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ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

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旧数学掲示板のログ

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質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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★ 高校数学２・B　数列 / ゼン
この問題の解説をお願いします。
No.87163 - 2024/01/08(Mon) 02:06:26
☆ Re: 高校数学２・B　数列 / IT
ア、イも分かりませんか？
分からないようなら、教科書で「等差数列」「等比数列」を復習されることをお勧めします。
No.87164 - 2024/01/08(Mon) 07:21:14
★ 高校数学1・A / うい
下の問題の解説をおねがいします。
No.87159 - 2024/01/05(Fri) 22:51:19
☆ Re: 高校数学1・A / X
方針を。

(*)を平方完成すると
y=2{x-(a+1)}^2-2(a+1)^2+10a+1
y=2{x-(a+1)}^2-2a^2+6a-1
∴頂点の座標は
(a+1,-2a^2+6a-1)

よって
(1)Gがx軸に接するとき
-2a^2+6a-1=0
これを解くと…

(2)
前半)
-1≦x≦3とGの対称軸の位置関係で場合分けします。
従って場合分けは
(i)-1≦a+1≦3、つまり-2≦a≦2のとき
(ii)a+1＜-1、つまりa＜-2のとき
(iii)3≦a+1、つまり2≦aのとき
(i)(ii)(iii)それぞれのときのGの概形を描くと
(i)のとき
m=(x=a+1のときの(*))=…
(ii)のとき
m=(x=-2のときの(*))=…
(iii)のとき
m=(x=2のときの(*))=…

後半)
前半の結果を使って、(i)(ii)(iii)それぞれで
m=7/9のときのaの方程式を立てて解き
その結果が(i)(ii)(iii)それぞれのaの値の範囲に
含まれるかをチェックします。
No.87160 - 2024/01/06(Sat) 08:39:57
☆ Re: 高校数学1・A / 位相空間を中和
>Xさん
横から失礼します。
グラフの頂点ですが、(a+1,-2a^2+6a-1)だと思います。
No.87161 - 2024/01/06(Sat) 13:57:14
☆ Re: 高校数学1・A / X
＞＞位相空間を中和さんへ
ご指摘ありがとうございます。

＞＞ういさんへ
ごめんなさい。位相空間を中和さんの仰る通りです。
No.87160を修正しましたので再度ご覧下さい。
No.87162 - 2024/01/06(Sat) 18:03:42
☆ Re: 高校数学1・A / うい
Xさん、位相空間を中和さん、ありがとうございました。
本当に助かりました
No.87183 - 2024/01/11(Thu) 21:06:15
★ 数3 積分 / 山田山
点線より下で何をしているのか分かりません。解説お願いします。
No.87145 - 2024/01/03(Wed) 22:49:37
☆ Re: 数3 積分 / 山田山
問題はこちらです
No.87146 - 2024/01/03(Wed) 22:50:18
☆ Re: 数3 積分 / ast
「面積を求めるべき領域は左ページの右下の図の通りなので,
　[i] y=y_2(x), y=-a, x=πa/2 で囲まれた領域
　[ii] y=-a, y=y_3(x), x=a で囲まれた領域
の合併で全領域を覆うことができて, 覆いすぎている
　[iii] y=y_1(x), x=-a, x=πa/2 で囲まれた領域
　[0] 円 (糸巻) 全体
を除けばいい」という至極泥臭いが当然の内容を, 各領域の面積をこれまた愚直に積分の式として書いてあるだけだと思います.
# もし「求めるべき領域 (とくに P が描く「円の伸開線」) を何もない状態からイメージを描け」
# というのであるならば初学者には酷な話となりもするだろうけれど, いまはそうではなくて,
# 式も図も揃った状態で面積を求めようというのだから, 積分と面積の関係というすごく基本的な話です.
No.87148 - 2024/01/04(Thu) 03:12:50
☆ Re: 数3 積分 / 山田山
回答ありがとうございます。
私の疑問としてはy=f_2(x)とy=aで区間積分した場合、y=aより下の積分区間が出るのかと言う事です。数学2まではy=f_2(x)とy=aの上の区間、y=f_2(x)とy=aとy=-aの間の区間と積分してきました。なぜ、この解答のように積分できるのか教えていただけると幸いです。
No.87155 - 2024/01/04(Thu) 21:20:52
☆ Re: 数3 積分 / ast
あなたの使う記号や用語が滅茶苦茶なので何言ってるのか全く分からない (例えば「区間」は一次元 (直線上) で考えるものなので下の区間とか上の区間とかどこを指したいのか分からない, 積分区間ということなら x に関する言及のはずなのに y についてしかあなたは述べていない. またf_2(x) は何 (とくに "_2" は何の 2) を表してる? ) のでもっときちんと内容を推敲してから書いてください.

もし
> y=f_2(x)とy=aで区間積分した場合、y=aより下の積分区間が出るのか
が "y=y_2(x) と y=-a で挟まれた領域" (の "y=y_2(x) と y=-a の交点の x-座標 x=-3πa/2" から x=πa/2 までの区間での積分): つまり No.87148[i] の領域 (の面積), の誤りという話ならば, [i] は y=-a の上側 (かつ y=y_2(x) の下側) の領域の話なのだから, y=-a より下側の領域の面積なんて出るわけがない.
図の y=-a よりも下側の領域の話は [ii] で, とくに y=y_2(x) はその領域には関わりが無いので疑問に思う理由が分からない.
# 関わりが無いといえば, y=-a と異なり直線 y=a はいずれの領域にもかかわりない.

