X^2＋y^2<=10
2x+y>=5 を満たしながらx.yが動くときax-yの最小値を求めよ
a.x.y は実数
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No.77896 - 2021/08/27(Fri) 12:14:56
| ☆ Re: / 編入受験生 | | | この問題は図形的に解く問題です。
不等式の表す領域を図示して、aがある範囲の下では円の接線のとき最小になるということを図形的に証明して解く必要があります。しかし、この掲示板で図を用いて解答を求めることは容易ではないので、以下代数的に解く方法を示したいと思います。そして、このような図形的に解くべき問題を代数的に解くとどれほど大変かーそれを示す例としても意味があると思います。
（代数的解法：一文字固定）
x^2+y^2=10は原点を中心点とする半径√10の円Ｃの方程式であるから,x^2+y^2<=10は円Ｃの内部の領域を表す不等式(境界含む)である。
一方,2x+y>=5⇔y>=5-2xは傾き-2,点(0,5)を通る直線Ｌの上側の領域を表す不等式である。
次にＬとＣの共有点を求める.y=5-2xを円Ｃの方程式に代入してxについて解くと, x = 1,3を得るから,共有点は(1,3),(3,-1)である.よって,xの範囲は1<=x<=√10である.
各xに対するyの最大値は√(10-x^2),最小値は1<=x<3のとき5-2x,それ以外のとき-√(10-x^2)である.
この元で,k = ax-yの最小値を求める.
今,kをyの関数k(y)と見立てて、最小値を求めるとxにかかわらずyが最大の時だから,k(y)の最小値はy=√(10-x^2)のときで, k = ax - √(10-x^2)である.
次にkをxの関数k(x)と見立て,1<=x<=√10のもとでk(x)の最小値を求めれば,それがx,yが上記の領域を動くときのkの最小値である.
ここでaが正負の場合について場合分けをする.
a>=0のとき,axの最小値と- √(10-x^2)の最小値はともに,
xが最小の時だから,x= 1のときすなわち(x,y) = (1,3)のとき最小値k(1) = a-3を取る.
a<0のときはそのように簡単に求めることができない.
そこで,最小値は端点か極値のいずれかであることを利用し,k(x)が1<=x<=√10の範囲で極値があるかどうかを調べることで,最小値を求めたい.
x≠√10のもとでk(x)をxで微分すると,k'(x) = a + x/√(10-x^2)で極値の条件はk'(x)=0を満たすxであることだから,
a + x/√(10-x^2) = 0...(1)が成り立つ.
(1)の両辺にx/√(10-x^2)を足して,x>0のもとで両辺を二乗してxで整理すると, a^2(10-x^2) = x^2⇔ (a^2+1)x^2-10a^2=0
. ∴x = -a√{10/(a^2+1)}（以後αとおく）.
次にこの点が極小点であることを示す.
x/√(10-x^2)が1<=x<√10のもとで増大することを示せばよい.x = √10sint(β<=t<π/2)とおけば,x/√(10-x^2) = tantとなり, tantは増加関数だからx/√(10-x^2)も増加関数である.よってx=αの前後でk(x)は減少から増加へと変わる.
すなわち,もしαがxの定義域内ならばx=αのとき最小になる.
次にこのαがxの定義域に入っているかどうかを調べる.
すなわち1 <= -a√{10/(a^2+1)} < √10を満たすようなaを求める.辺々に√{(a^2+1)/10}をかけてa<0の下で辺々を二乗してaで整理すると, 1/9 <= a^2かつ0<1をえる.
a<0だからこれは, a <= -1/3ということである.
よって,-1/3<=a<0のとき,最小値は端点x=1orx=√10のいずれかで,
a<-1/3のとき,最小値は端点orx=αのいずれか.
まず-1/3<=a<0のとき, k(1) = a-3でk(√10) = a√10. a√10>a-3..(2)と仮定すると,
(2)⇔3 >(1-√10)a..(3),√10>√9=3だから,1-√10<0より(3)の右辺が最大となるのはa=-1/3のとき.a=-1/3を右辺に代入して整理すると,
9>√16-1=3>(√10-1)より正しい.よって最小値はa>=0のときと同じ.
a<-1/3のときは、上記からx=αのときだから,
a + α/√(10-α^2) = 0⇔√(10-α^2)=-α/aを用いると,
k(α) = aα - √(10-α^2) = α(a+1/a) = α(a^2+1)/a
= -√{10(a^2+1)}.
これより,以下のaのそれぞれの場合について最小値が与えらえる.
-1/3<=a ⇒ (x,y) = (1,3)のとき最小値a-3.
-1/3>a ⇒ (x,y) = (-a√{10/(a^2+1)},√{10/(a^2+1)}).
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No.77899 - 2021/08/27(Fri) 20:06:43 |
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