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ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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★ 数学B 漸化式 / 匿名希望
a1=8 a(n+1)=(3an)+4/(an)+3
bn=1/(an)-2と置くとき数列(bn)の一般項を求めよ
どうやってbn=の式を置けばいいかわからないです
No.89688 - 2024/12/28(Sat) 15:33:22
☆ Re: 数学B 漸化式 / らすかる
b[n]=1/a[n]-2
b[n]+2=1/a[n]
1/(b[n]+2)=a[n]
これをa[n+1]=3a[n]+4/a[n]+3に代入
1/(b[n+1]+2)=3/(b[n]+2)+4(b[n]+2)+3
整理して
b[n+1]=-{8(b[n])^2+37b[n]+48}/{4(b[n])^2+19b[n]+25}
これは何か違いそうなので
元の式の書き方が正しくない可能性がありますね。
（だから回答がなかなかつかないのでしょう）
質問された式は
a[1] = 8
a[n+1] = (3a[n]) + (4/a[n]) + 3
b[n] = (1/a[n]) - 2
のように解釈されますが、正しいですか？
No.89696 - 2024/12/29(Sun) 03:26:15
★ (No Subject) / 非受験生（高校生）
2014 JMO予選　問9のまともな解説がネットになかったので誰かお願いします。
以下、一応自分で書いた図です。
No.89686 - 2024/12/28(Sat) 13:09:00
☆ Re: / 非受験生（高校生）
すみません。
エラーで図は投稿できませんでした。
No.89687 - 2024/12/28(Sat) 13:11:01
☆ Re: / 数
αやsの変域などについては割愛していますが以外解き方です
No.89693 - 2024/12/29(Sun) 00:00:00
☆ Re: / 数
> αやsの変域などについては割愛していますが以下解き方です
No.89694 - 2024/12/29(Sun) 00:00:56
☆ Re: / 非受験生（高校生）
なるほど
回転させて座標で解けば意外と簡単ですね
ありがとうございました
No.89698 - 2024/12/29(Sun) 16:37:28
★ 教えてください(^_^) / 受験生（中学生）
次の問題を教えてください。
（１） 会話中の下線部について、機能ABCをオンにして、同じ２時間の映画を視聴したとき、バッテリーは何％減るか。
（２） 太郎さんは機能ABCDをオンにして同じ２時間の映画を視聴した。このとき、さらに太郎さんは節電モードにして映画を視聴したため、（１）のバッテリー消費と同じになった。節電モードの効果によって抑えることのできたバッテリー消費何％か求めよ。ただし、％表記で小数第２位を四捨五入して、第１位までで表せ。
No.89684 - 2024/12/28(Sat) 08:45:17
☆ Re: 教えてください(^_^) / X
(1)
問題のグラフから、ABをオンにして何も操作しないときの
1時間当たりのバッテリーの消費は
100[%]/50[時間]=2[%/時間]
なので、このときの2時間のバッテリー消費は
2[%/時間]×2[時間]=4[%]
よって、映画の視聴によるバッテリー消費は
7[%]-4[%]=3[%] (A)
一方、ABCをオンにして操作しなかったときの
1時間当たりのバッテリー消費は、問題のグラフから
100[%]/40[時間]=2.5[%/時間] (B)
(A)+(B)×2から求めるバッテリー消費は
8[%]

(2)
問題のグラフから、ABCDをオンにして
操作しなかったときの1時間当たりの
バッテリー消費は、
100[%]/26[時間]=50/13[%/時間] (C)
(A),(C)から、このとき、節電モード
にしない場合に2時間映画視聴をしたときの
バッテリー消費は
3[%]+50/13[%/時間]×2=139/13[%] (D)
(D)と(1)の結果から、節約できたバッテリー消費は
139/13[%]-8[%]=35/13[%]
≒2.7[%]
No.89685 - 2024/12/28(Sat) 09:36:42
★ ベクトル / 数学苦手
立方体ABCD-EFGHがある。
↑AB=↑a、↑AD=↑b、↑AE=↑cとするとき、↑BD・↑CGを計算してBD⊥CGであることを証明せよ。

↑BD=-↑a+↑b、↑CG=↑cであることはわかるのですが、これを使って証明する方法が分かりません。
よろしくお願いします。
No.89682 - 2024/12/27(Fri) 17:49:47
☆ Re: ベクトル / X
条件から
|↑a|=|↑b|=|↑c| (A)
↑a・↑b=↑b・↑c=↑c・↑a=0 (B)
(A)(B)を使って
↑BD・↑CG=0
を示します。
No.89683 - 2024/12/27(Fri) 18:51:00
★ ベクトルの内積 / 数学苦手
図の四角錐において、四角形BCDEは正方形、4つの三角形はすべて正三角形である。各辺の長さが2であるとき、次の内積を求めなさい。

