ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

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旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。

過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

★ 広島大学　複素数 / Higashino

引用

広島大学複素数　過去問
なにとぞよろしくお願いいたします
以下問題

No.88764 - 2024/09/07(Sat) 07:51:22

☆ Re: 広島大学　複素数 / X

引用

例えばzの共役複素数を\zと書くことにします。

条件から
|z[1]|=|z[2]|=1 (A)
|z[1]+z[2]|^2=1 (B)
(B)の左辺を展開し、(A)を代入すると
z[1]\z[2]+\z[1]z[2]=-1
∴z[1]\z[2]=-1/2+it (C)
(tは実数)
(C)の両辺の絶対値を取り、(A)を代入すると
1/4+t^2=1
∴t=±(√3)/2
これを(C)に代入すると
z[1]\z[2]=-1/2±i(√3)/2
(複号同順、以下同じ)
更に(A)より
\z[2]=1/z[2]
∴z[1]/z[2]=-1/2±i(√3)/2
2z[1]/z[2]+1=±i√3
(2z[1]/z[2]+1)^2=-3
(z[1]/z[2])^2+z[1]/z[2]+1=0
z[1]^2+z[1]z[2]+(z[2])^2=0
両辺にz[1]-z[2]をかけて
z[1]^3-z[2]^3=0
∴z[1]^3=z[2]^3

No.88767 - 2024/09/07(Sat) 09:15:17

☆ Re: 広島大学　複素数 / GandB

引用

　　z1 = cosα + i*sinα
　　z2 = cosβ + i*sinβ
とおいて |z1+z2| を計算すると
　　α-β = 2π/3
が得られるから、この結果を
　　z1^3 = cos3α + i*sin3α
　　z2^3 = cos3β + i*sin3β
のどちらかに代入して比較する。
　こちらの方が少しだけ楽な気がするが、どうかな（笑）

No.88769 - 2024/09/07(Sat) 09:25:05

☆ Re: 広島大学　複素数 / X

引用

＞＞GandBさんへ
私も初めは同じ方針で計算したのですが
その方針だと、例えば
0≦α＜2π,0≦β＜2π
というように、最低でも幅2πでα,βの範囲を
設定しなければならず、そうすると
-2π＜α-β＜2π
ここから、α-βの値を4個考えなくてはならなく
なってしまうので止めました。

No.88770 - 2024/09/07(Sat) 09:35:01

☆ Re: 広島大学　複素数 / Higashino

引用

諸先生方
ご回答くださりありがとうございます
複素数平面をまだ勉強していませんので、理解できない部分がたくさんございましたが　これから複素数平命を勉強したらまた読んでみたいと思います
今回の私の答案です
ご指導　ご指摘　アドバイスのほど、何卒よろしくお願いいたします

No.88772 - 2024/09/07(Sat) 10:41:55

☆ Re: 広島大学　複素数 / X

引用

＞＞Higashinoさんへ
その解答で問題ありません。

No.88783 - 2024/09/07(Sat) 20:47:47

★ 数列の解答の書き方 / ヒロ

引用

以下の問題で解答１と解答２でどちらにするほうがいいですか。理由も教えて下さい。
（ a［ｎ＋１］=２a［n］を使えば、すぐにa［n］=3・２^(n-1)ですが、
a［n］=２a［n-1］のときは書き方がわかりませんでした。）

●問題●
時刻ｎのときの細胞の個数をa［n］とする。細胞は１分ごとに２倍に増える。a［1］＝３として
時刻nのときの細胞の個数a［n］をnの式で表せ。

●解答１●
a［1］＝３, a［n］=２a［n-1］より、　a［n］=3・２^(n-1)

●解答２●
a［1］＝３, a［n］=２a［n-1］　（ｎ≧２）より
a［n］=3・２^(n-1)　　（ｎ≧２）　……(1)
(1)はｎ＝１のとき、a［1］=3・２^(1-1)=3だから　ｎ＝１のときも成り立つ。
よって、a［n］=3・２^(n-1)　　　（ｎ≧１）

No.88761 - 2024/09/07(Sat) 00:27:00

☆ Re: 数列の解答の書き方 / X

引用

略解なら解答1でも問題ありませんが、正確に書くなら
解答2になります。

No.88766 - 2024/09/07(Sat) 09:00:19

☆ Re: 数列の解答の書き方 / ヒロ

引用

ちなみに、

等比数列a［n］=r×a［n-1］……(あ)　　（rは公比）
等差数列a［n］=［n-1］＋d……（い）　　（dは公差）
漸化式a［n］=p×a［n-1］+ｑ……（う）　（p,qは定数）

