ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。

過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

★ 期待値 / Nishino (中学２年生)

引用

以下の解説の意味が分かる方教えてください

?C大きい方をYとする。
?Aと同様にしてE[Y]=2(n+1)/3

E[X+Y]×ₙC₂×2+Σ[k=1,2,...,n] (2k)
=Σ[i=1,...,n] Σ[j=1,...,n] (i+j)
よりE[X+Y]=n+1

従って求める期待値は
E[X+Y]-E[Y]=(n+1)/3

以下問題

-------------

No.87441 - 2024/02/15(Thu) 18:30:45

☆ Re: 期待値 / Nishino (中学２年生)

引用

問題です

何卒宜しくお願いします

No.87442 - 2024/02/15(Thu) 18:32:25

☆ Re: 期待値 / GandB

引用

　No.87403 に示された明快な解答をきちんと理解できているのなら、こんな珍妙な「解説」を提示して同じ質問を繰り返すようなことはしないはずだが。知恵袋を覗いてみたが、同じ質問は見つけられなかった。マルチポストではないようだ（笑）。

　期待値の線形性より
　　E[X+Y] - E[Y] = E[X] + E[Y] - E[Y] = E[X]
なのだから、この問題を解くのに E[Y] や E[X+Y] を考えること自体が滑稽だ。

No.87449 - 2024/02/16(Fri) 17:20:13

☆ Re: 期待値 / Nishino (中学２年生)

引用

GandB先生

こんにちは

私もこの解説は滑稽に感じていました

私の考え方をupしましたので、ご指導いただけると幸いです

No.87450 - 2024/02/16(Fri) 18:15:35

何卒宜しくお願いします

No.87460 - 2024/02/17(Sat) 13:26:33

★ ルジャンドル多項式の解 / ぐっち

引用

https://math.stackexchange.com/questions/958204/another-solution-of-the-legendre-differential-equation
の方法で
ルジャンドル微分方程式の解
[ルジャンドル多項式の一般項]
https://risalc.info/src/Legendre-polynomial.html
がわかっているときのもう一つの解の一般項を求めたいです。
ご教授お願い致します。

No.87438 - 2024/02/15(Thu) 16:17:46

☆ Re: ルジャンドル多項式の解 / WIZ

引用

# あまり自信が無いので話半分ぐらいに聞いてください。

yをxの関数とする以下の微分方程式
(1-x^2)(y'')-2x(y')+n(n+1)y = 0・・・(1)
の解はy = p = P[n](x)とルジャンドルの多項式で、pは既知関数とします。

qをxの未知関数として、pqが(1)の解だと仮定すると
(1-x^2)((pq)'')-2x((pq)')+n(n+1)pq = 0
⇒ (1-x^2)((p'')q+2(p')(q')+p(q''))-2x((p')q+p(q'))+n(n+1)pq = 0
⇒ {(1-x^2)(p'')q-2x(p')q+n(n+1)pq}+(1-x^2)(2(p')(q')+p(q''))-2xp(q') = 0
⇒ {(1-x^2)(p'')-2x(p')+n(n+1)p}q+2((1-x^2)(p')-xp)(q')+(1-x^2)p(q'') = 0
⇒ {0}q+2((1-x^2)(p')-xp)(q')+(1-x^2)p(q'') = 0
⇒ (1-x^2)p(q'')+2((1-x^2)(p')-xp)(q') = 0
⇒ (q'')+2((p')/p-x/(1-x^2))(q') = 0・・・(2)

上記はq'に関する1階微分方程式です。
q' = e^(-2∫{(p')/p-x/(1-x^2)}dx+C)・・・Cは任意定数
= (e^C)(e^(-2{log(p)+(1/2)log(1-x^2)}))
= A(e^(-log((p^2)(1-x^2))))・・・e^C = Aは任意定数(e^C ≠ 0だが、A = 0は(2)の解となっている)

よって、
q = A(∫{e^(log((p^2)/(1-x^2)))})+B・・・Bは任意定数
⇒ pq = Ap(∫{e^(-log((p^2)(1-x^2)))})+Bp
# もし、計算間違いしていたらごめんなさい。

A = 0かつB = 1なら、pq = pとなりますので上記は既知の解pを含む表現となります。
# 他に特異解があるかどうかは分かりませんでした。

No.87461 - 2024/02/17(Sat) 13:34:27

☆ Re: ルジャンドル多項式の解 / ぐっち

引用

WIZさん、返信ありがとうございます。
https://math.stackexchange.com/questions/958204/another-solution-of-the-legendre-differential-equation
の最後の部分の
fP[n]=K(∫1/((1-x^2)P[n]^2)dx)P[n]+LP[n]
と書いてあるのがもう一つの解だと思うのですが、これを
[ルジャンドル多項式の一般項]
https://risalc.info/src/Legendre-polynomial.html
にあるような級数和での表記に直したいです。

No.87466 - 2024/02/17(Sat) 16:18:39

☆ Re: ルジャンドル多項式の解 / ast

引用

>WIZさん
> e^(-log((p^2)(1-x^2)))
は = 1/(p^2(1-x^2)) なので, それで確かに StackExchage の議論を追えています.
# 議論をなぞりたかっただけならば, 記号を合わせたほうが語弊は少ない気はするが……
---
これだけでは何なので, 軽く見た範囲ではありますがいくつか書いておきます.
# まあ, 質問者さんの質問が書かれた時点で No.87466 のような趣旨と受け取っていて
# あまりお力添えできることもないかと思ったため, コメントするつもりもなかったのですが……

> fP[n]=K(∫1/((1-x^2)P[n]^2)dx)P[n]+LP[n]
>と書いてあるのがもう一つの解だと思う
これはWIZさんの方が正しくて, (P[n] を含む)一般解です. "もう一つの解" というのは「二階線型方程式なので P[n] とは一次独立な "もう一つの解" がある」というような意味で使ってると思いますので, そうであればそれはこの式で言うところの (∫1/((1-x^2)P[n]^2)dx)P[n] (あるいはその何らかの定数倍) がそうです (本当に一次独立かは非自明な話ではある).

