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★ 高２数学について / ハオ
授業でベクトルの内積というのものを習ったのですが
内積とは一体何なのでしょうか？
座標軸上のどの部分を表しているのでしょうか？
勉強していても内積の存在意義が見出せません。内積=0の時に二つのベクトルは垂直である、という事位にしか使えないと思うのですが。
No.5726 - 2009/05/01(Fri) 21:06:46
☆ Re: 高２数学について / X
例えば
↑a=(2,3)
を考えます。
↑e1=(1,0)
↑e2=(0,1)
(つまり↑e1,↑e2はx軸y軸の正の向きの単位ベクトル)
と↑aとの内積を考えると
↑a・↑e1=2
↑a・↑e2=3
これはそれぞれ↑aのx,y成分を表しています。
同様にある単位ベクトル↑eに対し
↑a・↑e
は↑aの↑eの向きに対する正射影の大きさを表しています。
No.5728 - 2009/05/02(Sat) 08:23:30
☆ Re: 高２数学について / ハオ
Χさん
有難う御座いました。納得です。
数学の本質を理解したいなぁ、って最近思うようになって
黒大数を読んでいるのですが大学受験に太刀打ち出来るでしょうか？
No.5732 - 2009/05/02(Sat) 16:20:38
☆ Re: 高２数学について / X
ハオさんに言われるまで黒大数という参考書の存在は知りませんでした。
内容も全く見ていませんので、その参考書に対するコメントは差し控えさせていただきます。
(ごめんなさい)
No.5741 - 2009/05/02(Sat) 22:58:12
★ (No Subject) / shiyo
宜しくお願いします。

問：数列a[n]は初項1、公差3の等差数列、数列b[n]は初項5、公差4の等差数列である。数列a[n]と数列b[n]に共通に含まれる項を順に並べると、どんな数列になるか

解：初項13、公差12の等差数列になる。

→　a[n]=1+(n-1)・3= 3n-2
b[n]=5+(n-1)・4= 4n+1
としたのですが、その先が解りません。
宜しくお願いします。
No.5724 - 2009/05/01(Fri) 16:16:04
☆ Re: / ヨッシー
数列a[n]は、３で割ると１余る数です。
数列b[n]は、４で割ると１余る数です。ただし、５から始まります。
ということなので、共通の項は、
３で割っても４で割っても１余る数です。ただし、１は含まず、
その次の数からとなります。
なので、上の通りになります。
No.5725 - 2009/05/01(Fri) 16:55:57
☆ Re: / shiyo
ヨッシーさん
ありがとうございます。

解りました！！
No.5727 - 2009/05/01(Fri) 21:29:59
★ 等式変形 / sora
疑問に思ったので質問します。

-1=-1
1/-1=-1
両辺に√をつける
√1/√(-1)=√(-1)
1/√(-1)=√(-1)
ここで√(-1)=iとおくと
1/i=i
両辺にiを掛ける
1=i^2
1=-1

-1=1と矛盾が生じてしっまたのですがこれは何が原因なんでしょうか？よろしくお願いします。
No.5720 - 2009/04/30(Thu) 00:17:58
☆ Re: 等式変形 / ast
> 両辺に√をつける
> √1/√(-1)=√(-1)

は "両辺に√をつける √(1/(-1))=√(-1)" とすれば正しい.
しかし, ここで勝手に √(1/(-1)) を √1/√(-1)=√(-1) とすることはできない.
No.5722 - 2009/04/30(Thu) 01:58:19
☆ Re: 等式変形 / DANDY　U
1＝√1＝√{(-1)×(-1)}＝√(-1)×√(-1)＝i×i＝−1

とよく似たことをしていることになります。
√(ab)＝√a√b ,√(a/b)＝√a/√b 　は a,bの正負にかかわらずいえるわけではありません。
No.5723 - 2009/04/30(Thu) 11:36:44
☆ Re: 等式変形 / sora
astさん、DANDY　Uさん回答ありがとうございます。

