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ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

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(No Subject) / part2
写真の問題の解説の一部分が分かりません。かみくだいた詳細が知りたいです。
No.77940 - 2021/08/30(Mon) 17:44:46

Re: / part2
分からない部分は解答解説の鉛筆で印をした部分。です。

なお、⭐︎の部分は〜の所です。

No.77941 - 2021/08/30(Mon) 17:46:18

Re: / X
鉛筆で印をつけた部分の
>>なお〜(ka+lb+mの形になる)
から、問題の整式をx^2+x+1で割った余りは
(ka+lb+m)x+(k'a+l'b+m)
(k,l,k',l'は実数の定数)
の形で表すことができます。
よって余りが0のとき
ka+lb+m=0 (A)
k'a+l'b+m=0 (B)
(A)(B)のa,bの係数、及び定数項は実数ですので
(A)(B)をa,bの連立方程式として解いたときの
解(a,b)の組は実数の組となります。

No.77946 - 2021/08/30(Mon) 19:10:13

Re: / 編入受験生
参考書のように共役複素数を用いて示す方法を書いておきます。

まず、ka+lb+mの形になるというところですが、
これは筆算の仕組みを考えれば、わかる。
あまりが0のときa,bは実数になるというところは、共役複素数を使うことで示せる。
整式の余りの次数は、割る整式の次数より1小さいのだから、
x^2+x+1で問題の整式を割った余りはAx+Bと表すことができる.
余りが0ということは、A=0かつB=0で,AとBは上記からaあるいはbの一次式だから、仮にA = ka+lb+m,B = Ka+Lb+Mとおくと,
ka+lb+m = 0...(1) かつ Ka+Lb+M = 0...(2)
ここで(1)と(2)の両辺の共役を取れば,
k+l+m = 0...(3) かつK+L+M = 0...(4)
,はそれぞれa,bの共役複素数で実数の共役複素数は実数。
ここで、(K/k){(1)-(3)} - {(2)-(4)}を計算すると,
(K/k){(1)-(3)} - {(2)-(4)} = (Kl/k-L){b-} = 0...(5)(5)から,Kl/k - L=0あるいはb-=0であるが、
Kl/k - Lは0になりえない.
なぜなら,もしKl/k - L=0だとすると,(K/k)(1)-(2)
= (Kl/k-L)b + (K/k)m - M = 0 ⇔ (K/k)m = Mとなるが,
もしこれが成り立つならばa,bは何をとっても成立するし、
成り立たなければKl/k - L≠0であるから.
よって、b- = 0 ⇔ b = であるから,bは実数.(複素数とその共役複素数が等しいことが実数であることの必要十分条件).
あとはkあるいはKのどちらかは必ず0でない実数だから(もしどちらも0だったらaはどんな値をとっても成り立つかあるいは常に成り立たないのどちらかしかない),(1)あるいは(2)を変形して、左辺をaにすればbが実数であることを用いてaが実数であることがわかる.

No.77951 - 2021/08/30(Mon) 19:59:10

Re: / 編入受験生
書き方に問題があったようです、訂正しておきました。

参考書のように共役複素数を用いて示す方法を書いておきます。

まず、ka+lb+mの形になるというところですが、
これは筆算の仕組みを考えれば、わかる。
あまりが0のときa,bは実数になるというところは、共役複素数を使うことで示せる。
整式の余りの次数は、割る整式の次数より1小さいのだから、
x^2+x+1で問題の整式を割った余りはAx+Bと表すことができる.
余りが0ということは、A=0かつB=0で,AとBは上記からaあるいはbの一次式だから、仮にA = ka+lb+m,B = Ka+Lb+Mとおくと,
ka+lb+m = 0...(1) かつ Ka+Lb+M = 0...(2)
ここで(1)と(2)の両辺の共役を取れば,
k[a]+l[b]+m = 0...(3) かつK[a]+L[b]+M = 0...(4)
[a],[b]はそれぞれa,bの共役複素数で実数の共役複素数は実数。
ここで、(K/k){(1)-(3)} - {(2)-(4)}を計算すると,
(K/k){(1)-(3)} - {(2)-(4)} = (Kl/k-L){b-[b]} = 0...(5)(5)から,Kl/k - L=0あるいはb-[b]=0であるが、
Kl/k - Lは0になりえない.
なぜなら,もしKl/k - L=0だとすると,(K/k)(1)-(2)
= (Kl/k-L)b + (K/k)m - M = 0 ⇔ (K/k)m = Mとなるが,
もしこれが成り立つならばa,bは何をとっても成立するし、
成り立たなければKl/k - L≠0であるから.
よって、b-[b] = 0 ⇔ b = [b]であるから,bは実数.(複素数とその共役複素数が等しいことが実数であることの必要十分条件).
あとはkあるいはKのどちらかは必ず0でない実数だから(もしどちらも0だったらaはどんな値をとっても成り立つかあるいは常に成り立たないのどちらかしかない),(1)あるいは(2)を変形して、左辺をaにすればbが実数であることを用いてaが実数であることがわかる.

