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ヨッシーの八方掲示板(小中高の算数・数学 質問掲示板)

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年(質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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積分 / ゆかり
関数f(x)=2sinx+(√6)sin2xを定める。

曲線y=f(x)(0≦x≦π)とx軸で囲まれた二つの部分の面積の和を求めなさい。

0<x<πにおいてf(x)=0となるxをαとおきます。cosα=-1/6です。

S=∫[0,α]f(x)dx+∫[α,π]{-f(x)}dx

∫f(x)dx=-2cosx-(√6)cos2x/2

以上から、S=7(√6)/3と求めましたが、解答は9(√6)/4になるそうです。

正しい計算方法を教えてください。

No.87411 - 2024/02/12(Mon) 17:43:31

Re: 積分 / IT
cosα=-1/√6では?
No.87412 - 2024/02/12(Mon) 18:39:07

Re: 積分 / ゆかり
失礼致しました。cosα=-1/√6です。私もこの下で計算しました。
No.87415 - 2024/02/12(Mon) 21:04:44

Re: 積分 / X
方針に問題はありません。
私もゆかりさんと同じ結果になりました。

念のため、WolframAlphaにも件の積分
>>S=∫[0,α]f(x)dx+∫[α,π]{-f(x)}dx
の計算をさせてみました

https://www.wolframalpha.com/input?i=%E2%88%AB%5B0%2Carccos%28-1%2F%E2%88%9A6%29%5D%282sinx%2B%E2%88%9A6sin2x%29dx-%E2%88%AB%5Barccos%28-1%2F%E2%88%9A6%29%2C%CF%80%5D%282sinx%2B%E2%88%9A6sin2x%29dx&lang=ja

が、やはりゆかりさんの結果と同じです。
問題文か解答に誤植があるのでは?

No.87418 - 2024/02/13(Tue) 01:51:00

Re: 積分 / ゆかり
先生に確認しましたら、合っていました。
他の問題の解答と間違えていたとのことでした。

No.87419 - 2024/02/13(Tue) 12:52:03
微分と極限 / ゆかり
関数f(x)=logx/√x(x>0)に対して、曲線Cy=f(x)とする。

C上の点(t,f(t))における接線lを考える。t>e^2のとき、lがx軸、y軸と交わる点をそれぞれP、Qとする。原点をOとして、三角形OPQの面積をS(t)とする。

極限値lim[t→∞]S(t)/{(√t)logt}を求めよ。

S(t)={(√t)(3logt-2)^2}/4(logt-2)と求めました。なので答えは9/4になると思ったのですが、答えは27/8になるそうです。

私のS(t)は間違えているということだと思いますが、何度計算しても同じ答えになってしまいます。S(t)の求め方を教えてください。

No.87409 - 2024/02/12(Mon) 17:26:48

Re: 微分と極限 / IT
>S(t)={(√t)(3logt-2)^2}/4(logt-2)と求めました。
私も同じ結果になりましたが、計算に自信がありません。
途中式を書かれると間違いをみつけてもらえて有効と思います。

No.87413 - 2024/02/12(Mon) 18:41:50

Re: 微分と極限 / WIZ
私も質問者さんと同じ結果になったので、
おそらく問題文・式か解答に書き間違いがあるのではないかと思います。

No.87416 - 2024/02/12(Mon) 21:08:48

Re: 微分と極限 / ゆかり
皆様ありがとうございました。明日先生にもう一度確認します。
No.87417 - 2024/02/13(Tue) 00:24:31

Re: 微分と極限 / ゆかり
先生に確認しましたら、合っていました。
他の問題の解答と間違えていたとのことでした。

No.87420 - 2024/02/13(Tue) 12:52:43
関数 / 磁石
⑶について教えてください。
答えは、y=-5xになります。
おねがいします。

No.87404 - 2024/02/11(Sun) 19:32:00

Re: 関数 / WIZ
線分ABの中点をMとすると、Mの座標は
((-6+3)/2, (12+3)/2) = (-3/2, 15/2)
|AM| = |BM|であり、AMとBMを底辺とする三角形の高さは線分ABと点Oの距離だから等しい。
つまり△AMOと△BMOの面積は等しく、△ABOの半分である。

点Mと点Oを通る直線は
(y-0)/(15/2-0) = (x-0)/(-3/2-0)
⇒ y = (15/2)(-2/3)x = -5x

# ちなみに直線ABの傾きは-1で、直線OBの傾きは1。
# よって、直線ABと直線OBは直交していて、∠ABOは直角。
# 従って、線分ABと点Oの距離は|OB|と等しい。

No.87405 - 2024/02/11(Sun) 22:50:32

Re: 関数 / WIZ
No.87405の解説だと、直感的に線分ABの中点を通る直線だろうと予測し、
それが題意を満たすという十分条件を示しただけだった。
もっと演繹的に題意を満たす直線を求めるというか、
必要条件を示して他に解が無いことを補足しようと思う。

△AOBの面積は
|AB|*|BO|/2 = {√((-6-3)^2+(12-3)^2)}*{√(3^2+3^2)}/2 = (9√2)(3√2)/2 = 27

原点Oを通り△AOBの面積を2等分する直線をLとすると、
Lはaを実数としてy = ax、またはx = 0(y軸と一致する直線)となる。
直線Lは△AOBの中を通り、線分ABと交点を持たなければならないので、
この交点をPとする。

