ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。

過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

★ (No Subject) / やり直しメン

引用

算数です

◻︎4がどうしても分かりません

No.89997 - 2025/02/25(Tue) 00:11:20

☆ Re: / やり直しメン

引用

写真が逆さまでした。申し訳ありません。

No.89999 - 2025/02/25(Tue) 08:39:54

☆ Re: / ヨッシー

引用

答えらしきものが書かれてますが．．．

１２枚ずつ配って１枚余ったところに２０枚増やす
と
１２枚ずつ配って余りなく配ったところに２１枚増やす
のとは、結果は同じです。

２１枚を配って、２枚ずつは配れるが、３枚は配れない人数を調べれば良く、
１１人以上は２枚配れないのでダメ、７人以下は３枚以上配れるのでダメ
よって、
　８，９，１０人

No.90000 - 2025/02/25(Tue) 09:26:00

★ 極限 / Higashino

引用

おはようございます

よろしくお願いします

∞/0

極限を教えてください

No.89985 - 2025/02/23(Sun) 04:59:08

☆ Re: 極限 / Higashino

引用

数列 b(n)/n^2 の極限はどうなりますか
教えてください
何卒よろしくお願いします

No.89988 - 2025/02/23(Sun) 05:25:18

☆ Re: 極限 / X

引用

lim[n→∞]b[n]=∞
ということであれば
lim[n→∞]b[n]/n^2
は不定形です。

No.89991 - 2025/02/23(Sun) 11:54:05

☆ Re: 極限 / らすかる

引用

例えば
b(n)=nであれば lim[n→∞]b(n)/n^2=0
b(n)=cn^2であれば lim[n→∞]b(n)/n^2=c
b(n)=n^3であれば lim[n→∞]b(n)/n^2=∞
のようになりますが、これらはいずれも「○/∞」の形であり
「∞/0」とは関係ありません。

No.89992 - 2025/02/23(Sun) 17:34:24

☆ Re: 極限 / Higashino

引用

ラスカル先生お久しぶりです
よろしくお願いします
頂いた回答でよくわからない点がありましたので
詳しく教えてもらえると幸いです

>b(n)=cn^2であれば lim[n→∞]b(n)/n^2=c

この極限の出し方がわかりません

また

b(n)=n^2であれば極限はどうなるでしょうか

何卒よろしくお願いします

No.89993 - 2025/02/23(Sun) 21:01:46

☆ Re: 極限 / らすかる

引用

b(n)=cn^2ならば
lim[n→∞]b(n)/n^2
=lim[n→∞]cn^2/n^2
=lim[n→∞]c
=c
b(n)=n^2の場合は上記でc=1の場合ですから、極限は1です。

No.89994 - 2025/02/23(Sun) 22:25:36

☆ Re: 極限 / Higashino

引用

ラスカル先生ありがとうございました

今後とも何卒よろしくお願いします

No.89995 - 2025/02/23(Sun) 22:38:03

★ 極限 / Higashino

引用

山口大学過去問

何卒よろしくお願いします

以下問題

No.89980 - 2025/02/21(Fri) 20:03:08

☆ Re: 極限 / Higashino

引用

訂正
添付ミスです
こちらが質問になります

No.89981 - 2025/02/21(Fri) 20:05:15

☆ Re: 極限 / X

引用

(1)
例えば
(a[n],b[n])=(n^2,n)

(2)
条件から
lim[n→∞](a[n]-b[n])=α (A)
∴lim[n→∞]a[n](1-b[n]/a[n])=α (A)'
ここで
lim[n→∞]a[n]=∞
なので
lim[n→∞](1-b[n]/a[n])≠0
を仮定すると、(A)'に矛盾。
∴lim[n→∞](1-b[n]/a[n])=0
となるので
lim[n→∞](b[n]/a[n])=1 (B)
∴lim[n→∞]{{(b[n])^2}/a[n]-{(a[n])^2}/b[n]}
=lim[n→∞]{{(b[n])^3-(a[n])^3}/(a[n]b[n])}
=lim[n→∞]{(b[n]-a[n]){(b[n])^2+b[n]a[n]+a[n]^2}/(a[n]b[n])}
=lim[n→∞]-(a[n]-b[n])(b[n]/a[n]+1+a[n]/b[n])
=-3α (∵)(A)(B)より

