これって合ってますか？
それと、(2)で求めた表現行列を用いて、
f(x)=1+x+x^2+x^3に対しT(f(x))を計算せよ。を教えてください。
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No.79976 - 2021/12/14(Tue) 21:36:50
| ☆ Re: 線型写像 / ast | | | (1) は「間違いは確かに書いてないが肝心の根拠の部分も全く書いてないので0点 (白紙と大差ない)」というよくあるパターンですね (例えば少し前の別のスレッドも同様の指摘がされています).
# 式で書くとわからないのかもしれませんが, ここでの論旨を文章で書くなら
# 「T の線型性は微分(作用素) (•)' および積分(作用素)∫[0,x]•dt 両者がともに線型であることに帰着される」
# ということなので, 根拠となる両者の線型性を用いた場面が分かるように記述されなければ.
(2) は問題ないと思います.
> f(x)=1+x+x^2+x^3に対しT(f(x))を計算せよ。
は f(x) の (指定された基底に関する) 座標ベクトルに得られた表現行列を掛けるだけですから, 特に説明する必要はないと思います.
# むしろこれを訊いてくるということは, やり方だけなぞって意味は何も読み取れていないということです
## 「任意のベクトル v を線型写像 φ で別のベクトル φ(v) に移す」という操作は
## 定義域および終域における基底の組を固定して, 座標ベクトルに関してのみ考えると
## 「v の座標ベクトルに φ の表現行列を掛ければ φ(v) の座標ベクトルになる」という形で記述できる
## というのが線型写像の行列表現の意味なので.
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# まあ意味を抜かして式だけ覚えても本問はできるとは思うが:
a,b,c,d を任意のスカラーとして T((1,x,x^2,x^3)(a;b;c;d)) = (1,x,x^2,x^3,x^4)(α;β;γ;δ;ε) となるとき, T の表現行列が M であることを定義通りに書けば
T((1,x,x^2,x^3)(a;b;c;d))=:(1,x,x^2,x^3,x^4)M(a;b;c;d),
したがって T の線型性から
(T(1),T(x),T(x^2),T(x^3))(a;b;c;d)=(1,x,x^2,x^3,x^4)M(a;b;c;d)
なので, これらに注意すると M は
[i] 座標の間の関係: M(a;b;c;d)=(α;β;γ;δ;ε)
(# 同じ基底で表した (1,x,x^2,x^3,x^4)(α;β;γ;δ;ε)=(1,x,x^2,x^3,x^4)M(a;b;c;d) における係数比較)
[ii] 基底の間の関係: (T(1),T(x),T(x^2),T(x^3))=(1,x,x^2,x^3,x^4)M
(# (T(1),T(x),T(x^2),T(x^3))(a;b;c;d)=(1,x,x^2,x^3,x^4)M(a;b;c;d) が任意の a,b,c,d で成り立つ)
の両方を記述するものになっている (ただし, 座標変換と基底変換では行列を掛ける向きが左からと右からで異なる) から, 前半は [ii] の関係で M を求めて, 後半は [i] の関係で座標 (a=b=c=d=1 のときの α,β,γ,δ,ε) を求める話になってるというふうに言うことができる.
だからむしろ意味よりは基底と座標をちゃんと両方明記した関係式
(T(1),T(x),T(x^2),T(x^3))(a;b;c;d)=(1,x,x^2,x^3,x^4)M(a;b;c;d)= (1,x,x^2,x^3,x^4)(α;β;γ;δ;ε)
の形 (もうちょっと一般に任意の基底の組と任意の線型写像を使って書いたほうがいいとは思う) で読み取っているかどうかを問うた方がよかったかもしれない (が, 見ての通り式がごちゃごちゃするだけで本質は見えにくいと思うのでここでおまけ程度に触れるにとどめる).
### (まあ過去に何度も同じような解説を書いてるので掲示板上部の記事検索からでも見てくれれば
### もっとアホみたいにごちゃごちゃ書いてるのは分かると思う.)
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No.79990 - 2021/12/15(Wed) 14:53:57 |
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