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ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

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数3 1の5乗根について / 浪人生
「1の5乗根を1,α1,α2,α3,α4とするとき
R=1/(1-α1)+1/(1-α1)+1/(1-α1)+1/(1-α1)
の値を求めよ.」

P=(2-α1)(2-α2)(2-α3)(2-α4)=31
Q=(1-α1)(1-α2)(1-α3)(1-α4)=5
を使いそうなのですが,どのようにRを求めたらいいのかがわかりません.Rの式を通分すると分母にQが来ることはわかるのですが,分子をどのように処理したらいいかわかりません.よろしくお願いします.

No.78203 - 2021/09/15(Wed) 17:10:27

Re: 数3 1の5乗根について / ヨッシー
R=1/(1-α1)+1/(1-α2)+1/(1-α3)+1/(1-α4)
の誤りでしょうね。コピペしっぱなし?

さて、簡単のために
 R=1/(1-a)+1/(1-b)+1/(1-c)+1/(1-d)
と書いて、通分してゴリゴリ計算すると
 R={(1-a)(1-b)(1-c)+(1-b)(1-c)(1-d)+(1-c)(1-d)(1-a)+(1-d)(1-a)(1-b)}/Q
 ={(1-a-b-c+ab+bc+ca-abc)+(1-b-c-d+bc+cd+db-bcd)+(1-c-d-a+cd+da+ac-cda)+(1-d-a-b+da+ab+bd-dab)}/Q
 ={4-3(a+b+c+d)+2(ab+bc+cd+da+ac+bd)-(abc+bcd+cda+dab)}/Q ・・・(i)
ここで、1,a,b,c,d は x^5=1 の解であり、
 x^5−1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)
なので、
 (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=x^4+x^3+x^2+x+1  ・・・(ii)
解と係数の関係より(左辺を展開して係数比較してもよい)
 a+b+c+d=-1, ab+bc+cd+da+ac+bd=1, abc+bcd+cda+dab=-1
また、(ii) に x=1 を代入すると確かに Q=5 となります。
これらを(i) に代入して、
 R=(4+3+2+1)/5 = 2
となります。

No.78205 - 2021/09/15(Wed) 17:32:58

Re: 数3 1の5乗根について / 浪人生
解と係数の関係を使う発想が出ませんでした... ありがとうございます、助かりました! 
No.78206 - 2021/09/15(Wed) 17:53:28

Re: 数3 1の5乗根について / らすかる
x^5-1=0の解がα1〜α5なので
(1-x)^5-1=0の解が1-α1〜1-α5
(1-1/x)^5-1=0の解が1/(1-α1)〜1/(1-α5)
(1-1/x)^5-1=0の両辺にx^5を掛けて展開し整理すると
x^4-2x^3+2x^2-x+1/5=0
解と係数の関係から3次の係数が-(解の和)なので、Rは2

No.78216 - 2021/09/15(Wed) 22:33:45
高校物理 力学 / わをん
滑り出す時(滑り始める時)と傾き出す時(傾き始める時)はどう言った状態なんですか?
なるべく多くの方に回答してもらいたい!

No.78191 - 2021/09/14(Tue) 19:22:22

Re: 高校物理 力学 / わをん
また、__( )の__と( )が同義でしょうか?
No.78192 - 2021/09/14(Tue) 19:25:16

Re: 高校物理 力学 / 高校三年生
物理的には、外力の釣り合いが取れていない物体の重心速度と自転角速度が0の瞬間じゃないかと・・・。
「滑る」と「傾く」は同義ではないと思うけど。
前者は併進運動に限る現象で、後者は回転運動も伴う現象かと。

No.78193 - 2021/09/14(Tue) 21:26:49

Re: 高校物理 力学 / 関数電卓
> 滑り出す時(滑り始める時)と傾き出す時(傾き始める時)はどう言った状態なんですか?
下図のように直方体物体の左上に を加えたとき,細線の状態が 太線 の状態になったとすると,
 左側 (A) が 滑り出す
 右側 (B) が 傾き出す
です。
> __( )の__と( )が同義でしょうか?
「出す」と「始める」は同義です。

No.78194 - 2021/09/14(Tue) 21:34:08

Re: 高校物理 力学 / わをん
高校物理に限らず、物理は 問題設定あっての特有の問い があるので、抽象的な質問はどうかと思いましたが、〜し出すや〜し始めるは〜している状態なのですね。ありがとうございます♪
No.78196 - 2021/09/14(Tue) 21:54:26

Re: 高校物理 力学 / わをん
すいません、追加で質問なのですが、
滑らかな床に斜面上が滑らかな三角形の物体を置き、その物体の斜面の上から、物体を滑らせようとする
このような場面設定で、必ず前者の物体と後者の物体は逆方向に移動しませんか?よくわかりませんが、束縛条件やら云々が何故つくのでしょうか? 剛体として見る?とちゃんと滑るのでしょうか?

あと、写真の水平方向で運動量保存則がなりたつのはなぜですか?(台は質量M、Pは質量m、床、斜面 摩擦なし)結果的に外力がないと取れるのはなんとなくわかりますが、明らかに曲面の接線方向にmg×?があまり、外力がないと取れないと思いました。
ただ、mgを分解しないで鉛直方向と捉え、水平方向は外力がないと取れると考えるだけですか?

No.78198 - 2021/09/15(Wed) 01:02:14

Re: 高校物理 力学 / IT
> 滑らかな床に斜面上が滑らかな三角形の物体を置き、その物体の斜面の上から、物体を滑らせようとする

「滑らか」→摩擦はなし。ということでしょうか?
「置き」→そっと(あいまいですが)置くということでしょうか?
「滑らせようとする」→重力(とお互いの抗力)以外の力は、働かない(例えば置いた手を放すだけ)のでしょうか? あるいは、斜め下に重力以外の力を加え続けるのでしょう
か?

図を描いて、2つの物体それぞれに働く力を考えれば良いのでは?