ベクトルの→は省かせていただきます。
(1)ED・BE
(2)BA・CD
(3)EB・CA
(4)AC・AE
(5)DB・BA

始点が変わったりすると、どう考えたら良いのか分からなくなってきました。
教えていただきたいです。
No.89679 - 2024/12/27(Fri) 13:59:29
☆ Re: ベクトルの内積 / X
内積を考えるベクトルの大きさ、なす角が図から
容易にわかる場合(例えば(1))は、小問ごとに
始点を変えるのも一つの考え方ですが、
そうでない限りは
始点を固定し、
内積がわかりやすいベクトルに分解
して考えるのが合理的です。

↑AB=↑b,↑AC=↑c,↑AD=↑d,↑AE=↑e
と置くと、条件から
|↑b|=|↑c|=|↑d|=|↑e|=2 (A)
↑b・↑c=↑c・↑d=↑d・↑e=↑e・↑b=2 (B)
↑b・↑d=↑c・↑e=0 (C)
(∵)条件から△ABD≡△ACE≡△BCD

後は内積を取るベクトルを↑b,↑c,↑d,↑eの式で
表し、展開をして(A)(B)(C)を代入します。

例えば
(1)
↑ED・↑BE=(↑d-↑e)・(↑e-↑b)
=-(↑e-↑d)・(↑e-↑b)
=-{|↑e|^2-(↑d+↑b)・↑e+↑d・↑b}
=-(2^2-2-2)
=0
No.89680 - 2024/12/27(Fri) 14:27:10
☆ Re: ベクトルの内積 / 数学苦手
このやり方ならできそうです！
ありがとうございます！
No.89681 - 2024/12/27(Fri) 15:32:27
★ 数学探求にて / ジョーマ
開成高校に通ってる高校2年生です。
以下の写真に書かれてる式ができたんですけどこれ以上シンプルにできないか検討してます。何か案があればご協力お願いします🙇
No.89676 - 2024/12/26(Thu) 12:48:25
☆ Re: 数学探求にて / ジョーマ
これです。
No.89677 - 2024/12/26(Thu) 12:57:43
☆ Re: 数学探求にて / IT
何を表す式かを示された方が回答が付きやすいかも知れません。
No.89678 - 2024/12/26(Thu) 18:39:57
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です
（5）です

まぐれで正解しましたが

なぜ330÷5.5で計算してはいけないのですか？
No.89672 - 2024/12/25(Wed) 08:35:22
☆ Re: / ヨッシー
この問題はどう考えますか？
１１時ちょうどの状態から、次に長針と短針が重なるのは
何分後ですか？
No.89673 - 2024/12/25(Wed) 09:22:19
☆ Re: / やり直しメン
１時間後です
No.89674 - 2024/12/25(Wed) 09:48:35
☆ Re: / ヨッシー
どう考えるか聞いているのに、答えだけ言われても．．．

これこそ　330÷5.5 ですね？
330°離れているのを、１分間に 6−0.5＝5.5 ずつ追いついていくので、こういう式になります。

一方、対称の問題の方は、長針と短針とが、合わせて 330°だけ進むので、6＋0.5＝6.5 で割ります。
No.89675 - 2024/12/25(Wed) 12:59:49
★ (No Subject) / 有栖川
有界な閉区間において連続関数は最大値、最小値を持つことは、高校数学で用いて良いですか？
No.89670 - 2024/12/24(Tue) 21:34:22
☆ Re: / IT
良いと思います。
※数３の教科書には証明なしに　そのことが書いてあります。

