ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。

過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

★ 大阪府立大過去問 / Higashino

引用

複素数平面　難あり

大阪府立大学過去問

以下問題

何卒よろしくお願いします

No.89023 - 2024/10/06(Sun) 05:24:15

☆ Re: 大阪府立大過去問 / ヨッシー

引用

x[k]＝cos(2kπ/n)＋ｉsin(2kπ/n)　と置きます。

ｎが偶数のとき
　x[0]^2＝x[0]
　x[1]^2＝x[2]
　x[2]^2＝x[4]
・・・
　x[n/2]^2＝x[0]
　x[n/2＋1]^2＝x[2]
　x[n/2＋2]^2＝x[4]
　・・・
　x[n－1]^2＝x[n－2]
となり、存在する解は
　x[0], x[2], x[4]・・・x[n-2]
の偏角等間隔の n/2 個の単位円上の複素数なので、
　ｘ^(n/2)－１＝０

ｎが奇数のとき
　x[0]^2＝x[0]
　x[1]^2＝x[2]
　x[2]^2＝x[4]
・・・
　x[(n-1)/2]^2＝x[n-1]
　x[(n+1)/2]^2＝x[1]
　x[(n+1)/2＋1]^2＝x[3]
　・・・
　x[n－1]^2＝x[n－2]
となり、存在する解は
　x[0], x[1], x[2]・・・x[n-1]
と、元の方程式と同じになり、
　ｘ^n－１＝０

No.89047 - 2024/10/07(Mon) 10:41:30

☆ Re: 大阪府立大過去問 / Higashino

引用

ヨッシー先生、おはようございます

ご回答ありがとうございます

私の考え方を上げておきます

画像拡大リンク先

https://imgur.com/a/1hBWj73

No.89053 - 2024/10/08(Tue) 05:39:01

★ 三角級数の和 / Higashino

引用

複素数平面　証明問題

富山大学過去問

以下問題

何卒よろしくお願いします

No.89021 - 2024/10/06(Sun) 03:02:21

☆ Re: 三角級数の和 / X

引用

方針を。

z=cosθ+isinθ
と置き
S[n]=Σ[k=0～n]z^k
を
等比数列の和として計算した場合の表示
と
ドモアブルの定理を用いた表示
の二通りで表し、複素数の相等の定義を使って
実部、虚数部の比較を行います。

No.89031 - 2024/10/06(Sun) 17:34:29

☆ Re: 三角級数の和 / Higashino

引用

先生、こんばんは

いつもいつもありがとうございます
心から感謝しております

　今回は複素数の範囲を使わず証明しました
究極の所、この問題は数列の和ですので　数列を使った考え方で解いてみました

ご指導のほど、何卒よろしくお願いいたします

以下答案

No.89042 - 2024/10/06(Sun) 23:39:20

☆ Re: 三角級数の和 / X

引用

問題ないと思います。

No.89055 - 2024/10/08(Tue) 17:33:57

★ 複素数平面 / Higashino

引用

出典不明

なにとぞよろしくお願いします

以下問題

No.89002 - 2024/10/04(Fri) 19:26:57

☆ Re: 複素数平面 / X

引用

(√3+1)/2+i(√3-1)/2=cos(π/3)+cos(π/6)+isin(π/3)-isin(π/6)
=cos(π/3)+sin(π/3)+isin(π/3)-icos(π/3)
=cos(π/3)+isin(π/3)-i{cos(π/3)+isin(π/3)}
=(1-i){cos(π/3)+isin(π/3)}
=(√2){cos(π/3)+isin(π/3)}{cos(-π/4)+isin(-π/4)}
=(√2){cos(π/12)+isin(π/12)}
∴a[n]={(√2)^n}{cos(nπ/12)+isin(nπ/12)}
となるので、a[n]が実数であるためには
sin(nπ/12)=0
これより
nπ/12=mπ
(mは任意の実数)
∴n=12m
よって自然数nのうち、最小となるものは
n=12
∴求めるa[n]の値は
a[n]=a[12]={(√2)^12}cosπ=-64

No.89007 - 2024/10/05(Sat) 00:39:59

☆ Re: 複素数平面 / Higashino

引用

x先生、おはようございます

今回もご回答くださりありがとうございました

大変ためになるご回答で毎回勉強させていただいております

私も、案を作成いたしましたので、アップさせていただきます

ご指導のほどよろしくお願いいたします

No.89022 - 2024/10/06(Sun) 03:33:57

★ 広島女子大学過去問 / Higashino

引用

広島女子大学過去問

複素数平面

なにとぞよろしくお願いします

以下問題

No.88994 - 2024/10/04(Fri) 04:40:09

☆ Re: 広島女子大学過去問 / ヨッシー

引用

(分子)＝cos(π/2－Ａ)－ｉsin(π/2－Ａ)
　　　＝cos(Ａ－π/2)＋ｉsin(Ａ－π/2)
(分母)＝cos(Ｂ＋Ｃ)＋ｉsin(Ｂ＋Ｃ)
　　　＝cos(π－Ａ)＋ｉsin(π－Ａ)
よって、
　(与式)＝cos(２Ａ＋π/2)＋ｉsin(２Ａ＋π/2)
これが実数になるのは
　sin(２Ａ＋π/2)＝０
のときであり、三角形の内角としては、
　Ａ＝π/4, 3π/4

