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ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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★ 入試の予想問題 / 独ソ不可侵条約
√(2025+45n)が自然数になる最小の自然数nを求めなさい。
の解き方を教えてください！
√(2021+47n)のときだったら√(47(43+n))と変形してn=4だねとなるんですけど2025+45nだと45(45+n)となってn=0で自然数にならなくて困ってます。
No.89721 - 2025/01/02(Thu) 20:18:55
☆ Re: 入試の予想問題 / 独ソ不可侵条約
↑中3です。n=1から代入したほうが早いですかね？
No.89722 - 2025/01/02(Thu) 20:20:12
☆ Re: 入試の予想問題 / IT
45(45+n)=(3^2)5(5×9+n) なのでn=5m (mは自然数）が分かります
No.89723 - 2025/01/02(Thu) 20:31:37
☆ Re: 入試の予想問題 / 独ソ不可侵条約
お返事ありがとうございます。
…ちょっと理解しきれていないのですが、なんでn=5の倍数がわかったのですか？式変形自体はわかるのですが…
No.89727 - 2025/01/04(Sat) 10:14:38
☆ Re: 入試の予想問題 / IT
5(5×9+n) は平方数なので、(5×9+n) は、５の倍数。
よってnは５の倍数でなければならない。
No.89728 - 2025/01/04(Sat) 12:02:49
☆ Re: 入試の予想問題 / 独ソ不可侵条約
なるほど。
nが5の倍数のとき5×9+nは全体としても5で割り切れて、そうすると5(5×9+n)＝5×(5の倍数)となって、素因数分解したときに5^2×(なにか)ってなって平方数になるというわけですね。
No.89730 - 2025/01/04(Sat) 20:42:25
☆ Re: 入試の予想問題 / 独ソ不可侵条約
とすると5ですか？でも自然数にならない…
一応30まで代入したのですが自然数にならなくて…
次のステップを教えてくれると嬉しいです。
No.89731 - 2025/01/04(Sat) 20:44:06
☆ Re: 入試の予想問題 / IT
5×9+n＝5×9+5m ＝5(9+m)
9+m が平方数　になる自然数mを見つける。
No.89732 - 2025/01/04(Sat) 21:47:01
★ 複素数平面 / 複素数平面むずい
a=cosπ/5+isinπ/5の時
(1)a^9+a^8+…+a+1
(2)a^9a^8…a
の値の求め方がわかりません、教えてください
No.89719 - 2024/12/31(Tue) 21:37:21
☆ Re: 複素数平面 / IT
(1)
a^10 は、計算できますか？　
不明なら教科書か参考書で確認してください。

一般に (a-1)(a^9+a^8+…+a+1)=(a^10) - 1 　は、分かりますか？
No.89720 - 2024/12/31(Tue) 22:18:50
★ 複素数 / カタ
赤チャート数学?Vの問題です。よろしくお願いします。解答の書いてあることは理解できるのですが自分の答案の何が間違っているのかわかりません。
No.89715 - 2024/12/31(Tue) 14:39:47
☆ Re: 複素数 / カタ
私の答案です
No.89716 - 2024/12/31(Tue) 14:40:42
☆ Re: 複素数 / IT
絶対値記号を外すところ（８行目から９行目）が決定的な間違いです。
左辺の　絶対値記号の中は、（実数とは限らない）複素数なので・・・

その他はしっかり見ていません。
No.89717 - 2024/12/31(Tue) 16:33:29
☆ Re: 複素数 / カタ
ITさん、返答ありがとうございます。
なるほど。絶対値の中身が複素数のときは、単にプラスマイナスをつけて絶対値を外すだけではだめですね。
No.89718 - 2024/12/31(Tue) 20:55:10
★ 極限 / ♾️
解き方がわからないです。答えは１/2a になります。解説お願いします。
No.89712 - 2024/12/30(Mon) 20:34:43
☆ Re: 極限 / IT
まず、補助線を引きます。
OからAPに垂線を引く
AからPQに垂線を引く
∠AOP＝θとおく
線分APの長さをa,θ/2 を使って表す.
線分PQの長さをAP,θ/4 を使って表す.
（いずれもsinを使います）
・・・
求める極限の式＝
ここで、弧APの長さ＝aθと、lim(θ→0)sinθ/θ=1、を使います。
No.89713 - 2024/12/30(Mon) 21:56:25
★ 数列 / あ
a(n+1)=p^n·a(n)+q^nの形の漸化式は特性方程式の解き方でいいのでしょうか？
No.89708 - 2024/12/30(Mon) 07:45:02
☆ Re: 数列 / IT
そのままでは、特性方程式で解けそうな感じではないですね。

