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ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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★ 数2 3次関数 / アルファ
3次関数y=ax^3+bx^2+cx+dが右の図のようになる時、a,b,c,d の正負を求めよ
dが正なのはわかるのですが残り3つがわかりません
5番の問題です、関数の図の黒丸が極限です
No.89593 - 2024/12/17(Tue) 20:46:56
☆ Re: 数2 3次関数 / らすかる
x→∞のときy→-∞なのでaは負です。
f(0)＞0なのでdは正です。
f'(0)＜0なのでcは負です。
f''(0)＜0なのでbは負です。
No.89597 - 2024/12/17(Tue) 21:20:25
★ 数2 指数方程式 / アルファ
1/4^x＞=(3/2^x )-2
の解き方を教えてください
式中の分数をどのように変形すればいいかわかりません
No.89586 - 2024/12/17(Tue) 16:53:31
☆ Re: 数2 指数方程式 / らすかる
t=1/2^xとおくとt^2=1/4^xなので
t^2≧3t-2
t^2-3t+2≧0
(t-1)(t-2)≧0
t≦1またはt≧2
t≦1のとき
1/2^x≦1
2^x≧1
∴x≧0
t≧2のとき
1/2^x≧2
2^x≦1/2
2^x≦2^(-1)
∴x≦-1
従って答えは
x≦-1またはx≧0
No.89587 - 2024/12/17(Tue) 17:26:16
☆ Re: 数2 指数方程式 / アルファ
ありがとうございます。t=1/2^xでおけば良かったのですね
No.89592 - 2024/12/17(Tue) 20:39:54
★ 東京芸術大学過去問 / Higashino
東京芸術大学過去問

複素数平面

何卒よろしくお願いします

以下問題
No.89582 - 2024/12/16(Mon) 22:30:18
☆ Re: 東京芸術大学過去問 / X
x^2+γx+1=0 (A)
とします。

条件から(A)において解と係数の関係から
α+β=-γ (B)
αβ=1 (C)
(B)より
(α+β+γ)/3=0 (D)
(D)とα,β,γが正三角形をなすことから
問題の正三角形の重心は原点。
∴α,β,γは原点を中心とした同一円周上
に存在します。
∴この円の半径をrとすると
|α|=|β|=r
となるので(C)により
r=1
以上のことと、γが実数であることから
γ=1,-1
が候補となります。

(i)γ=1のとき
(A)より
x=(-1±i√3)/2=cos(2π/3)±sin(2π/3)
(複号同順)
∴題意を満たします。
(ii)γ=-1のとき
(A)より
x=(1±i√3)/2=cos(π/3)±sin(π/3)
(複号同順)
∴題意を満たします。

よって
γ=1,-1
No.89584 - 2024/12/16(Mon) 22:58:50
☆ Re: 東京芸術大学過去問 / Higashino
ｘ 先生
お久しぶりです
ご回答ありがとうございます
考え方がかなり違いますが
ご指摘アドバイスなどいただけると幸いです
以下答案
No.89590 - 2024/12/17(Tue) 19:25:09
☆ Re: 東京芸術大学過去問 / X
補1の
＞＞以下省略
とありますが、その省略した過程もアップして下さい。
計算が正しいか判断できません。
No.89600 - 2024/12/17(Tue) 22:57:22
☆ Re: 東京芸術大学過去問 / Higashino
本書解説です
No.89602 - 2024/12/17(Tue) 23:57:22
☆ Re: 東京芸術大学過去問 / X
ごめんなさい。
＞＞以下省略
の左の式からの変形を間違っていたようです。

No.89590の添付写真の内容で問題ないと思います。
No.89608 - 2024/12/18(Wed) 22:16:26
★ 東京大学過去問 / Higashino
東京大学過去問

複素数平面

何そよろしくお願いします

以下問題
No.89581 - 2024/12/16(Mon) 22:28:17
☆ Re: 東京大学過去問 / ヨッシー
図形全体を −ｉ 移動した点を
α’、β’、γ’、δ’とすると、
α’＝０、γ’＝10＋24ｉ
となります。
γ’をα’（原点）中心に、±45°回転しつつ1/√2倍にするために
1/2±i/2 を掛けると
　(10＋24ｉ)(1/2±i/2)＝(5＋12ｉ)(1±i)＝−7＋17ｉ, 17＋７i
これを、ｉ移動して
　−7＋18ｉ, 17＋8i
|−7＋18ｉ|＝√373、|17＋8i|＝√353
であるので、
　β＝−7＋18ｉ、δ＝17＋8i
No.89585 - 2024/12/17(Tue) 09:44:50
☆ Re: 東京大学過去問 / X
横から失礼します。

