軌跡の問題で、円上の動く点と二つの点の重心を求める問題がありますが、円上の点を表すp二乗+q二乗=◻︎ と、p，qを入れた重心の座標を求めるのは分かるのですが、なぜ重心の座標から変形したp,qを再びp二乗+q二乗=◻︎に代入して、求めることができるのでしょうか。いまいち納得できません。。。
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No.88073 - 2024/05/18(Sat) 01:15:41
| ☆ Re: / 黄桃 | | | 逆像法の説明の繰り返しになります。
掲示板では（どこがわからないのか不明なので）説明が難しいです。
最初の質問。
x,yが関係式 g(x,y)=0 を満たすとき、(fx(x,y),fy(x,y))の取りうる範囲をDとします。
すると、
(a,b)∈D
⇔∃x,∃y a=fx(x,y), b=fy(x,y), g(x,y)=0
⇔連立方程式 fx(x,y)=a, fy(x,y)=b は解を持ち、その解は g(x,y)=0を満たす。
もし、fx(x,y)=aかつfy(x,y)=bが、x,yについて(解をもつためのa,bに関する必要十分条件(*)込みで）解けたとすると、
⇔∃x,∃y x=G1(a,b), y=G2(a,b), g(x,y)=0 かつ、解をもつa,bに関する条件(*)
⇔g(G1(a,b),G2(a,b))=0 かつ解をもつa,bに関する条件(*)
だから、です。(*)の部分は、√a が出てくればa≧0 だったり、1/a が出てくればa≠0だったり、連立1次方程式なら無条件だったり、とかです。
g(x,y)=0の部分が単一の方程式でなく、x,yに関する条件（連立不等式など）でも同様。
2番目の質問。
1番目の質問で(*)が2次方程式が実数解を持つ条件になっている場合に相当。
x,y,u,v 実数について
u=x+y
v=xy
とおけば、x,yはtの2次方程式
t^2-ut+v=0
の解だから、判別式D=u^2-4v≧0 の下で、x=G1(u,v), y=G2(u,v)とかける。
x,yを入れ替えても u,vは変わらないので、u,vが満たすべき条件(**)と,実数解を持つ条件u^2-4v≧0(*)との共通領域の点(u,v)を取れば、
必ず対応する(x,y)がみつかり、しかも x+y=u,xy=vは条件(**)を満たす。
もちろん、共通領域から外れれば、(*)を満たさず(x,y)が見つからないか、(**)を満たさないかのいずれかだから、取りうる範囲ではない。
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No.88091 - 2024/05/20(Mon) 01:24:25 |
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