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ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

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質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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★ (No Subject) / Higashino
極限 021 識者の方 私の間違いと正しい方向性を教えてください

何卒よろしくお願いします

以下問題と答案 質問


画像拡大リンク先
https://imgur.com/a/NOkQ8CA
No.89925 - 2025/02/09(Sun) 06:42:48
☆ Re: / X
添付写真1行目で通分する際に2が分子全体に
かかっているのが誤りです。
2はΣの前にしかかかりません。
又、2行目でも、
n→∞のとき分母→0
となることを忘れています。

以上の2点を修正して、計算すれば
0/0の不定形になってしまい、
その方針では計算できないことが
わかります。

で、方針ですが、Σの公式を使いましょう。
(与式)=lim[n→∞]{(1/2)n(n+1)/(n+2)-n/2}
=lim[n→∞]{(1/2)n{(n+1)-(n+2)}/(n+2)}
=lim[n→∞]{-(1/2)n/(n+2)}
=lim[n→∞]{-(1/2)/(1+2/n)}
=-1/2
No.89926 - 2025/02/09(Sun) 07:24:30
☆ Re: / Higashino
先生早速のご回答ありがとうございます

>2はΣの前にしかかかりません。

次の変形は間違いでしょうか
No.89927 - 2025/02/09(Sun) 08:29:44
☆ Re: / Higashino
質問を詳しくしました
No.89928 - 2025/02/09(Sun) 08:53:56
☆ Re: / らすかる
Xさんが指摘されているのは
Σ[k=1〜n]k/(n+2) - n/2
を通分して
{2Σ[k=1〜n]k - (n+2)n} / {2(n+2)}
となる（分子の(n+2)nには2は掛かっていない）のに、このΣの前の2を
2{Σ[k=1〜n]k - (n+2)n} / {2(n+2)}
のように前に出しているのは間違い、という意味です。
No.89929 - 2025/02/09(Sun) 10:43:17
☆ Re: / Higashino
次の答案の意味が分かりません
詳しく教えていただけると幸いです

?納k=1,n]k/n+2-n/2 …

=?婆/(n+2)-(n^2+6n+6)/2(n+2) …A

=?婆/(n+2)-[(n+2)(n+3)/2+n/2]/(n+2) …B

=?婆/(n+2)-?婆/(n+2)-n/2(n+2) …C

=(n+2)[∫[0,1]xdx-∫[0,1]xdx]-n/2(n+2) …D

=-1/2


質問

A の ?婆 とはなんなのか
A の (n^2+6n+6)/2(n+2)はどう導かれたのか
BからCの変形
CからDの変形

教えてください何卒よろしくお願いします
No.89934 - 2025/02/10(Mon) 10:04:55
☆ Re: / Higashino
文字化けしました

?納=Σ

です

何卒よろしくお願いします
No.89935 - 2025/02/10(Mon) 10:08:07
☆ Re: / Higashino
下の写真となります
No.89936 - 2025/02/10(Mon) 10:12:53
☆ Re: / X
Higashinoさんが参照されたという答案が
No.89936の添付写真の内容が全て
であるなら、答案というより、答案を
書くための下書きのように見える
のですが。
最終的な答えが正しいだけで、答案としては
×です。

まず、Higashinoさんも質問に出されている
通り、2行目以降のΣのパラメータが
明記されていません。
無論、Σのパラメータが1行目と同じなら
2行目のような変形はできません。

次に4行目から5行目の変形について。
恐らく、区分求積法を使うという意図で
下書きとして5行目の積分が書かれている
と思いますが、こんな変形をしなくても
4行目の二つのΣの項は(パラメータの明記
が同じであれば)相殺されます。
No.89939 - 2025/02/10(Mon) 18:55:27
☆ Re: / IT
なおΣ記号は使わなくても

2(1+2+3+...+n)= n(n+1) は、容易に分かります。（ひっくり返して足す。公式のもとの考え方ですね。）
No.89940 - 2025/02/10(Mon) 19:43:32
☆ Re: / Higashino
最終答案
間違いご意見があれば
何卒よろしくお願いします
No.89946 - 2025/02/11(Tue) 01:33:44
☆ Re: / X
添付写真の答案の3行目の{}の中の二つの
Σ[k=1〜n+2]k/(n+2)
が分母に来ているのが
誤りです。
その他の点に問題ありません。

但し、計算過程に無駄が多いです。
答案2行目の最右辺の時点で、()の
第一項、第二項を打ち消しても極限は
求められるのに、わざわざ残して
いますよね。
続く4行目の{}で区分求積法を
使っていますが、{}の外を含めた
式全体でみると

{}内がnの値にかかわらず0

という条件が付いていなければ、安易に
n→∞としてはいけない式の形です。
({}の外にn+2がかかっているので
{}の中の式によっては不定形になります。)
No.89953 - 2025/02/14(Fri) 19:35:06
★ 極限 / Higashino
分求積法