> 数学2まではy=f_2(x)とy=aの上の区間、y=f_2(x)とy=aとy=-aの間の区間と積分してきました。
これも全く意味が分からない (とくに後者は概念として何がしたいのか分からないので, 実際に既習の内容を正しく表してないと思う) ので, この文の解釈を放棄することにするが, 一般論として数学2まででも (f(x),g(x) は例えば二次函数などに限るとしても,)
　(*)「二つの曲線 y=f(x),y=g(x) が x 座標が x=α,x=β となるような2点で交わり, かつ α≤x≤β ならば常に f(x)≤g(x) となっているとき, 二つの曲線 y=f(x),y=g(x) で囲まれる領域の面積を求めよ」
というような積分の問題はきっと既出のはずだから, いまさら教えることなどないのではないか.
# 面積を得るのに最もつまづきやすい部分は「符号」の間違いで, それは
# ∫_[α,β]|f(x)-g(x)|dx のように絶対値を忘れずにつけるか,
# 曲線の上下を最初からきちんと意識して g(x)-f(x) (「上」引く「下」) の積分と思うか
# (どっちが覚えやすい・間違えにくい方法かは個人によって違うとは思うが)
# そういう形で十分に注意があったはずの内容だと思う.
## 例えばもし (上の設定と異なり) 途中で曲線の上下が入れ替わるような設定の問題では,
## 入れ替わる所で積分を分けた経験があるでしょ.
# いずれにせよ本問においては
#　 [i] では y=y_2(x) が「上」, y=-a が「下」;
#　 [ii] では y=-a が「上」, y=y_3(x) が「下」;
#　 [iii] では y=y_1(x) が「上」, y=-a が「下」
# になってるだけで, 面積が出る理由は全部 (*) と同じ理屈.
No.87156 - 2024/01/04(Thu) 23:43:53
☆ Re: 数3 積分 / 山田山
回答ありがとうございます。
ようやく理解する事が出来ました。あくまでその関数(軌跡)内での話である前提を理解できておらず
———————————————————
　[i] y=y_2(x), y=-a, x=πa/2 で囲まれた領域
　[ii] y=-a, y=y_3(x), x=a で囲まれた領域
の合併で全領域を覆うことができて, 覆いすぎている
———————————————————
この部分を理解できていませんでした。
本当にありがとうございました。
No.87158 - 2024/01/05(Fri) 12:17:10
★ 確率 / 位相空間を中和
0~9までの10個の数字がランダムに書かれたくじが20枚あります。当たりの数字は1つだけです。3枚当たる確率を求めなさい。
という問題なんですが、どうやって解いたらいいですか。
自分の回答は、
1枚当たる確率は10分の1,3枚だから3をかけて10分の3としました。
No.87143 - 2024/01/03(Wed) 21:28:41
☆ Re: 確率 / らすかる
20枚の中にちょうど3枚当たりの数字がある確率ということでしたら、
(1/10)^3×(9/10)^17×20C3
=950599356880994433/5000000000000000000
となります。
No.87147 - 2024/01/04(Thu) 00:21:59
☆ Re: 確率 / 位相空間を中和
ありがとうございました！
「3枚以上」のときはどうなりますか？
No.87149 - 2024/01/04(Thu) 10:00:47
☆ Re: 確率 / 位相空間を中和
(1/10)^3×(9/10)^17×20C3 ←3回当たる確率
(1/10)^4×(9/10)^16×20C4 ←4回当たる確率
(1/10)^5×(9/10)^15×20C5 ←4回当たる確率
これを20回までやって足せばいいですか？
つまり、以下の式で合っていますか？
No.87150 - 2024/01/04(Thu) 10:15:52
☆ Re: 確率 / らすかる
はい、合っています。
ただし、「3枚以上」ならば「全体」から「2枚以下」を引いた方が計算は楽になります。
No.87151 - 2024/01/04(Thu) 11:03:46
☆ Re: 確率 / 位相空間を中和
ありがとうございます！
No.87154 - 2024/01/04(Thu) 17:33:27
★ 三角比 / A
数I三角比の問題です。三角形ABCにおいて
(a -c cosB)sinA= (b -c cosA)sinB
が成り立つ理由がわかりません。解説お願いします。
No.87137 - 2024/01/03(Wed) 16:10:32
☆ Re: 三角比 / X
△ABCの外接円の半径をRとすると、正弦定理、余弦定理により
(左辺)={a-c・(a^2+c^2-b^2)/(2ac)}・a/(2R)
={a^2-(a^2+c^2-b^2)/2}/(2R)
=(a^2-c^2+b^2)/(4R)
(右辺)={b-c・(b^2+c^2-a^2)/(2bc)}・b/(2R)
={b^2-(b^2+c^2-a^2)/2}/(2R)
=(a^2-c^2+b^2)/(4R)
∴(左辺)=(右辺)
No.87138 - 2024/01/03(Wed) 18:08:04
☆ Re: 三角比 / A
ありがとうございます。
No.87140 - 2024/01/03(Wed) 18:21:20
★ Σの書き方 / cat
数列の和Σでｋの式を他の文字で書いたとき、ｓの範囲で？と？？を教えてください。

ｔ＝ｋ＋３とおくと
＜ｋ＝１→ｋ＝ｎ＞Σ（k+3)
=4+5+6+…+(n+3)
=＜ｔ＝４→ｔ＝ｎ＋３＞Σｔ


s＝3k+1とおくと
＜ｋ＝１→ｋ＝ｎ＞Σ（3k+1)
=4+7+10+…+(3n+1)
=＜s＝？　→　s＝??＞Σｓ
No.87132 - 2024/01/03(Wed) 11:00:29
☆ Re: Σの書き方 / X
＞＞=4+7+10+…+(3n+1)
の隣り合う項の階差は1ではありませんので
＞＞=＜s＝？　→　s＝??＞Σｓ
の形には書けません。
No.87134 - 2024/01/03(Wed) 11:27:16
☆ Re: Σの書き方 / cat
t＝3x+1とおくと
∫＜x＝１→x＝ｎ＞（３ｘ＋１）dx
=∫＜４＝１→x＝3n+1＞t(1/3) dｔ
のように,
s＝3k+1とおいたら、1/3などを使って
＜ｋ＝１→ｋ＝ｎ＞Σ（3k+1)
＝＜s＝？　→　s＝??＞Σｓ(1/3)などのようにできるのですか？
No.87144 - 2024/01/03(Wed) 22:37:09
☆ Re: Σの書き方 / X
No.87134でも書きましたが、もう少し詳細を。

高校数学で使うΣのパラメータは、階差が1の整数に
限られます。
教科書に書かれているのは
Σ[k=1〜n]
とか
Σ[k=0〜n-1]
といったものですが、例えば
Σ[k=-10〜10]
といったものも定義できます。

しかし
s＝3k+1
と置いた場合は、sの階差は3であるので
＞＞＝＜s＝？　→　s＝??＞Σｓ(1/3)
の形には書けません。


注)
大学の講義で使う教科書などの専門書では
議論の過程で、ある関数に対して、
パラメータを変化させて和を取る
という意味で
Σ[(和を取るパラメータの条件)]〜
という形で書く場合もあるにはあります。
その意味で書くのであれば
s=3k+1
と置いたとき
Σ[k=1〜n](3k+1)=Σ[s=3k+1,kはn以下の自然数]s (A)
と書くこともできます。
しかし、(A)の式の書き方は明らかに冗長で、置き換える意味がありません。
No.87152 - 2024/01/04(Thu) 15:33:05
☆ Re: Σの書き方 / X
もう一点回答を。

＞＞t＝3x+1とおくと
＞＞∫＜x＝１→x＝ｎ＞（３ｘ＋１）dx
＞＞=∫＜４＝１→x＝3n+1＞t(1/3) dｔ
ですが、これは区間が連続している実数ですので
Σの場合とは条件が異なります。
No.87153 - 2024/01/04(Thu) 15:44:50
☆ Re: Σの書き方 / cat
Xさんの解答で理解できました。
ありがとうございました
No.87157 - 2024/01/05(Fri) 01:56:27
★ 円 / ひき肉です
AB=5、AC=4、BC=3の三角形ABCについて、CからABに垂線CDを引く。またABを直径とする円Oとする。さらにCD、AB、円Oに接する円Pとする。円Oと円Pの接点をE、CDと円Pの接点をFとする。
このとき、O、P、Eは同一直線上にあることを示せ。またA、E、Fは同一直線上にあることを示せ。

さっぱりです。
よろしくお願いします。
No.87131 - 2024/01/02(Tue) 22:29:31
☆ Re: 円 / X
前半)
点Eにおける円Oの接線をLとすると、条件からLは
点Eにおける円Pの接線でもあるので
OE⊥L,PE⊥L
∴点O,P,Eは同一直線上にある。

後半)
条件から△ABC∽△BCDゆえ
BD=(BC/AB)BC=9/5
∴AD=5-9/5=16/5 (A)
∴円Pの半径をrとすると
△OHPにおいて三平方の定理により
(5/2-16/5+r)^2+r^2=(5/2-r)^2
これをr＞0に注意して解くと
r=6/5 (B)

