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ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年(質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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ベクトル / Nao
こちらの問題、解答解説がなく、どうしても自力で解けません。
途中式含めた解答をお教えいただきたく、宜しくお願いいたします。

No.82637 - 2022/07/03(Sun) 22:13:20

Re: ベクトル / ヨッシー

図のように、座標平面上にOA=(1,0)、OB=(0,1) とすると、
Pの座標は(s, t)で表せます。あとは、
 s+2t≦2, s-2t≦2, t≦2
の領域が、Pの存在範囲となり、その面積は△OABの16倍となります。

No.82642 - 2022/07/04(Mon) 12:24:48

Re: ベクトル / Nao
ヨッシーさま

理解できました。
ありがとうございます!!

No.82647 - 2022/07/04(Mon) 23:54:18
高校3年 複素数の極形式 / めいぷる
z = 5・√(1 + i)を極形式で示したいのですが、行き詰まってます。できれば途中式を含めた解答をお願いしたいです。一応補足でiは虚数単位です。
No.82633 - 2022/07/03(Sun) 09:11:32

Re: 高校3年 複素数の極形式 / ヨッシー
r・e=√(1+i)
とすると、2乗して
 r2・e2iθ=1+i=√2eiπ/4
または
 r2・e2iθ=1+i=√2e9πi/4
よって、
 r=21/4、θ=π/8 または 9π/8

あとは、rに5を掛ければ、zになります。 
 

No.82635 - 2022/07/03(Sun) 18:07:37

Re: 高校3年 複素数の極形式 / めいぷる
ヨッシーさん、ありがとうございます!

理解することができました!

No.82641 - 2022/07/04(Mon) 08:26:13
a^4=b^5+4 / 大西
a^4=b^5+4を満たす3以上の素数(a,b)の組を求めよという問題なのですが、
解が存在しなさそうな気がします。
解が存在しないならばそれを示したいのですが、うまくいかないです。
解き方を教えてください。

No.82627 - 2022/07/03(Sun) 00:04:58

Re: a^4=b^5+4 / IT
a^4=b^5+4
∴(a^2+2)(a^2-2)=b^5
はしょって、a^2+2=b^3,a^2-2=b^2 or a^2+2=b^4,a^2-2=b
はしょって、a^2+2=b^3,a^2-2=b^2
∴b^3-b^2=4
∴b=2 不適

No.82628 - 2022/07/03(Sun) 01:12:02

Re: a^4=b^5+4 / 大西
ありがとうございます。
理解できました。

No.82632 - 2022/07/03(Sun) 08:38:35
ベクトル / Nao
添付の2問がわかりません。
解答解説がなく、正答がわからず、どなたか途中式含め正答をお教えいただけないでしょうか。

No.82626 - 2022/07/02(Sat) 23:28:11

Re: ベクトル / IT
(4)の大まかな流れ(x,y,z>0 などの条件は記述を略してます)
2/x+1/y+1/z=1 よりx=2yz/(yz-(y+z))
∴w=2yz/(yz-(y+z))+y+z

yzが一定のときy+zが最小となるのはy=zのときなので
wが最小となるのはy=zのときで
w=2y^2/(y^2-2y)+2y=4/(y-2)+2(y-2)+6
これが最小となるのはy-2=√2のとき(∵相加相乗平均の関係)
すなわちy=2+√2のとき・・・

これもベクトルの応用問題で下のXさんの解法が良いですね。

No.82629 - 2022/07/03(Sun) 06:13:46

Re: ベクトル / X
(4)の別解
条件から
↑a=(√x,√y,√z)
↑b=(√(2/x),1/√y,1/√z)
なる↑a、↑bを置くことができます。
このとき
(|↑a||↑b|)^2≧(↑a・↑b)^2
(不等号の下の等号は↑a//↑bのとき成立 (P))
∴(x+y+z)(2/x+1/y+1/z)≧(√2+2)^2 (A)
(A)に
2/x+1/y+1/z=1 (B)
を代入すると
x+y+z≧6+4√2
∴x+y+zの最小値は6+4√2
このとき(P)より
↑a=k↑b (kは0でない定数)
と置くことができるので
√(2/x)=k√x (C)
1/√y=k√y (D)
1√z=k√z (E)
(B)(C)(D)(E)を連立して解き
(x,y,z)=(2+2√2,2+√2,2+√2)

