ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

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旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。

過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

★ 高校入試　図形問題 / 独ソ不可侵条約

引用

以下の問題を解いたのですが、できているでしょうか？
あともっと簡単な解法とかあったら教えていただきたいです。

「下図で、三角形ABCは∠BAC=30°の三角形である。この三角形の中に、点Dを、AD=BD=CDとなるようにとる。また、BDを延長し、BD=DEとなるように点Eを取った時、∠BECの角度を求めなさい。」

(自分の解答は次に送ります)

No.89872 - 2025/02/03(Mon) 23:39:02

☆ Re: 高校入試　図形問題 / 独ソ不可侵条約

引用

図から、AD=BD=CD=EDで、Dを中心とする円を描くことができる。∠BACも∠BECも弧BCに対する円周角だから大きさが等しい。答え 30°

No.89873 - 2025/02/03(Mon) 23:44:02

☆ Re: 高校入試　図形問題 / 独ソ不可侵条約

引用

訂正 Dを中心とする円→Dを中心としてA,B,C,Eを通る円です

No.89875 - 2025/02/03(Mon) 23:47:49

☆ Re: 高校入試　図形問題 / ヨッシー

引用

それで合ってますし、それより簡単なのはそうそうないと思いますよ。

No.89877 - 2025/02/04(Tue) 09:20:04

★ 中3平面図形 / あいり

引用

⑴と⑵の解き方を教えてください
答えは⑴は35分の36√5,⑵は35分の624です。

No.89865 - 2025/02/03(Mon) 20:39:00

☆ Re: 中3平面図形 / らすかる

引用

(1)
△EFGは∠GEFが直角である直角三角形で、EG=12、EF=(3/6)AB=6なので
GF=√(12^2+6^2)=6√5
△JEF∽△JCGでFJ：JG=EF：CG=3：4なのでFJ=(3/7)GF
△IEF∽△IHGでFI：IG=EF：HG=3：2なのでIG=(2/5)GF
よって
IJ=GF-FJ-IG=(1-3/7-2/5)GF=(6/35)GF=36√5/35

(2)
△JEFと△JCGの相似比は3：4なので
△JCG=CG×(4/7)AD÷2=8×(48/7)÷2=192/7
△IEFと△IHGの相似比は3：2なので
△IHG=HG×(2/5)AD÷2=4×(24/5)÷2=48/5
よって
四角形IJCH=△JCG-△IHG=192/7-48/5=624/35

No.89871 - 2025/02/03(Mon) 22:34:47

☆ Re: 中3平面図形 / あいり

引用

分かりました！ありがとうございます！！

No.89886 - 2025/02/05(Wed) 00:20:41

★ 中３三平方 / みはる

引用

△DBCの角が45°、75°になるのはなぜでしょうか。
よろしくお願いします。

No.89862 - 2025/02/03(Mon) 18:19:16

☆ Re: 中３三平方 / ヨッシー

引用

弧の長さでいうと、
　ＤＢ：ＢＣ：ＣＤ＝５：４：３
なので、中心角も
　∠ＤＯＢ：∠ＢＯＣ：∠ＣＯＤ＝５：４：３
であり、合計360°であることから
　∠ＤＯＢ＝360°× 5/12＝150°
　∠ＢＯＣ＝360°× 4/12＝120°
　∠ＣＯＤ＝360°× 3/12＝90°
それに対応する円周角　∠ＤＣＢ、∠ＢＤＣ、∠ＣＢＤはそれぞれ、
　∠ＤＣＢ＝150°÷ 2 ＝75°
　∠ＢＤＣ＝120°÷ 2 ＝60°
　∠ＣＢＤ＝90°÷ 2 ＝45°
となります。