No.78199 - 2021/09/15(Wed) 07:34:11

Re: 高校物理 力学 / 関数電卓
> 必ず前者の物体と後者の物体は逆方向に移動しませんか?
その通りです。
> 束縛条件やら云々が何故つくのでしょうか?
前者の物体を「台」,後者の物体を「小物体」と呼ぶことにします。小物体は台上を動くので,台に 束縛(拘束)されています。
台の水平右向きの加速度を A とします。台とともに加速度運動をする観測者からみると,小物体には,水平方向左向きに 慣性力 mA がはたらきます。これと重力の斜面方向の成分とから,小物体の斜面方向の加速度 a が求まります。

No.78200 - 2021/09/15(Wed) 09:45:34

Re: 高校物理 力学 / 関数電卓
(後半)
> 結果的に外力がないと取れるのはなんとなくわかりますが、
台から小物体への,小物体から台への,それぞれの力 (垂直抗力) のやり取り (作用・反作用) はもちろんあります(これが 拘束)。しかし,これらは物体系の 内力 であって,この物体系にはたらく 外力 は鉛直下向きの重力のみです。
水平方向には 外力 がはたらかないので,運動量の(和の)水平成分が保存される のです。
幸い,A 点にある小物体がもつ運動量は,水平成分だけですので。

No.78201 - 2021/09/15(Wed) 10:07:33
(No Subject) / 数学苦手
また質問すみません。この問題なのですがこのように式を建てるので、合ってると思うのですが、、
No.78186 - 2021/09/14(Tue) 15:46:30

Re: / 数学苦手
https://rikeilabo.com/formula-list-of-arithmetic-progression
ここのAのような式はどのような時に使うのでしょうか?
今回の写真の問題のような式を文字で表していますか?

No.78187 - 2021/09/14(Tue) 15:47:36

Re: / 数学苦手
> https://rikeilabo.com/formula-list-of-arithmetic-progression
> ここのAのような式はどのような時に使うのでしょうか?
> 今回の写真の問題のような式を文字で表していますか?


あ、和の公式だからですね

No.78188 - 2021/09/14(Tue) 16:20:55

Re: / 数学苦手
理解できました
No.78189 - 2021/09/14(Tue) 16:21:22
漸化式 / マックスバリュ
よろしくお願いします。
No.78182 - 2021/09/14(Tue) 14:27:23

Re: 漸化式 / ヨッシー
「=」が4つありますが、左から順に
 1.与えられた漸化式
 2.a[k]=k/(k+1) を代入
 3.分子分母にk+1(≠0)を掛けて整理
 4.カッコを外し整理
です。

No.78183 - 2021/09/14(Tue) 14:57:55

Re: 漸化式 / マックスバリュ
すみません。質問が抽象的過ぎました。下の式n=k+1はどこに代入すれば出てくるのでしょうか。紛らわしくてすみません。
No.78184 - 2021/09/14(Tue) 15:29:59

Re: 漸化式 / マックスバリュ
> すみません。質問が抽象的過ぎました。下の式n=k+1はどこに代入すれば出てくるのでしょうか。紛らわしくてすみません。
打ち間違えました。n=k+1をどこに代入すれば出てくるのでしょうか?

No.78185 - 2021/09/14(Tue) 15:31:33

Re: 漸化式 / ヨッシー
n=k+1 のときに、@が成り立つかを調べるために、
問題で与えられた漸化式にn=k を代入する。
ですね。

No.78190 - 2021/09/14(Tue) 17:47:25
(No Subject) / パンサーカス
0≦θ≦π/2 C;y=x²-2xcosθ+cos2θのときCの通りうる範囲を図示したいのですがどうすればいいですか?
No.78180 - 2021/09/14(Tue) 13:01:30

Re: / 関数電卓
cosθ=u と置くと
 与式 ⇔ 2u^2−2xu+x^2−y−1=0 …(*)
u についての2次方程式(*)が 0≦u≦1 の実数解をもつ (x,y) の条件を求める。

No.78181 - 2021/09/14(Tue) 14:04:51

Re: / 編入受験生
> cosθ=u と置くと
>  与式 ⇔ 2u^2−2xu+x^2−y−1=0 …(*)
> u についての2次方程式(*)が 0≦u≦1 の実数解をもつ (x,y) の条件を求める。


そのやり方で,yの範囲をどうやって出すのですか。
0<=u<=1のもとで2次方程式(*)が解を持つような条件を考えると,yが不等式の中に現れますが,そのyはθによって定まるので,循環論法です.

この問題は、文字固定で解きます.
つまり,xを固定して,yをθの関数と見立て,
yの最小値と最大値をだす.
このやり方で解きます.
パンサーカスさん、自分で考えてみてください.

No.78197 - 2021/09/15(Wed) 00:44:54

Re: / 関数電卓
 C:y=x^2−2xcosθ+2(cosθ)^2−1 (0≦θ≦π/2) …(1)
cosθ=u と置くと,0≦u≦1 かつ
 (1) ⇔ 2u^2−2xu+x^2−y−1=0 …(2)
(2)が実数解をもつことから
 D/4=x^2−2(x^2−y−1)=−x^2+2y+2≧0 ∴ y≧(1/2)x−1 …(3)
また,
 z=f(u)=2u^2−2xu+x^2−y−1 …(4)
と置くと,
 (2)が 0≦u≦1 の解をもつ ⇔ Z=f(u) が 0≦u≦1 で u 軸と交わる
であり,(3)のとき z=f(u) はどこかで必ず u 軸と交わるのだから,下 図1の場合のみを除けば良い。このとき
 f(0)=x^2−y−1<0 ∴ y>x^2−1 …(5)
 f(1)=2−2x+x^2−y−1=(x−1)^2−y<0 ∴ y>(x−1)^2 …(6)
以上より,(3)から(5)(6)を除くと,求める (x,y) 存在する範囲,すなわち(1)が通る領域は 図2 の着色部分。ただし,境界線上の点を含む。

No.78202 - 2021/09/15(Wed) 13:05:42

Re: / m
関数電卓さんの方針がやりやすいと思いますが,場合分けが足りていないので補足します.
答え確認用の図

u の二次方程式 f(u)=2u^2−2xu+x^2−y−1=0 が 0≦u≦1 に解をもつための条件を考えていた.
まず,実数解をもつから D≧0 である.