のときは、解答1のようにn≧2を考えずに、以下のことが常に成り立ちますか。
また、大学入試、学校の定期試験では、n≧2を考えずに解答しても減点はないですか。

（αは初項）　(あ)は、　　a［n］=α×r^(n-1)、
　　　　　　　(い)は、　　a［n］=α＋(n-1)×d、
　　　　　　 (う)は、　　a［n］=（α-ｃ)×r＾(n-1)+ｃ　（ｃは特性方程式ｃ＝ｐｃ＋ｑの解）

よろしくお願いします。

No.88771 - 2024/09/07(Sat) 10:14:15

★ 滋賀大　過去問　複素数 / Higashino

引用

滋賀大　過去問　複素数
なにとぞよろしくお願いいたします
以下問題

No.88744 - 2024/09/05(Thu) 16:27:30

☆ Re: 滋賀大　過去問　複素数 / X

引用

例えば、zの共役複素数を\zと書くことにします。

条件から
\z[k]z[k]=1
(k=1,2,3)
∴
|z[1]z[2]+z[2]z[3]+z[3]z[1]|^2=(z[1]z[2]+z[2]z[3]+z[3]z[1])(\z[1]\z[2]+\z[2]\z[3]+\z[3]\z[1])
=3+(z[1]z[2]\z[2]\z[3]+\z[1]\z[2]z[2]z[3])+(z[2]z[3]\z[3]\z[1]+\z[2]\z[3]z[3]z[1])+(z[3]z[1]\z[1]\z[2]+\z[3]\z[1]z[1]z[2])
=3+(z[1]\z[3]+\z[1]z[3])+(z[2]\z[1]+\z[2]z[1])+(z[3]\z[2]+\z[3]z[2]) (A)
|z[1]+z[2]+z[3]|^2=(z[1]+z[2]+z[3])(\z[1]+\z[2]+\z[3])
=3+(z[1]\z[3]+\z[1]z[3])+(z[2]\z[1]+\z[2]z[1])+(z[3]\z[2]+\z[3]z[2]) (B)
(A)(B)より
|z[1]z[2]+z[2]z[3]+z[3]z[1]|^2=|z[1]+z[2]+z[3]|^2
これより
|z[1]z[2]+z[2]z[3]+z[3]z[1]|=|z[1]+z[2]+z[3]|
よって
(i)z[1]+z[2]+z[3]≠0のとき
|(z[1]z[2]+z[2]z[3]+z[3]z[1])/(z[1]+z[2]+z[3])|=1
(ii)z[1]+z[2]+z[3]=0、つまり
(z[1].z[2],z[3]=(cosθ+isinθ,cos(θ+2π/3)+isin(θ+2π/3),cos(θ+4π/3)+isin(θ+4π/3))
(θは0≦θ＜2πなる任意の実数)
のとき
|(z[1]z[2]+z[2]z[3]+z[3]z[1])/(z[1]+z[2]+z[3])|
の値は存在しません。

No.88745 - 2024/09/05(Thu) 17:24:53

☆ Re: 滋賀大　過去問　複素数 / Higashino

引用

エス先生、こんにちは
このたびもご回答くださりありがとうございます
いよいよこれから複素数平面の勉強に入っていきます。これからもよろしくお願いいたします。
私の回答がまとまりましたので
投稿させていただきます
ご指摘指　アドバイス　ご指導のほど、何卒よろしくお願いいたします

以下答案

No.88747 - 2024/09/05(Thu) 19:47:20

☆ Re: 滋賀大　過去問　複素数 / X

引用

いくつか質問を。

1)
一行目に
＞＞対等性から～
とありますが、「対等性」とはどのような意味で
使っていますか。

2)
補1において
p=z[1]+z[2]+z[3]
のとき
\p=1/p
となっていますが、根拠は何ですか。

No.88750 - 2024/09/05(Thu) 21:29:50

☆ Re: 滋賀大　過去問　複素数 / Higashino

引用

X先生、おはようございます
ご返信が遅くなり誠に申し訳ございませんでした
ご指摘の箇所ですが、私なりにご説明いたしました
不十分かと思われますが　その際はご指摘アドバイスよろしくお願いいたします