No.89863 - 2025/02/03(Mon) 18:50:11

☆ Re: 中３三平方 / みはる

引用

なるほど。ありがとうございます。

No.89866 - 2025/02/03(Mon) 21:11:12

☆ Re: 中３三平方 / みはる

引用

同じ上の問題で、ACとBDの交点をEとしたとき、AEは1/2√3にはならないのですか。∠Dの二等分線ぽいと思ったのですが。
以下答えです。

No.89870 - 2025/02/03(Mon) 22:28:45

☆ Re: 中３三平方 / ヨッシー

引用

ＤＥは∠ＡＤＣの二等分線ではありますが、
　ＡＤ：ＤＣ＝１：３
ではないので、ＡＥ：ＥＣ＝１：３にはなりません。
１：３はあくまでも弧の長さの比です。

No.89876 - 2025/02/04(Tue) 09:17:23

☆ Re: 中３三平方 / みはる

引用

あ、本当ですね。ありがとうございます。

No.89882 - 2025/02/04(Tue) 17:29:37

★ 別解サイコロの最大値、最小値問題 / hiro

引用

サイコロの最大値、最小値問題問題で質問させていただきましたが、別の方法で解答したらわからなくなりました。

問題
「サイコロをn個投げるとき、最大値が５で最小値が２である場合は何通りか。」

私の解答

1から6まで出るとき、最大値が５(少なくとも1つが５）ある事象をSとする。
Sのうち、最小値が２（少なくとも１つが２）である事象をTとする。

n(S∩T)の補集合をn(S∩Tバー)とすると、

最大値が５で最小値が２である場合の数n(S∩T）は
n(S∩T）＝n(S)ーn(S∩Tバー)を利用して求めることができる。

n(S)=（5以下の目が出る）ー（4以下の目が出る）＝5^n-4^n　
n(S∩Tバー)＝？？？

n(S∩Tバー)の求め方を教えて下さい。

No.89858 - 2025/02/03(Mon) 12:59:49

☆ Re: 別解サイコロの最大値、最小値問題 / らすかる

引用

(最大値が5かつ最小値が2以外)
=(最大値が5かつ最小値が3以上)+(最大値が5かつ最小値が1)
=(3^n-2^n)+(5^n-4^n-4^n+3^n)
=5^n-2・4^n+2・3^n-2^n
のようには計算できますが、これならば
(最大値が5かつ最小値が2)
=4^n-3^n-3^n+2^n
の方が楽ですね。

No.89859 - 2025/02/03(Mon) 14:37:23

☆ Re: 別解サイコロの最大値、最小値問題 / hiro

引用

(最大値が5かつ最小値が3以上)+(最大値が5かつ最小値が1)
=(3^n-2^n)+(5^n-4^n-4^n+3^n)

になる理由を教えて下さい。

No.89860 - 2025/02/03(Mon) 16:06:54

☆ Re: 別解サイコロの最大値、最小値問題 / らすかる

引用

(最大値が5かつ最小値が3以上)
=(すべてのサイコロが3～5)-(すべてのサイコロが3～4)
=3^n-2^n

(最大値が5かつ最小値が1)
=(すべてのサイコロが1～5)-(すべてのサイコロが1～4)
　-(すべてのサイコロが2～5)+(すべてのサイコロが2～4)
=5^n-4^n-4^n+3^n

です。後者は「最大値が5かつ最小値が2」のときと同じ計算方法です。

No.89861 - 2025/02/03(Mon) 16:22:01

☆ Re: 別解サイコロの最大値、最小値問題 / hiro

引用

(最大値が5かつ最小値が1)
=(すべてのサイコロが1～5)-(すべてのサイコロが1～4)
　-(すべてのサイコロが2～5)+(すべてのサイコロが2～4)
はなぜですか？

No.89864 - 2025/02/03(Mon) 19:45:04

☆ Re: 別解サイコロの最大値、最小値問題 / IT

引用

横から失礼します。
図を描いて見ると分かり易いのでは？

No.89867 - 2025/02/03(Mon) 21:45:59

☆ Re: 別解サイコロの最大値、最小値問題 / らすかる

引用

(最大値が5かつ最小値が1)
=(すべてのサイコロが1～5)-(すべてのサイコロが1～5で、1または5を含まないもの)

(すべてのサイコロが1～5で、1または5を含まないもの)
=(すべてのサイコロが1～5で、1も5も含まないもの)
　+(すべてのサイコロが1～5で、1を含まず5を含むもの)
　+(すべてのサイコロが1～5で、1を含み5を含まないもの)
=(すべてのサイコロが2～4であるもの)
　+(すべてのサイコロが2～5で、5を含むもの)
　+(すべてのサイコロが1～4で、1を含むもの)

(すべてのサイコロが2～5で、5を含むもの)
=(すべてのサイコロが2～5)-(すべてのサイコロが2～5で、5を含まないもの)
=(すべてのサイコロが2～5)-(すべてのサイコロが2～4)

(すべてのサイコロが1～4で、1を含むもの)
=(すべてのサイコロが1～4)-(すべてのサイコロが1～4で、1を含まないもの)
=(すべてのサイコロが1～4)-(すべてのサイコロが2～4)

よって

(すべてのサイコロが1～5で、1または5を含まないもの)
=(すべてのサイコロが2～4であるもの)
　+(すべてのサイコロが2～5で、5を含むもの)
　+(すべてのサイコロが1～4で、1を含むもの)
=(すべてのサイコロが2～4であるもの)
　+{(すべてのサイコロが2～5)-(すべてのサイコロが2～4)}
　+{(すべてのサイコロが1～4)-(すべてのサイコロが2～4)}
=(すべてのサイコロが2～5)+(すべてのサイコロが1～4)-(すべてのサイコロが2～4)

なので

(最大値が5かつ最小値が1)
=(すべてのサイコロが1～5)-(すべてのサイコロが1～5で、1または5を含まないもの)
=(すべてのサイコロが1～5)
　-{(すべてのサイコロが2～5)+(すべてのサイコロが1～4)-(すべてのサイコロが2～4)}
=(すべてのサイコロが1～5)-(すべてのサイコロが2～5)-(すべてのサイコロが1～4)+(すべてのサイコロが2～4)
=5^n-4^n-4^n+3^n
となります。

