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★ 因数分解 / ラトソル
a,b,cについての式
(例えばbc(b-c)+ca(c-a)+ab(a-b))
で「a=b,a=cを代入してともに０になったとき初めて
３文字について交代式」
「a=-b,a=-cを代入してともに０になったとき初めて
３文字について対称式」
というやり方が最速でしょうか。
もっと早い見つけ方があれば教えてください。

上の例の問題なら
結局交代式だと見抜くのに最大で計４回
代入することになるってことですか。
（対称式と疑ってa=-b,a=-cでNG。
次にa=b,a=cと代入してOK,という具合）

※下のは間違って載せてしまったので
消してください。すいませんでした。
どうかよろしくお願いします。
No.7561 - 2009/08/21(Fri) 18:48:01
☆ Re: 因数分解 / 七
bc(b-c)
の部分だけでも入れ替えれば符号が逆になることはすぐわかると思います。
bc(b+c)…
の形なら対称式ではないかと考えます。
No.7562 - 2009/08/21(Fri) 19:53:08
☆ Re: 因数分解 / 七
少し気になったので

>「a=b,a=cを代入してともに０になったとき初めて
> ３文字について交代式」

これについてはまだよくわかりませんが

> 「a=-b,a=-cを代入してともに０になったとき初めて
> ３文字について対称式」

は間違いです。
たとえば　a+b+c は簡単な対称式ですが
a=-b　を代入しても,a=-cを代入しても0にはなりません。
No.7563 - 2009/08/21(Fri) 20:42:11
☆ Re: 因数分解 / 七
うっかりしていました。
> 「a=b,a=cを代入してともに０になったとき初めて
> ３文字について交代式」
こちらもまちがいです。
(a-b)(a-c)
は対称式でも交代式でもありませんが
a=b,a=cを代入してともに０になります。
No.7564 - 2009/08/21(Fri) 20:50:40
☆ Re: 因数分解 / ラトソル
よく分からなかったので違う聞き方をします。
a^3b-ab^3+b^3c-bc^3+c^3a-ca^3を因数分解せよ

解）与えられた式はaについての対称式で３次の係数は
b-c。また与えられた式はaにbを代入すると０になり
aにcを代入しても０になるからa-b,a-cを因数にもつ。
３次式であるからもう一つの因数をa+ｋとおくと
与式＝(b-c)(a-b)(a-c)(a+k)とおける。与式をaについての式とみたときの定数項を比較して
k=b+cより
(b-c)(a-b)(a-c)(a+b+c)

これの、また与えられた式はaにbを代入すると０になり
aにcを代入しても０になるからa-b,a-cを因数にもつ
の部分は３文字についての交代式だと分かってたから
できる操作だと思っていたのですがどうやら違うようですね。違う理由と
これが交対式だと見抜く方法をお教えください。
どうかよろしくお願いします。（a,bの交代式はa-bを
因数にもち、a、cの交代式はa-cを因数に持ちますよね・・）
No.7568 - 2009/08/22(Sat) 01:04:47
☆ Re: 因数分解 / ラトソル
与えられた式はaについての３次式で〜
でした。すいません。
No.7569 - 2009/08/22(Sat) 01:07:39
☆ Re: 因数分解 / 七
> 与えられた式はaにbを代入すると０になり
> aにcを代入しても０になるからa-b,a-cを因数にもつ

というのは因数定理から言えることです。
しかしaの3次の係数が（ｂ-ｃ）だからｂ-ｃを因数にもつ
とは言えないように思います。

a,b,cについての交代式でa-b,a-cまたはc-aを因数にもつから
ｂ-ｃも因数であると考えるべきです。

> a,bの交代式はa-bを因数にもち、
> a、cの交代式はa-cを因数に持ちますよね・

これは多分正しいと思います。
ただし、対称式についてはこの限りではありません。

> a^3b-ab^3+b^3c-bc^3+c^3a-ca^3
> これが交対式だと見抜く方法をお教えください。

展開された式の形では
1　似たような項（正確な言い方ではありませんが）がそろっている
2　+と-が混じっている
この2点で交対式ではないかと考えてみる価値はあります。
あとは実際に2つの文字を入れ替えて確認するべきです。
No.7570 - 2009/08/22(Sat) 03:28:49
★ 思いつかない．．． / R U N A .

特別な△ＡＢＣの３つの角Ａ，Ｂ，Ｃ、３つの辺ａ，ｂ，ｃ、について、三角比を用いた公式を作り、証明しなさい。


３つ作らないといけないんですけど、１つも思い浮かびません。図すら思い浮かびません。問題の意味もいまいち分かってないです↓１つでもいいので教えて欲しいです。
No.7555 - 2009/08/20(Thu) 15:09:04
☆ Re: 思いつかない．．． / ヨッシー
ちょっと、理解に苦しむ問題ですね。
どうせ、学校の先生が作った、夏休みの宿題のような
ものかと思いますが。

公式というのは、一般に成り立つものです。
特別な、と言った途端にただの等式になり、
証明はその計算になります。

それはさておき、使うとすれば、直角三角形でしょうかね。

斜辺を直径とする円(いわゆる外接円)を書いて、
正弦定理の証明をする。
その式を、ａ＝・・・、ｂ＝・・・、ｃ＝・・・
の形にして、三平方の式に代入してみる。

∠Ａ＝90°の三角形で、
ＡＣの延長（Ｃ側）に点ＤをＣＤ＝ＣＢ＝ａ となるように取り
△ＡＢＤにおいて、ＢＤ を三平方で出す。
∠ＢＤＡは∠ＢＣＡの半分なので、
tan(C/2)＝・・・　という公式が出来ます。