以下、答案書き直し

No.88763 - 2024/09/07(Sat) 07:41:57

☆ Re: 滋賀大　過去問　複素数 / X

引用

まず、補1)について

|z[1]|=|z[2]|=|z[3]|=1
であっても
|z[1]+z[2]+z[3]|=1
とは限りませんので
\(z[1]+z[2]+z[3])=1/(z[1]+z[2]+z[3])
は一般には成立しません。
反例)
z[1]=1,z[2]=1,z[3]=1/√2+i/√2のとき
z[1]+z[2]+z[3]=(2+1/√2)+i/√2
∴|z[1]+z[2]+z[3]|^2=(2+1/√2)^2+1/2
=5+2√2≠1
となるので
\(z[1]+z[2]+z[3])≠1/(z[1]+z[2]+z[3])

次に
＞＞対等性より
＞＞z[1]=z[2]=z[3]
としていますが、問題の条件は
|z[1]|=|z[2]|=|z[3]|=1 (A)
ですので
z[1]=z[2]=z[3] (B)
は(A)の特別な場合に過ぎません。
従って(B)を使って、問題の値を計算しても
解答としては不完全です。

No.88768 - 2024/09/07(Sat) 09:24:00

☆ Re: 滋賀大　過去問　複素数 / Higashino

引用

x先生へ
度々申し訳ございません
ご指摘の
>|z[1]+z[2]+z[3]|=1
をどこで私が使っているのかがわかりません
教えてくださると幸いです

No.88774 - 2024/09/07(Sat) 12:14:52

☆ Re: 滋賀大　過去問　複素数 / X

引用

No.88763の添付写真の、2)から4行目の最右辺の一つ左の辺
と二つ左の辺の
＞＞\z[1]+\z[2]+\z[3]=1/(z[1]+z[2]+z[3])
です。

p=z[1]+z[2]+z[3]
としているのであれば
\p=1/p⇔\pp=1⇔|p|^2=1
⇔|p|=1
∴|z[1]+z[2]+z[3]|=1
となってしまいます。

No.88784 - 2024/09/07(Sat) 20:53:10

★ (No Subject) / 中3

引用

答えはあるのですが、画像の(2)、(3)?@?A、(4)?@?Aのやり方がわかりません。

No.88739 - 2024/09/05(Thu) 07:58:50

☆ Re: / 中3

引用

文字化けしました……
2、3の1と2、4の1と2の問題です。

No.88740 - 2024/09/05(Thu) 07:59:57

☆ Re: / ヨッシー

引用

(2)
四角形ＡＢＥＤの４辺　ＡＢ，ＢＥ，ＥＤ，ＤＡ
四角形ＡＣＦＤの４辺　ＡＣ，ＣＦ，ＦＤ，ＤＡ
のうち、ＢＦとＣＦ、ＤＡとＤＡはそれぞれ等しいので、
　ＡＢ＋ＥＤ　と　ＡＣ＋ＦＤ
の差が求める差となります。
　(15＋15)－(12＋12)＝6(cm)　・・・答え

(3)
(1) 大きい円は円すいの底面の３倍の半径なので、
　円すいの半径は　６÷３＝２(cm)　・・・答え
(2) 底面積は　４π
　側面積は　6×6π×(1/3)＝12π
　合わせて　16π　・・・答え

(4)
(1)
△ＢＣＧと△ＤＣＥにおいて
　ＢＣ＝ＣＤ、ＣＧ＝ＣＥ
　∠ＢＣＧ＝∠ＢＣＤ－∠ＤＣＧ＝90°－∠ＤＣＧ
　∠ＤＣＥ＝∠ＧＣＥ－∠ＤＣＧ＝90°－∠ＤＣＧ
よって、
　∠ＢＣＧ＝∠ＤＣＥ
以上より２辺夾角相等により
　△ＢＣＧ≡△ＤＣＥ
(2)
まず、ＣＧ＝ＣＥ＝ＰＣ＝5cm であることを確認しておきます。
必然的に、ＰＤ＝1cm です。
点ＥからＣＤに下ろした垂線の足をＨとします。
△ＣＤＧ≡△ＥＨＣであるので、ＥＨ＝ＤＣ＝4cm
△ＰＤＥにおいて、ＰＤを底辺とすると、高さはＥＨになるので、
求める面積は
　1×4÷2＝2(cm^2)　・・・答え
（図は省略）