No.77952 - 2021/08/30(Mon) 20:05:12

Re: / part2
お二方ありがとうございます。
特にXさんにききたいのですが

この連立方程式を解いた時の(a.b)の組が虚数にならない理由ってありますか?

No.77956 - 2021/08/30(Mon) 20:48:34

Re: / part2
またa,bは何をとっても成立ではダメでしょうか?
No.77957 - 2021/08/30(Mon) 21:03:59

Re: / X
>>この連立方程式を解いた時の(a.b)の組が虚数にならない理由ってありますか?

No.77946でも書きましたが
>>(A)(B)のa,bの係数、及び定数項は実数
だからです。
これで納得できないのであれば、以下のキーワードを
ネット検索してみて下さい。
クラーメルの公式

No.77959 - 2021/08/30(Mon) 21:23:18

Re: / part2
ka+lb+m=0(k.l.mは実数)の時a.bは実数というのはそのクラメルの公式というのを使わないとできないという解釈であってますか?

何度もすみません。

No.77961 - 2021/08/30(Mon) 21:58:23

Re: / X
連立方程式の解を導くときに、クラメルの公式を使えば
a,bが実数k,lの加減乗除で表されることが一目で分かる
という意味でクラメルの公式を挙げています。
クラメルの公式を使わないと解けないわけではありません。

No.77967 - 2021/08/31(Tue) 00:06:59

Re: / part2
(K/l)m=Mの時a.bは何をとっても成立するとありますが、何をとっても成立するなら虚数でも大丈夫ということになりませんか?
No.77971 - 2021/08/31(Tue) 06:51:30

Re: / part2
どなたかNo.77971分かりますでしょうか?
No.78037 - 2021/09/02(Thu) 06:51:42

Re: / part2
xさんや編入受験生さんはいませんか?
No.78040 - 2021/09/03(Fri) 08:34:11
高校 数A 確率 / いいい高3
画像下側(4)答えの式で、確率の全体集合が6P4になるのが理解できなく困っています。

問題文に「辺上の点すべてにカードが置かれたら試行を終了する」と書いているので、1234 1235といった事象は存在しないはず、6P4だとこのような場合を含む気がします。

問題文の解釈が間違っているのでしょうか?

No.77934 - 2021/08/30(Mon) 16:11:37

Re: 高校 数A 確率 / X
問題文を条件付確率を求めることと誤解していませんか?

この問題は問題文の
>>ちょうど4回で終了し
の後ろに
「かつ」
という文言が隠れているのであって
「たという条件の下で」
という文言が隠れているわけではありません。

No.77937 - 2021/08/30(Mon) 17:36:47

Re: 高校 数A 確率 / いいい高3
解答ありがとうございます。
しかし、疑問が残ります。
では6P4は何を意味するのでしょうか?
6つの数から4つ並べるということなら、1234といった、3回目で試行が終了したら起きない場合を含めている気がします。

No.77947 - 2021/08/30(Mon) 19:23:19

Re: 高校 数A 確率 / ヨッシー
確率は、
 ある事象の起こる場合の数÷全事象の起こる場合の数
ですが、この場合の個々の事象は、すべて同じ確からしさでないと
場合の数の割り算が使えません。
ですから、123で終わらずに、1234,1235,1236全部足すのです。

No.77948 - 2021/08/30(Mon) 19:33:00

Re: 高校 数A 確率 / いいい高3
みなさん解答ありがとうございました。
今後の学習に役立てそうです(_ _)

No.77962 - 2021/08/30(Mon) 22:36:03
(No Subject) / もよもと
三角関数を使わず∫√(1-x^2)dxを計算してください
∫0→1

No.77930 - 2021/08/30(Mon) 09:51:21

Re: / 高校三年生
半径1の円を4分割した扇形図形の面積。
No.77931 - 2021/08/30(Mon) 11:10:53

Re: / GandB
∫1/√(1-x^2)dx = ArcSin(x) + C を公式として使うのであれば部分積分でやればいい。
No.77932 - 2021/08/30(Mon) 12:56:50

Re: / もよもと
計算式求む
No.77933 - 2021/08/30(Mon) 14:34:24

Re: / X
ではGandBさんの方針に沿った計算を。

(与式)=I
とすると
I=[x√(1-x^2)][0→1]+∫[0→1]{(x^2)/√(1-x^2)}dx
=-I+∫[0→1]dx/√(1-x^2)
∴I=(1/2)∫[0→1]dx/√(1-x^2)
=(1/2)[arcsinx][0→1]
=(1/2)(π/2)
=π/4

