0830331

ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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★ 三重大学　複素数平面 / Higashino
複素数平面第6日目

アポロニウスの円

なにとぞよろしくお願いします

以下問題
No.88856 - 2024/09/17(Tue) 08:25:07
★ 因数分解 / 大西
整数係数の範囲で
x^10+x^8+x^6+x^5+x^4+x^2+1
を因数分解したいのですが、
対称性がありそうなのでx^5で割ってみたけど
うまく行きません。
x^10+x^8+x^6+x^5+x^4+x^2+1=0が
1の7乗根を解に持つので、(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)を因数に持つので割り算をして因数分解をしたのですが、
それ以外に解き方があれば教えてください。
No.88845 - 2024/09/15(Sun) 01:37:30
☆ Re: 因数分解 / らすかる
x^10+x^8+x^6+x^5+x^4+x^2+1
=(x^5)(x^5+x^3+x+1+1/x+1/x^3+1/x^5)
t=x+1/xとおくとx^5+x^3+x+1+1/x+1/x^3+1/x^5=t^5-4t^3+3t+1
t^5-4t^3+3t+1=(t^2+at+1)(t^3+bt^2+ct+1)
と分解できたとして右辺を展開すると
t^5-4t^3+3t+1=t^5+(a+b)t^4+(ab+c+1)t^3+(ac+b+1)t^2+(a+c)t+1
a+b=0, ab+c+1=-4, ac+b+1=0, a+c=3 を解くと整数にならない。
t^5-4t^3+3t+1=(t^2+at-1)(t^3+bt^2+ct-1)
と分解できたとして右辺を展開すると
t^5-4t^3+3t+1=t^5+(a+b)t^4+(ab+c-1)t^3+(ac-b-1)t^2-(a+c)t+1
a+b=0, ab+c-1=-4, ac-b-1=0, a+c=-3 を解いて(a,b,c)=(-1,1,-2)なので
t^5-4t^3+3t+1=(t^2-t-1)(t^3+t^2-2t-1)
よって
x^10+x^8+x^6+x^5+x^4+x^2+1
=(x^5)(t^5-4t^3+3t+1)
=(x^5)(t^2-t-1)(t^3+t^2-2t-1)
=(x^5)(x^2-x+1-1/x+1/x^2)(x^3+x^2+x+1+1/x+1/x^2+1/x^3)
=(x^4-x^3+x^2-x+1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)
（これ以上分解できないことの証明は省略）
No.88847 - 2024/09/15(Sun) 06:25:26
☆ Re: 因数分解 / 大西
らすかるさんご返信ありがとうございます。

t^5-4t^3+3t+1=(t^2+at+1)(t^3+bt^2+ct+1)までは
考えていたのですが、解が見付からなくて先に進めない状態でした。
ありがとうございます。
No.88848 - 2024/09/15(Sun) 08:31:57
★ (No Subject) / 有栖川
lim[n->∞] sin((√2+1)^n*π)の値はいくつになりますか？
No.88844 - 2024/09/14(Sat) 23:34:09
☆ Re: / _
a=1+√2, b=1-√2 とおく。
自然数nに対し a^n + b^n = 偶数 がいえる(帰納法で容易)。
よって
　sin(pi*a^n)=sin(pi*偶数 - pi*b^n)=sin(-pi*b^n) 。
|b|<1よりb^n→0だから, これはsin(0)=0に収束。
No.88851 - 2024/09/16(Mon) 10:33:58
★ 岡山大学過去問　複素数平面 / Higashino
複素数平名、第5日目

なにとぞよろしくお願いいたします

以下問題
No.88843 - 2024/09/14(Sat) 03:05:20
☆ Re: 岡山大学過去問　複素数平面 / Higashino
先生方おはようございます

この問題で先に進めず、大変悩んでいます

少しでもアドバイスいただけると幸いです

以下　質問と途中までの答案です

何卒よろしくお願いいたします
No.88849 - 2024/09/16(Mon) 08:00:34
☆ Re: 岡山大学過去問　複素数平面 / Higashino
追伸

