ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。

過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

★ 微分 / Higashino

引用

何卒よろしくお願いします

以下問題

No.90177 - 2025/04/21(Mon) 16:09:31

☆ Re: 微分 / X

引用

条件から
f'(x)=-1/x^2+ae^(-ax)
∴f'(x)=0のとき
{e^(ax)}/x^2=a (A)
ここでa≦0のとき、(A)を満たす実数xは存在しないことから
a＞0 (B)
そこで
g(x)={e^(ax)}/x^2
と置き、(B)に注意して
直線
y=a (C)
が
y=g(x) (D)
のグラフと、(C)の上下に(D)のグラフが
存在するような交点を持つ条件を考えます。

(D)より
g'(x)={(ax^2)e^(ax)-2xe^(ax)}/x^4
={(ax-2)e^(ax)}/x^3
∴g(x)は極小値
g(2/a)=(1/4)(ae)^2
を取り、更に
lim[x→+0]g(x)=∞
∴求める条件は
(1/4)(ae)^2＜a
これを解いて、求めるaの値の範囲は
0＜a＜4/e^2
となります。

No.90181 - 2025/04/22(Tue) 19:28:50

☆ Re: 微分 / Higashino

引用

先生
こんばんは
ご回答いただきありがとうございました

今私の答案です
何卒よろしくお願いいたします

https://imgur.com/a/HEHSu5K

No.90184 - 2025/04/23(Wed) 02:21:13

☆ Re: 微分 / X

引用

方針は正しいのですが、誤植がありますね。

x=t/a
と置き替えたのであれば
＞＞a=(t^2)e^(-at)
ではなくて
a=(t^2)e^(-t)
では？。

解答を見る限り、頭の中では
正しい計算はできているが
記述を間違えているだけに見えます。

No.90213 - 2025/05/02(Fri) 18:52:34

★ 平面の方程式について / ブレジョン1

引用

写真の赤線部についてですが、
確かに図11.19のようにd=n|OH|と表されるのはわかるのですが、OHの長さはP0の取り方で変わる、つまり同時にdの値もP0によって変わると思うのですが、なぜdはP0に依らない定数であるということが言えるのでしょうか？

No.90173 - 2025/04/21(Mon) 12:11:09

☆ Re: 平面の方程式について / _

引用

ここで扱っている平面をαとします。
また,原点を通りベクトルｎを方向ベクトルとする直線をLとします。

図11.19で, Hは『平面α と直線L の交点』になります。
(これは『原点Oから平面αに下した垂線の足』と言い換えてもよい。)
つまり,平面αが与えられればその時点で点Hは自動的に定まり,よってそれは
P_0の取り方に依りません。

なお蛇足かもしれませんが…
コピーの本では

　(P_0から)原点を通り法線ベクトルの方向の直線(つまり直線L)に下した垂線の足をH

と書いています。
このHを作図するには,

　P_0を通りベクトルｎに垂直な平面と直線L の交点

をとればよいわけですが,
この「P_0を通りベクトルｎに垂直な平面」とは,平面αそのものです(そもそもP_0は平面α上の点でした)。
なのでHは平面αと直線Lの交点になるわけです。

No.90174 - 2025/04/21(Mon) 15:41:46

☆ Re: 平面の方程式について / ヨッシー

引用

例えば、点Ｐ0(1,2,3) を通り、ベクトル(2,3,4) に垂直な平面を考えます。
この平面上の任意の点(x,y,z) に置いて、
　2(x-1)＋3(y-2)＋4(z-3)＝0
が成り立ち、
　2x＋3y＋4z＝20
となり、ｄ＝２０です。
一方、別の点 (6,4,-1) も、この平面を通るので、
　2(x-6)＋3(y-4)＋4(z+1)＝0
であり、展開すると、やはり
　2x＋3y＋4z＝20
となり、ｄは変わりません。
点Ｐ0 として選ばれる点は、
　2x＋3y＋4z＝20
を満たすので、どう変形しても 2x＋3y＋4z＝20 に戻ってきます。

とりあえず、
>dの値もP0によって変わる
は、そんなことないよ、ということを示してみました。

なお、Ｈは原点から平面におろした垂線の足なので、
>OHの長さはP0の取り方で変わる
これも違います。Ｐ0 が動いても、Ｈはじっとしています。

No.90175 - 2025/04/21(Mon) 15:49:43

★ (No Subject) / やり直しメン

引用

算数です

5番についてです

No.90166 - 2025/04/19(Sat) 22:37:35

☆ Re: / やり直しメン

引用

分かりませんでした

No.90167 - 2025/04/19(Sat) 22:38:02

☆ Re: / X

引用

辺AFと辺DEとの交点をI
辺AFと辺BGとの交点をJ
とします。
今、△AEIを点Eを固定して回転させ、
点Aが点Bに重なるようにします。

このときIの元の位置の点を
改めてI'とすると

四角形IBJI'は斜線部分と合同な正方形

になることはよろしいですか？。
(よろしくないのであれば、その旨のレスを下さい。)

