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ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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★ (No Subject) / よし
これは差分算の問題になりますか？

図付きで教えてください
No.87518 - 2024/02/22(Thu) 12:46:21
☆ Re: / ヨッシー

図の一番上が最終状態、一番下が最初の状態です。
最終状態から逆にたどっていきます。
ＡからＢに1/2あげた残りが550円なので、Ａが直前に持っていたのは
　550÷(1−1/2)＝1100
あげたのは
　1100−550＝550
直前の状態は
　Ａ 1100円、Ｂ 1050円
ＢからＡに 1/4あげた残りが1050円なので、Ｂがその前に持っていたのは
　1050÷(1−1/4)＝1400
あげたのは
　1400−1050＝350
２つ前の状態は
　Ａ 750円、Ｂ 1400円
のように考えていきます。
No.87534 - 2024/02/25(Sun) 08:27:23
★ 無限級数、部分和の場合分け / 篠塚(高校2年)
画像の問題、部分和を求めにいく際、3つに場合分けするんだろうなというところまでは分かるのですが、答えが合いません。
1/2だと思うのですが、先生の答えは1です。
No.87515 - 2024/02/22(Thu) 09:53:39
☆ Re: 無限級数、部分和の場合分け / 篠塚(高2)
先生の答えも載せておきます。
私の回答はどこで間違ってしまったのでしょうか。
No.87516 - 2024/02/22(Thu) 09:55:19
☆ Re: 無限級数、部分和の場合分け / ヨッシー
先生のが間違ってますね。
公比が 1/4 なのに、分母が 1−1/2 になっています。
No.87517 - 2024/02/22(Thu) 11:41:06
★ 東京理科大 期待値　答案補足 / Nishino (中学２年生)
東京理科大 期待値

答案補足しました


No.87513 - 2024/02/22(Thu) 05:43:37



ご指摘ご指導のほどよろしくお願いします。
No.87514 - 2024/02/22(Thu) 05:58:06
★ (No Subject) / 数学苦手
高2です。不等式の質問で、数1です。

例題46のカッコ1とカッコ2について教えてください。
回答を読んでも解き方があまりよくわかりません
No.87504 - 2024/02/20(Tue) 20:58:25
☆ Re: / X
(1)ですが、題意を満たすためには
連立不等式の解が
a-3≦x＜6
の形にならなくてはならない
(つまり、添付写真の(1)の解説の右の数直線の
ピンクのハッチングの部分が存在しなくてはならない)
ということは理解できていますか？
No.87506 - 2024/02/21(Wed) 05:06:17
☆ Re: / 数学苦手
それはわかります。
共通範囲を求めることで不等式の解がもとまるのはわかるのですが、、
解を持つ条件？というのはどのように解くのかがよくわからないです。。。
遅くなってすみません。。
No.87511 - 2024/02/21(Wed) 21:35:00
☆ Re: / 数学苦手
すみませんやっぱりよくわかっていませんでした。。。
a-3≦x<6の形にならないといけないということが盲点でした。。。
ありがとうございました！！
No.87512 - 2024/02/21(Wed) 22:36:35
★ 日大　数列 / 部分分数分解くん
どうしたら良いのかさっぱりわからないので教えてください。出来れば2Bの範囲内での説明だとありがたいです。

数列{an}の階差数列の一般項はcos(n/4)πであり、a1=1-(1/√2)である。数列{an}の初項から第n項までの和をSnとする。次の問いに答えなさい。
(1)a8=
(2)S11=
(3)不等式　S(8n-7)<-103-(1/√2)を満たす最小の自然数nは○○である。

答えは(1)-√2/2 (2)7-(9/2)√2 (3)64 です。
よろしくお願いします。
No.87501 - 2024/02/20(Tue) 20:08:49
☆ Re: 日大　数列 / WIZ
nを自然数としてa[n+1]-a[n] = cos(nπ/4)と解釈して回答します。

a[2] = a[1]+cos(π/4) = {1-1/√2}+1/√2 = 1
a[3] = a[2]+cos(2π/4) = 1+0 = 1
a[4] = a[3]+cos(3π/4) = 1+(-1/√2) = 1-1/√2
a[5] = a[4]+cos(4π/4) = {1-1/√2}+(-1) = -1/√2
a[6] = a[5]+cos(5π/4) = {-1/√2}+(-1/√2) = -√2
a[7] = a[6]+cos(6π/4) = {-√2}+0 = -√2
a[8] = a[7]+cos(7π/4) = {-√2}+1/√2 = -1/√2・・・(1)の答え
a[9] = a[8]+cos(8π/4) = {-1/√2}+1 = 1-1/√2 = a[1]

nを自然数として、cos(nπ/4)の周期性から、
cos((n+8)π/4) = cos(nπ/4+2π) = cos(nπ/4)なので、
a[n+8] = a[n]と言えます。

