4+128p^2-36
⇒ 0 = 16p^4+32p^2-9 = (4p^2)^2+8(4p^2)-9 = (4p^2-1)(4p^2+9)

4p^2 > 0 より 4p^2 = 1, p < 0 より p = -1/2 となり
直線ABは y = (-1/2)x+2 となります。

(2)
直線ABはx切片が-3なので y = p(x+3), 但し p > 0 とおけます。
放物線との交点は 2x^2 = p(x+3) より 2x^2-px-3p = 0 となり
x = {p±√(p^2+24p)}/4 となります。

点Aのx座標をa, 点Bのx座標をbとすると、
a < b より a = {p-√(p^2+24p)}/4, b = {p+√(p^2+24p)}/4 となります。

|CA|:|AB| = 4:5 より (a-c):(b-a) = 4:5 なので、
5(a-c) = 4(b-a)
⇒ 5{p-√(p^2+24p)}/4-5(-3) = 4{p+√(p^2+24p)}/4-4{p-√(p^2+24p)}/4
⇒ 5p+15*4 = 8√(p^2+24p)+5√(p^2+24p)
⇒ 5p+60 = 13√(p^2+24p)
⇒ 25(p^2+24p+144) = 169(p^2+24p)
⇒ 0 = 144(p^2+24p)-25*144 = 144(p^2+24p-25) = 144(p-1)(p+25)

p > 0 より p = 1 となり、直線ABは y = x+3 となります。

No.90323 - 2025/06/03(Tue) 18:08:26

☆ Re: / X

引用

＞＞WIZさんへ
ご指摘ありがとうございます。

＞＞中3さんへ
ごめんなさい。WIZさんの仰る通りです。

No.90326 - 2025/06/04(Wed) 18:07:46

★ 不等式の表す領域の体積 / むっちゃん

引用

No.90297 - 2025/05/31(Sat) 17:38:34

☆ Re: 不等式の表す領域の体積 / WIZ

引用

べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。
対数関数logは自然対数、eは自然対数の底と解釈します。

0 ≦ |log(z)| ≦ 1
⇒ -1 ≦ log(z) ≦ 1
⇒ 1/e ≦ z ≦ e
同様に、1/e ≦ x ≦ e, 1/e ≦ y ≦ e となります。

tの値を固定して e^t を定数と見なせば、z = e^t はxy平面に平行な平面となります。
平面 z = e^t による題意の立体の切り口の面積を s(t) とし、求める体積をVとすると、
V = ∫[1/e, e]s(t)dz = ∫[-1, 1]s(t)(e^t)dt

(1) t = log(z) < 0 の場合
1/e ≦ z = e^t < 1 つまり -1 ≦ t < 0 となり |log(x)|+|log(y)| ≦ 1-|log(z)| = 1+t です。
よって、|log(y)| ≦ 1+t-|log(x)| となります。

(1a) log(x) < 0 つまり 1/e ≦ x < 1 の場合
log(x) < -log(x) となりますから、
|log(y)| ≦ 1+t+log(x)
⇒ 1+t+log(x) ≦ log(y) ≦ 1+t-log(x)
⇒ e^(1+t+log(x)) ≦ y ≦ e^(1+t-log(x))
⇒ x(e^(1+t)) ≦ y ≦ (1/x)(e^(1+t))
この部分の面積は
∫[1/e, 1]{(1/x)(e^(1+t))-x(e^(1+t))}dx
= (e^(1+t))∫[1/e, 1]{1/x-x}dx
= (e^(1+t))[log(x)-(x^2)/2]_[1/e, 1]
= (e^(1+t)){(-1/2)-(-1-1/(2e^2))}
= (e^(1+t)){1/2+1/(2e^2)}

(1b) log(x) ≧ 0 つまり 1 ≦ x ≦ e の場合
-log(x) ≦ log(x) となりますから、(1a)とほぼ同様に
⇒ (1/x)(e^(1+t)) ≦ y ≦ x(e^(1+t))
この部分の面積は
(e^(1+t))∫[1, e]{x-1/x}dx
= (e^(1+t))[(x^2)/2-log(x)]_[1, e]
= (e^(1+t)){((e^2)/2-1)-(1/2)}
= (e^(1+t)){(e^2)/2-3/2}

よって、(1)の部分の面積は (e^(1+t)){2(e^2)/2-1} = (e^t)(e^3-e) となります。

(2) t = log(z) ≧ 0 の場合
1 ≦ z = e^t ≦ e つまり 0 ≦ t ≦ 1 となり |log(x)|+|log(y)| ≦ 1-|log(z)| = 1-t です。
よって、|log(y)| ≦ 1-t-|log(x)| となります。