一般に (固定した各 n に対して) ルジャンドル方程式の一般解のうち, ルジャンドル多項式 P[n] を第一種, "もう一つの解" Q[n] を第二種と呼びます (自然数 n に対してでも Q[n] は逆双曲線正接 artanh(x) を含むのでもはや多項式ではない).
参考: 第二種ルジャンドル函数 (MathWorld).
# 一般には非整数値な n に対しても第一種および第二種のルジャンドル函数
# (この場合第一種も一般には多項式ではない) が考えられる.

具体的に小さい自然数 n に対して (∫1/((1-x^2)P[n]^2)dx)P[n] = Q[n] が確かめられます (例えば n=1 (WolframAlpha) が, これを一般の自然数 n で確認することも既に難しいのではないでしょうか.

ただし, ルジャンドル方程式は「x=±1,∞ に確定特異点を持つフックス型方程式で, したがってガウスの超幾何方程式で表せる」という事実があるので, 超幾何級数を使って
> [ルジャンドル多項式の一般項]
> https://risalc.info/src/Legendre-polynomial.html
> にあるような級数和での表記
をすることはできる (この場合, x=1 の周りでの超幾何解が P[n], x=∞ のまわりでの超幾何解が Q[n] になる) ようです (よく知らない).
# x=-1の周りでの超幾何解は……なんだろ?

----
まじめに調べて書けば, 学部の卒論あたりとしてならだいぶ褒めてもらえる内容が書けるくらいのレベルの課題ではあるんじゃないでしょうか.

No.87480 - 2024/02/19(Mon) 06:44:49

☆ Re: ルジャンドル多項式の解 / ぐっち

引用

astさん、返信ありがとうございます。
どうももう一つの解(∫1/((1-x^2)P[n]^2)dx)P[n]
を級数表示するのは難しそうですね。
級数法を使うか、超幾何関数を学習するかしかなさそうなので、そっちの方面を学習しようと思います。

No.87498 - 2024/02/20(Tue) 16:08:41

★ 複素数平面 / ゆかり

引用

tは任意の実数とする。複素数平面上で2直線LとMを次のように定める。

L:(t+i)z-(t-i)<z>=4(t-2)i

M:(1-i)(t+i)z-(1+i)(t-i)<z>=0

LとMのなす角を求め、tが実数全体を動くとき、LとMの交点P(z)は複素数平面上でどのような図形を描くかを調べなさい。

<z>はzの共役複素数です。

z=x+yiとおきます。この時、L、Mはそれぞれ、

L:x+ty-2t+4=0

M:(1-t)x+(t+1)y=0

となりますので、tが実数となる(x,y)を求めることで解答は一応できました。

質問はここからです。

Lの式において、(t+i)zと(t-i)<z>は共役です。
Mの式において、(1-i)(t+i)zと(1+i)(t-i)<z>は共役です。
Mの(1-i)(t+i)zはLの(t+i)zに(1-i)をかけたものです。

問題の見た目と言いますか、式の特徴的な形から、何かもっと綺麗な解き方があるような気がしてならないのですが、上記以外の解き方はありますでしょうか。

No.87423 - 2024/02/13(Tue) 15:10:39

☆ Re: 複素数平面 / IT

引用

どんな図形になり、何行ぐらいの記述が必要でしたか？

No.87425 - 2024/02/13(Tue) 21:32:13

☆ Re: 複素数平面 / ゆかり

引用

私の答えは(-1,√3)を中心とする半径√10の円です。
解答は来週の月曜日に配られるので、合っているかはわかりません。

計算量はノート1ページくらい使いました。20行は超えています。

No.87427 - 2024/02/13(Tue) 23:42:26

☆ Re: 複素数平面 / IT

引用

＞私の答えは(-1,√3)を中心とする半径√10の円です。
私の計算が合っていれば
t=0のとき、z=-4+4i
t=1のとき、z=-2
t=-1のとき,z=6i になり、(-1+3i)を中心とする半径√10の円では？

No.87428 - 2024/02/14(Wed) 00:02:38

☆ Re: 複素数平面 / IT

引用

L:(t+i)z-(t-i)<z>=4(t-2)i

M:(1-i)(t+i)z-(1+i)(t-i)<z>=0

Mより, (t-i)<z>=(1-i)(t+i)z/(1+i)
Lに代入すると　(t+i)z+(1-i)(t+i)z/(1+i)=4(t-2)i
(1+i) を掛け整理すると　z(t+i)=2(1+i)(t-2)
z=x+yi(x,y は実数）とおくと
(x+yi)(t+i)=(2t-4)(1+i)
整理すると実部(x-2)t-y+4=0,虚部(y-2)t+x+4=0
１つめに(y-2)を,２つめに(x-2)を掛けて引くとtが消せてx,yが満たすべき関係式ができます。
（この記述だと必要条件しか示してないので円周の全体か抜けがあるのか、どの部分かは別に示す必要があると思います。）