（４）が区分求積法で求められません

教えてください
No.89918 - 2025/02/08(Sat) 07:43:28
☆ Re: 極限 / Higashino
以下問題です
No.89919 - 2025/02/08(Sat) 07:44:24
☆ Re: 極限 / Higashino
以下答案になります
No.89920 - 2025/02/08(Sat) 07:45:20
☆ Re: 極限 / IT
分子分母をn^3 で割るとどうですか？
No.89921 - 2025/02/08(Sat) 08:35:40
☆ Re: 極限 / Higashino
IT先生
アドバイスのおかげで無事解決しました
念のためチェックしていただけると幸いです
No.89922 - 2025/02/08(Sat) 10:21:01
★ (No Subject) / ネコ丸
　中二です。
　この問題の(2)の求め方で、どうしてこうなるのかがわかりません。
No.89913 - 2025/02/07(Fri) 12:30:37
☆ Re: / ヨッシー
６本のくじを　ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ とし、ａ と ｂ が当たりとします。
Ａがａを引いて、Ｂがｂ を引いた状態を （ａ，ｂ）と表すことにすると、
Ａ、Ｂ２人のくじの引き方は
(a,b) (a,c) (a,d) (a,e) (a,f)
(b,a) (b,c) (b,d) (b,e) (b,f)
(c,a) (c,b) (c,d) (c,e) (c,f)
(d,a) (d,b) (d,c) (d,e) (d,f)
(e,a) (e,b) (e,c) (e,d) (e,f)
(f,a) (f,b) (f,c) (f,d) (f,e)
の３０通り。
このうち、Ｂが a を引くのは、
(b,a) (c,a) (d,a) (e,a) (f,a)
の５通り
Ｂが b を引くのは
(a,b) (c,b) (d,b) (e,b) (f,b)
の５通りで、合わせて１０通り。
求める確率は
　10/30＝1/3
このことを踏まえたうえで、
　ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ を
　当1,当2,外1,外2,外3,外4
に置き換えて、元の解答を見てみましょう。
No.89914 - 2025/02/07(Fri) 12:52:16
☆ Re: / ネコ丸
ありがとうございました
No.89937 - 2025/02/10(Mon) 11:05:05
★ 至急！2023年度同志社個別文化情報学部 / はまっちょ
明日入試なのでなる早で解答教えてほしいです！どこにも載ってなくて、、

画質悪くてすみません！
No.89907 - 2025/02/06(Thu) 20:19:47
☆ Re: 至急！2023年度同志社個別文化情報学部 / はまっちょ
> 明日入試なのでなる早で解答教えてほしいです！どこにも載ってなくて、、
>
> 画質悪くてすみません！

(5)以外は解けました。

(1)A=20、B=50
(2)k=3
(3)36.5
(4)(m1+m2+m3+m4+m5)/5
No.89908 - 2025/02/06(Thu) 20:23:21
☆ Re: 至急！2023年度同志社個別文化情報学部 / IT
y[i]の定義などから
y[i]-5≦x[i] ＜y[i]+5 であることを言い、このことから容易に示せると思います。

どこまで丁寧に書くかですが、明日受験で　この問題が、このまま出るわけではないでしょうから、ポイントだけ押さえておけば良いのでは？
No.89909 - 2025/02/06(Thu) 20:54:42
☆ Re: 至急！2023年度同志社個別文化情報学部 / ヨッシー
(3)と(4) は違います。
(3) は多分単純な計算ミスと思われます。
(4) はそう単純ではなく、データＸの総和を求める方向で計算しましょう。
No.89911 - 2025/02/07(Fri) 08:14:20
☆ Re: 至急！2023年度同志社個別文化情報学部 / はまっちょ
ありがとうございます！理解できました！
No.89923 - 2025/02/08(Sat) 14:43:49
★ 確率 / 清瀬
問題

正方形ABCDの頂点AにPが、頂点CにQがいる。
PとQはそれぞれ、頂点A、頂点Cを同時に出発し、1秒後に反時計回りに、隣の頂点に移動する確率が1/3、1秒後に時計回りに、隣の頂点に移動する確率が1/3、その場にとどまる確率が1/3であるとする。

ここでの反時計回りは、A→B→C→D→Aに移動する向きを、時計回りは、A→D→C→B→Aに移動する向きを、それぞれ表すものとする。

PとQが同じ頂点に移動した時点で、終了する。
このとき、n秒後に終了する確率をPnとする。Pnを求めよ。


2020年の名古屋大学理系の4番目の問題が、PとQを交互に動かすという問題だったのですが、PとQが同時に動くものだと完全に読み間違えて解いてしまいました。本来の問題を読み違えた問題なので、答えはないのですが、綺麗な感じの答えが出てきたので、考え方と答えが合っているかどうか見て頂けないでしょうか。やる意味がないのはわかってはいます。よろしくお願いいたします。

解答

事象としては、PとQが一致する、PとQが対角に位置する、PとQが隣接するの三つだけで、それぞれの事象を、E、F、Gで表します。

n秒後に事象Fが起きている確率をQn、事象Gが起きている確率をRnとします。

n秒後に事象Fが起きるためには、n-1秒後に事象Fまたは事象Gが起きていて、

F→Fになる確率が3/9、G→Fになる確率が2/9、なので、

Qn=(3/9)Q(n-1)+(2/9)R(n-1)

同様に考えて、

Rn=(4/9)Q(n-1)+(5/9)R(n-1)

