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★ 東京工業大学　整数問題 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
こんにちは

何卒宜しくお願い致します。

以下問題の(3)です
No.80621 - 2022/01/31(Mon) 16:22:23
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / IT
まず、a(1),a(2),a(3),a(4)、a(5)、 a(6) を計算してみてください。
No.80624 - 2022/01/31(Mon) 17:10:42
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ご回答ありがとうございます。

一つ質問があります
＞まず、a(1),a(2),a(3),a(4)、a(5)、 a(6) を計算してみてください。

既に計算していますが、それをどう使うのでしょうか。
No.80627 - 2022/01/31(Mon) 17:46:29
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
この問題の考え方の指針を教えてください。

何卒宜しくお願い致します。
No.80628 - 2022/01/31(Mon) 17:48:16
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / IT
> 一つ質問があります
> ＞まず、a(1),a(2),a(3),a(4)、a(5)、 a(6) を計算してみてください。
>
> 既に計算していますが、それをどう使うのでしょうか。

どうなりましたか？

分子、分母の　各素因数の指数や、全体のサイズに注目すると絞れるかも知れません。
No.80629 - 2022/01/31(Mon) 18:45:12
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
早速のご返答ありがとうござい

質問があります

私もnに制限を設ける策で試行錯誤していますが、nは最大いくつまで制限を設けるべきでしょうか

何卒宜しくお願い致します。
No.80631 - 2022/01/31(Mon) 18:50:11
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
私は次のように考えました
No.80636 - 2022/01/31(Mon) 19:41:40
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / IT
私もこれからやってみるところですが、
分子が(n+2)(n+3)(n+4) なので､素因数３の方が数えやすいかも知れませんね。

ある素因数p（２とか３）について
ある自然数nで
　a(1)a(2)a(3)...a(n)の分子のpの指数＜分母のpの指数となり、かつ
　任意のm＞n について　
　　a(m)の分子のpの指数≦a(m)の分母のpの指数
となることを示せれば

n 未満について　個別に調べればいいですね。
a(k)が整数でないkについて　
　a(1)a(2)a(3)...a(k) が整数になるかどうかを調べる。
（p以外の素因数の指数について確認すれば良いです。）


本質的なことではないですが、
2^2,2^2,2^3,も、2,2,3 と指数だけ記述した方が早いですよ。
No.80637 - 2022/01/31(Mon) 20:03:56
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ご返答ありがとうございます

今日は疲れてしまい
明日またご質問致します。

ありがとうございました
No.80643 - 2022/01/31(Mon) 22:09:57
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
後は自分で処理出来そうです

ありがとうございました
No.80647 - 2022/02/01(Tue) 17:23:46
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / IT
任意のm＞n について　
　　a(m)の分子(m+2)(m+3)(m+4)のpの指数≦a(m)の分母m!のpの指数
となることを簡明に示すことがポイントだと思います。

なお、m！の素因数p の指数計算は、整数の典型問題の一つです。
（そんなに厳密に計算しなくても良いかも知れませんが）
No.80649 - 2022/02/01(Tue) 18:31:31
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / 黄桃
終わったようなので、簡単にコメントします。
おそらく、(1),(2),(3)と順にヒントになっているのでしょう。
(1)で「a(n)はnが2以上で狭義単調減少で急速に0に収束する」(a(n+1)=(n+5)/((n+2)(n+1)) * a(n))ことがわかるので、これを使って
(2)ではa(n)が1より小さくなるところ(実際a(6)=1)までを調べればよい、とわかる。
すると、これより先はa(n)<1で、a(n)は急激に小さくなるので、
(3)でも、意外と早くa(1)a(2)...a(n)<1 となるnが見つかるのではないか、
と考えて試しにa(1)...a(7),a(1)...a(8),a(1)...a(9)を計算してみれば、予想が正しそう、とわかり、
a(1)...a(10)まで計算すれば答がわかるようになっているようです。
No.80657 - 2022/02/02(Wed) 00:13:29
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
IT先生、黄桃先生