(2a) log(x) < 0 つまり 1/e ≦ x < 1 の場合
log(x) < -log(x) となりますから、(1a)とほぼ同様に
⇒ x(e^(1-t)) ≦ y ≦ (1/x)(e^(1-t))
この部分の面積は
(e^(1-t))∫[1/e, 1]{1/x-x}dx = (e^(1-t)){1/2+1/(2e^2)}

(2b) log(x) ≧ 0 つまり 1 ≦ x ≦ e の場合
-log(x) ≦ log(x) となりますから、(1a)とほぼ同様に
⇒ (1/x)(e^(1-t)) ≦ y ≦ x(e^(1-t))
この部分の面積は
(e^(1-t))∫[1, e]{x-1/x}dx = (e^(1-t)){(e^2)/2-3/2}

よって、(2)の部分の面積は (e^(1-t)){2(e^2)/2-1} = (e^(-t))(e^3-e) となります。

以上から、
V = ∫[-1, 0]{(e^t)(e^3-e)(e^t)}dt+∫[0, 1]{(e^(-t))(e^3-e)(e^t)}dt
= (e^3-e){∫[-1, 0]{e^(2t)}dt+∫[0, 1]{1}dt
= (e^3-e){[(e^(2t))/2]_[-1, 0]+[t]_[0, 1]}
= (e^3-e){(1-e^(-2))/2+1}
= (e^3-e)(3-e^(-2))/2
= (3e^3-3e-e+e^(-1))/2
= (3e^3-4e+e^(-1))/2

# 私の勘違い、計算間違いがある可能性大ですので質問者さんの方で良く確認してください!

No.90300 - 2025/06/01(Sun) 12:17:25

☆ Re: 不等式の表す領域の体積 / IT

引用

私は求積はやっていませんが
(3e^3-4e+e^(-1))/2 > e^3 なので、まちがっているようですね

No.90301 - 2025/06/01(Sun) 14:46:12

☆ Re: 不等式の表す領域の体積 / X

引用

＞＞WIZさんへ
(1a)で絶対値を外す箇所が間違っているようです。
＞＞⇒ 1+t+log(x) ≦ log(y) ≦ 1+t-log(x)
ではなくて
-{1+t+log(x)} ≦ log(y) ≦ 1+t+log(x)
では？。

No.90307 - 2025/06/01(Sun) 17:45:01

☆ Re: 不等式の表す領域の体積 / WIZ

引用

ITさん、Xさん、ご指摘ありがとうございます。

少なくとも「絶対値を外し方」と「積分範囲」を間違えていました。
(1)は -1 ≦ t < 0 なので 0 ≦ |log(x)|+|log(y)| = 1+t < 1 であり、
(1a)は log(x) < 0 なので 0 < -log(x) ≦ 1+t
⇒ -(1+t) ≦ log(x) < 0
⇒ e^(-1-t) ≦ x < 1

また |log(y)| ≦ 1+t-|log(x)| より、
⇒ -{1+t+log(x)} ≦ log(y) ≦ 1+t+log(x)
⇒ (1/x)e^(-1-t) ≦ y ≦ x(e^(1+t))

この部分の面積は
∫[e^(-1-t), 1]{x(e^(1+t))-(1/x)e^(-1-t)}dx
= [((x^2)/2)e^(1+t)-log(x)e^(-1-t)]_[e^(-1-t), 1]
= {(1/2)e^(1+t)}-{(1/2)(e^(-2-2t))e^(1+t)-(-1-t)e^(-1-t)}
= (1/2)e^(1+t)-(1/2)e^(-1-t)+(1+t)e^(-1-t)
= (1/2)e^(1+t)+(1/2+t)e^(-1-t)

同様に(1b)は 0 ≦ log(x) ≦ 1+t なので 1 ≦ x ≦ e^(1+t) となり、
-{1+t-log(x)} ≦ log(y) ≦ 1+t-log(x)
⇒ x(e^(-1-t)) ≦ y ≦ (1/x)(e^(1+t))

この部分の面積は
∫[1, e^(1+t)]{(1/x)e^(1+t)-x(e^(-1-t))}dx
= [log(x)e^(1+t)-((x^2)/2)e^(-1-t)]_[1, e^(1+t)]
= {(1+t)e^(1+t)-(1/2)(e^(2+2t))e^(-1-t)}-{-(1/2)e^(-1-t)}
= (1/2+t)e^(1+t)+(1/2)e^(-1-t)