No.87429 - 2024/02/14(Wed) 00:56:33

☆ Re: 複素数平面 / X

引用

横から失礼します。
求める軌跡が円弧であることを予想した上での
変形であれば、
z(t+i)=2(1+i)(t-2) (A)
から直接tを消去できます。(参考までに)

(A)より
z=2(1+i)(t-2)/(t+i) (A)'
ここで
2(1+i)(t-2)=a(1+ti)+b(t+i)
(a,bは定数)
と変形できるとすると
2(1+i)t-4(1+i)=(b+ai)t+a+bi (B)
(B)はtについての恒等式ゆえ
b+ai=2(1+i) (C)
a+bi=-4(1+i) (D)
(C)(D)をa,bについての連立方程式として解き
(a,b)=(1+3i,-1+3i) (E)
(B)(E)より(A)'は
z=(1+3i)(1+ti)/(t+i)+(-1+3i)
これより
z-(-1+3i)=(1+3i)(1+ti)/(t+i)
|z-(-1+3i)|=|(1+3i)(1+ti)/(t+i)|
∴|z-(-1+3i)|=√10

注)
L,Mをtの恒等式として考えると、
L,Mはそれぞれ、tの値に依らない定点
(これらをQ,Rとします)を通る
ことが予想されます。
このことと問題前半の結果から、円周角により
P(z)の軌跡は点Q,Rを両端とする円弧
であることが予想できます。

No.87434 - 2024/02/14(Wed) 15:27:12

☆ Re: 複素数平面 / X

引用

上記の回答では
|1+ti|=|t+i|=√(t^2+1)
であることを使うため
＞＞2(1+i)(t-2)=a(1+ti)+b(t+i)
と分解しています。
ですので、例えば1+tiの代わりに
t-iを使って
2(1+i)(t-2)=a(t-i)+b(t+i)
と分解しても、計算過程としては
問題ありません。

No.87435 - 2024/02/14(Wed) 19:28:10

★ 積分 / ゆかり

引用

関数f(x)=2sinx+(√6)sin2xを定める。

曲線y=f(x)(0≦x≦π)とx軸で囲まれた二つの部分の面積の和を求めなさい。

0<x<πにおいてf(x)=0となるxをαとおきます。cosα=-1/6です。

S=∫[0,α]f(x)dx+∫[α,π]{-f(x)}dx

∫f(x)dx=-2cosx-(√6)cos2x/2

以上から、S=7(√6)/3と求めましたが、解答は9(√6)/4になるそうです。

正しい計算方法を教えてください。

No.87411 - 2024/02/12(Mon) 17:43:31

☆ Re: 積分 / IT

引用

cosα=-1/√6では？

No.87412 - 2024/02/12(Mon) 18:39:07

☆ Re: 積分 / ゆかり

引用

失礼致しました。cosα=-1/√6です。私もこの下で計算しました。

No.87415 - 2024/02/12(Mon) 21:04:44

☆ Re: 積分 / X

引用

方針に問題はありません。
私もゆかりさんと同じ結果になりました。

念のため、WolframAlphaにも件の積分
＞＞S=∫[0,α]f(x)dx+∫[α,π]{-f(x)}dx
の計算をさせてみました

https://www.wolframalpha.com/input?i=%E2%88%AB%5B0%2Carccos%28-1%2F%E2%88%9A6%29%5D%282sinx%2B%E2%88%9A6sin2x%29dx-%E2%88%AB%5Barccos%28-1%2F%E2%88%9A6%29%2C%CF%80%5D%282sinx%2B%E2%88%9A6sin2x%29dx&lang=ja

が、やはりゆかりさんの結果と同じです。
問題文か解答に誤植があるのでは？

No.87418 - 2024/02/13(Tue) 01:51:00

☆ Re: 積分 / ゆかり

引用

先生に確認しましたら、合っていました。
他の問題の解答と間違えていたとのことでした。

No.87419 - 2024/02/13(Tue) 12:52:03

★ 微分と極限 / ゆかり

引用

関数f(x)=logx/√x(x>0)に対して、曲線Cy=f(x)とする。

C上の点(t,f(t))における接線lを考える。t>e^2のとき、lがx軸、y軸と交わる点をそれぞれP、Qとする。原点をOとして、三角形OPQの面積をS(t)とする。

極限値lim[t→∞]S(t)/{(√t)logt}を求めよ。

S(t)={(√t)(3logt-2)^2}/4(logt-2)と求めました。なので答えは9/4になると思ったのですが、答えは27/8になるそうです。

私のS(t)は間違えているということだと思いますが、何度計算しても同じ答えになってしまいます。S(t)の求め方を教えてください。

No.87409 - 2024/02/12(Mon) 17:26:48

☆ Re: 微分と極限 / IT

引用

＞S(t)={(√t)(3logt-2)^2}/4(logt-2)と求めました。
私も同じ結果になりましたが、計算に自信がありません。
途中式を書かれると間違いをみつけてもらえて有効と思います。