解の存在する場所に注目して除くべき場合は次の3つ.

A1. u<0 と u>1 にそれぞれ解を持つとき.f(0)<0 かつ f(1)<0.

A2. u<0 に(重解を含む)二つの解をもつとき.放物線の軸(u = x/2)<0 かつ f(0)>0.

A3. u>1 に(重解を含む)二つの解をもつとき.放物線の軸(u = x/2)>1 かつ f(1)>0.



別の方法として,0≦u≦1 に解を持たない場合を考えてそれを除くのではなく,直接的に解をもつ条件を考えることもできる.
0≦u≦1 に解を持つとき,次の三つのうち少なくとも一つを満たす.

B1. 0≦u≦1 に(重解を含む)二つの解をもつ.つまり D≧0 かつ 0<放物線の軸(u = x/2)<1 かつ f(0)>0 かつ f(1)>0.

B2. 0≦u≦1 と 1≦u にそれぞれ(u=1の重解を含む)解をもつ.つまり f(0)≧0 かつ f(1)≦0.

B3. 0≦u≦1 と u≦0 にそれぞれ(u=0の重解を含む)解をもつ.つまり f(0)≦0 かつ f(1)≧0.

このB2, B3 は合わせて f(0)f(1)≦0 とすることもできます.(f(0)とf(1)の符号が違えば,0から1の間のどこかでグラフと横軸が交わる.)

No.78207 - 2021/09/15(Wed) 18:33:04

Re: / 編入受験生
関数電卓さんのやり方は、非常に技巧的で二次関数の性質をうまく利用していて素晴らしいと思います。
私は循環論法に見えたので。
しかし、結局のところそのようなやり方だと、論証がとても大変になってしまうと思います。

以下文字固定の方法で示します。


0<=u<=1のもとで,yをuの関数f(u)=と見立てると,
xを固定する限り,y = f(u)は最大値f(u_1)と最小値f(u_0)が必ず存在する.ただし,u=u_1で最大,u=u_0で最小となるものとする.
また,f(u)はuの二次関数であるから連続であるので,
中間値の定理よりy=f(u)はf(u_0)からf(u_1)の間の全ての値を取る.
よって,y=f(u)の最小値と最大値を求めればよい.
f(u)をuで微分すると,f'(u) = -2x+4uより,
極値の候補はf'(u) = 0となる点だから,
u = x/2のとき.
これを0<=u<=1に代入すると,
0<=x<=2となるから,その場合のみf(u)は極値の候補をもつ.
また,f'(u)は傾き正の一次関数だから,常に増加するので,
f'(u)はu = x/2を境に負から正へと変わる.
∴0<=x<=2のもとで,u = x/2のとき最小値を取るすなわち
f(x/2)= x^2/2 - x^2 + x^2 - 1 = x^2/2 - 1は最小値.
あとは,最小値・最大値の候補は端点しかないから,
f(0)とf(1)を比較すればよい.
f(0) = x^2-1 >= f(1) = x^2 -2x + 1 = (x-1)^2とおいて,
同値変形するとx>=1となるから,
f(0)<=f(1)となるのは,x<=1のとき.

これより,
曲線Cは以下の範囲を動く.

x<=0のとき, x^2-1<=y<=(x-1)^2の間を動き,
0<=x<=1のとき, x^2/2-1<=y<=(x-1)^2の間を動き,
1<=x<=2のとき,x^2/2-1<=y<=x^2-1の間を動き,
2<=xのとき,(x-1)^2<=y<=x^2-1の間を動く.

あと、二次関数にならない問題には適用できないので、
応用の観点からでも文字固定の方法で解いたほうがいいです。

No.78208 - 2021/09/15(Wed) 18:41:42

Re: / 関数電卓
mさん,ご指摘有り難うございます。
 ご指摘の A2 が x<0,A3 が 2<x
なので,修正図を再掲します。

No.78210 - 2021/09/15(Wed) 19:34:58

Re: / 編入受験生
グラフはこんな感じになります。
No.78211 - 2021/09/15(Wed) 19:45:05

Re: / 編入受験生
> mさん,ご指摘有り難うございます。
>  ご指摘の A2 が x<0,A3 が 2<x
> なので,修正図を再掲します。


(5)かつ(6)ですよ。
(5)の場合でも、0<=u<=1の範囲でf(u)が解を持ちますから.
あまり適当なことをいうと、誤解しますからわからないなら解答しないほうがいいと思います.
そもそも、その方法で答案書く受験生の気持ちになるべきだと思います.

No.78212 - 2021/09/15(Wed) 19:49:36

Re: / 編入受験生
> 0≦θ≦π/2 C;y=x²-2xcosθ+cos2θのときCの通りうる範囲を図示したいのですがどうすればいいですか?

東大狙っているなら、文字固定で解くべき。
東大は領域問題頻出で、このやり方じゃないと時間絶対に間に合わない。
面積を求めるときもこのやり方が有利。

mさんは、二次関数のほうがやりやすいといってますが、
それは少ない知識でも解ける方法といっているだけで、
論証が簡単なのは文字固定です。
そういう意味でも、難関大受験生は早い時期に数3を終わらせているのだと思うよ。
まあ、これだけ言ってもわからないのであればおすきにどうぞという感じですが。

No.78213 - 2021/09/15(Wed) 20:20:47

Re: / 関数電卓
皆さん,有り難うございました。
今更ながらの板汚しですが,自分で蒔いた種は修正しておきますね。

mさんの A1 → 私の No.78202 の (5) かつ (6) かつ 0≦x≦2 …(7)
mさんの A2 → x<0 かつ y<x^2−1 …(8)
mさんの A3 → 2<x かつ y<(x−1)^2 …(9)
(3)から(7)(8)(9)を除き,求める領域は下図の通り。

(mさんの B 方式の方が無難でした。)

No.78218 - 2021/09/15(Wed) 22:46:12
不等式 / 数学雑魚
以下の問題の解き方を教えて頂きたいです。

4%の食塩水が200gある。これに食塩を加えて濃度が20%を越えない食塩水をつくりたい。食塩を何gまで加えることができますか?