以下、問題集の解説

何卒よろしくお願いします
No.88850 - 2024/09/16(Mon) 08:20:05
☆ Re: 岡山大学過去問　複素数平面 / Higashino
追伸

点と直線の距離の公式で解決しました

一体何を悩んでいたのかって感じです

答案ができましたら、またアップさせていただきます

その際はよろしくお願いいたします
No.88852 - 2024/09/16(Mon) 12:27:53
☆ Re: 岡山大学過去問　複素数平面 / Higashino
追伸

接線を求めるところまではできたのですが
最後の領域を求めるところまでで悩んでいます

アドバイスいただけると幸いです


以下、途中に答案
No.88853 - 2024/09/16(Mon) 15:54:43
☆ Re: 岡山大学過去問　複素数平面 / Higashino
　こんばんは
答案がやっとできましたので、投稿させていただきます
なにぶん自信がない答案でご指摘があると思います
どうかご指摘ください

以下答案
No.88854 - 2024/09/16(Mon) 22:46:33
☆ Re: 岡山大学過去問　複素数平面 / Higashino
　追伸
度々すいません

再度答案書き直しです

なにとぞよろしくお願いいたします
No.88855 - 2024/09/17(Tue) 00:20:58
★ ベクトルについて / 数弱
この問題はどのようにして解けばよいのでしょうか？
No.88842 - 2024/09/14(Sat) 01:09:12
☆ Re: ベクトルについて / _
大文字が2つ並んでいるのはベクトルと思って。

前半。まずOG=(1/4)OA+(1/4)OB+(1/4)OC。またOP=pOAとおける。
一般に「点Xが平面PBC上にあるとき,　OX=aOP+bOB+cOC (a+b+c=1) と書ける」。
仮定よりGは平面PBC上にある。ここから pを定めればよい。

後半。まず内積 OA・OB, OB・OC, OC・OA を求めておく。
Hは面OAB上にあるので, OH=sOA+tOB と書ける。
GH⊥面OABより, GH・OA=0 かつ GH・OB=0 。ここからs,tが満たす方程式を得て解けばよい。
No.88857 - 2024/09/17(Tue) 11:21:05
★ 中学校の入試問題 / こうたぱぱ
ア：イの比を求めなさいというものですが
どうやって求めるのでしょうか？
No.88836 - 2024/09/13(Fri) 00:29:03
☆ Re: 中学校の入試問題 / こうたぱぱ
あ、いわずもがなですが正方形と四分円と対角線です
No.88837 - 2024/09/13(Fri) 00:31:51
☆ Re: 中学校の入試問題 / ヨッシー
図で、△ＡＢＣと△ＡＤＥは合同な直角二等辺三角形で、
対称性から、弧で示した部分の長さはすべて等しく、
　ア：イ＝１：２
となります。
No.88839 - 2024/09/13(Fri) 10:40:58
★ 和文差分を利用した数列について / 数弱
上の式変形のどこが間違っているのかわかりません。下の式変形は特殊解を利用したもので正答が出ています。
どうかよろしくお願いします。
No.88835 - 2024/09/12(Thu) 23:36:24
☆ Re: 和文差分を利用した数列について / ヨッシー
ここまでは正しいと　の行のすぐ下の式で、ｎ＝２とすると、
　a[2]/(3/2)^2＝a[1]/(3/2)^1＋(4/9)(4/3)^0(2+1)＝a[1]/(3/2)＋4/3
になりますが、さらにその下の行で、ｎ＝２とすると、
　a[2]/(3/2)^2＝a[1]/(3/2)^1＋(1/4)(4/3)^1(1+1)＝a[1]/(3/2)＋2/3
になります。
階差を一般化するところでミスっていると思われます。
No.88840 - 2024/09/13(Fri) 11:09:15
☆ Re: 和文差分を利用した数列について / 数弱
[n-1]→→+階差n-1→→[n]を一般化するとき
[n]→→+階差n-1→→[n+1]というように
なっているため、直すには
ここまでは正しいとわかっているのすぐ下の式に
n=n+1を代入してnの範囲を変え、
[n]→→+階差n→→[n+1]
の形に変形すれば良いということでしょうか？
No.88841 - 2024/09/13(Fri) 17:11:50
★ 学習院大学　過去問　複素数 / Higashino
学習院大学　過去問　複素数平面
難あり
何卒よろしくお願いします
以下問題
No.88832 - 2024/09/12(Thu) 10:19:37
☆ Re: 学習院大学　過去問　複素数 / Higashino
おはようございます
答案が出来上がりましたので、投稿させていただきます
どなたか　アドバイス　ご指摘　ご指導のほどよろしくお願いいたします

