?Z(2)について分かりません。お願いします。
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No.81986 - 2022/05/09(Mon) 21:08:38
| ☆ Re: / ast | | | (もし特定のやり方に特段こだわるとかだとどうかわかりませんが) ほとんどただの成分計算の問題だと思うので, もう少し質問趣旨を明確にしてもらった方がいいと思います.
# 表現行列の求め方は既知 (過去ログに「キリンさん」さんによる線型写像の行列表現の問題
# に関する質問がいくつかある) という認識で, 一般論は (おそらく質問趣旨を外れると思いますので)
# いまさらとくに述べるつもりはしていません (追加のやり取りで必要となったならば書くことは
# やぶさかではありません. が, その場合は教科書等を参照し直したほうが安心だとは思います).
## 過去のキリンさんというお名前の質問者さんが同一人物でない場合は申し訳ありません.
R^3 の任意の点 x := t(x,y,z) = x t(1,0,0) + y t(0,1,0) + z t(0,0,1) の T による像 T(x) = x - 2 (x,n)/(n,n) n =: χ t(1,0,0) + η t(0,1,0) + ζ t(0,0,1) を具体的に計算したとき, 変換後の座標成分 χ,η,ζ を変換前の座標成分 x,y,z (といまは l,m,n も) の式で表せというのが「標準基底に関する表現」という文言の意図です. なのでそういう意味で計算問題だと申し上げています.
# 具体的な T(x) の式は各成分 χ,η,ζ がいずれも x,y,z の斉一次式なので,
# 自然に3×3行列と座標ベクトル t(x,y,z) の積に見えるぐらいでないとダメなレベルだと思います.
いうまでもないですが, 他の基底 (の組) に関する表現という場合は, 上の説明において標準基底 {t(1,0,0), t(0,1,0), t(0,0,1)} の部分をそのとき考えたい基底で置き換えて (したがって, 問題と同じベクトル t(x,y,z) や T(t(x,y,z)) だったとしてもそれらの座標は t(x,y,z) や t(χ,η,ζ) ではなく考えたい基底ベクトルで表したときの係数列で置き換えて), 表現行列はそれらの間の座標変換を行う行列として求めます.
# なお, 本問における T は n を法ベクトルとする平面に関する鏡映変換になります.
# もし n の長さが 1 なら分母 (n,n)=1 も書かなくてよくなるので式はかなりすっきりしますね.
## いやまあそうでなくてもそこまで複雑な形にはならない (むしろ十分綺麗) ですが.
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No.81990 - 2022/05/10(Tue) 05:38:46 |
| ☆ Re: / キリンさん | | | > R^3 の任意の点 x := t(x,y,z) = x t(1,0,0) + y t(0,1,0) + z t(0,0,1) の T による像 T(x) = x - 2 (x,n)/(n,n) n =: χ t(1,0,0) + η t(0,1,0) + ζ t(0,0,1) を具体的に計算した
ときの形がどのようになるのかが分かりません。
教科書に載っている表現行列の問題はそのまま行列の形やT(f)=f'(x)x+f(0)x^2+f(1)のような問題なのでこの問題のような形で示されている場合にどうすればよいのかわからないんです。
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No.81991 - 2022/05/10(Tue) 11:23:15 |
| ☆ Re: / ast | | | まだちょっと質問趣旨がうまく読み取れないので申し訳ないのですが,
> 〜ときの形がどのようになるのかが分かりません。
というのはつまりベクトルの式 x - 2 (x,n)/(n,n) n に x := t(x,y,z), n := t(l,m,n) を代入する (代入先の式を成分で表す) という "行為自体が分からない" ("代入先の式そのものの意味がそもそも分からない" 場合も含む) ということですか? あるいは行為は分かる (その結果が R^3 のベクトルであることは分かる) が3つある "成分が各々 x,y,z,l,m,n で書けない" という意味ですか?
もしそういった意味であるのなら, いずれにせよ, 高校でならったはずのベクトルの計算 (ベクトルの引き算, ベクトルの内積, ベクトルのスカラー倍) が (前者ならベクトル計算そのものが, 後者なら成分表示でのベクトル計算が) そもそもできないということになるので (その時点でこちらとしてはお手上げと感じますが), そこから続けるには「できないのはどこの部分のどの種類の計算か」もっと具体的な箇所を指示していただく必要がると思います.