本当に有難うございました
No.80660 - 2022/02/02(Wed) 03:38:37
★ 強制振動の解　運動方程式 / ななし
次のローレンツモデルにおける強制振動の解(21.2)が運動方程式を満たすことを確認せよと言う問題なのですがうまくいきません。
どなたか教えてください
No.80619 - 2022/01/31(Mon) 15:40:36
☆ Re: 強制振動の解　運動方程式 / X
(d/dx)e^(iωt)=iωe^(iωt)
(d^2/dx^2)e^(iωt)=(-ω^2)e^(iωt)
以上を踏まえて、(21.2)を(21.1)の左辺に
代入した式を計算してみましょう。
No.80626 - 2022/01/31(Mon) 17:36:55
☆ Re: 強制振動の解　運動方程式 / ななし
> (d/dx)e^(iωt)=iωe^(iωt)
> (d^2/dx^2)e^(iωt)=(-ω^2)e^(iωt)
> 以上を踏まえて、(21.2)を(21.1)の左辺に
> 代入した式を計算してみましょう。
係数の関係で消えないんですよね
No.80632 - 2022/01/31(Mon) 18:58:52
☆ Re: 強制振動の解　運動方程式 / X
提示する式が違っていました。
(d/dx)e^(iωt)=iωe^(iωt)
(d^2/dx^2)e^(iωt)=(-ω^2)e^(iωt)
ではなくて
(d/dx)e^(-iωt)=-iωe^(-iωt)
(d^2/dx^2)e^(-iωt)=(-ω^2)e^(-iωt)
です。


分かりやすくするため、(21.2)のe^(-iωt)の係数
をαとします。
つまり
X=αe^(-iωt)
α=-(e/m)E[0]/(ω[0]^2-ω^2-iωΓ)
このとき
((21.1)の左辺)=mα(-ω^2-iΓω+ω[0]^2)e^(-iωt)
=mα(ω[0]^2-ω^2-iωΓ)e^(-iωt)
=-eE[0]e^(-iωt)
=((21.1)の右辺)
No.80639 - 2022/01/31(Mon) 20:47:12
☆ Re: 強制振動の解　運動方程式 / ast
> 係数の関係で消えないんですよね
# 誤植の可能性も考えて実際に代入してみましたが, ちゃんと成立する式ですね.

代入して満たされることを確かめればよい単純計算系の問題ですから, うまくいかないのは途中計算に誤りがあるとか (この場合微分に関する?) 基本的な計算で勘違いがあるとかそういうことだろうと思いますが, であるからこそ回答側が質問者側の犯しているその種の間違いを想像することは難しい (きちんと計算すれば間違わない) ので, 質問者側が現状開示するほうが有効だと思います.

# ケアレスミスの類いなら自力で発見できるほうがよいので回答者は模範答案の提示をためらうでしょうし,
# 根本的な勘違いがあるなら本人以外が検討して指摘したほうがよいでしょうから,
# いずれにしても質問者が具体的にどういう計算をやったかを他人が確認できる状況に自らもっていく
# というのは質問力として重要なファクターだと考えます.
No.80641 - 2022/01/31(Mon) 20:54:16
★ GDPの成長率の問題 / るみ
今後10年でGDPを3倍にするという計画を達成するには毎年平均何パーセントの成長率が必要になりますか。
複利計算を使うのですがどうしても答えがわかりません。
解説していただけるとうれしいです。
No.80616 - 2022/01/30(Sun) 22:02:08
☆ Re: GDPの成長率の問題 / X
平均成長率をx[%]とすると、条件から
(1+x/100)^10=3
これより
x=100・{3^(1/10)-1}≒11.6
∴約11.6%です。
No.80617 - 2022/01/30(Sun) 23:52:04
★ 浜学園の算数　6年の問題です / ゆうくん
斜線部分の面積を求める問題です。
解答は(17x25-5x9)÷2=190 （cm2）
ですが、解説をいただけると嬉しいです。よろしくお願いいたします。
No.80602 - 2022/01/30(Sun) 18:14:59
☆ Re: 浜学園の算数　6年の問題です / ヨッシー