よって、-1 ≦ t < 0 において
s(t) = {(1/2)e^(1+t)+(1/2+t)e^(-1-t)}+{(1/2+t)e^(1+t)+(1/2)e^(-1-t)}
= (1+t){e^(1+t)+e^(-1-t)}

(2)は 0 ≦ t ≦ 1 なので 0 ≦ |log(x)|+|log(y)| = 1-t < 1 であり、
(2a)は log(x) < 0 なので 0 < -log(x) ≦ 1-t
⇒ -(1-t) ≦ log(x) < 0
⇒ e^(-1+t) ≦ x < 1

また -{1-t+log(x)} ≦ log(y) ≦ 1-t+log(x) より、
⇒ (1/x)e^(-1+t) ≦ y ≦ x(e^(1-t))

この部分の面積は
∫[e^(-1+t), 1]{x(e^(1-t))-(1/x)e^(-1+t)}dx
= [((x^2)/2)e^(1-t)-log(x)e^(-1+t)]_[e^(-1+t), 1]
= {(1/2)e^(1-t)}-{(1/2)(e^(-2+2t))e^(1-t)-(-1+t)e^(-1+t)}
= (1/2)e^(1-t)+(-3/2+t)e^(-1+t)

同様に(2b)は 0 ≦ log(x) ≦ 1-t なので 1 ≦ x ≦ e^(1-t) となり、
-{1-t-log(x)} ≦ log(y) ≦ 1-t-log(x)
⇒ x(e^(-1+t)) ≦ y ≦ (1/x)(e^(1-t))

この部分の面積は
∫[1, e^(1-t)]{(1/x)e^(1-t)-x(e^(-1+t))}
= [log(x)e^(1-t)-((x^2)/2)e^(-1+t)]_[1, e^(1-t)]
= {(1-t)e^(1-t)-(1/2)(e^(2-2t))e^(-1+t)}-{-(1/2)e^(-1+t)}
= (1-t)e^(1-t)-(1/2)e^(1-t)+(1/2)e^(-1+t)
= (1/2-t)e^(1-t)+(1/2)e^(-1+t)

よって、0 ≦ t ≦ 1 において
s(t) = {(1/2)e^(1-t)+(-3/2+t)e^(-1+t)}+{(1/2-t)e^(1-t)+(1/2)e^(-1+t)}
= (1-t){e^(1-t)-e^(-1+t)}

以上から
V = ∫[-1, 0]{(1+t){e^(1+t)+e^(-1-t)}e^t}dt+∫[0, 1]{(1-t){e^(1-t)-e^(-1+t)}e^t}dt
= ∫[-1, 0]{(1+t){e^(1+2t)+1/e}}dt+∫[0, 1]{(1-t){e-e^(-1+2t)}}dt

前半の積分は
[(1+t)(e^(1+2t))/2+(t+(t^2)/2))/e]_[-1, 0]-∫[-1, 0]{(e^(1+2t))/2}dt
= {e/2-(-1+1/2)/e}-[(e^(1+2t))/4]_[-1, 0]
= (1/2)(e+1/e)-(1/4)(e-1/e)
= (1/4)(e+3/e)

後半の積分は
[(t-(t^2)/2)e-(1-t)(e^(-1+2t))/2]_[0, 1]+∫[0, 1]{(-1)(e^(-1+2t))/2}dt
= {(1-1/2)e+(1/2)(1/e)-[(e^(-1+2t))/4]_[0, 1]
= (1/2)(e+1/e)-(1/4)(e-1/e)
= (1/4)(e+3/e)

よって、V = (1/4)(e+3/e)+(1/4)(e+3/e) = (1/2)(e+3/e) となると思います。

No.90309 - 2025/06/01(Sun) 23:38:13

☆ Re: 不等式の表す領域の体積 / むっちゃん

引用

返信が遅くなり申し訳ありません。
とても助かりました。
ありがとうございます。

No.90329 - 2025/06/06(Fri) 20:39:18

★ (No Subject) / やり直しメン

引用

算数です
120÷3=40

59÷3=19あまり2

40-19=21まい
21÷4=5あまり1

Ｂさんが取ったカードは５枚です

答えでは10枚でした。

No.90292 - 2025/05/29(Thu) 10:30:42

☆ Re: / ヨッシー

引用

Ａさんが取った21枚の３の倍数のカードから
Ｂさんが４の倍数のカードを取る
のであれば、その考えでいい（正しい答えは６枚ですが）ですが、
この問題は、Ａさんが取らなかった40枚のカードから
Ｂさんが４の倍数のカードを取る
なので根本的に違います。