宜しくお願い致します

No.78177 - 2021/09/13(Mon) 22:20:52

Re: 不等式 / ヨッシー
4%の食塩水200gの中身は
 食塩8g、水 192g
です。これに食塩をxg加えたとします。
 食塩8+xg 水192g 合計200+xg
となるので、このときの濃度は
 (8+x)÷(200+x)×100%
であるので、
 (8+x)÷(200+x)×100<20
両辺 200+x(>0) を掛けて20で割ると
 (8+x)×5<200+x
あとは普通に解きます。

No.78179 - 2021/09/13(Mon) 22:50:17
(3)に手がつかない / 魔人ブウ
放物線K:y=x^2上の相異なる3点A(a,a^2),B(b,b^2),C(c,c^2)における接線をそれぞれl,m,nとし、lとm,mとn,nとlとの交点をそれぞれP,Q,Rとする。
(1)点Pの座標を求めよ
(2)3点A,B,Cの取り方に無関係に、三角形PQ Rの垂心Hはつねに定直線上にあることを示せ
(3)(2)の時、点Hから放物線Kに引いた2本の接線をそれぞれD,Eとし、線分DEと放物線Kとで囲まれた図形の面積をSとする。Sが最小となるようなHの座標とその時のSの値を求めよ

No.78175 - 2021/09/13(Mon) 20:59:02

Re: (3)に手がつかない / X
>>2本の接線をそれぞれD,Eとし

2本の接線のKとの接点をそれぞれD,Eとし
のタイプミスと見て回答を。

(2)の結果より点Hは
直線y=-1/4
の上にあるので
H(u,-1/4)
と置くことができます。
ここでK上の点(t,t^2)における接線の方程式は
y=2tx-t^2
(l,m,nの方程式は既に求められていると思いますので
理由は書きません。)
これがHを通るので
-1/4=2tu-t^2
4t^2-8ut-1=0 (A)
(A)をtの方程式と見たときの解を
α、β(α<β)とするとα、βは
それぞれD,Eのx座標であり、
又、解と係数の関係により
α+β=2u (B)
αβ=-1/4 (C)
一方このとき
S=(1/6)(β-α)^3 (D)
(B)(C)より
(β-α)^2=4u^2-4・(-1/4)
=4u^2+1 (E)
(D)(E)から
S=(1/6)(4u^2+1)^(3/2)
よってSはH(0,-1/4)のとき最小値1/6を取ります。

(注)
Sが(D)となる理由は敢えて書きません。
少し考えてみて下さい。
それでも分からないようであれば、
その旨をアップして下さい。

No.78176 - 2021/09/13(Mon) 21:41:50

Re: (3)に手がつかない / 魔人ブウ
ありがとうございます!わかりました!
No.78178 - 2021/09/13(Mon) 22:25:21
扇形について。知りたい点の高さが知りたい。 / 寝屋川のポチャッコ
見えづらいと思うんですが、扇形がこのように傾いています。
扇形の高さを調べたい場合は、以前は半径-√半径の2乗-横の距離という風にご教授いただきましたが、傾いているのでそれは使えないのです。
傾くと横の距離まで傾いてしまうからです。
中心核とx軸に対する傾きが分かっているとするとき、個々の値の高さは計算不能でしょうか。

No.78166 - 2021/09/13(Mon) 17:21:17

Re: 扇形について。知りたい点の高さが知りたい。 / 寝屋川のポチャッコ
すみません、ここの値の高さでは説明不足ですね。底辺からの高さ、つまりy値です。
No.78167 - 2021/09/13(Mon) 17:32:01

Re: 扇形について。知りたい点の高さが知りたい。 / ヨッシー

図のFのy座標と言うことで良いですか?

No.78168 - 2021/09/13(Mon) 17:37:54

Re: 扇形について。知りたい点の高さが知りたい。 / ヨッシー
半径rとします。
△OABにおいて、
 AO=rcosφ
 BO=rsinφ
△ABDにおいて、∠BAD=θ/2 より
 BD=rtan(θ/2)
△BDEにおいて
 BE=BDcosφ=rtan(θ/2)cosφ
よって、点Fのx座標は
 rsinφ+rtan(θ/2)cosφ
中心Aの座標は
 (0,rcosφ)
なので、この扇形の元の円の式は
 x^2+(y−rcosφ)^2=r^2
これに x=rsinφ+rtan(θ/2)cosφ を代入して
yを求めたとき、小さい方がFのy座標となります。
 (y−rcosφ)^2=r^2−{rsinφ+rtan(θ/2)cosφ}^2
 y=rcosφ−r√[1−{sinφ+tan(θ/2)cosφ}^2]
となります。

No.78169 - 2021/09/13(Mon) 17:50:15
不明 / 冴
実数から実数への関数f(x)は次の二つの条件を満たす。

(1)任意の実数x、yに対して、|f(x)-f(y)|=|x-y|

(2)xが整数のとき、f(x)も整数

(1)f(x)はどの値も固定しない。すなわち、任意の実数xに対してf(x)はxと異なるとき、f(x)=x+n(nは0以外の整数)となることを示せ。

(2)f(x)が1点x_0のみを固定するとき、すなわちただ1つの実数x_0に対してf(x_0)=x_0となるとき、x_0をf(0)を用いて表せ。

(3)f(x)が2点以上の値を固定するとき、すなわち少なくとも2つの実数x_1、x_2(x_1≠x_2)に対してf(x_1)=x_1かつf(x_2)=x_2となるとき、任意の実数xに対してf(x)=xとなることを示せ。

(1)はy=0を代入すると、|f(x)-f(0)|=|x|なので、f(x)=x+f(0)またはf(x)=-x+f(0)となりますが、f(x)=-x+f(0)が不適な理由がわかりません。(2)と(3)は最初からわからないです。