図において、四角形ＡＢＣＤが求める四角形です。
一方、四角形ＡＢＥＤ＝25×17÷2 ですが、
これに比べて、四角形ＡＢＣＤはどれだけ小さいかというと、
△ＢＥＣと△ＤＥＣの差だけ小さいです。
両者は底辺ＥＣ＝9cm が共通で、高さが5cm 違うので、
△ＤＥＣは△ＢＥＣより
　9×5÷2
だけ小さいです。
No.80609 - 2022/01/30(Sun) 19:13:54
☆ Re: 浜学園の算数　6年の問題です / ゆうくん
返信ありがとうございました。図を見ることができないのですが、どのようにしたら見ることができるのでしょうか？ご教授お願い致します。
No.80610 - 2022/01/30(Sun) 19:57:53
☆ Re: 浜学園の算数　6年の問題です / ゆうくん
すみません。今、図を見ることができました。解説を確認します。
No.80611 - 2022/01/30(Sun) 20:02:37
☆ Re: 浜学園の算数　6年の問題です / ゆうくん
分かりやすい解説ありがとうございました。受験直前で浜の先生にも聞けず、困っておりましたが助かりました。感謝いたします。
No.80612 - 2022/01/30(Sun) 20:09:33
☆ Re: 浜学園の算数　6年の問題です / ヨッシー
やや反則ですが、答えだけ知りたい場合は、こういう極端な
場合を考えるのも１つの手です。

No.80614 - 2022/01/30(Sun) 21:30:03
☆ Re: 浜学園の算数　6年の問題です / ゆうくん
別解まで教えていただき、ありがとうございます。もし可能でしたら、この等積変形の解説もいただけると助かります。よろしくお願いいたします。
No.80620 - 2022/01/31(Mon) 16:18:13
☆ Re: 浜学園の算数　6年の問題です / ヨッシー
いや、これは邪道なので、きれいに解説できるものではありません。

問題を見て、
　どの位置に9cm，5cm をとっても、作図できる。
→どの位置に9cm，5cm をとっても、面積は同じ
　でないと、問題が成立しない。
→9cm，5cm を右下に寄せてきた究極が上の図。
という発想です。
ずるい！
No.80622 - 2022/01/31(Mon) 16:29:33
☆ Re: 浜学園の算数　6年の問題です / ゆうくん
よくわかりました！息子もスゴイ！と感謝しております。ありがとうございました。
No.80625 - 2022/01/31(Mon) 17:23:41
★ (No Subject) / tommy
こちらの画像の式の導出が理解できておりません。よろしくお願いいたします。
No.80601 - 2022/01/30(Sun) 17:42:34
☆ Re: / ast
字が乱れていてよく読み取れないが, 「〜を示す」の次の行の右辺, 分母は Σ_i の添え字 i に依存しない定数 (ですよね?) だから, そもそもそれを最初に括りだしてしまったほうが見通しはよいのではないか, と思います.

# 少なくともその次の次の行で Σ を分母と分子のそれぞれに「分けて」いるようすですが,
# これは誤りで, まったく不可能な操作だと思います.
## 不可能なことがもし Σ の記法のせいで分からないなら "+" の記法を使って書いてみてください,
## (足すには通分しないといけない場面だと思います).
No.80603 - 2022/01/30(Sun) 18:17:07
☆ Re: / tommy
> 字が乱れていてよく読み取れないが, 「〜を示す」の次の行の右辺, 分母は Σ_i の添え字 i に依存しない定数 (ですよね?) だから, そもそもそれを最初に括りだしてしまったほうが見通しはよいのではないか, と思います.
→分母はx_i-x-（エックスバー）×x_iのため添え字iには依存してしまいます。
>
> # 少なくともその次の次の行で Σ を分母と分子のそれぞれに「分けて」いるようすですが,
> # これは誤りで, まったく不可能な操作だと思います.
> ## 不可能なことがもし Σ の記法のせいで分からないなら "+" の記法を使って書いてみてください,
> ## (足すには通分しないといけない場面だと思います).
→そうですよね、どうにか１にしようと書いてたのですが…
どうすれば１になるのでしょうか。
No.80604 - 2022/01/30(Sun) 18:31:31
☆ Re: / X
横から失礼します。