よって、
S[8] = Σ[k=1,8]a[k]
= (1-1/√2)+1+1+(1-1/√2)+(-1/√2)+(-√2)+(-√2)+(-1/√2)
= 4-4√2

a[n+8] = a[n]より、u, vを自然数として、S[8u+v] = u*S[8]+S[v]と言えます。
S[11] = 1*S[8]+S[3] = (4-4√2)+(1-1/√2)+1+1 = 7-(9/2)√2・・・(2)の答え

S[8n-7] = S[8(n-1)+1] = (n-1)S[8]+S[1] = (n-1)(4-4√2)+(1-1/√2) < -103-(1/√2)
⇒ (n-1)(4-4√2) < -104
⇒ n-1 > -104/(4-4√2) = 26/((√2)-1)) = 26((√2)+1)
⇒ n > 26(√2)+27

1.414 < √2 < 1.415だから、
26*1.414+27 = 63.764 < 26(√2)+27 < 26*1.415+27 = 63.79

nは自然数だからn ≧ 64・・・(3)の答え
No.87505 - 2024/02/21(Wed) 00:09:20
☆ Re:Re: 日大　数列 / 部分分数分解くん
WIZさん、ありがとうございます！
No.87507 - 2024/02/21(Wed) 07:24:30
★ おうぎ形 / 磁石
⑵の問題を教えてください。
答えは18πになります。
よろしくお願いします。
No.87497 - 2024/02/20(Tue) 16:04:16
☆ Re: おうぎ形 / ヨッシー
弧ＡＢが円周の 2/9 なので、おうぎ形ＯＡＢの面積は
円Ｏの面積の 2/9 倍。
よって、
　9×9×π×2/9＝18π　・・・答
No.87499 - 2024/02/20(Tue) 16:12:40
☆ Re: おうぎ形 / 磁石
ありがとうございました。わかりました。
No.87553 - 2024/02/26(Mon) 20:30:48
★ 東京理科大 期待値 / Nishino (中学２年生)
東京理科大 期待値

何卒宜しくお願いします

以下問題

---------------------------------------------------
No.87491 - 2024/02/20(Tue) 03:58:20
☆ Re: 東京理科大 期待値 / GandB
　No.87483 で
　> なるほどのなるほどです
　> 感動しました。
とまで言っているのに、何で同じような質問を小出しに出すの？
　本当は何もわかっていないのではないかと疑われ、回答がつかなくなるぞwwwwwwwwww

　よくわからないのなら、n を小さな数に固定して考える。
　n = 5 のとき、標本空間（全事象）U を構成する根元事象の総数は C(5,3) = 10 個だけ。根元事象は1から5までの自然数の3つの組だから、小さい順に (1,2,3) のように表すと約束すると、
　　U = { (1,2,3),
　　　　　(1,2,4), (1,3,4), (2,3,4),
　　　　　(1,2,5), (1,3,5), (1,4,5), (2,3,5), (2,4,5), (3,4,5) }
　各根元事象の一番大きい数字が k の取りうる値である。これからただちに
　　P(k=3) = 1/10
　　P(k=4) = 3/10
　　P(k=5) = 6/10
　期待値とは確率変数 k が取りうる値の加重平均であるから
　　E[k] = 3(1/10) + 4(3/10) + 5(6/10) = 9/2

　一般的な解の確率分布は No.87476 を参考にする。k の取りうる値を m とすると
　　P(k=m) = C(m-1,2)/C(n,3) = 3(m-1)(m-2)/n(n-1)(n-2)
　期待値は No.87403 と同じように計算をする。自力で解ければ感動はさらに深まるから、計算の詳細は質問者の楽しみのために省くwww
　　E[k] = ?納m=1→n]m( 3(m-1)(m-2)/n(n-1)(n-2) )
　　　　 = ( 3/n(n-1)(n-2) )?納m=1→n](m^3-3m^2+2m)
　　　　 = 3(n+1)/4
　これに n = 5 を代入すると先と同じ結果を得る。
No.87502 - 2024/02/20(Tue) 20:49:32
☆ Re: 東京理科大 期待値 / GandB
シグマも文字化けするのか・・・
No.87503 - 2024/02/20(Tue) 20:55:07
☆ Re: 東京理科大 期待値 / ヨッシー
シグマによると思います。

全角文字のシグマ　??
ギリシャ文字のシグマ　Σ
No.87508 - 2024/02/21(Wed) 08:27:34
☆ Re: 東京理科大 期待値 / ヨッシー
さらに　半角の　[　を付けると
　?納
No.87509 - 2024/02/21(Wed) 08:28:52
☆ Re: 東京理科大 期待値 / Nishino (中学２年生)
私なりに考えてみました

ご指摘ご指導のほどよろしくお願いいたします。

以下答案

--------------------------------
No.87510 - 2024/02/21(Wed) 12:36:23
☆ Re: 東京理科大 期待値 / Nishino (中学２年生)
追伸

全事象の期待値の求め方が簡潔過ぎたので補足
No.87513 - 2024/02/22(Thu) 05:43:37
☆ Re: 東京理科大 期待値 / Nishino (中学２年生)
GandB先生

ご解説ありがとうございました。

稚拙な私には、無理なようです。

ごめんなさい
No.87532 - 2024/02/25(Sun) 00:19:34
☆ Re: 東京理科大 期待値 / Nishino (中学２年生)
ヨッシー先生