上記の三角形を回転させる操作は点Bに対応していますが
同様の操作を点C,D,Aに対して行うと
結局、正方形ABCDは、

斜線部分と合同な正方形5個に分割できる

ことがわかります。
よって求める面積は
10[cm]×10[cm]÷5=20[cm^2]
となります。

No.90169 - 2025/04/20(Sun) 07:32:27

☆ Re: / やり直しメン

引用

ありがとうございます

なんとか理解しようと図を書きました。

でもよく分かりませんでした

No.90170 - 2025/04/20(Sun) 11:00:43

☆ Re: / やり直しメン

引用

大丈夫でした

No.90171 - 2025/04/20(Sun) 11:49:01

☆ Re: / やり直しメン

引用

これ比とか使うのではなくて移動して気づきさえすれば解けたのですね。

No.90172 - 2025/04/20(Sun) 11:53:54

★ 微分 / Higashino

引用

何卒よろしくお願いします
以下問題

No.90163 - 2025/04/19(Sat) 18:51:15

☆ Re: 微分 / X

引用

(1)
条件のとき
f'(x)=cosx+1/(cosx)^2-9/2
f"(x)=-sinx+2(sinx)/(cosx)^3
=-sinx{1-2/(cosx)^3}
=-sinx{(cosx)^3-2}/(cosx)^3
ここで
0＜x＜π/2 (A)
∴f"(x)＞0
更に
f(0)=-5/2＜0
lim[x→π/2-0]f(x)=∞
∴中間値の定理により(A)において
f(x)は極小値をただ一つ持ちます。
ここでf'(x)=0のとき
cosx+1/(cosx)^2-9/2=0
2(cosx)^3-9(cosx)^2+2=0
(2cosx-1){(cosx)^2-4cosx-2}=0
(2cosx-1)(cosx-2+√6)(cosx-2-√6)=0
(A)より＜cosx＜1ゆえcosx=1/2
∴x=π/3
∴f(x)は
x=π/3のときに極小値(3/2)√3-3π/2
を取ります。

(2)
条件のとき
g'(x)=cosx+1/(cosx)^2-α
g"(x)=-sinx{(cosx)^3-2}/(cosx)^3＞0
ここでαの値によらず
lim[x→π/2-0]g'(x)=∞
∴題意を満たすためには
g'(0)=2-α＜0
∴2＜α

No.90164 - 2025/04/19(Sat) 19:30:04

☆ Re: 微分 / Higashino

引用

ご回答ありがとうございました
以下私の答案になります
何卒よろしくお願いします

No.90176 - 2025/04/21(Mon) 16:06:50

★ 高2数学 / りか

引用

車の排ガスには８億２０００万種類の有害物質が含まれておる。
車に乗らない人が他人の車の排ガスで健康被害を受けることを
受動排ガスと呼ぶ。

問
80000^2000を133で割った時の余りを求めよ。

教えてください。

No.90157 - 2025/04/18(Fri) 23:12:54

☆ Re: 高2数学 / らすかる

引用

もしフェルマーの小定理を使ってよければ
133=7×19
フェルマーの小定理により
80000^6を7で割った余りは1なので
80000^1998=80000^(6×333)を7で割った余りは1
また
80000^18を19で割った余りも1なので
80000^1998=80000^(18×111)を19で割った余りも1
従って80000^1998を133で割った余りは1
133×3=399=400-1なので
80000=400×200=(133×3+1)×200を133で割った余りは
200を133で割った余りと等しく、67。
67^2=4489=400×11+89=(133×3+1)×11+89から
67^2を133で割った余りは11+89=100を133で割った余りと等しく、100。
従って80000^2を133で割った余りは100なので、
(80000^2000を133で割った余り)
=(80000^1998を133で割った余り)×(80000^2を133で割った余り)
=100

フェルマーの小定理を使えなければ
(80000^2000を133で割った余り)
=({(133×3+1)×200}^2000を133で割った余り)
=(200^2000を133で割った余り)
=(40000^1000を133で割った余り)
=({(133×3+1)×100}^1000を133で割った余り)
=(100^1000を133で割った余り)
ところで
1÷133=0.007518796992481203 007518796992481203 …
のように循環節が18桁の純循環小数になるので
1/133=7518796992481203/(10^18-1)
つまり
10^18-1=7518796992481203×133なので
10^18を133で割った余りは1
よって
100^1000=(10^18)^111×100を133で割った余りは100
なので、80000^2000を133で割った余りも100