こんなところでしょうか？

問題の真意を探ることも、合わせてやった方がいいかも。
No.7556 - 2009/08/20(Thu) 17:20:50
★ 空間図形 / やね
座標空間にA（１，２，１）をとる。また、xy平面上にあり、中心が原点、半径が１の円をCとする。
２点P、QをCの直径の両端となるように選ぶ時、
（１）内積↑AP・↑AQを求めよ。
（２）∠PAQ＝θとおくとき、cosθの最大値と最小値を求めよ。
（３）cosθが（２）で求めた最小値をとるとき、△PAQの面積を求めよ。

という問題です。
空間がイメージしにくくて問題文に書いてあるのがどのような状況なのか分かりにくいです。

最終的な答えも分かっていません。
よろしくお願いします!!
No.7550 - 2009/08/19(Wed) 19:11:37
☆ Re: 空間図形 / X
Cに見立てた１円玉をxy平面に見立てた床に置き、
一本の糸を両端を一円玉に直径をはさむようにくっつけて、
糸をつまんで三角形ができるように引き上げる、
という感じをイメージするとよいと思います。

で方針ですが
まず条件から、点P,Qはxy平面上で原点に関して点対称ですので
P(cosφ,sinφ,0),Q(-cosφ,-sinφ,0)
(0≦φ＜2π)
と置くことができます。よって
(1)
↑AP,↑AQをφで表すと
↑AP=…
↑AQ=…
∴↑AP・↑AQ=…
(整理するとφの式は消えて正のある定数になります。)

(2)
題意から
cosθ=↑AP・↑AQ/{|↑AP||↑AQ|}
∴(1)の結果から
|↑AP||↑AQ|が最大のときcosθは最小
|↑AP||↑AQ|が最小のときcosθは最大
そこで{|↑AP||↑AQ|}^2の最大値、最小値を求めます。
{|↑AP||↑AQ|}^2は一見ややこしそうに見えますが
|↑AP|^2,|↑AQ|^2をそれぞれ展開して三角関数の合成を
使って整理した後で
公式 (a-b)(a+b)=a^2-b^2
辺りを使って{|↑AP||↑AQ|}^2を展開すれば、処理は
難しくないはずです。

(3)
(2)の結果よりAP,AQ,sinθの値が求められますので…。
No.7553 - 2009/08/19(Wed) 22:29:39
★ 座標 / kazu
A（-15，0）B（3，0）C（3，9）を結ぶ直線によって囲まれた三角形の周辺、内部にある座標でｘ、ｙともに整数になるものは何個あるか。

100個になるそうなのですが、考え方を教えて下さい。
No.7546 - 2009/08/19(Wed) 15:24:21
☆ Re: 座標 / らすかる
D(-15,9)として、
{(四角形ABCDの周辺、内部にある点の個数)＋(AC上の点の個数)}÷2
ですね。
No.7547 - 2009/08/19(Wed) 16:24:29
★ 規則性の問題 / fuyu/小4
次のように数が規則的に並んでいる。
5，26/5，27/5，28/5，29/5，6，31/5，32/5，33/5，34/5，7，36/5，37/5，……

(1)5と6の間には，26/5，27/5，28/5，29/5が
　並んでおり，その和は22である。
　同じように考えて，7と8の間に並ぶ数を求めなさい。

上の問題の答えは30なのですが、
何故そうなるのかがわかりません。
それ依然にどんな規則性になっているのかがわかりません。
どなたか教えて下さい。
No.7542 - 2009/08/19(Wed) 12:55:52
☆ Re: 規則性の問題 / angel
まず規則性から。
一部を除いて、分母が5で共通で、分子が 26→27→28→… となっていることから、公差 1/5 の等差数列と予想がつきます。
そうすると、整数の項は、単に約分できただけだと気付くでしょう。 ( 25/5→5, 30/5→6 )

で、7と8の間に並ぶ数は、
　36/5, 37/5, 38/5, 39/5
ですから、足し合わせれば 30 と答えが出ます。
※計算を工夫する余地はありますが、それはお任せします
No.7543 - 2009/08/19(Wed) 13:11:47
☆ Re: 規則性の問題 / ハオ
おこがましいかもしれませんが一応追記させていただきます。fuyuさんは小4の方という事で数列をまだ未履修かと存じます。
規則的に並んでいるという数学的問題であれば前後の差を考える事を一番に重んじてください。
本問を考えると差は1/5という事が分かります。
この事より、問題をもう一度考えてみてください。
No.7545 - 2009/08/19(Wed) 14:32:11
☆ Re: 規則性の問題 / ヨッシー
こちらもご覧ください。

28/5，29/5，□，31/5，32/5
□に入る数を考えましょう。

33/5，34/5，△，36/5，37/5
△に入る数を考えましょう。

そろそろ、わかるかな？
No.7548 - 2009/08/19(Wed) 17:09:56
★ 心配です・・ / アル
二次の正方行列Aについて
A(1,0)=(a,1)・・・?@,A^2(1,0)=(a,1)・・・?A
※( , )は列ベクトルですが
書けないので横に書きました。