No.88997 - 2024/10/04(Fri) 09:30:43

☆ Re: 広島女子大学過去問 / Higashino

引用

ヨッシー先生、こんにちは

ご回答ありがとうございます

ほとんど同じなのですが　念のため答案を投稿させていただきます。

No.89000 - 2024/10/04(Fri) 13:00:52

★ 数学?U / ほ

引用

（2）（3）（4）の解き方を教えていただきたいです。お願いします。

2 答え　　x＝√2,y＝√2 最大値2√2
3答え　　x＝8/5,y＝－6/5 最大値2/5
4答え　　　m≧2

No.88990 - 2024/10/02(Wed) 19:47:43

☆ Re: 数学?U / ヨッシー

引用

(2)
ｘ＋ｙ＝ｋとおき、ｋを変化させると、この直線のグラフは
傾き－１を保ちながら上下に移動します。（ｋはｙ切片）
(1) で選んだ領域と、この直線が共有点を持ちながら、ｋを限界まで
大きくすると、この直線が円に接する(√2, √2) を通る位置まで上げることが出来ます。
これが最大値で、ｘ＝√2, ｙ＝√2, ｘ＋ｙ＝2√2
(3)
同様に、ｋを小さくすると、(8/5, －6/5) を通る位置まで下げることが出来ます。
これが最小値で、ｘ＝8/5, ｙ＝－6/5, ｘ＋ｙ＝2/5
(4)
傾きが－ｍの直線を (1) の領域と共有点を持ちながら動かすとき、
点(0,2) を通るときよりも、下に動かせないような場合を考えます。
答えｍ≧２が出ているので、それ以外の場合、直線が(0,2) を通る位置より
下げられることを確認しましょう。

No.88991 - 2024/10/03(Thu) 09:07:40

★ 東京理科大過去問 / Higashino

引用

複素数平面

東京理科大過去問

なにとぞよろしくお願いします

No.88984 - 2024/09/30(Mon) 20:56:40

☆ Re: 東京理科大過去問 / ヨッシー

引用

分母の実数化はご自分でやってもらうとして、その答えをＡとします。

偏角が60°(π/3) で絶対値が１の複素数として
　(1＋√3ｉ)/２
偏角が45°(π/4) で絶対値が１の複素数として
　(1＋ｉ)/√2
を考えます。
　(1＋√3ｉ)/２÷(1＋ｉ)/√2＝cos(π/3－π/4)＋ｉsin(π/3－π/4)
　＝cos(π/12)＋ｉsin(π/12)＝Ａ/√2
より、
　Ａ/√2
の虚部が sin(π/12) となります。

No.88985 - 2024/10/01(Tue) 09:09:38

☆ Re: 東京理科大過去問 / Higashino

引用

ヨッシー先生

こんばんは

いつもご回答くださりありがとうございます

東案を作りました
ぜひともアドバイスいただけると幸いです

No.88987 - 2024/10/01(Tue) 17:59:48

★ (No Subject) / ニシダ

引用

(3)お願いします。
mは｛a^2-2a (0<a≦1)、-1 (1≦a)｝
Mは｛-a^2+2a (0<a≦1)、1 (1≦a≦1+√2)、a^2-2a (1+√2≦a)｝

　　

No.88982 - 2024/09/30(Mon) 20:07:47

☆ Re: / ニシダ

引用

高一です。

No.88983 - 2024/09/30(Mon) 20:11:41

☆ Re: / ヨッシー

引用

0＜a≦1 のとき
　Ｍ－ｍ＝－2a^2＋4a＜3a/2
　よって、
　2a^2－5a/2＞0
　これを解いて
　a＜0 または a＞5/4＞1
　よって、この範囲に適当な a は存在しない。
1≦a≦1＋√2 のとき
　Ｍ－ｍ＝2＜3a/2
　これを解いて
　4/3＜a
　よって、4/3＜a≦1＋√2　が答えの１つである。
1＋√2≦a のとき
　Ｍ－ｍ＝a^2－2a＋1＜3a/2
　よって、
　a^2－7a/2＋1＜0
　これを解いて
　(7－√33)/4＜a＜(7＋√33)/4
　よって、　1＋√2≦a＜(7＋√33)/4 が答えの１つである
以上より
　4/3＜a＜(7＋√33)/4