No.90158 - 2025/04/19(Sat) 03:21:26

★ (No Subject) / やり直しメン

引用

算数です

例題の所が分かりませんでした

特に三角形ABCと三角形ACDの面積の比です

No.90150 - 2025/04/17(Thu) 22:41:09

☆ Re: / やり直しメン

引用

写真です

No.90152 - 2025/04/17(Thu) 23:19:43

☆ Re: / ヨッシー

引用

　高さが同じなら、面積比は底辺比
　底辺が同じなら、面積比は高さ比
をまず押さえましょう。

下の図のようにＡＣが底辺になるように置くと、
アとイは高さが同じなので、面積比はＡＥ：ＣＥ＝４：２

ＢＤを底辺とすると、
アとエは高さが同じなので、面積比はＢＥ：ＤＥ＝５：３

再び、下の図のようにＡＣが底辺になるように置くと、
三角形ＡＢＣと三角形ＡＣＤとでは、底辺が同じなので、
面積比は高さ比で　５：３　となります。

下の右の方の図を見ると、
斜辺が５：３のとき、高さも５：３であることは、三角形の相似から言えます。

No.90153 - 2025/04/18(Fri) 09:49:35

☆ Re: / やり直しメン

引用

ありがとうございます。

>>>再び、下の図のようにＡＣが底辺になるように置くと、
三角形ＡＢＣと三角形ＡＣＤとでは、底辺が同じということに気づけばすぐに5:3が出せるということですか。

No.90155 - 2025/04/18(Fri) 12:06:22

★ (No Subject) / ネバラン

引用

任意の自然数nに対して
f(a_n) <= R が成立するとき

lim[n->∞] f(a_n) <= R

は成立しますか？
成立するなら証明を教えてください。

No.90149 - 2025/04/17(Thu) 22:23:39

☆ Re: / らすかる

引用

例えばf(a_n)=(-1)^nのとき
R=1とすればf(a_n)≦Rは成立しますが
極限が存在しないため
lim[n→∞]f(a_n)をRと比較することができません。

No.90151 - 2025/04/17(Thu) 22:48:25

☆ Re: / ネバラン

引用

極限が存在するという条件も加えると成立しますか？

No.90154 - 2025/04/18(Fri) 11:07:34

☆ Re: / らすかる

引用

成立します。
もし極限がRより大きいR+ε（ε＞0）という値になったとすると
f(a_n)はR＜f(a_n)≦R+εという範囲の値を取り得ない
（もちろんf(a_n)＞R+εという範囲の値も取り得ない）はずなので、矛盾しますね。

No.90156 - 2025/04/18(Fri) 16:54:06

☆ Re: / ネバラン

引用

ですが、それは任意の自然数について成立する条件であって、n->∞となるときは、無限は自然数集合に属するわけではないので、必ずしも成立するとは限らないのではないでしょうか？
+

No.90161 - 2025/04/19(Sat) 16:22:36

☆ Re: / WIZ

引用

横から失礼します。

∞が自然数ではないというのは正しいですが、
lim[n→∞]f(a[n])がf(a[∞])などという物を表しいる訳ではありません。

極限lim[n→∞]f(a[n])が存在し、その値がAであることは以下の数式で表します。
lim[n→∞]f(a[n]) = A

上記は以下の論理式で定義されます。自然数全体の集合をNとします。
∀ε > 0, ∃m ∈ N s.t. ∀(n ∈ N) > m ⇒ |f(a[n])-A| < ε
# 任意の正実数εに対して、ある自然数mが存在して、
# 自然数nがmより大きいならば、f(a[n])とAの差はεより小さい

上記には∞は出てこず、よってa[∞]などというものも相手にしていません。

|f(a[n])-A| < εというのは、A-ε < f(a[n]) < A+εと同値です。
nはmより大きい「自然数」ですので、前提条件のf(a[n]) ≦ Rが成立します。

もし、R < Aと仮定すると、ε = A-R > 0と取れば、R = A-ε < f(a[n]) < A+εとなって
前提条件に矛盾します。よって、A ≦ Rでなければなりません。

No.90165 - 2025/04/19(Sat) 20:40:37

☆ Re: / 黄桃

引用

>それは任意の自然数について成立する条件であって、n->∞となるときは、無限は自然数集合に属するわけではないので、必ずしも成立するとは限らない
いいたいことは、例えば a[n] が有理数だからといって lim a[n]が有理数とは限らない、というようなことでしょうか。

しかし、極限については、実数の範囲で考えれば、極限が存在すれば、それは必ず実数になります
（実数の完備性といいます；無限小数で表せるものは実数、といってもいいです）。
なので実数の範囲で考えればあふれることはないので、成立します。

＃以下、元の質問で、単なるa[n]でなく、f(a[n])になっているのがちょっと気になるので
＃忖度してみます。外していたらごめんなさい。

なお、lim_[n→∞] a[n]=a が成立し、lim_[x→a] f(x) が存在するのであれば、
lim_[n→∞]f(a_n)= lim_[x→a] f(x) となります
（fがx=aで連続なら、どんな飛び飛びの近づき方をしても同じ値に収束する、というようなこと）。
が、特定の数列{an}について、lim_[n→∞]f(a_n)が存在するからと言って、lim_[x→a] f(x)と等しいとは限りません
（f(x)=sin(xπ), an=n とおけば、f(an)=0 だからlim_[n→∞]f(a_n)=0ですが、lim_[x→∞] f(x)は存在しません）。