a(1)=a(≠0)として
具体的にa(2),a(3),a(4),a(5)を書いてみると、何か見えて来るかも知れません。

Σ記号とか使わずに初等関数だけで　表記出来そうもないですが、どこかで出題されたのですか？
No.89709 - 2024/12/30(Mon) 09:57:48
☆ Re: 数列 / あ
どういう形のが特性方程式で解けるものなのでしょうか？
No.89714 - 2024/12/31(Tue) 07:04:28
★ 中2数学確率 / みはる
350の問題の一番下の?Aについてです。
赤の四角で囲ったところの同じ組が6度ずつ数えられているというのは、このように全部書き出さなくてもわかるものなのでしょうか。またそれがなぜわかるのか教えてください。
No.89707 - 2024/12/30(Mon) 03:15:47
☆ Re: 中2数学確率 / IT
互いに異なる３本の線分を イ、ロ、ハとすると
取り出す順番は　１番目はイ、ロ、ハ３つのうち１つなので、３通り
２番目は残りの２つのうち１つなので、２通り
３番目は残りの１つなので、１通り

したがって、互いに異なる３本の線分を取り出す順番は３×２×１＝６通り
No.89710 - 2024/12/30(Mon) 11:15:11
☆ Re: 中2数学確率 / IT
（別の考え方）
辞書順で最初に来るものを代表として数えます。
例えば(A,B),(F,E),(D,C) の代表は(A,B),(C,D),(E,F)です。

１本目の線分は(A,○) で○は５点から１点を選ぶので５通り。
２本目の線分は(△,□)で△はA,○を除いた４点のうち最初に来るもの１つが決まる。□は残りの３点から選ぶので３通り
３本目の線分は残りの２点を結んだもの。

したがって、３本の線分で端点がすべて異なるのは５×３＝１５通り。
No.89711 - 2024/12/30(Mon) 14:41:04
★ (No Subject) / 数学苦手太郎
解説、付属の解説動画をみてもイマイチ理解できなかったので、分かりやすく教えてください。高一です。
例題(2)を重点的に教えてくれると嬉しいです。
No.89706 - 2024/12/29(Sun) 22:09:34
★ (No Subject) / 名無しの権兵衛
ありがとうございます(*ᴗ͈ˬᴗ͈)ꕤ*.ﾟ
解けました！！
No.89702 - 2024/12/29(Sun) 19:21:05
★ (No Subject) / 名無しの権兵衛
表し方がわかりません 教えてください🙇‍♀️
No.89699 - 2024/12/29(Sun) 18:30:37
☆ Re: / 名無しの権兵衛
> 表し方がわかりません 教えてください🙇‍♀️

すみません 学年を書いていませんでした
中学三年生です。
No.89700 - 2024/12/29(Sun) 18:41:23
☆ Re: / IT
１　上下を逆さまにしたものを、横に並べると、
各段の枚数はどうなりますか？
　合計枚数を２で割ったものが、求める枚数です。
No.89701 - 2024/12/29(Sun) 19:09:23
☆ Re: / 名無しの権兵衛
ありがとうございます(*ᴗ͈ˬᴗ͈)ꕤ*.ﾟ
解けました！！
No.89703 - 2024/12/29(Sun) 19:21:49
☆ Re: / IT
2　下図のように切貼します。
No.89704 - 2024/12/29(Sun) 19:36:45
☆ Re: / IT
２も1と同様にでも出来たのかも知れませんね
No.89705 - 2024/12/29(Sun) 20:36:53
★ 中学数学 / はるか
(5)のみ解説お願い申し上げます。

