0868025

ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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★ 解の配置問題 / 大西
二次関数f(x)＝x^2＋ax＋bがあって、f(x)＝0の解が少なくとも1つp＜x＜qの範囲に解を持つようなa,bの条件を求めるときに
【１】f(p)×f(q)＜0のとき
【２】f(p)×f(q)＝0のとき
　　（A）f(p)＝0のとき、残りの解がpとqの間に入る
　　（B）f(q)＝0のとき、残りの解がpとqの間に入る
　　　→（A）または（B）
【３】f(p)×f(q)＞0のとき
　　（C）f(p)＞0かつf(q)＞0
　　（D）y=f(x)の軸がpとqの間
　　（E）D≧0
　　　→（C）かつ（D）かつ（E）
の【１】または【２】または【３】を満たせば良いのですが、

f(x)=0の解をα,βとしたときに
（あ）p＜α＜qまたはp＜β＜q
（い）p＜α＜qかつp＜β＜q
（う）D≧0
の「（あ）または（い）」かつ（う）の条件だけではダメなのでしょうか？
No.90049 - 2025/03/22(Sat) 14:09:49
☆ Re: 解の配置問題 / IT
それだと「（あ）または（い）」かつ（う）　でもあってますが
（あ）だけで良いのでは？

それを　どうやってa,bの条件として求めるかですね。

なお、例えばαが虚数の可能性を残したまま
p＜α＜q として終わってしまうと×でしょうね。
No.90050 - 2025/03/22(Sat) 15:47:38
☆ Re: 解の配置問題 / 大西
ITさんご返信ありがとうございます。

（あ）と（い）はp＜x＜qの範囲に解が1個あるときと解が2個あるときで条件が違うと思ったので入れてみました。

αが虚数の可能性を残さないように（う）の条件を入れました。

この条件で求めるとa,bの条件がややこしくなりそうですね。
なので軸や単点の座標や判別式を用いるのかも知れないですね。
No.90052 - 2025/03/22(Sat) 17:15:01
☆ Re: 解の配置問題 / IT
（あ）、（い）、（う）、「（あ）または（い）」かつ（う）の　相互関係を整理してみられると良いかも知れません
No.90054 - 2025/03/22(Sat) 17:45:43
☆ Re: 解の配置問題 / 大西
ITさんご返信ありがとうございます。
一度整理してみます。
No.90056 - 2025/03/22(Sat) 21:00:17
★ 絶対値の最大値 / けいすけ
絶対値の最小値問題で質問があります。
以下の（あ）（い）は私が考えました。

a≠cで、s,tは定数とする。
（あ）f(x)≧s　（等号は　x=a,kのとき成立）、g(x)≧t　（等号は　x=b,kのとき成立）の場合、
　　　f(x)+g(x)の最小値はs+t（x=kのとき）である。f(x)・g(x)の最小値はst（x=kのとき）である。
　　　f(x)+g(x)≧s+t ,f(x)・g(x)≧st　も成り立つ。

（い）a,b,c,dは異なる定数とする。
f(x)≧s　（等号は　x=a,cのとき成立）、g(x)≧t　（等号は　x=b,dのとき成立）の場合、
　　　f(x)+g(x)の最小値はs+tではない。。f(x)・g(x)の最小値はstではない。
　　　f(x)+g(x)≧s+t　,f(x)・g(x)≧st　も成り立つ。

【質問1】（あ）と（い）は正しいですか。

【質問2】 以下の問題で（あ）を利用して次のような解答をして正しいですか。
解答として不足、誤りがあれば教えて下さい。

◆問題◆　
｜ｘ｜+｜ｙ｜＝1のとき,｜2ｘ+y｜+｜x-ｙ｜の最大値を求めよ。

私の解答は、

｜ｘ｜+｜ｙ｜＝1より、0≦｜ｘ｜≦1
｜2ｘ+y｜≦｜2ｘ｜＋｜y｜……(1)　等号は、2x・y≧0つまりxy≧0……(2)で成立。
｜ｘ-y｜≦｜ｘ｜＋｜-y｜……(3)　等号は、x(-y)≧0つまりxy≦0……(4)で成立。
(2)かつ(4)つまりxy=0……(5)　のとき(1)(3)より
｜2ｘ+y｜+｜x-ｙ｜≦｜2ｘ｜＋｜y｜＋｜ｘ｜＋｜-y｜
　　　　　　　　　＝2｜ｘ｜＋｜y｜＋｜ｘ｜＋｜y｜
　　　　　　　　　＝3｜ｘ｜＋2｜y｜
　　　　　　　　　＝3｜ｘ｜＋2(１−｜ｘ｜)
　　　　　　　　　＝｜ｘ｜＋2
よって、0≦｜ｘ｜≦1より、｜ｘ｜＋2は｜ｘ｜＝１で最大値2・1+1=3をとる。
｜ｘ｜＝１のとき,(x、y)=(-1,0)、(1,0)でxy=0……?Dを満たす。
以上より、｜2ｘ+y｜+｜x-ｙ｜の最大値は3 　　(x、y)=(-1,0)、(1,0)のとき
No.90040 - 2025/03/18(Tue) 21:20:23
☆ Re: 絶対値の最大値 / けいすけ
すみません。以下のように式の番号を（5）にして下さい。

｜ｘ｜＝１のとき,(x、y)=(-1,0)、(1,0)でxy=0……?Dを満たす。
↓
｜ｘ｜＝１のとき,(x、y)=(-1,0)、(1,0)でxy=0……（5）を満たす。
No.90041 - 2025/03/19(Wed) 11:14:35
☆ Re: 絶対値の最大値 / _
【質問1】
和f(x)+g(x) の方はよいが、積f(x)・g(x)のほうはダメ。s,tに0があったり異符号だったりしたら簡単に反例作れる。