が成り立っている

１）A(a,1)=(a,1)・・・?Bを示せ
２）A(x,y)=(0,0)・・・?Cとなる(x,y)≠(0,0)を一つ求めよ

これの２）について解答は?B−?@で単純に答え(x,y)=（a-1,1)
としているのですが私はその方法ではなく
?Bの式より
(a,1)を左にまとめて（A-E)(a,1)=0
a(A-E)+A-E=0
(a+1)(A-E)=0
a=-1またはA=E
A=Eのとき(x,y)=(0,0)より不適
a=-1のとき?@?Bよりドッキングして
A＝((-1,1),(-2,2))
これを?Cに代入してｘ＋２ｙ＝０
よってｘ＝−２、ｙ＝１

としたのですがこれでもよいでしょうか。どうかよろしくお願いします。

※２−２行列は二つの列ベクトルの和として書きました
A=（（　）,（ ) )は２−２行列のことです。
No.7538 - 2009/08/18(Tue) 23:58:46
☆ Re: 心配です・・ / ヨッシー
残念ながら、良くないです。

(A-E)(a,1)=0 を a(A-E)+A-E=0 に変形することは出来ません。
a=-1 という値に特に意味はなく、a=2 でも、a=3 でも、
この問題は成り立ちます。
勝手に a の値を決めつけて、そのときに限り成り立つ
　(x,y)=(-2,1)
という１つの解を求めたに過ぎません。
No.7540 - 2009/08/19(Wed) 06:11:08
☆ Re: 心配です・・ / アル
(A-E)(a,1)=0 を a(A-E)+A-E=0 に変形することは出来ません。
>簡単なことかもしれませんが、変形できない理由をお教えください。よろしくお願いします。
No.7541 - 2009/08/19(Wed) 12:54:33
☆ Re: 心配です・・ / ヨッシー
Ａ−Ｅ＝((p,q),(r,s)) とすると、
(Ａ−Ｅ)(a,1)＝(ap+q,ar+s) ・・・(i)
ａ(Ａ−Ｅ)＋(Ａ−Ｅ)＝(((a+1)p,(a+1)q),((a+1)r,(a+1)s))　・・・(ii)
ですから、(i) が (0,0) だからといって、(ii) が ((0,0),(0,0)) にはなりません。

逆に、なぜ、(A-E)(a,1)=0 を a(A-E)+A-E=0 に変形できると
思いましたか？
No.7544 - 2009/08/19(Wed) 14:11:01
★ 数?V / さくら

こんにちは！
数?Vと言っても途中式なんですが、
√x+2/x-2 × 2/(x+2)^2
ってどうやったら解けるでしょうか？
何方か宜しくお願いします。
No.7527 - 2009/08/18(Tue) 17:35:00
☆ Re: 数?V / angel
…「解く」ってどういう意味でしょうか?
途中の式と「解く」という漠然とした表現だけでは、問題の目的が分からないため、問題文と、その式を出した経緯を書いて頂けますでしょうか。
No.7531 - 2009/08/18(Tue) 21:47:16
★ 教えてください！ / たかし
数学?T？
次の問題のとき方を教えてください☆
　ｎ4乗が3ｎ＋７の倍数となるような自然数ｎをすべてもとめよ
No.7525 - 2009/08/18(Tue) 14:47:00
☆ Re: 教えてください！ / らすかる
とりあえず n^4/(3n+7) を計算しましょう。
No.7526 - 2009/08/18(Tue) 15:58:50
☆ Re: 教えてください！ / たかし
僕がやった限りでは何も見つかりませんでした
泣
No.7528 - 2009/08/18(Tue) 18:34:00
☆ Re: 教えてください！ / rtz
らすかるさんの仰られたとおり、
n4/(3n+7)の計算を"式で"ちゃんと出しましたか？
数字を適当に1,2,…と入れていくのではないですよ。
No.7529 - 2009/08/18(Tue) 19:16:23
☆ Re: 教えてください！ / たかし
してませんでした
やってみます
No.7530 - 2009/08/18(Tue) 19:49:19
☆ Re: 教えてください！ / phaos
その方法では不可能ではないかもしれませんが, かなり難しいのではないでしょうか。

n^4 を (3n + 7) が割り切るということは, (各々を素因数分解したとして考えてみると) n と 3n + 7 が互いに素ということは考えられないということから, 先ず n と 3n + 7 の最大公約数を求めてみるのがいいと思います。
No.7534 - 2009/08/18(Tue) 22:27:29
☆ Re: 教えてください！ / angel
＞ その方法では不可能ではないかもしれませんが, かなり難しいのではないでしょうか。

そうでもないと思いますよ。
ただし、「81n^4 を (3n+7) で割る ( そして余りを出す )」とした方が楽なのは確かですが。
No.7535 - 2009/08/18(Tue) 22:35:44
☆ Re: 教えてください！ / らすかる
m=3n+7 とおくと n=(m-7)/3 なので n^4=(Am+7^4)/3^4
よって81n^4を3n+7で割った余りは7^4
のようにすると、整式の割り算の手間が省けますね。
No.7539 - 2009/08/19(Wed) 00:15:52
☆ Re: 教えてください！ / たかし
わかりません
　　
　81n^4を3n+7で割った余りは7^4
　81n^4 を (3n+7) で割る
　 n と 3n + 7 の最大公約数を求めてみる