補足ありがとうございました。
No.87533 - 2024/02/25(Sun) 00:43:34
★ (No Subject) / 有栖川
一辺の長さが2の正八面体A-BCDE-Fは、三角形ABCを底面として置かれている。BCを軸にして、正八面体を三角形BCFが底面に接するまで回転させるとき、正八面体の動く範囲の体積を求めよ。

この問題の解説をお願いします。
No.87490 - 2024/02/20(Tue) 00:19:00
★ 数学?U円の格子点 / 高校二年生
数学?Uの解答集などのない問題ですので質問させていただきます。
問
原点中心の円 x＾2 + y＾2 = r＾2 の格子点の数について、法則性や性質を整理せよ。
No.87482 - 2024/02/19(Mon) 19:31:32
☆ Re: 数学?U円の格子点 / らすかる
円周上の格子点の個数の話でしたら、以下をご覧下さい。
ヤコビの二平方定理
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E3%81%AE%E4%BA%8C%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%AE%9A%E7%90%86
ただし、ここの書かれている証明は高校範囲外です。
この定理により、自然数rに対してx^2+y^2=r^2を満たす(x,y)の組の個数は
r=A・Πp[k]^q[k]
（ただしp[k]は4n+1型の素数、Aはrから4n+1型の素因数を除いた残りの数）
としたとき
4Π(2q[k]+1) 個
となると思います（ただし4n+1型の素因数を持たないときは4個）。
例えばr=253500のとき
253500=2^2×3×5^3×13^2
なので
A=2^2×3=12、p[1]=5、q[1]=3、p[2]=13、q[2]=2
となり
4Π(2q[k]+1)=4{(2×3+1)(2×2+1)}=4×7×5=140個
と計算されます。
No.87488 - 2024/02/19(Mon) 21:42:45
☆ Re: 数学?U円の格子点 / WIZ
> らすかるさん
ヤコビの二平方定理を若干勘違いされているようです。
らすかるさんの提示された式のAは4n+3型の素因数の指数が偶数であることが必要です。
なので、例として上げられている253500 = 2^2×3×5^3×13^2を2個の整数の平方の和に表す表現数は0個です。

また、r = √2などrが整数でなくでもr^2 = 2 = 1^2+1^2と2個の整数の平方の和に表すことが
できる場合があるので、rでなくr^2が整数になる場合に対してヤコビの二平方定理を適用すべきだと思います。

ヤコビの二平方定理の証明ですが、一応初等的な方法も知られておりググれば見つけられるかもしれません。
ちなみに手持ちの「チャレンジ! 整数の問題199」(ISBN4-535-78420-5)という本には、
前提となる補題から読むとかなりの長さになるし、若干の厳密さは犠牲になっているものの高校数学程度で
理解できる証明が解説されています。

以下余談

もし、円周上の格子点だけでなく円内部の格子点も含むのなら、おそらく同じ質問/質問者さんと思われる
数学問題集「考える葦」数学質問掲示板に投稿されている
円の公式と格子点について　名前：どこぞの高校生 日付：2024/1/28(日) 19:11
に回答がついています。この回答に疑問があるのなら、
「考える葦」の方に追加質問のスレを立ててみては如何でしょうか?
No.87489 - 2024/02/19(Mon) 23:28:43
☆ Re: 数学?U円の格子点 / らすかる
> WIZさん
質問の式はa^2+b^2=rではなくa^2+b^2=r^2ですから、
r=253500の場合もr^2は平方数の和で表せます。
例に挙げた「140個」は、253500^2を平方数の和で表す場合の数です。
No.87495 - 2024/02/20(Tue) 09:34:49
☆ Re: 数学?U円の格子点 / WIZ
> らすかるさん
私がらすかるさんの解説を誤読していました。申し訳ありません。
No.87496 - 2024/02/20(Tue) 10:04:58
★ (No Subject) / tokotoko
中学範囲でどうとけばよいか教えてください
No.87481 - 2024/02/19(Mon) 18:37:05
☆ Re: / らすかる
上の角（3の辺とaの辺の交点）をA、
左下の角（3の辺とbの辺の交点）をB、
右下の角（aの辺とbの辺の交点）をC、
三角形の内部に描かれている線分とbの辺の交点をDとします。
AB=AD=CD=3、BC=b、CA=aです。
AB=ADから∠ADB=∠ABD=2xなので
3x+2x+2x=7x=180°、∠DAC=∠DCA=x、∠ADC=5xとなります。
Cを通り直線ADに平行な直線と直線ABの交点をEとします。
∠CEB=∠DAB=3x、∠ACE=∠CAD=xなので∠CAE=180°-3x-x=3xとなり
△CEAはCE=CAの二等辺三角形ですから、CE=aです。
そして△EBC∽△ABDからEC：BC=AD：BDすなわちa：b=3：b-3
これより
3b=a(b-3)
3a+3b=ab
3(a+b)=ab
従ってa+b：ab=1：3です。
No.87485 - 2024/02/19(Mon) 20:52:03
☆ Re: / tokotoko
分かりやすい説明をありがとうございました。
No.87487 - 2024/02/19(Mon) 21:38:08
★ 最小値の確率 / Nishino (中学２年生)
最小値の確率