No.77939 - 2021/08/30(Mon) 17:41:49

Re: / ミッキー
arcsinxを使わない式を知りたい
No.77942 - 2021/08/30(Mon) 17:58:41

Re: / Takumi Sato
∫√xdx=2/3x^(3/2)+Cを使えばうまくいくかも
No.77943 - 2021/08/30(Mon) 18:06:56
空気抵抗について / Ryo
はじめまして。
自由研究で銀河鉄道999について調べてます。
999号が出発する時、地球の重力を振り切るために、第二宇宙速度(マッハ49)をだすと、どのぐらいの空気抵抗が生まれますか?また、乗っているお客さんにどのぐらいの圧力がかかりますか?
よろしくお願いします。

No.77926 - 2021/08/29(Sun) 21:23:38

Re: 空気抵抗について / 編入受験生
高校ないし中学の物理の範囲で空気抵抗を具体的に導出することはできない。なぜなら、空気抵抗は速度に比例する(厳密には十分遅い速度で)が、比例定数は物体の形状(面積)と媒質(この場合は大気)の密度に依存し、しかもその値は流体力学ないし実験によってしか得ることが出来ないから。また、圧力は面に垂直に働く力だから、鉄道が加速してもしなくても車内の媒質から乗客が受ける圧力は変わらない。また、それは高校物理の範囲で考えることができない。おそらく鉄道が加速することによって生じる慣性力のことを言っているのだと思うけど、慣性力は質量に比例する力なので圧力を考えることはできない。簡単に言えばどのような形や表面積であっても質量が同じなら受ける力は変わらない。
また空気抵抗はポテンシャル・エネルギーではないから、空気抵抗まで考慮した宇宙速度(地球の重力圏を脱出するために必要な速度)は、経路に依存する。
おそらくだけどRyoさんが想像している以上に空気抵抗を考慮して論じることは大変。仮に、銀河鉄道の形状を長方体、経路を鉛直方向のみに限定したとしても大変なことだと思う。
空気抵抗は無視するべき。空気抵抗を無視して、銀河鉄道は剛体かつ回転運動はないとして、運動を論じるべきだと思う。それでも十分自由研究としてはすごいと思うよ。

No.77927 - 2021/08/29(Sun) 23:58:47

Re: 空気抵抗について / 編入受験生
×空気抵抗はポテンシャル・エネルギーではない
〇空気抵抗は保存力ではない

No.77928 - 2021/08/30(Mon) 00:01:20

Re: 空気抵抗について / Ryo
どうもありがとうございます。頑張ります!
No.77929 - 2021/08/30(Mon) 00:07:32
線形代数 ベクトル、部分空間について / あき
例題11-1の問題(1)について質問です。
V1がベクトル空間Mの部分空間であるかどうかの判別で解説を読んでみたのですが、AX=XA(A,Xは2次正方行列)の部分が分かりません。一般にはAB=BA(A,Bは正方行列)は成立しないと思うのですが…

No.77923 - 2021/08/29(Sun) 18:43:11

Re: 線形代数 ベクトル、部分空間について / あき
こちらが解説になります。使用参考書は編入数学徹底研究(金子書房)です。ページをまたいでいるので見づらくて申し訳ないです。分からない箇所は写真の左半分の所ですね。
No.77924 - 2021/08/29(Sun) 18:47:00

Re: 線形代数 ベクトル、部分空間について / IT
>AX=XA(A,Xは2次正方行列)の部分が分かりません。
>一般にはAB=BA(A,Bは正方行列)は成立しないと思うのです


もちろんそのとおりです。
AX=XA(A,Xは2次正方行列)の部分の、どこがなぜ分からないのか、良く分かりませんが、
ひょっとして、{X∈M|AX=XA}(A∈M)の意味が分かってない(誤解しておられる)のではないでしょうか?


ある(任意の)2次正方行列Aが与えられたとき、その行列Aと可換なすべての2次正方行列Xからなる集合が「部分ベクトル空間」となるか。すなわち、ベクトル空間のすべての条件(性質)を満たすかという問題です。

例えば、単位行列、ゼロ行列、A やこれらのスカラー倍などは、Aと可換です。

No.77925 - 2021/08/29(Sun) 19:07:59

Re: 線形代数 ベクトル、部分空間について / あき
教えていただきありがとうございました。
つまりXは2次正方行列であれば部分ベクトル空間となるので、条件を満たすのですね、ご教示頂きありがとうございました。

No.77970 - 2021/08/31(Tue) 04:54:35
確率 標本空間のとりかた / コルモゴロフn世 高3
確率の別解で、標本空間のとりかたを変える?と上手く計算できる場面がありますが、そもそも標本空間を取り替えて良いのでしょうか。
教科書には「ある試行においてどの根元事象も同様に確からしいとき事象Aの起こる場合な数をa、起こりうる全ての場合の数をnとするときa/Nを事象Aの確率という。」としか書いておらず、果たして一つの試行に対して根元事象の組は一つなのか、標本空間は一つなのかがわかりません。教えてくださると助かります。

No.77922 - 2021/08/29(Sun) 16:46:20
数学V 複素数平面 / りんごちゃん
複素数平面の問題がわかりません。

複素数zをz=cod(π/6)+isin(π/6)とする。大小2つの正六面体のさいころを同時に投げ、出た目をそれぞれm,nとするとき、複素数平面上の点0,z^m,z^nが正三角形の異なる3個の頂点となる確率は?