(あ)での反例：f(x)=||x|-1|-1 (x=-1,1のとき最小値-1), g(x)=||x-2|-1| (x=1,3のとき最小値0)
　　このとき f(x)・g(x)の最小値は-1ではなく-2。

(い)での反例：f(x)=(x(x-1))^2　(x=0,1のとき最小値0), g(x)=((x-2)(x-3))^2　(x=2,3のとき最小値0)
　　このとき f(x)・g(x)の最小値は0


【質問2】の解答は、まあ大丈夫かな。
No.90042 - 2025/03/19(Wed) 14:46:38
☆ Re: 絶対値の最大値 / けいすけ
【質問3】
（う）f(x)≧s　（等号は　x=a,kのとき成立）、g(x)≧t　（等号は　x=b,kのとき成立）の場合、
　　　f(x)・g(x)の最小値はst（x=kのとき)
　　　が成り立つのどのような場合ですか。

（え）f(x)≧s　（等号は　x=kのとき成立）、g(x)≧t　（等号は　x=kのとき成立）の場合、
　　　f(x)・g(x)の最小値はst（x=kのとき)
　　　が成り立つのどのような場合ですか。

【質問4】
◆問題◆と同じように以下の▲類題▲で解いたら答えが違いました。どこが誤りですか。

▲類題▲
-1≦ｘ≦2, 1/3≦y≦1のとき,｜ｘ-y｜+｜x-+ｙ｜の最大値を求めよ。

私の解答は、
最大値を求めると
｜ｘ-y｜≦｜ｘ｜＋｜-y｜……(1)　等号は、x・(-y)≧0つまりxy≦0……(2)で成立。
｜ｘ+y｜≦｜ｘ｜＋｜y｜……(3)　等号は、xy≧0……(4)で成立。
(2)かつ(4)つまりxy=0……(5)　のとき(1)(3)より
｜ｘ-y｜+｜x+ｙ｜≦｜ｘ｜＋｜-y｜＋｜ｘ｜＋｜y｜
　　　　　　　　　＝｜ｘ｜＋｜y｜＋｜ｘ｜＋｜y｜
　　　　　　　　　＝2(｜ｘ｜＋｜y｜)
0≦｜ｘ｜≦2, 0≦｜y｜≦1とxy=0(x,yの少なくとも1つが0)……(5)より、
ｘ＝2，ｙ＝0のとき,2(｜ｘ｜＋｜y｜)＝2(｜2｜＋｜0｜)=4
よって、｜ｘ-y｜+｜x+ｙ｜の最大値は4 (ｘ＝2，ｙ＝0のとき)

最大値が4になるのは、ｘ＝2，ｙ＝0しか出てきませんが（他にx=2,y=1などもありそうです）、
どの計算と考え方が誤りですか。
No.90043 - 2025/03/20(Thu) 00:59:16
☆ Re: 絶対値の最大値 / けいすけ
いろいろと考えてみましたら、以下の結論が出ました。
【質問3】はこれで正しいですか。
【質問3】【質問4】のどちらか片方だけでも、先に教えていただいても結構です。

　a,b,kは異なる実数とする。
(パターン1） s>0　かつｔ＞0のとき
　　　f(x)≧s　（等号は　x=a,kのとき成立）、g(x)≧t　（等号は　x=b,kのとき成立）の場合、
　　　f(x)・g(x)の最小値はst（x=kのとき)が成り立つ。

(パターン2）sかtのうち,片方が0のとき（ここではs=0 かつｔ＞0としました。）
　　　f(x)≧0　（等号は　x=a,kのとき成立）、g(x)≧t　（等号は　x=b,kのとき成立）の場合、
　　　f(x)・g(x)の最小値は0（x=a,kのとき)が成り立つ。

(パターン3） sかtのうち、少なくとも１つが0よりも小さいとき
例えばs>0,t<0のとき
g(x)≧tでg(x)<0 ,g(x)=0 ,g(x)>0のように符号が決められないので、一般に最小値が求まらない。
No.90044 - 2025/03/20(Thu) 03:17:05
☆ Re: 絶対値の最大値 / けいすけ
すみません▲類題▲は、以下のように直して下さい。
-1≦ｘ≦2, 1/3≦y≦1のとき,
｜ｘ-y｜+｜x-+ｙ｜の最大値を求めよ。
↓
-1≦ｘ≦2, 1/3≦y≦1のとき,
｜ｘ-y｜+｜x+ｙ｜の最大値とその時のxとyをすべて求めよ。
No.90045 - 2025/03/20(Thu) 16:50:04
☆ Re: 絶対値の最大値 / WIZ
質問者さんの誤りは以下の2点だと思います。

(A)ご自身の提示した(あ)(い)を使いたい為(本当に使っているとは言えないけど)、
三角不等式を持ち出したのは良いが、そこでの等号が成立する条件に固執し、
更にその条件が必要条件であるとの自己暗示に陥っている。
不等式での等号の成立条件は必要条件でも何でもありません。
実際、No.90043でご自身が気が付いている通り、
この条件を満たさない解が存在しているのが何よりの証拠です。

(B)「P ≦ Q」と「Qの最大値はM」を示したのは良いが、
これらから直ちに「Pの最大値もM」とは言えない。
不等式での等号の成立という余計な(元々の問題には無い)条件下では
PとQの最大値は一致するかもしれないが、
余計な条件が無い状態ではQの最大値はMではないかもしないし、
PとQの最大値は不一致かもしれないので。

例えばNo.90045は私なら以下の様に場合分けして絶対値記号を外して解きます。
# (あ)(い)を使いたいという質問者さんの意向にはそぐわないけど。

(1)x-y ≧ 0かつx+y ≧ 0の場合
|x-y|+|x+y| = (x-y)+(x+y) = 2x
⇒ x = 2, 1/3 ≦ y ≦ 1のとき、z = 4が最大値