何卒宜しくお願いします

以下問題

--------------------------------------------
No.87471 - 2024/02/18(Sun) 08:54:25
☆ Re: 最小値の確率 / IT
問題文（「このときの確率」）があいまいのような気がしますが転記ミスはないですか？
（確率論を専門的に習ってないので私の誤解かも知れませんが）
No.87473 - 2024/02/18(Sun) 10:08:35
☆ Re: 最小値の確率 / Nishino (中学２年生)
申し訳ございません。

>このときの確率→mとするときの確率

です

何卒宜しくお願いします
No.87474 - 2024/02/18(Sun) 10:30:56
☆ Re: 最小値の確率 / Nishino (中学２年生)
mとするときの確率→mとなるときの確率です
No.87475 - 2024/02/18(Sun) 10:33:32
☆ Re: 最小値の確率 / WIZ
基本的にはNo.87403と同じ考え方で求められます。
# No.87403は2枚の場合で、最小値がkならもう一枚はn-k枚から選ぶから、
# 確率はC(n-k, 1)/C(n, 2) = 2(n-k)/{n(n-1)}

3枚選ぶ場合は、1枚はmで、他の2枚はmより大きい数字のn-m枚から選ぶから
確率はC(n-m, 2)/C(n, 3)
= {(n-m)(n-m-1)/(2*1)}/{n(n-1)(n-2)/(3*2*1)}
= 3(n-m)(n-m-1)/{n(n-1)(n-2)}
# 勿論n, mは自然数で、3 ≦ n, 1 ≦ m ≦ n-2です。
No.87476 - 2024/02/18(Sun) 13:32:01
☆ Re: 最小値の確率 / Nishino (中学２年生)
WIZ先生へ

今晩は

ご回答ありがとうございます。

なるほどのなるほどです

感動しました。

本当にありがとうございました。

感謝いたします。


彼処
No.87483 - 2024/02/19(Mon) 19:58:18
☆ Re: 最小値の確率 / GandB
　「本当にわかって」

感動までしたのなら、No.87450 の投稿は、考え方に難があるというだけではなく、数学の文章として、「事象」や「期待値」という用語の使い方がデタラメであることもよくわかったはずなので、まともな文章と差し替えたほうがいいのではないかwww。
No.87484 - 2024/02/19(Mon) 20:26:31
☆ Re: 最小値の確率 / Nishino (中学２年生)
GandB先生に

ご指摘ありがとうございました。
No.87492 - 2024/02/20(Tue) 08:34:02
★ 中学数学の問題 / 中３
　
この問題です。解けません。解説よろしくお願いします。

ＡＤ＝４ｃｍ、∠Ａ＝３０°の平行四辺形ＡＢＣＤがある。ＰはＡを出発して、毎秒１cmの速さでＡＢ、ＢＣ、ＣＤをＢ、Ｃを通ってＤまで２０秒で動いた。ＰがＡを出発してからｘ秒後の△ＰＤＡの面積をｙｃｍ^2とする。ただしx=0のときy=0である。
　(1) ｙをｘの式で表せ。
?@　ＰがBC上にあるとき。
?A　PがCD上にあるとき.
(2) 平行四辺形ＡＢＣＤと△PDAの面積が5:2になるｘの値をすべて求めよ。
No.87462 - 2024/02/17(Sat) 13:39:20
☆ Re: 中学数学の問題 / WIZ
内角が30°,60°,90°の直角三角形の辺の長さの比が、斜辺を2とすると、
直角を挟む短い方の辺が1、長い方が√3であることは既知とします。

|AB|+|BC|+|CD| = 20[cm], |BC| = 4[cm], |AB| = |CD|から、
|AB| = |CD| = 8[cm]です。

(1.1)点Pが線分AB上にある場合
|AP| = x[cm]となります。
点Dから線分ABに下した垂線の足をEとすると、
△ADEにおいて斜辺が|AD| = 4[cm]となることから、|DE| = 2[cm]となります。
従って、△PDAの底辺を線分AP、高さを|DE|とすれば、
y = |△PDA| = |AP|*|DE|/2 = x*2/2 = x[cm^2]

(1.2)点Pが線分BC上にある場合
線分ABを延長した直線ABに点Cから下した垂線の足をFとすると、
△ACFにおいて斜辺が|AB| = 8[cm]となることから、|BF| = 4[cm]となります。
従って、△PDAの底辺を線分AD、高さを|BF|とすれば、
y = |△PDA| = |AD|*|BF|/2 = 4*4/2 = 8[cm^2]

(1.3)点Pが線分CD上にある場合
△PDAの底辺を線分DP、高さを|AE|とすれば、
点Cに点Pが到達するのはx = 8+4 = 12[秒], 点Dに点Pが到達するのはx = 20[秒]です。
y = |△PDA| = |DP|*|DE|/2 = (20-x)*2/2 = 20-x[cm^2]