No.82630 - 2022/07/03(Sun) 07:22:52

Re: ベクトル / Nao
ITさま、Xさま

ありがとうございます!
ご丁寧な解説のお陰で(4)は理解できました。

(3)は相変わらず自力では解くことができません。。
同様に解法、正答をお教えいただけると助かります。

どうぞ宜しくお願いいたします。

No.82634 - 2022/07/03(Sun) 14:30:54
2次関数 / みりん
2次関数の面積比の問題が分かりません。
ご教授お願いいたします。

No.82625 - 2022/07/02(Sat) 23:02:09

Re: 2次関数 / みりん
こちら解決しました。
No.82636 - 2022/07/03(Sun) 21:41:56
面積分における領域の範囲 / 大学数学
平面 2x+2y+z=2 が座標軸と交わる点A,B,Cを頂点とする三角形の領域をSとする.
この条件から,x,y,zの範囲を出さないといけないと思うのですが,どうすればいいですか?

No.82623 - 2022/07/02(Sat) 18:26:38

Re: 面積分における領域の範囲 / 大学数学
すいません.分かりました.x軸との交点を出すにはy,z=0を代入すればいいんですよね.
No.82624 - 2022/07/02(Sat) 18:29:14
二項定理/多項定理 / Kevin
(x^4+x^3+x^2+x+1)^nにおけるx^4の係数を求めよという問題の解法が分かりません。ご教授願います。
No.82620 - 2022/07/01(Fri) 22:25:18

Re: 二項定理/多項定理 / IT
x^4になるのは
x^4*1*...*1
x^3*x*1*..*1
・・・
・・・
x*x*x*x*1*...*1

です。それぞれ何通りあるか数えると良いと思います。

No.82621 - 2022/07/01(Fri) 22:50:57

Re: 二項定理/多項定理 / ast
w:=x^4, z:=x^3, y:=x^2, x:=x^1, 1:=x^0 のとき, (w+z+y+x+1)^n の展開の一般項 w^p*z^q*y^r*x^s*1^t = x^(4p+3q+2r+1s+0t) の係数は定理から分かっているのだから, 4p+3q+2r+1s+0t=4 を満たすすべての (p,q,r,s,t) に対して同類項をまとめるだけ.

(高校数学の範囲で二項定理に対して同様の問題は定理のすぐ後ぐらいのタイミングでやることになると思われるので) 多項定理を認識しておいて本問の解法がわからないということはすごく考えにくく, そもそも多項定理を (というか二項定理すらも) 理解してないのではとの疑いが濃い.
# 定理を理解してない段階で解く問題でもないと思う.

No.82622 - 2022/07/01(Fri) 22:53:16
数I 二次関数最大•最小 / ふつく
解き方がわかりません。解説お願いします
答えはa=3−√3/12、3−√3/3です

No.82613 - 2022/07/01(Fri) 16:51:11

Re: 数I 二次関数最大•最小 / ふつく
(2)の解説をお願いします
No.82614 - 2022/07/01(Fri) 16:52:26

Re: 数I 二次関数最大•最小 / X
(1)はできていますか?
(2)は(1)の結果を使います。

(1)においてaの値で場合分けをして
M,mをaの式で表していますよね?
それを使って各場合分けについて
M-m=3
からaの方程式を導き出して解き、
その結果が各場合分けにおける
aの値の条件を満たすかを
調べます。

No.82615 - 2022/07/01(Fri) 17:02:39

Re: 数I 二次関数最大•最小 / ふつく
M -mのaの場合分けの範囲が知りたいです
(a≦1/2とする 条件載せ忘れましたm(_ _)m)

No.82616 - 2022/07/01(Fri) 17:26:03

Re: 数I 二次関数最大•最小 / ヨッシー
(1) をMはMだけ、mはmだけで求めると
(2) で困るでしょうね。
0<a<1/3, 1/3≦a<1/2, 1/2≦a≦1, 1<a
において、Mとmをaで表してみましょう。

なお、Mの中の a=1/2 の場合は 1/2≦a≦1 に含めました。

No.82618 - 2022/07/01(Fri) 18:21:39

Re: 数I 二次関数最大•最小 / ふつく
丁寧な解説ありがとうございます
No.82619 - 2022/07/01(Fri) 18:40:34
∫tan^3xdx / abc
tan^3xの不定積分の計算で、
添付写真の計算のどこが間違っていますか?