という問題です。

単位円で考えたとき、0と(2/3)πと(4/3)πで三角形になるから(2/3)π=(4/6)π、(4/3)π=(8/6)π よって(m,n)=(4,8)
m,nは1〜6なので、8が使えない・・・となり困ってしまいました。

アドバイス,よろしくお願いします。

No.77919 - 2021/08/29(Sun) 10:28:17

Re: 数学V 複素数平面 / ヨッシー
点0 の座標を (1, 0) で考えていませんか?

No.77920 - 2021/08/29(Sun) 10:34:08

Re: 数学V 複素数平面 / りんごちゃん
お恥ずかしい。
完璧に勘違いしておりました。
無事に解けました。ありがとうございました!

No.77921 - 2021/08/29(Sun) 16:32:03
三角比を使った図形について / しょう
このCEとADの長さの求め方を教えてほしいです。少し見えにくいですがBからEには垂線を下ろしています。よろしくお願いします。
No.77915 - 2021/08/28(Sat) 18:06:17

Re: 三角比を使った図形について / ヨッシー

図のように、直角二等辺三角形が2つ、1:2:√3 の直角三角形1つ、見つかるはずです。

No.77916 - 2021/08/28(Sat) 20:47:07

Re: 三角比を使った図形について / しょう
合計3つの三角形があるのはわかりましたが、AEの長さだけでどのようにして求めるのですか?
No.77917 - 2021/08/28(Sat) 20:50:06

Re: 三角比を使った図形について / ヨッシー
1:2:√3 および 1:1:√2 の比を使って、
 AE→BE→CE(答え1)→CA→AD(答え2)
の順に求めていきます。

No.77918 - 2021/08/28(Sat) 21:35:01
(No Subject) / 数学苦手
この問題は分に合わせて計算したほうがいいでしょうか?時間に合わせたら多分間違いですよね
No.77910 - 2021/08/28(Sat) 01:51:28

Re: / 数学苦手
間違えて、時間に合わせると訳がわからなくなりました
No.77911 - 2021/08/28(Sat) 01:52:44

Re: / 数学苦手
文章を見て、どちらに合わせるか考えられるようにならなくてはいけませんね…
No.77912 - 2021/08/28(Sat) 01:54:02

Re: / 数学苦手
求めようとしてるのは分ですから、多分最後の問いかけの箇所に合わせて、計算していくのですね
No.77913 - 2021/08/28(Sat) 03:27:20
積分 / 何
積分 tanx/2 tは元に戻す?
No.77904 - 2021/08/27(Fri) 22:34:39

Re: 積分 / らすかる
不定積分で置換したのなら元の変数に戻す必要があります。
定積分で置換した場合は置換した変数が残りませんので元に戻すこともありません。

No.77906 - 2021/08/27(Fri) 23:02:37

Re: 積分 / 何
後もう一つ、xをsinやtan に置換する時、-π/2<x<π/2や-π<x<πと範囲を記述するのはあんまり良くないですか?理由としては、元の関数xは範囲が制限されていないと考えたからです。
No.77907 - 2021/08/27(Fri) 23:43:11

Re: 積分 / らすかる
xの範囲が-∞〜∞でもx=tanθとしたときは-π/2<θ<π/2のように
θの範囲を決めないと、xとθが一対一に対応せず、問題があります。
ですから範囲を記述「しない」のはよくないです。

No.77908 - 2021/08/28(Sat) 01:03:41

Re: 積分 / 何
たしかにそう書いてあった記憶がありました!でもそれって、xが全ての実数で移動するときで、t=tan(x/2)の場合、xもtも全ての実数で移動するのでその場合厳密性はどうなるのですか。
No.77909 - 2021/08/28(Sat) 01:41:59

Re: 積分 / らすかる
例えばx=πのときtan(x/2)は未定義ですから、
xが実数全体ならばt=tan(x/2)とおくことはできません。

No.77914 - 2021/08/28(Sat) 05:25:23
点が移動する問題 / クッキングバカ
 下の図のような長方形 ABCD がある。2点P,QはAから同時に出発し,Pは毎秒2pの速さで反時計回りに,Qは毎秒3pの速さで時計回りに2点が出会うまで,それぞれ一定の速さで返上を動くものとする。P,QがAを出発してからx秒後の △APQ の面積をy㎤とするとき,次の各問いに答えなさい。
⑴ 2点P,Qがともに辺 BC 上に到達してから出会うまでのxの値の範囲を不等式を用いて答えなさい。
⑵ xの値の範囲が⑴のとき,y=3 となるようなxの値を求めなさい。ただし,必ず方程式を用い,途中の式・説明も書きなさい。