(2)x-y ≧ 0かつx+y < 0の場合
|x-y|+|x+y| = (x-y)-(x+y) = -2y
⇒ -1 ≦ x < -1/3, y = 1/3のとき、z = -2/3が最大値

(3)x-y < 0かつx+y ≧ 0の場合
|x-y|+|x+y| = -(x-y)+(x+y) = 2y
⇒ -1 ≦ x < 0, y = 1のとき、z = 2が最大値

(4)x-y < 0かつx+y < 0の場合
|x-y|+|x+y| = -(x-y)-(x+y) = -2x
⇒ x = -1, 1/3 ≦ y < 1のとき、z = 2が最大値

以上をまとめて、最大値は4で、その時x = 2, 1/3 ≦ y ≦ 1となります。

以下余談

例えば以下の様な問題なら、質問者さんの解法だと破綻します。

[問題]
1 ≦ x ≦ 10, 1 ≦ y ≦ 10のとき|x-y|の最大値を求めよ。

[質問者さんの解法]
|x-y| ≦ |x|+|-y|である。
不等式の等号が成立するのは、x*(-y) ≧ 0つまり、xy ≦ 0の時だが、
x > 0かつy > 0なので、xy ≦ 0とはなり得ない・・・どうしよう!

そもそも、No.90043の問題文には「1/3 ≦ y ≦ 1」とあるのに、
> 0≦｜ｘ｜≦2, 0≦｜y｜≦1とxy=0(x,yの少なくとも1つが0)……(5)より、
> よって、｜ｘ-y｜+｜x+ｙ｜の最大値は4 (ｘ＝2，ｙ＝0のとき)
> 最大値が4になるのは、ｘ＝2，ｙ＝0しか出てきませんが（他にx=2,y=1などもありそうです）、
などと、解答では「0 ≦ |y| ≦ 1」とか「y = 0」とかの頓珍漢は駄目だけどね。

失礼しました。
No.90046 - 2025/03/20(Thu) 18:17:26
☆ Re: 絶対値の最大値 / けいすけ
解答では「0 ≦ |y| ≦ 1」とか「y = 0」では誤りでした。

0≦｜ｘ｜≦2, 1/3≦｜y｜≦1とxy=0(x,yの少なくとも1つが0)……(5)より、
ｙ≠0から、xy=0(x,yの少なくとも1つが0)……(5)より、x=0
よってx=0のとき,
｜ｘ-y｜+｜x+ｙ｜≦2(｜ｘ｜＋｜y｜)の式に代入して
2(｜ｘ｜＋｜y｜)＝2(｜0｜＋｜y｜)=2｜y｜
1/3≦｜y｜≦1よりy=1で　2｜y｜≦2　だから
｜ｘ-y｜+｜x+ｙ｜≦2(｜ｘ｜＋｜y｜)≦2｜y｜≦2・1=2
よって、｜ｘ-y｜+｜x+ｙ｜の最大値は2 (ｘ＝0，ｙ＝1のとき)

このように書きたくなるのですが、なぜ誤りですか。
教えていただいた別の解答で
「最大値は4で、その時x = 2, 1/3 ≦ y ≦ 1」
はわかったのですが、私の「最大値は2 (ｘ＝0，ｙ＝1のとき)」
が誤りな理由がわかりません。

「(A)　不等式での等号の成立条件は必要条件でも何でもありません。」
「(B)「P ≦ Q」と「Qの最大値はM」を示したのは良いが〜
PとQの最大値は不一致かもしれないので」
がわかっていません。

例えば、以下の相加相乗平均の問題で、

「x>0のとき、{x+1/(4x)}+{2x+1/(2x)}の最小値を求めよ」
の問題で、x+1/(4x)≧2√｛x・1/(4x)｝＝1 (等号はx=1/2で成立）
2x+1/(2x)≧2√｛2x・1/(2x)｝＝1 (等号はx=1/2で成立）
どちらも等号はx=1/2で成立しているから、
{x+1/(4x)}+{2x+1/(2x)}≧1+1＝2　
よって最小値は2 (x=1/2のとき)

2つの不等式で等号が成り立つときのxが一致（等号はx=1/2で成立）
で{x+1/(4x)}+{2x+1/(2x)}≧1+1のように加えることができます。
しかし、相加相乗平均の問題と同じように、絶対値の問題の私の解答では誤りになってしまうのはなぜですか。
No.90047 - 2025/03/20(Thu) 20:34:12
☆ Re: 絶対値の最大値 / IT
けいすけさんの解答
最大値を求めると
｜ｘ-y｜≦｜ｘ｜＋｜-y｜……(1)　等号は、x・(-y)≧0つまりxy≦0……(2)で成立。
｜ｘ+y｜≦｜ｘ｜＋｜y｜……(3)　等号は、xy≧0……(4)で成立。
(2)かつ(4)つまりxy=0……(5)

「｜ｘ-y｜＝｜ｘ｜＋｜-y｜かつ｜ｘ+y｜＝｜ｘ｜＋｜y｜　
のとき｜ｘ-y｜+｜ｘ+y｜が　最大になる。」と考えているのは間違いです。

それぞれの右辺が(x,yによらない）定数なら良いですが、右辺の値は、x,y の値によって変化しますから。

WIZさんが丁寧に回答しておられますが、私は、上記に絞ってけいすけさんの解答の間違いを指摘します。
No.90048 - 2025/03/22(Sat) 11:01:29
☆ Re: 絶対値の最大値 / WIZ
【No.90043/No.90045の問題について】
No.90043で「x = 2, y = 1のとき|x-y|+|x+y| = 4」を質問者さん自身が示している、
つまり最大値は4以上であることが分かっているはずなのに、
最大値が2であるという誤った解答を書きたくなる理由が分からない。
自身の解法に執着があり、誤っていることを認めたくないということかな?

