ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。

過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

★ 宇都宮大学過去 / Higashino

引用

複素数平面
宇都宮大過去問
なにとぞよろしくお願いします

以下問題

No.89102 - 2024/10/12(Sat) 20:51:57

☆ Re: 宇都宮大学過去 / X

引用

1+cosθ+isinθ=2{cos(θ/2)}^2+2isin(θ/2)cos(θ/2)
=2{cos(θ/2)+isin(θ/2)}cos(θ/2) (A)
同様にして
1+cosθ+isinθ=2{cos(-θ/2)+isin(-θ/2)}cos(θ/2) (B)
ここでθはπの奇数倍ではないので
cos(θ/2)≠0
であることに注意すると、(A)(B)から
(証明すべき等式の左辺)
={{cos(θ/2)+isin(θ/2)}/{cos(-θ/2)+isin(-θ/2)}}^n
={cos(θ/2-(-θ/2))+isin(θ/2-(-θ/2))}^n
=(cosθ+isinθ)^n
=(証明すべき等式の右辺) (∵)ドモアブルの定理

No.89105 - 2024/10/12(Sat) 21:47:09

☆ Re: 宇都宮大学過去 / Higashino

引用

x先生、こんばんは

お久しぶりです

回答が出来上がりましたので、同行させていただきます
ご指導等ありましたら幸いです

以下答案

No.89106 - 2024/10/13(Sun) 00:41:01

★ (No Subject) / やり直しメン

引用

□6番です

算数です

よろしくお願いします

No.89099 - 2024/10/12(Sat) 00:01:09

☆ Re: / 独ソ不可侵条約

引用

(だいぶずるい解答。正攻法がわからん…)
合計÷人数=平均なので、
40人のクラスで平均70点なら40✕70で合計は2800になるはずです。
60点以上の生徒が30人いるとします。(適当に決めた数値)
60引いた合計が450だから、引く前の合計は450+(60✕30)=2250
したがって60点未満の生徒の引き算する前の合計は2800-2250=550 です。

(クラス全体)40人-(60点以上)30人で60点未満は10人です。
この人たちの引き算した後の合計は
(60-1人目の点)+(60-2人目の点)…+(60-10人目の点)
=600-(みんなの合計点) となります。
これが先程出た「550」だから、
600-550=50

というわけで答えは50点になります。

最初の適当に決めた数値は何でもいいけど、計算しやすい10とか20のほうがいいかも。それでも解けます。

No.89100 - 2024/10/12(Sat) 12:11:56

☆ Re: / IT

引用

質問者が何が分かって何が分からないのか分からないので、適切な回答が難しいですが

Aクラス:40人のクラスで平均点が70点なので　合計点は　2800点
Bクラス:40人のクラスで平均点が60点だと　　合計点は　2400点
（Bは仮のクラス）

Aクラスの合計点とBクラスの合計点の差は　400点

Aクラスの内、60点以上のものについて　点数-60点　の合計は、450点
Aクラスの内、60点未満のものについて　60点-点数　の合計は、○点

No.89101 - 2024/10/12(Sat) 13:08:45

★ 大阪女子大過去問 / Higashino

引用

複素数平面

大阪女子大過去問

何卒よろしくお願いします

以下問題

No.89086 - 2024/10/11(Fri) 04:29:55

☆ Re: 大阪女子大過去問 / ヨッシー

引用

αとβは
　cos(π/3)＋ｉsin(π/3)　と　cos(－π/3)＋ｉsin(－π/3)
ですので
　α^n＋β^n＝cos(ｎπ/3)＋cos(－ｎπ/3)＋ｉ{sin(ｎπ/3)＋sin(－ｎπ/3)}
　　＝２cos(ｎπ/3)
となります。
　２cos(ｎπ/3)＝－１になるのは、
　cos(ｎπ/3)＝－1/2 のとき　つまり、
　ｎ＝6m＋2 またはｎ＝6m＋4　(m は整数)　のとき
　
　