＃大学数学の内容ですが、、特定の数列ではなく、どんな数列についてもいえるなら、逆もいえます。
＃https://mathlandscape.com/seq-func-conv-iff/
＃あたりでも眺めてみてください。

No.90168 - 2025/04/20(Sun) 07:24:48

★ 微分 / Higashino

引用

何卒よろしくお願いします

以下問題になります

No.90143 - 2025/04/16(Wed) 09:28:50

☆ Re: 微分 / X

引用

f'(x)=2+a{(x^2+1)-2x^2}/(x^2+1)^2
={2(x^2+1)^2-a(x^2-1)}/(x^2+1)^2
={2(x^2+1)^2-a(x^2+1)+2a}/(x^2+1)^2
∴問題はxの4次方程式
2(x^2+1)^2-a(x^2+1)+2a=0 (A)
が異なる4つの実数解を持つ条件を
求めることに帰着します。

ここで
x^2+1=t
と置くと、1＜tなるtの値一つに対し
xの値は2つ対応し、(A)は
2t^2-at+2a=0 (A)'
∴tの二次方程式(A)'が
1＜t
において、異なる二つの実数解を
持つ条件を求めればよいので
(A)'の解の判別式をDとし、
f(t)=2t^2-at+2a
と置いて、横軸にt、縦軸にf(t)を
取った、グラフを考えると
f(1)=2-a+2a＞0 (B)
a/4＞1 (C) (∵)グラフの軸の方程式はt=a/4
D=a^2-16a＞0 (D)
(B)(C)(D)を連立で解いて、
求めるaの値の範囲は
16＜a

No.90146 - 2025/04/16(Wed) 18:29:07

☆ Re: 微分 / Higashino

引用

X先生
お久しぶりです
ご回答いただけて幸いです
わたくしは以下のように考えたのですが
正しいでしょうか
ご指導ください
よろしくお願いいたします

No.90147 - 2025/04/16(Wed) 20:06:01

☆ Re: 微分 / X

引用

f'(x)=0から、a=…の形にもっていくまでの
過程に無駄が多すぎます。
単にf'(x)=0をaについて解くだけでよいのでは？

No.90148 - 2025/04/17(Thu) 06:54:25

☆ Re: 微分 / Higashino

引用

ご指摘アドバイスありがとうございました

No.90162 - 2025/04/19(Sat) 18:50:13

★ 高校数学 / よしぞう

引用

r[n]=cos(π/3)cos(π/4)…cos(π/(n1))
とすると，r[n]→0.1149…
となるらしいんですが、どうやって示せばよいかわからないです。

No.90139 - 2025/04/14(Mon) 17:09:04

☆ Re: 高校数学 / よしぞう

引用

r[n]=cos(π/3)cos(π/4)…cos(π/(n1))
↓訂正です。
r[n]=cos(π/3)cos(π/4)…cos(π/(n+1))

No.90140 - 2025/04/14(Mon) 17:11:27

☆ Re: 高校数学 / らすかる

引用

値については具体的に計算するしかない気がします。

Π[k=3～∞]cos(π/k)
＜Π[k=3～10000]cos(π/k)
≒0.1149988
＜0.115

Π[k=3～∞]cos(π/k)
＝exp(log(Π[k=3～∞]cos(π/k)))
＝exp(Σ[k=3～∞]log(cos(π/k)))
＝exp(Σ[k=3～15000]log(cos(π/k))+Σ[k=15001～∞]log(cos(π/k)))
＞exp(Σ[k=3～15000]log(cos(π/k))+Σ[k=15001～∞]-(π/k)^2)
（∵k≧3でlog(cosx)＞-x^2）
＝exp(Σ[k=3～15000]log(cos(π/k))-(π^2)Σ[k=15001～∞](1/k^2))
＝exp(Σ[k=3～15000]log(cos(π/k))-(π^2)(ζ(2)-Σ[k=1～15000](1/k^2)))
＝exp(Σ[k=3～15000](log(cos(π/k))+(π/k)^2)+5π^2/4-π^4/6)
≒0.114904
＞0.1149
∴Π[k=3～∞]cos(π/k)＝0.1149…

No.90141 - 2025/04/14(Mon) 23:55:12

☆ Re: 高校数学 / よしぞう

引用

解答ありがとうございました。

No.90144 - 2025/04/16(Wed) 17:30:07

★ 高校数学(数3) / 314

引用

この問題の答えが(1)=2√3+3/8π, (2)=12, (3)=3/2√3+2πになる理由を詳しく教えてください。
滑らないと書いてあることから、サイクロイドを使うらしいですが、どのように使うのかがわかりませんでした。