(2)|□ABCD| = |AB|*|DE| = 8*2 = 16[cm^2]
|△PDA| = (2/5)*16 = 32/5[cm]

(1.1)の場合は、x = 32/5 = 6.4[秒]
(1.3)の場合は、20-x = 32/5 ⇒ x = 20-6.4 = 13.6[秒]

# ここまで解いて思うに、(1.2)の場合は|△PDA|は|□ABCD|の半分だからと考えた方が簡単でしたね。
No.87468 - 2024/02/17(Sat) 22:25:07
☆ Re: 中学数学の問題 / 中３
ありがとうございました。大変わかりやすかったです。
No.87469 - 2024/02/18(Sun) 05:59:57
★ 媒介変数表示 / 三国協商
以下の媒介変数表示の式を元に戻すにはどうしたら良いのでしょうか？tを消そうにも cos14tとかsin14tをどうすべきかわかりません。
No.87457 - 2024/02/17(Sat) 12:53:30
☆ Re: 媒介変数表示 / WIZ
x = t+cos(14t)/t, y = t+sin(14t)/tと解釈して回答します。
tは0でない実数とします。

t(x-t) = cos(14t), t(y-t) = sin(14t)
⇒ {t(x-t)}^2+{t(y-t)}^2 = cos(14t)^2+sin(14t)^2 = 1
⇒ (x-t)^2+(y-t)^2 = 1/(t^2)
つまり、(x, y)は中心(t, t)、半径1/|t|の円周上の点です。

tを消去してx, yだけの関係式を導くことはできますが、あまりきれいな式にはならないと思います。
⇒ (t^2)(x^2-2xt+t^2)+(t^2)(y^2-2yt+t^2) = 1
⇒ 2t^4-2(x+y)t^3+(x^2+y^2)t^2-1 = 0

上記の4次方程式をフェラーリの公式などで解いて、t = f(x, y)の形が得られ、
x = f(x, y)+cos(14f(x, y))/f(x, y)とかになると思います。
# もっと上手い方法があるのかもしれません。
No.87464 - 2024/02/17(Sat) 14:33:58
☆ Re: 媒介変数表示 / ast
どうして x,y 間の直接関係式が知りたいのかは知りませんが, その曲線の性質としては媒介曲線として素直に追跡して知れる "巨視的には t→±∞ で x=y を, t→0 で y=14 をそれぞれ漸近線に持つ" ことが直ちにわかる程度で, あるいは "原点の近くでぐちゃぐちゃになりそう" くらいの話にしかならないのではないでしょうか.
参考: -15≤t<0, 0<t≤15 あたりの挙動.
No.87467 - 2024/02/17(Sat) 20:30:13
★ 空間図形です！ / ゆう　中３
図はAC=3cm,CB＝4cm,BA=5cm, ∠ACB= 90°, AD=BE=CF=6cm の三角柱ACB-DFEである。点P,Q,Rはそれぞれ辺AD,BE,CF上の点で AP=BQ=CRである。また、AE と PQの交点をSとする。PS:SQ＝1：1であるとき、立体A-PSRの体積を求めなさい。

よろしくお願いいたします
No.87452 - 2024/02/16(Fri) 22:33:55
☆ Re: 空間図形です！ / 三国協商
以下のように考えました。
No.87455 - 2024/02/17(Sat) 10:22:37
☆ Re: 空間図形です！ / 三国協商
3つの面が平行で面積が等しい証明。
No.87456 - 2024/02/17(Sat) 10:24:10
☆ Re: 空間図形です！ / ゆう　中３
ありがとうございました！
相似な図形を使って解くのですね！すっきりしました。
ありがとうございました！
No.87463 - 2024/02/17(Sat) 14:13:27
★ 答案を作成しました / Nishino (中学２年生)
答案を作成しました　アドバイスいただけると幸いです

何卒宜しくお願いします

問題と答案

画像拡大リンク先

https://imgur.com/a/A7PCb9D

-----------------------------------------------------
No.87450 - 2024/02/16(Fri) 18:15:35
☆ Re: 答案を作成しました / WIZ
何故こんな無駄で不必要な計算をするのか不思議だ。

それにNo.87448で「Σの計算をせず理屈で」と条件を付けて
Σ[k=1,n]{k(n-k)}とΣ[k=1,n]{k(k-1)}の比が1:2であることを示す方法を質問しておきながら、
このNo.87450での自身の答案ではちゃっかり「Σの計算をした」方法で示している。
No.87448の質問は何だったのか?