以下答案
No.88838 - 2024/09/13(Fri) 09:09:37
★ 一橋大学の過去問 / 数弱
硬貨が2枚ある.最初は2枚とも表の状態で置かれている.次の操作をn回行っ
たあと，硬貨が 2 枚とも裏になっている確率を求めよ.
[操作]2 枚とも表，または 2 枚とも裏のときには，2 枚の硬貨両方を投げる.
表と裏が 1 枚ずつのときには，表になっている硬貨だけを投げる.

自分の解法
2枚とも裏である確率をa［n］としたとき、コインの裏表の対称性より2枚とも表である確率もa［n］このことから表と裏が1枚ずつである確率は1-2a［n］。
n回目の操作で2枚とも表、または2枚とも裏であった時、n+1回目で2枚とも裏になる確率は1/4。n回目の操作で表と裏が1枚ずつであった時、n+1回目で2枚とも裏になる確率は1/2。よって以下の漸化式が得られる。
a［n+1］=（1/4）×（2a［n］）+（1/2）×（1-2a［n］）　（n >=2）
これをa［1］=1/4として解くとa［n］=1/3+（1/6）×（-1/2）^n （n>=1）

解答
n=1の時1/4 n>=2の時3/8

どうして回答が違うのかわからないです。どうかよろしくお願いします。
No.88829 - 2024/09/12(Thu) 01:41:27
☆ Re: 一橋大学の過去問 / らすかる
「表と裏が 1 枚ずつのときには，表になっている硬貨だけを投げる.」
という操作がありますので
「2枚とも裏である確率をa［n］としたとき、コインの裏表の対称性より2枚とも表である確率もa［n］」
は正しくないと思います。
No.88830 - 2024/09/12(Thu) 03:35:25
☆ Re: 一橋大学の過去問 / 数弱
コインの裏表には対称性があると思い込んでいました、、
ご指摘ありがとうございます。
No.88831 - 2024/09/12(Thu) 09:02:16
★ 古田水平面第4日目 / Higashino
東京教育大学過去問　複写数
なぞなぞよろしくお願いいたします
以下問題
No.88828 - 2024/09/11(Wed) 19:22:59
☆ Re: 古田水平面第4日目 / ヨッシー
Ａ(0,0)、Ｂ(1,0)、Ｃ(1,1) とします。
1)
ＡＢ上の点は (t,0) (0≦t≦1) と書けるので、
　ｚ＝ｔ
とおくと、
　ｗ＝ｔ^2＋ｔ＋１
ｗの座標は (ｔ^2＋ｔ＋１, 0) であり、(1,0) から (3,0) までの線分上を動きます。

2)
ＢＣ上の点は (1, t) (0≦t≦1) と書けるので、
　ｚ＝１＋ti
とおくと、
　ｗ＝(１＋ti)^2＋(１＋ti)＋１
　　＝３−ｔ^2＋３ｔｉ
ｗの座標は　(3−ｔ^2, 3t) であり、
　ｘ＝3−(y/3)^2
この放物線上を (3, 0) から (2, 3) まで動きます。

3)
ＣＡ上の点は (t, t) (0≦t≦1) と書けるので、
　ｚ＝ｔ＋ｔｉ
とおくと、
　ｗ＝(ｔ＋ti)^2＋(ｔ＋ti)＋１
　　＝ｔ＋１＋(２ｔ^2＋ｔ)ｉ
ｗの座標は　(ｔ＋１, ２ｔ^2＋ｔ) であり、
　ｙ＝２(ｘ−１)^2＋ｘ−１
　　＝２ｘ^2−３ｘ＋１
この放物線上を　(1,0) から (2,3) まで動きます。
No.88833 - 2024/09/12(Thu) 11:48:40
☆ Re: 古田水平面第4日目 / Higashino
ご回答ありがとうございます