別解)
線分ACの中点をM(m)とすると
m=(α+γ)/2=5+13i (A)
一方、点A,C以外の正方形の頂点に対応する
複素数をz[1],z[2]とすると
Mが正方形の対角線の交点となることから
z[1]=m+(α-m)i (B)
z[2]=m-(α-m)i (C)
(A)(B)より
z[1]=5+13i+{i-(5+13i)}i
=17+8i
(A)(C)より
z[2]=5+13i-{i-(5+13i)}i
=-7+18i
∴|z[1]|＜|z[2]|となるので
|β|＞|δ|より
β=z[2]=-7+18i
δ=z[1]=17+8i
No.89589 - 2024/12/17(Tue) 18:41:33
☆ Re: 東京大学過去問 / Higashino
ヨッシー先生　x先生

ご回答ありがとうございます

私は少し別のアプローチをとってみました

何卒よろしくお願いします
No.89591 - 2024/12/17(Tue) 19:39:26
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です
□3の(3)です


解説では(定期船Xの上りの速さ)+(定期船Yの下りの速さ)＝(定期船Xの下りの速さ)+(定期船Yの下りの速さ)とありました。なぜこのようになるのですか
No.89574 - 2024/12/15(Sun) 01:18:18
☆ Re: / やり直しメン
写真です
No.89575 - 2024/12/15(Sun) 01:28:08
★ 無限級数 / 高2 数3
1/1+2 + 1/2+√7 +1/√7+√10 +…+1/√3n-2 + √3n+1 +… はどうして発散するのですか？
No.89571 - 2024/12/14(Sat) 20:21:55
☆ Re: 無限級数 / らすかる
1/1+2 + 1/2+√7 +1/√7+√10 +…+1/√3n-2 + √3n+1 +…
と書くと
(1/1)+(2)+(1/2)+(√7)+(1/√7)+(√10)+…+(1/√3n)-(2)+(√3n)+(1)+…
や
(1/1)+(2)+(1/2)+(√7)+(1/√7)+(√10)+…+(1/√3)n-(2)+(√3)n+(1)+…
などのように解釈されてしまい意味不明です。誤解されないため
1/(1+2)+1/(2+√7)+1/(√7+√10)+…+1/(√(3n-2)+√(3n+1))+…
のように(テキスト形式の掲示板に書く場合は)カッコを付けましょう。

で、もし問題が
1/(1+2)+1/(2+√7)+1/(√7+√10)+…+1/(√(3n-2)+√(3n+1))+…
で正しいのでしたら、分母を有理化すれば答えが出ます。
1/(√(3n-2)+√(3n+1)) の分母を有理化すると
(√(3n+1)-√(3n-2))/3 となりますので、
1/(1+2)+1/(2+√7)+1/(√7+√10)+…+1/(√(3n-2)+√(3n+1))
=(2-1)/3+(√7-2)/3+(√10-√7)/3+…+(√(3n+1)-√(3n-2))/3
=(√(3n+1)-1)/3
から
lim[n→∞]1/(1+2)+1/(2+√7)+1/(√7+√10)+…+1/(√(3n-2)+√(3n+1))
=lim[n→∞](√(3n+1)-1)/3
=+∞
となり、発散します。
No.89573 - 2024/12/14(Sat) 23:56:52
☆ Re: 無限級数 / IT
1+1/2+1/3+1/4+…+1/n+…が発散する。（が既知なら）
に帰着させることもできますね。
No.89577 - 2024/12/15(Sun) 08:46:08
★ 法政大過去問 / Higashino
法政大過去問

複素数平面

なにとぞよろしくお願いします


以下問題
No.89565 - 2024/12/14(Sat) 03:35:42
☆ Re: 法政大過去問 / Higashino
こんにちは

以下のように私の考え方を作成しました

ご指摘アドバイスなどいただけると幸いです
No.89583 - 2024/12/16(Mon) 22:32:51
☆ Re: 法政大過去問 / X
(1)は問題ないのですが、(2)について。

条件を満たすとき
直線OPが線分ABの垂直二等分線
となるとしていますが、根拠は何ですか？

そもそも、点Pが線分ABの中点なら
t=1
となりますが。
No.89588 - 2024/12/17(Tue) 18:25:59
☆ Re: 法政大過去問 / Higashino
ｘ 先生ご指摘ありがとうございます