※現行課程１つ前の教科書でした。現行課程のは未確認です。
No.89671 - 2024/12/24(Tue) 21:52:08
★ 中学校 / ゆう
(1)が分かりません。
答えは3/2です。
No.89666 - 2024/12/24(Tue) 07:41:28
☆ Re: 中学校 / ヨッシー
△ＡＢＣは直角三角形であり、ＡＣ：ＣＢ＝３：４ であれば、
　ＡＣ：ＣＢ：ＡＢ＝３：４：５
であるので、長さはそのまま　ＡＣ＝3cm、ＣＢ＝4cm です。
ＡＣとＢＤの交点をＧとします。
ＡＤ＝ＤＣより　∠ＡＢＤ＝∠ＤＢＣ　なので、
　△ＧＣＢ、△ＤＥＢ、△ＡＤＢ
は、相似な直角三角形です。
角の二等分線の定理より、
　ＡＧ：ＧＣ＝ＡＢ：ＢＣ＝５：４
よって、
　ＡＧ＝5/3 cm、ＧＣ＝4/3 cm
三平方の定理より、△ＧＣＢ、△ＤＥＢ、△ＡＤＢ　は
　１：３：√10
の直角三角形とわかります。
△ＡＤＢにおいて
　ＤＢ＝ＡＢ×3/√10＝15/√10
△ＤＥＢにおいて、
　ＤＥ＝ＤＢ/√10＝15/10＝3/2　・・・答え
No.89667 - 2024/12/24(Tue) 10:22:39
☆ Re: 中学校 / ヨッシー
算数の範囲で解くなら、
　ＧＣ：ＣＢ＝１：３
がわかったあとに、△ＧＣＢと相似な、△ＡＥＤ、△ＤＥＢにおいて、
　ＡＥ：ＤＥ＝１：３、ＤＥ：ＢＥ＝１：３
より、
　ＡＥ：ＤＥ：ＢＥ＝１：３：９
から、
　ＡＥ＝ＡＢ×1/10＝1/2
　ＤＥ＝ＡＥ×３＝3/2
とする方法もあります。
No.89668 - 2024/12/24(Tue) 10:30:50
☆ Re: 中学校 / ゆう
ありがとうございます！
No.89669 - 2024/12/24(Tue) 19:08:14
★ 中学校数学 / あめ
カッコ6が分かりません。
よろしくお願いします。
No.89664 - 2024/12/23(Mon) 23:51:13
☆ Re: 中学校数学 / IT
ヒントです。まず点に名前を付けます。（下図）

互いに高さが等しい三角形の面積の比から底辺の比が分かります。
△ABC:△ADC= : から BC:DC= :
△FDC:△FEC= : から DC:EC= :
No.89665 - 2024/12/24(Tue) 00:31:43
★ 高校入試 / ゆうま

(4)をお願いいたします。
No.89660 - 2024/12/23(Mon) 16:16:33
☆ Re: 高校入試 / ヨッシー
図のＦＨを通る線(面)で上下に分けます。
下の部分：半径３、高さ２の円錐
上の部分：半径３、高さ３の円錐から、
　　　　　半径0.5、高さ0.5 の円錐を２つ引いたもの
と考えられます。
順に、
９π×２÷３＝６π
９π×３÷３＝９π
0.25π×0.5÷３×２＝π/12
合計：６π＋９π−π/12＝179π/12
No.89661 - 2024/12/23(Mon) 18:15:43
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です

解説では速さの和を求めるのに
列車の長さの和÷27秒 としていました。

又、速さの差では
列車の長さの和÷67.5としていました。

私はこの速さの求め方がイメージしづらいと思い質問しました
No.89655 - 2024/12/23(Mon) 00:45:11
☆ Re: / やり直しメン
写真が掲載されていなかったらまた投稿させて頂きます
No.89656 - 2024/12/23(Mon) 00:48:11
☆ Re: / ヨッシー
列車Ａが速さａ、列車Ｂが速さｂですれ違うときの時間。
列車Ａが速さａ＋ｂで、止まっている列車Ｂの横を通過する時間。
この両者が同じことがイメージできますか？

同様に
列車Ａが速さａで、列車Ｂ（速さｂ）を追い越すときの時間。
列車Ａが速さａ−ｂで、止まっている列車Ｂの横を通過する時間。
も同じです。
No.89658 - 2024/12/23(Mon) 09:56:20
★ より早い方法は？ / 医学部志望の浪人生
5544の正の約数のうち、282より大きく564より小さいものはいくつあるか。