No.89869 - 2025/02/03(Mon) 22:16:52

☆ Re: 別解サイコロの最大値、最小値問題 / hiro

引用

わかりました。ありがとうございます。

No.89887 - 2025/02/05(Wed) 00:25:28

★ サイコロの最大値、最小値問題 / hiro

引用

サイコロの問題で余事象を使って正しく解けません。
次の問題の私の解答でどこが間違っていますか。お願いします。

問題
「サイコロをn個投げるとき、最大値が５で最小値が２である場合は何通りか。」

私の解答

２から５まで出るとき、最大値が５(少なくとも1つが５）ある事象をA,
最小値が２（少なくとも１つが２）である事象をBとすると
n(A∩B)を求めればよい。

余事象を考えると、
n(A)=4^n-3^n　　，　n(B)=4^n-3^n

また、
n(A∪B)は２から５まで出るとき、３と４しか出ない場合の数だから
n(A∪B)＝2^n

よって
n(A∩B)=n(A)+n(B)-n(A∪B)
＝（4^n-3^n）＋（4^n-3^n）－2^n
＝2（4^n-3^n）－2^n　通り

No.89850 - 2025/02/02(Sun) 11:44:11

☆ Re: サイコロの最大値、最小値問題 / らすかる

引用

n(A∪B)が違います。
3と4しか出なかったら、最大値が3か4、最小値も3か4なので、AもBも満たしません。

No.89853 - 2025/02/02(Sun) 12:27:12

☆ Re: サイコロの最大値、最小値問題 / hiro

引用

そうすると、

A∪Bの余事象は、３と４しか出ない場合の数だから
n(A∪Bの余事象)＝4^n-2^n

よって
n(A∩B)=n(A)+n(B)-n(A∪B)
＝（4^n-3^n）＋（4^n-3^n）－(4^n-2^n)
＝4^n-２×3^n）＋2^n　

ですか。

No.89854 - 2025/02/02(Sun) 15:06:07

☆ Re: サイコロの最大値、最小値問題 / らすかる

引用

最後の式と結果は正しいですが、A∪Bに関して若干間違いがあるようです。
> A∪Bの余事象は、３と４しか出ない場合の数だから
> n(A∪Bの余事象)＝4^n-2^n
ではなく
n(A∪Bの余事象)＝2^n
なので
n(A∪B)＝4^n-2^n
ということです。

No.89855 - 2025/02/02(Sun) 18:19:20

☆ Re: サイコロの最大値、最小値問題 / hiro

引用

ありがとうございます。
理解できました。

No.89856 - 2025/02/02(Sun) 23:39:24

★ 極限 / Higashino

引用

極限からの出題です
何卒よろしくお願いします
以下問題

No.89844 - 2025/02/01(Sat) 16:55:01

☆ Re: 極限 / GandB

引用

　4乗和の公式を使った。私は暗記した記憶すらないから、使うのは今回が初体験ww

　　　　　　　(1^2+2^2+ … +n^2)(1^3+2^3+ … +n^3 )
　　lim[n→∞]-----------------------------------------------------
　　　　　　　　　(1+2+ … +n)(1^4+2^4+ … +n^4 )
　　　　　　　　　
　　　　　　　　{ (n(n+1)(2n+1)/6 }{ (n(n+1)/2)^2 }
　= lim[n→∞]----------------------------------------------------
　　　　　　　{ n(n+1)/2 }{ n(n+1)(2n+1)(3n^2+1)/30 }
　　　　　　　
　　　　　　　　(1/6){ n(n+1)/2 }
　= lim[n→∞]-------------------------
　　　　　　　　 (3n^2+1)/30
　　　　　　　　
　　　　　　　　30(n^2+n)
　= lim[n→∞]------------------- = lim[n→∞]{ 30(1+1/n) }/12(3+1/n^2) = 5/6
　　　　　　　　12(3n^2+1)

No.89847 - 2025/02/01(Sat) 20:42:34

☆ Re: 極限 / X

引用

別解)
区分求積法を使います。
(与式)=lim[n→∞][{Σ[k=1～n]k^2}{Σ[k=1～n]k^3}]
/[{Σ[k=1～n]k}{Σ[k=1～n]k^4}]
=lim[n→∞][(1/n){Σ[k=1～n](k/n)^2}{(1/n)Σ[k=1～n](k/n)^3}]
/[(1/n){Σ[k=1～n](k/n)}{(1/n)Σ[k=1～n](k/n)^4}]
={∫[0→1](x^2)dx}{∫[0→1](x^3)dx}
/[{∫[0→1]xdx}{∫[0→1](x^4)dx}]
=(1/3)(1/4)/{(1/2)(1/5)}
=5/6