以下、xの平均を\xを書くことにします。

T_xx=Σ[i=1〜n](x[i]-\x)^2
=Σ[i=1〜n](x[i])^2-2Σ[i=1〜n]x[i]\x+Σ[i=1〜n](\x)^2
=Σ[i=1〜n](x[i])^2-2(\x)Σ[i=1〜n]x[i]+Σ[i=1〜n](\x)^2
=Σ[i=1〜n](x[i])^2-2n(\x)^2+n(\x)^2
=Σ[i=1〜n](x[i])^2-n(\x)^2
一方、
Σ[i=1〜n](x[i]-\x)x[i]
=Σ[i=1〜n](x[i])^2-Σ[i=1〜n]x[i]\x
=Σ[i=1〜n](x[i])^2-n(\x)^2
∴
T_xx=Σ[i=1〜n](x[i]-\x)x[i]
です。
No.80605 - 2022/01/30(Sun) 18:40:05
☆ Re: Σの扱いについて / tommy
xさんご教示いただきありがとうございます。
私もそうしたいのですが今回は下記のようにΣ{((x[i]-\x)xi)/Σ(x[i]-\x)^2)}となっております。
それでも可能でしょうか。
知識不足で申し訳ございませんが何卒宜しくお願い致します。
No.80607 - 2022/01/30(Sun) 18:56:50
☆ Re: / ast
> →分母はx_i-x-（エックスバー）×x_iのため添え字iには依存してしまいます。

これが根本的な誤りの原因だと思いますよく見たらこの式分子じゃん, 分母の話したいんだよ……. 分母 Txx の中に隠れている Σ と, 今計算しようとしている Σ は添え字が同じものではありません (二つの添え字は同期しませんので, 式全体の Σ の添え字 i とは区別して Txx の計算内の Σ の添え字は j とか k とか i とは別の文字にしてください).
# そういう意味で,画像では添え字を明示せずに誤魔化していることが根本原因だともいえるかと思います.

もう一度繰り返しますが, Σ_i の「分母」Txx は和をとる見かけの変数 i に関して定数です (Txx=Σ_j(x_j-\x)^2 の見かけの変数 j は和をとった時点で消えます).
No.80608 - 2022/01/30(Sun) 18:58:53
☆ Re: / tommy
astさん、追記いただきありがとうございます。
無事、導出出来ました。
私の理解不足により、お手数をおかけ致しました。
No.80613 - 2022/01/30(Sun) 20:09:47
★ 最小二乗法の不偏推定量の証明 / tommy
最小二乗法で得られた、推定値β~が母集団のその値βの不偏推定量であることを導出して確認したいのですが、画像の緑色の下線部が導出できず、困っております。ご教示いただけないでしょうか。
No.80599 - 2022/01/30(Sun) 17:39:53
☆ Re: 最小二乗法の不偏推定量の証明 / tommy
> 最小二乗法で得られた、推定値β~が母集団のその値βの不偏推定量であることを導出して確認したいのですが、画像の緑色の下線部が導出できず、困っております。ご教示いただけないでしょうか。
No.80600 - 2022/01/30(Sun) 17:41:05
★ (No Subject) / The meaning of goodbye
f(x)=x^3-(a+2)x^2+a^2x-1が極大値と極小値を持つaの値とそのときの極大値と極小値の差を求めよ

1／6公式を使うらしいのですが…
解説よろしくお願いします
No.80597 - 2022/01/30(Sun) 16:14:43
☆ Re: / The meaning of goodbye
f'(x)=3x^2-2(a+2)x+a^2
f'(x)=0の二つの解をα、βとおくと極大値と極小値の差はf(α)-f(β)と表すことができる。
f(a)-f(b)=インテグラル(β→α)f'(x)dx
=3×インテグラル(β→α)(x-α)(x-β)dx

で1／6公式を使うのだと思うのですが…
No.80618 - 2022/01/31(Mon) 00:04:09
★ (No Subject) / 春紫苑
放物線y=x^2と曲線y=(1/3)x^3+x^2-ax+2aの共有点のうちx>0の範囲にあるものの個数を求めよ

進めていって曲線y=(1/3)x^3と直線y=a(x-2)の共有点のうちx>0の範囲にあるものの個数を求めるというところまで行ったのですがその先がわかりません
No.80596 - 2022/01/30(Sun) 16:08:28
☆ Re: / X

問題の共有点のx座標はxの方程式
x^2=(1/3)x^3+x^2-ax+2a
つまり
(1/3)x^3-ax+2a=0
の解。
よって
f(x)=(1/3)x^3-ax+2a
と置くと、問題は
曲線y=f(x)とx軸の正の部分との交点の個数
を求めることに帰着します。

