| 予想されるのは、四面体ＡＢＣＤに対して
kＰＡ＋lＰＢ＋mＰＣ＋nＰＤ＝０ ・・・(i)
を満たすｋ，ｌ，ｍ，ｎが存在するとき、
１．点Ｐは四面体ＡＢＣＤの内部にある。
２．四面体ＰＢＣＤ：ＰＣＤＡ：ＰＤＡＢ：ＰＡＢＣ＝ｋ：ｌ：ｍ：ｎ
というものですが、やってみましょう。
ａ＝ＤＡ、ｂ＝ＤＢ、ｃ＝ＤＣとします。
(i) より
nＤＰ＝kａ＋lｂ＋mｃ−(k+l+m)ＤＰ
(k+l+m+n)ＤＰ＝kａ＋lｂ＋mｃ ・・・(ii)
ＤＰと３点ＡＢＣの作る面（以下面ＡＢＣという）との交点をＨとします。
Ｄ，Ｈ，Ｐは同一直線上にあるので、
ＤＨ＝hＤＰ (ｓは実数)
とおけます。
ＤＨ＝ｈＤＰ＝h{kａ＋lｂ＋mｃ}/(k+l+m+n)
Ｈは面ＡＢＣと同じ平面上にあるので、
h(k+l+m)/(k+l+m+n)＝1
h＝(k+l+m+n)/(k+l+m)＞1
よって、３点Ｄ，Ｐ，Ｈは、同一直線上に、この順に位置する。
つまり、面ＡＢＣに対してＤとＰは同じ側にあります。
他の３面に対しても同様のことが言えて、点Ｐは四面体ＡＢＣＤの内部にあります。
一方、
ＤＰ＝(1/h)ＤＨ＝(k+l+m)/(k+l+m+n)
より
ＰＨ＝{1-(1/h)}ＤＨ＝{n/(k+l+m+n)}ＤＨ
よって、
四面体ＰＡＢＣ＝{n/(k+l+m+n)}四面体ＡＢＣＤ
同様に
四面体ＰＢＣＤ＝{k/(k+l+m+n)}四面体ＡＢＣＤ
四面体ＰＣＤＡ＝{l/(k+l+m+n)}四面体ＡＢＣＤ
四面体ＰＤＡＢ＝{m/(k+l+m+n)}四面体ＡＢＣＤ
となり、
四面体ＰＢＣＤ：ＰＣＤＡ：ＰＤＡＢ：ＰＡＢＣ＝ｋ：ｌ：ｍ：ｎ
が言えます。
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No.76490 - 2021/07/07(Wed) 06:25:58 |