√1/√(-1)=√(-1) とすることはできない。
√(a/b)＝√a/√b 　は a,bの正負にかかわらずいえるわけではない。

√(a/b)＝√a/√bとしてよい場合としてはまずい場合があることはわかりました。
ここで質問なんですが、どのような場合この変形をして大丈夫で、どの場合してはまずいのでしょうか？
No.5731 - 2009/05/02(Sat) 14:31:04
☆ Re: 等式変形 / ast
正の実数に話を制限するかぎりは成立します. いずれかあるいはどちらもが負の場合にだめなことは sora さん, DANDY　U さんの例がそのまま反例として利用できますね. a > 0 かつ b > 0 の場合の √(ab) = √(a)√(b) の証明を追えば, 何故通じないかわかるのではないでしょうか.
No.5743 - 2009/05/03(Sun) 00:13:37
☆ Re: 等式変形 / 七
a，bを実数として
√(a/b)＝√a/√bとしてよいのは
b＞0 の場合です。
No.5755 - 2009/05/04(Mon) 07:45:43
★ (No Subject) / みぃ
極限の証明の問題です。大学の１回生なのですが

lim[x→a](x)=l であるためには lim[x→a+0]ｆ(x)=lim[x→a-0]ｆ(x)=l となることが必要十分であることを証明しろ
という問題です。

十分性・必要性それぞれから考えれば良いというのはわかるのですがそこから進みません。
解答例をよければ教えてください。
No.5719 - 2009/04/29(Wed) 22:16:13
☆ Re: / angel
必要性、十分性を示すのはそうなのですが、まずはそれぞれの定義を抑えているか、が重要です。そこは大丈夫でしょうか。

lim[x→a] f(x) = L とは、
　任意の正の実数εに対し、（ε毎に）次の条件を満たす正の実数δが存在する。
　　0<|x-a|<δ⇒|f(x)-L|<ε

lim[x→a-0] f(x) = L とは、
　任意の正の実数εに対し、（ε毎に）次の条件を満たす正の実数δが存在する。
　　0<|x-a|<δかつx<a⇒|f(x)-L|<ε
※a+0 の場合は、x<a の代わりに x>a となります。

そうすると、lim[x→a] f(x) = L ⇒ lim[x→a-0] f(x) = L の証明はほぼ自明です。（x→a+0 も同じく）

逆の証明に対しては、x→a-0 でεに対応するδをδ1、x→a+0 でεに対応するδをδ2 と置きます。
そうすると、x→a に対応するδとしてmin(δ1,δ2)を持ってくれば、これが条件を満たすものになります。
No.5721 - 2009/04/30(Thu) 00:47:28
★ (No Subject) / 千昭
O点を始点とする一つの単位ベクトルをeとするとき、r･e=c(内積)(cは実定数)を満たすようなベクトルrを位置ベクトルとする点の集合はeに垂直でOからcの距離にある平面をなすことを示せ(cの正負でどう違うか)。

r,eはベクトルです。

質問の意味も解き方もまったく分かりません･･･
教えてくれたら幸いです。
No.5716 - 2009/04/29(Wed) 20:00:45
☆ Re: / BossF
ヒント

「（cの正負でどう違うか）」←質問とはこれでしょうか？

c＜0だと「…Oからcの距離にある平面…」という文が意味を持ちません。定義から距離は正ですので

c を ｜ｃ｜(絶対値c）と読み替えたとして…解き方は、いろいろ考えられますが、
成分表示 r=(x,y,z) c=(s,t,u) (s^2+t^2+u^2=c^2) などとおいて、内積を計算してみるなど如何？（＾o＾）
No.5718 - 2009/04/29(Wed) 21:50:43
☆ Re: / 千昭
内積を計算しても何も出てこないです･･･
どうすればいいですか？
No.5774 - 2009/05/06(Wed) 17:42:26
★ (No Subject) / あい
xについての二次関数f(x)=ax^2＋bx＋c(a＞0)がlim[x→1]f(x)/(x-1)=1を満たすとき、b、cをaを用いて表せ。

解き方を教えてくれませんか？?ｫ
No.5715 - 2009/04/29(Wed) 19:20:37
☆ Re: / BossF
考え方のみ

lim[x→1]f(x)/(x-1)=1を満たすためには、

f(1)=0,すなわち　f(x)=a(x-1)(x-p)