No.87413 - 2024/02/12(Mon) 18:41:50

☆ Re: 微分と極限 / WIZ

引用

私も質問者さんと同じ結果になったので、
おそらく問題文・式か解答に書き間違いがあるのではないかと思います。

No.87416 - 2024/02/12(Mon) 21:08:48

☆ Re: 微分と極限 / ゆかり

引用

皆様ありがとうございました。明日先生にもう一度確認します。

No.87417 - 2024/02/13(Tue) 00:24:31

☆ Re: 微分と極限 / ゆかり

引用

先生に確認しましたら、合っていました。
他の問題の解答と間違えていたとのことでした。

No.87420 - 2024/02/13(Tue) 12:52:43

★ 関数 / 磁石

引用

⑶について教えてください。
答えは、y＝-5xになります。
おねがいします。

No.87404 - 2024/02/11(Sun) 19:32:00

☆ Re: 関数 / WIZ

引用

線分ABの中点をMとすると、Mの座標は
((-6+3)/2, (12+3)/2) = (-3/2, 15/2)
|AM| = |BM|であり、AMとBMを底辺とする三角形の高さは線分ABと点Oの距離だから等しい。
つまり△AMOと△BMOの面積は等しく、△ABOの半分である。

点Mと点Oを通る直線は
(y-0)/(15/2-0) = (x-0)/(-3/2-0)
⇒ y = (15/2)(-2/3)x = -5x

# ちなみに直線ABの傾きは-1で、直線OBの傾きは1。
# よって、直線ABと直線OBは直交していて、∠ABOは直角。
# 従って、線分ABと点Oの距離は|OB|と等しい。

No.87405 - 2024/02/11(Sun) 22:50:32

☆ Re: 関数 / WIZ

引用

No.87405の解説だと、直感的に線分ABの中点を通る直線だろうと予測し、
それが題意を満たすという十分条件を示しただけだった。
もっと演繹的に題意を満たす直線を求めるというか、
必要条件を示して他に解が無いことを補足しようと思う。

△AOBの面積は
|AB|*|BO|/2 = {√((-6-3)^2+(12-3)^2)}*{√(3^2+3^2)}/2 = (9√2)(3√2)/2 = 27

原点Oを通り△AOBの面積を2等分する直線をLとすると、
Lはaを実数としてy = ax、またはx = 0(y軸と一致する直線)となる。
直線Lは△AOBの中を通り、線分ABと交点を持たなければならないので、
この交点をPとする。

直線ABは
(y-12)/(3-12) = (x-(-6))/(3-(-6)
⇒ y-12 = -9(x+6)/9
⇒ y = -x+6

Lがx = 0であると仮定すると、P(0, 6)となる。
△BOPの面積は|BO|*|BP|/2 = (3√2)(3√2)/2 = 9 ≠ 27/2となり、題意を満たさない。

Lがy = axであると仮定すると、P(x, ax) = P(x, -x+6)となる。
つまり、(a+1)x = 6・・・(ア)

△BOPの面積は
|BO|*|BP|/2 = (3√2){√((x-3)^2+(ax-3)^2)}/2 = (3/√2){√((1+a^2)x^2-6(1+a)x+18)}

△AOPの面積は
|BO|*|AP|/2 = (3√2){√((x-(-6))^2+(ax-12)^2)}/2 = (3/√2){√((1+a^2)x^2+12(1-2a)x+180)}

# ∵∠ABOは直角であることは既知とする。

△BOPと△AOPの面積が等しい為には
(3/√2){√((1+a^2)x^2-6(1+a)x+18)} = (3/√2){√((1+a^2)x^2+12(1-2a)x+180)}
⇒ (1+a^2)x^2-6(1+a)x+18 = (1+a^2)x^2+12(1-2a)x+180
⇒ (18a-18)x = 162
⇒ (a-1)x = 9・・・(イ)

(ア)-(イ)より
{(a+1)x}-{(a-1)x} = 6-9
⇒ 2x = -3
⇒ x = -3/2・・・(ウ)
⇒ P(-3/2, 3/2+6) = P(-3/2, 15/2)
# 上記はNo.87405の点Mに一致する。

(ア)(ウ)より
(a+1)(-3/2) = 6
⇒ -3a-3 = 12
⇒ a = (12+3)/(-3) = -5
# 上記はy = -5xと一致する。

No.87408 - 2024/02/12(Mon) 13:49:56

☆ Re: 関数 / IT

引用

WIZ さん
　三角形の面積の公式から　AP=BP が必要十分条件である。としてよいのでは？

No.87410 - 2024/02/12(Mon) 17:30:55

☆ Re: 関数 / 磁石

引用

回答してくださった皆様、わかりやすい解説
ありがとうございました。
おかげでわかりました。
またよろしくお願いします。

No.87414 - 2024/02/12(Mon) 20:02:34

★ 期待値 / Nishino (中学２年生)

引用

こんにちは

山形大学過去問

何卒宜しくお願い致します。

以下問題

-----------------------------------

No.87401 - 2024/02/11(Sun) 13:21:30

☆ Re: 期待値 / X

引用

条件から、X=kとなる確率をP[X=k]とすると
P[X=k]=(n-k)/(nC2)=2(n-k)/{n(n-1)}
∴求める期待値をE[X]とすると
E[X]=Σ[k=1～n]kP[X=k]
=Σ[k=1～n]2k(n-k)/{n(n-1)}
={2/{n(n-1)}}{(1/2)(n+1)n^2-(1/6)n(n+1)(2n+1)}
={1/(n-1)}{(n+1)n-(1/3)(n+1)(2n+1)}
={(n+1)/{3(n-1)}}{3n-(2n+1)}
=(n+1)/3

No.87403 - 2024/02/11(Sun) 17:47:23

☆ Re: 期待値 / Nishino (中学２年生)