直線ABは
(y-12)/(3-12) = (x-(-6))/(3-(-6)
⇒ y-12 = -9(x+6)/9
⇒ y = -x+6

Lがx = 0であると仮定すると、P(0, 6)となる。
△BOPの面積は|BO|*|BP|/2 = (3√2)(3√2)/2 = 9 ≠ 27/2となり、題意を満たさない。

Lがy = axであると仮定すると、P(x, ax) = P(x, -x+6)となる。
つまり、(a+1)x = 6・・・(ア)

△BOPの面積は
|BO|*|BP|/2 = (3√2){√((x-3)^2+(ax-3)^2)}/2 = (3/√2){√((1+a^2)x^2-6(1+a)x+18)}

△AOPの面積は
|BO|*|AP|/2 = (3√2){√((x-(-6))^2+(ax-12)^2)}/2 = (3/√2){√((1+a^2)x^2+12(1-2a)x+180)}

# ∵∠ABOは直角であることは既知とする。

△BOPと△AOPの面積が等しい為には
(3/√2){√((1+a^2)x^2-6(1+a)x+18)} = (3/√2){√((1+a^2)x^2+12(1-2a)x+180)}
⇒ (1+a^2)x^2-6(1+a)x+18 = (1+a^2)x^2+12(1-2a)x+180
⇒ (18a-18)x = 162
⇒ (a-1)x = 9・・・(イ)

(ア)-(イ)より
{(a+1)x}-{(a-1)x} = 6-9
⇒ 2x = -3
⇒ x = -3/2・・・(ウ)
⇒ P(-3/2, 3/2+6) = P(-3/2, 15/2)
# 上記はNo.87405の点Mに一致する。

(ア)(ウ)より
(a+1)(-3/2) = 6
⇒ -3a-3 = 12
⇒ a = (12+3)/(-3) = -5
# 上記はy = -5xと一致する。

No.87408 - 2024/02/12(Mon) 13:49:56

Re: 関数 / IT
WIZ さん
 三角形の面積の公式から AP=BP が必要十分条件である。としてよいのでは?

No.87410 - 2024/02/12(Mon) 17:30:55

Re: 関数 / 磁石
回答してくださった皆様、わかりやすい解説
ありがとうございました。
おかげでわかりました。
またよろしくお願いします。

No.87414 - 2024/02/12(Mon) 20:02:34
期待値 / Nishino (中学2年生)
こんにちは

山形大学過去問

何卒宜しくお願い致します。

以下問題

-----------------------------------

No.87401 - 2024/02/11(Sun) 13:21:30

Re: 期待値 / X
条件から、X=kとなる確率をP[X=k]とすると
P[X=k]=(n-k)/(nC2)=2(n-k)/{n(n-1)}
∴求める期待値をE[X]とすると
E[X]=Σ[k=1〜n]kP[X=k]
=Σ[k=1〜n]2k(n-k)/{n(n-1)}
={2/{n(n-1)}}{(1/2)(n+1)n^2-(1/6)n(n+1)(2n+1)}
={1/(n-1)}{(n+1)n-(1/3)(n+1)(2n+1)}
={(n+1)/{3(n-1)}}{3n-(2n+1)}
=(n+1)/3

No.87403 - 2024/02/11(Sun) 17:47:23

Re: 期待値 / Nishino (中学2年生)
X先生
こんにちは

返信が遅くなり申し訳ございません。

ご丁寧な回答ありがとうございます。

以下は私の考え方です

アドバイスいただけると幸いです

No.87421 - 2024/02/13(Tue) 13:06:23

Re: 期待値 / Nishino (中学2年生)
追伸

n=kの時、期待値を(k+1)/3と仮定する。
n=k+1の時、期待値は
{(k+1)/3 ×ₖC₂+Σ[i=1,2,...,k] i}/ₖ₊₁C₂
={k(k-1)/2 ×(k+1)/3 +k(k+1)/2}/{k(k+1)/2}
=(k+2)/3

従って帰納法により求める期待値は(n+1)/3

No.87422 - 2024/02/13(Tue) 13:45:41

Re: 期待値 / Nishino (中学2年生)
上は解説ですが

>{(k+1)/3 ×ₖC₂+Σ[i=1,2,...,k] i}/ₖ₊₁C₂

と表せる理由が分かりません

何方か詳しく教えて下さい

何卒宜しくお願い致します。

No.87424 - 2024/02/13(Tue) 17:21:52

Re: 期待値 / Nishino (中学2年生)
おはようございます!

私なりに解読してみました

以下私の考え方です

--------------------------

No.87431 - 2024/02/14(Wed) 06:53:06

Re: 期待値 / ヨッシー
> >{(k+1)/3 ×ₖC₂+Σ[i=1,2,...,k] i}/ₖ₊₁C₂
> と表せる理由が分かりません

k+1個の球を2個取るとき、
 k+1 の球を取らない kC2 通りと、
 k+1 の球を取る k 通りに分かれます。
前者は、X=(k+1)/3 である試行を kC2 回やるのと同じです。
後者は、k+1 ではない方が X となります。
これらを全部足して、(k+1)C2 で割っています。