しばらく考えてみます
No.89594 - 2024/12/17(Tue) 20:48:47
☆ Re: 法政大過去問 / Higashino
x 先生　こんばんは

答案を書き直しました

ご指摘アドバイスのほどよろしくお願いします
No.89596 - 2024/12/17(Tue) 21:04:09
☆ Re: 法政大過去問 / X
言わんとしていることは問題ないのですが
文章が変ですね。

＞＞線分ABに垂直な直線は
「点Pは線分ABに垂直で原点を通る直線上にあるので」
でよいと思います。
＞＞〇Aにおいて〜=0のとき、
は不要ですね。単に
＞＞〇Aに〇1を代入して
だけで大丈夫です。
No.89609 - 2024/12/18(Wed) 22:23:52
★ (No Subject) / 有栖川
y=x^2/4 と合同な曲線Cが、x>=0, y>=0 内でx軸とy軸の両方に接するようにして動くとき、Cの焦点の軌跡を求めよ。

この問題の解説お願いします
No.89561 - 2024/12/13(Fri) 20:54:53
☆ Re: / らすかる
y=x^2/4を原点中心にt（0＜t＜π/2）右回転するとxsint+ycost=(xcost-ysint)^2/4
これをxに関する二次方程式とみると、判別式はD/4=ycost+(sint)^2
となるので、重解になるのはycost+(sint)^2=0すなわちy=cost-1/costのとき
またyに関する二次方程式とみると、判別式はD/4=xsint+(cost)^2
となるので、重解になるのはxsint+(cost)^2=0すなわちx=sint-1/sintのとき
そしてy=x^2/4の焦点は(0,1)だから、原点中心にt右回転したときの焦点は(sint,cost)
よってy=x^2/4を原点中心にt右回転したときの
x軸に平行な接線は y=cost-1/cost
y軸に平行な接線は x=sint-1/sint
焦点は(sint,cost)
となるから、(回転した)放物線がx軸とy軸に接するように平行移動すると
焦点の座標は(sint-(sint-1/sint),cost-(cost-1/cost))=(1/sint,1/cost)になる。
x=1/sint,y=1/costからtを消去すると1/x^2+1/y^2=1となり、これの第1象限部分が求める軌跡。
No.89566 - 2024/12/14(Sat) 04:26:18
☆ Re: / 黄桃
参考までに、放物線の性質を使う解法を示します（細かいところは飛ばしてます）。
結果を見るともっと幾何学的に簡単にできそうですが、ちょっとわかりませんでした。

Cと合同な第1象限内の放物線について、焦点をF(p,q),準線lをcos(t)x+sin(t)y+c=0 (0<t<π/2)
とできる(lの法線ベクトルを M>>0に対して lから (M,M)方向に進む方向を正となるようにとる）。

Fとlの距離は2だから、点と直線の公式より
cos(t)p+sin(t)q+c=2 ...(1)
となる。

Cとx軸との交点をA(u,0), y軸との交点をB(0,v)とする。
F'をx=uに関してFと対称な点、F''をy=vに関してFと対称な点とおけば、
F'(2u-p,q), F''(p,2v-q) となり、放物線の性質
（FAとlとの距離は等しく、また、焦点FからAに直進した点がAの接線で反射すると準線に直交する直線上を進む）より、
AはF'からlに下ろした垂線上に、BはF''からlに下ろした垂線上にあり、しかも
F'とlの距離はAとlの距離の2倍、
F''とlの距離もAとlの距離の2倍
だから、点と直線の距離の公式より

(2u-p)cos(t)+qsin(t)+c=2(cos(t)u+c)
pcos(t)+(2v-q)sin(t)+c=2(sin(t)v+c)

となる。整理すると、

pcos(t)-qsin(t)+c=0
pcos(t)-qsin(t)-c=0

となるから、

pcos(t)-qsin(t)=0 ...(2) かつ c=0 ...(3)

を得る。
(2),(3)と(1)を連立させると
pcos(t)=1 ...(4)
qsin(t)=1 ...(5)
となる。
逆に、0<t<π/2,(3),(4),(5)を満たすとき、FA=(Aとlの距離), FB=(Bとlの距離)により、
(p-u)^2+q^2=(cos(t)u+c)^2
p^2+(q-v)^2=(sin(t)v+c)^2
を解いて、
u=1/(sin^2(t)cos(t)), v=1/(cos^2(t)sin(t)) と求まる。
よって、(4),(5)からtを消去して (1/x)^2+(1/y)^2=1, x>0, y>0 が求める焦点の軌跡である。
No.89579 - 2024/12/15(Sun) 12:52:10
☆ Re: / IT
別解（細かい点は省略）