No.82605 - 2022/06/30(Thu) 18:48:20

Re: ∫tan^3xdx / X
どこも問題ないと思います。
参考として以下のURLをどうぞ。
https://ja.wolframalpha.com/input?i=%E2%88%AB%5B%28tanx%29%5E3%2Cx%5D

No.82608 - 2022/06/30(Thu) 19:51:31

Re: ∫tan^3xdx / 大西
合っています。
1+(tanx)^2=1/(cosx)^2の関係式があるので解答にいろんな表現がありますが、すべて同じですね。
log|cosx|+(tanx)^2/2+CなんかでもOKです。

No.82609 - 2022/06/30(Thu) 19:54:21

Re: ∫tan^3xdx / abc
解答有難うございます。
1+(tanx)^2=1/(cosx)^2の関係式のことをすっかり見落としていました。そのため他で解答を見たときに自分の計算と表現が違っていたので混乱してしまいました。

No.82611 - 2022/06/30(Thu) 20:22:52

Re: ∫tan^3xdx / IT
微分して検算すると良いかも知れません。
No.82612 - 2022/06/30(Thu) 20:38:34
微分方程式 / 名無し
微分方程式を解いて欲しいです。
No.82600 - 2022/06/30(Thu) 13:48:30

Re: 微分方程式 / ast
付随する等質形 (homogeneous) 方程式 dy/dx-y/x=0 は簡単に解けるはずだから解いて, その解に対する定数変化法を適用すれば所期の方程式自体も解ける.
# ヒントの積分は, 上記の定数変化法において定数を函数化した係数函数の満たす方程式を解くのに
# 利用できるので, おそらくそういうことなのだろう.

> 解いて欲しい
もしこれが代行依頼なのであれば質問掲示板の管轄外の事項ということになるので, マッチングサイトなどを通じて代行請負業者にでも対価を払って依頼なさるのが適切かと.

No.82601 - 2022/06/30(Thu) 15:35:18
定積分の極限 / ぐっち
つぎの問題の最後の問がどうしてもわかりません。
ご教授ください。テイラー展開がわかるくらいの知識は持っています。
(2)は1
(3)はa=1/3,b=-13/90
だと思うのですが、間違っていたら訂正お願いします。

No.82595 - 2022/06/29(Wed) 02:44:38

Re: 定積分の極限 / ast
(2) は極限と積分を交換してよいならば明らかに = ∫_[0,1] dx = 1 ですが, 交換してよいかは検証していないので本当に良いのかは知らない.
(3) はなんか違う気はするけど, 結果だけ書かれても確認する気はしないので a,b のまま話を進めることにして (4) は, 積分区間内の任意の x について n が十分大きければ x^n がいずれも 0 に近いので, 被積分函数は (3) の近似をそのまま積分区間全体で適用して
  ∫_(0,1] (-log(sin(x^n)/x^n)^(1/n)dx = ∫_(0,1] (ax^(2n)+bx^(4n)+O(x^(6n)))^(1/n)dx
  = ∫_(0,1] (ax^(2n))^(1/n) * (1+(b/a)x^(2n)+O(x^(4n)))^(1/n) dx
  = a^(1/n)∫_(0,1] x^2(1+(b/a)x^(2n)/n +(1/n)O(x^(4n))) dx
  = a^(1/n)∫_(0,1] x^2+(b/an)x^(2n+2)+(1/n)O(x^(4n)) dx
  = a^(1/n) [1^3/3+(b/an)1^(2n+3)/(2n+3) +O(n)]
  → 1 * [1/3+0 + 0] = 1/3
みたいな話になるのかな?
# n を十分大きくとる時点で極限を先にやってる感じがあるが, 有限な値で止めているつもりなので
# いいはず (たぶん).
## 二項展開 (1+x)^α = 1+αx+… で x のところを x^n で置き換える, あるいは x+O(x^2) で置き換える
## といったようなことをやっているあたりの誤差項のオーダーがあれでいいのかどうかは
## よくわかってないまま書いてるので厳密性は全然足りてないと思う.

