どうしてこの３組だけになるのか解説して頂いてもよろしいでしょうか。
|
No.85088 - 2023/03/03(Fri) 18:58:46
| ☆ Re: / 吉田 | | | まずmod2で考えると,
p^2+q^2 = r^3を満たす(p ,q ,r) = (0, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 0, 0), (1, 1, 0) の四通りです。
(i)r≡0(mod2)のとき
rは素数より, r=2のみ条件を満たします。ここからp, qを求めると(p ,q ,r) = (2, 2, 2)
(ii)r≡1(mod2)のとき
p, qのうちいずれかが偶数となるので, 式の対称性を利用しp > qの条件を設定して q = 2とおけば
p^2 + 4 = r^3
を解けばよいことになります。さらにこれを以下のように変形します。
(p+2i)(p-2i) = r^3
ここから, ガウス整数環と呼ばれるものを考えていきます。
なんとなく知りたい場合は-----まで飛ばしてください。
--------------------------------------------------
ガウス整数 - 複素数a+biのうち, aとbがともに整数であるもの。
ガウス整数α, βに対して, α=βγを満たすガウス整数γが存在するとき, "αはβの倍数"であり,"βはαの約数"である。
例: 2 = (1+i)(1-i)より 2の約数は
±1, ±2, ±i, ±2i, ±(1 + i), ±(1 − i)
1の約数を"単数"といい, ±1, ±iである。
二つのガウス整数が"同伴である"とは, その比が単数であるガウス整数のことです。
例: 3+2i と -2+3i は同伴(単数iをかけたもの同士)
複数のガウス整数の共通のガウス整数を共約数と言い、公約数が単数のみの場合、"互いに素"であるという。
-----------------------------------------
p+2iとp-2iは互いに素
- pは奇数なので, 2とは共通の約数を1以外に持ちません。
p+2iとp-2iが共通の約数dを持つとすると, 和と差もdの倍数なので 2p と4i もdの倍数になり, pと2は互いに素なので d = 2となりますが, (a+2i)(a-2i)は4の倍数となり, rは奇数なので矛盾します。よってp+2iとp-2iは互いに素です。
(p+2i)と(p-2i)は互いに素であり, それらの積が立方数なので両方とも立方数になります。(p+2i)が平方数の場合を考えると, 整数n, mを用いて
(p+2i) = (n+mi)^3 = n^3 - 3nm^2 + (3n^2m - m^3)i
と表せます。よって
n^3 - 3nm^2 = p
3n^2m - m^3 = 2
が導けます。
m(3n^2-m^2)=2
からm = ±2, ±1を得られ,
pが素数であることに注目すると p = 5がただ一つの解となるので (p, q, r) = (2, 5, 11) , (5, 2, 11)
よって,
(p, q, r) = (2, 2, 2) , (2, 5, 11) , (5, 2, 11)
となります。
|
No.85094 - 2023/03/04(Sat) 06:25:30 |
|