先生とほぼ同じ考え方となりました

何かご指摘　アドバイス　ご指導等ありましたら　何卒よろしくお願いいたします

以下答案
No.88834 - 2024/09/12(Thu) 18:37:03
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です。

赤い文字は解説書を見て書き加えました。

なぜイ+ウ＝12になるのですか？

8点になるのは一問と3問を正解した人か2問と3問を正解した人に分かれると思うのですが
No.88817 - 2024/09/10(Tue) 22:35:57
☆ Re: / やり直しメン
ですのでイ＝12かウ＝12になるのだと思ってしまいます。
No.88818 - 2024/09/10(Tue) 22:39:30
☆ Re: / らすかる
・テストの点数が8点だった人は表から12人
・8点になるためには2点+6点しかあり得ないから、
　8点の人は第1問と第3問の二つを正解したか、または第2問と第3問の二つを正解したはず
・よって「第1問と第3問を正解した人数」と「第2問と第3問を正解した人数」を合わせて12人とわかる
・「第1問と第3問を正解した人数」＝イ、「第2問と第3問を正解した人数」＝ウだから、イ＋ウ＝12。
のようになりますが、この中でわからない（納得のいかない）点はどこですか？
No.88822 - 2024/09/11(Wed) 02:23:08
★ 複素数平面　類題 / Higashino
前回の質問の類題です
何卒よろしくお願いいたします

以下問題
No.88814 - 2024/09/10(Tue) 03:02:18
☆ Re: 複素数平面　類題 / X
α,β,γに対応する点をA,B,Cとすると
|α|=|β|=|γ|
より、△ABCの外心は原点 (A)
一方
α+β+γ=0
より
(α+β+γ)/3=0
∴△ABCの重心も原点 (B)
(A)(B)より、問題の命題は成立します。
No.88815 - 2024/09/10(Tue) 19:05:15
☆ Re: 複素数平面　類題 / IT
「外心と重心が一致する三角形は、正三角形である。」は正しいですが、証明が必要だと思います。
No.88816 - 2024/09/10(Tue) 20:26:17
☆ Re: 複素数平面　類題 / Higashino
先生方、ご回答ありがとうございます

x先生のご回答ですが
>『三角形において、重心、外心、内心、垂心のうち、

少なくとも2つが一致していれば、正三角形である、』

の証明が必要になりますが、私には煩雑すぎて諦めました

ベクトルを使い証明しました

以下答案です　

ご指導　アドバイス　ご指摘のほど何卒よろしくお願いいたします
No.88819 - 2024/09/10(Tue) 22:58:13
☆ Re: 複素数平面　類題 / IT
Higashinoさんの A,B,C はどんな点ですか？
なぜα＝AB→、β＝BC→、γ＝CA→と置けるのですか？
No.88820 - 2024/09/10(Tue) 23:34:08
☆ Re: 複素数平面　類題 / Higashino
IT先生へ

ご指摘ありがとうございます

再度私なりの説明をいたします
No.88821 - 2024/09/11(Wed) 00:44:42
☆ Re: 複素数平面　類題 / X
＞＞ITさんへ
やはり、その証明が必要になりますね。
証明なしで使える前提にしたかったのですが。

＞＞Higashinoさんへ
以下の補題を証明します。
但し、証明なしで中線定理を使うことを
前提にします。

補題)
△ABCの重心と外心が一致するとき、
△ABCは正三角形である。

証明)
△ABCの重心をG、外接円の半径をRとすると、
条件から
AG=BG=CG=R
∴辺BCの中点をMとすると
AM=(3/2)AG=(3/2)R (A)
となるので、中線定理により
AB^2+CA^2=2{{(3/2)R}^2+(BC/2)^2}
これより
∴AB^2+CA^2-(1/2)BC^2=(9/2)R^2 (B)
同様に辺CA,ABの中点に注目した中線定理により
BC^2+AB^2-(1/2)CA^2=(9/2)R^2 (C)
BC^2+CA^2-(1/2)AB^2=(9/2)R^2 (D)
(B)-(C)より
(3/2)CA^2-(3/2)BC^2=0
(CA-BC)(BC+CA)=0
∴BC＞0,CA＞0から
BC=CA (E)
同様に(C)-(D)から
CA=AB (F)
(E)(F)より、△ABCは正三角形。
No.88824 - 2024/09/11(Wed) 17:40:40
☆ Re: 複素数平面　類題 / X
只、これでは確かに練習問題の解答としては煩雑ですので
別解をアップしておきます。