Qn=(1/3)・(7/9)^n+(2/3)・(1/9)^n
Rn=(2/3)・(7/9)^n-(2/3)・(1/9)^n

Pn=(3/9)Qn+(2/9)Rn=(1/3)・(7/9)^n+(2/3)・(1/9)^nとなりました。
No.89904 - 2025/02/06(Thu) 14:04:41
☆ Re: 確率 / ヨッシー
一番下の行以外は合っています。

まず
Pn=(3/9)Qn+(2/9)Rn
この漸化式が違います。係数も添字も。

また、別の考え方として、
　Sn＝1−Qn−Rn
を考えます。Sn はｎ回目までに終了する確率ですので、
　P[n]＝S[n]−S[n-1]
の関係があります。
No.89905 - 2025/02/06(Thu) 15:31:41
☆ Re: 確率 / 清瀬
ヨッシー様

＞まず
Pn=(3/9)Qn+(2/9)Rn
この漸化式が違います。係数も添字も。

Qnの係数は2/9でした。それから、左辺の添字はn+1とすべきでした。

これらを踏まえて、修正しましたら、

P(n+1)=(2/9)Qn+(2/9)Rn=(2/9)(7/9)^n

Pn=(2/9)(7/9)^(n-1)となりまして、ご紹介いただきました、Snを利用した場合の解答と一致しました。

上記の修正で合っていますでしょうか。

もしかして、運営者様でしょうか。
質問でシグマ記号を使う場合の記入方法を教えて頂けないでしょうか。

P2mをm=1からm=[N/2]([]はガウス記号です)まで足す場合のシグマはどのように記入すればよいでしょうか。
No.89910 - 2025/02/07(Fri) 00:31:28
☆ Re: 確率 / ヨッシー
それでも良いですし、
　Pn=(2/9)(7/9)^(n-1)
　　＝(2/9)(9/7)(7/9)^n
　　＝(2/7)(7/9)^n
まで持っていったほうが綺麗かもしれないです。

シグマの書き方は別に決まりはありませんが、
　Σ{m=1〜[N/2]}Ｐ[2m]
のように私は書いています。
No.89912 - 2025/02/07(Fri) 08:19:41
☆ Re: 確率 / 清瀬
ありがとうございました。

読み間違いの問題に、とてもご丁寧にお付き合いいただけましたこと、大変感謝申し上げます。
No.89915 - 2025/02/07(Fri) 13:54:45
★ 中3平面図形 / あいり
⑵と⑶の解説をお願いします
答えは⑵16:19⑶3:38です
No.89898 - 2025/02/05(Wed) 22:55:39
☆ Re: 中3平面図形 / _
(1)は
円周角の定理から「△ABEと△DCEは相似」が示せて、そこから
AE：DE＝BE：CE＝AB：DC＝2：5を導いたのでしょうか。
とりあえずこれでAE＝2k, DE＝5k とおけます。

同様に「△BCEと△ADEは相似」も示せるハズ。すると
BE：AE＝CE：DE＝BC：AD＝4：6＝2：3　が言えます。
よって
　BE は AEの2/3 だから BE＝4k/3,　CE は DEの2/3 だから CE＝10k/3
となって、
　AC＝AE+CE＝16k/3,　BD＝BE+DE＝19k/3
が得られます。これで(2)ができた。

まとめると、Eのまわりの線分が
　EA＝2k,　EC＝10k/3,　EB＝4k/3,　ED＝5k
と分かったので、ここから(3)の面積比を求めるのは難しくないハズ。
No.89899 - 2025/02/06(Thu) 00:14:37
☆ Re: 中3平面図形 / あいり
ありがとうございます！
No.89902 - 2025/02/06(Thu) 10:10:54
★ 数学の証明 / 独ソ不可侵条約
下の図で、Oは円の中心とし、弧AQ=弧BQ、PQが直径であるときに、PQとABが90°になることを証明したいです。
No.89895 - 2025/02/05(Wed) 17:29:20
☆ Re: 数学の証明 / 独ソ不可侵条約
＜訂正＞ PQとABが90°→PQとABが直交

自分のわかったところとしては、
三角形APDと三角形BPDが合同だったら(∠ADB)180÷2=90で90度を示すことができる。と思うのですが、
合同条件を満たしません。
円周角の定理から、等しい弧に対する円周角が等しいので
∠APD=∠BPD
共通だからPD=PD
までは出来たのですが…
No.89896 - 2025/02/05(Wed) 17:34:03
☆ Re: 数学の証明 / IT
ＯＡ、ＯＢを結ぶとどうですか？
※円の中心は重要なポイントです。
No.89897 - 2025/02/05(Wed) 18:51:38
☆ Re: 数学の証明 / 独ソ不可侵条約
ODが共通で、弧AQ=BQから∠AOD=∠BOD、半径だからOA=0Bがわかるから、△OAD≡△OBD
ということですね！わかりましたっ
No.89924 - 2025/02/08(Sat) 17:27:12
★ 度数分布表の中央値（中１です） / ぷよ太郎
授業で、度数分布表の中央値は中央の値がある階級の階級値を答えると習いました。
もし、データの数が偶数で、上から数えたときの中央の値と、下から数えたときの中央の値が別々の階級にあるときは、中央値はどのように表すのでしょうか？
No.89884 - 2025/02/04(Tue) 20:16:07
☆ Re: 度数分布表の中央値（中１です） / ヨッシー
データの数が偶数のときは、真ん中に最も近い２つの値の平均値が中央値となります。
No.89893 - 2025/02/05(Wed) 09:01:23
☆ Re: 度数分布表の中央値（中１です） / ぷよ太郎
ヨッシーさん、ありがとうございます。
１つずつの値がわかっているときはそれで良いのですが、度数分布表のときがわかりませんでした。