解答は　2√2-√6　のようです。
No.89690 - 2024/12/28(Sat) 16:23:27
☆ Re: 中学数学 / _
色々なやり方があり過ぎて面白い/悩ましい。

小問の流れに反する気もしますが、
一番シンプルには、三角形OCFが「15度、75度、90度の三角形」になることに注目。
この三角形の辺の比の求め方は有名なので、ネットで検索すればすぐ見つかるはず。
No.89691 - 2024/12/28(Sat) 18:35:04
☆ Re: 中学数学 / IT
（４）までを使う
△COFと△AHFは相似な直角三角形で相似比は√2:1

y＝FHとおくとOF＝√2y
三平方の定理などから
AO＝AF+FO＝√(1-y^2)+√2y＝√2
これを解くとy=2-√3
No.89692 - 2024/12/28(Sat) 21:31:25
☆ Re: 中学数学 / はるか
理解しました。

お二人ともありがとうございました。
No.89695 - 2024/12/29(Sun) 00:07:49
☆ Re: 中学数学 / IT
AF+FO＝√(1+y^2)+√2y　の入力ミスです

AF＝√(1+y^2)　などとせずに
直角△AHFについて三平方の定理から
AF^2=AH^2+FH^2 ・・・とした方が良いですね
No.89697 - 2024/12/29(Sun) 08:50:21
★ (No Subject) / 有栖川
極限値の問題で
x->∞のときt->∞なので〜と、扱う変数を変換して考える問題がありますが、
これは何によって保証されているのですか？
また、
x->∞ならばt->∞
t->∞ならばx->∞
のいずれかが成立してさえすればx->∞ をt->∞として変換して極限値を特定できますか？
No.89689 - 2024/12/28(Sat) 15:41:57
★ 数学B 漸化式 / 匿名希望
a1=8 a(n+1)=(3an)+4/(an)+3
bn=1/(an)-2と置くとき数列(bn)の一般項を求めよ
どうやってbn=の式を置けばいいかわからないです
No.89688 - 2024/12/28(Sat) 15:33:22
☆ Re: 数学B 漸化式 / らすかる
b[n]=1/a[n]-2
b[n]+2=1/a[n]
1/(b[n]+2)=a[n]
これをa[n+1]=3a[n]+4/a[n]+3に代入
1/(b[n+1]+2)=3/(b[n]+2)+4(b[n]+2)+3
整理して
b[n+1]=-{8(b[n])^2+37b[n]+48}/{4(b[n])^2+19b[n]+25}
これは何か違いそうなので
元の式の書き方が正しくない可能性がありますね。
（だから回答がなかなかつかないのでしょう）
質問された式は
a[1] = 8
a[n+1] = (3a[n]) + (4/a[n]) + 3
b[n] = (1/a[n]) - 2
のように解釈されますが、正しいですか？
No.89696 - 2024/12/29(Sun) 03:26:15
★ (No Subject) / 非受験生（高校生）
2014 JMO予選　問9のまともな解説がネットになかったので誰かお願いします。
以下、一応自分で書いた図です。
No.89686 - 2024/12/28(Sat) 13:09:00
☆ Re: / 非受験生（高校生）
すみません。
エラーで図は投稿できませんでした。
No.89687 - 2024/12/28(Sat) 13:11:01
☆ Re: / 数
αやsの変域などについては割愛していますが以外解き方です
No.89693 - 2024/12/29(Sun) 00:00:00
☆ Re: / 数
> αやsの変域などについては割愛していますが以下解き方です
No.89694 - 2024/12/29(Sun) 00:00:56
☆ Re: / 非受験生（高校生）
なるほど
回転させて座標で解けば意外と簡単ですね
ありがとうございました
No.89698 - 2024/12/29(Sun) 16:37:28
★ 教えてください(^_^) / 受験生（中学生）
次の問題を教えてください。
（１） 会話中の下線部について、機能ABCをオンにして、同じ２時間の映画を視聴したとき、バッテリーは何％減るか。
（２） 太郎さんは機能ABCDをオンにして同じ２時間の映画を視聴した。このとき、さらに太郎さんは節電モードにして映画を視聴したため、（１）のバッテリー消費と同じになった。節電モードの効果によって抑えることのできたバッテリー消費何％か求めよ。ただし、％表記で小数第２位を四捨五入して、第１位までで表せ。
No.89684 - 2024/12/28(Sat) 08:45:17
☆ Re: 教えてください(^_^) / X
(1)
問題のグラフから、ABをオンにして何も操作しないときの
1時間当たりのバッテリーの消費は
100[%]/50[時間]=2[%/時間]
なので、このときの2時間のバッテリー消費は
2[%/時間]×2[時間]=4[%]
よって、映画の視聴によるバッテリー消費は
7[%]-4[%]=3[%] (A)
一方、ABCをオンにして操作しなかったときの
1時間当たりのバッテリー消費は、問題のグラフから
100[%]/40[時間]=2.5[%/時間] (B)
(A)+(B)×2から求めるバッテリー消費は
8[%]