ここで
f'(x)=x^2-a
となることからf(x)の増減表を書くと
(i)a＜0のとき
f(x)は単調増加であり
f(0)=2a＜0
∴問題の共有点の数は1個
(ii)a=0のとき
f(x)は単調増加であり
f(0)=2a=0
∴問題の共有点の数は0個
(iii)a＞0のとき
f(x)は
極大値f(-√a)=(2/3)a√a+2a＞0
極小値f(√a)=-(2/3)a√a+2a=-(2/3)a(√a-3)
を持ち、更に
f(0)=2a＞0
∴
f(√a)＜0、つまり9＜aのとき、
問題の共有点は2個
f(√a)=0、つまりa=9のとき、
問題の共有点は1個
f(√a)＞0、つまり0＜a＜9のとき
問題の共有点は0個

以上から求める個数は
0≦a＜9のとき0個
a＜0,a=9のとき1個
9＜aのとき2個
No.80615 - 2022/01/30(Sun) 21:33:37
★ 多項定理 / 名前
(a+b+c)^n の展開式のうちa,bの次数が均しい項の和を求めたいです。
ご教授願います。
No.80592 - 2022/01/30(Sun) 14:45:11
★ せきぶん / おる
最初の方から分からなくなり困っています。
ここからの計算を知りたいです！
No.80584 - 2022/01/30(Sun) 09:00:37
☆ Re: せきぶん / おる
写真忘れてました、、
No.80590 - 2022/01/30(Sun) 12:48:18
☆ Re: せきぶん / X
l=∫[1→2]√{1+(1/x)^2}dx
=∫[1→2](1/x)√(1+x^2)dx
ここで
√(1+x^2)=t
と置くと
x^2=t^2-1
xdx=tdt
∴l=∫[√2→√5](1/x)t(t/x)dt
=∫[√2→√5]{(t^2)/(t^2-1)}dt
=…
No.80591 - 2022/01/30(Sun) 13:44:11
☆ Re: せきぶん / おる
とけました！ありがとうございます！
No.80593 - 2022/01/30(Sun) 14:51:43
☆ Re: せきぶん / X
ごめんなさい。もう見ていないかもしれませんが
No.80591に誤りがありましたので、直接
修正しました。
再度ご覧下さい。
No.80594 - 2022/01/30(Sun) 15:24:30
★ (No Subject) / ケイ
１年間で1÷1250000（0.00008％）の確率で起こることがあるとします。
80年間生きると起こる確率は何％になるのでしょうか？
計算式だけでなく答えも書いて頂けるとありがたいです。自分の答えと照合したいです。
No.80575 - 2022/01/30(Sun) 04:32:21
☆ Re: / IT
80年間起こらない確率を求めて１から引きます。
(1-(1-1/1250000)^80)*100　（％）

https://ja.wolframalpha.com/input/?i=%281-%281-1%2F1250000%29%5E80%29*100
No.80588 - 2022/01/30(Sun) 11:29:40
☆ Re: / ケイ
助かりました！
本当にありがとうございます！
No.80589 - 2022/01/30(Sun) 12:17:43
★ 数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
数列の極限

以下問題教えてください

質問は(1)だけです

何卒宜しくお願い致します。
No.80572 - 2022/01/29(Sat) 23:49:31
☆ Re: 数列の極限 / IT
a(n+1)/a(n)＝(n+5)/((n+2)(n+1))≦2/(n+1) なので

nが3以上のとき
　0＜a(n+1)/a(n)≦1/2
　∴0＜a(n+1)≦(1/2)a(n)≦((1/2)^(n-2))a(3)

∴lim(n→∞)a(n)=0
No.80573 - 2022/01/30(Sun) 02:06:13
☆ Re: 数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
お世話になります

以下のような考え方でも正しいでしょうか。

ご指導ください

何卒宜しくお願い致します。
No.80577 - 2022/01/30(Sun) 07:30:48
☆ Re: 数列の極限 / IT
考え方は良いと思いますが
２行目　、「n≧4 のとき」　などとした方がいいです。
３行目　、計算ミスか記入ミスがあるのでは？　再確認してください。

１行目　の記述は不要

４行目の前に「ゆえに」とか「∴」とかの接続詞を入れた方が良いです。
No.80579 - 2022/01/30(Sun) 07:53:37
☆ Re: 数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　 　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ありがとうございました
No.80645 - 2022/02/01(Tue) 12:40:25
★ 整数問題 / 桜蔭学園中学
何卒宜しくお願い致します。