No.89848 - 2025/02/01(Sat) 20:50:12

☆ Re: 極限 / GandB

引用

> 区分求積法を使います。
　ずっといい解法ですね。

No.89849 - 2025/02/01(Sat) 21:26:55

☆ Re: 極限 / Higashino

引用

GandB 先生 X先生
ご回答ありがとうございました
ｘ先生に回答に出ておりますが
ご指摘等あれば何卒よろしくお願いします

No.89851 - 2025/02/02(Sun) 12:02:29

☆ Re: 極限 / Higashino

引用

区分求積法と積分の間違いがありました正しくは

No.89852 - 2025/02/02(Sun) 12:07:36

☆ Re: 極限 / GandB

引用

　もし、解答用紙にNo.89851のように書いたら、記述式の問題なら大きく減点されるのではないか。

　　∫[k=0→1]x^2dx = lim[n→∞](1/n)(Σ[k=1→n]f(k/n)^2) ×
　　∫[k=0→1]x^2dx = lim[n→∞](1/n)(Σ[k=1→n](k/n)^2) 〇

はケアレスミスだろうが、4種類の平方和の公式を区分求積法に結びつける説得力にやや欠けると思う。
　Xさんの回答を冗長に書くと以下のようになるからだ。

No.89857 - 2025/02/03(Mon) 10:38:56

☆ Re: 極限 / Higashino

引用

GandB先生
返信が遅くなり申し訳ございません
先生がご指摘になった
[間違い]
の部分を正しく教えてください
何卒よろしくお願いします

No.89892 - 2025/02/05(Wed) 06:25:50

★ (No Subject) / やり直しメン

引用

算数です

□５です

分かりませんでした

よろしくお願いします

No.89842 - 2025/01/31(Fri) 21:18:31

☆ Re: / 独ソ不可侵条約

引用

全体のパックの数を□としますね。
一旦持ってるパックを全部使い8個ずついれたとします。このときのイチゴの数は8×□となります。
実際には3パック余ったので、8×□より24個少なかったということです。さらに最後のパックはあと4つ足りなかったということで、(言い換えただけ。4個だけ入った→8個入れようとしたけど4つ足りなかった)、イチゴの数は28足りなかった、8×□-28となります。
ところで、8個入のパックからイチゴを2個ずつ取り出し、6個入にするとする(以降「2個出し」と呼ぶことにする)と、8個入パックは一つ減り、6個入りパックは一つ増えます。さらに、「ぴったり」に必要なイチゴの数は2つずつ減っていきます。
あと28個必要だったのが、26になるということです。14回繰り返すと(28÷2=14)、必要な数は0になります。これは、6個入の袋14個と、8個入の袋何個かにいちごが入ってて、足りなくも余りもしていない。
なので、引き続き「2個出し」を続けます。ここからは出したものは余るのでテーブルの上に置かれるとします。50個置かれた(余った)ときに、全てのパックに6個ずつ入ればいいので、50÷2=25より、25回出せば余りが50になります。どういうことかというと、14+25=39回「2個出し」をすれば全部6個入りのバッグになるということ。よってバッグ数は39で、パックが3つ余ることから39-3=36で、1つのパックは4つしかなくて「8個入り」ではないので35個。
一応確かめると、イチゴが39×6+50=284個で、
8個入に詰めると284÷8=35余り4で35パックできて4つ余る。

…なんかすごく分かりづらいのでわからなかったら聞いてね

No.89843 - 2025/02/01(Sat) 14:37:32

☆ Re: / IT

引用

横から失礼します。

上下に６個入りと８個入りの箱をそれぞれ左から右に描くと　分かり易いと思います。
８個入りは、左から順に何箱かが８個入りで、次が４個入り、右端の３箱が空。

６個入りのイチゴを箱間で移動して８個入りに変えていきます。あまりのイチゴも箱に入れます。

まず、右端の３つの箱を空にする。
　　６×３＝１８個を２個ずつ、６個入りの箱の左から順に９箱に入れる。
　　→８個入りの箱が９箱出来る。
つぎに、あまりの５０個を２個ずつ６個入りの２５箱に入れる
　　→８個入りの箱が２５箱増える
最後に、右から２番目の箱の６個から２個を左隣の６個入りの１箱に入れる
　　→８個入りの箱が１箱増えて、１箱は４個入りになる