取り敢えず、Σ[k=1,n]{k} = n(n+1)/2とΣ[k=1,n]{k^2} = n(n+1)(2n+1)/6を使って良いのなら、
「大きい方の総和」も「小さい方の総和と大きい方の総和の比が1:2」であることも必要なく、
小さい方の総和を全事象数で割れば小さい方の期待値は求まる。

(小さい方の総和) = Σ[k=1,n]{k(n-k)}
= n{n(n+1)/2}-n(n+1)(2n+1)/6
= n(n+1){3n-(2n+1)}/6
= n(n+1)(n-1)/6

(全事象数) = C(n, 2) = n(n-1)/2

(小さい方の期待値) = {n(n+1)(n-1)/6}/{n(n-1)/2} = (n+1)/3

勿論、上記はNo.87403でXさんが示された計算式と事実上同じだ。
No.87479 - 2024/02/19(Mon) 00:01:07
☆ Re: 答案を作成しました / Nishino (中学２年生)
WIZ先生に

ご指摘ごもっともです。

私は、どうしても確率の分野は全事象を先ずは捉える悪癖がありまして、、、

今回もありがとうございました。
No.87493 - 2024/02/20(Tue) 09:00:17
★ 比例式 / Nishino (中学２年生)
比例式

何卒宜しくお願いします

次の比例式を示せる方教えてください

※ できれば、実際に、Σの計算をせず理屈でお願い致します。

問題
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No.87448 - 2024/02/16(Fri) 14:48:21
☆ Re: 比例式 / らすかる
n+1個から3個(左から順にA,B,Cとする)選ぶことを考える。

AとCの間隔で分類すると
AとCの間がn-1個になるのは1通り→Bの位置の選び方はn-1通り
AとCの間がn-2個になるのは2通り→Bの位置の選び方はn-2通り
AとCの間がn-3個になるのは3通り→Bの位置の選び方はn-3通り
・・・
AとCの間が1個になるのはn-1通り→Bの位置の選び方は1通り
∴合計はΣ[k=1〜n-1]k(n-k)=Σ[k=1〜n]k(n-k)通り

Cの位置で分類すると
Cが左から3番目になるのが2×1÷2通り
Cが左から4番目になるのが3×2÷2通り
Cが左から5番目になるのが4×3÷2通り
・・・
Cが左からn+1番目になるのがn×(n-1)÷2通り
∴合計は(1/2)Σ[k=2〜n]k(k-1)=(1/2)Σ[k=1〜n]k(k-1)

よってΣ[k=1〜n]k(n-k)=(1/2)Σ[k=1〜n]k(k-1)なので
Σ[k=1〜n]k(n-k)：Σ[k=1〜n]k(k-1)=1：2
No.87451 - 2024/02/16(Fri) 18:25:44
☆ Re: 比例式 / IT
らすかるさんの証明けっこうたいへんですね。
しんぷるに計算するか、
それぞれ差分を計算して、数学的帰納法で示すかですかね（Σ計算はやってしまいますが）

中学２年生だけどΣは既習のようですが、「差分」、「数学的帰納法」は、分かりますか？
No.87453 - 2024/02/17(Sat) 04:41:44
☆ Re: 比例式 / Nishino (中学２年生)
らすかる先生に

ご丁寧なご解説いつもありがとうございます。

大分スッキリしました。

今回も親身になってご対応くださりありがとうございます
No.87458 - 2024/02/17(Sat) 13:19:13
☆ Re: 比例式 / Nishino (中学２年生)
IT先生、こんにちは


>「差分」、「数学的帰納法」は、分かりますか？

大丈夫です

ご回答いただけますと幸いです。
No.87459 - 2024/02/17(Sat) 13:22:14
☆ Re: 比例式 / IT
f(n)=Σ[k=1〜n]k(n-k),g(n)=Σ[k=1〜n]k(k-1)とおく

f(n+1)=Σ[k=1..n+1]k(n+1-k)
=Σ[k=1〜n]k(n+1-k)
=Σ[k=1〜n]k(n-k)+Σ[k=1〜n]k

∴f(n+1)-f(n)=n(n+1)/2

一方、g(n+1)-g(n)=(n+1)n

よって f(n+1)-f(n):g(n+1)-g(n)=1:2
したがって、f(n):g(n)=1:2 であれば、f(n+1):g(n+1)=1:2
また、f(1)=0,g(1)=0 なので　f(1):g(1)=1:2 が成立

以上から数学的帰納法により任意の自然数nについてf(n):g(n)=1:2
No.87465 - 2024/02/17(Sat) 14:36:45
☆ Re: 比例式 / Nishino (中学２年生)
IT先生

おはようございます！

分かりやすい解説ありがとうございました

私も問題を見たときに、帰納法を試みましたが

挫折したので、大変勉強になりました

また、よろしくお願いいたします
No.87470 - 2024/02/18(Sun) 08:47:44
☆ Re: 比例式 / Nishino (中学２年生)
IT先生

おはようございます！

分かりやすい解説ありがとうございました

私も問題を見たときに、帰納法を試みましたが

挫折したので、大変勉強になりました

また、よろしくお願いいたします
No.87472 - 2024/02/18(Sun) 09:38:58
☆ Re: 比例式 / らすかる
実は、最初は数学的帰納法で回答しようと思ったのですが
「Σの計算をせず理屈で」に反するような気がしたので、
それならば組合せ論ぐらいしかないかな、と思って
上のような回答になった次第です。
No.87477 - 2024/02/18(Sun) 13:56:50
☆ Re: 比例式 / IT
もう一度、差分をとれば、「直接的にはΣ計算をしない」で済みますが、かえって複雑になると思い止めました。
No.87478 - 2024/02/18(Sun) 14:47:15
☆ Re: 比例式 / Nishino (中学２年生)
らすかる先生、IT先生