以下問題

質問(2)のみです
No.80564 - 2022/01/29(Sat) 21:08:30
☆ Re: 整数問題 / IT
具体的に確認するのが早いかも
n=1,2,3,4 のときはOk が容易に分かる。
n=5のとき分子は５で割り切れない、分母は５の倍数なのでNG
n=6のときa(6)＝1　OK
No.80565 - 2022/01/29(Sat) 21:46:06
☆ Re: 整数問題 / IT
n≧7のとき
分母＞n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)
＝{n(n-5)}{(n-1)(n-4)}{(n-2)(n-3)}
≧(2n)(3n-3)(4n-8)＞(n+2)(n+3)(n+4)＝分子＞0
なのでNG
No.80566 - 2022/01/29(Sat) 21:57:27
☆ Re: 整数問題 / IT
a(6)=1 以降は
nが２以上のとき
　0＜a(n+1)/a(n)=(n+5)/((n+2)(n+1))＜1 であることを使えばいいですね
No.80567 - 2022/01/29(Sat) 22:09:59
☆ Re: 整数問題 / 桜蔭学園中学
ご回答ありがとうございます。

私は、次のように考えました

以下

適切か見ていただけると幸いです。
No.80568 - 2022/01/29(Sat) 22:25:00
☆ Re: 整数問題 / IT
n=1,2,3 のとき　１行目の式はまずいのでは？

g(n)とf(n) の大小関係がそのよう（nが8以上のときg(n)＜f(n))になること は、（正しいのですが）なぜ言えますか？
No.80570 - 2022/01/29(Sat) 22:50:46
☆ Re: 整数問題 / 桜蔭学園中学
ご指摘ありがとうございます。

以下のように答案を書き直しました

何卒宜しくお願い致します。
No.80571 - 2022/01/29(Sat) 23:11:52
☆ Re: 整数問題 / IT
ダメだと思います。
「グラフより・・・f,g 共に、単調に増加している(B)’」
グラフから単調増加が分かるのではないです。なぜ、そのようなグラフになると分かるのですか？

最後から２行目「・・・1,2,3,4,5,6を調べればよい。（∵(B)')」

なぜ(B)'から、上記が言えるのですか？
No.80576 - 2022/01/30(Sun) 07:28:03
☆ Re: 整数問題 / 桜蔭学園中等部２年　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
お世話になっております。

早速ですが

> グラフから単調増加が分かるのではないです

具体的にどういうことでしょうか、わからないときを、具体的にお示しください
No.80580 - 2022/01/30(Sun) 07:54:51
☆ Re: 整数問題 / 桜蔭学園中等部２年　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
f　は４以上から、ｇはー２から単調増加になることを示せということですか

何卒宜しくお願い致します。
No.80581 - 2022/01/30(Sun) 08:04:04
☆ Re: 整数問題 / IT
> > グラフから単調増加が分かるのではないです
>
> 具体的にどういうことでしょうか、わからないときを、具体的にお示しください

繰り返しになりますが、
y=f(x)のグラフが右肩上がりだから、f(x) が単調増加と分かるのではなくて、

何らかの数学的方法でf(x)が単調増加と分かったから、y=f(x)のグラフを右肩上がりで描いてよい。のです。
No.80582 - 2022/01/30(Sun) 08:15:51
☆ Re: 整数問題 / 桜蔭学園中等部２年　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ご連絡ありがとうございます。

要するの

f なら　f(5/2)・f(4) <　0

などの記述が必要ということですか

何卒宜しくお願い致します。
No.80583 - 2022/01/30(Sun) 08:39:39
☆ Re: 整数問題 / IT
この問題のf,g に限って言えば、
単に「n≧4でf(n),g(n)共に、単調増加している。」で良いと思います。「グラフより」は、無い方が良い。
ということです。

「明らかに」などと書く人もありますが、無駄・邪魔だと思います。
また、nが３以下のところのグラフ（特に f(n)）は、描かない方が良いと思います。


なお、ポイントは、最後から２行目「・・・1,2,3,4,5,6を調べればよい。（∵(B)')」

なぜ(B)'から、上記が言えるのですか？　の方だと思います。
No.80585 - 2022/01/30(Sun) 09:02:28
☆ Re: 整数問題 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ありがとうございました
No.80646 - 2022/02/01(Tue) 12:41:08
★ 数学三 微積分 / ひで
次の問題を解けずに困っています。
助けていただければ幸いです。

kは定数。-2 <= x <= 2で定義された関数f(x)=k+x+root(4-x^2)について、
曲線C y=f(x)を考える。
(1)曲線Cとx軸が共有点を持つためのkの条件
(2)-2 <= x <= 2, 0 <= y <=絶対値f(x) で表される領域をx軸の周りに一回転させてできる立体の体積Vを、kを用いて表せ。
(3) (1)のkの範囲でVが最小となるkの値と、その時のVの値を求めよ。