【解答】⑴ 6≦x≦36/5  ⑵ x=7
    なぜこのようになるのか,解説をお願いします‼

No.77897 - 2021/08/27(Fri) 16:40:08

Re: 点が移動する問題 / X
(1)
以下の値を求めます。
(i)点Pが点Aを出発してから点Bに到達するまでの時間
(ii)点Qが点Aを出発してから点Dを経由して点Cに到達
するまでの時間
(iii)点P,Qが点Aを出発してから再び出会うまでの時間
(i)(ii)は自力でやってもらうとして(iii)だけ。
条件のとき
(点Pが進む距離)+(点Qが進む距離)=(長方形ABCDの周囲の長さ)
ですので
2x+3x=36
これを解きます。

(2)
条件のとき
BP=2x-AB=2x-6[cm]
CQ=3x-AD-CD=3x-18[cm]
よって
PQ=BC-BP-CQ=-5x+36[cm]
となるので△APQの面積について
(1/2)×(-5x+36)×6=3
これをxの方程式として解きます。

No.77901 - 2021/08/27(Fri) 20:12:53
(No Subject) / 齊藤
X^2+y^2<=10
2x+y>=5 を満たしながらx.yが動くときax-yの最小値を求めよ

a.x.y は実数

No.77896 - 2021/08/27(Fri) 12:14:56

Re: / 編入受験生
この問題は図形的に解く問題です。
不等式の表す領域を図示して、aがある範囲の下では円の接線のとき最小になるということを図形的に証明して解く必要があります。しかし、この掲示板で図を用いて解答を求めることは容易ではないので、以下代数的に解く方法を示したいと思います。そして、このような図形的に解くべき問題を代数的に解くとどれほど大変かーそれを示す例としても意味があると思います。
(代数的解法:一文字固定)
x^2+y^2=10は原点を中心点とする半径√10の円Cの方程式であるから,x^2+y^2<=10は円Cの内部の領域を表す不等式(境界含む)である。
一方,2x+y>=5⇔y>=5-2xは傾き-2,点(0,5)を通る直線Lの上側の領域を表す不等式である。
次にLとCの共有点を求める.y=5-2xを円Cの方程式に代入してxについて解くと, x = 1,3を得るから,共有点は(1,3),(3,-1)である.よって,xの範囲は1<=x<=√10である.
各xに対するyの最大値は√(10-x^2),最小値は1<=x<3のとき5-2x,それ以外のとき-√(10-x^2)である.
この元で,k = ax-yの最小値を求める.
今,kをyの関数k(y)と見立てて、最小値を求めるとxにかかわらずyが最大の時だから,k(y)の最小値はy=√(10-x^2)のときで, k = ax - √(10-x^2)である.
次にkをxの関数k(x)と見立て,1<=x<=√10のもとでk(x)の最小値を求めれば,それがx,yが上記の領域を動くときのkの最小値である.
ここでaが正負の場合について場合分けをする.
a>=0のとき,axの最小値と- √(10-x^2)の最小値はともに,
xが最小の時だから,x= 1のときすなわち(x,y) = (1,3)のとき最小値k(1) = a-3を取る.
a<0のときはそのように簡単に求めることができない.
そこで,最小値は端点か極値のいずれかであることを利用し,k(x)が1<=x<=√10の範囲で極値があるかどうかを調べることで,最小値を求めたい.
x≠√10のもとでk(x)をxで微分すると,k'(x) = a + x/√(10-x^2)で極値の条件はk'(x)=0を満たすxであることだから,
a + x/√(10-x^2) = 0...(1)が成り立つ.
(1)の両辺にx/√(10-x^2)を足して,x>0のもとで両辺を二乗してxで整理すると, a^2(10-x^2) = x^2⇔ (a^2+1)x^2-10a^2=0
. ∴x = -a√{10/(a^2+1)}(以後αとおく).
次にこの点が極小点であることを示す.
x/√(10-x^2)が1<=x<√10のもとで増大することを示せばよい.x = √10sint(β<=t<π/2)とおけば,x/√(10-x^2) = tantとなり, tantは増加関数だからx/√(10-x^2)も増加関数である.よってx=αの前後でk(x)は減少から増加へと変わる.
すなわち,もしαがxの定義域内ならばx=αのとき最小になる.
次にこのαがxの定義域に入っているかどうかを調べる.
すなわち1 <= -a√{10/(a^2+1)} < √10を満たすようなaを求める.辺々に√{(a^2+1)/10}をかけてa<0の下で辺々を二乗してaで整理すると, 1/9 <= a^2かつ0<1をえる.
a<0だからこれは, a <= -1/3ということである.
よって,-1/3<=a<0のとき,最小値は端点x=1orx=√10のいずれかで,
a<-1/3のとき,最小値は端点orx=αのいずれか.
まず-1/3<=a<0のとき, k(1) = a-3でk(√10) = a√10. a√10>a-3..(2)と仮定すると,
(2)⇔3 >(1-√10)a..(3),√10>√9=3だから,1-√10<0より(3)の右辺が最大となるのはa=-1/3のとき.a=-1/3を右辺に代入して整理すると,
9>√16-1=3>(√10-1)より正しい.よって最小値はa>=0のときと同じ.
a<-1/3のときは、上記からx=αのときだから,
a + α/√(10-α^2) = 0⇔√(10-α^2)=-α/aを用いると,
k(α) = aα - √(10-α^2) = α(a+1/a) = α(a^2+1)/a
= -√{10(a^2+1)}.
これより,以下のaのそれぞれの場合について最小値が与えらえる.
-1/3<=a ⇒ (x,y) = (1,3)のとき最小値a-3.
-1/3>a ⇒ (x,y) = (-a√{10/(a^2+1)},√{10/(a^2+1)}).