三角不等式を持ち出して「P ≦ Q」を示したところまでは正しい。
ここでPの値の計算が困難で、Qの値の計算は容易だからといって、
「P ≦ Q」を「P = Q」に捻じ曲げる条件を勝手に追加して、
その時のQの値をPの最大値としているのが誤りだ
・・・とNo.90046で解説したつもりだけど、質問者さんの心には届かないようだ。

No.90040の「|x|+|y| = 1のとき｜、|2x+y|+|x-y|の最大値を求めよ。」で、
質問者さんが正解しているのは偶然に過ぎない。
何故かというと、|2x+y|+|x-y|が最大になるのはx = ±1かつy = 0のときで、xy = 0を満たしている。
そして、このxy = 0という条件は質問者さんが解答の中で使っている
|2x+y| = |2x|+|y|と|x-y| = |x|+|y|が同時に成立するという余計な条件と偶然一致しているからだ。


【No.90040の(あ)とNo.90047の相加相乗平均の問題について】
No.90040の(あ)は、f(x)とg(x)の最小値と、そのときのxの値が事前判明している場合に成立する主張だ。
そして、質問者さんが例題として上げている相加相乗平均の問題は最小値を求める問題であり、
最小値となる変数xの値すら事前判明していないのだから、そもそも(あ)を適用できない。

x+1/(4x) ≧ 2√{x*1/(4x)} (等号はx = 1/2で成立)
2x+1/(2x) ≧ 2√{2x*1/(2x)} (等号はx = 1/2で成立)
相加相乗平均の大小関係により上記は正しい。
しかし、どうしてx = 1/2でx+1/(4x)や2x+1/(2x)が最小だと言えるのか質問者さんは証明できるの?

どうも質問者さんは、自身が持ち出した不等式の等号が成立するときが
最大値とか最小値に結びついていると思い込んでいるフシがあるけど、一般的にはこれは誤りだ。

例えば「x ≧ 0のとき1+x^2の最小値を求めよ」という問題では、
x = 0で1+x^2 = 1が最小なのは明らかだが、質問者さんの解法だと
1+x^2 ≧ 2√(1*x^2) = 2xで、不等式の等号が成立するのは
1-x^2 = 2x ⇒ 1-2x+x^2 = (1-x)^2 = 0よりx = 1だから、最小値は1+1^2 = 2とでもするの?
この問題の場合は等号が成立しない場合が最小になっているよね?
No.90055 - 2025/03/22(Sat) 18:42:36
☆ Re: 絶対値の最大値 / けいすけ
皆さんに答えていただき、f(x)≦g(x)から最大値が求まらない場合と求まる場合がわかってきました。

「y=f(x)とy=g(x)はa≦ｘ≦bのすべてのｘで連続な関数で、f(x)≦g(x)とする。
g(x)がx=kで最大値mをとり、かつ、f(x)がx=kでf(k)=g(k)＝mのとき、
y=f(x)はx=kで最大値mをとる。」
は正しいですよね。
No.90058 - 2025/03/23(Sun) 10:18:48
☆ Re: 絶対値の最大値 / けいすけ
（すみません。誤って送信されていましたので以下にしていください。）

WIZさんの説明で、相加平均相乗平均の不等式で最小値が求まる条件がわかりました。
また、
「|x|+|y| = 1のとき｜、|2x+y|+|x-y|の最大値を求めよ。」で
|2x+y| = |2x|+|y|と|x-y| = |x|+|y|が同時に成立するという余計な条件と偶然一致しているからだ。
これもわかりました。

皆さんに答えていただき、f(x)≦g(x)から最大値が求まらない場合と求まる場合がわかってきました。

「y=f(x)とy=g(x)はa≦ｘ≦bのすべてのｘで連続な関数で、f(x)≦g(x)とする。
g(x)がx=kで最大値mをとり、かつ、f(x)がx=kでf(k)=g(k)＝mのとき、
y=f(x)はx=kで最大値mをとる。」は正しいですよね。

これを利用すると
「|x|+|y| = 1のとき｜、|2x+y|+|x-y|の最大値を求めよ。」の解答で、
｜2ｘ+y｜+｜x-ｙ｜≦｜2ｘ｜＋｜y｜＋｜ｘ｜＋｜-y｜＝……＝｜ｘ｜＋2
｜ｘ｜＋2は(x、y)=(-1,0)、(1,0)の最小値3をとり、
かつ、｜2ｘ+y｜+｜x-ｙ｜が(x、y)=(-1,0)、(1,0)で｜2ｘ+y｜+｜x-ｙ｜＝｜ｘ｜＋2＝3だから
｜2ｘ+y｜+｜x-ｙ｜は(x、y)=(-1,0)、(1,0)で最小値3をとる、
でよろしいですか。
No.90059 - 2025/03/23(Sun) 11:03:43
☆ Re: 絶対値の最大値 / IT
けいすけさん＞
「y=f(x)とy=g(x)はa≦ｘ≦bのすべてのｘで連続な関数で、f(x)≦g(x)とする。
g(x)がx=kで最大値mをとり、かつ、f(x)がx=kでf(k)=g(k)＝mのとき、
y=f(x)はx=kで最大値mをとる。」は正しいですよね。