No.89982 - 2025/02/22(Sat) 11:46:54

☆ Re: 極限 / IT

引用

Xさん
>lim[n→∞](1-b[n]/a[n])≠0を仮定すると(A)'に矛盾。
これでは説明不足で、この行を書かないのとほとんど変わらない気がします。

No.89983 - 2025/02/22(Sat) 15:03:54

☆ Re: 極限 / IT

引用

{a[n]}は正の無限大に発散するので、nが十分大きいときa[n]＞0

lim[n→∞]{(a[n]-b[n])(1/a[n]}
=lim[n→∞](a[n]-b[n])lim[n→∞](1/a[n])
=α・0 =0

一方
lim[n→∞]{(a[n]-b[n])(1/a[n]}
＝lim[n→∞]{1-(b[n]/a[n])}　この式から始めると記述が短くなりますが、少し天下り的かも
＝0
∴lim[n→∞]b[n]/a[n]＝1

No.89984 - 2025/02/22(Sat) 15:15:42

☆ Re: 極限 / Higashino

引用

ご回答ありがとうございます
返信が遅れましたことを
申し訳ございません
以下が私の考え方です
ご指摘アドバイスなど
何卒よろしくお願いいたします

No.89986 - 2025/02/23(Sun) 05:01:29

★ 極限 / たくや

引用

y=xlogxは、x→+0 のとき y→-0 となるそうですが、
大学の数学では、ロピタルの定理で簡単だそうですが、
高校数学の範囲で証明できないんですか？
もし、高校数学の範囲で証明出来る方は、どうやるのかお願いします。

No.89973 - 2025/02/19(Wed) 01:16:12

☆ Re: 極限 / らすかる

引用

x＞0に対して
f(x)=(√x)logx+1とおくと
f'(x)=(logx+2)/(2√x)なので
f(x)は0＜x＜e^(-2)で減少、e^(-2)＜xで増加
よってf(x)はx=e^(-2)のときに最小値をとる
f(e^(-2))=1-2/e＞0なので
x＞0全体でf(x)＞0
従って
(√x)logx+1＞0
(√x)logx＞-1
logx＞-1/√x
これにより
lim[x→+0]x(-1/√x)≦lim[x→+0]xlogx≦0
となるが
lim[x→+0]x(-1/√x)=lim[x→+0](-√x)=0なので
lim[x→+0]xlogx=0

No.89974 - 2025/02/19(Wed) 02:00:53

☆ Re: 極限 / IT

引用

（別解）概要
t=-logx とおくと、x→+0 のとき　t→∞
x=e^(-t)なので、y=-te^(-t)
t→∞のとき-te^(-t)→-0 ここは要証明
（2＜e を使う. 1＜e で良いが2の方が簡単)
でどうでしょうか？

No.89975 - 2025/02/19(Wed) 20:26:17

☆ Re: 極限 / タクヤ

引用

ラスカルさん、ITさん、回答有難う御座います。証明できることは分かりました。^_^

No.89976 - 2025/02/20(Thu) 16:53:28

★ (No Subject) / やり直しメン

引用

算数です

（2）です

日本語が理解できてないです。

6秒早く進むだから
3594秒ではないのでしょうか

No.89967 - 2025/02/17(Mon) 23:55:07

☆ Re: / ヨッシー

引用

そのように、秒で考えるならば、
正しい時計が 3600秒進む間に、この時計は 3606秒進みます。
　7200秒で、7212秒
　10800秒で、10818秒
　12000秒で、12020秒　ここで、正しい時刻より20秒進んでいます。
　正しい時刻は、６時よりも 12000秒前の、２時４０分です。

普通は、
１時間で６秒早くなるので、２０秒早くなるのは
　１時間×20/6＝60分×20/6＝200分＝３時間２０分
６時の３時間２０分前には正しかったので、その時刻は２時４０分
と比で求めます。
（上の 12000秒もそれで求めました）

No.89968 - 2025/02/18(Tue) 01:30:10

☆ Re: / やり直しメン

引用

なぜ6秒早く進む時計が3606秒なのでしょうか。これですと私は6秒遅いと思ってしまいます。

6秒速いから3594秒ではないのでしょうか。

No.89970 - 2025/02/18(Tue) 11:29:19

☆ Re: / ヨッシー

引用

便宜上、標準の時計を正しい時計、６秒進む時計を誤った時計と呼ぶことにします。

問題は、「１時間に６秒早く進む」の「１時間」は何かということです。
誤った時計の長針が１周する時間は、あくまでも１周するだけであって、「１時間」とは言わないでしょう。
だとすると、「１時間に６秒早い」は、
誤った時計の長針が１周したときに、正しい時計は、3594秒の位置にある
ではなく、
正しい時計の長針が１周（つまり１時間）したときに、誤った時計は、3606秒の位置にある
と考えるのが自然でしょう。