No.78165 - 2021/09/13(Mon) 16:15:39

Re: 不明 / IT
> (1)はy=0を代入すると、|f(x)-f(0)|=|x|なので、f(x)=x+f(0)またはf(x)=-x+f(0)となりますが、f(x)=-x+f(0)が不適な理由がわかりません。

「f(x)はどの値も固定しない。」という条件に反します。

y=xのグラフ…(ア) と y=f(x)のグラフ…(イ) を考えると
 (ア)(イ)の共有点が固定点です。
 f(x)=-x+f(0)のとき
 (ア)(イ)が共有点(交点)を持つことが直観的に分かると思います。

式で確認するなら、
f(x)=-x+f(0)のとき
 f(x)=x⇔-x+f(0)=x⇔f(0)=2x
なのでx=f(0)/2 のときf(x)=x となり ダメ。

No.78170 - 2021/09/13(Mon) 18:06:47

Re: 不明 / IT
解答があるのなら、その概要を示された方が、効率的に回答ができます。
No.78171 - 2021/09/13(Mon) 18:53:47

Re: 不明 / 編入受験生
f(x) = xとなるようなxのことを不動点といいます。
この点はy=xとの交点です。
∴ どの値も固定しない⇔y=xとの交点がなし
  k点で固定⇔y=xとの交点がk個 (k=1,2,3,...)
(1)からf(x) = +-x+k(kは任意の実数)
(1),(2)からf(x) = +-x + n (nは整数)
∴y=f(x)は傾き+1あるいは-1で,y切片nの直線Lとなる

[1]
(1),(2)のもとで,[1]の条件からy=f(x)とy=xの傾きは同じでかつ同じ直線となってはならない. ∴f(x) = x+n(n≠0)

[2]
傾き同じ直線同士ならば、交点は無限にあるかあるいは0個だが、傾きが異なっていれば常に交点は一つとなる.
∴ f(x) = -x + nだから,f(0) = n.
f(x_0) = -x_0 + n = x_0だからf(0)=nを用いてx_0で整理すれば,x_0 = f(0)/2.

[3]
二つの直線の交点が2個以上となるのは、まったく同じ直線のときすなわち傾きが等しくy切片も等しい場合
∴ f(x) = x

図をかけば一瞬でわかる問題。
図を描くようにしよう。

No.78174 - 2021/09/13(Mon) 20:02:19

Re: 不明 / 冴
皆様ありがとうございました。
No.78247 - 2021/09/17(Fri) 00:27:00
確率 / 冴
nを2以上の自然数とする。さいころをn回投げて、k回目に出た目の数をa_kとする。さらにx_0、x_1、…x_nを次の規則により定める。

規則
x_0=0、x_k=x_(k-1)+a_k(a_kが偶数のとき)、x_(k-1)・a_k(a_kが奇数のとき)

x_n=0、2、4となる確率をそれぞれ求めなさい。

No.78164 - 2021/09/13(Mon) 16:00:32

Re: 確率 / GM
x_n=0となるのはn回奇数が出る場合のみなので(1/2)^n


x_n=2となるのはk回奇数が出て次に2が出て残りn−k−1回1が出る場合なので
(1/2)^k・(1/6)・(1/6)^(n-k-1)をkについて0からn−1まで和をとればよいです


x_n=4となるのは次の2つの場合です
k回奇数が出て次に4が出て残りn−k−1回1が出る場合・・・(i)
k回奇数が出て次に2が出て残りn−k−1回のうち1回2が出てそれ以外は1が出る場合・・・(ii)

(i)はx_n=2となる確率と等しいです
(ii)は(1/2)^k・(1/6)・(1/6)・(1/6)^(n-k-2)
に2回目の2が出る場所の選び方n−k−1をかけて
kについて0からn−2まで和をとればよいです

No.78336 - 2021/09/20(Mon) 13:27:26
(No Subject) / 松
xは実数全体を動く
(2x^2-3x)/x^2+4の値域を求めよ

No.78161 - 2021/09/13(Mon) 13:22:47

Re: / らすかる
(2x^2-3x)/x^2+4
=(2x-3)/x+4
=2x/x-3/x+4
=2-3/x+4
=6-3/x
3/xは0以外の任意の値をとるので
6-3/xは6以外の任意の値をとる。
よってy=(2x^2-3x)/x^2+4の値域は
y<6,6<y

No.78162 - 2021/09/13(Mon) 13:52:53

Re: / ヨッシー
たぶん、(2x^2-3x)/(x^2+4) と思われますが、これを f(x) と置きます。
 f'(x)={(4x-3)(x^2+4)−2x(2x^2-3x)}/(x^2+4)^2
 (分子)=3x^2+16x-12x=(3x-2)(x+6)
よって、
 f(-6)=9/4 が極大値
 f(2/3)=-1/4 が極小値
x→±∞ で、f(x)→2 であるので、求める値域は
 -1/4≦f(x)≦9/4

No.78163 - 2021/09/13(Mon) 14:03:14
対数方程式の真数の条件、底の条件 / takuya
対数方程式の真数の条件、底の条件について質問があります。
教えてください。
(問題1-2だけは私が勝手に作った問題と解答です。他は参考書を写しました)

[]は真数です。


<問題1-1> log5[x]=3を解け。

<解答>
対数の定義から,x=5^3=125

Q1-1 なぜ「真数は正よりx>0」は必要ないのですか。
x=5^3=125>0 あきらかにx>0だから「真数は正よりx>0」は必要ないということですか。


<問題1-2> logk[x]=3を解け。

<解答>
底の条件からk>0,k≠1 ←Q2 これは書く必要がありますか?
真数は正よりx>0 ←Q3 これも書く必要がありますか?
対数の定義から,x=k^3

(答え)x=k^3 (ただしk>0,k≠1)←Q4 これは書く必要がありますか?