No.90137 - 2025/04/13(Sun) 21:01:55

☆ Re: 高校数学(数3) / ヨッシー

引用

最初の状態で、円Ｋと△ＯＡＢのＯＡ上における接点をＱ、ＯＡの中点をＭとします。

(1)
　ＯＱ＝ＯＰ＝√3
であり、また、ＱＭ＝優弧ＰＱ＝(4/3)π
よって　ＯＭ＝√3＋(4/3)π
　ＯＡ＝２ＯＭ＝2√3＋(8/3)π　・・・答え１

(2)
半径１の円によるサイクロイドの式は
　ｘ＝θ－sinθ、ｙ＝１－cosθ
これの、θ＝2π/3 から θ＝2π までの長さを求めます。

　Ｌ＝∫[2π/3～2π]√{（１－cosθ)^2＋sin^2θ}dθ
　　＝∫[2π/3～2π]√(２－２cosθ)dθ
１－cosθ＝2sin^2(θ/2) より
　Ｌ＝∫[2π/3～2π]√(4sin^2(θ/2))dθ
　　＝２∫[2π/3～2π]|sin(θ/2)|dθ
2π/3≦θ≦2π のとき、2π/6≦θ≦π であるので、sin(θ/2)≧0
よって、
　Ｌ＝２∫[2π/3～2π]sin(θ/2)dθ
　　＝２[－2cos(θ/2)][2π/3～2π]
　　＝４(１＋1/2）＝６
求める長さはこれの２倍なので、
　６×２＝１２　・・・答え２

(3)
サイクロイド
　ｘ＝θ－sinθ、ｙ＝１－cosθ
において、点Ｐに当たる点の座標は(2π/3－√3/2, 3/2)、
点ＭＭに当たる点の座標は（2π, 0) です。
求める面積は
　Ｓ＝∫[2π/3－√3/2～2π]ｙdx
これに、面積 3√3/8 の直角三角形を加えたものです。
。これをθの積分に置換すると、
積分範囲は　2π/3－√3/2≦ｘ≦2π　→　2π/3≦θ≦2π
　dx/dθ＝1－cosθ
より　
　dx＝(1－cosθ)dθ
これらより
　Ｓ＝∫[2π/3～2π](１－cosθ)(1－cosθ)dθ
　　＝∫[2π/3～2π](１－２cosθ＋cos^2θ)dθ
cos^2θ＝(1＋cos2θ)/2 より
　Ｓ＝∫[2π/3～2π]{１－２cosθ＋(1＋cos2θ)/2}dθ
　　＝∫[2π/3～2π]{3/2－２cosθ＋(cos2θ)/2}dθ
　　＝[3θ/2－2sinθ＋(sin2θ)/4][2π/3～2π]
　　＝3π－π＋√3＋√3/8
　　＝2π＋9√3/8
よって、求める面積は
　2π＋9√3/8＋3√3/8＝2π＋3√3/2

No.90138 - 2025/04/14(Mon) 12:03:00

☆ Re: 高校数学(数3) / 314

引用

ありがとうございます。

No.90142 - 2025/04/15(Tue) 15:11:42

★ (No Subject) / やり直しメン

引用

算数です

◻︎4です

とりあえず図だけは書きました。

よろしくお願いします

No.90127 - 2025/04/11(Fri) 22:36:11

☆ Re: / X

引用

のりこさんが21[m]進んだとき、洋子さんは
のりこさんのスタート地点から
21[m]+94[m]=115[m]
進んでいるので、洋子さんは自分のスタート地点から
115[m]-100[m]=15[m]
進みます。
よって、のり子さんと洋子さんの速さの比は
21:15=7:5 (A)

ここで
のり子さんのスタート地点をA
洋子さんのスタート地点をB
のり子さんが洋子さんに追いついた地点をC
とすると、(A)から
AC:BC=7:5
よって
AC:AB=7:2
よって比の値からACは
ABの7/2倍
となりますので、求める距離は
100[m]×7/2=350[m]
となります。

No.90130 - 2025/04/12(Sat) 07:15:53

☆ Re: / IT

引用

（別解）
のりこさんが21[m]進んだとき、２人の距離は　100-94＝6[m]　縮まった。

100[m] 縮まるのは 21×(100/6) = 350 [m]のりこさんが進んだとき

No.90131 - 2025/04/12(Sat) 20:37:01

☆ Re: / やり直しメン

引用

> のりこさんが21[m]進んだとき、洋子さんは
> のりこさんのスタート地点から
> 21[m]+94[m]=115[m]
> 進んでいるので、洋子さんは自分のスタート地点から
> 115[m]-100[m]=15[m]
> 進みます。
> よって、のり子さんと洋子さんの速さの比は
> 21:15=7:5 (A)