引用

X先生
こんにちは

返信が遅くなり申し訳ございません。

ご丁寧な回答ありがとうございます。

以下は私の考え方です

アドバイスいただけると幸いです

No.87421 - 2024/02/13(Tue) 13:06:23

☆ Re: 期待値 / Nishino (中学２年生)

引用

追伸

n=kの時、期待値を(k+1)/3と仮定する。
n=k+1の時、期待値は
{(k+1)/3 ×ₖC₂+Σ[i=1,2,...,k] i}/ₖ₊₁C₂
={k(k-1)/2 ×(k+1)/3 +k(k+1)/2}/{k(k+1)/2}
=(k+2)/3

従って帰納法により求める期待値は(n+1)/3

No.87422 - 2024/02/13(Tue) 13:45:41

☆ Re: 期待値 / Nishino (中学２年生)

引用

上は解説ですが

>{(k+1)/3 ×ₖC₂+Σ[i=1,2,...,k] i}/ₖ₊₁C₂

と表せる理由が分かりません

何方か詳しく教えて下さい

何卒宜しくお願い致します。

No.87424 - 2024/02/13(Tue) 17:21:52

☆ Re: 期待値 / Nishino (中学２年生)

引用

おはようございます！

私なりに解読してみました

以下私の考え方です

--------------------------

No.87431 - 2024/02/14(Wed) 06:53:06

☆ Re: 期待値 / ヨッシー

引用

> >{(k+1)/3 ×ₖC₂+Σ[i=1,2,...,k] i}/ₖ₊₁C₂
> と表せる理由が分かりません
ｋ＋１個の球を２個取るとき、
　k+1 の球を取らない　kＣ2 通りと、
　k+1 の球を取るｋ通りに分かれます。
前者は、X=(k+1)/3 である試行を kＣ2 回やるのと同じです。
後者は、k+1 ではない方が X となります。
これらを全部足して、(k+1)Ｃ2 で割っています。

No.87436 - 2024/02/14(Wed) 19:42:05

☆ Re: 期待値 / Nishino (中学２年生)

引用

ヨッシー先生

今晩は

なるほどーです

ありがとうございました。

かしこ

No.87439 - 2024/02/15(Thu) 17:50:44

★ 期待値 / Nishino (中学２年生)

引用

東京工芸大学期待値

何卒宜しくお願い致します。

以下問題

No.87397 - 2024/02/10(Sat) 07:52:48

☆ Re: 期待値 / らすかる

引用

前の問題で出た目の大きくない方の期待値が91/36であり、
平均値7/2との差は7/2-91/36=35/36
よって差の期待値は35/36×2=35/18

No.87398 - 2024/02/10(Sat) 11:20:51

☆ Re: 期待値 / Nishino (中学２年生)

引用

らすかる先生

おはようございます

なるほどです

私の考え方です

アドバイスいただけると幸いです

------------------------------------

No.87400 - 2024/02/11(Sun) 10:30:15

☆ Re: 期待値 / らすかる

引用

突然今までとは解答の方針が全く変わったのは、何か理由があるのでしょうか。

No.87406 - 2024/02/11(Sun) 23:31:26

☆ Re: 期待値 / Nishino (中学２年生)

引用

らすかる先生

こんにちは

>突然今までとは解答の方針が全く変わったのは、何か理由があるのでしょうか。

特に理由はありません

この問題を単問で考えるとき、この解き方が浮かびました

要は差の確率をだすことだと感じましたので

かしこ

No.87407 - 2024/02/12(Mon) 10:55:31

★ 天理大学過去問　期待値 / Nishino (中学２年生)

引用

天理大学過去問　期待値

何卒宜しくお願い致します。

以下問題

-----------------------------

No.87393 - 2024/02/09(Fri) 14:01:02

☆ Re: 天理大学過去問　期待値 / ヨッシー

引用

２つのさいころの目と大きくない方の数の関係は図の通りです。
求める期待値は
　(1×11＋2×9＋3×7＋4×5＋5×3＋6×1)/36＝91/36

No.87394 - 2024/02/09(Fri) 14:31:24

☆ Re: 天理大学過去問　期待値 / Nishino (中学２年生)

引用

ヨッシー先生

こんばんは！

いつもありがとうございます。

凄い考え方ですね、記憶にとどめておきます

以下は私の考え方です

何かアドバイスいただけると幸いです

No.87396 - 2024/02/09(Fri) 21:43:40

★ カテナリー曲線 / ラジアン(高3)

引用

今日の入学試験の問題なのですが、どうしても分からなくて、解答速報にも解説が載っていなかった為、分量多くて申し訳ないのですが、解けるところまでお願いしたいです。よろしくお願いいたしますm(_ _)m

No.87388 - 2024/02/08(Thu) 22:52:26

☆ Re: カテナリー曲線 / ast

引用

# 全部を詳らかに書くつもりはないが (発想を求められるであろう部分だけ):

(1) L(a)=∫_[0,a] √(1+f'(x)^2)dx
　　　=∫_[0,a]√(1+g(x)^2)dx = ∫_[0,a]√(f(x)^2)dx = ∫_[0,a]f(x)dx = ∫_[0,a]g'(x)dx
　　　=g(a)−g(0)=g(a).

(2) f(a)^2−g(a)^2=1, g(a)(=L(a))=1 から f(a)(>0) が, また f(a)+g(a) から (あるいは (L(a)=)g(a)=1 ⇔ (e^a)^2−2(e^a)−1=0 を e^a について解いて) e^a を得れば a (や f(a)) が, 自ずと出るはず.