さて
条件から△EFPと△OHPに注目することにより
∠EFP=(1/2)HOP
∴∠DAF=∠(1/2)HOP (P)
が示せれば、PF//ABにより、
A,E,Fが同一直線上にある
ことが示せますので、(P)を証明します。
まず(A)(B)より
tan∠DAF=DF/AD=(6/5)/(5-16/5)
=2/3 (C)
一方
cos∠HOP=OH/OP=(5/2-16/5+6/5)/(5/2-6/5)
=(1/2)/(13/10)
=5/13 (D)
(C)(D)より
{tan(∠HOP/2)}^2=(1-cos∠HOP)/(1+cos∠HOP)
=8/18=4/9
={tan(∠DAF)}^2
∴tan(∠HOP/2)＞0,tan(∠DAF)＞0より
tan(∠DAF)=tan(∠HOP/2)
条件から
0＜∠DAF＜π/2,0＜∠HOP＜π/2
∴∠DAF=∠HOP/2

(もっと簡単な方法があるかもしれません。)
No.87133 - 2024/01/03(Wed) 11:24:53
☆ Re: 円 / WIZ
> Xさん

> △OHPにおいて三平方の定理により
> (5/2-16/5+r)^2+r^2=(5/2-r)^2
> これをr＞0に注意して解くと
> r=6/5 (B)

上記は|OH|^2+|HP|^2 = |OP|^2を計算していると思いますが、
|OH| = |OD|+|DH|かつ、|DH| = rかつ、
|OD| = |AD|-|AO| = 16/5-5/2 = 7/10より、
|OH| = 7/10+rとなります。
つまり、(7/10+r)^2+r^2 = (5/2-r)^2から、r = 4/5となります。

> tan∠DAF=DF/AD=(6/5)/(5-16/5)
> =2/3 (C)

Xさんご自身で、|AD| = 16/5を導ていているのに、何故分母が5-16/5になるのでしょう?
tan(∠DAF) = |DF|/|AD| = (4/5)/(16/5) = 1/4です。


> cos∠HOP=OH/OP=(5/2-16/5+6/5)/(5/2-6/5)
> =(1/2)/(13/10)
> =5/13 (D)

cos(∠HOP) = |OH|/|OP| = (7/10+4/5)/(5/2-4/5) = 15/17です。


> {tan(∠HOP/2)}^2=(1-cos∠HOP)/(1+cos∠HOP)
> =8/18=4/9
> ={tan(∠DAF)}^2

tan((∠HOP)/2)^2 = (1-cos(∠HOP))/(1+cos(∠HOP)) = (1-15/17)/(1+15/17) = 1/16
よって、tan(∠DAF)^2 = (1/4)^2 = 1/16 = tan((∠HOP)/2)^2
No.87135 - 2024/01/03(Wed) 14:21:35
☆ Re: 円 / ひき肉です
お返事ありがとうございます。

Xさん

> 後半)
> 条件から△ABC∽△BCDゆえ
> BD=(BC/AB)BC=9/5
> ∴AD=5-9/5=16/5 (A)
> ∴円Pの半径をrとすると
> △OHPにおいて三平方の定理により
> (5/2-16/5+r)^2+r^2=(5/2-r)^2
> これをr＞0に注意して解くと
> r=6/5 (B)

WIZさんの指摘のr=4/5ではないでしょうか？
私も計算したらそうなりました。


> さて
> 条件から△EFPと△OHPに注目することにより
> ∠EFP=(1/2)HOP
> ∴∠DAF=∠(1/2)HOP (P)
> が示せれば、PF//ABにより、
> A,E,Fが同一直線上にある
> ことが示せますので、(P)を証明します。

この中で
> EFP=(1/2)HOP
がわかりません。これは成立すると言えるのでしょうか？



また回答を読んでおもいついたのですが

PF//AB、前半のO、P、Eが同一直線上にあることから同位角から
∠AOE＝∠FPE
が言えて、△EFPと△OHPは二等辺三角形であるので底角が等しいので△EFP∽△OHPである。
よって∠OEA＝∠PEFからA、E、Fは同一直線上にある。

ではダメでしょうか？
No.87136 - 2024/01/03(Wed) 15:40:28
☆ Re: 円 / WIZ
# 私が口を出すのは差し出がましいけど・・・。

> この中で
>> EFP=(1/2)HOP
> がわかりません。これは成立すると言えるのでしょうか？

△EFPは、|EP| = |FP| = r(円Pの半径)であり二等辺三角形と言えます。
よって、∠EFP = ∠FEPです。

直線OEの内、円Pの内部の部分を考えれば∠OPE = πです。
よって、∠FPO = π-∠EPF = π-(π-2∠EFP) = 2∠EFPとなります。

FP // HOなので、∠FPOと∠HOPは平行線の錯角となり、
2∠EFP = ∠FPO = ∠HOP
⇒ ∠EFP = (1/2)∠HOPとなります。

> PF//AB、前半のO、P、Eが同一直線上にあることから同位角から
> ∠AOE＝∠FPE
> が言えて、△EFPと△OHPは二等辺三角形であるので底角が等しいので△EFP∽△OHPである。
> よって∠OEA＝∠PEFからA、E、Fは同一直線上にある。

上記の△OHPが△AEOの書き間違いなら正しく、一番エレガントだと思います。
No.87139 - 2024/01/03(Wed) 18:10:24
☆ Re: 円 / X
＞＞WIZさんへ
ご指摘ありがとうございます。

＞＞ひき肉ですさんへ
ごめんなさい。rの計算間違いを含め、
WIZさんの仰る通りです。
No.87141 - 2024/01/03(Wed) 18:28:46
☆ Re: 円 / ひき肉です
Xさん、WIZさん
理解できました。ありがとうございました。
No.87142 - 2024/01/03(Wed) 20:33:43
★ 2等分線の証明 / A
高校1年数Aの問題です。
三角形ABCの内心をIとし角Aの2等分線と角Bの外角の2等分線の交点をPとする時三角形ABCの外接円は線分IPを2等分することを証明せよ。
点P を通る三角形IBCの外接円Oを書き、角の大きさと辺の長さの関係を書き込んだのですが、どのように証明すれば良いのかわかりません。どのように証明すれば良いですか。
No.87127 - 2024/01/02(Tue) 15:19:27
☆ Re: 2等分線の証明 / A
図はこれです。
No.87128 - 2024/01/02(Tue) 15:20:55
☆ Re: 2等分線の証明 / ヨッシー
よくある問題で、
こちらなどにも質問と回答があります。
No.87129 - 2024/01/02(Tue) 16:52:25
☆ Re: 2等分線の証明 / A
ありがとうございます。
No.87130 - 2024/01/02(Tue) 17:06:04
★ (No Subject) / 雪だるま
一辺の長さがLの正方形の折り紙が3枚ある。3枚とも図1のように対角線においてある一定の同じ角度で山折りにする。それら3枚を組み合わせることによりすべての面が合同である直角二等辺三角形によって構成される六面体ABCDEを作ることができる。その六面体ABCDEはxyz空間に図2で示すように以下の通りに配置する

●点Aは原点Oと一致する
●点Cはzx平面上にある
●点Eはx軸上にある

→ABを成分表示せよ

(解答)
題意から3点A,C,Eはzx平面上にある
AC＝AE＝CE=√L2+L2=√2L
Zx平面において△ACEは一辺の長さが√2Lの正三角形であり△BCE，△BAC，△BEAはいずれも直角二等辺三角形であるから点Bから平面に垂線BHを下すと点Hは△ACEの重心である。よって点A(0,0,0),点C((√2)/2 L,0 (√6)/2L)点E(√2L,0,0)より
点H(1/3 (0+√2/2 L+√2L),0,１/３(0+(√6)/2L+0))
すなわち点H((√2)/2 L,0,(√6)/6 L)
よって点B(√2/2 L，y，√6/6 L)とおくと
AB2＝((√2)/2 L)2+y2+((√6)/6L)2=L2
よりy2=L2-2/3L2=1/3L2