No.90293 - 2025/05/29(Thu) 13:47:47

☆ Re: / やり直しメン

引用

Aが取った120÷3=40
59÷3=19あまり2
40-19=21枚
Ｂは120÷4=30
59÷4＝14あまり3
Ｂは30-14=16まい
答えは16枚ですか

No.90294 - 2025/05/30(Fri) 15:41:34

☆ Re: / GandB

引用

　A が取った3の倍数 { 60, 63, 66, …,120 } の個数は
　　(120-60)/3 + 1 = 21

　この中には3の倍数であると同時に4の倍数である数、つまりは 12 の倍数
　　{ 60, 72, 84, …,120 }
の個数が
　　(120-60)/12 + 1 = 6
だけある。
　4の倍数 { 60, 64, 68, …,120 } の個数は全部で
　 (120-60)/4 + 1 = 16
あるわけだが、このうち6個はすでにAが取っている。
　したがって求める個数は
　　16 - 6 = 10

　カードは全部で

60,　61,　62,　63,　64,　65,　66,　67,　68,　69
70,　71,　72,　73,　74,　75,　76,　77,　78,　79
80,　81,　82,　83,　84,　85,　86,　87,　88,　89
90,　91,　92,　93,　94,　95,　96,　97,　98,　99
100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109
110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119
120

だけしかないのだから、わかりにくいときは手作業で数える。

No.90295 - 2025/05/30(Fri) 16:19:30

☆ Re: / やり直しメン

引用

59÷12=4あまり9
10-4=6
16-6=10まいということです。
なぜこのような計算はされてないのでしょうか。

No.90296 - 2025/05/31(Sat) 15:35:40

☆ Re: / ヨッシー

引用

そのような式の羅列ではなく、前後に日本語を書くクセをつけましょう。

１以上５９以下の１２の倍数は
　59÷12=4あまり9
より、４枚。
１以上１２０以下の１２の倍数は
　120÷12＝10
より、１０枚。よって、６０以上１２０以下の１２の倍数は
　10-4=6
より、６枚。一方、６０以上１２０以下の４の倍数は１６枚（方法は省略）なので、
Ｂさんの取った、６０以上１２０以下で、３の倍数でない４の倍数の枚数は
　16-6=10 （枚）

太字の部分が全部抜けています。

その上で、GandB さんの回答と比較して、どこが違いますか？　

No.90310 - 2025/06/02(Mon) 08:51:35

★ (No Subject) / 中3

引用

解き方が分かりません

No.90284 - 2025/05/25(Sun) 16:25:39

☆ Re: / X

引用

方針だけ。

添付写真において、大きい三角形と小さい三角形
がありますが、そのうち、大きい三角形の頂点を
右上の頂点から反時計回りにA,B,Cとし、
小さい三角形の頂点をAから反時計回りに
D,Eとします。

このとき、四角形DBCEは円に内接しているので
∠ABC=∠AED (A)
∠ACB=∠ADE (B)
(A)(B)より
△ABC∽△ADE
このことから対応する辺の相似比について
(6+4):x=(x+3):4=8:y (C)

(C)をx,yについての連立方程式として
解きます。

No.90289 - 2025/05/25(Sun) 20:15:10

☆ Re: / ヨッシー

引用

方べきの定理は、円周角（円に内接する四角形の定理）と三角形の相似だけで説明できる定理です。
ご参考まで。

No.90290 - 2025/05/26(Mon) 08:52:36

★ 三角関数の回転の方向と正負について / やすゆき

引用

数学の三角関数の問題です。添付の問題の（1）の解説で、x'=rcos(α+3/π)となっている部分が、x'=rcos(3/π-α)のように思えてしまって、なぜカッコの中がα+3/πとなるのかがわかりません。基本的な考え方が身に付いていないのかもしれず、その前提で教えていただけると大変ありがたいです。

No.90278 - 2025/05/21(Wed) 23:55:37

☆ Re: 三角関数の回転の方向と正負について / ヨッシー

引用

だいたいの数値で考えると、
Ｐ’の角が α＝－５５°くらいとして、そこから
６０°回転して、Ｑ’が５°くらいになると考えると、
　α＋π/3＝－５５°＋６０°＝５°
でいいと思いますが。