No.87436 - 2024/02/14(Wed) 19:42:05

Re: 期待値 / Nishino (中学2年生)
ヨッシー 先生

今晩は

なるほどーです

ありがとうございました。

かしこ

No.87439 - 2024/02/15(Thu) 17:50:44
期待値 / Nishino (中学2年生)
東京工芸大学 期待値

何卒宜しくお願い致します。

以下問題

No.87397 - 2024/02/10(Sat) 07:52:48

Re: 期待値 / らすかる
前の問題で出た目の大きくない方の期待値が91/36であり、
平均値7/2との差は7/2-91/36=35/36
よって差の期待値は35/36×2=35/18

No.87398 - 2024/02/10(Sat) 11:20:51

Re: 期待値 / Nishino (中学2年生)
らすかる先生

おはようございます

なるほどです

私の考え方です

アドバイスいただけると幸いです

------------------------------------

No.87400 - 2024/02/11(Sun) 10:30:15

Re: 期待値 / らすかる
突然今までとは解答の方針が全く変わったのは、何か理由があるのでしょうか。
No.87406 - 2024/02/11(Sun) 23:31:26

Re: 期待値 / Nishino (中学2年生)
らすかる先生

こんにちは

>突然今までとは解答の方針が全く変わったのは、何か理由があるのでしょうか。

特に理由はありません

この問題を単問で考えるとき、この解き方が浮かびました

要は差の確率をだすことだと感じましたので

かしこ

No.87407 - 2024/02/12(Mon) 10:55:31
天理大学過去問 期待値 / Nishino (中学2年生)
天理大学過去問 期待値

何卒宜しくお願い致します。

以下問題

-----------------------------

No.87393 - 2024/02/09(Fri) 14:01:02

Re: 天理大学過去問 期待値 / ヨッシー
2つのさいころの目と大きくない方の数の関係は図の通りです。
求める期待値は
 (1×11+2×9+3×7+4×5+5×3+6×1)/36=91/36

No.87394 - 2024/02/09(Fri) 14:31:24

Re: 天理大学過去問 期待値 / Nishino (中学2年生)
ヨッシー 先生

こんばんは!

いつもありがとうございます。

凄い考え方ですね、記憶にとどめておきます

以下は私の考え方です

何かアドバイスいただけると幸いです

No.87396 - 2024/02/09(Fri) 21:43:40
ヨッシー 先生へ / Nishino (中学2年生)
おはようございます

以下に私の答案をupしました

返信が遅くなり申し訳ございません



No.87390 - 2024/02/09(Fri) 03:12:57

No.87391 - 2024/02/09(Fri) 03:23:43
カテナリー曲線 / ラジアン(高3)
今日の入学試験の問題なのですが、どうしても分からなくて、解答速報にも解説が載っていなかった為、分量多くて申し訳ないのですが、解けるところまでお願いしたいです。よろしくお願いいたしますm(_ _)m
No.87388 - 2024/02/08(Thu) 22:52:26

Re: カテナリー曲線 / ast
# 全部を詳らかに書くつもりはないが (発想を求められるであろう部分だけ):

(1) L(a)=∫_[0,a] √(1+f'(x)^2)dx
   =∫_[0,a]√(1+g(x)^2)dx = ∫_[0,a]√(f(x)^2)dx = ∫_[0,a]f(x)dx = ∫_[0,a]g'(x)dx
   =g(a)−g(0)=g(a).

(2) f(a)^2−g(a)^2=1, g(a)(=L(a))=1 から f(a)(>0) が, また f(a)+g(a) から (あるいは (L(a)=)g(a)=1 ⇔ (e^a)^2−2(e^a)−1=0 を e^a について解いて) e^a を得れば a (や f(a)) が, 自ずと出るはず.

(3) x_k (k=0,…,n) が C_a を n 等分する ⇔ (g(x_k)=)L(x_k)=kL(a)/n=k/n (k=0,…,n).
  ∴ f(x_k)=√(1+g(x_k)^2)=√(1+(k/n)^2).
 これを代入して区分求積.

(4) I:= ∫_[0,1] √(1+t^2)dt
  = ∫_[0,a] f(u)g'(u)du = [f(u)g(u)]_[0,a] − ∫_[0,a] f'(u)g(u)du
  = (f(a)g(a)−f(0)g(0)) − ∫_[0,a](f(u)^2 − 1)du = f(a)g(a) − (I − a).
 ∴ I=(f(a)g(a)+a)/2 (もちろん a および f(a) の値は (2) で既知)
  =(f(a)+a)/2. (∵g(a)=1)
----
f(x) および g(x)はそれぞれ, 双曲線余弦函数 cosh(x) および双曲線正弦函数 sinh(x) といって, (円に対する)三角函数の双曲線の場合に対する対応物なので, 「本問の三角函数版がどんな問題であるべきか」とか「本問の三角函数版があったらどんな解き方をするか」あたりを考えると, もしかしたら腑に落ちる部分もあるやも.

No.87389 - 2024/02/09(Fri) 01:43:50

Re: カテナリー曲線 / ラジアン(高3)
ありがとうございます!!!
めっちゃ分かりやすいです!!凄く助かりました!