(3) x_k (k=0,…,n) が C_a を n 等分する ⇔ (g(x_k)=)L(x_k)=kL(a)/n=k/n (k=0,…,n).
　　∴ f(x_k)=√(1+g(x_k)^2)=√(1+(k/n)^2).
　これを代入して区分求積.

(4) I:= ∫_[0,1] √(1+t^2)dt
　　= ∫_[0,a] f(u)g'(u)du = [f(u)g(u)]_[0,a] − ∫_[0,a] f'(u)g(u)du
　　= (f(a)g(a)－f(0)g(0)) − ∫_[0,a](f(u)^2 − 1)du = f(a)g(a) − (I − a).
　∴ I=(f(a)g(a)+a)/2 (もちろん a および f(a) の値は (2) で既知)
　　=(f(a)+a)/2. (∵g(a)=1)
----
f(x) および g(x)はそれぞれ, 双曲線余弦函数 cosh(x) および双曲線正弦函数 sinh(x) といって, (円に対する)三角函数の双曲線の場合に対する対応物なので, 「本問の三角函数版がどんな問題であるべきか」とか「本問の三角函数版があったらどんな解き方をするか」あたりを考えると, もしかしたら腑に落ちる部分もあるやも.

No.87389 - 2024/02/09(Fri) 01:43:50

☆ Re: カテナリー曲線 / ラジアン(高3)

引用

ありがとうございます！！！
めっちゃ分かりやすいです！！凄く助かりました！

No.87395 - 2024/02/09(Fri) 16:16:26

★ 単元テストの問題 / 三国協商

引用

以下の通りにコンピュータでプログラムを作りました。
スタートの点から、長さaだけ進み、反時計回りにx°回転する。またaだけ進んでx°回転する。これを繰り返し、正多角形になったら止まる。
xは5から180まで、5ずつ変えていき、aは画面からはみ出ないように決める。いつまでも正多角形にならないときは途中で止まる。
nを自然数として、正n角形にならない最大のnを求めなさい。
という問題なのですが、解き方を教えてください。

No.87386 - 2024/02/07(Wed) 17:05:07

☆ Re: 単元テストの問題 / ヨッシー

引用

>nを自然数として、正n角形にならない最大のnを求めなさい。
５°きざみだと、最大でも
　360÷5＝72
正72角形までしか出来ないので、ｎはいくらでも大きく出来ます。

No.87387 - 2024/02/07(Wed) 17:26:58

★ Σの計算 / Nishino (中学２年生)

引用

Σの計算かなりややこしいお手上げ状態

地味に計算していけば計算できるのでしょうが
スマートな計算方法はありませんか？

何卒よろしくお願い申し上げます。

以下問題
-------------------------------------------------------

No.87377 - 2024/02/06(Tue) 14:08:32

☆ Re: Σの計算 / IT

引用

4項ですから単に計算するのが速いと思います。

No.87380 - 2024/02/06(Tue) 19:06:35

☆ Re: Σの計算 / Nishino (中学２年生)