<図2＞より点Bのy座標はy<0であるのでy=-(√3)/3L
これより点B(√2/2 L，-(√3)/3 L，√6/6 L)となるので
→AB=((√2/2 L，-(√3)/3 L，√6/6 L)

って書いてあるんですが3枚の折り紙をどう配置したらいいのかさっぱり分かりません。具体的(図とか使って)に説明してもらえませんでしょうか。よろしくお願いします
No.87124 - 2023/12/31(Sun) 23:38:56
☆ Re: / X
底面が辺の長さL√2の正三角形で他の辺の長さがLである
四面体を2つ用意し、底面を貼り合われば、問題の6面体
ができます。


それで問題の折り紙の張り方ですが、上記の
張り合わせる面である正三角形の各辺が

折り紙の折り線である正方形の対角線になる

ことを踏まえてもう一度考えてみて下さい。
No.87126 - 2024/01/01(Mon) 15:42:23
★ 重心の証明 / A
高校1年数Aの問題です。
三角形ABCの辺AB、ACの中点をそれぞれD、Eとし、Eを通りABに並行な直線とDを通りBEに並行な直線との交点をFとする。点Eは三角形CFDの重心であることを証明せよ。
図形は書いてみたのですが、そこからどのように証明すれば良いのかわかりません。どのようにすればいいですか。
No.87112 - 2023/12/31(Sun) 14:50:34
☆ Re: 重心の証明 / A
写真90°傾いています。すみません。
No.87113 - 2023/12/31(Sun) 14:51:52
☆ Re: 重心の証明 / らすかる
図が正しくありません。まずは正しく描いてみましょう。
正しくないのはFの位置です。
No.87116 - 2023/12/31(Sun) 15:16:14
☆ Re: 重心の証明 / A
これであっていますか。
No.87117 - 2023/12/31(Sun) 15:39:14
☆ Re: 重心の証明 / らすかる
はい、合っています。
BCの中点をG、GFとCDの交点をHとすると
DE=GCかつDE//GCなので四角形DGCEは平行四辺形
よって直線FGはCDの中点を通っているのでFHは△FDCの中線
四角形BGEDも四角形BEFDも平行四辺形なのでGE=EF
そして四角形DGCEが平行四辺形であることからEG=2EHなのでFE：EH=2：1
従ってEは中線FHを2：1に内分する点なので、△CFDの重心。
No.87119 - 2023/12/31(Sun) 17:08:29
☆ Re: 重心の証明 / A
ありがとうございます。
No.87122 - 2023/12/31(Sun) 17:26:25
★ 数列の極限 / ゆうき
高校の数学の数列の極限でわからなくなりました。
以下の計算は誤りのような気がしますが、なぜ以下のように計算してはいけないのですか。
どのように直すべきだったのでしょうか。高校の数学で教えてください。

aｎ＝1/nとする。lim n→∞▲(1/n）（aｎ+an+1+an+2+ …………　＋a2n＋a2n＋１）を求めよ。

lim n→∞▲(1/n) a2n＋１＝ｌim n→∞▲(1/n)(1/(2n+1))=0より
　lim n→∞▲(1/n）（aｎ+an+1+an+2+ …………　＋a2n＋a2n＋１）
＝lim n→∞▲(1/n)（aｎ+an+1+an+2+ …………　＋a2n）＋lim n→∞▲(1/n) a2n＋１
＝lim n→∞▲(1/n)（aｎ+an+1+an+2+ …………　＋a2n）＋0
＝lim n→∞▲(1/n)（aｎ+an+1+an+2+ …………　＋a2n）
を利用して

　lim n→∞▲(1/n）（aｎ+an+1+an+2+ ………　＋a2n＋a2n＋１）
＝lim n→∞▲(1/n）（aｎ+an+1+an+2+ ………　＋a2n）+0
＝lim n→∞▲(1/n)（aｎ+an+1+an+2+ ………　＋a2n）
・
・
＝lim n→∞▲(1/n)（aｎ+an+1+an+2+ …… ＋a2n-1）＋lim n→∞▲(1/n) a2n
＝lim n→∞▲(1/n)（aｎ+an+1+an+2+ …… ＋a2n-1）＋0
＝lim n→∞▲(1/n)（aｎ+an+1+an+2+ …… ＋a2n-1）
＝lim n→∞▲(1/n)（aｎ+an+1+………＋a2n-2）
＝lim n→∞▲(1/n)（aｎ+an+1+…＋a2n-３）
・
・
＝lim n→∞▲(1/n)（aｎ+an+1）
＝lim n→∞▲(1/n)（aｎ）
＝０
No.87108 - 2023/12/31(Sun) 10:20:00
☆ Re: 数列の極限 / IT
> なぜ以下のように計算してはいけないのですか。
a[n]=1 （定数）のとき　同様にするとどうですか？
無限級数の計算では「塵（ちり）も積もれば、山となる。」ですから、　a[n]→0だから　無視していいということにはなりません。
No.87110 - 2023/12/31(Sun) 13:07:15
☆ Re: 数列の極限 / ゆうき
「ちりもつもれば山になる」で確かに和は０にならないのはわかるのですが、
以下の?@➁の計算でどこが誤りなのかの理由がわかりません。


　lim n→∞▲(1/n）（aｎ+an+1+an+2+ ………　＋a2n＋a2n＋１）
＝lim n→∞▲(1/n）（aｎ+an+1+an+2+ ………　＋a2n）……?@
?@ は正しいですよね。
?@ を繰り返すと
lim n→∞▲(1/n）（aｎ+an+1+an+2+ ………　＋a2n＋a2n＋１）
＝lim n→∞▲(1/n）（aｎ+an+1+an+2+ ………　＋a2n）
＝lim n→∞▲(1/n）（aｎ+an+1+an+2+ …＋a2n-1）
……
＝lim n→∞▲(1/n)（aｎ+an+1）
＝lim n→∞▲(1/n)（aｎ）
＝０
……➁
No.87111 - 2023/12/31(Sun) 13:50:47
☆ Re: 数列の極限 / IT
> どのように直すべきだったのでしょうか。

元の問題の場合は、挟み撃ちで、上から抑えて計算すれば良いと思います。
No.87114 - 2023/12/31(Sun) 14:59:00
☆ Re: 数列の極限 / らすかる
正しくないのは

　lim n→∞▲(1/n）（aｎ+an+1+an+2+ ………　＋a2n＋a2n＋１）
＝lim n→∞▲(1/n）（aｎ+an+1+an+2+ ………　＋a2n）……?@
?@ は正しいですよね。
?@ を繰り返すと
lim n→∞▲(1/n）（aｎ+an+1+an+2+ ………　＋a2n＋a2n＋１）
＝lim n→∞▲(1/n）（aｎ+an+1+an+2+ ………　＋a2n）
＝lim n→∞▲(1/n）（aｎ+an+1+an+2+ …＋a2n-1）
…… ←★★★★★★ここです。
＝lim n→∞▲(1/n)（aｎ+an+1）
＝lim n→∞▲(1/n)（aｎ）
＝０
……?