ってどういうことですか
No.7549 - 2009/08/19(Wed) 18:34:39
☆ Re: 教えてください！ / らすかる
＞81n^4 を (3n+7) で割る
例えば14を3で割ると商が4、余りが2ですが、これは
14=3×○＋□（ただし□＜3）
となる○と□を求めているわけです。
これと同様に、
81n^4=(3n+7)×○＋□（ただし□の次数は3n+7の次数未満）
となる○と□を求めるのが「81n^4を(3n+7)で割る」の意味です。
計算すると
81n^4=(3n+7)(27n^3-63n^2+147n-343)+2401
となりますので、81n^4を3n+7で割ると
商が27n^3-63n^2+147n-343、余りが2401ということになります。
No.7551 - 2009/08/19(Wed) 20:58:23
☆ Re: 教えてください！ / たかし
そっからどうなるのかがちでわかりません
No.7557 - 2009/08/20(Thu) 20:51:54
☆ Re: 教えてください！ / らすかる
81n^4=(3n+7)(27n^3-63n^2+147n-343)+2401 から
81n^4/(3n+7)=(27n^3-63n^2+147n-343)+2401/(3n+7)
n^4が3n+7の倍数となるとき、81n^4/(3n+7)は整数です。
また、81n^4/(3n+7)が整数のとき、3n+7は3で割り切れませんので
n^4/(3n+7)も整数となります。
よって
「n^4が3n+7の倍数」⇔「2401/(3n+7)が整数」
ですから、
「n^4が3n+7の倍数」⇔「3n+7が2401の約数」
となります。
No.7558 - 2009/08/20(Thu) 21:48:08
☆ Re: 教えてください！ / たかし
わざわざ僕のためにありがとうございました☆
その親切心に感極まります
またいつかお世話になります
蟻が父さんハエが母さん
No.7559 - 2009/08/20(Thu) 22:01:26
★ 誰か教えて！ / なみ
Bは行列でB=B^-1という式で、両辺によくB^-1とか逆行列をかける操作はよくするんですけど、この場合Bを両辺に掛けるってのもしていいんでしょうか。教えてください。
No.7522 - 2009/08/18(Tue) 01:07:38
☆ Re: 誰か教えて！ / angel
OKです。なおかつ、今回は同値変形になります。
つまり、
　Ｂ=Ｂ^(-1) ⇔ ＢＢ=ＢＢ^(-1) ⇔ Ｂ^2=Ｅ

次のページにあるNo.7395以下でも、似たような話がありますので、ご参考まで。
No.7524 - 2009/08/18(Tue) 01:51:46
☆ Re: 誰か教えて！ / なみ
納得しました☆特に７４００番はちょっとしたお宝ですね。

そこでちょっと気になったのですが
C=0のときのA=BとAC=BCの同値関係で（行列じゃないです）
A=B→AC=BCは真で
AC=BC→A=Bは偽で合ってますか。

これが合っていたら
C=０でも両辺に掛けるときは断り書きがいらないこと。
両辺から割るときはC≠０よりと断り書きを入れること。
の二つが一本でつながるのですが・・
とても初歩的なことかもしれないんですけど
確認の意味もかねてよろしくおねがいします。
No.7532 - 2009/08/18(Tue) 22:14:47
☆ Re: 誰か教えて！ / ヨッシー
C=0 と断らなくても、
A=B→AC=BCは真で
AC=BC→A=Bは偽です。

※断らなくてもとは、C=0 以外でも偽になることがあるという
ことではなく、どうせ反例で C=0 が挙げられるので、
最初に言わなくてもいい、という意味です。

>二つが一本でつながるのですが・・
つながりますね。ちなみに、両辺を割る、ですね。
No.7533 - 2009/08/18(Tue) 22:22:32
☆ Re: 誰か教えて！ / なみ
とりあえず、Cが０のとき
A=B→AC=BCは成り立って
AC=BC→A=Bは成り立たない
ってのは合ってるってことで
いいんですよね？

何度もすいません。。
No.7536 - 2009/08/18(Tue) 22:56:18
☆ Re: 誰か教えて！ / ヨッシー
いいですよ。
No.7537 - 2009/08/18(Tue) 23:13:26
★ 複雑な場合の数 / 数学好きの数学下手
　またお世話になります。
　今度は場合の数の問題なのですが、かなり複雑で手こずりました。解き方を教えてください。

【問題】
　4組の夫婦を以下の条件に従って横1列に並ばせる。
　（条件）女性の隣にはその人の夫かあるいは女性のみが
　　　　　座る。
　このとき、この8人の並べ方は何通りあるか？


　自分の考えでは、女性の隣にその女性の夫ではない男の並べ方を考えて、全体からその場合の数を引くのではないか、と考えたのですが、その後の整理をどうするかで、頭がこんがらがりました。
No.7513 - 2009/08/17(Mon) 10:09:04
☆ Re: 複雑な場合の数 / 数学好きの数学下手
　座る、じゃなくて、「いる」ですね。細かいことですが一応訂正します。
No.7514 - 2009/08/17(Mon) 10:10:44
☆ Re: 複雑な場合の数 / ヨッシー
女性が男性に挟まれることはなく、
また、男性が女性に挟まれることはありません。
よって、男性も女性も、端にいるとき以外は
必ず２人以上のかたまりになります。
それを踏まえて、女性のかたまり方によって、
男女の並び方を調べると以下のようになります。
※右端の数字は、後述。