No.77899 - 2021/08/27(Fri) 20:06:43

Re: / 編入受験生
のとき,最小値-√{10(a^2+1)}.
終わり.

No.77900 - 2021/08/27(Fri) 20:09:58
%の計算について / 高橋
14000の20%増しの計算をするために、14000*1.2=16,800をして、どれくらいの余裕があるのかを%で表すために14000/16,800をしたところ83.3%になります。20%ましをしたので80%になるはずだと思うのですが、なぜ83.3%になってしまうのでしょうか。。
No.77894 - 2021/08/27(Fri) 08:59:38

Re: %の計算について / らすかる
20%増し=1.2倍=6/5倍ですから、その逆数は
5/6倍=0.833…倍≒83.3%倍となります。
例えば1000円の20%増しの80%は1200円×0.8=960円ですから、
20%と80%は逆の関係にはなっていないですね。
なぜそうなるかというと、
20%増しは1000円に対する20%、
83.3%は(20%増しした後の)1200円に対する83.3%であって
分母が異なるからです。

No.77895 - 2021/08/27(Fri) 09:20:43
確率 / 美結
nを3以上の整数とする。n個の球K1、K2、…Knとn個の空の箱H1、H2、…Hnがある。以下のように、K1、K2、…Knの順に、球を箱に1つずつ入れていく。

まず、球K1を箱H1、H2、…Hnのどれか一つに無作為に入れる。次に、球K2を箱H2が空ならば箱H2に入れ、箱H2が空でなければ残りのn-1個の空の箱のどれか一つに無作為に入れる。

一般に、i=2、3、…nについて、球Kiを、箱Hiが空ならば箱Hiに入れ、箱Hiが空でなければ残りのn-i+1個の空の箱のどれか一つに無作為に入れる。

(1)Knが入る箱はH1またはHnであることを証明せよ。

(2)K(n-1)がH(n-1)に入る確率を求めよ。

(1)、(2)とも全然わからないです。わかりやすく教えてください。

No.77890 - 2021/08/27(Fri) 03:06:41

Re: 確率 / ヨッシー
よそのページですが、こちらとか。

ひょっとしたら、この手のページはすでにチェック済みで、さらなる説明を求められているとか?

No.77893 - 2021/08/27(Fri) 07:13:22

Re: 確率 / 高校三年生
>(2)K(n-1)がH(n-1)に入る確率を求めよ。

・エレガントすぎる別解

結局、球の番号によらず、【箱H1】or【箱Hn】に球が詰まるのが先か、
【箱Hn-1】に球が詰まるのが先かで、題意の事象が起こるか否かが決まる。

「上記の三つの箱が空」であることを付帯条件に、箱を無作為に選んで入れるとき、
箱の数の比を考えると単純に、【箱H1】or【箱Hn】に球が詰まる確率は、
【箱Hn-1】に球が詰まる確率の倍となる。
つまり、求める確率 P は、

P:(1-P) = 2:1 ⇔ P = 2/3

No.77902 - 2021/08/27(Fri) 21:31:29
(No Subject) / 数学苦手
この問題について質問です
No.77883 - 2021/08/27(Fri) 00:10:57

Re: / 数学苦手
このように最小公倍数では解けない問題なのでしょうか。
No.77884 - 2021/08/27(Fri) 00:12:05

Re: / ヨッシー
一番下の ポンプB+C にマルがしてある部分
本当にそれで良いですか?