終値の2n+1が2n-1でも2n-1000でも収束値は変わりませんが、
この「2」を違う値にすると収束値は変わります。
No.87115 - 2023/12/31(Sun) 15:13:47
☆ Re: 数列の極限 / ゆうき
すみません。ITさんの「元の問題の場合は、挟み撃ちで、上から抑えて計算すれば良いと思います。」
がわかりませんので教えてください。

らすかるさんの「「2」を違う値にすると収束値は変わる。」はわかりましたが、らすかるさんの話から問題を少し変え以下のようにして質問があります。

bｎ＝1/(n+1)とする。lim n→∞▲(1/n）（b1+b2+b3+ …………　＋bn）を求めよ。
n→∞▲(1/n）（bn）＝０より

　 lim n→∞▲(1/n）（b1+b2+b3+ ……………………　 ＋bn）……（あ）
＝lim n→∞▲(1/n）（b1+b2+b3+ …………… ＋bn-1）　　……（い）
・
・
＝lim n→∞▲(1/n)（b1+b2）　……（う）
＝lim n→∞▲(1/n)（b1）　　　……（え）
＝０　（お）

「ちりもつもれば山になる」だから上の計算で誤りであることは感覚的にわかるのですが、
上の計算の（あ）から（お）でどこが誤りなのですか？
No.87118 - 2023/12/31(Sun) 16:13:22
☆ Re: 数列の極限 / ast
横からですが,
# あんまり感覚に頼った説明は好きではないけれど
n を一つ止めたとき
　a[1]+a[2]+a[3]+ …+a[n]+a[n+1]+a[n+2]
　a[1]+a[2]+a[3]+ …+a[n]+a[n+1]
　a[1]+a[2]+a[3]+ …+a[n]
　……
　a[1]+a[2]+……+a[n-k]
　……
　a[1]+a[2]+a[3]
　a[1]+a[2]
　a[1]
は {a[k]} が三角形状にならんでいると思えるが, これを "n→∞ とする" ということは
　a[1]+a[2]+a[3]+ …+a[n]+……
　a[1]+a[2]+a[3]+ …+a[n]+……
　a[1]+a[2]+a[3]+ …+a[n]+……
　……
　a[1]+a[2]+a[3]+ …+a[n]+……
　……
というように {a[k]} がある意味「正方形」状に並び, 永遠に "a[1]+a[2]+a[3]+ …+a[n]+……" だけが現れ続けるだけです.
これは何行書いても何も変わらずいつまでも終わりません (無限大の彼方にある無限小を無限に取り除き続けても無意味な操作にしかならない) が, 質問者さんは終わるという前提の答案を書いている.
No.87120 - 2023/12/31(Sun) 17:10:55
☆ Re: 数列の極限 / らすかる
＞87118
(い)はn-1項、(う)は2項であり
前の問題で「2を違う値にすると収束値が変わる」のと同様に
1n-1の1を違う値にしている点が誤りです。
ただし、この問題ではたまたま(あ)も0に収束しますので、答えだけは合っています。
# つまり、0に収束する項を有限個削除しても結果は変わりませんが、削除する項が無限になると結果がどうなるかはわからないということです。
No.87121 - 2023/12/31(Sun) 17:22:18
☆ Re: 数列の極限 / IT
> 「元の問題の場合は、挟み撃ちで、上から抑えて計算すれば良いと思います。」がわかりませんので教えてください。

1/n=a[n]>a[n+1]>a[n+2]>....>a[2n]>a[2n+1] ですから
0＜(1/n)(a[n]+a[n+1]+a[n+2]+....+a[2n]+a[2n+1]) ＜ (1/n)((1/n)(n+2)) とおさえられます。

直観的には,最後の２項を除けば 1/n....1/(2n-1) の平均値ですから０に収束することが分かります
No.87123 - 2023/12/31(Sun) 20:33:55
☆ Re: 数列の極限 / ゆうき
astさん、らすかるさん、ITさんの解答で納得しました。
ありがとうございました。
No.87125 - 2024/01/01(Mon) 00:42:15
★ わからん / PRETZ
京大の友達に出題されました
No.87086 - 2023/12/29(Fri) 13:08:06
☆ Re: わからん / IT
まずは、n=1,2,3,4,5 ぐらいで調べて、できれば規則性を見つける。
さらに(1)を解く中で　規則性を見つける。ということでしょうね。
No.87088 - 2023/12/29(Fri) 16:28:31
☆ Re: わからん / PRETZ
ガウス記号を用いて[n/m]の取りうる値の数から1を引いた数がTnになるのは分かってるんですけど、nが大きい値になってくるとn/mの整数部分がめんどくさいことになるんですよね、、
No.87089 - 2023/12/29(Fri) 16:53:49
☆ Re: わからん / IT
n=50 で考えると
m=1から９までは、[50/m]は,互いに異なる値をとり
そこから先は、[50/9]より小さい、残りのすべての自然数になりそうですね。

9がどういう数値なのかを一般化すれば良いのでは？
No.87090 - 2023/12/29(Fri) 19:14:57
☆ Re: わからん / IT
↑そんなに簡単な話でもなさそうですね。
No.87091 - 2023/12/29(Fri) 19:27:36
☆ Re: わからん / PRETZ
数直線を考えて、0から1の間をn個に分割して考えて、TnとT(n+1)やTnとT2nの関係性を見出そうとしたのですが、上手く行きません
No.87092 - 2023/12/29(Fri) 19:35:22
☆ Re: わからん / IT
n/m - n/(m+1) <1 になると、[n/m]以下の整数は必ず網羅しますね。
No.87093 - 2023/12/29(Fri) 19:39:28
☆ Re: わからん / PRETZ
↑なるほど、n/m - n/(m+1) < 1 のとき、
[n/m] = [n/(m+1)]
となるということですね
No.87094 - 2023/12/29(Fri) 19:44:05
☆ Re: わからん / PRETZ
↑違いました
No.87095 - 2023/12/29(Fri) 19:45:32
☆ Re: わからん / PRETZ
例えば、n=50のときは
m=7で上記の不等式を満たし、[50/7]=7だから、7~0は全て成り立つということですね
No.87096 - 2023/12/29(Fri) 19:51:13
☆ Re: わからん / PRETZ
さらに、m=1〜6のときも成り立って、これらの[n/m]は7〜0と一致しないから
kの個数はm=1〜6と[n/m]=7〜0の14個から1引いた13個なので
T50=13ということですね
No.87097 - 2023/12/29(Fri) 19:55:44
☆ Re: わからん / IT
そうですね。
そしてn/m - n/(m+1) ≧ 1　のときは、[n/m],[n/(m+1)]互いに異なる整数区間に入りますね。
これでとり得る整数値の個数が分かるのでは？
No.87098 - 2023/12/29(Fri) 19:57:39
☆ Re: わからん / IT
87098　は、87096 への回答です。
No.87099 - 2023/12/29(Fri) 19:59:25
☆ Re: わからん / IT
> 数直線を考えて、0から1の間をn個に分割して考えて、TnとT(n+1)やTnとT2nの関係性を見出そうとしたのですが、上手く行きません
もうお分かりになったと思いますが、0から1の間をn個に分割するのではなく、
nから0の区間をn個に分割して考える。ということですね。
No.87100 - 2023/12/29(Fri) 20:15:15
☆ Re: わからん / IT
> kの個数はm=1〜6と[n/m]=7〜0の14個から1引いた13個なので
> T50=13ということですね