別解)
|α|=|β|=|γ| (A)
α+β+γ=0 (B)
とします
(B)より
γ=-(α+β)
これを(A)に代入して
|α|=|β|=|α+β|^2
各辺2乗して右辺を展開すると
|α|^2=|β|^2=|α|^2+|β|^2+(α\β+\αβ)
∴|α|^2=2|α|^2+(α\β+\αβ)
α\β+\αβ=-|α|^2 (C)
同様に(B)を用いて、β、γを消去することにより
β\γ+\βγ=-|β|^2 (D)
γ\α+\γα=-|γ|^2 (E)

(A)(C)より
|α-β|^2=|α|^2+|β|^2-(α\β+\αβ)
=3|α|^2 (C)'
同様に(A)(D)により
|β-γ|^2=3β^2 (D)'
(A)(E)により
|γ-α|^2=3γ^2 (E)'

(A)(C)'(D)'(E)'から
|α-β|^2=|β-γ|^2=|γ-α|^2
∴|α-β|=|β-γ|=|γ-α|
となるので、問題の命題は成立します。
No.88825 - 2024/09/11(Wed) 17:50:01
☆ Re: 複素数平面　類題 / X
No.88825について、少し解説を。

問題の点α,β,γでできる三角形が正三角形だとして
複素平面上に図を描いてみると
|α-β|=(√3)|α| (P)
となっていることが分かります。
(正三角形の頂点と原点とを結んだ線分を考えましょう)

(P)⇔|α-β|^2=3|α|^2 (Q)
となることから、(Q)を証明する方針で
解くことになりますが、

問題となるのが、(Q)の左辺を展開した
ときに出てくる
α\β+\αβ
をどのようにαの式で表すか、です。
その処理がNo.88825の(C)までの過程
になっています。

(A)(B)はα、β、γに関する対称式に
なっていますので、(C)(C)'が求められれば
残りのβ、γについての式はα、β、γを
サイクリックに回していけば容易に求められます。
No.88826 - 2024/09/11(Wed) 18:06:13
☆ Re: 複素数平面　類題 / Higashino
x先生IT 先生

今回もありがとうございました

またよろしくお願いいたします
No.88827 - 2024/09/11(Wed) 19:21:26
★ (No Subject) / 有栖川
実数a, b (a<b)で、aとbの間に整数が存在しないようなa, bの必要十分条件はどうなりますか？
No.88804 - 2024/09/09(Mon) 07:59:23
☆ Re: / IT
aとbの間にa,bは含まれますか？
「実数a, b (a<b)で、aとbの間に整数が存在しない」そのままが最も簡明な表現の一つだと思いますが、どんな場面で使うのですか？
No.88807 - 2024/09/09(Mon) 09:17:29
☆ Re: / らすかる
「aとbの間」にa,bが含まれないものとして
(a＜)b≦[a]+1
（[ ]はガウス記号）
と表せると思います。
# もしa,bが含まれるならば
# [b]＜a(＜b)
No.88808 - 2024/09/09(Mon) 11:33:27
★ 複素数平面　第二2日目 / Higashino
岐阜大学過去問

なにとぞよろしくお願いします

以下問題
No.88799 - 2024/09/08(Sun) 21:57:43
☆ Re: 複素数平面　第二2日目 / Higashino
おはようございます
答案を作成したのですが
問題は複素数平面上での議論になります
私の座標設定は正しいものなのでしょうか？
何分複素数平面は習い始めたばかりなので教えてください

以下、私の答案を示します

なにとぞよろしくお願いいたします
No.88803 - 2024/09/09(Mon) 06:58:46
☆ Re: 複素数平面　第二2日目 / X
別解をアップしておきます。