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さすがにそうでないと信じますので続けると, まずは代入した結果がどうなったか (座標ベクトル t(χ,η,ζ) でも像ベクトル T(x) の成分でも今は同じことなので) 提示してください (そうでないとどこができない部分なのか見当がつかず解説すべきところがはっきりさせられません). 既に書いていますが, 成分計算さえ済ませば「自然に3×3行列と座標ベクトル t(x,y,z) の積に見る」形
# 実際, T(x) の (標準基底に関する) 各座標成分 χ,η,ζ を計算したものはそれぞれ
# l,m,n の式からなる R^3 の適当な3つのベクトル α,β,γ それぞれと x=t(x,y,z) との内積 (α,x), (β,x), (γ,x))
# と見なせる x,y,z の斉一次式になるので, T(x) = t(tα,tβ,tγ) t(x,y,z) と書けることは明らかです
# (この右辺は "3成分横ベクトルを縦に3つ並べた3×3行列" と "3成分縦ベクトル (3×1行列)" の積です).
## もうちょっと一般に任意の基底に関する議論につなげるなら "基底ベクトルを横に並べた3×3行列" も
## 掛けた T(x) = (t(1,0,0),t(0,1,0),t(0,0,1)) t(tα,tβ,tγ) t(x,y,z) の形だと認識すべきところですが
## 見ればわかる通り標準基底の場合, 並べた行列は単位行列なので書かなくても同じ.
なので, 具体的に成分を書きさえすれば
> そのまま行列の形やT(f)=f'(x)x+f(0)x^2+f(1)のような問題
に当てはまる状態 (とくに「そのまま行列の形」が出てる問題) と言えます.
# だから, 繰り返しになりますが本問は「ほとんど成分計算の問題」だと私は捉えています.
## 表現行列の成分を計算するために, 座標ベクトルが (x,y,z)=(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) の各場合
## (つまり各基底ベクトルの行き先 (の座標ベクトル)) を計算して横に並べる方法
## がご存じの通り典型的かと思いますが, 本問の計算量ならもっと泥臭くベクトルの計算をしても
## 問題ない (むしろそのほうが早いし直観的にわかりやすいということもあると思います) ので
## No.81990 の最初でも「特定のやり方にこだわらなければ」というような言い回しをしています.
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No.81992 - 2022/05/10(Tue) 17:12:43 |
| ☆ Re: / ast | | | もし No.81992 の前半で予想したような状態であるとか, あるいは何してるのかイメージがわかないという系統の疑問の場合, 成分に依存した記述からはなれてよいなら (だいぶ脱線気味ではありますが),
> # なお, 本問における T は n を法ベクトルとする平面に関する鏡映変換になります.
と既に書いてはいますが, n の大きさを ‖n‖ と書くと, ‖n‖^2 = (n,n), n-方向の単位ベクトル (1/‖n‖)n に対し, 内積 (x, (1/‖n‖)n) = (x,n)/‖n‖ は x の n-方向の大きさで, したがって (1/‖n‖)n のスカラー ((x,n)/‖n‖)-倍 (((x,n)/‖n‖)/‖n‖)n = ((x,n)/(n,n))n は x の n-方向成分だから,
x - ((x,n)/(n,n))n は x から n の法平面へ下ろした垂線の足, さらに引いた
x - 2((x,n)/(n,n))n =: T(x) は n の法平面に関して x と対称の位置にある点の位置ベクトル
になることがわかります.
なお, 初めから n が単位ベクトルのときは, 上の議論で ‖n‖=1 とおく, あるいは (1/‖n‖)n を改めて n と一斉に置き直す, ということと同じなので, 記述をなぞると
「単位ベクトル n に対し, 内積 (x, n) はベクトル x の n-方向の大きさで, したがって単位ベクトル n のスカラー (x,n)-倍 (x,n)n はベクトル x の n-方向成分だから, T(x) = x - 2(x,n)n は n の法平面に関して x と対称の位置にある点の位置ベクトル」
と書けます. これなら式も成分ももとの問題よりはややこしくないはずなので, もとの問題でもまずは ‖n‖=√(l^2+m^2+n^2)=1 という仮定のもとで成分計算してみることを検討してみませんか.
# まあ計算量的には大して変わらないとは思うけれども.
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No.81994 - 2022/05/10(Tue) 20:50:18 |
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