そうですね。
No.87101 - 2023/12/29(Fri) 20:17:11
☆ Re: わからん / PRETZ
できました
No.87102 - 2023/12/29(Fri) 20:38:29
☆ Re: わからん / PRETZ
ファイルを添付するのを忘れてました
No.87103 - 2023/12/29(Fri) 20:39:39
☆ Re: わからん / IT
前半の不等式で厳密には＝（等号）が必要なところがあるような気がします。
後半の極限を求めるところは、よくみてませんが　大筋は良いような気がします。

ｋ’は、分かりにくいので、挟み撃ちを使うなどしてＬに置き換えた方が良いように思います。

京大の特色入試あたりですかね？
No.87104 - 2023/12/29(Fri) 21:07:06
★ まじめにわかりません / えっとう
過去問です(高専)
No.87074 - 2023/12/28(Thu) 18:30:49
☆ Re: まじめにわかりません / えっとう
1番なぜか僕の解法とぜんぜん答え違います！？
No.87075 - 2023/12/28(Thu) 18:40:12
☆ Re: まじめにわかりません / えっとう
問題文
y=ax^2のグラフ上にA,Bがあり、A(-2,2) Bのx座標が3である。
(1)a=
(2)B( , )
(3)直線ABの式　y=
(4)△AOBの面積
(5)このグラフ上にC(Aよりx座標が1大きい)D(Bよりx座標が1小さい)をとる。
四角形ACDBの面積
(6)このグラフ上にE(Aよりx座標が1小さい)F(Bよりx座標が1大きい)
(i)直線EFの式
(ii)△FECの面積
(iii)△FEC:FCDの面積比
(iv)△FCDの面積
No.87077 - 2023/12/28(Thu) 18:54:21
☆ Re: まじめにわかりません / ヨッシー
ＡＣとＢＤが直交していれば、
　ＡＣ×ＢＤ÷２
でいいですが、そうではないので。

難しければ、ＡＤを底辺として、
　△ＡＤＣ、△ＡＤＢ
をそれぞれ出してみては？
No.87079 - 2023/12/28(Thu) 20:18:05
☆ Re: まじめにわかりません / えっとう
2番も教えてください
No.87081 - 2023/12/28(Thu) 21:48:50
☆ Re: まじめにわかりません / ヨッシー
そもそも、１番というのもわかりませんでしたが、
２番って何ですか？

あと、問題文は正しく書いてください。
(1)a=
なんて問題はないと思います。少なくとも、
(1) ａの値を求めよ
であるはずです。
No.87084 - 2023/12/29(Fri) 08:52:50
☆ Re: まじめにわかりません / えっとう
すみません。
No.87085 - 2023/12/29(Fri) 10:05:17
★ (No Subject) / 有栖川
(x-1)(x-2)(x-3)….(x-n)について自然数nに対しn>3でx^(n-3)の係数を求めよ。
という問題の解説をお願いします。
x^(n-2)とx^(n-1)の係数を求めよという小問がこの前にありました。誘導なのかなとは思いましたが応用できません。どうすればいいでしょうか。
No.87073 - 2023/12/28(Thu) 17:37:26
☆ Re: / WIZ
# ゴリゴリ計算してみました・・・wolfram alphaがですが!
べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。

n ≧ 3のとき、Π[k=1,n](x-k) = x^n+a[n]x^(n-1)+b[n]x^(n-2)+c[n]x^(n-3)+・・・
とおきます。但し、xの値に関わらずx^0 = 1とします。

a[n] = Σ[k=1,n](-k) = -n(n+1)/2

b[n] = {(Σ[k=1,n]k)^2-(Σ[k=1,n](k^2))}/2
= {(n(n+1)/2)^2-n(n+1)(2n+1)/6}/2
= (n(n+1)/4){n(n+1)/2-(2n+1)/3}
= (n(n+1)/4){(3n^2+3n)/6-(4n+2)/6}
= (n(n+1)/4)((3n^2-n-2)/6)
= n(n+1)(n-1)(3n+2)/24
= (3n^4+2n^3-3n^2-2n)/24
# -1〜-nの中から異なる2個を選び、その積を作り、それらの積の総和がb[n]の値となります。
# 例えば、b[3] = (-1)(-2)+(-1)(-3)+(-2)(-3) = 11となります。

c[n]の値も、-1〜-nの中から異なる3個を選び、その積を作り、それらの積の総和となります。
例えば、c[3] = (-1)(-2)(-3) = -6です。

Π[k=1,n](x-k) = x^n+a[n]x^(n-1)+b[n]x^(n-2)+c[n]x^(n-3)+・・・
ですから、
Π[k=1,n+1](x-k) = {x^n+a[n]x^(n-1)+b[n]x^(n-2)+c[n]x^(n-3)+・・・}(x-(n+1))
= x^(n+1)+(a[n]-(n+1))x^n+(b[n]-(n+1)a[n])x^(n-1)+(c[n]-(n+1)b[n])x^(n-2)+・・・

よって、c[n+1] = c[n]-(n+1)b[n]です。
階差数列を考えると、c[n+1]-c[n] = -(n+1)b[n]ですから、

c[n+1] = Σ[k=3,n]{c[k+1]-c[k]}+c[3]
= Σ[k=3,n]{-(k+1)b[k]}-6
= Σ[k=3,n]{-(k+1)*(3k^4+2k^3-3k^2-2k)/24}-6
= Σ[k=3,n]{(-3k^5-5k^4+k^3+5k^2+2k)/24}-6
= Σ[k=1,n]{(-3k^5-5k^4+k^3+5k^2+2k)/24}-(-3(2^5)-5(2^4)+(2^3)+5(2^2)+2*2)/24)-(-3-5+1+5+2)/24)-6
= -(n-1)n((n+1)^2)((n+2)^2)/48
# 計算はwolfram alphaのお世話になっています!

以上から、c[n] = -(n-2)(n-1)(n^2)((n+1)^2)/48となります。
No.87078 - 2023/12/28(Thu) 19:31:58
☆ Re: / IT
-1〜-nの中から異なる3個を選び、その積を作り、それらの積の総和 を計算するのに

(-1-2-3-....-n)b[n] から -1*1*2 など不要なものを除くと考えると計算が楽なのでは？


最後に３で割る必要がありますね
-1*2*3 と-2*1*3 と-3*1*2 がダブってますから
No.87082 - 2023/12/28(Thu) 23:21:23
☆ Re: / IT
時間がないので　計算式だけ

-3c[n]= (1+2+3+...n)b[n]-(1^2+2^2+....+n^2)(1+2+3+...+n)+(1^3+2^3+3^3+....+n^3)
=(n(n+1)/2) (n(n+1)(n-1)(3n+2)/24)-(n(n+1)(2n+1)/6)n(n+1)/2+(n(n+1)/2)^2
=(n-2)(n-1)(n^2)((n+1)^2)/16
No.87083 - 2023/12/28(Thu) 23:44:04
★ (No Subject) / さ
小学生です
3:x＝7:21
これなんですか？
No.87071 - 2023/12/28(Thu) 16:36:37
☆ Re: / ヨッシー
「比」と言います。
多分小６くらいで習うと思います。

３：ｘ＝７：２１
は、３はｘの何倍か？という値と、７は２１の何倍か？という値が等しい
という意味です。

ｘに９を入れるとこの式は正しくなります。
このとき、何倍か？というのは 1/3 (3分の1) であり、これを（この式の）比の値（ひのあたい）といいます。
No.87072 - 2023/12/28(Thu) 16:42:24
★ (No Subject) / えっとう
いちよう考えたやり方
1+2+3+4+…は偶数+奇数
No.87045 - 2023/12/27(Wed) 16:35:02
★ (No Subject) / えっとう
この二つの等式って等しいですか？
No.87043 - 2023/12/27(Wed) 16:32:47
☆ Re: / えっとう
↑と↓
No.87044 - 2023/12/27(Wed) 16:33:29
☆ Re: / ヨッシー
下の方の式で、
　ｎ＝１　のときの第２項
　ｎ＝２　のときの第１項
はそれぞれどうなりますか？