例えば、真ん中に最も近い２つの値が１０〜２０の階級と２０〜３０の階級に入っていたら、中央値はどうやって求めれば良いのでしょうか？
階級値の平均を考えて、（１５＋２５）÷２＝２０ですか？
No.89894 - 2025/02/05(Wed) 16:44:33
☆ Re: 度数分布表の中央値（中１です） / ヨッシー
こちらによると、
　（１５＋２５）÷２＝２０
で良いようです。
No.89900 - 2025/02/06(Thu) 09:30:51
☆ Re: 度数分布表の中央値（中１です） / ぷよ太郎
ヨッシーさん、ありがとうございました！
すごくスッキリしました！！
No.89906 - 2025/02/06(Thu) 15:40:26
★ 極限 / Higashino
京都大学過去問

何卒よろしくお願いします

以下問題
No.89881 - 2025/02/04(Tue) 15:22:29
☆ Re: 極限 / X
以下の通りです。

(1)
(与式)=lim[n→∞]{√(n+1)}{n-(n-1)}/{√n+√(n-1)}
=lim[n→∞]{√(1+1/n)}/{1+√(1-1/n)}
=1/2

(2)
(与式)=lim[n→∞]{(n^3+n)-n^3}/{√(n^3+n)+n^(3/2)}
=lim[n→∞]1/{√(n+1/n)+√n}
=0
No.89883 - 2025/02/04(Tue) 17:38:59
☆ Re: 極限 / Higashino
ｘ先生こんばんは
ご回答ありがとうございました
私は近似法で考えました
ご指摘があればよろしくお願いします
No.89885 - 2025/02/04(Tue) 23:04:22
☆ Re: 極限 / Higashino
考え方は変わらないのですが答案の書き方が良くなかったので再びアップします
No.89888 - 2025/02/05(Wed) 05:51:24
☆ Re: 極限 / Higashino
この問題には近似法の方が良いと思うのですが
どうしても解けない問題があります
また質問させていただきます
ｘ生ありがとうございました
No.89890 - 2025/02/05(Wed) 06:15:02
★ 極限 / Higashino
極限

何卒よろしくお願いします
No.89878 - 2025/02/04(Tue) 11:51:16
☆ Re: 極限 / ヨッシー
√（ｎ^2＋3n＋2)−ｎ
　＝{√（ｎ^2＋3n＋2)−ｎ}{√（ｎ^2＋3n＋2)＋ｎ}/{√（ｎ^2＋3n＋2)＋ｎ}
　＝(3n＋2)/{√（ｎ^2＋3n＋2)＋ｎ}
　＝(3＋2/n)/{√（1＋3/n＋2/n^2)＋1}
これを ｎ→∞ に飛ばすと
　√（ｎ^2＋3n＋2)−ｎ　→　3/2
No.89879 - 2025/02/04(Tue) 12:01:11
☆ Re: 極限 / Higashino
ヨッシー先生
を久しぶりです
ご回答ありがとうございます
わたくしは近似値で考えてみました
間違ってる点がありましたらよろしくお願いします
No.89880 - 2025/02/04(Tue) 13:58:30
☆ Re: 極限 / Higashino
私の答案に間違いがありましたので
再度掲載させていただきます
No.89889 - 2025/02/05(Wed) 06:12:57
☆ Re: 極限 / Higashino
申し訳ありません再度訂正です
No.89891 - 2025/02/05(Wed) 06:21:13
★ 高校入試　図形問題 / 独ソ不可侵条約
以下の問題を解いたのですが、できているでしょうか？
あともっと簡単な解法とかあったら教えていただきたいです。

「下図で、三角形ABCは∠BAC=30°の三角形である。この三角形の中に、点Dを、AD=BD=CDとなるようにとる。また、BDを延長し、BD=DEとなるように点Eを取った時、∠BECの角度を求めなさい。」

(自分の解答は次に送ります)
No.89872 - 2025/02/03(Mon) 23:39:02
☆ Re: 高校入試　図形問題 / 独ソ不可侵条約
図から、AD=BD=CD=EDで、Dを中心とする円を描くことができる。∠BACも∠BECも弧BCに対する円周角だから大きさが等しい。答え 30°
No.89873 - 2025/02/03(Mon) 23:44:02
☆ Re: 高校入試　図形問題 / 独ソ不可侵条約
訂正 Dを中心とする円→Dを中心としてA,B,C,Eを通る円です
No.89875 - 2025/02/03(Mon) 23:47:49
☆ Re: 高校入試　図形問題 / ヨッシー
それで合ってますし、それより簡単なのはそうそうないと思いますよ。
No.89877 - 2025/02/04(Tue) 09:20:04
★ 中3平面図形 / あいり
⑴と⑵の解き方を教えてください
答えは⑴は35分の36√5,⑵は35分の624です。
No.89865 - 2025/02/03(Mon) 20:39:00
☆ Re: 中3平面図形 / らすかる
(1)
△EFGは∠GEFが直角である直角三角形で、EG=12、EF=(3/6)AB=6なので
GF=√(12^2+6^2)=6√5
△JEF∽△JCGでFJ：JG=EF：CG=3：4なのでFJ=(3/7)GF
△IEF∽△IHGでFI：IG=EF：HG=3：2なのでIG=(2/5)GF
よって
IJ=GF-FJ-IG=(1-3/7-2/5)GF=(6/35)GF=36√5/35