No.87395 - 2024/02/09(Fri) 16:16:26
単元テストの問題 / 三国協商
以下の通りにコンピュータでプログラムを作りました。
スタートの点から、長さaだけ進み、反時計回りにx°回転する。またaだけ進んでx°回転する。これを繰り返し、正多角形になったら止まる。
xは5から180まで、5ずつ変えていき、aは画面からはみ出ないように決める。いつまでも正多角形にならないときは途中で止まる。
nを自然数として、正n角形にならない最大のnを求めなさい。
という問題なのですが、解き方を教えてください。

No.87386 - 2024/02/07(Wed) 17:05:07

Re: 単元テストの問題 / ヨッシー
>nを自然数として、正n角形にならない最大のnを求めなさい。
5°きざみだと、最大でも
 360÷5=72
正72角形までしか出来ないので、nはいくらでも大きく出来ます。

No.87387 - 2024/02/07(Wed) 17:26:58
Σの計算 / Nishino (中学2年生)
Σの計算 かなりややこしい お手上げ状態

地味に計算していけば計算できるのでしょうが
スマートな計算方法はありませんか?

何卒よろしくお願い申し上げます。

以下問題
-------------------------------------------------------

No.87377 - 2024/02/06(Tue) 14:08:32

Re: Σの計算 / IT
4項ですから単に計算するのが速いと思います。
No.87380 - 2024/02/06(Tue) 19:06:35

Re: Σの計算 / Nishino (中学2年生)
IT先生

ご返信ありがとうございます。

一般に。この問題でKの範囲が,Σ[k=0→n]

ならどうなりますか?

教えてください。

何卒よろしくお願い申し上げます。

No.87381 - 2024/02/06(Tue) 21:54:06

Re: Σの計算 / らすかる
Σ[k=0〜n](k+4)・(k+3)C3・(2/3)^k
=Σ[k=0〜n](k+4)・(k+3)(k+2)(k+1)/3!・(2/3)^k
=(1/6)Σ[k=0〜n](k+4)(k+3)(k+2)(k+1)・(2/3)^k … (1)
S1=Σ[k=0〜n](k+4)(k+3)(k+2)(k+1)・(2/3)^k とおくと
(1/3)S1=S1-(2/3)S1
=Σ[k=0〜n](k+4)(k+3)(k+2)(k+1)・(2/3)^k
-Σ[k=0〜n](k+4)(k+3)(k+2)(k+1)・(2/3)^(k+1)
=Σ[k=0〜n](k+4)(k+3)(k+2)(k+1)・(2/3)^k
-Σ[k=1〜n+1](k+3)(k+2)(k+1)k・(2/3)^k
=24+4Σ[k=1〜n](k+3)(k+2)(k+1)・(2/3)^k
-(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)・(2/3)^(n+1) … (2)
S2=Σ[k=1〜n](k+3)(k+2)(k+1)・(2/3)^k とおくと
(1/3)S2=S2-(2/3)S2
=Σ[k=1〜n](k+3)(k+2)(k+1)・(2/3)^k
-Σ[k=1〜n](k+3)(k+2)(k+1)・(2/3)^(k+1)
=Σ[k=1〜n](k+3)(k+2)(k+1)・(2/3)^k
-Σ[k=2〜n+1](k+2)(k+1)k・(2/3)^k
=16+3Σ[k=2〜n](k+2)(k+1)・(2/3)^k
-(n+3)(n+2)(n+1)・(2/3)^(n+1) … (3)
S3=Σ[k=2〜n](k+2)(k+1)・(2/3)^k とおくと
(1/3)S3=S3-(2/3)S3
=Σ[k=2〜n](k+2)(k+1)・(2/3)^k
-Σ[k=2〜n](k+2)(k+1)・(2/3)^(k+1)
=Σ[k=2〜n](k+2)(k+1)・(2/3)^k
-Σ[k=3〜n+1](k+1)k・(2/3)^k
=16/3+2Σ[k=3〜n](k+1)・(2/3)^k
-(n+2)(n+1)・(2/3)^(n+1) … (4)
S4=Σ[k=3〜n](k+1)・(2/3)^k とおくと
(1/3)S4=S4-(2/3)S4
=Σ[k=3〜n](k+1)・(2/3)^k
-Σ[k=3〜n](k+1)・(2/3)^(k+1)
=Σ[k=3〜n](k+1)・(2/3)^k
-Σ[k=4〜n+1]k・(2/3)^k
=32/27+Σ[k=4〜n](2/3)^k
-(n+1)・(2/3)^(n+1)
=32/27+{3(1-(2/3)^(n+1))-65/27}
-(n+1)・(2/3)^(n+1)
=16/9-(n+4)・(2/3)^(n+1)
∴S4=16/3-3(n+4)・(2/3)^(n+1)
(4)に代入して
(1/3)S3=16/3+2{16/3-3(n+4)・(2/3)^(n+1)}-(n+2)(n+1)・(2/3)^(n+1)
=16-(n^2+9n+26)・(2/3)^(n+1)
∴S3=48-3(n^2+9n+26)・(2/3)^(n+1)
(3)に代入して
(1/3)S2=16+3{48-3(n^2+9n+26)・(2/3)^(n+1)}-(n+3)(n+2)(n+1)・(2/3)^(n+1)
=160-(n^3+15n^2+92n+240)・(2/3)^(n+1)
∴S2=480-3(n^3+15n^2+92n+240)・(2/3)^(n+1)
(2)に代入して
(1/3)S1=24+4{480-3(n^3+15n^2+92n+240)・(2/3)^(n+1)}-(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)・(2/3)^(n+1)
=1944-(n^4+22n^3+215n^2+1154n+2904)・(2/3)^(n+1)
∴S1=5832-3(n^4+22n^3+215n^2+1154n+2904)・(2/3)^(n+1)
従って
(与式)=(1/6){5832-3(n^4+22n^3+215n^2+1154n+2904)・(2/3)^(n+1)}
=972-(1/2)(n^4+22n^3+215n^2+1154n+2904)・(2/3)^(n+1)
=972-(1/3)(n^4+22n^3+215n^2+1154n+2904)・(2/3)^n