No.88986 - 2024/10/01(Tue) 10:51:48

★ 複素数平面回転 / Higashino

引用

複素数平面回転

なにとぞよろしくお願いします

以下問題

No.88973 - 2024/09/29(Sun) 20:40:03

☆ Re: 複素数平面回転 / ヨッシー

引用

(1)
２倍して偏角が 30°増えているので、ｗに
　2(cos30°＋ｉsin30°)＝√3＋ｉ
を掛けます。
　ｗ(√3＋ｉ)
(2)
Ａが原点に来るまでＡ，Ｂ，Ｃを並行移動すると
Ｂは２＋ｉに来ます。
これを、２倍して偏角を30°増やすと
　（２＋ｉ）(√3＋ｉ）＝(2√3－1)＋(2＋√3)ｉ
これを、最初移動した分戻すと
　(2√3－1)＋(2＋√3)ｉ＋１＋ｉ＝2√3＋(3＋√3)ｉ　・・・答え

No.88978 - 2024/09/30(Mon) 09:32:20

☆ Re: 複素数平面回転 / Higashino

引用

ヨッシー先生、こんにちは

ご回答ありがとうございます

以下、答案となります

No.88988 - 2024/10/01(Tue) 18:07:11

★ 日本女子大過去問 / Higashino

引用

日本女子大過去問
複素数平面

よろしくお願いいたします

No.88972 - 2024/09/29(Sun) 20:33:01

☆ Re: 日本女子大過去問 / ヨッシー

引用

ｚ[1]＝１、α＝(1/√2)(cos45°＋ｉsin45°)＝1/2＋i/2 とし、
　ｚ[n+1]＝αｚ[n]
によって、ｚ[2], ｚ[3], ・・・を定義すると、
　Ｐ[1]＝ｚ[1]
　Ｐ[2]＝ｚ[1]＋ｚ[2]
　Ｐ[3]＝ｚ[1]＋ｚ[2]＋ｚ[3]
　・・・
で計算されます。
ただし、Ｐ[n] は、Ｐ_n が表す複素数を意味するものとします。

Ｐ[10]＝ｚ[1]＋ｚ[2]＋ｚ[3]＋・・・＋ｚ[10]
　　　＝1＋α＋α^2＋・・・＋α^9
であるので、
　1－α^10＝(1－α)(1＋α＋α^2＋・・・＋α^9)
において、
　α^10＝(1/32)(cos450°＋ｉsin450°)＝(1/32)ｉ
よって、
　Ｐ[10]＝(1－α^10)/(1－α)＝(1－i/32)/(1/2－i/2)
　　＝(以下略)

No.88979 - 2024/09/30(Mon) 09:55:13

☆ Re: 日本女子大過去問 / Higashino

引用

ヨッシー先生こんばんは

ヨッシー先生の巧みな変形、すごいなぁと思います
1－α^10＝(1－α)(1＋α＋α^2＋・・・＋α^9)

これは感動ものですね

ぜひぜひ使ってみたいものと思います

ただ今は基礎を固める時なので　公式にない童話を作成していこうと思います

その際はよろしくお願いいたします

No.88992 - 2024/10/04(Fri) 03:52:56

★ 2次方程式 / みはる

引用

中3です。
説明の5行目まではわかるのですが、最後の2行が分かりません。最後から2行目の式でa=1になってしまっているのに、なぜx²-1は答えとして良いのでしょうか。
お願いします。