いったん放物線を固定して考えます。
放物線C:y=x^2/4 の焦点はP(0,1)

C上の点(a,a^2/4)(a>0)における接線はL1:ｙ＝（a/2)x-a^2/4
L1と直交するCの接線はL2:y=-(2/a)x-4/a^2

焦点PとL1の距離は√(a^2/4+1),PとL2の距離は√(4/a^2+1)　

L1をx'軸、L2をｙ'軸とした座標系で考えると
　Pの(x'座標、ｙ'座標)は（√(4/a^2+1),√(a^2/4+1)）　

aを消去すると　(x'^2-1)(y'^2-1)=1,x'>1,y'>1

　　　（これは変形すると(1/x')^2+(1/y')^2=1　になります）
No.89580 - 2024/12/15(Sun) 19:31:39
☆ Re: / 有栖川
皆さん色んなアイデアを募っていただきありがとうございます！参考にさせて頂きます。
No.89630 - 2024/12/21(Sat) 11:05:04
★ 複素数平面 / 高2 数c
複素数zの共役複素数をzバーとする。a=cos2π/7+isin2π/7とし、b=a+a^2+a^4とする時、b+bバーの値を求めよ 答え−1
自力で解いたらb=cos2π+isin2π、bバー=cos(-2π)+isin(-2π)となり答えが1になってしまいました
どうやって正しい答えを求めればいいですか？
No.89558 - 2024/12/13(Fri) 19:20:25
☆ Re: 複素数平面 / IT
どこで間違ったかを確認されるのが良いと思います。
b=cos2π+isin2πを求めた過程を記入してみてください。

b=cos2π+isin2πから　bバー=cos(-2π)+isin(-2π)は、どうやって計算しましたか？
No.89559 - 2024/12/13(Fri) 19:29:09
☆ Re: 複素数平面 / IT
a,a^2,a^4, a^6,a^5,a^3 を複素平面上に図示して考えると見通しが良いと思います。

a^7-1=(a-1)(a^6+a^5+a^4+a^3+a^2+a+1)=0 も使うと良いと思います。
No.89560 - 2024/12/13(Fri) 20:14:14
☆ Re: 複素数平面 / 高2 数C
答え求められました。ありがとうございます
No.89562 - 2024/12/13(Fri) 22:18:32
★ 数C 複素数平面 / 高2
方程式｜iz-1｜=2｜z｜を満たす点z の全体の集合がどのような図形を描くか　A.点1i/3をを中心とする半径2／3の円　
複素数平面上の3点O(0)、A(2-i)、B について三角形OABがBを直角の頂点とする直角2等辺三角形となる時のBを表す複素数　A.3/2+1i/2,1/2-3i/2

1つ目は方程式の両辺を2乗して式変形するのはわかるのですが、変形の仕方がわかりません
2つ目はBが直角になるにはA-B/O-Bが純虚数になると考えたのですがそこから数値をどうやって求めるかがわかりません
No.89556 - 2024/12/13(Fri) 18:29:05
☆ Re: 数C 複素数平面 / X
１問目)
|iz-1|=2|z|
より
|iz-1|^2=4|z|^2 (A)
ここで例えばzの共役複素数を\zと表すことにすると
(A)より
(iz-1)\(iz-1)=4z\z
(iz-1)(-i\z-1)=4z\z
z\z+i\z-iz+1=4z\z
3z\z-i\z+iz-1=0
z\z-(i/3)\z+(i/3)z-1/3=0
(z-i/3)(\z+i/3)=1/3+1/9
|z-i/3|^2=4/9
|z-i/3|=2/3


2問目)
＞＞Bが直角になるにはA-B/O-Bが純虚数になると
＞＞考えたのですが

それだけでは条件が足りません。
B(z)とすると
∠B=90°
により、高2さんの仰る通り
z-(2-i)=kzi (A)
(kは0でない実数)
一方AB=OBにより
|z-(2-i)|=|z| (B)
(A)(B)をk,zについての連立方程式として解きます。
((A)をzについて解き、(B)に代入して
整理をします。
kは実数なので絶対値を外すのは容易なはずです。)