<問題2> log3[x-1]=2を解け。

<解答2>

log3[x-1]=2 より
log3[x-1]=log3[3^2]
x-1=3^2
x-1=9
このとき x-1=9>0だから真数は正である。ゆえにx=10
              ↑
Q5 <問題2>は<問題1-1>と違って「真数は正である」を書いてあるのはなぜですか。


<問題3>

logx[9]=-2を解け。

<解答>
底の条件より、x>0,x≠1  
対数の定義から,x^(-2)=9
x^2=1/9
x>0,x≠1より
x=1/3

Q6
定義から解いているので<問題1-1>のように真数の条件、底の条件は必要ないと思うのですが、
<問題3>は「底の条件x>0,x≠1」を書いているのはなぜですか。

No.78155 - 2021/09/12(Sun) 21:18:06

Re: 対数方程式の真数の条件、底の条件 / 編入受験生
解答者の気分じゃないですか。
全部書いたほうがいいと思うよ、過分で減点されることなんてないから。
少なくとも,与えられた変数の定義域は説明しないと減点される場合がある。
ただ、そんな基本的なところで減点する大学なんてないとは思うけどね。
もっと、論証しないといけない部分が山ほどあるからね。

一人の数学者の言葉を借りれば、
「数学のできる人間とは、不正確な文と図から正確な推論のできる人間のことである」。

No.78156 - 2021/09/13(Mon) 01:26:30

Re: 対数方程式の真数の条件、底の条件 / takuya
私の理解不足でごめんなさい。
問題1では、対数の定義から答える場合、私が見たすべての教科書、参考書(15冊くらい)では、「真数は正よりx>0」は書いていません。
解答者の気分以外に何か理由があると思いますので教えて下さい。

No.78159 - 2021/09/13(Mon) 06:26:06

Re: 対数方程式の真数の条件、底の条件 / takuya


問題1-1では教科書の指導書(先生用)で、対数の定義から真数>0の吟味は不要と書いてあります。他の教科書も同じです。なぜ定義だと真数>0は不要ですか?
また、問題1−2のように、底が文字kがあっても真数>0は不要ですか?

更に、問題1-2のように参考書で底が未知数xが入ると、定義から求めても、「底の条件より、x>0,x≠0」が書いてあります。問題1-1と違ってなぜこれを書く必要があるのですか?

No.78160 - 2021/09/13(Mon) 07:15:56

Re: 対数方程式の真数の条件、底の条件 / m
> 問題1-1では教科書の指導書(先生用)で、対数の定義から真数>0の吟味は不要と書いてあります。他の教科書も同じです。なぜ定義だと真数>0は不要ですか?

定義"だから"真数 >0 の吟味は不要です.
強いて理由を挙げるなら,log5[x] と書かれた時点で log の定義によって x は x>0 を動く変数ですし,log5[x] = 3 は x = 5^3 と同値です.x > 0 は定義によって保障されています.


> また、問題1−2のように、底が文字kがあっても真数>0は不要ですか?

不要です.
この場合も logk[x] と書かれた時点で log の定義から文字 k, x の動ける範囲は k>0, k ≠ 1, x>0 に制限されます.また,解答に
> x=k^3 (ただしk>0,k≠1)
のように k についての条件をかく必要もない(と思う).その条件は出題者が書くべきもの.書かれてない場合は暗黙の了解ということで,回答者にだけその条件を書かせるのは不合理.もちろん書いてもいい.


> 更に、問題1-2のように参考書で底が未知数xが入ると、定義から求めても、「底の条件より、x>0,x≠0」が書いてあります。問題1-1と違ってなぜこれを書く必要があるのですか?

問題3のことですよね.これは必要.ただ,底に未知数が入っているから条件を書くのではない.解答の途中で必要になったから書いている.

No.78155の問題3の解答の流れは,
logx[9]=-2 を満たす x を見つけたい.
求める x は 少なくとも x^2 = 1/9 を満たす.(これを必要条件という.)
この二次方程式を解いて,logx[9]=-2 の解の候補としてx = 1/3, -1/3 を得る.
しかし x = -1/3 に対して logx[9] は定義されないから除外.
残った x = 1/3 が logx[9]=-2 の解である.

つまり,x = -1/3 を除外する理由を「底の条件より、x>0,x≠1」で説明しているのです.

// 一般に方程式を必要条件を使って解くと,余計な解が出てくることがある.適当な条件を使って解を絞っておくと議論しやすくなる.


以上は個人の感想です.他の方の意見も聞きたいです.

No.78172 - 2021/09/13(Mon) 19:20:42

Re: 対数方程式の真数の条件、底の条件 / takuya
お忙しい中たくさん書いていただきありがとうございました。
真数の条件を書く必要がないことがよくわかりました。
底の条件を書くのは、未知数だからではではなく、必要になったときに書いていることもわかりました。
必要条件から判断するのもわかりやすいですね。
ありがとうございました。

No.78195 - 2021/09/14(Tue) 21:35:40
宝くじの確率 / ぽっちゃま
宝くじの確率について考えてたら、
1等だけではなく2等以下のことも考える必要が出てきたので質問します。

僕が調べた宝くじは「ジャンボ宝くじ」と「100円big」という宝くじです。

ジャンボ宝くじの確率は、
・1等が1000万分の1で当選金額は3億円
・前後賞は500万分の1で1億円
・組違い賞は10万分の1で10万円

・2等は500万分の1で500万円
・3等は20万分の1で100万円
・4等は1万分の1で5万円
・5等は500分の1で1万円
・6等は100分の1で3千円
・7等は10分の1で300円


そして100円bigは
・1等は480万分の1で2億円
・2等は17万分の1で70万円
・3等は1万3千分の1で2万円
・4等は1600分の1で3千円
・5等は300分の1で800円


ジャンボ宝くじは1口300円です。
100円bigは1口100円です。

これで予算9万円でジャンボ宝くじを300口を買った場合と、
100円bigを900口買った場合の当選確率を知りたいです。


1回限りの確率なら100円bigのほうが当たるだろうという答えなのですが、
外れてしまって次も買い続けた場合の確率を知りたいです。

当たった金額は次回に持ち越すこととします。
2回目の購入予算も9万円で、そこに前回の当選金を足します。
これを3回目、4回目と続けていったときの確率です。

その場合、
ジャンボ宝くじを買い続けるパターンと、
100円bigを買い続けるパターンでどう変わってきますでしょうか?