No.90279 - 2025/05/22(Thu) 09:35:18

☆ Re: 三角関数の回転の方向と正負について / X

引用

横から失礼します。

これはαがどう定義されているか、ということですね。

(1)の解説の4行目から
cosα＞0,sinα＜0
∴
-π/2+2nπ＜α＜2nπ (A)
(nは任意の整数)

ヨッシーさんの解説は(A)において
n=0のとき、つまり
-π/2＜α＜0 (A)'
に当たります。
一方、例えば、n=1のときは
x軸の正の向きから一周して
3π/2＜α＜2π (A)"
となります。

(A)'(A)"においても、動径OP'が角αの位置から
反時計回りにπ/3だけ回転移動するわけですので
α+π/3(=π/3+α)
となります。

No.90281 - 2025/05/22(Thu) 17:48:11

☆ Re: 三角関数の回転の方向と正負について / やすゆき

引用

ヨッシーさん、xさん

ありがとうございます

図形上の位置関係で考えてしまっていました。

αとx,y座標の関係性を式で考えたらプラスですね

理解できました、ありがとうございました。

> 横から失礼します。
>
> これはαがどう定義されているか、ということですね。
>
> (1)の解説の4行目から
> cosα＞0,sinα＜0
> ∴
> -π/2+2nπ＜α＜2nπ (A)
> (nは任意の整数)
>
> ヨッシーさんの解説は(A)において
> n=0のとき、つまり
> -π/2＜α＜0 (A)'
> に当たります。
> 一方、例えば、n=1のときは
> x軸の正の向きから一周して
> 3π/2＜α＜2π (A)"
> となります。
>
> (A)'(A)"においても、動径OP'が角αの位置から
> 反時計回りにπ/3だけ回転移動するわけですので
> α+π/3(=π/3+α)
> となります。

No.90282 - 2025/05/24(Sat) 15:19:41

★ 転換法 / TOM

引用

転換法は以下のようにアイウの仮定が重ならず更にすべての場合を表し、
結論もが重ならずさらにすべての場合を表しすべての場合を表す場合、すべての逆が
成り立つことですか。

転換法を利用して以下のア　x>3⇒x^2>9、イ　x＝3⇒x^2＝9、ウ　x＜3⇒x^2＜9
を考えると、逆　ア　x>3←x^2>9、イ　x＝3←x^2＝9、ウ　x＜3←x^2＜9
が成り立つことが考えられます。
しかし、この例はなぜ誤りですか。

転換法が利用できるときと、できないときの違いは何ですか。

No.90275 - 2025/05/21(Wed) 17:40:29

☆ Re: 転換法 / らすかる

引用

最初のウが正しくありません。例えばx=-4のときx^2＞9です。

No.90276 - 2025/05/21(Wed) 17:48:57

☆ Re: 転換法 / TOM

引用

最初のウの誤りがわかりました。

転換法は「アイウの仮定が重ならず更にすべての場合を表し、
結論もが重ならずさらにすべての場合を表しすべての場合を表す場合、すべての逆が成り立つこと」ですか。

No.90277 - 2025/05/21(Wed) 20:57:05

★ (No Subject) / りんご

引用

nを自然数とする。2つの変量ｘ,ｙのn個のデータ
(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)…(xn,yn)
が与えられている。ｘの平均値はｘ=16，分散はSx^2=3でありｙの平均値はｙ=3，分散はSy^2=2/3である。Xとyの共分散をsxyとおく。さらにz=2x-3yで新たな変量zを作る。Zのデータはzi=2xi－3yi(i=1,2…n)である。この時zの平均値zはz=[23]となる。Zの分散Sz^2をSxyを用いて書き表すとSz^2=？

この問題って分散=「2乗の期待値 - 期待値の2乗」を利用し
てyi^2の期待値，xi^2の期待値を求める。そしてｚの分散=「2乗の期待値 - 期待値の2乗」を利用して求めることはできないのでしょうか。このやり方だと答え合わないのですが

No.90268 - 2025/05/18(Sun) 00:58:26

☆ Re: / ポテトフライ

引用

> そしてｚの分散=「2乗の期待値 - 期待値の2乗」を利用して求めることはできないのでしょうか。このやり方だと答え合わないのですが

できます。答えが合わないと言われても、あなたがどんな途中計算をしたのか見せてもらわないと、回答しようがない。
合わないのはあなたの計算のどこかが間違ってるからです。
(まあ多分共分散のけいさんが間違えているのだろう。)

