「極限値lim[h→0]{f(a+h)-f(a)}/hが存在するとき、これをx=aにおける微分係数といい、f'(a)で表す。f'(a)が存在するならば、f(x)はx=aで微分可能である。」……（１）
のように教科書に書いてありますが、疑問がありますので教えて下さい。
Ｑ1
「x=aが連続でなく、極限値lim[h→0]{f(x+a)-f(a)}/hが存在するとき、f(x)はx=aで微分可能である」……（２）
であると言いますか？
例えば、「不連続な関数 x≠0のとき、f(x)=x^2, x=0のときf(x)=5」
は lim[h→+0]{f(0+h)-f(0)}/h=２,lim[h→-0]{f(0+h)-f(0)}/h=２だから
「極限値lim[h→0]{f(0+h)-f(0)}/hが存在するので、x=0で不連続でもf(x)はx=0で微分可能ですか？
Ｑ２
（１）は次のように「x=aで連続であり」書くべきですか。
「x=aで連続であり、かつ、極限値lim[h→0]{f(x+a)-f(a)}/hが存在するとき、f(x)はx=aで微分可能である」……（３）
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No.87275 - 2024/01/24(Wed) 00:05:45
| ☆ Re: 不連続な点における微分係数 / ast | | | よくわからんが, もしかして質問者は可除特異点の話をしたいのか? つまり, 質問者は lim_[x→a]f'(x) と lim_[h→0](f(a+h)-f(a))/h) という全く異なる極限を混同してはいまいか?
## いうまでもないが, "x≠a で微分可能かつ lim_[x→a] f'(x) の存在する函数" というだけでは
## 例えば a=0 として f(x)=x^2 (x≤0), = x^2+1 (x>0) のような jump する不連続点を持つ函数
## なども含まれるので制約として非常に弱い, 逆に言えば "x=a で微分可能" は極めて強い制限.
可除特異点の話なのであれば, 例えば「[問題]: f(x) が x=a を除いて連続かつ微分可能で, lim_[x→a-0] f(x) = lim_[x→a+0] f(x) かつ lim_[x→a-0] f'(x) = lim_[x→a+0] f'(x) ならば, これを使って新しく g(x):=f(x) (x≠a), = lim_[x→a] f(x) (x=a) と定義した g(x) に対して g'(a) は存在するか, するならばその値は?」のような疑問を持つのならば有意 (無論, f(x) と g(x) とは相異なる函数であるという認識は欠かすべからざる要点で, とくに x=a において f(x) が定義されていなくても, あるいは f(a) が存在してどんな値であったとしても, それとは無関係に g(x) の x=a における挙動は一意的に記述できる).
/* 上記の [問題] に関しては高校範囲で考えるにはやや難で, (真面目に厳密さを追ってはいないが)以下のような話をすることになると思う:
lim_[h→0] (g(a+h)-g(a))/h
= lim_[h→0] f(a+h)-(lim_[η≠0,η→0]f(a+η))/h
= lim_[h→0]lim_[η≠0,η→0] (f(a+η+h)-f(a+η))/h - lim_[h→0]lim_[η≠0,η→0](f(a+h+η)-f(a+h))/h (*)
ここで第一項の二つの極限の順番を交換出来るならば(†), 交換して
(*) = lim_[η≠0,η→0] f'(a+η) - 0 =: g'(a)
# (†): 二重極限 lim_[√(h^2+η^2) → 0] (f(a+η+h)-f(a+η))/h が存在すれば交換するに十分.
# 区間 [a+η,a+η+h] or [a+η+h,a+η] で平均値の定理を適用して
# (f(a+η+h)-f(a+η))/h = f'(c) (a+η<c<a+η+h or a+η+h<c<a+η)
# と書けば, √(h^2+η^2) → 0 のとき c→a で, 仮定からlim_[c→a]f'(c) は存在して有限, したがって左辺の二重極限も存在.
/*
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No.87281 - 2024/01/24(Wed) 11:39:54 |
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