が必要で、かつ

g(x)=f(x)/(x-1)=a(x-p)　が　g(1)=1

を満たすことが十分です
No.5717 - 2009/04/29(Wed) 21:39:15
★ (No Subject) / みほ
もう１つお願いします。

この定理を証明しなさい。

(1)sinh(-x)=-sinhx
(2)cosh(-x)=-coshx
(3)tan(-x)=-tanhx

単位円x＾２+ｙ＾２＝１の図より、x=x…,y=-y…,
x…=cos（-θ）,y…=sin（-θ）を利用することはわかるのですがどうやって証明を示せばいいのかわかりません・・・。
解答解説お願いします。

*…はダッシュでお願いします。
No.5708 - 2009/04/27(Mon) 10:20:39
☆ Re: / ヨッシー
sinh(x)=(e^x-e^(-x))/2
などの定義から示せばいいでしょう。
(2) は誤りです。
(3) の左辺の tan は tanh でしょう。
No.5709 - 2009/04/27(Mon) 12:24:58
★ (No Subject) / みほ
数学の記号について教えてください。
Ｒ＝｛x|xは実数｝
Ｃ＝｛a+bi|a,b∈Ｒ,i^2=-1｝={x|xは複素数}
この記号のＣが理解できません・・・
詳しい解説お願いします。
No.5707 - 2009/04/27(Mon) 10:08:32
☆ Re: / ヨッシー
Ｃ＝｛a+bi|a,b∈Ｒ,i^2=-1｝={x|xは複素数}
の式そのものの意味か、なぜＣを使うのか、のどちらの質問でしょうか？
「なぜＣを使うのか」ということなら、別に何の文字でも
いいのですが、複素数(Complex Number)の頭文字なので
使用した、という程度のものです。
式そのものの意味は、実数a, b、虚数単位ｉに対して
　ａ＋ｂｉ
と書ける数の集合を複素数の集合とします。
という意味です。
No.5710 - 2009/04/27(Mon) 13:53:14
★ 三角関数 / 高校2年生
もう一つ…お願いします

次の式を簡単にせよ

sin^2×9π/8＋sin^2×3π/8

……分かりにくかったでしょうか？

最初のsin^2×9π/8は
sin^2（5π/8＋π/2）
にするというのは
分かっていますが…

おねがいします
No.5701 - 2009/04/27(Mon) 00:52:17
☆ Re: 三角関数 / rtz
左は(9/8)π＝(1/8)π＋πで考える。
右は(1/2)πから引いてcosで表す。

それからその表記は間違っています。
()で括るべきで、積でないのですから×は使うべきではありません。
No.5703 - 2009/04/27(Mon) 01:20:55
☆ Re: 三角関数 / BossF
cos2θ=cos^2(θ)-sin^2(θ)=1-2sin^2(θ)
より

sin^2(θ)={1-cos2θ}/2

これを用います

sin^2×9π/8＋sin^2×3π/8
={1-cos(9π/4)}/2+{1-cos(3π/4)}/2
=1/2-{cos(π/4)}/2+1/2-{-cos(π/4)}/2
=1 ■
No.5704 - 2009/04/27(Mon) 01:32:24
★ 三角関数のなす角 / 高校2年生
y＝３xを原点を中心に
正の向き(左回り)にπ／6回転した
直線の方程式を求めよ

一応解いてみましたが
答えが違っていて
解き方が分かりません

教えて下さい
宜しくお願いします
No.5700 - 2009/04/27(Mon) 00:51:25
☆ Re: 三角関数のなす角 / rtz
y＝3xのy≧0の部分と、x軸の正の部分が成す角をθとし、tanθを求める。
→回転した直線とy≧0の部分と、x軸の正の部分が成す角をθを使って表す。
→tanの加法定理を以ってその角度のtanを求める。
→直線の方程式を求める。
No.5702 - 2009/04/27(Mon) 01:16:13
☆ Re: 三角関数のなす角 / ヨッシー
y=3x は、原点と点(1,3)を結ぶ直線なので、
点(1,3)をπ/3 回転した点を求め、その点と原点を通る直線の
式を求めます。

rtz さんの方法と照らし合わせると、点(1,3)は、
点(1,tanθ) のことですから、これをπ/6 回転するのと
加法定理とは同じ手続きなので、やっていることは同じです。
No.5705 - 2009/04/27(Mon) 05:59:01
★ 三角関数の合成・高2 / 匿名
0≦θ＜2πのとき、
sinθ-cosθ≦1を解け。