No.87382 - 2024/02/06(Tue) 22:41:03

Re: Σの計算 / Nishino (中学2年生)
ラスカル先生

今晩は

ご回答ありがとうございます。

質問ですが

(k+4)ₖ₊₃C₃ (⅔)ᵏ
=(k+4)•(k+3)(k+2)(k+1)/3! •pᵏ
=⅙•(pᵏ⁺⁴)’’’’ 4階微分)


よって
Σₖ₌₀ⁿ (k+4)•ₖ₊₃C₃ pᵏ
=⅙Σₖ₌₀ⁿ (pᵏ⁺⁴)’’’’
=⅙(Σₖ₌₀ⁿ pᵏ⁺⁴)’’’’
=⅙ { p⁴(1-pⁿ⁺¹)/(1-p) }’’’’

この結果から、実際に、n=4 を計算するとなると

4階微分するのはとても大変になってしまいます

何かアドバイスいただけると幸いです

No.87383 - 2024/02/07(Wed) 00:05:52

Re: Σの計算 / らすかる
大変だと思ったらその方法は諦めて別の方法にすればよいと思いますが、
その式の4階微分ぐらいなら何時間もかかる計算ではありませんので、
やる気を出せば計算できると思います。
実際にやってみました。
まず直接やるのはちょっと大変なので最初に{p^k/(1-p)}''''を計算します。
すると
{p^k/(1-p)}'
=p^(k-1){k-(k-1)p}/(1-p)^2
{p^k/(1-p)}''
=p^(k-2){k(k-1)-2k(k-2)p+(k-2)(k-1)p^2}/(1-p)^3
{p^k/(1-p)}'''
=p^(k-3){k(k-1)(k-2)-3k(k-1)(k-3)p+3k(k-2)(k-3)p^2-(k-1)(k-2)(k-3)p^3}/(1-p)^4
{p^k/(1-p)}''''
=p^(k-4){k(k-1)(k-2)(k-3)-4k(k-1)(k-2)(k-4)p+6k(k-1)(k-3)(k-4)p^2
-4k(k-2)(k-3)(k-4)p^3+(k-1)(k-2)(k-3)(k-4)p^4}/(1-p)^5
のように求まります。
そして求めたいものは
(1/6){(p^4-p^(n+5))/(1-p)}''''
なので、上の式のkに4を代入したものからn+5を代入したものを引いて6で割ればよく、
(1/6){(p^4-p^(n+5))/(1-p)}''''
={(1/6)p^4/(1-p)}''''-{(1/6)p^(n+5))/(1-p)}''''
=4/(1-p)^5
-(1/6)p^(n+1){(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)-4(n+5)(n+4)(n+3)(n+1)p
+6(n+5)(n+4)(n+2)(n+1)p^2-4(n+5)(n+3)(n+2)(n+1)p^3
+(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)p^4}/(1-p)^5
そしてこれにp=2/3を代入して整理すれば、私が上に書いた式が得られます。
n=4だけ計算したいのであれば、ITさんが書かれているように素直に計算するのが最も早いと思います。

No.87384 - 2024/02/07(Wed) 01:49:01

Re: Σの計算 / Nishino (中学2年生)
らすかる先生

ご丁寧なご解説ありがとうございました。

No.87392 - 2024/02/09(Fri) 03:28:13
トイレットペーパー / えっとう
トイレットペーパーの芯(半径r)にトイレットペーパー(厚み0.05mm) をxメートル巻きつけるとき、何周と何cm巻けば全て巻きつけられるか。
実際は、巻き始めに少し空間ができるのですがそれを考えるときと、考えない(100%密着しているとき)で2つ解答と考え方を教えてください。

No.87373 - 2024/02/05(Mon) 17:52:50

Re: トイレットペーパー / ヨッシー
「巻き始めに空間ができる」の対義語が「100%密着している」のようですが、
空間がどのように出来るのか、ちょっと想像できません。

100%密着している場合で、1周目から2周めに行く時の段差は無視する(つまり、バウムクーヘンのように巻く)とし、単純に断面積だけで考えます。
芯の半径(外径)をr(mm)、巻き終わったときの外径をs(mm)
とすると、
 1000x・0.05=π(s^2−r^2)
この時得られたsに対して、
 s=0.05t+u (tは自然数、0≦u<0.05)
とすると、t周巻いたときに、
 π((0.05t)^2−r^2)/50 (m)
消費しているので、
 x−π((0.05t)^2−r^2)/50 (m)
だけ1周未満の余りが出ます。
これに100をかければ、cm になります。

巻き始めだけにある空間ができるのなら、rを大きめにして始めればいいし、
一律に空間が出来るのなら、厚み 0.05 mm を増やせばいいし、
いずれにしても、どうモデル化するかですね。
 

No.87374 - 2024/02/05(Mon) 18:15:44

Re: トイレットペーパー / えっとう
このやり方はどうですか?(下写真)ここからが難しい😓
No.87375 - 2024/02/05(Mon) 21:14:46

Re: トイレットペーパー / ヨッシー
l(エル) は、2πrで固定されているので、不足が出るとすると、m側の方です。

あと、巻き数がtならば、mは、
 2π{r+0.005(t-1)}
なので、tの見当がつくでしょう。

No.87385 - 2024/02/07(Wed) 12:07:45
ユークリッドの互除法について / たぬき
お世話になっております。
2数a,bの最大公約数をg(a,b)とするとき、

g(a,b)=(a-c,b-c)

とは成り立つのもでしょうか?