(2)
問題のグラフから、ABCDをオンにして
操作しなかったときの1時間当たりの
バッテリー消費は、
100[%]/26[時間]=50/13[%/時間] (C)
(A),(C)から、このとき、節電モード
にしない場合に2時間映画視聴をしたときの
バッテリー消費は
3[%]+50/13[%/時間]×2=139/13[%] (D)
(D)と(1)の結果から、節約できたバッテリー消費は
139/13[%]-8[%]=35/13[%]
≒2.7[%]
No.89685 - 2024/12/28(Sat) 09:36:42
★ ベクトル / 数学苦手
立方体ABCD-EFGHがある。
↑AB=↑a、↑AD=↑b、↑AE=↑cとするとき、↑BD・↑CGを計算してBD⊥CGであることを証明せよ。

↑BD=-↑a+↑b、↑CG=↑cであることはわかるのですが、これを使って証明する方法が分かりません。
よろしくお願いします。
No.89682 - 2024/12/27(Fri) 17:49:47
☆ Re: ベクトル / X
条件から
|↑a|=|↑b|=|↑c| (A)
↑a・↑b=↑b・↑c=↑c・↑a=0 (B)
(A)(B)を使って
↑BD・↑CG=0
を示します。
No.89683 - 2024/12/27(Fri) 18:51:00
★ ベクトルの内積 / 数学苦手
図の四角錐において、四角形BCDEは正方形、4つの三角形はすべて正三角形である。各辺の長さが2であるとき、次の内積を求めなさい。

ベクトルの→は省かせていただきます。
(1)ED・BE
(2)BA・CD
(3)EB・CA
(4)AC・AE
(5)DB・BA

始点が変わったりすると、どう考えたら良いのか分からなくなってきました。
教えていただきたいです。
No.89679 - 2024/12/27(Fri) 13:59:29
☆ Re: ベクトルの内積 / X
内積を考えるベクトルの大きさ、なす角が図から
容易にわかる場合(例えば(1))は、小問ごとに
始点を変えるのも一つの考え方ですが、
そうでない限りは
始点を固定し、
内積がわかりやすいベクトルに分解
して考えるのが合理的です。

↑AB=↑b,↑AC=↑c,↑AD=↑d,↑AE=↑e
と置くと、条件から
|↑b|=|↑c|=|↑d|=|↑e|=2 (A)
↑b・↑c=↑c・↑d=↑d・↑e=↑e・↑b=2 (B)
↑b・↑d=↑c・↑e=0 (C)
(∵)条件から△ABD≡△ACE≡△BCD

後は内積を取るベクトルを↑b,↑c,↑d,↑eの式で
表し、展開をして(A)(B)(C)を代入します。

例えば
(1)
↑ED・↑BE=(↑d-↑e)・(↑e-↑b)
=-(↑e-↑d)・(↑e-↑b)
=-{|↑e|^2-(↑d+↑b)・↑e+↑d・↑b}
=-(2^2-2-2)
=0
No.89680 - 2024/12/27(Fri) 14:27:10
☆ Re: ベクトルの内積 / 数学苦手
このやり方ならできそうです！
ありがとうございます！
No.89681 - 2024/12/27(Fri) 15:32:27
★ 数学探求にて / ジョーマ
開成高校に通ってる高校2年生です。
以下の写真に書かれてる式ができたんですけどこれ以上シンプルにできないか検討してます。何か案があればご協力お願いします🙇
No.89676 - 2024/12/26(Thu) 12:48:25
☆ Re: 数学探求にて / ジョーマ
これです。
No.89677 - 2024/12/26(Thu) 12:57:43
☆ Re: 数学探求にて / IT
何を表す式かを示された方が回答が付きやすいかも知れません。
No.89678 - 2024/12/26(Thu) 18:39:57
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です
（5）です