最後までお付き合いいただきありがとうございました
No.87494 - 2024/02/20(Tue) 09:02:11
★ 逆の確認は必要ですか？ / とんかち
高校２年です。

f(x)=(ax+1)/(x^2+1)がx=4/3で極値をとるときaの値を求めよ

という問題を、f(x)を微分してf'(4/3)=0を求めてaの値を求めたあと、増減表をかいてx=4/3で極値をとることの確認は必要でしょうか？

必要条件なので十分性を確かめる必要があるのは分かるのですが、参考書によって確認しているものと確認していないものがあり困っています。

ご教授下さい。よろしくお願いします。
No.87446 - 2024/02/16(Fri) 01:55:08
☆ Re: 逆の確認は必要ですか？ / ヨッシー
絶対必要とは言いませんが、無くても良いとも言えません。

増減表でなくとも、f'(x) の式の分子を因数分解して、
　x=4/3 の前後で符号が変わるので・・・
的な注釈を書いておくのが無難でしょう。
No.87447 - 2024/02/16(Fri) 09:36:25
★ (No Subject) / かよこ
(10＋k)³＞2000を満たす最小の自然数kを求めろ。
この問題についての解き方を教えてください。
とりあえず展開したら
k(k²＋30k＋300)＞1000になりました。
よく分かりません。
No.87443 - 2024/02/15(Thu) 22:47:18
☆ Re: / IT
10＋k=m とでもして考えた方がいいかも
m^3 > 2000をみたす　最小の自然数m を見つける
10^3 = 1000 ですから m＞10
15^3 > 15*15*10= 2250 ですから　m≦15
　だいぶしぼれましたね
No.87444 - 2024/02/15(Thu) 23:13:31
☆ Re: / IT
k(k²＋30k＋300)＞1000 を使って
k=1,2,3,4..を試してみてもいいです。
No.87445 - 2024/02/15(Thu) 23:50:58
★ 期待値 / Nishino (中学２年生)
以下の解説の意味が分かる方教えてください

?C大きい方をYとする。
?Aと同様にしてE[Y]=2(n+1)/3

E[X+Y]×ₙC₂×2+Σ[k=1,2,...,n] (2k)
=Σ[i=1,...,n] Σ[j=1,...,n] (i+j)
よりE[X+Y]=n+1

従って求める期待値は
E[X+Y]-E[Y]=(n+1)/3

以下問題

-------------
No.87441 - 2024/02/15(Thu) 18:30:45
☆ Re: 期待値 / Nishino (中学２年生)
問題です

何卒宜しくお願いします
No.87442 - 2024/02/15(Thu) 18:32:25
☆ Re: 期待値 / GandB
　No.87403 に示された明快な解答をきちんと理解できているのなら、こんな珍妙な「解説」を提示して同じ質問を繰り返すようなことはしないはずだが。知恵袋を覗いてみたが、同じ質問は見つけられなかった。マルチポストではないようだ（笑）。

　期待値の線形性より
　　E[X+Y] - E[Y] = E[X] + E[Y] - E[Y] = E[X]
なのだから、この問題を解くのに E[Y] や E[X+Y] を考えること自体が滑稽だ。
No.87449 - 2024/02/16(Fri) 17:20:13
☆ Re: 期待値 / Nishino (中学２年生)
GandB先生

こんにちは

私もこの解説は滑稽に感じていました

私の考え方をupしましたので、ご指導いただけると幸いです

No.87450 - 2024/02/16(Fri) 18:15:35

何卒宜しくお願いします
No.87460 - 2024/02/17(Sat) 13:26:33
★ ルジャンドル多項式の解 / ぐっち
https://math.stackexchange.com/questions/958204/another-solution-of-the-legendre-differential-equation
の方法で
ルジャンドル微分方程式の解
[ルジャンドル多項式の一般項]
https://risalc.info/src/Legendre-polynomial.html
がわかっているときのもう一つの解の一般項を求めたいです。
ご教授お願い致します。
No.87438 - 2024/02/15(Thu) 16:17:46
☆ Re: ルジャンドル多項式の解 / WIZ
# あまり自信が無いので話半分ぐらいに聞いてください。

yをxの関数とする以下の微分方程式
(1-x^2)(y'')-2x(y')+n(n+1)y = 0・・・(1)
の解はy = p = P[n](x)とルジャンドルの多項式で、pは既知関数とします。

qをxの未知関数として、pqが(1)の解だと仮定すると
(1-x^2)((pq)'')-2x((pq)')+n(n+1)pq = 0
⇒ (1-x^2)((p'')q+2(p')(q')+p(q''))-2x((p')q+p(q'))+n(n+1)pq = 0
⇒ {(1-x^2)(p'')q-2x(p')q+n(n+1)pq}+(1-x^2)(2(p')(q')+p(q''))-2xp(q') = 0
⇒ {(1-x^2)(p'')-2x(p')+n(n+1)p}q+2((1-x^2)(p')-xp)(q')+(1-x^2)p(q'') = 0
⇒ {0}q+2((1-x^2)(p')-xp)(q')+(1-x^2)p(q'') = 0
⇒ (1-x^2)p(q'')+2((1-x^2)(p')-xp)(q') = 0
⇒ (q'')+2((p')/p-x/(1-x^2))(q') = 0・・・(2)