No.90280 - 2025/05/22(Thu) 17:07:03

★ 微分 / Higashino

引用

何卒よろしくお願いします
以下問題

No.90261 - 2025/05/15(Thu) 15:42:47

☆ Re: 微分 / X

引用

a=1のときは題意を満たさないので不適。

a≠1のとき
f(x)=a^x-x
と置くと
f(0)=1 (A)
f'(x)=(a^x)loga-1 (B)
(i)0＜a＜1のとき
(B)より0＜xにおいてf(x)は単調減少
で
lim[x→∞]f(x)=-∞
∴不適。
(ii)1＜aのとき
(B)より、0＜xにおける増減表を書くと
f(x)はx=-log[a](loga)のときに
最小値
f(-log[a](loga))=1/loga+log[a](loga)
を取ることが分かるので、題意を満たすためには
1/loga+log[a](loga)≧0
これより
loga≧a^(-1/loga)=1/e
∴e^(1/e)≦a
これと1＜e^(1/e)により
e^(1/e)≦a

以上より、求めるaの値の範囲は
e^(1/e)≦a

No.90262 - 2025/05/15(Thu) 17:51:11

☆ Re: 微分 / Higashino

引用

ご返信が遅くなり申し訳ございませんでした
ご回答ありがとうございました
わたくしは次のように考えました
ご指摘アドバイスのほどよろしくお願いいたします

No.90270 - 2025/05/19(Mon) 07:16:23

★ (No Subject) / ネバラン

引用

実数 A <= B, C <= D　について

A <= x <= B
C <= x <= D

をともに満たす実数xが存在するとき
A、B、C、Dが満たすべき必要十分条件を求めよ。

これの答えはどうなりますか？

No.90256 - 2025/05/15(Thu) 10:28:31

☆ Re: / ヨッシー

引用

Ｃ≦Ｂ　かつ　Ａ≦Ｄ
ですかね。

No.90257 - 2025/05/15(Thu) 11:36:06

☆ Re: / ネバラン

引用

A <= C かつ B <= Dとかは良いんですか

No.90258 - 2025/05/15(Thu) 13:34:48

☆ Re: / ヨッシー

引用

Ａ≦Ｃでなくても、あるいは　Ｂ≦Ｄでなくても
たとえば、
　Ｃ＜Ａ≦ｘ≦Ｄ＜Ｂ
であれば、ｘは存在するので、
ＡとＣ、ＢとＤの大小は関係ないと思います。

No.90259 - 2025/05/15(Thu) 15:10:28

☆ Re: / IT

引用

Ｃ≦Ｂ　かつ　Ａ≦Ｄが　必要条件であることは容易に分かるので省略します。

Ｃ≦Ｂ　かつ　Ａ≦Ｄが十分条件であることを示す。

実数Ａ ≦Ｂ, Ｃ≦Ｄ　について
　Ｃ≦Ｂ　かつ　Ａ≦Ｄならば
　　Ｃ≦Ａのときは、Ｃ≦Ａ≦ＤかつＡ≦Ａ≦Ｂ（ｘ＝Ａが両方の区間に共通に存在する）
　　Ａ＜Ｃのときは、Ａ≦Ｃ≦ＢかつＣ≦Ｃ≦Ｄ（ｘ＝Ｃが両方の区間に共通に存在する）

　

No.90263 - 2025/05/15(Thu) 20:44:30

★ 微分 / Higashino

引用

何卒よろしくお願いします
以下問題

No.90249 - 2025/05/12(Mon) 20:42:35

☆ Re: 微分 / _

引用

f(x)=x^p とおく。

　A=(2^p)*((a+b)/2)^p
　B=(2^p)*( (a^p + b^p)/2 )

だから,
「AとBの大小関係」は「f((a+b)/2) と (f(a)+f(b))/2 の大小関係」と同じ。

・p>1 のとき：f(x)のグラフは下に凸だから,
　f((a+b)/2) < (f(a)+f(b))/2 , i.e. A
・0<p<1 のとき：f(x)のグラフは上に凸だから,
　f((a+b)/2) > (f(a)+f(b))/2 , i.e. A>B .

・p=1 のときは　f((a+b)/2) = (f(a)+f(b))/2 だから A=B .

No.90254 - 2025/05/13(Tue) 14:40:03

☆ Re: 微分 / Higashino

引用

ご返信が遅くなり
申し訳ございませんでした
素敵な考え方をありがとうございました
私も回答を作りましたが
先生のようなスマートさありませんです
何卒よろしくお願いします

No.90260 - 2025/05/15(Thu) 15:16:28

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