No.88741 - 2024/09/05(Thu) 09:07:06

☆ Re: / 中3

引用

たくさん、ありがとうございます！

4の2が難しいですね(；；)

No.88751 - 2024/09/06(Fri) 08:32:39

☆ Re: / 中3

引用

4の2の問題の、△PDEの面積を求めるのに、高さが4になる理由がどうしても理解できないのですが……
どう解釈すればわかりますか？
学校の答えの解説を載せます。

No.88758 - 2024/09/06(Fri) 23:29:02

☆ Re: / ヨッシー

引用

解説は４－（２）になっていません。

図において、△ＣＤＧと△ＥＨＣは合同なので、
　ＥＨ＝ＣＤ＝4cm
です。

No.88812 - 2024/09/09(Mon) 22:17:31

★ 横浜市立大学　複素数 / Higashino

引用

横浜市立大学複素数過去問
よろしくお願いいたします
以下問題

No.88737 - 2024/09/04(Wed) 21:30:06

☆ Re: 横浜市立大学　複素数 / ヨッシー

引用

α、β、γ、δの共役複素数をα’、β’、γ’、δ’とします。
当然ながら
　α’＋β’＋γ’＋δ’＝０
　|α’|＝|β’|＝|γ’|＝|δ’|＝１
　αα’＝ββ’＝γγ’＝δδ’＝１
です。
　|α－β|^2＝(α－β)(α’－β’)＝αα’－α’β－αβ’＋ββ’＝２－α’β－αβ’
同様に
　|α－γ|^2＝２－α’γ－αγ’
　|α－δ|^2＝２－α’δ－αδ’
よって、
　(与式)＝６－α’(β＋γ＋δ)－α(β’＋γ’＋δ’）
　　＝６－α’(－α)－α(－α’)
　　＝６＋αα’＋αα’＝８

No.88742 - 2024/09/05(Thu) 09:22:54

☆ Re: 横浜市立大学　複素数 / Higashino

引用

先生、こんにちは
ご回答いただきありがとうございました

私の答案も、先生とほぼ同じで安堵いたしました
私の答案をアップしますが　ご指導アドバイスいただけると幸いです

以下答案

No.88743 - 2024/09/05(Thu) 16:25:51

★ (No Subject) / 算数

引用

算数です

7番(1)です

教えてください

解説書では
a＝□×3　　b＝□×4

a×b＝□×3×□×4とありました。

分かりません

No.88726 - 2024/09/03(Tue) 23:24:46

☆ Re: / 算数

引用

私は

a×b＝?B×?C＝?K＝３００
?@＝25
というふうにやってしまいました

No.88727 - 2024/09/03(Tue) 23:32:33

☆ Re: / ヨッシー

引用

丸数字は文字化けするので、

　a×b＝(3)×(4)＝(12)＝３００
　(1)＝25
と書き直します。

それでも良いのですが、長さを表す (1) と、面積を表す (1) は
別物であるという意識は必要です。
いっそ、
　a×b＝(3)×(4)＝((12))＝３００
　((1))＝25
と書いてしまったほうが、そのあと、
　(1)＝5　なので、ａ＝(3)＝15
と持っていきやすいでしょう。

これを使うと、解説書の　□が(1)、□×□が((1)) に当たり、
　□×3 は (3)、 □×4 が (4)
　□×3×□×4＝□×□×12 は ((12))
と書くことが出来ます。　

No.88729 - 2024/09/04(Wed) 11:25:56

★ (No Subject) / 算数

引用

算数です

難しかったです。

5番です

教えてください

No.88724 - 2024/09/03(Tue) 21:57:24

☆ Re: / ヨッシー

引用

図のように記号をつけると、三角柱と残りの立体とで、
　□ＡＥＦＤと□ＡＥＦＤ
　□ＢＥＦＣと□ＡＨＧＤ
　□ＡＢＣＤと□ＬＩＪＫ
　△ＡＢＥと△ＡＨＥ
　△ＤＣＦと△ＤＧＦ
はそれぞれ面積が等しいものが両方に含まれるため、差が出るとすれば、
　□ＥＩＪＦ、□ＦＪＫＧ、□ＧＫＬＨ、□ＨＬＩＥ
の合同な長方形４つ分となります。
これが 42cm^2 なので、
　□ＥＩＪＦ＝10.5
　ＥＩ＝10.5÷5＝2.1
　ＢＥ＝5－2.1＝2.9(cm)　・・・答え
となります。