1)女性４人のかたまり
女女女女男男男男　６
男女女女女男男男　２
男男女女女女男男　２
男男男女女女女男　２
男男男男女女女女　６

2)女性が３−１に分かれる場合
女女女男男男男女　２
男女女女男男男女　１
男男女女女男男女　１
女男男女女女男男　１
女男男男女女女男　１
女男男男男女女女　２

3)女性が２−２に分かれる場合
女女男男女女男男　１
女女男男男女女男　１
女女男男男男女女　２
男女女男男女女男　１
男女女男男男女女　１
男男女女男男女女　１

4)女性が１−２−１に分かれる場合
女男男女女男男女　１

たとえば、女女女女男男男男 は、女の並び方が４！＝２４通り
それに対して、男は、女と接している一人はその夫に固定されますが、
他の３人は自由なので３！＝６通り　の並び方があります。
そこで、男の並び方にどれだけの場合の数があるかを示したのが、
右の数字です。
それらを合計すると、３４なので、
　２４×３４＝８１６(通り)
となります。
No.7516 - 2009/08/17(Mon) 11:56:17
☆ Re: 複雑な場合の数 / 数学好きの数学下手
　最初からもう並べ方が限られちゃうのですね。全く、頭になかったです（恥）。確かに、余事象考えるよりは、こっちのほうが落ち着いて数え上げることが出来ますね。

　今回もありがとうございました。
No.7520 - 2009/08/17(Mon) 23:49:36
☆ Re: 複雑な場合の数 / 春
女性が男性に挟まれることはなく、
また、男性が女性に挟まれることはありません

とありますが
女性が男性に挟まれることはなく、は問題に書いてあるのですが、男性が女性に挟まれることはありません
はどこから来たのでしょうか。
気になったので教えてください。
No.7636 - 2009/08/27(Thu) 00:20:21
☆ Re: 複雑な場合の数 / ヨッシー
男性の両端が女性だとすると、少なくともどちらか一方は
自分の妻ではなく、その女性にとっては、自分の夫以外の
男と隣り合うことになるためです。
No.7637 - 2009/08/27(Thu) 00:33:02
★ 数学?U / 小次郎
(１)２点A,Bが次のように与えられている時、線分ABの垂直二等分線の方程式を求めよ。

　A（-1,3）B (7,-1)


(２)２直線 ax+4y=2とx+(a-4)y=1がある。a≠4である。
　　2直線が平行になるようなaの値を求めよ。


(1)については傾きまでは導けるのですが切片をどのように導くのかわかりません・・。
(2)はまったくわかりません・・解法の記載おねがいします。
No.7506 - 2009/08/16(Sun) 23:14:40
☆ Re: 数学?U / ヨッシー
(1)
ＡＢの中点は(3,1) ですが、求める直線は、この点を通ります。

(2)
２直線が平行←→傾きが等しい　（ただし、ｙ軸に平行な場合を除く）
No.7508 - 2009/08/17(Mon) 00:20:11
☆ Re: 数学?U / 小次郎
(2)の式x+(a-4)y=1をどのように式変形すればよいのですか？
No.7515 - 2009/08/17(Mon) 11:14:55
☆ Re: 数学?U / ヨッシー
両辺 a-4 で割ります。
No.7517 - 2009/08/17(Mon) 13:09:02
☆ Re: 数学?U / 小次郎
理解できました。
式変形のときににｙをかけてしまっていました・・・。
No.7519 - 2009/08/17(Mon) 20:34:51
★ 計算 / parasol
すごく初歩的な計算問題ですが

a^2-b^2=1・・・?@
かつab=√５・・・?Aで

?Aを２乗したいのですが
同値性が保たれるのかどうかわかりません。
同値性に注意した途中過程を教えてください。

答えは(a,b)=(1,√5)(-1,√5)です

よろしくお願いします。
No.7497 - 2009/08/16(Sun) 20:23:31
☆ 訂正です / parasol
a^2-b^2=-4
でした。
No.7498 - 2009/08/16(Sun) 20:24:25
☆ Re: 計算 / らすかる
問題と答えが合っていません。
(a,b)=(-1,√5) は ab=√5 を満たしません。
No.7500 - 2009/08/16(Sun) 21:00:35
☆ Re: 計算 / rtz
(a,b)＝(-1,-√5)ですかね。

ab＝√5⇔a2b2＝5 かつ ab＞0
程度でいいのでは。
a,b＞0 または a,b＜0 でもいいですが、冗長な気がします。
No.7501 - 2009/08/16(Sun) 21:06:38
☆ Re: 計算 / ヨッシー
ａｂ＝−√5 なのかも。

２乗して、
　a2b2＝５　　ａｂ＜０
と書いておくのが、慎重なやり方と思いますが、
ａｂ＜０ は気にせずに解いていって、最後に
ａｂ＝−√5　を満たすかチェックする、ということで良いと思います。
No.7512 - 2009/08/17(Mon) 08:21:05
★ 回転拡大を表す行列 / 数Cを独学でやる者
行列

a -b
b a

が回転拡大を表す行列、だという簡単な証明を教えてください。(1,0)が(a,b)に移ることを利用した証明があったらより助かります。よろしくお願いします。
No.7491 - 2009/08/16(Sun) 17:04:26
☆ Re: 回転拡大を表す行列 / 七
> 行列
>
> a -b
> b a
>
> が回転拡大を表す行列、