上記はq'に関する1階微分方程式です。
q' = e^(-2∫{(p')/p-x/(1-x^2)}dx+C)・・・Cは任意定数
= (e^C)(e^(-2{log(p)+(1/2)log(1-x^2)}))
= A(e^(-log((p^2)(1-x^2))))・・・e^C = Aは任意定数(e^C ≠ 0だが、A = 0は(2)の解となっている)

よって、
q = A(∫{e^(log((p^2)/(1-x^2)))})+B・・・Bは任意定数
⇒ pq = Ap(∫{e^(-log((p^2)(1-x^2)))})+Bp
# もし、計算間違いしていたらごめんなさい。

A = 0かつB = 1なら、pq = pとなりますので上記は既知の解pを含む表現となります。
# 他に特異解があるかどうかは分かりませんでした。
No.87461 - 2024/02/17(Sat) 13:34:27
☆ Re: ルジャンドル多項式の解 / ぐっち
WIZさん、返信ありがとうございます。
https://math.stackexchange.com/questions/958204/another-solution-of-the-legendre-differential-equation
の最後の部分の
fP[n]=K(∫1/((1-x^2)P[n]^2)dx)P[n]+LP[n]
と書いてあるのがもう一つの解だと思うのですが、これを
[ルジャンドル多項式の一般項]
https://risalc.info/src/Legendre-polynomial.html
にあるような級数和での表記に直したいです。
No.87466 - 2024/02/17(Sat) 16:18:39
☆ Re: ルジャンドル多項式の解 / ast
>WIZさん
> e^(-log((p^2)(1-x^2)))
は = 1/(p^2(1-x^2)) なので, それで確かに StackExchage の議論を追えています.
# 議論をなぞりたかっただけならば, 記号を合わせたほうが語弊は少ない気はするが……
---
これだけでは何なので, 軽く見た範囲ではありますがいくつか書いておきます.
# まあ, 質問者さんの質問が書かれた時点で No.87466 のような趣旨と受け取っていて
# あまりお力添えできることもないかと思ったため, コメントするつもりもなかったのですが……

> fP[n]=K(∫1/((1-x^2)P[n]^2)dx)P[n]+LP[n]
>と書いてあるのがもう一つの解だと思う
これはWIZさんの方が正しくて, (P[n] を含む)一般解です. "もう一つの解" というのは「二階線型方程式なので P[n] とは一次独立な "もう一つの解" がある」というような意味で使ってると思いますので, そうであればそれはこの式で言うところの (∫1/((1-x^2)P[n]^2)dx)P[n] (あるいはその何らかの定数倍) がそうです (本当に一次独立かは非自明な話ではある).

一般に (固定した各 n に対して) ルジャンドル方程式の一般解のうち, ルジャンドル多項式 P[n] を第一種, "もう一つの解" Q[n] を第二種と呼びます (自然数 n に対してでも Q[n] は逆双曲線正接 artanh(x) を含むのでもはや多項式ではない).
参考: 第二種ルジャンドル函数 (MathWorld).
# 一般には非整数値な n に対しても第一種および第二種のルジャンドル函数
# (この場合第一種も一般には多項式ではない) が考えられる.

具体的に小さい自然数 n に対して (∫1/((1-x^2)P[n]^2)dx)P[n] = Q[n] が確かめられます (例えば n=1 (WolframAlpha) が, これを一般の自然数 n で確認することも既に難しいのではないでしょうか.

ただし, ルジャンドル方程式は「x=±1,∞ に確定特異点を持つフックス型方程式で, したがってガウスの超幾何方程式で表せる」という事実があるので, 超幾何級数を使って
> [ルジャンドル多項式の一般項]
> https://risalc.info/src/Legendre-polynomial.html
> にあるような級数和での表記
をすることはできる (この場合, x=1 の周りでの超幾何解が P[n], x=∞ のまわりでの超幾何解が Q[n] になる) ようです (よく知らない).
# x=-1の周りでの超幾何解は……なんだろ?

----
まじめに調べて書けば, 学部の卒論あたりとしてならだいぶ褒めてもらえる内容が書けるくらいのレベルの課題ではあるんじゃないでしょうか.
No.87480 - 2024/02/19(Mon) 06:44:49
☆ Re: ルジャンドル多項式の解 / ぐっち
astさん、返信ありがとうございます。
どうももう一つの解(∫1/((1-x^2)P[n]^2)dx)P[n]
を級数表示するのは難しそうですね。
級数法を使うか、超幾何関数を学習するかしかなさそうなので、そっちの方面を学習しようと思います。
No.87498 - 2024/02/20(Tue) 16:08:41
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