No.82597 - 2022/06/30(Thu) 02:09:42

Re: 定積分の極限 / ぐっち
(2)は上に上界で単調関数なので収束が言えることから積分と極限を入れ替えてもよい、として答えを出しました。
(3)はlog(1+Z)=Z-(1/2)Z^2[マクロ―リン展開]のZ=sinx/xとして,さらにsinxの部分に
sinx=x-(1/3)x^3+…を入れて計算しました。
(4)なんですが、astさんの指摘で、わかった気がします。
x^nの0<x<1(問題文にx≠1とあるので)なのでn➝∞の極限でx^n➝0なので近似が使えて、
∫_(0,1] (-log(sin(x^n)/x^n)^(1/n)dx
=∫_(0,1) (ax^(2n)+bx^(4n)+O(x^(6n)))^(1/n)dx
=∫_(0,1)ax^(2n/n)(1+(b/a)x^(2n)+O(x^(4n)))^(1/n)
で(b/a)x^(2n)+O(x^(4n))=Aと見たら確かに一般二項定理が使えるので解けそうです。ご指摘ありがとうございます。

No.82602 - 2022/06/30(Thu) 18:08:36

Re: 定積分の極限 / ぐっち
(2)は上に上界で単調関数なので収束が言えることから積分と極限を入れ替えてもよい、として答えを出しました。
➝うそでした。自分が解いたの確認しました。
∫_(0,∞)[sin(x^n)/x^n]dx
=∫_(0,1)[sin(x^n)/x^n]dx+∫_[1,∞)[sin(s^x)/x^n]dx
     ?@           ?A
?@で,x^n➝0よりsin(x^n)/x^n➝1に収束するので(※)積分と極限の順序を入れ替え可能で
lim?@=∫_(0,1)lim[sin(x^n)/x^n]dx=∫_(0,1)・1dx=1

?A≦∫_[1,∞)[1/x^n]dx
=[x^(-n+1)/(-n+1)](1,∞)
=(1/∞)^(n-1)-1/(-n+1)→0

ゆえ、求める値は 1+0=1
としました。

※は以下の事実を参考にしました。

No.82603 - 2022/06/30(Thu) 18:43:51

Re: 定積分の極限 / ぐっち
自分で書いていてなんなのですが、x^nの0<x<1(問題文にx≠1とあるので)なのでn➝∞の極限でx^n➝0なので近似が使えて、というところは(1)だけだと思うので当てはまらないですよね。
x:[1-イプシロン,1]のときのlog(x^n/sin(x^n))^(1/n)=[log(1/sin1)]^(1/n)→1で,
∫_(1-イプシロン,1]log(x^n/sin(x^n))^(1/n)dx→イプシロン
なので,x:[1-イプシロン,1]のときの積分値は無視できる、ということでいいのではないかと今は考えています。

No.82607 - 2022/06/30(Thu) 19:08:15

Re: 定積分の極限 / ast
ああ, 積分の上端 1 の方は気にしていませんでした, すみません.
# どのみち 1 点での値は (積分が有限値なら) 積分値に寄与しないのでいいはず.(ホントか…?)

(3) がおかしいというのは問題文で a,b ともに正にとれることを言えと書かれてるのにぐっちさんの b がマイナスだったからです.
> (3)はlog(1+Z)=Z-(1/2)Z^2[マクロ―リン展開]のZ=sinx/xとして,さらにsinxの部分に
> sinx=x-(1/3)x^3+…を入れて計算しました。

ということであれば, 方法論はそんな感じでいい (展開する次数もそのくらいで大丈夫かな, たぶん) とは思いますが, それにしたっても sin(x)/x=1+Z として log(1+Z) の展開に入れるので, Z=sin(x)/x では合わないと思います.
参考: -log(sin(x)/x) の展開 (WolframAlpha)

No.82610 - 2022/06/30(Thu) 20:12:12

Re: 定積分の極限 / ぐっち
>sin(x)/x=1+Z として log(1+Z) の展開に入れるので, >?>Z=sin(x)/x では合わないと思います.
ああ、うっかりしてました。やりかた自体はまずくないと思うので、それでやってみます。参考のページありがとうございます。とても助かりました。