No.88730 - 2024/09/04(Wed) 11:45:48

★ (No Subject) / 有栖川

引用

(m, n)を自然数とする。
5^n - 1 = m^2 を満たす(m, n)の組を全て求めよ。

この問題の解き方を教えてください。

No.88719 - 2024/09/02(Mon) 21:53:41

☆ Re: / IT

引用

出典は何ですか？
出典や出題背景が分かると回答が付くかも知れません。

カタラン予想（ミハイレスクの定理）（下記参照）の特別な場合　にあたりますので
答えは(m,n)=(2,1) だけのようですね。

https://mathlog.info/articles/1217

No.88723 - 2024/09/03(Tue) 21:34:14

☆ Re: / 有栖川

引用

ありがとうございます。

>> 出典は何ですか？
知り合いから出題されたので詳しい出典は分からないですが、多分自分で作ったんだと思います。（ちゃんとした解法がなさそうなので）

>>カタラン予想（ミハイレスクの定理）（下記参照）の特別>>な場合　にあたりますので
>>答えは(m,n)=(2,1) だけのようですね。
私も色々調べてみたのですが、やっぱりこの定理を用いるしかなさそうですね。ありがとうございました！

No.88738 - 2024/09/05(Thu) 01:06:46

☆ Re: / IT

引用

お知り合いは、解法・解答を知っておられないのですか？

No.88746 - 2024/09/05(Thu) 18:45:42

☆ Re: / 有栖川

引用

解法を相談してきた形でした。（明確な解法、解答が存在する上で出題された問題ではありませんでした。）

No.88805 - 2024/09/09(Mon) 08:02:41

★ 三角関数 / mofukun

引用

三角形ABCがあり、

AB＝8、BC＝3、∠ABC＝3θ、∠BCA＝θのとき、

ACの長さxを求めよ。
xは自然数になるようですが、どうやって解けばいいのでしょう？

No.88712 - 2024/09/02(Mon) 19:58:12

☆ Re: 三角関数 / らすかる

引用

「xは自然数」というのを条件として使って良いのであれば
条件からxは9か10
x=9のとき
余弦定理から
cosθ=(3^2+9^2-8^2)/(2×3×9)=13/27
cos3θ=(3^2+8^2-9^2)/(2×3×8)=-1/6
cosの三倍角の公式から
cos3θ=4cosθ^3-3cosθ=-19643/19683≠-1/6で不適
x=10のとき
余弦定理から
cosθ=(3^2+10^2-8^2)/(2×3×10)=3/4
cos3θ=(3^2+8^2-10^2)/(2×3×8)=-9/16
cosの三倍角の公式から
cos3θ=4cosθ^3-3cosθ=-9/16なので適
∴x=10

「xは自然数」というのを条件として使えないのであれば
余弦定理から
cosθ=(x^2+9-64)/(2×3×x)=(x^2-55)/(6x)
cos3θ=(9+64-x^2)/(2×3×8)=(73-x^2)/48
cosの三倍角の公式cos3θ=4cosθ^3-3cosθに代入して
(73-x^2)/48=4{(x^2-55)/(6x)}^3-3{(x^2-55)/(6x)}
整理して
8x^6+9x^5-1536x^4-657x^3+84480x^2-1331000=0
(x-10)(x+5)(x+11)(8x-55)(x^2+2x-44)=0
8＜x＜11なので x=10

No.88714 - 2024/09/02(Mon) 20:59:48

☆ Re: 三角関数 / ast

引用

A から直線 BC へ下ろした垂線の足 H を使って, 三角形AHC および三角形 AHB の各辺の長さを θ を使って書けば
　x sin(θ)= 8 sin(π - 3θ) ……(1),
　x cos(θ) = 3 + 8 cos(π - 3 θ) ……(2)
になるので, (1) から cos(θ)=√((x+8)/32), これを (2) に代入して整理すれば
　(x-8)^2 (x+8) = 72 (ただし x-8>0) ……(3)
　⇔ (x-10)(x^2+2x-44) = 0
　∴x=10.

というのでは如何でしょう.