範囲は-π/4≦θ-π/4＜7π/4なのに
図では-π/4を負の角として
とらえていないと思うのですが、
それはなぜでしょうか?
No.5694 - 2009/04/26(Sun) 15:47:32
☆ Re: 三角関数の合成・高2 / ヨッシー
ｘ軸方向より、時計回りにπ/4進んでいるので
-π/4 ですね。

ちなみに 7π/4 と同じ位置の角になります。
No.5696 - 2009/04/26(Sun) 16:13:18
★ (No Subject) / トーラス
トーラスを三角形に分割して、頂点(e)、辺(k)、面(f)を数え、
e-k+f=0の証明
No.5692 - 2009/04/26(Sun) 12:39:56
★ (No Subject) / 高2
a>0、ｂ>0とするとき、
　
　L=(a+2/b)(b+3/a)について

　(1)Lの最小値
　(2)Lが最小値をとるとき、a・bが満たす条件

　を求めたいのですがどうやって解けばいいのか分かりません。
　詳しい解説と回答を、教えてください。
　お願いいたします。
No.5690 - 2009/04/26(Sun) 10:21:10
☆ Re: / 七
Lを展開すると
ab＋(6/ab)＋5 となります。
相加相乗平均より
ab＋(6/ab)≧2√6
したがって
ab＋(6/ab)＋5≧2√6＋5
No.5691 - 2009/04/26(Sun) 11:31:23
☆ Re: / 高2
回答していただいてありがとうございました！！！
とてもよくわかりました。
No.5697 - 2009/04/26(Sun) 19:40:09
☆ Re: / 高2
後もうひとつだけ教えて下さい！
Lが最小値をとるとき、
のa・bが満たす値はどうやって求めたらいいですか？

ab+5=6/ab+5
a^2ｂ^2+5ab=6+5ab
a^2ｂ^2=6
(ab)^2=6
　ab=±√6
でいいのでしょうか？
　おしえてください！おながいします。
No.5711 - 2009/04/27(Mon) 18:38:42
☆ Re: / 七
ab＞0 ですから
ab=√6 です。
No.5713 - 2009/04/27(Mon) 20:19:44
☆ Re: / 高2
わかりました！！
ありがあとうございました！！
No.5714 - 2009/04/27(Mon) 21:14:52
★ (No Subject) / ベクトル
ベクトルの質問です

3次元空間内の２直線　

Ａ：(x-1)/2=z-2,y=-1 Ｂ：(x+1)/3=1-y=1-z

(1)この2直線がねじれの位置の証明

(2)この2直線Ａ，Ｂの両方に垂直に交わる直線の方程式

(3)直線Ａ上の点をＳ、直線Ｂ上の点をＴ，線分ＳＴの中点をＰとする。Ｓ，Ｔがそれぞれ直線Ａ、Ｂ上を動く時、点Ｐが描く図形の方程式


大学始まっていきなりさっぱりわかりません；；
詳しく教えてくれるとありがたいです。
No.5688 - 2009/04/26(Sun) 02:23:13
☆ Re: / BossF
ヒントのみ

(1)A〃(1,0,1) B〃(1,-1,-1) （←式を見れば分かります)ですから　A,Bは平行ではありません　後は共有点を持たないことを示せば終了

(2)(1,0,1),(1,-1,-1)の両方に垂直なvectorのひとつは(1,2,-1)（←外積で求めます)でこれを用いて求めます
No.5689 - 2009/04/26(Sun) 02:35:37
☆ Re: / ベクトル
ありがとうございます。

Ａ"って(１,０,１)になるんですか？？

どうして・・・？


初心者ですいません
No.5693 - 2009/04/26(Sun) 12:42:26
☆ sorry / BossF
A〃はA‖(平行)の打ち間違えです

で(１,０,１)は間違いで正しくは(2,0,1)ですね(＾o＾)
No.5695 - 2009/04/26(Sun) 16:09:29
☆ Re: / ベクトル
ありがとうございます！
No.5698 - 2009/04/26(Sun) 20:03:20
★ 数学B / むささび３年
数列の問題です。　