（※これで下の箱群の入れ方と一致する）

合計で８個入りの箱が、９+25+1＝35個　出来る

No.89845 - 2025/02/01(Sat) 16:55:26

☆ Re: / IT

引用

６個入りの箱のイチゴを箱間で移動して８個入りに変えていきます。あまりのイチゴも箱に入れます。
の後、同じことですが、

右端の３つの箱から計１８個を取り出して空にする。
右から４番目の箱から２個を取り出して４個入りにする。

元のあまり５０個＋１８個＋２個＝７０個　を
６個入りの箱に２個ずつ入れていくと３５個の箱が８個入りになり、
下の箱群の入れ方と同じになる。

No.89846 - 2025/02/01(Sat) 20:07:30

★ 楕円 / Higashino

引用

愛知教育大学過去問

何卒よろしくお願いします

以下問題

No.89834 - 2025/01/29(Wed) 01:40:27

☆ Re: 楕円 / らすかる

引用

問題の楕円を原点に関してθ回転した楕円の式は
(ycosθ-xsinθ)^2/9+(ysinθ+xcosθ)^2/16=1
整理して
(25-7cos2θ)x^2+(25+7cos2θ)y^2-14xysin2θ-288=0
これをxに関する二次方程式とみると
D/4=-288(2y^2+7cos2θ-25)
なので、x軸に平行な接線はy=±√((25-7cos2θ)/2)
またyに関する二次方程式とみると
D/4=-288(2x^2-7cos2θ-25)
なので、y軸に平行な接線はx=±√((25+7cos2θ)/2)
よって縦横接線の交点から原点までの距離は
√{{±√((25+7cos2θ)/2)}^2+{±√((25-7cos2θ)/2)}^2}=5
なので、交点は楕円の回転角度にかかわらず常に原点から距離5の位置にある。
従って点Pの軌跡はx^2+y^2=25。

No.89836 - 2025/01/29(Wed) 23:01:38

☆ Re: 楕円 / Higashino

引用

ラスカル先生
こんばんは
ご回答ありがとうございます
誤字が多いですが
私の答案です
ご指摘などいただければ幸いです

No.89838 - 2025/01/29(Wed) 23:52:34

☆ Re: 楕円 / Higashino

引用

以下参考書解説です

No.89839 - 2025/01/29(Wed) 23:58:02

★ 図形の性質 / あ

引用

なぜ、中点連結定理が使えるのか教えてほしいです。
よろしくお願いします。

No.89831 - 2025/01/28(Tue) 20:42:57

☆ Re: 図形の性質 / あ

引用

写真です。

No.89832 - 2025/01/28(Tue) 20:44:12

☆ Re: 図形の性質 / あ

引用

写真です

No.89833 - 2025/01/28(Tue) 20:45:04

☆ Re: 図形の性質 / ヨッシー

引用

点ＤはＡＢの中点、点ＥはＡＣの中点であるので、中点連結定理が使えて、
　ＤＥ//ＢＣ　かつ　ＤＥ＝(1/2)ＢＣ
が成り立ちます。ここでは、そのうちの
　ＤＥ//ＢＣ
を使っています。
その下の　ＦＥ：ＨＣ＝ＡＥ：ＡＣ＝１：２　との間には、
　ＤＥ//ＢＣ　つまり、ＦＥ//ＨＣ
から、△ＡＦＥ≡△ＡＨＣ　（相似比１：２）
が隠れています。

No.89835 - 2025/01/29(Wed) 09:28:48

★ 平均 / あ

引用

(x+y)/2,xyって相加·相乗平均が使えるのでしょうか？

No.89826 - 2025/01/27(Mon) 19:32:06

☆ Re: 平均 / IT

引用

質問の意味が不明です。

No.89827 - 2025/01/27(Mon) 20:37:25

☆ Re: 平均 / ヨッシー

引用

３と４って三平方の定理が使えるのでしょうか？
と言われているのと同じ感覚です。
直角を挟む辺が３と４のときの斜辺の長さを求めるのに
三平方の定理が使えるのでしょうか？
なら意味がわかります。

No.89829 - 2025/01/28(Tue) 08:57:00

☆ Re: 平均 / あ

引用

> ３と４って三平方の定理が使えるのでしょうか？
> と言われているのと同じ感覚です。
> 直角を挟む辺が３と４のときの斜辺の長さを求めるのに
> 三平方の定理が使えるのでしょうか？
> なら意味がわかります。