合っていると思いますが、「連続な関数」であることは、今回は、使ってないですよね、なくても良いのでは？　（「実数値関数」であることは、大前提ですよね。）


最後の実例は「最大値」と「最小値」を混同（タイプミス？）してないですか？

なお「編集パス」を設定されると、記事の編集や削除が出来ます
No.90060 - 2025/03/23(Sun) 11:38:20
☆ Re: 絶対値の最大値 / けいすけ
最大値3と最小値3の入力ミスでした。
多くの質問して、更に見づらくしてしまいすみませんでした。
丁寧な説明により、不等式と最大値最小値の疑問点が解決できました。ありがとうございました。
No.90061 - 2025/03/23(Sun) 14:36:48
★ 一次関数 / 学力不足　中２
（３）答え　４６分後

どのようにして解くのか、わかりません。
詳しい解説よろしくお願いいたします。
No.90037 - 2025/03/15(Sat) 19:58:54
☆ Re: 一次関数 / らすかる
Bさんの速度は分速50mだから
Aさんが出発してから36分後＝Bさんが出発してから11分後には550m進んでいる
→グラフでy=3600-550=3050mのところにいる
→このときAさんとBさんの距離は3050-1800=1250m
Aさんの後半の速度は分速75m、Bさんの速度は分速50mだから合わせて125m
よって「Aさんが出発してから36分後」から1250÷125=10分後に出会うから、
出会うのはAさんが出発してから36+10=46分後。

方程式で解くなら
Aさんの後半の直線の式はy=75x-900
Bさんの直線の式はy=-50x+4850
この連立方程式を解いて x=46
No.90038 - 2025/03/16(Sun) 02:23:12
☆ Re: 一次関数 / 学力不足　中2
何となくわかりました。解説ありがとうございます。
No.90039 - 2025/03/17(Mon) 11:09:37
★ 格子点の個数 / たけちゃん
(2)からの考え方がわかりません、お願いします
No.90035 - 2025/03/14(Fri) 14:30:32
☆ Re: 格子点の個数 / X
(2)
x＜y＜k＜x+y (A)
を満たすxy平面での領域の境界線となる
y=x (B)
x+y=k (C)
の交点(Pとします)の座標は
(k/2,k/2)
よって
(i)k=2m-1のとき
P(m-1/2,m-1/2)
となるので
a[k]=Σ[l=1〜m-1]{{(k-1)-l}-l}
=Σ[l=1〜m-1](2m-2-2l)
=2(m-1)^2-m(m-1)
=(m-1)(m-2)
((A)を図示したものを描きましょう)

(ii)k=2mのとき
P(m,m)
となるので
a[k]=Σ[l=1〜m-1]{{(k-1)-l}-l}
=Σ[l=1〜m-1](2m-1-2l)
=(2m-1)(m-1)-m(m-1)
=(m-1)^2
((A)を図示したものを描きましょう)

まとめて
a[2m-1]=(m-1)(m-2)
a[2m]=(m-1)^2

(3)
(2)の結果を使うと
(与式)=Σ[m=1〜n]a[2m-1]+Σ[m=1〜n]a[2m]
=Σ[m=1〜n](m-1)(m-2)+Σ[m=1〜n](m-1)^2
=Σ[m=1〜n](m-1)(2m-3) (D)
=Σ[k=1〜n-1]k(2k-1) (k=m-1と置いた)
=2・(1/6)(n-1)n(2n-1)-(1/2)n(n-1)
=(1/3)n(n-1)(2n-5/2)
=(1/6)n(n-1)(4n-5)

注)
(D)において、置き換えをせずに直接展開し、
mに対してΣの公式を使っても
計算できます。
(検算してみてください。)
No.90036 - 2025/03/14(Fri) 18:28:40
★ 支払い方法 / √
１００円玉
　５０円玉
　１０円玉

この３種類の、お金が沢山あります。

これらを使って２００円分支払うのに
何通りの支払い方がありますか？


答えは９通りです。

こういう問題を解くときは
枝分かれの図を作って、全て書き出し
後で、重複しているものを消す方法で
良いですか？

よろしくお願い致します。

（こういう問題、間違いやすいので大嫌い）
No.90031 - 2025/03/12(Wed) 14:25:52
☆ Re: 支払い方法 / √
あれ？　本当に９通りかな？
答えには９通りと書いてあったんだけど・・・
No.90032 - 2025/03/12(Wed) 15:01:58
☆ Re: 支払い方法 / ヨッシー
全て書き出し・・・の方法によっては、重複がすごく出てくるような気がします。

100円玉２個---50円玉０個
100円玉１個---50円玉２個
100円玉１個---50円玉１個
100円玉１個---50円玉０個
100円玉０個---50円玉４個
100円玉０個---50円玉３個
100円玉０個---50円玉２個
100円玉０個---50円玉１個
100円玉０個---50円玉０個
こんなに書き上げる必要はありませんが、
100円玉２個　・・・　１通り
100円玉１個　・・・　３通り　（50円玉が 0,1,2 個）
100円玉０個　・・・　５通り　（50円玉が 0,1,2,3,4 個）
この程度は書いてもいいでしょう。
No.90033 - 2025/03/12(Wed) 15:26:04
☆ Re: 支払い方法 / √
ヨッシーさん

有難うございました。

やはり９通りですね。
この手の問題は、小さい子でも出来そうなのですが
私は苦手です。

有難うございました。
No.90034 - 2025/03/12(Wed) 15:49:28
★ 場合の数 / ヤドン
50人の社員がいる会社で、外国語の会話能力の調査をした。英語が出来る者が36人、フランス語が出来る者が20人いた。

また、英語とフランス語の両方が出来る者が14人であった。
この時、英語のみが出来る者（英語は出来るが、フランス語は出来ない者）は何人か。

よろしくお願いします。
No.90029 - 2025/03/08(Sat) 20:17:31
☆ Re: 場合の数 / らすかる
英語が出来る人が36人で
そのうち14人が英語とフランス語の両方が出来る人なので、
英語だけ出来る人は36-14=22人。
No.90030 - 2025/03/08(Sat) 23:41:41
★ 高校入試 / はるか
（3）の1と2を解説お願いいたします。

