実数a, b, c, dがそれぞれ0以上1以下の範囲を満たしながら動くとき
(ab+cd, ac+bd)の動きうる範囲を図示せよ。
この問題の解説をお願いします。
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No.88166 - 2024/06/02(Sun) 23:29:16
| ☆ Re: / m | | | 求める動きうる範囲を D とする．
A = {(x, y) | 0 ≦ x, y ≦ 2 かつ y ≦ x^2/4+1 かつ x ≦ y^2/4+1}
とおく，A = D を示す．
証明
★ D ⊂ A を示す（必要条件）
0 ≦ a, b, c, d ≦ 1とする．
(x, y) = (ab+cd, ac+bd) とおくと
0 ≦ x, y ≦ 2 は明らか．
x^2/4+1 - y = ... = (ab-cd)^2/4 + (1-ac)(1-bd)
ac, bd ≦ 1 より 0≦右辺 よって
y ≦ x^2/4+1.
x ≦ y^2/4+1 も同様．
よって D ⊂ A
★ A ⊂ D を示す（十分条件）
まず，0 ≦ s, t ≦ 1 に対して
(p, q) = (s+t, st) の動く範囲は
4q≦p^2 かつ 0≦q かつ p-1≦q かつ 0≦p≦2
である．
（xの2次方程式 x^2-px+q=(x-s)(x-t)=0 が区間 [0, 1] に解を持つ条件を考えればOK）
これを使う．
方針としては a,b,c,d のどれかを固定しておき，残りを動かしてAを覆えればいい．
(x, y) = (ab+cd, ac+bd)
において，a=c=1 とすれば
(x, y) = (b+d, 1+bd)
より
{(x, y) | 0 ≦ x ≦ 2 かつ 1 ≦ y かつ x ≦ y ≦ x^2/4+1} ⊂ D
同様に a=b=1 として
(x, y) = (1+cd, c+d)より
{(x, y) | 0 ≦ y ≦ 2 かつ 1 ≦ x かつ y ≦ x ≦ y^2/4+1} ⊂ D
次に a=0, d=1 とすれば
(x, y) = (c, b)より
{(x, y) | 0 ≦ x ≦ 1 かつ 0 ≦ y ≦ 1} ⊂ D
よって A ⊂ D
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No.88174 - 2024/06/05(Wed) 23:54:55 |
| ☆ Re: / IT | | | a以外を固定して、aを0から1まで動かすと
点P(cd,bd)と点Q(cd+b,bd+c) を結ぶ線分を描きます。
点P(cd,bd) はO(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1)を頂点とする正方形の周および内部を全てを動きます。
上部の曲線（放物線）を見つけます。
b=d=1のとき
点P(c,1),Q(1+c,1+c)なので
Pは辺C(0,1)B(1,1)上にあり
Qは正方形O(0,0),D(2,0),E(2,2),F(0,2)の対角線OE上にある。
PQの方程式はy=c(x-c)+1 で c≦x≦c+1
xを固定してcを動かしたときyが最大になるのはc=x/2 のときで
y=x^2/4+1
・・・・
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No.88177 - 2024/06/06(Thu) 20:24:43 |
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