別解)
条件から点Bは、点Aを原点中心に
±45°回転移動させて、原点からの
距離を1/√2倍したものになるので
B(z)とすると
z=(1/√2)(2-i)(cos45°+isin45°)
,(1/√2)(2-i)(cos45°-isin45°)
これより
z=(2-i)(1+i)/2,(2-i)(1-i)/2
∴z=(3+i)/2,(1-3i)/2
No.89567 - 2024/12/14(Sat) 10:36:22
★ (No Subject) / 中3の数学
中3の学力テストの問題です。
2の(4)が、解説を見ても解き方がわかりません。
No.89554 - 2024/12/13(Fri) 15:54:31
☆ Re: / 中3の数学
2の(4)の解説です。
No.89555 - 2024/12/13(Fri) 15:55:31
★ 数cベクトル高2 / ran
画像の緑マーカーで引いてあるところの式の出し方がわからないです。
BH が　sa+(t-1)b
AH が　(s-1)a+tb
になる理由を教えてください。
No.89549 - 2024/12/13(Fri) 08:53:59
☆ Re: 数cベクトル高2 / ran
画像です。青チャートです。
No.89550 - 2024/12/13(Fri) 08:55:17
☆ Re: 数cベクトル高2 / ヨッシー
ＯＡ・ＢＨ＝ａ・(ＯＨ−ｂ)
　　＝ａ・(ｓａ＋ｔｂ−ｂ)
　　＝ａ・{ｓａ＋(ｔ−1)ｂ}＝０
ＯＢ・ＡＨ も同様です。
No.89551 - 2024/12/13(Fri) 09:04:23
☆ (No Subject) / ran
大変わかりやすかったです。ありがとうございました。
No.89552 - 2024/12/13(Fri) 09:22:11
★ 高2数学c 立体ベクトル / 数学3C難しい
一辺の長さが2の正四面体ABCDでCDの中点をMとする時、MA・MBの内積を求めよ。答え　1

原点Oから平面x+2y+2z-27=0に垂線OHを引く時Hの座標を求めよ。
答え(3,6,6)
解き方がわかりません、解説よろしくお願いします
No.89546 - 2024/12/12(Thu) 22:09:12
☆ Re: 高2数学c 立体ベクトル / 数学3c難しい
MAとMBのベクトルはそれぞれ√3だと思うんですけどそこからどうすれば1になるのかわからないです
No.89547 - 2024/12/12(Thu) 22:14:00
☆ Re: 高2数学c 立体ベクトル / らすかる
前半
Aから面BCDに垂線AHを下すとHは△BCDの重心なので
HはMB上にあってMH=(1/3)MBです。
よって
(MA・MB)=|MA|cos∠AMB・|MB|=|MH||MB|=(√3/3)(√3)=1
となります。

後半
平面x+2y+2z-27=0の法線ベクトルは(1,2,2)なので
(∵x,y,zの係数が1,2,2)
直線OH上の点は(t,2t,2t)とおけます。
これをx+2y+2z-27=0に代入してtを出すとt=3となりますので
Hの座標は(3,6,6)となります。
No.89548 - 2024/12/12(Thu) 22:57:03
★ 合同式 / JIN
合同式で等式の両辺をcで割る場合、
次の(1)(2)は⇔で正しいですか。それとも⇒か←ですか。

a,b,c,sは自然数とする。
(1) cとｓが互いに素数であり、ｃで割る場合
ac≡bc (mod ｓ)　⇔　a≡b (mod ｓ)


(2) ｃとｓが互いに素数でなく、ｃとｓの最大公約数をｇとする。ｃで割る場合
ac≡bc (mod s )　⇔ a≡b (mod s/g )
No.89539 - 2024/12/12(Thu) 16:00:15
☆ Re: 合同式 / IT
(1) cとｓが互いに素数であり、ｃで割る場合
ac≡bc (mod ｓ)　⇔　a≡b (mod ｓ)

「互いに素数」は、正しい表現ですか？「互いに素な数」のことですか？（文脈からすると後者だと思いますが念の為）

例えばc=s=3（素数） のときは　「cとｓが互いに素数」ですか？
No.89541 - 2024/12/12(Thu) 19:07:09
☆ Re: 合同式 / jin
ごめんなさい。間違えました。
「互いに素数」ではなく「互いに素な数」のことにして、教えて下さい。
No.89542 - 2024/12/12(Thu) 20:14:11
☆ Re: 合同式 / IT
ac≡bc (mod ｓ)　⇔ac-bc ≡0(mod ｓ)　⇔　(a-b)c ≡0(mod ｓ)　

a≡b (mod ｓ)⇔a-b ≡0(mod ｓ)
ですから、

(a-b)c ≡0(mod ｓ)　と　a-b ≡0(mod ｓ)　について考えると分かり易いと思います。
No.89543 - 2024/12/12(Thu) 20:22:51
☆ Re: 合同式 / IT
(2) c=gt,s=gu とおいて考えるといいと思います。
このとき tとuは互いに素であり、u=s/g です。
No.89544 - 2024/12/12(Thu) 20:46:26
☆ Re: 合同式 / jin
（1）（2）は⇔で成り立つでよろしいと導けましたが、それで正しいですか。