No.82617 - 2022/07/01(Fri) 18:19:52
ランダムウォーク / 大西
nを自然数とします。
座標平面上に点Pがある。点Pは最初原点にあり、1秒後に1/4の確率でx軸方向の正の向きか負の向き、y軸方向の正の向きか負の向きのいずれかに1だけ進む。

(1)2n秒後に点Pが原点に戻って来る確率を求めよ。

(2)2n秒後に点Pがはじめて原点に戻って来る確率を求めよ。

(1)は(C[2n,n])^2/4^(2n)で合ってますでしょうか?
(2)の解き方を教えてください。

No.82593 - 2022/06/28(Tue) 22:17:35

Re: ランダムウォーク / ast
よくわからんが (1) の確率は組合せ論的には "(X+Y+1/X+1/Y)^(2n) の定数項"/4^(2n) で, 分子の "(X+Y+1/X+1/Y)^(2n) の定数項" は多項定理を用いると = Σ_[k=0,…,n] (2n)!/((k!)^2((n-k)!)^2) になると思いますが, これを閉じた形にするとどうなるか WolframAlpha に訊いたところ, 求める確率は二重階乗を用いて = (((2n-1)!!)^2/((2n)!!)^2) になるのかな?
# まあ結果を見るに何か直截的に出せる方法がありそうだけど.

(2) はまったくわからん.

No.82596 - 2022/06/29(Wed) 20:58:16

Re: ランダムウォーク / IT
(1)は、下記の51ページ「2次元ランダムウォーク」のところで計算してます。参考までに
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~ichiro/lectures/2013bpr.pdf

下記なども参考になるかも
https://www.gakushuin.ac.jp/~881791/modphys/14/RecurrenceTime201406.pdf

No.82598 - 2022/06/30(Thu) 07:19:45

Re: ランダムウォーク / らすかる
(1)の答えが(C[2n,n])^2/4^(2n)になるのは計算せずにわかります。
簡単のためy方向の±を「上」と「下」、x方向の±を「右」と「左」とします。
「上」「下」「左」「右」を合計2n個並べるわけですが、
「2n秒後に原点に戻ってくる」という条件を満たすためには
・「上」の個数と「下」の個数が同じ
・「左」の個数と「右」の個数が同じ
であればOKで、全部で2n個なので
(「上」の個数)+(「左」の個数)=(「上」の個数)+(「右」の個数)
=(「下」の個数)+(「左」の個数)=(「下」の個数)+(「右」の個数)
=n
です。そこでまず
・2n個からn個、「上」または「右」となるものを選びます(1回目)。
・2n個からn個、「上」または「左」となるものを選びます(2回目)。
1回目と2回目に
・両方とも選ばれれば「上」
・両方とも選ばれなければ「下」
・1回目だけ選ばれたら「右」
・2回目だけ選ばれたら「左」
となります。
1回目と2回目の選択が全部一致している場合はすべてが「上」と「下」、
1回目と2回目の選択が全部一致していない場合はすべてが「左」と「右」
のようになりますが、この選択方法でちょうど
上記の条件を満たす全パターンが発生します。
よって条件を満たす全パターンは(C[2n,n])^2通りとわかりますので、
1パターンの確率(1/4)^(2n)=1/4^(2n)を掛けて
(C[2n,n])^2/4^(2n)
となります。
(2)は難しいですね。

No.82599 - 2022/06/30(Thu) 10:10:24

Re: ランダムウォーク / IT
インターネットに公開されている大学のテキストに「ランダムウォーク」を扱ったものがありますが、
(2)の答えが書いてあるものは、見つかりません。

下記の16ページ以降に関連の考察があります。(漸化式もあるようです)
https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/11/tokuronA3-ho.pdf

No.82604 - 2022/06/30(Thu) 18:44:52

Re: ランダムウォーク / 大西
みなさんご回答とご返信ありがとうございます。
(1)はそんなに難しくなかったのですが、らすかるさんのように
計算無しでやる方法は思いつきませんでした。

Σ(1/4)^2n*(2n)!/(k!k!(n-k)!(n-k)!)(k=0..n)で
=(1/4)^2n*(2n)!/(n!n!)*Σ(n!n!)/(k!k!(n-k)!(n-k)!)(k=0..n)
ΣC[n,k]^2=C[2n,n]
なので(C[2n,n])^2/4^(2n)になりました。

(2)は難しいのですね。掲載していただいたURLのページを見て勉強しようと思います。

No.82606 - 2022/06/30(Thu) 19:07:36
連続 / えび
これが、(0,0)で連続でないことの証明が分かりにくかったので、解説をお願いしたいです。
No.82571 - 2022/06/27(Mon) 16:26:21

Re: 連続 / IT
>これが、(0,0)で連続でないことの証明が分かりにくかった
どんな証明ですか?