漠然と考えた感じでは1回目は100円bigの方が当たりやすいけど、
上記の当選金を持ち越す方法だとジャンボの方が確率が上になるのでは・・・
と思ったのですが正しい式が思いつかず漠然としたままです。

ネイピア数とかも必要になってくると思います。

どうか、よろしくお願い致します。

No.78152 - 2021/09/12(Sun) 12:51:55

Re: 宝くじの確率 / ヨッシー
ここでいう「確率」の定義は何ですか?

たとえば、1枚100円で、1/2 の確率で100円が当たるくじに
400円つぎ込んだときの確率は何ですか?

No.78154 - 2021/09/12(Sun) 16:10:43

Re: 宝くじの確率 / 編入受験生
仮定1:買うタイミングでのくじ売り場の当たりくじの確率分布も同じようになっている。
仮定2:ランダムに購入できる
仮定3:購入する場所のくじの枚数が十分多くて、300口程度買ってもくじの確率分布の変化は無視できるほど小さい。

この仮定の下で、900口分をジャンボ宝くじか100円bigどちらのほうが買うほうがいいかを考える.

頻度主義確率の立場では、それは期待値の高いほう.

主観主義確率の立場では、それは1円でも利益のでる確率が大きい方と考えられる.

ちなみにですが、くじを買って期待される当選金は掛け金よりも必ず低くなるので、どっちにせよ買わないほうが利益が出ると頻度主義確率は考えます.
主観主義確率では、かけた金額よりも大きな当選金を得られる確率がたしかに0よりも大きいので,利益を得られうると考えることができると考えます。

また、何回買い続けても、1回の購入で期待できる当選金の大きいほうが必ず当選金額が大きくなると頻度主義確率は考えますので、この立場では何口でも常に100bigを買い続けるほうがいいということになります。
一方、主観主義確率では、必ずしもそうなるとは限りません。

ただ、そもそも宝くじはどの売り場でも同じように当たりくじが入っているわけではないので、当たりくじの分布は異なっている。
だから、まず購入する売り場で標本抽出(買った人のくじの結果を聞いて回るとか)を行って、その売り場で期待できる当選金(期待値)を推定することになります。
期待値は正規分布を用いた統計推定で一般的に求められる.
だから、地道にいろんなくじ売り場の標本抽出を行って、
くじ売り場の期待できる当選金額を調べまわれば、期待値が購入金額よりも大きくなるような売り場があるかもしれない。
ただし、売り場で売られている枚数は標本数に対して十分大きいものとする。

No.78157 - 2021/09/13(Mon) 03:04:30

Re: 宝くじの確率 / 編入受験生
> ここでいう「確率」の定義は何ですか?
>
> たとえば、1枚100円で、1/2 の確率で100円が当たるくじに
> 400円つぎ込んだときの確率は何ですか?


ー200円。

No.78158 - 2021/09/13(Mon) 03:16:01
数学A:場合の数 / 山田山
a~eまでの文字が書かれた球から3個取り出して円形に並べる場合の重複分は書き出すしか方法はないのでしょうか?
ご回答よろしくお願いします。

No.78149 - 2021/09/11(Sat) 23:55:09

Re: 数学A:場合の数 / ヨッシー
同じ文字は2個以上入っていないとします。
 5P3÷3
で求められます。
3は、ABC,BCA,CAB のように円にすると同じになる並べ方です。

または、5C3 で、3個の球を順番関係なく選んで、これを円に並べるとき、
時計回りか反時計回りかの2通りあるので、
 5C3×2
としても良いです。

前者のABC,BCA,CABを、書き出すと言えば、書き出すですね。

No.78150 - 2021/09/12(Sun) 00:02:11

Re: 数学A:場合の数 / 山田山
返信ありがとうございます。
問題集は前者の解答でしたが、重複すると言うイメージがつかなかったので一例を挙げていただきよく分かりました。ありがとうございました。

No.78151 - 2021/09/12(Sun) 00:39:12
ヘロンの公式について / 寝屋川のポチャッコ
直角がない場合のヘロン(不当辺三角形)の高さは求められないでしょうか。
三角形の全部の角度と一つの辺が分かっている場合と、
二つの辺と一つの角度が分かっている場合、泣き寝入りになるしかないのでしょうか。

No.78144 - 2021/09/11(Sat) 16:25:37

Re: ヘロンの公式について / 寝屋川のポチャッコ
すべての辺が直角より小さい場合です。
No.78145 - 2021/09/11(Sat) 16:32:33

Re: ヘロンの公式について / 寝屋川のポチャッコ
> すべての辺が直角より小さい場合です。
ごめんなさい、角度のまちがいでした.

No.78146 - 2021/09/11(Sat) 16:34:43

Re: ヘロンの公式について / X
ヘロンの高さ
の定義は何ですか?

No.78147 - 2021/09/11(Sat) 16:56:49

Re: ヘロンの公式について / 関数電卓
こちら の中ほどにある ヨッシーさんの回答 No.77869 が参考になります。
No.78148 - 2021/09/11(Sat) 17:48:47
/ 。
本当にこうなるんですか?
8=√64=√2⁶=√(-2)⁶=√{(-2)³}²=(-2)³ =-8

No.78141 - 2021/09/10(Fri) 20:59:49

Re: ? / らすかる
なりません。
√{(-2)³}²=(-2)³が誤りです。
√(a^2)=|a|ですから、
√{(-2)³}²=|(-2)³|です。

No.78142 - 2021/09/10(Fri) 21:10:04
数学B 数列 / りんごちゃん
2018年慶應大学の総合政策学部の入試問題です。

n桁(n=1,2,3,...)の自然数のうち、各々の位の数字が1または素数となっている数は5^n個あるが、このうち、3で割り切れる数の個数をa_n、3で割ると1余る数の個数をb_n、3で割ると2余る数の個数をc_nとすると
a_n+b_n+c_n=5^
である。
a_(n+1)をa_n,b_n,c_nであらわすと
a_(n+1)=〇a_n+△b_n+□c_n
となる。