No.88965 - 2024/09/29(Sun) 13:00:13

☆ Re: 2次方程式 / X

引用

＞＞最後から2行目の式でa=1になってしまっているのに
問題の条件は
a≠1
ですので
a-1≠0
です。

No.88966 - 2024/09/29(Sun) 13:58:19

☆ Re: 2次方程式 / IT

引用

最後から2行目の式⇔[a-1=0 または x^2-1=0」です。
元の条件a≠1からa-1≠0なので、x^2-1=0です。

No.88967 - 2024/09/29(Sun) 14:01:59

☆ Re: 2次方程式 / みはる

引用

ありがとうございます。

No.88969 - 2024/09/29(Sun) 16:06:21

★ (No Subject) / やり直しメン

引用

6番です

算数です

(1)ですが整数の和ということで数列の公式を使いましたので正解はしましたがその後の(2)、(3)は解けませんでした。

どのように解けばいいですか？

No.88962 - 2024/09/29(Sun) 10:03:56

☆ Re: / やり直しメン

引用

問題になります

No.88963 - 2024/09/29(Sun) 10:46:39

☆ Re: / IT

引用

数列の公式は、どんな公式ですか？
中学入試でどこまで使っていいのか分からないので回答が付きにくいかも知れません。

（２）は、【イ,ア】＝31 になることは分りますか？

No.88964 - 2024/09/29(Sun) 12:48:16

☆ Re: / あいうえお

引用

(2)は既に回答が書かれてますが、組み合わせはそんなに多くないので解けるのは時間の問題です。(3)は(2)が解けてから考えると解けるでしょう。

No.88970 - 2024/09/29(Sun) 16:08:06

★ 順列 / あ

引用

⑶の問題がわかりません。
なぜ、⑴と同じ解き方ではいけないんでしょうか？
÷3をする理由も教えてください。
よろしくお願いします。

No.88955 - 2024/09/28(Sat) 17:00:09

☆ Re: 順列 / IT

引用

(3)を⑴と同じ解き方で解くとどうなりますか？

異なる３個の宝石を机の上で円形に並べる方法は何通りあるか。
という問題を(1)と同じ解き方で解くとどうなりますか？

No.88957 - 2024/09/28(Sat) 17:19:53

☆ Re: 順列 / あ

引用

すみません、どうなるかわかりません

No.88958 - 2024/09/28(Sat) 18:53:55

☆ Re: 順列 / IT

引用

(1)もわからない。ということでしょうか？

(1)の宝石の個数を少なくした
異なる３個の宝石を机の上で円形に並べる方法は何通りあるか。
という問題もわかりませんか？
できるところまでやって、書き込んでみてください。　

No.88960 - 2024/09/29(Sun) 07:36:52

☆ Re: 順列 / あ

引用

やってみました。よろしくお願いします。

No.88971 - 2024/09/29(Sun) 19:59:38

☆ Re: 順列 / IT

引用

計算は合っています。
なぜ、(3-1)！としましたか？その理由を理解することが大切です。
なお、(3-1)！＝3!/3 でもあります。

(3)で5個から3個選ぶ方法は何通りですか？

No.88981 - 2024/09/30(Mon) 12:41:56

★ (No Subject) / さっし

引用

b＝0とそうでないときで場合分けが必要なのはなぜですか？

No.88953 - 2024/09/28(Sat) 14:29:40

☆ Re: / さっし

引用

同値な2次方程式であるのはわかるのですが

No.88954 - 2024/09/28(Sat) 14:31:53

☆ Re: / ast

引用

(その本での「同値な二次方程式」の定義や扱いがわかりませんが) 同値な二次方程式であるならば "係数の比" の比較ができて, 本問の場合 a-1:b:c=4a:2b:1 です. このとき, 比 (連比) の一般論から ("0" を含む比には気を付けなければなりませんが "a-1=a=0", "b=2b=0", "c=1=0" のうち "b=2b=0" の場合のみ起こりうるので),
　a-1:b:c=4a:2b:1 ⇔ [[(a-1)/4a=b/2b=c/1 …(i)] または [b=2b=0 かつ (a-1)/4a=c/1 …(ii)]]
とすることになります. これら比の条件と判別式の条件 D>0 とをを併せて考えると, a,c について模範解答のような関係式が出ることを確認してください.

No.88961 - 2024/09/29(Sun) 08:16:02

★ 静岡大学　過去問　複素数平面 / Higashino

引用

静岡大学過去問　複素数平面

それなりに悩む問題ですよね

なにとぞよろしくお願いいたします

以下問題

画像拡大リンク先

https://imgur.com/a/DbrFIhx

No.88949 - 2024/09/28(Sat) 03:38:45

☆ Re: 静岡大学　過去問　複素数平面 / X

引用

問題の方程式はz=0を解に持たないので
|z|=-(2-i)z-1=r
(r＞0)
と置くことができ、
|z|=r (A)
-(2-i)z-1=r (B)
(B)より
z=(r+1)/(i-2) (B)'
これを(A)に代入すると
(r+1)/√5=r
∴r=1/(√5-1)=(√5+1)/4
これを(B)'に代入して
z=(√5+5)/{4(i-2)}
=-(5+√5)(2+i)/20

No.88951 - 2024/09/28(Sat) 10:14:43

☆ Re: 静岡大学　過去問　複素数平面 / Higashino

引用

x先生、こんにちは

だいぶ涼しくなってきましたね

いつもいつもご回答ありがとうございます

回答いただいたもの拝見させていただきました

学べることが多く感謝しております

以下、私も答案を作りましたので、投稿させていただきます

ご指導　ご指摘アドバイス等いただけると幸いです。以下答案

No.88956 - 2024/09/28(Sat) 17:14:42

☆ Re: 静岡大学　過去問　複素数平面 / X

引用

ごめんなさい。No.88951で誤りがありましたので
直接修正しました。
再度ご覧下さい。

No.88959 - 2024/09/28(Sat) 20:32:03

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