相似や三平方の定理での中学範囲でお願いいたします。
No.90025 - 2025/03/08(Sat) 13:51:19
☆ Re: 高校入試 / らすかる
(略解)
○1
△GEDも△GAEも二等辺三角形なので、GはADの中点。よって△AEG=(1/2)△AED。
CD=√(AC^2-AD^2)=6√2、AD：DE=AC：CDからDE=AD×CD÷AC=2√2、
AE=√(AD^2-DE^2)=1、よって△AEG=(1/2)△AED=(1/2)(1×2√2÷2)=√2/2
○2
EG=AG=(1/2)AD=3/2
CE=AC-AE=8、FE：CE=DE：CDからFE=CE×DE÷CD=8/3
∴FG=FE+EG=8/3+3/2=25/6
No.90026 - 2025/03/08(Sat) 14:48:42
☆ Re: 高校入試 / はるか
ありがとうございました！
No.90028 - 2025/03/08(Sat) 20:15:59
★ 極限 ライプニッツ級数 / Higashino
ライプニッツ級数の証明について
証明ほくろみたのですが
次のような誤植を受けました

>「一様収束」を論じるならば、関数列とその極限の収束する関数の両者を扱うべきであろうと思われます

教えていただけると幸いです何卒よろしくお願いします
No.90023 - 2025/03/07(Fri) 17:51:12
★ 今年の千葉大 / 太郎
(4)がわかりません。
よろしくお願いします
No.90018 - 2025/03/06(Thu) 02:02:03
☆ Re: 今年の千葉大 / IT
f(a)-2f((a+b)/2)+f(b)
=-{f((a+b)/2)-f(a)}+{f(b)-f((a+b)/2)}
=-((b-a)/2)f'(α)+((b-a)/2)f'(β) 、a＜α＜(a+b)/2＜β＜bなるα、β がある(平均値の定理)

ここで、さらに平均値の定理を使えばどうですか？
No.90020 - 2025/03/06(Thu) 20:57:11
☆ Re: 今年の千葉大 / _
bを変数xとみて F = 0.5*(f(x)+f(a))*(x-a) - ∫_[a,x]f(t)dt と書くことにします。

L(x) = 0.25*((x-a)^3)*f''(a) - F とする。x>aでL(x)>0になることを示したい。

L'(x), L''(x), L'''(x) を求めると
L'''(x) = f''(a) + 0.5*(f''(a)-f''(x)) - 0.5*(x-a)*f'''(x) となって
問題の仮定からこれはx>aで正と分かる(f''は減少関数であることに注意)。
L''(a)=0よりx>aでL''(x)>0。L'(a)=0よりx>aでL'(x)>0。L(a)=0よりx>aでL(x)>0が分かるので、done.
No.90021 - 2025/03/06(Thu) 21:52:03
★ 中２数学確率 / Bob
同じ大きさのカードがあり
０と書いてあるカード２枚
１とかいてあるカードも２枚
２と書いてあるカードが１枚
３と書いてあるカードが１枚あります
２回連続で引き
１回目に引いたカードを十の位
２回目に書いたカードを一の位
として２けたの整数を作る
引いたカードは戻さない時

２けたの整数が３の倍数になる確率を出すのですが

?@これははじめから総数を出すときに
０が十の位になるものを外すのでしょうか

?A中２がとくとき１Ａ　１Ｂ　０Ａ　０Ｂみたいに
カードを区別して解けばいいのですか

解き方を教えてください
No.90015 - 2025/03/05(Wed) 14:42:42
☆ Re: 中２数学確率 / ヨッシー
０１を２桁の数と言うには無理があるので、総数から外すのが妥当と思います。

0,0,1,1,2,3 とします。
このとき、十の位は
1,1,2,3 の４通りで、それぞれについて、一の位が
それ以外の５つの数が考えられるので、総数は 4×5＝20
このうち３の倍数は
12，12, 21，21, 30, 30
の６通りなので、求める確率は
　6/20＝3/10
No.90016 - 2025/03/05(Wed) 15:27:04
☆ Re: 中２数学確率 / WIZ
横から失礼します。

ヨッシーさんの解説にも一理あるのですが、
一枚目に0を引いてしまった場合どうするのかという点が考慮されていないと思います。

問題文でも、その点に触れられていませんが、
> 引いたカードは戻さない時
> ２けたの整数が３の倍数になる確率を出すのですが
とあるので、一枚目に0を引いてしまった場合、私なら以下の2通りの解釈ができます。

(1)十の位が0であるものと見なす。
(2)「２けたの整数 かつ ３の倍数」という条件の「２けたの整数」を満たさないと判断し確率に含めない。

6枚から2枚連続で引く場合の数は6*5 = 30通りなので、
(1)なら、00, 03, 03, 12, 12, 21, 21, 30, 30の9通りが該当し、確率は9/30 = 3/10
(2)なら、12, 12, 21, 21, 30, 30の6通りが該当し、確率は6/30 = 1/5
・・・・・と考えることもできます。

失礼しました。
No.90017 - 2025/03/05(Wed) 21:47:41
☆ Re: 中２数学確率 / Bob
やはり問題文の設定が不十分ですよね

ただし書きもなかったので
普通で考えれば02とかは２けたの数として認められないよな
と考えてはいましたが
もやもやが残る問題です
No.90019 - 2025/03/06(Thu) 14:07:52
☆ Re: 中２数学確率 / ヨッシー
憶測ですが、単に、場合の数を出して確率を求めさせるなら、
　１と書いてあるカード２枚
　２とかいてあるカードも２枚
　３と書いてあるカードが１枚
　４と書いてあるカードが１枚あります
でいいと思うのです。
あえて０を入れているということは、と考えると．．．
No.90022 - 2025/03/07(Fri) 08:54:53
☆ Re: 中２数学確率 / IT
出題者は、あまり深く考えていない可能性が高いと思います。