〇,△,□の穴埋め問題です。
答えは〇=1、△=2、□=2です。

どのように手を付けて良いのかわからず困っております。
アドバイスお願い致します。

No.78135 - 2021/09/09(Thu) 16:14:45

Re: 数学B 数列 / 高校三年生
3m≡30m≡0 (mod 3)
3m+1≡30m+10≡1 (mod 3)
3m+2≡30m+20≡2 (mod 3)

なので、一の位の候補の「1,2,3,5,7」をそれぞれ当てはめると、

30m≡30m+【3】≡0 (mod 3)
30m+10+【2,5】≡0 (mod 3)
30m+20+【1,7】≡0 (mod 3)

ですね。

No.78136 - 2021/09/09(Thu) 16:46:14

Re: 数学B 数列 / りんごちゃん
ありがとうございました。
No.78143 - 2021/09/10(Fri) 21:52:19
線形代数 対角化A^nの求め方 / あき
鉛筆の、まるで囲んである1/3がなぜ掛けるのか分かりません。その前の式まではわかるのですが…
ちなみに使用参考書は編入数学徹底研究(金子書房)です。

No.78132 - 2021/09/09(Thu) 13:43:49

Re: 線形代数 対角化A^nの求め方 / らすかる
Pの逆行列が
(-2/3 1/3)
( 1/3 1/3)
=
(1/3)・
(-2 1)
( 1 1)
だからだと思います。

No.78133 - 2021/09/09(Thu) 14:02:47
確率 / パンサーカス
サイコロをn回振るとき、出た目の最小公倍数が12になる確率をもとめたいのですが、場合分けが分かりません。お願いします。
No.78128 - 2021/09/09(Thu) 12:43:36

Re: 確率 / ヨッシー
12=3×2^2 なので、
5は出てはいけない。
4は最低1回は出ないといけない。
3か6のどちらかが最低1回は出ないといけない。

という条件から余事象をつかって求めます。

No.78129 - 2021/09/09(Thu) 12:53:07

Re: 確率 / パンサーカス
余事象は5が必ず出て4が1度も出ない、5が必ず出て3と6は1度も出ない、を足したものでいいですかね?
No.78131 - 2021/09/09(Thu) 13:17:24

Re: 確率 / らすかる
違います。
「5が出ず4が出て3か6が出る」
の余事象は
「5が出るか、4が出ないか、3も6も出ない」

「5が出る」+「5が出ず、4が出ないかまたは3も6も出ない」

(1-「5が出ない」)+「5も4も出ない」+「5も3も6も出ない」-「5が出ず、4も3も6も出ない」
となります。
少し複雑になると混乱しますので
3 4 5 6
× × × ×
× × × ○
× × ○ ×
× × ○ ○
× ○ × ×
× ○ × ○ → 最小公倍数が12
× ○ ○ ×
× ○ ○ ○
○ × × ×
○ × × ○
○ × ○ ×
○ × ○ ○
○ ○ × × → 最小公倍数が12
○ ○ × ○ → 最小公倍数が12
○ ○ ○ ×
○ ○ ○ ○
のような全パターンの表を作って確認するとよいと思います。

No.78134 - 2021/09/09(Thu) 14:27:56

Re: 確率 / 編入受験生
感覚的に解くのはやめた方がいいですね。
こういう複雑な場合分けはなるべく機械的に解くべきです。
今回の場合はドモルガンの法則:[A∧B]=[A]∨[B]を使うべきです。
ただし、[A]はAの余事象あるいは補集合を表すものとする.

サイコロから5の面を除いた特別なサイコロをn回振って出る目の最小公倍数が12になるのは、事象:4が少なくとも1回以上でる∧(3が少なくとも1回以上∨6が少なくとも1回以上)の場合。
これの余事象は、ドモルガンの定理を用いると,
[4が少なくとも1回以上でる∧(3が少なくとも1回以上∨6が少なくとも1回以上)] = 4がでない∨[3が少なくとも1回以上∨6が少なくとも1回以上]
= 4がでない∨(3がでない∧6がでない)となる。
さらにこれに包除の原理を用いると,この余事象の場合の数は、
(4がでない場合の数)+(3と6が出ない場合の数)-(4と3と6がでない場合の数)になる。
全事象の場合の数は5を除いているので,5^nであるから,
5^nから余事象の場合の数を引けば、求める事象の場合の数がわかる。これらを計算すれば、
求める確率は(5^n+2^n-3^n-4^n)/6^n.

No.78139 - 2021/09/09(Thu) 20:37:52

Re: 確率 / パンサーカス
ド・モルガン分かりやすかったです!ありがとうございます
No.78140 - 2021/09/10(Fri) 10:50:04
(No Subject) / e
0≦θ≦π/4とする
sin^2θ+4sinθcosθ+9cos^2θの値域を求めよ

No.78127 - 2021/09/09(Thu) 10:06:36

Re: / X
問題の関数をf(θ)とすると
f(θ)=(1-cos2θ)/2+2sin2θ+9(1+cos2θ)/2
=2sin2θ+4cos2θ+5
=(2√5)sin(2θ+α)+5
(但しαはtanα=2,π/3<α<π/2なる角)
ここで
0≦θ≦π/4
より
α≦2θ+α≦π/2+α<π

α-{π-(π/2+α)}=2α-π/2
>2・π/3-π/2=π/6>0
∴π-(π/2+α)<α
よって
f(π/2+α)≦f(θ)≦f(π/2)
これより
(2√5)sin(π+3α)+5≦f(θ)≦5+2√5 (A)
ここで
sin(π+3α)=-sin3α=4(sinα)^3-3sinα
=4sinα{1-(cosα)^2}-3sinα
={1-4(cosα)^2}sinα
={1-4/{1+(tanα)^2}}/√{1+1/(tanα)^2}
=(1-4/5)/√(1+1/4)
=2/(5√5)
これと(A)により求める値域は
29/5≦f(θ)≦5+2√5

No.78137 - 2021/09/09(Thu) 18:36:42
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