そうなのですね。
では、質問を変えます。
どういった時に使えるものなのでしょうか？

No.89840 - 2025/01/30(Thu) 14:41:11

★ 二次曲線 / Higashino

引用

二次曲線過去問一橋大学

何卒よろしくお願いします

以下問題

No.89820 - 2025/01/26(Sun) 13:44:29

☆ Re: 二次曲線 / X

引用

x^2+4y^2-4x+8y+4=0 (A)
とします。

条件の直線を
y=x+k (B)
と置いて(A)に代入すると
x^2+4(x+k)^2-4x+8(x+k)+4=0
これより
5x^2+(8k+4)x+4k^2+8k+4=0 (C)
条件から、(C)は異なる二つの実数解を
持たなければならないので,
解をα、β、解の判別式をDとすると
解と係数の関係から
α+β=-(8k+4)/5 (D)
αβ=(1/5)(4k^2+8k+4) (E)
D/4=(4k+2)^2-5(4k^2+8k+4)＞0 (F)
(F)より
(2k+1)^2-5(k^2+2k+1)＞0
-k^2-6k-4＞0
∴-3-√5＜k＜-3+√5 (F)'
一方、(A)によって(B)から切り取られる
線分の長さの二乗をf(k)とすると
f(k)=(1/2)(β-α)^2
=(1/2)(α+β)^2-2αβ
=(8/25)(2k+1)^2-(2/5)(4k^2+8k+4) (∵)(D)(E)を代入
=(8/25)(2k+1)^2-(8/5)(k^2+2k+1)
=(8/25){(2k+1)^2-5(k^2+2k+1)}
=-(8/25)(k^2+6k+4)
=-(8/25)(k+3)^2+8/5 (G)
(F)'(G)からf(k)はk=-3のとき、最大値8/5を取るので
求める最大値は(2/5)√10

(もっと簡単な方法があるかもしれません。)

No.89821 - 2025/01/26(Sun) 17:15:12

☆ Re: 二次曲線 / Higashino

引用

ｘ先生
今日は
ご回答ありがとうございます
私は次のように考えました
ご指摘アドバイスなどありましたらよろしくお願いいたします

No.89822 - 2025/01/26(Sun) 20:34:33

☆ Re: 二次曲線 / X

引用

方針そのものに問題はないと思います。
(A)から(A)'を考えるのはうまい方法ですね。
只、(補1)でlの増減を示したことになるかどうかは
曖昧さが残る点です。

(補1)を描くのであれば
u=X
v=2Y
と置いて、
(直線の式もu,vで置き換えます)
直線が原点を通るときに円
(楕円ではありません)で切る部分
の長さが最大になることを示した後
にX,Yを元に戻す、という操作を
具体的に数式で詰めて書いたほうが
いいでしょう。

No.89824 - 2025/01/27(Mon) 06:30:07

★ limについて / 初心者

引用

質問です。

lim［x→∞］(1/x^2)=0…………(A)

lim［x→∞］(1/x^2)≒0…………(B)

（A）は正しいと思うのですが、(B)は正しいですか。

lim［x→∞］(1/x^2)=0＝lim［x→∞］(1/x^2)≒0ですか。

lim［x→∞］(1/x^2)=0＜lim［x→∞］(1/x^2)≒0ですか。

No.89807 - 2025/01/24(Fri) 07:57:48

☆ Re: limについて / らすかる

引用

おそらく「≒」の厳密かつ一般的な定義が存在しないと思いますので、
(B)を数学的に正しいかどうか判断することはできません。
例えばa≒bが
「|a-b|＜0.1」のような定義ならば(B)は正しいことになりますが、
「a≠bかつ|a-b|＜0.1」のような定義ならば(B)は正しくなくなります。
ちなみに(A)は正しいのですから、極限かどうかは関係なく、
(A)は「0=0」、(B)は「0≒0」と書いても同じことです。

No.89808 - 2025/01/24(Fri) 11:52:56

☆ Re: limについて / 初心者

引用

ちなみに(A)は正しいのですから、極限かどうかは関係なく、
(A)は「0=0」、(B)は「0≒0」と書いても同じことです。

がわかっていません。説明をお願い致します。

No.89809 - 2025/01/24(Fri) 18:14:10

☆ Re: limについて / らすかる

引用

(A)が正しいということは
「lim[x→∞](1/x^2)」と「0」は少しの違いもなく等しいものです。
従って(B)の左辺を「0」に置き換えても(B)の意味は変わりませんので、
「lim[x→∞](1/x^2)≒0は正しいですか」という質問は
「0≒0は正しいですか」という質問と全く同じ意味になります。

# もし「lim[x→∞](1/x^2)」の値と「0」に何らかの違いが
# あると考えているのであれば、それは間違いです。

No.89810 - 2025/01/24(Fri) 22:16:32

☆ Re: limについて / 初心者

引用

返信ありがとうございました！！

No.89814 - 2025/01/25(Sat) 19:46:15

★ 二次曲線 / Higashino

引用

二次曲線 005 三重大学過去問

何卒よろしくお願いします

以下問題

No.89806 - 2025/01/24(Fri) 03:11:18

☆ Re: 二次曲線 / X

引用

問題の長方形の頂点のうち、第1象限にあるものを
P(X,Y)(X＞0かつY＞0(P))
とします。

(1)
条件のとき、まず周の長さについて
4(X+Y)=16 (A)
次に点Pが問題の楕円上にあることから
(X^2)/25+(Y^2)/3=1 (B)
(P)に注意して(A)(B)を連立して解くと
(X,Y)=(5/2,3/2)
∴求める２辺の長さは
横の長さが5,縦の長さが3

(2)
周の長さをL(L＞0)とすると
L=4(X+Y)
∴問題は直線
L=4(x+y) (C)
が楕円
(x^2)/25+(y^2)/3=1 (B)'
が交点を持つときのLの最大値とそのときの交点の座標を
求めることに帰着します。