この解き方はのり子さんと洋子さんが走った時間が同じときに速さの比と距離の比が同じというのを使ったということですか。

No.90132 - 2025/04/13(Sun) 00:02:11

☆ Re: / IT

引用

余談ですが、２人がそれぞれ「一定の速さで走る」という（現実にはあり得ない）前提条件が書いてないので、解答不能ではありますね。

算数の問題としては、暗黙の了解なのでしょうが。

No.90134 - 2025/04/13(Sun) 07:58:53

☆ Re: / X

引用

＞＞やり直しメンさんへ
その通りです。

No.90135 - 2025/04/13(Sun) 09:33:49

★ (No Subject) / やり直しメン

引用

算数です

観覧車に太郎さんと花子さんが別々に乗りました。
太郎さんが先に乗り、その1分後に花子さんが乗りました。
太郎さんが乗ってから3分後に、太郎さんが乗っているゴンドラの丁度真下に花子さんの乗っているゴンドラが来ました。
この観覧車が一周するのにかかる時間は何分ですか。という問題です。

よろしくお願いします

No.90113 - 2025/04/05(Sat) 21:08:01

☆ Re: / やり直しメン

引用

僕これ、直感で6分と答えたら正解は10分でした

No.90115 - 2025/04/05(Sat) 21:42:21

☆ Re: / WIZ

引用

1分で回転する角度をt°とします。
観覧車の一番低い位置(多分乗り降りする場所)を始点の0°とします。
太郎さんの3分後の位置は3t°で、花子さんは1分遅れて乗ったので位置は2t°です。

従って、太郎さんが観覧車の一番高い位置つまり180°から2t°手前なら花子さんの前上になります。
180-3t = 2tより、t = 36となり、一周は360/36 = 10分となります。

# これくらいなら１次方程式を立てなくても何とかなりそうですね。

No.90117 - 2025/04/05(Sat) 23:39:52

☆ Re: / らすかる

引用

「太郎さんが乗っているゴンドラの丁度真下に花子さんの乗っているゴンドラがある」
ということは、二つのゴンドラを結んだ直線がちょうど地面に対して垂直になっていますね。
そして太郎さんが乗って1分後に花子さんが乗ったということは、
太郎さんが乗って30秒後に二つのゴンドラを結んだ直線が水平（地面と平行）になっています。
ということは、「30秒後」から「3分後」までに観覧車が90°（1/4周）回転したという
ことですから、1/4周の回転に2分30秒、よって1周では2分30秒×4=10分となります。

No.90119 - 2025/04/06(Sun) 23:41:48

☆ Re: / やり直しメン

引用

> 太郎さんが乗って30秒後に二つのゴンドラを結んだ直線が水平（地面と平行）になっています。

なぜこうなるのでしょうか。

よろしくお願いします

No.90128 - 2025/04/12(Sat) 00:01:05

☆ Re: / らすかる

引用

太郎さんが乗った時、太郎さんのゴンドラが最下地点（観覧車の回転軸の中心の真下）で
花子さんのゴンドラはそれより一つ分手前
花子さんが乗った時、花子さんのゴンドラが最下地点で
太郎さんのゴンドラはそれより一つ分先
そして前者の状態から後者の状態になるまでの時間が1分間ですから、
その丁度中間すなわち前者の状態の30秒後には
太郎さんのゴンドラは最下地点を過ぎた位置で、最下地点からゴンドラ間隔の半分進んだ状態
花子さんのゴンドラは最下地点の手前で最下地点まではゴンドラ間隔の半分
ですから太郎さんのゴンドラと花子さんのゴンドラのちょうど真ん中が最下地点であり、
二つのゴンドラを結んだ直線は水平になります。
図を描いてみればわかりやすいと思います。

No.90129 - 2025/04/12(Sat) 01:36:51

★ (No Subject) / やり直しメン

引用

◻︎6です　算数です

教えてください。

No.90107 - 2025/04/05(Sat) 07:26:32

☆ Re: / WIZ

引用

7時の時点で、長針の位置は12時つまり0分の位置で、短針は7時つまり35分の位置にあります。
m分後(mは非負実数で整数とは限らない)は、長針がm分の位置で、短針が(35+m/12)分の位置です。