No.89971 - 2025/02/18(Tue) 13:25:18

★ 中学1年生 / はる

引用

定期試験の問題です。模範回答は200人でした。計算方法を教えて下さい。よろしくお願いします。

No.89961 - 2025/02/17(Mon) 17:31:34

☆ Re: 中学1年生 / X

引用

去年の男子の人数をx人とすると、今年増えた人数について
10x/100-5(380-x)/100=11
これをxについての方程式として解きます。
(まず、両辺に100をかけて、計算しやすくしましょう。)

No.89962 - 2025/02/17(Mon) 17:51:46

☆ Re: 中学1年生 / ヨッシー

引用

こちらは連立一次方程式で考えてみます。（試験範囲かどうかは気にしない）

去年の男子の人数をｘ人、女子の人数をｙ人とします。
　ｘ＋ｙ＝３８０　　・・・(1)
今年の人数は、男女それぞれ 1.1ｘ、0.95ｙなので、
　1.1ｘ＋0.95ｙ＝３９１　・・・(2)

（以下略）

No.89963 - 2025/02/17(Mon) 17:54:25

☆ Re: 中学1年生 / はる

引用

二つの解き方を教えて頂き、ありがとうございました！！

No.89972 - 2025/02/18(Tue) 15:24:41

★ 04京大　極限 / トニー

引用

解いてみたのですが評価がこのくらいでいいのか自分でわからないので教えていただきたいです。よろしくお願いします。

No.89959 - 2025/02/16(Sun) 20:52:08

☆ Re: 04京大　極限 / IT

引用

画像が不鮮明なので確実ではないですが、合っているようです。
文脈から分かりますが「正方形」が何を意味するかが、曖昧だと思います。
本番では、限られた時間で複数の問題を解く必要があるので、仕方ないですが、問題練習では、できるだけ簡潔かつ正確な答案を作られた方が良いと思います。

No.89960 - 2025/02/17(Mon) 12:51:16

☆ Re: 04京大　極限 / IT

引用

> 評価がこのくらいでいいのか
はさみうちの両側の極限値が一致してπという極限値が求められているのですから、それで良いと思います。

最後に（１/n^2を掛けたところで）
n→∞で　　→0となる　オーダーの違いは、どうでも大丈夫だと思います。

No.89964 - 2025/02/17(Mon) 19:58:44

★ (No Subject) / 連続

引用

過去問演習をしていてふと疑問に思ったのですが、二つの関数f(x)とg(x)が共に実数全体で連続なとき、f(x)+g(x)は常に連続なのでしょうか？教えていただきたいです

No.89954 - 2025/02/16(Sun) 00:00:11

☆ Re: / IT

引用

二つの関数f(x)とg(x)が共に実数全体で連続なとき、f(x)+g(x)は常に連続　です。

何年生ですか？　大学で　厳密な連続の定義を習わないと厳密な証明はできないと思います。

No.89955 - 2025/02/16(Sun) 11:22:01

☆ Re: / IT

引用

数３の教科書には、証明や説明抜きに　事実として記載されていると思います。

No.89956 - 2025/02/16(Sun) 11:26:25

☆ Re: / 連続

引用

ありがとうございます。高3です。

No.89957 - 2025/02/16(Sun) 13:03:51

★ (No Subject) / はまっちょ

引用

同志社2025個別文系数学
模範解答作成お願いします

No.89952 - 2025/02/14(Fri) 16:11:31

☆ Re: / _

引用

(1)「合成」によりx=2*cos(θ-pi/6)。
0≦θ≦pi/2より max=2 (θ=pi/6のとき), min=1 (θ=pi/2のとき)。

(2) 与等式は cos(pi/2-3θ)=cos(3(θ-α)) と書ける。
「cosA=cosB ⇔ A±Bが2piの整数倍」に注意して、0≦α≦2pi/3の範囲で考えると、
α=pi/6となる。