(1)では、f(x)がx=root(2)で極大。
増減表を考えて、
f(-2)<0,f(root2)>0 または f(2)<0,f(root2)>0
と考えましたが合っているのでしょうか？
No.80561 - 2022/01/29(Sat) 14:59:50
☆ Re: 数学三 微積分 / X
間違えています。

問題のf(x)は
極大値f(√2)=k+2√2
を取り、更に
f(-2)=k-2
f(2)=k+2
∴f(-2)＜f(2)＜f(√2)
∴求める条件は
f(-2)f(√2)＜0
です。
No.80562 - 2022/01/29(Sat) 19:06:37
☆ Re: 数学三 微積分 / ひで
Xさま
返信ありがとうございます。
その方針で解けました。
(2)はどうすれば良いのでしょうか？
絶対値f(x) にkがあるので、グラフの概形を考えるのも難しいです。
No.80563 - 2022/01/29(Sat) 19:15:32
☆ Re: 数学三 微積分 / X
問題のx軸で回転させる領域は、
y=|f(x)|
とx軸で囲まれた領域ですので、
回転により領域が被ることは
ありません。

このことと
{|f(x)|}^2={f(x)}^2
により、単に公式通り
π∫[-2→2]{{f(x)}^2}dx
を計算すれば問題ありません。
No.80574 - 2022/01/30(Sun) 02:33:46
☆ Re: 数学三 微積分 / ひで
Xさま

π∫[-2→2]{{f(x)}^2}dx
で計算できるのですね。
それなら自分で出来そうです。
ありがとうございました！
No.80606 - 2022/01/30(Sun) 18:43:51
★ 確認 / ひで
次の問題が解けずに困っています。
教えていただければ幸いです。

1つのサイコロを四回投げて、出た目をa,b,c,d、またN=a*b*c*dとする。
(1)N=720となる確率
(2)N=360となる確率
(3)N>720となる確率

(1),(2)は720,360を素因数分解することまでは考えましたが、そこからのやり方が思い浮かびません。
(3)は最大数、最小数に着目してみましたが、解決できませんでした。
どうかよろしくお願いします。
No.80557 - 2022/01/29(Sat) 14:05:53
☆ Re: 確認 / らすかる
(1)
720=2^4×3^2×5なので
・一つは5
・3か6が二つ
・4が一つ以上
であることから、組合せは自動的に(4,5,6,6)と決まります。
a,b,c,dが4,5,6,6になる組合せは4P2通りなので、
求める確率は4P2/6^4=1/108となります。

(2)
360=2^3×3^2×5なので
・一つは5
・3か6が二つ
なので、4がない場合は(2,5,6,6)、ある場合は(3,4,5,6)となります。
よって求める確率は(4P2+4!)/6^4=1/36となります。

(3)
720=4×5×6×6なので、これより大きくなるのは
(4,6,6,6),(5,5,5,6),(5,5,6,6),(5,6,6,6),(6,6,6,6)の5つしかありません。
順に4通り、4通り、4C2通り、4通り、1通りなので、求める確率は
(4+4+4C2+4+1)/6^4=19/1296となります。
No.80559 - 2022/01/29(Sat) 14:23:48
☆ Re: 確認 / ひで
なるほど！
ありがとうございました。
No.80560 - 2022/01/29(Sat) 14:31:03
★ 教えてください / べん
直角台形に直角三角形をくっつけて、一つの直角三角形にしたいんですけど、直角台形の値はわかるんですけど、くっつけたい直角三角形の値の出し方を教えて欲しいです;
説明下手ですいません
No.80556 - 2022/01/29(Sat) 14:02:01
☆ Re: 教えてください / らすかる
例えば上底がa、下底がb、高さがc（ただしa＜b）とすると
(くっつける直角三角形の高さ)：(くっつけた後の直角三角形の高さ)=a：bで
(くっつけた後の直角三角形の高さ)=(くっつける直角三角形の高さ)+cなので
(くっつける直角三角形の高さ)=ac/(b-a)となります。
No.80558 - 2022/01/29(Sat) 14:12:29
★ 中学数学　正負の数の計算 / シャー芯
問　0.75^3×(-4)^3÷(-3^2/2)の答えを求めなさい。