自分としては成り立たないとおもうのですが。よろしくお願いします

No.87371 - 2024/02/05(Mon) 09:40:38

Re: ユークリッドの互除法について / ヨッシー
>g(a,b)=(a-c,b-c)
は、g(a,b)=g(a-c,b-c) のことだとして...

ごく簡単な事例で調べてみればいいでしょう
 g(5,3)=g(5-1,3-1)
かどうか等。

No.87372 - 2024/02/05(Mon) 10:00:52
場合の数 / N
白のカード3枚と赤のカード3枚があり、各カードには1,2,3の数字がそれぞれ一つずつ書かれている。これら6枚の数字が書かれたカードを右図のAからFの位置にそれぞれ1枚ずつ無作為に並べる

A B C
D E F

(2)A B Cの位置に順に数字1,数字2,数字3のカードが並び、さらにカードが上下に並ばない確率はいくつか     ア/イウ

何卒よろしくお願い申し上げます。

No.87366 - 2024/02/04(Sun) 19:35:13

Re: 場合の数 / IT
BとCが離れているようですが?まちがいですか?

「カードが上下に並ばない」とはどういうことですか?

No.87367 - 2024/02/04(Sun) 19:48:30

Re: 場合の数 / N
> BとCが離れているようですが?まちがいですか?
>
> 「カードが上下に並ばない」とはどういうことですか?


この画像の上段下段AD,BE,CFに同じ数字が隣あわないということだと思います。

No.87368 - 2024/02/04(Sun) 20:20:59

Re: 場合の数 / IT
上段の3枚のカードの選び方は2×2×2通り
それぞれについて、上下で異なるような下段の数字の並びは、231,312の2通り。

条件なしのカードの並べ方は何通りか分かりますか?

これらが分かれば、求める確率は簡単に計算できますね。

No.87369 - 2024/02/04(Sun) 21:16:03
二等辺三角形の問題 / 三国協商
この解説の続きなんですが、「二等辺三角形の頂角の2等分線は底辺を垂直に二等分するからEC⊥IF」というところがよくわからないので教えてください。
No.87355 - 2024/02/04(Sun) 10:10:10

Re: 二等辺三角形の問題 / IT
・「図1」 は、どんな図ですか?(各点はどんな条件を満たしますか)
・「右の図2」は、下の図のことですか?
・「二等辺三角形の頂角の2等分線は底辺を垂直に二等分するからEC⊥IF」
のどこまで分かって、どこから分かりませんか?

No.87356 - 2024/02/04(Sun) 10:55:49

Re: 二等辺三角形の問題 / 三国協商
友だちに見せてもらった問題なのですが、元は以下の写真でした。わかりにくくてすみません。
「二等辺三角形の頂角の2等分線は底辺を垂直に二等分するからEC⊥IF」なんですが、
二等辺三角形の頂角の2等分線は底辺を垂直に二等分するのは性質としてわかるけど、HFが頂角の2等分線であるということがわからないです。

No.87358 - 2024/02/04(Sun) 12:50:49

Re: 二等辺三角形の問題 / IT
概要だけ

∠BEC =90°, ∠ABC =60°なので BC=2BE
また,BF=BE なので 
FC=BF

△EBFは正三角形で FE=BF よって、FE=FC
またEI=IC、辺FIは共通なので
△EFI≡△CFI
よって∠EFI=∠CFI

タイポがあるかもしれません。図で確認してください。

No.87365 - 2024/02/04(Sun) 16:33:23
(No Subject) / 田中
半径 r の球面上に 4 点 A,B,C,D がある.四面体 ABCD の各辺の長さは
AB= 3 ,AC=AD=BC=BD=CD=2
を満たしている.このとき r の値を求めよ.

上記の問題で解答に
半径 r の球の中心を O とし,CD の中点を M とおくと,△ABM は 1 辺が  3 の正三角形
となる.さらに AB の中点を N とすると対称性より O は MN 上に存在する

とあるのですが、対称性から納得した形で理解できていません。たしかに△ABMは正三角形だし、OB=OC=OD=rだし、一番かかわっている三角形二つがともに二等辺三角形の△ACDと△BCDなので点Mから下した垂直二等分線がOを通るというのも対称性からといわれればそうなのかもという気はするのですがウームというかんじです。点AからBMに下した垂線の足はOを通らないんですよね・・・点Aから降ろした垂線の足がOを通らず点Mから下した垂線の足はOを通る。それは図形の対象性から・・・というかんじでいまいち理解できていません。自分でも思考を言語化しきれずにひどい文章になっているとは思うのですがこの問題で対称性とは具体的にどのように考えればいいのでしょうか?また対称性について考えるときに何かコツのようなものはないでしょうか?回答お待ちしています

No.87351 - 2024/02/04(Sun) 00:26:02

Re: / IT
 3  は、ルート3ですね。(私のPCでは文字化けしてます)

図を描くことと、箇条書き(少なくとも適当に改行する)にして質問された方が、お互い分かり易いと思います。

たしかに「対称性より・・」とだけ言われても、納得しづらいですね。 (出題の意図によっては減点されるかも)

No.87352 - 2024/02/04(Sun) 08:50:35

Re: / IT
大きな流れとして(各理由は省略してます)

1:2点C,D から等距離にある点は、平面ABM上にある。

2:そのうち2点A,Bから等距離にある点は直線MN上にある。

3:球の中心Oは、4点A,B,C,Dから等距離にあるので直線MN上にある。

でどうでしょうか?