2(1-2^n)
------ −ｎ＝2^(n＋１)-n-2
1-2

書き方が滑稽ですみません。点線のところは分数です。

なぜ答が4^(n)-2-nではなく、上に書いたようになるのかがわかりません・・・。
お願いします。
No.5685 - 2009/04/25(Sat) 19:03:36
☆ Re: 数学B / rtz
分母が-1なので、分数部分は-2+2*2nです。
2*2n＝2n+1
No.5686 - 2009/04/25(Sat) 21:47:53
☆ Re: 数学B / DANDY　U
> むささび３年さん
別件ですが、4/15 に質問された Ｎo.5623　に対する回答は理解できたのでしょうか？
No.5699 - 2009/04/26(Sun) 21:21:03
☆ Re: 数学B / むささび３年
ありがとうございます。

DANDY　Uさん理解できました。ありがとうございました。
No.5738 - 2009/05/02(Sat) 20:16:22
★ (No Subject) / 高校生
すいません?ｫ

不等式の１つが間違ってました?ｬ

正しくは2log[a](x-2)≧log[a](x-2)＋log[a]5でした。

解いてみると答えが

0＜a＜1のとき2≦x＜5
a＞1のとき0＜x≦2

になりました?ｫ
合ってますか？?ｫ
No.5684 - 2009/04/25(Sat) 19:01:14
☆ Re: / BossF
まず
0＜a＜1のとき2≦x＜5
a＞1のとき0＜x≦2
なら、解は　単に　0＜x＜5 となります

さて、今度の式の方が正しいとすると
2log[a](x-2)≧log[a](x-2)＋log[a]5
⇔log[a](x-2)≧log[a]5
⇔（a>1 ∧ x≧7)∨(0＜a＜1 ∧ x≦7)
また
ａ^(2x-4)-1＜ａ^(x＋1)-ａ^(x-5)
⇔(a^x-a^5)(a^x+1/a)＜0
⇔(a>1 ∧ 2＜x＜5)∨(0＜a＜1 ∧ x＞5)

∴0＜a＜1のとき、5＜x≦7,a＞1のとき　解なし■

となるようですから、あなたの解は違うようです(^^;;)
No.5687 - 2009/04/26(Sun) 02:20:56
★ (No Subject) / 高校生
２つの不等式ａ^(2x-4)-1<ａ^(x＋1)-ａ^(x-5),2log[ａ](x-2)≧log[ａ]5を満たすxの値の範囲を求めよ。ただし，ａは正の定数で,ａ≠1とする。
教えてください?ｫ
No.5682 - 2009/04/25(Sat) 14:19:09
☆ Re: / BossF
指数対数では底と1との大小が大問題です
a>1　の場合を解きますので　0＜a＜1 の場合は考えてみてね

(i)a>1 のとき
ａ^(2x-4)-1<ａ^(x＋1)-ａ^(x-5)
　　　　　　　⇔　a^(2x)/a^4-(a-1/a^5)A-1<0
⇔　a^(2x)-{(a^5-1/a)}a^x-a^4<0
⇔(a^x-a^5)(a^x+1/a)<0
よって　-1/a<a^x<a^5

すなわち、　x<5 (∵一般にa^x>0)

また、2log[ａ](x-2)≧log[ａ]5
　　　　　　　⇔log[a]{(x-2)^2}≧log[a]5
⇔(x-2)^2≧5 かつ x-2>0 (←真数条件)
よって　2+√5≦x

以上より　2+√5≦x＜5

(ii) 0<a<1 のとき　以下略…　（＾＾；；）
No.5683 - 2009/04/25(Sat) 18:28:09
★ 三角関数のｎ倍角の公式 / Allegro
初めまして。Allegroと申します。

以前お邪魔したかどうか忘れてしまいましたが、
書きたいことがあって、お邪魔させていだきます。
私は社会人で、会社員です。
年齢は不惑を過ぎたところです。

//-----------------------------------------------
前半は質問ではなく、

三角関数の、倍角の公式、３倍角の公式、４倍角の公式...
の一般化を発見したのでその紹介です。

//-----------------------------------------------

sin(nθ)、cos(nθ)、tan(nθ)を一般式として求めるには、
複素数の範囲で考えると見通しがよくなります。

※以下、Q^Rは、QのR乗のこととします。
iは虚数単位とします。

ド・モアブルの公式
(cosθ+isinθ)^n=cos(nθ)+isin(nθ)...[01]