No.89097 - 2024/10/11(Fri) 15:31:18

☆ Re: 大阪女子大過去問 / Higashino

引用

ヨッシー先生、ご回答ありがとうございました。またよろしくお願いいたします。

No.89104 - 2024/10/12(Sat) 20:53:38

★ (No Subject) / やり直しメン

引用

□9番です

算数です

No.89077 - 2024/10/09(Wed) 23:55:25

☆ Re: / ヨッシー

引用

まん中の図は、全員が63点の図です。平均は 63点です。

左は、１番以外の人から１点ずつ取って、１番の人に上げた図です。
１番以外の人は全員62点になっているので、平均 62点です。
このことから、１番の人は「63点より、(人数－1)×1点だけ多い」ことがわかります。

右は、最後の人から何点か取って、残りの人に1.5点ずつ上げた図です。
最後の人以外は64.5点になっており、平均64.5点です。
このことから、最後の人は「63点より（人数－１)×1.5点だけ少ない」ことがわかります。
１番の人と最後の人の差は　（人数－１）× 2.5 点であることがわかり、これが65点なので、
　人数－１は 65÷2.5＝26（人）であり、人数は 27人となります。

１番の人の得点は
　63＋(27－1）×1＝89（点）
となります。

No.89078 - 2024/10/10(Thu) 09:28:55

☆ Re: / やり直しメン

引用

申し訳ありません

すみません。ご説明が難しいです

もう少し簡単にお願いします
よろしくお願いします

No.89081 - 2024/10/10(Thu) 12:20:51

★ (No Subject) / コロ助

引用

中3の問題です。
一番下の(4)の問題の解き方がわかりません。
解説はなく、答えは
y＝cx二乗がイ
y＝ex二乗がエ
らしいです。
どう解けばいいのか教えてくださいm(_ _)m

No.89076 - 2024/10/09(Wed) 23:44:17

☆ Re: / ヨッシー

引用

(3) は
　(変化の割合)＝(9c－c)/(3－1)＝2
　で 4c＝2 ですね。答えは同じです。

ここまででわかっていることは、
正の値として、
　a＝1/3, c＝1/2 これより大きい d がある。
負の値として、
　b=-1/3 で、これより小さい e がある。

a と b はイとエまたはウとオですが、
イとエだと、b(エ) より小さい e に対するグラフがないので、
a と b はウとオとなります。

ａ＜ｃ＜ｄなので、ａ(ウ)、ｃ(イ)、ｄ(ア)
ｂ＞ｅなので、ｂ(オ)、ｅ(エ)
となります。

No.89082 - 2024/10/10(Thu) 13:50:21

☆ Re: / コロ助

引用

わかりやすくありがとうございました！

No.89090 - 2024/10/11(Fri) 08:25:15

★ 複素数平面 / Higashino

引用

法政大学過去問

なにとぞよろしくお願いします

以下問題

No.89071 - 2024/10/09(Wed) 21:45:37

☆ Re: 複素数平面 / 大西

引用

1±i＝√2(cosπ/4±isinπ/4)より
(1±i)^n＝(√2)^n(cos(nπ/4)±isin(nπ/4))

(1＋i)^n＋(1－i)^n
＝(√2)^n(cos(nπ/4)＋isin(nπ/4))＋(√2)^n(cos(nπ/4)－isin(nπ/4))
＝2×(√2)^n×cos(nπ/4)

2×(√2)^n＝2^5よりn＝8
これはcos(nπ/4)＝cos2π＝1
を満たす
よって、n＝8

No.89073 - 2024/10/09(Wed) 22:09:26

☆ Re: 複素数平面 / Higashino

引用

お初です

ご回答ありがとうございました

私の答案を上げておきます

ご使用いただければ幸いです

No.89083 - 2024/10/10(Thu) 18:57:57

☆ Re: 複素数平面 / Higashino

引用

ご使用いただければ幸いです

　失礼しました

ご意見いただけると幸いです

No.89084 - 2024/10/10(Thu) 19:20:49

☆ Re: 複素数平面 / 大西

引用

n=9もいけるのですね。
勉強になりました。

No.89085 - 2024/10/10(Thu) 22:14:08

★ ガウス記号の等式の証明 / 大西

引用

自然数nに対して、[√(16n+20)]=[√(16n+23)]が成り立つことを示したいのですが、どこから手を付けて良いのかが分かりません。[ ]：ガウス記号です。