No.87354 - 2024/02/04(Sun) 09:19:36

Re: / 田中
2、3は理解できます。MNはABの垂直二等分線なのでMN上の点はA、Bから等距離という理由ですよね?

ただ1:2点C,D から等距離にある点は、平面ABM上にある。の具体的理由が文章化できないです。A、Bから等距離の点はMN上にある。MNはCDの垂直二等分線でもあるからその点はC、Dからも等距離。よってその点は球の中心Oである。ではダメなのですよね?

No.87357 - 2024/02/04(Sun) 11:21:08

Re: / IT
> ただ1:2点C,D から等距離にある点は、平面ABM上にある。の具体的理由が文章化できないです。

空間図形で、与えられた異なる2点から等距離にある点の集合は、どんなものか分かりますか?

> A、Bから等距離の点はMN上にある。
間違いです。

No.87359 - 2024/02/04(Sun) 14:29:01

Re: / 田中
空間図形で、与えられた異なる2点から等距離にある点の集合はその2点を仮にA、Bとすると線分ABを垂直にに等分する平面ですよね。理解できました。

間違えましたMNではなく直線MNですね。これだとあってますよね

理解できたと思います。回答ありがとうございました。

No.87360 - 2024/02/04(Sun) 14:45:47

Re: / IT

>
> 間違えましたMNではなく直線MNですね。これだとあってますよね
>

間違いです。
空間内では2点から等距離の点の集合は一平面であることを確認しました。

No.87361 - 2024/02/04(Sun) 14:58:10

Re: / 田中
A、Bから等距離の点OはMNを含む平面上(ABを垂直にに等分する平面)に存在(仮に平面αとする)。ここで1より2点C,D から等距離にある点Oは、平面ABM上にある。よって平面ABMと平面αが交わる直線である直線MN上に点Oが存在する。
こういう感じでしょうか?

No.87362 - 2024/02/04(Sun) 15:13:15

Re: / IT
理解しておられるようですが
> ただ1:2点C,D から等距離にある点は、平面ABM上にある。の具体的理由が文章化できないです。

は、
「異なる3点A,B,M は、いずれも2点C,D から等距離にある。
したがって平面ABMは2点C,D から等距離にある点の集合である。」
とすると分かり易いかも知れません。

No.87363 - 2024/02/04(Sun) 15:33:02

Re: / 田中
理解できました。繰り返しの質問への回答ありがとうございました。
No.87364 - 2024/02/04(Sun) 15:39:57
高2 対数関数 / 山田山
?Aでx-3>0を満たすとき必ず2x-a>0を満たすとはどう言う事でしょうか?
No.87346 - 2024/02/03(Sat) 17:25:33

Re: 高2 対数関数 / らすかる
x-3>0ならば(2)の左辺も(x-3)^2>0であり
2x-aはそれと等しいから2x-a>0
ということですね。

No.87347 - 2024/02/03(Sat) 17:57:05

Re: 高2 対数関数 / 山田山
回答ありがとうございました。
No.87349 - 2024/02/03(Sat) 19:01:52
期待値 / Nishino (中学2年生)
東北大学 過去問

何卒よろしくお願い申し上げます。

答 4012/729

No.87341 - 2024/02/02(Fri) 04:37:45

Re: 期待値 / ヨッシー
サイコロを振る回数は4以上7以下なので、それぞれの場合を調べます。

4回目にAが持ち点0になる確率:1/3×1/3×1/3×1/3=1/81
4回目にBが持ち点0になる確率:2/3×2/3×2/3×2/3=16/81 計 17/81=153/729

5回目にAが持ち点0になる確率:2/3×1/3×1/3×1/3×1/3×4=8/243
5回目にBが持ち点0になる確率:1/3×2/3×2/3×2/3×2/3×4=64/243 計 72/243=216/729

6回目にAが持ち点0になる確率:2/3×2/3×1/3×1/3×1/3×1/3×10=40/729
6回目にBが持ち点0になる確率:1/3×1/3×2/3×2/3×2/3×2/3×10=160/729 計 200/729

7回目にAが持ち点0になる確率:2/3×2/3×2/3×1/3×1/3×1/3×1/3×20=160/2187
7回目にBが持ち点0になる確率:1/3×1/3×1/3×2/3×2/3×2/3×2/3×20=320/2187 計 480/2187=160/729

確率の合計 (153+216+200+160)/729=1 になることを確認した上で、
期待値は
 (153×4+216×5+200×6+160×7)/729=(612+1080+1200+1120)/729=4012/729  ・・・答え

例えば、5回目にAが0になる場合は、4回目までにAが3回、Bが1回失点して、5回目にAが失点するわけですが、
4回目までの失点のしかたは
 AAAB、AABA、ABAA、BAAA
の4通りあるので、4を掛けています。
確率はどれも、1/3 を4回、2/3を1回掛けるので、順序を気にしなければ全部 2/243 です。