また、「aとcが互いに素である」「aとcが互いに素でない」「tとcが互いに素である」「tとcが互いに素でない」「gとtが互いに素である」「gとtが互いに素でない」の場合も
⇔で成り立つで正しいですか。

例外など成り立たない例はありますか?
No.89545 - 2024/12/12(Thu) 21:51:21
☆ Re: 合同式 / JIN
（1）（2）は⇔で成り立つと思うのですが、以下の問題で
(a)と（ｄ）が一致しないのはなぜですか。


x≡1 (mod 6)　……(a)　
(a)より
x≡1 (mod 6)　……(b)

(a)+(b)より
2x≡2 (mod 6)　……(c)

2と6の最大公約数は2だから(c)より2で割って
x≡1 (mod 3)　……(d)
No.89553 - 2024/12/13(Fri) 12:12:08
☆ Re: 合同式 / IT
(c)→(a) は、なぜ言えるのですか？（言えませんよね）
No.89557 - 2024/12/13(Fri) 18:52:12
☆ Re: 合同式 / JIN
x≡1 (mod 6)　……(a)　　　　(a)より
x≡1 (mod 6)　……(b)
↓↑
(a)+(b)より(2と6は互いに素ではないのでmodも2倍）
2x≡2 (mod 6×2)　……(c)
ですかね。

(a)（b)ように簡単な式であれば、「(a)+(b)は(c)のように(a)を2倍で、この2とmodの6は互いに素」と気が付きますが、「(a)を何倍かして、新しく(e)式を作り、(a)の左辺に6xを加え加え(f)式を作り、(e)+(f)を計算など」を行う場合、
これが(a)の両辺を数倍（modの6と互いに素でない数をかけた）とどのように判断したらよいのですか。

また、一般に合同式の方程式は(a)と(b)→（c)→………→　x≡1 (mod 3)
など解（必要条件？）を求めたら、十分条件になっていることを確認するのですか。その場合、どのように確認をしますか。（求めた解を最初の式に代入して確認するのでしょうか）
No.89563 - 2024/12/14(Sat) 00:58:13
☆ Re: 合同式 / GandB
> 「(a)+(b)は(c)のように(a)を2倍で、この2とmodの6は互いに素」と気が付きますが、
　こういう愉快な文章を書くと、以後回答をもらえなくなるぞwwwww。
　なにしろ、「われわれが普通に学ぶ数学」においては、2 と 6 は「互いに素」ではないからな（笑）。
　以下適当な感想。

　No.89563 の(c)は
　　2x≡2 (mod 12)
なので、合同式の性質から

　　2x≡2 (mod 12)⇒x≡1 (mod 6) ……(1)

が成り立つが、No.89553 の(c)は
　　2x≡2 (mod 6)
なので

　　2x≡2 (mod 6)⇒x≡1 (mod 6)

は一般には成り立たない。たとえば、x = 16 としたとき
　　32≡2 (mod 6) ……(2)
であるが、この両辺を2で割った
　　16≡1 (mod 6)
は成り立たない。
　mod も含めて(2)の両辺を2で割った
　　16≡1 (mod 3)
は(1)と同じ理由で当然成り立つ。
No.89568 - 2024/12/14(Sat) 10:58:52
☆ Re: 合同式 / jin
「2とmodの6は互いに素と気が付きますが」は
「2とmodの6は互いに素でない」と気が付きますが」です。
変な質問になって、アドバイスしていただける方に負担をかけてすみませんでした。
No.89569 - 2024/12/14(Sat) 11:50:24
☆ Re: 合同式 / IT
>
> 「(a)を何倍かして、新しく(e)式を作り、(a)の左辺に6xを加え加え(f)式を作り、(e)+(f)を計算など」を行う場合、
> これが(a)の両辺を数倍（modの6と互いに素でない数をかけた）とどのように判断したらよいのですか。

的確なアドバイスか自信がないですが、
最終形だけみて判断すれば良いのでは？
No.89570 - 2024/12/14(Sat) 13:23:53
☆ Re: 合同式 / jin
最終形だけみて判断すれば良いようなので、
そのやり方で今後解きます。