(2)
△JEFと△JCGの相似比は3：4なので
△JCG=CG×(4/7)AD÷2=8×(48/7)÷2=192/7
△IEFと△IHGの相似比は3：2なので
△IHG=HG×(2/5)AD÷2=4×(24/5)÷2=48/5
よって
四角形IJCH=△JCG-△IHG=192/7-48/5=624/35
No.89871 - 2025/02/03(Mon) 22:34:47
☆ Re: 中3平面図形 / あいり
分かりました！ありがとうございます！！
No.89886 - 2025/02/05(Wed) 00:20:41
★ 中３三平方 / みはる
△DBCの角が45°、75°になるのはなぜでしょうか。
よろしくお願いします。
No.89862 - 2025/02/03(Mon) 18:19:16
☆ Re: 中３三平方 / ヨッシー
弧の長さでいうと、
　ＤＢ：ＢＣ：ＣＤ＝５：４：３
なので、中心角も
　∠ＤＯＢ：∠ＢＯＣ：∠ＣＯＤ＝５：４：３
であり、合計360°であることから
　∠ＤＯＢ＝360°× 5/12＝150°
　∠ＢＯＣ＝360°× 4/12＝120°
　∠ＣＯＤ＝360°× 3/12＝90°
それに対応する円周角　∠ＤＣＢ、∠ＢＤＣ、∠ＣＢＤ はそれぞれ、
　∠ＤＣＢ＝150°÷ 2 ＝75°
　∠ＢＤＣ＝120°÷ 2 ＝60°
　∠ＣＢＤ＝90°÷ 2 ＝45°
となります。
No.89863 - 2025/02/03(Mon) 18:50:11
☆ Re: 中３三平方 / みはる
なるほど。ありがとうございます。
No.89866 - 2025/02/03(Mon) 21:11:12
☆ Re: 中３三平方 / みはる
同じ上の問題で、ACとBDの交点をEとしたとき、AEは1/2√3にはならないのですか。∠Dの二等分線ぽいと思ったのですが。
以下答えです。
No.89870 - 2025/02/03(Mon) 22:28:45
☆ Re: 中３三平方 / ヨッシー
ＤＥは∠ＡＤＣの二等分線ではありますが、
　ＡＤ：ＤＣ＝１：３
ではないので、ＡＥ：ＥＣ＝１：３ にはなりません。
１：３はあくまでも弧の長さの比です。
No.89876 - 2025/02/04(Tue) 09:17:23
☆ Re: 中３三平方 / みはる
あ、本当ですね。ありがとうございます。
No.89882 - 2025/02/04(Tue) 17:29:37
★ 別解サイコロの最大値、最小値問題 / hiro
サイコロの最大値、最小値問題問題で質問させていただきましたが、別の方法で解答したらわからなくなりました。

問題
「サイコロをn個投げるとき、最大値が５で最小値が２である場合は何通りか。」

私の解答

1から6まで出るとき、最大値が５(少なくとも1つが５）ある事象をSとする。
Sのうち、最小値が２（少なくとも１つが２）である事象をTとする。

n(S∩T)の補集合をn(S∩Tバー)とすると、

最大値が５で最小値が２である場合の数n(S∩T）は
n(S∩T）＝n(S)ーn(S∩Tバー)を利用して求めることができる。

n(S)=（5以下の目が出る）ー（4以下の目が出る）＝5^n-4^n　
n(S∩Tバー)＝？？？

n(S∩Tバー)の求め方を教えて下さい。
No.89858 - 2025/02/03(Mon) 12:59:49
☆ Re: 別解サイコロの最大値、最小値問題 / らすかる
(最大値が5かつ最小値が2以外)
=(最大値が5かつ最小値が3以上)+(最大値が5かつ最小値が1)
=(3^n-2^n)+(5^n-4^n-4^n+3^n)
=5^n-2・4^n+2・3^n-2^n
のようには計算できますが、これならば
(最大値が5かつ最小値が2)
=4^n-3^n-3^n+2^n
の方が楽ですね。
No.89859 - 2025/02/03(Mon) 14:37:23
☆ Re: 別解サイコロの最大値、最小値問題 / hiro
(最大値が5かつ最小値が3以上)+(最大値が5かつ最小値が1)
=(3^n-2^n)+(5^n-4^n-4^n+3^n)

になる理由を教えて下さい。
No.89860 - 2025/02/03(Mon) 16:06:54
☆ Re: 別解サイコロの最大値、最小値問題 / らすかる
(最大値が5かつ最小値が3以上)
=(すべてのサイコロが3〜5)-(すべてのサイコロが3〜4)
=3^n-2^n

(最大値が5かつ最小値が1)
=(すべてのサイコロが1〜5)-(すべてのサイコロが1〜4)
　-(すべてのサイコロが2〜5)+(すべてのサイコロが2〜4)
=5^n-4^n-4^n+3^n