とは限りません。
No.7496 - 2009/08/16(Sun) 20:10:52
☆ Re: 回転拡大を表す行列 / 七
原点に関してθの回転を表す行列は
cosθ　-sinθ
sinθ cosθ
です。
またｒ倍の拡大を表す行列は
ｒ　0
0　ｒ
です。
θの回転とｒ倍の拡大を表す行列は
この2つの行列の積です。　
No.7499 - 2009/08/16(Sun) 20:25:10
☆ (No Subject) / parasol
質問の仕方に不備があったようなので、質問の仕方を変えます。

問題）A=
a -b
b a

(a,b:実数）

とする。A^6=EをみたすAを全て求めよ。
　
解）（１，０）方向から（a,b）方向への回転角をθ（０≦θ＜２π）とおき、√(a^2+b^2)=rとおくとa=rsinθ、b=rcosθにより、A=ｒ
cosθ　-sinθ

sinθ cosθ

と表せる。よって〜

解答をそのまま写しました。
行列
a -b
b a

からAの行列を出してるみたいなのですが
この回答の意味（Aの行列の導き方）が理解できません
分かる人がいたらどうか教えてください。
No.7502 - 2009/08/16(Sun) 21:20:18
☆ Re: 回転拡大を表す行列 / ast
模範解答でやっている内容と同じことは, 受験数学でおなじみの三角函数の合成で散々やっているはずですが…….
No.7503 - 2009/08/16(Sun) 22:28:34
☆ Re: 回転拡大を表す行列 / parasol
ならば細かい部分から

（１，０）はどこからきたのですか
No.7509 - 2009/08/17(Mon) 02:06:25
☆ Re: 回転拡大を表す行列 / ast
"ならば" で接続するような内容という気がしないのですが, (1,0) は x-軸 (の正の部分) 上の点であるという以上の意味はありませんし, それ以上の意味を持たせる必要もありません. そもそも模範解答の文言は "(1,0)-方向" であるということに注意してください.

もう少しだけ詳しく述べれば, No.7499 に書かれているような事実を念頭において, r * cos(θ) = a, r * sin(θ) = b となるような θ を求めたければ, そういう三角形 (原点, (a,0), (a,b) を頂点に持つ直角三角形) を書けばいいというだけの話です (直角や平角を越える場合は何処のどの値がどのようにどの三角函数の値を定めているか, 三角函数の定義を今一度復習なさるのも良い考えでしょう).

もう一度繰り返しますが, 上述の説明文の中でご質問の (1,0) は (極座標での) 偏角 θ を x-軸の正方向へ向かう半直線から測りはじめるという約束事を再度確認する程度の役割しか持っていませんし, それで十分役割を果たしていることが確認できると思います.

なお, "三角函数の合成" a * sin(x) + b * cos(x) = r * sin(x + θ) 云々の話は, 加法定理 sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y) を逆に用いるために, a = r * cos(θ), b = r * sin(θ) となるように r, θ を決定するといったようなことをやっているはずだ, という意味です. このときもやはり同様の三角形を想定する必要があったはずです (もちろん三角形を描かなくてもすぐに見つけられる, という方もいらっしゃるでしょうが).

たとえば (sin(x) + cos(x) = r * sin(x + θ) という合成を行いたいときなど) 1 = r * cos(θ), 1 = r * sin(θ) となる r, θ を導出するには, (0,0), (1,0), (1,1) を頂点に持つ直角三角形を書けば, r = √2, θ = π/4 ととればよいことが一目瞭然になります. そういうことをなさった記憶はありませんか?
No.7510 - 2009/08/17(Mon) 07:56:18
★ 三次式 / black
こんにちは＾＾
質問お願いします＞＜

ｋを２以上の数とし、F(x)＝kx^3-(k+1)^2*x^2+(2k^2+k+2)x-2k
とするとき
F(x)≧を示せ

という問題です。

F(x)の微分を考えて、その最大値≧０であればよいと考えようと思いました。
F'(x)=3kx^2-2(k^2+2k+1)+2k^2+k+2
=(x-1)(3kx-2k^2-k-2)
となったので
1<(2k^2+k+2)/3kの場合と同様に1>(2k^2+k+2)/3kを考えようとしました。
x=（2k^2+k+2)/3kとなる場合はこれをF(x)に代入すると計算が大変でうまくいかなくなってしまいました。
この考え方ではできないのでしょうか？

色々とご指導よろしくお願いします＞＜
No.7490 - 2009/08/16(Sun) 15:46:32
☆ Re: 三次式 / rtz
問題文が不完全ですね。
＞F(x)≧？
No.7495 - 2009/08/16(Sun) 18:40:58
☆ Re: 三次式 / black
ごめんなさい！
≧０です。
No.7505 - 2009/08/16(Sun) 23:10:45
☆ Re: 三次式 / ヨッシー
ｋが正であれば、ｘを思い切り小さくすると、
　F(x)＜０
になるので、F(x)≧０ とはなりません。
ｘの範囲に、何か制限はありませんか？
ｘ≧０ とか。
No.7511 - 2009/08/17(Mon) 08:15:39
★ 恒等式 / mina
　こんにちは(*^^*)
　質問お願いします☆

x+y+z=5,3x+y-z=-15を満たす任意のx,y,z,に対して常に
ax^2+ｂｙ^2+ｃｚ^2=5^2が成り立つ時、定数a,b,c,の値を求めないといけない問題です。

y=-2x-5,z=x+10にしてax^2+by^2+cz^2=5^2に代入し、計算して
(a+4b+c)x^2+20(b+c)x+25(b+4c)=5^2
　にして、
　a+4b+c,b+c,b+4cに恒等式の値を＝でつければいい
というところまで分かったのですが、
いったいどこの値を持ってきたらいいのかわかりません。