別解)
条件から
|z[1]|=|z[2]|=|z[3]|=|z[4]|=r(rは正の定数) (A)
z[1]+z[2]+z[3]+z[4]=0 (B)
今、z[k](k=1,2,3,4)を解とする4次方程式を
x^4+ax^3+bx^2+dx+d=0 (C)
と置くと
x^4+ax^3+bx^2+dx+d=(x-z[1])(x-z[2])(x-z[3])(x-z[4])
右辺を展開して係数を比較すると
a=-(z[1]+z[2]+z[3]+z[4]) (D)
c=-{z[1]z[2]z[3]+z[1]z[3]z[4]+z[1]z[2]z[4]+z[2]z[3]z[4]} (E)
d=z[1]z[2]z[3]z[4] (F)
(B)(D)より
a=0 (D)'
一方(F)を(E)に用いると
c=-d(1/z[1]+1/z[2]+1/z[3]+1/z[4]) (E)'
ここで(A)より
\z[k]=(r^2)/z[k] (k=1,2,3,4) (\zはzの共役複素数。以下同じ)
∴(E)'から
c=-d(\z[1]+\z[2]+\z[3]+\z[4])/r^2
=-(d/r^2)\(z[1]+z[2]+z[3]+z[4])
=0 (E)" (∵)(B)を代入

(D)'(E)"より(C)は
x^4+bx^2+d=0 (C)'
∴(C)'の解のうち、２つをt,u(但しt≠-u)とすると、
残りの二つは-t,-uとなるので、z[1],z[2],z[3],z[4]に対応する
複素平面上の点は、原点に関して対称な2点2組で構成されます。

∴(A)よりz[1],z[2],z[3],z[4]に対応する点を頂点とする
四角形の２本の対角線の長さは等しく、かつ対角線の中点
は原点となるので、問題の命題は成立します。
No.88809 - 2024/09/09(Mon) 17:49:13
☆ Re: 複素数平面　第二2日目 / X
＞＞Higashinoさんの解答について。
大筋で問題ありません。
A,Dを実軸に関し、対称に設定するのはうまいですね。
No.88810 - 2024/09/09(Mon) 18:12:12
★ 数列　高3 / ふっく
⑶の解き方がわかりません、お願いします
No.88798 - 2024/09/08(Sun) 21:05:08
☆ Re: 数列　高3 / ヨッシー
(3)
１辺が１の下向き正三角形は、２段積んだときに１個現れ、１段積むごとに＋２、＋３していきます。
１辺が２の下向き正三角形は、４段積んだときに１個現れ、１段積むごとに＋２、＋３していきます。
　・・・
１辺がｋの下向き正三角形は、2k段積んだときに１個現れ、１段積むごとに＋２、＋３していきます。

ｎ段積んだときを考えると、
ｎが偶数のとき
　１辺がn/2の下向き正三角形は、１個
　１辺がn/2−1 の下向き正三角形は、1＋2＋3 個
　１辺がn/2−2 の下向き正三角形は、1＋2＋3＋4＋5 個
　　　・・・
　１辺が k の下向き正三角形は、1＋2＋3＋・・・＋(n−2k＋1) 個
　　　・・・　
　１辺が １ の下向き正三角形は、1＋2＋3＋・・・＋(n−1) 個
これらを小さい順に
　1, 1＋3, 1+3+5,・・・1＋2＋3＋・・・＋(n−1)
のように n/2 個の数を並べ、順に a[1], a[2],・・・a[n/2] とします。
　a[k]＝Σ[i=1〜k](4i-3)＝2k(k+1)−3k＝k(2k−1)
これを k=1〜n/2 まで足すと
　Σ[k=1〜n/2](2k^2−k)＝(n/2)(n/2+1)(n+1)/3−(n/2)(n/2+1)/2＝(n/2)(n/2+1)(2n-1)/6　・・・答え１