です。後者は「最大値が5かつ最小値が2」のときと同じ計算方法です。
No.89861 - 2025/02/03(Mon) 16:22:01
☆ Re: 別解サイコロの最大値、最小値問題 / hiro
(最大値が5かつ最小値が1)
=(すべてのサイコロが1〜5)-(すべてのサイコロが1〜4)
　-(すべてのサイコロが2〜5)+(すべてのサイコロが2〜4)
はなぜですか？
No.89864 - 2025/02/03(Mon) 19:45:04
☆ Re: 別解サイコロの最大値、最小値問題 / IT
横から失礼します。
図を描いて見ると分かり易いのでは？
No.89867 - 2025/02/03(Mon) 21:45:59
☆ Re: 別解サイコロの最大値、最小値問題 / らすかる
(最大値が5かつ最小値が1)
=(すべてのサイコロが1〜5)-(すべてのサイコロが1〜5で、1または5を含まないもの)

(すべてのサイコロが1〜5で、1または5を含まないもの)
=(すべてのサイコロが1〜5で、1も5も含まないもの)
　+(すべてのサイコロが1〜5で、1を含まず5を含むもの)
　+(すべてのサイコロが1〜5で、1を含み5を含まないもの)
=(すべてのサイコロが2〜4であるもの)
　+(すべてのサイコロが2〜5で、5を含むもの)
　+(すべてのサイコロが1〜4で、1を含むもの)

(すべてのサイコロが2〜5で、5を含むもの)
=(すべてのサイコロが2〜5)-(すべてのサイコロが2〜5で、5を含まないもの)
=(すべてのサイコロが2〜5)-(すべてのサイコロが2〜4)

(すべてのサイコロが1〜4で、1を含むもの)
=(すべてのサイコロが1〜4)-(すべてのサイコロが1〜4で、1を含まないもの)
=(すべてのサイコロが1〜4)-(すべてのサイコロが2〜4)

よって

(すべてのサイコロが1〜5で、1または5を含まないもの)
=(すべてのサイコロが2〜4であるもの)
　+(すべてのサイコロが2〜5で、5を含むもの)
　+(すべてのサイコロが1〜4で、1を含むもの)
=(すべてのサイコロが2〜4であるもの)
　+{(すべてのサイコロが2〜5)-(すべてのサイコロが2〜4)}
　+{(すべてのサイコロが1〜4)-(すべてのサイコロが2〜4)}
=(すべてのサイコロが2〜5)+(すべてのサイコロが1〜4)-(すべてのサイコロが2〜4)

なので

(最大値が5かつ最小値が1)
=(すべてのサイコロが1〜5)-(すべてのサイコロが1〜5で、1または5を含まないもの)
=(すべてのサイコロが1〜5)
　-{(すべてのサイコロが2〜5)+(すべてのサイコロが1〜4)-(すべてのサイコロが2〜4)}
=(すべてのサイコロが1〜5)-(すべてのサイコロが2〜5)-(すべてのサイコロが1〜4)+(すべてのサイコロが2〜4)
=5^n-4^n-4^n+3^n
となります。
No.89869 - 2025/02/03(Mon) 22:16:52
☆ Re: 別解サイコロの最大値、最小値問題 / hiro
わかりました。ありがとうございます。
No.89887 - 2025/02/05(Wed) 00:25:28
★ サイコロの最大値、最小値問題 / hiro
サイコロの問題で余事象を使って正しく解けません。
次の問題の私の解答でどこが間違っていますか。お願いします。

問題
「サイコロをn個投げるとき、最大値が５で最小値が２である場合は何通りか。」

私の解答

２から５まで出るとき、最大値が５(少なくとも1つが５）ある事象をA,
最小値が２（少なくとも１つが２）である事象をBとすると
n(A∩B)を求めればよい。

余事象を考えると、
n(A)=4^n-3^n　　，　n(B)=4^n-3^n

また、
n(A∪B)は２から５まで出るとき、３と４しか出ない場合の数だから
n(A∪B)＝2^n

よって
n(A∩B)=n(A)+n(B)-n(A∪B)
＝（4^n-3^n）＋（4^n-3^n）−2^n
＝2（4^n-3^n）−2^n　通り
No.89850 - 2025/02/02(Sun) 11:44:11
☆ Re: サイコロの最大値、最小値問題 / らすかる
n(A∪B)が違います。
3と4しか出なかったら、最大値が3か4、最小値も3か4なので、AもBも満たしません。
No.89853 - 2025/02/02(Sun) 12:27:12
☆ Re: サイコロの最大値、最小値問題 / hiro
そうすると、