ｎが奇数か偶数かで２通り式を作れば、正しく表現できます。
No.87049 - 2023/12/27(Wed) 17:53:28
☆ Re: / えっとう
下の画像の左側が奇数、右側が偶数で式を作ったつもりです
No.87053 - 2023/12/27(Wed) 20:35:25
☆ Re: / ヨッシー
それは分かりますが、上の式に１つ、下の式に２つ存在する
ｎは同じものでなければなりません。

ですので、
ｎが偶数のとき
　Σ[k=1〜n]ｋ＝Σ[k=1〜n/2](2k-1)＋Σ[k=1〜n/2](2k)
ｎが奇数のとき
　Σ[k=1〜n]ｋ＝Σ[k=1〜(n+1)/2](2k-1)＋Σ[k=1〜(n-1)/2](2k)
のように、分けないと表し切れないと思います。
No.87055 - 2023/12/27(Wed) 23:06:16
☆ Re: / えっとう
式が複雑で理解できません。すみませんがおおよその考え方と解説をお願いします🙇とくに、
ｋ＝Σ[k=1〜n/2](2k-1)＋
kにシグマを代入？？
No.87056 - 2023/12/27(Wed) 23:21:21
☆ Re: / えっとう
これだったらどうですか？
ガロア記号をつける！
計算はこれ以上できなくなりますが、、、
No.87057 - 2023/12/27(Wed) 23:28:13
☆ Re: / えっとう
左辺の方kyでなくてkのまちがえです。すみません
No.87058 - 2023/12/27(Wed) 23:30:03
☆ Re: / らすかる
87057の式だと、例えばn=6のとき
左辺は1+2+3+4+5+6=21
右辺は(1+3)+(2+4+6)=16
となり、合いませんね。
No.87060 - 2023/12/28(Thu) 04:05:18
☆ Re: / ヨッシー
↓こういうことです。
No.87061 - 2023/12/28(Thu) 09:14:06
☆ Re: / ヨッシー
どうしても一つの式にしたければ、こうなります。
No.87063 - 2023/12/28(Thu) 10:03:45
☆ Re: / えっとう
初項を0にしてみました
No.87064 - 2023/12/28(Thu) 12:06:10
☆ Re: / えっとう
なぜか2nだけズレました
No.87065 - 2023/12/28(Thu) 12:08:15
☆ Re: / えっとう
> どうしても一つの式にしたければ、こうなります。

87063の式の末項が示しているのは、ガロア記号をつけない代わりに、累乗にさせているのですか？？ユークリッドの互除法的なイメージ？？公倍数的な？？
No.87066 - 2023/12/28(Thu) 12:24:38
☆ Re: / ヨッシー
87061 の偶数と奇数とで違うのは、ｋの範囲だけなので、
右辺の１項目は
　偶数のとき n/2、奇数のとき (n+1)/2
右辺の２項目は
　偶数のとき n/2、奇数のとき (n-1)/2
となるような式を作っただけです。


例えば、ｎが偶数のとき６、奇数のとき４となるような関数を
作ろうとする場合、中間の値５を中心にして
偶数なら＋１、奇数なら−１を加えるために、
　５＋(-1)^n
とするのと同じです。
No.87067 - 2023/12/28(Thu) 13:28:09
☆ Re: / えっとう
87064がうまくいかない原因はなんですか
No.87068 - 2023/12/28(Thu) 14:14:33
☆ Re: / ヨッシー
> 87064がうまくいかない原因はなんですか
ｎに具体的な数、例えば、ｎ＝５ と ｎ＝６ を
それぞれ代入して、計算していけば、どこで破綻するか
わかると思います。
必ず、ｎが奇数と、偶数の両方調べましょう。
No.87069 - 2023/12/28(Thu) 15:05:25
★ (No Subject) / えっとう
側面が正三角形の正三角錐正四角錐、正五角錐と模型を作っていきました。
なぜか正五角錐だけ作れませんでした。？
No.87040 - 2023/12/27(Wed) 14:26:18
☆ Re: 正五角錐 / 位相空間を中和
作れます。(潰れてるけど一応正三角形と正五角形です)
No.87041 - 2023/12/27(Wed) 15:28:16
☆ Re: / えっとう
> 作れます。(潰れてるけど一応正三角形と正五角形です)

すげー！！
No.87042 - 2023/12/27(Wed) 16:32:04
☆ Re: / えっとう
> 作れます。(潰れてるけど一応正三角形と正五角形です)

正n角形で側面が正三角形なのは無限に作れますか？
No.87046 - 2023/12/27(Wed) 16:38:04
☆ Re: / X
横から失礼します。

n≧6ではできません。
(∵)
正n角形の1辺の長さをl[n],外接円の半径をr[n]
とすると
l[n]=2r[n]sin(π/n) (A)
((A)の成立理由は省略します)
∴n≧6のとき
l[n]≦r[n]
ゆえ、側面を辺の長さl[n]の
正三角形で構成できません。
No.87047 - 2023/12/27(Wed) 17:10:29
☆ Re: / えっとう
側面が底辺についてしまうということですか？
No.87048 - 2023/12/27(Wed) 17:42:43
☆ Re: / X
底面についてしまうということですね。
No.87052 - 2023/12/27(Wed) 19:25:34
★ 自作の問題 / りゅー
349を素因数分解する時
2~349までの数字の中で
2~xまでの数字で割り切れなかった場合349は素数と断言出来る
その時のxには何が入るか
No.87031 - 2023/12/27(Wed) 00:56:06
☆ Re: 自作の問題 / らすかる
p^2≦349を満たす最大の素数は17なので
x=17(以上)ですね。
No.87034 - 2023/12/27(Wed) 02:16:21
★ 平面による空間分割 / 清瀬　高2
四つの平面x=0、y=0、z=0、x+y+z=1によって、空間は何個の領域に分割されるか。理由を明記して答えなさい。

(A)x＞0、y＞0、z＞0
(B)x＜0、y＞0、z＞0
(C)x＜0、y＜0、z＞0
(D)x＞0、y＜0、z＞0
(E)x＞0、y＞0、z＜0
(F)x＜0、y＞0、z＜0
(G)x＜0、y＜0、z＜0
(H)x＞0、y＜0、z＜0

として、f(x,y,z)=x+y+z-1とおきます。

(A)から(H)までの8個の領域の内、f(x,y,z)=0によって正領域と負領域に分けられる可能性があるのは、x、y、zの内の少なくとも一つに正のものがある領域だけな感じですので、(G)以外の7個の領域はそれぞれ2分割され、(G)は常にf(x,y,z)=0に対して負領域に属するので、分割されることはないため、2×7+1=15個と解答しました。

空間図形の問題なのに解析的な解き方で見栄えが悪いということで、大幅に減点されてしまいました。4個もの平面によって空間が何個に分割されるのかをイメージするのが難しくて、図を何個描いても理解できないです。