引用

IT先生

ご返信ありがとうございます。

一般に。この問題でKの範囲が,Σ［k=0→n］

ならどうなりますか？

教えてください。

何卒よろしくお願い申し上げます。

No.87381 - 2024/02/06(Tue) 21:54:06

☆ Re: Σの計算 / らすかる

引用

Σ[k=0～n](k+4)・(k+3)C3・(2/3)^k
=Σ[k=0～n](k+4)・(k+3)(k+2)(k+1)/3!・(2/3)^k
=(1/6)Σ[k=0～n](k+4)(k+3)(k+2)(k+1)・(2/3)^k … (1)
S1=Σ[k=0～n](k+4)(k+3)(k+2)(k+1)・(2/3)^k とおくと
(1/3)S1=S1-(2/3)S1
=Σ[k=0～n](k+4)(k+3)(k+2)(k+1)・(2/3)^k
-Σ[k=0～n](k+4)(k+3)(k+2)(k+1)・(2/3)^(k+1)
=Σ[k=0～n](k+4)(k+3)(k+2)(k+1)・(2/3)^k
-Σ[k=1～n+1](k+3)(k+2)(k+1)k・(2/3)^k
=24+4Σ[k=1～n](k+3)(k+2)(k+1)・(2/3)^k
-(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)・(2/3)^(n+1) … (2)
S2=Σ[k=1～n](k+3)(k+2)(k+1)・(2/3)^k とおくと
(1/3)S2=S2-(2/3)S2
=Σ[k=1～n](k+3)(k+2)(k+1)・(2/3)^k
-Σ[k=1～n](k+3)(k+2)(k+1)・(2/3)^(k+1)
=Σ[k=1～n](k+3)(k+2)(k+1)・(2/3)^k
-Σ[k=2～n+1](k+2)(k+1)k・(2/3)^k
=16+3Σ[k=2～n](k+2)(k+1)・(2/3)^k
-(n+3)(n+2)(n+1)・(2/3)^(n+1) … (3)
S3=Σ[k=2～n](k+2)(k+1)・(2/3)^k とおくと
(1/3)S3=S3-(2/3)S3
=Σ[k=2～n](k+2)(k+1)・(2/3)^k
-Σ[k=2～n](k+2)(k+1)・(2/3)^(k+1)
=Σ[k=2～n](k+2)(k+1)・(2/3)^k
-Σ[k=3～n+1](k+1)k・(2/3)^k
=16/3+2Σ[k=3～n](k+1)・(2/3)^k
-(n+2)(n+1)・(2/3)^(n+1) … (4)
S4=Σ[k=3～n](k+1)・(2/3)^k とおくと
(1/3)S4=S4-(2/3)S4
=Σ[k=3～n](k+1)・(2/3)^k
-Σ[k=3～n](k+1)・(2/3)^(k+1)
=Σ[k=3～n](k+1)・(2/3)^k
-Σ[k=4～n+1]k・(2/3)^k
=32/27+Σ[k=4～n](2/3)^k
-(n+1)・(2/3)^(n+1)
=32/27+{3(1-(2/3)^(n+1))-65/27}
-(n+1)・(2/3)^(n+1)
=16/9-(n+4)・(2/3)^(n+1)
∴S4=16/3-3(n+4)・(2/3)^(n+1)
(4)に代入して
(1/3)S3=16/3+2{16/3-3(n+4)・(2/3)^(n+1)}-(n+2)(n+1)・(2/3)^(n+1)
=16-(n^2+9n+26)・(2/3)^(n+1)
∴S3=48-3(n^2+9n+26)・(2/3)^(n+1)
(3)に代入して
(1/3)S2=16+3{48-3(n^2+9n+26)・(2/3)^(n+1)}-(n+3)(n+2)(n+1)・(2/3)^(n+1)
=160-(n^3+15n^2+92n+240)・(2/3)^(n+1)
∴S2=480-3(n^3+15n^2+92n+240)・(2/3)^(n+1)
(2)に代入して
(1/3)S1=24+4{480-3(n^3+15n^2+92n+240)・(2/3)^(n+1)}-(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)・(2/3)^(n+1)
=1944-(n^4+22n^3+215n^2+1154n+2904)・(2/3)^(n+1)
∴S1=5832-3(n^4+22n^3+215n^2+1154n+2904)・(2/3)^(n+1)
従って
(与式)=(1/6){5832-3(n^4+22n^3+215n^2+1154n+2904)・(2/3)^(n+1)}
=972-(1/2)(n^4+22n^3+215n^2+1154n+2904)・(2/3)^(n+1)
=972-(1/3)(n^4+22n^3+215n^2+1154n+2904)・(2/3)^n

No.87382 - 2024/02/06(Tue) 22:41:03

☆ Re: Σの計算 / Nishino (中学２年生)

引用

ラスカル先生

今晩は

ご回答ありがとうございます。

質問ですが

(k+4)ₖ₊₃C₃ (⅔)ᵏ
=(k+4)•(k+3)(k+2)(k+1)/3! •pᵏ
=⅙•(pᵏ⁺⁴)’’’’ 4階微分)

よって
Σₖ₌₀ⁿ (k+4)•ₖ₊₃C₃ pᵏ
=⅙Σₖ₌₀ⁿ (pᵏ⁺⁴)’’’’
=⅙(Σₖ₌₀ⁿ pᵏ⁺⁴)’’’’
=⅙ { p⁴(1-pⁿ⁺¹)/(1-p) }’’’’

この結果から、実際に、n=4 を計算するとなると

4階微分するのはとても大変になってしまいます

何かアドバイスいただけると幸いです

No.87383 - 2024/02/07(Wed) 00:05:52

☆ Re: Σの計算 / らすかる

引用

大変だと思ったらその方法は諦めて別の方法にすればよいと思いますが、
その式の4階微分ぐらいなら何時間もかかる計算ではありませんので、
やる気を出せば計算できると思います。
実際にやってみました。
まず直接やるのはちょっと大変なので最初に{p^k/(1-p)}''''を計算します。
すると
{p^k/(1-p)}'
=p^(k-1){k-(k-1)p}/(1-p)^2
{p^k/(1-p)}''
=p^(k-2){k(k-1)-2k(k-2)p+(k-2)(k-1)p^2}/(1-p)^3
{p^k/(1-p)}'''
=p^(k-3){k(k-1)(k-2)-3k(k-1)(k-3)p+3k(k-2)(k-3)p^2-(k-1)(k-2)(k-3)p^3}/(1-p)^4
{p^k/(1-p)}''''
=p^(k-4){k(k-1)(k-2)(k-3)-4k(k-1)(k-2)(k-4)p+6k(k-1)(k-3)(k-4)p^2
-4k(k-2)(k-3)(k-4)p^3+(k-1)(k-2)(k-3)(k-4)p^4}/(1-p)^5
のように求まります。
そして求めたいものは
(1/6){(p^4-p^(n+5))/(1-p)}''''
なので、上の式のkに4を代入したものからn+5を代入したものを引いて6で割ればよく、
(1/6){(p^4-p^(n+5))/(1-p)}''''
={(1/6)p^4/(1-p)}''''-{(1/6)p^(n+5))/(1-p)}''''
=4/(1-p)^5
-(1/6)p^(n+1){(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)-4(n+5)(n+4)(n+3)(n+1)p
+6(n+5)(n+4)(n+2)(n+1)p^2-4(n+5)(n+3)(n+2)(n+1)p^3
+(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)p^4}/(1-p)^5
そしてこれにp=2/3を代入して整理すれば、私が上に書いた式が得られます。
n=4だけ計算したいのであれば、ITさんが書かれているように素直に計算するのが最も早いと思います。

No.87384 - 2024/02/07(Wed) 01:49:01

☆ Re: Σの計算 / Nishino (中学２年生)