まぐれで正解しましたが

なぜ330÷5.5で計算してはいけないのですか？
No.89672 - 2024/12/25(Wed) 08:35:22
☆ Re: / ヨッシー
この問題はどう考えますか？
１１時ちょうどの状態から、次に長針と短針が重なるのは
何分後ですか？
No.89673 - 2024/12/25(Wed) 09:22:19
☆ Re: / やり直しメン
１時間後です
No.89674 - 2024/12/25(Wed) 09:48:35
☆ Re: / ヨッシー
どう考えるか聞いているのに、答えだけ言われても．．．

これこそ　330÷5.5 ですね？
330°離れているのを、１分間に 6−0.5＝5.5 ずつ追いついていくので、こういう式になります。

一方、対称の問題の方は、長針と短針とが、合わせて 330°だけ進むので、6＋0.5＝6.5 で割ります。
No.89675 - 2024/12/25(Wed) 12:59:49
★ (No Subject) / 有栖川
有界な閉区間において連続関数は最大値、最小値を持つことは、高校数学で用いて良いですか？
No.89670 - 2024/12/24(Tue) 21:34:22
☆ Re: / IT
良いと思います。
※数３の教科書には証明なしに　そのことが書いてあります。

※現行課程１つ前の教科書でした。現行課程のは未確認です。
No.89671 - 2024/12/24(Tue) 21:52:08
★ 中学校 / ゆう
(1)が分かりません。
答えは3/2です。
No.89666 - 2024/12/24(Tue) 07:41:28
☆ Re: 中学校 / ヨッシー
△ＡＢＣは直角三角形であり、ＡＣ：ＣＢ＝３：４ であれば、
　ＡＣ：ＣＢ：ＡＢ＝３：４：５
であるので、長さはそのまま　ＡＣ＝3cm、ＣＢ＝4cm です。
ＡＣとＢＤの交点をＧとします。
ＡＤ＝ＤＣより　∠ＡＢＤ＝∠ＤＢＣ　なので、
　△ＧＣＢ、△ＤＥＢ、△ＡＤＢ
は、相似な直角三角形です。
角の二等分線の定理より、
　ＡＧ：ＧＣ＝ＡＢ：ＢＣ＝５：４
よって、
　ＡＧ＝5/3 cm、ＧＣ＝4/3 cm
三平方の定理より、△ＧＣＢ、△ＤＥＢ、△ＡＤＢ　は
　１：３：√10
の直角三角形とわかります。
△ＡＤＢにおいて
　ＤＢ＝ＡＢ×3/√10＝15/√10
△ＤＥＢにおいて、
　ＤＥ＝ＤＢ/√10＝15/10＝3/2　・・・答え
No.89667 - 2024/12/24(Tue) 10:22:39
☆ Re: 中学校 / ヨッシー
算数の範囲で解くなら、
　ＧＣ：ＣＢ＝１：３
がわかったあとに、△ＧＣＢと相似な、△ＡＥＤ、△ＤＥＢにおいて、
　ＡＥ：ＤＥ＝１：３、ＤＥ：ＢＥ＝１：３
より、
　ＡＥ：ＤＥ：ＢＥ＝１：３：９
から、
　ＡＥ＝ＡＢ×1/10＝1/2
　ＤＥ＝ＡＥ×３＝3/2
とする方法もあります。
No.89668 - 2024/12/24(Tue) 10:30:50
☆ Re: 中学校 / ゆう
ありがとうございます！
No.89669 - 2024/12/24(Tue) 19:08:14
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