12時と6時を結ぶ直線に対して、長針と短針が線対称となるmを求めるのであれば、
# 長針と短針の長さが違うと思うので完全な線対称とは言えないが、
# 12時と6時を結ぶ直線と長針のなす角度と
# 12時と6時を結ぶ直線と短針のなす角度が等しいという意味と解釈。

m = 60-(35+m/12)より、m = 300/13 ≒ 23.07･･･

# これ本当に算数(小学校)の問題なの? 1次方程式を習うのは中学校だと思うけど、
# 逆に1次方程式を使わずに小学生がどうやって解くのかに興味がある。

No.90116 - 2025/04/05(Sat) 23:38:02

☆ Re: / やり直しメン

引用

解説書です

No.90118 - 2025/04/05(Sat) 23:56:26

★ (No Subject) / 大西

引用

部分積分を用いてもInとIn+1との関係がうまく出せませんでした。
そもそも漸化式を用いて解こうとする自体が間違っているのでしょうか。

何かInを直接計算する方法があるのでしょうか。

No.90096 - 2025/04/03(Thu) 22:41:12

☆ Re: / ast

引用

問題の趣旨にはおそらく合わないでしょうが, ベータ函数に馴染みがあるのならば tan(x)^(1/n) = sin(x)^(1/n) cos(x)^(-1/n) と見る (必要ならば u:=sin(x)^2 などで置換する) ことで当該の積分が
　 I[n] = Β[(1+1/n)/2, (1-1/n)/2)]/2 --(*)
のように書けることは言えると思います.
# よく知られた関係式によってガンマ函数で表せば
#　 (*) = (Γ((1+1/n)/2)Γ(1-(1+1/n)/2)/Γ(1))/2 = (π/sin(π(1+1/n)/2))/2 = π/(2cos(π/(2n)))
# と計算できて極限も I[n] → π/2 と求まりそうです.
## もとの積分において極限と積分が交換可能ならば
## 　∫_[0,π/2] lim_[n→∞]tan[x]^(1/n)dx = ∫_[0,π/2]dx = π/2
## となるはずなので, ↑の計算も合っていそうとは思いますが, 保証するつもりはありません.

No.90102 - 2025/04/04(Fri) 17:48:12

☆ Re: / 大西

引用

astさんご返信ありがとうございます。

Γ(1-s)Γ(s)=π/sinπsという関係式がありましたね。
ベータ関数とガンマ関数を使えば解けるのですね。
でも大学入試問題だそうなので他の方法がありそうです。

No.90105 - 2025/04/04(Fri) 20:18:54

☆ Re: / IT

引用

大学入試問題ではないのでは？　
広義積分もベータ関数・ガンマ関数も高校数学の範囲外だと思います。

できそこないの模試とかでは？
受験勉強なら　しっかりした解答解説付きの参考書・問題集で学習されるのが効率的かと思います。

No.90106 - 2025/04/04(Fri) 20:54:28

☆ Re: / 大西

引用

ITさんご返信ありがとうございます。

大学入試問題だと言われたのですがそうじゃないのかも知れませんね。

受験勉強ではありませんが、興味がある問題に色々とチャレンジしています。

No.90111 - 2025/04/05(Sat) 13:22:38

☆ Re: / 黄桃

引用

本題とは関係ないですが参考までに。

これは架空の大学である信州国際学院大学の国際観光学部令和6年度数学の過去問です
（https://kokushin-u.jp/prospective-student/past-questions/からダウンロードできます）。
ドメイン名が.ac.jp でないことからわかるように、この大学自体が壮大なジョークなので注意が必要です。

数学の過去問は、本問のように、多分数学としては正しいけど、少なくとも日本の大学入試問題としてはジョークと呼べるものが多数見受けられます。
形式は大学入試問題なのに、怪しげであれば、ここの問題でないか確認した方がいいです。
その上で、出典を明記して質問するのは構わないでしょう（ジョークであっても著作権はあるでしょうから）。

No.90126 - 2025/04/08(Tue) 22:38:06

★ 質問です。 / てふら

引用

下の問題を解いていたのですが，答えが解説と合わないので教えてもらえればと思います。

問題）座標平面上に曲線Ｃを媒介変数t (-1≦t≦1) を用いて
x=1-t^2，y=t-t^3 …?@と定める。以下の問いに答えよ。
(1)　曲線Ｃの概形を描け。
(2)　曲線Ｃをy軸のまわりに１回転してできる回転体の体積Ｖを求めよ。

(2)の答えが，?@で定まるyの関数xのうち，y≧0であるものの計算を行って，体積Ｖ=32π/105 としています。

y≦0についても同様に考えて，答えを２倍すべきだと思うのですが，違うのでしょうか。

No.90090 - 2025/04/03(Thu) 12:33:16

☆ Re: 質問です。 / ヨッシー

引用

>(2)　曲線Ｃをy軸のまわりに１回転してできる回転体の体積Ｖを求めよ。
まだ、計算していませんが、
(2) は、「ｙ軸」で合ってますか？

No.90092 - 2025/04/03(Thu) 16:06:15

☆ Re: 質問です。 / WIZ

引用

私の方の計算でも質問者さんと同じ結果となりましたので、
おそらく問題文か解答に誤りがあるものと思います。
例えば質問者さんの問題文の写し間違いで「0 ≦ t ≦ 1」とか?

(1)の解答はy ≦ 0の部分も含めたグラフになっているのですか?