に対して、θに-θをあてはめて、

(cos(-θ)+isin(-θ))^n=cos(n・(-θ))+isin(n・(-θ))
=cos(-nθ)+isin(-nθ)...[02]

cos(-θ)=cosθ,cos(-nθ)=cos(nθ),
sin(-θ)=-sinθ,sin(-nθ)=-sin(nθ)だから、
[02]にあてはめると、

(cosθ-isinθ)^n=cos(nθ)-isin(nθ)...[03]

([01]+[03])/2で、
{(cosθ+isinθ)^n+(cosθ+isinθ)^n}/2=cos(nθ)

([01]-[03])/2で、
{(cosθ+isinθ)^n-(cosθ-isinθ)^n}/2=isin(nθ)

整理して、

cos(nθ)={(cosθ+isinθ)^n+(cosθ+isinθ)^n}/2...[A]
sin(nθ)=-i{(cosθ+isinθ)^n-(cosθ-isinθ)^n}/2...[B]

tanについては、※cosθ≠0のとき

tan(nθ)=sin(nθ)/cos(nθ)
=-i{(cosθ+isinθ)^n-(cosθ-isinθ)^n}
/{(cosθ+isinθ)^n+(cosθ+isinθ)^n}
=-i[{cosθ(1+itanθ)}^n-{cosθ(1-itanθ)}^n]
/[{cosθ(1+itanθ)}^n+{cosθ(1-itanθ)}^n]
=-i{(cosθ)^n(1+itanθ)^n-(cosθ)^n(1-itanθ)^n}
/{(cosθ)^n(1+itanθ)^n+(cosθ)^n(1-itanθ)^n}
=-i{(1+itanθ)^n-(1-itanθ)^n}
/{(1+itanθ)^n+(1-itanθ)^n}

整理して、

tan(nθ)
=-i{(1+itanθ)^n-(1-itanθ)^n}
/{(1+itanθ)^n+(1-itanθ)^n}...[C]

これで、sin,cos,tanの

倍角、３倍角、４倍角、５倍角、
６倍角、７倍角、８倍角、９倍角、10倍角...

の公式がいっぺんにそれぞれ、各１種類の公式で
求められました。

非常にすっきりしたのではないでしょうか？

//--------------------------------------------------
ここからは質問になります。
半角の公式(1/2角の公式）の一般の場合、1/n角の公式
(1/3角、1/4角、1/5角...)の表示方法（一般解法）を
ご存じないですか？
これはどこでも見かけたことがないのですが、
未解決問題なのでしょうか？

//--------------------------------------------------
以上長くなりましたが、よろしくお願いします。
No.5677 - 2009/04/25(Sat) 06:09:40
☆ Re: 三角関数のｎ倍角の公式 / 七
cos(nθ)={(cosθ+isinθ)^n+(cosθ+isinθ)^n}/2...[A]
sin(nθ)=-i{(cosθ+isinθ)^n-(cosθ-isinθ)^n}/2...[B]
tan(nθ)=-i{(1+itanθ)^n-(1-itanθ)^n}/{(1+itanθ)^n+(1-itanθ)^n}...[C]
式の形としては確かにすっきりしているかも知れませんが実用的ではありません。
θ＝π/6 などでは必要ありませんし，
例えばcosθ＝1/3，sinθ＝2√2/3のとき
cos2θ，sin2θ程度ならそれほど面倒ではありませんが，
3θ，4θの三角比を求める計算は非常に面倒だと思います。
それでもかまわないのであれば
[01]，[02]を逆に使えば1/n角の公式は簡単に作れるはずです。
No.5679 - 2009/04/25(Sat) 09:23:30
☆ Re: 三角関数のｎ倍角の公式 / angel
複素数を用いた形式は、確かにすっきりしていると思います。
ただ、実用上は cos,sin の多項式に直すことになりそうですが。
例えば cos なら、

cos(nθ)
=1/2・( (cosθ+isinθ)^n+(cosθ-isinθ)^n )
=1/2・?納0≦k≦n] nCk・(cosθ)^(n-k)・( (isinθ)^k+(-isinθ)^k )
=?納0≦k≦n, kは偶数] nCk・(cosθ)^(n-k)・(-1)^(k/2)・(sinθ)^k
=?納0≦j≦n/2] nC2j・(cosθ)^(n-2j)・(-1)^j・(sinθ)^2j
=?納0≦j≦n/2] nC2j・((cosθ)^2-1)^j・(cosθ)^(n-2j)