ｎが奇数のとき
　１辺が(n−1)/2 の下向き正三角形は、1＋2 個
　１辺が(n−1)/2−1 の下向き正三角形は、1＋2＋3＋4 個
　　　・・・
　１辺が k の下向き正三角形は、1＋2＋3＋・・・ (n−2k+1) 個
　　　・・・
　１辺が 1 の下向き正三角形は、1＋2＋3＋・・・＋(n−1) 個
同様に　a[1], a[2],・・・a[(n-1)/2] とすると、
　a[k]＝Σ[i=1〜k](4i-1)＝2k(k+1)−k＝2k^2＋k
これを k=1〜(n−1)/2 まで足すと
　Σ[k=1〜(n-1)/2](2k^2＋k)＝n{(n-1)/2}{(n＋1)/2}/3＋{(n−1)/2}{(n＋1)/2}/2＝{(n−1)/2}{(n＋1)/2}(2n＋3)/6　・・・答え２
No.88823 - 2024/09/11(Wed) 09:19:59
★ いよいよ複素平面 / Higashino
岐阜大学過去問　嘘数平面
なにとぞよろしくお願いします
以下問題
No.88789 - 2024/09/08(Sun) 06:23:30
☆ Re: いよいよ複素平面 / X
問題の方程式から
x^2+2ax+b=0 (A)
又は
x^2+x+1=0 (B)
(B)より
x=-1/2±i(√3)/2 (B)'
(B)'を複素平面上に図示することにより
次の二つに場合分けします。
(i)(B)'の2点が正方形の隣り合う2点となるとき
正方形の縦の辺の長さは√3となりますので
(A)の解は
x=-1/2+√3±i(√3)/2 (A)'
又は
x=-1/2-√3±i(√3)/2 (A)"
(A)'から
(2x+1-√3)^2=-3
4x^2+(5-2√3)x+4-2√3=0
x^2+{(5-2√3)/4}x+1-(1/2)√3=0
これと(A)とを係数比較して
(a,b)=((5-2√3)/8,1-(1/2)√3)
同様に(A)"から
(a,b)=((5+2√3)/8,1+(1/2)√3)

(ii)(B)の2点を結ぶ線分が正方形の対角線となるとき
2点の中点に対応する複素数は
z=-1/2
対角線の長さは√3
対角線は互いに垂直ですので、(A)の解は
x=-1/2±(√3)/2
これより
(2x+1)^2=3
4x^2+4x-2=0
x^2+x-1/2=0
これと(A)'の係数比較をして
(a,b)=(1/2,-1/2)

以上から
(a,b)=(1/2,-1/2),((5-2√3)/8,1-(1/2)√3),((5+2√3)/8,1+(1/2)√3)
No.88797 - 2024/09/08(Sun) 20:51:29
☆ Re: いよいよ複素平面 / Higashino
x先生、こんばんは

ご回答いただきありがとうございます

まだ複素数平面を習い始めて2日目ですのでご容赦ください

以下答案
No.88800 - 2024/09/08(Sun) 23:09:13
★ 二次関数 / あ
場合わけのやり方はわかるのですが、不等号の意味がよくわかりません。
なぜ、（i）と（ii）で不等号が違うのでしょうか。
教えていただきたいです。よろしくおねがいいたします。
No.88786 - 2024/09/08(Sun) 01:30:07
☆ Re: 二次関数 / あ
写真です。
No.88787 - 2024/09/08(Sun) 01:34:13
☆ Re: 二次関数 / IT
a=1 のときを(i)(ii)のどちらに入れるか？の違いのことですか？

a=1 のときは、どちらに入れても良いですし、３つに分けても良いです。

ただ、区間0≦x≦a に　放物線の頂点が入らない場合と入る場合に分ける。

その方法が分かり易くて自然かなと思います。
No.88794 - 2024/09/08(Sun) 17:38:55
☆ Re: 二次関数 / あ
回答ありがとうございます。自分の説明が悪くてすみません。
なぜ、（i）では不等号が<なのに、（ii）では≦なのかが知りたいです。
ご回答してもらったのにすみません、自分の説明不足でした。
度々すみませんが、よろしくお願いします。
No.88801 - 2024/09/08(Sun) 23:15:31
☆ Re: 二次関数 / IT
No.88794で回答しています。良く読んでみてください。
No.88806 - 2024/09/09(Mon) 08:23:32
☆ Re: 二次関数 / あ
回答ありがとうございます。良く読んでなくてすみません。
理解できました。分かりやすい回答ありがとうございました。
No.88813 - 2024/09/09(Mon) 22:28:32
★ (No Subject) / 算数
算数です