No.82572 - 2022/06/27(Mon) 18:00:56

Re: 連続 / えび
こういうものです。
No.82588 - 2022/06/27(Mon) 22:41:58

Re: 連続 / IT
お使いのテキストでは、2変数関数の1点での連続・不連続についてどのように定義していますか?
No.82589 - 2022/06/27(Mon) 23:02:18

Re: 連続 / えび
こう定義してあります。
No.82590 - 2022/06/28(Tue) 08:55:55

Re: 連続 / ヨッシー

こんなイメージですね。
(0,0) への近付かせ方により、行き先(極限)が異なるので、連続でないと言っています。

No.82591 - 2022/06/28(Tue) 11:50:49

Re: 連続 / らすかる
これ、2種類の方向から近づけるからややこしくなっているような。
lim[x→0]f(x,x)=0だがf(0,0)=1なので不連続
だけで十分な気がします。

No.82592 - 2022/06/28(Tue) 12:57:00

Re: 連続 / えび
理解できました。みなさん解説どうもありがとうございましたm(__)m
No.82594 - 2022/06/28(Tue) 23:06:59
条件の十分性について / ちくわ
写真の青文字の部分について回答していただけるとありがたいです。
No.82570 - 2022/06/27(Mon) 13:47:38

Re: 条件の十分性について / IT
念のためですが、右のページの最後の行の続きには、どう書いてありますか?
No.82575 - 2022/06/27(Mon) 18:55:56

Re: 条件の十分性について / ちくわ
次ページの内容です。この問題に関してはこれ以上のページはありません。
No.82577 - 2022/06/27(Mon) 19:06:26

Re: 条件の十分性について / IT
「ではありません。」とちゃんと書いてありますね。
No.82579 - 2022/06/27(Mon) 19:15:18

Re: 条件の十分性について / ちくわ
x>0,y>0よりもx≧1,y≧1の方が正確な範囲な気がするのですがx>0,y>0としてもよい理由を教えていただきたいです。
No.82580 - 2022/06/27(Mon) 19:21:49

Re: 条件の十分性について / IT
たしかに、釈然としない気がするのは同感です。

ほとんどその解答の繰り返しになりますが、
いったんLやx,y が整数であることは忘れて、
x=31L-10m >0 かつ y= -65L+21m >0 となるような、実数Lの範囲を求めると
(10/31)m < L < (21/65)m …(1)

m≧2016のとき(21/65)m-(10/31)m>1なので(1) の中には、整数Lが1つ以上ある。

そのような整数Lを取ると x=31L-10m,y=-65L+21m は、ともに正の整数(1以上の整数)になる。

ということですね。

最初からx,y が1以上の整数としてしまうとLの幅が狭くなってその範囲幅は1より大きくならないこともある。(だからといって整数値をとり得ないとは限らない)ということですね。

もっと分かり易い説明や解法があれば、どなたかお願いします。

ところで出典(著者)は何ですか?
 

No.82581 - 2022/06/27(Mon) 19:52:10

Re: 条件の十分性について / ちくわ
丁寧な回答ありがとうございます。出典は真解法への道(箕輪浩嗣)です。
No.82582 - 2022/06/27(Mon) 20:08:51

Re: 条件の十分性について / ちくわ
また追加の質問になり申し訳ないのですが、今回の問題のように条件を緩くしてみる(そうしても良い場合)と言ったことは解法の一つとして持っておくべきなのでしょうか?
No.82583 - 2022/06/27(Mon) 20:33:41

Re: 条件の十分性について / IT
質問への直接の回答ではないですが、この種の問題の場合下記の事実を使うのが良さそうです。

自然数a,bが互いに素であるとき、 整数m≧abについて 
m=ax+by を満たす0以上の整数x,yが存在する。
 (特に、m>abの場合は正整数x,yが存在する。)