ありがとうございました。
変な質問になってすみませんでした。
No.89576 - 2024/12/15(Sun) 07:13:12
★ 津田塾大学過去問 / Higashino
津田塾大学過去問

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何卒よろしくお願いします

以下問題
No.89536 - 2024/12/12(Thu) 06:44:11
☆ Re: 津田塾大学過去問 / ヨッシー
(1)
　α＝β{cos(−60°)＋ｉsin(−60°)}
なので、αはβを大きさそのままで、Ｏを中心に−60°回転させた位置にあります。
よって、△Ｏαβは正三角形になります。
(2)
α＝ｚβ とおくと、
　α^2＋ａαβ＋ｂβ^2＝ｚ^2β^2＋ａｚβ^2＋ｂβ^2＝０
β≠０　より
　ｚ^2＋ａｚ＋ｂ＝０
ｚ＝１±ｉ
ｚ＝1/2±i/2
のとき、△Ｏαβは∠Ｏ＝45°の直角二等辺三角形になります。

ｚ＝１±ｉ のとき
　±２ｉ＋ａ(１±ｉ)＋ｂ＝０　(複号同順)
　ａ＋ｂ＝０、±(２＋ａ)＝０
よって
　ａ＝−２、ｂ＝２
逆にこのとき
　ｚ^2＋ａｚ＋ｂ＝０
は
　ｚ^2−２ｚ＋２＝０
となり、この解は
　ｚ＝１±ｉ
となり条件を満たします。

ｚ＝1/2±i/2 のとき
　±i/2＋ａ(1/2±i/2)＋ｂ＝０
　a/2＋ｂ＝０、±1/2(１＋ａ)
よって、
　ａ＝−１、ｂ＝1/2
逆にこのとき
　ｚ^2＋ａｚ＋ｂ＝０
は
　ｚ^2−ｚ＋1/2＝０
となり、この解は
　ｚ＝1/2±i/2
となり条件を満たします。

以上より、
　ａ＝−２、ｂ＝２　または　ａ＝−１、ｂ＝1/2
No.89537 - 2024/12/12(Thu) 11:01:53
☆ Re: 津田塾大学過去問 / Higashino
ヨッシー先生

返信が遅くなりまして申し訳ございませんでした

大変役に立つご回答で心から感謝いたします

私は別なプロして解いてみました

ご指摘アドバイス等あれば幸いです
No.89564 - 2024/12/14(Sat) 03:32:52
★ コラッツ予想 / 成清　愼
http://dongram.6te.net/web/index.php?p=1
そういうことだったのか。よろしくご査収の上ご批評賜りたく
No.89533 - 2024/12/11(Wed) 22:13:16
★ １次関数問題 / 数学苦手。
この問題教えてください！
No.89532 - 2024/12/11(Wed) 21:12:33
☆ Re: １次関数問題 / ヨッシー
次の事柄はすべて理解できますか？
(1) このグラフは下に凸のグラフである。
(2) ｘの範囲に頂点が含まれるときは、頂点で最小値を取る。
(3) 頂点から（左右とも）離れるほどｙの値は大きくなる。
(4) このグラフの頂点のｘ座標は a+1 である。
(5) ｘが１以上５以下の範囲の真ん中のｘ座標は３である。
(6) 頂点のｘ座標が３のとき、ａ＝２である。
(7) ａ＝２のとき、ｙはｘ＝１とｘ＝５の両方で同じ値となり、これがＭとなる。
(8) ａが２より小さい時、ｘ＝５のときのｙがＭとなる。
(9) ａが２より大きい時、ｘ＝１のときのｙがＭとなる。
No.89538 - 2024/12/12(Thu) 13:12:07
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なにとぞよろしくお願いします

以下問題
No.89530 - 2024/12/11(Wed) 07:28:29
☆ Re: 島根大学過去問 / X
条件から
z[2]=kz[1]
(kは0でない実数)
と置くことができるので
a+2-i=3k+i(2a-1)k
∴複素数の相等の定義により
a+2=3k (A)
-1=(2a-1)k (B)
(A)より
k=(a+2)/3 (A)'
これを(B)に代入して
-1=(2a-1)(a+2)/3
これより
2a^2+3a+1=0
(2a+1)(a+1)=0
∴a=-1/2,-1
このとき、(A)'より
いずれのaの値に対しても
k≠0
∴a=-1/2,-1
No.89531 - 2024/12/11(Wed) 18:46:14
☆ Re: 島根大学過去問 / Higashino
x 先生、こんにちは