No.87342 - 2024/02/02(Fri) 09:12:23

Re: 期待値 / Nishino (中学2年生)
ヨッシー 様

ご回答ありがとうございました

大変、勉強になりました

今、この問題について課題を見つけて試行錯誤中です

再度upする予定です

その際は宜しくお願い致します。

No.87370 - 2024/02/05(Mon) 01:50:08

Re: 期待値 / Nishino (中学2年生)
ヨッシー 先生

おはようございます

自分なりの答案が出来ました

ご指導いただけると幸いです。

No.87390 - 2024/02/09(Fri) 03:12:57
宜しくお願いします。 / 褒め伸ばし
a √2- b√3=0.0000⬜︎…
上記の計算を行った場合に、小数第5位に初めて0以外の数が現れる整数a、bを1組求めなさい。

ご教授お願い致します。

No.87339 - 2024/02/01(Thu) 21:57:15

Re: 宜しくお願いします。 / らすかる
a√2-b√3=x
の両辺を√2倍して
2a-b√6=x√2
(5-2√6)(5+2√6)=1なので、任意の自然数nに対して
(5-2√6)^n・(5+2√6)^n=1
5+2√6≒9.9≒10なので
n=5とすれば(5+2√6)^n≒100000(100000より少し小さい)、よって
(5-2√6)^n≒0.00001(0.00001より少し大きい)となる。
(5-2√6)^5=47525-19402√6なので
47525-19402√6=0.00001…
両辺を√2倍して
47525√2-38804√3=0.00001…
よってa=47525,b=38804とすれば条件を満たす。
# 具体値は 47525√2-38804√3=0.0000148786…

No.87340 - 2024/02/01(Thu) 23:18:17

Re: 宜しくお願いします。 / 褒め伸ばし
ありがとうございました😭
No.87348 - 2024/02/03(Sat) 18:59:54
いつそろうか? / えっとう
これはどうですか?
No.87325 - 2024/01/31(Wed) 17:01:55

Re: いつそろうか? / ヨッシー
ボタン1において、0の次は3ではないですか?
いずれにしても、
ボタン2は5回ごと、ボタン3は10回ごとに0になる。
5は10の約数なので、
ボタン3が0になった時、ボタン2は常に6である。
よって、同時に消えることはありません。

1回に押す回数を工夫すると、0になるように出来ます。

No.87327 - 2024/01/31(Wed) 17:21:35

Re: いつそろうか? / えっとう
例えば?
No.87336 - 2024/01/31(Wed) 22:18:10

Re: いつそろうか? / らすかる
例えばボタン1が1回、ボタン2が2回、ボタン3が3回とか。
No.87337 - 2024/02/01(Thu) 00:06:19
重積分 / いろは
大学1年生の重積分の問題についてです。
積分する関数が y*exp(y^3)
yの積分範囲が xから1
xの積分範囲が 0から1
答えが (e-1)/3
この問題が解けなく困っています。
どなたか解き方を教えていただきたいです。

No.87324 - 2024/01/31(Wed) 16:09:55

Re: 重積分 / ast
重積分が存在するならば逐次積分の積分順序は交換可能だから ∫_[0,1] ∫_[0,y]y*exp(y^3)dx dy を計算すればいい.
# 質問文自体から重積分と逐次積分を混同していたり, 逐次積分の積分順序という概念自体念頭に無さそうとか
# そういうのが透けて見える気がするが, まあこちらは気にしないことにしよう.

No.87326 - 2024/01/31(Wed) 17:20:47

Re: 重積分 / いろは
ast様ご返信ありがとうございます。
表記の仕方が悪かったみたいです、すみませんでした。
改めて問題は以下のようになります。

∫_[0,1] ∫_[x,1]y*exp(y^3)dy dx

ご指摘いただいたように順序交換をして計算してみても先程と同様に自力では解けませんでした。
解く際には何を使って解くと良いでしょうか?もう少しヒントをいただけたら幸いです。恐れ入りますが、何とか解決したいのでよろしくお願いします。

No.87330 - 2024/01/31(Wed) 18:11:40

Re: 重積分 / ast
(定数倍を掛ける違いを除いて) ∫1dx とか ∫exp(u)du の計算しかしないのだから, (仮に何かしらの勘違いがあるにせよ, あるいはそれを推察しようにも, 具体的記述もなしに漠然と) 解けないと言われても困る…….
No.87332 - 2024/01/31(Wed) 18:41:16

Re: 重積分 / IT
横から失礼します。
順序交換の意味が分かっておられないのではないかと思います。
積分範囲を図示してみられると
astさんに教えて頂いた∫_[0,1] ∫_[0,y]y*exp(y^3)dx dy の意味が分かるかも知れません。

さすがに∫_[0,y]y*exp(y^3)dx は計算できますよね?

出来たところまでは、書き込んでから質問されないと有効な回答は得られにくいですよ。

No.87335 - 2024/01/31(Wed) 22:07:21

Re: 重積分 / GandB
 順序交換の意味については

  重積分 順序交換

で検索すればよい。反応がないようなので回答も示しておく。あまりの簡単さにがっかりすることだろうwww。

No.87338 - 2024/02/01(Thu) 08:01:27
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