どのように図を描いて説明するべきでしょうか。コツなどあれば教えていただけないでしょうか。よろしくお願いいたします。
No.87028 - 2023/12/27(Wed) 00:18:30
☆ Re: 平面による空間分割 / らすかる
例えば、平面x+y+z=1の図（描くものはx=0,y=0,z=0との交線）を描いて、直線で分けられた領域に「x＞0,y＜0,z＜0」のような説明を書き、直線それぞれに直線の式（あるいは交わる平面の式すなわちx=0,y=0,z=0）を描くというのはどうでしょうか。
3本の直線が中心に正三角形ができるように交わる図で、交点は(1,0,0)と(0,1,0)と(0,0,1)になります。図にある7つの領域はそれぞれ2つに分けられ、x＜0かつy＜0かつz＜0の領域は図に表れないので分割されない、ということです。
（あまりわかりやすいとは思えませんが、空間の図も難しいと思います。）
No.87029 - 2023/12/27(Wed) 00:37:42
☆ Re: 平面による空間分割 / 清瀬　高2
らすかる先生

ご解説ありがとうございます。大変参考になりました。

ちなみに先生がこの問題をお解きになる場合は、どのような解法を取りますでしょうか。

先生は15個の領域をさっと鮮明にイメージできてしまうのでしょうか。
No.87036 - 2023/12/27(Wed) 12:02:33
☆ Re: 平面による空間分割 / らすかる
「さっと」でもないですが、「鮮明にイメージ」はできますね。
空間座標における平面x+y+z=1の図がイメージできれば、15個になることもすぐにわかると思います。
No.87038 - 2023/12/27(Wed) 12:11:55
☆ Re: 平面による空間分割 / 清瀬　高2
らすかる先生

仰る通りでした！x+y+z=1の図をうまく利用すればわかりやすいです！

助かりました。ありがとうございました。

ちなみにのはなしですが、直線による平面分割は数列で表せますが、平面による空間分割も数列で表せたりするのでしょうか。もし表せるのなら、冬休みの自由研究のテーマにしてみたいです。
No.87039 - 2023/12/27(Wed) 13:09:40
☆ Re: 平面による空間分割 / らすかる
はい、表せます。次元が増えて少し考えにくいですが、考え方は平面分割の応用になります。
No.87059 - 2023/12/28(Thu) 04:03:03
☆ Re: 平面による空間分割 / 清瀬　高2
らすかる先生

助言をいただき、ありがとうございます！現在取り組み中ですが、早速躓いてしまいました。

n=4の場合ですが、最初の質問した問題のように、3枚の平面がx=0、y=0、z=0で、ここに4枚目の平面をx+y+z=1のように加えれば、空間分割個数は15個ですが、例えば4枚目をx+y=1のように加えてしまうと、空間分割個数は14個になってしまうように思えます。4枚目の平面の入れ方次第(すべての交線に交わるように加えるか、すでにある交線の一本に平行になるように加えるか)で、空間分割個数は変わってしまいそうです。

先生が「表せます」と仰って下さったのは、うまく分割した場合の最大の空間分割個数のことを指しているのでしょうか。それともある平面の加え方では何個といったように場合分けをしたものを指しているのでしょうか。

その場合、命題の前提条件をちゃんと決めておかないとまずいと思いますが、最大個数条件はすでにある交線のすべてに交わるように平面を加えるでよいでしょうか。

「少し考えにくい」とのことですが、ものすごく難しく感じてしまい、もしかして考え違いをしているかもです。わかるかたはすっとわかってしまうんですね…
No.87070 - 2023/12/28(Thu) 16:06:54
☆ Re: 平面による空間分割 / らすかる
平面分割の式を作るために「3本以上の直線が1点で交わらない」「どの2直線も平行でない」という条件を付けるのと同様に、空間分割の場合も「4つ以上の平面が1点で交わらない」「どの2平面も平行でない」という条件を付けるのが普通だと思います。そのような条件がないとしたら「最大値の式」「最小値の式」あたりしか作れませんね。

> 最大個数条件はすでにある交線のすべてに交わるように平面を加えるでよいでしょうか。
そうですね。その考え方から式が導出できますので、もう少し考えてみて下さい。
No.87080 - 2023/12/28(Thu) 20:52:21
☆ Re: 平面による空間分割 / 清瀬　高2
らすかる先生

先生の助言通り、

(?@)4つ以上の平面が1点で交わらない
(?A)どの2平面も平行でない
(?B)新たに追加する平面はそれまでにある交線のすべてに交わるようにする

という条件のもとでの最大分割個数を求めるという設定にしました。

以下、ここまでの経過です。

n=2のとき
n=1の平面に1枚の平面を加えると、2枚目の平面が1本の交線により、2分割されます。

n=3のとき
n=1、2の平面に1枚の平面を加えると、3枚目の平面がすでにある2枚の平面と交わりますが、すでにある1本の交線によって、新たに追加される交線が2分割されます。

すでにある交線によって、新たに追加される交線は分割されますが、このそれぞれを分割交線、分割交線1本につき、新たに追加される平面は2分割されますが、このそれぞれを分割平面と呼ぶことにします。言葉の使い方には目を瞑っていただきたいです。

分割交線が1本増えることにより、分割平面は2枚増えますので、増加する空間の個数は2個となります。

n枚の平面による空間分割個数をSn、n枚目の平面の追加により新たに生まれる分割平面枚数と分割交線本数をそれぞれPn、Lnとします。先の考察から、

S(n+1)=Sn+P(n+1)
Pn=2Ln
Ln=n-1

でも解かないまでもこれが間違いだとはわかります。S4が15にならないからです。それに空間座標を題材にしているので、nの次数は3になるような。

どこを間違えたのかと探してましたが、私はz軸方向から見た図ばかり描いてました。これでは例えばx+y+z=1とx＜0、y＜0、z＞0の間の分割が考慮されていない感じです。

方針を根本から立て直した方がよいでしょうか。助言していただけると幸いです。
No.87087 - 2023/12/29(Fri) 13:27:34
☆ Re: 平面による空間分割 / らすかる
平面を1枚加えたとき、その平面上に他の平面との交線がすべて存在します。
そして、平面を加えたときに増える領域の個数は、交線で区切られた各平面に見える空間領域のすべてがその平面で2分割されることになりますので、交線で区切られた平面の個数と同じです。
よって「平面を直線で分割したときの領域数(1,2,4,7,11,…)」を加えていくことになります。
No.87105 - 2023/12/30(Sat) 02:16:35
☆ Re: 平面による空間分割 / 清瀬　高2
らすかる先生

先生の仰る通り、だいぶ考え違いひどかったことがわかりましたので、投稿はいったん編集させてください。

漸化式はS(n+1)=Sn+(n+1)C2+1でよいとのことですので、ここにたどり着くまでずっと考え続けます。

もう10時間を軽く超えてまして恥ずかしい限りですが、絶対解決します。
No.87106 - 2023/12/30(Sat) 03:07:31
☆ Re: 平面による空間分割 / らすかる
結果の数列は合っていますが、考え方が正しくない気がします。
> n+1枚目の平面を加えると、n+1本の交線ができますが、
例えば3枚目の平面を加えたとき、その平面上に（新たに）できる交線の数は2本です。

> これらがすでにあるn本と交わることにより、(n+1)C2個の交点を作ること、
「交点」は空間の分割とはあまり関係ない気がします。

> また、このとき一枚の三角形ができることから、
交線が増えると三角形もどんどん増えます。「一枚の三角形」ができるのは
4枚目の平面を加えたときだけです。
No.87107 - 2023/12/30(Sat) 05:08:14
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