問いかけではなく「おかしいよ」と言っています。

そこさえ直せば、流れは正しいので、解けるはず。

No.77886 - 2021/08/27(Fri) 00:29:15

Re: / 数学苦手
あ!すいません!A見逃してました…ほんとにこういうとこがバカですね。すいません。訂正してみます
No.77887 - 2021/08/27(Fri) 00:47:11

Re: / 数学苦手
できました。失礼しました。
No.77888 - 2021/08/27(Fri) 00:56:29

Re: / 数学苦手
12ー7で出した5はAとBとCで同時に溜めていたときのCが1分あたりに出した水で、Cだけならば何分で満水になるのか分からないので、60を5で割ると12となり、Cは12分で満水になるというわけですね。
No.77889 - 2021/08/27(Fri) 01:15:58

Re: / ヨッシー
はい。正解です。
No.77892 - 2021/08/27(Fri) 05:48:22
(No Subject) / 松
点(a,b)が x^2+y^2≦4 が表す領域内を動くとき、点(a+b,ab)
が動く範囲を求めよ

解き方を教えてください。

No.77879 - 2021/08/26(Thu) 20:39:40

Re: / けんけんぱ
思いついてしまったので書いときます。
もし間違っていたら、誰かに訂正してもらえるでしょう。
点(a,b)が x^2+y^2≦4 が表す領域内を動くのでa^2+b^2≦4
(a+b)^2-2ab≦4
点(a+b,ab)を(X,Y)とすれば、a+b=X,ab=Y
代入して、X^2-2Y≦4

No.77880 - 2021/08/26(Thu) 21:03:15

Re: / X
横から失礼します。
>>けんけんぱさんへ
a,bに対する実数条件が抜けています。

x=a+b,y=abと置くと
けんけんぱさんの計算から
x^2-2y≦4
∴y≧(1/2)x^2-2 (A)
一方、a,bはtの二次方程式
t^2-xt+y=0
の解ですので解の判別式をDとすると
D=x^2-4y≧0
∴y≦(1/4)x^2 (B)
よって問題の点の存在範囲は
(A)かつ(B)
となります。

No.77882 - 2021/08/26(Thu) 21:12:29

Re: / けんけんぱ
Xさん、ありがとうございます。
松さんはもう見ていないのでしょうか?何の反応もありませんね。

No.77903 - 2021/08/27(Fri) 22:13:09
平面図形 / パンサーカス
辺ABの長さが1であり、∠C=π/6 の三角形ABCがある. 辺BCを2:1に内分する点をPとするとき、線分APの長さの最大値を求めよ.

という問題について、座標平面上にB(-2a,0) C(a,0)(a>0) このときP(0,0)としてAはy=-1/√3(x-a)上の点(t,-1/√3(t-a))(t>0)で、AB=1であることを条件にAPの最大値を出したいのですが方法が分かりません。∠Aをθととおいて解く方法が早いのは分かるんですが、この場合の解き方を教えてください。

No.77878 - 2021/08/26(Thu) 13:45:40

Re: 平面図形 / X
条件のとき、AB=1から
(t+2a)^2+(1/3)(t-a)^2=1 (A)

AP^2=t^2+(1/3)(t-a)^2 (B)
(A)(B)をt,aについての連立方程式と見たとき
a>0なる実数の解の組(t,a)が存在する
条件を求めます。

(A)より
3(t+2a)^2+(t-a)^2=3
4t^2+10at+13a^2-3=0 (A)'
(B)より
4t^2-2at+a^2-3AP^2=0 (B)'
(A)'-(B)'より
12at+12a^2-3+3AP^2=0
4at+4a^2-1+AP^2=0
t=(1-AP^2)/(4a)-a (C)
(C)を(A)'に代入すると
4{(1-AP^2)/(4a)-a}^2+10{(1-AP^2)/4-a^2}+13a^2-3=0
4{(1-AP^2)/(4a)-a}^2+5(1-AP^2)/2+3a^2-3=0
(1/(4a^2))(1-AP^2)^2+(1-AP^2)/2+7a^2-3=0
(1-AP^2)^2+2(1-AP^2)a^2+28a^4-12a^2=0
28a^4-2(5+AP^2)a^2+(1-AP^2)^2=0
ここでu=a^2と置くと
28u^2-2(5+AP^2)u+(1-AP^2)^2=0 (D)
(D)がu>0の範囲で実数解を持てばよいので
f(u)=28u^2-2(5+AP^2)u+(1-AP^2)^2
と置いて、横軸にu,縦軸にf(u)を取ったグラフを考えると
対称軸は
u=5+AP^2>0
となっているので単に(D)の解の判別式(Dとします)
の条件を考えればよく、
D/4=(5+AP^2)^2-28(1-AP^2)^2≧0
これより
27AP^4-66AP^2+3≦0
9AP^4-22AP^2+1≦0
{AP^2-(11+√112)/9}{AP^2-(11-√112)/9}≦0
11>√112に注意すると
(11-√112)/9≦AP^2≦(11+√112)/9
(11-2√28)/9≦AP^2≦(11+2√28)/9
(-2+√7)/3≦AP≦(2+√7)/3
∴APの最大値は(2+√7)/3