答えは4つなのですが、自分で解いた時に素因数分解と見比べながらやってたら、1個数え忘れて3つになってしまいました。

数え忘れしにくくて早い方法を教えてください！
よろしくお願いします！
No.89646 - 2024/12/22(Sun) 18:54:15
☆ Re: より早い方法は？ / IT
282＜ n=5544/m　＜564 のmの方を見つけたらどうですか？
10から19まで順に5544の約数かを調べる。
No.89647 - 2024/12/22(Sun) 19:15:05
★ 解説お願いします。 / 中学三年
四角形ABCDは平行四辺形である。また、△ＢEC、△D CFはそれぞれ角CBE🟰90度、角FDC🟰90度の直角二等辺三角形である。AとＥ、AとFをそれぞれ結ぶとき問に答えよ。
（1）角ABC🟰124°のとき、角FAEを求めよ。
（2）図2のようにBEをADまで伸ばしたときの交点をＧとする。角ABC🟰135°、GB：BE🟰2：5とするとき、△ABGの面積と四角形ABDFの面積の比を簡単な整数の比で表せ。
No.89642 - 2024/12/22(Sun) 10:24:04
☆ Re: 解説お願いします。 / ヨッシー
(1)
△ＡＢＥと△ＦＤＡにおいて、
　ＡＢ＝ＤＣ＝ＦＤ
　ＢＥ＝ＢＣ＝ＤＡ
　∠ＡＢＥ＝∠ＦＤＡ＝360−90−124＝146（°）
より、
　△ＡＢＥ≡△ＦＤＡ
であり、
　∠ＡＥＢ＝∠ＦＡＤ
　∠ＢＡＥ＝∠ＤＦＡ
よって、
　∠ＦＡＤ＋∠ＢＡＥ＝∠ＦＡＤ＋∠ＤＦＡ＝180−146＝34（°）
以上より
　∠ＦＡＥ＝56＋34＝90（°）
(2)
　ＧＢ＝ＡＧ＝（２）
　ＢＥ＝ＢＣ＝ＡＤ＝（５）
と置きます。また、
　∠ＡＢＣ＝135°
より
　∠ＢＡＤ＝45°
となり、△ＡＢＧは直角二等辺三角形、△ＤＣＦはそれを２つくっつけた直角二等辺三角形となり、
　ＣＦ＝（４）、ＡＤ⊥ＦＣ
となります。
　△ＡＢＧは直角を挟む２辺が（２）の直角三角形。
　△ＡＢＤは底辺（５）、高さ（２）の三角形
　△ＡＤＦも底辺（５）、高さ（２）の三角形
よって、
　△ＡＢＧ：四角形ＡＢＤＦ＝２×２：５×４＝１：５
No.89657 - 2024/12/23(Mon) 09:41:36
★ 慶応大学過去問 / Higashino
慶応大学過去問

積分

何卒よろしくお願いします

以下問題
No.89641 - 2024/12/22(Sun) 06:30:57
☆ Re: 慶応大学過去問 / ポテトフライ
誘導通りにやるのがよいでしょう。

t=x+√(x^2+1)とおくと
(t-x)^2=x^2+1
x=t/2-1/2t
よってdx=(1/2+1/2t^2)dt,√(x^2+1)=t-x=t-t/2-1/2t=t/2+1/2t
よりCを積分定数として
与式=∫(t/2+1/2t)(1/2+1/2t^2)dt
=(t^2-1/t^2)/8+1/2*log|t|+C
=(x√(x^2+1))/2+1/2*log|x+√(x^2+1)|+C


※この積分は有名なものです。置換の仕方も含めて暗記で良いと思います。

※これはy=x^2の曲線の長さを求める積分の準備になります。
例えばx=0〜1の長さなら積分区間が[0,1]などとなります。
より詳しくは曲線の長さ、積分で検索すると出てきます。
No.89653 - 2024/12/22(Sun) 21:55:34
★ 弘前大学過去問 / Higashino
弘前大学過去問

積分

何卒よろしくお願いします

以下問題
No.89640 - 2024/12/22(Sun) 06:30:16
☆ Re: 弘前大学過去問 / X
原始関数を求めずに定積分の値を計算する
典型的な問題ですね。

求める定積分の値を順にI,Jとすると
I+J=∫[0→π/2]dx=π/2 (A)
一方、Iにおいて
x=π/2-t
と置くと
I=-∫[π/2→0]{(cost)/(cost+sint)}dt
∴I=J (B)
(A)(B)より
I=J=π/4
ということで二つの定積分の値は
いずれもπ/4になります。
No.89649 - 2024/12/22(Sun) 20:49:24
★ 確率 / アヤ

問題
・52枚の１組のトランプから同時に５枚を抜き出すとき、次の確率を求めよ。

クラブ3枚と、他の絵札が2枚である確率

解答は「0.00366」となっていて、解説がありませんでした。自分なりで解きましたが「0.00366」になりませんでした。どこに問題があるのか教えていただけると助かります。


52枚の１組のトランプから同時に５枚を抜き出す事象
52C5=2598950

クラブ3枚の事象　13C3＝286
他の絵札2枚の事象　9C2=36
よって、クラブ3枚と、他の絵札が2枚の事象
286×36＝10296

10296/2598950＝0.00396
No.89632 - 2024/12/21(Sat) 13:59:11
☆ Re: 確率 / らすかる
0.00396で正しいと思います。
0.00366は書き写しミスか何かでしょう。
No.89633 - 2024/12/21(Sat) 14:41:40
☆ Re: 確率 / アヤ
らすかる様