さて、(C)はY切片がL/4の直線になりますので
(C)が(B)'と第１象限で接するときにLは最大となります。
ここで、この接するときの接点の座標をP'(a,b)とすると、
(a^2)/25+(b^2)/3=1 (D)
又、P'における接線の方程式は
ax/25+by/3=1 (E)
(C)(E)は等価ですので、係数の比について
a/25:b/3:1=4:4:L
これより
1/L=a/100=b/12
(a,b)=(100/L,12/L) (F)
これを(D)に代入して
400/L^2+48/L^2=1
L^2=448
∴L=8√7
(F)に代入して
(a,b)=(25/(2√7),3/(2√7))

∴求める最大値は8√7、この時の長方形の頂点の座標は
(±(25/14)√7,±(3/14)√7) (複号任意)

No.89811 - 2025/01/25(Sat) 11:34:14

☆ Re: 二次曲線 / _

引用

(2) は、「これより」以降に勘違いがあるようです。

なお(2)は、第一象限にある頂点P(X,Y)を (5*cos(t),√3*sin(t)) (tは鋭角) とおいて
　4X+4Y= 20*cos(t) + 4√3*sin(t)
の最大値を考える方が楽かと(合成で一発)。

No.89812 - 2025/01/25(Sat) 12:28:03

☆ Re: 二次曲線 / Higashino

引用

ｘお久しぶりでございます
これからはこの掲示板でも質問をしていこうと思います
二次曲線は勉強し始めてまだ3日目ぐらいですが
何卒よろしくお願いします
ご回答ありがとうございました
以下私の答案になりますご指摘アドバイスするのであればよろしくお願いいたします

No.89813 - 2025/01/25(Sat) 15:48:01

☆ Re: 二次曲線 / X

引用

＞＞ _さんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞Higashinoさんへ
ごめんなさい。_さんの仰る通りです。
No.89811を修正しましたので再度ご覧下さい。

でNo.89813についてですが
(1)は問題ありませんですが、(2)について。
添付写真の(2)の3行目ですが、もう少し
詳しい説明が必要です。

No.89815 - 2025/01/26(Sun) 09:10:52

☆ Re: 二次曲線 / Higashino

引用

ｘ先生今日は
ご指摘ありがとうございました

No.89819 - 2025/01/26(Sun) 13:42:55

☆ Re: 二次曲線 / _

引用

(1)でも(2)でも、
なぜベクトル(x,y)と分数 5cosθ/√3sinθ を等号でつなぐのか？表記がオカシイ。

(2)で、
　αがどういう角なのか？
　またsin(θ+α)は本当に 1 になりうるのか？ (いまθ+αは0～2piの全てを動くわけではない)
についてのコメントがあるべきです。

No.89823 - 2025/01/26(Sun) 23:25:43

★ (No Subject) / やり直しメン

引用

算数です

□4です。
難しいです。
分かりませんでした。

No.89804 - 2025/01/23(Thu) 17:43:30

☆ Re: / ヨッシー

引用

そこに書かれているように、
　Ａ＞Ｂ＞Ｃ
であることと、ＣＡＢは９で割れることから
　Ａ＋Ｂ＋Ｃ　は９の倍数
です。よって、ＢＣＡもＡＢＣも９の倍数です。

また、ＡＢＣはこの先２回４で割っているので
　ＡＢＣは１６の倍数です。
よって、１６×９＝１４４の倍数のいずれかが　ＡＢＣとなります。
実際に調べると、
　１４４，２８８，４３２，５７６，７２０，８６４
までが３桁であり、Ａ＞Ｂ＞Ｃを満たすのは
　４３２　と　８６４
となります。

No.89805 - 2025/01/23(Thu) 17:50:07

★ 三平方の問題 / 独ソ不可侵条約

引用

以下の図で、円は三角形ABCの内接円で半径6cm,AB=ACです。
∠BAC=45°のとき、△ABCの面積は？というのがわかりません。
中心Oとしたら、∠BOC=円周角の定理で90°だから、円の半径で同じ長さなので△BOCは直角二等辺三角形でBC=6√2...まではわかったのですが進まなくなりました。

No.89800 - 2025/01/22(Wed) 20:04:18

☆ Re: 三平方の問題 / IT

引用

底辺BCとしたときの高さが分かればいいですね。
前にも言いましたが、補助線を引いてみてください。
少なくとも　中心Ｏは必要ですね。
+半径や、底辺BCとしたときの高さ　なども