No.88715 - 2024/09/02(Mon) 21:25:34

☆ Re: 三角関数 / 黄桃

引用

astさんと同じようなものですが、こっちだと3θが出てこないので一応。

AC上に点Dを角DBC=θとなるようにとれば、
△ABD,△DBCはいずれも二等辺三角形。
DC=BC=yとおけば、x=y+8。
さらにcosの定義（あるいは余弦定理）より
cos(2θ)=(y/2)/8
cos(θ)=(3/2)/y
だから、
cos(2θ)=2cos^2(θ)-1
に代入して整理すれば
y^3+16y^2-72=0
となり、
(y-2)(y^2+18y+36)=0
を得る。これより
y=2, -9±3√5
だが、y>0より y=2,cos(θ)=3/4 と求まる。
よって x=8+2=10...(答)

No.88725 - 2024/09/03(Tue) 23:21:52

★ 東京医科歯科大学　複素数 / Higashino

引用

東京医科歯科大学過去問複素数
なにとぞよろしくお願いいたします
以下問題

No.88706 - 2024/09/02(Mon) 05:54:26

☆ Re: 東京医科歯科大学　複素数 / X

引用

問題の二次方程式を(A)とします。

条件から、(A)はx=0を解に持たないので
x≠0
∴(A)から
α=-x-1/x-2i/x
xは実数なので
|α|^2=(x+1/x)^2+4/x^2
=x^2+2+5/x^2
={x+(√5)/x}^2+2-2√5 (B)
ここで
(i)x＞0のとき
相加平均と相乗平均の関係から
x+(√5)/x≧2・5^(1/4)
(不等号の下の等号はx=5^(1/4)のとき成立)
(ii)x＜0のとき
やはり相加平均と相乗平均の関係から
x+(√5)/x=-{(-x)+(√5)/(-x)}≦-2・5^(1/4)
(不等号の下の等号はx=-5^(1/4)のとき成立)

(i)(ii)からx≠0なる実数xに対し
|x+(√5)/x|≧2・5^(1/4)
(不等号の下の等号は|x|=5^(1/4)のとき成立)
∴(B)より
|α|^2≧2+2√5
∴|α|≧√(2+2√5)
となるので|α|の最小値は√(2+2√5)
(このとき、(A)の実数解は
5^(1/4),-5^(1/4)
のうちのいずれか一方。)

No.88708 - 2024/09/02(Mon) 10:00:41

☆ Re: 東京医科歯科大学　複素数 / あんこ

引用

別解をあげておきます

α=a+biとおく
xが方程式の実数解であることは次と同値
1. x^2+ax+1=0
2. bx+2=0
2よりb≠0かつx=-2/b。これを1に代入して
a=2/b+b/2
逆に、0でない任意の実数bに対して、aをこのように決めると、x=-2/bが方程式の解になる

|α|=√(a^2+b^2)=√(5/4b^2+4/b^2+2)
≧√(2+√5)(相加相乗平均の関係)
b=(16/5)^(1/4)の時に等号成立

No.88709 - 2024/09/02(Mon) 14:34:32

☆ Re: 東京医科歯科大学　複素数 / Higashino

引用

先生、こんにちは
Xで割ると言うようなスマートな方法は思い浮かばず、下手に解いていました
ご指導アドバイスいただけると幸いです
以下答案

No.88710 - 2024/09/02(Mon) 15:38:46

☆ Re: 東京医科歯科大学　複素数 / X

引用

＞＞Higashinoさんへ
問題ないと思います。

＞＞あんこさんへ
下から2行目ですが、相加平均と相乗平均の関係
の適用の仕方を間違えているのでは？。

No.88711 - 2024/09/02(Mon) 16:25:59

☆ Re: 東京医科歯科大学　複素数 / あんこ

引用

Xさん
ご指摘の通りです。
係数2が抜けていました。

No.88721 - 2024/09/02(Mon) 23:40:53

★ (No Subject) / 有栖川

引用

最大公約数について
gcd(a, b) = 1 のとき gcd(a, bc) = gcd(a, b)
はどのように証明できるんでしょうか？

No.88696 - 2024/08/31(Sat) 22:06:02

☆ Re: / らすかる

引用

何か間違っていませんか？
例えばa=2,b=3,c=4のとき、
gcd(a,b)=1、gcd(a,bc)=2なので
命題が成り立ちません。
# もし私の勘違いでしたらご容赦下さい。