5番です。

難しかったです

教えてください
No.88782 - 2024/09/07(Sat) 20:08:52
☆ Re: / ヨッシー
(1)
６×５÷２＝１５(試合)

(2)
ＢとＥともに５勝ということはないので、仮に３勝２敗とします。
すると、Ｆは多く勝っても２勝３敗、Ｃは１勝４敗、ＡとＤが０勝５敗となり、
エの条件にも合いませんし、勝ち数の合計と、負け数の合計が一致しません。
よって、ＢとＥは４勝１敗で、ＥはＣに負け、ＢはＥに負けたことがわかります。

Ｆが２勝３敗とすると、Ｃは１勝４敗、ＡとＤが０勝５敗となり、やはり、勝ち数と負け数が一致しません。
よって、Ｆは３勝２敗。

Ｃが１勝４敗だと、ＡとＤが０勝５敗で、やはりダメで、Ｃは２勝３敗。

ここまでの４チームは　１３勝７敗。
ＡとＤとで、２勝８敗にするには、それぞれ　１勝４敗。

これを踏まえて勝敗表を作ると図のようになります。
No.88811 - 2024/09/09(Mon) 18:45:27
★ (No Subject) / SUN
三角形ABCがあり点Aを通り直線BCと平行な直線，点Bを通り直線CAと平行な直線，点Cを通り直線ABと平行な直線によってつくられる三角形を△STUとする。また点Hは三角形ABCの垂心を表すとする。

四角形ABSC，四角形ＢＣＴＡ，四角形ＣＡＵＢが平行四角形であることに着目して点Ｈは△ＳＴＵの[カ　外心]である
また△ＳＴＵと△ＡＢＣのキ [重心]は一致する

△STUのキ[重心]をXとし△STUを点Xの周りで180度回転移動しさらに点Xを中心にク[1/2]倍に縮小すると△ABCと重なるので△STUのカ [外心]とキ[重心]の位置関係が分かる

△ABCの外心をOとする。3点H,X,Oの位置関係は?

三角形STU上の任意の点をE，三角形ABC上の任意の点をFとすると重心Xを中心に1/2倍に縮小するということは
1/2XE=XF…<1>
が常に成り立つように三角形STUを縮小することですよね
だから△STUを重心Xを中心に1/2倍の三角形は△ABCと等しい
=△STUの外心Hは1/2倍に圧縮されたために△OABの外心Oに移動した

三角形の周上の点以外でも(外心，内心)も<1>のように移動するはずなので
1/2XH=XO
よってXO;OH=1:1だと思ったのですが…
選択肢全てXは直線ＯＨを〇：△に内分する点である
しかないんですけど…
これだとXは直線OHを1:2に外分するになってしまうんですが…何がいけないんでしょうか？解説よろしくお願いします
No.88780 - 2024/09/07(Sat) 16:47:02
☆ Re: / 黄桃
>1/2XH=XO
は合ってますが、X,O,Hの位置関係を誤解しているようです。

平面上に、XとHの2点だけをとり、
HをXの回りに180度回転し
移動先をYとし(※)、
XYをXからYの方向に半分の地点、つまり、XYの中点がO
という位置関係になっています。

※の部分は、アナログ時計の中心をX
12時の部分をHとすれば、Yは6時の部分になります。
No.88802 - 2024/09/08(Sun) 23:34:27
★ 法政大学　複素数 / Higashino
法政大学過去問　複素数
なにとぞよろしくお願いします
以下問題
No.88775 - 2024/09/07(Sat) 12:47:41
☆ Re: 法政大学　複素数 / Higashino
こんばんは
私の答案が出来上がりましたので、投稿させていただきます
先生方よろしくお願いいたします

以下答案
No.88795 - 2024/09/08(Sun) 18:30:17
☆ Re: 法政大学　複素数 / X
その解答で問題ありません。
No.88796 - 2024/09/08(Sun) 20:30:11
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