引用

らすかる先生

ご丁寧なご解説ありがとうございました。

No.87392 - 2024/02/09(Fri) 03:28:13

★ トイレットペーパー / えっとう

引用

トイレットペーパーの芯(半径r)にトイレットペーパー(厚み0.05mm) をxメートル巻きつけるとき、何周と何cm巻けば全て巻きつけられるか。
実際は、巻き始めに少し空間ができるのですがそれを考えるときと、考えない(100%密着しているとき)で2つ解答と考え方を教えてください。

No.87373 - 2024/02/05(Mon) 17:52:50

☆ Re: トイレットペーパー / ヨッシー

引用

「巻き始めに空間ができる」の対義語が「100%密着している」のようですが、
空間がどのように出来るのか、ちょっと想像できません。

100%密着している場合で、１周目から２周めに行く時の段差は無視する（つまり、バウムクーヘンのように巻く）とし、単純に断面積だけで考えます。
芯の半径（外径）をr(mm)、巻き終わったときの外径をs(mm)
とすると、
　1000ｘ・0.05＝π(s^2－r^2)
この時得られたｓに対して、
　ｓ＝0.05ｔ＋ｕ　（ｔは自然数、0≦u＜0.05)
とすると、ｔ周巻いたときに、
　π((0.05t)^2－r^2)/50　(m)
消費しているので、
　ｘ－π((0.05t)^2－r^2)/50　(m)
だけ１周未満の余りが出ます。
これに100をかければ、cm になります。

巻き始めだけにある空間ができるのなら、ｒを大きめにして始めればいいし、
一律に空間が出来るのなら、厚み 0.05 mm を増やせばいいし、
いずれにしても、どうモデル化するかですね。
　

No.87374 - 2024/02/05(Mon) 18:15:44

☆ Re: トイレットペーパー / えっとう

引用

このやり方はどうですか？(下写真)ここからが難しい😓

No.87375 - 2024/02/05(Mon) 21:14:46

☆ Re: トイレットペーパー / ヨッシー

引用

ｌ(エル) は、２πｒで固定されているので、不足が出るとすると、ｍ側の方です。

あと、巻き数がｔならば、ｍは、
　２π{ｒ＋0.005(t-1)}
なので、ｔの見当がつくでしょう。

No.87385 - 2024/02/07(Wed) 12:07:45

★ 場合の数 / N

引用

白のカード３枚と赤のカード３枚があり、各カードには1,2,3の数字がそれぞれ一つずつ書かれている。これら６枚の数字が書かれたカードを右図のAからFの位置にそれぞれ１枚ずつ無作為に並べる

A B　C
D E F

(2)A B Cの位置に順に数字１,数字2,数字3のカードが並び、さらにカードが上下に並ばない確率はいくつか　　　　　ア/イウ

何卒よろしくお願い申し上げます。

No.87366 - 2024/02/04(Sun) 19:35:13

☆ Re: 場合の数 / IT

引用

BとCが離れているようですが？まちがいですか？

「カードが上下に並ばない」とはどういうことですか？

No.87367 - 2024/02/04(Sun) 19:48:30

☆ Re: 場合の数 / N

引用

> BとCが離れているようですが？まちがいですか？
>
> 「カードが上下に並ばない」とはどういうことですか？

この画像の上段下段AD,BE,CFに同じ数字が隣あわないということだと思います。

No.87368 - 2024/02/04(Sun) 20:20:59

☆ Re: 場合の数 / IT

引用

上段の3枚のカードの選び方は2×2×2通り
それぞれについて、上下で異なるような下段の数字の並びは、231,312の2通り。

条件なしのカードの並べ方は何通りか分かりますか？

これらが分かれば、求める確率は簡単に計算できますね。

No.87369 - 2024/02/04(Sun) 21:16:03

★ 二等辺三角形の問題 / 三国協商

引用

この解説の続きなんですが、「二等辺三角形の頂角の２等分線は底辺を垂直に二等分するからEC⊥IF」というところがよくわからないので教えてください。

No.87355 - 2024/02/04(Sun) 10:10:10

☆ Re: 二等辺三角形の問題 / IT

引用

・「図１」　は、どんな図ですか？（各点はどんな条件を満たしますか）
・「右の図２」は、下の図のことですか？
・「二等辺三角形の頂角の２等分線は底辺を垂直に二等分するからEC⊥IF」
のどこまで分かって、どこから分かりませんか？

No.87356 - 2024/02/04(Sun) 10:55:49

☆ Re: 二等辺三角形の問題 / 三国協商

引用

友だちに見せてもらった問題なのですが、元は以下の写真でした。わかりにくくてすみません。
「二等辺三角形の頂角の２等分線は底辺を垂直に二等分するからEC⊥IF」なんですが、
二等辺三角形の頂角の２等分線は底辺を垂直に二等分するのは性質としてわかるけど、HFが頂角の２等分線であるということがわからないです。

No.87358 - 2024/02/04(Sun) 12:50:49

☆ Re: 二等辺三角形の問題 / IT

引用

概要だけ

∠BEC ＝90°, ∠ABC ＝60°なので　BC=2BE
また,BF=BE なので　
FC=BF

△EBFは正三角形で FE=BF よって、FE=FC
またEI=IC、辺FIは共通なので
△EFI≡△CFI
よって∠EFI＝∠CFI

タイポがあるかもしれません。図で確認してください。

No.87365 - 2024/02/04(Sun) 16:33:23

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