「同じ大きさのカード」とか、どうでも良いことが書いてありますけど、・・・　
Bobさんのお考えどおり　中学数学の問題としては、問題不備だと思います。

例えば、平成30年の岡山県高校入試問題では、類似の問題が出題されていますが、さすがにきちんと書いてあります。
この問題にあまり考えずに0を加えたり、枚数を変えたりして作（錯）問したのでは？
https://resemom.jp/feature/public-highschool-exam/okayama/2018/math/i_question01.html


以前、中堅？出版社の中学数学問題集の校正をやったことがありますが、中には問題として成立していないようなものもありました。
No.90024 - 2025/03/07(Fri) 19:08:08
☆ Re: 中２数学確率 / Bob
皆さんありがとうございます
まだ解説模範解答がもらえてないので
どれが正解かわからない状態です
No.90027 - 2025/03/08(Sat) 15:56:36
★ 無限等比級数を分けていいときの条件 / セルギー
画像の問題について、｢落ちた距離｣と、｢跳ね返った距離｣の2つの無限等比級数に分けて、それぞれの和を足して答えを求めました。が、模範解答では、落ちた距離も、跳ね返った距離も合わせた1つの等比級数として答えを求めていました。無限等比級数を、2つに分けて考えて答えがあっていましたが、それが許される行為なのかわかりません。分けてはいけないなら、分けてはいけない理由、分けても良いなら、分けても良い理由を教えていただきたいです。
No.90009 - 2025/03/01(Sat) 16:19:03
☆ Re: 無限等比級数を分けていいときの条件 / セルギー
画像を添付し忘れました
No.90010 - 2025/03/01(Sat) 16:20:46
☆ Re: 無限等比級数を分けていいときの条件 / らすかる
一般には分けられません。
例えば
1+1/2-1
+1/3+1/4-1/2
+1/5+1/6-1/3
+1/7+1/8-1/4
+…
=log2
を
1+1/2+1/3+1/4+…
と
-1-1/2-1/3-1/4-…
に分けると両方とも収束しませんし、
1-1/2-1/3+1/3-1/6-1/7+1/5-1/10-1/11+…
と
-1+1/2-1/4-1/5+1/4-1/8-1/9+1/6-1/12-…
に分けると両方とも収束しますが、和が-log2になります。
全項が正（または負、あるいは有限項のみ正または負）で
収束するならば分けても同じ値に収束しますが、
学習進捗状況によっては証明せずにこれを使うのはまずいかも知れません。
No.90013 - 2025/03/03(Mon) 06:38:49
★ 極限 / Higashino
こんにちは
次の私の考え方は正しいでしょうか
誤っていればご指摘アドバイスください
よろしくお願いいたします
No.90007 - 2025/02/27(Thu) 20:51:54
☆ Re: 極限 / Higashino
追伸
数学的帰納法を使う場面でｎ、ｋが混載していました
申し訳ございません
答案書き直しです
以下画像拡大リンク先


https://imgur.com/a/Av5lFkw
No.90008 - 2025/02/27(Thu) 21:09:43
★ 極限 / Higashino
こんにちは
次の私の考え方は正しいでしょうか
誤っていればご指摘アドバイスください
よろしくお願いいたします
No.90005 - 2025/02/27(Thu) 10:30:47
☆ Re: 極限 / Higashino
誤りについては解決しました

(aₙ₋₁²+4)/(2aₙ₋₁+3)≦(n-1+4)/(2aₙ₋₁²+3)
分子は確かに右辺の方が大きいですが、aₙ₋₁>1なので、分母も大きい
No.90006 - 2025/02/27(Thu) 18:29:27
★ 高校数学　放物線 / r
放物線の準線と焦点の一意性ついてですが、赤線の部分がわかりません。
No.90001 - 2025/02/25(Tue) 23:29:45
☆ Re: 高校数学　放物線 / ヨッシー
これより前の段階で、準線とはどういう線かという定義が書かれていると思います。
それに従うと、準線は軸に垂直であること、頂点に対して、焦点と対称な点を通ることがわかると思います。
No.90002 - 2025/02/26(Wed) 09:16:48
☆ Re: 高校数学　放物線 / r
難しく考えすぎていました…ありがとうございます
No.90003 - 2025/02/26(Wed) 12:03:59
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です

◻︎4がどうしても分かりません
No.89997 - 2025/02/25(Tue) 00:11:20
☆ Re: / やり直しメン
写真が逆さまでした。申し訳ありません。
No.89999 - 2025/02/25(Tue) 08:39:54
☆ Re: / ヨッシー
答えらしきものが書かれてますが．．．

１２枚ずつ配って１枚余ったところに２０枚増やす
と
１２枚ずつ配って余りなく配ったところに２１枚増やす
のとは、結果は同じです。

２１枚を配って、２枚ずつは配れるが、３枚は配れない人数を調べれば良く、
１１人以上は２枚配れないのでダメ、７人以下は３枚以上配れるのでダメ
よって、
　８，９，１０人
No.90000 - 2025/02/25(Tue) 09:26:00
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です

□6です
　1日に正しい時間より50秒進むとはどういうことですか？

86450秒ということでしょうか。
No.89996 - 2025/02/24(Mon) 22:52:23
☆ Re: / らすかる
（正確な時間で）86400秒経過する間に、（その時計は）86450秒進むということです。
No.89998 - 2025/02/25(Tue) 03:42:35
★ 極限 / Higashino
おはようございます
以下の問題ですが
私の答案で正しいでしょうか
ご指摘アドバイスよろしくお願いします
質問も書いておいたので
何卒よろしくお願いします
No.89987 - 2025/02/23(Sun) 05:12:22
☆ Re: 極限 / Higashino
左の写真の回答者さんの答案を参考に作ってみたのですが