A∪Bの余事象は、３と４しか出ない場合の数だから
n(A∪Bの余事象)＝4^n-2^n

よって
n(A∩B)=n(A)+n(B)-n(A∪B)
＝（4^n-3^n）＋（4^n-3^n）−(4^n-2^n)
＝4^n-２×3^n）＋2^n　

ですか。
No.89854 - 2025/02/02(Sun) 15:06:07
☆ Re: サイコロの最大値、最小値問題 / らすかる
最後の式と結果は正しいですが、A∪Bに関して若干間違いがあるようです。
> A∪Bの余事象は、３と４しか出ない場合の数だから
> n(A∪Bの余事象)＝4^n-2^n
ではなく
n(A∪Bの余事象)＝2^n
なので
n(A∪B)＝4^n-2^n
ということです。
No.89855 - 2025/02/02(Sun) 18:19:20
☆ Re: サイコロの最大値、最小値問題 / hiro
ありがとうございます。
理解できました。
No.89856 - 2025/02/02(Sun) 23:39:24
★ 極限 / Higashino
極限からの出題です
何卒よろしくお願いします
以下問題
No.89844 - 2025/02/01(Sat) 16:55:01
☆ Re: 極限 / GandB
　4乗和の公式を使った。私は暗記した記憶すらないから、使うのは今回が初体験ww

　　　　　　　(1^2+2^2+ … +n^2)(1^3+2^3+ … +n^3 )
　　lim[n→∞]-----------------------------------------------------
　　　　　　　　　(1+2+ … +n)(1^4+2^4+ … +n^4 )
　　　　　　　　　
　　　　　　　　{ (n(n+1)(2n+1)/6 }{ (n(n+1)/2)^2 }
　= lim[n→∞]----------------------------------------------------
　　　　　　　{ n(n+1)/2 }{ n(n+1)(2n+1)(3n^2+1)/30 }
　　　　　　　
　　　　　　　　(1/6){ n(n+1)/2 }
　= lim[n→∞]-------------------------
　　　　　　　　 (3n^2+1)/30
　　　　　　　　
　　　　　　　　30(n^2+n)
　= lim[n→∞]------------------- = lim[n→∞]{ 30(1+1/n) }/12(3+1/n^2) = 5/6
　　　　　　　　12(3n^2+1)
No.89847 - 2025/02/01(Sat) 20:42:34
☆ Re: 極限 / X
別解)
区分求積法を使います。
(与式)=lim[n→∞][{Σ[k=1〜n]k^2}{Σ[k=1〜n]k^3}]
/[{Σ[k=1〜n]k}{Σ[k=1〜n]k^4}]
=lim[n→∞][(1/n){Σ[k=1〜n](k/n)^2}{(1/n)Σ[k=1〜n](k/n)^3}]
/[(1/n){Σ[k=1〜n](k/n)}{(1/n)Σ[k=1〜n](k/n)^4}]
={∫[0→1](x^2)dx}{∫[0→1](x^3)dx}
/[{∫[0→1]xdx}{∫[0→1](x^4)dx}]
=(1/3)(1/4)/{(1/2)(1/5)}
=5/6
No.89848 - 2025/02/01(Sat) 20:50:12
☆ Re: 極限 / GandB
> 区分求積法を使います。
　ずっといい解法ですね。
No.89849 - 2025/02/01(Sat) 21:26:55
☆ Re: 極限 / Higashino
GandB 先生 X先生
ご回答ありがとうございました
ｘ先生に回答に出ておりますが
ご指摘等あれば何卒よろしくお願いします
No.89851 - 2025/02/02(Sun) 12:02:29
☆ Re: 極限 / Higashino
区分求積法と積分の間違いがありました正しくは
No.89852 - 2025/02/02(Sun) 12:07:36
☆ Re: 極限 / GandB
　もし、解答用紙にNo.89851のように書いたら、記述式の問題なら大きく減点されるのではないか。

　　∫[k=0→1]x^2dx = lim[n→∞](1/n)(Σ[k=1→n]f(k/n)^2) ×
　　∫[k=0→1]x^2dx = lim[n→∞](1/n)(Σ[k=1→n](k/n)^2) 〇

はケアレスミスだろうが、4種類の平方和の公式を区分求積法に結びつける説得力にやや欠けると思う。
　Xさんの回答を冗長に書くと以下のようになるからだ。
No.89857 - 2025/02/03(Mon) 10:38:56
☆ Re: 極限 / Higashino
GandB先生
返信が遅くなり申し訳ございません
先生がご指摘になった
[間違い]
の部分を正しく教えてください
何卒よろしくお願いします
No.89892 - 2025/02/05(Wed) 06:25:50
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です


□５です

分かりませんでした

よろしくお願いします
No.89842 - 2025/01/31(Fri) 21:18:31
☆ Re: / 独ソ不可侵条約
全体のパックの数を□としますね。
一旦持ってるパックを全部使い8個ずついれたとします。このときのイチゴの数は8×□となります。
実際には3パック余ったので、8×□より24個少なかったということです。さらに最後のパックはあと4つ足りなかったということで、(言い換えただけ。4個だけ入った→8個入れようとしたけど4つ足りなかった)、イチゴの数は28足りなかった、8×□-28となります。
ところで、8個入のパックからイチゴを2個ずつ取り出し、6個入にするとする(以降「2個出し」と呼ぶことにする)と、8個入パックは一つ減り、6個入りパックは一つ増えます。さらに、「ぴったり」に必要なイチゴの数は2つずつ減っていきます。
あと28個必要だったのが、26になるということです。14回繰り返すと(28÷2=14)、必要な数は0になります。これは、6個入の袋14個と、8個入の袋何個かにいちごが入ってて、足りなくも余りもしていない。
なので、引き続き「2個出し」を続けます。ここからは出したものは余るのでテーブルの上に置かれるとします。50個置かれた(余った)ときに、全てのパックに6個ずつ入ればいいので、50÷2=25より、25回出せば余りが50になります。どういうことかというと、14+25=39回「2個出し」をすれば全部6個入りのバッグになるということ。よってバッグ数は39で、パックが3つ余ることから39-3=36で、1つのパックは4つしかなくて「8個入り」ではないので35個。
一応確かめると、イチゴが39×6+50=284個で、
8個入に詰めると284÷8=35余り4で35パックできて4つ余る。