No.90093 - 2025/04/03(Thu) 16:22:27

☆ Re: 質問です。 / てふら

引用

お返事ありがとうございます。

神戸大学の入試問題の改題のようです。
もともとは，媒介変数t (0≦t≦1) を用いて
x=1-t^2，y=t-t^3 と定めており，(2)は曲線Ｃとx軸で囲まれた部分をy軸のまわりに１回転してできる回転体の体積Ｖを求めよ。
だそうです。その答えは，32π/105 だと思うので合っているんですが...

念のため，質問内容の問題と解説を貼らせてもらいます。

No.90094 - 2025/04/03(Thu) 17:14:47

☆ Re: 質問です。 / てふら

引用

画像がうまく貼れなかったです。

問題文は
『座標平面上に曲線Ｃを媒介変数t (-1≦t≦1) を用いて
x=1-t^2，y=t-t^3 と定める。以下の問いに答えよ。
(1)　曲線Ｃの概形を描け。
(2)　曲線Ｃをy軸のまわりに１回転してできる回転体の体積Ｖを求めよ。
』
で間違いないです。

No.90095 - 2025/04/03(Thu) 17:17:29

★ Σの公式の使い方について / るる

引用

高校2年生の数学Bの問題で和を求める問題です。
解説を読んだのですが分からなかったので質問させていただきます。
よろしくお願いします。

No.90089 - 2025/04/03(Thu) 11:25:43

☆ Re: Σの公式の使い方について / ヨッシー

引用

公式は覚えるものではなく作るもの、という観点に立って作ってみます。

　Ｓ＝Σ[k=1～n]ｒ^(k-1)＝１＋ｒ＋ｒ^2＋・・・＋ｒ^(n-1)
とおくと、
　ｒＳ＝ｒ＋ｒ^2＋ｒ^3＋・・・＋ｒ^n
上式から下式を引くと
　Ｓ－ｒＳ＝１－ｒ^n
　Ｓ＝(１－ｒ^n)/(１－ｒ)　　・・・(1)

　Ｓ＝Σ[k=1～n]ｒ^k＝ｒ＋ｒ^2＋ｒ^3＋・・・＋ｒ^n
とおくと、
　ｒＳ＝ｒ^2＋ｒ^3＋・・・＋ｒ^(n+1)
上式から下式を引くと
　Ｓ－ｒＳ＝ｒ－ｒ^(n+1)
　Ｓ＝{ｒ－ｒ^(n+1)}/(１－ｒ)　・・・(2)

このように、それぞれ別の公式になることは理解いただいたうえで、
後者を(1) の公式を使って導けないかを考えます。
　Ｓ＝Σ[k=1～n]ｒ^k＝Σ[k=1～n+1]ｒ^(k-1)－ｒ^0
と書けるので、(1) の公式を使って、
　Ｓ＝{１－ｒ^(n+1)}/(１－ｒ)－１
　　＝{１－ｒ^(n+1)}/(１－ｒ)－(１－ｒ)/(１－ｒ)
　　＝{ｒ－ｒ^(n+1)}/(１－ｒ)
と (2) と同じ結果になります。
これを代入して解いたと言えるのかは謎です。

(2) の公式に、
　ｒに 1/3、ｎにｎ－１を代入すると、
　Ｓ＝{1/3－(1/3)^n)}/(１－1/3)
　　＝(1/3){1－(1/3)^(n-1))}/(１－1/3)
となります。

一般の等比数列（初項ａ、公比ｒ）の和　ａ＋ａｒ＋・・・ａｒ^(n-1)
の公式は
　ａ[１－ｒ^(n-1)}/(１－ｒ)
ですので、これに代入したとも言えます。

No.90091 - 2025/04/03(Thu) 15:57:03

☆ Re: Σの公式の使い方について / るる

引用

ありがとうございます🙇‍♀️

No.90100 - 2025/04/04(Fri) 10:41:18

★ 定積分で表された関数が分かりません / YUKI

引用

数学の参考書に添付させていただいた画像の数式が載っていたのですが

詳しい説明や証明などがなく、なぜこのような等式になるのかが分かりません
ㅤ
分かる方おられましたらご教授いただければ幸いです、何卒よろしくお願い申し上げます。

No.90086 - 2025/04/02(Wed) 12:01:28

☆ Re: 定積分で表された関数が分かりません / ヨッシー

引用

左辺の ’（ダッシュ）は、ｘによる微分とします。

f(x) の原始関数を F(x) とします。つまり　F'(x)＝f(x) です。

（左辺）＝{F(h(x))－F(g(x))}’
　　　＝F'(h(x))×h'(x)－F'(g(x))×g'(x)
　　　＝f(h(x))×h'(x)－f(g(x))×g'(x)
となります。

No.90087 - 2025/04/02(Wed) 13:23:12

☆ Re: 定積分で表された関数が分かりません / YUKI

引用

ありがとうございます！！

No.90088 - 2025/04/02(Wed) 14:12:21

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