以下 θ-pi/6 =uとおく。

(3) (2)よりsin(3θ)=cos(3u)。(1)よりx=2cosuだから、「3倍角」より
cos(3u)=4(cosu)^3-3cosu = (1/2)*(2cosu)^3-(3/2)*(2cosu) = x^2/2-3x/2 。

(4) yの式の第2項と第3項は、「合成」「2倍角」より
　3*cos(2θ)+3sqrt(3)*sin(2θ)=6*cos(2θ-pi/3)=6*cos(2u)
　=6*(2(cosu)^2-1)=3x^2-6
と書ける。また第4項と第5項は -6x と書ける。よって
　y=4(x^2/2-3x/2)+(3x^2-6)-6x = 2x^3+3x^2-12x-6 (=f(x)とおく)。

(5) f'(x)=6x^2+6x-12=6(x+2)(x-1)。いま1≦x≦2で、この範囲でf(x)は増加関数。
よって、
　max は x=2(θ=pi/6)のときで　-2。
　min は x=1(θ=pi/2)のときで　-13。

No.89958 - 2025/02/16(Sun) 14:34:19

★ 式変形後の誘導の使い方が分かりません / Shinnosuke

引用

高校3年です。

この問題の(2)について教えて頂きたいです。
自分なりに式変形をして、誘導に沿った置換を見つけたものの詰まってしまいました。

この式変形と置換でも、(1)の誘導を使って解く方法はあるでしょうか？また、この状態から誘導を使わずに解いたりは可能でしょうか？

No.89941 - 2025/02/10(Mon) 22:44:57

☆ Re: 式変形後の誘導の使い方が分かりません / Shinnosuke

引用

私の式変形はこれです。

No.89942 - 2025/02/10(Mon) 22:45:33

☆ Re: 式変形後の誘導の使い方が分かりません / Shinnosuke

引用

ちなみに本の解説はこんな感じでした。

No.89943 - 2025/02/10(Mon) 22:51:04

☆ Re: 式変形後の誘導の使い方が分かりません / ast

引用

何が疑問かよくわかりませんが, 質問者さんの計算を信用するとして,
f(x)=(xe^x+e^x)/2 に対する (1) の結果(※) とは, 端的に言えば「
　∫(xe^x+2e^x)sin(x)dx = -(xe^x+e^x)cos(x)/2 + (xe^x+2e^x)sin(x)/2 + C (C は積分定数)
のように計算できるということ」であることは分かりますか?
# (※) (1) の結果の式と言っても, 必要なのは定積分ではなくて不定積分 (定数項が任意定数) の形ですが,
# それは (模範解答も同じことだと思うので) 詰まる要素では無いように感じます.
## つまり, 模範解答は f(x)=(xe^x-e^x)/2 に対する (1) の結果として
##　∫xe^xsin(x)dx = -(xe^x-e^x)cos(x)/2 + xe^xsin(x)/2 + C
## と計算しているわけですから,「同じ」ようにするのは問題にならないはずです.
そしたら提示された答案はもう結論さえ書けば終わりの段階にみえるので, 「詰まった」と言われてもなんだかよく分からない (考えるべきところは (1) がもう既に全部やってくれている) というのが所感です.

あるいは誘導無視でやるなら, 質問者さんのしたように部分積分を二度用いると, 求める積分と同じ形の項が出るのでそれをまとめることにより
　2 ∫ x e^x sin(x) dx = -x e^x cos(x) + (x e^x + e^x) sin(x) - ∫ 2 e^x sin(x) dx
を得て, 右辺の残った積分も同様にして
　2 ∫ e^x sin(x) dx = e^x sin(x) - e^x cos(x)
と計算できるからこれも代入して, あとは整理するだけ, でいいのでは.
# 問題でやっているように, 積分変数 t で区間 [0,x] 上定積分->不定積分という手順を経るべきだろうが,
# それは積分定数に関する議論を回避する程度のことに思えるので, ここでは不定積分で通した.