No.89801 - 2025/01/22(Wed) 20:17:08

☆ Re: 三平方の問題 / らすかる

引用

打ち間違えただけかも知れませんが、
三角形の3頂点を通る円は、三角形の外接円です。

No.89803 - 2025/01/23(Thu) 01:29:41

☆ Re: 三平方の問題 / 独ソ不可侵条約

引用

一応わかるところを書き込んだのですが、ここから進めないです…
底辺をBCとしたときの高さはどうなるんでしょうか？

No.89816 - 2025/01/26(Sun) 12:58:31

☆ Re: 三平方の問題 / 独ソ不可侵条約

引用

↓書き込んだやつ

No.89817 - 2025/01/26(Sun) 12:59:10

☆ Re: 三平方の問題 / 独ソ不可侵条約

引用

もしかしてAOが半径で6だから高さは6+3√2ってことですか！
だから答えは6√2×(3√2+6)÷2=(18×2+12√2)÷2=(36+12√2)÷2=「18+6√2」ってことですね！

No.89818 - 2025/01/26(Sun) 13:03:13

★ 三角関数を含む関数のとりうる値の範囲について。 / 高三です。

引用

関数y=sinθ+cosθ+sin2θについて、次の問いに答えなさい。
(1)sinθ+cosθ=tとおく。yをtで表しなさい。
(2)0≦θ<2πのとき、yのとりうる範囲を求めなさい。
についてです。

(1)は分かりました。
sin2θ=2sinθcosθを利用してy=(t^2)+t-1になります。
質問したいのは(2)です。
yの範囲を求めやすくする為にsinθ+cosθ=(√2)sin{θ+(π/4)}を利用して
t=sinθ+cosθ=(√2)sin{θ+(π/4)}
ここで、0≦θ<2πより、(π/4)≦θ+(π/4)<2π+(π/4)であるから
-1≦sin{θ+(π/4)}≦1
-√2≦(√2)sin{θ+(π/4)}≦√2
∴ -√2≦t≦√2
よって、y=[{t+(1/2)}^2]-(5/4)より
-(5/4)≦y≦{(√2)^2}+(√2)-1
-(5/4) ≦y ≦(√2)+1　◻︎

よっての後を計算してたとき、私はy=(t^2)+t-1に(-√2),(√2)を入れて答えは
1-√2≦y≦(√2)-1だと思いました。解答を見たとき、急にy=[{t+(1/2)}^2]-(5/4)が出て来てどこから出て来たのかと思ったら(1)のy=(t^2)+t-1をy=(t^2)+t-1を平方完成したものだと気付きました。グラフを見ると確かに-(5/4)が最小値でしたが、私は正直、この問題が初見だとすると気付かない様な気がします。グラフを書こうにも複雑すぎて私には書けるかどうか…。
ややこしいですが私が分からなかったのは途中式ではなく、なぜ最小値がy=(t^2)+t-1を平方完成してy=[{t+(1/2)}^2]-(5/4)にすれば求められる、という考え方です。
長文すみません。

No.89797 - 2025/01/22(Wed) 00:31:49

☆ Re: 三角関数を含む関数のとりうる値の範囲について。 / 高三です。

引用

一部重複してる箇所がありました。
すみません。

No.89798 - 2025/01/22(Wed) 00:39:23

☆ Re: 三角関数を含む関数のとりうる値の範囲について。 / X

引用

>>この問題が初見だとすると気付かない様な気がします。
数学Iの二次関数の最小値の項目の復習をしましょう。

この問題は三角関数で表された関数を二次関数
に置き換えて考える問題です。
ですので、数学Iの二次関数の項目が理解できて
いなければ、解けません。

考え方の大枠だけ書いておくと、
関数のグラフの平行移動
を考えるとき、式をどのような形に
変形すればいいのか？、ということです。
まずは二次関数の復習をお勧めします。

No.89799 - 2025/01/22(Wed) 06:31:57

☆ Re: 三角関数を含む関数のとりうる値の範囲について。 / 高三です。

引用

返信ありがとうございます。
早速試してみます！

No.89802 - 2025/01/22(Wed) 22:04:28

★ 広義積分の近似について / ブレジョン1

引用

?@写真の(6-a)の赤線部についてですが、確かにx→∞のときは分母において2x^2+1はx^4よりはるかに小さいため、x/x^4とほぼ同じ振る舞いをすることはわかるのですが、
なぜ[0,∞)の積分を考えたときもx/x^4と近似させてよいのでしょうか？積分範囲は[0,∞)とxの値が小さいときも考えなければならないので、近似できないと思いました。例えば積分範囲に含まれているx=10などのときは、2x^2+1が分母にあるとないとでは、f(x)の値及び積分後の値が大きく変わってしまうと思うのですが...

?Aなぜ、x^(-3)dx[0,∞)=1/2となるのでしょうか？

?B(6-b)についても?@と同じく、近似していい理由がわからないです。

以上の3点について解説お願いします。

No.89795 - 2025/01/21(Tue) 02:43:36

☆ Re: 広義積分の近似について / らすかる

引用

収束・発散を判定する場合はx^(-3)と考えてよいと書いてあるだけで、「近似」はしていませんね。
x^(-3)を0～∞で積分しても1/2にはなりませんし。
後半も同様です。

No.89796 - 2025/01/21(Tue) 10:14:09

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