のように。
No.5680 - 2009/04/25(Sat) 11:59:14
☆ Re: 三角関数のｎ倍角の公式 / angel
1/n倍角ですが、cosθ, sinθ の多項式・n乗根の組合せで表せるような公式はないと思います。

例えば、cosの3倍角 cos3θ=4(cosθ)^3-3cosθ に対して、
cosの1/3倍角は、4(cos(θ/3))^3 - 3cos(θ/3) - cosθ = 0 という3次方程式の解を求める操作になります。
3次方程式ならともかく、次数が上がれば一般的に解けるとは思えません。

もちろん、cos(θ/n)=1/2・( (cosθ+isinθ)^(1/n)+(cosθ-isinθ)^(1/n) ) という変形はできますが、これを公式と言うかどうかは…。
No.5681 - 2009/04/25(Sat) 12:11:59
☆ Re: 三角関数のｎ倍角の公式 / Allegro
> 1/n倍角ですが、cosθ, sinθ の多項式・n乗根の組合せで表せるような公式はないと思います。
>
> 例えば、cosの3倍角 cos3θ=4(cosθ)^3-3cosθ に対して、
> cosの1/3倍角は、4(cos(θ/3))^3 - 3cos(θ/3) - cosθ = 0 という3次方程式の解を求める操作になります。
> 3次方程式ならともかく、次数が上がれば一般的に解けるとは思えません。
>
> もちろん、cos(θ/n)=1/2・( (cosθ+isinθ)^(1/n)+(cosθ-isinθ)^(1/n) ) という変形はできますが、これを公式と言うかどうかは…。

皆さん、コメントありがとうございます。
1/n角の公式は、やはりまだ見つかっていないのでしょうね。
とりあえず、n倍角の公式が書けたことで、ヨシとしたいと思います。
n倍角の公式は、angelさんご指摘のとおり、
一般に利用するには、展開して整理してから、使うことになりそうですね。

ありがとうございます。
No.5712 - 2009/04/27(Mon) 18:46:10
★ (No Subject) / 桜　高校3年生
こんにちは。
いつもありがとうございますo
よろしくお願いいたします。

三角形ABCにおいて、3sinA=4sinB=6sinCが成り立つという。
このとき、sinB,cosCの値を求めよ。

という問題がわかりませんでした。

各辺を12で割り
sinA/4=sinB/3=sinC/2
これと
a/sinA=b/sinB=c/sinCによってなぜ
a/4=b/3=c/2になるのかわかりませんでした。

教えてください。
よろしくおねがいいたしますo
No.5673 - 2009/04/24(Fri) 17:57:58
☆ Re: / 都
敢えて式などを持ち出して説明するとすれば、
a/sinA=b/sinB=c/sinC=kとでも置けば
sinA=a/k,sinB=b/k,sinC=c/kで、
sinA/4=sinB/3=sinC/2に代入すれば
a/4k=b/3k=c/2kとなって以下略。

要は簡単な式変形です。
No.5674 - 2009/04/24(Fri) 22:34:35
☆ Re: / 桜　高校3年生
ありがとうございます☆

数学が苦手であとちょっとわかりませんでした;

各辺を12で割り
sinA/4=sinB/3=sinC/2
と
a/sinA=b/sinB=c/sinC
はなんの関係があるのでしょうか。
a/4=b/3=c/2
にできなくてなかなｋ。。

すみませんです
No.5675 - 2009/04/24(Fri) 23:04:55
☆ Re: / 桜　高校3年生
じっくり考えたら解決できました。
本当にありがとうございます。
丁寧な解説ありがとうございます。
No.5676 - 2009/04/24(Fri) 23:44:24
★ (No Subject) / 高校1年
真数条件とはどういう条件なのか詳しく教えてくれません？
No.5671 - 2009/04/23(Thu) 16:43:35
☆ Re: / 七
正である
ということです。
No.5672 - 2009/04/23(Thu) 18:19:51
☆ Re: / BossF
補足

真数条件とは、対数の定義域の条件です

もともと対数とは指数関数の逆関数として定義され

y=a^x ⇔　x=log(a)y ですよね

すると　aが１とか負になると元の指数関数が意味を持たないため底の条件「aは1でない正数」がでてきて、またlogarithmの中身は正の数でなくてはいけないので、真数条件「yは正数」となります
No.5678 - 2009/04/25(Sat) 06:50:12
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