(証明)
a,bが互いに素より、as+bt=m…(1) なる整数s,tが存在する。
tをaで割った余りをr(0≦r<a)とすると、t=aq+r。
(1)に代入,as+b(aq+r)=m
∴ a(s+bq)+br=m
ここで0≦br<ab≦m なのでs+bq>0

 x=s+bq,y=r とすればm=ax+by。

m>abの場合は、x>0、y>0が取れることはご自分で確認してください。

本問の場合、65×31=2015、(65,31)=1なので上記が使えます。

No.82585 - 2022/06/27(Mon) 21:58:46

Re: 条件の十分性について / IT
「条件を緩くしてみる」ということか分かりませんが
整数問題の場合の不等式については、そういう場合もあるかも知れません。

No.82586 - 2022/06/27(Mon) 22:05:24

Re: 条件の十分性について / ちくわ
とても丁寧に回答していただきありがとうございました。とてもよく理解することができました。
No.82587 - 2022/06/27(Mon) 22:11:21
Cが入った和 / U
Σ[k=0~n]nCk/(k+1) を(1+x)^m=Σ[k=0~m]mCk•x^kを利用して解く方法で積分する時の積分定数をどう処理するのかわかりません。
No.82562 - 2022/06/26(Sun) 21:38:20

Re: Cが入った和 / IT
x=0のときどうなるかで決めればいいのでは?
(定数項の値ですね)

具体的なnで考えてみると分かり易いかも。

(1/4)(1+x)^4とC(3,0)x+C(3,1)x^2/2+C(3,2)x^3/3+C(3,3)x^4/4
を比較すると、定数項分 1/4 差があります。

No.82564 - 2022/06/26(Sun) 22:21:13

Re: Cが入った和 / ast
ITさんがおっしゃるのと本質的には同じことだけど, その「積分する」は "区間 [0,x] で定積分する" の意味なのでは.
No.82565 - 2022/06/26(Sun) 22:45:19
(No Subject) / W
この問題をおねがいしたいです。よろしくお願い致します。
No.82560 - 2022/06/26(Sun) 20:16:31

Re: / W
大学数学の代数学です。よろしくお願い致します。
No.82561 - 2022/06/26(Sun) 20:17:05

Re: / IT
(1)2次正方行列Aの逆行列の求め方(公式)は、線型代数の教科書などに載っているのではないですか?
本問の場合、ad-bc=1 なので簡単な形になると思います。

No.82563 - 2022/06/26(Sun) 21:39:53
(No Subject) / ボン
すいません、前に投稿したときに文字化けをしてしまいました。
再度投稿いたします。

図の球体は半径rです。
点Aは球体の表面とxz平面上が交わる所、点Cは表面とz軸の交点、点Bは球体の表面の一点です。

このとき、
cos∠AOB=sinα・sinβ・cosγ+cosα・cosβ
が成り立つことは証明できましたが、
α、β、γをそれぞれに対応する円弧とrの比で表したとき、r→∞の極限で、平面上の三角形ABCの余弦定理になることの証明ができません。
どのように考えればよろしいのでしょうか?

No.82559 - 2022/06/26(Sun) 20:12:17
大学数学の代数学の問題 / 天音
助けてください。お願い致します。

問題T :={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}⊂Zを法10に関する完全代表系として固定する。数字「0」を x ∈ Z とする。任意の 0 ≤ i ≤ 9 に対して、法 10 に関して x + i と合同な T の元を ai とする.また,ai の法 10 に関す る剰余類を ai ∈ Z/10Zとおく.(Z/10Z)^× を Z/10Z の既約剰余類群とする.
(1) 各0 ≤ i ≤ 9に対して,ai を求めよ.
(2) 加法群 Z/10Z において,ai の位数が 1 となる i をすべて求めよ.
(3) 加法群 Z/10Z において,ai の位数が 5 となる i をすべて求めよ.
(4) ai ∈ (Z/10Z)^×となる i をすべて求めよ.
(5) 乗法群 (Z/10Z)^× において,ai の位数が 1 となる i をすべて求めよ.
(6) ai が乗法群 (Z/10Z)^× の生成元となるような i をすべて求めよ.
(答のみでよい.)