A で証明したb(n)≦√(n+1)

は、どのように活用したのでしょうか
よろしくお願いいたします
No.89989 - 2025/02/23(Sun) 08:51:56
☆ Re: 極限 / Higashino
上の質問は解決しました
数学的帰納法の使いかたが正しいのか
ご指摘ください何卒よろしくお願いします
No.89990 - 2025/02/23(Sun) 10:56:33
★ 極限 / Higashino
おはようございます

よろしくお願いします

∞/0

極限を教えてください
No.89985 - 2025/02/23(Sun) 04:59:08
☆ Re: 極限 / Higashino
数列 b(n)/n^2 の極限はどうなりますか
教えてください
何卒よろしくお願いします
No.89988 - 2025/02/23(Sun) 05:25:18
☆ Re: 極限 / X
lim[n→∞]b[n]=∞
ということであれば
lim[n→∞]b[n]/n^2
は不定形です。
No.89991 - 2025/02/23(Sun) 11:54:05
☆ Re: 極限 / らすかる
例えば
b(n)=nであれば lim[n→∞]b(n)/n^2=0
b(n)=cn^2であれば lim[n→∞]b(n)/n^2=c
b(n)=n^3であれば lim[n→∞]b(n)/n^2=∞
のようになりますが、これらはいずれも「○/∞」の形であり
「∞/0」とは関係ありません。
No.89992 - 2025/02/23(Sun) 17:34:24
☆ Re: 極限 / Higashino
ラスカル先生お久しぶりです
よろしくお願いします
頂いた回答でよくわからない点がありましたので
詳しく教えてもらえると幸いです

>b(n)=cn^2であれば lim[n→∞]b(n)/n^2=c

この極限の出し方がわかりません

また

b(n)=n^2であれば 極限はどうなるでしょうか

何卒よろしくお願いします
No.89993 - 2025/02/23(Sun) 21:01:46
☆ Re: 極限 / らすかる
b(n)=cn^2ならば
lim[n→∞]b(n)/n^2
=lim[n→∞]cn^2/n^2
=lim[n→∞]c
=c
b(n)=n^2の場合は上記でc=1の場合ですから、極限は1です。
No.89994 - 2025/02/23(Sun) 22:25:36
☆ Re: 極限 / Higashino
ラスカル先生ありがとうございました

今後とも何卒よろしくお願いします
No.89995 - 2025/02/23(Sun) 22:38:03
★ 極限 / Higashino
山口大学過去問

何卒よろしくお願いします

以下問題
No.89980 - 2025/02/21(Fri) 20:03:08
☆ Re: 極限 / Higashino
訂正
添付ミスです
こちらが質問になります
No.89981 - 2025/02/21(Fri) 20:05:15
☆ Re: 極限 / X
(1)
例えば
(a[n],b[n])=(n^2,n)

(2)
条件から
lim[n→∞](a[n]-b[n])=α (A)
∴lim[n→∞]a[n](1-b[n]/a[n])=α (A)'
ここで
lim[n→∞]a[n]=∞
なので
lim[n→∞](1-b[n]/a[n])≠0
を仮定すると、(A)'に矛盾。
∴lim[n→∞](1-b[n]/a[n])=0
となるので
lim[n→∞](b[n]/a[n])=1 (B)
∴lim[n→∞]{{(b[n])^2}/a[n]-{(a[n])^2}/b[n]}
=lim[n→∞]{{(b[n])^3-(a[n])^3}/(a[n]b[n])}
=lim[n→∞]{(b[n]-a[n]){(b[n])^2+b[n]a[n]+a[n]^2}/(a[n]b[n])}
=lim[n→∞]-(a[n]-b[n])(b[n]/a[n]+1+a[n]/b[n])
=-3α (∵)(A)(B)より
No.89982 - 2025/02/22(Sat) 11:46:54
☆ Re: 極限 / IT
Xさん
>lim[n→∞](1-b[n]/a[n])≠0を仮定すると(A)'に矛盾。
これでは説明不足で、この行を書かないのとほとんど変わらない気がします。
No.89983 - 2025/02/22(Sat) 15:03:54
☆ Re: 極限 / IT
{a[n]}は正の無限大に発散するので、nが十分大きいときa[n]＞0

lim[n→∞]{(a[n]-b[n])(1/a[n]}
=lim[n→∞](a[n]-b[n])lim[n→∞](1/a[n])
=α・0 =0

一方
lim[n→∞]{(a[n]-b[n])(1/a[n]}
＝lim[n→∞]{1-(b[n]/a[n])}　この式から始めると記述が短くなりますが、少し天下り的かも
＝0
∴lim[n→∞]b[n]/a[n]＝1
No.89984 - 2025/02/22(Sat) 15:15:42
☆ Re: 極限 / Higashino
ご回答ありがとうございます
返信が遅れましたことを
申し訳ございません
以下が私の考え方です
ご指摘アドバイスなど
何卒よろしくお願いいたします
No.89986 - 2025/02/23(Sun) 05:01:29
★ 極限 / Higashino
今日はよろしくお願いいたします

三番だけで結構です
No.89977 - 2025/02/20(Thu) 21:03:17
☆ Re: 極限 / X
nが自然数という条件なら
sinnπ=0
∴(与式)=0
nが実数という条件なら、与式の値は存在しません。
(収束はもちろんしませんが、発散、振動とも異なります。)
No.89978 - 2025/02/20(Thu) 21:21:02
☆ Re: 極限 / Higashino
X先生ありがとうございました
勉強になりました
No.89979 - 2025/02/21(Fri) 20:01:29
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