No.88697 - 2024/09/01(Sun) 00:35:16

☆ Re: / IT

引用

gcd(a, b) = 1 のとき gcd(a, bc) = gcd(a, c)でしょうか？

メイン部分は
gcd(a, b) = 1 のとき
　d|aかつd|bc ならば　d|c である。を示せば良いと思います。

d=gcd(a, bc)として上記を使います。

※d|a などはdがaの約数であることを表してます・

No.88698 - 2024/09/01(Sun) 09:18:54

☆ Re: / IT

引用

gcd(a, b) = 1 のとき
　d|aかつd|bc ならば　d|c である。
の証明は、簡単のようで、知らないと自分で思いつくのは難しいかも知れません。
（私は、初等整数論の参考書を見てしまいました。）

No.88699 - 2024/09/01(Sun) 09:25:51

☆ Re: / 有栖川

引用

>>何か間違っていませんか？

誤記でした。ご指摘ありがとうございます。

>>gcd(a, b) = 1 のとき
>>d|aかつd|bc ならば　d|c である。
>>の証明は、簡単のようで、知らないと自分で思いつくのは>>難しいかも知れません。

ありがとうございます。確認してみます。

No.88720 - 2024/09/02(Mon) 21:55:31

★ 御茶ノ水女子大学　複素数 / Higashino

引用

御茶ノ水大学複素数　過去問
何卒よろしくお願いいたします
以下問題

No.88693 - 2024/08/31(Sat) 19:48:47

☆ Re: 御茶ノ水女子大学　複素数 / X

引用

例えば、zの共役複素数を\zと表すことにします。

αz+β\z=1 (A)
とします。
(A)の両辺の共役複素数を取ると
\βz+\α\z=1 (B)
ここで、
|α|≠|β|
より
\αα≠\ββ
となることに注意して、(A)(B)をz,\zについての
連立方程式として解いて
z=(\α-β)/(\αα-\ββ)

No.88695 - 2024/08/31(Sat) 20:18:47

☆ Re: 御茶ノ水女子大学　複素数 / Higashino

引用

エス先生、おはようございます
連絡が遅くなり申し訳ございませんでした
少し体調壊しておりました
今日からまた頑張りたいと思います
今回の回答ですが、x先生とほぼ同じでございまして、安堵しております
またこれからもよろしくお願いいたします

No.88705 - 2024/09/02(Mon) 05:45:59

★ 新潟大学　複素数 / Higashino

引用

新潟大学過去問複素数
何卒よろしくお願いいたします
以下問題

No.88690 - 2024/08/31(Sat) 00:04:27

☆ Re: 新潟大学　複素数 / X

引用

zの共役複素数を\zと書くことにします。

条件から
|α|=1 (A)
(α+z)/(1+αz)=\{(α+z)/(1+αz)} (B)
(B)より
(α+z)/(1+αz)=(\α+\z)/(1+\α\z)
(α+z)(1+\α\z)=(1+αz)(\α+\z)
両辺を展開し、(A)より
\αα=|α|^2=1
であることを使うと
α+z+\z+\α|z|^2=\α+z+\z+α|z|^2
α+\α|z|^2=\α+α|z|^2
(α-\α)(|z|^2-1)=0
∴α=\α,|z|=1

(I)α=\αのとき
αは絶対値が1である実数ゆえ
α=1,-1
(i)α=1のとき
(α+z)/(1+αz)=(1+z)/(1+z)
∴zはz≠-1である任意の複素数
(ii)α=-1のとき
(α+z)/(1+αz)=(-1+z)/(1-z)
=-(1-z)/(1-z)
∴zはz≠1である任意の複素数

(II)|z|=1のとき
(α+z)/(1+αz)の分母が0となるとき
z=-1/α
これは|z|=1を満たすので、
題意を満たすためには
z≠-1/α

以上から、求めるzに対する条件は
α=1のとき、z≠-1
α=-1のとき、z≠1
α≠1かつα≠-1のとき、|z|=1かつz≠-1/α

No.88691 - 2024/08/31(Sat) 09:41:55

☆ Re: 新潟大学　複素数 / Higashino

引用

先生、こんにちは
大変参考になるご回答ありがとうございます
私も考え方がまとまりましたので
答案を投稿いたします
ご指導アドバイスいただけると幸いです
以下答案

No.88692 - 2024/08/31(Sat) 19:20:43

☆ Re: 新潟大学　複素数 / X

引用

No.88691ですが、略解としても雑な箇所がありましたので
修正しました。再度ご覧下さい。

で、No.88692ついてですが、
最後から2行目で
＞＞|z|=cosθ+isinθ
とありますが、左辺の絶対値は誤字でしょうか。
その他に問題は無いと思います。

No.88694 - 2024/08/31(Sat) 20:09:40

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