No.77881 - 2021/08/26(Thu) 21:06:11

Re: 平面図形 / S
なるほど!!ありがとうございました!!!
No.77885 - 2021/08/27(Fri) 00:16:44

Re: 平面図形 / X
>>ぱんさーかすさんへ
もう見ていないかもしれませんが、No.77881で
誤りがありましたので訂正します。

誤:
対称軸は
u=5+AP^2>0

正:
対称軸は
u=(5+AP^2)/28>0

No.77891 - 2021/08/27(Fri) 04:45:57

Re: 平面図形 / パンサーカス
気づきました、ありがとうございます!
No.77984 - 2021/08/31(Tue) 19:02:56
(No Subject) / パン
図形の計量
相似と線分の長さ 面積

問1(1) DはABの中点にあり、DE//BCである
△ADE=3㎠のとき、△ABCの面積を求めよ。
(2)四角形ABCDは、頂点がすべて同じ円周上にあり、
AB=AC、∠BAC=∠CBDである。また対角線ACと対角
BDとの交点をEとするAE=4p、CE=1pであるとき、相似な2つの三角形に着目して、辺CDの長さを求めよ

(3)長方形ABCDがあり、AD=4p、DC=5pである。2点E、Fはそれぞれ辺AB、BCの中点である。線分AFと線分DEとの交点をG、線分AFと線分ECとの交点をHとするとき、△EGHの面積は何㎠か

立体の体積

問2 三角錐ABCDにおいて、∠ABC=∠ABD=∠CBD=90°、AB=12p、BC=BD=6pである。L、M、Nはそれぞれ、AB、AC、ADの中点でんある。△LMNおよび△BCDをそれぞれ上底面および下底面とする立体LMNーBCDの体積を求めよ

解説
(1)△ADE∽△ABCで相似比は1:2だから面積比は1の2乗:2の2乗=1:4
答え 12㎠

(2)△ABC∽△BECとなり、AC:BC=BC:CE
5:BC=BC:1 BCの2乗=5,BC=√5
答え √5㎠

(3)点Eを通り辺BCに平行な直線とAFとの交点をIとする
CD=BCとなり、CD=BC
△GEI∽△HEI∽△HCF EH:CH=EI:CF=1:2
△EGH=5/1、△DEH=5/1×3/1△DEC
答え3/2㎠

(2-1)三角錐A−LMNの体積と三角推A−BCDの体積は
1の3乗:2の3乗=1:8
三角錐のA−BCDの体積は72㎤
答え63㎤

解説の部分で途中の計算式がなくておおまかな回答
しか掲載おらずに非常に困っています。
一体どのような計算式を書けばよいか、教えて下さい

No.77876 - 2021/08/25(Wed) 22:10:22

Re: / ヨッシー
図なしで言葉だけで説明するには、よほど念入りに推敲しないと
伝わりません。
たとえば、問1(1) は、こんなのでも良いわけですよね?

No.77877 - 2021/08/25(Wed) 22:58:22
三角比 / いちまる
ある問題集の問題なのですが、下の問題の赤字のcの式の意味が分からないです。なぜ、a cosBとb cosAは何を表していて、なぜこのような式になるのでしょうか。またなぜこの二つを足しているのでしょうか。
No.77856 - 2021/08/25(Wed) 17:04:38

Re: 三角比 / ヨッシー
以前は、第1余弦定理と言ったものですが。


CからABに垂線CHを下ろしたとき、
AH,HBをそれぞれ、a,b,A,Bで表しましょう。

 

No.77860 - 2021/08/25(Wed) 17:32:29

Re: 三角比 / ヨッシー
あ、今も言うようですね。
No.77861 - 2021/08/25(Wed) 17:36:52

Re: 三角比 / いちまる
確かに普通に教科書に載っていますね。ご丁寧にありがとうございます。
No.77905 - 2021/08/27(Fri) 23:00:59
三角関数 / turquoise
tanθー1÷(1+cos2θ)の値域を求めよ(-90°<θ<0°)

どのように解けばよいのでしょうか。

No.77850 - 2021/08/25(Wed) 15:44:02

Re: 三角関数 / らすかる
(cosθ)^2=(1+cos2θ)/2 から
1/(1+cos2θ)=1/{2(cosθ)^2} なので
tanθ-1/(1+cos2θ)=tanθ-1/{2(cosθ)^2}
=sinθ/cosθ-1/{2(cosθ)^2}
=2sinθcosθ/{2(cosθ)^2}-1/{2(cosθ)^2}
=(2sinθcosθ-1)/{2(cosθ)^2}
=-(1-2sinθcosθ)/{2(cosθ)^2}
=-(sinθ-cosθ)^2/{2(cosθ)^2}
=-(1/2){(sinθ-cosθ)/cosθ}^2
=-(1/2)(sinθ/cosθ-cosθ/cosθ)^2
=-(1/2)(tanθ-1)^2
-90°<θ<0°のときtanθ<0なので
tanθ-1<-1
(tanθ-1)^2>1
-(1/2)(tanθ-1)^2<-1/2
∴tanθ-1/(1+cos2θ)<-1/2
となります。

No.77851 - 2021/08/25(Wed) 16:08:43
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