No.89944 - 2025/02/11(Tue) 01:18:46

☆ Re: 式変形後の誘導の使い方が分かりません / Shinnosuke

引用

この問題を解いていた時の私は
F’(x)=f(x)となるF(x)を考えて、F(x)-F(0)のF(0)をどう出せばいいのかを考えていました。
(つまり、定数項をCとしてしまっていいのを忘れていました)

アホな質問をしてしまい本当にすみませんでした。

No.89947 - 2025/02/11(Tue) 22:15:24

☆ Re: 式変形後の誘導の使い方が分かりません / ast

引用

# 解決済みだと思うので続ける必要も無いとは思うが……

> F’(x)=f(x)となるF(x)を考えて、F(x)-F(0)のF(0)をどう出せばいいのか
本問で f(x) の原始函数 F(x) を考える場面はないはずだけど, (f(x)+f''(x))sin(x) の原始函数かな? そうだとしたら, (1) で得られた函数は (定積分の区間に関する性質: ∫_[a,a] =0 (∀a) から) G(0)=0 を満たすような (f(x)+f''(x))sin(x) の原始函数 G(x) ですね.
# ここでの G は, f(x) の原始函数ではないという気分を出すために F 以外の文字を使っただけの
# ローカルな記号で深い意味はない (混同とかしないなら F でよい).

----
ついでなので
[検算用の別解]:
実変数複素数値函数の積分
　∫ xe^xcos(x)dx + i∫ xe^xsin(x)dx =: ∫ xe^x(cos(x)+isin(x))dx = ∫xe^(x+ix)dx
　= xe^(x+ix)/(1+i) - ∫e^(x+ix)dx/(1+i) = (1-i)xe^(x+ix)/2 - e^(x+ix)((1-i)/2)^2
　= (1-i)xe^x(cos(x)+isin(x))/2 + e^x(cos(x)+isin(x))i/2
　= (xe^x(sin(x)+cos(x))/2-e^xsin(x)/2)+ i(xe^x(sin(x)-cos(x))/2+e^xcos(x)/2)
の虚部を比較 (実部の比較で cos 版の等式も得られる).
# もちろん注意すべきこととして, 複素数値函数の積分が矛盾なく定義できること
# (いまの場合さしあたって複素函数=複素変数複素数値函数に対する一般論までは必要ない),
# 複素数値函数に対する部分積分, 複素数 α に対して (e^(αx))'=αe^(αx) および ∫e^(αx)dx=(1/α)e^(αx)
# など正当化すべきことがいくつもあるし, そもそも高校範囲でもないので, あくまで検算用として.
## とはいうものの変に技巧に凝るよりは素直な計算で求まるこちらのほうが私は好み.

No.89951 - 2025/02/12(Wed) 19:05:16

★ 階乗 / re

引用

高校入試で出ました　(階乗?)

1×2×3×...×2025のようにしてできた数を
5^nで割り切ることのできるとき
nにあてはまる最大の整数は何か?

中学ではまだ階乗は学んでいないのでもしかしたら別の考え方
があるかもしれませんが合っているか確認お願いします。

(中学生の書いたものなので細かいところは気にしないでください)

1～2025のうち5,25,125,625の倍数は

2025÷5 = 405個
2025÷25 = 81個
2025÷125 = 16.2→16個
2025÷625 = 3.24→3個

被っている(5の倍数であり25の倍数でもある　例:25,50)
数を消していく

16-3 = 13
81-16 = 65
405-81 = 324

よって
5^4の倍数3個と、5^3の倍数13個と、5^2の倍数65個と、
5^1の倍数324個があることが分かり、

これらの積が5^nと等しくなる。

4×3 + 3×13 + 2×65 + 324 ＝12+39+130+324
　　　　　　　　　　　　＝505

よってnに当てはまる最大の数は505

No.89930 - 2025/02/09(Sun) 16:07:57

☆ Re: 階乗 / X

引用

問題ないと思います。

No.89931 - 2025/02/09(Sun) 16:38:48

☆ Re: 階乗 / IT

引用

合っていると思います。
405+81+16+3＝505 の方が簡単ですね。
（どういう数え方かは後で）

例えば、1×2×3×...×10のようにしてできた数を
2^nで割り切ることのできるとき
nにあてはまる最大の整数は何か? だと

１,２,３,４,５,６,７,８,９,10
－,○,－,○,－,○,－,○,－,○, 5
－,－,－,○,－,－,－,○,－,－, 2
－,－,－,－,－,－,－,○,－,－, 1

5+2+1= 8

もちろん、reさんの考え方も有効で大切な考え方だと思います。

No.89932 - 2025/02/09(Sun) 16:41:12

☆ Re: 階乗 / re

引用

ありがとうございます!

確かにその考え方を使えば早く解けますね
とてもわかりやすいです!

No.89933 - 2025/02/09(Sun) 23:18:02

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