…なんかすごく分かりづらいのでわからなかったら聞いてね
No.89843 - 2025/02/01(Sat) 14:37:32
☆ Re: / IT
横から失礼します。

上下に６個入りと８個入りの箱をそれぞれ左から右に描くと　分かり易いと思います。
８個入りは、左から順に何箱かが８個入りで、次が４個入り、右端の３箱が空。

６個入りのイチゴを箱間で移動して８個入りに変えていきます。あまりのイチゴも箱に入れます。

まず、右端の３つの箱を空にする。
　　６×３＝１８個を２個ずつ、６個入りの箱の左から順に９箱に入れる。
　　→８個入りの箱が９箱出来る。
つぎに、あまりの５０個を２個ずつ６個入りの２５箱に入れる
　　→８個入りの箱が２５箱増える
最後に、右から２番目の箱の６個から２個を左隣の６個入りの１箱に入れる
　　→８個入りの箱が１箱増えて、１箱は４個入りになる

（※これで下の箱群の入れ方と一致する）

合計で８個入りの箱が、９+25+1＝35個　出来る
No.89845 - 2025/02/01(Sat) 16:55:26
☆ Re: / IT
６個入りの箱のイチゴを箱間で移動して８個入りに変えていきます。あまりのイチゴも箱に入れます。
の後、同じことですが、

右端の３つの箱から計１８個を取り出して空にする。
右から４番目の箱から２個を取り出して４個入りにする。

元のあまり５０個＋１８個＋２個＝７０個　を
６個入りの箱に２個ずつ入れていくと３５個の箱が８個入りになり、
下の箱群の入れ方と同じになる。
No.89846 - 2025/02/01(Sat) 20:07:30
★ 二次曲線 / Higashino
二次曲線 019 ど基礎

OA=√3 , 長軸の長さ 2の楕円、OとAを焦点とする

方程式、焦点、準線、離心率、極方程式
を求めよ

できれば概形もお願いします
何卒よろしくお願いします
No.89837 - 2025/01/29(Wed) 23:45:21
★ 楕円 / Higashino
愛知教育大学過去問

何卒よろしくお願いします

以下問題
No.89834 - 2025/01/29(Wed) 01:40:27
☆ Re: 楕円 / らすかる
問題の楕円を原点に関してθ回転した楕円の式は
(ycosθ-xsinθ)^2/9+(ysinθ+xcosθ)^2/16=1
整理して
(25-7cos2θ)x^2+(25+7cos2θ)y^2-14xysin2θ-288=0
これをxに関する二次方程式とみると
D/4=-288(2y^2+7cos2θ-25)
なので、x軸に平行な接線はy=±√((25-7cos2θ)/2)
またyに関する二次方程式とみると
D/4=-288(2x^2-7cos2θ-25)
なので、y軸に平行な接線はx=±√((25+7cos2θ)/2)
よって縦横接線の交点から原点までの距離は
√{{±√((25+7cos2θ)/2)}^2+{±√((25-7cos2θ)/2)}^2}=5
なので、交点は楕円の回転角度にかかわらず常に原点から距離5の位置にある。
従って点Pの軌跡はx^2+y^2=25。
No.89836 - 2025/01/29(Wed) 23:01:38
☆ Re: 楕円 / Higashino
ラスカル先生
こんばんは
ご回答ありがとうございます
誤字が多いですが
私の答案です
ご指摘などいただければ幸いです
No.89838 - 2025/01/29(Wed) 23:52:34
☆ Re: 楕円 / Higashino
以下参考書解説です
No.89839 - 2025/01/29(Wed) 23:58:02
★ 図形の性質 / あ
なぜ、中点連結定理が使えるのか教えてほしいです。
よろしくお願いします。
No.89831 - 2025/01/28(Tue) 20:42:57
☆ Re: 図形の性質 / あ
写真です。
No.89832 - 2025/01/28(Tue) 20:44:12
☆ Re: 図形の性質 / あ
写真です
No.89833 - 2025/01/28(Tue) 20:45:04
☆ Re: 図形の性質 / ヨッシー
点ＤはＡＢの中点、点ＥはＡＣの中点であるので、中点連結定理が使えて、
　ＤＥ//ＢＣ　かつ　ＤＥ＝(1/2)ＢＣ
が成り立ちます。ここでは、そのうちの
　ＤＥ//ＢＣ
を使っています。
その下の　ＦＥ：ＨＣ＝ＡＥ：ＡＣ＝１：２　との間には、
　ＤＥ//ＢＣ　つまり、ＦＥ//ＨＣ
から、△ＡＦＥ≡△ＡＨＣ　（相似比１：２）
が隠れています。
No.89835 - 2025/01/29(Wed) 09:28:48
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