=kとおいて、k≦[ ]＜k+1としてnの範囲を求めてもうまくいかないし、
数学的帰納法でも厳しいし、困っています。
示し方を教えてください。

No.89068 - 2024/10/09(Wed) 20:52:59

☆ Re: ガウス記号の等式の証明 / IT

引用

[√(16n+20)]<[√(16n+23)]であるためには
16n+21,16n+22,16n+23 のどれかが平方数である必要があります。
4での剰余を考えると16n+21のみが候補ですが
16n+21=m^2 とはならないことを示せば良いと思います
（注意）ここで　m=4k±1とおけます。m,kは整数です。

No.89072 - 2024/10/09(Wed) 22:05:03

☆ Re: ガウス記号の等式の証明 / 大西

引用

ITさんご返信ありがとうございます。

確かに[√(16n+20)]<[√(16n+23)]とならないことを示せば良いですね。気付きませんでした。
ありがとうございます。

No.89074 - 2024/10/09(Wed) 22:27:22

★ 九州大学過去問 / Higashino

引用

複素数平面
九州大学過去問
何卒よろしくお願いします

以下問題

No.89064 - 2024/10/09(Wed) 14:18:37

☆ Re: 九州大学過去問 / X

引用

(1)
条件から
z[1]=cosθ+isinθ
z[2]=cos(θ+π/2)+isin(θ+π/2)
z[3]=cos(θ+π)+isin(θ+π)
z[4]=cos(θ+3π/2)+isin(θ+3π/2)
∴ドモアブルの定理により
z[1]^k=coskθ+isinkθ
z[2]^k=cos(kθ+kπ/2)+isin(kθ+kπ/2)
z[3]^k=cos(kθ+kπ)+isin(kθ+kπ)
z[4]^k=cos(kθ+3kπ/2)+isin(kθ+3kπ/2)

(2)
条件から
z[1]=cosθ+isinθ
z[2]=i(cosθ+isinθ)
z[3]=-(cosθ+isinθ)
z[4]=-i(cosθ+isinθ)
∴ドモアブルの定理により
z[1]^k=coskθ+isinkθ
z[2]^k=(i^k)(coskθ+isinkθ)
z[3]^k={(-1)^k}(coskθ+isinkθ)
z[4]^k={(-i)^k}(coskθ+isinkθ)
よって、求める相異なるものの個数は
A[k]={1,i^k,(-1)^k,(-i)^k}
なる集合A[k]の相異なる要素の個数
と同じになるので
(i)k=2のとき
A[k]={1,-1,1,-1}
により2個
(ii)k=3のとき
A[k]={1,-i,-1,i}
により4個
(iii)k=4のとき
A[k]={1,1,1,1}
により1個
(iv)k=100のとき
A[k]={1,1,1,1}
により1個