[解答]
0.75^3×(-4)^3÷(-3^2/2)
=(3/4)^3×4^3×(2/3^2)
=3^3/4^3×4^3×(2/3^2)
=6


上の問題で、0.75を分数に直して3乗を分配しているのは理解できたのですが、(-4)^3÷(-3^2/2)はそれぞれ負の数なのになぜ途中式でどちらも正の数になっているのかがわかりません。

数学が苦手なので、できれば分かりやすく解説お願いします。
No.80550 - 2022/01/29(Sat) 08:37:31
☆ Re: 中学数学　正負の数の計算 / ヨッシー
(-4)^3＝−64 のマイナスと
(-3^2/2)＝−9/2 のマイナスが
消えるということを事前に察知して
消したものと思われます。
No.80551 - 2022/01/29(Sat) 09:39:04
☆ Re: 中学数学　正負の数の計算 / シャー芯
事前に消していたんですね！よくわかりました。ありがとうございます。
No.80552 - 2022/01/29(Sat) 10:10:06
★ 全称命題 存在命題 / カステラ
京都大学2019年の問題について
命題を全ての実数aに変えるとどうなりますか？
考えてもよくわからなかったので知りたいです
No.80548 - 2022/01/28(Fri) 23:02:54
☆ Re: 全称命題 存在命題 / らすかる
「ある実数xが不等式ax^2+bx+c＜0をみたす」ためには
・a＜0（上に凸な放物線ならばx→±∞のとき-∞）
・a=0,b≠0（一次式ならばx→+∞またはx→-∞のどちらかで-∞）
・a=0,b=0,c＜0（定数ならc＜0が必要）
・a＞0,b^2-4ac＞0（下に凸な放物線がx軸と2点で交わる）
ですから
すべての実数bに対して成り立つためのa,cの条件は
「min(a,c)＜0」
すべての実数aに対して成り立つためのb,cの条件は
「c＜0」または「b≠0かつc=0」
すべての実数cに対して成り立つためのa,bの条件は
「a＜0」または「a=0かつb≠0」
となると思います。
No.80549 - 2022/01/29(Sat) 00:50:18
★ (No Subject) / みの　中１
「１つの面が正方形の多面体は、正六面体しかないことを、１つの頂点に集まる正方形の数に注目して説明しましょう。」という問題がどうしても解けなくて困っています。誰かわかる方がいたら分かりやすく解説お願いします。
No.80546 - 2022/01/28(Fri) 21:03:58
☆ Re: / ヨッシー
正方形は融通が効かないので、正三角形で考えましょう。

これは正四面体です。一つの頂点に、いくつ正三角形が来ていますか？

これは正八面体です。一つの頂点に、いくつ正三角形が来ていますか？

これは正二十面体です。一つの頂点に、いくつ正三角形が来ていますか？
正三角形がもう１つ増えるとどうなりますか？
紙を切ってでも良いので、試してみましょう。
また、正四面体のときより、正三角形が１つ少ないとどうなりますか？

これが理解できたら、

正六面体に挑戦しましょう。
No.80547 - 2022/01/28(Fri) 21:29:45
★ 積分 / 高校２年生
写真の492番で、黄色のマーカーを引いたところの2b2dがどちらも0になるというのがよく理解できません。分かりやすく説明をお願いします。
No.80544 - 2022/01/28(Fri) 19:46:10
☆ Re: 積分 / キャルちゃんprpr
関数の定義域次第。
仮に実数全体で定義されているとすると、f(-x)=-f(x)が任意のxに対して成り立っているので、特にx=0を代入すると2d=0が得られ、そしてx=1を代入すれば2b=0も得られる。
関数fが少なくとも絶対値の異なる2点x=α,βで定義されてさえいれば、fの定義域に0が含まれてなくても、x=α,βをそれぞれ代入すると、
2bα^2+2d=0
2bβ^2+2d=0
が得られ、これより両辺引くと
2b(α^2-β^2)=0。よって、α^2≠β^2より、2b=0
これから2d=0も得られる。
No.80545 - 2022/01/28(Fri) 19:57:24
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