ご回答ありがとうございます

以下のように考えました　ご指摘等ございましたらよろしくお願いいたします
No.89535 - 2024/12/12(Thu) 00:32:06
☆ Re: 島根大学過去問 / X
二つの方針、共に問題ないと思います。
No.89540 - 2024/12/12(Thu) 17:27:30
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なにとぞよろしくお願いします

以下問題
No.89519 - 2024/12/09(Mon) 06:03:29
☆ Re: 東京大学過去問 / Higashino
以下問題です
No.89520 - 2024/12/09(Mon) 06:05:15
☆ Re: 東京大学過去問 / X
(1)
条件から
(z[3]-z[2])/(z[1]-z[2])=(√3+i)/(1+i√3)
=(√3+i)(1+i√3)/4
={cos(π/6)+isin(π/6)}{cos(π/3)+isin(π/3)}
=i
これをwとすると、点P[1],P[2],P[3]の位置関係から
∠P[1]P[2]P[3]=Argw=π/2

(2)
上の計算過程から
P[1]P[2]=P[2]P[3]=1
これと(1)の結果から、求める面積は
(1/2)P[1]P[2]・P[2]P[3]=1/2

(3)
条件から
α=(4/3){cos(π/3)+isin(π/3)} (A)
∴ある複素数にαをかけることは、複素平面上において
原点中心のπ/3の回転移動となる変換
と
原点から見た4/3倍の拡大変換
の合成変換と見なすことができるので
(2)の結果から
(△Q[1]Q[2]Q[3]の面積)=(△P[1]P[2]R[3]の面積)・(4/3)^2
=2/9

(4)
Q[2](u)とすると、(A)と条件から
u=(4/3){cos(π/3)+isin(π/3)}・{(1+√3)/√2}{cos(π/4)+isin(π/4)}
=(2/3)(√2+√6){cos(7π/12)+isin(7π/12)}
∴求める角は
Argu=7π/12
No.89523 - 2024/12/09(Mon) 18:21:55
☆ Re: 東京大学過去問 / Higashino
x 先生、こんばんは

ご返信が遅くなり申し訳ございませんでした

先生とは異なる答えですが

その点も踏まえ、アドバイスなどいただければ幸いです

以下答案
No.89534 - 2024/12/12(Thu) 00:10:05
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以下問題
No.89518 - 2024/12/09(Mon) 04:23:34
☆ Re: 九州大学過去問 / X
問題の正六角形の対角線の交点をwとすると、
条件からwはz[1],z[4]を結ぶ線分の中点ゆえ
w=(z[1]+z[4])/2 (A)
又
z[2]-w=(z[1]-w){cos(π/3)+isin(π/3)}
∴z[2]-w=(z[1]-w)(1+i√3)/2 (B)
同様にして
z[6]-w=(z[1]-w)(1-i√3)/2 (C)
z[3]-w=(z[2]-w)(1-i√3)/2 (D)
z[5]-w=(z[2]-w)(1+i√3)/2 (E)
(A)を(B)(C)(D)(E)に代入して
z[2]=(z[1]+z[4])/2+(z[1]-z[4])(1+i√3)/4
z[3]=(z[1]+z[4])/2+(z[4]-z[1])(1-i√3)/4
z[5]=(z[1]+z[4])/2+(z[4]-z[1])(1+i√3)/4
z[6]=(z[1]+z[4])/2+(z[1]-z[4])(1-i√3)/4
もう少し整理をして
z[2]=(3+i√3)z[1]/4+(1-i√3)z[4]/4
z[3]=(1+i√3)z[1]/4+(3-i√3)z[4]/4
z[5]=(1-i√3)z[1]/4+(3+i√3)z[4]/4
z[6]=(3-i√3)z[1]/4+(1+i√3)z[4]/4
No.89522 - 2024/12/09(Mon) 17:48:07
☆ Re: 九州大学過去問 / Higashino
ｘ 先生
おはようございます
お世話になりっぱなしで
心から感謝いたします
いつもいつもありがとうございます
今回の答案も先生とはずいぶん異なりますが
ご指摘アドバイスなどいただければ幸いです
No.89524 - 2024/12/10(Tue) 09:28:20
☆ Re: 九州大学過去問 / X
No.89522ですが、もう少し計算をして整理をしました。
再度ご覧下さい。
No.89527 - 2024/12/10(Tue) 21:51:29
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