　教えて下さい。お願いします。宜しくお願いします。
No.7475 - 2009/08/15(Sat) 18:51:15
☆ Re: 恒等式 / rtz
恒等式で分からないなら、とりあえず移項は完成させましょう。
(a+4b+c)x2＋20(b+c)x＋25(b+4c-1)＝0

さて、あとはxに関する恒等式ですから…。
No.7476 - 2009/08/15(Sat) 18:59:51
☆ Re: 恒等式 / 七
x,y,zについての恒等式ですから
y,zを消去したらｘについての恒等式と考えればいいです。
したがってｘについての同類項の係数が等しいとすればいいです。
(a+4b+c)x^2+20(b+c)x+25(b+4c)=5^2　より
(a+4b+c)＝０、20(b+c)＝０、25(b+4c)=5^2
とすればいいのです。
No.7479 - 2009/08/15(Sat) 19:25:07
☆ Re: 恒等式 / mina
わかりました！
ありがとうございました☆
No.7484 - 2009/08/15(Sat) 21:52:51
★ 三角比の問題です。 / 葉桜

三角形ABCにおいて内接円が辺BCに接する点をDとするとき、BD・CD＝△ABC・□となる。
□を求めよ。ただし、□には三角比で表した式が入る。

という問題がどうしてもわかりませんっ。
学年は高一です。
直角三角形の場合で考えるとできるのですが、どうも問題の解答からだんだんと遠ざかっているような気がします。
よろしくお願いします。
No.7471 - 2009/08/15(Sat) 15:15:12
☆ Re: 三角比の問題です。 / 七
> 三角形ABCにおいて内接円が辺BCに接する点をDとするとき、BD・CD＝△ABC・□となる。
> □を求めよ。ただし、□には三角比で表した式が入る。

の部分は正しいですか？

> 直角三角形の場合で考えるとできるのですが、…

どういうことですか？
No.7486 - 2009/08/16(Sun) 07:33:23
☆ Re: 三角比の問題です。 / ヨッシー
数値をいろいろ当てはめると
　tan(A/2)
になるようなのですが、証明はまだです。
No.7487 - 2009/08/16(Sun) 07:54:39
☆ Re: 三角比の問題です。 / rtz
証明なら
2BD=AB+BC-AC=BC+(AB-AC)
2CD=AC+BC-AB=BC-(AB-AC)
BD*CD=(1/4){BC^2-(AB-AC)^2}=(1/2)AB*AC(1-cosA)=△ABC(1-cosA)/sinA=tan(A/2)
No.7489 - 2009/08/16(Sun) 14:13:50
★ 確認 / 数学が苦手な者
k^3A=kA(A:行列で逆行列を持たない）でA≠０よりk^3=k

と解答にあったのですが
解答のミスでしょうか。
私はAが逆行列を持たないということからA≠rEで係数比較してよいのでk^3=kとできたのですが、気になります。
No.7467 - 2009/08/15(Sat) 13:37:44
☆ Re: 確認 / 七
AがO零行列であれば係数比較はできません。

前の質問のついては理解できたのですか？
No.7468 - 2009/08/15(Sat) 13:56:15
☆ (No Subject) / 数学が苦手な者
わかりました。勘違いでした、すいません。
No.7469 - 2009/08/15(Sat) 14:52:51
★ 体積の件 / math嫌い
　お邪魔いたします。次の問題の方針を教えてもらいたいです。

《問題》
　xyz平面において、xz平面上の領域0≦z≦(4-x^2)をz軸の周りに1回転してできた立体をAとおく。
　xy平面上の三角形x≧0、y≧0、x+y≦1を底面とし、xy平面に垂直に、z軸正方向に無限に延びる三角柱とおく。
　A、Bの共通部分の体積はいくらか？
　
　答えは11/6．
No.7464 - 2009/08/15(Sat) 00:35:00
☆ Re: 体積の件 / math嫌い
訂正です。失礼しました。

・・・無限に延びる三角柱をBとおく。
No.7465 - 2009/08/15(Sat) 00:37:27
☆ Re: 体積の件 / rtz
あるz＝k(0≦k≦4)において、
k＝4−x2⇔|x|＝√(4−k)
即ち、平面z＝kとAは、中心(0,0,k)、半径√(4−k)の円において交わる。