No.89065 - 2024/10/09(Wed) 19:48:58

☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino

引用

x 先生、こんにちは

お久しぶりでございます

今回もご回答くださりありがとうございました

私なりに考えた答案を無視をいただけると幸いです

何卒よろしくお願いいたします

以下、画像拡大リンク先
https://imgur.com/a/q6Xyw8i

No.89066 - 2024/10/09(Wed) 20:36:57

☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino

引用

　　失礼しました

私なりに考えた答案を無視をいただけると幸いです

ではなく

答案を見ていただけると幸いです

この頃寒くなってきましたね　ご自愛ください

No.89069 - 2024/10/09(Wed) 21:16:25

☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino

引用

所々、草案が間違っておりました

正しいものを改めて投稿いたします

よろしくお願いいたします

No.89075 - 2024/10/09(Wed) 23:03:17

★ 数学IIIの定積分 / てリオ

引用

ルート(1ーX)/(1+X)の[0,1]範囲の定積分ですが、
X=sinθと置換して、答えはπ/2-1と出たのですが、合ってますか？

また、他に求め方はありますか？
わかる方、宜しくお願いします。

No.89056 - 2024/10/08(Tue) 21:47:13

☆ Re: 数学IIIの定積分 / X

引用

＞＞X=sinθと置換して、答えはπ/2-1と出たのですが、合ってますか？

＞＞ルート(1ーX)/(1+X)
が
√{(1-x)/(1+x)}
の意味であるなら、合っています。

No.89058 - 2024/10/09(Wed) 07:00:20

☆ Re: 数学IIIの定積分 / X

引用

＞＞また、他に求め方はありますか？
√(1+x)=t
と置くと
x=t^2-1
dx=2tdt
∴∫[0→1]{√{(1-x)/(1+x)}}dx=2∫[1→√2]{√(2-t^2)}dt
更に
t=(√2)sinθ
と置いて
∫[0→1]{√{(1-x)/(1+x)}}dx=4∫[π/4→π/2]{(cosθ)^2}dθ
=2∫[π/4→π/2](1+cos2θ)dθ
=π/2-1

No.89059 - 2024/10/09(Wed) 07:09:17

☆ Re: 数学IIIの定積分 / てリオ

引用

Xさん、返信有難うございます。

要するに、x＝cos2θとおけばよいということですね。
確かに同じ答えになりました！

形的に見て、双曲線関数(sinhx,coshx,tanhx)を使った置き換えで鮮やかに解けないかな？と試行錯誤してみたのですが難しいようですね・・・（数検1級の学習中です・・・）

No.89063 - 2024/10/09(Wed) 13:14:45

☆ Re: 数学IIIの定積分 / IT

引用

簡単になるわけではないですが、
逆関数を考えると、見た目は少しシンプルになりますね。

No.89067 - 2024/10/09(Wed) 20:39:01

★ (No Subject) / era

引用

中3範囲で解けるみたいですが手も足も出ないです。
図が若干雑ですが1辺が3,5,7の三角形の、赤い部分の角度は？という問題です。

No.89044 - 2024/10/06(Sun) 23:59:04

☆ Re: / らすかる

引用

△ABCでAB=3、BC=7、CA=5とします。
∠Aの角の二等分線と辺BCの交点をDとすると
BD：DC=AB：AC=3：5からBD=21/8、DC=35/8
AからBCに垂線AHをおろすと、三平方の定理から
BH^2+AH^2=3^2=9, HC^2+AH^2=5^2=25
2式の差をとり
HC^2-BH^2=25-9=16
HC=7-BHだから
(7-BH)^2-BH^2=16
これを解いて BH=33/14
AH^2=9-BH^2=675/196
またHD=BD-BH=15/56なので
AD^2=AH^2+HD^2=675/196+(15/56)^2=(15/8)^2
∴AD=15/8
Bを通りADと平行な直線と直線ACの交点をEとすると
△EBC∽△ADCで相似比はBC：DC=7：35/8=8：5だから
EB=(8/5)AD=3、EC=(8/5)AC=8
よってEA=EC-AC=3=EB=ABなので△EBAは正三角形
従って∠CAD=∠CEB=60°なので、求める角度は∠CAB=2∠CAD=120°

(ちょっとズルめな別解)
見た感じ120°と予想されるので
2辺が3と5で間の角度が120°の三角形の残りの辺が
7になるかどうかを調べることにする。
一辺が3の正三角形EBAを描きEAの中点をMとするとAM=3/2、BM=3√3/2
EAの延長上にAC=5となるように点Cをとると
MC=AM+AC=13/2
BC^2=BM^2+MC^2=27/4+169/4=49からBC=7
従って△ABCは問題の三角形と合同だから、求める角度は120°

No.89045 - 2024/10/07(Mon) 05:56:09

☆ Re: / IT

引用

△ABCでAB=3、BC=7、CA=5とします。
Cから直線ABに垂線CHをひくと

三平方の定理から
BH^2+CH^2＝BC^2 ∴(3+AH)^2+CH^2=7^2
AH^2+CH^2=AC^2=5^2

2式の差を取ると
9+6AH=24∴AH=5/2＝AC/2

直線AB上にAH=HD となるAとは異なる点Dを取ると
△ACDは正三角形で∠CAD=60°
∴∠BAC=180°-60°=120°

※種明かし、高校で習う「余弦定理」の特別な場合なので証明を真似しました。

No.89050 - 2024/10/07(Mon) 21:53:06