No.82558 - 2022/06/26(Sun) 19:38:08
数3、積分漸化式 / あき
In=∫(0→1)(1-x²)^n dxとおく。(n=1,2,3…)
InとIn-1の関係を求め、Inを求めよ。

No.82546 - 2022/06/25(Sat) 23:42:10

Re: 数3、積分漸化式 / X
n≧2のとき、部分積分により
I[n]=[x(1-x^2)^n][0→1]+2n∫[0→1]{(x^2)(1-x^2)^(n-1)}dx
=2n∫[0→1]{{1-(1-x^2)}(1-x^2)^(n-1)}dx
=2n{I[n]-I[n-1]}
∴I[n]={2n/(2n-1)}I[n-1]
となるので
I[n]={{(2n)^2}/{(2n)(2n-1)}}I[n-1]
∴I[n]={2{{2^(n-1)}n!}^2}/(2n)!}I[1] (A)
ここで
I[1]=∫[0→1](1-x^2)dx
=1-1/3=2/3
これを(A)に代入して
I[n]=(1/3){{(2^n)n!}^2}/(2n)!
上記はn=1のときも成立。よって
I[n]=(1/3){{(2^n)n!}^2}/(2n)!

No.82553 - 2022/06/26(Sun) 10:35:36

Re: 数3、積分漸化式 / あき
I[n]={{(2n)^2}/{(2n)(2n-1)}}I[n-1]
∴I[n]={2{{2^(n-1)}n!}^2}/(2n)!}I[1]
この式変換がわかりません…

No.82556 - 2022/06/26(Sun) 13:17:02

Re: 数3、積分漸化式 / ast
(少し話の前後を入れ替えて) その一つ前の式から先に漸化式を解いて
 I[n]=((2n)(2n-2)×…×6×4)/((2n-1)(2n-3)×…×5×3)I[1]
となることはわかりますよね? (もしわからない場合はそもそも数列の漸化式の基本的な扱いから学び直す必要があると思います)
# 個人的にはこのような形 (ただしI[1]はちゃんと計算する) で最終解答としてあってもよいと思います.

この右辺の分母・分子それぞれのような, 階乗に似た 1 つとばしで連続する自然数の積 (→二重階乗) は少し考えれば単純な発想 (それがXさんが漸化式を解く直前にやった変形にあたる) でそれぞれ階乗を用いて表せることが分かりますので, 最終的に階乗で表す必要があるのならここで書きかえるので遅くはないと思います.
# なお,「二重階乗を階乗で表す」などのキーワードでWeb検索すればわかりやすい解説がゴマンと見つかるはずです.

No.82557 - 2022/06/26(Sun) 18:35:30
不等式 / よし
この問題の解き方を教えてください。

閉区間[0,1]において1/(1+x)≦1-x/2≦1/(1+x²)であることを示し、4log2<3<πであることを示せ。

No.82543 - 2022/06/25(Sat) 23:37:18

Re: 不等式 / よし
数3の問題です
No.82545 - 2022/06/25(Sat) 23:40:40

Re: 不等式 / IT
微分などを使って 1つ目の不等式を示し、
1つ目の不等式の各辺の関数の[0,1]においての定積分を計算して
2つめの不等式を示す。(2つめの不等式には等号がないことに注意)

No.82550 - 2022/06/26(Sun) 06:58:31

Re: 不等式 / IT
1つめの不等式は、それぞれの差を計算(通分等)すれば微分を使わなくても評価できますね。

[0,1]の1/(1+x²)の定積分の計算は数3の教科書などにも出てくると思います。

No.82552 - 2022/06/26(Sun) 10:07:24

Re: 不等式 / よし
すみません。2つめの不等式には等号がありませんがどのように証明すれば良いのですか?
No.82554 - 2022/06/26(Sun) 13:07:18

Re: 不等式 / IT
1つめの各不等式で等号が成り立たない点があることと、
各関数が連続であることから
2つめの各不等式で等号が不要であることが言えます。

このことは、高校数学では、
「定積分と不等式」というような表題のところに(厳密な証明なしに)説明があると思いますので、確認してください。

No.82555 - 2022/06/26(Sun) 13:16:11
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