ご返信ありがとうございます。
解き方が間違いないことで安心できました。
No.89634 - 2024/12/21(Sat) 14:54:27
★ 極 / あおい
(1)点Pのx座標が5/2のとき、四角形PQORの面積
　答え：3√14/2

(2)点Pがのx座標が4のとき、直線QRの方程式
　答え：4x+y=9


答えは分かっているのですが、解き方が分からないです。
No.89631 - 2024/12/21(Sat) 13:37:42
☆ Re: 極 / ヨッシー
点Ｐがどこにあっても
　∠ＰＱＯ＝∠ＰＲＯ＝90°
　△ＰＱＯ≡△ＰＲＯ
　ＯＱ＝ＯＲ＝３
であることは変わりません。

(1)
Ｐの座標は (5/2, 5/2) であるので、
　ＰＯ＝5√2/2
　ＰＱ＝√(ＰＯ^2−ＯＱ^2)＝√(25/2−9)＝√14/2
　△ＰＱＯ＝ＰＱ×ＱＯ÷２＝3√14/4
よって、四角形ＰＱＯＲの面積はその２倍で、
　3√14/2　・・・答え

(2)
Ｐの座標は(4, 1) より、この点から円
　ｘ^2＋ｙ^2＝９に引いた２接線の接点を結ぶ直線の式は
　４ｘ＋ｙ＝９
説明はこちらなど。
No.89659 - 2024/12/23(Mon) 10:19:37
★ 電通大過去問 / Higashino
電通大過去問

積分

何卒よろしくお願いします

以下問題
No.89629 - 2024/12/21(Sat) 10:46:34
☆ Re: 電通大過去問 / X
∫[1→√c]{f(x)/x}dx=3 (A)
f(x)=f(c/x) (B)
とします。
(A)に(B)を代入して
∫[1→√c]{f(c/x)/x}dx=3 (A)'
ここでc/x=tと置くと
x=c/t
∴dx=-(c/t^2)dt
でx:1→√cにc:c→√cが対応し
(A)'は
-∫[c→√c]{tf(t)/c}(c/t^2)dt=3
これより
∫[√c→c]{f(t)/t}dt=3
∫[√c→c]{f(x)/x}dx=3 (A)"
(A)+(A)"から
∫[1→c]{f(x)/x}dx=6
No.89638 - 2024/12/21(Sat) 20:53:25
☆ Re: 電通大過去問 / Higashino
x 先生、おはようございます

ご回答ありがとうございます

以下、私の当番です

ご指摘アドバイス等ありましたらよろしくお願いいたします
No.89639 - 2024/12/22(Sun) 03:27:54
☆ Re: 電通大過去問 / X
方針に問題はありません。
但し、添付写真の解答2行目の真ん中辺りで
dxが抜けています。
No.89648 - 2024/12/22(Sun) 20:46:15
★ 積分 / Higashino
積分

何卒よろしくお願いします

関東学院大学過去問

以下問題
No.89626 - 2024/12/21(Sat) 07:55:53
☆ Re: 積分 / X
(1)
与式の第二項において
x=f(t)
と置くと
f'(x)＞0
よりf(x)は単調増加なので
x:5→8
に
t:2→4
が対応し
(与式)=∫[2→4]f(x)dx+∫[2→4]tf'(t)dt
=∫[2→4]f(x)dx+[tf(t)][2→4]-∫[2→4]f(t)dt
=4f(4)-2f(2)
=32-10
=22

(2)
部分積分により
∫[2→4]xf'(x)dx=[xf(x)][2→4]-∫[2→4]f(x)dt
=4f(4)-2f(2)-14
=8 (∵)(1)の過程より

(3)
x=f(t)と置くと、(1)の過程と同様にして
(与式)=∫[2→4]{f'(t)/f(t)}dt=logf(4)-logf(2)
=log(8/5)
No.89627 - 2024/12/21(Sat) 08:50:19
☆ Re: 積分 / Higashino
x 先生、こんにちは

ご回答ありがとうございます

今は積分を始めて、右も左もわからない状態です

基礎に戻り、公式が正しく使えるような草案を作ってみました

ご指摘アドバイスのでいただけると幸いです

以下答案
No.89628 - 2024/12/21(Sat) 09:16:02
☆ Re: 積分 / X
問題ないと思います。
No.89637 - 2024/12/21(Sat) 20:40:22
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