あとは
x,y≧0、x＋y≦1、x2＋y2＝4−kを描いて、
共通部分がkの値でどう変化するか考えましょう。
具体的には0≦k≦3、3≦k≦7/2、7/2≦k≦4の3通りですね。
No.7466 - 2009/08/15(Sat) 01:08:06
☆ Re: 体積の件 / math嫌い
返信遅れてすみません。
アドバイス、助かりました。ありがとうございました。
No.7494 - 2009/08/16(Sun) 17:47:06
★ 剰余の定理 / coz
整式P(x)をx-1で割ると13余り、(x+1)^2で割ると-x+2余る。
(1)P(x)をx+1で割った余りを求めよ。
(2)P(x)を(x+1)(x-1)で割った余りを求めよ。
(3)P(x)を(x-1)・(x+1)^2で割った余りを求めよ。

答え
(1)3
(2)5x+8
(3)3x^2 +5x +5

(1),(2)は解けるのですが,(3)の解法がわかりません。解説よろしくお願いします。
No.7456 - 2009/08/14(Fri) 18:06:48
☆ Re: 剰余の定理 / rtz
(2)と方針は同じですよ。
(2)はどうやって解かれたのでしょうか。
No.7457 - 2009/08/14(Fri) 18:13:26
☆ Re: 剰余の定理 / coz
余りをax+bとして、条件より
P(1)=a+b=13
P(-1)=-a+b=3
これを解きました。

(3)はax^2+bx+cとしても、解けなくて困っています。
No.7460 - 2009/08/14(Fri) 23:23:12
☆ Re: 剰余の定理 / rtz
普通に(x+1)2で割ってみましょう。
そうすればb,cがaで表せるので、あとはP(1)が使えますね。


ちなみに、別解として、
あまりをa(x+1)2-x+2と置く方法もあります。
これなら面倒な手順を踏むまでもなくP(1)のみです。

もっとも、こうしてよい理由を分かっていないといけませんが。
No.7463 - 2009/08/14(Fri) 23:57:03
☆ Re: 剰余の定理 / coz
>普通に(x+1)2で割ってみましょう。

どういうことでしょうか。何を割るのですか。


＞別解としてあまりをa(x+1)2-x+2と置く方法もあります。

どうしてこのような置き方ができるのですか。
No.7483 - 2009/08/15(Sat) 21:20:42
☆ Re: 剰余の定理 / ヨッシー
>整式P(x)をx-1で割ると13余り、(x+1)^2で割ると-x+2余る。
とありますから、もちろん P(x) を (x+1)^2で割るのです。

P(x) を (x-1)・(x+1)^2で割ると ax^2+bx+c 余る
を式で書くと、商をQ(x) として、
　P(x)＝Q(x)(x-1)・(x+1)^2＋ax^2+bx+c
これを、(x+1)^2で割って -x+2 余ることと照らし合わせます。
このとき、Q(x)(x-1)・(x+1)^2 の部分は、(x+1)^2 で
割り切れますから、ax^2+bx+c を (x+1)^2 で割ったあまりが、
-x+2 であると言えます。
そこで、商をａとして、
　ax^2+bx+c＝a(x+1)^2 -x+2
と書けます。
No.7518 - 2009/08/17(Mon) 13:39:46
☆ Re: 剰余の定理 / coz
理解できました！！
解説ありがとうございました
No.7554 - 2009/08/20(Thu) 00:11:48
★ 今日もまたお願いします / 数学が苦手な者
原点の周りのθ回転とｋ倍拡大の合成変換f（回転拡大）によって中心p、半径rの円が中心ｆ（ｐ）、半径krの円にうつる

とありますが、ここでなんで円の半径も拡大されるのかが分かりません。（中心の座標が変わるだけで円の大きさは変わらないと思うのですが。）よろしくお願いします。
No.7453 - 2009/08/14(Fri) 12:42:56
☆ Re: 今日もまたお願いします / angel
＞ …(前略)…とｋ倍拡大の合成変換f（回転拡大）によって

とあるのですから、拡大されるのはごく自然なことだと思いますが…?
No.7454 - 2009/08/14(Fri) 14:21:50
☆ Re: 今日もまたお願いします / angel
回転を考えずに、単に k倍拡大だけで考えてみましょうか。

表現行列 kＥ ( k＞0 ) で表される k倍拡大の一次変換 f により、点(x,y)が(X,Y)に移るとします。
この時、X=kx, Y=ky であり、逆変換を考えると、x=X/k, y=Y/k

では、f により、(p,q)を中心とする半径 r の円 (x-p)^2+(y-q)^2=r^2 がどう移るかを計算します。
上記の x=X/k, y=Y/k を代入すると、
　(X/k-p)^2 + (Y/k-q)^2 = r^2
　(X-kp)^2/k^2 + (Y-kq)^2/k^2 = r^2
　(X-kp)^2+(Y-kq)^2 = (kr)^2
ということで、(kp,kq)を中心とする、半径 kr の円に移ることが分かります。
No.7455 - 2009/08/14(Fri) 15:37:41
☆ 補足になるかどうか… / 七
上のangelさんのレスでも明らかなように変換されるのは円周上の点です。
中心は、言ってみれば結果としてついていくのです（正確な言い方ではないかもしれませんが）。
そして円にはこの中心という便利なものがありますから結果だけを考えるとき
> 中心ｆ（ｐ）、半径krの円にうつる…
といった考え方ができるのです。
たとえば三角形に同様な変換を加えた場合を想像してみてください。
数学が苦手な者さんの想像されていたであろう移動は拡大変換ではなく、
特殊な平行移動であることがわかるのではありませんか？
No.7458 - 2009/08/14(Fri) 18:32:17
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